varias variables reales y variable compleja
TRANSCRIPT
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 1/174
Ö Ð Ò Ð Î Ð Ð Ë Ð Ú Ó Ö
Å Ø Ñ Ø × Á Á
Î Ö × Î Ö Ð × Ê Ð × Ý Î Ö Ð Ó Ñ Ô Ð
Ë Ô Ø Ñ Ö ¾ ¼ ¼
D
ca
Ò Ø Ö Ó Á Ò Ú × Ø Ó Ò Ý × Ø Ù Ó × Ú Ò Þ Ó × Ð
Á º È º Æ º
Ô Ö Ø Ñ Ò Ø Ó Ó Ò Ø Ö Ó Ð Ù Ø Ó Ñ Ø Ó
Ø Ò Ó ¸ º º
Å
Á Ç
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 2/174
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 3/174
Ð × Ö Ø Ó Ð Ò × Ò Ò Þ × Ö Ð Ô Ö Ò Õ Ù Ø Ó Ø Ù
Ú × × Ó Ð Ó Õ Ù Ô Ö Ò × Ø × Ø Ñ × Ñ Ø Ö
Ò
Ó Ò Ñ Ó
Æ Ó Ñ Ù Ñ Ù Ý Ò Ò Ñ Ø Ñ Ø × Ô Ö × Ö Õ Ù Ò Ù Ò Ô Ù
Ô Ö × Ù Ö Ð Ô Ö Ó × Ó Ö Õ Ù Ñ × Ö × Ô Ù × Ø × Ò Ó Ö Ò Ð Ø Ö Ð ×
Ð Ú Ò Ì Ö Ð Ð Ò
Ä Ó × × Ø Ù Ò Ø × Ø Ò Ò Ð Ò Ö º Ð Ñ Ò Ó Ò Ý Ð
Ò Ø Ð Ò Ò × Ö × Ô Ö Ñ Ó Ö Ö Ð × Ø Ù Ó Ò Ò × Ù ×
Ó Ñ Ù Ò × º Ä Ó Ù Ò Ó Õ Ù Ò × Ø × × Õ Ù × Ð × Ô Õ Ù
Ñ Ù × Ø Ö Ò Ð Ó Õ Ù Ô Ù Ò Ö
Ã Ø Ð Ò Ã Ò Ò Ý Ì Ó Û Ò × Ò
Ä Ù Ó Ò Ò Ó × Ô Ö Ô Ö Ó Ò Ô Ö Ð Ú Ð Ù Ó Ò × Ð
Ú Ñ × Ñ
Â Ó Ò Û Ý
Ò × Ò Ð Ó × Ó Ú Ò × Ó Ñ Ó Ô Ò × Ö ¸ Ò Ó Ð Ó Õ Ù Ò Ô Ò × Ö
Ë Ò Ý Ë Ù Ö Ñ Ò
Í Ò Ö Ù Ò Ó Ñ Ó Ö Ð × Ø Ñ Ù Ò Ô Ö × Ó Ò Ð Ú Þ º Í Ò Ñ × Ø Ö Ó
Ñ Ó Ö Ð × Ø Ñ ½ ¿ ¼
Ö Ò × Ø Ó Ý Ö
Ð Ð Ù Ñ Ò Ó Õ Ù Ò Ò Ù Ò × Ô Õ Ù Ð Ó Õ Ù Ò Ó Ô Ù
Ö ¸ Ò Ù Ò Ð Ó Õ Ù × Ô Ù Ö
Â Ó Ò Ë Ø Ù Ö Ø Å Ð Ð
Ä Ù Ó Ò Ö × Ù Ð Ø Ò Ù Ò Ô Ù Ð Ó Ð Ö Ö ¸ Ô Ö Ó Ð
Ó Ð Ö Ð Ó Ö Ò Ö ¸ Ô Ö Ó Ñ Ô Ó × Ð × Ð Ú Þ Ö
Ä Ó Ö Ö Ó Ù Ñ
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 4/174
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 5/174
È Ö Ó
× Ø Ø Ö Ó × Ø × Ó Ò Ð Ô Ö Ó Ö Ñ Ó ¬ Ð Å Ø Ñ Ø × Á Á Ð
Ñ × Ø Ö Ð Ô Ö Ø Ñ Ò Ø Ó Ó Ò Ø Ö Ó Ð Ù Ø Ó Ñ Ø Ó Ð Ò Ú × Ø Ú Ð Á º È º Æ º
Ò Ð × Ô Ð Ó Ò Ø Ö Ó Ð Ù Ø Ó Ñ Ø Ó º
Ä Ó × Ó Ø Ú Ó × Ù Ò Ñ Ò Ø Ð × Õ Ù × Ô Ö × Ù Ò × Ð Ö Ð Ó × Ù Ò Ñ Ò Ø Ó ×
Ø Ó Ö Ó × Ò × Ö Ó × Ð Ð Ù Ð Ó Ö Ò Ð Ò Ø Ö Ð Ú Ö × Ú Ö Ð × Ö Ð ×
× Ó Ñ Ó Ð Ò Ð × × Ó Ñ Ô Ð Ó Ô Ö Ð × Ø Ù Ò Ø Ñ × Ø Ö Ò × Ø × Ô Ð ¹
º È Ó Ö Ó Ø Ö Ó Ð Ó ¸ × Ø × Ò Ó Ø × × Ö Ú Ò Ð × Ø Ù Ò Ø Ð Ù Ö × Ó Ù Ò Ö Ö Ò
Ö Ú Ý Ð × Ó Ð Ó × Ø Ñ × Ð Ô Ö Ó Ö Ñ Ó ¬ Ð º
Ð Ò Ó Õ Ù × Ó Ö Ñ Ð Ý × Ô Ö Ø Ò Ò Ö ¸ × Ø Ù Ò Ð Ñ Ø Ö Þ Ó Ò Ð ¸ Ø Ó ×
Ð × Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò × Ð Ó × Ö × Ù Ð Ø Ó × Ô Ö × Ò Ø Ó × Ð Ó Ð Ö Ó Ð Ù Ö × Ó º Å Ù Ó ×
Ö × Ù Ð Ø Ó × × Ô Ö × Ò Ø Ò × Ò Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò Ô Ù × Ð Ô Ö Ó Ú Ö Ù Ò Ò Ó × Ð Ð Ú Ö Ù Ö
Ð Ó × Ó Ø Ú Ó × Ð × Ô Ð ¸ Ð Ù Ò Ó × Ó Ø Ö Ó × Ö × Ù Ð Ø Ó × Ð Ó × Ô Ö × Ò Ø Ñ Ó × Ò
× Ø × Ò Ó Ø × × Ò Õ Ù × Ø Ò Ò Ð Ô Ö Ó Ö Ñ º Ó Ò Ð Ð Ó Ù × Ñ Ó × Õ Ù Ð × Ø Ù Ò Ø
Ò Ø Ö × Ó Ô Ù Ð Ö Ô Ó Ö × Ñ × Ñ Ó Ð Ù Ò Ó × Ó Ö Ñ Ð × Ñ Ó × Ñ × Ð Ð Ð Ô Ö Ó Ö Ñ º
À Ý Ú Ö × Ó Ò × Ö Ó Ò × Õ Ù Ð × Ø Ù Ò Ø Ø Ò Ö Ò Ù Ò Ø Ð Ð Ö
× Ø Ø Ö Ó º Ò Ð Ù Ò × Ó × Ó Ò × ¸ × Ù × Ò Ô Ö Ó Ô × Ñ Ò Ö Ò Ø Ù Ø Ú
Õ Ù × Ó Ò Ð × Ú × Ù Ð Þ Ö Ô Ö Ó Õ Ù Ð Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò Ó Ö Ñ Ð Ô Ù × Ö Ñ Ù Ý
Ø Ò º È Ó Ö × Ø Ý Ó Ø Ö × Ö Þ Ó Ò × ¸ × Ø Ø Ö Ó Ò Ó × Ù Ó Ô Ö Ù Ò × Ø Ù ¹
Ò Ø Ò Ñ Ø Ñ Ø × º Å Ù × Ú × Ù × Ñ Ó × Ó Ò Ô Ø Ó × Õ Ù Ò Ó × Ò ¬ Ò Ó
Ó Ö Ñ Ð Ñ Ò Ø ¸ Ô Ö Ó Õ Ù × Ð Ò Ø Ò Ö Ð Ó Õ Ù Ò Ó × Ö Ö Ñ Ó × º Ò Ð Ñ Ò Ø
Ñ Ó × Ð Ö Ù × Ó Ð Ñ Ø Ö Ð × Ò Ö Ö Ò Ð Ù Ö × Ó Ô Ö Ó Ô Ù Ø Ó Ò Ð × ×
Ö Ð × Ø Ñ × Ñ Ó Ô Ö Ó Ö Ñ º
Ð Ñ Ø Ö Ð Õ Ù Ô Ö × Ò Ø Ñ Ó × × Ø × Ø Ö Ù Ó Ð × Ù Ò Ø Ó Ö Ñ º Ð
Ô Ö Ñ Ö Ô Ø Ù Ð Ó Ó Ò × × Ø Ð × Ô Ö Ó Ô × Ó Ñ Ø Ö × Ð × Ô Ó Ù Ð ¹
Ò Ó Ê
Ò
º Ð Ô Ø Ù Ð Ó ¾ Ø Ö Ø × Ó Ö Ð Ð Ù Ð Ó Ö Ò Ð Ú Ö × Ú Ö Ð ×
Ö Ð × º Ð × Ù Ò Ø Ô Ø Ù Ð Ó Ô Ö × Ò Ø Ð Ò Ø Ö Ð Ê Ñ Ò Ò Ù Ò Ó Ò ×
Ú Ö × Ú Ö Ð × Ö Ð × º Ð Ô Ø Ù Ð Ó × Ø Ù Ð × Ô Ö Ó Ô × Ù Ò Ñ Ò Ø Ð ×
Ð Ñ Ô Ó Ð Ó × Ò Ù Ñ Ö Ó × Ó Ñ Ô Ð Ó × Ý Ð Ó Ò Ô Ø Ó Ö Ò Ð Ó Ñ Ô Ð ¸ Ð
Ù Ð × Ó Ñ Ô Ö Ó Ò Ð Ö Ò Ð Ö Ð º Ð Ù Ð Ø Ñ Ó Ô Ø Ù Ð Ó × Ø Ù Ð Ò Ø Ö Ð
Ð Ò Ý Ô Ö × Ò Ø Ð Ì Ó Ö Ñ Á Ò Ø Ö Ð Ù Ý º
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 6/174
Î Á Á Á È Ö Ó
Ò Ð Ñ Ò Ø × Ó Ò Ú Ò Ò Ø Ö Ò Ó Ø Ö Õ Ù Ø Ó Ú Ô Ù Ö Ñ Ù Ó ×
Ö Ö Ó Ö × Ø Ô Ó Ö ¬ Ó × Ò Ú Ó Ð Ù Ò Ø Ö Ó × º
Å Ü Ó ¸ º º ¸
× Ô Ø Ñ Ö ¾ ¼ ¼ Ö Ð º Î Ð Ð Ë Ð Ú Ó Ö
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 7/174
Ó Ò Ø Ò Ó
È Ö Ñ Ö È Ö Ø Ò Ð × × Ê Ð º Ð Ù Ð Ó Ò Ê
Ò
½
½ Ê
Ò
Ó Ñ Ó × Ô Ó Ù Ð Ò Ó º ½
½ º ½ Ì Ó Ô Ó Ð Ó Ê
Ò
º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½
½ º ¾ Ë Ù × Ó Ò × Ò Ê
Ò
º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
½ º ¿ Ó Ò Ù Ò Ø Ó × Ó Ñ Ô Ø Ó × Ý Ó Ò Ù Ò Ø Ó × Ó Ò Ü Ó × º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¼
½ º ¿ º ½ Ó Ò Ù Ò Ø Ó × Ó Ñ Ô Ø Ó × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¼
½ º ¿ º ¾ Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ó Ò Ü Ó × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¿
½ º Ù Ò Ó Ò × Ó Ò Ø Ò Ù × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½
½ º º ½ Ó Ò Ø Ò Ù Í Ò Ó Ö Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½
½ º Ó Ò Ú Ö Ò Ù Ò Ó Ö Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½
½ º Ö Ó × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾
¾ Ð Ù Ð Ó Ö Ò Ð Ò Ê
Ò
¾
¾ º ½ Ö Ú × Ò Ê
Ò
º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾
¾ º ¾ Ì Ó Ö Ñ × Ð Ù Ò Ó Ò Á Ò Ú Ö × Ý Ð Ù Ò Ó Ò Á Ñ Ô Ð Ø º º º º º ¿
¾ º ¿ Ö Ó × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾
¿ Á Ò Ø Ö Ó Ò Ò Ê
Ò
¿ º ½ Ù Ò Ó Ò × Á Ò Ø Ö Ð × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
¿ º ¾ Ð Ù Ò Ó × Ö Ø Ö Ó × Á Ò Ø Ö Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½
¿ º ¿ Î Ó Ð Ù Ñ Ò Ý Ó Ò Ø Ò Ó ¼ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾
¿ º Á Ò Ø Ö Ð × Á Ñ Ô Ö Ó Ô × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
¿ º Ì Ó Ö Ñ Ù Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
¿ º Ì Ó Ö Ñ Ð Ñ Ó Î Ö Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
¿ º Ó Ó Ö Ò × È Ó Ð Ö × ¸ × Ö × Ý Ð Ò Ö × º º º º º º º º º º º º º º º º ¾
¿ º º ½ Ó Ó Ö Ò × È Ó Ð Ö × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾
¿ º º ¾ Ó Ó Ö Ò × × Ö × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
¿ º º ¿ Ó Ó Ö Ò × Ð Ò Ö × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
¿ º Ö Ó × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 8/174
Ó Ò Ø Ò Ó
Ë Ù Ò È Ö Ø Ò Ð × × Ó Ñ Ô Ð Ó ½
Ù Ò Ó Ò × Î Ö Ð Ó Ñ Ô Ð ¿
º ½ Æ Ù Ñ Ö Ó × Ó Ñ Ô Ð Ó × ¸ Ë Ù × Ó Ò × Ý Ë Ö × Ó Ñ Ô Ð × º º º º º º º º º º ¿
º ¾ Ö Ò Ó Ò Ó Ñ Ô Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¼ ¿
º ¿ Ë Ö × È Ó Ø Ò × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¼
º Ö Ó × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½
Á Ò Ø Ö Ó Ò Ò ½ ½
º ½ Á Ò Ø Ö Ð Ä Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½
º ¾ Ó Ö Ñ Ù Ð Á Ò Ø Ö Ð Ù Ý º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾
º ¿ Ë Ò Ù Ð Ö × Ý Ê × Ù Ó × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¿
º Ð Ù Ð Ó Á Ò Ø Ö Ð × Ê Ð × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾
º È Ö Ò Ô Ó Ð Ö Ù Ñ Ò Ø Ó Ý Ì Ó Ö Ñ Ê Ó Ù º º º º º º º º º º º º º º ½
º Ö Ó × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¼
È Ö Ó Ö Ñ ½
Æ Ó Ø Ó Ò × ½
Ê Ö Ò × ½
Á Ò Ð Ø Ó ½ ½
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 9/174
È Ö Ñ Ö È Ö Ø
Ò Ð × × Ê Ð º Ð Ù Ð Ó Ò Ê
Ò
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 10/174
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 11/174
½
Ê
Ò
Ó Ñ Ó × Ô Ó Ù Ð Ò Ó º
Ò × Ø Ô Ø Ù Ð Ó × Ø Ð Ö Ñ Ó × Ô Ö Ñ Ö Ñ Ò Ø Ð Ó Ñ Ø Ö Ò Ö Ð Ð × Ô Ó
Ê
Ò
½ º ½ Ì Ó Ô Ó Ð Ó Ê
Ò
Ä Ø Ó Ô Ó Ð Ó Ò Ó × Ó Ø Ö Ó × Õ Ù Ù Ò Ó Ñ Ø Ö Ò Ö Ð ¸ Ò Ò Ù × Ø Ö Ó × Ó Ð
× Ô Ó Ê
Ò
¸ Ð Ù Ð Ò Ó × Ý Ù Ô Ö × Ö Ý Ø Ö Ö Ð Ó × Ó Ò Ô Ø Ó × Ò Ø Ù Ø Ú Ó ×
Ö Ò Ð Ò Ô Þ Ó Ó Ö Ò ¸ Ø º
¬ Ò Ó Ò ½ º ½ º ½ º Ð × Ô Ó Ù Ð Ò Ó Ê
Ò
× ¬ Ò Ô Ó Ö
Ê
Ò
́ Ü
½
Ü
Ò
µ Ü
¾ Ê Ê ¢ ¡ ¡ ¡ ¢ Ê
ß Þ
Ò
Ó Ò Ð × Ù Ñ ¬ Ò Ô Ó Ö
́ Ü
½
Ü
Ò
µ · ́ Ý
½
Ý
Ò
µ ´ Ü
½
· Ý
½
Ü
Ò
· Ý
Ò
µ
Ý Ñ Ù Ð Ø Ô Ð Ó Ò × Ð Ö
« ́ Ü
½
Ü
Ò
µ ´ « Ü
½
« Ü
Ò
µ « ¾ Ê
Ë Ø Ò Õ Ù Ê
Ò
× Ù Ò × Ô Ó Ú Ø Ó Ö Ð × Ó Ö Ê Ñ Ò × Ó Ò Ò
Ë Ü ́ Ü
½
Ü
Ò
µ ¾ Ê
Ò
Ð Ð Ó Ò Ø Ù Ó Ò Ó Ö Ñ Ü × ¬ Ò Ô Ó Ö
Ü
Ò
½
Ü
¾
½
½ ¾
È Ö Ü Ý ¾ Ê
Ò
Ü ́ Ü
½
Ü
Ò
µ Ý ́ Ý
½
Ý
Ò
µ ¸ Ð × Ø Ò Ò Ø Ö Ü Ý
Ý × ¬ Ò Ô Ó Ö
́ Ü Ý µ Ü Ý
Ò
½
́ Ü
Ý
µ
¾
£
½ ¾
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 12/174
¾ ½ Ê
Ò
Ó Ñ Ó × Ô Ó Ù Ð Ò Ó º
Ü
¡
¡
¡
¡
¡
½
Ý
Â
Â
Â
Ü Ý
Ò Ð Ñ Ò Ø Ð Ô Ö Ó Ù Ø Ó Ò Ø Ö Ò Ó Ü Ý Ý × ¬ Ò Ô Ó Ö
Ü Ý
Ò
½
Ü
Ý
Ë Ø Ò Õ Ù Ü Ü Ü
¾
È Ö Ó Ô ×
´ ½ µ Ð Ò Ó Ö Ñ
´ µ Ü ¼ Ý Ü ¼ ´ µ Ü ¼ ´ ¼ ¼ µ
´ µ « Ü « Ü « ¾ Ê
´ µ Ü · Ý Ü · Ý ´ × Ù Ð Ð Ø Ö Ò Ù Ð Ó µ º
´ ¾ µ Ð × Ø Ò
´ µ ́ Ü Ý µ ́ Ý Ü µ
´ µ ́ Ü Ý µ ¼ Ý ́ Ü Ý µ ¼ ´ µ Ü Ý
´ µ ́ Ü Ý µ ́ Ü Þ µ · ́ Þ Ý µ ´ × Ù Ð Ð Ø Ö Ò Ù Ð Ó µ º
¼
Ý
¡
¡
¡
¡
¡
½
Þ
Ü
Â
Â
Â
́ Ü Ý µ
́ Ü Þ µ
́ Ý Þ µ
Ã
£
£
£
£
´ ¿ µ Ð Ô Ö Ó Ù Ø Ó Ò Ø Ö Ò Ó
´ µ Ü Ý Ý Ü
´ µ « Ü Ý Ü « Ý « Ü Ý
´ µ Ü Ü ¼ Ý Ü Ü ¼ ´ µ Ü ¼
´ µ Ü Ý Ü Ý ´ × Ù Ð Ù Ý µ º
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò º Õ Ù Ô Ö × Ò Ø Ö Ñ Ó × Ð Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò ´ ¿ µ º Ä × Ô Ö Ø × ´ ½ µ Ý
´ ¾ µ × Ò Ð Ù Ó Ð Ð Ø Ó Ö º
´ µ Ü Ý
Ò
½
Ü
Ý
Ò
½
Ý
Ü
Ý Ü
´ µ « Ü Ý
Ò
½
́ « Ü
µ Ý
Ò
½
Ü
́ « Ý
µ Ü « Ý
Ì Ñ Ò × Ø Ò « Ü Ý
Ò
½
́ « Ü
µ Ý
Ò
½
« Ü
Ý
«
Ò
½
Ü
Ý
« Ü Ý
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 13/174
½ º ½ Ì Ó Ô Ó Ð Ó Ê
Ò
¿
´ µ Ü Ü
Ò
½
Ü
Ü
Ò
½
Ü
¾
Ò
½
¼
¾
¼ Ý Ü Ü
Ò
½
Ü
¾
¼ ´ µ
Ü
¾
½
Ü
¾
Ò
¼ ´ µ Ü
½
Ü
Ò
¼ ´ µ Ü ¼
´ µ Ë ¾ Ê Ë Ü ¼ Ò Ø Ó Ò × Ü Ý ¼ Ý ¼ ¼ Ý
Ë Ñ Ð Ö Ñ Ò Ø ¸ × Ý ¼ × Ø Ò Ð Ù Ð º
Ë Ù Ô Ó Ò Ñ Ó × Ò Ø Ó Ò × Õ Ù Ü ¼ Ý Õ Ù Ý ¼ º Ë Ø Ò
¼ Ü · Ý
¾
Ü · Ý Ü · Ý
¾
Ü
¾
· ¾ Ü Ý · Ý
¾
Ó Ñ Ô Ð Ø Ò Ó
Ù Ö Ó ×
́ Ü · Ý µ
¾
· ¾ Ü Ý ¾ Ü Ý
Ë
Ý
Ü
¼ º Ò Ø Ó Ò × Ø Ò Ñ Ó ×
¼ ¼
¾
· ¾ ́ Ü Ý Ü Ý µ
¾ Ý
Ü
́ Ü Ý Ü Ý µ
Ë × Ù Õ Ù Ü Ý Ü Ý ¼ Ð Ó Ù Ð Ó Ø Ò Ñ Ó × Õ Ù Ü Ý
Ü Ý
Ñ Ò Ö × Ñ Ð Ö ¸ Ó Ò × Ö Ò Ó Ü Ý ¸ × Ó Ø Ò Ü Ý
Ü Ý º × Ø × Ó × × Ù Ð × Ñ Ô Ð Ò Õ Ù Ü Ý Ü Ý Ù Ø
¬ Ò Ó Ò ½ º ½ º ¾ º Ë Ò ¾ Ê
Ò
Ý ¾ Ê ¼ º Ë ¬ Ò Ð Ó Ð Ö Ø Ó Ò
Ò Ø Ö Ó Ò Ý Ö Ó Ô Ó Ö
́ µ Ü ¾ Ê
Ò
Ü
Ý Ð Ó Ð Ö Ö Ô Ó Ö
́ µ Ü ¾ Ê
Ò
Ü
Í Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ê
Ò
× Ð Ð Ñ Ö Ø Ó Ò Ê
Ò
× Ô Ö Ð Ñ Ò Ø Ó ¾
Ü × Ø Ù Ò Ò Ù Ñ Ö Ó Ô Ó × Ø Ú Ó
´ Õ Ù Ô Ò Ð Ð Ñ Ò Ø Ó µ Ø Ð Õ Ù ́
µ
Ñ Ô Ð Ó ½ º ½ º ¿ º Ó Ò × Ö Ñ Ó × ́ ¼ ½ µ Ü ¾ Ê
Ò
Ü ½ Ê
Ò
Î Ñ Ó × Õ Ù × Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ö Ø Ó º
Ë ¾ ¸ Ò Ô Ö Ø Ù Ð Ö ½ º Ë
½ ¼ º Î Ñ Ó × Õ Ù
́
µ
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 14/174
½ Ê
Ò
Ó Ñ Ó × Ô Ó Ù Ð Ò Ó º
¼
©
½
¡
¡
¡
Ë Ü ¾ ́
µ º Ò Ø Ó Ò × × Ø Ò Õ Ù Ü
º Ä Ô Ö Ù Ò Ø Õ Ù
Ñ Ó × Ó Ò Ø × Ø Ö × Ü ¾ × Ø Ó × ¸ Ü ½ Î Ñ Ó × Õ Ù Ð Ö × Ô Ù × Ø
× Ô Ó × Ø Ú º Ë Ø Ò
Ü Ü · Ü ·
· ½
È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó Ü ¾ Ó Ò × × Ù Õ Ù ́
µ Ý ́ ¼ ½ µ ×
Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ö Ø Ó Ò Ê
Ò
Ñ Ô Ð Ó ½ º ½ º º Ó Ö Ó Ò × Ö Ñ Ó × Ð Ó Ò Ù Ò Ø Ó ¼ ½ ¢ ¼ ½ Ê
¾
Ä
Ô Ö Ù Ò Ø × × × Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ö Ø Ó Ò Ê
¾
º Î Ñ Ó × Õ Ù Ð Ö × Ô Ù × Ø ×
Æ Ç º È Ö Ô Ö Ó Ö Õ Ù Ò Ó × Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ö Ø Ó ¸ Ó Ò × Ö Ñ Ó × Ð Ô Ù Ò Ø Ó
´ ½ ½ µ ¾ º Î Ñ Ó × Õ Ù Ô Ö Ø Ó
¼ × Ø Ò Ö Õ Ù ́
µ º Ë
Ü
½ ·
¾
½
¾ º Ë Ø Ò Õ Ù
Ü
½ ·
¾
½
´ ½ ½ µ
¾
¼
¾
È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó Ò Ó × Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ö Ø Ó º
Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ò × Ø Ù Ñ Ó × Ð Ù Ò × Ð × Ô Ö Ó Ô × Ò Ö Ð × Ø Ò Ø Ó
Ó Ò Ù Ò Ø Ó × Ö Ø Ó × Ó Ñ Ó Ó Ò Ù Ò Ø Ó × Ö Ö Ó × ¸ Ð Ó × Ù Ð × ¬ Ò Ö Ñ Ó × Ñ ×
Ð Ò Ø ¸ Ý Ú Ö Ñ Ó × Õ Ù Ø Ò Ò Ô Ö Ó Ô × Ù Ð × º
Ì Ó Ö Ñ ½ º ½ º º ´ ½ µ Ä Ò Ø Ö × Ó Ò Ù Ò Ò Ø ¬ Ò Ø Ó Ò Ù Ò ¹
Ø Ó × Ö Ø Ó × Ê
Ò
¸ × Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ö Ø Ó Ê
Ò
´ ¾ µ Ä Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ò Ø Ö Ø Ö Ö Ó Ò Ù Ò Ø Ó × Ö Ø Ó × Ê
Ò
× Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ö Ø Ó º
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò º Ë Ó Ð Ó Ô Ö × Ò Ø Ñ Ó × Ð ´ ½ µ º Ä × Ù Ò Ô Ö Ø × Ð Ù Ó
Ð Ð Ø Ó Ö º
Ë Ò
½
Ñ
Ó Ò Ù Ò Ø Ó × Ö Ø Ó × º Ë
Ñ
½
Ý × ¾ º È Ó Ö
Ø Ò Ø Ó ¾
½ Ñ º È Ö ¸ Ü × Ø
¼ Ø Ð Õ Ù ́
µ
Ë Ñ Ò
½
Ñ
¼
Ô Ö Ø Ó ½ Ò º È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó
́ µ ́
µ
½ Ñ º È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó ́ µ
Ñ
½
Ù Ø
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 15/174
½ º ½ Ì Ó Ô Ó Ð Ó Ê
Ò
¬ Ò Ó Ò ½ º ½ º º Í Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ê
Ò
× Ð Ð Ñ Ö Ö Ó × Ð Ó Ñ Ô Ð Ñ Ò Ø Ó
Ê
Ò
Ò Ü ¾ Ê
Ò
Ü ¾
× Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ö Ø Ó º
Ñ Ô Ð Ó ½ º ½ º º Ë ´ ¼ ½ Ò Ê º Ë Ø Ò Õ Ù Ò Ó × Ö Ø Ó Ô Ù × ½ ¾
Ý Ô Ö Ù Ð Õ Ù Ö ¼ ¸ ½ ·
¾
¾ ´ ½ µ Ý ½ ·
¾
¾ º Ó Ö Ò ¸
Ê Ò
́ ½ ¼ ´ ½ ½ µ Ò Ó × Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ö Ø Ó Ô Ù × ¼ ¾ ¸ Ý × Ñ Ó × ¼
Ò Ø Ó Ò × Ñ Ò
Ò
¾
½
¾
Ó
¾ ¸ Ñ Ò
Ò
¾
½
¾
Ó
¾ ´ ¼ µ º È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó Ø Ñ Ô Ó Ó ×
Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ö Ö Ó º
¼ ´ ½
Ñ Ô Ð Ó ½ º ½ º º Ò Ê
Ò
¸ Ð Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ê
Ò
× Ö Ø Ó Ý Ö Ö Ó Ô Ù × Ð
Ó Ñ Ô Ð Ñ Ò Ø Ó
× Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ö Ø Ó ´ Ð Ð Ø Ó Ö Ù × Ø ¬ Ö × Ø
¬ Ö Ñ Ó Ò µ º
¬ Ò Ó Ò ½ º ½ º º Ë Ê
Ò
º Ë ¬ Ò Ð Ò Ø Ö Ó Ö Ó Ñ Ó
Æ
Ü ¾ Ü × Ø ¼ Ó Ò ́ Ü µ
Ë Ø Ò Õ Ù
Æ
Ý × Ö Ø Ó × Ý × Ó Ð Ó ×
Æ
Ñ Ô Ð Ó ½ º ½ º ½ ¼ º Ð Ò Ø Ö Ó Ö Ð Ó Ò Ù Ò Ø Ó ¼ ½ ¢ ¼ ½ Ê
¾
×
Æ
´ ¼ ½ µ ¢ ´ ¼ ½ µ
Ë Ò Ð Ó × Ø Ð Ð × Ð Ù Ó Ð Ð Ø Ó Ö º
Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ò Ò Ù Ò Ñ Ó × Ð × Ô Ö Ó Ô × Ð Ó × Ó Ò Ù Ò Ø Ó × Ö Ö Ó × ¸ Ð ×
Ù Ð × × Ó Ò Ù Ð × Ð Ð Ó × Ó Ò Ù Ò Ø Ó × Ö Ø Ó × º
Ì Ó Ö Ñ ½ º ½ º ½ ½ º ´ ½ µ Ä Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ò Ø ¬ Ò Ø Ó Ò Ù Ò Ø Ó ×
Ö Ö Ó × Ò Ê
Ò
× Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ö Ö Ó º
´ ¾ µ Ä Ò Ø Ö × Ó Ò Ù Ò Ò Ø Ö Ø Ö Ö Ó Ò Ù Ò Ø Ó × Ö Ö Ó ×
Ò Ê
Ò
× Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ö Ö Ó º
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò º Ñ × Ô Ö Ó Ô × × × Ù Ò Ð Ì Ó Ö Ñ ½ º ½ º Ý
« ¾ Á
«
« ¾ Á
«
Ý
« ¾ Á
«
« ¾ Á
«
Ù Ø
¬ Ò Ó Ò ½ º ½ º ½ ¾ º Ë Ò Ê
Ò
Ü
¼
¾ Ê
Ò
º Ë Õ Ù
´ ½ µ Ü
¼
× Ù Ò Ô Ù Ò Ø Ó Ð Ö Ö Ù Ö × Ô Ö Ù Ð Õ Ù Ö Ò Ù Ñ Ö Ó
Ô Ó × Ø Ú Ó ¼ ¸ × Ø Ò Õ Ù ́ Ü
¼
µ
´ ¾ µ Ü
¼
× Ù Ò Ô Ù Ò Ø Ó Ù Ñ Ù Ð Ó Ò × Ô Ö Ù Ð Õ Ù Ö Ò Ù Ñ Ö Ó
Ô Ó × Ø Ú Ó ¼ × Ø Ò Õ Ù
́ Ü
¼
µ
¡
Ò Ü
¼
´ ¿ µ Ü
¼
× Ù Ò Ô Ù Ò Ø Ó Ö Ó Ò Ø Ö × Ô Ö Ù Ð Õ Ù Ö Ò Ù Ñ Ö Ó Ô Ó × Ø Ú Ó
¼ × Ø Ò Õ Ù ́ Ü
¼
µ Ý ́ Ü
¼
µ
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 16/174
½ Ê
Ò
Ó Ñ Ó × Ô Ó Ù Ð Ò Ó º
×
Ô Ù Ò Ø Ó Ö Ó Ò Ø Ö Õ Ù Ò Ó
× Ù Ñ Ù Ð Ó Ò
̈
̈
À
À
¬ Ò Ó Ò ½ º ½ º ½ ¿ º Ë ¬ Ò Ð Ö Ó Ò Ø Ö Ð Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ô Ó Ö
Ü Ü × Ô Ù Ò Ø Ó Ö Ó Ò Ø Ö
Ð Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ö Ú Ó × ¬ Ò Ô Ó Ö
Ü Ü × Ô Ù Ò Ø Ó Ù Ñ Ù Ð Ó Ò
Ý Ð Ö Ö Ù Ö × Ð Ó Ò Ù Ò Ø Ó
Ü Ü × Ô Ù Ò Ø Ó Ð Ö Ö Ù Ö
Ë Ø Ò Ð × × Ù Ò Ø × Ó Ò Ø Ò Ó Ò ×
×
̈
̈
À
À
×
¾ ¾
¾
¾ ¾
Ä × Ô Ö Ó Ô × Ù Ò Ñ Ò Ø Ð × Ð Ó × Ó Ò Ù Ò Ø Ó × Õ Ù × Ò ¬ Ò Ö
× Ó Ò
Ì Ó Ö Ñ ½ º ½ º ½ º ´ ½ µ
´ ¾ µ × Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ö Ö Ó ´ µ
´ ¿ µ × Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ö Ö Ó ´ µ
´ µ × Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ö Ö Ó ´ µ
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò º Ë Ø Ò Õ Ù ´ ¿ µ Ý ´ µ × Ó Ò Ó Ò × Ù Ò Ò Ñ Ø ´ ½ µ Ý ´ ¾ µ º
È Ö Ó Ñ Ó × ´ ½ µ º Ë Ø Ò Õ Ù
Ý
È Ö Ð Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò Ð × Ó Ø Ö × Ó Ò Ø Ò Ó Ò × ¸ Ø Ó Ñ Ñ Ó × Ü ¾
Ë Ü ¾
Ò Ó Ý Ò Õ Ù Ô Ö Ó Ö º Ë Ü ¾ Ò Ø Ó Ò × Ø Ò Ñ Ó × Õ Ù Ü ¾
Ý Ò Ô Ö Ø Ù Ð Ö
Ô Ö Ø Ó ¼ × Ø Ò Õ Ù Ü ¾ ́ Ü µ
º È Ó Ö Ó Ø Ö Ó Ð Ó ¸ Ð × Ö Ü Ù Ò
Ð Ñ Ò Ø Ó Ð Ö Ö Ù Ö ¸ × Ø Ò Õ Ù Ô Ö Ø Ó ¼ ́ Ü µ
È Ù × Ø Ó Õ Ù Ü ¾ ́ Ü µ ¸ × × Ù ´ ́ Ü µ µ Ò Ü º Ë × Ù Õ Ù
Ü ¾ Ý Õ Ù Ü ¾ º È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó
Ý
× Ø Ó Ñ Ù × Ø Ö ´ ½ µ º
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 17/174
½ º ½ Ì Ó Ô Ó Ð Ó Ê
Ò
È Ö Ô Ö Ó Ö ´ ¾ µ ¸ Ô Ö Ñ Ö Ó Ó Ò × Ö Ñ Ó × Õ Ù × Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ö Ö Ó º È Ó Ö
Ð Ó Ø Ò Ø Ó
× Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ö Ø Ó º Ë Ü ¾
Ë Ü ¾ Ò Ø Ó Ò × Ü ¾
Ð Ù Ð × Ö Ø Ó º È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó Ü × Ø ¼ Ø Ð Õ Ù ́ Ü µ
º Ë × Ù
Õ Ù ́ Ü µ Ð Ó Ù Ð Ó Ò Ø Ö Ð Ó Õ Ù Ü × Ù Ò Ô Ù Ò Ø Ó Ð
Ö Ö Ù Ö º È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó Ü ¾ Ý
º Ò Ð Ñ Ò Ø Ó Ø Ò Ñ Ó ×
×
Ê Ô Ö Ó Ñ Ò Ø ¸ ×
¸ Ó Ò × Ö Ñ Ó × Ù Ò Ô Ù Ò Ø Ó Ù Ö ¸ × Ö ¸
Ü ¾
Ü ¾ º È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó Ü ¾
º Ë × Ù Õ Ù Ü × Ø Ù Ò Ò Ù Ñ Ö Ó Ô Ó × Ø Ú Ó
¼ Ø Ð Õ Ù ́ Ü µ º × Ó Ø Ò Õ Ù ́ Ü µ
Ý Õ Ù
× Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ö Ø Ó Ó Ò ¬ Ò Ð Ñ Ò Ø × × Ù Õ Ù × Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó
Ö Ö Ó º Ù Ø
Ñ Ô Ð Ó ½ º ½ º ½ º Ë Ë ́ Ü Ý µ ¾ Ê
¾
Ü
¾
Ý
¾
½ º À Ð Ð Ñ Ó × Ë Ë
Ë Ë
Æ
Ý Ë
Ä Ö ¬ Ë × Ð Ô Ö Ø Ò Ø Ö Ó Ö Ð Ô Ö Ó Ð
Ë
Ü
¾
Ý
¾
½
Á
¡
¡
¡
¡
¡
¡ «
È
È
È
È
È Õ
Ð Ð Ø Ó Ö Ú Ö ¬ Ö Õ Ù
Ë ́ Ü Ý µ ¾ Ê
¾
Ü
¾
Ý
¾
½ Ë ́ Ü Ý µ ¾ Ê
¾
Ü
¾
Ý
¾
½
Ë
Ë Ë
Æ
Ë
Ñ Ô Ð Ó ½ º ½ º ½ º Ë ́ Ü Ý µ ¾ Ê
¾
Ü ¾ É º Ò Ø Ó Ò × Ó Ò × × Ø
Ø Ó × Ð × Ð Ò × Ú Ö Ø Ð × Ó Ò × × Ö Ó Ò Ð º
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 18/174
½ Ê
Ò
Ó Ñ Ó × Ô Ó Ù Ð Ò Ó º
Ý
Ü
¼
ß Þ
× × Ö Ó Ò Ð
Ò Ø Ó Ò × × Ø Ò Ö
Ê
¾
Æ
Ë Ò Ð Ó × Ø Ð Ð × Ð Ù Ó Ð Ð Ø Ó Ö º
½ º ¾ Ë Ù × Ó Ò × Ò Ê
Ò
Ó Ñ Ó Ú Ö Ñ Ó × ¸ Ð Ó Ò Ô Ø Ó × Ù × Ó Ò Ò Ê
Ò
× Ø Ó Ø Ð Ñ Ò Ø Ò Ð Ó Ó Ð × Ó
Ð Ó × Ò Ù Ñ Ö Ó × Ö Ð × Ý Ð × Ð × Ô Ö Ó Ô × Ò Ö Ð × × Ù × Ó Ò × Ò Ê
Ò
×
Ö Ù Ò Ð × Ô Ö Ó Ô × × Ù × Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø × Õ Ù × Ö Ò × Ù × Ó Ò × Ò Ù Ñ Ö Ó ×
Ö Ð × º
¬ Ò Ó Ò ½ º ¾ º ½ º Í Ò × Ù × Ó Ò Ò Ê
Ò
× Ù Ò Ù Ò Ó Ò Æ Ê
Ò
º Ò Ó Ø Ñ Ó ×
Ð Ø Ö Ñ Ò Ó ¹ × Ñ Ó Ô Ó Ö ³ ́ µ Ü
Ý Ø Ó Ð Ñ Ò ³ × Ò Ó Ø Ô Ó Ö
Ü
½
½
Ê
Ò
º È Ó Ò Ñ Ó × Ü
́ Ü
́ µ
½
Ü
́ µ
Ò
µ Ó Ò Ü
́ µ
½ Ò ×
Ù Ò Ò Ù Ñ Ö Ó Ö Ð º × Ø Ó × ¸
̈
Ü
́ µ
©
½
½
Ê × Ù Ò × Ù × Ó Ò Ò Ù Ñ Ö Ó × Ö Ð ×
Ô Ö ½ ¾ Ò
¬ Ò Ó Ò ½ º ¾ º ¾ º Í Ò × Ù × Ó Ò Ü
½
½
Ê
Ò
Ü ́ Ü
́ µ
½
Ü
́ µ
Ò
µ ×
Õ Ù Ó Ò Ú Ö Ü
¼
¾ Ê
Ò
× Ô Ö Ø Ó Ó Ò Ù Ñ Ö Ó Ô Ó × Ø Ú Ó ¼ ¸ Ü × Ø Ù Ò Ò
¼
Ø Ð Õ Ù Ô Ö Ø Ó Ó Ò Ñ Ý Ó Ö Ó Ù Ð
¼
́
¼
µ ¸ × Ù Ñ Ô Ð Ü
Ü
¼
Õ Ù Ú Ð Ò Ø Ñ Ò Ø ¸ Ü
¾ ́ Ü
¼
µ Ô Ö Ø Ó
¼
Ò × Ø × Ó Ô Ó Ò Ñ Ó × Ó Ñ Ó Ò Ó Ø Ó Ò
Ü
½
Ü
¼
Ó Ð Ñ
½
Ü
Ü
¼
Æ Ó Ø Ñ Ó × Õ Ù
Ü
́ µ
Ü
´ ¼ µ
Õ
Ü
́ µ
Ü
´ ¼ µ
¾
Ú
Ù
Ù
Ø
Ò
½
́ Ü
́ µ
Ü
´ ¼ µ
µ
¾
Ü
Ü
¼
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 19/174
½ º ¾ Ë Ù × Ó Ò × Ò Ê
Ò
È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó × Ü
Ü
¼
Ò Ø Ó Ò × Ô Ö Ø Ó ½ Ò Ü
́ µ
Ü
´ ¼ µ
Ý Ô Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó Ü
́ µ
½
Ü
´ ¼ µ
Ô Ö Ø Ó
Ê Ô Ö Ó Ñ Ò Ø ¸ × Ô Ö Ø Ó Ü
́ µ
½
Ü
´ ¼ µ
¸ Ò Ø Ó Ò × ¼
Ü × Ø
Ø Ð Õ Ù Ô Ö Ø Ó
Ü
́ µ
Ü
´ ¼ µ
Ò
Ë Ñ Ü
½
Ò
º Ò Ø Ó Ò × Ü
́ µ
Ü
´ ¼ µ
Ò ½ Ò º È Ó Ö
Ð Ó Ø Ò Ø Ó
Ü
Ü
¼
Ò
½
Ü
́ µ
Ü
´ ¼ µ
Ò
½
Ò
Ë × Ù Õ Ù Ü
½
Ü
¼
À Ñ Ó × Ô Ö Ó Ó Ð × Ù Ò Ø Ø Ó Ö Ñ
Ì Ó Ö Ñ ½ º ¾ º ¿ º Ù Ò × Ù × Ó Ò Ü
½
½
Ê
Ò
Ü
́ Ü
́ µ
½
Ü
́ µ
Ò
µ ×
Ø Ò Õ Ù
Ü
½
Ü
¼
Ò Ê
Ò
´ µ Ü
́ µ
½
Ü
́ µ
¼
Ô Ö Ø Ó ½ Ò Ò Ê Ù Ø
Ò Ó Ø Ö × Ô Ð Ö × ¸ Ð Ó Ò Ú Ö Ò Ð × × Ù × Ó Ò × Ò Ê
Ò
× Õ Ù Ú Ð Ò Ø
Ð Ó Ò Ú Ö Ò Ð × × Ù × Ó Ò × × Ù × Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø × Ò Ê
Ñ Ô Ð Ó ½ º ¾ º º Õ Ù Ó Ò Ú Ö Ð × Ù × Ó Ò
Ò
½
½ ·
½
× Ò
Ó
½
½
Ò
Ê
¿
Ì Ò Ñ Ó ×
½
½
¼
½ ·
½
½
Ô Ö Ó × Ò
½
Ò Ó Ü × Ø º È Ó Ö Ð Ó
Ø Ò Ø Ó
Ò
½
´ ½ ·
½
µ
× Ò
Ó
½
½
Ò Ó Ó Ò Ú Ö º
È Ó Ö Ó Ø Ö Ó Ð Ó Ð × Ù × Ó Ò
Ò
½
¿
½
½
× Ò
½
Ó
½
½
Ó Ò Ú Ö ´ ¼
½
¼ µ
Ô Ù ×
½
¿
½
¼
½
½
½
½
Ý × Ò
½
½
¼
Ù Ò × Ù × Ó Ò Ü
½
½
Ê
Ò
¸ Ó Ö Ñ Ñ Ó × Ð × Ö
½
½
Ü
Ý Ø Ò Ñ Ó ×
Õ Ù
½
½
Ü
× Ý × Ó Ð Ó × Ð Ñ
Ñ ½
Ñ
½
Ü
º Ò × Ø × Ó Ñ Ó × Õ Ù Ð × Ö
Ó Ò Ú Ö
Ë Õ Ù Ð × Ö
½
½
Ü
Ó Ò Ú Ö × Ó Ð Ù Ø Ñ Ò Ø ×
½
½
Ü
Ó Ò Ú Ö º Ò
Ð × Ó Õ Ù Ù Ò × Ö Ó Ò Ú Ö × Ó Ð Ù Ø Ñ Ò Ø ¸ Ò Ø Ó Ò × Ð × Ö Ó Ò Ú Ö º
Ä Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò × Ø ¬ Ö Ñ Ó Ò × Ù × Ò Ó Ð Ó Õ Ù Ð × Ö ×
Ù Ý ́
Ñ · Ô
Ñ
Ü
Ñ · Ô
Ñ
Ü
µ º Æ Ó Ñ Ó × Ð Ó × Ø Ð Ð × ¸ Ð Ó × Ù Ð × × Ó Ò
× Ñ Ð Ö × Ð × Ó Ö Ð º
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 20/174
½ ¼ ½ Ê
Ò
Ó Ñ Ó × Ô Ó Ù Ð Ò Ó º
½ º ¿ Ó Ò Ù Ò Ø Ó × Ó Ñ Ô Ø Ó × Ý Ó Ò Ù Ò Ø Ó × Ó Ò Ü Ó ×
Ä Ó × Ó Ò Ù Ò Ø Ó × Ó Ñ Ô Ø Ó × Ý Ð Ó × Ó Ò Ù Ò Ø Ó × Ó Ò Ü Ó × × Ó Ò Ü Ø Ö Ñ Ñ Ô Ó Ö Ø Ò
Ù Ò Ó × × Ø Ù Ò Ð × Ù Ò Ó Ò × Ó Ò Ø Ò Ù × º
½ º ¿ º ½ Ó Ò Ù Ò Ø Ó × Ó Ñ Ô Ø Ó ×
Ë Ê
Ò
º Ë Õ Ù × Ó Ø Ó × Ü × Ø Ù Ò Ò Ù Ñ Ö Ó Ô Ó × Ø Ú Ó Ê ¼ Ø Ð
Õ Ù ́ ¼ Ê µ º Ò Ó Ø Ö × Ô Ð Ö × ¸ × Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ó Ø Ó × Ü × Ø Ù Ò
Ò Ù Ñ Ö Ó Ô Ó × Ø Ú Ó Ê ¼ Ø Ð Õ Ù Ü Ê Ô Ö Ø Ó Ó Ð Ñ Ò Ø Ó Ü ¾
¼
Ê
Í Ò Ù Ö Ø Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó × Ù Ð Õ Ù Ö Ó Ð Ó Ò Í
¾ Á
× Ù Ó Ò ¹
Ù Ò Ø Ó × Ê
Ò
Ø Ð × Õ Ù
¾ Á
Í
º Ë Ó Ò Ð Ñ Ò Ø Ó Ò Ù Ò Ø Ó Í
× Ù Ò
Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ö Ø Ó ¸ Ò Ø Ó Ò × Ð Ù Ö Ø × Ð Ð Ñ Ù Ö Ø Ö Ø
Ù Ò Ù Ö Ø Í
¾ Á
Ð Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ù Ò × Ù Ù Ö Ø ¬ Ò Ø × Ù Ò
× Ù Ó Ð Ó Ò ¬ Ò Ø Í
½
Í
×
Í
¾ Á
Ø Ð Õ Ù
×
½
Í
È Ó Ö Ñ Ô Ð Ó ¸ × Ê
½
Ò ½
́ Ò ½ µ ¸ × Ö ¸ ́ Ò ½ µ
Ò ¾
× Ù Ò
Ù Ö Ø Ö Ø Ê Ô Ö Ó Ò Ó Ø Ò × Ù Ù Ö Ø ¬ Ò Ø Ô Ù × Ù Ð Õ Ù Ö
Ó Ð Ó Ò ¬ Ò Ø ́ Ò
½
½ µ ́ Ò
×
½ µ × Ø Ó × Ó Ò Ù Ò Ø Ó × × Ó Ò Ó Ø Ó × Ý Ê Ò Ó
Ð Ó × ¸ Ô Ó Ö Ð Ó Õ Ù Ê
×
½
́ Ò
½ µ
Ì Ó Ö Ñ ½ º ¿ º ½ ´ À Ò ¹ Ó Ö Ð ¸ Ó Ð Þ Ò Ó ¹ Ï Ö × Ø Ö × × µ º Ë Ê
Ò
º Ò ¹
Ø Ó Ò × Ð × × Ù Ò Ø × Ó Ò Ó Ò × × Ó Ò Õ Ù Ú Ð Ò Ø ×
´ ½ µ × Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ö Ö Ó Ý Ó Ø Ó º
´ ¾ µ Ì Ó Ù Ö Ø Ö Ø Ø Ò Ù Ò × Ù Ù Ö Ø ¬ Ò Ø º
´ ¿ µ Ì Ó × Ù × Ó Ò Ò Ø Ò Ù Ò × Ù × Ù × Ó Ò Õ Ù Ó Ò Ú Ö Ù Ò Ô Ù Ò Ø Ó
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 21/174
½ º ¿ Ó Ò Ù Ò Ø Ó × Ó Ñ Ô Ø Ó × Ý Ó Ò Ù Ò Ø Ó × Ó Ò Ü Ó × ½ ½
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò
´ ¾ µ µ ´ ½ µ º Ë Ê
Ò
Ø Ð Õ Ù Ø Ó Ù Ö Ø Ö Ø Ø Ò Ù Ò × Ù Ù ¹
Ö Ø ¬ Ò Ø º Î Ñ Ó × Õ Ù × Ö Ö Ó Ý Ó Ø Ó º
µ × Ö Ö Ó
Ë Ü
Ó
¾ º È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó Ü
¼
Ý Ô Ö Ø Ó Ý ¾ º È Ö Ý ¾
Ü × Ø Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó × Ö Ø Ó × Í
Ý
Î
Ý
Ø Ð × Õ Ù Ü
¼
¾ Í
Ý
Ý ¾ Î
Ý
Ý Í
Ý
Î
Ý
Ó Ö Ò ¸ Ð Ö Ñ Ò Ø
Ë
Ý ¾
Î
Ý
º È Ó Ö Ø Ò Ø Ó Î
Ý
Ý ¾
× Ù Ò Ù Ö Ø
Ö Ø º È Ó Ö Ô Ó Ø × × Ø Ò Ù Ò × Ù Ù Ö Ø ¬ Ò Ø
Ñ
Ë
½
Î
Ý
º Ó Ö
Ü
¼
¾
Ñ
Ì
½
Í
Ý
Ð Ù Ð × Ù Ò Ö Ø Ó ¸ Ô Ó Ö Ð Ó Õ Ù Ü × Ø ¼ Ø Ð Õ Ù ́ Ü
¼
µ
Ñ
Ì
½
Í
Ý
Ó Ö
́ Ü
¼
µ
¼
Ñ
½
Í
Ý
½
¼
Ñ
½
Î
Ý
½
Ñ
½
´
Ñ
½
Í
Ý
Î
Ý
µ
Ñ
½
́ Í
Ý
Î
Ý
µ
Ñ
½
Ë × Ù Õ Ù ́ Ü
¼
µ
È Ó Ö Ø Ò Ø Ó × Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ö Ø Ó Ý × Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ö Ö Ó º
´ µ × Ó Ø Ó
Ë À
Ñ
́ ¼ Ñ µ º Ë Ø Ò
½
Ë
Ñ ½
À
Ñ
Ê
Ò
º È Ó Ö Ø Ò Ø Ó À
Ñ
½
Ñ ½
×
Ù Ò Ù Ö Ø Ö Ø º È Ó Ö Ô Ó Ø × × × Ø Ò Õ Ù Ü × Ø Ù Ò × Ù Ù Ö Ø
¬ Ò Ø À
Ò
½
À
Ò
º Ê Ó Ö Ò Ò Ó Ð Ó × Ò × Ô Ó Ñ Ó × × Ù Ô Ó Ò Ö Ò
½
Ò
¾
Ò Ý Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ó À
Ò
À
Ò
Ô Ö Ø Ó ½ Ð º Ë × Ù Õ Ù
Ë
½
À
Ò
À
Ò
º È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó Ô Ö Ø Ó Ü ¾ Ü ¾ À
Ò
Ý Ò Ø Ó Ò × Ü Ò
× Ö × Ø Ó Ø Ó º
´ ½ µ µ ´ ¾ µ È Ö Ñ Ö Ó × Ù Ô Ó Ò Ñ Ó × Õ Ù
½
½
½
½
¢
¾
½
¾
½
¢ ¢
Ò
½
Ò
½
Á
½
Ë Ù Ô Ó Ò Ñ Ó × Õ Ù Ø Ò Ù Ò Ù Ö Ø Ö Ø Õ Ù Ò Ó Ø Ò Ù Ò × Ù Ù Ö Ø
¬ Ò Ø º × Ø Ó × ¸ Ü × Ø Ù Ò Ù Ö Ø
«
« ¾ £
Á
½
Õ Ù Ò Ó Ø Ò Ù Ò × Ù Ù Ö Ø
¬ Ò Ø º
È Ö Ø Ñ Ó × Ò Ø Ö Ú Ð Ó Ð Ñ Ø
½
½
½
½
·
½
½
¾
Ò
½
Ò
½
·
Ò
½
¾
Ý Ó Ø Ò Ñ Ó × ¾
Ò
× Ù Ö Ø Ò Ù Ð Ó × Á
½
º Ð Ñ Ò Ó × Ù Ò Ó × Ø Ó × × Ù Ö Ø Ò Ù Ð Ó ×
Ò Ó Ô Ù × Ö Ö Ù Ö Ø Ó Ô Ó Ö Ù Ò Ò Ù Ñ Ö Ó ¬ Ò Ø Ó
«
Ë Á
¾
½
¾
½
¾
¢
¾
¾
¾
¾
¢ ¢
Ò
¾
Ò
¾
Á
½
Ø Ð × Ù Ö Ø Ò Ù Ð Ó º
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 22/174
½ ¾ ½ Ê
Ò
Ó Ñ Ó × Ô Ó Ù Ð Ò Ó º
Î Ó Ð Ú Ñ Ó × Ô Ö Ø Ö Ò Ø Ö Ú Ð Ó Ð Ñ Ø Ó Ò Ô Ù Ò Ø Ó × Ñ Ó × Ó × Ô Ó Ö
½
¾
½
¾
·
½
¾
¾
¾
¾
¾
¾
·
¾
¾
¾
Ò
¾
Ò
¾
·
Ò
¾
¾
Ý Ó Ø Ò Ñ Ó × ¾
Ò
× Ù Ö Ø Ò Ù Ð Ó × Á
¾
Ð Ù Ò Ó × Ø Ó × × Ù Ö Ø Ò Ù Ð Ó × Á
¾
Ò Ó Ô Ù × Ö Ù Ö Ø Ó Ô Ó Ö Ù Ò Ò Ù Ñ Ö Ó
¬ Ò Ø Ó Ð Ó × Ó Ò Ù Ò Ø Ó ×
«
³ ×
Ë Á
¿
½
¿
½
¿
¢
¾
¿
¾
¿
¢ ¢
Ò
¿
Ò
¿
Á
¾
Ø Ð × Ù Ö Ø Ò Ù Ð Ó Ý Ò Ù Ú ¹
Ñ Ò Ø Ú Ó Ð Ú Ñ Ó × Ö Ô Ø Ö Ð Ô Ö Ó × Ó º
Ò Ð Ô × Ó Ñ ¹ × Ñ Ó ¸ Á
Ñ
½
Ñ
½
Ñ
¢ ¢
Ò
Ñ
Ò
Ñ
Ø Ó Ñ Ñ Ó × Ð Ó × Ò Ø Ö Ó ×
Ð Ó × Ò Ø Ö Ú Ð Ó ×
½
Ñ
½
Ñ
·
½
Ñ
¾
¾
Ñ
¾
Ñ
·
¾
Ñ
¾
Ò
Ñ
Ò
Ñ
·
Ò
Ñ
¾
Ý Ó Ø Ò Ñ Ó × ¾
Ò
× Ù Ö Ø Ò Ù Ð Ó × Á
Ñ
Ý Ð Ñ Ò Ó × Ù Ò Ó Ð Ð Ó × ¸ Ñ Ó ×
Á
Ñ · ½
½
Ñ · ½
½
Ñ · ½
¢ ¢
Ò
Ñ · ½
Ò
Ñ · ½
Á
Ñ
Ò Ó Ô Ù × Ö Ù Ö Ø Ó Ô Ó Ö Ù Ò Ò Ù Ñ Ö Ó ¬ Ò Ø Ó Ð Ó × Ó Ò Ù Ò Ø Ó ×
«
³ ×
Ó Ö Ð × Ù × Ó Ò Ð Ó × Ò Ø Ö Ó ×
Ñ
½
Ñ ½
́
½
Ñ
¾
Ñ
Ò
Ñ
µ
½
Ñ ½
¸ × ¹
Ø Ó × × Ù Ö Ø Ò Ù Ð Ó × Á
Ñ
¸ × Ø Ó Ø Ô Ù ×
Ñ
½
Ñ ½
Á
½
Ý Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ó ¸ Ö ×
Ð Ì Ó Ö Ñ Ó Ð Þ Ò Ó ¹ Ï Ö × Ø Ö × × ¸
Ñ
½
Ñ ½
Ø Ò Ù Ò × Ù × Ù × Ó Ò Ó Ò Ú Ö ¹
Ò Ø ¸ Ñ Ó ×
Ñ
½
¼
È Ù × Ø Ó Õ Ù
Ñ
½
½
Ý × Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ö Ö Ó × Ø Ò Õ Ù
¼
¾
Ë
« ¾ £
«
º È Ó Ö Ø Ò Ø Ó Ü × Ø «
¼
¾ £ Ø Ð Õ Ù
¼
¾
«
¼
º Ó Ö ¸ Ô Ù × Ø Ó Õ Ù
«
¼
×
Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ö Ø Ó ¸ × Ø Ò Õ Ù Ü × Ø ¼ Ø Ð Õ Ù ́
¼
µ
«
¼
º Ó Ö ¸
Á
Ñ
Á
Ñ
Ô Ö Ø Ó Ñ ¾ Æ Ý
¼
¾
½
Ñ ½
Á
Ñ
½
Ñ ½
Á
Ñ
È Ó Ö Ø Ò Ø Ó Ü × Ø Ñ
¼
Ø Ð Õ Ù Ô Ö Ø Ó Ñ Ñ
¼
Á
Ñ
́
¼
µ
«
¼
Ô Ù × Ð
Ñ Ø Ö Ó Á
Ñ
Ø Ò ¼ Ù Ò Ó Ñ ½ ¸ Ð Ó Ù Ð Õ Ù Á
Ñ
× Ö Ö Ù Ö Ø Ó
Ô Ó Ö Ù Ò Ò Ù Ñ Ö Ó ¬ Ò Ø Ó Ð Ó × Ó Ò Ù Ò Ø Ó ×
«
³ × º È Ó Ö Ø Ò Ø Ó Ø Ó Ù Ö Ø Ö Ø
Ø Ò Ù Ò × Ù Ù Ö Ø ¬ Ò Ø º
Ó Ö × Ã Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ö Ö Ó Ý Ó Ø Ó Ù Ð Õ Ù Ö º Ü × Ø
½
½
¢
¾
¾
¢ ¢
Ò
Ò
Ø Ð Õ Ù Ã º Ë
«
« ¾ £
Ù Ò Ù Ö Ø Ö Ø Ã Ô Ó Ö Ð Ó Õ Ù Ã
Ë
« ¾ £
«
Ý Ã × Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ö Ø Ó º Ë × Ù Õ Ù
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 23/174
½ º ¿ Ó Ò Ù Ò Ø Ó × Ó Ñ Ô Ø Ó × Ý Ó Ò Ù Ò Ø Ó × Ó Ò Ü Ó × ½ ¿
Ê
Ò
à Ã
« ¾ £
«
à Ý
« ¾ £
«
Ã
È Ó Ö Ð Ó Ò Ø Ö Ó Ö Ñ Ò Ø Ú × Ø Ó ¸ Ü × Ø Ò «
½
«
Ñ
Ø Ð × Õ Ù
«
½
«
¾
«
Ñ
à º È Ù × Ø Ó Õ Ù Ã Ã ¸ × Ø Ò Õ Ù Ã
«
½
«
Ñ
Ñ
Ë
½
«
È Ó Ö Ø Ò Ø Ó Ø Ó Ù Ö Ø Ö Ø Ã Ø Ò Ù Ò × Ù Ù Ö Ø ¬ Ò Ø º
´ ¿ µ µ ´ ¾ µ º Ë Ü
Ò
½
Ò ½
Ù Ò × Ù × Ó Ò Ó Ò Ø Ò Ò º È Ù × Ø Ó Õ Ù × Ó Ø Ó ¸
× Ø × Ù × Ó Ò Ø Ò Ù Ò × Ù × Ù × Ó Ò Ü
Ò
½
½
Ó Ò Ú Ö Ò Ø º Ë Ü
¼
Ð Ñ
½
Ü
Ò
È Ù × Ø Ó Õ Ù Ü
Ò
½
½
¸ × Ø Ò Ü
¼
¾ ¸ Ô Ó Ö Ð Ó Õ Ù Ü
¼
¾
´ ¾ µ µ ´ ¿ µ º Ë Ü
¼
¾ º Ò Ø Ó Ò × Ü × Ø Ü
Ò
½
Ò ½
Ø Ð Õ Ù Ü
Ò
Ò ½
Ü
¼
Ó Ö ¸ Ô Ö Ø Ó × Ù × Ù × Ó Ò Ü
Ò
½
½
Ü
Ò
½
Ò ½
× Ø Ò Ü
Ò
½
Ü
¼
È Ó Ö Ø Ò Ø Ó Ü
¼
¾ Ý × Ö Ö Ó º
Ó Ö × Ò Ó Ù × Ó Ø Ó ¸ Ô Ö Ò ¾ Æ Ü × Ø Ö Ü
Ò
¾ Ø Ð Õ Ù
Ü
Ò
Ò Ë Ü
Ò
½
½
× Ù Ò × Ù × Ù × Ó Ò Ü
Ò
½
Ò ½
Ü
Ò
Ò
½
½
È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó Ü
Ò
½
½
Ò Ó Ó Ò Ú Ö ¸ Ð Ó Ù Ð × × Ù Ö Ó º È Ó Ö Ø Ò Ø Ó × Ó Ø Ó
Ù Ø
¬ Ò Ó Ò ½ º ¿ º ¾ º Ë × Ø × Ù Ð × Õ Ù Ö ´ ½ µ ¸ ´ ¾ µ Ó ´ ¿ µ ¸ × Ð Ð Ñ
Ó Ñ Ô Ø Ó
Ò × Ô Ó × Ñ × Ò Ö Ð × ¸ Ð Ó Ñ Ô × ¬ Ò Ô Ó Ö Ñ Ó ´ ¾ µ Ý ´ ¾ µ
Ò Ó × Õ Ù Ú Ð Ò Ø ´ ½ µ Ò ´ ¿ µ Ò Ò Ö Ð º
Ñ Ô Ð Ó ½ º ¿ º ¿ º Ê
Ò
Ò Ó × Ó Ñ Ô Ø Ó Ô Ù × Ò Ó × Ó Ø Ó º
Ñ Ô Ð Ó ½ º ¿ º º ́ Ü Ý µ ¾ Ê
¾
Ü
¾
· Ý
¾
½ Ò Ó × Ó Ñ Ô Ø Ó Ô Ù × Ò Ó ×
Ö Ö Ó º
Ñ Ô Ð Ó ½ º ¿ º º ́ Ü Ý µ ¾ Ê
¾
Ü
¾
· Ý
¾
½ × Ó Ñ Ô Ø Ó º
½ º ¿ º ¾ Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ó Ò Ü Ó ×
Í Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ó Ò Ü Ó × Õ Ù Ð Õ Ù Ó Ò × Ø Ù Ò × Ó Ð Ô Þ º Å × Ô Ö × Ñ Ò Ø ¸
¬ Ò Ó Ò ½ º ¿ º º Í Ò × Ù Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ê
Ò
× Ð Ð Ñ Ó Ò Ü Ó × Ò Ó Ü × Ø Ó ×
× Ù Ó Ò Ù Ò Ø Ó × Ö Ø Ó × Í Î Ê
Ò
Ø Ð × Õ Ù Í Î Í Î
Ý Í Î
̈
̈
̈
À
À
À
À
× Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó × Ó Ò Ü Ó Ô Ù × × Ô Ù × Ô Ö Ö
Ô Ó Ö Ó × × Ù Ó Ò Ù Ò Ø Ó × Ö Ø Ó × Ò Ó Ø Ö Ú Ð × Ê
Ò
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 24/174
½ ½ Ê
Ò
Ó Ñ Ó × Ô Ó Ù Ð Ò Ó º
Æ Ó Ø Ñ Ó × Õ Ù × × Ö Ó Ó Ò Ü Ó ¸ × Ø Ó × ¸ Ù Ð × Õ Ù Ö Ó × Ô Ù Ò Ø Ó × ×
Ô Ù Ò Ó Ò Ø Ö Ô Ó Ö Ñ Ó Ù Ò Ñ Ò Ó Ó Ò Ø Ò Ù Ó ¸ Ò Ø Ó Ò × × Ó Ò Ü Ó º
ª
³ ±
Ü
×
× Ý
Í Ò Ñ Ò Ó Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ò Ø Ö Ü Ý ¾ × Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ó Ò Ø Ò Ù ³ ¼ ½
Õ Ù × Ø × ³ ´ ¼ µ Ü Ý ³ ´ ½ µ Ý º Ó Ö Ò ¸ Ó Ò Ø Ò Ù × Ò ¬ Õ Ù Ô Ö
Ø Ó Ó Ô Ù Ò Ø Ó Ø
¼
¾ ¼ ½ ¸ × Ø
½
Ø
¼
¸ Ò Ø Ó Ò × ³ ́ Ø
µ
½
³ ́ Ø
¼
µ
