users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/t-001-kronprodapprox.pdfj * t zj v-g tzm f!gqhkj k=k p...

205

Upload: others

Post on 17-Jun-2020

5 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

����� ��������� ����� �������������

�� �����������������������

����

����� � ��������!�"����� #���������$�%����

& '�(*)�)�+-,/.�01.�(*243

5 ,6+-)�+738.�+-9�.�2�.�:;+<=04>[email protected]�21EF.�:A+HG�,6049A?A01.�+ IJ>K:A2J24@

21EML"24,63;+7@*@ON�3A(BPQ+-,6)�(R.SC

(*3 5 04,/.�(*04@O<T?A@BUT@*@BV�+-38."21EW.�:A+�X�+-YJ?A(*,6+ZV�+-34.�)[E\24,].�:A+�'^+7_4,`+7+�21E

'�2J>Z.�24,a21E 5 :A(*@*24)�24bA:8C

ced

f!gihKjKkTlnmolJgqprksgut6v-guk

wKt6vZxot6y d�z/{�{}|

Page 2: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

�� f!gqhKj k=lQmol gip k gut`v7guk z/{�{}|

��������� ��������������������

Page 3: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� ��� � ��� f ��� � ��� l ��� ����� �

� f � l;l ��� ��� ��� � � f

� f �

� ����� � �� f � � � ��� �� f ������ ��� f

f!gihKjKk=lQmolJgqp k gut6v-guk��ol�� m � m

� j�y v������ � v-g����/yrksgip daz {�{K|

��� j�t�k���� � prk j � p ���!�Oy j�v�� � h��/y"�-y j$#Zx � p t`y%��k p x�#eg�� #1m&�ngiy k p'� � � ksp t6y p � gip ��p%���

�Oy j�v�� � h��/y(�-y j$#Zx � pOt ���-y\j*)eg�+ t`p gij�v,�-y j c ����+�m g���� vat-+at`p\y g.),/�t`v�#$t�� t � p\j�y\g�06t6p gqj�v

j*� gqprk1#eg�+2�/v ksgqj�vok3� � �54ov6#7+at`p\y g � �6k28 t`v6#:9 j*� p ��� � j�y y � k��oj�v�#egqv�;<#Zg�+2� voksgij�vok

� �-j k��,�Oy j�v�� � h��/y��-y\j$#Zx � p guk t�k � �qj k��Mt�k��ojKk\ksg c ���Wp\j2/ gqv=� y\j c �/v-gixok v-j�y%+�m � t`y\gqj�x k

� j�voksp\y t`giv�� #>�Oy j�v�� � h��/y��-y\j$#Zx � p t*�?�-y j )eg�+at6p gqj�v2�-y\j c �.�'+ak=t6y � t*� ksj � j�v ksg@#$�/y � #"t*�qj�v�;

� gqp%�>�')-t +2���.�6kSm

� � � j�v�#A� � �B#C�'���'�ijD��t�k j�x-y � �3E p j E k j�x-y � � � jF+2�-g��.�/y p �ot6p-�-y\j � �6k kG�6k�+ t`p y\g�)2� t � p j�yGE

g�0 t`p gij�vH�Rj�y + x��ut �!p\jI;D�/v?�/y t6p ���3J � g.�/vZp g�+2���.�'+,�/vZprt`p\gqj�v knj*�K� t�k p p y t6vokL�Rj�y +at6p gij�vat ��;�j E

y gip ��+ kSm � x-yM;�j t*�=g k p\j�t`x7p jD+ t`p � p �?� g�+2�?���'+,�Svep t6p gij�v�j ���3J � g��/vep"�N� � t`v�#^j�p ��� y

� t�k p!p\y t6vokL�Rj�y +ak p �ot6p � t`v c � � �ot`yrt � p%�/y g.0'� #[xok gqv�;B�Oy j�v�� � h��/y��-y\j$#Zx � p� t � p j�y\g�06t6p gij�vokDm

� ���"�Oy\j�v�� � h��/yN�7y j$#Zx � p=v-j�p t`p\gqj�v1�?�ut d kAt � y x � gut*�oy\jD���O�Zt ���ij � giv�;Wp%��� ksg�+B���qgP4 � t`p\gqj�vMj*�

�')$�-y � k ksgij�v�j ��� t�k pFp y t6vokL�Rj�y + t ��;�j�y gip ��+ak"QSRt*� k��CE � tF#-t*+at6yT#A� � t�t`y�� � �ut`vep'� � t`y\p ��� dVU

t`v6# � t*�7gqp t �qg.0/gqv�;Fj�v p ���W�')C���/y\g��/v � ���Ry jF+ p%�����X� � 4��'�Y#1m � ��� � jD+2�7g���� yng k c t�k�� #[j�v$t

Page 4: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

k�� p j*�Ap%�/y + y%� � y gip giv�;Wy\x����6k=p%�ot`p p yrt`vokG�ut6p �-�7g�;D�>�.�'���'��+at`p\y g.)2#C� k � y\g��-p\gqj�v k=gqvep jI�qjKjF�ok

t`v6#^t�k ksg.;�v�+B�/vZp ksprt`p%�'+2�/vep k=giv�t`v d g�+B�V� y t`p\g����"�-y\jD;�yrt*+2+"gqv�;I� t`v�;�xot*;F�5Q �ot`yrt*���.�'�Jj�y

k�� � x�� vZp\gut*� U m>R � ksp x6# d p �?� � t�t6yMt6v�# � t`x c � � �-g.�6k � t �������/p t*�.;�j�y gqp%��+ak � gqp%� t`v �3�@E

�Rj�y\pOp jB�')C�7y �6k\k p%���'+ xoksgiv�;2+at6p y\g�)2� t`v�;�xot*;F�Km�R �I�7y j �ZgY#C� c t � h E �/v�#ap y t6vok�� t`p\j�y k��Rj�y

� ��� � ��� fM� � t`v�# � � ��� ��� m

Page 5: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� ��������� � �� ���� � ������ ��

f!gihKjKk=lJgip ksg t`v-g k � t�k c j�y v$gqv z/{���� t`p p �����eg��.�ut ;D�Oj �Tl d #Zv tWgqvav-j�y\p ��� y v y �'� � ���Zv���)Zp

p j p ��� c t`p\p ����;�y j�x-v�# � ���/y%�Ogqv z����Wc m � mQp ��� � jD+ t`v,;D�/v�� y t*� � x � gixok � ��+ g��igqxokQlJt`x?���qx k

#C�3� � t`p � #]lK�/y kG�/xok3�ep ��� k j�v�j �TlN�-g��ig�� � �Zhegqv�; j*� � t � � #Zj�v-g tZm

f!gqhKj k=k p x�#Zg.� # � t6p ���'+ t`p g � kAt`p p%��� � y\guksp\j�p%��� � v-g���� y ksgip d j*� � ���6k\k t �qj�v7gqheg*m � � c �3E

;Kt6v ;�y tD#exot`p%��ksp\x�#Zg.�6kWgqv � prt`p g ksp\g � t � lN� d ksg � k c x-p[p%���H� t ��� j*� z/{���� �?� � t�k-�ix-y � #�p\j

p �?� � v7gqp � # � prt`p � kWt�kFt2�eguksgip giv�;ak � g��/vep g ksp � gip � � m � m � m � k"!$#�%'&)(+*,% -.#0/1(32546(�71%8(9&:&<;=%8(�7>@?1A"B$C *,/�*D% ? (FE!#C�'� t`y p%+2�/vepOgqv �Ogqv?;Kksp\j�v �AfHG �Rj�yMp � j d �6t`yrkSm � � � jD;�v-g�0 gqv�;!�-guk"�qg�+,E

gqp%� #]hev-j � ��� #C;D� t`v�#5�Rj�y%�6k��'� gqv�; p ���,#$�'+ gukG�Oj*� +at6gqvC�Ryrt*+2� � jD+2�7x-p �/yrk3�����Mt �����ig�� #�p\j

;�yrtD#Zx t`p � k � �-jKjD� k j*�4 v�� � v-g����/yrksgip g�� kSm � v^p%��� � t ���Aj*� z/{�{�I ��� � t�kWtD#$+ gqp\p � #�giv^p%���

;�yrtD#Zx t`p �B�-y jF;�y t + j � p%���,#C�'�ot6y p%+2�/vep!j � � jD+B�-x-p � y � � g.�/v � � t6p � j�y v������ � v7g����/yrksgqp d �

x-v�#$�/y p ��� k x����/y �eguk gqj�vaj �TlJy j*�\m � �ot6y ��� k � t6v � jKt`v m

gqgig

Page 6: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� j,+ d � t + g�� d ��p � t � ���/y k t6v�# �Ry\g��/v6#-k � �-j c ���qg������ #[t6v�#�k x����oj�y\p � #>+2�Ft ���1p%�-jKkG�-�ij�v�;

� p �ot � t d �6t`yrkSm

g��

Page 7: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� �� � ��� � ��� ����� ��� ��

� t*+ ;�yrt`p%�3�Rx��-p\j � j c lN�.�'+2+ j�vok � �-jFy �6tF#[t6vH� t`y � d #Zyrt �RpAj*� p �-g knp �?�6ksg k;t6v�#I�-y j �eg@#C� #

gqv ksg�;F�ZpG�Rx�� � jF+2+2�/vKprkSm � p%�ot`v-h�l t`x��AwKt � h7ksj�v�t6v�# � j c � j�v ksp t c ���I�Rj�yFp%���/gqyW� j ksgip g����

� �'� # c t � h j�v p ��� � yrt`vok �Rj�y%+at`p\gqj�v k � �ot �-p �/y m �Qgqvot ��� d � �I� j�x��@# �igqh��$p j �')$�-y �6k\kH+ d

#C�'����t*�?�-y � � gut`p\gqj�v �Rj�yOp �?�-���'�.� �oksx?���oj�y p t`v�#5;�x-g@#-t6v � � j*�(+ d tF#C�eguksj�y k � ��t � t6yT#Zj k3�

� g � ��og.�����'� t`v6# + jKk pI�6k���� � g t*�.� d � � �ot`y%���6k � t`v � jKt`v m � �-g k � j�y h � t�k k x����oj�y\p � #

gqv �ot`y\p ced p ��� � j�y\v��'��� � �?�/j�y d7� �/vep �/y � �7g � �Hy%� � �/g.���6k �Rx7v�#Zgqv?; �Ry jF+ +B�'+ c �/y kFj*�

gqprk � j�y%� j�y t6p � � �6k��6t6y � � � v ksp gip x-p%���-p �?�Wf t`p gij�vot � � � g��/v � �"�-j�x-v6#-t`p\gqj�v � p%��� � #C��t`v � � #

� �6k��6t6y � � lJy\j � � � prk � ;D�/v � d �Kp ��� fOt`p\gqj�vot*� � v ksp gip x-p%�6kJj*� � � t*�qp%� �Kf�� � G;j�y h � prt`p%���et`v�#� �� � j�y%�oj�y t6p gij�v4m

Page 8: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� ��� � � ��� � � � � ��� ��

� ��� � �������� ����� �z m z � ��� � y\j�v�� � h��/yTlJy j$#ex � p�������������������������������������������������� zz m�� �Oy j�v�� � h��/y lJy j$#ex � p k t`v6# � t`p\y g.)>�ot � p\j�y g.06t`p\gqj�vok������������������������ z m� �Oy j�v�� � h��/y lJy j$#ex � p k t`v6#�l �/y%+[x7p t`p\gqj�vok ������������������������������� �z m � � j�vep y\g c x7p gqj�vok t`v�# � x7p �qgiv��!��������������������������������������������� �z m�" � �'�ut6p � #2R�j�y h#����������������������������������������������������������� z�z

z m�"Zm z � ���-y\j*)eg�+ t`p gij�v � gip �!�Oy j�v�� � h��/y lJy j$#ex � p k$��������������������� z�zz m�"Zm�� �N� � t6v�# p ���M�Oy j�v�� � h��/y lJy j$#ex � p f!j�prt`p gij�v ������������������� z �z m�"Zm� l y\jD;�y t*+ � yrt`vok �Rj�y%+at`p\gqj�v k t`v�# � j$#C� �/v�� y t`p\gqj�v ������������� z

% &'���(����) � *+����,-�/.�� ����,-� 0�,1�32��4��������3576�6�� �98���:;*1 ����� �+<�Zm z � ��� � g��@#$�FlJy j c ���'+ ����������������������������������������������������� z���Zm�� � �-y%�'� � �/p �-j$#7k=��������������������������������������������������������� z��

�Zm��Zm z � )$���ig � gip � ��� ���������������������������������������������������#� I�Zm��Zm�� � t`v � 0 jKk ���������������������������������������������������������#� z�Zm��Zm� lnj � �/y � �/p%�-j$#'���������������������������������������������������#� �

�Zm� lJy jF�V� y p g.�6k t`v�#$l �/y p\x-y c t`p gij�v#�������������������������������������������#� {�Zm� Zm z � v?���/y gip t6v � �Oj � � p y\x � p\x-y � ���������������������������������������#� {�Zm� Zm�� l �/y p\x-y c t`p gij�v � ���/j�y d �������������������������������������������# I

�Zm � � jF+2� � )Zp%�/vok gqj�v k �������������������������������������������������������# ��Zm � m z f��6t`y%�6ksp � x�+ j*�?>-�Oy j�v�� � h��/y lJy j$#ex � p k��������������������������# ��Zm � m�� � ��� � p\y j�v�;2�Oy\j�v�� � h��/y�l y\j$#Zx � p �������������������������������# �"

�Zm�" lJy � � j�v�#Zgip gij�v-giv�; � �����ig � t6p gij�vok@�������������������������������������������# |�Zm � � ���/v � k k x��6kA������������������������������������������������������������� ���

B C�����)D�4*E�F��,1�/*E���/GH�����JIK,1�L2��4��M�NF,-:;) O�P Zm z � gqv?�6t`y � � xot �qgip d>� j�v ksp yrt`givZprkQ������������������������������������������� �K{

Zm z m z � jD+ jF;D�/v?�/j�xok � t�k��R���������������������������������������������#" I Zm z m�� � v � + t*;D� l y\j � �6k\ksgqv?; � �?���qg � t`p\gqj�v �����������������������������#"�� Zm z m� f!j�vCE � jF+ jD;F�/v��/j�xok � giv��6t6y � t�k�� �������������������������������#" �

Zm�� � ��� � g t*� � j�voksp\y t`givZprkS�����������������������������������������������������#" � Zm��Zm z � p j � �ot�k p g � � t`p\y g � �6k����������������������������������������������#" |

�eg

Page 9: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

Zm��Zm�� � y\p �-jF;�j�vot*� � t6p y\g � �6kR������������������������������������������� ��� Zm� � � v-gP4�� #����������5�-y j�vZpGE � v�#H����������������������������������������� | I Zm � � t`v-h�E � v�� � ���-y\j )Zg.+at`p\gqj�v � gqp%� � gqv��6t6y � � xot*�igqp d>� j�vok p y t6gqvep k ������� |Kz

O 57�� ��: *- �F� �:;6�NF,-:;,(� *1D�F����)���� .�� ����,-� 0�,1�32��4��������� ���� : ��N�*+, �EO� m z � ��� � t`v�;�xot*;F�Mj*��� t � p j�y g.06t`p\gqj�v k ��������������������������������������� | �

� m z m z � g�;�gqp � �'���/y k\t*� ��������������������������������������������������� |�|� m z m�� � ��� � � � ������������������������������������������������������� | �� m z m� � p%���/y��ot�k p � y t6vokL�Rj�y +ak$����������������������������������������� |6{

� m�� � x-p\jD+at6p g � � jKjD�ok f��6ksp �/v?�/y t6p gqj�v ������������������������������������� �Zz� m��Zm z � yrt*+2+at6y �Rj�y � t`p y\g�)>�-j�y + x��ut �Q����������������������������� � �� m��Zm�� l y\jD;�y t*+ � yrt`vok �Rj�y%+at`p\gqj�v � x���� k ������������������������������� {��� m��Zm� � v��/y t6p � # � j$#C�6kR����������������������������������������������� z I��

� m� � x-p\jD+at6p g � � �/y\g���t`p\gqj�vaj �Tt �/v��/yrt*� � tD#Zg.) ����������������������������� z�z �� m� Zm z � v>�')-t +2���.�!����������������������������������������������������� z�z=�� m� Zm�� � j�x-vep giv�;2�K�qjKt6p giv�; lQj�gqvep � ���/yrt`p gij�vok��Rj�y p �?�-�X� � ����������� z�z��� m� Zm� � ��� � �?�qgqpGE � tD#eg�) � ��;�j�y gip ��+�������������������������������������� z ���

� m � � �/v � ��+at6y h7k ������������������������������������������������������������� z ��"� m�" � )Zp%�/v�#Zgiv�;Mp �?� � ���-y j t � � ����������������������������������������������� z ��� m�"Zm z � g�;F� � g�+2�/v ksgqj�vot*� lJy j c ���'+ak ����������������������������������� z � � m�"Zm�� � g�;F� � �����'� � �-p\g�+ g.06t`p\gqj�v k ������������������������������������� z |

� m � Rt �������/prk ����������������������������������������������������������������� z<�1I� m | � j�v � �qxok gqj�vok E �-x-p\x-y ��R�j�y\hS��������������������������������������������� z<� �

5 .�� ����,-� 0�,1�32��4��������7576�6��4�(8���: *- �F��� C�����,1) �1O�O� m z � j�v$���/y%;D�/v � � � k\ksx��6k ����������������������������������������������������� z<���� m � � � v-gP4�� #����������5�-y j�vZpGE � v�#H����������������������������������������� z<� "� m � p\y j�v?;>�Oy j�v?� � h�� y �7y j$#Zx � p ��������������������������������������������� z<�K{

� m� Zm z � ���-y\j*)eg�+ t`p giv�; � gip �$t � p y\j�v�;B�Oy j�v?� � h�� y �7y j$#Zx � p ����������� z<�K{� m � � t`v � 0/jKk � ��� ����������������������������������������������������������� z " z� m " � �6t�ksp � � x t`y � k � gip � � v�� � xot*�igqp d t`v�# � � xot �qgip d>� j�v ksp yrt`givZprk ������������� z " �

� m�"Zm z f!j�vCE f��'; t`p\g���� � �6t�k p � � xot6y �6kS����������������������������������� z " �� m�"Zm � � �6t�k p � g ksprt`v � � lJy jD;�y t +2+ gqv?; ��������������������������������� z "�"� m�"Zm � �6t�k p � � xot6y �6k � gqp%� � giv��6t6y � v?� � x t*�qgip d1� j�voksp\y t`givZprk ����������� z "�"� m�"Zm � � �6t�k p � � xot`y%�6k � gip � � gqv?�6t`y � � x t*�qgip d t6v�# � v?� � x t*�qgip d � j�voksp\y t6gqvep k z " �

� m � � jF���egqv�;Mp%��� k�� � x?�ut`y� � xot6p gij�v>�-y j c ����+ ��������������������������������� z " |� C�����,�� ,1��,-�4*- �F���;2�� ��� � *+:;) � <��� m z � tD#Zg.) �/v��/yrt`p gij�v!������������������������������������������������������� z " {� m � � jKjD��f��6ksp �/v�� y t`p\gqj�v ������������������������������������������������� z �}|� m � j � p j xok��Fp �?� � j$#C� ��������������������������������������������������� z6|��

� m em z � jKjD��f��6k p k ����������������������������������������������������� z6|��� m em � � tF#Zg � � k ��������������������������������������������������������� z6| "

�egqg

Page 10: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

C � ,1������:;*+� 0 C�����,-) ���EP� m z � g�+"gqv�; � j�x-p giv��$��������������������������������������������������������� z6| �� m � ��� � � t6v�#�l t`y t ���.�'� ��� � � � t ��� k������������������������������������������ z ��I

� m �em z � y\j�v�� � h��/y�lJy j$#Zx � p����/y\v��'�uk ������������������������������������� z �Zz� m �em � � p y\g@#C� l �/y%+[x7p t`p\gqj�vat�k t � t`p\y g�) � yrt`vokG� j k�� ������������������� z �

� ��M�N��F� � � *+6���� �1P�O

�egqgig

Page 11: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� � � � ��� � ��� �����

�Zm z � jD+B�ot`y\guksj�v j*�Qgip �/yrt`p\gqj�v kX�Rj�y p ���W�Oy j�v�� � h��/yN�-y\j$#Zx � p t ���-y j )eg�+at6p gij�vt`v6#]p �?� � � �-y � � j�v�#egqp gij�v�� y kSm �������������������������������������������# {

� m z � �ijD�okny%� � x-gqy%� # �Rj�yJp ��� � t*� � x�� t`p gij�vMj �1p%����X� � j*� k���� � gP4 � ��� v�;�p%�Mksg.0'�6k� p j ��" � t6v�# p%��� � j�y\y �6kG� j�v�#Zgiv�; � j���J � g.�/vep!j �����ijD;���� �Rj�y"#eg�� �/y � vZpy tF#Zg � �6k �Ry jF+R� p\j z�� m ��������������������������������������������������� z � I

� m�� � �ijD�okny%� � x-gqy%� # �Rj�yJp ��� � t*� � x�� t`p gij�vMj �1p%����X� � j*� k���� � gP4 � ��� v�;�p%�Mksg.0'�6k� p j ��" � t6v�# p%��� � j�y\y �6kG� j�v�#Zgiv�; � j���J � g.�/vep!j �����ijD; � � �Rj�y"#eg�� �/y � vZpy tF#Zg � �6k �Ry jF+R� p\j3 ��Mxoksgiv�; p ��� c �6ksp y tF#Zg�),�Rj�y�6t � �$ksx c �-y j c ����+�m ����� z � z� m� � �ijD�okny%� � x-gqy%� # �Rj�yJp ��� � t*� � x�� t`p gij�vMj �1p%����X� � j*� k���� � gP4 � ��� v�;�p%�Mksg.0'�6k� p j���" � t6v�# p%��� � j�y y � k��oj�v�#egqv�; � j��3J � g��/vepQj*�����qjD; � � xok gqv�;Fp%��� k����igqpy tF#Zg�) t*��;�j�y\gqp �?+�m ������������������������������������������������������� z � z

� m � � �� � �F��I�I�I[c �/v � ��+at6y h7k=t`v6# � jF+2�ot`y\guk j�v � gip � ��� � � �N� � m!������� z � �� m�" �$� f � l ����� c �/v � ��+at6y h7k=t`v6# � jF+2�ot`y\guk j�v � gqp%�5�X� � l ��� �Mm ������� z I� m z � �.;�j�y\gqp%��+ � �ot`yrt � p%�/y g.06t`p\gqj�v��Rj�ynp%����Oy j�v�� � h��/y4lJy\j$#Zx � p � ���-y\j )Zg.+at`p\gqj�v z=� "

g�)

Page 12: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� � � � ��� � � ��� ����

�Zm z � jF���egqv�;I;�y t*�?�-g � t ��� d + gqv���������� � �Rj�y�;�g���� v2��� � p\j�y k � t`v6#�� �������#��"�Zm�� � ���"#eguksp\y g c x-p gij�v j*�Qp%�����/g.;D�/v$��t*�qx?�6kJj*��������/ �Rj�y ��� � � � � � � ��" I�I

� gqp%� � � � � � �$��" I kG�-j � k!p ��� � �ixoksp%�/y giv�;Wj �(�/g.;D�/v$��t*�qx?�6k=t6y j�x7v�# z m I m {�Zm� � � jD+B�ot`y\guksj�v j*�Fp%���ay � #Zx � p gij�v j*�Fp%���ay �6k g@#Zx t*���Rj�y p �7y �'�>#eg�� �/y � vZp

�-y%� � j�v6#Zgqp\gqj�v?�/y kDm � ����#-t�k���� # �igqv��Tguk �Rj�yJp ����#egut*;�j�vot ���-y � � j�v�#Zgip gij�v��/y��p �?� k jD�qgY#=�Rj�yFp ���B�Oy j�v?� � h�� y��-y j$#ex � pMt ���-y\j*)eg�+ t`p gij�v�t6v�#^p �?�2#-t�k��CE#Zj�p p � # �igqv��>�Rj�yap ����gqv � jD+2�?���/p%� � �7jD��� ksh d m � ���ksg.0'��j �,/ guk ���� � � � � � "�" �2� gqp%� � � � � � �$��" � mA����������������������������������� �1I

�Zm � � � jF+2�ot`y\guk j�v j*�Mp%����y � #Zx � p\gqj�v�j �Mp%���^y%�6ksgY#Zxot ���Rj�y2�Rj�x7y5#eg�� �/y � vZp�-y%� � j�v6#Zgqp\gqj�v?�/y kDm � �?�=k jD�ig@#��qgiv�� � j�y\y �6kG� j�v�#-k4p j � v � jD+B�����/p%� � �-jD�.�6ksh d �p �?�5#7t�k��?� # �igqv��aguk��Rj�y[p%���!�Oy j�v?� � h�� y-�-y\j$#Zx � p"t*���7y j )Zg.+at`p\gqj�v �Jp ���#Zj�p p � # �Rj�y p ��� c �qj � h EL#Zgut ;�j�vot*� �-y � � j�v�#Zgip gij�v��/y t6v�#�p ���B#-t�kG�CEL#Zj�p\p � #�qgiv��H�Rj�yMp ���>#egut*;�j�vot ���7y � � j�v�#Zgip gqj�v��/y y �6kG�V� � p g.���'� d m � ���$ksg�0�� j*� p ���� t*�?�ut � �Wk p �/v � g�� +at6p y\g�),/�guk ��� � � � � � �1I�I � gip � � � � � � � � I m!��� �-z

�Zm�" � � jD+2�ot6y g ksj�v j*� p �?�=gqp%�/y t6p gij�vokQt`v�#Wp\g�+2�Ap\j � j�v$���/y%;D�N�Rj�yJp%�-y ���#Zg �A� y�E�/vep(�-y � � j�v�#Zgip gij�v��/yrkJj�v p%��� � � E " � gip �' � v-j$#$�6kSm � ���W#-t�kG��� #H�igqv�� guk�Rj�y p ����#Zg t*;�j�vot �V�7y � � j�v�#Zgip gqj�v��/y��`p%��� ksjF�qg@#��Rj�yJp �?��� y\j�v�� � h��/y �7y j$#Zx � pt*�?�-y j )eg�+at6p gqj�vat`v6#]p �?�-#7t�k��$EG#Zj�p p%� #5�qgiv����Rj�y p%��� c �qj � h>#Zg t*;�j�vot �*m���� � "

�Zm � � � jF+2�ot`y\guk j�v j*�Mp%����y � #Zx � p\gqj�v�j �Mp%���^y%�6ksgY#Zxot ���Rj�y2�Rj�x7y5#eg�� �/y � vZp�-y%� � j�v6#Zgqp\gqj�v?�/y kDm � �?� ksjD�ig@#"�qgqv?� � j�y y � k��oj�v�#7k p\j � v � jF+2����� p � � �-jF���6k hZg �p �?�5#7t�k��?� # �igqv��aguk��Rj�y[p%���!�Oy j�v?� � h�� y-�-y\j$#Zx � p"t*���7y j )Zg.+at`p\gqj�v �Jp ���#Zj�p p � # �Rj�y p ��� c �qj � h EL#Zgut ;�j�vot*� �-y � � j�v�#Zgip gij�v��/y t6v�#�p ���B#-t�kG�CEL#Zj�p\p � #�qgiv����Rj�y p ��� #Zgut ;�j�vot*�N�7y � � j�v�#Zgip gqj�v��/y y%�6k���� � p\g����'� d m � ���Mk g�0'�Fj*� p ��� #Zg.+2�/vok gqj�v t*�Qk � xot6y � � t ���ut � � ksp%�/v � g.� +at`p\y g.)>/ g k ��� � � � � ����� � � gqp%� � � � � � � ����� | m ����������������������������������������������� �Z|

)

Page 13: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

Zm z � �6ksgY#Zxot*� knj*� z�� #Zg�� �/y%�/vZpK�-y\j c �.�'+aknp%�ot`pAy � ksx��ip � #��Ry jD+ z I�I y x-vok �Ry\jD+y t6v�#ZjF+ giv-gqp\gut*�oj�y p �7jD;�j�vot*� + t`p y\g � � kSm � gqy � ���6k(#Zg k���� t d p ��� y �6k g@#Zx t*�1y%�3Eksx?�qp giv�;1�Ry\jD+ k p t6y p giv�;5�Ry jF+ p%��� � �ijKkG�6ksp j�y p%�-jD;�j�vot ��+at6p y g � �6k!p\j�p ����Oy j�v�� � h��/yI�-y j$#ex � p$t*���7y j )Zg.+at`p\gqj�v�j*� / � �-g.��� � y j k k�� k1#$�/v-j�p%��p ���y � ksg@#exot*� k t � �7g��'��� # cZd k p t6y p giv�;2�Ry jF+ p%���Mg@#C� vZp\gqp d +at`p\y g � �6kSm � t6p y\g�)/�gukAtOy t`v6#ZjD+ j�y\p �-jF;�j�v t*� +at6p y g.)Fj*�Qk g�0'� z�� t`v�#MgukAt ���-y j )eg�+at6p � # cedp � j$ksg.0'�3E � j�y p%�-jD;�j�vot ��+at6p y\g � �6kDm-R&� kG�'�Mp �ot6pWgiv + j�y%�Mp �ot6v �ot � ��j*�p �?�,#Zg�� �/y%�/vZp t*�?�-y j )eg�+at6p gqj�v5�-y\j c �.�'+ak�#ZgukG���ut d � # �1k p t`y\p giv�;2�Ry jD+�p ���� �ijKk�� kspFj�y\p �-jF;�j�v t*�+at6p y g � �6k!p\jap ���>�Oy\j�v�� � h��/y��-y j$#ex � pMt ���-y\j*)eg�+ t Ep gij�v$y �6k x��qp%� # gqv � j�v$���/y%;�gqv?;Mp j p ���";�y\j�x���j �Ap �?���ij � �6k p"QS+at d c � p ���jD�7p g�+ t*� U y �6k g@#Zx t*�ukDm ����������������������������������������������������� ��{

� m z � ;�y t*+B+at`yN�Rj�y p%��� ksg.+2���qgP4�� #-+at6p y\g�)I�ut6v�;�x t*;D� xok�� # p\jMp yrt`vok �Rj�y + t+at6p y g.)I�')$�-y �6k\ksgij�vagqvep j t k�� � x��/v � �Oj*���qjKjD� k!t6v�#�t�k ksg.;�v�+B�/vZprkSm ������� �

� m�� � �/y k gqj�vok����]t6v�#����[j*� p ��� � p\j � h$�ot*+ �N� � t*��;�j�y\gqp �?+�m/��������������� {�I� m� � �� � �F��I�I�I[c �/v � ��+at6y h7k=t`v6# � jF+2�ot`y\guk j�v � gip � ��� � � �N� � m!������� z � {� m � �$� f � l ����� c �/v � ��+at6y h7k=t`v6# � jF+2�ot`y\guk j�v � gqp%�5�X� � l ��� �Mm ������� z z

)eg

Page 14: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� � �� � � � �

� � ���� � � �� � �

����� ��� � �� ��������������� ������ �� ����! ; ? ( & ##"1&<; B ; ? 2 C #=*Tj*�Ap � j,+at6p y g � �6k8 t6v�# 9 j*�Tk g�0'� k $&%(' �)%�t6v�#�$+*,' �-*y � k���� � p\g����'� d ��guk t>Q.$ % $ * U '&Q � % � * U +at6p y\g�),#C�34 v�� # cZd

80/ 9��

122222222223

4 � � 9 4 � � 9 56565 4 �8769 94 � � 9 4 � � 9 56565 4 � 769 9mmm mmm m m m mmm

4;: 9 � 9 4;: 9 � 9 56565 4<: 9-7=9 9

>@??????????A� Q z m z U

� �-g k +B�6t`vok p �ot6p5�'���/y d Q.BDC � U c �ij � h j*�,/ j*� ksg.0'��$ * ' � * gukat + x��qp\g����.�]j �Mp%���

� j�y y � k��oj�v�#egqv�; 4<EGF �'�.�'+2�/vepOj ��+at6p y\g�) 8�t`v�# +at6p y g.) 9 m � jD+2� t`x-p%�-j�yrkH#C��4ov�� p%���y g.;D�ep�E �ot`v6#�ksgY#C� j �,Q z m z*U t�k 9H/ 8,�N�Km ;-m I ��� ��{�J m � ���!�Oy j�v�� � h��/y-�-y\j$#Zx � p guk t*� ksjhev-j � v�t�k p%��� * &)(FE ? ; B ; ? 2 C #=*Tt`v�# 21%8;)& #=* A /�*D;=%LK B ; ? 2 C #=*Sm

�Oy j�v?� � h�� y��-y j$#ex � pMv-j�p t`p\gqj�v t`y\guk�� k gqv +at`v d #Zg � �/y �/vep t`y%�6t�kFj*� k � g��/v � � t6v�# �/vCE;�giv��'�/y\gqv�;7m � �/y d g.+2�oj�y prt`vep!p\jaxokOgukOp �ot6pOp �?�2�Oy j�v�� � h��/y��-y j$#Zx � p ksg�+B���qgP4��6k=p �?�I�') E�-y%�6k k gqj�v j ��+at6v d � t�ksp p yrt`vok �Rj�y + t*��;�j�y\gqp �?+akSm&�-j�yI�')7t*+B�������K#Zg � �/y �/vep�� t�kspB�-j�x-y\g��/y

p yrt`vok �Rj�y%+ Q �N� ��U t ��;�j�y gip ��+ k � j�y y � k��oj�v�#�p\j #Zg �A� y �/vep k��ot6y k��>+at6p y\g�)1� t � p j�y g.06t`p\gqj�v k

z

Page 15: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

j*� p%��� � guk � y �/p%�2�-j�x-y g.�/y � yrt`vok �Rj�y + Q � � ��UW� �-jKkG�H� t � p j�yrk givC�KjF�����,�Oy j�v�� � h��/y��-y\j$# Ex � prk�I � � { � J m � ���I�Oy j�v�� � h��/y�-y\j$#Zx � pOg k x k�� #5�')ep � voksg.���'� d giv #Zg.;�gqprt*�Qg�+at ;D�"�-y\j � �6k k Egqv?;-m � �.�JkG�'�ot`yrt c �.�Mg�+at ;D�Fp yrt`vok �Rj�y%+ak��qgih��M� j�x-y g.�/y'� � tF#-t*+at6yT#A� � t�t6yFt`v�# � �ut`vep � t6vc ��� t � p\j�y � #]xok gqv�;,�Oy j�v�� � h��/y��7y j$#Zx � p k I R �}| � wKt`g ��{ � l yrt {ez6J m

� v1+ t`p y\g�)�E ;F�/jD+B�/p y\g � k jD�ix-p gij�vok p j k p j � �ot�k p g � + j$#C�'� k3���qgiv��6t6y k d ksp ��+ak � gqp �>+at6p y\g E

� �6k=j �Jp%�����Rj�y%+� : /�� 7���� : /�� 7

t`y%�>���/y d � jD+2+ j�v(I f��/x �ez<J m � g�+ g.�ut6y � d ksp\y x � p\x-y � # + t`p y\g � � k � jF+2� x�� gqv k p x�#Zg.�6kMj*�+at6p y g.)2+2�/p%�-j$#-k��Rj�y � x?�/x-gqv?;H�-y\j c �.�'+ak=giv I �Ft`x � J m � ��� k t +2�Fp d ���Wj ��+ t`p y\g�)"t*� ksjt*�?�V� t`y k=givat*�?���qg � t`p\gqj�v k;gqv"gqv$���/vZp\j�y d E � j�vep y\jD��+"j$#C�'�uk I og.� ���6J m � �?�FksjF�qx-p\gqj�v"j*�X�qgqv?�6t`yk d ksp%�'+akAj*�Ap%�����Rj�y +

Q / � / / � 56565 / / U�� � 4guk ksp x6#Zg�� #Fgqv I l �7| J t`v�#I�3J � g��/vep4t ��;�j�y gip ��+ kJt`y%��-y j$#Zx � � #WgqvMp%��� t6y �6tOj �4t ���-y\j*)eg�+ t Ep gij�vMj � + x��qp\g@#Zg.+I�/voksgij�vot �D�Rx-v � p\gqj�vot*� kSm ��� jFt*�.;�j�y gqp%��+ak �Rj�yJp �?����6t�kspAk � xot6y �6kAk jD�qx7p gqj�vp jBQ /�/ 8 U � ��� c t�kG� #[j�v"p ����� � t6v�# � ��� � t � p\j�y g.06t`p\gqj�vokJj*�Qp �?�"�Oy j�v?� � h�� y � t � p j�y kt`y%�H�7y �6kG�/vZp%� #]giv(I �N� { � J m � ���,�Oy j�v?� � h�� y��-y\j$#Zx � pFg k x k�� #�gqv /1;<; /�� /�� 7+&���; /V�Qt2;D�/vCE�/yrt*�qg.06t`p\gqj�v]j �Ap �?����� � p j�y'��+at6p y g.) t6v�#]p%�/vok j�y t*��;F� c yrt[gqv I � t`x ��I J �Rj�y t*�?���qg � t`p\gqj�v k p\j� t�k p!p\y t6vokL�Rj�y +akDm

� ��� �-y\jD���/y p\g��6k j*� p ���&�Oy\j�v�� � h��/yI�-y\j$#Zx � p$t6y ��xokG� # �')ep �/vok g����'� d giv I�� � ����J p\j#C�/p%�/y +"gqv�� p%��� ksp t c g��igqp d y j c xoksp\v��6k k j*� ksprt`p%�Mk�� t � �"+ j$#C���ukSm � ��� t�ksp k � x t`y � k �-y\j c �.�'+� gqp%��t +at`p\y g.) � j�voksg ksp\gqv�;�j*� �Oy j�v�� � h��/y-�-y\j$#Zx � p c �ij � h7k g k[k jD�.��� #�p j&�6ksp\g�+at6p � p%���x-v-hev-j � v5� t`y t +2�/p%�/y kAj*� v-j�v��igqv�� t`y k d ksp ��+ak I � � ��� J m

� v�t6v�t �����qg � t`p\gqj�v]j �Jy%�6ksp\j�y\gqv�; v-j�g k d g.+at*;F�6k3�ep ���"+at6p y\g�)�E ��� � p j�y(�-y\j$#Zx � p

Q�� � /�� � U Q�� � /�� � ��� � U �����

Page 16: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

�ot�k p\j c � � t*� � x�� t`p � #A� � ��� y �"+at`p\y g � �6k � � t`v�# � � t6y � � j��'���igqp%0�I � �� � ��{ J m� ���W� y\j�v�� � h��/yK�-y\j$#Zx � pAgukQj*�Rp � v[xokG� #Mt�kAt6vH�'�.�'+2�/vep t6y d jF���/y t6p gqj�v[p\jM#C�34ov��+"j�y �

� jF+2������)!j�v��6kSm � ��� E<*D; ? (�7 ! ; ? ( & # "1&); B ; ? 2 C #=*1g k #$�34ov�� #FgqvFp �?� t`y%�6t!j � � jD+ c gqvot6p j�y gut �p �?�/j�y d t�kWt v�� � + x��qp\g����ig � t6p gqj�vap jKjD�(�Rj�yFj�y\p �-jF;�j�vot*�+at6p y\g � �6k I �����e{�� J m g����/v�p � j+at6p y g � �6k�/ t6v�# 8 � y gip p%�/v�t�k � � E ced E � � t`v6# � � E ced E � � c �qj � h +at`p\y g � �6k y �6kG�V� � p g.���'� d �p �?� � � E cZd E ��� c �ij � h2+ t`p y\g�)>9 guk k\t`g@#ap j c � p%��� ksp\y j�v?;>�Oy j�v?� � h�� y��-y\j$#Zx � p j*��/ t`v�#8 g � t`v�# j�v?� d gP�%���6t � � c �ij � h j �9 � t`v c � � y gip p%�/v$t�k

9 EGF � 7 ���� �

Q / E� / 8 #F U � Q z m � U

f!j�p � p �ot6p;p%��� jD���/y t6p gij�v g k � �'�.��#C�34 v�� #Mj�v�� d t �Rp � yJp �����ot6y t*+B�/p �/yrk � � � � � t`v�# ��� t`y%�k�� p/m � ��� ksp\y j�v�;>�Oy j�v�� � h��/y(�-y j$#Zx � p��7y �6kG�/y ���6kAj�y\p �-jF;�j�v t*�qgip d t6v�#]g k t�k\ksj � g t`p g.���Km

� v-j�p ���/yK;D� v��/y t �qg.06t`p\gqj�vFj �op ��� �Oy j�v?� � h�� yA�-y\j$#Zx � pJg k �Rj�y + x��ut6p � # gqvWj�yT#C� ynp\jOk p x�# d�ut6y ;F�3E k � t*�.� k d ksp ��+ak I ��� ��{ J m

�-j�yOj�p ���/y t*�?���qg � t`p\gqj�v k j �=p%���I�Oy\j�v�� � h��/y�-y\j$#Zx � p��4k�����I � p � {Zz6J m � �-g ksp j�y d j*�Ap%����Oy j�v�� � h��/y��-y\j$#Zx � p guk��7y �6kG�/vZp%� #[giv I � l � � J m����� � �� ���������� � �� ����� ��� ��� � �� � ���

� � � �� �������� �����=d"� t d j*� gqvep y\j$#Zx � p\gqj�v � � ��ksprt`p � k jD+2�Ag.+2�oj�y prt`vep �7y jD���/y\p g.�6knj*� p �����Oy j�v�� � h��/y �-y\j$# Ex � p mNR � #ZjMv-j�p�7y �6kG�/vZp�t`v d �7y jKj*� k c � � t6xok��"�/gip ���/yTp ��� k����-y\jKj*� k t`y%�Fksp\y t`g.;D�ep��Rj�y � t6yT#j�y>�ot'��� t*�����6t6y � #7���uk�� � ���/y � m � j�y$t`v �')Zp%�/vok g����$ksp\x�# d j*� �Oy j�v?� � h�� yI�-y j$#Zx � p kaj*�+at6p y g � �6k t`v�#�p ���/giy t*�����ig � t6p gij�vok � � y ��� �/yFp ��� y �6tF#C�/yFp j I � p � {ez<J m � v^j�yT#C� yWp j t'�Kj�g@#y ���V� p gqp\gqj�v�j*� +at6p y\g�) � j�voksp\y t6gqvep k ksx � ��t�k�+ t`p y\g�)ak g�0'� ksj p%�ot`p t`v�jD���/yrt`p\gqj�v�g k���t*�ig@#A�� � t�k\ksx�+2� p �ot6pOg@#$�/vZp\gqp\g��6k t6y �-��t �qg@#�j�v�� d>� ��� v�t*���K+at6p y g � �6k��ot'��� t*�?�-y jF�-y g t`p �"ksg.0'�6kksj"t*�.�4jD���/yrt`p gij�vok t`y%� � �'�.� #C�34 v�� #1m

Page 17: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� ���M�Oy j�v?� � h�� y��-y\j$#Zx � p guk t�k ksj � gut`p\g������

Q / / 8 U / 9�� / /<Q�8 / 9 U � Q z m U

� �(/M�V8,�A9 t6v�#�� t6y �"+at`p\y g � �6k=t6v�#5/"9 t`v6# 8�� t`y%�-#$�34ov�� # �Zp �?�/v

Q /�9 U / Q�8�� U �:Q / / 8 U Q�9 /�� U � Q z m �$U

� ���M�Oy j�v�� � h��/y��-y\j$#Zx � pW#Zg ksp y\g c x7p �6k=j ���/y�tD#�#Zgip gij�v��

Q / � 8 U / Q�9 � � U � / / 9 � / /�� � 8(/ 9 � 8(/�� � Q z m " U

� ���"�-y\j$#Zx � p j*�TtI�Oy\j�v�� � h��/y �-y j$#Zx � p!p\g�+2� k;tI��� � p\j�yTguk tI+at`p\y g�)I�7y j$#Zx � p��

Q / / 8 U � �<��� � QG8� /� U Q z m ��U

� gqp%� � �<��� � Q�� U m � �/y%���6p ���TjD���/y t6p j�y ��� � Q�� U � y%�6t`p%�6kQt���� � p\j�y cZd ksp\y giv�;�giv�;Op jF;D�/p%���/y��

j�v?�3E ced E*j�v����-p �?� � jD�qx?+ vok;j �(+at6p y g.)��� � � :� 7 �

��� � Q�� U �

12222223

� Q�� C z*Ummm

� Q�� C � U

>@??????A� Q z m |FU

� ksx-y%��� d j*�(��� � jD���/y t6p j�y��-y\jD���/y\p g�� k � t`v c ���Rj�x-v�#]giv I ��� �ez<J m� ���Op\y t`v k��ojKkG��� � j�v � x�;Kt6p ���7t`v�# gqv$���/yrk�� j*� tM�Oy j�v?� � h�� yN�-y j$#ex � p=g k;p%���"�Oy j�v�� � h��/y

�-y\j$#Zx � p j*� p ���Fp\y t`v k��ojKkG�6k3� � j�v � x�; t`p%�6k3� t`v�# givC���/yrk��6kAy �6kG��� � p g.���'� d j �Ap �?� � t � p j�y k��

Q / / 8 U � /�+/ 8

Q / / 8 U � / / 8

Q / / 8 U ��� � / ��� / 8 ��� �

� k t � j�vok�� � x��/v � �Fp j p%���Mt c j ���M�-y jF�V� y p g.�6k � � � t`v�kG�'�Wp%�ot`p p ��� � y\j�v�� � h��/y �-y j$#ex � p

�-y%�6k��/y%���6kJp �����-y\jD���/y p\g��6kAj*�Qp%����� t � p j�yrkSm(�-j�y �')7t*+2���.����gP�K/ � / t`v�#58 � 8 �Zp �?�/v

Page 18: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

"

Q�8 / 9 U � 8 / 9Mm � gih�� � gukG���4p ��� � y\j�v�� � h��/y"�-y\j$#Zx � pMj ���oj ksgqp\g����B#C�34ov7gqp �O�nv-j�vCEv��'; t`p\g������ej�y p%�-jD;�j�vot �At`v6#1���/y + x-prt`p gij�v2+ t`p y\g � � k y%�/p t6gqvap �?� � j�y y%�6k��oj�v�#Zgqv?;H�-y\jD���/y\p dj*�Qp%���/giy � t � p\j�yrkSm(�Oy j�v�� � h��/yN�-y\j$#Zx � prk;j*� kG�ot`yrk���+ t`p y\g � � knt6y �Ft �uksj k��ot6y kG�Ft`pAp �?� c �qj � h�������'�*m

�-y jD+ Q z m �CU gqp-�RjF���qj � kWp%�ot`p p ��� � �'���ThZv-j � v � t � p j�y\g�06t6p gij�vok����-�����"� � �-jD�.�6ksh d �� ��� �ot`v�# � � �ex-y �ot'���Ov-g � �-�Oy\j�v�� � h��/y(�-y\j$#Zx � p��')ep �/vok gqj�vok �

/ � ����� �8 � � % � %

��

/ / 8 � Q�����/�� % U Q�����/�� % U � � / ��� � � �� %�8 ��� %�� %

��

Q�� � /�� % U Q / / 8 U � Q�� � /�� % U Q�� � /�� % U/ ��� � � �8 ��� % � %

��

/ / 8 � Q�� � /���% U Q�� � /�� % U/ ��� ������� �8 ��� % � % � %

��

/ / 8 � Q�����/�� % U Q � ��/ � % U Q � ��/ � % U ���� /���� � � ����% 8�� % � � %

��

Q�� � /���% U � Q / / 8 U Q�� � /���% U � Q � � / � % U� jF+2� � t � p j�y g.06t`p\gqj�v k=p �ot6p t`y �Fv-j�p � x7gqp �W�-y �6kG�/y ��� #[t6y �Fp ��� y �6t � � � �Zx7y#C� � jD+2�ojKk gqp\gqj�vt`v6#]p �?� yrt`v-h"y �'���6t �qgiv�; � � m

� ���"t c j ���[gY#C�/vep gqp\g��6k c y\gqv�;ax��t`v�g.+2�oj�y\p t`vep��oj�givZp m � x����ojKkG� � �I� t ���Mp\j�k jD�����p �?�Ok d k p �'+ Q / /&8 U�� � � � gip �B/�CA8 � � 7 � 7 m � � � � g�;�v-j�y%�Op ���� t � p;p%�ot`pAp%���Ok d k p �'++at6p y g.) guk t2�Oy j�v?� � h�� y��-y\j$#Zx � p��1gqp p t`h�� k�!MQ �#" U�$ jF�okOp jak jD�.���Wgqp m � �=givoksp%�6tD# � �WxokG�p �?� � t � p p � t`p p ��� k d ksp%�'+ Q / / 8 U�� � �!g k�� � x7g���t*�.�/vZpTp j

8� / � 9

� gqp%� � � ��� � Q�� U t`v�#%��� ��� � Q�9 U p ��� v � �Mj�v?� d v?�'� #�p j$ksjF�����Wp � j1+ x��ip g��?���Oy\g�;D�ep�E

Page 19: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

�ot6v�# E ksg@#$�Mk d ksp%�'+ak��Zt6v�#]p%�-guk � t`v c �M#Zj�v��Wgiv j�v�� d !-Q � � U $ jD�ok��� � jF�����-8�� � 9 �Rj�y�� gqv !MQ � � U $ jD� k xok gqv�; p �?� � � � t � p j�y g�0 t`p gij�v$j*� 8 m

� � jF����� �=/ ��� �Rj�y � gqv !MQ � � U $ jD�ok xok gqv�; p ��� � � � t � p j�y\g�06t6p gij�v�j �(/ m

� g.+ g�� t`y � d �6ksx?���ojKk�� � ��ot'��� p j � t � � x?�ut`p%� p ����+at6p y g.)"��� � p j�y �7y j$#Zx � p�Q /�/ 8 U � � � ���/y%�/�C38 � � 7 � 7 m R�gqp �7j�x-p � j�vok g@#C�/y\gqv�;p ���&�Oy j�v�� � h��/yI�-y\j$#Zx � p$ksp\y x � p x-y%��� gqp p t`h�� k!MQ ��� U $ jF�ok[p j �V� y��Rj�y%+ p%���5+at6p y\g�)�E ��� � p j�yI�7y j$#Zx � p'� � �-g��.��p%��� � t � � x?�ut`p\gqj�v�j*� p%���� � x-g���t ���/vep��')$�-y%�6k k gqj�v 8�=/ y � � x-giy �6kAj�v�� d !MQ � � U�$ jF�okSm

� ��� y t`v7h^j � t + t`p y\g�)$p �ot6pWgukFt>�Oy j�v�� � h��/y��-y\j$#Zx � p guk�� � xot*�Ap j$p ���,�-y\j$#Zx � p j*�p �?� yrt`v-h7k j*� gqp k � t � p j�y k

y t6v-hAQ / / 8 U ��yrt`v-h Q / U y t`v7h�Q�8 U �

� �(/ � � : � : t6v�# 8 � � 7 � 7 p%���/vp\y'Q / / 8 U � p y�Q / U p y�Q�8 U

#C� p'Q / / 8 U � #C�/p�Q / U 7 #C�/p'QG8 U :� ���/y%�Fp y guk=p%���"+at`p\y g.)[p\y t � �Wt6v�#>#C�/p g k=p ���M#C�/p%�/y +"gqvot6vZp m

���� � �� ���������� � �� ����� ��� ��� � ��� ��� ���� � �� 0'�/y\j*E j�v�� k � xot6y �-+ t`p y\g�)�� g k t B &); A C *,/�*D% ? (1+at6p y\g�) g �

��� � � � � �E�

f!j�p � p%�ot`p p ���>�Oy\j�v�� � h��/y"�-y\j$#Zx � pMj � p � j5���/y%+[x-prt`p\gqj�v&+at6p y g � �6kOguk t1���/y%+[x-prt`p\gqj�v+at6p y g.)1m

Page 20: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

|

� ���/y d g.+2�oj�y\p t`vep ���/y + x-prt`p gij�v"+at6p y g.)!p\j!x k8g k8p%���"E<*D;=%82+& B &<; A C *,/�*D% ? (�� 7�� � � ���/y%������ $�m(�-j�y��)-t +2�����O�

��� � � � � I � � C � � C ��� C �� C � � C � � C � " C � � J t`v6#

�� � � � � I � � C ��� C � � C � " C � � C �� C � � C � � J �� �ot6p guk3�Kp%���Ft*�?���qg � t`p\gqj�v"j*��� 7�� � j�v$t���� � p j�y � j*�K�.�/v�;�p � �ay �6kG�Zx �B�6kJp �?���'����+2�/vep k4j*�p �?����� � p j�y t�k��RjD�.�qj � k �

I � � C � ��� � C � ��� � � C 565656C � � C � � � � C � � � � � C65 5656C � � C � � � C � � � C656565 J �� c �egqj�xok�� d

� 7�� � ��� 7�� 7 � � 7 �R ���/v��!#Zg��eg@#$�6k �K�-p ���/v

� 7�� � � � 7����� �� � ��g k=v-j�p tI+[x��ip g.����� j ��� �-p ���/v%� 7�� � guk=v7j�p t[k p y gY#C�"���/y + x-p t6p gij�v4m

� v-j�p ���/y � t d p j �eguk xot*�ig�0'�$p ���&� � � � p"j*� ksp\y g@#$� ���/y%+[x-prt`p\gqj�v guk[p\j � j�vok g@#C� y gqprky ���ut`p\gqj�vok��-g.� � gqp �>+at6p y\g�)Mp yrt`vokG�ojKksgip gij�v4m � � � �<��� � Q�� U � � gqp � �� � � � � : �Zp%���/v

� � : � � � � ��� � Q � U � Q z m ��U

� � � � � j�vok g@#C� yOtI�qgiv��6t`y+B�'+[j�y dI� ��� y � tH+at6p y g.)Mj*�Tk g�0'����E ced E��Mguk ksp\j�y%� #]giv � jD�qx?+ vCE+at � j�y=j�yT#C�/y��-p ��� v]p%��� t � p\gqj�v]j �At � � �6k\ksgiv�;Mp �-g k�+at`p\y g.)[giv y j � E +at � j�y j�yT#C� y guk�� � x-g���Et*�.�/vep gqv2���/y%+[x-p\gqv�; p ���"+2��+ j�y d ��� � p j�y � gip � � ����� � m

� ��� ksp\y gY#C�-���/y%+[x-prt`p\gqj�v!���/y + gip k=p%���-�Rj�y%+at*�X#C�6k � y g.�-p gij�v�j �Tgqv�#C��)Zgiv�;[jF���/y t6p gqj�vokt`y\guk gqv�;�giv � t�k p]p\y t6vokL�Rj�y + t*�?���qg � t`p\gqj�v kSm � j�y2�')7t*+2�?�����Ap ��� c gqp y%�'���/y k\t*� jD���/yrt`p gij�v

y � � x-giy � # gqv�p%��� � jKjD�.� d E � x-h�� d �N� � guk"t ���/y%+[x7p t`p\gqj�v +at6p y g.)�p � t`pagukH� � xot �!p\j t

Page 21: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

�-y\j$#Zx � pAj*� �Oy j�v?� � h�� y �-y\j$#Zx � prk;givC�KjF���egqv�; g@#C� vZp\gqp d t`v6# ksp\y g@#$��V� y + x-p t6p gqj�v-+at6p y\g � �6kDm� �/y%�Oguk=p%���"���/v?;�p � z � c gip y �'��� y k t �

� � " � � ��� � " � ��Q�� � /��� � � U Q�� � /�� � � � U � ��� � �

Q�� ������� /�� � � ������ U �� pWguk"�ojKk k g c �.� p j�y%�'�ut6p �B/ / 8 p j 8 / / xok gqv�;�k p y\g@#C�,���/y + x-p t6p gij�vokDm � pWg k p%���

# ?1A A C *,/�*D%��& B ; ?=B &<;:* �[j � p ���B�Oy j�v�� � h��/y��7y j$#Zx � p/m �Rj�yMt6v d +at6p y\g � �6k�/ � � : � � 7 �t`v6# 8 � � : 9 � 769 �ep ���/v

/ / 8 ��� :�� : 9 � :�� QG80/ / U � 7 � 769 � 769 � Q z m {�U

� �-g k � jD+2+ x-p t6p g.�D�(�-y jF���/y p d j*� p �����Oy\j�v�� � h��/yN�7y j$#Zx � p;g kN���/y d xokG�3�Rx��ogqvMp%����#$�'���'�qjF�CE+2�/vep=j �(� t�ksp p y t6vokL�Rj�y + t*��;�j�y\gqp �?+ak!t6v�#�gqv$p ��� g�+2�?���'+,�/vKp t6p gij�v j �=p%���6kG�Mt*�.;�j�y gqp%��+akj�v�kG� � x��/vep gut �Qt`v�#5� t`y t ���.�'� � jD+2�-x7p �/yrk3� c � � t6xok��Mp%���-���/y%+[x-prt`p\gqj�v>+at6p y\g � �6k �Rj�y +at ��� d

�')$�-y � k k�+2�'+"j�y d t � � �6k k��ot6p p%�/y vok t`v6#]p �?� � jD+2+ x-v-g � t6p gqj�v[y%� � x-gqy%� #1m� t`p\y g�) � 7�� � g k t*� ksjMhev-j � v�t�k p �?����� � E ���/y%+[x7p t`p\gqj�vH+at6p y\g�) I ��� �Zz;J m

����� �� � � � ��� ��� �6 �� � ��� ������� � �� �-g k[p ��� ksgukMguk"t�ksp\x�# d j �M��t6y gij�xokat�kG��� � p k j*� p ���&�Oy\j�v�� � h��/yI�-y\j$#Zx � p t`v�#�gqprk[t �CE���ig � t6p gqj�v^giv ��)C�-y%�6k k gqv�;?�Jk g�+2���ig � d gqv�;?�1t6v�#^g.+2������+H�/vep g v�;,� t�ksp p yrt`vok �Rj�y + t*�.;�j�y gqp%��+ak�qgih���� t�kspM�-j�x-y\g��/yFt6v�# � t'���'��� p!p\y t`v kL�Rj�y%+akSm"R&� k p t`y\p cZd gqvep y j$#ex � gqv?; p ���B�Oy j�v�� � h��/y�-y\j$#Zx � p t*�?�-y j )eg�+at6p gqj�v5�-y\j c �.�'+�m � v�p �-g k��-y\j c �.�'+ � � t`y%�I;�g.���/v�tH+ t`p y\g�)!/ t6v�#�t� t � p j�y\g�06t6p gij�vMj*� gqprkN#Zg�+B�/voksgij�vokQt`v6# 4ov6#Wp � j�+at6p y g � �6kN8�t`v�#29�j �4p%��� � j�y\y �6kG�oj�v�#Zgiv�;#Zg.+2�/vok gqj�v k3� ksjap �ot6pFp ���/giy"�Oy j�v�� � h��/y��7y j$#Zx � p g kOp ��� � �ijKkG�6kspOp\j!/ gqv�p �?�2�-y j c �/v-gqx kv-j�y +�mKR ��ot'��� kG�'�/v p �ot6p=gqp gukN�-g�;F��� d tD#C��t6vZprt*;D� j�xok=p\j���)C���ij�gipJp ��� ksp\y x � p x-y%���-y%�6k�� vZpgqv$t,�Oy j�v?� � h�� y �7y j$#Zx � pOt6v�#]p%���Fv��6t`y%�6ksp��Oy\j�v�� � h��/y �-y j$#Zx � p�+ t`h��6kAp �-g k�� j k k g c �.� giv

� �/y\p t6gqv$t*���?�qg � t`p gij�vok=p%�-y j�x�;D�!�-y � � j�v�#egqp gij�v-giv�;-m

Page 22: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

{

� v � �ot �-p � y�� � �H�-y%�6k�� vZpOp%�-y ���,#Zg�� �/y%�/vZpW+2�/p �7j$#-k��Rj�y ksjF���egqv�;ap �?�[v�� t`y � ksp"�Oy j Ev�� � h��/y��-y j$#ex � p"�-y j c ����+�m � v��My ���qg�� k!j�v�p ���,�')$���qg � gqp k gqv�;�x��ut6y"��t �qx��B#C� � jD+2�ojKk gqp\gqj�vQ � ����U �ej�v��"+2� p �-j$#Mguk c t�k�� # j�v]p%��� � t6v � 0/j k � � � �-t6v�# j�v��Oprt`h��6k tMkG�'�ot6y t c �����.�6t�k pk � xot6y �6kMt ���-y j t � ��xok gqv�;�p �?�1�oj � � yI+2�/p �7j$#1m R&�$t*�uk j�k��-j � p%�ot`pMp%���$ksp\y j�v?; �Oy j Ev�� � h��/y(�-y\j$#Zx � p � t`v c �Fj c prt`giv�� # cZd y � j�yT#$�/y giv�;Mp ���"�'�.�'+2�/vep kQj*� tMksx�+ j � �Oy j�v�� � h��/y�-y\j$#Zx � prk3�Ap �exokWy �'� t`p\gqv�;$gqp � gip ��p%���2;F�/v��/yrt*�qg.0'� # �Oy\j�v�� � h��/y"�-y\j$#Zx � prkWp �ot6p t`y g k�� giv� t�k p � t'���'���/pAp\y t`v kL�Rj�y%+akSm � v�t �����ig � t6p gqj�v � gqp �>�-y%� � j�v�#Zgqp\gqj�v-gqv�;Mg k�;�g.���/v4m

� v � � t*�-p%�/y7 � �>�')-t + gqv?�[p%��� � j�vok p yrt`gqv?� # �Oy j�v�� � h��/y"�-y j$#ex � p"t*���-y\j )Zg.+at`p\gqj�v

�-y\j c �.�'+ /�� 8 /I9I� � ���/y �Ap%���N� t � p\j�y kN8%t`v�#-9 t`y%�Ay � � x-gqy%� #!p\j��ot'���Ak jD+2� ksp y\x � p\x-y t ��-y\jD���/y p d mK�-j�yK�')7t*+2�?����� � �(+at d y%� � x7gqy � 8 t`v�#I9 p j c � c t`v�#$� #A��k d +2+2�/p\y g � � � j������qgip 0��� t6v-h��'� � � giy � x�� t`vep'� k p j � �ot�k p g � �=j�y"j�y p%�-jD;�j�vot �*m � �'���/yrt*�+2� p �-j$#-k-�Rj�y ksjD�.�Zgiv�;�p ���6kG��-y\j c �.�'+akOt6y �,#C�'�����qjD��� #�t6v�#^p%�6ksp%� #1m � v�t*�?���qg � t`p\gqj�v �Ry jF+ y tF#-t`y ksg.;�vot �(�-y j � � k ksgiv�;p � t`p y � � x-gqy%�6k=t � j�voksp\y t`giv�� #>�Oy j�v�� � h��/y��-y\j$#Zx � p t ���-y\j*)eg�+ t`p gij�vaguk�;�g����/v m

� ���I�Oy\j�v�� � h��/y �-y j$#Zx � p!g k t ;�y �6t6p!p\jKjD� �Rj�y p �����Rj�y +at � #C�6k � y g.�-p gij�vaj*�X� t�ksp p yrt`vok E�Rj�y%+ t*�.;�j�y\gqp%��+ak�Q � j�x-y g.�/y'� � tF#-t*+ t`yT# � � t'���'�.�/pN�/p � U m � t`v d #Zg �A� y �/vepJp yrt`vok �Rj�y%+ t ��;�j Ey gip ��+ k gqv ksg�;�vot*���7y j � �6k\ksgiv�; � t`v c ���')$�-y � k k�� #Ot�k +at`p\y g.) E ��� � p\j�y��-y\j$#Zx � prknt6v�#-#eg�� �/y � vZpt*�.;�j�y gqp%��+ak � j�y y � k��oj�v�# p\jI#Zg �A� y �/vepN� t � p\j�y g.06t`p\gqj�vok;j �Qp ���Op\y t6vokL�Rj�y + +at`p\y g�) m � ���OxokG�j*� +at`p\y g.)Wv-j�p t`p\gqj�v p jM#C�6k � y g c � p ���6kG�Ot ��;�j�y gip ��+ knx-v-gP4��6kJp �����qgip �/yrt`p\x-y � t6v�#[k g�+2�?�qg 46�6kg�+B�����'+,�/vep t6p g j�v4m � x-y giv�;�p ���B�ut�k p-� � � d �6t6y k3�Qp ��� y �2�ot�k c �'�/v t�p\y �'+2� v�#Zj�x k t � p g.� Egqp d givHp%���H4����@#^j � � t �������/prkSm � j � �'���/y��4gqv � j�voksg ksp%�/vZp t*�.;�j�y\gqp%��+ g � v-j�p t`p\gqj�v�t6v�# �qj �

�������'�K#C�6k � y g.�-p gij�v�j*� t*�.;�j�y\gqp%��+akOt�k�+ x��qp\g����.�Fksx�+ k!j*� ksx c k � y g.�-p � #�k � t �ut`yrk��ot'��� c ���/vy � p t`y�#Zgqv?; � ���6t6vag�+2���.�'+,�/vZprt`p\g j�vokAt`v�#>���6tF# p jB#Zx����ig � t6p gqj�vaj*� y �6k x��qprkSm

� ��� � t�kspap\y t`v kL�Rj�y%+ t*�.;�j�y\gqp%��+akMp �ot6p � jD+2�$x���giv�p ��� k���t`y%�6t�k����ot`y\p g � x��ut6y � d giv� t'���'�.�/p k��Kt`y%���ot'�egqv�; t`v giv � y � t�ksgiv�;D� d g�+2�oj�y p t6vZpAy\jD��� p jI�?�ut d t`v�# y � � x-gqy%�Ot";�y%�6t`p ��t'Ey g.�/p d j*� � j$#C�Op\j c �"#C�'���'�ijD��� #1mKR�gqp%� p ��� � y\j�v�� � h��/y(�-y\j$#Zx � p v7j�p t6p gij�v �-gip=guk(�ojKk k g c �.�

Page 23: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

z�I

p j t6x-p jF+at`p%�Op �?���-y j$#ex � p gij�vaj*� ksx � � � j$#C� t`v�# p �exok c � t c ���Op\jI�-y j ���Ft6v�#2;�xot6y t6vZp%�'��-y\jD;�yrt*+ � j�y\y � � p\v��6k\kSm g���� v�t�p y t6vokL�Rj�y +HE +at6p y g.) � t � p j�y g.06t`p\gqj�v �Rj�y%+[x�� tC� � �$k��7j �

p � t`p p ���/y%�Wg k!t�� +2� � �ot6v-g � t*��� � t d p j,�-y j � �6k k!gip t`v�#5;F�/v��/yrt`p%�-�3J � g�� vZpTg�+2���.�'+,�/vKp t'Ep gij�vokJj �A�ijKjD� v?�6ksprknp j c ����)C� � x-p � #Fgqv kG� � x?�/vZp\gut �-t6v�# � t`y t ���.�'� � jD+2�-x7p �/yrkSm � v � �ot �-p � y�>� �I�-y%�6k�� vZp t2+2�/p%�-j$#ZjD�ijD; d �Rj�y t6x-p jF+at`p\gqv�;ap �?�Mg�+2���.�'+,�/vZprt`p\gqj�vaj ��3J � g�� vZp��Oy j Ev�� � h��/y��7y j$#Zx � p � j$#C�=Q � gqp%� ��+2���ot�ksgukOj�v �N� ��U �8x ksgqv?;�k d + c jF�qg � +at6v-g��-x?�ut`p\gqj�v�t`v�#

� j$#C�Fp\y t`v kL�Rj�y%+at`p\gqj�vokSmNR&� � j�voksp\y x � p tMkG�/p=j �Jy\x���� k;p � t`p�#C�6k � y g c �FtMksj�x-y � ��E*p\j*E ksj�x7y � �

� jF+2�-g��.�/y��Ry jF+ t2�-g�;F� ���'���'�K+at6p y g.)!#C�6k � y g��7p gqj�v �ut6v�;�xot ;D���4p\j1�ijKjD�ok t`v�#�t�k\ksg.;�v�+2� vZp

ksprt`p%�'+2�/vep k=p%�ot`p � t`v c �Mp yrt`vokG�ut`p%� #�p j t`v d g�+B�V� y t`p\g������7y jD;�y t +2+ gqv?;I�ut`v?;�xot ;D�Km�R&��-y\j*�eg@#$� ksx � �Mp\y t`v k��ut6p j�y k �Rj�y � ��� � ��� fM� � t6v�#���������� �m R&� y x-v p �7jKk��;F�/v��/yrt`p%� #

� j$#C� k j�v5��t`y\gqj�x k � j�y h7ksp t6p gij�vok t`v�#>���/y gP� d p%�ot`p p �?�/gqy���/yG�Rj�y + t`v � �Fg k � jD+2� t`y t c ���Fp\j�-g.;D��� d jD�-p\g�+ g.0'� #I�ot`v6# E � y t �Rp%� # � j$#C�Km

� �-y ���at*�����/v6#Zg � � kWgqv � �ix�#C� � j$#C�H�Rj�yMp ��� � �ot*�-p%�/y k ��t6v�#; �t*�.;�j�y\gqp%��+akFt`v�#�p%����-y\jD;�yrt*+ ;D�/v�� y t`p\j�y j � � �ot*�-p%�/y � m7R&�5�7y j �ZgY#C� ��������� � j$#C�1�Rj�y p �?� �Oy j�v�� � h��/y�-y\j$#Zx � pAt ���-y\j*)eg�+ t`p gij�v t`v�#-�Rj�yJp%��� k jD�ix-p gij�vMj*� ���6t�ksp k � xot`y%�6k �-y\j c �.�'+ak � gqp%�I� � x t*�qgip dt`v6# giv�� � xot*�igqp d �qgiv��6t6y � j�voksp\y t`givZprkSm R&�at*� ksj �-y\j*�eg@#$� p ��� ksj�x7y � � � j$#C�2�Rj�yMp ��� � j$#C�;D� v��/y t6p gij�v�k d ksp%�'+ � y gip p � v�gqv � t ����� t`v�# � t`p%���'+at6p g � tZm � t +2����� k=j*� p%���-;F�/v��/yrt`p%� #ksj�x-y � � � j$#C�Ogiv2� � � � �� f�t6y � t*� ksjI;�g.���/v4m � ���Ok j*�Rp � t6y �Oy%� � x-gqy%�'+2�/vep kA�Rj�yTxoksgiv�;Wp%����-y\j*�eg@#$� # � j$#C� t`y%���

� � � � � �1��� y ksgij�v � m I j�y��ut6p �/y m

� � t ����� � � �'��� t�k��� Wj�y�� t`p � y/m

� � t6p ���'+ t`p g � t���� y ksgij�v'�em �em

� � v d ksp t6v�#-t6yT# � ��� � ��� f |�| � jD+2�7g���� y/m

� � v d ksp t6v�#-t6yT# � f � � � � jF+2�-g��.�/y/m

Page 24: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

z�z

f!j,�ot`y�# � t6y � � j�vok p yrt`gqvep k t`y%�Wg.+2�ojKk�� # ced j�x-y � j$#C� j�p%���/y p �ot6v�p �?�Wy � � x-giy �'+B�/vZprkJj*�p �?�at c j ��� k j*�Rp � t6y �2� t � h�t ;D�6kDm5�-j�yI#C�/prt`g.��� #�gqvC�Rj�y +at6p gij�v�j�v�p%��� � j�y y%� � pFxokG� j*� p%���t c j ��� ksj �Rp � t`y%���ok��'� � �?�V� v�#Zg�) � m � �.� � j$#C�Fg k t ��t6g��ut c ���Fj�vCE �igqv����Ry\jD+

����������������� ���� �������������� ���������������� �"!������ m

���$# % ���� �� & ����� ��� � j�y h&�-y �6kG�/vep � #�giv^p%�-gukFp ���6k gukOp j�x � ���6k�+at`v d #eg�� �/y � vZp t`y%�6t�kFj*� � jD+2�7x-p �/y t`v�#

� jF+2�-x-prt`p gij�vot �4k � g��/v � �Km

')(+*,(-' .0/1/12 3547698;:�<=6-3�>@?06A<=BDCE2 3F>HG�IKJ)G�20LM2 3,NPOHIQ< R

� ���/y%��ot�kQv-j�p c �'� v t`v d-� j�y h y �'� t`p � #-#Zgiy � � p%� d p\jOp �?��� y\j�v�� � h��/y �7y j$#Zx � p=t ���-y\j*)eg�+ t E

p gij�v&�-y j c ����+�m � t6y ;�gqvot ��� d y �'� t`p%� #�gukOp �?� # ? (FE<*,; /1%8( & 2TS6; ? # ; C E<* & EI�-y j c ����+ Q � lAl U ���� ���/y%�Fp ���Fj c � � � p guk=p\j-4ov�#�t-+ t`p y\g�) � p%�ot`p+"gqv-g.+ gP0'�6knp%���M� y\j c �/v-gixok v-j�y%+

��/�� � 8 �VU

�Rj�y,;�g.���/v + t`p y\g � � k-/ t6v�# 8,� � ���/y � � c �'�ij�v�; k[p j t � �ijKkG� # � j�vC����) � j�v?� I � g�; ��� ����A{ J m � ��� � lAl c � � jD+2� k!p ���B�Oy j�v�� � h��/y��-y\j$#Zx � p t*���-y\j )Zg.+at`p\gqj�v � �?�/v / gukOp%���g@#$�/vZp\gqp d +at6p y g.) t6v�# � �Fy � � x-gqy%� � p j c � p ���M�Oy j�v�� � h��/y��7y j$#Zx � p!j �Ap � jI+at6p y g � �6kAj*�k���� � g 4 � ksg.0'�6kDm

� �/ g kFt&$HE cZd E $ c �ij � h!+at`p\y g.) � gip � ��E ced E � � j������qgip 0 c �ij � h7k3�1p%���,+ gqv-g.+[g.03� y j*���/ � � � U j ���/y t*�.� $HE cZd E8$ c �qj � h>+at`p\y g � �6k � gip � ��E ced E � � gqy � x��ut6vZp c �qj � h-k�ot�k c ���/v�-y\jD�ojKkG� #�t�kOtI�-y%� � j�v6#Zgqp\gqj�v?�/y��Rj�y c �qj � hak d k p �'+ak=j � � j��'���qgip 0 c �qj � h-k=giv I � w { � J m � �-g k

�AW�XZY\[ X^]"_Z`^aA_cb�dfehg�X^aAa i1j�kl`^m"Y$nfY$oVklblprqs_tquX^Y$v"vaAX�pQm"Ywnfdyx$aAz1e"a-qsX�{�nyaA]"_^dy_�dye1|Q`^`Zdy[-q"})~�XZdyoVdye�q9nynyke�qsj,aAz,��q9jwq9_Z`^aA_=YVXQW�YVnykl��aAjuYVe�b$m"a�q9[ �\]�dfXZaAzw`^m"a�e�qsj,a�W�XZYl[AX^]"_Z`^aA_����V�Qm"a��l`ZX^aA`Z[�m�aAX^�l�QvaA[-q9]�_^a�m"a`^Y$X^`Z]"X^aAzwm"dy_=xldf[ `^dyj,_�vlk�[A]"`Z`^dye"o)`^m"aAj�z"Y9pQe,`ZY���`=m"dy_KvaAzwd���`^m"aAk�p=aAXZat`ZYlY�`+q9nyn�b9YVX=m�q9juj,aAXZdye"otqse"z_^`ZX^aA`Z[+m"dye"o�`Zm"aAj�d���`Zm"aAk�p=aAX^a5`^YlY�_Zm"YVXZ`-}���aQpQq9_�[-q9�"`Z]"X^a z,vlk�`Zm"a�m�aAX^Y��Qm�aA_^aA]�_-b"pQm�Y�dyel��dy[A`^a z�]"��Y$eW�XZY\[ X^]"_Z`^aA_�`^m�a�_�qsj,a�ildye"zuY9� `^Y$X^`^]�X^a�`^m�qs`Qm"a�m�qsz,dyj,�YV_ZaAz,]���Y$eHm�df_Qxldy[A`Zdfju_-}

Page 25: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

z �

� j�y h�g k c t�k�� #�j�v�t*�?�-y j )eg�+at6p gqv?;�t � j��'���igqp%02+at`p\y g.) cZd t � gqy � x��ut6vZp I � � t ��� J m � x7y� j�y h j�v �Oy j�v�� � h��/y��7y j$#Zx � p��-y%� � j�v�#Zgqp\gqj�v-gqv�; gqv�� �em "Mguk ksg.+ g�� t`yAgqv$kG�-gqy\gqp/m

')(+*,(�� ����� :)>HN <=BHG C 2 3F>HG�I=J�G�20LM2 3uNhOHI <��E3�< :�<=6-3F>

� ���,�N� � t ��;�j�y gip ��+ � t�k givZp\y j$#Zx � � # ced � jKjF��� d t`v�# � x-h�� d>� �-jay � #ex � � #ap ��� � jF+HE

���.�')Zgip d j*� p �?�[p\y t`v kL�Rj�y%+ �Ry jF+ !MQ � � U p j !MQ ���ijD; Q � U U I � � � " J m � �ig����'� d t � � j�x7vZp j*��-j � p%���M�N� � ; t`gqv?� #�t � � �'�-prt`v � � g k�;�g.���/vagqv I � jKj �K| J mTf!j�p ksx-y%�-y g ksgiv�;D� d �-p ���"�-g ksp\j�y dj*� �N� � ;�j��6k c t � hat ���4p �?� � t d p\j t`x k k I � w � � " J m

� ��� g�+2�oj�y\p t6v � �=j �4p%�����N� � �-y jF+ j�p%� #Wp ����#$�'���'�qjF��+2�/vep1j � �-g.;D��� d jF�-p g.+ g�0'� # g�+,E���.�'+2�/vep t6p gqj�vok3�F�Zg t p%���OxokG�Oj*�K��� � p j�y � t`yT# � t`y%� I ��� t � � J �$+[x��ip g.�-y j � � k ksj�y k I � ����� �}| J �t`v6# ��� � p\j�yM�-y j � � k ksj�y k I � ��; { " J m � x-v�#Zy%� #-kWj �Ft6y p g � ��� k��ot'��� c �'�/v �-x c �qg k���� # t c j�x-pg�+B�����'+,�/vep t6p g j�vokI�Rj�y�kG��� � g 4 � +at � �7gqv��6k�� k��'� �Rj�y!�')-t +2���.� I � � � { J ��I �� {�� J t`v�#I w��"� � ��{�J m � ��� � g t*�"�ot6yT# � t`y � #C�6ksg.;�vok>�ot'��� c �'�/v #C��4ov�� # �Rj�y!�V� y��Rj�y%+ gqv?; �N� � kDm� ���,�Oy j�v�� � h��/y��-y j$#Zx � pFv-j�prt`p gij�v�guk��?�ut d giv�;at6v^giv � y � t�ksgiv�;D� d g�+2�oj�y\p t6vZp y jF��� t�kOp%���vex�+ c �/y j*� t �����ig � t6p gqj�vokFt`v�#�t`y � �7gqp � � p x-y%�6k��')$���ij$#C�6kSm � t`y gij�xokFk g�;�v t*�(�-y j � �6k k gqv�; t*� E;�j�y gip ��+akMt6y �=#C�6k � y g c � # � gip � ;D�/v?�/y t �qg�0�� # � y\j�v�� � h��/yM�-y j$#ex � p k gqvHI ��� ��{ J m � v p%���+ j�v-jD;�y t*�?��I � � { � J gipJgukAkG�-j � v2�-j � p%����#eg�� �/y � vZp � t�kspAp yrt`vok �Rj�y%+ t*��;�j�y\gqp �?+akJt`y%����� y d

ksg.+ g�� t`y � ���/v k��'� vH�Ry jF+ p%���"+at`p\y g.)-� t � p\j�y g.06t`p\gqj�v1�oj�gqvep�E j*�@E �Zg.� � m� �-gukMp �?�6ksg k-�')Zp%�/v�#-kFp ��� � j�y h �-y%�6k�� vZp%� #^gqvHI ��� ��{�J t`v6#0I � � { � J ced p ���>�-y\j*�eg E

ksgij�v�j � t`v�t6x-p jF+at`p%� #�p jKjF�Jp j>�-y\j � �6k\k!p ���,�Oy\j�v�� � h��/y�-y\j$#Zx � pFv-j�p t6p gqj�v^giv�j�y�#C�/yOp\j

;D� v��/y t6p � � j$#$�Km � �?� k t*+B�Wv-j�p t`p\gqj�v^g k xokG� #�gqv I "� � { ��t�� "� � { � c � "� � {ez � wKw � � {�I Jt�kTt�+at`p%���'+at6p g � t*�$�-y jF;�y t +2+ giv�;�� t`v�;�xot*;F���Rj�y(+ j$#C�'�igqv�;?��#C�6k g�;�v-gqv�; t6v�#[g�+B�����'+,�/vep�Egqv?;,�N� � t6v�# � j�v$�KjD�ix-p gij�v$t*�.;�j�y\gqp%��+ak3�$�-j � �'��� y=v-j,�-y t � p g � t*� � t d �Rj�y p%���Fxok�� j*� p �-g kv-j�p t`p\gqj�v�guk�;�g����/v m

� x-y � j�vep y\g c x7p gqj�vokWgqvp �-g kWy �'; t`yT# t6y � � �qj k�� p\j � j�y h t6p � �7gqj � prt`p � � v7g����/yrksgqp d �

Page 26: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

z

� ���/y%�ap ���=� y\j�v�� � h��/yM�-y j$#ex � p gukMxok�� # p j #C�/y\g����2+ x��qp\g����.�My � � x-y k g����at ��;�j�y gip ��+akWgiv��t`y\gqj�x kOt`y%�6t�kDm � �����ig � t6p gqj�vok gqv � �ix�#C� t`v�gip �/yrt`p\g����"���/y k gqj�v�j*� � p\y t�k k�� v � k�+ t`p y\g�)2+ x��PEp g.���qg � t`p\gqj�v t*�.;�j�y\gqp%��+ I � wKw { �C� � wKw {�I�J �At^k d k p jD�ig � g�+B�����'+,�/vep t6p g j�vokFj*�W+at`p\y g.) � jF+HE�-x-prt`p\gqj�v �-y\j c �.�'+ak I ���$�K|<J �-+ j$#C���qgqv?; + x��ip guk p t ;D�t`v�# #Zgqy%� � p�givZp%�/y � j�v-v�� � p gij�v v��/p�E� j�y h7k�I � ��� � { ��t��P� � � � { � c J � ;F�/v��/yrt`p giv�;>#-t6p t!#Zguk p y g c x-p\gqj�v k I � ��� � { � � J �A� t`y ;F�H+ t Ep y\g�) p\y t6vok��ojKk gqp\gqj�v I � � w � { J � t`v�#!#Zguk h E c t�k�� #�t ��;�j�y gip ��+ak�I � � w �e{ � J m � �?�-+at6gqv!#Zg �@E� �/y%�/v � � c �/p � �'� v�j�x-y � j�y\h t`v�# p ��� �� � � f � k d k p �'+ #C�'�����qjD��� #�giv I �� � � {�� J g kp � t`p � �,�-y j �eg@#C� $ �')Zg c g��igqp d t6v�# ��)Zp%�/voksg c g��igqp d �egut k d + c jD�ig � + t`v-g.�-x��ut6p gij�v�j*� +at`p\y g.)

