universitatea fitransilvaniafl fcultatea de...
TRANSCRIPT
METODE ANALITICE SI NUMERICE IN REZOLVAREA PROBLEMELOR SISTEMELOR
DINAMICE APLICATE IN SIMULAREA UNOR COMPONENTE ALE SISTEMELOR HIDRAULICE
TEZA DE DOCTORAT REZUMAT
ANALYTICAL AND NUMERICAL METHODS FOR SOLVING PROBLEMS OF DYNAMICAL SYSTEMS
AS APPLIED IN THE SIMULATION OF SOME COMPONENTS OF THE HYDRAULIC SYSTEMS
PHD THESIS ABSTRACT
AUTOR: Asist. Univ. PETCU O. Olivia Ana căs. FLOREA
CONDUCATOR STIINTIFIC:
Prof. Univ. Dr. Ing. Mat. Adrian POSTELNICU
Brasov 2010
UNIVERSITATEA �TRANSILVANIA� DIN BRASOV FACULTATEA DE INGINERIE MECANICA CATEDRA DE TERMODINAMICA SI MECANICA FLUIDELOR
MINISTERUL EDUCAŢIEI, CERCETĂRII, TINERETULUI ŞI SPORTULUI UNIVERSITATEA TRANSILVANIA DIN BRAŞOV
Braşov, B-Dul Eroilor Nr. 29, 500036, Tel.: 0268/413.000, Fax: 0268/410.525 RECTORAT
Catre �������������������������
�������������������������������������
Va aducem la cunostinta ca in ziua de Vineri, 9 iulie 2010, ora 11.00, in corpul M, sala M.P.1, la FACULTATEA DE INGINERIE MECANICA, va avea loc sustinerea publica a tezei de doctorat intitulata: �Metode analitice si numerice in rezolvarea problemelor sistemelor dinamice aplicate in simularea unor componente ale sistemelor hidraulice�, elaborata de asist. univ. PETCU O. Olivia Ana cas. FLOREA, sub conducerea stiintifica a prof. univ. dr. ing. mat. Adrian POSTELNICU, in vederea obtinerii titlului stiintific de DOCTOR in domeniul fundamental STIINTE INGINERESTI, domeniul INGINERIE MECANICA.
Componenta COMISIEI DE DOCTORAT numita prin
Ordinul Rectorului Universitatii Transilvania din Brasov nr. 4101 din 21.05.2010
PRESEDINTE: Prof. Univ. Dr. Ing. Anghel CHIRU DECAN Facultatea de Inginerie Mecanica Universitatea Transilvania din Brasov
CONDUCATOR STIINTIFIC:
Prof. Univ. Dr. Ing. Mat. Adrian POSTELNICU Universitatea Transilvania din Brasov
REFERENTI: Prof. Univ. Dr. Ing. Romulus LUNGU Universitatea din Craiova Prof. Univ. Dr. Mirela Kohr Universitatea Babes Bolyai Cluj � Napoca Conf. Univ. Dr. Ing. Liviu COSTIUC Universitatea Transilvania din Brasov
Aprecierile si observatiile dumneavoastra asupra continutului tezei pot fi transmise pe adresa Catedrei de Termodinamica si Mecanica Fluidelor, Strada Colina Universitatii, nr. 1, corp H, 500036 Brasov , tel/fax +40 268-471499, email: [email protected]
Cuprins T R Capitolul 1 Introducere
1 1
Capitolul 2 Stadiul actual al cercetarii privind reglarea automata si optimizarea in procesul termofluidelor
7 2
2.1. Conditii ideale pentru servomecanisme hidraulice 8 2 2.1.1. Modelarea Matematica 8 2 2.1.2 Rigiditatea hidraulica 10 3 2.1.3. Ecuatia de continuitate pentru subsistemul distribuitor - motor hidraulic liniar
14 3
2.1.4. Ecuatia de miscare a pistonului motorului hidraulic liniar 18 3 2.1.5. Ecuatia comparatorului mecanic 20 3 2.2.2. Simularea numerica a comportarii dinamice a unei servopompe realizate cu regulator de presiune
32 3
Capitolul 3 Analiza stabilitatii servosistemelor mecanohidraulice
39 4
3.1. Descrierea in frecventa a sistemelor liniare 39 5 3.1.1. Diagrame Bode 39 5 3.2. Studiul stabilitatii unui subsistem distribuitor- motor hidraulic liniar 43 5 3.3. Conditii ideale pentru un servomechanism hidraulic � modelul neliniar
48 6
3.4. Modelarea matematica,analiza stabilitatii si simularea numerica a dinamicii servomecanismelor
50 7
3.4.1. Stabilirea functiei de transfer in cazul modelului liniarizat 52 7 3.5. Modele neliniare de servomecanisme hidraulice instalate in conditii reale
54 8
Capitolul 4 Sisteme de reglare automata a proceselor mecanohidraulice
64 10
4.1. Sisteme conventionale de reglare automata 64 10 4.1.3. Calculul modelului matematic al unei conducte inclinate 71 10 4.1.4. Modelarea matematica a curgerii fluidului prin doua rezervoare conectate printr-o conducta inclinata
75 11
4.2. Metode teoretice si practice privind absorbitoarele de oscilatii si reglarea automata a sistemelor multimodel
82 12
4.2.1. Amortizarea sistemelor dinamice 82 12 4.2.2. Alegerea modelului 86 14 4.2.3. Identificarea buclei inchise recursive 86 14 4.2.4. Model bazat pe sinteza legii de control. 88 15 4.2.5. Algoritmul adaptiv bazat pe compensarea efectelor perturbatiilor 89 15 4.2.6. Algoritmul adaptiv a referintei de urmarire: 90 16 4.2.7. Rezultate experimentale 90 16 Capitolul 5. Sisteme hidraulice de urmarire
98 18
5.2. Studiul stabilitatii echilibrului unui sistem hidraulic de urmarire 111 18 5.3. Influenta structurala a fortelor asupra sistemelor dinamice hidraulice 122 22 5.3.1. Studiul stabilitatii pentru sisteme dinamice 124 23 Capitolul 6 Simularea numerica a sistemelor hidraulice bazata pe teoria sistemelor dinamice
131 24
6.1. Modelul matematic al unui sistem hidraulic pompa � motor - supapa 132 25 6.1.1. Stabilirea functiei de transfer a supapei 136 25 6.1.2. Studiul stabilitatii - Criteriul lui Nyquist 141 26 6.2. Modelul matematic al unui sistem hidraulic prevazut cu sertar cu acoperire perfecta
146 27
