var modeliai vector autoregresive models 201 2 -12-0 5

VU EF V.Karpuškienė

VAR modeliai Vector Autoregresive Models

2012-12-05

Literatūra:•Asteriou D. Applied Econometrics A Moderm approach using EWievs and Microfit. Palgrave Macmilan, 2008 (15. Vector Autoregressive (VAR) Models and Causality test) psl. 298-307

•Gujaraty D, 22.9 skyrelis (Vector Autoregression)

•G.S Madala, Kajal Lahiri. Introduction to Econometrics Fourth edition, Willey, 2009,Chapter 14 “Vector Autoregressins, Unit Roots and Cointegration ”. 551-579psl.


VAR modeliai

• Bendra VAR modelio išraiška• VAR modelio sudarymo etapai• Priežatingumo analizė• Reakcija į impulsus• VAR modelio sudarymo pavyzdys


1.Bendra VAR modelio išraiškaVAR(p)

0;)0(~;1

10

pWNeeZAAZettit

p

it

Zt - endogeninių kintamųjų n matavimų (dimensijų);

A 0 konstantų n matavimų vektorius

e t –paklaidų vektorius. Paklaidos yra baltasis triukšmas (WN)

Ai, n*n matavimų koeficientų prie kintamųjų matrica

p – autoregresijos eilė.

p-eilės vektorinė autoregresija


1.Bendra VAR modelio išraiškaPaprastesnis modelis

Turim dvi laiko eilutes Yt ir Xt (t=1n) Abu reiškiniai yra tarpusavio sąveikoje ir priklauso nuo dabartinių

bei ankstesnių periodų reikšmių

yttttt XYXY 1121111210

xttttt XYYX 1221212120


1.Bendra VAR modelio išraiška

1 β12 Yt β10 γ11 γ12 Yt-1 εyt

β21 1 Xt β20 γ21 γ22 Xt-1 εXt** = + +

ZB Γ1Z εt

ttt eZAAZ 110

Γ0Baltas triukšmas


1.Bendra VAR modelio išraiška

ttt eZAAZ 110

tttt eXaYaaY 111211110

tt Be 1

tttt eXaYaaX 212212120 Kur

)1/()( 2112211 xtytte

)1/()( 2112122 ytxtte


1.VAR lengvumai ir sunkumai – Lengvumai/privalumai:

• Paprastumas • Parametrų įverčiams apskaičiuoti galima taikyti

MKM– Sunkumai/problemos

• Laisvės laipsnių problema• Lygčių išdėstymas VAR modelyje, gali įtakoti

parametrų įverčius• Koeficientai neturi ekonominės interpretacijos.

Interpretavimui naudojamės atsako į impulsus analize


2. VAR modelio sudarymo etapai

• Modelio identifikavimas – kintamųjų nustatymas bei duomenų surinkimas

• Kintamųjų stacionarumo užtikrinimas• VAR vėlavimų eilės p parinkimas• Modelio parametrų įvertinimas• Modelio adekvatumo įvertinimas


2.VAR modelio stacionarumo sąvoka

• Vektorinė autoregresija yra stacionari tuomet, kai determinanto: šaknys moduliu yra

didesnės už vienetą Pvz. VAR(1)

01

p

iiiA

1i


Kintamųjų stacionarumo užtikrinimas

• Kintamųjų stacionarumo tikrinimas– Grafinė analizė– Korelogramos – ADF testas

• Stacionarumo matricos šaknų tikrinimas


Kintamųjų stacionarumo užtikrinimas

• Grafinė analizė

0

5

10

15

20

25

94 96 98 00 02 04 06 08 10

EMIGR1_VILN

8

9

10

11

12

13

14

94 96 98 00 02 04 06 08 10

GIMST1_VILN

2.8

3.0

3.2

3.4

3.6

94 96 98 00 02 04 06 08 10

IST1_VILN

5

6

7

8

9

94 96 98 00 02 04 06 08 10

SANT1_VILN


Stacionarumo patikrinimas (EVIEWS)

