universiteit gent academiejaar 2002-2003...

UNIVERSITEIT GENT

Academiejaar 2002-2003

Consumptie van Verslavende Goederen:

een theoretische analyse

Demuynck Thomas

Onder leiding van:Prof. Van de gaer Dirk

24 april 2003

”The sciences do not try to explain,They hardly even try to interpretet,

They mainly make models.By a model is meant

a mathematical construction which,with the aditives of certain verbal interpretations,

describes observed phenomena.The justification of such a mathematical constructionIs solely and precisely that it is expected to work.”

-John von Neuman-

i

”Ondergetekende Demuynck Thomas bevestigd hierbij dat onderhavige scrip-tie mag worden geraadpleegd en vrij mag worden gefotokopieerd. Bij het citerenmoet steeds de titel en de auteur van de scriptie worden vermeld.”

ii

Woord Vooraf

Bij de ontwikkeling van deze scriptie heb ik kunnen rekenen op de hulp vaneen aantal mensen die ik graag wil bedanken. Eerst en vooral ben ik veeldank verschuldigd aan mijn promotor, Prof. Van de gaer Dirk. Ik wil hembedanken voor het vele malen lezen, herlezen, verbeteren en bespreken vandeze scriptie. Mijn dank gaat ook uit naar mijn ouders, Demuynck Ronny enVervaele Christine, en mijn vriendin, Debruyne Valerie, voor de morele en/offinanciele steun.

iii

Inhoudsopgave

1 Inleiding 11.1 Aanleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Structuur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2 Basismodel I 42.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Hypotheses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3 Model Becker en Murphy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.4 Illustraties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.4.1 Situatie I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.4.2 Situatie II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.4.3 Situatie III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.5 Een Adiabatische Benadering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.6 Besluit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3 Basismodel II 143.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.2 Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.3 Illustraties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.3.1 Verandering in de Prijs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.3.2 Verandering in de Tijdsvoorkeur . . . . . . . . . . . . . . 20

3.4 Invloed van Prijswijzingingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.5 Een Adiabatische Benadering en Chaotische Consumptie . . . . . 23

3.5.1 Een Adiabatische Benadering . . . . . . . . . . . . . . . . 233.5.2 Chaotische Consumptie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.6 Belang van de Tijdsvoorkeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.7 Besluit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4 Endogene Tijdsvoorkeur 284.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.2 Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.3 Steady-State Evenwicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.4 Besluit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

iv

INHOUDSOPGAVE

5 Onzekerheid 355.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355.2 Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5.2.1 Introduceren van Onzekerheid . . . . . . . . . . . . . . . . 355.2.2 Uitwerking Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5.3 Besluit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

6 Verzekeringen en Interventie 416.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416.2 Verzekeringen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

6.2.1 Perfecte Informatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426.2.2 Pooling Contract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436.2.3 Scheidbaar Evenwicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

6.3 Interventie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506.3.1 Gelijke Verwachte Inkomens . . . . . . . . . . . . . . . . . 506.3.2 Gelijk Verwachte Nut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516.3.3 Utilitarisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

6.4 Besluit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

7 Verslaving en Sociale Interacties 547.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547.2 Hypotheses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547.3 Model I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

7.3.1 Simulaties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567.3.2 Opmerkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

7.4 Model II: Informational Cascades . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587.4.1 Uitwerking Model II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

7.5 Besluit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

8 Algemeen Besluit 64

A Discrete voorstelling 1

B Programma Eviews 3

v

Lijst van figuren

1.1 Structuur Scriptie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.1 Fase-Diagram model Becker en Murphy . . . . . . . . . . . . . . 82.2 Fase-diagram Situatie I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3 Fase-Diagram Situatie II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.4 Fase-Diagram Situatie III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.1 Stabiele Locus voor c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.2 Fase-Diagram Model II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.3 Stabiele Locus voor c voor Verandering in de Prijs . . . . . . . . 203.4 Stabiele Locus voor c voor Verandering in de Tijdsvoorkeur . . . 213.5 Consumptiepatroon bij Prijswijzingingen . . . . . . . . . . . . . . 223.6 Consumptiepatroon bij Prijswijzingingen met Announcement-

Effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.7 Stabiele Locus voor c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.8 Dynamische Vergelijking van A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.9 Bifurcatiediagrammen voor de Parameter ρ . . . . . . . . . . . . 25

7.1 Kans op Juiste ’Informational Cascade’ gegeven Situatie G . . . 63

vi

Lijst van tabellen

3.1 Resultaten Onderzoek Bretteville en Jensen . . . . . . . . . . . . 26

7.1 Simulatie Model I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

vii

Hoofdstuk 1

Inleiding

1.1 Aanleiding

Deze scriptie heeft als onderwerp, zoals de titel al doet vermoeden, verslavendegoederen. Ik ben op dit onderwerp gekomen na het lezen van het boek vanFerguson en Lim (1998, [8]) waarin op het eind (p286) een kort stukje staatover rationele verslavingstheorien. Hetgeen de theorie van rationele verslavingzo interressant maakt is dat ze uitgaat van rationele agenten. Voorheen dedenvele theoretici (economen) verslaving af als een niet-rationeel keuzegedrag enprobeerden ze verslaving te verklaren aan de hand van theorien die de nadrukleggen op gewoontevorming.

Deze scriptie is vooral theoretisch van aard. De oorzaak hiervoor is mijn groteinteresse voor wiskunde. De modellen zijn micro-economisch behalve misschienhet laaste hoofdstuk dat eerder meso-economisch is.Deze scriptie onderzoekt het consumptiegedrag bij verslavende goederen. Hetaanbod van verslavende goederen wordt niet besproken. Voor een goede paperover het aanbod van verslavende goederen verwijs ik naar Showalter (1999, [14]).Showalter ontwikkelt in zijn paper een model waarbij een winstmaximerendeonderneming geconfronteerd wordt met een dynamische vraagfunctie.

1.2 Structuur

De hoofdstukken van deze scriptie zijn chronologisch neergeschreven. De on-derwerpen van de hoofdstukken vormen een goede weerspiegeling van mijn in-teressepunten op dat moment.De structuur van deze scriptie wordt schematisch weergegeven in figuur (1.1).

Hoofdstuk twee en drie vormen de basis van de scriptie. In hoofdstuk 2 wordtde theorie van rationele verslaving opgebouwd en geanalyseerd gebruik makendvan de specificaties uit de paper van Becker en Murphy (1988, [2]). Zowel degebruikte rekenmethodes als analysemethodes, die in deze scriptie worden ge-bruikt, verschillen met deze van Becker en Murphy.

1

HOOFDSTUK 1. INLEIDING

Figuur 1.1: Structuur Scriptie

bron: eigen bewerking

Hoofdstuk drie is analoog aan hoofdstuk twee, maar verschilt doordat er anderespecificaties worden gebruikt. Het louter aanpassen van deze specificaties leidtal tot aanzienlijk andere resultaten.

Hoofdstuk vier en vijf bouwen verder op hoofdstuk twee en drie. De aanlei-ding voor hoofdstuk vier was het lezen van de paper van Bretteville en Jensen(1999, [5]). Die paper wordt beschreven op het einde van hoofdstuk drie. Bret-teville en Jensen onderzoeken het verschil in tijdsvoorkeur tussen verslaafden enniet-verslaafden. Hoofdstuk vier beschrijft een model waarbij de tijdsvoorkeurgeendogeniseerd wordt. Het endogeniseren van de tijdsvoorkeur leidt tot eenaantal resultaten die men op het eerste zicht niet zou verwachten.

Hoofdstuk vijf handelt over onzekerheid. De onzekerheid betreft hier dat deconsumenten van het verslavende goed niet a priori weten of ze al dan nietnadelige gevolgen zullen ondervinden van hun verslaving.

Na het schrijven van het vijfde hoofdstuk had ik het gevoel dat er nog uitbrei-dingen mogelijk waren op dit thema. Een logisch gevolg was het introducerenvan verzekeringen en het probleem van adverse selection. Deze onderwerpenworden besproken in hoofdstuk zes. Hoofdstuk zes bevat ook een paragraafover overheidsinterventie om het probleem van adverse selection op te lossen.

Het laatste hoofdstuk (hoofdstuk zeven) staat los van alle vorige hoofdstuk-ken. Het handelt over het fenomeen dat verslavingen zich vooral manifesteren

2

HOOFDSTUK 1. INLEIDING

binnen bepaalde groepen van de bevolking. Het idee voor dit laatste hoofd-stuk kwam bij me op na het lezen van het boek van Tommasi en Lerulli (1995,[15]). Een hoofdstuk in dat boek (p188-215) geschreven door David Hirshlei-fer handelt over ’informational cascades’. Een ’informational cascade’ ontstaatwanneer de informatie impliciet aanwezig in de handelingen van voorgangers zoovertuigend is dat een rationele agent die voorgangers gaat imiteren.

3

Hoofdstuk 2

Basismodel I

2.1 Inleiding

Het standaardwerk over rationele verslavingen werd voorgesteld in een baan-brekende paper geschreven door Becker en Murphy (1988, [2]). De theorie vanBecker en Murphy vertrekt van het standpunt dat het gedrag van een verslaafdekan verklaart worden via de hypothese van rationele consumenten. Hun theorievormt vandaag de dag nog altijd de basis voor huidige economische theorieenen empirische onderzoeken omtrent de consumptie van verslavende goederen.Sinds de paper van Becker en Murphy zijn er vele papers verschenen met telkenseen uitbreiding van deze basistheorie.

In dit eerste hoofdstuk zal ik de basistheorie van rationele verslavingen mo-delleren. De analyse -en rekenmethodes verschillen van deze gebruikt in depaper van Becker en Murphy. Becker en Murhpy maken in hun paper gebruikvan de methode van de ’calculus of variations’. Ik maak daarentegen gebruikvan Pontryagin’s principe.

2.2 Hypotheses

De rationele verslavingstheorie gaat uit van een rationele agent die zijn nutmaximeert over zijn ganse leven. De agent consumeert naast gewone goederenook een verslavend goed. Hierbij moet rekening gehouden worden met driehypotheses.

Hypothese 1 (Tolerance) Een gegeven hoeveelheid consumptie van het ver-slavende goed geeft minder nut naarmate de consumptie van het verslavendegoed in het verleden hoger was.

Hypothese 2 (Reinforcement) Er is een zeker leereffect aanwezig in hetconsumeren van verslavende goederen (voorbeeld: men rookt om spanning teverminderen). Met andere woorden, Het marginaal nut van de consumptie vanverslavende goederen stijgt naarmate men verslaafder is.

4

HOOFDSTUK 2. BASISMODEL I

Hypothese 3 (Withdrawal) Indien men stopt met de verslaving, ondervindtmen negatieve fysische reacties (afkikverschijnselen). Dit betekent dat het mar-ginaal nut van de consumptie van het verslavende goed positief moet zijn.

Deze drie hypotheses geven weer in welk opzicht verslavende goederen al ofniet verschillen van gewone goederen. Onze consument maximeert volgendeobjectieffunctie.

U =∫ ∞0

e−ρtu (c(t), y(t), A(t)) dt (2.1)

met∂U

∂A< 0 (2.2)

∂2U

∂c∂A> 0 (2.3)

∂U

∂c> 0 (2.4)

De functie U in vergelijking (2.1) is de nutsfunctie van onze consument. Dezefunctie heeft drie variabelen. De variabele c staat voor de consumptie vanhet verslavende goed, y is de consumptie van alle andere goederen (een soortcomposietgoed) en A is een variabele die de stock aan verslaving weergeeft. Deparameter ρ geeft de tijdsvoorkeur van de consument weer en t geeft de tijdweer. De variabelen c, A en y en t zijn elementen van R+ en de parameter ρ iseen element van R0

+. Voorwaarden (2.2), (2.3) en (2.4) staan voor ’tolerance’,’reinforcement’ en ’withdrawal’.De waarde van de variabele A stijgt naarmate de consumptie in het verledengroter was. Dit wordt voorgesteld door volgende dynamische vergelijking.

A = c(t)− δA(t) (2.5)met

A =∂A

∂t

Vergelijking (2.5) is de vergelijking van een investeringsfunctie. De consumentinvesteert als het ware in zijn verslaving via de consumptie van c. De parameterδ staat voor de depreciatiegraad van A . Met deze assumpties kunnen we nuhet model uitwerken.

2.3 Model Becker en Murphy

Becker en Murphy maken bij de uitwerking van hun model gebruik van eennutsfunctie die kwadratische is in c en A. Voor dit hoofdstuk nemen we dezespecificatie over.

U =∫ ∞0

e−ρt(k1c+

k2

2c2 + k3A+

k4

2A2 + k5Ac+ y

)dt (2.6)

met ki ∈ R0+,∀i ∈ (1, 2, 3, 4)

5


Het marginaal nut van y wordt, zonder verlies aan algemeenheid, gelijkgesteldaan een. Het probleem wordt dan.

max (2.6)s.t. (2.5)

s.t. pc+ y = Y (2.7)

Restrictie (2.7) is de budgetbeperking van de consument. Het inkomen Y wordtin elke periode verdeeld over de consumptie van y en c. De parameter p staatvoor de relatieve prijs van het verslavende goed.

Becker en Murphy maken gebruik van de ’calculus of variations’ om dit pro-bleem op te lossen. Deze methode is gebaseerd op de Euler vergelijking. Ik zalechter gebruik maken van Pontryagin’s principe. Deze gebruikt de Langragiaanom hieruit de Hamiltoniaan te berekenen. Een goed boek over deze methode isFerguson en Lim (1998, [8]).De current value Hamiltoniaan voor het bovenstaande probleem na substitutievan vergelijking (2.7) in vergelijking (2.6) is.

H = k1c+k2

2c2 + k3A+

k4

2A2 + k5Ac+

(Y − pc) + ψ (c− δA) (2.8)

De eerste orde voorwaarden voor (2.8) zijn.

∂H

∂c= k1 + k2c+ k5A− p+ ψ = 0 (2.9)

ψ = ρψ − ∂H

∂A= ρψ − k3 − k4A− k5c+ δψ (2.10)

A = c− δA (2.11)

En de transversaliteitsconditie is.

limt→∞

e−ρtψ(t)A(t) = 0 (2.12)

Vergelijking (2.9) is de eerste afgeleide van (2.8) naar c. In het optimuum moetdeze gelijk zijn aan nul. Vergelijking (2.10) geeft de dynamische vergelijkingvan ψ. Deze variabele kan geınterpreteerd worden als de ’current value’ scha-duwprijs van verslaving. De schaduwprijs van A op tijdstip t is de waarde diemen hecht aan een extra eenheid toename in A op tijdstip t. Uit (2.9) volgtdat deze schaduwprijs gelijk is aan.

(−k1 − k2c− k5A+ p) e−ρt

De schaduwprijs is gelijk aan de prijs verminderd met het marginaal nut van cof de actuele waarde van de toename in U veroorzaakt door een extra eenheid

6


toename in A op tijdstip t.

Om een dynamische vergelijking in c te bekomen leiden we (2.9) af naar detijd en stellen we deze gelijk aan (2.10) We veronderstellen tevens dat p nietwijzigt doorheen de tijd.

−k2c− k5A = ψ = (ρ+ δ)ψ − k4A− k3 − k5c

⇔ c = (ρ+ δ)c+(ρ+ 2δ)k5 + k4

k2A+

(ρ+ δ)(k1 − p) + k3

k2(2.13)

Vergelijking (2.13) is lineair in c en A. Een kwadratische nutsfunctie geeft dusaanleiding tot een eenvoudige uitdruking voor de dynamische vergelijking van c.

Een volgende stap in de analyse is de bepaling van de evenwichtspunten inhet systeem en de types van evenwichten. Hiervoor zetten we het model uit ineen fase diagram. Voor dit model is dit het (A, c)-vlak. Om dit te doen moeteerst de stabiele loci van het systeem bepaald worden. De stabiele loci wordenbekomen door bij vergelijking (2.13) en (2.5) de linkerleden gelijk te stellen aannul.

c = −(ρ+ 2δ) k5 + k4

(ρ+ δ) k2A− (ρ+ δ) (k1 − p) + k3

(ρ+ δ) k2

en c = δA

Vervolgens moeten de richtingen waarin bewogen wordt doorheen het fase-diagram bepaald worden. Hiervoor leiden we eerst (2.13) af naar c

∂c

∂c= (ρ+ δ) > 0

Als onze consument zich boven de stabiele locus voor c bevindt zal zijn con-sumptie stijgen. Zit hij onder de stabiele locus voor c dan zal zijn consumptiedalen. Als we hetzelfde doen voor vergelijking (2.5), bekomen we volgendeuitdrukking.

∂A

∂c= 1 > 0

Dus als onze consument zich boven de stabiele locus voor A bevindt zal A stijgenen als hij zich onder de stabiele locus voor A bevindt zal A dalen. Figuur (2.1)geeft het fase-diagram weer.

7


Figuur 2.1: Fase-Diagram model Becker en Murphy


Het soort van evenwicht1 hangt af van de ligging van de loci. Om dit tezien herschrijven we vergelijking (2.5) en vergelijking(2.13) in matrixnotatie.

[c

A

]=

[(ρ+ δ) (ρ+2δ)k5+k4

k2

1 −δ

]︸︷︷︸

M

[cA

]+

[(ρ+δ)(k1−p)+k3

k2

0

](2.14)

De eigenwaarden van de 2x2-matrixM , bepalen de stabiliteit van het evenwicht.Deze eigenwaarden zijn de oplossingen van volgende vergelijking.