6.3. Modelul matematic al unui lift hidraulic echipat cu supapa 150 28 6.3.1.Analiza si simularea sistemului hidraulic 151 29 6.4. Problema izolatiei 156 30 6.4.1. Sistemul hidro-electro vibroizolator 160 31 6.4.3.Ecuatiile de miscare ale sistemului 162 31 6.4.4. Studiul stabilitatii 166 32 Capitolul 7 Metode analitico numerice utilizate in studiul sistemelor hidrodinamice 7.1. Studiul dinamicii miscarii stationare a fluidelor vascoase intre cilindri coaxiali neconcentrici
171 33
34
7.1.1. Cazul curgerii stationare a unui fluid vascos incompresibil intre doi cilindri neaxiali
172 34
7.2. Metode speciale pentru determinarea campurilor potentiale in cazul curgerilor fluide cu simetrie axiala
180 35
7.2.1. Metoda transformarilor geometrice pentru aflarea campului vitezelor in cazul axial simetric cunoscand miscarea potentiala plana
184 36
7.2.2. Metoda operatorilor pentru potentiali 190 37 7.2.3. Metoda operatorilor lui Bergman 192 37 Capitolul 8. Concluzii generale, contributii personale, modul de valorificare a rezultatelor si directii viitoare de cercetare
196 39
Bibliografie 201 41
1
Capitolul 1. Introducere Lucrarea de fata prezinta importante instrumente teoretice si practice necesare pentru
analiza si proiectarea unor sisteme hidraulice. Sistemele dinamice neliniare constituie un domeniu deosebit de complex; fundamentele sale se afla in matematica (teoria ecuatiilor neliniare, teoria bifurcatiilor, teoria stabilitatii), fizica (mecanica, hidraulica, automatica) si are aplicatii in actionari hidraulice, chimie, biologie, etc. Complexitatea acestui domeniu impune o abordare interdisciplinara a majoritatii temelor semnificative de cercetare.
Sunt imbinate pe de o parte teoria si practica, pe de alta parte hidraulica si teoria controlului, controlul servomecanismelor hidraulice constituind o baza solida pentru o lucrare interdisciplinara. Modelarea si simularea componentelor sistemelor hidraulice reprezinta un mijloc de intelegere a aspectelor practice si ajuta la tratarea sistemelor hidraulice de control si identificarea controlorului aferent. Atat modelarea cat si controlul sunt realizate teoretic si testate pe mecanisme hidraulice simulate. Rezultatele sunt comparate cu cele din literatura de specialitate pe modele similare.
Metoda traditionala de modelare a dinamicii sistemelor hidraulice neliniare consta in dezvoltarea de ecuatii matematice bazate pe legile naturii. Dezvoltarea acestor ecuatii pentru un sistem hidraulic necesita adesea intuitie inginereasca si mai inainte de toate cunostinte ale sistemului combinate cu proprietati matematice ale acestor ecuatii. In plus problemele de masurare exacta sau definire ale parametrilor sau coeficientilor restrictioneaza frecvent rezultatele modelarii in puncte specifice de operare a unei modelari corecte. O alternativa a modelarii este de a stabili sau aproxima relatii matematice ale sistemului dinamic bazat pe cercetarea datelor de intrare � iesire.
Lucrarea este structurata in opt parti: prima parte contine o prezentare generala a
obiectivelor si contributiilor aduse acestei lucrari, urmatoarele sase capitole contin notiuni introductive ale temei de studiu propuse, preluate din literatura de specialitate si contributii personale care s-au finalizat cu publicatii in reviste de specialitate, recunoscute CNCSIS (3) si ISI (1), precum si in Proceedings-urile Conferintelor Internationale (8), dintre care in calitate de unic autor sunt 7 lucrari publicate. Ultimul capitol prezinta sistematizarea contributiilor proprii.
Aduc multumiri domnului Profesor Dr. Ing. Mat. Adrian Postelnicu, coordonatorul acestei teze, pentru increderea pe care a avut-o in mine, pentru rabdarea si intelegerea de care a dat dovada de-a lungul anilor de pregatire a acestei teze, si nu in ultimul rand pentru ca a reusit sa invete un matematician sa abordeze problemele matematice dintr-o perspectiva practica.
Aduc multumiri domnului Profesor Dr. Mat. Mircea Lupu care mi-a calauzit si indrumat pasii in aceasta lume plina de suspans a sistemelor dinamice si a mecanicii fluidelor si pentru ca m-a provocat la rezolvarea a numeroase probleme tehnice care s-au finalizat cu publicatii in reviste sau proceedings-uri.
Aduc multumiri membrilor catedrei de Termotehnica si Mecanica Fluidelor, de la Facultatea de Mecanica, Universitatea Transilvania, pentru sfaturile si discutiile constructive pe care mi le-au oferit pe parcursul stagiului doctoral.
Nu in ultimul rand multumesc familiei mele pentru ca in toti acesti ani a fost alaturi de mine, m-a sprijinit si sustinut pe tot parcursul activitatii de cercetare si elaborare a prezentei lucrari.
Brasov, 2010
Olivia Florea
2
Capitolul 2. Stadiul actual al cercetarii privind reglarea automata si optimizarea in sisteme termohidraulice
In acest capitol este facuta o scurta prezentare a stadiului actual al cercetarii in ceea ce
priveste modelarea liniara a servomecanismelor hidraulice, I. SETEANU [S1], A. OPREAN [O1], N. VASILIU [V1], I. Mazilu [M2], V. MARIN [M4]. Sistemele de actionare hidraulica constituie un domeniu vast si important al tehnicii moderne. Stadiul actual al cercetarii sistemelor automate cu fluide este bine documentat in lucrari ale unor renumiti profesori si cercetatori din strainate cum ar fi: A.B. GOODWIN [G2], M. GUILLON [G3], P. WESSELING [W1], E. WYLIE [W4], K. MOBLEY [M6].
