variable compleja - serie schaum - murray spiegel - en español

VARIABLE COMPLEJA

MURRAY R. SPIEGEL, Ph.D.Profesor de M atemática

Rensselaer Polytechnic Institute

TRADUCCION Y ADAPTACIONC a r l o s J . R o d r íg u e z B u it r a g o

Profesor de Matemáticas Universidad del Valle

| ---------

j OWIVERSIDAt^ NACIONAL Facultad Politécnica

B I B L I O T E C A

McGRAW-HILL

MÉXICO • BUENOS AIRES • CARACAS • GUATEMALA • LISBOA • MADRID • NUEVA YORK PANAMA • SAN JUAN • SANTAFÉ DE BOGOTÁ • SANTIAGO • SAO PAULO

AUCKLAND • HAMBURGO • LONDRES • MILÁN • MONTREAL • NUEVA DELHI • PARlS SAN FRANCISCO • SINGAPUR • ST . LOUIS • SIDNEY • TOKIO • TORONTO

Prólogo

La teoría de funciones de una variable compleja, llamada también por brevedad variable compleja o análisis complejo, es una de las más bellas, así como de las más útiles ramas de las materna ticas. Aunque nació en una atmósfera de misterio y desconfianza, como lo indican los términos “ imaginario” y “ complejo” que subsisten en la literatura contemporánea sobre la materia, se colocó sobre una base sólida en el siglo X IX , gracias a los esfuerzos de Cauchy, Riemann, Weierstrass, Gauss y otros grandes matemáticos.

Hoy se reconoce esta materia como parte esencial de la formación matemática de ingenieros, físicos, matemáticos y otros científicos. Desde el punto de vista teórico, estp se debe a que muchos conceptos matemáticos se aclaran y uniñean cuando se examinan a la luz de la teoría de variable compleja. Desde el punto de vista práctico, la teoría es de gran valor para la solución de problemas de flujo de calor, teoría potencial, mecánica de fluidos, teoría electromagnética, aerodinárnica, elasticidad y muchos otros campos de la ciencia y la ingeniería.

Este libro se ha preparado como suplemento para cualquiera de los testos corrientes, o como texto para un curso formal de la teoría de variable compleja y sus aplicaciones. También será de gran valor para los que siguen cursos de matemáticas, física, aerodinámica, elasticidad o cualquier otro de los innumerables campos en los cuales se utilizan los métodos de la variable compleja*

Cada capítulo empieza con enunciados claros de las correspondientes definiciones, principios y teoremas, junto con ilustraciones y otros materiales descriptivos. A esto siguen grupos graduados de problemas resueltos y propuestos. Los problemas resueltos sirven para ilustrar y ampliar la teoría, y arrojan plena luz sobre aquellos puntos sutiles sin cuya explicación el estudiante se siente inseguro, y constituyen una repetición de los principios básicos, tan vitales para un aprendizaje efectivo* En los problemas resueltos se incluyen muchas demostraciones de teoremas y derivaciones de fórmulas.

El gran numero de problemas propuestos, con sus respectivas respuestas, sirven como un repaso completo de cada capítulo.

Entre los temas tratados se encuentran: el álgebra y la geometría de números complejos; diferenciación compleja y cálculo integral; series infinitas, incluyendo las de Taylor y Laurent; la teoría de residuos con aplicaciones a la evaluación de integrales y series, y aplicación conforme, con ejemplos tomados de varios campos. Una novedad adicional es el capítulo sobre temas especiales que será de utilidad como introducción a estudios más avanzados*

En este libro se ha incluido mucho más material del que generalmente se puede ver en un primer curso a fin de hacer el libro más flexible, más útil como obra de consulta y para estimular más interés en estos temas.

Aprovecho la oportunidad para agradecer al personal de la fíchaum Publishing Company su magnífica colaboración.

M, R. S P IE G E L

T A B L A DE M ATERIAS

P á g in a

C a p ítu lo 1 NUM EROS C O M PLEJO S 1El sistem a num érico real. Representación gráfica de los números reales. El sistem a de los números com plejos. Operaciones fundam entales con números com plejos. Valor absoluto. Fundam entos axiom áticos del sistem a de números com plejos. R epresentación gráfica de núm eros com plejos. Forma polar de números com plejos. El teorem a de D e M oivre. R aíces de números com plejos. Fórmula de Euler. Ecuaciones polinomias. Las raíces n-ésim as de la unidad. Interpretación vectorial de números com plejos. R epresentación esférica de números com plejos. Proyección estereográfica. Producto escalar y vectorial. Coordenadas conjugadas com plejas. C onjuntos de puntos.

C apítulo 2 FU N CIO N ES, L IM IT E S Y CONTINUIDAD 33Variables y funciones. Funciones unívocas y m ultívocas. Funciones inversas. Trasform aciones. Coordenadas curvilíneas. Las funciones elem entales. Puntos de ram ificación y ram as. Superficies de Riem ann. L ím ites. Teorem as sobre lím ites. Infinito. Continuidad. C ontinuidad en una región. Teorem as sobre continuidad. Continuidad uniform e. Sucesiones. Lím ite de una sucesión. T eo rem as sobre lím ites de sucesiones. Series infinitas.

C a p ítu lo 3 D IFEREN CIA CIO N CO M PLEJA Y LASECUACIONES DE CAUCHY-RIEM ANN 64D erivadas. Funciones analíticas. Ecuaciones de C auchy-R iem ann. Funciones arm ónicas. Interpretación geom étrica de la derivada. D iferenciales. R eglas de diferenciación. Derivadas de funciones elem entales. D erivadas de orden superior.La regla de L 'H opital. Puntos singulares. Fam ilias ortogonales. Curvas. Aplicaciones a la geom etría y la m ecánica. Operadores diferenciales com plejos. Gradiente, divergencia, rotor y laplaciano. Algunas identidades donde intervienen gradiente, rotor y divergencia.

C a p ítu lo 4 IN TEG RA CIO N CO M PLEJA YTEOREM A DE CAUCHY 93Integrales com plejas de línea. Integrales reales de línea. Conexión entre integrales real y com pleja de línea. Propiedades de las integrales. Cam bio de variables. R egiones sim ple y m últiplem ente conexas. Teorem a de la curva de Jordán. C onvención relativa a la orientación de cam inos cerrados. Teorem a de Green en el plano. Forma com pleja del teorem a de Green. Teorem a de C auchy.E l teorem a de C auchy-Goursat. Teorem a de Morera. Integrales indefinidas. Integrales de funciones especiales. Algunas consecuencias del teorem a de Cauchy.

C a p ítu lo 5 f o r m u l a s i n t e g r a l e s d e c a u c h y yTEOREM AS RELACIONADOS 119Fórm ulas integrales de C auchy. Algunos teorem as im portantes. Teorema de Morera. D esigualdad de C auchy. Teorem a de Liouville. Teorem a fundam ental del álgebra. Teorem a del valor m edio de Gauss. Teorem a del m ódulo máximo. T eorem a del m ódulo m ínim o. E l teorema del argum ento. Teorem a de Rouché. Fórm ulas integrales de Poisson para un círculo. Fórm ulas integrales de Poisson para un sem i-plano.

TABLA DE MATERIAS

P á g in a

C a p ítu lo 6 SERIES IN FIN ITA S. SER IES DE TAYLOR Y DE LAURENT 140Sucesiones de funciones. Series de funciones. Convergencia absoluta. C onvergencia uniforme de sucesiones y series. Series de potencias. Algunos teorem as im portantes. Teorem as generales. Teoremas sobre convergencia absoluta. Criterios especiales para convergencia. Teorem as sobre convergencia uniforme. Teorem as sobre series de potencias. Teorema de Taylor. Algunas series especiales. Teorem a de Laurent. Clasificación de singularidades. Funciones enteras. Funciones meromorfas. Desarrollo de Lagrange. Prolongación analítica.

C a p ítu lo 7 EL TEOREM A DEL RESIDUO.CALCULO DE IN TEG RA LES Y SER IES 173Residuos. Cálculo de residuos. El teorem a del residuo. Cálculo de integrales definidas. Teorem as especiales que se utilizan en el cálculo de integrales. El valor principal de Cauchy para integrales. D iferenciación bajo el signo integral.R egla de Leibnitz. Sum a de series. Teorem a del desarrollo de M ittag-Leffler. A lgunos desarrollos especiales.

C a p ítu lo 8 APLICACION CONFORM E 201Trasform aciones o aplicaciones. Jacobiano de una trasform ación. Aplicaciones com plejas. Aplicación conforme. El teorema de la aplicación de Riem ann. P untos fijos o invariantes de una trasformación. A lgunas trasform aciones generales. Trasformaciones sucesivas. La trasformación lineal. La trasformación bilineal o racional. Aplicación de un sem i-plano sobre un círculo. La trasformación de Christoffel-Schwarz. Trasformaciones de fronteras en forma paramétrica. Algunas aplicaciones especiales.

C a p ítu lo 9 APLICACIONES FISICA S DE LA APLICACION CONFORM E 233/ Problem as de frontera. Funciones conjugadas y armónicas. Problemas de

D irichlet y Neum ann. El problem a de D irich let para el círculo unidad. Fórm ula de Poisson. El problema de D irichlet para un sem i-plano. Soluciones a los problemas de D irichlet y N eum ann por aplicación conforme. Aplicaciones a flujo de fluidos. Suposiciones básicas. E l potencial com plejo. Líneas y trayectorias equipotenciales. Fuentes y sumideros. Algunos flujos especiales. F lujos alrededor de obstáculos. Teorem a de Bernoulli. Teorem as de Blasius. A plicaciones a electrostática. Ley de Coulomb. Intensidad de cam po eléctrico. P otencial electrostático. Teorem a de Gauss. El potencial com plejo electrostático.Línea de cargas. Conductores. Capacitancia. Aplicaciones a flujo de calor.Flujo de calor. La tem peratura com pleja.

C a p ítu lo 1 0 TEM AS ESPECIA LES 266Prolongación analítica. Principio de reflexión de Schwarz. Productos infinitos. Convergencia absoluta, condicional y uniforme de productos infinitos. A lgunos teoremas im portantes sobre productos infinitos. Teorem a de W eierstrass para productos infinitos. A lgunos productos infinitos especiales. La función gamma. Propiedades de la función gamma. La función beta. Ecuaciones diferenciales. Solución de ecuaciones diferenciales por integrales de contorno. Funciones de Bessel. Funciones de Legendre. La función hipergeom étrica. La función zeta.Series asintóticas. El m étodo del punto silla. Desarrollos asintóticds especiales. Funciones elípticas.

IN D ICE 308

C a p ítu lo 1

N úm eros com p le josEL SISTEM A N UM ERICO REAL

El sistema numérico, como nosotros lo conocemos, es el resultado de una evolución gradual, tal como lo indica la siguiente descripción.

1. Los n ú m e ro s n a tu ra le s , 1, 2, 3 , 4 , . . . , o enteros positivos, fueron usados primero para contar. Los símbolos han cambiado con las épocas, pues los romanos, por ejemplo, utilizaban I, II, I I I , IV, . . La suma a + b y el producto a b o ab de dos números naturales a y b son también números naturales, lo cual se suele expresar diciendo que el conjunto de los números naturales es cerrado respecto de las operaciones de adición, multiplicación, o que cumple la propiedad de clausura con relación a estas operaciones.

2. Los e n te ro s n eg a tiv o s y el cero , denotados por - 1 , - 2 , - 3 , . . . y 0, respectivamente, que permiten resolver ecuaciones como x -f 6 = a con a y b naturales, llevan a la operación de sustracción o inversa de la adición, que se escribe x = a — b.

El conjunto de los enteros positivos y negativos con el cero se llama el conjunto #de los enteros y es cerrado bajo las operaciones de adición, multiplicación y sustracción.

3. Los n ú m e ro s rac io n a le s o fracciones, tales como f , permiten resolver ecuaciones de la forma bx = a para enteros cualesquiera a y b, con 6 ^ 0 , los cuales conducen a la operación de división o inversa de la multiplicación, que se representa como x = a /b o a -f- b (llamado el cociente de a y b) donde a es el numerador y b el denominador.

El conjunto de los enteros es un subconjunto de los números racionales, puesto que los enteros corresponden a los números racionales con 6 = 1 .

El conjunto de números racionales es cerrado bajo las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división, excluyendo la división por cero.

4. Los n ú m e ro s irra c io n a les , tales como \ /2 = 1,41423 ‘ “ y - = 3,14159 • • • son números que no son racionales, es decir, no pueden ser expresados como a /b , donde a y b son enteros y 6 0.

El conjunto de números racionales e irracionales es llamado el conjunto de los números reales. Se supone que el estudiante está ya familiarizado con las diversas operaciones con números reales.

REPRESEN TA CIO N GRAFICA DE LOS NUM EROS REALESLos números reales pueden representarse por puntos de una recta llamada eje real, como

se ve en la figura 1-1. El punto correspondiente a cero, se llama el origen.|----- 2 |----- \ o -1. 5 | -» i- V% r - *

*---------------1-------------------------------- 1--------------- i i------------------------------- 1---------------------- » I ■■■--«------------------ 1-------------------------------- h - f --------------------------f------

- 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3

F i g . 1 - 1

Recíprocamente, para cada punto sobre la recta hay uno y solamente un número real.Si un punto A correspondiente a un número real a está ubicado a la derecha de un punto B

1

2 N U M E R O S C O M P L E J O S | CAP. 1

correspondiente a un número real b, decimos que a es mayor que b o que b es menor que o y escribimos respectivamente a > b o b < a.

El conjunto de todos los valores de x, tal que a < x < b se llama un intervalo abierto sobre el eje real, mientras que a £ x á b, el cual incluye los extremos a y 6, se llama un intervalo cerrado. El símbolo x, que puede representar a cualquier elemento del conjunto de números reales, es llamado una variable real.

El valor absoluto de un número real a, denotado por ,a| es igual a a si a > 0, a —a sia < 0 y a 0 si a = 0. La distancia entre dos puntos a y b sobre el eje real es \a — 6¡.

EL SISTEM A DE LOS NUM EROS CO M PLEJO SNo existe un número real x que satisfaga la ecuación polinómica x2 + 1 = 0 . Para resol

ver este tipo de ecuaciones, es necesario introducir los números complejos.Podemos considerar un número complejo como una expresión de la forma a -f bi, donde

a y 6 son números reales, e i, denominada la unidad imaginaria, con la propiedad de que i2 = — 1. Si z = a 4- bi, a se llama la parte real de z y b la parte imaginaria de z y se denotan por Re {z } e Im {z}, respectivamente. El sírdbolo 2, que puede representar cualquier elemento del conjunto de números complejos, es llamado una variable compleja.

Dos números complejos a -t- bi y c + di son iguales si y solamente si a = c y b = d. Podemos considerar los números reales como el subconjunto del conjunto de los números complejos con b = 0. En este caso por ejemplo, los números complejos 0 + 0¿ y — 3 + Oí representan los números reales 0 y — 3 respectivamente. Si a = 0, el número complejo 0 4” bi o bi se llama un número imaginario puro.

El conjugado complejo, o conjugado simplemente, de un número complejo a + bi esa — bi. El conjugado complejo de un número complejo z se indica frecuentemente por z o z*.

OPERACIONES FUNDAM ENTALES CON NUM EROS C O M PLEJO SAl efectuar operaciones con números complejos, podemos proceder como en el álgebra

de números reales, remplazando i2 por —1.1. Adición

(a 4- bi) 4- (c 4- di) = a 4- bi 4- c 4- di = (a 4- c) 4- (6 4- d)i2. Sustracción

(a 4- bi) - (c + di) = a 4- bi — c — di = (a - c) 4- (6 - d)i3. Multiplicación

(a -f bi){c 4- di) = ac 4- adi 4- bci 4- bdi2 = (ac - bd) 4- (ad 4- be) i4. D ¿visión

a 4- bi a 4- bi c - di ac -- adi 4- bci — bd i2c 4- di c 4- di * c — di c ¿ - dH *

ac 4- bd 4- (6c - ad)i ac 4- 6d . be — ad .c ¿ 4- d * c2 4- d2 1 c2 4- d*

VALOR ABSOLUTOEl valor absoluto o módulo de un número complejo a + bi está definido como |a 4* bi\

y / a 2 + b 2.Ejemplo: j -4 + 2i ¡ = v/(-4)-’ + (2)2 = \/2Ó = 2y/l

Si z¡, z 2, z 3, . zm son números complejos, son válidas las siguientes propiedades.1. \zx z 2\ = |Z|| \z2\ O \zlz 2 ---z„,\ - |z ,| |z2|***km|2. I —I z¿

\Zi\ .z \r2\ 81 z* y 0

3. jz¡ 4- z 21 = zi -f \z->\ o '¿i 4- 2 o -j- • • • -j- z m| ^ |z,j 4" ¡22! + ■ * * +4. |Z| 1 Zy ^ ¡2,1 - \z2\ O 12, - 22! £ ¡2, - iz2|

CAP. 1| N U M E R O S C O M P L E J O S 3

FUNDAM ENTOS A XIOM ATICOS DEL SISTEM A DE NUM EROS C O M PLEJO SDesde un punto de vista estrictam ente lógico, es conveniente definir un número com

plejo como una pareja ordenada (a, b) de números reales a y b sometida a ciertas definiciones operacionales que resultan ser equivalentes a las anteriores. Estas definiciones se dan a continuación, donde todas las letras representan números reales:

A. Ig u a ld a d (a, b) = (c, d) si y solamente si a = c, 6 = dB. S u m a (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)C. P ro d u c to (o, b) • (c, d) = (ac — bd, ad + be)

m(a, b) = (ma, mb)

D e aquí, podemos demostrar (problema Id ) que (a, á) - cr(l, O) -r ¿(ü, 1) y asociarnos esto con a bi donde i es realmente el símbolo (0, 1 ) con la propiedad de que i2 = (0, 1 ) (0, 1 ) =( —1 , 0) (el cual se puede considerar equivalente al número real —1 ) y (1 , 0) se puede considerar equivalente al número real 1. La pareja ordenada (0, 0) corresponde al número real 0.

De lo anterior, podemos probar que si z ¡ ,z2, z 3 pertenece al conjunto S de números complejos, entonces

1 . z¡ + z 2 y z yz2 pertenece a S ley de clausura2 . Zi + z 2 = z 2 -f Z\ ley conm utativa de la adición3 . z¡ + (z2 + z3) = (zi + z2) + Z3 ley asociativa de la adición4. z¡z2 = z 2z 1 ley conm utativa de la multiplicación5. Z i( z 22 3) = (ZiZ2)z3 ley asociativa de la multiplicación6 . Zi(z2 + Z3) = Z1Z2 + Z1Z3 ley distributiva7. z¡ ■+■ 0 = 0 + z¡ = Zi, l 'Z i = Zj-1 — z 1, 0 es llamado el elemento neutro o idéntico

de la adición, y 1 es llamado el elemento neutro o idéntico de la multiplicación.8 . Para cualquier número complejo z 1 ^ 0, existe un número único z en S ta l que

2 + zi = 0; z se llama el opuesto (o recíproco) de z t con respecto a la adición y es denotado por — z¡.

9. Para cualquier z¡ ^ 0, existe un número único 2 en S tal que Zi2 = zzi = 1 ; 2 se llama el inverso (o recíproco) de z x con respecto a la multiplicación y es denotado por 2f* o I / 21.

En general, cualquier conjunto, tal como S, cuyos elementos satisfagan las propiedades anteriores, se dice que es un cuerpo.

R EPRESEN TA CIO N GRAFICA DE NUM EROS C O M PLEJO S

Si se eligen ejes reales sobre dos rectas perpendiculares X 'O X y Y 'O Y (los ejes x y y respectivamente), como en la figura 1-2, podemos situar cualquier punto del plano determinado por estas rectas mediante la pareja ordenada de números reales (x, y) o coordenadas cartesianas del punto. En la figura 1-2 se indican ejemplos de localización de los puntos P, Q, R, S y T en esta forma.

Como un número complejo x + iy se puede considerar como una pareja ordenada de números reales, podemos representar estos números por puntos en un plano xy, llamado el plano complejo o diagrama de Argand. El número complejo representado por P, por ejemplo, se puede entonces leer como (3, 4) o 3 + 4i. Así, a cada número

complejo corresponde uno y solamente un punto en el plano y recíprocamente a cada punto en el plano corresponde uno y solamente un número complejo. A causa de esto, a menudo mencionamos al número complejo z como al punto z. Algunas veces nos referimos a los ejes x y y como a los ejes real e imaginario respectivamente y al plano complejo como al plano z. La distancia entre dos puntos z¡ = x t + iy i y z2 = x 2 + iy2 en el plano complejo está dada por |zj — z2¡ = V(*i - *2)2 + (yt ~ "yjj5.

FORM A POLAR DE NUM EROS C O M PLEJO S

Si P es un punto en el plano complejo correspondiente al número complejo (x, y) o x + iy, entonces vemos que, según la figura 1-3,

x - r eos 6, y = r sen 0donde r = \ / x 2 + y2 = |jc 4- ¿y¡ se llama el módulo o valor absoluto de z = x + iy (denotado por mod z o ,z|); y 0, llamado amplitud o argumento de z = * + iy (denotado por arg z), es el ángulo que forma la recta OP con el eje positivo x.

Se deduce que2 = x + iy = r(cos 6 + i sen 6) (1)

llamada la forma polar del número complejo, y r y 0 se llaman coordenadas polares. Algunas veces es conveniente escribir la abreviatura cis 6 por eos O -f i sen 0.

Para cualquier número complejo z 0 corresponde solamente un valor de O en 0 S 0 < 2it. No obstante, cualquier otro intervalo de longitud 2z, por ejemplo — - < 0 5 : , se puede emplear. Cualquier elección particular, tom ada anticipadamente, se llama la parte principal y el valor de 6 se llama su valor principal.

EL TEOREM A DE DE M OIVRESi z¡ = x , + iy 1 = r t (eos (fi + i sen (fi) y z 2 = x 2 + iy2 = r2 (eos 02 + i sen 02), de

m ostrar que (véase el problema 19)z\z2 — TiTí {eos (0i + d-i) + i sen(0i + 62)}

z¡

Fig. 1-3

>1 ¡eos (0i — 0-¿) 4- i sen(fli — 0<)}

(.2 )

(3)

(4)

(5)

Z-2 r.Una generalización de (2) conduce a

Z | Z 2 ■ ■ • Z n = n ? v { e o s ( 0 , + 0 > + • • • + 0 „ ) - t i s e n ( 0 ¡ + 0 ¿ +

y si z¡ = z 2 - ••• = z„ - z, la expresión anterior quedaz" = {r(cos 0 + i sen#))" = r" (cosnft + ¿sennO)

que se llama frecuentemente el teorema de De Moivre.

RAICES DE NUM EROS C O M PLEJO SUn número w es llamado una raíz n-ésima de un número complejo z si wn = z, y escri

bimos w = z1 "*. Del teorema de De Moivre, podemos dem ostrar que si n es un entero positivo,z l/n = (»(cos0 + i senO)}1"'


de lo cual se deduce que hay n valores diferentes para z ¡ n, esto es, n diferentes raíces n-ésimas de 2, si z 0.

FORM ULA DE EULERAl suponer que el desarrollo de la serie infinita ex = 1 -f x + x2/2 \ + jc3/3 ! + • • • del

cálculo elemental se aplica cuando x = ¿0, podemos llegar al resultado= eos 0 + i sen 6 e = 2,71828 . . (7)

llamada la fórmula de Euler. Es más conveniente, no obstante, tom ar simplemente (7) como una definición de eí9. En general, definimos

cz = e7 + = ér ei“ = e7(eos y + i sen y) (8)E n el caso especial en que y = 0, se reduce a e'.

Se puede ver que en términos de (7) el teorema de De Moivre se reduce esencialmente a (e'9)n = eine.

ECUACIONES POLINOM ICASA menudo en la práctica necesitamos resolver ecuaciones polinómicas de la forma

a0z" + a i2"‘ 1 + a>z"~2 + • • • + a„-,z + a„ = 0 (9)donde a 0 ^ 0, a j, . . ., a„ son números complejos dados y n es un entero positivo llamadoel grado de la ecuación. Tales soluciones se llaman ceros del polinomio de la izquierda de (9) o raíces de la ecuación.

Un teorema muy im portante, llamado el teorema fundamental del álgebra (que será probado en el capítulo 5) establece que cada ecuación polinómica de la forma (9) tiene por lo menos una raíz compleja. Según esto, podemos demostrar que tiene en realidad n raíces complejas, algunas de las cuales o todas podrían ser idénticas.

Si 2 j, 2 2> . . . , 2„ son las n raíces, (9) se puede escribir comoa0(z - Zi)(z - Z-.) ■ ■ ■ (z - 2„) = 0 (10)

llam ada la forma factorizada de la ecuación polinómica. Recíprocamente, si podemos escribir (9) en la forma (10), es fácil determinar las raíces.

LAS RAICES n -é s im a s DE LA UNIDADLas soluciones de la ecuación z" = 1, donde n es un entero positivo, se llaman las raíces

n-ésimas de la unidad y están dadas por2 = eos 2kr./n + i sen 2kr./n = e2k',iln k - 0, 1, 2, . . . , n — 1 (1 1 )

Si hacemos u = eos 2%/n + i sen 2r./n = e ‘llri,n, las n raíces son 1, w, w2, . . . .w"-1. Geométricam ente, representan los n vértices de un polígono regular de n lados inscritos en una circunferencia de radio unidad con centro en el origen. Esta circunferencia tiene como ecuación \z\ = 1 y es llamada la circunferencia unidad.

IN TER PR ETA C IO N VECTORIAL DE NUM EROS C O M PLEJO SUn número complejo z = x -f iy se puede

considerar como un vector OP cuyo punto inicial es el origen O y cuyo punto final P es el punto (x, y), como en la figura 1-4. Algunas veces llamamos OP = x + ¿y el vector posición de P.Dos vectores que tienen la misma longitud o magnitud y dirección, pero con puntos iniciales diferentes, tal como OP y A B en la figura 1-4, se consideran iguales. Por tanto, escribimos OP = A B = x + iy.


La suma de números complejos corresponde a la ley del paralelogramo para la suma de vectores (Fig. 1-5). En este caso, para sumar el número complejo z, y z 2, completamos el paralelogramo O A B C cuyos lados O A y OC corresponden a z, y z2. La diagonal OB de este paralelogramo corresponde a z¡ + z2. Véase el p¡g. 1-5problema 5.

REPRESEN TA CIO N ESFERICA DE NUM EROS C O M PLEJO S. PROYECCION ESTEREOGRAFICA

Sea cP(Fig. 1-6) el plano complejo y considérese una esfera unidad cf (de radio uno) tangente a ‘P en z = 0. El diámetro N S es perpendicular a 9 y llamamos a los puntos N y S los polos norte y sur de cf. Para cualquier punto A sobre ‘V podemos construir una recta N A que corta cf en el punto A ' . En este caso, a cada punto del plano complejo CP corresponde uno y solamente un punto de la esfera cf, y podemos representar cualquier número complejo por un punto sobre la esfera. Para terminar, decimos que el punto N corresponde al punto en el “ infinito” del plano. El conjunto de todos los puntos del plano, incluyendo el plinto en el infinito, recibe los nombres de plano complejo entero, el plano entero z o el plano complejo Fig. 1-6extendido.

El método explicado anteriormente para aplicar el plano sobre la esfera, se denomina proyección estereográfica. La esfera se llama generalmente la esfera de Riemann.

PRODUCTO ESCALAR Y VECTORIALSean z¡ = x¡ + iy¡ y z¡ = x¡ + iy2 dos números complejos (vectores). El producto

escalar (también llamado el producto interno) de z, y z2 está definidlo porz i°z 2 = |zi| |z2¡ eos0 = X1X2 + y iy2 = Re {¿iz2} = \ { z xz2 + ziz2) (12)

donde 6 és el ángulo entre Zi y z2 que está entr" Oyi t .El producto vectorial de z¡ y z2 está definido por

z, x z 2 = |z,| |z2¡sen 6 = Xiy2 - y ,x 2 = lm [z,z2) = ¡p {¿1Z2 - 2 iz2) (13)Claramente,

Z1Z2 = (z, o z2) + i(Zi X z2) = |2r,| |zr2| e'® (14)Si Z\ y z2 son distintos de cero, entonces1. Una condición necesaria y suficiente para que z¡ y z2 sean perpendiculares es que

Zl o z2 = 0.2. Una condición necesaria y suficiente para que z¡ y z2 sean paralelos es que z¡X z2 — 0.3. La magnitud de la proyección de z¡ sobre z2 es |z¡ o z2|/ |z 2|.4. El área de un paralelogramo de lados z t y z2 es | z¡ X z2|.

COORDENADAS CONJUGADAS CO M PLEJA SUn punto en el plano complejo se puede localizar por sus coordenadas rectangulares

(x ,y ) o por sus coordenadas polares (r, fl). Existen muchas otras posibilidades, una de las• 1

cuales utiliza el hecho de que x = Uz + z), y — -¡r.(z — 2), donde z = x + iy. Las coorde-¿1

nadas (z, z) que localizan un punto, se llaman coordenadas conjugadas complejas o, abreviadamente, coordenadas conjugadas del punto. (Véanse los problemas 43 y 44.)

CO N JU N TO S DE PUNTOSCualquier colección de puntos en el plano complejo se denomina un conjunto (bidimen-

sional) de puntos, y cada punto es un miembro o elemento del conjunto. Las definiciones fundamentales siguientes son dadas aquí por referencia.

1. V ecindades. Una vecindad de radio delta, o 8, de un punto z0 es el conjunto detodos los puntos z tales que \z — z0| < 8 donde 8 es cualquier número positivodado. Una vecindad reducida 8 de z0 es una vecindad de z0 en la que el punto z0 se omite, es decir, 0 < |z — z0| < 8.

2. P u n to s lím ite s . Un punto z0 se llama un punto límite o punto de acumulación deun conjunto S si cada vecindad 8 reducida de z0 contiene puntos de S.

Puesto que 8 puede ser cualquier número positivo, se deduce que S debe tener infinitos puntos. Obsérvese que z0 puede pertenecer o no al conjunto S.

3. C o n ju n to s ce rrad o s . Un conjunto S se dice que es cerrado si cada punto líhnite de S pertenece a S, esto es, si S contiene todos sus puntos límites. Por ejemplo, el conjunto de todos los z tales que |z| Si 1 es un conjunto cerrado.

4. C o n ju n to s aco tad o s . Un conjunto S se dice que es acotado si podemos encontrar una constante M ta l que |z| < M para cada punto z en S. Un conjunto ilimitado es un conjunto que no es acotado. Un conjunto que es acotado y cerrado se llama, algunas veces, compacto.

5. P u n to s in te r io r , ex te rio r y f ro n te ra . Un punto z0 se llama un punto interior de un conjunto S si podemos encontrar una vecindad de z0 cuyos puntos pertenecen todos a S. Si cada vecindad o de z0 contiene puntos pertenecientes a S y también puntos no pertenecientes a S, entonces z0 se llama un punto frontera. Si un punto no es punto interior ni punto frontera de un conjunto S, es un punto exterior de S.

6. C o n ju n to s a b ie rto s . Un conjunto abierto es un conjunto que consiste solamente de puntos interiores. Por ejemplo, el conjunto de puntos z tales que |z| < 1 es un conjunto abierto.

7. C o n ju n to s conexos. Un conjunto abierto S es conexo si cualquier par de puntos del conjunto pueden ser unidos por un camino formado por segmentos de recta (esto es, un camino poligonal) contenidos en S.

8. R eg iones a b ie r ta s o d o m in io s . Un conjunto abierto conexo es llamado una región abierta o dominio.

9. C la u su ra de u n c o n ju n to . Si a un conjunto S agregamos todos los puntos límite de S, el nuevo conjunto se llama la clausura de S y es un conjunto cerrado.

10. R eg iones c e rra d as . La clausura de una región abierta o dominio se llama una región cerrada.

11. R eg iones. Si a una región abierta o dominio agregamos alguno, todos o ninguno de sus puntos límites, obtenemos un conjunto llamado una región. Si se agregan todos los puntos límites, la región está cerrada; si ninguno es agregado, la región está abierta. En este libro, siempre que usamos la palabra región sin especificarla, queremos significar región abierta o dominio.

12. U n ión e in te rse c c ió n de c o n ju n to s . Un conjunto consistente de todos los puntos pertenecientes al conjunto Si o al conjunto S2 o a ambos conjuntos S t y S 2, se llama la unión de Si y S 2 y se denota por Si + S2 o S¡ U S2.

8 N U M E R O S C O M P L E J O S | CA P. 1

Un conjunto consistente de todos los puntos pertenecientes a ambos conjuntos S¡ y S 2, se llama la intersección de S¡ y S 2 y se denota por S ,S 2 o S t n S2.

13. C o m p lem en to de u n c o n ju n to . Un conjunto que consiste de todos los puntos que no pertenecen a S, se llama el complemento de S y se representa por S.

14. C o n ju n to s vacíos y su b c o n ju n to s . Es conveniente considerar un conjunto sin puntos. Este conjunto se llama el conjunto vacío y se denota por 0 . Si dos conjuntos S t y S 2 no tienen puntos en común (caso en el cual se denominan conjuntos disjuntos), podemos escribir S¡ n S 2 = 0 .

Cualquier conjunto formado por elección de alguno, todos o ninguno de los puntos de un conjunto S se llama un subconjunto de S. Si excluimos el caso en que todos los puntos de S son escogidos, el conjunto se denomina un subconjunto propio de S.

15. N u m e ra b ilid a d de u n c o n ju n to . Si los miembros o elementos de un conjunto se pueden colocar punto por punto en correspondencia con los números naturales 1, 2, 3,. . ., el conjunto es llamado numerable o enumerable; de lo contrario es no- numerable o no-enumerable.

Los siguientes son dos teoremas im portantes sobre conjuntos de puntos:

1. T eo rem a de B o lzano-W eierstrass. Todo conjunto infinito acotado tiene por lo menos un punto de acumulación.

2. T eo rem a de H eine-B orel. Sea S un conjunto compacto tal que cada punto está contenido en uno o más de los conjuntos abiertos A¡, A 2, . . . (los cuales forman lo que llamaremos un recubrimiento de S). Entonces existe un número finito de los conjuntos A t, A 2, .. . que cubren a S.

P r o b l e m a s r e s u e l to s

OPERACIONES FUNDAM ENTALES CON NUM EROS C O M PLEJO S

1. Efectuar cada una de las operaciones indicadas(а) (3 + 2¿) + ( - 7 - i) = 3 - 7 + 2 i - i = - 4 + i(б) ( - 7 - i) + (3 + 2») = - 7 + 3 - i + 2 i 4 + i

Los resultados (o) y (6) ilustran la ley conmutativa de la adición.

(e) (8 - 6i) - (2i - 7) = 8 - 6t - 2¡ + 7 = 15 — 8i(d) (5 + 3i) + {(—1 + 2i) + (7 — 5i)} = (5 + St) + { - l + 2¿ + 7 — 5i> = (6 + Si) + (6 - 3tj = 11(e) {(5 + 3i) + ( - 1 + 2»)} + (7 — 5i) = (5 + 3t - 1 + 2i> + (7 - 5t) = (4 + 5i) + (7 - 5tj = 11Los resultados (d) y (e) ilustran la ley asociativa de la adición.

</) (2 - 3¡)(4 + 20 = 2(4 + 20 - 3i(4 + 2i) = 8 + 4¿ - 12i - 6¿2 = 8 + 4¡ - 12» + 6 = 14 - Si(g) (4 + 20(2 - 30 = 4(2 - 30 + 2i(2 - 3») = 8 - 12» + 4¿ - 6»'2 = 8 - 12» + 4» + 6 = 14 - SiLos resultados (/) y i g ! ilustran la ley conmutativa de la multiplicación.

(A) (2 - *){(—3 + 2t)(5 - 4i)> = (2 — t){—.15 + 12i + lOt — S i2)= (2 - 1)(—7 + 220 = - 1 4 + 44¿ + 7t — 2 2 i2 = 8 + 51t

(i) { (2 - I )< —3 + 20X 5 - 40 = (—6 + 4i + 3¿ — 2 i2}(5 — 4t)= ( - 4 + 7i)(5 - 40 = - 2 0 + 16i + 35í - 28i 2 = 8 + 61»

Los resultados (A) e (i) ilustran la ley asociativa de la multiplicación.

(j) ( - 1 + 2 0 1 (7 - 5 i ) + ( - 3 + 40} = ( - l + 2 i ) ( 4 - i ) = - 4 + » + 8» - 2»2 = - 2 + 9i

Otro método. ( - 1 + 2Í){(7 - 5 i) + ( - 3 + 4f)}

( i)

(0

(m)

E ste resultado ilustra la ley distributiva.

3 ~ 2|’ _ 3 - 2 i - 1 - i - 3 - 3 i + 2 i + 2 ¡ 2

= (-1 + 2¡)(7 - 50 + (-1 + 2i)(—3 4 40 = {-7 + 5i + 14¡ - 10j2> + {3 - 4¡ - 6¡ + 8¿2} = (3 + 190 + (-5 - 100 = -2 + 9i

- 5 - i 1- l + i - 1 + i - 1 - t 1 - i 2 2

Otro método. Por definición, (3 - 2 » ) / ( —1 + i) es el número a + bi, donde a y b son reales, tal que ( - 1 + i')(a + bi) = - a - b + (a - b)i = 3 - 2 i. E ntonces - a - b = 3, a - b = - 2 y se resuelven sim ultáneam ente, a = —5 /2 , b = - 1 / 2 o a + bi - - 5 /2 - i / 2 .5 + 5Í 3 - 4 i

3¿3<> ■

+ 20 5 + 5i 3 + 4 i 204 + 3i 3 — 4t 3 + 4i 4 + 3í 4

_ 15 + 20i + 15t + 20i2 80

•3 i ■ 3 i

-5 + 35i , 8O - 6O19 — 16i2

2 i — 13 (i2)15 - (¿2)9¿

2 t — 1

-3 + i -1 - 2 i-1 + 2i -1 - 2¿

3(—l )15 — (—l) 9i -1 + 2 i

3 + 6t — i — 2 i2 1 - 4 i2

25

5 + 5Í

25

= 1 + i

3 - i

Si z, = 2 + i, z2 = 3 — 2i y de las siguientes expresiones.(a) | 3z¡ — 4z2 ! = |3 (2 + 0 - 4 ( 3 - 2 i ) | = |6 + 3 i - 1 2 + 8i |

= | —6 + l l i | = V (-6)2+ ( l l )2 = VT57

2a = — ^ + i , hallar el valor numérico de cada una

ib)

(c)

(<0

2i 3z2 + 4z¡ - 8 = (2 + O3 - 3(2 + 0 2 + 4(2 + 0 - 8= {(2)3 + 3(2)2(0 + 3(2)(02 + ¿3> - 3(4 + 4i + i2) + 8 + 4i - 8 = 8 + 12t - 6 - i - 12 - 12i + 3 + 8 + 4i - 8 = - 7 + 3i

\ •<

„ 1 H í 22 4

2*2 + z , — 5 — i 2 2(3 - 2i) + (2 + 1) - 5 - i2z, — z2 + 3 — i 2(2 + i) — (3 — 2i) + 3 — ¿

3 — 4i 2 | 3 - 4¿ l24 + 3i | 4 + 3i |2

(y/(3)2 + (—4)2 )2

(\^(4)2 + (3)2 )2= 1

3. Encontrar números reales x y y tales que 3x + 2!y — ix + 5y = 7 + 5i.La ecuación dada se puede escribir com o 3x + 5^ + i (2y — x) = 7 + bi. Entonces, igua

lando las partes real e imaginaria, 3x + 5y = 7, 2y — x = 5. R esolviendo sim ultáneam ente, x = - 1 , y = 2 .

Probar: (a) z¡ + z2 = z¡ + z2, (b) \z,z2\ = |2i] |«2|.Sea z¡ = x¡ + iy¡, z2 = x¡ + ¡y2 ■ Entonces

( a )

ib)

+ i 2z¡ + z 2 = * , + i y , + x 2 + O/2 = *1 + x l + % i+ Vi) ___

= x¡ + x.¿ - i ( y , + y.¿) = x , - iy , + x<¿ - iy.¿ = x , + iy , + x 2 + O/2

1*1*2! = i (*1 + iy , ) (x 2 + iy2) | = I X!X2 - y , y -2 + i ( x , y 2 + v , x 2) | _______= \ / ( x ,x 2 - y , y 2)2 + (x , y 2 + y , x 2)2 = V (x 2 + j/2)(x 2 + j/2) = \Jx \ + y \ v'x2 4 ¡/| = lz,| [x2|

Oíro método. _____________________ _________——- — ____________i*,l 1*2!I * l * 2 l 2 = ( * 1 * 2 > ( * 1 * 2 ! = * l * 2 * l * 2 = ( M l ) ( * 2 ¿ 2> = l * l | 2 | * 2 ! 2 *l22l

donde hemos aplicado el hecho de que el conjugado de un producto de dos números com plejos es igual al producto de sus conjugados (véase el problema 55).

r

REPRESENTACION GRAFICA DE NUM EROS C O M PLEJO S. VECTORES5. Efectuar las operaciones indicadas en forma analítica y gráficamente

(a) (3 + 4i) + (5 + 2i), (6) (6 - 2i) - (2 - 5t), (c) ( -3 + 5i) + (4 + 2i) + (5 - 3i) + ( -4 - 61).(o) Analí ticamente. (3 + 4 i) + (5 + 2i) = 3 + 5 + 4» + 2i = 8 + 6i

Gráficamente. Representam os los dos números com plejos por los puntos P i y P i respectivam ente, com o en la ligara 1-7. Com pletam os el paralelogramo con OP \ y O P 2 com o los lados adyacentes. E l punto P representa la sum a, 8 + 6¿, de los dos números com plejos dados. O bsérvese la sem ejanza con la ley del paralelogramo para sum a de vectores O P i y O P 2 para obtener el vector OP. Por esta razún, a m enudo es conveniente considerar un número com plejo o + í i com o un vector que tiene componentes a y 4 en las direcciones de los ejes positivos x y y respectivam ente.

10 N U M E R O S C O M P L E J O S (CAP. 1

(6) Analíticamente. (6 — 2 i) — (2 — 5í) = 6 — 2 — 2» -f 5i = 4 + 3iGráficamente. (6 — 2¿) — (2 — 5 i) = 6 — 2¿ + ( —2 -f 5¿). Ahora sum am os 6 — 2 i y( —2 + 5¿) com o en la parte (a). E l resultado se indica por O P en la figura 1-8.

(c) Analíticamente.( - 3 + 5 i) + (4 + 20 + (5 - 30 + ( - 4 - 6 0 = ( - 3 + 4 + 5 - 4) + (5i 4- 2i - 3t - 60 = 2 - 2t

Gráficamente. R epresentam os los números que se sum an por 2 |, z2, z3, z4 respectivam ente, los cuales se muestran gráficam ente en la figura 1-9. Para encontrar la sum a requerida se procede com o Be m uestra en la figura 1-10. E n el punto final del vector z¡ se construye el vector z¡. En el punto final de z2 se construye el vector z 2, y en el punto final de z3 se construye el vector z4. La sum a requerida, algunas veces llamada la resultante, se obtiene construyendo el vector O P desdeel punto inicial de z¡ al punto final de z4, o sea O P - zi + z 2 + z3 + z4 = 2 — 2¿.

CAP. 1| N U M E R O S C O M P L E J O S U

6. Si z x y z2 son dos números complejos (vectores) como los de la figura 1-11, construir gráficamente(a) 3z¡ - 2z2 (b) ¿z2 + fzi(a) E n la figura 1-12, O A = 3z\ es un vector que tiene

longitud igual a 3 veces la del vector z¡ y la misma dirección.

OB = —2z2 es un vector que tiene longitud igual a 2 veces la del vector z2 y la dirección opuesta.

E ntonces, el vector OC = O A + O B = 3z\ - 2z2.

(b)

Fig. 1-13

E l vector buscado (número com plejo) está representado por O P en la figura 1-13.

7. Probar, (a) |z, + z2| S |z,| + |z2|, (ó) |z, + z2 + z3| S |z,| -f- |z2| + |z ,|, (c) |z, -z 2\ ¿ |zi| — |z2| y dar una interpretación gráfica.(a) Analí ticamente. Sea z x = x x + iy x, z2 = jc2 + iy2. E ntonces debem os dem ostrar que

' J ( x x + *2)2 + <Vt + Vi )'2 § + y ? + V z T + v f

Elevando al cuadrado am bos lados, esto será verdadero si

(* , + *2)2 + (y¡ + y 2)2 S x \ + y'\ + 2%/(*? + i/?)(z2 + y \ ) + x \ + y \

es decir, si x xx.¿ + y xy 2 § V (*f + J/?)(*! + ¡/2)o si (elevando al cuadrado am bos lados otra vez)

+ 2x ,* 2¡/,!/2 + v fy 2 S x?z2 + * i! /l + |¡ \ x \ + y \ y \

o 2 x xx 2y xy 2 S x \ y \ + y \ x \

Pero es equivalente a (x \ y 2 — * 2 1)2 ^ 0 que es verdadero. Invirtiendo los pasos, que son reversibles, probamos el resultado.

Gráficamente. E l resultado se deriva gráficamente del hecho que \z\\y \z2 1, \zy -f z2\ representan las longitudes de los lados de un triángulo (Fig. 1-14) y que la sum a de las longitudes de dos lados de un triángulo es m ayor, o igual a la longitud del tercer lado.

(6) Analíticamente. Por la parte (a)

I X¡ + z2 + z3 I = I z, + (z2 + z3) I |z,| + | z 2 + z3 | l*il + l*zl + l*al

Gráficamente. El resultado es una consecuencia del hecho geom étrico que en un plano una línea recta es la distancia m ás corta entre dos puntos O y P (Fig. 1-15).

12 N U M E R O S C O M P L E J O S | CAP- 1

(c) Analí ticamente. Por parte fo), |z i| = \z\ — z2 + z2| £ l¿i — 22l + \z2 \- Luego |z | — z2| g |zi| — |z2|.

U n resultado equivalente, que se obtiene rem plazando z2 por —z2> es |zi + Z2l á |zil — |z2!-

Gráficamente. El resultado es equivalente al enunciado de que un lado de un triángulo tiene longitud m ayor o igual a la diferencia de las longitudes de los otros dos lados.

8. Representamos los vectores posición de los puntos z4(x„;y,) y B (x2,y 2) por z¡ y z2 respectivamente. (a) Representar el vector A B como un número complejo. (6) Encontrar la distancia entre los puntos A y B.(a) D e la figura 1-16, O A - f A B = O B o

A B = O B - OA = z 2 - z,= (x 2 + iy¡) - (x¡ + iy¡)= (x2 - x ¡ ) + i(y2 - V t )

(b) La distancia entre los puntos A y B está dada por

\AB\ = | (x2 - x¡) + i ( v t - Vi) | = y/(x2 - z ,)2 + (y2 - Vi) 2

9. Sea Zi = x¡ + iy¡ y z 2 = x2 + iy2 dos vectores no colineales o no paralelos. Si o y b son números reales (escalares) tales que azi + bz2 = 0, probar que a = 0 y 6 = 0.

La condición dada az¡ + bz2 = 0 es equivalente a a (x i + iy i) + b(x2 + iy2) = 0 o a* | +bx2 + i i a y l + by2) - O. Luego ax¡ + bx2 = 0 y ayi -f by2 = 0. E stas ecuaciones tienen las so lu ciones sim ultáneas a = 0 y b = 0 s i y j /jq yt y 2 / x 2, es decir, si los vectores no son colineales o no paralelos.

10. Probar que las diagonales de un paralelogramo se dividen en partes iguales.

Sea O A B C (Fig. 1-17) el paralelogram o dado con diagonales que se cortan en P.

P uesto que Zj -f A C = z2, A C = z 2 — z¡. E n tonces A P = m (z 2 — Zi) donde 0 £ m g 1.

P uesto que O B ~ z¡ + z2, O P = n (zi + z2) donde 0 ¿ n ¿ 1 .

Pero O A + A P = OP, es decir, zi + m(z2 — Z|) = n(zi + z2) o (1 — m — n)zj +(m — n )z2 = 0. E n consecuencia por 9, 1 — m —» = 0 , m — n = 0 o m = j , » = j y así P es el punto m edio de am bas diagonales. j,. ^

11. Encontrar una ecuación para la línea recta que pasa por dos puntos dados A (x i, y¡) y B{x2, y 2).

Sea Z| = * i + iy\ y z2 = x 2 -f ty2 los vectores posición de A y B respectivam ente. Sea z = x + iy el vector posición de cualquier punto P sobre la recta que une A y B.

D e la figura 1-18,

O A + A P = O P o z\ + A P = 2, es decir A P - z - Z\

O A + A f í = OB o z\ + A B = 22» es decirA B = z2 — 21

Puesto que A P y A B son colineales A P = t A B o 2 — 2j = t(z2 — z |) donde t es real, y la ecuación requerida es

2 = 2 | - f t \ Z 2 — Z \ ) O 2 = ( 1 — t ) Z \ - f Í2 o


Usando 2 | — jq + iy¡, z2 = x 2 + iy2 y 4 = * + iy, esto se puede escribir

* - x , = t(*2 - * i ) , V — Vi — t(y¡ — y¡) o —— — = V -V i* t ~ r 1 ¡/2 - y ,

Las dos primeras se llaman, ecuaciones paramétricas de la recta y t es el para'metro; la segunda se llama la ecuación de la recta en forma normal.

Otro método. Puesto que A P y P B son colineales, tenem os para números reales m y n:

m AP = n P B o m ( z — z¡) = n ( z 2 - z)

"¡2, + ”*2 + «*2 m V\ + "1/2R esolviendo, z = —— ¡------ o * = -- :------- . y =---------------- -

m + v m + ti tn + >1que se llam a la forma simétrica.

12. Sea A ( 1, - 2 ) , f l ( - 3 , 4), C(2, 2) los tres vértices del triángulo ABC. Encontrar la longitud de la mediana desde C al lado AB.

L os vectores posición de A , B y C están dados por 2 | = 1 — 2i, z2 = —3 + 4¡ y z2 = 2 + 2¿ respectivam ente. Entonces, de la figura 1-19,

A C = z 3 - z , = 2 + 2¡ — (1 — 2t) = 1 + 4 iBC = — 22 = 2 + 2 t - ( - 3 + 4i) = 5 - 2 tA B = z2 — z , = — 3 + 4¿ - (1 - 2t) = - 4 + 6iA D = i¡A B = ^(—4 + 6i) = —2 + 3t puesto que D es el punto medio de A B .

A C + CD = A D o CD = A D - A C = - 2 + 3¿ - (1 + 4¿) = - 3 - i.

Luego, la longitud de la mediana CD es |CD| = | — 3 — ¿| =

Fig. 1-19

13. Encontrar una ecuación para (o) una circunferencia de radio 4 con centro en ( —2, 1),(b) una elipse con eje mayor de longitud 10 y foco en ( — 3, 0) y (3, 0).(o) E l centro se puede representar por el número com plejo —2 + i. Si 2 es un punto de la circun

ferencia (Fig. 1-20), la distancia de 2 a - 2 + i es

| 2 - ( - 2 + i) | = 4Luego \z + 2 — t| = 4 es la ecuación exigida. En forma rectangular está dado por

| (x + 2) + i(y - 1) 1 = 4, o sea (* + 2)2 + (y - l )2 = 16

Fig. 1-20 Fig. 1-21

(b) La sum a de las distancias desde cualquier punto z de la elipse (Fig. 1-21) al foco debe ser igual a 10. Por tanto,' la ecuación requerida es

¡ 2 + 3 | + | 2 — 3 | = 10

En forma rectangular se reduce a x2/2 5 + y 2/1 6 = 1 (véase el problema 74).

FUNDAM ENTOS AXIOM ATICOS DEL SISTEM A DE NUM EROS CO M PLEJO S14. Use la definición de un número complejo como una pareja ordenada de números reales

y las definiciones de la página 3 para probar que (a, b) - a ( l, 0) -f 6(0, 1) donde (0, 1)(0, 1) = ( - 1 ,0 ) .


D e las definiciones de sum a y producto de la página 3, tenem os(a, 6) = ( a ,0) + (0, 6) = a ( l , 0) + 6(0, 1 )

en donde (0, 1 )(0, 1 ) = (0 • 0 - 1 • 1 , 0 • 1 + 1 • 0) = ( - 1 , 0)Identificando (1, 0) con 1, y (0, 1) con i vem os que (a, 6) = a + b¡.

15. Si zi = (a,, 6,), z2 = (a2, 62) y z3 = (03, 63), probar la ley distributiva: Zi(z2 + z3)Z ,Z 2 + Z jZ j.

T enem os *,(*2 + 23) = (o„ 6i){(a2, 62) + (o3, 63)> = (a„ 6,)(a2 + a3, 62 + 63)= {0,(02 + 03) - 6,(62 + 63), a ,(62 + 63) + 6,(a 2 + a 3)} b( ’ n j i , ,= (0 ,0 2 -6 1 6 2 + 0,03 — 6, 63, 0 , 62+ 6,02 + 0 , 63+ 6,03)— (o ,a 2 6, 62l 0,62 + 6, 03) + (o ,a 3 6, 63, 0 , 63+ 6, 03)= (o , , 6 , ) (a 2, 62) + ( a , , 6 , ) (a 3, 63) — z ,22 + z , r 3

FORM A POLAR DE LOS NUM EROS C O M PLEJO S16. Expresar cada uno de los siguientes números complejos en forma polar.

(o) 2 + 2 \ / 3 iM ódulo o valor absoluto, r = |2 + 2% /3t| = V 4 + 1¿ = 4-

A m plitud o argum ento, 6 — sen *1 2 \ / 3 / 4 = sen - * \ / 3 / 2 - 60° = * /3 (radianes).

Luego

2 + 1 \ f Z \ — r(cos í + i sen »)" = 4(cos 60° + » sen 60°)

— 4(cos jt/3 + i sen 2 /3)

El resultado se puede tam bién escribir com o 4 cis x /3 o, usando la fórmula de Euler, com o 4e1,i/3.

V

r = | —5 + 5t 1 = V 25 + 25 = 5 \/2

e = 180° — 45° = 135° — 3jt/4 (radianes)

Luego —5 + 5 i = 5V ^2(cosl35° + i sen 135°)

= 5 \/2 cis 3rr/4 = 5 \/2 e3wi/*

(e) - V 6 - V 2 ir = ¡ —v/6 — V 2 x 1 = V 6 + 2 = 2 \/2

e = 180° + 30° = 210° = 7ir/6 (radianes)

Luego —\/6 — \ /2 i = 2 \/2 (eos 210° + ise n 2 1 0 °)

= 2 \/2 c is 7v/6 = 2 \/2 e7"'76

(6) - 5 + 5¿

46'

(d) —3i

Fig. 1-24

r = |—3»| = | 0 — 3 i | = V o + 9 = 3

e = 270° = 3 - /2 (radianes)

Luego —3i = 3(cos 3¡r/2 + i sen 3 -/2 )= 3 cis 3 - /2 - Se3”"* Fig. 1-25

17. Construir la gráfica de, (a) 6(cos 240° + i sen240°), (6) 4e3,ri/5, (c) 2e(a) 6(cos 240° + i sen 240°) = 6 cis 240° = 6 cis 4r /3 = 6 e4171/3

se puede representar gráficam ente por O P en la figura 1-26.Si com enzam os con el vector O A , cuya m agnitud es 6 y cuya dirección es la del eje x positivo,

podem os obtener O P rotando Oj4, en sentido contrario al m ovim iento de las m anecillas del reloj, un ángulo de 240°. En general, re ie es un vector que se obtiene rotando un vector de m agnitud r y dirección la del eje x positivo, en sentido contrario al m ovim iento de las m anecillas del reloj, un ángulo 0.

Fig. 1-26 Fig. 1-27 Fig. 1-28

(b)

(c)

4 e3*¡/5 = 4(C0S 3 r /5 + i sen 3ir/5) = 4(cos 108° + i sen 108°) está representado por O P en la figura 1-27.

2 e n,/4 — 2 {co s(—n-/4) + i s e n ( —ir/4)} = 2{cos (—45°) + i se n (—45°)}E ste número com plejo está representado por el vector O P en la figura 1-28. E ste vector se

obtiene partiendo del vector O A, cuya m agnitud es 2 y cuya dirección es la del eje x positivo y rotándolo, en sentido contrario al m ovim iento de las m anecillas del reloj, un ángulo de —45° (que es lo m ism o que rotándolo, a la manera de las m anecillas del reloj, un ángulo de 45°).

18. Un hombre viaja 12 kilómetros en dirección noreste, 20 kilómetros en dirección 30° al noroeste y luego, 18 kilómetros en dirección 60° al suroeste. Determ inar, (a) analíticamente, y (b) gráficamente a qué distancia y en qué dirección está él de su punto de partida.(а) Analí ticamente. Sea O el punto de partida (Fig.

1-29). Luego, los desplazam ientos sucesivos están representados por los vectores O A , A B y BC. El resultado de todos los tres desplazam ientos está representado por el vector

OC = OA + A B + B C

Ahora O A = 12(cos45° -b is e n 45°) = M e " ' 1*A B = 20{cos (90° + 30°) + i sen (90° + 30°)} = 20 e™'*B C = 1 8 {c o s (1 8 0 °+ 60°) + i sen (180° + 60°)} '= 18 e4»*'3

E ntonces

OC = 12 e"1'* + 2 0 e 2"i/3 + 18 e4" /3

= {12 eos 45° + 20 eos 120° + 18 eos 240°} + i{1 2 se n 4 5 ° + 20 sen 120° + 18 sen 240°}

= <(12)(Vr2/2) + (20)(—1/2) + (18)(—1/2)} + i{( 12)(v/2/2) + (20)(-/3/2) + (18)(-v^3/2)= (6^ 2 - 19) + (6^ 2 + \ /3 )i _______________________________

Si r(cos O + i sen 0) = 6 \ / 2 — 19 + (6 v /2 + entonces r = ^ ( 6 \ / 2 — 19)2 -f- (6 v /J + v /3 )2

= 14,7 aproxim adam ente, y 6 = eos- 1 (6 \ /S — 1 9 ) /r = eos - 1 ( —0,717) = 135°49' aproxim adam ente.

Siendo así, el hombre está a 14,7 kilóm etros de su punto de partida en una dirección 135°49' — 90° = 45°49 ' al noroeste.

(б) Gráficamente. U sando una unidad conveniente de longitud, tal com o P Q en la figura 1-29, que representa 2 kilóm etros, y un trasportador para medir ángulos, construim os los vectores O A , A B y BC. Luego, determ inando el número de unidades en OC y el ángulo que OC hace con el eje y , obtenem os los resultados aproxim ados de (a).

E L TEO REM A DE DE M OIVRE19. Si Zj = i*! (eos 0j + i sen Oj) y z 2 = r2 (eos 02 + i sen 02), probar

(a) Z\g2 = r \r 2 {eos(0i + 92) + ¿sen(0i + 02)}

(b) ür = ~ {eos (0i - 02) + t sen (0i - 02)}.*2 / 2

(a) * ,z2 = {r,(cos e¡ + i s e n f t)}{r2(cos «2 + t s e n » 2)}= r ,r 2{(cos» | eos »2 — se n » , sen #2) + i(sen», eos «2 + eo s» , sen »2)}= r ,r 2{cos («, + s 2) + i sen (», + «2)>

16 N U M E R O S C O M P L E J O S | C A P. 1

2 | r ,(cos », + i sen »,) (eos #•> — *sen *2)(b) — — ------------------------------- • ' --------

*2 r2(eos »2 + i sen «2) (cos s 2 ~ 1 sen <*2)

r, (.eos »1 eos «2 + s e n » , s e n s 2) + j(sen», cos »2 — c o s s ,s e n « 2) r-i ] eos2 »2 + sen2 »2 Jr ,

= — {eos (», — » >) + ¡ se n (» , — »2)}r 2

En térm inos de la fórmula de Euler e'B = cos 0 + i sen 8, los resultados establecen que si 2 , =

r ,e iei y z2 = r 2 ew‘, entonces z , z , = r ,r 2 e,(*i + *«) y — = *■*—z2 r2e'91 r2

20. Probar el teorema de De Moivre: (cos 0 + i sen 6)" = cos nO + i sen nd donde n esun entero positivo.

U sam os el princ ip io de inducción matemática. Se supone que el resultado es válido para el entero positivo k, es decir, se supone (cos 8 + i sen 8)* = cos M + i sen ¿8. Luego, m ultip licando am bos lados por cos 8 + i sen 8, encontram os

(cos » + t sen »)k + 1 = (cos fc» + i senA:»)(cos » + i sen #) = cos (k + 1)» + tsen (fc + 1)»

según el problema 19. E n este caso, s i el resultado es válido para n — k, entonces tam bién es válido para n = k + 1. Pero puesto que el resultado es claram ente válido para n = 1, debe tam bién ser válido para n = 1 + 1 = 2 y « = 2 + 1 = 3 , etc., y así, debe ser válido para todos los enteros positivos.

E l resultado es equivalente al enunciado (ele)" = enle.

21. Probar las identidades, (a) cos 56 = 16 cosr> 0 — 20 eos-1 0 + 5 cos 0; (6) (sen 50) / (sen 0) =16 eos4 0 — 12 eos2 0 + 1 , si 0 ^ 0, ± t , ± 2 i t , . . . .

U sam os la fórmula binomial(0 + 6)" = a" + (I)» " -* !) + (S)a" - 2 &2 + ••■ + (ü )a" -'í> ’- + • • • + 6"

donde los coeficientes (”) — ■. . ^ ‘— 7 7 , tam bién denotados por „Cr, se llam an los coeficientes bi-r ! \ti — r) \nomiales. E l número n\ o factorial de n está definido com o el producto 1 • 2 • 3* • %n y definim os 0! = 1.

D el problem a 20, con n = 5, y la fórmula binomial,

cos 5* 4- í sen 50 = (cos 0 4- i sen 0)5

= cos5 0 4- (j)(cos4 0)(¿sen 0) + (fH cos3 0)(¿ s e n 0)24- (5)(cos2 0)(i s e n 0)3 4- (*)(cos 0)(í sen 0)4 4- ( is e n 0 )5

= eos5 0 4- 5i eos4 0 sen 0 — 10 eos3 0 sen2 e— lOi eos2 0 sen3 0 4- 5 cos 0 sen 4 0 4- ise n 5 0

r= eos5 0 — lO co s3 0sen 2 0 4- 5 c o s 0 s e n 4 04- i(5 eos4 0 sen 0 — 10 eos2 0 sen 3 0 4- se n 5 0)

Por esto,(а) cos 50 .= eos5 0 — 10 eos3 0 se n 2 0 4 5 cos 0 sen* 0

= eos5 0 — 10 eos3 0 (1 — eos2 0) 4- 5 cos 0 (1 — eos2 0)2= 16 eos5 0 — 20 eos3 0 4- 5 cos 0

y(б) sen 50 = 5 eos4 0sen 0 — 10 eos2 0 sen 3 0 4 sen 5 0

sen 50 sen 0

= 5 eos4 0 — 10 eos2 0 se n 2 0 4- se n 4 0

= 5 eos4 0 — 10 eos2 0 (1 — eos2 0 ) 4- (1 — eos2 0 )2= 16 eos4 0 — 12 eos2 0 4 - 1

si sen 0 0, o sea 0 ^ 0, ± x, ± 2x, . . .

gis _|_ 022. Demostrar que, (a) cos 6 = , (b) sen 0 =2 ’ v 7 2t '

T enem os {!) e i0 = cos 0 4- i s e n 0, (2 ) e ~ 'e = cos 0 — i sene

(a) Añadiendo (1) y (2)

(ib) Sustrayendo (2) de ( /)

eM -f- « i« — 2 eos i

ei0 _ e ¡e = 2 i sen 0 o

f>i0 -j. i8

~ 2 ~

t ¿0 _ ^-¡02 i

23. Probar las identidades, (a) sen1 0 = !J sen 6 - J sen 30, (6) eos* 0 = ¿ eos 46 +J eos 20 -f §.

(gl 0 - c — ¡0)3 i(a) sen3 0 =

V 2¿ 1

- 8¿:l

-{e3i0 - 3c '8 + 3 c - ' 8 - e ~ 3ie)8 i3 1— s e n e sen Je4 4

tU c '8)1 - 3(e'8)2(e-">) + 3(eie)(c - <e)2 - ( e - ¡8)3}

((,¡0_ e -¡0\ j /(..lie _ (,-sí0\

2¿ ) 4 V, 2 í /

(6) eos4 e =c'8 4- e ■ ifl \ 1 ( ( , i 0 + f - 10 )4

10

{(c¡8)4 + 4(e'«)3(e-'«) + 6(«i8)2( e ~ i8)2 + 4<ci8)(c «)3 + (e •»)■«}

] / f 4 i0 + e - 4 i0

^ eos 4e + ^ eos 20 + jO 2 O

(e4¡8 + 4c2i8 + 6 + 4 c - 2W + c ~ 4i8) \ , 1 / e2'8 + c~2'e\J 'Á 2 .i1 ♦S

24. Dado un número complejo (vector) z, interpretar geométricamente ze■* donde a es real.

Sea a = re'8 , representado gráficam ente por el vector O A en la figura 1-30. Entonces

zeia = re i8*c‘“ = rc '<8 + a) es el vector representado por OB.

Por esto, la m ultiplicación de un vector z por e‘x consiste en rotar z, en sentido contrario al m ovim iento de las m anecillas del reloj, un ángulo a. Podem os considerar e‘a com o un operador que actúa sobre z para p¡g 1.30producir esta rotación.

25. Probar: e'8 = fc = 0, ±1, ±2, . . . .ei(0 + 2itir) = c o s (0 + 2A"a-) + 1 sen (0 -h 2 k~) = eos 0 + i s e n 0 = c’8

26. Hallar el valor numérico de cada una de las siguientes expresiones.

(a) [3(eos40° + ise n 40°)][4(cos 80° + i sen 80°)] = 3 • 4|cos (40° + 80°) + i sen (40° + 80°)]= 12 ( c o s l20° + ¡sen 120°)

= 12 i - 5 +\ 2 2

^ = -6 + 6 \ /3 i

(b)

(c)

(2 cis 15o)7 128 c is 105° = 2 cis ( 1 0 5 ° -1 3 5 ° )(4 c is 4 5 ° ) 3 64 cis 135

= 2[cos (—30°) + ¿sen ( -3 0 ° ) ] = 2[cos 30° — i sen 30o] = ^ 3 — i

10= (cis 120”)'° = cis 1200°1 4 \ /3 i \ in _ f 2 cis (60°) 1 '

1 — \/3 i / l 2 cis (—60°)]

Otro método.

( i ± V 3 i \ ' n = / t o ^ y = \ 1 - V S i ) \ 2 c - * » * J

cis 120° = i2 2

f >20 i r< /3

esri(,2m73 - ( l)[Cos (2r/3) 4 ¿ se n (2-/3)] = - | 4- ~ i


27. Probar, que, (a) arg (z,z2) = arg z, + arg z2, (6) arg (z¡/z2) = arg z, - arg z2, enunciando condiciones apropiadas de validez.

Sea z 1 = r ( (eos 8i + ( sen 8i) , z2 = r2 (eos 82 + i sen 82). Luego arg zi = 8i, arg z2 = 82.

(а) Y a q u e z tz2 = r , r 2 (eos (8j + «¿) + i sen (8, + 82)}, arg (z¡z2) = 8, 4- e2 = arg z, + arg z 2.z | r , / z , \

(б) Y a q u e — = — {eos (8, - S2) + i sen (8, - 82)}, arg I — I = 8, - e2 = arg 2 , - a r g z 2.2 '2 \*Z/

Como hay m uchos valores posibles para 8i = arg z¡ y 82 = arg z2, podem os únicam ente decirque los dos lados en las igualdades anotadas arriba, son iguales para algunos valores de arg Zj y arg z2.E llas pueden no ser válidas, aún si los valores principales son usados.

RAICES DE N UM EROS C O M PLEJO S28. (a) Encontrar todos los valores de z para que zs = —32, y (6) localizar estos valores

en el plano complejo.(a) E n forma polar, —32 = 32{cos (x + 2Ax) + i sen (x + 2**)}, k = 0 , ± 1 , ± 2 * --

Sea z = r(cos 8 + i sen 8). Luego, por el teorem a de D e M oivre,

z5 — ^ (co s 58 + i sen 58) = 32{cos (ir + 2kw) + i sen (¡r + 2kn)}

y así rS = 32, 58 = x + 2kx, de lo cual r = 2, 8 = (x + 2ki¿) /5 . Por tanto

= 2 l^cos + 2fcsA 5 /

+ i sen

S i k = 0, z = 21Si * - 1 , z “ *2Si * = 2, z = «3Si * = 3, z -Si * = 4, z = 2sConsiderando k --

z = z¡ = 2 (eos ic/5 4- ¿ sen ic/5).

= 2 (eos 3ic/5 + i sen 3ic/5).

= 2 (eos 5 r /5 + i sen 5 * /5 ) = —2.

= 2 (eos 7 r /5 -\- i sen 7 x /5 ) .

= 2 (eos 9 tc/ 5 + * sen 9ic/5).5, 6, . . . así com o

los valores negativos —1 , — 2 , . . ., obtendrem os repeticiones de los cinco valores de z antes m encionados. Por tanto , estas son las únicas soluciones o raíces de la ecuación dada.E stas cinco raíces se llam an las raíces qu intas de — 32, y se denotan por ( —32)*/5. En general, a*/n representa las raíces n-ésim as de a y existen n de tales raíces.

Los valores de z están indicados en la figura 1-31. Obsérvese que ellos están igualm ente espaciados a lo largo de la circunferencia de centro en el origen y radio 2. E n otras palabras, las raíces están representadas por los vértices de un polígono regular.

29. E ncontrar cada una de las raíces indicadas y localizarlas gráficamente.(a) (-1 + i) 03

— —1 + t = ^ 2 {eos (3n74 + 2/cir) 4 isen (3 ir /4 4 2fcx)}

(6)

Fig. 1-31

(- 1 + *)«'* = 206 J cos 3¡r/4 + 2k- + i sen !1 3ir/4 + 2 k-;)iSi k = O, Zi = 2 06(cos x /4 + i sen x /4 ) .

S i k — 1, z2 = 2 l/6 (cos l l x / 1 2 4 i sen l l x /1 2 ) .

S i k = 2, z2 = 2 0 6 (co s 1 9 x /1 2 + í sen 19x /12 ).

E stas están representadas gráficam ente en la figura 1-32.Fig. 1-32

(6) ( - 2 \ / 3 -

- 2 V 3 - 2 i = 4 {eos (7ir/6 + 2krr) + i sen(7x /6 + 2*ir)>

(—2\/3 — 2¿)I/4 = 4 . / < { c o s ( ™ ± ^ ) + i sen ^ 7r/6 + 2kn

Si k - 0, z¡ - s / ü (eos 7 x /2 4 + i sen 7 x /2 4 ).

S i k = 1 , z2 = v/S (eos 1 9x /24 + i sen 19x/24).

S i k = 2, 03 = V 2 (eos 3 1 x /2 4 + i sen 3 1 x /2 4 ).

S i k = 3, Z\ — y / í (eos 4 3 x /2 4 + i sen 43x /2 4 ).

E stas están representadas gráficam ente en la figura 1-33.

V

/ > \ i l i *

U v * |4i V ^V W

Fig. 1-33

- 8 / 1 7 .

(1)

(2 )

30. Encontrar las raíces cuadradas de —15 — 8i.Método 1 .

— 15 — 8i = 17{co8 (0 -f 2Aic) + i sen (0 + 2kx)} donde eos 0 = —1 5 /1 7 , sen

L uego, las raíces cuadradas de —15 — 8¿ son

\ / X l (eos 0 /2 + i sen 0/ 2)

y \^Í7 {eos (6 / 2 + v) + i sen (e / 2 + ir)) = —^ Í 7 (eos 6 / 2 + t sen 6 / 2 )

Ahora, eos s /2 = ± V (1 + co s« )/2 = ± y / ( l ~ 15/17)/2 = ± l / y / Í 7

sen t / 2 = ± V (1 - eo s« )/2 = ± y / ( l + 16/17J/2 = ± 4 / \ / Í 7 Puesto que 0 es un ángulo en el tercer cuadrante, 0 /2 es un ángulo en el segundo cuadrante. E n consecuencia, eos 0 /2 = — l / y / Í 7 f sen 0 /2 = 4 / y/Y7 y así de (1) y (2) las raíces cuadradas requeridas son — 1 + Ai y 1 — 4 i. Com o una verificación se puede ver que ( — 1 -f 4 í )2 = (1 — 4 *)2 = —15 — 8i.

Método 2.Suponiendo que p + iq, donde p y q son reales, representan las raíces cuadradas requeridas.

Entonces(P + iq )2 — P2 — q2 + 2p<7¿ = —15 — 8i o (3) p 2 — q2 = —15, (4) pq = —4

S ustituyendo q = —4 /p de (4) en (3), queda p 2 — 1 6 / p 2 = —15 o p* -f 15p2 — 16 = 0, es decir, (p2 -f- 16) (p2 — 1 ) = 0 o p 2 = —16, p 2 = 1. Com o p es real, p = ± 1 . D e (4) si p = 1, q = —4; si p = —1, q - 4. En este caso las raíces son — 1 + 4t y 1 — 4¿.

ECUACIONES POLINOM ICAS31. Resolver la ecuación de segundo grado az2 + ¿>z + c = 0, o ^ 0.

Trasponiendo c y dividiendo por a ^ 0, , 6 cz2 H— 0 = -----a a

A ñ a d ie n d o ^ -^ (com pletando el cuadrado) z2 + ^ z + ( ^ - ) = — ^ +

E ntonces

T om ando raices cuadradas,

Por tanto

2a t ) 'b2 — 4ac

4a2

, b — y/b2 — 4acz + — = — I-------------2a 2a

_ — 6 ± y/b2 — 4ac2a

32. Resolver la ecuación z2 + (2i — 3)z - f 5 — i = 0.D el problema 31, a = 1, b = 2i — 3, c = 5 — i y así las soluciones son

- 6 ± y/62 - 4ac ~ (2 t - 3) ± V (2 i - 3)2 - 4(1)(5 - t) 3 - 2t ± V ~ 1 S - 8i Z 2a 2(1 ) “ 2

= 3 - 2 , ± ( l - 4 i ) = 2 — 3i o 1 + i2

aprovechando el hecho de que las raíces cuadradas de —15 — 8i son ± (1 — 4¿) (véase el problema 30), éstas satisfacen la ecuación.

20 N U M E R O S C O M P L E J O S | CAP. I

33. Si el núm ero real racional p /q (donde p y q no tienen factor común, excepto ± 1 , es decir p /q es irreducible), satisface la ecuación polinómica aaz" + + — + a„ = 0donde a0, a¡, . . ,,a„ son enteros, m ostrar que p y q deben ser factores de a„ y a0 respectivamente.

Sustituyendo z = p / q en la ecuación dada y m ultiplicando por q" tenem os

a 0 p" + a ¡ p n~ 1q + • • • + o „-iP<7n_I + a„qn = 0 (7)

D ividiendo por p y trasponiendo el ú ltim o térm ino,

a0p” ' + a¡ pn~2q + • • • + O n - , ? " ' 1 = y - (.2)Puesto que el lado izquierdo de (2) es un entero, así debe serlo el lado derecho. Pero, com o p no tienefactor com ún con q, él n o puede dividir qn y así, debe dividir a„.

A nálogam ente, al dividir (1) por q y trasponiendo el primer térm ino encontram os que q debe dividir ao.

434. Resolver 6z* — 25z3 + 32z2 -f 3z — 10 = 0.

Los divisores de 6 y —10 son respectivam ente ± 1 , ± 2 , ± 3 , ¿ 6 y ± 1 , ± 2 , ± 5 , ± 1 0 . Portanto , según el problema 33, las posibles soluciones racionales son

± 1 , ± 1 /2 , ± 1 /3 , ± 1 /6 , ± 2 , ± 2 /3 , ± 5 , ± 5 /2 , ± 5 /3 , ± 6/ 6, ± 10 , ±10 /3 .

Para prueba, encontram os que z - —1 /2 y z = 2 /3 son soluciones, y así el polinom io (2z + 1)(3z — 2) — 6z 2 — z — 2 es un factor de z 2 — 4z + 5, siendo el otro factor 6z* — 25z3 32z2 + 3z — 10,encontrado por división. Por tanto

6z* - 25z3 + 32z2 + 3z - 10 = (6z2 - z - 2)(z2 - 4z + 5) = 0

Las soluciones de z2 — 4z + 5 = 0 son (véase el problema 31)

4 ± V l 6 - 20 _ 4 ± V = 4 = 2 ± iZ 2 “ 2 2

Luego, las soluciones son —1 /2 , 2 /3 , 2 4- i, 2 — i.

35. Probar que la suma y producto de todas las raíces de a0zn + a Y z n~l 4- • • • 4- an = 0donde a0 0, son —a i/a 0 y ( — l ) nan/a 0 respectivamente.

Si Z|, ¿2 , . . z n son las n raíces, la ecuación se puede escribir en forma factorizada com o

a0(z - z x){z - z 2) • * * {z - z n) = 0 La m ultiplicación directa m uestra que

a0{«" - (z! + z2 + • • • + z n)zn~ ' + • • • t- (“ 1 )nZ\Z2 - ' Z n) = 0

de donde se deduce que —a() íz\ 4 z¿ 4 • * • + z n) = a\ y ay ( —’[ ) nziz-y • • •z n - cin, de lo cual

z x I i., f ••• 4- z„ = z lz ¿ - ‘ -z„ - ( - l ) Ma„/a0com o queríamos.

36. Si p 4 QÍ es una raíz de altzn a, zn~l 4- • • • 4* = 0 donde a 0 ^ 0, a u . . ., an,p y q son reales, probar que p — qi es también una raíz.

Sea p f qi re '6 en la forma polar. Puesto que satisface la ecuación,

u 0 f-M ( .¡ n h | a j r n i eí> „ i >« j................o ;1 _ , r e ' ñ 4 o „ = 0

Tom ando el conjugado de am bos lados

r n e inM ■ a ¡ r" 1 <■ i( "* 1 • • •• 4 a„ ¡ re 1,1 t tí,, 0

vem os que re l() ~ p - qi os tam bién una raíz. El resultado no vale si «0, . . ., u„ no son todos reales(véase el problema 3 2 ).

El teorema se expresa a veces diciendo que: Los ceros de un polinomio con coeficientes reales aparecen en parejas conjugadas.

CAP. 1| N U M K RO S C O M P L E J O S 21

LAS RAICES n -é s im a s DE LA UNIDAD37. Hallar todas las raíces quintas de la unidad.

zs — 1 = eos 2 /ct + ¿sen 2kjr — eatri donde k — 0, —1 , —2 , . . .O h - 0 h ~

Luego z = e o s ------ 4 i sen — - = e2kiri/55 5

donde basta tomar k = 0. 1, 2, 3, 4 puesto que todos los otros valores de k conducen a repetición.

En este caso, las raíces son 1, e2?r</5, e4,ri/5, e8-7'75, eHni/i. S i llam am os e2jri/i = w, estas se pueden expresar com o 1 , u, <o2, o>3, a>4.

38. Si n = 2 , 3 , 4 , . . . , probar que(n\ 7T I ^ ^7r 2(n — 1 )tt -W ------------------ eos------ f- eos— 4 eos— + • • • + eos —-------— = -1n n n n,i x 27r 4r 671- 2(n — 1 )tt a(o) s e n -------h s e n — 4- s e n — + • • • 4 s e n —--------- — = 0W W W w

Considerar la ecuación z" — 1 = 0 cuyas soluciones son las raíces n-ésim as de la unidad,\ ¿ 2 i r i / n e 4 ~ ¡ / n e 2 ( n - l ) j r i / n

Según el problema 35, la sum a de estas raíces es cero. Entonces1 - | - e 2 n i / n e 4 7 r i / n - j - e 6 j r i / n g 2 ( n - l ) 7 r i / n = Q

es decir,

í , . — 2* , 4 7 7 , , 2(n — 1)tt| , . ( 2ir . 4tt , 2(n - I)*-]< 1 4 e o s— 4 e o s— 4 ••• 4 eos — ----— > 4 i ^ sen— 4 s e n — 4 --••• 4 sen —--------— > =n n n l l n n n l

de lo cual se deducen los resultados exigidos.

PRODUCTO VECTORIAL Y ESCALAR39. Si z¡ = 3 — 4¿ y z2 = — 4 + 3t, hallar (a) z,o->:2, (6) z, x z2.

(a) í ,0 2¡ = Re {¿,z2> = Re {(3 + 4í)(—4 + 30} = R e { - 2 4 - 7i> = - 2 4

Otro método. z¡ ° z 2 = (3)(—4) 4 (—4)(3) = —24

(b) z ¡ X z 2 = Im { li* 2> = Im {(3 4 4 í) ( -4 4 3í)} = Im ( - 2 4 - 7i} = - 7

Otro método z± X z2 — (3)(3) — (—4)(—4) = —7

40. Encontrar el ángulo agudo entre los vectores del problema 39.

Según el problema 39(a). se tiene eos# = = -- —--------- = —— = —0,96.|3 — 4t| |—4 + 3Í| 25

Entonces, el ángulo agudo es eos-* 0,96 - 16°16' aproxim adam ente.

41. Probar que el área de un paralelogramo de lados z, y Z‘2 es |ar, X z2|.

Area del paralelogramo (Fig. 1-34)

= (base) (altura)= (!z.|) CZ| | sen 0)= |zil'Z2¡sene = z, X z2|

42, Encontrar el área de un triángulo con vértices en A (x „y i), J3(*2,y ,) y C(jt3) y 3)-

Los vectores de C a A y a B (Fig* 1-35) se dan respectivamente por

zx = (Xj -a r3> 4 i(y í -y% ) t

z?. — tes - 3> + iivs ~

Puesto que el área de un triángulo de lados z\ y z% es l& mitad del área del correspondiente paralelogramo, tenemos, según el problema 41:

Area del triángulo ^ [ zx X | “ ^ | Im {[(a;l — #3) — t<í/i — Vn)]l{xi — #a) + i(V2 ~ 0g)]} I

= i \ ( * 1" * 3X2/2 “ Vs) ~ X2/1 Vdfaz ~ « 3) 1

= i I xíV2 “ y&n + *£ 3 “ ^ 3 ±_£<#i ~~ V&i IVi 1

af2 tfa 1 1

- i.len forma de determinantes.

COORDENADAS CO NJUGADAS COM PLEJAS

43. Expresar cada ecuación en términos de las coordenadas conjugadas (a) 2x + y = 5,

2 + i(.b) + .v2 = 36.(a) Como z = a: + ^Vj í — Íí/j * — '

ZJ -^2 s) + ("ir) - 6

i f y = — . Entonces 2x 4- y = 5 será

o (2i 4- l)s -i- (2í — 1)¿ = lQi

La ecuación representa una línea recta en el plano z

(¿0 Método 1. La ecuación es (x 4- ¿y) (* — iy) = 36 o zz = 36.

Método 2* Sustituyendo x — en x2 + y2 = 36 para obtener zz = 36.2 2 i

La ecuación representa una circunferencia en el plano % de radio 6 con centro en el origen*

44* Demostrar que la ecuación de una circunferencia o recta en el plano 0 se puede escribir como txzz + /?£ 4* ~$z 4- y = 0 donde 3 y y son constantes reales, mientras que p puede ser una constante compleja.

La ecuación general de una circunferencia en el plano xy se puede escribir

A (x 3 4- y2} 4- Bx 4 Cy + D — 0

que en coordenadas conjugadas será

Azi + B ( * ± l ) + c ( ^ ) + D = o o A« + $ + £ ) . + ( B _ c y + B = 0

B CLíamando A — a, — + — = jff y D = y , el resultado requerido se deduce*

En eí caso especial en que A = a — Of la circunferencia degenera en una recta,

CONJUNTOS DE PUNTO S

45* Dado el conjunto de puntos S : {¿ K ii, * - *} o brevemente {Un}, (a) ¿Es S acotado?(6) ¿Cuáles son sns puntos de acumulación, si tiene? (c) ¿Es S cerrado? (d) ¿Cuáles son sus puntos interiores y fronteras? (e) ¿Es S abierto? (/) ¿Es S conexo? (g) ¿Es S una región abierta o dominio? (h) ¿Cuál es la clausura de S? (i ) ¿Cuál es el complemento de pS? (j ) ¿Es S numerable? (A) ¿Es S compacto? (i) ¿Es compacta la clausura de S?(a) S es acotado puesto que para cada punto z en Sf ]z\ < 2 (por ejemplo), es decir, todos los puntos

de S están dentro de un círculo de radio 2 con centro en el origen.

(fr) Como toda vecindad reducida de z = 0 contiene puntos de S f un punto de acumulación es z — 0. Este es el único punto de acundulación-

Obsérvese que como S es acotado e infinito, el teorema de Bolzano-Weierstrass predice por lo menos un punto de acumulación*

(fc) S no es cerrado puesto que el punto de acumulación z = 0 no pertenece a £.

(id) Cada vecindad reducida de radio S de un punto i fu (o sea, cada círculo de radio 3 con centro en i/n) contiene puntos que pertenecen a 5 y puntos que no pertenecen a S, En este caso, cada jpunto de S, así como el punto z = 0, es un punto frontera. S no tiene puntos interiores*

Ce) S no consiste de puntos interiores. Por tanto, no puede ser abierto. En este caso, S ni es abierto ni es cerrado*

(f ) Si unimos dos puntos cualesquiera de S por un camino poligonal, hay puntos en este camino que no pertenecen a S . En este caso, S no es conexo*

{g) Puesto que S no es un conjunto abierto conexo, no es una región abierta o dominio.

(h) La clausura de S consiste del conjunto 5 junto con el punto de acumulación cero, o sea { 0, í, ¿i, . . . }♦

(£) El complemento de S es el conjunto de todos los puntos no pertenecientes a 5, es decir, todos los puntos z i, i f 2, i f 3,, , ,

( j ) Existe una correspondencia punto por punto entre loa elementos de S y los números naturales 1, 2, 3.......como se indica a continuación.

i ¿ i

i t l lPor tanto, S es numerable.

(k) S es acotado pero no cerrado* Por esto, no es compacto.

(£) La clausura de S es acotado y cerrado, y así es compacto,

46, Dados los conjuntos de puntos A = {S} —i, 4, 2 + if 5}? J3 = it 0} — 1, 2 + i }}C = { — \/2 i t 3 }.Hallar,(a) A -\-B o A u B , (b) AB o A n B , (c) A C o A n C t (d) A {B + C) o A n {B U C ), (e) AB + A C o (A n B )V (A n C )f (/) A {BC ) o A n (B n C ).(a) A -f- B = A U B consiste de puntos pertenecientes a A o B o a ambos y está dado por

{3, - i , 4, 2 + i, 5, 0, -1 }*

(ib} A B o A Pi B, consiste de puntos pertenecientes a A y B y está dado por { — £,2 -|- ¿}.

(c) A C o A fl C = {3}j consiste únicamente del elemento 3,

(«Q B + C o B l j C = { - i , 0, - 1, 2 + i, 3}-

Por esto, A (B C) o A f| (B U C) = { 3, — i, 2 + i} consiste de los puntos perteue- cientes a ambos A y B + C.

(e) A B — { — i} 2 + i}, A C = (3} de partes {b) y (c). Por tanto A S + AC = { —i, 2 -f- í, 3}*

De esto y el resultado de (d) vemos que A (B + C) = A B + AC o A p| (B U C) = (A n B ) U (A fi C), que ilustran con ejemplos el hecho de que A* B, C satisfacen la ley distributiva* Podemos mostrar que los conjuntos gozan de muchas de las propiedades válidas en el álgebra de números* Esto es de gran importancia en teoría y aplicación*

(/) B C = B n C = 0 , el conjunto vacío7 puesto que no hay puntos comunes a B y C. En consecuencia A (B C ) = 0 también,

PROBLEMAS VARIOS47. Un número se llama un número algebraico si es una solución de una ecuación pólinómica

a^zn + ai£n_1 + - - - + On-iZ -f- an = 0 donde aCí au . . an son enteros. Probar que,(a) yUS -h x '% y (6) - 2i son números algebraicos.(a) Sea £ = \ 3 + \/2 o z — \/S = Elevando al cuadrado* — 2 z + 2 - 3 o

2 — i = 2 i/ f z. Elevando al cuadrado otra vez, z* — 2z- -\- 1 = Sz- o & — 10z- + 1 = 0 , una ecuación polmomiaí con coeficientes enteros que tiene \f% + \/5 como una raíz. Por tanto, V 3 + V 2 es un número algebraico.

(ib) Sea z = 'Í f í — 2i o % + 2i = Elevando al cubo, í 3 +■ 3z2(2¿) 4* 3^(2£)2 4- (2¿)3 = 4 o— 12s — 4 = t (8 — Gí2}* Elevando al cuadrado, z6 H- 12z± — 8z$ + 48z2 + 96^ + SO =

una ecuación polinomiaí con coeficientes enteros que tiene ^4 — 2i como una raíz. Por esto, ^4 — 2i es un número algebraico.

N U M E R O S C O M P L E J O S | CAP. 1

N úm eros que no son algebraicos, o sea que no satisfacen ninguna ecuación con coeficientes enteros, se llam an números trascendentes. Ha sido probado que los números x = 3,14159. . . y e = 2,71828. . son trascendentes. N o obstante, no se conoce todavía si números tales com o ex o e + r. por ejem plo, son trascendentes o no.

Representar gráficamente el conjunto de valores de z para los cuales,

(a) z - 3z + 3 = 2, (b) « - 3

z + 3 < 2 .(a) La ecuación dada es equivalente a |z — 3| = 2 |z + 31 o, si z = X + iy , \x + iy

2\x + iy + 3¡, es decir,

V (* - 3)2 + y2 = 2 \J(x + 3)2 + y 2

31 =

Elevando al cuadrado y sim plificando, esto será

*2 + y 2 + 10* + 9 = 0 o (x + 5)2 + y2 = 16

o sea \z + 5| = 4, una circunferencia de radio 4 con centro en ( —5, 0) com o se m uestra en la figura 1-36.

G eom étricam ente, un punto P sobre esta circunferencia es tal que la distancia de P al punto B ( 3, 0) es dos veces la distancia de P al punto A ( — 3, 0).

Otro método.\z - 3 1 z + 3

= 2 es equivalente a

\ z + 3 / \ z + 3 /zz + 5z + 5z + 9

o s e a (z + 5)(z + 5) = 16 o \z 4* 5| = 4.(6) La desigualdad dada es equivalente a \z — 3| < 2 \z -1- 3| o y / (x — 3)2 + y 2 < 2 \ / ( x -f 3 )2 + y 2.

Elevando al cuadrado y sim plificando, esto será x- + y 2 + 10% + 9 > 0 o (x + 5)2 + y 2 > 16,o sea, \z -f 5| > 4.

El conjunto requerido en este caso, se com pone de todos los puntos exteriores al círculo de la figura 1-36.

Dados los conjuntos A y B representados por \z — 1| < 3 y \z — 2i\ < 2 respectivamente. Representar geométricamente, (a) A n B o A B , (b) A U B o A + B.

Los conjuntos de puntos requeridos, están som breados en las figuras 1-37 y 1-38 respectivam ente.

Resolver z2( l — z2) = 16.Método I. La ecuación puede escribirse *2 + 16 = 0 o sea z i + 8z2 + 16 - 9z2 = 0,(z2 + 4 )2 — 9z2 = 0 o (z2 + 4 + 3z)(z2 + 4 — 3z) = 0 . Entonces, las soluciones requeridas son las

soluciones de z2 + 3z + 4 = 0 y z2 — 3z + 4 = 0 o - - i — i v - ± — i2 2 2 2

Método 2 . Sea w = z2, la ecuación puede escribirse w- - a 1 + 16 = 0 y w = — ±1 3 ^

obtener soluciones de z2 = — + = y + i» los m étodos del problema 30 se pueden aplicar.

51. Si z¡, z2, z 3 representar, vértices de un triángulo equilátero, probar que

Z 1 + Zí + Z3 = Z,Z2 + ZíZ* + ZsZl

D e la figura 1-39 vem os que

z2 - = e™ '3 (z3 - i , )

~ *s = (z2 - *3>-------------------------------- -----*2 ~ z i _ * 3~ 2I

: V 7 t. Para

E ntonces dividiendo, z2 z-,

Fig 1-39

52. Probar que para m = 2, 3 ,. . .■rr 2 r Sít (m — 1W msen — sen — sen — • • ■ se n 2 — = ----m m m m 2m~l

Las raíces de zm = 1 son z = 1, e2ni/m, e4,ri/m, . . . , e2,m ~ Entonces, podemos escribirzm — 1 = (z — l)(z — e2,ri/m)(z — e45í/m) . . • (z — e2<m-l)»i/m)

D ivid iendo am bos lados por z — 1 y después haciendo z = 1 (dese cuenta que (zm — l ) / ( z — 1 ) =1 + z + z2 + • • • -f zm~ l) hallamos

= (1 — 62ir^ m) ( l — g4w»/m) g2(m - l)iri/m)

T om ando el conjugado com plejo de am bos lados de (1), obtenem osm — (1 _ _ e -4ir¡/m). . .(1 — e - 2(m-

M ultiplicando (2) por (2) aplicando (1 — e2klrí/m)(l — e 2km/m) = 2 — 2 cos (2kir/m), tenem os2(m - 1 )*A - c o s ----------------Im 2 — 2m _l ( 4 — e o s— h l — eos —

V m j \ mPuesto que 1 — cos (2 k x /m ) = 2 sen2 (kr . /m), (3) será

m 2 = 22m _ 2 sen2 77 sen2 %■ • • • sen, ( w - l b r

( /)

(2)

(3)

(4 )

D espués, tom ando la raíz cuadrada positiva de am bos lados, obtenem os el resultado exigido.

P r o b l e m a s p r o p u e s to sO PE R A C IO N E S F U N D A M E N T A L E S CON N U M E R O S C O M PL E JO S

53. Efectuar cada una de las operaciones indicadas:

(o) (4 — 3t) + (2t — 8) Ú e ) X (h) (2t - l )2 j ^ í - r +. ~ }

(b) 3 ( - l + 4i) - 2(7 - i) ^ (4 + t)(3 + 2 t)(l - t) / ( i ) i* + i* + i l>(c) (3 + 2i)(2 — i) 2 — t5 + i 10 — t 15

(d) ( i - 2){2 ( l + i) - 3( t - 1)} / (g) <2 + W ( l +_20 / (y) 3 ^ | ± 1 ) 2 _ 2 ( ^ j ) ’

f íesp. (a) - 4 - i (c) 8 + i (e) 11/17 - <10/17)t (p) - 1 5 /2 + 5« (i) 2 + i( i) - 1 7 + 141 (d) - 9 + 7» (/) 21 + i (A) - 1 1 /2 - (23/2)1 (;) - 3 - 2i

54 . S i Zj = 1 — i, z2 = — 2 + 4t, z3 = \/3 — 2t, hallar el valor numérico de cada una de las siguientes expresiones

Z[ + z2 + 1 1(a) z2 + 2z, - 3 <e) (A) |z'f + z¡ ¡ 2 + |z j - z2

z , - z2 + i |(6) | 2z2 — 3z, |2 J (i) Re (2z, + 3z | — 5 z |¡

/ 1 / ^ 3 3 \

(c) (z3 - z 3)5 W 2 \ 2:i + + ) / U) Im (z ,z 2/z 3}

(d) | z ,z2 + z2z, | \ (g) (z2 + z3)(z, - z3)v / (*«DIVERSIDAD NACION A

Facultad Politécnicon

Resp. (o) —1 — 4» (c) 1024» («) 3 /5 (g) - 7 + 3 \/3 + \ /3 » (i) - 3 5(6) 170 (rf) 12 (/) - 1 / 7 (h) 765 + 128V I (i) (6\/8 + 4)/7

\55. Probar que (o) (z ,z2) = z ,z2, (6) (z,z2z3) = Z!Z2z3. G eneralice estos resultados.

56. Probar que (o) (z ,/z 2) = z ,/z 2l (5) | z , /z 2 1 = |z1 | / | z 2| si Zj^O .

57 . H allar números reales * y y tales que 2x — 3»y + 4»'z — 2y — 5 — 10» = (* + y + 2) — (y — x + 3)i.

Resp. x = 1, y = - 2

58. Probar que (a) Re {z} = (z + z)/2 , ( i) Im {z} = (z — z)/2i.

59. Probar que si el producto de dos números com plejos es cero, entonces por lo m enos uno de los númerosdebe ser cero.

60. S i w * 3»z — z2 y z = x + iy, hallar |u)|2 en térm inos de x y y .

Resp. x* + y* + 2x2y 2 — 6x2y — 6y 3 + 9x2 + 9y2

R E P R E SE N T A C IO N G R A F IC A DE N U M E R O S C O M P L E JO S. V E C T O R E S

(e) 4(4 - 3ij + 4(5 + 2»)61. Efectuar las operaciones indicadas analítica y gráficam ente.

(а) (2 + 3 i) + (4 - 5») (c) 3(1 + 2») - 2(2 - 3»)(б) (7 + »') - (4 - 2i) (d) 3(1 + i) + 2(4 - 3») - (2 + 5»)Resp. (a) 6 - 2», (é) 3 + 3», (c) - 1 + 12», (d) 9 - 8», (e) 1 9 /2 + (3/2)»

62. S i zj, z2 y z3 son los vectores indicados en la figura 1-40, construir gráficam ente

(a) 2z, + z3 (c) z , + (z2 + z3) (e) Jz2 - f *i + £z3(b) (z, + z2) + z3 (d) 3z, - 2z2 + 5z3

63. S i Z\ = 4 — 3» y z2 = — 1 + 2», obtener gráfica y analíticam ente (a) | z, + z2 |, (6) | Zj z2 |, (c) ¿ , - ¿ 2, (d) | 2Z[ — 3z2 — 2 |.

•R e sp . (a) VTÓ, (4) 5 ^ , (c) 5 + 5», (d) 15 F¡g 14Q

64V Los vectores posición de los puntos A , B y C del triángulo A B C están dados por z \ = 1 + 2i,^ z2 = 4 — 2t y 23 = 1 — 6t respectivam ente. Probar que A B C es un triángulo isósceles y encontrar

las longitudes de ios lados. Resp. 5, 5, 8

65. Sea z¡, z2, Z3 , z 4 los vectores posición de los vértices del cuadrilátero A B C D . Probar que A B C D es unparalelogramo si y solam ente si z¡ — z2 — Z3 + z 4 = 0.

66. S i las diagonales de un cuadrilátero se bisecan, probar que el cuadrilátero es un paralelogramo.

67. Probar que las m edianas de un triángulo se interceptan en un punto.

68. Sea A B C D un cuadrilátero y E, F, G, H los puntos m edios de los lados. Probar que E F G H es unparalelogramo.

69. En el paralelogramo A B C D , el punto E biseca el lado A D . Probar que el punto donde B E se intercepta

/don A C divide en tres partes iguales a A C .

Los vectores posición de los puntos A y B son 2 + i y 3 — 2 i respectivam ente, (a) H allar unaecuación para la recta A B . (6) Hallar una ecuación para la recta perpendicular a A B en su punto m edio.

Resp. (o) z — (2 -f i) =* ¿(1 — 3¿) o x = 2 + t, y = 1 — 3t o 3x + y = 7

(6) z - (5 /2 - »/2) = <(3 o x = 3f + 5 /2 , y = t - 1 /2 o * - 3y = 471.

7 ■

Describir y construir la gráfica del lugar representado por cada una de las ecuaciones siguientes, (a)

| z - i | = 2, (6) | « + 2< | + | * - 2 í | = 6, (c) | z - 3 | - | z + 3 | = 4, (d) z(z + 2) = 3, (e) Im {z2> = 4.

Resp. (a) circunferencia, (6) elipse, (c) hipérbola, (d ) círculo, (e) hipérbola

Hallar una ecuación para (a) una circunferencia de radio 2 con centro en ( —3, 4), (6) una elipse confoco en (0, 2) y (0, —2) cuyo eje m ayor tenga longitud 10 .

Resp. (a) | z 3 - 4 i | = 2 o (x + 3)2 + (y - 4)2 = 4, (6) | z + 2t | + | z - 2t | = 10

73. Describir gráficam ente la región representada por cada una de las siguientes desigualdades:

.. ., (a) 1 < | z + i | fi 2, (6) Re (z2) > 1, (c) |z + 3 ¡ | > 4 , (d) | z + 2 - 3 í |, + | z - 2 + 3 í | < 10.

74. D em ostrar que la elipse |z -p 3| 4* |z — 3| — 10 se puede representar en forma rectangular comoC ^ x 2 /2 5 + y 2 /1 6 = 1 (véase el problema 13(6)).

F U N D A M E N T O S A X IO M A T IC O S DEL SIST E M A DE N U M E R O S C O M PL E JO S

75. Em plear la definición de número com plejo com o pareja ordenada de números reales para probar que siel producto de dos números com plejos es cero, entonces por lo m enos uno de los números debe ser cero.

76. Probar las leyes conm utativas con respecto a la, (a) sum a, (4) m ultiplicación.

77. Probar las leyes asociativas con respecto a la, (a) sum a, (4) m ultiplicación.

78. (a) H allar números reales x y y tales que (c, d ) .(x , y ) = (a, 4) donde (c, d) ¡a (0 ,0 ) .(4) ¿Cuál es la relación de (x, y ) con el resultado para división de números com plejos dado en la

página 2?

79. Probar que

(eos « ¡.sen »i)(cos «2, sen « 2)- • - (eos 0„,sen »n) = (eos [s, + «2 + * •' + •»]. sen [«, + »2 + ' ' ' + ®nl)

80. (o) ¿Cóm o definiría usted (a, 4)1/" donde n es un entero positivo?(4) Determ inar (a, 4)>/2 en térm inos de a y 4. £ (^CX b")

F O R M A PO L A R D E LO S N U M E R O S C O M PL E JO S

81. Expresar cada uno de los siguientes números com plejos en forma polar.( a ) 2 - 2 i, (4) - 1 + ^ 3 * , (e) 2 \/2 + 2 \ / 2 t, (d) - i , (e) - 4 , ( / ) - 2 \ / 3 - 2 t , (ff) y /2 i , (k) \ /3 /2 - 3t/2.

Resp. (o) 2\¡2 cis 315° o 2\T2e7*<'4, (4) 2 cis 120° o 2e2"<'3, (c) 4 cis 45° o 4e'ri'4, (d) c is2 7 0 ° o e3""2, (e) 4 cis 180° o 4eIri, (f ) 4 cis 210° o 4e7,rl/6, (g) V 2 c is 9 0 ° o \ /2 e 'ri/2, (h ) \ /3 e i s 3 0 0 o o ^ 3

82. D em ostrar que 2 + t = V b e ‘ lon' 1 (1/2).83. Expresar en forma polar (a) —3 — 4 i, (b) 1 — 2 i.

Resp. (o) 5 e í(T 4 lan' ,4/3), (4) v S e ~ l Un' ‘ 2

84. Construir la gráfica y expresar en forma rectangular.(a) 6 (eos 135° + i sen 135°), (6) 1 2 c is 9 0 ° , (c) 4 c is 3 1 5 ° , (d) 2e577i/4, (e) 5e7iri/6, (f) 3 e ~ 2iri/s.Resp. (a) - 3 \ / 2 + 3 \/2 i, (4) 12í, (c) 2\Í2 - 2y¡2 i, (d) - \ f 2 - (e) - 5 \ /3 /2 - (5/2)», (/) - 3 \ Í 3 / 2 - (3/2)i

85. U n aeroplano viaja 150 km en dirección sudeste, 100 km en dirección directa al oeste, 225 km 30° hacia el noreste y después, 200 km hacia el noreste. Determ inar, (a) analíticam ente, y (4) gráficam ente a qué distancia y en qué dirección está pl de su punto de partida.

Resp. 375 km, 23° al noreste (aproximadam ente).

86. Tres fuerzas, com o se m uestra en la figura 1-41, actúan en un plano sobre un objeto colocado en O. Determ inar, (a) gráficam ente, y (4) analíticam ente, qué fuerza es necesaria para evitar un m ovim iento del objeto. (Esta fuerza es algunas veces llamada, fuerza equilibrante.)

87. Probar que sobre el círculo z = R e ie, le*1! = e ~ Rse,lS.

88. (a) Probar que r,e'*i + r2eis» = r3ei9i donde

r3 = V r i + r2 + 2 r ,r2 eos ( í t — í 2)

— tan - 1r, eos #| + r2 eos 8 ¿

(4) Generalice el resultado en (a).

r ,sen í ] + ^ se n » ;

Fig. 1-41

EL T E O R E M A DE DE M O IV R E

89. H allar el valor numérico de cada una de las siguientes expresiones:(a) (5 cis 20°)(3 cis 40°) (4) (2 cis 50°)6 (c) (8 cis 40°)»

(2 cis 60°)4(d)

(3e’rl/6)(2e- 5,n74)(6e5'7Í/3) (4e2u 175)2 le)

m m r

Resp. (a) I5 /2 + U 5V 3/2X , ( i) 32 - 3 2 \ / 3 t , (c) - 1 6 - 1 6 \ / 3 t , (d) 3 \/3 /2 - (3 \/3 /2 )i, (e) —^ 3 /2 — ( l/2 ) i

90 . Probar que, (a) sen 30 = 3 sen 0 — 4 sen-”* 0, (b) eos 30 = 4 eos3 0 — 3 eos 0.

91. Probar que las soluciones de z i — 3z 2 + 1 = 0 están dadas por z = 2 eos 36°, 2 eos 72°, 2 eos 216°,2 eos 252°.

92. D em ostrar que (a) eos 36° = ( \ / 5 + l ) / 4 , (b) eos 72° = (%/5 — 1 ) /4 . (Sugerencia: Use problema 91.)

sen 4 ti93. Probar que (a) ----- = 8 eos3 0 — 4 = 2 eos 30 + 6 eos 0 — 4

sen 0(b) eos 40 = 8 sen 4 0 — 8 sen 2 0 + 1

94. Probar el teorema de D e M oivre para, (a) enteros negativos, (6) números racionales.

R A IC E S DE N U M E R O S C O M PL E JO S

95. H allar cada una de las raíces indicadas y localizarlas gráficamente.

(a) (2 \/3 - 2 í)1/2, (6) ( - 4 + 4¿)l/5, (c) (2 + 2 \/3 ¿ ) l/3, (d ) («) (64)>'«, (/) (i)2' 3.

Resp. (a) 2 cis 165°, 2 cis 345°. (6) \ /2 cis 27°, \ / 2 c i s 9 9 0, V 2 c is 171°, V 2 cis 243°, \ /2 c i s 3 1 5 ° .(c) \^4 cis 20°, V ^ 4c¡sl40°, \ f i cis 260°. (d) 2 cis 67,5°, 2 c is 157,5°, 2 c is 247,5°, 2 cis 337,5°.(«) 2 cis 0 ° , 2 cis 60°, 2 c is 120°, 2 c is 180°, 2 cis 240°, 2 cis 300°. (/) cis 60°, cis 180°, cis 300°.

96. Hallar todas las raíces indicadas y localizarlas en el plano com plejo.(a) R aíces cúbicas de 8, (6) raíces cuadradas de 4 \ / 3 + 4 \ / 5 i, (c) raíces quintas de —16 + 16 >/& i,(d ) raíces sextas de —27 i.

Resp. (a) 2 c is 0 ° , 2 cis 120°, 2 cis 240°. (6) ^ 8 cis 22.5°, VÜ cis 202.5°. (e) 2 cis 48°, 2 cis 120°, 2 cis 192°, 2 cis 264°, 2 cis 336°. (d) V 3 cis 45°, \ /3 cis 105°, \ /3 c is 165°, y/3 cis 225°, \ /3 c is 285°, \ /3 cis 345°.

97. R esolver las ecuaciones (a) z4 + 81 = 0, (6) z í + 1 = \ / 5 i.

Resp. (a) 3 cis 45°, 3 cis 135°, 3 cis 225°, 3 cis 315°(b) \Í2 cis 40°, \¡2 cis 100°, -\/2 cis 160°, \f2. c is 220°, ^ 2 cis 280°, v'Ü cis 340°

98. H allar las raíces cuadradas de (a) 5 — 1 2 i, (b) 8 + 4 \ / S i.

Resp. (a) 3 - 2 i, - 3 + 2 i. (6) + V 2 i, - s /10 - «

99. H allar las raíces cúbicas de —11 — 2». Resp. 1 + 2¿, ^ — V i + (1 + ^ \/3 )t, — J — \/3 + — l ) i

E C U A C IO N E S P C ^ IN O M IA L E S

100. R esolver las siguientes ecuaciones, obteniendo todas las raíces: (a) 5z2 + 2z + 10 = 0, (b) z2 +(¿ - 2 )z + (3 - i) = 0. Resp. (a) ( - 1 ± 7¿)/5 , (b) 1 + i, 1 - 2 i

1 0 1 . R esolver — 2z \ — z'¿ + 6 z — 4 = 0 . Resp. 1, 1, 2, —1 ± i

102. (a) H allar todas las raíces de z* + z 2 + 1 = 0, y (b) localizarlas en el plano com plejo.

Resp. ¿(1 4: iV Z ) , $ ( - 1 ± i V 3 )

103. Probar que la sum a de las raíces de a$zn + a\ z n~ l + z n~ 2 + ••• + a n = 0 donde üq 0 tom adar a la vez es ( — l ) r ar /ao donde 0 < r < n.

104. Hallar dos números cuya sum a es 4 y cuyo producto es &V. Resp. 2 + 2 i, 2 — 2 i

LAS R A IC E S n -é s im a s DE LA U N ID A D

105. Hallar, (a) todas las raíces cuartas, (b) las raíces séptim as de la unidad y mostrarlas gráficamente.

Resp. (a) e2 n ik /4 = e"ik/2, k = 0 ,1 ,2 ,3 (6) e2irik' 7, k - 0 ,1 , . . . , 6

106. (a) Probar que 1 f- eos 72° + eos 144° + eos 216° + eos 288° = 0.(b) Dar una interpretación gráfica del resultado en (a).

107. Probar que eos 36° + eos 72° + eos 108° + eos 144° = 0 e interpretar gráficamente.

“V

108. Probar que la sum a de los productos de todas las raíces n-ésim as de la unidad, tom adas 2, 3, 4 , .(n — 1 ) a la vez, es cero.

109. H allar todas las raíces de (1 + z)s = (1 — z)s.

Resp. 0, (w — l)/(ti* + 1). (w2 — l ) / ( o >2 -f 1), (w2 — ll/tor* + 1)» í<*»' — l)/(<»ít + 1), donde w = eint/s

E l, P R O D U C T O V E C T O R IA L Y ESC A L A R

110. S i z¡ = 2 + 5» y z2 = 3' — i, hallar (o) z ( ° z 2, W *i * *2, (c) z2 ° z t, (d) z2 X z i , (e) | z , ° z 2 |,(/) l* 2 ° * l l . (P) I *i X *2 1. W ¡ *2 X z,

Resp. (o) 1, ( i) - 1 7 , (c) 1, (rf) 17, (e) 1 , (f) 1 , (g ) 17, (h) 17

111. Probar que (a) Z i° z 2 = z2 ° * i, (&) 2, X í 2 = — z2 X z ,. 4_

112. Si z x = rje^i y z 2 — r 2eie2, probar que (o) z ¡ ° z 2 = r xr 2 eos (02 ~ *i)» (&) *i x *2 = r ir 2 sen (^2 — *i)-

Í J $ . Probar que (a) 2 , ° ( z 2 4- z 3) = z x o z 2 4- * ,o z 3, {b) z, X (z2 + z3) = z¡ X z 2 + z x X z 3.

114. H allar el área de un triángulo con vértices en —4 — i, 1 4- 2 i, 4 — 3*. Resp. 17

115. H allar el área de un cuadrilátero de vértices (2, —1), (4 ,3 ) , ( —1, 2) y ( —3, —2). Resp. 18

C O O R D E N A D A S C O N JU G A D A S

116. D escribir cada uno de los siguientes lugares geom étricos expresándolos en térm inos de las coordenadas conjugadas z, z.(a) zz = 16, (6) zz — 2z — 2¿ 4- 8 = 0, (c) z 4- i = 4, (d) z = 3K+ 61.

Resp. (a) x 2 4- j/2 = 16, (6) x 2 4- y 2 — 4x 4- 8 = 0, (c) x = 2, (d) y = —3

117. Escribir cada una de las siguientes ecuaciones en térm inos de las coordenadas conjugadas.

(a) (x - 3)2 + y 2 = 9, (6) 2* - 3y = 5, (c) 4x2 + lGy2 = 25.

Resp. (a) (z - 3)(z - 3) = 9, J b ) (2t - 3)z + (2t + 3)z = 10», (c) 3(z2 + z2) - lOzz + 25 = 0

C O N JU N T O S DE P U N T O S

118. Sea <S el conjunto de todos los puntos a 4* bi, donde a y 6 son números racionales, que están dentro del cuadro que aparece som breado en la figura 1-42. (a) ¿Es S acotado? (b) ¿Cuáles son los puntos lím ites de S, si existen? (c) ¿Es S cerrado? (d)¿Cuáles son sus puntos interiores y fronteras? (e) ¿Es S abierto?(/) ¿Es S conexo? (g ) ¿Es S una región abierta o dominio? (h )¿Cuál es la clausura de S? (i) ¿Cuál es el com plem ento de S?(j ) ¿Es S numerable? (A) ¿Es S com pacto? (/) ¿Es la clausura p . ^de S com pacta? K *Resp. (a) Sí. (6) Cada punto dentro o sobre la frontera del cuadrado es un punto límite, (c) N o. (d )

T odos los puntos del cuadrado son puntos fronteras; no hay puntos interiores, (e) N o. (/) No. (g) N o. (h ) La clausura de S es el conjunto de todos los puntos dentro y sobre la frontera del cuadrado, (i) El com plem ento de S es el conjunto de todos los puntos que no son iguales a a + bi cuando a y b (donde 0 < a < 1 , 0 < b < 1 ) son racionales, (j) Sí. (/?) No. (/) Sí.

C A P 1| N U M K R O S C O M P L E J O S 29

VI 1 4 - i

X0 1

119. R esponder el problema 118 si S es el conjunto de todos los puntos dentro del cuadrado.

Resp. (a) Sí. (6) Cada punto dentro o sobre el cuadrado es punto límite, (c) No. (d ) Cada punto dentro es un punto interior, mientras que cada punto sobre la frontera es un punto frontera, (e) Sí. (/) Sí. (g) Sí. (h ) La clausura de S es el conjunto de todos los puntos dentro y sobre la frontera del cuadrado. (¿) El com plem ento de S es el conjunto de todos los puntos exteriores al cuadrado sobre su frontera. (J) N o. (I) Sí.

120. R esponder el problema 118 si S es el conjunto de todos los puntos dentro o sobre el cuadrado.

Resp. (a) Sí. (6) Cada punto de S es un punto lím ite, (c) Sí. id) Cada punto dentro del cuadrado es un punto interior, m ientras que cada punto sobre la frontera es un punto frontera, (e) No.

(/) Sí. (g) N o. (h ) S m ism o, (t) T odos los puntos exteriores al cuadrado, (y) N o. (k ) Sí. (/) Sí.

121. D ados los conjuntos de puntos A = (1, i, —i}, B = {2, 1, — ¿}, C = {i, —i, 1 + ¿}, D = {0, —i, 1}. Hallar:(a) A + (B + C) o A u (B u C ) , (6) A C + B D o (A n C )U (B n D ), (c) (¿4 + C){B + D) o (A u C )n (R u D ).Resp. (a) {2, 1, —i, i , 1 -f- (b) {1, i, —i}, (c) {1, — i)

122. Si A , B , C y D son conjuntos de puntos, probar que, (a) A + B = B -f A , (b) A B = B A , (c) A +(B + C) = (A + B) - f C, (d ) A ( B C ) = (A B ) C , (e) A ( B + C) - A B + A C . D ar resultados eq u ivalentes usando las notaciones D y U- D iscutir cóm o éstos se pueden utilizar para definir un álgebra de conjuntos.

123. Si A , B , C son los conjuntos definidos por \z -f ¿| < 3, \z\ < 5, \z + 11 < 4, representar gráficam ente:

(a) 4 n f i n C , ( b ) ^ A u B u C , (c) A n B u C , (d ) C(A + B), (d) ( A u B ) n { B u Q , (e) A B + B C + C A , (/) A B + B C + C A .

124. Probar que el com plem ento de un conjunto S es abierto o cerrado según S sea cerrado o abierto.

125. Si S | , S 2 , ■ ■ , S n son conjuntos abiertos, probar que S¡ + So + • • • + S n es abierto.

126. Si un punto lím ite de un conjunto no pertenece al conjunto, probar que él debe ser un punto frontera del conjunto.

P R O B L E M A S V A R IO S

127. Sea A B C D un paralelogramo. Probar que (AC)2 -f (B D ) 2 = ( A B ) 2 + (B C ) 2 -f (CD ) 2 + ( D A ) 2.

128. Explicar el error en: —1 = y / — í \ / — í = \ / ( —1)( —1) = y / l = 1. Por tanto, 1 = —1.

129. (a) M ostrar que la ecuación z* -f a jz3 + a^z2 + a$z + a.t = 0 donde 01, 02, 03, a.t son constantesreales diferentes de cero, tiene una raíz imaginaria pura si a§ + «^04 = a l a2 a3.

(b) ¿Es verdadera la recíproca de (a)?

130. (a) Probar, que cosn 0 = ^ t | eos n<p + n eos (n — 2)0 + ^ cos (n ~ 4)0 + *'* +

eos 0 si n es impar

donde R n = n -[(w/2)!]2 si n es par

(6) Derivar un resultado sim ilar para sen" 0.

131. S i z = §e'ni,s, hallar el valor numérico de |e**|. Resp. e - 3 ^

132. M ostrar que para números reales p y m, e2micot ‘ p J^L iL IL = i .

133. S i P (z ) es un polinom io en z con coeficientes reales, probar que P(z) — P(z).

134. Si z 1, Z2 y Z3 son colineales, probar que existen constantes reales cc, (J, y no todas cero, tales que az¡ +fiz2 + y Z3 = 0 donde 3 + fi + y = 0.

135. D ado el número com plejo z, representar geom étricam ente (a) z, (6) —z, (c) 1/z, (d) z2.

136. D ados dos números com plejos z\ y Z2 no ¡guales a cero, m ostrar cóm o se puede representar gráficam ente usando sólo regla y com pás, (a) z xz2, (b) z x/ z 2, (c) z 2 + z\, (d) z¡/2, (e) z2/i,

137. Probar que la ecuación de la recta que pasa por los puntos z¡ y z 2 está dada por

arg {(z - z x)/(z2 - *,)} = 0

138. Si z = x + iy, probar que |z | + \y\ ^ \^2 | x + ty |.

139. ¿Es exacta la recíproca del problema 51? Justifique su respuesta.

140. Hallar una ecuación para el círculo que pasa al través de los puntos 1 — i, 2t, 1 + í.

Resp. \z + 1| = y'S o (x + l )2 + y 2 = 5

141. D em ostrar que el lugar de z tal que |z — a| |z -f u| = a2, a > 0 es una lemniscata com o la de la figura 1-43.

142. Sea pn = o2 + 62, n = 1 , 2 , 3 , . . . donde a n y 6„ son enteros positivos. Probar que para cada entero positivo M podemos siempre encontrar enteros positivos A y B tales que p ip 2 ” -Pm = A 2 + R 2- (Ejemplo: Si 5 *= 22 + l 2 y 25 = 3 2 + 42, entonces 5-25 = 22 + l l 2.)