�')$�-y � k ksgij�vokDm � ��� 4���� 4����ak d k p �'+ gukN�ig�+ gip � #Fgqv y � � jF;�v-g.0/gqv?;Wt"���/y d kG��� � g 4 � �Rj�y + j*�+at6p y g � �6k��}v t*+2�'� d p%���"�-y j$#Zx � p j*�X+at`p\y g � �6kJp �ot6pOt6y �Op%���M�Oy j�v?� � h�� y �7y j$#Zx � p!j �Jp%�-y �'�+at6p y g � �6k��}p � jMj*� � �-g � �B�ot'��� p\j c �Wp �?� gY#C�/vep gip d + t`p y\g � � kSm

')(+*,(�� LM2 3�2 :�8 � 2 :�>HR��V3)2=8;:�<=6-3F>HR :)>wN 3uN1G�� G >HG�2 :�<=6-3F>

� �7g�;D�$E �.�'���'�Kgqvep � y �-y%�/p � #"+at`p\y g.)��ut6v�;�xot ;D���qgih�� � ������� �I � t`p {�I�J guk t`vI�') � �'�.���/vep1p\jKjD��Rj�y � x-g � h2�-y\j�p j�p d �-giv�;"t`v�#5�')$���/y g.+2�/vep t6p gqj�v gqv$vZx?+2�/y g � t*���-y\jD;�y t*+ k3���-j � �'���/y � �?�/v�-g.;D�2���/yG�Rj�y + t`v � � g kAt`v g k ksx?��� d j�x2�ot'��� p\jWy � ksj�y\p=p\j � jF+2�-g��.� # � j$#C���igqh���� � � � ��� f-�� {�I � � t6v�# � � � m � �7y j�x?;D��p �?�WxokG�Mj*�AgivZp%�/y t � p g.���Ft`v�#�t6x-p jF+at`p\g � p yrt`vok �Rj�y%+at`p\gqj�v kgqv,I ����� l { " J �K�-g�;F�CE ���'���'�(+at6p y\g�)5��)C�-y%�6k k gqj�vok � y\gqp p%�/v�giv ����������t`y%�ap y t6vok�� t`p%� #gqvep jB� {�IH� gqp%� #Zgiy � � p\g����6kN�Rj�y�� t`y t ���.�'�qg k�+�m � ��� � jF+2�-g�� t`p\gqj�v"j*��t`y\y t d �')C�7y �6k\ksgqj�vok �Rj�y�3J � g�� vZp � j$#$�H;F�/v��/yrt`p gij�v�g k t �uk j]x k�� #�giv I � ���e{ J m � g�;F��� d #C�6k gqy t c ��� t`y%�H�/v$�egqy j�vCE

+2�/vep kOp%�ot`pM�-y j �eg@#C�at6v�gqvep � y t � p g����Mx k��/yMgivZp%�/y�� t � � t`v�# � t6v �ot`v�#$��� � �'���Tt�k���� � g 4�� #

� � t�k k=j �(�-y\j c �.�'+ak �igqh���Rj�y��')7t*+2���.�Ol ��� gip �/yrt`p\g���� ksjD�.���/y k=giv I � ��� {�� J m� x-p\jD+at6p g � � � � � �� f � j$#C�&;D�/v�� y t`p\gqj�v �Zg t�k d + c jF��+at`v7g��-x�� t`p\gqj�v gqv � t6p ���3E

+at6p g � t I R^jF� ��� J g k[xokG� # �Rj�y>�ot6v�#C�qgiv�;�p%��� �N� � � k[y%� � x7gqy � # �Rj�y"p ���&#Zgiy � � p k jD�qx7p gqj�vj*� lnj�guk k j�v � k-� � xot`p\gqj�v I � y t {Zz;J m R�gqp%�Hp%���at�k ksg ksprt`v � �aj �Op%���ak d + c jF�qg � t ��;D� c y t5�/v$�eg E

Page 27: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

z=�

y j�v�+2�/vep � ��� � G � � � � �/y%+at`v2;F�/v��/yrt`p%� # jD�-p\g�+ g.0'� #2� � � � ��� f � j$#C�"�Rj�yW�N� � �Rj�y��� � p\j�y ���/v�;�p �ok v-j�p� � x t*�4p j"t-�oj � �/y j*� p � j I � � y � " J m

� j y%� #Zx � �$p ��� � jD+B�����')egqp d gqv$�KjD�.��� #�gqv�p%��� � y%�6t`p\gqj�v j*� k � g.�/vZp\g 4 � � j$#$��� t �-y j E;�yrt*+ p\y t`v kL�Rj�y%+at`p\gqj�v�t*���-y\jKt � � c t�kG� #�x��oj�v�p ����� &�� � � jD+B�-x-p � yOt ��;D� c y t k x c k p y t6p �guk=x k�� # I og�� { J m � j � �'���/y � �"�/vC�eguk gqj�v p �ot6p�+ x � �H+"j�y � � jD+2�?���') k d k p �'+ak��C�igqh��Op%���/j*Ey ��+ �-y\j ���/y k�� � g��.� c �Fv���� #C� #[p\jH� t`v�#C�.�����/y d ;F�/v��/yrt*�A�7y j c ���'+ak��Kxoksgiv�; t � jD+ c gqvot6p gij�vj*� t6x-p jF+at`p\gqj�v2�Zg t prt � p\g � kAt`v6#[gqvep �/yrt � p\g��egqp d"� gqp%� p ��� hZv-j � �.� #C;D� t c �.�!xokG�/y=p\jMt � �-g.�'����-g.;D��� d jF�-p g.+ g�0�� # g.+2���.�'+H� vZprt`p gij�vokoj*� t ��;�j�y gip ��+ kSm � x � �Mt p ��� j�y ��+ �7y j ���/y4guk�� C S����N�k�����I wKt � { " J mAf!x��-y%�Qt`v�#2R&� d �Qt6y �Fj�v?;�j�giv�;2�-y\j � � � prk=t6p � j�y v��'�.�*m

� p%� � �7v-g � x��Op\j k d vep ��� ksg�0��Wk d k p �'+ t`p g � t*�.� d �ot`yrt*�.���'�4g.+2������+H�/vKprt`p\gqj�v k;j*� p ��� �N� �t*�.;�j�y gqp%��+ �Zg t �7y jD;�y t + p yrt`vok �Rj�y%+at`p\gqj�v k3�Kk p t`y\p giv�;��Ry jF+ t��-g�;F�CE ���'���'�ekG��� � g 4 � t`p\gqj�v gqv t�Rx-v � p gqj�vot*�$�ut6v�;�x t*;D� guk �-y%�6k��/vep � # gqv I ���T{ J m � j � �'���/y��/gqv p ���/giy � �1j�y p���p ��� d g�;�v-j�y%�=p%���+at6p ���'+ t`p g � t*�K#$�34ov-gip gqj�v�j*��p ���B�N� � t`v�#�p ��� � j�y y � k��oj�v�#egqv�; k��ot6y k��I� t � p j�y\g�06t6p gij�vokDm� voksp%�6tD#�p%��� d xokG�>�ot`y\p gut ���'��t �qxot6p gqj�v�j �Oy%� � x-yrksg����I�Rx-v � p gqj�vot*��7y jD;�y t +akWgqv j�y�#C�/yMp\j;D� v��/y t6p �M�ut`y%;D�/y y tF#Zg � �6k!t6v�#]jF���oj�y\p x-v-gip g.�6k �Rj�y��ot6y t*�.���'�ig�06t6p gij�v4m � �7guk y �6k x��qprk giv1+"j�y ��')$���/voksg.��� � j$#C� c � � t`x k��ap ��� � j�v ksp t6vZpI�RjD�Y#Zgqv?; � t`v-v7j�p � jD+2���/p%� � gqp%��p%���2�Rj�y + x�� t*�#C�/y\g���� #I�egut p%���Op\y g�;�j�v-jF+2�/p\y d t`v6#]t ��;F� c y tWp%�ot`p x7v�#C�/y%�qg�� k p%���"+at`p\y g.)�� t � p j�y\g�06t6p gij�vokDm

� ksg.+ g�� t`yAt ���-y\jKt � ��p\jWj�x-y k=g k�#C�6k � y g c � #[gqv tMk�� � x��/v � �!j �N�-x c �qg � t`p\gqj�v k I � � � { "����� � �O{ �C�.� � � { � J(� ���/y%� p ��� d #C� y g����I��J � g.�/vep g.+2���.�'+H�Dvep t`p\gqj�vok!j*� vex�+2�/y\g � t �Jt ��;�j Ey gip ��+ k c t�k�� #Mj�v t6y c gip yrt`y d + t`p y\g�)�E ��� � p j�y �-y j$#Zx � p kJxok gqv�;��7y jD;�y t + p y t6vokL�Rj�y +at6p gij�v j*�t �Rx7v � p gij�vot �A� t`v�;�xot*;F� g.+2���.�'+H� vZp\t`p\gqj�vMj*�Qp �?�Ft*�.;�j�y\gqp%��+�m � x-yTt ���-y j t � �>�ot�k t"+[x � �+ j�y �akG�V� � g 4 � #ZjF+at`giv�j*� t*�?���qg � t`p\gqj�v k3�Ag*m �O� � t�ksp p yrt`vok �Rj�y%+akSm � �-g k-���/y + gip k";�y � t`p � y#C�'�7p �ok=giv1��)C���ij�y\gqv�;M� j k k g c �.� g.+2���.�'+H� vKp t`p\gqj�vok cZd �')$���qj�gqp giv�;Wp%��� � jD+B+ j�v k p y x � p x-y%�

j*� p �-j k��Fp yrt`vok �Rj�y + kSm

Page 28: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� � �� � � � �

� � �� � � ������ � ��� � �� � � ���� �

� ��� � � � � ����� � � � �� � �

g����/v t2+at`p\y g�) / j*� #Zg�+B�/voksgij�v$ � ' � � � gqp%��$ � � $ 9 $���t`v�# � � � � 9 ��� � � �� t6vZp p j24ov�# +at`p\y g � �6k�8 t6v�# 9 j*��ksg.0'�6k $ 9 ' � 9 t`v�#�$ � ' � � y �6kG��� � p g.���'� d p �ot6p+ giv-g�+ g�0'� p%�����Rx-v � p\gqj�v��

� Q�8�C39 U � ��/ � 8(/ 9 � U � Q �em z U

� �/y%� ��5 � U #$�/v-j�p%�6k p ���M�-y j c � v-gqxok=v7j�y + j*�TtI+at`p\y g.) �

��/ �VU �� � E � F � �E � F ��� p y�Q / / U �

R&� � j�vok g@#C� yJt�k�� t`y p j*� p ��� giv��-x-pQp jFp%�-guk �-y j c ����+ v-j�pJj�v�� d p%����+at6p y\g�)"/ c x7pAt*� ksjOp%���ksg.0'� j*�Qp%��� x-v-hev-j � vH+at6p y\g�)I8 Q ksjD+B�/p g.+2�6k1p �?�/y � guk $ �')eg c g��qgip d gqv � �7jKjKksgiv�;Wp%��� ksg.0'� j*�8 t6v�# 9 U mJf j�p �Ap%�ot`pAt6v d k � t*�igqv�; j*�op%����+ t`p y\g�)"8 � gqp%�Wp%���Ay �6kG�V� � p g.���;givC��� y k�� k � t �qgqv?;j*� 9 �ot�k!v-j2� �A� � p j�v�p%���-��t*�ix��Wj �Ap �?���Rx-v � p gqj�v �op �ot6p!g k � Q�8�C39 U � � Q � 8�C z� � 9 U

�Rj�y t*�.� ���� I m

z "

Page 29: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

z��

�+��� ��� � � ��� � �� � � � k gqv�; t k�+at �����')7t*+2�?��������� p=xok k��'�"�-j � p ���"+ giv-g�+"g�0 t`p gij�v j*�

� Q�8�C�9 U � ��/ � 8(/ 9 � U

� t6v c �Wp\y t`v kL�Rj�y%+2� #agqvep j"t ���/y d � t*+"g��qg t`y �-y j c ���'+ m � x?���ojKk��,/ guk � ' � � 8 guk � ' $�t`v6# 9 guk@� ' �em � �?� v7j�y + p j,+ gqv-g.+[g.03� giv-gqp\gut ��� d �qjKj�h-k��igqh��Op%�-guk��

���������12223� � � � � �� � � � � �

� � � � � �� � � � � �� � � � � "� � � � � "� � � � � �

� � � � � �� � � � � �� � � � � �

� � � � � "� � � � � "

>@???A �

� 4 � � 4 � � 4 � �4 � � 4 � � 4 � ��� / � � � � � � �� � � � � � ���������� U

f!j�p �Mp � t`pWp%���,#Zg k���� t d � # c �qj � h�k p y x � p x-y%�Mj*� / �ot�kOp ���"k t +2� k��ot ��� t�k 8 m-R �ot6pWgP�� � � k p y � p � � � + t`p y\g�)58 cZd k p y\gqv�;�gqv�; gip k�'����+2�/vep kJgqv � jD�ix�+ vCE +at � j�y=j�y�#C�/yOx ksgqv?;[p%������ � jD���/y t6p gij�v4m � gqv � � � �I�ot'���Wp j>�-y%�6k�� y ���Fp ��� � j�y y%�6k��oj�v�#C�/v � �Mj*�Tp ���I�����'+2� vZprk3� � ��ot'���Op\j[y%�/j�y�#C�/y p �?� c �qj � h-k=j � /�gqv>�')7t � p � d p �?�Wk\t*+2� � t d �

�����������������������������

1222222222222222222222223

� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � "� � � � � "� � � � � "� � � � � "

>@???????????????????????A

1222222223

4 � �4 � �4 � �4 � �4 � �4 � �

>@????????A/ � � � � � � �� � � � � � �

����������������������������� Uf!j � � �Mp\y t`v kL�Rj�y%+ 9 givZp\jatH��� � p j�y ced p t6hZgiv�;2��� � Q�9 U m � v�p �?�Mk t +2� � t d5� �I� t ���p j p yrt`vok �Rj�y%+ p ��� c �ij � h7k=j*� / EGF givZp\jI��� � Q / EGF U t6v�# � � j c p t6gqv��

Page 30: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

z`|

��������������

1222222223

� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � " � � "� � � � � � � � " � � "

>@????????A�

1222222223

4 � �4 � �4 � �4 � �4 � �4 � �

>@????????A/���� � � � � � � � � � � ���

�������������� Uf!j�p � p%�ot`pMp%���>�Oy j�v�� � h��/y��-y\j$#Zx � pMj �Op%��� p � j!��� � p j�y kFguk�� � x-g.��t*��� vZpFp j$p ��� gqyWj�x-p � y�-y\j$#Zx � p m

� v1;F�/v��/yrt*� � � ���ot'���

� ��,-� � ,-: %��F������� 8 � � : 9 � 769 � 9 � � : � � 7 � � /1(32

/��1223

/ � � � 56565 / � � 7=9mmm mmm/ : 9�� � 56565 / : 9�� 769

>@??A C�/ E � F � �

: � � 7 �*��9&<(

��/ � 8 / 9 � U � ���/ � 4 � � U� �9&<;:& 4 � & # QG8 U � � � �& #'Q � U � /1(32

�/ �

122222222222223

��� � Q / � � � U mmm��� � Q / : 9 � � U mmm��� � Q / � � 769 U mmm��� � Q / : 9 � 7 9 U

> ?????????????A � ��� : 9-769�� � � : � 7 � � �

2�� ������� � �'� I � � l { � J��� �Zx k!p ��� v��6t6y �6k p��Oy j�v�� � h��/y��7y j$#Zx � p��-y j c ����+ g k � � x-g.��t*��� vZp p\j t[yrt`v-h�E z +at`p\y g.)

�-y\j c �.�'+�m� �����RjD�.�qj � gqv�;�� ������� 1�Rx-v � p gij�v2�Rj�y%+ak +at6p y\g�) �/ �

Page 31: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

z��

����� ��K������������ �K��������� �������+�������� ��� ��� ��� � �=����� ��������K�����0��� ���� �"����������� � � ��� � � ���K���=��� ��� �� �� ��� � � �!�=���=������ � ���"���K��� � � � ��#=�����"� ���M��$ ����� ���������� ���������%� ���!�=���K������K���� ��&�'�A�����E���)(������*�K�+�,� ����� * ���-� � � ��� *� �.( ��� ���/�0���21"���3�4�=�51�� ���*� �.( ��� ���/��6/�4� ��1"� �7�/* � ���+� ��������!E�"��� �� �8������ �� ������65�&��������.�����96�� ����:� �;�<�"3���\�"�>=?6@�51�� �5A�6Q�s�l�21�� �B�5��� �2=�65�)1� �8A96��4���71� ���* � �"���������8� � ������!�:���C� �2=265�51!����A ���3���;�D�+� *

���������� ��������

f!j�p �Op%�ot`p�/-Q%Q.B � z*U�E $ � � z � B E $ � C'Q ��� z U9E � � � z � � E � � U g k;p �?�IQ.BDC � U c �qj � h j*�/�j*� ksg.0'� $ � ' � � m�+��� ������ � ���� �� �� j k jD����� p ���Fy t6v-h�E z t*���7y j )Zg.+at`p\gqj�v1�7y j c ���'+ � �Fv��'� # p%�����RjD�.�qj � gqv�;I�.�'+2+"t �

F ,-:;:;* %�� %��F� � / � � : � 7 *��9&<( * �9&<;:& &DK�% E<* ? ;:* � ? 7 ? ( /�� A /�*,;<%8#=& E�� � � : � : /1(32� � � 7 � 7 E C #�� * � /�*

� / � � 21%8/�7DQ#I � C � C6565656C � JSU � � :� 7� �9&<;:& �'G � G 56565 G �HG I /1(32 � � + giv�Q.$�C � UJI�K ? ;:& ? �&<;

+ gqvL8M � �3N �POQM � � �

��/ � �2R � � � ��/ � �CS � � � � � � �

� % *�� S � /1(32 � � *��9&�- ; E<* # ? � C A (FE ? A /�*D;=%8#=& E�� /1( 2 � I2�� ������� � �'� I � �$��{�J ���ot*;F� |Kz m �

Page 32: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

z/{

F ,-:;:;* %�� %��J% � / � � : � 7 *��9&<(0*��9& A %8(3% A %�� &<; ? +"gqv

L)M � � N �POQM � � ���/ � �>R � �

% E /�� E ? *��9& A %8(3% A %�� &<; ? + giv

L)M � � N �POQM � � ���/ � �2R � U �

2�� ������� � p guk��6t�k d p\j kG�'�Fp �ot6p��/�� �2R � �U � p y������ � �2R � �� � �2R �� � ������� � � � � R � � � � �2R R ��� ��� � ������������������� "!��� $#&%'�$()�+* 122

3� ��� R � � R R �� ��� � � � � �2R

> ??A � ��� �

�,!�-�./��!0��.1��2� 3�'*,45� ��� � � .1%'67�98: ;�<!�%=(�(>��?' ��9*,45� ���� � �A@B�= ��� C4D*��� � �,!E� R .F%E67�G8' H.F%=(>�+�JI�=(> $6*,45���= K67�>!=��%0(L�,�NM& $O3�+*��P6Q*,45� 8' �(>*�!=����!=�R�+*��+�0 K6+�,.S K67��!0��%=(T�,�N�+�����=(> �� S E ��� E � EDU� ����� S E �,!E��� E *,4V%=!=����(> �!=���+�)�

W' �� � � � S E �$!'� R �YX � EU ���= �!� �Z$�=�+ [6+67�>*�!\� ��� � � 8' $OC*�./ $6�3� � �2R � �U � ������ � � �;� � X E � � � X � � �

@B�= ��� C4D*��� ��+�= �./�>!=��.]%=.^�L6���O_�=�> �M& $� � �= �!B �a`b�$!'� � X � � � ��������c���= 5�0�+ �M���*�%'6b�+ $��%'OC�+�>*�!Y�,!E�c�+�0 d�0 �(��e*,4f�+�= �� � *g(> �./.��$��� UK� hO��$! !=* �

67�P�,�� b�+�0 f4D*�(�(>* � �>!=� �� ��,-� � ,-: %��J%�� B �� *��9&]iHjlknm po]q�rs3t K �� t�u �� � � � � r �'v3w r �'v o]t w tLo]t �$v s+u m r �'v]vDK�x s v u�u"t m&w

�3� � y0/�z � U

Page 33: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

���

q&s v r �'v o]q�r�s3t�� v u y�� q w��Fz�� � t�r �,v � � y � � � �CS � C ,v � �7z � � � � �

� t�r � S � q w�� � � r �'v sPu3r�� m�� � o w u m Ko]q�r�sCt�� v u � q w�� � s v u x:v �3rt ,v � � q w�� � r �'v � q&s�� v u3ru"t w � ��� q&s q � �=v]m �� I2�� ��������� ������ $OC��� ���=(>�LO��$�+��*�!�*,4H@B�= "*��+ ". � ����`��>` � �$!'� W' �.S.��,�P� � ��������` U ��� ����� � � �

�=*��N�$!F �Z��+ "!'67�>M& �0�+ $6 �!��P�,����*�!]*$49�+�= ������ U 67 " �I����bW���� J �! !R�+�= �!0 �Z��V67%=8'6 $OC����*�!E6� 67�=* � �=* � �+* ?E!'� �+�= g(T�,���� $6 �/6 ��!=��%=(L�$�/M��,(�%0 \�,!'� ���= gOC*��+�� $6��'*�!E����!=�Y6 ��!=��%=(L�$�M& $OC��*��P6G*,49��.��,���+�>Z<%'6 ��!=� �,!] "ZC�=(>�LOC�>�"�����c.S ��+�=*��]� � ��������` � U �,!'�b���= �W9�,!'O32�*&6.S ��+�=*��� � ��� ��� � � �# ! � ��� ��� UF� �=�� $67 �!��A�<!= � ���� ����$�+�>M& .S ��+�=*��R67�>./��(T�,�)�+* �+�= �:* � ��Q./ ����=*�� U�+�E�,�K�L6��,(T67*1%'67 34D%=(G�>!1�0�+*$M��>!=�]�+�0 ��0�+*D�' ����+�> $6 *$4Q���= R�*���0�+*$Z��>.��,����*�!)��,(��,(-' $ 4H/&%96-I�6A<('�)+*

� 6 � ��'��M& K67 � "! U �+�0 ��=��*�8=(> �.a*,49?'!'���>!=���+�= �, �+*�!= $O.-& ��K�=�+*���%EOC�H�*���=��*$Z��>.��,����*�!]��*R�.��$�+�+�>Z]� U �L6Q $#&%=��M��$(� �!��N�+* ?E!'����!0�b�+�0 (L�$�+�� [67��6 ��!=��%=(L�$�BM��,(>%= ��$!'�F�+�0 �OC*����+ $6G�'*�!'���>!=�67�>!=��%0(L�,��M& [OC�+*���6B*,4V�]6+O3���,.18=(> $� M& "��67�>*�!�*,4V� U$� RO��,(>( ����Q���= �!h� �L6�6 .��,(>( U *�!= RO��$!4D*���. �Z$�=(��TOC����(�- �� %E67��!0�F���= 0/2143"5�1#6/4D%=!'OC����*�! �K������� �>!��87��>`��

������� .��$�+�+�>Z �� 4D*��+./ $� �Z$�=(>�LOC�>�+(�- U � hO��$! %'6 ���= h67���$!'�=�$��� �=�+*���%EOC�+�>*�!9�:���

�,(>��*��+�����=.�6N�+*1�� ������= 4���OC��*��+�>2$�,����*�!)�N@B�= ]6 *�(>%=�+�>*�!�(�*&*�-=6�(��;-& �+�=�T6B��!</2143=5>1!6

����� ��K������0�3�@?5�+� !��2�BA��!�9�����/�� �&��� �+������DC �"��� ��� �FE������ ����!���� ��� ��� � �����������8�=�!����K��� �� �r���3�c� ���@� � += !�� ���:�C�:�G?2��IH+��� ��H �5�� � ������K��� ��� �������������8�K������ ���� ��� � ��� � � ���K���=��� ��� �� �� ��� � � �!�=���=������ ��� +���K�"� ��� ����#K������� ������$� ��� � ������� �� �������"��% � ���K���=��� ��� �� ��&�'�A�����E���)(������*�K�+�,� ����� * ���-� � � ��� *

Page 34: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

7�`����� � �����+�E��#�� �-�K� ��� � ��3�����3� �������/*���.( ��� ���/�0��� �+���2� * ?.� (�������� � �K�B�A���7� *���,�E�������:� � ��6/�!6)���*�B� �;�<� ���51��3� �5�J6@� *?B� �;�<� ���51��3� �5�J6@� *� ��������

�\ � �>(�(9�+ C4D �����*]�+�=�T6B./ ����=*�����6��+�= � tLs v �3r i jlk ./ ����=*��G��,(��,(�� � :�>HI��53�R

<* � "M& �� � �= �!\�a�L6K�F(L�$�+�� 16G�'�,�P67 ].��$�+����Z U ?'!'���>!=�/�+�0 1OC*�.2�0(� ��� ����� *$4���a�L6�=�+*$I�=�>8=������M& �(>-b �Z$�' �!'67�>M& ��%= �+*b?E(�(�I���!l��B $6 �L�� $6 U�� *�!=(�-/!0 � $�F���= (L�$�+�� $67�;67��!0��%=(T�,��M��,(>%= �,!E�b�+�= KOC*��+�� $6��'*�!E����!=� (� C4D�A�,!'�b���������A67�>!=��%=(T�,�QM& [OC�+*���6C� � ./*��+ H�*�?�=�+*F�=�+�T�,�+ KO��=*��LOC H*,4�,! �,(>��*��������=. O��,!h8: R�+�= ]W9�$!'OC2�* 6 ������I���W � ��` J �B@B�0 FW9�,!EOC2�*&6K./ ��+�0*��S4D*�� ?E!'����!0��+�0 �(L�,���� $6 �H67��!0��%=(T�,�NM��,(�%0 �*,45� .��$�+����Z �� U ?'��6 �N�+ $��%EOC $6���=�L6.p�,�+����Z���!��+*f�f80��I ���L�$��*�!E�,(.��$�+�+�>Zb���'�,�H�'��6B���= 6��,./ 67�>!=��%0(L�,�HM��,(�%0 $6B��6B�+�= K��!=�>�+�T�,('.��,���+�>ZG� � 67��.B�=(� �M& ��P67�>*�!1*,4W9�,!EOC2�*&6������a�$(���*��+�>�+�=. ��! /2143"5�1#6 �T6����� ��K������s����%5���B�A���4#���� ���� �5(���� ��2�� ������� (���� �=����� ���� �����������=�M��� � ������% ���"�0���"��%��������,#2������������E���K� ���"��%�� �����,# ���� ��K�� � H;1)218#�� ����%5����&�'�A�����E���)(������*���>���=�"�+���B*�"�"���� � ���>���=�"�+� 6 * .�+ H�* � � �A�����E���2���:� �'�A���/* ������ � �>����� �3�c� �J6)�*�� ������� ��5�������/*� ���:� �5�!65�* �����2����<A�6@��� 6 * � ��� *�� �.(��� ���/� �'�J6)�*���=����� � ���>� �;��A965��� 6��=?6���:� �@����A965��� � � �����>� �C�,A�6@� *�.� ��A�6 *� �" 1��:� �@���2�,= � ��2� �;�7=26 A965�51��3� �5����=26 A�6@� *�������2� �;�2��� �����5���-�������*

Page 35: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

7�7

�:� �@���+A�6@��� � ���������2� �;�2�/*� �" H;1��3� �5��� A�65�"=��������>� �;�2�51��3���@���7� *�����>� �C�+A965�<� � ���@� �c� ���7� *

��������0���5�8%:� �������7�7�/*� �� �)��6��0�7=26� �\��V�8A965��� �����2��\�<A965� *

���������� � � ��������� ��#��B�;�2�*����%5�9��� � ��6/�!65� *��� �3� �5����� �<A965�@1 ���:� �@�J65�/*#�� �21����3� �5�!6)� *�"� ���>���K���-��� 6 � �+��� #����E� �>���:�-� �0#��* ������ ���������<*��+ ��+�'�$�bW9�,!EOC2�*&6������ *�!=(>-��+ $#&%=���� $6B�+�0 ��0�+*$M��T67�>*�! *$4Q4D%=!'O3�+��*�!'6��+�'�$���' �� 4D*��+. ���= .��$�+�+�>Z I�M& $OC��*��N�0�+*���%'O3��6 �� � �$!'� �� �2� �>�+�=*�%=�B���= �Z$�=(��TOC���54D*��+.p�,�+�>*�!1*,4 �� U ��6B�>� �E��68' � �! 67�=* � !e��! I �RW�� ��7 J ��� *��+ S6��' $O3��?9O��$(�(>- U �= ��+ 1�L6 / 1 3=5>1!6 O3*��� /�+�E�,�]O"�,(LO3%=(L�$�+ $6�����%'67�>!=�1� ��*�%=����!= ����'�,�KO��$(LOC%0(L�,�� $6����)������ ��K�����$.�+�=����� �8�=�!�K���/� �� �!�K���� �4���4��� �+��� �&�=� �+� ���� ��������� ������� �=����� � � �4�����A���9��1��� ��� ��+$ ��� ����0��� �)$ �=���<21)�$ �.( ��� ���/�0���21"���3�J6@�/*� �� �)��6�� ������ �=�<� �l�5=265�51����7A26��9�)1����3*�����.����65�+��� ��(��� ���/� �=� ������� *�+��(��� ���/� ���21�� � �J6)�* � ���\�@=?65�@1���� A5�2�D� 6/* � �;�<� � �)#2�������K�!� �����3� �7� *$:�-� ���K��� �"$3�-��� �=����A� H 18�:���C�?=?6@�51!�K�8A96��4�?1�� ���/*

���������

@B�= ROC*��+�+ [6��'*�!'����!=� �� �d�T6

Page 36: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

7��

����� ��K�����$.�+�=����� �8���2���=�"�5�=�Q�K���9� �� ���K�����3�0� �&��� �+���3���K� � � ���� ��������� ������� �=����� � � �4�����A���9�"H;1 �� ��� ��+$ ��� ����0��� �)$ �=���<21)�$ �.( ��� ���/�0�K��1"��� �J6@�/*� �� �)��6�� � ���� �=�<� �l�5=265�51��K�5A26��9�)1��K� *�����.����65�+��� ��(��� ���/� �=� ������� *�+��(��� ���/� ���21�� � �J6)�* � ���C�?=?65�@1���� A����D� 6/* � �;�<� � �)#2�������K�!� �����3� �7� *$:�-� ���K��� �"$3�-��� �=����A�71)�3���C�7=265�@1�����A265� ��1����2� *

���������

@B�= ��� C4D*��� U �+�0 �67*�(�%=����*�!e��*g*�%=�]�>!=�����L�,(H./��!0��.1��2"�,�+�>*�! �=��*�8=(> �. �L6b �Z$�=�+ [6+67 [� M��T�d���= 4D*�(>(�* � ��!0� /2143"5�1#6/4D%=!'OC����*�!�����������K� ��� � �:�G?5��� E�:������ �9� � �2� � ����� ������ ? ����������� ��� ���>=���$2=�����������(?��K�����0�������>���=�"� ��� ���)(�� � � ���>���� �����5����>=�!�����B�C�:� ?2� ��H �����#H;� �����r���K�����5�,��� �����=���, ��� �2����� ���0�!��� ��������� ��$�� #K�@� �"�=� ���)(�������=���$2=��>�� ���� ����� ����� ��K� ��� �>���K�<��� ��� ����������������� >18��=�-�-����������* � �-� �2��������*�.� (�������� � �����+���9�/* ?.��( �������/�0�K�B�A�����/*� ? ����������� ��� � �����%����"�0������%�� ���� ���K��� �����K���"��%��2����� ( ����s����%5���B�A��� #��,�0���� �5(���� ����3�4���3� ���3���K� �A���7� *����� � �����3�l����%@���7�/*� � � �<� ���51� *? � � �<� ���51)# *�����������

�H�,���L�,80(� �� OC*�!����$��!'6Q�+�0 6 �+�+�>!=�b*$4)���= <!E�,./ �*$45�+�= �4D%=!'OC����*�!H�' �� 4D*��+.S��!=� ���= K.��,���+��Z&IM& $OC��*��K�=�+*���%'OC�N���]�+�E�,�Q�T6 �'��6�67 $�b��*bW9�,!EOC2�*&6Q��*��� "�+�= �� � ���+�]���= K67�>2� $6������� ����� �)�

.2�=(� ".F �!����$�+�>*�!'6�*$4'�+�0 W9�$!'OC2�* 6�$(���*��+�>�+�=. �+*K67*�(�M& Q(T�,���� (�=�+*�8=(� ".�6 U .1%'67�9���=���+ [6+6�+�0 ]�L6+6 %= 1*,4�(>*&6�6f*$4H*��+���=*���*�!'�$(��>�7-g*$4����= dW9�$!'OC2�* 6 M& $OC�+*���63�]@B�= ��� 1�,�+ ]� � * �����9 ��+ "!��

Page 37: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

7��

�*�?�=�+* ��O��= $6��+*S�� $�,( � �>�+���+�0 b*����+�=*���*�!'�,(>��� ->�=�+*�8=(� �. � �K!= R�*���0�+*&��O_� �,���+ �.2�0��6B�+*����$(�+ "*��+���=*���*�!'�$(��>2$�,����*�!g*$4N $��O_�h!= � W9�$!'OC2�* 6<M& $OC��*�� � ����� �� $6��' $OC�K�+*p�,(�( �0�+ �M���*�%'6 *�!= $6 U8=%=���>�B�T6 M& ���-F �Z$�' �!'6 ��M& K!�%=.S ��+�TO��,(>(�-R�,!'�����H�+ $#&%=���� $6N67��*����$�� R*,4V�,(�(9�+�= RW9�,!'OC2"*&6�M& $O_I�+*���63�B@B�= R6 $OC*�!E�p.S ��+�=*��/�T6 8'��67 $��*�!g6 �(� [OC�+�>M& ��+ �*��+�+�0*���*�!'�,(>��2$�$�+�>*�!)� �=*�� �FW9�,!'OC2"*&6��.B�=(� �.1 �!����$�+�J*�! � ����� 6 �(� [OC�+�>M& <�� �*����+�=*���*�!E�,(��>2$�,����*�! U 6 � �� B ��.�������,(��,(�� L 35? G�2�� G5<=BH3,N

� 6 � ]�'��M& 1�,(>�+ $����-g6 � �! U ���= I�=��*�8=(> �. *$4 ?E!'����!0�d���= , �+*�!= $O.-& ����0�+*���%'O3�b� ���=��*,Z���I.��$�+��*�!��+*��].��,���+�>Z/�L6� $#&%=��M��,(> �!��B�+*1?'!'���>!=�/�+�0 b���$!�-&I�`]� ���=��*,Z���.p�,�+�>*�!��+*1�+�0 b�+�>(L�� .��$�+�+�>ZG�)�\ ����>M& K�,!S�,(��� ��+!E�,�+ � ��-]�+* ?'!'�167%'O��1�*�?�=�+*$Z���.��$�+��*�!)�QW' ��N%'6?'��6 �HOC*�!'6 �L�� "��,!S $��6 �� ��(�=��*�8=(> �.g�#�&%����'* 67 � �,�� ���>M& �!]� � *bM& [OC�+*���6��]�,!'�]�,!'� � � �,!��B��*b6�O��,(> /8�-�� 67*����'�,���+�0 b(� "!=�����g*,4 ������/�L6K./��!=�>.]%=. U *�� � �����+�� �!g��6�� 4D%=!'OC����*�! U �+��- ��*./�>!=��.1��2� ��� ����� ������ ��� � � 6 �>�]O��$! 8' �67 � "! ��! �5����%0�+ 7���` U �+�= p67*�(>%=�+�>*�! �T6 ��*6+O"�,(� �h67* ��6 ��� 8' $O3*�./ $6K $# %E�,(Q��*d���= 1(� �!=���+�g*$4��+�0 H�=��*��+ $OC����*�!g*,4 � *�!���*�:� � ��!'OC ����/�L6��+�= M�=�+*���%'OC� *$4N�+�= R(� �!0���+�h*,4 F����./ $6N�+�= R(� �!0���+�h*,4H�+�0 -�=��*��+ $OC����*�!�*$4!�/*�!���*�+�0 b�����+ [OC�+�>*�!/*$4� U�� !0 � $�/�+*1���>M��T�� ���= R# %'�$!������ -� � ]8�-S�+�= R6+#&%'�$�+ �*,4A�+�= �(> �!=�����*,4":�A@B�= ��+ 34D*��+ ����= �*D�=����.��$(G�L6���O_�0�� �M& $� � �= �!

� � ���# � %$ � 7��&� �

@B�= K6+�$./ 4D*��+.1%=(L�KO��$!]8: K�� ��+�>M& $� M��L� O"�,(LO3%=(�%'6 U*� �>�+�=*�%=�N�+ $6 *����+��!0� �+* �� �*�.S ��+��-&�5@B�= ./�>!=��.1��2� 3�N*,4 � ���'�� � � �T6B $# %E�,()�+*]���= �./��!0��./�J2� ��A*,4

��� �(�)� ���*�� � �� � �����+�� � � �����'�� �� �=�TO_���'��6 ���������� �!��

, �-� �%� 7.�� � ��27. � � $@B�= �!�%=(�(>��?' ��H*,4 , �L6B�>!'�� � [�F�+�= �M��,(>%= ����>M& �!���!g� 7��&� � �

Page 38: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

7��

a

v

�5����%0�+ �7��>`�� �&*�(�M���!=�]�����*�0�=�LO��$(�(>-/./��! � � �'�� � � 4D*��K����M& "!/M& $OC��*���6!�S�,!'���&%����'* 67 �!=* � �+�'�$� � ��,�� F����M& �!\.��,���+�>Zg���D ����� U �,!'� � /6 � -g� � *hM& $OC�+*���6

S �< � � �,!'����� �+�'�$�<./�>!=��.1��2" B�+�0 "ZC�=�� $6+6 ��*�!

� ��� S � ��� $ � 7���� �

4 � N.�� -& N�<��%= $6+6)4D*��( U � N�� "� � �>!'�� '�' �!'�� �!�� � ��� � ��� � � �=��*�8=(> �.�6G�+*f67*�(>M& U'� �= ��� ��� �L6��+�= �� ��� ��* � *,4 �b��@B�= "! %'6 /�+�0 ��� 6 ��6 S �,!E� ��.2�0�+*$M& '�/@B�=�T6�� �(��.��I �5(�*D���(� [���=6B%'6��+*]���= 4D*�(>(�* � ��!=�1�$(���*��+�>�+�=.��

��� ��!�"$#&%����'� �)(�#�%@���B�4#�������* ! C�+ #-, C.+ %�,3� �4# ���� �/#-�.01"���* + ��2�%�*.(-"3(�#4��%�� + ��2�#>� + �5*6(�#�%5���,�7�.03! %72�25*8(4,�%7�.0.#-�5%�3+ *7� ".�7�8092$#�%���":( #-��%�� + �72<#5*�!�"�%72/(;� � #� %��+�9�7"�2/#��+� # �<# (+�7�=%7, "$#&%��2� + #4�$#-"/#5� + % ��*8( (;��%�2+#*7,/(�# + %7�+� 6>*�=&?3*�&�'�@�����:(�#)(.*����*#-�A�2��2�%$#4����� �# �"# � *

* + (&*# �922�7�.0&�:�B� �!6)� *

*7�.0

0.%���*�� � *���/# + *6C70.%���*� �"218#�*D� �9�FE1��%�25� �G���*# �" H;1�� *

Page 39: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

7��

( #�%@�����+# H;1)# * # � #5E8(�#�%5�9� *0�%7�5*�� ���$( �B� H 18>1�#�=3(�#�%@���7� �5�3*7,/(�# + %7��*

*7�.0

@B�= �,8'*$M& <�>�+ ��P�,����*�!]�T6N�fM��$�+�L�$!��N*$4)�+�0 <x0m � v s�o v r �0m �G� � � ��(>('OC*�!�M& ����� ���* ���= � ��>�� �!�IM& $OC��*��ROC*��+�+ [6��'*�!'����!=�h�+* ���= 1(L�,���� $6 �b ��>�� �!�M��,(>%= F*$4K� �5�R��@B�= F�P�,�� /*,4 OC*�!�M& "�+�� "!'OC �� '�' �!E�=6Q%��'*�!/���= ����$�+��*���� � � �����$*,4l�+�= �(T�,���� $6 � � � * ����� �!�M��$(�%= [6*,4 � �)� U ���= K67.��$(�(> ���+�0 F�P�,�+�>*��+�= ]4���6 �+ ����+�0 /OC*�!�M& "�+�� "!'OC &�]@B�0 F./ "�+�=*�� � �>(�(4��$��(N�+*hOC*�!�M& ����� � �= "! ���= ���$�+�>*]�L6�OC(>*&67 �+*]*�!0 &�B@B�0 $67 �6 %=8=��(� ����� $6H�,�+ R���T6+OC%E6+67 [�p8�-��=� b�����>( -���!'6 *�!/�>! � ���>(�������@B�= ����M��$!��P�,�� K*,4l�+�= �'* � "� .S ��+�=*����L6Q�+�E�,�N���Q*�!=(�-R�+ $#&%=�>�+ $6)� � * 4D%=!'OC����*�!'6�+�E�,�(�=�+*$IM��L�� ����= �.��,���+�>Z I�M& $OC��*��K�=�+*���%EOC��6H� ��,!'�/� � S 4D*��B�$�+8=�>�+�P�,�+-RM& $OC��*���6�R�,!'� S � �����=*�%0� �Z$�=(��TOC����(�-�4D*���./��!=�K�$!'�]67��*�����!=� .p�,�+����Z��R� � *��� �*$M& �� U ���= �./ ����=*���O��,!]�P� -& ;����M��,!����$�� *,4V�,!� q x s3t m sCt $6 �+�>.��,�� <*$4QM& $O3�+*�� F�$!'�d�� $��%'O3 �+�= ��>�+ ��P�,�+�>*�!'6N�+ $#&%=�>�+ $�F��*/O3*�!�M& ��+�� &����= �!h!=*�6 %'O_�� $6 �+�>.��,�� �T6 -�!0* � ! U ���= bM& $O3�+*���*$4H*�!= $6K67�0*�%=(T� 8: R%'67 [� ��6K�+�= ���!0���+�T�,(��%0 $6+6Q4D*��! ��� � U ���=�L6 � ��(>(=�+ $6 %=(��N��* S � � � � � ��� �)�+*R8: �]6+O"�,(� [�F��M& ��P�,�� K*,45���= OC*�(>%=./!'6*,4 �b�

!/��.2�0(� �.1 �!&�+�>!=�K�+�=�T6B�,(>��*��+�����=. � .1%'67�N8' �O��$�+ C4D%0(:�>!/�+ [OC*���!=��2��>!=�ROC*�!�M& ����� �!'O3 &�@)*���M&*��T� ���= O3*�.2�'�$�+�T67*�!�*$41�+�= \�+ [67�L��%'�,(T6p*$41� � *YOC*�!E67 $OC%0�+��M& h���� ����$�+��*�!'6d���'�,���T6 �Z$�' �!'67�>M& U�� �O"�,!h��6�67%=./ �+�'�$� .1%'67�H8' *$4Q%0!=���H(� �!=���+� U �,!'���+��%'6BO��= $O.-]�+�0 !0*��+.*,4 O_�'�$!=�� �*$4� ���� ��!�"$#&%����'� �0#��+�6� + #4,4A7� + %�,B�B���&� A7"5�� � � ���4A�"����� � � � ��� *�,$(�# + %�� � # ������ �7���2=?6 ��,�, 2�%8�/#!�9�-"$#&%-�A%7�,�9�7" 2$#��+A�$( #-��% "���* ,5% ��*�2,�$*�"���%&0��� ?�%��.,���"5* #5*�!�"�%72/( � ���80,#:%�� + *7��% "��/( � �7�.01�625*8(-,5*�!�"$#�#5* + $� "��2��",� #-�/#!� #8(.*;��%�25����2=��21)# H��IH � 2�%�HQ������ �7" 2$#��+ #�( ,2�8( (&*&06#��8, + #&!.#-" + $ � #/#5�6#4"$(6( #8(�*���=���$2=��� ���809"���* � ���5!7"$# %7�1�2���$*8(;� ��� A7"�������801� ���4A�"�����1"��2��"� !�� + !7� + �7"5* "/# + 0�* � ��51�� �7�.01"$# + 0.*��9��H;1��� *�,$( # + %�����"5*725� #-�>�7"$#�%�� !72/#-"5*72$# %7�� # � � %�,�"$# %7�>� + #4�$#-"/#5� + #>� + �5* ��%�2�#� #4�6"���*725*6#�("�7�F#4�$#4"$#5� + #>� + ��*#-�A�2��2�%$#4�������

Page 40: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

7��# �"# � *

* + (&*# � %7��*.(/�G� �J6@�/*

*7�.0

# � #5E8( � 2�":��# H 1)#2� * � �5%725�9� + #8(.*D#!�%���#5*72�%5* � � *�#-"�*�2����B*���/# + *6C&!�%���#5*72�%5*��F#4"�*�2�� ��� � �

#4"�*�2��F#4"�*�2�A 6/*,�# �"# *# � *8#2� + �2� ��� ��A7"�5��� H@� H � ��� A7"��� H@��#9����H0���* � # �+ H;1 � 21)#�� *# �"#�E8(��&2 "3��# H 18#9�/* � ��%�25�9� + #)(.*�#! %7��#�*72�%�*<� �G��%72@� �G,�# =�#�� �6*�,$(�# + %���� *

*7�.0� �=*)#2� + �?�'������A�"5�� H@��#9��H �9� * � � �+>18# *2�*�"�� 2��*7�.0

@B�= � *��@-/�� $#&%=���� $�/�L6��R� � � �' ��K���� ����$�+�>*�! U ��4 � ���6+67%0./ ��+�'�$�<.��$�+����Z1� �L6��� "!'67 &�� 6��,! ��6 �L�� � RO��$!�!=*��� b�+�E�,����4 � R�� 3?'!= R��6

� � S� �%�)� ��� S � � �� � �+�3�+����� S � � � ���� S � ���

�+�0 �!��+�= ����P�����> �!���*,4Q4A�L6 U

, � S� �%� � � ����� 7�� �� 7. � S��7�� � S � 7 S � S

����� � 7�� � �

�+�0 ��+ C4D*��+ ��+�0 f?EZ� $�,�:*���!��<*$4 � (���*��+�>�+�=. �b�T6B��!'�� � $�/�+�= �./�>!=��.1��2" C�N*,4�� � ��� � �� KO"�,!1!=* � 67%08'67�����+%0�+ �M& $OC��*��P6��F�$!'�� ��!���� � m sCt�r! 0o#" � �����]�+�= KM& $OC��*�� I.��$�+���LOC $6

M& $O$�7y � �$!'��M& $O,� z � �,!'� .��,���+��Z � � ���+� �+�0 g�+���$!'6 4D*��+./ [� .��,���+��Z $� �$!'� �� ��/���= 4D*�(>(�* � ��!0�1�,(���*������+�0. �Z$�=�+ $6�67 $�/�>! / 143"5�1#6

��� ��!�"$#&%��&%('*)@?*)�#4"�*�2,+7"$#�%��$(.-0/9E,132*4526)87 �6) ���6)G*�,$(&# + %��:9�;< � 2�%���*�!���*�2 , 2�%>0 ��!�"=7>+7"�2/#@?�+7, ,�2�%A?$#B7:+7"�# %7�<< 2 ��"DC�*E+72 2F+AG "�% �5* +�,�,�25%H?/#.7:+-"5*>0< 7��6) � � ��"DC�*6(�#)(.* %��I'

Page 41: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

7��

< *�,$( # + %�����"5*7237 #-� +7"$#�%�� !72/#-"5*72$# %7�< 25*7" ��2��/(=+�2�2 +HG$(=' )G?3(4��!HC "DCF+�"6��%�237 4 2 � ��25%7� 4 '*)@?F9 )IH ��25%�H 9 # ( 7 #-�$#B78��7% 7>+ ) �F+H-E/:( #8(�* 4 2>9 ;7$!E/ 7>+�E@7��6;D�5!0/6� +�E�� �6;? /A2 +7�80 �*4(7$! ) �5! 9 ; ' /92F+7�.0&� 4 7 � )@��>9 ;!�%�� � / � ;#-"5*72 +7"$# %7�/(�/���;� C/# + *6C&!�%�� �

#4"�*�2F+7"/#&%��$(�/=#-"�*�2F+�"$#&%��$(���� ;� / %�-6;�5%72 #0/�� � 7���5%72� /�� � � ��*4 # )� 9 /9"�2F+ !�* 4 2*4D4 # � �39��.7/! ��� � #��@7�!�)34� � �A9��-�5! ��� �����7�5! 9�H���?F9�;

*��80*��80� / ��E7" 2F+ !�* 4.?#H���?,9 ;� 2�� / ��%�237 4 � � '*)BH ��2�%�H 9 ;! %7� � / 4G��2�� � /3*�,$( # + %��:9 ;' / �6;� / %�-6;�5%72 #0/�� � 7/!�5%72� /�� � ��!�*4 # )� 9 /9"�2F+ !�* 4 2*4D4 %�� � 7 �3- � �A9��@7�! �.# )34 %�� � � �3- � �A9��7�.! ���,9�H��3'F9�;

*��80*��80� / ��E7" 2F+ !�* 4 '#H��3',9 ;� 2 �E/ ��%�237 4 � � ?*)BH ��2�%�H 9 ;! %7� � /:! %7� � � 4B� 2 ���3/3*7,/(�# + %7�>9 ;? / �6;

*7�.0

2�*�"�� 2��

@B�=�T6Q�,(>��*��������=. 6 *�(�M& [6 ���= B!= [�,�+ [67� , �+*�!= $O.-& �� �=��*���%'OC�H67�>!'OC H��! � �bW�� ��7 ����� � ��6Q67�=* � !

Page 42: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

7��

�+�E�,�K�+�= �./�>!=��.1��23 ��Q*$4� ��� � �7y �%� � ��� y���z � �

6+�$�+�T6 ?' $6� ��� � �+����� � ��� z �

�����7z � z � $W'� -& � �L67 U �+�0 .S��!=�>.F�>2C ��A*,4

� ��� � � z �%� � ��� y��Yz ����L6�6��,���L6 4D-���!0�

� ��� � ������ � ��� y ������7y � y �

� �= ��� �� �T6��b8=(�*�O.-F.p�,�+����Z ��6���!�@B�= "*��+ ". 7���`��>`��,!'� � ���K�T6B�+�= .p�,�+����Z]���'�,�KOC*�!'67�T67�P6*,4V�+�= 1� � � � �(> �./ �!���6Q*,4V�,(>()�+�= �8=(>*�O -06B*,4V�b������ ��������������� �"!$#�%'& �(�����)*�+'#"��,�-%

�\ K67���$�+ B4D*��Q�+ C4D "�+ �!'O3 B6 *�./ H��.2�'*��+���$!��A�,���+����8=%=�� $6*$4G���= �, �+*�!= $O.-& �� �=�+*���%'OC�N� ���=�+*$Z&I��.p�,!����.0/ 10/32 4�57698;:=<?>A@59BC8(DE 'F>A:=GHBI>=G9:A8

@B�= , �+*�!0 $O -& "�N�=�+*���%'OC���0�+ $6 ��+M& $6N�=��*D�' ����+�� [6V*$45�+�= K*���������!'�$(:.p�,�+���LOC [6��!1./*&6 �NO���67 $6 U��6 � �'��M& g6 � �!��>!�JN�'� �=�+ ��\`�� �S�L6]*,4R���� $�,����!��+ "�+ $6 �]�+*Y67 � � �= ����= ��/���= <, �+*$I!= $O.-& ����0�+*���%'O3�]�*�?�=�+*$Z���.��$�+��*�! �=�+ [67 ���M& $6 �+�= ,�=�+*F�' ��+���� $6 *,4K���= �� ���=�+*$Z���.��$�+ $� .p�[I�+����Z9�� ! � �RW�� ��7��5��� �T6<6 �=* � ! ���'�,� �+�= , �+*�!= $O.-& ���=��*���%'OC��� ���=��*,Z���.p�,�+�>*�!h.��,���+�LO3 $6*,4 � 67-�././ "�+�+�TO �'* 67������M& \�� 3?'!=���� .��$�+����ZY�,�� g��!'�� " $��67-�././ 3�+���LOH�'*&6 ������M& g�� C?'!=�>�+ &��&�>./��(T�,�+(>- 4D*��<8'�$!'�� $��.��,���+�TOC $6N�,!'��!=*�!�I!= "�&�,����M& �.��$�+�+�TOC $63�

<* � �M& "� U �+�0 , ��*�!= $O.-& �� �=��*���%'OC�A�*�?�=�+*$Z���.��$�+��*�!�.��,���+�LO3 $6:*$49� 67-�././ "�+�+�>O).��,���+�>Z�,�� �!=*��A!= $OC $6�6+�$�+��(>-�67-�././ "�+�+�TO �D�+�= "-bO"�,!]8' K6 -& � 67-�././ ����+�>O � ���=*��Q "Z=�$.2�=(� VOC*�!'6 �L�� "�

Page 43: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

���

�+�0 B4D*�(�(>* � ��!=��6 -�.S./ ��+���LO.p�,�+����Z��+�E�,�N�L6���= �, �+*�!= $O.-& �� �0�+*���%'O3� *$45��6 -& � 6 -�.S./ ��+���>O.��$�+�+�>Z

� ����� � �b`` ��� � � � �b`` ����� ������� � � `� � �b` �� �b` � �` � � �

������ $

@B�= , �+*�!0 $O -& "���=��*���%'OC� �*���0�+*$Z��>.��,����*�!g.��,���+�LO3 $6 *$4 ��67�+*�O��'��67�+�TO .p�,�+����Z ���6+#&%'�,�� !=*�!�I!0 ��&�$�+��M& R.��,���+�>Z � ���+� OC*�(>%=./!�I 67%0.�6Q $# %E�,(5�+*1*�!= � �$�+ R!=*�� 67��*�O_�'��67���LO U ��6<���KO��$!8' R67 � �!/4D��*�. �+�= ROC*�%=!��+ ��H �Z=�$.2�=(>

� ������� $ ` � $ � � $ � � $ 7� $ 7 � $ 7 � $ ` � $ `� $ � � $ � � $ 7 � $ �� $ � � $ � � $ ` � $ �

������

�,!E�d�+�0 bO3(�*&6 $67��E�,���

� � $ 7������ � $ ��` ���� $ �&` ��� � $ ������` � � � $ ����7�� � $ �D� ��7� $ �:���:� � $ ����7�� � $@B�= , �+*�!0 $O -& "���=��*���%'OC� �*���0�+*$Z��>.��,����*�!g.��,���+�LO3 $6 *$4K�$! *����+�=*���*�!E�,(B.p�,�+����Z �,�+ 1!=*��!= $O3 $6+6��,�+�>(�-1*����+�=*���*�!E�,(���\ � ��(�(l67�=* � �=* � �+*S�*���=��*$Z��>.��,�� �� .p�,�+����Z � ����� �I�'�$���K*,4.��$�+�+�TOC $6 � �����h6��' $OC�J?9O�67�+��%'OC��%=�+ U *���=�+*F�' ��+���� $6B�>!d���= �!= �Z��KO_�E�*�=�� ����.0/ 10/ . � 8;:�>=G9:�@ > <3D 5�� 698;D�:� ���'�$�Q�'�*�?�: "!'6�+* �+�= ,f��*�!= [O -& ��l�*���0�+*$Z��>.��,����*�! � �0 �! � (�' ��+��%=�+8]���= B�>!��=%=�5.��$�+�+�>Z���&%��?�:* 67 � \O��'�,!0�� � ��!��+*e� ��� � �= ��+ � � � � �L6FM& "�+-Y67.��$(�( U �=* � ��*�y��h�,!'�z � U ���= /./�>!=��.S��2" C�P6<*,4 � ��� y � z � � OC*�.2�E�,�+ 1�+*��y � �$!'���z � ���= /./�>!=��./�J2� 3��6K*,4� ����� � y � z � � �a� S67��%'��-\�+�= 1 �9 $OC�R*,4����= 2�' ����+%=��8'�,����*�! *�! ���= / $#&%=��M��$(� �!�����$!�-&I�`S�*���=��*$Z��>.��,����*�! �0�+*�80(� �. 8: [O��,%'6 F���= ��� ]�'��6�8: " �! �$! "Z��� �!'67�>M& ]6 �+%'��-g*$4����=

Page 44: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

��` �9 $OC�P6 *$4N�' ����+%=��8'�,����*�!�*�!d���= �6 ��!=��%=(L�$��M��$(�%= f�� $OC*�.2�'*&67�>�+�>*�!1*,4V�b.��,���+��Z9�� �B�L6NM��,(��T��+*S��*16 *F8' $O��$%'67 R�+�= "�' ����+%=��8'�,����*�!h�L6��$!'�,(>*���*�%'6<�>!d���= ��+�>(L�� �6G�'��O3 U

$�� � � ��� $� � $� �+�E�,�B.S $�,!'6Q���'�,�H�b6 .��,(>('O��'�,!=�� ��!S� OC*����+ $6G�:*�!'�=6B��*]��67.��$(�('O��'�$!=�� �>! $�R��\ <!= " $��+�0 f4D*�(�(>* � �>!=�]� � *](> �./.��$���<4D�+*�. �����bW����������������� ������lm s q � � o]q�r�s3t�� v u � q w � � t�r mA��� u

� � �"��=� � � �'� �"�� � ��� � ��� � ��� � � � � $�,!E������������ ������Qv rSo]q�r�sCt�� v u � q w�� � m�� r! v u"q&o v u"t�� v q w�� r! v u"t w � �3� q&s���q ���Ev��v � m o x0m u"t�rt m&whm��K���

� �! #"%$ ��& t�r! � � � � � � q w�� $ � � � $ � � $�Qv rBq � u m

� � $ ������ � �

� " �

�����

� � $ �����' � � (�� � �( � � � � �

�����

u m r! 0q�r & v ��q w<��v;Hw:v��)+* � � � �*� � � � ' � ����� � � � � � � q w�� ' � � � ' � � ( � � � � � � $

,-�/.0 ��� r v_w r v s vbv21 t�u3r3� v �Cr m sPu54 q w��76 u"q�r�t�u �98 t w �

� � 4 � 6 � � � � �D7 '*

u � � \r 0q�r%:Kq w � v���� �6� � 4 � q w�� : q w � v��- � � $ � 6 � q&s v q x q&tLs m�� u"t w � �3� q&s u ��; u x q�� v u�"m s � � �/<

Page 45: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

��7

�� $O��,(>()6 %=8'6��E��OC $6�� �,!E��� 4D*��+. � u"t w � ��� q&s u � ; u x q�� v�x q&tLs 4D*��K.��,���+�>Z�� �J4��������� ��� � ���� � � ��� $

�<*����B RO��,!h6 ���,�� ��� ����� ��� ��-�� � , � y � q w��]z � q&s v r v o]t w tLo]t�� v sPu m��

� ��� y���z � �q w�� �y�� q w�� �z�� q&s v r v o]t w tLo]t�� v sPu m��

��� � � ���#� y ��z � �r! v3w

� y � ��z � � �y � � �z � � �� � 7 � � � ������ � �� �*� .! 0 "# � � � � � � � � � � ��� � � � ��

& v s v3* q w � ' q&s v���v Hw:vG� t w ��v o]o]q%$ <'& < $()���*�,+.-/103242657098�:<;,=?>7@BADCFEGAD@'>70IHJ0�KML?NF�1LO8P:<2Q:<L?;RLDS $�UT10 $� � #"%$ ��V ��:'265 " �

HJ:BAD= � ���W�126570X8�:';7=?>,@YADCZEGAD@'>70�8[LDS $�]\*^_0 -�;7L��_2Q51AD2ZEO0�K ��`�a � � �cb � �dAD;1H)EO0�K ��efa � � � V��5703CQ0 �g2Q570�@BADCQ=?0�8P2F8P:<;7=G>7@YA�CFEGAD@<>,0O\h/1032FA�@Y8PLiT10Ijk265,0�@YA�C6=G0�8�248�:';7=?>7@BADCFEGA�@<>70�LDS

$� � � ���4AD;1H��hA�;1H 2Q570IKlLGC6C60m8��1L?;7:';7=]8P:<;7=G>7@YA�CnEO0�Kl26LGCo8M\ pLD�X03EO03C V 2Q5703CQ0q03rJ:B8�2EO0�Kl2QL?Cs8 4 A�;1H 6t8P>1K.5�2651A�2�� � �uA�;7=?0 � � � � � 4 �vAD;wH � �uA�;7=?0 � � � $ � 6x����:'265 �AD;wH $ � 26570pC60�8P2�LDS*2Q570yKlL?@'>7NF;18cL�S A�;1H $ V � � 4 � 6�� � � � � 7 .0 AD;1H/* V ' HJ03260zC6NF:';70�H{T�|@<0zNFNnA�7J\ �J\ � \ }>72X8�:';1Kl0 �uA�;7=?0 � � � � (� 4 ��A�;1HD�pAD;7=G0 � � � $ � 6O�~A�C60pL?;70M�PHJ:'NF03;18P:<LG;1AD@8��wA?Kl0�8 V �}0�K3A�;�KML?;18P:YHJ03C

� � � ��� � 4� � � � (� 4 ��� X ��� � � $ � 6

� � � $ � 6 ���

L?Cy8�:'NF�7@'03C� � � ��� � 4� � � 4 � 4 } �h� ��� $ � 6� � ��6 � 6 $

Page 46: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

���

�}5703;�3` a � e a � �` a � �e a � �� �)� ��� � � � � j � � � �� �

� � � j � � 7.�*j � � � � �[� � � � � � � � � j � � 7 �*j �� � � 4 � 4 � � � 6 � 6��� � � j � � 7.�*j �� � 4 � 4 � 6 � 6 $

}>72��X0 -�;7L���2651A�2 � 4 � 4 ��6 � 6 �D7 '*S C6LGN @<0zNFNnA�7�\ �J\ 7 2Q5703CQ0lS L?CQ0 26570)@BA?8�2��O>1AD;�26:'2�|�:Y8� � � � j � � 7 �*j �� �+��. 0 $

� @B8�L S CQL?NU2Q570�S!A?KM2 2651A�2 � ��� j�� � � � � � �� S C6LGNU@'03NFN4A07J\ ��\ � �X0tHJ0mHJ>1Kl0t2Q51AD2uS LGC�A=?:'EO03; �

� � � � ��� �]j ��� � � � ��� $� :';1Kl0�265,0u03r��7CQ0�868P:<L?;��}0yADCQ0 8P26>1H�|J:';7=tHJ0��1;70�8�A �1ADCsADT1L?@BA���:<2Q5 >7����A�CoHFKML?;1K3A3E�:<2P| V :<2s8NnA�rJ:'N >7N V A�;1H�2Q5703C60MS L?C60�A�;q>7�7�103CpT�LG>7;1H�2QL 2Q570)CoAD;,=?0tLDS :<2o8}EGA�@<>70�8�:Y8pA?Ko57:'03EO0�HFA�2L?;,0tLDS�2Q570t03;1H,8uLDSv26570t:';J2Q03C6EGAD@ V 2Q51AD2fAmS 260zC�KML?NF�1A�C6:';7= 2Q5703N �}0��w;1H :'2 :Y8p@<0�8Q8 2Q51AD;L?Cp0��O>1AD@ 26L

7.� �� � � �� �*� .! 0 "# � ��� � � � � ��� � � � �� $

7C6L?N 2Q57:Y8�26570zL?C60zN �}0 8�030)265wAD2 2Q570�,fCQL?;70mK -O03C��,C6L�HJ>1KM2 A��7�7C6L�r�:<NnA�26:'L?;n:Y8p8�03;w8�: �26:'EO0}2QL{�103CQ26>7CQT1AD2Q:<LG;18~2651A�2}KzAD;4K.51A�;7=?0p265,0p8�:<;,=?>7@BADCX8�>7Tw8��1AGKl0�8~LDS 26570�@BADC6=G0�8�2X8P:<;7=G>7@YA�CEGAD@'>70}L�S $�{\��}57:Y8Z8�:'26>1A�26:'L?;tKzAD;tA�C6:B8�0}��5,03; $�i51AG8c26570X2P�}L�@YA�C6=G0�8�2 8�:';7=?>7@BADC~EGA�@<>70�8*KM@<LO8P026LG=?032Q5703Cz\ uL��}03EO03C V ��5,03; 2Q570�@YA�C6=G0�8�2X8�:';7=?>,@YADC�EGAD@'>70p:Y8c:B8�L?@BAD2Q0�H V AD;�|�8�NnA�@<@��103C62Q>7C6T1A3�26:'L?;�L?;I� ��:'@<@*:';1HJ>1Kl0�EO03C6|%8�NnA�@<@*Ko51A�;7=?0t:';�2Q5700, CQL?;70�K.-O03C��7CQL�HJ>1Kl2fAD�7�7CQL�rJ:'NnAD2Q:<L?;

Page 47: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

���

S!A?KM26L?Cs8 T10�KzAD>18P0{2Q570 �x>wAD;�26:<2P|� � �� �*��. 0 ��:<@'@1T�0�Kl@'LO8P0 26L � 0zC6LtA�;1H�2Q5703CQ0lS L?CQ0u2Q570�K.51A�;7=?0y:<;n26570fAD�7�7CQL�rJ:'NnAD2Q:<L?;tS!A?KM26L?Cs8}��:<@'@[T10T1L?>7;wHJ0�H

�3` a � e a � �` a � �e a � �� � � � � �� $����� � ��� � �� � �"%'! � �-%'!

^I0}8P57L��_2Q51AD2 AD;�| T7@'L�K -pNnA�26C6:'r KzAD;)T10 ��CQ:<2Q2603;�A?8*A �1;7:'260�8P>7NhL�S�, C6L?;,0�K -O0zC��,C6L�HJ>1KM2o8AD;wH 57L�� 26LfKlL?NF�,>7260X26570�;70mADC60m8�2�8P26C6LG;7=�, C6L?;,0�K -O0zC*�7C6L�HJ>wKl2�26L)A =?:'EO03;�T,@<L�K.-{N%AD26CQ:<r \.0/�H/32 � 8 @�:A8� > 'HG�� D�E���� : DF598;B���8;: � : D��"G9B >�

�}570 ;,0�ADCQ0�8�2 , C6LG;70�K.-O03C~�7CQL�HJ>1Kl2�2QLtA{N%AD26CQ:<r��hKlLGC6CQ0�8��1L?;wH78 2QL�265,0 ;70�A�C60�8P2 CsAD;�-O�!L?;70NnA�26C6:'rtLDS 26570f86KlCsADN�T7@<0�HtNnA�26C6:'r $��\~^I0)K3AD;n03r��7CQ0�868 $�hA?8pAt8�>7N4NnAD2Q:<L?;tL�S~CsAD;�-O�!L?;70NnA�26C6:BKl0�8�HJ0 �w;70�HFTJ|4:<2o8�8P:<;7=G>7@YA�CuEGA�@<>70�HJ0�KML?NF�1LO8P:<2Q:<L?; V

$� � "%$ � � ����� �

���!��� ����5703CQ0 ��� A�;1H ���A�C60t265,0�KlL?@'>7Nn8}LDSvL?CQ2657LG=?L?;wAD@�NnAD2QC6:BKl0�8 A�;1H $ V " :Y8 A4HJ:YA�=?L?;wAD@NnA�26C6:'rF��:<2Q5q03@<0zNF03;�2o8!����� F:<;9HJ0�86KM03;1HJ:';7=FL?CsHJ03C V AD;1H"!t:Y8u2Q570tCoA�;�-�L�S�NnA�26C6:'r $�)\# ;F265,0 >7;18QKlCoA�N T7@'0�H�8��1AGKl0 V 2Q57:Y8~S!A?Kl2XNF0�A�;18 2Q51AD2vAD;�|FNnAD2QC6:'rt�g��:'265nKlLGNF�1LO8P:<260 � ;7LG2�7CQ:<NF0?� HJ:'NF03;18P:<L?;w8cK3A�;FT10u��CQ:<2Q2603;�AG8}A)8�>7N4NnAD2Q:<L?;�LDSZ03r,A?KM26@<|$!�, C6LG;70�K.-O03Cc�,C6L�HJ>1KM2o8

� � ����� ��P` � � e � �

��:<2Q5nEO0�K �P` �W� � ���!���cA�;1H�EO0�K ��e �W� � 7� \ �}5J>w8 V : S �}0 �vAD;�260�Hn26L�AD�,�7C6L�r�:<NnA�260)�h��:<2Q5AF8P>7N LDS&% �'!0, CQL?;70�K.-O03C��7CQL�HJ>1Kl2s8 V 2Q5703;��}0t8P:<NF�,@<|�2oA -O0)2Q570��1Cs8�2�%n2603CQNn8}LDS 2657:B88�>,NFNnAD2Q:<LG;*\

Page 48: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

���

^_0y8�2Q>1HJ|�26570y8��10�Kl:BAD@1KzA?8�0pLDSdAD�7�,C6L�rJ:'NnAD2Q:<;7=p265,0 8P>7NFNnA�26:<LG; ��� �����3� ��� � � �1:';265,0�;703r�2�8�0�KM26:<LG;*\ � >7Nn8cL�S�, C6LG;70�K.-O03Cc�,C6L�HJ>1KM2o8}A�C6:B8�0�:<; �O>703>,:<;7= 2Q5703LGC6| V 8�0z0�� ,)AD>�� � � \.0/�H/ . � 698 'F>A:AD 5� � :AD 598;B���8;: �':AD �"G9B >

�}570� ������������������������� ��� ���"!�#$�%��:B8uHJ0��1;70�H�:';�265,0�ADC60mA LDSvKlLGN T7:';1AD2QL?CQ:YAD@*2Q5703LGC6|qAG8)AN�>7@<2Q:<�7@':YKMAD26:'L?;t2QLOL?@[S L?C�LGC62Q57L?=GL?;1A�@cNnA�26CQ:YKl0�8 �'&{/ �)( ��� \+*p:<EO0z; 2P�}L�NnAD2QC6:BKl0�8 ` AD;1H e��C6:'262Q03;qAG8 ���!T�|x� � AD;1H � � T�|O� �,�T7@'L�K�-nNnA�26C6:BKl0�8}CQ0�8��10�Kl2Q:<EO03@'| V 2Q570 �P�!TJ|O� �,tT7@<L�K.-NnA�26C6:'rq��:Y8)86A�:YH_2QL�T10F2Q570F8P26CQL?;7=0/fCQL?;70mK�-O03Cy�7C6L�HJ>wKl2tLDS ` AD;wH e : SpAD;wH_L?;7@'|q: S V0�AGK.5nT7@'L�K�-�LDSX� K3A�;nT�0���C6:'26260z;nA?8

� ��� � �1 � �

�P` � 1 � e 1 � � $^I0)HJ03;7LG260 2Q570)8P26C6LG;7=2-�C6L?;,0�K�-O0zC~�7C6L�H�>1Kl2�LDS ` A�;1H e ��:<265 `43Xe \��}570 L?�103CsAD2Q:<L?;n:B8�}0z@<@,HJ0 �1;70mH LG;7@<| AmS 260zC~26570p�1A�CoADN4032603Cs8 � V � AD;1H , ADCQ0p8�032z\ �}570y8�2QC6L?;,=2/ C6LG;70�K.-O03C�7CQL�HJ>1Kl2p�7C60m8�03CQEO0�8 LGC6265,L?=?LG;1AD@':<2P|�AD;1Hn:Y8�AG868�L�KM:YAD2Q:<EO0O\

�uL�� V KML?;18P:YHJ03C NnAD2QC6:'r � V A CQ03L?CsHJ03CQ:<;7=XLDS12Q570~03@'03NF03;�2o8JL�S1NnA�26C6:'rp�_��5703CQ0�0�A?Ko5)� ���T7@'L�K�-F5wA?8�T�0z03;q8P>7T18�2Q:<2Q>7260�Hn��:<2Q5�2Q570 $� ���G\ 7CQL?N 26570�HJ0��1;7:<2Q:<LG;�L�SX8�2QC6LG;7=5/ C6LG;70�K.-O03C�7CQL�HJ>1Kl2 V �}06-J;,LD��2651A�2�NnAD2QC6:<r $� ���y:Y8}LDS CoA�;7- � V @<032X>18���C6:<2Q0):<2�AG8

$� ��� �98 �;: ��

��5703CQ0�NnA�26CQ:YKl0�8 8 AD;wH<: KlLG;J2sAD:'; � LGC6265,L?=?LG;1AD@XKlLG@<>7N4;18 V 2Q570�;�>7N�T�0zC}LDS C6L��p8 ADCQ00��O>1AD@*2QL 2Q570)T7@<L�K.-n8P: � 0�8}L�S~N%AD26CQ:YKl0m8 ` AD;1H e C60�8P��0mKl26:'EO03@<|O\ �}51A�2uN40�AD;18 � �=8 : �

:Y8tAqCoA�;7-O� � NnA�26C6:'r V 2Q570n�7C6L�H�>1Kl2�LDS � � T�|O� � T7@<L�K.-iNnA�26CQ:<r 8 A�;1H , � T�|O� � T7@<L�K.-NnA�26C6:'r�:�\ � >1Ko5�A�NnAD2QC6:<r4KlLGC6C60m8��1L?;1H,8 2QLFA�8�>7N LDS � / C6L?;,0�K�-O0zC}�7CQL�HJ>1Kl2s8l\

/1032)>18 Kl@BADCQ: S |�2Q570�ADT1L�EO0�HJ:B86Kl>18Q8�:'L?;q��:<2Q5iA�;_0zr7A�NF�7@<0 \ � >7�,��L 8�0 ` :Y8 A�;?>3� T�|x� �T7@'L�K�-iN%AD26CQ:<rI��:<2Q5��5@c� T�|x� A@ T7@<L�K.-,8 ` ����A�;1H e :B8 A�;��3� T�|x�-�iT7@'L�K�- NnAD2QC6:<rI��:<2Q5�5Bd�!TJ|O� BiT7@<L�K.-78 e ��� AD;1H�� ��`C3ue \ �}51AD2p:Y8

Page 49: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

���

` � � ` � � ` � � ` ��,` � � ` � � ` � , � A�;1H e�����e � � e � � e � , e � �e � � e � � e � , e � �e , � e , � e ,�, e , �

� ��

265,03C60lS LGC60��g:B8�A >3� T�|x�-��T7@<L�K.-FNnA�26C6:'rt��:<2Q5 � @ � B �!TJ|O� @ B T,@<L�K.-78X� ��� ��:'265� ��� ��` � ��� e � � � ` � � � e � �6� ` � ,F� e , � $

7C6LGN 2Q570tA�T1LDEO0��}0�HJ0�H�>1Kl0�2Q51AD2I$� ��� �C8 � : �� S L?Cf8�L?N40{N%AD26CQ:YKl0m8 8 ��AD;1H : ����:'265 �KlLG@<>7NF;w8l\�#WS �}0)KML?;18P:YHJ03C

� � � $� � � $� � � $� ��, $� � �$� � � $� � � $� � , $� � � �265,03;nL?T�EJ:'L?>18P@<|� ��� 8 �

8 � � � :��� : �� :��, : ���� �=8 : �

265wAD2p:Y8pA CsAD;7-O� �tNnA�26C6:'r V L?Cp0��O>7:<EGAD@'03;�26@<|t2Q51AD2y� K3AD;�T10�L?T,2oAD:';70�HnTJ|FCQ03L?CsHJ03CQ:<;7=t2Q5708�>,N LDS �2/ CQL?;70�K.-O03CX�7C6L�HJ>wKl2o8M\

^_0 S LGC6NnA�@<: � 0u2Q570�ADT1L�EO0�H�:Y86KM>1868P:<L?;���:<2Q5�2Q570 S L?@'@<L���:<;7=��� ����� ��� ����� � � �.�1� ;%��� � ; 8� �, ; � �"��� ����������1 & � � ; � �"��� X� ����� ` ;%��� �� ; 8� �; � �"��������������1������7! e ;%� � � ; 8� �, ; � �"��������� ����1�<�����!$� �7����� � ���%� ���� � ��� � � ��� �P` ��������7! � ��� � � ��� �Pe ����� <�� � �<� � � �A� � � & � ��� �A� ! �

� � � ` 3pe � �� � ���� � � $� ��� � �

1 � �� � 1 � �1 � � ��

()���*�,+.-� ��� ` 3�e� �� �

���� � � � ��� � �

1 � �` � 1 e �1 � � �� �

���� � � $� ��� � �

1 � �� � 1 � �1 � � ��

Page 50: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

���T10�K3A�>18�0)LDS �}5703L?CQ03Nn8 >J\ � \ � AD;1H >J\ �7\ � \

�*L �1;1HnAD;nL?�,26:<N%AD@1�1AD:'C}L�S ���!TJ|O� � T7@'L�K�-�NnA�26C6:'r ` AD;1H � �!TJ|O� �, T7@'L�K�-�NnA�26C6:'r e V265wAD2pNF:<;7:'N : � 0 NF:<;@ � B � ��� `C3ue� �S L?CyA�=?:'EO03; �P� T�|O� �,{T,@<L�K.- NnA�26CQ:<r4� �X0&�

� 7L?CQN�NnAD2QC6:'r � V A CQ03L?CsHJ03C6:';7=)LDS NnAD2QC6:<r��]��5703CQ0u0�AGK.5tT,@<L�K.-�� ���}:B8�8�>7T18P26:'26>72Q0�HT�| $� ��� \

� J�LGNF�7>72Q0 26570 ��� & L�S ��\��� 8P0)26570 �1Co8P2� � 260zC6Nn8�LDSX26570 ��� & 03r��1AD;w8�:<LG;q26LtS L?CQN ` AD;wH e A?K3KlLGCoHJ:';7=F2QL�}570zL?C60zN >J\ �7\ � \

# ; � �,��0z;1HJ:<r � �}0n�7C6L�E�:YHJ0��������� �KlL�HJ0q2Q51AD2%K3AD@BKl>7@YA�260�8�2Q570q8P26CQL?;7=9/ C6LG;70�K.-O03C�7CQL�HJ>1Kl2yA?8��}03@'@*AG8uA��7�7C6L�r�:<NnA�26:'L?;18���:<265n:'23\����� �������0� %'&'� ��� �-%'� %�� � �'��� ���0#"��,�-% !

^I0 ��:<@'@�>w8�0 2Q570 / CQL?;70�K.-O03C��7CQL�HJ>1Kl2vAD�7�7CQL�rJ:'NnAD2Q:<L?;4A?8�A)�7C60mKlL?;1H�:<26:'L?;70zC S L?CX26570fKlL?;J��6>7= AD2604=?CoAGHJ:<0z;J2 � J *)�yNF03265,L�H 2QLq8�LG@<EO0�26570�@<:';70�A�C�8P|78P2603N%8uLDSp0��O>1A�26:<LG;18 2651A�2tA�C6:Y8P0S C6LGN 26570 HJ:Y8QKlC6032Q: � A�26:'L?;nLDS��wADC62Q:YA�@~HJ: � 03C603;�26:BAD@*0��O>1A�26:<LG;18l\ � 2oA�;1H7ADCsH �1;7:'260l� HJ:�� 03CQ03;1Kl0HJ:B86KlCQ0326: � AD2Q:<L?;w8 |�:<03@BH Kl0zC62oA�:<; 8�|�NFNF032QC6:'K �1LO8P:<26:'EO0qHJ0��1;7:<2Q0�T7@'L�K�-R26CQ:YHJ:BAD=?LG;1AD@y@<:<;,0�ADC8�|,8�2Q03Nn8�LDS�2Q570 S L?C6N ��� � � \ # ;n=?03;,03CoA�@ V N%AD26CQ:<r4�hK3A�;�T10)��C6:<2Q2603;�AG8

� � � �� � � ��� � �'� ��� ��� � �� � � � � � � � , � � � >�\ �G���5703CQ0 � :B8F26570I:YHJ0z;J2Q:<2P| NnAD2QC6:<r L�S�8�: � 0 hTJ| A�;1H � 26570 hT�| 8P|JN4NF0326CQ:'K26CQ:YHJ:BAD=GL?;1A�@7��:<2Q5 � 03CQLO8*L?;t2Q570�HJ:BAD=GL?;1A�@1AD;1H�LG;70�8cLG;t26570 �1Co8P2~8P>7�103C�A�;1Ht8�>7T��PHJ:BAD=GL?;1A�@ \

Page 51: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

���

^I0�8QA3|F2651A�2uN%AD26CQ:<r�� KlLGC6C60m8��1L?;1H,8u26L�8P2603;1KM:<@� , � � � ,� � � � � �� , � � � , $

� >�\ �O�7L?Ct03r,ADN4�7@<0 V 26570 &u:'C6:YKo57@'032)8�2Q03;1Kl:'@�51A?8tKlLO0��nKl:'03;�2o8 � � � � V � � � � � AD;wH ��, � ��57:'@<0n26570i/ A��7@YAGKl0q8P2603;wKl:<@�51AG8 ��� � > V � � � � � A�;1H���, � � � S C6LGN KML?NF�7>,2603CE�:Y8�:'L?;+���pL?C.�����!\

�}570 &u:'C6:YKo57@'032�NnAD2QC6:'r�:B8u>18P0�HqA?8 265,0tNFL�HJ03@*�7CQL?T7@'03N S LGC 265,0�KlL?NF�wADC6:B8�LG;qLDSvHJ: SY�S 03CQ03;J2��,C60�KlLG;1HJ:'26:<LG;703Cs8 :';'� J * ���7� � \ �}570��,C60�KlLG;1HJ:'26:<LG;7:<;,= NnA�26CQ:<r�� V 8�5,L?>7@BH�T�0�A�;AD�,�7C6L�r�:<NnA�26:<LG;n26LFNnA�26CQ:<rn� 2651A�2u:B8u0�A?8P:<03Cp26L48�LG@<EO0���:<265 \ # 2p:Y8u0mA?8�|n2QLn8�57L�� 265wAD2 : S� :B8 2Q5702/ CQL?;70�K.-O03CX�7C6L�HJ>wKl2 A��7�7CQLDr�:<N%AD26:'L?;nLDS AF8�2Q03;1Kl:'@[NnA�26C6:'r V 26570z;�� � ` � e��5703CQ0 265,0 2P�}L{S!AGKl26LGCo8 ` AD;1H e ADCQ0)8�|�NFNF032QC6:BK �*LO03�7@<:'2 � 26CQ:YHJ:BAD=?LG;1AD@*N%AD26CQ:YKl0m8cLDSZ2Q570S L?CQN ` � � � � � � � � � � V e � � � � � � � � \ �}570�KlLO0��%Kl:'03;J2s8 � � V � � V � �yA�;1H � � K3A�;T10 S L?>7;1Hn03r��7@<:BKl:<2Q@<|O\

# 2}:Y8 -J;,LD��;42651A�2�26570)KML?;��6>7= AD2Q0{=GCoAGHJ:<03;�2}N4032657L�H�KlLG;JEO03CQ=?0�8�CoA��7:YHJ@'|t: SZ2Q570)KlLG;1HJ: �26:'L?;�;J>,N T103C� � ��

� �{�Z:Y8~8PNnAD@'@7L?C�: S[2Q570�03:'=?03;�EGAD@<>,0�8~ADCQ0 KM@<>18P2603CQ0�H[\�# ; c:'=?>7CQ0 >J\ >f�X08�0z0}265,0�Kl@'>18�2Q03C6:';7=uL�S 26570X03:<=G03;JEGA�@<>70�8*LDS���

� � A�C6LG>7;1H � V A�@<265,L?>7=G5 :'2c:B8d;7LG2�HJ0 �w;7:<2Q:<EO003;7LG>7=?5�26Ln8P>7=?=G0�8�2yAt�7C6LOL�S�A�T1L?>72 2Q570tKML?;�EO03C6=G03;1Kl0 L�S�265,0{�,C60�KlLG;1HJ:'26:<LG;70�HnKlLG;��6>7=OA�260=?CsA?HJ:'03;�2~NF032Q57L�H[\c^I0pAD@B8�L�KlLGNF�1ADCQ0}2Q570uCQ0�8�:BHJ>1A�@Y8~A�2 0mA?Ko5t:<260zCoAD2Q:<LG;tLDS 26570/ C6LG;70�K.-O03C�7CQL�HJ>1Kl2XAD�,�7C6L�r�:<NnA�26:<LG;)�7C60�KML?;1HJ:'26:'L?;703C V EO03Cs8�>18*26570�CQ0�8�:BHJ>1A�@Y8*LDS 26570pH�:YAD=GL?;1A�@ AD;1H�2Q570:<;wKlL?NF�,@<032Q0J�57L?@'0�8�-�| � # J��*�7CQ0�KlLG;1HJ:<2Q:<LG;703Co8*:<; �1=?>,C60 >J\ �J\~^I0}LGT18�03CQEO0}2Q51AD2 / C6LG;70�K.-O03C�7CQL�HJ>1Kl2 AD�7�7CQL�rJ:'NnAD2Q:<L?;I:Y8 N�>1Ko5�T103262Q03C)2651A�; 265704HJ:YA�=?LG;1AD@X�7C60�KML?;1HJ:'26:'L?;703C)T7>,2�;7LG2A?8�=?LOL�HIA?8 # Jp\ �}5,0�2oA�T7@<0 S LGCu2Q570�:'2603CsAD26:'L?;18};,030�HJ0�HF2QLnA?Ko57:<0zEO0 C60�8P:YHJ>wAD@ !t8�>wK.5�2651A�2! � � ! � � � S L?C~2Q570 / C6LG;70�K.-O03Cc�,C6L�HJ>1KM2}A��7�7CQLDr�:<N%AD26:'L?; AD;1Ht26570�# JI�7CQ0�KlL?;wHJ:<2Q:<L?;,03Co8@<0mAmEO0m8 265,0�8QADNF0y:<NF�7CQ0�868P:<LG;18l\

�}570FT1L?2Q26@'03;70�K.-�S L?C�0�A?Ko5_:'2603CsAD2Q:<L?; :<;I�7C60�KML?;1HJ:'26:'L?;70�H�J * V :Y8)8�LG@<E�:<;7=�265704@<:<;,0�ADC

Page 52: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� (

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.40

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

eigenvalue

perc

enta

geDistribution of eigenvalues of M^(-1)*A for n =250^2

c:'=?>7CQ0�>�\ > � �}5704HJ:B8�26CQ:<T7>,26:<LG;iLDSp2Q570�03:<=G03;JEGA�@<>70�8 L�S � � ��S L?C� � � � � ��>7�

��:<2Q5 � � � � >�� F8�57L��p8�26570�Kl@'>18�2Q03C6:';7=�L�S�03:'=?03;�EGAD@<>,0�8}A�C6L?>,;1H � \ J\�ZADT7@'06>J\ � �J�L?N4�1ADCQ:Y8�LG;FLDSZ:'2603CsAD2Q:<L?;w8 S L?CX26570 /fCQL?;70mK�-O03C �7C6L�HJ>wKl2pAD�7�,C6L�rJ:'NnAD2Q:<LG;�AD;1H265,0 # JR�7C60mKlL?;1H�:<26:'L?;70zCo8l\

� CQL?T7@'03N � : � 0 # J # 2603CsAD2Q:<L?;w8 /�� � # 2Q03CoA�26:<LG;18� � � �� � ( �G�� � � � � � (��> � >�� � ���� � � ( ���� >�� � � � � �>7��� � ��� ( �

Page 53: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

PCG_ka = 93 PCG-ic = 66 n = 256

Iteration

log(R

esi

dual)

c:'=?>7CQ0 >J\ ��� � KlL?NF�wADC6:B8�LG;qLDSX26570tCQ0�HJ>1KM26:<LG;�L�S�265,0tC60�8P:YHJ>1A�@dS LGC 265,C6030�HJ: � 03C603;�2p�7C60l�KlLG;1HJ:<2Q:<LG;703Co8M\ �}570IH7AG8�570mHg@<:';70�:B8 S L?Cn265,0iHJ:BAD=GL?;1A�@{�,C60�KlLG;1HJ:'26:<LG;703C V 2Q570I8�LG@<:BH S LGC265,06/ C6L?;,0�K�-O0zC~�7C6L�H�>1Kl2pAD�,�7C6L�r�:<NnA�26:<LG;FA�;1HF26570yH7AG8�5J� HJL?2Q260�Hn@<:';70 S LGC}2Q570 :<;wKlL?NF�,@<032Q0J�57LG@<0�8�-J|O\ �}5,0�8P: � 0yLDSX�h:Y8 � � � � ���7����� ��:<2Q5 � � � � >�����\

Page 54: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� �

Inc−Chol

diag

KPA

B−diag

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

Iterations

log

(Re

sid

ua

l)Comparison of different preconditioners for Laplace stencil matrix

c:'=?>7CQ0 >�\&�.� � KML?NF�1A�C6:B8�L?;�LDS 26570pC60mHJ>1Kl2Q:<L?;�LDSZ2Q570pC60�8P:YHJ>1A�@JS L?C�S L?>7CXHJ: � 03C603;�2��7C60mKlL?;J�HJ:'26:<LG;703Cs8l\ �}570n8PL?@':YHq@<:<;,0FKlLGC6CQ0�8��1L?;wH78�26L # ;wKlL?NF�,@<032Q0�J�57LG@<0�8�-J| V 265704H7AG8�570�Hi@':<;70t:B8S L?C)2Q570 / C6L?;,0�K�-O0zCu�7CQL�HJ>1Kl2�A��7�7C6L�r�:<NnA�26:'L?; V 2Q570�HJLG26260mH9S LGC{2Q570tT7@'L�K�-O�PH�:YAD=GL?;1A�@��7C60l�KlLG;1HJ:<2Q:<LG;703CyAD;1H�2Q570tH7AG8�5J� HJLG26260mH @':<;70 S L?Cy26570 HJ:YA�=?L?;wAD@~�7CQ0�KlLG;1HJ:<2Q:<LG;703CpC60�8P��0mKl26:'EO03@<|O\�}570�8�: � 0)LDS 26570t/ A��7@YAGKl0t8P2603;1KM:<@[N%AD26CQ:<r��h:Y8 � � � � � ��:<2Q5 � � � � > �\

Page 55: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

��>

8�|,8�2Q03N ��� � !�S L?C��7\ � 8P:<;7=I265,0�# J AG8 �7CQ0�KlL?;wHJ:<2Q:<L?;,03C�S L?C�26570nNFL�H�03@��7C6LGT7@<0zN V8�LG@<E�:<;7= ��� � !qKML?C6CQ0�8��1LG;1H78F26L 8�LG@<E�:<;7=I2657098�|,8�2Q03N � � ��� � !q��5703CQ0 � :B8 2Q570:<;wKlL?NF�,@<032Q0J�57L?@'0�8�-�|)HJ0mKlL?NF�1L 8�:<2Q:<LG;�LDS���\�# ;�KlL?;�26CsA?8P2 V >18P:<;7=y26570 /fCQL?;70mK�-O03C �7C6L�H�>1Kl2AD�,�7C6L�r�:<NnA�26:<LG;�A?8 At�7C60mKlL?;1H�:<26:'L?;70zC V A�/ C6LG;70�K.-O03C}�,C6L�HJ>1KM2 51A?8p26L�T�0�8PL?@'EO0�HnAD2 0�AGK.5:<2Q03CoA�26:'L?;*\ �}51A�2�:Y8 ��� � !tKlLGC6C60m8��1L?;1H,8 2QL ��` � e ��� � !{LGCu0��O>7:'E?A�@<03;�26@'|t26L�8PL?@<E�:<;,=e��y` � � gS L?C � V ��570zC60 � :Y8�A � �!TJ|O� ��NnA�26CQ:<r48�>1Ko5n2651A�2uEO0�K ��� � � � A�;1H �:Y8pA� � �!T�|x� � � NnAD2QC6:'rF8P>1K.5n2Q51AD2�EO0�K � y� � !x\

7L?Ct265,0FNFL�HJ03@��7CQL?T7@'03N LDSy8�: � 0 ]A�;1H � �� ���� � V :<2tKzAD; T10n8�57L���;R2651A�2� :B8fTwAD;1HJ0mH ��:'265IL?;7@'|� �8P>7TJ� HJ:YA�=?LG;1AD@B8{;7LG; � 03CQLnAD;1HI8�LG@<E�:<;7=n2Q570F8P|78P2603N C60��O>7:'C60�8( ���1L?�18M\ 7LGC 26570 / C6L?;,0�K�-O0zC��7C6L�HJ>wKl2�AD�7�7CQL�rJ:'NnAD2Q:<L?;n�7CQ0�KlLG;1HJ:<2Q:<LG;703C V ` A�;1H e ADCQ026CQ:YHJ:BAD=GL?;1A�@[A�;1H � ����1L?�18�A�C60pC60��O>7:<CQ0�H V 03r,Kl03�72Z2651A�2XAu@YA�C6=?0��103CsKl03;�2oA�=?0�LDS 2657L 8�0��1LG�18K3A�;�T10�03rJ0mKl>7260mH :<;n�1A�CoAD@'@<03@ V T10�K3A�>18�0)�X0�8PL?@'EO0uS L?CpN >,@<26:'�7@<0�CQ:<=G5J2�51A�;1H�8P:YHJ0m8l\��� ��������� �����5��� ���"!$#���}570 J�L?;,;70�Kl2Q:<L?;&%qA?Ko57:<;,0 � Kl:'03;J2Q: � K � LDS 2P��A�C60t/1:<T,CoADCQ| � J'% � � /*�)( �}5,: ( **�7C6L�E�:YHJ0m8�A26LOLG@ -�:<2~S L?CX:<2Q03CoA�26:<EO0XNF032Q57L�H78~26LG=?032Q5703C���:<2Q5nKl>18P26L?N4: � 0�H�8�LG@<EO03Cs8 ��5,03; 2Q570p@<:<;,0�ADCX8�|,8 �260zNn8~ADCQ0)8�2QC6>1KM26>7CQ0�H[\ �}570 N4LO8�2XKlLGNFNFLG;�L?�103CsAD2Q:<L?;FS LGC}265,0"J *�:Y8 2Q570pNnAD2QC6:<rO�!EO0�Kl26LGC�7CQL�HJ>1Kl2X�,+*\ � :<;1Kl0v� :<;t2Q570uN4L�HJ03@��7C6LGT7@<03N :Y8~A)8P2603;1KM:<@ V �}0pH�:Y8�2QC6:'T7>7260mH-+ LG;FA.� � T�|� �v=?C6:BHn8�Lt265wAD2p26570)A��7�7@':YK3A�26:<LG;��,+FC60��O>7:<CQ0�8~L?;7@'|F;70�A�C60�8P2�;703:'=?5�T�LGCpKlL?N4N >7;,:<KzAD26:'L?;*\�}57:B8c:Y8*26570vKlL?CQC60�8P�1L?;1HJ:';7="J�LG;7;70�Kl2Q:<LG;/%qA?Ko57:<;70 7L?CQ26CsAD; � J'% ��0( �}57: ( � *�C6L?>,26:<;,0�2651A�2K3A�@YKl>7@BAD2Q0�8 � �1+ �

(-� � 2�%���"$#4�.* 05#-2/#&!HC + *�"&���*4@� ) ?*)(G:9#-��"5*�25*721�6)�# )�2�* + + ?*4G�6)@�>9 ) G*4G�6)@�>9

!@7.�43 + +HG5%7� "=?*4� ��*65$( ) � �.*65$(39!@7.�43 + +HG5%7� "=G*4� ��*65$( ) � �.*65$(39

GI/87 �H? � 4�* %8(C$#-� "*45?*) ��) ��):9 �;9,9 �� * %8(C$#-� "*45?*) ��) � ��);9 �;9 9��

Page 56: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� * %8(C$#-� "*45?*)�� ) ��):9 �;9,9 �� * %8(C$#-� "*45?*)�� ) � ��);9 �;9 9 92�*7" ��2 �*7�80

7L?Cp8PL?@<E�:<;,= e�� ` � � S LGC � V �}0y2oA -O0y26570�/ &)/ � HJ0�KML?NF�1LO8P:<2Q:<L?;�LDS 265,0�8P|JN4NF0326CQ:'K26CQ:YHJ:BAD=GL?;1A�@ NnAD2QC6:BKl0�8 ` AD;1H e 2651A�2nADCQ0 ` ��� @���@ � � @ A�;1H e ��� B � B � � B C60l�8��10�KM26:<EO0z@<|O\���A?K.-FA�;1H�S L?CQ��ADCsH�8P>7T18�2Q:<2Q>726:'L?;qA�C60)>18P0�H%S LGC 8PL?@<E�:<;,=t26570)>7;7:'2u2QC6:BAD;7=G>7@YA�C� T,: � HJ:YA�=?L?;wAD@W�X8P|78P2603N%8l\ �p03C60p:Y8�26570)8P>7T7CQL?>72Q:<;70)265wAD2�8PL?@'EO0�8 � � � � � � ]S L?C � \ �}570C6:'=?5�2c5wAD;1H�8�:BHJ0 R:Y8*L�EO03C6��CQ:<262Q03;)TJ| � \ %qA�26CQ:<r � :Y8*C603�,C60�8P03;J2Q0�H{LG;7@<|)T�|�:'2o8ZHJ:YA�=?L?;wAD@0 ��57:<@'0u>7;,:<2�@<L��}0zC}T7: �PHJ:BAD=GL?;1A�@ � :B8~C603�7CQ0�8�0z;J2Q0�H T�|�:<2o8 �1Cs8�2p8P>7TJ� HJ:YA�=?L?;wAD@ ! \ �}570 C65w8:Y8 2 \!<( % + � * �$( #-� 2����

(-� � 2�%���"$#4�.* " 2$#�0�#3+62��.(.G37���( % + � * 4@�6)@0 ) ! ) 2:9#.78, + # !8#-" ��%7�5*#-��"5*�25*721�2�* + + ! 4G� � ��9 )G0�4B�F92�* + + 2*4G�6)@�>9#-��"5*�25*723# )�

!@7.�43 + +HG5%7� " 0�4� ��*65$(D9!@7.�43D+ + # 2�� ! 4 #D9 5$#-"DC<0�4 # 9!@7.�43 + +HG5%7� " 2*4� ��*65$( ) � �.*65$(39

0.% �D/ � )@� � �2*4�� � ��) � 9 /92*4�� � � ) � 9 � ! 4 � 9 � 2 4 �*)�� 9

*7�80 0�%

0.%<#A/ � )@�2*4 # )�� 9 /62 4 # ) � 9 E 0�4 #D9

*7�80 0�%

0.%<#A/&� )�� ) � �2*4 # � ��) � 9 /92*4 # � � ) � 9 � ! 4 # � ��9 � 2*4 # )�� 9

*7�80 0�%

Page 57: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� �

2�*7" ��2 �*7�80

# NF�7@'03N 0z;J2Q: ;,=F26570 # J �,C60�KlLG;1HJ:'26:<LG;703C�:<; An�1ADCsAD@<@'03@}0z;JE�:<CQL?;7NF0z;J2p:Y8tAnEO03C6|IHJ: �nKM>7@<22oAG8�- V A?8p:<2 :B8uHJ0zNFL?;18P26CsAD260mH�:<; ( */ � ( > *!\ � :<;wKl0�2Q5703C60���AG8u;7LF=GLOL�H_:<NF�,@<03N�03;�2oAD2Q:<LG;S L?C 26570 # JI�7CQ0�KlLG;1HJ:<2Q:<LG;703C V �}0vKlL?N4�1ADCQ0�H 26570 / C6LG;70�K.-O03C[�,C6L�HJ>1KM2}A��7�7CQLDr�:<N%AD26:'L?;)��:<2Q5265,0qHJ:BAD=?LG;1AD@fAD;1H 2Q570�T7@'L�K�-RHJ:BAD=GL?;1A�@ �7C60mKlL?;1H�:<26:'L?;70zCo8�>18P:<;7=i2Q570�:'NF�7@'03N 0z;O2oAD2Q:<LG;18S L?>,;1H :'; J'% � � /Z\ �}570�8��1030�HqLDS9J'%��@��AD@'@<L��}0�H�>w8f2QL�8�L?@'EO0tEO03C6|n@BADC6=G0 :';18�2sAD;1KM0�8 LDS265,0 NFL�HJ03@1�7CQL?T7@'03Nq\��}5706/ C6LG;70�K.-O03C��7C6L�HJ>wKl2pAD�7�,C6L�rJ:'NnAD2Q:<LG; �7CQ0�KlLG;1HJ:<2Q:<LG;703C};,030�HJ0�HS 03�X03CF:<2Q03CoA�26:'L?;18F265wAD;h2Q570_LG26570zC��,C60�KlLG;1HJ:'26:<LG;703Cs8 V T,>72�:'2�2QLOL�-�NFL?CQ0q26:'NF0qHJ>,0_2QLKlLGNFN >,;7:YKMAD2Q:<L?;IL�EO03C65,0�A?H[\ �}570�8P0�CQ0�8�>,@<2o8{S CQL?N A� >m�!;7L�HJ0 J'% ����:'265 EO0�Kl2QL?C�>,;7:<2s8K3A�;iT10�8P0303;i:'; �1=G>7C60 >J\ �J\�^I0FLGT18�03CQEO0F265wAD2t265,0n8�:'NF�7@<0m8�2 �7CQ0�KlLG;1HJ:<2Q:<LG;703C�:B8fS!AG8�260zC265wAD;�26570�NFLGC60XKlLGNF�7@<0zr L?;70m8 V HJ0�8P�7:<2Q0�26570X=?C60mAD260zC ;�>7N�T103C*LDS :<2Q03CoA�26:'L?;18c;,030�HJ0�H \ �}57:B8:Y8�H�>70)26L4KlL?NF�,>72oA�26:<LG;nAD;wH�KlLGNFN >,;7:YK3A�26: L?;4KlL 8�2o8�LDS 26570�KlLGNF�7@<0zrt�7C60�KML?;1HJ:'26:'L?;703Cs8l\����� � ���"% �;! ! ) �"!