Capitolul este incheiat cu un studiu personal al a comportarii unui sistem mecano hidraulic echipat cu regulator de presiune cu ajutorul functiei de transfer. Studiul teoretic al sistemului in conditiile considerarii tuturor neliniaritatilor complica functia de transfer, facand imposibila analiza influentei diferitilor factori asupra functionarii sistemului, astfel ca modul de lucru considerat este de a scrie ecuatiile caracteristice in jurul pozitiei de echilibru liniarizandu-se pentru domenii de lucru limitate. Este studiat modelul analogic cu ajutorul mediului SIMULINK urmarindu-se comportarea lui pentru diferite valori ale parametrilor constructivi, [F7].
2.1. Conditii ideale pentru servomecanisme hidraulice
Principalul obiectiv al studiului comportarii dinamice al servomecanismelor hidraulice
in conditii ideale este determinarea teoretica a influentei cantitative a parametrilor constructivi asupra preciziei si stabilitatii. In aceasta analiza va fi neglijata influenta rigiditatilor de comanda, [V1]
2.1.1. Modelarea Matematica
Ecuatia de continuitate corespunzatoare miscarilor nepermanente din sistemele
hidraulice de actionare, [B1], [V1]
Fig. 2.1 Schema de actionare hidraulica a unui sistem elementar
V
dt
dp 21=
(2.6)
Aceasta este ecuatia de continuitate scrisa pentru sistemele de actionare hidraulica in
care nu se considera influenta undelor de presiune.
3
2.1.2 Rigiditatea hidraulica Expresia rigiditatii hidraulice totale a cilindrului hidraulic este:
zzpAzzpApAhRmax
1
max
12= (2.18)
2.1.3. Ecuatia de continuitate pentru subsistemul distribuitor - motor hidraulic liniar
Consideram subsistemul format dintr-un distribuitor cu patru cai si un motor hidraulic
liniar real (cu pierderi hidraulice si mecanice) cu tija bilaterala si camere egale.
Fig. 2.4. Subsistem format dintr-un distribuitor cu 4 cai si motor hidraulic liniar real
Ecuatia de continuitate este:
Pe
VzpAPKQ
20
1= (2.41)
2.1.4. Ecuatia de miscare a pistonului motorului hidraulic liniar
Forta utila dezvoltata de motorul hidraulic liniar asigura accelerarea si decelerarea
elementelor mecanismului actionat si invingerea fortei tehnologice pe care o opune acesta. Ecuatia de miscare a pistonului este, [V1]:
rFaFeFfpFfvFpFm
z1
= (2.51)
2.1.5. Ecuatia comparatorului mecanic Comparatorul mecanic realizeaza dependenta functionala dintre marimea de intrare y,
marimea de iesire z si marimea de comanda a distribuitorului x . In cazul servomecanismului cu cap mobil comparatia dintre marimea de intrare si de iesire se face direct
zyx = (2.52)
2.2.2. Simularea numerica a comportarii dinamice a unei servopompe realizate cu regulator de presiune
Modelul matematic al sistemului studiat este format dintr-un sistem de ecuatii
diferentiale neliniare, [V1], [U1]:
4
csQsQlpmQtmmQtmpQ
tVp
= (2.109)
cQdQsQcVcp
= (2.110)
hsFesFesFcsFsm
x 01
= (2.111)
acFecFecFbFccFcm
y 01
= (2.112)
Fig. 2.11. Retea de simulare numerica a servopompei echipata cu regulator de presiune
Fig. 2.12. Evolutia presiunii in cursul unui regim tranzitoriu provocat de anularea debitului
absorbit de motor
Fig. 2.13. Evolutia presiunii de comanda in cursul unui regim tranzitoriu provocat de anularea debitului absorbit de motor
Experimentele de simulare numerica efectuate pe semnale treapta si sinusoidale
conduc la concluzia ca servomecanismul este descris fidel prin functia de transfer simplificata, fiind insa necesara precizarea ca toate calculele se bazeaza pe o valoare experimentala pentru coeficientul debit-presiune al distribuitorului. Capitolul3. Analiza stabilitatii servosistemelor mecanohidraulice In acest capitol este prezentat studiul stabilitatii unui sistem mecanohidraulic folosind criteriul algebric Routh � Hurwitz si criteriul Nyquist prin determinarea hodografului. Aceasta parte
5
realizeaza trecerea de la stadiul actual al cercetarii la noi studii si cercetarii ale stabilitatii sistemelor mecano hidraulice. 3.1. Descrierea in frecventa a sistemelor liniare
Presupunem ca unui sistem oarecare ii aplicam la intrare sinusoide avand amplitudinea
constanta si frecventa variabila. Daca masuram si notam pentru fiecare frecventa a intrarii, amplitudinea si defazajul iesiri vom obtine o tabela care caracterizeaza respectivul sistem [I3], [L2]. 3.1.1. Diagrame Bode
Este vorba despre reprezentarea amplitudinii si defazajului iesirii in functie de frecventa
(mai precis in functie de pulsatie). Vom considera ca sistemul este SISO (Single Input Single Output). Intrarea sistemului se considera a fi sinusoidala de amplitudine unitara. In caz general se reprezinta direct raportul intre amplitudinea iesirii si a intrarii si respectiv defazajul. Daca se cunoaste functia de transfer a sistemului, cele doua curbe se pot determina analitic, inlocuind in functia de transfer js = .