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

-1 0 1

Inverse Roots of AR Characteristic Polynomial Atvirkstinės šaknys turi būti mažesnės

už vienetą

Išvada: VAR nėra stacionari, nes viena

atvirkštinė šaknis yra didesnė už 1


Stacionarumo patikrinimas

• Jeigu vektorinės autoregresijos kintamieji nėra stacionarūs, tuomet jie logaritmuojami arba integruojami


VAR modelio p eilės parinkimas • Alternatyvos ir pasekmės:

– Parinkta adekvati p vėlavimų eilė modelio įverčiai nepaslinkti ir efektyvūs

– Parinkta per didelė p vėlavimų eilė dalis kintamųjų statistiškai nereikšningi modelio įverčiai nėra efektyvūs dėl mažesnio laisvės laipsnių skaičiaus

– Parinkta per maža p vėlavimų eilė dalis veiksnių poveikio atsiduria paklaidose kai kurie įverčiai gali būti paslinkti


VAR modelio p eilės parinkimas

• Sudaromi įvairaus vėlavimo VAR modeliai• Palyginami jų determinuotumo

rodikliai(AIC, SBC, HQ)


VAR modelio sudarymo etapai

• Modelio koeficientų įvertinimas – VAR modelio kiekvienos lygties koeficientai vertinami taikant mažiausių kvadratų metodu.


VAR modelio sudarymo etapai

• Modelio adekvatumo įvertinimas.Modelis yra adekvatus, jeigu

• Modelio paklaidos yra baltasis triukšmas (Jack Berra testas)

• Paklaidos neautokoreliuotos (Korelogramos ir Ljung-Box testas)

• Paklaidos homoskedastiškos (White testas)


Priežastingumo analizė

Tarkim, turim dvi laiko eilutes Yt ir Xt (t=1n)

• Priežastingumo analizės esmė –atsakyti ar:– Yt daro įtaką Xt

– Xt daro įtaką Yt

– Tarp Xt ir Yt yra abipusė sąveika– Tarp Xt ir Yt nėra jokios sąveikos


Priežastingumo analizė

• Granger priežastingumo testas


Granger priežastingumo testastjti

m

jiti

k

it eYXY 110

tjtj

m

jiti

n

it eYXX 220

Galimi atvejai

Atvejis 1: Pirmoje lygtyje vėluojančių kintamųjų Xt-i grupė yra statistiškai reikšminga (t.y koeficientai nelygūs 0), o

antroje lygtyje esanti vėluojančių Yt-j kintamųjų grupė yra statistiškai nereikšminga

Tuomet darome išvadą, kad Xt daro įtaką Yt

(1)

(2)

Atvejis 2: Antroje lygtyje vėluojančių kintamųjų Yt-i grupė yra statistiškai reikšminga (t.y koeficientai nelygūs 0), o

pirmoje lygtyje esanti vėluojančių kintamųjų Xt-j grupė yra statistiškai nereikšminga

Tuomet darome išvadą, kad Ytdaro įtaką Xt


Granger priežastingumo testastjti

m

jiti

k

it eYXY 110

tjtj

m

jiti

n

it eYXX 220

Atvejis 4: Pirmoje ir antroje lygtyse vėluojančios Xt-i ir Yt-j grupės yra statistiškai nereikšmingos (t.y koeficientai

tikėtina lygūs 0),

Tuomet darome išvadą, kad Xt ir Yt tarpusavyje nepriklausomi

(1)

(2)

Galimi atvejai

Atvejis 3: Pirmoje ir antroje lygtyse vėluojančios Xt-i ir Yt-j grupės yra statistiškai reikšmingos (t.y koeficientai

nelygūs 0),

Tuomet darome išvadą, kad Xt ir Yt sieja tarpusavio priklausomybė


Granger priežastingumo testasTikriname pirmąjį atvejį

1 žingsnis• Apskaičiuojame regresijos lygtį:• Surandame RSSR

tjti

m

jt eYY 110

2 žingsnis• Apskaičiuojame regresijos lygtį:

• Surandame RSSu

tjti

m

jiti

k

it eYXY 110


Granger priežastingumo testas3 žingsnis• Formuluojame hipotezes:

4 žingsnis• Apskaičiuojame Fapskaič. statistiką:

H0: ∑ β=0 , t.y., Xt nedaro įtakos Yt HA: ∑ β≠0 , t.y., Xt daro įtaką Yt

)1(//)(

.

mknRSSkRSSRSSF

u

URapskaič

5 žingsnis

• Jeigu Fapskaič. >Fk,n-(k+m+1) atmetame H0 ir darome išvadą su pasirinktu reikšmingumo lygmeniu, kad Xt daro

įtaką Yt,

• Jeigu Fapskaič. <Fk,n-(k+m+1) negalime atmesti H0 ir darome išvadą su pasirinktu reikšmingumo lygmeniu, kad Xt

nedaro įtakos Yt,


Granger priežastingumo testas

Analogiškai tikriname 2, 3 ir 4 atvejus


Pastabos apie Granger priežasringumą

• Tai statistinis priežastingumas susietas su pasirinktais veiksniais, t.y įtraukus kitus veiksnius gali pasikeisti

• Granger testas jautrus duomenų dažnumui ir sezoniškumui

• Granger testas jautrus įtrauktų periodų skaičiui


Reakcija į impulsus


tt Be 1 )1/()( 2112121 xtytte

tttt eXaYaaX 212212120

)1/()( 2112212 ytxtte

111211101 tttt eXaYaaY

1,22221201 tttt eXaYaaX

2se

Yt

Yt

Yt

Yt+1

YtXt+1


Reakcija į impulsusCholeski išskaidymas


tt Be 1)1/()( 2112121 xtytte

tttt eXaYaaX 212212120

)1/()( 2112212 ytxtte

111211101 tttt eXaYaaY

1,22221201 tttt eXaYaaX

2se

Xt

YtYt+1

YtXt+1

et

e1t

e2t

Yt e1t

e2t

Xt

Xt


VAR modelio pavyzdysPriklausomybė tarp nedarbo lygio ir infliacijos

4

6

8

10

12

14

16

18

20

90 95 100 105 110

HICP_M

UN

R_L

T

-4

0

4

8

12

16

20

98 99 00 01 02 03 04 05 06

UNR_LT HICP_LT


Stacionarumo užtikrinimasGrafinė analizė

-2

-1

0

1

2

98 99 00 01 02 03 04 05 06

DHICP

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

98 99 00 01 02 03 04 05 06

DUNR


Mažiausios dispersijos testas

..

Integruotumo eilė 0 1 2 3HICP_LT 1.974254 0.595277 0.843492 1.446177UNR_LT 3.640464 0.562704 0.581936 0.917874


VAR vėlavimų eilės p parinkimasVAR vėlavimų atrinkimo kriterijaiĮtraukti endogeniniai kintamieji: D_HICP_LT UNR_LT Egzogeninis kintamasis: C Imties dydis: 1998M01 2007M05

Lag LogL LR FPE AIC SC HQ

0 -338.0219 NA 2.525943 6.602367 6.653527 6.623089

1 -136.7732 390.7742 0.054835 2.772295 2.925775 2.834460

2 -126.5922 19.37361 0.048639 2.652275 2.908074* 2.755883

3 -120.4026 11.53791 0.046627 2.609759 2.967877 2.754809

4 -112.7063 14.04764* 0.043418* 2.537986* 2.998424 2.724479*

5 -111.2914 2.527578 0.045687 2.588182 3.150939 2.816118

6 -107.8129 6.078956 0.046202 2.598308 3.263385 2.867687

7 -103.5924 7.211692 0.046072 2.594027 3.361423 2.904849

8 -103.0384 0.925033 0.049355 2.660940 3.530657 3.013205


VAR modelio parametrų skaičiavimas

1 2 3 4HICP = 0.692 - 0.018HICP - 0.062*HICP - 0.061*HICP - 0.083*HICP (0.17168) (0.10017) (0.09669) (0.09649) (0.09851)