Ñ Ô Ð Ó ½ º ¿ º º Ð Ó Ò Ù Ò Ø Ó ¼ ¦ ½ ¦ ¾ Ò Ó × Ó Ò Ü Ó Ô Ù × × Ô Ù
× Ô Ö Ö º È Ó Ö Ñ Ô Ð Ó ¸ × Ò Í ́ ½ ½ ¾ µ Ý Î ´ ½ ¾ ½ µ º Ò Ø Ó Ò × Í Ý
Î × Ó Ò × Ù Ó Ò Ù Ø Ó × Ê Ö Ø Ó × Ý
Í Î Ê Ò ½ ¾
Í ¼ ½ ¾
Î ½ ¾
Í Î
Ñ Ô Ð Ó ½ º ¿ º º Ë ́ Ü Ý µ ¾ Ê
¾
½ ¾ Ü
¾
· Ý
¾
½
¼
̈
̈
̈
×
½ ¾
×
×
½
Ò Ø Ó Ò × × Ö Ó Ó Ò Ü Ó Ý Ô Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó Ó Ò Ü Ó º
× Ô Þ Ð Ð Ø Ó Ö Ö Ù Ò Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò Õ Ù × Ö Ó Ó Ò Ü Ó
½ º Ù Ò Ó Ò × Ó Ò Ø Ò Ù ×
¬ Ò Ó Ò ½ º º ½ º Ë Ò Ù Ò × Ù Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ö Ø Ö Ö Ó Ê
Ò
Ê
Ñ
Ý
Ü
¼
¾ º Ë Õ Ù ¾ Ê
Ñ
× Ð Ð Ñ Ø Ò Ü
¼
¸ Ý × Ò Ó Ø Ô Ó Ö
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 25/174
½ º Ù Ò Ó Ò × Ó Ò Ø Ò Ù × ½
Ð Ñ
Ü Ü
¼
́ Ü µ Ó ́ Ü µ
Ü Ü
¼
× Ó Ù Ð Õ Ù Ö Ò Ù Ñ Ö Ó Ô Ó × Ø Ú Ó ¼ Ü × Ø Ó Ø Ö Ó Ò Ù Ñ Ö Ó Ô Ó × Ø Ú Ó ´ Õ Ù
Ô Ò Ý Ü
¼
µ ¼ Ø Ð Õ Ù Ô Ö Ù Ð Õ Ù Ö Ð Ñ Ò Ø Ó Ü ¾ Ó Ò
Ü Ü
¼
¸ × Ø Ò Ð Ñ Ô Ð Ó Ò
Ü Ü
¼
µ ́ Ü µ ́ Ü
¼
µ
Ä Ù Ð Ø Ñ Ó Ò Ó Ò × Õ Ù Ú Ð Ò Ø
́ Ü
¼
µ Ò Ü
¼
́ µ
Ë Ü
¼
¾ Ô Ö Ó Ü
¼
¾ ¸ Ò Ø Ó Ò × ¬ Ò Ñ Ó ×
Ð Ñ
Ü Ü
¼
́ Ü µ ́ Ü
¼
µ
¬ Ò Ó Ò ½ º º ¾ º Í Ò Ù Ò Ó Ò × Ó Ò Ø Ò Ù Ò Ü
¼
¾ × Ó Ò × Ô Ù Ò Ø Ó
× Ð Ó ¸ × Ö ¸ Ü
¼
Ò Ó × Ô Ù Ò Ø Ó Ù Ñ Ù Ð Ó Ò Ó Ò
Ð Ñ
Ü Ü
¼
́ Ü µ ́ Ü
¼
µ
Ñ Ô Ð Ó ½ º º ¿ º Ë Ê
¾
Ê Ð Ù Ò Ó Ò ¬ Ò Ô Ó Ö
́ Ü Ý µ
́
Ü Ý
Ô
Ü
¾
· Ý
¾
× ́ Ü Ý µ ´ ¼ ¼ µ
¼ × ´ Ü Ý µ ´ ¼ ¼ µ
Ë Ø Ò
́ Ü Ý µ ´ ¼ ¼ µ
¬
¬
Ü Ý
Ô
Ü
¾
· Ý
¾
¼
¬
¬
Ü Ý
Ô
Ü
¾
· Ý
¾
Ô
Ü
¾
· Ý
¾
¾
Ô
Ü
¾
· Ý
¾
Ô
Ü
¾
· Ý
¾
Õ Ù Ñ Ó × Ù × Ó Ð × × Ù Ð × Ü
Ô
Ü
¾
· Ý
¾
Ý Ý
Ô
Ü
¾
· Ý
¾
Ë ¼ Ý Ø Ó Ñ Ñ Ó × º Ò Ø Ó Ò ×
́ Ü Ý µ ´ ¼ ¼ µ
Ô
Ü
¾
· Ý
¾
µ ́ Ü Ý µ ´ ¼ ¼ µ
Ô
Ü
¾
· Ý
¾
È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó
Ð Ñ
́ Ü Ý µ ´ ¼ ¼ µ
́ Ü Ý µ ¼ ´ ¼ ¼ µ
Ô Ó Ö Ð Ó Õ Ù × Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ó Ò Ø Ò Ù Ò Ð Ô Ù Ò Ø Ó ´ ¼ ¼ µ
Ñ Ô Ð Ó ½ º º º Ë Ê
¾
Ê Ð Ù Ò Ó Ò ¬ Ò Ô Ó Ö
́ Ü Ý µ
́
Ü
Ô
Ü
¾
· Ý
¾
× ́ Ü Ý µ ´ ¼ ¼ µ
¼ × ´ Ü Ý µ ´ ¼ ¼ µ
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 26/174
½ ½ Ê
Ò
Ó Ñ Ó × Ô Ó Ù Ð Ò Ó º
Ë Ø Ò Õ Ù ́ Ü Ý µ ´ ¼ ¼ µ
¬
¬
Ü
Ô
Ü
¾
· Ý
¾
¬
¬
º Ë Ø Ó Ñ Ñ Ó × Ô Ó Ö Ñ Ô Ð Ó
Ý ¼ ¸ Ò Ø Ó Ò × ́ Ü Ý µ ½ Ý × Ø Ó Ñ Ñ Ó × Ü ¼ Ó Ø Ò Ñ Ó × ́ Ü Ý µ ¼ º È Ó Ö
Ð Ó Ø Ò Ø Ó Ð Ð Ñ Ø Ð Ñ
́ Ü Ý µ ´ ¼ ¼ µ
́ Ü Ý µ Ò Ó Ü × Ø º Ò Ô Ö Ø Ù Ð Ö Ð Ù Ò Ó Ò Ò Ó ×
Ó Ò Ø Ò Ù Ò ¼ ´ ¼ ¼ µ
Ä ¬ Ò Ó Ò Ð Ñ Ø Ù Ò Ù Ò Ó Ò × Ô Ù × Ø Ù Ö Ô Ó Ö Ñ Ó
× Ù × Ó Ò × º
È Ö Ó Ô Ó × Ó Ò ½ º º º È Ö Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ê
Ò
Ê
Ñ
¸ × Ø Ò Õ Ù ×
Ü
¼
¾ ¸ Ò Ø Ó Ò × ́ Ü µ
Ü Ü
¼
× Ý × Ó Ð Ó × Ô Ö Ø Ó × Ù × Ó Ò Ü
½
½
Ø Ð Õ Ù Ü
Ü
¼
Ô Ö Ø Ó Ý Ø Ð Õ Ù Ü
½
Ü
¼
¸ Ò Ø Ó Ò × ́ Ü
µ
½
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò º È Ö Ñ Ö Ó × Ù Ô Ó Ò Ñ Ó × Õ Ù ́ Ü µ
Ü Ü
¼
º Ì Ó Ñ Ñ Ó × Ù Ð Õ Ù Ö
× Ù × Ó Ò Ü
½
½
Ø Ð Õ Ù Ü
Ü
¼
Ô Ö Ø Ó Ý Ø Ð Õ Ù Ü
½
Ü
¼
º Ò Ø Ó Ò ×
¼ Ü × Ø ¼ Ø Ð Õ Ù × Ü Ü
¼
Ò Ø Ó Ò × ́ Ü µ º Ó Ò
× Ø ¸ Ø Ò Ñ Ó × Õ Ù Ü × Ø Ù Ò Ò
¼
Ø Ð Õ Ù Ô Ö Ø Ó Ó Ò
¼
¸ × Ø Ò
Ü
Ü
¼
º È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó ́ Ü
µ º × Ø Ó Ô Ö Ù Õ Ù ́ Ü
µ
½
Ê Ô Ö Ó Ñ Ò Ø × Ù Ô Ó Ò Ñ Ó × Ó Ö Õ Ù Ø Ó × Ù × Ó Ò Õ Ù Ó Ò Ú Ö Ü
¼
Ý
Ö Ò Ø Ü
¼
× Ø × Õ Ù Ð × Ù × Ó Ò × Ù × Ñ Ò × Ó Ó Ò Ú Ö
Ë Ù Ô Ó Ò Ñ Ó × Õ Ù Ð Ñ
Ü Ü
¼
́ Ü µ º Ò Ø Ó Ò × Ü × Ø Ù Ò Ò Ù Ñ Ö Ó Ô Ó × Ø Ú Ó
¼
¼
Ø Ð Õ Ù Ô Ö Ù Ð Õ Ù Ö Ò Ù Ñ Ö Ó Ô Ó × Ø Ú Ó ¼ ¸ Ü × Ø Ù Ò Ô Ù Ò Ø Ó Ü
¾ Õ Ù
× Ø × Ü
Ü
¼
Ý Ü
Ü
¼
Ô Ö Ó × Ø Ò Õ Ù ́ Ü
µ
¼
Ì Ó Ñ Ñ Ó ×
½
Ý Ò Ó Ø Ñ Ó × Ü
Ü
º Ò Ø Ó Ò × × Ø Ò Õ Ù Ü
Ü
¼
½
Ô Ö Ó ́ Ü
µ
¼
º È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó Ü
½
Ü
¼
Ô Ö Ó Ð Ñ
½
́ Ü
µ
º × Ø Ó Ò Ø Ö Ó Ò Ñ Ù × Ø Ö Ð Ó Õ Ù Õ Ù Ö Ñ Ó × º Ù Ø
Ç × Ö Ú Ó Ò ½ º º º Ó Ò Ð È Ö Ó Ô Ó × Ó Ò ½ º º Ø Ò Ñ Ó × Ò Ñ Ø Ñ Ò Ø Õ Ù
× Ê
Ò
Ê
Ñ
́ Ü µ
½
́ Ü µ
Ñ
́ Ü µ µ Ó Ò
Ê
Ò
¸ Ò Ø Ó Ò ×
́ Ü µ
Ü Ü
¼
́
½
Ñ
µ ¾ Ê
Ñ
´ µ
́ Ü µ
Ü Ü
¼
Ô Ö ½ Ñ
Ò Ô Ö Ø Ù Ð Ö × Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ó Ò Ø Ò Ù Ò Ü
¼
¾ ´ µ
× Ó Ò Ø Ò Ù
Ò Ü
¼
½ Ñ
Ç × Ö Ú Ó Ò ½ º º º Ä Ç × Ö Ú Ó Ò ½ º º Ò Ó × Õ Ù Ô Ö × Ö Ó × Ý
Ö × Ù Ð Ø Ó × × Ó Ö Ð Ñ Ø × Ý Ó Ò Ø Ò Ù ¸ × Ø Ó Ò Ó Ö Ð Ó × Ô Ö Ù Ò Ó Ò × Ó Ò
Ú Ð Ó Ö × Ö Ð × º
Ñ Ô Ð Ó ½ º º º Ó Ò × Ö Ñ Ó × Ð Ù Ò Ó Ò Ê
¿
Ê
¾
¬ Ò Ô Ó Ö
́ Ü Ý Þ µ
Ò
Ü
Ý
× Ò Þ Ð Ò Ü ·
Þ
Ó
º Ò × Ø × Ó Ô Ù × Ö Ó Ò × Ö Ó
Ó Ñ Ó Ð Ó Ò Ù Ò Ø Ó ́ Ü Ý Þ µ ¾ Ê
¿
Ý ¼ Ü ¼
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 27/174
½ º Ù Ò Ó Ò × Ó Ò Ø Ò Ù × ½
Ë Ø Ò Õ Ù
½
́ Ü Ý Þ µ
Ü
Ý
× Ò Þ Ð Ù Ð Ü × Ø Ý × Ó Ò Ø Ò Ù Ô Ö Ý ¼
¾
́ Ü Ý Þ µ Ð Ò Ü ·
Þ
Ð Ù Ð Ü × Ø Ý × Ó Ò Ø Ò Ù Ô Ö Ü ¼
È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó × Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ó Ò Ø Ò Ù Ò
Ñ Ô Ð Ó ½ º º º Ë ́ Ü Ý Þ µ
¾ Ý
¾
· ½
¿ Ý
¾
¾
× Ò Ü
Ü
Ó × Ü
Ð Ò Ý
Ý
º Ë Ø Ò
Ð Ñ
́ Ü Ý µ ´ ¼ ¼ µ
́ Ü Ý µ
Ð Ñ
́ Ü Ý µ ´ ¼ ¼ µ
¾ Ý
¾
· ½
¿ Ý
¾
¾
× Ò Ü
Ü
Ð Ñ
́ Ü Ý µ ´ ¼ ¼ µ
Ó × Ü
Ð Ò Ý
Ý
Ó Ö Ò ¸ × Ø Ò
Ð Ñ
Ý ½
¾ Ý
¾
· ½
¿ Ý
¾
½
¾
¿
Ð Ñ
Ü ¼
× Ò Ü
Ü
Ä À Ó Ô Ø Ð
Ð Ñ
Ü ¼
Ó × Ü
½
Ó × ¼ ½
Ð Ñ
Ü ¼
Ó × Ü Ó × ¼ ½ Ð Ñ
Ý ½
Ð Ò Ý
Ý
Ä À Ó Ô Ø Ð
Ð Ñ
Ý ½
½ Ý
½
¼
È Ó Ö Ø Ò Ø Ó
Ð Ñ
́ Ü Ý µ ´ ¼ ¼ µ
́ Ü Ý µ
¾
¿
½ ½ ¼
¾
¿
¼
Ä × Ó × Ô Ö Ó Ô × Ù Ò Ñ Ò Ø Ð × Ð × Ù Ò Ó Ò × Ó Ò Ø Ò Ù × × Ó Ò Ð × Õ Ù
× × Ö Ò Ò Ð × Ù Ò Ø Ø Ó Ö Ñ º
Ì Ó Ö Ñ ½ º º ½ ¼ º Ë Ê
Ò
Ê
Ñ
Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ó Ò Ø Ò Ù º Ò Ø Ó Ò ×
´ ½ µ Ë Ã × Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ó Ò Ü Ó ¸ Ò Ø Ó Ò × ́ Ã µ × Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó
Ó Ò Ü Ó º
´ ¾ µ Ë Ã × Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ó Ñ Ô Ø Ó ¸ Ò Ø Ó Ò × ́ Ã µ × Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó
Ó Ñ Ô Ø Ó º
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò º Æ Ó Ô Ö × Ò Ø Ñ Ó × Ð Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò Ó Ñ Ô Ð Ø × Ø Ó × Ó × Ñ Ô Ó Ö ¹
Ø Ò Ø × Ñ Ó × Ö × Ù Ð Ø Ó × Ô Ö Ó Ñ Ó × Ð × × Ù Ò Ø × Ó × Ö Ú Ó Ò × × Ó Ö Ð Ñ × Ñ º
Ä Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò × × Ò Õ Ù × × Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ó Ò Ø Ò Ù Ý Î × Ù Ò
Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ö Ø Ó Ê
Ñ
¸ Ò Ø Ó Ò ×
½
́ Î µ Í Ô Ö Ð Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ö Ø Ó
Í Ê
Ò
º × Ø Ó × × Ù Ð ¬ Ò Ó Ò Ó Ò Ø Ò Ù º Ë Ñ Ð Ö Ñ Ò Ø × Ø Ò
Õ Ù × È × Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ö Ö Ó Ê
Ñ
Ò Ø Ó Ò ×
½
́ È µ Ô Ö Ð Ù Ò
Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ö Ö Ó Ê
Ñ
Ó Ò × Ø Ó × Ó × ¸ × Õ Ù Ö Ñ Ó × Ô Ö Ó Ö ´ ¾ µ ¸ Ó Ò × Ö Ñ Ó × Ù Ò Ù Ö Ø
Ö Ø ́ Ã µ ́ Ã µ
¾ Á
Î
º Ë Ø Ò Õ Ù
½
́ Î
µ Í
Ó Ò Í
Ù Ò
Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ö Ø Ó Ê
Ò
Ý Ã
¾ Á
Í
º È Ó Ö × Ö Ã Ó Ñ Ô Ø Ó ¸ Ã Ø Ò Ù Ò × Ù ¹
Ù Ö Ø ¬ Ò Ø Ã Í
½
Í
Ö
Ó Ò × × Ù Õ Ù ́ Ã µ Î
½
Î
Ö
Ý Õ Ù ́ Ã µ × Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ó Ñ Ô Ø Ó º Ë Ñ Ð Ö Ñ Ò Ø × Ô Ö Ù ´ ½ µ º Ù Ø
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 28/174
½ ½ Ê
Ò
Ó Ñ Ó × Ô Ó Ù Ð Ò Ó º
Ç × Ö Ú Ó Ò ½ º º ½ ½ º Ë Ê
Ò
Ê
Ñ
× Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ó Ò Ø Ò Ù Ý Ã × Ù Ò
Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ó Ñ Ô Ø Ó ´ Ó Ó Ò Ü Ó µ ¸ Ò Ø Ó Ò ×
½
́ Ã µ Ò Ó Ò × Ö Ñ Ò Ø × Ù Ò
Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ó Ñ Ô Ø Ó ´ Ó Ó Ò Ü Ó µ º È Ó Ö Ñ Ô Ð Ó × × Ø Ô Ó Ö Ê
Ò
Ê
Ñ
́ Ü µ ¼ º Ò Ø Ó Ò ×
½
́ ¼ µ Ê
Ò
º Ò × Ø × Ó × Ó Ò Ø Ò Ù ¸ ¼ × Ù Ò
Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ó Ñ Ô Ø Ó Ô Ö Ó Ê
Ò
Ò Ó × Ó Ñ Ô Ø Ó º
È Ó Ö Ó Ø Ö Ó Ð Ó ¸ × Ê Ê × Ð Ù Ò Ó Ò ¬ Ò Ô Ó Ö ́ Ü µ Ü
¾
¸ Ò Ø Ó Ò ×
½
́ ½ µ ½ ½ º Ò × Ø × Ó ¸ × Ó Ò Ø Ò Ù ¸ ½ × Ó Ò Ü Ó Ô Ö Ó ½ ½
Ò Ó Ð Ó × º
½ º º ½ Ó Ò Ø Ò Ù Í Ò Ó Ö Ñ
Ä Ó Ò Ø Ò Ù Ù Ò Ó Ö Ñ ¸ Ó Ñ Ó × Ù Ò Ó Ñ Ö Ð Ó Ò ¸ × Õ Ù Ð Ó Ò ¹
Ø Ò Ù Ù Ò Ù Ò Ó Ò × ¸ Ò Ö Ø Ñ ¸ × Ð Ñ × Ñ Ó Ö Ó ¸ × Ø Ó × ¸ Ð
Ð ¬ Ò Ó Ò ¸ Ô Ò Ö × Ó Ð Ñ Ò Ø Ð Ô Ö Ó Ò Ó Ð Ô Ù Ò Ø Ó Ò
Ù × Ø Ó Ò
¬ Ò Ó Ò ½ º º ½ ¾ º Ë Ò Ê
Ò
Ê
Ñ
Ý º Ë Õ Ù ×
Ù Ò Ó Ö Ñ Ñ Ò Ø Ó Ò Ø Ò Ù ´ Ù º º µ ¸ Ò × Ó Ù Ð Õ Ù Ö Ò Ù Ñ Ö Ó Ô Ó × Ø Ú Ó ¼
Ü × Ø Ù Ò Ò Ù Ñ Ö Ó Ô Ó × Ø Ú Ó ¼ Ø Ð Õ Ù × Ü Ý ¾ × Ø × Ò Ü Ý
Ò Ø Ó Ò × ́ Ü µ ́ Ý µ
Ç × Ö Ú Ó Ò ½ º º ½ ¿ º Ä ¬ Ò Ó Ò Ó Ò Ø Ò Ù Ù Ò Ó Ö Ñ × × Ñ Ð Ö Ð
Ó Ò Ø Ò Ù Ò Ù Ò Ô Ù Ò Ø Ó Ü
¼
Ô Ö Ó Ò Ð Ó Ò Ø Ò Ù Ù Ò Ó Ö Ñ Ð Ó Ò Ø Ò Ù
× Ô Ö Ò Ø Ó Ó × Ò Ñ Ô Ó Ö Ø Ö Ð Ô Ù Ò Ø Ó Ü
¼
Ò Ô Ö Ø Ù Ð Ö º
È Ó Ö Ó Ø Ö Ó Ð Ó ¸ × Ð Ö Ó Õ Ù × × Ù Ò Ó Ö Ñ Ñ Ò Ø Ó Ò Ø Ò Ù Ò ¸ Ò Ø Ó Ò ×
× Ó Ò Ø Ò Ù Ò Ô Ù Ò Ø Ó Ü
¼
¾ º Ë Ò Ñ Ö Ó Ð Ö Ô Ö Ó Ó Ò Ó × Ù Ñ Ô Ð ¸
× Ö ¸ Ô Ù × Ö Ó Ò Ø Ò Ù Ò Ü
¼
¾ Ô Ö Ó Ò Ó × Ö Ù Ò Ó Ö Ñ Ñ Ò Ø
Ó Ò Ø Ò Ù Ò
Ñ Ô Ð Ó ½ º º ½ º Ë Ê Ò ¼ Ê Ô Ó Ö ́ Ü µ
½
Ü
º Ë ´ ¼ ½
Ò Ø Ó Ò × Ô Ö Ø Ó Ü
¼
¾ × Ó Ò Ø Ò Ù Ò Ü
¼
Ô Ö Ó Ú Ö Ñ Ó × Õ Ù Ò Ó ×
Ù Ò Ó Ö Ñ Ñ Ò Ø Ó Ò Ø Ò Ù Ò
Ë ½ Ý × ¼ Ù Ð Õ Ù Ö º È Ó Ñ Ó × × Ù Ô Ó Ò Ö Ô Õ Ù Ò º Ì Ó Ñ Ñ Ó ×
Ù Ò Ô Ù Ò Ø Ó Ü ¾ ´ ¼ ½ Õ Ù × Ø × ¼ Ü ¾ Ý Ü ½ ¾ º Ë Ü Ü · ¾
Ò Ø Ó Ò × Ü Ü ¾ Ý × Ø Ò
́ Ü µ ́ Ü µ
¬
¬
¬
½
Ü
½
Ü · ¾
¬
¬
¬
¾
Ü ́ Ü · ¾ µ
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 29/174
½ º Ó Ò Ú Ö Ò Ù Ò Ó Ö Ñ ½
Ó Ö × Ø Ò Õ Ù Ü · ¾ ½
½
Ü · ¾
½ º È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó ́ Ü µ ́ Ü µ
¾
Ü
º È Ù × Ø Ó Õ Ù Ü ¾ ¸ Ò Ø Ó Ò ×
¾
Ü
½ º Ë × Ù Õ Ù ́ Ü µ ́ Ü µ ½
È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó Ò Ó × Ù Ò Ó Ö Ñ Ñ Ò Ø Ó Ò Ø Ò Ù Ò ´ ¼ ½
Ñ Ô Ð Ó ½ º º ½ º Ë Ò ¼ Ê Ò ¼ Ê Ô Ó Ö ́ Ü µ
½
Ü
Ý ½
Î Ñ Ó × Õ Ù × Ù Ò Ó Ö Ñ Ñ Ò Ø Ó Ò Ø Ò Ù Ò º Ë ¼ º È Ö Ü ¾
Ü × Ø
Ü
¼ Ø Ð Õ Ù × Ü Ý
Ü
Ò Ø Ó Ò × ́ Ü µ ́ Ý µ ¾ º Ë Ø Ò
Õ Ù
Ü ¾
́ Ü
Ü
¾ µ º Ó Ö Ò ¸ Ð × Ö Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ó Ñ Ô Ø Ó Ü × Ø Ò
Ü
½
Ü
Ö
¾ Ø Ð × Õ Ù ́ Ü
½
Ü
½
¾ µ ́ Ü
Ö
Ü
Ö
¾ µ
È Ö Ù Ð × Õ Ù Ö Þ Û ¾ Ø Ð × Õ Ù × Ø × Ò
Þ Û Ñ Ò
Ü
½
¾
Ü
Ö
¾
× Ø Ò Õ Ù Þ ¾ ́ Ü
Ü
¾ µ Ô Ö Ð Ù Ò º È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó ́ Þ µ ́ Ü
µ ¾
Ó Ö Ò Û Ü
Û Þ · Þ Ü
·
Ü
¾
Ü
¾ ·
Ü
¾
Ü
º È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó ́ Û µ ́ Ü
µ ¾ º × Ø Ó Ó Ø Ò Ñ Ó × Õ Ù
́ Þ µ ́ Û µ ́ Þ µ ́ Ü
µ · ́ Ü
µ ́ Û µ
¾
·
¾
È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó × Ù Ò Ó Ö Ñ Ñ Ò Ø Ó Ò Ø Ò Ù Ò
Ä Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò Ð Ñ Ô Ð Ó ½ º º ½ × Ñ Ù Ý Ñ Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ô Ù × × Ô Ù
Ò Ö Ð Þ Ö Ô Ö Ó Ò Ó Ò Ò Ö Ð Ð × Ù Ò Ø Ø Ó Ö Ñ º
Ì Ó Ö Ñ ½ º º ½ º Ë Ê
Ò
Ê
Ñ
Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ó Ò Ø Ò Ù Ý ×
Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ó Ñ Ô Ø Ó º Ò Ø Ó Ò × × Ù Ò Ó Ö Ñ Ñ Ò Ø Ó Ò Ø Ò Ù Ò
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò º Ö Ó º Ù Ø
½ º Ó Ò Ú Ö Ò Ù Ò Ó Ö Ñ
Ó Ò × Ö Ñ Ó × Ù Ò × Ù × Ó Ò Ù Ò Ó Ò ×
Ê
Ò
Ê
Ñ
º Ñ Ó × Õ Ù
Ó Ò Ú Ö Ô Ù Ò Ø Ù Ð Ñ Ò Ø Ð Ù Ò Ó Ò Ê
Ò
Ê
Ñ
× Ô Ö Ü ¾ ×
Ø Ò
́ Ü µ
½
́ Ü µ Ý × × Ö
½
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 30/174
¾ ¼ ½ Ê
Ò
Ó Ñ Ó × Ô Ó Ù Ð Ò Ó º
Ñ Ô Ð Ó ½ º º ½ º Ë
¼ ½ Ê ¬ Ò Ô Ó Ö
́ Ü µ Ü
º Ò Ø Ó Ò × ×
Ü ¾ ¼ ½ × Ø Ò
Ð Ñ
½
́ Ü µ Ð Ñ
½
Ü
¼ × ¼ Ü ½
½ × Ü ½
Ò Ø Ó Ò ×
½
Ó Ò ́ Ü µ
¼ ¼ Ü ½
½ Ü ½
½
¾
¿
¿
¬ Ò Ó Ò ½ º º ¾ º Ë
Ê
Ò
Ê
Ñ
Ù Ò × Ù × Ó Ò Ù Ò Ó Ò × Ø Ð ×
Õ Ù Ó ¼ ¸ Ü × Ø Ù Ò Ò Æ Ø Ð Õ Ù Ô Ö Ø Ó Ó Ò Æ Ñ Ô Ð
́ Ü µ ́ Ü µ Ô Ö Ø Ó Ü ¾ Ô Ö Ö Ø Ù Ò Ó Ò º Ò Ø Ó Ò × Ñ Ó ×
Õ Ù
Ó Ò Ú Ö Ù Ò Ó Ö Ñ Ñ Ò Ø Ò Ý × × Ö
½
Ò
Ç × Ö Ú Ó Ò ½ º º ¿ º È Ù × Ö Õ Ù
½
Ò ¸ Ò Ð Ù × Ú × Ö
Ó Ò Ø Ò Ù
Ò Ô Ö Ø Ó Ý × Ò Ñ Ö Ó Ò Ó × Ö Ó Ò Ø Ò Ù º
Ñ Ô Ð Ó ½ º º º Ë
¼ ½ Ê Ô Ó Ö
́ Ü µ Ü
½ ¾ º Ò ¹
Ø Ó Ò ×
× Ó Ò Ø Ò Ù Ô Ö Ø Ó Ý
½
¼ ¼ Ü ½
½ Ü ½
Ý Ò Ó ×
Ó Ò Ø Ò Ù Ò Ü ½
Ó × Ô Ù Ò Ñ Ô Ð Ó × Ø Ð × Õ Ù Ð Ò Ó × Ó Ò Ø Ò Ù Ò Ò Ò Ù Ò
Ô Ù Ò Ø Ó º
Ð Ò Ó Ñ Ò Ó Ò Ø Ö Ó Ö Ò Ó × Ù ×
½
¸ × Ö ¸ Ø Ò Ñ Ó × Ð × Ù Ò Ø
Ö × Ù Ð Ø Ó º
Ì Ó Ö Ñ ½ º º º Ë Ò
Ê
Ò
Ê
Ñ
Ù Ò Ó Ò × Ó Ò Ø Ò Ù × Ø Ð × Õ Ù
½
Ò º Ò Ø Ó Ò × × Ó Ò Ø Ò Ù Ò
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 31/174
½ º Ó Ò Ú Ö Ò Ù Ò Ó Ö Ñ ¾ ½
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò º Ë ¼ º Ü × Ø Æ Ø Ð Õ Ù Ô Ö Ø Ó Æ × Ø Ò Õ Ù
́ Ü µ ́ Ü µ ¿ Ô Ö Ø Ó Ü ¾
Ë Ü
¼
¾ Ý × Ð Ó Ò Ñ Ó × Æ Ù Ð Õ Ù Ö Ý Ó Ò × Ö Ñ Ó ×
Ð Ù Ð
× Ó Ò Ø Ò Ù Ò Ü
¼
º È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó Ü × Ø ¼ Ø Ð Õ Ù × Ü Ü
¼
Ò Ø Ó Ò ×
Ø Ò Ñ Ó ×
́ Ü µ
́ Ü
¼
µ ¿ º × Ø Ó × Ó Ø Ò Õ Ù
́ Ü µ ́ Ü
¼
µ ́ Ü µ
́ Ü µ ·
́ Ü µ
́ Ü
¼
µ ·
́ Ü
¼
µ ́ Ü
¼
µ
¿
·
¿
·
¿
È Ó Ö Ø Ò Ø Ó × Ó Ò Ø Ò Ù Ò Ü
¼
Ù Ø
Ç × Ö Ú Ó Ò ½ º º º Ò Ð Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò Ò Ø Ö Ó Ö × Ó Ø Ò Ó Õ Ù ×
× Ù Ò Ó Ö Ñ Ñ Ò Ø Ó Ò Ø Ò Ù Ò ¸ Ò Ø Ó Ò × × Ù Ò Ó Ö Ñ Ñ Ò Ø Ó Ò Ø Ò Ù Ò
Ó Ö Ó Ð Ö Ó ½ º º º Ë Ò
Ê
Ò
Ê
Ñ
Ù Ò Ó Ò × Ó Ò Ø Ò Ù × Ò Ý
½
½
Ù Ò Ó Ö Ñ Ñ Ò Ø ¸ × Ö ¸
½
½
º Ò Ø Ó Ò × × Ó Ò Ø Ò Ù Ò
Ù Ø
Ë Ñ Ð Ö Ñ Ò Ø × Ø Ò
Ó Ö Ó Ð Ö Ó ½ º º º Ë Ò
Ê
Ò
Ê
Ñ
Ù Ò Ó Ò × Ù Ò Ó Ö Ñ Ñ Ò Ø Ó Ò Ø ¹
Ò Ù × Ò Ý
½
½
Ù Ò Ó Ö Ñ Ñ Ò Ø ¸ × Ö ¸
½
½
º Ò Ø Ó Ò ×
× Ù Ò Ó Ö Ñ Ñ Ò Ø Ó Ò Ø Ò Ù Ò Ù Ø
Ñ Ô Ð Ó ½ º º º Ä Ù Ò Ó Ò Ó × Ò Ó × Ø Ô Ó Ö Ó × Ü
½
¼
́ ½ µ
´ ¾ µ
Ü
¾
Ô Ö
Ø Ó Ü ¾ Ê º Î Ñ Ó × Õ Ù Ó × Ü × Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ó Ò Ø Ò Ù Ò Ê
È Ö Ñ Ö Ó Ú Ñ Ó × Õ Ù
½
¼
́ ½ µ
´ ¾ µ
Ü
¾
Ó Ò Ú Ö Ù Ò Ó Ö Ñ Ñ Ò Ø Ò Ù Ð Õ Ù Ö
Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ö Ö Ô Ö Ö ¼ º Ë Ø Ò
¬
¬
¬
¬
¬
¼
́ ½ µ
´ ¾ µ
Ü
¾
¬
¬
¬
¬
¬
¼
Ü
¾
´ ¾ µ
¼
Ö
¾
´ ¾ µ
½
¼
Ö
¾
´ ¾ µ
Å
Ó Ö Ò ¸ Ð × Ö
½
¼
Ö
¾
´ ¾ µ
Ó Ò Ú Ö Ô Ù × ×
Ö
¾
´ ¾ µ
¸ Ò Ø Ó Ò ×
· ½
Ö
¾ · ¾
´ ¾ · ¾ µ
Ö
¾
´ ¾ µ
Ö
¾
´ ¾ · ¾ µ ´ ¾ · ½ µ
½
¼ ½
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 32/174
¾ ¾ ½ Ê
Ò
Ó Ñ Ó × Ô Ó Ù Ð Ò Ó º
È Ó Ö Ø Ò Ø Ó ¸ × ́ Ü µ
½
¼
́ ½ µ
Ü
¾
´ ¾ µ
¸ × Ø Ò
¬
¬
¬
¬
¬
́ Ü µ
¼
́ ½ µ
Ü
¾
´ ¾ µ
¬
¬
¬
¬
¬
¬
¬
¬
¬
¬
½
· ½
́ ½ µ
Ü
¾
´ ¾ µ
¬
¬
¬
¬
¬
½
· ½
Ö
¾
´ ¾ µ
Õ Ù × × Ù Õ Ù ¼ ¸ Ü × Ø Æ Ø Ð Õ Ù Ô Ö Ø Ó Æ
½
· ½
Ö
¾
´ ¾ µ
º È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó
¬
¬
¬
¬
¬
́ Ü µ
¼
´ ½ ¼ µ
Ü
¾
´ ¾ µ
¬
¬
¬
¬
¬
Ô Ö Ø Ó Ü ¾ Ö Ö
Ó Ö Ò ¸ × Ô Ó Ò Ñ Ó × ́ Ü µ Ó × Ü
½
¼
́ ½ µ
´ ¾ µ
Ü
¾
Ò Ê ¸ Ô Ù × Ø Ó Õ Ù
́ Ü µ
¼
́ ½ µ
´ ¾ µ
Ü
¾
× Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ó Ò Ø Ò Ù Ò Ê Ô Ö Ø Ó ¼ ½
Ó Ü
¼
¾ Ê ¸ × Ó Ñ Ó × Ö ¾ Ê Ø Ð Õ Ù Ü
¼
Ö ¸ × Ø Ó × ¸ Ü
¼
¾ Ö Ö Ý
́ Ü µ
½
Ó × Ü Ò Ö Ö º È Ó Ö × Ö
́ Ü µ Ó Ò Ø Ò Ù Ò Ü
¼
× × Ù Õ Ù Ó × Ü ×
Ó Ò Ø Ò Ù Ò Ü
¼
Ð Ñ Ô Ð Ó Ò Ø Ö Ó Ö × Ô Ù Ò Ö Ð Þ Ö Ý × Ø Ò Ö Ð Þ Ó Ò × Ð Ö Ø Ö Ó
Å Ï Ö × Ø Ö × ×
Ì Ó Ö Ñ ½ º º ½ ¼ ´ Ö Ø Ö Ó Å Ï Ö × Ø Ö × × µ º Ë Ò
Ê
Ò
Ê
Ñ
Ù Ò Ó Ò × Ø Ð × Õ Ù Ü × Ø Ò Ó Ò × Ø Ò Ø × Å
¾ Ê Ø Ð × Õ Ù
́ Ü µ Å
Ô Ö
Ø Ó Ü ¾ Ý Ø Ð × Õ Ù Ð × Ö
½
½
Å
× Ó Ò Ú Ö Ò Ø º Ò Ø Ó Ò × Ð × Ö
Ù Ò Ó Ò ×
½
½
Ó Ò Ú Ö Ù Ò Ó Ö Ñ Ý × Ó Ð Ù Ø Ñ Ò Ø Ò
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò º Ö Ó º Ù Ø
Ñ Ô Ð Ó ½ º º ½ ½ º Ë ́ Ü µ
½
Ò ½
´ × Ò Ò Ü µ
¾
Ò
¾
Ó Ò Ü ¾ Ê º Ó Ö Ò ¸ × Ø Ò
Õ Ù
¬
¬
¬
¬
´ × Ò Ò Ü µ
¾
Ò
¾
¬
¬
¬
¬
½
Ò
¾
Ý Ð × Ö
½
Ò ½
½
Ò
¾
× Ó Ò Ú Ö Ò Ø º È Ó Ö Ð Ö Ø Ö Ó Å
Ï Ö × Ø Ö × × × × Ù Õ Ù
½
Ò ½
´ × Ò Ò Ü µ
¾
Ò
¾
Ó Ò Ú Ö Ù Ò Ó Ö Ñ Ñ Ò Ø º
Å × Ù Ò ¸ Ô Ù × Ø Ó Õ Ù Ô Ö Ø Ó Ò Ð Ù Ò Ó Ò
´ × Ò Ò Ü µ
¾
Ò
¾
× Ó Ò Ø Ò Ù Ò Ê
× × Ù Õ Ù × Ó Ò Ø Ò Ù Ò Ê
Ñ Ô Ð Ó ½ º º ½ ¾ º Ë ́ Ü µ
½
Ò ¼
Ü
Ò
Ò
¾
Ô Ö Ü ¾ Ê º Æ Ó Ô Ó Ñ Ó × Ô Ð Ö
Ö Ø Ñ Ò Ø Ð Ö Ø Ö Ó Å Ï Ö × Ø Ö × × ¸ × Ö × Ð Ó Ò Ö Ù Ò Ó Ò × Ø Ò Ø
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 33/174
½ º Ó Ò Ú Ö Ò Ù Ò Ó Ö Ñ ¾ ¿
Å
Ò
Ô Ù × Ð Ù Ò Ó Ò Ü
Ò
Ò Ó × Ó Ø Ô Ö Ü ¾ Ê º Ë Ò Ñ Ö Ó ¸ × ¬ Ñ Ó × Ö ¾ Ê
Ö ¼ ¸ Ù Ð Õ Ù Ö Ý Ö × Ø Ö Ò Ñ Ó × Ð Ù Ò Ó Ò Ð Ò Ø Ö Ú Ð Ó Ö Ö º Ò Ø Ó Ò ×
¬
¬
¬
¬
Ü
Ò
Ò
¬
¬
¬
¬
¾
Ö
¾ Ò
́ Ò µ
¾
Å
Ò
Ô Ö Ø Ó Ü ¾ Ö Ö º Ó Ö Ú Ñ Ó × Õ Ù
½
Ò ¼
Å
Ò
Ó Ò Ú Ö º Ë Ø Ò
Å
Ò · ½
Å
Ò
Ö
¾ Ò · ¾
´ ́ Ò · ½ µ µ
¾
Ö
¾ Ò
́ Ò µ
¾
Ö
¾
́ Ò · ½ µ
¾
Ò ½
¼ ½
È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó
½
Ò ¼
Å
Ò
Ó Ò Ú Ö º Ë × Ù Õ Ù
½
Ò ¼
Ü
Ò
Ò
¾
Ó Ò Ú Ö Ù Ò Ó Ö Ñ ¹
Ñ Ò Ø Ò Ö Ö ́ Ü µ Ý Ô Ù × Ø Ó Õ Ù
Ü
Ò
Ò
¾
× Ó Ò Ø Ò Ù ¸ × Ø Ò Õ Ù ́ Ü µ
× Ó Ò Ø Ò Ù Ò Ð Ò Ø Ö Ú Ð Ó Ö Ö Ô Ö Ù Ð Õ Ù Ö Ò Ù Ñ Ö Ó Ô Ó × Ø Ú Ó Ö ¾ Ê Ë
× Ù Õ Ù Ð Ù Ò Ó Ò ́ Ü µ × Ó Ò Ø Ò Ù Ò Ê
Ñ Ô Ð Ó ½ º º ½ ¿ º Ë Ò
Ò
Ê Ê º Ë Ù Ô Ó Ò Ñ Ó × Õ Ù
Ò
Ò ½
Ò Ý
Õ Ù
Ò
× Ö Ú Ð Ò º Ë Ö Ö Ø Ó Õ Ù
Ò
Ó Ò Ú Ö Ù Ò Ó Ö Ñ Ñ Ò Ø
Ð Ù Ò Ù Ò Ó Ò
Ä Ö × Ô Ù × Ø × Ò Ó º È Ó Ö Ñ Ô Ð Ó Ó Ò × Ö Ñ Ó × Ð × Ù × Ó Ò Ù Ò Ó Ò ×
Ò
́ Ü µ
× Ò ´ Ò
¾
Ü µ
Ò
º Ò Ø Ó Ò × × Ø Ò
Ò
́ Ü µ
½
Ò
Ò ½
¼ ¸ Ð Ó Ù Ð Ñ Ô Ð
Õ Ù
Ò
Ò ½
¼ Ò Ê º Ë Ò Ñ Ö Ó × Ø Ò Õ Ù
Ò
́ Ü µ Ò Ó × ´ Ò
¾
Ü µ Ò Ó
Ó Ò Ú Ö Ò × Õ Ù Ö Ô Ù Ò Ø Ù Ð Ñ Ò Ø º È Ó Ö Ñ Ô Ð Ó × Ø Ó Ñ Ñ Ó × Ü ¼ Ò Ø Ó Ò ×
Ò
´ ¼ µ Ò Ó × ¼ Ò
Ò ½
½
Ë Ð × Ö Ú × Ò Ó Ö Ò Ð × Ô Ö Ó Ô × Õ Ù Ø Ò Ò Ð × × Ù × Ó Ò × Ò
Ó Ò Ú Ö Ò Ù Ò Ó Ö Ñ ¸ Ò Ó × Ô Ö Ù Ò Ø Ñ Ó × Õ Ù Ô × Ó Ò Ö × Ô Ø Ó Ð × Ò Ø ¹
Ö Ð × Ð × Ù Ò Ø Ö × Ù Ð Ø Ó Ò Ó × Ð Ö × Ô Ù × Ø × Ø Ô Ö Ù Ò Ø º
Ì Ó Ö Ñ ½ º º ½ º Ë Ò
Ê Ù Ò Ó Ò × Ó Ò Ø Ò Ù × Ø Ð ×
½
Ò
º Ò Ø Ó Ò ×
́ Ü µ Ü
½
́ Ü µ Ü
× Ö ¸ Ð Ñ
½
́ Ü µ Ü
Ð Ñ
½
́ Ü µ Ü ¸ Ð Ó Õ Ù Ò Ó × Õ Ù Ó
Ó Ò Ú Ö Ò Ù Ò Ó Ö Ñ ¸ Ð Ñ Ø Ò Ø Ö Ð Ó Ò Ñ Ù Ø Ò º
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò º Ë Ø Ò Õ Ù ¼ Ü × Ø Ù Ò Ò Æ Ø Ð Õ Ù Ô Ö Ø Ó
Æ × Ø Ò Õ Ù ́ Ü µ
́ Ü µ Ô Ö Ø Ó Ü ¾ º È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 34/174
¾ ½ Ê
Ò
Ó Ñ Ó × Ô Ó Ù Ð Ò Ó º
¬
¬
¬
¬
¬
́ Ü µ Ü
́ Ü µ Ü
¬
¬
¬
¬
¬
́ Ü µ Ü
́ Ü µ Ü
Ü ́ µ
Ù Ø
Ó Ö Ó Ð Ö Ó ½ º º ½ º Ë Ò
Ê × Ó Ò Ù Ò Ó Ò × Ó Ò Ø Ò Ù × Ý × Ó Ò Ø Ð ×
Õ Ù
½
½
Ó Ò Ú Ö Ù Ò Ó Ö Ñ Ñ Ò Ø º Ò Ø Ó Ò ×
½
½
́ Ü µ Ü
½
½
́ Ü µ Ü
× Ø Ó × ¸ × Ù Ñ Ò Ø Ö Ð Ó Ò Ñ Ù Ø Ò Ó Ó Ò Ú Ö Ò Ù Ò Ó Ö Ñ º Ù Ø
Ä Ó Ö × Ø Ð Ó Ò Ö × Ô Ø Ó Ð × Ö Ú × Ò Ó × Ð Ð × Ù Ò Ø Ø Ó Ö Ñ º
Ì Ó Ö Ñ ½ º º ½ º Ë Ò
́ µ Ê Ù Ò Ó Ò × Ö Ò Ð × Ø Ð × Õ Ù Ó Ò ¹
Ú Ö Ò Ô Ù Ò Ø Ù Ð Ñ Ò Ø Ù Ò Ù Ò Ó Ò
½
Ò ́ µ Ó Ò ́ µ Ê
Ë Ù Ô Ó Ò Ñ Ó × Õ Ù Ð × Ö Ú ×
× Ó Ò Ù Ò Ó Ò × Ó Ò Ø Ò Ù × Ý Õ Ù Ó Ò Ú Ö Ò
Ù Ò Ó Ö Ñ Ñ Ò Ø Ù Ò Ù Ò Ó Ò ¸ × Ö ¸
½
Ò ́ µ º Ò Ø Ó Ò × ×
Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ö Ú Ð Ý
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò º Æ Ó Ô Ö × Ò Ø Ñ Ó × Ð Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò × Ø Ö × Ù Ð Ø Ó º Ù Ø
Ó Ö Ó Ð Ö Ó ½ º º ½ º Ë Ð × Ù Ò Ó Ò ×
́ µ Ê × Ó Ò Ö Ò Ð × ¸ × Ó Ò
Ø Ð × Õ Ù
× Ó Ò Ù Ò Ó Ò × Ó Ò Ø Ò Ù × ¸ ×
½
½
Ó Ò Ú Ö Ô Ù Ò Ø Ù Ð Ñ Ò Ø Ö Ø
Ù Ò Ó Ò Ý ×
½
½
Ó Ò Ú Ö Ù Ò Ó Ö Ñ Ñ Ò Ø ¸ Ò Ø Ó Ò ×
½
½
½
½
× Ö Ó Ð × Ô Ó Ø × × Ò Ù Ò × × Ù Ñ Ý Ö Ú Ó Ò Ñ Ù Ø Ò º Ù Ø
Ñ Ô Ð Ó ½ º º ½ º Ë Ô Ö Ð Ù Ò Ó Ò
¼ ½ Ê Ô Ó Ö
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 35/174
½ º Ó Ò Ú Ö Ò Ù Ò Ó Ö Ñ ¾
́ Ü µ
¾
Ü × ¼ Ü ½ ¾
¾
́ Ü ½ µ × ½ ¾ Ü ½
¼ × ½ Ü ½
Ý
Ü
¼
¢
¢
¢
¢
¢
½ ¾
½
´ ¼ ¾ µ
́ Ü µ
½
Ò Ø Ó Ò ×
½
¼
́ Ü µ Ü ½ Ô Ö Ø Ó º Ë Ò Ñ Ö Ó × Ø Ò
́ Ü µ
½
¼
Ô Ö Ø Ó Ü ¾ ¼ ½ º È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó
Ð Ñ
½
½
¼
́ Ü µ Ü ½ ¼
½
¼
¼ Ü
½
¼
Ð Ñ
½
́ Ü µ Ü
× Ö ¸ Ò Ø Ö Ð Ý Ð Ñ Ø Ò Ó Ó Ò Ñ Ù Ø Ò Ò Ò Ö Ð º
Ñ Ô Ð Ó ½ º º ½ º Ä Ù Ò Ó Ò Ü Ô Ó Ò Ò Ð × Ø Ô Ó Ö
Ü
½
Ò ¼
Ü
Ò
Ò
Ô Ö
Ü ¾ Ê º Ñ Ó × Ö ¾ Ê Ö ¼ º Ò Ø Ó Ò ×
¬
¬
¬
¬
Ü
Ò
Ò
¬
¬
¬
¬
Ö
Ò
Ò
Ô Ö Ø Ó Ü ¾ Ö Ö
È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó
½
Ò ¼
Ö
Ò
Ò
Ö
Ó Ò Ú Ö º È Ó Ö Ð Ö Ø Ö Ó Å Ï Ö × Ø Ö × × Ð × Ö
½
Ò ¼
Ü
Ò
Ò
Ó Ò Ú Ö Ù Ò Ó Ö Ñ Ñ Ò Ø Ò Ö Ö º È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó × Ø Ò
Ü
¼
Ø
Ø
Ü
¼
½
Ò ¼
Ø
Ò
Ò
Ø
½
Ò ¼
Ü
¼
Ø
Ò
Ò
Ø
½
Ò ¼
Ø
Ò · ½
́ Ò · ½ µ
Ü
¼
½
Ò ¼
Ü
Ò · ½
́ Ò · ½ µ
½
Ò ¼
Ü
Ò
Ò
½
Ü
½
È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó
Ü
¼
Ø
Ø
Ü
½
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 36/174
¾ ½ Ê
Ò
Ó Ñ Ó × Ô Ó Ù Ð Ò Ó º
Ñ Ô Ð Ó ½ º º ¾ ¼ º Ó Ò × Ö Ñ Ó × Ð × Ù Ò Ó Ò ×
Ò
́ Ü µ Ò
¿
Ü
Ò
´ ½ Ü µ ¼
Ü ½ º Ë Ø Ò Õ Ù Ð Ñ
Ò ½
Ò
́ Ü µ ¼ Ô Ö Ø Ó Ü ¾ ¼ ½ Ô Ù ×
Ò · ½
́ Ü µ
Ò
́ Ü µ
́ Ò · ½ µ
¿
Ü
Ò · ½
´ ½ Ü µ
Ò
¿
Ü
Ò
´ ½ Ü µ
½ ·
½
Ò
¿
Ü
Ò ½
Ü ½ Ô Ö ¼ Ü ½ Ô Ó Ö Ð Ó Õ Ù
Ò
́ Ü µ
Ò ½
¼ Ô Ö ¼ Ü ½ º È Ö Ü ½ × Ø Ò Õ Ù
Ò
´ ½ µ ¼ Ô Ö Ø Ó
Ò Ý Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ó Ð Ñ
Ò ½
Ò
´ ½ µ ¼ º
Ë Ø Ò
½
¼
Ò
́ Ü µ Ü
½
¼
Ò
¿
́ Ü
Ò
Ü
Ò · ½
µ Ü Ò
¿
Ü
Ò · ½
Ò · ½
Ü
Ò · ¾
Ò · ¾
½
¼
Ò
¿
½
Ò · ½
½
Ò · ¾
Ò
¿
́ Ò · ½ µ ´ Ò · ¾ µ
Ò ½
½
È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó
Ð Ñ
Ò ½
½
¼
Ò
́ Ü µ Ü
½
¼
Ð Ñ
Ò ½
Ò
́ Ü µ Ü
Ò Ô Ö Ø Ù Ð Ö
Ò
Ò Ó Ó Ò Ú Ö Ù Ò Ó Ö Ñ Ñ Ò Ø Ò ¼ ½
½ º Ö Ó ×
Ö Ó ½ º º ½ º Ò Ê
Ò
¸ Ô Ö Ó Ö Õ Ù
µ º ¹ ¾ Ü
¾
· ¾ Ý
¾
Ü · Ý
¾
· Ü Ý
¾
´ Ð Ý Ð Ô Ö Ð Ð Ó Ö Ñ Ó µ º
µ º ¹ Ü · Ý Ü Ý Ü
¾
· Ý
¾
µ º ¹ Ü Ý Ü · Ý
¾
Ü Ý
¾
´ Ò Ø Ô Ó Ð Ö Þ Ó Ò µ º
Ö Ó ½ º º ¾ º Ë Ë ́ Ü Ý µ ¾ Ê
¾
Ü Ý ½ º È Ö Ó Ö Õ Ù Ë × Ö Ø Ó Ò
Ê
¾
Ö Ó ½ º º ¿ º À Ð Ð Ö Ð Ö Ö Ù Ö Ë ́ Ü Ý µ ¾ Ê
¾
Ü Ý
¾
Ö Ó ½ º º º À Ð Ð Ö ¸ Ó Ò ́ Ü Ý µ ¾ Ê
¾
Ü Ý
Ö Ó ½ º º º Ë Ê
Ò
Ù Ò Ö Ø Ó Ý × Ê
Ò
Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ù Ð Õ Ù Ö
Ò Ó Ú Ó º Ë ¬ Ò · Ü · Ý Ü ¾ Ý ¾ º È Ö Ó Ö Õ Ù · × Ù Ò
Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ö Ø Ó Ò Ê
Ò
Ö Ó ½ º º º Ë Ü ́ Ü
½
Ü
Ò
µ Ý ́ Ý
½
Ý
Ò
µ Ü Ý ¾ Ê
Ò
º È Ö Ó Ö
Õ Ù
Ü Ý
Ò
½
Ü
Ý
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 37/174
½ º Ö Ó × ¾
Ö Ó ½ º º º Ø Ö Ñ Ò Ö × Ð × Ö
½
Ò ½
× Ò Ò
Ò
¾
½
Ò
¾
Ó Ò Ú Ö Ó Ò Ó º
Ö Ó ½ º º º Ë Ü
½
Ô
¿ Ü
Ò
Ô
¿ · Ü
Ò ½
º Ð Ù Ð Ö Ð Ñ
Ò ½
Ü
Ò
Ö Ó ½ º º º × ́ Ü Ý µ ¾ Ê
¾
Ü Ý ½ ́ Ü Ý µ ¾ Ê
¾
Ü
¾
· Ý
¾
Ó Ñ Ô Ø Ó
Ö Ó ½ º º ½ ¼ º È Ö Ó Ö Ó Ö Ù Ò Ó Ò Ø Ö Ñ Ô Ð Ó Ð × × Ù Ò Ø × ¬ Ö Ñ ¹
Ó Ò ×
µ º ¹ Ë Ê
Ò
× Ó Ñ Ô Ø Ó ¸ Ò Ø Ó Ò × Ê
Ò
Ò × Ó Ò Ü Ó º
µ º ¹ Ë Ü ¾ Ê
Ò
Ü ½ º Ò Ø Ó Ò × Ê
Ò
Ò × Ó Ò Ü Ó º
Ö Ó ½ º º ½ ½ º Ë ́ Ü Ý µ ¾ Ê Ü
· Ý
½ º × Ó Ñ Ô Ø Ó ×
Ó Ò Ü Ó È Ö Ó Ö Ð × ¬ Ö Ñ Ó Ò × º
Ö Ó ½ º º ½ ¾ º Ë Ê Ê Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ó Ò Ø Ò Ù º Ù Ð × Ð Ó × × Ù Ò ¹
Ø × Ó Ò Ù Ò Ø Ó × × Ó Ò Ò × Ö Ñ Ò Ø Ö Ö Ó × ¸ Ö Ø Ó × ¸ Ó Ñ Ô Ø Ó × Ó Ó Ò Ü Ó × º
µ º ¹ Ü ¾ Ê ́ Ü µ ¼
µ º ¹ Ü ¾ Ê ́ Ü µ ½
µ º ¹ ́ Ü µ Ü ¼
µ º ¹ ́ Ü µ ¼ Ü ½
Ö Ó ½ º º ½ ¿ º Ë Ò ¾ Ê º Ë Ù Ô Ó Ò Ñ Ó × Õ Ù ¢ Ê
¾
× Ó Ò Ü Ó º
È Ö Ó Ö Õ Ù × Ó Ò Ü Ó º
Ö Ó ½ º º ½ º È Ö Ó Ö Õ Ù Ò Ó Ü × Ø Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ó Ò Ø Ò Ù Ê Ê Ø Ð
Õ Ù ´ ¼ ½ µ ´ ¼ ½ µ
Ö Ó ½ º º ½ º È Ö Ó Ö Õ Ù ́ Ü µ
½
Ü
× Ù Ò Ó Ö Ñ Ñ Ò Ø Ó Ò Ø Ò Ù Ò ½ µ
Ó Ò ¼
Ö Ó ½ º º ½ º Ë ́ Ü Ý µ
́
Ü Ý
Ü
¾
· Ý
¾
× ́ Ü Ý µ ´ ¼ ¼ µ
¼ × ´ Ü Ý µ ´ ¼ ¼ µ
º È Ö Ó Ö Õ Ù
Ð Ñ
Ü ¼
Ð Ñ
Ý ¼
Ü Ý
Ü
¾
· Ý
¾
Ð Ñ
Ý ¼
Ð Ñ
Ü ¼
Ü Ý
Ü
¾
· Ý
¾
Ô Ö Ó Õ Ù Ð Ù Ò Ó Ò Ò Ó × Ó Ò Ø Ò Ù Ò ´ ¼ ¼ µ
Ö Ó ½ º º ½ º × Ê Ê ́ Ü µ Ü × Ò Ü Ù Ò Ó Ö Ñ Ñ Ò Ø Ó Ò Ø Ò Ù
Ö Ó ½ º º ½ º Ë Ê Ê Ø Ð Õ Ù ́ Ü µ ́ Ý µ Ü Ý
¾
º È Ö Ó Ö Õ Ù
× Ó Ò × Ø Ò Ø º
Ë Ù Ö Ò È Ö Ó Ö Õ Ù ́ Ü µ ¼ º
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 38/174
¾ ½ Ê
Ò
Ó Ñ Ó × Ô Ó Ù Ð Ò Ó º
Ö Ó ½ º º ½ º Ë ́ Ü µ Ü
½
Ü ½
Ü ½ º Ó Ñ Ó × ¬ Ò Ö ´ ½ µ Ô Ö
Õ Ù ́ Ü µ × Ó Ò Ø Ò Ù
Ö Ó ½ º º ¾ ¼ º Ë ́ µ Ê Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ö Ò Ð Ø Ð Õ Ù Ü × Ø
Å ¼ Ó Ò ́ Ü µ Å Ô Ö Ø Ó Ü ¾ ́ µ º È Ö Ó Ö Õ Ù × Ù Ò Ó Ö Ñ Ñ Ò Ø
Ó Ò Ø Ò Ù Ò ´ µ
Ö Ó ½ º º ¾ ½ º Ë Ê
Ò
Ê
Ñ
Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ó Ò Ø Ò Ù Ý ×
Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ó Ñ Ô Ø Ó º È Ö Ó Ö Õ Ù × Ù Ò Ó Ö Ñ Ñ Ò Ø Ó Ò Ø Ò Ù Ò
Ö Ó ½ º º ¾ ¾ º Ë Ì Ê
Ò
Ê
Ñ
Ù Ò Ø Ö Ò × Ó Ö Ñ Ó Ò Ð Ò Ð º È Ö Ó Ö Õ Ù Ì
× Ù Ò Ó Ö Ñ Ñ Ò Ø Ó Ò Ø Ò Ù Ò Ê
Ò
Ö Ó ½ º º ¾ ¿ º × Ù Ø Ö Ð Ó Ò Ú Ö Ò Ý Ð Ó Ò Ú Ö Ò Ù Ò Ó Ö Ñ Ð ×
× Ù Ò Ø × × Ù × Ó Ò × Ù Ò Ó Ò ×
µ º ¹
Ò
Ü
Ò
Ò · Ü
Ò
Ü ¼ Ò ½ ¾
µ º ¹
Ò
Ü
¾
Ò
Ò
Ü ¾ Ê Ò ½ ¾
Ö Ó ½ º º ¾ º È Ö Ó Ö Õ Ù ́ Ü µ
½
Ò ½
Ü
Ò
Ò
¾
× Ó Ò Ø Ò Ù Ò ¼ ½
Ö Ó ½ º º ¾ º × Ù Ø Ö Ð Ó Ò Ú Ö Ò Ù Ò Ó Ö Ñ
½
Ò ½
½
Ü
¾
· Ò
¾
Ö Ó ½ º º ¾ º Å Ó × Ø Ö Ö Õ Ù
Ò
́ Ü µ Ò
¿
Ü
Ò
´ ½ Ü µ Ó Ò Ú Ö Ô Ù Ò Ø Ù Ð Ñ Ò Ø
¼ Ò ¼ ½ º Í × Ò Ó Ò Ø Ö Ð × ¸ Ô Ö Ó Ö Õ Ù Ð Ó Ò Ú Ö Ò Ò Ó × Ù Ò Ó Ö Ñ º
Ö Ó ½ º º ¾ º × Ù Ø Ö Ð Ó Ò Ø Ò Ù Ù Ò Ó Ö Ñ ́ Ü µ
Ü
Ü ¾
´ ¼ ½ µ
Ö Ó ½ º º ¾ º Î Ö ¬ Ö × Ð × Ù Ò Ø × Ö × Ó Ò Ú Ö Ò Ø Ó Ò Ó × Ó Ñ Ó
× Ù Ó Ò Ú Ö Ò Ù Ò Ó Ö Ñ º
½
Ò ½
× Ò Ò Ü
Ò
Ò Ü
¼ Ü
Ó Ò ¼ Ö Ø Ö Ö Ñ Ò Ø Ô Õ Ù Ò Ó
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 39/174
¾
Ð Ù Ð Ó Ö Ò Ð Ò Ê
Ò
º
Ò × Ø Ô Ø Ù Ð Ó Ñ Ó × Ð ¬ Ò Ó Ò Ö Ú × Ò Ú Ö × Ú Ö Ð × Ý × Ù ×
Ô Ö Ò Ô Ð × Ô Ö Ó Ô × º
¾ º ½ Ö Ú × Ò Ê
Ò
Î Ñ Ó × Ó Ñ Ó × Ð Ò Ö Ð Þ Ó Ò Ò Ø Ù Ö Ð Ð ¬ Ò Ó Ò Ö Ú Ò
Ù Ò Ú Ö Ð Ö Ú Ò Ú Ö × Ú Ö Ð × º
Ñ Ô Ñ Ó × Ó Ò Ù Ò Ù Ò Ó Ò ́ µ Ê Ý × Ü
¼
¾ ́ µ º Ò Ø Ó Ò × Ð
Ö Ú Ò Ü
¼
¸ Ò × Ó Ü × Ø Ö ¸ × ¬ Ò Ô Ó Ö
́ Ü
¼
µ Ð Ñ
Ü Ü
¼
́ Ü µ ́ Ü
¼
µ
Ü Ü
¼
´ µ Ð Ñ
Ü Ü
¼
́ Ü µ ́ Ü
¼
µ ́ Ü
¼
µ ́ Ü Ü
¼
µ
Ü Ü
¼
¼
´ µ Ð Ñ
Ü Ü
¼
́ Ü µ ́ Ü
¼
µ ́ Ü
¼
µ ́ Ü Ü
¼
µ
Ü Ü
¼
¼
× Ø Ù Ð Ø Ñ Ü Ô Ö × Ó Ò × Ô Ù Ò Ö Ð Þ Ö Ú Ö × Ú Ö Ð × º
¬ Ò Ó Ò ¾ º ½ º ½ º Í Ò Ù Ò Ó Ò Ê
Ò
Ê
Ñ
× Ö Ò Ð Ò
Ü
¼
¾
Æ
× Ü × Ø Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ð Ò Ð Ò Ó Ø Ô Ó Ö ́ Ü
¼
µ Ê
Ò
Ê
Ñ
Ð Ð Ñ
Ð Ö Ú Ò Ü
¼
¸ Ø Ð Õ Ù
Ð Ñ
Ü Ü
¼
́ Ü µ ́ Ü
¼
µ ́ Ü
¼
µ ́ Ü Ü
¼
µ
Ü Ü
¼
¼
Ó × Ô Ó Ò Ñ Ó × Ü Ü
¼
Ò Ø Ó Ò ×
Ð Ñ
¼
́ Ü
¼
· µ ́ Ü
¼
µ ́ Ü
¼
µ ́ µ
¼
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 40/174
¿ ¼ ¾ Ð Ù Ð Ó Ö Ò Ð Ò Ê
Ò
Ò Ð × Ó Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ö Ð ́ µ Ê ¸ Ð Ø Ö Ò × Ó Ö Ñ Ó Ò Ð Ò Ð
Ð ¬ Ò Ó Ò ¾ º ½ º ½ × Ø Ô Ó Ö Ì Ê Ê Ì ́ µ Ó Ò ́ Ü
¼
µ
Ó Ö Ò ¸ Ò Ð × Ó Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ö Ú Ð ¸ × Ø Ò Õ Ù ́ Ü µ
́ Ü
¼
µ · ́ Ü
¼
µ ́ Ü Ü
¼
µ · ³ ́ Ü µ Ó Ò ³ ́ Ü µ
Ü Ü
¼
¼ º È Ó Ö Ø Ò Ø Ó ¬ Ò Ñ Ó × Ð
Ô Ð Ò Ó Ø Ò Ò Ø Ð Ù Ò Ó Ò Ò Ü
¼
Ô Ó Ö
́ Ü µ Ý ́ Ü
¼
µ · ́ Ü
¼
µ ́ Ü Ü
¼
µ
Ç × Ö Ú Ó Ò ¾ º ½ º ¾ º Ð Ü Ô Ö × Ó Ò Ò Ø Ö Ó Ö ¸ × Ô Ù Ö Ù Ò ¬ Ò Ó Ò
Ð Ø Ö Ò Ø Ú Ö Ú Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ê
Ò
Ê
Ñ
Ò ¾
Æ
Ë
Õ Ù × Ö Ò Ð Ò × Ý × Ó Ð Ó × Ü × Ø Ò Ì
½
Ì
¾
Ì
Ò
Ê
Ñ
Ù Ò Ó Ò × Ó Ò Ø Ò Ù × Ò Ø Ð × Õ Ù
́ Ü µ ́ µ ·
Ò
½
́ Ü
µ Ì
́ Ü µ
Ô Ö Ø Ó Ü ́ Ü
½
Ü
Ò
µ ¾ Ý Ó Ò Ô Ó Ò Ñ Ó × ́
½
Ò
µ
× Ø ¬ Ò Ó Ò × Ð Õ Ù Ö Ð Ò Ó Ñ Ö Ö Ú Ð Ö Ø Ó Ó Ö Ý
Ý Ô Ó Ö × Ù Ô Ù × Ø Ó × Õ Ù Ú Ð Ò Ø Ð ¬ Ò Ó Ò Õ Ù Ñ Ó × Ó º
Ä Ö Ú Ð Ö Ø Ó Ó Ö Ý Ö × Ù Ð Ø Ñ Ù Ù Ø Ð Ô Ö Ô Ö Ó Ö Ö ¹
× Ù Ð Ø Ó × Ò Ö Ð × × Ó Ö Ù Ò Ó Ò × Ö Ò Ð × ¸ × Ò Ó × Ø × Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò ×
Ò Ò Ö Ð Ñ Ù Ó Ñ × Ð × Ý Ð Ò Ø × Õ Ù Ð × Ø Ö Ó Ò Ð × º
Ó Ö Ô Ö Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ê
Ò
Ê
Ñ
Ô Ó Ò Ñ Ó × ́
½
Ñ
µ
Ó Ò
Ê Ô Ö ½ Ñ º Ë ¬ Ò Ò Ð × Ö Ú × Ô Ö Ð ×
Ó Ò
Ö × Ô Ø Ó Ü
Ò ́
½
Ò
µ ¾ Ô Ó Ö
Ü
́
½
Ò
µ
Ð Ñ
¼
́
½
½
·
· ½
Ò
µ ́
½
Ò
µ
Ò × Ó Õ Ù × Ø Ð Ñ Ø Ü × Ø º
Ì Ó Ö Ñ ¾ º ½ º ¿ º Ë Ù Ô Ó Ò Ñ Ó × Õ Ù Ê
Ò
Ü
¼
¾
Æ
Ý Õ Ù Ð Ù Ò Ó Ò
́
½
Ñ
µ Ê
Ñ
× Ø Ð Õ Ù ́ Ü
¼
µ Ü × Ø ¸ × Ö ¸ × Ö Ò Ð
Ò Ü
¼
º Ò Ø Ó Ò × Ü × Ø Ò Ø Ó × Ð × Ö Ú × Ô Ö Ð ×
Ü
́ Ü
¼
µ ½ Ñ
½ Ò Ý Ð Ñ Ø Ö Þ ́ Ü
¼
µ Ó Ò Ö × Ô Ø Ó Ð × × × Ò Ó Ò ×
Ê
Ò
Ý Ê
Ñ
× Ø Ô Ó Ö
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 41/174
¾ º ½ Ö Ú × Ò Ê
Ò
¿ ½
́ Ü
¼
µ
¾
½
Ü
½
́ Ü
¼
µ
½
Ü
Ò
́ Ü
¼
µ
¾
Ü
½
́ Ü
¼
µ
¾
Ü
Ò
́ Ü
¼
µ
Ñ
Ü
½
́ Ü
¼
µ
Ñ
Ü
Ò
́ Ü
¼
µ
¿
× Ø Ñ Ø Ö Þ Ö Ð Ò Ó Ñ Ö Ñ Ø Ö Þ Ó Ò Ó Ó Ò Ó
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò º Ë Ò Ü
¼
́
½
Ò
µ Ý Ì ́ µ º Ë Ø Ò Õ Ù
Ð Ñ
¼
́ · µ ́ µ Ì ́ µ
¼
Ë
´ ¼ ½ ¼ µ
Ò
½
Ð × Ò Ó Ò Ê
Ò
º Ë Ò ¾ Ê Ý
º Ò Ø Ó Ò ×
¼ Ð Ñ
¼
́
½
½
·
· ½
Ò
µ ́
½
Ò
µ Ì ́
µ
Ô Ó Ö Ð Ó Õ Ù
Ð Ñ
¼
́
½
·
Ò
µ ́
½
Ò
µ
Ì ́
µ
Ð Ó Õ Ù × Ù Ú Þ Ñ Ô Ð Õ Ù
Ð Ñ
¼
́
½
·
Ò
µ
́
½
Ò
µ
Ì ́
µ
Ü
́ µ
½ ¾ Ñ ½ ¾ Ò
È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó Ì ́
µ
½
Ü
́ µ
Ñ
Ü
́ µ
Ô Ö ½ Ò º × Ø Ü ¹
Ô Ö × Ó Ò Ð Õ Ù Ñ Ó × Ô Ó Ò Ö Ó Ñ Ó Ð Ó Ð Ù Ñ Ò ¹ × Ñ Ð Ø Ö Ò × Ó Ö Ñ Ó Ò
Ð Ò Ð ¸ Ð Ù Ð × Ò Ò Ù × Ø Ö Ó × Ó ¸ Ð Ö Ú Ð Ù Ò Ó Ò Ù Ø
Ç × Ö Ú Ó Ò ¾ º ½ º º Ð Ö Ô Ö Ó Ó Ð Ì Ó Ö Ñ ¾ º ½ º ¿ Ò Ó × Ù Ñ Ô Ð Ò Ò Ö Ð ¸
× Ö ¸ Ô Ù Ò Ü × Ø Ö Ø Ó × Ð × Ö Ú × Ô Ö Ð × Ô Ö Ó Ð Ù Ò Ó Ò Ò Ó × Ö
Ö Ò Ð º
È Ó Ö Ó Ø Ö Ó Ð Ó ¸ Ò × Ó Õ Ù Ø Ó × Ð × Ö Ú × Ô Ö Ð ×
Ü
́ Ü µ ½
Ñ ½ Ò Ü × Ø Ò Ý × Ò Ó Ò Ø Ò Ù × Ò Ø Ó Ù Ò Ú Ò Ö Ø
¸ Ò Ø Ó Ò × × Ö Ò Ð Ò
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 42/174
¿ ¾ ¾ Ð Ù Ð Ó Ö Ò Ð Ò Ê
Ò
Ñ Ô Ð Ó ¾ º ½ º º Ë Ê
¾
Ê ¬ Ò Ô Ó Ö
́ Ü Ý µ
́
Ü Ý
Ü
¾
· Ý
¾
× ́ Ü Ý µ ´ ¼ ¼ µ
¼ × ´ Ü Ý µ ´ ¼ ¼ µ
Ò Ø Ó Ò ×
Ü
´ ¼ ¼ µ Ð Ñ
¼
́ ¼ µ ´ ¼ ¼ µ
Ð Ñ
¼
¼ ¼
¼
Ý
´ ¼ ¼ µ Ð Ñ
¼
´ ¼ µ ´ ¼ ¼ µ
Ð Ñ
¼
¼ ¼
¼
Î Ñ Ó × Õ Ù Ò Ó × Ó Ò Ø Ò Ù Ò ´ ¼ ¼ µ º Ó Ò × Ö Ñ Ó × Ð × Ù × Ó Ò ́ Ü
Ò
Ý
Ò
µ
½
Ò
½
Ò
Ò ½
´ ¼ ¼ µ º Ë Ø Ò
́ Ü
Ò
Ý
Ò
µ
Ü
Ò
Ý
Ò
Ü
¾
Ò
· Ý
¾
Ò
½
Ò
¾
½
Ò
¾
½
Ò
¾
½
¾
Ò ½
½
¾
¼ ´ ¼ ¼ µ
Ó Ñ Ó Ú Ö Ñ Ó × Ù Ò Ô Ó Ó Ñ × Ð Ò Ø ¸ Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ö Ò Ð × Ó Ò Ø ¹
Ò Ù ¸ Ô Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó Ò Ó × Ö Ò Ð Ò ´ ¼ ¼ µ
È Ö Ó Ô Ó × Ó Ò ¾ º ½ º º Ë Ð Ù Ò Ó Ò Ê
Ò
Ê
Ñ
× Ö Ò Ð Ò ¾
¸ Ò Ø Ó Ò × × Ó Ò Ø Ò Ù Ò
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò º Ë Ì ́ µ Ð Ö Ò Ð Ò º Ò Ø Ó Ò ×
Ð Ñ
Ü