Fig. 3.1. Reprezentarea grafica a amplitudinii si respectiv fazei iesirii a unui sistem de ordinul I, pentru intrare sinusoidala. Ambele marimi sunt reprezentate in functie de pulsatia
intrarii, iar coordonatele sunt liniare
3.2. Studiul stabilitatii unui subsistem distribuitor- motor hidraulic liniar
Consideram subsistemul format dintr-un distribuitor cu patru cai si un motor hidraulic liniar real (cu pierderi hidraulice si mecanice) cu tija bilaterala si camere egale [V1].
Fig.3.2. Subsistem format dintr-un distribuitor cu 4 cai si motor hidraulic liniar
6
Criteriul algebric Criteriul algebric permite obtinerea unei conditii de stabilitate nepermitand
dimensionarea optima a componentelor servomecanismului din punct de vedere al performantelor. Aceasta problema poate fi rezolvata cu ajutorul criteriului lui Nyquist completat cu informatii sistematice furnizate de practica.
Criteriul Nyquist
Criteriul lui Nyquist necesita determinarea functiei de transfer a caii directe, [L2], [V1]:
sspKpA
m
hR
ms
pA
QxK
s
sz
22
3=
)(
)(
(3.20)
Daca servomecanismul este excitat la pulsatie naturala numaratorul acestei relatii devine nul In acest regim, raportul amplitudinilor semnalului de intrare si erorii este:
hRdR
hhR
mhh
dRvmK
vKz=
232
=max
max
(3.28)
Acest rezultat este in concordanta cu cel oferit de Routh Hurwitz care indica destabilizarea sistemului pentru dRhR =
Fig. 3.3. Studiul stabilitatii utilizand criteriul Nyquist
3.3. Conditii ideale pentru un servomecanism hidraulic � modelul neliniar
Cel mai simplu model neliniar corespunzator raspunsului unui mecanism la semnal treapta este format din urmatoarele patru ecuatii, [V1], [B1], [M2]:
� ecuatia comparatorului mecanic )(= zyx (3.29)
� ecuatia de miscare a pistonului motorului hidraulic liniar
Pm
pAz = (3.30)
� ecuatia de continuitate corespunzatoare subsistemului distribuitor - motor hidraulic
liniar
7
PhR
pAPKzpAQ
2
1= (3.31)
� caracteristica distribuitorului
sP
PxQxKQ sgn1= (3.32)
y este treapta de pozitie la intrarea servomecanismului, care este considerat 1 mm corespunzator lungimii uzuale a ferestrelor de distributie. Un alt model liniar de ecuatii ce descrie acest tip de regim tranzitoriu este constituit din urmatoarele ecuatii:
zx = (3.35)
FPpAm
z1
= (3.36)
PQpKxQxKQ = (3.37)
PpKzpAxQxK
pA
hRP
2= (3.38)
Modelul neliniar are urmatoarea structura:
zx = (3.39)
FPpAm
z1
= (3.40)
sP
PxxQxKQ sgn1= (3.41)
PpKzpAxQxK
pA
hRP
2= (3.42)
3.4. Modelarea matematica,analiza stabilitatii si simularea numerica a dinamicii servomecanismelor 3.4.1. Stabilirea functiei de transfer in cazul modelului liniarizat
Functia de transfer este data de raportul marimii de intrare y si al marimii de iesire z .
Aplicam transformata Laplace sistemului format din ecuatiile (3.44)-(3.51) in conditii initiale nule. Noul sistem are forma, [M5]:
uzyx )(= (3.52) PKxKQ QpQx = (3.53)
p
ppp A
FPPAF
22= (3.54)
22 )(
)()(=)(ms
sFsvsvmssF (3.55)
sDR
sFsussuDsuRsF
aa
aaaa
)()()()(=)( (3.56)
8
sDR
sFsvszsvszsDsvszRsF
cc
cccc
)()()())()(())()((=)( (3.57)
)(2
)()(=1
1 ssFR
APKssuAsszAQ
h
ppp (3.58)
Functia de transfer a caii directe este:
)()()2(
))((2
)2)((=
22
23
2
sDRsAsDRKRRAsAKsDRms
sRAsDAsmAsDRRA
RAsDRRsDmsK
zy
z
aapaaphhppQxcc
cpcppaahp
hpaaccQx
(3.59)
3.5. Modele neliniare de servomecanisme hidraulice in conditii reale
Modelul neliniar corespunzator raspunsului unui servomecanism la semnal treapta In acest caz vom considera yy in ecuatia comparatorului mecanic (3.44)
P
hR
pAPKupAzpAQ
vzcDvzcRcF
uaDuaRaF
vmF
pPApF
sP
PxxQxKQ
uzyx
2
2
1=
)()(=
=
=
2=
sgn1=
)(=
(3.61)
Modelul neliniar ce descrie regimul tranzitoriu la un semnal forta treapa In cazul acestui model au fost considerate urmatoarele: in ecuatia comparatorului
mecanic (3.44) 0y iar in ecuatia fortei de presiune (3.46) apare semnalul de tip forta treapta F :
PR
APKuAzAQ
vzDvzRF
uDuRF
vmF
PAF
P
PxxKQ
uzyx
h
ppp
ccc
aaa
pp
sQx
2=
)()(=
=
=
2=
sgn1=
)(=
2
1
(3.61)
9
Modelul neliniar corespunzator raspunsului unui servomecanism la semnal treapta si forta treapta
In al treilea model neliniar este considerat ca yy in ecuatia comparatorului mecanic
(3.44) iar in ecuatia (3.46) in forta de presiune apare si semnalul forta treapta F :
PR
APKuAzAQ
vzDvzRF
uDuRF
vmF
FPAF
P
PxxKQ
uzyx
h
ppp
ccc
aaa
pp
sQx
2=
)()(=
=
=
2=
sgn1=
)(=
2
1
(3.64)
Schema simularii numerice cu ajutorul mediului Simulink, pentru toate cele trei modele neliniare este prezentata in figura de mai jos. Diferenta pentru cele trei modele consta in modificarea parametrilor ce intervin in ecuatia comparatorului mecanic
Fig. 3.4. Reteaua de simulare numerica corespunzatoare modelului neliniar al unui
servomecanism hidraulic in conditii reale Se observa ca modelele neliniare sunt stabile. S-au facut incercari pentru a descoperi
punctual in care apare instabilitatea. Pentru aceasta au fost modificate valorile rezistentei hidraulice si a masei. S-a constatat ca instabilitatea intrervine in sistem atunci cand Rh=2*1.648*105 N/m. Au fost simulate cazurile in care masa este de 500g si apoi de 100g. Rezultatele simularii au fost aceleasi, ele fiind obtinute numeric in doua moduri: a) cu mediul Simulink si b) prin integrare numerica directa cu metoda ode45 din mediul Matlab
Se constata ca pentru obtinerea unor rezultate apropiate de realitate este necesara modelarea matematica utilizand debitele masice. Utilizarea debitelor volumice poate duce la oscilatii mari ale elementului de executie, neconforme cu realitatea si chiar la sisteme de ecuatii instabile (amplitudinea oscilatiilor presiunii poate creste la infinit).