0 = λ2 − (spoor(M))λ+ det(M)

⇔ 0 = λ2 − ρλ− δ (ρ+ δ)− (ρ+ 2δ) k5 + k4

k2

⇔ λ1,2 =ρ±

√∆

2(2.15)

met : ∆ = ρ2 + 4(δ (ρ+ δ) +

(ρ+ 2δ) k5 + k4

k2

)(2.16)

Voor het bestuderen van de evenwichten moet eerst het spoor van M berekendworden. Deze is gelijk aan ρ. Daar ρ strikt groter is dan nul kunnen de even-tuele evenwichten enkel nog onstabiele punten of zadelpunten zijn. Om eenonderscheid te kunnen maken tussen de twee, moeten we de determinant vanM berekenen.

det < 0

⇔ δ >(ρ+ 2δ) k5 + k4

− (ρ+ δ) k2(2.17)

1Een evenwicht is een punt in het (A, c) vlak waarbij zowel c alsA gelijk zijn aan nul

8


De determinant van M zal kleiner zijn dan nul indien de helling van de stabielelocus voor A groter is dan de helling van de stabiele locus voor c. In dit gevalhebben is het evenwicht een zadelpunt. In alle andere gevallen is het evenwichteen onstabiel punt. Het soort van evenwicht hangt dus af van de waarden vande parameters. Dit wordt geılustreerd in volgende paragraaf.

2.4 Illustraties

2.4.1 Situatie I

Eerst bespreek ik de situatie waarbij de determinant van M gelijk is aan nul. Indat geval is de stabiele locus voor A evenwijdig met de stabiele locus voor c. Eris dus geen evenwicht. Figuur (2.2) toont het fase-diagram voor een dergelijkesituatie. De waarden voor de parameters zijn hieronder weergegeven.

ρ = 0.8; δ = 0.3k5 = 2; k4 = −2.14, k3 = −2k2 = −2; k1 = 5; p = 1.2

Figuur 2.2: Fase-diagram Situatie I


9


2.4.2 Situatie II

Vervolgens bespreek ik het geval waar de determinant van M groter is dan nul.In dat geval is er een onstabiel evenwicht. De stabiele locus voor c is in ditgeval steiler dan de stabiele locus voor A. Figuur (2.3) toont het fase-diagramvoor deze situatie. De waarde voor de parameters zijn hieronder weergegeven.

ρ = 0.8; δ = 0.3k5 = 2; k4 = −2, k3 = −5k2 = −2; k1 = 5; p = 2

Figuur 2.3: Fase-Diagram Situatie II


2.4.3 Situatie III

Tenslotte bespreek ik het geval waarbij de determinant kleiner is dan nul. Indat geval hebben is er een zadelpunt. Dit kunnen we bekomen met volgendcijfervoorbeeld.

ρ = 0.5; δ = 0.5k5 = 2; k4 = −2.5, k3 = −2k2 = −2; k1 = 5; p = 0.5

10


Figuur 2.4: Fase-Diagram Situatie III


In dit geval is de stabiele locus voor A steiler dan de stabiele locus voor c.Figuur (2.4) toont het fase-diagram voor deze situatie. Dit is het enige gevalwaarbij onze consument een eindig strikt positief consumptiepeil kan bereiken.Een rationele consument zal zich zo positioneren (door c aan te passen2) dat hijzich bevindt op de stabiele arm van het model. Dit is de enige arm die voldoetaan de transversaliteitsconditie (2.12).

2.5 Een Adiabatische Benadering

De adiabatische benadering is een handige methode om de dimensie van eenstelsel van dynamische vergelijkingen te reduceren (Hans-Walter Lorenz (1989,p. 203-205, [10]). Stel dat we een stelsel hebben van n differentiaalvergelijkin-gen.

xi = αifi (x1, x2, ..., xn) ,∀i ∈ {1, 2, ..., n}

De parameters αi geven aan hoe snel xi zich aanpast aan nieuwe waarden vanx1, x2, ..., xn. Stel nu een rangschikking voor van deze parameters.

2Hierdoor spreekt men ook van een control variabele. De variabele c is die variabele die deconsument kan aanpassen naargelang zijn behoefte (om zijn nut te maximaliseren). A noemtmen een state (toestand) variabele. Die kan niet rechtstreeks gecontroleerd worden door deconsument, maar geeft de toestand weer waarin de consument zich bevindt.

11


α1 > α2 > ... > αn

Stel verder datfi (x1, x2, ..., xn) = 0

kan worden opgelost in functie van xi voor alle variabelen met een aanpassings-snelheid die groter is dan de laagste aanpassingssnelheid. Dan kunnen we xn

schrijven als.

xn = αng (x1, x2, ..., xn)

Alle andere variabelen passen zich sneller aan dan xn en dus volstaat het omalleen de bovenstaande vergelijking te bestuderen. Het probleem van een n-dimensioneel stelsel van differentiaalvergelijkingen wordt hiermee herleid tothet probleem van een enkele differentiaalvergelijking. De voorwaarden waaraanhet stelsel moet voldoen om tot deze gedaante herleid te kunnen worden zijndat de meeste reele eigenwaarden van de Jacobiaan-matrix negatief moeten zijnen bij complexe eigenwaarden moeten de imaginaire delen van de eigenwaardenmet een reeel gedeelte dat positief is, kleiner zijn dan de reele delen van deandere eigenwaarden, die op hun beurt negatief moeten zijn.Laten we dit toepassen op bovenstaand model. Eerst moeten we de variabelebepalen die zich het snelst aanpast. Daar c een stroomvariabele is en A eenstockvariabele is het logisch te veronderstellen dat c zich sneller aanpast danA. Gebruik makend van (2.5) en (2.13) bekomen we volgende uitdrukking.

c = (ρ+ δ) c+(ρ+ 2δ) k5 + k4

k2A+

(ρ+ δ) (k1 − p) + k3

k2= 0

⇔ c = −(ρ+ 2δ) k5 + k4

(ρ+ δ) k2A− (ρ+ δ) (k1 − p) + k3

(ρ+ δ) k2

⇒ A = −(

(ρ+ 2δ) k5 + k4

(ρ+ δ) k2+ δ

)A− (ρ+ δ) (k1 − p) + k3

(ρ+ δ) k2

De helling van de dynamische vergelijking voor A is groter dan nul als.

δ < −(ρ+ 2δ) k5 + k4

(ρ+ δ) k2

Dit is dezelfde voorwaarde als de voorwaarde die verkregen werd voor een on-stabiel evenwicht (zie vergelijking (2.17)). In dit eendimensioneel geval zal hetevenwicht ook onstabiel zijn. In het andere geval bekomen we een stabiel even-wicht.

12


2.6 Besluit

In dit hoofdstuk heb ik de rationele verslavingstheorie besproken met dezelfdespecificaties als in de paper van Becker en Murphy (1988, [2]). De kwadratischenutsfunctie geeft aanleiding tot een lineaire stabiele locus voor c. Er zijn tweemogelijke evenwichten. Als de stabiele locus voor c steiler is dan de stabielelocus voor A is er een onstabiel punt. Als de stabiele locus voor c vlakker is dande stabiele locus voor A is er een zadelpunt. De waarden van de evenwichtenzijn robuust indien men de dimensie van het model verkleint. Indien men ditdoet wordt het zadelpunt herleid tot een stabiel punt3.

3Een zadelpunt in niet mogelijk in een een dimensionaal stelsel van differentiaalvergelijkin-gen

13

Hoofdstuk 3

Basismodel II

3.1 Inleiding

Becker en Murphy maakten gebruik van een nutsfunctie die kwadratisch was inc en A. Een groot nadeel van deze veronderstelling is dat ze niet voldoet aande voorwaarde van withdrawal daar het kan zijn, voor grote waarden van c, dathet marginaal nut van c kleiner is dan nul.Een tweede mogelijk nadeel van het gebruik van een kwadratische nutsfunctie isdat een kwadratische nutsfunctie leidt tot een eenvoudige lineaire stabiele locusvoor c. Deze voorstelling is misschien een te simplistische voorstelling van dewerkelijkheid. In dit hoofdstuk zal ik aantonen dat, via het aanpassen van denutsfunctie, het model heel wat complexer wordt en er meerdere evenwichtenkunnen voorkomen.

3.2 Model

In dit hooftstuk maken we gebruik van een logaritmische nutsfunctie en onder-zoeken we welk effect dit heeft op het model. We zullen gebruik maken vanvolgende nutsfunctie.

U(c, A, y) =∞∫0

e−ρt (ln (c− γA) + y)dt

Hierbij staat ln(.) voor het natuurlijk logaritme. Deze nutsfunctie is monotoondegressief stijgend in c en voldoet aan de gewenste voorwaarden van withdrawal,tolerance en reinforcement. Men moet echter wel opmerken dat deze functieenkel gedefinieerd is voor het gebied.

c > γA (3.1)

Het probleem voor onze consument wordt dan.

max∞∫0

e−ρt (ln (c− γA) + y)dt

14

HOOFDSTUK 3. BASISMODEL II

s.t. A = c− δA

s.t. Y = pc+ y

De current value Hamiltoniaan en de eerste orde voorwaarden worden gegevendoor.

H = (ln (c− γA) + Y − pc) + ψ (c− δA)∂H

∂c= 0 ⇒ − 1

c− γA+ p = ψ (3.2)

ψ = ρψ − ∂H

∂A⇔ ψ = (ρ+ δ)ψ +

γ

c− γA(3.3)

En de transversaltiteitsconditie is.

limt→∞

e−ρtψ (t)A(t) = 0

De schaduwprijs (correcte prijs) van A(t) is gelijk aan(p− 1

c− γA

)e−ρt

Deze kan men interpreteren als de waarde van een extra toename van A in pe-riode t. Ze meet het verdisconteerde toekomstige nut of onnut verkregen dooreen extra eenheid verhoging van A. Deze zal negatief zijn daar een stijging vanA in de toekomst negatieve effecten heeft op de nutsfunctie. In het optimuumzal de prijs van c lager zijn dan het marginaal nut van c. Men zal dus minderconsumeren van c dan het geval zou zijn indien c geen verslavend goed zou zijn.

Vervolgens leiden we vergelijking (3.2) af naar de tijd om zo een dynamischevergelijking te bekomen in c. We veronderstellen tevens dat p niet wijzigt door-heen de tijd.

c

(c− γA)2− γA

(c− γA)2= ψ (3.4)

Vervolgens kan vergelijking (3.3) vervangen worden in vergelijking (3.4).

c = (ρ+ δ) pc2 + c (−2γA (ρ+ δ) p− (ρ+ δ) + 2γ)+γ2A2 (ρ+ δ) p+ γA ((ρ+ δ)− γ − δ) (3.5)

De stabiele locus voor c wordt bekomen door in vergelijking (3.5), c gelijk testellen aan nul. Het is echter zeer moeilijk zoniet onmogelijk om een explicietefunctie af te leiden voor deze locus. De helling van deze locus kan echter welberekend worden via de impliciete functiestelling. Hiervoor stellen we dat c eenfunctie is van A en nemen we de afgeleide van (3.5) naar A voor c gelijk aannul.

15


0 = [2 (ρ+ δ) p (c− γA)− (ρ+ δ) + 2γ]∂c

∂A+[

−2γ (ρ+ δ) p (c− γA) + (ρ+ δ)− γ2 − γδ]

⇒ ∂c

∂A=

γ ((ρ+ δ) 2p (c− γA)− (ρ+ δ) + γ + δ)(ρ+ δ) 2p (c− γA)− (ρ+ δ) + 2γ

(3.6)

We veronderstellen tevens dat de parameter δ groter is dan γ omdat anders demogelijke evenwichten die gelegen zijn op de stabiele locus van A buiten hetdefinitiegebied liggen (zie vergelijking (3.1). We krijgen dus.

δ > γ (3.7)

De stabiele locus voor c zal stijgend zijn indien.

(3.6) > 0⇔ 2 (ρ+ δ) p (c− γA)− (ρ+ δ) + γ + δ > 0

en 2 (ρ+ δ) p (c− γA)− (ρ+ δ) + 2γ > 0of (ρ+ δ) 2p (c− γA)− (ρ+ δ) + γ + δ < 0

en (ρ+ δ) 2p (c− γA)− (ρ+ δ) + 2γ < 0

⇔ c > γA+(ρ+ δ)− 2γ2 (ρ+ δ) p

(3.8)

of c < γA+(ρ+ δ)− γ − δ

(ρ+ δ) 2p(3.9)

De stabiele locus voor c zal daarentegen dalend zijn indien vergelijking (3.6)kleiner is dan nul.

⇔ (ρ+ δ) 2p (c− γA)− (ρ+ δ) + γ + δ > 0en (ρ+ δ) 2p (c− γA)− (ρ+ δ) + 2γ < 0

⇔ c > γA+(ρ+ δ)− γ − δ

(ρ+ δ) 2p(3.10)

en c < γA+(ρ+ δ)− 2γ(ρ+ δ) 2p

(3.11)

We weten ook dat het punt (0,0) op de stabiele locus voor c zal liggen (gewoonwaarden invullen). Het resultaat ziet er dan uit zoals in figuur (3.1) waarbijde rechte (1) voorwaarde (3.11) en de rechte (2) voorwaarde (3.10) voorsteltwaarbij het ongelijkheidsteken vervangen is door een gelijkheidsteken. Figuur(3.1) is getekend met.

ρ− γ

(ρ+ δ) 2p> 0

De rechte (2) zal de stabiele locus van c snijden bij een A-waarde kleiner ofgelijk aan nul daar de grafiek door het punt (0,0) moet gaan. Om de analysewat makkkelijker te maken tonen we eerst volgend Lemma aan.

16


Figuur 3.1: Stabiele Locus voor c


Lemma 1 Geen enkel punt op de stabiele locus van c waarvoor geldt dat c enA groter of gelijk zijn dan nul en

c < γA+(ρ+ δ)− γ − δ

(ρ+ δ) 2p

ligt in het gebied c > γA.

bewijs: We onderscheiden twee gevallen:

1. Geval een

(ρ+ δ)− γ − δ

(ρ+ δ) 2p≤ 0

Dan zal voor elk punt in het gedefinieerde gebied gelden.

c < γA+(ρ+ δ)− γ − δ

(ρ+ δ) 2p≤ γA

waarmee het gestelde is aangetoond.

2. Geval twee

(ρ+ δ)− γ − δ

(ρ+ δ) 2p> 0

⇔ (ρ− γ) > 0 (3.12)

Het is gemakkelijk aan te tonen dat de rechte c = γA de stabiele locusvoor c slechts eenmaal zal snijden en dit in het punt (0,0)1. Het enige dat

1Substitueer c = γA in vergelijking (3.5) en stel c gelijk aan nul

17


we dan nog moeten aantonen is dat in het punt (0,0), de helling ∂c∂A , van

de stabiele locus voor c, kleiner is dan γ.

γ (− (ρ+ δ) + γ + δ)− (ρ+ δ) + 2γ

< γ

⇔ − (ρ+ δ) + γ + δ

− (ρ+ δ) + 2γ< 1

⇔ −γ + δ

− (ρ+ δ) + 2γ< 0 (3.13)

In vergelijking (3.13) is de teller groter dan nul (zie voorwaarde (3.7)) ende noemer kleiner dan nul aangezien γ − δ < 0 door voorwaarde (3.7) enγ − ρ < 0 door voorwaarde (3.12).

Q.E.D.

Bovenstaand lemma toont aan dat het gebied waar c en A groter zijn dannul en waar geldt dat...

c < γA+(ρ+ δ)− γ − δ

(ρ+ δ) 2p

...buiten het definitiegebied, gegeven door (3.1), ligt. Dit gebied kan dus weg-gelaten worden uit de analyse.Vervolgens moet nog onderzocht worden welke richting er zal gevolgd wordenbinnen het fase-diagram. Hiervoor nemen we de partieel afgeleide van vergelij-king (3.5) naar c.

∂c

∂c= 2 (ρ+ δ) p (c− γA)− (ρ+ δ) + 2γ > 0

⇔ c > γA+(ρ+ δ)− 2γ2 (ρ+ δ) p

Andersom zal gelden.

∂c

∂c< 0

⇔ c < γA+(ρ+ δ)− 2γ2 (ρ+ δ) p

(3.14)

Een mogelijk fase-diagram is weergegeven in figuur (3.2).

18


Figuur 3.2: Fase-Diagram Model II


Er zijn twee mogelijkheden.

1. (ρ+δ)−2γ2(ρ+δ)p < 0

In dit geval is er een zadelpunt waar de stabiele loci voor c en A elkaarsnijden en is er een stabiel evenwicht in het punt (0,0). Ik noem ditrespectievelijk het verslaafd evenwicht en het niet-verslaafd evenwicht.

2. (ρ+δ)−2γ2(ρ+δ)p > 0

In dit geval is er wederom een zadelpunt waar de stabiele loci voor c en Aelkaar snijden. Er is ook een stabiel evenwicht in het punt waar de stabielelocus voor A snijd met voorwaarde (3.14) waarbij het ongelijkheidstekenvervangen is door een gelijkheidsteken. Ik noem dit wederom het verslaafden niet-verslaafd evenwicht. Merk op dat het niet-verslaafd evenwicht hiervoorkomt bij een consumptie van c groter dan nul. Ten tweede kan menook opmerken dat het niet-verslaafd evenwicht niet ligt op de stabielelocus voor c.

3.3 Illustraties

in deze papragraaf onderzoek ik hoe de stabiele locus van c reageert op veran-deringen in zijn parameters.

3.3.1 Verandering in de Prijs

Eerst en vooral laat ik de parameter p wijzigen. Figuur (3.3) toont dat indiende prijs verhoogt de stabiele locus voor c zich naar de A-as toe zal bewegen.Dit betekent dat de evenwichten zich zullen situeren bij een lagere waarden vanc en dus zal de consumptie van c afnemen. Een stijging in de prijs leidt tot een

19


lager consumptiepeil hetgeen betekent dat de vraagcurve dalend is.