� 8)�}0F51A3EO0n8P0303; V A�@<2Q57L?>7=G5 265705/ CQL?;70�K.-O03C)�7CQL�HJ>1Kl2�A��7�7C6L�r�:<NnA�26:'L?;iCQ0��x>,:<C60m8yS 0z�}03C:<2Q03CoA�26:'L?;18 AG8 AF�7C60mKlL?;1H�:<26:'L?;70zC V S L?C 2Q570�KlL?; �6>7=OA�260�=?CoAGHJ:<0z;J2p26L�KlLG;JEO03CQ=?0 V :<2pC60 �x>7:'C60�HNFLGC60)26:'NF0)2651A�;q26570�8P:<NF�7@'03C�H�:YAD=GL?;1A�@��7C60�KML?;1HJ:'26:'L?;703Cz\ # 2p:Y8u2Q5703C60MS L?C60�LDSX:<;�260zC60�8P2u2QL8�2Q>1HJ|�H7A�2oAFA�@<:<=G;7NF03;�2�:Y8Q8�>70m8 2Q51AD2)A�C60)S!AmEOLGCoA�T7@<0):<;98�LG@<E�:<;7= e�� ` � � V 2651A�2u:B8 2Q570@<:';70�A�C�8�|,8�2Q03N 8PL?@<EO0mH�A�2�0�A?Ko5n:<2Q03CoA�26:<LG;nLDS�2Q570�KlL?;��6>,=OAD2Q0)=?CoAGHJ:<0z;J2z\

� ;7LG265703C�:Y8Q8�>70 :Y8n26570 :<NF�7@'03N�03;O2oA�26:<LG;]LDS426570 /fCQL?;70mK�-O03Cn�7CQL�HJ>1Kl2IA��7�7CQLDr�:<N%Am�26:'L?; AD@'=?L?CQ:<2Q57NULG;iAF�1A�CoAD@'@<03@ KlL?NF�,>72603Cz\ �}5,0�8�03�1A�CoA�T7@<0�@<0�AG8�2)8 �x>wADC60m8{A��7�7CQLOA?Ko5_S LGCK3A�@YKl>7@BAD2Q:<;7=n265,05/ C6L?;,0�K�-O0zC �7C6L�H�>1Kl2�AD�,�7C6L�r�:<NnA�26:<LG;_:B8{0�8P�10�Kl:YA�@<@'|qAD2Q26CsA?Kl2Q:<EO0tS L?Ct:<N���7@'03NF03;�2oA�26:<LG;_LG; 4 �7C6L�KM0�868PL?Co84KlL?;7;,0�Kl260mH :';RA NF0m8�5*\ wLGCF8P:<NF�,@<:YKM:<2P|qAG868�>,NF0n2651A�2� � � � � � � � � � � � 4 AD;1H�2Q570��7CQL�Kl0�8Q8�L?Cs8)ADC60 ADCQCoAD;,=?0�HIA?8 A 4 � T�|x� 4 A�C6CsAm|

Page 58: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� �

101

102

103

104

101

102

103

Sqrt(size) of the linear system

Itera

tions

101

102

103

104

10-1

100

101

102

103

Sqrt(size) of the linear system

Tim

es in

seco

nds

c:'=?>7CQ0 >�\�� � � KlLGNF�1ADCQ:Y8PL?;FL�SZ26570p:<2Q03CoA�26:<LG;18}A�;1H 2Q:<NF0�2QLtKlLG;JEO03CQ=?0�S L?CX2657CQ030 H�:�� 03C60z;J2�7CQ0�KlL?;wHJ:<2Q:<L?;,03Co8�LG;]26570 J'%��'�_��:<2Q58 �>q;7L�HJ0m8l\ �}570qH,A?8�5,0�H @<:';70F:Y8�S L?C�265,0qHJ:BAD=?L��;1A�@ �7C60mKlL?;1H�:<26:'L?;70zC V 26570I8PL?@<:BH S LGCF265700/ C6L?;,0�K�-O0zCt�7C6L�HJ>wKl2nAD�,�7C6L�r�:<NnA�26:<LG;RAD;1H 2Q570H7AG8�5J� HJL?2Q260�H�@':<;70pS L?C�265,0{T,@<L�K.-nHJ:YA�=?LG;1AD@!\

Page 59: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� �

��:<2Q5qKlLG;7;70�KM26:<LG;18�2651A�2 A�@<@<L�� KML?NFN�>7;7:BKlA�26:<LG;18 2QL T10 KlL?NF�,@<032Q0�H :<;9AD2pNFLO8P2�� � @<LG= 4 �NF0�8Q86A�=?0�8M\ �~C6L�Kl0�8Q8�LGC � � ��:<@<@XK3A�@YKl>,@YAD2Q0 2Q570F03@'03NF03;�2o8 � ���4AD;wH � ���4AD;1Hi51AG8�:<;i:'2o8)@<LD�K3A�@�NF03NFLGC6|�2Q570nT7@<L�K.-,8t� ���nA�;1H � ���426LG=?032Q5703C���:<265RAIKlL?��|ILDS)2Q570�Kl>7C6CQ03;�2 ` AD;1He NnA�26CQ:YKl0�8M\ � ;q:<2Q03CoA�26:<LG;�L�S�265,0�8�03�1A�CoA�T7@<0t@'0�A?8P2)8 �O>1ADCQ0�8 A��7�7C6L A?Ko5iKzAD;qT10�HJL?;,0�A?8S L?@'@<L��p8)�� � @'@��7C6L�Kl0m868�LGCo8�KlL?@'@<0�KM26:<EO0z@<|�K3AD@BKl>7@BAD260�26C ��e � e �)A�;1Hi�7C6LG�1AD= AD2Q0�265,0nKl>7CQC603;�2 eNnA�26CQ:<rt:<;�� � @'L?= 4 ��26:'NF0y8�260z�18l\

>���A?Ko5n�7C6L�KM0�868PL?Cp:<;n�1ADCsAD@'@<03@ZK3A�@YKl>,@YAD2Q0�8 :'2o8}L���; � ��� :';�� � 4 ��2Q:<NF0)8P2603�w8l\ � @'@��7C6L�Kl0m868�LGCo8tKlLG@<@'0�Kl26:'EO03@<|�K3A�@YKl>,@YAD2Q0 2QC �P` � ` �)A�;1Hi�7C6LG�1AD= AD2Q0�2Q570nKl>,C6C60z;J2 `NnA�26CQ:<rt:<;�� � @'L?= 4 ��26:'NF0y8�260z�18l\� ��A?Ko5n�7C6L�KM0�868PL?Cp:<;n�1ADCsAD@'@<03@ZK3A�@YKl>,@YAD2Q0�8 :'2o8}L���; � ��� :';�� � 4 �X26:'NF0 8P2603�w8l\�}5703CQ0�:B8�26570��7C6LGNF:Y8P0FLDSy265,0�/ C6LG;70�K.-O03C)�7C6L�HJ>wKl2FA��7�7CQLDr�:<N%AD26:'L?; 26LIT10�A =GLOL�H

�7CQ0�KlL?;wHJ:<2Q:<L?;,03C S L?Ct265,0F8P2603;1KM:<@�NnAD2QC6:BKl0�8 S LGC/ m� & KzA?8�0m8l\ c:<=G>7C605>�\ ��8�57L��p8�265wAD2tL?>,C�7CQ0�KlL?;wHJ:<2Q:<L?;,03C �7CQLDE�:YH�0�8)A%EO0zC6|qKML?NF�1032Q:<26:'EO0)�7:YKl2Q>7C60t��:'265IC60�8P�10�Kl2)26Ln265,0 �7CQ0�KlLG;1HJ: �26:'L?;70zC T1A?8P0�HqL?;q265,0t:<;1KlLGNF�7@'03260 J�57LG@<0�8�-J:*S!A?Kl2QL?CQ: � A�26:<LG;*\�� SvKlLG>7Co8P0 2Q5703CQ0tADCQ0tNnAD;�|:Y8Q8�>70m8c2651A�2~;7030mH{C60m8�0�A�CoKo5�5703CQ0 V @': -O0�26570X��A3|)26L�Ko57LOLO8P0�26570v8�: � 0}LDS 2Q570pAD�7�,C6L�rJ:'NnAD2Q:<LG; V57L��h2QLt51AD;1H�@<0)26570)@'LD�X03CpHJ:'NF03;18P:<L?;w8 V 26570):B868�>,0{L�S�265,0�8P26CQ:YHJ0�AD;wH�8PL LG;*\

Page 60: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� �

Inc−Chol

diag

KPA

B−diag

0 5 10 15 20 25−10

−5

0

5

Iterations

log

(Re

sid

ua

l)Comparison of different preconditioners for Laplace stencil matrix

c:'=?>7CQ0�>�\ � � � KlL?N4�1ADCQ:Y8�LG;_L�Sp26570�C60mHJ>1Kl2Q:<L?; LDSp265,0 CQ0�8�:BHJ>1AD@~S LGC{S L?>,CtHJ: �[0zC603;�2)�7C60l�KlLG;1HJ:<2Q:<LG;703Co8M\ �}570f8�L?@':YHt@<:';70pKlL?CQC60�8P�1L?;1H78}2QL$# ;wKlL?NF�,@<032Q0 J�57LG@<0�8�-J: V 2Q570yH7A?8P570�H @':<;70�:B8S L?C)2Q570 / C6L?;,0�K�-O0zCu�7CQL�HJ>1Kl2�A��7�7C6L�r�:<NnA�26:'L?; V 2Q570�HJLG26260mH9S LGC{2Q570tT7@'L�K�-O�PH�:YAD=GL?;1A�@��7C60l�KlLG;1HJ:<2Q:<LG;703CyAD;1H�2Q570tH7AG8�5J� HJLG26260mH @':<;70 S L?Cy26570 HJ:YA�=?L?;wAD@~�7CQ0�KlLG;1HJ:<2Q:<LG;703CpC60�8P��0mKl26:'EO03@<|O\�}570y8�: � 0}L�S*265,0, )HJ:'NF03;18P:<L?;wAD@,8 �O>1ADCQ0 / AD�7@BA?Kl0y8�2Q03;1Kl:'@7NnAD2QC6:'r�� :B8 � � � � � � ��, � �

��:<2Q5 � � � � � � ��, � � \

Page 61: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� � ��� ����

� � � ����������� �� ��� � � � ��� ���

� ��� � ���� �

# ;g2Q57:Y8nKo51AD�,2603Cn�}0I8P26>1H�|g2Q570iKML?;18P26CoA�:<;70mH / C6LG;70�K.-O03CF�7CQL�HJ>1Kl29AD�7�,C6L�rJ:'NnAD2Q:<LG;]LDS�1;1H�:<;7=)2P�}L)NnA�26C6:BKl0�8 ` A�;1H e LDS �7C60�H�032603CQNF:<;,0�H)8�: � 0�8~2651A�2 2Q5703:'C+/ CQL?;70�K.-O03CZ�7C6L�H�>1Kl2:Y8XKl@<L 8�0�8P2�26L�A�=G:<EO03;FN%AD26CQ:<r���\Z^_0)CQ0��x>,:<C60p265,0 NnAD2QC6:BKl0�8 ` AD;1H e 2QLt51A3EO0 At8P��0mKl:YA�@8�2QC6>1KM26>7CQ0 V @<: -O0�T103:<;7=�8P|JNFN40326CQ:YK L?C �*LO03�7@<:'2 � V LGC{T103:';7= %qADC�-OLDEqLGC)L?C62Q57L?=GL?;1A�@ \F^I0AD@B8�L��7C60m8�03;�2�8PL?NF0):<;wHJ:YK3A�26:'EO0 A��7�7@<:BK3AD2Q:<LG;18}LDSX8P>1Ko5�A��7�7CQLDr�:<N%AD26:'L?;18M\

�}570):YHJ0mA{LDS AtKlLG;18�2QCoAD:';70�HnAD�,�7C6L�r�:<NnA�26:<LG;FLDS A�NnA�26C6:'rt��:<2Q5nAD;7LG26570zC�NFL?CQ0)8�2QC6>1K.�26>,C60�H NnAD2QC6:<rI:Y8t;7LG2 ;70z�)\ # 2t:B8 A_CQ0�Kl03;�2�:BHJ0�Aq26L AD�7�,C6L�rJ:'NnAD2Q0�A �*LO03�7@':<2 � NnAD2QC6:'r��:<2Q5IAnKl:<CsKl>7@YA�;J2pNnA�26C6:'rF:<;qLGCoHJ0zC{2QLnC60�HJ>wKl0tKlLGNF�7>72sAD2Q:<L?;wAD@�KlL 8�2 L�Sp8PL?@<E�:<;,=nAF@<:<;,0�ADC8�|,8�2Q03N ��5703;n26570yNnAD2QC6:<rt:B8 �dLO0z�7@<:'2 � (�� AD= ( � T V � AD= ( � A6*!\ �}570)>18P0)LDS 8�>1Ko5nAD;�A��7�7C6L�rO�:<N%AD26:'L?;nAG8 At�7C60�KML?;1HJ:'26:'L?;703C}S LGC�26570 KlL?;"!6>7=OA�260�=GCoAGHJ:<03;�2pNF03265,L�H%�vA?8 �1Co8P2u�,C6L?�1L 8�0�HT�| � 26CsAD;7= ( � 2QC.��� * \ J�51AD;R�7C6LG�1LO8�0mH]A?8�A �7CQ0�KlLG;1HJ:<2Q:<LG;703CtLDS��dLO03�,@<:<2 � 8�|,8�260zNn8 V 2Q570Kl@'LO8�0m8�2yKl:<CsKl>7@YA�;J2X26LF2Q570 �dLO0z�7@<:'2 � N%AD26CQ:<r�:<;n265,0 7C6LGT�0z;7:<>18�;7LGC6N ( J�51A ���6* AD;1HnNnAD;�|NFLGC60FS L?@'@<L��}0�H \ # 2 :B8 2Q5703C60MS L?C60 V L?;7@'| ;1AD2Q>7CoA�@ S LGCF>18t26L 8P57L�� 5,LD� 26Li03r��1A�;1Hk2Q570

� �

Page 62: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� (

/ C6LG;70�K.-O03Cc�,C6L�HJ>1KM2�AD�,�7C6L�r�:<NnA�26:<LG;t��:<2Q5FKlLG;18�2QCoA�:<;�2o8�8�L�2651A�2 2Q570�S!A?Kl2QL?Co8~51A3EO0p8P��0mKl:YA�@�7CQL?�103C62Q:<0�8M\ � Kl26>1A�@<@'| V A?8�:<2�26>,C6;18�L?>72 V 2Q570�8�2QC6>1Kl2Q>7CoA�@ZKlL?;w8�26CsAD:';J2s8 � 57L?NFLG=?03;,03L?>18�@<:';J�0�A�C KlLG;18�2QCoA�:<;�2o8.� V ��5703;��}0)C60��O>7:'C60)Kl0zC62oA�:<;nNnA�26C6:'r 0z@<03NF0z;J2s8 2QL T10�0��x>wAD@*L?C � 03CQL V S LGC03r,ADNF�,@<0 V S L?C 8�|�NFNF032QC6:YK V LGCcTwAD;1HJ0mH V L?C �dLO03�,@<:<2 � V L?C Kl:<CsKl>7@YA�;J2*N%AD26CQ:YKl0m8 V A�C60XEO03C6| 0mA?8�|26L�8PL?@<EO0 \ wLGC ;7LG;J� 5,L?NFLG=?03;70zL?>18)@<:<;,0�ADCyKlL?;w8�26CsAD:';J2s8{A�;1H�;7LG;J� @':<;70mADC�KlL?;w8�26CsAD:';J2s8 V 2Q570�7CQL?T7@'03N :Y8�H�: �%Kl>7@<2X26L�8PL?@<EO0 V 57L��}0zEO03C}�X0�H�L �7CQL�EJ:BHJ0)AD@'=?LGC6:<2Q57Nn8}2QLt=?032yAt8�LG@<>72Q:<L?; \

J�L?;18P:YHJ0zCu2Q570�KlL?;18P26CsAD:<;,0�H5/fCQL?;70mK�-O03CX�7C6L�H�>1Kl2yAD�7�7CQL�rJ:'NnAD2Q:<L?;4�7C6LGT7@<03NNF:';��� @������ � � B ���� � ��� ` � e � � � �\ � �

��5703CQ0 ����` �#��� AD;1H�� �Pe �#���iADCQ0�KlL?;18P26CsAD:<;�2o8 :';JEOLG@<E�:<;7=�26570�>7;7-�;7L���;INnAD2QC6:YKM0�8` AD;1H e \ # ;n26570 S L?@'@<L���:<;,=�8�>7T18P0�Kl2Q:<L?;w8}�}0)��:<@'@Z8�57L���57L��h26L�51AD;wHJ@<0)@<:';70�A�C�0��x>wAD@<:'2P|KlLG;18�2QCoAD:';J2s8�AD;1Hn8PL?NF0 :';J2Q03C60m8�26:';7=)�7C6LG�103C62Q:<0�8}L�S~2Q570)KlLG;18�2QCoAD:';70�HFNnA�26C6:BKl0�8~265wAD2pAD@'@<L��>18�26L�8PL?@<EO0�8PL?NF0)H�: �%Kl>7@<2vKlL?;w8�26CsAD:';70�HF�7C6LGT7@<0zNn8l\� ��� ��� % ��# � ��� )*# � � ��� � � %'!C� �#�� %-��!

^]5703;q2Q570�KlLG;18�2QCoAD:';J2s8 ADCQ0t@<:';70�ADCy0��x>wAD@<:'26:'0�8 V 2Q570�KlL?;w8�26CsAD:';70�H�L?�,26:<N4: � A�26:<LG;��7CQL?T7@'03NK3A�;�T10���C6:<2Q2603;�AG8��N4:<;�� ! EO0�K � @�� � � � �� � EO0�K � B � � � �"� ` � e �$#&% � �\ >O�

�}5703CQ0�A�C60�2P�}L �vA3|78c2QL)8�LG@<EO0v8�>1Ko5tA�;tL?�72Q:<NF: � AD2Q:<L?;)�7CQL?T7@'03N V 26570XNF032Q57L�H{L�S � � ��� ��� �$��2#3� � �'�F� � � � 4A�;1H�26570('6#3� �*)�� ���%�)NF032Q57L�H[\p^_0t��:'@<@*>18P0t26570t@BAD262Q03C3\ � 8��}02-�;7L�� V 2Q5700��O>7:<EGA�@<03;�2}�7CQL?T7@'03N :Y8

N4:<;� !,+ � � � � �,- � � $��� � �/. �$# � �\ O���5703CQ0 �10 EO0�K ��` �pA�;1H � 0 EO0mK �Pe �o\�/1032)>18)A?868P>7NF0t2Q51AD2)265,0tNnAD2QC6:YKM0�832 @ AD;1H�2 BADCQ0 S >7@<@*CsAD;7-nA�;1H�2Q5703:'C�KlLGC6C60m8��1L?;1H�:<;7=54 �S!AGKl26LGC6: � AD2Q:<L?;w8�ADC60

�7680 4 6 �:9 @ � A�;1H �<;80 4 ; �:9 B � % � �\ � �

Page 63: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

�}5703;n2Q570�KlL?;18P26CsAD:<;�2p0��x>wAD26:'L?;18�KzAD;nT10���C6:'262Q03;�A?8� 9 . @ � � ������ � 0 =tAD;wH � 9 . B � � � �� � � 0 5 � �\ � �

��5703CQ04��6 T 0 � � �� � � A�;1H 4�� ; K 0 � � �� � � % � �\��O�

�}57:B8}NF0�AD;w8}2651A�2 � � AD;wH � � 51A3EO0)26LtT10tHJ0z2603CQNF:<;70mH T�|F8PL?@'EJ:';7= 2Q570)2P�}Lt:<;wHJ03�103;1HJ0z;J2@<L��X03C~26CQ:YA�;7=?>7@BADCv8�|,8�260zNn8 9 . @ ���&0 � AD;1H 9 . B � � 0 � ��57:<@'0 �� AD;wH � � A�C60�S C6030}S CQL?N�2Q570KlLG;18�2QCoAD:';J2s8 � >7;1KlLG;18�2QCoAD:';70�H��s\ �}5,03C60lS LGC60 V 2Q570 NF:';7:<NF: � A�26:'L?;��,C6L?T,@<03N :Y8�0��x>,:<EGAD@'03;J2�2QL265,0{>,;1KlL?;w8�26CsAD:';70�H��,C6L?T,@<03N

NF:';�4��6 $� 4 ; � � � �� � � � � . � � . � � �

� �\��G���:<2Q5 9 . @ ��� 0 ��� 9 . B � � 0 � V 265wAD2pK3A�;�T10)�1ADCQ26:<2Q:<LG;70�HF:<;�A�KlL?;JS LGC6NnA�T7@<0y��A3|F:<;�26L

NF:';�� � ��� � � �

� ��� � ��� � � � ��� � . � ��� � . ���� � . � �� � . � � � � �\ �O���5703CQ0 9 . @ � � 0 ��� 9 . B � � 0 ��AD;1H � 0�� . @ $� � B \10/32/32 � D � D+�8 5H8 D G ���@ �8

^]5703;426570 @':<;70mADCXKlL?;w8�26CsAD:';J2s8}ADCQ0 57LGNFL?=G03;703LG>18 V 2651A�2}:Y8�EO0�Kl2QL?Co8��%AD;1H ��A�C60 0 �x>1A�@[2QL� 03CQL��72Q570�KlL?;18P26CsAD:<;�2o8�8P032 ��� AD;1H � � 2QL � 03C6L�A�;1H�2Q5J>w8 � J\ �O��C60�H�>1Kl0�8}2QL

NF:<; � ��� � ��� � . � #� �\ ( �

265wAD2 �X0�AD@<CQ0�A?H�| -�;7L�� 57L�� 26Ln8PL?@<EO0 V >18P:<;7=403:<2Q5703C)/ AD;1K � LO8 L?C 2Q570t26LG2oA�@<@<|�8P03�1ADCsADT7@'0@<0mA?8�2v8 �O>1ADCQ0�8 N4032657L�H � Z@<:<��� c@'L?�[�ZT1AGK�-�:<; J�51AD�72Q03C >�\ �}570 :';7:<2Q:YAD@1>7; -J;7L���;18 V NnA�26CQ: �Kl0�8 ` AD;wH e ADCQ0��1@'@<0�H�>7����:'265n26570)EGAD@'>70�8�LDS�2Q570)EO0�Kl2QL?Co8 � AD;1H � 2651A�2 A�C60�=?:<EO0z;�T�|� 0�� @ ( ��� � ��� *ZA�;1H � 0�� B ( � � � � � *!\ � ������� FS >7;1Kl2Q:<LG;�:'NF�7@'03N 0z;J2sAD26:'L?;t:B8��� ��!�"$#�%��'&)(+* ,.-0/1!.%���2�"4365.7�8:9 5�;=<?>+*)@6AB*C�6AB* D�AE* DF!FGH ,6%���2I"F369:#��$J.KML436%��$J6!I7NJ.3POF3 %6K���!�"Q>�868R36%.S�#�@R9�"$#�%��

Page 64: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� �H <��4%�@R%��NJ��J�%���2��N#��$J.9 3 ,6%���2�"4369:#��F":2FGH�� #�NJ� > *�@6AB* �6AE* D�AE* DF! *H <�9F262�6@ # �� ".;:9." D�A 9��RK DR!P;R9��NJ ����� �Q36%�� 369��47�GH�� # �:K ( %.� 24#��:J @6A����6A 9��:K , "�;$J %�84"�# @ #��:J.3F2 %��H @ # � < >��7436%�� <?( * ,:G *�� �F3 %�� G 2��C"�� D�A������NJ ! < (�G / � * DR!!�"�#�NJ6! <�,:GP/$�& @R9=*C�R9�- / 2F#��:J < >�G&% @�!Q/ @:9'�@ A�%��$! /M�R9('�� A�%3�A0/ 3 9��F7 <�D�A G&% &*)�AB**+.AF- /�, 3 < D�A G-%.)�A(/ /�)�A=<10�* 3�A(2�3&0 @6A����6A G&%3R! / 3 9��F7 <�DF!FG&% &*)R!�**+:!�- /�, 3 < DR!FG-%.)R!4/ /�)R! <10�* 3R!42�3&0 @�! ����!4G&%&?24#���@R9=*)�E**� - /5��9���!#�F%F2 <")�A6/7�"��"$#���KRJ < >+*)@6AE*)�.A G��4)R!4/NG�%( /��NJ�36%R2 < @ AE*C� A G-% , /��NJ�36%R2 < @$! *C�$!FG-%( <60�GP/$)�A(/(� <�2F#��@R9(��� G&%, <60�GP/$)R!4/(�#�8%3RJI"��:3��^]:<2Q5�2Q570�8�LG@<EO03C�L�S�57L?N4L?=?0z;703L?>w8}@<:<;,0�ADCpKlLG;18�2QCoA�:<;�2o8}�}0�K3A�;q8PL?@<EO0)�7CQL?T7@'03Nn8�2651A�2

C60 �x>7:'C60�An8��10�KM: � Kt8P26C6>wKl26>7CQ0 LG;_N%AD26CQ:YKl0m8 ` AD;1H e @<: -O0 Kl03CQ2oAD:';qNnAD2QC6:'r�03@'03NF03;O2s8 2QLT10 � 0zC6L V LGCu0 �x>1A�@*26L�0�A?Ko5J�!L?2Q5703C3\ � >1Ko5�KlL?;w8�26CsAD:';J2s8uKlL�EO03CXNnAD2QC6:BKl0�8 2QL T10�8�|�NFNF0z26C6:BK V8�-O0z� 8�|�NFNF032QC6:BK V T1AD;1H�0�H V �*LO03�7@':<2 � V LGC � AD; -O03@ \ �}570�KlLG;18�2QCoA�:<;�2uNnA�26CQ:YKl0�8�KML?;18P:Y8�2yLDS� 03CQLO0�8 V L?;70�8yAD;1H�NF:';J>w8}L?;70�8 V NFL?CQ03L�EO03C}2Q5703|�ADCQ0�8�Ln�}03@'@Z8�2QC6>1Kl2Q>7C60mH�2651A�2 26570z:<C 4 �S!A?KM26L?CQ: � A�26:'L?;RK3AD;RT10�KML?;18P26C6>wKl260�HiCsAD265,03C 2Q51AD; K3AD@BKl>7@BAD260mH[\ �}51A�2 N40�AD;18)2651A�2 EO0zC6|0��%Kl:<0z;J2 AD@'=?L?CQ:<2Q57Nn8~C60�8P03N�T7@<:';7= 8P:<=G;1AD@1�7CQL�Kl0�868P:<;7=�26CsAD;18 S L?C6N%AD26:'L?;18XK3AD;�T10)HJ03EO0z@<L?�10�HS L?Cf8��10�Kl: � K��7C6LGT7@<0zNn8l\p^_0�8P26>1HJ|98�>1Ko5IAF�7C6LGT7@<0zN S CQL?N HJ:<=G:<2oA�@~:<N%AD=?0��7C6L�KM0�868P:<;7=F:';NFLGC60)HJ0z2oAD:'@[@BAD260zC�:<;:9� J\ � \ >J\

7L?Ct03r,ADNF�,@<0 V 8P>7�7�1LO8P0n�}0FCQ0��x>,:<C60�NnA�26C6:BKl0�8 ` A�;1H e 2QL�T10 �7��� �-; � � � V NnAD2QC6:YKM0�8265wAD2�A�C60yKlL?;w8�2oA�;J2vAD@'L?;7=�0�A?Ko5 L�SZ26570z:<C�HJ:BAD=GL?;1A�@ \ �}51AD2X:Y8 V : S ` :B80 =< � V :<2X8�57LG>7@YH�@<LOL�-@<: -O0

� 0>?@BA

C D *' A

C DE FACGIHJ % � �\ � x�

/1032LK 0 EO0�K ��` � V6M 0 M :'@<@1=?0z;703CoA�260�AON N� � � � ��P NnAD2QC6:<r � 26L�HJ0m86KlCQ:<T10u2Q570�KlL?;w8�26CsAD:';J2s8

Page 65: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� >

S L?C ` 26LIT10 �dLO0��,@<:<2 � V 8�>wK.5 265wAD2 � K 0 �\ � S 2603C�L?T18P03C6E�:<;,=q2651A�2 M 0�5wAmEO0 � @ � �8�>wK3Kl0�8Q8�:<EO0��wAD:<Cs8 LDSyKlLG@<>7NF;w8 AD;1HI26570 �1Co8P2 � @ � � 03@'03NF03;�2o8�LDSv26570 �1Co8P2tKlLG@<>7N4;qLDS265,0��wAD:<Cy8�5,L?>7@BH%T10�0��x>wAD@*26L�265,0{@BA?8P2 � @ � � 0z@<03NF0z;J2s8cLDS�2Q570�8�0�KML?;1H�KlL?@'>7NF;FL�S~2Q570�1A�:<C V�M 0�Kl@YA�:<N 2651A�2

� � � ��� � 0 ������ � � � ��� ��� � �

� � 0 ( � � *ZAD;wH� � 0 ( � � *

M 5703CQ0 ��� :Y8}2Q570��w�!TJ|O���� � NnAD2QC6:<r�KML?;18P:Y8�2Q:<;7=�LDS 265,0{:BHJ03;�26:'2�|�NnA�26C6:'rtLDSX8P: � 0)�qAD;1HA�KML?@<>,NF; L�S � 03CQLO8 V �� :B8 2Q570.�7� T�|x���� � NnAD2QC6:'rtKlLG;18�:B8�26:';7=�L�S A�KlLG@<>7N4;tLDS � 03C6L 8�AD;1H265,0{:BHJ03;�26:'2�|�NnA�26C6:'r L�SX8�: � 0�� V AD;1H � V �_A�C60�2Q570�HJ:<N403;18�:'L?;18}L�S�265,0{N%AD26CQ:<r�2651A�2u5wA?826L�T10 �*LO0��7@':<2 � \ 7L?C�265,0 A�T�L�EO0 0zr7A�N��7@<0 V 2Q570 KML?;18P26CoA�:<;�2�0��x>wAD26:'L?;18�K3A�;FT10 M CQ:<2Q2603;4A?8$�

� � ,�� � � EO0�K ��` � 0 %M 5703CQ0

� � ,�� � � 0>????????@

� � � � � � � � � � � � � � � � � �

GIHHHHHHHHJ%

# ;�A 8�:'NF:<@BADC M Am| M 0pK3A�;�KlL?;w8�26CQ>1Kl2�KML?;18P26CoA�:<;�2~NnA�26C6:BKl0�8�S LGC LG26570zC�8�2QC6>1Kl2Q>7C60mH�NnAD2QC6:YKM0�8@<: -O0�8�|�NFNF032QC6:'K V T1A�;1HJ0�H V � A�;7-O03@ V Kl:<CsKl>7@BAD;�2 V L?C�ADCQT7:<2QCoADCQ|R8��1A�Co8�:'2P|��1A�26260zC6;18M\ �}570KlLG;18�2QCoAD:';J2s8fS LGC�L?CQ2657LG=?LG;1AD@�NnA�26CQ:YKl0�8yADC604;7L?;J�!@<:';70�A�C V8M 5,:<@<0t2Q570 %qA�C�-OL�EIKlL?;w8�26CsAD:';J2s8ADCQ0)@<:<;,0�ADC�T7>,2pAD@Y8PL CQ0��O>7:<CQ0 ;7L?;�� ;70z=OAD2Q:<E�:<2P|O\��������� ����� �! ��"$#�%'&�()"� '*+��,�.-�-0/+*�() 213*�&4�

��57698:8<;>=@?�6BADCE6F8HGI=�GD8<;J8<?LKNMJ|POQADRS=@ATCN8�?�R+G>6BC7;>M /�R�ADC7;U=�-V;�RW�7R�AXMYKN=@?ZG[�7�7R�A�rY6]\HG[?�6BADCM 57;�R�;�?�57;H=@ATCN8�?�R+G>6BCX?+8^G>RL;_MY;>8�=@RL6]`76BC7aSGb8<cY\�\_;�?<RL6F= �dAV;��7e]6B? � \HG>?LRL6]f3g ��57;HG>�7�7eB69=�GUh

Page 66: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

?L6]ADCZ=@AD\�;U8 OQRLAD\ # \ G[aD; �2RLAX= ;>8L8<6BC7a�\�ADR�; �7R�;>=@6F8<;�eBc�OQRLAT\ ?L57;0G[RL;UG�A[O�?�57;�8<?+G>?L6F8<?L69=�G[e

=+5NG[R GD=@?�;�RL6 � G[?�6BADC�A>O MY6F8�=@RL; ?L; 6B\ G[aD;U8@g ��5 ; \HG>?LR�6Bf���?�A^`N;�G>�7�7RLA>fX6B\HG>?L;>M^698�8�K7�7�NA 8�;>M?LA�`N;�?L5 ;6/ RLADC ;>=�-V; R��7R�AXMYKN=@? A>O2? M AW8<cY\_\�;�?LR�6]= �dAV;��7eB6]? � \HG>?LRL69=@;>8 � 57A M ;��V; R�CXK7\�;�R<h6F= G[edC7AT6F8�;�6]C:?�57;�= G[eF= K7eFG>?L6BATCHA[O�� \ G -V;>8�C7;>=@;>8�8LG>RLcH?L57; =@ATCN8�?�R+G>6BC7;>MSG[�7� RLA>fY6]\HG[?�6BATCdg

��57698 G[�7� eB6F= G[?L6]ADC�=@AT\�;>8 OQR�AD\ G_8��NGT=@;@h ?L6B\_;^GTM7G[� ?L6��V;W8<6BaTCNG[e2� RLAX=@;>8�8�6]C7a��7R�AD`7e];�\ OQATR

G[6]RL`NADR�CJR+GTM7G[R (� G[R ( � *�g ��57;_\HG[6]Cb6BCX?L;�R�;>8�? 6]C ?�576F8�=�GT8�;_8�?�KNMYcb6F8 ?�Ab8�5 A M ?�5NG[?�?�57;

CXK7eBeN8<�NGD= ; A[O)G�8<?LRLK =@?LK7R G[e =@ATCN8�?�R+G[6]CY? \HG[?�RL6Bf 8<KN= 5WKN82?L5 ; ADC7; MY;>8�=@RL6]`76BC7a�G�8<cY\_\�;�?LR�6]=

�dAV;��7eB6]? � \HG>?LRL6]f�= G[C `N;0=@ADCN8<?LR�KN=@?L;UM:6BC 8�?L;UGDM�A[O =�G>eF=@K7e9G[?�;>M � G>CNM:6]?+8�G[�7� eB6F= G[?L6]ADCH?LA G�V;>=@?�ADR ?LAW`';�;�fX�7R�;>8L8<;>MHGD8�G0O GT8�? ?LR G[CN8�OQADR�\bg

��57;��7RLAT`7eB; \ 6F8�?�A�\�6]C76B\W6 � ;

\�6BC� ! �V;>= � @�� ���� � � �V;>= � B � �� � � ��� ��� � #M 57;�R�;�\HG[?�RL6F= ;>8 � @ G[C M � B 6]\��7eB; \�;@CX?N?L57; =@ATCN8�?�R+G>6BCX?+83OQADR��PG>CNM � ?�A `N; 8<cY\_\�;�?LR�6]=�dAV;��7eB6]?�� \HG[?�RL6F= ;>8@g���57; \HG[?�RL6Bf � 6F82GBN N��� � ��� P \ G[?LR�6Bf�G>CNM�5NGD8�G R�;�aDK7e9G[R�8<?LR�KN=@?LK RL;Vg��;�MYAWC7AD? RL;>G>eBeBc =�G[R�;^?LA_MY;>G>e M 6]?L5 � `';U=�G[KN8<; M ;�ADC eBcHC7;�;>MSG[CbATRL?L5 ADC7ATRL\HG>ed`NGD8<6F8A[O 6B?+8�CXK7e]ed8�� GD=@;Vg

� ADCN8<6FMY; R ?�57;�\HG[?�RL6F= ;>8

� � 0 ��>???@� � � �

GIHHHJ � � 0 �

>???@ � � � � � �

GIHHHJ

� , 0 ��>???@ � �� �

GIHHHJ � � 0 �

� �>???@ � �

GIHHHJ

?L5 G[? G[RL; 8�=�G[e];>MH8�AW?L5NG>? � ��� �$# 0 � OQADR�� 0 � �� � � .� � g # ? 698�;>GD8<c�?LA_8�; ;�?�5NG[? G[e]e � h�`Xc h �8�cX\�\�; ?LRL6]=��dAV;��7e]6B?���\HG>?LR�6F=@;>8�!.= G[CH`N; M RL6]?L?�;�CSGD8

! 0 + � � � + � � � + , � , + � � �

Page 67: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� �

ADR�;��VK76��TG>eB;�CX?Le]c

�V;>=�� !�� 0 ( �V;>=�� � � � � �V;>=�� � � � � �V;>=�� � ,�� ���V;>=�� � � � * +OQADR ?�57;�RL6]aD5X? =+57AD69=@; A[O + 0 ( + � �:+ � �:+7, �:+ � * . g � AT?L; ?�5NG[? � \HG[?�RL69=@;>8 ���)8�; ;�CSGD8�=@ADe]K7\�C�V;>=@?�ADR 8

�5NG��V; K7C76]?�e];�C7aD?�5HG[C M ?�57;�c_G[R�;�ATRL?�57ADaTADCNG>e ?�A^;>GT= 5Yh AD?�57;�R g���5NG[? \�;UG[CN8�?L5NG>?

\HG>?LRL6]f

� 0 (�V;U=�� � � � ���V;>=�� � � � ���V;>=�� � ,�� ���V;>=�� � � � *6F8 G[C�ADR�?L57ATC7ADR�\HG[eX`NGT8�6F8)A[O �V;>=�� !��3?�57;�8�K7` 8��NGT=@; A[O �V;>=@?�ADR 8 ?�5NG[? M 5 ;�C�;�fX�7RL;>8�8�;>M GD8 � h`Xc h � \HG[?�RL6F= ;>8 � ?L57; c�G[R�; 8<cY\_\�;�?LR�6F= �dAV;��7e]6B? �Vg ��57; RL;@OQATRL; � 6F8�G[CWADR�?L57ATC7AD\ G[eN`NGD8<6F8�A[O

?L5 ; CYK eBed8<�NGD= ; A[O =@ADC 8�?LR G[6]CY? \HG[?�RL6Bf�� g�C�aT;�C7;�R G[e�?L57; ADRL?�57ADC ADRL\ G[ed`NGT8�6F8�\ G[?LR�6Bf �

A[O)?�57;�8<K7`N8�� GD=@;�A[O 8<cY\_\�;�?LR�6]= �dAV;��7eB6]?�� \ G[?LR�6F=@;U8 A[O 8<6���;1��6F8 A>O�8<6���;1� � h `YcVh �SMY;��NC ;>M

`Xc�?L57; =@AXMX;^8<;�aD\_;�CY? � ���������������������� �����"!�#%$ �����%&�'()�+*, +���.-�/0�1�02���3�������2%$ /��54 /"!���!6�� 7��3 &7!���4�!�' /���&6�� , !�#%$�$+&���2��%�98 ��&0' �"���.:;$�/0��2+�%��&"!<�� =!��0:"&>�

? ��:@&�2 �"!A(B�DCFE0*HG ? (�E0*I�=EAG�H(@J�CFE%*>�=E0K"!�L%2��(B��*%M ? &��A(B�"��&�'"�"����:N( ? *�*AG ���2=��� �JO�? �7:"&02 �"!A(P�QCFE�*AG? (F��*>�=EAG�H(@J%C���*<�RESK.!�L�2��T( ��MH(P�"U"��V�E%*%*�M ? &��W()� �%&0' �����.:H( ? *�*WG

&0�.-2�&�����2��

� A M ; �V;�R�M ;WC7;�;UM�C7AT?^OQADR�\ \HG>?LR�6Bf � ;�fX�7e]6F=@6]?LeBc g ��57;�\ G[?LR�6BfVh �V;U=@?LATR �7R�AXMYKN=@? � +

=�G>C:`N; �'; R�OQADR�\�;>M�6]CHeB6BC ;>G[R ?L6B\_;�G[eBe)= ADeBK \�CN8 A>O&4 GD=�= ;>8L8 MY6 � ;�RL;�CX? ;�e];�\�;�CX?+8 A>O'+dg

��������� X & �ZYR� &\[!&Q] " � "2&\^`_ba�*+� "2 �% � _7"

��C�?L5 ; AT?L57;�R 5NG[C M�M 57;�C�?�57;�eB6BC ;>G[R�;��VKNG[e]6B?<c�= ADCN8<?LR+G>6BCX?+8 G[RL; C7AD? 57AT\�ADaT;�C7;�ATKN8

�?�57;

�7R�AD`7e];�\ =�G>C7C7AD?�`N;�RL;>MYK =@;>M�?LAW?L57;�K7C =@ADCN8<?LR G[6BC ;>M:R G[C"cVh�ATC7;�G>�7�7R�A[fX6B\ G[?L6]ADCdged C7e]6fcV;

Page 68: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� �

?L5 ;�5 AD\�ATaD;�C7; ADKN8�e]6BC7;>G>R�;��VKNG>eB6B?<cW=@ATCN8�?�R+G>6BCX?+8�?�57; A �'h MY69G[aDATCNG[e `7eBAX= c78�A>O2?�57;�\HG[?�RL6]f

OQK7CN= ?L6BATC ?LAb\�6]C76B\W6�� ;�6BCb� Yg � � =@ATCY? G[6BC K7C.cYC7A M CN8�8<6BCN= ; �V;>=@?�ADR+8 K � G[CNM�� � G>RL;HC7AT?C7;>= ;>8L8�G[RL6]eBc ��;�R�A7g

� A M ;��V; R�6 O M ;beBAVA�cEG[?�?�57; aTR+GTMY6B;�CX?�A>O^?�57;bOQK7CN=@?�6BADCP� RL;>8<;�CY?�;>M6]C1� Xg����

�?�57;

OQADR�\�K eFG�OQATR ?L57;�aTR+GDMX6B;�CX? 6F8�aT6��V;�CH6BC5���Yg��%��M ;�aT;�?

��

> ??????????@

� ��� � � � � � � � �b��� . � � � � . � � � � K �� ��� � � � � � � � �b��� . � � � � . � � � � K �� . ��� K � � . ��� K � �b�*K . � K � $K . � K � ��� �� . � � K � � . ��� K � �b�*K . � K � $K . � K � ��� �

GIHHHHHHHHHHJ% � Xg�� ���

��57;�aDR GDMY6];�CX? ?L57698�?L6B\_;�=@ADC 8�6F8<?+8�A>O�ADC7e]c�?L5 ;^8<;>=@ATCNMHG[CNMH?L57; OQADK RL?L5SRLA M 8�A[O\� Yg � ������ K � � � � � 0 >??@

� +����� - � �

GIHHJ 0 ���

> ??@

� ��� � � � ��� � � �b��� . � � � �� . � � � � K �� . � � K � � . ��� K � �b� K . � K � $K . � K � ��� �

GIHHJ � Xg������

��57;��TG[e]K7;>8 A>O K � G[CNM�� � ?�5NG[?�\�6]C76B\W6�� ; � Xg��%��G>eF8�A ��; RLAW?L57;WG>`'A �V;�;�fX�7R�;>8L8<6BADC 8@g ��c

8�; ?L?L6]C7aW?L57;�R�6BaD5X?�h 5NG>CNM h 8�6FMX;^A[O`� Yg������ ?�A ��;�R�A�M ; C7AD?�6F=@; ?L5NG>? ?L57; K7C"cXC7A M CN8 K � G[CNM

� � G>RL;�?LAT?+G>eBeBc 8�;��NG>R+G>`7eB;Vg

K � 0 � ��� � � � ��� � �� . � � � � . � � � � Xg�� ��

� � 0 � � � K � � . � � K �K . � K � $K . � K � � Xg�� � �

��57698�G[e]eBA M 8�KN8�?LA�KN8<; ?L57; �N6B��� AD�H\�;�?�57AXM OQADR ?LAT?+G[e]eBc_8�;�� G[R+G>`7eB;�e];>GD8<? 8B�VKNG>RL;>8 g�� ;�RL;6F8 G�������� �"!:6]\��7eB; \�;�CV? G[?�6BADC

��� ��!�"$#�%��'&)(+* ,.-0/1!.%���2�"4365.7�8:9 5�� ; <?> *C@ AE*C� AE* D�AE* DR!�**� *C; GH ,6%���2I"F369:#��$J.KML436%��$J6!I7NJ.3POF3 %6K���!�"Q>�868R36%.S�#�@R9�"$#�%��H <$#4%��(���F%�@:% �NJ��$J.%���2 �1, %��$2�"F3 9N# �F"N24GH�� #�NJ� > *�@6AB* �6AE* D�AE* DF! * � * ;H <�9F262�6@ # �� ".;:9." D�A 9��RK DR!P;R9��NJ ����� �Q36%�� 369��47�GH�� # �:K ( %.� 24#��:J @6A����6A 9��:K , "�;$J %�84"�# @ #��:J.3F2 %��H @ # � < >��7436%�� <?( * ,:G *�� �F3 %�� G 2��C"�� D�A������NJ ! < (�G / � * DR!!�"�#�NJ6! <�,:GP/M;

Page 69: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� �

& @R9=*C�R9�- / 2F#��:J < >�G&% @�!Q/ @:9'�@ A�%��$! /M�R9('�� A�%3�A0/ 3 9��F7 <�D�A G&% &*)�AB**+.AF- /�, 3 < D�A G-%�A!3P/�+�A=<�3-0 3�AB*0 G&���#�8%3R! / 3 9��F7 <�DF!FG&% &*)R!�**+:!�- /�, 3 < DR!FG-% !63P/�+N! <�3-0 3R!�*0 G&���;�%>�;0/$)�A��"�I"�# �.KRJ <?> *C@6AB*C� A G��4)R!!%>�;&3�3 / >�;=<�3-0 3�AB*3-0 3R!4G&% >�;!3/ / >�;=<�3&0 3�AB* 3R!42�3-0 @�! ���$!FG&%>�;(/�3 / >�;=<�3�A62�3-0 @ A���� AE* 3&0 3F!FG-%�>�;6/ / / >�;=<�3�A(2�3-0 @6A���� AE* 3F! 2�3&0 @$!����!FG-%! / / 3 9��:K�� < @�!����!4�63R!�*3.G&%!.%��� /$��% #�"NJ�3 /���%��; #��6J���!.%���

#�":J.3 / #"NJ.3 2�3�%A6/ / <?>.;6/�34�6!(3 2M>.;6/�/�6!4/NG�' <�!(3 �"� !63 2 ! /����6!4/NG&%8�!4/ / !4/�%! / / <?>.;!3/��"�A!3 2 >�;6/ /�����A6/:G�' < A!3��"�A!3 2 A6/7�"��A(/NG-%!.%���0/ �R%63�@=< 8$! /�� ! /:G�� 3�J4��3�/7%

J��RK( /��NJ�36%R2 < @ AE*C� A G-% , /��NJ�36%R2 < @$! *C�$!FG-%( <60�GP/$)�A�� & A!3 % A6/�- %, <60�GP/$)R! � & !63 % ! /�- %3RJI"��:3����576F8 G[�7� RLAVGT= 5_6F8�8<6B\�6]eFG>R ?�A^?L5 ; �NA M ;�R�\�;�?�57AXM 5 A M ;��V;�R2� G[RL? A>Od?�57; �V;>=@?�ADR 8 5 G �V;

?LA�R�;�\HG[6]C =@ADCN8<?+G>CY? g � ; 5NG��V; C7A`cYC7A M e];>MYaD; A>Od6]?+82=@ATC �V; RLaD; CN=@;��7RLAT�N;�RL?�6B;>8 g � ;�=@AT\�;`NGT= cWG>CNM�8�?�KNMYc�?�576F82�7R�AD`7e];�\ 6BCW6B? 8 \_AV8�? aD;�C7; R+G[e7OQATRL\

�?�57;�R+G[C.c h ADC7;�G[�7�7R�A>fY6]\HG[?�6BADC

M 6B?�5�eB6]C7;>G[R ;�� K G[eB6]?<c�=@ADC 8�?LR G[6]CY? 8�6BCW8<;>=@?L6]ADC/ Xg � g ��57;�G[`NA �V; �7R�AX=@;>MYK7R�; �N;�R<OQADR�\H8 �V; RLc

M ; eBe7OQADR 57AT\�ADaT;�C7;�ATKN8 =@ATCN8�?�R+G[6]CY? 8�`N;>=�G[K 8�;�?L57;,�N6]�Yh �NAD��OQADR�\�K eFG[; G[R�;�6FMY;�CX?L69=�G[e g���57;

�V;>=@?�ADR 8 G[CNMH8L= G[eFG>R+8�� 3 E � M04 E � 4AE M04 E � � 3 �@E0M��@E G>CNM �@E M�� E `N;>=@AT\�; ��; RLA7g

��� ������������ �������! #"$���%�& '�

� ADC 8�?LR G[6]C76BC7a ��G[CNM � ?LA�`';S8<?LAX=+5NGD8<?L6F=HADRWADR�?L57ATaDADC G[e e];>GDM78^?�AJ8<AD\�;_6BCX?L;�R�;>8�?�6BC7a

=@AT\��7K7? G[?L6]ADCNG>e2=+5NG>eBeB; C7aD;>8 g���57;W=@ATCN8�?�R+G>6BCX?+8�G[RL;�C ADC7e]6BC7;>G>R G>CNM RL; � K76]RL; 8��N;>= 6FG[e)5NG>CYh

MYe]6BC7a g

Page 70: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� �

��������� � 1N&�(�� _Y13*�(�� 21N%3*�( " _

�?^698�A[OQ?�;�CJ�NAV8�8�6]`7eB;�?�AbRL;�� RL;>8<;�CY?�?�57;�`N;�5NG��X6BADR A[O�G:�75Xc 8�6F= G[e 8�c 8�?�;�\ `Xc MY;>8L= RL6B` 6BC7a

G[e]e2?L5 ;WMY6�� ;�R�;�CY?�8�?+G>?L;>8 M 5769= 5S6B?�= G[C�AX=�=@K7�XcbG>CNM�`Xc 6]CNMY69=�G[?�6BC7a�5 A M 6B? \_A �V;U8 OQRLAD\ADC ;�8<?+G[?�;�?LASG[C AD?L5 ;�R�6BCb?L6]\�;Vg O ?L57;�OQK7?�K7RL;�;��VATeBK7?�6BATC A[O ?L57;W8<c78<?L;�\�MY;��N;�CNM 8�ATC7eBc

ADCb6]?+8 = K7RLR�;�CY? 8�? G[?�;�?L5 ;W8�c 8�?L; \ \ GUc_`';�R�;��7R�;>8�;�CX?L;UM:`Xc G��bG[RBcVA �H�7R�AX=@;>8L8 g �P5 ;�C

?L5 ; 8<?+G>?L;S8��NGT=@;H6F8�MY698L=@R�;�?L;�?L57;�?�;�RL\ �bG[RPcVA � � 5NG>6BC��b6F8^; \��7eBA>cV;>M g ��57;H\HG[?�RL6]f

A[O �7R�AD`NG>`76Be]6B?�6B;>8�OQADR \_A �X6BC a^OQRLAD\�8�? G[?L;� H?LA 8�?+G>?L; ��698 G�8<?LAX=+5NGD8<?L69=^\HG[?�RL6Bf����V?L; � ��� � g�VKN=+5SG \ G[?LR�6Bf�698�C7ADCYh C7;�a G[?�6��V;�M 6]?L5S=@ADe]K7\�CH8<K7\H8�;�� K G[ed?LA �

�OQATR ;�f G[\��7e]; �

� 0

>???????????????@

� % � � � � % � � � � % � � � � % ����� � % ��� � � % ��� � � % � � � � % � � � � % ��� �� % � � � � % ����� � % � � � � % � � � � % � � � � % � � � � % ���6� � % ��� � � % � � �� % � �6� � % � ��� � % ���.� � % � � � � % � � � � % � ��� � % � � � � % � � � � % ��� �� % � � � � % � � � � % ��� � � % �.� � � % � � � � % � � � � % � � � � % � � � � % � � �� % � � � � % � � � � % � ��� � % � � � � % ��� � � % � �R� � % � � � � % ��� � � % �.�6�� % � � � � % �F� � � % � �6� � % � �R� � % � � � � % � � � � % � � � � % ��� � � % � ���� % � � � � % ��� � � % ��� � � % � �6� � % � ��� � % � � � � % � ��� � % � � � � % � ���� % � � � � % ����� � % � � � � % � � � � % � � � � % � ��� � % � � � � % � � � � % � � �� % � � � � % � � � � % ��� � � % �I� � � % � � � � % ����� � % � ��� � % � � � � % � � �

GIHHHHHHHHHHHHHHHJ

� e]?L57ATK7aD5ScVADKb= G[C �V; RLc�;>GT8�6]eBc��7R�A �V;�?�5NG[? ?L57;���R�ADC7;U= cV;�R �7RLAXMXKN=@? A>O�? M A_8�?LAX=+5NGT8�?L69=\HG>?LRL69=@;>826F8 8<?LAX=+5NGD8<?L69=

�OQADR�6BCN8<?+G>CN=@;

� % � � � � % �6�6�� % � � � � % �����"! � � % � �F� � % �R� �� % � ��� � % � � �#! 0>???@� % ��� � � % � �.� � % � � � � % � � �� % � � � � % ��� � � % � � � � % � � �� % � � � � % � � � � % � � � � % � � �� % � � � � % � � � � % ��� � � % ���$�

G HHHJ

57A M ; �V;�R�GD8 6]? M GT8�8�57A M Cb6BC%�'&)(+* � � � � ?�57;,� RLADC ;>= cV; R �7R�AXMYKN=@?�G[�7�7R�A>fY6]\HG[?�6BADCSA[O4G

8�?�AX= 5 GD8�?�6F=^\HG>?LR�6BfHMYAV;U8�C AD?�=@ATCN8�698�? C ;>=@;>8�8LG[R�6Be]c:A>O 8�?LAX=+5NGT8�?L69=^\HG[?�RL69=@;>8�OQATR ;�f G[\�� eB;

?L5 ;^= eBAV8<;>8�?-� R�ADC7;>= cV;�R �7RLAXMYK =@? ?�A.� G>`'A �V;�6F8$�/10�2436587:9�7<;�9�3651=?>3A@�=65CB�36D�5FEA36GIH?D�>EA369�HFJ:>3A=69�KL9�ENM�5?O�7�58MP>EQ>L7�GC7IRS7�51TI>369�UV5WJ:>X36=A9YK[ZQ9Y3ADP\A]C^.E6@�J-E51_I@�>X;W36Ga`CbacWGV7IRS7�51Td>X369�UC5eJe>36=A9�H151E<ZQ9�36Dgf�GC3AD.=6GZh>7�M�H8GC;�@�J-7iE6@�JjE<51_I@�>;F3AGkGC7�5P>X=65�Hl>;�;�51Mm ]VnIo1p�qlrSsutv]lwyx�zs1t4{�wCb

Page 71: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� �

� 0>?@� % ��� � � % �F� � � % ������ % ��� � � % � � � � % � �R�� % � � � � % � ��� � % � � �

GIHJ � � 0

>?@� % � � � � % �6� � � % ��� �� % � � � � % ��� � � % ������ % ��� � � % � ��� � % �6� �

GIHJ

M 6B?�5S=@ADe]K7\�CH8<K7\H8� 0�� � % ��� � � % � � � � % � � � � % � � � � % � � � � % ������� %

� ; G[R�; 6BCX?L; RL;>8<?L;>M^6]C�8<ADe��X6BC a^?L5 ; =@ATCN8�?�R+G>6BC7;>M���R�ADC7;U= cV;�R �7RLAXMYK =@?��7R�AD`7e];�\ M 57;�R�;?L5 ; \HG>?LRL69=@;>8 � G>CNM � G[RL;bR�;��VK76BR�;>MJ?LAJ`N;b8<?LAX=+5NGD8<?L69=Dg ��57; \_;>G[C76]C7abA[O08<KN= 5EG>C

G[� �7RLA>fX6B\HG>?L6BATC 698�?�57;^OQADe]eBA M 6BC a�� 6 O � 698 G�\HG[?�RL6BfHA>O �7R�AD`NG>`76Be]6B?L6];>8�OQADR�\�A �Y6]C7a�OQRLAD\

8�? G[?�;� ?LAH8<?+G>?L; ��?�57;�Cb?�57;�C7;>G>RL;>8<?)� R�ADC7;>= cV;�R �7R�AXMYKN=@?�A>O�? M A 8<?LAX=+5NGD8<?L69=^\HG[?�RL6F= ;>8

� G>CNM � 698 ;�� K 6��TG[e];�CY? ?LAS=@ADC 8�6FMX;�RL6]C7aSG:? M ASMY6]\�;�CN8<6BADC G[e�8<c78<?L;�\ � ADR0G��NG[6]R^A[O 6BCYh

MY;��N;�C MY;�CX?k�bG[RPcVA � 8�c 8�?�;�\H8 � M 57; RL;H?L57; RL;HG>RL;����?�57;H8�6 ��;HA[O � +8<K7�N;�R�h C7AXMY;>8 �JA[O6FMX;�CY?�6F=�G>e 8�?LR�KN=@?�K7RL;

�=@ADC 8�6F8<?L6]C7a�A[O���JC7AXMY;U84;>GT= 5 g � 57ADe9M78�?L57;��7R�AD`NG>`76Be]6B?�6B;>8�\�A �Y6]C7a

GD= RLAV8�8)+8<K7�N;�R�h C7AXMY;>8 ��G[C M � ?L57; �7RLAT`NG[`76]eB6]?L6B;U8 \�A �X6BC7a M 6B?�576BC_G�8�K �'; R�h C7AXMY;Vgj� KN= 5 GRL;UMYKN=@?�6BADCS=�G>CH`';0=@ADC 8�6FMX;�RL;>M_GD8�G0OQATRL\ A>OL;� ���������'g

��57;�aD;�C ;�R+G>e3OQADRL\ A>O2?�57;��7RLAT`7eB;�\!6F8

\_6BC� � ! ��� � � !�� �� � � � � ��� � � � � ��� ! �#"�� ��� # % � � g�� � �

M 57;�R�;%$H698�?L57; �V;>=@?�ADRWA[O0G[e]e ATC7;>8@g �VKN=+5��7R�AD`7e];�\H8�6BC �VADe �Y6]C7abeB6]C7;>G[R�; � KNG>eB6]?�c G[CNM6BC ;�� K G[eB6]?<cb=@ATCN8�?�R+G[6]CY? 8^=�G>CJ`N;S8�ADe �V;>MbKN8�6]C7a ?�57;HGD= ?L6��V;_8�; ?�O G[\_6BeBcHA>O \�; ?L57AXM78 ATRWG

�N;�CNG>eB?<cJOQK7CN=@?�6BADCIG>�7�7RLA GD=+5P6BCIADR+MX;�R�?�A 5 G[CNMYe]; ?�57; 6]C7;��VKNG[e]6B?<cJ= ADCN8<?LR+G>6BCX?+8�OQADRHG>C

;�fX?L;�C MY;>M�G>CNG[e]c78<6F8�8�;�;'& e];�?+=+57;�R��NG[aT; � � � � �(&)eB; ��� � g� C7AT?L57;�R�69MY;>GH6F8�?�AbKN8�;H?�57;HKN8�KNG>e*)N6B�+)NAD�IG[e]aDATRL6B?�57\ `7K ?�?LR+G>CN8 OQATRL\ ;UGD=+5 8�?�;��

6BCX?LASGHeB6BC ;>G[R�6BC ;�� K G[eB6]?<c = ADCN8<?LR+G>6BC7;UM eB;>GT8�? 8B�VKNG>RL;>8��7RLAT`7eB;�\ �1(Q��B�+g���57698�698^MYATC7;_GD8OQADe]eBA M 8�� � ATCN8�69MY;�R�?L5NG>? � 6F8QcXC7A M C G>CNM M ; G[RL;�?�RLcX6BC7a�?�A�8<ADe��V; ?L57;��7R�AD`7e];�\

\_6BC� � ! ��� � � !�� + � � �,"$K � . # � � g��I���

Page 72: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� �OQADR K>g ��576984698�;�� K 6��TG[e];�CY? ?LA�?�57; OQADeBe]A M 6BC7a�e];>GD8<?�8B�VKNG[R�;>8 �1(Q�"� �7RLAT`7eB;�\

\�6]C� � ! ��� � � ! � + � ����� ! � ! � � � K*"�� $���� � . � # � � g��.�0�

?L5 G[? M ; cYC A M 57A M ?�A 8<ADe �V; � ( � � � � g � 8�6]\�6Be9G[R�OQADR�\�K eFG[?�6BATCb;�fY698�? 84OQADR��NfX6BC7a K G[CNM8�ATe��X6BC7a^OQATR �

\�6BC� � � ��� � � � � - � � ��� � � � � � K ��� "�� $���� � � # % � � g������

� A M ; �V;�R�8<KN= 50G[C0G[�7�7R�AVGT= 5�698 �V;�R�c ;�fX�N;�CN8�6 �V; G[CNM�6F8d�7RL;>8<;�CX?L;>M�57;�RL;�ATC7eBc OQADR)?L5 ; 8LG�cV;

A[O =@AD\�� eB;�?�;�C7;>8�8@g � eBaTADR�6B?L5 \H8 OQATR 8<ADe��X6BC a�?L57;k(Q����7R�AD`7e];�\ G>RL;��7RL;U8�;�CX?L;>M�6]C ��( � � � � g��;�� RLA �Y69MY;�GW=@AD\_�7eB;�?�; 8<K76B?�;�A[O RLADK ?L6BC ;>8 OQATR�8�ATe��X6BC7a

� C7ATCYh C7;�aVG>?L6 �V;�e];>GD8<?�8B�VKNG[R�;>8 �7RLAT`7eB;�\ ��� (Q�.��?�5NG[?�6F8T� CNM �V;>=@?LATR��:?�5NG[?

\�6BC � �� "$K � �

� e];>GD8<?�MY6F8<?+G[C =@;��7RLATaDR+G>\�\�6]C7a��1(��e*Q�� � ��� ��� � � �

�X6FG�G�RL;>MXKN=@?L6]ADC�?�A���� (Q��

� e];>GD8<?�8P� K G[RL;U8 M 6]?L5�e]6BC7;>G>R�6BC7;��VKNG>eB6B?<c�= ADCN8<?LR+G>6BCX?+8 �8(Q�� ���X6FG�G RL;>MXKN=@?L6]ADC�?�Ai(��e* �G>CNM

� ?�57; eB6]C7;>G>R�;��VKNG[e]6B?<cWG[C M:6BC ;�� K G[eB6]?<cW=@ADCN8<?LR G[6BC ;>M�eB;UGD8�?�8P� K G[RL;U8��7RLAT`7eB;�\ �8(Q����Q��

�X6FG�G�RL;>MXKN=@?L6]ADC�?�A (Q���

6BC�� � ��� �"!�6]CSG[�7�N;�CNMX6Bf � g

� ;_5NG��V;�G>eF8�A�8<;�;�C�GUOQ?�;�R^R�K7C7C76]C7ab8<;��V;�R+G>e�;�fY�N;�R�6B\�; CY? 8 ?L5NG>? M 57; CJ\HG[?�RL6]f � 698

8�?�AX= 5 GD8�?�6F= ?L5 ;�CH?L57;�;��VKNG[e]6B?<cW=@ATCN8�?�R+G[6]CY? 8�RL;��VK76]RL6BC a^?L5 ;^= ADeBK \�CH8�K \H8 A>O � G[CNM � ?�A

Page 73: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� �`N;HADC7;>8�G>RL;SG[e98�Ab�7R�AXMYKN=@6]C7a�C7ADCYh C7;�a G[?�6��V;H\HG[?�RL69=@;>8

�?�5YKN8�8<?LAX=+5NGD8<?L69=Dg � = ?LKNG>eBeBc M ;

=�G>C:; �V;�CHRL;�e9G[fW?L57;�RL; � K76]RL;�\_;�CY?)OQADR�?L57;�\HG>?LRL69=@;>82?LAW`N; 8B�VKNG[R�;Vg

� O�=@ATK7R+8<;�M ;�=�G[CSG[e98�A_8�K7` 8�?L6]?LK7?�;�?L57; =@ATCN8�?�R+G[6]CY? 8�6BCX?LA ?L57;�\HG>6BC�;�fX�7R�;>8L8<6BADC G[CNM

?L5 ;�CW8�ATe��V;�?�57; K7CN= ADCN8<?LR+G>6BC7;UM AT�7?L6]\�6��>G>?L6]ADC��7RLAT`7eB; \bg � ;�RL; 6F8 ?�57; 6B?�;�R+G>?L6 �V;�G>eBaTADRL6]?L57\?L5 G[?�=@AT\�;>87OQRLAD\ ?�57; 8<K7`N8�?�6B?�K7?L6]ADC�A[O ?L57; =@ADCN8<?LR G[6BCX?+8 g �?)6F8dA[O ?L57; 8�G[\�; RLK7CYh ?L6]\�;�=@AT\�h

�7e];�fY6]?<c `7K7?2R�K7CN82\WKN= 5�O GD8�?�;�R�6BC �7R+GT=@?L69=@;�?L5NG>C�?�57; aD;�C ;�R+G>eYe]6BC7;>G>R2;��VKNG[e]6B?<c�=@ATCN8�?�R+G>6BCX?

\�6]C76B\W6���; R�g �P6B?L5W?L5 6F8 M ; M G[CX? ?�A�8<57A M ?L5 G[? G>eB?�57ADK7aT5�?L5 ; aT;�C7;�R G[eNR+G>C"c h ADC ; G>�7�7RLA>fVh6B\ G[?L6]ADCH�7R�AD`7e];�\ M 6B?�5�=@ADC 8�?LR G[6]CY? 84698 G�5 G[R+MHADC7;

�M ; =�G>C�=@AD\�; K7� M 6B?�5bG[e]aDATRL6B?�57\H8

?L5 G[?��'; R�OQADR�\ �V;�RLc M ;�eBe3OQATR 8<�N;>=@6 �'=�� RLAD` eB;�\ 6]CN8�? G[CN= ;>8@g���57;0GDM �TG[CX?+G>aD;>8 =@AD\�;�OQRLAD\

?L5 ;�; fY�7e]AD6]?+G[?�6BATC:A>O2?�57; 8�?�RLKN=@?�K7RL;�A>O�?L57; 8<�';U=@6 � =��7RLAT`7eB;�\Zg�VK7�7�NA 8�; M ; G[RL;SaD6 �V;�C G�8�?LAX=+5NGT8�?L69=:\HG>?LR�6Bf ��M ;H5NG��V;HGbaDK7;U8L8^OQADR_8�?LAX=+5NGT8�?L69=

\HG>?LRL6]f � G>CNM M ; M G[CX?W?LA �NCNM�G�8�?�AX= 5 GD8�?�6F=�\HG>?LRL6]f � ?L5 G[?W\�6BC76]\�6 ��;>8 ?L5 ;:C ADRL\

� " � � � �# g � 6BCN=@;�?L5 ; �TG[eBK ;>8 A>O)?L57;�= ADeBK \�CN82A[O \HG[?�RL6]f � G[R�; 6BC MY;��N;�CNMY; CY? M 6B?�5;>GT= 5�AT?L57; R

�M 6]?L57ATK7?�e]AV8�8�A[O)aD; C7;�R+G>eB6]?�c

�e];�?�KN8 GD8�8�K7\_; ?�5NG[? � =@ATCN8�698�? 8 A[O ;�f GD=@?�eBc�ATC7;

=@ATeBK7\�C g �P6]?L5 R�;�aVG>R+MH?LA�?�57;�=@ATeBK7\_CYh<8<K7\,ADC7;0=@ADCN8<?LR G[6BCX? OQADR�� M ;0=�G[CSRL; M R�6B?L;�?�57;�7R�AD`7e];�\ GD8

>??@� �ggg� �

GIHHJ " K

� "�� K ! ��� �

� � g�� � �M 57;�R�; � �2G[R�;^`7e]AX= c 8�A[O ��= ADC7aTRLK7;�CX?�?LA � G[CNM � 0 � � g���57; G[`NA �V;^; fY�7R�;>8L8<6BATC:5 GD8?L5 ;^8�G[\�; \�6BC76]\�6 ��;�R M 6]?L5H?L5 ;�OQK CN=@?L6]ADC

OP�Q`+� 0

>??@

� �ggg

� ��� �

GIHHJ "J` ���

��� "b��� "�� `�� �

��

� � g�� � �M 5769= 5H5NGT84aTR+GDMX6B;�CX? aD6 �V;�C�`Xc�?L57; OQATRL\WK7eFG

� �� K � 0 " �>?LRF� � . � � �d � K � ?�R�� � . � �d �>?LR�� � . � � ��"��� ��" � K���?LRF� � . � � % � � g�� ���

Page 74: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� �

�P57;�C M ;W8�;�? ?L57;�aTR+GDMX6B;�CX? ?LA ��;�RLA G[CNM�MYAS8�AT\�;�8<6B\��7e]6 � = G[?L6]ADCN8�K 8�6BC a�?L57;WGTM7MY6]?L6��V;G[C M:\WK7eB?�6B�7e]6B= G[?L6 �D; �7R�AD�N;�R�?L6B;U84A>O2?�R+GD= ;

�M ; aT;�?�?L57;�RL; eFG[?�6BATC

K � � K 0 ?LR�� � . � � � " � � � �P�?�R�� � . � � % � � g�� ���

&7ADR aT;�C7;�R G[ed\HG>?LRL6]f ��?L57; G>`'A �V;�RL; eFG[?�6BATC:`N;>= AD\�;>8

K ��� � ! � ��� �+�

K � � 0 ?LR�� � . � � ��� " �� ! � � �P�?LRF� � . � � % � � g�� � �

&7ADR_G�aT6��V;�C � M ; = G[C � CNM$K:G>CNM?�5YK 8 � `Yc 8�ADe �Y6]C7a G�\WK7eB?�6B�7e];�RL6]aD5X?�5NG[CNMI8�69MY;

8�c 8�?�;�\,A[O eB6BC ;>G[R ;�� K G[?L6]ADCN8 M 5 AV8�; \HG[?�RL6]f�� ��A[O 8�6 ��; � 5NGT8 G��V; RLcW8��N;>= 6FG[e)8<?LR�KN=@?LK RL;�

G[e]e ;�e];�\�;�CX?�8�G[RL;b; � KNG>e ?�A ADC7;b;�f =@;�� ?�?�57;�MY6FG>aDATCNG[e�?L5 G[?HG>RL;b;��VKNG[e ?LAJ? M A g &7ATR

;�f G[\�� eB;�57;�R�; 6F8

��� 0

>?????????????@

� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �

GIHHHHHHHHHHHHHJ

�VATe��X6BC7aSG 8<c78<?L;�\ M 6]?L5 8�KN=+5 G:\HG>?LRL6]f 698 �V; RLc ;UGD8�c�6]? =�G[CJ`N;_MYADC ;�6BC�eB6]C7;>G[R�?�6B\�;Vg(N;�? KN8 8�;�; 57A M gQ� � 0 � �4 � � M 5 ;�RL;�� � 698 ?�57; \HG>?LRL6]f�A[O)ATC7;>8�A[O 8�6 ��; �

� ����&.! (P��* 6]C

������� �"! g�? 6F8�;UGD8�cH?�AW8�;�;�?L5 G[?

� � �� 0 � � " ��� ��

� �

`N;>=�G>KN8�;

��� � ������ ��� � " ��� ��

� ��� 0� � " �

�� ��� �� ��� " �

�� ���� 0

� � �� " ��� ��

�� " ��� ��

� ��� 0 � � %

Page 75: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� �

��5XKN8 8<ADe �Y6]C7a�?L57;�e]6BC7;>G>R 8<c78<?L;�\ � �6K 0�� OQADRLK ? G�cV;>8�ATC7eBc ��� ) AD�N8 `N;>=�G[K 8�;

K 0 � � �� �10�� " ��� �

� � %�C ?�57;�8�G[\�; M G�c M ;W=�G>CJ8<ADe��V;�OQADR �

�cXC7A M 6BC a �

�G�OQ?L;�R M ;W;�f = 5 G[C7aT;�?L57;�\ `Xc

KN8<6BC7aW?L57; =@AT\�\WK7?+G>?L6��T; �7RLAT�N;�RL?<c�A>O�?L57;P� RLATC7;>= cV;�R��7RLAXMXKN=@? MY;��NC7;UM 6]C5���Dg � � g ���� �0���%�0�����C��b����' / ��$�/02���� ? ( � C $.4C ��4 *,�� 2 �0� &���� &02���2 �S-�� �0� � '�'�2����+��$�/��+�%����������31!������03 /.!����0�9$�/0��2�����&"!,�� � ? &�� � J ��3�&<$�/���2����b� �7/0'�'�2 ���+��$+/��"&1(B3 /.! � �>4�& !������03 /.!������, $"4DC ��4 J ��3 & !���:@&b�� �$�/���2������

� $+/eC � /�b�1!���:@&W( � *WG$��b�6$+/�K�$"4DG���� �7��/�K0��4DG

� � ���N()$.4�M�$+�eCO$"4 *�� M � M��H(B��4"M0�"�eC)�"�"*��%G�7��2�/��.-N()$"4DC)�%4+*AG !6�1!��%$D(�� *HG ���2�����EHJO��4QC �N(@J�C!� *<�"� ( J%C!��*%K"!A(!� *HG�&��"-�7��2�/��.-N()$+�eC)�"�"*AG !6�1!��%$D(�� *HG ���2�����EHJO� � C �N(@J�C!� *<�"� ( J%C!��*%K"!A(!� *HG�&��"-

����&�27�$#eG ����� ? �%# G ��2%$ �%&��� QG

��3+�%��&�'%���0� ?��� &027�R��� &027VREAG(1�)�*DG, +�+���C9!%��� ? &> ���2������� !��%$Q(F!��%$D(��-, M�� *�*AG ���2"����EHJO��4 ���21���+EWJ $.4 U E� � � � (�(F�%U E%*�M�$���V+EWJB��M�$��eC0(��"U.E�*%M�� ��V+EWJ*�@M��"�.*AG� � � � (�()$.4�U@E�*%M�$ �%V�EAJ $�4 M�$ � C%(!�@U@E0*%M����SV EHJ.��M��"�"*WG((F�HC!��*I� !��%$Q(F!��%$D(��/, MW(���V � �%U � � *�*%*�K��%� G

&0�.-&0�.-

�N( EHJ $.4�U@E C.J *9��(1U���2 ���T( �0� &.!+( $.4"U EAC E%*AC�E0K�$"4 M�!��0$Q(!( *�*WG�N()$"4DC.J *I� �0� &.! ( E C)��4 * U !��%$Q(0� (�EWJ $.4"U@E+C"J *%*HG

(1�)�*DG, +�+���C9!%��� ? &> ���2��4�4 � !��%$Q(F!��%$D(��-, M�� *�*AG ���2"����EHJO���

Page 76: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� � ���21���+EWJ $���U E� � � � �T(�(F��U@E�*%M�$�4"V�EAJ �0M�$.4C�(0��U E%*0M��%4"V�EAJ��"M���4 *HG� � � � �T(�()$+��U E%*%M�$"4.V EHJ $���M�$"4DC0(��"U.E%*0M0��4�V+EWJ*�"M���4�*AG((F�HC!��*I� !��%$Q(F!��%$D(��-, MA(0��V � �%U � ��*%*�*0K04�4G

&0�.-&0�.-

�N( EHJ $���U@E C.J *9��(1U���2 ���T( �0� &.!+( $��%U EAC E%*AC�E0K�$+��M�!��0$Q(!( *�*WG�N()$+�eC.J *I� �0� &.! ( E C)� ��* U !��%$Q(0� (�EWJ $��%U@E+C"J *%*HG'�� ����2%$ G ��2%$ ��� �02%$D( � U���2 ���T(0�TC!� *AC �) %2�� � *WG����� ? �7'��1U6��2%$ � ES&�U��TG

&��"-

� AT?L;�?L5NG>? ?�57;�G>`NA �V; =@AXMX; M ATRBc 8 OQATR C ADCYh 8B�VKNG[R�;^\HG>?LR�6F=@;>8�?LAVA g � 8L8�K \�6BC7a ?L5NG>? �.698

A[O 8<6���; � � h�`Xc h � ��?�576F8 G[e]aDADR�6B?�57\$R�;��VK76BR�;>8E������)NAT�N8��N;�R�6]?L;�R G[?L6]ADC M 6]?L5_8�AT\�; � RL;>=@AT\�h

�7K7? G[?�6BADC g���AD6]C7a�`NGT= cW?LA�ATK7R R+G>CNMYAD\ 8�?LAX=+5NGT8�?L69= \HG[?�RL6Bf.��M ;�=�G>C��NCNM�?L57;�=@eBA 8�;>8<?� RLATC7;>= cV;�R��7R�AXMYKN=@?�A[O 8�?�AX= 5 GD8�?�6F=�\HG[?�RL6F= ;>82?LAW`';

� 0>?@� % ��� � � % �R� � � % ��� �� % ����� � % � � � � % � �6�� % � ��� � % � � � � % � � �

GIHJ � � 0

>?@� % � � � � % �6� � � % ��� �� % � �R� � % ����� � % � � �� % ����� � % ��� � � % � � �

GIHJ %

� 8�cVADK_=�G[CH8<;�;�?L5 ; \HG[?�RL69=@;>8)G[RL; �V;�RLcW=@e]AV8<; ?�A^?L5 ; K7C =@AV8<?LR+G>6BC7;UM.� RLADC ;>= cV; R2�7RLAXMXKN=@?

G[� �7RLA>fX6B\HG>?L6BATC�ATC7eBc_?L57698�?L6B\_; ?�57;�cHG>RL; 8�?�AX= 5NGT8�?�6F=Dg

�C�ADR MY;�R�?�A�=@e9G[6]\ ?L5 G[? M ;�G[R�; eBK \��76BC a ADR G[�7�7R�A>fY6]\HG[?�6BC7a G)�bG>RBcVA �W8�c 8�?�;�\ M 6B?�5? M AS6BCNMY; �'; CNMY;�CX?��bG[RPcVA ��8�c 8�?L; \H8 ��G ��h<MX6B\�;�C 8�6BATCNG[e 8�c 8�?L; \ �

�M ;_GD= ?LKNG>eBeBcbC ;�;>M ?�A

8�ATe��V;

\�6]C � � � . " � ��� # � � g�� � �OQADRW\HG>?LRL69=@;>8 � � ��G[CNM �

�M 5 ;�RL; � 6F8WG��N;�R�\�K7? G[?�6BADC \HG>?LR�6Bf G>CNM � G>CNM � G[R�;

8�?�AX= 5 GD8�?�6F=Dg ��57;��N;�R�\�K ?+G[?�6BATC � G[e]eBA M 8 K 8 ?�Ai�RL;�CNG>\�;�� 8<?+G[?�;>8)G[CNM�?L5XKN8 e]K7\�� ?�57;�\.6]C

G[CXc^ATR+MY; R26BC�aTRLADK �N82AD?L5 ;�R2?L5 G[CW?L57;�8<;�� K ;�CY?�6FG>e �6�� � �� � - � � - �6�� � �� � � - � G[C M�8<A�ATC?L5 G[? M ;�=@K7RLR�;�CX?LeBc0GD=+576B; �V; M 6]?L5�?�57;�=@ATCN8�?�R+G[6]C7;>Mg� RLATC7;>= cV;�R��7RLAXMYK =@?�G[�7� RLA>fY6]\HG[?�6BATCdg

Page 77: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� �� A M ; �V;�R

�;��V;�C_?L57; 8�6]\��7e];�R��7RLAT`7eB;�\!A[OW�NCNMY6]C7a

\�6BC � � � . "�� #OQADRW�N;�RL\WK7? G[?L6]ADC \HG>?LRL6]f � �

M 5 ;�RL; � G[CNM ��G[R�;b8P� KNG>RL;S\HG[?�RL6F= ;>8�6F8 �e* h�5NG>R+M � 6]?

=@ATRLRL;U8��NADCNM 8�?LA�?L5 ;�� G[CNM M 6FMY?�5��4;UMYKN=@?�6BADCW�7R�AD`7e];�\ OQR�AD\ � ����� � � g�?�6F8�;�� K 6��TG[e];�CY?�?�A?LR�cY6]C7a�?LA�\�6]C76B\�6 ��;�?�57; ` G[CNM M 69MY?L5_A[O)G 8�cX\�\�;�?�RL6]=2\HG[?�RL6]f^`Xc�8�6]\�K eB?+G>C7;�ATKN8 RLA M G[CNM=@ATeBK7\�C_�'; RL\WK7?+G>?L6BATCN8@g�� ;�\WKN8�? C7AD?�;�57;�RL;�?�5NG[?�?L57;��7R�AD`7e];�\,A[O�\�6]C76B\W6�� 6 C a�; 6B?L5 ;�R

\�6BC � �,"�� � ATR \�6]C � � "�� �6F8)8�ATe��TG[` eB;�6BC �'ATeBcXC7AD\_6FG[eT?L6]\�;

�GT=@?LK G[eBe]c 6B?d698 G M ; 6BaD5X?L;UM�` 6B�NG>RL?L6]?L;�\HG>?+=+576BC7a �7RLAT`7eB; \bg

��������� �P%71N� &Q] &4� �/a� 21N%3*�()" _

� e98�A�6B?26982A[Od6]CY?�;�RL;U8�?2?�A �NCNM�aT6��V;�CWG�8P� KNG>RL; \ G[?LR�6Bf �

�G��NG[6]R�A[OdATRL?�57ADaTADCNG>ed\HG[?�RL6F= ;>8

� � G>CNM � � 8�KN=+5J?�5NG[?�?�57;�6BR�� RLADC ;>= cV; R�� RLAXMYKN= ?�6F8�?�57;S=@eBA 8�;>8<?^?�A � GD=�= ADR+MX6BC7ab?�A

?L5 ; & R�AD`N;�C76]KN8 C7ATRL\bg ��576F8�6F8�G � R�ADC7;>= cV;�R �7R�AXMYKN=@?�G[�7�7R�A>fY6]\HG[?�6BADC M 6B?�5bC7ADCYh eB6]C7;>G>R;��VKNG[e]6B?<cH=@ATCN8�?�R+G>6BCX?+8@g � a G[6]C

�?�57;k� R�ADC7;>= cV;�R �7R�AXMYKN=@? A[O ? M AWADRL?�57ADaTADCNG>e�\HG[?�RL6F= ;>8 698

ADR�?L57ATaDATCNG[e�MXK7;�?LA�?L5 ;�\HG[?�RL6]f \WK7eB?�6B�7e]6]=�G[?�6BADC�G>CNM?�R+G>CN8��NAV8<6B?�6BADCI�7RLAT�N;�RL?�6B;>8^A>O ?�57;� RLATC7;>= cV;�R��7R�AXMYKN=@?�5 A M ;��V;�R

�?L5 ;�=@e]AV8�;U8�?-� RLATC7;>= cV;�R �7RLAXMXKN=@?�?LA_G[C ATRL?�57ADaTADCNG>e \ GUh

?LR�6Bf

� >???@� � � �� � � �� � � �� � � �

GIHHHJ

6F8WC7AD?�C ;>=@;>8�8LG[R�6Be]cJADR�?L57ATaDADC G[e�GT8�6B? =�G[CP`N;�8�; ;�COQR�AD\ ?�57; ? M A =@eBA 8�;>8<?g� RLATC7;>= cV;�R�7R�AXMYKN=@? 84?�5NG[? G[R�;�� ��G M G�c�OQRLAT\ ���

���� � �� � !�� � �� � �� � !