́ Ü µ ́ µ Ì ́ Ü µ
Ü
¼
È Ó Ö Ø Ò Ø Ó ¸ ¼ ¸ Ü × Ø ¼ Ø Ð Õ Ù × ¼ Ü Ò Ø Ó Ò ×
Ø Ò Ñ Ó ×
́ Ü µ ́ µ Ì ́ Ü µ
Ü
º È Ó Ö Ø Ò Ø Ó
́ Ü µ ́ µ Ì ́ Ü µ · Ü
Ü
¼
Ô Ó Ö × Ö Ð Ù Ò Ó Ò Ì Ó Ò Ø Ò Ù º È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó × Ó Ò Ø Ò Ù Ò Ù Ø
Ñ Ô Ð Ó ¾ º ½ º º Ë Ê
¾
Ê
¿
Ô Ó Ö
́ Ü Ý µ ́
½
́ Ü Ý µ
¾
́ Ü Ý µ
¿
́ Ü Ý µ µ ´ Ü
¾
Ü
¿
Ý Ü
Ý
¾
µ
Ð Ù Ð Ñ Ó ×
Ä Ñ Ø Ö Þ Ó Ò Ö × Ô Ø Ó Ð × Ò Ó Ò Ò Ù Ð Õ Ù Ö Ô Ù Ò Ø Ó
́ Ü Ý µ ¾ Ê
¾
× Ø Ô Ó Ö
¾
½
Ü
½
Ý
¾
Ü
¾
Ý
¿
Ü
¿
Ý
¿
¾
¾ Ü ¼
¿ Ü
¾
Ý Ü
¿
Ü
¿
Ý
¾
¾ Ü
Ý
¿
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 43/174
¾ º ½ Ö Ú × Ò Ê
Ò
¿ ¿
Ñ Ô Ð Ó ¾ º ½ º º Ë Ì Ê
Ò
Ê
Ñ
Ù Ò Ø Ö Ò × Ó Ö Ñ Ó Ò Ð Ò Ð º Ë ¾ Ê
Ò
È Ö Ó Ñ Ó × Õ Ù Ì ́ µ Ì ¸ × Ø Ó × ¸ Ð Ö Ú Ù Ò Ø Ö Ò × Ó Ö Ñ Ó Ò Ð Ò Ð
× Ð Ñ × Ñ Ø Ö Ò × Ó Ö Ñ Ó Ò Ý Ò Ô Ö Ø Ù Ð Ö Ð × Ø Ö Ò × Ó Ö Ñ Ó Ò × Ð Ò Ð × × Ó Ò
Ù Ò Ó Ò × Ö Ò Ð × Ò Ø Ó Ó Ô Ù Ò Ø Ó º
Ë Ø Ò
Ð Ñ
Ì ́ · µ Ì ́ µ Ì ́ µ ́ µ
Ð Ñ
Ì ́ µ · Ì ́ µ Ì ́ µ Ì ́ µ ́ µ
Ð Ñ
Ì ́ µ Ì ́ µ ́ µ
¼
È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó Ì ́ µ Ì ́ µ ́ µ Ó Ò × × Ù Õ Ù Ì Ì ́ µ Ô Ö
Ù Ð Õ Ù Ö
Ç × Ö Ú Ó Ò ¾ º ½ º º Ò Ð × Ó Ñ ½ ¸ × Ö Ê
Ò
Ê ¸ Ð Ö Ú
́ µ Ö Ð Ò Ó Ñ Ö Ð Ö Ò Ø Ò
Ñ Ô Ð Ó ¾ º ½ º ½ ¼ º Ù Ð × Ð Ô Ð Ò Ó Ø Ò Ò Ø Ð × Ù Ô Ö ¬ Þ Ü
¿
· Ý
Ò Ð
Ô Ù Ò Ø Ó Ü ½ Ý ¿
È Ö Ó Ò Ø × Ø Ö × Ø Ô Ö Ù Ò Ø Ó Ò × Ö Ñ Ó × Ð Ù Ò Ó Ò Ê
¾
Ê
Ô Ó Ö ́ Ü Ý µ Þ Ü
¿
· Ý
º Ì Ò Ñ Ó × Õ Ù
Ü
́ Ü Ý µ ¿ Ü
¾
Ý
́ Ü Ý µ Ý
¿
Ò Ø Ó Ò ×
´ ½ ¿ µ
Ü
´ ½ ¿ µ
Ý
´ ½ ¿ µ
´ ¿ ´ ¾ µ µ ´ ¿ ½ ¼ µ
×
Ã
´ ½ ¿ ¾ µ
Ô Ð Ò Ó Ø Ò Ò Ø
Ë Ø Ò ´ ½ ¿ µ Þ
¼
½ · ½ · ¾ º È Ó Ö Ø Ò Ø Ó Ð Ô Ð Ò Ó Ø Ò Ò Ø ×
Þ Ô ́ Ü Ý µ ´ ½ ¿ µ · ´ ½ ¿ µ
Ü ½
Ý ¿
¾ · ´ ¿ ½ ¼ µ
Ü ½
Ý ¿
¾ · ¿ Ü ¿ · ½ ¼ Ý ¿ ¾ ¿ Ü · ½ ¼ Ý ¾
Ó
¿ Ü · ½ ¼ Ý Þ ¾
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 44/174
¿ ¾ Ð Ù Ð Ó Ö Ò Ð Ò Ê
Ò
Ç × Ö Ú Ó Ò ¾ º ½ º ½ ½ º Ù Ò Ó Ø Ò Ñ Ó × Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ê
Ò
Ê ¸ Ô Ó ¹
Ñ Ó × Ó Ò × Ö Ö
¾
Ü
Ü
Ü
Ü
º Ò Ò Ö Ð × Ø Ò
¾
Ü
Ü
¾
Ü
Ü
Ñ Ô Ð Ó ¾ º ½ º ½ ¾ º Ë Ê
¾
Ê ́ Ü Ý µ
Ü Ý ́ Ü
¾
Ý
¾
µ
Ü
¾
· Ý
¾
× ́ Ü Ý µ ´ ¼ ¼ µ
¼ × ´ Ü Ý µ ´ ¼ ¼ µ
È Ö Ø Ó ´ Ü Ý µ ´ ¼ ¼ µ × Ø Ò
Ü
´ ¿ Ü
¾
Ý Ý
¿
µ ́ Ü
¾
· Ý
¾
µ ¾ Ü
¾
Ý ́ Ü
¾
Ý
¾
µ
́ Ü
¾
· Ý
¾
µ
¾
Ý
́ Ü
¿
¿ Ü Ý
¾
µ ́ Ü
¾
· Ý
¾
µ ¾ Ü Ý
¾
́ Ü
¾
Ý
¾
µ
́ Ü
¾
· Ý
¾
µ
¾
Ó Ö Ò
Ü
´ ¼ ¼ µ Ð Ñ
Ø ¼
́ Ø ¼ µ ´ ¼ ¼ µ
Ø
¼
Ý
´ ¼ ¼ µ Ð Ñ
Ø ¼
´ ¼ Ø µ ´ ¼ ¼ µ
Ø
¼
È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó
¾
Ý Ü
´ ¼ ¼ µ
Ý
Ü
´ ¼ ¼ µ Ð Ñ
Ø ¼
Ü
´ ¼ Ø µ
Ü
´ ¼ ¼ µ
Ø
Ð Ñ
Ø ¼
Ø
Ø ́ Ø
µ
½
¾
Ü Ý
´ ¼ ¼ µ
Ü
Ý
´ ¼ ¼ µ Ð Ñ
Ø ¼
Ý
́ Ø ¼ µ
Ý
´ ¼ ¼ µ
Ø
Ð Ñ
Ø ¼
Ø
Ø ́ Ø
µ
½
Ó Ò × × Ù Õ Ù
¾
Ü Ý
´ ¼ ¼ µ ½ ½
¾
Ý Ü
´ ¼ ¼ µ
Ò Ð × Ó Õ Ù Ø Ò Ñ Ó × Ö Ø × Ó Ò Ó Ò × Ù × Ó Ò Ø Ò Ù
Ò Ø Ó Ò × × Ø Ò Ö Ñ Ó × Ð Ù Ð
¾
Ü
Ü
¾
Ü
Ü
º × Ø Ó Ò Ó × Ð Ó Ð × ¹
Ù Ò Ø Ö × Ù Ð Ø Ó Ð Ù Ð Ò Ó Ö Ñ Ó × Ð Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò
Ì Ó Ö Ñ ¾ º ½ º ½ ¿ º Ë Ê
¾
Ê ́ Ü
¼
Ý
¼
µ ¾
Æ
º Ë Ù Ô Ó Ò Ñ Ó ×
Õ Ù
Ü
Ý
Ý
¾
Ý Ü
Ü × Ø Ò Ò Ù Ò Ú Ò Ö Ø Í ́ Ü
¼
Ý
¼
µ Ý Õ Ù
¾
Ý Ü
× Ó Ò Ø Ò Ù Ò ́ Ü
¼
Ý
¼
µ º Ò Ø Ó Ò ×
¾
Ü Ý
Ü × Ø Ò ́ Ü
¼
Ý
¼
µ Ý × Ø Ò
¾
Ü Ý
́ Ü
¼
Ý
¼
µ
¾
Ý Ü
́ Ü
¼
Ý
¼
µ
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 45/174
¾ º ½ Ö Ú × Ò Ê
Ò
¿
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò º Æ Ó × Ô Ö × Ò Ø º Ù Ø
Ü Ø Ñ Ò Ø Ó Ñ Ó Ø Ò Ñ Ó × Ò Ð × Ó Ù Ò Ú Ö Ð ¸ Ð Ó Ñ Ô Ó × Ó Ò
Ù Ò Ó Ò × Ö Ò Ð × × Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ö Ò Ð Ý ¸ Ò Ò Ø Ò Ó ¸ Ð
Ö Ú Ù Ò Ó Ñ Ô Ó × Ó Ò × Ð Ô Ö Ó Ù Ø Ó Ð × Ö Ú × º × Ø × Ð Õ Ù
× Ó Ò Ó Ó Ñ Ó Ö Ð Ð Ò
Ì Ó Ö Ñ ¾ º ½ º ½ ´ Ê Ð Ð Ò µ º Ë Ò Ê
Ò
Ê
Ñ
Ê
Ñ
Ê
Ô
Ø Ð × Õ Ù ́ µ º Ë Ò Ü
¼
¾
Æ
Ý Ý
¼
́ Ü
¼
µ ¾
Æ
Ø Ð × Õ Ù
× Ö Ò Ð Ò Ü
¼
Ý × Ö Ò Ð Ò Ý
¼
º Ò Ø Ó Ò × Æ Ê
Ô
×
Ö Ò Ð Ò Ü
¼
Ý
́ Æ µ ́ Ü
¼
µ ́ Ý
¼
µ Æ ́ Ü
¼
µ ́ ́ Ü
¼
µ µ Æ ́ Ü
¼
µ
Õ Ù Ú Ð Ò Ø Ñ Ò Ø
́ Æ µ ́ Ü
¼
µ ́ ́ Ü
¼
µ µ Æ ́ Ü
¼
µ
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò º È Ö Ð Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò Ù × Ö Ñ Ó × Ð Ö Ú Ð Ö Ø Ó Ó Ö Ý º
Ë Ø Ò ́ Ü µ ́ Ü
¼
µ ·
Ò
È
½
́ Ü
Ü
´ ¼ µ
µ Ì
́ Ü µ Ô Ö Ø Ó Ü ¾ ¸ Ó Ò
Ì
Ê
Ñ
× Ó Ò Ø Ò Ù Ò Ü
¼
½ Ñ
Ó Ö ́ Ü
¼
µ ́ µ ́ Ü
¼
µ ́ µ
Ò
È
½
Ì
́ Ü
¼
µ
È Ó Ö Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø × × Ø Ò Õ Ù × ́
½
¾
Ñ
µ
Ê ¸ Ò Ø Ó Ò × ¸
́ Ü µ
́ Ü
¼
µ ·
Ò
È
½
́ Ü
Ü
´ ¼ µ
½
µ Ì
́ µ
́ Ü µ ¸ Ó Ò Ì
́ Ì
´ ½ µ
Ì
́ Ñ µ
µ
È Ó Ö Ó Ø Ö Ó Ð Ó Ü × Ø Ò À
½
À
Ñ
Ê
Ô
Ù Ò Ó Ò × Ó Ò Ø Ò Ù × Ò Ý
¼
Ø Ð × Õ Ù
́ Ý µ ́ Ý
¼
µ ·
Ñ
½
́ Ý
Ý
´ ¼ µ
µ À
́ Ý µ Ô Ö Ø Ó Ý ¾ Ý
́ Ý
¼
µ ́ µ
Ñ
½
À
́ Ý
¼
µ
È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó
́ ́ Ü µ ́ ́ Ü
¼
µ µ ·
Ñ
½
́
́ Ü µ
́ Ü
¼
µ µ À
́ ́ Ü µ µ
́ ́ Ü
¼
µ µ ·
Ñ
½
Ò
½
́ Ü
Ü
´ ¼ µ
µ Ì
́ µ
́ Ü µ À
́ ́ Ü µ µ
́ ́ Ü
¼
µ µ ·
Ò
½
́ Ü
Ü
´ ¼ µ
µ
Ñ
½
Ì
́ µ
́ Ü µ À
́ ́ Ü µ µ
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 46/174
¿ ¾ Ð Ù Ð Ó Ö Ò Ð Ò Ê
Ò
Ó Ö ¸ Ô Ö Ø Ó ½ Ò ¸ Ð Ù Ò Ó Ò
Ñ
È
½
Ì
́ µ
́ Ü µ À
́ ́ Ü µ µ × Ó Ò Ø Ò Ù Ò
Ü
¼
º È Ó Ö Ø Ò Ø Ó Æ × Ö Ò Ð Ò Ü
¼
Ý × Ø Ò
́ Æ µ ́ Ü
¼
µ ́ µ
Ò
½
Ñ
½
Ì
́ µ
́ Ü
¼
µ À
́ ́ Ü µ µ
Ò
½
́ ́ Ü
¼
µ µ ́ Ì
́ Ü
¼
µ µ
́ ́ Ü
¼
µ µ
Ò
½
Ì
́ Ü
¼
µ
́ ́ Ü
¼
µ µ Æ ́ ́ Ü
¼
µ ́ µ µ
Ë × Ù Õ Ù
́ Æ µ ́ Ü
¼
µ ́ ́ Ü
¼
µ µ Æ ́ Ü
¼
µ Ó ́ Æ µ ́ Ü
¼
µ ́ ́ Ü
¼
µ µ Æ ́ Ü
¼
µ
Ù Ø
¾ º ¾ Ì Ó Ö Ñ × Ð Ù Ò Ó Ò Á Ò Ú Ö × Ý Ð Ù Ò Ó Ò
Á Ñ Ô Ð Ø
Ð Ð Ö Ð Ò Ð × Ñ Ó × Õ Ù Ù Ò × × Ø Ñ Ð Ò Ð
½ ½
Ü
½
· ·
½ Ò
Ü
Ò
Ý
½
Ò ½
Ü
½
· ·
Ò Ò
Ü
Ò
Ý
Ò
Ø Ò × Ó Ð Ù Ó Ò Ù Ò × Ð Ñ Ø Ö Þ ́
µ
½ Ò
½ Ò
× Ò Ú Ö Ø Ð ¸ × Ö ¸ ×
Ø ¼ º Ä Ô Ö Ù Ò Ø Õ Ù Ô Ó Ñ Ó × Ô Ð Ò Ø Ö × × Ø Ò Ñ Ó × Ù Ò × × Ø Ñ
Ù Ó Ò × Ù Ò Ó Ò Ð ×
½
́ Ü
½
Ü
Ò
µ Ý
½
Ò
́ Ü
½
Ü
Ò
µ Ý
Ò
Ò Ø Ó Ò × ¸ Ô Ó Ñ Ó × Ð Ð Ö Ü
½
Ü
Ò
Ò Ø Ö Ñ Ò Ó × Ý
½
Ý
Ò
Ë ¬ Ò Ð Ø Ö Ñ Ò Ò Ø Ó Ò Ó Ô Ó Ö
 ́ Ü µ Ø ́ Ü µ
Ô Ö Ü ́ Ü
½
Ü
Ò
µ ́
½
Ò
µ
Ì Ò Ñ Ó ×
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 47/174
¾ º ¾ Ì Ó Ö Ñ × Ð Ù Ò Ó Ò Á Ò Ú Ö × Ý Ð Ù Ò Ó Ò Á Ñ Ô Ð Ø ¿
 ́ Ü µ Ø
¾
½
Ü
½
́ Ü µ
½
Ü
Ò
́ Ü µ
¾
Ü
½
́ Ü µ
¾
Ü
Ò
́ Ü µ
Ò
Ü
½
́ Ü µ
Ò
Ü
Ò
́ Ü µ
¿
́
½
Ò
µ
́ Ü
½
Ü
Ò
µ
Ë Â ́ Ü µ ¼ ¸ Ð × × Ø Ñ Ù Ó Ò × Ù Ò Ó Ò Ð × Ø Ò Ö × Ó Ð Ù Ó Ò × Ñ Ô Ö
Ý Ù Ò Ó Ó Ø Ö Ó Ò Ó Ò × × Ø × º Æ Ó Ø Ñ Ó × Õ Ù Ù Ò Ó Â ́ Ü µ ¼ ¸ Ò Ø Ó Ò ×
́ Ü µ Ê
Ò
Ê
Ò
× Ò Ú Ö Ø Ð º
È Ö Ñ Ö Ó Ö Ó Ö Ñ Ó × Õ Ù Ô × Ò Ð × Ó Ù Ò Ú Ö Ð Ö Ð º Ë Ø Ò Ñ Ó ×
Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ú Ö Ð Õ Ù × Ý Ø Ú ¸ Ó Ò Ø Ò Ù Ý
Ñ × Ö Ò Ð Ò Ù Ò Ô Ù Ò Ø Ó Ü
¼
¾ ́ µ Ó Ò ́ Ü
¼
µ ¼ ¸ Ò Ø Ó Ò × Ð
Ù Ò Ó Ò
½
× Ö Ò Ð Ò Ý
¼
́ Ü
¼
µ ¾ ́ µ Ý × Ø Ò
́
½
µ ́ Ý
¼
µ
½
́ Ü
¼
µ
½
́
½
́ Ý
¼
µ µ
Ä Ó × Õ Ù Ò Ó × Ô Ö Ó Ô Ó Ò Ñ Ó × Ò × Ø × Ó Ò × Ô Ö × Ò Ø Ö × Ø Ñ × Ñ Ó Ø Ó Ö Ñ Ò
Ò ¹ Ú Ö Ð × º
Ì Ó Ö Ñ ¾ º ¾ º ½ ´ Ì Ó Ö Ñ Ð Ù Ò Ó Ò Ò Ú Ö × µ º Ë Ò Ê
Ò
Ù Ò Ó Ò ¹
Ù Ò Ø Ó Ö Ø Ó ¸ Ê
Ò
Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ð ×
½
¸ × Ö Ü × Ø Ý ×
Ó Ò Ø Ò Ù Ò º Ë ¾ Ø Ð Õ Ù Ø ´ ́ µ µ Ø ´ ́ µ µ ¼ º Ò Ø Ó Ò ×
Ü × Ø Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ö Ø Ó Î Ø Ð Õ Ù ¾ Î Ý Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ö Ø Ó Ï Ø Ð Õ Ù
́ µ ¾ Ï Ó Ò Ð Ô Ö Ó Ô Õ Ù Î Ï × Ý Ø Ú Ý
½
Ï Î
× Ð ×
½
º Ò Ð Ñ Ò Ø ¸ × Ø Ò Õ Ù × ́ Ü µ Ý ¾ Ï Ü ¾ Í ¸ Ò Ø Ó Ò ×
Ü
½
́ Ý µ Ý
́
½
µ ́ Ý µ ́
½
́ Ý µ µ
½
Ô Ö Ø Ó Ý ¾ Ï
Õ Ù Ú Ð Ò Ø Ñ Ò Ø ¸
½
́ Ý µ ́ Ü µ
½
́
½
́ Ý µ µ
½
Ô Ö Ø Ó Ý ¾ Ï
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò Ë Ó Ð Ó Ô Ö × Ò Ø Ö Ñ Ó × Ð Ù Ð Ø Ñ Ô Ö Ø º Ë Ø Ò ¸ Á Æ
½
Ò Ø Ó Ò × ¸ Ô Ó Ö Ð Ö Ð Ð Ò × × Ù Õ Ù
Á Á ́ Ý µ ́ Æ
½
µ ́ Ý µ ́
½
́ Ý µ µ Æ
½
́ Ý µ
Ð Ó Ù Ð Ñ Ô Ð Õ Ù
½
́ Ý µ ́
½
́ Ý µ µ
½
Ù Ø
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 48/174
¿ ¾ Ð Ù Ð Ó Ö Ò Ð Ò Ê
Ò
Ñ Ô Ð Ó ¾ º ¾ º ¾ º Ó Ò × Ö Ñ Ó × Ð × Ù Ó Ò × Ù ́ Ü Ý µ
Ü
· Ý
Ü
Ú ́ Ü Ý µ
× Ò Ü · Ó × Ý º Ö Ù Ð × Ô Ù Ò Ø Ó × ´ Ü Ý µ × Ô Ù Ö × Ó Ð Ú Ö Ü Ý Ý Ò Ø Ö Ñ Ò Ó ×
Ù Ý Ú
È Ó Ò Ñ Ó × Ù
½
́ Ü Ý µ
Ü
· Ý
Ü
Ú
¾
́ Ü Ý µ × Ò Ü · Ó × Ý Ë
Ø Ò Ð Ù Ò Ó Ò ́
½
¾
µ Ê
¾
Ê
¾
Ô Ó Ö ́ Ü Ý µ ́ Ù Ú µ
Ü
· Ý
Ü
× Ò Ü · Ó × Ý
º Ë Õ Ù Ö Ò Ò Ó Ò Ø Ö Ö Ô Ù Ò Ø Ó × ´ Ü
¼
Ý
¼
µ Ø Ð × Õ Ù Ò
Ù Ò Ú Ò Ð Ð Ó × × Ô Ù Ô Ó Ò Ö Ü Ý Ý Ò Ù Ò Ó Ò Ù Ý Ú
Ë
  ́ Ü µ
́ Ù Ú µ
́ Ü Ý µ
Ø Ø
¾
½
Ü
́ Ü Ý µ
½
Ý
́ Ü Ý µ
¾
Ü
́ Ü Ý µ
¾
Ý
́ Ü Ý µ
¿
Ø
¾
Ù
Ü
́ Ü Ý µ
Ù
Ý
́ Ü Ý µ
Ú
Ú
́ Ü Ý µ
Ú
Ý
́ Ü Ý µ
¿
Ø
¾
Ü
¿
Ü ́ Ü
· Ý
µ
Ü
¾
Ý
¿
Ü
Ó × Ü × Ò Ý
¿
Ø
¾
¿ Ü
Ý
Ü
¾
Ý
¿
Ü
Ó × Ü × Ò Ý
¿
Ý
¿ Ü
Ü
¾
× Ò Ý
Ý
¿
Ü
Ó × Ü
È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó Â ¼ ´ µ ́ Ý
¿ Ü
µ × Ò Ý Ü
¿
Ó × Ü Ý Ñ × Ü ¼
È Ó Ö Ñ Ô Ð Ó × ´ Ü
¼
Ý
¼
µ
¾
¾
¡
º Ò Ø Ó Ò × Ü × Ø Ò Ù Ò Ú Ò Î
́ Ü
¼
Ý
¼
µ Ý Ó Ø Ö Ú Ò Ï ́ Ù
¼
Ú
¼
µ ¸ Ó Ò ́ Ü
¼
Ý
¼
µ ́ Ù
¼
Ú
¼
µ ¸ Ø Ð × Õ Ù
Ü × Ø
½
Ï Î Ý
½
× Ð ×
½
´ Ô Ù × Ð Ó × µ Ý Ô Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó Ò ×
Ú Ò × Ô Ù Ò × Ô Ö Ü Ý Ý Ò Ø Ö Ñ Ò Ó × Ù Ý Ú
Ë
½
́ Ù Ú µ ́ Ü ́ Ù Ú µ Ý ́ Ù Ú µ µ º Ë Ø Ò
½
́ Ù Ú µ
¾
Ü
Ù
Ü
Ú
Ý
Ù
Ý
Ú
¿
¾
Ù
Ü
Ù
Ý
Ú
Ü
Ú
Ý
¿
½
¾
¿ Ü
Ý
Ü
¾
Ý
¿
Ü
Ó × Ü × Ò Ý
¿
½
½
 ́ Ü µ
¾
× Ò Ý
Ý
¿
Ü
Ó × Ü
¿ Ü
Ý
Ü
¿
¿
½
́ Ù Ú µ
́ Ü Ý µ
¾
Ú
Ý
Ù
Ý
Ú
Ü
Ù
Ü
¿
Ü
¾
´ ¿ Ü
Ý
µ × Ò Ý Ü Ý
¿
Ó × Ü
¾
× Ò Ý
Ý
¿
Ü
Ó × Ü
¿ Ü
Ý
Ü
¿
¿
È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 49/174
¾ º ¾ Ì Ó Ö Ñ × Ð Ù Ò Ó Ò Á Ò Ú Ö × Ý Ð Ù Ò Ó Ò Á Ñ Ô Ð Ø ¿
Ü
Ù
Ü
¾
× Ò Ý
´ ¿ Ü
Ý
µ × Ò Ý · Ü Ý
¿
Ó × Ü
Ü
Ú
Ü Ý
¿
´ ¿ Ü
Ý
µ × Ò Ý · Ü Ý
¿
Ó × Ü
Ý
Ù
Ü
¾
Ó × Ü
´ ¿ Ü
Ý
µ × Ò Ý · Ü Ý
¿
Ó × Ü
Ý
Ú
Ý
¿ Ü
´ ¿ Ü
Ý
µ × Ò Ý · Ü Ý
¿
Ó × Ü
Ñ Ô Ð Ó ¾ º ¾ º ¿ º Ë Ù ́ Ü Ý µ
Ü
Ó × Ý Ú ́ Ü Ý µ
Ü
× Ò Ý º Î Ñ Ó × Õ Ù Ð
Ù Ò Ó Ò ¬ Ò Ô Ó Ö Ê
¾
Ê
¾
́ Ü Ý µ ́ Ù Ú µ ́
Ü
Ó × Ý
Ü
× Ò Ý µ ×
Ð Ó Ð Ñ Ò Ø Ò Ú Ö Ø Ð Ô Ö Ó Ò Ó Ò Ú Ö Ø Ð º
Ë Ø Ò
́ Ù Ú µ
́ Ü Ý µ
Ø
¾
Ù
Ü
Ù
Ý
Ú
Ü
Ú
Ý
¿
Ø
Ü
Ó × Ý
Ü
× Ò Ý
Ü
× Ò Ý
Ü
Ó × Ý
¾ Ü
´ Ó ×
¾
Ý · × Ò
¾
Ý µ
¾ Ü
¼
Ô Ö Ø Ó ´ Ü Ý µ ¾ Ê
¾
º È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó ́ Ü µ × Ò Ú Ö Ø Ð Ô Ö Ø Ó Ü ¾ Ê
¾
º Ë Ò
Ñ Ö Ó Ø Ò Ñ Ó × Õ Ù ́ Ü Ý · ¾ µ ́ Ü Ý µ Ô Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó Ò Ó × Ù Ò Ù Ò Ó Ò
½ ½ Ó Ò × × Ù Õ Ù Ò Ó × Ò Ú Ö Ø Ð º
Ó Ö Ò Ù Ò Ö Ñ Ó × Ð Ì Ó Ö Ñ Ð Ù Ò Ó Ò Ñ Ô Ð Ø º Õ Ù × Ù Ô Ó Ò Ñ Ó ×
Õ Ù Ø Ò Ñ Ó × Ù Ò Ö Ð Ó Ò ́ Ü Ý µ ¼ º Ò Ó Ø Ö × Ô Ð Ö × ¸ Ý × Ø ¬ Ò
Ñ Ô Ð Ø Ñ Ò Ø Ò Ø Ö Ñ Ò Ó × Ü º É Ù Ö Ñ Ó × Ú Ö Ó Õ Ù Ó Ò Ó Ò × Ø Ò Ñ Ó ×
Õ Ù Ô Ó Ñ Ó × Ô Ó Ò Ö Ý ́ Ü µ Ô Ö Ö Ø Ù Ò Ó Ò Ý Ñ × Õ Ù Ö Ñ Ó × ¸ Ò
× Ó × Ö Ô Ó × Ð ¸ Ð Ù Ð Ö
Ý
Ü
́ Ü µ
È Ó Ö Ñ Ô Ð Ó ¸ Ó Ò × Ö Ñ Ó × Ð Ù Ò Ó Ò ́ Ü Ý µ Ü
¾
· Ý
¾
¼ º Ò Ø Ó Ò ×
Ý ¦
Ô
Ü
¾
¸ × Ø Ó × ¸ Ø Ò Ñ Ó × Ó × Ô Ó × Ð × × Ó Ð Ù Ó Ò × Ý Ò Ø Ö Ñ Ò Ó ×
Ü º Ñ × Ô Ó Ñ Ó × Ô Ó Ò Ö Ü Ô Ð Ø Ñ Ò Ø Ý Ò Ø Ö Ñ Ò Ó × Ü
Ù Ò Ó Ô Ó Ñ Ó × Ô Ó Ò Ö Ý ́ Ü µ ¸ Ò Ø Ó Ò × Ø Ò Ö Ñ Ó × ́ Ü ́ Ü µ µ ¼ º Ð
× Ù Ò Ø Ö × Ù Ð Ø Ó Ò Ó × Ó Õ Ù Ø Ô Ó Ó Ò Ó Ò × Ô Ó Ñ Ó × Ö Ð Ó
Ò Ø Ö Ó Ö º
Ì Ó Ö Ñ ¾ º ¾ º ´ Ì Ó Ö Ñ Ð Ù Ò Ó Ò Ñ Ô Ð Ø µ º Ë Ò Ê
Ñ
¢ Ê
Ò
Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ö Ø Ó Ý Ê
Ñ
Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ð ×
½
º Ë ́ Ü
¼
Ý
¼
µ ¾
Ø Ð Õ Ù ́ Ü
¼
Ý
¼
µ ¼ º Ë ¡ Ð Ñ Ø Ö Þ
¡
¾
½
Ý
½
́ Ü
¼
Ý
¼
µ
½
Ý
¾
́ Ü
¼
Ý
¼
µ
½
Ý
́ Ü
¼
Ý
¼
µ
½
Ý
Ñ
́ Ü
¼
Ý
¼
µ
Ý
½
́ Ü
¼
Ý
¼
µ
Ý
¾
́ Ü
¼
Ý
¼
µ
Ý
́ Ü
¼
Ý
¼
µ
Ý
Ñ
́ Ü
¼
Ý
¼
µ
Ñ
Ý
½
́ Ü
¼
Ý
¼
µ
Ñ
Ý
¾
́ Ü
¼
Ý
¼
µ
Ñ
Ý
́ Ü
¼
Ý
¼
µ
Ñ
Ý
Ñ
́ Ü
¼
Ý
¼
µ
¿
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 50/174
¼ ¾ Ð Ù Ð Ó Ö Ò Ð Ò Ê
Ò
Ó Ò ́
½
Ñ
µ ́ Ü Ý µ ́ Ü
½
Ü
Ò
Ý
½
Ý
Ñ
µ ¾ Ê
Ò
¢ Ê
Ñ
Ë Ø ¡ ¼ ¸ Ü × Ø Ò Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ö Ø Ó Í Ê
Ò
Ø Ð Õ Ù Ü
¼
¾ Í Ù Ò
Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ö Ø Ó Î Ê
Ñ
Ø Ð Õ Ù Ý
¼
¾ Î Ý Ù Ò Ù Ò Ù Ò Ó Ò Í Î Ø Ð
Õ Ù ́ Ü ́ Ü µ µ ¼ Ô Ö Ø Ó Ü ¾ Í º Ñ × Ð Ù Ò Ó Ò × Ð ×
½
Ý
́ Ü
¼
µ Ý
¼
Ò Ð Ñ Ò Ø × Ø Ò
¾
½
Ü
½
́ Ü µ
½
Ü
Ò
́ Ü µ
¾
Ü
½
́ Ü µ
¾
Ü
Ò
́ Ü µ
Ñ
Ü
½
́ Ü µ
Ñ
Ü
Ò
́ Ü µ
¿
¾
½
Ý
½
́ Ü Ý µ
½
Ý
Ñ
́ Ü Ý µ
¾
Ý
½
́ Ü Ý µ
¾
Ý
Ñ
́ Ü Ý µ
Ñ
Ý
½
́ Ü Ý µ
Ñ
Ý
Ñ
́ Ü Ý µ
¿
½
¾
½
Ü
½
́ Ü Ý µ
½
Ü
Ò
́ Ü Ý µ
¾
Ü
½
́ Ü Ý µ
¾
Ü
Ò
́ Ü Ý µ
Ñ
Ü
½
́ Ü Ý µ
Ñ
Ü
Ò
́ Ü Ý µ
¿
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò º Æ Ó × Ö Ñ Ó × Ð Ô Ö Ù × Ø Ö × Ù Ð Ø Ó º Ë Ò Ñ Ö Ó ¸ Ú Ñ Ó ×
Ù Ð × Ð Ñ Ò × Ñ Ó Ô Ö Ó Ø Ò Ö
Ü
º Ë Ù Ô Ó Ò Ñ Ó × Ñ ½ Ý Ý º Ò Ø Ó Ò ×
¼
Ü
́ ́ Ü ́ Ü µ µ
Ü
·
Ý
Ü
È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó
Ü
Ü
Ý
º Æ Ó Ø Ñ Ó × Õ Ù Ò × Ø × Ó Ø Ò Ñ Ó × ¡
Ý
º × Ø
× Ð Ö Þ Ó Ò Ô Ó Ö Ð Ó Õ Ù Ò × Ø Ñ Ó × ¡ ¼ Ù Ø
Ñ Ô Ð Ó ¾ º ¾ º º Ó Ò × Ö Ñ Ó × Ð × × Ø Ñ Ù Ó Ò ×
Ü Ù · Ý Ú
¾
¼
Ü Ú
¿
· Ý
¾
Ù
¼
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 51/174
¾ º ¾ Ì Ó Ö Ñ × Ð Ù Ò Ó Ò Á Ò Ú Ö × Ý Ð Ù Ò Ó Ò Á Ñ Ô Ð Ø ½
Ë Ó Ò × Ø × Ù Ó Ò × Ù Ò Ú Ó Ñ Ò Ø × Ó Ð Ù Ð × Ô Ö Ù Ý Ú Ò Ø Ö Ñ Ò Ó × Ü Ý
Ý Ö Ü ¼ Ý ½ Ù ¼ Ý Ú ¼ Ò × Ó Õ Ù Ð Ö × Ô Ù × Ø × × ¸
Õ Ù Ö Ñ Ó × Ð Ù Ð Ö
Ù
Ü
Ò Ü ¼ Ý ½ Ò × Ó Ü × Ø Ö º
Ë Ê
¾
¢ Ê
¾
Ê
¾
Ô Ó Ö
́ Ü Ý Ù Ú µ ´ ¼ ¼ µ ´
½
́ Ü Ý Ù Ú µ
¾
́ Ü Ý Ù Ú µ µ ´ Ü Ù · Ý Ú
¾
Ü Ú
¿
· Ý
¾
Ù
µ
Ë Ô Ù Ô Ó Ò Ö ´ Ù Ú µ ́ Ü Ý µ Ë Ø Ò
¡ Ø
¾
½
Ù
½
Ú
¾
Ù
¾
Ú
¿
Ø
¾
Ü ¾ Ý Ú
Ý
¾
Ù
¿ Ü Ú
¾
¿
Ò Ô Ö Ø Ù Ð Ö ¡ ´ ¼ ½ ¼ ¼ µ Ø
¼ ¼
¼ ¼
¼ º È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó Ò Ó × Ô Ù Ô Ð Ö
Ð Ì Ó Ö Ñ Ð Ù Ò Ó Ò Ñ Ô Ð Ø º
Ë Ø Ó Ñ Ñ Ó × Ü ½ Ù ½ Ý ½ Ý Ú ½ ¸ Ò Ø Ó Ò × ¡ ´ ½ ½ ½ ½ µ
Ø
½ ¾
¿
¿ ½ ¾ ¼ ¸ Ô Ó Ö Ð Ó Õ Ù Ô Ö × Ø Ó × Ú Ð Ó Ö × × × Ô Ó × Ð
Ô Ð Ö Ð Ì Ó Ö Ñ Ð Ù Ò Ó Ò Ñ Ô Ð Ø º Ë Ø Ò
¾
Ù
Ü
Ù
Ý
Ú
Ü
Ú
Ý
¿
¾
½
Ù
½
Ú
¾
Ù
¾
Ú
¿
½
¾
½
Ü
½
Ý
¾
Ü
¾
Ý
¿
¾
Ü ¾ Ú Ý
Ý
¾
Ù
¿ Ü Ú
¾
¿
½
¾
Ù Ú
¾
Ú
¿
¾ Ý Ù
¿
½
¿ Ü
¾
Ú
¾
½ ¾ Ý
¿
Ù
Ú
¾
¿ Ü Ú
¾
¾ Ú Ý
Ý
¾
Ù
Ü
¿
¾
Ù Ú
¾
Ú
¿
¾ Ý Ù
¿
½
¿ Ü
¾
Ú
¾
½ ¾ Ý
¿
Ù
Ú
¾
¿ Ü Ù Ú
¾
¾ Ú
Ý ¿ Ü Ú
Ý
¾
Ù
Ú
Ý
¾
Ù
· Ü Ú
¿
Ý
¾
Ù
Ú
¾
· ¾ Ü Ý Ù
¿
È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó Ø Ò Ñ Ó ×
Ù
Ü
¿ Ü Ù Ú
¾
¾ Ú
Ý
½ ¾ Ý
¿
Ù
Ú ¿ Ü
¾
Ú
¾
Ù
Ý
¿ Ü Ú
Ý
¾
Ù
Ú
¿ Ü
¾
Ú
¾
½ ¾ Ý
¿
Ù
Ú
Ú
Ü
Ý
¾
Ù
Ü Ú
¿
¿ Ü
¾
Ú
¾
½ ¾ Ý
¿
Ù
Ú
Ú
Ý
Ý
¾
Ù
Ú
¾
¾ Ü Ý Ù
¿ Ü
¾
Ú
¾
½ ¾ Ý
¿
Ù
Ú
È Ö Ð Ô Ù Ò Ø Ó ´ Ü Ý Ù Ú µ ´ ½ ½ ½ ½ µ Ó Ø Ò Ñ Ó ×
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 52/174
¾ ¾ Ð Ù Ð Ó Ö Ò Ð Ò Ê
Ò
Ù
Ü
¿ · ¾
½ ¾ ¿
Ù
Ý
¿ ·
Ú
Ü
· ½
Ú
Ý
· ¾
¾ º ¿ Ö Ó ×
Ö Ó ¾ º ¿ º ½ º Ë Ê
¿
Ê
¾
́ Ü Ý Þ µ ́ Ü
Ý Ü
Þ
µ º Ð Ù Ð Ö
Ö Ó ¾ º ¿ º ¾ º È Ö Ó Ö Õ Ù ́ Ü Ý µ
́ Ü Ý µ
¾
Ô
Ü
¾
· Ý
¾
́ Ü Ý µ ´ ¼ ¼ µ
¼ ́ Ü Ý µ ´ ¼ ¼ µ
× Ö ¹
Ò Ð Ò ´ ¼ ¼ µ
Ö Ó ¾ º ¿ º ¿ º × ́ Ü Ý µ
Ü Ý
Ô
Ü
¾
· Ý
¾
́ Ü Ý µ ´ ¼ ¼ µ
¼ ́ Ü Ý µ ´ ¼ ¼ µ
Ö Ò Ð Ò
´ ¼ ¼ µ
Ö Ó ¾ º ¿ º º Ë ́ Ü Ý µ ́ Ü Ý Ý Ü µ º Ð Ù Ð Ö º Ð Ù Ð Ö ́ Ü Ý µ Ó Ò
Ö × Ô Ø Ó Ð × ´ ½ ¼ µ ¸ ´ ½ ½ µ Ê
¾
Ö Ó ¾ º ¿ º º Ð Ù Ð Ö Ð Ñ Ø Ö Þ Ó Ò Ð × × Ù Ò Ø × Ù Ò Ó Ò × º
µ º ¹ ́ Ü Ý µ ´ × Ò ´ Ü Ý µ Ó × ´ Ü Ý µ Ü
¾
Ý
¾
µ
µ º ¹ ́ Ü Ý Þ µ Ü
Ý · Þ
µ º ¹ ́ Ü Ý Þ µ ́ Þ
Ü Ý
Ü
¾
Ø Ò ´ Ü Ý Þ µ µ
Ö Ó ¾ º ¿ º º Ë Ê
¾
Ê ́ Ü Ý µ
́ Ü Ý µ ́ Ü
¾
Ý
¾
µ
Ü
¾
· Ý
¾
́ Ü Ý µ ´ ¼ ¼ µ
¼ ́ Ü Ý µ ´ ¼ ¼ µ
È Ö Ó Ö Õ Ù
¾
Ü Ý
Ý
¾
Ý Ü
Ü × Ø Ò Ò ´ ¼ ¼ µ Ô Ö Ó Ò Ó × Ó Ò Ù Ð × º
Ö Ó ¾ º ¿ º º Ò Ó Ò Ø Ö Ö Ð Ù Ó Ò Ð Ô Ð Ò Ó Ø Ò Ò Ø Ð × Ù Ô Ö ¬
Ô Ó Ö Ð Ö ¬ Ð Ù Ò Ó Ò ́ Ü Ý µ
Ô
Ü
¾
· Ý
¾
· ́ Ü
¾
· Ý
¾
µ Ò ´ ½ ¼ ¾ µ
Ö Ó ¾ º ¿ º º Ë Ò Ù Ü
¾
Ý
¾
Ú ́ Ü Ý µ ¾ Ü Ý º È Ö Ó Ö Õ Ù ´ Ü Ý µ ́ Ù Ú µ
× Ð Ó Ð Ñ Ò Ø Ò Ú Ö Ø Ð Ô Ö ´ Ü Ý µ ´ ¼ ¼ µ
Ö Ó ¾ º ¿ º º Ë Ò Ä Ê
Ò
Ê
Ò
Ù Ò Ø Ö Ò × Ó Ö Ñ Ó Ò Ð Ò Ð Ò Ó × Ò Ù Ð Ö ¸
́ Ü µ Ä ́ Ü µ · ́ Ü µ ́ Ü µ Å Ü
¾
Ý × Ù Ô Ó Ò Ñ Ó × Õ Ù × Ð ×
½
× Ø Ó × ¸ × Ö Ú Ð Ý × Ù Ö Ú × Ó Ò Ø Ò Ù º È Ö Ó Ö Õ Ù × Ð Ó Ð Ñ Ò Ø
Ò Ú Ö Ø Ð Ö ¼
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 53/174
¾ º ¿ Ö Ó × ¿
Ö Ó ¾ º ¿ º ½ ¼ º Á Ò Ú × Ø Ö ×
Ù ́ Ü Ý Þ µ Ü · Ü Ý Þ
Ú ´ ́ Ü Ý Þ µ Ý · Ü Ý
Û ́ Ü Ý Þ µ Þ · ¾ Ü · ¿ Þ
¾
Ô Ù Ö × Ó Ð Ú Ö × Ô Ö Ü Ý Þ Ò Ø Ö Ñ Ò Ó × Ù Ú Û Ö ´ ¼ ¼ ¼ µ
Ö Ó ¾ º ¿ º ½ ½ º × Ù Ø Ö Ð × Ó Ð Ù Ð Ð × × Ø Ñ
¿ Ü · ¾ Ý · Þ
¾
· Ù · Ú
¾
¼
Ü · ¿ Ý · Þ · Ù
¾
· Ú · Û · ¾ ¼
Ü · Þ · Û · Ù
¾
· ¾ ¼
Ô Ö Ù Ú Û Ò Ø Ö Ñ Ò Ó × Ü Ý Þ Ö Ü Ý Þ ¼ Ù Ú ¼
Û ¾
Ö Ó ¾ º ¿ º ½ ¾ º × Ù Ø Ö Ð × Ó Ð Ù Ð
Ý · Ü · Ù Ú ¼
Ù Ü Ý · Ú ¼
Ô Ö Ù Ú Ò Ø Ö Ñ Ò Ó × Ü Ý Ö Ü Ý Ù Ú ¼ Ý Ú Ö ¬ Ö
Ö Ø Ñ Ò Ø º
Ö Ó ¾ º ¿ º ½ ¿ º Ó Ò × Ö Ò × Ð × × Ù Ò Ø × Ù Ó Ò ×
Ü
¾
Ý Ù ¼
Ü Ý · Ù Ú ¼
Í × Ò Ó Ð Ø Ó Ö Ñ Ð Ù Ò Ó Ò Ñ Ô Ð Ø × Ö Ö Ó Õ Ù Ó Ò Ó Ò × × Ø ×
Ù Ó Ò × Ô Ù Ò × Ö Ö × Ù Ð Ø × Ô Ö Ù Ý Ú º Ê × Ó Ð Ú Ö Ð × Ù Ó Ò × Ö Ø ¹
Ñ Ò Ø Ý Ú Ö ¬ Ö × Ø × Ó Ò Ó Ò × º
Ö Ó ¾ º ¿ º ½ º Ë Ê
Ê
¾
Ô Ó Ö ́ Ü Ý Ù Ú µ ́ Ù
¿
· Ú Ü · Ý Ù Ý ·
Ú
¿
Ü µ º Ò Õ Ù Ô Ù Ò Ø Ó × Ô Ó Ñ Ó × Ö × Ó Ð Ú Ö ́ Ü Ý Ù Ú µ ¼ Ô Ö Ù Ú Ò
Ø Ö Ñ Ò Ó × Ü Ý Ð Ù Ð Ö
Ù
Ü
Ö Ó ¾ º ¿ º ½ º È Ö Ó Ö Õ Ù Ð × Ù Ó Ò ×
Ü
¾
Ý
¾
Ù
¿
· Ú
¾
· ¼
¾ Ü Ý · Ý
¾
¾ Ù
¾
· ¿ Ú
· ¼
Ø Ö Ñ Ò Ò Ù Ò Ó Ò × Ù ́ Ü Ý µ Ú ́ Ü Ý µ Ö Ü ¾ Ý ½ Ø Ð × Õ Ù
Ù ´ ¾ ½ µ ¾ ¸ Ú ´ ¾ ½ µ ½ º Ð Ù Ð Ö
Ù
Ü
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 54/174
¾ Ð Ù Ð Ó Ö Ò Ð Ò Ê
Ò
Ö Ó ¾ º ¿ º ½ º × Ô Ó × Ð Ö × Ó Ð Ú Ö
Ü Ý
¾
· Ü Þ Ù · Ý Ú
¾
¿
Ù
¿
Ý Þ · ¾ Ü Ú Ù
¾
Ú
¾
¾
Ô Ö Ù ́ Ü Ý Þ µ Ú ́ Ü Ý Þ µ Ö ´ Ü Ý Þ µ ´ ½ ½ ½ µ ¸ ´ Ù Ú µ ´ ½ ½ µ Ð Ù Ð Ö
Ú
Ý
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 55/174
¿
Á Ò Ø Ö Ó Ò Ò Ê
Ò
º
¿ º ½ Ù Ò Ó Ò × Á Ò Ø Ö Ð ×
Ë Ê
Ò
Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ó Ø Ó Ý × Ê Ü
½
Ý
½
¢ ¡ ¡ ¡ ¢ Ü
Ò
Ý
Ò
Ù Ò Ö Ø Ò Ù Ð Ó
Õ Ù Ó Ò Ø Ò
Ý
Ü
Ü
½
Ü
¾
¼
Ý
¾
Ý
½
Ë Ê Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ó Ø Ý Ü Ø Ò Ñ Ó × Ð Ó Ñ Ò Ó Ê Ô Ó Ö
Ñ Ó Ð Ù Ò Ó Ò
Ê Ê Ô Ó Ö
́ Ü µ
́ Ü µ × Ü ¾
¼ × Ü ¾
Ó Ò × Ö Ñ Ó × È
Ù Ò Ô Ö Ø Ó Ò Ü
Ý
¸ × Ø Ó × ¸ È
Ü
Ø
́ µ
¼
Ø
́ µ
½
Ø
́ µ
Ñ
Ý
½ Ò Ý ¬ Ò Ñ Ó × È È
½
¢ È
¾
¢ ¡ ¡ ¡ ¢ È
Ò
Ø
́ µ
¼
Ø
́ µ
½
Ø
́ µ
Ñ
½
Ø
́ µ
Ñ
Ü
Ý
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 56/174
¿ Á Ò Ø Ö Ó Ò Ò Ê
Ò
Ó Ö Ñ Ñ Ó × Ð Ô Ö Ø Ó Ò Ê Ó Ö Ñ Ô Ó Ö Ð Ó × Ö Ø Ò Ù Ð Ó ×
Ø
´ ½ µ
½
Ø
´ ½ µ
½
· ½
¢ Ø
´ ¾ µ
¾
Ø
´ ¾ µ
¾
· ½
¢ ¡ ¡ ¡ ¢ Ø
́ Ò µ
Ò
Ø
́ Ò µ
Ò
· ½
Ê
½
¾
Ò
Ø
´ ½ µ
½
Ø
´ ½ µ
½
· ½
Ø
´ ¾ µ
¾
Ø
´ ¾ µ
¾
· ½
Ó Ò × Ö Ñ Ó × Ð Ó × Ú Ó Ð Ù Ñ Ò × ¬ Ò Ó × Ð × Ù Ò Ø Ó Ö Ñ º È Ö Ñ Ö Ó × Ò
Å
½
¾
Ò
× Ù Ô ́ Þ
½
Þ
Ò
µ Þ
¾ Ø
́ µ
Ø
́ µ
· ½
½ Ò
× Ù Ô ́ Þ µ Þ ¾ Ê
½
¾
Ò
Ñ
½
¾
Ò
Ò ́ Þ
½
Þ
Ò
µ Þ
¾ Ø
́ µ
Ø
́ µ
· ½
½ Ò
Ò ́ Þ µ Þ ¾ Ê
½
¾
Ò
Æ Ó Ø Ñ Ó × Õ Ù × Þ ¾ Ê
½
¾
Ò
¸ Ò Ø Ó Ò ×
Ñ
½
¾
Ò
́ Þ µ Å
½
¾
Ò
Ý Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ó
½
¾
Ò
Ñ
½
¾
Ò
́ Ø
´ ½ µ
½
· ½
Ø
´ ½ µ
½
µ ́ Ø
́ Ò µ
Ò
· ½
Ø
́ Ò µ
Ò
µ
́ Þ µ ́ Ø
´ ½ µ
½
· ½
Ø
´ ½ µ
½
µ ́ Ø
́ Ò µ
Ò
· ½
Ø
́ Ò µ
Ò
µ
Å
½
¾
Ò
́ Ø
´ ½ µ
½
· ½
Ø
´ ½ µ
½
µ ́ Ø
́ Ò µ
Ò
· ½
Ø
́ Ò µ
Ò
µ
½
¾
Ò
Ë Ò
Á ́ È µ
½
Ò
½
¾
Ò
Ë ́ È µ
½
Ò
½
¾
Ò
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 57/174
¿ º ½ Ù Ò Ó Ò × Á Ò Ø Ö Ð ×
Þ
Ý
©
Ø
´ ½
½
Ø
´ ½
½
· ½
Ø
´ ¾
¾
Ø
´ ¾
¾
· ½
Ñ
½
Ò
È
È
È
È Õ
Å
½
Ò
©
½
Ò
©
½
Ò
Ü
¼
Ë Ø Ò Õ Ù
Á ́ È µ Ú Ó Ð Ù Ñ Ò Ó Ð Ö ¬ × Ó Ö Ê Ë ́ È µ
Ò Ð Ñ Ò Ø × Ò
Ê
× Ù Ô
È
Á ́ È µ Ý
Ê
Ò
È
Ë ́ È µ
Ó Ò × Ù Ô Ò × Ø Ó Ñ Ò × Ó Ö Ø Ó × Ð × Ô Ó × Ð × Ô Ö Ø Ó Ò × È Ê º Ë Ø Ò
¬ Ò Ó Ò ¿ º ½ º ½ º Ñ Ó × Õ Ù Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ê
Ò
Ê × Ê Ñ Ò Ò
Ò Ø Ö Ð Ó × Ñ Ô Ð Ñ Ò Ø Ò Ø Ö Ð ×
Ê
Ê
Ý Ò × Ø
× Ó Ð Á Ò Ø Ö Ð Ê Ñ Ò Ò × ¬ Ò Ô Ó Ö
Ò Ø × Ö Ð Ù Ò Ó × Ñ Ô Ð Ó × ¸ Ð × Ù Ò Ø Ö × Ù Ð Ø Ó Ò Ó × Ø Ò ×
Ô Ö Ø Ö Ñ Ò Ö × Ù Ò Ù Ò Ó Ò × Ò Ø Ö Ð Ó Ò Ó Ý ¸ Ò Ð Ù Ò Ó × × Ó × ¸ Ð Ù Ð Ö
Ð Ò Ø Ö Ð Ù Ò Ó × Ø Ü × Ø º
Ì Ó Ö Ñ ¿ º ½ º ¾ º Ó Ò Ð × Ò Ó Ø Ó Ò × Ò Ø Ö Ó Ö × ¸ × Ù Ô Ó Ò Ñ Ó × Õ Ù Ü × Ø Ù Ò
× Ù × Ó Ò È
Ò
½
Ò ½
Ô Ö Ø Ó Ò × Ê Ø Ð × Õ Ù Ë ́ È
Ò
µ Á ́ È
Ò
µ
Ò ½
¼
Ò Ø Ó Ò × × Ò Ø Ö Ð Ý
Ð Ñ
Ò ½
Ë ́ È
Ò
µ Ð Ñ
Ò ½
Á ́ È
Ò
µ
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 58/174
¿ Á Ò Ø Ö Ó Ò Ò Ê
Ò
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò º Ë ¼ º Ò Ø Ó Ò × Ü × Ø Ù Ò Ò
¼
Ø Ð Õ Ù Ô Ö Ø Ó Ò Ò
¼
×
Ø Ò Õ Ù
Ë ́ È
Ò
µ Á ́ È
Ò
µ
È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó Ð Ñ
Ò ½
Á ́ È
Ò
µ
Ë Ñ Ð Ö Ñ Ò Ø × Ø Ò Ð Ñ
Ò ½
Ë ́ È
Ò
µ
Ò Ð Ñ Ò Ø Ø Ò Ö Ñ Ó × Õ Ù Ô Ö Ò Ò
¼
Á ́ È
Ò
µ · º È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó
· Ý Ô Ó Ö Ó Ø Ö Ó Ð Ó × Ñ Ô Ö Ø Ò Ñ Ó ×
Ó Ò × × Ù
Ð Ù Ð
Ù Ø
Ñ Ô Ð Ó ¿ º ½ º ¿ º Ë Ð Ù Ò Ó Ò Ô Ó Ö ¼ ½ ¢ ¼ ½ Ê ́ Ü Ý µ Ü Ý
Î Ñ Ó × × Ð Ù Ò Ó Ò × Ò Ø Ö Ð Ó Ò Ó Ò Ð Ö Ø Ò Ù Ð Ó ¼ ½ ¢ ¼ ½
Ë Ò È
½
¼ Ü
¼
Ü
½
Ü
Ñ
½ È
¾
¼ Ý
¼
Ü
½
Ý
Ò
½ Ý È È
½
¢ È
¾
º Ò Ø Ó Ò × × Ø Ò
Ò ́ Ü Ý µ Ü Ý ́ Ü Ý µ ¾ Ü
Ü
· ½
¢ Ý
Ý
· ½
Ü
Ý
× Ù Ô ́ Ü Ý µ Ü Ý ́ Ü Ý µ ¾ Ü
Ü
· ½
¢ Ý
Ý
· ½
Ü
· ½
Ý
· ½
È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó
Á ́ È µ
Ñ ½
¼
Ò ½
¼
Ü
Ý
́ Ü
· ½
Ü
µ ́ Ý
· ½
µ
Ë ́ È µ
Ñ ½
¼
Ò ½
¼
Ü
· ½
Ý
· ½
́ Ü
· ½
Ü
µ ́ Ý
· ½
µ
Ò Ô Ö Ø Ù Ð Ö × Ø Ó Ñ Ñ Ó × Ò Ñ Ý Ü
Ý
Ò
× Ø Ò Õ Ù Ü
· ½
Ü
½
Ò
Ý Ý
· ½
Ý
½
Ò
¸ Ó Ò Ó Ø Ò Ñ Ó ×
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 59/174
¿ º ½ Ù Ò Ó Ò × Á Ò Ø Ö Ð ×
Ò ½
¼
Ò ½
¼
Ò
¾
½
Ò
½
Ò
½
Ò
¼
Ò ½
¼
Ò ½
¼
½
½
Ò
Ò ½
¼
¼
Ò ½
¼
½
½
Ò
Ò ́ Ò ½ µ
¾
Ò ́ Ò ½ µ
¾
́ Ò ½ µ
¾
Ò
¾
Ò ½
¼
Ò ½
¼
́ · ½ µ ´ · ½ µ
Ò
¾
½
Ò
½
Ò
½
Ò
¼
Ò ½
¼
Ò ½
¼
́ · ½ µ ´ · ½ µ
½
½
Ò
Ò ½
¼
́ · ½ µ
¼
Ò ½
¼
́ · ½ µ
½
½
Ò
Ò ́ Ò · ½ µ
¾
Ò ́ Ò · ½ µ
¾
́ Ò · ½ µ
¾
Ò
¾
È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó ¸ Ô Ö Ø Ó Ò ¾ Æ × Ø Ò
́ Ò ½ µ
¾
Ò
¾
¼ ½ ¢ ¼ ½
¼ ½ ¢ ¼ ½
́ Ò · ½ µ
¾
Ò
¾
È Ù × Ø Ó Õ Ù Ð Ñ
Ò ½
́ Ò ½ µ
¾
Ò
¾
½
Ð Ñ
Ò ½
́ Ò · ½ µ
¾
Ò
¾
¸ × × Ù Õ Ù
½
¼ ½ ¢ ¼ ½
¼ ½ ¢ ¼ ½
½
È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó
¼ ½ ¢ ¼ ½
¼ ½ ¢ ¼ ½
½
× × Ê Ñ Ò Ò Ò Ø Ö Ð Ò ¼ ½ ¢ ¼ ½ Ý
¼ ½ ¢ ¼ ½
½
Ñ Ô Ð Ó ¿ º ½ º º Ë Ð Ù Ò Ó Ò ¼ ½ Ê ¬ Ò Ô Ó Ö
́ Ü µ
½ × Ü × Ö Ó Ò Ð
¼ × Ü × Ö Ö Ó Ò Ð
È Ö Ù Ð Õ Ù Ö Ô Ö Ø Ó Ò ¼ Ü
¼
Ü
½
Ü
Ò
½ ¼ ½ × Ø Ò
Ò
Ü ¾ Ü
Ü
· ½
́ Ü µ ¼ Ý × Ù Ô
Ü ¾ Ü
Ü
· ½
́ Ü µ ½ º È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 60/174
¼ ¿ Á Ò Ø Ö Ó Ò Ò Ê
Ò
Ò ½
¼
Ò
Ü ¾ Ü
Ü
· ½
́ Ü µ ́ Ü
· ½
Ü
µ
Ò ½
¼
¼ ́ Ü
· ½
Ü
µ ¼
Ò ½
¼
× Ù Ô
Ü ¾ Ü
Ü
· ½
́ Ü µ ́ Ü
· ½
Ü
µ
Ò ½
¼
½ ́ Ü
· ½
Ü
µ
Ò ½
¼
Ü
· ½
Ò ½
¼
Ü
Ü
Ò
Ü
¼
½ ¼ ½
È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó
¼ ½
¼ ½
¼ ½
Ý Ô Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó Ò Ó × Ê Ñ Ò Ò
Ò Ø Ö Ð º
Ý
Ü
½ ¼
½
Ê
Ñ Ô Ð Ó ¿ º ½ º º Ë × Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ò Ø Ö Ð Ò Ê Ü
½
Ý
½
¢ ¡ ¡ ¡ ¢ Ü
Ò
Ý
Ò
Ý Ñ ́ Ü µ Å Ô Ö Ø Ó Ü ¾ Ê ¸ Ò Ø Ó Ò × × Ø Ò
Ñ Ú Ó Ð ´ Ê µ
Ê
Å Ú Ó Ð ´ Ê µ
Ó Ò × ¬ Ò Ð Ú Ó Ð Ù Ñ Ò Ê Ô Ó Ö Ú Ó Ð ´ Ê µ ´ Ý
½
Ü
½
µ ́ Ý
Ò
Ü
Ò
µ
Ò Ø Ó ¸ × Ø Ò ¸ Ù × Ò Ó Ð × Ò Ó Ø Ó Ò × Ò Ø Ö Ó Ù × Ò × Ø Ô Ø Ù Ð Ó ¸
× Ù Ô
Ü ¾ Ê
½
Ò
́ Ü µ Å Ý Ñ Ò
Ü ¾ Ê
½
Ò
́ Ü µ º È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó
Á ́ È µ
½
Ò
Ò
Ü ¾ Ê
½
Ò
́ Ü µ Ú Ó Ð ´ Ê
½
Ò
µ
Ñ
½
Ò
Ú Ó Ð ´ Ê
½
Ò
µ Ñ Ú Ó Ð ´ Ê µ
Ë ́ È µ
½
Ò
× Ù Ô
Ü ¾ Ê
½
Ò
́ Ü µ Ú Ó Ð ´ Ê
½
Ò
µ
Å
½
Ò
Ú Ó Ð ´ Ê
½
Ò
µ Å Ú Ó Ð ´ Ê µ
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 61/174
¿ º ¾ Ð Ù Ò Ó × Ö Ø Ö Ó × Á Ò Ø Ö Ð ½
Õ Ù × × Ù Õ Ù
Ñ Ú Ó Ð ´ Ê µ
Ê
Ê
Ê
Å Ú Ó Ð ´ Ê µ
Æ Ó Ø Ñ Ó × Õ Ù Õ Ù Ñ Ó × Ù × Ó Õ Ù
½
Ò
Ú Ó Ð ´ Ê
½
Ò
µ Ú Ó Ð ´ Ê µ º Ä
Ö Þ Ó Ò × Ø Ù Ð × Ó Ñ Ø Ö Ñ Ò Ø Ð Ö º Ä Ô Ö Ù Ó Ö Ñ Ð × Ð × ¹
Ù Ò Ø
½
Ò
Ú Ó Ð ´ Ê
½
Ò
µ
Ñ
½
½
½
¼
Ñ
¾
½
¾
¼
Ñ
Ò
½
Ò
¼
́ Ø
´ ½ µ
½
· ½
Ø
´ ½ µ
½
µ ́ Ø
́ Ò µ
Ò
· ½
Ø
́ Ò µ
Ò
µ
Ò
½
¼
Ñ
½
¼
́ Ø
́ µ
· ½
Ø
́ µ
µ
½
Ò
½
́ Ø
́ µ
Ñ
Ø
́ µ
¼
µ
Ò
½
́ Ý
Ü
µ Ú Ó Ð ´ Ê µ
¿ º ¾ Ð Ù Ò Ó × Ö Ø Ö Ó × Á Ò Ø Ö Ð
Ñ Ô Þ Ñ Ó × Ò Ù Ò Ò Ó Ð × Ù Ò Ø Ö × Ù Ð Ø Ó º
Ì Ó Ö Ñ ¿ º ¾ º ½ ´ Ö Ó Ù Ü µ º Ë Ê
Ò
Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ó Ø Ó ¸ Ñ Ó ×
Ê Ó Ò Ê × Ù Ò Ö Ø Ò Ù Ð Ó Ý × Ê Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ó Ø º Ë Ü Ø Ò
Ø Ó Ó Ð Ö Ø Ò Ù Ð Ó Ê ¬ Ò Ò Ó ́ Ü µ ¼ Ô Ö Ü ¾ Ê Ò º Ò Ø Ó Ò ×
× Ò Ø Ö Ð Ò Ý Á
× Ý × Ó Ð Ó × Ô Ö Ø Ó Ó Ò Ù Ñ Ö Ó Ô Ó × Ø Ú Ó
¼ ¸ Ü × Ø Ó Ø Ö Ó Ò Ù Ñ Ö Ó Ô Ó × Ø Ú Ó ¼ Ø Ð Õ Ù × È × Ù Ð Õ Ù Ö Ô Ö Ø Ó Ò Ò
× Ù Ö Ø Ò Ù Ð Ó × Ë
½
Ë
Æ
Ê Ø Ó Ó × Ó Ò Ð Ó × Ð Ó Ò Ø Ù Ñ Ò Ó Ö Ý ×
Ü
½
¾ Ë
½
Ü
Æ
¾ Ë
Æ
¸ × Ø Ò
¬
¬
¬
¬
¬
Æ
½
́ Ü
µ Ú Ó Ð ´ Ë
µ Á
¬
¬
¬
¬
¬
Ä × Ù Ñ
Æ
½
́ Ü
µ Ú Ó Ð ´ Ë
µ × Ð Ð Ñ Ù Ò × Ù Ñ Ê Ñ Ò Ò
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò º Æ Ó Ñ Ó × Ð Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò Ù Ø
È Ó Ö Ó Ø Ö Ó Ð Ó ¸ Ø Ò Ñ Ó × Ð × Ù Ò Ø Ö × Ù Ð Ø Ó º
Ì Ó Ö Ñ ¿ º ¾ º ¾ ´ Ó Ò Ó Ò Ê Ñ Ò Ò µ º Ë Ê Ê
Ò
Ê Ù Ò
Ö Ø Ò Ù Ð Ó Ý × Ê Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ó Ø º Ò Ø Ó Ò × × Ò Ø Ö Ð
Ò × Ý × Ó Ð Ó × Ô Ö Ø Ó Ó Ò Ù Ñ Ö Ó Ô Ó × Ø Ú Ó ¼ ¸ Ü × Ø Ù Ò Ô Ö Ø Ó Ò È
Ê Ø Ð Õ Ù
¼ Ë ́ È
µ Á ́ È
µ
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 62/174
¾ ¿ Á Ò Ø Ö Ó Ò Ò Ê
Ò
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò º Æ Ó Ø Ñ Ó × Õ Ù × È
½
Ý È
¾
× Ó Ò Ó × Ô Ö Ø Ó Ò × Ê Ø Ð × Õ Ù
È
½
È
¾
º Ò Ø Ó Ò ×
Ë ́ È
¾
µ Ë ́ È
½
µ Ý Á ́ È
½
µ Á ́ È
¾
µ
× Ö ¸
Á ́ È
½
µ Á ́ È
¾
µ Ë ́ È
¾
µ Ë ́ È
½
µ
Ë Ù Ô Ó Ò Ñ Ó × Ô Ö Ñ Ö Ó Õ Ù × Ò Ø Ö Ð º È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó × Ù Ô
È
Á ́ È µ
Ò
È
Ë ́ È µ º Ë ¼ ¸ Ü × Ø Ò Ô Ö Ø Ó Ò × È
½
Ý È
¾
Ø Ð × Õ Ù
Á ́ È
½
µ
¾
Ý Ë ́ È
¾
µ
¾
Ë È
¿
È
½
È
¾
¸ Ò Ø Ó Ò ×
Á ́ È
¿
µ
¾
Ý Ë ́ È
¿
µ
¾
Ô Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó
Ë ́ È
¿
µ Á ́ È
¿
µ Ë ́ È
¿
µ
·
Á ́ È
¿
µ
¾
·
¾
Ê Ô Ö Ó Ñ Ò Ø ¸ × Ù Ô Ó Ò Ñ Ó × Õ Ù Ó ¼ ¸ Ü × Ø Ù Ò Ô Ö Ø Ó Ò È
Ø Ð
Õ Ù Ë ́ È
µ · Á ́ È
µ ·
º È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó
·
º È Ù × Ø Ó
Õ Ù × Ø Ó × Ù Ñ Ô Ð Ô Ö Ù Ð Õ Ù Ö ¼ ¸ × Ø Ò
Ó Ò
Ù Ø
¿ º ¿ Î Ó Ð Ù Ñ Ò Ý Ó Ò Ø Ò Ó ¼
Ë Ê
Ò
Ý ×
Ê
Ò
Ê ¬ Ò Ô Ó Ö
́ Ü µ
½ × Ü ¾
¼ × Ü ¾
º Ä Ù Ò Ó Ò
Ö Ð Ò Ó Ñ Ö Ù Ò Ó Ò Ö Ø Ö × Ø
Ë
× Ò Ø Ö Ð ¸ × Õ Ù Ø Ò Ú Ó Ð Ù Ñ Ò Ý Ú Ó Ð ´ µ
º × Ø
Ú Ó Ð Ù Ñ Ò Ø Ñ Ò Ö Ð Ò Ó Ñ Ö Ó Ò Ø Ò Ó Ó Ú Ó Ð Ù Ñ Ò
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 63/174
¿ º ¿ Î Ó Ð Ù Ñ Ò Ý Ó Ò Ø Ò Ó ¼ ¿
½
Ë Ø Ò Ú Ó Ð Ù Ñ Ò ¸ × Õ Ù × Â Ó Ö Ò Ñ Ð
Í Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ê
Ò
Ó Ø × Õ Ù Ø Ò Ó Ò Ø Ò Ó ¼ × Ú Ó Ð ´ µ ¼ º
× Ø Ó × Õ Ù Ú Ð Ò Ø Ø Ò Ö Õ Ù Ô Ö Ø Ó Ó Ò Ù Ñ Ö Ó Ô Ó × Ø Ú Ó ¼ Ü × Ø Ò
Ö Ø Ò Ù Ð Ó × Ë
½
Ë
Æ
Ø Ð × Õ Ù
Æ
½
Ë
Ý
Æ
½
Ú Ó Ð ´ Ë
µ
¬ Ò Ó Ò ¿ º ¿ º ½ º Í Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ê
Ò
¸ Ò Ó Ò × Ö Ñ Ò Ø Ó Ø Ó ¸ ×
Ñ ¼ × Ô Ö Ø Ó Ó Ò Ù Ñ Ö Ó Ô Ó × Ø Ú Ó ¼ Ü × Ø Ù Ò Ù Ö Ø Ë
Ò
½
Ó Ë
½
½
¸ × Ö ¸ Ô Ù × Ö ¬ Ò Ø Ó Ò Ù Ñ Ö Ð ¸ Ó Ò Ë
Æ
¸ Ö Ø Ò Ù Ð Ó ×
Ö Ö Ó × Ð Ù Ð Ô Ù × Ö ¬ Ò Ø Ó Ò Ù Ñ Ö Ð Ø Ð × Õ Ù
½
½
Ú Ó Ð ´ Ë
µ º × Ø
¬ Ò Ó Ò Ô Ò Õ Ù Ê
Ò
Ð Ñ Ó × º
Ñ Ô Ð Ó ¿ º ¿ º ¾ º Ó Ò × Ö Ñ Ó × Ð Ò Ø Ö Ú Ð Ó Ö Ö Ó Ê ¸ Ó Ò º Ò ¹
Ø Ó Ò × ¸ Ó Ò × Ö Ó Ò Ø Ö Ó Ê ¸ Ò Ó × Ñ Ö Ó Ô Ù ×
Ú Ó Ð ´ µ ¼
Ë Ò Ñ Ö Ó ¸ × Ó Ò × Ö Ñ Ó × Ò Ø Ö Ó Ê
¾
× Ø Ò Ñ ¼
¢ ¼ ¢
¿ ́ µ
¿ ́ µ
Ë
½
Ò Ø Ó Ò × × Ø Ò Õ Ù
Ú Ó Ð ´ Ë
½
µ ́ µ
¾
¿
¾
¿
Ë
½
Æ Ó Ø Ñ Ó × Õ Ù × Ð Ñ Ò Ø Ó Ù Ò Ó Ð Ó Ò ¬ Ò Ø Ó Ó Ò Ù Ñ Ö Ð
Ó Ò Ù Ò Ø Ó ×
½
Ò
Ø Ò Ñ ¼ ¸ Ò Ø Ó Ò ×
½
½
Ø Ò Ñ ¼ ¸ Ô Ù ×
× Ø Ò Ô Ö Ø Ó ½ ¾
½
½
Ë
¸ Ó Ò
½
½
Ú Ó Ð ´ Ë
µ
¾
º È Ó Ö Ð Ó
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 64/174
¿ Á Ò Ø Ö Ó Ò Ò Ê
Ò
Ø Ò Ø Ó
½
½
½
½
Ë
Ý
Ú Ó Ð ´ Ë
µ
½
½
½
½
Ú Ó Ð ´ Ë
µ
½
½
¾
´ ½ µ
Ò Ô Ö Ø Ù Ð Ö × Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ê
Ò
× ¬ Ò Ø Ó Ó Ò Ù Ñ Ö Ð ¸ Ò Ø Ó Ò ×
Ø Ò Ñ ¼ º È Ó Ö Ñ Ô Ð Ó ¸ Ð Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ò Ù Ñ Ö Ó × Ö Ó Ò Ð × É × Ò Ù Ñ Ö Ð
Ý Ô Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó Ø Ò Ñ ¼ º
Æ Ó Ø Ñ Ó × Õ Ù É ¸ Ô × Ö Ø Ò Ö Ñ ¼ ¸ Ò Ó × Ò Ø Ö Ð º Ó
É ¼ ½
É ¼ ½
¼ ½
É ¼ ½
É ¼ ½
Ð × Ù Ò Ø Ö × Ù Ð Ø Ó ¸ Ý Õ Ù Ó × Ð Ñ Ó Ø Ú Ó Ò Ô Ö ¬ Ò Ö Ò Ø ¹
Ö Ð × Ñ × Ò Ö Ð × Õ Ù Ð Ò Ø Ö Ð Ê Ñ Ò Ò ¸ Ò Ó × Ö Ø Ö Þ Ó Ñ Ô Ð Ø ¹
Ñ Ò Ø Õ Ù Ù Ò Ó Ò × × Ó Ò Ò Ø Ö Ð × Ô Ó Ö Ñ Ó Ð Ó Ò Ø Ò Ù º
Ì Ó Ö Ñ ¿ º ¿ º ¿ ´ Ä × Ù µ º Ë Ê
Ò
Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ó Ø Ó Ý ×
Ê Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ó Ø º Ü Ø Ò Ñ Ó × Ù Ò Ù Ò Ó Ò
¬ Ò Ò Ø Ó Ó Ê
Ò
Ô Ó Ò Ò Ó
́ Ü µ ¼ Ô Ö Ü ¾ º Ò Ø Ó Ò × × Ê Ñ Ò Ò Ò Ø Ö Ð × Ý × Ó Ð Ó
× Ð Ù Ò Ó Ò Ü Ø Ò
× × Ó Ò Ø Ò Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ñ ¼
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò º È Ö Ñ Ö Ó × Ù Ô Ó Ò Ñ Ó × Õ Ù × Ò Ø Ö Ð º Ë Ü
¼
¾ Ê
Ò
º ¬ Ò ¹
Ñ Ó × Ð Ó × Ð Ó Ò
Ò Ü
¼
Ð × Ù Ò Ø Ó Ö Ñ º È Ö Ñ Ö Ó ¬ Ñ Ó × ¼ º Ë
¬ Ò
Å ́
Ü
¼
µ × Ù Ô ́ Ü µ Ü ¾ ́ Ü
¼
µ
Ñ ́
Ü
¼
µ Ò ́ Ü µ Ü ¾ ́ Ü
¼
µ
Ò Ø Ó Ò × Ð Ó × Ð Ó Ò
Ò Ü
¼
× Ø Ô Ó Ö
Ó ́
Ü
¼
µ Ð Ñ
¼
·
Å ́
Ü
¼
µ Ñ ́
Ü
¼
µ ¼
Æ Ó Ø Ñ Ó × Õ Ù
× Ó Ò Ø Ò Ù Ò Ü
¼
´ µ Ó ́
Ü
¼
µ ¼ º
Ë Ü ¾ Ê
Ò
× × Ó Ò Ø Ò Ù Ò Ü Ü ¾ Ê
Ò
Ó ́
Ü
¼
µ ¼
¬ Ò Ñ Ó ×
Ñ
Ò
Ü ¾ Ê
Ò
Ó ́
Ü µ
½
Ñ
Ó
º Ë Ø Ò Õ Ù
½
Ñ ½
Ñ
Ë Ë Ù Ò Ö Ø Ò Ù Ð Ó Ö Ö Ó Ê
Ò
Õ Ù Ó Ò Ø Ò º Ë È Ù Ò Ô Ö Ø Ó Ò
Ë Ø Ð Õ Ù Ë ́ È µ Á ́ È µ
¾ Ñ
Ý × Ò Ì
½
Ì
Ð Ó × × Ù Ö Ø Ò Ù Ð Ó ×
Ë Ø Ö Ñ Ò Ó × Ô Ó Ö È
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 65/174
¿ º ¿ Î Ó Ð Ù Ñ Ò Ý Ó Ò Ø Ò Ó ¼
Ë ª Ð Ó Ð Ó Ò × Ù Ö Ø Ò Ù Ð Ó × Ì Ø Ö Ñ Ò Ó × Ô Ó Ö È Ø Ð × Õ Ù
Ì
Æ
Ñ
Ì
Ñ
Ë Ø Ò Õ Ù
½
Ì
Ø Ò Ó Ò Ø Ò Ó ¼ º Ë Ò Í
½
Í
Ö
Ö Ø Ò Ù Ð Ó × Ö Ö Ó ×
Ø Ð × Õ Ù
½
Ì
Ö
½
Í
Ý
Ö
½
Ú Ó Ð ´ Í
µ
¾
Ë Ì ¾ ª Ý Ü ¾ Ì
Æ
Ñ