ρ = 0.5; δ = 0.5γ = 0.3

Figuur 3.3: Stabiele Locus voor c voor Verandering in de Prijs


3.3.2 Verandering in de Tijdsvoorkeur

Vervolgens laat ik de parameter ρ wijzigen. Figuur (3.4) toont dat de stabielelocus voor c naar onderen (naar de A-as) zal verschuiven en de top komt dichterbij de oorsprong komt te liggen voor lagere waarden van ρ. Een hogere voorkeurvoor het heden zal daarentegen de stabiele locus naar boven verschuiven. Deevenwichten zullen groter zijn voor hogere waarden van ρ en kleiner zijn voorlagere waarden van ρ. Een consument met een hoge voorkeur voor het hedenzal dus meer consumeren. Hieronder staan de gebruikte parameterwaarden.

p = 0.7; δ = 0.5γ = 0.3

20


Figuur 3.4: Stabiele Locus voor c voor Verandering in de Tijdsvoorkeur


3.4 Invloed van Prijswijzingingen

Stel dat onze consument in zijn lange termijn evenwicht zit (zadelpunt) en deprijs word plots verhoogt, bijvoorbeeld door een verhoging van de tax op c. Ditzal tot gevolg hebben dat de stabiele locus voor c daalt. Onze consument zalom op zijn stabiele arm te blijven zijn consumptie meteen aanpassen. Dit isweergegeven in het bovenste deel van figuur (3.5). Onze consument zal op hetmoment van de prijswijzinging van punt (a) naar punt (b) springen. Daarnazal hij zijn stabiele arm volgen om het nieuwe evenwicht, punt (c), te bereiken.

De situatie is anders indien de prijswijziging aangekondigd is. Dan zal onzeconsument op het moment van de aankondiging reeds zijn consumptie laten da-len zodat, op het moment wanneer de prijsstijging zich voordoet, hij zich juistop zijn stabiele arm bevindt. Dit is weergegeven in figuur (3.6).Op het moment van de aankondiging zal onze consument zijn consumptie latendalen vanuit punt (a). Op het moment van de prijswijziging zelf zal hij zich inpunt (b) bevinden. Dit is juist op de stabiele arm van het model na de prijs-verandering. Eenmaal de nieuwe prijs doorgevoerd is zal de consument zichbegeven naar punt (c) hetgeen zijn nieuwe evenwicht is.

21


Figuur 3.5: Consumptiepatroon bij Prijswijzingingen


Figuur 3.6: Consumptiepatroon bij Prijswijzingingen met Announcement-Effect


22


Uit deze paragraaf kunnen we een aantal conclusies afleiden.

1. Een niet aangekondigde prijswijziging zal een direct effect hebben op deconsumptie van het verslavend goed.

2. Nadien zal de consumptie verder afnemen via de nieuwe stabiele arm.Een prijsverhoging in periode t zal dus de consumptie nog verlagen optijdstippen later dan t.

3. Een aangekondigde prijsverhoging zal onmiddelijk na de aankondiging deconsumptie van c doen dalen.

De consumptie is dus afhankelijk van prijsveranderingen in het verleden, prijs-veranderingen op het moment zelf en verwachte prijsveranderingen voor detoekomst. Het is op basis van deze voorspellingen dat men empirisch schatbarevergelijkingen opstelt voor de vraag naar verslavende goederen. Voorbeeldenhiervan zijn Becker, Grossman en Murphy (1994, [3]) en Chaloupka (1991, [6]).

3.5 Een Adiabatische Benadering en Chaotische Con-sumptie

3.5.1 Een Adiabatische Benadering

Ik zal terug het geval bespreken waarbij c zich sneller aanpast dan A. De stabielelocus van c, gegeven door (3.5) waarbij c gelijk is aan nul, is kwadratisch in c.Eerst moet de discriminant van vergelijking (3.5) met c gelijk aan nul berekendworden.

∆ = (−2γA (ρ+ δ) p− (ρ+ δ) + 2γ)2 −4((ρ+ δ) p

(γ2A2 (ρ+ δ) p+ γA ((ρ+ δ)− γ − δ)

))Voor elke waarde van de discriminant bekomen we 2 waarden voor c.

c1, c2 =(2γA (ρ+ δ) p+ (ρ+ δ)− 2γ)±

√∆

2 (ρ+ δ) p(3.15)

Vergelijking (3.15) is getekend in figuur (3.7). Deze figuur is uiteraard gelijk-aardig aan figuur (3.1). De waarden voor c1 (positieve sommatie) bevinden zichin het bovenste gedeelte van de stabiele locus tot aan punt (a). De waardenvoor c2 (negatieve sommatie) bevinden zich in het onderste gedeelte van destabiele locus (dus vanaf het punt (a)). In lemma 1 is aangetoond dat voorpositieve waarden voor c en A het onderste gedeelte van de grafiek buiten hetdefinitiegebied ligt en dus buiten beschouwing kan worden gelaten.

23


Figuur 3.7: Stabiele Locus voor c


Vervolgens substitueren we c1 (gegeven door vergelijking (3.15)) in vergelij-king (2.5) om de dynamische vergelijking voor A te bekomen. Het resultaat iste zien in figuur (3.8). Het evenwicht is stabiel.

Figuur 3.8: Dynamische Vergelijking van A


3.5.2 Chaotische Consumptie

Om chaos te ontdekken in een twee dimensioneel dynamisch stelsel moetenwe eerst overstappen naar discrete tijd. Hiervoor stellen we c(t) gelijk aanc(t+ 1)− c(t) en A(t) gelijk aan A(t+ 1)−A(t). Vervolgens creeren we een bi-furcatiediagram. Dit is een twee-dimensionele map met op de Y -as de control ofstate variabele (c of A) en op de X-as de parameter die we wensen te onderzoe-ken. Op deze map worden vervolgens alle stabiele evenwichtspunten geplot voorverschillende waarden van de te onderzoeken parameter. Figuur (3.9) toont het

24


bifurcatiedigram voor de parameter ρ. De waarden van de andere parameterszijn.

δ = 0.5, γ = 0.3p = 0.7

Figuur 3.9: Bifurcatiediagrammen voor de Parameter ρ


Voor lage waarden van ρ heeft het systeem een stabiel evenwicht bij c = A =0. Vanaf een bepaalde waarde van ρ (ongeveer 1.8) deelt het evenwicht zich intwee afzonderlijke evenwichten. Dit noemt men period doubling. Als we denegatieve evenwichten buiten beschouwing houden dan verschuift het stabieleevenwicht van nul naar strikt positief. Naarmate ρ groter en groter wordtverdubbelt telkens elk afzonderlijk evenwicht. Als de parameter ρ nog groterwordt zal uiteindelijk een zone van chaos optreden. Binnen deze chaos zijn erenkele intervallen waarvoor er slechts enkele stabiele evenwichten bestaan. Dezenoemt men ’windows’. Als ρ uiteindelijk nog groter wordt zijn er geen stabieleevenwichten meer te vinden.

3.6 Belang van de Tijdsvoorkeur

In voorgaande paragrafen hebben we gezien dat bij grotere waarden van deparameter ρ (bij een grotere voorkeur voor het heden) de evenwichten zichzullen bevinden bij grotere waarden voor c. Voor grotere waarden van ρ is ertevens meer kans op:

25


1. Strikt positieve consumptie van c.

2. Chaotische consumptie van c.

Bretteville en Jensen (1999, [5]) tonen in hun artikel aan dat er een positievecorrelatie bestaat tussen verslaafd zijn aan heroıne en een grote voorkeur hebbenvoor het heden. Volgens het onderzoek hebben verslaafden dus een groterewaarde van ρ dan niet verslaafden.In het onderzoek vroeg men hoeveel men momenteel zou willen ontvangen omeen winnend lotto ticket te verkopen die men in bezit heeft, indien het geld datmen gewonnen heeft slechts over een week, respectievelijk een jaar zou wordenuitgekeerd. Op basis van de antwoorden berekende men de disconteringsrentevia volgende formule.

ri =1− xi

yxiy

, met i = 1, 2

Hierbij is r1 de jaarlijkse en r2 de wekelijkse disconteringsrente. De variabelex1 is de prijs waaraan de respondent het ticket zou willen verkopen met in-ningsdatum over een jaar en x2 is de prijs waaraan de respondent het ticket zouwillen verkopen met inningsdatum over een week. De variabele y staat voor hetbedrag dat gewonnen is.De steekproef werd opgedeeld in een groep niet verslaafden, een groep ver-slaafden (heroınegebruikers) en een groep ex-verslaafden. De resultaten staanweergegeven in tabel (3.1).

Tabel 3.1: Resultaten Onderzoek Bretteville en Jensen

Groep Jaarlijksediconte-ringspremie

Jaarlijksedisconto-voet =

11+r1

Wekelijksedisconte-ringsrente

wekelijksedisconto-voet =

11+r2

grootesteekproef

Verslaafden 0.90 (1.77) 0.53 0.05 (0.13) 0.95 110Niet ver-slaafden

0.05 (0.13) 0.95 0.0002(0.0013)

0.999 110

Ex-verslaafden

0.15 (0.24) 0.87 0.002(0.010)

0.998 50

bron: Bretteville en Jensen (1999, [5])

De waarden tussen haakjes zijn de standaardafwijkingen. Niet verslaafdenhebben een disconteringsrente ongeveer gelijk aan de gemiddelde depositoren-te (ongeveer 5 procent). Verslaafden daarentegen hebben een extreem hogedisconteringsrente. Deze leidt tot een zeer lage discontovoet. Volgens dezeberekeningen is het monetair nut van het lottobiljet, indien binnen een jaaruitgekeerd, maar de helft waard van wat het zou zijn indien nu uitgekeerd.

26


Tabel (3.1) toont duidelijk de correlatie aan tussen verslaafd zijn en de groot-te van de discontovoet. De richting van het oorzakelijk verband is echter nietduidelijk. Het hierboven besproken model van rationele verslaving kan een ver-klaring geven waarom de disconteringsrente een positieve invloed zou hebbenop de mate van verslaving.Het is echter ook aannemelijk dat er een omgekeerd effect is. Doordat mensenverslaafd zijn denken ze minder op lange termijn. Dit laatste idee wordt verderuitgewerkt in volgend hoofdstuk.

3.7 Besluit

In dit hoofdstuk heb ik het basismodel van Becker en Murphy aangepast doorgebruik te maken van een andere nutsfunctie. Het gebruik van deze alternatievenutsfunctie leidt tot enkele drastische verschillen met het model besproken inhoofdstuk twee. Ten eerste is het soort van evenwichten niet meer afhankelijkvan de waarden van de parameters. Ten tweede is het zadelpuntevenwicht nietaltijd het unieke evenwicht. Er is namelijk een ander evenwicht die niet opde stabiele locus van c gelegen is, doch wel stabiel is. In dit hoofdstuk heb iktevens aangetoond wat het effect is van prijsveranderingen op de vraag naarc. We kunnen hierbij een onderscheid maken tussen reacties ex-post (na deprijsverandering) en reacties ex-ante (voor de prijsverandering) hetgeen ookbekend staat als het announcement-effect. Tenslotte heb ik ook het belangaangetoond van de tijdsvoorkeur op de consumptie van c. Dit laatste onderwerpwordt verder behandeld in volgend hoofdstuk.

27

Hoofdstuk 4

Endogene Tijdsvoorkeur

4.1 Inleiding

Op het einde van vorig hoofdstuk hebben we gezien dat personen die verslaafdzijn een hogere voorkeur hebben voor het heden dan personen die niet verslaafdzijn. In dit hoofdstuk gaan we uit van het idee dat de voorkeur voor het hedenpositief beınvloed wordt door de mate van verslaving en de mate van consump-tie van het verslavende goed.Deze assumptie zou kunnen verklaren waarom verslaafden crimineel gedrag ver-tonen of minder bezorgd zijn om hun eigen toekomstige gezondheid. Als meneen hogere voorkeur heeft voor het heden houdt men immers minder rekeningmet de toekomstige gevolgen van zijn acties.Het idee van endogene tijdsvoorkeur vindt men terug bij Obstfeld (1990, [11]).Het endogeniseren van de tijdsvoorkeur bij consumptie van verslavende goede-ren is terug te vinden bij Orphanides en Zervos (1998, [12]). Zij maken gebruikvan een discreet model en van het idee dat c en A additief separabel zijn in denutsfunctie. Dit ligt niet in de lijn van wat ik in de vorige hoofdstukken be-sproken heb. Ik zal gebruik maken van een continu model waarbij c en A nietadditief separabel zijn in de nutsfunctie. Voor een uitwerking van het standaardmodel van rationele verslaving bij dicrete tijd verwijs ik naar Bijlage A.

4.2 Model

De objectieffunctie voor onze consument is.

∞∫0

e−Θe−ρt (u (c, A) + v (y)) dt (4.1)

Hier is u(c, A) een functie die voldoet aan de voorwaarden van ’reinforce-ment’,’withdrawal’ en ’tolerance’ en de functie v(.) is stijgende en concaaf inzijn argument. De variabelen c, A en y zijn dezelfde als besproken in de vorigehoofdstukken. De parameter Θ geeft de bijkomende tijdsvoorkeur weer. Het isde cumulatieve ’excess’ subjectieve disconteringsrente. Ze is onderworpen aan

28

HOOFDSTUK 4. ENDOGENE TIJDSVOORKEUR

volgende dynamische vergelijking.

Θ = θ (c, A) (4.2)

De functie θ(.) is stijgend in c en A. Het probleem voor de consument wordtdan.

max∞∫0

e−Θe−ρt (u (c, A) + v (y)) dt (4.3)

s.t. A = c− δA (4.4)a = Y − pc− y + ra (4.5)Θ = θ (c, A)

Vergelijking (4.4) is de dynamische vergelijking voor A. Vergelijking (4.5) isde dynamische budgetrestrictie. De variabele a staat voor het vermogen en deparameter r is de intrestvoet. De toename in het vermogen is gelijk aan het deelvan het inkomen dat niet geconsumeerd wordt plus de intrest die men ontvangtop het alreeds bestaande vermogen.De current value Hamiltoniaan voor dit probleem wordt gegeven door.

H = e−Θ (u (c, A) + v (y)) + ψ (c− δA) + q (θ (c, A)) +z (Y − pc− y + ra)

De eerste orde voorwaarden voor dit probleem zijn.

∂H

∂c= e−Θuc + ψ + qθc − pz = 0 (4.6)

∂H

∂y= e−Θvy − z = 0 (4.7)

˙ψ = ρψ −

(e−ΘuA − δψ + qθA

)(4.8)

˙q = ρq + e−Θ (u (c, A) + v (y)) (4.9)˙z = (ρ− r) z (4.10)

Een subscript bij een functie staat voor de eerste afgeleide van deze functie naarde desbetreffende variabele1. Om deze eerste orde voorwaarden te vereenvou-digen voeren we volgende notaties in.

ψ = eΘψ

q = eΘq

z = eΘz

Dan kunnen we vergelijkingen (4.6), (4.7), (4.8), (4.9) en (4.10) als volgt her-schreven.

0 = uc + ψ + qθc − pz (4.11)1bijvoorbeeld uc = ∂u

∂c

29


0 = vy − z (4.12)ψ = (ρ+ δ + θ)ψ − (uA + qθA) (4.13)q = (ρ+ θ) q + (u (c, A) + v (y)) (4.14)z = (ρ+ θ − r) z (4.15)

Dit zijn dan de eerste orde voorwaarden voor het probleem. De transversali-teitscondities zijn gegeven door.

limt→∞ e−Θ(t)−ρtψ (t)A(t) = 0limt→∞ e−Θ(t)−ρtz (t) a(t) = 0 (4.16)limt→∞ e−Θ(t)−ρtq (t) Θ(t) = 0

Om een dynamische vergelijking in c te bekomen wordt eerst vergelijking (4.11)afgeleid naar de tijd. Gebruikmakend van vergelijkingen (4.2), (4.12), (4.13),(4.14) en (4.15) bekomen we de dynamische vergelijking voor c.

c = −(ucA + θcA) (c− δA)(ucc + qθcc)

− θc [(ρ+ θ) q + (u (c, A) + v (y))](ucc + qθcc)

+

(uA + qθA)− (ρ+ δ + θ) (−uc − qθc + pvy)(ucc + qθcc)

+p (ρ+ θ − r) vy

(ucc + qθcc)(4.17)

Als men vergelijking (4.12) afleidt naar de tijd en gebruik maakt van vergelijking(4.15) bekomt men volgende dynamische vergelijking voor y.

y = (ρ+ θ − r)vy

vyy(4.18)

4.3 Steady-State Evenwicht

Vergelijking (4.17) samen met vergelijkingen (4.2) en (4.14) vormen de dyna-mische vergelijkingen die het verloop van c bepalen. Daar er drie vergelijkingenzijn is dit een drie dimensioneel probleem. De analyse van deze vergelijkingenis niet eenvoudig (zoniet onmogelijk). In dit hoofdstuk zullen we ons echterbeperken tot de steady-state evenwichten.

Assumptie 2 Het model bereikt een steady state als

c = A = q = y = 0

Niets garandeert ons dat het model convergeert tot dit evenwicht of dat dit hetenige evenwicht is. Hetgeen we wel weten is dat als onze consument zich in ditevenwicht bevindt, hij daar zal blijven.Stellen we dus vergelijking (4.17), (4.18), (4.14) en (4.2) gelijk aan nul danbekomen we volgend steady-state evenwicht.