Page 78: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

���G[C M

��� � �� � ! � � � � �

� � !��� �'A 8L8<6B`7e];�G[�7� RLAVGT= 5S6F8�?�AW8�ADe �V; ?L5 ; K7CN=@ATCN8�?�R+G>6BC7;>M��7R�AD`7e];�\ � " � � � � G[CNM

?L5 ;�C^? G�cV;�?�57; = eBAV8<;>8�?dATRL?�57ADaTADCNG>e'\ G[?LR�6F=@;U8 � �bG>CNM � �H?LA�� G[C M � R�;>8��N;>=@?�6��V;�e]cVg ��57;� ;������� ����� ���� ��� ����;����� �� ��� ��� A[O G�8P� KNG>RL;�\HG>?LRL6]f �.698 MY;��NC7;UM ?�A�`N;^?L5 ;�\_6BC76]\�6 �@;�R

A[O

\�6BC �#" � � OQATR�G[eBedATRL?�57ADaTADCNG>e2\HG[?�RL69=@;>8 �G[C MJ=�G[C `'; 8�57A M C ?L5NG>?^6]?�698�?�57;�� RLAXMYKN= ?�A[O�?L5 ;�\HG[?�RL69=@;>8 M 57AV8<; = ADeBK \�CN8 G>RL;�?�57;eB; OQ?�G[CNM�RL6BaT5Y? 8<6BC7aTK7eFG>R �V;U=@?LATR+8 A>O �

�?L5NG>?�698

�6 O � ��! #" 698�?�57;g�V6BC7aTK7eFG>R�&�G>eBK7;

� ;>= AD\��NAV8<6B?�6BADCWA[O ��?L5 ;�C ��� $�!" g ��K7? � �JG>CNM � �b6F8�C7AD? C7;U=@;>8L8�G[R�6BeBc ?L57; �NG[6]R

?L5 G[? 8�ATe��V;>8 ?L57698 AD�7?�6B\�6 �>G[?�6BADCH�7R�AD`7e];�\ M 6]?L5bC7ATCYh eB6BC ;>G[R�= ADCN8<?LR+G>6BCX?+8 g &7ADR ?�57;WG[`NA �V;�NG>6BR�A>O^\ G[?LR�6F=@;U8 � G>CNM �

�?L57;Z=@eBA 8�;>8<?�ADR�?L57ATaDATCNG[e \HG[?�RL6Bf ?LA�� 8 698�?L5 ;b6FMY;�CX?L6]?<c

\HG>?LRL6]f�?�57; � \HG[?�RL6F= ;>8�G[RL; G>eBRL;UGDMYcHADR�?L57ATaDATCNG[e g

��;�eBA M�M ; aT6��V;�G^\�; ?L57AXM OQATR 6B?�;�R+G>?L6��V; eBc^6]\��7R�A �X6BC a�?�57;�G>�7�7RLA>fX6B\HG>?L6]ADC M 6]?L5�?�57;� RLATC7;>= cV;�R^�7R�AXMYKN=@?_A[O�? M A�ADR�?L57ATaDATCNG[e�\HG>?LRL69=@;>8 g (N;�? �

�G 8P� K G[RL;S\HG[?�RL6]fJA[O 8<6���;

��� ���?�5NG[? M ; M G[CX?�?LA�G>�7�7R�A[fX6B\ G[?L; M 6B?L5 ?L57; � RLATC7;>= cV;�R��7RLAXMYK =@? � � � M 57;�R�;

� G>CNM � G[RL;_ADRL?�57ADaTADCNG>e�G[CNMJA>O 8�6�� ;>8 ��� G[CNM ��� R�;>8��N;>=@?�6��V;�e]cVg � K7�7�NAV8<; M ;�5 G �V;8�AT\�;�57A M GD=��VK76]RL;>M�G>C ATRL?L5 ADaDATCNG[e � G[CNM M ; M G>CY? ?�A�8<ADe��V; ?L57; OQADe]eBA M 6BC a^OQADR �

\_6BC�&% ���(' � � � ���&% �(' � � �#"�� ���

�� �

� � g�� � ���57; G[`NA �V;�;�fX�7RL;>8�8�6]ADCH6F8�;��VK76 �DG>eB;�CX?�?�A

\_6BC�&% ���(' � � � ���&% �(' � � � � � � � � � ��" � �*) ���

�� � � � g�� � �

Page 79: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

���

(N;�?�� � � � � � � � � � ?L57;�C M ;^= G[C R�;>MYKN= ; ?L57; G>`'A �V;�?LA\�6]C�&% ���(' � � � ���&% �(' � �

�*)�� � � � � � " �

�� � � g�� �0�

M 57;�R�;�� � � 6F8�?L57; � ?L5 MY69G[aTADCNG>e�`7e]AX= cbA>O�� A[O 8<6���; �� h�`XcVh ��4g.�VK `N8�;��VK7;�CX?Le]c M ;�=�G>C?LR G[CN8�OQADR�\ ?�57; G[`NA �V;�;�fY� RL;>8�8�6BATC

\�6]C� % ���(' � � � ��� % �(' � �� )�� � � ?LRF�B��� � ��" � � ��� � �" � �P�

\�6]C� % ���(' � � � ��� % �(' � �� )�� � � ?LRF��� � � � � �' � � "�� � � � " � � � � �

� \�6]C�&% ���(' � � � ���&% �(' � ��*)�� � �

� � � "�[?�R�� � � � � ��� \�6]C� % ���(' � � � ��� % �(' � �

��� ����"��*)�� � � ?LRF� � � � �O��

\�6]C�&% ���(' � � � ���&% �(' � � � � � � "�[?�R�� �

�*)�� � � � � �O��

\�6]C� % ���(' � � � ��� % �(' � �� � � � � "�>?LR�� � �� ��� � � g�� ���

KN8<6BC7a�?L57;��7R�AD�N;�R�?L6B;U83A[ON?�R+GD= ;�G>CNM�?�57;2O GD=@?)?L5 G[?d?LRF� � � � ���g �C�?L5 ; e9GD8<?d;�fY� RL;>8�8�6BATCM ; G>eF8�A_8�K `N8�?�6B?LK ?L;>M � � �*)� � � � � � g ��57;�R�;@OQADR�; � M ;�C7;�;UM ?�A�\ G[fX6B\�6 ��; ?�57;�;�fY� RL;>8�8�6BATC?LRF� � � �2OQATR G>eBedADR�?L57ATaDATCNG[e2\ G[?LR�6F=@;U8 � g�C:aT;�C7;�R G[e

�?L5 ;�� RLAD` eB;�\

\HG>f ADR�?L57ATaDATCNG[e ?LR�� � � �6F8 ;��VK76 �DG>eB;�CX? ?�A ?L5 ;H=@eBA 8�;>8<?�ADRL?�57ADaTADCNG>e \ G[?LR�6BfH�7R�AD`7e];�\ `N;>=�G[K 8�;�?�57;�\�6]C76B\W6�� ;�R�A[O

�," � � 698 G[RLaT\�6BC � �," �

���

G[RLaT\�6BC_?LR � � � " � � � �," � � � G[RLaT\�6BC � ?�R�� � � ��"�>?LRF� � � �3 J?�R�� � � � � G[RLaT\HG[f_?LR � � � � �

Page 80: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� �

��5XKN8�?L57; \�6BC76]\�6 �@; R � A[O � � g � �%�26F8�?�57;�=@e]AV8<;>8�? ADRL?�57ADaTADCNG>ed\HG[?�RL6]f�?LA � ge C G�8�6B\_6BeFG>RM G�c

�C7A M ?L5 G[? M ;�cXC7A M � M ;�=�G[CZ8�ADe �V; OQADR �Wg���57698�6F8�57A M 6]?�aDAV;U8 �

\_6BC� % ���(' � ) � ��� % �(' � ) �,"�� ���

��

\_6BC� % ���(' � ) � ��� % �(' � ) � ��� � ) ��� ��"�� � � � �

��

\_6BC� % ���(' � ) � ��� % �(' � ) �� ) � � � � ) � ��� � ) ��� � �

� ) � � � � � " � � � � � ��� � g�� � �

M 57;�R�; � 6F8�?L57;W8<?LRL69MY;��N;�RL\WK7? G[?L6]ADCS\HG[?�RL6Bf�OQR�AD\ ?�57;W=@AT\�\�K ?+G[?�6��T; �7RLAT�N;�RL?<cbA[O ?�57;� RLATC7;>= cV;�R^�7R�AXMYKN=@? g ��57;SeFGT8�?W;�fY� RL;>8�8�6BATC A[O � � g�� � �^698 69MY;�CX?L69=�G[e ?LAJ?�57;H;�fY� RL;>8�8�6BATC�7R�;>8�;�CX?L;UM 6BC � � g � � �S8<AP?L57; 8�ADe]K7?L6]ADC �7R�AX=@;�;>M78 6]C.?L5 ; 8LG>\�; M G�cVg ��57; OQADe]eBA M 6BC a������� �"! OQK7C =@?L6]ADCS8�57A M 8 57A M g ���� �0���%�0��� ��4QC ��� C)��20$ � ��'�/�����2���3( � C ��4DCB���.*, +���"-6��� ����2���3 ��� �0� /�� $�/���2�����&.! ��4 /��"-���� ��3 �"!%& � 2�����&�����&�2>'�2 �%-%� �0�, ��!b�����.!�&.!�� ��� �, �04DC ���NJ &��������%/������ &"!�!

� � � C)� � ��=!���:"&H( � *WG � � �C � � ��=!��0:"&H( ��4+*WG � � �TC)� � �� !��0:"&W(����"*WG

-@����& �%# G��3�����&�'�-@����&-@��� & �=EAG��2%$ �b����2�$D( � U���2����(���4QC ����*HC��O �2 ��� *AG� � � M���2 ���T( �04-��CB&0# &A(B��� *�*AG���7:"&02 �"!A(P� � *HG ���21���+EWJ � �' � (��%U E%*%M0� ��V�EWJB��M����TG�7��� V��(P'QC)'+*WG

&0�.-

���DCTC�� �� ! ? -N( ��*WG��&�� ���;����M��-��G��&�����2%$7�b����2%$Q( � U���2 �0�(���4DC � &+������*WC� �2"� � *AG�� b� &�����2�$ � ��2�$ C �����b��&������eG���2%$ ��� &�����2%$ G�-"�0� & �$#eG &0�.-

� � � M���2 ���T( &0# &W()� � *AC �%� � *AG�� � � (B�DC)� � *�M�� M��N(P�C � �"*WG���7:"&02 �"!A(P� � *HG ���21���+EWJ � �

Page 81: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� �

' � (��%U E%*%M0� ��V�EWJB��M����TG�7��� V��(P'QC)'+*WG

&0�.-

���DCTC�� �� ! ? -N( ��*WG��&�� �04�����M��-��G��&�����2%$7�b����2%$Q( � U���2 �0�(B� &�����4C ����*WC� �2"� � *AG�� b� &�����2�$ � ��2�$ C �04 �b��&�����4DG���2%$ ��� &�����2%$ G�-"�0� & �$#eG &0�.-

&0�.-

2 &0����2��

��GD=+5H6B?L; R+G[?�6BATC�6BC �VADe �V;>8 ?L5 ;�=�G[e9=@K7e9G[?L6]ADC�A>O2? M Ai��& � 8�A[O 8�6�� ;>8*�� h `Xc h ���IG[CNM ���dh�`Xc h����6]C�GDM7MX6B?L6]ADCb?�A�?L57; )NAD� 8�R�;��VK76BR�;>M OQATR ?L57;0=�G[e9=@K7e9G[?L6]ADCSA[O ?�57;^\ G[?LR�6F=@;U8 � G[CNM � g� A M ; �V;�R�?�57;�G>eBaDATRL6]?L57\ =�G>C `N;^6]\��7eB; \�;@CX?L;UM M 6]?L57ATK7? = G[eF= K7eFG>?L6BC a�?L57; M 57ADe]; �,G[CNM

C7;��V; R OQADR�\�6BC a^\HG>?LRL69=@;>8 � � � �WG[C M � � � � g� �7?L6]\�6��>G>?L6]ADCN8 M 6]?L5JC ADCYh eB6]C7;>G[R0=@ADC 8�?LR G[6]CY? 8�5NG��V;W\�ADR�;�?�5NG[C ADC ;�eBAX=�G>e�\�6]C76B\_G

\�ATRL;�A �V;�R =@ADC �V;�R�aD;�CN= ; ?LA�G�\�6BC 6B\�K7\ = eBAV8<; ?�A^?�57; aTeBAT`NG[e \�6BC76]\�K7\ MY;��N;�CNM 8 57;>G��X6Be]c

ADC_?L57; 8�? G[RL?�6BC7a �NAD6BCX?�g &7ATR ?�576F8��7RLAT`7eB; \�M ;4OQATK7CNM�?�5NG[? G�aTAVAXM 8�? G[R�?L6BC a^�NAD6]CY?�6F82?�57;

�NG>6BR^A>O ?�57;_=@eBA 8�;>8<?^ADR�?L57ATaDATCNG[e�\HG[?�RL69=@;>8 ?�Ab?L57;g� R�ADC7;>= cV;�R � RLAXMYKN= ?WG[�7�7R�A>fY6]\HG[?�6BADCA[O �^g & 6BaTK7RL; � g��HMX6F8�� eFG�c78�?L57;_�7eBAT?+8�A>O ?�57;�R�;>8�69MYKNG[e98�?�5NG[? RL;>8<K7eB?�;>M�OQRLAT\ � ��� RLK7C 8OQRLAT\ R+G>CNMYAT\ 6BC76]?L69G[e3ATRL?�57ADaTADCNG>e \HG>?LR�6F=@;>8 OQATR � � MY6�� ;�R�;�CY? �7RLAT`7eB; \H8@g � 6BR+= eB;>8 MY6F8<�7eFG�c?L5 ;:R�;>8�69MYKNG>e RL;>8<K7eB?�6BC7a OQR�AD\ 8<?+G[R�?L6]C7a�OQR�AD\ ?�57;S=@eBA 8�;>8<?�ADR�?L57ATaDADC G[e \HG>?LR�6F=@;>8�?LAb?�57;� RLATC7;>= cV;�R��7RLAXMXKN=@?_G[�7�7R�A>fY6]\HG[?�6BADC A>O�� M 576Be];S=@RLA 8L8�;U8�8<?+G[R�?L6]C7a OQRLAT\ ?L57;S6FMY;�CX?L6]?<c

\HG>?LRL69=@;>8 g �bG>?LR�6Bf � 6F8 G^R+G[C MYAD\ ATRL?�57ADaTADCNG>e \HG>?LR�6Bf�A[O 8<6���; � � G[C M 698�G>�7�7RLA>fX6B\HG>?L;>M

`Xc:? M A�8<6���;@h � ADRL?�57ADaTADCNG>e�\HG[?�RL6F= ;>8@g�� ;08�;�; ?L5NG>? 6BCH\�ATRL;�?L5 G[Cb5NG>e O�A>O�?�57;�MX6�� ;�RL; CY?G[� �7RLA>fX6B\HG>?L6BATCb�7RLAT`7eB; \H8 MX6F8�� eFG�cV;>M

�8<?+G>RL?L6]C7a�OQRLAT\ ?L57;W=@e]AV8<;>8�?�ADR�?L57ATaDATCNG[e \HG[?�RL6F= ;>8

?LA�?�57;-� RLADC ;>= cV; R �7R�AXMYKN=@? G>�7�7RLA>fX6B\HG>?L6]ADC�RL;U8�K7e]?L;>M^6]CW=@ADC �V;�RLaT6BC7a ?LA�?L57; aTRLATK7��A>Od?�57;eBA M ;>8�? �Q\HG�c�`'; ?L57;�AT�7?L6]\HG[e � R�;>8�69MYKNG>eF8@g

Page 82: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� �

�4;>8<6FMYK G[e �TG[e]K7;>8 �#" � � � � � � A>O�� � MX6�� ;�RL; CY? �7R�AD`7e];�\H8

0 50 1004.5

5

0 50 100

4.5

0 50 100

4.5

0 50 1004

4.5

5

0 50 100

4.5

0 50 1004

4.5

5

0 50 1004

4.5

5

0 50 1004

4.5

5

0 50 100

4.5

0 50 1004.5

5

0 50 1004.5

5

0 50 1004.5

5

0 50 1004

4.5

5

0 50 100

4.5

0 50 1004

4.5

5

0 50 100

4.5

& 6]aDK7R�; � g�� � � ;>8�69MYKNG[e983A[O�� � MY6 �3; RL;�CX?3�7R�AD`7e];�\H83?�5NG[?)RL;>8<K7eB?�;>M OQRLAT\ � ��� R�K7CN83OQRLAT\.R+G>CYhMYAT\�6]C76B?�6FG>eVADRL?�57ADaTADCNG>e7\HG>?LRL69=@;>8 g � 6BR =@eB;>8dMX6F8�� eFG�c ?L5 ;�RL;U8�6FMXKNG[eVR�;>8�K7e]?L6]C7a4OQR�AD\ 8<?+G>RL?L6]C7aOQRLAT\ ?L57;W= eBAV8<;>8�? ADRL?�57ADaTADCNG>e \HG[?�RL69=@;>8�?LAH?�57;.� R�ADC7;>= cV;�R��7RLAXMXKN=@? G[�7� RLA>fY6]\HG[?�6BATCbA[O� M 576]eB;H= RLAV8�8�;>8 MY;�C7AT?L;H?L5 ;�RL;>8<6FMYK G[eF8 GD=+576B; �V;>M�`Xc 8�?+G>RL?�6BC7a OQR�AD\ ?L57;�69MY;�CX?L6]?�cb\ GUh?LR�6F=@;U8@gg�bG[?�RL6]f � 6F8 G:R+G>CNMYAT\ ATRL?L5 ADaDATCNG[e�\HG>?LRL6]f A>O 8�6�� ; � � G[CNMJ6F8�G>�7�7RLA>fX6B\HG>?L;>M`Xc:? M A�8<6���;@h � ADRL?�57ADaTADCNG>e�\HG[?�RL6F= ;>8@g�� ;08�;�; ?L5NG>? 6BCH\�ATRL;�?L5 G[Cb5NG>e O�A>O�?�57;�MX6�� ;�RL; CY?G[� �7RLA>fX6B\HG>?L6BATCb�7RLAT`7eB; \H8 MX6F8�� eFG�cV;>M

�8<?+G>RL?L6]C7a�OQRLAT\ ?L57;W=@e]AV8<;>8�?�ADR�?L57ATaDATCNG[e \HG[?�RL6F= ;>8

?LA�?�57;-� RLADC ;>= cV; R �7R�AXMYKN=@? G>�7�7RLA>fX6B\HG>?L6]ADC�RL;U8�K7e]?L;>M^6]CW=@ADC �V;�RLaT6BC7a ?LA�?L57; aTRLATK7��A>Od?�57;eBA M ;>8�? �Q\HG�c�`'; ?L57;�AT�7?L6]\HG[e � R�;>8�69MYKNG>eF8@g

Page 83: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� �� � � � ����� ��� � ������ ��"$� �& ���� ���

� e]?L57ATK7aD5 `7K76]eFMY6]C7a ?�57;H=@ATCN8�?�R+G>6BCX?�\HG[?�RL6F= ;>8�� G[C M���.698^G[C ;>GT8�cJ? GD8)c�6B? 6F8^C7AT?

?LR�6��X6FG>e�;>8��N;>= 6FG[e]eBc M 57;�CH?L5 ;�RL;�6F8 G^C ;�;>M�OQADR ;�fX�N;�RL6]\�;�CX?+G>?L6BATC�G>CNM G�OQR�;��VK7;�CX? =+5NG[C7aT;

A[O �7R�AD`7e];�\ 8�6 ��;�G[CNM�= ADCN8<?LR+G>6BCX?2?<cY�N;Vg�&7ADR ?L57;>8<; RL;>GT8�ATCN8 M ;�A�� ;�R G ����� � �"! OQK7CN= ?L6BATC?L5 G[?)�7RLA �X6FMY;>8)G�=@AD\�\_ADC 6]CY?�;�R�O GT=@;2OQADR G[eBeX= ADCN8<?LR+G>6BC7;UM^G[C M^K7CN=@ATCN8�?�R+G[6]C7;>M G[eBaTADR�6B?L5 \H8

\�ATRL;�A �V;�R ?L57698 OQK7C =@?L6]ADC aT;�C7;�R G[?�;>84?�57; =@ADC 8�?LR G[6]CY? \ G[?LR�6F=@;U8�G[K ?LAD\ G[?L69=�G[e]eBcVg ��57; aD;�CYh

;�R G[e)=�G>eBe3698���C��7����' /H( � C $ �TC)� � C &�' !HCB����� !���2��TC �%��� !���2��TC�C� �C �QC)3 *

M 57;�R�;SG[eBe `7K7?�?�57; �NR 8�?W?L57R�;�;HG[R�aDK7\_;�CY? 8^G>RL;HAD�7?�6BATCNG[e g��J698�?L5 ;:\ G[?LR�6Bfb?�Ab`';SG>�Yh�7R�A[fX6B\ G[?L;UM

� $ �C � � G[R�; ?�57; MX6B\�;�C 8�6BATCN8 A>Od?L5 ;\�NR 8�? ��R�ADC7;U= cV;�R)O GD=@?�ADR � ?�57; \ G[?LR�6Bf � g� �7?L6]ADCNG>e �TG>RL6FG>`7eB;U8 G>RL;�?L5 ;�=@ATC �V;�R�aD;�C =@; =@RL6]?L;�R�6BADC &�'+! � ?L5 ;�8�?�RL6]C7a�G>RLR GUc 8

� �����+!���2 �

G[C M �����+!���2 � G[R�;W=@ADCX?+G>6BC76]C7a cV; c M ADR+M 8 MY;U8L=@R�6B`76]C7a�?�57;W=@ATCN8�?�R+G[6]CY? 8@g ��57;�RL;>= ADaDC 6���;>McV;�c M ATR+M78dG>RL; � � �0� & � OQATR ?�57;�K CN=@ADC 8�?LR G[6]C7;>M^= GD8�; � !�#�$�$�&0��2+�%� � !+� &���!�#%$�$+&���2 �%� � ��2���� ���2+��� OQATR eBA M ;�R�G[CNMHK7�7�N;�R�?LR�6FG[C aDK7e9G[R \HG>?LR�6Bf_=@ADCN8<?LR G[6BCX?+8 � - �%/�� �0� /�� � ��2��0- ��/�� �0� /�� �� ��&�'��.���": � �.��2 �0� ��/0��� � 3 /0����&�� � $+/�2���� ? � !�' &��.�%/�� G[C M ��2���3 ��� �0� /�� g �P57; C ?�57;

!�'�&��"�%/�� cV; c M ADR+M 698 KN8�;>M OQADR ;�6B?�57;�R�G>RLaTK7\�;�CX?+8 � ?�57;WKN8�;�R 8<57ADK7e9M �7R�A �X6FMX;�?L57; �NCNG>eOQADK R G>RLaDK \�;�CX?+8 A>O�?L5 ;�OQK CN=@?L6]ADCS=�G>eBe

�?L5NG>?�G[R�;^KN8<;>M�?LAW=@R�;>G[?�;�?�57; =@ADC 8�?LR G[6]CY? 8 �

� � �V;U=�� � � �� � � � �V;>=�� � � �� �&7ADR2; f7G>\��7eB; 6BC ADR+MX;�R�?LA MY;��NC ; ?L5NG>? �E\�KN8<? `N;�8<cY\�\_;�?LR�6F=

�?LRL69MY6FG>aDATCNG[e G[C M �dAV;��7e]6B?��

G[C M � ?LAW`'; eBA M ; R ?�RL6FG>C7aDK eFG[R�G>RLaTK7\�;�CX?+8 ���0��!���2 � G[CNM �����+!���2 � \WKN8�? `N;�MX;>=@eFG>RL;>M

GD8��7�)��)��2��0- ��G � !�#0$�$ �%G �)�"��&�'-�.��7�)��)��2���� �.���C��7����' /H( � C $.4QC)��4C�E0&%U��WC ��� C ���"*��� �"!$#%�$& =('1_I@�9�=)'1EF>;�;*'8;+'8J,'17I36EQGX2 > EA36=69�7�T->X=6=?>.--36G D�>lU%' 3AD/'LE?>J,' ;0'17�TC3AD b

Page 84: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� �

� AT?L;^?�5NG[? G>`7`7RL; �Y69G[?L6]ADCN8�G[R�;�KN8�;UM:OQADR ?�57;W=@ADC 8�?LR G[6]CY?�CNG[\_;>8�57A M ;��V; R G>eBe G[`7`7R�;��X6FGUh

?L6]ADCN8 \WKN8�?�`N;^A>O2?�57; 8LG[\_;�e];�C7aT?L5S8�A�?�5NG[?�?L57; 8<?LRL6]C7a_G[RLR G�c�6F8 �TG[e]6FM�6BC�� � ��� �"! g� K7R ������� �"! OQK7C =@?L6]ADCb6B\_�7eB;�\W;�CV? G[?L6]ADC�� RLA �Y69MY;>8 C AH8�;>G>R+=+5:OQATR�=@ADC�)N6F=@?�6BC7a =@ADCYh

8�?�R+G>6BCX?+8@g�? 698�?L57;�RL;U8��NADCN8<6B`76]eB6]?�cWA[O ?L57;�KN8<;�R ?LAW�7RLA �X6FMY; \�;>G[C 6BC7a>OQK7ed=@ATCN8�?�R+G>6BCX?+8@g

� K7; ?�A�6B?+8 8�6 ��;�?�57; � ��� � � !S=@AXMY; OQATR OQK7CN= ?L6BATC ��' / 6F82e]6F8�?�;>M�6BCW?L57; � �7�N;�CNMX6Bf � g

��� � ��������� � � � � ��"$����� �� '��� � � � � � � ��� � "��������� � �� ��� � �! #"'��� �& '�

� 8���;�5NG��V;�8�;�; C�8<A^O G[R�G[e]e3eB6]C7;>G>R�= ADCN8<?LR+G>6BC7;UM�G��� RLA>fY6]\HG[?�6BATCN8 � ;�f =@;��7?�?�57;��bG[RPcVA ���

G[R�;�R G[C"cVh ADC7;SG���7RLA>fX6B\HG>?L6BATCN8�� 6]?L5�eB6BC ;>G[R�;��VKNG[e]6B?<cb= ADCN8<?LR+G>6BCX?+8 g C�?L5 6F8�8�;>= ?L6BATC�� ;�7R�A �X6FMX;H8�AT\�;��7R�AVA[O 8�?L5NG>?�RL;��V;>G>e�?�57;HMY6��H=@K eB?<cbA[O�?�57;��7R�AD`7e];�\ G[CNM K7CNMY;�R�eB6]C7;�ADK R

G���7RLA GD=+5 ?LAWKN8<;�6]?L;�R G[?�6��V;�\�;�?L5 AXM78�?L5NG>? = ADC �V;�RLaT; ?LAWGW8�ATeBK7?�6BADC g� ; =�G>C �7R�A �V; ?L57; OQATeBeBA!� 6]C7a �

" #%$&$&')(+*-,+*/.10 �32�4 �����\�6BC5 %76 �78 %:9 ��� �,"&;��

�� � � g ��� �

< � �� � � ��=�! �����> ?2-2A@ ��� �?B ���� �� � � �DC ��� FE ��G4*�32 � # �� � �32�4 �����H�IKJMLLLLL

NPOW�RQ " ; �; � ! � � � � � � LLLLL

S� �%T�� ���

< � �� P; � � ��= � � ����U> � V4*��� ���XWY2 ���� ��=

� � [Z 5� ! � ! � [Z � ! � �%T�� ���

Z 5 ; � � � Z � � � � �%T���� �; � ; �

;&� ! � � � � ���� ! � �%T���� �

\V]!^+^�_a` �XbFcDd I-e3f bhgjikc��ldcDmnd!����o IGp d!b I i J i!g�b f�qMJsr oKo�tu�vd pYqxw dkt I thi!g b f�qxp i J tyb�cDd IKJ b H d{zb�c IGpYq t Tn|

Page 85: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� �

" #%$&$&')(+*-,+*���� � �� �32� � ��� � �u>

H IKJ�LLLLL� " ; �

; � ! � � � � � � LLLLL

S� �%T���� �

< � �� P; � � ��= � � ���� � � ���� � � l4 � ���� �DC ����FE �G4*�32 � � � � �32 4 ����� � ����*�� �� ��� � � � � � � ��� � � � � � ; � � � � � � �� ��� ; � � ; � ; � � ; � ;&����� �� � � � ; �

< � �� �� � ����� �� � � ����� � PWY2�� � B*� �u>'���� �� ��� � �\V]!^+^�_a` & I d q�� � d J t I i J ig b f�q i w���q{p b I��Xq g r�Jvp b I i J d J m�� q cFi IKJ�e ig�b f�qVe cDdkm IKq J b T�|" #%$&$&')(+*-,+*K(�� � �� �32� � ��� � �u>! �� '��� �s@ 2����&���� ��� �� ���u> FE �� ��� � �

� � ������� � �������� � ����� � �@� �!� " � �%T�� � �

> ���!� � @yW#�!@��#���� �� ��� � < � � ��$ �+C ��� �s@ �& ���� �G4 ����32 �%� � ��=�� � ��= 4 � ��� �&� � ��="�C ����FE ��G4*�32 � �� � �32�4 ����� � ���*�� � �u> �#� X2 �K@y4*��� � F= ���32'����� � ���32 � �u> �14*��� ���XWY2 � �u>= ��� )( �\V]!^+^�_a`+* q tyi3o �Xq b f�q � cDtyb ig�b f�qVq-,?r db I i J t I-J/. �sTY���10 gjikc&�

� � � "2��3��� �

e3I��Xq�J b f db b f�q t p do dc��2� � � I t J i J z�� q cFi T � gjb q c t r�w tyb I b r b IKJ�e � bFi b f�q t q!p i J mq-,Xr db I i J i!g . �%T�� �40� . ��� � � 0 � �!� . �3��� � 0 � "� . � � "�� 0 . � � "5� 0 � " . ����� � 0 � . � � "�� 0 � �&�c�i H b f�q d w i �Xq � qnp i J p o r m q b f db � q f d �Xq b�i tuiko �Xq d t76�tub q H i!g � H r oKb I�� dc I db q� i3o�6 J i H�I d!oGt&8 . � � � � � ��9#9#9 � �;: 0 gjikc=<� ?> �#9#9#9 � � i!gVm q�e c q�q �sT J ikcDm q cxb�i � J m b f�q

Page 86: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� �t q b ig p i H�H i J . c q do 0 � q c�i t ig d t q b ig� � iko 6 J i H�I do t ig� � dc I d w o q t � q�p d J q�H ��o-i-6� dc I i r t H q b f i%m�t o I c q b f�q�H r oKb I � dc I d!b q c q t r oKb d J b d J m �Pc��i w�J�q c � d3t q t T &�ikc H i3c qIKJ gji3c H db I i J b f�q c q dkm q c I t m I c q!p b q m b�i b f�qMp ikoKo q!p b I i J i!g�d!c�b IGp o q t I-J � �)( � � � T |

Page 87: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� � ��� ����

� � �� �� ������� ��� � ���� ������������ �� � ��

�� �� ��"!���� # �� %$ � �&� ' ��(� � ���)�

* J b f�I t paf d��b q c�� q ��c q t q�J b dVt 6�tyb q�H gjikc d r b�i H db I-J�e b f�qPIKH ��o q�H q�J bDd!b I i J i!g q � p IKq�J b+,+,- tMd J m&d c d J�ekq igPg d3tybxb�cDd J t gjikc H t r t I-J�e t 6 H w i3o IGp�H d J�I � r oGdb I i J d J m ��c�i e cDd Hb�c d J t gji3c H db I i J t T * q msi tyi IKJ d J d w tyb�c d p bx�ld 6 tuinb f dbMb f�q c q t r oKb IKJ�e t76�tub q H p d Jf d J mso q ikb f�q c g dktub�b�c d J t gji3c H tUb f db p d Jxw qPq#� ��c q tFt q mxdkt�d[tu� d!cDt q�H d!b�c I � g d p bFi3c I �!d!b I i J� I b f/. c�i J�q!p10Xq c ��c�i%m rvp bDt T - f�q2. c�i J�q!p30Xq c ��c�i%m r p bV��oGd#6�t�d �Xq c 6 IKH � i3cFbDd J bPc�iko q�I-Jb f�I t[� ikc 0 w7q{p d r t q�H i tubVigPi r c���cFi e cDd H b�c d J t gji3c H db I i J t�dc q w d3t q m i J4. c�i J�q!p30Xq c��cFi%m r p b I m q J b I b I-q t T- f�q65 cDtyb e3q�J�q cDd!b I i J ig7+,+,- t � q c q m q t p c I-w7q m�db b f�q t p d!oGdc o q#�Xq o � I b f �Xq c 6 p i H z

��o IGp d!b q m I-J m q#� q#� ��c q t�t I i J t T - f�q t I b r d!b I i J�I t H i3c q d H q�J d w o q bFi�d r bFi H d!b I i J � f�q�Jb f�q +,+�- I t c q o db q m bFiMd g d p b�i3c I �!d!b I i J ig�b f�q68 +�- H dbFc I � � I b f g d p b�ikcDt b f dbldc q6. c�i!zJ�q!p30Xq c���cFi%m r p b t�ig m I d e i J do H dbFc I pYq t:9Xikc�� q c H r b db I i J H dbFc IGp q t:9Xi3cPt H do-o q c;+�i r c IKq cb�c d J t gji3c H H db�c IGpYq t T< IKekf � q cugjikc H d J pYq +,+�- t b 6s� IGp d!oKo 6 p i J bDd IKJ d!b o q d3tyb d g q �>= f d J m?z p c d{gjb q m@? WBA ��a@

�DC

Page 88: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

���

��� �� 9�dVb q c H I-J�f�q c I b q m gjcFi H t I-e3J d!o�� i!� e c d� f thb f dblm q t p c IKw q t�b f�q do e i3c I b f�H bFi � i I-Jdnt q ,?r�q J pYq i!gVt H do-o +�+,-��AtVb�i w�r�I oGm d o dc e3q cxi J�q T q J bFcDdo b�inb f�q w�r b�b q c�� 6 p i H z� r b db I i J I tPb f�q p i H � r bDd!b I i J igld t H d!oKo +,+�- � f iXt q t I � q�I t p d!oKo q m)b f�q � �X= � � ig b f�qw�r bFb q c��;6 T - f�q�p i J tyb�c rvp b I i J igPb f�q t q t H d!oKo�+,+,- do e i3c I b f�H t I tVd J dcFbD9 t IKJ p q b f�q c qf dkt J i3b w q�q J ��c q t q�J b q mnd gji3c H do� p i J tubFc r p b I �Xq � d#6)gjikc e3q�J�q cDdb IKJ�e b f�q�H T�� r b f i3c tb 6s� IGp d!oKo 6xo I tyb b f�q d!o e i3c I b f�H t d3tPdxt q ,?r�q J pYq i!g�dkt�t I-e3J�H q�J b t b f db d pDf�IKq��Xq b f�q m q t I c q mc q t r o-bPd J m c q � i3cFb[b f�q �vi3� p i r�J b�c q-,Xr�I c q m����������@9�� r t���� � T * q d!c q d w o q bFi�d r b�i H db qb f�I t bDdkt 0 T- f�qVIKH ��o q�H�q J bDdb I i J i!g�dxcDdkm I � z 8 +,+,- p d J)w q tu��o I b I-J bFixby� i t q � dc db q bDdkt 0 t T> T�! r�I oGm I-J�e b f�q J�q tyb q m o-iXi3� t[b f dbMm q:5 J�q b f�q i3c m q cVb f�q �Xq{p b�ikc q o q�H�q�J bDt d!c q d p zpYq t�t q m T

� T�! r�I oGm I-J�e d)t q-,Xr�q�J pYq i!gPdkt�t I-e3J�H q�J b tub db q�H�q�J bDt�b f dbV� q cygji3c H b f�q p d!o pYr o db I i Ji!g�d t I-J�e o q bFcDd J t gjikc H ig o q�J�e b f 8 T

* q ��c�i �sI m q ��c�i e c d H t b f d!b[d r b�i H db IGp d!oKo�6 ekq�J�q c db qMq d pDf � dcFb T - f�q d r b�i H db I p[e3q�J zq c db I i J ig;+,+,- I-H ��o q�H q J bDdb I i J t � q c H�I b t b f�q�e3q J�q cDd!b I i J ig oGdc e3q z cDdkm I � w�r b�b q c�� I-q t T- f�I t I t�d!b�b�c d p b I �Xqxw q!p d r t q f�IKekf c d3m I�� do e i3c I b f�H t f d �Xq b f�q d3m � d J b d e3q t�igPc q m r pYq m� ik� p i r�J bld J m w q b�b q c H�q�H ikc 6Mb�cDd�� p � dbFb q c J t T - f�q d r bFi H d!b I i J t r ��� i3cFbDt�b f�qMp i J ztubFc r p b I i J i!g +,+,- w�r b�b q c�� IKq t[b f dbxd!c q ��r tubMb f�q c I-e3f bMt I � q gjikc�d e3I��Xq�J ��c�i w o q�H d J mp i H � r b q cMdc pDf�I b q!p b r c q p i H w�I-J db I i J T�� o-b f i r�e3f � q ��c�i%m rvpYq i r bF� r bxb f db I t q�I b f�q cd2+#"%$,-&$ � � i3c +#"%$,-&$ � �'��(�t r�w c�i r b I-J�q 9�i3c d*),+�-/.0+21 g r�J p b I i J 9�� qxp d J q dkt I o 6q#� b q�J m)i r c[t 6�tyb q�H b�i i3b f�q c I b q c db I �Xq ��cFi e cDd H H�IKJ�e o d J�ekr d ekq t[i3c f dc ms� d!c q ty� q{pYI 5 zp d!b I i J oGd J�e3r d e3q t T

" r c t 6�tyb q�H I t H i tub p oKiXt q o 6Mc q o db q m b�iMb f�q � i3c 0 ��c q t q�J b q m IKJ dxt q c IKq t ig�� r�w o I p d{zb I i J t3�54 . <�67� C 9 .98 <�6:���3d@9 <�� �;��� 9 8 4 . 6:� C;��� f�q c q m I c q!p bPb�c d J tyoGd!b I i J ig . c�i J�q!p30Xq c

Page 89: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

�����cFi%m r p b gjikc H r oGd q�I t r t q m bFi�i w bDd IKJ ��c�i e cDd H t T�� i3c q tu� q!pYI 5:p do-o 6 9�b f�q�. c�i J�q!p30Xq c��cFi%m r p b I m q�J b I b IKq t b�i e3q b f�q c[� I b f tub�c I m q � q c H r bDdb I i J H d!b�c I pYq t gjc�i H�� > T�� dc q r t q mb�i m q b q c H�I-J�q oKiXi3�xo IKH�I bDt+d J mxm�db dVm I tyb�c I-w�r b I i J t gji3c�dP��c q m q:5 J�q mVoKiXik��tyb�c rvp b r c q T +�ikcb f dbD9kb f�q 6 ��c�i �%I m q d JMq#� � q c�b q�J �%I cFi J�H q�J b p d!oKo q m�� -�� � -�b�i p i H � I o q 9 q#�%q!pYr b q 9 d J mw q�J pDf�H d!c 0 b f�q c q t r o-b I-J�eVp i%m q 9XtuiVdktUb�i m q!pYI m q � f�I paf p i H w�I-J db I i J i!g+d!o e i3c I b f�H t+d J mg d p b�i3c I �!d!b I i J t dc q b f�qPw q tub�gji3c d e3I��Xq�J ��c�i w o q�H d J m p i H � r b q c�dc paf�I b q{p b r c q T 8XIKH I oGd!cb�i i r c[t 6�tyb q�H 9 �� -�� �6- tybDd!c�bDt � I b f d g d p b�ikc I �{db I i J ig�b f�q 8 +,- H d!b�c I � T <�i!� q��Xq cIKJ � 8 4 . 6 � C;� 9 I b I t c q ,?r�I c q m�b f db b f�q g d p bFi3c I �!db I i J�w q�q#� ��c q t�t q m IKJ b f�q�ekq�J�q c IGp gji3c H

��� .������ ����� � 8 � ����� ����� ��� 0� I b f � d w�r b�b q c�� 6 i3c tubFc I m q � q c H r bDdb I i J H db�c I � T - f�q d r b f i3c t�do tui c q-,Xr�I c q b f�q0%J i!� o q m ekq ig b f�q d p b r do���cFi w o q�H t I � q t d J mnm q � q�J m i Jnf d J m p i%m IKJ�e b f�qMw�r b�b q c�� IKq tig b f�q do e ikc I b f�H t T

" r c�� i3c 0xIKJ�� i3o �Xq tUd!o ekq�w cDd IGp gji3c H r o d H d J�I � r oGd!b I i J d J m p i%m q b�c d J t gji3c H db I i J t�d!bd�t 6 H w i3o I p o q#�Xq o T 8XIKJ p q b f�q d p b r do H db�c IGpYq t dc qxJ�q#�Xq c w�r�I o-b�b f�q�I c[t I � qMJ�q�q m J i3b w q0%J i!� J T * qPr t q b f�q . c�i J�q!p30Xq c���c�i%m rvp b J ikbDd!b I i J b�i e3q b f�q c � I b f i3b f�q c o IKJ�q d!c do ekq�w c di3� q c dbFi3cDt d J m p i%m q bFcDd J t gji3c H db I i J b q!pDf�J�I ,Xr�q t�gjcFi H p i H � I o q c[b f�q ikc 6 bFi e3q�J�q cDdb qb f�q o-iXi3� J�q tub t c q-,?r�I c q m T * q msi tuiMdbld[� r c q o 6xt 6 H w i3o IGp o q#�Xq o T � i3c q i �Xq c � q d!c q d w o qb�i d r b�i H db IGp d!oKo�6 e3q J�q cDd!b qVw�r bFb q c�� IKq t i!g�d J 6 cDdkm I � t I � q�r t IKJ�e d�b q!pDf�J�I ,Xr�q t IKH�I oGdc�bFioKiXik� r�J c�i3o-o I-J�e T

!#"%$ & �(' �*),+#-��#).-/' 0,132#),4�560/798;:<)=5>8?0@+BA

+�i3c r t:9 f d �sI-J�e d g d3tybVb�cDd J t gjikc H gjikc[b f�q/C z w 6Xz C H d!b�c I�� �Xq!p bFi3c[��c�i%m r p bEDGF H�q d J tb f dbP� q[f d �Xq d�g d p bFi3c I �!db I i J

D HIDBJKDLJNM O 9�9#9 DPO6QSR C

Page 90: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� �

� I b f b f�q ��c�ik� q c�b 6 b f d!b q d paf�r �:m�db q F�� H D��;F IKJ�� i3o �Xq t " . C 0 � i3�vt T - f�q c q gji3c q b f�qoKiXik�

gji3c�� H >�� QF H�D��;Fq�J m

i �Xq c�� c I b q tSF � I b f D�F IKJ " . Q C 0 �vi3� t T* q�IKJ b�cFi%m r pYq b f�I t�� i I-J b ig �%IKq � w 6&m I t pYr tFt I-J�e b f�q m IKekI byz c q#�Xq cDtFdo bFcDd J t gji3c H d{z

b I i J T - f�I t I t gji3oKo-i!� q m w 6 t q#�Xq cDdo +�+,- q�� d H ��o q t d J m)b f�q�J d tFd H ��o IKJ�e i!g�i3b f�q c g d3tybb�c d J t gji3c H t b f d!b[d!c I t qVIKJ t I-e3J d!o+��c�i p q t�t IKJ�e T����� �� �� ����������������� - f�q m IKekI b c q��Xq cDtFdo[bFcDd J t gji3c H db I i J I t�d � q c H r b db I i J T * q t�d#6 = �"!;�$# d J m J ikb W �$#c q��Xq cDtFdo w q!p d r t q I-J d�c d3m I�� z 8xdo e ikc I b f�H 9!b f�q � q c H r bDdb I i JRI t q ,?r�I�� do q J b+bFi[c q ikcDm q c IKJ�eb f�qxq o q�H q�J b t i!g d �Xq!p b�i3c w 6)c q#�Xq c t IKJ�e b f�q i3c m q c[i!g m IKe3I bDt�i!g b f�qxI-J m IGp q th� c I bFb q�J d3tw dkt q z 8 J%r�H w q cDt T - f�q m I-e3I b c q#�Xq c t�do:� q c H r bDd!b I i J�H d!b�c I � p d J w q m q 5 J�q m d3t

Z :&%(' : H O��) J*' J M O + � : %*,.-��/: - ' : -�,10�2

i3cPb f�q bFcDd J tu� iXt q m q ,?r�I�� do q J b

Z : % ' : H J��) O .�� :3%*,4-��/: - ' : 0�5 . C T > 0

- f�qMq-,?r�I � do q�J pYq gjikoKo-i�Pt w q!p d r t q b f�q c q��Xq cDt q i!g�b f�q c q#�Xq c t q i3c m q c I-J�e I t b f�q i3c IKekIKJ d!oi3c m q c IKJ�e T - f�q c q gjikc q b f�qVIKJ��Xq cDt q ig b f�q m I-e3I b c q#�Xq c t�do H db�c I � I t I bDt q o g T - f�qVJ i3b db I i J6 O�) J*' J M O � �Vm q�J i3b q t b f db b f�qRI-J m q#� � d!c I d w o q ��bDd 0Xq t b f�q)� do r�q tSQ7��8 >9� > T " J�q �ld 6b�i � q cugjikc H b f�qMp i H � r bDd!b I i J�I t b�i q#�sq{pYr b q �

gji3c�� H Q:��8 >9� >F H .�� : %*,4- ��/:&-;' : 0 F

q�J m

Page 91: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

���

������� ��� � �����- f�q 8�I t p c q b q +�i r c IKq c -+cDd J t gjikc H . 8 +,- 0 ig d �Xq!p b�i3c F ig�o q�J�e b f C I t�m q:5 J�q m dkthb f�qH d!b�c I�� z �Xq!p bFi3c��cFi%m r p b� : F � f�q c q :�� t b f�qVf � ekf o 6 tubFc r p b r c q m C z w 6Xz C�� dbFc � � �

. : 0�� � H�� � �: 8�� � H (�� 9#9�9 � C 8 > . C T � 0� f�q c q � : H q#� � . 8���� � � : 0DT*/g C H�8�� b f�q��

: H . � � �! 0�"#� ' ).�� � � 0 / : ' � . C T��10� f�q c q "#� ' � t dxm � d e i � do � dbFc � � i!g$� q � ekf b t%� � b f

"#� ' �.'& � & 0 H)( � � *,+.- � / � 01 32� gji54 & H (�� 9#9#9 � 86� 8 > . C�7 C 089� m / : ' � � t%:1;6<>= #�? �A@�B%CDB!?!E A #GF.# �AHJI ��8 :14 �'K 9MLN<O< � >57 � 78 < 5D� < �P8 :�4 ��K

Q :.' H . : � �! 01" :.' :�;�<�R6S�:�:�<O4��;6 ��8 :14 ��K 7>TUL � �6V . C67 �40 9W�%<OX�X 0��6Y � � +,+,- 8 X V5Y 4 � :�; � LUZ 8[� RD<\4�<�X 8 :�<^]_: Y`58 4 � Y SaLcb 8 Zd: Y 4 ��e 8 : � Yf� L Y b#hg67-%;6<ji H[Hfk�B!l9mOn Afo B!l ` <�4.L � Y5� Y b$:1;6< +,+,-)Z Y 414�<[Lp� Yf� ]6Lq: Y :�;�<rb 8 Zd: Y 4 �'e 8 : � Yf�

g % Htsu O�� ) J*' J M O.v � g % ,4-� Q g ' g&-�,10!w�xy{z g %(' g v C�7�� w

�#;6<�41< z g %(' g � L%:1;6<|] � V � :#4�< ` <�4.L 8 X��D<�4 � S�: 8 : � Y5����8 :14 �'K 7-%;6<>} #GH9~ o�� FJE +�+,-�b 8 Zd: Y 4 �'e 8 : � Yf� Z Y 4�41<[LN� Yf� ]6L�: Y

g % H O�� ) J*' J M O.v1v Q g ' g3-�, 0/ g&- ' g w � � g %*,.- w 5 v C�7�� w

-%;6< #G?�FJI = C�H = B1@ } #GH[~ o�� FJE b 8 Zd: Y 4 ��e 8 : � Yf� 9 8 L:�;6< �a89� <q4�< ` < 8 XAL � L3:�;�<U:�4 89� Lp� Y LN< Y b:�;�< 8 R Y9` <

g % H J��) O v�v Q g ' g -�,10/ g - ' g w�� � � g&% ,4-�w 5 v C�7 � w

Page 92: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

���

-%;6<�� B1F = B b 8 Zd: Y 4 �'e 8 : � Yf� � L g&% H su O��) J ' JNM O v1v Q g ' g - , 0

� � g&%*,.-!w / g&% ' g�w xy zqg&% ' g 5 v C�7�� w-%;6<�� B!I1# k�B!E>FJIMm } FJI6@�B ` <�4 L � Y5� Y bq:�;6< YJY X'<���� - S 0 <�� b 8 Zd: Y 4 ��e 8 : � Yf� Z Y 4�41<[LN� Y5� ]6L

: Y g % H z g % ' g su O�� ) J*' J M O v � g&%*,.-

� Q g ' g -�, 0 w xy � v C�7�� w8 <�< � �9��������b Y 4q]�<�4 � `58 : � Y5� L Y b$:1;6<[Lp< 8[� ] Y :�;6<O4%b 8 Zd: Y 4 �'e 8 : � Y5� L Y b% g67�7* b� 89� ]�� 8 4�<|4�<�X 8 : � ` <�X� �64 � � < 9J:1;6< �

hg=H�� � ' g v � � w� �� ' g v C�7�� ( w�#;6<�41<�� � ' g 89� ] �� ' g 8 4�< C ��R���� C �D<�4 � S6: 8 : � Yf����8 :14 � Zd<[L%R 8 LN<[] Y5��� S � RD<�4��G:�;�< Y 41<�: � Z�64 Y �D<�4�: � <[L 8 L�]M< 5D� <[] � � � �9������� 96� 8[V <�� ���M7* � :1;6<|Z 8 Lp<�:�; 8 : C � L%�64 � � < 9J:�;6<O4�< � L%:1;6<�� FJ@�B!? b 8 Zd: Y 4 ��e 8 : � Y5�

+��.H���� v 4 w�� � � �� � � �! � v 4 M O w v C�7��"� w�#;6<�41<$# � L 8 �64 � � � : � ` <#4 YJY : Y b$:1;6<|LN<�: Y b � � ] � Zd<[L�%�����&'&�&�� C 8(�*) 9,+�g v # w � L 8>� S � RD<�4-�:�;�< Y 41<�: � Z��D<�4 � S6: 8 : � Yf�{��8 :14 ��K 9.� � L 8 ` <[Zd: Y 4 Y b Yf� <[L 8[� ]/� � L 8 Z � 4 ZdS6X 8[� : ��8 :14 �'K]�< 5a� <[]�R0�\:�;�< ` <^Zd: Y 4�1 � H �.243g b Y 4 & H (1� C 8 ��7 -%;�< Z � 4.Z!S6X 8[� : ��8 :14 ��K �G: � � <�L5� ` <[Z!: Y 4�64 Y ]�SDZd:qZ 8[� RD<�Z 8 XAZdS6X 8 :1<[]�SDL � �6V :�;6< +�+,- Y b,X�< ��V :�; C 86� 96:�;MSDL 8 �6Y5� ����4 � � <�X'< �6V :1;+,+,-U7 + Y 4 89� < K :�< � L � ` <�641<[LN< � : 8 : � Yf� 95:�;6<#41< 8 ]�<O4 � L$] � 4�<^Zd:�<[]�: Y ��������� � 89� ] 41<db <�4�< � Zd<[L:�;�<�4�< � � 7�����57 8 ��� ��� � � � � � ���:9 �<;>=��@? �-%;6<6A Ffk =.� mCB�FJ@JFJE>FJ?1@ :14 8[� L b Y 4 � � L#]�< 5D� <^]PR�� F � HED � % F �#;6<�41<

F ��G H HIJ ) O F � 8[� ]KF � H � � �� 8L� � 5 v C�7�� � w

Page 93: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

��(

-%;6< �6Y : 8 : � Y5� � J�) O�� � � L 8 Lp; Y 41:�; 8[� ]Pb Y 4 � O � &�&�& � � J 7 *�:qZ 8[� RD<|LN; Y � � :1; 8 :D � % H J��) O v � � - , 0

� D � � � � %*,.- w 5 v C�7�� � w-%;6< B�FJFJ? :14 89� L b Y 4 � � L#]M< 5D� <[]�R�� F � H�� � % F �#;6<O4�<

< � G H H�J ) O � v � �� � � -�,10 w

/ � - ' � �� � � � % M � - � v C�7�� C w� � :1;�� � H D � H � 7 -%;6< b 8 Zd: Y 4 ��e 8 : � Y5� b Y 4 � S6X 8 b Y X�X Y �qLq:�;6< � S6X�: � 41<[L Y X�S6: � Yf�j8 X VfY �4 � :�; � �64�<^LN< � :�<[] � � � � 8 X ������7�F{<>�64�<[Lp< � : 8 ]�<O4 � `58 : � Y5��Y bq:1; � L b 8 Zd: Y 4 �'e 8 : � Yf� 8 LU� <�X�X8 L 8>V < � <O4 8 X ��e 8 : � Yf� : Y Z Y[` <�4 :�;6< 8U8 S6RD<[Z.; � <[L%� 8�` <�X�<�: LWb 4 Yf� � 8U8 S ����� � �L� C�7���7-%;6<>} k FJI1# :�4 89� L�b Y 4 � � L#]�< 5D� <^]PR�� F � H�� � % F��#;6<�41<

8 �.H � � v * � � 8 � 0 � w 8[� ] 8 � H �� � � � �� 8L� � 5 v C�7�� � w� 8 :14 �'K D � L�Lp� 8 4 LN<J7 � Z Yf� � 8 Zd:q� 8 ��: Y ]�< 5D� </D � L#: Y Z Yf� L � ]�<�4 � : 8 L�:p� Y LNS�R ��8 �:�4 � Zd<^L;�

D g v � w H �� �����

� ( � (� g �dg 8 � g �dg( � ( 8 �8�� g � g � g � g

�������#;6<�41< H � �f� �M� C�� ��� �f� C�� ��� ��� 9 89� ]

D{g v� � w H�� � � � g 0 � M � 5b Y 4 H � � � C�� ��� C�� ��� � � C �G7 -%;6< `58 X�S6<[L � g 89� ]�� g 8 41< V � ` < � R��

� � gEH � � C �C C � 8 � �!� � g.H�� C � 8 �

C C � 8 � 5� b 8 Zd: Y 4 ��e 8 : � Y5��Y b:1;6< 8 X 8[� :#:14 89� L b Y 4 � ��8 :�4 �'K Y bL ��e <�� J � L

� � % H J��) O v � � - , 0� D � %*,4-�"10 w 5 v C�7��;� w

Page 94: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

�0�-%;6< 8 X 89� :#:�4 8[� L b Y 4 � � L%SaLN<[] � � � ��89V <U�64 Y Z!<[L�L � �6V ���$4 8 �0� �G7-%;6< B�FJ? # k�B!l :�4 89� L�b Y 4 � � L#]�< 5D� <[]�R0� F � H��|g F��#;6<�4�<�|g v & ��� w H)Z Y L�� ��� & �C � � L � � � ��� & �C � � � :1; & ��� H (M��&�&�&O� C 8 � 5

8 S6<�: Y :1;6<|L � � � X 8 4 � :��|: Y :�;6< + Y S�4 � <O4%:�4 89� L�b Y 4 � 9 � : ; 8 L 8 ` <O4�� L � � � X 8 4$b 8 Zd: Y 4 �'e 8 : � Y5�� � H v � � � �! w "#� ' � v � �� � w

�#;6<�41< "#� ' � � L 8 R6X Y Z 0 ] � 89V5Yf�D8 X ��8 :14 �'K � � :�;�] � 89V5Yf�D8 XWR6X Y Z 0 L3:1; 8 : 8 4�<|LN� 8 4.Lp<J7 -%;6<] � 89VfY5�D8 X R�X Y Z 0 L; 8�` < 8 : ��Y LN::p� Y|�6Yf� � e <�4 Y L#�D<�4%4 Y � 89� ] Z Y X�S ��� 9 v Yf� :�;6<r] � 8[VfYf�a8 X89� ] 8[� : � � ] � 8[VfYf�a8 X w 7 -%;6<\L 89� <�b 8 Zd: Y 4 �'e 8 : � Y5� L 0M�6Y � � b Y 4U:�;6<2+�+,- 8 XAL Yj8 �6�6X� ;6<O4�<J7+ Y 4#< K 89� �6X�< 9J:1;6< YJY X�<'� � - S 0 <���b 8 Z!: Y 4 ��e 8 : � Yf� b Y 4q:�;6<|] � L�Zd41<�:�< < 8 41:�X�<'��:14 89� L b Y 4 � � L

� g % H O��) J ' JNM O + � g %*,.-� + v �|g � � g&-�,10!w " g ' g3-�, 0 2 2#z g %(' g 5 v C�7�� � w

"q:�;6<O4 `58 4 � 89� :.L�4�<[LpS6X�:�R��_b Y X�X Y � � �6V :1;6< Y :�;�<�4 0M�6Y � � b 8 Zd: Y 4 �'e 8 : � Y5� L X � 0 < 8 : Y Z 0 ; 89�89� ]�h< 8 Lp<J7 -%;6< < 8 41:�X'<��>:�4 89� L�b Y 4 � Z 8[� R < 4�< V 8 4.]M<[] 8 L 8 4�< 8 X 89�a8 X Y5V�Y b$:1;6< + Y S64 � <�4:�4 89� L�b Y 4 � � �9��������7* � :1;6< ��4�<[Zd<^] � �6V 9$�%< Yf� X�� X � LN:1<[] ;6<�41< Y5� <j] � � < � L � Yf�D8 X%:14 89� L b Y 4 � 8 X V5Y 4 � :�; � Ld7

� S6X': � ] � � < � L � Y5�D8 X :14 8[� L b Y 4 � L 8 4�< . 4 Yf� <[Z 0 <O4��64 Y ]�SDZd: L Y b#:�;�< 8 R Y[` < b Y 4 � S6X 8 <J7 + Y 4< K 89� ��X�< 9JLpS6�6� Y Lp<>:�; 8 :#:�;6<����p] � � < � L � Y5�D8 X +,+,- Y b:1;6<�����R���� C ��8 :�4 ��K� � L � <�<^]�<[]�7* b6F@H ` <[Z v w :�;6< � ` <[Z v �g w H v hg

� w F 5+ Y 4 ��Y 4�< Y5� ; � V ;j] � � <[L � Yf�D8 X�:14 89� L b Y 4 � L#LN<O< 9 � C67��M7��57!#" � ��� 560�� )=5S8�4 �*0 0�� A�� '=A 5�� '=+(' 7>)=5S8;0 +

* �>Y 4 ]�<�4$: Y V < � <�4 8 :1<#:�;6<#X YJY � � <[LN:B9J�%<#]M< 5D� < 8 X 8[�6V S 89V <q:�; 8 : ]�<[L1Zd4 � R <^LW:�;6<q] ��� <�4�< � :��8 :�4 �'K :-�M� <^L,b Y S � ] � � b 8 LN: :�4 8[� L b Y 4 � 8 X VfY 4 � :1; � L 89� ]\:�;6< � Z Y5� LN:14�SDZd: 8 :1<�4 � 4�<��#4 � :��� ��V L-�6Lp:�< � R 8 LN<^] � � � 8 :1:�<�4 ���P8 :.Z.; � �6V 7 F <q�64 Y[` � ]�< 8 � Y 4 0 � �6V < K �D<�4 � � < � : 8 XML-�6Lp:�< �

Page 95: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

���

� � � 8 :�;6< �P8 : � Z 8 :1; 8 : � � �6X'< � < � : L :1;6< V 4 89����8 4 89� ]�:�4 8[� L b Y 4 ��8 : � Yf� 4�S6X'<[Ld7 F{< 8 X L Y�64 Y9` � ]M<�R 8 Z 0 �G< � ]6L�: Y :�4 89� LpX 8 :�<�:1;6<�4�<^LNS6X': � ��V L � � ��X � 5 <[] < K �64�<[L1L � Yf� L Y bq:�;�< ��8 :14 �'KV 4 89���P8 4 � � : Y + Y 41:�4 8[� 9 + Y 41:�4 89� ��( 9 8[� ] ) + -/.0+21Pb S � Zd: � Yf� L 9�:�; 8 :U�%<|< K <[ZdS6:1< � �`58 4 � Y SaL 8 4.Z.; � :1<[Zd:�S�4�<[L!7������� � � ���:? ? � � ;>=���� ����� �� � =��@?��9 � �F{< � <�<^] 8 L � � �6X�<qX 8[�6V S 8[V <>: Y ]�<^L�Zd4 � RD< ��8 :�4 ��K b Y 4 � S6X 8 < 8[� ]�L � � �6X�<q�64 YfV 4 89��� � �6VZ Y5� LN:14�SDZd: L%X � 0 < 8 L�L � V5�6� < � :.L 89� ]PX YJY �DL!7 � Z Yf� ��S6:�<�4,X 89��V S 8[V < X � 0 <�),+�-/.0+21 Y 4 + Y 4��:�4 89� ��( � L �D<�4pb <[Zd:qRD<[Z 8 SaLN<>:�;�<�� 8 X�X Y � < K �641<[L�L � Y5� L�� � :1; ��8 :�4 ��K 8 4 V S � < � :.L 89� ] :1;6<Z Y X Yf� �6Y : 8 : � Yf� b Y 4 � � ] � Zd<[L!7 ! S6:;6<O4�<U� <�� � X�X Z Yf� L � ]M<�4 8 Z Yf� Lp:�41SDZd: Y 4��GR 8 Lp<[]�X 8[�6V S 8[V <: Y ��8 0 < Y S64�X � b <�< 8 L � <�4 � � 4�<[Z YfVf� ��e�� �6V :�;6< `58 4 � Y SDL Z Yf� Lp:�41SDZd:.L\� � :�; Y S6:\; 8�` � �6V : Y�#4 � :�< 8 Z Yf� ��X � Z 8 :�<^]_� 8 4.Lp<�4�7 + � V S64�< C�7����64�<[Lp< � :.L :�;�< Z Yf� :�< K : b 4�<�< V 4 89� ��8 4|:�; 8 :]�<[L1Zd4 � RD<[L3:1; � LX 89��V S 8[V < 9M� Y 4 ]6L � � Z 8 � � : 8 XAL 8 4�< 0 <'��� Y 4.]�L v X � :�<�4 8 XAL w 7 � C� �?F C � � � 89� ] � #�� � �� 5� C � � �r]�< �6Y :�<\Lp:�4 � �6V L Y bqZ.; 8 4 8 Zd:1<�4.L 9 ��� F�� # ��������� C � L 89� 8 X V <�R64 8 � Z < K �641<[L �L � Yf� � �M`JY X ` � �6V * � ]M< K �a89� <[L 8[� ] � � :1< V <�4 Ld7�-%;6< � < 89� � �6V Y b$:1; Y Lp< 0 <��M� Y 4.]6L � L%�641<�:�:-�] � 4�<[Zd:O7,-%;6<O4�< 8 41< Y5� X��\b Y S64q:-���D<[L Y b LN: 8 :�< � < � :.L;�

� � � � ����� ]M< �6Y :1<[L 89� 8 L1L � V5�6� < � :#Lp: 8 :�< � < � : Y b 8 ` <[Z!: Y 4B9��� ��� / ]�< �6Y :1<[L 8 Lp<��JS6< � : � 8 X�X YJY ��/ � z � ��� � � ]�< �6Y :�<[L 8 � 8 4 8 X'X�<�X X YJY � LN:14�SDZd:1S64�< 7

� � � + ]M< �6Y :1<[L 8 LN<��JS6< � Z!< Y b,< K 8 Zd:1X��\:N� Y Lp: 8 :�< � < � : Ld7! Y :1;�X YJY ��Z Y5� LN:14�SDZd: L 8 Z�Zd<��6: 8 LN<��JS6< � Z!< Y b,LN: 8 :�< � < � : Ld7 -%;6< LN<��JS6< � : � 8 X 89� ]�� 8 4 8 X'X�<�XX YJY �DL 8 4�< ]�< 5D� <[]�R0�\:�;6<�:14 � ��X�<�:

v ��C�� �;F C � � �5� � C� �;F ��� Q � Q �!� � C Q w�#;6<�41< � C� �;F C � � � � L 8 L-� � R Y Xh:�; 8 : �D8[� <[L#:�;6<>X YJY �0� � � ]M< K `58 4 � 8 R6X�< 9 � C� �?F�Lp: 8[� ]6Lb Y 4�:1;6<�4 89�6V < Y b#:1;6<�X YJY � � � ]M< K 9 89� ] � Q � Q �O� � C QcLN: 8[� ]6LUb Y 4�:�;6<\Lp: 8 :�< � < � : L � � :1;6<

Page 96: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� �

� Q � Q ��� � C Q�� � � + v � Q � Q �O� � C Q.� � Q � Q �O�K� C Q w� � � � � � � v $����Q � #9� � F��<# ��� ����� C w� � � � / v ��C�� �;F C � � �5� � C� �;F ��� Q � Q ��� � C Q w�/ � z � � � � � v ��C�� �;F C � � �5� � C� �;F ��� Q � Q �!� � C Q w�����Q � # � � � v � #�� � � � C � � �5� ��C�� �;F w��C�� �;F � � " v ��� F�� # ��������� C � � � F��<# ����� � � C � ��� F � # � ������� C w

� F � # � ������� C � L����Q � #� � � D � � v D � Q�#�� F �� ����Q � # w� " � � � � � z v L����Q �*#[��$����Q � # wD � Q #�� F � v ��� F��<# ��������� C�C w�

/v ��� F � # � ������� C � ��� F��<# ��������� C w� � v ��� F�� # ��������� C w� " v ��� F�� # ��������� C � � � F��<# ����� � � C w� � z � � � / v D � Q #�� F w� � � D � � v D � Q�#�� F � D � Q #�� F w� � z � � v D � Q #�� F � D � Q #�� F w�

/ z � " v � C� �?F C � � �5� ��C�� �;F � D � Q�#�� F w+ � V S641< C�7��4� � V 4 89���P8 4 b Y 4�:1;6<jL � � �6X � 5 <[] ��8 :14 �'K X 89�6V S 89V < SDLp<[] : Y :14 89� L b Y 4 � 8��8 :�4 �'K < K �641<[L�L � Y5� � � : Y\8 LN<��JS6< � Zd< Y b X YJY �aL 8[� ] 8 L�L � Vf�6� < � : Ld7

Page 97: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� C

X YJY � � <^LN:�7� � � � ]M< K�� L%]�< 5D� <[]�R���:1;6< 0 <���� Y 4 ] � " 89� ] 8 :�4 � �6X'<�: Y b 8 4 � :�; � <�: � Z 8[� ]�L�� � �

R Y X � Z>< K ��4�<[L1L � Y5� Ld7 -%;6< 5 4.LN:|< K �64�<[L1L � Yf� ]�< 5D� <^L :�;�< � � � : � 8 X `58 X'S6< Y bq:�;�< � � ]M< K 9 :1;6<LN<^Z Yf� ] � L%:�;6<|LN:1<�� Y 4qLN:14 � ]M< Y b$:1;6< � � ]M< K 89� ]P:1;6<�:�; � 4.] Yf� < � L%:1;6< 5D�a8 X `f8 X�S6< Y b$:1;6<� � ]�< K 7�F{< 41<��JS � 41< :1; 8 : :�;6< 5D�D8 X `f8 X�S6<|RD<>< K 8 Zd: 89� ] �6Y : 89� S6�6�D<�4UR Y S � ]�R <^Z 8 SDLp<Y :1;6<�41� � LN<|�%< Z 89�6��Y :�]�< 5D� < 8[� � � ]M< K 8 X V <�R�4 8 : Y���89� � �6S6X 8 :1<�L�� � R Y X � Z � � ] � Z!<[Ld7 + Y 4< K 89� ��X�<:�;6< � � ]�< K � " v �5� ���'� ( w � L � X�X'< VJ8 X6RD<[Z 8 SaLN<$� ( � L ��Y : 8 b < 8 L � R6X'< `f8 X�S6<%b Y 4:�; � L� � ]�< K 7

� ` <[Zd: Y 4 � L#]�< 5a� <[]�R0�\:�;�< � � 0 <���� Y 4 ] 89� ]�:1;6<�� 8 � 4 v � #�� � �� 5� C � � �5� � C� �;F w:�; 8 : �D8[� <[L%:1;6< ` <[Z!: Y 4B9 89� ] 89� � � ]�< K :1; 8 :rLN�D<[Z � 5 <[L#:�;6< Z Y 414�<[Lp� Y5� ] � �6V � Y L � : � Yf� L Y b:�;�< ` <^Zd: Y 4�7,-%;�< ) + -/.0+21 ` <[Z!: Y 4 < K �64�<[L1L � Yf��������������� ��� � L%<��JS � `58 X�< � :: Y

� � v 1 � � " v �M� ���'� (�( w�w 5+ Y 4�L � � �6X � Z � :-� 9M:�;6< 8 L�L � V5�6� < � :ULp: 8 :�< � < � : Y5� X�� 8 L�L � V5� L `f8 X�S6<^L : Y ` <^Zd: Y 4.Ld7 -%;�SaL

89� < K �641<[L�L � Yf� � L Yf� X�� 8 ��8 :14 ��K � ` <[Zd: Y 4U�64 Y ]�SDZd:\]�< 5D� <[] R�� :1;6<��641< 5 K � � D � � Y 4:�;�< < 8 ] 8[��8 4 ] �64 Y ]MSDZd: Y b :N� Y�` <[Zd: Y 4.L|]�< 5D� <[] R�� " � � � � � z 7�-%;6< 8 L1L � Vf�6� < � :LN: 8 :1< � < � :�� ������������������������������ ��� � L%�#4 � :�:1< �j8 L

� � � ��� � v � � v F � � " v �f� ����� � w�w �� � � v�� � � " v (�� ������� w�w1w 5"q:�;6<O4 ` <[Zd: Y 4 Y �D<�4 8 : � Yf� L Z 89� RD<q]�< 5a� <[] 8 L ��8 :�4 ��K � ` <[Z!: Y 4 ��4 Y ]�SDZ!:.L$�#;6<�41<#:�;6< ��8 :�4 � �Zd<[L; 8�` < 8 Lp�D<[Z � 8 X Lp:�4�SaZd:�S641<J7 < Y �%< ` <�4D9 ��Y>Y :�;�<�4 Y � <O4 8 : � Y5� � L � <O<[]�<[] � � :�;�<�] Yf�P8 � �Y b +,+,- 8 X VfY 4 � :1; � ]�< ` <OX Y � � < � :�7<� ` < � :�;6< < 8 ] 89��8 4.] �64 Y ]�SDZd: Y b#:p� Y�` <^Zd: Y 4.LUZ 8[�RD<��#4 � :1:�< �\8 L :1;6<q�64 Y ]�SaZd: Y b 8 ] � 89V5Yf�D8 X ��8 :�4 �'K � � :�;>:1;6<q<�X�< � < � : L Y b :�;6< 5 4 LN: ` <[Zd: Y 4: � � <[LU:�;�<�LN<[Z Yf� ]�7 F{< 8 ]6]�<[] :�;�< Z Yf� Lp:�4�SaZd:>: Y :1;6< V 4 8[����8 4 8[� �M� 8 � � � Y 4 ]�<�4>: Y; 8�` < Y5� X���] � 89V5Yf�D8 X ��8 :�4 � Zd<[L Y b :N� � ]6]�X'<�b 8 Zd: Y 4 Ld7-%;6<Ub Y X'X Y � � �6V 0 <'��� Y 4.]�L#]�< �6Y :�< `58 4 � Y SDL ��8 :�4 � Zd<[L 89� ] Y �D<�4 8 : � Yf� L;�

Page 98: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

���

� � z � � � / ]�< �6Y :�<[L%:1;6<�:�4 89� Lp� Y LN< Y b 8 ��8 :14 �'K 7� � � D � � ]�< �6Y :�<[L ��8 :�4 �'K � S�X�: � �6X � Z 8 : � Yf� 7�/ z � " � L 8�V < � <�4 8 X ��e 8 : � Yf�jY b ��8 :14 �'K � S�X�: � �6X � Z 8 : � Yf� 9 89� ]�Z Y 4�41<[LN� Yf� ]6LU: Y :1;6<� <�X�X 0M�6Y � � L�� � R Y X 6 7 *�:�4�< � S � 4�<[Lq:�;6<\:�4 � �6X'<�: v ��C�� �;F C � � �5� � C� �;F ��D � Q # � F w�#;6<O4�< ��C�� �;F C � � � � L 8 L�� � R Y XM:�; 8 : �D89� <[L :1;6< � � ]�< K 9 ��C�� �;F\]�< 5D� <^LW:�;6< 4 8[�6V <Y b$:1;6< � � ]�< K `58 4 � 8 R6X'< 89� ]#D � Q #�� F�LN: 89� ]�L b Y 4#:1;6< ��8 :14 ��K < K �64�<^L�L � Yf� 7

� � z � � ]M< �6Y :1<[L%:�;�< . 4 Yf� <[Z 0 <�4 �64 Y ]�SaZd: Y b$:p� Y>��8 :14 � Z!<[Ld7� � v C w LN: 8[� ]6L%b Y 4#:1;6< � ]�< � : � :-� ��8 :�4 ��K � g67� v C w Lp: 8[� ]6L%b Y 4#:�;�< 8 +,- ��8 :�4 �'K hg67�/v C �5� w � L%:1;6<|LN:14 � ]M< �D<�4 � S�: 8 : � Y5����8 :14 �'K / g ' � b 4 Yf� v �f7 � w 7

� " v � �.� w � L%:�;6<|] � 89VfY5�D8 X ��8 :�4 �'K Y b$� < � V ;�: L3b 4 Y5� v C�7 C w 7� 8 :14 � Zd<[L 8 4�< �6Y :qZ Yf� ��S6:�<[] � � :1; � L%X 89�6V S 89V < 964 8 :�;6<�4#:1;6<�� 8 41< Lp<�< �j8 L#Lp�D<[Z � 5 Z 8 : � Yf� LY b ; Y � : Y Z Y5� �6S6:1<U� � :1;�:�;6< � 7�+ Y 4�< K 89� �6X�< 9 � � :�;6<�< K �641<[L�L � Yf�

� � � � � � v F � � � D � � v � � D � � v � �dQ w � � w�w:�; 8 : ]�< 5D� <^L :1;6<|LN: 8 :�< � < � : F H v � Q w � 9M�%<|] Y\�6Y : � � :�< � ]�: Y < ` <�4 � S6X': � ��X��>:�;�< :p� Y��8 :�4 � Zd<[L#: Y5V <�:1;6<�4�7 * � LN:�< 8 ] �%<>:14 8[� L b Y 4 � :�; � LU< K �64�<[L1L � Yf� : Y F H � v Q F w 89� ]�:�;�< �: Y :1;6<\LN<��JS6< � Zd<.FPH Q

��� F H � F 7 + � �D8 X'X���:�;6< 8 �6�6X � Z 8 : � Y5� L Y b ��8 :14 � Z!<[L�Q 89� ] �; 8�` <U: Y RD<�:�4 89� LpX 8 :1<[] � � : Y :�;6< 8 �6�64 Y �64 � 8 :1< X YJY �DL 89� ] ` <[Zd: Y 4 Y � <O4 8 : � Y5� Ld7- Y � X'X�SDLp:�4 8 :�<�:1;6< V 4 89� ��8 4B9$X�<�:|SDL < K �641<[L�L>:�;�< Z Yf� R � � < �6; 8 Lp< Y b�:�;6< YJY X�<����

- S 0 <��>b 8 Zd: Y 4 �'e 8 : � Y5� v C67 � w �F H su O�� ) J*' J M O v � g % ,4-

� Q g ' g -�, 0 w xy F�#;6<�41<>Q29�:�;�< R�S6:�:1<�4��,� ��8 :14 ��K 9 � L#]�< 5D� <[] 8 L

Q g '���� H v hg� � ��� w " g ' ��� 5

� :%:�;�< ; � V ;�<[LN:qX�< ` <OX � < 8 4�< 8 L�L � Vf� � �6V 89� < K �641<[L�L � Y5� : Y\8 ` <^Zd: Y 4

Page 99: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

���� 8 8 *�4%� vL����Q �*# 9

� F�� # ��������� C 9w-%;6< ` <[Zd: Y 4 � � � S6<^LN: � Yf� � L Z 8 X'X�<[]/F 8[� ] � : L � � ]�< K 4 89��V <[L3b 4 Yf� ( : Y/C J 8�� � � Lp:�<��aL Y b�.�

�� vF 9* 8 v ( 9� 9 C J 8 � w 9w

-%;6< � F�� # ��������� C � L 8 �P8 :�4 ��K � ` <^Zd: Y 4$�64 Y ]MSDZd:&�- * � � 8 vD � Q # � F 9

L����Q �*# 9w-%;6< ����Q � # ;6<O4�< � Lq:�;6<\L 89� < F 7 - 8 0 � ��V LN: Y Z 0jY b#:1;6<\]�< ` <OX Y � � < � :#L Y b 8 4D9 � <>LNS�R0�LN: � :1S6:�<�:�;�< ����Q � # 8[� ] � F � # � ������� C � � :�;6< � � � : � 8 X 8 L�L � Vf�6� < � : 8[� ] V <�:&�

� 8 8 *�4%� v�� vF 9* 8 v ( 9� 9 C J 8 � w 9w 9

- * � � 8 vD � Q�#�� F 9�� vF 9

* 8 v ( 9� 9 C J 8 � w 9w 9w 9w-%;6< ��8 :�4 �'K ;�<�4�< � L 8 ��4 Y ]�SDZ!:&�� $ " 8 v��C�� �;F C � � � 9��C�� �;F 9

Page 100: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� �

D � Q # � F 9w-%;6< ��C�� �;F C � � � � L:� 89� ] Lp:�<��aLcb 4 Yf� Q Yf� ] Y � � : Y � � � LN:1<��DL Y b � � 89� ]jL Y RD<[Z Y5� <[L� $ " 8 v� 9

* 8 v Q 9 � � 9� w 9D � Q # � F 9w-%;6<.D � Q # � F ;6<�41< � L 8 . 4 Y5� <[Z 0 <�4%�64 Y ]�SDZd: �

. $ "�� v * v C JNM � w 9 ! v C 9 C � M O w1w-%;6<�41<db Y 41<�:�;6<|Z Y5� �6X�<O:�< 8 L�L � V5�6� < � :#Lp: 8 :1< � < � : � L

� 8 8 *�4%� v�� vF 9* 8 v ( 9� 9 C J 8 � w 9w 9

- * � � 8 v� $ " 8 v� 9* 8 v Q 9 � � 9� w 9. $ "%� v * v C JNM � w 9 ! v C 9 C � M O w�w 9w 9

�� vF 9* 8 v ( 9� 9 C J 8 � w 9w 9w 9w

" � < ��Y 4�<#< K 89� ��X�< � L3:1;6<U] � V � :%41< ` <�4.L 8 X 8 �6�6X � Z 8 : � Y5� 7 -%;6< 8 L1L � V5�6� < � : 8 L ��8 :14 ��K �` <[Zd: Y 4 �64 Y ]�SaZd: � L

F H su J M ���)�� v � g3%*,�� ,4-� / g3-"�� ' g�w�xy F

89� ] Z Y 4�4�<^LN� Yf� ]�L : Y

Page 101: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

���

� � � � � � v � � v F � � " v (����5� C J 8 � w�w 9� � D � � v / z � " v ��� (M���f� Q 8 ��� � z � � v � v C JNM � M � w � / v C � 6 � � C w�w1w 9 � � v F � � " v (M���f� C J 8 � w�w�w1w 5

����������� �������������� ����������������

-%;6<U41<��#4 � : � �6V 4�S6X'<[L:9 8 L%� <�� � X�X LN<O< � < K :B9 8 4�<UR 8 LN<^] Yf��`58 4 � Y SDL%X � � < 8 4 8 X V <�R64 8 � ]�< � : � �: � <[Ld7 < Y �%< ` <�4D9M:�;6< � ]M< � : � : � <[L ] Y���Y :q; 8�` < 8 ] � 4�<[Zd: � Y5� Y b 8 ���6X � Z 8 : � Yf� 7.F ;6< � �%<|L 8 �:�; 8 : � � Q g,H v � � � g w v �

� Qqg wb Y 4 L �JS 8 41< ��8 :14 � Z!<[L � 8[� ]PQ Y b L �'e <[Lh� 8[� ] C 4�<^LN�D<[Zd: � ` <�X� 9��%<cZ 89� ]�< 5D� < 8 4�S6X'<#:�; 8 ::�4 89� L�b Y 4 � L 8 X�X � � Lp: 8[� Zd<[L Y bh:�;�<UX�<db :-��; 89� ] � L � ]�< Y bh:�;6<q<��JS 8 X � :-�>: Y :�;6<U4 � V ;�:-��; 8[� ] � L � ]�<89� ] ` � Zd< � ` <�4 L 8 7 4 Y � �6V b 4 Y5� 4 � V ;M:#: Y X�<db : � � :1;6< 8 R Y[` < < K 89� �6X�< 9 � : � � V ;�:cLN<�< � 8 L 84�<^]�SDZd: � Yf� Y 4#L � � ��X � 5 Z 8 : � Yf� 7�< Y � < ` <�4 VfY � �6V b 4 Yf� X�<db :: Y 4 � V ;�:B9 � :#Z 89�j8 X L Y � � :14 Y ]�SaZd<� <�� Y ��� Y 4�:1S � � : � <[L%b Y 4%b S�4�:�;�<�4#:�4 89� L�b Y 4 �P8 : � Yf� L!7* � 8 :1<�4 � 41<��#4 � : � ��V L-�6Lp:�< � 9�� Y S ; 8�` <\: Y ]M< 5D� <��#;�< � :�;�<�41<��#4 � :�<[L�:�<�4 � � �D8 :�< 9

� 7 <J7 95�#;6< � :�;6< < K ��4�<[L1L � Y5� :�; 8 : � L ��89� � �6S6X 8 :1<[] ; 8 L%41< 8 Z.;6<[] 89� �A?d?.B1@ A ~ �"!dk�B�#OHJ?dE 7 F{<L 8 ��:1; 8 : 8 Lp:�4 � �6V � L � � � 4�4�<^]�SDZ � R6X�<%b Y 4 � 9 � b �6Y Z.; 89��V <[L#Z 8[� R < � � :�4 Y ]MSDZd<[]�< ` < � � bh� <0 <�<�� 8 �6�6X�� � ��V :1;6< 41<��#4 � : � ��V 4�S6X'<[Ld7 * � Y S64UZ 8 LN< 9 8 LN:14 � ��V b 4 Y5� :1;6< �P8 :�4 ��K X 8[�6V S 8[V <� L � � � 4�41<[]�SDZ � R6X'< b Y 4 � � b$:1;6<Ub Y X�X Y � � �6V :1;64�<�<|Z Y5� ] � : � Y5� L%; Y XA] ��f7#:1;6<�4�< � L �6Y ��8 :�4 ��K < K ��4�<[L1L � Y5��Y :�;6<�4 :�; 8[� v C w �#;6<�41< C � L :1;6<�L ��e < Y b�:1;6<R6S�:�:�<O4��,�J7

��7 � X'X�X YJY �DL 8 41< � <[LN:1<[]�7� 7�� Y\8 L�L � Vf��� < � :#LN< � S6< � Zd<�Z Y5� : 8 � � L 8[� S ��� <[Zd<[L1L 8 4���Lp:�<�� 7

*�: � LW� Y L1L � R6X�<�b Y 4:�;6<qL 89� <#< K �641<[L�L � Yf� : Y ; 8�` < ��Y 41<%:1; 89��Y5� < � 4�41<[]�SDZ � R6X'<3b Y 4 � 9JL � � Zd<� :r]�<��D< � ]6LqS6� Yf� :�;6< Y 4.]�<�4 � � �#; � Z.; :1;6<>4�<��#4 � : � �6V 41S6X�<^L 8 4�< 8 ���6X � <[]�7 + Y 4U< K 89� ��X�<

Page 102: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

���

Z Y5� L � ]�<�4#:�;�< & � 89� ] � &\` <�4.L � Yf� L Y b:1;6< 8 : Y Z 0 ; 89� +,+�- 8 X VfY 4 � :�; � � � + � V S64�< C67 �������� ���������������������� � ����� � ��� ��� �����

-%;6< � 8 :�;6< �P8 : � Z 8 �64 Y5V 4 8[��� � �6V < �M` � 4 Yf��� < � : � L�SDLp<[]�: Y � � �6X'< � < � : 8 L Y S64.Z!< : YL Y S64.Z!<qZ Yf� � � X�<O4 :�; 8 : V < � <�4 8 :1<[LW<��PZ � < � :hZ Y ]M< b 4 Yf� :1;6<#; � V ;0�GX�< ` <OX ��8 :14 ��K ]�<^L�Zd4 � �6: � Yf�Y b,b 8 LN:#:14 8[� L b Y 4 � L!7-%;6<#<�X'< � < � : 8 4��q: YJY XAL b Y 4$R6S � XA] � �6V LNSDZ.; 8[� < ��` � 4 Yf�6� < � : 8 4�< #G?�FJI = #OHJ?!E>F.# �AHJI>? A k�B =

R 8 LN<[] Yf� C�F.# #pB!?!I�E>F.#�~ � �AI.! 7 � :�4 89� L�b Y 4 ��8 : � Yf� 4�S6X'< � L 8 41S6X�<�:�; 8 : ]�<[L�Z!4 � RD<[L%; Y � : YZ.; 89�6V <�< K ��4�<[L1L � Y5� L b 4 Y5� Yf� <�b Y 4 � : Y 89��Y :�;�<�4�7 � 4�S�X�<�; 8 L 8 X�<!b :��G; 89� ] L � ]�<�:�; 8 :Z Y5� : 8 � � L � 8 :1:�<�4 � L 8[� ] 8 4 � V ;�:-��; 8[� ]�L � ]�< :�; 8 :�Z Y5� : 8 � � L :�;6<j] � 4�<[Z!: � Y5� L Y b��#; 8 :�: Y] Y � � :1; :1;6<\< K ��4�<[L1L � Y5� LU:�; 8 : ��8 : Z ;6<^] :�;�<�X'<db :��G; 89� ] L � ]�<J7 � � 8 :�:1<�4 � � L 8 Z!X 8 L1L Y b< K �64�<^L�L � Yf� L%:1; 8 :q; 8�` <U:1;6<|L 89� < Lp:�41SDZd:�S�4�<J7

� 8 :1;6< ��8 : � Z 8 ; 8 L ��8[� � 0 � � ]�L Y bqR�S � X':�� � � :�4 8[� L b Y 4 ��8 : � Yf� 4�S6X'<[L�b Y 4 8 4 � :1; � <�: � Z 9L � � �6X � b � � �6V�8 X V <�R64 8 � Z�< K �641<[L�L � Y5� L:9 89� ] ] � � <O4�< � : � 8 : � Yf� 7 � Y 41< Y[` <�4 � : 8 X�X Y �qLL� Y S : Y]�< 5a� <$� Y S64 Y � � 41S6X�<^L b Y 4 ��8[� � �6S�X 8 : � �6V|� <�� b S � Zd: � Y5� L 8[� ] Y R���<[Z!:.Ld7F ;6< � � 8 :�;�< ��8 : � Z 8 < `f8 X�S 8 :�<[L 89� < K �64�<[L1L � Yf� 9 � : VfY <[L Yf�>8 �6�6X� � �6V :14 8[� L b Y 4 ��8 : � Y5�4�S�X�<[L%S � : � X � :qZ 89� 5D� ] �6Y>��Y 4�<U41S6X�<[L%: Y�8 �6�6X�J7-%;6< ��89� S 8 X Y b � 8 :1;6< ��8 : � Z 8 � F Y X ����� � L `f8[V S6< Yf� :�;6< Y 4 ]�<�4 Y 4 4�S6X'< 8 �6�6X � Z 8 : � Yf� L!7F ;6< � � Y S V � ` < 8 LN<��JS6< � Z!< Y b�:14 8[� L b Y 4 ��8 : � Y5� 4�S6X'<[L:9 � 8 :�;6< �P8 : � Z 8�8 4-�4 89�6V <[L�:�;�< � L Y :1; 8 :�:�;�< ��Y LN: LN�D<[Z � 5 Z 41S6X�<[LqZ Y5� < 5 4.Lp:�76-%;�< � 9��#;6< � � ::14 � <^L : Y 8 �6�6X� :�;�<%4�S�X�<[L 9 � :$:1<[LN: LW:�;�< � � �>Y 4 ]�<�4O7,* b 8 LN�D<[Z � 5 Z341S6X�<q] Y <[L 8 ����6X� 9f:1;6< � � : � LhSDLN<[] � Y5� X�� � b ��Yf� < Y b :�;�<qLN�D<[Z � 5 Z341S6X�<[L 8 �6�6X� � � X�XM:�;6<#X 8 :�<O4D9��Y 4�< V < � <�4 8 X 9D4�S6X'<[L#R <|SDLN<^]�76* b � 8 :�;6< �P8 : � Z 8 Z 8[�6�6Y : ]�<[Z � ]�<|�#;6<�:�;�<�4 8� <O� 4�S6X'< � L � Y 4�< Y 4 X�<[L1LLN�D<[Z � 5 Z�:�; 89� :1;6< Y5� <[L � : 8 X�41< 8 ]0� 0M�6Y �qL:9 � : �6S6:.L:1;6< � <�� 4�S6X'< 8 : :1;6<�< � ] Y bq:1;6<\X � Lp:�7 v 7�7�7 w -%;6< Y 4.]M<�4 � � �#; � Z ; � 8 :1;6< �

Page 103: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

��(

b S � Z!: � Y5� K H & � � 8 : Y Z 0 ; 89� v F 9 C 9 Q wb Y 4 � H �9��Q� H C � � # H C JNM � � ��� H � ��C � # � H C # � ( H ] � 8[V v " g ' ��� w�H�Fb Y 4 8 X�X & H ( � ��� 8 �b Y 4 8 X'X � H ( ��#�8 �F v � � & # � C JNM O � � � & # � C J M O v C 8 � w�w H g�&'&�&

v ( v & � ��� � & � ��� v C 8 � w1w��� v � � & # � C JNM O � � � & # � C JNM O v C 8(� w�w< � ]< � ]< � ]

b S � Z!: � Y5� K H � & � 8 : Y Z 0 ; 89� v F 9 C 9 Q wb Y 4 � H �9��Q� H C � � # H C JNM � � � � H � ��C � # � H C # � ( H ] � 8[V v " g ' � � wb Y 4 8 X�X �,H ( ��#�8 �

�H F v � � # � � � # v � 8 � w�wb Y 4 8 X'X & H ( � ��� 8 �F v � � & # � C JNM O � � � # v � 8 � w1w H�hg�&�&�&v ( v & � ��� � & � ��� v C 8 � w1w��

� v & C � v & � � w C 8 � w1w< � ]< � ]< � ]+ � V S�4�< C67 �1� �<�4.L � Y5� L & � 8[� ] � &�Y b,:�;6< 8 : Y Z 0 ; 89� +,+,- 8 X VfY 4 � :�; � 7

Page 104: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

�0���8 : � Z 8 �6S�:.L%:�;�< 41S6X�<^L#] Y <[L �6Y : ]�<��D< � ] Y5� :�;�< Y 4.]�<O4 � � �#; � Z.; � Y S :-���D<� :�;6< � ��7

� 4�S6X'< � L%< K �64�<[L1LN<[] 8 L 8 b S � Zd: � Yf� 7 + Y 4#< K 8[� �6X�<������ � � � � ��� � L%:�;6<|]�< 5D� � �: � Yf��Y b 8 b S � Zd: � Yf� :1; 8 :q] Y S6R6X'<[L3:1;6< `58 X�S6< Y b � : L%L � �6V X'< 8 4 V S � < � : 89� ]�:�;�< � LpS6R6:14 8 Z!:.LYf� <�b 4 Y5� :1;6<���4 Y ]�SDZ!:�7�-%;6< S � ]�<�4 L�Z Y 4�< 8 b :�<�4�:1;6< �D8[� < Y bq:�;6< `58 4 � 8 R�X�< � Yf� :1;6<X�<!b :��G; 89� ]\L � ]�< Y b :�;6<q4�S�X�<q]�<[Z!X 8 41<[L � 8 L$:1;6< b 41<�< `58 4 � 8 R�X�<#:�; 8 : Z 89� R��\LNS6RDLp: � :�S6:1<[] R��89� �M:�; � �6V 7�� 8 4 � 8 R6X'< � � L#:�;6< L � � �6X�<[Lp:#� 8 :1:�<�4 � � Y L1L � R6X�<>:1; 8 :�Lp: 8[� ]6L b Y 4U< ` <�4 ��:1; � �6V 7� Zd:1S 8 X'X�� 8 L � �6V X�<%S � ]�<�4 L�Z Y 4�< � Lh:�;6<cL � � �6X�<[Lp: � 8 :1:�<�4 � � � :1; �6Y��D89� < 7�F{< �a89� < 8 � 8 :-�:�<O4 � L Y � <UZ 89� 41<db <�4$: Y :�;�<�< K �641<[L�L � Yf� :�; 8 : � L ��8 :.Z.;6<[] 8 :%:1;6<q4 � V ;�:; 8[� ]�L � ]�< Y b :1;6<4�S�X�< 9 Y 4 � ��Y 4 ]�<�4q: Y ]�< 5D� < 8>��Y 41<�Z Y5� �6X�< K � 8 :1:�<�4 � � � :1;jZ Yf� Lp:�4 8 � � :.L!7 + Y 4�< K 89� �6X�< 9:�;�<U� 8 :1:�<�4 � ��� � � � � 9 � L Y5� X�� ��8 :.Z.;6<[] � � :1;�< K �64�<^L�L � Yf� L� � :1; � ]�< � : � Z 8 X 8 4 V S � < � :.LX � 0 <������ �� Y 4���� � � � �>R6S6: ��Y :#� � :1;������������ RD<[Z 8 SDLp< � bh:�;6< 5 4.Lp: � V <�:.L � � Lp: 89� : � 8 :1<[]� � :1;��@9 :�;6<\Lp<[Z Yf� ] ��Z 8[�6�6Y : V <�: � � Lp: 89� : � 8 :1<[] � � :�;���7 � RD<�X L Y5� 8[� ] 8 SDL1L ��8[� Y � <O4L Y5� <��64 8 Zd: � Z 8 X � � b Y 4 �P8 : � Yf�jYf� � 8 :�:�<O4 � �P8 :.Z.; � �6V\89� ] S � � 5 Z 8 : � Yf� � � 8 ������7�� Y S{Z 8[�:�; � �@0�Y b 8 � 8 :�:1<�4 �{8 L 8 :1< � �6X 8 :�<��#;6<O4�< :1;6<�= V 8 �DL ? Y 4 =1R6X 8[�@0 L ? Y 4 =1; Y X'<[L ?�Z 89� RD<5 X'X�<[]�� � :�; 8 41R � :14 8 4 � < K �641<[L�L � Yf� Ld76< Y � < ` <�4B96:�;6<�41< 8 4�< ��4 Y[` � L � Yf� L�:1; 8 : 8 X�X Y ��� Y S�: Y4�<^LN:�4 � Zd: :�;6<�� Y L1L � R6X�< LNS6RDLp: � :�S6: � Yf� L Y b 8 � 8 :1:�<�4 � 9