143. Probar que

(a) eos 9 + eos (9 + a) +* sen J(n + l)a

+ eos (9 + no) = ----- *— --------sen Ja

eos (9 + Jna)

(6) se n 9 + se n (9 + a) + • • • + sen (9 + na) = 880 sen (9 + Jna)sen Ja *

144. Probar que (a) R e {zj > 0 y (6) |z — 1 1 < \z + 1| son proposiciones equivalentes.

145. Una rueda con radio 4 pies (Fig. 1-44) está volteando en sentido contrario al m ovim iento de las m anecillas del reloj alrededor de un eje que pasa por su centro, 30 revoluciones por m inuto, (a)M ostrar que la posición y velocidad de cualquier punto P sobre la rueda, están dados respectivam ente por 4eivt y 4r ie int, donde t es el tiem po en segundos, m edido desde el instante cuando P estaba sobre el eje x positivo. (b) Hallar la posición y velocidad cuando t = 2 /3 y t = 15 /4 .

146. Probar que para un entero m > 1,m - 1

(z + a)2m — (z — a)2m ^ 4m a z n (*2 + ° 2 cot2 {kir/2 m)}k = 1

m - 1donde ü denota el producto de todos los factores indicados desde k = l a m — 1.

k = l

147. Si los puntos P \ y P<¿ representados por z¡ y z¿ respectivam ente, son tales que \z\ + z>\ = \&i — Z2I1 probar que, (a) Z\ es un número imaginario puro, (6) ZPj OP¿ = 90°.

Fig. 1-44

148. Probar que para un entero m > 1,

cot ~ 2 - 3?r- — cot - — cot - — 2 m 2 m 2 m 2 m

149. Probar y generalizar: (a) esc2 (t /7) + esc2 (2x /7 ) + esc2 l4 x /7 ) = 2(b) tan2 (x /16) -f tan 2 (3x/16) + tan2 <ott/1 6) -f- tan2 (7 r/1 6 ) = 28

150. Si m asas m \, m 2, m¿ están localizadas en puntos z¡, z2 , z¿ respectivam ente, probar que el centro de masa está dado por

/ s m \ Z \ + m 2 z 2 + m 3 z 3

m¡ + m2 + w3Generalice a n masas.

151. Encontrar el punto sobre la recta que une los puntos z\ y z> que la divide en la razón p.q. Resp. (qzi + p z 2) / (q -f p)

152. M ostrar que una ecuación para una circunferencia que pasa por 3 puntos z¡, z¿, z¿ está dada por<z3- ;

(s í ) / ( p s ) -153. Probar que las m edianas de un triángulo con vértices en z¡, z2, z.\ se cortan en el punto )¡(zl -f z2 + z3).

154. Probar que los números racionales entre 0 y 1 son numerables.

(Sugerencia: arreglar los números com o 0, jj, jf. j¡........... )

155. Probar que todos los números reales racionales son numerables.

156. Probar que los números irracionales entre 0 y 1 no son numerables.

157. Representar gráficam ente el conjunto de valores de z para los cuales (a) \z\ > \z — lf , (b) ’z -f 2| > 1 4-\z - 2 |.

158. M ostrar que (a) y/2 + y/3 y (6) 2 — y /2 i son números algebraicos.

159. Probar que y /2 4- es un número irracional.

160. Sea A B C D » • • PQ un polígono regular de n lados inscrito en una circunferencia de radio unidad. Probarque el producto de las longitudes de las diagonales A C , A D , . . ., A P es csc2 (-/w).

161. Probar que si sen* ¥■ U,

(°) 8e.T = 2 n~ l n {eos* — eos (fc;r/7l)}


sen * k = i

sen (2 n + 1)8 _ A í , se n 2 # jsen# H i -j sen 2 fer/'(2n + 1 ) | '

n í eos2 *162. Probar eos 2n* = ( - l ) n í l i * TTm, ÍT Z Tk ~ i [ eos2 ( 2 k - \ ) n / 4 n

163. Si el producto de dos números com plejos z\ y z2 es real y diferente de cero, probar que existe un número real p tal que z, = p¿2.

164. Si z es un punto sobre la circunferencia ¡z — 1| = 1, probar que arg (z — 1) = 2 arg z = §a rg (z2 — z) y dar una interpretación geom étrica.

165. Probar que bajo restricciones convenientes, (a) z mz n = zm+n, (6) (z"‘)n = zmn.

166. Probar (a) Re {z,z2} = Re {z,} Re {z2} — Im { z ,} Im {z2}

(6) Im {z,22> = Re { z j Im {z2} 4- Im {z,} Re {z2}.

167. Hallar el área de1 polígono con vértices en 2 4 3i, 3 4- i, —2 — 4¿, —4 — i, —1 + 2¿.Resp. 4 7 /2

168. Sea a i, 02, . . -, a„ y b¡, b2, . . bn números com plejos. Probar la desigualdad de Schwarz,

2 bkk = l I . iM )

Capítulo 2Funciones, lím ites y c o n t in u id a d

VARIABLES Y FUNCIONESUn símbolo, tal como z, el cual representa a cualquier elemento de un conjunto de núme

ros complejos es llamado una variable compleja.Si a cada valor que puede tom ar la variable compleja z le corresponde uno o más valores

de una variable compleja w, decimos que w es una función de z y escribimos w = f(z) o w = G(z), etc. La variable z corrientemente es llamada, la variable independiente, mientras que w es llamada la variable dependiente. El valor de una función en z = a se escribe fia). Luego si f(z ) = z2, entonces /(2t) = (2;)2 = — 4.

FUNCIONES UNIVOCAS Y M ULTIVOCASSi a cada valor de z corresponde sólo un valor de w, decimos que w es una función unívoca

de z o que /(z) es unívoca. Si más de un valor de w corresponde a cada valor de z, decimos que w es una función multívoca o multiforme de z.

Una función m ultivaluada puede considerarse como una colección de funciones unívocas; cada miembro de esta colección será llamado una rama de la función. Se acostumbra considerar un miembro particular como una rama principal de la función multívoca y el valor de la función correspondiente a esta ram a como el valor principal.

E je m p lo 1: S i w = z2, entonces para cada valor de z existe sólo un valor de w. Por esto w = /(z ) = z-es una función unívoca de z.

E je m p lo 2: Si w = 21/ 2, entonces para cada valor de z existen dos valores de w.. D e donde w -f { z ) = z*/2 es una función m ultivaluada (bivaluada en este caso) de z.

Cuando hablemos de función suponemos, a menos que digamos lo contrario, que es una función unívoca.

FUNCIONES INVERSASSi w = f(z), entonces podemos considerar z como una función de w, simbólicamente

z = g(w) = f~ l (h>). La función f~l se llama la función inversa de f. Entonces w = f(z) y w = f~ l (z) son funciones inversas (una de la otra).

TRA SFO RM ACIONESSi w = u + iv (donde u y v son reales) es una función unívoca de z = x + iy (donde

x y y son reales), podemos escribir u + iv = f ix + iy). Igualando partes real e imaginaria, esto es equivalente a

u = u (x ,y ) , v = v(x, y) (1)Entonces al punto (x, y) en el plano z, tal como P en la figura 2-1, le corresponde el punto (u, v) en el plano w digamos P ' en la figura 2-2. El conjunto de ecuaciones (1) (o la equivalente, w = f(z)) es llamada una trasformación. Decimos que el punto P se aplica o trasforma en el punto P ' por medio de la trasformación y llamamos P ' la imagen de P.

E je m p lo : Si w = z-, entonces u + iv = (x -f iy ) 2 = *2 — y 2 + 2ixy y la trasformación esu = x 2 — y 2, v = 2xy . La imagen de un punto (1, 2) en el plano z es el punto ( - 3 , I' en el plano w.

33

F UNC I ONE S, L I M I T E S Y C ON TI NU I DA D | CAP. 2

Plano z

Fig. 2-1 F ig .2-2

En general, bajo una trasformación, un conjunto de puntos como el de la curva PQ de la figura 2-1 se aplica en un conjunto correspondiente de puntos llamado la imagen, ta l como los de la curva P 'Q ' en la figura 2-2. La característica particular de la imagen depende evidentemente del tipo de función f(z) llamada algunas veces aplicación. Si f(z) es multívoca, un punto (o curva) en el plano z se aplica generalmente en más de un punto (o curva) en el plano w.

COORDENADAS CURVILINEASDada la trasformación w = f(z) o, equivalentemente u = u (x ,y ) , v = v (x ,y ), llama

mos (x, y) las coordenadas rectangulares correspondientes a un punto P en el plano z y («, v) las coordenadas curvilíneas de P.

Plano wV C2

V

c P 's

U

\

Fig. 2-3 Fig. 2-4

Las curvas u(x, y) = c ,, v(x, y) = c2, donde C! y c2 son constantes, se llaman curvas coordenadas (Fig. 2-3) y cada par de esas curvas se intersectan en un punto. Esas curvas se aplican en rectas ortogonales entre sí en el plano w (Fig. 2-4).

LAS FU N CIO N ES ELEM ENTALESl. F u n c io n e s p o lin o m ia le s son las definidas por

w a0zn + a¡zn~l + ■ ■ ■ + a „ - tz + a„ P(z) (2 )

donde a0 ^ 0, a,, . . ., a„ son constantes complejas y n es un entero positivo llamado el grado del polinomio P(z).

La trasformación w = az + 6 se llama una trasformación lineal.

F u n c io n e s a lg eb ra icas rac io n a le s son las definidas porP(z)

w Q(z) (3)

CAP. 2] FUNCI ONES, L IMI TES Y C O N TI NUI DAD 35

donde P(z) y Q(z) son polinomios. Algunas veces llamamos (3) una trasformación racio

nal. El caso especial w = —- . donde ad — be 0 se llama usualmente unacz + atrasformación bilineal o trasformación lineal fraccional.

3. F u n c io n e s ex ponencia les son las definidas por

w = ez - exiiv = ex (cos y + i seny) (4)

donde e = 2,71828 es la base de los logaritmos naturales. Si a es real y positivo, definimos

a‘ = (5)

donde ln a es el logaritmo natural de a. Esto se reduce a (4) si a = e.Las funciones exponenciales complejas tienen propiedades semejantes a las de las

funciones exponenciales reales. Por ejemplo, ez< • ez‘ — e '1***, ex'!e1' = ex,~x‘.

4. F u n c io n e s tr ig o n o m é tr ic a s . Definimos las funciones trigonométricas o circulares sen z, cos 2 , etc., en términos de las funciones exponenciales como sigue

eiz - e~,z eix + e~ixsen 2 = — cos z —2.1 2

1 2 1 2 isec 2 = = -K-;---- rr: CSC 2 =cos 2 eiz + e~iz sen 2 eu — e~iz

sen2 e“ — e~iz . cos z i(e‘‘ + e~ix)tan 2 = - ——----— cot 2 = = ?cos 2 t(eu + e“l1) sen2 e'x —'e~ ix

Muchas de las propiedades familiares en el caso de las funciones trigonométricas reales también son válidas para las funciones trigonométricas complejas. Por ejemplo, tenemos

sen2 2 + eos2 2 = 1 1 + tan2 z = sec2 z 1 + cot2 z = esc2 zX.

sen (—2) = — sen2 cos (—2) = cos 2 t a f i ( - 2) = —tan 2 sen (2 i± 2 2) = sen z¡ cos z¿ ± cos z, sen z2cos (21 ± 22) = cos 2i cos 22 t sen 21 sen22

tan (21 ± z¿) = tan Z\ ± tan z2 1 tan 21 tan z-i

5. F u n c io n e s h ip e rb ó lica s , las que están definidas como sigue, ex — e~‘ , ex + e~zsenh 2 = cosh z = ----------

2 2

u 1 2 1sech 2 = r— — — r r csch 2 --cosh 2 ez + e z senh 2 ez — e z, senh 2 ez — e~z cosh 2 ez + e~ztanh 2 = ----7— = ;— — coth 2 - — r— = —-------—cosh 2 ez + e z senh 2 ez — e z

Las siguientes propiedades son válidascosh2 2 —senh - 2 = 1 1 — tanh2 2 = sech2 2 coth2 2 — 1 = csch2 2

senh (—2) = —senh 2 cosh ( - 2) - cosh 2 tanh (—2) - —tanh 2senh(2 , ± 22) = senh 2, cosh 22 ± cosh2 ise n h 22 cosh (21 — 22) = cosh 21 cosh 22 ± senh z, senh z2

tanh 21 ± tanh z¿tanh (21 ± 22) ’ =1 ± tanh 21 tanh 22

36 F UN C I ON E S, L I M I T E S Y CON TI NU I DA D | CAP. 2

Las siguientes relaciones existen entre las funciones trigonométricas o circulares y las funciones hiperbólicas:

sen iz — i senh z eos iz = cosh z tan iz = i tanh zsenh iz - i sen z cosh iz = eos z tanh iz — i tan z

6. F u n c io n e s lo g a r ítm ic a s . Si z = ew, entonces escribimos w = ln z, llamado el logaritmo natural de z. Entonces la función logarítmica natural es la inversa de la función exponencial y podemos definirla por

w = ln z — ln r + i(6 + 2kv) k = 0, ±1, ±2, . . .

donde z = re '9 = re,te + zk’’). Observe que ln z es una función m ultivaluada (en este caso para cada z existen infinitos w). El valor principal o rama principal de ln z se define algunas veces como ln r + ¿0 donde 0 É 9 < 2 i. Sin embargo, cualquier intervalo de longitud 2x puede utilizarse, por ejemplo — x < 9 á x, etc.

La función logarítmica puede definirse para otras bases reales distintas de e. E n tonces si z = aw, entonces w = log„ z, donde a > 0 y a 0, 1. En este caso z = ew'"° y así w = ( ln z ) /( ln a ) .

7. F u n c io n e s tr ig o n o m é tr ic a s in v e rsas . Si z = sen ut, entonces w = sen-1 z se llama el seno inverso de z o arco seno de z. Análogamente definimos las otras funciones trigonom étricas inversas eos-1 z, tan -1 z, etc. Estas funciones, que son multívocas, se expresan en términos de los logaritmos naturales como sigue. En todos los casos omitimos una constante aditiva 2kr.i, k = 0, ± 1 , ± 2, . . ., en el logaritmo.

sen - 1 z = i ln (iz + ) esc-1 z = * 1» ( i + V*2- l1 1 \ *

c o s - 'z = i ln (z + \Jz* — 1) sec~* z = - in í 1 +1 1 \ z

t a n - 'z = ¿ J n co t"1 z = ^ h / z + 12i \ \ - i z ) ^ ~ 2i m \ z - i

8. F u n c io n es h ip e rb ó lica s in v ersas . Si z = senh w, entonces w = s e n h 1 z se llama el seno hiperbólico inverso de z. Análogamente definimos las otras funciones hiperbólicas inversas cosh-1 z, tanh-1 z, etc. Estas funciones, que son multívocas se expresan en términos del logaritmo natural como sigue. En todos los casos omitimos la constante aditiva 2kzi, k = 0, ± 1 , ± 2 , . . ., en el logaritmo.

senh- l z = ln (z + \ /z 2 + 1 ) csch - 1 z = ln ( 1 + .V z2 + 1

cosh-1 z = ln (z + \Jz2 - 1 ) sech-1 z = l n f í —tV _L _£

tanh 1 z = ^ ln ( 7 —— ) coth - 1 z = ^ ln ; Z + ^2 — z J .............................. ‘ “ 2 \ z - l

9. La fu n c ió n z*, donde a puede ser complejo, está definida como e"ln*. Análogamentesi f(z) y giz) son dos funciones conocidas de z, podemos definir f(z)a,I> = es<z) ln l(l>. Engeneral tales funciones son multivaluadas.

10. F u n c io n es a lg eb ra icas y tra sc e n d e n ta le s . Si w es una solución de la ecuación polinomial

P0(z)wn + P, (z)wn -‘ + • ■ ■ + P»-\ (z)w + P»(z) = 0 (6)

CAP. 2| FUNCI ONES, L IMI TES Y C O N TI NUI DAD 37

donde P„ & 0, P¡(z), . . ., PAz) son polinomios en z y n es un entero positivo, entoncesw - f(z) se llama una función algebraica de z.

E je m p lo : w = z*/2 es una solución de la ecuación u - — z = 0 y entonces es una función algebraica de z.

Cualquier función que no puede expresarse como una solución de (6) se llama una función trascendental. Las funciones logarítmica, trigonométrica e hiperbólica y sus inversas correspondientes son ejemplos de funciones trascendentales.

Las funciones 1 a 9 consideradas anteriormente, lo mismo que las funciones derivadas de ellas por un número finito de operaciones de adición, sustracción, multiplicación, división y extracción de raíces se llaman funciones elementales.

PUNTOS DE RA M IFICA CIO N Y RAMASSupongamos que nos han dado la función

w = z U2. Supongamos además que dejamos que z dé una vuelta completa (sentido positivo) alrededor del origen empezando desde el punto A (Fig. 2-5). Tenemos z = reie, iv = \ / r eien así que en A , 6 = 6, y w — \ / r e iei'2. Después de una vuelta completa, 8 = 0( + 2ic y w = y / f e><e'*2’’>n 1—\/r eie¡/2. Entonces no hemos obtenido el mismo valor de w del comienzo; sin embargo al hacer una segunda vuelta hasta A, o sea 0 = 0| 4- 4z, xv — y/r g‘(»i+4w>/2 _ obtenemos el mismo Fig. 2-5valor de w del principio.

Podemos describir lo anterior diciendo que si (I á 0 < 2 t estamos en una rama de la función m ultivaluada z1/2, mientras si 2x á 6 < 4- estamos en otra rama de la función.

Es claro que cada rama de la función es unívoca. Con el fin de mantener la función unívoca, escogemos una barrera artificial tal como OB donde B está en el infinito (aunque cualquier línea desde O puede usarse), la cual acordamos no cruzar. Esta ba.'rera (línea gruesa en la figura) se llama una rama y el punto O se llama un punto de ramificación. Deberá notarse que una vuelta alrededor de cualquier otro punto distinto de - a- = 0 no conduce a valores diferentes, entonces z = 0 es el único punto de ramificación.

SU PE R FIC IE S DE RIEM ANNExiste otra manera de obtener el propósito de las ramas descrito antes. Para ver esto

imaginemos que el plano z consiste de dos hojas superpuestas una sobre la otra. Ahora cortamos las hojas a lo largo de OB e imaginamos que el borde inferior de la hoja de debajo es pegada al borde superior de la otra hoja. Entonces arrancando en la hoja de debajo y dando una vuelta completa alrededor de O llegamos a la hoja de encima. Debemos imaginar los otros bordes pegados tal que si continuamos dando la vuelta iremos desde—51 reverso de la hoja de encima a la hoja de debajo.

El conjunto de las dos hojas se llama una superficie de Riemann correspondiente a la función zl/2. Cada hoja corresponde a una rama de )a función y s^bre cada hoja la función es unívoca.

El concepto de superficies de Riemann tiene la ventaja de que los valores múltiples de las funciones m ultivaluadas se obtienen de una manera continua.

Las ideas se extienden fácilmente. Por ejemplo, para la función zl/3 la superficie de Riemann tiene 3 hojas; para ln z la superficie tiene infinitas ramas.

38 FUNCI ONES, L I M I T E S Y C O N TI NUI DAD | CAP. 2

L IM ITESSea f(z) definida y unívoca en una vecindad de z = z0 con la posible excepción de z0

(o sea, en una vecindad reducida de z0). Decimos que el número l es el límite de f(z) cuando z tiende a z0 y escribimos lim f(z) = l si para cualquier número positivo « (posiblemente

z ~ 20

muy pequeño) podemos encontrar algún número positivo 8 (generalmente depende de «) tal que |/(z) — l\ < e cuando 0 < |z — z0| < 8.

En tal caso decimos que f(z) tiende a l cuando z tiende a z0 y lo escribimos f(z) -» l cuando z -* z0. El límite debe ser independiente de la manera como z se aproxima a z0.

Geométricamente, si z0 es un punto en el plano complejo, entonces lim f(z) - l si la2- 20

diferencia en valor absoluto entre f(z) y l puede hacerse tan pequeña como queramos escogiendo los puntos z suficientemente próximos a z0 (excluyendo z = z0).

r z2 z ^ iE je m p lo : Sea f (z) = 1 . . E ntonces cuando z se aproxima a i (o sea, z tiende a i), f ( z )

1 0 2 — 1

se aproxima a ¿2 = —1. E ntonces sospechamos que \ im f( z ) = —1. Para probar esto2-*i

debem os ver si la definición de lim ite antes dada se satisface. Para esta prueba vea problema 23.

N o te que lim f ( z ) / ( i) , o sea el lím ite de f ( z ) cuando z —* i no es el m ism o valor x~*i

de f ( z ) en z = i, ya que f ( i ) = 0 por definición. E l lím ite sería —1, aún si f ( z ) no estuviese definida en z = i.

Cuando el límite de una función existe es único (vea problema 26).Si f(z) es m ultivaluada, el límite cuando z -» z0 puede depender de la ram a particular.

TEOREM AS SOBRE L IM ITESSi lim f{z) = A y lim g(z) = B, entonces

Z - ♦ *0 2 “ » «o

1. lim {/(z) + fir(z)) = lim f(z) -F lim g(z) = A + BZ - * Z 0 Z — Z0 * - * * o

2. lim {/(z) — g(z)) - lim f(z) - lim p(z) = A - BZ Zf¡ Z — Z0 Z “ * i j

3. lim {/(z) g(z)) = ¡ lim /(z )U lim g(z)\ = AB

lim f(z)4. lim ~ si g # o,-.*,9(2) lim g(z) B

IN FIN IT OPor medio de la trasformación w = 1 /z el punto z = 0 (o sea, el origen) es aplicado i

en w = «=, llamado el punto en el infinito en el plano w. Análogamente denotamos por z = el punto en el infinito en el plano z. Para considerar el comportamiento de /(z) en z = « , es suficiente hacer z = \ /w y examinar el comportamiento de/(l/u> ) en w = 0.

Decimos que lim /(z) = l o que /(z) tiende a l cuando z tiende a infinito, si para cual-Z — ac

ru ie r e > 0 podemos encontrar M > 0 tal que 'f(z) — l\ < < cuando \z\ > M.Decimos que lim f(z) = x o que f(z) tiende a infinito cuando z tiende a z0, si para

cualquier N > 0 podemos encontrar 8 > 0 tal que '/(z) 1 > N cuando 0 < |z — z0| < 8.

!

CAP. 2| FUNCI ONES, L I M IT E S Y CONTI NUI DAD 39

CONTINUIDADSea f(z) definida y unívoca en una vecindad de z = z0 así como en z = z0. La función

/(z) se llama continua en z = z„, si lim f{z) = /(z0). Observe que para que f(z) sea continua en z = z0 debe cumplir:

£ í 1 7 3 ¿ Í 5 £ert\l>\í>icLv(^1. lim f(z) = l debe existir

2. /(z 0) debe existir, o sea f(z) está definida en z03. I = f (z0)

Equivalentem ente, si /(z) es continua en z0 podemos escribir esto en la forma sugestivalim f(z) — f ( lim z ) .2 — *0 \* -* 0 /

í z 2 z ¥• iE je m p lo 1: SI f(z) = -¡ „ _ . entonces del ejem plo de la página 38, lim f( z ) = —1 . Pero0 z — « r_ ¡

f ( i) = 0. Por esto lim f ( z ) f ( i) y la función no es continua en z = i.2-1

E je m p lo 2: S i f ( z ) = z 2 para todo z, entonces lim f( z ) = f{i) = —1 y f ( z ) es continua en z = i.z-*i

Los puntos en el plano z donde f{z) no es continua son llamados discontinuidades de /(z),y decimos que /(z) es discontinua en esos puntos. Si lim f(z) existe pero no es igual a f (z0),

2 -2 0diremos que z0 es una discontinuidad removible ya que tomando f(z„) como el mismo valor delim f(z) la función será continua.2—.20

Otra alternativa para la definición de continuidad dada arriba es la siguiente: Podemos definir f(z) como continua en z = z0, si para cualquier ( > 0 podemos encontrar 8 > 0 tal que \f(z) — /(2o) \ < < cuando |z — z0| < S. Observe que esto es simplemente la definición de límite con l = f (z0) y eliminando la restricción z ^ z0.

Para examinar la continuidad de f(z) en z = « , hacemos z = 1/w y examinamos lacontinuidad d e /( l / tc ) en w = 0.

CONTINUIDAD EN UNA REG IO NUna función f(z) es llamada continua en una región si es continua en todos los puntos de

la región.

TEOREM AS SOBRE CONTINUIDADT eo rem a 1. Si /(z) y giz) son continuas en z = z0, entonces f(z) + g(z), f(z) — g(z),

f i z \f(z) g(z) y —V-4 , son continuas también, la última solamente si gíz0) ^ 0. Resultados

9 (z )similares se tienen para continuidad en una región.

T e o re m a 2. E ntre todas las funciones continuas en cada región finita están, (a) todas las polinomiales, (b) e:, (c) sen z y eos z.

T eo rem a 3. Si w = f(z) es continua en z = z0 y z = g(\ ) es continua en £ = y si i o = f (zo)s entonces la función w = g\f(z) 1 llamada función compuesta, es continua en z = z0. O sea, brevemente: La compuesta de dos funciones continuas es continua.

T eo rem a 4. Si f(z) es continua en una región cerrada, es acotada en la región; o sea, existe una constante M tal que |/(z)| < M para todos los puntos z de la región.

T eo rem a 5. Si f(z) es continua en una región, entonces las partes real e imaginaria de f(z) son también continuas en la región.

40 F UNCI ONE S, L I M I T E S Y C O N TI NUI DAD | CAP. 2

CONTINUIDAD U N IFO RM ESea f(z) continua en una región. Entonces por definición, en cada punto z0 de la región

y para cada < > 0, podemos encontrar 8 > 0 (el cual en general depende de í y del punto particular z0) tal que 'f(z) — f(zn)\ < < cuando \z — z„\ < 8. Si podemos encontrar 8 que dependa de < pero no del punto particular z0, se dice que f (z) es uniformemente continua en la región.

De otra manera, f(z) es uniformemente continua en una región si para cualquier t > 0 podemos encontrar 8 > 0 tal que ''f(zf) — f{z2)\ < « cuando |z¡ — z2\ < 8 donde z¡ y z2 son dos puntos arbitrarios de la región.

T eo rem a . Si f (z) es continua en una región cerrada, es uniformemente continua en ella.

SUCESIONESUna función de una variable entera positiva, denotada por f{n) o u n, donde n = 1, 2, 3,

se llama una sucesión. Entonces una sucesidn.£S-un conjunto de números u u u2, u 3, . . . arreglados en un orden definido y formados de acuerdo con una regla definida. Cada número en la sucesión es llamado un término y un es llamado el término n-ésimo. La sucesión u¡, u2, u 3, . . . se denota tam bién brevemente por {«„}. La sucesión se llama finita o infinita de acuerdo con si existe un número finito de términos o no en la sucesión. Al menos que digamos lo contrario, consideraremos sólo sucesiones infinitas.

E je m p lo 1: E l conjunto i, i2, ¿3 i l(M, es una sucesión finita: el térm ino n-ésim o está dado poru n = in, n = 1 , 2 , . . ., 100.

(1 + i)2 (1 + t)3E je m p lo 2: E l conjunto de números 1 + i, — ~ — , . . . es una sucesión infinita; el térm ino

n-ésim o está dado por u n = (1 -f i)n /n l , n = 1, 2, 3, . . ..

L IM ITE DE UNA SUCESIONUn número l se llama el límite de una sucesión infinita u¡, u2, u 3, . . . si para cualquier

número positivo t podemos encontrar un número positivo N que dependa de < tal que|u„ — /| < t para todo n > N . En tal caso escribimos lim u„ = l. Si el lím ite de una

n —» «sucesión existe, la sucesión se llama convergente; de lo contrario se llama divergente. Una sucesión puede converger a sólo un límite; o sea, si el límite existe es único.

Una manera más intuitiva, pero no rigurosa, de expresar este concepto de límite es diciendo que una sucesión ult u>, u 3, . . tiene un límite l si los términos sucesivos se aproximan “ más y más” a l. Esto se usa frecuentemente para “ adivinar” el valor del límite, después de lo cual, la definición se aplica para ver si la suposición es correcta.

TEOREM AS SOBRE L IM IT E S DE SUCESIONES

Si lim a„ = An-* * y lim 6„ = B, entonces

n-* x1. lim (a„ + bn)

n — x= lim a„ + lim b„ -

11 —* A 11 —» OCA + B

2. lim (a„ - b„) - lim a„ — lim b„ -n -* oc n -+ k

A - B

3. lim (a„b„) — ( lim anV lim bn\ -/V "-* /

lim a„ .

ABn -♦ «

4. iiJt • r * . = „ si B y 0lim bn B

Otros resultados sobre sucesiones se dan en el capítulo 6.

CAP. 2| FUNCI ONES. L I M IT ES Y CON TI NU I DA D 41

SER IES IN FIN ITA SSea U|, u2, u 3, . . . una sucesión dada.Formemos una nueva sucesión S¡, S2, S 3, . . . definida por

S j = M i, «Sí — U i T li ¿ , S :i = U i + U-¿ -4- W:i, ' ' ' , *S» — 44l 4* 44:» T * * ' + íln

donde S„, llamado la suma parcial n-ésima, es la suma de los primeros n términos de la sucesión {¡í„}.

La sucesión Si, S2, S 3, . . . se simboliza también por

Mi + J¿2 + Ws + • • • = 2 Mnn = 1

lo cual se llama una serie infinita. Si lim S n = S existej la seríense llama convergente y SrT-* 53

es su suma; de lo contrario se llama divergente, lina, condición necesaria para que la serie converja es que lim u„ = 0; sin embargo, esto no es suficiente (vea problemas 40 y 150).

n oo

Otros resultados sobre series se dan en el capítulo 6.


FU N CIO N ES Y TRASFORM ACIONES1. Sea w = f ( z ) = z V Hallar los valores de w que corresponden a (a) z = — 2 + i, y

(6) z = 1 — 3¿, y m ostrar cómo podemos representar gráficamente la correspondencia.(а) w - / ( —2 + i) = ( - 2 + o 2 = 4 - 4i + i'2 = 3 v - 4i(б) w = / ( I - 3i) = (1 - 3i)2 = 1 - 6i + 9<2 = - 8 - 6i

Plano z Plano

I t l I

p2 + i •

y

X

V

1 "

• 1 - 3 i p ■Q • 3 - 4 ¡

Q'• —8 — 6 i

Fig. 2-6 Fig. 2-7

2.

El punto z = —2 + í, representado por el punto P en el plano 2 de la figura 2-6, tiene el punto im agen w ~ 3 — 4 i representado por p ' en el plano w de la figura 2-7. D ecim os que P se aplica en P ' por m edio de la aplicación o trasformación w -. z2. Análogam ente, z = 1 — 3¿ (punto Q de la figura 2-6) se aplica en w = —8 — 6¿ (punto Q ' de la figura 2-7). A cada punto en el plano z le corresponde uno y sólo un punto (imagen) en el plano w, así que w es una función unívoca de z.

M ostrar que la recta que une los puntos P y Q en el plano z del problema 1 (Fig. 2-6) se aplica por w — z2 en una curva que une P 'Q ' (Fig. 2-7) y determinar la ecuación de esta curva.

Los puntos P y Q tienen coordenadas ( —2, 1) y (1, —3). E ntonces las ecuaciones paramétricas de la recta que une los puntos están dadas por

» - ( - 2 ) 1 - ( - 2)

y - 1 = (- 3 - 1

34 — 2, y 1 - 44

42 FUNCI ONES, L I M I T E S Y CON TI NU I DA D | CAP. 2

La ecuación de la recta PQ puede representarse por 2 = 3í — 2 + ¿(1 — 4t). La curva en el p lano lo en la cual esta línea se aplica tiene ¡a ecuación

w = *2 = {3t - 2 + í ( l - 4i)>2 = (3í — 2)2 - ( l - 4 í )2 + 2 ( 3 í - 2 ) ( l - 4 t ) t= 3 — 4t — 7t2 + ( - 4 + 22t - 24 t2)i

E ntonces ya que w = u + iv, las ecuaciones param étricas de la curva imagen están dadas por

u = 3 - 4 1 - 7(2, v = - 4 + 221 - 24t2 A signándole algunos valores al parámetro t esta curva se puede dibujar.

3. Un punto P se mueve en sentido contrario al del movimiento de las manecillas de un reloj alrededor de un círculo en el plano z con centro en el origen y radio 1. Si la aplicación es w = z3, m ostrar que cuando P da una vuelta completa, la imagen P ' de P en el plano w da 3 vueltas completas, en sentido contrario al del movimiento de las m anecillas de un reloj, alrededor de un círculo de radio 1 con centro en el origen.

Sea z = r e ie . E ntonces en el círculo \z\ = 1 (Fig. 2-8), r = 1 y z = eie. Por esto w = z 3 = (e**)s = e3i9. S iendo (p, <}>) las coordenadas polares en el plano w, tenem os w = pe'* = c3ie así que p « 1, <J> = 30.

Plano z P lano w

Puesto que p = 1, se deduce que la imagen P f se m ueve en un círculo en el plano w de radio 1 y centro en el origen (Fig. 2-9). T am bién, cuando P se m ueve, en sentido contrario al del m ovim iento de las m anecillas del reloj, un ángulo G, P f se m ueve, en sentido contrario al del m ovim iento de las manecillas del reloj, un ángulo 30. E ntonces cuando P da una vuelta com pleta, P ' da tres. En térm inos vectoriales esto significa que el vector O fP ' rota tres veces m ás rápido que el vector OP.

4. Si Cy y c2 sen constantes reales, determ inar el conjunto de todos los puntos en el plano z que se aplican en las rectas, (a) u = c¡, (b) v = c2 en el plano w por medio de la aplicación w = z2. Ilustre considerando los casos c, = 2,4, - 2 , - 4 y c2 = 2,4, —2, —4.

CAP. 2| FUNCI ONES. L I M IT E S Y CON TI NU I DA D 43

Tenem os u) = u + iu = z2 = (x + iy ) - = x - — y 2 + 2ixy así que u = x2 — y 2, v = '"..y. E ntonces las rectas u = C| y v - en el plano w corresponden respectivam ente a hipérbolas *2 — y 2 = cj y 2xy = C2 en el plano z com o se indica en las figuras 2-10 y 2- 1 1 .

5. Refiriéndonos al problema 4, determinar: (a) la imagen de la región en el primer cuadrante acotada por x2 - y 2 - - 2 , xy = 1, x2 - y 2 = - 4 y xy = 2; (¿>) la imagen de la región en el plano z acotada por todas las ramas de x2 — y 2 = 2, xy = 1, x2 — y 2 = — 2 y xy = —1; (c) las coordenadas curvilíneas del punto en el plano xy cuyas coordenadas rectangulares son (2, —1).(а) La región en el plano z se indica por la parte som breada P Q R S de la figura 2-10. E sta región se

aplica en la región im agen requerida P ' Q ' R ’S ' que está som breada en la figura 2-11. D ebe observarse que si la curva P Q R S se recorre en sentido contrario al del m ovim iento de las m anecillas del reloj, la curva im agen P ' Q ' R ' S ’ se recorre en el m ism o sentido.

(б) La región en el plano z se indica por la parte som breada I P J J U V W X Y Z de la figura 2-10. Estaregión se aplica en la región imagen requerida P ' T ' U ’V ’ que está som breada en la figura 2-11.

Es interesante observar que cuando la frontera de la región P T U V W X Y Z se recorre una vez, la frontera de la región imagen P ' T ' U ' V ' se recorre dos veces. E sto se debe a que los ocho puntos P y W , T y X , U y Y , V y Z del plano z se aplican en los cuatro puntos P ' o W ', T ' o X ' , U ' o Y ' , V ' o Z ' respectivam ente.

Sin em bargo, cuando la frontera de la región P Q R S se recorre una sola vez, la frontera de la región im agen se recorre tam bién sólo una vez. La diferencia se debe a que al recorrer la curva P T U V W X Y Z P dam os una vuelta alrededor del origen z = 0, mientras que, cuando recorremos la curva P Q R S P no dam os una vuelta alrededor del origen.

(c) u = x2 — y 2 = (2)2 — ( —l )2 = 3, v = 2xy = 2(2) ( — 1) = —4. E ntonces las coordenadas curvilíneas son u = 3, v — —4.

FUNCIONES M ULTIVOCAS6. Sea u>5 = z y supongamos que para el valor particular 2 = 2 , tenemos w - wt. (a)

Si comenzamos en el punto z, en el plano 2 (Fig. 2-12) y damos una vuelta completa, en sentido contrario al del movimiento de las manecillas del reloj, alrededor del origen, demostrar que el valor de w que retorna a z, es w¡e2ri/s. (b) ¿Cuáles son los valores de w que retornan a z,, después de 2, 3 . . . vueltas completas alrededor del origen? (c) Discuta las partes (o) y (6) si los caminos no encierran al origen.

Plano w

Fig. 2-12

(а) T enem os z = ,r e w, así que w = z 1/s = r l , s ei, ,s . S í r = r\ y 0 = 0| entonces «q = r j ,5el9i'5.Cuando 9 crece desde Oj a 0| + 2x, lo cual se tiene cuando hem ot dado una vuelta alrededor

del origen, hallamos

to = r j /s + 2D/B = r l/5 £ÍS,/5 ¿Ziri/S = W l C 2iri/r,

(б) D espués de 2 vueltas com pletas alrededor del origen, hallamos

— . p l / 5 g i ( ü | + l ” ) / 5

44 F UNCI ONE S, L I M I T E S Y CON TI NU I DA D | CAP. 2

A nálogam ente después de 3 y 4 vueltas com pletas alrededor del origen, hallamos

W = e6iri'/5 y yj — e87n/s

D espués de 5 vueltas com pletas el valor de w es tüje10,ri/5 = w lt de m odo que el valor original de w se obtiene después de 5 vueltas alrededor del origen. D espués de eso el ciclo se repite. (Fig. 2-13).

Otro método. Y a que w-> = z, tenem os arg z — 5 arg w de lo cualcam bio en arg w = ¿ (cambio en arg z)

Entonces si arg z se aum enta en 2x, 4x, 6x, 8x, lOx, . . arg w se aum enta en 2 x /5 , 4 x /5 , 6 x /5 , 8 x /5 , que conducen a los m ism os resultados obtenidos en (a) y (6).

(c) Si el cam ino no encierra el origen entonces el aum ento en arg z es cero y así el aum ento en argw tam bién es en cero. En este caso el valor de w es w\, independiente del número de vueltas dadas.

7. (a) En el problema anterior explicar por qué podemos considerar w como una colecciónde cinco funciones unívocas de z.

(b) Explicar geométricamente la relación entre estas funciones unívocas.(c) M ostrar geométricamente cómo podemos restringir los valores para obtener una

función unívoca.(a) Ya que w* — z = r e x0 = re ,(0 + 2k7T\ donde k es un entero, tenem os

w = r l/6 4 2kír,/5 = r 1/5 (eos (0 + 2/or)/5 + * sen (0 + 2 M /5 }

y así w es una función pentavaluada de z , los cinco valores dados por k = 0, 1, 2, 3, 4.

E quivalentem ente, podem os considerar w com o una colección de 5 funciones unívocas,llam adas ramas de la función m ultivaluada, por medio de restricciones apropiadas de 0. D e estem odo, por ejem plo, podem os escribir

w = r 1 '5 (eos 0/5 t i sen 0/5)donde tom am os los cinco intervalos posibles para 0, dados por

^ 0 g 0 < 2x, 2x ^ 0 < 4x ,. . . ,8x ^ 0 < lOx

y todo el resto de intervalos produce repeticiones de éstas.

El primer intervalo, 0 ¿ 0 < 2x, se llama algunas veces el intervalo pr inc ipal de 0 y corresponde a la rama princ ipa l de la función m ultívoca.

Cualquier otro intervalo de longitud 2x puede tam bién tomarse; por ejem plo — x ^ 0 < x, x. S 0 < 3x, etc., el primero de éstos se tom a com o el intervalo principal.

íb) Com enzamos con la rama (principal)

w = r1/ 5 (eos 0 /5 + i sen 0 /5 ) donde 0 ^ 0 < 2x

Después de una vuelta com pleta alrededor del origen en el planp z t O aum enta en 2x para dar otra rama de la función. Después de otra vuelta com pleta alrededor del origen, se obtiene otra rama de la función; hasta encontrar todas las cinco ramas, después de lo cual retornamos a la rama original (principal).

Puesto que valores diferentes de f{z) se obtienen al encerrar sucesivam ente z — 0, llam am os z 0 un punto de ramificación.

(c) Podem os obtener una función unívoca particular, usualm ente la rama principal, restringiendo 6,de tal m odo que m ás de una vuelta com pleta alrededor del punto de ramificación, no pueda darse.

En el caso del intervalo principal 0 5= 0 < 2x, esto se realiza haciendo un corte, indicado por OA en la figura 2-14, llam ado un corte de ramificación o rama, sobre el eje real positivo, cuyo propósito es indicar que no podem os cruzarlo (si lo cruzam os se obtiene otra rama de la función).

Si otro intervalo para 0 se escoge, la recta de ram ificación que debe tomarse debe ser alguna sem i-recta en el plano z con origen en el punto de ramificación.

Para algunos propósitos, que verem os m ás tarde, es útil considerar la curva de la figura 2-15 de la cual la figura 2-14 es un caso lím ite.

CAP. 2| FUNCI ONES, I . IMITES Y CON TI NUI DAD 45

Fig. 2-14

LAS FU N CIO N ES ELEM EN TA LES8. Probar que, (a) ez> • e*1 = (b) |e*| = ex, (c) e‘ *2k1ri = e‘, k — 0, ±1, ±2, . . . .

(a) Por definición e: = e* (eos .y -(- i sen y ) donde 2 — x -f ly. E ntonces si zi = * i + i y i y z -2 = x 2 + ¿y2,

e*\ • e’i = exi (eos y¡ + i seny¡) • ezi (eos ;/2 + i se n y <)= ez i • e1» (eos ¡/i + ¿sent^Kcos y 2 + ¿sen¡/2)= ex‘*z* ( e o s (y¡ + y¿) + ie e n ( y , + j/2)} = e*i*z«

(6) |e! | = lez (eos y + i sen y) | = | |cos y + i sen y | = er• 1 = e 1(c) Por la parte (a), €z*2kiti — ez e2kirí — e*(cos 2/c.t -f i s e n 2 k r ) = e*

E sto m uestra que la función e-' tiene período 2kr.i. En particular tiene período 2iti.

/ 9 . Probar:

(а) sen2 z + eos2 z = 1 (c) sen (*i + z2) = sen z, eos z2 + eos Zi sen z2

(б) = cosz + isenz, e~‘* = cosz - isenz (d) cos(zi + z2) = coszi cosz2 — senz isenz2

Por definición, sen z =

(a) sen 2 2

q \Z — e ~ ¡ Z giz -f- g — iz~2 ------, eos z = g------ • Entonces

2ix + 2 + e -2¡x\

(i) (1 ) e'* — e iz = 2 is e n z ,

4 7

(2 ) eíx + e

= 1

2 eos z

Añadiendo (1) y (2): 2e,: = 2 eos z -f 2¿ sen z y e‘; = eos z + i sen z

R estando (1) de (2): 2e- ,: = 2 eos z — 2¿ sen z y e_,: = eos z — ¿sen z

(e) sen(zj + z2)

(rf) eos (z, + z2)

2¿ 2¿

(eos Zj + ¿ sen z ,)(cosz2 + ¿senz2) — (cosZ| — ¿sen z,)(cos z2 — ¿senz2)2¿

= sen z i eos z2 -t- eos z¡ gen ¿2 •

gi*i • e is2 4- c~i*c u i • c 2g i f a - , * ? , ) 4 . g - i < * , + * 2 )

2 “ 2

(co sz , + i'senz,)(cos z2 + is e n z 2) + (cosz , — isen z ,)(co s z.¿ — i s e n z 2)2

co sz , eos z2 — sen 2 , sc n ?2

46 F UNCI ONE S, L I M I T E S Y CON TI NU I DA D [ CAP. 2

10. Probar que los ceros de, (a) sen z, y (b) eos z son todos reales, y encontrarlos.e ix — g - i x

(а) S i sen z = ---- ^ ------= 0, entonces e ,: — e~lz o e2iz = 1 = e2kni, k = 0, —1, ± 2 , . . . .

Por esto 2 i z = 2k x i y z = k x, o sea, z = 0 , ± x, ± 2x, ± 3 * ,. . . son los ceros.

(б) Si eos z = - — ------= 0, entonces e iz = —e~i: o e2iz = — 1 + — o, ± 1 ,± 2 ...........

Por esto 2 i z = (2k + 1 )*« y z = (k + £ )x , o sea z = ± x /2 , ± 3 x /2 , ± 5 * /2 , . . .so n los ceros.

11. Probar que, (a) sen ( — z) = — sen 2, (6) eos ( — 2) = eos 2, (c) tan ( — 2) = —tan 2 .„«-*> _ *-«-*> e-lt - e<í / eú _ e-¡ .\

(а) se n (—z) = — = ------—----- — — [ ------—------) = —senz2 i 2 t \ 2 i J

p i ( - z ) _i_ « — i( — z) « —iz 4. piz piz _i_ « —iz(б) e o s (—z) = £ Y = e + e = e Y = co sz

(c) tan (—z) = sen \ ~ Z\ — —— — = —tan z, utilizando (o) y (4).eos (—z) eos 2

Las funciones de 2 que tienen la propiedad que / ( — z) = — /(z ) se llam an funciones impares. m ientras aquellas para las cuales / ( — z) = /(z ) se llam an funciones pares. E ntonces sen z y tan z son funciones impares, m ientras eos z es una función par.

12. Probar: (a) 1 — tanh2 z = sech2 z (c) eos iz = cosh z(6) sen íz = i senh z (d) sen (jc + iy) = sen x cosh y + i eos x senh y

CZ "f" C >2 — z(a) Por definición, cosh z = ----- =------ , senh z = --- - — =----. E ntonces

+ 2 + e ~ 2* e2* - 2 + e~**_ _ j4 4

cosh2 z — senh2 z = ( « 1 + ^ Y - ( í l ^ I f ) 2 = e2!

D ividiendo por cosh2z, —- — sen^ z _ — 1 _ _ 0 j _ tanh2 z = sech2 z.cosh2 2 cosh2 2

¿i(iz) — g—i<<z> ¿,-z __ pz . / ez — e ~ z \ . ,(6) sen iz = — ------ = g ■ ■ ■ = i ----- ) = is e n h z

2 i 2 t \ 2 /pt(ÍZ) _L p-i(iz) p~Z -1- pZ P 2 ,

(c) eos iz = ------- = --£-----£££- = ? - .T .£— = cosh z' 2 2 2

(d) D el problema 9(c) y las partes (6) y (c) tenem os

sen (* + iy) = sen x eos iy + eos x sen iy = sen x cosh y + í eos x senh y

13. (a) Si 2 = e" donde 2 = r(cos 0 + i sen 6) y w = u + iv, demostrar que u = ln ry v - 0 + 2kz, k = 0, ± 1 , ± 2 ,. . así que w = ln z = ln r + ¿(6 -f 2kz). (6) Determ inar los valores de ln (1 — t ) . ¿Cuál es el valor principal?(а) P uesto que z = r (eos 0 + i sen 8) = e“ = «u+l* = e“ (eos v + i sen v), tenem os igualando las

partes real e imaginaria,(1 ) eu eos v = r eos 0 (2 ) eu sen v = r sen 0

E levando al cuadrado ( i) y (2) y sum ando, encontram os que e2n = r2 o eu = r y u = ln r.E ntonces de (1) y (2) r eos 0 = r eos 0, r sen v = r sen 6 de lo cual v - 0 + 2kx. D e estow = u 4* iv = ln r + ¿(0 + 2kr).

Si z = ew, decim os que w = ln z. Vem os entonces que ln z = ln r + ¿(6 + 2kx). U namanera equivalente de decir la m isma cosa es escribir ln z = ln r - f i0 donde 0 puede tom arinfinitos valores los cuales difieren en 2x.

Observe que formalmente ln z = ln (rew) = ln r + id donde usamos leyes familiares de los logaritm os reales de la m atem ática elem ental.

(б) Ya que 1 — i = y/2 e77TÍ/4 + 2kni, tenem os ln (1 — i) = ln y/2 + + 2/cjriy = - ln 2 + 4- 2kiri.

El valor principal es ” ln 2 + que se obtiene haciendo k = 0.

CAP. 2) FUNCI ONES. L IM I TES Y CONTI NUI DAD 47

Fig. 2-16

14. Probar que f(z) = ln z tiene un punto de ramificación en z = 0.

T enem os ln 2 = ln r -f* ¿0. Supongam os que comenzamos en algún punto z\ 0 en el plano com plejo para el cual r — r\,0 = 01 así que ln z¡ = ln ri + ¿0i (Fig. 2-16). Entonces después de dar una vuelta com pleta alrededor del origen en el sentido positivo o negativo, hallamos que al retornar a z¡ que r = rj,0 = 0j + 2x de m odo que ln z¡ = ln ry + ¿(6i 2x). Luegoestam os en otra rama de la función, y así 2 = 0 es un punto de ramificación.

Otras vueltas com pletas alrededor del origen conducen a otras ramas y (a diferencia del caso de funciones tales como z i/2 o 21/ 5), nunca retornamos a la misma rama.

Se deduce que ln z es una función m ultivaluada de z con infinitas ramas. La rama particular de ln 2, la cual es real cuando 2 es real y positivo, es llamada la rama principal . Para obtener esta rama hacem os que 0 = 0 cuando 2 > 0. Esto se tiene tom ando ln 2 = ln r + ¿0 donde 0 se escoge tal que 0 ^ 0 < 2 x o —x ^ 0 < x, etc.

Com o una generalización observam os que ln (2 — a) tiene un punto de ramificación 2 = a.

15. Considerar la trasformación w = ln z. Demostrar que, (a) círculos con centro en elorigen en el plano z se aplican en rectas paralelas al eje v en el plano w , (b) rectas porel origen en el plano z se aplican en rectas paralelas al eje u en el plano w> (c) el planoz se aplica en una faja de ancho 2t en el plano w. Ilustrar los resultados gráficamente.

T enem os w = u 4- iv = ln 2 = ln r -f- ¿0 así que u = ln r, v = 0.

Considerando la rama principal com o w = ln r - f ¿0 donde 0 ^ 0 < 2x.

(a) Círculos con centro en el origen y radio a tienen la ecuación \z\ = r = a. E stos se aplican enrectas en el plano w cuyas ecuaciones son u = ln a. En las figuras 2-17 y 2-18 se indican loscírculos y rectas correspondientes a a — 1 / 2 , 1 , 3 /2 , 2 .

P lano 2

(b)

(c)

Fig. 2-18

R ectas que pasan por el origen en el plano z (punteadas en la figura 2v |7), tienen la ecuación 0 = a.E stas se aplican en rectas en el plano w (punteadas en la figura 2-lfe cuyas ecuaciones son u = 1 .Las figuras m uestran las rectas correspondientes para a = 0, x / 6, x /3 y x /2 .

Para cada punto P en el plano 2 definido por 2 0 y con coordenadas polares (r, 0) donde0 g 0 < 2x, r > 0, existe un punto P ' en la faja de ancho 2x que está sombreada en la figurn 2-20. Entonces el plano 2 se aplica en esta faja. El punto 2 = 0 se aplica en un punto de esta fajaalgunas veces llamado el punto en el infinito.

Si 0 es tal que 2r ^ 0 < 4x, el plano 2 se aplica en la faja 2x < < ir. de la figura 2-20Análogam ente obtenem os las otras fajas que se muestran en la figura 2-20.

48 F UNC I ONE S, L I M IT E S Y CON TI NU I DA D (CAP. 2

S e deduce que dado cualquier punto z -¡z 0 en el plano z existen infinitos puntos im ágenes en el plano w correspondientes al dado.

Plano z

Fig. 2-20

Deberá observarse que si hubiéramos tom ado 8 tal que - x S 8 < i , i S 8 < 3x, etc., las fajas de la figura 2-20 se trasladarían verticalm ente una distancia x.

16. Si escogemos la rama principal de sen 1 z para la cual sen-1 0 = 0, probar que1sen - 1 z = j ln (iz + \ / í — z2)

Si w = sen - 1 z, entonces z = sen w =2»

R esolviendo,

2 iz - e _ i" = 0 o

_ 2iz — V4 — 4z2 _ •

de lo cual

e2iu> _ 2 izeiu’ — 1 = 0

! l — z2 = iz + 'J'í — z1

puesto que — v'T — se deduce de \ 1 — Z2. Ahora e'1® = ei<“ -2k,,), k = 0, ± 1 , * 2 ,

iz + t /T —"z2 = 2fejr + t ln (iz + \ / l — z2 )

así que

La rama para la cual w = 0 cuando z = 0 se obtiene haciendo k = 0 de lo cual encontramos, com o lo requeríamos, j _____

w = sen - 1 z = t ln (iz + v i — z2 )t

17. Si escogemos la ram a principal de tanh-1 z para la cual tanh-1 0 = 0, demostrar que

ta n h - 1 z = í ln ( j + Z2 y i - ztii fiXO . 0 to

Si w = tanh - 1 z, entonces z = tanh w = ---- = ¡-------- de lo cualcosh iv ew + e ~ w

o e2” = ( l + z ) / ( l - z )(1 — z)ew = (1 + z )e ~ w <Puesto que e2w = e2(w~ kiri), tenem os

e2 ( w - k m ) = _ ± £ 01 — z

La rama principal se obtiene haciendo k = 0 lo cual conduce al resultado requerido.

= kri + i ln

18. (a) Si z = re í9, dem ostrar que z* = e -<9+2k'r> {cos(lnr) + t'sen(lnr)} donde

fc = 0 , ± 1 , ± 2 , . . . .

(6) Si z es un punto en el círculo unidad con centro en el origen, demostrar que z‘, representa infinitos números reales y determ inar el valor principal.

(c) Hallar el valor principal de i‘.(a) Por definición, z l = e i]nz =■ e*(lnr + í(0 + 2klr>l

= e¡ ln r - ítí + 2kir> = e - < 0+ 2krr) | cos (Jn r) -f- ¿sen(lnr)}

CAI*. 2| F UNCI ONES, L IMI TES Y CON TI NUI DAD 49

La rama principal de la función m ultívoca f í z ) = z l se obtiene haciendo k = 0 y estádada por e ~ * {co s(ln r) 4* i sen (ln r)} donde podemos escoger 0 tal que 0 $ 0 < 2t .

(b) S i z es cualquier punto en el círculo unidad con centro en el origen, entonces \z\ = r = 1 . Deesto por la parte ta), ya que ln r = 0, tenernos zx = e'~l* + 2kn} lo cual representa infinitosnúmeros reales. El valor principal es e~ 9 donde escogemos 0 tal que 0 ¿ 0 < 2r.

(c) Por definición, i* = e‘ ,ni = <»‘{iíír/2 + 2kjr)} — ¿-íix /2 + 2fcw) puesto que i = e i(n /2 + 2kn) yln i = i ( r . /2 -H 2kr.)

El valor principal está dado por

Otro método. Por la parte ib), puesto que z = i está en el círculo unidad con centro en el origeny ya que 0 = r . f2 , el valor principal es e -ir/2.

PUNTO DE RA M IFICA CIO N , RAM AS, SU PER FIC IES DE RIEM ANN19. Sea w — f(z) = (z2 + 1)1/2. (a) M ostrar que z = ± i son los puntos de ramificación

de f(z). (b) M ostrar que una vuelta completa alrededor de ambos puntos de ramificación no produce cambios en las ramas de f(z).

(a) Tenem os w = (z2 + l )1/ 2 = {(z — i) (z + i)}*/2. Entonces argto = ^ a r g (z — t) + ^ arg (z + i) así que

cam bio en arg w = ¿{cam bio en arg (z — i)} -f ¿{cam bio en arg (z + 0 }

Sea C (Fig. 2-21) una curva cerrada alrededor del punto i pero que no contenga en su interior al punto —i. Entonces cuando el punto z da una vuelta en sentido positivo alrededor de C,

cam bio en arg (z — i) = 2 r , cambio en arg (z + i) - 0 ^de m odo que

cam bio en arg w = -

Por esto w no retorna a su valor original, o sea un cam bio en la rama ocurre. Y a que una vuelta com pleta alrededor de z = i altera las ramas de la función, z = i es un punto de ramificación. A nálogam ente si C es una curva cerrada alrededor del punto —i pero que no encierra a i, podemos mostrar que z = —i es un punto de ramificación.

Otro método.

Sea z — i — z + i = r2e102. Entonces

w = <i'1r2ei(e' fSupongam os que com enzam os con un valor particular de z correspondiente a 6¡ = «i y 02 = <*2. E ntonces iv = y,r 1r2 ci0fi/2 e*a2/2. Cuando z da una vuelta alrededor de i en el sentido positivo, Oj aum enta a ai -f 2 r m ientras O2 no varía, o sea 02 = ot2. Por esto

W — Cí(0,l + 2tt)/2 (>¡(t-y/2

— ~Vr\r2 C,a,/2 eia‘¿/2

dem ostrando que no obtenem os el valor original de w, o sea, un cam bio de ramas ocurre, m ostrando que z = i es un punto de ramificación.

(b) S i C encierra a am bos puntos de ramificación z = ± i com o en la figura 2-22, entonces cuando el punto z, da una vuelta en el sentido positivo alrededor de C,

cambio en arg ( z — i) = 2ic cambio en arg (z 4- i) = 2it

Plano z

de m odo que

cambio en arg w = 2 r. Fig. 2-22

50 F U NC I O N E S , L I M I T E S Y CON TI NU I DA D | CAP. 2

Por esto una vuelta com pleta alrededor de am bos puntos de ram ificación no produce cam bios en las ramas.

Otro método.

En este caso, com o en el segundo m étodo de la parte (a), Oí aum enta de aj a 4* 2 ir m ientras aum enta de a* a aL» + 2ir. D e este modo

w = ^ 7 ^ ei(a ,+ 2ir)/2 6i(a, + 2jr)/2 = y / r xr 2 €iai/2 eia */2

y ningún cam bio en la rama se observa.

20. Determ inar las ramas de la función del problema 19.Las ramas pueden ser tom adas com o se indica en las figuras 2-23 y 2-24. E n am bos casos, esas

líneas al no poder cruzarlas nos restringen a una rama donde la función es unívoca.

Plano z P lano zy y

i > {1X X

— i i 1

Fig. 2-23 F ig. 2-24

21. D iscutir la superficie de Riemann para la función del problema 19.N osotros podem os tener superficies de R iem ann diferentes correspondientes a las figuras 2-23 ó

2-24 del problema 20. La que se refiere a la figura 2-23, por ejem plo, puede construirse im aginando que el plano z consiste de dos hojas superpuestas una sobre la otra y cortadas a lo largo de la rama. Los lados opuestos de los cortes se pegan, formando la superficie de R iem ann. Al dar una vuelta com pleta alrededor de z = t, com enzam os en una rama y caem os en la otra. Sin em bargo, si dam os una vuelta alrededor de am bos puntos, z = i y z = — i, no cam biam os de rama. E sto está de acuerdo con los resultados del problema 19.

22. Discutir la superficie de Riemann para la función f(z) = ln z (ver problema 14).En este caso im aginam os que el plano z consiste de infinitas hojas superpuestas una sobre la otra

y cortadas a lo largo de una rama que parte desde el origen z = 0. C onectam os entonces cada lado de un corte al lado del corte opuesto de una hoja adyacente. Luego cada vez que dem os una vuelta alrededor de 2 = 0 nosotros caem os en otra hoja correspondiente a una rama diferente de la función. La colección de hojas es la superficie de Riem ann. En este caso, a diferencia de los problemas 6 y 7, vueltas sucesivas nunca nos regresan a la rama original.

LIM IT E S23. (a) Si f(z) = z-t probar que lim f(z) = zjj.

(6) Encont rar lim f(z) si f(z) = z2 z z00 z = z o '

ía) D ebem os dem ostrar que dado cualquier * > 0 podem os encontrar 3 (dependiendo en general de ( ) tal que | z 1 — z~ \ < « cuando 0 < z — zit < 5.

Si 3 21 1, entonces 0 < |z — z^í < s implica que

! z¿ - z* I — \ z — z{) \ \ z Y z{) \ < 5 ! z — z0 4 2z0 ¡ < 5{|z — z 0¡ + \2z0\} < 6(1 + 2 |Z0|)

Tom ando 4 com o 1 o «/ (1 + 2 2(> ), siempre el m ás pequeño. E ntonces tenemos \ z 2 — zf) \ < «cuando |z — ¿o! ^ y el resultado requerido está dem ostrado.

CAP. 2| FUNCI ONES. L I M I T E S Y CON TI NU I DA D

\51

(6) N o existe diferencia entre este problema y el de la parte (a), puesto que en ambos casos excluim osz = zo de consideración alguna. Por esto lim f(z) = z2. Observe que el lím ite de f ( z ) cuando

Z-*Z0z —> zo no tiene porqué coincidir con el valor de f( z ) en z q .

24. In terpretar el problema 23 geométricamente.(a) La ecuación w = f ( z ) = z 2 define una trasformación o aplicación de puntos del plano z en puntos

del plano w. En particular supongam os que el punto Zq se aplica en el punto w 0 =

F ig. 2-25 Fig. 2-26

En el problema 23(a) probam os que dado cualquier < > 0 nosotros podem os encontrar í > 0 tal que |u> — icol < ' cuando z — z0| < 8. G eom étricam ente esto significa que si deseam os que w esté dentro del circulo de radio c (Fig. 2-26) debernos escoger 8 (dependiente

.de < ) ta l que z esté dentro del círculo de radio 8. D e acuerdo con el problema 23 (a) esto se tienerealm ente si 5 es el valor m ás pequeño entre 1 y « / ( l + 2|zol).

(6) E n el problema 23(a), w = to0 = z | es la im agen de z = z0. Sin embargo en el problema 23(6), w = 0 es la imagen de z = z#. E xcepto por esto, la interpretación geom étrica es idéntica a la dada para la parte (a).

25 . D em ostrar que \[m 3z4 - 2z3 + 8z2 - 2z + 5 _ ^ + ^z-i z — i

D ebem os mostrar que para cualquier i > 0 podem os encontrar 8 > 0 tal que

i 3z< - 2z3 + 8z2 - 2z+ _ 5 _ (4 + 4l) I < . cuando 0 < | * - « | < aI z — i I

P uesto que z ^ i, podem os escribir3z< - 2z3 + 8z2 - 2z + 5 [3z3 - (2 - 3i)z2 + (5 - 2t)z + 5t][z - t]

z — » z — »

al cancelar el factor com ún z — i 0. . = 3z3 — (2 — 3i)z2 4- (5 — 2í)z + 5<

E ntonces debem os m ostrar que para cualquier « > 0, podem os encontrar 5 > 0 tal que

| 3z3 — (2 — 3i)z2 + (5 — 2í)z — 4 + i | < < cuando 0 < z — i \ < S

Si S £ 1, entonces 0 < |z — t| < 8 implica

' 3z3 - (2 - 3i)z2 + (5 - 2i)z - 4 + i | = | z - i | | 3z2 + (6t - 2)z - 1 - 4i |= | z — i 3(z — i + i)2 + (di — 2)V — j + i) — 1 — 4¡ |= | z - i | | 3(z - í)2 + (12* - 2)(z - i) - 10 - 6i |< S { 3 | z — ¿ |2 + i 12í — 2 11 z — » | + | —10 — 6t | }< 8(3 + 13 4 12) = 285

Tom ando 8 com o el m ás pequeño entre 1 y «/28, el resultado requerido se deduce.

TEO REM A S SOBRE LIM ITES26. Si lim f(z) existe, probar que debe ser Unico.

¡j U N IV E R S ID A D N A C IO N A L J I F *c u ltn d P o lité cn ica j

b i b l i o t e c a

52 FUNCIONKS, L I M I T E S Y CON TI NU I DA D | CAl’ 2

D ebem os mostrar que si lim f ( z ) = y lim f ( z ) = Í2. entonces 11 = ¿2-Z — Z, Z-*Z0

Por hipótesis, dado cualquier ( > 0, podem os encontrar 8 > 0 tal que

' /(z) - l¡ | < í /2 cuando o < I z - z„ | < a/(z) - l2 I < e/2 cuando 0 < | z - z„ | < S

E ntonces _ ,2 | = | i , - / ( * ) + / ( , ) - I4 | s í , - /(z ) ] + ¡ f(z) - l2 \ < , /2 + , /2 = ,

o sea, |/i — l¿ es m enor que cualquier número positivo f (sin embargo tan pequeño com o queramos) y por lo tanto debe ser cero. E ntonces l\ = h •

27. Si lim g(z) = B 0, probar que existe 3 > 0 tal que

|0 (*)| > ±\B\ para 0 < | z - z o| < 8Puesto que lim g(z) = B, podemos encontrar 3 tal que j g(z) — B | < A \B\ para 0 < \z — z0| < 5.

*-**o

Escribiendo B = B — g(z) + g(z)> tenem os

¡B| S IB — g(z) ¡ + |jr(z)| < ¿ B\ + |¡7(z)|

° sea ¡B' < \ B\ + is-(z)¡ de lo cual !s-(z)| > ^ ;B|

28. Dado lim f(z) — A y lim g(z) - B, probar que, (a) lim [/(«) + g{z)\ = A + B,í0 -0 Z-+Z*,

(b) lim f(z) g(z) = AB, (c) lim ~ si B y 0, (d) l i m ^ = ~ si B ¥ 0.

(a) D ebem os mostrar que para cualquier t > 0 podem os encontrar 8 > 0 tal que

I [/(z) + p(z)] — {A + B) 1 < « cuando 0 < | z - z0 | < íTenem os

i [/(z) + g(z)] - (A + B) | = í [/(z) - A] 4 tí/(z) - B\ | S \ f (z) - A \ + g(z) - B \ V )

Por hipótesis, dado en e > 0 podem os encontrar 51 > 0 y 82 > 0 tales que

! /(z ) - A \ < ,12 cuando 0 < ¡ z - z 0 | < 8, (2)| g(z) — B ¡ < e/2 cuando 0 < | z — z0 | < S2 (3 )

Entonces de (1), (2) y (3),

I l/(z) + g(z)\ - (A + B) 1 < í/2 + í/2 = c cuando 0 < | z — z0 | < 5 donde 8 es el mínim o entre 81 y 82-

Ib) T enem os ] /(z) g(z) — A B \ = \ f(z){g{z) — B ) + B [f(z ) — A } | Ws l/(z)l I ff(z) - B ¡ + |B | | /(z) - A I s | / ( z ) | | ff( z ) - B ¡ + (|B | + 1) | / ( z ) - A |

Puesto que lim f ( z ) = A , podem os encontrar 81 tal que \f(z) — Al < 1 para 0 < |z — zol < S|-z - z o

D e esto por las desigualdades 4, página 2,

|/(z) - A | g |/(z ) | - |A !, o s e a , 1 2 ¡/(z)| - |A | o |/(z ) | |A | + 1

o sea, |/(z) | 0 podem os encontrar 82 > 0 tal que |g(z) — B | < , / 2 P*■•*0

para 0 < |z — zol < 82-Puesto que lim f ( z ) = A , dado ( > 0 podemos encontrar 63 > 0 tal que I/(z) — A | <

z - z ,para 0 < ¡2 — z0| < 83.

2('B| + 1)U tilizando esto en (-#), tenem os

!/(*),(*)- A S I < f . ¿ + ( ■«. + , ) _ • — = .

para 0 < |z — Z q \ < 3 donde 3 es el mínimo entre Sj, ¿2> ¿3 y la prueba es completa.

CAP. 21 FUNCI ONES, L I M IT E S Y CONTI NUI DAD 53

(ic) D ebem os mostrar que para cualquier t > 0 podemos encontrar } > 0 tal que

= < * CUand° 0 < | z - r „ ! < « (5)

Por hipótesis, dado cualquier < > 0 podemos encontrar i i > 0 tal que

\ g ( z ) - B | < l \B - 1 cuando 0 < | z - z o | < S ,Por problema 27, puesto que lim g(z) = B ^ 0, podemos encontrar í 2 > 0 tal qut

* ~ 2<|

cuando 0 < | 2 — 2-0 ' < S2

E ntonces si 5 es el m ínim o entre 5) y 52, podem os escribir

1 1ff(z) B

g ( z ) - B \ ¿ ¡B \* t--------------- < — = e cuando 0 < 2 — zn < S

|¿?| \g(z) 1 IB| • J |B|

y el resultado requerido está probado.

(d ) D e las partes (6) y (c),

lim = lim \ f(z) • —f -r l = lim f(z) • lim - ~ T = A • 7- = —z - z 0 g(z) z - . z 0 [ ' g(z) J z- .z0 g(z) b b

E sto puede probarse tam bién directam ente (ver problema 145).

Nota. En la prueba de (a) hem os utilizado los resultados \f(z) — A \ < e/2 y |g(z) — B\ < « /2, de m odo que el resultado final tuviera la forma \f(z) + g ( z ) — (A + B )| < « . Claramente la prueba sería igualm ente válida si hubiéramos usado 2 e (o cualquier otro m últiplo positivo de «) en lugar de «. O bservaciones análogas pueden hacerse para las pruebas de (6), (c) y (d ).

29. Calcular lo siguiente utilizando teoremas sobre límites.(a) lim (z2 — 5z -h 10) = lim z2 + lim (—5z) + lim 10

z — l + i z -* 1 + i + í 2 1 4. i

_ ( lim z \ ( lim z \ 1 ( lim —5 \ f lim z \ ,- A * - * . - . / A * - 1" ) + . - " «= (1 + i) (l + i) - 5(1 + ¿) + 10 = 5 - 3¡

10

En la práctica se om iten los pasos intermedios.

, , lim (2z + 3) lim (z — 1). . . ,¡ (2z + 3)(z - 1) _ 2 - , -2 1 _ (3 - 4i)(—2¡ - 1) _ _ 1 U .

j —-21 z2 —2z + 4 lim (22 — 2z + 4) 4¡ 2 4 *

:3 + 8(c) lim_ 2e.i/3 z4 + 422 + 16

En este caso el lim ite del numerador y denominador son cada uno cero y los teoremas sobre el lím ite no pueden aplicarse.

Sin embargo, factorizando los polinomios, vem os que

lim z 2 + 8 _ ,. (z 4 2)(z - 2<+i/3)(z - 2 e ^ > )* _ 2ert/3 z* + 4z2 + 16 í - 2 ^ /3 (2 - 2e«'»)(z - 2e ^ ' 3)(z - 2c4’f''3)(z - 2e5"'/3)

lim (z + 2) = ___________ <+í/3 + 1_________x~ ¡ rri/3 (z - 2e2,ri/3)(z - 2c4lri73) 2(e’rí/3 - e-”u i ){e’r' 13 - f 4" '3)

. 3 V3 .

8 8 ‘

Oíro método. Puesto que z*> — 64 = {z2 — 4 ) (z4 + 4z2 -f- 16), el problema es equivalente a encontrar ^ (z2 _ 4)<23 + 8) _ j ._ 22 _ 4 , 2. 1/3 - 1 _ 3 _ V» .

t J ™ ¡/3 r6 — 64 2^.73 23 - 8 “ 2(e!7‘ — 1) 8 8

z30. Demostrar que lim - no existe. \

* -o * >

Si el lím ite existe debe ser independiente de la manera com o z tienda al punto 0.

54 F UNCI ONE S, L I M I T E S Y CON TI NUI DAD | CAP. 2

Hagam os que z —* 0 a lo largo del eje x. E ntonces y = 0 , y z = x + iy = x y z = x — iy = x,de m odo que el lím ite requerido es _

lim — = 1i - o rH aciendo que z —>0 a lo largo del eje y . E ntonces x = 0, y ¡ = j + ¡y * iy y z = x — iy = — iy,

de m odo que el lím ite requerido eslim = * = - 1v - o W

P uesto que las dos aproxim aciones no dan la m isma respuesta, el lim ite no existe.

CONTINUIDAD31. (a) Demostrar que f(z) = z2 es continua en z = z0.

(6) Dem ostrar que f(z) = j 2* 2 ^ z° , donde z0 ^ 0, es discontinua en z = Zo.[0 z = z0

(а) Por problema 2 3 (a), lim f (z) = /(z 0) = z2 y así /(z ) es continua en z = z0.«-¿o

Oíro método. D ebem os mostrar que dado cualquier « > 0, podem os encontrar 6 > 0 (dependiendo de <) tal que | f(z) — f{z0) | = | z2 — z2 | < « cuando |z — zol < 3. El m odelo de prueba que vim os en problema 2 3 (a).

(б) Por problema 23(6), lim /(z) = z'L pero /(zq) = 0. Por esto lim f ( z ) /(zo) y de este* -* *0 Z-+Z ©modo /(z ) es discontinua en z = zo si zq 0.

Si zq = 0, entonces /(z ) = 0; y puesto que lim f ( z ) = 0 = /(0 ) , vem os que la función es continua. 2

32. ¿Es la función f(z) = 3z< ~ 2z* t 8?2 2z ± J> continua en z = t?Z - l

f ( i) no existe, es d ec ir /(z ) no está definida en z = i. Entonces f ( z ) no es continua en z = i.

D efiniendo /(z ) de m odo que f ( i) = lim /(z ) = 4 + 4i (ver problema 25), la función se vuelvez i

continua en z = i. Por ser la discontinuidad tal que se puede evitar definiendo la función adecuadam ente en ese punto, se dice que z = i es una discontinuidad evitable.

33. Demostrar que si /(z) y g(z) son continuas en z = z0, lo son también

(a) f(z) + g(z), (6) f(z)g(z), (c) ^ if g(z0) + 0

E stos resultados se deducen de una vez del problema 28 haciendo A = f (zo), B = g(zfl) escribiendo 0 < \z — zol -

34. Demostrar que /(z) = z2 es continua en la región \z\ á 1.Sea zo cualquier punto en la región |z| 5 1 . Por problema 23(a), f ( z ) es continua en Z(>. Entonces

f ( z ) es continua en la región ya que es continua en cualquier punto de la región.

35. ¿Para qué valores de z son cada una de las siguientes funciones continuas?(a) f(z) = „ * = — ¡ rr. Puesto que el denominador es cero cuando z = ± » , la funciónz2 + 1 (z — i)(z + i)

es continua en toda parte excepto en z = ± i.

(4) f (z) = esc z = Por el problema 10(a), sen z = 0 para z = 0, ± it , ± 2 x ,. . . . Por esto

f ( z ) es continua en toda parte excepto en estos puntos.

CONTINUIDAD U NIFORM E36. Demostrar que f{z) = z2 es uniformemente continua en la región |z| < 1.

D ebem os mostrar que dado cualquier < > 0, podemos encontrar S > 0 tal que ¡ z2 — zj | < ecuando |z — z0| < 5, donde 8 depende solamente de f y no del punto particular zo de la región.

CAP. 2} FUNCI ONES, L I M I T E S Y C O N TI NUI DAD 55

Si 2 y 2o son dos puntos cualesquiera en |e| < 1 , entonces

I * 2 - *21 = l * + * o l l * - * o l S (1*1 + l*ol> I * ~ *o I < 2 | 2 - 20 |

D e este m odo si \z — z0| < 8, se deduce que | z2 — z2 I < Escogiendo 8 = </2, vem os que

I * 2 ~~ zo I ^ * cuando |z — Zo\ < 8, donde 8 depende solam ente de < y no de zq. Por esto f( z ) = z2 es uniform em ente continua en la región.

37. Dem ostrar que f(z) = 1/ z no es uniformemente continua en la región \z\ < 1.M étodo 1.

Supongam os que f ( z ) es uniform em ente continua en la región. Entonces para cualquier e > 0 , debería ser posible encontrar 8, por ejem plo, entre 0 y 1 , tal que |/(z) — /(zo)| < * cuando \z — Zq| < 8 para todo z y Zq en la región.

5Sea 2 * 8 y z0 = ^. E ntonces | z — z 0 \ — 8 — JTfJ

S in embargo,

1 + i < 8.

= 7 > « (ya que 0 . < 8 < 1 ).1 _ JL = 1 _ L±_!z z0 8 8

D e este m odo tenem os una contradicción, y se deduce que f ( z ) = 1 / z no puede ser uniformem ente continua en la región.

Método 2.Sean z0 y zq -f £ cualquier par de puntos de la región tales que \z$ ■+■ £ — Zq| = | ; | = 8. Entonces

I /(*»> - fUa + f) I = Idl*ol I *0 + i I l*#l I *o + 1 1

se puede hacer tan grande com o queramos escogiendo 2o suficientem ente próximo a 0. Por esto la función no puede ser uniform em ente continua en la región.

SUCESIONES Y SER IES

38. Estudiar la convergencia de las sucesionesi n n + íin

(a) Un = —, n = 1 ,2 ,3 ...... (b) un - n •. i2 i 3 ¿4 t 5 1 - i 1 i

(а) Los primeros térm inos de la sucesión son i, — , — , -7 , — , etc., o i, — - , Al2 3 4 5 2 3 4 5

dibujar los puntos correspondientes en el plano z, sospecham os que el lím ite es cero. Para probar esto debem os m ostrar que

| m„ — l | = | i n/ n — 0 | < « cuando n > N ( /)

Ahora | i n/ n — 0 1 = | i n/w| = \i\n/ n = 1/n < < cuando n > 1 /<

Escogiendo N = l / e . Vem os entonces que (1) es verdadero, y así la sucesión converge a cero.

(б) Considere |«n_M (1 + i)n + 1/(n + 1 ) I1 ” » (1 + i)"/n |

l + i[n \ ¡ 2

n + l '

ti 2 6Para todo n £ 10 , por ejem plo, tenem os > - = 1,2. Entonces |tt„+il > 1 ,2 |izn|

n + 1 5para n > 10 , o sea |u n l > 1,2 ¡u10|( |u |2| > 1,2 |u n | > (1 ,2)2 |u ,0; y e n general |u„| > ( l ,2 )n->° |i¿io|. Se deduce que [u„| puede ser tan grande com o queramos y entonces el lím ite de |m„| no puede existir, y en consecuencia el de u n no puede existir. Entonces la sucesión diverge.

39. Si lim «„ = A y lim b„ = B, dem ostrar que lim (a„ + bn) = A + B.

Por definición, dado « podemos encontrar N tal que

! a n - A I < </2, I bn - B < í/2 para n > N

Entonces para n > N ,

\ ( a n + bn) - ( a + B ) \ = \ ( a n - A ) + ( b „ - B ) \ £ | a n - A | + | b„ - B | < «

56 F UN C I ON E S, L I M IT E S Y CON TI NU I DA D | CAP. 2

lo cual dem uestra el resultado.

Puede verse que se sigue el m ismo esquem a de prueba que para el lím ite de funciones (ver problem a 28).

40. Probar que si una serie ul + u2 + u 3 -f • • • es convergente, entonces lim u„ = 0.n -» x

Si S n es la sum a de los primeros n térm inos de la serie, entonces S n+i = S n + u n. Por esto si lim S n ex iste y es igual a S, tenem os lim S n+j = lim S n 4* lim u„ o S = S + lim u n es decir, lim u n = 0.n -* < c n — x n -* x n — x n -♦ =c n - * «

Recíprocam ente, sin em bargo, si lim u n = 0 la serie puede o no converger. Ver problema 150.n -♦ oc

41. Probar que 1 + z + z2 + z3 + • • • = —I— si lz| < 1.1 — 2

Sea S„ = 1 + z + z2 + • • • + z"- 1

E ntonces z S n = z + z- + • • • + z" ~ 1 + z"

R estando ( l - z ) S „ = 1 - 2" o S„ = z"1 — 2

Si |z| < 1 , entonces presum im os que lim zn = 0. Para probar esto debem os m ostrar que dadon -* x

cualquier « > 0, podem os encontrar N tal que \zn — 0 | < < para todo n > N . E l resultado es verdadero z = 0; por esto podem os considerar z 0.

Ahora \zn\ = \z\n < ( cuando n ln \z\ < ln « o n > (ln () / (ln|e]) - N (ya que si \z\ < 1, ln \z\es negativo). H em os pues encontrado el N exigido, y lim z n = 0.

n -* oo

D e tal m odo que 1 + z + z1 + • • • = lim S„ = lim 1 ~ z" = LlL® — — .n — oo n — x 1 — Z 1 — Z 1 — 2

La serie _a + 02 + az2 + • • • = — —

1 - 2

se llama serie geométrica con primer térm ino igual a a y razón z, y su sum a es a / ( l — 2) si |zj < 1 .

PROBLEM AS VARIOS42. Sea w = (z2 + 1 )I/2. (a) Si w = 1 cuando z = 0, y z describe la curva C,, m ostrada

en la figura "-27, hallar el valor de w cuando z = 1. (6) ¿Si z describe la curva C2, m ostrada en la figura 2-28, se obtiene el mismo valor de w obtenido en (a) cuando z = 1?(a) Los puntos de ram ificación de w = f(z) = (z2 + l )'/2 = {(2 — () (2 + i)}1/ 2 son z = ±i por

el problema 19.

____ c .

S-V A ,z

? ) í0 1 ° / 1

r2\*2

Fig. 2-27

— iFig. 2-28

Sea ( i) z — i - r xe^\ , (2) z + i = r 2ei0t. E ntonces puesto que 0| y O2 están determ inados sólo dentro de m últiplos enteros de 2xi podemos escribir

y/r,Y*¿ e"fli + fít )r¿ ek~l (3)

FUNCI ONES, L I M IT E S Y C O N TI NUI DAD 57

Refiriéndonos a la figura 2-27 (o utilizando las ecuaciones (1) y (2)) vem os que cuando z está en0, rj = X, 0i = 3 x /2 y = 1, 02 = x /2 . Puesto que w = 1 en z = 0, tenem os de (3),1 = e (k+ i)iri y escogem os k = —1 (<S 1 , — 3, . . .) . E ntonces

u> = — V T yq e''» .+ »!)/2

Cuando z recorre Ci de 0 a 1, ri cam bia de 1 a V 2, Oí cam bia de 3 x /2 a —x /4 , r» cambiade 1 a v/2> 02 cam bia de x /2 a x /4 . Entonces

= — V (a /2 )(t/ 2 ) + ’ = - V 2

(6) Como en Ja parte (a), w = — V r ir 2 e<(?> + 0*)/2. Refiriéndonos a la figura 2-28 vem os que cuando z recorre C2 , cam bia desde 1 a y/2, Oí cambia desde 3 x /2 a 7 x /4 , ro cam bia desde 1 a \/S y 82 cam bia desde x /2 a x /4 . E ntonces

w = - • \ / ( v / 2 )(v/2 ) ■

el cual no es el m ism o valor obtenido en (a).

= V 2

Sea V I — 22 = 1 para 2 = 0. Dem ostrar que cuando z varía desde 0 a p > 1 a lo largo del eje real, V I — 22 varía desde 1 a — i V P2 — 1-

Considere el caso donde z se m ueve alrededor del cam ino A B D E F , donde B D E es un semi-círculocom o se m uestra en la figura 2-29. D e esta figura, tenemos

1 — z = l — x — í y = r eos 0 — ir sen 0

de tal m odo que \J l — z2 = \ / ( l — z )(l + z) = \V (e o s 6 /2 — i sen 6/ 2 ) V 2 — r eos 6 + ir sen 6

A lo largo de A B : z = x, r = 1 — x, 0 = 0 y V i — *2 = V i — * V i + * = V i — *2-

y V i ~ = —«V* — 1 V * + 1 = —¿V*2 — 1-A lo largo de EF:

z = x, r = 1

z = x, r = x

x, 0 = 0

1 , 0 = x

Por esto cuando z varía de 0 (donde x = 0) a p (donde x = p ), V I — z2 varía desde l a - i V p 2 — 1

Halle una aplicación la cual aplica los puntos 2 = 0, ± i, ± 2 i, ± 3 i, . . . del plano z en el punto w - 1 del plano w (ver figuras 2-30 y 2-31).

Plano z

y3 t'i

2 i<

0—i i

—2 i (

Fig. 2-30

Plano w

V

u

1

Fig. 2-31

Puesto que los puntos en el plano z están igualm ente espaciados, nosotros estam os tentados, por el problema 15, a considerar una función logarítmica del tipo z = ln w.

58 F UN C I ON E S, L I M IT E S Y CON TI NU I DA D | CAP. 2

Ahora si w = 1 = e2kni, fc = 0, i l , ± 2 , . . . . entonces z = ln w = 2 kx i así que el punto w = 1se aplica en los puntos 0, ± 2 * í, ± 4 « , . . . .

S i, sin em bargo, consideram os z = (ln w) / 2x, el punto w = 1 se aplica en z = 0, ± i , ±2¿, . . com o lo queríamos. Recíprocam ente, por m edio de esta aplicación los puntos z = 0, ± i, ±2¿, . . . se aplican en el punto u> = 1 .

E ntonces la aplicación adecuada es z = (ln w ) /2r. o w = e2**.

45. Si lim z„ = l, dem ostrar que lim Re {z„} = Re {/} y lim Im {z„} = Im {l}.n -» » n oo n«+oo

Sea z„ = + »y„ y l = l\ + il2, donde x„, y„ y ¿i, l2 son las partes real e imaginaria de z„y l respectivam ente.

Por hipótesis, dado cualquier t > 0 podem os encontrar N tal que |z„ — l\ < • para n > N , o sea,

i x n + iy„ - (1, + ií2) | < « para n > N

0 V(x n — M 2 + (¡/n — ^ )2 < ' para n > ND e esto necesariam ente se deduce que

!*n - ¿il < « y lyn - ¿2I < « para n > No sea lim x n = i¡ y lim y n = l2, com o queríamos.

n — n -» oc

46. Probar que si |a| < 1 ,

l —o eos 6(a) 1 + a c o s e + a2 cos20 + a3 cos30 + ••• = x _ 2a eos 9 + a2

a ser>0(b) asen 9 + a 2sen2 0 + a3 sen35 + ••• = ------ 5 ,' ' 1 — 2a eos 8 + a¿

Sea z = aeie en el problema 41. Podem os hacer esto puesto que |z| = |a| < 1. Entonces

1 + aeie + a2e2is + a 3®3'® + • • • = -— -— jj1 — ae'e

1 1___a e ~ i60 (1 + a eos $ 4- a2 eos 2o + • • •) + i{a sen o + a2 sen 26 + • • •) = ^ • rrñ1 — aew 1 — ae w

_ 1 — a eos 6 4- ia sen e1 — 2a eos 6 4- a2

El resultado exigido se deduce al igualar las partes real e imaginaria.

P r o b l e m a s p r o p u e s t o s

F U N C IO N E S Y T R A SF O R M A C IO N E S

47. Sea w = /(z ) = z(2 — z). H allar los valores de w para (o) z = 1 + í, (6) z = 2 — 2i y hacer lagráfica de los valores correspondientes en el plano ¿a y en el plano z. Resp. (a) 2, (b) 4 + 4¿

48. S i w = f ( z ) = (1 + z ) / ( l — z), hallar (a) f ( i ) , (6) / ( I — i) y representarlos gráficamente.Resp. (a) i, (b) —1 — 2¿

49. Si f ( z ) = (2z + 1 ) / (3z - 2), z * 2 /3 , hallar (a) / ( 1 /z ) , (b) /¡/(z)> .Resp. (a) (2 + z ) / (3 - 2z), (6) z

50. (a) Si tt> = f ( z ) = (z -f 2 ) / (2 z — 1 ), hallar /(0 ) , / ( t ) , / ( I + t). (i) Hallar los valores de z tales quef (z ) — i, /(z ) = 2 — 3í. (c) M ostrar que z es una función unívoca de w. (d) Hallar los valores dez tales que / ( z) = z y explicar geom étricam ente por qué llam am os a tales valores los puntos fijos o invariantes de la trasform ación. Resp. (a) —2, —i, 1 — i, (6) —i, (2 + ¿)/3

51. Un cuadrado S en el plano z tiene vértices en (0, 0), <1, 0), (1, 1), (0, 1). Determ inar la región en elplano w en la cual S se aplica bajo las trasform aciones, (a) w = z- , (b) w - l / ( z + 1).

52. D iscutir el problema 51 si el cuadrado tiene vértices en (1, 1), ( —1, 1), ( — 1, —1), (1, —1). \

CAP. 2| FUNCI ONES, L I M IT ES Y C O N TI NUI DAD 59

53. Separar cada una de las siguientes funciones en las partes real e imaginaria, es decir hallar u(x, y )y v(x, y ) tales que f{z) = u + iv: (a) f ( z ) = 2*2 - 3¡z, (6) f ( z ) = z + 1 / z , (c) f (z ) =(1 - z) /(1 + z), (d) /(z) = *1/2.

54. Si /(* ) — 1 /* — u + iv, construir algunos m iembros de las familias u (x , y ) - a, o (x ,y ) = (1 donde “ y P son constantes, y mostrar que ellas son familias de círculos.

F U N C IO N E S M U L T IV O C A S

55. Sea w 3 = * y supongam os que para * = 1 tenem os w = 1. (a) S i com enzam os en * = 1 en el plano * y dam os una vuelta com pleta en el sentido positivo alrededor del origen, encontrar el valor de w que se obtiene al retornar a * = 1 en la primera vuelta. (6) ¿Cuáles son los valores de w al retornar * = 1 después de 2, 3, 4, . . . vueltas com pletas alrededor del origen? D iscutir (a) y ( i) si loscam inos no encierran el origen. Resp. (a) e2lri/3, (6) e*'ri' 3, 1, e2ni/3

56. Sea w = (1 — *2)1/2 y supongam os que para * = 0 tenem os w = 1. (a) Si com enzam os en z = 0en el plano * y dam os una vuelta com pleta en el sentido positivo de tal m odo que incluyam os a * = 1pero no a * = —1, hallar el valor de w al retornar a z = 0 en la primera vuelta. (A) ¿Cuáles son los valores de w si las vueltas en (a) se repiten una y otra vez? (c) ¿Qué sucede si en las partes (a) y (6) las vueltas incluyen * = — 1 pero excluyen a * = 1? (d ) ¿Qué sucede a las partes (o) y (6) si las vueltas incluyen a am bos puntos, * = 1 y * = —1? (e) ¿Qué sucede a las partes (a) y (6) silas vueltas excluyen a am bos puntos, z = 1 y * = —1 ? (/) Explicar por qué * = 1 y z — —1 sonpuntos de ramificación. (g ) ¿Qué líneas pueden tomarse com o ramas?

57. H allar los puntos de ramificación y construir las ramas para las funciones (a) /(*) = { * /( 1 — *)}*/2,(A) / ( * ) = ( *2 - 4)1/3, (c) /(*) = ln (* - *2 ) .

LAS F U N C IO N E S EL E M E N T A L ES

58. Dem ostrar que (o) e*i/e*¡ = (A) |e¡*| = e ~ y.

59. D em ostrar que ningún valor finito de * satisface la ecuación e‘ = 0.

60. D em ostrar que 2x es un período de eiz. ¿Tiene otros períodos?

61. H allar los valores de * para los cuales (a) e3* = 1, (6) eiz = i.

Resp. (o) 2kxi/3 , (6) ¿irí + ^k~i, donde k = 0, * 1 , —2, . . . .

62. Dem ostrar, (o) sen 2* = 2 sen z eos *, (6) eos 2* = eos2 * — sen 2 *, (c)sen2 (*/2) = 4(1 — eos *),(<f) eos2 (*/2) = J (1 + eos *).

63. Probar (a) 1 + tan 2 * = sec2 *, (6) 1 + cot2 z = esc2 z.

65. D em ostrar que todas las raíces de, (a) sen z = a, (6) eos z = a donde —1 S o S l , son reales.

D em ostrar que si ¡sen z| S 1 para todo z, entonces z debe ser real.

68. Para cada una de las funciones siguientes hallar u(x, y ) y víx, y ) tal que /(* ) = u + iv, o sea encontrar las partes real e imaginaria: (o) f (z) = e3lt, (6) /(z) = cosz , (c) f(z) = se n 2z, (d) /(*) = z2 e2‘ .

Resp.{a) u = e ~ 3y eos 3x, V = e -3 “ sen3x , (6) u = eos x cosh y, v = — s e m senh y, (c) « = sen 2x cosh 2y, v = eos 2x senh 2y , (d) u = c2l{(x2 - y 2) eos 2y - 2x y sen 2y) , v = e2r{2xy eos 2y + (x2 - y 2) sen 2y)

69. D em ostrar que (o) senh ( — z) = — senh z, (b) cosh ( — z) = cosh z, (c) t a n h ( — z) = — tanh z.

70. D em ostrar que (a) senh (z( + z.¿) = senh Z| cosh z.¿ + cosh *! senh z.,, (6) coslT2x = cosh2 z + s e n h 2 z,(c) 1 — tanh2 * = seeh2 z.

Resp. (o) ti = 2x2 - 2y2 + 3y, v = 4x y - 3x

(6) u = x + x /(x 2 + y 2),v = y - y /(x 2 + y 2)

(d) H = r ' 12 eos # /2 , v = r l/2 s e n #/2 donde x = r c o s é , y = r s e n í

hallar (o) eos 2z, (6) eos 3z. Resp. (a) 7, (A) 26

M ostrar que, (a) sen z = sen z, (A) eos *■ = eos z, (c) tan z = tan z.

60 F UNCI ONE S, L I M I T E S Y CON TI NU I DA D | CAP. 2

71. D em ostrar que (a) senh 2 (z/2) = £ (cosh z — 1), (6) cosh2 (z/2) = ^ (cosh z 4- 1).

72. Hallar u (x , y ) y v(x, y ) tal que (a) senh 2z = u + iv, {b) z cosh z = u + w.Resp. (a) u = senh 2x eos 2y, v = cosh 2a: sen 2y

(b) u x cosh x eos y — y senh jc sen y , v = y cosh x eos y -f x senh x sen y

73. H allar el valor de, (a) 4 se n h (x //3 ), (b) coshí2¿ + l ) r . i /2 , k = 0 , ± 1 , ± 2 , . (c) coth 3ic¿/4.Resp. (a) 2 i \ /3 , (6) 0, (c) i

74. (a) M ostrar que ln ¿ + 2 *Tr) k = °* ± 2 , " * ^ ¿Cuál es el valor principal?Resp. (b) 4 -xi/3

75. Obtener todos los valores de, (a) ln ( —4), (b) ln (3/), (c) ln ( v73 — 0 y hallar el valor principal en cada caso.Resp. (a) 2 ln 2 4- (;r 4- 2k - ) i , 2 ln 2 4- r i. (b ) ln 3 4- ( z /2 4- 2/c-)í, ln 3 4- r //2 . (c) ln 2 4- ( U z / 6 4- 2fcr)t,

ln 2 4- llsri/6

76. M ostrar que ln (z — 1) = £ ln {(x — l )2 4- y 2} 4- i ta n - 1 y / ( x — 1), suponiendo algunas restricciones.

77. D em ostrar que, (a) eos 1 z = \ ln (z 4 y/z2 — 1 ), (6) c o t - 1 z = ~ ln ¡ ” 77^ con restricciones con-. t ¿í \ z 1 ¡venientes.

78. D em ostrar que, (« )senh -» 2 = ln (z 4- \Zz2 + 1 )» (&) coth - 1 z = — ln [ z J •

79. Hallar todos los valores de, (a) sen' 1 2, (b) eos- 1 /.Resp. (a) ± i ln (2 + V 3 ) + ^ /2 + Zk* (b) - i ln (\[2 + 1) + jt/2 + Zkx, - i ln ( \ [ Z - 1) + 3:7/2 + 2fcr

80. H allar todos los valores de, (a) cosh- 1 /, (6) senh-1 {ln ( — 1)}-Resp. («) ln (y/2 4- 1) 4- z i t 2 4- 2 kz i , ln (\^2 - 1) 4- 3 -Í/2 4 2k z i

(b) ln |(2 k 4- l) r Y y /(2 k + l )2- 2 - 1] 4- jtí/2 4- 2w r/,ln [\Z(2/c 4- 1 )M - 1 - (2k + l)a-) 4- S z i /2 4- 2m z i , k , m = 0, ± 1 , ± 2 , . . .

81. Determ inar todos los valores de, (a) (1 4- i ) 1, (b) l^ 2.

Resp. («) c~~ l 'x f 2kn {eos (A ln 2) 4- is e n (J ln 2 )} , (b) eos (2 \/2 k - ) 4- i sen (2 y/ 2 kz)

82. Hallar, (a) R e {(1 — i ) 1+«}, (b) | ( —*)-«|.Resp. (a) eto¡n2 7z / 4 2kz cos (7 ^ / 4 4. £ ln 2), (6) C:t7r/2f2,cr

83. H allar las partes real e imaginaria de z: donde z = x 4- iy-

84. M ostrar que, {a) f ( z ) = (z2 — l ) 1/ 3, (b) f ( z ) = z 1/ 2 4- z1/3 son funciones algebraicas de z.

PU N T O S I)E R A M IF IC A C IO N , R A M A S Y S U P E R F IC IE S DE R IE M A N N

85. D em ostrar que z = ± i son puntos de ramificación de (z2 4- I ) 1/ 3.

86. Construir una superficie de Riem ann para las funciones, (a) z 1/3, (6) z 1/ 2( z — 1)1/2, (c) " ~~2

87. M ostrar que la superficie de Riem ann para la función z1/2 4- tiene 6 hojas.

88. Construir superficies de R iem ann para las funciones, (a) ln (z 4" 2), (b) sen - 1 z, (c) tan - 1 z.

L IM IT E S

89. (a) Si f ( z ) — z 2 -4- 2z, demostrar que lim /(z ) = 2 i — 1.

f z2 4- 2z z ^ 1íó) Si /(z) = : , hallar lim f (z ) y justificar la respuesta.

^3 4 -2 / z = 1

90. Dem ostrar que lim 2 - = 1 — A*.j - i + i z2 - 2 z 4 2

91. Adivinar un valor posible para (a) lim - , (b) lim — — y estudiar lo acertado de la conjetura.i — 2 + i 1 4- 2 z — 2 + i Z ¿ 4- 4

CAP. 2| F UNCI ONES, L IMI TES Y CONTI NUI DAD 61

92. S i lim f ( z ) = A y lim g(z) = B, demostrar que, (a) lim (2 /(z ) — 3i g(z)} = 2A — 3 iB , (b)2 — 20 2 — 2¿ 2 -* 20lim {p f(z) + q g(z)} = pA + qB donde p y q son constantes arbitrarias.2-20

93. S i lim f ( z ) = A , demostrar que, (a) lim í/(z )}2 = A - , (b) lim (/(z )(3 = A 3. ¿Se pueden generalizar*-*z0 <0 z ~ z0

esas proposiciones para lim {/(z)}n? ¿En qué restricciones será válida la generalización, de ser posible? *94. Calcular aplicando teorem as sobre lím ites los siguientes casos (en cada uno establezca precisamente

qué teorem as utiliza).

(a) lim (iz4 4- 3z2 — 10Í) (c) lim — — ,2 - ,7 2 ( i Z - 1 ) 2 )jm í _ Z _ - l - i

. . . . . z z . . . . . z2 + l 2 - i + i | z - - 2z + 2W llm Z.-T . , (rf) lim "■■ ■

. _ em/4Z4 + Z + l 2 - i Z 6 + l

Resp. (a) - 1 2 + 6», (6) (1 + l ) /2 , (c) - 4 / 3 - 4 i, (d) 1 /3 , (e) - 1 / 4

95. Hallar lim ( z - e ,i,3 ) ( — - ) Resp. 1 /6 — i y / 3 / 62 - ,iri/3 \ Z-* + 1 /

96. D em ostrar que si f ( z ) = 3z2 + 2z, entonces lim — Í L í l = 6z0 + 2.2- . 20 z — z0

. 2z - 1 , . /(z c + h) - f ( z 0) 797. S i f (z) = - —— , demostrar que llm ----------- = --—----- —— si z„ ^ - 2 / 3 .

i z + ¿ h -*o n (3zo + 2 )-

98. Si consideram os la rama de f(z) = y i f l + 3 para la cual f(0) = \ /3 , demostrar que

lim \ /z 2 + 3 - 2 12 - 1 z - 1 2

2z4 4 199. Explicar con precisión el significado de, (a) lim 1 / (z — i )2 = « , (b) lim — , = 2.

Z - i Z - o c 2"* 4 - 1

100. M ostrar que, (a) lim (sen z ) /z = 2 /x , (6) lim z2 cosh 4 z /3 - r 2/8 .Z — 77 /2 * - * 1 0 / 2

101. M ostrar que si consideramos las ramas de /(z ) = tanh“ i z tal que /(0 ) = 0, entonces lim f (z ) = 3x¿/4.i — - i

C O N T IN U ID A Dz2 4- 4

102. Sea /(z) = ------— si z ^ 2 m ientras /(2 i) = 3 4- 4¿. (a) Dem ostrar que lim /(z ) existe y deter-z — ¿ i z -* iminar su valor. (6) ¿Es f{z) continua en z = 2i? Explicar, (c) ¿Es /(z ) continua en puntos z ^ 2 i? Explicar.

103. R esolver el problem a Í02 si f (2 i) es ahora igual a Ai y explicar por qué algunas diferencias ocurren.

( l 0¿ D em ostrar que /(z ) = z / ( z 4 + 1 ) es continua en todos los puntos dentro y sobre el círculo unidad |z| = 1 excepto en cuatro puntos, y determ inar esos puntos. Resp. e (2k + 1)7r¡/4, k = 0 , 1 , 2 , 3

105. S i /(z ) y g(z) son continuas en z = zq, demostrar que 3 f ( z ) — 4 i g(z) es tam bién continua en z — z0.

106. S i f( z ) es continua en z = z0 demostrar que, (a) {/(z)}2 y (b) {/(z)}3 son también continuas en z = z0. ¿Se puede extender el resultado a {f(z)}n donde n es cualquier entero positivo?

107. H allar todas las discontinuidades de las siguientes funciones.

(a) f(z) = ^ 2*2z + 2 * *** ^ = z* — 16 ’ ^ = COtZ' <d) ^ ~ ' ~ Se° Z' (e) ^ Z) ~

Resp. (a) —1 — i (c) kv , k = 0, —1, ±2, . . . . . . . . .( b ) ± 2 , ± 2 i (d) 0, (fe + $).r, fc = 0, ± 1 , ± 2 , . . . <c) - * ’ < + i ) ' ’1- -

108. D em ostrar que /(z ) = z 2 - 2z 4 3 es continua en todo el plano finito.

z2 4- 1109. D em ostrar que /(z) = ^ es, (a) continua, y (6) acotada en la región |z\ á 2.* • m

110. D em ostrar que si /(z ) es continua en una región cerrada, es acotada en la región.

111. D em ostrar que /(z ) = 1 /z es continua para todo z tal que |z| > 0, pero que no es acotada.

112. D em ostrar que un polinomio es continuo en todo el plano finito.z 2 - f 1

113. M ostrar que /(z) = —— ■ es continua para todo z exterior a |z| = 2.

C O N T IN U ID A D U N IF O R M E

114. D em ostrar que /(z ) = 3z — 2 es uniform em ente continua en la región |z| % 10.

115. D em ostrar que f ( z ) = l / z 2, (a) no es uniform em ente continua en la región |z| S 1, pero, (6) esuniform em ente continua en la región ¿ = |z| S 1 .

116. D em ostrar que si /(z ) es continua en una región cerrada ^ es uniform em ente continua en %

S U C E SIO N E S Y SE R IE S

n 2 i n . ( u i7i \117. Dem ostrar que, (o) lim —■------ = 0, (6) lim ( — —— -------— / = 1 — i.

n - f l c W J - f l n — » \ 7 l 4- 3 i n 4- 1 /

118. Dem ostrar que para cualquier número com plejo z, lim (1 + 3 z / n 2) = 1.n -* oo

119. Dem ostrar que lim =: 0.n x \ ¿ /

120. Dem ostrar que lim n i n no existe.n -♦ se

121. Si lim |u„| = 0, dem ostrar que lim u„ = 0. ¿E s verdadero el recíproco? Justificar su conclusión.n -* x n -* *

122. S i lim a n = A y lim b„ = B, dem ostrar que, (a) lim (a„ + b„) - A + B, (b) lim (a„ — bn) -n -» se n — ic n —* x n -* x>

A — B, (c) lim a ltbn = A B , (d ) lim a n / bn = A ¡ B si B 0.n -* x n ~ x

123. Aplicando teo .em as sobre lím ites calcular,

(a) lim }n. i!? A_T . íc\ jjm yfa 4- 2 i — y jn 4- i(2 n 4- Ai - 3 )(n - i )

6 2 F UNCI ONES, L I M IT E S Y C ON TI NU I DA D [CAP. 2

(b) lim (n2 4- 3í)(w - i) tn3 — 3n 4- 4 — i

(d) lim y f t { y/n + 2 i — y f ñ + 1 )

Resp. (a) Jí, (6) 1, (c) 0, (d )

124. Si lim u ,j = l, demostrar que lim — ------ —------------ - = l.n -* x n — X n

125. Dem ostrar que la serie 1 4- i / 3 4- (t/3)2 4- • • • = 2 (í/3 )n_1 converge y hallar sus sumas.Resp. (9 3i')/10 n = 1

126. D em ostrar que la serie i — 2i + 3 i — Ai 4- ••• diverge.

« se x

127. S i la serie 2 «„ converge a A , y 2 converge a B, demostrar que 2 + >&n) converge an ~ 1 n = l n = l

A 4- iB. ¿Es verdadero el recíproco?

128. Estudiar la convergencia de S —— donde w = \ /3 4- í. Resp. Convergente;; - 1 5,,/¿

CAP. 2| F UNCI ONES, L IMI TES V CON TI NUI DAD 63


129. Sea w = {(4 — z)(z2 + 4 )} '/2. S i w - 4 cuando z = 0,mostrar que si z describe la curva C de la figura 2-32, entonces el valor de w en z = 6 es —4¿v /5l

130. Dem ostrar que una condición necesaria y suficiente para quef (z) = u(x, y) + i v ( x , y ) sea continua en z = Zo = *o + ¿yoes que u(x, y ) y v ( x , y ) sean continuas en i.x,). yo). Fig. 2-32

131. D em ostrar que la ecuación tan z = z tiene solam ente raíces reales.

132. U n estudiante observaba que lo elevado a cualquier potencia es igual a 1 . ¿Estaba él en lo cierto? Explicar.

133. M ostrar que s- ^ + ^ ^ — 2 sen»2 22 23 5 — 4 eos e

134. M ostrar que la relación Jf ( x + iy)\ = \f(x) + f( iy) \ se satisface para f ( z ) = sen z. ¿Existen otras funciones con esta propiedad?

35. Dem ostrar que lim —- — = 0.z* + *2 - 3 * + 5

136. D em ostrar que |csc z\ £ 2 e / ( e 2 — 1) si |y | ^ 1.

137. M ostrar que R e{sen - , z} = £ {yjx2 4- y 2 4- 2x + 1 — y j x 2 + y 2 — 2x + 1}.

138. Si /(z ) es continua en una región cerrada y acotada*^, demostrar que, (a) existe un número positivo M tal que para todo z e n ^ , | / ( z ) | ^ M , (6) |/(z ) | tiene un extrem o superior ja en % y existe al menos un valor Zo en % tal que |/Xz<))l = H-

139. M ostrar que ¡tanh *(1 + 0 /4 1 = 1.

140. Dem ostrar que todos los valores de (1 — t)^2 * están en una línea recta.

141. Calcular, (a) c o s h r i /2 , (6) tanh-1 « . Resp. (a) 0, (6) (2k -f l)x i'/2 , k = 0 , ± 1 , ± 2 , . . .

142. S i tan z = u + iv, mostrar que,u - 8en 2* _ sen 2y

eos 2 x + cosh 2y ’ eos 2 x + cosh 2y

143. Calcular con 3 decimales: (a) e3-2*, (6) sen (5 — Ai).

144. Dem ostrar que Re J \ an l = c o s í , indicando algunas restricciones.1 — i tan (0/ 2 )J

145. Si lim f (z) = A y lim g(z) = B / 0, demostrar que lim f (z) f gm) — A / B sin demostrar primero * —Z0 * — <0 2 —*0 f

que lim l / g{ z ) = 1 / B .Z-20

{ l si |z) es racional. Dem ostrar que f (z) es discontinua en todos los valores de z.

0 si |z¡ es irracional

147. Dem ostrar que si f (z) = u(x, y) -f i v(x, y ) es continua en una región, entonces, (a) Re í/(z)} = u ( x , y ) y (ó) f m {f{z)\ = v(x, y ) son continuas en ía regítfn.

148. D em ostrar que todas las raíces de z tan z = k, donde k > 0 son reales.

149. Dem ostrar que si el lím ite de una sucesión existe es único.

150. (a) D em ostrar que lim (\A* + 1 — \ f ñ ) = 0.n X

(6) Dem ostrar que la serie 2 (V™ + 1 ” V ñ ) diverge, de este modo dem ostramos que una serien = i

cuyo término n-ésim o tiende a cero no converge necesariamente

151. Si zn + 1 = £(z„ + l / z n), n = 0 ,1 ,2 , . . . y —r./2 < arg zi} < r./2, demostrar que lim z„ = 1 .

C ap ítu lo 3

D ife re n c ia c ió n co m p le ja y las ecuac iones de C auchy-R iem ann

DERIVADASi f(z) es unívoca en alguna región del plano z, la derivada de f{z) está definida como

f ’(z) = üm (1 )¡\Z

si el límite existe independientemente de la manera como \ z -> 0. En tal caso decimos que f ( z ) es diferenciable en z. En la definición (1) algunas veces usamos h en vez de Az, Aunque la diferenciabilidad implica continuidad, lo recíproco no es cierto (ver problema 4,.

FUNCIONES ANALITICASSi la derivada f iz) existe en todo punto z de una región %, entonces diremos que f(z)

es analítica en % y nos referiremos a ella como una función analítica en ‘R. Los términosregular y holomorfa son usados algunas veces como sinónimos de analítica.

Una función f(z) es llamada analítica en un punto z0, si existe una vecindad \z — z0l < 5, tal que en cada punto de ella / ' (z) exista.

ECUACIONES DE CAUCHY-RIEM ANNUna condición necesaria para que w = f(z) = u{x, y) + iv(x,y) sea analítica en una

región CR es que, en CR, u y v satisfagan las ecuaciones de Cauchy-Riemannd u _ d v d u _ d vd x d y ’ ~dy Dx

Si las derivadas parciales en (2) son continuas en CR, entonces las ecuaciones de Cauchy- Riemann son condiciones suficientes para que f(z) sea analítica en %. Ver problema 5.

Las funciones u(x, y) y v(x, y) son llamadas algunas veces funciones conjugadas. Dada una, podemos encontrar la otra (salvo una constante aditiva arbitraria) tal que u + iv — f{z) sea analítica (ver problemas 7 y 8).

FUNCIONES ARM ONICAS

Si las segundas derivadas parciales de u y v con respecto a x e y existen y son continuas en una región %, entonces deducimos de (2 ) que (ver problema 6)

+ ^ = o , ^ + f ^ = 0 (3)(t.v~ oy - ¿)x o y -

Se deduce, en esas condiciones, que las partes real e imaginaria de una función analítica satisfacen la ecuación de Laplace denotada por

ti-ty , , , <l~ ...—— t = 0 o V L+ = 0 donde V = tzi + 7^2 (4)o¡x <>y dx « y

El operador V2 es llamado usualmente el laplaciano.

64

CAP. 3| D I F E R E N C I A C I O N C O M P L E J A Y LAS E C U A C I O N E S DE CAUCHY-R1F.MANN

Funciones tales como u(x, y) y v(x,y) las cuales satisfacen la ecuación de Laplace en una región %, son llamadas funciones armónicas en CR,.

IN TERPRETA CIO N GEOM ETRICA DE LA DERIVADASea 20 (Fig. 3-1) un punto P en el plano z y sea w„ (Fig. 3-2) su imagen P ' en el plano

w bajo la trasformación w - f(z). Ya que suponemos /(z) unívoca, el punto z„ es aplicado sólo en un punto wu.

Plano z Plano w

Fig. 3-1 Fig. 3-2

Si incrementamos za en Az obtenemos el punto Q de la figura 3-1. Este punto tiene comoimagen a Q ' en el plano w. Entonces vemos en la figura 3-2 que P 'Q ' representa el númerocomplejo Aw = f(za + Az) — /(zu). Se deduce entonces que la derivada en z„ (si existe) está dada por

f(Zo + Az) — f(Zfí) Q'P'lim —--------- -— ti—' - | lm i* _M—u Az o — i’ QP W

es decir, el límite de la razón Q 'P ' a QP cuando el punto Q tiende al punto P. La interpretación anterior es válida claramente cuando z„ es remplazado por cualquier punto z.

D IFEREN CIA LESSea Az = dz un incremento dado a z. Entonces

A w = f ( z + Az) — /(z) (6 )es llamado el incremento en w = f(z). Si f(z) es continua y tiene primera derivada continua e» una región, entonces

A¡ v = / '(z)Az + «Az = / ' (z )dz + t d z (7)donde e -* 0 cuando Az ->• 0. La expresión

dw = f (z) dz (8)es llamada la diferencial de w o f(z), o la parte principal de Aw. Observe que \ w dw engeneral. Llamamos dz la diferencial de z.

Debido a las definiciones (1) y (8), usualmente escribimos

= f ( z ) = lim /(^ A z ) - / ( z ) = 1 ¡ m A,(; (9)dz ' AZ — 0 AZ

66 D I F E R E N C I A C I O N C O M P L E J A Y LAS E C U A C I O N E S DE C A U C HY - RI E M A NN | CAP. 3

Recalcamos que dz y dw no son los límites de Az y Aw cuando Az —> 0, ya que estos límites son cero m ientras dz y dw no son necesariamente cero. En cambio, dado dz determinamos dw de (8), es decir, dw es una variable determ inada por la variable independiente dz para z dado.

Es útil pensar d /d z como un operador, el cual al operar sobre w = f(z) da dw /dz - f (z).

REGLAS DE D IFEREN CIA CIO NSi f(z), g(z) y h(z) son funciones analíticas de z, las siguientes reglas de diferenciación

(idénticas a las del cálculo elemental) son válidas.

i . ¿ { / ( z ) + ff(*)} - T z f(z) + Í 9(Z) = f '(Z) + 9 '{Z)

2‘ = ^ / ( * ) - ¿ S ( z) = /'(*) - 9'(z)

j gj3 . — {c f(z)} = c f(z) = cf'(z) donde c es una constante cualquieradz dz

4- ¿{/(z)S i(z)} = f (z ) j¿ g (z ) + g(z)-¿¿f(z) = f(z) g'(z) + g(z) f ’(z)

5 d í f ( z ) } _ g(2)^ /(Z )~ /(2> ¿ g(Z) _ g(z) /'(z) - f(z)g'(z)5 Tz\W)] ~ [<7(z)]J “ b W 81 9{Z)* °

6. Si w = f ( í) donde = g(z) entonces

T í = T Í ' f z - « » § ^ /'«*))» '(« ) <ro>Similarmente, si w = /(O donde = g(r¡) y rj = h{z), entonces

dw _ dw (lndz ~ d í dr} dz (11)

Los resultados (10) y (11) son llamados usualmente la regla de la cadena paradiferenciación de funciones compuestas

7. Si w = f(z), entonces z = f~l (w); y dw/dz y dz/dw están relacionados pordiv _ 1dz ~ dzldw

8. Si z = f(t) y w = g(t) donde t es un parám etro, entonces

(12)

(13)dw __ dw/dt _ g'(t)dz ~ dz/dt f'(i)

Reglas similares pueden ser formuladas para diferenciales. Por ejemplo,d(/(z) + g(z)} = d f ( z )+dg (z ) = f ’(z) dz + g'(z) dz = (f'(z) + g ’(z)) dz

d[f(z)g(z)¡ = f(z) dg(z) + g(z) df(z) = (f(z) g'(z) + g(z) /'(«)> dz

DERIVADAS DE FU N CIO N ES ELEM ENTALESEn lo que sigue suponemos que las funciones están definidas como en el capítulo 2. En

los casos donde las funciones tengan ramificaciones, es decir, multivaluadas, la ramificación de la función a la derecha está escogida de tal modo que corresponda a la ramificación de la función a la izquierda. Observe que los resultados son idénticos a los del cálculo elemental.

1 . ~r~ (c) = 0 16. 4~ cot;~l z = —z l —dz dz 1 -f z2

2. 4 - z n - nz"~l 17. 4 - s e c ' z - 1

CAP. 3| D I F E R E N C I A C I O N C O M P L E J A Y LAS E C U A C I O N E S DE CAUCHY R I E MA N N 67

dz ' dz ' zyjz2 — 1

3. 4 - e z — e‘ 18. 4—c s c ' z *1 c- -- C- AU. , Idz dz z \ / z 2- 1

4. 4¿a‘ = a - ln a 19. J js e n h z = coshz

5. j ^ s e n z = eos z 20. ^ cosh z = senhz

6. ^ eos 2 — —sen2 2 1 . ^ t a n h 2 = sech2z

7. 4- tan 2 = sec2 2 2 2 . 4~ coth 2 = —csch2 2dz dzd d

8. ¿ jc o t z = —esc2 2 23. -^ s e c h z = —sech 2 ta n h 2

9. d-se c z = sec 2 tan 2 24. csch 2 = —csch 2 coth 2

d d 110. -j— esc 2 = —csc2 cotz 25. -r-senh~ '2 =¿ — —l a t -6 Cü l » c/zV^l +

1L T z loe' z = T z lnz = \ 26- í cosh~ ' z = \Jz2 — 1

1 2 . | j l o K„ z = ! ° f e i 27. = ¡ - L ,

13. í - s e n - ' í = ’ 28. ¿ c o t h - ' í = 1* ~ T f^P d2 i - z 2d .„ -i„ _ “ 1 29. -T -se c h ''zt A „ „ „ - l » _ C tV . i o C L 1 1 <■ — “ ,-----------------

T z cos z ~ d2 V i - * 2

15. 4 - ta n - 1 2 = — 30. - ^ c s c h - 'z = - - ~ 1 —dz 1 + z2 az z\Jz2 + 1

DERIVADAS DE ORDEN SU PERIO RSi w = f(z) es analítica en una región, su derivada está dada por / '(z ) , w’ o dw/dz.

Si f ' (2) es también analítica en la región, su derivada la notamos por f"(z), w " o =

d2w . . . dnw■ Similarmente la n-ésima derivada de f(z), si existe, la notamos por f {n)(z), wln> o -j^¡-

donde n es llamado el orden de la derivada. Entonces las derivadas de primer, segundo, tercer, . . . orden están dadas por f (z ), / " (2), / " ' (2), . . .. Para calcular estas derivadas de orden superior aplicamos reiteradam ente las reglas de diferenciación anteriores.

Uno de los teoremas más destacados válido para funciones de variable compleja y no necesariamente válido para funciones de variable real es el siguiente,

T eo rem a . Si f(z) es analítica en una región ‘R, entonces f (z), / " (2) , . . . son asimismo analíticas en %, es decir, todas las derivadas de orden superior existen en %

Este im portante teorema será probado en el capítulo 5.