¸ Ü × Ø ¼ Ø Ð Õ Ù ́ Ü µ Ì Ý × Ù Ô ́ Ü µ Ü ¾
Ì Ò ́ Ü µ Ü ¾ Ì Ë ́ Ì µ Á ́ Ì µ Å ́ Ü µ Ñ ́ Ü µ
½
Ñ
Ñ ×
Ñ
¼
Ö
½
Í
½
Ì ¾ ª
Ì
Ý
½
Ñ
Ì ¾ ª
Ú Ó Ð ´ Ì µ
Ì ¾ ª
Ë ́ Ì µ Ñ ́ Ì µ Ú Ó Ð ´ Ì µ
½
Ë ́ Ì
µ Á ́ Ì
µ Ú Ó Ð ´ Ì
µ Ë ́ È µ Á ́ È µ
¾ Ñ
Ë × Ù Õ Ù
Ì ¾ ª
Ú Ó Ð ´ Ì µ ¾ Ý Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ó
Ö
½
Ú Ó Ð ´ Í
µ ·
Ì ¾ ª Ú Ó Ð ´ Ì µ
¾ · ¾
È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó
Ñ
Ø Ò Ñ ¼ Ý Ò Ó Ò × Ù Ò
½
Ñ ½
Ñ
Ø Ò
Ñ ¼ º
È Ö Ô Ö Ó Ö Ð Ö Ô Ö Ó Ó ¸ Ó Ò × Ö Ñ Ó × Ù Ò Ö Ø Ò Ù Ð Ó Ö Ö Ó Ë Õ Ù Ó Ò ¹
Ø Ò Ý × ¼ º Ë Å Ø Ð Õ Ù ́ Ü µ Å Ô Ö Ø Ó Ü ¾ Ë º Ë
Ü Ó ́
Ü µ ¼ Ý Ô Ó Ö Ô Ó Ø × × × Ø Ò Õ Ù
Ö
½
Í
Æ
Ø Ð Ó Ö Ñ
Õ Ù
Ö
½
Ú Ó Ð ´ Í
µ
¾ Å · Ú Ó Ð ´ Ë µ
È Ö Ü ¾ Ë Ò
× Ó Ò Ø Ò Ù Ò Ü º Ë × Ù Õ Ù Ó ́
Ü µ ¼ º È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó
Ü × Ø Ù Ò Ö Ø Ò Ù Ð Ó Ö Ö Ó Î
Ü
Ø Ð Õ Ù Ü ¾ Î
Æ
Ü
Ý Ë ́ Î
Ü
µ Á ́ Î
Ü
µ
Ë Ø Ò Õ Ù Ë ́ Ë Ò µ
½
½
Í
Æ
¼
Ü ¾ Ë Ò
Î
Æ
Ü
½
º Ó Ö Ò ¸ Ô Ó Ö
× Ö Ë Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ó Ñ Ô Ø Ó ¸ Ü × Ø Ò Í
½
Í
Ò
Ý Ü
½
Ü
Ö
¾ Ë Ò Ø Ð ×
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 66/174
¿ Á Ò Ø Ö Ó Ò Ò Ê
Ò
Õ Ù
Ë
¼
Ò
½
Í
Æ
½
Ö
½
Î
Æ
Ü
Ë È Ù Ò Ô Ö Ø Ó Ò Ë Ø Ð Ñ Ò Ö Õ Ù Ö Ø Ò Ù Ð Ó Ø Ö Ñ Ò Ó
Ô Ó Ö È × Ø Ó Ò Ø Ò Ó Ò Ð Ù Ò Í
Ó Ò Ð Ù Ò Î
Ü
º Ë ª
½
Ð Ó Ð Ó Ò
Ö Ø Ò Ù Ð Ó × Ì Ø Ö Ñ Ò Ó × Ô Ó Ö È Ø Ð × Õ Ù Ì Î
Ü
Ô Ö Ð Ù Ò Ý × ª
¾
Ð Ó × Ì Ø Ð × Õ Ù Ì Í
Ô Ö Ð Ù Ò
º Ò Ø Ó Ò ×
Ë ́ È µ Á ́ È µ
Ì ¾ ª
½
Å ́ Ì µ Ñ ́ Ì µ Ú Ó Ð ´ Ì µ ·
·
Ì ¾ ª
¾
Å ́ Ì µ Ñ ́ Ì µ Ú Ó Ð ´ Ì µ
Ì ¾ ª
½
Ú Ó Ð ´ Ì µ ·
Ì ¾ ª
¾
¾ Å Ú Ó Ð ´ Ì µ
Ì ¾ ª
½
ª
¾
Ú Ó Ð ´ Ì µ · ¾ Å
Ò
½
Ú Ó Ð ´ Í
µ
Ú Ó Ð ´ Ë µ · ¾ Å
Ë × Ù Õ Ù × Ò Ø Ö Ð Ò Ë Ù Ø
Ó Ö Ó Ð Ö Ó ¿ º ¿ º º Í Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ó Ø Ó Ê
Ò
Ø Ò Ú Ó Ð Ù Ñ Ò × Ý × Ó Ð Ó ×
Ð Ö Ó Ò Ø Ö ¸ Ø Ò Ñ ¼ Å × Ù Ò ¸ Ó Ñ Ó × Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó
Ó Ñ Ô Ø Ó ¸ Ò Ø Ó Ò × Ø Ò Ñ ¼ × Ý × Ó Ð Ó × Ø Ò Ó Ò Ø Ò Ó ¼
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò º Ë Ø Ò Õ Ù
× × Ó Ò Ø Ò Ù Ò Ù Ø
Ó Ö Ó Ð Ö Ó ¿ º ¿ º º Ë Ê
Ò
Ê × Ó Ò Ø Ò Ù Ý Ø Ò Ú Ó Ð Ù Ñ Ò ´
Ó Ø Ó µ ¸ Ò Ø Ó Ò × × Ò Ø Ö Ð Ò Ù Ø
Ó Ö Ó Ð Ö Ó ¿ º ¿ º º Ë Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ê
Ò
Ê × × Ó Ò Ø Ò Ù Ò Ù Ò Ó Ò ¹
Ù Ò Ø Ó Ñ ¼ Ý Ø Ò Ú Ó Ð Ù Ñ Ò ´ Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ó Ø Ó µ ¸ Ò Ø Ó Ò × ×
Ò Ø Ö Ð Ò Ù Ø
Ñ Ô Ð Ó ¿ º ¿ º º Ë Ê Ê Ô Ó Ö ́ Ü µ
¾ Ü × ½ Ü ¼
Ü × ¼ Ü ½
Ò Ø Ó Ò × × × Ó Ò Ø Ò Ù × Ó Ð Ñ Ò Ø Ò Ð Ô Ù Ò Ø Ó Ü ¼ º È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó ×
Ò Ø Ö Ð º
Ñ Ô Ð Ó ¿ º ¿ º º Ë Ê
¾
Ê Ð Ù Ò Ó Ò Ô Ó Ö ́ Ü Ý µ Ü
¿
· × Ò
½
Ý
¾
Ô Ö Ý ¼ Ý ́ Ü ¼ µ Ü
¾
º Î Ö Ñ Ó × Õ Ù × Ò Ø Ö Ð Ò Ð Ó Ò Ù Ò Ø Ó
́ Ü Ý µ Ü
¾
· Ý
¾
½
Ë Ø Ò Õ Ù Ø Ò Ú Ó Ð Ù Ñ Ò Ý Õ Ù × × Ó Ò Ø Ò Ù Ò Ð Ó Ñ × Ð Ð Ò
Ý ¼ ¸ Ð Ù Ð × Ñ ¼ º Ë × Ù Õ Ù × Ò Ø Ö Ð Ò
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 67/174
¿ º ¿ Î Ó Ð Ù Ñ Ò Ý Ó Ò Ø Ò Ó ¼
È Ö Ó Ô Ó × Ó Ò ¿ º ¿ º ´ È Ö Ó Ô × Ð Ò Ø Ö Ð µ º Ë Ò Ê
Ò
¾ Ê
Ý Ê Ó × Ù Ò Ó Ò × Ò Ø Ö Ð × Ò º Ò Ø Ó Ò ×
´ ½ µ · × Ò Ø Ö Ð Ò Ý × Ø Ò
́ · µ
·
´ ¾ µ × Ò Ø Ö Ð Ò Ý × Ø Ò
´ ¿ µ × Ò Ø Ö Ð Ò Ý
¬
¬
¬
¬
¬
¬
´ µ Ë ¸ Ò Ø Ó Ò ×
´ µ Ë Ø Ò Ú Ó Ð Ù Ñ Ò Ý Å ¸ Ò Ø Ó Ò ×
¬
¬
¬
¬
¬
¬
Å Ú Ó Ð ´ µ
´ µ Ì Ó Ö Ñ Ð Ú Ð Ó Ö Ñ Ó Ô Ö Ò Ø Ö Ð ×
Ë Ê × Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ó Ò Ø Ò Ù ¸ Ø Ò Ú Ó Ð Ù Ñ Ò Ý × Ù Ò
Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ó Ñ Ô Ø Ó Ý Ó Ò Ü Ó ¸ Ò Ø Ó Ò × Ü × Ø Ü
¼
¾ Ø Ð Õ Ù
́ Ü
¼
µ Ú Ó Ð ´ µ
´ µ Ë Ê Ø Ð Õ Ù Ø Ò Ñ ¼
Ý
× Ó Ò Ù Ò Ó Ò × Ò Ø Ö Ð × º Ò Ø Ó Ò × × Ò Ø Ö Ð Ò Ý
·
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò º Ë Ò ª
½
Ü Ó ́
Ü µ ¼ Ý ª
¾
Ü Ó ´ Ü µ ¼
´ ½ µ Ü Ó ́
· Ü µ ¼ ª
½
ª
¾
º È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó · × Ò Ø Ö Ð º
´ ¾ µ Ü Ó ́
Ü µ ¼ ª
½
¸ Ó Ò × × Ù Õ Ù × Ò Ø Ö Ð º
´ ¿ µ Ü Ó ́
Ü µ ¼ ª
½
º È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó × Ò Ø Ö Ð º
Ó Ö Ò ¸ × Ø Ò ¼ Ý · ¼ Ð Ó Ù Ð Ñ Ô Ð Õ Ù
́ µ
¼ Ý
́ · µ
·
¼ º È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó
Ý
¸ Ð Ó Õ Ù Õ Ù Ú Ð
¬
¬
¬
¬
¬
¬
¬
¬
´ µ Ë Ø Ò Õ Ù Õ Ù Ú Ð ¼ ¸ Ó Ò
́ µ
¼
´ µ È Ó Ö Ð Ó Ò Ø Ö Ó Ö Ø Ò Ñ Ó ×
¬
¬
¬
¬
¬
¬
¬
¬
Å Å Ú Ó Ð ´ µ
´ µ È Ó Ö × Ö Ó Ò Ø Ò Ù Ý × Ö Ó Ñ Ô Ø Ó Ý Ó Ò Ü Ó ¸ Ð Ó Ò Ù Ò Ø Ó ́ µ Ê ×
Ó Ñ Ô Ø Ó Ý Ó Ò Ü Ó º È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó ́ µ × Ù Ò Ò Ø Ö Ú Ð Ó Ö Ö Ó Ñ Å
Ó Ò Ñ Ò
Ü ¾
́ Ü µ Å × Ù Ô
Ü ¾
́ Ü µ º Õ Ù Ó Ø Ò Ñ Ó × Ñ ́ Ü µ
Å Ü ¾ º Ë × Ù Õ Ù
Ñ Ñ Ú Ó Ð ´ µ
Å Å Ú Ó Ð ´ µ
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 68/174
¿ Á Ò Ø Ö Ó Ò Ò Ê
Ò
Ë Ú Ó Ð ´ µ ¼ ¸ Ð Ö × Ù Ð Ø Ó × Ò Ñ Ø Ó º Ë Ú Ó Ð ´ µ ¼ ¸ Ð Ó Ò Ø Ö Ó Ö
× Ó Ø Ò
Ñ
½
Ú Ó Ð ´ µ
Å
× Ø Ó × ¸
½
Ú Ó Ð ´ µ
¾ Ñ Å ́ µ º È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó Ü × Ø Ü
¼
¾ Ø Ð
Õ Ù ́ Ü
¼
µ
½
Ú Ó Ð ´ µ
´ µ Ë Ò
½
¾
Ý
¿
º Ë Ø Ò
½
º Ë Ñ Ð Ö Ñ Ò Ø
¾
Ý
¿
¼
Ó Ö Ò ¸
½
·
¾
¿
Ó Ò Ó Ø Ò Ñ Ó ×
½
·
¾
¿
·
·
¼ Ù Ø
Ñ Ô Ð Ó ¿ º ¿ º ½ ¼ º È Ö Ø Ö × Ò Ù Ñ Ö Ó × Ö Ð × Ø Ò Ñ Ó × Õ Ù
Ø Ò Ñ ¼ Ý Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ó Ô Ö Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ê Ò Ø ¹
Ö Ð Ø Ò Ö Ñ Ó ×
́ Ü µ Ü
·
́ Ü µ Ü ·
́ Ü µ Ü
Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ò Ö Ó Ö Ñ Ó × Ù Ò Ö × Ù Ð Ø Ó × Ó Ò Ø Ö Ó Ò Ò Ù Ò Ú ¹
Ö Ð Ô Ö Ô Ð Ö Ð Ó Ò Ù × Ø Ö Ó × Ó º
Ì Ó Ö Ñ ¿ º ¿ º ½ ½ ´ Ì Ó Ö Ñ Ù Ò Ñ Ò Ø Ð Ð Ð Ù Ð Ó µ º Ë
Ê Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ó Ò Ø Ò Ù º Ò Ø Ó Ò × Ø Ò Ô Ö Ñ Ø Ú ¸ × Ö ¸ Ü × Ø Ù Ò
Ù Ò Ó Ò Ê Ø Ð Õ Ù ́ Ü µ ́ Ü µ Ô Ö Ø Ó Ü ¾ ́ µ
Ñ ×
́ Ü µ Ü ́ µ ́ µ ́ Ü µ
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò º È Ö Ü ¾ Ð Ù Ò Ó Ò × Ó Ò Ø Ò Ù Ò Ü º È Ó Ö Ð Ó
Ø Ò Ø Ó × Ò Ø Ö Ð Ò Ü º ¬ Ò Ñ Ó × Ð Ù Ò Ó Ò Ê Ô Ó Ö
́ Ü µ
Ü
Ü
́ Ø µ Ø
Ó Ö Ò ¸
¬
¬
¬
¬
́ Ü
¼
· µ ́ Ü
¼
µ
́ Ü
¼
µ
¬
¬
¬
¬
¬
¬
¬
¬
¬
½
Ü
¼
·
́ Ø µ Ø
Ü
¼
́ Ø µ Ø
́ Ü
¼
µ
¬
¬
¬
¬
¬
¬
¬
¬
¬
¬
½
Ü
¼
·
Ü
¼
́ Ø µ Ø ́ Ü
¼
µ
¬
¬
¬
¬
¬
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 69/174
¿ º Á Ò Ø Ö Ð × Á Ñ Ô Ö Ó Ô ×
Ë Ø Ò Ú Ó Ð ´ Ü
¼
Ü
¼
· µ × ¼ Ý Ú Ó Ð ´ Ü
¼
· Ü
¼
µ × ¼
È Ó Ö Ð Ì Ó Ö Ñ Ð Î Ð Ó Ö Å Ó ¸ Ü × Ø Ý ¾ Ü
¼
Ü
¼
· ´ Ó Ý ¾ Ü
¼
· Ü
¼
µ Ø Ð
Õ Ù
Ü
¼
·
Ü
¼
́ Ø µ Ø ́ Ý µ º È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó
¬
¬
¬
¬
́ Ü
¼
· µ ́ Ü
¼
µ
́ Ü
¼
µ
¬
¬
¬
¬
́ Ý µ ́ Ü µ
Ó Ò Ý Ü º È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó ¸ Ô Ó Ö × Ö Ó Ò Ø Ò Ù ¸ × Ø Ò
Ð Ñ
¼
́ Ü
¼
· µ ́ Ü
¼
µ
́ Ü
¼
µ ́ Ü
¼
µ
Ë × Ù Ð Õ Ù Ö Ó Ø Ö Ò Ø Ö Ú ¸ ́ Ü µ ́ Ü µ ́ Ü µ ¸ Ò Ø Ó Ò × ´
µ ¼ º Ë × Ù Õ Ù Ü × Ø Ù Ò Ó Ò × Ø Ò Ø ¾ Ê Ø Ð Õ Ù ́ Ü µ · ́ Ü µ
È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó
́ µ ́ µ · ́ µ ́ · ́ µ µ ́ µ ́ µ
́ Ø µ Ø
́ Ø µ Ø
́ Ø µ Ø Ù Ø
Ñ Ô Ð Ó ¿ º ¿ º ½ ¾ º
¾
¼
Ó × Ü Ü × Ò Ü
¾
¼
× Ò ¾ × Ò ¼ ½ º
¿ º Á Ò Ø Ö Ð × Á Ñ Ô Ö Ó Ô ×
É Ù Ö Ñ Ó × ¬ Ò Ö Ò Ø Ö Ð × Ô Ö Ù Ò Ó Ò × Ò Ó Ó Ø × Ý » Ó Ó Ò Ù Ò Ø Ó × Ò Ó
Ó Ø Ó × º È Ó Ö Ñ Ô Ð Ó ¸ × Õ Ù Ö Ð Ó × Ó Ñ Ó Ð Ó × Ù Ò Ø
½
¼
́ Ø µ Ø
Ð Ñ
Ü ½
Ü
¼
́ Ø µ Ø Ò × Ó Õ Ù × Ø Ð Ñ Ø Ü × Ø º Ë Ñ Ð Ö Ñ Ò Ø × Ð Ñ
Ü
·
́ Ü µ
½ Ò Ø Ó Ò ×
́ Ø µ Ø Ð Ñ
¼
·
·
́ Ø µ Ø
Ë Ò Ñ Ö Ó Ñ Ó × Ø Ò Ö Ù Ó Ô Ù × ¸ Ô Ó Ö Ñ Ô Ð Ó ¸ Ò Ó Ô Ó Ñ Ó × ¬ Ò Ö
½
½
́ Ø µ Ø Ð Ñ
Å ½
Å
Å
́ Ø µ Ø × Ñ Ô Ö º Í Ò × Ó Ð Ó Ò Ø Ö Ó Ö × Ð × Ù Ò Ø º
Ë ́ Ü µ Ü
Å
Å
Ü Ü ¼ ¸ Ô Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó Ð Ñ
Å ½
Å
Å
Ü Ü ¼ º Ë Ò Ñ Ö Ó ¸
½
¼
Ü Ü ½
¼
½
Ü Ü ½ Ò Ó Ü × Ø Ò º È Ó Ö Ñ Ô Ð Ó Ð Ñ
Å ½
Å · ½
Å
Ü Ü
Ð Ñ
Å ½
Å ·
½
¾
½
Ð Ô Ö Ó Ð Ñ × Õ Ù Ò Ó Ñ Ó × × Ñ Ô Ð Ñ Ò Ø Ò Ð Ö Ð Ó × Ò ¬ Ò Ø Ó × º
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 70/174
¼ ¿ Á Ò Ø Ö Ó Ò Ò Ê
Ò
Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ò Ñ Ó × Ð Ó Ò × Ø Ö Ù Ó Ò Ò Ø Ö Ð × Ñ Ô Ö Ó Ô × Ú Ø Ò Ó Ð Ó ×
Ô Ö Ó Ð Ñ × Ò Ø Ù Ö Ð × Õ Ù × Ò Ó × Ô Ö × Ò Ø Ò Ù Ò Ó Ø Ö Ñ Ó × Ó Ò Ò Ø ×
Ò ¬ Ò Ø × º
È Ö Ñ Ö Ó Ü Ø Ò Ñ Ó × Ð ¬ Ò Ó Ò Ò Ø Ö Ð Ô Ö Ù Ò Ó Ò × Ò Ó Ò Ø Ú ×
Ý Ó Ò Ù Ò Ø Ó × Ö Ø Ö Ö Ó × º
¬ Ò Ó Ò ¿ º º ½ º Ë Ê
Ò
Ê Ø Ð Õ Ù ¼ Ý Ö Ø Ö Ö Ó ¸
Ò Ó Ò × Ö Ñ Ò Ø Ó Ø Ó º Ü Ø Ò Ñ Ó × Ð Ù Ò Ó Ò Ø Ó Ó Ê
Ò
Ó Ñ Ó
Ó × Ø Ù Ñ Ö
º Ë ¬ Ò Õ Ù Ð Ò Ø Ö Ð
Ü × Ø ×
Ò
Ü × Ø Ô Ö Ø Ó ¾ Ê ¼ Ý × Ð Ð Ñ Ø Ð Ñ
½
Ò
Ü × Ø ¸ Ó Ò
Ò
¢ ¡ ¡ ¡ ¢ º Ò × Ø × Ó × × Ö
Ð Ñ
½
Ò
Ä Ñ Ô Ó Ö Ø Ò Ô Ö Õ Ù Ð Ù Ò Ó Ò × Ò Ó Ò Ø Ú Ö Ò Ð Ó
Õ Ù Ð Ù Ò Ó Ò À ́ µ
Ò
× Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ö Ò Ø Ò ¸ × Ø Ó × ¸ ×
Ò Ø Ó Ò × À ́ µ À ́ µ º Ó × Ø Ó ¸ Ò × Ó Ò Ó Ü × Ø Ö Ð Ò Ø Ö Ð
× Ô Ù Ö × Ó Ð Ñ Ò Ø Ó × Ô Ó × Ð × Ó × º Ð Ô Ö Ñ Ö Ó × Õ Ù Ô Ö Ð Ù Ò
À ́ µ Ò Ó Ü × Ø ¸ × Ö ¸ Ð Ó Ò Ù Ò Ø Ó × Ó Ò Ø Ò Ù × Ò
Ò
Ò Ó × Ñ ¼ ¸ Ó Õ Ù Ð Ñ
½
À ́ µ ½
Ð × Ù Ò Ø Ö × Ù Ð Ø Ó Ò Ó × Ô Ö Ù Õ Ù Ô Ö Ú Ö ¬ Ö Ò Ø Ö Ð Ù Ò ¹
Ó Ò × Ò Ó Ò Ø Ú × ¸ × Ø Ö Ð Ó Ô Ö Ù Ò × Ù × Ó Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó × Ó Ò Ú Ó Ð Ù Ñ Ò
Õ Ù Ù Ö Ò Ø Ó Ó Ê
Ò
Ì Ó Ö Ñ ¿ º º ¾ º Ë ¼ Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ó Ø Ò Ø Ö Ð Ò Ù Ð Õ Ù Ö Ù Ó
Ò
º Ò Ø Ó Ò × × Ò Ø Ö Ð × Ý × Ó Ð Ó × Ô Ö Ø Ó × Ù × Ó Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó ×
Ó Ø Ó × Ó Ò Ú Ó Ð Ù Ñ Ò Ø Ð × Õ Ù
· ½
Ý Õ Ù Ô Ö Ø Ó Ó Ö Ø Ò Ù Ð Ó
¸ Ü × Ø Ù Ò
Ø Ð Õ Ù
¸ Ò Ø Ó Ò × Ð Ñ
½
Ü × Ø º Ò × Ø × Ó ×
Ø Ò Ð Ñ
½
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò º È Ö Ñ Ö Ó × Ù Ô Ó Ò Ñ Ó × Õ Ù × Ò Ø Ö Ð Ý ×
½
½
Ù Ò
× Ù × Ó Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó × Õ Ù × Ø × Ò Ð × Ó Ò Ó Ò × × Ò Ð Ò Ù Ò Ó Ð
Ø Ó Ö Ñ º È Ö
× Ð Ó Ò Ñ Ó × Ý Ø Ð × Õ Ù
Ò
Ò
Ë Ø Ò Õ Ù
Ê
Ò
Ê
Ê
Ò
½
½
Ê
Ê
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 71/174
¿ º Á Ò Ø Ö Ð × Á Ñ Ô Ö Ó Ô × ½
Ó Ò × × Ù Õ Ù
Ð Ñ
½
È Ö Ð Ö Ô Ö Ó Ó ¸ Ø Ó Ñ Ñ Ó ×
Ó Ò
½
½
× Ù Ð Õ Ù Ö
× Ù × Ó Ò Ö Ò Ø Ø Ð Õ Ù
½
½ º È Ó Ö Ô Ó Ø × × Ð × Ù × Ó Ò
́
µ
½
½
Ó Ò Ú Ö º Ñ Ó × Ù Ò × Ù × Ó Ò
½
½
Ý Ô Ó Ò Ñ Ó × Ð Ñ
½
º Ó Ò ¹
× Ö Ñ Ó × Ó Ñ Ó Ò Ø × Ù Ò × Ù × Ó Ò Ö Ò Ø
½
½
Ê Ø Ð Õ Ù
½
½
Ò Ø Ó Ò × Ô Ö ¸ Ô Ó Ò Ñ Ó ×
Ñ
Ø
Ø
Ý Ô Ö Ó Ñ Ó ×
Ó Ñ Ó Ò Ð Ô Ö Ñ Ö Ô Ö Ø º Ù Ø
Ð × Ù Ò Ø Ô × Ó × Ó Ò × Ö Ö Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ò Ó Ò Ø Ú ¼ Ô Ö Ó Ò Ó
Ò × Ö Ñ Ò Ø Ó Ø º Ë Å ¾ Ê ¬ Ò Ñ Ó ×
Å
́ Ü µ
́ Ü µ × ́ Ü µ Å
¼ × ́ Ü µ Å
× Ö ¸ Ð Ù Ò Ó Ò
Å
Ñ Ò Ø Ó Ó Ð Ó Õ Ù × Ø Ö Ö Å ¼ Ý
Å
× Ø
Ó Ø Ô Ó Ö Å º È Ó Ñ Ó × ¬ Ò Ö
Å
Ó Ñ Ó Ò Ø × º Ò Ð Ñ Ò Ø ¬ Ò Ñ Ó ×
Ð Ñ
Å ½
Å
× × Ø Ù Ð Ø Ñ Ó Ð Ñ Ø Ü × Ø º
Ð Ù Ð Ø Ñ Ó Ô × Ó ¸ × Ó Ò × Ö Ö Ý Ø Ó Ø Ð Ñ Ò Ø Ö Ø Ö Ö Ó × º À × Ø Õ Ù ¸
Ð Ó Õ Ù Ñ Ó × Ó × Ö Ð ¬ Ò Ó Ò Ô Ö Ö Ø Ö Ö Ó Ý Ò Ó Ò Ø Ú ¸
Ù Ò Õ Ù Ò Ó Ò × Ö Ñ Ò Ø Ó Ø º Ð Ô × Ó ¬ Ò Ð Ó Ò × × Ø Ò × Ó Ñ Ô Ó Ò Ö
Ò × Ù Ô Ö Ø Ô Ó × Ø Ú Ý Ò × Ù Ô Ö Ø Ò Ø Ú Ý ¬ Ò Ö Ð Ò Ø Ö Ð Ò Ô Ö Ø º
Ë Ñ × Ô Ö Ø × Ü × Ø Ò ¸ Ò Ø Ó Ò × Ð Ò Ø Ö Ð × ¬ Ò Ö Ó Ñ Ó Ð Ö Ò
Ñ × º
Å × Ô Ö × Ñ Ò Ø ¸ × Ê
Ò
Ê Ö Ø Ö Ö ¸ Ò Ó Ò × Ö Ñ Ò Ø Ò
Ô Ó × Ø Ú Ò Ó Ø Ý Ð Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ö Ø Ö Ö Ó º Ë
·
́ Ü µ
́ Ü µ × ́ Ü µ ¼
¼ × ́ Ü µ ¼
́ Ü µ
́ Ü µ × ́ Ü µ ¼
¼ × ́ Ü µ ¼
Ò Ø Ó Ò ×
·
Ý × Ó Ò Ù Ò Ó Ò × Ô Ó × Ø Ú × ¸ Ð Ð Ñ × Ð Ô Ö Ø Ô Ó × Ø Ú Ý Ð
Ô Ö Ø Ò Ø Ú º Ñ × × Ø Ò Õ Ù
́ Ü µ
·
́ Ü µ ́ Ü µ ́ Ü µ
·
́ Ü µ · ́ Ü µ
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 72/174
¾ ¿ Á Ò Ø Ö Ó Ò Ò Ê
Ò
Ò Ø Ó Ò × Ñ Ó × Õ Ù × Ò Ø Ö Ð ×
·
Ý
Ü × Ø Ò Ý Ò × Ø
× Ó ¬ Ò Ñ Ó × Ð Ò Ø Ö Ð Ô Ó Ö
·
Ò Ð Ù Ò × Ó × Ó Ò × ¸ Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ó Ü × Ø Ð Ò Ø Ö Ð Ô Ö Ù Ò Ó Ò ×
Ê Ê ¸ × Ó Ò Ú Ò Ò Ø ¬ Ò Ö Ù Ò Ó Ò Ú Ö Ò Ñ × Ð º × Ø Ó Ò Ú Ö ¹
Ò × Ø ¬ Ò Ð × Ù Ò Ø Ó Ö Ñ º
Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ê Ê ¸ × ¬ Ò Ð Ó Ò Ú Ö Ò Ó Ò Ó Ò Ð × Ù
Ò Ø Ö Ð Ô Ó Ö
½
́ Ü µ Ü ´ Ó Ò Ó Ò Ð Ñ Ò Ø µ Ð Ñ
½
́ Ü µ Ü
× Ø ¬ Ò Ó Ò Ò Ó × Ð Ñ × Ñ Õ Ù Ð Ó Ò Ú Ö Ò × Ó Ð Ù Ø Ó Ò
·
Ý
× Ó Ò × Ö Ò × Ô Ö Ñ Ò Ø º
Ñ Ô Ð Ó ¿ º º ¿ º Ë Ê Ê Ô Ó Ö ́ Ü µ Ü Ò Ó × Ò Ø Ö Ð Ô Ù ×
·
́ Ü µ
Ü × Ü ¼
¼ × Ü ¼
Ý
Ê
·
́ Ü µ Ü
½
¼
Ü Ü ½ Ò Ó Ü × Ø º
Ñ Ô Ð Ó ¿ º º º Ó Ò × Ö Ñ Ó × Ð Ù Ò Ó Ò Ê Ê ¬ Ò Ô Ó Ö ́ Ü µ
× Ò Ü º Ò Ø Ó Ò ×
·
́ Ü µ
× Ò Ü × Ü ¾ ¾ Ò ´ ¾ Ò · ½ µ Ò ¾
¼ × Ü ¾ ´ ´ ¾ Ò ½ µ ¾ Ò µ Ò ¾ Æ
́ Ü µ
× Ò Ü × Ü ¾ ´ ¾ Ò ½ µ ¾ Ò Ò ¾
¼ × Ü ¾ ´ ¾ Ò ´ ¾ Ò · ½ µ µ Ò ¾ Æ
Ò Ø Ó Ò × × Ø Ò Õ Ù
Ê
·
½
Ò ½
´ ¾ Ò · ½ µ
¾ Ò
× Ò Ü Ü
½
Ò ½
Ó × Ü
´ ¾ Ò · ½ µ
¾ Ò
½
Ò ½
¾ ½
Ë Ñ Ð Ö Ñ Ò Ø
Ê
½
È Ö × Ø Ù Ò Ó Ò Ø Ñ Ô Ó Ó Ø Ò Ñ Ó × Ò Ò Ù Ò Ø Ô Ó Ó Ò Ú Ö Ò Ó Ò ¹
Ó Ò Ð
́ Ü µ Ü Ó × Ü
¾ Ó × º È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó Ð Ñ
½
́ Ü µ Ü Ò Ó
Ü × Ø º Ð Ñ × Ñ Ñ Ò Ö Ð Ñ
Å ½
Å
́ Ü µ Ü Ò Ó Ü × Ø Ó Ò ¾ Ê ¬ Ó º
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 73/174
¿ º Á Ò Ø Ö Ð × Á Ñ Ô Ö Ó Ô × ¿
Ë Ò Ñ Ö Ó ¸ × ¬ Ò Ñ Ó × Ê Ê Ô Ó Ö ́ Ü µ
½
Ò
× Ò Ü Ô Ö Ü ¾ ´ ¾ Ò
¾ µ ¾ Ò µ ¾ Ò ´ ¾ Ò ¾ µ µ Ó Ò Ò ¾ Æ ¸ Ò Ø Ó Ò × ¸ Ô Ö Ó Ò Ó Ó Ñ Ó Ò Ð
× Ó Ò Ø Ö Ó Ö Ø Ò Ö Ñ Ó ×
Ê
·
¾
½
Ò ½
¾ Ò
´ ¾ Ò ¾ µ
½
Ò
× Ò Ü Ü ¾
½
Ò ½
½
Ò
Ó × Ü
¾ Ò
´ ¾ Ò ¾ µ
¾
½
Ò ½
¾
Ò
½
Ë Ñ Ð Ö Ñ Ò Ø
Ê
½ º È Ó Ö Ó Ø Ö Ó Ð Ó × Ø Ò Ñ Ó × Ó Ò Ú Ö Ò Ó Ò Ó Ò Ð
× ¾ Ê ¼ ¸ × Ò ¾ Æ Ø Ð Õ Ù ¾ ´ ¾ Ò ¾ µ ¾ Ò º Ò Ø Ó Ò ×
¬
¬
¬
́ Ü µ Ü
¬
¬
¬
¾
¾
Ò
½
¼
Ñ Ô Ð Ó ¿ º º º Ë Ø Ò
½
¼
Ü
Ü
Ð Ñ
¼
·
½
Ü
Ü
Ð Ñ
¼
·
Ð Ò Ü
½
Ð Ñ
¼
·
´ Ð Ò ½ Ð Ò µ
¼ Ð Ñ
¼
·
Ð Ò ́ ½ µ ½
× Ö ¸ Ò Ó Ü × Ø º
Ñ Ô Ð Ó ¿ º º º Ó Ò × Ö Ñ Ó × Ð Ò Ø Ö Ð
½
½
½
Ô
Ü
¿
· ½
Ü
Ë ́ Ü µ
½
Ô
Ü
¿
· ½
º Ò Ø Ó Ò × ́ Ü µ ¼ Ô Ö Ü ½ Ý ́ Ü µ
½
Ô
Ü
¿
· ½
½
Ô
Ü
¿
Ü
¿ ¾
Ó Ö Ò
½
½
Ü
Ô
Ü
¿
½
½
Ü
¿ ¾
Ü Ð Ñ
½
½
Ü
¿ ¾
Ü Ð Ñ
½
Ü
½ ¾
½ ¾
½
¾
Ð Ñ
½
½ ¾
½
¾
È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó
½
½
Ü
Ô
Ü
¿
· ½
Ü × Ø ¸ Ù Ò Õ Ù Ò Ó Ø Ñ Ó × Õ Ù Ò Ó Ð Ñ Ó × Ð Ù ¹
Ð Ó º
Ñ Ô Ð Ó ¿ º º º Ë ́ Ü Ý µ ¾ Ê
¾
Ü ½ Ý ½ Ý × Ê
Ô Ó Ö ́ Ü Ý µ
½
Ü
¾
Ý
¾
º Ò Ø Ó Ò × ¼ ́ Ü Ý µ ½ Ô Ö ´ Ü Ý µ ¾
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 74/174
¿ Á Ò Ø Ö Ó Ò Ò Ê
Ò
Ë
Ò
́ Ü Ý µ ¾ Ê
¾
½ Ü Ò ½ Ý Ò Ó Ò Ò ¾ Æ º Ò Ø Ó Ò ×
Ò
Ò
½
Ò
½
½
Ü
¾
Ý
¾
Ü Ý
Ò
½
½
Ý
¾
½
Ü
Ò
½
Ý
½
½
Ò
¾
Ò ½
½
È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó
Ð Ñ
Ò ½
Ò
Ð Ñ
Ò ½
½
½
Ò
¾
½
Ñ Ô Ð Ó ¿ º º º Ë Ò ́ ¼ ½ µ Ê Ý ́ ¼ ½ µ Ò ´ ¼ ¼ µ Ê Ô Ó Ö
́ Ü Ý µ Ð Ò ́ Ü
¾
· Ý
¾
µ ¼ Ü
¾
· Ý
¾
½ º Ë Ø Ò Õ Ù ́ Ü Ý µ ¼ º Ë
¼ ½ Ý ×
́ ¼ ½ µ Ò ́ ¼ µ
¼
©
½
ß Þ
½
ß Þ
Í × Ò Ó Ó Ó Ö Ò × Ô Ó Ð Ö × ¸ Ð × Ù Ð × × Ú Ö Ò Ô Ó × Ø Ö Ó Ö Ñ Ò Ø Ñ Ò Ö
Ó Ö Ñ Ð ¸ × Ø Ò
Ü Ö Ó × Ý Ö × Ò
Ö
¾
Ü
¾
· Ý
¾
Ö Ø Ò
Ý
Ü
¼
×
Ý
Ü
Ö
¼
Ü
Ý
Ü Ý Ö Ö
¼
¡
¡
¡
¡
¡
¡
Ö
Ö
µ
Ë Ø Ò Õ Ù
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 75/174
¿ º Ì Ó Ö Ñ Ù Ò
Ð Ò ́ Ü
¾
· Ý
¾
µ Ü Ý
¾
¼
½
́ Ð Ò Ö
¾
µ Ö Ö
½
́ ¾ Ð Ò Ö µ Ö ´ ¾ µ Ö
½
Ö Ð Ò Ö Ö
Ù Ò Ö Ù Ö Ö
Ú Ö Ö Ú Ö
¾
¾
Ö
¾
¾
Ð Ò Ö
¬
¬
¬
½
½
Ö
¾
¾
Ö
Ö
¾
¾
Ð Ò
Ö
¾
½
¾
¾
Ð Ò · ´ ½
¾
µ
Ñ ×
Ð Ñ
¼
·
¾
Ð Ò Ð Ñ
¼
·
Ð Ò
½
¾
Ä À Ó Ô Ø Ð
Ð Ñ
¼
·
½
¾
¾
Ð Ñ
¼
·
½
¾
¾
¼
È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó
Ð Ñ
¼
·
Ð Ò ́ Ü
¾
· Ý
¾
µ Ü Ý Ð Ñ
¼
·
¾
¾
Ð Ò · ´ ½
¾
µ ¼ · ´ ½ µ
Ò Ð Ñ Ò Ø Ó Ø Ò Ñ Ó ×
́ ¼ ½ µ
Ð Ò ́ Ü
¾
· Ý
¾
µ Ü Ý
¿ º Ì Ó Ö Ñ Ù Ò
À × Ø Ó Ö Ð Ù Ò Ó Ô Ö Ó Ñ Ò Ø Ó Ô Ö Ø Ó Ô Ö Ò Ó Ò Ø Ö Ö Ò Ø Ö Ð × ¸ × Ð
Ì Ó Ö Ñ Ù Ò Ñ Ò Ø Ð Ð Ð Ù Ð Ó º × Ø × Ó Ð Ó × Ô Ö × Ò Ø Ò Ù Ò Ú Ö Ð º Ð
Ì Ó Ö Ñ Ù Ò × Ù Ò Ö × Ù Ð Ø Ó Õ Ù Ò Ó × Ô Ö Ñ Ø Ö Ù Ö Ù Ò Ò Ø Ö Ð Ò
Ú Ö Ð × Ò Ò Ò Ø Ö Ð × Ù Ò Ú Ö Ð º
Ñ Ô Þ Ö Ñ Ó × × Ø Ù Ò Ó Ò Ø Ö Ð × Ô Ö Ñ Ø Ö × Ò Ø Ö Ð × Ø Ö ×
Ò Ø Ò Ñ Ó × Ô Ó Ö Ò Ø Ö Ð Ô Ö Ñ Ø Ö Õ Ù Ð Ð Ò Ø Ö Ð Ù Ý Ó Ò Ø Ö Ò Ó ¹
Ô Ò Ó × Ú Ö Ð × Ý × Ð Ò Ø Ö Ð × Ó Ö Ù Ò Ð × Ó × º Å × Ô Ö × ¹
Ñ Ò Ø ¸ × ¢ Ê
¾
Ý × ¢ Ê Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ò Ø ¹
Ö Ð Ý Ø Ð Õ Ù Ô Ö Ø
¼
¾
Ø
¼
Ê Ô Ó Ö
Ø
¼
́ Ü µ ́ Ü Ø
¼
µ
× Ø Ñ Ò Ò Ø Ö Ð º Ë ¬ Ò Ê Ô Ó Ö
́ Ø µ
́ Ü Ø µ Ü
Ä × Ô Ö Ó Ô × Ñ × Ñ Ô Ó Ö Ø Ò Ø × × Ø Ø Ô Ó Ò Ø Ö Ð × × Ó Ò
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 76/174
¿ Á Ò Ø Ö Ó Ò Ò Ê
Ò
Ì Ó Ö Ñ ¿ º º ½ º
´ ½ µ Ë × Ó Ò Ø Ò Ù ¸ Ò Ø Ó Ò × × Ó Ò Ø Ò Ù º
´ ¾ µ Ë Ý
Ø
× Ó Ò Ó Ò Ø Ò Ù × ¸ Ò Ø Ó Ò × × Ö Ú Ð Ý × Ø Ò
́ Ø µ
Ø
́ Ø µ
Ø
́ Ü Ø µ Ü
Ø
́ Ü Ø µ Ü
Ø
́ Ü Ø µ Ü
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò
´ ½ µ È Ó Ö × Ö ¢ Ó Ñ Ô Ø Ó Ý Ó Ò Ø Ò Ù ¸ × Ø Ò Õ Ù × Ù Ò ¹
Ó Ö Ñ Ñ Ò Ø Ó Ò Ø Ò Ù ¸ Ô Ó Ö Ð Ó Õ Ù Ó ¼ ¸ Ü × Ø ¼ Ø Ð Õ Ù
́ Ü Ø µ ́ Ü Ø µ Ñ Ô Ð ́ Ü Ø µ ́ Ü Ø µ
Ë Ø
¼
¾ ¬ Ó Ý × Ø ¾ Ø Ð Õ Ù Ø Ø
¼
Ñ Ô Ð Õ Ù
Ô Ö Ø Ó Ü ¾ × Ø Ò ́ Ü Ø µ ́ Ü Ø
¼
µ Ø Ø
¼
Ô Ó Ö Ð Ó Õ Ù
́ Ü Ø µ ́ Ü Ø
¼
µ
¸ Ó Ò Ø Ò Ö Ñ Ó ×
´ ́ Ø µ ́ Ø
¼
µ
¬
¬
¬
¬
¬
́ ́ Ü Ø µ ́ Ü Ø
¼
µ Ü
¬
¬
¬
¬
¬
́ Ü Ø µ ́ Ü Ø
¼
µ Ü
Ü
́ µ
× Ö ¸ × Ó Ò Ø Ò Ù º
´ ¾ µ Ë Ø Ò Õ Ù
Ø
¢ Ê × Ó Ò Ø Ò Ù Ý ¢ × Ó Ñ Ô Ø Ó
Ô Ó Ö Ð Ó Õ Ù
Ø
× Ù Ò Ó Ö Ñ Ñ Ò Ø Ó Ò Ø Ò Ù º È Ó Ö Ø Ò Ø Ó ¸ Ó ¼ ¸ Ü × Ø
¼ Ø Ð Õ Ù ́ Ü Ø µ ́ Ü Ø µ Ñ Ô Ð
Ø
́ Ü Ø µ
Ø
́ Ü Ø µ
Ë Ø
¼
¾ × Ø ¬ Ó Ý Ø ¾ × Ø Ð Õ Ù Ø Ø
¼
¸ Ò Ø Ó Ò × Ô Ö
Ø Ó Ü ¾ ́ Ü Ø µ ́ Ü Ø
¼
µ Ø Ø
¼
Ô Ó Ö Ð Ó Õ Ù
Ø
́ Ü Ø µ
Ø
́ Ü Ø
¼
µ
È Ó Ö × Ö
Ø
Ó Ò Ø Ò Ù × × Ù Ð Ø Ó Ö Ñ Ð Ú Ð Ó Ö Ñ Ó Õ Ù Ô Ö
Ü ¾ ¸ Ü × Ø Ø
½
¾ Ø
¼
Ø ´ × Ø Ø
¼
µ Ó Ø
½
¾ Ø Ø
¼
´ × Ø Ø
¼
µ Ø Ð Õ Ù
́ Ü Ø µ ́ Ü Ø
¼
µ
Ø Ø
¼
Ø
́ Ü Ø
½
µ ́ Ø Ø
¼
µ
Ý × Ø Ò Õ Ù Ø
½
Ø
¼
Ô Ó Ö Ð Ó Õ Ù
Ø
́ Ü Ø
½
µ
Ø
́ Ü Ø
¼
µ
¬
¬
¬
¬
́ Ü Ø µ ́ Ü Ø
¼
µ
Ø Ø
¼
Ø
́ Ü Ø
¼
µ
¬
¬
¬
¬
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 77/174
¿ º Ì Ó Ö Ñ Ù Ò
È Ó Ö Ù Ð Ø Ñ Ó Ø Ò Ö Ñ Ó ×
¬
¬
¬
¬
¬
́ Ø µ ́ Ø
¼
µ
Ø Ø
¼
Ø
́ Ü Ø
¼
µ Ü
¬
¬
¬
¬
¬
¬
¬
¬
¬
¬
́ Ü Ø µ ́ Ü Ø
¼
µ
Ø Ø
¼
Ø
́ Ü Ø
¼
µ
Ü
¬
¬
¬
¬
¬
¬
¬
¬
¬
́ Ü Ø µ ́ Ü Ø
¼
µ
Ø Ø
¼
Ø
́ Ü Ø
¼
µ
¬
¬
¬
¬
Ü
Ü
× Ö ¸
́ Ø
¼
µ
Ø
́ Ü Ø
¼
µ Ü Ù Ø
Ç × Ö Ú Ó Ò ¿ º º ¾ º Ð Ò × Ó ´ ¾ µ × Ñ × Ò Ö Ð Ý × Ö Ó Ø Ö Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò
× Ô Ù × Ð Ì Ó Ö Ñ Ù Ò º
Ó Ö Ó Ð Ö Ó ¿ º º ¿ ´ Ó Ö Ñ Ù Ð Ä Ò Ø Þ µ º Ë ¢ Ê Ó Ò Ø Ò Ù
Ø Ð Õ Ù
Ø
Ø
× Ó Ò Ø Ò Ù º Ë Ò « ¬ Ö Ò Ð × º Ë
³ Ê ¸ Ô Ó Ö
³ ́ Ø µ
¬ ́ Ø µ
« ́ Ø µ
́ Ü Ø µ Ü
Ò Ø Ó Ò × × Ø Ò Õ Ù ³ × Ö Ò Ð Ý
³ ́ Ø µ ́ ¬ ́ Ø µ Ø µ ¬ ́ Ø µ ́ « ́ Ø µ Ø µ « ́ Ø µ ·
¬ ́ Ø µ
« ́ Ø µ
Ø
́ Ü Ø µ Ü
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò º ¬ Ò Ñ Ó × À ¢ ¢ Ê Ô Ó Ö
À ́ Ù Ú Ø µ
Ù
Ú
́ Ü Ø µ Ü
Ò Ø Ó Ò × ³ ́ Ø µ À ́ ¬ ́ Ø µ « ́ Ø µ Ø µ º Ë Ë ¢ ¢ Ô Ó Ö
Ë ́ Ø µ ́ ¬ ́ Ø µ « ́ Ø µ Ø µ º Ë × Ù Õ Ù Ë × Ö Ò Ð Ý × Ø Ò ³ À Æ Ë Ô Ó Ö
Ð Ó Õ Ù
³ ́ Ø µ À ́ Ë ́ Ø µ µ Ë ́ Ø µ ́ À
Ù
́ Ë ́ Ø µ µ À
Ú
́ Ë ́ Ø µ µ À
Ø
́ Ë ́ Ø µ µ µ
¼
¬ ́ Ø µ
« ́ Ø µ
½
½
À
Ù
́ Ë ́ Ø µ µ ¬ ́ Ø µ · À
Ú
́ Ë ́ Ø µ µ « ́ Ø µ · À
Ø
́ Ë ́ Ø µ µ
È Ó Ö Ù Ð Ø Ñ Ó ¸ Ð Ì Ó Ö Ñ Ù Ò Ñ Ò Ø Ð Ð Ð Ù Ð Ó Ý Ð Ø Ó Ö Ñ Ò Ø Ö Ó Ö ¸
× Ø Ò Ö
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 78/174
¿ Á Ò Ø Ö Ó Ò Ò Ê
Ò
À
Ù
́ Ù Ú Ø µ ́ Ù Ø µ À
Ú
́ Ù Ú Ø µ ́ Ú Ø µ À
Ø
́ Ù Ú Ø µ
Ú
Ù
Ø
́ Ü Ø µ Ü
È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó
³ ́ Ø µ ́ ¬ ́ Ø µ µ ¬ ́ Ø µ ́ « ́ Ø µ µ « ́ Ø µ ·
¬ ́ Ø µ
« ́ Ø µ
́ Ü Ø µ Ø Ù Ø
Ó Ö Ó Ò × Ö Ñ Ó ×
Ë
½
½
¢
¾
¾
¢ ¢
Ò
Ò
Ê
Ò
Ù Ò Ö Ø Ò Ù Ð Ó Ö Ö Ó Ý × Ë Ê º Ñ Ó ×
Ý ́ Ü
½
Ü
¾
Ü
Ò ½
µ ¾
½
½
¢
¾
¾
¢ ¢
Ò ½
Ò ½
Ý Ó Ò × Ö Ñ Ó ×
Ý
Ò
Ò
Ê
Ý
́ Ü µ ́ Ü
½
Ü
Ò ½
Ü µ
Ë Ù Ô Ó Ò Ñ Ó × Õ Ù Ô Ö Ø Ó Ý ́ Ü
½
Ü
¾
Ü
Ò ½
µ ¾
½
½
¢
¾
¾
¢ ¢
Ò ½
Ò ½
Ý
× Ò Ø Ö Ð ¸ Ò Ø Ó Ò × Ó Ø Ò Ñ Ó × Ù Ò Ù Ò Ó Ò
½
½
½
¢ ¢
Ò ½
Ò ½
Ê
Ô Ó Ö
½
́ Ü
½
Ü
Ò ½
µ
Ò
Ò
Ý
́ Ü
Ò
µ Ü
Ò
Ò
Ò
́ Ü
½
Ü
Ò ½
Ü
Ò
µ Ü
Ò
Ê Ô Ø Ñ Ó × × Ø Ô Ö Ó × Ó Ó Ö Ó Ò
½
¸ × Ö ¬ Ñ Ó ×
Þ ́ Ü
½
Ü
Ò ¾
µ ¾
½
½
¢ ¢
Ò ¾
Ò ¾
Ý ¬ Ò Ñ Ó ×
Þ
Ò ½
Ò ½
Ê
Ô Ó Ö
Þ
́ Ü µ
½
́ Ü
½
Ü
Ò ¾
Ü µ
Ó Ö × Ô Ö Ø Ó Þ ́ Ü
½
Ü
Ò ¾
µ ¾
½
½
¢ ¢
Ò ¾
Ò ¾
Þ
×
Ò Ø Ö Ð Ó Ø Ò Ñ Ó × Ù Ò Ù Ò Ó Ò
¾
½
½
¢ ¢
Ò ¾
Ò ¾
Ê
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 79/174
¿ º Ì Ó Ö Ñ Ù Ò
Ô Ó Ö
¾
́ Ü
½
Ü
Ò ¾
µ
Ò ½
Ò ½
½
́ Ü
½
Ü
Ò ¾
Ü
Ò ½
µ Ü
Ò ½
Ò ½
Ò ½
́
Ò
Ò
́ Ü
½
Ü
Ò ¾
Ü
Ò ½
Ü
Ò
µ Ü
Ò
µ
Ü
Ò ½
Ê Ô Ø Ò Ó × Ø Ô Ö Ó × Ó Ò ß Ú × ´ × Ñ Ô Ö Ý Ù Ò Ó Ò Ô × Ó Ü × Ø Ò
Ð × Ò Ø Ö Ð × µ ¸ Ó Ø Ò Ñ Ó × Ù Ò Ò Ù Ñ Ö Ó
½
½
́
¾
¾
́ ́
Ò ½
Ò ½
́
Ò
Ò
́ Ü
½
Ü
Ò
µ Ü
Ò
µ
Ü
Ò ½
µ µ
Ü
¾
µ
Ü
½
½
½
¾
¾
Ò ½
Ò ½
Ò
Ò
́ Ü
½
Ü
Ò
µ Ü
Ò
Ü
Ò ½
Ü
¾
Ü
½
Ð Ù Ð Ö Ð Ò Ó Ñ Ö Ò Ø Ö Ð Ø Ö Ò Ë
Ð Ì Ó Ö Ñ Ù Ò Ò Ó × Ð Ö Ð Ó Ò Ò Ø Ö Ð Ò Ø Ö Ð Ò Ë Ý Ð
Ò Ø Ö Ð Ø Ö Ò Ë
Ñ Ó × Ù Ø Ð Þ Ó Ò Ø Ö Ð × Ø Ö × Ò Ð Ù Ò Ó × × Ó × Ò Ø × º À Ñ Ó ×
Ó Ø Ö Ó Ñ Ô Ð Ó º
Ñ Ô Ð Ó ¿ º º º Ë ́ Ü Ý µ ¼ Ü ¾ ½ Ý ¼
Ü
Ý
¼ ½ ¾
½
¾
Ë Ø Ò
́ Ü Ý µ Ý Ü Ý
¾
Ü ¼
¼
Ý ½
́ Ü Ý µ Ý Ý
Ü
¾
Ü ¼
¼
Ý ½
¢
́ Ü Ý Ý
¾
µ Ý
£
Ü
¾
Ü ¼
Ü Ý
¾
¾
Ý
¿
¿
¼
Ý ½
Ü
¾
¼
´ ¼ ¼ µ
Ü
¾
́ ½ µ
¿
¿
Ü
¾
¼
Ü
¾
½
¿
Ü
Ü
¾
½
¿
Ü
¾
¼
½
¾
¿
¿
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 80/174
¼ ¿ Á Ò Ø Ö Ó Ò Ò Ê
Ò
Ò Ù Ò Ñ Ó × Ð Ö × Ù Ð Ø Ó Õ Ù Ñ Ó × × Ø Ó Ù × Ò Ó Ð Ù Ð Ö Ò Ø Ö Ð ×
Ô Ó Ö Ñ Ó Ò Ø Ö Ð × Ø Ö × º Æ Ó Ñ Ó × × Ù Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò
Ì Ó Ö Ñ ¿ º º ´ Ì Ó Ö Ñ Ù Ò µ º
´ ½ µ Ë Ò Ê
Ò
Ê
Ñ
Ö Ø Ò Ù Ð Ó × Ý ¢ Ê
Ò
¢ Ê
Ò
Ê
Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ó Ò Ø Ò Ù º È Ö Ü ¾ Ý Ô Ö Ý ¾ ¬ Ò Ñ Ó ×
Ð × Ù Ò Ó Ò ×
Ü
Ê
Ý
Ê
Ü
́ Ý µ ́ Ü Ý µ
Ý
́ Ü µ ́ Ü Ý µ
Ò Ø Ó Ò ×
¢
́ Ü Ý µ Ý
Ü
Ü
́ Ý µ Ý
Ü
́ Ü Ý µ Ü
Ý
Ý
́ Ü µ Ü
Ý
´ ¾ µ Ë × Ò Ø Ö Ð ´ Ò Ó Ò × Ö Ñ Ò Ø Ó Ò Ø Ò Ù µ Ý
Ü
× Ò Ø Ö Ð
Ô Ö Ü ¾ ¸ Ò Ø Ó Ò × × Ø Ò
¢
́ Ü Ý µ Ý
Ü
Ü
́ Ý µ Ý
Ü
Ë Ñ Ð Ö Ñ Ò Ø ×
Ý
× Ò Ø Ö Ð Ô Ö Ý ¾ ¸ Ò Ø Ó Ò ×
¢
́ Ü Ý µ Ü
Ý
Ý
́ Ü µ Ü
Ý Ù Ø
Ñ Ô Ð Ó ¿ º º º Ë Ð Ö Ó Ò Ê
¿
Ó Ø Ô Ó Ö Ð Ó × Ô Ð Ò Ó × Ó Ó Ö Ò Ó × Ý
Ð Ô Ð Ò Ó Õ Ù Ô × Ô Ó Ö ´ ½ ¼ ¼ µ ¸ ´ ¼ ½ ¼ µ Ý ´ ¼ ¼ ½ µ
Þ
Ý
©
Ü
¼
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
´ ¼ ¼ ½ µ
´ ¼ ½ ¼ µ
´ ½ ¼ ¼ µ
Ý ½ Ü
Á
Þ ½ Ü Ý
©
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 81/174
¿ º Ì Ó Ö Ñ Ù Ò ½
É Ù Ö Ñ Ó × Ú Ð Ù Ö Ð Ò Ø Ö Ð
́ Ü · Ý · Þ µ
¾
Ü Ý Þ
Ð Ú Ø Ó Ö Ò Ó Ö Ñ Ð Ð Ô Ð Ò Ó × ´ ½ ¼ ¼ ´ ¼ ½ ¼ µ ¢ ´ ½ ¼ ¼ µ ´ ¼ ¼ ½ µ
´ ½ ½ ¼ µ ¢ ´ ½ ¼ ½ µ
¬
¬
¬
¬
¬
¬
ß
½ ½ ¼
½ ¼ ½
¬
¬
¬
¬
¬
¬
ß · ·
´ ½ ½ ½ µ ¸ Ô Ó Ö Ð Ó Õ Ù Ð
Ù Ó Ò Ð Ô Ð Ò Ó × Ü · Ý · Þ ½ · ¼ · ¼ ½ º
È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó ́ Ü Ý Þ µ ¾ Ê
¿
Ü ¼ Ý ¼ Þ ¼ Ü · Ý · Þ ½
Ë ¬ Ò ́ Ü Ý Þ µ
́ Ü · Ý · Þ µ
¾
× ́ Ü Ý Þ µ ¾
¼ × ´ Ü Ý Þ µ ¾
Ë ́ Ü Ý ¼ µ ¾ Ê
¿
Ü ¼ Ý ¼ Ü · Ý ½
Ü
Ý
¼
½
½
Ý ½ Ü
©
À
À
Ò Ø Ó Ò ×
½ Ü Ý
¼
́ Ü · Ý · Þ µ
¾
Þ
Ü Ý
½
¼
½ Ü
¼
½ Ü Ý
¼
́ Ü · Ý · Þ µ
¾
Þ
Ý Ü
½
¼
½ Ü
¼
½ Ü Ý
¼
́ Ü · Ý · Þ µ
¾
Þ Ý Ü
½
¼
½ Ü
¼
́ Ü · Ý · Þ µ
¿
¿
½ Ü Ý
¼
Ý Ü
½
¼
½ Ü
¼
½
¿
½
¿
́ Ü · Ý µ
¿
Ý Ü
½
¼
½
¿
Ý
½
½ ¾
́ Ü · Ý µ
½ Ü
¼
Ü
½
¼
½
¿
´ ½ Ü µ
½
½ ¾
´ ½
Ü
µ
Ü
½
¿
Ü
½
Ü
¾
½
½ ¾
Ü ·
½
¼
Ü
½
¼
½
¿
½
½
½ ¾
·
½
¼
¾ ¼ ½ ¼ · ½
¼
¼
½
½ ¼
Ñ Ô Ð Ó ¿ º º º Ò Ð × Ù Ò Ø Ò Ø Ö Ð ¸ Ñ Ö Ð Ó Ö Ò Ò Ø Ö Ó Ò Ý
Ú Ð Ù Ö
½
¼
½
Ü
Ü Ý Ý Ü
È Ö Ü ¾ ¼ ½ Ü Ý ½ ¸ Ô Ó Ö Ð Ó Õ Ù × Ø Ò
́ Ü Ý µ ¾ Ê
¾
¼ Ü ½ Ü Ý ½
́ Ü Ý µ ¾ Ê
¾
¼ Ý ½ ¼ Ü Ý
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 82/174
¾ ¿ Á Ò Ø Ö Ó Ò Ò Ê
Ò
È
È
È
È
È
È
È Õ
Ý
Ü
¼ Ü ½
Ý
½
À
À
À
Ý Ü
´ ½ ½ µ
È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó × Ø Ò
½
¼
½
Ü
Ü Ý Ý Ü
½
¼
Ý
¼
Ü Ý Ü Ý
Ò Ø Ó
½
¼
½
Ü
Ü Ý Ý Ü
½
¼
Ü Ý
¾
¾
½
Ü
Ü
½
¼
Ü
¾
Ü
¿
¾
Ü
Ü
¾
Ü
½
¼
½
½
½
½
¼
Ý
¼
Ü Ý Ü Ý
½
¼
Ü
¾
Ý
¾
Ý
¼
Ý
½
¼
Ý
¿
¾
Ý
Ý
½
¼
½
¼
½
Ñ Ô Ð Ó ¿ º º º Ë Ð Ö Ó Ò Ò Ê
¿
Ó Ø Ô Ó Ö Ð Ó × Ô Ð Ò Ó × Ü ¼ Ý ¼
Þ ¾ Ý Ð × Ù Ô Ö ¬ Þ Ü
¾
· Ý
¾
º É Ù Ö Ñ Ó × Ð Ð Ö
Ü Ü Ý Þ
Ë Ø Ò Õ Ù ́ Ü Ý Þ µ ¾ Ê
¿
Ü ¼ Ý ¼ Ü
¾
· Ý
¾
¾
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 83/174
¿ º Ì Ó Ö Ñ Ù Ò ¿
©
Ü
Ý
Þ
Ô
¾
Ô
¾
¼
Ý
Ü
¾
· Ý
¾
¾
©
Ä Ò Ø Ö Ð Ù × ×
Ü Ü Ý Þ
Ô
¾
¼
Ô
¾ Ü
¾
¼
¾
Ü
¾
· Ý
¾
Ü Þ Ý Ü
Ô
¾
¼
Ô
¾ Ü
¾
¼
Ü Þ
¾
Ü
¾
· Ý
¾
Ý Ü
Ô
¾
¼
Ô
¾ Ü
¾
¼
¾ Ü Ü ́ Ü
¾
· Ý
¾
µ Ý Ü
Ô
¾
¼
¾ Ü Ý Ü
¿
Ý
Ü Ý
¿
¿
Ô
¾ Ü
¾
¼
Ü
Ô
¾
¼
¾ Ü
Ô
¾ Ü
¾
Ü
¿
Ô
¾ Ü
¾
Ü
¿
´ ¾ Ü
¾
µ
¿ ¾
Ü
Ô
¾
¼
¾ Ü ´ ¾ Ü
¾
µ
½ ¾
Ü
¿
´ ¾ Ü
¾
µ
½ ¾
Ü
¿
´ ¾ Ü
¾
µ ´ ¾ Ü µ
½ ¾
Ü
Ô
¾
¼
´ ¾ Ü
¾
µ
½ ¾
¾ Ü Ü
¿
¾
¿
Ü ·
Ü
¿
¿
Ü
Ô
¾
¼
´ ¾ Ü
¾
µ
½ ¾
¿
Ü
¾
¿
Ü
¿
Ü
¾
¿
Ô
¾
¼
Ü ´ ¾ Ü
¾
µ
½ ¾
´ ¾ Ü
¾
µ Ü
¾
¿
Ô
¾
¼
Ü ´ ¾ Ü
¾
µ
¿ ¾
Ü
¾
¿
½
¾
´ ¾ Ü
¾
µ
¾
¾
Ô
¾
¼
½
¿
¾
´ ¼ ¾
¾
µ
¾
½
́ ¾
¾
µ
Ô
¾
½
Ô
¾
Ó Ö Ò Ö Ð Þ Ñ Ó × Ð Ì Ó Ö Ñ ¿ º º ½
Ì Ó Ö Ñ ¿ º º º Ë ¢ Ê Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ó Ò Ø Ò Ù Ý × Ù Ô Ó Ò Ñ Ó ×
Õ Ù Ð Ò Ø Ö Ð
¾
́ Ü Ý µ Ü
Ý
́ Ü Ý µ Ü
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 84/174
¿ Á Ò Ø Ö Ó Ò Ò Ê
Ò
Ü × Ø Ô Ö Ø Ó Ý ¾ Ë Ê × Ø Ô Ó Ö
́ Ý µ
́ Ü Ý µ Ü
Ò Ø Ó Ò × × Ö Ú Ð Ý
́ Ý µ
Ý
́ Ü Ý µ Ü
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò º Ë Ø Ò Õ Ù
Ý
Þ
́ Ü Þ µ Þ ́ Ü Ý µ ́ Ü µ
Ô Ó Ö Ð Ó Õ Ù
Ý
Þ
́ Ü Þ µ Þ
· ́ Ü µ
Ü
́ Ü Ý µ Ü ́ Ý µ
Ù Ò
Ý
Þ
́ Ü Þ µ Þ Ü ·
́ Ü µ Ü
Ý
́
Þ
́ Ü Þ µ Ü
µ
Þ ·
́ Ü µ Ü
Ý × Ø Ò
́ Ü µ Ü Ó Ò × Ø Ò Ø º
Ë ́ Þ µ
Þ
́ Ü Þ µ Ü º Ò Ø Ó Ò × ́ Ý µ
Ý
́ Ü Ý µ Ü º Ë Ø Ò
Õ Ù × Ó Ò Ø Ò Ù Ý Õ Ù ́ Ý µ
Ý
́ Þ µ Þ · Ó Ò × Ø Ò Ø º È Ó Ö Ð Ì Ó Ö Ñ
Ù Ò Ñ Ò Ø Ð Ð Ð Ù Ð Ó × × Ù Õ Ù
́ Ý µ ́ Ý µ
Ý
́ Ü Ý µ Ü Ù Ø
¿ º Ì Ó Ö Ñ Ð Ñ Ó Î Ö Ð
Ó Ò Ð ¬ Ò Ñ Ó Ø Ú Ö Ó Ñ Ó Ñ Ó × Ö Ð Þ Ö Ñ Ó × Ú Ö Ð × Ò Ò Ø Ö Ð ×
Ñ Ù Ð Ø Ô Ð × Ó Ò × Ö Ñ Ó × Ð × Ù Ò Ø Ñ Ô Ð Ó º
Ë Ù Ô Ó Ò Ñ Ó × Õ Ù Õ Ù Ö Ñ Ó × Ð Ù Ð Ö Ð Ò Ø Ö Ð
́ Ü
¾
· Ý
¾
µ Ü Ý ¸ Ó Ò
× Ð × Ó Ù Ò Ø Ö Ó ́ ¼ ½ µ ́ Ü Ý µ ¾ Ê
¾
Ü
¾
· Ý
¾
½
Ä Ó Ö Ñ Ñ × Ð Ö Ð Þ Ö × Ø Ð Ù Ð Ó × × Ó Ò × Ö Ñ Ó × Ñ Ó
Ú Ö Ð × Ó Ó Ö Ò × Ô Ó Ð Ö × ´ Ö µ º × Ø Ñ Ó × Ø Ó Ô Ó Ö
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 85/174
¿ º Ì Ó Ö Ñ Ð Ñ Ó Î Ö Ð
Ý
Ü
¼
Ü
Ö
Ý
Ü Ö Ó × Ý Ö × Ò
Ö
Ô
Ü
¾
· Ý
¾
Ö Ø Ò
Ý
Ü
Ü Ý ¾ Ê Ö ¾ ¼ ½ µ ¾ ¼ ¾
Ò Ø Ó Ò × × Ø Ó Ô Ó Ö
Ý
Ü
¼ ½
©
² ±
³ °
́ Ö µ ¾ Ê
¾
¼ Ö ½ ¼ ¾
Ä Ö Ò Ð Ö Ò Ó Ó Ö Ò × Ô Ó Ð Ö × ¸ × Ó Ø Ò Ð × Ù Ò Ø
Ó Ö Ñ º
Ü
Ý
Ý
Ü
¼
Ö
ª
ª
ª
ª
ª
ª
ª
ª
ª
ª
Ö Ö
Ö
Â
Â
 Â
Ë Ø Ò Õ Ù Ö × Ð Ö Ò Ð Ö Ó Ý Ö × Ð Ö Ò Ð Ð
Ö Ó º È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó Ð Ö Ò Ð Ð Ö Ó Ø Ô Ó Ö Ð Ó × Ö Ý Ó × ·
Ù Ò Ø Ó Ó Ò Ð Ó × Ö Ó × Ö Ý Ö · Ö × Ö Ö ¸ × Ö Ü Ý Ö Ö
Ò Ð Ñ Ò Ø Ó Ø Ò Ñ Ó × Ð Ò Ø Ö Ð
́ Ü
¾
· Ý
¾
µ Ü Ý
½
½
Ô
½ Ü
¾
Ô
½ Ü
¾
́ Ü
¾
· Ý
¾
µ Ý Ü
½
¼
¾
¼
Ö
¾
́ Ö Ö µ
Ö
¼
¢
Ö
¿
£
¾
¼
Ö
½
¼
¾ Ö
¿
Ö
¾ Ö
½
¼
¾
¾
Ò Ð × Ó Ù Ò Ú Ö Ð ¸ Ð Ì Ó Ö Ñ Ñ Ó Î Ö Ð × Ð × ¹
Ù Ò Ø º
Ì Ó Ö Ñ ¿ º º ½ ´ Ñ Ó Î Ö Ð Ò Ù Ò Ú Ö Ð µ º Ë Ò Ê Ê
Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ó Ò Ø Ò Ù Ý Ê Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ø Ð Õ Ù × Ö Ò Ð Ý × Ù
Ö Ò Ð × Ó Ò Ø Ò Ù ¸ × Ø Ó × ¸ × Ð ×
½
º Ò Ø Ó Ò ×
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 86/174
¿ Á Ò Ø Ö Ó Ò Ò Ê
Ò
́ ́ Ü µ µ ́ Ü µ Ü
́ µ
́ µ
́ Ü µ Ü
× Ö ¸
́ Æ µ
́ µ
́ µ
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò º Ë Ù Ò Ô Ö Ñ Ø Ú ¸ × Ö ¸ × Ø × Õ Ù ́ Ü µ
́ Ü µ ¸ Ð Ù Ð Ü × Ø Ô Ù × × Ó Ò Ø Ò Ù ´ Ì Ó Ö Ñ Ù Ò Ñ Ò Ø Ð Ð Ð Ù Ð Ó µ ¸
Ô Ó Ö Ñ Ô Ð Ó ́ Ü µ
Ü
¼
́ Ø µ Ø º Ò Ø Ó Ò ×
́ µ
́ µ
́ Ü µ Ü ́ Ü µ
́ µ
́ µ
́ ́ µ µ ́ ́ µ µ
Ó Ö × Ø Ò Õ Ù ´ Æ µ ́ Ü µ ́ ́ Ü µ µ ́ Ü µ ́ ́ Ü µ µ ́ Ü µ ¸ × Ö ¸
Æ × Ù Ò Ô Ö Ñ Ø Ú ´ Æ µ º È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó
́ Æ µ
́ ́ Ü µ µ ́ Ü µ Ü Æ
́ Æ µ ́ µ ́ Æ µ ́ µ
́ ́ µ µ ́ ́ µ µ
́ µ
́ µ
Ù Ø
Ó Ñ Ó Ú Ñ Ó × ¸ Ð Ì Ó Ö Ñ Ñ Ó Ú Ö Ð Ò Ð × Ó Ö Ð × × Ò ¹
Ð Ð Ó Ô Ö Ó Ö º Í Ò Ð × Ö Ò × Ù Ò Ñ Ò Ø Ð × Ó Ò Ú Ö × Ú Ö Ð × ×
Õ Ù Ð Ö × Ô Ø Ú Ó Ì Ó Ö Ñ Ñ Ó Ú Ö Ð × Ñ Ù × Ñ Ó Ñ × Ð
Ô Ö Ó Ö º Æ Ó Ô Ö × Ò Ø Ö Ñ Ó × × Ù Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò Ô Ö Ó × Ò Ð Ö Ñ Ó × Ù Ò Ù × Ø ¬ Ó Ò
Ò Ø Ù Ø Ú º
Ì Ó Ö Ñ ¿ º º ¾ ´ Ì Ó Ö Ñ Ñ Ó Î Ö Ð µ º Ë Ê
Ò
Ù Ò
Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ó Ø Ó Õ Ù Ø Ò Ú Ó Ð Ù Ñ Ò ¸ × Ö ¸ × Ê Ñ Ò Ò Ò Ø Ö Ð Ý ×
Ê
Ò
Ù Ò Ñ Ô Ó
½
¸ × Ö × Ö Ò Ð Ý Ö Ò Ð × Ó Ò Ø Ò Ù º
Ë ́ µ º È Ö Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ê Ó Ø Ò Ø Ö Ð Ò ×
Ø Ò Õ Ù Ð Ù Ò Ó Ò ́ Æ µ Ø × Ò Ø Ö Ð Ò Ý × Ø Ò
́ µ
́ Æ µ Ø
× Ø Ó × ¸
́ µ
́ Æ µ Ø
½
́ µ
́ Æ µ Ø
Ò Ó Ø Ö × Ô Ð Ö ×
́ Ý
½
Ò
µ Ý
½
Ý
Ò
́ ́ Ü
½
Ü
Ò
µ µ
¬
¬
¬
¬
́
½
Ò
µ
́ Ü
½
Ü
Ò
µ
¬
¬
¬
¬
Ü
½
Ü
Ò
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 87/174
¿ º Ì Ó Ö Ñ Ð Ñ Ó Î Ö Ð
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò º Ä Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò × Ñ Ù Ý Ø Ò Ô Ö Ó Ð Ó Õ Ù Ö Ñ Ó × × Ö
Ù Ò Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò Ò Ø Ù Ø Ú Ò Ó Ö Ñ Ð Ð × Ù Ò Ø Ó Ö Ñ º
Ë Ë Ù Ò Ö Ø Ò Ù Ð Ó Ñ Ù Ý Ô Õ Ù Ò Ó Ò
Ë
Â
Â
Â
Â
Â
Â
Â
Â
Â
Â
Â
Â
́ µ
́ Ë µ
Ò Ø Ó Ò × Ð Ù Ò Ó Ò × × Ò Ö Ë º Í Ò Ø Ö Ò × Ó Ö Ñ Ó Ò Ò
× Ù Ò Ø Ö Ò × Ð Ó Ò Ù Ò Ø Ö Ò × Ó Ö Ñ Ó Ò Ð Ò Ð º × Ø Ó × Õ Ù ́ Ü µ
́ Ü
¼
µ · ́ Ü
¼
µ ́ Ü Ü
¼
µ Ô Ö Ü
¼
¾ Ë º È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó ́ Ë µ × × Ù Ò Ô Ö Ð Ð Ô ¹
Ô Ó º
Ò Ð × Ó Õ Ù Ù × Ò ¸ Ð Ú Ó Ð Ù Ñ Ò ́ Ë µ × Ö Ø ́ Ü µ Ú Ó Ð ´ Ë µ
Ó Ò × Ù Ò Ø Ö Ò × Ó Ö Ñ Ó Ò Ð Ò Ð Ý ́ Ü µ · ́ Ü µ
È Ó Ö Ó Ø Ö Ó Ð Ó ¸ Ó Ñ Ó Ñ Ò Ó Ò Ñ Ó × Ö Ö ¸ ́ Ü
¼
µ · ́ Ü
¼
µ ́ Ü Ü
¼
µ × Ô Ö Ó Ü ¹
Ñ Ñ Ò Ø Ö Ü
¼
Ý Ñ × × Ò º Ë × Ù Õ Ù
Ú Ó Ð ´ ́ Ë µ µ Ú Ó Ð ´ ́ Ü
¼
µ ́ Ë µ µ Ø Ú Ó Ð ´ Ë µ
È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó
́ Ý µ Ú Ó Ð ´ ́ Ë µ µ ́ ́ Ü µ µ Ø ́ Ü µ Ú Ó Ð ´ Ë µ
Ó Ò Ý ́ Ü µ Ü ¾ Ë º Õ Ù × Ó Ø Ò
́ µ
Ð Ñ
¡ È ¼