t t t t t

1 2 3 4 - 0.084*UNR + 0.26*UNR - 0.111*UNR - 0.106*UNR (0.08502) (0.14992) (0.14934) (0.08735)

t t t t

2 0.092R

2 0.092R

1 2 3 4UNR = 0.024 + 0.230HICP + 0.044*HICP - 0.204*HICP - -0.254*HICP (0.17168) (0.10017) (0.09669) (0.09649) (0.09851)

t t t t t

1 2 3 4 +1.404*UNR - 0.243*UNR - 0.411*UNR + 0.244*UNR (0.08502) (0.14992) (0.14934) (0.08735)

t t t t

2 0.984R


Modelio paklaidų pasiskirstymo pagal normalujį skirstinį tikrinimas

VAR Residual Normality Tests Cholesky (Lutkepohl) H0: paklaidų normalumas Imties dydis: 1998M01 2007M05

Component Jarque-Bera df Prob.

1 1.425498 2 0.4903

2 1.925259 2 0.3819

Joint 3.350757 4 0.5009


Modelio taikymas ekonominei analizei

1. Granger priežastingumo įvertinimas2. Reakcijos į impulsus analizė3. Prognozavimas VAR modeliu


Granger priežastingumo testas Granger priežastingumo testas VAR Granger Causality/Block Exogeneity Wald Tests Date: 06/10/07 Time: 9:23 Sample: 1998M01 2007M05 Included observations: 107

Dependent variable: D_HICP_M Excluded Chi-sq df Prob. UNR_LT 17.70245 4 0.0014 All 17.70245 4 0.0014

Dependent variable: UNR_LT Excluded Chi-sq df Prob. D_HICP_M 15.52862 4 0.0037 All 15.52862 4 0.0037

Išvados

Atmetame nulinę hipotezę, kad

nedarbo UNR_LT kintamųjų grupė

nedaro įtakos infliacijai (t.y nedarbas

yra infliacijos Granger priežastis)

Taip pat atmetame hipotezę, kad

infliacijos kintamųjų D_HICP_LT grupė

nedaro įtakos nedarbui (t.y., infliacijos

pokyčiai) yra nedarbo Granger

priežastis


Reakcijos į impulsus analizė

-1.2

-0.8

-0.4

0.0

0.4

0.8

1.2

1.6

2.0

2.4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Response of UNR to UNR

-1.2

-0.8

-0.4

0.0

0.4

0.8

1.2

1.6

2.0

2.4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Response of UNR to HICP

-0.4

0.0

0.4

0.8

1.2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Response of HICP to UNR

-0.4

0.0

0.4

0.8

1.2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Response of HICP to HICP

Response to Nonfactorized One Unit Innovations ± 2 S.E.


Reakcija į impulsus

• Reakcijos į impulsus analizė rodo, kad abiejų kintamųjų reakcija į sistemą atėjusį impulsą (po pirmojo laikotarpio) yra gana ženkli, autoregresinis jos poveikis abiejų kintamųjų atvejų yra nemenkas


Reakcijos į impulsus analizė• Pokyčiai nedarbo lygyje laikotarpiu t veikia

infliacijos reikšmes laikotarpiu t+1. Taipogi impulsas nedarbo lygio rodikliui, laikotarpiu t, išprovokuoja didesnį poveikį laikotarpiu t+1, t.y. reakcija yra stiprėjanti pirmus du laikotarpius, o vėliau poveikis silpnėja

• Infliacijos gi poveikis nedarbo lygio rodikliui yra vėluojantis.


Prognozavimas VAR modelio pagalba

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

98 99 00 01 02 03 04 05 06

HICP (Baseline) Actuals

HICP

4

6

8

10

12

14

16

18

20

98 99 00 01 02 03 04 05 06

UNR (Baseline) Actuals

UNR

var modeliai vector autoregresive models 201 2 -12-0 5

Documents