10
Fig. 3.13. Influenta masei asupra raspunsului la semnal treapta al unui servomecanism in
conditii reale (m=500g, m=100g)) Capitolul 4. Sisteme de reglare automata a proceselor mecanohidraulice 4.1. Sisteme conventionale de reglare automata
Proiectarea sistemelor de reglare se bazeaza pe calculul modelelor de comanda din
ecuatii de bilant masic sau energetic obtinute prin legi fizice, chimice, biologice care guverneaza functionarea proceselor automatizate. Aceasta metoda traditionala tinde sa fie inlocuita de abordarea numerica directa.
4.1.3. Calculul modelului matematic al unei conducte inclinate
Prezentam in continuare modelul dinamic al procesului de umplere � golire dintre doua
rezervoare de sectiune constanta 1S si 2S , cu nivelul de lichid 1L si 2L in cele doua
rezervoare. Debitul de alimentare este aQ si debitul de evacuare este eQ . Cele doua
rezervoare comunica printr-o conducta inclinata cu un unghi , de sectiune constanta S (vezi fig. 4.3).
Forta de reactiune este forta de frecare a fluidului cu peretii conductei; debitul de
curgere depinde de lungimea conductei 0L , de coeficientul de frecare al fluidului cu conducta
m
Nsk
cos= 020 gSL
k
PLQ
(4.35)
Pentru regimul stationar al procesului de curgere, folosind echilibrarea fortelor de
presiune, de frecare vascoasa si actiunea gravitationala, avem:
0=cos050
20
00 gSLL
QSLkSP (4.36)
iar pentru regimul dinamic avem legea impulsului:
)(=cos)(
)( 050
2
0 tMvdt
dgSL
L
tQSLktPS (4.37)
11
Fig. 4.3 Modelul dinamic al procesului de umplere-golire intre doua rezervoare
conectate printr-o conducta inclinata Functia de transfer este:
1=)(
s
ksH
(4.47)
unde 0.5=pk si kS
L
2=
5
.
4.1.4. Modelarea matematica a curgerii fluidului prin doua rezervoare conectate printr-o conducta inclinata
Notam cu h inaltimea manometrica g
Ph
= corespunzatoare caderii de presiune din
conducta,iar relatia (4.50) poate fi scrisa sub forma:
)(=)()( 22 hLdt
dStQtQ e (4.51)
unde )(tQ este debitul in conducta lunga inclinata obtinut din relatia (4.50) Modelarea matematica a influentei marimilor de executie este studiata cu ajutorul
softului matematic Maple pentru doua cazuri: cand variatia debitului este de forma "trapez" respectiv cand variatia debitului este de forma "fierastrau".
Variatia debitului sub forma trapez Forma generala a influentei marimilor de reglare, respectiv de executie este data de
urmatoarea exprimare:
Fig. 4.4. Influenta marimilor de executie si reglare sub forma trapez
Fig. 4.5 Variatia debitului de intrare si iesire pentru influenta trapez
12
Variatiadebitului sub forma "fierastrau"
Forma generala a influentei marimilor de reglare, respectiv de executie este data de
urmatoarea exprimare:
Fig. 4.6. Influenta marimilor de executie si reglare sub forma fierastrau
Fig. 4.7. Variatia debitului de intrare si iesire pentru influenta fierastrau
Observam ca in ambele cazuri studiate debitul se stabilizeaza destul de repede la valoare comuna. Acestea reprezinta legi de reglare intalnite in practica.
4.2. Metode teoretice si practice privind absorbitoarele de oscilatii si
reglarea automata a sistemelor multimodel
In aceasta sectiune modelam un sistem hidraulic in raport cu disiparea unor oscilatii discontinue pentru obtinerea stabilitatii asimptotice. Sistemul de amortizare a fost facut prin folosirea unor senzori cu blocuri de calcul si control electronic pentru sistemul matematic la intrare si iesire. Este modelat un sistem hidraulic � pneumatic pentru oscilatii de amortizare ca un raspuns pentru fluid si amortizarea dinamica. Sistemul de amortizare este un servomecanism de pompare alternativa a fluidului in doua rezervoare. In continuare este prezentata o structura multi-model de reglare automata. Prezentam metoda buclei inchise, algoritmul de control R-S-T si control adaptiv aplicata pentru un sistem dinamic neliniar in cazul controlului de nivel pentru un fluid ce se scurge dintr-un rezervor in altul.
Acest studiu original, [L8] este o imbinare interdisciplinara intre mecanica fluidelor, automatica si matematica.
4.2.1. Amortizarea sistemelor dinamice Este stiut ca in miscarea lor, sistemele dinamice (navele maritime sau avioanele) sunt
perturbate (de valuri sau vant). In acest sens sunt obligate sa efectueze oscilatii de ruliu reprezentate prin unghiul de rotatie )(t fata de un reper. Disiparea acestor oscilatii pentru a obtine din nou regimul stabil al miscarii este facuta folosind niste pompe dirijate servomecanic si electric � pentru a transfera fluid in contrabalans in doua rezervoare montate simetric fata de axele verticala si longitudinala. In acest mod umplerea si golirea rezervarelor in contra balans se obtine ca un efect de repaus a frecarii si variatiei masei de fluid de la stanga la dreapta, implicand stabilitatea asimptotica cu intermitente. In planul fazelor spirala traiectoriei este unduitoare, prin schimbarea sensului de miscare tinzand catre focarul asimptotic stabil. [C2].