� 8[� ��< K �641<[L�L � Y5� 9� � 8[� ��< K �641<[L�L � Y5� : Y RD< �D8[� <[] F 9� � � � 8[� � LNS � ��8 : � Yf�>Y bh:�<�4 � L$: Y R < �D89� <^] ��F�:1;6< 5 4 LN: Yf� < 8[� ] � :�;6< 4�<[Lp:Y b$:1;6<�:�<�4 � L:9� � � 89� ���64 Y ]�SDZd: Y bq:1<�4 � L : Y RD< �a89� <[] �<F :1;6< 5 4.LN: Y5� < 8[� ] �

:�;6<\4�<[Lp: Y b:1;6<�:�<�4 � L:9

Page 105: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

���

Y 4q< ` < � ]�< 5D� <|]�<!b 8 S6X': `f8 X�S6<^L;�� � � � � :1;6<|]�<db 8 S6X�:%b Y 4 � � L&(� � � � :�;6<|]�<!b 8 S6X':%b Y 4 � � L �� � � � � :1;6<|]�<db 8 S6X�:%b Y 4 � � L �F <|SDLN<�:1;6< :14 89� L b Y 4 ��8 : � Y5� 41S6X�<^L%: Y < K ��4�<[L1L ��8 :�;6< ��8 : � Z 8 X64�<�X 8 : � Yf� L � � Y 4.]�<O4�: Y

L � � �6X � b � 8 X V <�R�4 8 � Z < K �641<[L�L � Yf� Ld7"+ Y 4\< K 89� ��X�< 9$:1;6<�4�S6X'<[L :1; 8 : L � � �6X � b ��:�4 89� Lp� Y LN<^]��8 :�4 �'K < K �641<[L�L � Y5� L 8 41< ���������� ��� ��������������� ������������� �� ����������������� �!"��� ���$#%�&���������� �(')�������������*')������������� ��+ ��������,�������� �!+"��� ��,&���������� ���-'/.�0&�1�2���� 3�����4� ���-'/.�0&�1�2���������"�23��1� ���������"�2�������������� ����5�+ ��6&�)�7'/+�8 ��9&�)�;:��)�;<=���>�?.&�����@������&5�+ ��6>�A'/+�8 �(<B�DCE:B��9��1�F���������"�2.������������� ��G��5�� ���&�)� 3&�����4���HG��&5�� �2�������&��"�2���>� �������&��"�23����

-%;6<�4�S6X'<[L#]�<[L1Zd4 � RD< :1;6<��%<�X'X � 0���Y � � � ]�< � : � : � <[L �g H hg/ � ' g H / ' 0 g� �g H � g

" �g ' � H " g ' �v � Q w � H Q � � �

su J��) O � � xy � H O��) J ' JNM O ����v � � Q w � H ��� � Q � 5

* � V < � <�4 8 X 964�S6X'<[L%Z Y5� < � � :1;6<Ub Y 4 �� 8 :�:�<O4 � � H 4�<���X 8 Z!< � < � :�� `58 X�S�<

Page 106: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� �89� ] :�;6<^LN<{:�4 8[� L b Y 4 ��8 : � Yf� 4�S6X'<[L 8 4�< 8 �6�6X � <[] 8 S�: Yf�P8 : � Z 8 X'X��J7 < Y � < ` <�4D9 V � ` < � :1;6<b S e�eO� � <[L1L Y b�:1;6<��64 � Y 4 � : � <[L :�; 8 : � 8 :�;�< ��8 : � Z 8j8 L1L � V5� L�: Y 41S6X�<[L 9 � : � L ��Y 4�< �D< KM� R�X�<: Y\�D8[� < 8 4�S�X�<�SDL � �6V :�;6<Ub Y 4 �

41S6X�<>� �D8[� <3H�� 8 :�:1<�4 � � H 4�<O�6X 8 Zd< � < � :�� `58 X'S6<89� ] X 8 :�<�4-� Y5�j8 �6�6X��:�;6< �D8[� <[]�41S6X�< 8 : 8[� < K �641<[L�L � Yf��` � 8 :�;6<Ub Y 4 �

< K �64�<^L�L � Yf� � 5 41S6X�<>� �D8[� <8 � � Zd< ��8 :1;6< ��8 : � Z 8 X � ]�< � : � : � <^L ] Y �6Y :�; 8^` < 8 ] � 41<[Zd: � Yf� Y b 8 �6�6X � Z 8 : � Y5� 93:1;6< 8 R Y[` <L�Z.;6< � <#� <O4 � � :.L$:�;6<|]�< 5D� � : � Y5��Y b 89� � ]M< � : � :-� 8 L 8 � 8 � 4 Y b$41S6X�<^L3:�; 8 : Yf� < S � ] Y <[L%:1;6<4�<^LNS6X': Y b :�;�< Y :�;6<O4�7 ! � �a89� � �6V :1;6<�4�S6X'<[L 8[� ] SDL � �6V :�;6< � 8 Z�Z Y 4 ] � ��V X�� 9$�%< 8�`JY � ]b 8 X'X � �6V � � : Y\8[� � � 5D� � :�<�X YJY � 7 + Y 4#< K 89� �6X'< 9 Yf� < � � V ;M:#]�< 5D� <U:1;6<|L � � �6X � 5 Z 8 : � Y5��-'/.�0�>�2G��&5�� � ' ����� ���1� �"�����������>� G��&5�� �2�"����� ���1�;' �������������4� ��G��&5��"�2�"����� �>��� ���������

" � :1;6< Y :1;6<�4q; 89� ] 9 � �j8 � S6X': � ] � � < � L � Y5�D8 X LN<O:�: � �6V 96:1;6<�4�S6X'<G��5��"�2� ����� �>� �"����������� � �-' .�0&�1�2G��5��"� ')�����%���>��� �����������1� G��5��"�2� �����%���>� ')�������������

:�4 89� L�b Y 4 � L 8 � � ] � � < � L � Yf�D8 X +,+,- � � : Y 8 Lp<��JS6< � Zd< Y b Yf� < ] � � < � L � Yf�D8 X +,+,-#L!78 SDZ.; 8 ]�< 5D� � : � Yf� � � :�4 Y ]�SDZd<[L 89� � � 5D� � :�<>X YJY � 7 ! � V � ` � ��V �a89� <[L#: Y 41S6X�<[L 8[� ]_:1;�SaLZ Y5� :14 Y X'X � �6V �#;6< � :�;�<�� 8 41< 8 �6�6X � <[]�41<[L Y X ` <[L:�; � L%�64 Y R6X�< � 7F <|]�< 5D� <�:�;6<�:14 89� L b Y 4 ��8 : � Y5� 41S6X�<^L%SDL � �6V :1;6<Ub Y 4 �

41S6X�<>� �D8[� <3H�� 8 :�:1<�4 � ��� 4�<O�6X 8 Zd< � < � :�� `58 X'S6<RD<[Z 8 SDLN<>:1; � L � L�:1;6< � 8 � : Y LN<O: 8 ]M<�X 8 �J<[]j]�< 5D� � : � Yf� 9D:�; 8 : � L 9 :1;6< 4 � V ;�:q; 89� ] L � ]�< Y b:�;�< 41S6X�< � L �6Y :#< `58 X�S 8 :�<[]�S � : � X :�;6< ��Y5� < � : Y b,:�;6< 8 �6�6X � Z 8 : � Y5� Y b:�;�< 41S6X�< 7-%;6<|L�Z.;6< � <

< K �64�<[L1L � Yf� � � 5 4�S6X'< � �a89� <[L

Page 107: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� C

VfY <^L Yf� : Y :14�� � �6V : Y�8 �6��X���:1;6< 41S6X�<[L � � Y 4.]�<�4B9 S � : � X �6Y5� < Y b:�;6< � 8 �6��X�� 89� � ��Y 41<J7-%;MSDL R0� �D8[� � �6Vj8[� ] V 4 Y S6� � �6V :1;6<�41S6X�<[L 9 Yf� <PZ 89� ]�< 5a� <�=.Lp:�4 8 :�< V � <^L ?��MLp<��JS6< � Zd<^LY bq41S6X�<^L���:1; 8 : Z 89� RD< 8 ���6X � <[]_: Y < K �641<[L�L � Yf� L : Y 4�< 8 Z ; 8 ]M<[L � 4�<[]�4�<[LpS6X�:O7 F � :1; :1;6<�D8[� <[] 41S6X�<^L 89� ]\Z Y5� :14 Y X'X�<[]�4�S6X'< 8 �6��X � Z 8 : � Yf� � < 8 XAL Y|8^`JY � ] 8[�6Y :1;6<�4 L � :�S 8 : � Y5� 7 F ;�< �89� < K �64�<^L�L � Yf� Z Y5� : 8 � � L � <[LN:1<[] Y R���<^Zd:.L�X � 0 < ��� � ������� 9 � 8 :1;6< ��8 : � Z 8�8 X�� 8 ��LU:�4 � <[L�: Y8 ���6X��\:�;6<q4�S�X�<[L 8 L�L Y Z � 8 :�<[]\� � :�; :�;6< � �6� <�4 ��Y Lp: Y R���<^Zd:.L!7 < Y �%< ` <�4B9^b Y 4 Y S64 8 �6��4 YJ8 Z ; 989�jY S6:1<�4#: Y � ��� <�4%41<[]�SDZ!: � Y5��Y 4 8 � ��K <[]>4�<[]�SaZd: � Yf� � L%�641<db <�4 8 R6X'<J7+ � �a8 X�X���%<|Z 8[� 41<[LN:14 � Z!:#:�;6< 8 �6�6X � Z 8 : � Yf��Y b 8 :�4 8[� L b Y 4 ��8 : � Yf� 4�S6X'< 96< K Zd<��6:#R���:1;6<

LN:14 � Zd:#� 8 :1:�<�4 � LN�D<[Z � 5 Z 8 : � Y5� 96R0� 8 ]�] � �6V 8 Z Yf� ] � : � Yf� 7 -%;�<rb Y 4 � � L� 8 :1:�<�4 � ��� 41<��6X 8 Zd< � < � :-� `58 X'S6< � Z Yf� ] � : � Yf�

:�; 8 : � < 89� L =.Z.; 8[�6V < � 8 :1:�<�4 � � � :�;�:�;�<341<��6X 8 Zd< � < � :-� `58 X�S6<h�#;6< � < ` <�4 Z Y5� ] � : � Y5� ; Y X ]6L ?M7+ Y 4U< K 8[� �6X�< :�;6< ��8 :�4 ��K :14 89� LN� Y Lp<�41S6X�<|�%< V 8�` <>R <!b Y 4�<�b Y 4U:1;6<\LN:14 � ]�< �D<�4 � S6: 8 : � Yf���8 :�4 �'K�� L#L 8 b <�4 8 L��������� �� ����������������� �!"��� ���$#%�&�����7.��1��� ���&� ��� �

��������� � �,=��7��� ? � ��� 9 �<;>=��@? ��� =�9 � �9 ���<�<�41< 8 41<�:1;6< �P8 � Y 4$41S6X�<^L:9JR 8 Lp<[] Y5����8 :�4 ��K � ]�< � : � : � <^L � ��`JY X ` � �6V :�;6< . 4 Y5� <[Z 0 <�4$�64 Y ] �SDZd:B96:�;6<|Lp:�4 � ]�<��D<�4 � S6: 8 : � Yf����8 :�4 ��K 89� ]jZ Yf� � � X�<O43:1<[Z.; � � �JS6<[L:�; 8 :�:14 8[� L b Y 4 � 8 �P8 �:�4 ��K < K �641<[L�L � Yf� � � : Y <��PZ � < � :�Z Y ]M<�Z Yf� L � Lp: � �6V Y5� X�� Y bqX YJY �DL 8[� ] 8 L�L � V5�6� < � :|LN: 8 :�< �� < � :.L!7��� � 8 :�4 ��K � � 8 :�4 �'K � �<[Zd: Y 4 � S6X': � �6X � Z 8 : � Yf� �#�D<O: � 8[� ] Q :p� Y L �JS 8 4�< ��8 :�4 � Zd<[L 9f:�;�< �

:1;6< 8 L�L � V5�6� < � : � H � Q F�Z 89� RD< �#4 � :1:�< �j8 L 8 LN< � S6< � Zd< Y b 8 L1L � ��Vf� < � :.L�H�Q F

�H �

Page 108: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

���

<�<O4�<#�%< 8 L1LNS � <�:1; 8 : R Y :�; �P8 :�4 � Zd<^L 8 4�<�L � S 8 4�<J7�-%;6<U41<�� S � 4�<^] � 8 :1:�<�4 ����8 :.Z.;0�� �6V 4�S6X'< � L V � ` < � R�� �

� � � � � � ���� � � D � � � � � � � D � � �������7� � ��� H� � + � � � � � � � ���� � � D � � �������:� ���� � � � � � ���� � � D � � � � ��� � � ��#;6<O4�<�:�;6< � :�< � L � � R Y XA]Pb 8 Zd< 8 41< � 8 :�:1<�4 ��`58 4 � 8 R6X�<[L 89� ]P:1;6<�4�<[Lp: 8 4�<�X � :�<�4 8 X Ld7

��� �$4 Y ]MSDZd:&� -%;6<�< K �64�<^L�L � Yf� F H v 6��� ) � 0 � � w F Z 89� RD< :14 8[� L b Y 4 � <[]�: Y

�� ���� � � ��� � �� � F H � � F� �� �� ��

� Y :�<U:1;6<UX YJY �0� � � ]M< K 4�< ` <�4.L 8 X 9 � ��Y 4 ]�<�4#: Y\8 L�L Y Z � 8 :�< :1;6< � S6X�: � �6X � Z 8 : � Yf� LW: Y :1;6<4 � V ;M: 89� ]�:�;MSDL ; 8^` < 8 LN<��JS6< � Zd< Y b ��8 :�4 ��K � ` <[Z!: Y 4��64 Y ]�SDZd: Ld7&-%; � L :14 89� L b Y 4-���8 : � Yf� 41S6X�< � L 8_V < � <�4 8 X ��e 8 : � Y5� Y b :�;�< � 8 :�4 ��K � � 8 :�4 �'K � �<[Zd: Y 4 � S�X�: � �6X � Z 8 : � Y5�41S6X�<J7

� � � ����� ���� � � D � � � / z � " ���$� � " � � � f� � �����'�G��� � � � H� ��� / ���$� � " � �N� 8 J� ���G� � � � � � � ���� � � D � � � � ��� � � �

���'$#< � � ]�< KM� �6V � 8 S6�6� Y Lp<�� <>; 8�` < 8�` <[Zd: Y 4 � H F v�� O � � O �� O w �#;6<�41< � O � � O � O 8 41<8 X V <OR64 8 � Z�< K �64�<[L1L � Yf� L>]�< �6Y : � �6V :�;6< 5 4 LN: � � ]M< K � O 9:�;6<jLN:1<�� � O 89� ] :�;�< X 8 Lp:� � ]�< K �O!7 � � �\LNS�R ` <[Z!: Y 4��EH

�Dv � � � � � � � w Z 89� RD<U< K �64�<^L�LN<^] 8 L 8 LpS6R ` <[Zd: Y 4 Y b:1;6< Y 4 � V � �a8 X ` <[Zd: Y 46F 8 L!�EH�F v � O � � � � O � � O � � � � O � � � O w 7,-%;6< Z Y 414�<[Lp� Yf� ] � �6V41S6X�< � L;�z � ��� " � � � � ���� � " � � �6� ��D� � ��� �G� � " � �" � # � � ;� � � H

� � ���� � " � � � � �"%$ ��D� ��&$ # � � � � � %$ � � �

Page 109: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

������ � � � � �D<�:�� �\RD< 8 L � S 8 4�< ��8 :14 ��K Y b,L ��e <q� 89� ]�:p� Y�` <[Zd: Y 4.L6F 89� ] � Y bhX'< �6V :1;

C � � :�; C H �6��7 -%;6< � :�;�<>Z Y ]�<>:1; 8 : � � �6X�< � < � :.L:�;6< ��8 :14 ��K ` <[Zd: Y 4#�64 Y ]MSDZd:F@H v � �

� � w � �#;6<�4�< F � � 8 4�< ` <[Zd: Y 4 L Y b X�< �6V :�; C 9 � L;�9 �����&<�<����>��,�C �� � ��%� � � �� ����� ��C ��� ���&�=��� � � �� � � � �� ����� �EC ���

� � �9���

� Y 4�< Y[` <�4B96:�; � L X YJY �{Z 8[� RD< < K <[ZdS�:�<[] � � � 8 4 8 X'X�<�XG7 -%;6<>Z Y 4�41<[LN� Y5� ] � ��V � 8 :1:�<�4 ���8 :.Z.; � ��V 4�S�X�< � L;�

� � � � � � ���� � � D � � � � z � � � � ��� �G� � �����:� �����v 1.H C �O( ��� � � C�� �;F v w �

� �EH�� ��� � � � � �C �O( � � F H � " � 1&$ � �6���5� v 1�� � w $ � �98 � � �/ � z � � � � � � 1D� � " � (M���f��� 8 � ���� � � ����� � z � � � " � ���� C �O( � � F ���

� � D � � � � � z � ��� " � ���%� C �O( � � F � � � � w��� � � � � 8 � � � X 8 41X�� 9f:1;6<|Z Y ]�< � � �6X'< � < � : � �6V F H v � � � �! w F � L;�

9 �����&<�<����>����C �� � >��� ����=��� � ,�C ����� ���&�=,�� � � 1��� ���� � � � ,�C �����

� � �9���

-%;6<�� 8 :�:1<�4 �j��8 : Z ; � �6V 4�S6X'< � L� � � ��� � ���� � � D � � � � z � � � � � � � � � �G� � � ���%� ��� � � � � ���

v 1EH C �O( ��� � � C�� �;F v w ��#�.H�� ��� � � D � �

Page 110: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� �

C �O( � � F H � " � 1D�.��� 1 � � $ v � ��8 � w � �/ � z � � � � � � 1D� � " � (��'�f�.� 8(� �G�� � � � � � � z � ��� " � � F � C ��( � � F ���� � D � � ��D � z � � � " � � � � �

�� � � F ��� C ��( � � F � � � � w

! Y :�;\4�S6X'<[L 8 41<U] � 4�<^Zd:$Z Yf� Lp<�� S�< � Zd<[L Y bh:�;�< . 4 Yf� <^Z 0 <�4 �$4 Y ]�SaZd:%�64 Y �D<�41:�� LN; Y � �� � v �f7 � w 7

$#S6X�<[L ��� � ����� 41<��JS � 41< ` <�4�� Z Y5� �6X � Z 8 :1<[]>� 8 :1:�<�4 � L 8[� ] :1;6<�� 8 4�< 8 ���6X � <[]�Z Yf� ] � : � Yf� �8 X'X��J7 * � Y 4.]�<O4 : Yj� < � : 8 � �{8 ; � V ; X'< ` <�X Y b �64�<[Lp< � : 8 : � Y5� 9W� < Y5� X��{�64 Y[` � ]�< 8 L � � ��X�<Z Y5� Zd<��6:1S 8 X ]�<[L�Z!4 � ��: � Y5� Y b#:�;�< 4�S�X�<[L�;�<�4�<J7 + Y 4 :1;6<>< K 8 Zd: � � �6X�< � < � : 8 : � Y5��Y b 8 4�S�X�< 9LN<O< � �6�D< � ] �'K ! �#;6<�41< :1;6<|Z Yf� �6X�<�:1<UL Y S64 Zd<|Z Y ]�< Y b,:�;6<�4�S�X�<[L � L%X � Lp:�<[] 7��� 8 :�4 � ]�< �W<O4 � S6: 8 : � Y5� � 4 � ` < � :1; 8 : C H�����9�:�;�< 8 :�4 � ]�< �W<O4 � S6: 8 : � Y5� F@H / g ' � F � L

<��JS � `f8 X�< � :%: Y :�;6<Ub Y X�X Y � � �6V 4�< � � ]�< KM� ��V � � :1;�:�;6< 8 L1L � LN: 8[� Zd< Y b 8 X YJY � �� � �9 �����&<�<����>��,�C �� � ��%� � � �� ����� ��C ��� � � � 1��, � �� � �EC ����� , �

� � �9���

� � 8 X':�<�4 �D8 :1<>� 8 ��: Y :14 89� L b Y 4 � :1;6< LN:�4 � ]�<>�D<�4 � S�: 8 : � Y5� � LU:�;6</=.]MS 8 X ? : Y :1;6<8 R Y[` <�X YJY � �� � �9 �����&<�<����>����C �� � >��� ����=��� � ,�C ����� � � � �� , � � �� ����� ,EC ���

� � �9���

-%;6<^LN<>X YJY �DL�Z 89� RD<>< K <[ZdS6:1<[] � � � 8 4 8 X�X'<�X�7�� Y :�< :1; 8 :�:1;6< 8 :�4 � ]�<��h<�4 � S6: 8 : � Yf�41S6X�<[L 8 41<�:�;6< Yf� X��:14 89� L b Y 4 ��8 : � Y5� L :1; 8 :�41<�� S � 4�<�:1< � � Y 4 8 4�� ` <[Z!: Y 4\Lp: Y 4 89V < 9:1;6<�:14 8[� L b Y 4 ��8 : � Y5� Z 8[�6�6Y :|RD<�] Yf� < � � �6X 8 Zd<J7 * � 8 ]6] � : � Yf� : Y :�;�< 8 R Y[` <�:p� Y

Page 111: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

���

:14 89� L b Y 4 ��8 : � Y5� 41S6X�<[L 9J�%<q; 8�` <�:1;6< V < � <�4 8 X � � ]�< K :14 8[� L b Y 4 ��8 : � Y5� :�; 8 : � LR 8 Lp<[]Y5� :�;�<rb Y X�X Y � � �6V X�< ����8 � *Gb � H

/ g ' � F�:�;6< ��Dv & w HGF v1v &���Y ] v C�� � w�w $ � ��� & � v C�� � w��9w v C�7�� � w

-%; � L3b Y 4 � S6X 8 � L3SaLN<db S6X � ��8 L � :1S 8 : � Yf� X � 0 <q:�;�<�b Y X'X Y � � �6V �#;6<�41< 8 LN:14 � ]M<U�D<�4 � S0�: 8 : � Yf� � L 8 ] � 8 Zd< � :#: Y\8 � 8 4 8 X'X�<�X X YJY � �� �� � � ��, � �9 �����&<�<��E: � � � ���=��� �� � �&:�:�������� � �������� � � � � ��� ���� � ������ ��� � � :�� �

� � �9���

:1; 8 : Z 89� RD<�:�4 89� L�b Y 4 � <[] � � : Y� � �9 �����&<�<��E: � � � ���=��� �� � � � � � � � � � � �� � �&:�:�������� � �������� � � � � ��� ���� � ������ ��� � � :�� �

� � �9���

Y5� X��j�#;6< ��� � � � Z 8[� R <\]M<�:�<�4 � � � <[]�SDL � �6V v C�7�� � w 7 -%; � L � L 8 � Y :�< � : � 8 X'X���] � ���ZdS�X�:#Z 8 XAZ!S6X 8 : � Y5� : Y ; 89� ]MX�< 8 S6: Yf��8 : � Z 8 X'X��>�#;6< � 8 X'X Y �D<�4 89� ]�L 8 41< L-� � R Y X � Zf7 * �:1;6<|ZdS64�41< � : � � �6X'< � < � : 8 : � Yf�\Y b Y S64 L���LN:1< � 9�� < ; 8[� ]�X'< :1; � L#�64 Y R6X'< � SDL � �6V�8[�� ]�< � : � :-��X YJY 0 �GS6��: 8 R6X'<J7 + Y 4:�;�<�� 8 �>:1; � L � L � � �6X'< � < � :1<[]U�6X�< 8 LN< LN<�<q:�;�<UL Y S64 Zd<Z Y ]M< � � � �6�D< � ] �'K ! 7

��� F{< � V ;M: � S6X�: � �6X � Z 8 : � Yf� ��-%;�<��%< � V ;M: � S6X�: � �6X � Z 8 : � Yf� F H " F�Z 89� RD<{�#4 � :1:�< �8 L 8 L 89� <�X'< � < � :��G� � Lp< � S6X': � ��X � Z 8 : � Y5��Y b:1;6<>Z Y 4�41<[LN� Y5� ] � ��V �%< � V ;M:.Lq( v �#;6<�41<( H ] � ��� v " w�w 9q:�; 8 : � L@F H ( 5 $.F 7 8 � � � X 8 41X��{: Y :�;6< 8 :�4 � ]�< �h<�4 � S6: 8 : � Yf�:14 89� L b Y 4 ��8 : � Y5� 9$:�;6<�� < � V ;�: � S6X�: � �6X � Z 8 : � Y5� Z 89� RD<�=1�6SDLN;�<[]@? � � : Y�8 � 8 4 8 X�X'<�X�XX YJY � 7

Page 112: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

���

��� � YJY �/* � :1<�4.Z.; 89��V < ��-%� Y\� <[LN:1<[]�� 8 4 8 X'X�<�X X YJY �aLUZ 89� RD< � � :1<�4.Z.; 8[�6V <[] 7��� � YJY ��� Y � � �4-%� Y � 8 4 8 X�X'<�XUX YJY �DL�b Y 4 � � ��V 8 LN< � S6< � Zd<�Z 89� R < � Y � � <^] � � : Y Y5� <

� 8 4 8 X�X�<OX�X YJY � ��� :�;�<�� ; 8�` < :�;�<�L 8[� < 4 89�6V < 89� ]�:1;6< � 4�R Y ] � <[L 8 L�L � V5� : Y :1;6<L 89� < `58 4 � 8 R6X�<�� � :�;�:�;6<|L 89� < � � ]�< K b S � Zd: � Yf� � 7 <J7 �

9 �����&<�<��E: � � � ���=��� �� � � � � �*: �=� � C�� ���� ��&C �=� �C&:� �

� � �9���9 �����&<�<��E: � � � ���=��� �� � � � � �*: �=� � C����� � ��C������� �C � � �CE:� �

� � �9���

Z 8[� R <|:�4 89� L�b Y 4 � <[] � � : Y9 �����&<�<��E: � � � ���=��� �� � � � � �*: �=� � C�� ���� ��&C �=� �C&:� �� � � � � �*: �=� � C����� � ��C������� �C � � �CE:� �

� � �9���

-%;6< � � ]�< K b S � Zd: � Yf��� � ��; 8 Lr: Y R < � ]�< � : � Z 8 Xh: Y R Y :�; 8 L�L � V5�6� < � :.L!7 -%;6<>4 � V ;M:; 8[� ] L � ]�<^L Y b,:�;6< 8 L1L � Vf�6� < � : L#Z 89�6��Y : Z Yf� : 8 � � 4�<db <O4�< � Z!<[L3: Y>` <[Zd: Y 4 ��7

����� � Y � � � L1L � Vf�6� < � : L;� -%; � L � L :1;6<q4�< ` <�4 LN< 4�S6X'<�: Y � 8 :14 �'K � � 8 :14 ��K � �3<^Zd: Y 4 � S6X�: � �6X � �Z 8 : � Yf� 4�S6X'<J7 -%; 8 : � L:9�:1;6<|LN<��JS6< � Zd< Y b 8 L�L � V5�6� < � :.L �� ���� ��9 � � �

Z 8[� R < LNS6RaLN: � :�S6:1<[]�R0� :�;6<|L � �6V X'< 8 L�L � V5�6� < � : � � � ��� � 7-%;6<[Lp< 8 41< :�;�< ��8 � Y 4>:1<�4 � 41<��#4 � : � ��V 41S6X�<[L!7 � 8[� � ��Y 4�< � � ��Y 4\4�S6X'<[L ; 89� ]�X'< :1;6<8 S�: Yf�P8 : � Z � � ]M< K 8[� ] `58 4 � 8 R�X�< �D89� < V < � <�4 8 : � Y5� 9�L � � �6X � 5 Z 8 : � Yf��Y b>X � � < 8 4 8 X V <�R64 8< K �64�<^L�L � Yf� L v b Y 4#< K 8[� �6X'<#:�4 8[� LN� Y L � : � Y5� Y b 8 ��4 Y ]�SDZ!: Y b ��8 :14 � Z!<[L w 9 � � ]M< K Y �D<�4 8 : � Y5� L89� ] Y :1;6<�4qLp<[Z Yf� ] 8 4 � : 8 L 0 L!7

Page 113: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� (�(-%;6<�Lp<[Z Y5� ] 8 4 � 4�S6X'<[L 8 41< 8 Z!: � ` < 8 X�X#:1;6<�: � � < 89� ] 8 ���6X�� �#;6< � < ` <�4 :1;6<�41< � L 8[�

� � LN: 8[� Zd<#:1; 8 : �P8 :.Z.;6<[L :�;�< � 4h� 8 :1:�<�4 � Ld7 + Y 4$< K 89� �6X'< 9 � b 8 : 89� � ��Y5� < � : 8[� < K ��4�<[L1L � Y5�Y bq:1;6<�b Y 4 � * 8 v�� O � � O � O w � * 8 v�� � � � � � � w � L V < � <O4 8 :1<[] 9 � : � � X�X$RD<jLNS�RDLN: � :�S�:�<[] R��* 8 v � O � � � � � O � � � � O � � w � � :�; Y S6:#:1;6< � <�<[] Y b � � :�<O4 8 Z!: � Y5� � � :1;�:�;6<USaLN<�4O7 * � :1;6<L 8[� <U� 8 � :�; 8 : 8 X�XhL�� � R Y X � Z ��8[� � ��S6X 8 : � Y5� L���LN:1< � L� � X�X LNS6RaLN: � :�S6:1< F � F�� � :1; � F 7

" � :�;6< Y :1;6<�4�; 8[� ] 9W:1;6< ��8 � Y 4U:1<�4 � 41<��#4 � : � ��V 4�S6X'<[LU4�<��JS � 4�<>:�;�< � � :1<�4 8 Zd: � Yf�{Y b:�;�<#SDLN<�4O7 + Y 4$�64 8 Zd: � Z 8 X � :�� 9 ��8 � Y 4h4�S6X'<[L 8 4�< V 4 Y S6�D<[] � � Lp<�:.L Y b�41S6X�<^LW:�; 8 :; 8�` <qL � � � X 8 4L�Z Y �D< 89� ] :�; 8 :|Z 89� Z YJY �D<�4 8 :�<J7 $#S6X'<[L ��� 9 � 9 ��� 8[� ] ��� 8 4�<\< K � 89� ] � �6V 4�S6X'<[Ld7$#S6X�<[L ��� 9 ��� 9 ��� 8[� ] ����� 8 4�< Z Yf� :�4 8 Zd: � �6V 7(F ; � X'<�:�;6<�X YJY � � � :�<�4 Z ; 89�6V < 41S6X�<��� � < � :1;6<�4 � � :14 Y ]�SDZ!<[L � <�� < K �64�<^L�L � Yf� L �6Y 4�4�<[]�SaZd<[L�< KM� LN: � �6V < K �641<[L�L � Yf� L Y b>:1;6<8 X VfY 4 � :1; � S � ]�<�4#:�4 89� L�b Y 4 ��8 : � Yf� 7-%;6<{Z.; Y � Zd< Y b�:1;6< V 4 Y S�� � �6V Y b�4�S6X'<[L 89� ]�:1;6< Y 4.]�<�4 Y b�:1;6< 8 �6��X � Z 8 : � Yf� Y b�:1;6<

V 4 Y S6�aL:9D]�< 5a� < 8 :�4 89� L�b Y 4 ��8 : � Yf� LN:�4 8 :1< V �J7 �$41<�� 8 4 � �6V\8 :14 8[� L b Y 4 ��8 : � Y5� LN:14 8 :�< V � � L 8]�<�X � Z 8 :�<#: 8 L 0 < ` < � b Y 4 89� < K �D<�41:SDLN<�4O7,* �\V < � <O4 8 X 9J:�;6< L 8[� <#:�4 89� L�b Y 4 �P8 : � Yf� LN:14 8 :1< V �Z 8[� ; 89� ]�X�< 8 X�XD�64 Y R6X'< � L Y bh:�;6<�L 89� <q] � � < � L � Y5� 9J] � � <�4�< � ::�4 89� L�b Y 4 �P8 : � Yf� Lp:�4 8 :�< V � <^L8 41< � <�<^]�<[] b Y 4 � S6X': � ] � � < � L � Yf�D8 XW��4 Y R�X�< � L!7 � X'<[L�L�< K � <O4 � < � Zd<[] SDLp<�4>Z 89� ��SDLp: SDLp<:�;�<>4�< 8 ]0� � ��8 ]�< :14 89� L b Y 4 ��8 : � Y5� LN:�4 8 :1< V � <[L��%<|�64 Y[` � ]�< 9 Y 4 � � � � :�<�4 8 Zd: � ` < � Y ]�< 9 ` � 8:�4 � 8 X 89� ] <�4�4 Y 4D9 8 ���6X�� Y5� <�4�S6X'< 8 : 8 : � � <�S � : � X%:1;6<j]�<[L � 4�<[] Y S6:.Z Y5� < � L 8 Z.; � < ` <^]�7-%;6<�b Y X�X Y � � �6V � L 8 :14 8[� L�Zd4 � �6: Y b3LNSDZ.; 8[� � � :�<�4 8 Zd: � ` < LN<[L1L � Y5� :�; 8 :U] � LN��X 8 �6L#:�;�< :�<O4 �4�<O�#4 � : � �6V L-�6Lp:�< � � �j8 Zd: � Yf� 7� ��� � � � �����

<�<�41<�� <U�641<[LN< � :#Lp:�<�� R0� LN:1<���:�;6<U:14 8[� L b Y 4 ��8 : � Y5��Y b,:�;�< ��8 :14 �'K b 8 Zd: Y 4 �'e 8 : � Y5� Z Y 414�< �LN� Y5� ] � ��V : Y :�;6<q:�4 89� Lp� Y LN<^] 8 : Y Z 0 ; 89� 8 X VfY 4 � :�; � � � : Y 8 X YJY � � <^LN:�7 -%;�< �6Y : 8 : � Y5� � <SDLp< � LW:1; 8 : Y b2) + - .;+21 7 � Zd:�S 8 X�X� � b Yf� <q]�< 5D� <[L$:�;�<�) + - .;+ 1�b S � Zd: � Y5� L � � �6X�< � < � :��

Page 114: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� (��� ��V :�;6< �P8 :�4 � Zd<^L / 9 " 9�Q 89� ] Yf� <|Z 8[� < K <[ZdS6:1<�< 8 Z ;jLp: 89V < Y b,:�;6<U:14 8[� L b Y 4 ��8 : � Y5�� ��Y 4.]�<�4#: Y�` <O4 � b �>:1;6<��64�<^LN<�4 `f8 : � Yf� Y bZ Y 4�41<[Zd: � <[L�L!7F < LN: 8 4�: � � :�;j:�;6< 8 Zd:1S 8 X ��8 :14 ��K b 8 Z!: Y 4 ��e 8 : � Yf��Y b :�;6< Z Y 414�<[Lp� Y5� ] � �6Vj8 X V5Y 4 � :�; � 7<�<�41<#�%<qZ Y5� L � ]�<�4:�;�<%b 8 Zd: Y 4 �'e 8 : � Y5��Y b - 4 89� LN� Y Lp<[] 8 : Y Z 0 ; 89� 7 F{<#< K ��4�<[L1L :1;6< � � � : � 8 XLN: 8 :1< � < � : 8 L 8[� 8 L�L � V5�6� < � :D9hR <^Z 8 SDLp<�:�; � L � L �#; 8 :>�%<�� 89� : :1;6< 5D�D8 X#�64 Y5V 4 89� : Y8 Z.; � < ` <J7 � VJ8 � � 4�< � < � R <O4$:�; 8 :�� < 8 L�LpS � <U:1; 8 :q:�;�< X'< �6V :�; Y b,:�;6< ` <[Z!: Y 4 F � L C J 7

F H v 6 O�) J*' J M O v � 2 � Q g ' � � w v/ �2 �;' g � � � � w�w F

�#;6<�41< � H C � 9 # H C J M � 9 ��� H � � C 9 8[� ] # � H C $ #J7 -%;6< LN; Y 4�:�; 89� ] ��Y : 8 : � Yf� : YLN; Y 4�:1< � :1;6<|] � Lp�6X 8 � Y b< K �641<[L�L � Y5� L:9 � L � ]�< � : � Z 8 XD: Y :1;6< Yf� <�SDLp<[] � � ���9��������7-%;6< Yf� X��41S6X�<q:�; 8 : 8 ���6X � <[L 8 :#:�; � L3� Y � � : � L �\�#; � Z ;\:�4 89� L�b Y 4 � L%:�;6<U��4 Y ]�SDZ!: Y b

��8 :�4 � Zd<[L � � : Y\8 LN< � S6< � : � 8 X X YJY � 7b Y 4�� H ��� Q� H C � � # H C JNM � � ��� H � ��C � # � H C # �F H v � 2 � Q g ' � � w v

/ �2 �;' g � � � � w F< � ]-%;6< � < K : 4�S6X'<�:1; 8 :#� <UZ 89�j8 �6��X�� � L � � �#; � Z.;�Lp�6X � :.L3:1;6< 8 L�L � Vf�6� < � : Lp: 8 :1< � < � : � � : Y:p� Y ]�S�< : Y��P8 :�4 ��K � �P8 :�4 ��K � ` <[Zd: Y 4$�64 Y ]�SDZd:O7b Y 4�� H ��� Q

� H C � � # H C JNM � � � � H � ��C � # � H C # �F H v/ �2 �;' g � � � � w FF H v � 2 � Q g ' ��� w F< � ]

-%;6<U:p� Y 4�S6X'<[L3:1; 8 : :�4 8[� L b Y 4 � 8 . 4 Yf� <[Z 0 <�4�64 Y ]�SDZd:#� � :�;�:1;6< � ]�< � : � :-� ��8 :�4 �'K>� � : Y 8� 8 4 8 X'X�<�X,X YJY � Z 89� RD< 8 �6�6X � <[]�7 -%;�<�4�< � L ��Y � � :1<�4Nb <O4�< � Z!< � � :1;6< � 4 8 �6��X � Z 8 : � Yf� 9hL Y � <��SDLp:#� <O4Nb Y 4 � :�;6<�:�4 89� L�b Y 4 ��8 : � Yf� R���:�;�< 41S6X�< ��� Y5� :�;�< 5 4.LN: Y Z�ZdS�4�4�< � Zd<J7b Y 4�� H ��� Q

� H C � � # H C JNM � � � � H � ��C � # � H C # �b Y 4 8 X'X & H ( � � � 8 �F v & � ��� � & � ��� v # � 8 � w1w H / �2 �;' g F v & � ��� � & � ��� v # � 8 � w�w

Page 115: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� (��< � ]F H v � 2 � Q g ' � � w F< � ]

� :3:1; � L$� Y � � : �%<q�D<�4Nb Y 4 � 8 X � � < 8 4 8 X V <�R64 8 L � � �6X � 5 Z 8 : � Y5� :�; 8 :#Z Y S6XA]>; 8�` <qR <O< � ] Y5� <8 : 89� ���64 � Y 4 Y 4ULpS6RDLN< � S6< � :#� Y � � :O7.F{<�4�< � Y9` <q:�;�< :14 8[� LN� Y L � : � Yf��Y b ��8 :�4 �'K / SaL � ��V:�;�< � ]�< � : � :�� � ��`JY X ` � �6V LN:14 � ]M< �D<�4 � S�: 8 : � Y5� L

/ �g ' � H / g '���

L � � Zd< 2 �g H # 7b Y 4�� H ��� Q

� H C � � # H C JNM � � ��� H � ��C � # � H C # �b Y 4 8 X'X & H ( � ��� 8 �F v & � ��� � & � ��� v # � 8 � w1w H / 2 �;' 2 F v & � ��� � & � ��� v # � 8 � w�w< � ]F H v � 2 � Q g ' ��� w F< � ]F{<�Z 89� 41<[]�SDZd< ��8 :�4 �'K Q g '���� R�� � :.L<�� S � `58 X'< � :< K �641<[L�L � Yf� 7 � V 8 � � 9�:�; � L#LNS�RDLN: � :�S�: � Y5�Z 8[� RD< ] Yf� < 8 : 8[� �>� Y � � : Y b :�; � L$:�4 89� L�b Y 4 �P8 : � Yf� 7�-%;6< Z ; Y � Zd< : Y ] Y � : �6Y � � L �6Y ::1;6<RD<[LN:B9 R�S6: � : � L#� Y L�L � R6X'< :1; 8 :q:�; � L�Z 89� ; 8 ��� < �{89� ] � : ] Y <[L#; 8 �6�D< � � � :�;6< 8 S6: Yf��8 : � Z�64 YfV 4 89� :�4 89� L�b Y 4 ��8 : � Yf� Lp<�:�: � �6V 96�#;6<�4�<�<��JS � `f8 X�< � Zd<�41<[]�SDZ!: � Y5� L 8 41< < K <[ZdS�:�<[] 5 4.LN:O7b Y 4�� H ��� Q

� H C � � # H C JNM � � ��� H � ��C � # � H C # �b Y 4 8 X'X & H ( � ��� 8 �F v & � ��� � & � ��� v # � 8 � w1w H / 2 � ' 2 F v & � ��� � & � ��� v # � 8 � w�w< � ]F H v � 2 � v�v hg� � ��� w " g ' ��� w�w F< � ]

� �6Y :�;6<O4 :�4 � ` � 8 X%LpS6RDLp: � :1S6: � Yf� � L :1;6< Yf� < Y bq< K Z ; 8[�6V � �6V :1;6<�] � 89V5Yf�D8 X ��8 :14 ��K " g '����� � :1; 8 ` <[Zd: Y 4 ( Y b � : L�] � 8[VfY5�D8 X�<�X'< � < � :1Ld7"-%;6< Y �D<�4 8 : Y 4j] � 89V v w �#;6< � � :.L L � ��V X�<8 4 V S � < � : � L 8 ��8 :�4 ��K 9 � :%41<�:�S64 � L 8 ` <[Zd: Y 4cZ Yf� : 8 � � � �6V :�;6<|] � 89V5Yf�D8 X <�X�< � < � : L Y b :�; 8 :��8 :�4 �'K 7 F ;6< � :�;6< 8 4 V S � < � : � L 8U` <[Zd: Y 4B9f] � 89V v w 4�<�:1S64 � L 8 ] � 89VfY5�D8 X ��8 :�4 ��K � � :1;>:�; 8 :

Page 116: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� ( �` <[Zd: Y 4 Y5� :�;6< ] � 89VfY5�D8 XG7LF{<�] Y��6Y : 8 ]�]�4�<[L1L :1;6< � L1LNS6< Y b#�641<[Z 8 X ZdS6X 8 : � Yf�jY b#:p� � ]6]�X�<b 8 Z!: Y 4 L:9 � : � L#Z Y[` <�41<[] 8 ���64 Y �64 � 8 :�<OX�� � � � �9��������7b Y 4�� H ��� Q

� H C � � # H C JNM � � � � H � ��C � # � H C # � ( H)] � 8[V v " g ' � � wb Y 4 8 X'X & H ( � � � 8 �F v & � � � � & � � � v # � 8 � w1w H / 2 �;' 2 F v & � � � � & � � � v # � 8 � w�w< � ]F H v � 2 � v�v g� � ��� w ] � 89V v ( w�w1w F< � ]

��< K :#Z Yf� <[L 8>�6Y5� ��:14 � ` � 8 X :�4 89� L�b Y 4 ��8 : � Yf� 41<[LNS6X': � �6V b 4 Y5� :1;6< 8 �6��X � Z 8 : � Yf��Y b :�;6< ���

4�S�X�<J7 -%;6<�41<[LNS6X': � L 8 � <O� � 8 4 8 X�X�<OX X YJY � 7b Y 4�� H ��� Q� H C � � # H C JNM � � ��� H � ��C � # � H C # � ( H)] � 8[V v " g ' ��� wb Y 4 8 X'X & H ( � ��� 8 �F v & � ��� � & � ��� v # � 8 � w1w H / 2 � ' 2 F v & � ��� � & � ��� v # � 8 � w�w< � ]b Y 4 8 X'X � H ( ��#�8 �F v � $ � � v � � � w $ � 8 � w H v1v hg

� � ��� w ] � 8[V v ( w�w F v �%$ � � v � � � w $ � 8 � w< � ]< � ]-%;6< 8 L1L � V5�6� < � : LN: 8 :�< � < � : � � :1;6<�X 8 Lp:%� 8 4 8 X'X�<�X�X YJY � ��8 : Z ;6<^LW:�;6< ��� 41S6X�<q:�; 8 : LN�6X � : L:�;�< 8 L�L � Vf��� < � : � � : Y\8 LN< � S6< � Zd< Y b$:p� Y L � � �6X'<�4 8 L�L � V5�6� < � :.L!7b Y 4�� H ��� Q

� H C � � # H C JNM � � � � H � ��C � # � H C # � ( H)] � 8[V v " g ' ��� wb Y 4 8 X'X & H ( � � � 8 �F v & � ��� � & � ��� v # � 8 � w1w H / 2 � ' 2 F v & � ��� � & � ��� v # � 8 � w�w< � ]b Y 4 8 X'X � H ( ��#�8 �F v � $ � � v � � � w $ � 8 � w H ] � 89V v ( w F v �%$ � � v � � � w $ � 8 � wF v � $ � � v � � � w $ � 8 � w H v hg� � � � w F v �%$ � � v � � � w $ � 8 � w< � ]< � ]

-%;6< 5 4.Lp: Y b:�;6<�:p� Y>� <�� 8 L1L � Vf�6� < � : L V <�: L :1;6<��64 Y ]�SaZd: Y b 8 ] � 89V5Yf�D8 X ��8 :�4 ��K : � � <[L8�` <[Zd: Y 4D9 LNSaZ ; 8 ��4 Y ]�SDZ!: Z 89� R <>41<[]�SDZ!<[] � � : Y :�;6<>� Y � � :N� � LN< � S6X�: � �6X � Z 8 : � Yf��Y b%:p� Y` <[Zd: Y 4 Ld7

Page 117: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� ( Cb Y 4�� H ��� Q

� H C � � # H C JNM � � ��� H � ��C � # � H C # � ( H)] � 8[V v "|g ' � � wb Y 4 8 X'X & H ( � ��� 8 �F v & � ��� � & � ��� v # � 8 � w1w H / 2 �;' 2 F v & � ��� � & � ��� v # � 8 � w�w< � ]b Y 4 8 X'X � H ( ��#�8 �F v � $ � � v � � � w $ � 8 � w H ( � F v � $ � � v � � � w $ � 8 � wF v � $ � � v � � � w $ � 8 � w H v hg� � ��� w F v �%$ � � v � � � w $ � 8 � w< � ]< � ]

-%;6< LN<[Z Y5� ] � <�� 8 L�L � V5�6� < � : ��8 : Z ;�<[L :�;6< ��� 4�S�X�< 9 8[� ] 89��Y :�;�<�4�� 8 4 8 X'X�<�X#X YJY � � LV < � <�4 8 :�<[] 7b Y 4�� H ��� Q

� H C � � # H C JNM � � � � H � ��C � # � H C $ # � ( H�] � 89V v " g ' � � wb Y 4 8 X'X & H ( � � � 8 �F v & � � � � & � � � v # � 8 � w1w H / 2 �;' 2 F v & � � � � & � � � v # � 8 � w�w< � ]b Y 4 8 X'X � H ( ��#�8 �F v � $ � � v � � � w $ � 8 � w H ( � F v � $ � � v � � � w $ � 8 � wb Y 4 8 X�X & H ( � ��� 8 �F v �%$ � � & � ��� � �%$ � � v � 8(� w�w H hg!&�&�&F v �%$ � � & � ��� � �%$ � � v � 8(� w�w< � ]< � ]< � ]-%;6< �D8[� < Y b#:1;6<>X YJY � � � ]�< Kj� LUZ.; Y Lp< �{8 ZOZ Y 4 ] � �6V : Y #�?1FJ@;�$# �AHJI 7 * � ] � Zd<^L � � :�;{X � � � :.L4�<OX 8 :1<[] : Y Q V <�:�:�;6< �a89� < � 9 � Y 4 ��� V <�:�:�;�< �D89� < & 9 # Y 4L# � V <�:�:�;�< �D8[� < � 9 � �Y 4 ]�<�4#: Y Lp:�4�< �6V :1;6< � :�;6< 8 L�L Y Z � 8 : � Y5� � � :�;,� �9��������7-%;6< � < K :�LN:1<�� � LU: Y =��6SaLN; ?�:�;6<\:p� � ]6]�X'< b 8 Zd: Y 4 � S6X': � ��X � Z 8 : � Yf� � � : Y :�;6<\� 8 4 8 X'X�<�X

X YJY � � � :�; :1;6<�;6<�X'� Y b4�S�X�< ��� 7 *�: � Lq] Yf� <�R���4�< � � ]�< K�� �6V :�;6< ` <[Z!: Y 4 L � � :�;�< :p� � ]6]�X�<b 8 Z!: Y 4 � S6X�: � �6X � Z 8 : � Yf� 8 L1L � V5�6� < � :#Lp: 8 :�< � < � :: Y 89V 4�<�<�� � :�;�:�;6< � < K : 8 L�L � Vf�6� < � :O7b Y 4 � H �9��Q

� H C � � # H C JNM � � ��� H � ��C � # � H C # � ( H ] � 8[V v " g ' ��� wb Y 4 8 X�X & H ( � ��� 8 �F v & � ��� � & � ��� v # � 8 � w�w H / 2 � ' 2 F v & � ��� � & � ��� v # � 8 � w�w

Page 118: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� (��< � ]b Y 4 8 X�X �,H ( ��#�8 �b Y 4 8 X'X & H ( � ��� 8 �F v � $ � � & � ��� � �%$ � � v � 8 � w�w H)( v & � ��� � & � ��� v C 8 � w�w � &�&�&F v � $ � � & � ��� � �%$ � � v � 8 � w�wF v � $ � � & � ��� � �%$ � � v � 8 � w�w H hg�&�&�&F v � $ � � & � ��� � �%$ � � v � 8 � w�w< � ]< � ]< � ]

F{< 8 41<�:14�� � �6V : Y V <�: :1;6< Z Y ]�< � � : Y�89� � 4�41<[]�SDZ � R6X'< b Y 4 � 9 :1; 8 : � L�: Y V <�: 4 � ] Y bq:1;6<�D<�4 � S6: 8 : � Yf����8 :�4 �'K 89� ] ��8 0 < 8 L � �6V X�< X YJY � � <^LN:�7 � : 5 4 LN:q�%<>Z.; 8[�6V <>:1;6< Y 4.]�<�4 Y b:�;�<>:N� Y � 8 4 8 X�X'<�XWX YJY �DLU: Y R64 � �6V :1;6< :p� Y X YJY �aLr� � :�;j:�;6<\L 89� < � � ]�< K & � < K :q: Y < 8 Z ;Y :1;6<�4 v 4�S6X'< � � w 7b Y 4 � H �9��Q

� H C � � # H C JNM � � ��� H � ��C � # � H C # � ( H ] � 8[V v " g ' ��� wb Y 4 8 X�X & H ( � ��� 8 �F v & � ��� � & � ��� v # � 8 � w�w H / 2 � ' 2 F v & � ��� � & � ��� v # � 8 � w�w< � ]b Y 4 8 X�X & H ( � ��� 8 �b Y 4 8 X'X � H ( ��#�8 �F v � $ � � & � ��� � �%$ � � v � 8 � w�w H)( v & � ��� � & � ��� v C 8 � w�w � &�&�&F v � $ � � & � ��� � �%$ � � v � 8 � w�wF v � $ � � & � ��� � �%$ � � v � 8 � w�w H hg�&�&�&F v � $ � � & � ��� � �%$ � � v � 8 � w�w< � ]< � ]< � ]-%;6<{Lp<[Z Yf� ] � 8 4 8 X'X�<�XqX YJY � � <[Lp: v :1;6< Y5� <{]�< 5D� <[] R�� � � ] � Zd<[L & 89� ] � Y �D<�4 8 :�<^L Y5�LNS�R ` <[Z!: Y 4 L Y b :�;6< ` <[Zd: Y 4 Y �D<�4 8 :�<[] Y5� :�;6< 5 4 LN:$� 8 4 8 X�X'<�XJX YJY � 9J�%<%:1;6<�41<db Y 41< 8 41< 8 X'X Y �%<[]: Y � Y � � :�;6<�:p� Y � 8 4 8 X�X�<OX�X YJY �DLUZ Y 4�41<[LN� Yf� ] � �6V : Y :1;6< & X YJY � � � ]�< K v 4�S�X�< ��� w 7b Y 4 � H �9��Q

� H C � � # H C JNM � � ��� H � ��C � # � H C # � ( H ] � 8[V v " g ' ��� wb Y 4 8 X�X & H ( � ��� 8 �F v & � ��� � & � ��� v # � 8 � w�w H / 2 � ' 2 F v & � ��� � & � ��� v # � 8 � w�wb Y 4 8 X'X � H ( ��#�8 �

Page 119: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� ( �F v � $ � � & � ��� � �%$ � � v � 8 � w�w H)( v & � ��� � & � ��� v C 8 � w�w � &�&�&F v � $ � � & � ��� � �%$ � � v � 8 � w�wF v � $ � � & � ��� � �%$ � � v � 8 � w�w H hg�&�&�&F v � $ � � & � ��� � �%$ � � v � 8 � w�w< � ]< � ]< � ]

-%;6< ����4�S6X'< 8 �6�6X � <[L � < K : : Y\V � ` < �b Y 4 � H �9��Q� H C � � # H C JNM � � ��� H � ��C � # � H C # � ( H ] � 8[V v " g ' � � wb Y 4 8 X�X & H ( � � � 8 �

�H F v & � � � � & � � � v # � 8 � w1wb Y 4 8 X'X � H ( ��#�8 �F v � $ � � & � � � � �%$ � � v � 8 � w�w H

�Dv � ��# � � ��# $ v C 8 � w�wF v � $ � � & � � � � �%$ � � v � 8 � w�w H)( v & � � � � & � � � v C 8 � w�w � &�&�&F v � $ � � & � ��� � �%$ � � v � 8 � w�wF v � $ � � & � ��� � �%$ � � v � 8 � w�w H hg�&�&�&F v � $ � � & � ��� � �%$ � � v � 8 � w�w< � ]< � ]< � ]+ � �D8 X'X�� 96:1;6<>4�S6X'< ����� 8 �6��X � <^L :p� � Z!< : Y V < � <O4 8 :1< :1;6< b Y X'X Y � � �6V Z Y ]�<>:1; 8 : � L � � � 4�41< �]�SDZ � R6X'<�b Y 4 � �b Y 4�� H ��� Q

� H C � � # H C JNM � � � � H � ��C � # � H C # � ( H)] � 8[V v " g ' ��� wb Y 4 8 X'X & H ( � ��� 8 ��H�F v & � ��� � & � ��� v # � 8 � w�wb Y 4 8 X�X �@H ( ��#�8 �F v �%$ � � & � ��� � �%$ � � v � 8(� w�w H hg!&�&�&v ( v & � ��� � & � ��� v C 8 � w�w �

�Dv � ��# � � � # $ v C 8 � w1w�w< � ]< � ]< � ]�������57 � � 9�� � ����������=��9���F{<�LpSDZ�Zd<[L1L b S6X'X��j:�4 8[� L b Y 4 � 8 X'XWb 8 Lp: + Y S64 � <�4 8[� ] Y :1;6<�4�:�4 89� L�b Y 4 � 8 X VfY 4 � :�; � L!72<�<�4�<�%<>X � Lp:�:1;6< � � ��S6:�LN�D<[Z � 5 Z 8 : � Yf�{89� ] :�;6<\Z Y 4�41<[LN� Yf� ] � �6V�Y S6:��6S�:rb Y 4 8 X�Xh:�4 89� L�b Y 4 �t8 X �

Page 120: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� ( �VfY 4 � :�; � L%:1; 8 :#� <�:�4 � <[]�7-%;6< YJY X�<���� - S 0 <'��b 8 Zd: Y 4 ��e 8 : � Y5� v C67�� w 96� � :�; Y S6:�:1;6<|] � V � :q4�< ` <O4.L 8 X��6; 8 LN< Z 89� ] � �4�<^Zd:�X��RD<�:�4 89� LpX 8 :1<[] : Y :�;6< 8 L�L � Vf�6� < � :� � � � � � v � � v F � � " v (����5� C J 8 � w�w �

� � D � � v / z � " v ��� Q!�&8 �f���5� � z � � v � v C J M � w �dQ v C � C � M O w1w�w � � � v F � � " v (M���f� C J 8 � w1w�w1w� b :1<�4 8 ���6X�� � �6V :�;6<>:14 89� L b Y 4 ��8 : � Y5� LU�%< V <O:U:�;6< b Y X�X Y � � �6V 9 < K �641<[L�Lp<[] � � ),+�-/.0+21 �+ ��( X � 0 < L�� � : 8 Kb Y 4 � H �9��Q

� H C � � # H C JNM � � ��� H � ��C � # � H C # � ( H ] � 8[V v " g ' ��� wb Y 4 8 X�X �,H ( ��#�8 �b Y 4 8 X'X & H ( � ��� 8 �F v � � � & � ��� � � � � & � ��� v C 8 � w�w H g�&'&�&v ( v & � ��� � & � ��� v C 8 � w1w�� F v � � � & � ��� � � � � & � ��� v C 8 � w1w�w< � ]< � ]< � ]

-%;6< 8 : Y Z 0 ; 89� b 8 Zd: Y 4 ��e 8 : � Yf� v C67 � w Z Y 4�41<[LN� Y5� ]6LU: Y :1;6< 8 L�L � Vf��� < � :ULp: 8 :1< � < � : � �:�;�< ��4�< 5 K X 89��V S 8[V <� � � � � � v � � v F � � " v (����5� C J 8 � w�w �� � D � � v / z � " v ��� Q!�&8 �f���5�� z � � v � � D � � v Q v C � C � M O w � / v C � � C w�w � � v C JNM � w�w1w � � � v F � � " v (M���f� C J 8 � w�w�w1w

89� ] :�;�< 41<[LNS�X�: � �6V Z Y ]�< � Lb Y 4�� H ��� Q� H C � � # H C JNM � � ��� H � ��C � # � H C # � ( H)] � 8[V v "|g ' � � wb Y 4 8 X'X � H ( ��#�8 �

�H�F v � �0# � � ��# v � 8 � w�wb Y 4 8 X�X & H ( � ��� 8 �F v � � & # � C JNM O � � ��# v � 8(� w1w H)hg�&�&�&v ( v & � ��� � & � ��� v C 8 � w�w �

�Dv & C � v & � � w C 8 � w�w< � ]< � ]< � ]

Page 121: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� (��-%;6<>:�4 89� Lp� Y LN<^] 8 : Y Z 0 ; 8[� Z Y ]�< V < � <�4 8 : � Y5� ; 8 LUR <O< � ]�<^L�Zd4 � RD<[] Lp:�<�����R�� � LN:1<�� � �

:�;�< ��4�< ` � Y SDL#LN<[Z!: � Y5� 7 <�<�41< 89V 8 � � � L%:1;6<�4�<[LpS6X�: � �6V Z Y ]�<J7b Y 4�� H ��� Q� H C � � # H C JNM � � ��� H � ��C � # � H C # � ( H)] � 8[V v " g ' ��� wb Y 4 8 X'X & H ( � ��� 8 �

�H�F v & � ��� � & � ��� v # � 8 � w�wb Y 4 8 X�X �@H ( ��#�8 �F v �%$ � � & � ��� � �%$ � � v � 8(� w�w H hg!&�&�&v ( v & � ��� � & � ��� v C 8 � w�w �

�Dv � ��# � � � # $ v C 8 � w1w�w< � ]< � ]< � ]-%;6< �W< 8 LN<Ub 8 Zd: Y 4 ��e 8 : � Y5� v C67�� w � � :1; Y S6:q:�;�< R � :#4�< ` <�4.L 8 X���; 8 Lp< Z Y 4�41<[LN� Y5� ]6L�: Y� � � � � � v � � v F � � " v (����5� C J 8 � w�w �

� � D � � v / z � " v ��� � " v Q!�&8 �f��� w �� � D � � v � z � � v Q v C � C � M O w � � v C JNM � w�w � / v C J � C w�w�w � � � v F � � " v (M���f� C J 8 � w�w�w1w:�; 8 : V < � <O4 8 :1<[L%:�;�< Z Y ]�<b Y 4�� H ��� Q

� H C � � # H C JNM � � ��� H � ��C � # � H C # � ( H)] � 8[V v " g ' � � w�H Fb Y 4 8 X'X � H ( ��#�8 �b Y 4 8 X�X & H ( � � � 8 �F v � � & # ��# � � � � � & # ��# � � v C 8 � w�w H g &'&�&

v ( v & � � � � & � � � v C 8 � w�w ��Dv � C � & # � � C v � � � w � & # � 8 � w1w< � ]< � ]< � ]

� �6� 8 4�< � :1X���:�;6<q:p� Y � 8 4 8 X�X'<�X6X YJY �DLWb Y 4 &>8[� ] �>Z 89� R < Z Y X�X 8 �DLN<^] � � : Y�8 L � �6V X'<#� 8 4 8 X'X�<�XX YJY � RD<[Z 8 SDLN<|:�;6< Y5� X���< K �641<[L�L � Y5� :�;6<'� 8 41< � �M`JY X ` <[] � � � L � � & #J7-%;6< 4�< � :1X�< ��8[� � 8M89� ]M<3b 4 8[� <�� Y 4 0|Y b :�;6< YJY X'<�� � - SDZ 0 <'� +�+,- v C67�� w Z 89� RD<��#4 � :��:�< � 8 L� � � � � � v � � v F � � " v (����5� C J 8 � w�w �

� � D � � v � z � � � / v / z � " v �M� Q!�&8L�5���f� � z � � v � v C JNM � w �dQ v C � C � M O w�w1w�w � � � v F � � " v (����5� C J 8 � w1w�w1w

Page 122: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� (��:�; 8 :q:�4 8[� LNX 8 :1<[L � � : Y :1;6< � S � :�<|] � � <O4�< � :#Z Y ]M< �b Y 4 � H*Q7��8 ���,�

� H C � � # H C JNM � � � � H � ��C � # � H C # � ( H ] � 8[V v " g ' � � wb Y 4 8 X�X �,H ( ��#�8 �b Y 4 8 X'X & H ( � � � 8 �F v & � � � � � � � & � � � � � � v C 8 � w�w H)( v & � � � � & � � � v C 8 � w�w &�&�&� v g F v & � � � � � � � & � � � � � � v C 8 � w�w1w< � ]< � ]< � ]

-%;6<$F 8 XALp;0� < 8 ] 8[��8 4 ] :�4 89� L�b Y 4 � v C67� � w � L%�#4 � :1:�< ��8 L� � � � � � v � � v F � � " v (����5� � J 8 � w�w �� � D � � v / z � " v ��� � " v �5���f� Q w � � z � � v � v � � M O w � D v � w � � v � JNM � w�w1w � � � v F � � " v (M���f� � J 8(� w�w�w1w

:�; 8 :q:�4 8[� LNX 8 :1<[L � � : Y\8>` <�4��>b 89� � X � 8 4-��X YJY 0 � �6V �b Y 4�� H Q:��8L�9�<�� H � � � # H � J M � � � � H � � � � # � H � #b Y 4 8 X'X & H ( � � � 8 �b Y 4 8 X�X �@H ( ��#�8 �F v � � & # � � # � � � # � & # � w HED � F v � � & # � � # � � � # � & # � w< � ]< � ]< � ]

:�; 8 :q4�<��JS � 41<[L3< K 8 Zd:�X� C X YfV � C�8 ]6] � : � Y5� Ld7-%;6< < 8f8 4�:14 8[� b Y 4 � v C67�:C w � L V � ` < � � � :�;6<Ub Y 4 � Y b 8 X YJY � �� � � / v �M� � " v Q!�&8L�5��� w �� � � � � � v � � v F � � " v (����5� C � 8 � w�w �

� � D � � v � � D � � v � z � � v � v C w � � v C � M O w1w � / v C � � C w1w � � � v F � � " v (M���f� C � 8 � w�w1w�w�w-%;6<�4�<^LNS6X': � ��V Z Y ]�< � Lb Y 4�� H Q:��8L�9�<�

� H � � � # H � J M � � ��� H � � � � # � H � #�H F v ( � � 8 � w

Page 123: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� � (b Y 4 8 X'X & H ( � ��� 8 �F v & � ��� � & � ��� w H�� � � v � & � � & � � w< � ]< � ]

-%;6< 8 X 89� : :�4 89� L�b Y 4 � b 8 Zd: Y 4 �'e 8 : � Yf� v C�7��?� w � L �#4 � :1:�< �|8 L :�;�< 8 L1L � Vf�6� < � : LN: 8 :�< � < � : �� � � � � � v � � v F � � " v (����5� � J 8 � w�w �� � D � � v / z � " v ��� � " v �5���f� Q w � � z � � v � v � � M O w � D v � JNM � 6 O w1w�w � � � v F � � " v (M���f� � J 8 � w1w�w1w

:�; 8 :q:�4 8[� L b Y 4 � L%: Yb Y 4�� H Q:��8L�9�<�� H � � � # H � J M � � ��� H � � � � # � H � #b Y 4 8 X'X & H ( � ��� 8 �F v & # � � v & � � w # � 8 � w H�D 2 �;F v & # � � v & � � w # � 8 � w< � ]< � ]

-%;6< 8 R Y[` <\Z Y ]�<>4�< � S � 4�<[L&� J � Y �DL v X � � < 8 4q: � � < w RD<[Z 8 SDLp<>:�;6< � � �6X'< � < � : 8 : � Yf�\Y b :1;6<��8 :�4 �'K ` <^Zd: Y 4#�64 Y ]�SaZd:=D g F : 8 0 <[L%X � � < 8 4#: � � < 8 Lq�%<|Z 89� LN<�<�b 4 Y5� :1;6<|]�< 5D� � : � Yf�jY bD 7-%;6< < 8 41:�X'<���:�4 89� L�b Y 4 � b 8 Zd: Y 4 ��e 8 : � Y5� v C67�� � w � L%�#4 � :1:�< �j8 L� � � � � � v � � v F � � " v (����5� C J 8 � w�w �

� � D � � v / z � " v ��� � " v Q!�&8 �f��� w �� z � � v � v C J M � w �� � D � � v � z � � v � v C w � � v C � M O w�w � " v C � C � M O w�w1w�w � � � v F � � " v (M���f� C J 8 � w�w�w1w-%;6<�4�<^LNS6X': � ��V Z Y ]�< � Lb Y 4�� H ��� Q

� H C � � # H C JNM � � ��� H � ��C � # � H C #b Y 4 8 X'X � H ( ��#�8 �F v � � � v � � � w � 8 � w H " g '���� F v � � � v � � � w � 8 � wb Y 4 8 X�X & H ( � ��� 8 �F v � � � & � ��� � � � � & � ��� v C 8 � w�w H��|g!&�&�&F v � � � & � ��� � � � � & � ��� v C 8 � w�w

Page 124: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� �"�< � ]< � ]< � ]

"q:�;6<O4 `58 4 � 89� :.LUZ 89� R < V < � <�4 8 :1<[] R0��b Y X'X Y � � �6V :�;6< Y :�;6<�4 0��6Y � � b 8 Zd: Y 4 ��e 8 : � Yf� LUX � 0 <8 : Y Z 0 ; 89� 9 �W< 8 LN<�<�: Zf7-%;6<|] � V � :#41< ` <�4.L 8 X � <O4 � S6: 8 : � Y5� v C�7�� w � L%�#4 � :1:�< �j8 L :1;6< 8 L�L � V5�6� < � :� � � � � � v � � v F � � " v (����5� C J 8 � w�w �

� � D � � v / z � " v ��� � " v Q!�&8 �f��� w � � z � � v � v C J M � w � / v C � � C � M O w�w1w � � � v F � � " v (M���f� C J 8 � w�w�w1w:�; 8 :q4�<[]�SaZd<[L3: Yb Y 4�� H ��� Q

� H C � � # H C JNM � � ��� H � ��C � # � H C #b Y 4 8 X'X � H ( ��8 � � #� v ( ��8L�!� � w H�F v � � ��8 �!� v � � � w � wb Y 4 8 X�X & H ( ��8L�!� ���F v � � � & C ��8L�!� � � � v �!� & w C w H � v & � ��� � & � ��� v 8 �!� C w�w< � ]< � ]< � ]

-%; � L 8 X V5Y 4 � :�; � 41<��JS � 41<[L " v Q C J w Y �D<�4 8 : � Yf� L 9�:1;�SDL � : � L �6Y : Y �6: � ��8 X�7 � X � � < 8 4: � � < 8 X �VfY 4 � :�; � : Y Z 8 X ZdS6X 8 :�<#:1;6< � � ] � Zd<^L Y b :�;6<q] � V � :$4�< ` <O4.L 8 X b Y X�X Y �qL 9 � : � LW:�;6< V < � <�4 8 X �'e 8 : � Yf�Y b :�;6< 8 X VfY 4 � :1; � � � � �$XAL���� �G79������ ��� � � � � � � � � � ��� � 6 � � ��, �� 9�� � ��� � � � � � 6 � � � ���!9 ������ � ��� ��� � � 6 � �E: �E< , � �=���� ����� �=�� � � ���� � �� � � � � , �=� � ��

� � ��� � ���E: � �����>� ��� �� � � � ��� � � �1����C � �9 ������ �>� �� � � � ����� � ��C ����� � � ��� � � � ���� � ��C ����� �9 ��� �� � ���EC �� � � �� � ��C ����� �� � ����� � ��C ����� � �� ����� � � � � � ����� � ��C ����� �� �

� � � �

Page 125: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� � �� � �����=�

-%; � L 8 X VfY 4 � :1; � 41<�� S � 4�<^L3< K 8 Zd:1X�� C v C J 8 C w � v C 8 � w Y �D<�4 8 : � Yf� L!7!#"�� ��� 560�� )=5S8�4 � '798��=)=5>8?0@+ 0/13) � ' +('7S)���� )� 8�

�%;6< C �G� Y � � : ����� Y 4 89� � Y :1;6<�4�4 8 ] ��K Z Y5� �6S6: 8 : � Yf� � � �6X'< � < � :�<[] 8 L 8 LN<��JS6< � Z!< Y b8 L1L � Vf�6� < � : L��Z 8[� RD<j]�<�4 � ` <[] R�� S � 4 Y X�X � �6V :�;�< X YJY �DL ]�<�4 � ` <[] � � :�;6<��641< ` � Y SaL>LN<[Z �: � Yf� 7��%;�<US � 4 Y X�X � �6V � L%] Y5� <UR���:14 8 Z � �6V :�;�<U< K <[ZdS6: � Yf�\Y bh:1;6<UX YJY � � <^LN: � ��8 L-� � R Y X � Z< �M` � 4 Y5�6� < � : 89� ]�Z Y X�X'<[Zd: � �6V>8 X�Xh:�;6< Y �D<�4 8 : � Yf� L 8 L 8 L�L � V5�6� < � :.L!7:F <|�64 Y[` � ]�< 8 L�� � �R Y X � Z>L���LN:1< � :�; 8 :U�D<�4Nb Y 4 � Lq:�;6<|4 8 ] ��K V < � <�4 8 : � Yf� � � � 8 �6X'<J7�� Y 4 ��Y 41< � � b Y 4 ��8 : � Yf�4�< VJ8 4 ] � ��V :1;6<|L Y S�4.Zd<|Z Y ]�< 89� ]�SDL 89V <�� ��X�< 8 LN<|LN<�< � ��� < � ] ��K ! 7F < Z Yf� L � ]M<�4 8\V X Y R 8 XhX YJY�� S���: 8 R�X�<�� �#;6<�4�<|�%<|Z 8[� LN: Y 4�<|:�;6< L�� � R Y X � Z�< K �641<[L �L � Yf� L :1; 8 :>:1< � � Y 4 8 4 � `f8 4 � 8 R6X'<[L 8 4�< 8 L1L � V5� <[] : Y �$SDL � �6V{8 L X YJY�� S6� � � ]M< K :�;6< �D89� <Y b :1;6< `58 4 � 8 R6X'<J7 F{<\LN; Y S6XA] :1; � ����Y b�� 8 L 8 4�<�X 8 : � Yf� v Y 4U� 8 4�: � 8 Xhb S � Zd: � Yf� w :�; 8 : 8 L5�L Y Z � 8 :1<[L>L�� � R Y X � Z �D8[� <[LU: Y L-� � R Y X � Z>< K ��4�<[L1L � Y5� Ld7�� Y 4>< K 8[� �6X�< � b 8 :\L Yf� <�� Y � � :Y b 8[� 8 X VfY 4 � :�; � �D:�;�<>:�< � � Y 4 8 4 � `f8 4 � 8 R6X'<.Q � � L 8 L�L � Vf� <[]_:1;6< `58 X'S6</F � � F�O :�;6< � � <Z Y5� L � ]�<�4:�; 8 :S � ]�<�4 :�;6<q4�<OX 8 : � Y5� ��� Q ���� F � � F O 8[� ]�<��JS � `f8 X�< � :�X��� v Q � w 41<��64�<^LN< � :.L:�;�<\L�� � R Y X � Z�< K ��4�<[L1L � Y5� F � � F�O�7 � L 8 Lp; Y 41:�; 8[� ] �#;6< � �

� L 8�` <[Zd: Y 4 Y bqL-� � R Y X � Z�D8[� <[L���� v�� w 41<��64�<^LN< � :.L 8>` <[Zd: Y 4 Y bL-� � R Y X � Z�< K �641<[L�L � Yf� Ld7

�%;6<>b S � Zd: � Yf� :�; 8 : V < � <�4 8 :�<[LU:�;�<\Z Y ]�<��hX�<�:USaL Z 8 X�X � : ��� ���� � � � � L � ]M< � : � Z 8 X � �LN:14�SDZ!:�S641<�� � :�; 8 4�<[ZdS�4.L � ` <�b S � Zd: � Yf� :�; 8 :jZ 8 X ZdS6X 8 :�<[L>:�;�<!����� � � :�; :�;�< b Y X'X Y � � ��V] � � <O4�< � Z!<[L;�

� �%;6< � � �6S6: � L 8 ` <[Z!: Y 4 Y b L-� � R Y X � Z `f8 4 � 8 R6X'<[L 89� ] �6Y : � S � RD<�4 Ld7� �%;6<O4�< � L 8 L � ]�<q< � <[Zd:��f�#;6< � < ` <�4 89� 8 4 � :�; � <�: � Z Y �D<�4 8 : � Yf� � L341<��JS � 41<[] � �M`JY X ` � �6VL-� � R Y X � Z `f8 4 � 8 R6X'<[L�� 8�� <�� :�< � � Y 4 8 4�� `58 4 � 8 R6X'< � LUZd4�< 8 :�<^]"� :1;6< 8 4 � :1; � <�: � Z Y �0�

Page 126: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� � �<�4 8 : � Yf� � � L�� � R Y X � Zcb Y 4 � � L%< � :�<O4�<[] � � :1;6< X YJY�� S6� : 8 R6X'< 8[� ] :1;6< � <�� L-� � R Y XLpS6RDLN: � :1S6:�<[L%:1;6<���41<[LNS6X': Y b:1;6<�< K �64�<[L1L � Yf��� 7

� �%;6< Y S6:��6S�: � L 8 ` <[Z!: Y 4 Y b L-� � R Y X � Z `f8 4 � 8 R6X'<[Ld7�%;6<\Z Y ]M< � � �6X�< � < � : � �6V :�;6< C ��� Y � � : ����� Z 8 XAZdS�X 8 : � Y5� � Lq�64 Y ]�SaZd<[] R�� Y 4.]�<O4 � ��V :1;6<X � LN: � �6V�Y bU:1;6< 8 L�L � V5�6� < � :\LN: 8 :�< � < � :.L � �M`JY X ` � �6V :1;6<�:�< � � Y 4 8 4 � `58 4 � 8 R�X�<[L!7 �%; � L � L] Y5� <�R���: 8 � � ��V :1;6< ZdX Y LNS641< Y bq:�;6< ]�<��D< � ]M< � Z � V 4 8 ��; Y bq:1;6<�:1< � � Y 4 8 4 � `f8 4 � 8 R6X'<[L��LN: 8 41: � ��V b 4 Yf� :1;6< Y S6:1�6S6: `f8 4 � 8 R6X'<[Ld7

� Y 4 ������� L�� :�;6<O4�< 8 4�< Zd<�41: 8 � ��Y ��: � � ��e 8 : � Y5� L�:1; 8 :|Z 8[� RD<�] Y5� <�� Yf� :�;6<��,� � 7�:Z 8[� RD< LN; Y � � :1; 8 : 8[� ��� ��b 8 Zd: Y 4 ��e 8 : � Yf� Z Y5� L � LN:.L Y b ��8 :14 � Z!<[L$:�; 8 : 8 4�<�< � :1;6<�4

� ] � 89V5Yf�D8 X ��8 :�4 � Zd<[L Y b�%< � V ;M:.L ���� 4 Y5� <[Z � <�4%��4 Y ]�SDZ!:.L Y b � ]�< � : � :-� 89� ]� ���� ��8 :�4 � Zd<[L Y b L ��8 X�X'<�4 L ��e <[L��� Y 4��D<�4 � S6: 8 : � Yf� ��8 :14 � Z!<[Ld7

�%;6<��D4.Lp:�b 8 Zd: Z 8[� RD< < K �6X Y � :1<[]�R0���D<�4pb Y 4 � � �6V :1;6< � < � V ;�: � S6X�: � �6X � Z 8 : � Yf� L � � �6X 8 Zd<��� � :1; Y S�: � � :14 Y ]�SDZ � �6V 8 � <�� :�< � � Y 4 8 4�� `58 4 � 8 R�X�<J7��64 Yf� :1;6<>Lp<[Z Yf� ]Pb 8 Z!: � � � :�;6< Z 8 Lp<Y b ` <[Zd: Y 4|X�< �6V :�;DL :1; 8 : 8 4�< 8 � Y �%<�4 Y bU:p� Y �3� <�Z 8[� Z Yf� ZdX'SD]�<�:1; 8 :>:1;6<�:�< � � Y 4 8 4��`58 4 � 8 R�X�<[L 8 4�< 8 L�L � V5� <[] 8[� < K �641<[L�L � Y5� :1; 8 : � L :1;6<�LpS � Y bq:p� Y :�<�4 � L 89� ] ��Y 41< Y[` <�4< 8 Z ;{:�< � � Y 4 8 4�� `58 4 � 8 R6X�< � LUSDLp<[] � � < K 8 Zd:�X� :p� Y < K �641<[L�L � Yf� Ld7 �%; � L ����Y �#X'<[] V <�Z 8[�RD<�SaLN<[]�: Y L � � �6X � b ��:�;6< � Y R Y b Y �6: � ��8 X � � LN:�41SDZd: � Yf� L�Z.;6<[]MS6X � �6V ��R��{]�<[Z!X 8 4 � �6V :�;6<[Lp<Z Y5� LN:14 8 � � : L�: Y :�;�< � � LN:�41SDZd: � Yf� L�Z.;6<[]�S�X�<�4O7�� Y 4U< K 89� �6X�<U�#;�< � V < � <�4 8 : � �6V Z Y ]M< b Y 4 8������ �64 Y Zd<^L�L Y 4 � � Y S Z 8[� 4�< 8 L�L � V5� :1;6<\4�< V � LN:1<�4 89� ] �641< �G< � �6:U:1;6< Z 8 Z.;6<\�#;6< � :1;6<`58 4 � 8 R�X�<�:�; 8 : � L%;6<�X ]�R0� :�;6<�4�< V � Lp:�<�4#; 8 L#R <O< � SDLN<[]�:p� � Z!<J7

TUL � �6V :�;�< 8 R Y9` <�:1<[Z ; � � �JS6<\�%< 8 41< 8 R6X�< : Y{V < � <O4 8 :1< ����� 4 8 ] � Z!<[L Y b 89� � L �'e <��:�; 8 : � LUS6�{: Yj8 ��4 8 Z!: � Z 8 XL ��e <J7� : � L � � :1<�4�<^LN: � �6V : Y ��Y :�<\:�; 8 :�:�;6< Z Y ]�<>b Y 4�4 8 ] �'K Y b

Page 127: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� ���X�< �6V :1;�������; 8 L 8 L ��e < Y b 8 R Y S6:����� �� 8[� ] � L 8 X � Y LN: � � � Y L�L � R6X�< : Y R <|Z Y5� � � X�<[]�R��8 Z Yf� � � X�<O4$� � :1; :�;�< Y �6: � � ��e 8 : � Yf�\Y �6: � Y5� L Y5� 7���57�� � 9 � � � ? � �� Yf� L � ]M<�4U:�;�< b Y X�X Y � � �6V L � � ��X � �a<[] ` <�4.L � Yf��Y b � � ��� � �{8������������ �GX � � <|X 8[�6V S 8[V <:�; 8 : � L 8 R�X�<�: Y ; 8[� ]�X'< L-� � R Y X � Z Y � <O4 8 : � Y5� L 8[� ] :1;6<|Z Y X Yf���6Y : 8 : � Y5� �9������ ��� � � � ��� � ����9�9 � � � ��-< �����E< �

� �*< � �� �� � � �� 9!� ��� �

� �!� � ��� � ��, � � � � � � � � � ��� � � � ���/C � � ���%� �� <�: �

��,"�2��*� 9�� � � ��� � � �� � ����� � � � �=� � , � � �9 ��� �� � ��,� ��� �C ����� � ����%��C ��� ��� � ����9�9 � � � ��� �C �����%� � �� �EC � ���

� � �9���� � � � �� � , ��� ��� � � � � �9 ��� �� � ���� ��� �C ��� ��� ����C ��� � � � �E��9�9 � � � ��� �C ���B��� ����C �����

� � �9���� � �� 9

� � �����=�

�%;6< 41< 8 ]M<�4\LN; Y S6XA] 8[V 41<�<�:�; 8 :�:�; � L b S � Zd: � Y5� � L 8 X ��Y LN: � ]�< � : � Z 8 X%: Y 8 b S � Z!: � Y5�� � �6X�< � < � : � �6V :1;6<U4 8 ] �'K ��� �U7�� � L3:1;6< V X Y R 8 X X YJY�� S���: 8 R6X�< v :�; 8 :#�%<U; 8^` <r]�<[L�Z!4 � RD<[]8 R Y[` <USDL � �6V :�;6< �6Y : 8 : � Yf� ���� ��� � �! � L 8 b S � Zd: � Yf� :1; 8 : Yf��8[� � � �6S6: Y b 8�` <[Zd: Y 4 Y bL�� � R Y X � Z%< K ��4�<[L1L � Y5� L�� � : V < � <�4 8 :�<[L 8 ` <[Z!: Y 4 Y bh:�;6< L 8[� <UL ��e < Y bhR�4 89� ] � � <�� L-� � R Y X � Z�D8[� <[L�� 8 L�L Y Z � 8 :1<[L%:�; Y LN<rL�� � R Y X � Z �D8[� <[L$� � :1;�:1;6<�Z Y 4�41<[LN� Yf� ] � �6V < K �641<[L�L � Y5� L � � :1;6<X YJY�� S�� : 8 R6X'<"� 89� ]�4�<�:1S64 � L�:1;6<{L�� � R Y X � Z ` <[Z!: Y 4O7 � Y S64 ��Y : 8 : � Yf� :�;6<{Z Y ]M<_b Y 4 ��� � �! � L;�9������ ��� � � � �!� � &��� � ��, � � ��-< �����E< �

� �*< � �� �� � � �9 ��� �� �>���EC �� �!� � �E: � ��� �E< � �

Page 128: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� � �� � � � � � � ��� � �� ���

� � �9 ���� � �����=�

� � :1; ��� ��� � � ���X � � < �9������ ��� � � : �!� � &�&: � ��� �&< � ��-< �����E< � � � ���9 � ���

: �@��� ����� � �� �E: ��� � � � � �&��9�� ��� �%�� � � �&��9�� ��� � � � � �&��9 � ��� � �

� � �����=�

� ���� �� 8[� ]�� � � �� ������ 8 4�<#Lp:�4 8 � V ;�:pb Y 41� 8 4 ] b S � Zd: � Y5� L 8[� ] � <%� � X�X ��Y :]�< 8 XJ� � :1;:�;�< � ;�<�4�<J7��D<�:%SaL%:�4 8 Zd<q:�;6<U< ` < � : L$�#;6< � � <�Z 8 X'X � ��� >� � :�; 8 L�� � R Y X � Z ` <^Zd: Y 4��� � :1;�� `58 X'S6<[L ��� F � ��F�O���F � ��F�����7 �64 Y5� �6Y � Y5� � < � � X�X SDLp<�:�;6<�:-���D<��#4 � :1<�43b Y5� :��6X � � < �"�: Y < K �64�<^L�L%�64 YfV 4 89� `58 4 � 8 R�X�<[L 8[� ] :1;6< � : 8 X � Z b Yf� :#X � � <<F�: Y < K ��4�<[L1L#L�� � R Y X Ld7F <�� 89� :�: Y R6S � XA] 8 4 Y S6: � � <j:�; 8 :�Z 8 XAZdS6X 8 :1<[LP��?F b Y 4 8 Z Y5� �6X�< K ` <[Zd: Y 4 F �cL Y�%<{Z 8 X�X � ��� � � :1; 8 4 V S � < � : 8 ` <[Zd: Y 4 Y b L�� � R Y X � Z `58 4 � 8 R�X�<[L@F 89� ]�X�< �6V :�; ��7� Yf� :�4 Y X �64 Y Zd<O<[]6L � � :�;6< <�XALp<#� 8 41: Y bh:1;6< Z Yf� ] � : � Yf�D8 X LN: 8 :�< � < � :O7F <q; 8�` <�:1;6< `f8 X�S6<^L� H � 89� ] ��H � 89� ] :�;6<\4�<[Lp: Y b :1;6<>�64 Y5V 4 89� 8 Zd:1S 8 X'X�� � � ��X�< � < � :.L3:1;6< b Y X'X Y � � ��V< K �64�<^L�L � Yf� �

�H v �����!� w " � ' � v �!��� � w / �;' � F 5 v ��7���� w

� � 4.LN:q:�;�< �D<�4 � S6: 8 : � Yf� � L#< K <[ZdS6:1<[] 8 L � b:�;�<>] 8 : 8 � <�4�< � S � <�4 � Z 8 X 89� ]�L � � Zd< � : ] Y <[L�6Y :U4�<��JS � 4�< 8[� � � S � <�4 � Z 8 X Y �D<�4 8 : � Yf� L � ��`JY X ` � �6V :1;6<\L�� � R Y XAL � � � ��:1;6<�4�< � L ��Y L � ]�<< � <[Zd:O7��%;6<�4�<[LpS6X�: � L

� H � � ' � K H���� F �F �F OF �� ���� 5 v ��7 ��� w

Page 129: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� � ��%;6< � < K :#X YJY � �D<�4pb Y 4 � L%:�;6< � 4 Y5� <[Z � <�4�64 Y ]�SaZd: Y �D<�4 8 : � Y5�

�/H v ��� � � w �@H������� � � F �F � � � � F OF � �

� ������� 5 v ��7 ��� wF{< Z 8 X�X#:1;6< R�S � X ] � �6V 4 Y S6: � � < � ���� {:N� Y : � � <^Ld7 � Y 4�:1;6< �D4 LN:\Z 8 X�X#:1;6< � � �6S6: � L� F �5� F � �G7 �%; � L>: � � < C HH � �#L Y :1;6< � :�;6< � �$� 8 41: Y b :1;6<jZ Yf� ] � : � Yf�a8 X � L>< K <^ZdS6:�<^]�7�%;6< `58 4 � 8 R6X'< � � L 8 L�L � Vf� <^] : Y � Q �[� Q O �� � :�; � v Q � w H F ��� F � 89� ] � v Q O w H F �98 F � 7�#<[LN�D<[Zd: � ` <�X� � � :1;6<\LN<^Z Yf� ]�Z 8 X�Xh: Y � ��� � `58 4 � 8 R6X�< � � L 8 L�L � V5� <[]�: Y � Q � � Q � �$� � :1;� v Q � w HIF O �(F � 8[� ] � v Q � w HIF O 8#F � 7 � b :�<O4%Z Yf� L Y X � ] 8 : � �6V :1;6<q4�<[LpS6X�: L34�<O:�S64 � <[] b 4 Yf�:�;�<[LN<�:p� Y Z 8 X�X L%�%<�; 8�` < � H � Q �[� Q O � Q � ��Q � �G7

��< K :qZ Yf� <[L%:�;6< Z 8 X ZdS6X 8 : � Yf� � H " � ' � Q!7 �%; � L � Lq] Yf� < R�� ] � 4�<^Zd:�X� ��Y ] � b � � �6V :1;6<< � :�4 � <[L Y b:1;6<�X YJY�� S6�j: 8 R�X�< ��:1; 8 :qRD<[Z Y5� <[L� v : w H

���� F �!� F �F �:8 F �F O � F �8 � v F O 8 F � w

������ v ��7 ��� wRD<[Z 8 SDLN<�:�;�<�] � 8[VfY5�D8 X < � :�4 � <[L Y b " � ' � 8 4�< 8 X'X�<��JS 8 X�: Y �U< K Zd<O�6::�;6<UX 8 Lp:#< � :14��>:1; 8 : � L<��JS 8 Xh: Y 8 ��7!F <>; 8�` <|: Y�� < � : � Yf� ;6<�4�<>:1; 8 :rZd<�4�: 8 � � Y ��: � � ��e 8 : � Y5� L#Z 8[� R <\] Yf� < 8 ::�; � L3� Y � � :#]�<��D< � ] � �6V>Y5� :�;�<U:-���D< Y bh:�;6< � S6X': � ��X � <!4 ���$7 �D<�:�� v � w RD<U:1;6<U41< 8 X � 8 41: Y bZ Y5� �6X�< K � S � RD<�4�� 8[� ]� v � w � : L � ��8[V � �a8 4��\� 8 4�:�7