LA REGLA DE L ’H O PITA LSean f(z) y g(z) analíticas en una región que contiene el punto z0 y supongamos que

f(z0) = g(z„) = 0 pero g' (z0) 0. Entonces la regla de L'Hópital dice que

i ; m Zí£> _ ny>\.<7(2) 9 ’(Zo) ( ^

En el caso en que {' (z0) = g' (z0) — 0, la regla puede extenderse. Ver problemas 21-24.Algunas veces decimos que el lado izquierdo de (14) es de la “ forma indeterminada”

0 / 0, aunque tal terminología es algo oscura pues en general tal indeterminación realmente no existe. Los límites representados por las, así llamadas, formas indeterminadas 00 / » , 0- 00, 00o, 0o, 1 * y oc - 00 pueden ser calculados modificando apropiadamente la regla de L 'H ópital.

PUNTOS SINGULARESUn punto en el cual f(z) deja de ser analítica es llamado un punto singular o singularidad

de f(z). Existen varios tipos de singularidades.1. S in g u la rid a d e s a is lad as . El punto z = z0 es una singularidad aislada o punto

singular aislado de f(z) si podemos encontrar un 3 > 0 tal que el círculo \z — z9| = 8no encierre puntos singulares distintos de z0 (es decir, existe una vecindad de z0 de radio 8 sin singularidades). Si tal 8 no puede ser encontrado, decimos que z0 es una singularidad no aislada.

Si z0 no es un punto singular y podemos encontrar un 8 > 0 tal que |z — z0\ = 8no encierre puntos singulares, decimos que z0 es un punto ordinario de f(z).

2. Polos. Si podemos encontrar un entero positivo n tal que lim (z — z0)"f(z) =Z — Z 0

A 0, entonces z = z0 es llamado un polo de orden n. Si n = 1, z0 es llamado un polo simple.

E je m p lo 1: f (z) = ^ ■ tiene un polo de orden 3 en z = 2.\ Z ¿ )

o_ oE je m p lo 2: f (z)---= --------- — ------—-— -- tiene un polo de orden 2 en z = 1, y polos

(z - 1 )2(z + l)(z - 4)sim ples e n z = —l y z = 4.

Si g(z) = (z — z0)nf(z), donde /(z0) ^ 0 y n es un entero positivo, entonces z = z„ es llamado un cero de orden n de g(z). Si n = 1, z0 es llamado un cero simple. En tal caso z0 es un polo de orden n de la función 1/gíz).

3. Los p u n to s de ram ificac ió n de funciones multívocas, ya consideradas en el capítulo 2 , son puntos singulares.

E je m p lo 1 : f ( z ) = (z — 3 ) 1/ 2 tiene un punto de ram ificación en z = 3.

E je m p lo 2 : f (z) = ln (z2 + z — 2) tiene puntos de ram ificación donde z- + z — 2 = 0 ,es decir, e n z = l y z = —2 .

4. S in g u la rid a d e s rem ov ió les. El punto singular z0 es llamado una singularidadremovible de /(z) si lim f(z) existe.

2- t„

\ E je m p lo : El punto singular z = 0 es una singularidad rem ovible de f(z) = S- - ~ ya,. sen z ,

que lim = 1 .2 - 0 z

5. S in g u la rid ad es esencia les. Una singularidad que no sea polo, ni punto deramificación, ni singularidad removible es llamada una singularidad esencial.

E je m p lo : /(z) = e i / ( z - 2> tiene una singularidad esencial en z = 2.

Si una función unívoca tiene una singularidad, entonces la singularidad es o un polo o una singularidad esencial. Por esta razón un polo es llamado algunas veces

68 D I F E R E N C I A C I O N C O M P L E J A Y LAS E C U A C I O N E S DE C AU CH Y - RI EM AN N | C A P. 3

CAP. 3| D I FE R E N C I A C I O N C O M P L E J A Y LAS E C UA C I ON E S DE CAUCHY R I EMA N N 69

una singularidad evitable. Equivalentemente, z = z0 es una singularidad esencial si no podemos encontrar algún entero positivo n tal que lim (z — z„)"f(z) = A ^ 0.

6 . S in g u la rid a d en el in fin ito . El tipo de singularidad de f(z) en z = * (el puntoen el infinito; ver páginas 6 y 38) es el mismo como el de f ( l 'w ) en w = 0.

E je m p lo : La función f ( z ) - tiene un polo de tercer onlen en z - x , y a q u e / f 1 ¡w) -1 / wJ tiene un polo de tercer orden en u> = 0.

Para los métodos por series para clasificar singularidades, vea el capítulo 6.

FAM ILIAS ORTOGONALESSi w = f(z) = u(x ,y ) + i v ( x ,y ) es analítica; entonces las familias de curvas de un

parámetrou(x, y) = a, v(x, y) = g (15)

donde a y 3 son constantes, son ortogonales, es decir, cada elemento de una familia (trazo continuo en la figura 3-3) es perpendicular a cada elemento de la otra familia (trazo discontinuo en la figura 3-3) en el punto de intersección. Las curvas imágenes correspondientes en el plano w consistente de rectas paralelas a los ejes u y v, constituyen también familias ortogonales (Fig. 3-4).

Plano z P lano w

En vista de esto, uno puede conjeturar que cuando la función f(z) es analítica el ángulo entre dos curvas C, y C2 en el plano 2 sería igual (en magnitud y sentido), al ángulo entre las curvas imágenes, Cí y C¿, correspondientes en el plano w. Esta conjetura es en efecto correcta y constituye el tema de aplicación conforme el cual es de tal importancia, tanto en teoría como en aplicación, que dedicaremos a él dos capítulos (8 y 9).

CURVASSi <¡>(f) y t^(í) son funciones de la variable real t supuestas continuas en í, S t á f2, las

ecuaciones paramétricasz = x + i y = + i i¡>(t) = z(t), ti S t S U (16)

definen una curva continua o arco en el plano z que une los puntos a = z(t¡) y b = z(t2) (Fig. 3-5).

Si í| ^ t2 mientras z(fi) = z(f2), es decir a = b, los puntos finales coinciden y la curva se llama cerrada. Una curva cerrada que no se intersecta a sí misma se llama curva simple cerrada. Por ejemplo la curva de la figura 3-6 es una curva simple cerrada mientras que la de la figura 3-7 no lo es.

Si 4>(f) y '¿(f) (y entonces z(t)) tienen derivadas continuas en t, g t á í2, la curva es llamada frecuentemente una curva lisa o arco. Una curva que se compone de un número finito

70 D I F E R E N C I A C I O N C O M P L E J A Y LAS E C U A C I O N E S DE C A UC HY - R IE MA N N | CA P. 3

Fig. 3-5 Fig. 3-6 Fig. 3-7

de arcos lisos es llamada una curva lisa a trazos o algunas veces un contorno. Por ejemplo la frontera de un cuadrado es una curva lisa a trazos o un contorno.

Al menos que digamos otra cosa, cuando nos referimos a una curva o a una curva cerrada simple suponemos que es lisa a trazos.

APLICACIONES A LA G EO M ETRIA Y LA M ECANICA

Podemos considerar z(t) como un vector posición cuyo extremo describe una curva C en un sentido o dirección definido cuando í varía de ti a í2. Si z(t) y z(t + Ai) representan vectores posición de puntos P y Q respectivamente, entonces

AZ _ z( t + Aí) - Z(t)A í A i

es un vector en la dirección de Az (Fig. 3-8). Si Az d z . , , , .hm —t = - ti existe, el limite es un vector en a,_o Ai d t

la dirección de la tangente a C en el punto P y está dado por

dz _ d x . d yd t ~ d t 1 d i

Si i es tiempo, dz /dt representa la velocidad con la cual el extremo del vector posición describe la curva. Similarmente, d2z /d t2 representa su aceleración a lo largo de la curva.

Fig. 3-8

OPERADORES D IFEREN CIA LES CO M PLEJO SDefinamos los operadores V [delta) y v [delta trazo) por

V =i) . . <9

+ t —d x d y

= 2d z ’

— _ d . 8 _ „ dd x d y ~ dz

(17)

donde la equivalencia en términos de las coordenadas, conjugados z y z se deduce del problema 32.

G RA D IEN TE, DIVERGENCIA, RO TO R Y LAPLACIANOEl operador v nos lleva a definir las siguientes operaciones. En todos los casos considera

mos F [x,y) como una función real continuamente diferenciable de x y y (escalar), mientras A(x, y) = P (x ,y ) + i Q(x,y) es una función compleja continuamente diferenciable de x y v (vectorial).

(z + z z — z \—ñ— , —~z— J = G ( z , z ) y

zxyx,V) = a Kz , z }. ¿l1. G ra d ie n te . Definimos el gradiente de una función real F (escalar) por

g ra d F = y F =d F . d F dG "f" 1 *T— — 2 ~ ~d x d y dz

(18)

CAP. 3| D I FE R E N C I A C I O N C O M P L E J A Y LAS E C U A C I O N E S DE CAU C H Y - RI EMA N N 71

Geométricamente, esto representa un vector normal a la curva F(x, y ) = c donde c es una constante (vea problema 33).

Similarmente, el gradiente de una función compleja A = P + ¡Q (vectorial) está definida por

En particular si B es una función analítica de z entonces í iB / dz = 0 y así el gra

de Cauchy-Riemann son satisfechas en este caso.

2. D ivergencia. Usando la definición de producto interior de dos números complejos para extenderla al caso de operadores, definimos la divergencia de una función compleja (vectorial) por

Similarmente podemos definir la divergencia de una función real. Nótese que la divergencia de una función real o compleja (escalar o vectorial) es siempre una función real (escalar).

3. R o to r. Utilizando la definición del producto vectorial de dos números complejos definimos el ro t or de una función compleja por medio de

Similarmente podemos definir el rotor de una función real.

4. L ap lac iano . El operador laplaciano está definido como el producto escalar de V consigo mismo, es decir,

Observe que si A es analítica, V2 A = 0 así que \ 2P = 0 y v 2Q = 0, es decir, P y Q son armónicas.

ALGUNAS ID ENTIDADES DONDE IN TERV IEN EN GRADIENTE, RO TO R Y DIVERGENCIA

Las siguientes identidades son válidas si A,, A 2 y A son funciones diferenciables.1. grad {A\ + A 2) = grad A, + grad A 22. div (A¡ + A 2) = div Ai + div A 23. rot (A¡ -f A 2) = rot A, + rot A 24. grad (A,A2) = (A,)(grad A2) + (grad A,)(An)5. ro t grad A = 0 si A es real o, más generalmente, si Im{A¡ es armónica.6. div grad A = 0 si A es imaginario o, más generalmente, si Re{AJ es armónica.

(19)

diente es cero; es decir,dx

dQ <)P _ dQ d y ' d y d x ’

lo cual muestra que las ecuaciones

(20)

R ot A = V x A. = Im { V ¿ }

(21)

(22)

¡ D / O t A

Problemas^DERIVADAS------------------------------------------------------------------------------- -------------------- -1. M ediante la definición, encontrar la derivada de w = f(z) = z3 — 2z en el punto donde,

(a) z = z0, (6) 2 = - 1 .(а) Por definición, la derivada en z = z<j es

/ (* o + Az) - f ( z 0) (z0 + Az)3 - 2<z0 + Az) - {zjj - 2z0>/'(z0) = lim = lim ------------------------- ---------------------------

A*-*0 A Z a* —o A z

z 3 + 3 A z + 3z0(Az)2 + (Az)3 — 2z0 — 2Az — z3 + 2z0— lim ----------------------------------------------------------------------------------

a*-*o A z

- lim 3z2 + 3z0 Az + (Az)2 — 2 = 3z§ — 2Ax-* 0

En general, f ' ( z ) — 3z2 — 2 para todo z.

(б) D e (a), o d irectam ente, encontram os que si Zq = —1 entonces / ' ( —1 ) = 3 ( — l )2 — 2 = 1 .

2. M ostrar que no existe en ninguna parte, es decir, f(z) - z no es analítica en ningún punto.

Por definición, -y-/(z) = lim ~ f ^ z)dz Az

si este lím ite existe independientem ente de la manera com o Az = Ax + i Ay tiende a cero.

72 D I F E R E N C I A C I O N C O M P L E J A Y LAS E C U A C I O N E S DE C AU C HY R I E M A N N / | CA P. 3

E ntonces = lim * + A* ~ * = lim * + »'» + &* + «Ay - x + iyUZ A * — 0 Az A x -*0 Ax + i Ay

A y -* 0

= lim 3Lz J K + -a « = l i m “a x —* o Ax + i Ay A x — oA x + ¿AyA y -* 0 A y -* 0

AxSi Ay = 0, el lím ite exigido es lim —— = 1.Ai - o Ax

Si Ax = 0, el lím ite exigido es lim —.iA = —1 .¿ v -o «Ay

E ntonces ya que el lím ite depende de la manera com o Az —> 0, la derivada no existe, es decir,/(z) = z , no es analítica.

3. Si w — f (z) — encontrar, (a) ^ , y (b) determ inar dónde f ( z) no es analítica.

(a) Método 1 , utilizando la definición.1 + (z + Az) _ 1 + z

É2 L = lim / ( i ± A z W ( z ) = Hm 1 - («_+,&*)----- L z i« 2 A 2 - * 0 AZ A 2 - * 0 AZ

= lim 2 2A í - Ú (1 — Z — Az)(l — z) (1 — z)2

Independientem ente de la manera com o A z —> 0, siempre que z 1.

Método 2 , utilizando las reglas de diferenciación.

Por la regla de un cociente (ver problema 10 (c)) tenem os que si z 1,

+ n - * ) ¿ (l + z ) - ( l + z ) ¿ ( l - z ) _ ( 1_ , K1) _ ( 1 _ _ 2_

d z V l - z 7 _ ( 1 - x ) 2 ( l - * ) 2 ( l - * ) 2

(6) La función /(z ) es analítica para todos los valores finitos de z, excepto z = 1, donde la derivada no existe y la función no es analítica. El punto z = 1 es un punto singular de /(z ) .

4. (o) Si f(z) es analítica en 20, dem ostrar que debe ser continua en z0.(6) Dé un ejemplo para m ostrar que la recíproca de (a) no es necesariamente cierta.

CAP. 3| D I F E R E N C I A C I O N C O M P L E J A Y LAS E CU A C I ON E S DE C A U CHY- RI EM ANN 73

(a) Y a q u e f ( z 0 + h) — f ( z0) = j — — ’ h donde h = Az ^ 0, tenem os queh

lim f ( z 0 + h) - f ( z0) = lim ¿ • lim h = /'(*») *0 = 0h — o », _ o h h — o

porque f ' ( zo) existe por hipótesis. Entonces

lim f {z0 4- h) — f ( zu) ■— 0 o l im /( c 0 + A) = f ( zu)h - 0 h - .0

dem ostrando que f (z) es continua en Co

ló) La función f ( z ) = z es continua en Zo- Sin embargo, por el problema 2, f (z) no es analítica en ninguna parte. E sto m uestra que una función continua no necesita tener derivable, es decir, no necesita ser analítica.

ECUACIONES DE CAUCH Y-RIEM ANN5. Dem ostrar que una, (a) condición necesaria, y (b) suficiente para que w = f(z) =

“ (*. y) + t v(x, y) sea analítica en una región 7? es que las ecuaciones de Cauchy-d u d v dll d v ^ .Riemann — = — — se satisfagan en ^ donde se supone que estas deri

vadas parciales son continuas en %.(a) Necesidad. Para que f U ) sea analítica, el lím ite

lim & + -* « > ~ M' 0 A Z

f ' (z) = lim + A r » ?/ + + * v i * + A x , y + A¿ /)} - { i< (x , y) + i v ( x , y ) ) )Aa- — 0 A x 4- 2 A l/Ay-+ 0

debe existir independientem ente de la manera com o Az (o Ax y Ay) tiende a cero. Consideramos dos aproxim aciones posibles.

Caso I. Ay = 0, Ax 0. En este caso (2) se convierte en

l ¡ m Í h ( i + A i. y ) - h ( x , y) + . l v ( x + A ir, y ) - t ) (x , y) \\Ax-o [ A * |_ A* J j

probando que las derivadas parciales existen.

Caso 2. Ax = 0, A ;y-*0. En este caso (1) se convierte en

l¡m í » (* ,l / + Ay) - u ( x , y ) v(x, y + Ay) - v(x, y )] _ 1 £m , <>t> _ .Aii Avau- o [ i Ay Ay ( i Ay Ay Ay Ay

D e donde f (z ) no es analítica, a m enos que esos dos lím ites sean iguales. E ntonces una condi-, ción necesaria para que f{z) sea analítica es

dil . dv _ _ . du dv dn_ _ dv dv_ _ dlldx 1 dx 1 dy dy 0 dx dy ’ dx dy

(6) Suficiencia. Puesto que du/dx y du/dy son continuas, tenem os

A u. = u{x + Ax, y + A y) — u(x, y)= {2<(x + Ax, y + Ay) - m ( x , y -f A?/)} + {u(x, y + Aj/) - u(x , y) }

• > ) + ( £ + , ‘) donde -* 0 y 17, -> 0 cuando A x —>0 y Ay —» 0.

dn \ ( d\i . \ . dn . , .— + . , l A * + í — + „ ) A » - — Ax + ^ A ¡ , + f ,A x + „ A ¡ ,

Sim ilarm ente, puesto que dv/dx y dv/dy son continuas, tenem os^ dv \ ( dv \ dv di

= ^ 5 í+ , V 4* + U í + ’V A» = ÜJ** +•donde y 1)2 0 cuando A x—» 0 y A y—> 0. Entonces

Aro = Au + i Av = ( zr~ •\ A xS í + i £ ) A i + ( g + f g ) A¡, + « A i + , Aí, (2)

donde e = «j + i«2 0 y v = >?i + 1*2 “* 0 cuando Ax — 0 y Ay —> 0.

Por las ecuaciones de Cauchy-Riem ann, (2) puede escribirse

D I F E R E N C I A C I O N C O M P L E J A Y LAS E C U A C I O N E S DE C A U C HY - RI E M A NN | CAP. 3

AwJ = ( Ü Í + ' ^ ) Ax + + <Ax + ’ A»(S + ‘S > - + ( - 5

= (¡57 + ’ ! i ) ( ax + iA¡/) + <AX + ,A !/

E ntonces al dividir por Az = A* 4- i Ay y tom ando los lím ites cuando A z—> 0, vem os qued w . .. Are . . r)v”5 = f (z) = lim —— = — 4 i —dz a»-*o Az dx dx

así que la derivada existe y es única, es decir f (z) es analítica en

Si f (z ) = u + iv es analítica en una región T{, demostrar que u y v son armónicas en si tienen segundas derivadas parciales continuas en T{.

Si, f ( z ) es analítica en T( entonces las ecuaciones de C auchy-R iem ann ( i) ^ y (2 )

^ = — ~ se satisfacen en Ti. Suponiendo u y v, cuyas segundas derivadas parciales son continuas,ox i) y

podem os diferenciar am bos lados de ( /) con respecto a x y (2) con respecto a y para obtener (3)á2U <12V J 2l> rl-tl í)2„ ¿)2U fl2n g2u . . . , .a F = í í a í y w 57 S T = de donde a*2 = “ a p ° ’ a*2 a F ’ es dec,r “ es arm ón>ca -

Sim ilarm ente, diferenciando am bos lados de (1) con respecto a y y (2) con respecto a x encontram osd2v d*v . .~r~ñ 4- t —ñ = 0 y v es armónica. dx¿ dy2

D em ostrarem os luego (capítulo 5) que si /(z ) es analítica en %, todas sus derivadas existen y son continuas en %. D e aquí que las dos suposiciones anteriores no serán necesarias.

(a) Dem ostrar que u = e_I (x sen y — y cos y) es armónica.(b) Encontrar u tal que f(z) = u + iv es analítica.

(а) — = ( e " x)(seny) 4 (—c ~ x)(x s e n y — y cos y) = e _ í s en y — x e ~ r aen y 4 y e ~ x c o s y

( e~x sen y — x e ~ x sen y 4 y e ~ x cos y) = — 2 e ~ x sen y 4 xe~ 1 sen y — y e ~ x cos y (1)

— = í _j:(x eo s // 4 y sen y — cos y) = x e ~ x c o s y 4 y e ~ x s e n y — e ~ x c o s y

(xe ~ x cos y 4 yc~ x sen y — c ~ z cos y) = —x e ~ x sen y 4 2e~ x sen y 4 y e ~ x c o s y (2)

Sum ando (1) y (2) obtenem os 4 = 0 y u es armónica.dxdy¿

(б) D e las ecuaciones de C auchy-R iem ann,dv bu^ = e Tsen y — xe x s e n y 4 y e ~ x c o s y (3)

dv d/t ydx ~ dy ~ e * cos y ~ x e ~ x c o s y — y e ~ x s e n y (4)

Integrando (.?) respecto a y , dejando x constante, entonces

v = — c ~ x c o s y 4 are “ x cos y 4 e ~ x (y sen y 4 cos y) 4 F(x)= y e ~ x s e n y 4 x e~* c o s y 4 F(x) (5)

donde F(x) es una función real arbitraria de x.

Sustituyendo (5) en (4), obtenem os

—y c ~ x sen y — x e ~ x c o s y 4 c ~ x c o s y 4 F' (x) = —y e ~ x s e n y — x e ~ x cos y — y e ~ x s e n y

o F ' ( x ) = 0 y F{x) = c, una constante. E ntonces de (5),

v = c~ x (y s e n y 4 a: cos y) 4 c

Para otro m étodo, ver problema 40.

CAP. 3| D I F E R E N C I A C I O N C O M P L E J A Y LAS E C U A C I O N E S DE CAU CH Y - RI EMA N N 75

8. Encontrar f(z) del problema 7.Método I.

Tenem os que f ( z ) = f ( x + iy) = u ( x , y ) + i v(x, y ) .

H aciendo y = 0, f ( x ) = u(x, 0) + i v{x , 0).

R em plazando * por z, f ( z ) = u(z, 0) + i v(z, 0).

E ntonces del problem a 7, u(z , 0) = 0, v(z, 0) = ze~' y así /(z ) = u(z , 0) + i v(z, 0) = i ze~!, salvo una constante ad itiva arbitraria.

Método 2.Salvo una constante ad itiva arbitraria, tenem os de los resultados del problema 7,

f ( z ) = u + i v = e ~ z (xaen y — y eos y) + ie _ I (y se n y + * eos y)

= i ( z + iy) e-<*+<v> = i z e ~ *

Método 3.Tenem os que x = —- — , y = — . Entonces sustituyendo en u ( x , y ) + t y (* ,y ) , encontra

m os después de un trabajo m uy tedioso que z desaparece, quedando el resultado i ze

E n general el m étodo 1 es preferible sobre los m étodos 2 y 3 cuando tanto u com o u se conocen. Si solam ente u (o o) es conocido daremos otro procedim iento en el problema 10 1 .

D IFER EN C IA LES9. Si w = f(z) = z3 — 222, encontrar, (a) Aw, (b) dw, (c) Aw - dw.

(a) Ate = f ( z + A z) — f (z) = {(z + Az)3 — 2(z + A z)2} — {z3 — 2z2}= z3 + 3z2 Az + 3z(Az)2 + (Az)3 - 2z2 - 4z Az - 2(Az)2 - z3 + 2z2 = (3z2 - 4z) Az + (3z - 2)(Az)2 + (Az)3

(b) dw = parte principal de Aw = (3z 2 — 4z)A z = (3z 2 — 4z)dz, ya que por definición Az = dz.

O bserve que f ' ( z ) — 3z 2 — 4z y dw = (3 z2 — 4z)dz, es decir, dw ¡dz = 3 z 2 — 4 z.

(c) D e (a) y (6), Aw — dw = (3z — 2 ) (Az ) 2 -f (Az)3 = «Az donde < = (3z — 2)A z -f ( Az ) 2.-k . Aw — dw

Obsérvese que « —> 0 cuando Az 0, es decir, ------- — -* 0 cuando Az —> 0. Se sigue

que Aw — dw es un infinitésim o de orden superior de Az.

REGLAS PARA D IFEREN CIA CIO N . DERIVADAS DE FU N CIO N ES ELEM ENTALES

10. Demostrar lo siguiente suponiendo que f(z) y g(z) son analíticas en una región CR.

(a ) ¿ { / ( * ) + 0 (2 )} = g ¿ / ( 2 ) + 7 ^ 0 ( 2 )d z 1

(b) ¿ ( / ( 2) 0(2)} = f ( z ) j z g(z) + g ( z ) ^ f ( z )

(O A / M l ( ) d 2 l 0 (2 )J

0 (2 ) ¿ ¿ / ( 2 ) - / ( 2 ) ¿ 0 (Z)

[0 (z )]2si g(z) # 0

(a) - £ - { / ( • > • .* ( • » = lim /<2 + ^ ) + g (2 + A2) - < / ( 2) + g^)>az Az —o Az

ttBlVERSlDAD NACIONALFacultad Politécnica

b i e l i c t e g a

= lim í ( z + - f i2) + lim giz = ± f ( z ) + 4 -g(z)A z — 0 Az A z — 0 Az <tz

76 D I F E R E N C I A C I O N C O M P L E J A Y LAS E C U A C I O N E S DE C A U C HY - RI E M A NN | C A P. 3

(b) dr { f ( z ) g ( z ) ) = lim /(« + * » ) > ( « + &«) - f ( z ) g(z) dZ A z - 0 AZ

_ lim /(2 -f Az){¿y(z + Az) - g(z )} -f g{ z ) { f ( z + Az) - f { z )}A¿-* o Az

= lim /(« + A») |g < « + * » > -* < '> ]. + lim g(z) +Az —0 I Az j Az-*0 I Az

= / ( z ) ^ - f lU ) + 9 ( z ) j - z f ( z )

O bserve que hem os usado el hecho que lim /( z 4- Az) = f ( z ) , que se sigue ya que f ( z ) e9Ai-* o

analítica y entonces continua (ver problema 4).

O t r o m é t o d o .

Sea U = f ( z ) , V = g(z) . E ntonces A£7 = / ( z 4- Az) — f(z) y AV = g{z + Az) — g(z) , es decir, / ( z 4- Az) = U 4- AU, g( z 4- Az) = V 4- AV. E ntonces

d _ u v y ( U 4- AE7)(V 4- AV) - U V _ j. U AV 4- V A U -i- A Í/A Vd z Ai-* 0 Az Ai —0 Az

lim ( li z - 0 \

donde se ve que A V —> 0 cuando Az —» 0, ya que suponem os V analítica y entonces continua.

U n procedim iento sim ilar puede utilizarse para probar (a).

(c) U tilicem os el segundo m étodo de (6). E ntonces

1 ¡ U + A (/ u\ _ V & U — U AV¿ ‘- o A* \ V + A V V j ~ ¿™ o A *(V + AV)V

1 f l r M J „ a v 1 V(dUldz ) - U(dV/dz)(V + aV)V | ~Kz V - ü \ = ------------- V*

- í L / £ \ =dz \ v j

El primer m étodo de (6) puede usarse tam bién.

11. Dem ostrar que (a) g - e 1 = «*. (b) - í ea: = aeaz donde a es una constante arbitraria.

(a) Por definición, w — ex — ex * ,y — cx(cos y + i sen y) = u + iv o u = ex eos y, v = ex s e n y .

Y a q u e 7— = e1 eos y = — y ~ = ex s e n y = — 4—, las ecuaciones de Cauchy-Riem annd x dy d x dy

son satisfechas. E ntonces por el problema 5 la derivada pedida existe y es igual adu , . d v . du d v _ , . _ 1 1 7 - = — i-r 1- — = e * c o s y + re1 sen y = ezdx dx dy dy ”

(é) Sea w — e{ donde t = 02. E ntonces por la parte (a) y el problema 39,d d r d , dt ,

e“ = ~T~e i z e j = e ' 0 — aeaxdz dz di; dz

Podem os tam bién proceder com o en la parte (a).

12. Demostrar que, (a) ^ s e n 2 = eos z, (b) ^ - c o s z = -sen z , (c) ^ t a n z = sec2z.

(a) T enem os q u e . w = sen z = sen (x 4- iy) = sen x cosh y 4- i eos x senh y . Entonces

u = sen x cosh y, v = eos x senh y

. . Su . Sv Sv , Su , .Ahora = eos .r cosh y = — y = — sen r senh y = — — asi que las ecuacio-Sx d y J Sx Sy

nes de Cauchy-R iem ann son satisfechas. D e aquí que por el problema 5 la derivada pedida es igual a

Su , . S v . S u , S v . , . . _—- 4 t — — —ir — 4- — = eos x cosh» i sen x senh y = eos (x 4- iy) — eos zSx ox Sy S y

CAP. 3| D I FE RE N C I A C I O N C O M P L E J A Y LAS E C UA C I ON E S DE C A U CHY- RI EM ANN 77

Otro método.p í z p — Í2

. , tenem os utilizando problema 11 (6),Ya q u e e's e n z — —

d d ( eixd ¿ * e n z dz \

dy COS Z dz

2 i

1 i e u _ i ± e - i z = i e ú + 2 i dz 2¡ dz 2

(¿>) -y- eos z = -f- ( - — — ) = 7: 7~e'z + r e ~ iz' dz d z \ 2 J 2 dz 2 dzi , i fiiz — p — iz2 ** 2 e - ~ 2 i = _Sen2

E l primer m étodo de la parte (a) puede tam bién utilizarse.

(c) Por la regla del cociente del problema 10 (c) tenem osd d

j // /„„„ „ \ eos z 3 - sen z — s e n z -r - c o s z- A / S É Ü 1 ) = dz dz— tan z = , ,dz dz i eos z

_ (cosz)(cosz) — (senz)(—senz) _ eos2 z + sen 2 z eos2 z eos2 z

= sec-z

13. D em ostrar que ^ z1/2 = — J1/2, obsérvese que z l/2 es una función multívoca.

U na función debe qer unívoca para tener derivada. Entonces ya que z>/2 es m ultívoca debemos restringirla a una rama de esta función.

Caso 1.Consideremos primero la rama de w = zl/2 para la cual w = 1 donde z - 1. En este caso,

w 2 = z así que ¿z , d w 1 d . . . 15^ = 2» y asi H = 2w 0 T z z = 2^77

Caso 2.E n seguida consideremos la rama de w = z*/2 para la cual w = — 1 donde 2 = 1. En este

caso tam bién tenem os w ~ = z así que

* L o,* v — = — o — z>'2 = — dw dz 2w dz 2z l/2

En am bos casos tenem os y - z l / 2 = -■ \ ■ . Observe que la derivada no existe en el punto de rami-az 2z 1/2

ficación z — 0. En general una función no tiene derivada, es decir no es analítica, en un punto de ramificación. Entonces los puntos de ramificación son puntos singulares.

14. Demostrar que ¿ j l n z — 1 .

Sea w = ln z. E ntonces z = e" y dz / dw = e* = z. D e aquí

d . dio _ 1 _ 1dz n Z dz ~ dz / dw z

Observe que la derivada es válida indiferentem ente de la rama particular de ln z. Tam bién observem os que la derivada no existe en el punto de ramificación z — 0, ilustrando adem ás la observación del problema anterior.

15. Demostrar que ln /(z) — .

Sea w = ln t donde !; = f ( z) . Entonces

d w _ d w > df _ 1 d{ _ f'(z)dz ~ d i dz ~ ¡ dz ~ f (z)

16. Demostrar que, (a) J ^ s e r r 'z = - ^ = = = , (6) ^ t a n h _1z =

(a) Si consideramos la rama principal de sen - 1 z, tenem os por el problema 22 del capítulo 2 y por el problema anterior,

78 D I F E R E N C I A C I O N . C O M P L E J A Y LAS E C U A C I O N E S DE C A UC HY - R I E M AN N | CAP. 3

i í ( i z + y / l — z2 ) / (iz + •JX — z1 ) t dz /

| { ¿ + $ ( l - z * ) - ' ' 2 ( - 2 z)) j ( i z + - z* )

( 1 + 7 r b ) / (,z + vr^ ) = 7 7^El resultado es válido si consideramos otras ramas.

(b) T enem os, al considerar la rama principal

tan h -'z = ¿ l n ( | 4 f ) = | ln <1 + *) - | ln (1 - *)Entonces

¿ t a n h - ' z = I ^ i n d + z ) - A ^ l n ( l - z ) - \ ( j ^ - ) + \ ( j - ^ ) = j - ^ z

O bserve que en am bas partes (a) y (6) la derivada no existe en los puntos de ram ificación2 = ± 1 .

11. Utilizando las reglas de diferenciación, encontrar las derivadas de cada una de las siguientes funciones(o) eos2 (2z + 3i), (b) z ta n - 1 (lnz), (c) {tanh 1(iz + 2)}_1, (d) ( z - 3 t ) 4*+2.(a) Sea r, = 2z + 3i, !{ = eos r¡, w = l 2 de donde w = cos2(2z + 3 i). E ntonces utilizando la

regla de la cadena, tenem osd u > d w d { d i; „d z = " d F * d , d i = s e n i j) (2 )

* = (2 eos rj){—seni?)(2) = —4 eos (2z + 3i) sen (2z + 3t)


£ { e o s (2 z + 3 i ) } 2 = 2 { c o s (2 z + 3 0 } j ¿ e o s <2z + 3 i )

= 2 {eos (2z + 3 i)}{—sen(2z + 3i)> { ¿ (2z + 30

= —4 eos (2z + 3i) sen (2z + 3i)

(b) -£ -{(z)[tan _1 (ln z))> =■ z ^ [ ta n - 1 (ln 2)] + [tan 1 (ln z)] ^ ( z )

= z í l - ^ - ( ln z ) + ta n - 1 (lnz)+ (ln z)2J dz

11 + (ln zy2

4- tan - 1 (ln z)

(c) ^ { t a n h - ' ( ¡ * + 2) } - i = —1 {tanh - 1 (iz + 2)> -2 ^ {tanh~* (iz + 2)}

= - { t a n h - ' ( i z + 2)} ; — - )• ^ (iz + 2)\ l - (iz + 2)2

—¿{tanh 1 (iz + 2)} 2 1 - (iz + 2)2

1,1 ) 4 - { ( z - 3 0 4l + 2} = -^ -{e (4z + 2> ln = e (4z+2>lii<z-so - ^ { ( 4 z + 2) ln (z - 3i)>' d z dz dz

= e (4z t2> in U -JO j ( 4 z + 2 ) ^ [ l n ( z - 3 0 ] + l n (z - 3i) ¿ (4z + 2)

= c« z + 2) l n ( í - 30 J i i ± 4 + 4 ln (z — 3 i)[ z - 3 i

= (z - 3 i)4í * 1 (4z + 2) + 4(z — 3 i)4 i+ 2 ln (z — 3t)

CAP. 3| D I F ER E N C I A C I O N C O M P L E J A Y LAS ECUA C I ON E S DE CAUCHY- RI EMANN 79

18. Si iv3 — 3z2w -f 4 ln z = 0, encontrar dw/dz.Diferenciando respecto a z, considerando w com o una función im plícita de z, tenem os

^g(u>3) — 3 ^ j ( z2u>) + 4 ¡jj(ln z) = 0 o 3u>2 ^ — 3z2^ — 6zte + j = 0

dw _ (¡zw — 4/zE ntonces resolviendo para dw /dz, obtenem os — 3^2 _ 3Z2 *

19. Si w — sen-1 (t — 3) y 2 = eos (lnf), encontrar dw/dz.d w _ d w / d t _ l / y / l — (t — 3)2 ________________ t

dz dz /d t - s é n ( ln t ) [ l / t ] sen (ln t) V i ~ (t - 3)2

20. En el problema 18, encontrar d2w /dz2.d2w _ d _ f d w \ _ d_ / 6 ziv — 4/zdz2 ~ dz \ dz ) ~ d z \ 3 iv2 — 3 z2

. (3w2 — 3z2)(6z dw/ dz + 6 iv + 4 /z2) — (6zw — 4/ z)(6 w dw/ dz — 62)(3u;2 - 3z2)2

El resultado exigido sigue al sustituir el valor de dw ¡dz del problema 18 y simplificar.

LA REGLA DE L’HO PITA L

21. Demostrar que si f(z) es analítica en una región % que contiene el punto 2o, entonces

f(z) - /(20) + /'(z0)(2 - 2o) + r¡(z - Zo)

donde tj —> 0 cuando z -> z0.

Sea - / '(z 0) = i así quez - z 0

f (z) = /(z 0) + /'(z0) ( z - z 0) + s ( í - z o )Entonces, ya que f ( z ) es analítica en z0 tenem os, como lo exigido, que

lim , = lim [ f (z) ~ /(Zo> - /'(z0) l = f ( z 0) - /'(z„) = 0z~ z0 '-.«o ( Í - Z 0 J

22. Demostrar que si f(z) y g(z) son analíticas en z0, y f(z0) = g(zo) = 0 pero g ’ (z0) 0,entonces /(2) /'(zo)

Por problema 21 tenem os, utilizando el hecho que f(zo) = g(zo) = 0,

/(z) = /(z 0) + /'(z0) (z - z0) + i?i(z - z0) = /'(z0) (z - z0) + 171(2 - 20)g(z) = p(z0) + g' (z0) (z - z0) + 172(2 — 20) = tf'(zo) (z “ *o) + *2(* " *0)

donde lim tji = lim r<2 = 0. Entonces, como lo exigido,Z — Z o Z ~ * Z q

/ U ) , . { / ' ( * o ) + * i ) ( * *“ * o ) / '< * o >lim . . = lim — -------


z - z » 9(z) z - z 0 ( f f ' ( Z o ) + 12}(z - Z0) 9 ' ( z 0 )

lim M = lim / W - / W / f « Zx “♦ Zq 0 K z ) x - * x 0 2 — Z0 / 2 “

(

- g(zp) z0

/(z) - /(z0)^ ]¡m g(z) - g(Zp)^ _— ( lim ------------------) / ( lim

< 2 — *„ 2 Z0 / / \ ¿ — 2 0 Z — Z q

23. Calcular, (a) lim , (b) lim 1— , (c) limz - f Z S + 1 z - 0 2 z - 0

1 — COS 2

sen z¿(o) S i f ( z ) = zl° + 1 y g(z) = 2 6 + 1, entonces f ( i) = g(t) = 0. Tam bién f (z) y g(z) son analí

ticas en z = i. D e aquí por la regla de L’Hopita!,

D I F E R E N C I A C I O N C O M P L E J A Y LAS E C U A C I O N E S DE C AU CH Y - RI EM AN N (CAP. 3

.. z10 + l .. 10z9 5 . 5lim —------ = lim = lim - zq = —z-*i z6 + 1 z - i 6z5 z — i 3 3

(6) Si f (z) = l — eos z y g(z) = z2, entonces /(O) = g(0) = 0. Tam bién f (z ) y g(z) son analíticasen z = 0. D e aquí, por la regla de L’H ópital,

.. 1 — eos z sen zl im ------ = lim ——z—o zz z—o 2z

Ya que f \(z ) = sen z y g\ (z) = 2z son analíticas e iguales a cero cuando z = 0, podem osaplicar la reí*1" J '' L 'H óp ita l de nuevo para obtener el lím ite exigido

.. se n z .. co sz 1l im — — = lim —- — = —z—o 2z z—o 2 2

(c) Método 1 . Por aplicación reiterada de la regla de L’H ópital, tenem os

1 — co sz .. sen z .. co sz 1l im — = lim --------- - = lim --------5-----— --------r = -z - o se n z2 z - o 2 z co sz2 z - o 2 eos zz — 4zz senz2 2

Método 2 . Y a que lim se—- - = 1 t tenem os aplicando una vez la regla de L’H ópital,z—o z

1 — co sz . . se n z .. /s e n z \ / 1 '\

= H ? . ( = r ) í'-»o(^"cosz2 ) = < » ( * ) = i

sen zz zMétodo 3. Ya que l im — 5— = 1, equivalentem ente, l im « = 1 , podem os escribirz - *osenz£

.. 1 — c o sz .. / 1 — e o s z \ f z2 \ 1 — co sz 1lim — -■> = h m ( -» = I,mo s e n z 2 z — o \ 2 / \ s e n z 2/ *-,o z2 2

usando la parte (6).

. Calcular lim (cosz)'^ . /z - 0

Sea w = (eos z )1/z . E ntonces ln w = ...n 2 donde consideramos la rama principal dellogaritmo. Por la regla de L ’H ópital,

lim ln w = = lim ÍZ*S™!lS2 l i« -o z - o 2 t —o 2z

- i r . ^ X - ^ b ) - ™ ( - 0 - - lPero ya que el logaritm o es una función continua, tenem os

lim ln w = ln ( lim w ) — — ^z - o \ z — o / 2

o, lim w = e - i /2 el cual es el valor exigido.z -0

Vem os que com o lim eos z = 1 y lim 1 / z 2 = * , el lím ite exigido tiene la “ forma indeterminada” 1 » .

UNTOS SINGULARES25. I’ara cada una de las siguientes funciones localizar y clasificar las singularidades en el

plano z finito y determ inar cuándo ellas son singularidades aisladas o no.

(0) f (z) ~ {Z2 + 4)2 = {(* + 2z)(z - 2¿)}2 = (z + 2i)2(z - 2t)2 '

Y a q u e lim (z — 2i)2 /(z ) = lim 7— -77-77: = 777 ^ 0, z = 2t es un polo de segundo orden.z - 2i z - 2« (z + 2 i)2 81 f r o X u f l '

Sim ilarm ente z = —2 t es un polo de segundo orden. J Y »

Ya que podem os encontrar 5 tal que ninguna singularidad distinta de z = 2t esté dentrodel círculo |z — 2cI = l (por ejem plo, escoja 5 = 1), se sigue que z = 2¿ es una singularidadaislada. Sim ilarm ente z = — 2t es una singularidad aislada.

CAP. 3| D I FE R E N C I A C I O N C O M P L E J A Y LAS E CU A C I ON E S DE C A U CHY- RI EM ANN 81

(b) f (z) = sec (1 / z) .

(c)

2 6 .

iPuesto que sec (1/z) = c o s (1 /z ) - las singularidades ocurren donde eos (1 f z ) = 0, es decir,

1 / z = ( 2 n -f l ) x /2 o z = 2 / ( 2 n -i- l ) x , donde n = 0, ± 1 , ± 2 , ± 3 , . . . . Tam bién, ya que / (z ) no está definida en z = 0, se deduce que z = ü es tam bién una singularidad.

Ahora por la regla de L’H opital

lim2 -♦ 2/(2» >-v lim

► 2/ (2n-f

lim► 2/(2» •*

z - 2/(2n 4- l)y eos (1 /z)

1________f - se n (l/z ){ —1 /z2}

E ntonces las singularidades z = 2 / ( 2» + 1 ) /x , n = 0, ± 1 , ± 2 , . . .

son polos de p r i me r orden, es decir, polos s i m ples. Observe que estos polos están localizados sobre el eje real en z = ± 2 /x , ± 2 /3x , ± 2 / 5 , x , . . . y que existen infinitos en cualquier intervalo que incluya 0 (Fig. 3-9).

Como podemos rodear cada uno de éstos por un círculo de radio 8 que no contiene otras singularidades, se deduce que ellas son singularidades aisladas. Debe notarse que el 5 exigido es más pequeño que la distancia de la singularidad al origen.

{2/ (2» + 1 ) t }2sen(2n + 1)^/2

4 ( - l )"(2n + 1)27t2 * 0

y

-2/5w 2/5t X

—2/r -2/3jr 2/2* 2/ir

Fig. 3-9

Ya que no podemos encontrar algún entero positivo n tal que lim (z? —o 0 )«/<z) A * 0,

(d) f(z)

se deduce que z = 0 es una singularidad esencial. Tam bién puesto que cada círculo de radio 5 con centro en z = 0 contiene puntos singulares distintos de z = 0, no importa lo pequeño que tom em os 8, vem os que z - 0 es una singularidad no aislada.

f (z) = - ln .(f_r.2> - .(z2 + 2z + 2)“

El punto z = 2 es un punto de ramificación y es una singularidad aislada. Tam bién ya que z~ -f- 2z -f- 2 = 0 donde z = — 1 ± se deduce que z2 + 2z -f- 2 = (z + 1 + i) (z + 1 — i) y que z — — 1 ± i son polos de cuarto orden los cuales son singularidades aisladas.

sen y/z

A primera vista parece com o si z = 0 fuera un punto de ramificación. Para probar esto sear e i0 = reI(® + 27 , donde 0 ^ 0 < 2x.

Si * = tenem os/<*>

sen ( \ i r ci6!~)¿0 /2

Si z = re i(

f (z) =

tenem ossen (y/r ei0/2 c"') sen ( — yi r ei0/2)

y/r elQil e~' —y/r eier-

Entonces existe realm ente sólo una rama para la función, punto de ramificación.

sen \l~z

sen (yi r ei(,r¿) y/? c ie/2

así z = 0 no puede ser un

Y a que 1 • *lim /_2 —u y/ z

(a) (■b )

(a)

1 , se sigue en efecto que z = 0 es una singularidad removible.

Zs + Z* + 2Localizar y clasificar todas las singularidades de f(z) Determ inar dónde f(z) es analítica.Las singularidades en el plano z finito están localizadas en z = 1 polo de tercer orden y z = —2 /3 es un polo de segundo orden.

Para determinar cuándo existe una singularidad en z = « z — 1 ¡w. Entonces

1 + M.’4 + 2wB

( z - l)3(3z + 2)2 ‘

y z = —2 /3 ; z = 1 es un

(el punto en el infinito), sea

/ ( ! / « ’) (1 /w )8 + (1 / ic )4 + 2 (1 j w - l ) 3 (3/w + 2)2 «/>(! - te)2 (3 + 2 w )2

82 D I F E R E N C I A C I O N C O M P L E J A Y LAS E C U A C I O N E S DE C A U CHY- RI EMANN | C A P. 3

E ntonces ya que w — 0 es un polo de tercer orden para la función se deduce que z = « ,es un polo de tercer orden para la función f ( z) .

E ntonces la función dada tiene tres singularidades: un polo de tercer orden en z = 1, unpolo de segundo orden en z -- —2 /3 , y un polo de tercer orden en z — x .

(6) D e (a) se deduce que f<z) es analítica en toda parte del plano z finito excepto en los puntos z = 1y - 2 / 3 .

FA M ILIA S ORTOGONALES27. Sean u(x ,y ) = a. y v(x, y) = 3, donde u y v son las partes real e imaginaria de una

función analítica f(z) y i y J son constantes cualesquiera, que representan dos familias de curvas. D em ostrar que las familias son ortogonales (es decir, cada miembro de una familia es perpendicular a cada miembro de la otra familia en su punto de intersección).

Considere dos m iem bros cualesquiera de las respectivas fam ilias, pueden ser u(x , y ) = aj y v(x , y) = {Ji donde oq y £1 son constantes particulares (Fig. 3-10).

D iferenciando u(x , y ) = ai con respecto a xobtenem os ¿be Su dy^

Sx Sy dx = 0

E ntonces la pendiente de u(x , y ) = ai es

d y _ Su j Sud x Sx / Sy

Sim ilarm ente la pendiente de v(x, y ) = $1 es

d y _ _Sy_ / Sv Fig. 3-10dx Sx ¡ Sy

El producto de las pendientes es, utilizando las ecuaciones de C auchy-R iem ann,

Su Sv Sx Sx / Su rh; _ _ Sv Su / Su Sv

Sy Sy Sy S y / Sy Sy - 1

Así, pues, las curvas son ortogonales._A

28. Encontrar las trayectorias ortogonales de la familia de curvas en el plano xy definida por e ' (* sen y — y eos y) = x, donde x es una constante real.

Por los problem as 7 y 27, se sigue que e~x (y sen y -f x c o s y ) = (3, donde 0 es una constante real, es la ecuación exigida de las trayectorias ortogonales.

APLICACIONES A LA G EO M ETR IA Y A LA M ECANICA29. Una elipse C tiene la ecuación z = a eos <

positivas, a > 6, y t es una variable real, movimiento de las manecillas del reloj. (6) en cualquier punto, punto.(а) Cuando t crece desde 0 a r/2t>, x /2 u a x/o»,

r. /w a 3 x /2w y 3x/2u» a 2x /< o , el punto z sobre C se m ueve de A a t í , B a D, D a E y E a A respectivam ente, es decir, se m ueve en la dirección contraria a la del m ovim iento de las m anecillas del reloj com o se muestra en la figura 3-11.

(б) Un vector tangente a C en cualquier puntot es

= — « to s e n w f + 6»oí e o s « fdt

d + bi sen o>t donde a, b, o> son constantes(a) Hacer la gráfica de la elipse y a la del Encontrar un vector tangente unitario a C

Fig. 3-11

CAP. 3| D I F E R E N C I A C I O N C O M P L E J A Y LAS E C U A C I O N E S DE CAUCHY R I E MA N N 83

E ntonces un vector tangente unitario a C en cualquier punto t es

d z / d t —acó sen ut -f- bui eos wt — a senut + bi eos ut¡dz/dtl | - a u sen ot + 6uii eos o í | \Z“2sen2 ot + fc2 cosJ u<

30. En el problema 29 suponer que z es el vector posición de una partícula moviéndose sobre C y que t es el tiempo.(а) Determ inar la velocidad y rapidez de la partícula en cualquier instante.(б) Determ inar la aceleración tanto en magnitud como en dirección en cualquier instante.(c) Dem ostrar que d2z/dt- = — <,>2z y dar una interpretación física.(d) Determ inar dónde la velocidad y aceleración tienen magnitud mínima y máxima.(а) Velocidad — d z / d t = —au> sen coi -f- bo>i eos

rapidez = m agnitud de la velocidad = \dz/dt \ = w \/a2sen2 wt + 62 cos2 wt

(б) Aceleración = d 2z / d t 2 = —ato2 eos ud — bu2i sen

m agnitud de la aceleración = |cPz/dt2\ = w2\ /a 2 cos2 wt + 62sen2 ut

(c) D e (6) vem os que

d 2z / d t 2 — — aw2 co su t — bu2isen ut = - u 2(a eos uf + bi sen ut) = —u>2z

F ísicam ente esto establece que la aceleración en cualquier instante está siempre dirigida hacia el punto O y tiene m agnitud proporcional a la distancia instantánea desde O. Cuando la partícula se m ueve, su proyección sobre los ejes x y y describe lo que algunas veces es llamado movimientoarmónico simple de período 2x/<*>. La aceleración es algunas veces conocida com o la aceleracióncentrípeta.

(d ) D e (a) y (6) tenem os

m agnitud de la velocidad = <jyja2 se n 2 u t + 62(1 — sen2 ut) = u ^ ( a 2 — 62)sen 2 ut + b2

m agnitud de la aceleración = u>¿yja2 cos2 wt + 62(1 — cos2 wí) = u 2y/(a2 — b2) eos2 u t + b2

E ntonces la velocidad tiene la m agnitud máxima (dada por o>a ) donde sen wí = ± 1 , es decir, en los puntos B y E (Fig. 3-11), y la m agnitud mínim a (dada por o>¿>) donde sen ut = 0, es decir, en los puntos A y D.

Igualm ente, la aceleración tiene la m agnitud máxima (dada por <*>2a) donde eos <ü¿ = ± 1, es decir, en los puntos A y D y la m agnitud mínim a (dada por o>26) donde eos iút = 0, es decir, en los puntos B y E .

Teóricam ente los planetas de nuestro sistem a solar se m ueven en trayectorias elípticas con el Sol en uno de los focos. En la práctica existe alguna desviación de una trayectoria elíptica exacta.

$ G RA D IEN TE, DIV ERG EN CIA , RO TO R Y LAPLACIANO d d d i d d \

31. Dem ostrar la equivalencia de los operadores, (a) — = ^ + (&) ~ ^ \ d z ~ ¿¡Jdonde z = x + iy, i — x.— iy.

Si F es cualquier función continuam ente diferenciable, entonces

(o) +

(b),1F_<1/1

d F d F d£dx dz dx

S - JL ■ Adx dz d i ’

d F dz ¡ d F dzdz dy dz dy

itz ilx ,1z ,Yz p l

P

y í\ .V ' -

m ostrando la equivalencia = * ( t tt ) . - 'T . h /í)y \ 2 b z ¡ ^ <-$(■

32. Probar que, (a) V - i r + i4~ - 2 , (b) V - -?— i.-- = 2 —,^ ’ v ' d x d y d z d x d y <iz

84 D I F E R E N C I A C I O N C O M P L E J A Y LAS E C U A C I O N E S DE C A UC HY - R I E M AN N | C A P. 3

D e la equivalencia establecida en el problema 31, tenem os

d , . a A + A + ¿2 ( —______ = 2 —i z az \ a z a z ) az

= A + A _ i2/ A _ A \ = 2 Aa* a y a z az \ a z a z ) az

^ ^ a x ' a y az

(6) v = i - - L = A + A _ í z( ± . ± ) = 2 <Ldz \ d z I

33. Si F(x, y) = c (donde c es una constante y F es continuamente diferenciable) es unafP fifi*

curva en el plano xy, probar que grad F - y F = — + i — , es un vector normal a la curva.

T enem os d F = -r—d x + - —d y = 0. En térm inos del producto escalar esto puede ser escrito dx By

( d F , . B F \ \ d x ' a y )

o (dx + i dy) = 0

d F d Fpero dx + i dy es un vector tangente a C. D educiendo que V V = t i — debe ser perpendicular a C. dx ñy

34. Probar que ^ + i ( ^ | + ^ = 2 ~ donde B(z, z) = P(x, y) + i Q(x, y).1 D

D el problema 32, V # = 2 — . Por lo tantodz

t dBdz

v c = ( ± + i * ) {P + iQ) = + i ( ^ + f ) = 2 -\ d x B y ) dx dy \ d x d y )

35. Sea C la curva en el plano xy definida por 3x2y — 2y3 = 5x4y 2 — 6x2. Encontrar un vector normal unitario a C en (1, — 1).

Sea F(x , y ) = 3x2y — 2y 3 — 5x*y2 + 6*2 = 0. Por el problema 33, un vector normal a C es

V F = ^ + » |^ = (6 x y - 20x3y 2 + 12*) + i (2x2 - 6 y 2 - \0x*y) = - 1 4 + 7 i en (1, - 1 )dx dy

— 14 -f 7i —2 4- iE n ton ces un vector normal unitario a C en (1, —1) es = ■=—. Otro vector unitario

2 _ . 1 -1 4 + 7.1 ^ 6sem ejante es ■ ■.

36. Si A (x ,y ) 2xy — ix2y3, encontrar, (a) grad A, (b) div A, (c) ro t A, (d) laplaciano de A.(a) grad A = VA = + i j ^ ( 2 x y — xx2y 3) = A (2xy — i x 2y 3) + i j ^ ( 2 x y — i x 2y3)

= 2 y — 2 i xy 3 + i(2x — 3 ix2y 2) = 2 y + 3 x 2y 2 + i(2x — 2 x y 3)

(b) div A = V ° A = Re {V A } = Re i ( f - - i f - ) ( 2 x y - i x 2y 3)

^ - ( 2 xy) — ^ - ( x 2y 3) = 2y — 3 x 2y 2dx dy

(c) rot A = V X A = Im {V A } = Im j — i —

= ¿ r < - * 2¡/3> - -i¡¡(2 x v'> = ~ 2 x ~ 2x

^ (2 x y - i x 2y3) j-

(</) laplaciano A = V 2A = R e { V V A } = + ^ 4 = - p x (2xy - ix2y 3) + - ^ ( 2 x y - ix2y 3)dx ¿ d y ¿ d x 2 d y 2

- 4 - ( 2 y - 2 i x y 3) + 4 - ( 2 x - S i x 2y 2) = - 2 iy3 - 6 ix2ydx dy

PROBLEM AS VARIOS37. Demostrar que en la forma polar las ecuaciones de Cauchy-Riemann se escriben

du _ 1 d v dV _ _ 1 dudr r 08 ’ dv v 09

CAP. 3| D I F ER E N C I A C I O N C O M P L E J A Y LAS E C UA C I ON E S DE C A U CHY- RI EMANN

Tenem os x = r eos 6, y = r sen 6 o r = y/xi + y 2, 0 = tan -> (íf/z )- Entonces

\ ( — - — t du í ~ u \ du , 1 <*“ .• \ y / x * T y i ) + ¡ > o { ^ T 7 * ) - ^ cos# - r a í * * " ' ( í )

/ V \ . 9u ( X \ du . 1 du tg\W ^ + T 2) ~ J?sen> + r I I cos>

du du dr i du de dudx dr dx i de dx ~ drdu _ du dr du de _ dudy dr dy de dy dr

Análogam ente,dv de dv 1 dvTT 7 - = T" COS 6 “ — sen 6 (3)de dx dr r de v

dv de dv , 1 dv— — = — sen e + - — eos e 14 \de dy dr r de ' }

Por la ecuación de Cauchy-Riem ann — = 4“ tenem os, utilizando (/) y (4).dx dy J v ’

f d v , l d u \coae ~ V ^ + r 3 Í Sen<> = 0 (5)

dv _ dv drdx dr dX

dv dv dr<*y dr dy

( — — I\d r r de J

D e la ecuación de Cauchy-Riem ann — = — — tenem os, utilizando v2) y (3)dy dx _ \J

f du 1 d v \ , f dv 1 d u \ .\ ^ - r V , ) aene + \ ^ + r T e ) c os e = 0 <6>eos e = 0

du i dv dudr ~ — — U o r de dr

+dr1 du- — = 0 o r de

dvdr

1 dy_ r de ’

1 du r de '

38. Dem ostrar que las partes real e imaginaria de una función analítica de una variablecompleja expresada en forma polar satisface la ecuación (ecuación de Laplace en formapolar)

á2'F 1 5 + 1 32'F _dr2 r d r + r2 dO2 ~

Por el problem a 37, ( i) = r — -; (.2) = — 1a# d r ’ dr r do

Para elim inar v diferenciamos (1) parcialm ente con respecto a r y (2 ) con respecto a 0. Entonces

/ o \ ^ 2V _ d i d v \ _ d ( d u \ d2U® a r a s - d r \ d e ) ~ d r \ r d r ) ~ ,r ar2

dudr

(4 ) — = ± í ^ \ = ± / _ ide dr de \ d r ) de \ r

d u \ _ 1 a2nr de J ~ r as2

Pero , suponiendo que las segundas derivadas parciales son continuas. D educien

do de (3) y (4), ^d2u , dii _ _ 1 d2u d2u 1 dw 1 d2U __ ~

r dr2 dr r de2 ° dr2 r dr r 2 de2

Análogam ente por elim inación de u encontram os ^ = 0 , así que el resultado exigido está demostrado. r r r e

39. Si w = f ( \ ) donde £ = g{¿), demostrar que ^ = "JF ‘ Sz suponiendo que { y g son analíticas en una región %.

Si a z se da un increm ento Az 0, así que z -f- &z esté en %. Entonces C y w se incrementanen consecuencia en A; y Am; respectivam ente, donde

Ju- = / ( f + Af) - /({), Af = g(z + Az) - g(z) ( í)

Obsérvese que cuando Az —> 0, Aw -» 0 y A; 0.

Si A; jí 0. escribiendo i = 4^7 — “77 se tiene que c —» 0 cuando A; —» 0 yAf d f

A w - ^ Af + <A{ (2)

Si A; = 0 para valores de Az, la ( /) m uestra que Aui = 0 para estos valores de Az. E ntonces se define z «* 0.

Se deduce que en am bos casos. A; 0 o bien A; = 0, se verifica (2). D ividiendo (2) porA z / iO y tom ando el lím ite cuando Az —* 0 , se tiene

86 D I FE RE N C I A C I O N C O M P L E J A Y LAS E C UA C I O N E S DE CAU C H Y - RI EMA N N | CA P. 3

d w .. Aw i - i , *S ~ = lim —— — hm - j - — + e-a z Az—*0 Az-*0 \ “ S Az

/ dw Af A w \I \ d f Az * Az /

dw .. Af , Aw= —v— • lim — + lim c • lim -r—d$ az—oAz az—o az—o Az

— * £ _ d{ , , dj _ dw t df— d i dz dz — df dz

40. (a) Si u t( x , y ) — d u / d x y u 2( x , y ) = d u / d y , demostrar que / '(z ) = Ui(z, 0) — i u 2( z , 0 ) .(b) M ostrar que el resultado de (a) se puede utilizar para resolver los problemas 7 y 8.

(a) D el problema 5, se tiene f ' (z) = — t’| ~ = u i(x >V) ~ • “

H aciendo y = 0, tenem os / ' (* ) = uRjc, 0) — ¿U2(x, 0).

E ntonces remplazando * por z, se tiene lo exigido / ' ( z ) = Ui(x.O) — i u 2 (z, 0).

(b) Ya que u = e~x ( x s e n y — y eos y ) , está dado, se tiene

“ i(*.!/) = = e _ * s e n y — * e _ I senj/ + y e ~ x c o s ydx

u 2( x , y ) = = x e ~ x eos y + y e ~ z s e n y — e - 1 eos y

así que de la parte (a),

/'(*) = ujíz.O) — í m2(2 , 0) = 0 — i (ze~* — e ~ x) = — i(ze~* — e ~ x)

Integrando con respecto a z se tiene, salvo una constante, f (z ) = i ze~z. Separando esto en partes reale imaginaria, v = e~z (y sen y -f x c o s y ) salvo una constante.

41. Demostrar que rot grad A = 0 , si A es real o, más generalmente, si Im A es armónica.

Si A = / > + Q¡, grad A = + i ¿ ) ( P + iQ) = g - g + í ( g + g ) . E ntonces

rot grad A = Im [ ( A - , ' A ) j g - g + i ( g + g ) J ]

= ,Mr ^ - A f + i(&+&) - + ( s + z ^ y i|_3x2 Jxfly \ d x d y dx2 ) \ d y dx dy2 j \ d y 2 d y d x / J

d2Q d2Q dx2 a¡/2

D e aquí, si <? = 0, es decir A es real, o si Q es armónica, rot grad A = 0.

d2U d2U42. Resolver la ecuación diferencial parcial + ~q 2 = x* ~ V2-

Sea z = x + iy, i = x — iy así que x — — , y = Entonces

2 2 W 2 Z . - 2 V ñ * U X f l 2 t / - X72TJ - A ^= ¿ < Z 2 + Z2 ) y — + 1 - ¡ - V * U - 4 —

CAP. 3| D I F E R E N C I A C I O N C O M P L E J A Y LAS E C U A C I O N E S DE CAU CHY R I E MA N N 87

E ntonces la ecuación diferencial parcial dada queda convertida en 4 ^ (z2 + i 2) o

5 ( i r ) = i (*2 + í2> <7)Integrando (2) con respecto a z (tratando a z com o una constante)

dU _ z3 zz2 , „ ...aF - 24 + T + F ' (z> (*>

donde F i (¿) es una función arbitraría de i . Integrando (2) con respecto a i,*3} y¿3

^ = 2Í + "24 + + (3 )

donde F(¿) es la función obtenida al integrar F ,(¿), y G(z) es una función arbitraría de z remplazando z y z por x + ¡y y x — i y respectivam ente, se obtiene

v = — f 4) + - iy) + <7(* + iy)

P r o b l e m a s p r o p u e s t o sDERIVADAS4 3 . U tilizando la definición, encontrar la derivada de cada función en los puntos indicados.

(a) f (z) = 3z2 + 4iz — 5 + i ; z = 2. (6) / ( 2) = “ jTjpí * = —t. (c) /(z) = 3 z - 2 ; z = 1 + i,

Resp. (a) 12 + 4¿ (6) - 5 ¿ (c) 3 /2 + 3 i /2r \

44. D em ostrar que no existe en ninguna parte.

t 4 5 . Determ inar si |z |2 tiene una derivada en cualquier parte.

4 6 . ■ Para cada una de las siguientes funciones determ inar los puntos singulares, es decir, puntos en los cualesz 3z — 2la función no es analítica. Determ inar la derivada en todos los otros puntos (a) —r-r. (6) -r -,- - ------—.K ' z 4- x * z2 + 2z + 6

Resp. (a) - i , i/(z + f)2; (b) - 1 ± 2í, (19 4- 4z - 3z2)/(z2 4- 2z 4 5)2

ECUACIONES DE CAUCHY-RIEMANN4 7 . Verificar que las partes real e imaginaria de las siguientes funciones satisfacen las ecuaciones de Cauchy-

R iem ann y deducir entonces que cada función es analítica:

/ (a) f (z) = z2 4- 5íz + 3 — i, ' ( 6) /(z) = z e ~ zf (c) /(z) = sen2z.

48. D em ostrar que la función x 2 + i y 3 no es analítica en ninguna parte. Reconciliar esto con el hechoque las ecuaciones de Cauchy-Riem ann se satisfacen en x = 0, y = 0.

4 9 . D em ostrar que si w = f ( z) = u + iv es analítica en una región entonces ^

50. (a) D em ostrar que la función u = 2 x (l — y) es armónica. (6) Encontrar una función v tal que /(z ) =u -f iv es analítica (es decir, encontrar la función conjugada de u). (c) Expresar f (z) en términos de z. Resp. (6) 2y + x 2 — y 2, (c) i z 2 + 2z

51. R esponda el problema 50 para la función u = x 2 — y 2 — 2x y — 2x + 3y.Resp. (b) x 2 — y 2 + 2x y — 3x — 2y

O ( ^ ,52. Verificar que las ecuaciones de Cauchy-Riem ann son satisfechas por las funciones, (a) e z , (6) eos 2z,

(c) senh 4z.

53. D eterm inar cuáles de las siguientes funciones u son armónicas. Para cada función armónica encontrar la función armónica conjugada v y expresar u + iv com o una función analítica de z.

✓ (a) 3x 2y 4 2 x 2 — y 3 -- 2y2, (6) 2x y 4- 3x y 2 — 2y3, (c) xex eos y — ye1 sen y, (d) e ~ 2xv sen (x2 — y 2).

Resp. (a) v = 4x y — x 3 + 3x y 2 + c, f ( z ) = 2z2 — i z3 4- ic <c) ye 1 eos y + xe* sen y 4- c, ze: 4- ic(b) N o es armónica (d ) —e ~ 2x*> eos (x2 — y 2) 4- c, —ieigt 4- ic

88 D I F E R E N C I A C I O N C O M P L E J A Y LAS E C U A C I O N E S DE C A U C HY - RI E M AN N | C AP. 3

54. (a) D em ostrar que + = ln [(x — 1)2 (_y — 2)2) es armónica en cada región que no incluya el punto(1, 2). (6) Encontrar una función <t> tal que ó + i'-y es analítica, (c) Expresar <J> -p ¿tp com o unafunción de z. Resp. ( i) — 2 ta n - l ¡(y — 2 ) / (x — 1)} (c) 2 i ln (z — 1 — 2¿)

55. S i Im !/'(z )} = 6x(2y — 1) y /(O) = 3 — 2¡, / ( l ) = 6 — 5¡, encontrar / ( I -f i) . Resp. 6 + 3¿

D IFE R E N C IA L E S

56. S i w = iz2 — 4z + 3i, encontrar, (a) Aw, (b) dw, (c) Aw — dw en el punto z = 2¿.Resp. (a) —8 Az + ¡(A z)2 = —8 dz + ¡(dz)2, (6) —8 dz, (c) ¡(dz)2

57. Encontrar, (a) Au>, y (6) dic si u; = (2z + 1)2, z — — ¡, Az = 1 + ¡.Resp. (a) 38 - 2¡, (6) 6 - 42¡

58. S i w = 3 ¡z2 + 2z + 1 — 3¡, encontrar, (a) Au/, (5) dw, (c) A w / A z , (d) dw / d z donde z = ¡.Resp. (a) —4A z + 3 ¡(A z)2, (6) —4 dz, (c) —4 + 3¡ Az, (d) —4

59. (a) S i » = se n z , demostrar que = (eos — 2 sen z -|8en j* .

(6) Suponiendo lim ****** = i demostrar que —¡— = cosz .a*—o Az dz

(c) D em ostrar que du; = (eos z) dz.

60. (a) Si w = ln z, m ostrar que si Az/z = f, = ~ ln {(1 + f)I/c}.Az z

(6) Suponiendo lim (1 + f)1/{ = e = 2 , 7 1 8 2 8 . . mostrar que = —.{_ o dz z

(c) M ostrar que d (ln z ) = d z /z .

61. Dem ostrar que, (o) d{/(z) p(z)} = {/(z) p'(z) + g(z) /'(*)} dz(6) d{f (z) /g(z)) = {g(z) f ’(z) - f (z) g' (z)) d z / { g ( z ) } 2

dando algunas restricciones sobre f (z) y g(z).

R E G L A S DE D IF E R E N C IA C IO N DE F U N C IO N E S EL E M E N T A L E S

62. D em ostrar que si f ( z ) y g(z) son analíticas en una región CK , entonces

(a) £ { 2 i f (z) - (1 + i) g(z)} = 2i f ' (z) - (1 + i) g' (z), (b) = 2 / ( z ) / '( z ) , (c) ¿ { / ( s ) } " 1 =

- { / ( * ) ) - 2/'(z).

63. U tilizando las reglas de diferenciación, encontrar las derivadas de cada una de las siguientes funciones:(a) (1 + 4 ¡)z2 - 3z - 2, (6) (2z + 3 ¡)(z - i), (c) (2z - ¡ ) / ( z + 2 ¡), (d) (2¡z + l )2 (e) (¡z - l ) -2 .Resp. (a) (2 + 8¡)z — 3, (b) 4z + i, (c) 5 ¡ / ( z -f 2 ¡)2, (d) 4¡ — 8z, (e) —3¡(¡z — l ) -1*

64. Encontrar las derivadas de las siguientes funciones en los ju n to s indicados:(a) (z + 2¡)(¡ - z)/(2z - 1), z = ¡. (6) (z + (z2 + l ) 2}2, z = 1 + ¡.Resp. (a) - 6 / 5 + 3 ¡ /5 , (6) - 1 0 8 - 78¡

65. Dem ostrar que, (a) ^ sec z = sec z tan z, (6) J j c o t z = —csc2 z.

66. D em ostrar que, ( o )^ j ( z 2 + l )l/2 = ^ 2 , (5) ln (z2 + 2z + 2) = 22 , 2z t 2 ’ indicando algunas

restricciones si es necesario.

CAP. 3] D I F E R E N C I A C I O N C O M P L E J A Y LAS E CU A C I O N E S DE CAUCHY RIF.MANN 89

67. Encontrar las derivadas de cada una de las siguientes funciones, indicando las restricciones necesarias.

(a) 3 se n 2 (z/2), (6) tan3 (z2 — 3z + 4?), (c) ln (sec z + tan z), (d) esc {(z2 + 1)1/2}, (e) (z2 - 1) eos (z + 2¡).

Resp. (a) 3 sen(z/2 ) eos (z/2) - z esc {(z2 + l ) 1'2} cot <(z2 + l ) l/2}(6) 3(2z - 3) tan2 (z2 - 3z + 4t) sec2 (z2 - 3z + 4i) (z2 + l )1/2(c) sec z (e) (1 — z2) sen (z + 2 i) + 2z eos (z + 2 i)

68. D em ostrar que, (a) j^ ( l + z2)3/2 = 3 z ( l + z 2)1/2, (6) ^ ( z + 2 \ / z )1/3 = | z ~ 1/2 (z + 2 \/z )~ 2/3 (Vz + 1).

68. D em ostrar que, (a) ¿ ( t a n ~ ‘ z) = „2 * , (b) ¿ ( s e c z) = — .-1z Z Z 'S j Z 2 — 1

70. D em ostrar que, (a) -v-senh - 1 2 = * , (6) -r -c sch - 1 2 = *» A ---- , , , V SV .I1 • X --------- 7T.v T + 7 2 * 2 \ / ? n

71. Encontrar las derivadas de cada una de las siguientes funciones:

( а ) { s e n ' 1 (2 « — l ) } 2 (c) e o s “ 1 ( s e n 2 — e o s 2) ( e ) c o t h ~ 1 (2 e s c 2 z )

(б) ln { c o t- 1 z2} (d) t a n -1 (z + 3 t)_1/2 ( /) ln (z - $ + \ / z 2 - 3z + 2 f )

Resp. (o) 2 sen - * (2z — l) /(z — z2)1/2 (d) - l / 2 ( z + 1 + 3«)(z + 3 ¡)1/2(b) — 2z /( l + z4) c o t” 1 z2 (e) (esc 2z)(l — 2z cot 2z ) /( l — z2 esc2 2z)(c) —(senz + eos z)/(sen2z)1/2 (/) l / \ / z2 — 3z + 2t

72. S i lo = cos_ l (z — 1 ), z = senh (3' + 2i) y C = i / i , encontrar dw /dt.Resp. -3 (c o sh (3; + 2»')]/2(2z - z2) i / 2í >/2

73. Si w = t sec (í — 3¿) y z = sen - 1 (2í — 1), encontrar dw/ dz .Resp. sec (f — 3 i) (1 + t tan (í — 3i)J (t — ¿2) 1/2

74. S i w2 — 2io + sen 2z = 0, encontrar (a) d w/ d z , (i) d 2w / d z 2.Resp. (a) (eos 2 z ) / ( l — w), (b) (eos2 2z — 2(1 — io)2 sen 2 z } / ( l — u>)3

75. Encontrar d2w / d z 2 en ¡( = 0 si w = eos é, z = tan ( , + «'). Resp. — cosht r.

76. Encontrar, (o) £ {z> " r} , (6) ¿ {(sen(íz - 2)]Un" “ + 3°}

Resp. (o) 2zl n l _ 1 ln z(b) { [sen (iz — 2)]t,n_1 (2 + 3i>}{j ta n - 1 (z + 3í) cot (iz — 2) + [ln sen <i'z - 2)[/[z2 + 6tz - 8]}

77. Encontrar la segunda derivada de cada una de las siguientes funciones:

(a) 3 se n 2 (2z — 1 + t), (6) ln tan z2, (e) senh (z + l ) 2, (d) co s_ 1 (ln z ), (e) sech _ 1 V 1 + *•Resp. (a) 24 eos (4z - 2 + 2i) (d) (1 - ln z - ln2 z )/z2(l - ln2 z)3'2

(6) 4 esc 2z2 — 16z2 esc 2z2 cot 2z2 (e) — ¿(1 + 3z)/4 (l + z)2z3/2(c) 2 cosh (z + l )2 + 4(z + l )2 senh (z + l )2

R EG L A DE L’H O PIT A L

78. Calcular, (o) lim — ----- ? 1 + J (6) lim (z - ert/3) ( . ) , (c) lim í* 7 7 1 •2- 212z2 + (3 — 4t)z - 6i 2-<,vi/s ' \ z 3 + V i —i z4 + 2z2 + 1

Resp. (o) (16 + 1 2 i) /2 5 , (6) (1 - i V 3) / 6, (c) - 1 / 4

r t ) ( — ) • \ s e n 2 /79. Calcular, (o) lim - — s n z í —— 1. Resp. (a) 1/6, (6) e""',/(cosh mv)2 - 0 z -m iri

ta n (22 "I- l )280. Encontrar l im £7 o” . — donde la rama de la inversa de la tangente está escogida tal ques e n - r 1 ;

t an- 1 0 = 0 . Resp 1

ti/**81. Calcular lim (^~~~^ Resp. e -1/6 1

90 D I F E R E N C I A C I O N C O M P L E J A Y LAS E C U A C I O N E S DE C A U C HY - RI E M A NN | C AP. 3

P U N T O S SIN G U L A R E S

82. Para cada una de las siguientes funciones localizar y clasificar las singularidades en el plano z finito.

(a) ** Q. 3f „ , (b) ln 3>> ■ (c) sen _ 1 (1 /z ), (d) V*(** + 1 ). («)z2 + 2z + 2 ’ ' ' z2 ’ ' ' v ' (z + t)»

Resp. (a) z = — 1 ± polos sim ples(b) z = -3 » ; punto de ramificación, z = 0; polo de segundo orden

(c) z = 0; singularidad esencial

(</) z = 0, ± i ; puntos de ramificación

(e) 2 = —i; polo de tercer orden

83. M ostrar que /(z ) = (z2 —^2z + 5 )2 l *ene P0*08 dobles en z = 1 ± 2» y un polo sim ple en el infinito.

84. M ostrar que e** tiene una singularidad esencial en infinito.

86. Localizar y clasificar todas las singularidades de cada una de las siguientes funciones:(a) (z + 3)/(z2 - 1), (6) esc (1/z2), (e) (z2 + l ) /z 8'2.Resp. (a) z = ± 1 ; polos sim ples, z = «> polo sim ple. (6) z = 1 m = ± 1 , ± 2 , ± 3 , . . . ; polos

sim ples, z = 0; singularidad esencial, z = «o polo de segundo orden, (c) z = 0; punto de ramificación, z = «o; punto de ramificación.

F A M IL IA S O R T O G O N A L E S

86. Encontrar las trayectorias ortogonales de las siguientes fam ilias de curvas: (o) x 3y — x y 2 = a, (6) e _ x c o s y + a:y — o.

Resp. (o) x* — 6x 2y 2 + y* = p , (6) 2 e_ I se n y + x 2 — y 2 = p

87. Encontrar las trayectorias ortogonales de las fam ilias de curvas r2 cos 29 = x. Resp. r2 sen 29 = (S

88. Separando f ( z ) = z + 1 / z en las partes real e imaginaria, mostrar que las familias (r2 + 1 ) cos 9 = «r y (r2 — 1) sen 9 = ¡Ir son trayectorias ortogonales y verificar esto por otro m étodo.

89. Si n es una constante real, dem ostrar que r" = a sec n9 y r" = ¡3 esc nu son trayectorias ortogonales. ~j¡

A PL IC A C IO N E S A LA G E O M E T R IA Y LA M E C A N IC A

90. Una partícula se m ueve a lo largo de la curva z = e~‘ (2 sen t + i cos f).(а) Encontrar un vector tangente unitario a la curva en el punto donde t = r /4 .(б) Determ inar las m agnitudes de la velocidad y aceleración de la partícula en t = 0 y x /2 . Resp. (a) ± i. (b) Velocidad V 5, ' /E e ~ ”n . Aceleración: 4, 2 e ~ ” /2

91. U na partícula se m ueve a lo largo de la curva z = oe'"1. (a) M ostrar que su velocidad es siempre constante e igual a ua. (6) M ostrar que la m agnitud de su aceleración es siempre constante e igual a w2a.(c) M ostrar que la aceleración está siempre dirigida hacia z = 0. (d) Explicar la relación entre este problema y el problema de la rotación de una piedra, amarrada al final de una cuerda, en un plano horizontal.

92. La posición en el instante t de una partícula que se m ueve en el plano z está dada por z = 3íe *«. Encontrar las m agnitudes de, (a) la velocidad, (b) la aceleración de la partícula en t = 0 y I = t . Resp. (a) 3, 3^ 1 + 16*2. (6) 24, 2 4 \ / l + 4jt2

93. Una partícula P se m ueve a lo largo de la recta x -f- y -- 2 en el plano z con una velocidad uniforme de 3 \Z ^ p ie s /se g desde el punto z = —5 + 7 1 a z = 10 — 8*. S i iv = 2z 2 — 3 y P ' es la im agen de P en el plano w encontrar las m agnitudes de, (a) la velocidad, y (6) la aceleración de P f después de 3 segundos. Resp. (a) 24 v'Tfi» (&) 72

CAP. 3| D I F E R E N C I A C I O N C O M P L E J A Y LAS E C U A C I O N E S DE CAUCH Y-RIEMANN 91

G R A D IE N T E , D IV E R G E N C IA , R O TO R Y LA PLA C IA N O -

94. Si F = x - y — xy- , encontrar, (a) V F, (6) ^' -F.Resp. (a) (2xy - > 2) + j (*2 _ 2xy) , (b) 2y - 2x

95. Sea B = 3z2 + 4z. Encontrar, (a) grad B, (b) div /I, (c) rot B, (d) laplaciano B.Resp. (a) 8, (b) 12jc, (c) 12y, (d) 0

¿'■'v 198. Sea C la curva en el plano x y definida por *2 _ x y + y 2 = 7 . Encontrar un vector unitario normal

a C en, (a) el punto ( — 1 ,2 ) , (6) cualquier punto. ^ R e s p . (a) (—4 + 5i)/v^41. (b) {2.x — y + i(2 y — x ) } / ^ b x 2 — 8 x y + 5y2

ié97. Encontrar una ecuación para la recta normal a la curva x 2y = 2iíyj + 6 en el punto (3, 2)." Resp. x = 8 t -f 3, y = 3t + 2

98. M ostrar que V2l/(z)l2 = 4 |/ ' ( z ) |2. Ilustrarlo escogiendo /(z ) = z2 -|- iz.

99. D em ostrar que y 2 {FG} = F ^ 2G + G y 2F + 2 v F » v G— v.

100. D em ostrar que div grad A = 0 si A es imaginaria, o más generalm ente, si R e {A} es armónica.


101. S i ,/(z) = u(x, y) + i v ( x , y ) , demostrar que:(a) f ( z ) = 2 u ( z / 2 , —i z / 2 ) + constante, (6) f ( z ) = 2 i v ( z / 2 , —i z / 2 ) + constante.

102. Usar el problema 101 para en con trar/(z ) si, (a) u(x, y) = x* — 6 x 2y 2 + y*, (6) v(x, y ) = senh x eos y.

103. S i V es la velocidad instantánea de una partícula que se m ueve a lo largo de una curva plana C, dem ostrar que la com ponente normal de la aceleración en cualquier punto de C está dada por V 2 / R , donde R es el radio de curvatura en el punto.

104. Encontrar una función analítica /(z ) tal que R e {/'(z)} = 3x2 — 4y — 3y 2 y / ( I + i) = 0.Resp. z3 -f 2tz2 + 6 — 2 i

105. M ostrar que la familia de curvas+ ~y — = 1

o2 + X b2 + \con —a 2 < X < — b2 es ortogonal a la familia con X > — b2 > —a2.

106. D em ostrar que la ecuación F ( x , y ) = constante puede ser expresada como u(x, y ) = constante dondex • • xi d2F / d x 2 4- d2F / d y 2 f , j?u es armónica si y sólo si ------------------------- — es una función de r .

(dF/dx )2 + (dF/dy )2

107. Ilustrar el resultado en el problema 106 considerando (y + 2 ) / (x — 1 ) = constante.

108. S i / ' ( z ) = 0 en una región 9L demostrar que /(z ) debe ser una constante en

109. Si w = /(z ) es analítica se expresa en coordenadas polares (r, 0), demostrar que

dio dzdw a ¡lio= r~ ‘ü —

110. S i u y v son funciones armónicas conjugadas, demostrar que. flu , dn .dv = — d y — r~ dx dx v oy

92 D I F E R E N C I A C I O N C O M P L E J A Y LAS E C UA C I O N E S DE C A U C H Y - R I E M AN N | CA P. 3

111. S i u y V son arm ónicas en una región %, dem ostrar que

( 3J L - ¥ ) + i ( £ + p )\ d y ftx J \ d x dy Jes analítica en %.

112. D em ostrar oue f (z) = |z|4 es diferenciable pero no analítica en 2 = 0.

113. D em ostrar que = ln lf ( z ) \ es arm ónica en una región % si f ( z ) es analítica en % y f ( z ) f ' ( z ) * 0 en %.

114. Expresar las ecuaciones de C auchy-R iem ann en térm inos de las coordenadas curvilíneas (5, tj) donde x — e* cosh i), y — e* senh rj.

115. M ostrar que una solución de la ecuación diferencial

L 1ÍW + R ^ 7 + C ~ ^ o c o s o t

donde L, R , C, E q y o> son constantes, está dada por

Q = Re iw[/? + i(uL — 1/«Q]J

La ecuación surge en la teoría de corrientes al ternas en electricidad.

(Sugerencia . Escriba el lado derecho com o E 0 eiut y entonces suponga una solución de la forma A e i<ot donde A está por determ inarse.)

116. M ostrar que v 2 {/(*)}" = « 2|/ ( 2) |n" 2| / / (2) |2, estableciendo restricciones sobre f {z) .

q2 j j i f íU 8117. R esolver la ecuación diferencial parcial - ^ 5- + 4- y i •

Resp. U = ¿{ln (x 2 + y 2) ) 2 + 2 { ta n - ' ( y / x ) ) 2 + F ( x + iy) + G(x - iy)

y 118. D em ostrar que V<U = V H V W ) = g + 2 ¿ g * + g f = 1 6 ¿ g g .

, 119. R esolver la ecuación diferencial parcial + 2 ^ *dy* = 36(x2 + ¡/2).

Resp. U = + y 2)3 + (x + i y ) F , { x - i y ) + G , ( x - i y ) + (x - i y ) F 2(x + iy) + G2(x + iy)

Va .

1 xr

-v

Cap ítu lo 4In te g ra c ió n com p le ja

y te o re m a de Cauchy

IN TEG RA LES COM PLEJAS DE LINEASea f(z') continua en todos los puntos

de una curva C (Fig. 4-1) la cual supondremos tiene una longitud finita, o sea,C es una curva rectificable.

Subdividamos C en n partes por medio de los puntos z,, z2, . . . , z„_,, elegidos arbitrariam ente, y llamamos a = z0, b = z„. Sobre cada arco que une *<z*_i a Zk (donde k va desde 1 a n) elija- L --------------------------------------------------------------- £mos un punto {*. Formemos la suma Fig. 4-1

Sn = /(¿j) (z\ — a) + f ( Q (z2 - z.) + ••• + m „ ) ( b - z n - i ) (1)Escribiendo z* — z*_, = Az*, esto se convierte en

Sn = ¿ /({„) («*-**->) = 5) /(f*)AZ* (2)k = l k = l

Dejemos que el número de subdivisiones n aumente en una forma tal que la más grande de las longitudes |Az*| se aproxime a cero. Entonces la suma S„ se aproxima a un límite, el cual no depende del modo de subdivisión; denotamos este límite por

J* /(z) dz o /(z) dz (3)

llamada la integral compleja de línea o brevemente, integral de línea de f{z) a lo largo de lacurva C, o la integral definida de f(z) desde a a 6 a lo largo de la curva C. En tal caso, f(z)es integrable a lo largo de C. Observe que si f(z) es analítica en todos los puntos de una región % y si C es una curva en %, entonces f(z) es integrable a lo largo de C.

IN TEG RA LES REALES DE LINEASi P(x, y) y Q(x, y) son funciones reales de x y y continuas en todos los puntos de una

curva C, la integral real de línea de P dx + Q dy a lo largo de la curva C se puede definirde una manera análoga a la anterior y se denota por

£ \ P ( x , y ) d x + Q (x ,y)dy \ o J P d x + Q dy (4)

donde la segunda notación la usamos por brevedad. Si C es lisa y tiene ecuaciones paramé-tricas x = <J>(t), y = i¡»(í) donde ti á t S t2, el valor de (4) está dado por

P [P { * ( * ) ,# ( í ) )+ ' ( t ) < t t + Q { ¿ ( í U ( f ) M t ) d t ]! I

Modificaciones convenientes se pueden hacer si C es lisa a trazos (ver problema 1).

93

vik

/

CONEXION EN TR E IN TEG R A LES REAL Y CO M PLEJA DE LINEASi f(z) = u(x ,y ) + i v(x ,y) = u + iv la integral compleja de línea (3) se puede expre

sar en términos de integrales reales de línea como

£ f(z) dz — § (w + iv)(dx + i dy)

= J ^ u d x — v d y + i J ' v d x + u dy (5 )

Por esta razón (5) se toma algunas veces como una definición de una integral compleja de línea.

PRO PIEDADES DE LAS IN TEG R A LESSi f(z) y g(z) son integrales a lo largo de C, entonces

94 I N TE GR A C IO N C O M P L E J A Y T E O R E M A DE CAUCHY | C A P , 4

1. f {/(z) + <7(z)}dz = f f(z) dz + ( g(z)dz•SV J e

2 . § A f(z) dz = A f f ( z ) d z donde A = una constante

3. f f(z )dza

= ~ f f(z)dzb

y%m cb4. 1 /(*) dzíl = J f{z) dz + 1 f(z) dz donde los puntos a, b, m están sobre CJ ni

5. X /(")dz £ ML

donde \f(z)\ S Ai, o sea M es una cota superior de |/(z)| sobre C y L es la longitud de C.Existen varias formas de describir las propiedades anteriores. Por ejemplo, si T, U y V

son puntos sucesivos sobre una curva, la propiedad 3 se puede escribir

f f(z) dz = - f f(z) dz.%yT l ' V V U T

Asimismo, si C, C i y C< representan curvas desde a & b , a & m y m & b respectivamente, efe natural para nosotros considerar C = C\ + Cj y escribir la propiedad 4 como

f f(z) dz = f f(z) dz + f f(z)dzC. + C'j C| Cj

^ CAMBIO DE VARIABLESSea z = gC.) una función continua de una variable compleja t = u + iv. Supongamos

que a la curva C en el plano z le corresponde la curva C en el plano £ y que la derivada g' (X,) es continua sobre C . Entonces

J f { z ) d z - f [</(£)} ()’{{) d i (6)

Estas condiciones se satisfacen si g es analítica en una región que contiene a la curva C .

s/ REG IO N ES SIM PLE Y M U LTIPLEM EN TE CONEXASUna región % se llama simplemente conexa si cualquier curva simple cerrada contenida

en % se puede contraer a un punto sin salimos de %. Una región % que no es simplemente conexa se llama múltiplemente conexa.

CAP. 4| I NTEGRAC ION C O M P L E J A Y T E O R E M A DE CAUCHY 95

Por ejemplo, supongamos % es la región definida por |z| < 2 que se muestra sombreada en la figura 4-2. Si F es cualquier curva simple cerrada contenida en %, o sea cuyos puntos están en %, vemos que ella se puede deformar en un punto de %, sin salirse de %, de modo que % es simplemente conexa. Por otra parte, si % es la región definida por 1 < \z\ < 2, que se m uestra sombreada en la figura 4-3, entonces hay una curva simple cerrada T en % la cual no se puede deformar en un punto sin salirse de %, de modo que % es múltiplemente conexa.

Fig. 4-2 Fig. 4-3 Fig. 4-4

Intuitivam ente, una región simplemente conexa es una que no tiene “ huecos” , mientras que una región múltiplemente conexa es una que sí los tiene. Siendo así, las regiones múltiplemente conexas de las figuras 4-3 y 4-4 tienen respectivamente uno y tres “ huecos” .

TEOREM A DE LA CURVA DE JORDANUna curva cerrada continua, que no se corta a sí misma y la cual puede o no tener una

longitud finita, se llama una curva de Jordán (ver problema 30). Un im portante teorema que, aunque muy difícil de probar, parece intuitivam ente obvio es el siguiente.

T eo rem a de la cu rv a de J o rd á n . Una curva de Jordán divide el plano en dos regiones, teniendo la curva como frontera común. La región que es acotada, (o sea, tal que todos los puntos de ella satisfacen \z\ < M, donde M es alguna constante positiva) se llama el interior (dentro) de la curva, mientras que la otra región es llamada la exteribr {fuera) de la curva.Se deriva de esto que la región dentro de una curva simple cerrada, es una región simplemente conexa cuya frontera es la curva simple cerrada.

CONVENCION RELATIVA A LA ORIENTACION DE CAM INOS CERRADOSLa frontera C de una región se recorre en el sentido o dirección positiva si un observador

al recorrerla en esta dirección y perpendicular al plano tiene la región a la izquierda. Esta convención conduce a las direcciones indicadas por las flechas en las figuras 4-2, 4-3 y 4-4. Utilizamos el símbolo especial

/(z) dz

para distinguir la integración de f{z) alrededor de la frontera C en el sentido positivo. Observe que en el caso de un círculo (Fig. 4-2) la dirección positiva es la dirección en sentido contrario al del movimiento de las manecillas del reloj. La integral alrededor de C se llama frecuentemente una integral de contorno.

TEOREM A DE G REEN EN EL PLANOSean P(x, y) y Q(x, y) continuos con derivadas parciales continuas en una región % y

sobre su frontera C. El teorema de Green, dice que

96 I NTEGRAC ION C O M P L E J A Y T E O R E M A DE CAUCHY | C A P . 4

£ P d x + Q d y = J J (g ~ f ) d x d y ^ j (7)

El teorema es válido para regiones simple y múltiplemente conexas.

FORM A CO M PLEJA DEL TEO REM A DE G REENSea F(z, z) continua y con derivadas parciales continuas en una región % y sobre su

frontera C, donde z = x + iy, z = x — iy son las coordenadas conjugadas complejas.Entonces, el teorema de Green se puede escribir en la forma

§ F ( z , z ) d z = 2¿JJ % d A (8)%

donde dA representa el elemento de área dx dy.Para una generalización de (8), vej

TEOREM A DE CAUCHY. EL TEO REM A DE CAUCHY-GOURSATSea f(z) analítica en una región % y sobre su frontera C. Entonces

f(z) dz = 0 (9)■'€

Este teorema fundam ental, llamado usualmente el teorema integral de Cauchy o brevemente, teorema de Cauchy, es válido para regiones simple y múltiplemente conexas. Fue probado primero usando el teorema de Green con la restricción adicional que f (z) sea continua en % (ver problema 11). No obstante Goursat dio una prueba que suprimió esta restricción. Por esta razón, el teorema se llama algunas veces el teorema de Cauchy-Goursat (ver problema

cuando uno desea insistir en la supresión de esta restricción.

f

TEOREM A DE M ORERASea f(z) continua en una región % simplemente conexa y supongamos que

í f(z) dz = 0 (10)/ C

alrededor de cada curva simple cerrada C en “7?. Por esta razón, f(z) es analítica en %.Este teorema, debido a Morera, se llama con frecuencia el recíproco del teorema de Cauchy.

Se puede extender a regiones múltiplemente conexas. Para una prueba, la cual supone que {’ (z) es continua en %, ver problema 22. Para una prueba, la cual elimina esta restricción, ver problema 7, capítulo 5.

INTEGRALES IN D EFIN ID A SSi f(z) y F(z) son analíticas en una región % y tal que F'(z) = f(z), entonces F(z) se

llama una integral indefinida o antiderivada de f(z) denotada por

F(z) = J* f (z)dz (11)

Puesto que la derivada de una constante es cero, se deduce que dos integrales indefinidaspueden diferir por una constante. Por esta razón, una constante c arbitraria se agrega amenudo a la derecha de (11).

E je m p lo : Puesto que -^-(3z2 — 4 sen z) = 6 z — 4 cos podem os escribirdz

f (6 z — 4 c o s í ) dz = 3z2 — 4 se n z + c

CAP. 4| I NTEG R A C IO N C O M P L E J A Y T E O R E M A DE CAUCHY 97

IN TEG RA LES DE FUNCIONES ESPECIA LESUtilizando resultados de la página 67 (o por diferenciación directa), podemos llegar a

los siguientes resultados (salvo una constante de integración).

1 . I z" dz — Z- —.- n ¥• —1 18. I coth z d z = lnsenhzJ n + 1 J

2.

3.

J — = in í 19. y sech z d z = ta n - 1 (senh ?)

i ” ez dz — e! 20 . J ' csch z d z = - c o th -1 (cosh z)

sech2 z dz = tanh z4- $ a* dz = 2L x5 . J sen z d z - - c o s z 2 2 . j " csch2 z dz = -c o th z

6. J* eos z d z = senz 23. sech z tanh z d z = - se c h z

7. ^ tan z dz - ln sec z 24. J ' csch z coth z dz = -csch z-Incosz r dz________________ ______

•• J - i»(« + V ? ^ i )8. cot zd z = ln senz

26. í* 2d? "2 = - t a n 1 - o — - c o t ' 1- -z z2 + a2 a a a aX

9. sec zdz = ln (sec z + tan z)= ln tan (z/2 + r/4) 27. f - 5 ^ - 3 = ln

J z2 — a2 2a \ z + a)

10. ) CSC zd z = ln (esc z — cot z) 2 8. f ~ T = = = sen"1- o - c o s " 1-J - ln tan (z/2 ) J

dz 1= - l n

C dz; 2 9 I — ■ _ _

sec2z d z = ta n z ^ z \/a 2 ± z2 a Va + v/®2

C o a f d z _ 1 - i a 1 - i z1 2 . J esc2 z dz = cot z 30- J z ^/z — ~ai ~ a 008 z 0 a sec a

13. sec z tan zd z = secz 31. J ' t /z 2 ± a 2 dz = £Y/ z2 * a2

, . C , ± ln (z + \ / z2 ± a2)14. I c sc z c o tz d z = —escz 2^ s\ 2r 32. I dz = ^ v a2 - z2 + ~ s e n ~1 —15. 1 senh z d z = coshz J 2 2 a

Jp eaz(a sen bz - b eos bz)

cosh z d z = senhz 33. J eaz sen bz dz - a2 + 52

Je . C , , e“*(a eos 6z + h sen 6z)

tanh z dz = ln cosh z J e° cos ®z “ z — a2 + 52

ALGUNAS CONSECUENCIAS DEL TEOREM A DE CAUCHYSea f ( z ) analítica en una región % simplemente conexa. Entonces, los siguientes teore

mas son válidos.T eo rem a 1 . Si a y z son dos puntos en Tí, entonces

X ^ dzes independiente del camino en % que une a y z.

98 I NTEGRACION C O M P L E J A Y T E O R E M A DE CAUCHY ICAP. 4

T eo rem a 2. Si a y z son dos puntos en ‘¡R y

G(z) = £ f(z)

ydz (12)

entonces G(z) es analítica en % y G' (z) = f(z).Ocasionalmente, alguna confusión puede surgir porque la variable de integración z en

(12) es la misma que el límite superior de integración. Puesto que una integral definida depende únicamente de la curva y límites de integración, cualquier símbolo se puede usar para la variable de integración, y por esta razón se llama una variable muda o símbolo mudo. Siendo así, (12) se puede escribir equivalentemente

G(z) = £ f ( t ) d t (13)

T eo rem a 3. Si a y b son dos puntos e n ^ y F' (z) = f(z), entonces

f(z) dz = F(b) - F(a)

Esto además se puede escribir en la forma muy conocida desde el cálculo elemental,f a

(14)

f•JaF'(z) dz = F(z) = F(b) — F(a) (15)

J

J~ i- ¡ 11—i4z d z = 2*2 = 2(1 - í)2 - 2(3i)2 = 18 - 4i

At Ai

T eo rem a 4. Sea f(z) analítica en una región limitada por dos curvas simples cerradas C y C| (donde Ci dentro de C como en la figura 4-5) y sobre estas curvas. Entonces

£ f(z ) dz — £ f(z) dzJe Je.

(16)

donde C y C, se recorren en el sentido positivo relativo a sus interiores (en sentido contrario al del movimiento de las manecillas del reloj en la figura 4-5).

El resultado demuestra que si deseamos integrar f(z) a lo largo de la curva C, podemos equivalentemente remplazar C por una curva Ci siempre que f(z) sea analítica en la región entre C y C,.

Fig. 4-5 Fig. 4-6

T eo rem a 5. Sea f(z) analítica en una región limitada por las curvas simples cerradas disjuntas C, C,, C2, C3, . . . , C„ (donde Ci , C2 , . . . , C„ están dentro de C como en la figura 4-6) y sobre estas curvas. Entonces

y f(z)dz = £ f(z)dz + £ f(z)dz +( C1 c2

Esta es una generalización del teorema 4.

§ /(z) dz (17)

P r o b l e m a s r e s u e l to sIN TEG RA LES DE LINEA

1. Hallar el valor numérico de I (2y + x 2) dx + (3a- — y) dy a lo largo de: (a) la(0,3)

parábola x = 2t, y = t2 + 3; (6) las líneas rectas desde (0, 3) a (2,3) y luego desde (2, 3) a (2, 4); (c) una línea recta desde (0, 3) a (2, 4). —(a) Los puntos (0, 3) y (2, 4) sobre la parábola, corresponden a ( = 0 y t = 1 respectivam ente.

Luego, la integral dada es igual a

í * (2(«2 + 3) + (2<)2}2dí + {3(20 - (t2 + 3 » 2 t d t = f (24(2 + 12 - 2Í3 - 6í> di = 33/2t = 0 J 0

(b) A lo largo de la línea recta desde (0, 3) a (2, 3), y = 3, dy = 0 y la integral de línea es igual a

f (6 + x 2) d x + ( 3 * - 3 ) 0 = f (6 + x 2) dx = 44/3 /J x = 0 J X = 0

A lo largo de la línea recta desde (2, 3) a (2, 4), x = 2, dx = 0 y la integral de línea es igual a z' 4 r 4

I (2y + 4)0 + ( 6 — y) d y = I (6 - y) dy = 5/2 , /J y = 3 J y = 3

E ntonces, el valor buscado = 4 4 /3 + 5 /2 = 1 0 3 /6 . y '(c) U na ecuación para la línea que une (0, 3) y (2, 4) es 2y — x = 6. R esolviendo por x, tenemos:

x = 2 y — 6. Luego la integral de línea es igual a

( {2y + ( 2 y - 6 ) 2} 2 d y + (3(2y - 6) - y} d y = f (Sy2 - 39y + 54) dy = 9 7 / 6 /J y = 3 J 3

E l resultado, se puede obtener usando y = ^(x + 6).

Hallar el valor numérico de j ¿dz desde z - 0 a z = 4 + 2i a lo largo de la curvac

C dada por, (o) z - t2 + it, (6) la línea desde z = 0 a z =2i y luego la línea desde z = 2i a z = 4 + 2¿.(а) Los puntos z = 0 y z = 4 + 2¿ sobre C corresponden a £ = 0 y £ = 2 respectivam ente.

Entonces, la integral de línea es igual a_____ v-'2 /*2

(¿2 + it) d(¿2 + te) = I (¿2 - tí)(2 í + t) dt = I (2 £3 - i t 2 + t) dt = 1 0 - 81/3t = 0 J o ‘ 'O

Otro método. La integral dada es igual a

Í (x — iy){dx + i dy) — | x d x + y d y + i ( x d y — y dxc - — ^ J e J e

Las ecuaciones param étricas de C son x = t 2, y = £ desde £ = 0 a £ = 2. E ntonces, la integral de línea es igual a

J (t2)(2 td£) + (£)(dt) + i í ( í2)(rft) — (t)(2 tcít)t = 0 J t - o

- = f (2£3 + £)d£ + t í 2 (—t2) d t = 1 0 - 81/3J o *'0

(б) La integral de línea dada es igual a

J (x — i y) (dx + i dy) = I x dx + y d y + i I x d y — y dxc

La línea desde z = 0 a z = 2¿ es lo m ism o que la línea desde (0, 0) a (0, 2) por lo cual x = 0, d x = 0 y la integral de línea es igual a

f (0)(0) + y dy + i f * (0 )(dy) - y(0 ) = C y dy = 2 /=0 J y - 0 J y=0

La línea desde z = 2i a z = 4 j- 2i es lo m ism o que la línea desde (0, 2) a (4, 2) por lo cual y = 2, dy = 0 y la integral de línea es igual a

J x dx + 2 • 0 + i í* x • 0 — 2 dx = í* x d x + t í * —2 dx = 8r = 0 *^1 = 0 / *''0

E ntonces, el valor buscado = 2 + (8 — 8i) = 10 — 8i. j

100 I N TE GR A C IO N C O M P L E J A Y T E O R E M A DE CAUCHY | C A P . 4

3. Probar que si f(z) es integrable a lo largo de una curva C de longitud L finita y si existe un número M positivo tal que | f(z) \ S M sobre C entonces

f f(z)dz ~'c

S ML

Ahora

Por definición, tenem os usando la notación de la página 93,

f f (z) dz = lim 2 fitit) tek J c n « k = 1

S 2 l/(£k)l |A*I

(2)

2 /(£k) ‘i2 k k=l

S M 2 |A*k|k = l

£ M L

donde hem os em pleado el hecho que \f{z)\ ^ M para todos los puntos z sobre C y que

representa la sum a de todas las longitudes de las cuerdas que unen los puntos 2^-1 y z k, donde k 1 , 2, . . n y que esta sum a no es m ás grande que la longitud de C.

Tom ando el lím ite de am bos lados de (2), usando (2), el resultado buscado se deduce.

Es posible dem ostrar, m ás generalm ente, que

(2 )

2 |4*k| fc=l

|JT/(*)<** ^ \f(z)\ \dz\

TEOREM A DE GREEN EN EL PLANO4. Probar el teorema de Green en el plano si C

es una curva simple cerrada la cual tiene la propiedad que cualquier línea recta paralela a los ejes coordenados corte a C a lo más en dos puntos.

Sean y = Vi (x) y y = Y 2 (x) respectivam ente, las ecuaciones de las curvas EG F y E H F (Fig. 4-7). S i % es la región lim itada por C, tenem os

SSfvdxdy = £-'[í'v¡u)%dy}dx %

Í ! v ,( i) r tP ( x , y ) d x = [/>(*, Y 2) - P(x , y ,)]

= — P ( x , Y , ) d x — J P ( x , Y 2) d x = — £ P d x

i pdx = -f fSdxdy

dx

E ntonces (2)

1 dy

A nálogam ente, sean x = X ¡ ( y ) y x = X 2 (y) respectivam ente las ecuaciones de 1;3 curvas G E H y GFH.

Luego j j g d x d y = £ [ £ '#> g d , ] , dy = £ [QiX2, y } - Q{X uV)] d y%

= J ' Q ( X ¡ , y ) d y + j Q( X 2, y) dy = <> Q¡

i Q d y = X í dy

Sum ando (2) y (2), j P d x + Q d y = d x dy

¥í % * - ,

Entonces (2)

CAP. 4|

tI NTEGRAC ION C O M P L E J A Y T E O R E M A DE CAUCHY 101

5. Verificar el teorema de Green en el plano para

^ (2 xy - x2) dx + (x + y2) dy

donde C es la curva cerrada de la región limitada por y = x2 y y 2 = x.

Las curvas y = *2 y y 2 = x se cortan en (0, 0) y (1, 1). La dirección positiva al recorrer C se indica en la figura 4-8.

A lo largo de y = x 2, la integral de línea es igual a

f * {(2* )(x 2) - x 2) d x + {x + (x2)2} d(x2) J x =o = fJ o

(2x3 + x2 + 2x5) dx = 7/6

A lo la r g # 9 e y 2 = x , la integral de línea es igual a

J-»o s*0{2(V2)(V) - (V2)2) d(y2) + {y2 + y 2) d y = I (Ay* - 2y* + 2y2) d y = -1 7 /1 5

y= 1 dj

E ntonces, la integral buscada = 7 /6 — 1 7 /1 5 = 1 /3 0 .

jy (s - s) d*d¡/ = jt <*+**> - h (2xy - x2)} d* dy % %

= J J (1 - 2 x ) d x d y = (1 - 2*) rfy d*x - y - x

v-x / ’ ldx = I

_ 2 Jo= i " (y - 2xy) (**'2 - 2*3/2 _ x 2 + 2*3) dx = 1/30

En consecuencia, el teorem a de Green se satisface.J

6. Extender la prueba del teorema de Green en el plano dada en el problema 4, a curvas C para las cuales líneas paralelas a los ejes coordenados pueden cortar a C en más de dos puntos.

Consideremos una curva sim ple cerrada C tal com o la m ostrada en la figura 4-9 en la cual, líneas paralelas a los ejes intersectan a C en m ás de dos puntos. C onstruyendo el segm ento S T la región se divide en dos regiones y ^ 2 que son del tipo considerado en el problema 4 y para las cuales el teorema de Green es aplicable, es decir,

(2) j p d z + Q d y = JJ (¿f ~ % ) d X dy, (2) j P dx + Q dy = j j (g - g) dx dySTUS CKÍ SVTS %

Sum ando los lados a la izquierda de (7) y (2), om itim os el integrando P dx + Q dy en cada caso,

j - j - j * j - j * j - j - j -STL’S SVTS ST T

em pleando el hecho de que f - - j

ST TUS SVT TUS SVT

ST iS

Sum ando los lados a la derecha de (1) y (2), om itim os el integrando,

Entonces

j j * j j - j j

f P d x + Q d y = j j (g - g) dx dy

UNIVERSIDAD NACIONAL Facultad Politécnica

8 I B L I O T E Q A

102 I NTE GR A C IO N C O M P L E J A Y T E O R E M A OE CAUCHY | CAP. 4

y el teorem a está probado. H em os probado el teorem a de Green para la región sim plem ente conexa de la figura 4-9 lim itada por la curva sim ple cerrada C. Para regiones más com plicadas, puede ser necesario construir m ás segm entos, tal com o S T , para establecer el teorem a.

E l teorema de Green es tam bién verdadero para regiones m últiplem ente conexas com o la m ostrada en el problema 7.

7. D em ostrar que el teorema de Green en el plano es tam bién verdadero para una región % m últiplemente conexa ta l como la m ostrada en la figura 4-10.

La frontera de que consiste de la frontera ex terior A H J K L A y la frontera interior D E F G D , está recorrida en la dirección positiva, de tal m odo que una persona que la recorra en esta dirección siempre tiene la región a su izquierda. ^

Se ve que las direcciones positivas son com o se indican en la figura.

Con el fin de establecer el teorem a construyam os un segm ento, tal com o A D , llamado un corte trasversal, que une las fronteras exterior e interior. La región lim itada por A D E F G D A L K J H A es sim plem ente conexa, y así, el teorem a de Green es verdadero. Luego

j P d x + Q d y = f f ( g - g ) d xA D E F G D A L K J H A "K

Pero la integral de la izquierda, om itim os el integrando, es igual a

S + S + f ♦ = f

dy

A D D E F G D D A A L K J H A D E F G D A L K J H A

puesto que s - - / . En este caso, si C¡ es la curva A L K J H A , C2 es la curva D E F G D y C es laA D D A

frontera de % formada por Cj y C2 (recorridas en las direcciones positivas con respecto a % ) , entonces

^ ^ ^ f P d x + Q d y = f f ( g -%

8. Sean P (x ,y ) y Q(x,y) continuas y con primeras derivadas parciales continuas en cada punto de una región % simplemente conexa. Probar que, una condición suficiente y

necesaria para que <l> P dx + Q dy = 0 alrededor de cada camino cerrado C en % esc

tal que dP/dy = dQ/dx idénticamente en

Suficiencia. Supongam os dP/dy — dQ/dx. Entonces, según el teorem a de Green,

f c P d x + Qdy = J J ( S “ dX dy = °‘K

donde % es la región lim itada por C.

Necesidad.

Supongam os J P dx + Q dy = 0 alrededor de cada cam ino cerrado en % y que SP/ 8 y # dQ/dx

en algún punto de CK ■ En particular supongam os dP/dy — dQ/dx > 0 en el punto (x0, yo)-

Por hipótesis, dP/dy y dQ/dx son continuas en % de m odo que debe haber alguna región t que contiene (xo> Yo) com o un punto interior para la cual dP/dy — dQ/dx > 0. Si P es la frontera de t, entonces según el teorema de Green

j y P d x + Q d y = J J ( g - g ) d x d y > 0

CAP. 4| I NTEG R A C IO N C O M P L E J A Y T E O R E M A DE CAUCHY 103

contradiciendo la hipótesis de que ® P dx + Q dy = 0 para todas las curvas cerradas en ^ . En esteJ e

caso, dQ/dx — dP/dy no puede ser positiva.

Así mismo, podem os dem ostrar que dQ/dx — dP/dy no puede ser negativa y se deduce que debe ser idénticam ente cero, es decir, dP/dy = SQ/dx idénticam ente en

Los resultados se pueden extender a regiones m últip lem ente conexas.

9. Sean P y Q definidas como en el problema 8.Probar que una condición suficiente y nece

saria para que J ' P dx + Q dy sea independiente del camino en % que une los puntos A y B es que dP/dy = dQ/dx idénticamente en %.Suf iciencia. S i dP/dy = dQ/dx, entonces, según el

■yí problem a 8.

X P d x -h Q d y = 0

y asi

(Fig. 4-11). D e esto, om itiendo por brevedad el integrando P dx + Q dy, tenem os

f + s - ' X - - X - XA D B B F .A A D B B E A A E B

es decir, la integral es independiente del cam ino.

Necesidad.Si la integral es independiente del cam ino entonces para todos los cam inos C i y C2 en % tenemos

X, X,

X - X - X - X* A D B A E B

í -y 1 = 0A D B E A

D e esto se deduce que la integral de línea alrededor de un cam ino cerrado en % es cero, y por esto, según el problema 8 es que dPfdy — dQ/dx.

Los resultados se pueden extender a regiones m últiplem ente conexas.

FORM A CO M PLEJA DEL TEOREM A DE GREEN10. Si B(z, z) es continua y tiene derivadas parciales continuas en una región % y sobre su

frontera C donde z = x -f iy y z — x — iy, probar que el teorema de Green se puede escribir en forma compleja como

Sea B ( z , z ) = P ( x , y ) -f i Q( x , y ) . Luego utilizando el teorema de Green, tenem os

^ B ( z , z ) d z = ^ (P + iQ)(dx -f i d y ) = ^ P d x — Q dy + Q d x + P d y

= - f j (S + %) dx d» + x(f ( i - fy) dX d»

= 2iSS9~ñdxdudel problema 34, página 84. El resultado se puede tam bién escribir en térm inos de rot B (ver página 71).

104 INTEG R A C IO N C O M P L E J A Y T E O R E M A DE CAUCHY | C AP. 4

TEOREM A DE CAUCHY Y EL TEOREM A CAUCHY-GOURSAT

11. Probar el teorema de Cauchy ^ f(z)dz = 0 si f{z) es analítica con derivada f ' (z )

continua en todos los puntos dentro y sobre una curva simple cerrada C.Puesto que f ( z ) = u + iv es analítica y tiene derivada continua

v dn , . dv fivf(z) = 5Í + 'S í = á¡¡

.(iul oy

se deduce que las derivadas parciales (1) rr- = rr-, (2) 4 - = — son continuas dentro y sobre C.. d x dy dx dy

dy

Siendo así, el teorem a de Green se puede aplicar y tenem os

^ f ( z ) d z = (u + iv) (dx + i dy) = ^ u d x — v d y + i £ v dx + u

= SS{-^~t)dxdy + = 0% K.

em pleando las ecuaciones de C auchy-R iem ann (1) y (2).

Aprovechando el hecho de que el teorem a de Green es aplicable a regiones m últiplem ente conexas, podem os extender el resultado a regiones m últip lem ente conexas bajo las condiciones dadas sobre f ( z ) .

E l teorem a de C auchy-G oursat (ver problemas 13-16) suprime la restricción de que f ' { z ) sea continua.

Otro método.El resultado se puede obtener de la forma com pleja del teorem a de Green (ver problema 10) notando

que si B ( z , z ) = f ( z ) es independiente de z, entonces dB/dz = 0 y así y f ( z ) d z = 0.

1 2 . Probar, (a) £ dz = 0, (6) § z d z = 0, (c) ^ (z — z0)dz - 0 donde C es

simple cerrada y z0 es una constante.E sto sigue inm ediatam ente del teorem a de C auchy, puesto que las funciones 1, 2 y z — z0 son

analíticas dentro de C y tienen derivadas continuas.

Los resultados se pueden tam bién deducir directam ente de la definición de una integral (ver problema 90).

13. Probar el teorema Cauchy-Goursat para el caso ¿ de un triángulo.

Consideremos un triángulo en el plano z tal com o A B C , denotado brevem ente por A, en la figura 4-12.Unim os los puntos m edios D, E y F, de los lados A B , y A C y B C respectivam ente para formar cuatro triángulos indicados brevem ente por A¡, A h, A iu y Ajy.

Si f{z) es analítica dentro y sobre el triángulo A B C tenem os, om itiendo el integrando a la derecha,

una curva

^ f (z) dz = j + j + j A B C A D A E E B F F C n

- JJ* /}♦{/♦ J| * { s * s \ * \ s * s * s[ d a e f.d ) [ e b f f e J [FC’Ü df J

- f * f * 5 i 5D A Ü D F U F E F C D F D E F D

= f ( z ) d z + <í> f (z) dz + & f(z) dz + f { z )dz* ¿1 * - 11 * A||| * A,v

d o n d e e n la s e g u n d a l ín e a h a c e m o s u s o d e l h e c h o q u e

. 1 - , r .1 - - . 1

I NTEG R A C IO N C O M P L E J A Y T E O R E M A DE CAUCHY 105

E ntonces

1 <(> f i * )d z S <f f ( z ) d z + /(*) dz + 4 + /W dz| «A 1*4, 1*4,1 1 A||j I l^ iv(/)

Sea Ai el triángulo correspondiente a aquel térm ino a la derecha de (1) que tiene el valor más grande (si hay dos o m ás de tales térm inos, entonces A| es uno de esos triángulos). Entonces

C2 )

(3)

(4)

(5)D'a,

Ahora A, Ai, A2 , A3 , . . . es una sucesión de triángulos cada uno de los cuales está contenido en el anterior (es decir, una sucesión de triángulos encajados) y existe un punto zq el cual está en cada triángulo de la sucesión.

Puesto que zq está dentro o sobre la frontera de A, se deduce que f { z ) es analítica en ¿o* Entonces, según el problema 21, página 79,

f (z) = /(z 0) 4- f ' ( z0) ( z - z 0) + v ( z - z 0) (6 )

donde para cualquier e > 0 podemos encontrar S tal que |tj| < < siempre que \z — zol < 5 .D e este modo, integrando am bos lados de (6) y usando el problema 12,

|" 4 \ f (z) dz

Uniendo los puntos m edios de los lados del triángulo A obtenem os

§ m dz £ 4 <f f ( z )d z*

de suerte que

§ f ( z ) d z £ 42 f (z) dz

D espués de n pasos, obtenem os un triángulo A„ tal que

/ ( * ) * = 4n f /(*) dz *

§ f (z) dz = £ Ii(z ~ *o) dz (7)

Ahora bien, si P es el perímetro de A, entonces el perímetro de A„ es P n — P / 2 ”. Si 2 es un punto sobre A„, entonces, com o se ve en la figura 4-13, debem os tener |z — 2ol < P ¡2" < 8. Por esto, de (7) y la propiedad 5, página 94 tenem os

<f f (* )dz * 4 .

= l(* - *o)| - ' i .

E ntonces (5) se convierte en

§ f(z) dz S 4"

dz jP # P 2n 2n

<P24»

<P2 4n

= «P2Fig. 4-13

P uesto que « se puede hacer arbitrariamente pequeña se deduce que, com o se buscaba,

y f (z) dz = 0

Probar el teorema de Cauchy-Goursat para un polígono cerrado.

Considere por ejem plo, un polígono cerrado A B C D E F A tal com o el indicado en la figura 4-14. C onstruyendo las líneas B F, C F y D F el polígono se subdivide en triángulos.Luego, según el teorema de C auchy para triángulos (ver problema 13) y el hecho que las integrales a lo largo de B F y F B, C F y FC, D F y F D se cancelan, hallamos como se buscaba

F

^ f (z) dz = j ' f (z) dz + J:de f a a b f a

* s

f(z) dz

B C F B

f ( z ) d z + f /(*) dz

= 0

106 I NTEG R A C IO N C O M P L E J A Y T E O R E M A DE CAUCHY | CAP. 4

donde suponem os que f ( z ) es analítica dentro y sobre el polígono.

D ebiera observarse que hem os probado el resultado para polígonos sim ples cuyos lados no se intersectan. U na prueba puede darse tam bién para un polígono que se intersecta a sí m ism o (ver problema 66).

15. Probar el teorema de Cauchy-Goursat para una curva simple cerrada.

Supongam os que C está contenida en una región % en la cual /(z ) es analítica.

E lijam os n puntos de subdivisión Z\, z¿, . . . ,z„ sobre la curva C (Fig. 4-15) donde por conveniencia de notación consideram os zq = zn. C onstruyam os el polígono P uniendo estos puntos.