(ρ+ δ + θ) (uc − pvy) + uA = u(c,A)+v(y)(ρ+θ) (θA + (ρ+ δ + θ) θc) (4.19)

en c = δA

30


In het geval dat Θ gelijk is aan nul is het steady-state evenwicht hetzelfde alsin het model zonder endogene tijdsvoorkeur. De uitkomst wordt dan gegevendoor.

p =uc

vy+

uA

vy (ρ+ δ)(4.20)

De relatieve prijs, p, is gelijk aan de marginale kosten van een extra eenheidconsumptie van het verslavende goed in vergelijking tot de marginale kostenvan een extra eenheid consumptie van y. In het optimuum moet de marginalekost gelijk zijn aan de marginale opbrengst. De marginale opbrengst bestaatuit twee delen. Ten eerste is er de marginale nuttigheid van een extra eenheidconsumptie van c in verhouding tot de marginale nuttigheid van een extraeenheid consumptie van y. Dit effect is slechts eenmalig. Ten tweede is er ookeen onrechtstreeks effect via de stockvariabele A. Dat dit tweede effect gelijk isaan uA

vy(ρ+δ zal ik hieronder intuıtief uitleggen.Laten we eerst over gaan naar discrete tijd. Op het moment van de bijkomendeconsumptie (stel tijdstip t) is het indirect effect gelijk aan nul daar A nog geeneffect heeft ondervonden van c. Het geactualiseerde bijkomende nut van heteffect op tijdstip t+1 is gelijk aan uA

vy(1+ρ) . Het geactualiseerde bijkomende nutvan het effect op tijdstip t + 2 is gelijk aan (1 − δ) uA

vy(1+ρ)2. De hoeveelheid A

zal namelijk elke periode met een fractie δ afnemen. Op tijdstip t + 3 is hetgeactualiseerde bijkomende nut gelijk aan (1− δ)2 uA

vy(1+ρ)3, enzoverder.

∞∑0

(1− δ)t uA

vy(1 + ρ)t+1 =uA

vy(1+ρ)

1− 1−δ1+ρ

=uA

vyδ + ρ

De prijs bij endogene tijdsvoorkeur is echter gegeven door (zie vergelijking(4.19)).

p =uc

vy− θc (u (c, A) + v (y))

vy (ρ+ θ)+

uA

(ρ+ δ + θ) vy− θA (u (c, A) + v (y))vy (ρ+ θ) (ρ+ δ + θ)

Hier zijn er vier effecten aanwezig. Het directe effect via het marginaal nut enhet indirect effect via de stockvariabele A is terug te vinden in de eerste en derdeterm van het rechterlid. Het marginaal nut van A wordt echter verdisconteerdmet een extra factor θ. De tweede en vierde term van het rechterlid geven demarginale opbrengsten (kosten) weer via de kanalen van de tijdsvoorkeur. Detweede term is de verdisconteerde kost doordat Θ verhoogt door de verhogingin c. De vierde factor is de verdisconteerde kost doordat Θ ook zal verhogendoor de verhoging in A.

Lemma 3 Als ’reinforcement’ niet te groot is dan zal de consumptie bij en-dogene tijdsvoorkeur groter zijn dan zonder endogene tijdsvoorkeur, indien demarginale toenames in de tijdsvoorkeur door een toename in c of A niet te grootzijn.Als ’reinforcement’ daarentegen groot is dan zal de consumptie bij endogene

31


tijdsvoorkeur groter zijn dan zonder endogene tijdsvoorkeur indien de margina-le toenames in de tijdsvoorkeur door een toename in c of A groot zijn.

bewijs: Stellen we de steady-state evenwichtswaarden in het evenwicht onderendogene tijdsvoorkeur gelijk aan c′′, A′′ en y′′ en de steady-state evenwichten-waarden in het model zonder endogene tijdsvoorkeur gelijk aan c′, A′ en y′

1. De term

(ρ+ δ)

(uc

vy− p

)+uA

vy

zal dalend zijn in c als − (ρ+ δ)ucc > uAc. Als dit het geval is zal deconsumptie van c in het steady-state evenwicht onder endogene tijdsvoor-keur groter zijn dan de consumptie van c in het steady-state evenwichtmet endogene tijdsvoorkeur als.

(ρ+ δ)

(uc′

vy′− p

)+uA′

vy′> (ρ+ δ)

(uc′′

vy′′− p

)+uA′′

vy′′

⇔ 0 > −θ(uc′′

vy′′− pvy′′

)+u (c′′, A′′) + v (y′′)

vy′′ (ρ+ θ)(θA′′ + (ρ+ δ + θ) θc′′)

⇔ θ

(uc′′

vy′′− p

)>u (c′′, A′′) + v (y′′)

(ρ+ θ) vy′′(θA′′ + (ρ+ δ + θ) θc′′)

⇔(uc′′ − pvy′′

)u (c′′, A′′) + v (y′′)

>θA′′ + (ρ+ δ + θ) θc′′

(ρ+ θ) θ

Hiervoor is gebruik gemaakt van vergelijkingen (4.20) en (4.19). Dezeuitdrukking zal waar zijn indien functiewaarden θc′′ en θA′′ niet te grootzijn.

2. De term

(ρ+ δ)

(uc

vy− p

)+uA

vy

zal stijgend zijn in c als − (ρ+ δ)ucc < uAc. Als dit het geval is zal deconsumptie van c in het evenwicht onder endogene tijdsvoorkeur groterzijn dan het evenwicht met endogene tijdsvoorkeur als.

(ρ+ δ)

(uc′

vy′− p

)+uA′

vy′< (ρ+ δ)

(uc′′

vy′′− p

)+uA′′

vy′′

⇔(uc′′ − pvy′′

)u (c′′, A′′) + v (y′′)

<θA′′ + (ρ+ δ + θ) θc′′

(ρ+ θ) θ

Hier is opnieuw gebruik gemaakt van vergelijkingen (4.20) en (4.19). Dezeuitdrukking zal waar zijn indien de functiewaarden θc′′ en θA′′ groot zijn.

32


Q.E.D.

Betreffende het bovenstaande lemma is het logische om uit te gaan van eer-ste geval. Dit garandeert namelijk een negatieve respons van de consumptievan c op een verhoging van de prijs in het geval zonder endogene tijdsvoor-keur. Neem hiervoor de afgeleide van vergelijking (4.20) naar p en stel dat ceen functie is van p.

1 =ucc

vy

∂c

∂p+

ucA

(ρ+ δ) vy

∂c

∂p

⇔ ∂c

∂p=

vy

ucc + ucA(ρ+δ)

< 0

⇔ (ρ+ δ)ucc + ucA < 0 (4.21)

De vraagfunctie in het model zonder endogene tijdsvoorkeur zal dus dalend zijnals aan voorwaarde (4.21) voldaan is. Als men hiervan uitgaat zal de steady-state consumptie van c hoger zal zijn in het model met endogene tijdsvoorkeurdan in het model zonder tijdsvoorkeur als θc en θA relatief klein zijn. Onzeconsument zal namelijk rekening houden met het feit dat een toename van c enA zal leiden tot een hogere tijdsvoorkeur voor het heden. Een hogere tijdsvoor-keur voor het heden leidt ertoe dat de verdisconteerde toekomstige nuttighedenvan y en c lager zullen zijn. Dit zal onze consument aanzetten om minder teconsumeren van c.

Het is gemakkelijk om een concrete uitdrukking te bekomen voor c. We wetendat in het evenwicht y gelijk moet zijn aan nul. Dit betekent dat vergelijking(4.18) gelijk moet zijn aan nul. Dit leidt tot de voorwaarde.

ρ+ θ(c, A) = r (4.22)

Samen met de voorwaarde c = δA die volgt uit het feit dat A gelijk is aannul en een specifieke vorm voor de functie voor θ geeft dit een unieke oplossingvoor c. Via vergelijking (4.22) kunnen we wel bepalen welke hoe c zal reagerendoor een toename in ρ, r of δ. Hiervoor maken we gebruik van de implicietefunctiestelling waarbij A een functie is van c en c een functie is van ρ, r of δ.Dit geeft ons volgende afgeleiden.

∂c

∂ρ=

−1(θc + θA

δ

) < 0

∂c

∂r=

1(θc + θA

δ

) > 0

∂c

∂δ=

c

(θc + θA) δ2> 0

Dus hoe kleiner ρ, hoe groter r en hoe groter δ hoe groter c zal zijn. Het positiefeffect van de steady-state waarde van c op δ en r is logisch. De negatieve reactievan de steady-state waarde van c op ρ is echter contra-intuitief. In vorige twee

33


hoofdstukken hebben we namelijk gezien dat c stijgt met de waarde van ρ. Denegatieve reactie van c op ρ is het gevolg van het feit dat we veronderstellen datin het optimuum de tijdsvoorkeur gelijk moet zijn aan de rente. De geldigheidvan deze assumptie is echter betwistbaar. De studie van Bretteville en Jensen(1999, [5]) toont immers aan dat de tijdsvoorkeur voor verslaafden groter is dande rente. Dit geeft ons de voorwaarde.

ρ+ θ (c, A) > r

Dit betekend ook dat y negatief zal zijn2. Indien we toelaten dat de tijdsvoor-keur groter is dan de rente leidt dit tot een continue daling van de consumptievan y. Dit betekent (daar a gelijk is aan nul) dat onze consument de consumptievan y zal vervangen door consumptie van c. Of dit stabiel zal zijn hangt af vande waarde van vy indien y naar nul nadert. Indien vy in dat geval nadert naaroneindig zal ook z naar oneindig naderen (vergelijking (4.12)). Dit zou echterstrijdig zijn met de transversaliteitsconditie (4.16).

4.4 Besluit

In dit hoofdstuk heb ik het model van hoofdstuk twee en drie aangepast doorde tijdsvoorkeur te endogeniseren. Het effect van deze endogenisering op hetsteady-state niveau van c is niet eenduidig. Enerzijds zal een hogere disconte-ringsrente de voorkeur voor het heden verhogen. Anderzijds zal een rationeleconsument er rekening mee houden dat een toename in de disconteringsrentehet verdisconteerde nut verlaagt. Het verschil tussen de steady-state niveausvan c bij het model zonder endogene tijdsvoorkeur en het model met endogenetijdsvoorkeur zal afhangen van deze twee tegengestelde effecten.

2Dit is zo daarvy

vyynegatief is.

34

Hoofdstuk 5

Onzekerheid

5.1 Inleiding

De modellen in voorgaande hoofdstukken impliceren dat onze consument nooitspijt heeft van zijn beslissingen. Er is immers perfecte informatie en onze con-sument kiest het niveau van c die hem het meeste nut oplevert. Hij is dusgelukkig (maximeert zijn nut) als hij verslaafd is. In realiteit ziet men echterdat vele verslaafden wensen om niet meer verslaafd te zijn en bereid zijn omveel geld te betalen om van hun verslaving verlost te worden.Het feit dat sommige consumenten achteraf spijt hebben van hun beslissing omverslaafd te worden leidt ertoe te stellen dat die consumenten ex-ante verkeerdgeınformeerd waren over de schadelijke effecten van verslaving. Dit idee wordtuitgewerkt in een paper van Orphanides en Zervos (1995, [13]). Zij makengebruik van een model in discrete tijd. In dit hoofdstuk zal ik slechts enkelebasisideeen van deze paper overnemen. De uitwerking en de analysemethodenvan het model gebeurt op basis van een continu model.

5.2 Model

5.2.1 Introduceren van Onzekerheid

Stel dat er twee soorten individuen zijn. Enerzijds zijn er individuen die nietvatbaar zijn voor verslavingen. Dit zijn bijvoorbeeld diegene die nu en dan eensigaret roken of een glas bier drinken, maar echter nooit verslaafd worden. An-derzijds zijn er individuen die wel kunnen verslaafd worden. Deze eigenschapstellen we voor door de parameter λ. De parameter λ is gelijk aan een voormensen die verslaafd kunnen worden en is gelijk aan nul indien men niet ver-slaafd kan worden. Stel dat Pt de subjectieve kansvariabele op tijdstip t is diede kans weergeeft dat λ gelijk is aan een.

Pt = Prt

(λ = 1)

De objectieffunctie van onze consument wordt gegeven door.∞∫0

e−ρt (u (c) + v (y) + Pr (λn(A) = 1 |I )m (c, A)) dt

35

HOOFDSTUK 5. ONZEKERHEID

De functie u(c) staat voor het positieve effect dat het verslavende goed c heeftop het nut. Deze functie is een stijgende concave functie van c. De functie v(y)geeft het nut weer die men verkrijgt door de consumptie van y. Deze functie iseen concaaf stijgende functie van y. De functie m(c, A) geeft het negatieve effectdie onze consument kan ervaren door zijn verslaving. Deze functie is negatief endalend in zowel c als A. Het negatieve effect (m(c, A)) komt enkel tot uiting alsonze consument verslaafd is. De variabele I geeft de geschiedenis (beschikbareinformatie) van de consument weer.De functie n(A) geeft de kans weer dat het schadelijke effect tot uiting komt.Deze functie is stijgend in het niveau van A. De functie kan slechts twee waardenaannemen. Ze neemt de waarde een aan als de schadelijke effecten tot uitingkomen en ze neemt de waarde nul aan indien de schadelijke effecten niet totuiting komen.

n (A) =

{1 met kans π (A)

0 met kans (1− π (A))

De variabelen λ en n(A) zijn onafhankelijk van elkaar en niet direct observeer-baar door de agent. Hetgeen wel observeerbaar is, is het product λn(A). Dit isofwel gelijk aan nul, ofwel gelijk aan een. Onze consument zal op ieder tijdstipde subjectieve kans Pt actualiseren gegeven de observatie van λn(A). Dit doethij via de regel van Bayes. Als onze consument ziet dat λn(A) gelijk is aan nuldan zal hij de subjectieve kans P als volgt aanpassen.

Pt+1 = Prt+1

(λ = 1|λn (A) = 0)

=Prt (λn (A) = 0|λ = 1)Prt (λ = 1)

Prt (λn (A) = 0)

=(1− π (A))Pt

(1− π (A))Pt + (1− π (A)) (1− Pt) + π (A) (1− Pt)

=(1− π (A))Pt

(1− π (A)) + π (A) (1− Pt)

=(1− π (A))Pt

1− π (A)Pt(5.1)

Daar vergelijking (5.1) kleiner is dan Pt betekent dit dat onze consument zijnsubjectieve kans op verslaving naar beneden aanpast indien λn(A) gelijk is aannul. Als daarentegen de agent ziet dat λn(A) gelijk is aan een dan zal hij dekansvariabele P als volgt aanpassen.

Pt+1 = Prt+1

(λ = 1|λn (A) = 1)

=Prt (λn (A) = 1|λ = 1)Prt (λ = 1)

Prt (λn (A) = 1)

=π (A)Pt

π (A)Pt= 1 (5.2)

De modellering van de variabele P kan echter ook nog op een andere manier.Stel dat er een populatie bestaat die we kunnen voorstellen als een continuum

36


van mensen gegeven door het interval [0, x]. Het aandeel van de populatie optijdstip t dat als kenmerk λ = 1 heeft, is gelijk aan Pt. De populatie wordtdus opgedeelt in een groep die verslaafd kan worden, Ptx, en een deel datnooit verslaafd wordt, (1 − Pt)x. Elke periode wordt een deel van de groepvan toekomstig verslaafden er zich van bewust dat ze echt verslaafd zijn. Ditaandeel is gegeven door π(At). De mensen uit deze groep weten dat ze dantot de groep met als kenmerk λ = 1 behoren. De groep van mensen die nogonwetend zijn over hun ware toestand is dan gelijk aan x − Ptπ(At)x. Hetaandeel van de mensen binnen deze groep die nooit verslaafd zullen wordenwordt nog altijd bepaald door (1− Pt)x. De populatie van de mensen die dannog wel verslaafd zullen worden is gelijk aan

x(1− Ptπ(A(t)))− (1− Pt)x = x(Pt(1− π(A(t))))

De kans om tot het type van de toekomstige verslaafden te behoren in periodet+1 is gelijk aan het aantal mensen die nog verslaafd zullen worden vanaf tijdstipt+ 1 op het aantal mensen die nog onwetend zijn over hun ware toestand.

Pt+1 =x (Pt (1− π (A(t))))x (1− π (A(t))Pt)

(5.3)

Vergelijking (5.3) is dezelfde als vergelijking (5.1). Daar we veronderstellendat alle consumenten dezelfde preferenties en inkomen hebben kunnen we hetprobleem van de populatie x vervangen door het probleem van een individueleconsument. Iedere consument uit de populatie zal dan reageren zoals die eneconsument. De twee modelleringen zullen dus tot een zelfde resultaat leiden.

5.2.2 Uitwerking Model

Om een uitwerking te bekomen moeten we eerst een dynamische vergelijking inP berekenen. De aanpassing van P per tijdseenheid wordt berekend als.

λn (A) = 0

Pt+1 − Pt = (1−π(A))Pt−(1−π(A)Pt)Pt

1−π(A)Pt

7→ Pt = π(A)Pt(Pt−1)1−π(A)Pt

(5.4)

λn (A) = 1

{Pt+1 − Pt = 1− Pt

7→ Pt = 1− Pt

Onze consument wordt geconfronteerd met volgend probleem.

max∞∫t

e−ρt (u (c) + v (y) + Pπ (A)m (c, A)) dt

s. t. a = Y − y − pc+ ra (5.5)s. t. A = c− δA (5.6)

s. t. P =

{π(A)P (P−1)

1−π(A)P als λn (A) = 01− P als λn (A) = 1

(5.7)

37


Vergelijking (5.5) is de dynamische budgetbeperking van onze consument. Ver-gelijking (5.6) is de dynamische vergelijking voor A en vergelijking (5.7) is dedynamische vergelijking voor P .

Eerst zal ik het geval bespreken waarbij P gelijk is aan een. Dit geval komtvoor indien λn gelijk is aan een. Eenmaal deze uitdrukking de waarde eenbereikt heeft zal P in alle volgende periodes gelijk zijn aan een. Dit leidt totvolgende Hamiltoniaan en eerste orde voorwaarden.

H = u (c) + v (y) + π (A)m (c, A) + ψ (c− δA)q (Y − pc− y + ra)

∂H

∂c= uc − pq + πmc + ψ (5.8)

∂H

∂c= vy − q = 0 (5.9)

ψ = (ρ+ δ)ψ − (πmA + πAm) (5.10)q = (ρ− r) q (5.11)

De transversaliteitscondities zijn.

limt→∞

e−ρtψ (t)A (t) = 0

limt→∞

e−ρtq (t) a (t) = 0

Om een uitdrukking voor c te bekomen wordt vergelijking (5.8) afgeleid naarde tijd en wordt gebruik gemaakt van vergelijking (5.10).

c = (ρ+ δ)(uc + πmc − pvy)

ucc + πmcc+ p

(ρ− r) vy

ucc + πmcc−

(πAmc + πmcA)ucc + πmcc

(c− δA) +(πmA + πAm)ucc + πmcc

Stel dat het model zijn steady-state bereikt indien c, q en A gelijk zijn aan nul.De steady-state voorwaarden zijn dan.