13
Fig. 4.8. a) O pompa conectata la doua rezervoare; b) schema regulatorului hidraulic.
Legatura este cu joc liber al lagarului si pentru a culisa (6) este creata distanta B2 ,
astfel incat corpul serverului oscileaza cu B , ceea ce inseamna Br sau Br = cu semnul pentru 0> si - pentru 0< .
Fig. 4.9. Traiectoriile in planul fazelor : a) cazul omogen; b) cazul neomogen
Bkkr 22 =2 (4.61) In planul fazelor studiul miscarii este facut astfel: consideram miscarea de la dreapta la
stanga cu ),( BB . Notam Bx 1= :
0=2 12
11 xkxrx (4.62) Spiralele sunt unite prin continuitate si vor fi ondulate catre origine astfel: considerand
pozitia initiala la 0=t , 0>0ix atunci prin recurenta catre stanga avem:
)(1=)(= 001
0 BxBBxx iii (4.65)
Astfel ne vom deplasa catre partea stanga a originii daca: 0>)(10 Bx i sau
Bj
Bxi 2>1
1>0
. Formula (4.65) este conditionata de Bxi 0<0 . Daca
jBxB i 1
1< 0 traiectoria se indreapta catre origine prin partea inferioara fara a sectiona
intervalul ),( BB , vezi (fig. 4.9b). Solutia prezentata mai sus necesita cunostinte exacte ale parametrilor procesului (rezervoare, pompe, conducte, etc.). controlul practic al nivelului in rezervor poate avea ca solutie un sistem adaptiv multimodel [L12]. Functionalitatea unui astfel sistem implica rezolvarea urmatoarelor probleme: alegerea celui mai bun model, identificarea bucle inchise a modelului adaptat, recalcularea algoritmului de reglare.
14
4.2.2. Alegerea modelului Sistemele cu model invers reprezinta una din solutiile de succes folosite la controlul in
timp real al proceselor neliniare. Utilizarea unei astfel de structuri impune rezolvarea unor probleme specifice, cum ar fi determinarea caracteristicii statice a procesului, constructia modelului invers si proiectarea unui regulator robust.
Eroarea modelului la momentul k este definita ca o diferenta intre iesirea iy a
modelului si iesirea y a instalatiei [L2], [L12], [D4]:
kykyk ii = (4.66) Criteriul de performanta care este folosit ca regula de selectie este definit mai jos:
jeekkJ ijk
k
jii
2
1=
2=
(4.67)
Unde 0> si 0> sunt factori de pondere pe masuri instantanee si termenul de precizie este
factorul de uitare 0> (exprima proprietatea potrivit careia in evaluarea acestor matrici valorile cele mai recente au o pondere mai importanta decat cele vechi).
4.2.3. Identificarea buclei inchise recursive
Consideram o metoda adaptiva de tip bucla inchisa (identificarea filtrata a erorii buclei inchise - FCLOE) pentru instalatia de comanda reglata. Aceasta metoda calculeaza parametrii modelului in ideea de a optimiza bucla inchisa la iesirea erorii precizate CL folosind datele
filtrate u si y . O schema de identificare FCLOE este prezentata in Fig. 4.10:
Fig. 4.10. Tehnica de identificare a buclei inchise
Polinoamele RST sunt descrise de ecuatiile:
nrnrqrqrrqR ...)( 1
101
ns
nsqsqssqS ...)( 110
1
nt
ntqtqttqT ...)( 1
101
Algoritmul de alocare a polilor pleaca de la modelul identificat al procesului
)()(
)()(
1
1
kuqA
qBqky
d
unde nbnbqbqbqbqB ...)( 2
21
11 si nb
nbqaqaqaqA ...)( 22
11
1
Ideea de baza este de a substitui prin filtrarea lui u si y eroarea precizata LS cu
eroarea de iesire a buclei inchise CL . Filtrul depinde de controlul algoritmului. Algoritmul FCLOE - algoritm in forma recursiva a celor mai mici patrate este urmatorul:
15
1)()()()(=1)( kkkFkk LSf (4.68)
0>,=(0),)()()(1
)()()()()(=1)(
IF
kkFk
kFkkkFkFkF
fT
f
Tff
(4.69)
)()()(1
)()(1)(=1)(
kkFk
kkkyk
fT
f
fT
CL
(4.70)
Unde, )(k este vectorul parametru; )(kf este vectorul de observatie filtrat; )(kF este
matricea de adaptare obtinuta; CL este eroarea precizata a buclei inchise.
4.2.4. Model bazat pe sinteza legii de control. Pentru modelul iM reprezentam un controler iC care satisface performantele
nominale dorite. Algoritmul polinomului RST cu doua grade de libertate, pentru controlerul
iC este prezentat mai jos (vezi Fig. 4.11):
Fig. 4.11. Algoritmul de control RST
In acest caz intrarea )(ku este:
)()(
)()(
)(
)(=)(
1
1
1
1
kyqS
qRkr
qS
qTku
(4.71)
Perturbarile de respingere sunt asigurate de polinoamele )(),( 11 qSqR , obtinute prin
rezolvarea ecuatiei: )()()()(=)( 11111 qRqBqSqAqPC (4.72)
unde, � perechea ))(),(( 11 qBqA reprezinta modelul instalatiei;
� )( 1qPC este polinomul caracteristic al buclei inchise.
4.2.5. Algoritmul adaptiv bazat pe compensarea efectelor perturbatiilor � reidentificarea modelului 1kM folosind relatia (4.68), unde datele filtrate sunt
kP
Sk
Cf = .