D efinam os la sum a

S n = 2 /(*k)k = 1donde Az* = z* — z* -j. P uesto que

lim S n = <£ f (z) dzJ e

Fig. 4-15

(donde el lím ite a la izquierda significa que n —» oo es una forma tal que el m ás grande de | Az*| —> 0), se deduce que dado cualquier < > 0 podem os escoger N de m odo que para n > N

<P f (z) dz = 0J p

Í /<*)J e

go

í

dz - S„< 2 (1)

Considerem os ahora la integral a lo largo del polígono P. P uesto que ésta es cero según el problema 14, tenem os

s**¡ r z«f(z) dz + | f (z) dz + ■ ■ ■ + | /(z) dz- + f /

z .—i

= f </(t) - / ( t i ) + /( t i) } dz + • • • + f {/(t) - /(t„ ) + /(*„)} dz

= f ' </<*) “ /<*,)> dz + • ■ ■ + f { / ( t ) - /(* .)} dz + S„* Z0 zn — 1

= f 1 { /(* i) - /<*)} dz + • • • + f " { /(zn) - f (z) ) dz

Ahora elijam os N tan grande que sobre las rectas que unen zq y z \ 9 z \ y Z2, • • •» zn - \ y z n>

| /<*,) - f (z) I < - V , | f ( z2) - f (z) | < 5 7 ................. I /(*„) - f (z) | < j j -

de suerte que

2 L , 2L

donde L es la longitud de C. Luego, de (2) y (3) tenemos

{/( t i) - /( t ) } dz|S„ I.C! S„!

I f ' {/(t*)K '1

/(t)> dz ir..'— /(t)} dz

{ I t i t & t + i Z 2 Z | I - f • • • + I Z n t n _ j | } — g (4)

De£ f[z) dz = £ f(z) dz - S„ + S„

tenem os, usando ( /) y (4)

I <f /(z) dz K c

Así, puesto que < es arbitrario, se deduce que £ f(z) dz = U com o se buscaba.

/(z) dz - S„


16. Probar el teorema de Cauchy-Goursat para regiones múltiplemente conexas.Presentarem os una prueba para la región % p

m últiplem ente conexa lim itada por las curvas simples cerradas C¡ y C2 com o las indicadas en la figura 4-16.Extensiones a otras regiones m últiplem ente conexas se hacen fácilm ente (ver problema 67).

Construim os el corte trasversal A H . Entonces, la región lim itada por A B D E F G A H J I H A es sim plem ente conexa de m odo que, según el problema 15,

f f ( z ) dz = 0A B D E F G A H J I H A

Por tanto

Fig. 4-16

j" /(*) dz + J* f (z) dz + J ” f (z) dz + J ' f (z) dz = 0a b d e f g a a h h j i h h a

Y a q u e f (z) dz = — J ' f ( z ) dz , esto se convierte en A H H A

J f ( z ) d z + j f ( z ) d z = 0A B D E F G A

E sto sin embargo no dice otra cosa que

i f (z) dz = 0

donde C es la frontera com pleta de R (formada por A B D E F G A y H J I H ) recorridas en el sentido que un observador la recorre cuando tiene siempre la región R a su izquierda.

CONSECUENCIAS DEL TEOREM A DE CAUCHY17. Si f ( z ) es analítica en una región % simplemente conexa, probar que I f ( z ) d z e s

independiente del camino en % que une los puntos a y b de %. 0

Según el teorema de Cauchy,

J /(*) dz = 0

J /(*) dz + j f (z) Jz = 0Dfl B E A

J ' /(*) dz = - J ' f (z) dz = J ' f (z) dzDB B E A A E B

te caso

f f (z) dz = f f (z) dz = f f (z) dz

Por tanto

A D B

E n este caso

yc l J e ,

lo cual da el resultado buscado.Fig. 4-17

Sea /(z) analítica en una región % simplemente conexa y sean a y»z puntos en %■ Probar

que, (a) F(z) = C f(u)du es analítica en y (6) F ’ (z) = /(z). t J a

Tenem osF(z + A z) - F(z) f(z) = ¿ | J" / ( “ ) du - f f (u) du i - f(z)

+ ✓-» z + A*

= ¿ X l / ( u W ( 2 ) 1du ( /)

108 I NTEG R A C IO N C O M P L E J A V T E O R E M A DE CAUCHY [CAP. 4

Según el teorem a de Cauchy, la últim a integral es independiente del cam ino que une z y z 4- Az siempre que el cam ino esté en %. En particular, podem os elegir com o cam ino el segm ento de línea recta que une z y z -f Az (Fig. 4-18) eligiendo |Az¡ de tal m odo que este cam ino esté en %.

Ahora, según la continuidad de /(z ) tenem os que para todos los puntos u sobre este cam ino |f (u) — f (z) \ < e siempre que \u — z\ < 5, lo cual es cierto si | Azi < 8.

Adem ás, tenem os

I s%Z + AZ

I [/(«) - /(*)] duI » Z

< < 1**1 (2 ) F ig 4-18

de m odo que, de (I)

F(z + Az) — F{z ) _ Az

/(z> 1lAz| [/(« ) - /(*)] du

para |Az| < 2. E sto , sin em bargo, no dice otra cosa que lim —^ ^ ------——- = f(z) , es decir, F(z)es analítica y F '(z ) = / ( z ) . Az

19. Una función F(z) tal que F ' (z) = f(z) se llama una integral indefinida de f(z) y se denota

por ^ f(z)dz. D em ostrar que, (a) ^ sen z d z = — eos z -f c, (6) X T = > " 2 + C

donde c es una constante arbitraria.

(a) Puesto que ^ ( —eos z + c) = sen z, tenem os j sen z dz = —co sz + e.

(b) Com o -^-(Inz + c) = tenem os f — = ln z + c.dz z z

20. Sea f(z) analít’ca en una región % lim itada por dos curvas simples cerradas C¡ y C2 (sombreada en la figura 4-19) y también

sobre C'i y C>. Probar que <«> f(z)dz =r J c 'i) f(z) dz, donde C, y C2 se recorren en el

’sentido positivo relativo a sus interiores.Construim os el corte trasversal D E . Luego,

puesto que f ( z ) es analítica en la región %, tenem os según el teorema de C auchy s Fig. 4-19

f (z) dz -D E E G E D H J K L D

) dz +o ( f ( z ) d z + ^ f(z) dz + f(z)D E E F G E ¿ D

D e aquí, puesto que f (z) dz = — j ' f (z) dz,

dz + ^ f (z) dz =D H J K L D

fD E

f(z) dz —

E D

■ C /(Z) dz = J /(z) dz J f ( z ) d z = y f(z) dz

I NTEGRAC ION C O M P L E J A Y T E O R E M A DE CAUCHY 109

j " dz> -------- donde C es una curva simple cerrada C y z = ac z — a

está, (a) fuera de C, (b) dentro de C.(a) Si a está fuera de C, entonces /(z ) = 1 / ( 2 - o) es

analítica en todas partes dentro y sobre C. Por tanto,

según teorema de Cauchy, £ = 0.Jc *-<*

(b) Supongam os a está dentro de C y sea T un circulo de radio e con centro en z = a de m odo que T está dentrode C (esto se puede hacer ya que z = a es un puntointerior).

Según el problema 20,

dza

(1 )= £ J *J c z - a Jj . z -

z — a = e€ recho de (

r 2" úe'»ds . C'1" ,L , — ■ ’J. *

Ahora en T |z — a | = « o z — a — teie, o sea, z = 4 1 + «ei#, 0 ^ e < 2rr. En este caso, puesto que dz = ú e l9 de f el lado derecho de (1 ) se convierte en

— 2tri

que es el valor buscado.

fdz_ a^n , n » 2 , 3 , 4 , . . . donde z = a está dentro de

la curva simple cerrada C.

Como en el problema 21, £ .X (z ~ a)" J r (* - o)"

-'0

i e

donde n ^ l .

<l-n)18|2ir

o1

(1 - n)i I (1 — n ) t"

Si C es la curva y = x3 - 3x2 + 4x — 1 que une los puntos (1 ,1) y (2 , 3),, hallar el valor de

X (12z2 — 4¿z) dz

Método 1. Según el problema 17, la integral es independiente del cam ino que une (1, 1 ) y (2, 3). Por tanto, cualquier cam ino se puede escoger. En particular, escogem os los cam inos en línea recta desde (1, 1) a (2, 1) y luego, desde (2, 1) a (2, 3).

Caso 1. A lo largo del cam ino desde (1, 1) a (2, 1), y = 1, d y = 0 de m odo que z - x + iy *x + i, d z = dx. Entonces, la integral es igual a

r 2 i2I (12(x + ¿)2 — 4i(x -f-1)} d x = {4(x -f t)3 — 2t(* + t)2} I = 20 + 30¿J x = l II

Caso 2. A lo largo del cam ino desde (2, 1) a (2, 3), x = 2, dx = 0 de m odo que z = x + iy =2 -f iy, dz = idy. Entonces la integral es igual a

•3f {12(2 + i y )2 - 4i(2 + = {4(2 + i y )3 - 2i(2 + iy)2} I

J y= 1

(20 + 301) + ( - 1 7 6 + 8i) =Entonces sum ando, el valor buscado

Método 2. La integral dada es igual a

(12z2 — Aiz) dz = (4^3 — 2 tz2)i + <

Es claro que, el m étodo 2 es m ás fácil.

= -1 7 6 4 8i

- 1 5 6 4- 38/.

12 + 3i

II + i-156 + 38i

IN TEG RA LES DE FU N CIO N ES ELEM ENTALES

24. Determ inar, (a) J~ sen 3z eos 3z dz, (b) J ' cot (2z + 5) dz.

(a) Método l . Sea sen 3z = u. E ntonces du = 3 eos 3z d z o eos 3z dz = d u / 3. Entonces

l i o I NT E G R AC I ON C O M P L E J A Y T E O R E M A DE CAUCHY | CA P. 4

j sen 3z eos 3z dz = j M "5" = \ \ u . 1 U2du = 3 T + c

= ¿ M2 + c = ¡jsen2 3z + c6 o

M étodo 2.| sen 3z eos 3z dz = | j sen 3z d(sen3z) = ^ sen 2 3z + c

Método 3. Sea eos 3z = u. Luego du = — 3 sen 3z dz o sen 3z dz = —d u / 3. Entonces

j s e n 3 z c o s 3 z d z = — u d u = — | u 2 + c¡ = — ^ c o s 2 3z + c,

Observe que los resultados de los m étodos 1 y 3 difieren por una constante.

(6) Método 1.j cot (2z + 5) dz = J

eos (2z + 5) sen(2z + 5)

Sea u = sen (2z + 5 ). Luego du = 2 eos (2z + 5) dz y eos (2z + 5) dz = d u /2. D e este m odo

f eos (2z + 5) dz 1 f da 1 . 1 . m í e » ,I ----- — 77;— r-W— = ; I — = o ln u + c = ¡r ln sen (2z + 5) + eJ sen (2z + 5 2 J u 2 2

Método 2.' d{sen(2z + 5)}

sen (2* + 5)f _ C eos (2z + 5) J 1J c o t (2z + 5) dz - J sen(2z + 5) 2 J

= i ln sen(2z + 5) + c

25. (a) Probar que F(z)G’(z)dz — F(z)G(z) — ^ F ’(z)G(z)dz.

Á b ) Hallar J ' z e u dz y J " z e2* dz\

J (c) Hallar s z2 sen 4z dz y z2 sen 4z dz.

(d) Hallar el valor numérico de J* (z + 2)e‘* dz a lo largo de la parábola C definida

por x2y = x2 desde (0, 0) a (*, 1 ).(а) Tenem os

d {F(z) G(z)} = F(z) G'(z) dz + F ' ( z ) G ( z ) d z

Integrando am bos lados

j d {E (z)G (z)} = F(z )G(z ) = J P (z)G '(z)d z + J E '(z)G (z)dz

Por esta razón ..j F(z) G'(z) dz = F(z) G(z) - J F ' ( z ) G ( z ) d z

E l m étodo, frecuentem ente se llam a integración por partes.

(б) Sea F(z) = z, G '(z ) = e2!. Luego F ' ( z ) = 1 y G(z) — \ e z¡, om itiendo la constante de integración. En este caso, según la parte (a),

f ze2z dz = f F ( z ) G ' ( z ) d z = F(z) G(z) - f F'(z) G(z) dz

= (*)(¿c2í) — j 1 # dz — £ ze2* — J e2* + c

t A r 41 1 TAiH. I...UIV1 I 1j IVJ í\ 'l 1 E<U I\ R. JV1 A UPi K./WK Til

/* 1 IIPor tanto , J ze2* dz = (.jz*?2* - j e 2* + c) = ¿e2 — j e 2 + j = j (e 2 + 1 )

(c) Integrando por partes, eligiendo F ( z ) = z 2, G ' ( z ) = sen 4z tenem os

| z2 se n 4 z d z = {z2)(—¿ eos 4z) — j (2z){—J eos 4z)

ijdz

= — i z2 eos 4z + | | z eos 4z dz

Integrando esta últim a integral por partes, esta vez elegim os F (z) = z y G '(z) = eos 4z, encontramos

j z c o s 4 z d z = (z)(¿ sen4z) — j (1)(^ sen 4z) dz = |z s e n 4 z + ■Jg cos4z

En consecuencia j z2 se n 4 z d z = —Jz2 cos4z + ¿ z se n 4 z + JJCOS4Z + c

Í2ir.z 2 sen4z dz = —ir2 -f ^ ^ = —r 2

La doble integración por partes se puede indicar de una manera sugestiva escribiendo

j z2 sen4z dz = (z2)(—J eos 4z) — (2z)(— sen 4z) 4- ( 2 ) ( e o s 4z) 4- c

= —\ z 2 eos 4z 4- ¿z sen4z 4- ^ 0 0 8 42

donde el primer paréntesis en cada térm ino (después del primero) se obtiene diferenciando z 2 sucesivam ente; el segundo paréntesis se obtiene integrando sen 4 z sucesivam ente, y los términos alternan en signo.

(d ) Los puntos (0, 0) y (ic, 1) corresponden a z = 0 y 2 = i c - f ¿ . Puesto que (z -f 2)e<: es analítica, vem os según el problem a 17 que la integral es independiente del cam ino y es igual a

<z + 2) e “ dz = j(z + 2 ) ( í ) - (1 )<—e«)j|' + ‘ J= ( r + i + 2) ( - — :— + eiO’ + í» - t - 1

5. (Mostrar que f 2 = - t a n -1^ + c¡ = ^ —A r \ (Z + c2.J z2 + a2 a a 2ai \ z + “vSea z = a tan u. Entonces

J dz ( ' a sec2 ti du 1 , _ 1 . _ . zz2 + a2 “ J a2(tan2 « + 1 ) _ o . ) “ o a + C[

Tam bién, - 5- 7—5 = 7 —77 = ¿ 7 ( — -—7 ------ ^z2 + a 2 (z —a i)(z4 -a i) 20! ^ —at z + a 1)

. . , ( ' dz 1 C dz 1 C dzy asi en esta forma I . , =7 - - I --------7 — I — —7J z2 + a 2 2ai J z — ai 2ai J z -t-a i

= k—7 ln (z — ai) — ^ -7 ln (z + ai) + c2 = ln ( z a [ ) + c22a i 2ai 2 2m +

PROBLEM AS VARIOS

27. Probar el teorema de M orera bajo la suposición de que f(z) tiene una derivada continua en %.

Si f (z) tiene una derivada continua en % entonces podem os aplicar el teorem a de Green para obtener

§ f ( z ) d z = § u dx — v dy + 1 <> v d x 4- u dy

-Íf(-S-£H ♦'//(£-S\1 d x dy

112 INTEGRAC ION C O M P L E J A Y T E O R E M A DE CAUCHY | C A P. 1

Entonces, si y f(z) dz — 0 alrededor de cada cam ino cerrado C en debem os tener

^ n d x — v d y = 0, V d x + u d y = 0

alrededor de cada cam ino cerrado C en %. Por tanto, del problema 8,las ecuaciones de Cauchy-R iem ann

du __ dv _ _ dudx d y ’ dx dy

se satisfacen y siendo así (puesto que estas derivadas parciales son continuas) se deduce (ver problema 5, capítulo 3) que u + iv = f ( z ) es analítica.

28. Un campo de fuerzas está dado por F = 3z + 5. Encontrar el trabajo hecho al moverun objeto en este campo de fuerza a lo largo de la parábola z = t2 + it desde z = 0a z = 4 + 2».

Trabajo total hecho = j F ° dz = Re j F dz = R e-| j (3z + 5) dz l

= Re 1 3 i dz + 5 j d z j = Re {3(10 - §i) + 5(4 + 20} = 50

em pleando el resultado del problema 2 .

29. Hallar, (a) J ' eal sen bx dx, (6) J ' eaIeos bxdx.

O m itiendo la constante de integración, tenem os

f e <a + ib)x = e_(a + ib?x_J a + ib

lo cual se puede escribir

f e ~ (c o s 6* + i s e n N í z = g° I(c03 bx + i a e n b x '> = ^ ( c o s b x + t sen bx)(a - ib)J a + ib a2 + b2

Entonces igualando las partes real e imaginaria,

f e01 eos bx dx = f °r(a COBbx + b a e D b x '>J o 2 + b2

f e ° * sen b x d x = e°I(a Ben bx ~ b c o s b x )J ofi + 62

30. D ar un ejemplo de una curva continua simple cerrada, incluida en una región % acotada pero que tiene una longitud infinita.

Consideremos el triángulo equilátero A B C (Fig. 4-21) con lados de longitud uno. D ivid iendo en tres partes cada lado, construim os los triángulos equiláteros D E F , G H J y K L M . Luego, om itiendo lados DF, G J y K M , obtenem os la curva sim ple cerrada A D E F B G H J C K L M A de la figura 4-22.

B B

H

Fig. 4-21 Fig. 4-22

CAP. 4| INTEGRAC ION C O M P L E J A Y T E O R E M A DE CAUCHY 113

El proceso se puede ahora continuar dividiendo en tres partes los lados D E , EF, F B , Bt í , GH, etc., y construyendo triángulos equiláteros como antes. R ep itiendo el proceso indefinidam ente (Fig. 4-23) obtenem os una curva continua sim ple cerrada, que es la frontera de una región con área fin ita igual a

i ^ 3 + (3)(¿)2^ + (9)<J)2^ + (27 )(é)2X + • ”

— n + 1 + 1 4 - > - V j*— 1— - 5^1- 4 <l t ' ¿ + ¿ + ) 4 1 - 1 / 3 8

o 1,5 veces el área del triángulo A B C , la cual tiene longitud infinita (ver problema 91). Fig. 4-23

31. Sean F (x,y) y G(x,y) continuas y con primera y segunda derivadas parciales continuas en una región ^ simplemente conexa acotada por una curva simple cerrada C. Probar que

i

jr „ / S G . 3 G . \ C C [ n / ? G , d‘ G \ , / d F SG , 6 F í G \ l . .. F [d¡dx- * « ) - - i ) [ F {w + + (5r5í+5F5)J*‘¡»

%

Sean P = F j ^ , Q = —F en el teorema de GreenS y '

E ntonces, com o se buscaba

i n / 9G dG , ,c F { ^ ¡ d x - t o d V

§ P d x + Q d y = j j ( f f - % ) d* i y %

■■ j / f e H } - * { ' « } ) * *f f f P G , a2G \ , ( » F »G , aF a G \ l . .JJ L \á * 2 9y2) 9x dy dy)J V

P r o b l e m a s p r o p u e s to sIN T E G R A L E S D E L IN EA

_r.<2.5)32 (3* + y) d x + (2y — x) d y a lo largo de, (a) la curva y = x 2 + 1, (6) la

(0. 1)d línea recta que une (0, 1) y (2, 5), (c) la línea recta desde (0, 1) a (0, 5) y luego desde (0, 5) a (2 ,5 ),

(d) las líneas rectas desde (0, 1) a (2, 1) y luego desde (2, 1) a (2, 5).Resp. (a) 88 '3, (6) 32, (c) 4JF, (d) 2 y

33. (a) H allar el valor numérico de ^ (x + 2y) d x + (y — 2x) d y alrededor de la elipse C definida por

V x = 4 eos 0, y — 3 sen 0, 0 ¿ 0 < 2x si C está descrita en la dirección contraria a la del m ovim ientode las m anecillas del reloj. (6) ¿Cuál es la respuesta a (a) si C está descrita en la dirección del m ovim iento de las m anecillas del reloj? Resp. (a) —48y, (6) 48*

f Y r,3 4 . J H allar el valor numérico de j (x2 — iy2) dz a lo largo de, (a) la parábola y = 2x2 desde (1 ,1 ) a

(2 , 8), (6) las líneas rectas desde (1 , 1 ) a (1 , 8) y luego desde (1 , 8) a (2 , 8), (c) la línea recta desde

) ¡ £ (1, 1) a (2, 8). Resp. (a) ^ - 4 ? i / (6 ) 4 a ~ 57i, (c) 4 a - 8i

f 1H allar el valor numérico de d> z \2 dz alrededor del cuadrado con vértices en (0 ,0 ) , (1 ,0 ) , (1 ,1 ) , (0, 1). Resp. - 1 + i ’t L — í

114 INTEGRACION COM PLEJA Y TEOREM A DE CAUCHY

1

ICAP. 4

í (z2 + 3z) dz a lo largo de, (o) el círculo |z| = 2 desde 12, 0) a (0, 2)yen una dirección contraria a la del m ovim iento de las m anecillas del reloj, (6/ la línea recta desde (2 , 0)

a (0, 2 ), /e ) las líneas rectas desde (2, 0) a (2, 2) y luego desde (2, 2) a (0, 2). Resp. —^ — i¡t

5J 2® X®- ' Hallar el valor numérico de

O V

Cr

para todos los casos

3 7 / Si f i z ) y g ( z ) son integrables, probar que

(o) j f (z) dz = f(z) dz7

bj

3p. ) Hallar el valor numérico de

(6) f {2 f (z) - 3 i g ( z ) } d z = 2 ( f (z) dz - 3 i ( g(z) dz. J c J e J e

s :(3x y + iy2) dz (a) a lo largo de la línea recta que une z = i y

z = 2 — i, (6) a lo largo de la curva x = 2 t — 2, y = 1 + t — £2. /?esp. (a) — $ + | t , (6) “ i + $ ¡ í?

Hallar el valor numérico <l) z 2 dz alrededor de los círculos, (a)|z | = 1 , (6) |z — 1* — V.Resp. (a) 0 , (b) 4r.i. c

! ^ o ) Hallar el valor numérico de ^ (5Z4 — z3 + 2) dz alrededor de, (a) el círculo |z | = 1 , (6) el cuadrado

con vértices en (0 , 0), (1 , 0), (1 , 1 ) y (1 , 0), (c) la curva consistente de las parábolas y = x 2 desde (0 ,0 ) a (1 ,1 ) y y 2 = x desde (1 ,1 ) a (0 ,0 ) . Resp. 0 en todos los casos.

41. Hallar el valor numérico de | (z2 + l ) 2 cfz a lo largo del arco de la cicloide x = a(0 — sen 0), y =

a ( l — cos O) desde el punto donde 0 = 0 al punto donde O = 2x. Resp. (96x5a5 -f- 80x3o3 + 3 0xa)/15

42. Hallar el valor numérico de I z 2 dz + z2 dz a lo largo de la curva C definida por z2 + 2zz + z2 =J c

(2 — 2í)z + (2 + 2 0 ¿ desde el punto z = 1 a z = 2 + 2¿. Resp. 2 4 8 /1 5

Hallar el valor numérico de £ J i -I z - 2 alrededor de, (a) el círculo |z — 2| = 4, (4) el círculo

\z — 1| = 5, (c) el cuadrado con vértices en 2 ± 2í, —2 ± 2¿. Resp. 2r.i en todos los casos

^44. 'Hallar el valor numérico de y (x2 + i y2) ds alrededor del círculo |z| = 2 donde s es la longitud de

' arco. Resp. 8*(1 + i)

TEO R EM A DE G R E E N EN EL PLANO

J 46. Verificar el teorema de Green en el plano para ^ (x2 — 2xy) d x + (y 2 — x 3y) d y donde C es un

cuadrado con vértices en (0 ,0 ) , (2 ,0 ) , (2 ,2 ) , (0, 2). Resp. Valor com ún = - 8

/ 46. Hallar el valor numérico de (5¡c + 6¡/ — 3) dx + (3x — 4y + 2) du alrededor de un triángulo en el

plano x y con vértices en (0, 0), (4, 0) y (4, 3). Resp. —18 /

47. Sea C una curva sim ple cerrada que lim ita una región quetiene área A . Probar que

+ 'w

A ~ 1 $ x d y ~ yd x

48. Usar el resultado del problema 47 para encontrar el área acotada por la elipse x = a cos O, y = b sen 6, 0 g 0 < 2it. Resp. xab

49. Hallar el área limitada por la hipocicloide x 2 3 + y 2/ 3 = a 2/3 que se muestra sombreada en la figura 4-24. (Suges t ión .Las ecuaciones paramétricas son x - a eos3 0, y = a sen3 0, O íO < 2 x.) Resp. 3xa2/8

CAP. 4| INTEGRACION COM PLEJA Y TEOREM A DE CAUCHY 115

U . p ^50. ^ er ifica r el teorema de Green en el plano para (j)* x 2y dx + (j/3 — x y 2) d y donde C es la frontera de la

- región que encierra los círculos x 2 + y 2 = 4, x 2 -f y 2 = 16. Resp. Valor com ún = 120*

51. (a) ^P robar que <í> (y2 c o s x — 2ey) d x + ( 2 y s e n x — 2x e y) d y = 0 alrededor de cualquier curva sim-

1 pie cerrada C. (b) H allar el valor numérico de la integral en (a) a lo largo de la parábola y = x 2 desde (0, 0) a (r, r 2). Resp. (b) — 2xeTT*

j -<3.2)(2x y 3 — 2 y 2 — 6 y) d x + (3x 2y 2 — 4x y — 6*) di/ es independiente del camino

( 2. 1)

que une los puntos (2, 1) y (3, 2). (6) H allar el valor numérico de la integral en (a). Resp. (6) 24

FO R M A C O M PLEJA DEL T E O R E M A DE G R E E N

53. S i C es una curva sim ple cerrada que encierra una región de área A , probar que A = — z dz .

54. H allar el valor numérico de ^ z d z alrededor_de, (a) el círculo \z — 2\ = 3, (6) el cuadrado con

vértices en 2 = 0, 2, 2 / y 2 + 2 i, (c) la elipse \z — 3| -f \z + 3| = 10.Resp. (a) 18ir¿, (6) 8i, (c) 40zi

55. H allar el valor numérico de <í* (8z + 3z) dz alrededor de la hipocicloide x 2/ 3 -f y 2/3 = a 2/ 3.Resp. 6 r.ia2 ' c

56. Sean P{z, z) y Q{z,z) continuas y con derivadas parciales continuas en una región y sobre su frontera C. Probar que

*)dz + Q ( z , z ) d z = 2 i JJ" dA

%57. M ostrar que el área en el problema 53 se puede escribir en la forma A = — <j) z d z — z dz.

58. D em ostrar que el centro de gravedad de la región del problema 53 está dada en coordenadas conjugadasA A

por (z, z ) dondez = — —y i <£" z2 dz, z = - i - : (t z2 dz

4/11 J e 4A( ,7c

59. H allar el centro de gravedad de la región lim itada por arriba por|z | = a > 0 y por abajo por Im z = 0 .

Resp. z — 2 ai / r , z = —2 ai / x

E L ,T E O R E M A DE C A U C H Y Y EL T E O R E M A DE C A U C H Y -G O U R S A T

60. Verificar el teorem a de Cauchy para las funciones, (a) 3z2 + i z — 4 , / ( b ) 5 sen 2z, (c) 3 cosh (z + 2)si C es el cuadrado con vértices en 1 t i, - 1 t i. /

61 . Verificar el teorem a de C auchy para la función z3 — iz2 — 5z + 2 i si C es, (a) el circulo |z| = 1,(6) el círculo |z — 1| = 2 , (c) la elipse |z — 3i| + |z + 3i| = 20.

62. S i C es el círculo |z — 2| = 5, (a) determ inar si J) J V 3 = 0- d>) ¿Su respuesta a (a) contradiceel teorem a de Cauchy? * c

63. Explicar claram ente la relación entre las observaciones

y (x2 — y 2 + 2y) d x + (2* — 2 xy) d y — 0 y y (z2 — 2 iz) dz = 0

donde C es una curva sim ple cerrada.

64. D eterm inar el valor numérico de e‘ dz alrededor del círculo |z| = 1, y demostrar que

j . 2* , . 2üecos9 eos (e + sen e) de = I c<osllse n (9 + s e n í ) d « = 0

u -'o

65. Establecer y probar el teorema de Cauchy para regiones m últiplem ente conexas.

116 I NTEGRAC ION C O M P L E J A Y T E O R E M A DE CAUCHY | CAP. 4

66. Probar el teorema de C a u c h y - G o u r s a t para un polígono, tal com o el A B C D E F G A que se muestra en la figura 4-25, el cual se puede intersectar a sí mismo.

67. Probar el teorema Cauchy-Goursat para la región % m últiplem ente conexa que está sombreada en la fieura 4-26.

68.

69.

70.

71.

73.

74.

F ig. 4-25 F ig. 4-26

(a) Probar el teorema de Cauchy-Goursat para un rectángulo, (b) M ostrar cóm o, el resultado de (a) se puede usar para probar el teorema para una curva sim ple cerrada C.

Sean P y Q continuas y con primeras derivadas parciales continuas en una región c/ ( . Sea C una curvasim ple cerrada en y supongam os que para tal curva

® P d x + Q d y - 0J c

(а) Probar que existe una función analítica f ( z ) tal que R e {/(a) dz) =■ P dx + Q dy es una diferencial exacta.

(б) Determ inar p y q en térm inos de P y Q tal que Im )f(z) dz) = p dx -f q dy y verificar que

p dx + q dy = 0.Jc

(c) D iscutir la conexión entre (a) y (6) y el teorema de Cauchy.

Ilustrar los resultados del problema 69 si P = 2x + y — 2xy, Q - x — 2y — x 2 + y 2 encontrandoP, <7 y /(*)•Resp. Una posibilidad es p = x 2 - y 2 + 2y — x, q = 2 x + y - 2xy, f ( z ) = iz2 + (2 — i )z

Sean P y Q continuas y con derivadas parciales continuas en una región % . Supongam os que para una

curva sim ple cerrada C en tenem os £ P dx + Q dy = 0. (o) Probar que Q d x — P d y = D.

(6) D iscutir la relación de (a) con el teorema de Cauchy.

^ SE C U E N C IA S DEL T E O R E M A DE C A U C H Y

J - 4 — 3 i

(6z2 + 8iz) dz tiene el m ismo valor a lo largo de los siguientes

3 + 4¡cam inos C que unen los puntos 3 + 4t y 4 — 3¿: (a) una línea recta, (ó) las líneas rectas desde3 + 4i a 4 + 4¿ y luego desde 4 + 4¿ a 4 — 3t, (c) el círculo |z| = 5. Determ inar este valor.Resp. -£38 - 266i

Mostrar que I e ~ 2 l dz es independiente del camino C que une los puntos 1 — xi y 2 + 3r¿ yJc

determinar su valor. Resp. ^ c ~ 2( l — e " 2)

D ada G(z) = I co s3 f d{. (o) Probar que G(z) es independiente del cam ino que une x — x¿* '.t— ni

y el punto arbitrario z. (b) Determ inar G(r.i). (c) Probar que G ' ( z ) = eos 3z. Resp. (b) 0

75. Dada G(z) — I sen f2 rff. (a) Probar que Giz) es una función analítica de z. (b) Probar que1 + i

G ' ( z ) = sen z~.

76. E stablecer y probar el teorem a correspondiente a, (a) problema 17, (6) problema 18, (c) problema

20 para la integral real de línea f P d x + Q dy.• 'c¡

77. Probar el teorem a 5, página 98. para la región de la figura 4-26.

78. (a) S i C es el círculo |z| = R, m ostrar que

lim <■) r — « J c

z2 + 2z - 5 rf2c (z2 + 4)(z2 + 2z + 2)

(6) H acer uso del resultado de (a) para deducir que si C, es el círculo |z — 2| = 5, entonces

+ 2z - 5£ í LJ c , (z2 + 41

dz =■ 4)(z2 + 2z + 2)

(c) ¿Es el resultado en (6) verdadero si C¡ es el círculo |z + 1| = 2 ? Explicar.

IN T E G R A L E S D E F U N C IO N E S E SPE C IA L E S

7 9 . H allar cada una de las siguientes integrales

(a) ( e ~ J ? d z , / [ (b ) ( z s e n z 2 dz, (c) | . — dz, (d) | s e n 4 2z e o s 2z dzJ J J J z3 + 3z + 2 JC Resp. (a) —l e - 24 + c (c) 1 ln (z3 + 3z + 2) + c

(e) | z2 tanh (4z3) dz / « . , , » j , , . ^ -Jj ln cosh (4z3) + cJ (6) - 4 co sz2 + c (d) J j s e n 0 2z + c 12

80. H allar cada una de las siguientes integrales

(a) 1 z c o s 2z d z , (6) I z2 e - í dz, (c) I z ln z dz, (d) I z3senh z dz.

Resp. (a) § z a e n 2 z + ^ cos2z + c (c) ^z2 ln z — J + c(6) — (z2 + 2z + 2) + c (d) (z3 + 6z) cosh z — 3(z2 + 2 )se n h z + c

81. H allar el valor numérico de cada una de'•2T 7Í \ /»7TÍ

(a) r /J

Resp. (a) 2 /3^ /(6 ) —2/5, (c) J cosh 2 — .J senh 2 + 4¡rísenh2

J ' e / i , ' ~ / 2 /s e n 2 z dz = J eos2 z dz = v /4 . Q /j

83. M ostrar que í f e = ln ° ) + <*, = - c o t h - * - + c2.J z2 — a 2 2 a \ z + a / 1 a a ¿

84. D em ostrar que si nos restringim os a la m isma rama de la raíz cuadrada,

f zy/2z + 5 dz = ^ (2z + 5)5'2 - | (2z + 5)3/2 + c

86. H allar el valor numérico de J ^ 1 -f ^Jz + 1 dz, estableciendo condiciones con las cuales el resultado

es válido. Resp. $(1 + y/z + 1 )5/2 — £(1 + y / Y + 1 )3/2 + c


86. H acer uso de la definición de la integral para probar que a lo largo de cualquier cam ino arbitrario ques*b s*b

une puntos a y 6, (a) I dz = 6 - o, (6) I zd z = i ( 62 — a2).a • ' a

87. Probar el teorem a concerniente a cam bio de variables de la página 94.(.Sugerencia. Expresar cada lado com o dos integrales de línea y usar las ecuaciones de C auchy-R iem ann.)

88. Sean u ( x , y ) arm ónicas y con derivadas continuas de segundo orden por lo m enos en una r e g ió n ^ , (a) M ostrar que .. . .

118 INTEGRACION C O M P L E J A Y T E O R E M A DE CAUCHY | C AP. 4

es independiente del cam ino en % que une (a, b) a (x, y) .

(ó) Probar que u + iv es una función analítica de z = * + i y en % ■

(c) Probar que v es armónica en %.

89. R esolver el problema 88 para los casos especiales (a) u = 3x2y + 2 x 2 — y*ye1 sen y . (Ver problema 53(o) y (c), página 87.)

90. Em pleando la definición de una integral, verificar directam ente que

(c) y (z - z 0)dz = 0

2y 2, (6) u = xer eos y

(a) ^ dz = 0, (6) ^ z d z — 0,se *sc

donde C es una curva sim ple cerrada y zq es una constante.

91. Hallar la longitud de la curva cerrada del problema 30 después de n pasos y verificar que cuando n - * la longitud de la curva tiende a infinito.

x dz’c 22 + 4

92. Hallar el valor numérico de Resp. x /2

93. M ostrar que I x e _ I sen x d x =J o

a lo largo de la recta x + y = 1 en la dirección en que aum enta x.

94. Hallar el valor numérico de' - 2 - 2 V3

la rama de z */2 tal que z 1/ 2 = 1 para z = 1

y~ -2 + 2\ 3 iI z 1,2dz a lo largo de un cam ino en línea recta si escogem os

Resp. 3 2 /3

95. ¿Vale el teorema de Cauchy para la función /(z ) = z */2 donde C es el círculo |z| = 1? Explicar.

96. ¿Vale el teorema de Cauchy para una curva, tal com o E F G H F J E en la figura 4-27, que no es simple? Justificar su respuesta.

97. Si n es el vector normal exterior a una curva simple cerrada C, s es el parámetro longitud de arco y U es una función continuam ente diferenc ia r e , probar que

dU _ dU_ dx_ ^ dU dy dn dx ds dy ds

98. Probar la primera identidad de Green,

/ / V V * V d x d y + XX (3U d V d U d V \ , ,- í v ds

donde % es la región acotada por una curva sjmple cerrada C, V 2 el problema anterior.

d2 , ¿ 2dx^ 3^2 * con n y s com o en

99. Utilice el problema 98 para probar la segunda identidad de Green,

(U V 2V — V V 2 U ) d A = - V ^ ) rfscjf \ /

donde dA es un elem ento de área de CR.

100. Escribir el resultado del problema 31 en términos del operador V-

dzr az101. Hallar el valor numérico de ^ 2 4. 2z + 2 alrededor del círculo unidad \z\ = 1 com enzando en

z = 1 , suponiendo el integrando positivo para este valor.

102. Si n es un entero positivo, mostrar que

Í '2» X.2T7e8*0"* eos (9 — eos ne) de = | e»L'nne sen{9 — eos ne) de = 0

o Jo

C ap ítu lo 5

Fórmulas in te g ra le s d e Cauchy y te o re m a s re lac ionados

FORM ULAS IN TEG RA LES DE CAUCHY ^

Si f(z) es analítica dentro y sobre una curva simple cerrada C y a es un punto dentro de C (Fig. 5-1), entonces

/ ( a ) = L § c T h d z J

dondé C se recorre en el sentido (contra las manecillas del reloj) positivo. Tam bién la n-ésima derivada de f(z) en z = a está dada por

(z - a)"

El resultado (í) puede ser considerado un caso especial de (2 ) con n = 0 si definimos 0! = 1 .

Los resultados (1) y (2) se llaman fórmulas integrales de Cauchy y son totalm ente notables porque ellos m uestran que si una función f (z ) se conoce sobre la curva C simple cerrada, entonces los valores de la función y todas sus derivadas pueden ser encontrados en todos los puntos dentro de C. En este caso, si una función de una variable compleja tiene una primera derivada, o sea, es analítica, en una región % simplemente conexa, todas sus derivadas superiores existen en %. Esto no es necesariamente exacto para funciones de variable real.

n - 1 , 2 ,3 , .

(i)

(2)

Fig. 5-1

ALGUNOS TEOREM AS IM PO RTA N TESLa siguiente es una lista de algunos teoremas importantes que son consecuencias de las

fórmulas integrales de Cauchy.

1. T eo rem a de M o rera (recíproco del teorema de Cauchy).

Si f(z) es continua en una región % simplemente conexa y si Q f(z) dz = 0

alrededor de cada curva simple cerrada C en %, entonces, f(z) es analítica en

2. D esig u a ld ad de C auchy .Si f(z) es analítica dentro y sobre un círculo C de radio r y centro en z = a,

entonces M - n \ r "

n = 0 , 1 , 2 , . . . (3)

donde M es una constante tal que |/(z) | < M sobre C, o sea M es una cota superior de |/(z) | sobie C.

119

120 F O R M U L A S I N T E G R A L E S DE CAUCHY Y T E O R E M A S R E LA C I O N A D O S | CA P. 5

3. Teorem a de L iouville.Supongamos que para todo z en el plano complejo entero, (i) f{z) es analítica,

y (ii) f ( z ) es acotada, es decir, \{(z) | < M para alguna constante M. Entonces /(z) debe ser una constante.

4. Teorem a fu n d am en ta l del álgebra.Cada ecuación polinomial P(z) = a0 + OiZ + a2z2 + • • • + anz" = 0 con

grado n ^ 1 y a„ ^ 0 tiene por lo menos una raíz.De esto se deduce que P(z) = 0 tiene exactamente n raíces, teniendo en

cuenta la multiplicidad de las raíces.

5. Teorem a del valor m edio de G auss.Si f ( z ) es analítica dentro y sobre un círculo C con centro en a y radio r, en

tonces f(a) es el promedio de los valores de /(z) sobre C, es decir,

1 e 2"f{<¡) = 2^ J0 f (a + reie) d9 W

6. Teorem a del m ódulo m áxim o.Si f(z) es analítica dentro y sobre una curva simple cerrada C y no es idéntica

mente igual a una constante, entonces el valor máximo de \f(z)\ ocurre sobre C.

7. T eorem a del m ódulo m ín im o.Si f(z) es analítica dentro y sobre una curva simple cerrada C y f(z) 0 dentro

de C, entonces /(z) toma su valor mínimo sobre C.

8. El teorem a del argum ento.Sea f(z) analítica dentro y sobre una curva simple cerrada C excepto para un

número finito de polos dentro de C. Entonces

2,-rrÍ J c f { z )= N - F (5)

donde N y P son, respectivamente, el número de ceros y polos de f(z) dentro de C. Para una generalización de este teorema, ver el problema 90.

9. Teorem a de R ouché.Si f(z) y g(z) son analíticas dentro y sobre una curva simple cerrada C y si

l¿?(z)l < 1/(2) 1 sobre C, entonces f(z) + g(z) y /(z) tienen el mismo número de ceros dentro de C.

10. Fórm ulas in tegrales de Poisson para un círculo.Sea f(z) analítica dentro y sobre el círculo C definido por \z\ = R. Entonces,

si z = re '9 es un punto dentro de C, tenemos

/(re") = + C (R2-r* ) f(R e« ) 6)J 0 R 2 — 2R r C 0 3 (6 — </>) + r 2

Si u(rt 0) y v{r, 0) son las partes real e imaginaria de f(reie) m ientras que u (/?,<» y v(R, <f>) son las partes real e imaginaria de / (Re'*), entonces

-%2nu(r, 9) = I f

2?t J o R 2 — 2R r cos (9 — <f>) + r2 (7)

v{r9) = -i. f 2" (R2 - r2) v(R, <¡>) .2-n J 0 R l — 2Rr cos (9 — <4) -l- r 2 W

CAP. 5] F O R M U LA S I N T E G R A L E S DE CAUCHY Y T E O R E M A S R E LA C I ONADOS 121

Estos resultados se llaman, fórmulas integrales de Poisson para un círculo. Ellas expresan los valores de una función armónica dentro de un círculo, en términos de sus valores sobre la frontera.

11. Fórm ulas integrales de Poisson para un sem i-p lano.Sea f(z ) analítica en el semi-plano superior y & 0 del plano z y sea ( = £ + Ít¡

un punto en este semi-plano superior. Entonces

f(t) = I f 1ÍM . dx (9)

En términos de las partes real e imaginaria de f (&) ésta puede escribirse

vtí.v) = i f V7T %s — » ( X “

v(x, 0)( X - W + r , 2

dx (11)

Estas se llaman, fórmulas integrales de Poisson para un semi-plano. Ellas expresan los valores de una función armónica en el semi-plano superior en términos de los valores sobre el eje x (la frontera) del semi-plano.


FORMULAS INTEGRALES DE CAUCHY1. Si f(z) es analítica dentro y sobre la frontera C de una región ‘R_ simplemente conexa,

probar la fórmula integral de Cauchy,

'<*> = é iírhMétodo 1.

La función f ( z ) / ( z — a) es analítica dentro y sobre C excepto en el punto z = a (Fig. 5-2). Según el teorema 4, página 98, tenem os

dz ( i )J c z — a z — a

donde podem os escoger P com o un círculo de radio < con centro en a. Luego una ecuación para V es \z — a | = e o z — a = ceid donde 0 ^ 0 < 2r. Sustituyendo z = a 4- eeiB, dz = Ueie, la integral sobre la derecha de (1 ) será

dz

4 - f ^ - d z = fJ r z - a J o

= i fJo

f{a + eew) ite‘e- de

f ( a + <e'°) de

F O R M U L A S I N T E G R A L E S DE CAUCHY Y T E O R E M A S R E LA C I O N A D O S [CAP. 5

E n este caso, tenem os de (I)

§ c 7 = \ d* ~ *X /<“ + «'**)*

T om ando el lím ite a am bos lados de (2) y haciendo uso de la continuidad de f{z), tenem os

dz = lim i i* f(a + €eie) deJ e z a. c -* o */ o

j*2ir ,*2 i r

lim /(o + «eis) de = t i /(o ) de = 2 irt/(o)o c -♦ 0 J q

(2)

(3)

así, tenem os lo buscado,

'<•> =Método 2. E l lado derecho de la ecuación ( i) del m étodo 1 puede escribirse como

£ M - * z = rJ T z - a J r

f (z )-H a ) dz + £ - t a e -J r z - a

dz

/(* )- /(< * ) dz + 2 vi f(a)= fJ p z — a

usando el problema 21, capítulo 4. E l resultado requerido se deducirá si podem os dem ostrar que

= oJ r * - a

Pero, según el problema 21, capitulo 3,

X ~ z — dz = £ f ' (a) dz + £ dz = £ i¡ dz

E ntonces, escogiendo T tan pequeño que para todos los puntos sobre C tengam os |t¡| < S/2ic hallam os

í ij dz

Entonces, £ dz = 0 y la prueba está com pleta.

Si f { z ) es analítica dentro y sobre la frontera C de una región % simplemente conexa, probar que , „ ^

(z - a ff ' { a ) = ¿ iD el problema 1 si a y a + h están en %, tenem os

/(« + * ) - / ( « ) = i _ _ _ J _ l m d z = M d zh 2v i J e h — (o + h) z — a j 2 jrt J c (z — a — h)(z —

_ _1_ /■ f (z) dz . _h_ £ f(z) dz2írt J e (z — a )2 2vt J e (z — o — h)(z — a ) 2

a)

E l resultado se deduce si podem os dem ostrar que el últim o térm ino se aproxima a cero cuando h —» 0.

Para mostrar esto, em pleam os el hecho que si T es un círculo de radio < y centro a que está incluido en % (Fig. 5-3), entonces

A . £ /(*)dz2 wi J e (z — a — h){z — a )2

h £ f(z) dz ~ 2 vi J r (2 - a - h)(z - a )2

Escogiendo h tan pequeño en valor absoluto para quea + h esté en Y y \h\ < </2, tenem os según elproblema 7(c), capítulo 1, y el hecho que Y tiene ecuación \z — a\ = «,

CAP. 5| FO R MU LA S I N T E G R A L E S DE CAUCHY Y T E O R E M A S R E LA CI ON A D O S 123

| z — a — h ¡ 2 | z - a \ — |A| > e — t / 2 = t / 2

Adem ás, com o f ( z ) es analítica en podem os hallar un número M positivo, tal que |/(z)| < M.

Entonces, com o la longitud de V es 2x«, tenemos

I A - rí,' /(*> dz I £ !*l **(2») _ 2 1 /. MI 2 ttÍ ,7p (z — a — h)(z — a)'¿ \ 2¡r (*/2)(«2) <2

y se deduce que el lado izquierdo se aproxima a cero cuando h —* 0, com pletando así la prueba.

E s de interés observar que el resultado es equivalente a

- j - {(a) = — 4 7 - í — - } t f zda da | 2jrt J c z — a j 2 ¡ri J c da [z — o j

que es una extensión a integrales de línea de la regla de Leibni t z para derivación bajo el signo integral.

3. Probar que con las condiciones del problema anterior,

= É i J í ü - í f p - . * » = 0. 1 . 2 , 3 . . . .

Los casos donde n = 0 y 1 se deducen de los problemas 1 y 2 respectivam ente, siempre que definam os (a) = /(a ) y 0! = 1 .

Para establecer el caso donde n = 2, usam os el problem a 2 donde a y a + h están en % para obtener

/'(» + h) - f ' (a) = i J 1____________ ?— l / f z l d zh 2,TÍ J c h \ ( z - a - fc)2 ( z - a)2J , { z ’ az

- 2 f (z) Jm , h £ 3(z - a) - 2h j .- 2,7! .Tc (z - a p z + 271 i J c ( z - a - h p ( z - a p / ( )

El resultado se deduce si podem os dem ostrar que el últim o térm ino se aproxima a cero cuando h —» 0. La prueba es análoga a la del problema 2, usando el hecho que la integral alrededor de C es igual alrededor de r , tenem os

I h r 3(z — a) — 2h „ v , I lili iV/(2ir«) _ 4 \h\ M2ir ( í/2 )2(írl) <■'

P uesto que existe M , tal que |{3(z — a) — %h} f(z) \ < M.

D e una manera sim ilar podem os establecer el resultado para n = 3, 4, . . (ver problem as 36 y 37).

E l resultado es equivalente a (ver últim o parágrafo del problema 2)

! > > ■

4. Si f{z) es analítica en una región %, probar que {' (z), f " ( z ) , . . . son analíticas en ’-J{. E sto se deduce de los problem as 2 y 3.

5. Calcular, (a). £ 860^ + cos*** dJc ( z - l ) ( z - 2 ) \

(&) t / e, dz donde C es el círculo \z\ = 3. J c \Z ' A)

(a) Y a q u e ( z - l H 'z - 2) = 7 = 2 ~ 1 = 1 ’ tenem os

F OR MU LA S I N T E G R A L E S DE CAUCHY Y T E O R E M A S R E LA C I O N A D O S | CAP. 5

£ sen t z 2 + cosjrzf dz _ i , -X (z - 1 Hz - 2) J r

1 XZ2 + eos rz¿ CÍZ- i sen íTZ2 + COS 7T2Z dz

(z — l)(z — 2) z - 2 z 1

Según fórmula integral de C auchy, con a = 2 y a = 1 respectivam ente, tenem os

i£

sen xz2 + eos xz2

sen xz2 + eos xz2

dz = 2xt{senx(2)2 + co sx (2 )2} 2lri

1dz = 2x t{sen x (l)2 + c o s x ( l)2} — —2xi

puesto que z = 1 y z = 2 están dentro de C y sen xz2 + eos xz2 es analítica dentro de C. E ntonces, la integral buscada tiene el valor 2x¿ — ( —2x¿) = 4xt.

(b) Sea f ( z ) = e2í y a = —1 en la fórmula integral Cauchy

/(n)(o) = «L <f M dz’ W 2 x i ( z — a ) " + i

Si n = 3 entonces f " ' ( z ) = 8e 2' y — 1) = 8e-2 . Por esto , (7) será

(7)

8e -2 = I I <£2iri f r dz2jtí ( z + 1)4

de lo cual, vem os que la integral buscada tiene el valor 8x ie~2 /3 .

Probar la fórmula integral de Cauchy para regiones múltiplemente conexas.

Presentam os una prueba para la región % m últiplem ente conexa, acotada por las curvas sim ples cerradas Cj y C2 com o se ve en la figura 5-4. E xtensiones a otras regiones m últiplem ente conexas se hacen fácilm ente (ver problema 40).

C onstruyam os un círculo T teniendo centro en un punto a de % así que esté incluido en %. consta del conjunto de puntos de que son exte

riores a r . E ntonces, la función - es analítica2 — adentro y sobre la frontera de Por esto, segúnteorem a de Cauchy para regiones m últiplem ente conexas (ver problema 16, capítulo 4),

/

1 , £ f ^ d z i r J í ± d2 _ 1 r m .,7rt J e . z ~ a Z r t J Cn z — a 2v i J T z — a

ipl

f(a) = / z <f - ^ ~ d z 2v i J j . z — a

Ha) = — *z ~2iri J c¡ z — a 2x1 .7 ^ z — a

dz = 0- T , * " ~ w ' *7c 2 * — " * / r

M as, según la fórmula integral de Cauchy para regiones m últiplem ente conexas, tenem os

así que de (7),

(7)

(2 )

(3)

E ntonces, si C representa toda la frontera de % (debidam ente orientada, tal que, un observador m oviéndose alrededor de C siempre tiene “¡i a su izquierda), podem os escribir (3) com o

Ha)z — a

dz

D e una manera similar, podemos demostrar que las otras fórmulas integrales de Cauchy

/<»><„) = £ f(Zl + . dz n = 1 , 2 , 3 , . . .2 - i J c (z - a )n + 1

son válidas para regiones m últiplem ente conexas (ver problema 40).

CAP. 5] F OR MU LA S I N T E G R A L E S DE CAUCHY Y T E O R E M A S R E L A CI O N AD O S 125

v /TEOREM A DE M ORERA7. Probar el teorema de Morera (el recíproco del teorema de Cauchy): Si f(z) es continua

en una región % simplemente conexa y si

i f(z) dz 0

alrededor de cada curva simple cerrada C en 1i, entonces f(z) es analítica en cí(.

Si ® f (z) dz = 0 es independiente de C, se deduce del problema 17, capitulo 4, que F(z) =

r cI f(z) dz es independiente del cam ino qug. une a y z, siempre que este cam ino esté en %.J a

E ntonces, por razonam iento idéntico al usado en el problema 18, capitulo 4, se deduce que F(z) es analítica en ‘g y F '(z ) = f ( z ) . N o obstante, según el problema 2 de este capítulo, se deduce que F '( z ) es tam bién analítica si F(z) lo es. E n consecuencia, f( z ) es analítica en %.

DESIGUALDAD DE CAUCHY8. Si f{z) es analítica dentro y sobre un círculo C de radio r y centro en z = a, probar la

M- n!desigualdad de Cauchy

n = 0, 1 , 2 ,3 , . . .

donde M es una constante tal que \{(z) \ < M.

Tenem os según las fórmulas integrales de Cauchy,

' <,,>(a> = » = o , i . 2 , 3 , . . .

Por consiguiente, según el problema 3, capítulo 4, com o \z — a\ = r sobre C y la longitud de C es 2xr,

W B IV E R S ID A D NACION A!

Facultad P o li t é c n ic o

B I B L I O T E C A .

£/<*)

c ( z - a)^ T T dzn! M „ M • n!

= 2ir ’ r ^ + 7 " = " 7 5 “

TEOREM A DE LIOUVILLE9. Probar el teorema de Liouville: Si para todo z en el plano entero complejo, (i) f(z) es

analítica, y (ii) f(z) es acotada (o sea, podemos hallar una constante M tal que \f(z) | < M), entonces, f(z) debe ser una constante.

Sean a y 6 dos puntos en el plano z. Supongam os que C es un circulo de radio r con centro en a y encerrando el punto b (F ig. 5-5).

D e la fórm ula integral de Cauchy, tenem os

m - m = h í í ^ b d* ~

b — a2 v i

/(z) dzb)(z - a)

Ahora tenem os

| z - o | - r,

si escogem os r tan grande que ¡a — í>| < r /2 . Entonces, puesto que |/(z ) | < Ai y la longitud de C es 2xr, tenem os según el problem a 3, capítulo 4,

- 6 | = | z — a + o — 6 | e | z — o | — | a — 5 | = r — | a — 6 | S r /2

I/< & ) - /(« ) ! =_ |6 - a| i /(z) dz

H aciendo que r <x> vem os que |f(b) ser una constante.

<c (z — 6)(z — a)

/(a ) | = 0 o f(b)

[6 — g| M(2t t ) 2ir(r/2 )r

2 |ft — q| Af r

f ia) , lo cual dem uestra que f(z) debe

126 F OR MU LA S I N T E G R A L E S DE CAUCHY Y T E O R E M A S R E LA CI ON A D O S | CA P. 5

Oír» método. D ejando n - 1 en el problema 8 y remplazando a por z tenem os,

|/'(z)| S MlrH aciendo que r —* Z , deducimos que f ' ( z)[ = 0 y así f ' ( z ) — 0. Por tanto f{z) -- constante,com o se requería.

TEOREM A FUNDAM ENTAL DEL ALGEBRA10. Probar el teorema fundamental del álgebra: Cada ecuación polinomial P(z) = a 0 + a¡z +

a2z- + • • • + a„z" = 0, donde el grado n S 1 y a„ ^ 0, tiene por lo menos una raíz.Si P u ) = 0 no tiene raíz, entonces f(z) = es analítica para todo z. Adem ás, '/(*)| = ¡ p ^ |

es acotada (y en efecto se aproxim a a cero) cuando |z¡ —> oc.Por esta razón, según el teorem a de Liouville (ver problema 9) se deduce que /(z ) y por lo tanto

P (z ) , debe ser una constante. D e este m odo, hem os llegado a una contradicción y se infiere que P(z) = 0 debe tener por lo m enos una raíz o, com o se dice algunas veces, P ( z ) tiene por lo m enos un cero.

11. Probar que cada ecuación polinomial P(z) = au + a¡z + a2z2 + • • • + a„z" = 0, donde el grado n S 1 y a„ ^ 0, tiene exactamente n raíces.

Según el teorem a fundam ental del álgebra (ver problema 10), P (z ) tiene por lo m enos una raíz.D enotem os esta raíz por o¡. Luego P(ot) = 0 . En consecuencia,

P(z) — P(a) = a0 + a¡z + a2z2 + • • • + a„zn — (o0 + a¡a + a2a2 + • • • + a„an)= a,(z — a) + a2(z2 — a2) + • • • + a n(zn — a")= ( z - a ) Q(z)

donde Q(z) es un polinom io de grado (n — 1 ).

Aplicando el teorem a fundam ental del álgebra otra vez, vem os que Q(z) tiene por lo m enos un cero, el cual podemos distinguir por ¡3 (que puede ser igual a a) y así, P (z ) = (z — a)(z — p) R (z ) . Continuando de esta manera, vem os que P (z) tiene exactam ente n ceros.

TEOREM A DEL VALOR M EDIO DE GAUSS12. Sea /(z) analítica dentro y sobre un círculo C con centro en a. P robar el teorema del valor

medio de Causs que dice que el promedio de los valores de /(z) sobre C es f(a).Según fórmula integral de Cauchy,

ñ a ) = é - t ^ - d z (1 )2x¡ J c z - a

Si C tiene radio r, la ecuación de C es |z — a] = r o z = a + rew. Asi (1) se convierte en

m = 1 r a a ± r ^ d, = 1 r f ( a + r e i t ) d ,2 - í J o r e xe 2tt J 0

que es el resultado requerido.

TEOREM A DEL MODULO M AXIM O13. Probar el teorema del módulo máximo: Si f(z) es analítica dentro y sobre una curva simple

cerrada C, entonces el valor máximo de |/(z)| ocurre sobre C, a menos que /(z) sea una constante.Método 1.

Puesto que f ( z ) es analítica y por esto, continua dentro y sobre C, se deduce que \f(z) \ tiene un valor m áximo M para por lo m enos un valor de z dentro o sobre C. Supongam os que este valor m áximo no ocurre sobre la frontera de C sino, que ocurre en un punto interior a, o sea \f(a)\ = M . Sea C\ un círculo dentro de C con centro en a (Fig. 5-6). S i excluim os f ( z ) igual a una constante dentro de C 1?

CAP. 5| F OR MU LA S I N T E G R A L E S DE CAUCHY Y T E O R E M A S R E LA C I O N A D O S

entonces debe existir un punto dentro de C\, digam os 6, tal que 1/ ( 6) | < M , o lo que es la m ism a cosa, 1/ ( 6) | = M — « donde « > 0.

Ahora, por la continuidad de l/(z )| en 6, vem os que para un i > 0 podem os hallar 8 > 0 tal que

I l/(*)| - l/(í>)l I < -Í< siempre que | z - 6 | < 8 (J)o sea,

\ m \ < \ m \ + = m - 1 + = m — j¡t {2)

para todos los puntos interiores a un círculo C2 con centro en 6 y radio 8, com o se m uestra som breado en la figura.

Construim os un círculo C3 con centro en a que pase por 6 (punteado en la figura 5-6). Sobre parte de este círculo (llamemos esa parte P Q incluida en C¡) tenem os de (2), |/(z) < M —Sobre la parte restante del círculo tenem os |/(z ) | £ M.

Fig. 5-6

Si m edim os 0 en sentido positivo desde O P y sea Z P O Q - x, se deduce del problema 12 quesi r = |6 — o|.

Entonces

/(<t)j _ r2r- f (a + re '0) de ± ( ' 2 / ( a + r e ie) de

l/(a)| f{a + re ie) | de + + re '0) de

s kf0w-*)d' + bCMdt

= M —4tr

o sea |/(a )| — M í¡ una situación im posible. E n virtud de esta contradicción, concluim os

que |/ (2) | no puede obtener su m áxim o en un punto in teiior de C y así, debe obtenerlo sobre C.

M étodo 2.D el problema 12, tenem os

!/(“>! S ¿ J~ !/(<* + re 'e) I de (3)

Suponiendo que |/(a ) | es un m áxim o, as! que ¡ f ( a + re '0) \ S |/(o)|. S i | /(o + re'9) | < |/(o)| para un valor de 6 en tal caso, por continuidad de / , esto sería cierto para un arco finito, digamos, 61 < 0 < O2. Pero en tal caso, el valor m edio de | / (a + re'8) | es m enor que el de |f (a) |, lo cual contradice (3). Se deduce por esto que en una vecindad de radio 8 de a, o sea para |z — o | < 8, / ( z ) debe ser una constante. Si / ( z ) no es una constante, el valor m áxim o de | / ( z ) | debe ocurrir sobre C.

Para otro m étodo, ver el problem a 57.

TEOREM A DEL M ODULO M IN IM O14. Probar el teorema del módulo mínimo: Sea f(z) analítica dentro y sobre una curva simple

cerrada C. Probar que si f(z) 0 dentro de C, entonces \f(z)\ debe tom ar su mínimo valor sobre C.

P uesto que /(z ) es analítica dentro y sobre C y com o /(z ) Z 0 dentro de C, se deduce que 1 //(z ) es analítica dentro de C. Según el teorem a del m ódulo m áxim o, se deduce que 1 / f ( z ) no puede tomar su valor m áxim o dentro de C y así, \f(z) \ no puede tomar su valor m ínim o dentro de C. Luego, puesto que 1/ ( 2) | tiene un m ínim o, este m ínim o debe ocurrir sobre C.

128 F O R M U L A S I N T E G R A L E S DE CAUCHY Y T E O R E M A S R E LA C I O N A D O S | CAP. 5

15. D ar un ejemplo para dem ostrar que si f(z) es analítica dentro y sobre una curva simple cerrada C y f(z) = 0 en algún punto dentro de C, entonces, \{(z)\ no necesariamente toma su valor mínimo sobre C.

Sea /(z ) = z para |z| g 1 , así que C es un círculo con centro en el origen y radio uno. Tenem os, f ( z ) * 0 en z = 0. Si z = re'9, entonces |/(z)i = r y es claro que el valor m ínim o de |/(z ) | no ocurre sobre C sino, ocurre dentro de C donde r = 0, es decir, en z = 0.

EL TEO REM A DEL ARGUM ENTO16. Sea f(z) analítica dentro y sobre una curva simple

cerrada C, excepto para un polo z = a de orden (multiplicidad) p dentro de C. Supongamos además, que dentro de C, f{z) tiene únicamente un cero z = g de orden (multiplicidad) n y ningún cero sobre C. Probar que

2 X f(z) dz = n — p

Sean Ci y Ti círculos d isju n tos dentro de C rodé- p¡gando z = ot y z = fl respectivam ente. E ntonces,

i £ m iz = i £ m dz + i £ i M dz (1)2t r i J c f{z) 2 t t i J c ¡ f (z) 2*1 J f(z) ’

Com o f ( z ) tiene un polo de orden p en z = a, tenem os

= ( S p (2)donde F(z) es analítica y diferente de cero dentro y sobre C |. E ntonces tom ando logaritm os en (2) y diferenciando, hallam os

/'(z) F '(z) _ p/(z ) F(z) z - a (3)

así que

o - p = -p2t¡ ,7 /(z) 2vi F(z) 2z i ,7 , z — ac, c , e.(4)

Com o f ( z ) tiene un cero de orden n en z = (1, tenem os

/(*) = (z — /})" G(z) (5)

donde G(z) es analítica y diferente de cero dentro y sobre IV

Luego, por diferenciación logarítm ica, tenem os

/'(z ) _ « , G'(z) . . ./(z) - z - / j G(z) W

asi que

^ 4 ' q * dz = - * * - + ± - . £ % & d z = nJ r /(*) 2t71 j z — ft 2*i .T G(z)1 1 11

Por tanto , de (7), (■4) y (7), tenem os el résultado requerido,

1 £ m d2 = » £ í M dz + L 4 = n - p2 iri .7,. /(z) 2iri J /(*) 27Tt T /(z)C L , 1 (

(7)

17. Sea f (z) analítica dentro y sobre una curva simple cerrada C excepto para un número finito de polos dentro de C. Supongamos que f(z) 0 sobre C. Si N y P son respectiva-

CAP. 5| F OR M U LA S I N T E G R A L E S DE CAUCHY Y T E O R E M A S R E LA CI ON A D O S 129

mente el número de ceros y polos de f(z) dentro de C, contando multiplicidades, probar que

( f~ u \ d z = N ~ P2>ttI Jfc f{%)Sean <z\, <x2, • • » «; Y Pi» ?2» ••»£* los polos y ce ros respectivos de f{z) en el interior de C (Fig. 5-8) y supongam os que sus m ultiplicidades son p \ , P 2 , •, Pjy n i , n2, . . rik.

Encerrando cada polo y cero por círculos d isjuntos C 1, C 2 Cj y Ti, T2, . . F*. E sto se puedehacer siempre, puesto que los polos y ceros son aislados.

Luego tenem os, usando los resultados del problem a 16,

/'<*)A i » * - U J , » * - /<*)dz

= Í nr - Í r = l r = !

= N - P

V,

TEOREM A DE ROUCHE

18. Probar el teorema de Rouché: Si f(z) y g(z) son analíticas dentro y sobre una curva simple cerrada C y si |g(z)| < l/(z)l sobre C, entonces f(z') -f g(z) y f(z) tienen el mismo número de ceros en el interior de C.

Sea F(z) = g{z) / f { z ) a fin de que g(z) = f ( z )F ( z ) o brevem ente g = fF . Luego, si N \ y N 2 son el número de ceros en el interior de C de f + g y f respectivam ente, tenem os según el problema 17, usando el hecho que estas funciones no tienen polos en el interior de C,

E ntonces,

N , = dz, N 2 = <£ ^ dz1 Zttx J c f + g 2 2jrt J c /

1 ¿ f' + f’F + fF'dz 1 í f 2in J c f + f F 2irt J c fN t - N 2 =

h í ’-m iF * ' - A 0 + t&}* - A f >

dz

dz A X'"11- F + F * - F 3 + •) dz

= 0

usando el hecho que |F | < 1 sobre C de m odo que la serie es uniform em ente convergente sobre C e integrando térm ino por térm ino, obtendrem os el valor cero. En este caso N \ = N 2 com o lo requeríamos.

19. Utilizar el teorema de Rouché (problema 18) para probar que cada polinomio de grado n tiene exactamente n ceros (teorema fundam ental del álgebra).

Supongam os que el polinom io es a0 -i- a¡z + a2z2 + • • • + a nz" donde a„ ^ 0. Escojam os /(z ) = a„z" y g(z) = a0 + oqz + a 2z - + • • • + a n- i z " ~ L

Si C es un círculo que tiene centro en el origen y radio r > 1, entonces, sobre C tenem os

130 F OR M U LA S I N T E G R A L E S DE CAUCHY Y T E O R E M A S R E LA CI ON A D O S | CAP. 5

ffU)/<*)

I a 0 + a¡z + a.,z2 + ••• + a „ _ | Z " * |

]n0l + ]a,! r + M r2 + ••• + lo lr"-1 |oJr«

[a0| »•"“1 + lojlr"-1 + |a2|rn~1 + ••• + lan-dr"'1 !a nl r"

Entonces, escogiendo r lo suficientem ente grande, podem os hacer I Y(z) | < es decir» < l/(*)l-

En consecuencia, según teorema de Rouché, el polinomio dado f ( z ) + g(z) tiene el m ism o número deceros como f (z ) = a nz n. Pero, com o esta últim a función tiene n ceros, todos localizados en z = 0,f (z ) + g(z) también tiene n ceros y la prueba está com pleta.

20. Probar que todas las raíces de z 7 — 5z3 + 12 = 0 están entre los círculos \z\ = 1 y

Por tanto, según teorema de R ouché f (z ) + g(z) = z 7 — 5z3 + 12 tiene el m ismo número de ceros dentro de \z\ = 1 com o f ( z ) = 1 2 , es decir, no hay ceros dentro de C

Consideremos el círculo Co' \z\ = 2. Sea f{z) = z7, g(z) = 12 — 5z3. Sobre Co tenem os

Por esto, según teorema de Rouché f ( z ) + g(z) = z 1 — 5z3 + 12 tiene el m ismo número de ceros dentro de |z| = 2 com o f ( z ) = z7, es decir, todos los ceros están dentro de C¿-

En consecuencia, todas las raíces están dentro de |z| = 2 pero, fuera de |z| = 1, com o lo requerían.

FORMULAS INTEGRALES DE POISSON PARA UN CIRCULO21. (a) Sea f(z) analítica dentro y sobre el círculo C definido por \z\ = R, y sea z = re*9

un punto dentro de C. Probar que

1*1 = 2 .Consideremos el círculo O,: |z| = 1. Sea f ( z ) = 1 2 , g(z) = z7 — 5z3. Sobre C¡ tenem os

|0(2)| = W - 5*3| g |*7| + |5z3| S 6 < 12 = |/(*)|

|«r(z)| = |12 — 5z3| g |12| + |5z3| g 60 < 2’ = |/(*)|

(6) Si u(r, 8) y v(r, 0) son las partes real e imaginaria de f{reie), probar que

u ( r , 0)

v ( r , 0)

Los resultados son llamados, fórmulas integrales de Poisson para un círculo.

(a) Puesto que z = re}9 es un punto dentro de C, tenem os según la fórmula integral de Cauchy

El recíproco del pun to z con respecto a C, está fuera de C y está dado por R -¡z . Por esto, según el teorema de Cauchy,

0Fig. 5-9

CAP. 5| F OR MU LA S I N T E G R A L E S DE CAUCHY Y T E O R E M A S R E L A C I O N A D O S 131

Si restam os (2) de (1), hallam os

/<*) = J _ £ f - i _________ L _2¡r« J c \ w — z w — R-,

- 1- . £ - 2tt¡ J c (2 - R V z

y*j

f(w) dw

f(w) dw

2iri J c ( w — z)(w — R 2/z)

Ahora, sea z = re ie y w — R e ió. Luego, puesto que z = re~ ifí, (3 ) se convierte en

(3)

f ( r e ie) = 1 f 27T{re'6 — (R 2/r )e ie) f ( R e i(t>) iRe i(t> d<p2v i J o {R e ió — r e i6}{R c ió — (R 2/r )c 'e}

i f2 ir

i ri ir Jo

i r*lir Jo

(r2 - R 2) e" 1 ¡(Re'*) d) + r2

« ( r ,«) + iv (r , í ) y ¡(Re'*) = u(R,<j>) + iv (R , 0), tenem os de la parte (a),

„ ( r ,« + M r> ,) = f¿jt — 2 /tr eos ( ■ 0) + r2

1 r 22 ir Jo(R2 - r2) u(R, ») rfg

/22 — 2 R r eos (0 — <t>) + r 2JL f 22ff Jo

(R2 — r2) v (R , 0)R 2 — 2Rr eos (# — tf>) + r2

E ntonces, el resultado requerido se deduce igualando las partes real e imaginaria.

FORM ULAS IN TEG RA LES DE PO ISSO N PARA UN SEM I-PLA N O

22. Derivar las fórmulas de Poisson para el semi-plano. (Ver página 121.)Sea C la frontera de un semi-círculo de radio R (Fig. 5-10) que incluye C com o un punto interior.

P uesto que C encierra \ pero no f, según la fórmula integral de Cauchy,

/ ( « j r / ( £ L dZt o =2:rl J c 2 — f 2trl J (

/(«)_c z - J

dz

E ntonces, por sustracción

>«> = C¿2

= j _ r «■ - » /<2) dz 2 J c (Z - {•)<* - f)

Escogiendo £ = £ + ir), f = £ — irj, se puede escribir

flt'i = I f R o / ( * > d x , 1 fMS' ir J-R(x-f)2 + ,2 ir Jro /(z)

( z - n ( z - l )

donde T es el arco semi-circular de C. Cuando R —» x , esta últim a integral se aproxima a cero (ver problema 76) y tenem os

f (x ) dx; ( X - f ) 2 + I ,2

Escribiendo / ( ; ) = /(£ + ir,) = u(?, rj) + i e(5, >j), f (x ) — u(x, 0) + ie (x , 0) obtenem os lo buscado

«<{, i?) i; ufa;, 0) dx (z - f)2 + , 2 1 v(í, v) = 1 f j M f e

ir J o, (x - {)0) dx

132 F OR M U LA S I N T E G R A L E S DE CAUCHY Y T E O R E M A S R E LA CI ON A D O S ¡ CAP. 5

PROBLEM AS VARIOS23. Sea f(z) analítica en una región % acotada por

dos círculos concéntricos C, y C2 y sobre la frontera (Fig. 5-11). Probar que si z„ es un punto en %, entonces,

/ M = i c M - i t _ i f mV ’ 2ttI Jr Z - Zo 2tr t l ? -c, c,

Método í.Construim os un corte trasversal E H que une los

círculos C i y Co. Entonces, f ( z ) es analítica en la región acotada por E F G E H K J H E . Por tanto, según la fórmula integral de Cauchy

1 r fi*\dz

-dzZo

- h § ^E F G E H K J H E

= i r J ü L di + i r jí£L dz + i £ j± ? L dz + j l r j í * l *2iri J z — z 0 2nt J z — z0 2ir\ J z — z 0 2iri J z — z 0

E F G E E H H K J H H E

= 1 £ J i i L dz _ 1 r J í í L d22>r! X Z - Z0 2 i r l J Z - Z0

1 C1puesto que las integrales a lo largo de E H y H E se cancelan.

R esultados sem ejantes pueden establecerse para las derivadas de f (z ) .

Método 2. E l resultado tam bién se deduce de la ecuación (3 ) del problema 6 si remplazamos las curvassim ples cerradas Ci y C 2 por los círculos de la figura 5-11.

24. Probar que f eos2" 6 de — * * ** ‘ ** ‘ ~ 2n donde n = 1, 2, 3, . . .Jo 2 • 4 • 6 • • • (2w)

Sea z = eie. Luego dz = ieie d» = iz d t o dfl = d z / i z y e o s* = ^(ei# + e ~ i8) = J(z +• 1/z).Por esto, si C es el círculo unidad |z| = 1 , tenem os,

. j > - = £ { í ( ‘ +í) } £

= P H £ í I * 2” + ( 21»)(*2— ‘) ( | ) + • • • + ( 2t")(*2" - k) ( i ) + • • • + ( £ ) } *

dz= ¡¡¿"i f z2 n -‘ + ( 2r > 2B_s + • • • + ( ¥ > * • - * - * + • • • + z ~ 2n)

= S B í* W ( ? ) = 2^ ( n ) 2-

J _ (2” >! o_ _ (2n)(2n - l ) (2n - 2) • • • (n)(n - 1 )• • • 1 „22n n ! n ! 22n n ! n !

_ 1 • 3 • 5 • • • (2k — 1) o2 • 4 • 6 - • • 2 n '

25. Si f(z) = u(x, y) + iv(x, y) es analítica en una región % probar que u y v son armónicas en %.

En el problema 6, capítulo 3, probamos que u y e son armónicas en ^ , es decir, satisfacen la ecua

ción = 0, con la suposición de que existe la segunda derivada parcial de u y v, o sea la

existencia de / ' ’(z).

E sta suposición ya no es necesaria, puesto que hemos probado en efecto en el problema 4 que si f ( z ) es analítica en ‘Jt, entonces todas las derivadas de f ( z ) existen.

F

Fig. 5-11

C AP 5| F OR MU LA S I N T E G R A L E S DE CAUCHY Y T E O R E M A S R ELA C I ONADOS 133

26. Probar el teorema de Schwarz: Sea f(z) analítica para |z| S i? , /(O) = 0 y 1/ ( 2) ¡ g M. Entonces, , , .

I/MI s Í M

La función f ( z ) / z es analítica en |z| £ R. Por esto, sobre |z¡ = R según el teorema del módulo m áxim o, tenem os

m MR

Sin em bargo, puesto que esta desigualdad debe adem ás ser válida para puntos dentro de |z| = R, tenem os para |z| £ R , \f(z)\ £ M |z |/f? y lo afirmado está demostrado.

{x^ sen(l /x) x ^ 0q x _ o donde x es real. Demostrar que la función, (a) tiene

una primera derivada en todos los valores de x para los cuales 0 S x S 1 , pero, (6) notiene una segunda derivada en 0 é x S 1. (c) Reconciliar estas conclusiones con elresultado del problema 4.

(a) E l único lugar donde hay un interrogante en cuanto a existencia de la primera derivada es en x = 0. Pero en x = 0 la derivada es

l i m / (O + A s ) - / (O ) _ H m ( A x ) 2 s e n ( l / A x ) - 0

Ax-*0 A x Ax — 0 A x

= lim Axsen (1/Ax) = 0, A.r -♦ 0

y asi existe.

E n todos los otros valores de x en 0 á x | 1 , la derivada está dada (usando reglas de diferenciación elem ental) por,

x 2 e o s ( 1 / * ) { —1 / x 2} + ( 2 x ) s e n ( l / x ) = 2 x s e n ( l / x ) — c o s ( l / x )

(b) D e la parte (a), tenem os... . í 2 x s e n ( l / x ) — c o s ( l / x ) x ^ 0* — i «(0 x = 0

La segunda derivada existe para toda x tal que 0 < x ^ 1. En x = 0 la segunda derivada está dada por

/'(O + Ax) — / ;(0) _ 2 A x s e n ( l /A x ) — co s (l/A x ) — 0ax —o Ax Ax — o Ax

= lim (2 se n (l/A x ) — (1/A.r) eos (1/Ax)}Ax-* 0

el cual no existe.

Se deduce que la segunda derivada de f{x) no existe en 0 á x ¿ 1 .

(c) Conforme con el problema 4, si f( z ) es analítica en una región ^ entonces todas las derivadas superiores existen y son analíticas en % . T ales resultados no contradicen esto, puesto que la función f{z) = z - sen (1 ¡z) no es analítica en una región que incluye 2 = 0.

28. (a) Si F(z) es analítica en el interior y sobre una curva simple cerrada C excepto para un polo de orden m en z = a interior a C, probar que

(b) ¿Cómo modificará usted el resultado en (a) si más de un polo estuviera en el interior de C ?

F OR MULA S I N T E G R A L E S OE CAUCHY Y T E O R E M A S R E LA CI ON A D O S CAP. 5|

(o) Si F(z) tiene un polo de orden m en z = a, entonces F(z) = /(z )/(z — a)m donde / (z) es analítica en el interior y sobre C, y f(a) ^ 0. Luego según la fórmula integral de Cauchy,

<£ F(z) dz = & f{z)— dz =2 i r t J 2 r l J ( z — a ) m

/ " " ■ - » (a )(m — 1 )!

d m - i

(b) Supongam os que existen dos polos en z = a¡ y z = a 2 en el interior de C, de órdenes mi y m 2 respectivam ente. Sean Fi y F2 círculos interiores a C de radios <j y e2 y centros en a i y a2 respectivam ente. En tal caso,

- HF(z) dz

(!)

Fig. 5-12

donde /j(z ) es analítica y / i (a i) ^ 0

Si F(z ) tiene un polo de orden mi en z = a i, entonces

F{z) = -— — donde f \ (z) es analític(z — a ,)mi

Si F(z) tiene un polo de orden en z = a2, entonces

F(z) = ^ — donde f 2(z) es analítica y f 2(a2) ^ 0

Luego según (1) y la parte (a),

-L < fF (z )d z = - L £ r.l(z) dz + ■ £ - . £ f ^ ‘ \ dz2rt J c 2m J r (z — Oi)mi 2 irt j j . (z — a2)m*

— limd m , - l

™ (m, — 1)1 d i ^ I « * - a i>""

+ , ' * £ <ma - l ) ! « Z - a^ m* F <z»

Si los lím ites a la derecha son denotados por /?i y R 2, podem os escribir

£ F(z) dz = 2ni{Ri + R z)

donde R i y R 2 son llam ados los residuos de F{z) en los polos a i y a 2.

En general, si F(z) tiene un número de polos interiores a C con residuos ¿?i, R 2> . . entonces,

<D F (z ) dz = 2vi veces la sum a de los residuos. E ste resultado se llam a el teorema del residuo.

Aplicaciones de este teorem a, junto con generalización a singularidades distintas de polos, serán tratadas en el capítulo 7.

Hallar el valor numérico de J>* dz donde C es el círculo \z\ = 4.

Los polos de segundo orden.

El residuo en z = tú

- c (z 2 + * 2:e*

(22 + „2)2 ~ (2 _ , í )2 (2 + rt-)2 están en z = ± v i interior a C y am bos son de

i)2 :1 es1 _ ff t i

2¡ “ 4z3 '

1 d

(Z — 7TÍ)2(Z + vi)2

El residuo en z = — r.i es lim -fv y —l (z + vi)2 ---------A-,— ¡— vzz - - „i 1! dz (z - Vi)2(z + vi)2

Luego y ( z 2 + ^2)2 = 2xí (suma de residuos) = 2vi = -

7T — l4tt3 *

CAP. 5| F OR MU LA S I N T E G R A L E S DE CAUCHY Y T E O R E M A S R E LA CI ON A D O S 135

P r o b l e m a s p r o p u e s t o sF O R M U L A S IN T E G R A L E S DE C A U C H Y

1 r e zH allar el valor numérico de ^ z —~2 ^ z S1 ^ es» (a ) círculo \z\ = 3, (6) el círculo \z\ = 1.

'o __ Resat. (a) e2, (A) 0

Hallar el valor numérico de £ ^¡2 ^ z s* ^ es e ' c*rcu'° 1*1 = Resp. 2~i

C e3zI H allar el valor numérico de (I) ----------dz si C es, (a) el círculo \z — 1| = 4 , (A) la elipse |z — 2\ +J c Z - i r l

lz + 2| = 6. Resp. (a) — 2xi , (A) 0

i 33. H allar el valor numérico de — . dz alrededor de un rectángulo con vértices en: (a) 2 ± i,1 2irl * 1

— 2 ± i; (A) — i, 2 — t, 2 + i, i. Resp. (a) 0, (A) — ¿

1 £ «**^ ^ ^ 3 4 . D em ostrar que y ¿2 ¡. dz = sen t si í > 0 y C es el círculo |z| = 3.

^ J j ^ S ^ H a l la r el valor numérico de £ ^ d z donde C es el círculo |z| = 2. Resp. — xi

38 . Probar que /'"(<*) = j <a)* 8‘ es una curva sim ple cerrada alrededor de |z| = a y

/(z ) es analítica en el interior y sobre C.

3 7 . Probar las fórmulas integrales de C auchy para todos los valores enteros positivos de n. (Sugerencia. Aplicar inducción m atem ática.)

l / \^3 8 .) H allar el valor de, (a) ^ z dz, (A) y si C es el círculo |z| = 1.

Resp. ( a ) / x i / 3 2 , (A) 2 1 x í/1 6b> t iesp. \ a ) / r

*0 *^ f 39. H allar el valor numérico de j £ (z2 + 1)2<Z s * * ^ ® y C es el círculo |z| = 3.

^ Resp. Alsent — í eos () ^ (

\ 40 . Probar las fórmulas integrales de Cauchy para la región m últip lem ente conexa de la figura 4-26.

T E O R E M A DE M O R E R A

J l i J l .— es independiente del cam ino que une 1 y z.

i *(6) D iscutir la relación de la respuesta a la parte (a) con el teorem a de Morera.

42. ¿Es aplicable el teorem a de Morera, en una región m últiplem ente conexa? Justificar su respuesta.

43. (a) Si P ( x , y ) y Q ( x ,y ) son funciones arm ónicas conjugadas y C es una curva sim ple cerrada, probar

que d> P d x + Q d y = 0.•'c

(6) S i para toda curva sim ple cerrada C en una región 9^, d> P d x 4- Q d y = 0, ¿es cierto quec

P y Q son funciones arm ónicas conjugadas, o sea, es el recíproco de (a) verdadero? Justificar su conclusión.

D E S IG U A L D A D D E C A U C H Y

44. (a) Usar la desigualdad de C auchy para obtener cálculos aproxim ados de las derivadas de sen z enz = 0, y (6) determ inar cuál es el error en estos cálculos aproxim ados.

136 F OR MU LA S I N T E G R A L E S DE CAUCHY Y T E O R E M A S R E LA CI ON A D O S [CAP. 5

45. (a) Dem ostrar que si f ( z ) = 1 /(1 — z), entonces, f (n)(z) = n \ / ( 1 — z)n+L(6) Emplear (a) para demostrar que la desigualdad de Cauchy es “ lo mejor posible” , es decir, la

mejor aproximación del crecim iento de la n-ésim a derivada para todas las funciones.

46. Probar que la igualdad en la desigualdad (3) de Cauchy, página 119, es válida si y solam ente si f ( z ) =k M z nf r n donde |fc| = 1.

47. D iscutir la desigualdad de Cauchy para la función f ( z ) = e ~ l,z* en la vecindad de z = 0.

T E O R E M A DE LIO UVILLE

48. La función de una variable real definida por f (x ) = sen x es, (a) analítica en todas partes, y (6) acotada, o sea 'sen x\ ^ 1 para todo x, pero ella ciertam ente no es una constante. ¿Contradice esto el teorema de Liouville? Explicar.

49. Una función no constante F(z) es tal que F (z 4- a) = F (z ) , F ( z - f bi) =r F(z ) donde a > 0 y b > 0 son constantes dadas. Probar que F(z) no puede ser analítica en el rectángulo 0 ^ x fg a, 0 £ y £ b.

TE O R EM A F U N D A M E N T A L DEL ALG E BR A

50. (a) Llevar a cabo los detalles de la prueba del teorema fundam ental del álgebra, dem ostrando que lafunción particular f( z ) = z \ — z2 — 2z + 2 tiene exactam ente cuatro ceros. (b) Determ inar losceros d e /( z ) . Resp. (6) 1, 1, — 1 ± i

51. Determ inar todas las raíces de las ecuaciones, (a) z3 — 3z + 4 i = 0, (b) z* + z2 + 1 = 0 ., Resp. (a) t, j ( - i ± \^15 ), (6) £ ( - 1 ± i), $(1 ± 0

TE O R EM A DEL VALOR M E D IO D E G A U SS

1 r 2n52. Hallar el valor numérico de — I se n 2 (W6 + 2eid) de Resp. 1 /4217 J o

53. Dem ostrar que el promedio de una función armónica sobre un círculo, es igual al valor de la función en el centro.

54. Hallar el promedio de x 2 — y 2 4- 2y sobre el círculo |z — 5 + 2¿| = 3. Resp. 5

55. Probar que I ln se n * d * = — v ln 2. (Sugerencia. Considerar f ( z ) = ln (1 -f z).)Jo

TE O R EM A DEL M O D U L O M A X IM O

56. Hallar el máximo de |/(z ) | en ¡z| S 1 para las funciones f ( z ) dadas por, (a) z 2 — 3z + 2, (6) z i -f2- + 1, (c) eos 3z, (d) (2z 4 l ) / ( 2 z — 1).

57. (a) Si /(z ) es analítica en el interior y sobre la curva sim ple cerrada C alrededor de z = a, probar que

{/(«)}" = ¡p-: (í* dz n = 0, 1 , 2 , . . .¿irl Je * — a

(6) Em plear (a) para probar que ¡/(a)!'* ^ M n/2 x D donde D es )a distancia m ínim a desde o a lacurva C y M es el valor máximo de 1/ ( 2) ¡ sobre C.

(c) Tom ando la raíz n-ésim a de am bos lados de la desigualdad en (6) y dejando que n —» 00, probarel teorema del m ódulo máximo.

58. Sea U (x, y ) armónica en el interior y sobre una curva sim ple cerrada C. Probar que los valores, (a) máximo, y (6) mínim o de U ( x , y ) ocurren sobre C. ¿Existen otras restricciones sobre U ( x , y ) t

59. Verificar el problema 58 para las funciones, (a) x - — y 2, y (6) x3 — 3xy2 si C es el círculo [z[ = 1.

60. ¿Es el teorema del módulo m áxim o, válido para regiones m últiplem ente conexas? Justificar su respuesta.

CAP. 5| FO R MU LA S I N T E G R A L E S DE CAUCHY Y T E O R E M A S R E LA CI ON A D O S 137

EL T E O R E M A D EL A R G U M E N T O61. S i f ( z ) = z5 — 3¿22 + 2z — 1 + i, hallar el valor numérico de dz donde C rodea todos

los ceros de f ( z ) . Resp. 10«' c

+ 1)2 l r f '(z)62. Sea f(z) = j-p gz + 2)* ~ d a lla r e* va lor numérico de ¿rrl J ~j(z)^Z donde ^ es e* círculo

| z\ = 4. Resp. —2

63. Hallar el valor numérico de ^ dz si C es el círculo |z¡ = ir, y , (a) f ( z ) = sen xz, (6) /(z ) =

eos na, (c) f ( z ) = tan iz . Resp. (a) 14z¡, (6) 12xt, (c) 2x»

64. S i /(z ) = z* — 2z3 + z2 — I 2z + 20 y C es el círculo |z| = 5, hallar el valor numérico de ® dz.Resp. 4x¿ ' (z)

T E O R E M A D E R O U C H E

65. S i a > e probar que la ecuación a z n = e! tiene n raíces en el interior de |z| = 1 . ^

66. Probar que ze: = a donde a 0 es real, tiene infinitas raíces.

67. Probar que tan z = az, a > 0 tiene, (o) infinitas raíces reales, (i>) únicam ente dos raíces im aginarias puras si 0 < a < 1 , (c) todas las raíces reales si a g í .

68. Probar que z tan z = a, a > 0 tiene infinitas raíces reales, pero ninguna raíz imaginaria.

F O R M U L A S IN T E G R A L E S D E P O IS S O N PA R A U N C IR C U L O

J^2n 2 _ j.2— ------— -------- ----------—-----d<t> = 2ir

0 « 2 - 2 R r eos (« - 0) + r2

(a) con, (6) sin la fórmula integral de Poisson para un círculo.

70. D em ostrar que (a) f ecos* eos (sen^) _ i z ecos« cos (sene)J 0 5 — 4 cos (» — * ) " .

(6) r 2 ecos * sen (sen 0) d¡p _ 2x co, e sen (sen ,)Jo 5 — 4 cos (0 — 0) á

9 / 2?* QPn (9 \71. (a) Probai>-que la función U(r, o) = — ta n - 1 ( ^ _ 2 ) , 0 < r < 1, 0 ^ e < 2v es armónica

dentro del círculo \z\ — 1 . T ' T '(6) Dem ostrar que lim U(r,$ ) =

r-+l— I —1 v < 6 < 2v1 0 < e < n—1 jt < 0 < 2v

(c) ¿Puede usted derivar la expresión para U (r, 6) de la fórmula integral de Poisson para un círculo?

72. S i f ( z ) es analítica dentro y sobre el círculo C definido por \z\ = R y si z = re '9 es un punto interiora C, dem ostrar que

, , , . i í - r 2) / (R e 1*) sen (g -/ ( ] ~ 2 V Jo [R2 - 2 R r c o s ( « - * ) + r2]2 *

73. Verificar que las funciones u y o d e las ecuaciones (7) y (8), página 120, satisfacen la ecuación de Laplace.

F O R M U L A S IN T E G R A L E S D E P O IS S O N PA R A U N SE M I-P L A N O f

74. H allar una función que es arm ónica en el sem i-plano superior y > 0 y la cual, sobre el eje x, tom a losvalores —1 si z < 0 y l s i * > 0 . Resp. 1 — (2 /x ) tan - 1 ( y /x )

75. R esolver el problema 74, si la función tom a los valores —1 si x < —1, 0 si —1 < x < 1, y 1 si * > 1.

Resp. 1 — - tan - 1 ( —Hpr) — ~ tan - 1 ■ ■— -* + ■r I ta n - 1 I r1 ) x V * - l

138 F O R M UL A S I N T E G R A L E S DE CAUCHY Y T E O R E M A S R E LA C I O N A D O S | CA P. 5

76. Probar la afirmación hecha en el problema 22, que la integral sobre T se aproxima a cero cuando R - » «e .

77. Probar que con restricciones convenientes sobre /(je),

i - ro+ v X » + ”2 dX = ,(Úy enunciar estas restricciones.

78. Verificar que las funciones u y v de las ecuaciones (10) y (11), página 121, satisfacen la ecuación de Laplace.

PR O B L E M A S V A R IO S________________________________________________________________________ __1 C z2 dz ' — '79. H allar el valor numérico de r—: (ft) — donde C es el cuadrado con vértices en ± 2, ± 2, Ai.

Resp. i J c z

80. /* COS tz • nHallar el valor numérico de ^ — dz donde C es el círculo \z\ = 1 y t > 0. Resp. - 2 r . i t -

81. (a) D em ostrar que (£ t t = si C es el círculo \z\ = 2.J c z + 1

(6) Em plear (a) para demostrar que

(x 4-1) dx + y d y _ Q 1* (x 4-1) d y - y dx _ «J c (x + l )2 + y 2 ’ *sc (£ + l )2 + y 2

y verificar estos resultados directamente.

82. Encontrar todas las funciones f (z ) que son analíticas en toda parte del plano com plejo entero y lascuales satisfacen las condiciones, (a) / (2 — i) = Ai, y (b) \ f (z ) \ < e2 para toda z.

83. Si f ( z ) es analítica dentro y sobre una curva sim ple cerrada C, probar que w

(a) /'(o ) = ¿ f - /(<» + «“ ) do

f ( n (6) L

'0

~2irf e -" ‘« / ( a + e<*) dsW . C.TT J q

84. Probar que 8z \ — 62 + 5 = 0 tiene una raíz en cada cuadrante.

j »27r / 2irgcos o eos (sen 0) d 0 = 0, (6) J ecos0 sen (sen 0) dO = 2x.

86. Ampliar el resultado del problema 23 con el fin de obtener fórmulas para las derivadas de f ( z ) en unpunto de

87. Probar que 2 3 e1_: = 1 tiene exactam ente dos raíces dentro del círculo \z\ = 1.

88. Si t > 0 y C es una curva sim ple cerrada alrededor de z = —1 , probar que

= ( í_ i ) e“ '89. Hallar todas las funciones f ( z ) que son analíticas en \z\ < 1 y que satisfacen las condiciones, (a) f ( 0) = 1,

y (b) \f(z)\ ^ 1 para \z\ < 1 .

90. Sean f (z) y g(z) analíticas dentro y sobre una curva sim ple cerrada C, excepto que f ( z ) tiene cerosen a i, 02, . , ani y polos en 6|, 62, . . ., b„ de órdenes (multiplicidades) P i, P2» • • > Pm y Q 1, 92» • • • > <?«respectivam ente. Probar que

57 4 a(z) dz = 2 Pk g((*k) - 2 s(bk)¿Vi J c f(z) l( = | = ,

CAP. 5 1 F O R M U L A S I N T E G R A L E S DE CAUCHY Y T E O R E M A S R E LA CI ON A D O S 139

91. S i f ( z ) = a0zn 4- a iz n~* + a2Zn~ 2 + • • • + a„ donde ao ^ 0, a i, . . ., a„ son constantes com plejas

y C rodea todos los ceros de f ( z ) , hallar el valor numérico de, (a) £ Z ^ dz, (6) £ Z l , ^ dz2*t J c /(*) ' ' 2irt J e /(*)

e interpretar los resultados. Resp. (a) —ai/ao , (6) (a — 2aoa2) /ají

92. H allar todas las funciones f ( z ) que son analíticas en la región |z| ¿ 1 y son tales que, (a) f(0) = 3,y (ó) |/(z)l g 3 para todo z tal que |z| < 1 .

93. Probar que z* 4- 192z 4- 640 = 0 tiene una raíz en el primero y cuarto cuadrantes y dos raíces en elsegundo y tercer cuadrantes.

94. Probar que la función x y ( x 2 — y 2) no puede tener un m áximo o m inim o absoluto dentro del círculo1*1 = I-

95. (a) S i una función es analítica en una región CK, ¿es ella acotada en H ? (6) E n v ista de su solución a (a), ¿es necesario establecer que /(z ) es acotada en el teorem a de Liouville?

96. Encontrar todas las funciones /(z ) que sean analíticas en toda parte; que tienen un cero de segundo orden en z = 0 que satisfacen la condición \ f ' ( z ) \ S 6 |z| para todo z, y tales que f ( i) = —2 .

97. Probar que todas las raíces de z5 4- z — 16t = 0 están entre los círculos |z| = 1 y |z| = 2.

98. S i U es arm ónica dentro y sobre una curva sim ple cerrada C, probar que

r SU ,<t> -r— dz = 0Jc ¿n

donde n es una unidad norm al a C en el plano z y s es el parám etro longitud de arco.

99. U n teorem a de Cauchy dice que todas las raíces de la ecuación z n 4- a i z"- 1 4 z n-2 -f- . . . a n — 0,donde a¡, a%, . . ., a„ son reales, están dentro del círculo |z| = 1 4- m ax {aj, a¡, . . ., a„}, o sea |z| = 1m ás el m áxim o de los valores a¡, 02, . . ., a„. Verificar este teorem a para los casos especiales, (a) z 2 — z* 4- * - 1 - 0, (6) z* + z 2 4- 1 = 0, (c) z* — z2 — 2z 4- 2 = 0, (d) z ‘ 4- 3z2 - 6z + 10 = 0.

'4-''

100. Probar el teorem a de C auchy enunciado en el problem a 99.

101. Sea P (z) un polinom io. S i m es algún entero positivo y a = e2”ilm, probar que

P (l) 4- P M 4- P(w2) + ■ ■ ■ + _ p(0)m

y dar una interpretación geom étrica.

102. ¿Es el resultado del problem a 101, válido para cualquier función /(z )? Justificar su respuesta.

103. Probar el teorema de Jensen: S i f ( z ) es analítica dentro y sobre el circulo |z| = R excepto para ceros en a i, 02, . . , am de m ultiplicidades P i , P 2 , ,P m y polos en ¿j, b\, . . . , b n de m ultiplicidades qi,92. ■ • •. 9n respectivam ente, y si / ( 0) es finito y d iferente de cero, entonces

i i ln |/(ñe'fl)| d° = !n |/(0)! + J , Pkln( é ) - J , ,k ln (t&)

(Sugerencia. Considerar £ l n z ( / ' ( z ) / / ( z ) ¡ d z donde C es el círculo |z| = R.)

C a p ítu lo 6

Series in fin ita s Series de T a y lo r y d e Lau re n t

SUCESIONES DE FUNCIONESLas ideas del capítulo 2, páginas 40 y 41, para sucesiones y series de constantes se pueden

extender fácilmente a sucesiones y series de funciones.Sean i¿,(z), u2(z), . . ., un(z) , . . ., denotada brevemente por {u„(z)}, una sucesión de

funciones de z definida y unívoca en alguna región del plano z. Llamamos U(z) el límite de un(z) cuando n -* y escribimos lim u„(z) = U(z), si dado cualquier número positivo <

n - * o o

podemos encontrar un número N (que depende en general tanto de < como de z) tal que\u„(z) — U(z) | < « para todo n > N

En tal caso decimos que la sucesión converge o es convergente a U(z).Si una sucesión converge para todos los valores de z (puntos) en una región %, entonces

% se llama la región de convergencia de la sucesión. Una sucesión que no es convergente en algún valor (punto) z se llama divergente en z.

Los teoremas sobre límites dados en la página 40 se pueden extender a sucesiones de funciones.

SERIES DE FUNCIONESDe la sucesión de funciones (u„(z)} formemos una nueva sucesión (Sn(z)} definida por

Si(z) = Mi(z)S 2(z) = Mi(z) + u2(z)

S n(z) = Mi(z) + u2(z) + • • • + Un(z)donde S„(z), llamada la n-ésima suma parcial, es la suma de los primeros n términos de la sucesión {u„(z)}.

La sucesión Si(z), S2(z), . . . o {S„(z)} se simboliza por

Mi(z) + u 2(z) + ■ • • — ¿ Un(z) (-0n = 1

llamada una serie infinita. Si lim S„(z) = S(z), la serie se llama convergente y S(z) es su

suma; de otra manera la serie se llama divergente. Algunas veces escribimos 2) un(z) comon = 1

5 u„(z) o 2 w„ por brevedad.

Como ya hemos visto, una condición necesaria para que la serie (I) converja es quelim u„{z) = 0, pero esto no es suficiente. Ver, por ejemplo, el problema 150, capítulo 2, yn-»«también los problemas 67(c), 67(d) y 1 1 1 (a).

Si una serie converge para todos los valores de z (puntos) en una región % , % se llama la regipn de convergencia de la serie.

140

CAP. 6| S E R I E S I N F I N I T A S — S E R I E S DE TAYLOR Y DE L A U R E N T 141

CONVERGENCIA ABSOLUTA00

Una serie 2 “ »(z) se llama absolutamente convergente si la serie de los valores absolutos,oo n — 1

es decir 2 ) lM»(z)|> converge.n = 1

* L oo oc

Si 2 ) M»(z) converge, pero 2) \UÁZ)\ n ° converge, decimos que 2 UÁZ) es condicio-” = • n = 1 n = l

nalmente convergente.

CONVERGENCIA U N IFO RM E DE SUCESIONES Y SERIESEn la definición de límite de una sucesión de funciones se recalcó que el número N de

pende en general de c y el valor particular de z. Puede esperarse, sin embargo, que podamos encontrar un número N tal que |u„(z) — U(z)\ < < para todo n > N y para todo z en una región % (es decir, N depende solamente de c y no del valor particular del punto z en la región). En ta l caso decimos que u„(z) converge uniformemente, o es uniformemente convergente a U(z) para todo z en ‘H.

Análogamente si la sucesión de las sumas parciales ¡S„ (2)} converge uniformemente a S(z) en una región, decimos que la serie infinita (1) converge uniformemente, o es uniformemente convergente, a S(z) en la región.

Si llamamos R„{z) = u„+1(z) 4- un+2(z) + ••• = S(z) — S„(z) el residuo de la serie infinita (I) después de n términos, se puede decir equivalentemente que la serie es uniformemente convergente a S(z) en % si dado cualquier « > 0 podemos encontrar un número N ta l que para todo 2 en

|R„(z)| = |S(2) — Sn(2) | < < para todo n > N

SE R IE S DE POTENCIASUna serie de la forma „

ao + ai(z — a) + ü2(z — a)2 + • • • = 2) a"(z ~ a)n (2)n = 0

se llama una serie de potencias en z — a. Algunas veces (2 ) será indicado brevemente por 2 a„(z - a)".

Claramente la serie de potencias (2) converge para 2 = a, y este puede ser en verdad el único punto para el cual converge (ver problema 13(6)). En general, sin embargo, la serie converge para otros puntos. En tal caso se puede demostrar que existen un número positivo R ta l que (2) converge para ¡2 — a| < R y diverge para |z — a| > R, mientras que para \z — a\ = R puede o no converger.

Geométricamente si F es un círculo de radio R con centro en 2 = a, entonces la serie (2 ) converge en todos los puntos interiores a F y diverge en todos los puntos exteriores a F, m ientras que puede o no converger sobre el círculo F. Podemos considerar el caso especial R = 0 y R = oo respectivamente a los casos donde (2) converge solamente en z - a o converge para todos los valores (finitos) de 2. Debido a esta interpretación geométrica, R se llama frecuentemente el radio de convergencia de (2 ) y el círculo correspondiente se llama el círculo de convergencia.

ALGUNOS TEOREM AS IM PO RTA N TESPara efectos de consulta damos la lista de algunos teoremas importantes sobre sucesiones

y series. Muchos de estos serán familiares desde sus análogos de variable real.

A. T eo rem as g enera lesT eo rem a 1 . Si una sucesión tiene un límite, el límite es único.

142 S E R I E S I N F I N I T A S — S E R I E S DE TAYLOR Y DE L A U R E N T | CAP. 6

T eo rem a 2. Sea u„ = a„ + ib„, n = 1, 2, 3, . . donde a„ y bn son reales. E n tonces una condición necesaria y suficiente para que {u„} converja es que {a,,} y {ó„} converjan.

T eo rem a 3. Sea {a„} una sucesión real con la propiedad que(i) a„+, S a„ o a„H S a„, (ii) [a„| < M (una constante)

Entonces {a„} converge.Toda sucesión que satisfaga la primera condición en la propiedad (i) se llama mo

nótona creciente, m ientras que si satisface la segunda se llama monótona decreciente. Si la sucesión satisface la propiedad (ii) la sucesión se llama acotada. De este modo, el teorema establece que toda sucesión monótona (creciente o decreciente) acotada tiene un límite.

Teorem a 4. Una condición necesaria y suficiente para que {u„} converja es que dado cualquier < > 0, podemos encontrar un número N ta l que \up — uq\ < < para todo p > N , q > N .

Este resultado, que tiene la ventaja que no utiliza el límite mismo, se llama el criterio de Cauchy para la convergencia.

T eo rem a 5. Una condición necesaria para que converja es que lim u„ = 0.Sin embargo, la condición no es suficiente. n""”

Teorem a 6. La multiplicación de cada término de una serie por una constante diferente de cero no afecta la convergencia o divergencia de ésta. Eliminando o añadiendo un número finito de términos en una serie no se afecta la convergencia o divergencia de ésta.

ocTeorem a 7. Una condición necesaria y suficiente para que 5) (a„ + ib„) con

verja, donde a„ y b„ son reales, es que J a,, y 2 bn converjan.n = 1 n = l

B. Teorem as sobre convergencia absolutax oc

Teorem a 8. Si 2 !«nl converge, entonces 2 un converge. En otras palabras,n = l n = l

una serie absolutam ente convergente es convergente.

Teorem a 9. Los términos de una serie absolutam ente convergente se pueden arreglar en cualquier orden y la serie sigue convergiendo a la misma suma. También, la suma, diferencia y producto de series absolutam ente convergentes son absolutam ente convergentes.

Estos resultados no son válidos para series condicionalmente convergentes (ver problema 127).

C. Criterios especiales para convergenciaTeorem a 10. (Prueba por comparación.)(a) Si S|ün| converge y |u„| á |c„l, entonces converge absolutamente.(b) Si 2 |ü„| diverge y |u„[ ^ |v„|, entonces S|k„| diverge, pero 2u„ puede o no

converger.

Teorem a 11. (Criterio del cociente.)

Si lim -- = L, entonces converge (absolutamente) si L < 1 y diverge sin - » oo « n |

L > 1 . Si L = 1 , la prueba falla.Teorem a 12. (Criterio de la raíz.)

Si lim i/jwñ! = L, entonces Zu„ converge (absolutamente) si L < 1 y diverge sin -♦ so

L > 1. Si L = 1, la prueba falia.

CAP. 6 S E R I E S I N FI NI T A S S E R I E S DE TAYI .OR Y DE L A U R E N T 143

Teorem a 13. (Criterio de la integral.) Si f(x) =: 0 para x ¿ a, entonces '¿fin),j 'M

f(x) dx converge o diverge.a

Teorem a 14. (Criterio de Raabe.)Si lim n i 1 — 'Un f 1 ) = L, entonces ¿ u n converge (absolutamente) si L > 1 v di-

Un /verge o converge condicionalmente si L < 1. Si L = 1, la prueba falla.

Teorem a 15. (Criterio de Gauss.)Si l í íü ü l = i i-íü- donde |c„! < M para todo n > N , entonces 2 un con-

| ttn | n n2verge (absolutamente) si L > 1 y diverge o converge condicionalmente si L 5 1.

Teorem a 16. (Criterio para la serie alternada.)Si a„ ^ 0, a „+1 £ a„ para n = 1, 2, 3, . . . y lim a„ = 0, entonces a, - a 2 + a 3 -

. . . = E( — l )"-1 a„ converge.

D. T eorem as sobre convergencia uniform eTeorem a 17. (Criterio M de Weierstrass.)Si |u„(z)| £ M„ donde M„ es independiente de z en una región % y 2 M„ converge,

entonces 2 u„(z) es uniformemente convergente en %.

Teorem a 18. La suma de una serie de funciones continuas uniformemente convergente es continua, es decir, si u„(z) es continua en % y S(z) = 2 u„(z) es uniformemente convergente en %, entonces S(z ) es continua en %.

Teorem a 19. Si {u„(z)} es continua en %, S(z) = 2u„(z) es uniformemente convergente en % y C es una curva en %, entonces

S(z) dz — Wi(z) dz + m2(z) dz + • ■ ■

{1 u n(z))dz = 5 m„(z) dz

En palabras, una serie de funciones continuas uniformemente convergente se puede integrar término por término.

Teorem a 20. Si u'n (z) = ~ u„(z) existe en %, l u j z ) converge uniformemente en

% y 2 u„(z) converge en CR, entonces ^ 2 w„(z) = 2 «'(z).

Teorem a 21. Si {u„(z)} es analítica y 2u„(z) es uniformemente convergente en %, entonces S(z) = 2 un(z) es analítica en %.

E. T eorem as sobre series de potencias

Teorem a 22. Una serie de potencias converge unifoime y absolutam ente en cualquier región que esté contenida en el interior de su círculo de convergencia.

Teorem a 23..(a) Una serie de potencias se puede diferenciar término por término en cualquier

región incluida en su círculo de convergencia.(b) Una serie de potencias se puede integrar término por término a lo largo de cual

quier curva C que esté incluida en el interior de su círculo de convergencia.(c) La suma de una serie de potencias es una función continua en cualquier región

que esté incluida en el interior de su círculo de convergencia.Este se deduce de los teoremas 17, 18, 19 y 21.

144 S E R I E S I NF IN I TA S — S E R I E S DE TAYLOR Y DE L A U R E N T | CAP. 6

T eo rem a 24. (Teorema de Abel.)Sea 2 a„z" con radio de convergencia R y suponga que z0 es un punto del círculo

de convergencia tal que 2a„z¡| converge. Entonces lim 2,a„z" = 2a„z¡J donde z -* z0 desde dentro del círculo de convergencia.

Extensiones a otras series de potencias se hacen fácilmente.

T eo rem a 25. Si Ea„z" converge a cero para todo z ta l que \z\ < R donde R > 0, entonces an = 0. Equivalentemente, si £a„z" = Zbnz" para todo z ta l que |z| < R, entonces an = b„.

TEOREM A DE TAYLORSea f(z) analítica dentro y sobre una curva cerrada simple C. Sean a y a + h dos puntos

dentro de C. Entonces , 2f(a + h) = f(a) + h f ’(a) + |y /" (a ) + /'">(«) + ••• (3)

o escribiendo z = a + h, h = z — a,

f(z) = f(a) + / '( « ) ( * - a) + + •■• + £ ^ ( « _ a ) » + •■• (4)

Este es el llamado teorema de Taylor y la serie (3) o (4) se llama una serie o desarrollo de Taylor para f{a + h) o f(z).

La región de convergencia de la serie (4) está dada por |z — o| < R, donde el radio de convergencia R es la distancia desde a a la singularidad más próxima de la función f(z). Sobre |z — a| = R, la serie puede converger o no. P ara |z — a| > R, la serie diverge.

Si la singularidad más próxima de /(z) está en el infinito, el radio de convergencia es infinito, es decir la serie converge para todo z.

Si a = 0 en (3) o (4), la serie que resulta se llama una serie de Maclaurin.

ALGUNAS SER IES ESPECIA LESLa siguiente lista m uestra algunas series especiales y su región de convergencia. En el

caso de funciones multívocas, utilizamos la ram a principal.

1 . e‘z' 2 Zn

= 1 + 2 + 2! + 3 ! + " • + ^ ! + \z\ < 00

2 . sen z = z2"* 2 ** —

3 ! + 5 ! - W W ! ) ! + -\z\ < oo

3. cosz = 1y'l yin—2

+ • • •( l )”' 1 + • • • 2! 4! K ' (2n — 2)! \z\ < oo

4. ln (1 + z) = z Z“ z:i z”+ • • •( U n_1 + ■ • • 2 3 v ’ n \z\ < 1

5. tan 1 z = z z3 z5 . z2» - 1 3 + 5 ( J 2 n - l + \z\ < 1

6. ( l + z ) p = 1 + pz + P ( V - D z2+ . . . + p ( p - l ) . . . ( p - n + l ) 2n+ . . . 2 ! n! \z\ < 1

Este es el teorema o fórmula binomial. Si (1 + z)p es multívoca el resultado es válido para la rama de la función que toma el valor 1 cuando z = 0.

TEOREM A DE LAURENT

Sean Ci y C2 círculos concéntricos de radios R¡ y R2 respectivamente y centro en a

CAP. 6| S E R I E S I N FI NI T A S — S E R I E S DE T AYLOR Y DE L A U R E N T 145

(Fig. 6-1). Suponga que/(z) es unívoca y analítica sobre Ci y C2 en la región sombreada % (tam bién llamada anillo) entre Cx y C2. Sea a + í un punto en %. E ntonces tenemos

/(a + h) = ao + ai h + a¿h2 +a — i a —2 o*—s

H H A 4-h h2 h3 (5)

donde a„ 1 T /(«)" 2ni JCi ( z - a ) " + ldz

a -n = 2* i § ( z - a ) n- ' f ( z ) d z iCt

Ci y C2 se recorren en la dirección positiva respecto a sus interiores.Podemos en las integraciones anteriores remplazar Ci y C2 por cualquier círculo C con

céntrico entre Ci y C2 (ver problema 100). Entonces los coeficientes en (6) se pueden escribir en una sola fórmula,

i r / ( * ) ,®" “ 2 ^t J c ( z - a r +' d z

Con un cambio apropiado de notación, podemos escribir lo anterior como

f(z) — ao + ai(z —a) + a2(z —a )2 + ••• + + 0 -2

n = 0, ± 1 , ± 2 , .

z —a

donde

(z - a )2

n = 0, ± 1 , ± 2 , . . .

(7)

(8)

(9)( £ - a ) "

Este es el llamado teorema de Laurent y (5) u (8) con coeficientes (6), (7) o (9) se llama una serie o desarrollo de Laurent.

La parte a0 + a¡(z — a) + 02(z — a)2 + — se llama la parte analítica de la serie de Laurent, m ientras que el resto de la serie que consiste de las potencias negativas de z — a se llama la parte principal. Si la parte principal es cero, la serie de Laurent se reduce a la serie de Taylor.

CLASIFICACION DE SINGULARIDADESEs posible clasificar las singularidades de una función f(z) examinando su serie de Laurent.

Para este propósito supongamos que en la figura 6-1, R 2 = 0, de modo que f(z) es analítica dentro y sobre Ci excepto en z - a que es una singularidad aislada (ver página 68). En lo que sigue, todas las singularidades se suponen aisladas, al menos que se establezca lo contrario.

1. Polos. Si f(z) tiene la forma (8), en la cual la parte principal tiene solamente un número finito de términos dados por

ft-i , a ~2 , _ , a~nz — a (z — a)2 (z — a)"

donde a_„ ^ 0, entonces z = a se llama un polo de orden n. Si n = 1, se llamaun polo simple.

Si f(z) tiene un polo en z = a, entonces lim /(z) = « (ver problema 32).

2. S in g u la rid ad es ev itab les. Si una función unívoca f(z) no está definida en z = apero lim f(z) existe, entonces z = a es una singularidad evitable. En tal caso defi-

z~*a

nimos f(z) en z = a como igual al lim f(z).z~*a

146 S ER I E S I NF IN I TA S — S E R I E S DE TAYLOR Y DE L A U R E N T | CA P. 6

E jem p lo : S i f (z ) = sen z /z , entonces z = 0 es una singularidad evitable puesto quef(0) no está definida pero lim sen z / z = 1. D efinim os /(O) = lim sen z / z = 1.N ote que en este caso

sen z _z

3. S in g u la rid ad es esencia les. Si f(z) es unívoca, entonces cualquier singularidad que no es ni un polo ni una singularidad evitable se llama una singularidad esencial. Si 2 = a es una singularidad esencial de f(z), la parte principal del desarrollo de Laurent tiene infinitos términos.

Los dos teoremas siguientes, estrechamente relacionados, son de interés (ver problemas 153-155).

T eo rem a de W eie rs tra ss-C aso ra ti. En cualquier vecindad de una singularidad esencial aislada a, una función analítica f(z) tom a valores arbitrariam ente próximos a cualquier número complejo A. En símbolos, dado cualquier número positivo 8 y t y cualquier número complejo A, existe un valor de z dentro del círculo ¡z — a\ = 8 para el cual \f(z) — A] < «.

T eo rem a de P ica rd . En la vecindad de una singularidad esencial aislada a, una función analítica puede tom ar cualquier valor, el que sea, con la excepción quizá de un único valor.

4. P u n to s de ram ificac ió n . Un punto z = z0 se llama un punto de ramificación dela función multívoca f(z) si las ramas de f(z) se intercambian cuando z describe un camino cerrado alrededor de z„ (ver página 37). Puesto que cada una de las ramas de una función multívoca es analítica, todos los teoremas para funciones analíticas, en particular el teorema de Taylor, se pueden aplicar.

E jem p lo : La rama de f ( z ) = z*/2 que tiene el valor 1 para z = 1, tiene una serie de

5. S in g u la rid ad es en el in fin ito . Haciendo z = 1/w en f(z), obtenemos la función f ( l /w ) = F(w). Entonces la singularidad en z = « (el punto en el infinito) está definida como la misma de F(w) en w = 0.

E jem p lo : /(z ) = z3 tiene un polo de tercer orden en z - » . puesto que F(w) =

FUNCIONES ENTERASUna función que es analítica en cada parte del plano finito (es decir, en toda parte, excepto

en x ) se llama una función entera. Las funciones e \ sen z, cos z son funciones enteras.Una función entera se puede representar por una serie de Taylor de radio de conver

gencia infinito. Recíprocamente si una serie de potencias tiene radio de convergencia infinito, representa una función entera.

Observe que por el teorema de Liouville (capítulo 5, página 120) una función que es analítica en toda parte, incluyendo « debe ser constante.

E je m p lo : Puesto que e 1/1 = 1 — , z = 0 es una singulari-z 2 ! z ¿ o ! zódad esencial.

T aylor de la forma a0 + a \ ( z — 1) + a-¿{z — l )2 + • • • con radio de convergencia R = 1 [la distancia de z = 1 a la singularidad m ás próxima, sim plem ente el punto de ramificación z = 0],

/(1 /w ) = 1 /w* tiene un polo de tercer orden en w = 0. A nálogam ente f ( z ) = e: tiene una singularidad esencial en 2 = 00, puesto que F(w) = f ( l / w ) = e*/w tiene una singularidad esencial en w = 0.

FUNCIONES M EROM ORFASUna función que es analítica en toda parte del plano finito, excepto en un número finito

de polos se llama una función meroforma.

CAP. 6| S E R I E S I N FI NI T A S — S E R I E S DE TAYLOR Y DE I . AU R E NT 147

E je m p lo : ^ que es analítica en toda parte del plano finito, excepto en los

polos z = 1 (polo sim ple) y z = —3 (polo de segundo orden) es una funciónmeromorfa.

DESARROLLO DE LAGRANGESea z la raíz de z = a + £<¡>(z) que toma el valor z = a cuando £ = 0. Entonces

si <¡>(z) es analítica dentro y sobre un círculo C que contiene a z = a, tenemos

2 = • +M ás generalmente, si F{z) es analítica dentro y sobre C, entonces

F(z) = F(a) + ± ^ £ - L {F'(a){^(a)Y} {12)

El desarrollo {12) y el caso especial {11) se conocen como los desarrollos de Lagrange.