Ý ¾ ́ Ë µ
Ë ¾ È Ô Ö Ø Ó Ò
́ Ý µ Ú Ó Ð ´ ́ Ë µ µ
Ð Ñ
¡ È ¼
Ü ¾ Ë
Æ
Ë ¾ È Ô Ö Ø Ó Ò
́ ́ Ü µ µ Ø ́ Ü µ Ú Ó Ð ´ Ë µ
́ Æ µ Ø
Ó Ò ¡ È Ò Ó Ø Ð Ñ Ø Ö Ó Ð Ô Ö Ø Ó Ò È ¸ × Ö ¸ Ð Ñ Ü Ñ Ð Ó Ò Ø Ù
Ð Ù Ò × Ù Ö Ø Ò Ù Ð Ó Ð Ô Ö Ø Ó Ò Ù Ø
Ñ Ô Ð Ó ¿ º º ¿ º Ø Ö Ñ Ò Ñ Ó × Ð Ú Ó Ð Ù Ñ Ò Ð Ô Ö Ð Ð Ô Ô Ó Ò Ö Ó Ô Ó Ö
Ð Ó × Ú Ø Ó Ö × ´ ½ ½ ½ µ ¸ ´ ¾ ¿ ½ µ Ý ´ ¼ ½ ½ µ Ò Ê
¿
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 88/174
¿ Á Ò Ø Ö Ó Ò Ò Ê
Ò
¿
¾
½
Þ
Ý
©
Ü
¼ ´ ¼ ¼ ¼ µ
½ ¾ ¿
×
½
¾
¿
×
´ ½ ½ ½ µ
Þ
×
´ ½ ¾ ¾ µ
×
´ ¼ ½ ½ µ
É
É
É ×
×
´ ¾ ¿ ½ µ
¡
¡
¡
¡
¡
¡
×
´ ¾ ¾ µ
Á
×
´ ¿ ¾ µ
Å
×
´ ¿ ¿ µ
Ð Ô Ö Ð Ð Ô Ô Ó Ù × Ó È ¸ × Ø Ø Ö Ñ Ò Ó Ô Ó Ö Ð Ó × Ô Ù Ò Ø Ó ×
´ ¼ ¼ ¼ µ ´ ½ ½ ½ µ ´ ¾ ¿ ½ µ ´ ¼ ½ ½ µ
´ ½ ½ ½ µ · ´ ¾ ¿ ½ µ ´ ¿ ¾ µ
´ ½ ½ ½ µ · ´ ¼ ½ ½ µ ´ ½ ¾ ¾ µ
´ ¾ ¿ ½ µ · ´ ¼ ½ ½ µ ´ ¾ ¾ µ
´ ½ ½ ½ µ · ´ ¾ ¿ ½ µ · ´ ¼ ½ ½ µ ´ ¿ ¿ µ
Ë Ì Ê
¿
Ê
¿
Ð Ø Ö Ò × Ó Ö Ñ Ó Ò Ð Ò Ð Ô Ó Ö
Ì ´ ½ ¼ ¼ µ ´ ½ ½ ½ µ Ì ´ ¼ ½ ¼ µ ´ ¾ ¿ ½ µ Ì ´ ¼ ¼ ½ µ ´ ¼ ½ ½ µ
Ë Í × Ð Ô Ö Ð Ð Ô Ô Ó Ò Ê
¿
Ò Ö Ó Ô Ó Ö Ð Ó × Ú Ø Ó Ö × ´ ½ ¼ ¼ µ ¸ ´ ¼ ½ ¼ µ
Ý ´ ¼ ¼ ½ µ Ý × È Ð Ô Ö Ð Ð Ô Ô Ó Ò Ö Ó Ô Ó Ö Ð Ó × Ú Ø Ó Ö × ´ ½ ½ ½ µ ¸ ´ ¾ ¿ ½ µ
Ý ´ ¼ ½ ½ µ º Ò Ø Ó Ò × Í ¼ ½ ¢ ¼ ½ ¢ ¼ ½ Ý È Ì ́ Í µ º Ë Ø Ò Õ Ù Ì Ì
Ý Ô Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó
Ú Ó Ð ´ È µ
È
½
½
Ì
Ì ́ Í µ
½
Í
́ Æ µ Ø
Í
Ø Ì
Í
¾
½
¼
½
¼
½
¼
¾ Þ Ý Ü
½
¼
½
¼
¾ Ý Ü
½
¼
¾ Ü ¾
Ä Ó Ò Ø Ö Ó Ö × Õ Ù Ó Ò Ö × Ô Ø Ó Ð × Ò Ó Ò ¸ Ì Ø Ò Ö Ô Ö ¹
× Ò Ø Ó Ò Ñ Ø Ö Ð
¼
½ ¾ ¼
½ ¿ ½
½ ½ ½
½
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 89/174
¿ º Ì Ó Ö Ñ Ð Ñ Ó Î Ö Ð
Ý Ô Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó Ø Ì ¿ · ¼ · ¾ ¼ ¾ ½ ¾ ¸ Ó Ò × × Ù Õ Ù
Ú Ó Ð ´ È µ Ø Ì ¾ ¾ ´ Ó × Ñ Ô Ð Ñ Ò Ø ¸
Í
¾ ¾ Ú Ó Ð ´ Í µ ¾ ½ ¾ µ º
Ñ Ô Ð Ó ¿ º º º É Ù Ö Ñ Ó × Ú Ð Ù Ö
½
¼
½
¼
́ Ü
Ý
µ Ü Ý Ù × Ò Ó Ð Ñ Ó
Ú Ö Ð ¸ Ù Ü
¾
Ý
¾
Ú ¾ Ü Ý
È Ö × Ø Ó ¸ Ó Ò × Ö Ñ Ó × ́ Ü Ý µ ́ Ù Ú µ ́ Ü
¾
Ý
¾
¾ Ü Ý µ º Ë Ø Ò Õ Ù Ô Ö
¼ Ü ½ ¼ Ý ½ × Ò Ý Ø Ú Ô Ù × × ́ Ü
½
Ý
½
µ ́ Ü
¾
Ý
¾
µ ¸ Ò Ø Ó Ò ×
Ü
¾
½
Ý
¾
½
Ü
¾
¾
Ý
¾
¾
¾ Ü
½
Ý
½
¾ Ü
¾
Ý
¾
È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó ¸ × Ý
¾
¼ ¸ Ò Ø Ó Ò × Ü
½
Ý
½
¼ º Ò Ð × Ó Õ Ù Ý
½
¼ ¸ × Ø Ò
Õ Ù Ü
½
¼ º Õ Ù × × Ù Õ Ù Ý
¾
½
Ü
¾
¾
Ô Ö Ó Ý
¾
½
¼ Ý Ü
¾
¼ Ð Ó Ù Ð
× Ñ Ô Ó × Ð º È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó Ý
½
¼ º È Ó Ö Ó Ø Ö Ó Ð Ó Ü
¾
½
Ü
¾
¾
Ð Ó Ù Ð Ñ Ô Ð Õ Ù
Ü
½
Ü
¾
Ó Ö Ò ¸ Ò Ð × Ó Õ Ù Ý
¾
¼ ¸ Ø Ò Ö Ñ Ó × Ü
¾
Ü
½
Ý
½
Ý
¾
Ý Ü
¾
½
Ý
¾
½
Ü
¾
½
Ý
¾
½
Ý
¾
¾
Ý
¾
¾
º È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó Ü
¾
½
· Ý
¾
½
Ý
¾
½
Ü
¾
½
Ý
¾
¾
· ½
Ý
¾
½
Ü
¾
½
· Ý
¾
¾
Ý
¾
¾
¸ Ð Ó Ù Ð
Ñ Ô Ð
Ý
¾
½
Ý
¾
¾
½ Ý Ý
½
Ý
¾
º Ë × Ù Õ Ù Ü
½
Ü
¾
Ý Ô Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó × ½ ½ Ò
¼ ½ ¢ ¼ ½ Ó Ñ Ó ¬ Ö Ñ Ñ Ó × º
Ü
Ý
¼
½
½
¼ ½ ¢ ½
¼ ½ ¢ ¼
¼ ¢ ¼ ½ ½ ¢ ¼ ½
Ù
¾
Ú
½ ¼ ½
́ ¼ ¢ ¼ ½ µ
´ ¼ ½ ¢ ¼ µ
´ ¼ ½ ¢ ½ µ
À
À
Ú
¾
́ Ù · ½ µ
́ ½ ¢ ¼ ½ µ
Ú
¾
´ ½ Ù µ
©
́ µ
Ñ ×
́ Ü ¼ µ ´ Ü
¾
¼ µ ¼ Ü ½ µ ¼ Ü
¾
½
Ô Ó Ö Ð Ó Õ Ù
´ ¼ ½ ¢ ¼ µ ¼ ½ ¢ ¼
́ Ü ½ µ ´ Ü
¾
½ ¾ Ü µ ́ Ù Ú µ ¼ Ü ½ µ ¼ ¾ Ü ¾
Ó Ò
¼ Ú ¾ Ý Ú
¾
Ü
¾
Ù Ü
¾
½ µ Ü
¾
Ù · ½
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 90/174
¼ ¿ Á Ò Ø Ö Ó Ò Ò Ê
Ò
È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó Ú
¾
́ Ù · ½ µ
´ ¼ Ý µ ́ Ý
¾
¼ µ ¼ Ý ½ µ ½ Ý
¾
¼
Ò Ø Ó Ò ×
́ ¼ ¢ ¼ ½ µ ½ ¼ ¢ ¼
´ ½ Ý µ ´ ½ Ý
¾
¾ Ý µ ́ Ù Ú µ ¼ Ý ½ µ ¼ ¾ Ý ¾
Ô Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó
¼ Ú ¾ Ý Ú
¾
Ý
¾
Ù ½ Ý
¾
È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó
Ý
¾
½ Ù µ Ú
¾
´ ½ Ù µ ́ Ù ½ µ
Ó Ö Ò ¸ Ø Ò Ñ Ó ×
́ Ü Ý µ
¾
½
Ü
½
Ý
¾
Ü
¾
Ý
¿
¾
¾ Ü ¾ Ý
¾ Ý ¾ Ü
¿
È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó Ø ́ Ü Ý µ ´ Ü
¾
· Ý
¾
µ
Ó Ö ¸ × Ø Ò Õ Ù
Ü
Ý
́ Ü
¾
Ý
¾
µ ́ Ü
¾
· Ý
¾
µ
Ü
¾
Ý
¾
´ ́ Ü
¾
· Ý
¾
µ µ
́ Æ µ ́ Ü Ý µ Ø ́ Ü Ý µ
× Ö
́ Æ µ ́ Ü Ý µ ́ Ü
¾
Ý
¾
¾ Ü Ý µ
Ü
¾
Ý
¾
¬ Ò Ñ Ó × ́ Ù Ú µ
Ù
Ë Ø Ò
́ Æ µ Ø
½
¼
½
¼
́ Ü
Ý
µ Ü Ý
́ µ
́ µ
Ù
Ù Ú
Ù
¾
× ×
×
×
Ú
½ ¼ ½
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 91/174
¿ º Ì Ó Ö Ñ Ð Ñ Ó Î Ö Ð ½
È Ó Ö Ó Ø Ö Ó Ð Ó × Ø Ò
Ì ́ µ
¼ ½
¾
¡
́ Ù Ú µ ¾ Ê
¾
¼ Ú ¾
Ú
¾
½ Ù ½
Ú
¾
È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó
½
¼
½
¼
́ Ü
Ý
µ Ü Ý
¾
¼
½
Ú
¾
Ú
¾
½
Ù
Ù Ú
¾
¼
Ù
¾
½
Ú
¾
Ú
¾
½
Ú
½
¾
¼
́
½
Ú
¾
¾
Ú
¾
½
¾
µ
Ú ¼
Î Ö ¬ Ñ Ó × Ð Ò Ø Ö Ð
½
¼
½
¼
́ Ü
Ý
µ Ü Ý
½
¼
Ü
Ý
Ü
½
¼
Ý
½
¼
½
Ý
Ý
½
Ý
Ý
½
¼
½
½
¼ · ¼ ¼
Ñ Ô Ð Ó ¿ º º º Ë Ë Ð Ö Ø Ò Ù Ð Ó Ó Ø Ó Ô Ó Ö Ð Ó × × Ü Ý Ý Ý Ð Ð Ò
Ü · Ý ¾ º Ð Ù Ð Ñ Ó ×
Ë
Ý Ü
Ý · Ü
Ü Ý
Ý
Ü
¾
½
¼ ¾ ½
Ë Ò Ù Ý Ü Ú Ý · Ü Ý ́ Ü Ý µ ́ Ù Ú µ ́ Ý Ü Ý · Ü µ º Ò Ø Ó Ò ×
Ø ́ Ü Ý µ Ø
½ ½
½ ½
¾
Ë Ø Ò
Ý Ü
Ý · Ü
Ý Ü
Ý · Ü
¾
´ ¾ µ ´ Æ µ ́ Ü Ý µ Ø ́ Ü Ý µ
È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó
́ Æ µ ́ Ü Ý µ ́ Ý Ü Ý · Ü µ
Ý Ü
Ý · Ü
¾
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 92/174
¾ ¿ Á Ò Ø Ö Ó Ò Ò Ê
Ò
Ò Ø Ó Ò × ́ Ù Ú µ
½
¾
Ù Ú
º Ñ × Ê
¾
Ê
¾
× Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ò Ý Ø Ú º
È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó
Ë
Ý Ü
Ý · Ü
Ü Ý
Ë
́ Æ µ Ø
́ Ë µ
Ë Ø Ò Õ Ù × Ð Ø Ö Ò × Ó Ö Ñ Ó Ò Ð Ò Ð Ý ´ ¼ ¼ µ ´ ¼ ¼ µ ´ ¾ ¼ µ
́ ¾ ¾ µ ´ ¼ ¾ µ ´ ¾ ¾ µ º È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó ́ Ë µ ́ Ù Ú µ ¾ Ê
¾
¼ Ú ¾ Ú
Ù Ú
Ý
Ü
¾
½
¼ ¾ ½
Ë
©
Ü · Ý ¾
Ú
Ù
´ ¼ ¾ µ ´ ¾ ¾ µ ´ ¾ ¼ µ ´ ¾ ¾ µ
¾
Ú Ù
́ Ë µ
Ú Ù
¾ ½ ½ ¾
¼ ´ ¼ ¼ µ ´ ¼ ¼ µ
½
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
Ë Ø Ò
Ë
́ Æ µ Ø
Ë
Ý Ü
Ý · Ü
Ü Ý
́ Ë µ
¾
¼
Ú
Ú
½
¾
Ù Ú
Ù Ú
½
¾
¾
¼
Ú
Ù Ú Ú
Ú
Ú
½
¾
¾
¼
Ú ́
½
µ Ú
½
¾
́
½
µ
Ú
¾
¾
¾
¼
½
½
¾
½
¿ º Ó Ó Ö Ò × È Ó Ð Ö × ¸ × Ö × Ý Ð Ò Ö ×
Ó Ñ Ó × Ó × Ô Ö Ø Ù Ð Ö × Ð Ì Ó Ö Ñ Ð Ñ Ó Ú Ö Ð Ô Ö × Ò Ø Ö Ñ Ó ×
Ò × Ø × Ó Ò Ð × Ó Ó Ö Ò × Ô Ó Ð Ö × Ò Ê
¾
¸ Ý × Ù × Ò Ö Ð Þ Ó Ò × Ø Ö ×
Ñ Ò × Ó Ò × Õ Ù × Ó Ò Ð × Ó Ó Ö Ò × × Ö × Ý Ð × Ó Ó Ö Ò × Ð Ò Ö ×
¿ º º ½ Ó Ó Ö Ò × È Ó Ð Ö ×
Ë ¼ ½ µ ¢ ¼ ¾ Ê
¾
Ô Ó Ö ́ Ö µ ́ Ö Ó × Ö × Ò µ × Ò Ý Ø Ú
Ò ´ ¼ ½ µ ¢ ´ ¼ ¾ µ º È Ó Ò Ñ Ó × Ü Ö Ó × Ý Ö × Ò ¼ Ö ½ ¼ ¾
Ó Ò Ö
Ô
Ü
¾
· Ý
¾
Ö Ø Ò Ý Ü ¾ ¼ ¾ ́ Ü ¼ µ º
× Ö ¸ Ò Ó Ò × Ò Ý Ø Ú ¸ × Ø Ò Õ Ù
½
́ Ü Ý µ ́ Ö µ ́
Ô
Ü
¾
· Ý
¾
Ö Ø Ò Ý Ü µ
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 93/174
¿ º Ó Ó Ö Ò × È Ó Ð Ö × ¸ × Ö × Ý Ð Ò Ö × ¿
Ó Ò
Ö Ø Ò Ý Ü ¾
¼
¾
× Ý ¼ Ü ¼
Ö Ø Ò Ý Ü ¾
¾
× Ý ¼ Ü ¼
Ö Ø Ò Ý Ü ¾
¿
¾
× Ý ¼ Ü ¼
Ö Ø Ò Ý Ü ¾
¿
¾
¾
× Ý ¼ Ü ¼
Ö
¾
¼
Ý
¼
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
Ü
Ý
Ü
́ Ü Ý µ
¼
¤
Ö Ó ×
Ö × Ò Ý
Ö
Ë Ø Ò
Ø ́ Ö µ Ø
¾
½
Ö
½
¾
Ö
¾
¿
Ø
¾
Ó × Ö × Ò
× Ò Ö Ó ×
¿
Ö
Ó ×
¾
· × Ò
¾
¡
Ö
Ó Ë Ê
¾
¸ × Ì
½
́ Ë µ ́
Ë
× Ò Ý Ø Ú µ Ý Ì Ê
¾
Ë Ê
¾
́ Ì µ Ë ¸ Ò Ø Ó Ò ×
́ Ì µ Ë
́ Ü Ý µ Ü Ý
Ì
́ Æ µ Ø
Ì
́ Ö Ó × Ö × Ò µ Ö Ö
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 94/174
¿ Á Ò Ø Ö Ó Ò Ò Ê
Ò
Ñ Ô Ð Ó ¿ º º ½ º Ë ́ Ü Ý µ ¾ Ê
¾
½ ́ Ü Ý µ ¾ º Ð Ù Ð Ñ Ó ×
Ü
¾
· Ý
¾
¡
¿ ¾
Ü Ý
¼
©
̈
̈
̈¶
×
Ü
Ý
½
¾
Ë Ò ́ Ö µ ½ Ö ¾ ¼ ¾ ´ ½ ¾ µ ¢ ¼ ¾ µ Ý ́ Ü Ý µ
́ Ü
¾
· Ý
¾
µ
¿ ¾
º Ë Ø Ò Õ Ù ́ µ Ó Ò ́ Ö µ ́ Ö Ó × Ö × Ò µ ́ Ü Ý µ
Ò Ø Ó Ò ×
́ µ
́ Æ µ Ø
Ö ́ Ö Ó × Ö × Ò µ Ö
¾
½
¾
¼
́ Ö
¾
µ
¿ ¾
Ö Ö ¾
¾
½
Ö
¾
Ö ¾ Ö
½ ¾
½
¾
½
¾
· ½
¿ º º ¾ Ó Ó Ö Ò × × Ö ×
Ë ¼ ½ µ ¢ ¼ ¾ ¢ ¼ Ê
¿
Ô Ó Ö
́ Ö ³ µ ́ Ü Ý Þ µ ́ Ö × Ò ³ Ó × Ö × Ò ³ × Ò Ö Ó × ³ µ
Þ
Ý
©
Ü
Þ Ö Ó × ³
Ü Ö × Ò ³ Ó ×
Ý Ö × Ò ³ × Ò
¤
¦ ¥
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¼
³
Ö
É
É
É
É
É
É
́ Ü Ý Þ µ
× Ò Ý Ø Ú × Ó Ö
´ ¼ ½ µ ¢ ´ ¼ ¾ µ ¢ ´ ¼ µ Ý
Ü Ö × Ò ³ Ó ×
Ý Ö × Ò ³ × Ò
Þ Ö Ó × ³
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 95/174
¿ º Ó Ó Ö Ò × È Ó Ð Ö × ¸ × Ö × Ý Ð Ò Ö ×
Ë Ø Ò
Ø ́ Ö ³ µ Ø
¾
Ü
Ö
Ü
Ü
³
Ý
Ö
Ý
Ý
³
Þ
Ö
Þ
Þ
³
¿
Ø
¾
× Ò ³ Ó × Ö × Ò ³ × Ò Ö Ó × ³ Ó ×
× Ò ³ × Ò Ö × Ò ³ Ó × Ö Ó × ³ × Ò
Ó × ³ ¼ Ö × Ò ³
¿
Ó × ³ Ø
¾
Ö × Ò ³ × Ò Ö Ó × ³ Ó ×
Ö × Ò ³ Ó × Ö Ó × ³ × Ò
¿
Ö × Ò ³ Ø
¬
¬
¬
¬
¬
¬
× Ò ³ Ó × Ö × Ò ³ × Ò
× Ò ³ × Ò Ö × Ò ³ Ó ×
¬
¬
¬
¬
¬
¬
Ó × ³
Ö
¾
× Ò ³ Ó × ³ × Ò
¾
Ö
¾
× Ò ³ Ó × ³ Ó ×
¾
¡
Ö
¾
× Ò
¿
³
Ó ×
¾
· × Ò
¾
¡
Ö
¾
× Ò ³ Ó ×
¾
³
× Ò
¾
· Ó ×
¾
¡
Ö
¾
× Ò
¿
³
Ö
¾
× Ò ³
Ó ×
¾
³ · × Ò
¾
³
¡
Ö
¾
× Ò ³
È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó Ø ́ Ö ³ µ Ö
¾
× Ò ³
Ó Ê
¿
¸ ×
½
́ µ ́
× Ò Ý Ø Ú µ Ý ́ µ º È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó
́ µ
́ Ü Ý Þ µ Ü Ý Þ
́ Ö × Ò ³ Ó × Ö × Ò ³ × Ò Ö Ó × ³ µ Ö
¾
× Ò ³ Ö ³
Ñ Ô Ð Ó ¿ º º ¾ º Ë Ê
¿
Ê ́ Ü Ý Þ µ Ü
¾
· Ý
¾
· Þ
¾
Ý × ́ Ü Ý Þ µ ¾
Ê
¿
Ü
¾
· Ý
¾
· Þ
¾
½ º Ð Ù Ð Ñ Ó ×
́ Ü Ý Þ µ Ü Ý Þ
Ë ́ Ö ³ µ ́ Ü Ý Þ µ º Ò Ø Ó Ò × Ü
¾
· Ý
¾
· Þ
¾
Ö
¾
Ý Ô Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó ´ Æ
µ ́ Ö ³ µ Ö
¾
Ë ́ Ö ³ µ ¼ Ö ½ ¼ ¾ ¼ ³ º Ò Ø Ó Ò × ́ µ
Ý Ô Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 96/174
¿ Á Ò Ø Ö Ó Ò Ò Ê
Ò
́ Ü Ý Þ µ Ü Ý Þ
́ Æ µ ́ Ö ³ µ Ö
¾
× Ò ³ Ö ³
¼
¾
¼
½
¼
Ö
¾
Ö
¾
× Ò ³ Ö ³
¼
¾
¼
Ö
½
¼
× Ò ³ ³
½
´ ¾ µ Ó × ³
¼
¾
́ ́ ½ µ · ½ µ
¿ º º ¿ Ó Ó Ö Ò × Ð Ò Ö ×
Ë ´ ¼ ½ µ ¢ ¼ ¾ µ ¢ Ê Ê
¿
Ô Ó Ö
́ Ö Þ µ ́ Ö Ó × Ö × Ò Þ µ ́ Ü Ý Þ µ
Ë Ø Ò Õ Ù × Ò Ý Ø Ú Ò ´ ¼ ½ µ ¢ ¼ ¾ µ ¢ Ê Ý Ü Ö Ó × Ý Ö × Ò
Þ Þ
Þ
Ý
©
Ü
Þ Þ
Ü Ö Ó ×
Þ
Ý Ö × Ò
¦ ¥
Ö
¼
É
É
É
É
Ë Ø Ò
Ø ́ Ö Þ µ Ø
¾
Ü
Ö
Ü
Ü
Þ
Ý
Ö
Ý
Ý
Þ
Þ
Ö
Þ
Þ
Þ
¿
Ø
¾
Ó × Ö × Ò ¼
× Ò Ö Ó × ¼
¼ ¼ ½
¿
Ö ´ Ó ×
¾
· × Ò
¾
µ Ö
È Ö Ê
¿
¸ ×
½
́ µ ́
× Ò Ý Ø Ú µ Ý ́ µ º Ò Ø Ó Ò ×
́ µ
́ Ü Ý Þ µ Ü Ý Þ
́ Ö Ó × Ö × Ò Þ µ Ö Ö Þ
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 97/174
¿ º Ó Ó Ö Ò × È Ó Ð Ö × ¸ × Ö × Ý Ð Ò Ö ×
Ñ Ô Ð Ó ¿ º º ¿ º Ë ́ Ü Ý Þ µ Þ
Ü
¾
Ý
¾
Ý × Ê ́ Ü Ý Þ µ ¾ Ê
¿
Ü
¾
·
Ý
¾
½ ¼ Þ ½
Ð Ù Ð Ñ Ó ×
Ê
́ Ü Ý Þ µ Ü Ý Þ
Ë ́ Ö Þ µ ¼ Ö ½ ¼ ¾ ¼ Þ ½ º Ò Ø Ó Ò × ́ µ Ê
Þ
Ý
©
Ü
½
¼
É
É ×
½
Ê
È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó
Ê
́ Ü Ý Þ µ Ü Ý Þ
Ê
Þ
Ü
¾
Ý
¾
Ü Ý Þ
Þ
Ö
¾
Ö Ö Þ
½
¼
¾
¼
½
¼
Þ
Ö
¾
Ö Ö Þ
½
¾
½
¼
¾
¼
Þ
Ö
¾
½
¼
Þ
½
¾
½
¼
¾
¼
Þ
½
½
Þ
½
½
½
¼
Þ Þ
½
½
Þ
¾
¾
½
¼
¾
½
½
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 98/174
¿ Á Ò Ø Ö Ó Ò Ò Ê
Ò
¿ º Ö Ó ×
Ö Ó ¿ º º ½ º Ë ¼ ½ Ê ́ Ü µ
¼ Ü
½
¾
½ Ü
½
¾
º È Ö Ó Ö Õ Ù ×
Ò Ø Ö Ð Ý
½
¼
¼
Ö Ó ¿ º º ¾ º Ë ¼ ¾ Ê ́ Ü µ
¼ ¼ Ü ½
½ ½ Ü ¾
º Ð Ù Ð Ö ¸ Ù × Ò Ó
Ð ¬ Ò Ó Ò
¾
¼
Ö Ó ¿ º º ¿ º Ö Ù Ñ Ò Ø Ö Ð Ô Ó Ö Õ Ù ́ Ü Ý µ ¾ Ê
¾
Ü
¾
· Ý
¾
½ Ø Ò
Ñ ¼ º
Ö Ó ¿ º º º È Ö Ó Ö Õ Ù É ¼ ½ Ø Ò Ñ ¼ º
Ö Ó ¿ º º º Ë Ø Ò Ñ ¼ ¸ × Ø Ò Ò × Ö Ñ Ò Ø Õ Ù Ø Ò
Ñ ¼
Ö Ó ¿ º º º Ë ́ Ü Ý µ ½ × Ü ¼ Ý ´ ¼ Ý µ ¼ º È Ö Ó Ö Õ Ù ×
Ò Ø Ö Ð Ò ¼ ½ ¢ ¼ ½ Ê
¾
º Ð Ù Ð Ö
Ö Ó ¿ º º º Ú Ð Ù Ö
µ º ¹
½
¼
́ Ü · ¾ µ
Ü
µ º ¹
¼
Ü
¿ Ü
¾
Ü
Ö Ó ¿ º º º Ë Ê Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ê Ñ Ò Ò Ò Ø Ö Ð Ø Ð Õ Ù
́ Ü µ Å Ô Ö Ø Ó Ü ¾ º Ë ́ Ü µ
Ü
́ Ø µ Ø º È Ö Ó Ö Õ Ù ́ Ý µ
́ Ü µ Å Ý Ü Ý Ù Ö Õ Ù × Ó Ò Ø Ò Ù º
Ö Ó ¿ º º º Ë ¼ ½ Ê ́ Ü µ
½ × Ü ½ Ò Ò ¾ Æ
¼ Ò Ó Ø Ö Ó × Ó
µ º ¹ È Ö Ó Ö Õ Ù × Ò Ø Ö Ð º
µ º ¹ È Ö Ó Ö Õ Ù
½
¼
́ Ü µ Ü ¼
Ö Ó ¿ º º ½ ¼ º È Ö Ó Ö Õ Ù
½
½
Ü
Ü
Ô
Ü Ó Ò Ú Ö Ô Ö Ø Ó Ô
Ë Ù Ö Ò È Ö Ó Ö Õ Ù
Ü
Ü
Ô · ¾
Ü ½
¼ Ý Ó Ñ Ô Ö Ö Ð Ò Ø Ö Ð Ó Ò
½
½
Ü
Ü
¾
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 99/174
¿ º Ö Ó ×
Ö Ó ¿ º º ½ ½ º Å Ó × Ø Ö Ö Õ Ù
½
¼
Ü
Ü
Ô
Ü Ó Ò Ú Ö Ô Ö Ô ½
Ö Ó ¿ º º ½ ¾ º Å Ó × Ø Ö Ö Õ Ù
½
¼
× Ò Ü
Ü
¾
· ½
Ü × Ó Ò Ú Ö Ò Ø º
Ö Ó ¿ º º ½ ¿ º È Ö Ù Ð × « ×
½
½
Ü
«
½ · Ü
«
Ü Ó Ò Ú Ö Ò Ø
Ö Ó ¿ º º ½ º À Ð Ð Ö
½
¼
Ü
´ ½ · Ü
¾
µ
Ö Ó ¿ º º ½ º Ä Ù Ò Ó Ò Ñ Ñ × ¬ Ò Ô Ó Ö ́ Ü µ
½
¼
Ü
Ü
Ô ½
Ü
È Ö Ó Ö Õ Ù × Ø Ò Ø Ö Ð × Ó Ò Ú Ö Ò Ø Ô Ö Ô ¼
Ö Ó ¿ º º ½ º Ë Ê Ö Ò Ð Ý × Ù Ô Ó Ò Ñ Ó × Õ Ù ×
Ò Ø Ö Ð º È Ö Ó Ö Õ Ù
́ Ü µ Ü ́ µ ́ µ
Ö Ó ¿ º º ½ º Ë Ê Ê Ó Ò Ø Ò Ù Ý × ́ Ü µ
Ü
¾
¼
́ Ý µ Ý º È Ö Ó Ö
Õ Ù ́ Ü µ ¾ Ü ́ Ü
¾
µ
Ö Ó ¿ º º ½ º È Ö Ó Ö Õ Ù Ð Ñ
Ò ½
́ Ò µ
½ Ò
Ò
½
Ó Ò × Ö Ò Ó Ð × × Ù Ñ ×
Ê Ñ Ò Ò Ô Ö
½
¼
Ð Ò Ü Ü × × Ò Ð Ô Ö Ø Ó Ò ½ Ò ¾ Ò ½
Ö Ó ¿ º º ½ º Ë Ð Ô Ö Ð Ð Ô Ô Ó Ò Ö Ó Ô Ó Ö Ð Ó × Ú Ø Ó Ö × ´ ½ ½ ½ ½ µ
´ ¼ ½ ½ ¼ µ ¸ ´ ¾ ¼ ¿ ¼ µ Ý ´ ½ ½ ¼ ½ µ Ê
º Ð Ù Ð Ö Ð Ú Ó Ð Ù Ñ Ò
Ö Ó ¿ º º ¾ ¼ º Ð Ù Ð Ö
½
¼
½
Ý
́ Ü
¾
· Ý
¾
µ Ü Ý Ù × Ò Ó Ð Ñ Ó Ú Ö Ð
Ü Ù · Ú Ý Ù Ú
Ö Ó ¿ º º ¾ ½ º È Ö Ó Ö Õ Ù Ð Ú Ó Ð Ù Ñ Ò Ð Ô Ö Ð Ð Ô Ô Ó Ò Ö Ó Ô Ó Ö Ð Ó ×
Ú Ø Ó Ö × Ú
½
Ú
Ò
Ê
Ò
× Ø Ó Ô Ó Ö Ø
½ ¾
¸ Ó Ò
Ú
Ú
Ö Ó ¿ º º ¾ ¾ º Í × Ò Ó Ó Ó Ö Ò × Ô Ó Ð Ö × ¸ Ð Ù Ð Ö
µ º ¹
Ü Ô ´ Ü
¾
· Ý
¾
µ Ü Ý ¸ Ó Ò ́ Ü Ý µ Ü
¾
· Ý
¾
½
µ º ¹
Ð Ò ́ Ü
¾
· Ý
¾
µ Ü Ý ¸ Ó Ò ́ Ü Ý µ Ü ¼ Ý ¼
¾
Ü
¾
· Ý
¾
¾
µ º ¹ Ð Ö Ð Ö Ù Ð Ó Ö Ó Ö
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 100/174
¼ ¿ Á Ò Ø Ö Ó Ò Ò Ê
Ò
Ö Ó ¿ º º ¾ ¿ º È Ö Ó Ö Õ Ù Ð Ö Ð Ð Ô ×
Ü
¾
¾
·
Ý
¾
¾
½ × Ò Ó
Ù Ò Ñ Ó Ú Ö Ð Ý Ö Ù Ö Ð Ô Ö Ó Ð Ñ Ù Ò Ó Ð Ð Ö Ð Ö Ù Ò
Ö Ù Ð Ó º
Ö Ó ¿ º º ¾ º È Ö Ó Ö Õ Ù
́ Ü
¾
· Ý
¾
· Þ
¾
µ
¿ ¾
Ü Ý Þ ́ ½ µ ¿ ¸ Ó Ò
́ ¼ ½ µ Ò Ê
¿
Ö Ó ¿ º º ¾ º Ë ́ ¼ ½ µ Ò Ê
¿
º Ú Ð Ù Ö
Ü Ý Þ
Ô
¾ · Ü
¾
· Ý
¾
· Þ
¾
Ö Ó ¿ º º ¾ º Ú Ð Ù Ö
Þ
Ô
Ü
¾
· Ý
¾
Ü Ý Þ Ó Ò ́ Ü Ý Þ µ ½
Ü
¾
· Ý
¾
¾ ½ Þ ¾
Ö Ó ¿ º º ¾ º Ð Ù Ð Ö
½
¼
½
½
Ô
½ Ý
¾
Ô
½ Ý
¾
Þ ́ Ü
¾
· Ý
¾
µ Ü Ý Þ Ù × Ò Ó Ó Ó Ö ¹
Ò × Ð Ò Ö × º
Ö Ó ¿ º º ¾ º À Ö Ù Ò Ñ Ó Ú Ö Ð Ô Ö Ú Ð Ù Ö
Ü Ô
Ü · Ý
Ü Ý
Ü Ý
Ó Ò ́ Ü Ý µ ¼ Ý Ü ¼ Ü ½
Ö Ó ¿ º º ¾ º Ð Ù Ð Ò Ó Ð Ñ
½
´ ´ ¼ ¼ µ µ
Ü
¾
Ý
¾
Ü Ý ¸ Ô Ö Ó Ö Õ Ù
½
½
Ü
¾
Ü
Ô
Ö Ó ¿ º º ¿ ¼ º È Ö Õ Ù Ú Ð Ó Ö × Ô × Ö
Ô
Ò Ø Ö Ð Ò Ê
¿
Ó Ò Ö
Ô
Ü
¾
· Ý
¾
· Þ
¾
Ö Ó ¿ º º ¿ ½ º À Ð Ð Ö
Ü Ý × Ò ´ Ü
¾
Ý
¾
µ Ü Ý Ó Ò ́ Ü Ý µ ¼ Ý
½ Ü Ý Ý Ü
¾
Ý
¾
½
Ö Ó ¿ º º ¿ ¾ º Ú Ð Ù Ö Ð × × Ù Ò Ø × Ò Ø Ö Ð ×
µ º ¹
× Ò ´ Ü
¾
· Ý
¾
µ Ü Ý ¸ Ó Ò × Ð × Ó Ù Ò Ø Ö Ó º
µ º ¹
Ü Ü Ý ¸ Ó Ò ́ Ü Ý µ ¼ Ü
Ô
¼ Ý × Ò Ü
¾
µ º ¹
½
½
Ô
½ Ü
¾
¼
́ Ü
¿
· ¿ Ý
¾
Ü µ Ý Ü
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 101/174
Ë Ù Ò È Ö Ø
Ò Ð × × Ó Ñ Ô Ð Ó
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 102/174
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 103/174
Ù Ò Ó Ò × Î Ö Ð Ó Ñ Ô Ð
Ä Ó × Ò Ù Ñ Ö Ó × Ó Ñ Ô Ð Ó × Ò Ó × Ó Ò × Ò Ó Ð Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ê
¾
Ù Ò Ø Ó Ó Ò Ð × Ù Ñ Ð
× Ô Ó Ú Ø Ó Ö Ð Ê
¾
Ý Ù Ò Ñ Ù Ð Ø Ô Ð Ó Ò º Ä Ñ Ù Ð Ø Ô Ð Ó Ò × Ð Ó Õ Ù Ð
Ö Ò Ð Ö Ò Ø Ö Ý Ê
¾
¸ Ð Ó × Ù Ð × × Ù Ú Þ Ò Ó × Ö Ò Ò Ò Ø Ö
× × Ð Ô Ù Ò Ø Ó Ú × Ø Ø Ó Ô Ó Ð Ó Ó ¸ × Ö ¸ Ó Ñ Ø Ö Ó º
× Ø Ô Ö Ò Ø Ô Õ Ù Ò Ö Ò Ò Ø Ö Ð × Ó × × Ø Ö Ù Ø Ù Ö × ¸ Ð Ó × Ó ×
× × Ø Ñ × Ð Ö Ó × Ø Ó Ø Ð Ñ Ò Ø Ö Ò Ø × º Å Ù Ó × Ò Ó Ñ Ò Ó × Ò Ð Ø Ó × ¸ ×
Ö ¸ Õ Ù Ô Ò Ò Ð Ö Ú ¸ Õ Ù Ô × Ò Ò Ð Ó × Ò Ù Ñ Ö Ó × Ö Ð × Ê Ð
Ñ Ô Ó Ò Ó Ð Ó × Ô Ö Ñ Ø º Ó Ñ Ó Ñ Ô Ð Ó × Ð Ó Ò Ø Ö Ó Ö ¸ Ñ Ò Ó Ò Ñ Ó × Ð Ó × × ¹
Ù Ò Ø × º Ò Ð Ñ Ô Ó Ö Ð Ê ¸ Ü × Ø Ò Ù Ò Ó Ò × Ö Ú Ð × Ò Ø Ó Ó Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó
Ö Ø Ó ¸ Ð × Ù Ð × × Ó Ò Ò ¬ Ò Ø Ñ Ò Ø Ö Ú Ð × Ò Ð Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ý × Ò Ñ Ö Ó × Ù
× Ö Ì Ý Ð Ó Ö Ò Ó Ó Ò Ú Ö Ð Ù Ò Ó Ò Ó Ö Ò Ð ¸ × Ö ¸ Õ Ù Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ý × Ù
× Ö Ì Ý Ð Ó Ö Ô Ù Ò Ö Ô Ö × Ò Ø Ö Ó × Ó × × Ö Ò Ø × º Ò Ð × Ó Ó Ñ Ô Ð Ó ¸
× Ù Ò Ù Ò Ó Ò × Ö Ú Ð Ò Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ö Ø Ó ¸ Ò Ø Ó Ò × × Ò ¬ Ò Ø Ñ Ò Ø
Ö Ú Ð Ò Ð Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ö Ø Ó ´ Ð Ó Ù Ð Ò Ó Ô × Ô Ö Ð × Ù Ò Ó Ò × Ö Ð × µ Ý
Ñ × ¸ Ð × Ö Ì Ý Ð Ó Ö Ð Ù Ò Ó Ò Ó Ò Ú Ö Ð Ù Ò Ó Ò Ó Ö Ò Ð ¸ × Ø Ó
× ¸ Ð Ù Ò Ó Ò Ý Ð × Ö Ì Ý Ð Ó Ö Ð Ñ × Ñ ¸ × Ó Ò Ð Ñ × Ñ Ù Ò Ó Ò Ò Ù Ò
Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ö Ø Ó º
Ç Ø Ö Ó Ñ Ô Ð Ó × Ø × Ö Ò × ¸ × Õ Ù Ô Ó Ñ Ó × × Ö Ö Ù Ò Ò Ù Ñ Ö Ó
Ò ¬ Ò Ø Ó Ù Ò Ó Ò × Ö Ð × Ö Ò Ð × Ó Ò Ú Ð Ó Ö × Ó × Ò Ù Ò × Ù × Ó Ò
Ó Ø Ý Ó Ò Ú Ö Ò Ø Ò Ð Ó Ñ Ò Ó Ð Ù Ò Ó Ò ¸ Ô Ö Ó Ò Ð × Ù Ò Ó Ò ×
Ú Ö Ð Ó Ñ Ô Ð ¸ Ð Ù Ò Ó Ò × Ø Ø Ö Ñ Ò Ô Ó Ö Ù Ò × Ù × Ó Ò Ó Ñ Ó Ð
× Ö Ø º
Õ Ù × Ò × Ø × Ö Ò × Ä Ö Ò Ù Ò Ñ Ò Ø Ð ×
Õ Ù Ò Ð × Ó Ó Ñ Ô Ð Ó ¸ Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ö Ú Ð Ò Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ö Ø Ó Ø Ò
Ù Ò Ö Ô Ö × Ò Ø Ó Ò Ò Ø Ö Ð × Ô Ð Ð Ò Ø Ö Ð Ù Ý º
º ½ Æ Ù Ñ Ö Ó × Ó Ñ Ô Ð Ó × ¸ Ë Ù × Ó Ò × Ý Ë Ö × Ó Ñ Ô Ð ×
¬ Ò Ó Ò º ½ º ½ º Ð Ñ Ô Ó Ð Ó × Ò Ù Ñ Ö Ó × Ó Ñ Ô Ð Ó × × ¸ Ó Ñ Ó Ó Ò Ù Ò Ø Ó ¸
Ê
¾
Ù Ò Ø Ó Ó Ò Ð Ó Ô Ö Ó Ò × Ù Ñ · Ù × Ù Ð Ê
¾
Ý Ù Ò Ñ Ù Ð Ø Ô Ð Ó Ò ¬ Ò
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 104/174
Ù Ò Ó Ò × Î Ö Ð Ó Ñ Ô Ð
×
¢ ́ µ ́ µ ´ · µ
Ä × Ô Ö Ó Ô × Ò Ö Ð × × Ø × Ó × Ó Ô Ö Ó Ò × × Ó Ò Ð × × Ù Ò Ø × º Ë Ò
Þ
½
Þ
¾
Þ
¿
¾ Þ ¾ º Ò Ø Ó Ò ×
´ ½ µ Þ
½
́ Þ
¾
Þ
¿
µ ́ Þ
½
Þ
¾
µ Þ
¿
´ × Ó Ø Ú µ º
´ ¾ µ ½ ´ ½ ¼ µ × Ø × ½ Þ Þ ½ Þ Ô Ö Ø Ó Þ ¾ ´ Ü × Ø Ò Ð
Ò Ù Ø Ö Ó Ñ Ù Ð Ø Ô Ð Ø Ú Ó µ º
´ ¿ µ Ó Þ ¼ ¸ Ü × Ø Þ
½
¾ Ø Ð Õ Ù Þ Þ
½
Þ
½
Þ ½ ´ Ü × Ø Ò
Ð Ò Ú Ö × Ó Ñ Ù Ð Ø Ô Ð Ø Ú Ó µ º
Ó ¸ × Þ ́ µ ¼ ´ ¼ ¼ µ ¸ Ò Ø Ó Ò × ¼ Ó ¼ Ý
Þ
½
¾
·
¾
¾
·
¾
´ µ Þ
½
Þ
¾
Þ
¾
Þ
½
´ Ó Ò Ñ Ù Ø Ø Ú Ð Ô Ö Ó Ù Ø Ó µ º
´ µ Þ
½
́ Þ
¾
· Þ
¿
µ Þ
½
Þ
¾
· Þ
½
Þ
¿
´ × Ø Ö Ù Ø Ú Ð Ñ Ù Ð Ø Ô Ð Ó Ò Ó Ò
Ö × Ô Ø Ó Ð × Ù Ñ µ º
Æ Ó Ø Ñ Ó × Õ Ù Ô Ó Ñ Ó × Ó Ò × Ö Ö Ê Ó Ñ Ó × Ù Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ð × Ù Ò Ø
Ó Ö Ñ ¾ Ê ́ ¼ µ ¾
Ë ´ ¼ ½ µ º Ë Ø Ò
¾
´ ¼ ½ µ ½ Ý Ô Ö Þ ¾ Ö Ø Ö Ö Ó ¸
Ô Ó Ñ Ó × × Ö Ö
Þ ́ µ ´ ¼ ½ µ · ´ ¼ ½ µ ·
Ë ¬ Ò Ð Ó Ò Ù Ó Þ · Ô Ó Ö Þ
Ë Ø Ò Õ Ù × Þ · ́ µ ¸ Ò Ø Ó Ò × Þ Þ
¾
·
¾
́
¾
·
¾
¼ µ º Ò
Ô Ö Ø Ù Ð Ö Ø Ò Ñ Ó ×
Þ Þ
¾
·
¾
½ Ð Ó Ù Ð Ñ Ô Ð
Þ
½
Þ
¾
·
¾
¾
·
¾
¾
·
¾
¾
·
¾
¾
·
¾
Ä Ò Ó Ö Ñ Þ ́ µ · × ¬ Ò ¸ Ù Ð Õ Ù Ò Ê
¾
¸ Ó Ñ Ó
Æ Þ Þ Þ
Ô
¾
·
¾
Ë Ø Ò Þ Þ Þ
¾
Ò Ð Ñ Ò Ø ¸ × Þ ́ µ · ¸ ¬ Ò Ñ Ó × Ð Ô Ö Ø Ö Ð Þ Ý Ð Ô Ö Ø
Ñ Ò Ö Ó Þ Ô Ó Ö
Ê Þ Ô Ö Ø Ö Ð Þ Á Ñ Þ Ô Ö Ø Ñ Ò Ö Þ
Ó Ö Ò ¸ Ô Ö Ù Ð × Õ Ù Ö Þ Û ¾ ¸ × Ø Ò
́ Þ · Û µ Þ · Û Þ
¾
Þ Þ
́ Þ Û µ Þ Û Þ ¼ Þ ¼ ´ µ Þ ¼
́ Þ Û µ Þ Û Þ Û Þ Û
Þ
Û
Þ
Û
× Û ¼
¬
¬
¬
Þ
Û
¬
¬
¬
Þ
Û
× Û ¼
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 105/174
º ½ Æ Ù Ñ Ö Ó × Ó Ñ Ô Ð Ó × ¸ Ë Ù × Ó Ò × Ý Ë Ö × Ó Ñ Ô Ð ×
È Ó Ö Ó Ø Ö Ó Ð Ó ¸ × Þ · ¸ Ò Ø Ó Ò × Ø Ò Ñ Ó ×
Ê Þ
½
¾
́ Þ · Þ µ Ý Á Ñ Þ
½
¾
́ Þ Þ µ
Ê Þ Þ Á Ñ Þ Þ Þ Þ Ý Þ Þ
Ä × Ù Ð Ð Ø Ö Ò Ù Ð Ó Þ · Û Þ · Û Ô Ö Ù Ð × Õ Ù Ö
Þ Û ¾
¬ Ò Ñ Ó × Ð × Ø Ò Ò Ø Ö Þ Ý Û Ô Ó Ö ́ Þ Û µ Þ Û
È Ó Ö Ð Ì Ó Ö Ñ ½ º ¾ º ¿ × Ø Ò Õ Ù Ù Ò × Ù × Ó Ò Ó Ñ Ô Ð Þ
Ò
½
Ò ½
Þ
Ò
Ü
Ò
· Ý
Ò
¸ Ò Ø Ó Ò × Þ
Ò
Ó Ò Ú Ö Þ
¼
Ü
¼
· Ý
¼
¾ × Ý × Ó Ð Ó × Ü
Ò
Ó Ò Ú Ö
Ü
¼
Ý Ý
Ò
Ó Ò Ú Ö Ý
¼
Ñ Ô Ð Ó º ½ º ¾ º Ë Þ
Ò
½ ·
½
Ò
Ò
·
½
Ò
¾
¾ º È Ù × Ø Ó Õ Ù
½ ·
½
Ò
Ò
Ò ½
Ý
½
Ò
¾
Ò ½
¼ ¸ × × Ù Õ Ù Ð Ñ
Ò ½
Þ
Ò
· ¼
Ñ Ô Ð Ó º ½ º ¿ º Ë Þ
Ò
Ò
Ô
Ò · ́ ½ µ
Ò
º Ë Ø Ò Õ Ù
Ò
Ô
Ò
Ò ½
½ Ô Ö Ó
̈
́ ½ µ
Ò
©
½
Ò ½
½ ½ ½ ½ Ò Ó Ó Ò Ú Ö º È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó Þ
Ò
½
Ò ½
Ò Ó Ó Ò ¹
Ú Ö º
Ä × Ô Ö Ó Ô × Ò Ö Ð × × Ù × Ó Ò × Ð × Ò Ù Ò Ñ Ó × Ò Ð × Ù Ò Ø
Ô Ö Ó Ô Ó × Ó Ò
È Ö Ó Ô Ó × Ó Ò º ½ º º Ë Þ
Ò
½
Ò ½
Û
Ò
½
Ò ½
× Ø × Ò Õ Ù Ð Ñ
Ò ½
Þ
Ò
Þ
¼
Ý
Ð Ñ
Ò ½
Û
Ò
Û
¼
¸ Ò Ø Ó Ò ×
´ ½ µ Ð Ñ
Ò ½
́ Þ
Ò
¦ Û
Ò
µ Þ
¼
¦ Û
¼
´ ¾ µ Ð Ñ
Ò ½
́ Þ
Ò
Û
Ò
µ Þ
¼
Û
¼
´ ¿ µ Ð Ñ
Ò ½
Þ
Ò
Þ
¼
´ µ Ð Ñ
Ò ½
Þ
Ò
Þ
¼
´ µ Ë Û
Ò
¼ Ô Ö Ò Ñ Ý Ó Ö Ó Ù Ð Ö Ø Ó Ò Ò
¼
Ý Û
¼
¼
Ò Ø Ó Ò × Ð Ñ
Ò ½
Þ
Ò
Û
Ò
Þ
¼
Û
¼
Ù Ø
¬ Ò Ó Ò º ½ º º Ë Þ
Ò
½
Ò ½
Ý ×
¼
¾ º Ò Ø Ó Ò ×
¼
× Ð Ð Ñ Ô Ù Ò Ø Ó
Ð Ñ Ø Þ
Ò
½
Ò ½
× Ü × Ø Ù Ò × Ù × Ù × Ó Ò
̈
Þ
Ò
©
½
½
Þ
Ò
½
Ò ½
Ø Ð Õ Ù
Ð Ñ
½
Þ
Ò
¼
Ñ Ô Ð Ó º ½ º º Ë Þ
Ò
́ ½ µ
Ò
º Ò Ø Ó Ò × Þ
Ò
Ò Ó Ó Ò Ú Ö Ô Ö Ó Þ
¾ Ò
½
Ò ½
½ Ý Þ
¾ Ò ½
½
Ò ½
½ º È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó Ð Ó × Ô Ù Ò Ø Ó × Ð Ñ Ø × Þ
Ò
½
Ò ½
× Ó Ò ¦ ½
Ñ Ô Ð Ó º ½ º º Ë Þ
Ò
½
Ò ½
É ¼ ½ º Ò Ø Ó Ò × Ð Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ô Ù Ò Ø Ó ×
Ð Ñ Ø Þ
Ò
½
Ò ½
× Ð Ò Ø Ö Ú Ð Ó ¼ ½
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 106/174
Ù Ò Ó Ò × Î Ö Ð Ó Ñ Ô Ð
Ç × Ö Ú Ó Ò º ½ º º Ë Þ
Ò
½
Ò ½
Ó Ò Ú Ö Þ
¼
¸ Ò Ø Ó Ò × Þ
¼
× Ð Ù Ò Ó Ô Ù Ò Ø Ó
Ð Ñ Ø Þ
Ò
½
Ò ½
Ê Ô Ö Ó Ñ Ò Ø ¸ × Þ
Ò
½
Ò ½
× Ù Ò × Ù × Ó Ò Ó Ø Ó Ò Ù Ò Ù Ò Ó Ô Ù Ò Ø Ó
Ð Ñ Ø Þ
¼
¸ Ò Ø Ó Ò × Þ
Ò
½
Ò ½
Ó Ò Ú Ö Ý Ð Ñ
Ò ½
Þ
Ò
Þ
¼
Ó Ñ Ó × Ñ Ó × ¸ Ô Ö × Ø Ù Ö × Ù × Ó Ò × Ò Ó Ò Ê
Ò
¸ Ò × Ø Ñ Ó × × Ö Ð
Ó Ñ Ô Ó Ö Ø Ñ Ò Ø Ó × Ù × Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø × ¸ Ô Ó Ö Ð Ó Õ Ù Ð Ó Ò Ó Ñ Ò Ø Ó × Ù × Ó Ò ×
Ö Ð × × Ò × Ô Ò × Ð Ô Ö Ð × Ø Ù Ó × Ù × Ó Ò × Ó Ñ Ô Ð × º
Ë Þ
Ò
½
Ò ½
Ê º Ð Ñ Ü Ñ Ó Ô Ù Ò Ø Ó Ð Ñ Ø Þ
Ò
½
Ò ½
× Ð Ð Ð Ñ Ð Ð Ñ Ø
× Ù Ô Ö Ó Ö Þ
Ò
½
Ò ½
Ý × Ò Ó Ø Ô Ó Ö Ð Ñ × Ù Ô
Ò ½
Þ
Ò
Ð Ñ
Ò ½
Þ
Ò
¾ Ê ¦ ½
½ ½
È Ó Ö Ó Ø Ö Ó Ð Ó Ð Ñ Ò Ñ Ó Ô Ù Ò Ø Ó Ð Ñ Ø Þ
Ò
½
Ò ½
× Ð Ð Ð Ñ Ð Ð Ñ Ø
Ò Ö Ó Ö Þ
Ò
½
Ò ½
Ý × Ò Ó Ø Ô Ó Ö Ð Ñ Ò
Ò ½
Þ
Ò
Ð Ñ
Ò ½
Þ
Ò
¾ Ê ¦ ½
½ ½
Ë Ø Ò Õ Ù
Ð Ñ
Ò ½
Þ
Ò
Ð Ñ
Ò ½
Þ
Ò
Ý Ð Ñ
Ò ½
Þ
Ò
Ð Ñ
Ò ½
Þ
Ò
Þ
¼
¾ Ê ´ µ Ð Ñ
Ò ½
Þ
Ò
Þ
¼
Ñ Ô Ð Ó º ½ º º Ë Þ
Ò
́ ½ µ
Ò
· Ò
Ò
º Ò Ø Ó Ò × Þ
¾ Ò
½ · Ò
Ò
Ò ½
½ Ý
Þ
¾ Ò ½
½ · Ò
Ò
Ò ½
½ º È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó
Ð Ñ
Ò ½
Þ
Ò
Ð Ñ
Ò ½
Þ
Ò
Ð Ñ
Ò ½
Þ
Ò
½
Ò Ð × Ø Ù Ó × Ö × Ó Ñ Ô Ð × ¸ Ð Ö × Ù Ð Ø Ó × Ù Ò Ø Ù Ö Ù Ò Ô Ô Ð
Ò Ø Ö Ð º
Ì Ó Ö Ñ º ½ º ½ ¼ º Ë
Ò
½
Ò ½
Ê Ó Ò
Ò
¼ º Ò Ø Ó Ò ×
Ð Ñ
Ò ½
Ò · ½
Ò
Ð Ñ
Ò ½
Ò
Ô
Ò
Ð Ñ
Ò ½
Ò
Ô
Ò
Ð Ñ
Ò ½
Ò · ½
Ò
Ò Ô Ö Ø Ù Ð Ö ¸ ×
Ò
Ò · ½
Ò
Ó
½
Ò ½
Ó Ò Ú Ö ¸ Ò Ø Ó Ò ×
̈
Ò
Ô
Ò
©
½
Ò ½
Ó Ò Ú Ö Ý
Ð Ñ
Ò ½
Ò · ½
Ò
Ð Ñ
Ò ½
Ò
Ô
Ò
Ð Ö Ô Ö Ó Ó Ò Ó × Ù Ñ Ô Ð º Ù Ø
Ñ Ô Ð Ó º ½ º ½ ½ º Ë
Ò
½
Ò ½
Ò
½
¾
½
¾
½
½
½
½
½
¾
Ò
½
¾
Ò
Ó
¸ × ¹
Ö ¸
¾ Ò ½
¾ Ò
½
¾
Ò
º Ò Ø Ó Ò ×
¾ Ò ½
Ô
¾ Ò ½
¾ Ò ½
Ö
½
¾
Ò
Ò ½
½
Ô
¾
¾ Ò
Ô
¾ Ò
¾ Ò
Ö
½
¾
Ò
½
Ô
¾
Ò ½
½
Ô
¾
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 107/174
º ½ Æ Ù Ñ Ö Ó × Ó Ñ Ô Ð Ó × ¸ Ë Ù × Ó Ò × Ý Ë Ö × Ó Ñ Ô Ð ×
È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó
̈
Ò
Ô
Ò
©
½
Ò ½
Ó Ò Ú Ö
½
Ô
¾
Ë Ò Ñ Ö Ó ¸
¾ Ò
¾ Ò ½
½
¾
Ò
½
¾
Ò
½
Ò ½
½
¾ Ò · ½
¾ Ò
½
¾
Ò · ½
½
¾
Ò
½
¾
Ò ½
½
¾
º È Ó Ö
Ð Ó Ø Ò Ø Ó
Ò
Ò · ½
Ò
Ó
½
Ò ½
Ò Ó Ó Ò Ú Ö º
Ó Ò × Ö Ñ Ó × Ð × Ù × Ó Ò Þ
Ò
½
Ò ¼
Ý Ó Ö Ñ Ñ Ó × Ð × Ö
½
Ò ¼
Þ
Ò
Þ
¼
· Þ
½
·
È Ó Ö Ñ Ô Ð Ó ¸ × Þ
Ò
Õ
Ò
Ó Ò Õ ¾ Õ ½ ¸ Ò Ø Ó Ò ×
Ò Ø Ý
Ò ¼
Þ
Ò
½ · Õ · Õ
¾
·
Ë Ø Ò
Ò ¼
Þ
Ò
½ · Õ · · Õ
Õ
· ½
½
Õ ½
½
½
Õ ½
½
Õ ½
È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó
½
Ò ¼
Õ
Ò
½
Õ ½
Ó Ò Õ ½
Ä × Ù Ñ Ý Ð Ñ Ù Ð Ø Ô Ð Ó Ò × Ö × × ¬ Ò Ò Ô Ó Ö
½
Ò ¼
Ò
·
½
Ò ¼
Ò
½
Ò ¼
́
Ò
·
Ò
µ
½
Ò ¼
Ò
½
Ò ¼
Ò
½
Ò ¼
Ò
¼
Ò
½
Ò ¼
Ò
¼
Ò
Ð × Ù Ò Ø Ñ Ô Ð Ó × Ñ Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ô Ö Ô Ö Ó Ö Ð × Ô Ö Ó Ô × Ð
Ù Ò Ó Ò Ü Ô Ó Ò Ò Ð º
Ñ Ô Ð Ó º ½ º ½ ¾ º
½
Ò ¼
Ü
Ò
Ò
½
Ò ¼
Ý
Ò
Ò
½
Ò ¼
Ò
¼
Ü
Ò
́ Ò µ
Ý
½
Ò ¼
½
Ò
Ò
¼
Ò
́ Ò µ
Ü
Ò
Ý
½
Ò ¼
½
Ò
Ò
¼
Ò
Ü
Ò
Ý
Ò Ó Ñ Ó Æ Û Ø Ó Ò
½
Ò ¼
½
Ò
́ Ü · Ý µ
Ò
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 108/174
Ù Ò Ó Ò × Î Ö Ð Ó Ñ Ô Ð
Ì Ó Ö Ñ º ½ º ½ ¿ ´ Ù Ý µ º Ä × Ö
½
Ò ¼
Ò
Ó Ò Ú Ö × Ý × Ó Ð Ó × Ô Ö Ø Ó Ó
Ò Ù Ñ Ö Ó Ô Ó × Ø Ú Ó ¼ Ü × Ø Ù Ò Ò Ò
¼
¾ Æ Ø Ð Õ Ù Ô Ö Ù Ð × Õ Ù Ö
Ñ Ò Ò
¼
¸ × Ø Ò
¬
¬
¬
¬
¬
Ñ
Ò · ½
¬
¬
¬
¬
¬
Ù Ø
Ñ Ô Ð Ó º ½ º ½ º Î Ñ Ó × Õ Ù Ð × Ö
½
Ò ½
½
Ò
Ú Ö º Ë Ù Ô Ó Ò Ñ Ó × Ð Ó Ó Ò ¹
Ø Ö Ö Ó ¸ × Ø Ó × ¸ Õ Ù Ð × Ö
½
Ò ½
½
Ò
Ó Ò Ú Ö º È Ó Ö Ø Ò Ø Ó Ó
½
¿
¸ Ü × Ø Ù Ò
Ò Ò
¼
Ø Ð Õ Ù × Ñ Ò Ò
¼
¸ Ò Ø Ó Ò ×
¬
¬
¬
¬
¬
Ñ
Ò · ½
½
¬
¬
¬
¬
¬
½
Ò · ½
· ·
½
Ñ
½
¿
Ë Ñ ¾ Ò ¸ Ò Ø Ó Ò ×
¾ Ò
Ò · ½
½
½
Ò · ½
· ·
½
¾ Ò
½
¾ Ò
· ·
½
¾ Ò
ß Þ
Ò
Ò
¾ Ò
½
¾
½
¿
Ð Ó Ù Ð × Ù Ò Ó Ò Ø Ö Ó Ò Ý Ô Ó Ö Ò Ð × Ö
½
Ò ½
½
Ò
Ú Ö º
Ä × Ö
½
Ò ½
½
Ò
× Ð Ð Ñ Ð × Ö Ö Ñ Ó Ò
Æ Ó Ø Ñ Ó × Õ Ù ×
½
Ò ¼
Ò
Ó Ò Ú Ö ¸ Ò Ø Ó Ò × Ò × Ö Ñ Ò Ø Ð Ñ
Ò ½
Ò
¼
Ô Ù × Ó ¼ ¸ Ô Ó Ö Ð Ì Ó Ö Ñ Ù Ý ¸ Ü × Ø Ù Ò Ò Ò
¼
Ø Ð Õ Ù ×
Ò Ò
¼
¸ × Ø Ò
¬
¬
¬
¬
¬
Ò
Ò
Ò
¬
¬
¬
¬
¬
Ò
º Ë Ò Ñ Ö Ó Ð Ö Ô Ö Ó Ó Ò Ó × Ù Ñ Ô Ð
Ô Ù × Ð Ñ
Ò ½
½
Ò
¼ Ô Ö Ó Ð × Ö
½
Ò ½
½
Ò
Ú Ö º
¬ Ò Ó Ò º ½ º ½ º Ä × Ö
½
Ò ¼
Ò
× Ð Ð Ñ × Ó Ð Ù Ø Ñ Ò Ø Ó Ò Ú Ö Ò Ø × Ð
× Ö
½
Ò ¼
Ò
Ó Ò Ú Ö º
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 109/174
º ½ Æ Ù Ñ Ö Ó × Ó Ñ Ô Ð Ó × ¸ Ë Ù × Ó Ò × Ý Ë Ö × Ó Ñ Ô Ð ×
Ç × Ö Ú Ó Ò º ½ º ½ º Ë
½
Ò ¼
Ò
× × Ó Ð Ù Ø Ñ Ò Ø Ó Ò Ú Ö Ò Ø ¸ Ò Ø Ó Ò × ×
Ó Ò Ú Ö Ò Ø Ô Ù × Ø Ó Õ Ù
¬
¬
¬
¬
¬
Ñ
Ò · ½
¬
¬
¬
¬
¬
Ñ
Ò · ½
Ô Ö Ó Ð Ö Ô Ö Ó Ó Ò Ó × Ù Ñ Ô Ð º È Ó Ö Ñ Ô Ð Ó ¸
½
Ò ½
́ ½ µ
Ò
Ò
× Ó Ò Ú Ö Ò Ø Ô Ö Ó
½
Ò ½
¬
¬
¬
¬
́ ½ µ
Ò
Ò
¬
¬
¬
¬
½
Ò ½
½
Ò
× Ú Ö Ò Ø º
Ó Ö Ò ¸ ×
½
Ò ¼
Þ
Ò
× Ù Ò × Ö Ò Ù Ñ Ö Ó × Ó Ñ Ô Ð Ó × ¸ Þ
Ò
Ü
Ò
· Ý
Ò
Ò Ø Ó Ò ×
½
Ò ¼
Þ
Ò
Ó Ò Ú Ö × Ý × Ó Ð Ó ×
½
Ò ¼
Ü
Ò
Ý
½
Ò ¼
Ý
Ò
Ó Ò Ú Ö Ò Ý × Ø Ò
½
Ò ¼
Þ
Ò
½
Ò ¼
Ü
Ò
·
½
Ò ¼
Ý
Ò
Ñ Ô Ð Ó º ½ º ½ º Ó Ò × Ö Ñ Ó × Ð × Ö
½
Ò ½
½
Ò ́ Ò · ½ µ
º Ë
Ë
Ò
Ò
½
½
́ · ½ µ
Ò
½
½
½
· ½
½
½
Ò · ½
Ò ½
½
Ô Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó
½
Ò ½
½
Ò ́ Ò · ½ µ
½
Ó Ö
½
Ò ́ Ò · ½ µ
½
́ Ò · ½ µ
¾
Ð Ó Ù Ð Ñ Ô Ð Õ Ù
½
Ò ½
½
Ò
¾
½ ·
½
Ò ½
½
́ Ò · ½ µ
¾
½ ·
½
Ò ½
½
Ò ́ Ò · ½ µ
½ · ½ ¾ ½
È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó
½
Ò ½
½
Ò
¾
¸ Ó ¸ × Ø Ò
½
Ò ½
½
Ò
¾
¾
Ô Ö Ó Ð Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò
× Ø Ó × Ù Ò Ô Ö Ó Ð Ñ Ñ Ù Ó Ñ × Ð Õ Ù Ô Ö Ó Ö × Ó Ð Ñ Ò Ø Ð
Ó Ò Ú Ö Ò º
Ó Ö Ò ¸ × « ¾ « ¾ Ê ¸ Ò Ø Ó Ò ×
½
Ò
«
½
Ò
¾
Ó Ò × × Ù Õ Ù
½
Ò ½
½
Ò
«
½
Ò ½
½
Ò
¾
½ º Ä Ó Ò Ø Ö Ó Ö Ñ Ô Ð Õ Ù
½
Ò ½
½
Ò
«
Ó Ò Ú Ö º
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 110/174
½ ¼ ¼ Ù Ò Ó Ò × Î Ö Ð Ó Ñ Ô Ð
Ò Ð Ñ Ò Ø ¸ × « ¾ Ê × Ø Ð Õ Ù « ½ Ò Ø Ó Ò × Ò
«
Ò Ô Ö Ø Ó Ò ¾ Æ
Ô Ó Ö Ð Ó Õ Ù
½
Ò
½
Ò
«
Ó Ò × × Ù Õ Ù
½
Ò ½
½
Ò
«
½
Ò ½
½
Ò
½ Ý Ô Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó
Ð × Ö
½
Ò ½
½
Ò
«
Ú Ö º
Ò Ö × Ù Ñ Ò Ø Ò Ñ Ó × Õ Ù Ð × Ö
½
Ò ½
½
Ò
«
Ú Ö Ô Ö « ½
Ó Ò Ú Ö Ô Ö « ¾
Ò Ó × Ñ Ó × Ô Ö ½ « ¾
Ì Ó Ö Ñ º ½ º ½ ´ Ö Ø Ö Ó Ù Ý Ó Ð Ö Þ µ º Ë
Ò
½
Ò ¼
Ê
Ó Ò
Ò
¼ º Ë Ð Ñ
Ò ½
Ò
Ô
Ò
¾ Ê ½ º Ò Ø Ó Ò ×
´ ½ µ Ë ½ Ò Ø Ó Ò × Ð × Ö
½
Ò ¼
Ò
Ó Ò Ú Ö º
´ ¾ µ Ë ½ Ò Ø Ó Ò × Ð × Ö
½
Ò ¼
Ò
Ú Ö º
´ ¿ µ Ë ½ Ò Ø Ó Ò × Ò Ó Ô Ó Ñ Ó × ¬ Ö Ñ Ö Ò ¸ × Ö Ý × Ö ×
Ø Ò Ø Ó Ó Ò Ú Ö Ò Ø × Ó Ñ Ó Ú Ö Ò Ø × Õ Ù × Ø × Ò Õ Ù ½
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò
´ ½ µ Ë ½ º Ë Ð Ó Ò Ñ Ó × « ¾ Ê Ø Ð Õ Ù « ½
« ½
Ü × Ø Ò
¼
Ø Ð Õ Ù Ô Ö Ø Ó Ò Ò
¼
¸ × Ø Ò Õ Ù
Ò
Ô
Ò
« Ð Ó Ù Ð
Ñ Ô Ð Õ Ù
Ò
«
Ò
Ô Ö Ò Ò
¼
º Ë × Ù Õ Ù
½
Ò ¼
Ò
Ò
¼
Ò ¼
Ò
·
½
Ò Ò
¼
· ½
Ò
Ò
¼
Ò ¼
Ò
·
½
Ò Ò
¼
· ½
«
Ò
½
È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó
½
Ò ¼
Ò
Ó Ò Ú Ö º
´ ¾ µ Ë Ó Ö ¬ ¾ Ê Ø Ð Õ Ù ½ ¬ º È Ù × Ø Ó Õ Ù Ð Ñ
Ò
Ô
Ò
¬ ¸ Ü × Ø
Ù Ò × Ù × Ù × Ó Ò
Ò
Ò
Ø Ð Õ Ù
Ò
Ô
Ò
¬ Ô Ö Ø Ó ¸ Ó Ò
× × Ù Õ Ù
Ò
¬
Ò
½
½ º È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó Ð Ñ
Ò ½
Ò
¼ Ó Ò
× × Ù Õ Ù Ð × Ö
½
Ò ¼
Ò
Ú Ö º
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 111/174
º ½ Æ Ù Ñ Ö Ó × Ó Ñ Ô Ð Ó × ¸ Ë Ù × Ó Ò × Ý Ë Ö × Ó Ñ Ô Ð × ½ ¼ ½
´ ¿ µ Ë
½
Ò ½
½
Ò
¸ Ò Ø Ó Ò × ×
Ò
½
Ò
¸ × Ø Ò
Ò
Ô
Ò
½
Ò
Ô
Ò
Ò ½
½ Ý Ð
× Ö
½
Ò ¼
½
Ò
Ú Ö º
È Ó Ö Ó Ø Ö Ó Ð Ó × Ó Ò × Ö Ñ Ó × Ð × Ö
½
Ò ¼
½
Ò
¾
¸ Ò Ø Ó Ò × ×
Ò
½
Ò
¾
×
Ø Ò
Ò
Ô
Ò
½
́
Ò
Ô
Ò µ
¾
Ò ½
½ Ý Ð × Ö Ó Ò Ú Ö º Ù Ø
Ì Ó Ö Ñ º ½ º ½ ´ Ö Ø Ö Ó ³ Ð Ñ Ö Ø Ó Ð Ö Þ Ó Ò Ó Ð Ó ¹
Ò Ø µ º Ë
Ò
½
Ò ¼
Ê Ó Ò
Ò
¼ Ý × Ð Ñ
Ò ½
Ò · ½
Ò
¾ ¼ ½ º Ò ¹
Ø Ó Ò ×
´ ½ µ Ë ½ Ð × Ö
½
Ò ¼
Ò
× Ó Ò Ú Ö Ò Ø º
´ ¾ µ Ë ½ Ð × Ö
½
Ò ¼
Ò
× Ú Ö Ò Ø º
´ ¿ µ Ë ½ Ò Ó Ô Ó Ñ Ó × ¬ Ö Ñ Ö Ò ¸ × Ø Ó × ¸ Ü × Ø Ò × Ö × Ø Ò Ø Ó
Ó Ò Ú Ö Ò Ø × Ó Ñ Ó Ú Ö Ò Ø × Õ Ù × Ø × Ò Õ Ù ½
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò º Ë Ø Ò Õ Ù Ð Ñ
Ò ½
Ò
Ô
Ò
Ð Ñ
Ò ½
Ò · ½
Ò
Ó Ò × × Ù Ð Ö ¹
× Ù Ð Ø Ó Ó Ñ Ó Ó Ò × Ù Ò Ð Ì Ó Ö Ñ º ½ º ½ º Ù Ø
Ç × Ö Ú Ó Ò º ½ º ¾ ¼ º Ë Ô Ù Ö Ù Ò Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò Ö Ø Ð Ì Ó Ö Ñ
º ½ º ½ º Ð Ð Ø Ó Ö Ò Ø Ò Ø Ö Ð º
Ê Ó Ö Ñ Ó × Ð Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò Õ Ù Ð Ñ
Ò ½
Ò
Ô
Ò
Ð Ñ
Ò ½
Ò · ½
Ò
Ù Ò Ó × Ø
Ù Ð Ø Ñ Ó Ò Ú Ö º
Ò Ø × Õ Ù Ò ¸ Ö Ó Ö Ñ Ó × Õ Ù Ð Ñ
Ò ½
Ò
Ô
Ò ½ º Ò Ø Ó ¸ × ¬ Ò Ñ Ó ×
«
Ò
Ò
Ô
Ò ½ ¼ ¸ Ò Ø Ó Ò ×
Ò ́ «
Ò
· ½ µ
Ò
Ò Ó Ñ Ó Æ Û Ø Ó Ò
½ · Ò «
Ò
·
Ò ́ Ò ½ µ
¾
«
¾
Ò
· ¡ ¡ ¡
Ò ́ Ò ½ µ
¾
«
¾
Ò
Ð Ó Ù Ð Ñ Ô Ð Õ Ù ¼ «
¾
Ò
¾
Ò ½
Ò ½
¼ º È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó Ð Ñ
Ò ½
«
Ò
¼ Ý
Ð Ñ
Ò ½
Ò
Ô
Ò ½
Ó Ñ Ó Ó Ò × Ù Ò Ð Ó Ò Ø Ö Ó Ö ¸ Ô Ö Ù Ð Õ Ù Ö Ò Ù Ñ Ö Ó Ö Ð ¾ Ê Ô Ó × ¹
Ø Ú Ó ¸ × Ø Ò Õ Ù Ð Ñ
Ò ½
Ò
Ô
½ º × Ø Ó × × Ù Õ Ù Ü × Ø Ù Ò Ò
¼
¾ Æ Ø Ð Õ Ù
Ô Ö Ø Ó Ó Ò Ò
¼
× Ø Ò
½
Ò
Ò Ý Ô Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó
½
Ò
Ô
Ò
Ò
Ô
Ò
Ô
Ò Ô Ö
Ø Ó Ò Ò
¼
º È Ù × Ø Ó Õ Ù Ð Ñ
Ò ½
½
Ò
Ô
Ò
Ð Ñ
Ò ½
Ò
Ô
Ò ½ × × Ù Õ Ù Ð Ñ
Ò ½
Ò
Ô
½
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 112/174
½ ¼ ¾ Ù Ò Ó Ò × Î Ö Ð Ó Ñ Ô Ð
Ë Ð Ñ
Ò ½
Ò · ½
Ò
º Ë Ù Ô Ó Ò Ñ Ó × ¼ ½ º Ä Ó × × Ó × ¼ Ý ½ ×
Ò Ð Ù Ó Ð Ð Ø Ó Ö º Ë ¼ º Ò Ø Ó Ò × Ü × Ø Ò
¼
Ø Ð Õ Ù Ô Ö Ø Ó Ó
Ò Ò
¼
× Ø Ò
Ò · ½
Ò
· º È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó ´ µ
Ò
Ò · ½
́ · µ
Ò
× × Ù Õ Ù
́ µ
Ò Ò
¼
Ò
¼
Ò
́ · µ
Ò Ò
¼
Ò
¼
Ô Ö Ò Ò
¼
·
È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó
́ µ
Ò
Ô
Ò
¼
Ò
Ô
́ µ
Ò
¼
Ò
Ô
Ò
́ · µ
Ò
Ô
Ò
¼
Ò
Ô
́ · µ
Ò
¼
Ò
½
Ò
½
Ð Ñ
Ò ½
Ò
Ô
Ò
·
× Ö ¸ Ô Ö Ø Ó Ó Ò Ù Ñ Ö Ó Ô Ó × Ø Ú Ó ¼ × Ø Ò Ð Ñ
Ò ½
Ò
Ô
Ò
· º × × Ù Ð Ñ
Ò ½
Ò
Ô
Ò
Ð Ñ
Ò ½
Ò · ½
Ò
Ñ Ô Ð Ó º ½ º ¾ ½ º Ë Ò Þ ¾ Ý ́ Þ µ
½
Ò ¼
Þ
Ò
Ò
º Ë
Ò
Þ
Ò
Ò
º Ò Ø Ó Ò ×
Ø Ò Ñ Ó × Õ Ù
¬
¬
¬
Ò · ½
Ò
¬
¬
¬
Ò · ½
Ò
Þ
Ò · ½
Ò ½