(ρ+ δ) (uc + πmc − pvy) + (πmA + πAm) = 0 (5.12)en c = δA

Als tweede geval bespreek ik de situatie waarin P tussen nul en een gelegenis. Dit betekent dat λn(A) gelijk moet zijn aan nul. Indien deze eenmaal dewaarde een aanneemt zal P immers in alle volgende periodes gelijk zijn aaneen. De present-value Hamiltoniaan en de eerste orde voorwaarden voor ditprobleem zijn.

H = (u (c) + v (y) + π (A)Pm (c, A)) + ψ (c− δA) +

q

(π (A)P (P − 1)

1− π (A)P

)+ f (Y − pc− y)

∂H

∂c= uc − pq + Pπmc + ψ = 0 (5.13)

38


∂H

∂c= vy − q = 0 (5.14)

ψ = (ρ+ δ)ψ −(PπAm+ PπmA + f

πAP (P − 1)(1− πP )2

)(5.15)

f = ρf −(πm+ f

π(2P − 1− πP 2

)(1− πP )2

)(5.16)

q = (ρ− r) q (5.17)

De transversaliteitscondities zijn gegeven door.

limt→∞

e−ρtψ(t)A(t) = 0

limt→∞

e−ρtf(t)P (t) = 0

limt→∞

e−ρtq(t)a(t) = 0

Om een dynamische vergelijking voor c te bekomen wordt vergelijking (5.13)afgeleid af naar de tijd en wordt gebruik gemaakt van vergelijking (5.15).

c = (ρ+ δ)(uc + Pπmc − pvy)

ucc + Pπmcc− (PπAmA + PπmcA)

ucc + Pπmcc(c− δA) +(

PπAm+ PπmA + f πAP (P−1)

(1−πP )2

)ucc + Pπmcc

+ p(ρ− r) vy

ucc + Pπmcc

De steady-state voorwaarden bekomen we door c, f , A en q gelijk te stellen aannul. Dit geeft ons.

(ρ+ δ) (uc − pvy) = − (ρ+ δ)Pπmc − PπAm− PπmA −πAP (P − 1)πm

ρ (1− πP )2 − π (2P − 1− πP 2)en c = δA

De bijkomende voorwaarde van de steady state, dat P gelijk moet zijn aan nulimpliceert dat er terug een situatie van zekerheid is. Onze consument weet dandat hij nooit verslaafd zal worden of hij weet dat hij verslaafd is. P kan maargelijk zijn aan nul als ofwel P gelijk is aan een of als P gelijk is aan nul. Eenderde mogelijkheid is dat π gelijk is aan nul. Dit is echter equivalent met hetgeval P gelijk aan nul.Het steady-state evenwicht van c als P gelijk aan een zal lager zijn dan hetsteady state evenwicht als P gelijk is aan nul. Dit kan worden aangetoond viavolgend lemma.

Lemma 4 De steady-state consumptie van c in het model waarbij P gelijk isaan nul is hoger dan in het model waarbij P gelijk is aan een.

bewijs: De uitdrukking (ρ+ δ) (uc − pvy) is dalend in c. Het model voor Pgelijk aan nul is een model waarbij er geen onzekerheid is. Onze consument is

39


dan zeker dat hij nooit verslaafd zal worden. Men kan gemakkelijk zien dat desteady-state voorwaarden waarvoor P = 0 tot volgende uitdrukking leidt.

(ρ+ δ) (uc − pvy) = 0

Gegeven vergelijking (5.12) betekent dit dat we enkel nog moeten aantonen dat.

− (πmA + πAm)− (ρ+ δ)πmc > 0

De functie m(c, A) is negatief en dalend in zowel c als A. De functie π ligttussen nul en een en is stijgend in A. Dus zowel de eerste en tweede term vanbovenstaande vergelijking zijn positief.Q.E.D.

5.3 Besluit

In dit hoofdstuk heb ik proberen aan te tonen wat de invloed is van onzeker-heid op de consumptie van c. Een consument die voor lange tijd geen nadeligegevolgen ondervindt van zijn verslaving zal naarmate de tijd verstrijkt er meeren meer van overtuigd zijn dat hij tot de groep van niet-verslaafden behoort.Indien later zou blijken dat hij wel tot de groep van verslaafden behoort zal hijzijn consumptie van c aanpassen tot zijn nieuwe (lagere) evenwicht.Een logisch gevolg van dit hoofdstuk bestaat erin om de mogelijke negatieve ge-volgen van deze onzekerheid te verwijderen door verzekeringen te introduceren.Dit gebeurt in volgend hoofdstuk.

40

Hoofdstuk 6

Verzekeringen en Interventie

6.1 Inleiding

In vorig hoofdstuk hebben we de consumptie van verslavende goederen bespro-ken in geval van onzekerheid. Een logische uitbreiding van dit model zou zijnom verzekeringen in dit model te introduceren. Indien onze consument de mo-gelijkheid zouden hebben om zich in te dekken tegen de mogelijke schadelijkegevolgen van hun verslaving kunnen verzekeringen welvaartsverhogend werken.Het feit echter dat verzekeringen voor de nadelige gevolgen van verslavingenniet voorhanden zijn kan te maken hebben met Moral Hazard of met AdverseSelection. In dit hoofdstuk onderzoek ik het tweede geval.

6.2 Verzekeringen

Om het model niet te ingewikkeld te maken zal ik eerst een vereenvoudigingintroduceren in het model uit vorig hoofdstuk. Ik neem aan dat de schadedie eventueel wordt opgelopen door de verslaving kan uitgedrukt worden inmonetaire termen zodat we de functie m(c, A) kunnen incorporeren in de bud-getrestrictie in plaats van in de nutsfunctie. De functie m(c, A) kan men zienals het inkomensverlies ten gevolge van de schade door de verslaving. De functiem(.) is positief en is stijgend in zowel c als A.

We veronderstellen dat er perfecte concurrentie is op de markt van verzeke-ringen. Perfecte concurentie zorgt ervoor dat de winst van de verzekeringson-dernemingen nul wordt. Zoals in vorig hoofdstuk hebben we twee types vanagenten. Consumenten die nog geen schadelijke effecten hebben opgelopen zijnvan type l en consumenten die weten dat voor hun λ gelijk is aan een (i.e.consumenten die ooit schade hebben opgelopen) zijn van type h. Noem z1 detransfer van de consument naar de verzekeringsmaatschappij indien de con-sument schade ondervindt en noem z2 de transfer van de consument naar deverzekeringsmaatschappij indien de consument geen schade ondervindt. De-ze variabelen kunnen zowel positief als negatief zijn, maar logischerwijze zalz1 < 0 < z2.

41

HOOFDSTUK 6. VERZEKERINGEN EN INTERVENTIE

6.2.1 Perfecte Informatie

Beschouwen we eerst het model met perfecte informatie. De verzekeringsmaat-schappij zal dan voor elk type een appart contract aanbieden.

Voorstel 5 (Perfecte Informatie) Het contract onder perfecte informatie,voorgestelt door

(zI1 , z

I2

), is het contract aangeboden door een perfect competitie-

ve verzekeringsmarkt indien de verzerkingsmaatschappijen onderscheid kunnenmaken tussen consumenten van de verschillende types

Het probleem voor consumenten van type h kan dan geschreven worden als.

max∞∫0

πe−ρt(u (c) + v

(Y − pc− zI

1 −m))dt

+∞∫0

(1− π) e−ρt(u (c) + v

(Y − pc− zI

2

))dt (6.1)

s. t. A = c− δA

s. t. πzI1 + (1− π) zl

2 = 0 (6.2)

Hierbij is y gelijk aan Y −pc−zI1 in geval van schade en is y gelijk aan Y −pc−zI

2

als er geen schade is. Vergelijking (6.2) is de winstfunctie van de verzekerings-maatschappij. Deze moet gelijk zijn aan nul. Als men (6.2) substitueert in deobjectieffunctie (6.1) en de eerste afgeleide neemt naar zI

1 of zI2 bekomt men

volgende uitdrukking.

vy

(Y − pc− zI

1 −m)

= vy

(Y − pc− zI

2

)Daar vy strikt dalend is in y moet het inkomen in de twee situaties gelijk zijnaan elkaar. Dit betekent dus dat de consument zich volledig zal laten verzekerenop ieder moment in de tijd. Hetzelfde kan men bereiken voor consumenten vantype l. Hiervoor vervangt men π door Pπ.

Lemma 6 Consumenten van type h zullen het contract voor consumenten vantype l prefereren boven hun eigen contract.

bewijs: Noem(zl1, z

l2

)het contract onder perfecte informatie voor consumenten

van type l en(zh1 , z

h2

)het contract onder perfecte informatie voor consumenten

van type h. De nulwinstvoorwaarde bij contracten voor consumenten van typel is.

zl1 = −(1− Pπ) zl

2

Pπ

De optimaliteitsvoorwaarde voor volledige verzekering van consumenten vantype l stelt dat.

Y − pc− zl1 −m = Y − pc− zl

2

⇔ zl1 +m = zl

2

42


Deze twee voorwaarden leiden tot unieke waarden voor zl1 en zl

2.

zl1 = − (1− Pπ)mzl2 = Pπm

De waarden van(zh1 , z

h2

)worden analoog bekomen en zijn gelijk aan.

zh1 = − (1− π) (m)zh2 = πm

Indien de consument van type h de mogelijkheid heeft om een contract af tesluiten van type l zal hij dit doen indien.

∞∫0e−ρt (πv (Y − pc+ (1− Pπ)m−m) + (1− π) v (Y − pc− Pπm)) dt >

∞∫0e−ρt (πv (Y − pc+ (1− π)m−m) + (1− π) v (Y − pc− πm)) dt

Na enkele bewerkingen krijgen we volgende voorwaarde.∞∫0

e−ρt (v (Y − pc− Pπm)− v (Y − pc− πm)) dt > 0

Daar v stijgend is in zijn argument en P kleiner is dan een, zal aan deze voor-waarde voldaan zijn.Q.E.D.

Dus indien de verzekeringsmaatschappijen geen onderscheid kunnen maken tus-sen consumenten van type l en consumenten van type h zullen consumenten vantype h de incentive hebben om zich voor te doen als consumenten van type l.Dit zal echter betekenen dat de winsten van de verzekeringsmaatschappijennegatief worden hetgeen betekent dat de evenwichten verbroken worden.

6.2.2 Pooling Contract

Nu zullen we imperfecte informatie introduceren in het model. We nemen aandat de verzekeringsmaatschappijen kennis hebben van zowel de nutsfunctie, defunctie π, de kansvariabele P en de waarden van cl, ch, Al, Ah, yl, yh. Deverzekeringsmaatschappijen kunnen echter niet zeggen of een bepaald individudat een contract wil afsluiten tot type h of tot type l behoort.

In de vorige paragraaf hebben we gezien dat, als de verzekeringssector geenonderscheid kan maken tussen consumenten van type l en consumenten van ty-pe h, consumenten van type h zich zullen voordoen als consumenten van typel hetgeen de contracten onder perfecte informatie zal verbreken. Dit probleemkan eventueel opgelost worden via een pooling contract.

Voorstel 7 (Pooling Contract) Het pooling contract,(zP1 , z

P2

), is een con-

tract met volledige verzekering, aangeboden door een perfect competitieve ver-zekeringsmarkt aan beide types van agenten, indien de verzekeringsmaatschap-pijen geen onderscheid kunnen maken tussen consumenten van de verschillendetypes.

43


Stel dat er een continuum van agenten bestaat over het interval [0, 1]. Steldat het aandeel van deze populatie dat nog nooit schade heeft opgelopen (i.e.consumenten van type l) gelijk is aan xt ∈ ]0, 1[ Het aandeel van de populatiedie weet dat ze tot type h behoort gelijk is dan gelijk aan (1− xt). Dit zijn dieconsumenten waarvoor in het verleden λn ooit gelijk is geweest aan een. Dewinst van de verzekeringsonderneming wordt dan gegeven door.

xt

((1− Ptπ

(Al))zP2 + Ptπ

(Al)zP1

)+

(1− xt)((

1− π(Ah))zP2 + π

(Ah)zP1

)Daar de winst gelijk moet zijn aan nul hebben we volgende voorwaarde.

zP2 = −

(xtPtπ

(Al)

+ (1− xt)π(Ah))zP1

(xt (1− Ptπ (Al)) + (1− xt) (1− π (Ah)))

Daar het pooling contract een contract is met volledige verzekering zal hetinkomen bij schade gelijk zijn aan het inkomen zonder schade. Dit betekentdat.

zP1 +m = zP

2

Deze twee voorwaarden samen leidt tot specifieke waarden voor zP1 en zP

2 .

zP1 = − (xπ (1− P ) + (1− π))mzP2 = (1− (xπ (1− P ) + (1− π)))m

Daar beide types voor het overige identiek verondersteld worden leidt dit tot devoorwaarden dat de doelfuncties voor beide types van consumenten zijn gelijkzijn. Dit betekent dat ch gelijk moet zijn aan cl en dat Ah gelijk moet zijn aanAl.

Het pooling contract zal echter geen stabiel evenwicht zijn indien er een an-der contract kan worden aangeboden dat geprefereerd wordt door een of beidetypes van consumenten en winstgevend is voor de verzekeringsmaatschappij diedit contract aanbiedt.

Lemma 8 Het pooling contract zal verbroken worden door een contract datenkel genomen zal worden door consumenten van type l. Dit contract zal winstopleveren voor de verzekeringsmaatschappij die dit aanbiedt.

Bewijs: We zoeken dus een contract(zA1 , z

A2

)dat voor de verzekeringsonder-

neming winst oplevert en enkel gekozen wordt door consumenten van type l.Het vinden van een contract met deze kenmerken is voldoende om te stellen dathet pooling contract geen evenwicht zal zijn. Laten we eerst een voorstel doen.Stel dat het contract

(zA1 , z

A2

)voldoet aan volgende twee voorwaarden.

x (1− Pπ) zA2 + xPπzA

1 + (1− x) (1− π) zA2 + (1− x)πzA

1 = 0en zA

1 +m > zA2

44


De eerste voorwaarde is dezelfde als de nulwinstvoorwaarde voor het pooling-contract. De tweede voorwaarde stelt dat het contract een contract is met on-volledige verzekering. Herschrijven we de tweede voorwaarde als zA

1 +m = zA2 +ε

met ε ∈ R0++. De concrete waarden voor zA

1 en zA2 zijn dan volgende.

zA2 = (xPπ + (1− x)π) (m− ε)zA1 = (xPπ + (1− x)π − 1) (m− ε)

Ik zal het bewijs opsplitsen in enkele deelbewijzen. Ik zal afzonderlijk aantonendat er een ε ∈ R0

+ bestaat, zodat het contract(zA1 , z

A2

)winst oplevert voor de

verzekeringsmaatschappij die dit aanbiedt. Vervolgens zal ik aantonen dat ditcontract niet zal genomen worden door consumenten van type h. Ten laatstezal ik aantonen dat dit contract wel zal genomen worden door consumenten vantype l.

1. Als contract(zA1 , z

A2

)genomen wordt door consumenten van type l en

niet wordt genomen door consumenten van type h zal dit winst opleverenvoor de verzekeringsonderneming die dit contract aanbiedt als ε ∈ ]0,m[.De winstfunctie voor de onderneming indien beide types het contract(zA1 , z

A2

)nemen is gelijk aan.

0 = (x (1− Pπ) + (1− x) (1− π)) zA2 + (xPπ + (1− x)π) zA

1

< (1− π)PzA2 + PπzA

1

Deze laatste voorwaarde is de winstfunctie voor de onderneming als enkelconsumenten van type l het contract

(zA1 , z

A2

)opnemen. Deze zal groter

zijn dan nul als zA2 groter is dan nul en als zA

1 kleiner is dan nul wat onsde voorwaarde ε ∈ ]0,m[ oplevert.

2. Wat ik nu zal aantonen is dat het contract(zA1 , z

A2

)niet zal gekozen

worden door consumenten van type h en wel zal gekozen worden doorconsumenten van type l. Consumenten van type h zullen het contract(zP1 , z

P2

)prefereren boven

(zA1 , z

A2

)indien volgende geldt.

∞∫0πe−ρt

(u (c) + v

(Y − pc− zA

1 −m))dt+

∞∫0

(1− π) e−ρt(u (c) + v

(Y − pc− zA

2

))dt−

∞∫0πe−ρt

(u (c) + v

(Y − pc− zP

1 −m))dt−

∞∫0

(1− π) e−ρt(u (c) + v

(Y − pc− zP

2

))dt < 0

Consumenten van type l daarentegen zullen het contract(zA1 , z

A2

)prefe-

45


reren boven het contract(zP1 , z

P2

). Dit geeft volgende voorwaarde.

∞∫0Pπe−ρt

(u (c) + v

(Y − pc− zA

1 −m))dt+

∞∫0

(1− Pπ) e−ρt(u (c) + v

(Y − pc− zA

2

))dt−

∞∫0Pπe−ρt

(u (c) + v

(Y − pc− zP

1 −m))dt−

∞∫0

(1− Pπ) e−ρt(u (c) + v

(Y − pc− zP

2

))dt > 0

Na invulling van de waardes voor zA1 en zA

2 envenals voor zP1 en zP

2 beko-men we volgende voorwaarden.