PROLONGACION ANALITICASupongamos que no conocemos la forma

precisa de una función analítica f{z), pero conocemos que dentro de algún círculo de convergencia C¡ con centro en a (Fig. 6-2) f(z) está • representada por una serie de Taylor

ao + ai(z - a) + a2(z - a)! + • • • {13)Eligiendo un punto b dentro de C,, podemos encontrar el valor de f{z) y sus derivadas en b de {13) y de este modo llegamos a una nueva serie

6o + bi(z — 6) + bí(z — b)2 + • • • {14)con círculo de convergencia C2. Si C2 se extiende más allá de Ci, entonces los valores de f{z) y sus derivadas se pueden obtener en esta región extendida y de este modo hemos obtenido más información sobre f{z).

Decimos en este caso que f{z) ha sido extendido analíticamente más allá de Ci y llamamos al proceso prolongación analítica.

El proceso se puede repetir indefinidamente. De este modo eligiendo un punto c dentro de C2, llegamos a una nueva serie con círculo de convergencia C3 que se extiende más allá de Ci y C2, etc.

La colección de todas estas representaciones en series de potencias, es decir todas las posibles prolongaciones analíticas, define una función analítica f{z) y cada serie de potencias se llama algunas veces un elemento de f{z).

Al efectuar la prolongación analítica debemos evitar las singularidades. Por ejemplo, no pueden existir singularidades sobre la parte de la frontera de que está dentro de C2, puesto que {14) divergería en este punto. En algunos casos las singularidades sobre el círculo de convergencia son tan numerosas que la prolongación analítica es imposible. En estos casos la frontera del círculo se llama una frontera natural o barrera (ver problema 30).

Para ir del círculo Ci al círculo C„ (Fig. 6-2), hemos elegido el camino de los centros a, 6, c, . . ., p , el cual representamos brevemente por el camino P ,. Otros caminos son también posibles, por ejemplo o, b ' , c ' , . . , p representados por el camino P>. Al elegir caminos diferentes, nace la pregunta de si las representaciones en series obtenidas para el interior de C„ son las mismas o no. La respuesta es sí, si a lo largo de la región lim itada por los caminos P i y P 2 no hay singularidades.

Para más discusiones sobre prolongación analítica, ver capítulo 10.

148 S E R I ES I NF IN I TA S — S E R I E S DE TAYLOR Y DE L A U R E N T | CAP. 6


SUCESIONES Y SERIES DE FUNCIONES

1. Empleando la definición, demostrar que lim (1 + —) = 1 para todo z.n-*oo \ W/

D ado cualquier número t > 0, debem os encontrar N tal que |1 + z / n — 1 | N . E ntonces |z /n | |z |/e = N .

2. (a) Probar que la serie z( 1 - z) + z2(l - z) + z3(l - z) + • • • converge para |z| < 1,y (6) hallar su suma.

La suma de los primeros n térm inos de la serie esS„(z) = z ( l - z ) + z H l - z ) + •■• + z " ( l - z )

= z - z2 + z2 - z3 + + z" - z» + 1: Z — Zn+1 jn

Ahora |S„(z) - z\ = | — zn+i| = |z|n+i < « para (n + 1) ln | z | < ln «, o sea, n + 1 >_ l a « , «o n > -—— - 1 si z 0.

ln |*1Si z = 0, S„(0) = 0 y |S„(0) — 01 < t para todo n.

Por esto lim S n(z) = z, la sum a buscada para todo z tal que |z| < 1 .n -♦ oo

O tro método.

Puesto que S„(z) = z — zn+1, tenem os (según el problema 41, capítulo 2, en el cual se mostróque lim z n = 0 si \z\ < 1 )n -♦ oo

Sum a buscada «= S(z) = lim S n(z) = lim (z — z*»+i) = zn-»oo n -* co

CONVERGENCIA ABSOLUTA Y UNIFORM E3. (a) Probar que la serie del problema 2 converge uniformemente a la suma z para |z| S

Cb) ¿Converge la serie uniformemente para |z| S 1 ? Explicar.

(а) En el problema 2 hemos m ostrado que |S„(z) — z| < t para todo n > * — 1, o sea, la serieconverge a la sum a z para |z| < 1 y de este m odo para |z| 2

Ahora si [z] S el valor m ás grande de , ' n. e, — 1 ocurre cuando |z| = ^ y está dado por ln e

-— * — 1 = N . Se deduce que |S„(z) — z\ < « para todo n > N , donde N depende sola-ln (1 / ¿)m ente de i y no del punto particular z en |z| S D e m odo que la serie converge uniform em ente a z para |z| g J .

(б) El m ismo argum ento dado en la parte (a) sirve para mostrar que la serie converge uniform em ente

a la sum a z para |z| S 0,9 o |z| á 0,99 utilizando N - , 'n * — 1 y N = — 1 respectivam ente ln <0'9> ,n (0 . " )

Sin embargo, es claro que no podemos extender el argum ento para \z\ s 1 puesto que esto

exigiría N = — 1 que es infinito, es decir, no existe valor finito de N que pueda utilizarseln 1

en este caso. D e tal m odo que la serie no converge uniform em ente para |z| £ 1.

4. (a) Probar que la sucesión ^ uniformemente convergente a cero para todo z

tal que |z| & 2 . (6) ¿Se puede extender la región de convergencia uniforme de (o)? Explicar.

(a) Tenem os - 01 + nz

+ n|z|converge a cero para |z| > 2 .

1< « cuando j + nz | < t o |1 + nz| > 1 / t . Ahora |1 + nz| á |1| +

nz| — 1 + n|z| y 1 -f n|z¡ g |1 + nz| > l/« para n > . . D e tal m odo que la sucesión

CAP. 6| S E R I E S I N F I N I T A S — S E R I E S DE T AYLOR Y DE L A U R E N T 149

Para determ inar cuándo converge uniform em ente a cero, observe que el valor m ás gTande

de en |z| & 2 ocurre para |z| = 2 y está dado por 4 { ( l / e ) — 1} = N . Se deduce que1*1

— 0 < e para todo n > N donde N depende solam ente de « y no del valor particular1 + nz

de z en |z| a 2. D e tal m odo que la sucesión converge uniform em ente a cero en esta región.

(6) S i 8 es cualquier número positivo, el valor m ás grande de — — - en |z| ¿ 8 ocurre para1*1

|z| = 8 y está dado por í iZ lZ u l . Com o en la parte (a), se deduce que la sucesión converge uni- 8

form em ente a cero para todo z ta l que |z| 8 i , o sea, en cualquier región que excluya todos los puntos de una vecindad de z = 0.

Puesto que 8 se puede escoger arbitrariam ente próximo a cero, se deduce que la región de (o) se puede extender considerablem ente.

5. M ostrar que, (a) la función suma del problema 2 es discontinua en 2 = 1 , y (6) el límite del problema 4 es discontinuo en 2 = 0.(«) D el problema 2, S„(z) = z — zn+ l, S (z ) = lim S„(z). S i ]z| < 1, S (z ) = lim S„(z) = z. S i z = 1,

n-* oo n —* ocS„(z) = S „ ( l) = 0 y lim S „ (l) = 0. Por esto S(z) es discontinua en z = 1 .

n -♦ oo

(k) D el problem a 4, si escribim os u„(z) = — ----- y U (z) = lim u„(z) tenem os 17(z) = 0 si z 01 - r n z n -» oc

y 1 si z = 0. D e tal m odo que U (z) es discontinua en z — 0.

E stas son consecuencias del hecho (ver problema 16) que si una serie de funciones continuas es uniform em ente convergente en una región %, entonces la función sum a debe ser continua en %. Por esto, si la función sum a no es continua, la serie no puede converger uniform em ente. Un resultado análogo es válido para sucesiones.

6. Probar que la serie del problema 2 es absolutam ente convergente para |z| < 1 .

Sea r„(z) = | z ( l - z ) | + |z * ( l - * ) | + ••• + |* » (1 -* ) |= | 1 — * | {|*| + |*|* + 1*1* + • • • + |*|"}

= 1 1 —*1 ' { £ * }S i |z[ < 1 , entonces lim |z |n = 0 y lim T n(z) existe de m odo que la serie converge absolutam ente.

II ~ «I 1*1Observe que la serie de los valores absolutos converge en este caso a1 - | * |

PRUEBAS ESPECIA LES DE CONVERGENCIA7. Si 2 |u„| converge y |u„| á |p„|, n = 1 , 2, 3, . . ., probar que 2 |u„! tam bién converge (es

decir, establezca el criterio de comparación para la convergencia).Sea S„ = |u i| + IU2I + • • • + |u„|, T n = Iiq| + |i>2l + • • • + l nl-

Puesto que £ |e„] converge, lim T n existe y es igual a T, por ejem plo. T am bién ya que |e„| £ 0, T „ S T .

E ntonces S„ = |u i| + |u2l + • • • + |u„| S |iq| + |u2| + • • • + |unl ¿ T o 0 á S n s T .

D e tal m odo que S„ es una sucesión creciente acotada y debe tener un lím ite (teorema 3, página 142), o sea 2 |u„| converge.

1 1 1 go 18. Probar que _L + _ + _ L + . . . = — converge para cualquier constante p > 1.

l p 2P 3” n=1 n ”

ir»o S E R I E S I N FI NI T A S - S E R I E S DE TAYLOR Y DE L A U R E N T | CAP. 6

— + — + — + — S — = ——4p 5p 6p 7p 4p 4p 4p 4p 4p _*

etc., donde consideramos 1 , 2, 4, 8, . . . térm inos de la serie. Se deduce que la sum a de cualquier número finito de términos de la serie dada es menor que la serie geom étrica

1 + > + T L + 1 + - 11 p - i 2»1 -1 4p_l 8p_1 1 — l /2 p_l

que converge para p > 1. D e tal m odo que las series dadas, algunas veces llam adas las p series, convergen.

U tilizando un m étodo análogo al usado aquí y el criterio de comparación para la divergencia (teore-» 1

ma 10 (6), página 142), podemos mostrar que 2 diverge para p s» 1 .n = i 71

9. Probar que una serie absolutamente convergente es convergente.D ado que E j u n | converge, debem os mostrar que E u n converge.

Sea S M * Wj + 1*2 + • • • + u M y T M = |u i| + \u21 + ••• + |wMl- E ntonces

+ T m = (tq + |tti|) + (m2 + |u 2|) + ••• + (uM + |uM|)

^ 2 1 u, | + 2 |t«2) + • • • + 2 |u m|

Puesto que E |u n| converge y u„ + |a n| £ 0 para n = 1, 2, 3, . . . , se deduce que S M + T M ¡a una sucesión m onótona creciente acotada y así lim (S m + T M) existe.

Tam bién puesto que lim T M existe (porque por h ipótesis la serie es absolutam ente convergente),M -* oc

lim S M = lim (SM + T m — T „) = lim (S M + 7 \ f) — lim T MM — oo M - * oc ‘ M - * qo M — «o

debe también existir y el resultado está probado.

10. Probar que 2) ^ ' n + ^ converge (absolutamente) para |z¡ ¿ 1 .

Si \z\ 1, entonces _ ui"n ( ? i + l ) | n ( n - f l ) n ( n + 1)

z n i 1Tom ando u„ = — — ~ r r , v n = —- en el criterio de com paración y recordando que 2 —- con

fian -r 1 ) ri¿ n2verge según el problema 8 con p = 2 , vem os que E |«„| converge, o sea Eu„ converge absolutam ente.

1 1 . Establecer el criterio del cociente para la convergencia.

D ebem os mostrar que si lim = L < 1, entonces E |un| converge o, según el problema 9,Mn .

Eu„ es (absolutam ente) convergente.

Según la hipótesis, podemos elegir un entero N lo suficientem ente grande tal que para todo n ^ N ,

— — % r donde r es alguna constante tal que L < r < 1 . Entonces

lMN4 ll -»• l»<Aí!

+ 2I- l«iv + 1! < r J !«,*!

lMIV + sl < r |u N + 2] < í-3 |mn.|

lM.V+ll + + 2! + • § |w N | ( r + »-2

etc. Añadiendo,

•)y así E |u„¡ converge según el criterio de comparación puesto que 0 < r < 1 .

« _|_ 2)n_ 1.12 . Hallar la región de convergencia de la serie X (ñ -H )34 " '

CAP. 6| S E R I E S I N F I N I T A S — S E R I E S DE T AYLOR Y DE L A U R E N T 151

(z + 2)M_1 (z + 2 )nS i u„ = -— entonces m„+ , = -—'---- . Por esto, excluyendo z = — 2 para el cual

(n + 2)3 4n + 1la serie dada converge, tenem os

lim u n 4 1 I = limn -• oc «» 1 TI-** |

2 + 24 (n + 2)3 1

I- i n¡E ntonces la serie converge (absolutam ente) para i—— — < 1,

o sea |z + 2| < 4. E l punto z< 4.

—2 está incluido en |z + 2 |

Si l* + 2 l

falla.1, o sea |z + 2| = 4, el criterio del cociente

Sin embargo se ve que en este caso

1 (* + 2 )" 1(n + l )3 4" | 4(n + l )3

S - 1

y puesto que 2 i converge (una serie p con p = 3), la

serie dada converge (absolutam ente).

Se deduce que la serie dada converge (absolutam ente) para \z + 2| ^ 4 . G eom étricam ente este es el conjunto de puntos dentro y sobre el círculo de radio 4 con centro en z = —2 , llam ado el círculo de convergencia (se m uestra som breado en la figura 6-3). E l radio de convergencia es igual a 4.

Fig. 6-3

13. Hallar la región de convergencia de las series, (a) —i) -----------, (b) 2 n ! 2".n= 1 (2 n — 1 ) ! n=l

(a) S i u„ =— 1 \ n —1 » 2 n - l(—1 )

(2n — 1 )!

el cual la serie dada converge, tenem os

(_ l)n 22n+lentonces « n + 1 = + 1 ) ¡ ~ ‘ *>or esto ’ excluyendo z = 0 para

lim“ n + 1 1

= lim 1n-* x n —♦ 00 |

z2 (2n — 1 )! (2n + 1 )!

I«l»

lim (2w — 1 )! |z |2

~ „‘íf l (2n + l ) ( 2n) = Q

n ~ » ( 2 n + l ) ( 2 n ) ( 2 n - l ) l

para todo z finito. D e tal m odo que la serie converge (absolutam ente) para todo 2 , y decim os que la serie converge para |z| < «o. Se puede decir, equivalentem ente, que el círculo de convergenciaes infinito o que el radio de convergencia es infihito.j

cíuy((6) S i u„ = n! zn, «„+i = (n + 1)1 z n + 1 E ntonces excluyendo z = 0 para el cual la serie dada converge, tenem os

lim I Mn + 1 = lim| «n «t-» 00 | n ! z"

D e tal m odo que la convergencia es sólo en, z = (V

TEO R EM A SOBRE CONVERGENCIA U N IFO RM E14. Probar el criterio M de W eierstrass, es decir, si en una región %, |a„(z)| É M„, n = 1,

2, 3, . . ., donde M„ son constantes positivas tales que SM„ converge, entonces £it„(z) es uniformemente (y absolutamente) convergente en %.

E l residuo de la serie £u„(z) después de n térm inos es R n(z) = u„+i(z) + u„ ^ ( z ) + •••- Ahora

l# n(*)l = | « n + i(z ) + u„ + 2 (z) + l“n+l(*)l + l«n + 2(2)1 + Af. + i + AÍ„ + 2 + • • •

Pero M n¿1 + M n + 2 + - • • se puede hacer m enor que < eligiendo n > N , puesto que ÜAÍ„ converge. Ya que N es claram ente independiente de z, tenem os ]R„ (z) | < < para n > N , y la serie es uniform em ente convergente. La convergencia absoluta se deduce inm ediatam ente del criterio por com paración.

¡¡ UNIVERSIDAD NACIONAL I

152 S E R I E S I N F I N I T A S — S E R I E S DE T AYLOR Y DE L A U R E N T | CAP. 6

15. Probar la convergencia uniforme en la región indicada:

<•>I , v S t w s <6> I , ¡ ¡ r h - 1 < w < 2; í , ' - r 5- w a '•z n | z\n 1 1

(a) S i u„(z) = — -------- . entonces |u„(z)| = — . 1 - S - 57 si |z| S I . Llam ando Af„ = ,m / ñ + 1 n V n + l n n » 3/2

vem os que SM „ converge (una serie p con p = 3 /2 ) . Por esto, el criterio M de W eierstrass da laconvergencia uniforme (y absoluta) para |z| g 1 .

(4) La serie dada es —r ——r H— : - -—- 1— —i —— + • • • . Los primeros dos térm inos se pueden om itir1 + z2 22 + z2 32 + z2

sin afectar la convergencia uniform e de la serie. Para n g 3 y 1 < |z | < 2, tenem os

|n2 + z2| £ !n2| - |z2i ¿ n2 - 4 £ n2 o l - ^ - J S AI ■+- z £ n *■* 2

P uesto que ¿ converge, se deduce del criterio M de W eierstrass (con Af„ = 2 /n 2) que lan = 3 n

serie dada converge uniform em ente (y absolutam ente) para 1 < |z| < 2 .

O bserve que la convergencia, y de este m odo la convergencia uniform e, no se tiene si |z| = 1o |z| = 2 (sim plem ente e n z = ± í y z = ± 2¿). Por esto la serie no puede converger uniform em ente para 1 g |z| g 2 .

(c) S i z = x + iy, tenem osC O S n z e i n z -J- e - i m e i n x - n y _|_ e ~ i n x + n y

n3 “ 2K3 = ¿ñ3

_ e ~ ny (eos n x + i sen?i*) eny (cos n x — i sen nx)2n3 2n3

Las series | (eos n x - ise n n z ) y - | e~-> (cos n x + i sennz) nQ pueden converger paran = 1 2n3 n = i 2n3

y > 0 y y < 0 respectivam ente (ya que en estos casos los térm inos n-ésim os no se aproximan a cero). P or esto la serie no converge para todo z tal que \z\ ^ 1, y así no puede ser uniform em ente convergente en esta región.

La serie convergente para y = 0, es decir si z es real. E n este caso z = x y la serie se con-£ cos n i „ , . | cos 7i s | ^ 1 ^ , 1 ...........................

vierte en ^ — . Entonces puesto que | — — | = ^3 y ^ c o n v e r g e n , se deduce del cri

terio M de W eierstrass (con M n = l / n 3) que la serie dada converge en cualquier intervalo sobre el eje real.

16. Probar el teorema 18, página 143, es decir, si un(z), n = 1, 2, 3, . . son continuas en

% y 2 M"(z) es uniformemente convergente a S(z) en %, entonces S(z) es continua»= 1

en %.

Si S„(z) = Ui(z) + u2(z) + • • • + U«(z), y s n(z) = U„.p(z) + u n+2(z) + • • • es el residuo después de n térm inos, es claro que

S(z) = S„(z) + R„(z) y S(z + h) = S„(z + h) + R„{z + h)

y asi S (z + h) - S U ) = S„(z + h) - S nU) + R n U + h) — R n(z) (7)donde z y z h estén en 9?.

P uesto que S„(z) es la sum a de un número finito de funciones continuas, debe tam bién ser continua. E ntonces dado « > 0 , podem os hallar 8 de m odo que

|S„(z + h) — S„(z)| < e/3 cuando |A| < 8 (2)

Puesto que la serie, por hipótesis, es uniform em ente convergente, podem os elegir N así que paratodo z en ‘R,

!R„(z)l < * /3 y \RnU + *)l < */3 para n > N (3)E ntonces de ( / ) , (2) y (3),

I S (z + h) — S(z) | S I S„(z + 4) - S„(z) I + 1 ft„(z + A) I + ;R„(z)| < <

para |A| < 8 y todo z en % ,y así la continuidad se establece.

CAP. 6] S E R I E S I N FI NI T A S — S E R I E S DE TAYLOR Y DE L A U R E N T 153

17. Probar el teorema 19, página 143, o sea, si {u„(z)}, n = 1, 2, 3, . . ., son continuas enoo

%, S(z) u„(z) es uniformemente convergente en %, y C es una curva en entonces

f S(z)dz = f ( ¿ w , ( z ) ) d z = ¿ f Un(z)dzJ e J e Vi»=l / n = l J e

Com o en el problem a 16, tenem os S (z ) = S n(z) + /?„(z) y así puesto que éstas son continuas en % (según el problema 16) sus integrales existen, es decir,

f S ( *)d z = f S n( z ) dz + f R n(z)dzJ e J e J e

— 1 UM dz + \ w2(z) dz + • • • + | u n(z) dz + I R n(z) dzJ e J e J e J e

Por hipótesis la serie es uniform em ente convergente, de m odo que dado cualquier « > 0 podemos encontrar un número N independiente de z en % tal que |/?a(z)| < « cuando n > N . D enotando por L la longitud de C, tenem os (utilizando la propiedad 5, página 94)

\ f c R n(z )dz

E ntonces | ^ S(z) dz — ^ S n(z) dz | se puede hacer tan pequeño com o queram os, eligiendo n lo

suficientem ente grande, y el resultado está probado.

TEO REM A S SOBRE SER IES DE POTENCIAS18. Si una serie de potencias I w " , converge para z = z0 ^ 0, probar que converge,

(a) absolutam ente para \z\ < |zo|, (6) uniformemente para |z| S |z,| donde |Zi| < |z0|.(а) Y a que 2a„zJ converge, lim a„zj = 0 y así podem os hacer. | a„z¡¡ | < 1 eligiendo n lo suficiente

m ente grande, o sea |o„| < —(■ para n > N . E ntoncesl*ol"2 l*n**l = 2 l°»l 1*1" § 2 tf>

N + l N +l N+l l20lPero la ú ltim a serie en (1) converge para \z\ < [zol y así» Por el criterio de com paración, la

primera serie converge, es decir la serie dada es absolutam ente convergente.

|*i|n(б) Sea M n = -— —. E ntonces £ A ín converge, puesto que |z i| < |zqI* Com o en la parte (a),

Fol"\anzn\ < M n para \z\ ^ \z\\ así que, por el criterio Ai de W eierstrass £ a nzn es uniform em ente convergente.

Se deduce que una serie de potencias es uniform em ente convergente en cualquier región incluida totalm ente en su círculo de convergencia.

19. Probar que en la serie de potencias 2 anZn y Ia serie correspondiente de las derivadasoo n = 0

2 ndnZn~l tienen el mismo radio de convergencia.»=o

Sea R > 0 el radio de convergencia de £ a nzn. Sea 0 < |zq! < R. E ntonces com o en el problema

18 podem os elegir N así que |an| < \ p a r a n > N .nol”

D e ta l m odo que los térm inos de la serie £ \nanzn~ ] \ = £«!««! pueden hacerse para n > N\z\n~ 1

menores que los térm inos correspondientes de la £n ——¡— que converge, por el criterio del cociente, para \z\ < |z0l < R • '*° "

Por esto £na„zn_1 converge absolutam ente para todos los puntos tales que ¡z < |z0¡ (no importa qué tan próximo |zqI está de R ) , o sea para \z\ < R.

Si, no obstante \z\ > R , lim a nzn 0 y de este m odo lim n a riz n~ l 0, así que £n a ,tzn - i no . n “♦ oo ti ooconverge.

D e tal m odo que R es el radio de convergencia £ n a nzn_1. E sto es tam bién verdadero si R = 0.

154 S E R I E S I NF IN I TA S — S E R I E S DE TAYLOR Y DE L A UR E NT [CAP. 6

Observe que la serie de las derivadas puede converger o no para los valores de z tales que |z| = R.

20. Probar que en cualquier región incluida en el círculo de convergencia, una serie de potencias, (o) representa una función continua, por ejemplo f(z), (b) se puede integrar término por término para obtener la integral de /(z), (c) se puede diferenciar término por término para obtener, la derivada de f(z).

Consideremos la serie de potencias Ea„z", aunque resultados análogos son válidos para £a„(z — o)".

(а) E sto se deduce del problema 16 y del hecho que cada término a„z" de la serie es continuo.

(б) E sto se deduce del problema 17 y del hecho que cada térm ino a nz n de la serie es continuo y por esto integrable.

(c) D el problema 19, la derivada de una serie de potencias converge dentro del circulo de convergencia de la serie original de potencias y por tanto es uniform em ente convergente en cualquier región incluida en el circulo de convergencia. D e tal m odo que el resultado buscado se deduce del teorema 20, página 143.

21. Probar que la serie 2 ~ tiene un valor finito en todos los puntos interiores y sobre sun= l 71

círculo de convergencia, pero que esto no es verdadero para la serie de las derivadas.Por el criterio del cociente la serie converge para |z| < 1 y diverge para |z| > 1. Si |z| = 1,

entonces |zn/n 2| = 1 /n 2 y la serie es convergente (absolutam ente). D e tal m odo que la serie converge para |z| á 1 y asi tiene un valor finito dentro y sobre su círculo de convergencia.

« ¿i*—iLa serie de las derivadas es 2 ------- . Por el criterio del cociente la serie converge para |z[ < 1.

n = i nSin embargo, la serie no converge para todo z tal que |z| = 1, por ejem plo si z = 1 la serie diverge.

TEOREMA DE TAYLOR22. Probar el teorema de Taylor: Si f(z) es analítica dentro de un círculo con centro en o,

entonces para todo z dentro de C,

f(z) = /(a) + /'(a) (z — a) + A ^ p ( 2 - a ) 2 + —^ - ( z - a f + ■ • •

Sea z cualquier punto dentro dé C. Construya un circulo C¡ con centro en a y encerrando a z (Fig. 6-4). E ntonces por la fórmula integral de Cauchy,

f{z) = - L £ i M2irt J W — i- d w (1)

Tenem os1

(w — a) — (z — a)

1

J _ í 1

(w - a )

(w — a) — (z — a ) /(w — a)

2

t e ) + t e )

+ ( t e ) i _ i(— ) \ w — a )

- a)/(w — a) í

J — + + h s i D i + . . . + +> ~ a (w — a)‘ (w — a)J («i —a)n \ w — a / w —; (2)

M ultiplicando am bos lados de (2) por f(w) y usando ( / ) , tenemos

CAP. 6) S E R IE S I NF IN I TA S — S E R I ES DE TAYLOR Y DE I . AU R E NT 155

U tilizando las fórmulas integrales de Cauchy

' “ ’ M = " = 0, 1 , 2 , 3 , . . .

/(z) = f(a) + f '(a) (z — a) + £ ^ ( z - a )2 + • • • + f * " n ( « ) ( » - g ) « - i + U„¿ ¡ (n — 1

c r(3) se convierte en

O » )2 ! (n — 1 )!

Si podem os mostrar ahora que lim U n = 0, habremos probado el resultado buscado. Para hacer esto

observem os que, ya que w está sobre Ci,I I , = y < 1| w — a |

donde y es una constante. Tam bién tenem os |/(u>)| < M donde M es una constante, y

| «> - z | = | (te - a) - (z - a) | S r, - | z - a \donde ry es el radio de Cp Por esto, de la propiedad 5, página 94, tenem os

w - ¿ l£ ( £ 5 ) \ £ H- - 2rr¡ = y n M r 1

2>r r ¡ - \z - o| r , - |z - a|

y vem os que lim U n = 0, com pletando la prueba.n-* oc

23. Sea f(z) = ln (1 + z), donde consideramos la ram a que toma el valor cero cuando z = 0. (a) Desarrollar f(z) en una serie de Taylor alrededor de z = 0. (6) Determinar

la región de convergencia para la serie en (a), (c) Desarrollar ln f-r——) en una serie de Taylor alrededor de z = 0. V I —*/

(a) f( z ) = ln (1 + z) / ( 0) = 0

/'<*) = Y T I = (1 + * > " /'<°> = 1

f" ( z ) = - ( 1 + * ) - 2 /" (0) = - 1/'"(z) = <—!)(—2)(1 -t- z ) -3 /" '(0) = 2 ¡

/<» + I)(z) = ( - l ) ” n ! ( l + z)-<» + n + = (—l)* n !

E ntonces /(z) = (1 + ^ = /(# ) + f ,(Q) , + m , 2 + Q ) „ + . . .

z2 z3 z4- z_ 7 + y ~ T +

Otro método. Si |z| < 1,

_ i — — 1 _ * + z2 _ z3 + . . .1 + z

E ntonces integrando desde 0 a z tenem os- 3 o-4

i n d + z) = z - ? + T - T +

(—l ) n — 1 z n(6) E l n-ésim o térm ino es u„ = 2 -------. U tilizando el criterio del cociente

»■ I “ n +1 I i. I n z I i .lim ------- = limn - . oe | U n | n -* » I 71 + 1 J

y la serie converge para ¡z| < 1 . Se puede mostrar que la serie es convergente para |z| = 1 excepto para z = — 1 .

156 S ER I E S I NF IN I TA S — S E R I ES DE TAYLOR Y DE L A UR E NT | CAP. 6

E ste resultado tam bién puede deducirse del hecho que la serie converge en un círculo que se extiende hasta la singularidad m ás próxima (o sea, z = —X) de /(z ) .

(c) D el resultado en (a) tenem os, remplazando z por — z,¡¡¡2 2® Z4

ln (1 + z) = x - _ + T - T + . . .

Z2 z 3 z *l „ ( l - z ) =

ambas series convergentes para |z| < 1 . R estando, tenem os

ln ( 1 + z \ o í j. z* j . j. \ - X 2z2n + 1= 2{* + T +T + - - ) ~ , ? 0 2n+T

la cual converge para |z| < 1. Puede tam bién mostrarse que esta serie converge para \z\ = 1 excepto para z = ± 1 .

24. (o) Desarrollar /(z) = sen z en una serie de Taylor alrededor de z = x /4, y (6) determinar la región de convergencia de esta serie.

(a) /(z) = sen z, /'( z ) — cosz , f" (z ) = —sen z , /'" (z ) = — cosz , f , v (z) = sen z, . . .

/(v /4 ) = V^/2, /'(<r/4) = y/2 /2 , /" (jt/ 4) = - \Z 2 /2 , /'"(*■/4) = -v /2 /2 , / IV(v/4) = v/ 2/2, . . .

E ntonces, ya que a = x /4 ,

/(z) = /(a) + /'(o) (z — a) + + £ » p l ! + . . .

= t + ~ ít I í(* -'/4)S + -Otro método.

Sea u = z — x /4 o z = u + x /4 . Entonces tenemos,

s e n z = sen(w + ir/4) = sen u eos (n/4) + eos u sen (rr/4)

= (sen u ■+■ eos u)2

__ 17 i*3 u5 \ / u2 m4 \ \* T Í ( " - 5 7 + í í - - j + ( ‘ - 5 í + 7 T - - j J

(6) Puesto que la singularidad de sen z m ás próxima a x /4 está en el infinito, la serie converge para todos los valores finitos de z, o sea |z| < » . E sto tam bién se puede establecer por el criterio del cociente.

TEOREM A DE LAURENT25. Probar el teorema de Laurent: Si f(z) es analítica dentro y sobre la frontera de la región

% limitada por dos círculos concéntricos C¡ y C2 con centro en a y radios respectivos rt y r2(r¡ > r2), entonces para todo z en %,

f(z) = J > „ ( z - a ) " + donde . „ ,

a . = « = 0, 1 . 2 , . . .

CAP. 6] S ER I E S I NF I N I TA S — S E R I E S DE TAYLOR Y DE L A U R E N T 157

Según la fórmula integral de Cauchy (ver problema 23, página 132) tenem os

/<»> = f <f ± £ l ^ - d u , a )2iri J r w - z 2in J - w - zLl CjConsideremos la primera integral en (7). Com o en el pro

blem a 22 , ecuación (2 ), tenem os

1 1F ig.6-5

te — * (to — a ){ l — (z — a)/(to — a))

1 , z — a + . . . + (z ~ q)"~* + / z - a \ __ 1_(10 — o)n \to — o / l o

as!

io — a (io — a )2

que 1 r J M _ d w = 1 í n > ? L d w + í ^ í £ - J M - d »2iri X io — z 2irt J i o - a 2¡ri X (>0 — o )2

(2)

£( z - o )" " 1 £ / ( 10)

2 v i

donde

yCi («0 - a)

= a 0 + <Z\(z o) + + a „ _ i (z — a )B_1 + U„ (3)

1 iT /(«>) .. _ 1 X /(w ) . _ 1 <£ /(<o) ■a ° 2 r i j c ¡ w - a w ’ a ‘ 2 r t X , ( 1 ü _ a )2 ^ n_1 2irt (lo - a )n 11

f/„ = - L < f2 n X c \ w - a j w - z

Consideremos ahora la segunda integral en (7). Tenem os intercambiando w y z en (2),

1_ _ 1_____________to — z (z — a ) { l — (te — a ) /( z — o)}

= 1 , io — a + . . . + (to — q)"- 1 / io — o y 1z — a (z — a)1 (z — a )n \ z — a J z — w

asi que _ J _ £ Ü í ü l 2*1 j to — dio — + ¿ i fjh & IM *»

+ • • • + h § + v-

0 - 1 + . a + + V„donde

z — a ' (z — o)2 (* — a)n

_1 = ¿ i ^ ^ dw¡ ° ~ 2 = 2» i § ( * > - a ) f ( ™ ) dw, a _ „ = ^ (io - a )" -> /(io ) dio

(4 )

Vn = ± . £ ( * L Z ° ) n J h » ± dw 2*1 X , \ * — ° / z — io

D e (7), (3) y (4), tenem os

/(z) = {oo + o , ( z - a ) + • • • + on_ i ( z - o ) " - > )

+ í — + r ^[ z - a ( z -i _ + - |a )2 (z — a )" + U n + V n (5)

E l resultado buscado se deduce si podem os mostrar que, (a) lim l /„ = O, y (6) lim V„ = 0. Lan - * oo n * 4 ®

prueba de (o) se sigue del problema 22. Para probar (4) observe primero que, puesto que lo está sobre C¡,I ”' - 0 I - 1-------- = z < 1I z — o |

donde k es una constante. Tam bién tenem os |/(io)| < M donde M es una constante y

| z — io | = | (z — o) — (io — a) | § | z — o | — r2

S E R I E S I NF IN I TA S — S E R I ES DE TAYLOR Y DE L A U R E N T [CAP. 6

Por esto de la propiedad 5, página 94, tenemos

w - ¿ I f í S Í S - l„ 1 *" M „ _ «” M r ¡~ 2r |r — a| — 1*2 2 - | * - a | - r 2

E ntonces lim V„ = 0 y la prueba está com pleta.n-*«o

Hallar la serie de Laurent alrededor de las singularidades indicadas para cada una de las siguientes funciones. Clasificar la singularidad en cada caso y dé la región de convergencia de cada serie.

e 2z(a) -------- —; z = l . Sea 2 — 1 = u. Entonces z = 1 + u y

(* - l )5e21

( Z ~ l ) 3= ^ = + ^ = ^ í 1 + 2tt + ( M i + < i ^ + ( ^ + . . . }

u3 u3 u3 [ 2 ! 3! 4!

e2 . 2e2 . 2e2 , 4e2 , 2e2 , , , ,+ + — (2 — 1 ) + •••( 2 - 1 )3 ( 2 - 1 )2 2 - 1 3 3

2 = 1 es un polo de orden 3, o polo triple.

La serie converge para todos los valores de 2 ¡* 1.

(6) (2 — 3) sen — ■ - ; z = —2. Sea 2 + 2 = u o z = u — 2. Entonces

( z _ 3) 8e n _ l _ = (M — 5) sen — = (« - 5){± - - ^ - • ■ • }

= i _ 5 + + ______u 3! u2 3! m3 5 ! u4

= + + 12 + 2 6(2 + 2)2 6(2 + 2)3 120(2 + 2)<

2 = — 2 es una singularidad esencial.

La serie converge para todos los valores de z — 2.

(c) 2 = 0.

- i z - / , - £ + £23 i \ 3! 5!

1 Í 23 2’ 22z3 | 3 ! 6! 7! 3! 6! + 7!

2 = 0 es una singularidad evitable.

La serie converge para todo valor de z.

(d) — r~rr,— '> 2 = —2. Sea 2 + 2 = u. Entonces(2 + 1)(2 + 2)

2 _ u - 2 _ 2 - u 1 _ 2 — u(z + 1)(2 + 2) ( « — l)u u 1 - u u U u u

= - + 1 + u + u2 + • • • = - 7— + 1 + (2 + 2) + (2 + 2)2 +u 2 + 2

2 = —2 es un polo de pr im er orden o polo simple.

La serie converge para todos los valores de 2 tales que 0 < |2 + 2| < 1.

<*) xZ(z — 3)2 ‘ 2 = ®ea Z ~ ® = **’ ®‘ntoncea P°r el teorem a binomial,

CAP. 6| S ER I E S I N FI NI T A S — S E R I E S DE TAYLOR Y DE L A U R E N T 159

1 _ 1 1z*(z - 3)2 u2(3 + u)2 9«2(1 + u /3)2

19u2

_1______ 2 _ 1____4_ ,9«2 27u 27 243 U 1___________ 2____ J_ _ 4 ( 2 - 3 ) . . .

9(z - 3)2 27(2 - 3) 27 243z = 3 es un po/o de segundo orden o polo doble.

La serie converge para todos los valores de z tales que 0 < \z — 3| < 3 .

27. Desarrollar f(z) = — en una serie de Laurent válida para, i (a) 1 < \z\ < 3,(z 4- l)(z 4- 3)

(6) |*| > 8 , (e) 0 < |* + 1 | < 2 , (d) |*| < 1 . ^ 1 / i \(o) R esolviendo en fracciones parciales, (< + ^ + 8) = 2 \ 7 T l ) ~ i \ 7 + » ) '

Si I2I > 1 ,1 = _ _ J ______ = + = J _ _ J _ + _ L _ J _ + . . .

2(2 + 1) 22(1 +1/2) 22 V * 22 23 / 22 222 2z* 2z*

Si |2| < 3,1 l = l / 1_£ + d _ i i + ...) = í _

f 2/ 3) 6 V 3 9 27 J 62(2 + 3) “ 6(1 + 2/3) 6 y 3 9 27 / 6 18 54 162

E ntonces la serie de Laurent buscada, válida para |z| > 1 y |2 | < 3, o sea 1 < |z| < 3, es

... __L + J___L + J__l + i -_íL + J?__...2z* 2 22 222 22 6 18 54 162

(6) S i |z| > 1, t”>.emos com o en la parte (a),

1 - 1 1 + 1 _ 1 + . . .2(2 + 1 ) 22 222 223 2 z*

Si |2| > 3,1 1____ _ J L / , 9 _ 2 7 \ _1_____ L i. J L _ J 1 +

+ 3/ 2) 22 V í 22 23 T J 2z 2zí 223 22<2(2 + 3) 22(1 + 3/ 2)

E ntonces la serie de Laurent buscada, válida para |z| > 1 y |z| > 3 , o sea |z| > 3, es, restando,

1 4 , 13 40 ,2 2 Z s ^ Z *

(c) Sea z + 1 = u. Entonces

1 _ 1(2 + l) (z + 3) u(u + 2) 2u (l + u/2)

1 _____ = l / í - S + í - í t . . . )+ u/2) 2u V 2 4 8 J

2 (2 + 1 ) 4 8 ' 16

válida para |u| < 2, a ¡< 0 6 0 < |z + 1| < 2 .

(d) Si |z| < 1,

2 ( T i l ) = 2 - O T 7 ) = i ( l - 2 + 2 2 - 23 + . . . . ) = i - i * + K - * 2 3 +

Si |z| < 3, tenem os por la parte (a),1 — 1 2 | 2* z3 ^

2(2 + 3) 6 18 64 162E ntonces la serie de Laurent buscada, válida para |z| < 1 y |z| < 3, o sea |z| < 1, es,

restando,i - í 2 + 1 3 , 2 _ 4 0 ...3 9 27 81

E sta es una serie de Taylor.

160 S E R I ES I NF I N I TA S — S E R I E S DE TAYLOR Y DE L A U R E N T (CAP. 6

DESARROLLO DE LAGRANGE28. Probar el desarrollo de Lagrange (11) de la página 147.

Supongam os que C es tal que sólo exista un cero sim ple de z — a -\- \ 4> (z) dentro de C. Entonces por el problema 90, página 138, con g(z) = z y f(z) = z - a — X, <¡>(z), tenem os

1 ~ !<b'(w) }2 r i .

1 £2 « .%

1 £2 r t ,%

1

1 r I 1 -£ » '(« > ) 1 ....2r> ~ o - { 0(w)J

C •p(w)/(w - a) dw

n= l 2iri J c n dw [(tu — o)"J

v. 1» £ f>n(w) ,a + 2, 7T~~ ® T dw„ = i2 irin J c (w - a )"

PROLONGACION ANALITICAao

29. M ostrar que las series, (a) 2una de la otra.(a)

% 2 "V» ¿ ¡fe2,4 'o(2 -í)" + 1

son prolongaciones analíticas,

Según el criterio del cociente, la serie converge para \z\ < 2 (se m uestra en la figura 6-6). En este círculo la serie (que es una serie geom étrica con primer térm ino £ y razón z / 2) se puede sum ar,

y representa la función — ¿ '

(b) Por el criterio del cociente, la serie converge para

| * | < 1, o sea \z - ¿| < y/&, (Fig. 6-6). En

este círculo la serie (que es una serie geom étrica conprimer térm ino 1 / ( 2 — i) y razón (z — i) / ( 2 — i)) 8®

puede sumar, y representa la función 1/(2 - i) _ 1

1 - (z -t)/(2 - t ) 2 — z "Puesto que las series de potencias representan la

m isma función en la región com ún a los interiores de los círculos |z| = 2 y |z — i| = y/ñ, se deduce que ellas son prolongaciones analíticas, una de la otra.

30. Probar que la serie 1 + 2 + z2 + z t + z8 + analíticam ente fuera de lz| = 1 .

Sea F(z) = 1 - f z 4- z¡ + z i + z» + F(z) = z -f z~ + z» + F (z« ), • • • .

= 1 + j ) z2" no se puede prolongarn = 0

. E ntonces F(z) = z + F ( z 2) t F(z ) = z - f z 2 + F(z*) t

D e esto es claro que los valores de z dados por z = 1, z 2 = 1, z* = 1, z8 = 1, . . . son todos singularidades de F(z) . E stas singularidades están sobre el círculo \z\ = 1 . D ado cualquier arco pequeño de este círculo, existen infinitas singularidades en él. El círculo representa una barrera im pasable y la prolongación analítica fuera de él, es por lo tanto imposible. El círculo \z\ = 1 constituye una frontera natural.

CAP. 6| S E R I E S I NF IN I TA S - S E R I E S DE TAYLOR Y DE L A U R E N T 161

PROBLEM AS VARIOS31. Sea {fk(z)}, k = 1, 2, 3, . . . una sucesión de funciones analíticas en una región %. Su

ponga quem =

k = 1

es uniformemente convergente en %. P robar que F(z) es analítica en %.n

Sea S„(z) - 2 /k(2' Por definición de convergencia uniform e, dado cualquier « > 0 podemosk = l

encontrar un entero positivo N que depende de < y no de z, tal que para todo z en ^ ,

|F(z) — S„(z)| < ‘« para todo n > N (I)

Ahora supongam os que C es cualquier curva sim ple cerrada contenida en % y denotem os su longitud por L . E ntonces según el problema 16, puesto que /* (z ), k = 1, 2, 3 ,. . . son continuas, F(z) es

tam bién continua y por lo tanto £ F(z) dz existe. T am bién, em pleando (1) vem os que para n > N ,

| £ F(z) dz - £ f k(z) d z \ = | £ (F(z) - S„(z)> dz |

< , L

Ya que t puede hacerse tan pequeño com o queram os, vem os que

F(z) dz = 2 fk(*) dzJ c k=I J c

Pero, por el teorem a de C auchy, £ f k(z) dz = 0. Por esto

® F(z) dz = 0J c

y así por el teorem a de Morera (capítulo 5) F (z) debe ser analítica.

32. Probar que una función analítica no puede estar acotada en la vecindad de una singularidad aislada.

Sea f ( z ) analítica dentro y sobre el círculo C de radio r, excepto en su centro z = a (la singularidad aislada). E ntonces por el teorem a de Laurent, /(z ) tiene un desarrollo de Laurent

f (z) = 2 ak( z - a ) k (1)k = - «

donde los coeficientes ai¡ están dados por la ecuación (7), página 145. En particular,

Q-" = h i (z - a ) Z- n + i d* n = 1, 2 , 3, . . . (2 )

Ahora si |/(z ) | < M para una constante M , es decir, si f ( z ) es acotada, entonces de (2),

I® —ni = ¿ | § c ( * ~ a>"- ‘ /<*> dz |

= r n~ 1 • Af * 2 irr = M r n

Por esto, puesto que r puede hacerse arbitrariamente pequeño, tenem os a _ n = 0 , n = 1 , 2 , 3 , . . . , es decir a _ i = g _2 = a _3 = ••• = 0 , y la serie de Laurent se reduce a ú n a serie de T aylor alrededor de z = a. E sto m uestra que f ( z ) es analítica en z = a y , por tanto, no es una singularidad aislada, contrario a la hipótesis. E sta contradicción m uestra que f{z) no puede ser acotada en la vecindad de una singularidad aislada.

162 S ER IE S I NF IN I TA S — S E R I E S DE TAYLOR Y DE L A U R E N T [CAP. 6

33. Probar que si z 0, entonces„V4o(«-!/*> = 2 J n ( a )Z*

n = — ao

i c"Jn(a) = 5- I eos (n0 — asen 0) d8 n = 0, 1 , 2 , .CtTT */0

l i ' 2"donde

E l punto z =5 0 es la única singularidad de la función e ^ a(*~ 1/z) y se deduce que la función debe tener una serie de Laurent de la forma

eV4a (*-l/z) — 2 J n(a )znn = — oo

válida para \z\ > 0. Según la ecuación (7), página 145, los coeficientes </„(a) están dados por

J«W = Ü Í Jc dz ( )dpnde C es una curva sim ple cerrada con 2 = 0 en su interior.

Elijam os C, en particular, com o un círculo de radio 1 con centro en el origen; es decir, la ecuación d e C e 8 |2 | = l o z — eie. Entonces (2) será

1 C i»V4a(e‘® - e“ w)= ¿ J .

= — f «fo»n2*- Jo

r 2" i r 2*= — I eos (asen e — n«) d# + — I sen (asen 6 — n«) ds2r . / 0 -'O

~ f2"- J„eos (no — asen 0) do

, 2vutilizando el hecho que 7 = 1 s e n ( a s e n 0 — no) do = 0. E ste últim o resultado se deduce

Jo= 2x — <{>, puesto que encontram os que

= I sen (—a sen , puesto que encontram os que

%2n /*2ttI =

'ode m odo que 7 = — 7 e 7 = 0. E l resultado buscado se establece de este m odo.

La función J n(a) se llama una func ión Bessel de primera clase de orden n.

Para discusiones adicionales, sobre las funciones Bessel, ver capítulo 10.

34. Los polinomios de Legendre P n{t), n = 0, 1, 2, 3, . . . se definen por las fórmulas de Rodríguez

PnW = ¡Fñ!

(a) Probar que si C es cualquier curva simple cerrada encerrando el punto z = t, entonces

P j t ) = 1 - 1 f dz( } 2iri 2” Je (z — t)n + 1

E sta es la llamada representación de Schlaefli para P„(í), o la fórmula de Schlaefli.

(b) Probar queP * W = i* + V * 2 ~ 1 c o s ®)" dO¿TT J q

(a) Según las fórmulas integrales de Cauchy, si C encierra el punto í,

É L f(() = _2_l <f /(*) ¡¡x' d t * ' Kt) 2w¡ J r (* -« )» + >

CAP. 6| S E R I E S I NF IN I TA S — S E R I E S DE T AYLOR Y DE L A U R E N T 163

E ntonces tom ando f ( t) = (t2 — 1 )" de m odo que /(z ) =(z2 — l ) n, tenem os el resultado buscado

p » (í> =

= JL.1 £ . & - ! ) • dz2" 2jrt J c ( z - t)"+1

(6) Escojam os C com o un circulo con centro en t y radio com o se m uestra en la figura 6-7. E ntonces una

ecuación para C es \z — t\ = yj\t2 — 1 | o z * t +\ / t 2 — 1 ew, 0 =í B < 2v. U tilizando esto en la parte (a), F ig. 6-7tenemos

1 1 f 2,r{(< + y / t f - 1 e'9)2 - 1 }» V «2 - 1 ieie de2» 2jrt,)o ( \ / t2 _ l et«)n+l

1 1 r 2’ {<t2 - 1 » + 2 t \ / t 2 - 1 e<» + (t2 - l)e 2i9}n e ~ in9 d«2" 2* .Jo (t2 - l )»'2

_ 1 , 1 f 2lr{(t2 — l)e~ i9 + 2 t \ / t 2 - 1 + (t2 - l) e i9}n de2" 2 r, .'0 (t2 - l )»'2

1 1 r íT,{2ty/t^ - 1 + 2 (t2 — 1 ) eos »}n de2n 2* .lo (ti _ J)n/2

Para discusiones adicionales sobre los polinom ios de Legendre, ver capítulo 10.


SU C E SIO N E S Y SE R IE S D E F U N C IO N E S

36. Em pleando las definiciones, probar que, (a) lim — — — = 3, (6) lim nZ — = 0.n - * 00 n + Z n — oo nz + zz

36. S i lim u n(z) = U (z) y lim vn(z) = V (z), probar que, (a) lim {un(z) ± vn(z)} = U (z) ± V (z),« - ♦ o o n - * oo n - ♦ oo

(6) lim {u„(z) un(z)> - U (z) V ( z ) , (c) lim iíb(z)/i»„(z) = l / ( z ) /V ( z ) si V (z) * 0.n —* oo n - ♦ oc

1 Z Z 2 00 Zn_137. (a) Probar que la serie •£ + 57 + ^ + ‘ ' ' = 2 > converge para |z| < 2, y (6) hallar su

sum a. 2 2 2 n = t 2»Resp. (a) S n(z) = {1 — (z /2 )n} / ( 2 — z) y lim S„(z) existe si |z| < 2, (6) S (z) = 1 /(2 — z)

« - ♦ o o

OC38. (a) D eterm inar el conjunto de valores de z para los cuales la serie 2 (“ l ) n (z* + *w + *) converge,

y (6) hallar su sum a. Resp. (a) \z\ < 1, (6) 1 n=0

00 J

39. (a) ¿Para qué valores de z la serie 2 T'i ' t \ñ converge?, y (6) ¿cuál es su suma?» = i \z + 1 )

Resp. (a) T odo z ta l que |z2 4- 1| > 1 , (6) 1 / z 2

40. S i lim |u„(z)| = 0, probar que lim u n(z) = 0. ¿Es el recíproco verdadero? Justificar su respuesta.« - ♦ o o « - ♦ 00

41. Probar que para todo z finito, lim z"/n! = 0.

164 S ER I E S I NF IN I TA S — S E R I E S DE TAYLOR Y DE L A UR E NT | CAP. 6

42. Sea (a„), « — 1, 2, 3 ,. . . una sucesión de números positivos que tiende a cero. Suponer que |u„(z)| S a„ para n = 1, 2, 3 ......... Probar que lim u„(z) = 0.n -* «o

43. Probar que la convergencia o divergencia de una serie no se m odifica añadiendo (o quitando) un número finito de términos.

44. Sea S„ = z + 2z2 + 3z3 + • • • + nz", T„ = z + z 2 + z3 + • • • + *"• (o) M ostrar que S„ =

(T n — n zn ■+1) /(1 — z). (4) Usar (a) para hallar la suma de la serie 2 n z" y determinar el conjunton = 1

de valores para los cuales la serie converge. Resp. (4) z / ( 1 — z)2, |z| < 1

45. Hallar la sum a de las series 2 ~ ■ Resp. 2»=o 2"

C O N V ER G EN C IA A B SO L U T A Y U N IFO R M E

46. (a) Probar que u„(z) = 3z + 4z2 /n , n =■ 1 , 2 , 3 , . . . , converge uniform em ente a 3z para todo z interior o sobre el círculo |z| = 1. (4) ¿Se puede extender el círculo de la parte (a)? Explicar.

47. (a) Determ inar cuándo la sucesión u n(z) = n z /(n 2 + z2) (ver problema 35(4)) converge uniformem ente a cero para todo z dentro de |z| = 3. (4) ¿Es válido el resultado de (o) para todo valor finitode z?

48. Probar que la serie 1 + a z + a 2z2 + • • • converge uniform em ente & 1 /(1 — az) dentro y sobre el círculo |z| = R donde R < 1 / |a l .

49. Estudiar la convergencia, (o) absoluta, y (4) uniforme de la serie

£ + *<3 ~ *> + *(3 ~ *)2 , *(3 - z)2 3 82 33 3<

Resp. (a) Converge absolutam ente si |z — 3| < 3 o z = 0. (4) Converge uniform em ente para|z — 3| S R donde 0 < R < 3; no converge uniform em ente en cualquier vecindad que incluyaz = 0

50. Estudiar la convergencia, (a) absoluta, y (4) uniforme de las series del problema 38.

Resp. (a) Converge absolutam ente si |z¡ < 1 . (4) Converge uniform em ente si |z| á R donde R < 1

51. Estudiar la convergencia, (a) absoluta, y (4) uniforme de las series del problem a 39.

Resp. (o) Converge absolutam ente si |z2 + 1| > 1. (4) Converge uniform em ente si |z2 + 1| i Rdonde R > 1

52. Sea fa„¡ una sucesión de constantes positivas que tiende a cero; y suponer que para todo z en una regiónu„(z)l £ a„, n = 1 , 2, 3 .......... Probar que lim u n(z) = 0 uniform em ente en %.n-* «o

53. (a) Probar que la sucesión u„(z) = nze-"** converge a cero para todo z finito tal que R e {z2} > 0, y representar esta región geom étricam ente. (4) D iscutir la convergencia uniforme de la sucesión en (a).

Resp. (4) N o converge uniform em ente en cualquier región que incluya z = 0

QO 00 oo54. Si 2 o„ y 2 bn convergen absolutam ente, probar que 2 «„> donde c„ = ao4„ + a i 4„_i +

n=0 n=0 n=0• • • + a„4o, converge absolutam ente.

55. Probar que si cada una de las dos series es absoluta y uniform em ente convergente en %, su producto es absoluta y uniform em ente convergente en %.

C R IT E R IO S E SPE C IA L E S DE C O N V E R G E N C IA

56. Estudiar la convergencia de:

«.S .5ÉTFÍ. « ! . £ £ •Resp. (a) conv., (4) conv., (e) div., (d) conv., (e) div.

CAP. 6| S E R I E S I NF IN I TA S — S E R I E S DE TAYLOR Y DE L A U R E N T 165

57. Estudiar la convergencia de:

W S - f n , < « * ■ * = £ . W S - r i n . » Í 1n = l n + |z |' n - lW + U I * n -|W 2 + |* |* n = lW2 + 2

/?esp. (a) D iverge para todo z finito. (6) Converge para todo z. (c) Converge para todo z. (d ) Converge para todo z excepto z = —n 2, n =* 1, 2, 3,. . .

» nenni/458. Estudiar la convergencia de 2 n _ « • Resp. Converge

n = 0 e 1

59 . H allar la región de convergencia de, (o) 2 ■ (*) 2 „2lo n • (e> 2 ( *1 * •„=o (« + l) (n + 2) „= i » ' • 3n \ z — 1 / B=I n ¡

Resp. (o) |z + ¿! S X, (b) |(z + 1 ) / (z - 1)| S 3, (c) |z| < *

60. Estudiar la región de convergencia absoluta de 2 4»»(w2 4. 1 )5/2 *

Resp. Converge absolutam ente para \z — ¿| g 4

“ g2Tr<nz61. H allar la región de convergencia de 2 ■

n = 0 (n + l ) 3/¿Resp. Converge si Im z £ 0

00 _ ^

62. Probar que la serie 2 ( V ñ T l — y f ñ ) diverge aunque el térm ino n-ésim o tiende a cero.n = 1

00

63. Sea N un entero positivo y suponer que para todo n > N . |u„| > l / ( n l n n ) . Probar que 2 “ n diverge. " = 1

64. Establecer la validez de la, (a) criterio de la raíz (teorem a 12), (página 142), (6) criterio de la integral (teorema 13), de la página 143.

65. H allar el intervalo de convergencia de 1 + 2z + z2 + 2z3 + zt + 2z5 + • • • . Resp. |z| < 1

66. Probar el criterio de R aabe (teorema 14), de la página 143.

67. Estudiar la convergencia de: (a) ^ ^ + j J L _ + ■ • (6) I + + J - £ J L + . . . ,

2 , 2 - 7 , 2 * 7 * 1 2 , <JX ln 2 , ln 3 , ln 4 ,(C) 5 + 6T I5 + 5 T ^ 7 Í 6 + • • • ' (d) T + T + — + •Resp. (a) conv., (&) conv., (c) div., (d) div.

TE O R EM A S SO B R E C O N V E R G E N C IA U N IF O R M E Y S E R IE S D E P O T E N C IA S

68. D eterm inar las regiones en las cuales cada una de las siguientes series es uniform em ente convergente:

t*\ "V *n 4 {z ~ *)2" M V 1 ,M ' i %/"+!■ ?i 3" + 1 ’ ( ) „ ? , ’ (C) „ ? ! ( * + l)z«* {d) , ? , „ * + |z|*-

Resp. (a) |z| ¿ R donde R < 3. (6) |z — i| ¿ 1 . (c) |z| i R donde R > 1. (d) T odo z

69. Probar el teorem a 20, página 143.

70. Establecer y probar teorem as para sucesiones, análogos a los teorem as 18, 19 y 20, página 143, para series.

71. (a) D iferenciando am bos lados de la identidad

— = 1 + z + z2 + z3 + • ■ ■ |z| < 1

90

hallar la sum a de la serie 2 w*n para \z\ < 1. Justificar todos los pasos. n = l

90

(6) Hallar la sum a de la serie 2 n2z" para |z| < 1.n = l

Resp. (o) z / ( l — z)2 (comparar con el problema 44), (5) (1 + z ) / ( l — z)3

166 S ER I E S I NF INI TA S - S E R I E S DE TAYLOR Y DE L A UR E NT [CAP. 6

72. Sea z real y tal que O S z S I , y sea u„(z) = nze~nz2. (a) H allar lim í u„(z) dz. (6) Hallar

f ‘ í 1 _ °J j lim « .(z) r dz. (c) Explicar por qué laa respuestas en (a) y en (6) no son iguales. (Ver pro

blema 53.) Resp. (a) 1 /2 , (6) 0

73. Probar el teorema de Abel (teorema 24, página 144)-.

74. (a) Probar — Í—- =, 1 — z2 + z4 — z® + • •• para |z| < 1.1 + z1

(b) S i escogem os la rama de f( z ) = tan - 1 z tal que /(O) = 0, usar (a) para probar quef * dz Xa , z» z7 ,

ta n " 1 z = I t i —í = z — — -r — — — -r • • •J 0 1 + z2 3 5 7

(c) Probar que 7 = 1 — ^ + 7 — ^ + • • •■4 3 5 7

75. Probar el teorema 25, página 144.

*076. (a) Determ inar Y(z) = 2 °»2" tal que para todo z en |z| £ 1, Y '(z ) *= Y (z), Y(0) — 1.

» = 0

Enunciar todos los teorem as utilizados y verificar que el resultado que se obtiene es una solución.

(6) ¿Es el resultado que se obtuvo en (a) válido fuera de |z| £ 1? Justificar la respuesta.

(c) M ostrar que Y(z) = e‘ satisface la ecuación diferencial y las condiciones en (a).

(d) ¿Se puede identificar la serie en (o) con e1? Explicar.

Resp. (o) Y(z) = 1 + z + fT + ! y + - "

77. (a) Usar m étodos por series para resolver la ecuación diferencial Y "(z) -f Y (z) = 0, Y (0) = 0,Y'(O) = 1 para obtener el desarrollo en serie

z3 z3 z78 en * = * - 3 ! + 6 Í - 7 ! + •••

(6) ¿Puede usted obtener una serie correspondiente para eos z?

TE O R EM A DE TA Y LO R

78. Desarrollar cada una de las siguientes funciones en una serie de T aylor alrededor del punto indicadoy determinar la región de convergencia en cada caso(o) e~*; z = 0 (6) eosz; z = r /2 (e) 1/(1 + z); z = 1 (d) z* — 3z2 + 4z — 2; z = 2 (e) ze21; z = —1

79. S i cada una de las siguientes funciones se puede desarrollar en una serie de T aylor para los puntos indicados, ¿cuál seria la región de convergencia? N o efectuar el desarrollo.(o) senz /(z2 + 4); z = 0 (e) (z + 3)/(z — l)(z — 4); z = 2 (e) e*/z(z — 1); z = 4»

( n \ SGC v Z ’ Z — 1(6) z/(e*+X ); z = 0 (d) e - z * senh(z + 2); z = 0 (/) coth 2z; z = 0

Resp. (a) |*| < 2, (6) |z| < r , (c) | z - 2 | < 1, <d) |z| < « , (e) |z — 4*| < 4, (/) |z| < r /2 , (g) | z - l | < 1/2

80. Comprobar los desarrollos 1, 2 y 3 para e!, sen z y eos z de la página 144.

81. Mostrar que se n z2 — z2 — Izl < ®.3 ! 5 ! 7 ! - i i

82. Probar que ta n - 1 z = z — v + T" - Í + " - . |*| < 1.3 5 7

83. M ostrar que (o) tan z = z-H--------- + — -t- • • • , Izl < r /23 15

(6) sec z = 1 + y + ^ + • • •, |z| < r /2

1 z 7z3(c) e sez = - + - + _ + . . . . 0 < |z| < r

CAP. 6| S E R I E S I NF I N I TA S — S E R I E S DE TAYLOR Y DE L A UR E NT 167

84. Rem plazando z por iz en el desarrollo del problema 82, obtener el resultado del problema 23 (c) de la página 156.

85. ¿Cómo se obtienen series para, (a) tanh z, (6) sech z, (c) csch z de las series del problema 83?

86. Probar la unicidad de la serie de T aylor de /(z ) alrededor de z = a.

(Sugerencia. Suponer f ( z ) = 2 c„U — o)” = 2 d„(z - a)" y mostrar que c„ = d„, n - 0 ,1 , 2 , 3 , . . . . ) ’ "=0 n=0

87. Probar el teorem a binom ial 6 de la página 144.

88. S i escogem os la rama de V 1 + z3 que tom a el valor 1 para z - 0, mostrar que1 . . 1*3 . 1•3•5 „ , , , _ .- 1 — - z3 + - — - z” — - — -—- * » + • • • z < 1O O . A O . A . CV T T z 3 2 2 - 4 2 - 4 - 6

89. (a) Escogiendo la rama de sen~l z que tom a el valor cero para z — 0, mostrar que, 1 z3 , 1 "Sz5 , 1 * 3 - 5 z> , , , „ .^ W < 1

(6) Probar que el resultado en (a) es válido para z = i.

90. (a) Desarrollar /(z ) = ln (3 — iz) en potencias de z — 2¿, escogiendo la rama del logaritm o para la cual /(O) = ln 3, y (6) determ inar la región de convergencia.

- f c a + ^ + ^ _ . . . < ,

TE O R EM A D E L A U R E N T

91. Desarrollar f ( z ) = 1 /(z — 3) en una serie de Laurent válida para, (a) |z| < 3, (6) |z| > 3.

Resp. (a) - l - i z - ¿ z2 - z3 --------- (6) z~> + 3 z~ 2 + 9z ~ 3 + 27z~* + - • •o y ¿ i o í

92. Desarrollar f ( z ) — — en una serie de Laurent válida para:(z — 1)(Z — z)

(a) |z| < 1 , (6) 1 < |z| < 2 , (c) |z| > 2 , (d) | z - l | > 1 , (e) 0 < \z - 2 | < 1 .

Resp. (a) - I z - | z z - |Z 3 - J | z < (6) • • • + i + \ + 1 + | z + ¿ z2 + i z 3 + • • •

(C) "■ (<<) - ( z - l ) - > - 2 ( z - l ) - z - 2 ( z - l ) - 3 - • • •

(e) 1 - 2( z - 2) - ‘ - ( z - 2) + (z — 2)2 - (z - 2)3 + (z - 2)< -

93. Desarrollar /(z) = l / z ( z — 2) en una serie de Laurent válida para (a) 0 < |z| < 2, (6) |z| > 2.

94. Hallar un desarrollo de /(z ) = z / ( z 2 + 1) válido para |z — 3| > 2.

95. Desarrollar f( z ) - l / ( z — 2)2 en una serie de Laurent válida para, (o) |z| < 2, (6) |z| > 2 .

96. Desarrollar cada una de las siguientes funciones en una serie de Laurent alrededor de z = 0, clasificando las singularidades en cada caso.

(o) (1 — co sz)/z , (b) e*Vz3, (c) z- 1 cosh z _ l , (d) z2 e , (e) z s e n h \f z .Z Z Z^ i 2 ® 214

Resp. (a) — — — -h — — • • •; singularidad rem ovible (d ) z2 - ze + — — — + • • •;

- 1 3 5 7 punto ordinario

^3 + z + J i + 3 < + '4Í + 5< + ' " ' 25/2 zl n z9/2z z " • 23/2 + Z + Z + - L ___polo de tercer orden 3 1 5 1 7! ’

, , 1 1 . 1 punto de ramificación(w ~ gj ® 4 ! ® ***> singularidad esencial

97. Mostrar que si tan z se desarrolla en una serie de Laurent alrededor de z = x /2 , (a) la parte principal es —1 / ( 2 — x / 2) , (ó) la serie converge para 0 < \z — x / 2 | < x / 2 , (c) z = x /2 es un polo simple.

168 S ER IE S I NF INI TA S — S E R I E S DE TAYLOR Y DE L A UR E NT [CAP. 6

98. Determ inar y clasificar todas las singularidades de las funciones:

(o) l /(2 s e n z — l ) 2, (4) z /(c ,/j — 1), (c) co s(z2 + z * 2), (<¿) ta n * 1 (z2 + 2z + 2), (e) z /(e*— 1).Resp. (a) T./6 + 2mx, (2m + 1)* - * / 6, m = 0, ± 1 , ± 2 , . . .; polos de segundo orden

(¡>) i / 2mn, m = ± 1 , ± 2 , . . . ; polos sim ples, z = 0; singularidad evitable, z = » ; polo desegundo orden

(c) z = 0, ac; singularidades esenciales id) z * — 1 ± i; puntos de ramificación

(e) z = 2m r i, m = ± 1 , ± 2 , . . . ; polos sim ples, z = 0; singularidad evitable, z = «¡; singularidad esencial

99. (a) Desarrollar f (z) = e-'/<:-2) en una serie de Laurent alrededor de z = 2, y (6) determ inar la región de convergencia de esta serie, (c) Clasificar las singularidades de f ( z ) .

Resp. (o) c j l + 2(z - 2) * 1 + - - ( - ~ 2)~2 + + ” • j (4) |z - 2| > 0 (c) z = 2; sin

gularidad esencial, z = « ; singularidad evitable

100. Establecer el resultado (7), página 145, para los coeficientes en una serie de Laurent.

101. Probar que las únicas singularidades de una función racional son polos.

102. Probar el reciproco del problema 101, es decir si las únicas singularidades de una función son polos, la función debe ser racional.

DESAR RO LLO DE LA G R A N G E103. M ostrar que la raíz de la ecuación z = 1 + {z’’, que es igual a 1 cuando T, = 0, está dada por

2 = i (3p)(3p - 1) (4p)(4p — l)(4p — 2) ^2! 3! 4 ¡ s

104. Calcular la raíz del problema 103 si P = J y s = 1, (o) por series, y (4) exactam ente y comparar las dos respuestas. Resp. 2,62 con dos décim as exactas

105. Considerando la ecuación z = a + $ !U z2 — 1). mostrar que1 ® fn ejn

= 1 + 2 — ------— (a2 - 1 )"V i - 2of + í 2 n= 1 2” n! da"

106. M ostrar cóm o se puede usar el desarrollo de Lagrange para resolver el problema de K epler de determinar la raíz de z = a + senz para la cual z = a cuando — 0.

107. Probar el desarrollo de Lagrange (12) de la página 147.

PR O L O N G A C IO N A N A L IT IC A

108. (a) Probar que F 2(z) = 2^

trando gráficamente las regiones de convergencia de las series.

(4) Determ inar la función representada por todas las prolongaciones analíticas de E i(z).Resp. (4) 1 /(1 - z)

•» 2 n + l109. Sea F¡(z) = 2 ‘ on'~ • (“ ) Hallar una prolongación analítica de F¡(z) la cual converge para z — 3 — 4¿.n = 0

(4) D eterm inar el valor de la prolongación analítica en (a) para z = 3 — 4¿. Resp. (4) —3 — f i

110. Probar que la serie

Z* ■ + Z2> + Z3! +

tiene la frontera natural |z| = 1 .

PR O BL E M A S V A R IO S

111. (a) Probar que 2 [ ~ diverge si la constante p S 1.

(4) Probar que si p es complejo la serie en (o) converge si Re{p} > 1.

(c) Estudiar la convergencia o divergencia dé la serie en (a) si Re{p} £ 1.

es una prolongación analítica de F¡(z) = 2 z"¡n = 0

CAP. 6) S E R I ES I NF IN I TA S — S E R I E S DE TAYLOR Y DE L A U R E N T 169

112. Estudiar la convergencia o divergencia de: (a) 2 (b) 2 ■ ” ? ■ (c) 2 n s e n ~ 1 (1/n3),« n . „ » = i " + * „ = , ten + (2 — t)n „ = i

W) 2 ~ i_ „ , <«) 2 c o t h - 'n , (/) 2 » e ~ B*. n = 2 n ,n n n = l n = l

Resp. (a) div., (6) conv., (c) conv., (d) conv., (e) div., (/) conv.

113. Euler presentó el siguiente argum ento para mostrar que 2 *" = 0:

, Z — z + 22 + z3 + • • ■ - 2 2", — —1 — 2 1 2 —

E ntonces añadiendo, 2 *" = 0- Explicar el error.

- ± - = z + 22 + 2 + • • ■ = 2 x”, — — = -— = 1 + - + \ = 2 2"1 — 2 1 Z — 1 1 — 1 / Z Z Z 2 o

114. M ostrar que para |z — 11 < 1, 2 ln 2 = (z — 1) + ^ ----------------------------- ^ ------- ■ • .\ * ¿ ¿ * ó d * 4

t l 5 . Desarrollar sen 3 z en una serie de M aclaurin. Resp. 2 —1 2” !»= i 4(2n — 1)!

116. D ada la serie ,2 + ^ + - ^ + _ j L _ + . . . .

(a) M ostrar que la sum a de los primeros n térm inos es S n(z) = 1 + z2 — 1 / ( 1 + z 2)n~ l .

(b) M ostrar que la sum a de la serie es 1 + z2 para z 0 y 0 para z — 0; y por esto, z = 0 esun punto de discontinuidad.

(c) M ostrar que la serie no es uniform em ente convergente en la región |z| ^ 8 donde 8 > 0.

3z — 3117. S i F(z) = — — ------ — , hallar una serie de Laurent de F (z) alrededor de z = 1 convergente para

(¿z — l)(z — 2 )J < |z - 1 | < 1 .

Resp. . . . _ £ ( * _ ! ) - . . + -f- (* _ i ) - i _ i _ (z — 1) — (z — 1)* —

118. Sea G(z) = (tan_ 1z ) / z 4. (a) Desarrollar G(z) en una serie de Laurent. (6) D eterm inar la región de

convergencia de la serie en (a), (c) Calcular ^ G(z) dz donde C es un cuadrado con vértices en 2 ± 2 i,

- 2 ± 2i. Resp. + + <fc) |z| > 0 (c) - 1 / 3

119. Para cada una de las siguientes funciones 2e1/1‘ , (sen2z ) /z , 1 / 2(4 — z ) que tienen singularidades en2 = 0: (a) dar un desarrollo de Laurent alrededor de 2 = 0 y determ inar la región de convergencia;(6) establecer en cada caso cuándo z = 0 es una singularidad evitab le, singularidad esencial o un polo; (c) calcular la integral de la función alrededor del círculo \z\ = 2 .

Resp. (a) 2 + 2 -» + 2 - 3/ 2 ! + 2 - 3/ 3 ! + • • • ; \x\ > 0 , 22 - 223/3 + 425/45 - ]z| £ 0, z -> /4 +1/16 + 2/64 + 2V256 + • • •; 0 < |z| < 4

(4) singularidad esencial, singularidad evitable, polo (c) 2 it¿, 0, s i / 2

« 1120. (o) Estudiar la convergencia de 2 ~T+ i/w- (4) ¿Contradice su respuesta a (a) el problema 8,

página 149? Resp. (a) diverge " 1

121. (a) M ostrar que la serie s n z — 1_ S?;° IL + B~~~~^ -f • • •, donde z = * + iy, converge absolutam entel 2 -i- 1 22 + 1 32 + 1

en la región lim itada por sen 2 * + senh2 y = 1. (6) D ibujar la región de (a).

122. S i |z| > 0, probar quecosh (2 + 1 / 2) = c0 + c¡(x + 1 / 2) + c2(z2 + I / 22) + • • •

- 2ir1 cdonde c„ = — I eos n) d<t>¿TT J a

123. Si f (2) tiene ceros sim ples en 1 — i y 1 + i, polos dobles en —1 + i y —1 — i, pero ninguna otra singularidad finita, probar que la función debe estar dada por

<7,1 — 22 — 22 + 2 . . . * (22 + 22 + 2)2

donde k es una constante arbitraria.

170 S ER I E S I NFINI TAS — S E R I E S DE TAYLOR Y DE L A U R E N T (CAP. 6

, . v 2"/2 sen(mr/4)124. Probar que para todo z, e- sen z - 2 ,------- i 2 'n=l n i125. M ostrar que ln 2 = 1 — ,l¡ + J ^ + ■ • ■, justificando todos los pasos. (Sugerencia. Usar el pro

blema 23.)00

126. Estudiar la convergencia uniforme de la serie 2 [1 + (n — l ) r ] | l + n z ] '(Sugerencia. Descom poner el n-ésim o térm ino en fracciones parciales y mostrar que la n-ésim a sum a

parcial es S„(z) = 1 ~ i i „ z ' ^

Resp. N o converge uniformemente en cualquier región que incluye z = 0; converge uniform em ente en una región |z| i 5, donde 5 es cualquier número positivo

127. S i 1 — i + ¿ — J + • • • converge a S , probar que la serie rearreglada 1 + ^ — J + ¿ + ^ — i + J"*"J + • • • = | S . Explicar.

(Sugerencia. Tom ar 1 /2 de la primera serie y escribirla com o 0 + J + 0 — J + 0 + J + • • • ; entonces añadir término por térm ino esta serie a la primera. Obsérvese que S = ln 2, com o se m uestra enel problema 125.)

128. Probar que la serie hipergeométrica. . o ' fc . q (g + 1 ) b(b + 1 ) 2 j . o (o + l ) ( o + 2 ) 6(5 + l)(fe + 2 ) z3 _j_

1 • e 1 • 2 • e(c + 1) 1 • 2 • 3 • c(e + l)(c + 2)(a) converge absolutam ente si |z| < 1 , (6) diverge para |z| > 1 , (c) converge absolutam ente parar = 1 si R e {a + 6 — c) < 0, (d) satisface la ecuación diferencial z ( l — z ) Y " + {c — (o + b + l)z }Y ’ - a b Y = 0.

129. Probar que para |z| < 1,, v> _ , , 2 z< , 2 - 4 z* , 2 > 4 ' 6 z* ,sen 1 z)2 = z2 + - • — + — — • — + ■■ ■ • — +

3 2 3 • 5 3 3 • 5 • 7 4M 1

130. Probar que 2 ^TTi diverge.

i - - - i - + • • • = 2 ln 2 - 1• 4 4 * 5

( A ) -

+

131. M ostrar que - i - - - i - + - i - - - i - + • • • = 2 ln 2 - 11 * 2 2 * 3 3 • 4 4 • 5

z6 + 1132. Localizar y clasificar todas las singularidades de ----- ..— —-rrz(z — l )3 (3z + 2Y

133. Empleando únicam ente propiedades de series infinitas, probar que

u> j l + o + £y + f r + + 6 + | t + + •■■}' = 1 1 + (<■ + II + (a

<» + {“-f?+s-s+-F - ■00

134. S i f(z) = 2 an*n converge para |z| < R y 0 ¿ r < R , probar queo — 0

f J |/(re'*)|2 de = 2 !a„|2r 2»^ 0 n = 0

135. Usar el problema 134 para probar la desigualdad de Cauchy (página 119), o sea

|/(s)(0)| S Ü L in l „ = 0 , 1 . 2 , . . .

136. Si una función tiene seis ceros de cuarto orden, y cuatro polos de 3o, 4o, 7o y 8o órdenes, pero ninguna otra singularidad en el plano finito, probar que tiene un polo de segundo orden en z = °o.

137. Establecer cuándo cada una de las siguientes funciones son enteras, meromorfas o ni lo uno, ni lo otro.

(o) z2e ~ ‘, (6) c o t 2z, (c) (1 — eos z)/z, (rf)coshz2, (c) z se n ( l/z ) , ( / ) z + l /z , (g) sen ' f z / ' f z , (h ) V senz.

Resp. (a) entera, (6) meromorfa, (c) entera, (d) entera, (e) ni meromorfa, ni entera, (f) meromorfa, (g) entera, (h) ni meromorfa, ni entera

138. Si — x < 9 < x, probar queln (2 eos 9/2) = eos e — J eos 29 + J eos 39 — J eos 49 + • • •

CAP. 6| S E R I E S I N FI NI T A S — S E R I ES DE TAYLOR Y DE L A U R E N T 171

139. (a) Desarrollar 1 /ln (1 + a) en una serie de Laurent alrededor de z - 0, y (6) determinar la región de convergencia.

/ > 1 , * * , *2 , 89r3 . . . . . . , . . .R e s p . ( a ) + . . . ( 6 ) 0 < j z | < l

140. S i S (z ) “ Oo-t- Qi2 + 02Z2 + • • *, probar que

= «o + ( ° o + a i)z + (“ o + “1 + 0"¡)z l + —1 — zdando restricciones si es necesario.

141. M ostrar que la serie1 1 1 1

O l . l A _L 1.1 d -1 + |z| 2 + |z| 3 + |z| 4 + |z|

(o) no es absolutam ente convergente, pero, ( i) es uniform em ente convergente para todo valor de z .

z"142. Probar que 2 — converge en todos los puntos de ¡z| S 1 excepto en z = 1.

»= i *

143. Probar que la so lución de z = o -+■ t; e!, que tom a el valor a cuando ( = 0, está dada por

_ A n*~* ena I"si 1(1 < |e-(o+ i)|. n = i « !

144. Encontrar la sum a de la serie 1 + eos e + — + C° * f - + • • • Resp. ecose eos (sen 6)21 3!

145. Sea F(z) analítica en el plano finito y supóngase que F(z) tiene un periodo 2x o sea F (z + 2x) = F(z ) . Probar que

F(z) = 2 « « e'"2 donde an = -5- I F(z) e ~ lnt dzn = - m ¿n Je

La serie se llam a la serie de Fourier para F(z) .

146. Probar que la serie

sen « -I- ¿ sen 3» + sen 5« +

es igual a x /4 si 0 < 8 < x, y a —x /4 si —x < 8 < 0.i «O

147. Probar que |z| =■ 1 es una frontera natural para la serie 2 2 _ " z* .n = 0

148. Si /(z ) es analítica y no idénticam ente cero en la región 0 < |z — zol < ñ , y si lim /(z ) = 0, probar«

que existe un entero positivo n tal que /(z ) = (z — zo)"g(z) donde g(z) es analítica en z0 y diferente de cero.

149. S i/(z ) es analítica en una vecindad reducida de zo y lim |/(z) | * 00, probar que z - Zo es un polo de /(z ) .z-Ato

150. Explicar por qué el problema 149 no se cum ple para /(* ) = e1/I’ donde x es real.

151. (o) M ostrar que la función /(z ) = eUl puede tomar cualquier valor excepto cero. (6) D iscutir la relación del resultado de (a) con el teorem a de W eierstrass-Casorati y el de Picard.

152. (o) Determ inar cuándo la función g(z) = z 2 — 3z + 2 puede tomar cualquier valor com plejo. (6) ¿Existe alguna relación entre el resultado en (a) y el de los teorem as de W eierstrass-Casorati y Picard? Explicar.

153. Probar el teorem a de W eierstrass-Casorati enunciado en la página 146. (Sugerencia. Usar el hecho que si z = a' es una singularidad aislada de /(z ) , entonces es tam bién una singularidad esencial de 1 /{/(* ) - A ).)

154. (o) Probar que a lo largo de cualquier rayo por z = 0, |z + e!| —> « .(6) ¿Contradice el resultado en (a) el teorem a de W eierstrass-Casorati?

172 S E R I E S I NF IN I TA S — S E R I E S DE TAYLOR Y DE L A UR E NT (CAP. 6

155. (a) Probar que una función entera /(z ) puede tomar cualquier valor, el que sea, con excepción posiblem ente de un solo valor.

(6) Ilustrar el resultado de (o) considerando f{z) = el y encontrando la excepción en este caso.(c) ¿Cuál es la relación del resultado con los teoremas de Picard y W eierstrass-Casorati?

156. Probar que cada función entera tiene una singularidad en el infinito. ¿Qué tipo de singularidad debeser? Justificar la respuesta.

157. Probar que: (o) = * - (1 + |)z * + (1 + | + ¿)z» - ■ ■ •, |z| < 1

2 2*4(6) {ln (1 + z)}2 = z2 - d + i ) ^ - + (1 + l + ~ • • • . 1*1 < 1

158. Hallar la suma de las siguientes series si |a| < 1 :oo «o

(o) 2 na" sen n i, (6) 2 n2a" sen n««=1 »=1

*2 *4 -5159. Mostrar que e**nK — 1 + z + + •••* |z| < °°.

2 8 15* zn

160. (a) M ostrar que 2 ~ z converge para |z| ^ 1.« = i n2

(6) Mostrar que la función F (z), definida com o la colección de todas las posibles prolongaciones analíticas de la serie en (a), tiene un punto singular en z = 1 .

(c) Reconciliar los resultados de (a) y (6).00

161. Sea 2 anz " convergente dentro de un círculo de convergencia de radio R. Existe un teorema quen = 1

establece que la función F(z) definida por todas las posibles prolongaciones analíticas de esta 3erie, tiene al m enos un punto singular sobre el círculo de convergencia, (a) Ilustrar el teorem a con varios ejem plos. (5) ¿Puede usted probar el teorema?

162. Mostrar que _ R 2 - r2 f 2n_________ XJ(<p) dj>_________2v J 0 R 2 — 2r R eos (s — <p) + r2

donde= (« n c o sn i + bn sen n i}

i f*2ir i r 2n= — I U(4>) e o sn # d f , f>„ = — 1 U(<ti) &enn<p d$ " J o * J o

z B 2z 2 B 3Z 5163. Sea = 1 + B¡z + — h + • • • . (a) M ostrar que los números B n, llam ados los números

de Bernoulli, satisfacen la fórmula de recurrencia (B + l ) n = B n donde B k se remplaza form alm ente por B» después del desarrollo. (6) U tilizando (a) determinar B j,Resp. (b) B | = ~ , B , — ^ , B j — 0, B 4 = ~~&Si &s = 0, B fl = ¿

164. (a) Probar que ~ ^coth — — 1 ^ . (¿) Usar el problema 163 y la parte (a) para demostrar

que B ¡¡t + I = 0 si k = 1 ,2 ,3 ,.

165. D educir los desarrollos en las siguientes series:

(°) coth* = i + f - ; h " - + + w < '

(6) cot* = 7 - f - £ + •••<-1)n:w f r : + •••■ W<-. . . 2z* 2(22n — l)B 2n(2z)2n_l

= * + 3 + T b + ---------- (2n)¡ |z| < z/2

1 z 7Z3 2(22n_1 — l)B 2nz2n_I(d) C8CZ + . . . t W < w

(Sugerencia. Para (a) usar el problema 164; para (6) remplazar z por ¿z en (a); para (c) usar tan z =cot z — 2 co t 2z; para (d) usar esc z = co t z + tan 2 / 2 .)

C a p ítu lo 7El te o re m a d e l re s id u o

C á lcu lo d e in te g ra le s y series

RESIDUOSSea f{z) unívoca y analítica dentro y sobre el círculo C excepto en su centro, el punto

z = a. Entonces, como se ha visto en el capítulo 6 , f(z) tiene una serie de Laurent en torno a z = a dada por

f(z) = j[) a „( z-a ) 'n = — so

= a0 + <zi(z - a) + a 2(z — a )2 + • • • + 4- • • • (I)

donde dn = dz n = 0, ± 1 . ± 2 , . . . (2 )

En el caso especial n = — 1 tenemos de (2)

£ /(z)dz = 2 Trta-t (3)

Formalmente (3) se puede obtener de (1) integrando término por término y utilizando los resultados (problemas 21 y 22, capítulo 4)

£ d z = í 2 n i P = 1 Í4 )J c (z — a)p 10 p = entero ^ 1 v '/ c (z — a)p \0 p — entero ^ 1

Ya que a -, es el único coeficiente en (I) que interviene en (3), a-¡ se llama el residuo de f{z) en z = a.

CALCULO DE RESIDUOSParece deducirse de (I) que para obtener el residuo de una función f(z) en z = a, de

bemos encontrar el desarrollo de Laurent de f(z) en torno a z = a. Sin embargo, en el caso donde z = a es un polo de orden k existe una fórmula simple para a~¡ dada por

a - ‘ = (5)

Si k = 1 (polo simple) el resultado es m uy simple y está dado pora - i = lim (z — a) f(z) (6)

z-+ a

el cual es un caso especial de (5) con k = 1, si definimos 01 = 1.

E je m p lo 1 : S i /(*) = ------ —í — , entonces z = 1 y z = —1 son polos de primero y segundo(z — l)(z + l ) z

orden respectivam ente. Tenem os, utilizando (6) y (5) con k = 2,

R esiduo en z * 1 ea lim (z — 1K 2 , l = -j-i - 1 (_(* — l ) ( z + l ) * J 4

R esiduo en z - - 1 es ^ lim ^ ± j(z + 1)» j,* ,— l j s ) } =

Si z = a es una singularidad esencial, el residuo se puede, algunas veces, encontrar usando desarrollos conocidos en series.

174 EL T E O R E M A DEL RESIDUO. C A LCULO DE I N T E G RA L ES Y S ER IES (CAP. 7

E je m p lo 2: S i /(z ) = e r •/*, entonces z = 0 es una singularidad esencial y del desarrollo conocidopara eu con u = — 1 / z encontramos

e - i /« = l - l - l - —í-------------í— + . . .z 2! z2 3! z3

del cual vem os que el residuo en z - 0 es el coeficiente de z = 0, igual a —1 .

EL TEOREMA DEL RESIDUOSea f(z) unívoca y analítica dentro y sobre una

curva simple cerrada C excepto en las singularidades a,b,c , . . . interiores a C con residuos dados por a -i, 6-i, c-i, .. . (Fig. 7-1). Entonces el teorema del residuo dice que

J>" f (z)dz = 27rt(a-i + 6- i + c -i + • • ■) (7)

es decir, la integral de f{z) alrededor de C es 2r.i veces la suma de los residuos de f ( z ) en las singularidades encerradas por C. Observe que (7) es una generalización de (3). Los teoremas y fórmulas integrales de Cauchy son casos especiales de este Fig. 7-1teorema (ver problema 75).

CALCULO DE INTEGRALES DEFINIDASEl cálculo de integrales definidas se realiza a menudo utilizando el teorema de residuos

junto con una función f(z) conveniente y un camino cerrado conveniente, la escogencia puede exigir gran ingenio. Los siguientes tipos son los más comunes en la práctica.

1. § F(x) dx, F(x) es una función racional.

Consideremos Q F{z) dz a lo largo de un contorno C que consiste del segmento

sobre el eje x desde —R a -f R y el semi-círculo T encima del eje x que tiene como diámetro al segmento (Fig. 7-2). Entonces hacemos que R-> <». Si F(x) es una fun

ción par, esto se puede utilizar para calcular ( F(x) dx. (Ver problemas 7-10.)

Fig. 7-2 F ig. 7-3

2. I G(sen 6, cos 6) dO, G(sen 6, cos 0) es una función racional de sen 0 y cos 0.J o

“Z — z~ * z I Z~ ‘Sea z = em. Entonces sen 0 = —t ; — , cos 6 = --------- y dz = ieie dO o2 i 2

d0 = dz/iz. Entonces la integral dada es equivalente a 4> F(z) dz donde C es el*'C

círculo unidad con centro en el origen (Fig. 7-3). (Ver problemas 11-14.)

X f eos mx')F(x)< \ dx, F(x) es una función racional.

„ [sen m x j

En este caso consideremos ^ F(z) eimc dz donde C es el mismo contorno como el

del tipo 1 (Ver problemas 15-17 y 37.)

4. Integrales varias donde intervienen contornos particulares. (Ver problemas 18-23.)

CAP. 7 1 EL T E O R E M A DEL RESIDUO. C A L C UL O DE I N TE G R A L E S Y S E R I E S 175

TEOREM AS ESPECIA LES QUE SE U TILIZAN EN EL CALCULO DE IN TEG RA LES

Al calcular integrales como las de los tipos 1 y 3 anteriores, es necesario frecuentemente

mostrar que J ' F(z) dz y J eimz F(z) dz tienden a cero cuando R -> °o. Los siguientes teo

remas son fundamentales,MT eo rem a 1. Si |F(z)| S ^ para z = Rew, donde k > 1 y M son constantes, en

tonces si T es el semi-círculo de la figura 7-2,

lim i* F(z) dz — 0(Ver problema 7). «— .*•

MT eo rem a 2. Si |F(z)| S — para z — Re'*, donde k > 0 y M son constantes,

entonces si T es el semi-círculo de la figura 7-2,

lim I eimzF(z)dz = 0> J r(Ver problema 15). r — » */r

EL VALOR PR IN C IPA L DE CAUCHY PARA IN TEG R A LESSi F{x) es continua en a g x g 6 excepto en un punto x0 tal que a < xa < b, entonces

si «, y í2 son positivos definimos

T F(x) dx = lim { í" F(x) dx + C F(x) dx Ja Í1 - .0 VJa +<t-*0

En algunos casos los límites anteriores no existen si t, ¥■ <2 pero existe si tomamos «, = <2 = (. En tal caso llamamos

r F(x) dx = lim { T F(x) dx + C F(x) dxJ a € ~ * ° U A i . * ^ x0 + <

el valor principal de Cauchy de la integral de la izquierda.

E je m p lo :r * dx _ d x í ' 1 d x 1 _ f 1 1

J , z J ' Jt, x3 / " .,'-0 j 2< ¡ 2,;

no existe. S in em bargo, el valor principal de C auchy con e, = e2 = e existe y es igual a cero.

DIFERENCIACION BAJO EL SIGNO IN TEG R A L. REGLA DE LEIB N ITZUn método útil para el cálculo de integrales emplea la regla de Leibnitz para la diferen

ciación bajo el signo integral. E sta regla dice que

d C ” v C bdF

176 ÉL T E O R E M A DEL RESIDUO. C A L C UL O DE I NT E G RA L ES Y S ER IE S 1 CAP. 7

La regla es válida si a y 6 son constantes, a es un parám etro real ta l que ai á a £ a2 donde ai y a2 son constantes, y F(x, a) es continua y tiene una derivada parcial continua con respecto a a para a S r i i , a , í a S a2. Se puede extender a casos donde los límites a y b son infinitos o dependientes de a.

SUMA DE SERIESEl teorema del residuo se puede utilizar frecuentemente para sumar varios tipos de series.

Los siguientes resultados son válidos con ligeras restricciones sobre /(z) las cuales generalmente se satisfacen cuando las series convergen. (Ver problemas 24-32 y 38.)

oo1 . 2 f(n ) = ~ {suma de residuos de x cot r.z f(z) en todos los polos de f(z)}

— 00

ao

2 . 2 (—1 )"/(M) = — (suma de residuos de r esc r.z f(z) en todos los polos de f(z))

3. 2 / ( — 5— ) = {suma de residuos de r. tan r.z f(z) en todos los polos de/(z)}2

4. 2 (-1)" / = {suma de residuos de a sec r.zf(z) en todos los polos de f{z)}

TEOREM A DEL DESARROLLO DE M IT T A G -L E FFL E R1. Suponga que las únicas singularidades de /(z) en el plano finito z son los polos simples

Oj, a2, a¡, . . ordenados en valor creciente de valor absoluto.2. Sean los residuos de f{z) en a¡, a2, bu b2, 63 ,. . . .3. Sean C/v los círculos de radio R y que no pasan por ningún polo y sobre los cuales |/(z) | < M,

donde M es independiente de N y RN —> <» cuando N -» « .

Entonces el teorema del desarrollo de Mittag-Leffler dice que

m - + ¿

ALGUNOS DESARROLLOS ESPECIA LES

1. esez = -i - 2z ( ■ V - + 1 ■ - • •z \Z — ir Z — 4tt Z2 — 9tt2 /

2 «ecz = _ / í___________ §______. 5 _ \' V (tt/2)2 — z- (3w/2)2 — z2 (5tt/2)2 — z2 )

3. tan z = 2z _ ?2 + (3jr/2)2 _ 2* + (57r/2)2 _ ^ ' •)

4. cotz = j + 2z + • • ■)

5. csch z = - - 2z ( - y i—; -- 1- — + ■ ■■1.—- — • • • \2 \ z 2 + 7T z2 + 4tt2 z2 + 9tt2 /

6. sechz = 7T rt/2)2 + z2 - (3^ 2)2 + z2 + ( f ^ p T z 2 ' " )

7. tanh z - 2z + (_/2)2 + 22 + (3T/2 )= + z2 + (5ir/2)2 + " ‘)

8. cothz = i + 2 z ( - ^ + -TJ i - T + - r I ^ +

CAP. 7| EL T E O R E M A DEL RESIDUO. C AL CU L O DE I N T E G RA L ES Y S ER I ES 177

P r o b l e m a s r e s u e l to s RESID U O S Y EL TEOREM A DEL RESIDUO1. Sea /(z) analítica dentro y sobre una curva simple cerrada C, excepto en un punto a

interior a C.(а) Probar que

f(z) = ¿ a„(z — a)" donde a " ~ 2 ~i .£ (z - a )»*1 ” = ° ’ ±1, ±2, ' ' 'o sea, /(z) se puede desarrollar en una serie de Laurent convergente alrededor de z = a.

(б) Probar que JT f ( z)dz — 2ttÍ í i-\

(а) E sto se deduce del problema 25 del capitulo 6.

(б) S i hacem os n = —1 en el resultado de (a), hallam os

2.

Fig. 7-4

3 .

a - i = (t f ( z ) d z , o sea <X> f ( z ) d z = 2iri'a_,2*1 J c . / c

Llam am os a _ i el residuo de /(z ) en z = a.

Probar el teorema del residuo. Si /(z) es analítica dentro y sobre una curva simple cerrada C, excepto en un número finito de puntos a, b, c , . . . dentro de C en los cuales los residuos son a_1; b-i, C-1, . . . respectivamente, entonces

f ( z)dz = 2rri(a-i + 6 -1 + C- 1 + • ■ •)•'C

es decir, 2%i veces la suma de los residuos en todas las singularidades encerradas por C.

Con centro en a, b, c, . . . respectivam ente construyam os círculos Cj, C2, C3, . . . que estén totalm ente incluidos en el interior de C com o se indica en la figura 7-4. E sto se puede hacer ya que a, 6, c, . . . son puntos interiores. Según el teorem a 5, página 98, tenem os

<í f(z) dz = <£ f(z) dz + ^ f (z) dz + y f (z) dz +c * c i * c2 * c3

Pero por el problema 1,

^ f (z) dz = 2r-ict-i, ^ f (z) dz = 2 i r i b - lt ^ f(z) dz = 27ric_1,* c, * c2 ‘ c 3

E ntonces de ( i) y (2) tenem os, com o se buscaba,

^ f { z )d z = 2r t ( a _ 1 + 6 _ 1 + c _ 1 + - * - ) = 2 r i (suma de residuos)

La prueba dada aquí establece el teorem a del residuo para regiones sim plem ente conexas que contienen un número finito de singularidades de f ( z ) . Se puede extender a regiones con infinitas singularidades aisladas y a regiones m últiplem ente conexas. (Ver problemas 96 y 97.)

Sea f(z) analítica dentro y sobre una curva simple cerrada C, excepto en un polo a deorden m interior a C. Probar que el residuo de f(z) en a está dado por

a- = 1 i™ ( ^ T y r l ^ í ^ - a)m/(2)>

a i

(2)

Método l.

f(z) =

Si f{z) tiene un polo a de orden m, entonces la serie de Laurent de f (z) es

® — m a — m + 1 . _J_ a —1(z — a)m (z — a)m 1

+ ----- — 4- cíq + a 1(2 — a) + (Z2 (2 — a)2 +2 — a ( i)

178 EL T E O R E M A DEL RESIDUO. C AL CUL O DE I N T E G RA L ES Y S ER I ES (CAP. 7

Entonces m ultiplicando am bos lados por (z — a)m, tenem os

(z -a V » /( z ) = a _ m + o _ m + I ( z - a ) + • • • + O - ^ z - o )"*-1 + o0(z - o)™ + •• • (2)

E sto representa la serie de T aylor en torno a z = a de la función analítica de la izquierda. D iferenciando am bos lados m — 1 veces con respecto a z, tenemos

{(z - a)m f(z)} = ( m - l ) ! a _ , + m (m - 1 ) • • • 2a0(z - o) + •••

D e tal m odo que haciendo z - * a,dm -l

l im dzW- , {(z - g )1"/(z)> = (m — 1 )! a _ ,

de lo cual el resultado buscado se deduce.

Método 2. E l resultado buscado tam bién se deduce directam ente del teorem a de T aylor observandoque el coeficiente de (z — a)"1-! en el desarrollo (2 ) es

Método 3. Ver problema 28, capítulo 5.

• 2 — 2 z4. Encontrar los residuos de, (o) f(z) = — — --- - 2— — y (b) f(z) = e' esc2 z en todossus polos en el plano finito. (z + 1 ) (z + 4)(a) /(z ) tiene un polo doble en z = — 1 y polos sim ples en z = ± 2 t.

M étodo 1.E l residuo en z = —1 es

E l residuo en z = 2t es

+ n z . _ i i n 2 z _ l _ .. (z2 + 4)(2z — 2) — (z2 — 2z)(2z) _ _ 1 4' (z + l ) 2(z2 + 4) j ~ (z2 + 4)2 ~ 25

Jim j (z 2¡) • { z + l ) 2 ( z _ 2f)(z + 2f)| - 4 - 4t 7 + i(2i + l ) 2 (4í) 25

E l residuo en z ■=■ — 2t

lim I ( t + 2 .1 « » - 2 z 1 _ - 4 + 4Í _' ( z + l ) 2 ( z - 2 í ) ( z + 2 i ) J ” ( —2 t + 1 )2 ( —4 i ) _ 2 5

Método 2.E l residuo en z = 2t es

= ( lim lim* - 2 i l ) 2(z2 + 4 )J [ * - 2 i ( z + l ) 2J [ z - 2

z — 2 i(z + 1 )2J ^z-»2<Z2 + 4

- 4 - 4t 1 —4 — 4t 1 7 + t• lim — =(2t -h 1)2 Z ^ 2 i2 z ( 2 i+ l ) 2 4t 25

utilizando la regla de L’H opital. D e manera análoga, o remplazando i por —i en el resultado, podem os obtener el residuo en z — — 2¿.

et(6) f ( z ) = ez esc2 z = o » tiene polos dobles en z = 0, ± x, ± 2x, . . ., o sea z = m x donde m = 0,

± 1 , ± 2 . . . . 86n Z

Método 1.E l residuo en z = mx es

e'[(z — mv)2se n z + 2(z — 7mr)sen z — 2(z — « r )1 cos z]= lim ----------------------------------------- ¡—------------------------------------í-m * sen3 z

7| EL T E O R E M A DEL RESIDUO. C A L C U L O DE I N T E G R A L E S Y S ER IES 179

H aciendo z — mx = u o z = u + mx, este lím ite se puede escribir

lim e“ + "»' f“2gen“ + 2» senu - 2» 2 coau] u-*o sen3 u

= e”>»{ j.m » 2 s e n u + 2tt s e n u — 2u2 eos w | u -» o sen 3 a

observar para el primero que lim — — = lim ( —— ) = 1 y de este m odo escribir el lím ite

E l lím ite entre llaves se puede obtener utilizando la regla de L’H opital. Sin em bargo, es m ás fácil

/ « y _ júü'ósen3 u ú ~o V sen a )VUU1U

f u2 se n u + 2u sen w — 2u2 eos u u3 \em,r lim ------------------------- =----------------------- • r—u -» o \ u3 sen 3 uy

_ Um a 2 se n a + 2a sen a - 2a 2 eos a _ emT«-*o a 3

utilizando la regla de L’H opital varias veces. A l calcular este lím ite puede utilizarse, en lugar de esto, los desarrollos en serie sen u = u — u3 /3! + • • • , eos a = 1 — a 2 / 2! + • • •

Método 2. (utilizando series de Laurent).E n este m étodo desarrollamos f ( z ) — e! esc2 z en una serie de Laurent en torno a z = mx

y obtenem os el coeficiente de l / ( z — mx) com o el residuo buscado. Para hacer los cálculos m ás fáciles supongam os z = u + mx. E ntonces la función para desarrollar en una serie de Laurent en to m o a u = 0 es em*+“ esc2 (mx + u) = emT eu esc2 u. U tilizando el desarrollo de M aclaurin para e“ y sen u, encontram os usando división com pleta

e m n e u e s c 2 « —

y así el residuo es em"'.

( i + u + § 7 + f y + • • • ) «m’ ( i + « + y + • • • )

7 « 3 , « 5 Ñ2 ~~ , / , u2 , u< Ñ2( “ 3! 6 ! " ■ ) u ( * 6 120 '■ ' )

e - ( i + u + | Í + . . . ) , 1 , 5 , » , \

— — 5 - ^ 5 — - T = ( ü 2 u 6 3" " " /U ( 1 _ T + 1 T +

Encontrar el residuo de F(z) = —--2— en z = 0.

T enem os com o en el m étodo 2 del problema 4(6),

eos z cosh zF(z) = z3 sen z senhz

H + - )- ( - S - )

' (- ír+S--X*+S+ir+-)

y así el residuo (coeficiente de 1 /z ) es —7 /4 5 .

O tro método. E l resultado tam bién se puede obtener encontrando

lim hÑ -j -j \ z3 cosh 2 \z-*o 4! az* z3 se n z senh zj

pero este m étodo es m ucho m ás laborioso que el dado antes.

Calcular dz alrededor del círculo C con ecuación \z\ = 3.2 trt J c z (z + 2 z + 2 ) 1

eztE l integrando + 2z + 2) t*ene un P°'° doble en z = 0 y dos polos sim ples en z - —1 ± i

(raíces de z2 + 2z + 2 = 0 ) . T odos estos polos están dentro de C.

180 EL T E O R E M A DEL RESIDUO. C A LCULO DE I N T E G RA L ES Y S ER IES (CAP. 7

E l residuo en z = 0 es

.. 1 d í , e*‘ 1 _ .. (z2 + 2z + 2)(te“) - (e“)(2z + 2) t - 1i í í i 1! dz | Z z2(z2 + 2z + 2) | ¡ i? , (*2 + 2z + 2)2 2

El residuo en z = — 1 + i

Z 2 ( Z 2 + T T ó T i = W» M M»2z + 2) J z -* —i + i z J z — i + í |jt2 + 2z + 2J

e( - i + Of i

E l residuo en z = — X — i

lim / [* — — ')] z2(z2 +- 12z 4- 2) j

( - 1 + i)2 2 i

r( - 1 - i)t

E ntonces por el teorema del residuo

e*<

i rc z2(z2 + 2z + 2)dz = 2,ri (sum a de residuos)

— 277 i

„ . f í - 1 , e < -‘ + ¡» ,2 r ,\ “ + — — + ~ r ~ ]

‘ { n r + r ” ‘ cost}

2ir» Jcrc z2(z2 + 2z + 2)- d z = í i + i e ~ < c o s t2 2

INTEGRALES DEFINIDAS DEL T IP O f " F(x)dx— 00

7. Si |F(z)| £ M / R k para z = Reie donde k > 1 y M son

constantes, probar que lim ( F(z)dz = 0 donde T es elr - « , / r

semi-círculo de radio R que se indica en la figura 7-5.Por la propiedad 5, página 94, tenem os

F(z) dz I £ r « =

—R

I I R k

puesto que la longitud del arco L - %R. Entonces

lim F (z )d z | = 0 y así

F ig . 7-5

lim f F(z) dz = 0

M 18. M ostrar que para z = Re'*, |/(z)| fi — , & > 1 si /(z) = ^ +

Si z = R e*, |/(z)| = 1|R«e«L| _ ! - S si f í es lo suficientem enteR 6e«'« + 1 |

grande (digamos ñ > 2, por ejem plo) de m odo que Ai = 2, k = 6.

Observe que hemos usado la desigualdad |z4 + z2| i |zi| — |z2| con z¡ = f í6e6,e y z2 = 1.

9. Calcular

Considerar ^ , donde C es el contorno cerrado de la figura 7-5 que consiste del segm ento

desde — R a R y el semi-círculo 1\ recorrido en el sentido positivo.

CAP. 7] EL T E O R E M A DEL RESIDUO. C A L C UL O DE I N T E G RA L ES Y S ER IES 181

P uesto que z 6 + 1 = 0 cuando z = e**/8, e3lr,/8, e817*28, e7lri/6, í>9t!/íí1 (?1 lrl/0, estos son polos sim ples de 1 /( z 6 + 1). Solam ente los polos e**/*, e3* '/6 y e3*'/* están dentro de C. E ntonces utilizando la regla de L’H opital,

' r '■E l residuo en e1"78 = lim J (z — e'r,,e) -¿-jr— > = lim ¿ = 4 e ~

\ ' z * +l j *_,»>/« 6* 65i r i /6

E l residuo en e3!ri/8 — lim \ (z — e3'r,/e) , ^ y l = lim — z = i e 5lri/2j „ e 3>ri/6 (_ Z ° + 1 J J _ e 3 i r i / s 6 z 5 6

E l residuo en e5,ri/8 — lim < (z — eiTl/e) . ^ , l = lim -r—r = i e -25lri/8„ ^ / 6 [ ' z 8 + l j „ , s t í / e 6zs 6

D e tal m odo que £ = 2wi { ¿ e _5,r,/8 + £ e -5 ",/2 + ¿ e _25lrl/8} = 2 TT3

° sea’ z n r r + = t W

Tom ando el lím ite a am bos lados de (1) cuando R —» <e y utilizando los problem as 7 y 8, tenem os

C R d x f " da: 2 irJ _ . **+ " í = "s v

f “ d x C'° dxPuesto que J = 2 J gg + , la integral buscada tiene el valor it /3 .

10. M ostrar que a;2 da: 7 tt

(zs + l)2 (x2 + 2x + 2) 50Z^

Los polos de 2a 4- 2) encerrac*os P °r e* contorno C de la figura 7-5 son z = i de

segundo orden y z = — 1 + i de primer orden.

E l residuo en z = i es l i m ¿ j ( z - O2 ( f + ^ (f _ g (<1 + + 2)} ‘ = ^ i z i 2 .

E l residuo en z = - 1 + i es J j m + < (z + 1 - 1) (t« + 1)2 (g + f _ ^ + t + t-j =

i— . jC z2 dz „ . Í 9 Í - 1 2 , 3 - 4 » ! 7vE ntonces (*J + l ) i ( í2 + 2z + 2) { 100 25 f

i '_ R (z2 + l )2 (*2 + 2z + 2) + X

50

z2 dz _ 7 -r (z2 + l )2 (z2 + 2z + 2) 50

Tom ando el lím ite cuando R —> oo y observando"que la segunda integral tiende a cero según el problem a 7, obtenem os el resultado buscado.

IN TEG RA LES DEFIN ID A S DEL T IP O | G (s e n 0, e o s 9) deJo

11. Calcular, 2tr

deJ rtíTT

o 3“ ^'o 3 — 2 e o s 9 + s e n 9 ’

Sea z = e íe. E ntonces sen 9 = - — —^ , eos » = e * — - = 2 *— , dz = tzd#de m odo que 2. 2 . 2 2

f ' ________ * ________ = * « ■ _____________ = r 3 dzJ 0 3 — 2 eos 9 + sen« 3 — 2(z + z - 1 )/2 + (z — z - 1)/2t (1 — 2¿)z2 + 6¿z — 1 — 2t

donde C es el círculo de radio uno con centro en el origen (Fig. 7-6).

182 EL T E O R E M A DEL RESIDUO. C A L CU L O DE I NT E G RA L ES Y S ER IES [CAP. 7

Los polos de ( i _ 2¡)z'¿ + 6iz — 1 — 2i son 'OS P°*os s'm Ples

- 6i ± V (6i)2 - 4(1 - 2í)(—1 - 20 * 2(1 - 2 í)

- ~ 6 t ~ 4 * = 2 - 1 , (2 — i)/52(1 - 2i)

Solam ente (2 — i ) / 5 está dentro de C.

E l residuo en (2 - 0 /5 = J i m ^ <* ~ <2 ~ 1>/6 > { (1 - 2 i)z2 + \ ü - 1 - « }

lim por la regla de L’H opital.

Entonces ® --------------- íLí??--------------- = 2ir¿ ( ¿ ) = v, el valor buscado.(1 - 2 í)z2 + 6 iz - 1 - 2 i \ 2 i /

X 2f—

de 2 ?r

+ b sen 0 \/a 2 - b2_ ,/j _ gid — g — id 2 —Sea z = e'6. E ntonces sen 6 — —

c2ir2i

si a > |6|.

, dz = iete d t = iz d t de m odo que2 i

r d t = £ dz/ iz = ra + b s e n í J r a + b(z — z _ 1) /2i J r

2 dz6(z — * - i ) / 2¿ J c bz2 + 2aiz — b

donde C es el circulo de radio uno con centro en el origen, com o se m uestra en la figura 7-6.

Los polos de6z2 + 2aiz — 6 se obtienen resolviendo i z 2 + 2atz — 6 = 0 y están dadas por

—2oi ± i ~ 4 a 2 + 462 _ —ai ± i a 2 — b2 i 2 “ 26 ~ 6

-a + -Ja2 - 621 . í - o - V »2 —5*

— t — M — *—Solam ente —a ^ - i está dentro de C, puesto que,6

—a + i a2 — 62 . V a2 — 62 — a V “2 — 52 + ° 66 1 6 i a2 - 62 + a (V a2 - 62 + a)

< 1 si a > |6|

El residuo en z, = a i = lim (z — z^

= lim

z-z, 1

6z2 + 2oiz — 6

1

por la regla de L’Hñpital.2—í, 26z + 2ai bz¡ + a i y/a2 - 62 i

Entonces ® i —, :------ r — 2v i ( , el valor buscado.6z2 + 2aiz - 6 W a 2 - 62 i / V a 2 - 62

J~2i

o

eos 30 d9 =5 — 4 eos 0 12

» Z + Z - 1 „ pZiO 4. g —3iS ¡j3 + z —2Si z = c , entonces eos t = , eos 3« = -— — - = , dz - iz d t de m o

do que 2---------------------------------2 2

Í•Sñeos 3 e

5 — 4 eos e de _ £ (z® + z~®)/2 dz _ _ 1 _ r Z« + 1 .J c 5 - 4(z + z -> )/2 iz 2i X

donde C es el contorno de la figura 7-6.rc 5 - 4(z + z - ! ) /2 iz 2i J c z3(2z - l)(z - 2)

El integrando tiene un polo de tercer orden en z = 0 y un polo sim ple z = J dentro de C.

El residuo en z = 0 es I t a j i g {** • ^ (22^ - 2 )} = T '

E l residuo en z - i es ^ { ( z - J ) • + ¿ _ 2)} = - g .

CAP. 7] EL T E O R E M A DEL RESIDUO. C A L CU L O DE I N TE G R A L E S Y S E R I E S 183

E ntonces -i£ ^ z - 2) = "k ^ { t " Ii} = Ú com o se buscaba.

od6 5n

'o (5 — 3sen0 )2 3 2 'H aciendo z = e i9, tenem os sen 8 = (z — z-1 ) /2 i , d z = iete dti = jzd e y de este m odo

C d» = dz/iz = _ 4 /• zd zJ 0 ( 5 - 3 sen #)2 J c <5 - 3(z - z - ‘) /2 i}2 i J cs c (3z2 - lOtz - 3)*

donde C es el contorno de la figura 7-6.. . . . , . _> 10» ± V -1 0 0 + 36 10. ± 8»E l integrando tiene polos de segundo orden en z = --------------------- = - - = 3 1, i / ó .

Solam ente el polo i / 3 está dentro de C.

E l residuo en z = i / 3 = ^lim ¿ | ( z - »/3)2 • (3, 2 _ ^ _ 3)2|

= Z-T/S d i { (* ~ */3 ) í ' (3z - t-)2 (z - 3*)2} = _ 256

E ntonces ~ 7 ^ (3z2 - * o L - 3)¿ = " ^ ( í s t ) = f f

Otro método.D el problem a 12, tenem os para a > |6|,

"2* de _ 2*70 a + b sen# \ /« 2 _ i)2

E ntonces diferenciando am bos lados con respecto a a (considerando b com o una constante) u tilizando la regla de Leibnitz, tenem os

± c *• = C U 1 V* = - C £__da J o a + b sen# J 0 d a \ a + b se n # ) J 0 (o + b se n #)2

d_ ( 2w \ _ - 2

da \ V o 2 - 62/ (“2 -—2 íra

62)3/2

es decir f d> - 2rn’ Jo ( a + 5 se n #)2 “ (a2 - 62)2'2

H aciendo o = 5 y 6 = — 3, tenem os

^ d# _ 2*(5) _ 5*3 se n #)2 (52 — 32)3/2 32

J<+ZV

o ( T ^

INTEGRALES DEFIN ID A S DEL T IP O r ... „ feos m x} .| F(z) 4 > dx' (senmxjM15. Si |F(z)| £ — para z = 7?e‘9 donde k > 0 y M son constantes, probar que

lim f eimI F(z) dz — 0

donde T es el arco semi-circular de la figura 7-5 y m es una constante positiva.

Si z = R e 16, J" eim* F(z) dz = eimRt'e F (R e w) iRe ie dg. E ntonces

184 EL T E O R E M A DEL RESIDUO. C AL CUL O DE I N T E G RA L ES Y S ER IES tCAP. 7

j eimR'ie F ( f í ew) ¡«<¡19 de £ f | e‘mRe18 FiRe'O) iRe‘* \ de0 -'O

— r ¡ e tm R c o s* - m Rnen« « ( « e W) t S e 18 | d eJ o

= f ( - » « « » < | f ( ñ c i8)| ¡R diJ o

MR k

d _ r ’ - ' J o

e -m R * e n « ¿g 2M R k

•l r' - ‘ Jo

’ de

Ahora sen 6 S 28/x para 0 ¿ 8 S i / 2 , com o se puede ver geom étricam ente de la figura 7-7 o analíticam ente del problema 99.

Entonces la líltim a integral es menor que o igual a_2M R k

\4_ f ”Jo

Me - 2 m R 6 / r r = J íIU L . ( 1 _ e - m R )m R k 9

Cuando R —► » esto tiende a cero, ya que m y k son positivas, y el resultado buscado está demostrado.

16. M ostrar que C dx — ~ e~m, m > 0.J 0 x2 + 1 2

Considerar <S dz donde C es el contorno de la figura 7-5. E l integrando no tiene polosJ c z2 + 1

sim ples en z = ± i, pero solam ente z = i está dentro de C.

El residuo en z = i es { gimx J e - m(z — i ) - ------ V — — Ent onces

(z - i)(z + t)J 2»dz = 2jri ( ¥ )

o sea,

y así

j c *2+ i

pimx C pimz+ I -r-r-T d* = mK X2 + 1 */ p Z2 + 1

C R s o s m x d x + i C d x + ( dz = we -• J - R X 2 + 1 J _ R X 2 + 1 J p Z2 + 1

2 CR cosm* d C eí f_ dz =J 0 x2 + 1 J r z2 + l

Tom ando el lím ite cuando R oo y utilizando el problema 15 para mostrar que el integrando alrededor de T tiende a cero, obtenem os el resultado buscado.

17. Calcular £ 3 sen trx x2 + 2x + 5

Considerar - z8tlr*

dx.

: d i donde C es el contorno de la figura 7-5 el integrando tiene polossq *—r 2z + 5

sim ples en z = —1 ± 2 i , pero solam ente z = — 1 + 2 i está dentro de C.

Eltonces

residuo en z = - 1 + 2 i es lim ■< (z + 1 — z -> - 1 + 2i [

2i)«lir*

z2 + 2z + 5 = (—1 + 20

(1 - 20 e -2 ’'

4t En-

r . X2 + 2x + 5d x + f —•Ir 22 + 2z + 5

dz í (1 — 2i)e~2tr

■ í R x 2 + 2x 4- 5d x 4- i r 2

J -R ** + 2x + 5dx + Xr . . + l m * =

CAP. 7| EL T E O R E M A DEL RESIDUO. C A L CU L O DE I N T E G R A L E S Y S ER IE S 185

Tom ando el lim ite cuando R —» «o y utilizando el problema 15 para mostrar que el integrando alrededor de T tiende a cero, esto se convierte en

r z ct x 2 + !

■ d x + i■ 2x + 5

Igualando las partes real e imaginaria

* eos wx

O I O TT ^ x = 77 e 2ir — ljre 2n+ 2x + 5 2

dx — —e~*n.x2 + 2x + 5 2 f .

x sen?rx dx =, x2 4- 2x + 5

D e tal m odo que adem ás de la integral buscada hem os obtenido el valor de otra.

IN TEG RA LES DEFIN ID A S VARIAS

18. M ostrar que í ^ - d z =

E l m étodo del problema 16 nos induce a considerar la integral de e'! / z alrededor del contorno de la figura 7-5. S in em bargo, puesto que z = 0 está sobre el cam ino de integración y com o no podem os integrar a través de una singularidad, m odificam os el contorno evitando z = 0 , com o se m uestra en la fi

gura 7-8, y designam os al nuevo contorno por C ' o A B D E F G H J A .

Puesto que z = 0 es exterior a C ', tenem os

0£ — dz = z

Fig. 7-8

r * - d x + r ^ d z + C e- d x + c * d z = oJ - R * J z x _ J z

- x e

r

H J A B D E F G

R em plazando x por —x en la primera integral y asociando con la tercera integral, encontram os

r K2ÍÍ ’

+ J ? dz + f £ dz = o H J A B D E F G

- - / ? * - / f *H J A

H aciendo que « —> 0 y R oo. Según el problema 15, la segunda integral a la derecha tiende a cero. H aciendo z = eew en la primera integral a la derecha, vem os que se aproxima

'■*0 . i H .V i— lim f e<t,la i < eie de = — lim f <«*"** da —

c — 0 j n ee10 t — 0 J-n

ya que el lím ite se puede tom ar dentro del signo integral.