)(
)(=
11
11
1
qA
qBM
k
kk (4.74)
� Evaluarea perechii )(),( 1
11
1
qSqR kk din ecuatia:
)()()()(=)( 111
111
1
qRqBqSqAqP kkC (4.74)
16
� Calcularea intrarii 1)( ku :
1
1
1
11 =
q
qM
k
kk A
B (4.75)
4.2.6. Algoritmul adaptiv a referintei de urmarire:
� Identificarea modelului 1kM :
)(
)(=
11
11
1
qA
qBM
k
kk (4.76)
� Calcularea lui )( 1
1
qPCk folosind ecuatia:
)()()()(=)( 111
111
11
qRqBqSqAqP kkCk (4.77) � Calcularea lui )( 1
1
qTk cu relatia:
)((1)
(1)=)( 1
11
111
qPB
PqT kC
k
kk (4.78)
� Calcularea intrarii 1)( ku
)()(
)()(
)(
)(=1)(
1
1
1
11 ky
qS
qRkr
qS
qTku k
(4.79)
4.2.7. Rezultate experimentale Instalatia sistemului de reglare automata pentru controlul nivelului unui proces de
umplere-golire al unui rezervor instalat pe o platforma experimentala de laborator este dotata cu aparatura de masura si elementele de actionare precum si cu facilitati de selectare a traseelor tehnologice necesare pentru configurarea separata a buclelor de reglare. Implementarea facuta pentru sistemul de reglare a nivelului in unul din dele doua rezervoare de pe platforma experimentala, din punct de vedere hardware, contine traductorul de nivel cu ultrasunete, procesul de umplere-golire cu evacuare libera a rezervorului si elementul de executie, care este o pompa cu turatie variabila, comandata in tensiune.
Fig. 4.12: Instalatia de laborator pe care a fost testat programul
Fig. 4.13. Instalatia experimentala
17
Sunt evaluate performantele obtinute ale controlului adaptiv multimodel utilizand instalatia experimentala prezentata schematic in fig. 4.13. Scopul principal este de a controla in bucla inchisa nivelul din rezervoul 1. Exista o relatie neliniara intre nivelul L si debitul Q .
gLaQ 2= (4.80) Consideram trei puncte de operare ale instalatiei 321 ,, PPP pe diagrama neliniara
)(= LfQ ca in Fig. 4.14. Valorile de nivel 321 ,, LLL pot fi considerate ca fiind multimea punctelor ale sistemului de control nominal.
Fig. 4.14. Punctele de operare ale instalatiei
Rezultate experimentale
Au fost considerate doar 3 puncte stationare in jurul carora au fost identificate cele trei
modele. Din punct de vedere procentual, fata de intreaga gama de lucru (50-150 mm), pozitiile cestor trei modele sunt urmatoarele:
M1 � pentru umplere 80% - nivel mare; M2 � pentru umplere 50% - nivel mediu; M3 � pentru umplere 20% - nivel mic. Modelele discrete obtinute sunt:
1
1
1 94233.01
08816.0
q
qM ,
1
1
2 92641.01
08092.0
q
qM ,
1
1
3 91757.01
07903.0
q
qM
Cele trei modele difera atat din punctul de vedere al polilor cat si al amplificarilor
statice, fapt ce corespunde cu figura prezentata anterior. Conform dinamicii procesului, perioada de esantionare a functionare a sistemului a fost
aleasa la valoarea de Te=5 sec. Au fost calculati parametrii celor trei algoritmi de reglare impunand perfotmantele: pentru urmarire: 0 = 0.050 , = 0.85, respectiv pentru reglare: 0 = 0.085 , = 0.75
Figurile 4.16 si 4.17 prezinta evolutiile obtinute pentru 300 de perioade de esantionare. Graficele sunt impartite in doua sectiuni, cea superioara pentru reprezentarea referintei si a iesirii sistemului respectiv partea inferioara pentru evolutia comenzii calculata in sistem.
18
Fig. 4.16.: Evolutia sistemului fara adaptare Fig. 4.17: Evolutia sistemului cu adaptare
Capitolul 5. Sisteme hidraulice de urmarire
In acest capitol este prezentata analiza stabilitatii unui sistem hidraulic de urmarire.
Prima parte 5.1 prezinta analiza armonica a acestui sistem, un studiu facut de T. Basta [B1] in care rezistentele conductelor hidraulice ale sistemului considerat sunt neglijate. Acest subcapitol reprezinta partea pregatitoare pentru contributiile proprii din subcapitolul 5.2.
Noutatea adusa in subcapitolul 5.2 este ca pentru a realiza o simulare cat mai apropiata de comportamentul real al sistemului este necesar ca aceste rezistente sa nu fie in totalitate neglijate. Astfel se propune studiul in care doua dintre acestea sunt constante iar celelalte sunt functii de presiune. Analiza stabilitatii este realizata prin gasirea punctului de echilibru utilizand metoda in prima aproximatie, respectiv prin gasirea unei functii Liapunov. Acest studiu este in curs de publicare.
Paragraful 5.3 reprezinta un nou studiu original [L11] pentru giroscoape, lagare pe suport fluid, pendul dublu, electroni in camp magnetic fiind posibil de a se aplica in domenii facand analogii pentru sistemul dinamic autonom liniar sau liniarizat cu doua grade de libertate.
5.2. Studiul stabilitatii echilibrului unui sistem hidraulic de urmarire
'1022
21 = ppxk
Q (5.25)
'2
'222
22 =
ppxk
Q (5.26)
1'1
213 = ppQr (5.27)
'22
222 = ppQr (5.28)
02
11 = ppQr (5.29) '2
224 = pQr (5.30)
Ne intereseaza studiul stabilitatii sistemului hidraulic in origine. Pentru aceasta se vor
cauta punctele de echilibru ale sistemului (5.45) prin egalarea membrilor drepti cu zero, astfel:
19
0=2
)(2
)(1
)(
0=2
)(2
)(1
)(
0=
0=
02
4222220
01
3122220
21
zAyV
Ap
rryxlc
yxcl
AyV
zAyV
App
rryxlc
yxcl
AyV
pm
Ap
m
Az
my
m
z
(5.45)
Rezolvare sistemului (5.45) ne conduce la urmatoarea solutie:
xA
ppyxppz
2122~=;=;~=0;= (5.46)
cu:
.|<|;<~<;0<~<0 022 A
Vxpx
Appp
Consideram ca rezistentele conductelor din sistemul hidraulic 1r si 4r sunt constante, iar
rezistentele 2r si 3r depind de presiunea fluidului ce trece prin ele:
)(=);(= 222133 prrprr (5.49)
Stim ca variatia de presiune poate si scrisa, [P5]: g
v
d
lgp
2=
2
; viteza fluidului este:
2
4=
d
Qv
.Aceste relatii ne conduc la: .