πv (Y − pc− (xPπ + (1− x)π − 1) (m− ε)−m) +(1− π) v (Y − pc− (xPπ + (1− x)π) (m− ε))

< v (Y − pc− (xPπ + (1− x)π)m) <

Pπv (Y − pc− (xPπ + (1− x)π − 1) (m− ε)−m) +(1− Pπ) v (Y − pc− (xPπ + (1− x)π) (m− ε))

We moeten aantonen dat er een waarde voor ε ∈ ]0,m[ bestaat waarvoorbovenstaande vergelijking opgaat. Voor de eenvoud voeren we volgendenotaties in.

a = Y − pc− (xPπ + (1− x)π)mb = xPπ + (1− x)π

Dan kunnen we de voorwaarden herschrijven als.

πv (a+ (b− 1) ε) + (1− π) v (a+ bε)

< v (a) <

Pπv (a+ (b− 1) ε) + (1− Pπ) v (a+ bε)

(a) Eerst en vooral zullen we aantonen dat voor elke ε ∈ R0+ het volgende

opgaat.

πv (a+ (b− 1) ε) + (1− π) v (a+ bε) < v (a)

Hiervoor moeten we eerst aantonen dat b kleiner is dan π.

b = xPπ + (1− x)π < xπ + (1− x)π = π

Daar v (.) een concave functie is geldt volgende.

πv (a+ (b− 1) ε) + (1− π) v (a+ bε) ≤v (a+ bε− πε)

46


Daar v (.) een strikt stijgende functie is en daar b kleiner is dan πgeldt ook volgende.

v (a+ bε− πε) < v (a)

Voor elke ε ∈ R0+ zullen consumenten van type h dus het contract(

zP1 , z

P2

)prefereren boven het contract

(zA1 , z

A2

).

(b) Om aan te tonen dat consumeten van type l het contract(zA1 , z

A2

)zullen prefereren boven

(zP1 , z

P2

)moeten we eerst aantonen dat b

groter is dan Pπ.

b = xPπ + (1− x)π > xPπ + (1− x)Pπ = Pπ

Een consument van type l zal indifferent zijn tussen het contract(zP1 , z

P2

)en het contract

(zA1 , z

A2

)als ε gelijk is aan nul. Definieren

we de functie f (ε) als volgt.

f (ε) = Pπv (a+ (b− 1) ε) + (1− Pπ) v (a+ bε)− v (a)

De functie f zal nul zijn als ε gelijk is aan nul. Het enige dat we nunog moeten aantonen is dat voor bepaalde waarden van ε ∈ ]0,m[,f positief wordt. een voldoende voorwaarde hiervoor is dat in hetpunt ε = 0 de functie f stijgend is in ε. Gebruikmakend van het feitdat b groter is dan Pπ krijgen we volgende uitdrukkingen.

∂f∂ε = (b− 1)Pπvy (a+ (b− 1) ε) + b (1− Pπ) vy (a+ bε)⇒ ∂f

∂ε |ε=0 = (b− 1)Pπvy (a) + b (1− Pπ) vy (a) >− (1− Pπ)Pπvy (a) + Pπ (1− Pπ) vy (a) = 0

Dus zal er een ε ∈ ]0,m[ bestaan die geprefereerd wordt door consumentenvan type l en niet door consumenten van type h en die winst oplevert voor dieverzekeringsmaatschappij die hem aanbiedt.Q.E.D.

Het feit dat het contract(zA1 , z

A2

)geprefereerd wordt door consumenten van

type l betekent dat het pooling contract enkel nog zal worden genomen doorconsumenten van type h. Dit betekent dat de winsten van de ondernemingendie het pooling contract aanbieden negatief worden. Het pooling contract zaldan niet langer aangeboden worden.Bij dit model kan men de opmerking maken dat als een consument ooit de ne-gatieve effecten van verslaving heeft ondervonden de verzekeringsmaatschappijdaarvan op de hoogte is. Deze zal dan weten dat de consument van type h is.Dit is echter niet relevant voor deze theorie daar we verondersteld hebben dater perfecte concurrentie is onder de verzekeringsmaatschappijen. Dit betekentdat er zeer veel verzekeringsmaatschappijen zullen zijn. De consument die ooitschade heeft ondervonden kan dus makkelijk een contract aangaan bij een an-dere verzekeringsmaatschappij die geen informatie heeft over het verleden vandeze consument.

47


6.2.3 Scheidbaar Evenwicht

In de vorige paragraaf is gebleken dat het pooling evenwicht geen stabiel even-wicht is. Een volgende stap in de analyse is het opsporen van een scheidbaarevenwicht.

Voorstel 9 (Scheidbaar Evenwicht) Een scheidbaar evenwicht bestaat uiteen koppel van contracten

((zs,l1 , zs,l

2

),(zs,h1 , zs,h

2

))waarbij het contract

(zs,l1 , zs,l

2

)gekozen wordt door consumenten van type l en het contract

(zs,h1 , zs,h

2

)gekozen

wordt door consumenten van type h. De contracten worden aangeboden dooreen perfect competitieve verzekeringsmarkt, indien de verzekeringsmaatschap-pijen geen onderscheid kunnen maken tussen consumenten van de verschillendetypes.

De eerste voorwaarde voor een scheidbaar evenwicht is dat de contracten wor-den aangeboden in een perfect competitieve verzekeringsmarkt. Dit betekentdat de winsten van de verzekeringsmaatschappijen nul zijn. Een verzekerings-maatschappij kan zowel het contract

(zs,l1 , zs,l

2

),(zs,h1 , zs,h

2

)als beide samen

aanbieden. Dit betekent dat aan de nulwinstvoorwaarde voldaan is als volgen-de twee voorwaarden opgaan.

Pπzs,l1 + (1− Pπ) zs,l

2 = 0 (6.3)

en πzs,h1 + (1− π) zs,h

2 = 0 (6.4)

Veronderstellen we ook dat als de consumenten indifferent zijn tussen de beidecontracten, ze dan het contract opnemen die voor hen bedoeld is.De tweede voorwaarde voor een scheidbaar evenwicht is dat consumenten vantype h het contract

(zs,h1 , zs,h

2

)verkiezen boven het contract

(zs,l1 , zs,l

2

). Dit zal

het geval zijn indien.∞∫0

πe−ρt(u (c) + v

(Y − pc− zs,h

1 −m))

+

∞∫0

(1− π) e−ρt(u (c) + v

(Y − pc− zs,h

2

))≥

∞∫0

πe−ρt(u (c) + v

(Y − pc− zs,l

1 −m))

+

∞∫0

(1− π) e−ρt(u (c) + v

(Y − pc− zs,l

2

))(6.5)

De derde voorwaarde voor een scheidbaar evenwicht is dat consumenten vantype l het contract

(zs,l1 , zs,l

2

)verkiezen boven het contract

(zs,h1 , zs,h

2

). Dit

leidt tot volgende voorwaarde.∞∫0

Pπe−ρt(u (c) + v

(Y − pc− zs,l

1 −m))

+

48


∞∫0

(1− Pπ) e−ρt(u (c) + v

(Y − pc− zs,l

2

))≥

∞∫0

Pπe−ρt(u (c) + v

(Y − pc− zs,h

1 −m))

+

∞∫0

(1− Pπ) e−ρt(u (c) + v

(Y − pc− zs,h

2

))(6.6)

We kunnen nu twee bijkomende voorwaarden opleggen aan het model. Teneerste kunnen we voor een van de uitdrukkingen, (6.5) of (6.6), het ongelijk-heidsteken vervangen door een gelijkheidsteken. Ten tweede kunnen we aan eenvan beide types volledige verzekering aanbieden.Ik zal aannemen dat in ongelijkheid (6.6) het ongelijkheidsteken kan vervan-gen worden door een gelijkheidsteken. Tevens veronderstel ik dat het contract(zs,l1 , zs,l

2

)een contract is met volledige verzekering. De voorwaarde van volle-

dige verzekering samen met voorwaarde (6.3) leiden tot specifieke waarden voorzs,l1 en zs,l

2 .

zs,l1 = − (1−Pπ)

Pπ zs,l2

zs,l1 +m = zs,l

2

}⇒{zs,l1 = − (1− Pπ)mzs,l2 = Pπm

Door vervanging van het ongelijkheidsteken in (6.6) door een gelijkheidstekenen gebruikmakend van de hierboven gegeven waarden van zs,l

1 en zs,l2 bekomen

we volgende uitdrukkingen voor (6.6) en (6.5)

∞∫0e−ρt (u (c) + v (Y − pc− Pπm)) =

∞∫0Pπe−ρt

(u (c) + v

(Y − pc− zs,h

1 −m))

+

∞∫0

(1− Pπ) e−ρt(u (c) + v

(Y − pc− zs,h

2

))(6.7)

en∞∫0e−ρt (u (c) + v (Y − pc− Pπm)) ≤

∞∫0πe−ρt

(u (c) + v

(Y − pc− zs,h

1 −m))

+

∞∫0

(1− π) e−ρt(u (c) + v

(Y − pc− zs,h

2

))(6.8)

Substitutie van (6.7) in (6.8) geeft ons volgende uitdrukkingen.

v(Y−pc−zs,h

1 −m)

v(Y−pc−zs,h

2

) ≤ 1

⇒ Y − pc− zs,h1 −m ≤ Y − pc− zs,h

2

⇔ zs,h1 +m ≥ zs,h

2

49


Dit betekent dat er onvolledige verzekering zal zijn voor het contract(zs,h1 , zs,h

2

)Om expliciete waarden te berekenen voor zs,h

1 en zs,h2 kunnen we gebruik maken

van (6.7) en (6.4).

∞∫0e−ρt (u (c) + v (Y − pc− Pπm)) =

∞∫0Pπe−ρt

(u (c) + v

(Y − pc− zs,h

1 −m))

+∞∫0

(1− Pπ) e−ρt(u (c) + v

(Y − pc− zs,h

2

))en πzs,h

1 + (1− π) zs,h2 = 0

Dit zijn twee vergelijkingen in twee onbekenden. Om tot specifieke waarden tekomen voor zh

1 en zh2 hebben we echter een expliciete uitdrukking nodig voor

de functie v(.).

Niets garandeert dat dit scheidbaar evenwicht een stabiel evenwicht is. Het kanzijn dat er een alternatief (pooling) contract bestaat dat geprefereerd wordt doorbeide types van consumenten en die winst oplevert voor de verzekeringsmaat-schappij die dit alternatief (pooling) contract aanbiedt. Het al of niet bestaanvan dit alternatief (pooling) contract zal afhankelijk zijn van de waarde van xt.Ik zal hier echter niet verder op ingaan.

6.3 Interventie

6.3.1 Gelijke Verwachte Inkomens

Beschouwen we een centrale planner die tussenkomt in de economie. Dezeplanner heeft de mogelijkheid om iedereen een verplichte verzekering te latenafsluiten. Een mogelijke doelstelling van deze centrale planner wordt gegevenin onderstaand voorstel.

Voorstel 10 (Gelijk Verwachte Inkomen) De centrale planner wil het ver-schil tussen beide types van consumenten wegwerken door een contract

(zY1 , z

Y2

)op te leggen waarvoor het verwachte inkomen bij gegeven consumptie voor elktype gelijk is.

Daar de planner niet weet welke consument tot welk type behoort, zal hij vooriedereen hetzelfde contract opdragen. Het voorstel van Gelijk Verwachte Inko-men impliceert dan volgende.

π(y + pc+ zY

1 +m)

+ (1− π)(y + pc+ zY

2

)=

Pπ(y + pc+ zY

1 +m)

+ (1− πP )(y + pc+ zY

2

)Na uitwerking verkrijgen we volgende voorwaarde.

zY2 = zY

1 +m (6.9)

50


De planner wordt echter ook geconfronteerd met een budgetrestrictie.

xPπzY1 + x (1− Pπ) zY

2 + (1− x)πzY1 + (1− x) (1− π) zY

2 = 0

Na uitwerking en gebruik makend van (6.9) bekomen we.

zY1 = − (xπ (1− P ) + (1− π))m

zY2 = (1− (xπ (1− P ) + (1− π)))m

Dit evenwicht leidt tot volledige verzekering voor beide types. Dit ziet mendoor gebruik te maken van (6.9).

zY2 = zY

1 +m⇒vy

(Y − pc− zY

1 −m)

vy(Y − pc− zY

2

) = 1

Het voorstel van Gelijk Verwachte Inkomen leidt dus tot volledige verzekeringvoor beide types.

6.3.2 Gelijk Verwachte Nut

Stel dat de planner gelijk nut voor beide types beoogt. Dit kan men in volgendvoorstel verwoorden.

Voorstel 11 (Gelijk Verwachte Nut) De sociale planner wil het verschiltussen beide types wegwerken door een contract

(zU1 , z

U2

)op te leggen waar-

bij het verwachte nut bij gegeven consumptie voor elk type gelijk is.

De planner zal ook hier hetzelfde contract opleggen voor beide types. Hetvoorstel impliceert op ieder tijdstip t het volgende.

π(u (c) + v

(Y − pc− zU

1 −m))

+ (1− π)(u (c) + v

(Y − pc− zU

2

))=

Pπ(u (c) + v

(Y − pc− zU

1 −m))

+ (1− πP )(u (c) + v

(Y − pc− zU

2

))⇔ (π − πP ) v

(Y − pc− zU

1 −m)

+ (πP − π) v(Y − pc− zU

2

)= 0

⇔ v(Y − pc− zU

1 −m)

= v(Y − pc− zU

2

)Daar we veronderstellen dat v strikt stijgend is zien we dat het voorstel vanGelijk Verwachte Nut leidt tot volledige verzekering . Dit betekent dat hetverwachte inkomen van beide individuen gelijk is aan elkaar. Het voorstel vanGelijk Verwachte Nut zal dus equivalent zijn met dit van Gelijk Verwachte in-komen.Het voorstel van Gelijk Verwachte Nut is het voorstel dat een Rawlsiaans plan-ner zou uitvoeren. Het nut van het individu met het laagste nut wordt namelijkgemaximaliseerd.

Lemma 12 Het voorstel van Gelijk verwachte inkomen leidt tot dezelfde op-lossing als het voorstel van Gelijk Verwachte Nut.

bewijs: Zie hierboven. Q.E.D.

51


6.3.3 Utilitarisme

Een utilitaristische planner zal volgend voorstel hebben.

Voorstel 13 (Utilitarisme) De sociale planner wil het verschil tussen beidetypes wegwerken door een contract

(zT1 , z

T2

)op te leggen waarbij de som van

het verwachte nut over beide types, bij gegeven consumptie van c, maximaal is.

De objectieffunctie van deze planner wordt gegeven door.

(1− x)∞∫0e−ρtπ

(u (c) + v

(Y − pc− zT

1 −m))dt+

(1− x)∞∫0e−ρt (1− π)

(u (c) + v

(Y − pc− zT

2

))dt+

x∞∫0e−ρtPπ

(u (c) + v

(Y − pc− zT

1 −m))dt+

x∞∫0e−ρt (1− Pπ)

(u (c) + v

(Y − pc− zT

2

))dt

De budgetrestrictie is nog altijd dezelfde, namelijk.

zT1 = −

((1− x)

(1− πh

)+ x

(1− Pπl

))((1− x)πh + xPπl)

zT2

Optimalisatie van de objectieffunctie gegeven de budgetrestrictie geeft.

vy

(Y − pc− zT

1 −m)

vy(Y − pc− zT

2

) = 1

Dit geeft ons terug de voorwaarde dat zT1 + m = zT

2 . Dit impliceert wederomdat het verwachte inkomen en dus ook het verwachte nut van beide types gelijkzijn.

Lemma 14 Het voorstel van Utilitarisme, Gelijk Verwachte Inkomen en GelijkVerwachte Nut leidt tot dezelfde resultaten. Ze leiden tot een maximale welvaartzowel in een utilitaristische als in een Rawlsiaanse visie.

Bewijs: Dat de drie voorstellen tot equivalente resultaten leidt is hierbovenaangetoond. Het feit dat het contract gekozen zal worden door zowel een utili-taristische als een Rawlsiaanse planner is ook hierboven al aangetoond.Q.E.D.

Bij elk van deze voorstellen zal de transfer, van onze consument naar de planner,in het geval dat er geen schade is, gelijk zijn aan.

z2 = (1− (xπ (1− P ) + (1− π)))m

De transfer van onze consument in het geval van schade is gelijk aan.

z1 = − (xπ (1− P ) + (1− π))m

Dit zijn dezelfde waarden als bekomen bij het pooling contract. In tegenstellingtot een pooling contract zal het contract van de centrale planner wel stabielzijn. De centrale planner kan namelijk in tegenstelling tot de private sector deconsumenten verplichten om een contract op te nemen.

52


6.4 Besluit

In dit hoofstuk heb ik aangetoond dat, indien men geen onderscheid kan makentussen de verschillende types waartoe de consumenten kunnen behoren, de con-tracten aangeboden bij perfecte informatie niet stabiel zijn. Consumenten vantype h zullen zich immers voordoen als consumenten van type l. Een poolingcontract zal ook niet stabiel zijn daar er een contract bestaat dat dat winstge-vend is en geprefereerd wordt door consumenten van type l.De interventie van een centrale plannner kan welvaartsverhogend werken daarde centrale planner, in tegenstelling tot de private sector, de consumenten kanverplichten om een verzekering op te nemen.

53

Hoofdstuk 7

Verslaving en SocialeInteracties

7.1 Inleiding

Verslaafden zijn niet uniform verdeeld over een populatie maar komen vooralvoor in welbepaalde socio-economische klassen. Laux (2000, [9]) schrijft hier-over.

”Why is the smoking participation rate lower for African-Americanteens than for white-teens? Why do those Indian women who canafford cigarettes have very low smoking participation rates, whereasthose Indian men who can afford cigarettes have very high smokingparticipation rates? Why has smoking participation recently beco-me so closely associated with socioeconomic class in the U.S.? ...One important influence on our smoking behaviour is the extent towhich we have peers who smoke.”

Deze bevindingen komen ook voor bij andere soorten van verslavingen. In dithoofdstuk zal ik proberen dit fenomeen te verklaren.