E ntonces tenem os

lim 2 i f 8611 x d x = ?-♦» */c xR €-*0 £

sen se o *

dz — —2

19. Probar que

sen a:2 d z = cosz2 dz- 1 V i

Sea C el contorno indicado en la figura 7-9, donde A # es el arco de un círculo con centro en O y radio R . Por el teorema de Cauchy,

186 e l Y e o r e m a d e l r e s i d u o , c a l c u l o d e i n t e g r a l e s y s e r i e s (CAP. 7

£ e'*' dz + J " e ,z' dz + J~ e dz = 0 (i)

Ahora sobre O A, z = x (desde x = 0 a x = R ); sobre A B , z = R e ie (desde 0 = 0 a 6 = x /4 ); sobre BO, z = rexi/* (desde r = R a r = 0). Por esto de (2),

r eix2 dx + í" e’R2?2,e iRe'O de + f ewí/4 dr =*2 o •'o

12 )^ tt/4

| e<x* dx + I 7 o Jo

j (co sx 2 + i s e n x 2)d x = e™74 T e- r * dr — f e,R* - R2«en26 í r cío (3)o ‘'O ^0

le (3) cuando 2? —> « . La primera integral a la d

/ ; • - * - f - - - s V i+ í V*

Consideram os el lím ite de (3) cuando / ? —> « . La primera integral a la derecha será (ver el problem a 14, capítulo 10)

eni/<

El valor absoluto de la segunda integral a la derecha de (3) es

1 í*v,A • /•»/*| J eiR cos20 ~ 26 iReid d*| £ J e~«2*®“2« 2? di

v /2

(4)

= 2 Joe - R 2aen<t>

0

p r v/2— I e -2R*<t>/v d<t>2 J o

donde hemos usado la trasformación 29 = <¡> y la desigualdad sen <¡> £ 2 <}>/•*, 0 S <J> g n /2 (ver problema 15). E sto muestra que cuando fi -> « la segunda integral a la derecha de (3) tiende a cero.E ntonces (3) se convierte en

(eos** + ise n * * )d * = +

e igualando las partes real e imaginaria tenem os, com o se buscaba,

£ e o s x * d x = sen x* d x = |

20. M ostrar que T dx = —- — , 0 < v < 1.J 0 1 + x sen V*

Considerar <J> — - - dz. Y a que * = 0 es un J c l + *

punto de ramificación, elijamos C com o el contorno de la figura 7-10 donde el eje real x positivo es la linea de ramificación donde A B y G H coinciden realm ente con el eje x pero se indican separadam ente por claridad visual.

E l integrando tiene el polo sim ple z = —1 dentro de C.

E l residuo en z = — 1 = eT‘ es

lim (* + l ) í ü l i = (e”>)p-i =« - - i 1 + z

E ntonces <l> dz = 2r ie lp~ ,>Ii u, omi-J c 1 + 2

tiendo el integrando, Fig. 7-10

7| EL T E O R E M A DEL RESIDUO. C A L C UL O DE I N T E G R A L E S Y S E R I E S 187

J'+ S * S * S - 2 v ie iJ>~ l)niA B B D F .F G G H

D e este m odo tenem os

f fi *■>-* . C * (Re")v-U Re"d<> , f* (ze2"‘)P-¡J , lT* J0 1 + R e " J R 1 + *«*■* dX

C Q (eeie)p~ l u e *X. i +

T ■ ° (te;9)-, ' ú e ^ d e _ 2 rie (p _ 1)rt

donde hem os usado z = xe2X1 para la integral a lo largo de G H , ya que el argum ento de z aum enta en 2tc al dar vueltas alrededor del círculo B D E F G .

T om ando el lím ite cuando « —> 0 y i? —» oo y observando que las integrales segunda y cuarta tienden a cero, encontram os

r * XP-1 , r ° g27ri(p-l) XP ~ l ,I dx + | -------------------d x = 2ve(p~ l)iri

J o 1 + x J * 1 + xo

( l _ e2iri(p-l)) f í ! L l i rf* _ 2irie<p-,>*i 1 + *

de m odo que. _ 2r i «<»-»•* _ 2 v i

J 0 1 + * 1 - «2iri(p-l> “ eprt _ ee piri _ e - p i r f 8 e n p w

Probar que J* cosh ax dx =cosh x 2 cos (tto/2)

Considerar ® *** ■ dz donde C es unJ c cosh z

rectángulo con vértices en —R , R , R + xi, - R + x i (Fig. 7-11).

Los polos de ea! /co sh z son polos sim ples y ocurren donde cosh 2 = 0, o sea, z =(n + i)it¿ , n = 0, ± 1 , ± 2, . . . . E l único polo encerrado por C es x i / 2.

donde |a| < 1.

E l residuo de e<“ cosh z

en 2 = x i / 2 es

lim (z — vi/2) - ,z ~ * n i /2 C O Sh 2

E ntonces por el teorem a del residuo,

e a r r i /2

senh(iri/2 ) i sen (v/2)— — j g a v í / 2

f -cosh 2 dz = 2vi(—iea'rt' 1) = 2vea'ri/2

E sto se puede escribir

r* dx + f i d y + r RJ _ R cosh x J 0 cosh (R + iy) J R

e a ( x + ir i)

R cosh (x + vi)

0 ea(-R +l»)

d x

f„ cosh (—R + iy)i d y = 2veani/2 U )

Cuando R —» oo la segunda y cuarta integrales de la izquierda tienden a cero. Para m ostrar esto consideremos la segunda integral. Puesto que

| cosh (R + iy) | =

tenemos

I g R + ¡y 4. e -R - i» |

IX';2

g ü ( R + i y )

|eR + ‘v| - le -* -* » !} ^ ( e R _ e - R ) g £ e R

i dy = e n * - ^ « ‘“' “ rJo i ecosh (R + iy)

y el resultado se deduce observando que el lado derecho tiende a cero cuando R —» oo puesto que |a| < 1.

188 EL T E O R E M A DEL RESIDUO. C AL CUL O DE I N T E G RA L ES Y S E R I ES (CAP. 7

D e manera análoga podemos mostrar que la cuarta integral a la izquierda de (1) tiende a cero cuando / ? —» « . Por esto ( i) se convierte en

lim I í* — — d x 4- eairi f -— d x \ = 2veawil2i — « |^J_ R cosh x J - r cosh xR

ya que cosh (x 4- = — cosh x. Y así

lim f =r — «. J - R cosh x J - cosh x

2jre«,ri/2 2w1 + ea>ri eawi/2 + e -aH /I cos (r a / 2 )

Ahora f dx + f - - - - - - d x = yJ _ c o s h x J 0 c o s h x e o s ( x a / 2 )

Entonces remplazando x por — x en la primera integral, tenem os

C ^ d x + f ^ - d x = g r ” ££5^“* d x = —J 0 cosh x Jq cosh x J 0 cosh x eos (ra/2)


22. Probar que C ÍILÍílzLíl áx = 7rln2.V - Jo x2 + 1

Considerar ® — ^ dz alrededor del contorno J c z2 + l

que consiste del segm ento de eje real desde — R a R y el semi-círculo T de radio R (Fig. 7-12).

E l único polo de ln (z + i ) / ( z 2 -f 1 ) dentro de C es el polo sim ple z = i, y el residuo es

Hm ln ( - + ! \*-*¡ (z — i)(z + i)ln (2t)

2i F ig. 7-12

Por esto, por el teorem a del residuo,

ln (2Q 2»

= a- ln (2í) — t ln 2 -1- £tr2i V)

escribiendo ln (2 i) = ln 2 + ln i = ln 2 + ln e x'/2 = ln 2 + x i /2 utilizando el valor principal del logaritmo. E l resultado se puede escribir

r 1 ln (x + i) , C ln (x + 1) ,r ^ t t t d x + J r ^ T T dz = * ln 2 +

o

í *0 ln (x + í)_ , , f K ln (x -1- i) , C ln (* + t) ,l R - x f + T dx + J 0 - ¿ + 1 dx + J r ^ T T d2 = - l n 2 + K *

Rem plazando x por — x en la primera integral, esto se puede escribir

* * ' " 2 + Í ’ Ho, puesto que ln (i — x) 4- ln (i 4- x) = ln (i2 — x2) = ln (x2 4 -1 )4 - vi,

C * ln (x2 4- 1 ) , f R v i j C ln (z 4- i) ,

J „ ' x2 + l d x + 1 x ^ T l + J r z2 + l * = x ln 2 + ^x2i C2)

Cuando R —> « podemos mostrar que la integral alrededor de T tiende a cero (ver problema 101). Por tanto tom ando la parte real hallam os, com o se buscaba,

._ f * ln (x 2 + l) , _ C"° ln (x2 + 1 ) , , „1 2 x i — I o i - d x — ir ln 2- «Jo * + 1 J 0 x2 4-1

CAP. 7| EL T E O R E M A DEL RESIDUO. C A L C UL O DE I N T E G R A L E S Y S ER IE S 189

l n 2

j ,» /2 -~»/2ln sena; dx = I ln cosa; dx = — ln 2.

o •'o

H aciendo x = tan 6 en el resultado del problem a 22, encontram os

f*"/2 ln (tan2 « + 1 ) gec2 g de = - 2 f '* ln eos . é s =J o tan 2 e + 1 J q

de lo cual /2I ln eos e de = —Xir ln 2

J olo cual establece parte del resultado buscado. H aciendo 0 = tz/ 2 — <{> en ( i ) , hallam os

Xv/2ln sen — ~~far 1° 2

SUMA DE SER IES

24. Sea Cn un cuadrado con vértices en(AT + * ) ( l + i ) , ( N + i ) ( - l + i ) ,

(2V + i ) ( - l - t ) , (N + |)(1 — i) como se indica en la figura 7-13. Probar que sobre Cn, |cot xz| < A donde A es una constante.

Considerem os las partes de C n que están en las regiones y > ^ , - j i # S ^ y V <

Caso 1: V > En este caso si z = x + iy.

( 1)

c o t ir Z =1 e 1* * + e - i r i x |

| enU — e - t r ( x |

<N + J X - 1 + i )

VC N (N + 1X 1 + 0

’

X

—N — 1 - N - » - 1 1 i N N + \

(M + i X - 1 -0 (W + J X l - f l

Ig v ix — íry g — w ix + íry I

g 7 r ir — Try ^ — rrix + íry

| e i r i r - i r » | + | e - i r t t + i r i ) |

| e - * ¡ x + l r y | — | e i r t x - t r v |

e -x v + gvy _ 1 + e " 2"»eirv _ g -x y “ 1 _ e - 2x»

F i g . 7 - 1 3

1 + e - 1 — e ~

Coso 2: y < — Aquí com o en el caso 1,|e»ix-irv| + | e - i r i x + in/| e ~ n y + e>rv— xíx+irvl e~ny — envC O t TTZ

1 + e2™ 1 + e ~ w1 - e2™ " 1 - e - ”| e x t x - t r » | _ | e - , r l x + i r v |

Caso 3: —^ S y £ Considerar z — N + ^ + iy. Entonces

| c o tvz | = | cotí- (N + ^ + iy) | = | cot (ir/2 + xiy) \ = | tanh t ¡ / | £ tanh (jt/2) = A.¿Si z = — N — ^ + iy, tenem os análogam ente

| cot v z | = | cot rr ( - N — ^ + iy) | = | tanh x y \ £ tanh (r/2) = A.¿

D e tal m odo que si elegim os A com o el valor m áxim o entre A ] y A ¡ tenem os |cot %z| < A sobre Cn donde A es independiente de N . E s interesante observar que realm ente tenem os cot - z S A j = coth (x /2 ) puesto que A 2 < A ,.

M25. Sea f(z) ta l que a lo largo del camino Cn de la figura 7-13, |/(z)| á — donde k > 1 y Mson constantes independientes de N . P robar que 'z

oo2 f (n ) = ~ {suma de residuos de x cot xz /(z) en los polos de f(z)}— oo

Caso I: f ( z ) tiene un número finito de polos.

En este caso podem os elegir N lo suficientem ente grande de tal m odo que el cam ino C n de la figura7-13 encierre todos los polos de f ( z ) . Los polos de cot %z son sim ples y ocurren en z = 0, ± 1, ± 2, . . ..

190 EL T E O R E M A DEL RESIDUO. C A L CU L O DE I N T E G R A L E S Y S E R I E S | C A P. 7

El residuo de it cot xz f ( z ) en z = n, n = 0, ± 1, ± 2, . . . , es

lim (z — «)tr cot zz /(z) = lim ir ( —— — ) eos irz f(z) = f(n ) z — n z ~ n \ 8€n ttZ J

utilizando la regla de L 'H ópital. H em os supuesto que f{z) no tiene polos en z = n, puesto que de otra manera la serie dada diverge.

Según el teorem a del residuo,N

ít cot ttz f (z) dz = 2 f (n ) + S (1 )' C N I t * - N

donde S es la sum a de los residuos de ic cot x z f { z ) en los polos de f ( z ) . Por el problema 24 y nuestra suposición sobre f (z ) , tenem os

s

\f. V cot irz f(z) dz I Sí + 4)

ya que la longitud del cam ino CN es 8N + 4. Entonces tom ando el lim ite cuando IV—» oo vem os que

■ cot rz f (z) dz = 0 (2 )lim q> ir i

D e este m odo, de ( /) tenem os lo buscado,

2 /(«) = - S (3)— oo

Cajo 2: f ( z ) tiene infinitos polos.

Si f ( z ) tiene infinitos polos, el resultado buscado se puede obtener por m edio de un procedim iento de lím ite apropiado. (Ver problema 104.)

oo 1 ^

26. Probar que 5] ——=— = - coth n-a donde a > 0.n ^ „ w 2 + a 2 o

Sea /(z) = ^ q2 la cual tiene polos sim ples en z = ± ai.

Til • , V C0* VZEl residuo de * , o en z = ai eszL + a*

lim ( z - a i ) ---------------- = * *ai = _ J L cothlra*—ai (z — ai)(z + at) 2ai 2a

Análogam ente el residuo en z = —ai es coth xa, y la sum a de los residuos es — — coth ra . E ntonces por el problema 25, °

v * = — (la sum a de residuos) = - coth na» = - * n2 + a 2

27. Probar que ¿ —i —- = coth na - - í - donde a > 0. a = 1 n2 + a2 2a 2a2

El resultado del problema 26 se puede escribir en la forma

- i2 — - + —5 4* 2 — — 9 — — coth n-a

„ = - * n* + a2 o2 , = i « 2 + a 2 a

2 2 - 5~r—; + = — coth na„ = [ « 2 + a¿ a2 a

lo cual da el resultado buscado.


28. Probar que i + — + -^ + • • • — — .1¡ 2‘ 3! 6

Tenem os F{z) = v CQ vZz* z* sen v z / vzz 2 v

- ( ' - i

de m odo que el residuo en z = 0 es — x2 /3 .

E ntonces com o en los problem as 26 y 27,

jC V cot VZ i _ 1 , ^ 1 J7-2X N — S - d l ~ „ ? ! ñ® - 3"

N 1 —.2= 2 2 ¿ - Yn=t n2 3

T om ando el lím ite cuando IV —» «o tenem os, puesto que el lado izquierdo tiende a cero,

2 2 ¡ o — ° 2 2 —n = l » 3 n = l ” 6

Otro método. Tom am os el lím ite cuando a —» 0 en el resultado del problem a 27. E ntonces utilizando la regla de L 'H Spital.

lim 2 - i f l = 2 ^ = llm *0 c o t ^ \ a ~ 1 = ^o - o „ = i n2 + a2 „= i n2 « - o 2o2 6

29. Si f{z) satisface las mismas condiciones dadas en el problema 25, probar que

2) ( —1 ) " /(» )= — {la suma de residuos de r. esc itz f(z) en los polos de /(z)}.Procedem os en una manera análoga a la del problem a 25. Los polos de esc xz son sim ples y ocurren

en z — O, ± 1 , ± 2 , . . . .

E l residuo de x esc xz /(z ) en z = n, n = O, ± 1, ± 2, . . . , es

lim (z — n)x esc v z f(z) = lim x ( - — — )/{*) = (—l )" /(n )r - * n i — n \ 8en X Z /

Según el teorem a del residuo,

& tr esc x z /( z )d z = 2 ( ~ 1)" /(« ) + S (7)

donde S es la sum a de los residuos de x esc xz f ( z ) en los polos de /(z ) .

H aciendo que IV —* «o, la integral de la izquierda de (1) se aproxim a a cero (problema 106) dem odo que, com o se buscaba, (1) se convierte en

2 ( - ! ) » / ( « ) = - Ü (2 )

30. Probar que 2 = - --^s ”a donde a es real y diferente de 0, ± 1 , ± 2 , . . ..» ^ . ( « + a)2 sen2 xa J . . .

Sea f (z) = + a 2 1® CU®1 tiene un polo doble en z = —a.

E l residuo de 7 080 en z = —a es (z + o )2

lim i - \ (z + a )2 • T i - —x2 esc xa cot xa« - - a d z ^ ' (z + a)2J

E ntonces por el problem a 29,

5 = - (1® sum a de residuos) = x2 esc xa cot xa = —-f ° g r a» = - » ( « + a )2 sen 2 xa

192 EL T E O R E M A DEL RESIDUO. C A L CU L O DE I N T E G R A L E S Y S ER IE S | CAP. 7

31. Probar que si a 0, ±1, ±2, . . . , entonces a2 + 1 a2 + 4 a2 + 9

(a2 - l)2 (a2 — 4)2 (a2 — 9)2

E l resultado del problema 30 se puede escribir en la forma

¿ _ { ( a + i p + <0 - 1 ) 2 } + { < 0 + 2 ) 2 +

12 a 2

7T2 COS TTtt

2 sen2 na

sen2 jto

1 2<o2 + l ) 2(a2 + 4)(o2 - l )2 + (o2 - 4 ) 2

2(o2 + 9) , . . . _ r 2 cos na(o2 — 9)2 sen2 va

de lo cual el resultado buscado se deduce. Observe que podem os agrupar térm inos puesto que la serie es absolutam ente convergente.

32. Probar que -L — — + JL _ _L + 1* 33 53 73 32 '

Tenem os F(z) =r3 z3 cos wz *2(1 — ir2z2/2 ! + • • • )

= — ( 1 + + • • • ') = — + — + . . . z3 \ 2 J z3 2z

de m odo que el residuo en z = 0 es x3 / 2 .

E l residuo de F(z) en z = n + n = 0, —1, —2, . . . (los cuales son polos sim ples de sec *z), es

«-ÍI+V4 + ^ Z3 cos V Z (ít + ^)3 l-íií+V4 eos v Z (n + ^ )3

Si C/v es el cuadrado con vértices en N (1 + i) , N ( 1 — i) , JV( —1 + i) , 1V(—1 — i) , entonces

£ = _ 2 7 ^ 3 + £ = - 8 2 7 —TTTj + £J cw z3 « = —jv (n + ^) 2 n = — w(2n + 1 ) 2

y puesto que la integral a la izquierda tiende a cero cuando N —* x , tenem os

<, (-!)■ „ f 1 1 , 1 1 _ r 3= 2 j L - ± + ± -(2n + 1)3 * ) l 3 33 53 16


TEOREM A DEL DESARROLLO DE M IT T A G -L E FFL E R

33. Probar el teorema del desarrollo de M ittag-Leffler (ver página 176).Sea /(z ) con polos en z — a„, n = 1, 2, . . . , y suponga que z = t no es un polo de /(z ) . E ntonces

, n = 1 , 2 , 3 , . . . yf(z)la función j -L tiene polos en z = a n,

E l residuo de ^ z \ en z = <r„, n z — { 1 , 2 , 3 , . . . , es lim (z — o„)

E l residuo de en z = t; es lim (z — ¡) = / ( f).z — { 1 —{ z — {

E ntonces por el teorem a del residuo,

- (l )

donde la últim a sum a se tom a sobre todos lo s polos interiores al círculo C,v de radio R y (Fig. 7-14).

Suponga que f ( z ) es analítica en z = 0. E ntonces haciendo t = 0 en ( í ) , tenem os

/( 2) z -r

K■

CAP. 7] EL T E O R E M A DEL RESIDUO. C A L C U L O DE I N T E G R A L E S Y S E R I ES

R estando (2) de (7) resulta

m - /(o» + -£ - ) -

- h§c £k,i-Ahora, puesto que |z — ti 8 1*1 — Itl = R n ~ Itl para z sobre CN, tenem os, si |/(z ) | £ Ai,

|J C k* ( * - í ) | r n (r n — ifi)

Cuando N —> *> y por lo tanto » «o, se deduce que la integral de la izquierda tiende a cero, es decir,

lim í - /(* ) dz = 0n ~ » J z(z - f)

Cn

Por esto, de (5), haciendo que N —> oo, tenem os, com o se buscaba,

/(« = /(O) + 2 b n ( ~ - + P ¡« \ í — «n « « /

el resultado de la página 176 se obtiene rem plazando X, por z.

34. Probar que co tz = - + V ( — h — ) donde la suma se extiende sobre n = ± 1 ,^ 2 Z ■“ \ z — ttir t l i r /

• i 2 cos z — sen zConsiderar la función f (z) = cot z = E ntonces f (z ) tiene polos sim ples* z sen z

en z = nx, n = ± 1 , ± 2 , ± 8, . . y el residuo en esos polos es

lim (z - nx) ( ?-cm — 8enz) = l¡m ÍLZJSZ ) Hm Í LS°. = i I - W \ * sen z / »-.«» V se n z / \ z /

En z = 0, / (z ) tiene una singularidad rem ovible ya que.. / . l \ ,, / z co sz — s e n z \lim ( cot z ) = lim ( -------------------------- ) = 0i - . o \ * / » - .o \ z s e n z /

por la regla de L ’H opital. Por esto , podem os definir /(O) = 0.

Por el problema 110 se deduce que f ( z ) está acotada sobre los círculos C \ con centro en el origen y radio R N — ( N + ¿)x. Por el problem a 33,

c o tz - 1 = 2 + — )* n \ Z — nir f l v J

de lo cual el resultado se deduce.

35. Probar que cotz = - + 2z i » * , + — - + • • • 1 .Z {Z 7T Z2- 4 tT2 J

Podem os escribir el resultado del problem a 34 en la forma

cotz = í + lim -í 2 ( - L - + -L ) + 2Z N - . » [ n = - N \ * — »»■ n V n = j \ * — « x ™ V j

= \ + + ( í T 2 í + ^ ) + ••• + ( r n v ; + r ^ v ; ) }

1 , J 2z 2z 2z 1- I + + + ' ‘ ' + H” i w t

= J + 2Z j i Z ^ J + z2 - 4 ,2 + ' •

194 e l ' t e o r e m a d e l r e s i d u o , c a l c u l o d e i n t e g r a l e s y s e r i e s (CAP. 7

PROBLEM AS VARIOS1 ^.a + ioo gzt

36. Calcular I _ . :2 ^ J a - i . y / F + 1

dz donde a y t son constantes positivas arbitrarias.

E l integrando tiene un punto de ram ificación en z = —1 . Tom am os com o rama la sem i-recta del eje real * a la izquierda de z = —1. Y a que no podemos cruzar esta rama, consideremos

í yjz + 1: dz

donde C es el contorno A B D E F G H J K A indicado en la figura 7-15. En esta figura E F y H J realm ente están sobre el eje real x, pero se indican separadam ente por claridad. Tam bién, F G H es un círculo de radio e m ientras B D E y J K A representan arcos de un círculo de radio R .

Puesto que exil>Jz + 1 es analítica dentro y sobre C, tenem os según el teorem a de C auchy

i dz = Oye V* + 1

O m itiendo el integrando, esto se puede escribir

(1) Fig. 7-15

(2 )A B B D E E F F G H H J

Ahora sobre B D E y J K A , z = R e w donde 8 va desde Sobre E F , z -f 1 = ueTl, y / z - f 1 = y / ú eT*/2

v a

a i y i a 2 , - lo respectivam ente. ue’t‘, y j z + 1 = y /u eT‘/2 — i y /u \ m ientras que sobre H J , z + 1 = u e r TÍ,

— i y / ü . En am bos casos z = — u — 1, d z = — du, donde u varía desde R — 1y / z + 1 = y / Ü £ ~ t ‘/ 2

a . a lo largo de E F y i a í — l a lo largo de H J .

Sobre F G H , z + 1 = te1* donde <)> va desde —r a í : .

D e tal m odo que (2) se puede escribir—a + ÍR

Ja- ¡R \Jz + 1dz + X r.R'idt

iR e ie de +e0 / R e " + 1

g U r ^ - i U

/ te** + 1

•2ir - 60

r

e -o< + i)t(

R -l Í\Jví

r -

(~du)

fú e <* d<p +

1 (~du)—i / t i

V R e <• + 1i/?eíe d* = (3)

Tom em os ahora c¡ lím ite cuando R —» » y e 0. Podem os m ostrar (ver problema 111) que la segunda, cuarta y sexta integrales tienden a cero. Por esto tenem os

£ + < » e z t

ioo V Z + 1dz =

o haciendo u = v 2,a + loo

y / z + 1dz =

J. K - I e - ( n + l ) t e - ( u + l > < —— du = 2t I ------——

, V “ •'o V «—* OC

i j du = r * € _ ,* Jo VM w

"utt dv

du

e ~ x

yfñi

37. Probar que T du —J o tt + 1 8

Sea C la curva cerrada de la figura 7-16 donde Tj y T2 son sem i-círculos de radios < y R respectivam ente y centro en el origen. Consideremos

(ln z )2í z* + 1 *

Puesto que el integrando tiene un polo sim ple z dentro de C y ya que el residuo en este polo es

lim (* - i) -— A” z^2 í - i (* -< )(* + i)

(ln i)2 2 i

(iri/ 2)2 2t

8»tenem os por el teorem a del residuo

£ (ln *)2 *2 + 1 dz =

Ahora

( I )

(2 )

H aciendo z = — u en la primera integral de la derecha de m odo que ln z = ln ( —u) = ln u + ln ( — 1) = ln u + « y d z =■ — du. T am bién haciendo z = u (de m odo que d z = du y ln z = ln u) en la tercera integral de la derecha. E ntonces utilizando ( / ) , tenem os

( « (ln « + iri)2 rfu + r ( J n j ) i dz + p ( ta j j l í du + f ( ln z > idz = Z l l U2 + l *2 + 1 Jl «2 + 1 *2 + 1 4

Ahora haciendo que t - * 0 y R ro, tenem os

oo. Puesto que las integrales alrededor de Ti y P2 tienden a ce-

r " ( l n « + W )»du + f ” ( !n j£ )!d „ =«2 + 1 J 0 «2 + 1

2 r ^ L J í l ! d u + 2irt f J a - 2- d u - r2 C d u _ = = » f J„ «2 + 1 «2 + 1 «2 + 1 4

U tilizando el hecho que ( — = ta n - 1 « = —,J0 «2 + 1 o 22 f M ! d « + 2»-t f " t a j L

J 0 «2 + 1 j 0 «2 + 1

m aginaria, encontram os

f " ( l n u ) f d _ l n «J0 «2 + 1 8 J0 «2 + 1

'o

Igualando las partes real e im aginaria, encontram os

d u = —4

du - 0

la segunda integral es un resultado adicional encontrado en los cálculos.

38. Probar quecoth ir coth 2ir COth 3ir _ 7ir3

l 3 + 23 33 180Consideremos

X v co t irz co th irz

J c „ 2atom ada alrededor del cuadrado C n que se indica en la figura 7-17. Los polos del integrando están localizados en: z = 0 (polo de quinto orden); z = ± 1 , ± 2 , . . . (polos sim ples); z = ± ¡ , ± 2 j , . . . (polos sim ples).

Según el problem a 5 (rem plazando z por r.z) vem os que:

—7,3E l residuo en z = 0 es ———.

45El residuo en z = n (n = ± 1 , 2:2 , . . .) es

Fig. 7-17

196 EL T E O R E M A DEL RESIDUO. C A L CU L O DE I N T E G RA L ES Y S ER IE S | CA P. 7

(z — n) . r coa irz coth t z 1 _ coth nwlim , .s e n w z z 3

} coth r = n»

El residuo en z = n i (n = ± 1 , ± 2 , . . . ) es

]im í (* ~ *♦) . cot rZ cosh tz 1 _ coth nw«•ÍTni [senhirz z3 j n 3

D e donde, por el teorem a del residuo,

ir cot t z coth t z _ — 1 t 3 . á y ¡ coth « i rr t cot t z coth tz dz _ z l r . + 4 2 J c .• 45 «= i

Tom ando el lím ite cuando N —» <*>, encontram os com o en el problema 25 que la integral de la izquierda tiende a cero y el resultado buscado se deduce.

P r o b l e m a s p r o p u e s to sR E SID U O S Y EL T E O R E M A DEL R E SID U O

39. Para cada una de las siguientes funciones determinar los polos y los residuos en los polos:

(a) (i,) ( z ^ l ) ’ W sech z, (e) cotz .

J.esp. (a) z = —1,2; 1/3, 5/3(5) z = 1; 4 <d) z = £(2fc + l)r t; ( - l ) k + 1 t donde k = 0, ± 1 , ±2 , . .(c) z = 0; 1 (e) z = fcjrt; 1 donde k = 0, ± 1 , - 2 , . . .

Cosh 240. Probar que dz = v i si C es el cuadrado con vértices en ± 2 ± 2«.*/c 2

4 1 . M ostrar que el residuo de (esc z csch z) /z* en z = 0 es - 1 /6 0 .

42. Calcular V — al rededor del círculo C definido por |z| = 5. .Resp. 8x¿cosh z

z2 + 443. Encontrar los ceros y polos de f(z) = , y determ inar los residuos en los polos.

Z T ¿tZ i zzResp. Ceros: z = ± 2 i ; res. en z = 0 es 2; res. en z = —1 + i es —^(1 — 3t); res. en z = — 1 — i

es - $ ( l + 3t)

44. Calcular ® e~ l , ‘ sen (1/z) dz donde C es el círculo |z| = 1 . Resp. 2xiJ c

45. Sea C el cuadrado lim itado por x = ± 2, y = ± 2 . Calcular ® senh3z ^ Resp. —9 % \ /2 /2(* — *"/4 )3

C 2zJ + 546. Calcular ^ g)3 (t2 + 4^2 donde C es, (a) |z — 2t| = 6, (5) el cuadrado con vértices en 1 + i,

2 + i, 2 + 2 ¿, 1 + 2 i.

47. Calcular 4* + dz donde C es el cuadrado con vértices en 3 + 3i, 3 — 3¿, — 3 + 3t, —3 — 3i.J c z ( z - l ) 2Resp. — 6xt

1 C egi48. Calcular * — "^ 2 ^ z ’ * > ® alrededor del cuadrado con vértices en 1 + i t — 1 - f i, — 1 — i,

•'cl — i. Resp. 1 — cos t

CAP. 7| EL T E O R E M A DE L RESIDUO. C A L C UL O DE I N T E G RA L ES Y S ER IE S 197

IN T E G R A L E S D E F IN ID A S

49. Probar que f " d x =J 0 x* + 1 2 ^ 2

J °° dx0 (a!» - H ) ( 8« + 4 )8 - R e s p ■ 5 x / 2 8 8

51. Calcular í sen' de. Resp. 0J B 5 — 3 eos e

52. Calcular f -■ c0° 3*— de. 63. Probar que f c0»2 3» de = — .J o 6 + 4 eos e J o 5 — 4 eos 2« 8

ka r» u _ n C eos m x j v e ~ m (1 -+- vi)54. Probar que si m > 0, I . . . . . . d x = i- .J 0 ( x ¿ + l ) 2 4

g i z / * COS X55. (a) Encontrar el residuo de (z2 + 1)5 en z = i. (6 ) Calcular Jo (z2 + l )8 da!'

56. S i a 2 > b2 + c2, probar que í — d t —a0 a + 6 eos 6 + e sen 6 y/ a 2 _ 52 _ <j2

57. Probar que f * * ----- Í 2 I 3»------de = JL2ÜE-.J 0 (5 - 3 c o sa )4 16.384

XOO ^^ + + ^ . Resp. x \/3 /658

59. Calcular (* , . Resp. x /2. / .d x

, (z2 + 4z + 5)2'

60. Probar que í — ‘, ~ dz = + .Jo x 2 2

sen2 z

61. D iscutir la validez de la siguiente solución al problem a 19. H aciendo u = (1 + i ) x / \ / 2 en el resultado/»* /’oo ___ / ’»I e ~ “J du - l ' / ñ para obtener | e -tr2 dx — 4(1 — t)V v /2 de lo cual I eos z 2 d z =

*^9. J oI sen z 2 d z = A yV /2 igualando las partes real e imaginaria.

•'o

62. M ostrar que í - dz = —z4 + z 2 + l 2 l/S

SU M A D E S E R IE Soo ■. 2 i

63. Probar que 2 . . . . . . = t coth v + ^— csch2 x — - .„ = i (n2 + l )2 4 4 2

64. Probar que (o) 2 (5) 2 T = ~ ~ •v n* 90 ’ w „=! n 8 945

, -v (—I V - 1 n senita _ x s e n h a« . „ .65. Probar que ¿ —x-------------- — ñ -----r . — x < í < x.M n2 + a2 2 senh ax

. d u 1 1 . 1 1 j . ^Probar que = - .

1 3T Jsenh 2xa + sen 2xo |„ n4 + 4a4 4a8 l^cosh 2x0 — eos 2xoJ

ao oo J 2

68. Probar que 2 2 , ■> , 2W , T lVx = Tü coth v a coth vb.„ = - * m = - oo (m2 + a2)(n2 + 02) ab

198 EL T E O R E M A DEL RESIDUO. C A LCULO DE I N T E G R A L E S Y S ER IES | CAP. 7

TE O R EM A DEL D ESA R R O LLO DE M IT T A G -L E F F L E R

69. Probar que esc z ~ l 2Z ( Z2 - ff2 _ 4 r2 + ,2 _ 9t2 " • )

70. Probar que sech , = . ( ( , / 2 ) l '-f g ~ (fc/2)» + *2 + (5v/2)2 +T* ~ ' ’ ' ) '

71. (a) Probar que U n « = 2z ^

(6) U tilizar el resultado en (a) para mostrar que p + p + p + p + " ' = p •

72. Probar los desarrollos, (a) 2, (6) 4, (c) 5, (d) 7, (e) 8 de la página 176.

73. Probar que fcÍ = ¿ { h z + p W } '

74. Probar que —- + — -b ——b — 4- • • • — —~ .4 J4 -r 3< -r g4 -r ?4 g6

PR O BL E M A S V A R IO S

75. Probar que el teorem a de Cauchy y las fórmulas integrales de Cauchy se pueden obtener com o caso particular del teorem a del residuo.

76. Probar que la sum a de los residuos de la función en todos los polos es 2 /3 .3z* — 8z + 10

J'2 v 2 irecoíScos(ne — sen #)d# — — .

o "•

78. Calcular <j> z3e ' , t dz alrededor del círculo C con ecuación |z — 1| = 4. Resp. 1 /2 4J e

79. Probar que bajo restricciones convenientes sobre la función:

(o) C " f (e u ) de = 2w /(O), (6) ( ' f ( e ie) eos 6 da = - r / ' ( 0 ) .J o Jo

J'2 »eos (eos #) cosh (sen 9) de = 2o-

o

J' 2 ireco<« eos (sen#) eos# de = r .

o

81. Probar que ~ ^ d x = J c o t h f -

(Sugerencia. Integrar ea'z/(e2”* — 1 ) alrededor de un rectángulo con vértices en 0, R, R + i, i y haga que R —* «o.)

82. Probar que J" d x = * *

83

o ex + 1 2o 2 senh ira

£ +<“ e“- í —, ; dz =(« Z* + J>*

+ <“ ** sen ptP

r ln X

J0 x2 + a2 '84. Probar r ué | — dx = - ^ 2 .

85. Si — x < a < x, probar que e,XI senj 0-2 —senh irx eos o + cosh X

CAP. 7| EL T E O R E M A DEL RESIDUO. C A L C UL O DE I N T E G R A L E S Y S ER IE S 199

86. Probar que J dxo (4x2 + ir2) cosh x

ln 2 2n '

87. Probar que (a) f " 1" *J o x* + 1

dx =*\Í2

16 , (6 )C (ln X )2

Jo X* + 1*)2 ,,, 3*3V2— d x ~ ~ 6 Í ~ '

(Sugerencia. Considerar

88. Calcular

£ S m £ . Jc 24 +1dz alrededor de un sem i-círculo que ev ite z = 0.)

X Resp• i rln2

«• X**o

'o (*2 + l )2

89. Probar que si |a| < 1 y b > sen h ox 7 0 senh x

eos bx d x =_ x / se ñ o r \2 \ eos an + cosh b r ) '

90. Probar que si — 1 0 y —x /2 < p < n /2 , probar que

(а) I e ~ aI ' eos« eos (ax2 sen (i) d x = 1 y/nía eos (/3/2).

(б) | e“ «r’ co»e sen (ax 2 sen/?) dx = ^ n / a sen (y8/ 2).•'o

93. Probar que esc2 z = 2 ;--------- tz .„ = - . ( í - n r )2

94. S i oí y p son reales y ta les que 0 < |p | < 1 y 0 < | a| < x, probar que

j " “ ______x ~ v dx _ / n N / sen p a \o x2 + 2xcos<r + 1 \aenpnj \sena /95. Probar que f . — = —j=. (Sugerencia. Considerar

o V3el contorno de la figura 7-18.)

96. Probar el teorem a del residuo para regiones m últip lem ente conexas.

97. Encontrar condiciones suficientes con las cuales el teorem a del residuo (problema 2) es válido si C encierra infinitas singularidades.

98. Sea C el círculo con ecuación |z| - 4. D eterm inar el valor de la integral

^ ¡S \ c

si existe.® z l esc - dz Jc *

r

s. y

F ig. 7-18

99. D é una prueba analítica de sen 0 ^ 20/x para 0 ^ 0 ^ x /2 .(Sugerencia. Considerar la derivada de (sen 0) / 0, y m ostrar que es una función decreciente.)

- d x — - . i v x 4J x

:—0 senh jj

101. Verificar que la integral alrededor de V en la ecuación (2) del problem a 22 tiende a cero cuando R —» oo.

10 2 . (o) S i r es real, probar que T ln (1 — 2r eos $ + r 2) de = I® 8* ¡r | “ * .•so [ir ln r2 si \r\ ^ 1

s%n/2(b) U tilizar el resultado en (a) para calcular J ln sen e de (ver problem a 23).

103. Com pletar la prueba del caso 2 del problema 25.

r x ~ v104. Si 0 < p < 1 , probar que I r dx = x cot p x en el sentido del valor principal de Cauchy.%/0 x — 1

200 EL T E O R E M A DEL RESIDUO. C A L C UL O DE I NT E G RA L ES Y S ER IE S (CAP. 7

105. M ostrar que ^ ^ 2 + 1 = ^ tanh ( ^ )

106. Verificar que cuando N —» oo la integral a la izquierda de ( i) del problem a 29 tiende a cero.

1 D l 1 1 ^ 1 1 5ir5107. Probar q u e — + + = .q u e J5 3¡i x g5 7¡i x lg 3 6

108. Probar losresultados dados en la página 176 para, (a) 2 / ^ Y W 2 (—l) " / ^ •

109. Si - x f i 6 £ x , probar que j = < ( . - » ( > + >1 .n = l n 12

110. Probar que la función cot z — 1 / z del problema 34 está acotada sobre los círculos C/v.

111. Mostrar que la segunda, cuarta y sexta integrales de la ecuación (3) del problema 36 tienden a cero cuando « —* 0 y R —» » .

112. Probar que — ^ —— — - J -— +cosh (x/2) 3 cosh (3x/2) 5 cosh (5x/2) 8 '

113. Probar que I — dz = donde a y t son constantes positivas arbitrarias.J a- im y f l yjv t

114. Probar que 2 ^_ _. n7

115. Probar que i —-—Jo (*2 +

.= 1 ™7 56.700

dz _ 4 — 11 ) cosh s-z 2

116. Probar que ——---- — - + *l 3se n h x 23sen h 2 x 33sen h 3x 360

117. Probar que si a y t son constantes positivas arbitrarias,j /m + i»

zr~. I e11 co t~ l z dz = 2xt J a - io0

|1 G DIVERSIDAD NACIONAL facultad Politécnica

B I B L I O T E C A

Capítulo 8

A p lic a c ió n co n fo rm e

TRA SFO RM A CIO N ES O APLICACIONESEl conjunto de ecuaciones

u = v =

define, en general, una trasformación o aplicación la cual establece una correspondencia entre puntos del plano xy y el plano uv. Las ecuaciones (I) se llaman ecuaciones de la trasformación. Si a cada punto del plano uv le corresponde uno y sólo uno del plano xy, y recíprocamente, se dice que hay una aplicación o trasformación biunívoca. En ta l caso, un conjunto de puntos en el plano xy (tal como una curva o región) se aplica en un conjunto de puntos en el plano uv (curva o región) y recíprocamente. Los conjuntos correspondientes de puntos en los dos planos se llaman frecuentem ente imágenes, uno del otro.

u ( x , y ) v ( x , y ) (1)

JACOBIANO DE UNA TRA SFO RM A CIO NPor la trasformación (1) una región % cerrada del plano xy se aplica, en general, en una

región cerrada %' del plano uv. Entonces, si ó A zy y A A m denotan respectivam ente las áreas de esas regiones, se puede dem ostrar que si u y v son continuam ente diferenciables,

lim a A „

a A td(u, v ) d(x , y )

donde lim denota el límite cuando A A xy (o AA„„) tiende a 0 y donde el determ inanted u dU

d(u, v ) dX d y d u d v d u d vd(x, y ) dV d v ~ d x d y d y d x

dX d y

(2)

(3)

es llamado el jacobiano de la trasformación (1).Si se resuelve (1) para tener x y y en términos de u y v, se obtiene la trasformación

x = x(u, v), y = y(u , v), que es la trasformación inversa correspondiente a (1). Si * y y son

unívocas y continuam ente diferenciables, el jacobiano de esta trasformación es ‘>[X’ y sed(u v ) v>puede dem ostrar que es igual al recíproco de ~ (ver problema 7). Luego si uno de los

jacobianos es distinto de cero en una región el otro tam bién lo es.

Recíprocamente podemos dem ostrar que si u y v son continuam ente diferenciables en

una región % y si el jacobiano no se anula en CR, entonces la trasformación (i) esbiunívoca. ^ x ’

APLICACIONES CO M PLEJA SUn caso de especial interés ocurre cuando u y v son las partes real e imaginaria de una

función analítica de una variable compleja z = x 4- iy, osea, w = u + iv = f(z) = f(x + iy).

201

202 APLI CA CI ON C O N F O R M E | CAP. 8

En tal caso el jacobiano de la trasformación está dado por

I r a - w <«(ver problema 5). Se deduce que la trasformación es biunívoca en regiones donde f '{z ) ^ 0. Los puntos donde {' (z) = 0 se llaman puntos críticos.

APLICACION CONFORM E

Suponga que por la trasformación (1) el punto (x0, yo) del plano xy se aplica en el punto (ii0, fo) del plano uv (Fig. 8-1 y 8-2), mientras que curvas C, y C2 (que se intersectan en (x0, yo)) se aplican respectivamente en curvas y C ' (que se intersectan en (u0,v 0)). Entonces si la trasformación es tal que el ángulo en (x0, y») entre C, y C2 es igual al ángulo en (u0, v0) entre C[ y C’t tan to en m agnitud como sentido, la trasformación o aplicación se llama conforme en (x0, yo)- Una aplicación que conserva las magnitudes de los ángulos pero no necesariamente el sentido se llama isogonal.

Fig. 8-1 Fig. 8-2

El siguiente teorema es fundamental.T eo rem a . Si f (z) es analítica y f (z ) ^ 0 en una región %, entonces la aplicación

ui = f (z) es conforme en todos los puntos de %.

Para las aplicaciones conformes, figuras pequeñas en la vecindad de un punto z„ en el plano z se aplican en figuras pequeñas semejantes en el plano w y se aum entan (o reducen) por una cantidad dada aproximadamente por |/ '( z 0)|2, llamada el factor de aumento de área o simplemente el factor de aumento. Distancias cortas en el plano z en la vecindad de z0 se aum entan (o reducen) en el plano w por una cantidad dada aproximadamente por |/ '( z 0)|, llamada el factor de aumento lineal. Figuras grandes en el plano z se aplican usualmente en figuras en el plano w las cuales están lejos de ser semejantes.

EL TEOREM A DE LA APLICACION DE RIEM ANN

Sea C(Fig. 8-3) una curva simple cerrada en el plano z que constituye la frontera de una región %. Sea C' (Fig. 8-4) un círculo de radio uno y centro en el origen (el círculo unidad) que constituye la frontera de una región en el plano w. La región %' se llama algunas veces el disco unidad. Entonces el teorema de la aplicación de Riemann dice que existe una función w = /(z), analítica en %, la cual aplica cada punto de % en un punto correspondiente de %' y caaa punto de C en un punto correspondiente de C ', la correspondencia es biunívoca.

CAP. 8] APLI CA CI ON C O N F O R M E 203

Plano z Plano w

F ig. 8-3 F ig. 8-4

E sta función f(z ) depende de tres constantes reales arbitrarias las cuales se pueden determ inar de la imagen del centro de C' en la región %, y de la imagen de algún punto de C' en C. Hacemos notar que el teorema de la aplicación de Riemann dem uestra la existencia de tal aplicación, pero realmente no constituye esta función.

Es posible generalizar el teorema de la aplicación de Riemann al caso donde una región lim itada por dos curvas simples cerradas, una dentro de la otra, se aplica en una región limitada por dos círculos concéntricos.

PUNTOS F IJO S O INVARIANTES DE UNA TRA SFO RM A CIO NDe la trasformación w = f(z) del plano z en el plano w puede pensarse tam bién como

de una trasformación del plano z en sí mismo. Con esta interpretación, los puntos para los cuales z = f(z) permanecen sin embargo fijos, y por esta razón los llamamos los puntos fijos o invariantes de la trasformación.

E je m p lo : Los puntos fijos o invariantes de la trasform ación w = z2 son las soluciones de z2 = z,o sea z = 0 , 1 . _

ALGUNAS TRA SFO RM A CIO N ES GENERALES

En lo que sigue a, 0 son las constantes complejas dadas, m ientras que a, 0O son las constantes reales.

1. T ra s la c ió n , w = z + &Por esta trasformación, figuras en el plano z se desplazan o trasladan en la

dirección del vector (3.

2. R o ta c ió n , w = e‘*«zPor esta trasformación, figuras en el plano z se ro tan un ángulo 0O. Si 0O > 0

la rotación es en sentido positivo, m ientras que si 0O < 0 la rotación es en sentido negativo.

3. D ila tac ió n , w = azPor esta trasformación, figuras en el plano z se d ilatan (o contraen) en la direc

ción z si a > 1 (o 0 < a < 1). Consideramos las contracciones como un caso especial de las dilataciones

4. In v e rs ió n , w = 1 /z

204 APLI CACI ON C O N F O R M E | CA P. 8

Si w = f\(X) aplica la región del plano £ en la región ‘Rw del plano w, m ientras que f = í i( z ) aplica la región %, del plano z en la región entonces w - /i 1/ 2(2)] aplica en %w Las funciones /, y /2 definen trasformaciones sucesivas de un plano a otro las cuales son equivalentes a una única trasformación. Estas ideas se generalizan fácilmente.

TRASFORMACIONES SUCESIVAS

LA TRASFORM ACION LINEAL

La trasformación , „w = az + {1 (5)

donde a y & son constantes complejas dadas, se llama una trasformación lineal. Puesto que podemos escribir (5) en términos de las trasformaciones sucesivas w = £ + /?, £ = e ‘*»T, t — az donde a = aeie\ vemos que una trasformación lineal general es una combinación de las trasformaciones de traslación, rotación y dilatación.

LA TRASFORM ACION BILINEAL O RACIONAL

La trasformación

W = $ “ r s ’ (6 )

se llama una trasformación racional o bilineal. E sta trasformación se puede considerar como combinación de las trasformaciones de traslación, rotación, dilatación e inversión.

La trasformación (6) tiene la propiedad de que círculos en el plano z se aplican en círculos en el plano w, donde entre los círculos incluimos los de radio infinito o sea las líneas rectas. (Ver problemas 14 y 15.)

La trasformación aplica tres puntos distintos del plano z en tres puntos distintos del plano w, uno de los cuales puede estar en el infinito.

Si z x, z2, Z3, z4 son distintos, entonces la cantidad

(z4 - zi)(z2 - z3) .(22 - 2 ,) (z 4 - 23) ’

se llama la razón cruzada de Z |,z2>2 .i, z4. E sta razón es invariable bajo la trasformación bilineal, y esta propiedad se puede usar para obtener trasformaciones bilineales que apliquen tres puntos dados en otros tres puntos.

APLICACION DE UN SEM I-PLA N O SOBRE UN CIRCULO

Plano 2

y

% »

. . * *A B C D E F

Plano w

Fig. 8-5 Fig. 8-6

CAP. 8| APLI CACI ON C O N F O R M E 205

Sea Z(¡ cualquier punto P en el semi-plano superior del piano z denotado por % en la figura 8-5. Entonces la trasformación

aplica este semi-plano superior de una manera biunívoca sobre el interior %' del círculo unidad |ie| = 1, y recíprocamente. Cada punto del eje x se aplica sobre la frontera del círculo. La constante 02 se puede determ inar conociendo la imagen (sobre el círculo) de un punto particular del eje x. En las figuras anteriores hemos usado el convenio de que a puntos sin prim a tales como A , B, C, etc., en el plano z, le corresponden puntos con prima A ' , B ' , C ', etc., en el plano w. Además, cuando los puntos están en el infinito esto lo indicamos por una flecha, tal como en A y F en la figura 8-5 a los cuales corresponden respectivamente A ' y F ' (el mismo punto) en la figura 8-6. Cuando el punto z se mueve sobre las fronteras de % (o sea, el eje real) desde — «¡ (punto A ) a + °° (punto F), w se mueve en sentido positivo a lo largo del círculo unidad desde A ' hasta volver a A '.

Fig. 8-7 Fig. 8-8

Una trasformación que aplica el interior % del polígono del plano w sobre el semi-plano superior %' del plano 2 y la frontera del polígono sobre el eje real, es la dada por

= A (z - Xi)a'/W~l (z - x 2)a‘'”~' • • ■ ( « - x n)a' ,’r~' (9)

o

w = A ^ (z — X i )“ i/1t_1 ( z — x i ) a' llr~ l • ■ ■ (z — Xn)"'1" ' ' d z + B (10)

donde A y B son constantes complejas.

Los siguientes resultados deben tenerse en cuenta:

1. Tres dé los puntos x,, x¡, . . se pueden elegir arbitrariam ente.2. Las constantes A y B determ inan el tam año, orientación y posición del polígono.3. Es conveniente escoger un punto, digamos x„, en el infinito en cuyo caso el último

factor de (9) y (10) donde interviene xn no desaparecen.4. Polígonos abiertos infinitos se pueden considerar como casos límites de polígonos

cerrados.

LA TRASFORM ACION DE C H RISTO FFEL-SCH W A RZConsidere un polígono (Fig. 8-7) en el plano w teniendo vértices en wtf w2, . . ., w„ con

ángulos interiores correspondientes ai, a2, . . ., a„ respectivamente. Los puntos w¡, w2, , w„se aplican respectivamente en los puntos x¡, x2, sobre el eje real del plano z (Fig. 8-8).

Plano w Plano z

206 APLICACION C O N F O R M E | C AP. 8

TRASFORM ACIONES DE FRO N TERA S EN FORM A PARAM ETRICA

Suponga que en el plano z una curva C (Fig. 8-9), la cual puede o no ser cerrada, tiene ecuaciones paramétricas dadas por

x = F(t), y = G(t) (11)

donde suponemos que F y G son continuamente diferenciables. Entonces la trasformación

2 = F(w) + iG(w) (12)

aplica la curva C sobre el eje real C' del plano w (Fig. 8-10).

Plano z P lano w

\ C

V

C u

Fig. 8-9 F ig. 8-10

ALGUNAS APLICACIONES ESPECIA LESPara consulta damos la lista de algunas aplicaciones especiales que son muy útiles en

la práctica. Por conveniencia damos la lista de las aplicaciones que aplican la región % dada del plano z o w sobre el semi-plano superior del plano w o z, separadam ente de las que la aplican en el círculo unidad en el plano w o z. Como hemos visto ya existe una trasformación (ecuación (8)) que aplica el semi-plano superior sobre el círculo unidad.

— 1 ■■■ — ■A. A p licac io n es so b re e l se m i-c írc u lo su p e rio r

A -l Sector infinito de ángulo x/mFig. 8-12|

w - z m, m 3 1/2F ig .8- I l | P lano 2 Plano w

A-2 Banda infinita de ancho a w -- é ’*,a

F ig.8-13] P lano 2 Fig.8-14] P lano w

A ' B ' C'

V

D' E ' F ’ u- 1 1

CAP. 8) APLI CA CI ON C O N F O R M K 207

A-3 B a n d a s e m i- in f in ita d e a n c h o a

(a)irZw = sen —

F ig .8-15 P lano z Fig. 8-16 Plano w

(b)it Z

w = eos — a

Fig. 8-17 Plano z F ig. 8-18 P lano w

(«) w = cosh — a

Fig. 8-19 Plano z Fig. 8-20 Plano w

A-4 S e m i-p la n o s in u n se m i-c írc u lo= f ( , + 0

Plano wF ig . 8-21 Plano z

208 APLICACION C O N F O R M E | CAP. 8

A-5 S e m i-c írcu lo


. .

- i

A-6 S e c to r de u n c írc u lo


A ' B ’

v .

C D ’ A> «- 1 1

A-7 L ú n u la de á n g u lo rr/m ( A B C y C D A son arcos circulares)

p2micot"vo — e »(&)'■ m a 2


V

A ' B ' C' D' ó ' . .- 1 1

A -8 S e m i-p la n o s in u n c írc u lo w = coth (it / z )


u

A ’ B ' C'

1

D ' E ' F ' G'- 1 1

CAP. 8| APLI CA CI ON C O N F O R M E 209

A-9 E x te r io r de la p a rá b o la y 1 - 4p(p — X) = Hy/z — \ f p )

Fig. 8-31 Plano z Fig. 8-32 Plano ui

A-10 I n te r io r d e la p a rá b o la y 2 = 4p(p — x) = e ui Vz/p

Fig. 8-33 Plano z Fig. 8-34| P lano w

A -ll P la n o s in d o s s e m i- re c ta s p a ra le la s w = —iri + 2 ln z — z2

Fig. 8-35 Plano w Fig. 8-36 Plano z

A-12 Dos b a n d a s s e m i- in f in ita s e n á n g u lo re c to = - {tan h - 1 p y / z — p ta n _ I V z }

Fig. 8-37 Plano w

AV

BE

■ \ 1

D

, P ,c B

D

Plano z

210 APLICACION C O N F O R M E [ CAP. 8

A-13 Interior de un triángulo = r t « " - » ( i —J a

d t

Fig. 8-39| Plano w Fig. 8-40 Plano 2

V

■

C A ' f ? *1

A-14 Interior de un rectángulo " íJ o

d t

V(1 - t2)(l - 1tW ), 0 < k < 1

Fig. 8-41 Plano w Fig. 8-42 Plano 2

B. A p licaciones sob re el C írcu lo U n id a d

B -lF ig. 8-44

B - 2 w = ¿ (re - 0 + z ~ 1ea)

Fig. 8-46

Exterior del círculo unidadF ig. 8-4¿] P lano w

w = 1 /'*

P lano 2

Exterior de la elipseFig. 8-45 Plano w Plano 2

CAP. 8) A PLI CACI ON C O N F O R M E 211

212 APLI CACI ON C O N F O R M E | C AP. 8

C -3 w — ln z

Fig. 8 -5 6 | P lano w

C -4 B a n d a se m i- in f in ita so b re u n a b a n d a in f in itaFig. 8 -571

w — ln coth (r/2)

P lano z Fig. 8-58 Plano w

G'

V

E '

r /2G’ WB '

r /2A '

B ' C' D '

C -5 P la n o s in d os s e m i- re c ta s so b re u n a b a n d a in f in i ta w = z + e*Fig. 8-59 Plano w Fig. 8-60 Plano z

V

A ' B ' C

r

r

E ' D' C'


TRASFORM ACIONES1. Sea % la región rectangular (Fig. 8-61) en el plano z, lim itada por x = 0, y = 0, x = 2,

y = 1. Determ inar la región <J(' del plano w en la cual % se aplica bajo las trasformaciones:

(a) w = « + (1 — 2¿), (6) iv = v'2e'"74z, (c) w = \[2 ewi,i z + (1 - 2t).(a) S i w * 2 + (1 — 2 i) , entonces u + i» = x + iy + 1 — 2i = (x + 1) + i ( y — 2) y u = x -f- 1 ,

v = y - 2.

C o ro n a so b re u n re c tá n g u lo

Plano z

La recta i = O se aplica en u = 1 ; y = 0 en v — — 2; x = 2 en u = 3; y = 1 en v = —1 (Fig. 8-62). A nálogam ente, se puede m ostrar que cada punto de % se aplica en uno y sólo un punto de %' y recíprocam ente.

Plano z Plano teV

y = l

V

U

% H II to

X v = - 1V = 0 u = 1 <%' u = 3

OJ1II

Fig. 8-61 F ig. 8-62

La trasform ación o aplicación traslada el rectángulo. En general, w = z + ¡) traslada cualquier región.

(6) S i te = yf2, elrt/4 z, entonces u + iv = (1 + i) (x + iy) — x — y + i(x + y ) y u = x — y , v = x + y .

La recta x — 0 se aplica en u = —y , v = y o u = —a; y = 0 en u = x , v = x o u = v\ x = 2 en u = 2 — y , v = 2 + y o u + a = 4; y = l en u = x — 1, e = * + l o v — u = 2 (Fig. 8-64).

Plano z Plano w

* = 0

V

V = 1

% X - 2X

y = o

F ig. 8-63 Fig. 8-64

La aplicación rota % (un ángulo x /4 ó 45°) y la dilata (una m agnitud \ /2 ) . E n general latrasform ación w = az rota y dilata cualquiera región.

(c) S i w = \ / 2 e ' H/4 z + (1 — 2 i) , entonces u + ía = (1 + t)(x + iy) + 1 — 2¿ y u = x — y + 1, y = * + y - 2.

L as rectas x — 0, y = 0, x — 2, y — 1 se aplican respectivam ente en u + a = — 1,u — a = 3, u + a = 3, u — a = 1 (Fig. 8-66).

P lano wPlano z

V

v = l

* = 0 % x — 2X

v = 0

Fig. 8-65 F ig. 8-66

La aplicación primero rota y dilata com o en (ó) y después traslada. En general, la trasform ación te = az + rota, d ilata y traslada. E sta se puede considerar com o dos aplicaciones sucesivas te = aZj (rotación y d ilatación) y z¡ — z + ¡ i /a (traslación).

214 APLI CACI ON C O N F O R M E | CAP. 8

2. Determinar la región del plano w en la cual cada una de las siguientes regiones se aplica por la trasformación w = z2.(a) P r im e r c u a d r a n te d e l p la n o z.

Sea z = re1'9, w = pe"9. E ntonces si w = z-, pe** = r2e2<9 y p = r2, <t> = 20. D e tal m odo que los puntos (r, 0) en el plano z se rotan un ángulo 20. P uesto que todos los puntos en el primer cuadrante (Fig. 8-67) del plano z están descritos por el intervalo 0 S • S x / 2 . ellos se aplican en 0 S i) S i o en el sem i-plano superior del plano w (Fig. 8-68).

P lano z P lano w

(6)

Fig. 8-68

R eg ió n l im ita d a p or * = 1, y = 1 y * + y = 1.

Puesto que w = z 2 es equivalente a « + «> = (* + iy )2 = x 2 — y 2 + 2 ixy, vem os que u = x 2 — y 2, v = 2xy. E ntonces la recta * = 1 se aplica en u — 1 — y 2, v = 2y o u = 1 — t>2 /4 ;la recta y = 1 en u = x 2 — 1 , v = 2x o u = v2/4 — 1 ; la recta X + y = 1 o y = 1 - i enu = x 2 — (1 — x )2 = 2x — 1 , w = 2jc(1 — x) = 2x — 2x 2 o v = ¿ ( 1 — u 2) elim inando x.

Las regiones aparecen som breadas en las figuras 8-69 y 8-70 donde los puntos A , B , C seaplican en A ' , B ' , C ' . Observe que los ángulos del triángulo A B C son respectivam ente iguales a los ángulos del triángulo curvilíneo A ' B ' C ’. E sto es una consecuencia del hecho que la tras- formación es conforme.

Plano z Plano w

V

* /2 . ) ^'y1n3

*1

*in

&

a ' L ' »

/ */ *

/ * / \/

Fig. 8-70

TRASFORM ACIONES CONFORM ES

3. Considerar la trasformación w = f(z) donde f(z) es analítica en z0 y f (z0) 0. Dem ostrar que con esta trasformación la tangente en z0 a cualquier curva C en el plano z que pasa por za (Fig. 8-71) se rota un ángulo a r g / '( z 0).

Plano w

Fig. 8-71

Cuándo un punto se m ueve de z0 a z0 -+• Az a lo largo de C, la imagen del punto se m ueve a lo largo de C ' en el plano w de Wq a Wq + Aw. Si t es el parám etro que describe la curva, la imagen del cam ino z = z(t) (o x = x ( t ) , y = y(í))» en el plano z, es el cam ino w = w(t) (o u = u ( t ) ,u = v(t)), en el plano w.

Las derivadas d z l d t y d w /d t representan los vectores tangentes correspondientes a I09 puntos sobre C y C '.

d w dw dz . d z .. ,A hora —rr = - j - • - jr — f y* en particular en z0 y w 0,a t az a t a t

*£l - tu , \ *?£ld t - — ' dt|UJ = lü 0 u 1 |« = *o

dw Isi /(z ) es analítica en z = zq. Escribiendo — nem os de ( i)

dz I= Poe‘*». / '(* ) = R e 'a< T .

así que, com o se buscaba,

d t |u>=w0

p0 ei<fto = R r 0eueo + “>

= »0 + “ = «o + arK / '( *o)

d t \ z = x

(1)

= r oei0 o, te-

(2)

(2)

O bsérvese que si /'(zq ) = 0, entonces a está indeterm inado. Los puntos donde / ' ( z ) = 0 se llaman puntos críticos.

4. D em ostrar que el ángulo entre las curvas C! y C2 que pasan por el punto z0 en el plano z (Fig. 8-1 y 8-2) es invariante (en magnitud y sentido) con la trasformación w = f(z), es decir que la aplicación es conforme, si f(z) es analítica en z0 y / ' (z0) ^ 0.

Según el problema 3 cada curva se rota el ángulo arg / '(z0). Por esto el ángulo entre las curvas debe ser invariante, tanto en m agnitud com o en sentido, por la aplicación.

JACOBIANO DE UNA TRA SFO RM A CIO N

5. Si w = f(z) = u + iv es analítica en una región CR, dem ostrar que

d(x,y) V(z)l

S i /(z ) es analítica en entonces las ecuaciones de C auchy-R iem ann

se satisfacen en Por esto

Budx

Bvdy ’

Bvdx

dlidy

Bu du du Bud(u , V) dx dy dx dys (x , y ) dv dv Bu Bu

dx dy dy dx- (£)'+ (S)‘

utilizando el problema 5, capítulo 3.is-sr ■ i,w

Hallar el Jacobiano de la trasformación del, (a) problema l(c), (6) problema 2 e interpretar geométricamente el resultado.(a) S i w — f ( z ) = \ / 2 e %‘/* z + (1 — 2 i), entonces según el problem a 5 el jacobiano es

d(x .y ) 17 WlI V 2 eTi/* |* = 2

G eom étricam ente esto significa que cualquier región en el plano z (en particular la región rectangular % óe la figura 8-65) se aplica en una región de área dos veces mayor. E l factor !/'(z ) I2 = 2 se llam a el ¡actor de aumento.

216 APLICACION C O N F O R M E (CAP 8

Otro método. La trasformación es equivalente a tt = * — y , v *= x + y y de este m odo

Su SuS(u, v) _ éx Sy

dv Sv Sx Sy

(b) Si w = f ( z ) = z- , entonces

= l/'(*)!2 = |2*|* = \2x + 2 iy |2 = 4(*2 + y*)

G eom étricam ente, una región pequeña en el plano z de área A y a una distancia aproxim ada r del origen, se aplica en una región del plano w de área 4r 2A . D e tal m odo que regiones d istantes se aplican en regiones de área m ás grande que regiones sem ejantes próximas al origen.

Obsérvese que en el punto crítico z = 0 el jacobiano es cero. E n este punto la trasform ación no es conforme.

7. Demostrar que d(u, v) d(x, y) _= 1 .d(x, y) d(u, v)

La trasformación (1) u = u(x, y ) , v v ( x , y ) , con jacobiano tiene com o trasform ación

inversa (2 ) * = x ( u , v ) , y = y ( u , v ) , de jacobiano .d \U , V )

D e ( i) , du du , = — dx dx, du

+ dv Sv ,= J i d x +

dv . Sy

De (2 ), dx dx , = — du du + ^ d v , dv dy Su dv

Por esto, du du J dx [

S x , . Sx — du + — Su Sv

d v | + j rdy [au + ^ d v ldv \

— ¡ d u dx J] dx du dy du

du dy du + < !« ! !* + «5 j f c l * ,dx dv dy dv í

de lo cual du dx ^ du dy _ ^dx du dy du

Análogam ente hallamos — — + — ^ = 1 ,dx dv dy dv

du dx du dy __ q dx dv dy dv

dv dx dv dy _ Q dx du dy du

(3)

(4)

U tilizando (3) y (4) y la regla para el producto de determ inantes (ver problem a 94), tenem os

du du dx dxd(u,v) d(x ,y) dx du dv<*(*, y) d(u, v) dv dv * dy dy

dx ¿V du dv

du dx dx du

du dy du dx j du dy dy du dx dv dy dv

dv dx dv djy dv dx dv dydx du dy du dx dv dy dv

1 0

0 1= 1

8. Discutir el problema 7 si u y v son las partes real e imaginaria de una función analítica f(z).

En este caso = ¡ /'(z )|2 según el problema 5. S i la inversa de w = f( z ) es z — g(iv),

supuesta unívoca y analítica, entonces ^ X’ = ig '(w )|2. E l resultado del problema 7 es una consecuencia del hecho que d\u »v )

1 dw I2i — r1 dz 1 | dw 1l/'W I2 I í 'M I 2 =

puesto que d w / d z = 1 / { d z /d w ) .

TRA SFO RM A CIO N ES BILIN EA LES O RACIONALES

9. Hallar una trasformación bilineal la cual aplica los puntos z¡, z2, z:, del plano z en los puntos wu w2, w3 del plano w respectivamente.

Si Wk corresponde a Zk, k = 1 , 2, 3, tenem os

_ _ gz + p _ ° z k + P _ («a - Py)(z - zk)k y z + 3 yzk + *

ü . ~ P y)(z~ ‘ Zi) h ' r i k " * 3 /E ntonces w — w , = -------------, w — xv3 — (1 )(yz + 3)(yz, + 3) ’ *' w

R em plazando w por w^y y z por 22*

(aS - py) (z2 - 2,) _ - 0,w 2 — w \ = ------------- , w 2 — Wn = (2)

(yz2 + 3)(yz¡ + 3) (yz2 + í) (y z3 + 3)

D ivid iendo (1) entre (2), suponiendo que *5 — $y

(w - i» i)(» ¡ - w 3) _ (z - z¡)(z2 - z3)(u > - w s)(w2 - w ,) ( z - z3)(z2 - Zi)

R esolviendo w en térm inos de z, tenem os la trasform ación buscada. E l lado derecho de (3) se llam a la razón cruzada de z¡, z 2, z 3 y 2.

(y * + *)(yzk 4- 6)

(a8 - Py)(z - z 3)(yz + «)(y*3 + *)

(aS - Py)(*2 ~ *a)

( 3 )

10. Hallar una trasformación bilineal la cual aplica los puntos z = 0, — i, — 1 en w = i, 1, 0 respectivamente.M étodo 1. P uesto que w — aZ ^ , tenem osy2 + 3

( i ) ; - °<0 )+ P (g) 1 - + P (s) o - «t- 1 * + P( ) y(0) + 3 • ( ' y ( - t ) + 3 ’ ( ' y(—1) + 3

D e (3), {S = a. D e (2), o = 0 / i = — ia. D e (2 ), y = ¿a. E ntonces

az -t- a _ 1 / z 4- 1 \ _ . / z 4- 1^- i \ z - \ ) - x \ z - \ )

w =taz — ia

M étodo 2. U tilizando el problema 9, tenem os

= (« I OH- 2 + *) . R esolviendo, u, = - i(ta — 0)(1 — i) ( z + l ) ( —t —0' \ z — 1 /

11. Si z0 es el semi-plano superior del plano z, m ostrar

que la trasformación bilineal w = e'$' ( - — =-)\ Z — Zo /

aplica el semi-plano superior del plano z en el interior del círculo unidad del plano w, es decir,M á 1 .

T enem os

l N O 2~ 20\* -* o / 0

IN1

D e la figura 8-73 si z está en el sem i-plano superior, \z — 201 S | 2 — z0|, donde la igualdad se tiene si y solam ente si 2 está en el eje *. Por esto |uí| £ 1, com o se buscaba.

La trasform ación tam bién se puede deducir directam ente (ver problema 61).

12. Hallar una trasformación bilineal la cual aplica el semi-plano superior del plano z en el círculo unidad del plano w de tal manera que z = i se aplica en w - 0, m ientras que el punto en el infinito se aplica en w = — 1.

( z - z 0\Tenem os w = 0 si z — i, y w — — 1 si z — <x>. E ntonces de w — ei0o í _ - 1 tenem os

0 — e'*o (^JZZ de m odo que Zo = *• Para z = «o tenem os w — e'*o = —1. Por esto la trasform a

ción buscada es

- - <->(fe) - f eLa situación se describe gráficam ente en las figuras 8-74 y 8-75.

Plano z

Fig. 8-74

13. Hallar los puntos fijos o invariantes de la trasformación w =

Fig. 8-75

2z — 5 z + 4

2^ 5Los puntos fijos son las soluciones de z = o z2 + 2z + 5 = 0, o sea z = - 1 ± 2i.

14. Demostrar que la trasformación bilineal se puede considerar como una combinación de las trasformaciones de traslación, rotación, dilatación e inversión.

D ividiendo, u» = aZ * f = - + A ~~ = \ + donde \ = a /y , ¡t = (py — a i ) / y 2 y " =yz + a y y(yz + 8) z + »í /y son constantes. La trasform ación es equivalente a { = z + *, r = 1 /f y ta = X + /ir las cualesson com binaciones de las trasform aciones de traslación, rotación, d ilatación e inversión.

15. Demostrar que las trasformaciones bilineales trasforman círculos del plano z en círculos del plano w, donde entre los círculos incluimos los de radio infinito, es decir, las líneas rectas.

La ecuación general de un círculo en el plano z según el problema 44, capítulo 1, es A z i + B z + B z + C = 0, donde A > 0 , C > 0 y 8 es com plejo. Si A = 0 el círculo se reduce a una línea recta.

Por la trasformación de inversión, w = 1 / z o z = í / w , esta ecuación se convierte en C w w + B w + B w + A = 0, un círculo en el plano w.

Por la trasformación de rotación y dilatación, w = az o z = w / a , esta ecuación se convierte en A w w + (Ba)w + (Ba)w + Caá = 0, tam bién un círculo.

A nálogam ente se puede dem ostrar analíticam ente o geom étricam ente que por la trasformación de traslación, los círculos se trasforman en círculos.

Ya que según el problema 14 una trasformación bilineal se puede considerar com o una com binación de traslación, rotación, dilatación e inversión, el resultado buscado se deduce.

P lano w

16. Comprobar los numerales, (a) A-2, página 206, (6) A-4, página 207, (c) B -l página 210.(а) R eferente a las figuras 8-13 y 8-14.

Si z = x - f ¿y, entoncesw = u + iv = enz,a = e,r(x + is,)/a = e1TX,a (eos v y /a + i&emry/a)

o u = evz/a eos s-y/a, v = enxla sen vy /a .

La recta y = 0 (el eje real en el plano z ; D E F en la figura 8-13) se aplica en u = eTX/ a,v = 0 (el eje real positivo en el plano w; D ' E ' F ' en la figura 8-14). E l origen E[z = 0] se aplicaen E '[ w = 1] m ientras D[x — — oo, y = 0] y F[x = + « , y = 0] se aplica en D '[w = 0] y F '[ w = oo] respectivam ente.

La recta y = a { A B C en la figura 8-13) se aplica en u = — é*x/ a, v = 0 (el eje real negativo en el plano w; A ' B ' C ' en la figura 8-14). Los puntos A [x = + « , y = a] y C [ x = —oo,y = a) se aplican en A ' [w = — oo] y C f [w = 0] respectivam ente.

Cualquier punto para el cual 0 < y < a, —oo < x < » se aplica de manera única en unpunto del plano uv para el cual v > 0.

(б) R eferente a las figuras 8-21 y 8-22.Si z = re*9, entonces

w = u + iv = § ( * + ■ ) = | = | ( r + ^ coa» + y — i^ s e n »

y « = | eos» , » = f ( r ~ ; ) s e n » .

E l sem i-círculo B C D [r = 1, 0 S ) S n] se aplica en el segm ento B ' C D ' [u = a eos 0,i) = 0, 0 S I S i , o sea —a £ u £ o].

La recta D E (0 = 0, r > 1 ] se aplica en la recta D ’E ' £ u = ^ ( r + , v = 0 J ; la recta

A B [8 = x, r > 1] se aplica en A ’B ’ j^u = — ^ ^ , v = 0 ~ |.

Cualquier punto del plano z para el cual r | 1 y 0 < 8 < x se aplica de manera únicaen uno de los puntos del plano uv para el cual v & 0.

(c) R eferente a las figuras 8-43 y 8-44.Si z = re*6 y w = pe1* , entonces w = 1 / z se convierte en pe1* = —¡j = — e ~ ,e de lo cual

p = 1 /r , = - 8. " r

E l círculo A B C D [p = 1] en el plano w se aplica en el círculo A ’B ' C ' D ' (r = 1] del planoz. Observe que si A B C D se describe en sentido positivo , A ’B ' C ’D ' se describe en sentido negativo .

Cualquier punto exterior al círculo A B C D [ p > 1] se aplica de manera única en un punto interior del círculo A ' B ' C ' D ' [r < 1].

LA TRA SFO RM A CIO N DE C H R ISTO FFEL-SC H W A R Z17. Establecer la validez de la trasformación de Christoffel-Schwarz.

D ebem os mostrar que la aplicación obtenida de

^ = A {z — ar1)0>/,r“ 1 (z — x 2)a*/ v ~ 1 • • • (z — x n)an/n ~ l (2)

aplica el polígono dado del plano w (Fig. 8-76) en el eje real del plano z (Fig. 8-77).Para m ostrar esto observe que de (2) tenem os

arg d w = arg dz + arg A + — 1 j arg {z - x ¿ + - 1^ arg (z - x¡

APLICACIONES ESPECIALES

x 2)

(t - 0(2 )

arg (z - x n)

Cuando z se m ueve a lo largo del eje real desde la izquierda hacia x¡, suponem os que w se m ueve a lo largo de un lado del polígono hacia uq. Cuando z pasa de la izquierda de X| a la derecha de * i, 6| = arg (z — x ¡) cam bia de x a 0, m ientras que todos los otros térm inos en (2) perm anecen constantes.

Por esto arg dw decrece en (a j /x — 1) arg (z — jcj) = {<x\/% cosa crece en x — a* (crecimiento en la dirección positiva).

Plano w

l)ic = ai — x o, lo que es la misma

Plano z

Fig. 8-77

Se deduce de esto que la dirección por w\ gira el ángulo x — ai, y de este m odo w se m ueve ahora a lo largo del lado W\W2 del polígono.

Cuando z se m ueve a través de *2> 0i = arg (z — * i) y 02 = arg (z — x<¡) cam bia de x a 0, mientras todos los otros térm inos permanecen constantes Por esto otro giro de un ángulo x — a2 en el plano w se efectúa. Continuando el proceso vem os que cuando z recorre el eje x, w recorre el polígono, e inversamente.

Se puede demostrar realm ente que el interior del polígono (si es cerrado) se aplica sobre el sem i- plano superior por ( i) (ver problema 26).

a i a 218. Dem ostrar que para polígonos cerrados la suma de los e x p o n e n te s 1 , ------ 1, . .a n # . 77 T- — 1 en la trasformación de Christoffel-Schwarz (9) o (10), página 205, es igual a —2."IT

La sum a de los ángulos exteriores de cualquier polígono cerrado es 2x. E ntonces

(tr — <*!) + (jt — a2) + *** + ( * ”■««) =y dividiendo por — x, obtenem os com o se buscaba,

19. Si en la trasformación de Christoffel-Schwarz (9) o (10), un punto, por ejemplo x„, se elige en el infinito, m ostrar que el último factor no aparece.

En (9), página 205, sea A = K / ( —*„)an/lr 1 donde K es una constante. E ntonces el lado derecho de (9) se puede escribir

\ an/tr— 1,/jt- 1 (2 _ ar cr*/ir- l . . . (z — x n_ ,)a«- i/7t

Cuando x n x , este últim o factor tiende a 1 ; y esto es equivalente a remdver el factor.

20. Determ inar una función la cual aplica cada una de las regiones indicadas en el plano w sobre el semi-plano superior del plano z.

(< ¡) Plano w V

Plano z

- b

Fig. 8-78 Fig. 8-79


Sean P , Q , S y T los puntos (Fig. 8-78) que se aplican respectivam ente en P ' Q ' S ' y T f (Fig. 8-79). Se puede considerar P Q S T com o un caso lím ite de un polígono (un triángulo) con dos vértices en Q y S y el tercer vértice P o T en el infinito.

Por la trasform ación de Christoffel-Schwarz, puesto que los ángulos en Q y S son iguales a ic/2, tenem os

A Kj ir/2 , tt/2 .d W _ A l J . i - * ” “ J '-£■ - i 4 ( i r - H j (z — í j

Integrando,

V*2-1 V i-* 2+ B = / f s e n ~ ' z + B

Cuando z = 1, ui = 6. Por esto (1) b - K sen 1 (1) + B = K x / 2 + B.

Cuando z - —1, w = —b. Por esto, (2) —b = K s e n 'l ( —1) + B = - K i / 2 + B.

R esolviendo (I) y (2) sim ultáneam ente, encontram os B - 0, K = 2b/%. Entonces

TTW26u» = — sen 1 z z = sen 26

E l resultado es equivalente al numeral A -3(a) en la tabla de la página 207 si intercam biam os w y z y hacem os 6 = a / 2 .

(6)Plano w Plano z

-

O' p S '

Fig

1

8-81Fig. 8-80

Sean P , O, Q [w = 6¿] y S los puntos que se aplican en P ' , O ' , Q ’ [z = 1] y S ' respectivam ente. O bserve que P , S , P ' , S ' están en el infinito (como lo indican las flechas), m ientras que O y O ' son los orígenes [w = 0 y 2 = 0) d é lo s planos w y z. P uesto que los ángulos interiores en O y Q son t /2 y 3 x /2 respectivam ente, tenem os por la trasform ación de Christoffel-Schwarz

ir/2 , 3ir/2 ,

=1 - 2

-d z

‘ ( Z - 1 )

E ntonces w = K § ^

Para integrar esto, sea z = sen2 6 y obtenem os

w = 2 K ^ eos2 t de = K (1 + co s2 a )d s = K ( t + se n 2 í) + B

= K (e + sen » eos «) + B = B ( s e n ~ 'V r + V 2(1 — z) ) + B

Cuando z = 0, w = 0 así que B = 0. Cuando z = 1 , w = bi así que bi = K x /2 o K = 2 b i / r .E ntonces la trasform ación buscada es

tv = ( s e n “ 1 \ f z + V *(l — z) )

21. Encontrar una trasformación la cual aplica un polígono en el plano w sobre el círculo unidad del plano J .

U n polígono en el plano w se puede aplicar sobre el eje x del plano z por la trasform ación de Christoffel-Schwarz

w = A J ' ( z - x ,)' (z — x n)aA/ ’r~ 1 dz + B (i)

222 APLICACION C O N F O R M E (CAP. 8

Una trasformación la cual aplica el semi-plano superior del plano z en el círculo unidad del plano i; es

* = TTz ° í = ¿ ( r r r ) (2)rem plazando w por £ y tom ando 0 = ic, ¿o = 1 en Ia ecuación (8 ), página 205.

Si xj, X2 , . . . , x n se aplican en f j , f 2......... fn respectivam ente sobre el círculo unidad, entoncestenem os para ¿ = 1 , 2 , , . . , »

, / 1 - A . . / 1 - í i A _ " 2 H S - h )z Xk ' U + í / \ i + f j ( i + n ú + ¡k)

Tam bién, d z = —2i < /; /( l + ; ) 2. Sustituyendo en ( i ) y sim plificando, em pleando el resultado de que

la sum a de los exponentes ^ *— 1 , ^ — 1 , — 1 es —2 , encontram os la trasform ación buscada, IT TT IT

w = a ‘ j (t — 1 <r — f2)or»/,r- 1 ••• + b

donde A ' es una constante nueva arbitraria.

TRASFORM ACIONES DE FRO N TERA S EN LA FORM A PARAM ETRICA22. Sea C la curva en el plano z con ecuaciones param étricas x = F(t), y = G(t). M ostrar

que la trasformaciónz - F(w) + iG(w)

aplica la curva C sobre el eje real del plano w.

Si z = x - f iy, w — u -f iv, la trasformación se puede escribir

x + iy = F{n + iv) + i G(u + iv)

E ntonces v = 0 (el eje real del plano w) corresponde a x + iy = F{u) + iG { u ) , es decir, x = F (u ) , y = G(u), lo cual representa la curva C.

X «223. Encontrar una trasformación que aplica la elipse = 1 en el plano z sobre el

eje real del plano w.U n conjunto de ecuaciones paramétricas para la elipse está dado por x = o cos í, y = b sen f

donde a > 0, b > 0. Entonces según el problema 22 la trasform ación buscada es z = a cos w + ib sen w.

PROBLEM AS VARIOS

24. Encontrar una función la cual aplica el interior de un triángulo en el plano w (Fig. 8-82) sobre el semi-plano superior del plano z.

Sean P [uj = 0] y Q [w — 1] los vértices del triángulo que se aplican en P ' [z = 0] y Q ' [z = 1 ] sobre el plano z, m ientras el tercer vértice R se aplica en R ' [z = « ] .

P lano w Plano z

V

R ' P ' Q' R '0 1

Fig. 8-82 Fig. 8-83

CAP. 81 APLI CACI ON C O N F O R M E 223

Según la trasform ación de Christoffel-Schwarz,dw— = A * « /» -! (z — 1 )«/IT- 1 - K zo/*—1 (1 _ 2)0/ir - l

W = K f - f)»/ir—1 + g“'o

P uesto que u> = 0 cuando z = 0, tenem os B - 0. T am bién ya que w = 1 cuando z = 1, tenem os

1 = K f {•«/»-! (1 — — i = P(a/g) r(ff/g)r ( ^ » )

utilizando las propiedades de las funciones beta y gam ma (capítulo 10). Por esto

K =

y la trasform ación buscada esr(a/w) r(/3/w)

P(a/r) r(/3MO bserve que esto está de acuerdo con los numerales A-13 de la página 2 10 , puesto que la longitud

del lado A B en la figura 8-39 es

f ja/ir- 1 (1 _ f)S/ir-l d j = r ( a M T(p/ r )

25. (a) Hallar una función la cual aplica la región sombreada en el plano w de la figura 8-84 en el semi-plano superior del plano z de la figura 8-85.

(6) D iscutir el caso cuando 6 -» 0.

Plano w Plano z

V

P ’ Q ’ S ’ V f J ‘- 1 0 1

Fig. 8-85

(a) Los ángulos interiores en Q y T son cada uno igual a tu — a, m ientras que el ángulo en S es 2 i - (* — 2 a) = x - f 2 a. E ntonces según la trasform ación de-C hristoffel-Schw arz tenem os

= A (z + !)< * -« > /» - • z<»+2a> /v - 1 _ l)< ir-a> /v- 1

Por esto integrando

A z*«" (zJ - l ) 0" '

K Z ^ "(1 - Z * )“ "

+ BX ( 1 -5 * ) “"

Cuando z = 0, w = ai; entonces B = ai y

w = K f * df + ot(1 --

d i'o (1 -5 * )“"

E l valor de K se puede expresar en térm inos de la función gam m a utilizando el hecho que w = b cuando z = 1 (ver problem a 102). Encontram os

K = (6 - at) V i (2)


(b) Cuando b —» 0 ,a —» * /2 y el resultado (a) se reduce a

w = ai — ai I —— ■ ■ ■ = a¡V 1 — z2 «'o V1 — f2

- ayV 2 - 1

En este caso la figura 8-84 se reduce a la figura8-86. El resultado para este caso se puede encontrar directam ente de la trasformación Christoffel- Schwarz, considerando P Q S T U com o un polígono con ángulos interiores en Q, S y T iguales a ir/2,2x, y t /2 respectivam ente.

26. Demostrar que la trasformación de Christoffel-Schwarz del problema 17 aplica el interior del polígono sobre el semi-plano superior.

Es suficiente demostrar que la trasformación aplica el interior sobre el círculo unidad, puesto que sabem os ya (ver problema 1 1 ) que el círculo unidad se puede aplicar sobre el sem i-plano superior.

Supongam os que la función que aplica el polígono P en el plano w sobre el círculo unidad C en el plano z está dada por w = f( z ) donde f (z ) es analítica dentro de C.

D ebem os mostrar ahora que cada punto a dentro de P es imagen de un solo punto z 0t por m ediode / , es decir / ( zq) = a.

Ahora según la fórmula integral de Cauchy, ya que a está dentro de P,

i f J Ü L . = r2iri J p w — a

E ntonces puesto que w — a = f (z ) — a,

- m - dz = i2*ri J c f (z) - a

Pero f ( z ) — a es analítica dentro de C. Por esto del problema 17, capítulo 5, hem os m ostrado que existe un único cero (por ejem plo z0) de f{z) — a dentro de C, es decir /(zo) = com o se buscaba.

27. Sea C un círculo en el plano z con centro sobre el eje real, y suponga además que pasapor 2 = 1 , y 2 = —1 es un punto interior. Determ inar la imagen de C en el plano wcon la trasformación w = f(z) = £(2 + 1 / 2).

Tenem os d w / d z = £ (1 — 1 /z 2). Puesto que d w / d z = 0 en z = 1 , se deduce que z = 1 es unpunto crítico. D e la serie de T aylor de f (z ) = £(z + 1 /z ) alrededor z = 1, tenem os

w - 1 = £ [ ( z - l ) 2 - ( z - i ) 3 + ( z - i ) * ---------]

Según el problema 100 vem os que los ángulos con vértices en z = 1 se doblan por la trasform ación. En particular, puesto que el ángulo en z = 1 exterior a C es z, el ángulo en w = 1 exterior a la im agenC ' es 2r. Por esto C ' tiene una cola punteaguda en w = 1 (Fig. 8-88). Los otros puntos de C ' sepueden encontrar directamente.

Plano z P lano w

Fig. 8-87 Fig. 8-88

Es interesante observar que en este caso C cierra el círculo z| = 1 , el cual se aplica por la tras- formación en el segm ento desde w = —1 a w — 1 . D e tal m odo que cuando C tiende a |z| = 1 , C ' se aproxima al segm ento rectilíneo que une w = - 1 a w = 1 .

Plano w

■gjai s

p Q T -------£ UFig. 8-86

28. Suponga que el círculo C del problema 27 se mueve de tal forma que su centro esté en el semi-plano superior, pero pase por 2 = 1 y encierre a 2 = —1. D eterm inar la imagen de C por la trasformación w = + 1/2).

Com o en el problema 27, puesto que 2 = 1 es un punto crítico, obtenem os la forma p inteaguda en w = 1 (Fig. 8-90). S i C no encierra com pletam ente el círculo |z = 1 (como se muestra en la figura 8-89), la im agen C ' no encierra com pletam ente la im agen de \z\ = 1 (que es el segmento desde w = —1 a w =* 1). O en otros térm inos, C ' sólo encierra la parte de segm ento que corresponde a la parte de \z\ = 1 dentro de C. La forma de C ' es por tanto com o se m uestra en la figura 8-90. Cambiando C apropiadam ente, otras formas sem ejantes de C ' se pueden obtener.

P lano 2 Plano w

Fig. 8-89 Fig. 8-90

E l hecho que C ' se parezca a la sección trasversal del ala de un avión, algunas veces llamada un plano aerodinámico , es im portante en teoría aerodinám ica (ver capítulo 10 ) y fue por primera vez utilizado por Joukow sk i . Por esta razón formas tales com o la de C ' se llam an planos aerodinámicos o contornos de Joukow sk i y w = ¿(2 + 1 j z ) se llam a la trasformación de Joukow ski .


T R A SF O R M A C IO N E S

29. D ado el triángulo T en el plano z con vértices en i, 1 — i, 1 + i. D eterm inar el triángulo T' imagende T por las trasform aciones, (o) w = 3z + 4 — 2», (6) w = i z + 2 — ¿, (c) w = 5e,ri/3z — 2 + 4t.¿Cuál es la relación entre T y T ' en cada caso?

30. D ibujar la región del plano w en la cual el interior del triángulo T del problema 29 se aplica por lastrasform aciones, (a) ui - z 2, (6) w = i z 2 + (2 — i )z, (c) w = z + 1 Iz .

31. (a) M ostrar que por m edio de la trasform ación w - 1 / z el círculo C dado por |z — 3| = 5 se aplicaen el círculo + 3 /1 6 | = 5 /1 6 . (6) ¿En qué región se aplica el interior de C ?

32. (a) Probar que por la trasform ación w = (z — i ) / ( i z — 1) la región Im {z} a 0 se aplica en la región|ie| £ 1. (b) ¿En qué región se aplica Im {z} £ 0 por la trasform ación?

33. (a) M ostrar que la trasform ación w = i ( z e x + r 1 e “) donde <z es real, aplica el interior del círculo|z| = 1 sobre el exterior de una elipse (ver numeral B-2 en la tabla de la página 210).

(6) H allar las longitudes de los ejes m ayor y m enor de la elipse de (a) y construyala.

Resp. (6) 2 cosh oc y 2 senh a respectivam ente

34. D eterm inar la ecuación de la curva en el plano w en la cual la línea recta x + y = 1 se aplica por lastrasform aciones, (o) w = z 2, (b) w = 1 /z.Resp. (a) u 2 + 2v = 1, (6) u 2 + 2uv + 2v2 = u + v " ' *------------ 1---------

Í.1 U N IV E R S ID A D N A C IO N A L j

Facultad Politécnica j• i d í i A T r r » * I

226 APLI CACI ON C O N F O R M E [CAP. 8

35. M ostrar que w = ( ---- - ) aplica el círculo unidad sobre una región cuneiforme e ilustrarla gráficamente. ' '

36. (a) M ostrar que la trasformación w = 2z — 3iz + 5 — 4¿ es equivalente a u = 2x + 3y - f 5,u = 2y - 3x - 4.

{b) D eterm inar el triángulo en el plano uv imagen del triángulo T del problema 29 con la trasformación de (a). ¿Son los triángulos semejantes?

37. Expresar las trasformaciones, (a) u = 4x 2 — 8y , v = 8x — 4y 2, y (b) u = x 3 — 3x y 2, v = 3x 2y — y 3en Ya forma w = F ( z , i ) . Resp. (a) xv = (1 + t)(z2 .+ z2) + (2 — 2i)zi + Siz, (6) w = z3

T R A SF O R M A C IO N E S C O N FO R M E S

38. Las líneas rectas y = 2x, x + y = 6 en el plano x y se aplican sobre el plano w por m edio de la tras- formación w = z 2. (a) M ostrar gráficam ente las im ágenes deJas líneas rectas en el plano w. (6) M ostrar analíticam ente que el ángulo de intersección de las líneas rectas es el m ism o que el ángulo de intersección de sus imágenes y explicar el porqué de este com portam iento.

39. Trabajar el problema 38 si la trasformación es (a) %o = (6) w = * ^ ^ .

40. E l interior del cuadrado c f con vértices en 1, 2, 1 + i, 2 + i se aplica en una región J * por m ediode las trasform aciones, (a) w = 2z + 5 — 3¿, (b) w = z 2, (c) w = sen izz. E n cada caso dibujarlas regiones y verificar directam ente que los ángulos interiores de son ángulos rectos.

41. (a) Dibujar las im ágenes del círculo (x — 3)2 + y 2 = 2 y la recta 2x - f 3y = 7 con la trasform ación w = 1 /z . (6) D eterm inar cuándo las im ágenes del círculo y la recta de (o) se intersectan en el m ismo ángulo com o el círculo y la recta. Explicar.

42. Trabajar el problema 41 para el caso del círculo (x — 3 )2 + y 2 = 5 y la recta 2x + 3y = 14.

43. (a) Trabajar el problema 38 si la trasformación es w = 3z — 2iz.

(b) ¿Es su respuesta a la parte (6) la misma? Explicar.

44. Probar que una condición necesaria y suficiente para que la trasformación w = F (z , z ) sea conforme en una región es que dF/Sz = 0 y dF/dz **0 en % y explicar el significado de esto.

JA C O B IA N O S

45. (a) Para cada parte del problema 29, determ inar la razón de las áreas T y T '. (6) Comparar sus resultados en la parte (a) con el factor de au m ento \d w /d z \2 y explicar el significado.

46. Encontrar los jacobianos de las trasform aciones, (a) w = 2z2 — iz + 3 — i, (b) u = x 2 — x y 4- y 2,v = x 2 + x y 4- y 2. Resp. (a) |4z — i |2, (b) 4 (x 2 + y 2)

47. Probar que un polígono en el plano z se aplica en un polígono sem ejante por m edio de la trasformación w F(z) si y sólo si F '(z ) es una constante distinta de cero.

48. La función analítica F(z) aplica el interior % de un círculo C definido por \z\ = 1 en una región

lim itada por una curva cerrada sim ple C '. Probar que, (a) la longitud de C ' es ^ \F ' ( z ) \ \dz\, (6)

el área de % ’ es / / |F '(z )|2 dx dy.%

49. Dem ostrar el resultado (2) de la página 201.

60. Hallar la razón de las áreas de los triángulos del problema 36(6) y com pararlas con el factor de aum entoobtenidos de los jacobianos.

CAP. 8) APLI CA CI ON C O N F O R M E 227

51. Sean u = u(x , y ) , v = v ( x , y ) y x = *(?, r¡), y = y($ , i)).

(а) Probar que<Ht, i ) 9{x ,y) 3(£, i )

(б) Interpretar el resultado de (o) geom étricam ente.

(c) Generalizar el resultado de (a).

52 . M ostrar que si w = u + iv = F (z ) , z = x + iy = G (0 y ti = £ + ¿i), el resultado del problema 51 (a)es equivalente a la relación

1 1 I dw I I dz I1 df 1 ~ 1 dz 1 Id f l

T R A SF O R M A C IO N E S B IL IN E A L E S O R A C IO N A L E S

53. Encontrar una trasform ación bilineal que aplique los puntos i, —i, 1 del plano z en los puntos 0 , 1, » del plano w respectivam ente. Resp. w => (1 — i ) (z — i) /2 (z — 1 )

5 4 . (o) H allar una trasform ación bilineal que aplique los vértices 1 + í, —i, 2 — i de un triángulo Tdel plano z en los puntos 0, 1 , i del plano w.

(6) D ibujar la región en que el interior del triángulo T se aplica por la trasform ación que se obtuvo en (a). Resp. (o) w = (2z — 2 - 2 ¿ )/{ (i — l ) z — 3 — 5¿}

55. Probar que el resultado de, (o) dos trasform aciones bilineales sucesivas, (6) cualquier número de trasform aciones bilineales sucesivas es tam bién una trasform ación bilineal.

56. S i a b son los dos puntos fijos de una trasform ación bilineal, m ostrar que ésta se puede escribir en la forma

donde. K es una constante.

57. S i a = b en el problema 56, m ostrar que la trasform ación se puede escribir en la forma

— =— = - z r ~ + kdonde p es una constante. v a z a

58. Probar que la trasformación "bilineal m ás general que aplica |z| = 1 sobre |u>| = 1 es

w — e,edonde k es una constante.

59. M ostrar que la trasform ación del problem a 58 aplica |z| < 1 sobre, (a) |u>| < 1 si \p\ < 1, y (6) M > i si |p| > i .

60. D iscutir el problem a 58 si |p | = 1.

61. Trabajar el problem a 11 directam ente.

62. (a) S i Zj, z 2, Z3, Z4 son cuatro puntos diferentes de un círculo, probar que la razón cruzada es real.

(6) ¿Es el recíproco de la parte (a) verdadero? Resp. (b) S í

( i 3 )

w - a _ , , ( z - a \ w - b ~ K \ z - b )

LA T R A SFO R M A C IO N DE C H R IS T O FF E L -SC H W A R Z

63. Em plear la trasform ación de Christoffel-Schwarz para determ inar una función que aplique cada una de las regiones indicadas en el plano z sobre el sem i-plano superior del plano w.(o) Plano z Plano w

Fig. 8-91 Fig. 8-92


(*>) Plano z P lano w

yB ¿

2 C

D E

(e)

Fig. 8-93

Plano z

yC B A

xr

C D ? T

Fig. 8-95

£ Z ______

Fig. 8-96

Plano w

s u f t s a m a m

- £ ¿ L n

Fig. 8-97 Fig. 8-98

Resp. (a) w = z3, (6) w = cosh (rz/2), (c) w = e‘ , (d) w — z4'5

64. Comprobar el numeral A-14 de la tabla de la página 210 utilizando la trasform ación de Christoffel-Schwarz.

65. Hallar una función que aplica la región infinita som breada de la figura 8-99 sobre el sem i-plano superiordel plano z (Fig. 8-100) de ta l m odo que P, Q, R se apliquen en P ' , Q ' , R ' respectivam ente (dondeP, R , P ' , R ' están en el infinito com o lo indican las flechas). Resp. z = (w + % — « ) 2

Plano w Plano z

66. Comprobar el numeral A-12 de la tabla de la página 209 utilizando la trasform ación de Christoffel- Schwarz.

67. H allar una función que aplique cada una de las regiones som breadas indicadas en el plano w sobre el sem i-plano superior del plano z.

(<*)

Plano w P lano z

(í>)

Fig. 8-101

Plano w Plano z

V

1 x 1 *

P Q S T

Fig. 8-103

68. (o) Com probar el numeral A - l l de la tabla de la página 209 utilizando la trasform ación de Christoffel-Schwarz.

(6) Em plear el resultado de (a) junto con el numeral A-2 de la tabla de la página 206 para demostrar el numeral C-5 de la tabla de la página 212.

T R A SF O R M A C IO N E S D E F R O N T E R A S E N F O R M A P A R A M E T R IC A

69. (a) H allar una trasform ación que aplique la parábola y - = 4p ( p — x) en una línea recta.

(6) D iscutir la relación de su respuesta con el numeral A-9 de la tabla de la página 209.

Resp. (a) U na posibilidad es z = p — p w 2 -f- 2p iw = p f l + iw)- que se obtiene utilizando las ecuaciones param étricas * = p ( l — t 2), y = 2pt.

70. H allar una trasform ación que aplique la hipérbola x - a cosh t, y = a senh t en una línea recta.

Resp. z - a (cosh w 4- i senh w)

71. H allar una trasform ación que aplique la cicloide x = a( t — sen í) , y = a( 1 — eos t) en una línea recta.

Resp. z = a(w + i — ie~'w)

72. (o) H allar una trasform ación que aplique la hipocicloide z 2/3 + y 213 = a2/3 en una línea recta.

(6) ¿En qué región se aplica el interior de la hipocicloide por esta trasform ación? Justificar la respuesta.

(Sugerencia. Las ecuaciones param étricas para la hipocicloide son x = a eos3 t, y — a sen3 1, O S I< 2it.) Resp. (o) z = a(cos3 ir + i sen3 w)

73. D os conjuntos de ecuaciones param étricas para la parábola y = x - son, (a) * = t, y = í- , y (ó)X — ± e1, y = e21. U tilizando estas ecuaciones param étricas llegar a dos trasform aciones posibles queapliquen la parábola en una línea recta y determ inar cuáles son las ventajas de utilizar una en vez de , la otra.

230 APLI CACI ON C O N F O R M E (CAP. 8

PR O BLEM A S V A R IO S

74. (a) Mostrar que la trasformación w = 1 / z aplica el circulo \z — o | = a, donde a > 0, en una línearecta. Ilustrar gráficamente m ostrando la región en que se aplica el interior del círculo, así com ovarios puntos de éste.

(6) Mostrar cóm o se puede usar el resultado de (a) para derivar la trasformación que aplica el sem i- plano superior en el circulo unidad.

75. Probar que la función w = (z2 / a 2) — 1 aplica un lazo de la lem niscata r2 = 2a2 eos 26 sobre el círculounidad.

76. Probar que la función w = z2 aplica el círculo |z — o| = a, a > 0, sobre la cardiode p = 2o2( l + eos <¡>) (ver numeral C-2 de la tabla de la página 211).

77. M ostrar que la trasformación de Joukowski w = z + k 2/ z se puede escribir com o, 2w — 2 fe

w + 2fc - (SI)78. (a) Sea w = F(z) una trasformación bilineal. M ostrar que la trasform ación bilineal m ás general

para la cual F (F(z)} - z está dada porw - p _ k z - p

. . . . . W — q Z — qdonde k 2 = 1 .

(6) ¿Cuál es el resultado en (a) si í'{F[.F’(z)]} = z?

(c) Generalizar los resultados en (a) y (6).

Resp. (6) Lo m ismo com o (a) con k 2 = 1.

79. (a) D eterm inar una trasformación que rote la elipse x 2 4- x y + y 2 = 5 de tal m odo que el eje m ayor y el eje menor sean paralelos a los ejes coordenados, (ó) ¿Cuáles son las longitudes de los ejes m ayor y menor?

80. H allar una trasformación bilineal que aplica el círculo \z — 1| = 2 sobre la recta x + y = 1.

81. Comprobar las trasformaciones, (a) A-6, (ó) A-7, (c) A-8, de la tabla de la página 208.

82. Considerar la proyección estereográfica del plano com plejo sobre la esfera unidad tangente a él (ver página 6). Sea X Y Z un sistem a de coordenadas rectangulares construido de tal forma que el eje Z coincide con N S m ientras los ejes X y Y coinciden con los ejes x y y de la figura 1-6. Probar que el punto(X , Y, Z) de la esfera que le corresponde a (x, y ) sobre el plano es tal que

x = x y = v Z = + V2x 2 + y 2 + 1 ’ x 2 + y 2 + 1 ’ x 2 + y 2 + 1

83. Probar que la aplicación definida por la proyección estereográfica es conforme.

84. (a) Probar que por m edio de la proyección estereográfica, las longitudes de arco de la esfera se aum entan en la razón (r2 + y 2 + 1 ) : 1 .

(6) D iscutir qué sucede en regiones en una vecindad del polo norte. ¿Qué efectos se producen sobrelas cartas de navegación?

85. Sea u = u(x , y ) , v = v(x, y ) una trasform ación de puntos del plano x y sobre puntos del plano iw.

(a) Mostrar que una condición necesaria y suficiente para que la trasform ación conserve los ángulos es

( — V + ( — V - í i ( d v \ 2 9u du , 3 v „\ f l x j J \ d y ) \ d y ) ’ dx dy dx dy

(fe) D educir de (o) que debem os tener... 5w _ dv du _

dx d y ' dy

Por tanto u + iv debe ser una función analítica de jc + iy.

(i) = Í!t _ Q du_ _ du _ dvdx dy dy dx ° " dx dy ’ dy dx

86. Encontrar el área de la elipse a x 2 + bxy + cy2 = 1 donde a > 0, c > 0 y b2 < 4ac.

Resp. i ir / 'J4ac — fe2

87 . U na trasform ación w = f ( z ) de puntos en un plano se llama una involución si z = f (w ) . E n este caso una sola repetición de la trasform ación reintegra cada punto a su posición original. Encontrar condiciones sobre a, ¡1, y, 5 con el fin de que la trasform ación bilineal w = ( -JZ +■ § ) / ( y z 5) sea una involución. Resp. B = — a

88. M ostrar que las trasform aciones, (o) w = (z + 1 ) / ( z — 1), (6) w = ln coth (z /2 ) son unas involuciones.

89. Encontrar una trasformación bilineal que aplique |z| £ 1 sobre \w — 1| g 1 así que los puntos 1, —i correspondan a 2 , 0 respectivam ente.

90. D iscutir el significado de la nulidad del jacobiano de una trasform ación bilineal.

91 . Probar que la trasform ación bilineal w = (az + /) / (yz -f- 5) tiene un punto fijo si y solam ente si(5 d - a ) 2 = 4 (aB — P y) 0 .

92. (o) M ostrar que la trasform ación w = (az d- y)/(yz d- 5) donde | a |2 — |y |2 = 1 trasform a el círculounidad y su interior en sí mismo.

(6) M ostrar que si |y |2 — |a |2 = 1 el interior se aplica en el exterior.

93 . Suponer que con la trasform ación w = F(z, z) cualquier par de curvas Cj y C2 que se intersectan enel plano z se aplican respectivam ente en curvas C[ y C2 que se intersectan en el plano w. D em ostrar que si la trasform ación es conform e entonces, (a) F (z ,z ) es una función de z solam ente, por ejem plo /(z ) , y (6) / (z ) es analítica.

94. (a) Probar la regla para la m ultiplicación de determ inantes (ver problem a 7):

a I 0 2 6 2 ® l a 2 ^ l c 2 f l j l > 2 4 " & 1 CÍ2

Ci d ¡ ® 2 ^ 2 C 1 O 2 4 " C j C 2 < ?1& 2 d ” ^ 1 ^ 2

(b) M ostrar cóm o se puede generalizar el resultado en (a) a determ inantes de tercer orden y m ayores.

95. H allar una función que aplique las regiones, una sobre la otra, som breadas de las figuras 8-105 y 8-106, donde Q S tiene longitud 6.

P lano w P lano z

F ig. 8-105

j -r——

n (1d t

■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ I

- 1 0 1

Fig. 8-106

aplica un exágono regular en el círculo unidad.

(6) ¿Cuál es la longitud del lado del exágono de (a)? Resp. (b) ¿ V^2r(J)

232 APLICACION C O N F O R M E [CAP. 8

97. M ostrar que la trasformación w = ( A z 2 + B z + C ) / ( D z 2 + E z + F) se puede considerar com o una com binación de dos trasformaciones bilineales separadas por una trasformación del tipo r = f2.

98. Hallar una función que aplique un polígono regular de n lados en el círculo unidad.

99. Comprobar los numerales: (a) A-9, página 209; (b) A-10, página 209; (c) B -3, página 211; (d) B-4, página 211; (e) C-3, página 212; ( / ) C-4, página 212.

100. Suponer que la aplicación w = f( z ) tiene la expansión en series de Taylor

= / ( 2) = /(o ) + f '(a) (z — a) + • • • + (z — o)* +

M ostrar que si /<*’ (a) = 0 para k = 0, 1 n — 1 m ientras que f !n) (a) 0, entonces los ángulosen el plano z con vértices en z = o se m ultiplican por n en el plano w.

101. Determ inar una función que aplique la faja infinita —x /4 ¿ x ¿ x /4 sobre el interior del círculounidad |ui] S 1 de tal m odo que z = 0 para w = 0. Resp. w — tan z

102. Comprobar el valor de K que se obtuvo en la ecuación (2) del problema 25.

103. Hallar una función que aplique el sem i-plano superior sobre el interior de un triángulo con vérticesen w = 0, 1 , i valores correspondientes a z = 0, 1 , » respectivam ente.

Resp. w = r(3/4) { - i / 2 ( i - t) - s /« ¿ tV i r ( l /4 ) J 0

C ap ítu lo 9A p lic a c io n e s físicas

de la a p lica c ió n co n fo rm e

PROBLEM AS DE FRONTERA

Muchos problemas de ciencia e ingeniería cuando se formulan m atem áticam ente, conducen a ecuaciones diferenciales parciales y a condiciones asociadas que se llaman, condiciones de frontera. E l problema de determ inar soluciones para una ecuación diferencial parcial que satisfaga las condiciones de frontera, se llama un problema de frontera o contorno.

Es de fundam ental importancia, desde un punto de vista m atem ático así como físico, que uno pueda no sólo ser capaz de encontrar tales soluciones (o sea, que las soluciones existen) sino que para un problema dado, pueda asegurar una sola solución (es decir, que la solución es única).

FU N CIO N ES CONJUGADAS Y ARM ONICAS

Una función que satisface la ecuación de Laplace

V * = r » + — i = 0 ( 1)d x 2 d y 2 v '

en una región % se llama armónica en %. Como ya hemos visto, si f(z) - u (x ,y ) + i v(x, y) es analítica en 2Í(, entonces u y v son armónicas en %.

E je m p lo : S i f ( z ) = 4 z 2 — 3 i z - 4(x + iy )2 — 3 i(x + iy) = 4*2 — 4y 2 + 3y + i(8xy — 3x), enton-ces u = 4 x 2 — 4y 2 - f 3y , v = 8x y — 3x. Puesto que u y v satisfacen la ecuación deLaplace, ellas son armónicas.

Las funciones u y u se llaman funciones conjugadas; y dada una, la otra se puede determ inar salvo una constante aditiva arb itraria (ver capítulo 3).

PRO BLEM A S DE D IR IC H L E T Y NEUM ANN

Sea % (Fig. 9-1) una región simplemente conexa acotada por una curva simple cerrada C. Dos tipos de problemas de frontera son de gran importancia.

1. E l p ro b le m a de D iric h le t busca la determinación de una función <¡> que satisfaga la ecuación de Laplace (1) (o sea, es armónica) en % y tom a valores prescritos sobre la frontera C.

2. E l p ro b le m a de N e u m a n n busca determ inar una función <J> que satisfaga la ecuación de Laplace (I) en % y cuya derivada normal d<t>/dn tome valores prescritos sobre la frontera C.

La región % puede estar no acotada. Por ejemplo, % puede ser el semi-plano superior conel eje x como la frontera C. F ig. 9-1

233

234 AP LI CA C I ONES FISICAS DE LA APLI CACI ON C O N F O R M E | CAP. 9

Se puede demostrar que, soluciones a ambos problemas, el de Dirichlet y el de Neumann existen y son únicas (el problema de Neumann, salvo una constante aditiva arbitratria) con restricciones muy moderadas sobre las condiciones de frontera (ver problemas 29 y 80).

Es de interés que, un problema de Neumann se puede plantear en términos de un problema de Dirichlet apropiadamente enunciado • (ver problema 79). Por tanto, si podemos resolver el problema de Dirichlet, podemos (al menos teóricamente) resolver un problema correspondiente de Neumann.

EL PROBLEM A DE D IR IC H L E T PARA EL CIRCULO UNIDAD. FORM ULA DE POISSON

Sea C el círculo unidad \z\ = 1 y 7 su interior. Una función que satisface la ecuación de Laplace (o sea, es armónica) en cada punto (r, 0) en y toma el valor prescrito F(0) en C (es decir, <J> (1, 0) = F(0)) está dada por

M r O ) = — r (2 )K ' a) 2 n J 0 1 - 2 r cos(6 -<#»)+ r2 K )Esta se llama la fórmula de Poisson para un círculo (ver capítulo 5, página 120).

EL PROBLEM A D IR IC H L E T PARA EL SEM I-PLA N OUna función que es armónica en el semi-plano y > 0 [Im {z} > 0] y que tom a sobre el

valor prescrito G{x) en el eje x (o sea, d>(*, 0) = G(x), — «> < x < » ) , está dada por

Mx.V) = ~ f \ (3)y 2 + ( x - r , Y

Esta se llama algunas veces la fórmula de Poisson para el semi-plano (ver capítulo 5, página 121).

SOLUCIONES A LOS PROBLEM AS DE D IR IC H L E T Y DE NEUMANN POR APLICACION CONFORM E

Los problemas de Dirichlet y de Neumann se pueden resolver para una región % simplemente conexa la cual se puede aplicar conformemente por una función analítica sobre el interior de un círculo unidad o semi-plano (Según el teorema de la aplicación de Riemann, esto se puede hacer siempre, al menos en teoría.) Las ideas básicas involucradas son las siguientes:

(а) Utilizar la aplicación para trasform ar el problema de frontera para la región % en uno correspondiente sólo para el círculo unidad o semi-plano.

(б) Resolver el problema para el círculo unidad o semi-plano.(c) Utilizar la solución en (6) para resolver el problema dado empleando la aplicación

inversa.

Teoremas im portantes que se utilizan en este proceso son los siguientes:

T eo rem a 1. Sea w = f{z) analítica en una región % del plano z. Entonces existe una inversa única z = g(w) en % si / ' (z) ^ 0 en (y de este modo aseguramos que la aplicación es conforme en cada punto de CH).

T eo rem a 2. Sea <l>(x, y) armónica en ^ y supongamos que se aplica en del plano w, por medio de la aplicación w = f(z), donde f(z) es analítica y f ' {z) 0, de modoque x = x(u, v), y = y(u, v). Entonces, <!>(*, y) = [x(u, v), y(u , y)] = <e(u, y) es armónica en En otras palabras, una función armónica se trasforma en una función armónica con una w = f{z) que es analítica (ver problema 4).

CAP. 9| A P LI CA CI ON E S FISI CAS DE LA A P LI CA CI ON C O N F O R M E 235

T e o re m a 3. Si = a (una constante) sobre la frontera o parte de la frontera C de una región en el plano z, entonces <r = a sobre su imagen C' en el plano w. Asimismo, si la derivada normal de <¡> es cero, o sea, ¿Dl'/án = 0 sobre C, entonces la derivada normal de y es cero sobre C '.

Aplicaciones a flujo de fluidosSU PO SICIO N ES BASICAS

La solución de muchos problemas im portantes en dinámica de fluidos, también mencionado como flujo de fluidos, hidrodinámica o aerodinámica, se logra a menudo por métodos de variable compleja con las siguientes suposiciones:

1. E l f lu jo de f lu id o es b id im e n s io n a l, es decir, el modelo del flujo básico y lascaracterísticas del movimiento del fluido en un plano, son esencialmente las mismas en todo plano paralelo. Esto nos perm ite confinar nuestra atención no más que a un plano simple, el cual tomamos igual al plano z. Las figuras construidas en este plano se interpretan como secciones trasversales de cilindros correspondientes infinitos perpendiculares al plano. Por ejemplo, en la figura 9-7, el círculo representa un obstáculo cilindrico infinito alrededor del cual, el fluido fluye. N aturalm ente, un cilindro infinito no es nada más que un modelo matemático de un cilindro físico el cual es ta n largo, que los efectos lejanos se pueden despreciar razonablemente.

2. E l f lu jo es e s ta c io n a r io o u n ifo rm e , o sea, la velocidad del fluido en un punto,depende solamente de la posición (x, y) y no del tiempo.

3. Los c o m p o n e n te s de la ve locidad se d e riv an de u n p o te n c ia l, o sea, si Vx y Vydenotan los componentes de la velocidad del fluido en (x, y) en las direcciones x y y positivas respectivamente, existe una función <t>, que se llama la velocidad potencial, t a l Qu e v _ v _ d<t>

V * ~ a i ' V t = J y {4)

Una suposición equivalente es que, si C es una curva simple cerrada en el plano z y V, es la componente tangencial de la velocidad sobre C, entonces

Vt ds — £ Vx dx + V vdy = 0 (5)Ver problema 48. c

Una u otra de las integrales en (5) se llama la circulación del fluido a lo largo de C. Cuando la circulación es cero, el flujo se llama irrotacional o circulación libre.

4. E l f lu id o es in c o m p re s ib le , es decir, la densidad, o masa por volumen unidad del fluido, es constante. Si V„-es la componente normal de velocidad sobre C, esto conduce a la conclusión (ver problema 48) que

J>* Vnds = £ V zdy — Vydx = 0 (6)

^ + ^ = 0 (7)dx dy ' 'lo cual expresa la condición de que la cantidad de fluido contenido dentro de C es una constante, o sea, la cantidad que entra a C . es igual a la cantidad que sale de C. Por esta razón, la ecuación (6), o la equivalente (7), se llama la ecuación de continuidad.

5. E l f lu id o es n o viscoso, es decir, no tiene viscosidad o fricción interna. Un movimiento de un fluido viscoso tiende a adherirse a la superficie de un obstáculo colocado en su camino. Si no hay viscosidad, las fuerzas de presión sobre la superficie son perpendiculares a la superficie. Un fluido que es no viscoso e incompresible, se llama frecuentemente un fluido ideal. Se debe por supuesto observar que tal fluido es solamente un modelo m atem ático de un fluido real, en el cual seguramente, tales efectos, se supone, son insignificantes.

236 A PLI CA CI ON ES FIS I CAS DK l,A APLI CACI ON C O N F O R M E | CAP. 9

EL POTENCIAL CO M PLEJODe (4) y (7) se ve que la velocidad potencial <l> es armónica, es decir, satisface la ecuación

de Laplace

^ ^ = 0 (8)<ix- d y 1

Se deduce que debe existir una función armónica conjugada, digamos >f (x, y), tal que<)(«) = <i'(x,y) + i v ( x , y ) (9)

es analítica. Por diferenciación tenemos, utilizando (4),dv. . . <>!> .()'F M> . d . . . . .- j - = n '(z ) = — + i — = ------- i — v x - i V y (10)d z v ' d x d x d x d y v

Siendo así, la velocidad (algunas veces se llama la velocidad compleja) está dada por■V = V, + iV y = dn/dz = <r(z) (12)

y tiene magnitud

V = W \ = V W + V I = |fT (i)| = |0'(*)| (12)

Los puntos en los cuales la velocidad es cero, o sea ü ' (z) = 0, se llaman, puntos estacionarios.L,a función U(z), de fundam ental importancia en la caracterización de un flujo, se llama

el potencial complejo.

LINEAS Y TRA Y ECTO RIA S EQ U IPO TEN CIA LES

La familia de curvas a un parámetro<t>(x,y) = n, * (x ,y ) = p (13)

donde a y ? son constantes, son familias ortogonales que se llaman respectivamente las líneas y trayectorias equipotenciales del flujo (aunque los términos más apropiados, curvas equipotenciales y curvas de corriente son utilizadas algunas veces). En movimiento uniforme, las trayectorias representan los caminos reales de las partículas del fluido en el modelo de flujo.

La función '}• se llama la función de corriente mientras que, como ya vimos, la función <1> se llama la función velocidad potencial o brevemente, la velocidad potencial.

FU EN TES Y SUM IDEROSEn el anterior desarrollo de la teoría, supusimos que no existían puntos en el plano z

(o sea, líneas en el fluido) en los cuales el fluido aparece o desaparece. Tales puntos se llaman fuentes y sumideros respectivamente (también seles llama línea de fuentes y línea de sumideros). En tales puntos, que son puntos singulares, la ecuación de continuidad (7), y por tanto (8), no se cumple. En particular, la integral de circulación en (5) puede no ser cero alrededor de la curva cerrada C la cual incluye tales puntos.

Ninguna dificultad surge al utilizar la teoría anterior; no obstante, precavidos introducimos las singularidades apropiadas de potencial complejo £2(z) y observamos que, las ecuaciones tales como (7) y (8) entonces valen en una región que excluya estos puntos singulares.

NyAAEAVAD'NES. T lS tC AS D E DA APLI CACI ON C O N F O R M E 237

ALGUNOS FLU JO S ESPECIA LESTeóricamente, un potencial complejo Q(z) se puede asociar con, o ser interpretado como

un flujo de fluido bidimensional particular. Los siguientes son algunos casos simples que surgen en la práctica. (Observen que una constante se puede sumar a todos los potenciales complejos sin afectar el modelo de flujo.)