¼
Ô Ö Ø Ó Þ ¾ º È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó Ð × Ö
½
Ò ¼
Þ
Ò
Ò
× × Ó Ð Ù Ø Ñ Ò Ø Ó Ò Ú Ö Ò Ø
Ô Ö Ø Ó Þ ¾ Ý Ò Ô Ö Ø Ù Ð Ö × Ó Ò Ú Ö Ò Ø º
Ð Ñ Ô Ð Ó º ½ º ¾ ½ Ô Ó Ñ Ó × ¬ Ò Ö Ð Ù Ò Ó Ò Ü Ô Ó Ò Ò Ð Ô Ö Ù Ð Õ Ù Ö
Þ ¾ Ô Ó Ö Ü Ô ´ Þ µ
Þ
½
Ò ¼
Þ
Ò
Ò
Ð Ñ Ô Ð Ó º ½ º ½ ¾ Ø Ò Ñ Ó × Õ Ù Ô Ö Ù Ð × Õ Ù Ö Þ Û ¾ × Ø Ò
Þ
Û
½
Ò ¼
Þ
Ò
Ò
½
Ò ¼
Û
Ò
Ò
½
Ò ¼
́ Þ · Û µ
Ò
Ò
Þ · Û
Ñ Ô Ð Ó º ½ º ¾ ¾ º Ë
½
Ò ½
Ò
Ò
Ò
º Ò Ø Ó Ò × × ¬ Ò Ñ Ó ×
Ò
Ò
Ò
Ò
× Ø Ò
Ò · ½
Ò
́ Ò · ½ µ
́ Ò · ½ µ
Ò · ½
Ò
Ò
Ò
Ò
Ò
́ Ò · ½ µ
Ò
½
½ ·
½
Ò
Ò
Ò ½
½
½
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 113/174
º ¾ Ö Ò Ó Ò Ó Ñ Ô Ð ½ ¼ ¿
È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó Ð × Ö
½
Ò ½
Ò
Ò
Ò
Ó Ò Ú Ö º Ó Ñ Ó Ó Ö Ó Ð Ö Ó ¸ Ó Ø Ò Ñ Ó × Õ Ù
Ð Ñ
Ò ½
Ò
Ò
Ò
¼ Ý Õ Ù Ð Ñ
Ò ½
Ò
Ö
Ò
Ò
Ò
Ð Ñ
Ò ½
Ò
Ô
Ò
Ò
½
º ¾ Ö Ò Ó Ò Ó Ñ Ô Ð
Ä ¬ Ò Ó Ò Ö Ú Ó Ñ Ô Ð × Ù Ð × Ð Ò × Ð Ö Ú Ö Ð ¸ Ø Ò Ø Ó
Ù Ò Ú Ö Ð Ó Ñ Ó Ú Ö × Ú Ö Ð × º Õ Ù Ö Ò Ó Ø Ö Õ Ù Ò Ê
¾
Ò Ó Ô Ó Ñ Ó × Ú Ö Ý Ò × º Î Ö Ñ Ó × Õ Ù Ñ × Ô Ó × Ð × Õ Ù Ø Ò Ñ Ó ×
Ô Ö ¸ Ð Õ Ù Ö Ñ Ó × Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ò Ý Õ Ù × Ù Ð Ð × Ó Ù Ò Ú Ö Ð
Ö Ð ¸ Ý Ó Ò × Ö Ö Ó Ñ Ó Ê
¾
Ý Ô Ð Ö Ð ¬ Ò Ó Ò ¾ º ½ º ½ ¸ Ó Ò Ò º
¬ Ò Ó Ò º ¾ º ½ º Ë ª Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ö Ø Ó Ý × Þ
¼
¾ ª º Ë ª
º Ò Ø Ó Ò × × Ð Ð Ñ Ó Ñ Ô Ð Ó Ö Ò Ð Ò Þ
¼
× Ð Ñ
Þ Þ
¼
́ Þ µ ́ Þ
¼
µ
Þ Þ
¼
Ü × Ø
Ý Ò × Ø × Ó Ð Ð Ñ Ø × Ð Ð Ð Ñ Ð Ö Ú Ò Þ
¼
Æ Ó Ø Ó Ò º ¾ º ¾ º Ä Ö Ú × Ò Ó Ø ¸ Ó Ñ Ó Ò Ð × Ó Ö Ð ¸ × Ø Ó × ¸
́ Þ
¼
µ Ð Ñ
Þ Þ
¼
́ Þ µ ́ Þ
¼
µ
Þ Þ
¼
Ð Ñ
¼
́ Þ
¼
· µ ́ Þ
¼
µ
Þ
́ Þ
¼
µ
Þ
́ Þ
¼
µ
¬ Ò Ó Ò º ¾ º ¿ º Ë × Ö Ò Ð Ò Ø Ó Ó Ð Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ö Ø Ó ª ¸ Ò ¹
Ø Ó Ò × × Ð Ð Ñ Ó Ð Ó Ñ Ó Ö Ò ª Ý Ø Ò Ö Ñ Ó × Ð × Ù Ò Ø Ò Ó Ø Ó Ò
À ́ ª µ ª × Ó Ð Ó Ñ Ó Ö Ò ª
Ñ Ô Ð Ó º ¾ º º Ë Ð Ù Ò Ó Ò Ó Ò × Ø Ò Ø ́ Þ µ Ô Ö Ø Ó Þ ¾
Ò Ø Ó Ò × Ô Ö Ù Ð Õ Ù Ö Ô Ù Ò Ø Ó Þ
¼
¾ × Ø Ò
́ Þ
¼
µ Ð Ñ
Þ Þ
¼
́ Þ µ ́ Þ
¼
µ
Þ Þ
¼
Ð Ñ
Þ Þ
¼
Þ Þ
¼
Ð Ñ
Þ Þ
¼
¼ ¼
Ñ Ô Ð Ó º ¾ º º Ë Ò ¾ Æ Ý × Ð Ù Ò Ó Ò Ô Ó Ö ́ Þ µ Þ
Ò
Ë Þ
¼
¾ Ù Ò Ô Ù Ò Ø Ó Ö Ø Ö Ö Ó º Ò Ø Ó Ò ×
́ Þ
¼
µ Ð Ñ
Þ Þ
¼
́ Þ µ ́ Þ
¼
µ
Þ Þ
¼
Ð Ñ
Þ Þ
¼
Þ
Ò
Þ
Ò
¼
Þ Þ
¼
Ð Ñ
Þ Þ
¼
́ Þ Þ
¼
µ ́ Þ
Ò ½
· Þ
Ò ¾
Þ
¼
· · Þ
Ò ½
¼
µ
Þ Þ
¼
Ð Ñ
Þ Þ
¼
́ Þ
Ò ½
· Þ
Ò ¾
Þ
¼
· · Þ
Ò ½
¼
µ Þ
Ò ½
¼
· · Þ
Ò ½
¼
ß Þ
Ò
Ò Þ
Ò ½
¼
È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó ́ Þ µ ́ Þ
Ò
µ Ò Þ
Ò ½
Ô Ö Ø Ó Þ ¾
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 114/174
½ ¼ Ù Ò Ó Ò × Î Ö Ð Ó Ñ Ô Ð
Ñ Ô Ð Ó º ¾ º º Ë Ô Ó Ö Ð Ó Ò Ù Ó Ò Ó Ñ Ô Ð ́ Þ µ Þ
Ò Ø Ó Ò × Ô Ö Þ
¼
¾
́ Þ
¼
µ Ð Ñ
Þ Þ
¼
́ Þ µ ́ Þ
¼
µ
Þ Þ
¼
Ð Ñ
Þ Þ
¼
Þ Þ
¼
Þ Þ
¼
Ð Ñ
Þ Þ
¼
́ Þ Þ
¼
µ
Þ Þ
¼
Þ Þ
¼
Ð Ñ
¼
Ë Ü · ¼ Ü Ü ¼ º Ò Ø Ó Ò ×
Ü
Ü
½
¼
½
Ó Ö Ø Ó Ñ Ñ Ó × ¼ · Ý Ý ¼ º Ò Ø Ó Ò ×
Ý
Ý
½
¼
½
Ë × Ù Õ Ù Ð Ñ
¼
Ò Ó Ü × Ø Ý Ô Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó Ð Ù Ò Ó Ò ́ Þ µ Þ Ò Ó ×
Ó Ñ Ô Ð Ó Ö Ò Ð Ò Ò Ò Ù Ò Ô Ù Ò Ø Ó Þ ¾
Ç × Ö Ú Ó Ò º ¾ º º Ù Ò Ó Ó Ò × Ö Ñ Ó × Ð Ù Ò Ó Ò ́ Þ µ Þ
Ó Ñ Ó Ù Ò Ó Ò Ö Ð ¸ Ó Ø Ò Ñ Ó × Ð Ù Ò Ó Ò Ê
¾
Ê
¾
Ô Ó Ö ́ Ü Ý µ
́ Ü Ý µ Ð Ù Ð × Ö Ð Ö Ò Ð º
× Ø Ó × Ö Ú Ó Ò Ò Ó × Ò Ø × Õ Ù Ò ¸ Õ Ù Ò Ó × Ø Ú Ö × Ù Ò Ù Ò Ó Ò
Ú Ö Ð Ó Ñ Ô Ð × Ö Ð Ö Ò Ð º È Ó Ö Ó Ø Ö Ó Ð Ó ¸ × Ø Ó Ô Ù Ô Ö Ö
Ù Ò Ô Ó Ó × Ð Ù × Ó Ò Ò Ø Ô Ù × Ô Ö Ö Õ Ù Ø Ò Ñ Ó × Ó × Ó Ò Ô Ø Ó × Ø Ó Ø Ð Ñ Ò Ø
Ö Ò Ø × º × Ø Ó Ò Ó × × º Ë Ó Ò Ö Ò Ø × Ó Ñ Ó Ð Ó × Ò Ð Ð Ñ Ô Ð Ó º ¾ º Ô Ö Ó
Ò Ó Ø Ò Ö Ò Ø Ó Ñ Ó Ô Ù Ö Ñ Ó × Ó Ò Ð Ù Ö Ô Ö Ø Ö × Ñ Ô Ð Ó º È Ö Ó Ò Ø Ó
Ö Ð Ó Ò Ö Ñ Ó × Ð Ó × Ó × Ó Ò Ô Ø Ó × Ý Ú Ö Ñ Ó × Ü Ø Ñ Ò Ø Ò Ó Ò × Ò Ù Ò ¹
Ø Ö Ð Ö Ò º Ð Ô Ó Ö Õ Ù Ò Ó Ó Ò Ò Ø Ó Ø Ð Ñ Ò Ø × ¸ Ö Ô Ø Ó ¸ Ð Ó
Õ Ù Ê
¾
× Ó Ð Ó × Ó Ò × Ö Ó Ó Ñ Ó × Ô Ó Ú Ø Ó Ö Ð Ö Ð Ý Ò Ó Ø Ò Ú × Ó Ò
× Ö ¸ Ñ Ù Ð Ø Ô Ð Ó Ò Ý × Ø Ò Ù Ò Ñ Ù Ð Ø Ô Ð Ó Ò Õ Ù Ò Ö Õ Ù Ñ Ù Ó
× Ù × Ø Ö Ù Ø Ù Ö Ð Ö º
Ä × Ô Ö Ó Ô × Ù Ò Ñ Ò Ø Ð × Ð × Ö Ú × Ó Ñ Ô Ð × × Ó Ò Ó Ö Ñ Ð ¹
Ñ Ò Ø Ð × Ñ × Ñ × Õ Ù Ò Ð × Ó Ù Ò Ú Ö Ð Ö Ð º Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ò Ò Ù Ò ¹
Ñ Ó × Ð Ù Ò × º
È Ö Ó Ô Ó × Ó Ò º ¾ º º Ë Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ö Ø Ó Ý × Þ
¼
¾ º Ë Ò
Ó × Ù Ò Ó Ò × Ö Ú Ð × Ò Þ
¼
º Ò Ø Ó Ò × ¦ Ý × Ó Ò Ö Ú Ð ×
Ò Þ
¼
º Ë Ó Ò Ð Ñ Ò Ø ́ Þ
¼
µ ¼ ¸ Ò Ø Ó Ò ×
× Ö Ú Ð Ò Þ
¼
º Ñ ×
´ ½ µ ´ ¦ µ ́ Þ
¼
µ ́ Þ
¼
µ ¦ ́ Þ
¼
µ
´ ¾ µ ´ µ ́ Þ
¼
µ ́ Þ
¼
µ ́ Þ
¼
µ · ́ Þ
¼
µ ́ Þ
¼
µ
´ ¿ µ Ë ́ Þ
¼
µ ¼
́ Þ
¼
µ
́ Þ
¼
µ ́ Þ
¼
µ ́ Þ
¼
µ ́ Þ
¼
µ
́ Þ
¼
µ
¾
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò º × Ü Ø Ñ Ò Ø Ù Ð Ó Ñ Ó Ò Ð × Ó Ù Ò Ú Ö Ð Ö Ð º Ù Ø
È Ö Ó Ô Ó × Ó Ò º ¾ º º Ë × Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ö Ú Ð Ò Þ
¼
¸ Ò Ø Ó Ò × × Ó Ò ¹
Ø Ò Ù Ò Þ
¼
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 115/174
º ¾ Ö Ò Ó Ò Ó Ñ Ô Ð ½ ¼
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò º Á Ù Ð Õ Ù Ò Ð × Ó Ù Ò Ú Ö Ð Ö Ð º Ù Ø
Ì Ó Ö Ñ º ¾ º ½ ¼ ´ Ê Ð Ð Ò µ º Ë Ò ª
½
Ý ª
¾
Ó × × Ù Ó Ò Ù Ò Ø Ó ×
Ö Ø Ó × º Ë Ò ª
½
Ý ª
¾
Õ Ù × Ø × Ò Õ Ù ́ ª
½
µ ª
¾
Ë × Ö Ò Ð Ò Þ
¼
¾ ª
½
Ý × Ö Ò Ð Ò Û
¼
́ Þ
¼
µ ¾ ª
¾
Ò Ø Ó Ò × Æ ª
½
× Ö Ò Ð Ò Þ
¼
Ý × Ø Ò ́ Æ µ ́ Þ
¼
µ ́ ́ Þ
¼
µ µ
́ Þ
¼
µ
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò º Í Ò Ó Ö Ñ Ñ Ó × Ø Ö Ö Ð Ö Ð Ð Ò × × Ñ Ô Ð Ñ Ò Ø
Ó Ô Ò Ó Ô Ð Ö Ô Ó Ö Ô Ð Ö Ð × Ó Ù Ò Ú Ö Ð Ö Ð º Í Ò × Ù Ò Ó Ö Ñ
Ô Ö Ó Ö Ð × Ù × Ò Ó Ð Ó Õ Ù × Ù Ò Ù Ò Ó Ò × Ó Ñ Ô Ð Ó Ö Ò Ð ¸
Ò Ø Ó Ò × × Ö Ð Ö Ò Ð ¸ Ð Ó Ù Ð Ú Ö Ñ Ó × Ò Ð Ì Ó Ö Ñ º ¾ º ½ ½ ¸ Ý Ô Ð Ö
Ð Ì Ó Ö Ñ ¾ º ½ º ½ º Ù Ø
Ð × Ù Ò Ø Ö × Ù Ð Ø Ó × × Ó Ò Ð Ø Ó Ö Ö Ò Ó Ò Ó Ñ Ô Ð Ô Ù ×
× Ø Ð Ó Ò Ø Ó Ü Ø Ø Ù Ð Ö Ð Ó Ò Õ Ù Ü × Ø Ò Ø Ö Ö Ú Ó Ñ Ô Ð Ý
Ö Ú Ù Ò Ó Ò × Ê
¾
Ò Ê
¾
Ì Ó Ö Ñ º ¾ º ½ ½ ´ Ó Ò Ó Ò × Ù Ý ¹ Ê Ñ Ò Ò µ º Ë ª Ù Ò × Ù Ó Ò ¹
Ù Ò Ø Ó Ö Ø Ó º Ë Ò Ù Ò Ù Ò Ó Ò ª Ý Þ
¼
́ Ü
¼
Ý
¼
µ Ü
¼
· Ý
¼
¾
ª º Ë Ò Ù ́ Þ µ Ê ́ Þ µ Ý Ú ́ Þ µ Á Ñ ́ Þ µ Ð × Ô Ö Ø × Ö Ð Ý Ó Ñ Ô Ð Ö × ¹
Ô Ø Ú Ñ Ò Ø ¸ × Ø Ó × ¸ ́ Ü Ý µ Ù ́ Ü Ý µ · Ú ́ Ü Ý µ Ó Ò Ù Ú ª Ê
¾
Ê Ó
Õ Ù Ú Ð Ò Ø Ñ Ò Ø ¸ Ù Ú ª Ê º Ò Ø Ó Ò × × Ó Ñ Ô Ð Ó Ö Ò Ð Ò
Þ
¼
× Ý × Ó Ð Ó × × Ö Ð Ö Ò Ð Ò Þ
¼
Ý Ñ ×
Ù
Ü
́ Ü
¼
Ý
¼
µ
Ú
Ý
́ Ü
¼
Ý
¼
µ
Ù
Ý
́ Ü
¼
Ý
¼
µ
Ú
Ü
́ Ü
¼
Ý
¼
µ
Ù Ó Ò × Ù Ý ¹ Ê Ñ Ò Ò
× Ø Ó × ¸ Ù
Ü
Ú
Ý
Ý Ù
Ý
Ú
Ü
Ò Ð Ô Ù Ò Ø Ó ́ Ü
¼
Ý
¼
µ
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò º Æ Ó Ö Ñ Ó × Ø Ó Ó × Ð Ó × Ø Ð Ð × Ð Ó × Ù Ð × × Ó Ò Ô Ö Ò Ô Ð Ñ Ò Ø
Ð Ù Ð Ó × Ö Ø Ó × Ý × Ó Ð Ó Ò Ñ Ó × Ð Ó × Ô × Ó × Ù Ò Ñ Ò Ø Ð × º
È Ö Ñ Ö Ó ¸ × × Ù Ô Ó Ò Ñ Ó × Õ Ù × Ó Ñ Ô Ð Ó Ö Ò Ð Ò Þ
¼
¸ Ò Ø Ó Ò ×
× ́ Þ
¼
µ
½
·
¾
¸ × Ú Ö ¬ Ö Ø Ñ Ò Ø Õ Ù Ð Ø Ö Ò × Ó Ö Ñ Ó Ò Ð Ò Ð
Ì Ê
¾
Ê
¾
Ù Ý Ö Ô Ö × Ò Ø Ó Ò Ñ Ø Ö Ð Ó Ò Ö × Ô Ø Ó Ð × Ò Ó Ò
Ê
¾
× Ø Ô Ó Ö Ì
¾
½
¾
¾
½
¿
× Ø × Ð ¬ Ò Ó Ò Ö Ú Ö Ð
Ó × Ú Ö Ð × Ð Ù Ò Ó Ò ́ Ü Ý µ Ò ´ Ü
¼
Ý
¼
µ ¸ × Ø Ó × ¸ Ì ́ Ü
¼
Ý
¼
µ º Ò
Ô Ö Ø Ù Ð Ö Ó Ø Ò Ñ Ó × Ð × Ù Ó Ò × Ù Ý ¹ Ê Ñ Ò Ò
Ù
Ü
́ Ü
¼
Ý
¼
µ
½
Ú
Ý
́ Ü
¼
Ý
¼
µ
Ù
Ý
́ Ü
¼
Ý
¼
µ
¾
Ú
Ü
́ Ü
¼
Ý
¼
µ
À Ñ Ó × Ñ Ò Ó Ò Õ Ù × Ò Ù × Ø Ö Ó Ó Ø Ú Ó Ù × × Ó Ð Ó Ú Ö Õ Ù Ð × Ù Ó Ò ×
Ù Ý ¹ Ê Ñ Ò Ò × Ú Ö ¬ Ò Ô Ó Ñ Ó × Ô Ö Ó Ö Ð × Ù Ò Ø Ó Ö Ñ
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 116/174
½ ¼ Ù Ò Ó Ò × Î Ö Ð Ó Ñ Ô Ð
Ð Ñ
¼
́ Þ
¼
· µ ́ Þ
¼
µ
Ð Ñ
Ü Ü
¼
Ý Ý
¼
́ Ü Ý µ ́ Ü
¼
Ý
¼
µ
́ Ü Ü
¼
µ · ́ Ý Ý
¼
µ
Ì Ó Ñ Ò Ó Ô Ö Ñ Ö Ó Ý Ý
¼
Ý × Ô Ù × Ü Ü
¼
¸ Ó Ø Ò Ñ Ó ×
Ð Ñ
Ü Ü
¼
́ Ü Ý
¼
µ ́ Ü
¼
Ý
¼
µ
Ü Ü
¼
Ù
Ü
́ Ü
¼
Ý
¼
µ · Ú
Ü
́ Ü
¼
Ý
¼
µ
Ð Ñ
Ý Ý
¼
́ Ü
¼
Ý µ ́ Ü
¼
Ý
¼
µ
́ Ý Ý
¼
µ
½
Ù
Ý
́ Ü
¼
Ý
¼
µ · Ú
Ý
́ Ü
¼
Ý
¼
µ
Ó Ò × × Ù Ù
Ü
́ Ü
¼
Ý
¼
µ Ú
Ý
́ Ü
¼
Ý
¼
µ Ý Ù
Ý
́ Ü
¼
Ý
¼
µ
¾
Ú
Ü
́ Ü
¼
Ý
¼
µ
Ú
Ü
́ Ü
¼
Ý
¼
µ
È Ö Ñ Ó × Ø Ö Ö Ð Ö Ô Ö Ó Ó ¸ × Ø Ó × ¸ × × Ù Ô Ó Ò Ñ Ó × Õ Ù Ð Ù Ò Ó Ò × Ö Ð
Ö Ò Ð Ò ´ Ü
¼
Ý
¼
µ Ý Ñ × × × Ø × Ò Ð × Ù Ó Ò × Ù Ý ¹
Ê Ñ Ò Ò Ò ´ Ü
¼
Ý
¼
µ
Ù
Ü
́ Ü
¼
Ý
¼
µ
Ú
Ý
́ Ü
¼
Ý
¼
µ
½
Ù
Ý
́ Ü
¼
Ý
¼
µ
Ú
Ü
́ Ü
¼
Ý
¼
µ
¾
× Ú Ö ¬ Ö Ø Ñ Ò Ø Õ Ù × Ó Ñ Ô Ð Ó Ö Ò Ð Ò Þ
¼
Ý Õ Ù Ó
́ Þ
¼
µ
½
·
¾
Ù Ø
Ç × Ö Ú Ó Ò º ¾ º ½ ¾ º Æ Ó Ø Ñ Ó × Õ Ù Ñ Ó × Ô Ö Ó Ó Õ Ù × Ù · Ú ×
Ö Ú Ð ¸ Ò Ø Ó Ò × Ð Ô Ö Ø Ö Ð Ð Ö Ú × Ù
Ü
Ú
Ý
Ý Õ Ù Ð Ô Ö Ø
Ñ Ò Ö × Ú
Ü
Ù
Ý
º È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó ¸ × ́ Þ µ Ù ́ Þ µ · Ú ́ Þ µ Ò Ø Ó Ò ×
́ Þ µ Ù
Ü
́ Þ µ · Ú
Ü
́ Þ µ Ù
Ü
́ Þ µ Ù
Ý
́ Þ µ Ú
Ý
́ Þ µ · Ú
Ü
́ Þ µ Ú
Ý
́ Þ µ Ù
Ý
́ Þ µ
Ñ Ô Ð Ó º ¾ º ½ ¿ º Ë ́ Þ µ Þ Ù ́ Ü Ý µ Ü Ý Ú ́ Ü Ý µ Ý º Ò Ø Ó Ò × Ù
Ü
½ ½ Ú
Ý
Ô Ó Ö Ð Ó Õ Ù Ò Ó × Ó Ñ Ô Ð Ó Ö Ò Ð º
Ñ Ô Ð Ó º ¾ º ½ º Ë Ê
¾
Ê
¾
Ô Ó Ö ́ Ü Ý µ ́
Ô
Ü Ý ¼ µ ¸ × Ø Ó × ¸
Ù ́ Ü Ý µ
Ô
Ü Ý Ý Ú ́ Ü Ý µ ¼ º Ò Ø Ó Ò ×
Ù
Ü
´ ¼ ¼ µ Ð Ñ
¼
Ù ́ ¼ µ Ù ´ ¼ ¼ µ
¼
Ú
Ý
´ ¼ ¼ µ
Ù
Ý
´ ¼ ¼ µ Ð Ñ
¼
Ù ´ ¼ µ Ù ´ ¼ ¼ µ
¼
Ú
Ü
´ ¼ ¼ µ
× Ö ¸ × Ø × Ð × Ù Ó Ò × Ù Ý ¹ Ê Ñ Ò Ò Ò ´ ¼ ¼ µ º Ë Ò Ñ Ö Ó
Ò Ó × Ö Ð Ö Ò Ð Ò ´ ¼ ¼ µ Ô Ù × × Ð Ó Ù × ¸ Ò × Ö Ñ Ò Ø Ø Ò Ö Ñ Ó ×
Õ Ù ´ ¼ ¼ µ
¼ ¼
¼ ¼
º Ë Ò Ñ Ö Ó Ø Ò Ñ Ó × Õ Ù × × Ø Ù × Ð × Ó ¸ Ò Ø Ó Ò ×
Ð Ñ
́ Ü Ý µ ´ ¼ ¼ µ
́ Ü Ý µ ´ ¼ ¼ µ ´ ¼ ¼ µ ´ ´ Ü Ý µ ´ ¼ ¼ µ µ
́ Ü Ý µ
Ð Ñ
́ Ü Ý µ ´ ¼ ¼ µ
Ô
Ü Ý
Ô
Ü
¾
· Ý
¾
¼
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 117/174
º ¿ Ë Ö × È Ó Ø Ò × ½ ¼
Ô Ö Ó × Ø Ó Ù Ð Ø Ñ Ó Ò Ó × Ù Ñ Ô Ð Ô Ù × × Ø Ó Ñ Ñ Ó × Ü Ý ¼ ¸ Ò Ø Ó Ò ×
Ð Ñ
́ Ü Ý µ ´ ¼ ¼ µ
Ô
Ü Ý
Ô
Ü
¾
· Ý
¾
Ð Ñ
Ü ¼
Ô
Ü
¾
Ô
¾ Ü
¾
Ð Ñ
Ü ¼
½
Ô
¾
½
Ô
¾
¼ º È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó
Ò Ó × Ó Ñ Ô Ð Ó Ö Ò Ð Ò ´ ¼ ¼ µ
º ¿ Ë Ö × È Ó Ø Ò ×
Í Ò × Ö Ô Ó Ø Ò × Ð Ö Ó Ö Þ
¼
¾ × Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ð Ø Ô Ó ́ Þ µ
½
Ò ¼
Ò
́ Þ Þ
¼
µ
Ò
Ó Ò
Ò
¾
Ó Ö Ò ¸ ¬ Ò Ó Þ ¾ Ð × Ö Ô Ó Ø Ò × × Ó Ò Ú Ö Ø Ò Ù Ò
× Ö Ò Ù Ñ Ö Ý Ô Ö × Ø Ù Ö × Ù Ó Ò Ú Ö Ò Ô Ö Ó Ñ Ó × Ó Ñ Ó Ò Ð × Ó
× Ö × Ò Ù Ñ Ö × º Ð Ö × Ø Ó ¸ Ó Ø Ò Ñ Ó × Ñ Ò Ö × Ø Ò Ø Ô Ö × Ò
Ó Ò Ó Ò Ú Ö Ù Ò × Ö Ô Ó Ø Ò × Ò Ù Ò Ó Ò Ð Ó × Ó ¬ Ò Ø ×
Ò
º × Ø Ó
Ò Ó × Ð Ó Ð × Ù Ò Ø Ö × Ù Ð Ø Ó º
Ì Ó Ö Ñ º ¿ º ½ ´ Ù Ý ¹ À Ñ Ö µ º Ë Þ
¼
¾ Ý ×
½
Ò ¼
Ò
́ Þ Þ
¼
µ
Ò
Ù Ò × Ö Ô Ó Ø Ò × º Ë Ð Ñ
Ò ½
Ò
Ô
Ò
¾ ¼ ½ º Ò Ø Ó Ò ×
´ ½ µ Ë ¼ Ò Ø Ó Ò × Ð × Ö Ó Ò Ú Ö × Ó Ð Ù Ø Ñ Ò Ø Ô Ö Ø Ó Þ ¾
´ ¾ µ Ë ½ Ò Ø Ó Ò × Ð × Ö × Ó Ð Ó Ó Ò Ú Ö Ô Ö Þ Þ
¼
´ ¿ µ Ë ¼ ½ Ò Ø Ó Ò × Ð × Ö Ó Ò Ú Ö × Ó Ð Ù Ø Ñ Ò Ø Ô Ö Þ
Þ
¼
½
¸ Ú Ö Ô Ö Þ Þ
¼
½
Ý Ò Ó Ô Ó Ñ Ó × ¬ Ö Ñ Ö Ò Ô Ö
Þ Þ
¼
½
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò
´ ½ µ È Ö Ø Ó Þ ¾ × Ø Ò
Ð Ñ
Ò ½
Ò
Ô
Ò
́ Þ Þ
¼
µ
Ò
Þ Þ
¼
Ð Ñ
Ò ½
Ò
Ô
Ò
¼ ½
Ð Ó Ù Ð Ñ Ô Ð Õ Ù
½
Ò ¼
Ò
́ Þ Þ
¼
µ
Ò
Ó Ò Ú Ö Ô Ö Ù Ð Õ Ù Ö Þ ¾
´ ¾ µ Ë ½ ¸ Ò Ø Ó Ò ×
Ð Ñ
Ò ½
Ò
Ô
Ò
́ Þ Þ
¼
µ
Ò
Þ Þ
¼
Ð Ñ
Ò ½
Ò
Ô
Ò
½ × Þ Þ
¼
¼ × Þ Þ
¼
Ô Ó Ö Ð Ó Õ Ù Ð × Ö
½
Ò ¼
Ò
́ Þ Þ
¼
µ
Ò
Ó Ò Ú Ö × Ó Ð Ó Ô Ö Þ Þ
¼
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 118/174
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 119/174
º ¿ Ë Ö × È Ó Ø Ò × ½ ¼
Þ
¼
¡
¡
¡
¡
¡ «
×
Ê
½
Ó Ò Ú Ö
Ú Ö
Ê
Ý
Ü
©
Ç × Ö Ú Ó Ò º ¿ º º Ð × Ö
½
Ò ¼
Ò
́ Þ Þ
¼
µ
Ò
¸ × Ð Ñ
Ò ½
Ò · ½
Ò
Ü × Ø ¸ Ò ¹
Ø Ó Ò × Ð Ñ
Ò ½
Ò · ½
Ò
Ð Ñ
Ò ½
Ò
Ô
Ò
½
Ê
Ñ Ô Ð Ó º ¿ º º Ó Ò × Ö Ñ Ó × Ð × Ö
½
Ò ¼
Þ
Ò
º Ò × Ø × Ó Ø Ò Ñ Ó × Þ
¼
¼
Ý
Ò
¾ × Ò ½
½ × Ò Ô Ö Ð Ù Ò ¾
¼ Ò Ó Ø Ö Ó × Ó º
È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó Ð Ñ
Ò ½
Ò
Ô
Ò
½ Ó Ò × × Ù Õ Ù Ê
½
½
Ñ Ô Ð Ó º ¿ º º Ä Ù Ò Ó Ò Ü Ô Ó Ò Ò Ð
Þ
× Ø Ô Ó Ö Ð × Ö
½
Ò ¼
Þ
Ò
Ò
Ò
× Ø × Ó × Ø Ò
Ò
½
Ò
¸ Ó Ò
Ò · ½
Ò
½
́ Ò · ½ µ
½
Ò
½
Ò · ½
Ò ½
¼
È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó Ê
½
½ ¸ × Ö Ð × Ö Ó Ò Ú Ö × Ó Ð Ù Ø Ñ Ò Ø Ô Ö Ø Ó Ó
Þ ¾
Ñ Ô Ð Ó º ¿ º º Ë
½
Ò ¼
́ Ò · Û
Ò
¼
µ Þ
Ò
Ó Ò Û
¼
¾ ¬ Ó º Ò × Ø × Ó Ø Ò Ñ Ó ×
Ò
Ò · Û
Ò
¼
Ý Þ
¼
¼
È Ö Ñ Ö Ó × Ù Ô Ó Ò Ñ Ó × Õ Ù Û
¼
½ º Ò Ø Ó Ò ×
Ò
¾
Ò ½ Ò · Û
Ò
¼
Ò · ½ ¾ Ò
Ô Ö Ò ¾ º È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 120/174
½ ½ ¼ Ù Ò Ó Ò × Î Ö Ð Ó Ñ Ô Ð
Ò
Ö
Ò
¾
Ò
Ô
Ò
Ò
Ô
¾ Ò
Ò
Ô
¾
Ò
Ô
Ò
Ò
½
Ò
½
½ ½
È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó Ð Ñ
Ò ½
Ò
Ô
Ò
½ Ý Ò Ó Ò × Ù Ò Ê ½
Ó Ö Ò ¸ Ò Ð × Ó Ò Õ Ù Û
¼
½ ¸ × Ø Ò Õ Ù Ð Ñ
Ò ½
Û
¼
Ò
Ò
½ Ô Ó Ö
Ð Ó Õ Ù Ü × Ø Ò
¼
¾ Æ Ø Ð Õ Ù Ô Ö Ò Ò
¼
Û
¼
Ò
Ò
¾ º È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó
Û
¼
Ò
¾
Û
¼
Ò
Û
¼
Ò
¾
Û
¼
Ò
Ò Û
Ò
¼
· Ò
Ò
Û
¼
Ò
· Ò
¿
¾
Û
¼
Ò
× Ö ¸ Ø Ò Ñ Ó ×
Û
¼
Ò
Ô
¾
Ò
Ô
Ò
Ò
Ö
¿
¾
Û
¼
Ý Ð Ñ
Ò ½
Û
¼
Ò
Ô
¾
Ð Ñ
Ò ½
Ò
Ö
¿
¾
Û
¼
Û
¼
Ë × Ù Õ Ù Ð Ñ
Ò ½
Ò
Ô
Ò
Û
¼
Ý Ô Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó Ê
½
Û
¼
Ê × Ù Ñ Ò Ó ¸ × Ø Ò Ê Ñ Ò
Ò
½
½
Û
¼
Ó
Ð × Ù Ò Ø Ö × Ù Ð Ø Ó Ò Ó × × Ø Ð Õ Ù × Ð Ö Ó Ó Ò Ú Ö Ò Ù Ò
× Ö × Ô Ó × Ø Ú Ó ´ Ó Ò ¬ Ò Ø Ó µ ¸ Ò Ø Ó Ò × Ð Ù Ò Ó Ò Õ Ù ¬ Ò × Ó Ð Ó Ñ Ó Ö Ò Ø Ö Ó
× Ù Ö Ó Ó Ò Ú Ö Ò Ý Õ Ù Ð Ö Ú × Ô Ù Ð Ù Ð Ö Ö Ú Ò Ó
Ø Ö Ñ Ò Ó Ø Ö Ñ Ò Ó Ð × Ö º
Ì Ó Ö Ñ º ¿ º º Ë
½
Ò ¼
Ò
́ Þ Þ
¼
µ
Ò
Ù Ò × Ö Ô Ó Ø Ò × Ó Ò Ö Ó Ó Ò ¹
Ú Ö Ò Ê ¼ º Ë ª ́ Þ
¼
Ê µ º Ë ª Ð Ù Ò Ó Ò ¬ Ò Ô Ó Ö Ð
× Ö ́ Þ µ
½
Ò ¼
Ò
́ Þ Þ
¼
µ
Ò
º Ò Ø Ó Ò × ¾ À ́ ª µ Ý
́ Þ µ
½
Ò ½
Ò
Ò
́ Þ Þ
¼
µ
Ò ½
½
Ò ¼
́ Ò · ½ µ
Ò · ½
́ Þ Þ
¼
µ
Ò
Ò Ð Ñ Ò Ø ¸ Ð Ö Ó Ó Ò Ú Ö Ò × Ø Ù Ð Ø Ñ × Ö × Ø Ñ Ò Ê
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò Ë Ó Ð Ó Ô Ö × Ò Ø Ñ Ó × Ð Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò × Ó Ö Ð Ö Ó Ó Ò Ú Ö Ò ¹
º Ë Ø Ò Ô Ö Ð Ò Ù Ú × Ö
Ð Ñ
Ò ½
Ò
Ô
Ò
Ò
́ Þ Þ
¼
µ
Ò ½
Ð Ñ
Ò ½
Ò
Ô
Ò
Ò
Ô
Ò
Þ Þ
¼
Ò
Ô
Þ Þ
¼
½
½
Þ Þ
¼
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 121/174
º ¿ Ë Ö × È Ó Ø Ò × ½ ½ ½
Ð Ø Ö Ò Ø Ú Ñ Ò Ø ×
½
× Ö × Ô Ø Ú Ó Ð Ñ Ø × Ù Ô Ö Ó Ö Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ò Ø
Ð × Ö ´ Þ Þ
¼
µ ́ Þ µ
½
Ò ½
Ò
Ò
́ Þ Þ
¼
µ
Ò
¸ Ò Ø Ó Ò ×
½
Ð Ñ
Ò ½
Ò
Ô
Ò
Ò
Ð Ñ
Ò ½
Ò
Ô
Ò Ð Ñ
Ò ½
Ò
Ô
Ò
½ Ù Ø
Ó Ö Ó Ð Ö Ó º ¿ º º Ó Ò Ð × Ô Ó Ø × × Ò Ø Ö Ó Ö × ¸ × Ø Ò Õ Ù Ð Ù Ò Ó Ò ́ Þ µ
½
Ò ¼
Ò
́ Þ Þ
¼
µ
Ò
× Ò ¬ Ò Ø Ñ Ò Ø Ö Ò Ð Ò ́ Þ
¼
Ê µ Ý
́ µ
́ Þ µ
½
Ò
Ò ́ Ò ½ µ ́ Ò · ½ µ
Ò
́ Þ Þ
¼
µ
Ò
½
Ò ¼
́ Ò · µ ́ Ò · ½ µ ́ Ò · ½ µ
Ò ·
́ Þ Þ
¼
µ
Ò
Ñ × × Ø Ò Õ Ù Ô Ö Ø Ó Ò
Ò
́ µ
́ Þ
¼
µ
Ò
Ù Ø
¬ Ò Ó Ò º ¿ º ½ ¼ º Ë Ò ª Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ö Ø Ó Ý ª Ù Ò Ù Ò Ó Ò
¬ Ò Ò ª º Ë Õ Ù × Ò Ð Ø Ò ª × Ô Ö Þ
¼
¾ ª Ü × Ø Ê ¼
Ø Ð Õ Ù ́ Þ µ
½
Ò ¼
Ò
́ Þ Þ
¼
µ
Ò
Ô Ö Ø Ó Þ ¾ ́ Þ
¼
Ê µ ª Ý Ð × Ö Ø Ò
Ö Ó Ó Ò Ú Ö Ò Ê
Ë Ø Ò Õ Ù ́ Þ µ
½
Ò ¼
́ Ò µ
́ Þ
¼
µ
Ò
́ Þ Þ
¼
µ
Ò
Ð Ù Ð × Ð Ð Ð Ñ Ð × Ö
Ì Ý Ð Ó Ö Ð Ö Ó Ö Þ
¼
È Ó Ò Ñ Ó × ́ ª µ ª × Ò Ð Ø Ò ª º Ê Ó Ö Ñ Ó × Õ Ù
À ́ ª µ ª × Ó Ð Ó Ñ Ó Ö Ò ª º Ó Ñ Ó Ó Ò × Ù Ò Ð Ó Ö Ó ¹
Ð Ö Ó º ¿ º × Ø Ò Õ Ù ́ ª µ À ́ ª µ º Í Ò Ó Ð Ó × Ö × Ù Ð Ø Ó × Ñ × Ñ Ô Ó Ö Ø Ò Ø ×
Ò Ð Ø Ó Ö Ú Ö Ð Ó Ñ Ô Ð × Õ Ù Ô Ö Ù Ð Õ Ù Ö Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ö Ø Ó ª ×
Ø Ò Ð Ù Ð ́ ª µ À ́ ª µ
Ä Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò × Ø Ó Ù × Ó Ð Ò Ø Ö Ð Ù Ý º
Ñ Ô Ð Ó º ¿ º ½ ½ º Ë Ò ½ ¸ ¬ Ò Ô Ó Ö ́ Þ µ
½
½ Þ
º Ë Þ
¼
½
Ë Ø Ò Õ Ù ́ Þ µ
½
´ ½ Þ µ
¾
́ Ò µ
́ Þ µ
Ò
´ ½ Þ µ
Ò · ½
º È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó Ð
× Ö Ì Ý Ð Ó Ö Ð Ö Ó Ö Þ Þ
¼
×
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 122/174
½ ½ ¾ Ù Ò Ó Ò × Î Ö Ð Ó Ñ Ô Ð
½
Ò ¼
́ Ò µ
́ Þ
¼
µ
Ò
́ Þ Þ
¼
µ
Ò
½
Ò ¼
½
´ ½ Þ
¼
µ
Ò · ½
́ Þ Þ
¼
µ
Ò
½
½ Þ
¼
½
Ò ¼
Þ Þ
¼
½ Þ
¼
Ò
½
½ Þ
¼
½
½
Þ Þ
¼
½ Þ
¼
½
½ Þ
¼
½
½ Þ
¼
Þ · Þ
¼
½ Þ
¼
½
½ Þ
́ Þ µ
È Ö Ð Ð Ö Ð Ö Ó Ó Ò Ú Ö Ò Ð × Ö ¸ Ó Ò × Ö Ñ Ó ×
Ò
½
´ ½ Þ
¼
µ
Ò · ½
¸ Ò Ø Ó Ò × Ð Ñ
Ò ½
Ò
Ô
Ò
½
½ Þ
¼
Ô Ó Ö Ð Ó Õ Ù Ê ½ Þ
¼
×
Ù Ð Ð × Ø Ò ½ Þ
¼
Þ
¼
¡
¡
¡
¡
¡ «
×
½
×
Ê ½ Þ
¼
Ý
Ü
Ð Ø Ö Ò Ø Ú Ñ Ò Ø ¸ Ó Ò × Ö Ò Ó Ð × Ö Ó Ñ Ó Ù Ò × Ö Ó Ñ Ø Ö ¸ ́ Þ µ
½
½ Þ
¼
½
Ò ¼
Þ Þ
¼
½ Þ
¼
Ò
Ð × Ö Ó Ò Ú Ö Ô Ö
¬
¬
¬
¬
Þ Þ
¼
½ Þ
¼
¬
¬
¬
¬
½ Ð Ó Ù Ð × Õ Ù Ú ¹
Ð Ò Ø Þ Þ
¼
½ Þ
¼
Ì Ó Ö Ñ º ¿ º ½ ¾ º Ë
½
Ò ¼
Ò
́ Þ Þ
¼
µ
Ò
Ù Ò × Ö Ô Ó Ø Ò × Ó Ò Ö Ó
Ó Ò Ú Ö Ò Ê ¼ º Ë ¼ Ö Ê º Ò Ø Ó Ò ×
½
Ò ¼
Ò
́ Þ Þ
¼
µ
Ò
Ó Ò Ú Ö
Ù Ò Ó Ö Ñ Ñ Ò Ø Ò ́ Þ
¼
Ö µ
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò º Ë Ø Ò Õ Ù Ô Ö Þ ¾ ́ Þ
¼
Ö µ × Ù Ñ Ô Ð
Ò
́ Þ Þ
¼
µ
Ò
Ò
Ö
Ò
Ñ ×
½
Ò ¼
Ò
Ö
Ò
Ó Ò Ú Ö Ô Ù × Ð Ñ
Ò ½
Ò
Ô
Ò
Ö
Ò
Ö
Ö
Ê
½ º È Ó Ö Ð Ö Ø Ö Ó
Å Ï Ö × Ø Ö × × Ð × Ö Ó Ò Ú Ö Ù Ò Ó Ö Ñ Ñ Ò Ø Ò ́ Þ
¼
Ê µ Ù Ø
¬ Ò Ó Ò º ¿ º ½ ¿ º Ä Ù Ò Ó Ò × Ü Ô Ó Ò Ò Ð ¸ × Ò Ó Ý Ó × Ò Ó × ¬ Ò Ò Ô Ó Ö
Ñ Ó Ð × × Ö ×
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 123/174
º ¿ Ë Ö × È Ó Ø Ò × ½ ½ ¿
Þ
½
Ò ¼
Þ
Ò
Ò
× Ò Þ
½
Ò ¼
́ ½ µ
Ò
Þ
¾ Ò · ½
´ ¾ Ò · ½ µ
Ó × Þ
½
Ò ¼
́ ½ µ
Ò
Þ
¾ Ò
´ ¾ Ò µ
Ë Ø Ò Õ Ù Ð Ö Ó Ó Ò Ú Ö Ò Ð × Ø Ö × × Ö × × ½ Ý Ô Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó
× Ø × Ù Ò Ó Ò × × Ó Ò Ó Ð Ó Ñ Ó Ö × Ò
Ð × Ù Ò Ø Ö × Ù Ð Ø Ó × Ø Ð Ð × Ô Ö Ò Ô Ð × Ô Ö Ó Ô × Ð × Ù Ò Ó Ò ×
Ü Ô Ó Ò Ò Ð ¸ × Ò Ó Ý Ó × Ò Ó º
È Ö Ó Ô Ó × Ó Ò º ¿ º ½ º ´ ½ µ
Þ
Û
Þ · Û
Ô Ö Ø Ó Þ Û ¾
´ ¾ µ
Þ
¼ Ô Ö Ø Ó Þ ¾
´ ¿ µ
Þ
Ó × Þ · × Ò Þ Ô Ö Ø Ó Þ ¾
´ µ Ó × Þ
Þ
·
Þ
¾
× Ò Þ
Þ
Þ
¾
Ô Ö Ø Ó Þ ¾
´ µ × Ò
¾
Þ · Ó ×
¾
Þ ½ Ô Ö Ø Ó Þ ¾
´ µ Ó × ´ Þ · Û µ Ó × Þ Ó × Û × Ò Þ × Ò Û Ô Ö Ø Ó Þ Û ¾
´ µ × Ò ´ Þ · Û µ × Ò Þ Ó × Û · Ó × Þ × Ò Û Ô Ö Ø Ó Þ Û ¾
´ µ È Ö Þ Ü · Ý ¾ Ö Ø Ö Ö Ó × Ø Ò
Þ
Ü · Ý
Ü
Ý
Ü
´ Ó × Ý · × Ò Ý µ
´ µ
Þ
Ü
Ê Þ
Ô Ö Þ ¾
´ ½ ¼ µ Ë Ø Ò Õ Ù
Þ
½ × Ý × Ó Ð Ó × Þ ¾ Ò Ó Ò Ò ¾
´ ½ ½ µ ´
Þ
µ
Þ
´ × Ò Þ µ Ó × Þ ´ Ó × Þ µ × Ò Þ
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò º Ë Ó Ð Ó Ô Ö × Ò Ø Ö Ñ Ó × Ù Ò Ô Ö Ø º
È Ö ´ ¾ µ × Ø Ò Õ Ù
Þ
Þ
Þ Þ
¼
½ ¼ Ó Ò × × Ù Õ Ù
Þ
¼
È Ö ´ µ ¸
Þ
Ô
¾ Ü
´ Ó ×
¾
Ý · × Ò
¾
Ý µ
Ü
Ô
½
Ü
È Ö ´ ½ ¼ µ ¸
Þ
½ ´ µ × Ò Ý ¼ ¸ Ó × Ý ½ Ý
Ü
½ ´ µ Ü ¼ Ý
Ý ¾ Ò Ó Ò Ò ¾ Ù Ø
Ç × Ö Ú Ó Ò º ¿ º ½ º Ô × Ö Õ Ù Ó ×
¾
Þ · × Ò
¾
Þ ½ ¸ Ó × Þ × Ò Þ Ò Ó × Ø Ò
Ó Ø × Ò Ô Ù × ¸ Ô Ó Ö Ñ Ô Ð Ó ¸ Ó × ´ Ò µ
́ Ò µ
·
́ Ò µ
¾
Ò
·
Ò
¾
Ò ½
½
Ë Ð Ð Ð Ñ × Ñ Ó Ò Ð Ù × Ó Ò Ù × Ò Ó Ð Ì Ó Ö Ñ Ä Ó Ù Ú Ð Ð º
Ç × Ö Ú Ó Ò º ¿ º ½ º Ë Ø Ò Ð Ó Ö Ñ Ù Ð Ñ Ù Ð Ö
· ½ ¼
Ð Ù Ð Ò Ú Ó Ð Ù Ö Ð Ó × Ð Ñ Ò Ø Ó × Ò Ù Ø Ö Ó × ¸ Ø Ò Ø Ó Ð × Ù Ñ ¸ Ð ¼ ¸ Ó Ñ Ó Ð
Ñ Ù Ð Ø Ô Ð Ó Ò ¸ Ð ½ ¸ Ð Ó × Ó × Ò Ù Ñ Ö Ó × Ø Ö × Ò Ò Ø × Ñ × Ñ Ð Ñ Ø Ó × ¸ Ý
Ý ¬ Ò Ð Ñ Ò Ø Ð Ù Ò Ñ Ò Ö
Ô
½ º × Ø Ó × ¸ Ò Ó Ý × Ô Ö Ó Ò
× Ø Ó Ö Ñ Ù Ð º
Ë Ø Ò Õ Ù
Þ
¼ Ô Ö Ó Ü Ô Ò ¼ × × Ó Ö º Ó ¸ × ª Þ ¾
Þ Ü · Ý Ý ¸ Ò Ø Ó Ò × Ü Ô ª Ò ¼ × × Ù Ô Ö Ý Ø Ú º È Ö
Ô Ö Ó Ö Ð Ó ¸ Ó Ò × Ö Ñ Ó × Û ¾ Û ¼ ¸ Ò Ø Ó Ò × Û Û
Û
Û
¸ Ñ Ó × Ó Ò
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 124/174
½ ½ Ù Ò Ó Ò × Î Ö Ð Ó Ñ Ô Ð
Û · º × Ó Ñ Ó × Ý ¾ ́ Ø Ð Õ Ù Ó × Ý
Ô
¾
·
¾
¸ × Ò Ý
Ô
¾
·
¾
Ý × Ü ¾ Ê Ø Ð Õ Ù
Ü
Ô
¾
·
¾
Ò Ø Ó Ò × × Þ Ü · Ý ¸ Ò Ø Ó Ò ×
Þ
Ü
´ Ó × Ý · × Ò Ý µ Û
Û
Û
Û
È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó
Þ
Û
Æ Ó Ø Ñ Ó × Õ Ù Û
Ü
¸ Ó Ò Ü Ð Ò Û Ý Ø Ò Ý
¸ Ô Ó Ö Ð Ó Õ Ù Ý
Ö Ø Ò
Á Ñ Û
Ê Û
Ö Û º Ä Ò Ú Ö ×
Þ
× Ð Ð Ó Ö Ø Ñ Ó
Ü
Ý
×
Ò Þ ¾ Ê Þ ¼
Ä Ò
Ü
Ý
ª
Æ
Ë Ø Ò Ä Ò Û Ð Ò Û · Ö Û
Æ Ó Ø Ñ Ó × Õ Ù Ù Ð Õ Ù Ö Û ¾ Ò ¼ Ô Ù × Ö Ö × Ó Ñ Ó Û
«
Ó Ò
¾ Ê ¼ Ý « ¾ Ê º Ó Û Ý
«
Û
Û
Ó Ò
«
Û
Û
Ø Ò
Ò Ó Ö Ñ ½ º × Ø × Ö Ô Ó Ò Ù Ò Ò Ù Ñ Ö Ó Ó Ñ Ô Ð Ó Û Ò Ó Ö Ó ¸ × Ó
Ð × Ö Ô Ó Ò Ù Ò Ð Ñ Ò Ø Ó Ê
¾
Ò Ó Ó Ö Ò × Ô Ó Ð Ö × º Í × Ö Ñ Ó × × Ø
× Ö Ô Ó Ò Ô Ö Ô Ö Ó Ö Ð × Ù Ò Ø Ö × Ù Ð Ø Ó Õ Ù Ò Ó × Ð Ó Ñ Ó Ó Ø Ò Ö Ð ×
Ö Ò Ø × Ò Ö × Ò ¹ × Ñ × Ù Ò Ò Ù Ñ Ö Ó Ó Ñ Ô Ð Ó Ö Ò Ø Ö Ó º
Ë Þ ¾ Þ ¼ Þ Ü · Ý º × Ö Ò Ó Ð Ô Ù Ò Ø Ó ´ Ü Ý µ ¾ Ê
¾
Ò
Ó Ó Ö Ò × Ô Ó Ð Ö × Ü Ö Ó × Ý Ö × Ò Ó Ò Ö
Ô
Ü
¾
· Ý
¾
Þ ¼ Ý
Ö Þ ¾ ¼ ¾ µ Ó ́
¼
×
Ý
Ü
Ö Þ
Ò Ø Ó Ò × ¸ Ó Ñ Ó Ò Ø × ¸ Þ Þ
Ö
¸ Ð Ù Ð × Ð Ð Ñ Ð Ó Ö Ñ Ô Ó Ð Ö
Þ ¾
Æ Ù × Ø Ö Ó Ó Ø Ú Ó Ó Ö × Õ Ù Ó × Þ
¼
¾ Þ
¼
¼ Ý Ò ¾ Æ ¸ Õ Ù Ö Ñ Ó ×
Ð Ð Ö Ð Ó × Ð Ñ Ò Ø Ó × Û ¾ Ø Ð × Õ Ù Û
Ò
Þ
¼
Þ
¼
¼
º Ò Ó Ø Ö × Ô Ð Ö × ¸
Õ Ù Ö Ñ Ó × Ð Ù Ð Ö Ð × Ö × Ò ¹ × Ñ × Þ
¼
Ë Û Ö
Ø
Ù Ò × Ó Ð Ù Ó Ò Ö Ø Ö Ö Û
Ò
Þ
¼
Ò × Ó Õ Ù × Ø Ü × Ø º
Ò Ø Ó Ò × Û
Ò
Ö
Ò
Ò Ø
Þ
¼
¼
º È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó ¸ Ö
Ò
Ô
Þ
¼
¾ Ê
·
Ý
Ò Ø
¼
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 125/174
º ¿ Ë Ö × È Ó Ø Ò × ½ ½
Ë × Ù Õ Ù
́ Ò Ø
¼
µ
½ º Ð Ó Ò Ø Ö Ó Ö Ó Ø Ò Ñ Ó × Õ Ù Ò Ø
¼
¾ Ñ Ô Ö
Ñ ¾ º × Ø Ó × ¸
Ø
¼
· ¾ Ñ
Ò
Ñ ¾
Ë Û
Ñ
Ò
Ô
Þ
¼
¼
· ¾ Ñ
Ò
¡
Ó Ò Ñ ¾ º È Ó Ö Ð Ó Ò Ø Ö Ó Ö ¸ × Û × Ù Ò
× Ó Ð Ù Ó Ò Û
Ò
Þ
¼
¸ Ò Ø Ó Ò × Ò × Ö Ñ Ò Ø Û Û
Ñ
Ô Ö Ð Ù Ò Ñ ¾
Ê Ô Ö Ó Ñ Ò Ø ¸ × Ò Ñ Ø Ó Ú Ö ¬ Ö Õ Ù Û
Ò
Ñ
Þ
¼
Ô Ö Ø Ó Ñ ¾ Ò
Ó Ø Ö × Ô Ð Ö × ¸ Ð Ó Ò Ù Ò Ø Ó × Ó Ð Ù Ó Ò × Û
Ò
Þ
¼
× Û
Ñ
½
Ñ ½
È Ö ¬ Ò Ð Þ Ö Ò Ó × Ô Ö Ù Ò Ø Ñ Ó × Ù Ð × × Ø × × Ó Ð Ù Ó Ò × × Ö Ô Ø Ò º È Ó Ö
Ñ Ô Ð Ó ¸ × Ð Ú Ö Õ Ù Û
¼
Û
Ò
Û
Ò
º Ì Ó Ñ Ñ Ó × Ñ ¼ ½ ¾ Ò ½
Ë Ó Ñ Ó Ö Ó Ð Ú Ö ¬ Ö Õ Ù × Ñ
½
Ñ
¾
¾ ¼ ½ Ò ½ Ý Ñ
½
Ñ
¾
¸ Ò Ø Ó Ò × Û
Ñ
½
Û
Ñ
¾
º È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó
̈
Û
Ñ
©
Ò ½
Ñ ¼
× Ó Ò Ò × Ó Ð Ù Ó Ò × × Ø Ò Ø × º
Á Ò Ñ Ø Ñ Ò Ø × Ó Ò Ð Ù Ý Ò Õ Ù × × × Ó Ò Ø Ó × Ô Ù × × Ò × Ó Ð Ö
Õ Ù Ù Ð Õ Ù Ö Ô Ó Ð Ò Ó Ñ Ó Ö Ó Ò Ø Ò Ð Ó Ñ × Ò × Ó Ð Ù Ó Ò × Ó Ò Ø × Ó Ò
Ñ Ù Ð Ø Ô Ð º Ë Ò Ñ Ö Ó Ñ Ó × Ù Ò Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò Ö Ø º
Ë Ñ ¾ Ù Ð Õ Ù Ö º È Ó Ö Ð Ð Ó Ö Ø Ñ Ó Ð Ú × Ó Ò × Ö Ñ Ó × Ñ
Ò Õ · Ö Ó Ò Ö ¾ ¼ ½ Ò ½ º Ò Ø Ó Ò ×
¼
· ¾ Ñ
Ò
¡
¼
· ¾ Õ Ò · ¾ Ö
Ò
¡
¼
· ¾ Ö
Ò
¡
´ ¾ Õ µ
¼
· ¾ Ö
Ò
¡
½
¼
· ¾ Ö
Ò
¡
È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó Û
Ñ
Û
Ö
Ó Ò Ö ¾ ¼ ½ Ò ½ º Ò Ó Ø Ö × Ô Ð Ö × Ð × × Ó Ð Ù ¹
Ó Ò × Û
Ò
Þ
¼
× Ø Ò × Ô Ó Ö Ð Ó Ö Ñ Ù Ð Å Ó Ú Ö
Û
Ñ
Ò
Ô
Þ
¼
¼
· ¾ Ñ
Ò
¡
Ñ ¼ ½ Ò ½
Ñ Ô Ð Ó º ¿ º ½ º À Ð Ð Ñ Ó × Ð × Ö × Û
¿
½ · Þ
¼
×
½
½
¼
½ ·
Ô
¾ Þ
¼
½ ·
Ü
Ý
×
È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó Û
Ñ
¿
Ô
½ ·
¼
· ¾ Ñ
¿
¡
Ô
¾
¼
· ¾ Ñ
Ò
¡
Ñ ¼ ½ ¾ º Ò ¹
Ø Ó Ò ×
Û
¼
Ô
¾
½ ¾
¡
Û
½
Ô
¾
· ¾
¿
¡
Ô
¾
½ ¾
¡
Ô
¾
¿
¡
Û
¾
Ô
¾
·
¿
¡
Ô
¾
½
½ ¾
¡
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 126/174
½ ½ Ù Ò Ó Ò × Î Ö Ð Ó Ñ Ô Ð
º Ö Ó ×
Ö Ó º º ½ º È Ö Ó Ö Õ Ù Ô Ö Ø Ó Ó Þ Û ¾ Þ Û Þ Û
Ö Ó º º ¾ º Ë Þ ½ Ó Û ½ Ý Þ Û ½ ¸ Ô Ö Ó Ö Õ Ù
¬
¬
¬
¬
Þ Û
½ Þ Û
¬
¬
¬
¬
½
Ö Ó º º ¿ º Ë Ò Þ
½
Þ
Ò
Û
½
Û
Ò
¾ º È Ö Ó Ö Ð × Ù Ð
Ù Ý
Þ
½
Û
½
· Þ
Ò
Û
Ò
Ô
Þ
½
¾
· · Þ
Ò
¾
Ô
Û
½
¾
· · Û
Ò
¾
Ë Ù Ö Ò Ë Ò
Þ
½
Û
½
· · Þ
Ò
Û
Ò
Û
½
¾
· · Û
Ò
¾
Ú Þ
½
¾
· · Þ
Ò
¾
Ø
Û
½
¾
· · Û
Ò
¾
× Þ
½
Û
½
· · Þ
Ò
Û
Ò
º Ò Ø Ó Ò × ¼
Ò
½
Þ
Û
¾
Ú ·
×
¾
Ø
¾ Ê
× ×
Ø
Ö Ó º º º È Ö Ó Ö Ð Ö Ø Ö Ó Ù Ý ¹ Å Ð Ù Ö Ò × ½ ½ µ Ê
Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ö Ò Ø ¸ ́ Ü µ ¼ Ü ¾ ½ ½ µ Ý Ó Ò Ø Ò Ù º Ë
Ò
́ Ò µ
Ò Ø Ó Ò ×
½
Ò ½
Ò
Ó Ò Ú Ö ´ µ
½
½
́ Ü µ Ü Ð Ñ
Å ½
Å
½
́ Ü µ Ü Ü × Ø
Ö Ó º º º Ë Ü ¾ Ê º Ò Ø Ó Ò × Ð × Ö
½
Ò ½
½
Ò
Ü
× Ó Ò Ú Ö Ò Ø ´ µ
Ü ½
Ö Ó º º º È Ö Ó Ö Õ Ù Ð Ñ
Ò ½
Ò
Ô
Ò ½ º Ò Ó Ò × Ù Ò ¸ × Þ ¾ Þ ¼
Ò Ø Ó Ò × Ð Ñ
Ò ½
Ò
Ô
Þ ½
Ö Ó º º º Ò Ð Þ Ö Ð Ó Ò Ú Ö Ò Ð × × Ö ×
½
Ò ½
Ò
Ó Ò
´ µ º ¹
Ò
Ò
́ Ò µ
Ò
´ µ º ¹
Ò
Ò
´ µ º ¹
Ò
Ó × Ò
¾
Ò
Ö Ó º º º È Ö Ó Ö Õ Ù
Ò
Ñ
Ò ½
Ñ
Ë
́
· ½
µ Ë
Ñ ½
Ñ
· Ë
Ò
Ò
Ó Ò Ë
½
· ·
½ Ý Ë
¼
¼
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 127/174
º Ö Ó × ½ ½
Ö Ó º º º È Ö Ó Ö Ð Ö Ø Ö Ó Ö Ð Ø × Ò
Ò
½
Ò ½
Ê Ö Ò Ø
Ó Ò Ð Ñ
Ò ½
Ò
¼ Ý
Ò
½
Ò ½
Ø Ð Õ Ù Ö
Ò
½
Ò ½
× Ó Ø ¸ Ó Ò Ö
Ò
Ò
½
Ò Ø Ó Ò × Ð × Ö
½
Ò ½
Ò
Ò
× Ó Ò Ú Ö Ò Ø º
Ö Ó º º ½ ¼ º È Ö Ó Ö Õ Ù Ð × Ö
½
Ò ¾
́ ½ µ
Ò
Ð Ò Ð Ò Ò
× Ó Ò Ú Ö Ò Ø º
Ö Ó º º ½ ½ º Ë ́ Þ µ Ù Ò × Ö Ô Ó Ø Ò × Ð Ö Ó Ö Ð ¼ Ø Ð Õ Ù
× Ø × Ð Ù Ó Ò Ù Ò Ó Ò Ð
́ Þ µ Þ · ́ Þ
¾
µ
Ò Ó Ò Ø Ö Ö Ø Ó × Ð × × Ö × ́ Þ µ Õ Ù × Ø × Ò × Ø Ù Ó Ò Ù Ò Ó Ò Ð Ý Ð ¹
Ù Ð Ö Ð Ö Ó Ó Ò Ú Ö Ò º
Ö Ó º º ½ ¾ º Ë Ò Þ Û ¾ È Ö Ó Ö Õ Ù
µ º ¹ Ó × ´ Þ · Û µ Ó × Þ Ó × Û × Ò Þ × Ò Û
µ º ¹ × Ò ´ Þ · Û µ × Ò Þ Ó × Û · Ó × Þ × Ò Û
µ º ¹ Ó ×
¾
Þ · × Ò
¾
½
Ö Ó º º ½ ¿ º Ë ª Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ó Ð Ó Ñ Ó Ö Ò Ð Ö Ó Ò ª
È Ö Ó Ö Õ Ù × ́ Þ µ × Ö Ð Ô Ö Ø Ó Ó Þ ¾ ª Ò Ø Ó Ò × ́ Þ µ × Ó Ò × Ø Ò Ø º
Ö Ó º º ½ º Ë Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ó Ð Ó Ñ Ó Ö Ò Ù Ò Ö Ó Ò ª Ø Ð Õ Ù ¼ ¾
ª º Ë Ù Ô Ó Ò Ñ Ó × Õ Ù
́ Þ · Û µ ́ Þ µ · ́ Û µ Ô Ö Ø Ó Þ Û Þ · Û ¾ ª
Ñ Ó × Ø Ö Ö Õ Ù Ü × Ø ¾ Ø Ð Õ Ù ́ Þ µ Þ Ô Ö Ø Ó Þ ¾ ª
Ö Ó º º ½ º Ò Ó Ò Ø Ö Ö Ð Ñ Ò Ð Ó Ò Ù Ò Ø Ó
̈
Þ ¾ Ê Þ
¼ Á Ñ Þ
©
Ó Ð Ù Ò Ó Ò Ü Ô Ó Ò Ò Ð º
Ö Ó º º ½ º È Ö Ó Ö Õ Ù Ð Ù Ò Ó Ò ́ Þ µ Þ
¾
Ü
¾
· Ý
¾
× Ó Ñ Ô Ð Ó
Ö Ò Ð × Ó Ð Ó Ò Ð Ó Ö Ò º
Ö Ó º º ½ º Ë ́ Þ µ
Þ
Ü
´ Ó × Ý · × Ò Ý µ º È Ö Ó Ö Õ Ù ×
Ó Ð Ó Ñ Ó Ö Ò Ý Õ Ù ́ Þ µ ́ Þ µ Ô Ö Ø Ó Þ ¾
Æ Ó Ø × Ø × Ó Ø Ö Ó Ö Ñ ¬ Ò Ö Ð Ù Ò Ó Ò Ü Ô Ó Ò Ò Ð º Ð Ö Ó ×
Ö × Ó Ð Ú Ö Ù × Ò Ó × Ø ¬ Ò Ó Ò
Ö Ó º º ½ º Ñ Ó × Ø Ö Ö Õ Ù Ð Ù Ò Ó Ò ́ Þ µ
Ô
Ü Ý Ú Ö ¬ Ð × Ù ¹
Ó Ò × Ù Ý ¹ Ê Ñ Ò Ò Ò Ð Ó Ö Ò Ô Ö Ó Õ Ù Ò Ó × Ö Ò Ð Ò ×
Ô Ù Ò Ø Ó º
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 128/174
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 129/174
Á Ò Ø Ö Ó Ò Ò
º ½ Á Ò Ø Ö Ð Ä Ò
Ë
½
·
¾
¸ Ó Ò
½
¾
Ê ¸ × ¬ Ò Ð Ò Ø Ö Ð
Ò Ó Ñ Ó
́ Ø µ Ø
½
́ Ø µ Ø ·
¾
́ Ø µ Ø
Ò × Ó Õ Ù Ñ × Ò Ø Ö Ð × Ü × Ø Ò º
È Ö Ó Ô Ó × Ó Ò º ½ º ½ º Ë Ø Ò
¬
¬
¬
¬
¬
́ Ø µ Ø
¬
¬
¬
¬
¬
́ Ø µ Ø
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò º × Ö Ñ Ó × Ð Ò Ø Ö Ð
́ Ø µ Ø Ò × Ù Ó Ö Ñ Ô Ó Ð Ö
́ Ø µ Ø
«
º Ò Ø Ó Ò ×
¬
¬
¬
¬
¬
́ Ø µ Ø
¬
¬
¬
¬
¬
«
́ Ø µ Ø
«
́ Ø µ Ø º È Ó Ö Ð Ó
Ø Ò Ø Ó
Ê
¬
¬
¬
¬
¬
́ Ø µ Ø
¬
¬
¬
¬
¬
Ê
«
́ Ø µ Ø
Ê
«
́ Ø µ
¡
Ø
¬
¬
Ê
«
́ Ø µ
¡
¬
¬
Ø
«
́ Ø µ Ø
́ Ø µ Ø Ù Ø
Ë ¬ Ò Ù Ö Ú Ó Ñ Ò Ó Ó Ñ Ó Ù Ð Õ Ù Ö Ù Ò Ó Ò - ¬ Ò Ù Ò Ò Ø Ö Ú Ð Ó
Ö Ö Ó Ó Ø Ó Ê ¸ × Ö Ù Ò Ù Ò Ó Ò - Ô Ó Ö -
Ó Ð Ñ Ò Ó - ¸ × Ó Ò × Ö Ñ Ó × Ð Ö Ú - Ò Ø
¼
¾ ́ µ - ́ Ø
¼
µ
Ó Ñ Ó Ù Ò Ó Ò Ð Ó × Ö Ð × Ê
¾
- Ê Ê
¾
¸ × Ö
- ́ Ø
¼
µ Ð Ñ
Ø Ø
¼
- ́ Ø µ - ́ Ø
¼
µ
Ø Ø
¼
× Ñ Ô Ö Ý Ù Ò Ó × Ø Ð Ñ Ø Ü × Ø º Æ Ó Ø Ñ Ó × Õ Ù × - -
½
· -
¾
¸ Ò Ø Ó Ò ×
- ́ Ø
¼
µ -
½
́ Ø
¼
µ · -
¾
́ Ø
¼
µ
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 130/174
½ ¾ ¼ Á Ò Ø Ö Ó Ò Ò
Ñ Ô Ð Ó º ½ º ¾ º Ë Ò Þ
¼
Ü
¼
· Ý
¼
¾ ¾ Ê ¼ Ý -
Ô Ó Ö - ́ Ø µ Þ
¼
·
Ø
́ Ü
¼
· Ó × Ø µ · ́ Ý
¼
· × Ò Ø µ
Þ
¼
¡
¡
¡
¡
¡ «
×
×
- ́ µ
×
- ́ µ
- ́ Ø µ
Á
Ê
Ò Ø Ó Ò × - ́ Ø µ × Ò Ø · Ó × Ø Ó × Ø · × Ò Ø
Ø
¬ Ò Ó Ò º ½ º ¿ º Ë - × Ù Ò Ñ Ò Ó - ¸ × ¬ Ò Ð Ø Ö Þ Ô Ó Ö
-
£
- ´ µ
Ê
-
-
£
ª
³ ±
Ë ¬ Ò Ð Ð Ó Ò Ø Ù Ä - Ô Ó Ö Ä
- ́ Ø µ Ø × Ñ Ô Ö Ý Ù Ò Ó × Ø
Ù Ð Ø Ñ Ò Ø Ö Ð Ü × Ø º
Ñ Ô Ð Ó º ½ º º Ë - ¼ ¾ Ô Ó Ö - ́ Ø µ Þ
¼
·
Ø
º Ò Ø Ó Ò ×
- ́ Ø µ
Ø
º È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó Ä
¾
¼
- ́ Ø µ Ø ¾
¬ Ò Ó Ò º ½ º º Í Ò Ù Ö Ú - × Ð Ð Ñ Ö Ö × - ́ µ - ́ µ
×
- ́ µ - ́ µ
-
£
¬ Ò Ó Ò º ½ º º Ë Ù Ò Ù Ò Ó Ò º Ë -
Ù Ò Ù Ö Ú Ð ×
½
º Ë ¬ Ò Ð Ò Ø Ö Ð Ð Ò × Ó Ö - Ô Ó Ö
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 131/174
º ½ Á Ò Ø Ö Ð Ä Ò ½ ¾ ½
-
́ µ
́ - ́ Ø µ µ - ́ Ø µ Ø
× Ñ Ô Ö Ý Ù Ò Ó × Ø Ù Ð Ø Ñ Ò Ø Ö Ð Ü × Ø º
Ñ Ô Ð Ó º ½ º º Ë Ò ¼ Ô Ó Ö ́ Þ µ
½
Þ
Ý × - ¼ ¾
Ð Ù Ö Ú ¬ Ò Ô Ó Ö - ́ Ø µ
Ø
º Ò Ø Ó Ò ×
-
́ µ
¾
¼
́ - ́ Ø µ µ - ́ Ø µ Ø
¾
¼
Ø
Ø
Ø ¾
Ñ Ô Ð Ó º ½ º º Ë Ô Ó Ö ́ Þ µ Þ
¾
Ý × - ¼ ½ Ð
Ù Ö Ú Ô Ó Ö - ́ Ø µ Ø · Ø
¾
º Ò Ø Ó Ò ×
Ü
Ý
-
£
-
́ µ
½
¼
́ - ́ Ø µ µ - ́ Ø µ Ø
½
¼
́ Ø · Ø
¾
µ
¾
´ ½ · ¾ Ø µ Ø
́ Ø · Ø
¾
µ
¿
¿
½
¼
½
¿
´ ½ · µ
¿
Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ò Ô Ö Ó Ñ Ó × Ú Ö × Ô Ö Ó Ô × Ð Ò Ø Ö Ð Ð Ò Õ Ù
× Ö Ò Ù × × Ò Ø Ó Ó Ð Ó Õ Ù × Ù º
È Ö Ó Ô Ó × Ó Ò º ½ º º Ë Ý × - Ù Ò Ù Ö Ú
Ð ×
½
º Ë Ò -
£
- ´ µ Å × Ù Ô
¾ -
£
́ µ Ý Ä
- ́ Ø µ Ø º Ò Ø Ó Ò ×
¬
¬
¬
¬
-
́ µ
¬
¬
¬
¬
Å Ä
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò º Ë Ø Ò
¬
¬
¬
¬
-
́ µ
¬
¬
¬
¬
¬
¬
¬
¬
-
́ - ́ Ø µ µ - ́ Ø µ Ø
¬
¬
¬
¬
́ - ́ Ø µ µ - ́ Ø µ Ø
Å
- ́ Ø µ Ø Å Ä Ù Ø
È Ö Ó Ô Ó × Ó Ò º ½ º ½ ¼ º Ë Ò ª Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ö Ø Ó ¸ ª Ý
× ª Ù Ò Ô Ö Ñ Ø Ú ¸ × Ö ́ Þ µ ́ Þ µ Ô Ö Ø Ó Þ ¾ ª
Ò Ø Ó Ò ×
-
́ µ ́ - ́ µ µ ́ - ́ µ µ
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 132/174
½ ¾ ¾ Á Ò Ø Ö Ó Ò Ò
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò º Ë Ø Ò Õ Ù ´ Æ - µ ́ Ø µ ́ - ́ Ø µ µ - ́ Ø µ ́ - ́ Ø µ µ - ́ Ø µ ¸ × Ø Ó × ¸
Æ - Ù Ò Ô Ö Ñ Ø Ú ´ Æ - µ - º È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó
-
́ µ
́ - ́ Ø µ µ - ́ Ø µ Ø
¢
Æ -
£
́ - ́ µ µ ́ - ́ µ µ Ù Ø
Ó Ö Ó Ð Ö Ó º ½ º ½ ½ º Ë ª Ø Ò Ù Ò Ô Ö Ñ Ø Ú ¸ Ò Ø Ó Ò ×
-
́ µ ¼
Ô Ö Ø Ó Ù Ö Ú Ö Ö º Ù Ø
Ð Ö Ô Ö Ó Ó Ð Ó Ö Ó Ð Ð Ö Ý º ½ º ½ ½ × Ù Ñ Ô Ð º
Ì Ó Ö Ñ º ½ º ½ ¾ º Ë Ò ª Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ö Ø Ó Ý Ó Ò Ü Ó ¸ ª Ù Ò
Ù Ò Ó Ò Ó Ò Ø Ò Ù º Ò Ø Ó Ò × Ø Ò Ô Ö Ñ Ø Ú Ò ª × Ý × Ó Ð Ó ×
-
́ µ ¼
Ô Ö Ø Ó Ù Ö Ú Ö Ö
½
Ò ª
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò Ë Ø Ò Ô Ö Ñ Ø Ú Ò Ø Ó Ò × Ð Ò Ø Ö Ð × Ó Ö Ø Ó Ù Ö Ú Ö ¹
Ö × ¼ Ô Ó Ö Ð Ó Ö Ó Ð Ö Ó º ½ º ½ ½ º Ê Ô Ö Ó Ñ Ò Ø ¸ ×
-
́ µ ¼ Ô Ö Ø Ó
Ù Ö Ú Ö Ö º Î Ñ Ó × Õ Ù Ø Ò Ô Ö Ñ Ø Ú º
Ë Þ
¼
¾ ª Ù Ò Ô Ù Ò Ø Ó ¬ Ó Ù Ð Õ Ù Ö Ý × Þ ¾ ª Ö Ø Ö Ö Ó º Ë -
Þ
ª Ù Ò Ù Ö Ú Ð ×
½
Õ Ù Ó Ò Ø Þ
¼
Ó Ò Þ ¸ × Ö ¸ - ́ µ Þ
¼
Ý - ́ µ Þ
Ë ́ Þ µ
-
Þ
́ µ
Þ
¼
×
Æ
Þ
×
-
Þ
×
Þ
¼
×
Þ
Å
-
Þ
Þ
È Ö Ñ Ö Ó Ú Ñ Ó × Õ Ù ́ Þ µ Ò Ó Ô Ò Ð Ù Ö Ú -
Þ
Ô Ù × ×
Þ
× Ó Ø Ö
Ù Ö Ú Õ Ù Ó Ò Ø Þ
¼
Ó Ò Þ º È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó -
Þ
Þ
× Ù Ò Ù Ö Ú Ö Ö º È Ó Ö Ð Ó
Ø Ò Ø Ó
-
Þ
Þ
́ µ
-
Þ
́ µ ·
Þ
́ µ
-
Þ
́ µ
Þ
́ µ ¼
È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó
-
Þ
́ µ
Þ
́ µ º È Ó Ò Ñ Ó × ́ Þ µ
Þ
Þ
¼