7.2 Hypotheses

In vorige hoofdstukken hebben we gezien dat er meestal meer dan een even-wichten is in een rationeel verslavingsmodel. Een van die evenwichten is somshet punt waar (c, A) gelijk is aan (0, 0). Dit is tevens de situatie waar de consu-ment zich in bevindt in het begin van zijn leven. Als dit punt een evenwicht iskunnen we ons nu afvragen waarom een consument ooit positieve hoeveelhedenvan c zou consumeren.De consument maakt hiervoor een afweging tussen de mogelijke voordelen ennadelen die verbonden zijn aan een strikt positieve consumptie van c.Stel de actie waarbij de consument strikt positieve hoeveelheden van c consu-meert gelijk aan V en stel de actie waarbij de consumptie geen c consumeertgelijk aan V . De consument is onzeker over de mogelijke voordelen of nadelen

54

HOOFDSTUK 7. VERSLAVING EN SOCIALE INTERACTIES

van actie V . Stel dat voor individu i de kans dat actie V meer nut oplevertdan actie V , noem dit situatie G, gelijk is aan τ i. De kans dat voor individu iactie V minder nut oplevert dan actie V , noem dit situatie S, is dan gelijk aan(1− τ i). Een consument i zal beslissen om actie V te ondernemen indien.

τ i (U (V |G)− U(V |G

))>(1− τ i

) (U(V |S

)− U (V |S )

)Deze vergelijking kan herschreven worden tot.(

U (V |G)− U(V |G

)(U(V |S

)− U (V |S )

) > (1− τ i

)τ i

(7.1)

Herdefinieren we volgende uitdrukking.(U (V |G)− U

(V |G

))(U(V |S

)− U (V |S )

) = ε

Dan zal de consument i in periode t = 0 actie V ondernemen als volgendeopgaat.

ε >1− τ i

0

τ i0

(7.2)

⇔ τ i0 >

11 + ε

= σ (7.3)

Als de waarde van ε varieert tussen nul en oneindig zal σ varieren tussen eenen nul.

7.3 Model I

De kansvariabele τ i in periode t wordt gevormd op basis van de informatie dieconsument i op tijdstip t bezit over de eventuele gevolgen van actie V .

Stel dat elke consument i op tijdstip t = 0 een hoeveelheid N aan informa-tie heeft verzameld. Deze informatie veronderstelt dat iedereen actie V onder-neemt. Veronderstel ook dat elke eenheid informatie even waardevol is voorelke consument i. Een deel van de informatie van consument i, gegeven doorµiN is informatie die toestand G bevestigt. Een deel van de informatie vanconsument i, gegeven door (1 − µi)Nt is informatie die toestand S bevestigt.De kans τ i

0 wordt dan berekend via volgende formule.

τ i0 =

µiN

N= µi

Stel dat alle consumenten i behoren tot een bepaalde groep van mensen. Steldat voor T0 consumenten van deze groep voorwaarde (7.3) opgaat in. Het aan-tal consumenten dat in periode t = 0 actie V onderneemt is dan gelijk aan T0.

55


Iedere consument i weet op tijdstip t het gedrag van alle andere personen vande groep op tijdstip t− 1. In periode t = 1 ziet elke consument i dus T0 perso-nen van de groep actie V ondernemen. Het feit dat deze consumenten actie Vondernemen betekent dat voor hen vergelijking (7.3) opgaat. Als consument ibelang hecht aan de mening van deze consumenten zal hij zijn kansvariabele τ i

aanpassen. Ik neem aan dat deze aanpassing gebeurt via volgende vuistregel.

τ i1 =

µiN + T0

N + T0>µiNt

Nt= τ i

0

Om te weten of consument i in periode t = 1 al of niet actie V zal ondernemenmoet hij kijken of.

τ i1 > σ

Iedere consument i waarvoor bovenstaande opgaat zal dus in periode t = 1actie V ondernemen. Noem het aantal consumenten waarvoor dit geldt T1. T1

zal groter zijn dan T0 daar voor alle i τ i1 groter is dan τ i

0.

Voor elke periode t > 1 zal elke consument i zijn kansvariabele τ i aanpassenaan de nieuwe waarde van T via formule (7.4).

τ it =

µi + Tt−1

N + Tt−1(7.4)

Deze aanpassingen van τ i en T gaan door totdat geen enkel consument i nogzijn actie zal wijzigen. Dit noemen we een evenwichtstoestand. Het modelbereikt dus een evenwichtstoestand op tijdstip t = n indien τ i

n = τ in+1 voor alle

i of Tn = Tn+1.

7.3.1 Simulaties

In plaats van een analytische benadering te maken van dit model zullen we onsbaseren op simulaties. We veronderstellen dat de beschouwde groep bestaat uitvijftig individuen. De parameter µi is een uniforme verdeelde variabele overhet interval [0, 1] voor elke i. In periode nul zullen dus enkel deze individuen,i, waarbij µi > σ actie V ondernemen. Na de bepaling van T0 kunnen we voorieder individu i de kansvariabele τ i

1 berekenen waarna terug wordt nagegaan ofτ i1 > σ.

Na genoeg iteraties bekomen we het aantal consumenten in de populatie dieactie V zullen ondernemen in het evenwicht. Deze oefening doen we een honderdkeer met telkens andere waarden voor µi voor alle i. Het bekomen resultaatzal afhankelijk zijn van zowel N als σ. Noemen we het convergentietijdstip t′

de waarde van t waarna het aantal consumenten die actie V ondernemen nietmeer wijzigt. Dit is dus de laagste waarde van t waarbij τ i

t = τ it+1 voor alle

i ∈ {0, 1, ..., 50} of Tt = Tt+1.We kunnen dan het gemiddelde convergentietijdstip t′ berekenen over de 100

simulaties. Het programma voor deze simulatie heb ik geschreven in Eviews enkan terug gevonden worden in Bijlage B. Tabel(7.1) geeft de resultaten van desimulaties. De waarden voor het gemiddelde, mediaan, maximum, minimum

56


en standaard afwijking zijn berekend voor de waarden van Tt′ over de honderdsimulaties. De waarden voor t′ is tevens berekend over de honderd simulaties.

Merk eerst en vooral op dat de resultaten sterk gevoelig zijn aan de waardenvan σ en N . Hoe lager σ en hoe lager N , hoe groter het deel van de populatiezal zijn dat actie V onderneemt.Ten tweede ziet men ook dat er een grote discripantie is tussen de resultatenvan onze simulatie en de resultaten die men zou verkrijgen indien de agentenenkel hun private informatie zouden gebruiken. Deze discripantie neemt toenaarmate N en σ lager zijn. Bijvoorbeeld bij N = 10 en σ = 0.7 zou normaalgezien op basis van private informatie slechts gemiddeld dertig procent van depopulatie actie V ondernemen daar µi uniform verdeeld is voor alle i over hetinterval [0, 1]. Uit de simulaties blijkt echter dat wanneer de consumenten zichlaten leiden door het gedrag van andere consumenten de ganse populatie actieV zal ondernemen.

Tabel 7.1: Simulatie Model I

N = 50σ gemiddelde mediaan max min st.afwijking t′

0.9 5.87 6.0 12 1 2.505166 1.370.8 12.62 12.0 24 4 3.884130 2.280.7 21.56 21.0 33 11 5.230679 3.040.6 32.27 32.0 44 20 5.389580 4.100.5 48.26 49.0 50 35 2.848427 5.430.4 50.00 50.0 50 50 0 2.64

N = 250.9 5.68 5.0 13 1 2.658624 1.720.8 15.39 15.0 32 3 5.482562 3.200.7 34.94 35.5 49 18 7.258322 5.440.6 50.00 50.0 50 50 0 3.62

N = 100.9 9.46 9.0 27 1 5.182371 2.880.8 49.12 50.0 50 5 6.192664 5.730.7 50.00 50.0 50 50 0 3.00


7.3.2 Opmerkingen

Het model in deze paragraaf is echter niet vrij van kritiek.

1. De waarden van τ i en µi worden berekend via formules die gebruik ma-ken van frequenties. Het gebruik van frequenties als kansvariabelen isniet vrij van kritiek. De waarden van τ i en µi zijn niet de echte kansendat toestand G de echte toestand is. De waarde van µi, respectievelijk

57


τ i zullen maar de echte kansen in voldoende mate benaderen als N , res-pectievelijk N + T voldoende groot zijn. De parameter N , respectievelijkN + T , is dan zogezegd het gewicht dat µi, respectievelijk τ i heeft. Hoegroter het gewicht hoe betrouwbaarder µi, respectievelijk τ i zal zijn. Menkan argumenteren dat de consument zich zal laten leiden door zijn eigensubjectieve overtuiging dat toestand G de echte toestand is. Hoe de-ze subjectieve waarschijnlijkheid dan gevormd wordt is een probleem opzich.

2. De regel waarmee τ i geactualiseerd wordt (vergelijking (7.4)) is ook nietvrij van kritiek. Indien de consument de informatie van de andere indivi-duen zou kunnen observeren zou de actualisering er als volgt uitzien.

τ i =µiN + zA

N +A

Hier is A de hoeveelheid informatie van de individuen j (j 6= i) die ver-schillend is van de informatie van individu i en z is de fractie van dezeinformatie dat toestand G bevestigd. In dit opzicht gaat formule (7.4) erdus van uit dat elk individu die actie V onderneemt een eenheid informa-tie heeft die verschilt van onze consument en dat deze eenheid toestand Gbevestigt. Mijn visie gaat er in tegendeel van uit dat de observatie van hetgedrag van elk individu dat actie V onderneemt een eenheid informatie isen dat deze eenheid informatie toestand G bevestigt. Dit zijn twee ver-schillende opvattingen. Daar er geen uitwisseling is van informatie tussenindividuen is de eerste benadering niet toepasbaar. Men kan dan de vraagstellen in welke mate mijn benadering correct is of in welke mate ze eengoede beschrijving geeft over het werkelijke gedrag van de consumentenindien er geen informatieuitwisseling is.

3. Ik heb tevens verondersteld dat de invloed van Tt−1 op τ it onafhankelijk

is van de personen die in Tt−1 zitten. Elk individu in Tt−1 krijgt hetzelfdegewicht. Het is echter mogelijk dat bepaalde personen een groter gewichtkrijgen dan andere personen. Dit is vooral belangrijk als men het heeftover personen waarnaar consument i opkijkt of waarmee hij zich nauwverbonden voelt.

7.4 Model II: Informational Cascades

In deze paragraaf zal ik een model van ’informational cascades’ gebruiken omde bevindingen uit de inleiding te verklaren. ’Informational cascades’, vanaf nuafgekort tot IC, zijn situaties waarbij het optimaal is voor een individu om hetgedrag van anderen te imiteren ongeacht zijn eigen informatie. Het principevan IC is terug te vinden in de papers van Bikhchandani et al (1992, [4]) enBanerjee (1992, [1]).

Stel dat ieder individu i van de groep een signaal λi ontvangt. Het signaal

58


λi kan slechts de waarde nul of de waarde een aannemen. De conditionele pro-babiliteiten dat λi gelijk is aan nul of een gegeven de toestand G of toestand Szijn dezelfde voor alle i en worden gegeven door volgende waarden.

Pr(λi = 1 |G

)= p en Pr

(λi = 0 |G

)= 1− p

Pr(λi = 0 |S

)= p en Pr

(λi = 1 |S

)= 1− p

Hierbij is p > 0.5. Op ieder tijdstip t ontvangt er een individu een signaal. Voorde analyse van het model worden alle individuen i gerangschikt volgens het mo-ment waarop ze het signaal ontvangen. Het eerste individu in de rangschikking,i = 1, ontvangt dus het signaal op tijdstip t = 1. Het tweede individu, i = 2,ontvangt het singnaal op tijdstip t = 2, ...

Wanneer een individu i een signaal ontvangt zal hij een beslissing nemen omofwel actie V ofwel actie V te ondernemen. Wanneer een individu eenmaal eenbeslissing heeft genomen kan hij hierop niet meer terugkomen. De informatiedie een individu i tot zijn beschikking heeft is zijn eigen signaal λi en de actiesvan alle individuen die voor hem een beslissing hebben genomen. Dit zijn dusde acties van alle individuen k waarvoor k < i. Individu i ontvangt dus eensignaal op tijdstip t = i. Vervolgens onderneemt hij de actie V of V op basisvan zijn signaal λi en op basis van de acties van de i− 1 individuen voor hem.Veronderstel ook dat voor ieder individu i het volgende opgaat in periode t = 0.(

U (V |G)− U(V |G

))(U(V |S

)− U (V |S )

) =(1− τ i

0

)τ i0

De waarde voor τ i0 dus gelijk voor alle i. Vanaf nu schrijven we dan ook τ0 in

plaats van τ i0. De consumenten zijn in periode t = 0 dus indifferent tussen actie

V en actie V . Stel dat indien een consument indifferent is tussen actie V en Vna het verkrijgen van zijn signaal het individu actie V onderneemt.

7.4.1 Uitwerking Model II

Laat ons eerst de situatie uitwerken in de periode t = 1. Op dat moment krijgthet eerste individu zijn signaal λ1. Stel dat het signaal λ1 gelijk is aan een.Het eerste individu zal dan zijn kansvariabele τ1 aanpassen voor de nieuweinformatie. Hij gebruikt hiervoor de regel van Bayes.(

τ11

∣∣∣λ1 = 1)

=pτ0

pτ0 + (1− p) (1− τ0)> τ0

Het eerste individu zal dus zijn kansvariabele τ1 laten stijgen. Dit betekent datvergelijking (7.3) voor dit individu zal opgaan en hij dus actie V zal ondernemen.Het ondernemen van actie V voor het eerste individu is dus een signaal aan alleander individuen na hem dat λ1 gelijk is aan een.Als λ1 de waarde nul heeft zal τ1 zich als volgt aanpassen.(

τ1∣∣∣λ1 = 0

)=

(1− p) τ0(1− p) τ0 + p (1− τ0)

< τ0

59


Indien het signaal λ1 gelijk is aan nul zal het eerste individu dus actie V onder-nemen. Het ondernemen van actie V voor het eerste individu is dus een signaalaan alle andere individuen na hem dat λ1 gelijk is aan nul. Daar alle andereconsumenten i door observatie van de actie van het eerste individu weten watde waarde van λ1 is zullen ze hun kansvariabele τ i aanpassen tot τ1

1 . De kans-variabele τ i

1 is dus gelijk voor iedere i. Vanaf nu schrijven we dan ook τ1 inplaats van τ i

1.Op tijdstip t = 2 beslist het tweede individu in de rij op basis van zijn signaalen het gedrag van het eerste individu. Voor hem is de kans op G gegeven dewaarde van λ2 gelijk aan de kansvariabele τ2

2 . De kansvariabele τ22 kan twee

uitdrukkingen aannemen naargelang de waarde van λ2.

1. Als λ2 gelijk is aan een dan wordt τ22 als volgt bepaald.(

τ22

∣∣∣λ2 = 1)

=pτ1

pτ1 + (1− p) (1− τ1)> τ1

De waarde van τ2 hangt af van de waarde van τ1. Deze hangt zelf afvan de waarde van λ1 Als λ1 gelijk was aan een dan zal individu zekerook actie V ondernemen. De waarde van τ2

2 is immers nog groter dan dewaarde van τ1. Als λ1 gelijk was aan nul dan wordt de waarde voor τ2

2

volgende.

(τ22

∣∣λ2 = 1)

=p

(1−p)τ0(1−p)τ0+p(1−τ0)

p(1−p)τ0

(1−p)τ0+p(1−τ0)+(1−p)

(1− (1−p)τ0

(1−p)τ0+p(1−τ0)

)= p(1−p)τ0

p(1−p)τ0+p(1−p)(1−τ0) = τ0

In dat geval zal het tweede individu dus actie V ondernemen.

2. Als λ2 gelijk is aan nul wordt τ22 als volgt bepaald.(

τ22

∣∣∣λ2 = 0)

=(1− p) τ1

(1− p) τ1 + p (1− τ1)

De waarde van τ22 zal ook hier afhangen van de waarde van λ1. Als λ1

gelijk was aan nul dan zal het tweede individu zeker ook actie V onderne-men. De waarde voor τ2

2 wordt immers nog kleiner dan τ1. Als λ1 gelijkwas aan een dan wordt de waarde voor τ2

2 volgende.

(τ22

∣∣λ2 = 0)

=(1−p)

pτ0pτ0+(1−p)(1−τ0)

(1−p)pτ0

pτ0+(1−p)(1−τ0)+p

(1− pτ0

pτ0+(1−p)(1−τ0)

)= (1−p)pτ0

(1−p)pτ0+p(1−p)(1−τ0) = τ0

Dus wanneer λ1 gelijk is aan nul dan zal het tweede individu actie V on-dernemen onafhankelijk van zijn eigen signaal.

De derde persoon in de rij zal zijn actie kieze op basis van zijn eigen signaal ende acties ondernomen door de eerste twee individuen. Deze acties kunnen zijn:

60


1. Zowel het eerste als tweede individu ondernemen actie V . In dat geval zalhet derde individue ook actie V ondernemen onafhankelijk van zijn eigensignaal. Als het signaal van het derde individu gelijk is aan een dan zal τ3

3

groter worden dan τ22 en zal het derde individu zeker actie V ondernemen.

Als het singaal van het derde individu gelijk is aan nul dan krijgt τ33 de

waarde van τ1, hetgeen groter is dan τ0 daar het signaal van het eersteindividu gelijk was aan een.

2. Beide individuen ondernemen actie V . In dat geval zal ook het derde indi-vidu actie V ondernemen. Indien het eerste individu actie V onderneemtdan zal het tweede individu onafhankelijk van zijn signaal ook actie Vondernemen. Het derde individu kan dus niet uitmaken welke waarde λ2

heeft aangenomen. Het derde individu zal zich dus enkel laten leiden doorde actie van het eerste individu en door zijn eigen signaal. Het derde indi-vidu bevindt zich dan als het ware in de situatie van het tweede individu.In dat geval zal hij ook actie V ondernemen zoals hierboven besproken.