� � � v � w � H�� Y 4 � � v � w � H���:�;6< ���6Y\� S6X�: � �6X � Z 8 : � Yf� � Y �aL 8 4�<�4�<��JS � 4�<[]"�� � � v � w � H � � v � w � :�;6< ��Y5� X�� � � S6X': � ��X � Z 8 : � Yf� � Y �DL 8 4�<�4�<��JS � 4�<[]"�� Y :�;6<�41� � Lp< � � S6X�: � �6X � Z 8 : � Yf� � Y �aL 8 4�<�4�<��JS � 4�<[]�7�%;6< LN<[Z Y5� ]�X YJY ���D<�4pb Y 4 � LW:�;6< � 4 Y5� <[Z � <�4W��4 Y ]�SDZ!: Y �D<�4 8 : � Yf� � H v � � �!� w Q,:�; 8 :� L$<��JS � `f8 X�< � :$: Y :�;�< b Y X�X Y � � �6V � 8 b :1<�4%SaL � ��V :�;�< � 4 Y5� <[Z � <�4$�64 Y ]�SDZd: � ]�< � : � :-� v �f7 � w 89� ]

Page 130: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� ���:�;�<rb 8 Zd:#:�; 8 :q:�;6< ���� ��8 :�4 �'K�� L#L�� ��� <�:14 � Z

� H v � ��� � w :�H ` <[Z v � Q � Q �Q O Q � � � � w 5 v ��7 ��� w� V 8 � � � :1; � LqZ 8 X ZdS6X 8 : � Yf� � �M`JY X ` <[L3:p� Y Z 8 X�X L%: Y :�;6<|R6S � X ]�<�4#4 Y S6: � � < � ���� �: Y ]�<�:1<�4��� � � <U:�;�< � �G� Y � � : ������� Ld7 � Y 4q:�;6<��D4.Lp:�Z 8 X�X :�;�< � � �6S�: � L � Q �[��Q � ��7 � VJ8 � �(C HH � � L Y:�;�<�� :1;6< � �J� 8 4�: Y bh:�;6<rZ Yf� ] � : � Yf�D8 X � L3< K <[ZdS6:1<[]�7 �%;6< `58 4 � 8 R6X�< � � L 8 L�L � Vf� <[]�: Y � Q �f�6Q�� �� � :1; � v Q � w H Q � �@Q � 8[� ] � v Q � w H Q � 8@Q � 7 �#<[LN�D<[Zd: � ` <�X� � � :1;6<qLN<^Z Yf� ]\Z 8 X�X6: Y � ��� �`58 4 � 8 R�X�< � � L 8 L�L � Vf� <[] : Y � Q��[�Q���� � :1; � v Q�� w H Q O � Q � 8[� ] � v Q�� w H Q O 8 Q � 7 � b :�<�4Z Y5� L Y X � ] 8 : � �6V :�;�< 41<[LNS�X�:.L%41<�:�S�4 � <[]>b 4 Yf� :�;6<[Lp<�:N� Y Z 8 X'XAL�%<�; 8�` < � H � Q � ��Q��f�6Q � �6Q�� �v RD<[Z 8 SDLp< Y b:�;�<L1<��� v w Y � <O4 8 : Y 4 w 7

�D<�:$SDLh4�<[Z Y S6�>R�� 41< ` � <�� � �6V �#; 8 :$; 8 �6�D< � <[] 7� � � � �6S6: � F �[�SF O �6F � �>F � � � � ���� 4�<O:�S64 � L$� � :�; � Q � � Q��5��Q � �6Q�� � 89� ]�:�;6< V X Y R 8 X�X YJY�� S6��: 8 R6X�< �>; 8 L3:�;�<�b Y X'X Y � � �6V < � :�4 � <[L �

�/H

��������������

Q � � F � � F �Q O � F �:8 F �Q � � F O � F �Q � � 8 � v F O 8 F � wQ � � Q �!�PQ �Q � � Q �:8PQ �Q�� � Q O �PQ �Q�� � Q O 8PQ �

� ��������������v ��7 � � w

�64 Y5� :�;�< 8 R Y[` < � <{Z 89� V < � <�4 8 :�<{:�;�<"�*�G� Y � � : ����� R0� ��8 : Z ; � �6V :�;6< � � �6S6: 89� ]:�;�< Y S�:��6S6: ` <[Zd: Y 4.L#: Y L Y5� < 8 RDLN:14 8 Z!: � � ��S6: Y S6:���S6: ` <[Zd: Y 4 L � 89� ] � 8[� ] X � LN: � �6V :1;6<� <[Z!<[L�L 8 4�� 8 L�L � V5�6� < � :.L: Y\V <�: �9������ ��� � � � ��9�9 � � � � �� ��� � � ��� � � � ���� � � � � ���/C � � ���� ��� � � ��� � � �� �� � � C ��� � � � ��� C � ��� ���� � ��� ��� ����� �� � ��� ��� � ��� �� � ��� ��� ��C�� �� ��� � ��� �%C�� �

� � �����=�

Page 131: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� ����%;6<jL 8[� < � Y � Z Y S � : � L 8 Z.; � < ` <[]�SDL � �6V :�;6<jLp�6X � : 4 8 ] ��K R6S6:1:�<�4 �,�J7��%;6<�41< � L ��Y

] � � <O4�< � Z!< 8 : 8 X�X � � ; 8[� ]�X � �6V 89� � Y :�;6<O4 b 8 Zd: Y 4 ��e 8 : � Yf� L#X � � <U:�;�< Lp�6X � :�4 8 ] �'K Y 4#b 8 Z!: Y 4-���e 8 : � Yf� L$b Y 4#:1;6<�:1;6<U�64 � � <#b 8 Z!: Y 4 89� ]�:1;6<U�64 � � < ��� �U7�� Y 4 :�;6< � ��` <O4.LN< � �����%< Y5� X��� <�<^]P: Y SDLN<|:�;6<|Z Y5� ��S V 8 :�<^L Y b$:1;6<��%< � V ;M:.L 89� ] ] � ` � ]�<U:�;�< Y S6:���S6:�R�� C 7

� :�;6< � �a8 X Z Y ]�< V < � <�4 8 : Y 4�%<#< � ]M<[] S6�\SDL � �6V :1;6<qLN��X � :,4 8 ] ��K 8 �6�64 YJ8 Z.;\R <^Z 8 SDLp<� : 41<��JS � 41<[L :1;6<X Y �%<[Lp: � S � R <O4 Y b�� YJ8 : � ��V � Y � � : Y �D<�4 8 : � Y5� Ld7��%;�< � < K : :p� Y LNS6RDLp<[Zd: � Yf� L< K �6X 8 � � :1;6<|Z ; Y � Z!<J7���57���� ��= �$97� 9 � � =���� 9 � � =� 97� 8 � ������� =�9 �(;>=������ � ������JS6��� Y LN<|�%<�; 8�` < 89� < ��Z � < � : � R 8 Lp< � Z 8 Lp< � ����� 8 X VfY 4 � :1; � :�; 8 : Y �D<�4 8 :�<[L Yf�j` <[Zd: Y 4.LY b X�< ��V :�; � � � � � Y �DLd7 F{< Z 89� SDLN<q:�; � L 8 X VfY 4 � :1; � : Y ; 8[� ]�X�< ������� L Y b X'< �6V :�; C H � J �R���SDL � �6V :�;�< V < � <�4 8 X 4 8 ] �'K b 8 Zd: Y 4 ��e 8 : � Y5� �

hgEH v � ��� g 0 � w " � ' g 0 � v � � � g 0 � w / g ' � v ��7 ��� w�#;6<�41< � g � L�:�;�< � ]�< � : � :-� �P8 :�4 ��K Y b L �'e < C � " � L�:1;6<�] � 89V5Yf�D8 X ��8 :14 ��K Y b#�%< � V ;M:.L 8 L]�< � � <[] � � v ��7 � w 89� ]

/ g ' � � L%:�;6<|Lp:�4 � ]�<��D<�4 � S6: 8 : � Yf����8 :�4 ��K 7�%;6<�41<db Y 41<�� 8 b :�<O4 � V5�6Y 4 � �6V :�;6<rZ Y Lp: Y bh��4�< � Z 8 X ZdS6X 8 : � �6V :�;6< �%< � V ;M:.L��J:1;6< � S � RD<�4 Y b

� Y �DL � v C w � <�<[]�<^] : Y Z 8 X ZdS6X 8 :�<|:�;6< ����� Y b X�< �6V :1; C_Y R <'�6LU:�;�< b Y X'X Y � � ��V 4�<[Z!S64.L � ` <<��JS 8 : � Y5� �

� v C w H C� � v � w � � v � 8 � w C� � � � v C� w v ��7 ��� w� � :1; � v � w H � 7 �%;6<��D4.Lp: :1<�4 � Y bc:�;6<\LpS ����8 : � Y5� < K �641<[L�Lp<[L�:�;�<�Z Y LN: Y b g� H � JNM O������� L Y b#X'< �6V :�; �"�W:1;6<\LN<^Z Yf� ]{:�<�4 � < K �64�<^L�LN<^Lr:1;6<\Z Y LN: Y b#�D<�4pb Y 4 � � �6V v � 8�� w � J M OZ Y5� �6X�< K � S6X�: � �6X � Z 8 : � Yf� L b Y 4#:�;�<�] � 8[VfY5�D8 X ��8 :�4 ��K : � � <[L ` <^Zd: Y 4%�64 Y ]�SDZd: 8[� ]�:�;6<UX 8 Lp::�<O4 � 41<��64�<^LN< � :.L:�;6<|Z Y LN: Y b � ��� ��� L Y b,X�< �6V :1; g� 7 �%;6<|L Y X�S6: � Yf�jY b,:�;6<�41<[ZdS64 L � Y5� � L

� v C w H �� v � � � v � 8 � w1w C X YfV � v C w � � C 5 v ��7 � � w

Page 132: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� ��� � :�;6<�� ���_X � :1<�4 8 :�S641<��d:1;6< � S � RD<�4 Y b � YJ8 : � �6V � Y � � : Y �D<�4 8 : � Yf� L � L�SDLpS 8 X'X�� V � ` < � � � :1;6<b Y 4 � Y b :�;6<q; � V ;6<[Lp:%Z Yf� �6X'< KM� :-�U:�<O4 � : YfV <�:�;6<O43� � :�; � : L3Z Y <���Z � < � :�7 � Y 43< K 8[� �6X�< �9:1;6<SDLp< Y b :1;6< 4 8 ] �'K � � 8 X VfY 4 � :1; � L#4�<��JS � 4�<[L � C X Y5V � v C w � Y �DL#b Y 4U�D<�4pb Y 4 � � �6V :1;6< � Y S64 � <�4:�4 89� L�b Y 4 � Y b 8�` <^Zd: Y 4 Y b X�< ��V :�; C 7 �%;6<\Z Y 414�<[Lp� Yf� ] � �6V Z Y < ��Z � < � : Y b :�;6< 89�D8 X��M: � Z 8 Xb Y 4 � 8 R Y[` < Y b:�;�< :1<�4 � C X Y5V � v C w � L���� ��� � M O���� +� � � 7 � Y 4q:�;�< 4 8 ] �'K � �\Z 8 Lp<�� � H �\R <^Z 8 SDLp<�%< � <�<[] Y5� X�� � � Y �DL�: Y Z 8 XAZdS�X 8 :1<�:�;6< ����� Y b%X'< �6V :�;"�M7��JS6RDLp: � :1S6: � �6V � � � :1;"� 89� ]� � � :�; � � � v �67 � � w �%< V <�: � C X YfV � v C w 7

�%;6< b Y 4 � S�X 8 � � v ��7 � � w LN; Y �qLU:�;�<>4�<�X 8 : � Yf� Lp; � ��RD<�:p� <�< � :1;6< � Y �DLU4�<��JS � 41<[]Pb Y 4 8L � �6V X'<�� ��� : Y :�;�<UZ Y < ��Z � < � : Y bh:1;6<�; � V ;�<[LN: Z Y5� �6X�< K�� :�� :�<�4 � C X Y5V � v C w 7 �: � L � � � Y 4��: 8[� :h: Y ; 8�` <%:1;6<X Y �%<^LN:h� Y L�L � R6X'< � S � RD<�4 Y b�� Y �DLW4�< � S � 4�<[]#b Y 4$:1;6<4 8 ] ��K Z Yf� �6S6: 8 : � Yf� 7F ;6< � � <�] Y S6R6X�<j:�;6< L �'e < Y b�:�;6<�4 8 ] �'K � :�;6< � S � RD<�4 Y b � Y �DL�Z 8[� RD<�4�<^]�SDZd<[]RD<[Z 8 SDLN<|�%<>Z 89��8�`JY � ]�L Y5� < � S6X': � �6X � Z 8 : � Y5� Ld7�� Y 4�:1;6< 4 8 ] �'K � ��� �� � Y �DL 8 41< 4�< � S � 4�<[]: Y Z 8 X ZdS6X 8 :�<#:1;6<���� � Y bhX'< �6V :�; �67 �JS6RaLN: � :�S6: � �6V ��� � :�; � 89� ] � � � :�; � � � � v ��7 � � w � <V <O: ���

� C X Y5V � v C w H � 5 ��� C X Y5V � v C w 5� 8 R6X'<[L ��7���� ��7 � 8[� ] �67 ��LN; Y � :�;6< � S � RD<�4 Y b � Y �DL 41<��JS � 41<[] b Y 4 :1;6<�Z 8 XAZdS6X 8 : � Yf� Y b89� ����� SaL � ��V `58 4 � Y SDL 4 8 ] � Zd<[L!7�F � :1;�:�; � L 89� ] :1;6<>b Y X�X Y � � �6V :p� Y : 8 R6X�<^Lr� <�:14���: Y89� LN�%<O43:1;6< � S6<^LN: � Yf�\Y bh�#; � Z ;>4 8 ] �'K>� L$:�;�<�RD<[Lp:#Z.; Y � Zd<%b Y 4:�;�<UZ 8 XAZdS�X 8 : � Y5��Y b 89� �����Y b 8 V � ` < � X'< �6V :�; 7 � 8 Z.;�< � :�4�� Y b :�;6<�: 8 R6X�<^L#Z Yf� : 8 � � L � � S � RD<�4 L;�

� �%;6< � S � R <O4 Y b � Y �DL>4�< � S � 4�<[]�b Y 4\:�;6<jZ 8 XAZdS6X 8 : � Yf� Y b 8[� ����� Y brX�< �6V :�; ]�< �:1<�4 � � � <[] R���:�;6< 4 Y � � � ]M< K �hSDL � �6V�8 L �64 � ��8 4���4 8 ] �'K :1;6<�L ��e <\�641<[LN< � : 8 L :1;6<Z Y X�S � � � � ]M< K 7�F{< L 8 � �1�64 � ��8 4 � � 4 8 ] �'K ;6<�4�< �3RD<[Z 8 SDLN<j:�;6<j] � � <�4�< � :>: 8 R6X�<^LZ Y 4�41<[LN� Yf� ] : Y ] � � <O4�< � :#Lp:�4 8 :�< V � <[L3b Y 4UZ.; YJY L � ��V�8 4 8 ] ��K 7

� �%;6<|Z Y < ��Z � < � : Y b C X YfV � C � bh:�; � L#X�< �6V :�;�� 8 L%SDLN<^]Pb Y 4#:1;6<�4 8 ] ��K Z 8 XAZ!S6X 8 : � Y5� 7

Page 133: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

����� 8 R6X'< �67�.� �WX Y �DL#4�<��JS � 4�<[]�b Y 4 :�;6< Z 8 X ZdS6X 8 : � Yf��Y b :�;�< ����� Y b Lp� <^Z � � Z�X�< ��V :�; L �'e <[L �: Y ����� 89� ] :1;6<|Z Y 414�<[Lp� Y5� ] � �6V Z Y <��PZ � < � : Y b C X YfV � C b Y 4U] � � <�4�< � :#4 8 ] � Z!<[Lcb 4 Yf� ��: Y��M7

���������� �� � � ���

� ��� ���������� ��� ��������� ��� ������������ ����� ��������� ����� ��������� ����� � ���!������ �"��� ��������� �"��� ��������� �"��� � ������� ����� � �#�"������ ������� ��������� �����$� ��������� ������� � ������� ������� � ������������ ������� ���#���"� ������� ��������� �����%� � ���!�%� ���!�%� � �����%������ ������� ��������� �����$� �����%�"� ������� � ������� ������� � �������

�%;6< LN:�4 8 :1< V ��b Y 4 Z.; YJY L � �6V :�;6<�4 8 ] �'K b Y 4�� 8 R�X�<��67� � L : Y SDLp<�:�;6<|�64 � ��8 4 ��4 8 ] �'K v :1;6<Yf� < � < � : � Y5� <[] 8 :>:1;6<�41<[LN�D<[Zd: � ` < Z Y X'S ��� w 8 L Y b :�< � 8 L � Y L1L � R6X�<�� 8[� ] :�;6< � SaLN<�:1;6<Yf� < � ��� <[] � 8 :�<�X��: Y :�;6<UX'<db :�7 � Y 4#< K 89� ��X�<��J:�;�< v � � � � � w < � :�4�� Y b � 8 R6X'< ��7���L 8 ��L#:�; 8 :����� ��� Y �aL 8 4�<�4�<��JS � 4�<[]�: Y Z 8 X ZdS6X 8 :�< 89� ����� Y b,X�< ��V :�; �� ��� SaL � ��V 4 8 ] ��K � �#;6< � < ` <�4� Y L1L � R�X�<J7 b:1; � LqLN�D<[Z � � Z 8 ���64 Y 8 Z.; b Y 4 Z 8 X ZdS6X 8 : � �6V :�;6<|X�< ��V :�; � � � ��� � � L#SDLN<^] 8 L 84 8 ] ��K : Y L Y X ` <U�64 Y R6X'< � L3� � :�;�X�< �6V :1;DL �� ��&�:�;6< � :1;6<|Z Y <��PZ � < � : Y b('�X YfV � ' � L �67 ��� ��7

�%;6< LN:�4 8 :1< V � b Y 4 Z.; YJY L � ��V :�;�<>4 8 ] ��K b Y 4 � 8 R6X'< ��7 � � LU: Y SaLN<\:�;6<>�64 � ��8 4���4 8 ] ��K: Y LN�6X � :q:�;6<>�64 Y R6X'< � S � X'<[L�L�:1;6<�41< � L 8 RD<�:�:1<�4 8 X V5Y 4 � :�; � : Y SaLN< b 4 Y5� � 8 R6X�< ��7��f7 � L� : � LqLN; Y � �jYf� � 8 R6X'< ��7 � �D:�;�< ;MS � :#b Y 4q:�;�< RD<[LN:q4 8 ] ��K Z 8 XAZdS�X 8 : � Y5� � Lq]�<[Z � ]�<[] 8 L :1;6<�D<�4Nb Y 4 ��8[� Zd< Y bh:�;6< LN�6X � :4 8 ] ��K 8 X VfY 4 � :1; � � LWb 8 4#LNS�� <O4 � Y 4%:1; 89� :1;6< Y :�;�<�4 � LNS6R0�G4 8 ] ��K �8 X VfY 4 � :1; � L!7 �: � L 8 XAL Y � � :1<�4�<[Lp: � �6V : Y��6Y :�<q:�; 8 :%:1;6<qZ Y <��PZ � < � : Y b '�X YfV � ' � L]�4 Y �6� � �6V �8 L �%< � � Zd4�< 8 LN<:1;6< L ��e < Y bD:�;�<3R�S6:�:1<�4 �,� 7��%;6<[Lp< 8 4�< :�;6< L ��8 X'X�<[Lp: � Y �>Z Y S � :hZ Y <���Z � < � :.L�M�6Y � � L Y b 8 4 b Y 4#:�;6<|Z 8 XAZdS�X 8 : � Y5� Y b:�;�<�� ��� Y b 8>` <[Zd: Y 4 Y bX'< �6V :1;)'+*6�-,17

Page 134: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

����

� 8 R6X'< �67 ��� �WX Y �DL#4�<��JS � 4�<[]�b Y 4 :�;6< Z 8 X ZdS6X 8 : � Yf��Y b :�;�< ����� Y b Lp� <^Z � � Z�X�< ��V :�; L �'e <[L �: Y ����� 89� ] :1;6<|Z Y 414�<[Lp� Y5� ] � �6V Z Y <��PZ � < � : Y b('�X YfV � '_b Y 4U] � � <�4�< � :#4 8 ] � Z!<[Lcb 4 Yf� ��: Y���>SDL � �6V :�;6<�RD<[Lp:#4 8 ] ��K b Y 4�< 8 Z ;jLpS6R6�64 Y R6X'< � 7

��������� ������� � �� � � ��� ���

� ��� � �������� ��� � ������� ��� � ���������� ����� � ������� ����� � ������� ����� � � �������� � ��� � ������� � ��� � ������� �"��� � � ����� �"��� � ���������� �����"� � �����%� ������� � ������� ������� � � ����� �����%� � ���%� � ������� �������������� ������� � ������� ������� � ������� ������� � � ����� ������� � ������� ����� � �������������� ������� � ������� ������� � ������� ������� � � ����� ������� � ������� ������� ���������

� 8 R6X'< �67 ��� �WX Y �DL#4�<��JS � 4�<[]�b Y 4 :�;6< Z 8 X ZdS6X 8 : � Yf��Y b :�;�< ����� Y b Lp� <^Z � � Z�X�< ��V :�; L �'e <[L �: Y ����� 89� ]�:�;6<qZ Y 4�41<[LN� Y5� ] � ��V Z Y <��PZ � < � : Y b 'qX YfV � '�SDL � �6V :�;6< LN��X � :4 8 ] �'K 8 X V5Y 4 � :�; � 7

� �6X � :��G4 8 ] ��K ��� �� ��� �67 � ���� � � � � �67 � ���

��� � ��� �67 �0� �� � �"���� �67 ������ � � � ��� � �67 ���������� ����� � �67 �����

Page 135: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

�������57��57 ������� ��� ������� ���� �����:=��� � � ?T � X � � <�:�;�< V < � <�4 8 X����4 8 ] �'K 8 X V5Y 4 � :�; � L�:�; 8 : 8 41<�R 8 LN<[] Yf� :�;�<�L-� � :�;6<^L � L Y b ����� �#LY b LpS6R ` <[Zd: Y 4.L Y bqX�< �6V :1;DL ' � �"�:�;�<�LN�6X � :-��4 8 ] �'K 8 X V5Y 4 � :�; � � LUR 8 LN<[] Yf� :1;6<�L�� � :�;6<[L � LY b Yf� <>; 8 X b �GX�< �6V :1; 89� ]�:p� Y �JS 8 41:�<�4-��X'< �6V :�;������#L!7� � :�;6< b Y X�X Y � � �6V � < < K �64�<^L�L�:1;6<LN��X � :-��4 8 ] �'K 8 X VfY 4 � :1; � � �{��8 :14 �'K b Y 4 �t89� ] V < � <O4 8 X ��e < � :�: Y 8 4�R � :�4 8 4��{4 8 ] ��K � :�; 8 : � L�%< LN; Y � :�; 8 :\�%< 8 4�< �6Y :�41<[LN:14 � Zd:�<[] : Y Yf� X� Z Yf� R � � � �6V�Y5� < ; 8 X b �GX�< ��V :�; 89� ]�:p� Y�JS 8 41:�<�4-��X'< �6V :1; �����#L%R6S6: 8 X L Y 8 Yf� <>��:1; � 4 ] 89� ] L �'K Y5� < � � � � :�; ��� �#L 8[� ] L Y�Y5� 7

� Y 41<rb Y 4 ��8 X�X���JX�<�: '+* �6� * � � �"�6:1;6< � :�;�< ��� ��8 :�4 �'K Z 89� RD< �#4 � :1:�< �j8 Lhg * v �� ��� w " ��� v � � � w! g � � v ��7 � � w

:�; 8 :�]�< � � <[L�:1;6< b 89� � X�� Y b 4 8 ] ��K � � 8 X V5Y 4 � :�; � L � � :�;{Z Y5� �6X�< K�� :�� � 'qX YfV � v ' w � b � * �

89� ] �#" ���"'�X Y5V � v ' w � b � * � � 8 LP� <�; 8�` < 8 X�4�< 8 ]0�)Lp<�< � 7$� 8 :14 ��K " �%� � L 8 R6X Y Z �] � 89VfY5�D8 X ��8 :�4 �'K � � :�;�R6X Y Z � L Y b L �'e <|� :�; 8 : 8 41<

� " ��� �'& & *�( &��� �#;6<O4�<)( ��� * ] � 8[V v �f�p� � ��&�&�&O�N� +*�,� w 89� ] & * �M��&�&�&[� �.- �8 ] � 8[VfYf�a8 X ��8 :14 ��K � � :�;�<�X'< � < � :.L$� Y �%<�4 L Y b:1;6< '+* �6� 4 YJY : Y b,S � � :-�J7�: � L%< 8 L���: Y Lp<�<�:�; 8 :#:�;6<Ub Y X'X Y � � ��V X�< ���P8 ; Y XA]�L �

/ ��� � ����0 ��0 �21 HJ?�Ffk�khC6H =43657398 B 3 I 5 B;:�B!? =' * �6� * � � � FJI6@ & * ���'&�&�&[� �<- ��=)365� Hfk @ =

( & �%� *�( &�%� � � ( & � � � �

� ����� �?>��%;6<�<��JS 8 X � :-� b Y X�X Y �qL3b 4 Yf� :1;6<Ub 8 Zd:q:�; 8 :%� � � *�� � � �A� *�� �g 7@

� <O� < 8 : � �6V v �67 � � w b Y 4 � * �"� � < V <�: * v � � � � w " �%� � v � � � � w! � �

Page 136: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

�����64 Y5� v �67 � � w �6:�;�<U]�< � � � : � Y5��Y b,] � 8[VfYf�a8 X ��8 :�4 �'K " 89� ] �D< � ��8 ��7 �M7����M�%< LN<�<q:�; 8 :%� <Z 8[� �1�64 Y � 89V 8 :1< � :�;6<|] � 89VfY5�D8 X,L�Z 8 X � �6V ( & �%� b Y 4UL Yf� < � � ]�< K &�Y5� <�X�< ` <�X6b Y 4�� 8 4.]

( & �%� * ( & �%� v � ��� � w " ��� � v � � � � w� � �* v ( & ��� � � ( & � � � � w v � ��� � w " ��� � v � � � � w� � �* v ( & ��� � � ��� w v � � � ( & � � � � w " �%� � v � � � � w! � � "

�%;6<��64 Y ]�SDZd: v � � � ( & � � � � w " �%� � � L 8 ] � 89V5Yf�D8 X ��8 :�4 ��K :�; 8 :qZ 8[� RD< ��4�<[Z 8 XAZdS�X 8 :1<[]�7 �%;6<Z Y LN: Y b � S6X�: � �6X� � �6V 8_` <^Zd: Y 4�� Y brX�< �6V :�;�� R�� :1; � L>] � 89V5Yf�D8 X ��8 :�4 �'K � L �f� � Y �DL:�; 8 : � L � � � Y �DL � Y 4�<�:1; 89� :�;6<�� Y �DLq4�<��JS � 41<[]�: Y Z 8 X ZdS6X 8 :�< " �%� � � :�; 8 : � L � v � -E� w � 7� Y �%< ` <�4 ��L Yf� < � Y �DLUZ 8[� R < L 8�` <[]�R0��:�;�<>Z 8 XAZdS6X 8 : � Yf�jY b�( &�%� � v ���� w 7��%;�<�4�<db Y 4�<��6� <Z 8[� Lp: 8 :�< :1; 8 :� ���������� ��0 ��0 �� # 5A� Bj~.Ffk ~��Jk F 573 HJI H # ( & �%� � � #OHJ? = HJE�B &� � �f�'&�&�&[� � - � � ? B��� 3 ? B =k�B =.=�5 � FJI � v � - � w � HdC = #OHJ? 5 � B = ~.Ffk 3 I :jH # � - � ~.HJE�CDk'B��jI��ME !dB!? =.3 I 8 B1~ 5 HJ? � =�5 � B� m = CDk 365 mp?1FJ@ 3 � Ffk :JHJ? 365 � E 3 = #OF = 5 B!? 5A� FJI 5 � B|~.HJ?!? B = C�HJI6@ 3 I : � mp?1FJ@ 3 �\Ffk : HJ? 365A� E��� ����� �?> �D<�: � v � w R <|:�;6< � S � RD<�4 Y b � Y �DL#4�<��JS � 4�<[] b Y 4q:�;6< 4 8 ] ��K � �jZ 8 X ZdS6X 8 : � Yf� 7 �%;6<:�4 8 ] � : � Yf�D8 X 8 X V5Y 4 � :�; � ]�<�4 � ` <[] b 4 Yf� v �67 � � w � :1;6<|Z Yf� �6X�< KM� :-� � L V � ` < � R��

� v ' w * v � v � w � � v � - � w�w ' � � � � v ' � w� � :1; 8 L Y X�S�: � Y5�

� v ' w *� v � w � � v �.- � w� '�X Y5V � v ' w � � v ' w

8 L�%<q; 8�` < 8 X'4�< 8 ]0�\LN<�< � � � :1;6<���4�< ` � Y SDL%Lp<[Zd: � Yf� 7 �%;6< Z Yf� ��X�< KM� :-��b Y 4%:�;�<ULp�6X � :��G4 8 ] ��K8 X VfY 4 � :1; � � L V � ` < � R��

� v ' w * v � v � w � � v �.- � w�w ' � � v �.- � w � v ' � w � v � v � w ��� w '� � � � ' � � � � v '� � w

Page 137: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

�� �89� ] � :1;6< 8 ]6] � : � Yf�D8 X%: Y � v � w � Y �aL 4�< � S � 4�<[] b Y 4 :1;6<�Z 8 XAZdS6X 8 : � Yf��Y b�( &��� � � � 7��%;6<L Y X�S6: � Y5� : Y :1; � L%41<[ZdS6414�< � Zd< � L

� v ' w * v � � � w � v � w � ��� v � - � w � �� v � � � w '�X YfV � v ' w � � v ' w " ��41<�� S � 4 � �6V

v � � � w � v � w � � � v � - � w � �� v � � � w �� v � w � � v � - � w�

�%< Z Yf� ZdX�SD]M< :�; 8 : � ��� � � � v � -E� w ��:1; 8 : � L��D:�;�< � S � RD<�4 Y b � Y�� Lq4�<��JS � 41<[] : Y L1Z 8 X'<R���:�;6<�:p� � ]�]�X�<�b 8 Zd: Y 4.L � � :�;�< < K � 41<[L�L � Y5� ( & ��� � � 7 @

�%;6< � ��� X � Z 8 : � Yf�>Y b$:1; � L%:1;6< Y 41< � � L%:�; 8 :#�%< �6Y �); 8�` < 8 �JS 89� : � : 8 : � ` <U� 8 ��: Y < K �� 41<[L�L%:1;6<�] � � <O4�< � Z!<URD<�:p�%<�< � 4 8 ] ��K 89� ]jL � X � :��G4 8 ] ��K Z 8 XAZdS6X 8 : � Yf� Ld7 F{< 8 X L Y LN; Y ��:�; 8 ::�;�<\L � X � :��G4 8 ] ��K�� ]�< 8 Z 89� R < 8���� X � <[] : Yj89� � 4 8 ] �'K 89� ] �6Y : ��SaLN: � 8 LU�%<�X'X 8 LU: Y 8[� �] � � < � L � Yf�a8 X � 4 Y R6X�< � L � � Zd<\:�;�< ��8 :14 �'K b 8 Zd: Y 4 �'e 8 : � Y5� b Y 4>:1;6<�L � X � :-��4 8 ] �'K 8 X V5Y 4 � :�; �< K :�< � ]6LU] � 4�<[Zd:1X���: Y�� S6X': � � X�<�] � � < � L � Y5� L#� � :�;�:1;6<>;6<�X ��Y bc:�;6< � S6X�: � � X � Z 8 : � ` < � 4 Y�� �<�41: � <^L Y bq:1;6< � 4 Yf� <[Z � <�4 � 4 Y ]�SDZ!:�7 F{<�Z 8[� �6Y � Lp< 8 4 Z ;{: Y � � ] :1;6<\R <^LN:>L � X � :U4 8 ] ��K8 X VfY 4 � :1; � R�� ��SDLp:#X YJY�� � ��V\8 :q:�;6<�:-� � <[L Y b:1;6<|] � 8[VfY5�D8 Xh<�X�< � < � :.L Y b ��8 :�4 ��K ( & ��� � b Y 4& * �5��&�&�&O� �.- �f7

� ]�<�<[] � b Y 4 � * � �%<\; 8�` < ( � � � * ] � 89V v � �f� - � � w �#; � Z.; � < 89� LU:�; 8 : :1;6< L�Z 8 X � ��V( � � � � Z 89� RD<�] Yf� <�� � :�; ��Y � Y�� L � 7 <J7� * �M7/F � :�; � v � w * � � < V <�:�:1;6< RD<[Lp:Z Y5��� X�< K�� :�� L Y b 8 4#:1; 8 : � L � '�X Y5V � v ' w 7�� Y 4 � * �\�%<�; 8�` <

( �� � � *�] � 8[V v � �5� � �� v ��- � w � - ���4- � �� v �!� � w � w:�; 8 : � < 89� L3:�; 8 : � * ��7��%;6<�41<[LNS6X': � �6V Z Yf�� X�< KM� :-�|X�< 8 ] � �6V ��:1<�4 � 4�< ��8 � � L �67F <qSDLp<[]�:�;�< � � X � :-� � 8 ] ��K b 8 Zd: Y 4 �'e 8 : � Yf� : Y|V < � <�4 8 :�<q:�;6<q4 8 ] ��K Z Y5��� S6: 8 : � Yf� Z Y ]�<^Lb Y 4 �����#L!7

Page 138: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

��������� ������� � ������

� Y ]�<������ Y � � L�������� Y �DL �fZ�!"�'< ` < !"� V ! � <#�Nb Y ��$ �%�aZ'&�R(&^Z��9SDL)& Y b*��!+&�SDL�& Y b ` &#��� b,�fL)������� � � Y Z'&[L1L Y �.L'- � �� � � v ��&[]�SDZ.&[] /�DL)����SaZ'��� Y � �0&���� Y $ � S"��&#� w �AL�]1&^L�� V �"&[]2� YY�� &��3�%��&4���5��! ` &�� � L��6$ � X6&7�6�DL�����SDZ'��� Y �DL8��!9�%� Z���� L��3�%���:&��fZ�! ]"�%�3� � ����! Z>�6ZdX6&:���6$:&v ��!"&����5$:&;��&�� S+�5��&^]<� Y b=&�� Z>!?��!"& Y�� &������D]6L�b=� Y $���!"&��5�@��& V �AL)��&�� L�� Y�� &��3�%��& Y ����!"&#$A�6���!+& � ���6��!"$:&#���AZ � YfV �AZ\TB�"�6� v � � T w �%�D]{L�� Y ��&���!"&���&^LNS6X6�.L#R9�fZ � �6�1� Y �:��& V �AL)��&�� w - � X�X�5�aL����1SDZ'��� Y �aL Y�� &�������& Y ��]"�����;��!9�����%��& � ��&[L)&��1�C�5�D��& V �AL���&��.LE���D]8� Y ���6�7$<�%�5�*$:&�$ Y �������!MSDL*� ������ � � Y Z'&^L�L Y �\Z Y �F�����5�DL*� XG��� V &H��& V �AL���&��|L�&��#- ��!+&���& ����& Y �6X�� L��6$ � X6&>X Y �5]�%�a] L�� Y ��&H�5�DL)����SaZ'��� Y �DL;��!9����$ Y[` &\]"�����Pb=� Y $I$:&�$ Y ��� � Y ��& V �AL)��&�� LJ���D] R9�fZ � -���!"&������ � � Y Z'&[L1L Y �.L Z Y �F���%�6��$�S�X5��� � X5&;& K &[ZdS+��� Y � S"�+�5�.L@��!9��������&H�9X L Y � � � &�X6�5�"&^]"�(��!9�%�;� L��!+&�S"�"�6�.L��%��&?�9R6X6&:� Y L)���%���7& K &[Z!S"���6� V �4�"&��K�5�DL)����SaZ'��� Y �L& ` &#���{Z ��ZdX5&D& ` &��M��! Y S V !��!+& � ��& ` � Y SDL��5�DL)���1SDZ'��� Y �DL#]F�A]:� Y � Z Y $ � X5&#��&@��!"&��6��& K &[ZdS+��� Y �DL'-���!+& L)�5$ � X5�AZ.�5�-� Y bN��!"&�5�aL����1SDZ'��� Y � L�&����"��!"&|XG�5Z ��Y bE$:� Z'� Y Z Y ]F&����D]4��!+& SaL�& Y bO$�S6X6��� � X5& � � � &�X5�6�"&[]:& K &[ZdS"��� Y �S"�"�6�.LP$<� � &E���� � � � � Y Z.&[L�L Y � ` &�� ��b,�fL)�O�%�D] � &�& � ��!"&�!Q�%�.]F���%��&R�5L$L��6$ � X6&E�fL �DY L�L��'R6X5&S-

� Y ��& ` &#���5� Y �.]F&��7� Y!� &�& � �������� � � Y Z'&[L1L Y � L Y L��6$ � X6&��T�9X�X���!"&jZ Y $ � X5& K �5�-� Y b� � YfV �3�%$:$H�5� V !Q�fL R9&�&�� � �fL�L)&[]U� Y ��!+&�Z Y $ � ��X6&���- � Y $ � � &���!"�AL;!9�%� ]1������& � &��pb Y ��$SDL)&db S6XT� Y � � ���D] b,�5L����V��!"&\Z Y $ � �'X5&��O!9�fLR� Y L�Z�!"&[]�S�X5&��6�DL�����SDZ.��� Y �DLB� Y $�S�X5��� � X5& S"�"�5� L��� &�& � ��!"& � � � &OX5�5�+&[L b S�X�XW�%�D] � � Y�� &��1X��X�9X�X Y Z��%��&���!"&��& V �AL)��&�� L'- � X�X@��!+&[L�& � � Y R6X6&�$�L�%��& � � �/!9���.] L Y !"&�S+���AL)��� Z�L;�%��&�SDL)&[]L� Y �9�a]Y��&[L � &[Z.���9R�X5&�L Y X�S+��� Y �DL'- ��!+�AL��AL;��!0�Y�VfYJY ] Y�� ���5$:� e �5� V Z Y $ � ��X6&��R�AL|L Y Z'���6���AZ#�9X �T���D]L��!0� Z Y ]1&:��!9�%�\Z!X5& ` &��1X�� $ ���.Z�!"&[LB��!"&S"�D]F&���X�1�6� V �%� Z>!"�6��&[Z.��S"��& Y bE��!"& � � Y Z'&[L1L Y � � &��Nb Y ��$�LE��&�X'X/-

� � Y ��!"&��;� L�LNS+&7��!9�%� V ��&Z�%��X�� � &[Z'� L � &#�Nb Y ��$ �%�aZ'&7� LR$:&�$ Y ����X[�%��&#�DZ �0- �4&�$ Y ���6&[L!9� ` &��[X5�\� ��L�R9&�&��{LpX Y ��&#�B��!9�%���!"& � � Y Z.&[L�L Y �.L;��!"&'� L)&�� ` &S- � Z'��SQ�9X�X�:��!+& � � Y R6X5&�$]� L� Y � ]MS"&7� Y ��&[Z�!"� Y X YfV � R6S+�J� Y &[Z Y � Y $:�AZ�L.-��9�5L��;$:&�$ Y ����Z Y L�� L;�PX Y �#-���!+&�L Y X�S+��� Y �

Page 139: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

�����AL�� Y Z Y $\R"�5�+&�� L�$ �[X�X ��$ Y S+�1� Y bb,�fL)�R$:&�$ Y ��� �1��!+& ~.FJ~ � B �V��!Q�%�R$ ���.Z�!"&[L���!"&>L � &#&[]Y bD��!"& � � Y Z'&^L�L Y �4���6��!)XG�%� V &M�%$ Y S"�F�.L Y b LNX Y � $:&#$ Y � �0- &^Z��9SDL)& Y b���!"& X Y Z��9X6�5�-�� ���5�DZ'� � X5&D��!"� Z>! L����6L���!9�%�D���0�$:&����"�5� V b S6X � � Y5V �3�%$ ���'X�X Y �6X��M�fZOZ'&[L�L���L)$ �9X'X � �%���Y b\��!"&�� Y �3�9XO� ` ����X[�9R6X6&�$:&�$ Y ���P]�S"���6� V �%����L)$ �9X'XP���5$:&;�5�F��&#� ` �9X � Z��fZ�!"&*$:&�$ Y ����Z�����5$ � � Y[` & � &#�Nb Y ��$ �%�aZ'&�R0� L�� Y ���5� V b=��&��JS"&��F�-� �fZOZ'&[L�L)&[]L$:&�$ Y ��� � ����� L'- � Z�Z'&[L1L�&[L�� Y$ ���5�$:&�$ Y ����Z Y L���$<�%��� � � Y Z'&[L1L Y �\Z>�6ZdX6&[L L Y � � � &�X6�5�"&^L��%��&:�5�F��&#����S � ��&[] - F�!+&�� �]"�����:�5��&�$]�AL b Y S"�D]��5����!+&\Z��fZ�!"&���!+&��U��&��JS"&[L���&[]"�9��&\Z��[X�XN�6�R� ~.FJ~ � B �#365 � Y ��!"&#�����AL)&�5��� L�� ~.FJ~ � B|E 3 =.=O�%�a]4��� Y ��$ �[X �1���5$:& Z Y �DLNS"$H�5� V $:&�$ Y ������&��JS"&[L��O�AL�� L�LNS+&[]V-���!"&���&�%��&B��!"��&#&���� � &[L Y bhZ��5Z>!"&�$H&�$ Y � ������!+& @ 3 ?.B1~ 5 k l E>FdCJCDB1@ ��!"� Z>!�� LP��!"& Z�!"&�� � &[L)�$R6S"�E��!"&$ Y L����6�"&��PZ'�5&#�1�UR9&[Z#�9SDL)&:$ �%����$:&�$ Y ���jX Y Z������ Y �DL*�%��& $ � � � &[]U� Y ��!+& L��%$:& Z��5Z>!"&X Y Z#�%��� Y � � # �Jk�k l F =.= H[~ 3 F 57398 B ��!"� Z>! �[X�X Y �qL>Z Y $ � X6&���& b=��&�&[] Y $ Y b;$ � � � �5� V R6S"��� LJ��!"&$ Y L���& K � &��DL�� ` &R���D] ��!"&>= B 5 F =.= H[~ 3 F 57398 B ��!"�AZ�!:�AL��\Z Y $ � � Y $:�AL)& Y b$R Y ��! -

� X5��! Y S V !H� � � YfV �3�%$:$H&��P!Q�fL � Y ]F�5��&^Z'�N������� Y ]F& �9�"&@��!9�%�E� L3L)� Y ��&[]��5�D��!"& Z��5Z>!"&�%�O&��fZ�!D$ Y $:&#�1���%��!"&���&W�%��& � � YfV �3�%$:$H�5� V ��&[Z�!"�"� �JS"&[LT��!9�����5�D]1�6��&[Z.��X�� � � Y[` � ]1& � �%�����G�[XZ Y �1��� Y X,-���!"&�$ Y L��,Z Y $:$ Y �W��&[Z�!"�"� � S"&E� L C ? B #[B 5 ~ �#3 I : �0��!9���N�ALP��!"&#]+�%���;�5Z�Z'&[L1L � �%����&����Y b �%�Y�9X V5Y ���5��!+$ � LJ$ Y ]1� �9&[] L Y ��!9�%�D��� �6��&�$ ��!9�%��� L X6� � &�X� � Y Z��9SaL�& ��Z��5Z>!+&7$:� L�L�ALUR"� Y S V !1�*�5�F� Y Z��5Z>!"&D$:&�$ Y ��� R(&!b Y ��&D�5�;� LJ�5Z'��SQ�9X�X���"&�&[]F&[]V- ��!+�ALR��&[Z�!"�"� � S+& Y9` &#���XG� � L���!+&J$H&�$ Y � � X[�%��&#�DZ �:���6��!�SDL)&db S6X � Y � � L��5�aZ'&;�>X5&�� V ��!��7�6�1��&����1S � ��� Y �H�AL�� `JY � ]1&[]V-� � Y ��!"&#� � � Y5V ����$:$:�6� V ��&[Z�!"�"� � S"&@�AL ~.FJ~ � B�k 3 I B !!k H[~ o 3 I : �9��!Q�%���AL���!"&|]"�%�3�>L�����SDZ'�1S"��&^LSDL)&[]�R0� ���?�9X V5Y ���5��!+$]�%��&��[X5� V �"&[]:�6� ��!"&;$ �%�6�:$:&�$ Y ���*�5��LpSDZ�!4�������D��!9���B��!"&���] Y� Y �R$ � ��Y ����!"& L��%$H& Z#�fZ�!"&�X5�5�+&0-���!"� LB��&[Z�!"�"� � S+&�Z��%� � `JY �A] ��!"& Z��%�3�fL)��� Y�� !"� Z Y9` &#���!"&��5] Y bLpSDZ�Z'&[L1L�� ` &�Z��fZ�!"&R$H�AL�L)&[L �6� ��!"&;& ` &��F� Y bE�)� Y ����������L)&[Z'��� Y �aL ��!9�%�@����&��+&�&[]1&[]L��6$�S�X5�����"& Y SDLNX���F�%��&|Z Y $ � &����6� V b Y �B��!"&|L���$:&�Z��5Z>!"& R6X Y Z � -

��!"&R$ Y L��N�O&�X�X � � Y ��� � S6R6X5� Z�] Y $ ���5� L Y b=�)�\�%��&#b Y �cZ��9X ZdS6X[�%���6� V �����#LN�ALE��!"& �����.�� � � � b=� Y $ � ��� � -������ � � � � �ALE� � �5Z � � V & Y b � Y ����������LNS6R � � Y5V ����$�LWb Y �O��!"&#b,�fL)�

Page 140: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

�� �� Y S"���5&��C�������DL b Y ��$ Y b � &#��� Y ]F�AZ��%�a] Y ��!"&�� L-�1$:$H&������AZ$L)&�� S+&��DZ'&[L.- /�N�6�DZdX�Sa]1&[L$Z Y $ � X6& K ���&Z�9X ��L��6�"&��DZ Y L��5�+&��"���D] �JS9�%����&��-�/�\� ` &R���3�%�DL�b Y ��$PL � �0�\� ��� �,-

����������� Z Y $ � S"��&[L ��!"& ����� R���Z#�9X�X6�5� V>Y�� ���6$:� e &[]�� ��� � Y S"���5�"&^L Y bE�3�f]1� K �1-FU&�!Q� ` &��1S"� ����� Y b ` �%��� Y SaL3L)� e &^L Y � ]1� � &���&��F�P� Y � � L��3�%��� Y �aL � Y Z Y $ � �%��&���!"& � &����b Y ��$ �%�aZ'& Y b Y S"�#Z Y ]F&B���6��! � S6R6X6�AZq] Y $ ���5�\Z Y ]F&��"�5L ��&OX�X9�5L � � Y�� ���5&��3�%���\Z Y ]1&UX5� � &���!"& � � � ��� �����R- � Y � Y S"����&^L��.LE��& Y �6X�� Z Y �DL�� ]1&���&^]�] Y S�R6X5& � ��&[Z'� L�� Y ��Z Y $ � X6& K ��� �#L�5� � ��� � � � � �S- ��!"& � ��� � � �)Z Y $ � ��X6&��.LO�fZ�!"�5& ` &^]8$\SDZ�!�R9&�����&�� Y�� ���5$:� e �%��� Y �DL��!Q�%�4��!"& � ��� � � � ���7���D] �)Z Y $ � ��X6&��.L.-/� V &��+&����[X �N�5LJ��!"&:��&^LNS6X6�.L L)! Y � �5�L�3�9R6X6&[L �+- � �%�D] �+- �����D] � V S"��&[L��"- ���%�D] �+- � �

Y S+� V &��"&��3�%��&^] Z Y ]1& �AL b,�fL)��&�� Y �:���>X5&��5L��D�5L b,�5L��H�fL���!+& � S6R6X5� Z�] Y $ �%�6��Z Y ]1&�b=� Y $����� � � � � � ���D]U$\SDZ�! b,�fL)��&��;��!9�%�L��!"& ����� b=� Y $ � � � � ��� - � Y ��& ` &#� �V��!"&:�[S"� Y �$ �����AZ#�9X�X� V &��+&�������&[] Z Y ]1& � &��pb Y ��$�L8� Y � L�&4��!+&�� Z Y $ � ����&[]L���5��! ��!"&��9�"&�X�L��S"�+&[]����� b=� Y $���!"& � � � � �T- � LB�5� Z��%��R9&\L)&�&�� Y ���3�9R6X6& �"- �:��!"& � &��pb Y ��$ �%�DZ.& Y bO��!"&V &#�"&�������&[] ����� Z Y ]F&�S � � Y L�� e &$���� ������& Z Y $ � �%�3�9R6X6& Y � R9&�����&��N��!Q�%�D��!"& � � � � � �b Y � XG��� V &#�#L�� e &[LE��! Y S V ! �"��!+&��:��!+&�Z��fZ�!"&qS"���'X5� e �%��� Y �\R9&[Z Y $:&[LZ'���6��� Z��9X v ��!"&�L)� e & Y bT��!"&� � Y R6X6&�$ �AL�� YJY XG�%� V &�b Y �@��!"& ]"�%�3�8� Y �9�@�5�?��!"& Z��fZ�!"& w �1��!"&�� � ��� ��� � Y S"� � &��pb Y ��$PL��!+& Z Y $ � &����5��� Y � , -

Y ��! � � YfV �3�%$:$H�5� V ��&[Z>!+�"� �JS"&[L3b Y �R�5$ � � Y[` �6� V Z#�fZ�!"& SDL)&�� � ��&db=&#�.Z�!"�5� V ���D]�Z��5Z>!"&X5�6�"&�R6X Y Z � �5� V �%��&�SDL�&[] R�� � � Y � � Y ]�SaZ'&4!"� V !6X�U�1S"�"&[] � � ���X� Y S+���5�+&[Lrb Y �7&��5Z>!Z Y $ � S"���5� V � XG���Nb Y ��$�- �0�6�DZ'&;��!"&|]1&#��&���$:�5�9����� Y � Y bE��!"&|Z Y ����&[Z'�#SDL)& Y b ��!"&*�9R Y[` & � � Y �V �3�%$:$H�5� V ��&[Z�!"�"� � S"&^L��AL>R(&'� Y �D] ��!"& Z�� � �[R"��X6�5���5&[L Y b>Z!S"����&��1�\Z Y $ � �'X5&��*��&[Z�!"� Y X Y5V ��� � Z�! Y L)&�� Y �5� ` &[L��W�%��5]6]1�5��� Y �9�9XN& � Y ���R� Y !9���D]��1S"�"&���!"&>Z Y ]F& Y b � � ���L� Y S"���5�"&^L��!Q�%�E����&#Z Y $:$ Y �6X��qSDL)&[]"�fX6� � &N��!"& �����R-���!9�%�C�AL ! Y � ��!"& � � � ���D� Y S"���6�"&[LN�5Z>!"�6& ` &` &�� ��ZdX Y L)&J� Y ��!"& Y ��&#���AZ#�9X � &�� �� &#�Nb Y ��$ �%�aZ'& � ��� ��� �/-

��������� ������������������� �������! #"%$'&(�)&+*),.-!/10�2�2���34�6570�5��80� �0����:9'����5��9������!�;���40�<=�!��'>!/�?@���A�!��� �� 1���4����� ���'BDC�EF&�G�H!/�/!/I� ��0J��34�'��������� ������� ��K

Page 141: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� � �

�T�����5&��"- � � � ��� ���������(&#���>!+$ �%� �� �%���� � $ � �%��� � � � ���5��! � � � �������R-����������� �������

� ������� � ��� ��� ��� � ���� ������� � ������ ������� � ��� ��� ��� � ������ ������� � ������ ������� � ��� ��� ��� � �������� � ����� � �������� ������� � ��� ��� ��� � ����!��� ������� � ���������� ������� � ��� ��� ��� � ������$�"� � ����� � ����"����� ������� � ��� ��� �"� � ���������� �����%� � ������������ ������� � ��� ��� ��� � ������������ ������� � ������������ ������� � ��� ��� ��� � ������!������� ������� ��� ����������%��� � ����� ��� ��� � � ��� � ������$�"����� ������� ��� �������� ������� ������� ��� ��� ��� ��� ��� ���

� � ��� ��� ��� ����� �������� ������� � ���� � ������� � ���� ! ������� � ��� ������� � �����" ������� � ���� # ������� � ��� ������� � ��� � � ��� � �����$ ������� � ���� % ������� � ��� ������� � ��� �!����� � ���� & ������� � �$��('*) ������� � ��� ������� � ���� ' � ������� � ��� ������� � ��� ������� � ��� ��� ��� � ����(' ! ������� � ��� � ����� � ���� '+" ������� � �!� ������� � ���� ' # ���#�"� � ��� ������� � ��� �!�#�"� � ���� ' % ������� ��� ��� ������� ��� ��� ��� ��� ��� ���� � ) ������� ��� ��� �����!� ��� ���

Page 142: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� � �

Matlab

ESSL

Generated Code

100

101

102

103

104

105

106

107

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

100

101

102

Problem size

Tim

e (s

ec)

1−D Complex FFT times on the RS/6000

�T�����+��&��"- ��� � ��� ���������(&#���>!+$ �%� �� �%�� � � $ � �%��� � � � ���5��! � � � �������R-

Page 143: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� ���

�T����6& �+- � � ��� � � � � � � �9&�����!"$ ��� ��� ������ � $ � �%��� � � � ���6��! ����� � � � � -������� ��� � ���������

� ������� � ��� ��� ��� � ���� ������� � ��� ��� ��� � ������ ������� � ��� ��� ��� � ������ ������� � ��� ��� ��� � ������ ������� � ��� ��� ��� � �������� ���#�"� � ��� ��� ��� � �������� ���#�"� � ��� ��� ��� � �������� ������� � ��� � � ��� � ���������� ������� � ��� ��� �"� � ��������"� ���#�"� � ��� ��� ��� � ����"����� ������� � ��� ��� ��� � ���������� ������� � ��� ��� ��� � ������������ ������� � ��� ��� ��� � ������������ ������� � ��� � � ��� � ������������ ������� ��� ��� ��� ��� � �������������� ���#�"� ��� ��� ������� ��� ����������%��� ���#�"� ��� ��� ������� ��� ��������"����� ���#�"� ��� ��� ������� ��� ��������"������� ������� ��� ��� ������� ��� ���

� � ��� ��� ��� ����� �������� ������� � ���� � ������� � �$�� ! ������� � ��� ������� � �����" ������� � ���� # � ����� � ��� ���#�"� � �$� � � ��� � �����$ ������� � ���� % ������� � ��� �����$� � ��� �!����� � ���� & ������� � ����('*) ������� � ��� � ����� � ���� ' � ������� � ��� ������� � ��� ������� � ��� ��� �"� � ����(' ! ������� � ��� ������� � ���� '+" ������� � �!� ������� � ���� ' # �����%� ��� ��� ������� � ��� ������� ��� ���� ' % ������� ��� ��� � � ��� ��� ��� � � ��� ��� ���� � ) ������� ��� ��� ������� ��� ���

Page 144: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� � �

Matlab

FFTPACK

Generated Code

100

101

102

103

104

105

106

107

10−4

10−3

10−2

10−1

100

101

102

Problem size

Tim

e (s

ec)

1−D Complex FFT times on the SUN SPARC

�P� ���"��& �+- � � ��� � � � � � � �9&�����!"$ ��� ��� �%�� � � $ � �%��� � � � ���6��! ����� � � � � -

Page 145: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� ���

� �"� � $ ����� ��� � 1& � &��+&�������� � �*��� � ��� � ��!"& � � � ���'��� � � ����[�%� � &�� ��� 1��� � � 1& � -��& !Q���0&

� � � ���'&����� � �3�(1� �'& � � � � � � ����&�������� � � &�&R��!+&R& � &��'� �� � � 1& � ���&R� � � &����*� ��$ �%���.&0-��!"& �G�%� � &��D��� 1��� � � F&4$ � � & � �9&�����&�� � � & ���;��!+&4$:&�$ � � ��!+�5&��3�%� ��!���� ��� $ � ����&�L� ���� 1��� �L����� � ���6��!"$ � � �9&���� � � &���!"& � ��� � �"& � �:� � � ��� � � � &#� ����!9���:� � ��$ � ��& � � &�������� � � ��%��& � &����*� ��$H&� � � "�%�3�U��!9���:$ � � � �5� � & ���M�%��&�&��5��!"&����6�2��& � � � ��&�� � � ���5� ��!"& ���(��!"&0-� � � ��� ��!"& � � & ���@� �G��� � &��R��� 1��� ��� �(� ���5��!"$ �5$ � �5�5& � �=&��O&�� � � � � & � ���0&��W��!"&�"�����F-��� �&��+�%$ � �5&��T�4��� 1����� � ��� � ��� � � � &����*� ��$ �)��� �.&:� � $ ����� � � � � & � ���0&�����!"& "�%�3� ��*�������� �� �5&#� � ��! ��� , ��� $ � ����&��� �D����� 1����� � �����R- � � �(�� �����'&� � � $ � � �5&#� ���%�?� �>!"�6&��0&� ��� � �"& � � � ����&�� � ��!+&��"�5� � ��� � ��� � �"�"� �(� �5�5� ���0� � �3�%��+�%� �� ��� � � � ���5$:����%��� � �*��&���!"�"� � �+&��!����&��0&��R��!+&���& � ��5���5� � � � 1&D� � �� � � � &�� �'�5&��F� �(&���� � � &:��� � $ � � �5&�� ���%�+�� � 1� � � ���0&����� �V��!"& � �5$ � �5� � ���%��� � � � �"&B� ���������(� �� $H&������ ��� F&��1���5���5& � ��!9�%�@����&R�6$ � �6� �'�6� ��� � ��& � &��F� �6���!+&J$<�%���������,�(�'� � ����������� � � -/� ���"� � � 1& � &#�"&�������� � � � � � ��&�$ �O&:!9���0&7�������%� � &��*!9�%� 1������& � � &��.� ��������� � �M�%��

��! � � �O& � � � �.&�&�4�5����!"&����3�%� � �*� ��$ �%��� � � � ��& ��� ���6��!� �"� � � &��'� ��� � � ���6$:���Z�%��� � � � -�/�R� ��%� � � &�� � �"& � ��� � �7��!"& � � � � &#� � � & ��� � � 1&@������� � �*� ��$ ����� � �D� ��� �>!+�5&��0& � ��&��=&#� ��!"�5� � �%����� �>!"& �5�5�+& ��� � � � �6� �"-

����� � ��E��� ����! ��� � � � �U�#"7 7����!"&�� ��� ����U��!+& � ��!"&��*���3�%� � �*� ��$ � � !����� U�� � �9& � &�&��M� � ���G�(� � ���������� � ���5��!+$ � -��!"&���&*�%��&*$ �%����� � ���5$:����%��� � � � ��!Q�%� ����� �9& � �"& ���H��� � �5� �:� �� �%�F��� � & ��C��!"&#�5����� �>!

� ��� ���.� �"��&0- � � � $ � � �5&#��� � �� � ��� � �����5& ���F� � ����0&#���5� � ��� � � � � � � ��6& � � ���6$:���Z�%��� � � � -��!"&�� �%� ����� � ���5��!+$ � � &�� � ��& � � &� � � � � &�� �"&����'& �� � � ��1�6��� � �9��� � � � �����[�%�W� � � ��� �"$:&��F� ��%�� �"�3�%����!"�6� � � ������&�$H&��1� � � �:$ ����!4!"� � !"&�� �5&��0& ���� � � $ � �5&��F�5���D� � �5�F��� � ���'&�"� ��!9����� � � $ � � �6&�� ���%�����0&�� ��� $:&0-

�9� � �;�����%� � �*� ��$I��� �(� ���5��!"$ � ����&D�� � 1& � ���6�9�%��� � � � ���?��!"&#$ � & ��0& � �� �"�;���%��!"&��;�5$$�

Page 146: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� ���

� � �����%�F� � �%��� � �� � ��!+&��������(� ���6��!"$ � �6� � �'�5&��F��� ��� ��� $ � �+���5� �"- ��!+&���&D� � � � ��&��%�;�"&#&��*� � �%�4&#���F�5� � �"$:&#�1�O��!9���R� � ��� � ����6& �� ��!��� � �5� �<�%�� � � $ �+�5�"�6�"�5� �*��!"& � �%��� ��� � ������5$ � �5&�$D&��F������� � � � � �H��&����0&�$ � ��& � � $ � �5� ���%��&�4� � � �5� ���%��� � � � - �U&���&��F�5&�� � � $:&��#� � & ��9& � ���;-

��������� � ����� � � ��� ������ � � �������������!"&;�)� ��1�6$:&�� � � � �9��� ��� �"���6&������3�%� � �*� ��$ ��O��$ ���������� ��� � ����&�� �+����� '4� � � ��0&�� ���

�0&������ ���!�#"$&% *'��� $ � �(� % �0&��)�*� % "�& �#�%� � � &*��!"& � � � �"&�� � &��E� 1&#�1���5���

�+� $ � �(� % *,� � $ � � � % ��� $ ��� � %�%��U��! � � � �6$ � �5��� � ��!"& ��� 1�5$H&�� � � � �9��� ��� �"���6&��;���3�%� � �*� ��$I� �?� � &�� �"&����.& ����$ ��5��� � �6&� � 1�6$:&�� � � � �Q��� � ����� � �"��!9������&;!9���0&*���5��&��(�� � !�����?!��� � �7!9���� �6&0-

� ����&��0&#�N��& ���%� � � �5�H��!"&@�)� � � ��� ��� �5�F� � � �+& ������!"& �*� � � �����6� �*� � � � �0� �>! -���!+&R��&��

� ���5�E��� � ��9&B� � � &����*� ��$ ��!"& ��� F�5$:&�� � � � �9���+������� � �*� ��$K� � � � &�� �"&����'& ��� ��� 1�6$:&�� � � � �9���

� $<��� �6&������3�%� � �*� ��$ � � �5� � ��&Z�( ��\$ ���5��� � �5& � � 1�5$:&#� � � � �9��� � �"& � - �� � � �5$ � �5� �'�5������5&�� � �

� � � �"$H&7��!9�%���O&:�"&�&����!+& ��� ����� ��W$ ��������-� �� � ���#&.� ,�� ��� � ' ,)- �9&��*��!"& ����$ �������� �,� �'� � ������%��� � ���9&

� $0/ * ,1&�2 , � , *�,43 & �%��5� � / *

,1&�2 , � , *�,76 &

��!+&�� ��!"& ��� � ��� �#�%� �9&;�����6����&��?� �

�+� $ / � � � / % � * 89:89 ,1&�2 , � , *�, 3 &�;< � 89 ,1

&�2 , � , *�, 6 &=;<>;< �* 89 ,1

&�2 , � , *�, � 3 & � 6 & % ;< ���!Q�%� � � ����& � � � �� � � �D��!"& � � F& �

Page 147: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� � �

�*� ��� * � ���� * 6 & � 3 "&&���

��!"&���&��*� ��&��O&����%������ ��� � � � $��"�5�Q�%��� � � � �� 1��� &���&��F�W����� � ���5��!+$ � �*� �R��!+& � �5& �=� � �%��������� !1� � ������� � -��&;���6��&�� �� � �������!9�%����!"& 1���V&#��&��F� ��������� �(� ���5��!"$ � !9���0&B�3�(1� ����� ���1���V&#��&��F��$:&�$ � � � �(� �'& � � � �%����&���� � - /�2� 1�6��� � � ����!"&�� �5& �=� � ������� � !9�%�� �5& �0&��'� � � ���!Q�%�W�%��& � � �F���6� ����� � �6� $H&�$ � � ����� � � � �"$:�6� � � ��� � � � � � � �3� � &�� ��!"� �6&R��!+& ������� !1� �������� � !9���� �6& �0&��'� � � � ���6��! � ��� �'& � � ���0&@& �6&�$:&��F� � ��� F� � �3�%���.& � � � ����� 1& � % - /��$ � � & �� &#� � &;��!+&�� � � � � & 1���V&#��&��F�@��� �(� ���5��!"$ � �*� �B��!"& �5&��=�\�%�� ��� � !F� ��� �"���6&���������� � �*� ��$�-

��!"& � �%$:&H� � � �5�5& � � ��!"��� !"&�� 1�6$:&�� � � � �Q��� � � � ��5&#$ � - � � F�5$:&�� � � � �9��� � � �(��6&�$����� �9&*�����5����&��?� � � � �"& 1�5$:&#� � � � �9��� � � �(��6&�$

� ,�� 2 � � � *�, � $�� % �

��!"&���& ' ��� � ��!"& �6&�� � ��!���� � � �7��!"&�� ��� 1�6$:&�� � � � � -��!"&@������� � �*� ��$ ����� � �D� ��6& � ��&@�"&�&��� �;!9�%�� �5&@$ ���5��� 1�5$D&�� � � � �9��� � � �(��6&�$ � �%��&B��!"&

�*�(� � �����5� � �

����� � � � �"&�� � &�� ���E� � � � ���'� � ��!"� � � ��6&;!9�%�� �5& � &�� � ��& � � � � � �

� *'����� , � � % � ��� � � � % % ����6��!

� * � ��� , � � � % ��� � � � � %�% ���!"&)������!"&�$<�%��� ��� ��� 1&;� �

��� �"! �$# � �&%�' �$( �*) (,+ �-) # � �&%�' �$(/. ) (/0 � � �21# � �&%�' � ��� �"! �$( �*) (3. �-)4��� �"! �$(,+ ) (/0 � �

Page 148: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� ���

��� +�� � � �"&����0&�� ������N� � ���'� � ���!+� � � � ��!"&H&��1��&�� � � � � ��W� ���5& �����U� � � �� � ���6� �"��&&�� � ��& � � � � � �

� * 89>89 ,1&�2 ,43 & ;< � 89 ,1

&�2 ,�6 & ;<:;< ����6��!

� * 89 ,1&�2 , � 3 & � 6 & % ;< �

��!"& � � F&��5$ � �5&�$D&.�1���5� �R��!"&;��&������5��&J� �

��� �"! � � �� � � )������ ) ( � � ) � �� ��� )������ ) ( + � � �21 � �� � � )������ )���� �"! � ( � ) ( + � �

��!"&<� � � �"$ � ��� � � � � ��!9�%� ��� ��!�� � � � ���'� � !Q���0&H��!"& � �%$:&H� �"$��9&�� ���R��&���$ ���� ��!"&������ � &J�O&*�( � 1&��F���6����$ �%����� �.& � � �D��!"& � � � ���'�@���5��! ��!"& �=&���&#� �,�(�.� � � � -

��� . 3 � � � 6 -���!"� � � ��6& � &#��$:�6� � ��!"&4&�� � � � �"��& ��*���2� 1&��F���5����$ �����������!9���7� �!"� 1&�� �6�4� � &����6& � �� � � � �"&����0&�� � � � ���'� � -���!"&�� � � ��� �+$:&��F�

� * � 3 $ � ��� $ � 6 $�� % ��������(&*��&������5����&�� � � �5� �7��!"& � � $:$ �"�3�%���� & � � � � &������ �� � � � �"&����0&�� � � � ���'� �

� * � $ � $�$�� � $ � � � $ � 6 $�� � 3 $ � % $ � $�$�� � $)$�� % ��"��!"& � � F&��5$ � �5&�$D&.�1���5� �R��!"&;��&������5��&J� �

3 ' ' ��� ! � � ) # � � % ' � ��� �"! � ( � ) � � ! � � ) (,+ � )"� � � �21� ' � *&' �$# % � ( � �&%%' � *&' ��# % �$( + �'%

3 ' ' ��� ! � � ) # � � % ' � � ' �)( ' � ( ! � )%' � � )��� �"! � � � ! � �-) ( + ) ( � � ) � ' �)( ' � ( ! � ) ! � ( ' ��� )*� � � %

Page 149: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� ���

� ���5�F��&#��& � ���5� � � �6� �9����� � � ����� � & � ��!+&�� �O&�&��F��&��� � �"� ���3�%� � �*� ��$<�%��� � � � ��6& � � �!9���� �5&D$ ��5��� 1�6$�&�� � � � �9���T��� �(� ���5��!"$ � -�� ���!+& � ���%$H$ �%� ��\��!"&D$ �%������ �[�%� � �9� � &7�O&1&��Q�"&� ��� � �����%�� ��� � � � �+�5�9��� � � � &������ � � � �=��!9����� � ���5��! &��"� �'� ����)� � � � &�����%�F� � % - � ���O&��0&�� � ��� ��! � � &#���%� � � � � � ����& � � � �� � �H� � � � �'�[�%�����0& � � &#���%��� � � � � ��� ��!?$ �%������$ ��5��� � �6� �.�%��� � �?�%�� � � � �"&����0&�� � � � ���.�;�%��&D� � � � �'�G������0& � �5� �0& � �� �R$ ������&#��!��� �O&� ����&��F��!"& � ���#&D� � & �"&#���'& ��@$<�%������� $ ��5��� � �6� ������� � � � � � � � � �+&����0&#� � � � ���'� � -�� � �O&� � &�U� �?� � � � �.�G�%��&�� � ��! � � &������ � � � � �?��!"&D��� � !F� � ��!9����� � ��!+&7&�� � ��& � � � � � 3 � 6 � ���� � ���6����� � ��&� ���'&��� ��������������������������� ��!#"$" � �+����!"� � �'��&��%��&� � � �(���5&�$ � �6�:��� �1�6� ��� �1& � �'��� �9& � ������&���� � ���T��!"& �*� ��$ 3 % 6 % � %'& � ��!"&���&B�O&R����&@�5�F��&���& � ��&���5� � &��+&��������5� �� � ��� � � �"� ��C��!"& �G� � ��� 1&#�1���5����$ �%������V-)( �"� ���H� � � � �'�[�%���6� �D� ����!+&J����� !1� � ����� ���%�"��� ��F���� !��� 1&�& � ���D�"& � ��&�7��!"&;� 1&��F���6����$ ���������� � - ��!"& � �(� �"��� � � � ����!"� � � � �(���5&�$K� � � �1&��Q�"&;��!"& � � &��3�%� � � � ��� �+*��H�%�� �,�.-0/ � ��1 �%�����6��! ��!+& � ������&�$:&#�1� �2�3�354$687�9:3�;�<>=@?�A5BDC�EGFIHKJ$LDMK3)NOBPQ;�RS#;�P:3T6U3�V5W2�3�354$687�9:3�;�<>=@X$RZY�[5\KEGFIHDJ�LDMD3]NOBZPT;�RDS#;UP53Q6�3�V:W2�3�354$687�9:3�;�<>=�\D[5^DEIF_HKJ$LDMD3]NOBZPT;�RS#;UP53T6U3�V:W

��!9���E$:&��%� � ��!9�%� ��� �+*�� � �,�.-0/ ����`�$*�a �*� � ���%��!"&�$ ����� �#���%��&���� � �"�5�Q�%� �S-b* � �� ��& � � � � � � �5� �0&����������������$�T�������c��!5"$"R��&� ���'&�� ���������������d� �e!5" � ��!"� �6&.�$�������f�$";��&� ���'& �� �O� -

��!"& �"&�� & �6&�$:&��F�R�6�L$ ���5��� 1�5$D&�� � � � �9���N������� � �*� ��$ � � � ��!9�%�D��&H���� !9���0&D$ �%���

� � � � � ���5&*���6��&����9�%�����0& � � ��&�� � � � ��&0- g� ��&��+�%$ � �5&

3 $ � %h& $ % 6 $�� i � $ � $)$�� � $ � � & $ % 6 $�� % 3 $ � % $ � $�$�� � $)$�� %i � $ � $)$�� � $ � � 6 $ � % 3 $ � %h& $ % $ � $�$�� � $�� % "

��!"&���&��*� ��&���&@�"&�&��� � F&��9�"&@� � � � � � �"���'��� � �D�%��D� � &���� ��! � � � �'&� �+��&��5�D��!+& � � � �'&�� � &�$ ���1��� ����� ���&D �"��� ���5&��F�������%� � �*� ��$ � - �&;& �G����� ������& � �?��!"& � &;� 1&Z� � �5�+jlk+-nmS-

Page 150: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

��� m��������� ����� �������������������������� �����#��&:&����1� � � � � � � ��=�)������& &�� � �5�"&#&����6� � &����F�5� � �"$H&��1�W��!9��� �1���� � ��� �O�������+� gbg � �%��

! &����*� ��$ � � � 1&���3�%� � �*� ��$ �%��� � � � &��5��!"&��H��� � � � � � $:& ! ��&�1&U�9�"&� � ��������& � �5& � �/� � �6� ���!+& � ��&�$ ! � ���0&�� % � � �6�1��&���� �'����0& � � &���� � � � � � ��&� � &Z�%� ��!"& � �5����!"& �"! �(�.& �� ! � � � �3�%$ ���3�%� � ��*� ��$ � ��� �1�6� ��� � 1&��0& � � ! �%� � ! ���5$ ��� ! � � � ����$ �*� �D� � ���0&�� � � $ ! �"�3�%��� � �9��� ! � �(��6&�$�%�� ��� $ ! �+��&��O�%� �>!+�5��&��'� �"��&0- �U& � ���0&@�)� �*&��"��$ ! �6& � �9& � ��� ��!"&���& � ���>!<� � � � ��&#$ ������9& � � &�� ���/-

��!"&$#�%'&'%'()%'*+&-,�*+./&'02143 ���;�)� �$ �%����� �.& � 3 �%�� 6 ���;��!"& � �%$:& � !Q� ! & � � � ��!"&$ ��������7��& � ���5���6� � �=� � $ ��!"&��6��& �5&�$H&��1�)��� � &@$ ��5��� ! �6� �#�%��� � � - � ��� � �����6����&#�4� �

� i 365 687 94:<; i>= :<;?:@;BA

�DCFE �*�(� � �/G�HJI � �JE�K-KMLNC�(� �O �2PQPQR 0TSVU�S �XWJYZ3V[]\�,F%'^V*_.`YZ()%a3b*c^V14\+d 3 %'eF& �gf %'eF&-3V[]\�,h%'^V* 6 %'eF& i%'*j\_.`Y�3k[]\dl%'(�\�dm[h%4,]\_*m\+d",]\�143�^Vn/\moqp f 3k[]\ce

� 3 % 6 % 5 � � % % i � 365 � % % � 6X5 % A �@khrtsBu %v �/wTwhxjyNz]E�{ � � � �aI � H 2E�|�{+CFE �b}�)�~ % �� � �������{�CFE �JE���{���C]L/I� � � H �E_K�L�{�|+H����� kFr@sau � H�{DH �

� = :<; 6 % 5 � 9 :<; % i�= :<; 9 :@; � 6�5 %{+C�L�{�H � {+ChE �b}�)�~ % ��� � ��� ���{�CFE_|+H �aC2{��bC]L�I��� � H �E_K�L/{+|+H� r��

�Zw !�� w]���T����w !6� ��R������z]E�{ � � � �BI � H �E�|�{+ChE ���aI����(���h{+H �BI � �a| ! � ���2I�aK-H�L��TK ��J{�H ! ��H ��L�{�H �aI�L�� �(�B|+HJ{�CFK�{�C]L�{ � � E �{+ChE gbg ��rF��H��'E�IZ{`G � ! � ���2I�aK�HVL�� ���]� ��� % L/I� � � �b� % �����E �B|+E�E � � L�I� � |+E �"! E��4{+H�'E ��� �GDE ���aI � {+| ���4{�{`G � �'E��4{ �B| � �]� L/I� � � � �B{+C ��� ��E�I �a{�C�� i �]� � ��� � {�C]L�{ � �aI2{mL/HJI){�CFE

Page 151: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� ���

� �'E�� � H�E�I�{�������{+CFE � �a|+|�E� ! �BI��HJI � ! � ���I��BK-HVL����L/I����E�|�����L�{�{+CFE�|+E��`{��� {+CFE ! ���`H�{+H��aI��cr��E �2I��/GX{+C]L/{D{�CFE � �'E�� � H�E�I�{������{�CFE ! �����2I��aK�HVL�� � ��� % {�C]L�{ H���{+CFE ! |��� � � {���� ��� L�I�

� � L/|+E �aH�'E�I����

� i ��� �$ � ��� $ ��� % 5 �+� $ � � % % A� � G E�C]L��'E�L���|+E/L�����"E�E�I ��� E�|+{ L�HJIOg g �6L��� �B|+H�{+CFK��TC]L��'E�L ! L�|�{�{+C]L/{ ! E�|�� �B|+K�� {�CFE!�FH�{|+E��'E�|"��L�� ! El|+K �F{mL/{+H#�BITr��DCFE�"E�L�|�E){+CFE%$������JE���� �'& �'E�� � � E L �`E�L/I� �NElI�{(�JE�K�L/I��d�2L�I�2E'r�DCFE � {�� � ��C]L/K�L/I��{�|mL�I)� ! ���"E �'{�� � ��C�L�K L��#*��a|�HJ{+ChK���L����BH��{�CFE+�FHJ{ |+E��'E�|��+L����� ! E�|��� �a|�K-HJI,*-HJ{�H�I-�`{ L�*aE�� � {(� *BE�{+CFEl| G�H�{+C�{�CFE�H�I�{�E�|+K�E�HVL/{+E,g g �.� ! El|mL�{�H#�BI��4r �DCFE�L������'E! � ���I��BK-HVL�]K/&���{+H ! �JH � L/{+H#�BI�L���* �a|�HJ{�CFK � L�I%�]E ! E�|�� �a|+K�E G�H�{+C���&F{ � �hHJ{D|�E��'E�|��+L��0��L�I�

CFE�|�E�H0�NC��/G21�z]E�{�� $ i 3 $ � $ {�CFE �bL � {��B|+H�/L�{�H#�aI-�� {+CFE43 g � � �a|+|�E� ! �BI��HJI,* {���{�CFE$���� ��E���� �'& �'E�� L���* �B|+HJ{�CFK � G�CFE�|�E ��H0� {�CFE5�hHJ{�|+E��'E�|��+L� ! El|+K6&F{mL/{+H#�BIQK�L�{�|+H���r��DCFE3 g ��K�L�{�|+H��)H0�!���2K-K-E�{�|+H � {+CFE�|�E�� �a|�E

� $ i � "$ i � 3 $ � $ % " i � " $ 3 " $ A� � {(&]L������ {�CFE�IFE�G �bL � {��B|+H�� L�{+H��aI � �a|�|+E� ! �BI���-{��Q{�CFE$��E�I2{���E�K�L�I��e�2L/I��E L��#*��a|�HJ{+ChK�r75�a|�E8���'E�|D{�CFE_HJI��'E�|"�"E�H���*BH��'E�I4���

� � �$ i ��:9� $ i ��;93 $ � $

�DCFE�I�{�CFEZL������'E)L���* �B|+HJ{�CFK�H0�DED<&hH��BL���E�I�{�{(�

� i ��=93 $ � $ � ��� " $ 3 " $ �]� % 5 ��� " $ 3 " $ � � % %i ��=93 $ � $ � " $ � � 3 " $ �]� % 5 � 3 " $ � � % %i ��=93 $ � � 3 " $ �]� % 5 � 3 " $ � � % %

�]E � L&��`E � �B| L��#� ! E�|�K/&F{ L�{�H#�aI)KML�{+|�H � E��?>�L�I)/*aE�IhE�|mL��KML�{+|�H � E�� � L/I�%@A�� � �BI�� �a|�K �

HJI,*6�`H��lE�DHJ{�C�������D{�C]L�{�B>>� % 5 �C>D@ % i >�� � 5 @ % A

Page 152: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� � u��H��'E�I�{�C]L�{�{�CFE �hHJ{�|+E��'E�|��+L� � L�I {mL �'E L �NK6& � C�L � ����� ���D{�CFEg{�HJK-ED�� {+CFE�gbg � � {�CFEL������'E�{+| L�I�� � �a|�K�L�{�H#�aI)��L � CFH�E��'E � �aI)�`H�2E�|mL���JE �+L���H�I�*��cr �DCFEl|+E�L�|�E I�� ��I��/G�I � �BK �

! H��JE�| � ! {+H�K-H�� L�{+H��aI){�E � ChIFH �&FE� {�C]L�{ � ��&���)C]L��'E�E8�JH�K-HJI]L/{+E_L�#�]{+C]L/{�&FIhIFE � E�(�+L/| �6FL/{mL�`C�&���HJI�*hrv�� R �$�Zw �����2��R2����w !Q� ��R��������I � u5m�� � &�* ��HJI�L�I)� NHJIFE�� C]L��'E ! |+E�"E�I2{+E_{+CFE�,F[h%�d/\ 1m.'*4*m\moq%a3b^V.'e K-El{+C��� � �a|�L�JH#*BIFHJI,*

{"G��ZHJK�L*aE��G�CFH � C�L�|�E2�`ChH ��{+E�M|�E8�VL/{+H�'E�{��)E/L � C�� �a{�CFE�|�� � ,m����brbg��a|�E��FL/K ! �JE � �C& !h! ���`E� � &ML�|+E_{�| � HJI�*Z{�� � L ! {�&F|�E_L ! L/I��a| L�K�L_G�HJ{+C LgI��B|+K�L� � L�K-El|mL � � L����#�/G�HJI,*g{+ChE�|+H�*aC2{! L/|+{!��� L ! H � {(&F|+E ���'E�|(�VL ! G�H�{+C�{+CFED�JE���{ ! L/|+{!��� {+ChE�IFE��2{ ! H � {�&h|+E'r �DCFE ! C]L��`E � �B|+|+E �VL��{+H��aI L���* �B|+HJ{�CFK �]I)�� {�CFE��H�� ! �VL � E�K-ElI�{�� IhE � E�(�+L�| � {��6�]E�`{�L�JH�*aI�{+C����`EZ{`G � ! H � {�&F|�E�4r

75�a|�E�� �B|+K�L�#� � � *aH��'E�I-{"G����'E � {��B|"�D� L�I� � ����{�CFE��+L/K-E �JElI�*a{�C�� {+C]L/{ �BI�� � �H�� El|� � L��H�� ! �VL � E�K-ElI�{�� � {+C]L/{NH0�

� �J~ % i � �J~� !� %GDE � L�I �]I��{+CFE ! C]L��`E��H�� El|+E�I � E"�2� � �#� � L/{+H�I�*){+CFE K�L��2HJK�&FK E8�JElK-E�I2{�����{�CFE"�'E � {(�a|

# i%$$$� � �'& ��� 5 � ��( $$$

G�CFE�|�E )�H��D{�CFE � �aI�*�&,*'L�{�E2���+�'E � {��a|,)�r�DCFE��+L/K-E * L�H�I�� � L�I��]E_L � CFH�E��'E�� � L !h! � � HJI�*ZE��hL � {(� � {+ChE2�+L/K-E�{+| L�I��-� �a|�K�L�{�H#�aI)�

�aI�L�I�L���* �B|+HJ{�CFK%� �a|�K�L/{ � CFHJI,*NH�K�L�*BE� � ��|(�aK �H�*aH�{mL��hHJK�L*aE ! |�� � E�(�`H�I�*FrD��H.�'ElI)HJK�L*aE�� � L�I) �0/ � {+CFE ! ���"HJ{�H#�aI ��� {+CFE_E8��E�K-E�I2{ ����K�L��2HJK6&FK �JE�I�*B{+C���� {+ChE KML�{+|�H.�

� i �+� � � ��" % 5 ��� �0/0� " %�E�{�E�|+K�HJIFE�2{+CFE �H0� ! ��L � E�K�E�I�{h{+C]L/{ ! |(����H0�E��{�CFE��]E�`{TK�L/{ � CFHJI,*?���F{�CFE�{"G��!���'E�|���L !F! HJI�*

! L/|+{"��� (D|(�'uBs���r � ��L������'E � G E ! E�|1� �a|�K�{+CFE�gbg �"2 �DG�HJ{�C�� &h{�{+CFE2�FH�{�|+E��'E�|��+L��� � GDE �BI�� �IFE�E��{(� �FH�{T|+E��'E�|��`E�{+ChEDHJI)�H � E�� ����{�CFE�K�L�� ! ���`HJ{�H#�BI����]{�CFE�IFE�G � G E�C�L��'E � L� � &,�VL�{�E r

Page 153: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� k ������ � ����� ����75&���{+H �b|+E��C� ��&F{+H��aI�L/I]L�� � �"H�� ! |(����H0�E��{�CFE�K%���`{ I]L�{(&F|mL�TG�L � {(���JH�I ��{�CFE�G L��'E �JE�{�{+| L�I��-�� �a|�K���{�� *BE�{+ChE�| � K%�B|+E8���'E�|�{�CFE6�`E�KML�I2{+H � ������{�CFH�� L�I]L� � �`H��+*aH.�'E�&��_L �bL � {(�a|+H��/L�{�H#�BI ���{+ChE G L��'E8�JE�{�K�L/{+|�H � E�cr

��& !F! ���`E_GDE�C�L��'E L��H0� � |�E�{+ED�`H�*aI]L��������� � L �'E � {��a|���� ��E�I�*a{�C�s��"r���E�G�L/I�{ {�����I��L! |(� � E���D{(� &�\�1m.'(N,h.�d/\��_HJI2{��)L ���/GDE�| |+E�B� �#&h{+H#�BI��+K�L/HJI ���`H#*BI]L��!� ��� � � � L�I��L"���E�{mL/H#�#��`H�*aI]L� ��� � � ��G�HJ{�C�{+CFE"� � ���#�/G�HJI,* ! |�� ! El|+{+H�E��1

$ �"H#*aI�L���� ��� � � ��L�I�%�&��� � � � � �8� & !�� {�CFE��+L/K-E2� ! L � E L �D{+ChE �B|+H�*aHJI�L�� �`H#*BI]L��!������� �$ {�CFE �B|+H#*BHJI]L� �"H#*BI]L��'� ����� � L/I5�]E *j\�1m.'e dc3b*c0�143"\�& ��|(�aK HJ{�� � �BI��`{�HJ{(&FE�I2{"�(� ��� � � � L�I�

��� � � � �$ {�CFE ! |�� � E���� � L�I��]Eg|�E � &F|��`H.�'E � � L !F! ��HJE-{������� � � �+rg��a|�E��hL�K ! �JE�H �]GDE L !F! � � {+CFH0� ! |(� � E����|+E � &h|"�`H��'E8� � {���L �"H#*aI�L�� � �*)+� ��� �JE�I�*B{+C s ) i � �

GDE_G�H��#� *BE�{�{+ChE |�E�C&,�J{+H�I�*��'E � {(�a| 1�,� �*-.�� �*-+�� � � �� � � �/ � / �� � / �/ � / �) � / �/ ��0 A 1 khr � �32

z]E�{54�L/I�76 {"G��4�JHJIhE/L�| � ! E�|mL/{��a|�� � 4�L ���/G ! L �(�.���J{�E�|�{+C�L�{ ��E�{"� � �aI��"{mL�I2{"� L�I�

�#�/G ��|�ED<&hE�I � H�E��{�� ! L����D{+Ch|�� &,*aC L�I�"6 L_CFH#*BC ! L ���c�)�J{+El|!�C& � C-{�C]L�{�4 /98 ������� i ����� � � �L�I):6 / 8 �&����� i ��� � � ��r��$E�*��aH�I�{+CFE�K {�� *BE�{+ChE�|�{���� �a|�K�K�L�{�|+H��

� / 8 i ; 4 / 86 / 8=< �C��{+C]L/{ � / 8 � ����� i ; ����� � � � ��� � � �><

K%�B|+E8���'E�| � �`HJI � E�GDE�K6&��`{ �]E�L�����E�{��_|+E � �aI��"{+|(& � {'������� � KML�{+|�H.� � / 8 K/&��"{��]E�H�I��'E�|�{+H����JE'r� { {+CFE_IFE���{ �`{mL*aE � G E_L !h! � � � / 8@?BA �aI�� � H�I {�CFEC����� � � ���`H#*BI]L��&%FHJI-|�E���E�|�E�I � E�{��){�CFE

�a|�H#*BHJI]L� �`H#*BI]L��D��������{+ChH�� � L/I �]EZG�|+HJ{�{+E�IML �; � /E8@?FA �� 0 & / 8@?FA < 7 /EG � �*HI� A 1 khr � � 2

Page 154: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� k ���I�*aE�IFEl|mL�� � GDE � L�I � �aI��"H��E�|�Lg{�|mL/I�� � �B|+K�L/{+H#�BI K�L/{+|�H.�

� / G i H1�=2 �

; �0/�� �� 0 & / 8 � / � < 1 khr � s 2

G�CFE�|�E���H0�gL�K�L�{�|+H.� ���(��E�|(��� ����{�CFE�L !F! |�� ! |+H�L�{�E5�"H���E�L�I) &�� {+CFE�� � � � �"�QH��E�I2{+H�{ �K�L/{+|+H�� � {�C]L�{�L !F! � � �H�|+E � {�� � {��%��������{(��*aH.�'E�&������*-+��L/I� {+ChE)K/&���{+H ��|�E�C���#&F{�H#�aI �El{mL�H���� �*-+� )������ ) ��� � � �+r �DCFH0�DH��D{�CFE���%'n�\moJ\ 3N3b*+%'e dVYl.'*c( ()%a3�*c^�r

��{�H��NE L � � {����"E�E){+C�L�{_G�CFE�I�{�CFE)K�L�{�|+H � E� �0/��)L�|�E��a|�{+C���* �aI�L��D{�CFE�I�{�CFE)G�L��'E8��E�{{+| L�I��-� �a|�K K�L/{+|�H.��H�� �B|+{+C,� * �BI]L�� � K4�a|+E ���'El|�{+CFE�HJI �'E�|"�"E�����{+ChE-{+| L�I��-� �a|+K K�L/{+|+H�� H0�*aH��'E�I%� �

� � �/ G i ��� / G i �1�=2 H� H � � ; � 0/ � �

� 0 & / 8 � / � < A 1 khr �B�32��H.�'E�IZ{+CFH0���E��]IFH�{+H��aI�� �bL � {(�a|�H��/L/{+H#�BI���� {+CFE!*BE�IFE�| L��F{�|mL�I)� � �a|�K K�L�{�|+H�� # GDE � L/I)|+E��2H��"HJ{{+ChEgG�L��'E8��E�{D{�|mL/I�� � �B|+K�� ���� �LBL�|_L/I� 3�L�&,��E � CFH�E��{���|+E�EU�]IFEg{�CFE�K � � � C,�����`H�I�*-{�CFEL !h! |�� ! |+H�L�{+E �/G�I�� �+L�K ! �JH�I�*)K�L�{�|+H�� � r