́ µ º Ò Ø Ó Ò ×
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 133/174
º ½ Á Ò Ø Ö Ð Ä Ò ½ ¾ ¿
¬
¬
¬
¬
́ Û µ ́ Þ µ
Û Þ
́ Þ µ
¬
¬
¬
¬
¬
¬
¬
¬
¬
Ê
Û
Þ
¼
́ µ
Ê
Þ
Þ
¼
́ µ
Û Þ
́ Þ µ
¬
¬
¬
¬
¬
¬
¬
¬
¬
¬
Ê
Û
Þ
́ µ
Ê
Û
Þ
́ Þ µ
Û Þ
¬
¬
¬
¬
¬
Ø Ó Ñ Ñ Ó × Ð × Ñ Ò Ø Ó
Ö Ø Õ Ù Ù Ò Þ Ó Ò Û
½
Û Þ
¬
¬
¬
¬
Û
Þ
́ ́ µ ́ Þ µ µ
¬
¬
¬
¬
× Ù Ô
¾ Þ Û
́ µ ́ Þ µ
Û Þ
× Ó Ò Ø Ò Ù
¼ Ù Ø
Ñ Ô Ð Ó º ½ º ½ ¿ º Ë Ò ¼ Ð Ù Ò Ó Ò Ô Ó Ö ́ Þ µ
½
Þ
º Ä Ù Ö Ú
- ¼ ¾ ª Ô Ó Ö - ́ Ø µ
Ø
- ´ ¼ µ - ´ ¾ µ × Ù Ò Ù Ö Ú Ö Ö º Ë
Ø Ò
-
́ µ ¾ ¼ º È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó Ò Ó Ø Ò Ô Ö Ñ Ø Ú Ò Ò ¼
Ç × Ö Ú Ó Ò º ½ º ½ º Ä Ù Ò Ó Ò Ð Ó Ö Ø Ñ Ó × Ð Ò Ú Ö × Ð Ù Ò Ó Ò Ü Ô Ó ¹
Ò Ò Ð º Ó Ó Ñ Ó × Ø Ð Ñ Ó × ¸ × ª Þ ¾ Þ Ü · Ý Ý
Ð Ù Ò Ó Ò Ü Ô Ó Ò Ò Ð Ü Ô ª Ò Þ ¾ Ê Þ ¼ × Ý Ø Ú Ý Ô Ó Ö Ð Ó
Ø Ò Ø Ó Ü × Ø Ð Ò Ú Ö × Ü Ô Ò ª ¸ × Ø Ó × ¸ Ä Ò Ò Þ ¾ Ê Þ ¼ ª
× Ø × Æ Á º È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó
½ ´ Á µ ́ Þ µ ́ ́ Þ µ µ ́ Þ µ ́
Þ
µ
Þ
È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó ¸ Ô Ó Ò Ò Ó Û
Þ
¸ × Ø Ò Õ Ù ́ Û µ
½
Û
Ó Ò Û ¾ Ò Þ ¾ Ê
Þ ¼ º × Ö ¸ Ð Ù Ò Ó Ò À ́ Þ µ
½
Þ
Ø Ò Ô Ö Ñ Ø Ú Ò Ò Ð Ò Ô Ö Ó Ò Ó
Ò Ò ¼ º × Ø Ó Ô Ö Ù Õ Ù Ò Ó Ü × Ø Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ð Ó Ö Ø Ñ Ó Ò Ò ¼
¬ Ò Ó Ò º ½ º ½ º Í Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó ª Ê
Ò
× Ð Ð Ñ Ó Ò Ú Ü Ó × Ô Ö Ù ¹
Ð × Õ Ù Ö Ó × Ô Ù Ò Ø Ó × ¾ ª ¸ Ð × Ñ Ò Ø Ó · Ø ́ µ Ø ¾
¼ ½ ´ ½ Ø µ · Ø ¼ Ø ½ ª
×
×
Á
ª
Ç × Ö Ú Ó Ò º ½ º ½ º Í Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ó Ò Ú Ü Ó × Ö Ó Ó Ò Ü Ó Ý Ô Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó
Ó Ò Ü Ó º
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 134/174
½ ¾ Á Ò Ø Ö Ó Ò Ò
Ì Ó Ö Ñ º ½ º ½ ´ Ì Ó Ö Ñ Ù Ý Ô Ö Ó Ò Ù Ò Ø Ó × Ó Ò Ú Ü Ó × µ º Ë
ª Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ö Ø Ó Ý Ó Ò Ú Ü Ó º Ë ª Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ó Ò Ø Ò Ù Ý
¾ À ́ ª Ò Þ
¼
µ Ó Ò Þ
¼
¾ ª º Ò Ó Ø Ö × Ô Ð Ö × ¸ × Ó Ð Ó Ñ Ó Ö Ò ª Ñ Ò Ó ×
Ð Ó Ñ × Ù Ò Ô Ù Ò Ø Ó Ý × Ó Ò Ø Ò Ù Ò × Ô Ù Ò Ø Ó º Ò Ø Ó Ò × Ø Ò Ô Ö Ñ Ø Ú
Ò ª Ý Ô Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó
-
́ µ ¼ Ô Ö Ø Ó Ù Ö Ú Ö Ö Ð ×
½
Ò ª
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò º Æ Ó × Ð Ñ Ø Ñ Ó × Ö Ð Ò Ö Ð Ð Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò
Ë ¬ Ò ́ Þ µ
Þ
¼
Þ
́ µ
Þ
Þ
¼
́ µ Ý × Ô Ö Ù Õ Ù
́ µ
¼ ¸ Ô Ö Ø Ó Ó Ø Ö Ò Ù Ð Ó ª º Ó Ò × Ø Ó ¸ Ó Ñ Ó Ò Ø × ¸ × Ô Ö Ù Õ Ù ́ Þ µ
́ Þ µ Ù Ø
º ¾ Ó Ö Ñ Ù Ð Á Ò Ø Ö Ð Ù Ý
Ë Ò - Ù Ò Ù Ö Ú Ð ×
½
Ý -
£
Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ó Ò Ø Ò Ù º
Ë -
£
¢ ́ Ò -
£
µ Ð Ù Ò Ó Ò ¬ Ò Ô Ó Ö ́ Þ µ
́ µ
Þ
Ë ¬ Ò Ò -
£
Ô Ó Ö ́ Þ µ
-
́ µ
Þ
¸ Ð Ù Ð × Ð Ð Ñ Ò Ø Ö Ð
Ù Ý º Ë Ø Ò Ð × Ù Ò Ø Ö × Ù Ð Ø Ó º
Ì Ó Ö Ñ º ¾ º ½ º Ä Ù Ò Ó Ò × Ø × Õ Ù ¾ À ́ Ò -
£
µ Ý Ñ ×
́ Þ µ
-
́ µ
́ Þ µ
¾
-
Þ
́ µ
Þ
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò º Ë Ø Ò
¬
¬
¬
¬
́ Û µ ́ Þ µ
Û Þ
-
́ µ
́ Þ µ
¾
¬
¬
¬
¬
Û Þ
¬
¬
¬
¬
-
́ µ
́ Û µ ́ Þ µ
¾
¬
¬
¬
¬
Û Þ
¼
Ô Ù ×
-
́ µ
́ Û µ ́ Þ µ
¾
× Ø Ó Ø º Ù Ø
Ó Ö Ó Ð Ö Ó º ¾ º ¾ º Ë Ó Ñ Ó Ò Ø × º Ò Ø Ó Ò × × Ò ¬ Ò Ø Ñ Ò Ø Ö Ú Ð Ý
× Ø Ò
́ Ò µ
́ Þ µ Ò
-
́ µ
́ Þ µ
Ò · ½
Ù Ø
Ç × Ö Ú Ó Ò º ¾ º ¿ º Ë Ø Ó Ñ Ñ Ó × ́ µ ½ Ý - × Ù Ð Õ Ù Ö Ù Ö Ú Ö Ö ¸
Ò Ø Ó Ò × ́ Þ µ
-
Þ
Ý ́ Þ µ
-
́ Þ µ
¾
¼ Ô Ù × Ð Ù Ò Ó Ò
½
́ Þ µ
¾
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 135/174
º ¾ Ó Ö Ñ Ù Ð Á Ò Ø Ö Ð Ù Ý ½ ¾
Ø Ò Ô Ö Ñ Ø Ú Ò Ò -
£
¸ × Ö ¸
½
Þ
º È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó × Ø Ò Õ Ù ́ Þ µ ×
Ó Ò × Ø Ò Ø Ô Ó Ö Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø × Ó Ò Ü × Ò -
£
Ë Ô Ù Ô Ö Ó Ö Õ Ù Ô Ö Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø Ó Ò Ü Ò -
£
¸ Ü × Ø Ò ¾
Ø Ð Õ Ù ́ Þ µ ¾ Ò Ô Ö Ø Ó Ó Þ Ò Ð Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø Ó Ò Ü º
¬ Ò Ó Ò º ¾ º º Ë ¬ Ò Ð Ò - Ð Ö Ó Ö Ð Ô Ù Ò Ø Ó Þ
¼
Ô Ó Ö
Á Ò
-
́ Þ µ
½
¾
-
Þ
¾
Ó Ñ Ø Ö Ñ Ò Ø ¸ Á Ò
-
́ Þ µ × Ð Ò Ù Ñ Ö Ó Ú Ù Ð Ø × Õ Ù Ð Ù Ö Ú Ð Ð
Ô Ù Ò Ø Ó Þ ¸ × Ò Ó Ð Ö Ó Ò Ô Ó × Ø Ú Ð Ó Ò Ø Ö Ö Ð Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó Ð × Ñ Ò ¹
Ð Ð × Ð Ö Ð Ó º
Ñ Ô Ð Ó º ¾ º º Ë - ¼ ¾ Ò Ô Ó Ö - ́ Ø µ Þ
¼
·
Ø
Þ
¼
¡
¡
¡
¡
¡ «
×
-
£
Ë Þ Þ
¼
¸ Ò Ø Ó Ò ×
Á Ò
-
́ Þ µ Á Ò
-
́ Þ
¼
µ
½
¾
-
Þ
¼
½
¾
¾ Ò
¼
Ø
Ø
Ø
¾ Ò
¾
Ò
Ò Ð × Ó Õ Ù Þ Þ
¼
¸ × Ø Ò Õ Ù Á Ò
-
́ Þ µ Á Ò
-
́ Û µ Ô Ö Ø Ó
Û Þ
¼
º Ó Ò × Ö Ñ Ó × Û ½ Ô Ó Ö Ð Ó Õ Ù Û Å ½ Ô Ö Ø Ó
¾ -
£
º È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó × Á Ò
-
́ Þ µ ¾ ¸ Ò Ø Ó Ò ×
Á Ò
-
́ Þ µ
½
¾
¬
¬
¬
¬
-
Û
¬
¬
¬
¬
½
¾
-
Û
¾ Ò
¾ Å
Å ½
¼
È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó ¼ Á Ò
-
́ Þ µ ¼ Ô Ö Ø Ó Þ Ø Ð Õ Ù Þ Þ
¼
Ì Ó Ö Ñ º ¾ º ´ Á Ò Ø Ö Ð Ù Ý Ô Ö Ó Ò Ù Ò Ø Ó × Ó Ò Ú Ü Ó × µ º Ë Ò
ª Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ö Ø Ó Ý Ó Ò Ú Ü Ó ¸ ¾ À ́ ª µ Ý - Ù Ò Ù Ö Ú Ö Ö
Ð ×
½
Ò ª º Ò Ø Ó Ò × Ô Ö Þ ¾ ª Ò -
£
¸ × Ø Ò
½
¾
-
́ µ
Þ
Á Ò
-
́ Þ µ ́ Þ µ
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 136/174
½ ¾ Á Ò Ø Ö Ó Ò Ò
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò º Ë ª Ô Ó Ö
́ µ
́ µ ́ Þ µ
Þ
× Þ
́ Þ µ × Þ
Ò Ø Ó Ò × ¾ À ́ ª Ò Þ µ Ý × Ó Ò Ø Ò Ù Ò Þ º È Ó Ö Ð Ì Ó Ö Ñ Ù Ý Ô Ö
Ó Ò Ù Ò Ø Ó × Ó Ò Ú Ü Ó × ¸ × Ø Ò
¼
-
́ µ
-
́ µ ́ Þ µ
Þ
-
́ µ
Þ
́ Þ µ
-
Þ
Ô Ó Ö Ð Ó Õ Ù
½
¾
-
́ µ
Þ
́ Þ µ
½
¾
-
Þ
́ Þ µ Á Ò
-
́ Þ µ Ù Ø
Ó Ö Ó Ð Ö Ó º ¾ º º Ó Ò Ð × Ô Ó Ø × × Ò Ø Ö Ó Ö × ¸ × Ø Ò
Á Ò
-
́ Þ µ
́ Ò µ
́ Þ µ
Ò
¾
-
́ Þ µ
Ò · ½
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò º Ë Ø Ò Á Ò
-
́ Þ µ ́ Þ µ
½
¾
-
́ µ
Þ
Ó Ò Þ ¾ ª Ò -
£
Ë Ø Ò Õ Ù Ð Ð Ó Ö Ó Ð Ù Ð × Ù Ò Ò Ø Ö Ð Ð Ø Ô Ó Ù Ý
Ý Ô Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó × Ò ¬ Ò Ø Ñ Ò Ø Ö Ò Ð º Ñ × Á Ò
-
́ Þ µ × Ó Ò × Ø Ò Ø Ô Ó Ö
Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø × Ó Ò Ü × º Ð Ö Ú Ö Ñ Ó × Ð Ó Ð Ù Ð Ó Ø Ò Ñ Ó × Ð
Ó Ö Ñ Ù Ð Ô Ö Ó Ô Ù × Ø Ò Ð Ó Ö Ó Ð Ö Ó º Ù Ø
Ñ Ô Ð Ó º ¾ º º Ë - ¼ ¾ Ó Ô Ó Ö - ́ Ø µ ¿
Ø
Ë Á
-
Ó × ´ Þ
¾
µ · × Ò ´ Þ
¾
µ
́ Þ ½ µ ́ Þ ¾ µ
Þ
¼
¡
¡
¡
¡
¡ «
×
¿
-
Ç
× ×
½ ¾
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 137/174
º ¾ Ó Ö Ñ Ù Ð Á Ò Ø Ö Ð Ù Ý ½ ¾
Ë Ø Ò Á Ò
-
´ ½ µ Á Ò
-
´ ¾ µ Á Ò
-
´ ¼ µ ½ º Ñ × Ù × Ò Ó Ö Ó Ò ×
Ô Ö Ð × × Ó Ø Ò
½
́ Þ ½ µ ́ Þ ¾ µ
½
Þ ½
·
½
Þ ¾
Ë ́ Þ µ Ó × ´ Þ
¾
µ · × Ò ´ Þ
¾
µ ¾ À ́ µ º È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó
Á
-
́ Ü µ
½
·
-
́ µ
¾
¾ Á Ò
-
´ ½ µ ´ ´ ½ µ µ · ¾ Á Ò
-
´ ¾ µ ´ ´ ¾ µ µ
¾ Ó × × Ò · Ó × · × Ò ¾ ½ ¼ · ½ · ¼
Ñ Ô Ð Ó º ¾ º º Ë - ¼ ¾ Ð Ù Ö Ú Ô Ó Ö - ́ Ø µ ¾
Ø
¼
̈
̈
̈¶
Õ
¾
-
Ç
Ë Á
-
¾ Þ
́ Þ · ½ µ
Þ º Ë ¬ Ò Ñ Ó × Ô Ó Ö ́ Þ µ
¾ Þ
¸ × Ø Ò
Õ Ù ¾ À ́ µ Á Ò
-
́ ½ µ Á Ò
-
´ ¼ µ ½ º È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó
Á
-
́ µ
́ ́ ½ µ µ
¾
¿
Á Ò
-
́ ½ µ ́ ½ µ
¿
½
¾ ́ ½ µ
¿
¾
Ó Ö Ó Ð Ö Ó º ¾ º ½ ¼ ´ × Ù Ð × Ù Ý µ º Ë Ò ª Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó
Ö Ø Ó ¸ ¾ À ́ ª µ Þ
¼
¾ ª Ý ¼ Ø Ð Õ Ù ́ Þ
¼
µ ª º Ë Å ́ µ
× Ù Ô
¾ -
£
́ µ ¸ Ó Ò -
¼ ¾ ª × Ø Ô Ó Ö -
́ Ø µ Þ
¼
·
Ø
Þ
¼
̈
̈
̈¶
Õ
-
Ç
Ò Ø Ó Ò ×
¬
¬
¬
¬
́ Ò µ
́ Þ
¼
µ
Ò
¬
¬
¬
¬
Å ́ µ
Ò
Ô Ö Ø Ó Ò ¾ Æ
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò º Ë Ø Ò Þ
¼
Ô Ö Ø Ó ¾ -
£
º Ò Ø Ó Ò ×
¬
¬
¬
¬
́ Ò µ
́ Þ
¼
µ
Ò
¬
¬
¬
¬
¬
¬
¬
¬
¬
½
¾
-
́ µ
́ Þ
¼
µ
Ò · ½
¬
¬
¬
¬
¬
½
¾
¾
Å ́ µ
Þ
¼
Ò · ½
Å ́ µ
Ò · ½
Å ́ µ
Ò
Ù Ø
Ä Ó Ö Ñ Ù Ð Ò Ø Ö Ð Ù Ý × Ö Ú Ô Ö Ô Ö Ó Ö Ð × Ù Ò Ø Ö × Ù Ð Ø Ó ¸ Ð
Ù Ð Ò Ó Ñ Ó × × Ù Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 138/174
½ ¾ Á Ò Ø Ö Ó Ò Ò
Ì Ó Ö Ñ º ¾ º ½ ½ º Ë ª Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ö Ø Ó º Ë ¾ À ́ ª µ ¸ Ò Ø Ó Ò ×
¾ ́ ª µ º Ò Ó Ø Ö × Ô Ð Ö × ¸ À ́ ª µ ́ ª µ ¸ × Ø Ó × ¸ Ó Ð Ó Ñ Ó Ö Ý Ò Ð Ø
Ò Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ö Ø Ó × Ò ¬ Ò Ð Ó Ñ × Ñ Ó º Ù Ø
Ì Ó Ö Ñ º ¾ º ½ ¾ ´ Í Ò µ º Ë Ò ª Ù Ò Ö Ó Ò ¸ × Ö ¸ Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó
Ö Ø Ó Ó Ò Ü Ó Ý ¾ À ́ ª µ º Ë ª Ø Ð Õ Ù Ø Ò Ù Ò Ô Ù Ò Ø Ó Ù Ñ Ù Ð Ó Ò
Ò ª ¸ × Ö ¸ ª Ý Ø Ð Õ Ù ́ Þ µ ¼ Ô Ö Ø Ó Þ ¾ º Ò Ø Ó Ò × ́ Þ µ ¼
Ô Ö Ø Ó Þ ¾ ª
Ò Ó Ø Ö × Ô Ð Ö × ¸ × Ð Ó × Ö Ó × Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ò Ð Ø × Ù Ñ Ù Ð Ò Ò Ù Ò
Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ö Ø Ó Ý Ó Ò Ü Ó ¸ Ò Ø Ó Ò × Ð Ù Ò Ó Ò × Ò Ø Ñ Ò Ø ¼
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò º Ë Þ
¼
¾ ª º Ë Ò Þ
Ò
½
Ò ½
ª Ø Ð Õ Ù Þ
Ò
Þ
¼
Ô Ö
Ø Ó Ò ¾ Æ Ý Ø Ð Õ Ù Þ
Ò
Ò ½
Þ
¼
º Ë ¼ Ø Ð Õ Ù ́ Þ
¼
µ ª Ý ×
́ Þ µ
½
Ò ¼
Ò
́ Þ Þ
¼
µ
Ò
Ó Ò Þ ¾ ́ Þ
¼
µ
È Ö Ò ¼ ¸ × Ø Ò
¼
́ Þ
¼
µ Ð Ñ
Ñ ½
́ Þ
Ñ
µ Ð Ñ
Ñ ½
¼ ¼ º
Ë Ù Ô Ó Ò Ñ Ó × Õ Ù
¼
½
Ò
¼ º Ñ Ó × Ø Ö Ö Ñ Ó × Õ Ù
Ò · ½
¼
Ë Ø Ò
́ Þ µ
½
¼
́ Þ Þ
¼
µ
½
Ò · ½
́ Þ Þ
¼
µ
́ Þ Þ
¼
µ
Ò · ½
½
¼
· Ò · ½
́ Þ Þ
¼
µ
Ò
È Ö Þ Þ
¼
Þ ¾ ́ Þ
¼
µ ¸ × Ø Ò
́ Þ µ
́ Þ Þ
¼
µ
Ò · ½
½
¼
· Ò · ½
́ Þ Þ
¼
µ
́ Þ µ ́ Þ
¼
µ
Ò · ½
Ò Ø Ó Ò ×
Ò · ½
́ Þ
¼
µ Ð Ñ
Ñ ½
́ Þ
Ñ
µ Ð Ñ
Ñ ½
́ Þ
Ñ
µ
́ Þ
Ñ
Þ
¼
µ
Ñ · ½
Ð Ñ
Ñ ½
¼ ¼
È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó
Ò · ½
¼ º Ë × Ù Õ Ù
Ò
¼ Ô Ö Ø Ó Ò ¾ Æ Ý Ô Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó
́ Ò µ
́ Þ
¼
µ ¼ Ô Ö Ø Ó Ò ¾ Æ
Ë
Ò
Þ ¾ ª
́ Ò µ
́ Þ µ ¼ ́
́ Ò µ
µ
½
́ ¼ µ Ð Ù Ð × Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó
Ö Ö Ó Ò ª ¸ × Ö
Ò
ª
Ò
Ô Ö Ð Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ö Ö Ó
Ò
È Ó Ö Ø Ò Ø Ó × Ø Ò Õ Ù Ð Ó Ò Ù Ò Ø Ó ¸ ¬ Ò Ó Ô Ó Ö
½
Ò ¼
Ò
ª
½
Ò ¼
Ò
Þ ¾ ª
́ Ò µ
́ Þ µ ¼ Ô Ö Ø Ó Ò ¾ Æ ¼
× Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ö Ö Ó Ò ª Ý Ø Ñ Ò × Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ö Ø Ó Ò ª º Ñ ×
Ô Ù × Þ
¼
¾ º È Ó Ö Ó Ø Ö Ó Ð Ó ¸ Ô Ó Ö × Ö ª × Ó Ò Ü Ó ¸ × × Ù Õ Ù ª
Ð Ó Ù Ð Ñ Ô Ð Õ Ù ¼ Ò ª Ù Ø
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 139/174
º ¾ Ó Ö Ñ Ù Ð Á Ò Ø Ö Ð Ù Ý ½ ¾
¬ Ò Ó Ò º ¾ º ½ ¿ º Í Ò Ù Ò Ó Ò × Ð Ð Ñ Ò Ø Ö × ¾ À ́ µ
È Ö Ó Ô Ó × Ó Ò º ¾ º ½ º Ë ¾ À ́ ª µ ¸ Ó Ò ª Ù Ò × Ù Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ö Ø Ó Ý
× Þ
¼
¾ ª º Ë ́ Þ µ
½
Ò ¼
Ò
́ Þ Þ
¼
µ
Ò
Ð × Ö Ö Ó Ð Ð Ó Ò × Ö Ô Ó Ø Ò ×
Ð Ö Ó Ö Þ
¼
º Ò Ø Ó Ò × Ð Ö Ó Ó Ò Ú Ö Ò Ê Ð × Ö × Ø ×
Ê × Ø ´ Þ
¼
ª µ ¸ × Ö ¸ × Ð × Ø Ò Þ
¼
Ð Ö Ó Ò Ø Ö ª Ð
Ó Ò Ù Ò Ø Ó ª
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò º Ë Ù Ð Õ Ù Ö Ò Ù Ñ Ö Ó Ô Ó × Ø Ú Ó Ø Ð Õ Ù º Ò Ø Ó Ò ×
́ Þ
¼
µ ª
Þ
¼
Õ
̈
̈
̈
ª
Ë Ò -
́ Ø µ Þ
¼
·
Ø
¼ Ø ¾ Ý Å ́ µ × Ù Ô
¾ -
£
́ µ º Ë Ø Ò
Ò
́ Ò µ
́ Þ
¼
µ
Ò
º È Ó Ö Ð × × Ù Ð × Ù Ý ¸
Ò
Å ́ µ
Ò
º È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó
½
Ê
Ð Ñ
Ò ½
Ò
Ô
Ò
Ð Ñ
Ò ½
Ò
Ô
Å ́ µ
½
Ô Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó Ê Ô Ö Ø Ó Ó ¼ º Ë × Ù Õ Ù Ê Ù Ø
Ó Ö Ó Ð Ö Ó º ¾ º ½ º Ë Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ò Ø Ö Ý × ́ Þ µ
½
Ò ¼
Ò
́ Þ Þ
¼
µ
Ò
Ð
× Ö Ö Ó Ð Ð Ó Ò × Ö Ô Ó Ø Ò × Ð Ö Ó Ö Þ
¼
º Ò Ø Ó Ò × Ð Ö Ó ×
Ó Ò Ú Ö Ò Ð × Ö × Ê ½
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò º Ó Ñ Ó Ò Ð È Ö Ó Ô Ó × Ø Ó Ò º ¾ º ½ ¸ × Ø Ò Ê Ô Ö Ø Ó Ó
Ò Ù Ñ Ö Ó Ô Ó × Ø Ú Ó º È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó Ê ½ º Ð Ø Ö Ò Ø Ú Ñ Ò Ø ¸ ¸ Ô Ó Ö
Ð Ó Õ Ù × Ø ´ Þ
¼
µ ½ Ù Ø
Ó Ö Ó Ð Ö Ó º ¾ º ½ º Ò Ð È Ö Ó Ô Ó × Ø Ó Ò º ¾ º ½ ¸ × Ø Ò Ð Ù Ð ́ Þ µ
½
Ò ¼
Ò
́ Þ Þ
¼
µ
Ò
Ô Ö Ø Ó Þ Ø Ð Õ Ù Þ Þ
¼
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 140/174
½ ¿ ¼ Á Ò Ø Ö Ó Ò Ò
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò º Ë ́ Þ µ
½
Ò ¼
Ò
́ Þ Þ
¼
µ
Ò
¾ À ́ ́ Þ
¼
µ µ ́ Þ µ ¾ À ́ ª µ
́ Þ
¼
µ ª
Ó Ö Ò ¸ Ý × Ó Ò Ò Ð Ø × ¸ Ò ́ Þ
¼
Ö µ Ô Ö Ø Ó ¼ Ö ¸ Ô Ó Ö
Ð Ó Ø Ò Ø Ó ¼ Ò ́ Þ
¼
Ö µ Ý Ô Ù × Ø Ó Õ Ù ́ Þ
¼
Ö µ ́ Þ
¼
µ ́ Þ
¼
Ö µ
× × Ù Ô Ó Ö Ð Ì Ó Ö Ñ Ù Ò Õ Ù Ò ́ Þ
¼
µ Ù Ø
Ì Ó Ö Ñ º ¾ º ½ ´ Ä Ó Ù Ú Ð Ð µ º Ë Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ò Ø Ö Ý Ó Ø ¸ × Ø Ó × ¸
¾ À ́ µ Ý Ü × Ø Å ¾ Ê Å ¼ Ø Ð Õ Ù ́ Þ µ Å Ô Ö Ø Ó Þ ¾
Ò Ø Ó Ò × × Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ó Ò × Ø Ò Ø º
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò º Ë ́ Þ µ
½
Ò ¼
Ò
́ Þ Þ
¼
µ
Ò
¼
·
½
Ò ½
Ò
́ Þ Þ
¼
µ
Ò
º Ò Ø Ó Ò × ¸
Ô Ó Ö Ð × × Ù Ð × Ù Ý ¸
Ò
Å ́ µ
Ò
Å
Ò
½
¼ Ô Ö Ø Ó Ò ½
È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó
Ò
¼ Ô Ö Ø Ó Ò ½ ¸ Ó Ò × Ó Ø Ò Õ Ù ́ Þ µ Þ
¼
Ô Ö
Ø Ó Þ ¾ Ù Ø
Ì Ó Ö Ñ º ¾ º ½ ´ Ù Ò Ñ Ò Ø Ð Ð Ð Ö µ º Ë Ô ́ Þ µ ¾ Þ Ù Ò Ô Ó Ð ¹
Ò Ó Ñ Ó Ö Ó Ñ Ý Ó Ö Ó Ù Ð ½ º Ò Ø Ó Ò × Ô ́ Þ µ Ø Ò Ø Ó × × Ù × Ö × Ò
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò º Ë Ù Ô Ó Ò Ñ Ó × Õ Ù Ù Ò Ô Ó Ð Ò Ó Ñ Ó Ô ́ Þ µ Ö Ó Ñ Ý Ó Ö Ó Ù Ð ½
Ò Ó Ø Ò Ò Ò Ù Ò × Ù × Ö × Ò º Ó Ò × Ö Ñ Ó × Ð Ù Ò Ó Ò
Ô Ó Ö ́ Þ µ
½
Ô ́ Þ µ
Þ ½
¼ º È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó ́ Þ µ × Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ò Ø Ö Ý Ó Ø ¸
Ô Ó Ö Ð Ó Õ Ù ¸ Ô Ó Ö Ð Ì Ó Ö Ñ Ä Ó Ù Ú Ð Ð ¸ ́ Þ µ × Ó Ò × Ø Ò Ø ¸ Ð Ó Ù Ð Ñ Ô Ð Õ Ù
Ô ́ Þ µ × Ó Ò × Ø Ò Ø ¸ Ð Ó Ù Ð × × Ù Ö Ó º Ë × Ù Õ Ù Ô ́ Þ µ Ø Ò Ù Ò Ö Þ «
½
¾
× Ö Ñ Ó × Ô ́ Þ µ ́ Þ «
½
µ Ô
½
́ Þ µ º Ê Ô Ø Ò Ó Ð Ô Ö Ó × Ó Ò Ø Ö Ó Ö Ô Ö Ô
½
́ Þ µ
× × Ù Ð Ö × Ù Ð Ø Ó º Ù Ø
Ì Ó Ö Ñ º ¾ º ½ ´ Ù Ò Ó Ò Ò Ú Ö × µ º Ë ª Ù Ò Ö Ó Ò Ò Ý ³ ¾ À ́ ª µ
Ë Þ
¼
¾ ª Ø Ð Õ Ù ³ ́ Þ
¼
µ ¼ º Ò Ø Ó Ò × ª Ó Ò Ø Ò Ù Ò Ú Ò Ö Ø Î
Þ
¼
Ø Ð Õ Ù
´ ½ µ ³ × ½ ¹ ½ Ò Î º
´ ¾ µ ³ ́ Î µ Ï × Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ö Ø Ó º
´ ¿ µ Ä Ù Ò Ó Ò Ò Ú Ö × Ï Î ³ × Ó Ð Ó Ñ Ó Ö Ò Ï
Ñ × × Û
¼
³ ́ Þ
¼
µ ¸ Ò Ø Ó Ò × ́ Û
¼
µ
½
³ ́ Þ
¼
µ
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò º Ë Ø Ò ³ ́ Þ
¼
µ ́ ³
½
µ
Ü
́ Þ
¼
µ · ́ ³
¾
µ
Ü
́ Þ
¼
µ ¼ º È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó ¸
Ó Ò × Ö Ò Ó ³ ª Ê
¾
Ê
¾
¸ Ø Ò Ñ Ó × Õ Ù Ø ³ ́ Þ
¼
µ ´ ´ ³
½
µ
Ü
́ Þ
¼
µ µ
¾
·
´ ́ ³
¾
µ
Ü
́ Þ
¼
µ µ
¾
¼
È Ó Ö Ð Ó Ò Ø Ö Ó Ö ¸ Ð Ì Ó Ö Ñ Ð Ù Ò Ó Ò Ò Ú Ö × Ú Ö × Ú Ö Ð × Ö Ð ×
× × Ù ´ ½ µ Ý ´ ¾ µ Ý Õ Ù Ð Ò Ú Ö × ³ × Ð ×
½
Ë Ó Ð Ó Ö × Ø Ô Ö Ó Ö
Õ Ù × Ø × Ð × Ù Ó Ò × Ù Ý ¹ Ê Ñ Ò Ò º Ë Ø Ò Õ Ù
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 141/174
º ¾ Ó Ö Ñ Ù Ð Á Ò Ø Ö Ð Ù Ý ½ ¿ ½
¾
½
Ü
́ Û
¼
µ
½
Ý
́ Û
¼
µ
¾
Ü
́ Û
¼
µ
¾
Ý
́ Û
¼
µ
¿
¾
³
½
Ü
́ Þ
¼
µ
³
½
Ý
́ Þ
¼
µ
³
¾
Ü
́ Þ
¼
µ
³
¾
Ý
́ Þ
¼
µ
¿
½
½
«
¾
· ¬
¾
¾
« ¬
¬ «
¿
Ó Ò «
³
½
Ü
́ Þ
¼
µ
³
¾
Ý
́ Þ
¼
µ Ý ¬
³
½
Ý
́ Þ
¼
µ
³
¾
Ü
́ Þ
¼
µ º È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó
½
Ü
́ Þ
¼
µ
¾
Ý
́ Þ
¼
µ
«
«
¾
· ¬
¾
½
Ý
́ Þ
¼
µ
¾
Ü
́ Þ
¼
µ
¬
«
¾
· ¬
¾
Ù Ø
Ð Ì Ó Ö Ñ Ð Ù Ò Ó Ò Á Ò Ú Ö × ¸ × Ò Ö Ð Þ Ó Ñ Ó × Ù º
Ì Ó Ö Ñ º ¾ º ¾ ¼ º Ë ª Ù Ò Ö Ó Ò ¸ × Ö ¸ Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ö Ø Ó Ý
Ó Ò Ü Ó ¸ Ý × ¾ À ́ ª µ Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ò Ó Ó Ò × Ø Ò Ø º Ë Ò Þ
¼
¾ ª Ý Û
¼
́ Þ
¼
µ º Ë Ñ Ð Ó Ö Ò Ð Ö Ó Þ
¼
́ Þ µ Û
¼
́ Þ µ ́ Þ
¼
µ ¸ × Ö ¸
́ Þ µ Û
¼
́ Þ Þ
¼
µ
Ñ
́ Þ µ Ó Ò ¾ À ́ ª µ Ý ́ Þ
¼
µ ¼ º Ò Ø Ó Ò × Ü × Ø Ù Ò
Ú Ò Ö Ø Î Þ
¼
Ø Ð Õ Ù Î ª Ý Ø Ð Õ Ù Ü × Ø Ù Ò Ù Ò Ó Ò ³ ¾ À ́ Î µ
Ð Ù Ð × Ø × Ð Ó × Ù Ò Ø
´ ½ µ ́ Þ µ Û
¼
· ³ ́ Þ µ
Ñ
Ô Ö Ø Ó Þ ¾ Î
´ ¾ µ ³ Ò Ó Ø Ò Ö Ó × Ò Î Ý ³ × Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ò Ú Ö Ø Ð Î × Ó Ö
Ù Ò Ó Ð Ö Ø ́ Þ
¼
Ö µ
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò º Ë Ù × Ð Ì Ó Ö Ñ Å Ó Ö Ö Ý Ð Ù Ò Ó Ò Ð Ó Ö Ø Ñ Ó º Ù Ø
Ó Ö Ó Ð Ö Ó º ¾ º ¾ ½ ´ Ì Ó Ö Ñ Ð Ñ Ô Ó Ö Ø Ó µ º Ë ª Ù Ò Ó Ò ¹
Ù Ò Ø Ó Ö Ø Ó Ý Ó Ò Ü Ó º Ë ¾ À ́ ª µ Ý Ò Ó × Ó Ò × Ø Ò Ø º Ò Ø Ó Ò × ́ ª µ ×
Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ö Ø Ó º
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò º Ó Ò Ð × Ò Ó Ø Ó Ò × Ò Ø Ö Ó Ö × ¸ × Ø Ò Õ Ù ́ Î µ Û
¼
·
´ ¼ Ö
Ò
µ Ð Ù Ð × Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ö Ø Ó º Ù Ø
Ó Ö Ó Ð Ö Ó º ¾ º ¾ ¾ ´ È Ö Ò Ô Ó Ð Å Ó Ù Ð Ó Å Ü Ñ Ó µ º Ë ª Ù Ò
Ö Ó Ò º Ë ¾ À ́ ª µ º Ë Ü × Ø Þ
¼
¾ ª Ø Ð Õ Ù ́ Þ
¼
µ ́ Þ µ Ô Ö Ø Ó
Þ ¾ ª ¸ Ò Ø Ó Ò × × Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ó Ò × Ø Ò Ø º
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò Ë Ò Ó Ù × Ó Ò × Ø Ò Ø ¸ Ò Ø Ó Ò × ́ ª µ × Ö Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó
Ö Ø Ó Ô Ó Ö Ð Ó Õ Ù ́ Þ
¼
µ ¾ ́ ª µ Ò Ó Ô Ù Ø Ò Ö Ñ Ó Ù Ð Ó Ñ Ü Ñ Ó º
́ Þ
¼
µ Ö
Ø
Õ
́ ª µ
¼
Õ
Û ́ Þ
¼
µ ·
¾
Ø
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 142/174
½ ¿ ¾ Á Ò Ø Ö Ó Ò Ò
Ó ¸ × ́ Þ
¼
µ Ö
Ø
Ý ́ ́ Þ
¼
µ µ ́ ª µ ¸ Ò Ø Ó Ò × Û ́ Þ
¼
µ ·
¾
Ø
× Ø × Õ Ù Û ́ Þ
¼
µ ·
¾
́ Þ
¼
µ Ù Ø
Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ò Ô Ö × Ò Ø Ñ Ó × Ð Ó Ò Ô Ø Ó Ó Ñ Ó Ø Ó Ô Ò Ø Ö Ù Ö Ú × ¸ Ñ × Ñ Ó
Õ Ù × Ò Ø Ö Ð Ô Ö Ô Ó Ö Ò Ù Ò Ö Ù Ò Ó Ð Ó × Ö × Ù Ð Ø Ó × Ñ × Ñ Ô Ó Ö Ø Ò Ø ×
Ð Ú Ö Ð Ó Ñ Ô Ð ¸ Ð Ì Ó Ö Ñ Ù Ý º
¬ Ò Ó Ò º ¾ º ¾ ¿ º Ë Ò -
¼
-
½
¼ ½ ª Ó × Ù Ö Ú × Ö Ö × º Ë
Õ Ù -
¼
× Ó Ñ Ó Ø Ó Ô -
½
Ò ª × Ü × Ø Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ó Ò Ø Ò Ù ¼ ½ ¢
¼ ½ ª Ø Ð Õ Ù
́ × ¼ µ -
¼
́ × µ Ý ́ × ½ µ -
½
́ × µ Ô Ö ¼ × ½
´ ¼ Ø µ ´ ½ Ø µ Ô Ö ¼ Ø ½
-
½
́ × µ
-
Ø
́ × µ
-
¼
́ × µ
̈
¼ × ½
½
Ø
́ × ½ µ
́ × Ø µ
́ × ¼ µ
Ó Ñ Ø Ö Ñ Ò Ø -
¼
Ý -
½
× Ó Ò Ó Ñ Ó Ø Ó Ô × Ò ª × -
¼
× Ô Ù Ó Ö Ñ Ö
Ñ Ò Ö Ó Ò Ø Ò Ù Ò -
½
× Ò × Ð Ö × ª
Ì Ó Ö Ñ º ¾ º ¾ ´ Ù Ý µ º Ë Ò ª Ù Ò Ö Ó Ò -
¼
Ý -
½
Ó Ñ Ó Ø Ó Ô × Ò ª
Ò Ø Ó Ò × × ¾ À ́ µ ¸ × Ø Ò
-
¼
́ µ
-
½
́ µ
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò º Ë Ù × Ð Ó Ò Ø Ò Ù Ù Ò Ó Ö Ñ Ý Ð Ì Ó Ö Ñ Ù Ý
Ô Ö Ó Ò Ù Ò Ø Ó × Ó Ò Ú Ü Ó × º Æ Ó Ô Ö × Ò Ø Ñ Ó × Ð Ó × Ø Ð Ð × º Ù Ø
¬ Ò Ó Ò º ¾ º ¾ º Í Ò Ö Ó Ò ª × Ð Ð Ñ × Ñ Ô Ð Ñ Ò Ø Ó Ò Ü Ó × Ø Ó
Ù Ö Ú Ö Ö Ò ª × Ó Ñ Ó Ø Ó Ô Ù Ò Ô Ù Ò Ø Ó º
Ó Ñ Ø Ö Ñ Ò Ø ¸ ª × × Ñ Ô Ð Ñ Ò Ø Ó Ò Ü Ó × Ò Ó Ø Ò Ó Ý Ó × º
× Ñ Ð Ñ Ò Ø Ó Ò Ü Ó
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
Ñ Ô Ð Ó º ¾ º ¾ º ́ Þ
¼
Ö µ × × Ñ Ô Ð Ñ Ò Ø Ó Ò Ü Ó º
Ñ Ô Ð Ó º ¾ º ¾ º × × Ñ Ô Ð Ñ Ò Ø Ó Ò Ü Ó º
Ñ Ô Ð Ó º ¾ º ¾ º × × Ñ Ô Ð Ñ Ò Ø Ó Ò Ü Ó º
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 143/174
º ¾ Ó Ö Ñ Ù Ð Á Ò Ø Ö Ð Ù Ý ½ ¿ ¿
Ñ Ô Ð Ó º ¾ º ¾ º Ë ª × Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ó Ò Ú Ü Ó ¸ Ò Ø Ó Ò × ª × × Ñ Ô Ð Ñ Ò Ø
Ó Ò Ü Ó º
Ñ Ô Ð Ó º ¾ º ¿ ¼ º Ð Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ò ́ Ê ¼ µ × × Ñ Ô Ð Ñ Ò Ø Ó Ò Ü Ó º
Ñ Ô Ð Ó º ¾ º ¿ ½ º Ð Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ò ¼ Ò Ó × × Ñ Ô Ð Ñ Ò Ø Ó Ò Ü Ó º
Ì Ó Ö Ñ º ¾ º ¿ ¾ º Ë ª × Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó × Ñ Ô Ð Ñ Ò Ø Ó Ò Ü Ó Ý ¾ À ́ µ
Ò Ø Ó Ò × Ø Ò Ô Ö Ñ Ø Ú º
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò º Ë Þ
¼
¾ ª ¬ Ó Ý × Þ ¾ ª Ö Ø Ö Ö Ó º Ë -
Þ
Ù Ò Ñ Ò Ó
Ð ×
½
Õ Ù Ó Ò Ø Þ
¼
Ó Ò Þ º Ë ¬ Ò Ð Ù Ò Ó Ò ́ Þ µ
-
Þ
́ µ Ý Ð
Ö × Ø Ó Ð Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò × Ó Ñ Ó Ò Ø × º Ù Ø
Ó Ö Ó Ð Ö Ó º ¾ º ¿ ¿ º Ë ª × Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó × Ñ Ô Ð Ñ Ò Ø Ó Ò Ü Ó Ý ¾ À ́ µ
Ò Ó Ø Ò Ö Ó × Ò ª ¸ Ò Ø Ó Ò × Ü × Ø ¾ À ́ µ Ø Ð Õ Ù ́ Þ µ
́ Þ µ
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò º Ë Ø Ò Õ Ù
¾ À ́ µ Ô Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó Ø Ò Ô Ö Ñ Ø Ú Ò
ª ¸ Ñ Ó ×
½
Ó Ò
½
¾ À ́ µ º È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó ´
½
µ ¼ ¸ Ó Ò
Ó Ø Ò Ñ Ó × Õ Ù
½
× Ó Ò × Ø Ò Ø º È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó
́ Þ µ
½
́ Þ µ
Ò
½
́ Þ µ
Ò ·
½
́ Þ µ
́ Þ µ
Ù Ø
Ò Ó Ø Ö × Ô Ð Ö × ¸ Ð Ò ́ Þ µ Ü × Ø ́ Þ µ
́ Þ µ
¸ Ð Ó Ù Ð × Ò ¬ Õ Ù
́ Þ µ Ð Ò ́ Þ µ º Ò Ô Ö Ø Ù Ð Ö ¸ Ð Ò Þ Ü × Ø Ò Ù Ð Õ Ù Ö × Ù Ó Ò Ù Ò Ø Ó × Ñ Ô Ð ¹
Ñ Ò Ø Ó Ò Ü Ó ª Õ Ù Ò Ó Ó Ò Ø Ò Ð ¼ ¸ × Ö ¸ ª Ò ¼
Ì Ó Ö Ñ º ¾ º ¿ ´ Ó Ö Ñ Ù Ð Ò Ø Ö Ð Ù Ý µ º Ë ¾ À ́ ª µ Ý × -
Ù Ð Õ Ù Ö Ù Ö Ú Ö Ö Ó Ñ Ó Ø Ó Ô ¼ Ò ª ¸ × Ö ¸ - × Ó Ñ Ó Ø Ó Ô Ù Ò
Ô Ù Ò Ø Ó Ò ª º Ò Ø Ó Ò ×
Á Ò
-
́ Þ µ
́ Ò µ
́ Þ µ
Ò
¾
-
́ µ
́ Þ µ
Ò · ½
Ô Ö Ø Ó Þ ¾ ª Ò -
£
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò º Ë Ø Ò
¼
½
¾
-
́ µ ́ Þ µ
Þ
½
¾
-
́ µ
Þ
Á Ò
-
́ Þ µ ́ Þ µ
Ð × Ó Ò Ö Ð × × Ù Ô Ó Ö Ò Ù Ó Ò Ù Ø
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 144/174
½ ¿ Á Ò Ø Ö Ó Ò Ò
º ¿ Ë Ò Ù Ð Ö × Ý Ê × Ù Ó ×
¬ Ò Ó Ò º ¿ º ½ º Í Ò Ù Ò Ó Ò × Õ Ù Ø Ò Ù Ò × Ò Ù Ð Ö × Ð
Ò Ð Ô Ù Ò Ø Ó Þ
¼
× Ü × Ø Ù Ò Ò Ù Ñ Ö Ó Ô Ó × Ø Ú Ó Ê ¼ Ø Ð Õ Ù ¾ À ́ ́ Ê µ Ò
µ
Ë × Ù Ò × Ò Ù Ð Ö × Ð ¸ Ò Ø Ó Ò × × Ð Ð Ñ Ö Ñ Ó Ú Ð × Ü × Ø
¾ À ́ ́ Ê µ µ Ø Ð Õ Ù ́ Þ µ ́ Þ µ Ô Ö Ø Ó Þ ¾ ́ Ê µ Ò
Ñ Ô Ð Ó º ¿ º ¾ º Ä Ù Ò Ó Ò ́ Þ µ
Þ
¾
½
Þ ½
¬ Ò Ò Ò ½ × Ø × Õ Ù
́ Þ µ Þ · ½ ́ Þ µ Ô Ö Ø Ó Þ ½ º È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó Þ ½ × Ù Ò × Ò Ù Ð Ö
Ö Ñ Ó Ú Ð ́ Þ µ
Ä Ö Ø Ö Þ Ó Ò Ð × × Ò Ù Ð Ö Ö Ñ Ó Ú Ð × Ò Ó × Ð Ð × Ù Ò Ø
Ö × Ù Ð Ø Ó º
Ì Ó Ö Ñ º ¿ º ¿ º Ä Ù Ò Ó Ò Ø Ò Ù Ò × Ò Ù Ð Ö Ö Ñ Ó Ú Ð Ò Þ ×
Ý × Ó Ð Ó × Ð Ñ
Þ
́ Þ µ ́ Þ µ ¼
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò Ë Þ × Ù Ò × Ò Ù Ð Ö Ö Ñ Ó Ú Ð ¸ Ò Ø Ó Ò × Ð Ñ
Þ
́ Þ
µ ́ Þ µ Ð Ñ
Þ
́ Þ µ ́ Þ µ ́ µ ́ µ ¼ º
Ê Ô Ö Ó Ñ Ò Ø ¸ × Ð Ñ
Þ
́ Þ µ ́ Þ µ ¼ ¸ ¬ Ò Ñ Ó × Ð Ù Ò Ó Ò
́ Þ µ
́ Þ µ ́ Þ µ × Þ
¼ × Þ
Ò Ø Ó Ò × ¾ À ́ ́ Ê µ Ò µ Ý Ð Ñ
Þ
́ Þ µ Ð Ñ
Þ
́ Þ µ ́ Þ µ ¼ ´ ¼ µ º È Ó Ö
Ð Ó Ø Ò Ø Ó × Ó Ò Ø Ò Ù Ò ´ ¼ Ê µ
È Ó Ö Ó Ø Ö Ó Ð Ó ¸ × Ø Ò Õ Ù
́ µ ¼ Ô Ö Ø Ó Ó Ø Ö Ò Ù Ð Ó ́ Ê µ
Ô Ó Ö Ð Ó Õ Ù ¾ ́ Ê µ º È Ù × Ø Ó Õ Ù ́ µ ¼ ¸ ́ Þ µ ́ Þ µ ́ Þ µ Ó Ò ́ Þ µ ¾
À ́ ́ Ê µ µ Ý ́ Þ µ ́ Þ µ Ô Ö Ø Ó Þ ¾ ́ Ê µ Ò Ù Ø
¬ Ò Ó Ò º ¿ º º Í Ò × Ò Ù Ð Ö × Ð Ù Ò Ù Ò Ó Ò × Ð Ð Ñ Ô Ó Ð Ó
× Ð Ñ
Þ
́ Þ µ ½
Ë Ù Ò × Ò Ù Ð Ö × Ð Ò Ó × Ò Ô Ó Ð Ó Ò × Ò Ù Ð Ö Ö Ñ Ó Ú Ð ¸
Ò Ø Ó Ò × × Ð Ð Ñ × Ò Ù Ð Ö × Ò Ð
È Ö Ó Ô Ó × Ó Ò º ¿ º º Í Ò Ô Ù Ò Ø Ó × Ù Ò Ô Ó Ð Ó × Ý × Ó Ð Ñ Ò Ø × Ü × Ø
Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ò Ð Ø Ò ́ Ê µ ¸ Ô Ö Ð Ù Ò Ò Ù Ñ Ö Ó Ô Ó × Ø Ú Ó Ê ¸ Ø Ð Õ Ù
́ Þ µ
́ Þ µ
́ Þ µ
Ñ
Ó Ò Ñ ¾ Æ Ý ́ µ ¼
Ð Ò Ù Ñ Ö Ó Ñ × Ð Ð Ñ Ð Ó Ö Ò Ð Ô Ó Ð Ó Ò
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 145/174
º ¿ Ë Ò Ù Ð Ö × Ý Ê × Ù Ó × ½ ¿
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò Ë ́ Þ µ
́ Þ µ
́ Þ µ
Ñ
Ó Ò ¾ À ́ ́ Ê µ µ ́ Þ µ ¼ Ý Ñ ½
Ò Ø Ó Ò × Ð Ñ
Þ
́ Þ µ Ð Ñ
Þ
¬
¬
¬
¬
́ Þ µ
́ Þ µ
Ñ
¬
¬
¬
¬
½
Ê Ô Ö Ó Ñ Ò Ø ¸ × × Ù Ò Ô Ó Ð Ó ¸ Ò Ø Ó Ò × Ð Ñ
Þ
½
́ Þ µ
¼ ¸ Ô Ó Ö Ð Ó Õ Ù
Ð Ù Ò Ó Ò ½ ́ Þ µ Ø Ò Ù Ò × Ò Ù Ð Ö Ö Ñ Ó Ú Ð Ò Þ º Ë × Ù Õ Ù
½
́ Þ µ
́ Þ µ
Ñ
́ Þ µ Ó Ò ́ Þ µ ¼ Ô Ö Ø Ó Ó Þ ¾ ́ Ö µ Ô Ö Ð Ù Ò Ò Ù Ñ Ö Ó
Ô Ó × Ø Ú Ó Ö ¼ º Ó ¸ × ́ Þ µ
½
́ Þ µ
½
Ò ¼
Ò
́ Þ µ
Ò
́ µ
¼
¼
Ô Ö Ó Ü × Ø Ù Ò Ò Ò Ø Ð Õ Ù
Ò
¼ Ô Ù × Ó Ø Ö Ñ Ò Ö ¸ × Ö ¸
Ò
¼
Ô Ö Ø Ó Ò ¸ Ñ Ô Ð Õ Ù × Ò Ø Ñ Ò Ø Ö Ó Ò ́ Ö µ º Ë Ñ Ð Ô Ö Ñ Ö
Ò Ø Ð Õ Ù
Ñ
¼ º Ò Ø Ó Ò × ́ Þ µ ́ Þ Þ
¼
µ
Ñ
́
Ñ
·
Ñ · ½
́ Þ µ · µ
́ Þ µ
Ñ
́ Þ µ
È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó ́ Þ µ
½
́ Þ µ
́ Þ µ
Ñ
́ Þ µ º Ç Ø Ò Ñ Ó × Õ Ù ́ Þ µ
½
́ Þ µ
́ Þ µ
Ñ
Ó Ò
½
́ Þ µ
½
́ Þ µ
Ù Ø
Ç × Ö Ú Ó Ò º ¿ º º Ë × Ô Ó Ð Ó ¸ Ò Ø Ó Ò ×
́ Þ µ
́ Þ µ
́ Þ µ
Ñ
½
́ Þ µ
Ñ
½
¼
́ Þ µ
½
Ñ
́ Þ µ
Ñ
́ Þ µ
Ñ
· ·
½
́ Þ µ
× Ð Ð Ð Ñ Ð Ô Ö Ø × Ò Ù Ð Ö Ó Ô Ö Ò Ô Ð
Ò
Ì Ó Ö Ñ º ¿ º ´ × Ö Ö Ó Ð Ð Ó Ò Ë Ö × Ä Ù Ö Ò Ø µ º Ë ª Ù Ò Ò Ð Ð Ó Ò
¸ × Ö ¸ ª Þ ¾ Ê
½
Þ
½
Ê
¾
Ó Ò ¼ Ê
½
Ê
¾
½ Ë
¾ À ́ µ ¸ Ò Ø Ó Ò × Ø Ò Ù Ò × Ö Ö Ó Ð Ð Ó Ð Ó Ö Ñ
́ Þ µ
½
Ò ½
Ò
́ Þ µ
Ò
Ó Ò
Ò
½
¾
-
́ µ
́ µ
Ò · ½
Ò ¾
Ý - × Ù Ð Õ Ù Ö Ö Ù Ò Ö Ò Ó Ò Ò Ø Ö Ó Ò Ý Ö Ó Ö Ö Ó Ö Ö Ó Ò × Ò Ø Ó
Ô Ó × Ø Ú Ó ¸ × Ø Ó × ¸ Ó Ò Ø Ö Ö Ó Ð Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó Ð × Ñ Ò Ð Ð × Ð Ö Ð Ó ¸ Ó Ò Ê
½
Ö Ê
¾
º Ñ × Ð × Ö Ó Ò Ú Ö Ù Ò Ó Ö Ñ Ñ Ò Ø Ò Ð Ò Ð Ð Ó Ö Ö Ó Þ ¾
Ö
½
Þ Ö
¾
Ó Ò Ö
½
Ö
¾
Ù Ð × Õ Ù Ö Ò Ù Ñ Ö Ó × Ô Ó × Ø Ú Ó × Õ Ù × Ø × Ò
Ê
½
Ö
½
Ö
¾
Ê
¾
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 146/174
½ ¿ Á Ò Ø Ö Ó Ò Ò
-
×
Ê
¾
Ê
Ö
Ê
½
ª
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò º Ë Ò -
½
Ý -
¾
Ð × Ö Ù Ò Ö Ò × Þ Ö
½ ¾ Ó Ò
Ê
½
Ö
½
Ö
¾
Ê
¾
¸ Ö Ó Ö Ö × Ò × Ò Ø Ó Ô Ó × Ø Ú Ó º Ò Ø Ó Ò × -
½
Ý -
¾
× Ó Ò
Ó Ñ Ó Ø Ó Ô × Ò ª ¸ Ð Ó Ù Ð Ò Ó Ø Ñ Ó × Ô Ó Ö -
½
-
¾
Ý Ô Ó Ö Ð Ì Ó Ö Ñ Ù Ý
Ø Ò Ñ Ó × Õ Ù
-
½
́ µ
-
¾
́ µ Ô Ö Ù Ð Õ Ù Ö Ù Ò Ó Ò ¾ À ́ µ
Ë Þ Ø Ð Õ Ù Ö
½
Þ Ö
¾
º ¬ Ò Ñ Ó × Ð × × Ù Ò Ø × Ó × Ù Ò Ó Ò ×
¾
́ Þ µ
½
¾
-
¾
́ µ
Þ
½
́ Þ µ
½
¾
-
½
́ µ
Þ
Ò Ø Ó Ò ×
¾
¾ À ́ ́ Ö
¾
µ µ Ý
½
¾ À ́ Þ ¾ Ö
½
Þ µ º È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó
¾
́ Þ µ
½
Ò ¼
Ò
́ Þ µ
Ò
Ó Ò
Ò
́ Ò µ
¾
́ µ
Ò
½
¾
-
¾
́ µ
́ µ
Ò · ½
Ô Ö Ø Ó
Ò ¾ Æ ¼
Ë Û
½
Þ
Ó Ò ¼ Û
½
Ö
½
Ý × ́ Û µ
½
́ Þ µ
½
·
½
Û
¾
À
¼
½
Ö
½
Ò ¼
Ý Ð Ñ
Þ ½
½
́ Þ µ Ð Ñ
Þ ½
× Ù Ô
Ö
½
́ µ
½
¾
¬
¬
¬
-
½
Þ
¬
¬
¬
¼
Ë × Ù Û ¼ ¸ Ó ¸ Õ Ù Ú Ð Ò Ø Ñ Ò Ø Þ ½ ¸ × Ù Ò × Ò Ù Ð Ö Ö Ñ Ó Ú Ð
Ô Ö Ý ́ Û µ
½
Ò ¼
Ò
Û
Ò
Ó Ö Ò ¸ Ø Ò Ñ Ó ×
½
́ Þ µ
½
·
½
Û
Ý
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 147/174
º ¿ Ë Ò Ù Ð Ö × Ý Ê × Ù Ó × ½ ¿
½
́ Þ µ
½
Þ
½
Ò ¼
Ò
́ Þ µ
Ò
½
·
½
Û
½
¾
-
½
́ µ
½
Û
Û
¾
-
½
́ µ
½ Û ́ µ
Û
¾
-
½
́ µ
½
Ò ¼
Û
Ò
́ µ
Ò
½
Ò ½
Ò
½
¾
-
½
́ µ ́ µ
Ò ½
Ó
Û
Ò
È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó
Ò
½
¾
-
½
́ µ
́ µ
Ò · ½
Ò ¾ Æ
-
½
-
½
-
¾
· -
¾
-
½
Ò Ð Ñ Ò Ø ¸ × · -
¾
-
½
¼ ¸ × Ö Ð Ù Ö Ú Ö Ö ×
Ó Ñ Ó Ø Ó Ô Ù Ò Ô Ù Ò Ø Ó ¸ Ó Ò × Ù Ò × Ñ Ò Ø Ó Ö Ø Õ Ù Ó Ò Ø -
½
Ó Ò
-
¾
Ý Õ Ù Ò Ó Ô × Ô Ó Ö Þ º È Ó Ö Ð Ì Ó Ö Ñ Á Ò Ø Ö Ð Ù Ý ¸ × Ø Ò
́ Þ µ
½
¾
· -
¾
-
½
́ µ
Þ
½
¾
-
¾
́ µ
Þ
½
¾
-
½
́ µ
Þ
¾
́ Þ µ ·
½
́ Þ µ
½
Ò ½
Ò
́ Þ µ
Ò
Ó Ò
Ò
½
¾
-
́ µ
́ Þ µ
Ò · ½
Ò ¾ º Ì Ó Ñ Ò Ó Ö
½
Ê
½
Ý Ö
¾
Ê
¾
× Ó Ø Ò
Ð Ó × Ó º Ù Ø
¬ Ò Ó Ò º ¿ º º Ó Ò Ð × Ò Ó Ø Ó Ò × Ð Ù × × Ò Ð Ì Ó Ö Ñ º ¿ º ¸ × Ø Ò
Õ Ù Ð × Ö
½
Ò ½
Ò
́ Þ µ
Ò
× Ð Ð Ð Ñ Ð × Ö Ä Ù Ö Ò Ø Ò Ð Ò Ð Ð Ó
ª
½
Ò ½
Ò
́ Þ µ
Ò
× Ð Ð Ð Ñ Ð Ô Ö Ø × Ò Ù Ð Ö Ó Ô Ö Ò Ô Ð Ð × Ö
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 148/174
½ ¿ Á Ò Ø Ö Ó Ò Ò
Ä Ù Ö Ò Ø º Ò Ð Ñ Ò Ø
½
Ò ¼
Ò
́ Þ µ
Ò
× Ð Ð Ñ Ð Ô Ö Ø Ö Ù Ð Ö Ð × Ö
Ä Ù Ö Ò Ø º
Ð Ø Ô Ó × Ò Ù Ð Ö Ù Ò Ù Ò Ó Ò × Ô Ù Ö Ø Ö Þ Ö Ô Ó Ö Ð × Ö
Ä Ù Ö Ò Ø Ð Ù Ò Ó Ò
Ì Ó Ö Ñ º ¿ º º Ë Ù Ò × Ò Ù Ð Ö × Ð Ð Ù Ò Ó Ò Ý × ́ Þ µ
½
Ò ½
Ò
́ Þ µ
Ò
× Ù × Ö Ö Ó Ð Ð Ó Ò × Ö Ä Ù Ö Ò Ø Ô Ö ¼ Þ Ê
Ò Ø Ó Ò ×
´ ½ µ × Ö Ñ Ó Ú Ð × Ý × Ó Ð Ñ Ò Ø ×
Ò
¼ Ô Ö Ò ½
´ ¾ µ × Ô Ó Ð Ó Ó Ö Ò Ñ ½ × Ý × Ó Ð Ñ Ò Ø ×
Ñ
¼ Ý
Ò
¼ Ô Ö
Ò ́ Ñ · ½ µ
´ ¿ µ × Ù Ò × Ò Ù Ð Ö × Ò Ð × Ý × Ó Ð Ñ Ò Ø ×
Ò
¼ Ô Ö Ù Ò
Ò ¬ Ò Ò × Ò ¼
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò º Ö Ó º Ù Ø
Ì Ó Ö Ñ º ¿ º ½ ¼ ´ × Ó Ö Ø ¹ Ï Ö × Ø Ö × × µ º Ë × Ù Ò × Ò Ù Ð Ö × Ò ¹
Ð Ð Ù Ò Ó Ò ¸ Ò Ø Ó Ò × Ô Ö Ù Ð Õ Ù Ö Ò Ù Ñ Ö Ó Ô Ó × Ø Ú Ó ¼ ¸ × Ø Ò
́ ́ µ Ò µ
Ò Ó Ø Ö × Ô Ð Ö × ¸ Ð × × Ò Ù Ð Ö × × Ò Ð × × Ö Ø Ö Þ Ò Ô Ó Ö Õ Ù Ð
Ñ Ò Ù Ð Õ Ù Ö Ó Ð Ö Ø × Ò × Ù Ò Ø Ö Ó ¸ × Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ò × Ó
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò º Ë Ù Ô Ó Ò Ñ Ó × Ô Ó Ö Ð Ó Ò Ø Ö Ö Ó Õ Ù Ü × Ø Ù Ò Ò Ù Ñ Ö Ó Ô Ó × Ø Ú Ó
¼ Ø Ð Õ Ù ́ ́ µ Ò µ º È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó Ü × Ø Ù Ò Ð Ñ Ò Ø Ó ¾ Ý
Ù Ò Ò Ù Ñ Ö Ó Ô Ó × Ø Ú Ó ¼ Ø Ð × Õ Ù ́ µ ́ ́ µ Ò µ ¸ × Ö ¸
́ Þ µ Ô Ö Ø Ó Þ ¾ ́ µ Ò
¬ Ò Ñ Ó × Ð Ù Ò Ó Ò ́ Þ µ
½
́ Þ µ
¾ À ́ ́ µ µ º È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó ́ Þ µ
½
́ Þ µ
· º Ë × Ø Ù Ú × Õ Ù ́ µ ¼ ¸ Ò Ø Ó Ò × Ð Ñ
Þ ½
́ Þ µ ½ Ý Ô Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó
Þ × Ö Ù Ò Ô Ó Ð Ó º Ó Ö Ò ¸ × × Ø Ù Ú × ́ µ ¼ ¸ Ò Ø Ó Ò × × Ö Ù Ò
× Ò Ù Ð Ö Ö Ñ Ó Ú Ð º × Ø Ó Ò Ø Ö Ó Ò Ô Ö Ù Ð Ö × Ù Ð Ø Ó º Ù Ø
¬ Ò Ó Ò º ¿ º ½ ½ º Ë × Ù Ò × Ò Ù Ð Ö × Ð Ý × ́ Þ µ
½
Ò ½
Ò
́ Þ µ
Ò
Ò ́ µ Ò ¸ Ò Ø Ó Ò × × ¬ Ò Ð Ö × Ù Ó Ò
Ô Ó Ö
Ê ×
Þ
Ê × ´ µ
½
½
¾
-
́ µ
Ó Ò - × Ù Ò Ö Ù Ò Ö Ò Þ Ö Ó Ò ¼ Ö Ö Ó Ö Ö Ò × Ò Ø Ó
Ô Ó × Ø Ú Ó º
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 149/174
º ¿ Ë Ò Ù Ð Ö × Ý Ê × Ù Ó × ½ ¿
Ì Ó Ö Ñ º ¿ º ½ ¾ ´ Ì Ó Ö Ñ Ð Ó × Ö × Ù Ó × µ º Ë Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ò Ð Ø
Ò Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ö Ø Ó ª Ó Ò Ü Ô Ó Ò Ù Ò Ò Ù Ñ Ö Ó ¬ Ò Ø Ó × Ò Ù Ð Ö ¹
× × Ð ×
½
Ò
º Ë - Ù Ò Ù Ö Ú Ö Ö Ó Ñ Ó Ø Ó Ô ¼ - ¼
Ò ª Õ Ù Ò Ó Ô × Ô Ó Ö Ò Ò Ù Ò Ó Ð Ó × Ô Ù Ò Ø Ó ×
½
Ò
º Ò Ø Ó Ò ×
½
¾
-
́ µ
Ò
½
Á Ò
-
́
µ Ê × ´
µ
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò º Ë Ò É
½
É
Ò
Ð × Ô Ö Ø × Ô Ö Ò Ô Ð × Ò
½
Ò
º Ò ¹
Ø Ó Ò × Ð Ù Ò Ó Ò ́ É
½
· · É
Ò
µ ¾ À ́ ª µ Ô Ó Ö Ð Ó Õ Ù
-
́ µ ¼
-
́ µ
Ò
½
-
É
́ µ
Ó Ö Ò ¸
-
É
́ µ
Ó Ò Ú Ö Ò
Ù Ò Ó Ö Ñ
½
Ñ ½
́ µ
Ñ
-
́
µ
Ñ
Ý Ø Ó × × Ø × Ò ¹
Ø Ö Ð × × Ó Ò ¼ Ü Ô Ø Ó Ô Ö Ñ ½ º È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó
-
É
́ µ ¾ Á Ò
-
́
µ
́ µ
½
¾ Á Ò
-
́
µ Ê × ´ É
µ
¾ Á Ò
-
́
µ Ê × ´
µ Ù Ø
È Ö Ó Ô Ó × Ó Ò º ¿ º ½ ¿ º Ë Ø Ò Ù Ò Ô Ó Ð Ó Ó Ö Ò Ñ Ò Ó Ö Ó Ù Ð Ñ ¾ Æ Ò
¸ Ò Ø Ó Ò ×
Ê × ´ µ
½
́ Ñ ½ µ
Ð Ñ
Þ
Ñ ½
Þ
Ñ ½
´ ́ Þ µ
Ñ
́ Þ µ µ