3. Het eerste individu onderneemt actie V en het tweede individu onder-neemt actie V . In dit geval hebben we gezien dat τ2 gelijk zal zijn alsτ0. Het derde individu bevindt zich dan als het ware terug in de situatievan het eerste individu. Het derde individu zal dus afgaan op zijn eigensignaal om zijn actie te bepalen.

Het vierde individu in de rij kan ook met drie verschillende situaties geconfron-teerd worden. In het eerste geval ondernemen alle vorige individuen actie V .In het tweede geval ondernemen alle vorige individuen actie V . In het derdegeval verschillen de acties van de vorige individuen. Indien iedereen actie Vonderneemt zal het vierde individu zich laten leiden door het gedrag van deeerste twee individuen daar hij niet kan weten wat de waarde van λ3 was. hetvierde individu zal zich dus terug bevinden in de situatie van het derde indivi-du zal dus ook actie V ondernemen. Als iedereen actie V bevindt het vierdeindividu zich terug op de plaats van het tweede individu en zal hij ook actie Vondernemen. Als de voorgaande acties verschillen over de individuen betekentdit dat τ3

3 de waarde van τ1 heeft. Het vierde individu zal zich dan laten leidendoor de actie van het derde individu.

enz...

Men kan nu de ex-ante kans berekenen dat er een opwaartse, neerwaartse ofgeen IC optreed na N individuen. Een opwaartse IC is een situatie waarbij hetzeker is dat alle individuen na het tijdstip t = N actie V ondernemen. Eenneerwaarste IC is een situatie waarbij het zeker is dat alle individuen na tijd-stip t = N actie V ondernemen. Geen IC is die situatie waarbij er noch eenopwaartse, noch een neerwaartse IC is.Laat ons eerst de ex-ante kansen berekenen voor N gelijk aan twee. De ex-antekans op een opwaartse IC na twee individuen is de ex-ante kans dat zowel λ1

61


als λ2 gelijk zijn aan een.

Pr(λ1 = 1, λ2 = 1 |G

)Pr (G) + Pr

(λ1 = 1, λ2 = 1 |S

)Pr (S)

= τ0p2 + (1− τ0) (1− p)2

De ex-ante kans op een neerwaartse IC na twee individuen is de ex-ante kansdat λ1 gelijk is aan nul.

Pr(λ1 = 0 |G

)Pr (G) + Pr

(λ1 = 0 |S

)Pr (S)

= (1− p) τ0 + p (1− τ0)

De ex-ante kans dat er geen IC optreed na twee individuen is de ex-ante kansdat λ1 gelijk is aan een en dat λ2 gelijk is aan nul.

Pr(λ1 = 1, λ2 = 0 |G

)Pr (G) + Pr

(λ1 = 1, λ2 = 0 |S

)Pr (S)

p (1− p) τ0 + p (1− p) (1− τ0) = p (1− p)

De ex-ante kans op een opwaartse IC na vier individuen is dan de ex-ante kansop een opwaartse IC na twee individuen plus de ex-ante kans dat er geen ICis na twee individuen vermenigvuldigd met de ex-ante kans op een opwaartseIC na twee individuen. Deze ex-ante kansen kunnen we veralgemenen naar Nindividuen waarbij N een even getal is. De ex-ante kans op een opwaartse ICna N indivuduen is dan.

(τ0p

2 + (1− τ0) (1− p)2)1 + (p (1− p))

N2

+1

1− p (1− p)

De ex-ante kans op een neerwaartse IC na N individuen is.

((1− p) τ0 + p (1− τ0))

1 + (p (1− p))N2

+1

1− p (1− p)

De ex-ante kans op geen IC na N individuen wordt gegeven door.

(p (1− p))N2

Voor N gaande naar oneindig wordt deze laatste kans gelijk aan nul.

Gegeven toestand G zou het ideaal zijn indien er altijd een opwaartse IC zouoptreden. De ex-ante kans op een opwaartse IC gegeven toestand G voor Ngaande naar oneindig is.

p2

1− p (1− p)

De ex-ante kans dat er gegeven G een neerwaartse IC zou optreden voor Ngaande naar oneindig is.

(1− p)1− p (1− p)

Het verloop van deze twee kansvariabelen als functie van p is weer gegeven infiguur (7.1). Voor waarden van p dicht tegen 0.5 is de ex-ante kans op een

62


Figuur 7.1: Kans op Juiste ’Informational Cascade’ gegeven Situatie G


verkeerde IC, neerwaartse IC, zelfs groter dan de ex-ante kans op de correcteIC, opwaartse IC. Deze kans daalt ook zeer langzaam naarmate p verder stijgt.

Het feit dat voor p = 0.5 de ex-ante kans op de verkeerde IC groter is dan dekans op de juiste IC gegeven situatie G komt doordat ik heb verondersteld datvoor waarden van τ i waarbij geldt dat...(

U (V |G)− U(V |G

))(U(V |S

)− U (V |S )

) =(1− τ i

)τ i

(7.5)

... het individu beslist om actie V te ondernemen. Indien men zou veronder-stellen dat individu i in die situatie zijn actie zou laten leiden door bijvoorbeeldhet opwerpen van een muntstuk, dan zou de kans op een verkeerde IC en eencorrecte IC voor p = 0.5 aan elkaar gelijk zijn. Beide hebben dan de waardeeen half.

7.5 Besluit

De modellen in dit hoofdstuk kunnen een verklaring bieden voor de grote con-centraties van verslaafden in bepaalde socio-economische klassen. In dit hoofd-stuk heb ik twee verschillende modellen naar voren gebracht die de socialeinteracties tussen individuen binnen eenzelfde groep modelleren. De dynamiekin deze modellen is zeer interessant daar het kan leiden tot inefficiente situa-ties. Mensen zullen zeer snel geneigd zijn om hun eigen verkregen informatie teverwaarlozen. In plaats daarvan zullen ze anderen imiteren.

63

Hoofdstuk 8

Algemeen Besluit

Het model van rationele verslaving geeft een verklaring waarom rationele indivi-duen verslavende goederen consumeren. De literatuur rond rationele verslavingis zeer uitgebreid en omvat veel meer dan alleen maar consumptie beslissingen.Ik heb in deze scriptie niet gepoogd een volledig overzicht te bieden van de-ze literatuur. Ik heb daarentegen enkele problemen besproken waarvan ik vanmening ben dat er nog niet veel over verschenen is in de literatuur. Voor eenuitgebreid overzicht van de economische literatuur en onderzoeken met betrek-king tot verslaving (roken in het bijzonder) verwijs ik graag naar de paper vanChaloupka en Warner (1999, [7]).

In hoofdstuk twee en drie heb ik de basistheorie van rationele verslaving bespro-ken. Hoofdstuk 2 werkt met de kwadratische nutsfunctie uit paper van Beckeren Murphy (1988, [2]), . In hoofdstuk 3 ben ik afgestapt van deze kwadratischevorm door gebruik te maken van een logaritmische nutsfunctie. Het gebruikvan deze nutsfunctie kan leiden tot meerdere (strikt positieve) evenwichten integenstelling tot de paper van Becker en Murphy waar er slechts een evenwichtis.

Hoofdstuk vier en vijf bouwen verder op het model van rationele verslaving.In hoofdstuk vier heb ik een model besproken waarbij de tijdsvoorkeur wordtgeendogeniseerd . Het endogeniseren van deze tijdsvoorkeur leidt tot een bijko-mende factor in de bepaling van de hoogte van consumptie. De consument zaler immers rekening mee houden dat zijn discontovoet zal stijgen als hij meervan het verslavende goed consumeert. Deze bijkomende factor bestaat uit tweetegengestelde invloeden op de hoogte van de consumptie van het verslavendegoed. Ten eerste is er de invloed van een hogere discontovoet op de hoogte vande consumptie in het heden, deze is positief. Ten tweede is er de invloed vaneen hogere consumptie op de toename van de discontovoet. Deze toename in dediscontovoet verlaagt het verdisconteerde toekomstige nut. Deze invloed is dusnegatief. Bij de bepaling van de hoogte van de consumptie van het verslavendegoed moet men rekening houden met deze twee invloeden. Afhankelijk van desterkte van deze invloeden zal de consumptie bij endogene tijdsvoorkeur hogerof lager zijn dan bij het model zonder endogene tijdsvoorkeur.

64

HOOFDSTUK 8. ALGEMEEN BESLUIT

Hoofdstuk vijf onderzoekt de invloed van onzekerheid op het model van ra-tionele verslaving. De onzekerheid betreft hier dat de consumenten niet wetenof ze al dan niet de nadelige effecten van hun verslaving zullen ondervinden.

Hoofdstuk zes introduceert verzekeringen in het model van hoofdstuk vijf. Bijperfecte informatie is er voor elke consument een stabiel evenwicht gekenmerktdoor volledige verzekering. Deze evenwichten worden verbroken wanneer menimperfecte informatie introduceert. De imperfecte informatie is van die aarddat de verzekeringsmaatschappijen geen onderscheid kunnen maken tussen con-sumenten van type l en consumenten van type h. Agenten van type l wetenniet of ze al dan niet of ze ooit schadelijke effecten zullen oplopen. Agenten vantype h hebben ooit de schadelijke effecten van hun verslaving ondervonden enweten dus dat ze in de toekomst nog schadelijke effecten zullen oplopen. Metbetrekking tot deze informatie-asymmetrie heb ik aangetoond dat het poolingevenwicht geen stabiel evenwicht is. Tevens heb ik aangetoond dat overheidsin-grijpen, via het opleggen van verplichte verzekeringen, welvaartsverhogend kanzijn.

In hoofdstuk zeven heb ik proberen te verklaren waarom verslavingen voor-al voorkomen in welbepaalde socio-economische klassen. De theorie vertrektvanuit het idee dat mensen informatie halen uit het observeren van het gedragvan andere mensen. De twee modellen uit dit hoofdstuk tonen aan dat in velegevallen de consumenten hun eigen private informatie zullen verwaarlozen enanderen zullen gaan imiteren.

65

Bibliografie

[1] BANERJEE Abhijit V., 1992, ’A Simple Model of Herd Behaviour’, Quar-terly Jounal of Economics, 42, p.797-817.

[2] BECKER Gary S. en MURPHY Kevin M, 1988, ’A Theory of RationalAddiction’, Journal of Political Economy, 96-4, p. 675-700.

[3] BECKER Gary S, GROSSMAN Michael en MURPHY Kevin M, 1994,’An Empirical Analysis of Cigarette Addiction’, The American EconomicReview, 84-3, p. 396-418.

[4] BIKHCHANDANI Sushil, HIRSHLEIFER David, WELCH Ivo, 1992, ’ATheory of Fads, Fashion, Custom, and Cultural Change as InformationalCascades’, Journal of Political Economy, 100-5, p. 993-1025.

[5] BRETTEVILLE en JENSEN, 1999, ’Addiction and Discounting’, Journalof Health Economics, 18, p. 393-407.

[6] CHALOUPKA Frank J., 1991, ’Rational Addictive Behavior and CigaretteSmoking’, Journal of Political Ecnomy, 99-4, p. 722-742.

[7] CHALOUPKA Frank J. en WARNER Kenneth E., 1999, ’The Economicsof Smoking’, NBER working paper, nr 7047, p. 1-70.

[8] FERGUSON Brian S. en LIM G.C., 1998, Introduction to Dynamic Eco-nomic Models, Manchester en New York, Manchester University Press.

[9] LAUX Fritz L., 2000, ’Addiction as a market failure: Using Rational Addic-tion Results to Justify Tobacco Regulation’, Journal of Health Economics,19, p. 421-437.

[10] HANZ-WALTER Lorenz, 1989, Nonlinear Dynamical Economics and Cha-otic Motion, Berlin Heidelberg New York London Paris THokyo Hong-Kong, Springler-Verlag.

[11] OBSTFELD Maurice, 1990, ’Intertemporal Dependence, Impatience, andDynamics’, Journal of Monetary Economics, 26, p. 45-75.

[12] ORPHANIDES Athanasios en ZERVOS David, 1998, ’Myopia and Addic-tive Behaviour’, The Economic Journal, 108, p. 75-91.

[13] ORPHANIDES Athanasios en ZERVOS David, 1995, ’Rational Addictionwith Learnig and Regret’, Journal of Political economy, 103-4, p. 739-758.

i

BIBLIOGRAFIE

[14] SCHOWALTER Mark H., 1999, ’Firm Behavior in a Market with Addicti-on: The Case of Cigarettes’, Journal of Health Economics, 18, p. 409-427.

[15] TOMMASI Mariano en LERULLI Kathryn, 1995, The New Economics ofHuman Behaviour, Cambridge, Cambridge University Press, p. 188-215.

ii

Bijlage A

Discrete voorstelling

Voor de discrete uitwerking van het model starten we vanuit de Bellman verge-lijking.

Vt = u (ct, At) + v (yt) +1

1 + ρVt+1 (A.1)

Vervolgens hebben we ook de restricties

Yt = yt + pct (A.2)At+1 = ct + (1− δ)At (A.3)

Om tot een oplossing te komen substitueren we vergelijking (A.2) en (A.3) invergelijking (A.1) en optimaliseren we naar At+1.

∂Vt

∂At+1=∂u

∂ct− p

∂v

∂y+

11 + ρ

∂Vt+1

∂At+1= 0 (A.4)

Om de term ∂Vt+1

∂At+1op te lossen maken we gebruik van de enveloppe-theorema.

∂Vt

∂At=∂u

∂ct(δ − 1) +

∂u

∂At− p

∂v

∂yt(δ − 1) (A.5)

Als we vergelijking (A.5) omzetten naar periode t+ 1 en substitueren in verge-lijking (A.4) bekomen we.(

∂u

∂ct− p

∂v

∂y

)− 1− δ

1 + ρ

(∂u

∂ct+1− p

∂v

∂yt+1

)+

11 + ρ

∂u

∂At+1= 0 (A.6)

De consument houdt dus niet alleen rekening met zijn nutsverandering op mo-ment t, maar hij houdt ook rekening met de verandering in zijn toekomstignut veroorzaakt door een stijging in At+1. Op moment t zal door een stijgingin c zijn nut veranderen volgens ∂u

∂ct− p∂v

∂y . De bijkomende baten zijn gelijkaan het marginaal nut van c. Echter door de toename in c neemt y af met dehoeveelheid p, hetgeen een nutsverlies betekent. Indien c een normaal goed zouzijn hebben we de gelijkheid. (

∂u∂ct

)(

∂v∂yt

) = p

1

BIJLAGE A. DISCRETE VOORSTELLING

Met andere woorden de verhouding van de marginale nuttigheden tussen detwee goederen moet gelijk zijn aan de prijsverhouding van deze twee goederen.De verhoging in c zal echter A met een evengrote hoeveeheid verhogen. Deoptimale voorwaarde wordt dan gegeven door vergelijking (A.6). De steady-state voorwaarde kunnen we verkrijgen door in vergelijking(A.6) t gelijk testellen aan t+ 1.

(ρ+ δ)(∂u

∂c− p

∂v

∂y

)+∂u

∂A= 0

Deze voorwaarde is dezelfde als in het continue model. De interpretatie is danook gelijkaardig. Daar ∂u

∂A negatief is zal volgende gelden.(∂u∂c

)(

∂v∂y

) > p

Dit betekent dat uc hoger is als c een verslavend goed is dan het geval zouzijn als c een normaal goed zou zijn. De consument houdt rekening met deschadelijke gevolgen van zijn consumptie en zal dus minder consumeren.

A-2

Bijlage B

Programma Eviews

1:scalar sigma = 0.52:matrix (50,1) tau3:matrix (100,1) aantal4:scalar N = 105:scalar antesom6:matrix (100,1) t7:scalar tijd8:matrix (50,1) taunul9:10:for !q = 1 to 10011:scalar som12:for !i = 1 to 5013:taunul(!i,1) = rnd14:tau(!i,1) = taunul(!i,1)15:next !i16:17:for !j = 1 to 2018:antesom = som19:20:som = 021:22:for !i = 1 to 5023:if tau(!i,1)>sigma then24:som = som + 125:endif26:next !i27:28:if (som == antesom) then29:tijd = !j-130:exitloop31:endif32:33:for !i =1 to 50

3

BIJLAGE B. PROGRAMMA EVIEWS

34:tau(!i,1) = (taunul(!i,1)*N+som)/(N+som)35:next !i36:next !j37:38:aantal(!q,1) = som39:delete som40:t(!q,1) = tijd41:next !q

1:definitie parameter sigma2:definitie matrix voor waarde van tau3:definitie matrix voor aantal consumenten die c consumeren4:definitie parameter N5:definitie parameter voor T in vorige periode6:definitie matrix voor t’7:definitie parameter die t’ bevat8:definitie matrix voor tau in de eerste periode9:10:loop voor herhaling experimenten11:definitie parameter die T bevat12:loop voor toewijzen waarden aan tau in eerste periode13:toewijzen uniform verdeelde variabelen aan matrix van tau in eerste periode14:toewijzen tau in eerste periode aan tau in begin experiment15:16:17:loop voor uitvoeren experiment18:toewijzen van N naar N in vorige periode19:20:N gelijkstellen aan nul21:22:loop voor tellen van T23:criteria voor consumptie c24:tellen groote van T25:26:27:28:criteria voor stoppen experiment29:toekennen t’ aan tijd30:einde experiment31:32:33:loop voor berekenen tau34:formule voor actualisatie tau35:36:

B-4

BIJLAGE B. PROGRAMMA EVIEWS

37:38:toekennen van T aan matrix die aantal consumenten die c consumeren bevat39:wissen variabelen T40:toekennen van t’ aan matrix die t’ bevat41:

B-5

universiteit gent academiejaar 2002-2003...

Documents