1. F lu jo u n ifo rm e . El potencial complejo correspondiente al flujo de un fluido de velocidad constante V0 en una dirección que hace un ángulo S con la dirección x positiva es (Fig. 9-2)

fi(z) = Vo e~“ z (14)

Fig. 9-2 Fig. 9-3

2.

3.

F u e n te en z = a. Si el fluido está brotando con velocidad constante de una línea fuente en z = a (Fig. 9-3), el potencial complejo es

£2(z) = k ln (z — a) (15)

donde k > 0 se llama la fuerza de la fuente. Las trayectorias se m uestran gruesas m ientras que las líneas equipotenciales están punteadas.

S u m id e ro e n z = o. En este caso el fluido está desapareciendo en z = a (Fig. 9-4) y el potencial complejo se obtiene del de la fuente remplazando k por —k, dando

fi(z) = — A: ln (z - a) (16)

4. F lu jo con c irc u la c ió n . El flujo correspondiente al potencial complejo

Q(z) = — ¿A¡ ln (z — a) (17)

es como se indica en la figura 9-5. La magnitud de la velocidad del flujo en un punto, es, en este caso, inversamente proporcional a la distancia desde a.

238 A P LI CA CI ONES FISICAS DE LA APLICACION C O N F O R M E | CAP. 9

El punto z = a se llama un vórtice y k se llama su fuerza. La circulación (ver ecuación (5)) alrededor de una curva simple cerrada C que encierra z = a es igual en magnitud a 2r,k. Observen que cambiando k por —k en (17), se obtiene el potencial complejo correspondiente a un vórtice en la dirección del movimiento de las manecillas del reloj.

S uperposic ión de f lu jo s . Por suma de potenciales complejos, se pueden describir modelos de flujo más complicados. Un ejemplo im portante se obtiene considerando el flujo debido a una fuente en z = —a y un sumidero de igual fuerza en z = a. Entonces el potencial complejo es

n(z) = k ln (z + a) - k ln (z - a) = k ln (Z (18)

Haciendo que a -* 0 y k el potencial complejo

°o en una forma tal que 2ka = y. es finito, obtenemos

(19)

Este es el potencial complejo debido a un doblete o dipolo, o sea la combinación de una fuente y sumidero de fuerzas iguales separados por una distancia muy pequeña. La cantidad ja se llama el momento del dipolo.

FLU JO ALREDEDOR DE OBSTACULOSUn problema im portante en flujo de fluidos, es determ inar el modelo de flujo de un fluido,

que se mueve inicialmente con velocidad uniforme V0, en el cual ha sido colocado un obstáculo.

Plano w Plano t.

Fig. 9-6 Fig. 9-7 F ig. 9-8

principio general que interviene en este tipo de problema, es diseñar un potencial com- jo que tenga la forma

O (z) = V0z + G(z) (20)

(si el flujo está en el plano z) donde G(z) es tal que lim G' (z) = 0, lo cual significa física-1* 1- * ®

mente, que más allá del obstáculo la velocidad tiene magnitud constante (en este caso V0). Además, el potencial complejo debe ser elegido de modo que una de las trayectorias represente la frontera del obstáculo.

Un conocimiento de aplicación conforme, es frecuentemente útil en la obtención de potenciales complejos. Por ejemplo, el potencial complejo correspondiente al flujo uniforme en el plano w de la figura 9-6 está dado por V0w. Utilizando la aplicación w = z + a2/ z (ver numeral A-4, página 207) el semi-plano superior w de la figura 9-6 se trasforma en el semi- plano superior z exterior al círculo C, y el potencial complejo para el flujo de la figura 9-7 está dado por 2

o ( z ) = ^ 0 ( 2 + 7 ) (2 7 )

CAP. 9| A PLI CA CI ON ES FISI CAS DE LA APLI CACI ON C O N F O R M E 239

Asimismo, si z = F(JQ aplica C y su exterior sobre C' y su exterior (Fig. 9-8), entonces el potencial complejo para el flujo de la figura 9-8 se obtiene remplazando z por F(X,) en (21). El potencial complejo además, se puede obtener yendo directam ente desde el plano w al plano ’t, por medio de una aplicación adecuada.

Utilizando lo anterior e introduciendo otros fenómenos tales como circulación, podemos describir el modelo de flujo alrededor de las alas de un aeroplano y así describir el movimiento de él en vuelo.

TEOREM A DE BERNOULLISi P denota la presión en un fluido y V es la velocidad del fluido, entonces el teorema de

Bernoulli dice queP + £<rF2 = K (22)

donde a es la densidad fluido y K es una constante a lo largo de una trayectoria.

TEO REM A S DE BLASIUS1. Sean X y Y las fuerzas netas, en las direcciones x y y positivas respectivamente, debidas

a la presión de un fluido sobre la superficie de un obstáculo acotado por una curva simple cerrada C. Entonces, si ü es el potencial complejo para el flujo,

x- iV = ‘ “ i d ) * (23)

2. Si M es el momento con respecto al origen de las fuerzas de presión sobre el obstáculo, entonces

M = m

donde “ Re” denota como siempre “ parte real de” .

Aplicaciones a electrostática

LEY DE COULOM BSea r la distancia entre dos puntos con carga eléctrica q¡ y q2. Entonces la fuerza entre

ellas está dada en m agnitud por la ley de Coulomb, la cual dice que

y es de repulsión o atracción según que las cargas sean de igual tipo (ambas positivas o ambas negativas) o diferentes (una positiva y la otra negativa). La constante k en (25), la cual se llama la constante dieléctrica, depende del medio ambiente; en el vacío k = 1, en otros casos k > 1. En lo sucesivo suponemos k = 1 a menos que sea especificado de otra manera.

INTENSIDAD DEL CAMPO E LEC TR IC O . POTENCIAL ELECTRO STA TICOSupongamos que tenemos una distribución de carga la cual puede ser continua, discreta,

o una combinación. E sta distribución de carga produce un campo eléctrico. Si una unidad de carga positiva (bastante pequeña como para no afectar el campo apreciablemente) se coloca en un punto A , no ocupado por otra carga, la fuerza que actúa sobre esta carga se llama la intensidad del campo eléctrico en A y se denota por £. E sta fuerza se deduce de un potencial $ el cual se llama algunas veces, el potencial electrostático. En símbolos,

£ = — grad >I> - - V ‘I> (26)

240 AP LI CA C I ONES FIS I CAS DE LA APLI CA CI ON C O N F O R M E | CAP. 9

Si la distribución de carga es bidimensional, lo cual es nuestro principal interés aquí, entonces

£ = E . + 1E. = - £ - < £ donde (27)

En tal caso, si E¡ denota la componente de la intensidad del campo eléctrico tangencial a una curva simple cerrada C en el plano z,

£ E t ds = £ E z dx + E„dy — 0 (28)J e J e

TEOREM A DE GAUSSLimitémonos a distribución de carga que se puede considerar bidimensional. Si C es una

curva simple cerrada en el plano z que tiene una carga neta q en su interior (realmente un cilindro infinito rodeando una carga neta q) y E„ es la componente normal de la intensidad del campo eléctrico, entonces el teorema de Gauss dice que

§ E„ds = 4 wq (29)

Si C no rodea ninguna carga neta, esto se reduce a

£ E„ds = £ E xdy — E yd z = 0 (30)

Se deduce que en una región no ocupada por carga,

De (27) y (31), tenemos

~ + d- p = 0 (31)dx dy 1

d2<í> d24>w + w = 0

es decir, <J> es armónica en todos los puntos no ocupados por carga.

EL POTENCIAL CO M PLEJO ELEC TRO STA TICODe lo anterior, es evidente que debe existir una función armónica f conjugada para <1>

tal que

n(z) = *(x ,y) + i* (x ,y ) (33)

es analítica en una región no ocupada por carga. Llamamos Q(z) el potencial complejo electrostático o, brevemente, potencial complejo. En términos de esto, (27) llega a ser

d<t> . d4> <54> . dv díl —n-r£ - - i — = + t — = - j - - -n '(z ) (34)dx dy dx dy dz ' 'y la m agnitud de £ está dada por E = |£| = |-n '(z ) | = |0'(z)|.

Las curvas (superficies cilindricas en tres dimensiones)

*(x ,y ) = a, * (x ,y ) = p (35)

se llaman líneas equipotenciales y líneas de flujo respectivamente.

LINEA DE CARGAS

La analogía de lo anterior con flujo de fluidos es muy clara. El campo eléctrico en problemas electrostáticos, corresponde al campo de velocidad en los problemas del flujo de fluidos, siendo la única diferencia un cambio de signo en los potenciales complejos correspondientes.

CAP. 9| A P LI CA CI ON E S FISI CAS DE LA APLI CACI ON C O N F O R M E 241

La idea de fuentes y sumideros de flujo de fluidos, tiene análogos correspondientes para electrostática. De este modo, el potencial complejo (electrostático) debido a una línea de carga q por longitud unidad en z0 (en el vacío) está dada por

í>(z) = - 2q ln (z - Zu) (36)

y representa una fuente o sumidero según que q < 0 o q > 0. Análogamente, podemoshablar de dobletes o dipolos, etc. Si el medio am biente no es el vacío, remplazamos q en (36) por q /k.

CONDUCTORESSi un sólido es un conductor perfecto, toda carga está localizada sobre su superficie. De

este modo, si consideramos la superficie representada por la curva simple cerrada C en elplano z, las cargas están en equilibrio sobre C y por tanto, C es una línea equipotencial.

Un problema im portante, es el cálculo del potencial debido a un conjunto de cilindros cargados. Esto se puede lograr utilizando las aplicaciones conformes.

CAPACITANCIADos conductores que tienen cargas de igual m agnitud q pero de signo opuesto, tienen

una diferencia de potencial, digamos V. La cantidad C definida por

q = C V (37)

defiende solamente de la geometría de los conductores y se llama la capacitancia. Los conductores forman lo que se llama un condensador.

Aplicaciones a flujo de calor

FL U JO DE CALORConsiderar un sólido que tiene una distribución de tem peratura que puede estar variando.

Estam os interesados en la cantidad de calor conducido por unidad de área en unidad de tiempo a través de una superficie localizada en el sólido. E sta cantidad, algunas veces se llama el flujo de calor a través de la superficie, está dada por

Sf = - K grad (38)donde í> es la tem peratura, y K , se supone sea una constante, se llama la conductividad térmicay depende del m aterial del cual el sólido está hecho.

LA TEM PERA TU RA CO M PLEJASi nos limitamos a problemas de tipo bidimensional, entonces

* - - K (S + ÍS ) = Q' + iQ" donde = <*”Sea C una curva simple cerrada en el plano z (que representa la sección trasversal de un

cilindro). Si Q, y Q„ son las componentes normal y tangencial del flujo de calor y si las condiciones de estado estacionario se cumplen, de modo que no hay acumulación neta de calor dentro de C, entonces tenemos

§ Qn ds = Qx dy - Qu dx = 0, £ Q, ds - § Qx dx + Q„ dy = 0 (40)

242 AP LI CA CI ON ES FISICAS DE LA APLI CACI ON C O N F O R M E | CAP. 9

suponiendo que no hay fuentes o sumideros dentro de C. La primera ecuación de (40) resulta

+ ÉQz = 0 (41)dx dlj

lo cual llega a ser al utilizar (39),d24> _dx¿ + dy2 -

o sea, 4> es armónica. Introduciendo la función conjugada armónica 4', vemos que

n(z) = <l»(r,;/) + i* (x ,y ) (42)

es analítica. Las familias de curvas

4>(x,y) = «, *(x ,y ) = p (43)

se llaman líneas isotérmicas y líneas de flujo respectivamente, m ientras que Ü(z) se llama la temperatura compleja. Las analogías con flujo de fluidos y electrostática son evidentes y losprocedimientos utilizados en estos campos, se pueden asimismo emplear en resolver variosproblemas de temperatura.


FUNCIONES ARM ONICAS

1. Demostrar que las funciones, (a) x2 — y 2 + 2y , y (b) sen * cosh y son armónicas en una región finita % del plano z.

d2 = x 2 — y 2 4- 2y, tenem os y y = 2, y j — ” 2. E ntonces y y 4* y y = 0 y <t> es armónica

en ^

d2* d2<t> d2* d2* .(б) Si <t> = sen a: cosh y, tenem os r - r = - s e n x cosh y, -r—s- = se n * cosh y. E ntonces-r-y + -r—y = 0. A ■ CO d x d V d x d V 2y <l> es armónica en

2. Demostrar que las funciones del problema 1 son armónicas en el plano w con la trasformación z = w3.

Si z = w 3, entonces x - f iy = (u + iv)3 = u 3 — 3uv2 i(3u2v — v3) y x = u 3 — 3uv2, y =3 u 2u — v3.

(a) «t» = x 2 — y 2 4- 2y = (u3 — 3u v 2)2 — (3u2v — v3)2 4- 2(3u2v — v3)= t¿6 — 15u4v2 4- 15 n2v 4 — v6 4- 6t¿2v — 2v3

A'¿<h r)2<f)E ntonces — =■ = 30u4 — 180u2v2 4- 30v4 4- 12v, -—-y = —30u4 4- 180u2v2 — 30V4 — 12v

du2 d v 2d2<t> a2*d u 2 dv2

(b) D ebem os demostrar que <t> = sen (u3 — 3uv2) cosh (3u 2v — v3) satisface y y 4- y y = 0. E sto se puede establecer rápidamente por diferenciación directa, pero tediosa.

E ste problema ilustra un resultado general probado en el problema 4.

d¿<|> / 2 d2 \3. Probar que = |/'(z)|2 ) donde w = / (z) es analítica y f '( z ) ^ 0.

9| A P LI CA CI ON ES FISI CAS DE LA A P LI CA CI ON C O N F O R M E 243

La función 4>(x, y ) se trasforma en una función <|>[x(u, v), y ( u , u)] segón la trasformación. Por diferenciación tenemos

d4> _ dá» dlí d*F dv d«F _ dá» du dá» dvdx du dx dv d x ' dy du dy dv dy

d24» d<fr d2u du d f d4>\ , d«t> d2v dv d í d<t>\dx2 — du dx2 dx d x \ d u ) dv dx2 dx d x \ d v )

_ d*fr dhi du [~ d / d<t>\ du . d / dáA dv~ldu dx2 dx l du \ d u j dx dv \ d u ) d x j

d* d2v dw d / d<tA du _d_ / dá> dv~|dv dx2 dx |_du \ d v / dx dv \ dV j d x j

du dx2f a 2* du + d2<t> at/1 ai»

Mdv í" d2* du d2dy2 ~

Sum ando

i f d2'!1 du d2 dy'1 , a<t> d2v+ — \ d2* du ^ a24> d v l

r l_du2 dy dv du dy J + dv dy2 sv Law dv dy dv2 dy]

d2u d2u ' dx2 dy2)>*£( d2v

dx2 + 3D d2*du2 [(S)‘*m i

2 d2*!* T dudu dv j_dx

dv du dx dy

dvlayj

d24»dv2 [(£)'l+(£)‘J

• ( /)

Puesto que u y v son arm ónicas, = 0, = 0. Adem ás, según las ecuaciones

de C auchy-R iem ann, , f — = — f —. E ntoncesdx dy dx dy

í — \ 2 /Él* V — í ^ V\ 2 _ / d u \ i / ® v \ _ I , -ávl\ d x ) \ d y ) ~ \ d x ) \ d y ) \ d x ) \ d x ) |dx 'dx |

du dv _j_ du dv _dx dx dy dy

v> . n **+ a2* i , , , i , , / a 2* , a2<t>\Por esto ( i) llega a ser — , + —2 = | / <*)|2 1 — + — 1

Probar que una función armónica <t>(x, y ) permanece armónica con la trasformación w = f(z) donde f ( z ) es analítica y / ' (2) ^ 0.

a2<t> a2E sto se deduce inm ediatam ente del problema 3, puesto que si = 0 y f ’(z) 0, en-d2+ . d2* .tODCes _ + _ = 0.

Si o es real, dem ostrar que las partes real e imaginaria de w — ln (z — a) son funciones armónicas en una región ‘Ti que no contiene z = a.

M étodo 1.Si % no contiene a, entonces w = ln (z — a) es analítica en CK. Por tanto, las partes real e ima

ginaria son arm ónicas en 9 .

M étodo 2.Sea z — a = r e ie. E ntonces, si los valores principales se utilizan para 0, w = u + iv = ln (z — a) = ln r + id de m odo que u = ln r, v = 0.

244 A P LI CA CI ON E S FI SI CA S DE LA APLI CA CI ON C O N F O R M E (CAP. 9

1 3<t> 1 ¿2$E n coordenadas polares (r, 8), la ecuación de Laplace es - j^¡ = 0 y por susti

tución directa encontram os que u = ln r y 0 = 0 son soluciones, si % no contiene r = 0, o sea2 = a.

M étodo 3.S i z — o = reie, entonces x — a - r cos 0, y = r sen 8 y r = y/(x — a,)2 + y 2, e = tan _ 1 {y /(x — a)).

E ntonces w = u + iw = J ln <(x — o )2 + y 2) + i ta n - 1 {y/{x - a)} y u = | ln {(* - a )2 + y 2},¿)2<t> á24>

v = tan- ' { y / ( x — a)}. Sustituyendo éstos en la ecuación de Laplace + ——j = 0, encontram osdespués de la diferenciación que u y v son soluciones ai r / a.

PROBLEM AS DE D IR IC H L E T Y DE NEUMANN6. Encontrar una función armónica en el semi-plano superior del plano z, Im {z} > 0, el

1 x > 0cual tom a los valores prescritos sobre el eje x dados por G(x) =

D ebem os resolver para <t>(*, y ) el problema de frontera

y > 0 ;

E ste es un problema de D irichlet para el sem i-plano superior (Fig. 9-9).

0 x < 0

IP* &+ _ na*2 dy2 “ ’

lim 't*(x, y) = G(x)V — 0 +

f l * > 0 I 0 * < 0

La función A 0 -f B , donde A y B son constantes reales, es arm ónica puesto que ella es la parte imaginaria de A ln z + B.

Para determinar A y B observen que las condiciones de frontera son: <J> = 1 para * > 0, o sea 8 = 0 y 4> = 0 para * < 0, o sea 8 = x. D e este modo

( /) 1 = .4(0) + B , (2) 0 = A U ) + B de lo cual A = — 1 /x , B - 1.

Entonces la solución buscada es

•» " ( A A A - A r A

V/ { X , y)

/Á

•t> = 0 «t» = 1

4> = A o + B = 1 — — = I — — ta n _ 1'(i) Fig. 9-9

Otro método. U tilizando la fórmula de Poisson para el semi-plano.

t i •»< r ;u i n-r, i /'^4>(x, y) _ i r * y G M ¿ i = i r °

V V2 + ( x — I))2 jry fo] do

y 2 + (x - y)2

= i + ; * ■ " " ( ! ) -

!/[l]2 + (x - v)2

11 — — ta n - 1 (?)7. Resolver el problema de frontera

d24> d24>dx2 dy2

lim ^(x ,y )y — 0 +

T o x < - 1 Ti - 1 < x < 1 T 2 x > 1

: • ;

^ V r

V

s l ( x . V)

A ”- r . - j T¡ • - - j * _ r ,

dende T 0, Ti, T2 son constantes.E ste es un problema de D irichlet para el semi-

plano superior (Fig. 9-10).

La función A 8[ -f B 82 + C donde A , B y C son constantes reales, es armónica puesto que ella es la parte im aginaria de

A ln (z + 1) + B ln (z - 1) + C. F ‘g- 9- l °Para determ inar A , B , C observe que las condiciones de frontera son: 4> = T 2 para x > 1, o sea

01 — 02 = 0; 4> = T i para —1 < a < 1, o sea 8i = 0, 82 = x; 4> = T(¡ para x < —1, o sea 6i = x, 82 = x. E n este caso

CAP. 9| A P L I CA CI ON ES FISICAS DE LA APLI CA CI ON C O N F O R M E 245

(1) T.2 = >1(0) + f?(0) + C (2) T , = A(0) + B(v) 4- C

de lo cual C = T 2, B = (T , - T 2) / x , A = (T 0 — T ,) /x .

E ntonces la solución buscada es

r „ - r ,

(S) T 0 = A M + B(v) + C

— A e t + Be 2 c = — ta n - 1 f e )r ,

tan * ' ( A ) + r„

Otro método. U tilizando la fórmula de Poisson para el sem i-plano.

M x . y ) = “ ( - .yJ ? (’».) j '?.-X J _ , y i + ( x - , ) 2

I | 1 y T 0 di¡ + i r* y T i dri + J1 f'°° y T 2 dr¡•r * > _ ,» « 2 + b z — n i 2 i r y 2 + (x — I))2 IT . r , j / 2 + ( * —J/2 + (* - ij)2 »)2

= f e - f e ) ! : : + f e - f e ) i : , - f e - f e ) i ;T o - r - ta n - 1 f e )

r .: tan " f e ) +

8. E ncontrar una función armónica dentro del círculo unidad \z\ = 1 y que tom a los

valores prescritos dados por F(8) = f e 0 < 0 < tt sobre su circunferencia.’ \ 0 x < 6 < 2 *

E ste es un problem a de D irich let para el círculo unidad (Fig. 9-11) en el cual buscam os una función que satisfaga la ecuación de Laplace dentro de \z\ = 1 y que tom a los valores 0 sobre el arcoA B C y 1 sobre el arco C D E .

Plano w

Á ,

V

C D' &+ = 0 ♦ = 1

Fig. 9-11 F ig. 9-12

M étodo 1. U tilizando la aplicación conforme.

A plicam os el interior del círculo \z\ — 1 hacia el sem i-plano superior del plano w (Fig. 9-12)

o iv = i f e ) (ver problem a 1 2 , capítulo 8 e intercambiarutilizando la aplicación z = ~ Wi + wz y w).

Con esta trasform ación, arcos A B C y C D E se aplican sobre el eje real negativo y positivo A ’B ’C y C D ’E ' del plano w respectivam ente. Luego según el problema 81, las condiciones de frontera = 0 sobre el arco A B C y 4> = 1 sobre el arco C D E llegan a ser respectivam ente 4> = 0 sobre A ' B ' C y 4> = 1 sobre C ’D ’E

D e este m odo, hem os reducido el problema a encontrar una función <t> arm ónica en el sem i-plano superior w y que tom e los valores 0 para u < 0 y 1 para u > 0. Pero este problema ha sido ya resuelto en el problema 6 y la solución (remplazando x por u y y por v) está dada por

1 ' A A (1)

Ahora, de w “ f e ) '

1

encontram os

tan ■(=)2y _ l - (z2 + y 2) T

( T F Í F + D 2 ' v " ( i + *)2 + i,2 - Luego 8UStl-tuyendo éstas en (1), encontram os la solución que se busca

<1> = 1 - — ta n ' 1 ( - p jf—- 21)¡r ^ 1 - [x2 + y 2] /

o en coordenadas polares (r, 8), donde x = r coa 8, y - r sen 8,

<1> = 1 - i t a n - i f ^ L s e n » )V \ 1 - r 2 J

(2 )

(3)

246 AP LI CA C I ONES FIS I CAS DE LA APLICACION C O N F O R M E [CAP. 9

Método 2. UtiÜEando la fórmula de Poisson.,a<r

-l r _____2>r .'o 1 - 2 r27r ./0 1 — 2r eos {0 — <p) + r-

= JL C _________ = ! _ i t a n - ' / S C S e n ,2- . /0 1 — 2c eos (» — <p) + r- tr y 1 — r l

por integración directa (ver problema 69(6), capitulo 5).

APLICACIONES A FLU JO DE FLUIDOS Plano *

9. (a) Hallar el potencial complejo para un fluidoque se mueve con velocidad constante V0 en una dirección que hace un ángulo 5 con el eje x positivo (Fig. 9-13).

(6) Determinar la velocidad potencial y función de corriente.

(c) D eterm inar las ecuaciones para las tra yectorias y líneas equipotenciales.

(a) Las com ponentes x y y de la velocidad son p¡g 9 ,13

V , = V0 c o s 6, V y = V0sen5

La velocidad com pleja es%> — V z + iVy = V 0 eos 5 + ¡V0 sen 5 V0eM

E l potencial com plejo Q(s) está dado por

l5L = %> = V 0 e ■*dz

Luego integrando, íl(z) = V 0 e ~ i6z

om itiendo la constante de integración.

(b) La velocidad potencial <t> y la función de corriente ♦ son las partes real e imaginaria del potencial com plejo. En este caso,

ll(z) = ‘I* I = V 0 e ~ iftz = V0(xc^3 S + y sen 5) + iV 0 {y cos 5 — x sen S )

y «j» = V0 (x cos 5 -f y sen«S), * = V0 {y cos 5 — x senS)

Otro método.(1) - V x = V0 cos5 (2) ^ = V y = V 0 sen 5

R esolviendo para <t> en (1), <J> = (V0 cos 5)x + G(y). Sustituyendo en (2), G '( y ) = V q sen 5 y G(y) = (V 0 sen 8)y, om itiendo la constante de integración. Entonces

•I» = (V0 cos¿ )g + (V0 sen 5)y

D e las ecuaciones de Cauchy-Riem ann,

W S = f = ^ <*> g = " g = = - seno

R esolviendo para T e n (3), T = (V 0 cos 5)y + H (x ) . Sustituyendo en (4), H ' ( x ) = — V osen 5 y H (x) = — (Vo sen 5)*, om itiendo la constante de integración. Entonces

* = cos 5)i/ - (V0 sen5)x

(c) Las trayectorias están dadas por T = V q(y eos 8 — x sen 5) = £ para valores diferentes de (3. Físicam ente, en condiciones de estado estacionario, una trayectoria representa el cam ino que realm ente sigue una partícula del fluido, en este caso, un cam ino en línea recta.

Las líneas equipotenciales están dadas por <l> = V 0(x cos 5 + y sen 5) = a para valores diferentes de a. Geom étricam ente, ellas son líneas perpendiculares a las trayectorias; todos los puntos sobre una línea equipotencial, están a igual potencial.

CAP. 9| A P LI CA CI ON ES FISICAS DE LA APLI CACI ON C O N F O R M E 247

10. El potencial complejo de un flujo de fluido está dado por íl(z) = donde V„ y

a son constantes positivas, (o) Obtener ecuaciones para las trayectorias y líneas equipotenciales, representarlas gráficamente e in terpretar físicamente. (6) D em ostrar que podemos in terpretar el flujo como rodeando un obstáculo circular de radio a. (c) Encontrar la velocidad en un punto y determ inar su valor más allá del obstáculo, (d) Hallar los puntos estacionarios.(a) Sea z = re'6. E ntonces

12(z) = <t> + = V0 ^re '9 + e _i#^ = V 0 eos e + ÍV0 sen «

de lo cual ♦ = V0 eos », + = V0 ^ r —^ -^ s e n s

Las trayectorias están dadas por *1" = constante = ¡i, o sea,

V0 ( r - y ' j sen 9 = p

E s ta s se indican por las curvas gruesas de la figura 9-14 y m uestran los cam inos verdaderos que siguen las partículas del fluido. Observe que lF = 0 corresponde a r = o y 0 = 0 o x.

Las líneas equipotenciales están dadas por 4> = constante = a, es decir,

V„ eos» = a

E stas se indican por las curvas punteadas de la figura 9-14 y son ortogonales a la familia de trayectorias. —

F ig. 9-14

(¿>) E l círculo r = a representa una trayectoria; y puesto que no puede haber un flujo a través de una trayectoria, se puede considerar com o un obstáculo circular de radio a colocado en el camino del fluido.

(c) T enem os , 2x / q2 \ / a2 \ V „a2fi'(z) = = V , ( l - ^ c o s 2«J + * - j ^ - s e n 2*

E ntonces la velocidad com pleja es

/ a 2 \ v o “2X) = ÍI (z) = V0 í 1 — ^ - c o s 2 s ) — i — se n 2# (2)

y su m agnitud es

V = W = ^ { v 0( l - £ c o s 2 + { ^ s e n 2,}2 = V0 1 - + g (2)

M ás allá del obstáculo, vem os de (1) que ‘V = V0 aproxim adam ente, es decir, el fluido estácorriendo en la dirección del eje x positivo con velocidad constante V 0.

(d ) Los puntos estacionarios, o sea, puntos en los cuales la velocidad es cero, están dados por

Q '(z) = 0 , o sea, V 0 ^1 — = 0 o z = a y z = —a

Los puntos estacionarios están por eso en A y D en la figura 9-14.

O?11. Demostrar que con la trasformación w = z + — el flujo de fluido en el plano z, considerado en el problema 10 , se aplica en un flujo uniforme con velocidad constante V0 en el plano w.

El potencial complejo para el flujo en el plano w está dado por

v ° ( x + t ) = v °wlo cual representa un flujo uniforme con velocidad constante V() en el plano w (compare num eral A-4 en la tabla de la página 207).

E n general, la trasform ación w = Q(z) aplica el flujo de fluido en el plano z con potencial complejo Q(z) en un flujo uniforme en el plano w. E sto es m uy útil para determ inar potenciales complejos de modelos de fluidos complicados, a través de un conocimiento de las aplicaciones o funciones.

248 ' APLICACIONES FISICAS DE LA APLICACION CONFORME | CAP. 9

12. El fluido emana con una velocidad constante desde una línea fuente infinita perpendicular al plano 2 en 2 = 0 (Fig. 9-15). (a) D em ostrar que la velocidad del fluido a una distancia r desde la fuente, es V = k /r donde k es una constante. (6) D em ostrar que elpotencial complejo es 0 (2) = k ln z. (c) ¿Qué modificación debe hacerse en (6) si lalínea fuente está en z = a? (d) ¿Qué modificación ocurre en (6) si la fuente se remplaza por un sumidero en el cual el fluido desaparece con una velocidad constante?(a) Considerar una porción de la línea fuente de longitud unidad (Fig. 9-16). Si V , es la velocidad

radial del fluido a la distancia r desde la fuente y o es la densidad del fluido (se supone incompresible, de modo que <r es constante), entonces:

masa de fluido por unidad de tiem po que em ana desde la línea fuente de longitud unidad= masa de fluido que cruza la superficie del cilindro de radio r y a ltu ra 1

= (área de la superficie) (velocidad radial) (densidad del fluido)= (2irr • l)(V r)(«r) = 2 * r V r o

Si esto es una constante k, entoncesv — * —

2¡r<rr " rdonde k = k / 2x< t se llam a la fuerza de la fuente.

Fig. 9-15 Fig. 9-16

(6) Puesto que V r = ~ = tenemos al integrar y om itir la constante de integración <t> =» k ln r.Pero esta es la parte real de Q(z) = i hi z la cual es por tan to el potencial buscado.

(c) Si la línea fuente está en z = a en lugar de z = 0, remplazamos z por z — a para obtener elpotencial complejo Q(z) = k ln (z — a).

(d) Si la fuente se remplaza por un sumidero, el potencial complejo es Q(z) = —k ln z, el signo menossurge del hecho que la velocidad está dirigida hacia z = 0 .

Asimismo, Q(z) = — k ln (z — a) es el potencial complejo para un sum idero en z = a.

CAP. 9) A P LI CA CI ON E S FISI CAS DE LA APLI CACI ON C O N F O R M E 249

13. (a) Encontrar el potencial complejo debido a una fuente en z = —o y un sumidero en z = a de iguales fuerzas k. (b) Determ inar las líneas equipotenciales y trayectorias y representarlas gráficamente, (c) Hallar la velocidad del fluido en cualquier punto.(а) El potencial complejo debido a una fuente en z = —a de fuerza k es k ln (z + o).

E l potencial debido a un sumidero en z = a de fuerza k es — k ln (z — a).Entonces por superposición:

El potencial complejo debido a una fuente en z = —a y un sum idero en z = a de fuerzas k es

íí(*) = k ln (z + a) — k ln (z — a) = k ln ^

(б) Sea z + a = r¡eiei, z — a = r 2eie«. Entonces

íí(z) = 4» + t* = fe ln = + ik{$i — 02)

de modo que 4> = k ln ( r i / r 2), V = ¿(Oj — 82). Las líneas equipotenciales y trayectorias son de este modo, dadas por

<t> = k ln ( r l/ r 2) = a, * = /c(0 j — 02) — /3Utilizando

r , = V(* + a )2 + y 2, r2 = V(* — o )2 + y 2, »i = t a n ~ * f y \ , «2 = t a . n ~ ' ( y V . . . . .. . , , \ x - t a y \ x — a Jlas lineas equipotenciales están dadas por

V(z + °)2 + V2 _ ea/k■\Z(x — a)2 + J/2

Esto puede escribirse en la forma[x — a coth (a/k)]2 + y 2 = a2 csch2 (a /k )

lo cual, para valores diferentes de a son círculos que tienen centros en a coth ( a / k ) y radios iguales a a|csch (<x/k)\.

E stos círculos son representados por las curvas punteadas de la figura 9-17.Las trayectorias están dadas por

~ t a n _ , ( ^ ) = m

o tom ando la tangente de ambos lados y simplificando,

x 2 + [y + a cot (/2/fc)]2 = a2 esc2 (fi/k)

lo cual, para valores diferentes de (1 son círculos que tienen centros en — a cot (£/Jfe) y radios a ¡esc (p /*)|.E stos círculos, que pasan a través de ( — a, 0) y (a, 0) están representados por trazos continuos en la figura 9-17.

Fig. 9-17

250 AP LI CA C I ONES FIS I CAS DE LA APLICACION C O N F O R M E | CAP. 9

(c) Velocidad = |íl'(z)! =

2 feo

2 kaz + a z — a -a*¡

2 ka«2 _ r2»2ÍOI \ /a 4 — 2a 2r2 eos 20 f r 1

14. Discutir el movimiento de un fluido que tiene potencial complejo Í2(z) = ik ln z donde k > 0.

Si z = re '9, entonces Q(z) = >I> + i V = iA; (ln r + ¿8) = ik ln r — kB o <t> = Las trayectorias están dadas por

V = constante o r = constante los cuales son círculos que tienen centro común en z = 0 (representados por trazos continuos en la figura 9-18).

Las lineas equipotenciales dadas por 0 = constante, están representadas por trazos punteados en la figura 9-18.

V - k ln r.

Puesto que,,,, . _ ik ik .. k sen 0 , ik eos eI! (z) — — = — e 19 = --------- H------------- .

z r r rla velocidad compleja está dada por

*¡j _ # 7 ^ _ k sene _ ik e o s«r r

y m uestra que la dirección del flujo de fluido es la misma que la del m ovimiento de las manecillas del reloj, como lo indica la figura. La velocidad está dada por V = |D | = k /r .

De este modo, el potencial complejo describe el flujo de un fluido que está dando vueltas alrededor de z = 0. El flujo es algunas veces m encionado como un flu jo vórtice y z = 0 se llam a un vórtice.

Fig. 9-18

15. Demostrar que la circulación alrededor del vórtice en el problema 14 está dada por y = 2r.k.

Si la curva C rodea z = 0, la integral de circulación está dada por

y = f ' v . d e = j ¡ V j d x + V p d y = | -

r 2v ,= I k de = 2 rk

0En térm inos de la circulación, el potencial complejo puede escribirse ü{z) = 2¿ ^ n z ‘

ctá»

16. Discutir el movimiento de un fluido que tiene potencial complejo

n(z) = V0 ^ ln z

Este potencial complejo tiene el efecto de sobreponer una circulación en el flujo del problem a 10. Si 2 = re*»,

12(2) = <l> + = V 0 ( r + eos 0 - ~ + 1 j v o

Entonces, las líneas equipotenciales y trayectorias son dadas por

sen Q + — ln r¿TT

212z sen $ + ln r = p

H ay en general, dos puntos estacionarios que ocurren donde í} '(2) = 0, o sea,

*•('-$)+ * =E n este caso y = 4raVo» hay solamente un punto estacionario.

Puesto que r = a es una trayectoria correspondiente a (J

como alrededor de un obstáculo circular como en el problem a 10 tiene velocidad V 0 puesto que lim Q '(z) = V0.

1* 1 - * 06

El modelo de flujo cam bia, dependiendo de la m agnitud de y . E n las figuras 9-19 y 9-20 hemos m ostrado dos modelos de los muchos posibles. La figura 9-19 corresponde a y < A x a V los puntos estacionarios están situados en A y B. La figura 9-20 corresponde a y > 4r.aVo y hay solamente un pun to estacionario en el flujo en C.

= j j - ln a, el flujo se puede considerar

. M ás allá de este obstáculo, el fluido

Fig. 9-19

TEOREM AS DE BLASIUS

Fig. 9-20

17. Sea íl(z) el potencial complejo describiendo el flujo alrededor de un obstáculo cilindrico de longitud unidad cuya frontera en el plano z es una curva simple cerrada C. Probar que la fuerza del flujo neto sobre el obstáculo está dada por

t = x - a =

donde X y Y son los componentes de la fuerza en las direcciones x y y positivas respectivam ente y a es la densidad del fluido.

La fuerza que actúa sobre el elem ento de área ds en la figura 9-21 es norm al a ds y está dada en m agnitud por P ds donde P es la presión. Al descomponer esta fuerza en componentes paralelas a los ejes x y y , vemos que está dada por

d F = d X + i d Y= — P ds sen e + iP ds eos e = iP ds (eos $ + i sen e)= iP ds ei$= iP dz

utilizando el hecho quedz = d x + i dy

= ds c o se + i ds se n e Fig- 9-21= ds eid

Puesto que C representa una trayectoria, tenemos según el teorem a de Bernoulli, P -f J a V 2 = K P = K — Ja V 2, donde V es la velocidad del fluido sobre la trayectoria. Además, según el problem a 49tenem os = Ve- *®.

dzEntonces, integrando sobre C, encontram os

9HIVEKSIDAD NACIONAl F«cultod Politécnica

fi f f i 1 l O T r o »

252 APLI CACI ONES FISI CAS DE LA APLICACION C O N F O R M E | C AP. 9

F = X + i Y = é i P d z = i é (K - \ a V 2) dz J c J c

= -¿¿<7 j) V 2 dz = —^ia y V2e'e ds

= —¿ia <É (V2 e2i9)(e~ ie ds)

o F = X — i Y = h '° j (V 2 e ~ 2i$){eie ds)

-

18. Sea M el momento total alrededor del origen de las fuerzas de presión sobre el obstáculo en el problema 17. Probar que

M - S . { - » . . £ , ( £ ! ) ’ «1.}

Consideramos momentos, en sentido opuesto al del m ovimiento de las manecillas del reloj, como positivos. El m omento alrededor del origen de la fuerza que actúa sobre elem ento ds de la figura 9-21 es

dM = (P ds sen e)y + (P ds cos 9)x = P (y d y + x dx)

puesto que ds sen 0 = dy y ds cos 0 = dx. Entonces, al utilizar la ecuación de Bernoulli, el m omentoto ta l es

M = <£ P(y dy + x dx) = <É (K — ^ a V 2)(y d y + x dx)J c

= K & (y dy + x dx) — Ja á V2 (y dy + x dx)

= 0 - J a 4 Y2 (.; eos $ + y sen e) dsc

donde hemos usado el hecho que (y dy -f x dx) = 0 puesto que y d y + x d x es una diferencialexacta. Por tan to

M = —Ja (t> V2 (x c o s 0 + y sene) ds

= R e - | —J a ^ * V 2 (x + iy) (cos 0 — i sene) d s )

= Re ^ V ^ e - í M s j = Re j - j i z (V 2 « - 2<»)(e<* ds) j

= R e { - * , j £ , ( J | ) * |

Algunas veces escribimos este resultado en la forma M + i N = — a í z dz donde N notiene significado físico simple. c \ a z J

19. Encontrar la fuerza neta que actúa sobre el obstáculo cilindrico del problema 16.El potencial complejo para el flujo del problema 16 es

O = + + £ ln*

donde V0 es la velocidad del flujo a distancias más allá del obstáculo y y es la circulación. Según el problema 17 la fuerza neta que actúa sobre el obstáculo cilindrico está dada por F, donde

CAP. 9| AP LI CA C I ONES FISICAS DE LA APLI CACI ON C O N F O R M E 253

dzF = x - i Y = i > ° $ c ( J n ) 2<h = +

= i ' ° 4 ‘ { ^ ( l - £ ) S + ^ ( l - S ) - = -V o y

Entonces X = 0, Y = trVoy y se deduce que hay una fuerza neta en la dirección positiva y de magn itud <jVoy- E n el caso donde el cilindro es horizontal y el flujo tom a lugar en un plano vertical, esta fuerza se llama, la ayuda sobre el cilindro.

APLICACIONES A ELECTRO STA TICA20. (a) Encontrar el potencial complejo debido a una línea de carga q por unidad de lon

gitud perpendicular al plano 2 en 2 = 0.(6) ¿Qué modificación debe hacerse en (a) si la línea está en 2 = a?(c) D iscutir la semejanza con el potencial complejo para una línea fuente o sumidero

en flujo de fluidos.(a)

(b)

(c)

El campo eléctrico debido a una línea de carga q por unidad de longitud, es radial y la componente normal del vector eléctrico es constante e igual a E r m ientras que la componente tangencial es cero (Fig. 9-22). Si C es un cilindro de radio r con eje en z — 0 , entonces, según el teorem a de Gauss,

é E „ d s = E r%7r r

ds = E r • 2?rr 4 Trq

Puesto que E r = — — tenemos <1> = — 2q ln r,om itiendo la constante de integración. E sta es la parte real de £2(2) = — 2q ln z que es el potencial complejo buscado.

Si la línea de carga está en z - a, el potencial complejo es £ 2 ( 2 ) = — 2q ln (2 — a).

El potencial complejo tiene la misma form a como el de una línea fuente del fluido si k = — 2q (ver problem a 12). Si q es una carga positiva, ésta corresponde a una línea sumidero.

21. (a) E ncontrar el potencial en cualquier punto de la región señalada en la figura 9-23 si los potenciales sobre el eje x están dados por Vo para * > 0 y - V0 para * < 0.Determ inar las líneas equipotencial y de flujo.

(6)

(a)

(b)

Debemos encontrar una función, arm ónica en el plano, la cual tom a los valores Vo para x > 0 , o sea 8 = 0 , y — V0 para x < 0, o sea 8 = *. Como en el problem a 6 , si A y B son constantes reales A 8 + B es armónica. Entonces A(0) + B = Vo, A(ie) + B = — Vo de lo cual A = —2Vo/x, B - Vo de modo que el potencial buscado es

V o ( l - f é ) = V0 ( l - f t a n - . | ;en el semi-plano superior y > 0. El potencial en el semi-plano inferior se obtiene por sim etría.

Las líneas equipotenciales están dadas por V0 ^ l — —ta n _1 ^-y = a,

m es una constante. E stas son líneas rectas que pasan por el origen.Las líneas de flujo son las trayectorias ortogonales de las líneas y

x 2 + y 2 = (i. E llas son círculos con centro en el origen.

o sea, y = m x donde

m x y están dadas por

254

2V„,

A P LI CA CI ONES FIS I CAS DE I.A APLI CACI ON C O N F O R M E I CAP. 9

/ 2 u \ ^ oOtro método. Una función conjugada para V 0 I 1 ta n - 1 — e s ln r. Entonces las líneas\ * / r

de flujo están dadas por r = s / x ~ + y 2 - constante, los cuales son círculos con centro en el origen.

22. (a) Encontrar el potencial debido a una línea de carga q por unidad de longitud en 2 = z„ y una línea de carga —q por unidad de longitud en z — zo.

(b) Demostrar que el potencial debido a un plano infinito (ABC en la figura 9-25) m antenido a un potencial cero (potencial de tierra) y una línea de carga q por unidad de longitud, paralela a este plano, se puede encontrar del resultado en (a).

(a) E l potencial complejo debido a las dos líneas de carga (Fig. 9-24) es

!i(z) = — 2q ln (z — z0) + 2« l n ( z - z „ ) = 2q ln ^ ^

Entonces, el potencial buscado es la parte real de esto, o sea

* = 2< , R e | l n ( ^ ) ( 1)

y

q \ •*o

Fig. 9-24

A

V

• z0

B C

Potenc ial = 0

Fig. 9-25

(6) Para probar esto, debemos dem ostrar que el potencial (1) se reduce a <í> = 0 sobre el eje x, o sea, A B C en la figura 9-25 está a un potencial cero. Esto se deduce a un mismo tiem po del hecho que sobre el eje x, z = x de modo que

“ = 2" ln( ^ ) y ñ = 2«ln(^=i;) =o sea = Re {Q} = 0 sobre el eje x.

En este caso, podemos rem plazar la carga — q en z0 (Fig. 9-24) por un plano A B C a potencial cero (Fig. 9-25), e inversam ente.

23. Dos planos paralelos infinitos, separados por una distancia a, están a tierra (es decir, están en potencial cero). Una línea de carga q por unidad de longitud está colocada entre los planos a una distancia b desde uno de ellos. Determ inar el potencial en un punto entre los planos.

Sean A B C y D E F en la figura 9-26 que representen los dos planos perpendiculares al plano z, y supongamos que la línea de carga pasa a través del eje imaginario en el punto z = bi.

Plano zI«

Potencial = 0

Plano w v

B ' c ir E '

Potencial = 0 Potencial = 0

Fig. 9-26 Fig. 9-27

CAP. 9| AP LI CA CI ON ES FIS I CAS DE LA APLI CACI ON C O N F O R M E 255

Del num eral A-2 en la tab la de la página 206 vemos que la trasform ación w = eT' :/ a aplica la región som breada de la figura 9-26 hacia el semi-plano superior w de la figura 9-27. La línea de carga q en z = bi en la figura 9-26 es aplicada en la línea de carga q en w = erbi/a. La frontera A B C D E F de la figura 9-26 (a potencial cero) se aplica en el eje x en A ' B ' C ' D ' E ' F f (a potencial cero) donde C ' y D ' son coincidentes en w = 0 .

Según el problem a 22, el potencial en un punto de la región som breada en la figura 9-27 es

‘t> = 2q Re { ^- ~1 w — enbl/a J

Entonces el potencial en un punto de la región som breada en la figura 9-26 es„ \ pTTz/a _ ^-Trbt/al*t> = 2q R e)í—,---e- I] g ir z /a — g í r b i / a |

APLICACIONES A FL U JO DE CALOR

24. Una losa semi-infinita (sombreada en la figura 9-28) tiene sus fronteras a las tem peraturas indicadas, donde T es constante. Encontrar el estado estacionario de tem peratura.

Plano z P lano w

Fig. 9-28 Fig. 9-29

La región som breada del plano z se aplica en el semi-plano superior del plano w (Fig. 9-29) por laaplicación w = sen (xz/a) que es equivalente a u = sen (nx /a ) cosh (r-y/a) , v = eos ( i r /a) senh (xy /a)(ver num eral A-3(a) en la tab la de la página 207).

Debemos ahora resolver el problem a equivalente en el plano w. Utilizam os el m étodo del problema 7 para encontrar que la solución en el plano w es

+ = — tan - 1 f —r - r ) — — tan - I ( — z ) + 2T x \ u + l / * \ u — 1 /y la solución buscada en el problem a en el plano z es por tanto ,

eos (irxla) senh (rry/a) ) _ 27* tnn — i f eos (rz /g ) senh (vy/o) ] + ^n (irx/a) cosh (jry/a) + l j v l sen(xz/a) cosh (vy /a) — l j

25. E ncontrar el estado estacionario de tem peratura en un punto de la región sombreada, señalada en la figura 9-30 si las tem peraturas se m antienen como se indica.

Plano z P lano w

Fig. 9-30 Fig. 9-31

256 API . IC'ACIONES FISICAS DE LA APLICACION C O N F O R M E | C AP. 9

La región som breada del plano z se aplica en el semi-plano superior del plano w por medio de laaplicación w = z -1 (num eral A-4 en la tabla de la página 207) la cual es equivalente az

i . . . . i . x . . f y \ . . xu + iv = r + w + n - r ; = g + x8 + y2 + 0 sea » = * + :x -f iy ~ x 2 + y 2 ' \ v x 2 + y 2/ ’ ~ ~ " x 2 + y 2 *La solución al problema en el plano w es, utilizando el m étodo del problem a 7,

x 2 + y 2

tan . /* V

V \

w - 2 / T t a n - vn + 2

Luego, sustituyendo los valores de u y v, la solución buscada al problema en el plano z es

uo . - i í— tan 1 < - i/(*2 + y 2 - 1 )|(*2 -F y2 + 1)* - 2(*2 + ¡/2)J

o, en coordenadas polares60 t í (r2 - l ) s e n g ]ir ( (r2 + 1 ) cos e — 2rJ

1 -60 f -1— tan 1

60 .— tan 1

id*2 + y2 - 1 )(*2 + y- + 1)* + 2(*2 + ¡/2) j

(r- — 1 ) sen g ¡(r2 + 1 ) cos » + 2r j

PROBLEM AS VARIOS26. Una región está acotada por dos conductores cilindricos concéntricos infinitam ente lar

gos, de radios r¡ y r2 (r2 > r,) los cuales están cargados a potenciales <t>, y 2 respectivamente (Fig. 9-32). Encontrar, (a) el potencial, y (b) el campo vectorial eléctrico para todas partes en la región.(a) Considerar la función £2 = A ln z + B donde A y B son

constantes reales. Si * = re'6, entoncesÍ2 = <t + {♦ = A ln r + A ie + B

<t> = A Ir. r + B , «F = A e

Ahora, <l> satisface la ecuación de Laplace, o sea, es arm ónica, por todas partes en la región *i < r < r 2 y se reduce a*l> = *!>i y = <1>2 sobre r = y r = r 2 con ta l que A y Bsean escogidas, de modo que

! = A ln r , + B,

•t>2 - <!>,A = B =

l>2 = A ln r 2 + B

<l>i ln r 2 — ‘t'2 ln r 1

ln ( r 2/ r , ) ’ Entonces, el potencial buscado es

ln (r2/ r ,)

4> = (*iln ( r 2/r ,)

ln r +•I*, ln r¡ — <t’2 ln r¡

ln (r2/ r ,)

(6) campo vectorial eléctrico = £ — — g rad •!> =

*>•1 ~ *■> m 1 — ln {r¿/r¡) r

M>dr

Obsérvese que las líneas de fuerza, o líneas flujo, son ortogonales a las líneas equipotenciales, y algunas de éstas están indicadas por las líneas punteadas de la figura 9-33.

Fig. 9-32

Fíg. 9-33

27. Encontrar la capacitancia del condensador formado por los dos conductores cilindricos en el problema 26.

Si P es una curva simple cerrada que contiene el cilindro interior y q es la carga sobre este cilindro, entonces, según el teorema de Gauss y los resultados del problem a 26 tenemos

r .'« = 0 l ln W n ) r ¡ ln (r2/r ,)

CAP. 9| A P LI CA CI ON ES FIS I CAS DE LA APLI CACI ON C O N F O R M E 257

12 ln (r2/r ,)

lo cual depende solamente de la geometría de los condensadores, como se sabe.

El resultado anterior es válido si hay un vacío entre los conductores. Si hay un medio am biente de constante dieléctrica k entre los conductores, debemos rem plazar q por q / k y en este caso, la capacitancia es 1 /(2 k ln (r2 /ri)].

**1 4*2 fEntonces q — ——-— —- y así 2 ln (r2/ r 1)

capacitancia C = 377 carga ----- _ 9.-----diferencia de potencial «t>! — <f>2

28. Dos conductores cilindricos de igual radio R y centros a una distancia D t uno del otro (Fig. 9-34) están cargados a potencíalas V0 y —VQ respectivamente, (a) Determ inar la carga necesaria por unidad de longitud para lograr esto. (b) Encontrar una expresión para la capacitancia.

(a) Utilizamos los resultados del problem a 13, puesto que podemos rem plazar una de las curvas equipotenciales (superficies) por conductores circulares a los potenciales especificados. Colocando a = — V o y « = V o y observando que k = 2 q, encontram os que los centros de los círculos están en

x = — a co th (Vo/2q) y x = a co th (V0/2<?)de modo que (1 ) D = 2a coth (Vo/2^)

El radio R de los círculos es(2) R = a csch (Vo /2q)

D ividiendo (2) por (2) llegamos a 2 cosh (Vo/2q) = D / R de modo que la carga buscada es

- _ Vo

(*)

2 cosh - 1 (D/2R)

capacitancia C carga 1diferencia de potencial 2V0 4 cosh 1 (D/2R)

El resultado es válido en el vacío. Si hay un medio am biente de constante dieléctrica k, debemos dividir el resultado por k.

Obsérvese que la capacitancia depende solamente de la geometría. E l resultado es fundam ental en la teoría de trasmisión por cables.

29. Probar la unicidad de la solución al problema de Dirichlet.El problem a de Dirichlet consiste en determ inar una función 4> que satisfaga - = 0 en

una región % simplemente conexa y la cual tom a un valor prescrito = f ( x , y ) en la frontera C de ‘K ■ P ara probar la unicidad, debemos dem ostrar que si tal solución existe, ella es la única. P ara hacer esto, supongamos que hay dos soluciones diferentes, digamos <l>i y <b2. Entonces

O'2*, 32,+ —— = 0 en % y q> = f ( x , y ) sobre C (/)

dx2 dy2d24>, d2*,

+ y j - = 0 en % y 4>2 = f ( x , y ) sobre C (2)

R estando y haciendo G = <l>i — $ 2, tenemos

= 0 en ^ y G = 0 sobre C

P ara dem ostrar que <I'i = 'I>2 idénticamente, debemos dem ostrar que G = 0 idénticam ente en %

A PLI CA CI ON ES FIS I CAS DE LA APLICACION C O N F O R M E ¡CAP. 9

Sea F = G en el problem a 31, capitulo 4, para obtener

dx d y (U)%

Supongamos que G no es idénticam ente igual a una constante en %. Del hecho que G = 0 sobre C, B G B Gy —-5- + ——5- = 0 idénticam ente en ‘R, (4 ) llega a serBx¿ By¿

2 , 2 -

j y [ ( s ) +(%)]dxdv = °%Pero esto contradice la suposición de que G no es idénticam ente igual a una constante en ‘R, puesto

que en tal caso,

í f [ ( S ) ♦ ( © ] * * > •Se deduce que G debe ser constante en y por continuidad debemos tener G = 0. En este caso, 4>j = 4>2 y hay solamente una solución.

30. Un prisma triangular infinito formando la región A B D E de ángulo x /4 (sombreado en la figura 9-35) tiene uno de sus lados (AB) a tem peratura constante Ti. El otro lado BD E tiene la parte BD (de longitud unidad) aislada, m ientras que la parte restante D E se mantiene a tem peratura constante T2. Encontrar la tem peratura en todas las partes de la región.

Plano z Plano £

T,

A is la d a 1

Fig. 9-36

r .

Plano wv

’A " E "

D"

Plano w

Aislada 1

Fig. 9-37 Fig. 9-38

Según la trasform ación t; = z 2, la región som breada del plano z (Fig. 9-35) se aplica en la región som breada en la figura 9-36 con las condiciones de frontera indicadas (ver num eral A -l en la tabla de la página 206).

Según la trasform ación ; = sen (* w / 2), la región som breada del plano £ (Fig. 9-36) se aplica en la región som breada en la figura 9-37 con las condiciones de frontera indicadas (ver num eral C -l en la tabla de la página 2 1 1 ).

Ahora, el problem a de tem peratura representado por la figura 9-37 con B " D " aislado, es equivalente al problem a de tem peratura representado por la figura 9-38 puesto que, por sim etría, ninguna trasferencia de calor puede ocurrir a través de B " D " . Pero este es el problem a de determ inar la tem peratura entre dos planos paralelos m antenidos en tem peraturas constante T ¡ y T 2 respectivam ente. E n este caso, la variación de tem peratura es lineal y así debe estar dada por T \ + ( T 2 — T \ )u .

2 2De !{ = z2 y t; = sen ( x w /2) tenemos al elim inar {, w — — sen - 1 z2 o u = —Re {sen- 1 z2}. E n tonces, la tem peratura buscada es

r , + Re {sen-1*2}V

E n coordenadas polares (r, 0) esto se puede escribir como (ver problem a 95),

2(T2 — Tx) , , ,----------------------------T t + ---------------sen 1 {^V r4 + 2r 2 eos 2* + 1 — — 2r 2 eos 2$ 4- 1 }


FU N C IO N ES ARM ONICA S

31. D em ostrar que las funciones, (a) 2xy + y 3 — 3 x 3y , (6) e~x sen y son armónicas.

32 D em ostrar que las funciones del problem a 31 permanecen armónicas con las trasform aciones, (a) z = w 2, (6) z = sen w.

33. Si <t>(x, y) es armónica, probar que 4>(¡r + a, y + 6), donde a y 6 son constantes, es tam bién armónica.

34. Si 4>i, $ 2, ■ -i 't’n son armónicas en una región y e ¡ , C g , . . . , c„ son constantes, probar que Ci<l>i + C2<t>2 + • • • + es arm ónica en CR.

35. P robar que todas las funciones armónicas que dependen solam ente de la distancia r a un punto fijo, deben tener la form a A ln r + B donde A y B son constantes.

36. Si F(z) es analítica y diferente de cero en una región %, probar que las partes real e im aginaria de ln F(z) son arm ónicas en

PR O B LEM A S DE D IR IC H L E T Y DE NEUM ANN

37. E ncontrar una función arm ónica en el semi-plano z superior Im {z} > 0 la cual tom a los valores pres

critos sobre el eje x dado por G(x) = <¡ * r > 0 Resp. 1 — {2 /%) t a n - i (y ¡x)- 1 x < 0 '

38. Resolver el problem a 37 si G(«)

Resp. X - I t a n - ^ ^ ) - I t a n - i

39. E ncontrar una función armónica dentro del círculo |z| = 1 que tom e los valores F(e)

2sobre su circunferencia. Resp. T 1 1 ta n - 1/ 2r sen e \ V 1 - r 2 )

- { . í :< B < ir

< 6 < 2ir

í T 0 < « < ir/240. Resolver el problem a 39 si F ( 8) = j 0 v/2 < 9 < 3ir/2 •

- T 3ir/2 < « < 2ir

260 AP LI CA C I ONES FIS I CAS DE LA APLICACION C O N F O R M E | CAP.

41. Resolver el problema 39 si F(0) í sen e 0 < 6 < ir| 0 v < « < 2jt '

10 0 < 0 < TT42. E ncontrar una función armónica dentro del círculo \z\ = 2 y que tome los valores F($) = J. 'I i . í r < < 2-

43. Dem ostrar por sustitución directa que las soluciones obtenidas en, (a) el problema 6 , (6) el problem a 1 (c) el problema 8 son realmente soluciones a los correspondientes problemas de frontera.

44. E ncontrar una función <!>(*, y) armónica en el primer cuadrante x > 0, y > 0 la cual tom a los va

lores V (x,0) = - 1 , V(0, y ) = 2. Resp. I t a n - ' f ,2 x i / - 1ir V*2- ! /2/

45. E ncontrar una función <t>(x, y) que es armónica en el primer cuadrante x > 0, y > 0 y que satisfac las condiciones de frontera 4>(x, 0) = e ~ x, MVflx = 0 .

APLICA CIONES A F L U JO DE FLU ID O S46. D iseñar las trayectorias y líneas equipotenciales para el movim iento del fluido en el cual el potencia

complejo está dado por (a) z~ + 2z, (i) z*, (c) e~‘, (d) eos z.

47. D iscutir el flujo de fluido correspondiente al potencial complejo Q(z) = V q ( z + 1 /z 2).

48. Com probar las afirmaciones sobre las ecuaciones (5) y (6 ) en la página 235.

49. D erivar la relación d d / d z = Ve~'° , donde V y 6 están definidas como en el problem a 17.

50. Referente al problema 10, (o) dem ostrar que la velocidad del fluido en un punto E (Fig. 9-14) está dads por 2 Vrol8en 6|, y (b) determ inar en qué puntos sobre el cilindro, la velocidad es máxima.

51. (a) Si P es la presión en un punto E del obstáculo en la figura 9-14 del problem a 10 y P,x es Upresión m ás allá del obstáculo, dem ostrar que

P ~ = ^<tV5(1 - 4 sen2í)(6) D em ostrar que un vacío se produce en los puntos B y F si la velocidad del fluido es igual a,

o m ás grande que Vo = \ / 2 P x /3 (7. E sto a m enudo se llama “ vacuidad" .

52. Deducir la ecuación (19), página 237, por un procedimiento de límite aplicado a la ecuación (18).

53. D iscutir el flujo de fluido debido a tres fuentes de igual fuerza k situadas en z = —a, 0, a.

54. D iscutir el flujo de fluido debido a dos fuentes en z = ± a y un sumidero en z = 0 si las fuerzas todas tienen igual m agnitud.

55. Probar que con la trasform ación w — F(z) donde F(z) es analítica, una fuente (o sumidero) en el plano z en z = Zo se aplica en una fuente (o sumidero) de igual fuerza en el plano w en w = w0 = F (zn).

56. D em ostrar que el m omento to ta l sobre el obstáculo cilindrico del problema 10 es cero, e in terpretar físicam ente el resultado.

57. Si 'F(*, y) es la función de corriente, probar que la variación de masa de flujo de fluido a través de unarco C que une los puntos (x i.y i) y (x2, y 2) es a ¡ 'r (x 2, y 2) - *F(*|, yi)}.

58. (a) Dem ostrar que el potencial complejo debido a una fuente de fuerza k > 0 en un fluido que semueve con velocidad Vo es Q = Vqz + k ln z, y (i) discutir el movimiento.

CAP. 9| AP LI CA CI ON ES FISICAS DE LA APLI CACI ON C O N F O R M E 261

59. U na fuente y sumidero de iguales fuerzas m están situados en z — ± 1 entre las líneas paralelas y = ± 1 .D em ostrar que el potencial complejo para el m ovim iento de fluido es

í,»Tr(2+ 1) _ 1 i íi = ,« ln i — — H^Cir<*-1> _ lj

60. D ada una fuente de fluido en z = Zo y un m uro en x = 0. Probar que el flujo resultante es equivalente si removemos el muro e introducim os o tra fuente de igual fuerza en z = — z0.

61. Un fluido fluye entre las dos ram as de la hipérbola a z 2 — fey2 = 1, a > 0, fe > 0. Probar que el potencial complejo para el flujo está dado por K cosh 1 az donde K es una constante positiva y a =\ /a 6 / ( a + b).

A PLIC A C IO N ES A LA ELE C T R O ST A T IC A62. Dos conductores planos semi-infinitos, como se indica en la figura 9-39, están cargados a potenciales

constante 4q y <t>2 respectivam ente. E ncontrar, (o) el potencial <J>, y (i) el cam po eléctrico £■ en cualquier parte de la región som breada entre ellos.

/ <t>, - <t>2\Resp. (a) 4> = 4>2 + ( ) s (b) £ = (4>2 — d q l/a r

Fig. 9-39 Fig. 9-40

63. E ncontrar, (a) el potencial, y (fe) el cam po eléctrico en cualquier pa rte de la región som breada de lafigura 9-40 si los potenciales sobre los ejes x y y positivos son constantes e iguales a V n y — V ü respecti

vam ente. Resp. V0 | l - —t a n - '

64. Una región infinita tiene en ella 3 alam bres localizados en z = — 1, 0, 1 y a potenciales constantes — V 0, 2Vo, — V,| respectivam ente. E ncontrar, (a) el potencial, y (6) el campo eléctrico en cualquier

parte . Resp. (a) V<¡ ln {z(z2 — 1)}

65. P ro b ar que la capacidad de un condensador es invariante con una trasform ación conforme.

6 6 . Los conductores planos semi-infinitos A B y B C loscuales se cortan en un ángulo a están a tierra (Fig. 9-41).Una línea de carga q por unidad de longitud está situada en un punto z¡ en la región punteada a distancias iguales a desde A B y BC . E ncontrar el potencial.

í / z'r/a - zF^NlResp. I m j — 2 q t ln ^ T /a _

67. Resolver el problem a 66 si q está a una distancia a desde A B y 6 desde BC.

6 8 . Resolver el problem a 23 si hay dos líneas de carga q por unidad de longitud y —q por unidad de longitud, situadas en z = bi y z = ci respectivam ente, donde0 < 6 < a , 0 < c < a y b c. p¡g 9 .4 1

69. Un cilindro circular infinitam ente largo, tiene la m itad de su superficie cargada a potencial constante V q m ientras que la o tra m itad está a tierra, estando las dos m itades aisladas una de la otra. E ncontrar el potencial en todas partes.

Potencial 2

262 AP LI CA C I ONES FISICAS DE I.A APLICACION C O N F O R M E [ CAP. 9

APLICA CIONES A F L U JO DE CALOR70. (a) E ncontrar el estado estacionario de tem peratura en un punto de la regidn que se m uestra som brea

da en la figura 9-42, y(6) determ inar las líneas isotérmicas y de flujo. Resp. (a) 60 — (120/x) tan - 1 (y / x )

71. E ncontrar el estado estacionario de tem peratura en un punto (2, 1) de la región que se m uestra punteadaen la figura 9-43.

2' •S :: 100°C

Fig. 9-42

50°C (LO)

Fig. 9-43 Fig. 9-44

72. Las partes convexas A B C y A D C de un cilindro unidad (Fig. 9-44) se m antienen a tem peraturas de 40°C y 80°C respectivam ente, (a) E ncon trar el estado estacionario de tem peratu ra en un punto interior. (6) D eterm inar las líneas isotérm icas y de flujo.

73. E ncon trar el estado estacionario de tem peratura en el punto (5, 2) de la región som breada de la figura 9-45, si las tem peraturas se m antienen como se indica. Resp. 45,9°C

Fig. 9-45 Fig. 9-46

74. Una plancha conductora infinita tiene en ella un hueco circular A B C D de radio unidad (Fig. 9-46). T em peraturas de 20°C y 80°C se aplican a los arcos A B C y A D C y se m antienen así, indefinidamente. E ncontrar el estado estacionario de tem pera tu ra en un punto de la plancha.

PRO BLEM A S VARIOS

75. Si 4>(x, y) es armónica, probar que 4>(x ¡r~, y /r~) donde r = v7* 2 + es tam bién armónica.

76. P robar que si U y V son continuam ente diferenciables, entonces

(a) ^ — -4- — ^ (b) + — —dn dx ds dy ds ds Sx ds dy ds

donde n y s denotan la norm al exterior y el parám etro longitud de arco respectivam ente de una curva simple cerrada C.

77. Si 17 y V son funciones armónicas conjugadas, probar que (o) , (6) = — ——.atl o8 ds dn

78. Probar que la función J —------ - es armónica en cualquier región que no incluya el puntor = i s = n 1 — 2r cos 0 + r2

CAP. 9] A P L I C A C I ON ES FISICAS DE LA APLI CA CI ON C O N F O R M E 263

79. Hacer lo necesario para resolver el problem a de Neum ann, o sea, para encontrar una función V arm ónica en una región % ta l que sobre la frontera C de 9?, dV/dn = G(s) donde s es el parám etro longitud

de arco. Sea /í(s ) r G(s) ds donde a es un punto de C, y supongam os que i G(s) Jc

ds = 0 .

D em ostrar que para encontrar V debemos encontrar la función arm ónica conjugada U que satisface la condición U = — H (s) sobre C. Este es un problem a de D irichlet. (Sugerencia . U tilizar el problem a 77.)

80. P robar que, salvo una constante ad itiva a rb itraria , la solución al problem a de N eum ann es única.

81. P robar el teorem a 3, página 235.

82. ¿Cómo debe ser modificado el teorema 3, página 235, rem plaza por 4> = f ( x , y ) sobre C ?

la condición de frontera <t> = a sobre C, se

83. ¿Cómo debe ser modificado el teorema 3, página 235, si la condición de frontera d<P/dn = 0 sobre C,se rem plaza por 54>/8n = g(x, y ) sobre C ?

84. Si un movim iento de fluido se debe a alguna distribución de fuentes, sum ideros y dipolos y si C es unacurva ta l que ningún flujo ocurre a través de ella, entonces la distribución de fuentes, sumideros ydipolos a un lado de C, se llam a la imagen de la distribución de fuentes, sum ideros y dipolos sobre el otro lado de C. P robar que la imagen de una fuente dentro de un círculo C es una fuente de igual fuerza en el punto inverso ju n to con un sum idero de igual fuerza en el centro de C. (El punto P se llam a el inverso del punto Q con respecto a un círculo C con centro en O si O PQ es una línea recta y O P ’OQ = a 2 donde a es el radio de C.)

85.

86.

U na fuente de fuerza k > 0 está situada en el punto z0 un fluido que está contenido en el primer cuadrante, donde los ejes x y y se consideran como barreras rígidas. P robar que la velocidad del fluido en un punto está dada por

fe I ( z - z 0) -1 + + (z + *o)~ 1 + (z + z0) - ‘ |

Dos conductores cilindricos infinitam ente largos, de secciones trasversales elípticas, todas con focos en ( —c, 0 ) y (c, 0) (Fig. 9-47) están cargados a potenciales constan tes lI> i y <1*2 respectivam ente. D em ostrar que la capacitancia por unidad de longitud es igual a

___________2r___________cosh- 1 (ft2/e) — cosh- 1 (R¡/c)

(Sugerencia . U tilizar la trasform ación c cosh w.)

87.

88.

E n el problem a 8 6 , supongamos que 4>i y 4>2 representan tem pera tu ras constantes aplicadas a los cilindros elípticos. E ncon trar el estado estacionario de tem peratura en un punto de la región conductora entre los cilindros.

Un obstáculo cilindrico circular de radio a yace en el fondo de un canal de fluido, el cual en distancias m ás allá del obstáculo, fluye con velocidad V 0 (Fig. 9-48).(a) P robar que el potencial complejo está dado por

SJ(z) = jtoV0 coth (ira/z)

(ó) D em ostrar que la velocidad en la cima del cilindro es Jir2V0 y com parar con aquella para un obstáculo circular en el centro de un fluido.

(c) D em ostrar que la diferencia de presión entre los puntos de la cima y del fondo del cilindro es

<rir<Fo/32.

Fig. 9-47

264 A P LI CA CI ONES FISICAS DE LA APLICACION C O N F O R M E | CAP. 9

89. (a) Dem ostrar que el potencial complejo para el flujo de fluido más allá del cilindro elíptico de la figura 9-49 está dado por

í!(0 = V0f + (o4_6£

donde -¿(2 + v'z2 - C2) C2 o= - ¿>2.

(4) Probar que la velocidad del fluido en la cima y fondo del cilindro es VqU + b /a ) . D iscutir el caso a = 6 . (Sugerencia. Expresar el potencial complejo en términos de las coordenadas elípticas (<j, rj) donde z = x + iy - c cosh (5 ■+■ ¿tj) = c cosh

Fig. 9-49

90. Dem ostrar que si el flujo en el problema 89 está en una dirección que hace un ángulo S con el eje x positivo, el potencial complejo está dado por el resultado en (a) con £ = ¿(z + yj z2 — c2 )ei6.

91. En la teoría de elasticidad, la ecuación

V ’4> = V 2(V 2<1>) = —- + 2 d4<>> id x A d x 2 d y 2 d y 4

= 0

que se llam a la ecuación biarmónica, es de fundam ental im portancia. Las soluciones de esta ecuación se llam an biarmónicas. P robar que si F(z) y G(z) son analíticas en una región entonces la parte real de z F(z) -f G(z) es biarmónica en %.

92. Dem ostrar que funciones biarmónicas (ver problema 91) en general, no permanecen biarm ónicas con una trasformación conforme.

93. (а)

(б)

(c)

D em ostrar que í l (z ) = K ln senh (icz / a ) , k > 0, a > 0 representa el potencial complejo debido a una hilera de fuentes de fluido en z = 0 , ± a i , ± 2a¿, . . . .D em ostrar que, salvo constantes aditivas, el potencial y las funciones de corriente están dados por

4» = K ln {cosh (2irx/a) — cos (2iry/a)}, * = K t a n - 1 f jg P (~y/q) 1| tanh (jrar/a) í

C onstruir la gráfica de algunas de las trayectorias del flujo.

94. Probar que el potencial complejo del problema 93 es equivalente al debido a una fuente situada equid istante de las líneas paralelas y = ± 3 a /2 .

95. Com probar el planteam iento hecho al final del problem a 30 (compare problem a 137, capítulo 2).

96. Un condensador está formado de un cilindro elíptico, con ejes m ayor y m enor de longitudes 2a y 26 respectivam ente, ju n to con una plancha plana A B de longitud 2h (Fig. 9-50). D em ostrar que la capacitancia es igual a ---- , .. t .cosh - 1 (a /h )

97. Un fluido fluye con velocidad uniforme V0 a través de un canal semi-infinito de anchura D y bro ta a través de la abertura A B (Fig. 9-51). (a) E ncontrar el potencial complejo del flujo. (6) D eterm inar las trayectorias y líneas equipotenciales y obtener gráficas de algunas de éstas.(Sugerencia . U tilizar el numeral C-5 de la tabla sobre la página 212.)

Fig. 9-50 Fig. 9-51

CAP. 9) AP LI CA C I ONES FISICAS DE LA APLI CACI ON C O N F O R M E 265

98. D ar una interpretación dentro de la teoría potencial al problema 30.

99. (o) D em ostrar que en un vacío, la capacitancia de los conductores cilindricos paralelos en la figura9-52 es .

/D —2 c o sh - ' [ ----------------- - )

V 2 RtR, )(b) E xam inar el caso R¡ - R 2 = R y com parar con el problema 28.

100. D em ostrar que en un vacío, la capacitancia de los dos conductores cilindricos paralelos en la figura 9-53 es

1

Fig. 9-52 Fig. 9-53 Fig. 9-54

101. E ncontrar el potencial en un punto del cilindro unidad de la figura 9-54 si A B , B C , C D y D A se m antienen a potenciales Vf¡, 0, — V0 y 0 respectivam ente.

Resp. + t a n " - ? ! ™r \ 1 — r2 1 —)102. La región som breada de la figura 9-55 representa un

sem i-plano conductor infinito en el cual, líneas A D ,D E y D B se m antienen a tem peraturas 0, T y 2T respectivam ente, donde T es una constante, (a)E ncon trar la tem peratura en cualquier parte . (6)D ar una interpretación donde intervenga la teoría potencial.

E

a

D 1 ____ .

Fig. 9-55

103. Resolver el problem a anterior si, (a) D E está aislado, (b) A B está aislado.

104. E n la figura 9-55 suponemos que D E representa un obstáculo perpendicular a la base de un canal infin ito en el cual un fluido está fluyendo de izquierda a derecha, de m odo que más allá del obstáculo, la velocidad del fluido es V<>. E ncontrar, (a) la velocidad, y (6) la presión en un punto del fluido.

105. E ncon trar el estado estacionario de tem peratura en el pun to (3, 2) de la región som breada de la figura 9-56.

106. Un prism a triangular infinito A B C D de ángulo x /4 (punteado en la figura 9-57) tiene uno de sus lados (CD) a 50°C; el otro lado, A B C tiene la parte A B a 25°C m ientras que la parte B C , de longitud unidad, está aislada. E ncontrar el estado estacionario de tem peratura.

Fig. 9-56 Fig. 9-57

C ap ítu lo 10

Tem as espec ia les

PROLONGACION ANALITICASea F¡(z) una función de z que es analítica en una región (Fig. 10-1). Supongamos

que podemos hallar una función F2(z) qúe es analítica en una región y que es tal, queF,(z) = F2(z) en la región común a y %r Entonces decimos que F 2(z) es una prolongación analítica de F ,(z). Esto significa que existe una función F(z) analítica en la unión de las regiones y tal que F(z) = F,(z) en 9(( y F(z) = F2(z) en %2. Realmente, para ello basta que y %2 tengan solamente un pequeño arco en común, ta l como L M N en la figura 10 -2 .

Fig. 10-1 Fig. 10-2

Por prolongación analítica a regiones %3, etc., se puede extender la región original de definición a otras partes del plano complejo. Las funciones F, (z), F2(z), F 3(z), . . ., definidas en %¿, %3, . . . respectivamente, son algunas veces llamadas elementos de función, o brevemente, elementos. Es, algunas veces, imposible extender una función analítica más allá de la frontera de una región. Entonces llamamos la frontera, una frontera natural.

Si una función F, (z) definida en se prolonga analíticam ente a una región %n a lo largo de dos caminos diferentes (Fig. 10-3), entonces las dos prolongaciones analíticas serán idénticas si no hay singularidad entre los caminos. Este es el teorema de unicidad de la prolongación analítica.

Si obtenemos resultados diferentes, podemos dem ostrar que hay una singularidad (específicamente un punto de ramificación) entre los caminos. Es de esta manera como llegamos a todas las ramificacionesde las funciones multívocas. En este marco, la super- 1Qficie de Riemann (capítulo 2) se m uestra valiosa. 'g'

Ya hemos visto cómo, las funciones representadas por serie de potencias, se pueden prolongar analíticamente (capítulo 6). En este capítulo consideraremos cómo, funciones con otras representaciones (tal como integrales) se pueden prolongar analíticamente.

Cam ino I

266

CAP. 10| T E M A S E S P E C I A L E S 267

PR IN C IPIO DE R EFLEX IO N DE SCHWARZSupongamos que F, (z) es analítica en la re

gión (Fig. 10-4) y que F ^z) tom a valores reales sobre la parte L M N del eje real.

Entonces el principio de reflexión de Schwarz dice que la prolongación analítica de F,(z) en la región (considerada como la imagen en un espejo o reflejo de <F ¡ con L M N como el espejo) está dada por

(1)F 2 (z) = F\ (z)

El resultado se puede extender a casos donde L M N es una curva, en lugar de un segmento de línea recta. Fig. 10-4

PRODUCTOS IN FIN IT O SSea P„ = (1 + u>i)(l + w¡) • • • (1 -|- w„) denotado por 11 (1 + w‘) donde suponemos que

para todo k , wk9¿ — 1. Si existe un valor P ^ 0 tal que lim P n = P , decimos que el pro-n ooao

ducto infinito (1 + u¿i)(l + w2)- • • ■ ]~J (1 + wk), o brevemente n ( l -f wk), converge a P;(c = I

de o tra manera, él diverge. Las cantidades wk pueden ser constantes o funciones de z.

Si solamente un número finito de las cantidades wk = — 1 m ientras que el resto del producto infinito, omitiendo estos factores, converge, el producto infinito se dice que converge a cero.

CONVERGENCIA ABSOLUTA, CONDICIONAL Y U N IFO R M E DE PRO D U CTO S IN FIN IT O S

Si el producto infinito ri(l 4- |wi*|) converge, decimos que n ( l + wk) es absolutamente convergente.

Si n ( l + wk) converge pero n ( l + |u>*|) diverge, decimos que n ( l + wk) es condicionalmente convergente.

Un teorema im portante, análogo a uno para series infinitas, establece que un producto infinito absolutam ente convergente es convergente, es decir, si n ( l + \wk\) converge, entonces n ( l -I- wk) converge (ver problema 65).

El concepto de convergencia uniforme de productos infinitos se define fácilmente por ana-n

logia con las series infinitas o sucesiones en general. De este modo, si n {1 + W„(z)} = P n(z)00

y TI {1 + wk(z)} = P{z), decimos que P„(z) converge uniformemente a P{z) en una regiónfc = 1% si, dado e > 0 podemos hallar un número N , que depende solamente de < y no del valor particular de z en %, ta l que |P„(z) — P(z)| < < para todo n > N .

Como en el caso de series infinitas, ciertas cosas se pueden hacer con productos infinitos absoluta o uniformemente convergentes que no se pueden hacer necesariamente con productos infinitos en'general. Así, por ejemplo, podemos cambiar el orden de los factores en un producto infinito absolutam ente convergente sin cambiar el valor.

268 T E M A S E S P E C I A L E S | CAP. 10

ALGUNOS TEOREM AS IM PO RTA N TES SOBRE PRODUCTOS IN FIN IT O S1. Una condición necesaria para que n ( l + wk) converja, es que lim wn = 0. No obs-

n -* «

tan te, la condición no es suficiente, o sea, aún si lim wn = 0 el producto infinito puede diverger.

2. Si 2|ie*| converge (es decir, si 2 wk converge absolutamente), entonces n ( l + u)k, ), y de este modo, n ( l + wk), converge (o sea, n (1 + wk) converge absolutamente). El teorema recíproco también es válido.

3. Si un producto infinito es absolutamente convergente, sus factores pueden ser conmutados sin afectar el valor del producto.

4. Si en una región CR, ¡te*(2)1 < M k, k = 1, 2, 3, . . ., donde M* son constantes tales que 2 M k converge, entonces n{ 1 + te* (2)} es uniformemente (y absolutamente) convergente. Este es el análogo de la prueba M de Weierstrass para series.

5. Si wk(z), k = 1, 2, 3, . . ., son analíticas en una región % y 2 wk(z) es uniformemente convergente en “2?, entonces n{l + wk{z)} converge a una función analítica en %.

TEOREM A DE W EIERSTRA SS PARA PRODUCTOS IN FIN IT O SSea f(z) analítica para todo 2 (es decir, f(z) es una función entera) y supongamos que ella

tiene ceros simples en a,, a2, a 3, . . . donde 0 < |a,| <'\a2\ < |a3| < ••• y lim |a„| = «=. Entonces f(z) se puede expresar como un producto infinito de la forma,

m = /(0 )« r<#te//,o,j r ( { ( i - | ; ) ^ - } (2)

Una generalización de esto, dice que si /(z) tiene ceros en ak ^ 0, k = 1, 2, 3, . . ., de

multiplicidades respectivas u órdenes ¡xk, y si para algún entero N , ^ 1/a f es absolutamente convergente, entonces 11=1

{ . 1 *2 1 »N —/ z \ - + ' — + ■ - • + —— *— T "i*

2°l (3)

donde G(z) es una función entera. El resultado es además exacto si algunos de los ak’s son polos, caso en el cual, sus multiplicidades son negativas.

Los resultados (2) y (3) se llaman algunas veces, teoremas del producto de Weierstrass.

ALGUNOS PRODUCTOS IN FIN IT O S ESPECIA LES

1. senz = J i - g j j i - J E L j . . . = z ñ ( l - ¿ )

“ (W2p} í 1 “ ( 3 ^ ? } = f í / 1 _ (2k — 1 )V

3. senhz = 2 { l + { l + • . . = ñ ( ^ ¿ )

4. cosh 2 = { 1 = f l ( 1 + ( 2 f c - l ) v )

LA FUNCION GAMMA

Para Re {2} > 0, definimos la función gamma por

r(z) = f t ' - ' e - 'd t (4)

2 . eos 2 = J 1

CAP. 10] T E M A S E S P E C I A L E S 269

Entonces (ver problema 11) tenemos la fórmula de recurrenciar ( z + l ) = zl'(z) donde r( l) = 1 (5 )

Si z es un entero n positivo, vemos de (5) quer(n + l) = n (n —1 ) • • • (1 ) = n! (6)

de modo que, la función gamma es una generalización de la factorial; Por esta razón, la función gamma es tam bién llamada la función factorial y se escribe como z! más bien que F(z + 1 ), caso en el cual definimos 0! = 1 .

De (5) también vemos que si z es real y positivo, entonces, T(z) se puede determ ina- conociendo los valores de F(z) para 0 < z < 1. Si z = i , tenemos (ver problema 14)

r ( i) = y f i (7)Para Re {z} S 0, la definición (4) no tiene sentido, puesto íue la integral diverge. Por

prolongación analítica, sin embargo, podemos definir T(z) a la izquierda del plano. Esencialmente, esto obliga a usar (5) (ver problema 15). E n z = 0, — 1, — 2, . . ., T(z) tiene polos simples (ver problema 16).

PRO PIED A D ES DE LA FU N CIO N GAMMALa siguiente lista m uestra algunas propiedades im portantes de la función gamma. Las

primeras dos se pueden tom ar como definiciones, de las cuales todas las otras propiedades se pueden deducir.

L r(* + 1) = i*™ (z + 1)('/+ 2) - . . % + k ) k * = “ “ n (*'*>

donde ri(z, k) es algunas veces llamada función n de Gauss.

2- m-

donde y = lim 1 1 + ^ + -5- + ••• + i — ln p l = 0,5772157... la llamada constan-p-+ «o \ Z o p jTP..1____ V J

r(z) r (l - z) =

te de Euler.

sen wzE n particular si z = i , r(¿) —

4. 22,- ‘ r(z)r(z + i) = r(2z)

E sta es la llamada fórmula de duplicación de la función gamma.

5. Si m = 1, 2, 3, . . . ,

rWT(z + m)V(z + m)'''T(z+ÍÍi ) = mV4"mt(2’r)(m' ,)/2r(wl2)La propiedad 4 es un caso especial de ésta con m = 2.

I M = - r + ( I _ I ) + + ••• + + + ■6.

7. F '(l) = C e 1 ln t d t = —y Plano í

8. r<*) = 7sblfc t'-'e-'Mdonde C es el contorno de la figura 10-5. Este es una prolongación analítica al semi-plano del lado izquierdo de la función gamma definida en (4).

í*7oX'

9. O tra integral de línea a lo largo del contorno C (Fig. 10-5) está dada por

,w = = - ¿ J

LA FUNCION BETAPara Re {m} > 0, Re {«} > 0, definimos la función beta por

B(m ,n) = f tm- ‘ ( l - t ) n- 'd t (8)^0

Como se vio en el problema 18, esta función está relacionada con la función gamma por

»<“ ■” > = (9>Varias integrales se pueden expresar en términos de la función beta y del mismo modo,

en términos de la función gamma. Dos resultados interesantes son

sen2m~’ 0 eos2""16 dO — £ B (m ,n ) = X*®)

r n dt = B{p’ 1 -p ) = (J J )el primero es válido para Re {m} > 0 y Re {n} > 0, y el segundo es válido para

0 < Re {p} < 1.Para Re {m} S O y Re {n} ¿ 0, la definición (8) se puede extender utilizando prolon

gación analítica.

ECUACIONES D IFEREN CIA LESSupongamos que tenemos la ecuación diferencial lineal

Y " + p (z )Y ' + q(z) Y = 0 (12)Si p(z) y q(z) son analíticas en un punto a, entonces a se llama un punto ordinario de la ecuación diferencial. Puntos en los cuales p(z) o q(z) o ambos no son analíticos, se llaman puntos singulares de la ecuación diferencial.

E je m p lo 1: Para Y " + z Y ' + (z2 — 4)Y - 0, cada punto es un punto ordinario.

E je m p lo 2 : Para (1 - z2) Y " - 2zY ' + 6 Y = 0 o Y " + — Y = 0 , z = ± 11 — z2 1 — z2

son puntos singulares; los demás, son puntos ordinarios.

Si z = a es un punto singular, pero (z - a) p(z) y (z - a)2 q(z) son analíticas en z = a, entonces z = a se llama un punto singular regular. Si z = a no es, ni un punto ordi- lario ni un punto singular regular, es un punto singular irregular.

E je m p lo 3 : E n el ejemplo 2, z = 1 es un punto singular regular puesto que (z — 1 ) j— =

— y (z — l)2^ — ¿2 ) = ^ son analíticos en z = 1. Del mismo modo, z =

— 1 es un punto singular regular.

E je m p lo 4: 23Y ' ' + (1 — 2) Y ' — 2 Y = 0 tiene 2 = 0 como un punto singular. Además,“ 2 f 2 \ 2y 22 í — — j = — — no son analíticos en 2 = 0 , de suerte que

2 = 0 es un punto singular irregular.

Si Yi(z) y Y 2 (z ) son dos soluciones de (12) tal que la una no es igual a la otra por una constante, las soluciones se llaman linealmente independientes. En tal caso, si A y B son constantes, la solución general de (12) es

Y = AY, + BYz (13)


Los siguientes teoremas son fundamentales.

T eo rem a 1. Si z = a es un punto ordinario de (12), entonces existen dos soluciones linealmente independientes de (12) que tienen la forma

2 ak(z - a)k (14)k~0donde las constantes ak se determ inan por sustitución en (12). Al hacer esto, puede ser necesario desarrollar p(z) y q(z) en potencias de (z — a). En la práctica, es aconsejable remplazar (z — a) por una nueva variable.

La solución (14) converge en un círculo con centro en a el cual se extiende hasta la singularidad más cercana de la ecuación diferencial.

E je m p lo 5: La ecuación (1 — z2) Y " — 2zY ' -f 6 Y = 0 (ver ejemplo 2) tiene una solución de laforma que converge dentro del círculo |z| = 1 .

T e o re m a 2 . Si z = a es un punto singular regular, entonces existe por lo menos una solución que tiene la forma

(z - a)c 2 ak(z - a)k (15)k = 0

donde c es una constante. Sustituyendo en (12) e igualando la menor potencia de (z — a) a cero, se obtiene una ecuación de segundo grado en c (llamada la ecuación característica.) Si llamamos Ci y c2 las soluciones de esta ecuación de segundo grado, surgen las siguientes situaciones:

1. c¡ — c2 un número entero. En este caso, hay dos soluciones linealmente independientes que tienen la forma (15).

2. C! = c2. Aquí una solución tiene la forma (15) m ientras que la otra solución linealm ente independiente tiene la forma

ln (z - a) 2 bk(z - a)k * ‘ (16)k=0

3. ct — c2 = un número entero ^ 0. En este caso, existe una u otra solución de laforma (15) o dos soluciones linealmente independientes que tienen esta forma. Sisolamente una solución de la forma (15) se puede encontrar, la otra solución linealm ente independiente tiene la forma (16).

Toda solución obtenida converge en un círculo con centro en a el cual se extiende hasta la singularidad más cercana de la ecuación diferencial.

SOLUCION DE ECUACIONES D IFER EN C IA LES PO R IN TEG RA LES DE CONTORNO

Es conveniente a menudo, buscar una solución de una ecuación diferencial lineal en la forma ~

Y(z) = j K (z ,t)G ( t)d t (17)

donde K (z ,t) es llamado el núcleo. Una posibilidad útil ocurre si K (z ,t) = e!l, caso en el cual p

Y(z) = Jp etl G(t) dt (18)

Tales soluciones pueden ocurrir cuando los coeficientes en la ecuación diferencial son funciones racionales (ver problemas 25 y 26).

FU N CIO N ES BESSELLa ecuación diferencial de Bessel, de orden n está dada por

zí Y " + z Y ' + (z2 - n 2)y = 0 (19)

272 T E M A S E S P E C I A L E S (CAP. 10

Una solución de esta ecuación, si n fe 0 eszn f z2 z* 1

Jn(?) = 2" I'(M + 1) j 1 “ 2(2n + 2) + 2 • 4(2n + 2)(2n + 4) ' ‘ ' / (20)

y se llama, función de Bessel de primera clase de orden n.Si n no es un número entero, la solución general de (18) es

Y = A J n(z) + B J - n(z) (21)donde A y B son constantes arbitrarias. No obstante, si n es un número entero entonces J-„ (z) = ( —1 )"J„(z) y (20) no produce la solución general. La solución general en este caso, se puede encontrar como en los problemas 182 y 183.

Las funciones Bessel tienen muchas propiedades im portantes e interesantes, entre ellas están las siguientes:

1 . e z u - i / o n = 2 J „ ( z ) í "n = — oo

El lado izquierdo se llama frecuentemente la función generadora de las funciones Bessel de primera clase para valores enteros de n.

2. zJ n —i (z) - 2nJn(z) + Zi/s+i(z) = 0

E sta es la llamada fórmula de recurrencia para funciones Bessel (ver problema 27).

3. ^ { z " /* (z ) ) = z» /„-,(z), z "nJ n(z)} = -z-".7„*i(z)

i r4. J n(z) = - I cos («<J> — zsen <|>) d<¡>, n = entero77 • /()

5. J»(z) = - r cos (n<¡> — z sen <¡>) d<¡> — *^PM7r C d<f>T *0 ^ *4)

6. f tJn (a t)Jn(b t)d t = ^{«■/n(bz)./n(az) - bJn(az) Jn(bz)} ' a ^ b*o O — Cr

7. J [ " t / . ( a í ) / . ( 6 í ) d t = / . ( « ) J„ - ,(b z ) t ^

8. P <{7n(at)}2dt = |-[{ /„ (az ))2 - J n-i(az)J„+i(az)}

9. J n(z) = n = 0, ±1, ±2, . . .

donde C es una curva simple cerrada que encierra í = 0.

= iV 3 . 5 . . y (2; ^ i ) , X « s e o s * ) s e n “ ( . . í í

Una segunda solución de la ecuación diferencial de Bessel, si n es un entero positivo, es la llamada función de Bessel de segunda clase de orden n o función de Neumann y está dada por

1 V ( n - f c - 1 )! / z \ 2lt“"r . » - -(22)

donde G(k) = 1 + 2 + 3 + ” ' + | y G(°) = °-

Si n = O, tenemos

y„(z) = /o (* )ln* + ^ - ¿ f ( l + i) + + i + - ••• (23)

En estos términos, la solución general de (19) si n es un entero positivo, se puede escribir

Y = AJ„(z) + B Y„(z) (24)

FUNCIONES DE LEGENDRELa ecuación diferencial de Legendre, de orden n está dada por

( l - z 2)Y " - 2 zY ' + n(n + l )Y = 0 (25)La solución general de esta ecuación es

y = A ¡ i n(n + *) | n(w ~ 2)(w + 1)(w + 3)(26)

, _ ( n - ! ) ( « + 2 ) (w- l ) ( n - 8)(w + 2)(w + 4) _ 3! 5!

Si /i no es un entero, estas soluciones en serie convergen para \z\ < 1 . Si n es cero o un entero positivo, soluciones polinomiales de grado n se obtienen. Llamamos a estas soluciones polinomiales, polinomios de Legendre y las denotamos por P„(z), n = 0, 1, 2, 3, . . . . Eligiendo éstas de modo que P „(l) = 1, encontramos que ellas se pueden expresar por las fórmulas de Rodríguez. .

P "<2> = ^ T i d F ^ 2- 1)" (27>de lo cual P 0(z) = 1, P\(z) = z, P2(z) = i(3 z2 - 1), P 3(z) = |(5 z 3 - 3z), etc.

Las siguientes son algunas propiedades de los polinomios de Legendre.

= t P n W t »

2.

\ / l - 2 z t + t2 »=o E sta es llamada la función generadora de los polinomios de Legendre.

P (z\ - i M L j , n _ , w(w — l)(w — 2)(w — 3) 4 _' 2n(n !)2 \ 2(2w — 1) 2 - 4 (2 w - l) (2 n - 3 )

Q p fz\ — lí* ( * I)"yn(z) 2-ni J c 2 " ( t - z ) " +l

donde C es una curva simple cerrada que encierra el polo t = z.

0 8Í 771 n

4. I P m (z) P„ (z) dz =2 n + 1

SI 771 = 71

(Ver problemas 30 y 31.)

2 r ”5. Pn (z) — - I [z + v/z2 — 1 eos <¿>]n d<f>7T */0

(Ver problema 34, capítulo 6.)

6. (n + l )P „ + ,(z) - (2w + l)z P„ (z) + w P „-i(z ) = 0E sta es la llamada fórmula de recurrencia para los polinomios de Legendre, (ver

problema 32).7. (2n + 1) P n (z) = P „ \,(z ) - Pn-i(z)

Si n es un entero positivo o cero, la solución general de la ecuación de Legendre se puedeescribir como

Y = A P„ (z) + BQ„(z) (28)

donde Q„(z) es una serie infinita convergente para |z¡ < 1 obtenida de (26). Si n no es unentero positivo, hay dos soluciones en serie infinita obtenidas de (26) que son convergentespara !z| < 1. Estas soluciones de la ecuación de Legendre, se llaman funciones de Legendre.Ellas tienen propiedades análogas a las de los polinomios de Legendre.

LA FUNCION H IPER G EO M ETR IC ALa función definida por

rv i x , a ' b , a(a + 1 )6(6 + 1 ) , , /omF (a ,6;c ;z ) = 1 + — z + + . . . (29)

se llama la función hipergeométrica y es una solución a la ecuación diferencial de Gauss, o la ecuación hipergeométrica.

z ( l - z ) Y " + { c - (a + 6 + l)z)Y ' - abY = 0 (30)

La serie (29) es absolutamente convergente para |zj < 1 y divergente para |z| > 1. Para |z| = 1 ella converge absolutam ente si Re (c — a — 6} > 0.

Si |z| < 1 y Re {c} > Re {6} > 0, tenemos

Para |z| > 1 la función se puede definir por prolongación analítica.

LA FUNCION ZETALa función zeta, estudiada extensivamente por Riemann en relación con la teoría de

números, se define para Re {z} > 1 por

í(z) = b + h + h + ' ' ' = k? , f (32)Ella se puede extender por prolongación analítica a otros valores de z. E sta extensión de X, (z)tiene la propiedad interesante que

C ( l- z ) = 21' 1 n~‘ r(z) cos(7tz/2) ¿(z) (33)

Otras propiedades interesantes son las siguientes:

1 . £ W = t í d X í T I ' " R e W > 0

2. La única singularidad de X,(z) es un polo simple en z = 1 que tiene residuo 1.3. Si Bk, k = 1, 2, 3 , . . . , es el coeficiente de z2i en la expansión

= 1 - . ? , § $

entonces ?(2 le) = Bk k = 1 , 2 , 3 , . . .(¿K) !

Tenemos, por ejemplo, B¡ = 1/6, B2 = 1/30, . . de lo cual t((2) = x: / 6 , ;('4) = "V90, . . . . Los números Bk son los llamados números de Bernoulli. Para otra definición de los números Bernoulli, ver problema 163, página 172.

4‘ t(z) ~ (* 2 ') ( x 3‘X 1 5‘X 1 7 ' ) " ' ~ t K * ;>!)

donde el producto se toma sobre todos los primos p positivos.Riemann conjeturaba que todos los ceros de X, (z) están situados sobre la recta Re {z} = J ,

pero esto hasta ahora no ha sido probado ni refutado. No obstante, ha sido demostrado por Hardy, que hay infinitos ceros que están sobre esta recta.

SER IES ASINTOTICASUna serie ao + + ÍL + . . . = ¿ J {34)

Z Z u — o ~

se llama, una serie asintótica para una función F(z) si para un entero M positivo especificado,

lim 2 "{F (2 ) = o (35)

En tal caso escribimosm ~ 2 ^ 06 )n = 0 *

Las series asintóticas y las fórmulas donde intervienen, son muy útiles en la determ inación del valor numérico de funciones para grandes valores de la variable, lo cual de otra manera podría ser difícil. En la práctica, una serie asintótica puede diverger. Sin embargo, tomando la suma de los términos sucesivos de la serie, y parando justam ente delante de los términos que empiezan a crecer, podemos obtener una buena aproximación para F(z).

Varias operaciones con series asintóticas son permisibles. Por ejemplo, las series asintóticas se pueden sumar, m ultiplicar o integrar término por término para producir otra serie asintótica. No obstante, la diferenciación no es siempre posible. Para un intervalo de valores dado de 2 , la serie asintótica, si ella existe, es única.

EL M ETODO DEL PUNTO SILLASea I(z) expresable en la forma

/(2) = elF<1) dt (37)

donde C es algún camino en el plano t. Puesto que F(t) es compleja, podemos considerar 2 real.El método del punto silla es un método para encontrar una fórmula asintótica para (37)

válida para valores grandes de 2 . En donde es aplicable, consiste de los siguientes pasos:

1. Determ inar los puntos en que F '(t) = 0. Tales puntos son llamados puntos silla, y por esta razón el método se llama el método del punto silla.

Supondremos que hay únicamente un punto silla, digamos, t0. El método se puede extender si hay más de uno.

2. Suponiendo F(t) analítica en una vecindad de í0> obtenemos el desarrollo de la serie de Taylor,

F(t) = F(t0) + F "(taW 7 <0>2 + . •. = F(ta) - m2 (38)

Ahora, deformamos el contorno C de modo que pase a través del punto silla t0, y sea ta l que Re {F(t)} es más grande en í0 m ientras que Im {F(t)} se puede considerar igual a la constante Im {F(t0)} en la vecindad de t0. Con estas suposiciones, la variable u definida por (38) es real y obtenemos a un alto grado de aproximación

7(2) = ( ^ ) dv (39)

0 » I V E R S ! D A D » A C f C r J A L

Ocultad Polllícricor 1 n 1 « — — —

donde, de (38), podemos hallar constantes bu b2, . . tal que

—— = 6o biU + bzV? 4" • • • (40)du '

3. Sustituimos (40) en (39) y calculamos las integrales para obtener el desarrollo asin- tótico buscado.

j. . I~tt F(t. f, l b ¡ l ’3 6 4 , l ' 3 ' 5 b « 1 / . T.(^ ~ \ z e ’ { 0 2 z 2^2 z* 2*2*2 ** J ( ^

Para muchos propósitos prácticos, el primer término da bastante exactitud y hallamos

'<*> ~ (42)

Métodos similares a los anteriores se conocen también como el método de Laplace y el método de fase estacionaria.

DESARROLLOS ASINTOTICOS ESPECIALES1. La fu n c ió n g am m a

F(* + 1 ) ~ V^Tz z* « " { l + ¿ + ¿ i * 5L8402’ + " '} i43)

Esta es algunas veces llamada la fórmula asintótica de Stirling para la función gamma.Ella es válida para grandes valores de z| tal que — x < arg z < x.

Si n es real y grande, tenemosr(n + l) = \/2ttn n" e~n e,nin donde 0 < 8 < 1 (44)

En particular, si n es un entero positivo grande, tenemosw! ~ \f2irn nn e~* (45)

llamada la fórmula asintótica de Stirling para n!.

2. F u n c io n es de Bessel

Jn(Z) ~ [P(z) C0S(z — ¿Wtt — Jtt) + Q(z) sin (z — £W7r — Itt)} (46)

P(z) = i + ¿donde

( - l ) fc [4n 2 - l 2] [4n2 - 32] • • • [4n2 - (4k - l)2] ir=i (2 k ) ! 26k z~k

(47)

(48)

- * í " 1)* í4” 2 - 121 í4” 2 - 32] • • • [4n2 - (4k - 3)2](2 k — l ) ! 26k“3z2lc_1

Esta es válida para grandes valores de \z\ tal que — x < arg z < x.

3. La fu n c ió n e rro r

erf (z) = e~*dt ~ 1 + ± (-1)»y 77 *^0 7T k = l Z

Este resultado es válido para grandes valores de \ z \ tal que — x/2 < arg z < x/2. Para x / 2 < arg z < 3x/2 el resultado es válido si remplazamos z por — z a la derecha.

4. La in te g ra l exponencia l

e í(* , = - e - i t m i ml k = o Z

Este resultado es válido para grandes valores de z tal que — x < arg z < x.

La integralr " rlt

z = |fc| < 1 (50)J0 y / ( l - t 2) ( l - k H 2)

se llama una integral elíptica de primera clase. La integral existe si w es real y tal que |u>| < 1.Por prolongación analítica podemos extenderla a otros valores de w. Si t = ser 0 y w = sen <J>,la integral (50) tom a una forma equivalente

X* dO(51)

\ / l - fe2 sen2 0 donde a menudo escri Dimos <> = am z. vSi k = 0, (50) se convierte en z = sen ' 1 w o, equivalentemente, w = sen z. Por

analogía, denotamos la integral en (50) cuando k ^ 0 según sn- 1 (w; k) o brevemente sn- 1 w cuando k no cambia durante una discusión dada. En este caso

FUNCIONES ELIPTICAS

2 = sn " 1 wX w dt

; (52)l/M - _ 1.2/21Jo \ / ( l - t2)(l - k2t2)

Esto conduce a la función w = sn z que se llama una función elíptica o algunas veces, una función elíptica jacobiana.

Por analogía con las funciones trigonométricas, es conveniente definir otras funcioneselípticas cn 2 _ y/ 1 — sn2z , dn z = \ / l — k2 sn2 z (5 3)

Otra función que se utiliza algunas veces es tn z = (sn z) / (en z).La siguiente lista muestra varias propiedades de estas funciones.1. sn (0) = 0, en (0) = 1, dn (0) = 1, sn ( - 2) = —sn 2, en (—2) = en 2, dn (—2) = dn 2

2. 4 - sn 2 = en z dn z, - j - en 2 = — sn 2 dn 2, 4* dn 2 = — fe2 sn 2 en 2dz dz dz3. sn 2 = sen (am z), en z - eos (am 2)

4 sn (Z\ + Z<¡) = s n Zi C u *2 u n *2 t c u *1 u n *1 s u ¿2 ( 5 4 )sn z i en 22 dn 22 + en Z\ dn 2 i sn 221 - k2 sn22 t sn2 22

c n 2 i en 22 -- sn 2i sn 22 dn Z\ dn 221 - k 2 sn2 2i sn2 22

dn 21 d n 22 — k? sn 2 i sn z 2 en Z\ en 221 — k2 sn22 i sn222

en (zi + Z'i) — i *1 ¿i i 1* *2 oh ¿1 sn ¿2 un ¿i un ¿2 (55 )

(56)

Estas son las llamadas fórmulas de adición para las funciones elípticas.

5. Las funciones elípticas tienen dos períodos, y por esta razón, se llaman a menudo, funciones doblemente-periódicas. Escribamos

K - p dt _ r n d94 a/ ( 1 - ñ ( l - k2t2) 4 v /l - fc2 sen2 0

Jr*1 d t r *'-2 dO— ■ = = —- (58

o V (1 - t2)(l - fc'*t2) 4 v /l “ k ,2serf 0

donde k y k ’ , llamados los módulos y módulos complementarios respectivamente, son tales que k ' = \ / l — k2. Entonces los períodos de sn z son 4K y 2 i K ' , los períodos de en z son 4K y 2X + 2 iK ', y los períodos de dn z son 2X y M K '. Se deduce que existe un conjunto periódico de paralelogramos (a menudo llamados paralelogramos de período) en el plano complejo en el cual los valores de una función elíptica

278 T E M A S E S P E C I A L E S ¡CAP. 10

se repiten. El más pequeño de éstos, es a menudo mencionado como una celda unidad o brevemente una celda.

Las ideas anteriores, se pueden ampliar a otras funciones elípticas. De este modo, existen integrales elípticas de segunda y tercera clases definidas respectivamente por

2 = 1 ~_k2¿ ' dt = J p V i ~ fc’sen20 do (59)

__________ dt___________ _ p dOX Í1 4- »/2U/(1 — /2W1 _ 1*2,2\ X(1 + nf2)V (l — í2)( 1 — k2t2) o (l + n sen2 0)V i — A;2sen2 0 m

P r o b l e m a s r e s u e l to sPROLONGACION ANALITICA1. Sea F(z) analítica en una región % y suponga

mos que F(z) = 0 en todos los puntos sobre un arco PQ dentro de % (Fig. 10-6). Probar que F(z) = 0 a lo largo de %.

Elegimos un punto, digamos zq, sobre el arco PQ.Entonces en algún círculo de convergencia C con centro en z0 (este círculo se extiende por lo menos a la frontera de H donde una singularidad puede existir), F{z) tiene un desarrollo en serie de T aylor

F(z) = F(z0) + F ’(z0)(z - z0) + £F "(z0)(z - 20)2 + • • •

Pero, según hipótesis F (z 0) = F '( z 0) = F f , (z0) = • • • =0. Por esto, F(z) = O dentro de C.

Eligiendo otro arco dentro de C, podemos continuar el proceso. De esta m anera podemos dem ostrar que F(z) = 0 a lo largo de %.

2. Dado que la identidad sen2 z + eos2 z = 1 es válida para valores reales de z, probarque ella también es válida para todos los valores complejos de z.

Sea F(z) = sen2 z + eos2 z — 1 y sea % una región del plano z que contiene una porción del eje * (Fig. 10-7).

Puesto que sen z y eos z son analíticas en %, se deduce que F(z) es analítica en %■ Además, F(z) = 0 sobre el eje x. En consecuencia, según el problem a 1, F(z) = 0 idénticam ente en %, lo cual dem uestra que sen2 z + eos2 z - 1 para todo z en %. Como % es a rb itraria , obtenem os el resultado que buscamos.

Este m étodo es útil, para probar para valores complejos, muchos de los resultados válidos para valores reales.

Fig. 10-7 Fig. 10-8

10| T E M A S E S P E C I A L E S 279

Sean Fi(z) y F2(z) analíticas en una región ‘ (Fig. 10-8) y supongamos que sobre un arco PQ en F,(z) = F2(z). Probar que F,(z) = F2(z) en 9?.

E sto se deduce dei problem a 1 escogiendo F(z) = F¡ (z) — F 2 (z).

Sea F¡(z) analítica en la región % í (Fig. 10-9) y sobre la frontera JK L M . Supongamos que podemos encontrar una función F2(z) analítica en la región y sobre la frontera J K L M ta l que F 1 (2) = F2(z) sobre J K L M . Probar que la función

| F\ (z) para t e n^ (z) - j ^ para z en ^

es analítica en la región % la cual está compuesta de cR l y CI{2 (escrito algunas veces ‘K = % + % ).

Método I.E sto se deduce del problem a 3, puesto que, puede haber solam ente una función F 2(.z) en satis

faciendo las propiedades buscadas.

Método 2. U tilizando fórm ulas integrales de Cauchy.Construim os la curva simple cerrada S L T K S (punteada en la figura 10-9) y sea a un punto del

interior. De la fórm ula integral de Cauchy, tenem os (puesto que F 2(z) es analítica dentro y sobre L T K L y ya que F 2(z) = E(z) sobre L T K )

p / r 1 f f i W , i r F(z) , 1 r F(z)r 2 (a) = — <b dz = I — — dz + tt—r I — dz2jtí .7 z — a 2ni J z — a 2irt J z — al t k l l t k k l

Además, tenem os según el teorem a de Cauchy (puesto que F¡(z) /(z - a) es analítica dentro y sobre K S L K y ya que F t {z) = F(z) sobre K S L )

o = h $ — dz = ' r M é + i f z ( i dz2irt J z — o 2jr» J z — a 2wt J z — a

K SL

F¡(z) = F 2 (z ) sobre L resto que f ( o ) = F 2(a',

F(«) = <f —^ - d z2« J z - o

KSL LK

Sum ando, utilizando el hecho que F(z) = F¡(z) = F2(z) sobre L K de modo que las integrales a lo largo de K L y L K se cancelen, se tiene puesto que F(a) = F 2(a)

De una m anera sim ilar encontram osf(n)(o) = — dz

2r i J ( z - o ) " + iLTKSL

de modo que F (z) es analítica en a. Pero, puesto que podemos elegir o como cualquier punto de la región % m odificando convenientem ente el contorno punteado de la figura 10-9, se deduce que F(z) es analítica enMétodo 3. U tilizando el teorema de M orera.

Refiriéndonos a la figura 10-9, tenemos

<f F (z )d z = f F(z) dz + j " F ( z )d z + j F(z) dz + f F(z) dzK S L T K K S L L K k l LTK

= £ F¡ (z) dz 4 £ F 2 (z) dz = 0

según teorema de Cauchy. Siendo asi, la integral alrededor de un camino simple cerrado en ^ es cero,y así, según el teorema de M orera F(z) debe ser analítica.

La funciún F 2{z) se llam a una prolongación analítica de F j(z).

5. (a) Probar que la función deñnida por F, (z) = z — z2 + z 3 — z* + •• • es analítica enla región \z\ < 1. (b) Encontrar una función que represente todas las prolongacionesanalíticas posibles de F t (z) .(а) Según el criterio del cociente, la serie converge para |z| < 1. Entonces, la serie representa una

función analítica en esta región.(б) Para \z\ < 1, la suma de la serie es F 2 &) = z / ( 1 + z). Pero esta función es analítica en todos

los puntos excepto z = —1. Puesto que Fz(z) = Fi(z) dentro de \z\ = 1 es la función buscada.

6. (a) Probar que la función definida por F¡(z) = ) V'e~’t d t es analítica en todos los-'a

puntos 2 para los cuales Re {2} > 0. (b) Hallar una función que es la prolongación analítica de F¡(z) en el semi-plano Re {2} < 0.(o) Integrando por partes, tenemos

J t3 e ~ z , d t = lim f t3 e ~ “ d t0 M-«

- <3t2>(90 + - (6)( ^ ) }f 6 3M*e~Mz 6M e~M* 6 e ~ M*lim < - j —u _ 2 4M -« oo I 2 Z Z ¿ Z 2T»

= ^ si Re {z} > 0

(6) Para Re {z } > 0, la integral tiene el valor F 2(z) = 6 /z t . Pero esta funciún es analítica en todos los puntos excepto en z = 0. Puesto que F 2(z) = F \(z ) para Re {z} > 0, vemos que F 2(z) = 6 /z* debe ser la prolongación analítica buscada.

PR IN C IPIO DE R EFLEX IO N DE SCHWARZ7. Probar el principio de reflexión de Schwarz (ver página 266).

Referente a la figura 10-4. Sobre el eje real (y = 0) tenemos F¡ (z) = F¡ (x) = F¡ (x) = F¡ (z). Entonces según el problema 3 tenemos únicam ente que probar que F , (z) = F¿ (z) es analítica en

Sea Fj(z) = U \ ( x , y ) •+■ i V i(x ,y ) . Puesto que ésta es analítica en I t , (o sea y > 0), se tiene según las ecuaciones de Cauchy-Riem ann,

at/, _ av, av, _ dU,dx ~ dy ’ dx ~ dy

donde estas derivadas parciales son continuas.

(I)

Ahora F , (z) = F ¡ ( x - i y ) = t / , (x, - y ) + 1' V, (x, - y ) , y así F , (z) = U¡ (x, - y ) - i V, (x, - y ) .Si ésta es analítica en ^ 2 debemos tener para y > 0,

¡>U, = f ^ i ) a(~Vi) = 3Ut (2)dx d(—y) ’ dx a(—j/)

p . . . . a ( - v , ) a v , a(—v ,) a v , d U , a t / ,Pero éstas son equivalentes a (I), puesto que — — - -----. -------- — ----------y ----------- = ---------.

d{—y) dy dx dx d ( - y ) dyPor tan to , el resultado buscado se deduce.

PRODUCTOS IN FIN ITO Sce

8. Probar que una condición suficiente y necesaria para que (1 + \W k \ ) converja, es que 2|wit| converge. k=1

Suficiencia. Si x > 0, entonces 1 + x S ex así que

Pn = Í M l + K I) = (l + |i»il)(l + K I) - - - (H -K |) S e1" '1*1"»1. . . e1"*1 = el“’i| + '“i1 r • • • + |u),i

acSi 2 |**J converge, se deduce que P n es una sucesión acotada m onótona creciente y así, tiene

k = lOO

un límite, es decir, I I (1 + l^k1)* converge. k=l

nNecesidad. Si S n = 2 |wk|, tenemos

p n — t t + lw il)(l + M ) ’ • ‘(1 + lwnl) = 1 + K l + |to2| + ••• + |ti;n| = 1 + S n ií 1

Si lim P n existe, es decir, el producto infinito converge, se deduce que S n es una sucesión acotada n“* 00 00

m onótona creciente y así, tiene un límite, es decir, 2 l^kl converge.

CAP. 10) T E M A S E S P E C I A L E S 281

00 / Z 2\9. Probar que - converge.

z2 \z\2 1Sea w k = — ^ • Entonces |wfc| = y 2 \wk \ — \z\2 2 ^ converge. Por tan to , según el

problem a 8 , el producto infinito es absolutam ente convergente y de tal modo convergente.

10. Probar que sen* = * ( i - f ¡ ) ( l - ¿ ) ( l - • • • = * j j ( i - £ ) .

Del problem a 35, capítulo 7, tenemos

■ - m i ; - '■(“ )

■ X ( ¡ ^ + ¡r? !C í + " ' ) *

• = to . n , ( ‘ - é )

Entonces sen z = z n [ 1 — I •fc = l \

LA FU N CIO N GAMMA

11. Probar que F(z + 1) = z r(z ) utilizando la definición (4), página 268. Integrando por partes, tenem os si Re {2} > 0,

I'(z + 1 ) = f t z e ~ ‘ d t = lim ( t*K~, d tJ 0

= lim < (t*)(- e - ‘)M — OO

= Z»70

M M 1- I (ztz - ' ) ( - e - ‘) d t \

0 *0 )

I t* - 1 e ~ l d t = ! ] ’(:)

12. Probar que r(m) = 2 f x 2m~' e~z' dx, m > 0.J o

Si t = x%, tenemos

r ( m ) ( t m~ ' e ~ ‘ d t = ( (a;2)"*-' e - * ' 2 x d x = 2 Í *2m - 1 e ~ *' dxJ 0 * ' q

El resultado tam bién es válido si Re {m} > 0.

13. Probar que r ( z ) r ( l - z ) = senrzPrim ero lo probamos para valores reales de z ta l que 0 < z < 1 . Por prolongación analítica,

podemos entonces ampliarlo a otros valores de z.

Del problema 12, tenemos para 0 < m < 1,

r(m)r(l-m) = j2j v' e-»'dy— 4 i i 1 y l - 2m q — <** + v*) d x d y

E n térm inos de coordenadas polares (r, 0) con x = r cos 0, y = r sen 0 esto se convierte en

Í-w/2 /»*/2I (tan 1 "2m 0)(re~r?) dr de = 2 1 t a n l ~ 2m0 d$ = oQ_'

9=0 ■ 'r-o J o sen iwutilizando el problema 20 , página 186, con x = ta n 2 0 y p = 1 — m.

14. Probar que r(4) = 2 f e du = y/ñ.o

Del problem a 12, siendo m = 4 . tenemos

m ) = 2 ( e _ I* dxo

Del problema 13, siendo z = 4- tenemos

{r(4»2 = v O r<4) = V?puesto que r (J ) > 0. De este modo, el resultado buscado se deduce.

Otro método. Como en el problema 13,

{r<4>}2 = | 2 J ‘“ dat| | 2 J ' ” e -v 1

JOO ,.«0 s*ir/2 /*«>i e- ( I , + »!) d x d y = 4 I I e ~ ' 2 r d r d t = v

o •'O ^ 9=0 r=0de lo cual r(4> = V í-

15. Por aplicación de la prolongación analítica, demostrar que r ( - 4) = — 2y/ñ.Si Re {2} > 0, r(z ) está definida por (4), página 268, pero esta definición no puede ser aplicada

para Re {2} £ 0. No obstante, podemos aplicar la fórm ula de recurrencia P(z + 1) = 2 P(z), que es válida para Re {2} > 0; am pliar la definición para Re {2} á 0, o sea, ella provee una prolongación analítica en el lado izquierdo del plano.

Sustituyendo z = — 4 en T(z + 1) = z r(z ) , hallamos r<4) = — 4 r (— 4* 0 r ^— h \ =aplicando el problema 14.

16. (a) Probar que r(z) = r(z + w + l ) --------z(z + l)(z + 2) • • • (z + n)

(6) Aplicar (o) para demostrar que T(z) es una función analítica excepto para polos simples en el semi-plano de la izquierda z = 0, —1, —2, — 3,. . ..

(а) T e n e m o s l’(z + 1) = z r(z), l’(z + 2) = (z + 1) r ( * + 1 ) = (2 + l)z r(z), r ( * + 3) = (2 + 2) r(z + 2) = (2 + 21(2 + 1)2 r (2) y, e n g e n e ra l , 1*(2 + n + 1) = (2 + n )(2 + n — 1) • • • (2 -I- 2)(2 + 1)2 r (2) d e lo c u a l , el re s u l ta d o b u s c a d o se d e d u ce .

(б) Sabemos que P(z) es analítica para Re {z} > 0, de la definición (4) página 268. Además, del resultado en (a) es claro que T(z) está definida y es analítica para Re {2} 2 — n excepto para los polos simples en z = 0, —1 , —2, • • • , —n. Puesto que este es el caso para cualquier entero n positivo, el resultado buscado se deduce.

17. Utilizar el teorema del factor de W eierstrass para productos infinitos (ecuación (2), página 268) para obtener el producto infinito para la función gamma (propiedad 2, página 269).