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò º Ë ́ Þ µ
Ñ
́ Þ µ
Ñ
· ·
½
́ Þ µ
· ́ Þ µ Ó Ò ́ Þ µ Ù Ò Ù Ò Ó Ò
Ó Ð Ó Ñ Ó Ö º Ò Ø Ó Ò × ́ Þ µ ́ Þ µ
Ñ
́ Þ µ
Ñ
·
Ñ · ½
́ Þ µ · ·
½
́ Þ
µ
Ñ ½
· ́ Þ µ
Ñ
́ Þ µ ¸ Ô Ó Ö Ð Ó Õ Ù
Ê × ´ µ
½
́ Ñ ½ µ
́ µ
́ Ñ ½ µ
Ð Ñ
Þ
Ñ ½
Þ
Ñ ½
´ ́ Þ µ
Ñ
́ Þ µ µ Ù Ø
¬ Ò Ó Ò º ¿ º ½ º Ë ¬ Ò Ð Ø Ô Ó × Ò Ù Ð Ö Ô Ö Ù Ò Ù Ò Ó Ò ́ Þ µ
Ò ½ Ó Ñ Ó Ð Ø Ô Ó × Ò Ù Ð Ö Ð Ù Ò Ó Ò ́ Þ µ Ò Þ ¼ ¸ Ó Ò ́ Þ µ
½
Þ
Ñ Ô Ð Ó º ¿ º ½ º Ë ́ Þ µ
½
Þ ́ Þ ½ µ ́ Þ ¾ µ
º Ò Ø Ó Ò × ¾ À ́ Ò ¼ ½ ¾ µ
Ò × Ø Ò Ò Ð Ó × × Ù Ò Ø × Ò Ð Ð Ó × Õ Ù Ò Ó Ô × Ò Ô Ó Ö ¼ ½ ¾
̄ ª
½
Þ ¾ ¼ Þ ½
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 150/174
½ ¼ Á Ò Ø Ö Ó Ò Ò
̄ ª
¾
Þ ¾ ½ Þ ¾
̄ ª
¿
Þ ¾ ¾ Þ
̄ ª
Þ ¾ ¼ Þ ½ ½
̄ ª
Þ ¾ ½ Þ ½
̄ Ø º
ª
½
ª
¾
̈
̈
̈¶
À
À
¼ ½ ¾
ª
¿
©
Á
Õ Õ Õ
ª
̈
̈
̈¶
½ ¾ ¼
ª
©
Á
Õ Õ Õ
̄ Ò ª
½
Þ ½ ¸ Ô Ó Ö Ð Ó Õ Ù Ô Ó Ö Ö Ó Ò × Ô Ö Ð × Ø Ò Ñ Ó ×
½
́ Þ ½ µ ́ Þ ¾ µ
½
Þ ¾
½
Þ ½
ª
½
¼ ½
Õ Õ
́ Þ µ
½
Þ
½
Þ ¾
½
Þ ½
½
Þ
½
¾
½
Þ
¾
¡
½
´ ½ Þ µ
½
Þ
½ ¾
½ Þ ¾
·
½
½ Þ
½
Þ
½
Ò ¼
½
¾
Þ
¾
Ò
·
½
Ò ¼
Þ
Ò
½
Þ
½
Ò ¼
½
½
¾
Ò · ½
Þ
Ò
½
Ò ¼
½
½
¾
Ò · ½
Þ
Ò ½
½
Ò ½
½
½
¾
Ò · ½
Þ
Ò
Ò Ô Ö Ø Ù Ð Ö Ê × ´ ¼ µ ½
½
¾
½
¾
̄ Ò ª
¾
½ Þ ¾ ¸ Ô Ó Ö Ð Ó Õ Ù
¬
¬
¬
½
Þ
¬
¬
¬
½
¬
¬
¬
Þ
¾
¬
¬
¬
½ º È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó
ª
¾
À
À
¼ ½ ¾
Õ Õ Õ
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 151/174
º ¿ Ë Ò Ù Ð Ö × Ý Ê × Ù Ó × ½ ½
́ Þ µ
½
Þ
½
Þ ¾
½
Þ ½
½
Þ
½
¾
½
Þ
¾
¡
½
Þ ´ ½
½
Þ
µ
½
Þ
½
¾
½
Ò ¼
Þ
¾
Ò
½
Þ
½
Ò ¼
½
Þ
Ò
̄ Ò ª
¿
Þ ¾ ¸ Ô Ó Ö Ð Ó Õ Ù
¬
¬
¬
¾
Þ
¬
¬
¬
½
¬
¬
¬
½
Þ
¬
¬
¬
½ º È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó
¼ ¾
ª
¿
Õ Õ
́ Þ µ
½
Þ
½
Þ
½
¾
Þ
¡
½
Þ
½
½
Þ
µ
½
Þ
½
Þ
½
Ò ¼
¾
Þ
Ò
½
Þ
½
Ò ¼
½
Þ
Ò
̄ Ò ª
¼ Þ ½ ½ ¸ × Ø Ò
½
Þ ́ Þ ¾ µ
½ ¾
Þ ¾
½ ¾
Þ
ª
½ ¾ ¼
Õ Õ Õ
́ Þ µ
½
Þ ½
½ ¾
Þ ¾
½ ¾
Þ
½ ¾
Þ ½
½
½ ́ Þ ½ µ
½
½ · ́ Þ ½ µ
½ ¾
Þ ½
½
Ò ¼
́ Þ ½ µ
Ò
½
Ò ¼
́ ½ µ
Ò
́ Þ ½ µ
Ò
½ ¾
Þ ½
¾
½
Ò ¼
́ Þ ½ µ
¾ Ò
½
Ò ¼
́ Þ ½ µ
¾ Ò ½
Ò Ô Ö Ø Ù Ð Ö Ø Ò Ñ Ó × Õ Ù Ê × ´ ½ µ ½
̄ Ò ª
Þ ½ ½ Ý
¬
¬
¬
½
Þ ½
¬
¬
¬
½ º È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 152/174
½ ¾ Á Ò Ø Ö Ó Ò Ò
½ ¾ ¼
ª
Õ Õ Õ
́ Þ µ
½ ¾
Þ ½
½
Þ ¾
½
Þ
½ ¾
Þ ½
½
½
½
Þ ½
½
Þ ½
½
½ ·
½
Þ ½
½
Þ ½
½ ¾
Þ ½
½
Þ ½
½
Ò ¼
½
Þ ½
Ò
½
Þ ½
½
Ò ¼
́ ½ µ
Ò
½
Þ ½
Ò
Ñ Ô Ð Ó º ¿ º ½ º Ó Ò × Ö Ñ Ó × Ð Ù Ò Ó Ò ́ Þ µ
½
Þ ½
º Ò Ø Ó Ò ×
½
Þ
½
½
Þ
½
Þ
½ Þ
́ Þ µ º È Ù × Ø Ó Õ Ù ´ ¼ µ ¼ Ò Ø Ó Ò × Þ ½ × Ù Ò × Ò Ù Ð Ö ¹
Ö Ñ Ó Ú Ð Ý × Ø Ò ́ ½ µ ¼ º
Ñ Ô Ð Ó º ¿ º ½ º Ë ́ Þ µ
Þ
¾
Þ · ¾
º Ò Ø Ó Ò ×
½
Þ
½ Þ
¾
½ Þ · ¾
½
Þ · ¾ Þ
¾
½
Þ ´ ½ · ¾ Þ µ
́ Þ µ º Ò Ø Ó Ò × Þ ¼ × Ù Ò Ô Ó Ð Ó Ó Ö Ò ½ ́ Þ µ Ô Ó Ö Ð Ó Õ Ù
Þ ½ × Ù Ò Ô Ó Ð Ó Ó Ö Ò ½ Ô Ö
Ñ Ô Ð Ó º ¿ º ½ º Ë ́ Þ µ
Þ
º Ò Ø Ó Ò ×
½
Þ
́ Þ µ
½ Þ
½
Ò ¼
½
Ò Þ
Ò
È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó Þ ¼ × Ù Ò × Ò Ù Ð Ö × Ò Ð Ý Ô Ó Ö Ò Þ ½ × Ù Ò
× Ò Ù Ð Ö × Ò Ð
Ð Ø Ö Ò Ø Ú Ñ Ò Ø ¸ × Ø Ò Õ Ù ́ Ò µ
Ò
Ò ½
½ ¸ Ô Ó Ö Ð Ó Õ Ù Þ ½ Ò Ó
× Ù Ò × Ò Ù Ð Ö Ö Ñ Ó Ú Ð º È Ó Ö Ó Ø Ö Ó Ð Ó ¸ ́ Ò µ
Ò
Ò ½
¼ Ô Ó Ö
Ð Ó Õ Ù Þ ½ Ò Ó × Ô Ó Ð Ó º × Ø Ó Ø Ñ Ò × × Ù ́ Ò µ
Ò
½
Ô Ö Ø Ó Ò ¾ Æ º È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó Þ ½ × Ù Ò × Ò Ù Ð Ö × Ò Ð
º Ð Ù Ð Ó Á Ò Ø Ö Ð × Ê Ð ×
Ò × Ø × Ó Ò Ù Ø Ð Þ Ö Ñ Ó × Ð Ó × Ö × Ù Ð Ø Ó × Ó Ø Ò Ó × Ô Ö Ð Ð Ù Ð Ó Ð Ù Ò ×
Ò Ø Ö Ð × Ú Ö Ð Ö Ð Õ Ù ¸ Ò Ð Ù Ò Ó × × Ó × ¸ Ò Ó × Ó Ò Ð Ù Ð Ð × Ñ Ò Ö
Ö Ø º
Ñ Ô Ð Ó º º ½ º Ð Ù Ð Ñ Ó ×
¼
· Ó ×
Ó Ò ½ º È Ö × Ø Ó Ó Ò × Ö Ñ Ó ×
Þ
º Ò Ø Ó Ò × Ó ×
·
¾
Þ ·
½
Þ
¾
Ý · Ó × ·
½
¾
Þ ·
½
Þ
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 153/174
º Ð Ù Ð Ó Á Ò Ø Ö Ð × Ê Ð × ½ ¿
Þ
¾
· ¾ Þ · ½
¾ Þ
º Ì Ó Ó × × Ø Ó × Ñ Ó × × Ó Ò Ñ Ö Ñ Ò Ø Ô Ö Ö Ò Ó × Ù Ò
Ó Ñ Ó Ô Ö Ó Ö Ó Ö Ñ Ð Ñ Ò Ø º
Ë - Ð Ù Ö Ú - ́ µ
¼ ¾ º Ò Ø Ó Ò × - ́ µ
¸ Ô Ó Ö Ð Ó Õ Ù
½
Þ
Þ
º Ë Ø Ò Õ Ù
Á
¼
· Ó ×
½
¾
¾
¼
· Ó ×
½
¾
-
½
¾
¾
· ¾ · ½
-
¾
· ¾ · ½
Ë ́ Þ µ
½
Þ
¾
· ¾ Þ · ½
¾
· ¾ · ½ ´ « µ ́ ¬ µ Ó Ò
« ¬
¾ ¦
Ô
¾
¾
¦
Ô
¾
½
Ò Ø Ó Ò ×
¼
·
Ô
¾
½
Ô
¾
½
½
× × ×
×
Á
-
́ µ ¾ ́ µ
¢
Á Ò
-
́ ·
Ô
¾
½ µ Ê × ´ ·
Ô
¾
½ µ ·
· Á Ò
-
́
Ô
¾
½ µ Ê × ´
Ô
¾
½ µ
£
¾
½
́ ·
Ô
¾
½ µ ́
Ô
¾
½ µ
· ¼
¾
¾
Ô
¾
½
Ô
¾
½
È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó
¾
¼
· Ó ×
Ô
¾
½
Ñ Ô Ð Ó º º ¾ º Ð Ù Ð Ñ Ó × Ó Ö Á
½
¼
Ð Ò Ü
½ · Ü
¾
Ü
Ë Ð Ó Þ Ð Ò Þ · Ö Þ
¾
Ö Þ
¿
¾
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 154/174
½ Á Ò Ø Ö Ó Ò Ò
Î Ñ Ó × Ö Ù Ò Ò Ø Ö Ð Ð Ò Ô Ó Ö Ð Ó Ò Ø Ó Ö Ò Ó × Ò Ð Ó Ò Ð × Ù Ò Ø
¬ Ù Ö º
Á
©
Ê Ê Ö Ö
-
¼
×
×
Ë Ø Ò Ð Ó Ü Ð Ò Ü ¾ Ê Ô Ö Ü ¾ Ê Ü ¼ Ý Ð Ó Ü Ð Ò Ü · Ô Ö
Ü ¾ Ê Ü ¼
Ë Ø Ò Õ Ù
-
Ð Ò Þ
½ · Þ
¾
Þ
Ê
Ö
Ð Ò Ü
½ · Ü
¾
Ü · Ê
¼
Ð Ò Ê ·
½ · Ê
¾
¾
·
·
Ö
Ê
Ð Ò Ü ·
½ · Ü
¾
Ü · Ö
¼
Ð Ò Ö ·
½ · Ö
¾
¾
¾ Ê ×
Ð Ò Þ
½ · Þ
¾
Á Ò
-
́ µ ¾
Ð Ò
¾
¾
¾
Ð Ò ½ ·
¾
¾
¾
¾
È Ó Ö Ó Ø Ö Ó Ð Ó
Ê
Ö
Ð Ò Ü
½ · Ü
¾
Ü ·
Ö
Ê
Ð Ò Ü ·
½ · Ü
¾
Ü
¾
Ê
Ö
Ð Ò Ü
½ · Ü
¾
Ü ·
Ê
Ö
Ü
½ · Ü
¾
Ê ½
Ö ¼
¾
½
¼
Ð Ò Ü
½ · Ü
¾
Ü ·
½
¼
Ü
½ · Ü
¾
¾
½
¼
Ð Ò Ü
½ · Ü
¾
Ü ·
¢
Ö Ø Ò Ü
£
½
¼
¾
½
¼
Ð Ò Ü
½ · Ü
¾
Ü ·
¾
¼
¾
½
¼
Ð Ò Ü
½ · Ü
¾
Ü ·
¾
¾
Ó Ö × Ê Ó Ö º Ò Ø Ó Ò ×
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 155/174
º Ð Ù Ð Ó Á Ò Ø Ö Ð × Ê Ð × ½
¬
¬
¬
¾
¼
Ð Ò ·
½ ·
¾
¾
¬
¬
¬
Ð Ò
½
¾
¼
·
½
¾
¼
Ð Ò
½
¾
·
½
¾
¾
¾
¼
Ó
½
¼
Ë × Ù Õ Ù
¾
¾
¾
½
¼
Ð Ò Ü Ü
½ · Ü
¾
·
¾
¾
· ¼ · ¼
È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó
½
¼
Ð Ò Ü Ü
½ · Ü
¾
¼
Ñ Ô Ð Ó º º ¿ º Ó Ò × Ö Ñ Ó × Ó Ö Ð Ò Ø Ö Ð Á
½
¼
× Ò Ü
Ü
Ü º Ë ́ Þ µ
Þ
Þ
º Ò Ø Ó Ò × Ø Ò Ù Ò Ô Ó Ð Ó × Ñ Ô Ð Ò Þ ¼ º È Ó Ö Ð Ð Ó Ó Ò × Ö Ñ Ó × Ð Ñ × Ñ Ó
Ñ Ò Ó Õ Ù Ò Ð Ñ Ô Ð Ó Ò Ø Ö Ó Ö º
Á
©
Ê Ê Ö Ö
-
Ö
-
Ê
- -
Ê
· Ê Ö · -
Ö
· Ö Ê
¼
×
×
Ë Ø Ò
-
́ µ ¼
Ê
Ö
Ü
Ü
Ü ·
-
Ê
Þ
Þ
Þ ·
Ö
Ê
Ü
Ü
Ü ·
-
Ö
Þ
Þ
Þ
Ó Ö Ò
¬
¬
¬
¬
-
Ê
Þ
Þ
Þ
¬
¬
¬
¬
¬
¬
¬
¬
¼
Ø
Ü Ô ´ Ê
Ø
µ
Ø
Ø
¬
¬
¬
¬
¼
Ü Ô ´ Ê
Ø
µ Ø
¼
Ê × Ò Ø
Ø
Ê ½
¼
È Ó Ö Ó Ø Ö Ó Ð Ó ¸
Þ
½
Þ
Ø Ò Ù Ò × Ò Ù Ð Ö Ö Ñ Ó Ú Ð Ò Þ ¼ ¸ Ô Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 156/174
½ Á Ò Ø Ö Ó Ò Ò
¼ Ð Ñ
Ö ¼
-
Ö
Þ
½
Þ
Þ Ð Ñ
Ö ¼
-
Ö
Þ
Þ
Þ Ð Ñ
Ö ¼
-
Ö
Þ
Þ
Ð Ñ
Ö ¼
-
Ö
Þ
Þ
Þ ·
È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó
Ð Ñ
Ö ¼
-
Ö
Þ
Þ
Þ
Ó Ö
Ö
Ê
Ü
Ü
Ü
Ý Ü
Ö
Ê
Ý
Ý
́ Ý µ
Ê
Ö
Ü
Ü
Ü
Ë × Ù Õ Ù
Ð Ñ
Ö ¼
Ê ½
-
Þ
Þ
Þ
Ð Ñ
Ö ¼
Ê ½
Ê
Ö
Ü
Ü
Ü
Ü
· ¼
½
¼
¾ × Ò Ü
Ü
Ü ¼
Ò Ð Ñ Ò Ø Ó Ø Ò Ñ Ó ×
½
¼
× Ò Ü
Ü
Ü
¾
Ñ Ô Ð Ó º º º Ó Ò × Ö Ñ Ó × Ð Ò Ø Ö Ð Á
½
½
Ü
¾
½ · Ü
Ü
Ê Ê
-
Ê
- -
Ê
· Ê Ê Õ Õ
Õ Õ
Ë ́ Þ µ
Þ
¾
½ · Þ
º Ä Ó × Ô Ó Ð Ó × × Ó Ò
Þ
½
Þ
Ü Ô
· ¾
¼ ½ ¾ ¿
× Ø Ó × ¸ Ð × Ö × × Ó Ò
Ó Ò
¿
ß Þ
Ù Ö -
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 157/174
º Ð Ù Ð Ó Á Ò Ø Ö Ð × Ê Ð × ½
Ó Ö Ò × Ø Ò
Ê × ´ ́ Þ µ
́ µ
µ Ð Ñ
Þ
́
Þ
¾
́ Þ
́ µ
µ
½ · Þ
Ä À Ó Ô Ø Ð
¿ Þ
¾
¾ Þ
Þ
¿
¬
¬
¬
Þ
́
¿
́ µ
¾
́ µ
́
́ µ
µ
¾
½
́ µ
½
́ µ
½
Ô
¾
¾
Ô
¾
¾
Ë Ñ Ð Ö Ñ Ò Ø Ø Ò Ñ Ó ×
Ê × ´ ́ Þ µ
´ ¿ µ
µ
½
´ ¿ µ
½
Ô
¾
¾
Ô
¾
¾
È Ó Ö Ó Ø Ö Ó Ð Ó ¸ × Ø Ò
Á Ò
-
́
́ µ
µ Á Ò
-
́
´ ¿ µ
µ ½
Á Ò
-
́
´ µ
µ Á Ò
-
́
´ µ
µ ¼
È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó
-
́ µ
-
Ê
· Ê Ö
́ µ ¾
½
¾
Ô
¾
¾
Ô
¾
¾
Ô
¾
Ë × Ù Õ Ù
-
́ µ
Ê
Ê
Ü
¾
Ü
½ · Ü
·
¼
Ê
¾
¾
Ê
½ · Ê
Ó Ö Ò ¸
¬
¬
¬
¬
¬
Ê
¼
Ê
¿
¿
½ · Ê
¬
¬
¬
¬
¬
Ê
¿
Ê
½
¼
Ê
¿
Ê
½
Ê ½
¼
È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó
-
́ µ
Ê ½
½
½
Ü
¾
½ · Ü
Ü
Ò Ð Ñ Ò Ø Ñ Ó × Ó Ø Ò Ó
½
½
Ü
¾
½ · Ü
Ü
Ô
¾
Ð Ñ Ô Ð Ó º º Ô Ù Ò Ö Ð Þ Ö × Ò Ø Ö Ð × Ð Ø Ô Ó
½
½
́ Ü µ
́ Ü µ
Ü
Ó Ò ́ Ü µ Ý ́ Ü µ × Ó Ò Ó × Ô Ó Ð Ò Ó Ñ Ó × Ö Ð × Ø Ð × Õ Ù Ö Ö · ¾ Ý
́ Ü µ ¼ Ô Ö Ø Ó Ü ¾ Ê
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 158/174
½ Á Ò Ø Ö Ó Ò Ò
º È Ö Ò Ô Ó Ð Ö Ù Ñ Ò Ø Ó Ý Ì Ó Ö Ñ Ê Ó Ù
¬ Ò Ó Ò º º ½ º Ë ª × Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ö Ø Ó ¸ Ù Ò Ù Ò Ó Ò × Ð
Ð Ð Ñ Ñ Ö Ó Ñ Ó Ö × × Ó Ð Ó Ñ Ó Ö Ò ª Ü Ô Ø Ó Ô Ó Ö Ô Ó Ð Ó × º
Ì Ó Ö Ñ º º ¾ ´ È Ö Ò Ô Ó Ð Ö Ù Ñ Ò Ø Ó µ º Ë Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ñ Ö Ó ¹
Ñ Ó Ö Ò Ù Ò Ö Ó Ò ª Ó Ò Ù Ò Ò Ù Ñ Ö Ó ¬ Ò Ø Ó Ô Ó Ð Ó × Ô
½
Ô
×
Ý Ù Ò Ò Ù Ñ Ö Ó
¬ Ò Ø Ó Ö Ó ×
½
Ö
Ó Ò Ø Ó × Ó Ò × Ù × Ñ Ù Ð Ø Ô Ð × ¸ × Ö × Ð Ù Ò Ô
Ó Ð Ù Ò
Ø Ò Ñ Ù Ð Ø Ô Ð Ñ ¸ Ò Ø Ó Ò × Ô Ö Ñ Ú × Ò Ô
½
Ô
×
Ó
Ò
½
Ö
× Ù Ò × Ð × Ó º Ë - Ù Ò Ù Ö Ú Ö Ö Ò ª Ó Ñ Ó Ø Ó Ô
¼ - ¼ Ò ª Ý Õ Ù Ò Ó Ô × Ô Ó Ö Ò Ò Ù Ò Ö Ó Ò Ò Ò Ù Ò Ô Ó Ð Ó º Ò Ø Ó Ò ×
½
¾
-
́ µ
́ µ
Ö
½
Á Ò
-
́
µ
×
½
Á Ò
-
́ Ô
µ
Ò Ô Ö Ø Ù Ð Ö ¸ × Á Ò
-
́
µ Á Ò
-
́ Ô
µ ½ Ô Ö Ø Ó Ó ½ Ö Ý Ø Ó Ó
½ × ¸ Ò Ø Ó Ò × × Æ
Ò Ó Ø Ð Ò Ù Ñ Ö Ó Ö Ó × Ò Ø Ö Ó -
Ó Ò Ø Ó × Ó Ò × Ù Ñ Ù Ð Ø Ô Ð Ý È
Ò Ó Ø Ð Ò Ù Ñ Ö Ó Ô Ó Ð Ó × Ò Ø Ö Ó
- Ó Ò Ø Ó × Ó Ò × Ù Ñ Ù Ð Ø Ô Ð ¸ × Ø Ò
½
¾
-
́ µ
́ µ
Æ
È
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò º Ë Þ
¼
Ù Ò Ö Ó Ó Ù Ò Ô Ó Ð Ó Ñ Ù Ð Ø Ô Ð Ñ º Ò Ø Ó Ò ×
́ Þ µ ́ Þ Þ
¼
µ
¦ Ñ
́ Þ µ Ó Ò × Ó Ð Ó Ñ Ó Ö Ò Ù Ò Ú Ò Þ
¼
́ Þ
¼
µ ¼
Ñ ¾ Æ ¸ Ý Ó Ò × Ø Ó Ñ · Ñ × Þ
¼
× Ù Ò Ö Ó Ý Ñ × Þ
¼
× Ù Ò Ô Ó Ð Ó
È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó
́ Þ µ
́ Þ µ
¦ Ñ
́ Þ Þ
¼
µ
·
́ Þ µ
́ Þ µ
Ô Ð Ò Ó × Ø Ó Ø Ó Ó × Ð Ó × Ö Ó × Ý Ø Ó Ó × Ð Ó × Ô Ó Ð Ó × ¸ Ø Ò Ö Ñ Ó ×
́ Þ µ
Ö
½
́ Þ
µ
×
½
́ Þ Ô
µ
½
́ Þ µ
Ó Ò ¾ À ́ ª µ Ý ́ Þ µ ¼ Ô Ö Ø Ó Þ ¾ ª º È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó
́ Þ µ
́ Þ µ
Ö
½
½
Þ
×
½
½
Þ Ô
·
́ Þ µ
́ Þ µ
È Ù × Ø Ó Õ Ù ́ Þ µ ¼ Ô Ö Ø Ó Þ ¾ ª Ý ¾ À ́ ª µ ¸ × Ø Ò Ô Ó Ö Ð Ì Ó Ö Ñ
Ù Ý Õ Ù
-
́ µ
́ µ
¼ Ý
½
¾
-
́ µ
́ µ
Ö
½
½
¾
-
×
½
½
¾
-
Ô
Ö
½
Á Ò
-
́
µ
×
½
Á Ò
-
́ Ô
µ Ù Ø
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 159/174
º È Ö Ò Ô Ó Ð Ö Ù Ñ Ò Ø Ó Ý Ì Ó Ö Ñ Ê Ó Ù ½
Ì Ó Ö Ñ º º ¿ ´ Ì Ó Ö Ñ Ê Ó Ù µ º Ë Ò Ý Ó × Ù Ò Ó Ò × Ñ Ö Ó ¹
Ñ Ó Ö × Ò ª Ó Ò ª × Ù Ò Ö Ó Ò ª º Ë - Ù Ò Ù Ö Ú Ð ×
½
Ò ª - × Ñ Ô Ð Ö Ö Ø Ð Õ Ù Ø Ò Ø Ó -
£
Ó Ñ Ó Ð Ò Ø Ö Ó Ö - × Ø Ò Ó Ò ¹
Ø Ò Ó × Ò ª º Ë Ù Ô Ó Ò Ñ Ó × Õ Ù Ò Ò Ø Ò Ò Ö Ó × Ó Ô Ó Ð Ó × Ò -
£
Ý Õ Ù
́ Þ µ ́ Þ µ ́ Þ µ Ô Ö Ø Ó Þ ¾ -
£
º Ò Ø Ó Ò ×
Æ
È
Æ
È
Ó Ò Æ
Ý È
´ Ö × Ô Ø Ú Ñ Ò Ø Æ
Ý È
µ Ò Ó Ø Ð Ò Ù Ñ Ö Ó Ö Ó × Ý
Ô Ó Ð Ó × Ö × Ô Ø Ú Ñ Ò Ø ´ Ö × Ô Ø Ú Ñ Ò Ø µ Ò Ø Ö Ó Ð Ù Ö Ú -
Ç × Ö Ú Ó Ò º º º Ò Ø Ò Ñ Ó × Ô Ó Ö Ò Ø Ö Ó Ö - Ð Ó Ò Ù Ò Ø Ó Þ ¾ Ò -
£
Á Ò
-
́ Þ µ ½
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò º ´ Ì Ó Ö Ñ º º ¿ µ º Ë Ø Ò Õ Ù
¬
¬
¬
́ Þ µ
́ Þ µ
½
¬
¬
¬
½ Ô Ö Ø Ó Þ ¾ -
£
È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó Ð Ù Ò Ó Ò Ñ Ö Ó Ñ Ó Ö
Ñ Ô -
£
Ò Ø Ö Ó Ð Ó Ð ´ ½ ½ µ
-
£
Ü
Ý
×
©
½
½
́ -
£
µ Ã
Ë Ð Ò Þ × Ð Ö Ñ Ô Ö Ò Ô Ð Ð Ð Ó Ö Ø Ñ Ó ¸ × Ø Ó × ¸ Ð Ò Þ Ð Ò Þ · Ö Þ
Ó Ò Ö Þ ¾ ́ µ ¸ Ò Ø Ó Ò × Ð Ò
× Ù Ò Ô Ö Ñ Ø Ú
Ò -
£
º È Ó Ö
Ø Ò Ø Ó
¼
½
¾
-
¡
́ µ
¡
́ µ
½
¾
-
́ µ
́ µ
½
¾
-
́ µ
́ µ
È Ö Ò Ô Ó Ð
Ö Ù Ñ Ò Ø Ó
́ Æ
È
µ ́ Æ
È
µ Ù Ø
Ð Ì Ó Ö Ñ Ê Ó Ù × Ö Ú Ô Ö Ñ Ó × Ø Ö Ö Ð Ù Ò Ó × Ö × Ù Ð Ø Ó × Ý Ó Ò Ó ¹
Ó × Ô Ó Ö Ò Ó × Ó Ø Ö Ó × º
Ñ Ô Ð Ó º º ´ Ì Ó Ö Ñ Ä Ó Ù Ú Ð Ð µ º Ë × Ò Ø Ö Ý Ó Ø ¸ Ò Ø Ó Ò ×
× Ù Ò Ó Ò × Ø Ò Ø º
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 160/174
½ ¼ Á Ò Ø Ö Ó Ò Ò
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò º Ë ́ Þ µ ́ Þ µ ´ ¼ µ º È Ù × Ø Ó Õ Ù ́ Þ µ × Ó Ø ¸ ́ Þ µ
Ø Ñ Ò Ð Ó × ¸ Ñ Ó × ́ Þ µ Å Ô Ö Ø Ó Þ ¾ º Î Ñ Ó × Õ Ù Ð Ù Ò Ó Ò
́ Þ µ × Ò Ø Ñ Ò Ø Ö Ó º Ò × Ó Ó Ò Ø Ö Ö Ó ¸ Ó Ò × Ö Ñ Ó × Ù Ò Ù Ö Ú × Ñ Ô Ð
Ô Ó × Ø Ú - Õ Ù Ò Ó Ô × Ô Ó Ö Ò Ò Ù Ò Ö Ó ́ Þ µ Ý Õ Ù ¼ × Ø Ò Ð Ò Ø Ö Ó Ö
- º Ë ¬ Ò Ñ Ó × Ð Ù Ò Ó Ò ́ Þ µ Å Ô Ö Ø Ó Þ ¾ ¸ Ò Ø Ó Ò × ́ Þ µ ́ Þ µ
Ô Ö Ø Ó Þ ¾ -
£
Ý Æ
È
¼ ¼ ¼ º È Ó Ö Ó Ø Ö Ó Ð Ó Æ
½ Ô Ù × ´ ¼ µ ¼
Ý È
¼ º È Ó Ö Ð Ì Ó Ö Ñ Ê Ó Ù
¼ Æ
Æ
È
Æ
È
¼
× Ø × Ù Ö Ó Ô Ö Ù Õ Ù ¼ Ò Ý Ô Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó ́ Þ µ ´ ¼ µ Ô Ö Ø Ó
Þ ¾ Ù Ø
Ñ Ô Ð Ó º º ´ Ì Ó Ö Ñ Ù Ò Ñ Ò Ø Ð Ð Ð Ö µ º Ë ́ Þ µ
Ò
Þ
Ò
·
Ò ½
Þ
Ò ½
· ·
½
Þ ·
¼
¾ Þ Ó Ò
Ò
¼ Ò ½ º Ò Ø Ó Ò × ́ Þ µ Ø Ò Ò
Ö × Ò
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò º Ë Ø Ò
́ Þ µ
Ò
Þ
Ò
½ ·
Ò ½
Ò
½
Þ
· ·
½
¼
½
Þ
Ò ½
·
¼
Ò
½
Þ
Ò
Þ ½
½
È Ö Ê Ù Ò Ò Ù Ñ Ö Ó Ö Ð Ô Ó × Ø Ú Ó Ö Ò ¸ Þ Ê ¸ × Ø Ò Õ Ù
¬
¬
¬
́ Þ µ
Þ
Ò
Þ
Ò
½
¬
¬
¬
½ º È Ó Ö Ø Ò Ø Ó ́ Þ µ
Ò
Þ
Ò
Ò
Þ
Ò
Þ Ê º È Ö Ð Ù Ö Ú - ¼ ¾
Ô Ó Ö - ́ Ø µ Ê
Ø
¸ × Ø Ò -
£
Þ ¾ Þ Ê Ý
Æ
Æ
È
Æ
Ò
Þ
Ò
È
Ò
Þ
Ò
Ò ¼ Ò
× Ø Ó × ¸ Æ
Ò º × Ö ¸ ́ Þ µ Ø Ò Ò Ö Ó × Ô Ö Þ Ê ¸ Ó Ò Ê ¼ Ý
× Ù ¬ Ò Ø Ñ Ò Ø Ö Ò º Ù Ø
º Ö Ó ×
Ö Ó º º ½ º Ë - Ù Ò Ù Ö Ú Ö Ö
½
Ô Ó Ö Ø Ö Ñ Ó × Ò ª Ý ¾ ª º È Ö
Ò ¾ Ô Ö Ó Ö Õ Ù
-
Þ
́ Þ µ
Ò
¼
Ö Ó º º ¾ º Ë Ò Ù Ò Ó Ò × Ò Ð Ø × Ò ª º Ë - Ù Ò Ù Ö Ú Ð ×
½
Ô Ó Ö Ø Ö Ñ Ó × Ò ª º È Ö Ó Ö Õ Ù
-
́ µ ́ µ ́ µ ́ µ
-
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 161/174
º Ö Ó × ½ ½
Ö Ó º º ¿ º Ð Ù Ð Ö
-
Þ Þ Þ
Ó Ò - × Ð Ù Ö Ú Ó Ñ Ô Ù × Ø Ð × Ñ Ö Ù Ò Ö Ò × Ù Ô Ö Ó Ö Þ ½
´ Ö Ó Ö Ö Ó Ò Ø Ö Ö Ð × Ñ Ò Ð Ð × Ð Ö Ð Ó µ Ý Ô Ó Ö Ð × Ñ Ò Ø Ó ½ Ü ½
Ý ¼ ´ Ö Ó Ö Ö Ó Þ Õ Ù Ö Ö µ º
Ö Ó º º º Ð Ù Ð Ö
-
Þ
Þ
Þ
Ó Ò Ð - × Ð Ö Ó Ò Ø Ö Ò Ð ¬ Ù Ö º
¾ ¾ ½ ½
³ °
Ö Ó º º º × Ö Ø Ó Õ Ù Ê
-
́ µ
-
Ê ́ µ
Ö Ó º º º Ë - × Ð Ö Ù Ò Ö Ò Ù Ò Ø Ö ¸ Ô Ö Ó Ö Õ Ù
¬
¬
¬
¬
-
× Ò
¾
¬
¬
¬
¬
¾
Ö Ó º º º × Ø Ñ Ö Ð Ú Ð Ó Ö × Ó Ð Ù Ø Ó
-
¾ ·
¾
Ó Ò - × Ð Ô Ö Ø × Ù Ô Ö Ó Ö Ð Ö Ù Ò Ö Ò Ó Ò Ò Ø Ö Ó Ò ¼ Ý Ö Ó ½ º
Ö Ó º º º Ë - Ð Ö Ó Ð Ö Ù Ò Ö Ò ¾ Õ Ù × Ò Ù Ò Ø Ö
Ò Ð Ô Ö Ñ Ö Ù Ö Ò Ø º È Ö Ó Ö Õ Ù
¬
¬
¬
¬
-
¾
· ½
¬
¬
¬
¬
¿
Ö Ó º º º Ë ́ Þ µ × Ó Ò Ø Ò Ù Ò Ù Ò Ú Ò Ð Ó Ö Ò Ó Ó Ö ¹
Ò × ¸ Ô Ö Ó Ö Õ Ù
Ð Ñ
Ö ¼
¾
¼
́ Ö
µ ¾ ´ ¼ µ
Ö Ó º º ½ ¼ º Ë ́ Þ µ × Ó Ò Ø Ò Ù Ò Ù Ò Ú Ò Þ ¸ Ô Ö Ó Ö Õ Ù
Ð Ñ
Ö ¼
Ö
́ µ
¾ ́ µ
Ö Ó º º ½ ½ º Ð Ù Ð Ö Ð Ò Ø Ö Ð
Á
½
Ó Ò ½
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 162/174
½ ¾ Á Ò Ø Ö Ó Ò Ò
Ö Ó º º ½ ¾ º Ð Ù Ð Ö Ð Ò Ø Ö Ð
½
¾
Á
-
¾
·
¾
Ó Ò - × Ù Ò Ù Ö Ú
× Ñ Ô Ð Ö Ö Õ Ù Ó Ò Ø Ò Ò × Ù Ò Ø Ö Ó Ö Ð Ö Ù Ð Ó Þ Ó Ò ¾ Ê
·
Ö Ó º º ½ ¿ º Ð Ù Ð Ö
½
¾
Á
-
́ µ
¿
× × Ò Ù Ò Ø Ö Ò Ø Ö Ó - Ý -
× Ù Ò Ù Ö Ú × Ñ Ô Ð Ö Ö º
Ö Ó º º ½ º Ð Ù Ð Ö
½
¾
Á
-
´ ½ µ
¿
× - × Ù Ò Ù Ö Ú × Ñ Ô Ð Ö Ö
Ý
´ µ º ¹ ¼ × Ò Ù Ò Ø Ö Ò Ø Ö Ó - Ý ½ × Ò Ù Ò Ø Ö Ù Ö -
´ µ º ¹ ½ × Ò Ù Ò Ø Ö Ò Ø Ö Ó - Ý ¼ × Ò Ù Ò Ø Ö Ù Ö -
´ µ º ¹ Ì Ò Ø Ó ¼ Ó Ñ Ó ½ × Ò Ù Ò Ø Ö Ò Ò Ø Ö Ó -
Ö Ó º º ½ º Ð Ù Ð Ö Ð Ò Ø Ö Ð
Á
Ê
́ µ
́ µ ́ µ
Ó Ò Ê
Ê Ý × Ø Ñ Ö Ð Ú Ð Ó Ö × Ø Ò Ø Ö Ð Ô Ö Ê ½ º Ù Ö Ð Ì Ó Ö Ñ
Ä Ó Ù Ú Ð Ð
Ë ¾ À ́ µ Ý × Ó Ø ¸ Ò Ø Ó Ò × × Ó Ò × Ø Ò Ø º
Ö Ó º º ½ º Ð Ù Ð Ö
Á
-
½
Ò
Ó Ò - ́ Ø µ ½ ·
Ø
¼ Ø ¾
Ò ¾ Æ
Ö Ó º º ½ º Ë Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ò Ø Ö Ý × Ù Ô Ó Ò Ñ Ó × Õ Ù Ü × Ø Ò Å
Ê ¼ Ý Ò ¾ Æ Ø Ð × Õ Ù ́ Þ µ Å Þ
Ò
Ô Ö Ø Ó Þ Ê º È Ö Ó Ö Õ Ù ×
Ù Ò Ô Ó Ð Ò Ó Ñ Ó Ö Ó Ò
Ö Ó º º ½ º Ò Ó Ò Ø Ö Ö Ø Ó × Ð × Ù Ò Ó Ò × Ò Ø Ö × Ø Ð × Õ Ù ́ Ü µ
Ü
Ô Ö Ø Ó Ü ¾ Ê
Ö Ó º º ½ º Ü × Ø Ò Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ò Ð Ø Ò Ð Ô Ù Ò Ø Ó Þ ¼ Õ Ù Ò
Ð Ó × Ô Ù Ò Ø Ó × Þ
½
Ò
Ò ¾ Æ Ø Ó Ñ Ð Ó × Ú Ð Ó Ö ×
´ µ º ¹ ¼
½
¾
¼
½
¼
½
¼
½
¾
´ µ º ¹
½
¾
¾
¿
¿
Ò
Ò · ½
Ö Ó º º ¾ ¼ º Ü × Ø Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ò Ð Ø Ò Ð Ô Ù Ò Ø Ó Þ ¼ Õ Ù Ú Ö ¬
Ð × Ó Ò Ó Ò ×
´ µ º ¹
½
Ò
½
Ò
½
Ò
¾
´ µ º ¹
½
Ò
½
Ò
½
Ò
¿
Ô Ö Ò ¾ Æ
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 163/174
º Ö Ó × ½ ¿
Ö Ó º º ¾ ½ º × Ö Ö Ó Ð Ð Ö Ò × Ö Ä Ù Ö Ò Ø Ð Ù Ò Ó Ò ́ Þ µ
½
Þ ¾
Ò
Ú Ò × Ð Ó × Ô Ù Ò Ø Ó × Þ ¼ Þ ¾ Ý Þ ½
Ö Ó º º ¾ ¾ º À Ð Ð Ö Ð × Ö Ä Ù Ö Ò Ø Ð Ù Ò Ó Ò
́ Þ µ
Þ
¾
¾ Þ ·
́ Þ ¾ µ ́ Þ
¾
· ½ µ
Ò Ù Ò Ú Ò Þ ¾ Ý Ò Ð Ò Ð Ð Ó ½ Þ ¾
Ö Ó º º ¾ ¿ º À Ð Ð Ö Ð Ò Ø Ù Ö Ð Þ Ð × × Ò Ù Ð Ö × × Ð × Ð ×
× Ù Ò Ø × Ù Ò Ó Ò ×
µ º ¹
Þ
´ ½ Þ µ
¾
µ º ¹
½
Þ
½
½
Þ
Ö Ó º º ¾ º Ð Ù Ð Ö Ð Ó × Ö × Ù Ó × Ò Ð Ó × Ô Ù Ò Ø Ó × × Ò Ù Ð Ö × × Ð Ó ×
Ð × × Ù Ò Ø × Ù Ò Ó Ò ×
µ º ¹
× Ò ¾ Þ
́ Þ · ½ µ
¿
µ º ¹
Þ
¾
· Þ ½
Þ
¾
́ Þ ½ µ
Ö Ó º º ¾ º Ð Ù Ð Ö Ð × Ò Ø Ö Ð ×
´ µ º ¹
Á
-
· ½
Ó Ò - × Ð Ö Ù Ò Ö Ò Ü
¾
· Ý
¾
¾ Ü
´ µ º ¹
Á
-
́ ¿ µ ́
½ µ
Ó Ò - × Ð Ù Ö Ú ¾
´ µ º ¹
½
¾
Á
-
× Ò
¾
½
Ó Ò - × Ð Ù Ö Ú Ö
´ Ú µ º ¹
½
¾
Á
-
× Ò
½
Ó Ò - × Ð Ù Ö Ú Ö
Ö Ó º º ¾ º Î Ö ¬ Ö Ð × × Ù Ò Ø × Ò Ø Ö Ð ×
´ µ º ¹
½
¼
Ü
½ · Ü
Ò
Ò × Ò
Ò
Ó Ò Ò ¾ Æ Ò ¾ º Ò Ô Ö Ø Ù Ð Ö × Ø Ò
Õ Ù
½
¼
Ü
½ · Ü
¾
¾
Ë Ù Ö Ò Ë - Ð Ù Ö Ú Ó Ñ Ô Ù × Ø Ô Ó Ö Ð Ó × Ö Ý Ó × Ö Þ ¼ ¸ Ö Þ
¾ Ò Ý Ð Ö Ó Ö Ù Ò Ö Ò Õ Ù Ð Ó × Ù Ò º
´ µ º ¹
½
½
Ü Ü
́ Ü
¾
· Ü · ½ ¿ µ
¾
¾
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 164/174
½ Á Ò Ø Ö Ó Ò Ò
´ µ º ¹
¾
¼
· × Ò
¾
¾ ́ · ½ µ
½ ¾
Ó Ò ¼
´ Ú µ º ¹
¾
¼
´ Ó × Ü µ
¾ Ñ
Ü
¾ Ñ
Ñ
¾
¾ Ñ ½
Ó Ò Ñ ¾ Æ
´ Ú µ º ¹
¾
¼
́ · Ó × µ
¾
¾
́
Ô
¾
½ µ
¿
Ó Ò ¾ Ê ½
Ö Ó º º ¾ º Ë Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ñ Ö Ó Ñ Ó Ö Ò Ù Ò Ö Ó Ò ª Ó Ò
Ö Ó × Ò
½
¾
Ò
Ý Ô Ó Ð Ó × Ò Ô
½
Ô
¾
Ô
Ñ
Ó Ò Ø Ó × Ó Ò × Ù Ñ Ù Ð Ø Ô Ð º
Ë ¾ À ́ ª µ Ý - ¼ Ò ª Ý Õ Ù Ò Ó Ô × Ô Ó Ö Ò Ò Ù Ò
Ò Ô
¸ Ò Ø Ó Ò ×
½
¾
Á
Ò
½
́
µ Á Ò
-
́
µ
Ñ
½
́ Ô
µ Á Ò
-
́ Ô
µ
Ö Ó º º ¾ º È Ö Ó Ö Ð Ì Ó Ö Ñ À Ù Ö Û Ø Þ Ë ª Ù Ò Ö Ó Ò º Ë
Ò
½
Ò ½
Ù Ò × Ù × Ó Ò Ù Ò Ó Ò × Ó Ð Ó Ñ Ó Ö × Õ Ù Ó Ò Ú Ö Ù Ò Ó Ö Ñ Ñ Ò Ø
Ô Ó Ö Ó Ñ Ô Ø Ó × Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ë ¼ Ò ́ Ö µ ª Ý ́ Þ µ ¼ Ô Ö
Þ Ö ¸ Ò Ø Ó Ò × Ü × Ø Ò
¼
¾ Æ Ø Ð Õ Ù Ô Ö Ø Ó Ò Ò
¼
Ý
Ò
Ø Ò Ò Ð
Ñ × Ñ Ó Ò Ù Ñ Ö Ó Ö Ó × Ò Þ ¾ Þ Ö
Ö Ó º º ¾ º Ë ́ Þ µ Þ ·
¾
Þ
¾
·
¿
Þ
¿
· Þ ·
½
Ò ¾
Ò
Þ
Ò
Ò Í
´ ¼ ½ µ Ý × Ù Ô Ó Ò Ñ Ó × Õ Ù
½
Ò ¾
Ò
½ º È Ö Ó Ö Õ Ù Ø Ó Ñ Ú Ð Ó Ö
Ñ Ó Ù Ð Ó ½ Ù Ò Ú Þ Ò Í ¸ × Ø Ó × ¸ Ó ½ ¸ Ü × Ø Ù Ò Ù Ò Ó Þ ¾ Í
Ø Ð Õ Ù ́ Þ µ
Ö Ó º º ¿ ¼ º Ù Ò Ø × Ö × Ø Ò Ð Ù Ó Ò Þ
Þ · ½ ¼ ¼ Ò Ð
Ò Ð Ð Ó ½ Þ ¿
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 165/174
È Ö Ó Ö Ñ
D
ca Ò Ø Ö Ó Á Ò Ú × Ø Ó Ò Ý × Ø Ù Ó × Ú Ò Þ Ó × Ð Á º È º Æ º
Ô Ö Ø Ñ Ò Ø Ó Ó Ò Ø Ö Ó Ð Ù Ø Ó Ñ Ø Ó
Ð Ù Ð Ó Î Ö × Î Ö Ð × Ê Ð × Ý Î Ö Ð
Ó Ñ Ô Ð
Ç Ô Ó Ò Ó Ò Ø Ö Ó Ð Ù Ø Ó Ñ Ø Ó º
È Ö Ó Ö Ñ
½ ¹ Ò Ð × × Ê Ð º Ð Ù Ð Ó Ò Ê
Ò
½ Ó Ö × º
½ º ½ µ º ¹ Ì Ó Ô Ó Ð Ó Ê
Ò
½ º ¾ µ º ¹ Ó Ò Ù Ò Ø Ó × Ó Ñ Ô Ø Ó × Ý Ó Ò Ü Ó × º
½ º ¿ µ º ¹ Ù Ò Ó Ò × Ê
Ò
Ê
Ñ
º Ù Ò Ó Ò × Ó Ò Ø Ò Ù × º Ó Ò Ø Ò Ù Ý Ó Ò Ú Ö ¹
Ò Ù Ò Ó Ö Ñ º
½ º µ º ¹ Ù Ò Ó Ò × Ö Ò Ð × º Ö Ú × Ô Ö Ð × º
½ º µ º ¹ Ì Ó Ö Ñ × Ð Ù Ò Ó Ò Ò Ú Ö × Ý Ð Ù Ò Ó Ò Ñ Ô Ð Ø ´ × Ò ¹
Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò µ º
¾ ¹ Á Ò Ø Ö Ó Ò Ò Ê
Ò
½ Ó Ö × º
¾ º ½ µ º ¹ Ù Ò Ó Ò × Ò Ø Ö Ð º Î Ó Ð Ù Ñ Ò ¸ Ó Ò Ø Ò Ó Ý Ñ ¼ º
¾ º ¾ µ º ¹ Á Ò Ø Ö Ð Ê Ñ Ò Ò º
¾ º ¿ µ º ¹ Á Ò Ø Ö Ð × Ñ Ô Ö Ó Ô × º
¾ º µ º ¹ Ì Ó Ö Ñ Ù Ò º
¾ º µ º ¹ Ì Ó Ö Ñ Ð Ñ Ó Ú Ö Ð º
¿ ¹ Ù Ò Ó Ò × Ú Ö Ð Ó Ñ Ô Ð º Ó Ö × º
¿ º ½ µ º ¹ Ö Ò Ð Ó Ñ Ô Ð º Ó Ò Ó Ò × Ù Ý ¹ Ê Ñ Ò Ò º
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 166/174
½ È Ö Ó Ö Ñ
¿ º ¾ µ º ¹ Ö Ò Ð Ó Ñ Ô Ð Ú Ö × Ù × Ö Ò Ð Ö Ð º
¿ º ¿ µ º ¹ À Ó Ð Ó Ñ Ó Ö Ý Ò Ð Ø º Ë Ö × Ô Ó Ø Ò º Ê Ó Ó Ò Ú Ö Ò ¹
º
¹ Á Ò Ø Ö Ó Ò Ó Ñ Ô Ð º ½ ¾ Ó Ö × º
º ½ µ º ¹ Á Ò Ø Ö Ð Ð Ò Ò Ø Ö Ð Ø Ô Ó Ù Ý º Ì Ó Ö Ñ × Ý Ó Ö Ñ Ù Ð × Ò Ø ¹
Ö Ð × Ù Ý º
º ¾ µ º ¹ Ì Ó Ö Ñ × Ù Ò ´ Ó Ô Ó Ò Ð µ ¸ Ä Ó Ù Ú Ð Ð ¸ Ù Ò Ñ Ò Ø Ð Ð Ð ¹
Ö ¸ Ð Ñ Ô Ó Ö Ø Ó Ý Ð Ñ Ó Ù Ð Ó Ñ Ü Ñ Ó º
¹ Ë Ò Ù Ð Ö × Ý Ö × Ù Ó × º ½ ¾ Ó Ö × º
º ½ µ º ¹ Ë Ò Ù Ð Ö × × Ð × º Ë Ò Ù Ð Ö × Ö Ñ Ó Ú Ð × ¸ Ô Ó Ð Ó × Ý × Ò ¹
Ù Ð Ö × × Ò Ð × º Ö Ó × Ù Ò Ó Ò × Ó Ð Ó Ñ Ó Ö × º Ì Ó Ö Ñ
× Ó Ö Ø ¹ Ï Ö × Ø Ö × × º
º ¾ µ º ¹ × Ö Ö Ó Ð Ð Ó Ò × Ö × Ä Ù Ö Ò Ø º Ê × Ù Ó × º
º ¿ µ º ¹ Ì Ó Ö Ñ Ð Ó × Ö × Ù Ó × º È Ö Ò Ô Ó Ð Ö Ù Ñ Ò Ø Ó º Ì Ó Ö Ñ
Ê Ó Ù º Ô Ð Ó Ò × Ò Ø Ö Ð × Ú Ö Ð Ö Ð ´ Ó Ô Ó Ò Ð µ º
Ê Ö Ò ×
½ ¹ Ð Ó Ö × ¸ Ä Ö × Î º Ó Ñ Ô Ð Ü Ò Ð Ý × × ¸ Ë Ó Ò Ø Ó Ò ¸ Å Ö Û ¹ À Ð Ð ¸
½ º
¾ ¹ Ô Ó × Ø Ó Ð ¸ Ì Ó Ñ Å º Ò Ð × × Å Ø Ñ Ø Ó ¸ Ê Ú Ö Ø ¸ ½ ¼ º
¿ ¹ Ö Ø Ð ¸ Ê Ó Ö Ø º Ì Ð Ñ Ò Ø × Ó Ê Ð Ò Ð Ý × × ¸ Â Ó Ò Ï Ð × ² Ë Ó Ò × ¸
½ º
¹ Ó Ò Û Ý ¸ Â Ó Ò º Ù Ò Ø Ó Ò × Ó Ç Ò Ó Ñ Ô Ð Ü Î Ö Ð ¸ Ë Ô Ö Ò Ö ¹ Î Ö Ð ¸
Ì Å ½ ½ ¸ ½ ¿ º
¹ Å Ö × Ò ¸ Â Ö Ö Ó Ð º Ð Ñ Ò Ø Ö Ý Ð × × Ð Ò Ð Ý × × ¸ Ï º À º Ö Ñ Ò
Ò Ó Ñ Ô Ò Ý ¸ ½ º
¹ Å Ö Ù × Ú ¸ º Ì Ó Ö Ð × Ù Ò Ó Ò × Ò Ð Ø × ¸ Ì Ó Ñ Ó Á ¸ Å Ö ¸
½ ¼ º
¹ Ê Ù Ò ¸ Ï Ð Ø Ö È Ö Ò Ô Ó × Ò Ð × × Å Ø Ñ Ø Ó ¸ Ë Ù Ò Ó Ò
Å Ö Û ¹ À Ð Ð ¸ ½ º
¹ Ê Ù Ò ¸ Ï Ð Ø Ö Ê Ð Ò Ó Ñ Ô Ð Ü Ò Ð Ý × × ¸ Ë Ó Ò Ø Ó Ò ¸ Å Ö Û ¹
À Ð Ð ¸ ½ º
¹ Ë Ø Ö Ó Ñ Ö ¸ Ã Ö Ð Ê º Ò Á Ò Ø Ö Ó Ù Ø Ó Ò Ø Ó Ð × × Ð Ê Ð Ò Ð Ý × ×
Ï × Û Ó Ö Ø Á Ò Ø Ö Ò Ø Ó Ò Ð Ö Ó Ù Ô ¸ ½ ½ º
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 167/174
Æ Ó Ø Ó Ò ×
Ö Ò Ð Ð Ó Ò Ù Ò Ø Ó
Æ
Ò Ø Ö Ó Ö Ð Ó Ò Ù Ò Ø Ó
Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ô Ù Ò Ø Ó × Ù Ñ Ù Ð Ó Ò Ð Ó Ò Ù Ò Ø Ó
Ñ Ô Ó Ð Ó × Ò Ù Ñ Ö Ó × Ó Ñ Ô Ð Ó × º
́ µ ́ µ Ö Ú Ð Ù Ò Ó Ò Ò Ð Ô Ù Ò Ø Ó
Ö Ó Ò Ø Ö Ð Ó Ò Ù Ò Ø Ó
Ò Ø Ö Ð Ð Ù Ò Ó Ò Ò Ð Ó Ò Ù Ò Ø Ó
Ò Ø Ö Ð × Ù Ô Ö Ó Ö Ð Ù Ò Ó Ò Ò Ð Ó Ò Ù Ò Ø Ó
Ò Ø Ö Ð Ò Ö Ó Ö Ð Ù Ò Ó Ò Ò Ð Ó Ò Ù Ò Ø Ó
Ð Ñ
Ò ½
Ò
Ð Ñ Ø × Ù Ô Ö Ó Ö Ð × Ù × Ó Ò Ö Ð
Ò
½
Ò ½
Ù Ò Ó Ò Ø Ò
½
Ð Ñ
Ò ½
Ò
Ð Ñ Ø Ò Ö Ó Ö Ð × Ù × Ó Ò Ö Ð
Ò
½
Ò ½
Ù Ò Ó Ò Ø Ò
½
Æ Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ð Ó × Ò Ù Ñ Ö Ó × Ò Ø Ù Ö Ð × º
É Ñ Ô Ó Ð Ó × Ò Ù Ñ Ö Ó × Ö Ó Ò Ð × º
Ê Ñ Ô Ó Ð Ó × Ò Ù Ñ Ö Ó × Ö Ð × º
Ê
Ò
× Ô Ó Ù Ð Ò Ó Ò Ñ Ò × Ó Ò Ð × Ó Ö Ð Ó × Ö Ð × º
Ò Ð Ð Ó Ð Ó × Ò Ù Ñ Ö Ó × Ò Ø Ö Ó × º
Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ú Ó º
Ù Ø ¬ Ò Ð Ù Ò Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò
Ù Ò Ó Ò Ú Ð Ó Ö × Ó Ð Ù Ø Ó º
Ò Ó Ö Ñ Ù Ò Ú Ø Ó Ö º
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 168/174
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 169/174
Ê Ö Ò ×
½ Ð Ó Ö × ¸ Ä Ö × Î º Ó Ñ Ô Ð Ü Ò Ð Ý × × ¸ Ë Ó Ò Ø Ó Ò ¸ Å Ö Û ¹ À Ð Ð ¸ ½ º
¾ Ô Ó × Ø Ó Ð ¸ Ì Ó Ñ Å º Ò Ð × × Å Ø Ñ Ø Ó ¸ Ê Ú Ö Ø ¸ ½ ¼ º
¿ Ö Ø Ð ¸ Ê Ó Ö Ø º Ì Ð Ñ Ò Ø × Ó Ê Ð Ò Ð Ý × × ¸ Â Ó Ò Ï Ð × ² Ë Ó Ò × ¸
½ º
Ó Ò Û Ý ¸ Â Ó Ò º Ù Ò Ø Ó Ò × Ó Ç Ò Ó Ñ Ô Ð Ü Î Ö Ð ¸ Ë Ô Ö Ò Ö ¹ Î Ö Ð ¸
Ì Å ½ ½ ¸ ½ ¿ º
Å Ö × Ò ¸ Â Ö Ö Ó Ð º Ð Ñ Ò Ø Ö Ý Ð × × Ð Ò Ð Ý × × ¸ Ï º À º Ö Ñ Ò Ò
Ó Ñ Ô Ò Ý ¸ ½ º
Å Ö Ù × Ú ¸ º Ì Ó Ö Ð × Ù Ò Ó Ò × Ò Ð Ø × ¸ Ì Ó Ñ Ó Á ¸ Å Ö ¸ ½ ¼ º
Ê Ù Ò ¸ Ï Ð Ø Ö È Ö Ò Ô Ó × Ò Ð × × Å Ø Ñ Ø Ó ¸ Ë Ù Ò Ó Ò
Å Ö Û ¹ À Ð Ð ¸ ½ º
Ê Ù Ò ¸ Ï Ð Ø Ö Ê Ð Ò Ó Ñ Ô Ð Ü Ò Ð Ý × × ¸ Ë Ó Ò Ø Ó Ò ¸ Å Ö Û ¹ À Ð Ð ¸
½ º
Ë Ø Ö Ó Ñ Ö ¸ Ã Ö Ð Ê º Ò Á Ò Ø Ö Ó Ù Ø Ó Ò Ø Ó Ð × × Ð Ê Ð Ò Ð Ý × ×
Ï × Û Ó Ö Ø Á Ò Ø Ö Ò Ø Ó Ò Ð Ö Ó Ù Ô ¸ ½ ½ º
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 170/174
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 171/174
Á Ò Ð Ø Ó
Ó Ð Ö Ø ¸ ¿
Ó Ð Ö Ö ¸ ¿
Ñ Ò Ó ¸ ½ ½
Ñ Ò Ó Ó Ò Ø Ò Ù Ó ¸ ½
× Ó Ö Ø ¹ Ï Ö × Ø Ö × ×
Ì Ó Ö Ñ ¸ ½ ¿
Ù Ý
Ö Ø Ö Ó Ó Ò Ú Ö Ò × Ö × ¸ ½ ¼ ¼
× Ù Ð × ¸ ½ ¾
Ó Ö Ñ Ù Ð Ò Ø Ö Ð ¸ ½ ¿ ¿
Ò Ø Ö Ð ¸ ½ ¾
Ì Ó Ö Ñ ¸ ½ ¿ ¾
Ì Ó Ö Ñ Ô Ö Ó Ò Ù Ò Ø Ó ×
Ó Ò Ú Ü Ó × ¸ ½ ¾
Ì Ó Ö Ñ Ò Ø Ö Ð Ô Ö Ó Ò Ù Ò Ø Ó ×
Ó Ò Ú Ü Ó × ¸ ½ ¾
Ù Ý ¹ Ê Ñ Ò Ò
Ó Ò Ó Ò × ¸ ½ ¼
Ù Ó Ò × ¸ ½ ¼
Ì Ó Ö Ñ ¸ ½ ¼
Ö Ö Ù Ö Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó ¸ ¸
Ó Ñ Ô Ð Ó Ó Ò Ù Ó ¸
Ó Ñ Ô Ð Ó Ö Ò Ð ¸ ½ ¼ ¿
Ó Ò Ó Ò × Ù Ý ¹ Ê Ñ Ò Ò ¸ ½ ¼
Ó Ò Ó Ò Ê Ñ Ò Ò ¸ ½
Ó Ò Ù Ó ¸
Ó Ò Ù Ò Ø Ó
Ó Ò Ø Ò Ó ¼ ¸ ¿
× Ñ Ô Ð Ñ Ò Ø Ó Ò Ü Ó ¸ ½ ¿ ¾
Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ö Ø Ó ¸ ¿
Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ó Ø Ó ¸ ½ ¼
Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ö Ó Ó Ò Ü Ó ¸ ½
Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ö Ö Ó ¸
Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ó Ñ Ô Ø Ó ¸ ½ ¿
Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ó Ò Ü Ó ¸ ½ ¿
Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ó Ò Ú Ü Ó ¸ ½ ¾ ¿
Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ñ ¼ ¸ ¿
Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ò × Ó ¸ ½ ¿
Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ö Ú Ó ¸
Ó Ò Ù Ò Ø Ó Â Ó Ö Ò Ñ Ð ¸ ¿
Ó Ò Ø Ò Ó ¼ ¸ ¿
Ó Ò Ø Ò Ó Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó ¸ ¾
Ó Ò Ø Ò Ù Ù Ò Ó Ö Ñ ¸ ½
Ó Ò Ú Ö Ò
Ö Ø Ö Ó Ù Ý ¸ ½ ¼ ¼
Ö Ø Ö Ó Ð Ö Þ ¸ ½ ¼ ¼
Ó Ò Ú Ö Ò × Ó Ð Ù Ø × Ö × ¸
Ó Ò Ú Ö Ò Ó Ò Ó Ò Ð Ò Ø Ö Ð × ¸
¾
Ó Ò Ú Ö Ò Ù Ò × Ö ¸
Ó Ò Ú Ö Ò Ù Ò × Ù × Ó Ò ¸
Ó Ò Ú Ö Ò Ô Ù Ò Ø Ù Ð Ù Ò Ó Ò × ¸ ½
Ó Ò Ú Ö Ò Ù Ò Ó Ö Ñ Ù Ò Ó Ò × ¸ ¾ ¼
Ó Ó Ö Ò × Ð Ò Ö × ¸ ¾
Ó Ó Ö Ò × × Ö × ¸ ¾
Ó Ó Ö Ò × Ô Ó Ð Ö × ¸ ¾
Ö Ø Ö Ó Å Ï Ö × Ø Ö × × ¸ ¾ ¾
Ö Ø Ö Ó Ù Ý Ó Ò Ú Ö Ò
× Ö × ¸ ½ ¼ ¼
Ö Ø Ö Ó ³ Ð Ñ Ö Ø Ó Ò Ú Ö Ò ¸
½ ¼ ½
Ö Ø Ö Ó Ð Ö Þ Ó Ò Ó Ò Ú Ö Ò
× Ö × ¸ ½ ¼ ½
Ö Ø Ö Ó Ð Ö Þ Ô Ö Ó Ò Ú Ö Ò
× Ö × ¸ ½ ¼ ¼
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 172/174
½ ¾ Á Ò Ð Ø Ó
Ö Ø Ö Ó Ð Ó Ò Ø Ó Ò Ú Ö Ò
× Ö × ¸ ½ ¼ ½
Ù Ö Ø ¸ ½ ¼
Ö Ø ¸ ½ ¼
× Ù Ù Ö Ø ¬ Ò Ø ¸ ½ ¼
Ù Ö Ú ¸ ½ ½
Ù Ö Ú Ö Ö ¸ ½ ¾ ¼
Ù Ö Ú × Ó Ñ Ó Ø Ó Ô × ¸ ½ ¿ ¾
³ Ð Ñ Ö Ø
Ö Ø Ö Ó Ó Ò Ú Ö Ò ¸ ½ ¼ ½
Ö Ó Ù Ü
Ì Ó Ö Ñ ½
Ö Ú Ð Ö Ø Ó Ó Ö Ý ¸ ¿ ¼
Ö Ú Ó Ñ Ô Ð ¸ ½ ¼ ¿
Ö Ú Ù Ò Ù Ò Ó Ò ¸ ¾
Ö Ú Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ú Ö Ð
Ó Ñ Ô Ð ¸ ½ ¼ ¿
Ö Ú × Ô Ö Ð × ¸ ¿ ¼
× Ù Ð Ù Ý ¸ ¾
× Ù Ð Ð Ø Ö Ò Ù Ð Ó ¸ ¾
× Ù Ð Ð Ø Ö Ò Ù Ð Ó Ò
× Ù Ð × Ù Ý ¸ ½ ¾
Ø Ö Ñ Ò Ò Ø Ó Ò Ó ¸ ¿
× Ø Ò Ò Ø Ö Ó × Ò Ù Ñ Ö Ó × Ó Ñ Ô Ð Ó × ¸
× Ø Ò Ò Ø Ö Ú Ø Ó Ö × ¸ ½
Ù Ó Ò × Ù Ý ¹ Ê Ñ Ò Ò ¸ ½ ¼
× Ô Ó Ù Ð Ò Ó Ê
Ò
½
Ó Ö Ñ Ô Ó Ð Ö Ù Ò Ò Ù Ñ Ö Ó Ó Ñ Ô Ð Ó ¸
½ ½
Ö Ó Ò Ø Ö Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó ¸
Ù Ò
Ì Ó Ö Ñ ¸
Ù Ò Ó Ò
Ò ¸
Ò Ð Ø ¸ ½ ½ ½
Ó Ò Ø Ò Ù ¸ ½
Ö Ú ¸ ¾
Ö Ò Ð ¸ ¾
Ò Ø Ö ¸ ½ ¾
Ó Ð Ó Ñ Ó Ö ¸ ½ ¼ ¿
Ò Ø Ö Ð ¸
Ñ Ö Ó Ñ Ó Ö ¸ ½
Ê Ñ Ò Ò Ò Ø Ö Ð ¸
Ù Ò Ó Ö Ñ Ñ Ò Ø Ó Ò Ø Ò Ù ¸ ½
Ù Ò Ó Ò Ò ¸
Ù Ò Ó Ò Ò Ð Ø ¸ ½ ½ ½
Ù Ò Ó Ò Ö Ø Ö × Ø ¸ ¾
Ù Ò Ó Ò Ó Ò Ø Ò Ù ¸ ½
Ù Ò Ó Ò Ü Ô Ó Ò Ò Ð ¸ ½ ¼ ¾
Ù Ò Ó Ò Ó Ð Ó Ñ Ó Ö ¸ ½ ¼ ¿
Ù Ò Ó Ò Ð Ó Ö Ø Ñ Ó ¸ ½ ½
Ó Ö Ñ Ù Ð Ä Ò Ø Þ ¸
Ó Ö Ñ Ù Ð Å Ó Ú Ö ¸ ½ ½
Ó Ö Ñ Ù Ð Ò Ø Ö Ð Ù Ý ¸ ½ ¿ ¿
Ö Ò Ø Ù Ò Ù Ò Ó Ò ¸ ¿ ¿
Ó Ñ Ó Ø Ó Ô Ò Ø Ö Ù Ö Ú × ¸ ½ ¿ ¾
Ò Ø Ô Ó Ð Ö Þ Ó Ò ¸ ¾
Ò Ù Ò Ù Ö Ú ¸ ½ ¾
Ò Ø Ö Ð Ù Ý ¸ ½ ¾
Ò Ø Ö Ð Ù Ý Ô Ö Ó Ò Ù Ò Ø Ó ×
Ó Ò Ú Ü Ó × ¸ ½ ¾
Ò Ø Ö Ð Ð Ò ¸ ½ ¾ ¼
Á Ò Ø Ö Ð Ê Ñ Ò Ò ¸
Ò Ø Ö Ð Ò ¸ ½ ½
Ò Ø Ö Ð Ø Ö ¸
Ò Ø Ö Ð Ô Ö Ñ Ø Ö ¸
Ò Ø Ö Ð × Ø Ö × ¸
Ò Ø Ö Ð × Ô Ö Ñ Ø Ö × ¸
Ò Ø Ö Ó Ö Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó ¸
Ó Ò Ó ¸ ¿ ½
Ä Ù Ö Ò Ø
× Ö × ¸ ½ ¿
Ð Ý Ð Ô Ö Ð Ð Ó Ö Ñ Ó ¸ ¾
Ä Ó Ù Ú Ð Ð
Ì Ó Ö Ñ ¸ ½ ¿ ¼ ¸ ½
Ð Ó Ò Ø Ù Ù Ò Ú Ø Ó Ö ¸ ½
Ð Ó Ò Ø Ù Ù Ò Ù Ö Ú ¸ ½ ¾ ¼
Ð Ñ Ø Ù Ò Ù Ò Ó Ò ¸ ½
Ð Ñ Ø Ò Ö Ó Ö Ù Ò × Ù × Ó Ò Ö Ð ¸
Ð Ñ Ø × Ù Ô Ö Ó Ö Ù Ò × Ù × Ó Ò Ö Ð ¸
Ñ Ø Ö Þ Ó Ò ¸ ¿ ½
Å Ó Ú Ö
Ó Ö Ñ Ù Ð ¸ ½ ½
Ò Ó Ö Ñ ¸
Ù Ò Ò Ù Ñ Ö Ó Ó Ñ Ô Ð Ó ¸
Ò Ó Ö Ñ Ù Ò Ú Ø Ó Ö ¸ ½
Ò Ù Ñ Ö Ó × Ó Ñ Ô Ð Ó × ¸ ¿
Ó Ö Ò Ð Ô Ó Ð Ó ¸ ½ ¿
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 173/174
Á Ò Ð Ø Ó ½ ¿
Ó × Ð Ó Ò Ù Ò Ù Ò Ó Ò ¸
Ô Ö Ø Ñ Ò Ö Ù Ò Ò Ù Ñ Ö Ó
Ó Ñ Ô Ð Ó ¸
Ô Ö Ø Ò Ø Ú Ù Ò Ù Ò Ó Ò ¸ ½
Ô Ö Ø Ô Ó × Ø Ú Ù Ò Ù Ò Ó Ò ¸ ½
Ô Ö Ø Ô Ö Ò Ô Ð Ù Ò Ù Ò Ó Ò ¸ ½ ¿
Ô Ö Ø Ô Ö Ò Ô Ð Ù Ò × Ö Ä Ù Ö Ò Ø ¸
½ ¿
Ô Ö Ø Ö Ð Ù Ò Ò Ù Ñ Ö Ó Ó Ñ Ô Ð Ó ¸
Ô Ö Ø Ö Ù Ð Ö Ù Ò × Ö Ä Ù Ö Ò Ø ¸
½ ¿
Ô Ö Ø × Ò Ù Ð Ö Ù Ò Ù Ò Ó Ò ¸ ½ ¿
Ô Ö Ø × Ò Ù Ð Ö Ù Ò × Ö Ä Ù Ö Ò Ø ¸
½ ¿
Ô Ö Ø Ó Ò ¸
Ô Ð Ò Ó Ø Ò Ò Ø ¸ ¿ ¼
Ô Ó Ð Ó
Ó Ö Ò ¸ ½ ¿
Ô Ó Ð Ó Ù Ò Ù Ò Ó Ò ¸ ½ ¿
È Ö Ò Ô Ó Ð Ö Ù Ñ Ò Ø Ó ¸ ½
È Ö Ò Ô Ó Ð Å Ó Ù Ð Ó Å Ü Ñ Ó ¸ ½ ¿ ½
Ô Ö Ó Ù Ø Ó Ò Ø Ö Ò Ó Ú Ø Ó Ö × ¸ ¾
Ô Ù Ò Ø Ó × Ð Ó ¸ ½
Ô Ù Ò Ø Ó Ù Ñ Ù Ð Ó Ò ¸
Ô Ù Ò Ø Ó Ö Ó Ò Ø Ö ¸
Ô Ù Ò Ø Ó Ð Ñ Ø Ù Ò × Ù × Ó Ò ¸
Ö Ó Ó Ò Ú Ö Ò Ù Ò × Ö
Ô Ó Ø Ò × ¸ ½ ¼
Ö Ð Ð Ò ¸ ¿ ¸ ½ ¼
Ö × Ù Ó ¸ ½ ¿
Ê Ñ Ò Ò
Ó Ò Ó Ò ½
Á Ò Ø Ö Ð
× Ù Ñ ½
Ê Ñ Ò Ò Ò Ø Ö Ð ¸
Ê Ó Ù
Ì Ó Ö Ñ ¸ ½
× Ö
× Ó Ð Ù Ø Ñ Ò Ø Ó Ò Ú Ö Ò Ø ¸
Ù Ý ¸
Ó Ò Ú Ö Ò × Ó Ð Ù Ø ¸
Ó Ò Ú Ö Ò Ø ¸
× Ö Ö Ñ Ó Ò ¸
× Ö Ù Ý ¸
× Ö Ä Ù Ö Ò Ø Ù Ò Ù Ò Ó Ò ¸ ½ ¿
× Ö Ì Ý Ð Ó Ö Ù Ò Ù Ò Ó Ò ¸ ½ ½ ½
× Ö × ¸
× Ö × Ä Ù Ö Ò Ø ¸ ½ ¿
× Ö × Ô Ó Ø Ò × ¸ ½ ¼
× Ñ Ô Ð Ñ Ò Ø Ó Ò Ü Ó ¸ ½ ¿ ¾
× Ò Ù Ð Ö × Ð ¸ ½ ¿
× Ò Ù Ð Ö Ò ½ ¸ ½ ¿
× Ò Ù Ð Ö × Ò Ð ¸ ½ ¿
× Ò Ù Ð Ö Ö Ñ Ó Ú Ð ¸ ½ ¿
× Ù Ù Ö Ø ¬ Ò Ø ¸ ½ ¼
× Ù × Ó Ò ¸
Ó Ò Ú Ö Ò ¸
× Ù Ñ Ê Ñ Ò Ò ¸ ½
Ì Ó Ö Ñ
Ê Ó Ù ¸ ½
Ó Ð Þ Ò Ó ¹ Ï Ö × Ø Ö × × ¸ ½ ¼
Ñ Ó Ú Ö Ð ¸ ¸
× Ó Ö Ø ¹ Ï Ö × Ø Ö × × ¸ ½ ¿
Ù Ý ¸ ½ ¿ ¾
Ù Ý Ô Ö Ó Ò Ù Ò Ø Ó × Ó Ò Ú Ü Ó × ¸ ½ ¾
Ù Ý ¹ À Ñ Ö ¸ ½ ¼
Ù Ý ¹ Ê Ñ Ò Ò ¸ ½ ¼
Ù Ò ¸ ¼
Ù Ò Ó Ò Ò Ú Ö × ¸ ½ ¿ ¼
Ù Ò Ñ Ò Ø Ð Ð Ð Ö ¸ ½ ¿ ¼ ¸ ½ ¼
À Ò ¹ Ó Ö Ð ¸ ½ ¼
Ä × Ù ¸
Ä Ó Ù Ú Ð Ð ¸ ½
Ñ Ô Ó Ö Ø Ó ¸ ½ ¿ ½
È Ö Ò Ô Ó Ð Ö Ù Ñ Ò Ø Ó ¸ ½
Ú Ð Ó Ö Ñ Ó Ô Ö Ò Ø Ö Ð × ¸
Ì Ó Ö Ñ Ñ Ó Ú Ö Ð ¸ ¸
Ì Ó Ö Ñ Ñ Ó Ú Ö Ð Ò Ù Ò
Ú Ö Ð ¸
Ì Ó Ö Ñ Ù Ý ¸ ½ ¿ ¾
Ì Ó Ö Ñ Ù Ý Ô Ö Ó Ò Ù Ò Ø Ó ×
Ó Ò Ú Ü Ó × ¸ ½ ¾
Ì Ó Ö Ñ Ù Ý × Ó Ö Ó Ò Ú Ö Ò
× Ö × ¸
Ì Ó Ö Ñ Ù Ý ¹ Ê Ñ Ò Ò ¸ ½ ¼
Ì Ó Ö Ñ Ö Ó Ù Ü ¸ ½
Ì Ó Ö Ñ Ù Ò ¸ ¸ ¼
Ì Ó Ö Ñ Ð Ù Ò Ó Ò Ñ Ô Ð Ø ¸ ¿
Ì Ó Ö Ñ Ð Ù Ò Ó Ò Ò Ú Ö × ¸ ¿ ¸ ½ ¿ ¼
Ì Ó Ö Ñ Ä × Ù ¸
Ì Ó Ö Ñ Ä Ó Ù Ú Ð Ð ¸ ½ ¿ ¼
Ì Ó Ö Ñ Ð Ó × Ö × Ù Ó × ¸ ½ ¿
Ì Ó Ö Ñ Ù Ò ¸ ½ ¾
Ì Ó Ö Ñ Ð Ñ Ô Ó Ö Ø Ó ¸ ½ ¿ ½
8/9/2019 Varias Variables Reales y Variable Compleja
http://slidepdf.com/reader/full/varias-variables-reales-y-variable-compleja 174/174
½ Á Ò Ð Ø Ó
Ì Ó Ö Ñ Ù Ò Ñ Ò Ø Ð Ð Ð Ù Ð Ó ¸
Ì Ó Ö Ñ Ù Ò Ñ Ò Ø Ð Ð Ð Ö ¸ ½ ¿ ¼
Ø Ö Þ Ù Ò Ù Ö Ú ¸ ½ ¾ ¼
Ú Ð Ó Ö Ñ Ó Ô Ö Ò Ø Ö Ð × ¸
Ú Ø Ó Ö
Ð Ó Ò Ø Ù ¸ ½
Ò Ó Ö Ñ ¸ ½
Ú Ó Ð Ù Ñ Ò Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó ¸ ¾
Ú Ó Ð Ù Ñ Ò Ù Ò Ö Ø Ò Ù Ð Ó Ò Ê
Ò
¼
Ï Ö × Ø Ö × ×
Ö Ø Ö Ó Å ¾ ¾