�DCFE �LaL/|�G L��'E8�JE�{_{�|mL�I)� � �a|�K K�L�{�|+H.��H�� *BH.�'E�I � �=� C������`HJI,*${�CFE &'.���e���dl%'(N,]oq^Ve������{+E�|��

7 /�� i; 4 /��6�/ � < i ; & / �E?FAb% � �_� �

& / �E?FA % � � � � < A 1 khr � k 27�L�{�|+H�� 4 / � H��D{�CFE_L��'E�| L�*aH�I�* � &FI � {+H#�BI�L�I) 6�/ � {+ChE2�H ��E�|�E�I � H�I�* � &hI � {+H��aI � ���a{+C � |����IFE � �'E�| ! |��� & � {"�����]{+ChEDH�2E�I�{�HJ{ � K�L�{�|+H.��L�I�_{+CFE � �'E�� � HJE�I2{"� ���]{+ChE!�H��VL�{�H#�BI E<&]L/{+H��aI��cr��I��a|"2E�|�{���C]L��'E �a|�{+C���* �BI]L���HJ{ � � �0/���K6&��"{��]E�� � L�JE%� ������� s�r

g��a|�{+CFE�3�L&��]E � ChHJE�DG L��'E �JE�{�{+| L�I��-� �a|�K�KML�{+|�H.� � ����H��7 /�� i

; 4 / �6�/�� < i ; & / �9?FA % � 9 - 9 � � ��� / �9?FA % � 9 / 9 ) �& /��E?FAb% � 9 ) 9 /�� ��� /��9?FAb% � 9 � 9 - � < 1 khr � � 2G�CFE�|�E 9 - ) 9 � ) 9 / ) 9 ) L�|+E�{�CFE � �'E�� � H�E�I�{�� ��� {+CFE-�H��VL/{+H#�BI6ED�&]L/{+H#�BI��4r 7�L�{�|+H�� � H���L��& ! �B�"CFH ��{.� ! E�|+K6&F{ L�{+H��aIQK�L/{+|+H�� {+C�L�{4�`CFH ��{"��L��#��E8��E�K-E�I2{"� ��� L �'E � {(�a|6& ! L/I� ! &F{��{+ChE H�IFHJ{�HVL� ��|"�`{)E �JE�K-ElI�{�{(��{+CFE���L �`{ ! ���`HJ{�H#�BITr �DCFE ���J{�E�|gKML�{+|�H � E���4���L/I� 6���L�|�E� �BI������#&F{�H#�aI K�L�{�|+H � E� 1 �'�'E ! ��HJ{ � 2 �,&F{�G�HJ{�C�E��'E�| � �a{�CFE�| ��HJIFEZK-H��(�`HJI,* 1 {��ML � CFHJE��'E_{�CFE

Page 155: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� k s �/G�I�� �+L/K ! �JH�I�* 2 r �'HJK�H#�VL/|�{��-{�CFE �LBL�| � L��`E � HJI5�B|"�El| KML�{+|�H.��� � {(����E��B|+{�C�� *��aI]L� �HJ{�K6&��"{��]E�� � L�JE%� ����� � s�r

��� � ������� � ��� � � ������"���� � � ���

�DCFE � &F|+|�E�I�{+�'E�|��`H��aI6����{+ChE � |��aIhE � �'El| ! |��� & � {!�C��&F| � E���{(��� �C��&F| � E � �BK ! H��JE�|�{�|mL/I��C��L�{+E��K�L/{+|+H�� E�� ! |+E����`H��aI��)HJI2{�� ! L/|mL����JE8� L�I) �`ED�&FE�I2{+H�L��!�#��� ! �%��� L �(�`H�*aIFK-ElI�{6�"{mL�{�E�K-E�I2{"� �&��"HJI�*�{+El|+K |+ElG�|+HJ{�HJI�*�|�&���E�4r �'H�I � E){+ChE�|(&��JE� L�|+E6�]L��`E:�BI:��HJIFE L�|ZL���*aE8�F| L-H��E�I2{+H�{+H�E�L�I) ! |(� *B|mL�K E<&FH��BL��JElI � E� � {+CFE�|�E � L�I �]E � �BI 1 H � {+H�I�*-|�&,�JE�N{�C]L�{ � L�I � E8� E L � C �a{+ChE�|�2 �L � {+H#�BI�H � L !F! ��HJE-H�I5�B& �8� E����`H��aITr g��B|�E��FL/K ! ��E � {+CFE � |��BIFE � �'E�| ! |��� & � {NH0�E�I2{+H�{ �

3 % 6 i 1 3 % & 2 1 & % 6 2�E���IFE��{`G � ! �����`H����JEZ|+E�& � {+H��aI�� � |�E�G�|+H�{+H�I�*){+CFE��JE���{1��C�L�I� �`H�2E ��� {+CFEZH��E�I2{+H�{ � {(��{�CFE|+H�*aC2{ �bC]L�I):�"H��E L�I� ��H � E�� �'E�|"��L�r��DCFE ��H�I�{�E8�#��H#*aElI � E � ����{+ChE�� � �`{�E�K {(��L����aH0 HJI��]IhHJ{+E�#��� ! �-L/I� *aE�IhE�|mL/{+E E � � H�E�I2{gHJK ! �JE�K�E4I2{mL/{+H#�BI�� � �aK-E� ��|(�aK �`{�|mL/{+E8* � �)�JE�){+C]L/{�L�|�E! |(���2H�2E � � L�I-E�� ! E�|�{ &��`El|�r ��I�L2�`{+| L�{�E8* � ���JE � {+CFE�{�E�|+K |+E�G�|�HJ{�HJI�*_|�&,�JE��L/|+E+*a|(� & ! EHJI �`E�{���L�I�-{+ChE �a|��E�|!��� {+ChE_L !F! �JH � L�{+H��aI���� {+C,���`E �`E�{������ |�&���E��H0�!�E��]IFE� r � ��{+C���&�*aC �{+ChE �"{+|mL/{+E8* � �)�JE� ! |(���2H�2E�L K-E/L/I���{��_K-E�{ L�� �JE��'E � ! |���*a|mL/K-K-H�I�* � {�CFE � |�ED<&hHJ|+E�{�CFE�E����! E�|+{�H��"E�����{�CFE!&��`El| � K%�B|+E8���'E�|�{+CFE ��� L/IFI��a{ * &]L/|mL�I2{+ElE�{+C]L/{�{+CFE!*BE�IFE�| L�{�E � ��2E�G�H#�#���]E{+ChE � ! {+H�K�L�� � �B|�L/I ��! L�| L����JE8�'�B|+�`ED�&FE�I2{+H�L�� � �aK ! &h{+E�|lr�75��2E8�JH�I�*���� {+CFE ! E�|1� �a|+KML�I � E��� L � �BK ! &F{�HJI�* � � �`{+ElK � L/I ! |����2H��E2�B�aK-E � �#&FE�� � �a|�{�CFE2�H�|+E � {+H#�BI%��� |+E� & � {�H#�aI)�D{+C]L/{C]L��'E_{��6�]E�� ���#����G E%� � {+CFE � |��BIFE � �'E�| � �BK ! H��JE�| � C,��G E��'E�| {+CFE�|�E_H��DI��4�C&��)�`{+H�{�&F{�E � �B|�]E�I � CFK�L/|"�,� �BIQ{+CFE-{ L�|(*aE�{�L/| � CFHJ{�E � {�&h|+E'r ��E-G���&��� ��H �'E){���E���{�E�I�${�CFE � |��BIFE � �'E�|� �BK ! H#��E�|�{(� ! E�| � �B|+KiL �`E/L/| � C$H�I {+ChE�� ! L � E%����ED<&hH.�BL���E�I�{ � ��2E-{+| L�I��-� �a|+K � � � E�K �! ��� � HJI,*g{+E � CFIhH �&FE� ��|��BK {�CFE.�]E8�0 ����L/|+{�Hn� � H�L���HJI2{+E8���JH#*BE�I � E r �XCFE�I-{�CFE2�"{mL�{�E�� � ! L � E2���ED�&FH.�BL�JE�I2{ {�|mL/I�� � �B|+K�� H0� |+E �VL�{�H.�'E8� � �"K�L���� � L ��HJ{ H�� {�CFE � L �"E�G�HJ{�C��aIFE+�H�K-E�I��"H#�BI]L�� �bL �"{

Page 156: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� k �{+| L�I��-� �a|�K L���* �a|�HJ{�CFK�� � � {�CFE � �BK ! H#��E�|�G�H��#� ! E�| � �B|+K L� � I�L�K-H � ! |(� *B|mL�K�K-HJI�*_{ �2! ED����`E L�| � C���� L�#���"{mL�{�E��G�HJ{�C � ���"{ � &FI � {�H#�BI){+CFE�L � {�&]L� ! E�| � �B|+K�L/I � E ���T{�CFE!*aElIFE�|mL/{+E � ���E�aI){�CFE�{mL/|�*BE�{�L�| � ChHJ{+E � {�&F|�E'r��DCFH0� G�H#����|�ED�&FHJ|�E�{�CFE�L�&h{��aKML�{+H��aI���� |(&FIFIFH�I�*_L/I� � � ���JE � { �HJI,*�{+CFE ! E�| � �B|+K�L/I � E�K-E/L��C&F|�E�K-E�I2{"�cr �XCFElI�L �VL/|�*aEl|�� ! L � EDC�L ��{�� �]E �`E/L/| � CFE � ��H �'E�H�I{+ChE � L �`E���� K/&,�J{+H0�HJK�E�I��"H#�BI]L����bL��`{�{+| L�I��-� �a|+K L�#* �B|+H�{+CFK�� � {+CFE � �BK ! H��JE�|�G�H#��� ! E�|1� �a|+KL�I ��� { ��! E6��� �`E/L/| � C � G�CFE�|+E){�CFE � C��BH � E�����{�CFE){+| L�I��-� �a|+KML�{+H��aI�G�H#��� �]E/�]L��`E �aI LCFE8&h|+H��"{+H � � ���`{+� &FI � {�H#�aIML�I�-{+ChE2�E ! {�C%��� {+ChE2�`E/L/| � CTr �XChE�I�L �JE L��'����{�CFE2�"E/L�| � C-{�|+E�EH��_|+E/L � ChE L�I) {�CFE�L � {�&]L� ! E�|1� �a|+KML�I � E4FL/{mL�L�|�E � � ���JE � {�E � {+ChE-CFE8&F|�H��"{+H � � &FI � {+H#�BIG�H#�����]E � L��JH��F|mL/{+E�L � � �a|��HJI�*�� � L�I�-L�#��� ! E�I-I����E���HJI�{+ChE+�`E/L/| � C�G�H��#���]E�|+E��bE��BL���&]L�{�EG�HJ{�C�{+CFE2& ! FL/{+E�CFE8&F|�H��`{�H � r�$EZL/|+E�H�I�{�E�|+E�"{+E�HJI%�B{+CFE�|+�"HJK-H��VL/|�{+| L�I��-� �a|+K ���JH �'E�{+ChEg� L�&��(� {�|mL�I)� � �a|�K � �,�2u � � �{+ChE ��|mL � {+H��aI]L�bg���&F|+H�E�|N{�|mL/I�� � �B|+K � (.�2u � � � gbg � � �a|�I��aIhED<&hH�� ! L � E FL�{ L � 3 � u � ��L�I�

*aElIFE�|mL�JH���E gbg �!�+� 7 � u����br��$E�G�H#���a{�| � {(��E�� ! |+E�(� {+CFE�K &��"HJI�*�{+CFE � |��BIFE � �'E�| ! |����& � {I��B{mL�{�H#�BITr � �0�C� ����HJI2{+E�|�E�`{)H0�g{+CFE�E�� ! |+E����`H��aI ���_{�CFE��a|+H�*aH�I]L�� gbg ��L���* �a|�HJ{�CFK L ��LK6&��J{�H � *a|+H0�L�#*��a|+H�{+CFK � ( �u � ��r� L��'E8��E�{ � | L�I��-� �a|�K�� C]L��'E%* L�H�IFEQL5�#�B{ ����L !h! E L���|+E � E�I2{�� � HJI L ���a{����_L/|+E/L�� ���� &FI � {+H#�BI�L !h! |����2HJK�L/{+H#�BI-L !F! ��H � L/{+H#�BI��DHJI �`H#*BI]L�� ! |�� � E���"HJI�* � �C& � C�L �DH�K�L�*BE�L/I� ��H0�E8�� �BK ! |+E����`H��aI L�I) �]I�*aEl| ! |�HJI2{�K�L�{ � CFH�I�* � � {+|mu � �br �DChE �BL �"{_L�K%��&FI2{"����� FL/{mL�H�I�{+CFE�"EL !h! �JH � L�{�H#�aI)� |+ED�&FH�|+E'�bL �"{�{+|mL/I�� � �B|+K L�#* �B|+H�{+CFK��cr)� I���&F|�E4� �a|�{"��{��2��&FH��� g]L �"{'� L��'E8��E�{�T|mL�I)� � �a|�K�� � H�{-G���&��� ��E L G�L��`{+E {��QC]L��'E${(�Q|+E�H�I��'E�I2{�L��#�_{�CFE$E�� ! E�|�{+H��"E�{+C]L/{ �C�

! L/HJI��"{mL �'ElI�� � C]L �!�]E�E�I � � ���JE � {�E)HJI���&FH����H�I�*Ogbg �"2 �D{+CFE2�VL��`{ � � � E/L/|"�cr

Page 157: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� � � ��� � ��� �

�� � �� ���� � �� � � ��

� � � �� � ��� ����� � � � � � ���

� ��� ��� � � �! ��� " �'� ���$E ! |+E�"E�I�{�EQL �bL�K�H#� � ���ZHJ{�E�|mL/{+H.�'E L�#* �B|+H�{+CFK�� � �a| �C� ����H�I�*�{+CFE &FI � �aI��"{+| L�HJIhE

L�I) � �aI��"{+| L�HJIhE IFE L�|+E��`{ � |(�aIFE � �'E�| ! |��� & � {�r ��L��,�JE � r � *aH.�'E���L%�C&FK�K�L�| � r�g��B|N{�CFE&FI � �aI��"{+|mL/HJIFE�-L�I�-C��BK%� *BE�IFE8��&��?��HJIFE L�| � �aI��"{+|mL/HJI2{"� � {+ChE_L���* �a|�HJ{�CFK�� ����z�L/I � �8����L�I�

���/GDEl|+7 E�{+C��� C�L��'E2�]E�E�I �`{(&��HJE� E��2{+E�I)�`H.�'E � � L�I) {+CFE�H�| � �aI �'E�|(*aE�I � E ! E�|1� �a|�K�L�I � E �L ��GDE �#��L ��{+CFE �C&��F{(�JE�{�HJE����� {+CFElHJ| �bL/H#��&F|+E��L/|+E_GDE �#� ��I,��G�I r �DCFE��+L�K�E�H���L���C�){�|�&FE"� �B|{+ChE / E�G�{��BI 2 ��K-E�{�C���%&��`E � �B|N{�CFEgI��BI��bC��aK%��*aE�IhE8� &��!�JH�IFE/L/|�L�I��{+CFE2�a|�{+C���* �BI]L���HJ{ �� �BI��`{�|mL�H�I�{�� � C��/GDE��'E�| � &F| L���* �a|�HJ{�CFK�����)I��a{!&��"E�{+ChE�E��hL � { / E�G�{��BI �`{+E ! ��&F{ � &FE_{(�� �BI��`{�|mL�H�I�{�� � {�CFE � L/|+E � �#���`E�|�{(�)HJIFE��FL � { / E�G�{(�aI 2 �DK-E�{+C,�� r�$E �H0�I��a{ ! |����2H��E L/I � L�#*��a|+H�{+CFK � � �a|�{+ChE � L �`E�� {�C]L�{T{�CFE � �BI��`{�|mL/HJI2{"�TL�|�E � |������`H�I�*

��� &FI)FL�|�HJE� � �JH �'E � �a|�E��FL/K ! �JE�|+E<&FH�|+H�I�* 6 {(����E2�B|+{+C,� * �BI]L�� L�I) � {(���]E � � K�K-E�{+|�H ��'�'E ! �JH�{ � � L���{+C���&�*aC HJ{�H�� ! �����`H����JEZ{�� � �BI��`{�|�& � { �B& � C L�#* �B|+H�{+CFK��cr

� k�k

Page 158: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� k �

� L���JE � r � 1 � �#*��a|+H�{+CFK � C]L/|mL � {+E�|�H��/L/{+H��aI � �B|N{�CFE � |(�aIFE � �'E�|���|����& � { � !F! |(���2HJKML�{+H��aI� *+.��4o�\c( ��� ,',�*+./%'1j[ ��o �'.'*c^J3V[h(��Fpm,]\

�NI � �aI��"{+|mL/HJIFE� � HJI�*�&��VL/|� L���&FE23NE � �aK ! ���`HJ{�H#�BI���B{mL�#� � �'E ! L/|mL��,�JE)z]E/L �"{��#<&]L/|+E�

z�L�I � � ���

���/GDEl|+7 E�{+C���

$��aI��"{+|mL/HJIFE� z]HJIhE/L�| �aK4� *aElIFE8� &)�

/ �aI�� �BK%� *BE�IFE8��&��

/ �aI�� �JH�IFE/L�|

�NI � �aI��"{+| L�HJIhE/ E�G�{��BI 2 �!7 El{+C���

/ E�G�{��BI 2 �!7 El{+C���

� �� � � � �� �� � ��������� ��� � � � ��� � � NE�|�EgH0��{�CFE������! "�$# � &FI � {+H��aI�{+C�L�{��C���.�'E�N{�CFE � �aI��"{+| L�HJIhE � |��aIhE � �'El| ! |(�� & � {ZL ! �! |(���2HJKML�{+H��aI L�I)6K%�a|�E8���'E�|�&FI��El|"�`{ L�I�,� �'E � G �a|",� � �B|��C�BK-E � �aK-K4�aI � �aI)�`{+| L�H�I�{���JH �'E%�&'%)( � � �a|�{+ChE &FI � �BI��`{�|mL/HJIFE � L��`E �+*-,�./. (103254"6 �/*-7 (18 *9,�.3. ('0�2:4�6 � 032:4�; � 0/254-< � �B|�#�/G E�|�L�I�2& !F! E�|T{�|+HVL/I�* &,�VL�|�K�L/{+|+H�� � �aI��"{+|mL/HJI2{"� �1= 4">'?�&1%�>/; � 0/254 = 4�>1?�&'%)>3; � 0)&3(1@�;A490AB �6A492�61<�;3>1%30 �'C >'% 7 (3; �9. >'2 7 &1D ��* @�(36E4�>/;�L�I��&1230 C &'?)&'%�>/;hrF�G 4'HPT;'I G ;D4KJ$41H�S9AIZ3ML#MK354$6ON_MPJ1J#41H9NQ6QL#MK3T6RHPF P�6 G H#<TSVU-W'X"UVY1ZFF 2 [ 3-\T; M�4�4�MKVI3]HG7Q; MVJ'J$4'H9NT6^L$MD3�;DSF L�7 N@P�7_[ 3-\T;I<:6O`$;aH9bdcFF 4#; 3K9$4ZPT< M�4�4�MKV�<ec]Ngf_<�9EI�\_39\#MK3IP3H�4VLih�2dj G 4'HPihkc]Nlf/m�N1nob:41H+n^m+6K<�L 68P�6^L�9'LbK9�PEI 3T6PHZP =�c)NgfDE_F G J$M5h�2)N�L5STN@P)S Ne;�JT<:6KL-HZPbNlfES Nlf-W N�\PJ5STN�\OJ3W3m)p=qL#M N P$MKE F <:6O`$;�h�2Am)pL3W_FrL#M"U�L5Ssp�P3W_F'P$M"UUP5SEpb�H�4 G FAS)[tW=qL N@P5E F <:6O`$;�h8;Ru5M5L�h�=-ngf+n 6lP53�W5<Z3:4:h G m�EAm1m)pL G F ;Ru5M#Lsh�=-n�Lvn 68P53]W#< 354:h G mUEEm)p,P G F ;Ru5M5L�h�=-n@P$n 68P:3�W#< 3545h G mUEEm�pX5MIF = Ewpb�H�4I4�FAS)[qLX F =@Ewp

Page 159: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� k �

6ObdbQ68P$S5<Z3:4:h8LVH��$;D4:hl;Pu:M#L�h$=9nlfinO68P:3�W5<Z3545h G m nVhe4 N][ m�n�EEm'm Nne< V9L1LQ;Z3:4�69I5n^m F�F S

S�6D<OJ h$=9n A�;��Z9T;�<Z3_<ZV9L'LT; 354�6-I:n EEm)pb�H�4 6 FES�[qL�6lP hoL G N P G mb�H�4���FES�[e6RjES4'H��_F�`$;D41H5<�hRS N�L G�� P G m�p4'H��!h1h��'jES-m � L G 61m F Ssp4'H��!h1h�6RjES-m � L G �/m FdjESEpX F = Xwp 41H���E p

;�P$S;�P#S

;�L�<�;:6Ob�bQ68P$S5<Z3:4:h8LVH��$;D4:hl;Pu:M#L�h$=9nlfinO68P:3�W5<Z3545h G m n-hd4 N�[ m)n EEm1m�Nne< G ;��$<ZV-L1LT; 354$69I:n m F�F S

S�6D<OJ h$=9n A�;��Z9T;�<Z3_< G ;���< V9L1LQ;Z3:4�69I5n�EAm)pb�H�4 6 FES�[qL�6lP hoL G N P G mb�H�4���FES�[e6RjES4'H��_F�`$;D41H5<�hRS N�L G�� P G m�p4'H��!h1h��'jES-m � L G 61m F Ssp4'H��!h1h�6RjES-m � L G �/m F SspX F = Xwp 41H���E p

;�P$S;�P#S

;�L�<�;:6Ob�bQ68P$S5<Z3:4:h8LVH��$;D4:hl;Pu:M#L�h$=9nlfinO68P:3�W5<Z3545h G m n-hd4 N�[ m)n EEm1m�Nn�3:4�6KL5n^m+F�F S

S�6D<OJ h$=9n A�;��Z9T;�<Z3_L-H��$;D4'3:4�6 MP D9TLM�4in EEm�pb�H�4 6 FES�[qL Gb�H�4���F�6 S�[ P G4'H��_F�`$;D41H5<�hRS N�L G�� P G m�p4'H��!h1h��'jES-m � L G 61m F SspX F = Xwp 41H���E p

;�P$S;�P#S

;�L�<�;:6Ob�bQ68P$S5<Z3:4:h8LVH��$;D4:hl;Pu:M#L�h$=9nlfinO68P:3�W5<Z3545h G m n-hd4 N�[ m)n EEm1m�Nn�3:4�689$n^m+F�F S

S�6D<OJ h$=9n A�;��Z9T;�<Z3+91J1JQ;D4'3:4�6 MP D9TLM�4in EEm�pb�H�4 6 F1W [qL Gb�H�4���FES�[e6RjES4'H��_F�`$;D41H5<�hRS N�L G�� P G m�p4'H��!h1h��'jES-m � L G 61m F SspX F = Xwp 41H���E p

;�P$S;�P#S

;�L�<�;:6Ob�bQ68P$S5<Z3:4:h8LVH��$;D4:hl;Pu:M#L�h$=9nlfinO68P:3�W5<Z3545h G m n-hd4 N�[ m)n EEm1m�Nn�S$6ZM� ]HP#M#L:n m+F�F S

S�6D<OJ h$=9n A�;��Z9T;�<Z3GS�6ZM� �HZP$M#L5n�EAm)p

Page 160: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� k$m

b�H�4 6 FES�[qL Gb�H�4���FES�[ P G6�bh6�� F �41H�� F�`�;41H5<�hPSTN�L G�� P G m�p41H��!h1h �1jES-m � L G 61m F SspX F = XwpO4'H���E p

;UP$S;�P$S

;�P#S;�L�<�;:6Ob�bQ68P$S5<Z3:4:h8LVH��$;D4:hl;Pu:M#L�h$=9nlfinO68P:3�W5<Z3545h G m n-hd4 N�[ m)n EEm1m�N

n�3:4�6ZS$6ZM� �HP#M#L5n^m F�F SS�6D<OJ h$=9n A�;��Z9T;�<Z3 354�6 S�6 M� wn EEm�pb�H�4 6 FES�[qL Gb�H�4���FES�[ P G6�b_M7Q<�hU6Pj �3m��AS41H�� F�`�;41H5<�hPSTN�L G�� P G m�p41H��!h1h �1jES-m � L G 61m F SspX F = XwpO4'H���E p

;UP$S;�P$S

;�P#S;�L�<�;:6Ob�bQ68P$S5<Z3:4:h8LVH��$;D4:hl;Pu:M#L�h$=9nlfinO68P:3�W5<Z3545h G m n-hd4 N�[ m)n EEm1m�N

n�3]H#;OJQL56U31`wn m+F�F SS�6D<OJ h$=9n A�;��Z9T;�<Z3 3�H#;�JTL:6�31` n�EAm)pb�H�4 ��FES�[ P G jESb�H�4 6ZFES�[qL G jES4'H��_F�`$;D41H5<�hRS N�L G�� P G m�p4'H��!h1h��'jES-m � L G 61m F Ssp4'H��!h�� � L G 6 S9m F�jESEpX F = Xwp 41H���E p

;�P$S;�P#S

;�L�<�;:6Ob�bQ68P$S5<Z3:4:h8LVH��$;D4:hl;Pu:M#L�h$=9nlfinO68P:3�W5<Z3545h G m n-hd4 N�[ m)n EEm1m�Nn I:6Z4"IU9TLMP53 n^m+F�F S

S�6D<OJ h$=9n A�;��Z9T;�<Z3dI56Z4�I�9QLDMP:3wn EEm)p6Ob�L G �ZF'P G;D4�4'H�45h"n�Y:MK3:4�6ON�\$M5<+3�H'7Q; < �9#M�4#;5n^m

;�P#Sf�FD3�H#;�JTL:6�31`!h�= Ssp-h�P G [ojES�[oW3m)n�E)N�SE[ P G m�pb�H�4 ��FES�[ P G6ZS9N$< F�bT6lP$S:h fIF�F �3m)pb�H�4 6ZF1W [�L�;�P �39\ih�6ZS-N�<]m4'H��_F�`$;D41H5<�hRS N�L G�� P G m�p4'H��!h�6ZS-N�<shPS9m'm F SEp4'H��!h�6ZS-N�<sh�61m'm FdjASsp

Page 161: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� k �

X F = Xwp 41H���E p;�P$S

;�P#S;�L�<�;:6Ob�bQ68P$S5<Z3:4:h8LVH��$;D4:hl;Pu:M#L�h$=9nlfinO68P:3�W5<Z3545h G m n-hd4 N�[ m)n EEm1m�N

n�\#MP G ;�L5n^m+F�F SS�6D<OJ h$=9n A�;��Z9T;�<Z3�\$MP G ;�L:n�EAm)pb�H�4 ��FES�[ P G jESb�H�4 6ZF1W [qL G4'H��_F�`$;D41H5<�hRS N�L G�� P G m�p4'H��!h1h��'jES-m � L G 61m F Ssp4'H��!h�� � L G 6PjAS9m F�jESEpX F = Xwp 41H���E p

;�P$S;�P#S

;�L�<�;:6Ob�bQ68P$S5<Z3:4:h8LVH��$;D4:hl;Pu:M#L�h$=9nlfinO68P:3�W5<Z3545h G m n-hd4 N�[ m)n EEm1m�Nne<�JT;1I:6ZM5L:n^m F�F S

S�6D<OJ h$=9n A�;��Z9T;�<Z3_<OJT;'I56 M#L:n EEm�pX F ;Ru5M5L�h�=-n�\PJvn 68P53]W#< 354:h G mUEEm)n'p

;�L�<�;:6Ob�bQ68P$S5<Z3:4:h8LVH��$;D4:hl;Pu:M#L�h$=9nlfinO68P:3�W5<Z3545h G m n-hd4 N�[ m)n EEm1m�Nn@P"HPT;5n^m+F�F S

S�6D<OJ h$=9n A�;��Z9T;�<Z3+P3HPQ;:n EEm)pF X F =@Ewp `$;D41H5<�hRS N�L"W � P3W/m

;�L�<�;S�6D<OJ h$=9n���P$45;1IVH� KP 6O`$;DS+4#; �9Q;�<Z3$[9n ;Ru5M5L�h�=-ngf+n 68P:3�W#< 3545h G m n-hd4 N][ m)n EEmUEEm

;�P#SX5M_F =@X:Mip X�Ewp

;�P#S;Pu:M#L�h$=9n Xwn 68P53]W#< 354:h G m nfF'X5M+p1n EEm)p

;�P#S6ObdbQ68P$S5<Z3:4:h8LVH��$;D4:h fES3hPS N][ m'm N-n@P"HPT;5n^m F�F S��

bQ68P$S5<Z3:4:h8LVH��$;D4:h f1W5hPS N][ m'm N-n@P"HPT;5n^m F�F S=�c)NgfKE FG9�PEIVHPT< 354�� G J#M:h�2]N�L)S N P5S Nd;OJ$<56DL-HZP�m)p

;�L�<�;X�S FML#M G ;RbK9QL�LD4�MP G h�XsS9m�pX�WIFML#M G ;RbK9QL�LD4�MP G h�X]W/m�p=�c)NgfKE F IVHPQ<Z354�� G J$M��P\ h�2]N�L)S N P5S N X�S/n�N X�W+n^m)p

;�P#S4#; 3K9#4P

Page 162: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� k u� ��� � � � ��� � � ��� � � ����� � �� � ���H.�'E�I�{`G �)K�L�{�|+H � E��� L�I��G�|�HJ{+{�E�I L ��� � � � � �"� /�L�I� � / � � � � � ) �,�#� �� K�L�{�|+H � E��|+E��� ! E � {+H.�'E � ��� {+CFE � � � � � �"� ) ���#� �� K�L/{+|+H�� � H0� �+L/H��{(�2��E�{+ChE �"{+|��BI�*� �|(�aIFE �� E�| ! |����& � {����� L�I��H ��L/I� �BI�� � H � � E L � C �,�#� �� ��� � � L�I��]E_G�|+H�{+{+ElI L��

� :<; i������� � 1 � : � % � � ; 2 A

L�I)5�E�I,�a{+E_{�CFE��`{+|(�aI�*� �|��BIFE �� E�| ! |(�� & � {+����� L�I��G�H�{+C�������rbK9�PEI 3T6PHZP fIF <Z3:41HZP �?:41HZP h�2)Noc)N�L52)N@P:2]N�L]c]N P�cEmF IDM5L1I�9QLDMD3�; 39\T;_< 3541HZP I?:41HZPT;1I G ;4eJ#41H�SZ9EI 3dH9b_2 MP#SMcF L52)N@P52 6K<+3-\T;+7TLVH"I G <56O`$;aH9b_2F L�c)N@P�c 6K<+3-\T;+7TLVH"I G <56O`$;aH9bdc

=qL N@P:E_F <56O`$;�h�2Em)p�P5S FMLEU�L52 p P3W_F�PAU�P52 p=qL N@P:E_F <56O`$;�hgcEm)p�P3W1WGF LAUOL]cwp P"X F+PEU�P]cwp6ObIP"W �ZF'P3W'W;D4�41H�45h"ndR�PEIVHVL'J$MK3Q687QL�; 7TLVH"I G <56�`�;�<5n^m�p

;�P#Sf_FM`�;41H5<�hfP)S � L52 � L�c)N@P3X � P:2 � P]cEm�pb�H�4 6ZFAS)[ P5Sb�H�4 ��FAS)[ P"Xf1f_F�`�;41H5<�hlL:2 � L�c]N P52 � P�cAm)pb�H�4 G FES�[ P"W2T6 G F 2+h1hU6PjAS9m � L52 S)[d6 � L52]NVh G jES9m � P:2 S�[ G�� P:2Em�pc G � Fac+h1h G jAS9m � L�c S)[ G�� L�c]NVh��'jES9m � P]c S�[ � � P]cEm�pf1f_F�f'f �G 41HPih�2Q6 G Ntc G �/m)p

;�P#Sf:h'h�6RjES9m � L:2 � L]c S)[e6 � L:2 � L]c]N h �1jES-m � P52 � P�c S)[ � � P52 � P�cAm FTf'fip

;�P#S;�P#S

� ����� � � �_�"!$#&% ��' ��� ��( *) �"�,+ �.-��/!/#0( �12!/#3(��5476D�5!��"!/#�8:9;4T� NE�|�E�H0�)L5�H�|+E � {gG�L � {���L !F! |����2HJK�L/{+E�L5*aH��'E�I$KML�{+|�H.�=< G�HJ{+C L �`{+|(�aI�*> �|��BIFE �� E�|! |(�� & � {?����A����K�L�{�|+H � E� G�H�{+C ! |�E�EA@�IFE/����� �B �"H���E�� � &��`H�I�*g{�CFE2�"HJI�*�&��VL/|'�BL���&FE2�E��

Page 163: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� � �� �BK ! ���`H�{+H��aITr / �a{�EN{�C]L�{ H ��{+CFE+&��"E�|! �'E���I��B{!� ! E � H � � {�CFE�|mL�I ���T{+ChE_L !F! |�����H�K�L�{�H#�BI �{+ChE�I�{+CFE_E��hL � {+�"{+|(�aI�*� �|��aIhE �B El| ! |(�� & � {�H�� � L� � &,�VL�{�E rbK9�PEI 3T6PHZP =@2)Noc)N�4KE F <Z3:41HP �?:41HP:29J'J$41H-N+h f N�L:2]N P52]N L�c)N@P'c]N P3W/mF MVJ'J$41H-NT6^L$MK3$;�f �Q6�39\ 39\T;_< 3541HZP I?:41HZPT;1I G ;4eJ#41H�SZ9EI 3dH9b_2_MZP$S�cF L52)N@P52 6K<+3-\T;+7TLVH"I G <56O`$;aH9b_2F L�c)N@P�c 6K<+3-\T;+7TLVH"I G <56O`$;aH9bdc

=qL N@P:E_F <56O`$;�h f/m)pP5S+FrLAU�hoL52 � L�cAm)p�L�7�68P:3+h�P5S9m�pP3X_F�PAU�h�P52 � P�cAm)p�L�7�68P:3+h�P3X/m�pfV\ FM`$;D4'H#<�h�P5S � L52 � P:2]N@P"X � L�c � P�cAm)pb�H�4 6ZFAS)[ P5Sb�H�4 ��FAS)[ P"XfV\ih1hU6PjES-m � L52 � P52 S)[d6 � L52 � P52)N-h��'jESPm � L�c � P�c S)[ � � L]c � P�cAm F������

3T6KLS#;sh f:h'h�6RjES9m � L:2 � L]c S)[e6 � L�2 � L�c)N h��1jAS9m � P52 � P]c S�[ � � P52 � P]cEm N L�2]N@P:2Em�p;�P#S

;�P#S4_FI4�MZP G h fV\sm)p6ObIP#M�4� Q68P F�F�ZP3WIF_4+p

;�L�<�;:6Ob'P#M�4� Q68P F�F��6Ob_4��'P3W>N P3W_F_4ip ;�P$S

;�L�<�;;D4�41H�45h"n��541HZP +P�9'L�7T;4�H9b 6lP1J�9:3_M�4� K9'LT;�P:3�<5n^m)p

;�P#S= � N�\>N�E F <Ru5S5h fV\sm)pO<GF < ��4D3+heS$6ZM� +he\3m1m�p� F � h3[KNQS)[ P"W/m � S�6 M� !h8<�hRS)[ P3W/m'm)p� F h !h/[DN�S)[ P3W3m � S$6ZM� +h8<shPS�[ P3W3m1m'm)n1p2 FM`�;41H5<�hfP)S � L52]N P3W � P52Am)p�2��IF�`$;D41H5<�hoL52]N P52Am)pb�H�4 6ZFAS)[ P5Sb�H�4 ��FAS)[ P"W2��5h/[ m'F��+h1hU6PjAS9m � L52 � P52 S�[e6 � L52 � P52)N �3m)p2+h'h�6RjES9m � L:2 S�[e6 � L52)N-h �1jES-m � P52 S)[ � � P52Am F'2��+p

;�P#S;�P#Sc FM`�;41H5<�hfP"W � L�c]N P3X � P�cAm)p�c��IF�`$;D41H5<�hoL�c]N P�cAm)pb�H�4 6ZFAS)[ P3Wb�H�4 ��FAS)[ P"Xc��5h/[ m'F��+h�6�N-h �1jES-m � L�c � P�c S)[ � � L�c � P�cAm)p

Page 164: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� � �c+h'h�6RjES9m � L]c S�[e6 � L�c)N-h �1jES-m � P�c S)[ � � P�cAm FMc��+p

;�P#S;�P#S

� � � � � ����� � � �����

� �gG E C�L��'E L�J|+E L � �"E�E�I � {+ChE �|(�aIFE �� E�| ! |(�� & � {�L !F! |�����H�K�L�{�H#�BI;���_L �'E�| � ��L�|�*BE� ! L�|"�"E-K�L/{+|+H���� � L/I �]E � ��&FI�:&)�`HJI,* {+ChE z�L/I � �8�������23Zr��& � C L�K�L�{�|+H�� H���I��B{_E����! ��H � H�{�� � |+E ! |+E�"E�I2{+E � | L�{�CFE�| L/�B&��F|���&F{+H�IFE)H��!*aH��'E�I�{+C]L/{ � L� � &���L�{�E�D{+CFE ! |����& � { ��� �G�HJ{�C�L�*aH��'E�I�HJI ! &h{ �'E � {��B|��Tr�DCFE � ���E �/<3?)(����%�ElK%�aI��"{+| L�{+E��!�C& � C�L/I HJI)�`{mL/I � E'r���I{+ChH��NE��hL�K ! �JE"� H���L�{+|+H0�HVL* �BI]L���KML�{+|�H.�-G�H�{+C K�L�H�I52HVL�*��aI]L� k � �B&�� �HVL* �aI�L�� �"s�L�I�

�C& ! El|"�H�L�* �BI]L�� � � rI

������� H ������� �"!#� �%$ � hlL'& � & N& �EmII I-HPL1J �(�)��� � �1j $ � NI

���(�)� �*� L'& � & � &�L �+�H �,� -�� J ��� I �#��� H � N!h � m.& �!hlL�mI /

H �%0 S1& L�+h � m 0 � �

/�

���/2/

H

�+hRS9m 043 �/� � N+hRS9m�j S �

/� � N!h W/m

L �50 L ��� hoL6& � m/H �%0 W7& L � jAS�+h � m 043 �

/� � N!h � m jdW �

/� � N+h � jES-m�j S �

/� � N!h � S9m

���/2/

H�+hoL � m 083 �

/� � N!hlL � m�j�W �

/� � N!hlL � jES-m

� b hlL�� -%� � � m � \ ����+hoL � m 0 �+hlL � m�j S �

/� � N!hlL � S-m

���/� b

� b hlL�� � � � m � \ ����+hoL � S9m 0 jdW �

/� � N+hlL � m

���/� b

I�9�:�#���%����/

Page 165: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� �Bs���a|�{+CFE? �|(�aIFE �� E�| ! |����& � { L !F! |�����H�K�L�{�H#�BI){+C���&�*aC � G E�IFE�E���gr���H.�'E�I){�CFE�L������'E

|���&F{+H�IFE � {+CFE�� � ���#�/G�HJI�*�{"G�� |���&F{+H�IFE��HJK ! �JE�K�E�I2{�{+CFE�L !F! �JH � L�{+H��aI ������ L/I���� 0 {�� L�'E � {(�a| � � &)�`HJI,*��aI�� �5� L��#�0��{(� �3</?�(��)��r

������� H ������� ��� �#-/�:$ � hoL6& � & L � & ��� & LEI & � I &oN &��Am

I I-HPL1J �(�)� � 0 � �*-/� h $ &�L � & ��� m � N

I L [ � H�� � H9b $�� �#-/�

I � [ I-H -�� H9b $�� �#-/�

� L'J -�� I � � � H � ����(�)� �*� L'& � & L � & ��� & LEI & � I+�H �,� -�� J ��� I �#��� H � N!h � m.&�!hlL�m���(�)� �*� L�9N-L6&�L�9N �J� � VL �%���*� hlL�9N-L 0 Z���� &�L�-N �90 W1Z��/m���(�)� �*� � & �7& G & � �+�H �,� -�� J ��� I �#��� H � `!hlL�9N9L'&�L�9N9Lsm.& � hoL�9N-L�m/H �%0 S1& L�+h � m 0 �

/�

���/,/H

/H �%0 S1& �,�G 0 h � jES-m � L � S/H�� 0 S & � I/

H � � 0 S1& �,� � � I� h � �/m 0 � �

/�

���/ /

H� h1h � jAS9m � � I �/m 0 S �

/�

I -�- !#� �%$ �+hlL � � LEI & �,� � � I & � &o`EmI -�-

/ � L�u!h"n � n,& LEI & L � &�S �

/� &o`& L3I &oN!h1h �1j3S9m � LEI SPm.&QS1&QS �

/� &��+h G m &�SPm

���/,/H

���/,/H

�9�:�#���%����/

������� H ������� ��� �#-/�:$�� � hlL'& � &�L � & �,� &�LEI & � I & N &��Em

� L'J -�� I � � � H � �II I-HPL1J �(�)��� � �1j � �#-

/� h $ & L � & �,� m)n � N

I���(�)� �*� L'& � & L � & ��� & LEI & � I

Page 166: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� � �+�H �,� -�� J ��� I �#��� H � N!hlLsm.&�!h � m���(�)� �*� L�9N-L6&�L�9N �J� � VL �%���*� hlL�9N-L 0 Z���� &�L�-N �90 W1Z��/m���(�)� �*� � & �7& G & � �+�H �,� -�� J ��� I �#��� H � `!hlL�9N9L'&�L�9N9Lsm.& � hoL�9N-L�m/H �%0 S1& ��+h � m 0 �

/�

���/,/H

/H �%0 S1& � IG 0 h � jES-m � LAI S/H�� 0 S & ���/

H � � 0 S1& �,� � � I� h � �/m 0 � �

/�

���/ /

H� h1h �1jAS9m � � I � m 0 S �

/�

I -�- !#� �%$ �+hlL � � LEI & �,� � � I & � &o`EmI -�-

/ � L�u!h"n�� n,& LEI & L � &�S �

/� &o`& L3I &oN!h1h �1j3S9m � L � SPm.&QS1&QS �

/� &��+h G m &�SPm

���/,/H

���/,/H

�9�:�#���%����/

� �a{�E�{+C�L�{!���a{�C��54�; = (,���)L/I���:4�; = (������ZL�|�E"�'E�| � E�� ! E�I��"H.�'E�{���&��"E'r���E2�`{�|��aI,* � �|+E � �aK-K�E�I�g{+ChE &��`El|�{�� � ���E_CFEl|��/G�I �'E�|"�"H#�aI4��� {+CFEZL������'E�|(� &F{�HJIFE� � �B|�{+CFE�� ! E � H @ �

K�L/{+|+H����gr'DCFE�|�� &h{+HJIhE���:4�; = (��)�ZL�I)��:4�; = (������_L�#�#�/G {+CFE+&��`E+��� L/I � H�{+E�| L�{�H.�'E �]�23

! L �B L�*BEg{�C]L�{�|�E<&hHJ|+E���{+ChE KML�{+|�H.��{��6�]E��bL � {��B|+E-{(�/�]E��EA@]IhE�L ��L/�B&��F|���&F{+H�IFE'r���aK�E�{+H�K-E�N{�CFE�� ! L�|"�"HJ{ � �`{+|(& � {(&F|+E%���"� �'E�gI��B{ ! El|+K-H�{ &)�g{�� E�� ! |�E���gH�{)L��)L

�C&,�F|���&F{+H�IFE'r ��I��`{�E/L 5�BI�� � {+CFEZI��aI � ��El|���E8�JElK-E�I2{������ �L�|�E6�`{(�a|+E� r DCFE�|�E�L�|+EZK�L�I ��H�� El|+E�I2{NElI � ���H�I�*���{�� �"{��a|�E-L4� ! L/|"�`E�K�L/{+|+H�� r ���B| {�CFE � ���E){�C]L�{ZL �8� �aK ! L�IFH�E��{+CFH0�{+ChE�`H0� GDE�C]L��'E/��� � L�{�E �C�BK-E �����+ ��v# � &FI � {�H#�BI��g{+C]L/{)L�#�#�/G � ��& {���|�E/L 2H ��E�|+ElI�{� ! L�|"�"E)K�L�{�|+H�� � �a|�K�L�{���L � � ���+ ��v# � ! L/|"�`E�K�L/{+|+H � E�cr��$E)C�L��'EZK%���H @]E ��&F| 054"; = (L�I)M;/>'%)6]BE& * � ���+ ��v# � ���E){���G��a| G�H�{+C5��L�|(*aE6� ! L�|"�"E�KML�{+|�H � E��4r���I {+ChE � L �"E){+C]L/{

Page 167: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� ���|+E �a|+{�C�� *��aI]L�JH��/L�{�H#�aI�H0� IhE�E {(� ! |�E�`E�| �'EZL �8� &h|mL � � H�I5�]L�� � � � �BI��HJ{�H#�BIFE ! |�� �,�JE�K�� �GDE)H�I � ��&��Eg{�CFE�z�L�I � � ��� � ���E�G�HJ{�C ! L�|�{+HVL��L�I) � �aK ! �JE�{�E_|+E8�B|+{+C,� * �BI]L���H��/L/{+H��aI ��|��aK{+ChE � ���#��E � {+H��aI 2)('?/<30�&/&3; * � L�I]u�� ��r � � {+CFE6&��"E�|_IFE�E���{+CFE4�C& ! E�|�H#�B| ! E�|1� �a|�K�L�I � E����� �BK ! H#��E � ���E � G E �B&�* *BE�`{�{+ChE &)�`E2�����]�23�� � $ ���DE�| ��� ��r� ��� � C� �!� �� � ��5�� � � � " � �� �� �� ��� � � �

��� � �� ��� ��� � � � ��� � � ���DCFE�|���&F{+H�IFE��L�|�E �]L �"E)HJI�{+CFE L���* �a|�HJ{�CFK�� ! |+E��`E�I2{+EgH�I z�L�G+�B�aI L�I� �L�I��B�aI0�tz ���� ��r������� � �2#3(������ �"! #%$'&(�*)+� !-,.#2-�/ 90! !1� ,"24365��75���5838*�9/{;:.��32�<3�9 �"{ � <&19/|;3�"=h|�� �,�>3�? 1 � � z � 2 :0�D{;2432�7=F{;:<?@:���9/{;:��A5+=F|������>3�?

?@:<5BAC -6D ���� FE D /HGFJI � � � L � ` � � H � Lih $ � N�j � m � � � ��N � 0 �F ��H � j � � � � u �LK9� �%�NM � � ���,�b ��� I � � H �PO N7Q 0 �,��-,� h $ & � mO L'& � Q 0 ��� ` � h $ m)p� J ���*- H �20 S � jASOWipN 0 ` � � H � h � &�S-m)pSR 0 ` �*� H � hRS1& � m)p+T 0 H � ��� hPS & � m)p�9\ �#-�� S� 04$ n � h � j $ � NAm)pb�T 0 b ���

/h;T3m)p

� b�bUT 0�0VO QXW -,- h �+hgb�T3m ���YW �+hgb�T/m � 0 � J ���#- H � m.& ���%�#�9� � p � �/

O L]N& � Q 0 L�9N!h �!hkb�T3m1m�p � 0 b�T5h � m�pT:h � m 0 �ip�R+h � m 0 Ssp

�9\ �#-,� S` 0 ` �*� H � h � &QS9m�pbAR 0 b � �

/hZREm�p `+hgbARAm 0 $ h3[#&tbAREm�[ � p

� b -,- hg`+hgbAREm ���3mN 0 ` p����� G p

���/

Page 168: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� � �

� 0 b ���/hg`+hkb7REm ���YW `!hkb7REm � � J ���#- H � m)p � 0 bAR+h �/m�p

- J1\� 0 L ��� hkN!h��/m �kU hkN!h��/mej `!h��3m1m1m�pN 0 N - J'\� � hk` j NAm)p� 0 b ���

/h � � hkN!hkbARAm1m � 09� J �(�#- H � mEp � 0 bAR+h �/m�pR+h �/m 0 ` �*� H � h -,��� � \ h��3m.&QS9m)pT:h �/m 0 H � �,� h -���� � \ih��/m &�S-m)p

���/

���/

�9�:�#�9� ���������� ) � ! , #�� $ , #1!�( 4���� !/#"� ! !�' ' $�(0�"2432�>3 9 ���+ :���� 9H5 � 3�=��� *� 9�?@?@:>5,* =��(� ���<3�? 1 � 30� 2 :���@ 5�.:>5,* �;2436?@:<54:>?@:�� 3�� ���

? :>5� BAC�� D�� D /HG"243�� 3 9�� 3 & � � :#�75%����� 30����� � ��� ���FJI � � � L � ` � � H � LihkNAm � � � ��� � N � 0 \F K9� �%� + �#�:� � I � R � H� � VL1L ��� b ��� I � � H �PO N7Q 0 -

/J h�� &�\sm

O L'& � Q 0 ��� ` � h��/m)p� 0*O �+n1p \vn Qwpb 0*O ` �*� H � h � &QS9m)p�S Qwp�50 �,��-,� h��&tbEm�p� 0 � � � j b p

� b � H � Lih � m��ES � jASOWN 0 j � hPS)[ � m-U � h � S9m)p

���/

�9�:�#�9� �

������� � ) � ! , #2-�/ 90! ! � , ) $'#7+�) $�(0� ! ! � (0� / 90!"! $'#$#&% #3(0,.#/!1!"$�("#1,"243 � ���"=���')(�*<3�?

?@:>5� BAC�� D�+,� .- D /

Page 169: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� � �:��"� 3�������: (�*<3 ��'+9�5 ��� �FJI � � � L � ` � � H � Lih�� � N�j-bEm � � � � � � N � 0 \F K9� �%�NM � � ���,� � ��� \�� � � � � -�� � �df'H ���%��� � ���)�b ��� I � � H �PO N7Q 0 -,�(� h�� &ob & �7& \�mO ! &� &��& G Q 0 \ � G h��Am)p! S 0 ! h/[*&�S)[ G m�p� �S'S 0 +hPS�[ G &�S)[ G m�p��sS 0 �!h/[#&QS)[ G m)p$ 0 � � ��S � ��� u+h� �S1S-m)p`�S 02-

/Jih $ &�\ j $ � h ! Ssn � bEm'm)p

��S 0 sS1S [ hg`�S ! Ssn � bAm)pN 0 ��S � �sSsp

�9�:�#�9� �

��������� ) � ! , #2-�/ 90! ! � , ) $'#7+�) $�(0� ! !�� / 90!"! $'#$# !�( 8� (0� / 90!"! $'#$#&% #3(0,.#/!1!"$�("#1,

"243 � ����� =���')(�*<3�??@:>5� B7C����%B ��� D�+ � .- D /

:��"� 3�������3�� ��'+9H5 � ��� =��')(*>3�? �FJI � � � L � ` � � H � Lih�� � N�j-bEm � � � � � � N � 0 \ �

/f � N 0�0

/F K9� �%�NM � � ���,� � ��� \�� � � � � -�� � � �

/ � � � -�� � �df'H ���%��� � ���)�b ��� I � � H �PO N7Q 0 -,�(�#� h �&tb& � &�\'&gf7&

/m

O L'& � Q 0 ��� ` � h f/m)pO�� &� 7Q 0 � � h fin m)pI 0 � � � p���S 0 I h/[*&�S)[ L�m�p ��W 0 I h/[#& L S)[ � m)pI 0 � � � p �ES 0 I h/[*&�S)[ L�m�p��1W 0 I h/[#& L S)[ � m)p��S 0 !hPS�[qL6&QS)[ L�m)n [ /

p��W 02-���� h���W & b j ��S � ��S &��1W &�\ j �AS � ��S9m�pN 0�� � O �sSsp�]WHQwp�9�:�#�9� �

Page 170: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

��� �� �+� � � � ��� � �"� �D � 7� � � �� ��5��� � � ��� ��� � ��"243 �'3�� ��* 9 � 3 � 9 �;: 'A5@=��')(*>3�?�: � '�� � 243�� '�;? 1 ���� 2 ��� E ��� 243�� 3�� 9H5�� � 9 �;3 � 243�45 5�' � 5���9H5�� � 243�� � 3�=13�5�� 'A5 3�9 � 2 '�;243���� "283���'* ��� : '75 '�� � ��� 2 9 =���')(�*<3�? � '7?@3���4= 'A5 �;243�� '* * ' � :<5�� �Z: � �19 �;: '75���� �8=4=�' �Z3 � 3 � 9�5 ����' � ')*���3 �;243 '7=��;:<?@:���9 �;: 'A5@=���')(�*<3�?

? :>5� B � ��� � � D � �"! E D$# G 1&% � � 2�'� � 243 ��'* ��� : '75 '�� �;243 �45���'A5�� ��� 9�:>543 � *<3�9 � � � �19 � 3��"=���'(�*>3 ? �)(�*�� ��+ E": � :>5 �Z:�� 3 � 243�454: � (19 * *4: � 3$� D�� (�* D$#�,�� � �;243�5 � 3�9 �;3 � 'A583 � ')�;283�� � : �Z3 � ���43 ��' � '75 � :>5 �4: �-� � �;283 (13�� �� ? ��� �"�;3 9 � 2 � 243 �454: ��(19 * * � � 243�� 3.� ')� 3 � 36543�3 � ��' � ')*���3

? :>5� B � � � � D � �"! E D$# G 1&% �0/ 2�;2 9 ��:��"3 �4:1�79 *>3�5 � ��' �45�� '75������ 9H:<543�� =���'(�*>3�?P?@:<532 1 ��4 � 2 � : �;22 1 �54 � 2 � �/ D � �"! E D$#

�/ � 1 � 0 �"! � 2 1&% �06 2� 243�� 3"� :��"�;283�� 97�)� 9H5��73S? ��* �;:<=�*>: 3���� "2438�)� 9 �.:<3�5 � '��92 1 2 � : � 2 � 3��Z=13�������' � :��: 2: � �

� 0 � ��! � 0 E;<� � 1&% � � 2� 24: � 2 � 243�5 �Z3�� ��' ��3���'��A:���3�� �;243 �'3�� ��* 9 �@3 �19 �;: '75 1 � 0 �=>�� 2 �>� � 0 E � "243=���')(�*<3�? :�� ��'*1��3�� 9 �?� ')* * ' � � � �13��"� �A@8B3C 0 � 243��':>5�� ��* 9 ���79 * �43�� 3�� 'A? = ' �Z: �;: '75 '��� � �;243�5 � 243��'3�� ��* 9 �"3 �19 �;: 'A5 � 9H5 (13 � � : ���;3�5 9 � 1 CDB 0 B3C 0 <� C�C 0 2 �E�FCDB 0 @ 0 E�;2 9 � :��@3 �4:1�79 *>3�5 � ��' 1 B 0 B G�) 2 C 0 �H� B 0 @ 0 E �JI : � 2 9 � 219H5K�A3 '��"�79 �;: 9 (�*>3 �L �FCNM � 9H5 �PO �FBQMR@SM E ��� 38�A3�� �;283T� '* * ' � :<5�� � � 9 * 9 � � 3�* 9 �;: 'A5 �VU&W #X <�)Y L X � O X � '�Z � � 4�[�[�[74 ?@:<5 U&\ 4^] Y � 243��;3 \ 9H5�� ] 9 �;3 � 243 �.:>?@3 5��Z: 'A5�� '�� � �

��:>5 � 3 D�� D ## � � �;243�5 D�C8M � D ## � � � �;243�� 3.� ')� 3 D L D ## � � 9H5 � �;243�� '* * ' � :<5��@? �����2�'*��`_ a bdcfe�g h i�j�X � � U O XW #X k� Y # � � G U % � � Y

Page 171: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

�����"243�9 (�'7��3 :���9S5�'A5�� *>:<543�9 ��3 �19 � : 'A5 � : � 2 �45 5�' � 5� � 9H5�� � 9H5 (13 ��')*���3�� � �Z:>5K� � 243��3 � ��'A5 : � 3�� 9 �;: 'A5

� + � �D �a bdc e�g h i7jX � � U����

�� +� Y # ! �

/ � a bdc e�g h i7jX � � ���

e�� +� j �

G U % ��� Y

% �)'$' �J:<54: � : 9 * � �83�� ��� ')�"� : ����3���'� "243�� �)�! "�$#E� �45����;: '75 �;219 � ��')*���3�� � 243 �Z3�� ��* 9 �=���')(�*<3�? :��F � H - u � L ��� h � H � Lih $ � N j � m1mF � � � � � H � LihkNAm � 0 Sb ��� I � � H �PO N7Q 0 �,� I � - � h $ & � mN 0 $ [ � p� b � H � LihkNAm � 0 S�9�:�#���%�

���/

O L'& � Q 0 ��� ` � h $ m)p�L � 0 L � � hoL6& � m)pO �'& M &AQ 05� u/h $ m�p ��� 9L� 0

/� � !h M m�p

I 0JM n � �$n � � p�I 0 I�hPS�[qL � m)p- PL �

/ 0 �ip

b - 02� � LihTh^I�h3[ m �gU�h ��� -L�5h/[ m ���RW - VL �/3m1m ���PW3mKj SEp

�����*�40 �+p�9\ �#-�� ��� hkb - m � 0 S � j�������*�40 �����*� SEp- PL �

/ 02- VL �

/ � �oZ � b - U ��� L h^I�h/[ m ���PW �gU�h ��� -L�5h/[gm ���PW - VL �

/3m ���RX/m�p

b - 0 � � L h hQI�h3[ m �kU�h ��� 9L�5h/[ m ���RW - VL �//m1m ���RW/m�j SEp

���/

N 0 h $ n � $ - VL �/ � � � � h � m'm [ $ n � � p

Page 172: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� � � ��� � ���

� � � � ��� �� ���������� � ����� ���� �

��5�� 24:����-219H=�;3�� � 3 *<:���� � 243 ��' �.3 ���Z3 � ��' � � ?�( '*>: ��9 * *1� �A3�543�� 9 � 3 � �' 9H5���'�;243����� 9H5��&� ')� ? ��� 9 � � 3�* *�9 ���A:���3S9 �'? 9 * * ? 9H5 �19 * '�� �.: � 3�� � : 'A5 �"'A5 2�' � ��' � �Z3 � 2�' �'3S=���' ��)� 9H? ��� !#" $&%('*),+ -&.0/1.324%056),78/

9"243�� 9 �.:;: �A3�543�� 9 � : '75 219 � ( 3 3�5 �.3�� � �;: ( 3 �:>5 �Z3 � �;: 'A5*<�� 6 ��I 3����Z3��*= 9H=*>3?> I 9 �A@B<DC� ')� � 243 �-�.?�(�')*<:�� ? 9H54:<= ��* 9 �;: 'A5S543���3�� � 9 � ��� '� �;243 * '$'7= �45���')* *<:>5�� ( 3 ��9 ���'3 '�� �;243 � *<3�9 �=���' �)� 9H?@? :>5�� :>5 �;3��-� 9 � 3E= 9�=�*>30=���'7� :��.3��;� '��* '$'7=���9H5 � :>5 �.:�� 3 � �

9"243 � ' �.3��;219 ��=13��-� ')� ? ��3���3�� � � 24:>5K� � '* * ' � ���GF � � �Z3�� �;283 �Z=�*<: � � 9 �.:H: 9 *1�')� : �;28?I��Z:<5�� 3 �;28:��":��"� 243KJLJL9 �;219 � =���'7� :��.3 �"�;243 (13���� U * ' � 3�� �.Y�M 'A= ��' �45 �NPORQTSVUVWYX[Z]\^N_W�`aOVbdc\eWf`BghZiUVWijaQPU,kebdclTmDmTmDmTmTmDmTmDmTmTmDmTmDmTmTmDmTmDmTmTmDmTmDmTm#mTmDmTmTmDmTm#mTmDmTmDmTmTmDm#mTmTmDmTmDmTm#mTmDmTmTmDmTm#mTmDmTmDmTmTmDm#mTmTmDmTml � jnW�`eW,QPU^W�o_O1QPUDU*\VpTN#qsr�tPQPuDOwvxNVOTrTO,`yWYjPSPO,zsu#p|{TjV`aO#NVrNPODrTO,`V}_WijaSVO|zhc�~tPNTpPu�Z�b

k_URpRXaQVUI��vx�aU#pRtP}PuRpR{Tj^`�vK`_Of�Tta}aWYjPSPO|z�vG�eW,NPr,`T�eWi�eOd���c�~������T��_URpRta}Vu#p|{TjV`�c�~����

��� @

Page 173: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� ���

`_Of�Tta}aWYjPSPO|z�c�~ m�� ��eW,NPr|`D�eWi�eO c�~ `VN|{eOOfjaS�c

lJR NDp��eW,SPO*QIjeO|\ WijaSPO,z��VpDN `Bg O*k_O�j O#NDQB`eW,pRj pB� Q jeO,\�`_Of�TtapDNTQDN����^QTN_W,QRX UTOjeO,\V}aWYjaSVO|z�c�~

tPNTpPu�Z�bk_URpRXaQVUI`_Of�TtP}_WYjPSPO,z��`_Of�Tta}aWYjPSPO|z�c�~ `aO��TtP}_WijaSPO,z� � �`_Of�Tta}aWYjPSPO|z

OfjaS�clJR ORNB�VpDNR� Q�r|`VNaW|SVO teORNR�T{^`VQ#`eW|p|j pRj `BgeO WijTtT{^`��_ODu|`^pTNMB`^N_W,SPO R O#N|��c�~tPNTpPu�Z jLv tLv�zeb

U#pVu#QPU�[vxq�v Uwv N[�N�c�~�QDNTNTQ���Z �� � ,Z j m�� bDb �Uhc�~�����VpDN�*�VNTp|� � `Vp Z t m�� bISTp�VpDN q��VNDpR�� X��t�`^p Z j m�� bISDpNVO]U Q c�~ z O q Q ��Uhc�~sU�� � �

pTSpTS��pRt[Z N_b �OfjaS�c

l.� OfjeO#NDQB`aOIQ jeO,\�jaQR� OI�VpDN�Q�`_Of�TtapDNTQDN����^QTN_W,QRX UTOjeO,\V}#`_O��Dt�c�~

tPNTpPu�ZYO|z#taNabU#pVu#QPU?jLvx`_Of�TtL�k_URpRXaQVUI��vx`�v��_ODu|`VpDNT}#���W��yO��^QPUfX�Z��aOTu,`VpTND}B� b `#geO�j`_Of�Tt�c�~�` O j O|\^}_WYjPSPO,z�Z�b Q �OTUDrTO`_O��Dt�c�~�`� |Z j O|\^}_WYjPSPO,z�Z�bDb ��eW �� O `_O��Dt Q c�~sO|zBtPN[�`_Of�Tt

OfjaS�cl� p|{V`eWijeOI`#gaQ#` gaQ|jaSPUDOTrI`#geO�Wij m teU#QVuTOI`D\eW,STSPUDOI�VQVu|`^pTN �D{eU|` WYt UVWBuRQB` W|pRj rl � `suRpRj^`VQ_WijerI`#geO pRt^`eWi� W�o^QB` W|pRj rINVOTURQB`_ORS `Vp*`BgeO*`��BteO pB��`#geOI�T{ U|`eWiteU^WBO#N�T{ U|` WYta}#�_URpRter c�~

tPNTpPu�Z �Lv�`_Of�Tt b

Page 174: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� � �

k_URpRXaQVUI�_URpRtP}Pu#p|{Tj^`�vG���U#pVu#QPU1oVN[vxo W �oVN�c�~�O��VQVU|� ZYO��^QPUDu Z O Z�� bTb v ��� b �Eo W c�~�O �VQPU,��ZiO��VQVUTunZ � �[Z �nbTb v ��� b �l tPN_WYj^`�Z����Rj � jTtD{V`��Dv � v�`_Of�Tt v�� O `_Of�Tt Q b �W���oVN ~ � ���`Bg O�jl SDp jPpB`#g WYj^kOTU^W���o^N�~ m�� ��*`BgeOfj l STpyW�` WYj�teURQPuTO� O `_Of�Tt Q c�~ m � O `aO��Dt QOTU^W���o W ~ � �� `#geO�j� O `_Of�Tt Q c�~�SVu��Tt U|z Z m SaWY�PQBk�Z � O `_O��Dt Q b vKSTNVO#QVU Z]� O `aO��Tt Q bDb �OTU^W���o W ~ m�� ��*`BgeOfj� O `_Of�Tt Q c�~�SVu��Tt U|z Z�S_Wi�aQBk Z]� O `_Of�Tt Q b v m SDNPO#QVU Z � O `aO��#t Q bTb �

OTU^W���o^N�~�o W `Bg O�j� O `_Of�Tt Q c�~�SVu��Tt U|z Z]oVN��#SDNPO#QVU Z � O `aO��Dt Q b m o^N�,S_Wi�aQBk Z]��O `aO��Dt Q b vo^N�RSTNPORQPUnZ]� O `_Of�Tt Q b��#oVN�RS_Wi�aQBk Z]��O `aO��Dt Q bDbe��_URpRtP}Pu#p|{Tj^` c�~ �aU#p|ta}PuRpR{DjV` ��

OTU^W���o^N�~ m oeW `#geO�j� � `_Of�Tt���c�~�SVu��Tt U|z Z]oVN��#SDNPO#QVU Z � � `aO��Dt��eb �Bo^N�,S_Wi�aQBk Z]��� `aO��Dt��eb vm o^N�RSTNPORQPUnZ]� � `_Of�Tt�� b��#oVN�RS_Wi�aQBk Z]��� `aO��Dt��ebDbe��_URpRtP}Pu#p|{Tj^` c�~ �aU#p|ta}PuRpR{DjV` ��

OTUDrTO� � `_Of�Tt���c�~�O �VQPU,��Z SPu��DteU,z�Z]o^N[v�oeWTb v ��� b��,� � `_Oi�Tt�����_URpRtP}Pu#p|{Tj^` c�~ �aU#p|ta}PuRpR{DjV` � � �l tPN_WijV`�Z�� b�eW �l tPN_WYj^`�Z�� � OfjeORNTQB`aO#S��TvG��� `aO��Tt��eb �

OfjaS�c

l �Bg O��Rt UVW�` QTSaW�z QPU,kVpDN_W�`#gT� `BgPQB`�p|teO#NDQB`aOTr�r �B�TXPpPU^WBu#QVUTU ��p|j Wf`_r WYjDtT{^`r�t UVWf`V}TNDQTSaW�zhc�~tPNTpPu�Z jLv�zebU#pVu#QPU?j � v j���v0�Lv�zT`�v�zBX v �T`�v �#XLv�oD`�v�oBXLv [v tVz�v tLv��#tLv��#t��[v {Lv ���k_URpRXaQVUI��vx�aU#pRtP}PuRpR{Tj^`��l pRtV` W|p|j�`VNDQPuTOd�W���ja~ � `Bg O�ju#p|j�aO#NB` Z]z�v UVW#r|` bOTU^W�� jP~���`Bg O�j�_URpRtP}Pu#p|{Tj^` c�~ �aU#p|ta}PuRpR{DjV` ����� j O|\^}B`_Of�Tt[Z]z ����� �Bz � � � b v jeO,\V}#`_O��Dt�Z z ����� m z � � �eb��

OTUDrTOtVz�c�~��B`^N_W|SVO �aO#NR�[Z j v��[v�zeb ���c�~ j"!����t�c�~ j"! ��

Page 175: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� � /zT`�c�~�QTNDNTQ�� Z � � � m�� b �KzBX�c�~�QDNTNDQ���Z �� � � m�� b ��VpDN���VNDpR� ��`Vp Z�� m�� bISTpzT` � ���c�~ItVz � ����zBX � ���c�~ItVz � � ����

pTS��zT`�c�~�QTNDNTQ�� Z � � � m�� v r�t UVWf`V}TNDQTSaW�z�Z���v�zT` bTb ��T`�c�~�QTNDNTQ�� Z � � t m�� b � �BX�c�~�QDNTNDQ���Z �� � t m�� b ��VpDN���VNDpR� ��`Vp Z�t m�� bISTp

�T` � ���c�~*zT` � �����BX � ���c�~*zT` � t ����

pTS��zBX c�~��B`^N_W|SVO �aO#NR�[Z � v��[v�zBXnb �oT`�c�~�QTNDNTQ�� Z � � t m�� b �KoBX�c�~�QDNTNDQ���Z �� � t m�� b ��VpDN���VNDpR� ��`Vp Z�t m�� bISTpoT` � ���c�~*zBX � ����oBX � ���c�~*zBX � t ����

pTS��oT`�c�~�QTNDNTQ�� Z � � t m�� v r�t UVWf`V}TNDQTSaW�z�Z�t�v�oT` bTb �oBX c�~�QTNDNTQ�� Z � � t m�� v r�t UVWf`V}TNDQTSaW�z�Z�t�v�oBXnbTb ��Bt c�~�QTNDNTQ�� Z � � t m�� b ��VpDN���VNDpR� ��`Vp Z�t m�� bISTp��Bt � ���c�~�O|zBt[Z m �� � W�� � � !�jnb pDS[��Bt� c�~�QDNTNTQ���Z �� � t m�� b ��VpDN���VNDpR� ��`Vp Z�t m�� bISTp��Bt���� ���c�~sO|z#t�Z m �� �eW����� � � !�jnb pTS���VpDN���VNDpR� ��`Vp t m�� SDp�T{eU,`eWita}B�aU#p|ter Z��Bt � ���v0oD` � ��eb ��T{eU,`eWita}B�aU#p|ter Z��Bt� � ���v�oBX � �� b �pTS��

{�c�~�QDNTNDQ���Z �� � t m�� b � ��c�~ QTNTNDQ�� Z �� � t m�� b ��VpDN���VNDpR� ��`Vp t m�� SDp{ � ���c�~ j O|\V}#`_Of�Tt�Z oT`�� �� ��oBX � �� b �

� � ���c�~ j O|\V}#`_Of�Tt�Z oT`�� �� m oBX � �� b ��_U#p|ta}Vu#pR{DjV`�c�~ �_URpRtP}Pu#p|{Tj^` � ���T{eU,`eWita}B�aU#p|ter Z � v � � ��eb

pTS���VpDN���VNDpR� ��`Vp t m�� SDptVz � �� c�~ j O|\V}#`_Of�Tt�Z �T`�� �� � { � �� b �tVz � t ���� c�~ j O|\V}#`_Of�Tt�Z �BX � �� m ��� �� b �tVz � ��ft �����c�~ j O|\V}#`_Of�Tt�Z �T`�� �� m { � �� b �

Page 176: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� � 6tVz � ��ft �����c�~ j O|\V}#`_Of�Tt�Z �BX � �� � ��� �� b ��_U#p|ta}Vu#pR{DjV`�c�~ �_URpRtP}Pu#p|{Tj^` � �

pTS��u#p|j�aO#NB` Z t^z�v U^WBr,`eb

�eWOfjaS�c

l japDNR��Z ��Z�j b m qVNDpRj[Z]��Z�t b v � Z�� bDb��#SaW|Q#k�Z Sab��,qVNTp|j Z � Z�t b v��dZ �nbTb�� ��Z jLv t bDbl �Bg OI�eWijaQPU � pTSVO*k_O�j O#NDQB`eW,pRj NTp|{V`eWijeOl � `�kaO�j O#NTQ#`_ODrI`Bg O*NTQDS_W�z Wij��VpDNB`VNDQRj����k_Ofja}Vu#pTSVO c�~tPNTpPu�Z]o�v jLv �aQRj �eb

U#pVu#QPU�[vxq�vx`_Of�Tt vxpRjP}B�eWijaQVUw�k_URpRXaQVUI`_Of�TtP}_WYjPSPO,z�v��aOTu|`^pTND}���v �_ODu|`^pTNT}#��v�r,`VpDNPO#}DpR{^`��l pRtV` W|p|j�`VNDQPuTOd�pRt O�j[Z���^pTN#`VNTQ|ja} QTSaWBuDOTr�!,�T�D� �� j �� m � ;�aQ|j�� �� � �ib �\VNaW�`aOTU�j[Z� r�{DXaNTp|{V` WYjeO?�T�D`�Z z�v j v�o�v �aQ#zBj v��_URpRj^keb �Ab �\VNaW�`aOTU�j[Z� WYj^`_O|kaO#N j v0�aQ|j���ib �\VNaW�`aOTU�j[Z� u#p|�TteUDO|z�� ��� o�Z ��c,Z j m�� bDb vGz Z ��c j m�� b �Ab �\VNaW�`aO Z�� taQDNTQR� O|`aO#N Z�jTj ~�� j b �\VNaW�`aO Z��Tv0�PQRj� ~�� �aQ|j�eb �\VNaW�`aOTU�j[Z�Ab �ib �\VNaW�`aOTU�j[Z� u#p|�TteUDO|z�� ��� �_URpRj^k�Z � c jDj m�� v ��c|Z �PQBz#j m�� b�!nZ jTj m�� b m�� b �ib �\VNaW�`aOTU�j[Z� WYj^`_O|kaO#N `^QR{ v��[v [v�q�v���v N�v��Prdv NVrwv jD{ �Ab �\VNaW�`aOTU�j[Z� u#p|�TteUDO|z�� ��� ��Z ��c jTj � ���PQRj� m�� b �ib �W�� �aOTu|`^pTND}��*`BgeOfj\VNaW�`_ODU�j[Z� u#pR�DteUDO|z � ��� ��Z ��c jDj m�� b �Ab �OTUDrTO\VNaW�`_ODU�j[Z� WY�Tt UVW#uVW�`�u#p|�Tt UTO|z�� ��� Z�� b �Ab ��eW �W��yr,`VpTNVO#}DpR{V`*`Bg O�j\VNaW�`_ODU�j[Z� u#pR�DteUDO|z � ��� \�Z ��c jDj m�� b �Ab �

�eW �W�� �aOTu|`^pTND}B�*`BgeOfj\VNaW�`_ODU�j[Z� u#pR�DteUDO|z � ��� `�Z ��c�� `aO��TtP}_WijaSPO,z ��ib �Ab �OTUDrTO\VNaW�`_ODU�j[Z� WY�Tt UVW#uVW�`�u#p|�Tt UTO|z�� ��� Z]` b �Ab ��eW �

\VNaW�`aOTU�j[Z� u#p|�TteUDO|z�� ��� W �Ab �

Page 177: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� �#<

\VNaW�`aOTU�j[Z� NPORQPU�� � t W �ib �\VNaW�`aOTU�j[Z� taQDNTQR� O|`aO#NwZ�t W?~��� � ����� � ��� � � ��� � � ST��vxW*~�Z �TSD�[v � ST�abTb �Ab �\VNaW�`aOTU�j[Z� `VQ|{ ~sU#pBk Z NVO#QPUnZ jnbTb�!DU#p#k�Z NVO#QVU Z jDj bDb � b �\VNaW�`aOTU�j[Z� STp T~D�[v j m�� �ib �\VNaW�`aOTU�j[Z� o�Z _bI~�z Z _b �ib �\VNaW�`aOTU�j[Z� O�jPSTSTp �ib �\VNaW�`aOTU�j[Z� ��~ � �Ab �\VNaW�`aOTU�j[Z� STp ��~ � v�`VQ|{ �ib �\VNaW�`aOTU�j[Z� ��~ ��fjTj��ib �\VNaW�`aOTU�j[Z� N�~ j ! � �Ab �\VNaW�`aOTU�j[Z� �Pr ~ ��!�jDj �ib �\VNaW�`aOTU�j[Z� NPr ~ jDj �RN �ib �\VNaW�`aOTU�j[Z� jT{�~�Z �Pr m�� b�! Z�jTj m�� b �ib �\VNaW�`aOTU�j[Z� STp T~T��v j m�� �Ab �\VNaW�`aOTU�j[Z� ��Z abI~�o�Z _b �Ab �\VNaW�`aOTU�j[Z� O�jPSTSDp �ib �\VNaW�`aOTU�j[Z� STp �~���v��Pr m�� �ib �\VNaW�`aOTU�j[Z� STp�q�~��[v N m�� �ib �W�� �aOTu|`^pTND}��*`BgeOfj\VNaW�`_ODU�j[Z� � Z �abI~���Z ��#NVr��Bq b �Ab �\VNaW�`_ODU�j[Z� SDp qTq ~ � v jTj m�� �Ab �\VNaW�`_ODU�j[Z� ��Z qTq b ~ �_U#p|jVk Z]qTq�v jD{ ��ab � � Z �RNPr �BqTq��#N��Bqeb �ib �\VNaW�`_ODU�j[Z� OfjaSDSTp �Ab �

OTUDrTO\VNaW�`_ODU�j[Z� �V� ~ � Z ��#NPr �Bq b �ib ��VpDN���VNTp|� � `Vp j m�� STp\VNaW�`aOTU�j[Z� � � � ��x~ �_URpRj^k�Z� ��Tv jT{ ��_b � ��Z �#NVr�� � �� �#N��#qeb �ib �

pTS�eW �pRjP}B�eWijaQVU c�~�`VQ|XeUDO ZYrftaQDNPrTO^b ��VpDN�*�VNTp|� � `Vp j STp�p|ja}#�eWYjPQPU � o � �� � c�~��pDS[��VpDN�*�VNTp|� � `Vp�`_Of�TtP}_WYjPSPO,z�SDp

W�� O��VQVU�X[Z��_ODu|`^pTNT}#�eb `Bg O�j`aO��Tt�c�~ ` � ����OTUDrTO`aO��Tt�c�~ ` [��eW �

W�� pRja}#�eWijaQPU � `aO��Tt��V~D� `#geO�j\VN_Wf`_OnZ]�VpDNB`^NTQRj[Z � `_O��Dt�~*� � `aO��Dt�����v SaW�keWf`_rR~ ��� bTb �

OTUDrTO

Page 178: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� � �W��yr|`^pTNPOR}Tp|{V`�`#geO�j\^N_Wf`_O Z �VpDNB`VNDQRj[Z ����\�Z�� |Z pRjP}B�eWij^QPU � `_Of�Tt � m�� b ��ib �K~�� � `_O��Dt�� �ebTb �OTUTrDO\VNaW�`aO Z]�^pTN#`VNTQ|j�Z

����o�ZTZ �� � |Z pRjP}B�eWijaQVU � `aO��Dt�� m�� b �� � �VrVb �#N��Bqeb �E~�� � `_Of�Tt�� �ebDb�eW

�eWpTS��W��yr|`^pTNVO#}Tp|{V`*`Bg O�j\VNaW�`_ODU�j[Z� STp�qDqs~ �[v jDj m�� �ib �

\VNaW�`_ODU�j[Z� o ZTZ ��BqDq � �VrVb��#N��#qeb?~ \�Z qTq b �ib �\VNaW�`_ODU�j[Z� O�jPSTSDp �ib ��eW �

\VNaW�`aOTU�j[Z� O�jaSDSTp �ib �\VNaW�`aOTU�j[Z� O�jPSTSDp �ib �\VNaW�`aOTU�j[Z� O�jPSTSTp �ib �\VNaW�`aOTU�j[Z� NPO,`B{aN|j �Ab �\VNaW�`aOTU�j[Z� O�jPS �ib �uTURpPrDO Z�b

OfjaS�cU#p#k�� c�~ taNTpVu Z jnb�U#pBk Z jnb�!TURpBk Z �_bIO�jPS�cjeURpBk#ja}PuRpPO,� c�~ tPNTpVu Z]�auwv jnbyZ]�au��dZ j m�� b�� � b�! Z�j �TURpBk��wZ jnbTb OfjaS�clTlDlTlDlTlTlDlTlDlTlTlDlTlDlTlTlDlTlDlTlTlDlTlDlTl#lTlDlTlTlDlTl#lTlDlTlDlTlTlDl#lTlTlDlTlDlTl#lTlDlTlTlDlTl#lTlDlTlDlTll�� QaWYj��^NTpBk^NTQ|��`BgPQB`suRpRjV`^NTpVUTr�O �_O#N��T`#g WYj^klTlDlTlDlTlTlDlTlDlTlTlDlTlDlTlTlDlTlDlTlTlDlTlDlTl#lTlDlTlTlDlTl#lTlDlTlDlTlTlDl#lTlTlDlTlDlTl#lTlDlTlTlDlTl#lTlDlTlDlTlNPODrTO,`V}_WijaSVO|z�Zfbwc�_ODu|`^pTNT}���c�~*`VNR{ Ow��_ODu|`^pTNT}#��c�~*�VQPUDrTOd�r|`^pTNVO#}Tp|{V` c�~I`VNR{ Ow�W�� �aOTu|`^pTND}B�*`BgeOfj`�c�~DQTNDNTQ�� Z � � � �T�D�T�_b �OTUDrTO`�c�~ ��`��T��eW �j�c�~ ��G�aQRj ��c�~��aU#pTpDNwZiO��VQVU|� ZYU#p#k � j���Z � � �T�_bDb#b �

Page 179: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� ���

W�� �aOTu|`^pTND}��*`BgeOfj��c�~�QDNTNTQ���Z �� � j m�� b �o�c�~srfteUVWf`V}DNTQTSaW�z Z jLv �ebdc

OTUDrTOz�c�~�QDNTNTQ���Z �� � j m�� b ��VpDN���VNTp|� ��`Vp j m�� STp�z�� ���c�~ � � � �pTS�co�c�~srfteUVWf`V}DNTQTSaW�z Z jLv�zebdc�eW �

taNVOTu^WBrVW,pRj�c�~�� SDpR{DXeUTOd�T�k_Ofja}Vu#pTSVO Z o�v j v �PQRj� b �taNaWYj^`�Z���_URpRt � pR{DjV` ~ � �_URpRtP}Pu#p|{Tj^`eb �O��^QPU,��Z j U#p#kBja}Vu#pVO|��Z �_URpRta}Vu#p|{TjD`�v jnbTb ��R{nW�`��

% ��������������� '��*1� ��������� � ��� � '��������� � � �������������� � ���������������' �)���� ����������� �

����|: ��*!"� ��� '�� '7� ������� � �#���$"� ����� �

% _ � �����#� ��� '7� ����� �� � �;: �& ')( *�+ , +.-�% � ��� ���"/ ��� � � ����� ���0����� '�� '7� � ������ ���! (�*����f�1� ' � �#� (�*2���� * �����3 ����4 � ' �(�*��145����

4 �����K�)*��54 �6 (�*�7)-�' 6 _ � ����������8�8�'98 : ���V�38 ��������� ��8 � ��(��1����8�'�:"�� * ������: �"/ ����:���� ( �;8 ���$:� ���;:

�� *�� �*!�8�� '��<�:�� ��'����2����8�'=>8 �?�@��'�:�": �S�1����8�'�:BAd����'C8 �D�8E8 ���F:� ���;: ��' ���3�������G��'�8 � ����� �H8 ��� � �')*�� ���8���1���08�'�:?IL9>��� � '���8 � '��J� �H����� �������2��8 ��� �? ����'7�E��:�'7��� �������K�#8��� �� * '���� � ��(�:�' ��8 ������8 �D�8 '���*��@���: � '�: � �>8����<:� � �;: �� * � ��*L�8 � '��EI J�'�:G����1������:-� '�: �������� ����8�8 ���K�e��8 ������: ��MN��:������� * ��� '7� 6 (�*�7-�' 6 ��� J * ���1I

6 (�*�7)-�' O _ � ���?� ����8P8�'�8�: ���V� 8 ���=8 ���@��'�:��: � ��": �! (�*�� �Q����� ������� '�:P8 ���G��� 8 ��:��@�����L�8��

�� * ����� '7�R8 ���"��������:��8 � ��:� � �;:IJ JL9S�: � �#8�'�: ��� '��T * ' �� *U8 ��� '�:�": � �1����8�'�:CABI9>������MN����8 '7� � �����V�����'�� ���@���������:�����8 � �����V *L�: ���$:� ���;: JLJL9W���"���?����: �"8 ���w� � ����: �� � *����1�?: � '�: 8 :��� � '��@��� *���:P�@����� 8P��:�'7� ����� � '��@� ���8�@��: �.�X�?8 ����������I

Page 180: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� ���

J�'�:K �#�$ * *H:� ���H:IJLJ 9 � 6 (�*�7-�' O ����' ��*�� (� �#��8G8�' � * ���V� (���? ���#�J8���� � �� *!":8����@��'�:��: �2��� � � � * *1� 8 : ��� ����:P8 ���<:������ ��8 �?:C * * ' ���8�� '��EI

,"7)-�')( -���7�� ��� � *!":H8�' 6 ( *�7)-�' 6 � '���*1���' � �28>:��.�X��: �F8�' ' ��8 � ��8 � ��(��1����8�'�:?IL9>��� ����@�

� '��@�@��� 8 �U �P8�' 6 ( *�7-�' 6 �����*1�1I�� MB�?: ��� 8 � '���(��2��8�� '�� �"'��R8 ���8�� * �����?� '�:G8���� *L �#8�6"���: �L (�*2���P: ������*�8����@8�' (���� � � MN��: ������0���>���$8 �������:-� '�:��$����0� '��38����8��������:�"8 ��� � ' ���^� � � � � ���#�<8 ��� ���#��:P8�'��|: �)�?: ��� ����8

� ��8��$8 ���8�����1���@��:�')(�*2��� �#� �����P"��� 8��: ����8P�": � � �:������ '��@��� *���:?I

!� y7 7�� .���5 -&.0/I.E26%054)|7�/

9>�����������J������8Q��������:�"8 �����J������������� �!������ �P8 :�"��� ����: �$"8 � ���"!����2���K= �8 �����$�8��#�� I�9>���8 �?: �S: � � :���8������C:$!%�2�&� �: �'������8 ���)(�*��� � 8+� ����8 ���?: � ��8��,�-���@�.����@�@�?�18/�)�,:��%�L��2�������C8 ������:�%!�:��������^�.��:$�����:0!��#�G"�������2�@��8��8������1��I�J%��:3G����������:2�����1�*��� �&�$��:�����8������,���N8 �����H�$"8 ��:��!3���8 ����:��"�� ��:����%��!%�#�4�����G�3�"��8 �?: <�I

I �5��8��: 8�(�� �2����8��!&��� �?�����6�-���@�6����!���8���:/�?����:C8 ���D��������:�"8 �����7�7�0!����L/8!���� ����� ���1���|:��1�E���:��!3(9���<��� �&��I

u#p|{Tj^`�~ m��jeO,\eWijV`�~��B{Djeu,`eW|p|j �Iv u#pR{DjV`�~suRpR{Tj^`� � �jeO,\��^QTN�~��B{Djeu,`eW|p|j �Ivx�Vp3:DzBtPNPOTrDrVW,pRj � �B`^N_WYj^k�;Rp_WYj �/<#W�<_v��^p��B`^N_W jVk�� j O|\eWijD` � � ��� ���

=>!9���&�>8+�"����8 �?: �@�2����8����6��� ������� ���/8!": �<�$"8 : �H:���:C �1����8$��:�I

Z � �aW�o_O pB��Qsr �|{aQDNPO �PQB`VNaW�z �^b�8?�@3:��BA � T}�v�qV}����hc�~��_Wi�Tt UVW���� � �|q ��8?�@3:�� � � ja}����hc�~ j�8?�@3:��-? � ja}����hc�~ j�8?�@3:�� � � �a}�v ja}����hc�~ ��8?�@3:��BC�D��3E��BFV}�vGA^}����hc�~ �8?&@&: ��F�� � �8?�@3:��BA���8?�@3:�� ��? � :�� �BF^}[vHAV}�� � c�~��8?�@3:��BF�� Z �IF_rTrf{T� O�r �|{aQTNVO �aQ#`VNaWBuTODr �Vb�8?�@3:�� ��D������ �V}�v�? ��J�� �V}�v rR}[v UR}���v � }�����c�~��8?�@3: � � ! ���cHK�����8?�@3:�� ��D�F�E���� ��FV}����hc�~ ��?&@3:��BF ��8?�@3:��BFV}�� jP}����hc�~ jZ � �aW�o_O pB��Q��_ODu|`^pTN �^b

Page 181: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� � �

�8?�@3:�� ��: � � zV}[vAW|S#zV}�� � c�~��8?�@3:�� W|S#z���8?�@3:��-? ��J � ��v rdv U ���hc�~ Z � m U � � b�!Tr !w�,E^pB` � r ~T~����

=>!9���&�>8���8 ���2�@�%��� � �� 8�:�"���������#�&���$"8 : �H:BI�����8 �<8����6����:��&��8�����: : ����������� ������� � ��8�����2���"":P3�����*(�:���#����� 8 �28 �2�&��I

��D�F�E���� � � � ja}�� � c�~�� � j����D�F�E���� � � � �a}[v ja}����hc�~ ��� �Lv j !f�����D�F�E���� � ? � ja}�� � c�~ ? � j����D�F�E���� � � � ja}[v ta}����hc�~ ��� jLv t����D�F�E���� � ��? � :����BF^}[vGA^}�� � c�~���? � :���� ��D�F�E������BA���v���D�F�E������BF������D�F�E���� � ��D���� � �V}�v�? ��J � �V}�v r#}�v UR}���v � }�����c�~ ��D���� � ��v ? ��J � Uwv m rwv�����v0��D�F�E������ � � ���D�F�E���� ��C�D��3E ��FV}�vGAV}���� c�~ C�D��&E � ��D�F�E������BF ��v���D�F�E������BA ���

% ����8.�7�3:$!%�2�&�Q8+�J���:-����:�� ����� �|: �����:��8������1��I

� ����? ��J � ? ��J � �^}[v r#}[v U#}���v ja}���c�~? ��J � � ����� �_Wi�Tt UVW���� � ����v j���v � ����� �_Wi�TtaUVWf�����]r ��v j���v � ��� � �_Wi�TteU^W���� � U ��v j�� �

� � ���&D�? ��J � ? ��J�� �^}[v rR}[v U#}���v ja}���c�~? ��J � � ��� �3D � �_Wi�TteU^W���� � � ��v j���v�� �����&D � �_Wi�Tt UVW������]r ��v j���v � � ���3D�� �VWY�DteU^W�������U ��v j�� �

� � ���&D � �v0j � Z � m�� b���c�~ �� � ���&D � j � Z � m�� b vEj � Z � m�� b���c�~ �� � ���&D � m j � Z � m�� b��Rj � ��v j � Z � m�� b���c�~ j m��� � ���&D � q���j v3j�� c�~�q� � ���&D � � v0j���c�~��� � ���&D � m�� � j ��q �fjLv0j�� c�~ q� � ���&D � q �����j � Z m ���#`eb vEj � Z m�� �B` b���c�~��� � ���&D � j � Z m�� �#`eb v3j � Z m�� �#`eb��hc�~ �� � ���&D � q m j � Z m�� �#`eb � j � `������j � Z m ���#`eb vKj � Z m�� �B`eb�� c�~ j m��� ��� � [v0j � Z � m�� b���c�~�� ��� � j � Z � m�� b vEj � Z � m�� b���c�~��� ��� � m j � Z � m�� b��|j � ��v j � Z � m�� b���c�~ � ��� � q ��j v0j���c�~��� ��� � � v0j�� c�~ �� ��� � m�� � j���q �fjLvGj���c�~ j m��� ��� � q � ��j � Z m ���#`eb v3j � Z m�� �#`eb���c�~ q ���fj � Z]` m �_b� ��� � j � Z m�� �B`eb v3j � Z m�� �#`eb���c�~ �� ��� � q m j � Z m�� �B`eb � j � ` � ���j � Z m ���B` b vEj � Z m�� �B` b���c�~ q����j � Z ` m �ab

Page 182: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� �D@

D�:�?*E ��:�J�� ��: � � zV}�v$? ��J � � � }�v r � }wv U � }�� ��v6? ��J�� ���T}[v r��D}[v U �T}����hc�~��: � � z�v$? ��J � � � �B�����Tr � v r � �Dr��wv�� � �PU ��#r � ���

?*E���? ��J � ? ��J � � � }�v r � }[v U � }���v,? ��J � �V}�v r#}�v UR}����hc�~? ��J �|Z � m � � b�!Tr � v r !Tr � v#ZiU m � � b�!Dr � �

? ��J ! c�? ��J � � � }�v r � }[v U � }���� ? ��J � ���D}[v r �T}�v U��D}�� c�~ ? ��J�� � � �B���[v r � �Vr��[v U � �PU����? ��J ! cGQT} � ? ��J � � � }[v r � }�v U � }��hc�~ ? ��J ��Q�|� � v Q�Tr � v Q�TU � �9>��� �#��8��7�C�|:��D������2����:+!%�����K8���8�": �@�2����������1����� 8$�1����� �&� � � � � ����;: �.�X��:<8+�

8 ����� I

Z �I:DzBtaQ|jaSaWYjVkIDB{ UTODr �VbXT{^`T`aO#NB�aU���~IA � D}[v�qV}���cGK���? � :����BC�D��3E�� ��� ���v$? � q�� ��v ��� [v�q�� ��aQ#`B�PQB`��aOTu*~IF�����?��&E � z^}[vG��? � :�� ��FV}�v0��? � :�� ��AV}[v �V}�� ����cHK

�3:����BF����8?��3E�� z�vK��? � :�� �BA�v���� ��vF����8?��3E�� z�vK��? � :�� �BF�vGz�� ���

\_O^W�k#gV`_r ~IF�����?��&E � �^}[vG��? � :�� � � � T}[v�qV}���v ��: � � z^}[viW,SBz^}���� � cHKF�����?��&E � ��v ���B���#��F�D � ��: � � \�v+? ��J ����v � v ��|q m�� ����v ��: � � z�vAW|S#z���� �

taNDpTS|{eu|` ~IF�����?��&E � z^}[vG��? � :�� � ��D���� � �T}�v$? ��J � �V}[v r#}�v U,}���v � }���v zV}�� ��cGK������� � �[v$? ��J��]Uwv m rdv�����v

F�����?��&E � z v���? � :�� � � v�z���� �?|q^NTp|j�F ~IF�����?��&E � z^}[v���? � :����BC�D��3E��-? � ta}���v � } ��v �V}�����cHK

Z � ~ �#\eW�`au�g � tLvj � Z ` m �ab vGq�vj � Z � m�� b v �v}�vGjeO|\��VQDN � � ���

r,o�~��8?&@&: � � ���j O|\eW,SBz�~ ? ��J � � �Dr|o�v � vRZ��� � b��Tr|o m�� ���

��F�D�F � �&: ��� ��v"? ��J ���[v � v t m�� ��vF�� �8?��&E ��D�:�? E���:�J � z�vEjeO,\eW|S#z���v��? � :�� � � vGD�:�?*E ��:�J � ��v3j O|\ W|SBz ��� ��� b

FTq^NTp|j%? ~IF�����?��&E � z^}[v���? � :����BC�D��3E�� � }�v$? � �a}�����v ��: � � �V}[vAW|S#zV}�� ���hcGKZ � ~ �#\eW�`au�g � �Lv

j � Z ` m �ab vGq�vj � Z � m�� b v �v}�vGjeO|\��VQDN � � ���

r,o�~��8?&@&: � � ���

Page 183: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� � �

j O|\eW,SBz�~ ? ��J � ��v �Lv � �R�"� ZYr,o m�� b������F�D�F � �&: ��� ��v"? ��J ���[v � v � m�� ��v

F�� �8?��&E ��D�:�? E���:�J � z�vEjeO,\eW|S#z���v��? � :�� � � vGD�:�?*E ��:�J � ��: � � ��vAW|S#z���v j O|\ W|SBz ��� ��� b

9>���6����:�: �&�#���������2��� �#��8.��� ����� 8 :����8�������:+!%������I

Z � � pRjV`^NTQVu|`eWijVkIDB{ UTOTr �VbtT{ r�g^\_OVWfkBg^`�~����&:����BF�� �8?��3E � ��: � � z^}[vAW � }���v����B���#��F�D ��SD}[v �V}�� ��v

��F�D�F � �3: � � T}[v W|S#zV}�vF�� �8?��3E � oV}�v���? � :�� �BF^}[v ��: � � z^}[v W �D}���� ����� cGK

��F�D�F � �&: ��� [v W|S#z�v�3: � �BF�����?��3E��BD�:�?*E ��:�J � ��: � � z�vAW � ��v ?*E���? ��J � W � viW ������v

���B���B��F�D ��D�:�?*E���:�J���S[v+?*E���? ��J � W � viW ������vD�:�?*E ��:�J � ��v$? E���? ��J�� W � viW ����� ����v

F�����?��3E�� o�v���? � :�� �BF�v ��: � � z�vAW � ��� ������v�&:���� ��F�D�F � �3: � � T}[v W|S#zV}�v

F�� �8?��3E � oV}�v���? � :�� �BF^}[v ��: � � z^}[v W �D}���� ����vF�� �8?��3E � ��: � � z^}[vAW � }���v����B���#��F�D ��SD}[v �V}�� ��� cHK

��F�D�F � �&: ��� [v W|S#z�v�3: � �BF�����?��3E�� o�v���? � :�� �BF�v ��: � � z�vAW � ��� ��v

F�����?��3E��BD�:�?*E ��:�J � ��: � � z�vAW � ��v ?*E���? ��J � W � viW ������v���B���B��F�D ��D�:�?*E���:�J���S[v+?*E���? ��J � W � viW ������v

D�:�?*E ��:�J � ��v$? E���? ��J�� W � viW ����� ���������tT{ r�g r|`VNaW|SVOI~����3: � ��F�����?��&E � ��: � � zV}�viW,SBz � }���vE��? � :���� � � U#}�v ja}���vEo � }�� ��v

��F�D�F � �&: � � �V}�v QRj �eW,SBzV}�v�3:����BF����8?��3E�� o��D}[v ���B���B��F�D ��S#}[v ��: � � zV}[v8W|SBz��T}�������vQ|j�_r,`VQ#`V}�� ���hcGK

Z(� ~�U !�jL�W,SBz�~ ?*E���? ��J � W|S#z � v W|S#z�������&:����BF�� �8?��3E � ��: � � ��v$? ��J ���[v � v U m � ����vEo � ��v

��F�D�F � �3: � � ��v QRj� W|S#z�v�&:����BF�� �8?��3E � ��: � � z�vxW|S#z�����v

��: � � ��v � ����? ��J � W|S#z�v ��� �fj �� �����&D�? ��J � W|S#z�v ����� ��v�&:����BF�� �8?��3E � o���v ���#���#��F�D���S�v ��: � � z�v W|S#z���� ����vQRj �_r,`VQB` ��� ��� b v

�&:����BF�� �8?��3E � ��: � � z^}[vAW|SBz � }���vE��? � :�� � ���]UR}[v jP}���vEo � }�����v��F�D�F � �3: � � � � }�viW,SBz�� � }�v

��F�D�F � �&: ��� ���D}[vAW|SBz����D}[v�3: � ��F�����?��&E � o��T}�v ���#���#��F�D���SD}[v ��: � � zV}�v W|S#z��D}���� ��v

Q|j�ar|`VQ#`V}������ � cHKZ(� ~sU�!fjL�

Page 184: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� � �

W|S#z�~ ?*E���? ��J � W|SBz � v W|S#z�������&:�� ��F�� �8?��&E � ��: � � ��v$? ��J ���[v � v U m�� ����v o � ��v

��F�D�F � �&: � � � � v�W,SBz�� � v��F�D�F � �&: � � ����v�W,SBz����[v�&:�� ��F�� �8?��&E � ��: � � z�vxW|SBz�����v

��: � � ��v � ����? ��J � W|SBz�v ��� ��j �� ��� �3D�? ��J�� W|S#z�v ����� ��v

�&:�� ��F�� �8?��&E � o��[v ���#���B��F�D���S[v ��: � � z�v8W|SBz���� ����vQ|j�_r,`VQ#`���� ��� �yb v

�3: � ��F�����?��&E � ��: � � zV}�viW,SBz � }���v ��? � :�� � ���]UR}[v jP}���v0o � }�� ��v��F�D�F � �3: � � � � }�viW,SBz�� � }�v�F����8?��3E�� o��D}[v ����:�DV}���ST}�v ��: � � z^}[v W,SBz��T}�� ��� ���hcGK

Z(� ~sU�!fjL�W|S#z�~ ?*E���? ��J � W|SBz � v W|S#z������

�3: � ��F�����?��&E � ��: � � ��v+? ��J ����v � v U m�� ����vEo � ��v��F�D�F � �3: � � � � vAW|S#z�� � v

�3: � ��F�����?��&E � ��: � � z�v W|S#z�����v��: � � ��v � ����? ��J�� W|S#z�v ��� �fj �#� �����&D�? ��J � W|S#z�v ����� ��v

F�����?��&E � o��[v ����:�D ��S[v ��: � � z�v W,SBz������ ����� �eb�

U#pDpRt u�gaQ|jVkaOI~��3: � � ��F�D�F ���3: ��� D}[viW,SBz T}[vF�� �8?��3E � ��: � � z^}[vAW|SBzDz � }���v NRg r � }�� ��v

��F�D�F ���3: ��� q^}[viW,SBzDqV}[v��F�D�F ���3: � � D}[vAW|SBz T}�v

�3:����BF����8?��3E�� ��: � � zV}[vAW|S#zTz��D}���vENRg r��D}���v r|`^QB`_rR}�� �����hcGK�3: � � ��F�D�F � �&: ��� [vAW|S#z[v

F�� �8?��&E � ��: � � z�viW|S#zTz � ��v NRg r � ����v��F�D�F ���3: � � �viW,SBz�v

��F�D�F ���3: � � q�viW,SBzTq�v�&:�� ��F�� �8?��&E � ��: � � z�viW|S#zTz�����vKN|ger ����v r|`^QB`_r ��� ���

U#pDpRt Tp_Wij ~ �3: � � ��F�D�F ���3: ��� D}[viW,SBz T}[vGr,`VQ#`_r � }���v��F�D�F ���3: ��� D}[viW,SBz T}[vGr,`VQ#`_r��D}�� ��cGK

��F�D�F ���3: � � �viW,SBz�v�&:�� � r|`^QB`_r � v�r,`VQ#`_r������

r|`^N_W,SPO�t O#N|��~ F�� �8?��3E � zV}�vG��? � :���� ���]r#}�v tP}���vKzV}�����cHKZ � ~ �#\eW�`au�g � tLvj � Z ` m �ab vGq�v

j � Z � m�� b v �v}�vGjeO|\��VQDN � � ���� ~ �_Wi�TteU^W���� �]r !�t�����3: � �BF�����?��3E�� ��: � � ��v,? ��J ���[v � v r m�� ����vKz���v

Page 185: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� � /��F�D�F ���3: � � ��v ? ��J ���[v � v0t m�� ��v

F�� �8?��&E ��D�:�? E���:�J � z�v,? ��J � � �f�Lv � v�Z �� � b��f� m�� ����v��: � � ��v ? ��J � ��v0t v ��wZ�� m�� b��ft�� ����� �sb

QPrDrVWfkBj Dp_Wij�~��3: � ��F�����?��&E � z^}[v NRg r � }���vF�����?��&E � �^}[v NRg r��T}�����cHK

F�� �8?��3E � ��v*Z NRg r�� ! z�cGK Z N|ger � bTb�� !w��� �VNVOTO�����N|ger���vGz���0��������������:��8 � �������:����)�! ���� I 9>���@�|: ��: �&�+��� �����<�:��@8 :����� �!"8 �&� �2� �#8�7���&� ����

8 ����� � : ��8�8 ���$8+�� ���2�1I

rVWi�Tt�c�~��Rj � � cGK ��v0j � Z � m�� b cHK �PrwvKj � Z ` m �_b cHK�N�v0j � Z]` m ��� � b cHK�NPr ��Vp � Q#`_U#Q|X � taNTp#kV}�v0�#jaQR� O#}���c�~Z(�eW#UTORpR{V` ~ �#jaQ|�eOw� �RteOfj �^N_W�`aO � �eWBUDO#p|{V`����E�Vp � � tPNTp#k�v4<�< ���� URpPrDO � � WBUDO#pR{^`�� b

�Vp � ��F�����?��&E �]UfgerR}[v NRgerR}���v�`VQ|Xa}�� c�~Z �VNaW�`aO��B`^N_WijVk � �eW#UTO#p|{V`�v0`^QRX�����Vp � � U�ger ��� �^N_Wf`_O��#`VNaWYjVk�� � WBUTORpR{^`�v <I~�< ����Vp � ��NRger ��� �^N_Wf`_O��#`VNaWYjVk�� � WBUTORpR{^`�v <fj < �eb

�Vp � � ������� � �V}[vAW|S#zV}[vxr|`^QB`ar#}���v0`^QRXP}���c�~Z �^N_Wf`_O��#`VNaWYjVk�� � WBUTORpR{^`�vE`VQ|XLv <Y�VpDN <nv��Vp �B`VNaWYj^k � � ��v < ~�< ����^p � U#pTp|t W,SBz � W|S#z���� �VNaW�`aO��B`^N_WijVk � �eW#UTO#p|{V`�v <�j < ����^p � �]r|`^QB`arwv��#`VNaWYjVk�;#paWYj � < <ev�`VQ|X�� ����^N_Wf`_O��#`VNaWYjVk�� � WBUTORpR{^`�vE`VQ|XLv <RO�jPS�fj < � b

�Vp � � ��F�D�F ���3: ��� �^}[viW,SBz^}[vGr|`^QB`ar#}���vG`VQ|Xa}���c�~Z �^N_Wf`_O��#`VNaWYjVk�� � WBUTORpR{^`�vE`VQ|XLv <Y�VpDN <nv��Vp �B`VNaWYj^k � � ��v < ~�< ����^p � U#pTp|t W,SBz � W|S#z���� �VNaW�`aO��B`^N_WijVk � �eW#UTO#p|{V`�v <�j < ����^p � �]r|`^QB`arwv��#`VNaWYjVk�;#paWYj � < <ev�`VQ|X�� ����^N_Wf`_O��#`VNaWYjVk�� � WBUTORpR{^`�vE`VQ|XLv <RO�jPS�fj < � b

�Vp � � �3:����]r � }[v r��D}���v�`VQ|Xa}�� c�~ Z��Vp � �]r � v�`VQRX����K�Vp � �]r �[v�`VQRX��yb

% �$�#�#�#8 ���K��:$!%�2�&�>8 �"8��D������2�6����&���L3�E�$"8 : �����&�f� �1����8$��:/�>"��� �2���������&��I

�Vp � � ? ��J�� �^}[v � v UR}����hc�~�VNaW�`_O �B`^N_WYj^k � �eWBUDO#p|{V`�v <aZTZ <nv$?fjTtD{V`T�^pTN|� � ��!�! (rVWi�Tt���v< c/<ev

?�jDtT{V`D�VpDNR� � U !�! (rVWi�Tt���v<#b�� � b�< �

�Vp � � ? ��J�� �^}[v rR}[v U#}�� � c�~�VNaW�`_O �B`^N_WYj^k � �eWBUDO#p|{V`�v <aZTZ <nv$?fjTtD{V`T�^pTN|� � ��!�! (rVWi�Tt���v< c/<ev

?�jDtT{V`D�VpDNR� � r !�! (rVWi�Tt���v< c/<ev

Page 186: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� � 6?�jDtT{V`D�VpDNR� � U !�! (rVWi�Tt���v<#b�� � b�< �

�Vp � URpTpRtnW|S#z �-? ��J�� �V}�v � v U#}���� c�~�VN_Wf`_O �B`VNaWYj^k � � WBUDO#pR{^`�v,?fjTtT{^`T�^pTNR� � ��!�! 8r^WY�Dt���v < c <nv

?fjTtT{^`T�^pTNR� �]U�!�! 8r^WY�Dt�����Vp � URpTpRtnW|S#z �-? ��J�� �V}�v rR}[v UR}�� � c�~

�VN_Wf`_O �B`VNaWYj^k � � WBUDO#pR{^`�v,?fjTtT{^`T�^pTNR� � ��!�! 8r^WY�Dt���v < c <nv?fjTtT{^`T�^pTNR� �]r�!�! 8r^WY�Dt���v < c <nv?fjTtT{^`T�^pTNR� �]U�!�! 8r^WY�Dt����

�Vp � � ��: � � z^}[viW,SBz^}����hc�~Z �VNaW�`aO��B`^N_WijVk � �eW#UTO#p|{V`�v0�^p��B`^N_WijVk � z�� ���K�Vp � � W,SBz�� b

�Vp � � ��? � :����BFV}�vGA^}����hc�~Z �Vp � �BF ����VNaW�`_O �B`^N_WYj^k � �eWBUDO#p|{V`�v < � < ���?|��� �Vp �B`^N_WYj^k ���_O#QDS ��A����^~T~9< �&: � <nv�^p � �BA���vZ��VNaW�`_O �B`^N_WYj^k � �eWBUDO#p|{V`�v <aZ*< ���G�^p � ��A���� �VNaW�`_O �B`^N_WYj^k � �eWBUDO#p|{V`�v <Bb < � b v�^N_WijV` � <��DjaSPO,`_ORNR� WijeORS ?,�yWYj `eWi�eODr�< � �eb

�Vp � � ���B���B��F�D ��FV}�vGAV}���� c�~Z �Vp � �BF ����VNaW�`_O �B`^N_WYj^k � �eWBUDO#p|{V`�v < �� < ���?|��� �Vp �B`^N_WYj^k ���_O#QDS ��A����^~T~9< �&: � <nv�^p � �BA���vZ��VNaW�`_O �B`^N_WYj^k � �eWBUDO#p|{V`�v <aZ*< ���G�^p � ��A�����VNaW�`_O �B`^N_WYj^k � �eWBUDO#p|{V`�v <#b�< �eb v

�^N_WijV` � <��DjaSPO,`_ORNR� WijeORS ?,�yWYj STp#`_r,`VQTN9< � �eb

�Vp � � � � jP}�� � c�~�VNaW�`_O �B`^N_WYj^k � �eWBUDO#p|{V`�v <i��Z <nv$?fjTtD{V`T�^pTN|� � j���v <Bb�< �

�Vp � � � � �P}[v ja}�� � c�~�VNaW�`_O �B`^N_WYj^k � �eWBUDO#p|{V`�v < ��Z <nv$?fjTtD{V`T�^pTN|� � ����v <nv<ev$?fjTt#{V`D�VpTN|� �;j���v<#b�< ��Vp � ��FV} � ja}����hc�~�VNaW�`_O �B`^N_WYj^k � �eWBUDO#p|{V`�v,?fjTtD{V`T�^pTN|� �BF ��v <_Z*<ev$?fjTtT{^`T�^pTN�� � j���v <Bb�< �

JH���D3�����$8 � � ��:$��!������K���)�7�R8 ��� :$!%�2�&�G��1� J8 :�����&����: ���8 � ���I�#8 :�"8 ��� ��8���8 � ��:��1�&�

����:=3� � �����,���2�@�����#�����3���:+��(%�2��� ��I

O|z#taQ|jaS_WijVk^NR{eUDOTr1~��_U#Q#`T`aO�j � �RtPNTpTS|{eu,`�v �aQ#`B�PQB`��aOTudv,FTq^NTpRj9?wv ?,qVNDpRj�F�vG\_O^W�k#gV`_rdv

Page 187: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� �,<

XT{V`D`_ORNB�_U � ���u#p|jV`^NTQPu,`eWijVkVN|{eUDOTr1~ �_URQB`T`aO�j � �RtD{erfgV\_O^W�k#gV`�vEtT{ r�g r|`VNaW|SVO ���`VNDQRj r|�VpDNR� ��QPU,kV}�� c�~

ZTZDZTZDZTZ QVU|k !�! (O|z#taQRjPS_WijVkVN|{eUDOTrVb!�! 3tT{ r�gV\aOVWfkBgV` b!�! 0�_URQB`T`aO�j � �PURpTp|teu�gPQRj^k_OwvxU#pDpRt Tp_Wij ���eb!�! 3tT{ r�ger,`VNaW|SPO^b!�! (r|`^N_W|SVO�t O#NR�nb!�! (u#p|jV`VNDQPu,`eWYj^kVN|{eUTODrVb !�! GQPrDrVW�k#j Dp_WYj

!�� � 7�� 5 7 �I� . 5��1. � 71'1.

9>���<�%!�:��������6�U8 �����.���&�08 �����$�#�Q8+���2��� ��8 ���G��: ������� 8�"8 �����$���$8 ���<�$"��� � �D���8���:/� ��F8����8 ���&�����>8$��8 ����!��#�)��F8����6������� 8 �"8����>�$����K ��"���!&(%���5I

��������� ������� ��� �"!#�

9>���4������� 8�:�"���$���: �$"8 ����� ���%� ��:+����� ����8<:+!�����!��1����:x= �8������$"8 ����'&�I(&�Iy9>���$�����$���

��&�������*) '-�%,+�--�& I/.0��!�:��"��@�28P���$�$�8������$"8 ���� ("0@��� 8 ��:����,132"24) '-�%,+�--�& I5 !�����:P�����&�%�>8+�,()�6 "�@���2�!�:R"8P8 ���7�1��:�0��2�"��#898P��8 �$8����E= �8������$"8 ����)!��#��:P��� 8 �?: �

��0�V�F���8>�*� �3���8���� ������8�����8 � ��) ')-�%,+�-�-�& 8P����:��@8 ���J�$"8 :��;:'1�:���@���:G���������D���&�BI

J��@� ���L�: �28:0�8P��8��$8 ���<8 :���������:��$�8������$:+!%���&�>���P3���-�"!����;�!9� (%!�8P�%��8��������&�$���:�01I� !������ ���<8>�=8P�� 8C8$����� �%��������� 83����>8 8 :�"������� ����8������93�?1���:���8 ��� IA@��8=B#CED�C�F (�

�1�&��8+��:'���?���@��P��HGJI ("0KG/LP�$�8�: �;:d�E8P���?: �7GML�NOG�����HGPI9NRQ�STG/LU���:.�-���@�C��� 8 �>1���:/�G ��1�*QBIWV9� � �%��8OX:$��� 8����6��������28 � ��� ��38 ���6�#8 : �����<���: �"!�8�"8 � ���@8���8C8 ���6� ����!�8 �����

�#�>8����<��:$����!���8

X NZY C D C F\[ C D]BJ^

V9�_8P��� ��1�������:��8 � ��V���@�%�2��������8��8������I(����&� ��� 8 ���` ���8$��: �ba"�8������c8P��8��OdG:$�����&� �1��:

��:+����!���8 �

Y%e C F [ e C NZf:g e6h Y C F [ C%i fjY e C [ e7h gkC F i ^

Page 188: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� ���

9>���3�*���?�@��� 8��:�0>��:+�E1�:���S�2�G�$�8�: �H:.�!�� 1�!�1��>8���8 ���1��:�8P: �28 �&�MB 8P�28 �<��8 �B8 :�����#� � ���

!��#���,1�8 ��� &( ���1�6 ��08$��:��?a""8 � ���$�#�

F�����?��3E�� ��: � � z�v+? ��J�����v � v j �ft ��j m�� ����v��? � :����BC�D��3E��-? � t���v � � j�� �[v j�����vC�D��3E�� � � t �fjLv t���v+? � j�����v��: � � z�v$? ��J����[v � v j ��t"��j m�� � �����

V �P�� 0<�%��8V�8�8 ��� ��8H8+� ����%�b0��2�����?� �#��!3� 8 :���������: ���8 � ��������:�!����C8 ���P��: �&� ������&�

8 :���������:��$�8������ ��8�:�"8 �>1 0 7 '���%N,��-�' - I09>���"�!"8 8���:71������?:��8��&�G8 ���<���� ����8P��� 17�#�"/�!��������

� �������1� fH���#�#�%�!>01�&�J�2�?J� =L9.= 5 � @�� iSTpyW � ~��[v m�� � j� � Z ��c m�� �Ij ��tnb*~ z�ZfW � c W � � j"� Z m�� � j �ft bwc j bSTpsW��~���v m�� � tz�ZfW � �sW���j"��� ��c W � � j �nZ m�� ��Z � �yW�ab���jnbwc j bI~

� � Z�W��c W��� Z m�� � jnb���t c tnbO�jPSTSTpO�jPSTSDp

STpyW ��~��[v m�� � t� ��� Z ��c m�� � j � ���abI~�z�Z�W ��fj ��� ��c m�� ��Z � �sW �ab���j"��� �_bSTpsW � ��~���v m�� � jz�ZfW � ���j���W ��fj ��� ��c m�� � Z � ��W � �ab���j��sW ����j � ���abI~

� ��� ZfW � ��c W � � � Z m�� � jnb��fj c jnbO�jPSTSTp

O�jPSTSDp� ��8��<8 �"8G����� �|:@"����8 �?�@����:�": 0����: �L3(%�2�&�P�$>0 ��� MN��: �#�����0�G���>8 �����&�C�:���1��?����:�

�8��&�*���: �-!�� ���&�$�#�?�1�G:+!����0I

.0��! ��"�@�|: ����: 8R8 ���=1������?:��8��&�,�������$�2� ���)�! ������aJ� =L9.= 5 � @�� ��: � ("0��#�$� !���� 1�Vp � Q#`_U#Q|X � �R{V`�� j���v <A��D`VNDQRjerftapVrTO � < ��Vp#�VpDNB`VNDQRj � � � �R{^` � j���v < ��T`^NTQ|jer�tPpPrDO �1< ��Vp � � �R{V`�� j���v <A��D`VNDQRjerftapVrTO u�< �

: �&�#��&��8 �b�1�*�?05I

��������� ��������� �T�

9>���P:�����H: 1�������:��8��������?�%� ��:+�����@�?��8N:$!���� !�������: = ��9������=P�*�2�"��#��� I � ��� � "�@���2�!": ��8:08P��8��?= ��%�2�����>: �"/�!��2: �&�w� ��� ��: ����:C8$� � �D��,1���8�����!������?:$�?0 ��� 1�:��� �;:31�������:��8 � ��� �������&�0I

Page 189: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� ���

9>���6�!�8��&��89�1�?:/��� ���$��:+�� �#� �&� !����&�P8 ����� �;: �&� :�����H:?JLJL9 8 �"8�1�!�:��� 8 ���&�P8 ��������8R�&��8

��!���(��:0��LM��1"8 �2�,1J������� 8 ���)�?:��8���������I

9>���>���2������� 8�"�����2�,1G8 ���P:��� �;:�1�������:��8+��:3�#��� (�%����.O�� - IwJ%��:F�"��#� �� !����=3� �%������8�:$���

���:��!3(9���&�F8 �D�8.���"�,1��C8 ����(���>� ����:0��E8 ����1�������:��8$��:P": �����#�#8 �&��"8>8������?��� ��E8���� �1���1I

5 X8���:���:+�����:+�?0 �#��8 8����,1 8���� ������8�:$���9��": �!&(%�����3f 8 ������:5�����$"��8��#�*�G�>�1� (���?� �2�#�#8 �&� �2�

������8 � �����GI � i � 0���! ��"�31��?����:�"8 �C8 ��� ����&��� ��&��:��� �;:"������� (%0��|: �&��!�8 ��� 1 X:+���W8����������*���

�����@�$��1� �2�����

- ��& �( 2�� (�%����1O A � -

9>������8P�����J1�������:��8���8����G����� ���1O�%���� 8P����: � % ���.�-!%(1��8 �28$!�8��&� (%0 8 ���<:�����;: ���?a?�1I9 �;8 �&�#8J8����H1������?:��8��&� ������&���98R� ��:$���������� 1��?����: ��� JLJL9 8��&��8���: 7)(�,"7)(�' � � 7�� �

8 �D�8���"� :+!��$���@�"!%�28 ���9���P":/������8��&��8+!�: �&�0!�������� 1��&�BI 9>������: ����:+�����&�+�-��:6M)1��P8 �D�8C�:��

>������L3(%�2� �: �

������� 8$��1��?����:�"8 �6�������6���: F�� = �$"���%X:���@�&���2� �1�C8 ��� ���D@�� I

������� )�8$��1������?:��8��,����� � ���: F�� = = � �������*8 ��:��9��8�"8 � �����G"��� 8���� ��� � ��1� ��� &� !����:/�����@�%!�8���:/�0I

� + �� �! 8$�<1��?����:�"8 �6�������7���: �3:� 04� !����:/�����@�%!�8���:/�0I

�"�$#�% 8$��1��?����:�"8 �6�������6���: � !�� ��� 5 = �c8 ��:��9��8�"8 � �����0I

��&�' 8+�*1�������:��8��������� ���:C� � 8'��:��9��8��8������1��I

��%�% 8+� �#��8P8 ����:�����H: ���ba��1I

���� �%�! 8$�"���?8P8 ���<�$#:��2��!�� �|: � ������� 8����ba��1I

J%��:P�|:��� �%���V�1�2� ��: ����:C8$�<1��?����:�"8 �V��8����@�=��1��8��&��8C"�IJLJ 9 �2�@�%���?�J���18��8������"�U:�����;:< ����@�$#:��2��!�� ���ba��E<)(����:�8���� ��� & 0���!7�?��$�|: �&��!�8��G8 ���6�#�"/8!�������� ��3���1��8 :+!���8������1�+*

Page 190: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� ���

�aQ|teUDO���k_O�j^�T�D��� ���uTu m � m � � F�E��V~ ��m ��E�EV~� m ��D�� � C�`aOTr|`aO#N#�T�T`� � �G���`_ODr|`_ORNB�D�T` W `aOTr,`_O#N �z_U,� m � � m �TQDNPufga~Rt^\VN � `aOTr|`aO#N ���D�T��� ��NVO#QDSTNB`au r m UDOTrTrDU�t� !RQ� �pR{V`9>����J � =L9.= 5 � �����@�������?:(MN1 ����� �� ��')*���.&� �'�� � (�,�,$ �&�� : �"/�!��&�#8 ���>�1�*� �

������������8 ��� �?a""8 �����6���:38 ��� � �9V��0=�&G��:$�������$�-��:R�:/�����28 �&��8+!�: � ����,���2� �78P��8���8 ����� �%� @��� (�:�": 01I 9>����8����@�?: �!�����8 � ��� '( ��.' 7* ��, ���.���&�$�0: ��(�&�����$8 ���<���,:�8�������8 ��:?I

Page 191: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� � � ��� � ���

��� ��� � �� �� � � ���

� !#" � )�� )#/ $&73� 56)#/1.

J%��:�8 :�"�4���1�&�>�%��8>��:+�� �#� �<��#8���1���: � 8P>0�8+��: �"��J8 ���=: �"&�B8 �2�@����� ��� �,��F8���� �:0%�#8 ���

8 �D�8�8 ���$��:+�E1�:��� �#��:+!������2�,1 ��� IsJ%��:�8����#��: � ��-��� 8R�@��� 8$�9: �&� ��:�8�8$�; �#�)����� � �

�-����!�8������ ���T�"���� �C8����"�j09��8���� ��8R�J�����&���&�7��!�:,������J8+�$:$!��EI ����:����#�G8 ���xJ%��: 8 :���

�-!9(�:$��!�8 �2���<8 �"8�:���8$!�:����>8 ����:��"3�E8����@� ��� ��� �@:��"�� ���,1����:��"!%��8����%�2���j09��8���� �+*

�B{Djeu|` W|p|jyrTODu#pRjPSwZfbNPORQPU����rTODu#p|jaSl Wf� D�� � CO|zD`_O#N|jaQVU*NPORQTSTN#`_uS_Wi�eO�j rVW,pRj Wf`eWY� O Z �_bu#QVUTU*NVO#QTSDNB`au Z�Wf`eWi�eOVbrTODu#pRjPS�~yW�` WY�eOnZ � b � � ��TS m�� � W�` WY� O Z �abl ODUVWf� � D�F �u#QVUTUI`arTOTufjaSdZYrTODu#p|jaS_bl ODUVWf� ?*A �NPORQPU����rWYj^`_O|kaO#N�NVu#pDSPOu#QVUTU�uftT{V` WY� O ZYrdvxNPuRpTSVOVbrTODu#pRjPS�~sr

u rTODu#pRjPSsWBr Wij�� W#u#NTpVrTODu#pRjPSPrl ODUVWf� ����� � ��ENPORQPU�� �`eWi�eORNwZ �ab v�O,`eWi�eOrTODu#pRjPS�~sO|` WY�eOnZ]` WY�eORN_b

� ��

Page 192: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� �R@

l OfjaSaW��NPO,`B{aN|jO�jPS

J%��:38 ��� F�� = = � ������� 8'��: �%�#8��8��������18 ���P8����@�2�,1����H���:j���: �@�������LG������"(����D�8 � ���6���9��$�#����(9�?0�� � �������b0$��:$��� �#���&� (%08F � =�����1��8 ��� J1��: 8�:��� :+��!�8������ 3(����1�V�8 �"8G: �"��

8 ����:��"3�E8����@� ��� ��� ���1��: 0 �� ��!�:�"8 �*�b01Il � ��E � ��? �3ELc�D_ORQTS D_ORQPU,`eWY� O uDU#pVu|qll :�J�: � �V��?��3EI:�E���? D��3E � :�ET�Lcl �#`VQRjPSTQDNTS*NPO|k WBr,`_O#NI{er#Q#k_O*Q|jaSsUVWijVq^QBk_O u#pRj �_OfjV`eW,pRj l DaO|keW#r|`aO#NPr {erDO#S�N�� m N l � pRjaSaW�` W|pRj NPO,keW#r|`_ORNPr { rTORS�cG�l E^p�r|`^QPu|q NPO �|{ W,NPO�� O�j^`_r l E^p ��� � NVO �|{ W|NVO�� O�jV`ar ll �aO��TtPpTNDQTN���r�{DXer,`eW�`#{V`aOI�VpDN�r��ar|`_Of��`eWi�eODrI�B{Djeu|` W|p|j ll �#geO*QDSTSTNVOTrDrTOTr QTNPO1`VNPORQB`aO#S�QVr { rVWfkBjeORS �R{PQRj^`eW�` WBODrwvll D�:T� � D�E���F � ��: ��:�� � D�? �T��? �3E c �^QPU�{ O*pB� DD� � � `Vp��wZ �_b vl �^QPU�{ O*pB� DT� � ��`Vp Z �_b ll N �T~T� W���p#q N �T~ m�� W���jPp kVpDpTS�NVO#QTSll �D}���D�� � � �wZ NPO#QDSTN#`_u�bll � QPUTU^WYj^k�rDO �R{ O�j uTO�cl D�� FVSDSTNVOTrTr pB� � \VpDNTS XeURpPu,q��VpDN DT� � NVOTrf{eU|`arl

`VpVu uTrDOTu|` NPO#QDSTN#`_u � ����� k_URpRXeU NPO#QDSTN#`_u � ����� U#p|jVk �NPORQTSDNB`_u � ��D�� U#p|jVk ��� � � `^���

�NVO#QDSTNB`au�c uTrDOTu|` �NPORQTSDNB`_u � ��D�� k_URpRXeU �NPORQTSDNB`_u � ��D��

�^�_rftaN � v l DD� � �

Page 193: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� ��

�^�_rftaN � v � l DD� � ��^�_rftaN �[v l DD� � ��PN �v � l �DQ��_O QDSTSTNVOTrDr�WYjyuRQPrDO�p#��NPO,`VN��uf�Tt U �[v � v�� l �aOTr|`��^pTN �^QPUVW,S�NPORQTSU^WBU �[v � l @VO#NTp�NVO|`B{PNRjyuRpTSVO*QRjPS�SDQB`^Qr,` � v �wZ b l DaO|`B{PNRj DT� � �r,` � v �Z b l DaO|`B{PNRj DT� � �X O �DN l DaO|`B{PNRj W�� �VQPU^W|S�NVO#QDS m N���~��U^WBU [v ��� l DaO|`VN��yu#pR{DjV` m rRQB�_O,`����^QPU �_O�^`_u,`VN l � pR{Tj^` NPO|k*gaQPr NVO|`VN��su#p|{Tj^`

D_O D_ORQTS�c �^�_rftaN � v l DD� � ��^�_rftaN � v � l DD� � ��^�_rftaN �[v l DD� � �uf�Tt U �[v � v�� l �aOTr|`��^pTN �^QPUVW,S�NPORQTSr,` � v �wZ b l DaO|`B{PNRj DT� � �r,` � v �Z b l DaO|`B{PNRj DT� � �X O �DN l DaO|`B{PNRj W�� �VQPU^W|S�NVO#QDS m N���~��X u ��� v �[vHD_O D_O#QDS l �aOTu�u#p|{TjV` QRjaSsuRpRjV` WYjD{eO Z�XaNDQRjeufg bIWf� jPpB`��U^WBU �[v m�� l A^QTS�NPO,`B{aN|jyu#pDSPO m NVO|`VN��su#p|{Tj^`sO|zauTOTORSPORSXPN l DaO|`B{PNRj \eWf`Bg��^Q_W#U�{aNVO�u#pDSPO m N � �|~�� �QPU^W�kBj � X�D`_O �Bz^SB��v��[v �Bz^SB��v �

� !� ����� %(/*' � %G24%����,.������� � %����&�

J%��:<�|:���@�9����8����<������ ��8P���,14�-!9(�:$��!�8 �2��� �?3�#�!%�!"8 �&�G$8:8 �4����� ������� ���&�P���: 8 �:/� JLJL9� �#�?a���GJI� H(%0 $G/L����HQ ��:+�����&�+�-��: � !����2�,1� ������� ��������������FI �R�:��!&(%����� ������8�����1�

8 ��� � ��!�: ���@���I(%� ��� � ���#�#8 :���8 � ���;3� ���,1�8 ��� ���&������ � ���@���1�������EI �R": �!&(%�����I��8+��:��&��8����

: ���-!%�28/����11"�����2� (%����� � � �#��8�: �28 �����EI

r�{DXaNTp|{V` WYjeO STpT}|teODrTrTUR}B�D�T`�Z z�v ��v j � v j��[v t bWY�DteUVW#uVWf` jap|jeOu#p|�TteUDO|z�� ��� z�Z j � �fj��!ft b v ��Z�j � ��j���!�tnbWYj^`_O|kaO#N j � v j��[v tWYj^`_O|kaO#NsW#u#p|jV`TzD`�v ��VNDpB\�v ��au#pVUWYj^`_O|kaO#N�� yWit�Z ^�_bNPORQPU����rTODu#p|jaS[v�`eWi�eO#��v�` WY�eOR}Rt :������

�0t�:���� �u#QVUTU X U#QPuDr#}#k_O|` Z ��v �[vAWBuRpRjV`DzT` b

Page 194: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� �

u#QVUTU X U#QPuDr#}#kVN_W,S_Wij W�` Z�W#u#pRj^`TzD`�vT�HD��Dv � v t bu#QVUTU X U#QPuDr#}#kVN_W,S_WijV�VpdZ�W#u#pRj^`TzD`�v � v t v ��^N#pB\�v ��au#pTUVbWYt[Z � b1~ �WYt[Z �_b1~ �

`eWi�eO#� ~ rDOTuRpRjaSdZ�bu#QVUTU tPSPu|�D`��dZ]z�v ��v j � v j���v � v � SD�[viW#u#p|jV`TzD`�viWYtnb`eWi�eO#}|t�:���� � ~�rTODu#pRjPSwZfb m ` WY� O#�taNaWYjV` �wv � �_uRpPUwvD� �^p t�:���� � ��� m �T�D� �Tvx`eWi�eOR}Rt�:������

u#QVUTU X U#QPuDr#}VO|zeWf`�Z � bNPO,`B{aN|jO�jPS

��� �U� � ���#���6� ���������#� � � �J!��������=������ � p|�TtT{^`_O � ~ q^NTp|j�Z ?nZ � � b v���Z�t bTb � � Z j � v � � b �IJ

r�{DXaNTp|{V` WYjeO ?|qVNDpRj^�T`�� Z � � v t vGJ�v ��v j � v ���abWY�DteUVW#uVWf` jap|jeOWYj^`_O|kaO#N � � v tLv j � v ���u#p|�TteUDO|z�� ��� z�Z j � �f���_b v � Z j � ����_bWYj^`_O|kaO#N jPQR{^z � v jaQ|{Vz���v taQDNTQR� O|`aO#N Z�jaQR{^z � ~��T� � � ��� ��v3jPQR{^z��T~ � � � � � ��� bNPORQPU����QR{^z � Z jaQ|{Vz � b v QR{^z��dZ jaQ|{Vz��_bu#QVUTU*SVu|�T` Z � v�z�v � � v � v ��v � v t v t v � � v � v � SD�wv QR{^z � v j^QR{^z � v QR{Dz���v jPQR{Vz��VbSTp T~ � v ���

u#QVUTU*SVu|�D`�Z ��v�z ZTZ m�� b���j � � � b v � � v � v �dZTZ m�� b��ij � � � b v� � v t v tLv � � v � v � SD�[v Q|{Vz � v jPQR{^z � v Q�{Vz���v jPQR{Dz��abO�jPSTSTpNPO,`B{aN|jO�jPS

� � p|�TtT{^`_O J ~ q^NTp|j�Z ?nZ � � b v���Z�t bTb � Jr�{DXaNTp|{V` WYjeO ?|qVNDpRj^��Z � � v tLvGJ�v j � v ��_bWY�DteUVW#uVWf` jap|jeOWYj^`_O|kaO#N � � v tLv j � v ���u#p|�TteUDO|z�� ��� z�Z j � �f���_bWYj^`_O|kaO#N jPQR{^z � v jaQ|{Vz���v taQDNTQR� O|`aO#N Z�jaQR{^z � ~��T� � � ��� ��v3jPQR{^z��T~ � � � � � ��� bNPORQPU����QR{^z � Z jaQ|{Vz � b v QR{^z��dZ jaQ|{Vz��_b

Page 195: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� &

u#QVUTU*SVu|�T` Z � v�z�v � v tLv�z�v � v tLv tLv � � �f����v � v � ST�[v QR{^z � v jPQR{Vz � v�QR{^z���v jaQ|{Dz��_bu#QVUTU*SVu|�T` Z ��v�z�v � v tLv�z�v � v tLv tLv � � �f����v � v � ST�[v QR{^z � v jPQR{Vz � v�QR{^z���v jaQ|{Dz��_bNPO,`B{aN|jO�jPS

� � p|�TtT{^`_O J ~�� Z � � v tnb �IJr�{DXaNTp|{V` WYjeO �_rTuRQPUDO Z � � v tLvGJ�v j � v ��_bWY�DteUVW#uVWf` jap|jeOWYj^`_O|kaO#N � � v tLv j � v ���u#p|�TteUDO|z�� ��� z�Z j � �f���_bWYj^`_O|kaO#NsW v �v�q�v Uu#p|�TteUDO|z�� ��� WTW v�\V��v�\�Z�t b v SwZ�j � ���T�ab v taNPO,�VO|`_ufgNPORQPU��� t WtaQDNTQR� O|`aO#N Z�t WI~��� � � ��� � ��� � � � � � SD�_bWTW*~�SVu��Tt U|z Z �TSD�[v � ST�ab\�Z � bI~ � SD�\V��~�uRSPO|z#t�Z m �TSD��ft W��^WTW�!�j � bSTpyW|~ �[v t\�ZfWTbI~�\ Z�W m�� b �*\^�O�jPSTSTpSwZ � c tnbI~ � SD�STp�qV~ � v � ��m��

SwZ q �ft � � c|Z q� � b��ft b ~�\ ��SdZTZ q m�� b��ft � � c q���t bO�jPSTSTpSTp T~ � v ���U*~ �

STp*qV~wZ m�� b��fj � � � v �fj �taNPO,�_O,`_u�g�~�SdZYU ���T�abz�Z]q b*~�SwZiUVb �Iz�Z qebU�~sU � �

O�jPSTSDpO�jPSTSTpNPO,`B{aN|jO�jPS

� � p|�TtT{^`_O � ~ q^NTp|j�Z]� Z � � b v+? Z�t bTb � �r�{DXaNTp|{V` WYjeO1�TqVNDpRj9? Z � � v tLv ��v j � v ��_bWY�DteUVW#uVWf` jap|jeOWYj^`_O|kaO#N � � v tLv j � v ���u#p|�TteUDO|z�� ��� ��Z j � �f���_b

Page 196: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� �

WYj^`_O|kaO#N jPQR{^z � v jaQ|{Vz���v�W v �v�q�v UtaQDNTQR� O|`aO#N Z�jaQR{^z � ~��T� � � ��� ��v3jPQR{^z��T~ � � � � � ��� bNPORQPU����QR{^z � Z jaQ|{Vz � b v QR{^z��dZ jaQ|{Vz��_bu#QVUTU*SVu|�T` Z � v ��v tLv � v ��v t v � v � � v tLv � v � ST��v�QR{Vz � v jaQ�{Vz � v Q|{Vz �[v jaQ|{Vz��abSTp T~ � v ���

u#QVUTU*SVu|�D`�Z ��v � ZTZ m�� b���j � � � b v tLv � v � Z#Z m�� b���j � � � b v� t v � v � � v t v � v � SD�[v Q|{Vz � v jPQR{^z � v Q�{Vz���v jPQR{Dz��abO�jPSTSTpNPO,`B{aN|jO�jPS

��� �U� � �9! � ���7� � ��� ��! � ! ��� � �W� ��� � ! � ����� ��� �=�,�<��� �� � p|�TtT{^`_O � ~�� Z j v t b�� J

r�{DXaNTp|{V` WYjeO �B`��aO#N|��Z t vGJ�v jLv �Lv �ebWY�DteUVW#uVWf` jap|jeOWYj^`_O|kaO#N t v j v �Lv u#p|�TteUDO|z�� ��� z�Z j"���nb v � Z j"��� bSTp T~ � v �

u#QVUTUIoDk_O,`B�apdZ]z ZTZ m�� b���j � � b v t v t v j !ft�v ��ZDZ m�� b��fj � � b v j !ft bO�jPSTSTpNPO,`B{aN|jO�jPS

Page 197: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

��� �L������ ���� ���

> 5 � @ �BC @N":/� �F: � � 5 �����?:/�$� ���S"��� 9 ���@��0 ��� � ���,1�I�9�8'�������1��8 :���2���&� � :$� ��:+!���8��&����:+��(%�2��� �0I @� 9P� = 5 9 = � @D@ �� �T@a�A@�2� ���������� 1��C���?�1��: ���28j0^��� �": 8��@��� 8 ��4= �8������$"8 ���*������&�0����(��: � @T@ � I

> 5 � @E&#C =<I �CI 5 15�: 8 3�<"���yJ>I � I � !���8� �9�-���EI 5 �b1���:���8���� ��1� ":/������8��&��8$!�: ������&��8 ���<��:+����!����2�,1�� �%� @ ��@ 5 � ��� � � V�� =�&�I�F �����������������������! #"%$ &')(*�,+.-/�01+2�43%57698*�,+;:16<�>=?:@-*�BAC�.�ED�FHG $ID�JK�LJNMO6�:>�.P7Q�R�S�S�S#���1��&� � ��� � � � � I�F�� = �0��:�� ��:�"8 ������� � @T@E& I

> 5 �UT @B<DC =<IP�CI 5 11": 8P&���aJ>I � I � !���8� �9�-������"���x=TI T !%(D���:?I 5 ���b1������::���: ���������":�&����� � 3�?1���:���8 ��� ���: � �IJLJL9GI F �VJNWX8*���,+2��P78NWY:Z01�4[]\ ^O_e���1��&� �B< �V< ��IF � � ���0���@�9!�8 ��: � ���0����8:09��1� 5 �4=�� F � � � �0���@�9!�8 ��: � �������?8j0 � :��&�$�f�� ���1���"(��: � @T@B<�I

> 5 � �#C �G":$���#� 5 ()� �#�-��� "��� � ��:�3�#�<`1>0 � !��$�#�$��EI J*:Z��Wa+;:ZW��.�!����bD��a:9���c8N�.�2:Z�4d:Z01���e�>=B�%��P78NW�:>���7�����2[��,��Pf60I�9>���K=IF]9 � : �&�+��� � @ � I

> � �4JU� @E&#C `1"�@�&�6=TI�� ��0��2�V�a= 3!�:��#���0�0�2��� 8|� � 8 ��������� JH�28 a��D�8 :��#� �w� "��� 9E��: �?������`�I�G": �@�?:�I�9>���7������#8 :$!1��8 � ��� ��<��!��@��:��#��&�Q���8 �����$�8��#��&�0�-��X8:8P�:�� ���:8���� 5 =I9g 5 � (%0���:+�E1�:��� 8 :���������:��$�8������ I F �H@ I�� ��!,1��^�_=TIe�0� ���":|�.�I0=.��(��:�8|�R����� I 9 :�0%�#8 :�"�I�3�&����8+��: ���!�h��A7�N57$<\ ^4&jik5I�%� i���@�&� 8+!�: � � ��8 �&�F�2���0���@�%!�8 ��: � �������1����� �B<e� �1��&� � � � �%���8�5I � ��: �2�,1��?:� �Q�?:$�!�1e�� �?��8 ���"(��: � @D@E&�I

> �>�?: ��#C =TIkVSI)�>��:�: 01IlGVW�3m:c0n8N�,�o+;��626p���K698/���q6o�lJritsu�43v[k���;0w:1-/Pf6�����U�;8�8*3x01+2�4:c01����60I� �EIy�I����#�+����:�8�"8 �������e9>���z�����b�1��:/�#��8:0���4FG���2���%���#�3�8���:$(D��� �3�"�@�"�?1�� �� @ �� I

> �>�?: �#C =.��(��:�8F��I �>�?: �$"�EIwJ%��!�: �2��:E8 :���������: � 3�b1���:���8���� � ���:��#��&��8 :�3����&�?09��������?: �?�1��� 8P�28 ��= 5 � � .E= 5 I?F � = ��� �":/� � �1� �����^� ������8+��:|�%5H8�8*3{01+2�4:c01���Y6�>=|+2��P78NWY:9���e�43v[a�.}O���T�C�1��&�_& � � � &B< � I7d ��!"8>��: 5 ��������@��� � !9(%����������: ���� � ��8$����� � @ � I

� #<

Page 198: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� �

> �P� @��BC V � �����L�� @ I�>:��?1E1 �P���� �R�� �F� ���?�$������� ���EI 9>���0J JL9 ��P �"!%�28 �?1�: ���&�?1���: �28 ��� I%JD�5IG�$ ���O0 �.��� � &%f & i *(& � & �"&�� � �]`�!���� � @T@���I

> �P� � � 8�|C V � �����L�� @ I �>: �b1E1��f�3@�&�-�2���"�GI<�G": 8,�,=>���!"��� 5 I � 8>�?��8|��"��� 5 (%(����� 4 � &���!�1����?:�IL=7!9��8 �2��:$���0�&�$� ��: J JL9 �@�?8 �%���%�0I�JD,57G��/��W��;��43N�>=IJN+O0 ����d:Z0 �r+z���� J*:Z�4:c0 6�:Z01+2�43%�%��P78NW�:c01�4[D� "f � i * ��&8� �8�]< &_��`1"��!": 0 � @ 8�5I

> �>:�T@ � C �>��:�83@ I �>:��� ���:/�BI�� � 6�:��r��W��;0 �.� (/������61=p���;Pf6I=p���#s!01�2�,+;: JN�43xW�:c01��� �>=����0 626p��� \ 6h"�OW��4:c01��� I � � Im�I�� �#�$�#��: 8��8������ �aC����:�8 �@�?��8 �[= �8 �����$�8��#�*�f������?�1��: ����8:06� �0������:����� � � @T@ � I

> �>:+�V@ &BC @��� � I �>:$��8P�EI 5 � !�: �1�>0 � ���$�1��@:��>1�����8�:��8������ 8 �&�������L/8!�����I�5!�]G�%��P78NW�:c01� [ JNWa��� ��MO6f�#&B< f < i * � & � � �8���e����&���?��(��: � @D@E& I

> � � @ � C G>� �#� ��I �P"����� 0�"��� � &!%� ��I � 8 �:�a�8 :�3!%(��:?I�9>���<X:����8 � ���&�6J ��!�:�����:8�:���1�$���:�� �����"���%�������8���������I JD,57G $ ��O0 ����� � �"f�� i * � T@ �^<�#< � � ����8 ���"(��:� @T@ � I

> � � = �BC � Iw�0������!1��� � I��I � ����!%(��"��� � I =��*!�:��� 8�I � � ��� ����:��&�����1����8����������,1����:8����6�������$! 11�8���1�:��� ����� 8P�@��8��%���BI�J/D�5IG �bJN+O0]J*:Z�4: �%��P78NW�: ��"f � i * & &�� �& �E&_�N`1���!": 0 � @ � I

> �3�D #C 9GI J>I6�3��� I 5 � ����8 ����3�'����: ��!%�L�� 8���:��&�����1����8���������: ���:x9 �1���%���28 a4�j09� 8���� ��I JD,57G ���W��;�/�43���� JN+O0 �.�a:c0 ��+b���� J*:Z�4:c0 6�:Z01+2�43%�%��P78NWY:Z01�4[T�d@�* � ��� ���� � � � @ I

> �R� = @#<TC ��� �����0�3��:��#�-�����%���#���&�f� �����!���� ��!���8��#�f�3����)`������ =P�#�0�1I = ��������,19&�?1�� :���8 ��� �J"��� � �X8:8P": �9���%� ��:+����� ����8 � ���:4���8� �":�3� ���*� � � �28 ��:��8��?�1�� ���?�1�?:/��I��/��W��;��43I�>=<�������43w3 �23U���� s!0 6�:c��01}OW�:>�,���%��P78NW�:c01� [T�6& � * ��� �P@ �_�� @T@B<�I

> �r`V@ &BC =C>0�� ������� I��3���;��1���G�L3� ��C��� 1�`��2�EI 5 "�@���b0 � (%����� ����:��&��������� 8���������:/�A���:.(%����� � �j09��8���� �0I�JD,57G����W�����43��>=UJN+O0 �.�a:c0 ��+ ���� J*:Z�4:Z0 6�:c01+2�43�%��P78NW�:c01� [T� � �"f�� i * � & � � � & � �_� � �?��8 ���"(��: � @D@E&�I

> �0��� 8�,C `1"�@�&�9VSI��0�����2�>01I � ��8 8����xJLJL9Z15������&� ��*�0����8�"�����1IKF � 5!�]G �%���ad=o���2���+;�<���g:1-*���U0 6�:Z����M �>= A WaP ����01+e���� JN+O0 �.�a:c0 ��+g�%��P78NWY:Z01�4[T� = >0� @ 8�5I

> � � BC � !��,1� .0!��y�3��!��,1 "��� .0��:�� .G��� � !��EI 5 �D3�?09������"���T��:���@��8���:<�&� 8����$"8 ����� �=�%���9�������"�:5�j09��8 �?� ��8P��8�� �G"�@�@��: ��8 �?����� �����*��!��#���,1*9 >0 � ��: �#��: �2�&�@�����:$�5����EI D�"%"%" (/�����Y6p��+�:c01���Y6|���E�%01�,+OW�0w:@6|���� JNMO6�:>�.Pf6f�� �%f � & i * � � �T@ � � �T< � �l��&�0����(��: � @ I

> �49�� �BC `1"�@�&� VSIe�0�����2�>0���1�b`�������VSIa9 ! �1�>01I 5 � 3�?1���:���8 ��� ���:38 ���C�$�� ���2�����&�#��!9�!�8������ �� �����@�9���|: J ��!�: ���?: �#��: �2�&��I7G|�4:@-*�.Pz�4:c01+.6 �>=?�%��P78NWY:Z�4:c01���a�� @�* &D@8� � ��� � � 5 ��:���� � @)� ��I

Page 199: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� ��

>n=3! @ &BC F �,1�: �#�?G3!%(�&�����2�&��I!( ����� �,+;:ZW��.��6 ���g <� � �23w�2:16f�,����� !��@� � � �%$ � [k01����43�%���.=o�.�.���+;� J ���;0 �,6z01� 5r8�8*3x0 �,� GV�4:1-*��Pz�4:Z01+.60I � F 5 =�� � @T@ &�I

>n � d��L@#<TC �I @ I G"��� � I d�I � I � !���8�_� � Iy�I d�&!������ �d��@�!)`�I ��IH� =�I ��I � ���,1����6�CI ��I� !D��,1 � � I � ���>0 ��������3"��� =�I VSIl`�������� ���EI�� �E9 ��� 9 * 5 ����: 8�3(%�2���:+�E1�:��� �@���,1 ���%� ��:+����� ����8'���: ���&�#�?1������,1 ��1� ���@�9�����@�0� 8 ��� 1 ���b1�� ���::���: ��������0(%� ��� �<:��&��!�: ���?�1�R&�?1���: �28 ��� �0I�F �BJNWO8 �.��+2��P78NW�:c01�4[l\ ^O_e���1��&�<^@ � � �I F � � � �0���@�%!�8 ��: � ��������8:0���1� 5 �4=��wF � � � �0���@�%!�8���: � ���0����8:0� : ���$��� � @T@#<�I

>n7@ � @B<DC VSI����@N&!����>0����� `�I � �*(��:�: 01I 9>������8�:$���,13dG:+�����&� �1��:F��:$����!��08�I �/��Wa�2d��43l�>= �%��Pz}O01��4:Z���;01�43h(t-*�,����M��lJ�����0 ��6U5 ����%f & i * � @ & �"& � �e��= >0 � @T@#<�I

>n = @ �BC 5 I� !�8�8T"��� ��I =>� ���9����� I J)���8*J ��!�: �2��: 8 :���������:�� � ���:9�%�����"/8!��#� �����&�I���8��IeJD�5IG �/��Wa����43%�>=BJN+O0 ����:c0 �r+e���/� J*:c�4:Z0 6�:Z01+2�43 �%��P78NW�:c01�4[D�� <,f � i * � �)� � � �T@ �a� � ���1����(��: � @T@ ��I

>n = �f� � @ �#C*@ I/���=.�����^�,d�I � &���2�?��������PI � &����������!%� �����"��� � ���!�I 5 = 5 9�@ 5 ������@��� ����:=����T:��&��8�:$!���8+!�: �?: ���:�8���� ���>�1� �������@��� 8 �� �$���2����8�� � ���2��(�:��:����&�"���T����%�������8������1��I�9E�&����������3�0=P������:�8(� � =I � < ���a�6� � =I0� �����?�1��: ����8:0�� FG���2���%���#�R�8���:$("�� �3�"�@���b1���� = >0 � @T@ ��I

> ����� T@#C 5 ���s�CI ���#��8���:�I1J)���8,(��28� : �>�1�?:/� &�P&�?1���: �28 ��� �0IIF �gDo�]5IJJ�B\ ��^T�3�1��&�� �T@T@ � � � �E&a� � @ D@�I

> JL��dE@ �#C � I#J ��8 a?��8�: �#� �d�#=TIT�0����� 8|�""��� � I�dG� ���"8 : ��� �NI�9>��� 3!�8+���$"8 �&�����?: �?��"8 �������'���":/�#�����@�%�2������� 8�"8 ������� ��3��!��@��:��#��&�B&�?1���: �28 ��� �>8 ��:+��!,1�� ��:$� 1�:�"�8�:���1�$���:��$�8������EI 9E�&����������3��=P������:�8 � @T@ �_�U����D�: 8��@��� 8,� �0���@�%!�8 ��:� �0�������0�V�a9>��� � !������E4 �h�����?�1�?:/���28:0�� �>�*� ���8|� 5 ��:���� � @T@ ��I

> J JL@B<DC ���3���*VSIeJ&!�����8�8P"��� �3�":$�����69GIeJ%!%�28$���EI�@N�:�1�� �2�"��#8.� /�!": �&�3��:$��( �2��� �H�2�%�����?� ���,1 dG:$�����&� �1��:F��:+����!���8 ��IhJD�5IG����W�����43N���#GV�4:Z��0��f5��/�43xM d6p0 6f� � �%f � i �t`1"��!": 0 � @D@B<�I

> JU� � @E&#C � 8��������?��JH�28 a��D�8 :��#� �w�d9E��: ���1���b`�I �G": �@�?:|�N���� `1"�@�&�E=TI � ��0����1IB�� :��?� ���,1@� ���2��� 8��":�&����� �Q�2�@�%�2���J�?�18��8��������>��P��:+�E1�:��� 8 :�"���$���: �$"8 � ���EIF �H@ I� ��!,1��V�a=TI �0���#��:,�,.�I�=>��(��: 8,����1� Ie9E: 09��8 :���I���&����8+��: ��� �h�%A d�N57$<\ ^4&�i457�%� i��6@�&��8+!�: � � ��8 �&����� �0��� �%!�8 �?: � ���2������� � �B< �G�1��&���� � �9� ���1I � ��: ��� 1���: ��3��:+�!1 � � ����8����"()�?: � @T@ &�I

> J ���#@��BC =.�E1���:�J ���&������:?I ������+;:Z01+2�43�G �2:1-/� � 6 �>=V�]8*:Z01Pz0��p�4:c01����I `������cV ����� 0 �� ������� � @T@���I

> � �49 @ � C `�I � :���D�8�a�e=TIV�0��������:|� ��1�,=�IV9 ���2���@�2��: � I 5 8 ���1�-��:U��:$����!1��8 ���8+��: �ba"� 8������"� 8 �������2���"":0�����"����� !�8 � �����$"8 :��;:NI D,"%"�"j(/�����Y6p��+�:c01���Y6 ���e�%01��+OW�0w:16����zJNMX6�:9��Pf6f� � %f � � i * � �)�#< � � �)�$�a� ����1�?��(��: � @T@ � I

Page 200: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� ��

> � �49 @ &�BC `�I � :���D�8�a��=TI��0�������?:|�N���� =<Iw9 ���2���@�2��: � I =P�&��!�:/���b�1�� ��#8<3�b1���: ��8���� �"��� 8 ��� :+����� ��8 ��� 8 �?���-��: ��:+����!���8?I D�"%"%" (/�����Y6p��+�:c01���Y6 ���EJ�4�< �%f � & i * &T@ & � �"&T@ ���_�l��&�0����(��: � @T@E& I

> � �49 @ &3(eC `�I � :�"��8�_� =TI �0��������:|�P"��� =<IL9 ���2���@�2��: � II9>���$8 �?���-��:J��:+����!���8 * 5�$"8 ���?�$�8��#��&�)��:$�E1�:�"�@�@��� 1��L��,1�!1�� ���:EJLJL9G4 ��"���7��8�����:� ���8U ������)�?:��8���������IhD�"%"%"�J� GV�O[�� �p01� �A�)��1��&� <� �V< _�N��&�����"(��: � @D@E&�I

> � `��R@BC =���� ��� ��=<I � ": �>0<"���UG>����� � IO`��������-���EIU�%��P78NW�:>����6r����7D.�a:c�,��+;:Z��}O0w3x0w:ZM��5 � Wa01�a�U:Z� :1-*� (t-*�,���;MB�>= AI�rd2�%��P78*3w�2:9��� ��6260I9VSI���I J�: ���������� � @��#@ I

> � d<� ��@B<DC � I � !���8�_� � I�d<3!��#��� �d�_� � ��!��,1 ��`�Io`��������-������=�Io`��������-����� ���� � I � � ��>0 "����� I 5 �@��8��%������� �E1 0 ���: 1�������:��8����,1 ���8� ������8 :���(%!�8 ������� X:$���S8 ��� � ��:<��:$����!���8 ���: �"!%�!���IG9E�&����������3� : ������: 8|��9>��� �C����� � 8��8��b�����?�1��: ����8:0V�� @T@B<�I

> � d<� � @ �BC � I � !���8�a� � I d<3!��#��� �d� �CI #��I � !D��,1 ����1� � I � ���>0 ����D��EI �C� ����� ����� �2�,1 ": :�>09�|: ��: �&�+��� �����6���:�� ���2��� 8G�|: �&��!�8������'���:5���#�#8 :���(%!�8��&� �@��� ��: 0�$�� �������&�0I�9 �&����������3�N: ������: 8|� 9>��� �C��� � � 8�"8 � �����?�1�?:/���28:0V� � @D@ � I

> � d � @ &BC 5 I � !���8�a� ��I,d !����:|������ 5 I � �� ���EI � ��:j���: �$"�����=����4�$��&�!3(������28:0,��������$!,15�8 � 1�:�����2����8P� ��8 �%���9� ������:�3� ���*� �����@�%!�8���:/�0I�8N�.�c8N��01�a: � � @T@ &�I

> � @ � � C � ������� I � ��� !%(���J�:�"� ���2��� @�! �w� "��� =�� �1� ���1�?: 8$���EI 5 (%� ��� � @N����;a ����@�?8 �%���6���:'����� �%!�8 �2�,1C8 ��� ����� 1�!%�L�:W��3��!��&�F��1������: :��&�������1�����,16�#���,1�!%�!":�1�&�08$��: � �C$�$�8�: �H:BIb5!�]G (/������6p��+;:c01����6 ��� GV�4:1-*��Pz�4:Z01+2�43]JN�>=�:Z� ���.�A�� * � <^@ � � �T@a� � @ � I

> � � @ � C @�&� ���2� � : ����� 11�: �$���� `������ � 8�:���2�EI 9>���� ���8 � 3!1�$�P8 :�"���$���: � IHJ/D�5IG�/��Wa����43/�>=HJN+p0 ���a:Z0 �r+C����fJ :c�4:Z0 6�:c01+2�43 �%��P78NWY:Z01�4[T� � &"f � i * �R@ �P@B<e�*`1"��!D�: 0� @T@ � I

> � ��@ D@BC � ����� ��I � ����!%( ��1�(�3��:+���&�LJRI �R��3@��1"�EIHGV�4:Z��0��z�%��P78NW�:c�4:Z01���Y60I 9>���`��������C� ��� � ���1�h�����?�1�?:/���28:0 � : �&�+��� � @ T@�I

> � V ��|C =C "�*�I�CI � ���,a 3��� a "��� � &!%�_V �2��8�a1I s!0m[k0w:c�43<01Pz�O[a� 8N�,�o+;��626p01�4[�I5 �9���#� ��� V ���-��� 0V�%�#�&�����1��������8������ � � @ 8�5I

> �=�� @#<TC � �?:0�3��: ����8��!��9�=����#���EI,=P�>1�!9�!�:��?a""8 � ��� 9 �����#�f� 5 = "8$�!&( � �� ��1�� ���:5 �D3�?09�����>"��� � ��� !�8 � ��� ��%����$��:���8 � FG��� � ���#�&� � :$��(%���?� ��I%AUW�P ����01+2�43 5I3md[�����0w:1-/Pf6f����* � � � �_� � @T@#<�I

> �E� T@BC G>� �#�I�CI��0��L��������� �F�@�$���!��*� � I��0�����2�����0I�� ����� �HdG:$�����&� �1��:P��:+��� !��08/�C���� (%����� �$�%��:�� ���8 :��#�����Q���4�!": 1�� �+��3�2��"�3�b0%�#�#�0I J/D�5IG ���W�����43�>= G|�4:c��0��C5��/�43xMX6p0 6f� � �%f � i * � � &T@a�]`1"��!D�: 0 � @ D@�I

Page 201: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

> �C�>1V@ �BC = ":���!������>1��!��1�BI 5 � ���@�9��������� 8 "8 � ���I�<�"!%��8����%�2������ ��!9��8 �b���: �L�8��J ��!�: �2��:38 :���������: � � ���H�1�&��8$��:F��:+�����&�$� ��: ��IhJD�5IG����W�����43N���?J +O0 ���a:Z0 �r+�%��P78NW�:c01� [T� � �"f�& i * &�� � � & e��= �: � � � @D@ � I

> �C�?1 BC ����� �9���!��e`�I<���?1���� I 9>��� �j0 �@�@��8�: ��� � :+����:$!1��8 ��� ��:$��(%���?� I FrD�(��& �* � � � � � < �_� � @ I

> ��`$� �BC =���� �"�*�a9GI������#� ���$�� �O ������I4`�������� ����� ��1�(�CI � �������>0 � !�:�:$!��0I � 3!1�$�"���@8 ���<������8$��: 0 ��F8����6 ��#8 J ��!�: �2��:>8�:�"���$���: � IH5��,+.-/0 � �]=p��� � 0 6�:c����Mz�>=" � ��+;:%JN+O0 ���/+;��6f� �B< f�� i * &�� � �"&8���V� � @ � I

> ��`�`V@��BC � � ��!��,1 �l`�I]`�������� �����U���� =<I�`��������-���EI 5 8������ ��:���:$����!��08 ���: �"! �L�8 � ��� � � 8 :���$�#���E4 � �$"8 :��;:��"!%��8����%�2�#��"8 � ��� 3�b1���:���8���� IH5r8�8*3x0 �,� GV�4:1-*�2dPz�4:Z01+.6 ���2: :9����6f���%f � i * �8� �%� � � � @D@�� I

> ��`�`V@E&BC � � � !"�,1e�%`�Il`��������-�����R���� =<I]`�������� ���EI � ������:��8����,1���:�3���2�*�3��:$� 1�:��� �AX:$��� 8 ����� ��:P��:+����!���89���:���!9�!�� * 5 ������6��8+!��%0 � � 8 :���+�����E4 � ��� 8�: �;:��"!%�28 ���9���#�?�8 � ����3�?1���:���8 ��� IL9E�&�������#�?3�: ������: 8|� 9>�����C��� � � 8��8 �!����� �1��: ���28j0^� � @T@ &�I

> �7@ 8�|C �3��!� � !"�,1�� !"�,1$��1� �3��: ����8 �L�� @���,11&!���:?IE9>���,���?: �?��"8 ����� � �j09� 8+������� �2�@�%�2���J�?��8��8 � ��� �����:$� 1�:�"� ��I 5 +;:c�gD��2=p���;Pz�4:Z01+2�T�7&B<�* &T@ � ��� �E&a�� @ 8�5I

> ����: ��BC �GI d I � I� ��:��EIH$I��}2�4: i]0 6p01����I49>���K=IF 9 � :��&�$�f� � @ ���I> � � � �BC ��I ��I�������� ��:/� �����aJ>I � ! �1�*�#�#�������1��"��� � I%=<I � � �:$�2�1I �C�@8����G������8+��: 0 �

8����3dG:+����� �1�?:G��:$����!���8�I �%01�*�,���z���� G|WY3y:c0w3x01�*�,��� 5I3v[���}O���T� � <�* � � � � � &��a�� @ � I

> � � � C ��I ��I�����1����:/� ������1� � I�=<I � �"":$���5I 9>�����1�&� ���:���!�8��8��������$"8 : �H:w�18�����1�&� �����:�"8$��:C"���3dG:$�����&� �1��:F��:+����!���8 ���<: �>� ���>8<I � 01� �,���I���� G|WY3y:c0w3x01��d�,���75I3v[a�.}O���T� @�* &8� � � & a� � @ � I

>n`1��|@ �#C � &!%� �GI `1�� �9�-���EI�"h��-/���+O01�4[):@-*�BAUWO8N�23H�h�,�o�>=zsz��� �23{�;8NP ���a:zJNMX6�:9��P����b5H8�8*3{M401�4[e0w:h:Z� �%��P78NW�:Z�4:c01����43l5�}.6�:c�,��+;:H5I3v[a�.}O����I � �EIm�I ���#�+����:�8�� 8������ �*����": 8 � ����80�� �0���@�9!�8 ��: � ���2�������V�e�0��: ���*� �l�����b�1��:/�#��8:0V� � @T@ � I

>n`1"� D@BC 5 ����� d I `1��2�EI � W������P ���a:Z�43n6 �>=���0m[�0w:Z�43*01Pz�O[a� 8N�,� +2+;�,626p01�4[�I�F �%���:��$�8������"��� � 09��8���� � �����?�����&�0I � : ��� 8 ����� �G3� �dF � 8 �?: �"8 �����3��� � @ T@ I

>n`�`�= 9 @��BC `�I*`��������-����� =�I/`�������� �����N�I�=.����: �b1�!�� aV�����4=�I 9 ���2���@�2��: � I 5 �@��8��%��� �����E1 03���: ���&���b1����2�,1e�� ����� 0��2�,1e��������2�@�%�2���J�0� 8 ��� 10J ��!�:�����:P8�:���1�$���:��&�?1���: �28 ��� � �������:�����!��H":/������8��&��8+!�: �&�0Ih�%01��+pWa0w:16%JNMX6�:9��Pf6%JN0m[���43��h�,�o+;��626�� �@"f < i * <D<V@ � �����_� � @D@���I

Page 202: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� D@

>n` dEJL= D@BC � IW@�����": 8B`��������$� �����'=.��(��: 83@ ITdG:�>8P��8�aV��=.�E1���:xJ�: 01�V�U����) ��!,1��L��= ��O ���D3�#�NI6�0������� 0 9 ! �1�>0xJLJ 9 ����8 ��� ���������&�08 �����J������������5I�9 ��� ����� ��&��=P������: 8W. 5 @ �%�)�X3� � �#9.=� +� ���a�*����": 8��@��� 8 ����0���@�%!�8���: � �0�������0�V�.R3�2�U�����b�1��:/�#��8:0V� � @ D@�I

> d<&! �#C @�2����7d<3!%X�$"�EIL= "8 :��;:��@��8��%���%�P���:R/8!�� !����,1<��:+��(%�2��� �0I J/D�5IG �/��Wa�2d��43l�>=�JN+O0 ���a:Z0 �r+b���/� J*:Z�4:c0 6�:Z01+2�43%�%��P78NWY:Z01�4[T�e< f�� i * � & � � � � &_� � ����8 ���"(��:� @ � I

> d<�)���BC �CIo�I d !,1��2��� ����!�IP�CI����2���&��I 9>���>���D��������: :��*�!"8 � ���<���$�1��R3�2�?1����@��� 8�@�?8 �%���BI F � D�"%"%" DX�h�]J �3�1��&� � � � � � � � I F � � � �0���@�%!�8 ��: � ���0����8:0V�F � � ���0��� �%!�8 �?: � �������?8j0 � : �&�+��� � �?��8 ���"(��: � @�� ��I

> d<� ` ��@ �#C � Ir�I�d<3!��#��� �d� �CI ��I>��!��,1 �I`�I =<IH`�������� ����� =�IWVSIH`�������� �����=����� I � ���>0 ����"�EI � ���2����8U8 :�"������� ����8������ 3�b1���: ��8���� � ���:.�L�:�1��G�$"8 :��#���&�0IF �eJNWO8 �.��+2��P78NW�:c01�4[l\ ^��T� � ���1���"(��: � @T@ ��I

> d<� ` � @E&BC � I/�I#d<3!��#��� �d�w�CI ��I�� !�� 1e��=<I%VSI*`��������-�����B"��� � I � ���>0 ����D��EI 5�@�?8 �%��������� 1E0<���:91��?����:�"8 �2�,1�� ������� 8'���#� � H(����&�$3�b1���: ��8���� � X:$��� 8 ��� � ��:<��:$����!���8 ���: �"!%�!���IG9E�&����������3� : ������: 8|��9>��� �C����� � 8��8��b�����?�1��: ����8:0V�� @T@E& I

> d�@d@ &BC ��?��� � d<��%!�:���1� .R1��28 � ��I @N �9�����$"�EI � �2���@�2��8������ �@��8 �9���%�+*�"��2��8�:$����!��08 �����EI F � �GI =<IH����&�#�w�I�I9d<"�%!�:|�C"����`�IU@ I =7!����%0V�R�&��� 8+��:/�f�JNM4Pz}2�43x01+�����fAUW�P ����01+2�43l�%��P78NWY:Z�4:c01���h=p����5��.:Z0 �r+O01�43D���:>�23 3x0m[a���/+X�i��0���@�%!�8��8 � ���&�G= "8 �������8 ���*�@"��� 5 ���%�2�#��"8 ���������G�D1���� < � � 8�5I 5 ��� ���?�@�#� � : �&�+��� � @D@E& I

> d � � ��@ &�BC � I�d<3!��#��� �d� � I � �": �$a� � � ��!��,1 �I`�IH`��������-������=�Ir`��������-�����C����� I � ���>0 ������EI 5 �;3�b1��*(�:����� 8����*��:�0_���: � �����*�2���,1@�"!%�28 �#�#8��1������ 8 �?:� ���������&�08 ����� ���?8j8'��: �%�0I F � D��a:9������4:c01���/�43z�%���.=o���2���+;� ��� �h���,�43w3w�q3U����s!0 6�:Z��01}OWY:9�,� JNMO6�:>�.Pf6��1DX�]�%s Jh\ ^4&��D���D1���� @�� � � �)�a����&���?��(��: � @D@E& I

> d � � ��@ &3(eC � I�d<3!��#��� �d� � I � �": �$a� � � ��!��,1 �I`�IH`��������-������=�Ir`��������-�����C����� I � ���>0 ����D��EI 5 � 3�?1��*(�:���#�$8 ��� ��: 0 ���:J� ��� �*���2�,1I����:��&��8��2��8���:/����� ������8 � ���9����8:8 ��:��9��I�F �)JNWO8 �.��+2��P78NW�:c01�4[l\ ^4&V�H��1��&�E< �V<^@8�V� � ���1����(��:� @T@E& I

> d � � � @ &���C � I�d<3!��#��� �d� � I � �": �$a� � � ��!��,1 �I`�IH`��������-������=�Ir`��������-�����C����� I � ���>0 ������EI 5 �@��8��%���������E1 0 ���: 1������?:��8����,1 ��"8� ���#�#8 : � (%!�8������1�X:+��� 8������ ��:3��:$����!���8 ���:���!%�L��0I�9E�&����������3��:�������:�8|�a9>��� �C����� � 8��8�� ����� �1��: ���28j0^� � @T@ &�I

> @�� �4= D@BC � I @�2�0�3���2� �3��� ���,1�"��� � I/�Ia=7��: 1���:� I F 8 ��:��8 �b�1�P�@��8��%���%� ���:>:��&��8+��:� �2�,1��%�����j0@�2�$1��&��IHD,"%"�" (/������6p��+;:c01����6!��� 5I+2��W46�:c01+26 ��Jk8 �2�,+2- �r���� JN0m[4d��43t���,� +;�,626p01�4[T� ��� f < i * � �� � � �e� 5 ��: � � � @ T@ I

Page 203: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� @��

> @��49 @ �BC �3�&� @�!��B`1�� �&�_VSI �0�������>0^�J"��� =P�#���":/� 9 ���2���@�2��: � I JLJL9 &�?1�� :���8 ��� �P���:P��: ��� �P8 :�"���$���: � �#�?a����>��1�J8 ���?��:>�2�@�%�2���J�?��8��8 � ����� ��� � 5 �G�F�� = ���D@�� �EJ6���1� F�� = = � � ������� I D,"%"�" (/�����Y6p��+;:Z01���Y6!��� J 0m[���43]�����4d+;��626p01� [T� < � f & i * � � ���#<��^��J��*(�:$!": 0 � @T@ � I

> @N���|<TC �3�":$�2�&�_@ I @N>8�� ��� �����=P�#����: � `�IP�=���� ���EI JN�43 �O01�4[�3w�,� 6�:z6 �OWa���2��68N�,��};3w��Pf60I � : �?��8��#��� �G&����� � @8�,<�I

> = &� D@BC � 8������"��� � Id= 3� �!�8?I 5 8 ���*��:�0`���:��"!%�28 ��:��&�-����!�8������ ���b1��&�0���&�����@�����#� 8������ *�9>���A8 >�1�*����8:�����: ������� 8�"8 �����EI D�"%"%" (/������6��4�t5IG�DA� � � f � i * �8�,< ���T@ �a�`�!%�b0 � @ D@�I

> = "8i@��BC 9>���K= "8 �,VI��: �%�f� F �1��IH�����4d G|�4: 3x��} ���K6o�.� \ 6 � Wa01�a�A� � @T@���I> = = @)�#C G>� �#�4d�IL= ��-���?� "���g=����2�*� ��I�=.��� ��� ��: �1I � ������:�3���ba��&��J JL9.�

� !�: �1�>0"� � ���@��=P�&���?��8 = �&� !%��8 ��I F � (/� 5H8�8*�,���i� � @T@���I> �=1V@ ��#C `1"�@�&� � I �=1E05I 5 ���%�2�#��"8 ������� � 9 �1���9����8�a �:0%�#8 ��� ��I J/D�5IG AC����6f�

& %f i * � � � � � � � @D@ ��I> �=1V@ �3(eC `1"�@�&� � I �G1 01I F 8 ��:��8��?�1��8��&�������!/�!��&�<���:�8���� �-��� !�8 � ��� �� 9 �1���%�2��8 a

�:0%�#8 ��� �0I�JD,57G�A!���K6f�M& %f � i * �P@_� � @T@ ��I> �C�*! � C = ":/���*� J>I �C�*!�8/�0I G|�4:c��0��od � �,��P �2:Z��01+ JN�43xW�:c01����6?01�|J*:Z� +2-/� 6�:c01+ G|�o�a�23n6 �

5�� 5I3 [����;0w:1-/Pz01+ 5r8�8N���o��+.- I�9>����`������ � ��� ���2��� �����?�1��: ����8:0 � :��&�$�f� � @ � I> ��!�� &BC ���?��: �l`�I ��!��$� (3!�� ��:�I � � 6�: �r��W��;0 ��� (�,���Y61=p����P ���/� �%��� �O�43{WY:Z01���|5I3md

[�����0w:1-/Pf60I � ��: �2�,1��?:� �Q�?:$�!�1e� � @ &�I> � :�T@ � C V � �����L���d�I � :��8�8�IHs!0m[k0w:c�43aD.Pz�O[a�%�h�,�o+;��626p01�4[�I�`������<V � ���>0 � � ����� F ����IH�

�#�&�����1��������8������ � � @D@ � I> � � ���BC ��I � ��: �>0 :����1� � I � ������:���:�I � �����?��8������@�%!�8���:P�$"�����%!9�!�8������ ��R8 ���

� ��:���:$����!1��8/�*8P�28 � ����%�2�#��"8 � ������8+�T��!9��8 ���������?��8�� ���3� �����:$�#:��2�$�8������EIG|�4:@-*��Pz�4:Z01+.6 �>=B�%��P78NW�:c�4:Z01���_�#&�� f � & � i * �D@ � ����� �a�l`�!%�?0 � @8����I

> �� BC @ I ��� !@"��� �PI`�I�G>� �#� ���EI 5 ���>8 �@�?8 �%�������:R8 �����#8�&(����2��8:0�:+��(%!��#8 �����$����?8 ��:��@���"8 � ��� �� ��8��8 ���#���0�>� ����� �#�/8P��8���:��"3� ���: 8+!�:$("8 � �����0ILF � D,"�"%"&�� :1- �%���.=o�.�.���+;�|��� sz�,+p0 6p01��� ���� �%���a:Z���43 �P��1��&� � � � �B< �a� 5 !���8������9E�|:�����*C�&�����"(��: � @ �I

> =C3! ��BC ��:��%� 5 I =�&!��&�!�I F � 8 :+����!���8������98$� �:�:�>093�b1��*(�:��I��%-/�4:Z�.[k����PzP �2:Z�;01+"��4[�01�*�2���;01� [����� $���Pz�4:>�IJ����Y6p01� [T�w<$�"f�& i * � � � � � @ &_��J��*(�:+!�:�0 � @ ���I

> = = T@#C � ��� �����2� 5 I0= � 113�2�!9���� � ���� �283d�I4=���8 :��I�dG:$�����&� �1��:���:$����!���8/�f�.!���� 8��: 0S�$"8 :��#���&������ �#�?1��3����:$���0�&�$�#���,1 ����9���#�?�8 � �����0I JD,57G $����O0 ������ � f < i * � )� ��� � �_�l��������"()�?: � @ D@�I

Page 204: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� @ �

> � �4@ �BC G>� �#� � ��:���"��� = �:�8 ���I�3:��������0I � 0 ��8����&����� ��F8����� ��#8 J ��!�: ���?:>8 :������ ���: � 3�b1���: ��8���� (%0_�!��1��8 � ���&� �L��,1�!1��$��:$� 1�:�"� 8�:�"���$���: �$"8 �����EI F �"�W�����Pz01+O�,�g ������O62-/�;8 ��� �h���,�43w3w�q3h����|sf0 6�:c��01}OW�:>�,�������o+;��626p01�4[T� �1��&�� �)� � � < �_��`1"��!": 0 � @D@ � I

> � 8 �#@ � C V � ����� #�=���� � 8 �?�*(EI��!�����*�,+������C�����o��Wa+�:I�>=zGV�4:Z�;01+;��6 ���� 5r8�8*3x01+2�4:c01����60IV ���$���?���$��� X8 �j�1��:+�!�1e� � @T@ � I

> � 8 �#@ �BC V � �����L�� `�I � 8��>8P": 8?I D.�a:Z���o��Wa+�:c01���C:Z�7:1-*� AUW�P ����01+2�43YJN�43{WY:Z01��� �>=�GV����� � ��]-/��01�Y60I � :��������?8$���<�����?�1��: ����8:0 � :��&�$�f� � @T@ ��I> � 8 : ��BC � ��� (��: 8 � 8�:��� 1�I 5 ��:$������� &�����: 9 �1���%���28 a��$�8�: �H: ��&�#��!%�L�8������1��I�J*:ZWa� �

5r8�8*3 ��GV�4:1-a� �,<�* � � � � � ���_� � @ )� I> � 8 :i@ �BC � ��� (��: 8 � 8 :���,1�I�V;>�1�*����8P8�:�"���$���: � �9�1��:/� !�� J ��!�:�����:P8�:�"���$���: � �0IfFIW�3md

3w�q:c01�V�>=U:1-*� 57G<J �#& "f�& i * & � ��� �_� 5 ��:���� � @T@ ��I> � 8P &BC � &!%����I � 8 �: a?8 :�&!%(��:�I �3�&�08$��:��?a��2�,1�8 ���xJLJL9G4 �0IEF � � I =.����: �b1�!��V�N�&���

8+��:|��������43 3w�23��%��P78NWY:Z�4:c01����6f�.�D1������ � � ��I 5 ��������@��� � : ���$��� ��� 8 .0��: �w�� @ E& I

> 9>��� @ � C 9>���2� � ���,1 = ������������ �0��:��EIH�����2[��,��PzPz01�4[z01� � ���2:c�,��� ���� � ���.:Z����� $��w=�d���2���+;� G|���Wa�43 � � @T@ � I

> 9>��� @ �#C 9>���2� � ���,1?= ������2���&�3�0��: �EI)�]G<JJ �V=p��� �]G �����2:Z����� ' �]G d�� "���0w:c01���a�� @T@ � I

> � @d@E&BC �3�":$�2�&��JRI��>"�*@��5��EI��%��P78NWY:Z�4:c01���/�43.=p�,��P ��� �����O6*=p����:1-*� ��� 6�: ����Wa��0 ���(/�����Y61=p����P�I � F 5 =�� � @T@ &�I

> � @ � @ &BC �3�":$�2�&�(JRI �>"�O@��1�� "��� �C� ����� � I � ��8/�#�!"���#�0I 5 ����:$�#: ���$"8 ����� 8P��8��dG:$�����&� �1��:C��:$����!1��8/�0I 9 �&����������3� = ������: 8(�49 �4@ &T9.= � �D@_� �0��: ���*���49>��� ��: 0 �3��� 8 �?:|� ����1�?��(��: � @D@E& I

> V;�:A@B<DC `�I�VT":/�BI � ����� 8 ��� �3���"��8 �b�1�>��:+�����&�+����� 1����:3"��:+( ��: ��:����":�IL9E�&����������3�=P������:�8 9.= � � � �a� @���1�����2� @N&(����d=IF 9 ���������"()�?: � @T@#<�I

> V;�8A@B<DC V;�8���:$� ����= "�%��� � �X8:8P": �1IhGV�;8*3w�#i $��23w�,� 6o�h_e� � @T@#<�I> V � � BC `1"�@�&�C�G�: �%0HV ��� � ���1�-��� I�(t-*�U5I3v[a��}O�,��01+ ��0m[a�.� �O�43xW�U8N����};3w�.P�I�� : ���: �

�����?�1��: ����8:0 � :��&�$�f� � @ �I> VI��� #C � 8��������?�<V ��� X:�"� I GV�4:1-*��Pz�4:Z01+2� ��5�6pMX6�:9��P =p����s!��01�4[fG|�4:@-*�.Pz�4:c01+.6�}pM

�%��P78NW�:>�.� I 5 �9���#� ��� V ���-��� 0V� � @ I> T �2� #C � &!%� T ��� � ��� I�9>��� !��#�.� ���D���� 8:0 �)� ������8 :���(%!�8 �������H�2�J�2�%�1��� 8$��: 0 ���� 8 :$���

� ��� �*�#�0I�A � �O�43t$ ��6o�,���,+.- �l�2[�0 6�:Z01+.6f� � ��* &#<�� �"& ���V� � @ I

Page 205: users.auth.grusers.auth.gr/pitsiani/reprints/T-001-KronProdApprox.pdfj * t Zj v-g tZm f!gqhKj k=k p x # Zg. # t6p '+ t`p g kAt`p p % y\guksp\j p % v-g y ksgip d j * 6k\k t qj v7gqheg*m

� @ &

> T �2� @ �#C =P�#����: � �PI T �2����*� I�9>���9V �>0��9�����@�9!�8 ��:U3�b1��*(�:� � !%(���8�:�"8 �1I F � 5 � ������ �=�� ���!a�)������8+��:|�lsz��6p0m[�� ���/�#D�P78*3 ��P ���a:Z�4:c01��� �>=CJNM Pz}2�43x01+��%��P78NW�:c�4:Z01���JNMO6�:>�.Pf6f�A������!��@�4��&E& � � �,+;:ZWa�2�zAU�4:9��6 01� �%��P78NWY:9��� JN+O0 �.�+;�i�P�1��&���� � � � � �I � ��: ��� 1���: �3��:+�!1 � � @D@ ��I