Sea f(z) = 1 /V(z + 1)- Entonces f(z) es analítica en todas partes y tiene ceros simples en z = — 1, —2, —3, • • • . Según el teorem a del factor de W eierstrass, tenemos

------= f l f i + ± \ ,■’(* + 1) Icül \ *■)

Para determ inar /'(O ), sea 2 = 1. Entonces, puesto que T(2) = 1, tenemos

... XM= cr<o» lim n ( 1 + t ) « l/kM-* * Ic = 1 \ « /

Tom ando logaritmos, vemos que

/,<0) = JiV-lí + 1 + i + + b ~ In[ ( 1 + r)(1 + t í ' " ( 1+^

= Á™ I 1 + I + \ + ••• + h - >»*} = >donde y es la constante de Euler. Entonces el resultado buscado se deduce notando que r(z + 1 )2 r(2).

LA F U N C ir 'l BETA18. Probar quo B (m ,n ) = B (n ,m ).

Haciendo í = 1 — u,

B ( m , n ) = í fm -i (i _ t)« - i dt = í (1 — u )m~ 1 1 du = B (n ,m )Jt¡ -'o

s%ir/2.19. Probar que B (m ,n) — 2 \ sen2™-1 6 eos2"-1 6 do = 2 cos2m “ 1 0 sen 2n~ '6 d 0 .

J f*n/2 s+v/2| sen2"1-1 0 eos2"-1 8 dd = 2 ) eos2”1-1 0 sen:

0 0~ a t = sen2 8. Entonces

/-•l 2»7>/2B {m ,n ) — I t m~ l (1 — t )n~ 1 d t = I (sen2 * )m_1 (eos2 0)n_1 2 sen e eos 6

* 0 *'nde

o

J' tr /2 /^ít/2

sen2m“ 1 e cos2"~ 1 e de = 2 I cos2m ' 1 e sen 2 ,1 -1 e dt

según el problem a 18. 0 0

. Probar que B ( m , n ) — C t m~ x (1 — t )n~{ d t = r (m ) r ( ? )M J 0 T(m + n)

Del problem a 12, tenemos, trasform ando a coordenadas polares,

r(m ) T(n) = 1 2 ( x 2m~ l e ~ x* d x \ [ 2 ( y 2n~ 1 e ~ y7 d y ll J o J L *'o J

= 4 í | x 2m~ 1 y 2n~ 1 e ~ (xi + yí) d x dy^ 0 *’o

Í-»7T/2 ✓»«

I (cos2m 1 e sen 2" - ! e)(r2m*'2n~ 1 e ~ rí) d r de 8=0 r = 0

! j C0s 2 m ” * 8 s e n 2 n ~ 1 e de l J j r 2(m + n ) - l e ~ T* ,

20

= B (m , n) r(» t + »)

donde hemos utilizado el problem a 19 y el problem a 12 con r rem plazando a í y m + n remplazando a m. De esto, el resultado que se buscaba se deduce.

284 T E M A S E S P E C I A L E S | CA P. 10

J f2 s*tt/2| y/x(2 — x) dx, (b) j y/tan $ dO.0 •'O

(a) Haciendo x — 21, la integral se convierte en

,3/2)( \/4*<l - t) 2 d t = 4 í f '* ( l - O1' 2 di = 4 8(3/2 ,!•7o • o

_ , l'(3/2) r(3/2) = 4 (J \^ ) ( .J V ^ ') _ ,r(3) 2 2

,•”'2 ,-:r/2(6) I \¡tan 8 de = j sen 1/2 8 eos ' 1/2 8 de =

• o -"o

= -V r(í) r(i) = - — -— =2 U 4 ' 2 sen (ff/4) 2utilizando los problemas 13, 19 y 20.

22. Demostrar que J ' y3'2 (16 - y2)1'2 dy =

Sea y 2 = 16í, es decir, y = 4É1/ 2, dy — 2 _1/2 Entonces la integral se convierte en

( {8f3/4}{4(l — t)1/2}{2t~1/2 dt} = 64 í t1/4(l - t)''*dt• a *n

= 64RÍ5Í1 = 64 r <*> r(Í> = “ (i) r <t> <Í> r <*>(4,í) r(V) j - f r ( j )

1 2 8 v ^ r(J) _ 128v7í (I'(J))2 _ 64 [221 r(J) 21 r(J) r(f) 21 \ * ' (*,í

u til iz a n d o el h e ch o q u e r ( J ) I ' ( | ) = u-/[sen(jr/4)] = v \ f í (v e r p ro b le m a 13).

ECUACIONES D IFEREN CIA LES23. Determinar los puntos singulares de cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales

y especificar si ellos son regulares o irregulares.

(o) z 2Y ” + z Y ' + (22 - n 2)Y = 0 o Y " + ^ Y ’ + ( 2 ~i n 2 ' j Y = 0.

/ z 2 — n 2 \2 = 0 es u n p u n to s in g u la r . P u e s to q u e 2(1 / z ) = 1 y z2 í 5— ) = *2 ” 1x2 80n a n a l í

t ic a s e n 2 = 0 , es u n p u n to s in g u la r re g u la r . ' '

(b) (* - i)<y" + 2< z - ípY ' + y = 0 o y " + —— y ' + — -— y = o.z - l (z — !)•»

En el punto singular z • 1, (z — 1) — 2 es analítica pero

(z - l )2 • ---- ---- =----- -----( 2 - 1 P ( Z - l ) 2

no es analítica. Entonces 2 = 1 es un punto singular irregular.

(c) z2(l - z ) Y " + Y' - y = 0 o Y " + —— -----Y ' --------- — y = oz2(l — z) z2(l — z)

En el punto singular z = 0, z {^T j} = 7(1=7) y ** {z^T )} = T=7

ambas analíticas. Por esto, 2 = 0 es un punto singular irregular.

En el punto singular z = 1 , ( z - l ) • 2) j = "¡T . y <* _ 1)2 | 22(1 J ^ j j

ambas son analíticas. En consecuencia, 2 = 1 es un punto singular»regular.

-1 no son

z - l«2

CAP. 10| T E M A S E SP EC I A1 .ES 285

24. Encontrar la solución general de la ecuación diferencial de Besselz2Y " + zY ' + (z2- n 2)Y = 0 donde n v6 0, ±1, ±2, . . .

El punto z = 0 es un punto singular regular. Por tan to , hay una solución en serie de la forma

Y = 2 Olí**1* ' donde ak = 0 para k = —1, —2, —3 , . . . . PoAdiferenciación, omitiendo Josk = — oc

lim ites de sumacidn, tenemos

Y' = i ( k + c)ak zk * r - i ¡ Y " = 2 (k + c)(fc + c - l ) a * * * + «-*

Entonces z2Y ” = 2 (fe + c)(k + c — 1) ak zk *■'

z Y ' = 2 (fe + c) ak zk + c

(z2 — n2) Y = 2 « i t k t f * 2 — 2 *** 1, sk + c= 2 a k _ 2 « k + c — 2 » 1 » ! , j 1 * '

Sum ando, z* Y " + z Y ’ + (z2 - n2)Y = 2 {[(k + c)2 - n2] ak + ok- 2> z k + r = 0

de lo cual obtenemos , .[(& + c)2 — n2] a k + a k _ 2 = 0 (i)

Si k = 0 , (c2 — n 2)a0 = 0 ; y si a0 0 , obtenem os la ecuación característica c2 — n 2 = 0 con raíces c = ± n.

Caso 1: c = n.

De (i) , [(A: + tt)2 — n2| ok + a k _ 2 = 0 o k(2n + k) ak + ak _2 = 0.

Si k = 1, Oí = 0. Si k = 2, a.¿ = — ° . Si A = 3, 03 = 0 . Si fe = 4, a 4 =2(2n + 2 ) ' ’ 1 ’ ' 1 4(2n + 4)

“o „ , etc. Entonces2 • 4(2n + 2)(2n + 4)

Y = 2 ok + c - a zn J 1 _ El + ------------- í í -------------- _ . . . l (2)k [ 2(2n + 2) 2 • 4(2n + 2)(2n + 4) J v

Caso 2; c - —n.El resultado obtenido es

Y “ a° Z " j 1 2(2 - 2n) + 2 • 4(2n + 2)(2n + 4) <3)el cual se puede obtener form alm ente del caso 1 rem plazando n por —n.

La solución general si n ^ 0, ± 1 , ± 2 ,. . . está dada por

2*r " - S S T i i + 2 • 4(2n + 2)(2n + 4)

+ B r » i l -------- + ^ ---------- _ . . . . (4 )\ 2(2 - 2n) 2 • 4(2 - 2n)(4 - 2n) j

Si n — 0, ± 1 , ± 2 , . . . se obtiene únicam ente una solución. Para hallar la solución general en estecaso, debemos proceder como en los problemas 175 y 176.

Puesto que la singularidad m ás cercana a z = 0 está en el infinito, las soluciones deben converger para todo z. E sto se dem uestra fácilmente por el criterio del cociente.

SOLUCION DE ECUACIONES D IFEREN CIA LES PO R IN TEG RA LES DE CONTORNO25. (a) Obtener una solución de la ecuación z Y " + (2n + 1)Y ' + z Y = 0 que tiene la

forma Y — ® e*1 G(t) dt. (b) Haciendo Y = z 'U y eligiendo la constante r apropiada- J c

mente, obtener una solución integral de contorno de z2U " + zU ' + (z2 — n2)U = 0.

(a) Si y = é e*<G(t)dt, hallamos Y ’ = <f> te“ G(t) dt, Y " = <£ t2 c* 'G ( t )d t .• V* K r »7/~

Luego integrando por partes, suponiendo que C se elige de modo que los valores funcionales en los puntos P , inicial y final, sean iguales (y la parte integrada es cero), tenemos

zY = <t zc * 'G ( t )d t = c‘< G(t) I** - áj> e * 'G ' ( t )d t = - <f> e*<G'(t)dt•’c Ip • c * c

(2n + 1)V" = <j> (2n + l ) t c ‘' G ( t ) d t

z Y " = á> z t2 c=< G(t) d t - (í) (ze*‘){t2 G(t)} d t• r J c

e” U2 W ) ¡ I - i <•*' {t2 G ( t ) ) 'd t I p * 'c

- <j> e« {t2 G(t)) ' i' dt

De este modoz Y " 4- (2w 4 1)V" 4- z Y = 0 = c*< [ -G ' ( t ) + (2ti 4- 1 )t G(t) - { t2 G(t)}'\ dt

•'cEsto se satisface si escogemos G(t) de modo que la función del integrando es cero, o sea,

- G ' ( t ) + (2w + l)fG (t) - {t2 G(f)}' = 0 o G'(t) = (2” ~ G(0t¿ -r 1

Resolviendo, G(t) = A (f2 + donde A es una constante. De aquí, una solución es

Y = A ® e“ (f2 + l ) n - i / 2 dt•*c

(6) Si y = z 'U , entonces Y ' = z ' U ’ + r z ' ~ l U y Y " = z ' U " + 2 r z ' - l U ' + r(r - 1 ) z '~ 2U . Por tan to

z Y " + (2n + 1)Y' + z Y = z ' + W ” + 2 r z 'U ' + r ( r - \ ) z r~ ' V

+ (2n + l ) z ' W + (2m + l ) r z ' ~ l U + z ' + 'U

= z* +* V" + [2rzr + (2h + l)zr]l7'

+ [r(r — l)zr~ 1 + (2n + l) rz r~ 1 + z r + ' \ U

La ecuación diferencial dada, es en este caso equivalente a

z W " + (2r + 2n + \ ) zU ‘ + [z2 + r 2 + 2nr] U = 0

Haciendo r = - n, esto será z 2U " + z U ’ + (z2 — n 2)l7 = 0.Por tan to , una solución integral de contorno es

U = z " Y = A z ” ® e * '( f 2 + 1) " ~ ,/2 d t • 'c

26. Obtener la solución general de Y " — 3 Y' + 2Y = 0 por el método de integrales de contorno.

Sea Y = (X> e*<G(t)dt, Y ' = <j> te!i G ( t )d t , Y" = <á> t2 e* 'G { t)d t . Entonces • c •<: • c

Y" - 3Y' + 2 Y = ® e*< (t2 - 3< + 2) G<0 d t = 0• c

se satisface si escogemos G(t) = l / ( t 2 — 3í + 2). De esto

Y = <f> ----- — -. V t2 - 3 t +

- dt2

Si elegimos C de modo que el polo simple t = 1 esté dentro de C m ientras que t = 2 está fuera de C, la integral tiene el valor 2xte-\ Si t — 2 está dentro de C m ientras que t = 1 está fuera de C, la integral tiene el valor 2 xie2\

La solución general está dada por Y = A e : + B e 2'.

CAP. 10| TEMAS ESPECIALES 287

27. Probar que zJ„ i(z) - 2nJ„(z) + zJ„ + i(z) = 0.Diferenciando con respecto a t ambos lados de la identidad

ev4t(t izo = 2 •/„(*)<" mresulta » - - «

o sea, 2 xt«/w(ar) f11 + 2 z J „ ( z ) t n~ 2 — 2 2n J n (z) fn " 1«■=—» n = — ’s. n = — x

Igualando coeficientes de ¿n en ambos lados, tenemosz Jn(z) -I- zyilf2(j) = 2(n + 1) t j(z)

y el resultado que se busca, se deduce rem plazando n por n — 1 .Puesto que hemos utilizado la función generadora, el resultado anterior se establece únicam ente

para valores enteros de n. El resultado tam bién es válido para valores no enteros de n (ver problema 114).

28. Probar J n(z) = ^ t ~n“ 1 e'/iZit~x/t) dt, donde C es una curva simple cerrada que

encierra t — 0.Tenemos 1/*> = 2 J nx( z ) t m

ni = — *

X

de modo que í ~ ~ 1 eV4«(c-i/r) = 2 t m n l J tn(z)ni = — x

y ® t " -« eV4=<»-1/«) ¿ 7 m(r) ® n ' d t (i)« 'C ni = — x « /p

Ahora, según los problem as 21 y 22, capítulo 4, tenemos

<£(■» » w t = { 2r¿ s i 'n = n• 'c [ 0 si m n

De este modo, la serie a la derecha de (I) se reduce a 2n : iJn{z), de lo cual, el resultado buscado sededuce.

FUNCIONES DE BESSEL

29. Probar que si a ^ b,

C t J J a t ) J J b t) dt = z [ a ln (bz)j;(az) - bJ„ (az)j:(bz)) *20 l/2 — a2

Yi = J„(at) y y> = J n(bt) satisfacen las ecuaciones diferenciales respectivas

(/) f 2 Y " + t Y¡ + (a 't- - «2) Y , = 0

(2 ) t- Y2' + t Y!, + (fc-’t- - «2) Y2 = 0M ultiplicando (1) por Y ,, (2) por Y1 y restando, hallamos

<2<Y.2 Y," - Y, Y*') + t ( Y , Y,’ - Y, Y¿> (6* — o2)f2 Y , Y2

E sto se puede escribir . d

dt (Y2 Y¡ - Y, Yj) + (Y , Y,' - Y, Y2) = (b- - a 2)t Y, Y,

o ^ { f ( Y 2 I 'j — Y, Yj)} = (62 - o2)/ Y, Y2

Integrando con respecto a t desde 0 a 2 resulta

(62 - a 2) C t Y, Y2 d t = f(Y, Y ¡ - Y, Y2! j*• o lo

o, puesto que a ¡2 o

f f J„ (ao y.(M ) d t = z { a J J b z ) (a^ l M >6 - - n 2

FU N CIO N ES DE LEGENDRE

30. Probar que f P m (z) Pn (z) dz = 0 si m ^ n.

Tenemos (1) (1 — z 2) P'„', — 2z P'„, + m (m + 1) P m — 0

(2 ) < l - z 2)P'„' - 2zP'„ + n ( n + l ) P „ = 0

M ultiplicando (I) por P n, (2 ) por P m y restando, obtenemos,

(1 - z2){/>„ P " - P m P'n' } - 2z{P„ P'm - P m P 'J = < n (n + l) - m (m + l ) ) P n P n

lo cual puede escribirse ^

(1 - z2> ¿ {P„ P'm - P m P'„} - 2z { P n P ’m - P m P 'n} = {n(n + 1) - m (m + 1)} P m P n

¿ { ( 1 - z2 ) (P „ P 'm - P m P'„)} = <«<» + ! ) - m(m + l)> P mP„

Integrando desde —1 a 1, tenemos

{n (n + l) - m(m + l)} f P m(z) P J z ) dz = (1 - z 2)(P„ P'm - P m P'„) | ‘ = 0l-i

de lo cual, el resultado buscado se deduce, puesto que m ^ n.

El resultado se llama a m enudo el princ ip io de ortogonalidad para polinomios de Legendre y decimos que los polinomios de Legendre form an un conjunto ortogonal.

31. Probar que P m(z)P„(z) j 2dz = ñ— t t si m = n. 2w + 1Elevando al cuadrado ambos lados de la identidad,

1. = 2 P„<*X"V I —2 z t + t 2 S = 0

1 - 2 2 P m (z )P „ (z ) + "obtenemos 1 — 2zt + t2 m = on = o

Integrando desde —1 a 1 y utilizando el problem a 30, hallamos

J ’ i - a t t + l 2 = A nlojj^

2 Í <P„n = 0 IV-i(Z)}2 d z > ¿2n

Pero el lado izquierdo es igual a

^ ' n d —2 ^ ‘2) [ , = 7 ' " ( t^ ) = n lo í l^ T l} <2n

(1)

(2 )

utilizando el problema 23 (c), capítulo 6 . Igualando coeficientes de í2n en las series (1) y (2) tenemos el resultado que buscamos.

32. Probar que ( n + 1) P„ +1 (z) — (2n + l)z P „ (z ) + nP„ i (z) = 0.Diferenciando con respecto a t ambos lados de la identidad

, 1 = 2 P M <"V I —2 z t + t 2 "=o

tenemos hrh w-* = XnPJZ)

Luego m ultiplicando por 1 — 2zt + í2, tenemos

(z - t) 2 P„(z) t" = ( 1 - 2 ¡l + í’l i n P . W i - - 'n = 0 n = 0

o 2 z P „ ( z ) f - 2 P J z ) t"+‘ = 2 « P . W i ’ - ' - 2 2 rtzP „ (z )t"n —0 n — 0 n = 0 n = 0

+ 2 *i p „<í ) t- + 1n~0Igualando coeficientes de t B en cada lado, obtenemos

zP „(z) - P „_ ,(z ) = ( n * l ) P „ + 1 (z) - 2 n z P J z ) + (n - 1 ) P n- ,(z )

lo cual conduce al resultado buscado al simplificar.

LA FUNCION H IPER G EO M ETR IC Asen-1 z33. Dem ostrar que F( 1/2,1/2; 3/2; z2) = z

Puesto que F(a, b ; c; z) = 1 + ~—- z + a a ^ z2 + • • • tenemos! • « 1 • 2 • c(c + 1 )

f 'f j /o j/o . 3 /0 . . 2) — j + (l/2)( 1/2) (l/2)(3/2)(l/2)(3/2)A (1/2, 1/2, 3/2, z ) + 1M3/2) + ! . 2 . (3/2)(B/2) *

. (1/2)(3/2)(5/2)(1/2) (3/2) (5/2) , . . . .1 • 2 • 3 • (3/2)(5/2)(7/2)

. I z 2 1 • 3 z4 1 • 3 • 5 z* _ s e n - l z2 3 2 * 4 5 2 * 4 * 6 7 " z

utilizando el problem a 89, capitulo 6 .

LA FU N CIO N ZETA06 1

34. Probar que la función zeta £(z) = ¡x es analítica en la región del plano z para lak — 1 *cual Re {z} ^ 1 + 5 donde 8 es un número positivo fijo.

C ada térm ino l / k z de la serie es una función analítica. Además, si x = Re {z) ^ 1 + 8 entonces,

k1 = ft1 + s00 |

Puesto que 2 1/fc1 +* converge, vemos según el criterio M de W eierstrass que 2 T i converge unifórmele ^ *

m ente para Re {z} g 1 + í. E n consecuencia, según el teorem a 21, página 143, t(z) es analítica en esta región.

EX PA N SIO N ES ASINTOTICAS Y EL M ETODO DEL PUNTO SILLA35. (a) Si p > 0, probar que

F(Z) = C e— j f = { 1 _ _P_ + H Í E + l ) ______ (—1 )" PÍP + 1) ■ • - (p + n — 1)' ; J z tp \ z '’ zp + 1 z”*2 ' ' ------------ ------------------

( - 1 )— p (p + 1 )* * * (p + » )

(b) Utilizar (a) para probar que

F•(,, = £ ' £ * - + . . . } = S(2)

es decir, la serie a la derecha es un desarrollo asintótico de la función a la izquierda, ta) Integrando por partes, tenemos

111 1 i\kz | \ e z , n k qX 1 n k

290 T E M A S E S P E C I A L E S | CAP. lü

r-> I ‘•dt= ( c— dt = lim (J , I"

( I*1= lim < ( - e - ,) ( f 'p) - I { - e - ' H - p t - f - ' ) d tM-« [ U -'z

e - « i e - í= - u r -

f u i .PJ , í"+>i r - p J ¿¡rndt = i r - p V .

Análogamente / p<l = — — (p 4-1) / , ,4-2 de suerte queJp + 1 II

T¿

e~*- p í —z*‘ P |z « 1yp = i r “ p 1 ¿ t t - + 2 zP + "

R ,(z) = F(z) - S„(z) = < -l)» + >p(p + l ) - - ( p + n) j

Ahora para reales z > 0,

|ft„(*)¡ = p(p + l ) - - ( P + «) j j ~ r i r f í S p ( p + l ) - - ( p + n) f d t

puesto que I e * dt á | e * d t — 1• ¡ *-’o

En este caso lim i z" ftn(z) | § lim ^ ^ ÍT..W) _ qÍ-* * 5 -♦ * Z

y se deduce que lim zn R n(z) = 0. Por tan to , el resultado que se busca está dem ostrado paraz — r

reales z > 0. El resultado tam bién se puede am pliar a valores complejos de z.

p(p + 1 ) • • (p + v)ZP + n + 1

1 * 1 1 = p(p + 1 )- ■ (p + n)/zPtn + 1 p + n1 "n 1 1 p(p + !)• • -(p + n — l)/zp+" 1*1

Obsérvese que ya que = i j j p r q - • t n)/2.......... = p ™ donde ^

es el n-ésimo térm ino de la serie, tenemos para todo z fijo, lim = 00 y la serie divergepara todo z según el criterio del cociente. »»-♦* I n I

36. Demostrar que r(z + l) ~ y / 5 ¿ * e - { 1 + ¿ + •

Tenemos V(z + 1) = I t* e ~ r dr. Haciendo t = zt, esto se convierte en

l'(z + l) = z* + 1 I t* e -** d t = z* + l ( e*(,n í - * ) d f (/)•7o «'o

lo cual tiene la forma (37), página 275, donde F(t) = ln t — t.

F ' ( t ) — 0 cuando t = 1. Haciendo t = 1 -f w hallamos, utilizando el problema 23, página 155,o de o tra manera, la serie de Taylor

F(t) — ln t — t = ln (1 + w) — (1 + re) — +-—---------------------- — 1 — w

_ i ^ _ ( * ~ 1)4 .2 3 4

- I >2/2 1 ” 1 ~ zí 1 ~ 1 )4/4 + (ff

> e * w * n - i l H / 4 4 rfM ,(2)

ir 1 w>4+ --- -------+3 4

.0=z* + 1 e

e•;üí '*z; 11 e

' 1 /

H a c ie n d o w — s j l ¡ z v, e s to s e rá

r(z+l) = f dv (3)\íZ F i

P a r a g ra n d e s v a lo re s d e z e l l im ite in fe r io r se p u e d e r e m p la z a r p o r — x , y d e s a r ro lla n d o la e x p o n en c ia l te n e m o s .*

T ( z + 1) — \ / 2 z z * , r i j e - ”* (1 + ( ÜV^2 z 1,2 v 3 — z~> v*) + • • •) d v (4)


r(z + i) - ^ 2pe-{i + ± - ^ ^ 3 + (5)

Aunque hemos procedido antes en una m anera formal, el análisis se puede justificar rigurosamente.

Otro método.

Si F(t) - + = - l - „ 2, entonces2 3 4

= <*-D2 _ « - P 3 + ...2 3

invirtiendo la serie o utilizando el hecho que F(t) = ln t — t, hallamosd t /— \/2 \Í2— — i>0 + *>1“ + M 2 + ••• = v 2 + — U2 + — M4 +( l u o ¿ I b

Entonces, de ( 41) , página 276, encontram os

P(z + 1) ~ z-.emni-njva + |4|(^|)¿+ •••}

r(z + D - V 2 7 ~ z z ' e - ' { l + ^ + ¿ _ + . . . }

Obsérvese que, como F " ( l ) = —1 , hallamos, utilizando (42), página 276,

l’(z + 1 ) ~ y/2j z z’ e~ ‘

el cual es el prim er térm ino. Para muchos propósitos, este primer térm ino provee suficiente exactitud.

FUNCIONES ELIPTIC A Sd d37. Probar, (a) ^ sn z — en í dn 2, (6) ^ en z = — sn z dn z.

C w dtPor definición, si z = I......................... .....— — , luego w = sn z. E n consecuencia

x/fl —

(а ) -T-(snz) = = 1 /(dz/dxv) = V (1 — w 2) ( l — k 2w 2) = en z d n za z a z

(б) — (enz) = — ( l - s n 2 z)>'2 = l ( l - s n 2 z) >'2 — ( - sn2 z)d z d z ‘ d z

= J (1 — s n 2 z ) ~ 1/2 (— 2 sn z)(cn z dn z) = — sn z dn z

38. Probar, (a) sn ( — z) = — sn z, (6) en ( —z) = en z, (c) dn ( —z) = dn z.

J’“ dt ........ . — , luego w = sn z. Sea t = — t ; entonces

„ yf(\ - t2)( 1 - fc2t2)

Í‘ “ w ________ fIr____ /*_______________ rfr_____o V ( l - r 2) ( l - f c M ) ° r _ 2 = J 0 v / ( l - r 2 ) ( l - < t 2T2) '

o sea, sn ( —z) = — w = — sn z

(4) en ( —z) = \A — sn 2 ( — z) = y / l - sn 2 z = en z(c) d n ( —z) = y / l — kZ s n 2 ( — z) = V I — k - s n 2 z = d n z

39. Probar que, (a) sn (z + 2K) = — sn z, (6) en (z + 2K) = — en z.de

Tenemos z - yJ o

fV 1 — k 2 sen2 0

de

de modo que <f> = am z y sen <J> = sn z , eos 4» = en z. Ahora

V i — fc2sen2 6 - X'x

de

= 2

\ / l — k- sen 2 e

W2 de

V i — fc2sen2e

J<» W T i,

, v T ^

+ f

<í«fc2 sen2 e

d¿0 y / l — k 2 sen2 ^

utilizando la trasformación 0 = x + +. Por tan to <)> + x = am (z + 2 /0 .De este modo tenemos(o) sn (z + 2K) — sen {am (z + 2 /f)} = se n l^ + ir) = — sen^ = — sn z(6) en (z + 2 / 0 = eos {am (z + 2 /0 } = eos (£ + O = — cos¿ = — enz

40. Probar que, (o) sn (z + 4K) = sn z, (6) en (z + 4ÜQ = en z, (c) dn (z + 2X) = dn z. Del problema 39,(а) sn (z + 4 /0 = — sn (z + 2 /0 = sn z

(б) en (z + 4K) = — en (z + 2 /0 = en z

(c) dn (z + 2 / 0 = V i ~ k 2 sn2 (z + 2/0

1Otro método. El integrando

= V i — k 2 sn2 z = dn z

tiene puntos de ramificación en í = ± 1 y í = ± 1 / 1V(1 - t2)(l - fc2*2)

en el plano í (Fig. 10-10). Consideremos la integral desde 0 a w a lo largo de dos caminos Cj y C2. Podemos deform ar C2 en el camino A B D E F G H J A + Ci, donde B D E y G H J son círculos de radio « m ientras que J A B y EFG, trazadas separadam ente para propósitos visuales, coinciden realm ente con el eje x.

Plano í Plano í

Fig. 10-10

Entonces tenemos dtr ___

ro V il —V(i — «2)(i — fc2«2) X dx

o V(1 - *2)<1 - fc2*2)— + f ■ _ . * ...- f c 2 * 2 ) . : L V ( l - t 2 ) ( l - f c 2 í 2 )

r ____ dx

x2)(l — k 2x 2)

dt

Xdx

-J . - V i l -

—V(i - *2)<i - fc2*2)X"^ n

dt

x dt

Vd - *2)(1 - fc2t2) Xdt

V(1 - *2)(1 - fc2*2)donde hemos utilizado el hecho que, al encerrar un punto de ramificación, cam bia el signo del radical.

Sobre B D E y G H J tenemos t = 1 — te'e y t — — I + te '9 respectivam ente. Entonces las integrales correspondientes, se igualan a

-• - 2* e i>n d tf " ___________ — itcie de _ /■*'

' “ V(2 - «e'*)(«ei9){l - fc2(l - ,e«)2> ' '•% V(2~«ei9){l - k2(l - re19)2}í * ’ úe'O d» _ «10/2 d f

’» V(f«">(2 - «ei9){l - fc2( - 1 + ,e‘9)2} •-'o V (2 - <e‘9){l - P ( - l + «e¡9)2>

Cuando « —* 0, estas integrales se aproxim an a cero y obtenemosr ^ = 4 dx M p dt

Jo Vd - í2)(i - fc2*2) * 0 Vd - *2)(1 - fc2*2) (-/o V(1 - 12)(1 - fe2e2)

Ahora, si escribiinos 2 = ( ^ ----- — f 0 sea = sn 2£0 y/(l - ¿2)(1 - fc2¿2)

Í’a dt — , o sea a; = sn (2 + 4 /0n \/7l^r72Wl^r^2#2\c'0 t / ( l - t2)(l - fc2í2) ’

y, puesto que el valor de w es el mismo en ambos casos, sn (2 + 4K ) = sn z.

Análogam ente podemos establecer los otros resultados.

41. Probar que, (a) sn (K + iK ’) = I/Ar, (b) cn (K + iK ’) = - i k ’/k , (c) dn (K + iK') = 0.

(a) Tenemos K ’ - ^ ^ = = = = = , donde * ' = v 'l - **•

Sea u = 1 / \ / l — k '2t 2. Cuando t = 0, u = 1; cuando ( * 1, it ■ 1 / i Siendo así,como í varía desde 0 a 1, a varía desde 1 a 1 /k . Según el problema 43, página 56, con p = 1 /k ,se deduce que > /l — t 2 = — i k ' u / \ / l — k ' 2u 2. Así, tenemos por sustitución

X i /k ,

de lo cual ‘ V d - u ^ a - k ^ )

K + iK ' = C *!------- + C ____ *!____ = fo vu - u2)(i - *2«2) v a - «2i(i - w i -'o

du

Jo v a - «2)(i - *2«2) V(i - «2)U - fe2!*2) • o Vu - «2)(i - khfi)o sea sn (K + i K ' ) = 1 /k .

(b) De la parte (a),

cn (K + iK') = V T ^ sn2 (K + iK') = V i - 1/fc2 = - i V l ~ k * / k = - i k ’/ k

(c) dn (K + iK ') = \ / l — k~ sn 2 (K + i K ') = 0 según la parte (a).

42. Probar que, (a) sn (2K + 2iK ’) = 0, (6) cn (2K + 2tK') = 1, (c) dn (2K + 2?K') = —1.De las fórmulas de adición con z\ = 22 = K + i K ' , tenemos

(o) sn (2K + 2iK') = 2 sn (K + iK ‘) cn (K + i K f) dn (K + iK') _ Q1 — fc2 sn4 (K + iK')

¡oír J_ o : v \ - cn2 (K + iK') - sn2 (K + iK') dn2 (K + iK') _ ,(6) cn [ ¿K + ¿ , K ) - -----------------------_ _ _ _ _ _ _ ------------ _ t

(c) dn(2K + 2iK') = dn2 (K + .K') - Ir2 sn2 (K 4- iK ’) cn2 (K -I- iK ’) _ _ j1 — Ac2 sn4 (K + t'K')

43. Probar que, (a) sn (2 + 2¿K') = sn z, (b) cn (z + 2K + 2iK’) = cn 2, (c) dn (« + MK') = dn z.

Utilizando los problemas 39, 42, 170 y las fórmulas de adición, tenemos

294 T E M A S E S P E C I A L E S | C A P. 10

(o) sn (z + 2¡K') = sn (z — 2 /f + 2/f + 2 i/f')sn (2 - 2K) en (2 /f + 2 iK ) dn (2 K + 2 IK’) + sn (2K + 2 i/f') en (z - 2 K) dn (z - 2K)

1 - fc2 sn2 (2 - 2/f) sn* (2/f + 2iK')— sn z

ib) en (z + 2 /f + 2 i/f ') =

- en z

en z en (2 /f + 2iK') — sn z sn (2 /f + 2 i /f ') dn z dn (2 /f -f 2¡K ') 1 - fe2 sn2 z sn2 (2 / f + 2¡7f')

(e) dn (z + 4 i/f ') = dn (z — 4/f + 4 /f + 4i/f')dn (z — 4/f) dn (4/f -f 4i/f') — fc2 sn (z —4/f) sn (4/f + 4i/f') en (z — 4/f) en (4/f + 4 i/f ')

1 — fc2 sn2 (z — 4/f) sn2 (4/f + 4i/f ')= dn z

44. Construir paralelogramos o celdas de período para las funciones, (o) sn z, (6) en z,(c) dn 2 .

Los resultados se m uestran en las figuras 10-12, 10-13 y 10-14 respectivam ente.

/2K + 2iK

- A - - / /

r71T77 •’

/ //

/4K A '

,f_L / / _ /r - 7

Paralelogramos de período

para sn z Fig. 10-12

/

r 7 ~ ~ 7Paralelogramos de

período para en 2:Fig. 10-13

I

I IX J J _ 1 I I

lr

1

_ L l l 1 1 1

Paralelogramos de período

para dn 2 Fig. 10-14

PROBLEM AS VARIOS45. Probar que, P„ (2) = F I —w, n + 1; 1; 1 - 2 , n - 0 ,1 ,2 ,3 ,

Los polinomios de Legendre P n(z) son de grado n y tienen el valor 1 para z = 1 . Análogamente de (29), página 274, vemos que

r ( ~ n , n + V . V , ~ ) = 1 - ” <n + 1 ) ( l - z ) + + 1>(« + 2> (1 - z)2 + . . .\ ^ / 2 16

e9 un polinomio de grado n que tiene el valor 1 para 2 = 1 .

El resultado buscado se deduce si demostram os que P n y F satisfacen la misma ecuación diferencial. Para hacer esto, sea — - -Z = m, es decir, 2 = 1 — 2u, en la ecuación (25) de Legendre, página 273, para obtener

d~ Y d Y+ (1 — 2i<) + n(n + 1)V = 0

Pero esta es la ecuación hipergeométrica (30), página 274, con a = —n, 6 = n + l , c = l y u —(1 — z) /2. Por tanto , el resultado se comprueba.

46. Probar que para m = 1, 2, 3 ,. . .,

\ w / \ m / \ m j \ ni }Tenemos

p = r f i ) r ( * ) . . . « • ( i - i . ) = v f i - U r í i - * ) ~ r ( r \\ m / \ m / ^ m ) ^ m } n i ) \ m )

Entonces m ultiplicando estos productos térm ino por térm ino y utilizando el problema 13 y el problema 52, página 25, encontram os

p 2

s e n ( r / m ) s e n (2 v / m ) s e n (m — l)-/m

«■««-i irm~ i _ (2v)nsen {-/m) sen (2ir/m) • • • sen (m — 1 )v/m ?n/2 m_1

o P = (2tt)(m~ como buscábamos.

47. Dem ostrar que para grandes valores positivos de z,

~ 2 4/.<*)• ~ y [ í c o s ( z - n *

Según el problem a 33, capítulo 6 , tenemos

J n (z) = - j cos (n t — z sen t) d t = Re /■- j e ~ int eizacat dtj*

Sea F(t) = i sen t. Entonces F ' ( t ) = i cos t = 0 donde t = x /2 . Si hacemos t = x /2 -f v, la integral entre llaves será

1 / ’ ff * — i n x / 2 / , ; r— I g — i n ( x / 2 + t>) ¿ f* s e u ( x / 2 + r ) = .£ __________ I e ~ inv €*z cos v dvV ^ - x / 2 v ‘ ' - x / 2

> r n/2— x / 2

- x / 2 37 ^ - x / 2

r.X /2c - in t > ~ t '* /2 > t * / 2 4 - > f j v

ff/2

e i ( z - n n / 2)__________ I g — íwv ^ —izu-/2 + »*r«/24 dv

* J - v f 2

Sea v 2 = —2 i u 2/ z 6 v = (1 — i)u/Vz, es decir, « = | ( l + t)\/zt>. Entonces la integral se puede aproxim ar por

(1 _ i ) e i U - n n / 2 ) /■”--------------------------------------- I £ — ( 1 4 -!)« » » / y fz e — H* — i l |4 / 6 í — • d u

v \ f z J _ x

o para grandes valores positivos de z.

(1 - i) ei<í_nr/2> f ” . (1 - i) ««*-*»/*>------------= -------- I e - "’ du = ---- — --------

rV2 VvZy la parte real es

v b {cos( * - f ) +sen(* -T ) } = V 1 C0S(2~ T - ÍLos térm inos de orden superior tam bién se pueden obtener (ver problem a 162).

48. Si C es el contorno de la figura 10-15, probar que para todos los valores de z

r <2) = p a r — x § ' * - ' e - ' dt

Referente a la figura 10-15, vemos que a lo largo de AB, t = x; a lo largo de B D E , t = eci6\ y a lo largo de E F , t = xe'¿1Ci. Entonces

'» 2 x(ec*®)2- 1 e ~ (e' ú e ie del tz ~ l e~* d t = J x z ~ l c ~ x d x + ^

‘ - rF U /»2ir

x* ” 1 e ~ x d x + t I e'9z e - " ' ° de

e •'O

H1 ^ 2 X Í4 Z - 1 ) p - X f ¡ X

Ahora, si Re ¡z} > 0, tenemos, tom ando el límite cuando « —» 0 y R —* *>,

\ t*-< e-< d t = (e2*'* - 1 ) í•'c • o

= (e2”“ - 1) T(z)

dx

Pero las funciones a ambos lados son analíticas para todo z. En consecuencia, para todo z,

r(z) =

49. P robar que s n ( z , + z 2) = a n z . c n z . d n z , + enz , s n z 2 dn*.1 — fc2 sn2Zisn2z2

Sea z, + z2 = a, una constante. Luego dz2 /dz | = —1. Definimos 17 = sn z,, V = sn z2. Se deduce que

d U _ • _ . d V ■ _ dV * 2 _ ,3 — = 1/ = en Zi dn z,, -5— = V = -¡— y— = — en z2 d n z2dz, 1 dz, dz2 dz, ¿ 2

donde los puntos denotan diferenciación con respecto a z,. Entonces

Ú2 = (1 - ÍT ^d - fe2í / 2) y V2 = (1 - V2)<1 - fc2V2)

Diferenciando y simplificando, encontramos

(/) Ü = 2k2l73 - (1 + fc2)í7, (2) V = 2fc2V3 - (1 + k2)V

Multiplicando (7) por V, (2) por 17, y restando, tenemos

U V - U V = 2k2U V (U 2 - V2) (3)

Es fácil verificar que Ú2V2 - U2V 2 = (1 - fc2l / 2V2)(V2 - Í72) (4)

¿ V - W = (1 ~ fc2t72V2)(V2 - U2) (5)U V + U V

Dividiendo las ecuaciones (3) y (5), tenemos

u v - u v _ - 2 k W V ( Í J V + UV)Ú V - U V 1 “ fc2tf2v 2

Pero U V — I7V = £ - ( U V - U V) y - 2 k W V ( U V + U V) = ^ - ( 1 - fc2í /2V2), de modo que (6 ) .

convierte end (Ú V - U V ) _ d(i - fc2f/2V2)

¿ t V _ j / V 1 — fc 2 { 72V 2

Una integración conduce a = c (una constante), o sea,

sn z, en z2 dn z2 + en z¡ sn z2 dn z,

(6)

1 — fc2 sn2 z, sn2 z2

es una solución de la ecuación diferencial. E s tam bién claro que z, + z2 = a es una solución. Las dos soluciones se pueden relacionar en la siguiente forma:

sn z, en z-> dn z.¿ + en z, sn z2 dn z,------------=----- ¡-5-------- 5---------- = f ’(z, + z2)

1 — Ac2 sn2 z, sn2 z2

Haciendo z2 = 0, vemos que F(z¡) = sn z,. Entonces F(z¡ + z2) = sn (z, + z2) y el resultado buscado se deduce.

P r o b l e m a s p r o p u e s to sPR O LO N G A C IO N AN ALITICA50. (a) D em ostrar que Fi(z) = z J J z 2 + Jz3 + Jz 4 + • • • converge para |z| < 1.

(6) D em ostrar que F 2(z) = Jirí - ^ ln 2 + __ ^ ^ | _ Q + ■ • • converge para |z - i | < s / 2 .

(c) D em ostrar que F¡(z) y F ¡(z) son prolongaciones analíticas, la una de la otra.(d) ¿Puede usted encontrar una función que represente todas las prolongaciones analíticas posibles

de F¡ (z)? Justificar la respuesta.Resp. (d) — ln (1 — z)

51. U na función F(z) está representada en |z — 1| < 2 por la serie* ( - 1 )» ( z - l p£o 22" + >

Probar que el valor de la función en z = 5 es 1 /16.

52. (a) D em ostrar que F \( z ) = I (1 + t)e~!l dt converge únicam ente si Re {z} > 0.• o

(6) H allar la función que es la prolongación analítica de í"i(z) en el lado izquierdo del plano. Resp. (6) (z + 1) / z 2

/'M53. (o) H allar la región de convergencia de F \ (z) = I e-< l+1>’<dt y construir la gráfica de esta

región. ' o(6) H allar el valor de la prolongación analítica de F¡(z) correspondiente a z = 2 — 4i.Resp. (o) R e {z + l }2 > 0, (6) ( - 7 + 24»)/625

54. (a) Probar quef z/( 1 - z) si |z| < 1

1 - z2 1 - z4 1 - z8 [ 1/(1 - 2) s¡ |*| > i

(6) D iscutir estos resultados desde el punto de vista de la prolongación analítica.

55. D em ostrar que la serie 2 *3 no se puede prolongar analíticam ente más allá del círculo |z| = 1.n = 0

56. Si 2 ®n tiene |z| = 1 como una barrera natural, ¿esperaría usted que 2 (—l)n a „z 0» tengan = 1 n = 1

|^| = 1 tam bién como barrera natural? Justificar la respuesta.

57. Sea {zn}, n = 1, 2, 3, . . . una sucesión ta l que J im z n = a, y supongamos que para todo n, z n a.

Sean F (z) y G(z) analíticas en a y tales que F {zn) = G (z n), n = 1 , 2, 3, . . ..(a) Probar que F (z ) = G(z) . (6) Explicar la relación del resultado en (a) con la prolongación analítica. (Sugerencia. Considerar el desarrollo de F(z) — G(z) en una serie de Taylor con respecto a z = a.)

P R IN C IP IO DE R E FL E X IO N DE SCH W A RZ58. Resolver el problem a 2 utilizando el principio de reflexión de Schwarz.

59. (o) Dado que sen 2z = 2 sen z eos z es válido para todos los valores reales de z, probar que tam biénes válido para todos los valores complejos de z.

(b) ¿Puede usted utilizar el principio de reflexión de Schwarz para probar que tan 2z = (2 tan z) /(1 — tan 2 z)? Justificar la conclusión.

60. Es el principio de reflexión de Schwarz, aplicable si la reflexión tom a lugar en el eje imaginario, más bien que en el eje real? D em ostrar los argumentos.

61. ¿Puede usted am pliar el principio de reflexión de Schwarz, para aplicarlo a una reflexión en una curva C

298 TEMAS ESPECIALES | CAP. 10

PR O D U C TO S IN F IN IT O S62. Estudiar la convergencia de los productos infinitos

Resp. (a) conv., (ó) div., (c) conv.X

63. Probar que una condición necesaria para que n (1 + u,-k) converja es que lim te,, = 0.k — 1 «-.*

64. Estudiar la convergencia de, (a) f ] ( l + r ' l > W FI ( 1 + . ^ ... ^ , (c) I I U + co t ' 1 fe2).k = i \ * / * - « \ \ / k2 + 1 / k = I

Resp. (o) div., (i) div., (c) conv.

65. Si un producto infinito es absolutam ente convergente, probar que él es convergente.

6 6 . Probar que eos z = ( 1 - ■

x /67. Dem ostrar que 1 1 ( 1 + "^ 2“ y » (o) converge absoluta y uniformemente en lado derecho del plano

Re {z) ^ 0, y (6) representa una función analítica de z para Re {z} ^ 0.

“ Probar que ( l - i , ) ( l - i ) ( l - i )

- 0( ‘

12 ’

69. Probar que , 1

70. Probar que (a) senh z = I I ^ 1 +

(í>) cosh z = U ( \ + 4z2k = 1 V (2 /c — 1 )2!72y

71. Utilizar productos infinitos para dem ostrar que sen 2z = 2 se n z cosz . Justificar todos los pasos.

72. Probar que FI + X-8e n f ) ’ ^ converBe absoluta y "riform em ente para todo z, y (6) representa

una función analítica.

73. Probar que F[ + e~‘/k converge.

LA FU NCION GAM M A74. H allar el valor numérico de lo siguiente por aplicación de la función gamma.

(a) j y 3e ~ 2’1 d y (c) j' y 1e ~ 2»1 dy

(«) f dy(b) í «3'2e~ 3“ du (d) f {ln (1 / t ) } - 1 ' 2 dt *

•'o o

Resp. (a) 3 /8 , (i) V 3 Í/3 6 , (c) \ /S í/1 6 , (d) (e) I'(5 /8 ) /v^2

75. Probar que I'(z) - f {ln (l/f)}*— 1 di para Re {z} > 0 .• o

76. M ostrar que í —— dz = F(1 + p) T(1 — p), —1 < p < 1 .• i 1

77. Si m, n y a son constantes positivas, dem ostrar que

78. D em ostrar que ( p d t — \ l — 8i Re {z) > 0.‘'o \ t ' z

79. H allar el valor numérico de I (x ln x)4 dx. Resp. 24 /3125‘ o

80. H allar el valor numérico de, (a) T( — 7 /2 ), (6) P( —1/3 ). Resp. (a) 16 \ / t /1 0 5 , (i) — 3I'(2 /3)

81. D em ostrar que r ( — i — m) = (—l)m+ 1 \[* 2m—1_ m * o, 1, 2 ........5 1 • 3 • 5- • -(2m + 1)

82. Probar que el residuo de T(z) en z = —m, m = 0, 1, 2, 3............ es ( —l ) m/m!, donde 0! = 1 pordefinición.

83. U tilizar la representación en productos infinitos de la función gam m a para probar que

(o) r(z)r<i-z) = —sen vz

(b) 22«-> r(z) r(z+ J) = V* l’(2z)


84. P robar que si y > 0 , |r(¿y)| I V y y senh iri/'

85. D iscutir el problem a 84 si y < 0.

86. P robar, (o) la propiedad 6, (4) la propiedad 7, (c) la propiedad 9 de las páginas 2 6 9 y 270 .

87. P robar que I'( 1) l'(§) = 4jt2/i/5-

88 . (a) U tilizando la representación en productos infinitos de la función gamm a, probar que para unentero m positivo, m« , g(z) p(z + 1/m) P(z + 2Im) • • • P(z + [m — l]/m )

P(mz)es una constante independiente de z.

(6) Haciendo que z —> 0 en el resultado de (a), hallar el valor numérico de la constan te y de este m odo, establecer la propiedad 5 , página 269 .

LA FUNCION BETA89. H allar el valor numérico de, (a) B ( 3 , 5 / 2 ) , (6) B ( 1 /3 , 2 / 3 ) . Resp. (a) 1 6 /3 1 5 , (6) 2 x / \ / 3

90. H allar el valor numérico de lo siguiente utilizando la función beta

dt(a) í i - 1/3 (1 — f)2/s dt, (b) ( « 2(1 - tt2) - í « d « , (c) ( (9 - t2)3'2 dt, (d) f 4•o *'o ‘ O 'o

Resp. (a) 4x /3 \/3> (b) x / 4 , (c) 243x/16, (d) x

oí r> u B (m + 1 , n) _ zn91. Probar que rr,--------------- = — .B(m, n + 1) n

\ /4 t - t2

92. Si a > 0 , probar que f ^\/rr4 — 774

{P(l/4))2 o \ f a A — y4 Xa-Jzx

■ (H M )93. P robar que ________ 1— = V estableciendo algunas restricciones sobre p .P +

✓*ir/2 /'’ir/Z_____94. H allar el valor numérico de, (a) I sen6 * eos4 6 de, (6) I y / t& ñ J

Resp. (a) 3x/512, (b) x / y ' T

300 T E M A S E S P E C I A L E S [CAP. 10

95. Probar que B ( m , n ) = i f *m 1 + x" 1 dx ¿onde Re {m} > 0 y Re {n¡ > 0.2 J 0 (1 + x )m*"

(Sugerencia. Sea y = x / ( l + x).)

I r'l (Ir 7T96. Probar que I — — ~ — — — •

1 + -f6 3x/33\/3

97. (a) Dem ostrar que s i m ó n (pero no ambas) es un entero negativo y si m + n < 0 , entonces B (m , n)es infinito.

(6) E stud iar B (m , n) cuando m y n son enteros negativos.

ECU A CIO N ES D IFER E N C IA LE S98. D eterm inar los puntos singulares de cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales y decir si ellos

son regulares o irregulares.(а) (1 - z 2 ) Y " - 2 Y ’ + 6 F = 0(б) (2z4 - z s ) Y " + z Y ' + (*2 + 1)V = 0 (c) z2(l - z)2 Y " + (2 - z ) Y ' + 4z2Y = o.Resp. (a) z = ± 1, regular, (6) z = 2, regular; z = 0, irregular, (c) z = 0, 1, irregular

99. Resolver cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales utilizando serie de potencias y hallar la región de convergencia. Si es posible, sum ar la serie y dem ostrar que la sum a satisface la ecuación diferencial.(а) Y " + 2 Y ' + Y = 0, (6) Y " + z Y = 0 , (c) z Y " + 2 Y ' + z Y * 0.Resp. (a) Y ~ A e ^ z 4- B z e ~ z

(h) Y = a ( í - | Í + Í ^ z « - 1 ^ 1 I z » + . - - ) + + | i - 8 z ,« + . . . )

(c) y — A sen z + B cos z z

100. (o) Si usted resolvió (1 — z2)Y " + 2Y * 0 sustituyendo la solución tom ada Y = SonZ71, ¿quéregión de convergencia esperaría usted? Explicar.

(б ) D eterm inar si sus expectativas en (a) son correctas realm ente, encontrando la serie solución.

Resp. (6) Y = i4 (l — z2) -f B ( z — *3 _ z& _ 27 _ . . . \ 1*3 3 - 5 5*7 /

101. (a) Resolver Y " + z2Y = 0 sujeto a Y(0) = 1, Y '(0) = —1, y (6) determ inar la región de convergencia.

Resp. (o) Y = l - 2 - 3 ^ T + i T B- + 3 . 4f 7 . 8 - 4 . 5' !>8 . 9 ~ ‘ " W N < “

102. Si Y = Vi(z) es una solución de Y " + p ( z ) Y ' + 9 (2) Y = 0, dem ostrar que la solución general es/ * a — , dz

103. (a) Resolver z Y " + (1 — z) Y ' — y = 0, y (b) determ inar la región de convergencia.

Resp. (a) Y = (A + B ln z )e * - B j * + j ^ ( l + $) + |y -( l + £ + J ) + . . . j (6) |z| > 0

104. (a) Utilizar el problema 102 para dem ostrar que la solución de la ecuación diferencial del problem a103, puede escribirse como

Y = Ae* + B e‘ J •*

(4) Reconciliar el resultado de (a) con la serie solución obtenida en el problem a 103.

106. (a) Resolver z Y " + Y ' — Y = 0, y (6) determ inar la región de convergencia.

106. Probar que Y = Ve l^ p í í ) trasform a la ecuación diferencial Y " + p(z) Y ' + q(z) Y = 0 en

V " + fo(z) - | p ' ( z ) - i (p (z ) ]2 )V = 0

107. U tilizar el m étodo del problem a 106 para encontrar la solución general de z Y " + 2Y ' + zY = 0(ver problem a 99 (c)).

SO LU CIO N DE EC U A C IO N ES D IFER E N C IA LE S PO R IN T E G R A L ES DE CO N TO RN O108. U tilizar el m étodo de integrales de contorno para resolver cada una de las siguientes:

(a) Y" - Y' - 2Y = 0, (6) Y" + 4Y' + 4Y = 0 , (c) Y" + 2Y' + 2Y = 0.Resp. (a) Y = A e 2* + Be~*, (fe) Y = A e ~ 2z + B z e ~ 2z, (e) Y = e (A senz + B eos z).

109. Probar que una solución de z Y ' ' + (o — z) Y ' — fe Y = 0, donde Re {a} > 0, Re (fe) > 0. está dada por

Y = í e» t6" 1 (1 - dt'"o

FU N C IO N ES DE BESSEL110. P robar que J - n (z) = ( — l ) " J n(z) para n = 0 ,1 , 2, 3, . . . .

111. P robar, (a) -— {z" J„(z)} = zn J „ _ |( z ) , (fe) {z~" 7 „ (z)> = —z " J„, i (z).

112. D em ostrar que (a) ./,¡(z) = — J i ( - ) . (fe) í z3 J 2 ( z ) d z = z3 / 3 (z) + c,(c) | z3 J 0 ( z ) d z = z3 ./, (z) — 2z2 (z) + c.

113. D em ostrar que, (o) 1/2 (z) = V 2 /*z sen z, (4) J - 1/2 (z) = v^2 /xz eos z.

114. P robar el resultado del problem a 27 para valores no enteros de n.

115. D em ostrar que 5/ 3/2 (*) se11 z ~ «Z-3/2 eos 2 = v /2 /xz3.

116. P robar que ./¿(z) = ^{./n- i ( s ) - ./„ + 1 (z)}.

117. P robar que, (a) ./¿'(z) — i<A i- 2 (*) — 2 •/„(*) + / n + 2 (*)}

(&) (z) =■ (z) — 3 _ 1 (z) + 3 ./„ + 1 (z) — J n + 3 (z)}.

118. Generalizar los resultados de los problem as 116 y 117.

1 í'^119. Por sustitución d irecta probar que J q(z) — — I eos (z sen 0) dO satisface la ecuación* Jn'0

z Y ” + Y ' + z Y = 0

120 j',oc 1e ~ “ J o(í) d t — —

o V *2 + 1

121. P robar q u e , (a) c o s ( o c o s e ) = J 0(a) — 2 J 2(0) e o s '¿6 + 2 J 4( o ) c o s 4 « + •••

(b) s e n ( a c o s í ) = 2 / ,(< » ) e o s» — 2 (a) eos 3e + 2 J 5( o ) c o s 5 » —

122. Si p es un entero, probar que *"íp(* + !/) = 2 J n(*) Jp -n(v)

(Sugerencia. U tilizar la función generadora.)

123. Establecer la propiedad 8 , página 272.UNIVERSIDAD NApOHAk

Facultad PoIltócTilca B I B L I O T E C A

124. Si Re (i) > O. probar que J„(z) = - i dt donde C es el camino de la ñgura 10-5.

302 T E M A S E S P E C I A L E S [CAP. 10

125. Si Re {2} > 0 , probar que

•/„<*> = " ( cos(M* - ;s e n * ) rf* - í ” - «enh*r *o * o

126. (o) Verificar que Yo(z), dada por la ecuación (23) en la página 273, es una solución de la ecuaciónde Bessel de orden cero. (¿>) Verificar que y„(z) dada por la ecuación (22) en la página 272 es unasolución de la ecubción de Bessel de orden n.

127. D em ostrar que, (o) z y n_ ,(z ) - 2« (2) + í l ' m W = 0

(&) ¿{z«k„<z)> = 2" y„_,(2) <c) ¿ < 2-»y„(2)> = -z-» y„ + 1(2).

128. Probar que la solución general de

V" + -i 1 - ¡. V = 0

es V = y / z { A J J z ) + B Y „ ( 2» .

129. Probar que J„+i(z) Y n(z) - c/„ (2) y„+i(z) = l / z .

130. Dem ostrar que la solución general de V " + zm_2V = 0 es

v = v í { a .i i/m ( £ z" ' 2) + í y 1/a — z m / 2

131. (a) D em ostrar que la solución general de la ecuación de Bessel z 2 Y " + z Y ' -+■ (*2 — n 2) Y = 0 esdzY = A J J z ) + B J n( z ) C - %

J 2 J‘(b) Reconciliar este resultado con el de la ecuación (24), página 273.

FU N CIO N ES DE LEG EN D RE132. Obtener los polinomios de Legendre, (a) Pi(z) , (6) P.t(z), (c) P¡(z).

Resp. (a) J(523 - 32), (6) ¿(352< - 3022 + 3), (e) ¿(63z5 - 70z3 + 152)

133. Probar, (a) P ^ , M ~ K - , ( z ) = (2n + l ) P „ ( z ) , (b) (n + l ) P „ ( z ) = P .' + .fz ) - 2 P'„ (2).

134. Probar que >'P¡,,,(z) — (2n + l)zP„’(z) + (n + l)P ñ _ , (z) = 0 .

135. Probar que, (a) P „ ( - l ) = (-1 )" , (6 ) P 2„ + i(0) = 0.

136. Probar que P 2n (0) = ^ ( | ) ( | ) ( ¡ ) ■ ■ ■ ( ^ ) = ( - 1 ) - .

137. Verificar la propiedad 2, página 273.

138. Si (n/2] denota el entero más grande S n / 2, dem ostrar que

_ ■■/« <-1)>(2n ~2k)J _' „ r B 2» & ! ( n - f c ) ! ( w - 2fc)l

139. Probar que la solución general de la ecuación de Legendre (1 — z Z ) Y " — 2 z Y ' + n(n + l ) y = o para n = 0, 1, 2, 3, . . . es

d iy = A P „ ( z ) + B Q„(z) donde Q„(z) = P„(z) i —y-

el problema 139 para encontrar la solución general de 1

2 z y ' + 2 y = 0. Resp. Y = A z + B j 1 + ln

1)<P,<0}*

140. Utilizar el problema 139 para encontrar la solución general de la ecuación diferencial (1 — z2) y " —

LA FU N C IO N ZETA141. Si R e (z) > 0, probar que

. _ i , J_ . 1 , _ 1 C t - ' d tf(z) 1* 2« 3* |'(2) J0 e‘ - 1

142. Probar que í l — — ffO v ~ P / V _ P / = I f donde 2. 3, 5, 7, . . . representan númerosprimos. ' ' ' ' '

143. P robar que la única singularidad de ;(z) es un polo simple en 2 = 1 cuyo residuo es igual a 1.

144. U tilizar la prolongación analítica de Uz) dada por la ecuación (33), página 274, para dem ostrar que,(o) U - l ) - - 1 / 1 2 , (b ) ; ( - 3 ) = 1 /1 2 0 .

146. D em ostrar que si 2 se rem plaza por 1 — z en la ecuación (33), página 274, la ecuación queda la misma.

LA FU N C IO N H IP E R G E O M E T R IC A146. P robar que, (o) l n ( l + 2) = z F ( 1,1; 2; —z)

(b ) Í2D _!-* = F ( l / 2 , 1; 3 / 2 ; - z 2).

147. P robar que co s2 az = F(a , —a; 1 /2 ; sen2 2).

148. Probar que F(a, b; e; z) = ~ F (o + l , 6+1; e+1; 2).

149. Si Re {c — a — 6} > 0 y c ? ¡ 0 , —1 , —2, . . ., probar que

r(<¡) r( r(e — o) r(c — b)F(a, 6 ; c; 1) = r e— 2—

150. Probar el resultado (31), página 274.

161. Probar que, (a) F ( a , b ; c ; z ) = (1 — z)c ~a ~ b F (c—a , c —b-, c-, z)

(b) F (a ,b ; c-, z) -- (1 — z)_a F(a, c —b; c; 2/(2—1]).

152. D em ostrar que para |z — 1| < 1, la ecuación z(l — z )Y " + {c — (a -f b + l)z}Y' — abY = 0 tie ne la solución F(a, b; a + b — c + 1; 1 — z).

D E SA R R O LLO S A SIN T O T IC O S Y EL M E TO D O DEL PU N T O SILLA153. P robar que

f = 2 1 ^ / 1 L_ + 1 , 3 _ . . . |_ i \n 1 * 3 • 5 • • • (2n — 1)2pz \ 2p2z (2p 2z)2 (2 p2z)*

1 * 3 • 5• • • (2w + 1) f ,-«■' ’ (2z)» + i J t2"42 dt

y así obtener un desarrollo asintótico para la integral de la izquierda.

154. U tilizar el problem a 153 para verificar el resultado (48) en la página 276.

155. H allar el valor numérico de 50! . Resp. 3,04 X 1064

156. D em ostrar que para grandes valores de n, * * 3 ‘ ~ ~ * - .2 • 4 • 6 • • • (2n) ^

dt.

, . C _ 1 J 7 L 1 . 1 - 3 1 - 3 - 5 . . . 1( ) J 0 P T P 2 V 2* (2z)s (Zz)3 J

J '* e~zt 1 i» 2! 3!o i + f z x* z* x*

158. Verificar el desarrollo asintótico {49) en la página 276,

X* e~ i—j—tiesp. u,yií>, aproxim adam ente *°

160. Con condiciones convenientes sobre F(t) , probar que

f . - ™ * - m + r M + F j ) + . . .• o

161. E jecu tar los pasos necesarios con el fin de ir desde (4) a (5) del problem a 36.

162. Probar el desarrollo asintótico (46), página 276, para la función de Bessel.

163. Si F(z) ~ 2 — y G(z) ~ 2 — . probar quen = 0 Zn „ = 0 Z *

(a) F(z) + G(z) ~ ¿

(b) F(z) G(z) ~ 2 donde c„ = 2 Ok&.-k-n = 0 Z n k=0

164. Si F(z) ~ 2 — . probar que f F(z) dz n=2 z" J ' n = 2 (n — 1) Zn_l

165. D em ostrar que para grandes valores de z,

í °° dt V z í 1 J_ 3J0 (1 + «íjl ~ 2 \z>'* + 8*3/2

25128*5/2

FU N C IO N ES E L IP T IC A S166. Si 0 < k < 1, probar que

* " . f v i - t L . . . = í { ‘ + ( í) ’ 1' + ( H ) ’ *1 + - }167. P robar, (a) sn 2z * 2_»n z e n z d n z (ft) cn gz _ 1 - 2 sn2 z + k* sn* z

1 — sn4 z 1 — fc2 sn4 z

168. Si k = s/Z IZ, dem ostrar que, (o) sn (K t2) ~ V2/3, (6) cn (E/2) = \ / 1/3, (c) dn (K/2) = V 1/2.

169. Probar que ?n ^ + sn B = tn A (A + B) dn i ( A - B).cn A + cn B 4 4

170. Probar que, (a) sn (4K + 4iK') = 0, (b) cn (4K 4 4iK') = 1. (c) dn (4K + 4¡K') = 1.

171'. Probar: (a) sn z = z - ¿(1 + fe*)*3 + ,^ (1 + 14fc + h*)z* +(b) cn z = 1 - £z* + ^ ( 1 + 4/c2)z4 +(c) dn Z = 1 - ¿fc2*2 + .Ufc2(fc2 + 4)H + . . .

172. Probar que í ^ — — v f — \V t * ~ 1 V 2 ’

173. Utilizar integración de línea para probar los resultados del problema 40 (¿>) y (c).

174. (a) D em ostrar que C ------ —-------- = — í* ---------- — donde k \ = 2 s / k ¡ (1 -f k)J o V 1 - /c2s e n 2 0 1 + / c ^ 0

u t i l iz a n d o la trasformación de Landen, tan <J> = (sen 2 <J>i) /(/e + cos2<J>i).(6) Si 0 < k < 1 , probar que k < k \ < 1 .(c) D em ostrar que por aplicaciones reiteradas de la trasform ación de Landen, se obtiene una sucesión

de módulos k n, n = 1, 2, 3, . . . ta l que lim k n = 1 . Por esto, dem ostrar que si <}> = lim <{>„,


r* d+ I f c i i (* . *{ Vl - f c W » = V * lntanU + 2(d) Explicar cómo, el resultado en (c) se puede u tilizar en la determ inación del valor numérico de

integrales elípticas.

175. ¿Es tn z = (sn z ) /(c n z ) una función doblem ente periódica? Explicar.

176. D educir las fórmulas de adición para, (a) en (z^ + z 2), (b) dn (zj + z 2) dadas en la página 277.

PR O B LEM A S VARIOS

J-.ÍT/ 2

ta n p 9 de = ^ 7r sec (pirf2).A

178. Si 0 < n < 2, dem ostrar que ( ” ~ - d t = £L£5LÍ5l¿2) .«" 2 r(n)

179. Si 0 < n < 1, dem ostrar que f 003 - dt = £ sec (nr/2)J 0 t" 2 T(n)

180. P robar que la solución general de (1 — z2) Y " — 4z Y ' + 10Y — 0 está dada porY = A F (5/2, - 1 ; 1/2; z2) + B z F (3, -1 /2 ; 3/2; z2)

181. D em ostrar que, (a) f sen t3 d t = £ r( l/3 )•/<>r “ V 3(b) J cos t3 d t = r( l/3 ) .

182. (a) E ncontrar una solución de z Y " + Y ' + z Y = 0 que tiene la form a (ln z) ^ 2 a k*k^ > y asi.

verificar el resultado (23) dado en la página 273. (6) ¿Cuál es la solución general?

183. U tilizar el m étodo del problem a 182 para encontrar la solución general dez2Y " + z Y ' + (z2 — n 2)Y = 0 (Ver ecuación (22), página 272.)

184. D em ostrar que la solución general de z U " + (2m + 1 )1 / ' + z U = 0 esU = z ~ m {A J m (z) + B Y m (z))

185. (u) P robar que z I/2 J i (2¿z>/2) es una solución de z U " — U — 0. (i) ¿Cuál es la solución general?

R esp .(b ) Y = z 1/2 (A d , (2i z1/2) + Y, (2i z*'2)}

186. Probar que <d„(z)} 2 + 2 { /,(z )}2 + 2{d2(z))2 + ••• - 1 .

* p ( c O S a )187. Probar que e* cos“ J 0(z sena) = 2 — ---------- z n.

n = o n!

188. P robar que I"'(J) = — \Zr(y + 2 ln 2).

Í “ g - t . 2 . 3~Y~ d t = — y — ln z + z — 2*2! 3- 3!

Í * _ ,-— dt? Explicar. (Com parar

306 TEMAS ESPECIALES | C AP. 10

190. Si m es un entero positivo, dem ostrar que F (^ , —tn; ^ — tn; 1 ) = . 3 . g. f . (^rn — Y ) '

191. Probar que (1 + z )^ l + f ) ( 1 — f ) '

192. Probar que ^ V 1 - * W 0 = f ^ 1; fc2>‘

193. Las funciones asociadas de Legendre están definidas por

P im)(z) = (1 -* * )« /* £ L !» ,(,)(o) D eterm inar P¡2> (2).

(6) P robar que P¡,m>(*) satisface la ecuación diferencial

( l - z 2)K" - 2 z Y ’ + i n(n + 1) - 7 ^ - 5 }- Y = 0

f 1 p<m)( */ - l

m2 \i - * 2i

E sta se llam a la propiedad de ortogonalidad para las funciones asociadas de Legendre. Resp. (a) 152(1 — z2)

194. Probar que si m, n y r son constantes positivas,

(.Sugerencia. Sea x = (r + l ) y / ( r + y) . )

gm~ 1 (1 — x)n~ , _ B (m , ti)„ (x + r)m + n t*m (1 + t*)m + n

' n' 2 sen2"1 1 » eos2" - 1 » d t _ B (m , n)

195. Probar que si m, n , a y b son constantes positivas,r. /Q (asen2 » + fccos2 »)’n + " 2a n 6m

(Sugerencia. Sea x = sen2 8 en el problem a 194 y elegir r apropiadam ente.)

196. Probar que, (a) = .^(z) + 3 J 3(z) + 5 J ¡ ( z ) + —

(6) y = 12 ^ (2 ) + V J A(z) + 32 y 6(z) + •••

197. Si m es un entero positivo, probar que,

<a> = (y (S )! F(- m’OT+i: i;tt)(6) />tM + I (z) = * ^ ( -« . tn -H j; j ; 22)

198. (a) Probar que 1 / (sn z) tiene un polo simple en z = 0, y (6) encontrar el residuo en este polo.Resp. 1

199. Probar que { r (¿)>2 = 8 ^ 7 V V 8 ‘ ^ ‘ ^ * 14 ’ 16 ' 18 ' ' ' .5 5 • 5 • 9 • 9 • 13 • 13 • 17 • 17 ■ • •

200. Si |z| < 1 , probar la identidad de Euler: (1 + z)(l + z2)(l + z3) - ■ ■ = --------------------- -1__________(1 - z)(l - *3)(1 - *S) . . . '

201. Si |z| < 1 , probar que (1 - z)(l - z2)(l - z3) - • • = 1 + 2 (-1 )" {z"<3» -> > '2 + 2»'t» + i>'2}.n = 1 »Z Z2 Z4

202 . (a) Probar que — + (1 + 2)(1 + zl) + (1 + 2)(1 + 22)(l + 2t , + • • • converge para |z| < 1 y

(b) D em ostrar que en cada región la serie representa una función analítica, digamos F \( z ) y F 2(z)respectivam ente.

(c) ¿Son F \(z ) y F 2(z) prolongaciones analíticas, una de la otra? ¿Es F t (z) = F 2(z) idénticam ente? Justificar las respuestas.

CAP 101 T E M A S E S P E C I A L E S :«)7

203. (a) D em ostrar que la serie 2 ~ i converge en todos los puntos de la región |zj S I .n = l n(6) D em ostrar que la función representada por toda prolongación analítica de la serie en (a) tiene

una singularidad en z — 1 y reconciliar esto con el resultado en (a).

204. Sea 2 a nz n que tiene un círculo finito de convergencia C y sea F(z) la función representada por todaprolongación analítica de esta serie. P robar que F(z) tiene por lo menos una singularidad sobre C.

205. Probar que - n,-2* + d" 2z - dn* *.1 + en 2z

206. P robar que una función que no es idénticam ente constante, no puede tener dos períodos cuya razón es un núm ero irracional real.

207. P robar que una función, no idénticam ente constante, no puede tener tres o más períodos independientes.

208. (a) Si una función doblem ente periódica es analítica en todas partes de una celda (paralelogramo de período), probar que ella debe ser una constante. (6 ) Deducir que una función doblem ente periódica, no idénticam ente constante, tiene por lo menos una singularidad en una celda.

209. Sea F(z ) una función doblem ente periódica, (a) Probar que si C es la frontera de su paralelogramo de

período, entonces y F(z) d z = 0. (b) Probar que el núm ero de polos dentro de un paralelogramo c

de período es igual al núm ero de ceros, teniendo en cuenta sus multiplicidades.

210. P robar que las funciones elípticas jacobianas sn z, en z y dn z, (a) tienen exactam ente dos ceros y dos polos en cada celda, y que (6) cada función tom a un valor dado, exactam ente dos veces en cada celda.

211. P robar que ^1 + + {r ( i /3 )>2

nir/2 1 2! 4* 6*e - z t a r . 3 r f * - A _ +

Z Z 3 Z 5 Z ‘0Íw

u

213. Probar que P„ (cos e) = 2 j 1 ? ^ f eos n» + j,' . n cos ~ 2)6

— 1 • 3 - 2»(2ri-----2)— ( - 4)* +2 • 4 • (2n — l)(2w — 3)

. . . }

(Sugerencia . 1 — 2t cos 0 + t2 = (1 — tei9)( 1 — te ~ ie).)

2 1 4 . (a) Probar que r(z ) es una función meromórfica, y (6) determ inar la parte principal de cada uno de sus polos.

2 1 5 . Si Re {n} > —1 /2 , probar quez n i **

J n{z) - — I eí * f ( i - f 2)*. \ r i d t2nyjTT r(w + .

216. Probar que ( t n J m ( t ) d t =

/*7t/2217. P robar que I eos1’ 0 cos qe de =

* o

..r/2. P robar que { r ( J )}2 = 4v/tt J -

zn- —7= ; 77 I cos (z cos 0)sen22«y/7 I’(n + J) .J„

■ r ( = ± f ± l )

2,1 e tío

/ m — n 4- 1 \\ 2 )

- r(>>+ i)

218

2“

tle

J se n 2 e

I N D I C E

Abel, teorema de, 144 Abiertas, regiones, 22, 23 Abierto(s),

conjuntos, 7, 221 23 intervalo, 2

Absoluta, convergencia, 141, 148, 149 convergencia y, 142, 160 de productos infinitos, 267, 268 de series de potencias, 153

Absolutamente, series convergentes, 141, 142, 148, 149, 153, 160

teoremas sobre. 142 Aceleración,

a lo largo de una curva, 70* 83, 91 centrípeta, 83

Acotados (as), conjuntos, 7, 22* 23 funciones, 39 sucesiones, 142

Adición, de números complejos, % 6 de números reales, 1 de vectores, 10, 11, 15 elemento neutro con respecto a la, 1,3 fórmulas de, para funciones elípticas, 277, 296 ley asociativa de la, 3, 8 ley conmutativa de la, 3, 8 opuesto respecto a la, I, 3

Aerodinámica, 225, 235 Aerodinámico, plano, 225

de Joukowski, 22o Aislada, singularidad, 68* 80, 81, 145

comportamiento de funciones analíticas cerca de, 161

Ala de un aeroplano, 225 Ala, flujo alrededor de un, 239 Algebra, teorema fundamental del (ver Teorema

fundamental del álgebra)Alterna, corriente, 92Alternadas* criterio para las series, 143Amplitud, 4Analítica, funciones, 64, 67

condiciones necesarias y suficientes para, 64, 73-75

elementos deH 147, 266en una vecindad de una singularidad, 161funciones armónicas y, 132parte imaginaría de, 85parte real de, 85y aplicación conforme (ver Aplicación

conforme) y continuidad, 64 , 72, 73

Angulo entre vectores, 21 Angulos, conservación de, bajo aplicaciones, 202,

214, 215, 230 (ver también Aplicación conforme)

Aplicación (es), 33, 41-43, 201 (ver tambiénTras formaciones) conforme {uer Conforme, aplicación)

de cardioide, 211, 230 de cicloide, 229 de elipse, 210, 221, 225 de exágonos, 231 de fajas, 206, 307, 211, 212, 220 de hipérbola, 229 de hípocicloide, £30

de lemniscata* 230de lúnulas, 203de parábola, 209, 211, 229de polígonos, 205, 219-222, 224de rectángulos, 210, 212de regiones cuneiformes, 226de Riemann, teorema de la, 202, 203* 234de semicírculos, 207, 208de triángulos, 210, 222, 223de un sector, 206, 208de un semi-plano sobre el círculo, 204, 205,

217, 213del círculo unidad, 204, 205, 208, 217, 213 especiales, 206-212, 219 uno-uno, 201

Arcos, 68 (uer también Curvas)Area,

de una elipse, 114, 115 de una región, 114, 115 de un paralelogramo, 6, 21 de un triángulo, 22 factor de aumento de, 202* 215 limitada por una curva simple cerrada, 114,

115Arg Zj {ver Argumento)Argand, diagrama de, 3 Argumento, 4, 18

generalización del, 138 prueba del, 128, 129 teorema del, 120

Armónicas, funciones, 64, 65. 71, 74, 75, 86, 233, 234, 242-244

bajo aplicaciones o tras formaciones conformes, 243

obtenidas de ías ecuaciones de Cauchy-Riemann, 74, 75

para un círculo, 120, 121 para un semi-plano, 121 relación de las, a las funciones analíticas, 132 y fórmulas integrales de Poisson, 120, 121

Armónico, movimiento, simple, 83 Asintóticas, series, 275 As i nt óticos, desarrollo, 275, 276, 289-291, 295

de funciones de Bessel, 276, 295 de la función de error* 276 de la función gamma, 276, 290 especiales, 276

Atracción entre cargas eléctricas, 239 Aumento, factor de, 202, 215 Axiomático, fundamento, del sistema de los

números complejos, 3T 13, 14 Base de logaritmo, 35 Bernoulli,

números de, 172h 274 teorema de, 239

Bessel, ecuación diferencial de, 271, 272 solución general de la, 272, 273, 285

Bessel, funciones de, 162, 271, 272 primera y segunda clase, 272 desarrollo asintótíco para, 276, 297 fórmula de recurrencia para, 272, 287 función generadora para las, 272

Beta, función, 223, 270, 283 relación t<Je la, con la función gamma* 270,

283Biarmónica, ecuación, 264

INDICE

Bilíneal, trasformación, 35, 204, 217, 218 razón cruzada de, 204, 217 trasformación de círculos en círculos

utilizando la, 218 usos de la, en aplicaciones del círculo sobre un

se mi-plan o, 204, £05* 217* £18 Bínomial, coeficiente* 16 Binomíal, fórmula o teorema, 16. 144

usos del, para obtener series de Laurent, 158, 159

Blasdus, teorema de, 239, 251-253 Bolzano-Weierstrass, teorema de, 3, 23 Borel, teorema de Heine, 8 Cables, líneas de trasmisión por, 257 CalorT aplicaciones, flujo de, 241, 242, 255* 256 Cambio de variables en integración* 94 Camino, independencia del, 97, 103, 107 Campo, 3

de fuerza, 112 intensidad de* 239, 240

Capacitancia, 241, 256, 257 Carga, distribución de* 240

línea de* 240, 241 potencial debido a una* 253

Carga eléctrica, 239 potencial debido a una {ver Potencia)

Casorati-Weierstrass, teorema de, 146 Cauchy* criterio de convergencia de* 142

desigualdad de, 119, 125, 170 prueba de la desigualdad de, 125

Cauchy, fórmulas integrales de, 119, 121-124 para regiones múltiplemente conexas, 124 prueba de las, 121-123

Cauchy-Goursat, teorema de, 96* 104-107 (uer también Cauchy, teorema de)

prueba del, para curvas simples cerradas, 106* 107

prueba del, para polígonos cerrados, 105, 106 prueba del, para regiones múltiplemente

conexas, 107 prueba del, para un triangulo, 104, 105 recíproco del, (¿jer Morera? teorema de)

Cauchy-Riemann, ecuaciones de, 64* 73-75 forma polar de las, 84 > 8o funciones armónicas que se obtienen de, 74,

75gradiente y, 71 prueba de las, 73T 74

Cauchy, teorema de, 96, 104-107 {ver también Cauchy*Goursat, teorema de)

consecuencia del* 97, 9&, 107-109 prueba del, 104recíproco del, (uer Morera, teorema de)

Cauchy, valor principal de, para integrales, 175 Celda, 275, 294 Centrípeta, aceleración* 83 Centroide, 115 Cero, 1 Ceros,

de funciones trigonométricas, 45 de polinomios, 5t 20 número de* 120 orden de* 68 simple, 68

Cerrada* curva simple, 69, 94 área limitada por una, 114, 115 exterior de una* 95 interior de una, 95

Cerrados (as), conjuntos; 7, 22, 23 (ver también Clausura)

curvas, 6&(ucr también Curva simple cerrada)

intervalos, 2 regiones, 7

Christof fel- Schwarz, trasformación de, 205, 219-224

Cicloide, 114 aplicación de una, 229

Cilindrico, fuerza sobre un obstáculo, 252, 253 Circulación, 235, 250

en torno aun vértice, 250 flujo con, 237, 250, 251

Circular, obstáculo, ilujo alrededor de un, 238, 259, 247, 251

Circulo, aplicaciones de, 204, 205, 208, 217, 218 de convergencia, 141, 144, 151 fórmulas integrales de Poisson para un, 120,

130, 131, 234 funciones armónicas para, 120, 121 unidad, 5, 202

Clausura, de un conjunto, 7, 22* 23 ley o propiedad, 1, 3

Cociente. 1 criterio del, 142, 150 de números complejos, 2, 4

Coeficiente binomial, 16 Compacto, conjunto, 7S 22h 23 Comparación, criterio de, 142

prueba del, 149 Compleja variable, 2, 33

funciones de una, 33 Compleja* velocidad, 236 Complejos, conjugados, 2* 9

coordenadas, 7 (ver también Conjugadas, coordenadas)

diferenciación, 64, 92 {ver también Diferenciación)

Complejos, números, 2 adición de, 2, 6 cociente de, 2, 4como parejas ordenadas de números reales, 3 división de. 2forma polar de los, 4, 14, 15 fundamentos axiomáticos de, 3, 13, 14 igualdad de, 2* 3 interpretación vectorial de, 5 multiplicación de, 2operaciones fundamentales con, 2* 8, 9 parte imaginaria de los* 2 parte reaí de los, 2 producto de, 2-4 representación esférica de, 6 representación gráfica de, 3* 4, 10-13 resta de, 2valor absoluto deT 2, 4

Complemento, de un conjunto, tí, 22, 23 de una región, 95

Componentes de un vector, 10 Compuestas, funciones* 39, 66 Condensador, 241Condicional, convergencia, de productos

infinitos^ 267, 268 de seríes infinitas, 14 í, 142

Conductividad térmica, 241 Conductores perfectos, 241 Conexas, regiones, 95

simplemente (uer simplemente conexas, regiones)

Conexos, conjuntos* 7, 22* 23 Conforme, aplicación, 201-232 (u&r también

Aplicación) condiciones para una, 202

definición de, 202 funciones armónicas bajo, 243 problemas de Dirichlet y Neumann y, 234,

235 (ver también Dirichlet, problema y Neumann, problema)

solución de problemas de valor frontera por, 233-265

Conjugadas, coordenadas, 6, 22, 70 ecuación del círculo enT 22 teorema de Green expre^do en, 96, 103, 104 y el operador delta, 70, 83, 84

Conjugadas, de un número complejo, 2, 9 funciones, 64„ 233 parejas, 20

Conjuntos, 1 abiertos, 7, 22, 23 acotados, 7, 22, 23 cerrados, 7, 22, 23 clausura de, 7, 22, 23 complemento de, 8, 22, 23 conexos, 7, 22, 23 de puntos, 7, 8t 22, 23 de puntos en el plano complejo, 3, 6 disyuntos, S elementos de, 7 intersección de, 8, 23 ley distributiva para, 23 numerabilidad deT 8, 22, 23 ortogonales, 288 puntos exteriores de, 7 puntos fronteras de, 7, 22, 23 puntos interiores, 7, 22, 23 subconjunto de, 1, 2, S unión deh 7, 23

Conmutativa, ley, de la adición, 3, 8 de la multiplicación 3, 8

Constante de integración, 96, 97 Continua* curva o arco, 68

función (ver Continuidad)Continuidad, 39, 54

ecuación de, 235 en una región, 39* 40 teorema sobre, 39 uniforme, 40, 54 y analiticidad, 64, 72, 73 y convergencia uniforme, 143, 152

Contorno* 70Convergencia, absoluta (uer Absoluta,

convergencia) círculo de, 141, 144* 151condicional Condicional, convergencia) criterio de Cauchy para la, 142 criterio para, 142, 143, 149-151 de productos infinitos (uer Infinitos,

productos) de series de potencias, 144 de sucesiones, 40, 54, 55, 140, 147T 148 radie de, 140, 150, 151 uniforme, {ver Uniforme, convergencia)

Convergente, series, 41, 54, 55, 140t 14S condiciones necesarias para 41, 55, 140, 142

Convergente, sucesiones, 40, 54, 55 Coordenadas, conjugadas, 68 (uer también

Conjugadas, coordenadas) curvilíneas, 34, 42 polares, 4rectangulares, 3, 34

Corona, 144, 212 aplicación de una, 212

Corriente alterna, 92

función de, 236, 246 Corte de ramificación, 37, 44 Cotas superiores, 62, 94 Coulomb, ley de, 2*59 Criterio de la raíz, 142 Criterio del cociente, 142, 150

prueba del, 150 Criterios para convergencia, 142, 143, 149-151

de comparación, 142, 149 de Gauss, 143 de la integral, 143 de la raía, 142 de Raabe, 143 de series alternadas, 143

Críticos, puntos, 202, 215 Cruzada, razón, 204, 217

invarianza, de la, 204 Cuadrática, ecuación, 19 Curvas, 69, 90

aceleración a lo largo de* 70, 83, 91 continuas, 69 coordenadas, 34 de corriente, 236 de Jordán, 95de longitud infinita, 112, 113 dirección o sentido de, 70, 95 familias de, 69integrales a lo largo de, 93 (ver también

Integrales de línea) lisas, 69, 70 ortogonales, 69, 82 rectificables, 93simple cerrada (ver Cerrada, curva simple) tangentes a, 70, S4 vector normal a, 71, 84 velocidad a lo largo de, 70, 83

Curvilíneas, coordenadas, 34, 42 De Moivre, teorema de, 4, 15-18

en términos de la fórmula de Euler, 5, 16 prueba del. 16

Definidas, integrales, 93 cálculo de, por residuos, 174, 175, 180-189

Delta, 70, 83, 84 vecindad, 7, 23y coordenadas complejas conjugadas, 70, 83,

84Denominador, 1 Densidad de un fluido, 239 Derivada, 64, 72 , 73

antí, 96de funciones elementales, 66, 67, 75-79 de funciones multívocas, 66, 67, 77, 73 de orden superior, 67 de series de potencias, 143, 144, 153, 154 interpretación geométrica de la, 65 operador, 66

Desarrollos, asintófcícos {ver Asíntóticaa, series) en serie (uer Series)

Determinantes, jacobiano (uer Jacobiano) Determinantes, regla de multiplicación para,

216, 231Diagonales de un paralelogramo, 2 Diagrama de Argand, 3 Dieléctrico, constante, 239, 257 Diferenclabilidad, 64 {uer también Analítica,

función) continuidad y, 64, 72, 73

Diferenciación, compleja, 64-92 bajo el signo integral, 175, 176, 183 de series, 143, 144, 153, 154 regla de la cadena para? 66, 78, 85, 86

reglas para, 66, 75-79 Diferenciales, 65, 66, 75

parte principal en, 65 reglas para encontrar, fifi

Diferenciales, ecuaciones, 92, 270, 27 lh 234-286 de Bessel, 271-273, 235 de Gauss, 274 de legendre, 273, 274 hípergeométrica, 274 parciales (oer Diferenciales parciales,

ecuaciones) puntos ordinarios de, 270 puntos singulares de, 270, 284, 285 solución deh por integrates íínea, £71, 2H5,

286solución general de (uer Solución general)

Diferenciales, operadores, completos, 7Ü Diferenciales parciales, ecuaciones, 86, 87, £33

problemas de DiricMet y de Neumann y {ver Dirichlett problema de y Neumann, problema de)

Dilataciones, 203, 213, 218 Dinámica de fluidos, £35 (ver también Fluido,

flujos de)Dipolo, 238, 241

momento de un, 238 Dirección de un vector, 5 Dirección o sentido contrario al movimiento

de las manecillas de un reloj, 70, 95 Dirección o sentido ds una curva, 70 Dirichlet, problema de, 233, 234, 244-246 {ver

también Neumann, problema de) para el círculo unidad, 234 para el semi-plano, 234 solución del, por aplicación conforme, 234,

£35Disco unidad, 202Discontinua, función, 39 {ver también

Continuidad)Discontinuidades, 39 (per también

Singularidades) evitables, 39, 54

Distancia, entre dos puntos, 2, 4, 12 en el plano complejo, 4

Distributiva, ley, 3, 9, 14 para conjuntos, 23

Disyuntos, conjuntos, tíDivergencia, identidades donde interviene la,

70de funciones, 71, 83, 84 de sucesiones y series, 40, 41, 140 (ver

también. Convergencia)Divergente, sucesiones, 40

series, 41, 140 (uer también Convergencia) División, de números complejos, 2

de números reales, 1 Doble, polo, 159Doblemente periódicas, funciones, 233, £41 Dominio, 7, 22, 23Duplicación, fórmula de, para la función

gamma, 269 Ecuación, biarmónica, 64

característica, 271 de continuidad, 235 de cuádricas, 19de la línea recta en forma paramétrica,

cartesiana, y simétrica, 13 de Laplaee (ver Laplaee, ecuación de) de! círculo en coordenadas conjugadas, 22 polinomial (ver Polinomial, ecuación) producto de las raíces de una. 20

raíces de, 5, 18, 20 soluciones de, 18 suma dt raíces de una, 20

Ecuaciones, paramétricas, 41, 62 de una trasformación, 201

Eje imaginario, 4 real, 4 je y y, 3

Elasticidad, teoría de, £64 Eléctrica, cargas, 239

potencial debido a (uer Potencial) Electricidad, teoría de la corriente alterna en,

92Eléctrico, intensidad del campo, 239, 240 Electrostática, aplicaciones a, 239, 241

potencial compiejo en, 240, 253-255 teorema de Gauss en, 240

Electrostático, potencial, 239, 240, 253-255 complejo, 240, 253-255 fuentes y sumideros en, 241

Elementales, funciones, 35-38, 46-49 derivadas de, 66, 67, 75-79

Elemento(s) de, funciones, 266 un conjunto, 7una función analítica, 147, 2BG

Elipse, área de la, 114, 231 aplicación de ia, £10, £25 trasformación de la, sobre el eje real, 222

Elíptica, integral, 277, 278 (ver también Elípticas, funciones)

de primera clase, 277 de segunda clase, 277 de tercera clase, 277

Elípticas, funciones, £77, 278, 291-294 fórmulas de adición para, 277, 296 jacobiano de, 277 períodos de, 277, 293, 294

Encajados, triángulos, 105 Enteras, funciones, 146, 147

representación en producto infinito de las, 268

Entero o extendido, plano, 6 Enteros, 1Equipotencial, línea o curvas, £36, 240, 253 E rro r , función de, 276

desarrollo asintotico de la, 276 Escalar, 70Escalar, producto, 6, 21, 71, 83, 84 (ver Interno,

producto)Esencial, singularidades, 68, 81, 158

comportamiento de una función analítica cerca de, 161

definidas por series de Laurent, 145 Esfera de Riemann, 6

unidad, 6 Estacionarios,

flujo, 235 puntos, 236

Estado estacionario de temperatura, 241, 255, 256, 258, 259

Estereográfica, proyección, 6, 230 Eu ler,

constante deT 269 formula de, 5y teorema de Moivre, 5, 16

Evitable, discontinuidad, 68, 81, 145, 158 definida por una serie de Laurent, 145

Exágono, aplicación de un, £31 Existencia de soluciones a problemas de valor

frontera, 233

Exponencial integral, 276 desarrollo asintótíco de la, 276

Exponenciales* funciones, 35 relación de, a fas funciones trigonométricas,

16, 17, 35 E x ten d id o , p la n o com p le jo , 6

Exterior de una curva simple cerrada, 3o Exterior, punto, 7Factorada, forma de una ecuación polinomial,

5Factorial, función, 269 (ver también Gamma,

función)Fajo, aplicación de una, 206, 207, 211, 212, 220 Familias, de curvas, 69

ortogonal, 69, 82 Fase estacionaria, método de, 276 (ver

también Punto silla, método del)Fijos o invariantes, puntos, de una

trasformación 203, 213 Fluido, densidad del, 239

dinámica de, 235 (ver también Flujo de fluidos}

ideal, 235 incompresible, 235 presión en un, 239, 252 real, 235 viscos^, 235

Fluido, flujo de, aplicaciones a, 235*239, 246-251 {ver también Flujos)

fuentes y sumideros en, 236-238, 248r 249 potencial complejo en, 236, 246-251

Flujo, de calor, 241 línea de, 240, 242

Flujo, modelo de, en torno a un ala, 239 Flujos, (ver también Fluido, flujos de)

alrededor de un obstáculo circular, 238, 239, 247, 251

con circulación, 237, 250, 251 debido a fuentes o sumideros, 23S especiales, 237, 238 estacionario, 235 superposición de, 238 uniforme, 237, 246 vórtice, 250

Forma cartesiana de ía ecuación de la línea recta, 13

simétrica de la ecuación de la línea recta, 13 Fóuríer, series de, 171 Fracciones, 1Frontera, condiciones de, 233 Frontera natural, 147, 160, 266

puntos, 7, 22, 23trasformación de, sobre e! eje real, 206. 222,

229Frontera, problemas de valor de, 233, 244, 245

Dirichíet y Neumann (ver también Dirichíet, problema de Neumann, problema de)

existencia de soluciones para, 233 Fuentes, en electrostática, 241

en flujo de fluidos, 236-238, 248, 249 línea, 236+ 248, 253

Fue rza, campo de, 112 de un vórtice, 238 de una fuente. 237, 248 sobre un obstáculo cilindrico, 252, 253 sobre un obstáculo en un fluido, 239, 251-253

Función (es), 33, 41-50 acotadas, 39 algebraica, 36 algebraicas racionales, 34

analítica (ver Analítica, funciones) armónica {ver Armónica, funciones)Bessel (ver Bessel, funciones)Beta (ver Beta, funciones) compuesta, 39, 66 conjugada, 64, 233 continuas {uer Continuidad) de corriente, 236, 246 de error, 276de Legendre (ver Legendre, funciones de) de Neumann, 272, 273 de una variable compleja, 33 desarrollo de, en series de Laurent, 144, 145,

156 159 divergencia de, 71, 83, 84 doblemente periódica, 277 elementales (uer Elementales, funciones) elementos de, 236 elípticas, fver Elípticas, funciones) entera, 146, 268 exponencial, 35factorial, 269 (ver también Gamma, función) gamma, (ver Gamma, función) hiperbólica (ver Hiperbólica, funciones) hípergeo métrica, 274, 289, 294 impar, 46 inversa, 33límites de, 37, 38, 50-53 logarítmica (ver Logarítmica, función) multívocas (ver Multívocas, funciones) par, 46polinomial, 34 ramas de, 34 series de, 147, 148 sucesiones de, 140, 147, 148 trascendentales, 36, 37 trigonométricas (ver Trigonométricas,

funciones) uniformemente continuas, 39, 40 valor de, 33

Gamma, función, 223, 268-270t 281-283, 295 desarrollo asintótíco de la, 276, 290, 291 fórmula de duplicación de la, 269 fórmula de recurrencia para, 269, 281

Gauss, criterio de, 143ecuación diferencial de, 274 función de, 269teorema de, sobre electrostática, 240 teorema del valor medio de, 120, 126

Generadora, función, para funciones de Bessel, 272

para polinomios de Legendre, 273 Geometría, aplicaciones a, 70, 82, 83 Geométrica, interpretación, de derivadas, 65

de límites, 50 Geométricas, series, 149, 150 Goursat, teorema de Cauchy

(ver Cauchy-Goursat, teorema de) Gradiente, 70, 71, 83, 84, 86

como un vector normal a una curva, 71, 84 ecuaciones de Cauchy-Riemann y, 71 identidades donde interviene el, 71

Grado,de una ecuación polinomial, 5 de una función polinomial, 34

Gneen, teorema de, en el plano, 96, 100-103 en coordenadas conjugadas, 96, 103, 104 forma compleja delT 96, 103, 104 generalización del, 115 primera y segunda identidad de, 118

prueba del, para regiones múltiplemente conexas, 102

prueba del, para regiones simplemente conexas, 100-101

prueba del teorema, de Cauchy utilizando el, 104

Hardy, 275Heine-Borel, teorema de, 8 Hidrodinámica, 235 (ver también, Fluido,

flujo de)Hipérbola, aplicación de la, 229 Hiperbólica, funciones, 35

inversos* 36, 43 propiedades de, 35, 46 relación de, a funciones trigonométricas, 36

Hiper geométrica(s), ecuación diferencial, 274 función, 274, 289, £94 series, 170

Hipocicloide, 114, 115 aplicación del, 229

Holomorfa, 64 {ver también Analítica)Ideal, fluido, 235 Identidad (es),

donde interviene gradiente, divergencia y rotor, 71

respecto a la adición» 3 respecto a la multiplicación 3

Igualdad, de números complejos, 2, 3 de parejas ordenadas de números reales, 3 de vectores, 5

Imagen, 33, 34* 201Imaginaria, parte, de una función analítica, 35 Imaginaria, unidad* 2

como una pareja de números reales, 3 Imaginario,

eje, 4número puro, 2

Impares, funciones, 45 Incompresible, fluidos, 235 Incremento, 65Indefinidas, integrales, 96, 103 Independencia de camino, 97, 103, 107

condición necesaria y suficiente para la, 103 Independiente, variable, 33 Indeterminadas, formas, 68 {ver también

L'HíBpítal, regla de)Inducción matemática, 16 Infinitesimal* 75 Infinito, 38

puntos en el, 6, 3Bt 47, SI, 82 singularidades en el, 69, 146

Inicial, punto, de un vector, 5 Integrable, 93Integración, alrededor de una singularidad,

185cambio de variables en, 94 compleja, 93-118 constante de, 96, 97 de línea, 95 de series, 145, 153 por partes, 110, 111puntos de ramificación y± I8G, 187, 194, 195

Integral, a lo largo de una curva, 93 (ver también Linea, integral de)

criterio de la, 142diferenciación bajo la, 175, 176, 183 elíptica, 277, 278 {ver también Elípticas,

fu nciones} exponencial, 276

fórmulas de Cauchy, (ver Cauchy, fórmulas integrales)

fórmulas de Poisson (yer Poisson, fórmu.— integrales de)

Integrales, de línea (ver Línea, integral de; cálculo de, por residuos, 174, 175, 18G-18&.

194de funciones especiales, 97, 110, 111 definida (ver Definida, integrales) prolongación analítica de, 175 valor principal de Cauchy para la, 175

Integrales de contorno, 95solución de ecuaciones diferenciales por, 271.

285, 286Intensidad, del campo eléctrico, 239, 240 Interior,

de una curva simple cerrada, 95 punto 7, £2, 23

Interno, producto, 6: £1 divergencia en términos de, 71, 83t 84

Intersección de conjuntos, 7, 8» 23 Intervalo,

abierto, 2 cerrado, 2

Invariantes o fijos, puntos, de una trasformación, 203, 218

Inversas, funciones hiperbólicas, 36, 48 relación de las funciones logarítmicas, 30 trasformación, 201

Inversas, funciones trigonométricas, 36, 48 relación de, a funciones logarítmicas, 36

Inversión, 203, 218Inverso, con respecto a la multiplicación, 1, 3Involución, trasformación, 231Irracionales, números, 1Irregular* punto singular, 270, 284, 285Irrotacionat, 235Isogonal, aplicación, 202Isotérmicas, líneas, 242Jacobiano,

función elíptica, 277 (ver también Elípticas, funciones)

trasformación, 201, 215, 217 trasformaciones conformes, 202, 215-217

Jensen, teorema de, 139 Jordán, teorema de la curva de, 95 Joukowski,

planos aerodinámicos, 225 trasformación de, 225, 230

L'HSpital, regla de, 68, 79, 80 prueba de la, 71usos de, para calcular residuos, 178

Lagrange,desarrollo de, 147, 160 función de, 147 prueba del desarrollo de, 160

Landen, trasformación der 305 LapJace, ecuación de, 64, 65, 233, 234

en forma polar, 85método de, 276 ( ver también Punto silla,

método del) y los problemas de Dirichlet y Neumann

[ver también Dirichlet, problema y Neumann, problema de)

Laplacia no, operador, 64, 71, 83, 84 Laurent, teorema de, 144, 145, 156-158 {í>er

también Laurent, series de) prueba del, 1 ¿56-158

Legendre, ecuación diferencial de, 273, 274 funciones asociadas de, 306

funciones de, 273, 274, 28£, 289 {v¿t también Legendre, polinomios de)

solución general de la, 273, 274 Legendre, polinomios de, 162. 163. 273, 294

(ver también Legendre, funciones de} fórmula de Schlaefli para, 162, 163 función generadora para, 273

Leíbnitz, regla de, 175T 176, 183 Lemniscata, aplicación de la, 230 Limites, 38, 50-53

de funciones, 37, 38, 50-53 de sucesiones, 40, 51-53, 55 interpretación geométrica de, 50 puntos, 7, 22, 23 teoremas sobre, 38, 51-53 unicidad deh 38, 40t 51, 141

Línea de carga, 240, 241 potencial complejo debido a una, 253

Línea de corriente, 236 Línea* de ramificación, 37, 44, 48-50

equipotencial, 236, 240, 253 isotérmica, 242

Línea fuente, 236 potencial complejo debido a una, 248, 253

Linea, integrales de, 93, 99> 100 compleja, 93, 99conexión entre, real y compleja, 94

Linea!, factor de aumento, 202 tras formación, 34, 204 trasformaciún racional, 35, 204

Linealmente independiente, soluciones de ecuaciones diferencíales, 270, 271

Liouville, teorema de, 120, 130, 146 prueba del, 125, 126teorema fundamental del álgebra y el, 126

LrlSÍÍTa trozos curva, 70 curva o arco, 69, 70

Logarítmicas, funciones, 36, 46 puntos de ramificación de, 46, 77, 81 rama principal de, 36, 46 relación de, a las funciones hiperbólicas, 36

Logaritmo natural 35, 36 {uer también Logarítmicas, funciones)

Longitud infinita, curvas de, 112, 113 Longitud O magnitud de un vector, 5 Lúnulas, aplicación de, 208 M, criterio, de Weierstrass, 143, 151, 152, 268,

283Maclaurin, serie de, 144 Magnitud o longitud de un vector, 5 Matemática, inducción, 16

prueba deí teorema de De Moivre por, 16 Matemático, modelo, 235 Mecánica, aplicaciones a, 70, 82, 83 Menor que, 1Meromorfa, funciones, 146 Mittag-Leffler, teorema del desarrollo de, 176,

192, 193 prueba del, 192, 193

Mod z (t>er Módulo de un número complejo) Modelo matemático, 235 Módulo

complementario de funciones elípticas, 277 de funciones elípticas, 277 de un número complejo, 4

Módulo máximo, teorema del. 120, 126 prueba deí, I26h 127i 136

Módulo mínimo, teorema de!. 120, 127, 128 Momento de fuerzas de presión, 239, 252

Momento de un dipolo, 238 Monótonas crecientes o decrecientes,

sucesiones, 142 Morera, teorema de, 96, 111, 112, 119, 161

prueba del, 111, 112, 125 usos del, en prolongación analítica, 279

Muda, variable, 98 Mudo, símbolo, 98Múltiplemente conexas, regiones, 94, 95

teorema de Cauchy-Goursat para, 107 teorema de Green para, 102

Multiplicación, de determinantes, 2Í6, 231 de números reales, 1 identidad con respecto a, 1, 3 inverso con respecto a, I, 3

Multívoca, funciones, 33, 37, 43. 44, 67, 77 derivadas de, 66, 67* 77, 78

Mutuamente disyuntos, conjuntos, 8 Natural(es)r

base del logaritmo, 35 frontera, 147, 160, 266logaritmo, 35t 36 [ver también Logarítmicas,

funciones) números, 1

Negativos, enteros, 1 Neumann,

función de, 272, 273problema de, 232, 234, 244-246 (L'er también

Dirichlet problema de) solución del problema por aplicación

conforme, 234, 235 solución del problema en términos del

problema de Dirichlet, 263 unicidad de la solución al problema, 263

Normal, vector a curvas, 71, 84 Norte, polo, 6 Núcleo, 271Numerabilidad de un conjunto, 8, 22, 23 Numerador, I Números, 1

algebraicos, 23complejos (uer Complejos, números) de Bemoulli, 172, 274 irracionales, 1 naturales, 1 primos, 275 teoría de, 274 trascendentes, 24

Números reales, 1 adición de, l división de, 1 operaciones con, I parejas ordenadas de, 3 representación gráfica de, 1 valor absoluto de, 3

Obstáculos, flujo alrededor, 238, 239, 251 Operador, 17, 83

derivada, 66 laplaciano, 33

Opuesto, con respecto a la adición, 1, 3 Orden, de un polo, 68. 145

de un cero, 68 Orden superior, derivados de, 67 Ordinario, punto, 68, 70

de una ecuación diferencial, 270 Origen, 1Ortogonales, familias, 69, 92

conjunto, 288 trayectorias, 82

Ortogonalidad de las funciones asociadas de Legendre, 306

de polinomios de Legendre, 238 P- series, 149, 150Parábola, aplicaciones de, 209, 211, 229 Paralelogramo,

área deiT 6, 21 de período, 277 , 294 diagonales del, 12 ley delT 6, 10, 11

Paralelos, vectores* 6Paramétricas, ecuaciones, de una curva, 41, 69

de una recta, 13usos de: en aplicaciones, 206, 222, 229

Parciales, sumas, de series infinitas, 41, 140 Parejas ordenadas de números reales, 3

representación gráfica de, 3, 4 Pares, funciones, 45Parte, analítica, de serie de Laurent, 145 Parte principal, 4, 44 Parte principal, en diferenciales, 65

de series de Laurente, 145 Perfecto, conductores, 241 Período,

de función exponencial, 46 de funciones elípticas, 277, 293, 294 de movimiento armónico simple, 83

Perpendicularidad de vectores, 6 Pícard, teorema de, 146 Planetas, movimiento de tos, 83 Plano,

complejo, 3, 6 z, 4

Poisson, fórmulas integrales de, para un círculo, 120, 130, 131, 234

para un semi-plano, 131, 234 Polar, forma, de las ecuaciones de Cauchy-

Riemann, 84, 85 de ecuaciones de Laplace, So de números complejos, 4, 14, 15

Polares, coordenadas, 4 (yer también Polar, forma)

Polígono,aplicación de un, sobre el círculo unidad, 221,

222aplicación de un, sobre el semí-plano, 205,

219, 220, 224 Polinomial, ecuaciones, 5, 19, 20, 23, 36

grado de una, 5factor ilación de, 5 función, 34teorema fundamental del álgebra para, 5+

120, 126, 129, 130 Polinomios de Legendre íuer Legendre,

polinomios) ceros de, 5, 20

Polo(s), 68, 80, 158, 159 definidos por series de Laurent, 145 desarrollos en seríes en términos de, 17, 5, 192,

193 dobles, 159 norte y sur, 6 número de, 120 orden de los, 68, 145 simple, 68, 81

Posiciónh vector, 5, 70 Positivo,

enteros, 1sentido o dirección, 95

Potencia, series de, 141 círculo de convergencia de, 141, 144 continuidad de, 143 convergencia absoluta, 153

convergencia uniforme de, 143, 153, 154 diferenciación de, 143, 144, 153, 154 integración de, 143, 153 radio de convergencia de, 141, 151 singularidades y, 144, 147

Potencial, 239, 253, 254 complejo, 236, 246-251debido a carga entre dos planos paralelos;

254, 255 debido a carga y plano, 254

Presión en un fluido, 239, 252 Primo, números, 275Principio de reflexión de Schwarz, 267, 280 Producto vectorial {ver Vectorial, producto)

interno (ver Escalar, productos)Productos infinitos, 267, 268, 280, 281, 294, 295

convergencia absoluta, condicional y uniforme, 267, 268

Prolongación analítica, 147, 160, 266, 279-280 de función gamma, 269, 270, 282 de función í , 274 de integrales, 266, 280 de series, 147, 160, 266, 280 fórmulas integrales de Cauchy-y, 279 puntos de ramificación y, 266 singularidades y, 147 teorema de Morera y, 279 teorema de unicidad para, 266

Propio, subconjunto, 8 Proyección de vectores, 6

estereográfica, 6, 230 Puntos,

conjuntos de, 7, 8, 22, 23 críticos, 202, 215de ramificación, (ver Ramificación, puntos

de)distancia entre, 2, 4, 12en el infinito, 6, 38, 47, 81, 82en el plano complejo, 3estacionarios, 236exteriores, 7frontera, 7, 22, 23inicial, 5interior, 7, 22, 23limite, 7, 22, 23ordinarios, 68, 270silla, 275singular {ver Singular, puntos) sobre el eje real, 1 terminal, 5

Raabe, criterio de, 142 Racional,

función algebraica, 35 número, 1

Racional, trasformación lineal, 35, 204 razón cruzada de una, 204

Radio de convergencia, 141, 151 Raíces,

criterio de las, 142 cuadrada, determinación de las, 19 rc-ésimas de la unidad, 5, 21

Raíces de ecuaciones, 5, 18, 20 de la unidad, 5, 21 de números complejos, 4, 18, 20 número de, 130 producto de, 20 racionales, 20representación gráfica de, 18, 19 suma de, 20

Rama principal, 33, 44, 47 de funciones hiperbólicas inversas, 48'

de funciones logarítmicas, 36 de funciones trigonométricas, 45

Ramas, 37, 44, 49-50 de una función, 33

Ramificación, corte de, 37, 44 Ramificación, puntos de, 37, 44, 49-50, 56h 68,

77, 81, 146 de funciones logarítmicas, 46, 77, 31 integración donde intervienen, 186, 187, 194,

195y prolongación analítica, 266

Rapidez, 83Razón cruzada, 204, 217 Real eje, 1, 4

puntos sobre el, I Real, parte, de una función analítica, 85

de un número complejo, 2 Recta, ecuación de la línea, 13

aplicaciones de curvas en, 206, 222, 229 Rectangulares, coordenadas, 3h 34 Rectángulo, aplicación de un, sobre una

corona, £12 aplicación de, sobre un semi-plano, 210

Rectificable, curva* 93Recurrencia, fórmulas de, para funciones de

Bessel, 272, 281 para funciones gamma, 269, 281 para polinomios de Legendre, 273, 288, 289

Reducida, vecindad, 7, 23 Región, 7, 22, 23

abierta, 7, 22, 23 área de una, 114, 115 cerra la, 7complemento de una, 95 conexa, 95continuidad en una, 39, 40 de convergencia, 140, 150, 151 múltiplemente cones a, 94, 95 simplemente conexa, (uer Simplemente

conexa, regiones)Regla de la cadena para diferenciación, 66, 7S,

85, 86 prueba de la, So, 86

Regular, 64 (uer también Analítica) punto singular, 270, 284, 285

Reordenamiento de términos en una serie infinita, 142

de un producto infinito, 267 Representación esférica de los números

complejos, 6 Representación gráfica, de números complejos,

3r 4, 10-13 de números reales, 1 de raíces, 18, 19

Repulsión de cargas eléctricas, 239 Residuos, 173, 174, 177-180 (fe*" también

Residuo, teorema) cálculo, 173, 174, 177*180 cálculo de integrales por, 154, 174, 175, 180-189,

194relación de, con las series de Laurent* 173 sumación de series utilizando, 176, 189-192,

195, 196teorema del, 174, 177-180 (uer también

Residuos} prueba del, 177usos de las reglas de L'HSpital para calcular,

178usos de series por encontrar, 179

Resultante de vectores, 10 Riemann,

conjetura de, 275

ecuaciones de Cauchy-Riemann, 64, 73-75 fijnción aeta de, 274, 275, 289 teorema de la aplicación de, 202, 203, 234

Riemann, superficies de, 37, 48-50 y prolongación analítica, 266 hojas de, 37

Rodríguez, fórmula de, 162 Rotación de un vector, 14, 15, 17

trasformación de, 203, 213-215, 218 Rotor, 71, 83, 84, 36

identidades donde interviene el, 71 Rouché. teorema de, 120, 121

prueba del, 129prueba del teorema fundamental del álgebra

utilizando el, 129, 130 Schlaefii, fórmula de, para los polinomios de

Legendre, 162, 163 Schwarz, desigualdad de, 32

principio de reflexión de, 267, 280 teorema de, 13

Schwara-Christoffel, trasformación de, 205, 219-224

prueba de la, 219-220, 224 Sector, aplicación del, 207 Semi-plano, aplicación del, sobre eí círculo

unidad, 204, 205, 217, 218 fórmulas integrales de Poisson para el, 121,

131, 234funciones armónicas para el, 121 problema de Dírichlet para el, 234

Sentido o dirección de la curva, 70 convenio del, 9S

Series, 40, 41, 54, 55, 57, 140-172 alternantes, 143asintóticas, 275 (ver también Asintóticos,

desarrollos) convergencíaabsoluta de {ver Absolutamente,

series convergentes) convergencia condicional de, 141, 142 convergencia de, 45, 54, 55, 140, 148 convergencia uniforme, 141, 148, 149 de Fourier, 171 de funciones, 147, 14S de Laurent, Í71 (ver Laurent, series) de Maclaudn, 144 de Mlttag-Leffler, 176, 192, 193 de Taylor, 144, 154-156 diferenciación de, 41, 54, 55, 140, 148 divergentes, 41, 39 especial, 144, 176 geométrica, 56, 149, 150 hipergeométrica, 170 infinitas, 41 integración de, 143, 153 P-, 149, 150prolongación analítica de, 147, 160, 266, 280

(ver también Analítica, prolongación) reordenamiento de términos, en, 142 residuos obtenidos por, 179 suma de. 41, 140sumación de, 176, 189-192, 195, 196

Silla, puntos, 275 Simple,

cero, 60movimiento armónico, 82 polo, 68, 81

Simplemente conexas, regiones, 94, 95 teorema de Cauchy por, 104 teorema de Cauchy-Goursat por, 106, 107 teorema de Green para, 96, 100

Singular, puntos, 68r 69, 80-82 {t;er también

Si titularidades) de una ecuación diferencial, £70, 284 tequiar e irregular, 170, 284, 385

Singularidades, 68, 69 (ver también Singular, puntos)

aisladas, 68, 80, SI, 145, 161 clasificación de, por series de Laurent, 145,

146, 158, 159 comportamiento de funciones analíticas deh

161esenciales, (uer Esencial, singularidades) evitables, 69, 81, 145, 158 integración en torno a, 185 y convergencia de seríes de potencia, 144, 147

Solución general, de una ecuación diferencial, 270 de una ecuación diferencial de Bessel, 272,

273, 285Soluciones, lineal mente independiente, 270,

271de una ecuación, 18

Solar, sistema, movimiento de planetas en el,83

Stirling, fórmula asintótica deT 276 Subconjunto, 1, 2, 8 Sucesiones, 40, 55, 57, 140, 147, 148

acotadas, 142convergencia de, 40, 54* 55 convergencia de, uu i forme, 141, 148, 149 de funciones, 140, 147, 148 finitas, 40límites deh 40, 55-53, 55 monótonas, 142 términos de, 40teoremas importantes sobre las, 141-145

Suma,de números naturales, 1 de parejas ordenadas de números reales, 3 de raíces de una ecuación, 20 de series infinitas, 41, 140

Sumación de series, 176, 139-192, 195, 196 Sumideros, 236, 237, 241 (uer también Fuentes)

en electrostática, 241 en flujo de fluidos, 236, 237 linea, 236

Superficies de Riemann, 37, 49-50, 266 Superior, mínima cota+ G2, 94 Superposición de flujos, 238 Sur, polo, 6 Sustracción,

de números complejos, 2 de números reales, 1

Tangente a una curva, 70, 84 Taylor,

prueba del, teorema de, 154, 155 serie de, 144, 154-156 teorema de, 144, 154-156

Temperatura, compleja, 241, 242 estado de equilibrio de, 241, 255, 256, 258,

2Ó9Teorema del factor de Weierstrass, 263, 283 Teorema fundamental del álgebra, 5, 120

prueba del, utilizando el teorema de Liouville, 126

prueba del, utilizando el teorema de Rouché, 129, 130

Térmica, conductividad, 241 Términos de una sucesión, 40

reordenamiento de los, de una misma serie, 142

Trabajo, 112Trascendentales, funciones, 8, 36, 37

Trascendentes, números, 24 Trasformadón(es), 33, 34, 41, 43, 201, 212-214

(uer también Aplicación) büineal (oer Bílineai, tras formación) conforme (ver Conforme, aplicación de

fronteras en forma paramétrica 206, 222, 229)

de Joukowski, 225, 230 de Landen, 305 dilatación, 203, 213, 218 ecuaciones de la, 201 especiales, 206, 212 generales, 203 inversiones, 203, 218 involutorias, 231 jacobiano de, 201, 202, 2l5h 217 lineal, 35, 204puntos fijos invariantes de, 203, 218 racional, 35rotación, 203, 213-215, 21S sucesivas, 204

Traslación, 203, 213, 218 Trasmisión por cables, 257 Trayectorias ortogonales, 241 Triángulo, aplicación del, 2.10, 222, 223

áreas de, 22 encajado, 105

Trigonométricas, funciones, 35 en términos de función exponencial, 16, 17,

35propiedades de, 35, 45 rama principal de, 4S relación de, a funciones hiperbólicas, 36

Unicidad de límites, 38, 40, 51, 141 de la solución al problema de Dirichlet, 257,

258de la solución al problema de Neumann, 263 teorema para prolongación analítica, 366

Unidad, celda, 277, 294 disco, 202 esfera, 6raíces n-ésimas, de la, 5, 21

Unidad, círculo. 5, 202 aplicaciones sobre el, 204, 205, 208, 21?, 218 fórmula integral de Poisson para eJ, 120, 130,

131, 134problema de Dirichlet para, 234

Uniforme,continuidad, 39, 40, 54 flujo, 237, 246

Uniforme, convergencia, 141, 143, 148, 149, 151-154, 161

de productos infinitos, 267, 268 de series, 141, 148, 149 de series de potencias, 143, 153, 154 de sucesiones, 141, 148, 149 teoremas sobre, 143, 151-153 y continuidad, 143, 152

Uniformemente, convergente series {ver Uniforme, convergencia)

Unión de conjuntos, 7, S, 23 Unívoca, función 33Un o* uno, aplicación o tras formaciones, 201 Vacío, conjunto 8, 23 Vacuidad, 260Valor, absoluto (ver Absoluto, valor)

de una función, 33 principal (ver Principal, valor)

Valor absoluto, de un número complejo, 2, 4 de un número real, 2

Valor medio, teorema del, de Gauss, 120, 126

Valor principa], 4, 33 de integrales, 175 de logaritmos, 36, 46

Variables, 2, 33cambio de, en integración, 94 compleja, % 33 dependiente, 33 independiente, 33 muda, 9í3 real, 2

Vecindad, reducida, 7, 22 deítaT 7, 23

Vectores, 5, 10-13adición de, 10, II, 15 ángulo entre, 21 componentes de, 10 igualdad -det 5interpretación de números complejos como, 5longitud o magnitud, 5normal a una curva, 71+ S4paralelos, 6perpendiculares, 6proyección de, 6punto inicial de, 5punto terminal de, 5resultante de, 20rotación de, 14, 15T 17

INDICE

Vectorial, producto, 6, 20, 21 y rotor, 71

Velocidad a lo largo de una curva, 70, 83 Velocidad compleja, 23R Velocidad potencial, 235, 246 Viscoso, fluido, 235 Vórtice, 238, 250

circulación en torno a un, 250 flujo, 250 fuerza de un, 238

Weierstrass-Bolzano, teorema de, 8, 23 We íe rstra s s- C as o rat i, teorema de, 146 Weierstrass* criterio M de, 143, 151, 152

análogo del, para productos infinitos, 268 prueba del, 151

Weierstrass, teorema del factor de, 268r 283 teorema de para productos infinitos, 268,

283 je, eje, 3 y♦ eje, 3

z} plano, 4 entero, 6

Zeta, función, de Riemann^ 274, 275, 2S9 prolongación analítica de la, 274

variable compleja - serie schaum - murray spiegel - en español

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