8=
52d
lr
Pentru cazul in care curgerea fluidului este in regim turbulent neted avem relatia lui
Blasius: 4
0,3164=
Re , unde Re este numarul lui Reynolds. Ne intereseaza variatia rezistentei
conductei, r in raport cu presiunea p :
dp
dQ
dQ
dr
dp
dr= ; 4
5
452 4
1
40,3164=
8==
Q
d
dQ
d
dQ
d
d
l
dQ
d
d
dr
dQ
dr
Particularizam calculele de mai sus pentru 2r si 3r : 4
5
14 33
53
3
1
3
40,3164
2=
Qd
d
l
dQ
dr
Obtinem astfel variatia rezistentei conductelor in raport cu presiunile:
)(2
14
0,31642=
3122
323
23
234 33
53
3
1
3
rrxlc
xlcd
d
l
dp
dr
(5.50)
Analog pentru 2r
)(2
14
0,31642=
4222
222
22
224 22
52
2
2
2
rrxlc
xlcd
d
l
dp
dr
(5.51)
Particularizam calculele de mai sus pentru 2r si 3r :
20
4
5
14 33
53
3
1
3
40,3164
2=
Qd
d
l
dQ
dr
Obtinem astfel variatia rezistentei conductelor in raport cu presiunile:
)(2
14
0,31642=
3122
323
23
234 33
53
3
1
3
rrxlc
xlcd
d
l
dp
dr
(5.50)
Analog pentru 2r
)(2
14
0,31642=
4222
222
22
224 22
52
2
2
2
rrxlc
xlcd
d
l
dp
dr
(5.51)
Polinomul caracteristic ne conduce la ecuatia algebrica de gradul (iv):
0=)]
~~(
2)
11([
0
2
0
2
00
223
AxV
xA
pp
AxV
pcl
m
A
mAxVAxVm
A
m
Pentru ecuatia algebrica de gradul 3 conditia de stabilitate ne spune ca solutia nula este stabila daca si numai daca 3021 > aaaa unde 0=32
21
30 aaaa , ceea ce pentru cazul
nostru ne conduce la:
0>
~~22
0
2
0
2222
0
22200
2
AxV
xA
pp
AxV
pAcl
xAV
xAVVA
m
(5.52)
Consideram ca este indeplinita conditia (5.52); insa deoarece polinomul caracteristic are
o radacina nula nu ne putem pronunta asupra stabilitatii sistemului. Pentru aceasta avem nevoie de gasirea unei functii Liapunov. Atasam forma liniarizata a sistemului (5.58)
ZAxV
AYp
AxV
clP
ZAxV
AYx
App
AxV
clP
Pm
AP
m
AZ
mY
mZ
ZY
02
02
02
01
21
~2=
~(2
=
=
=
(5.53)
Consideram functia Liapunov [L11] de forma:
2162514223
212
21 222=2 xxkyxkyxkxkxkykV (5.58)
unde 1,...,6=, iki sunt constante. Derivata functiei V este:
2564
2163
225432
6532216511
)()()(
)()(=
yckbkkxkakxakkckyx
akkbkkxxckbkkyxV
Alegem 21= xV si coeficientii lui 2
22
21 ,,, xyyxyx egali cu zero:
0=651 ckbkk
0=6532 akkbkk
0=543 akkck
0=63 kak
21
0>64 bkk
0=5ck
Consideram 1=3k si atunci obtinem ca:
21122
21
22 22)(=2 xaxcyxxxbaacyV
care este pozitiv definita pentru 0<cab , iar 21= cV este negativa.
Deoarece solutia sistemului este asimptotic stabila rezulta ca si solutia sistemului neliniar este asimptotic stabila. In urma verificarii daca functia V gasita mai sus este functie Liapunov si pentru sistemul neliniar, se poate trage concluzia ca sistemul hidraulic este stabil.
Analiza numerica Studiul analizei numerice este realizat cu ajutorul softului matematic Matlab care
utilizeaza procedura ode55 bazata pe metoda Runge-Kutta. Valorile folosite in simularea numerica sunt prezentate mai jos, studiul fiind facut pentru cazul laminar precum si pentru cel turbulent:
Fig. 5.4 Influenta rezistentelor conductelor hidraulice asupra sistemului hidraulic de
urmarire In figura 5.4 rezistentele conductelor hidraulice produc perturbatii, astfel in timp ce
raspunsul servomecanismului oscileaza timp indelungat raspunsul sertarasului este stabilizat in jurul valorii mx 18.0 . Presiunea din camera activa a pistonasului variaza intre limite largi. In practica aceste oscilatii sunt atenuate prin transformarea semnalelor treapta in semnale rampa.
In cazul in care se neglijeaza rezistentele hidraulice ale conductelor observam ca analiza numerica a sistemului neliniar ne conduce la rezultate asemanatoare studiului facut de [H2], [H3]
22
Fig. 5.5. Comportarea sistemului hidraulic de urmarire cand sunt neglijate rezistentele conductelor hidraulice
In cazul neglijarii rezistentelor conductelor hidraulice, analiza numerica a sistemului hidraulic arata ca acesta se stabilizeaza pentru toate marimile care influenteaza comportarea dinamica a acestuia.
Se constata ca pentru obtinerea unor rezultate apropiate de realitate este necesara modelarea matematica tinand cont de cele patru rezistentele hidraulice care apar in sistemul hidraulic de urmarire.
Situatia acoperirii pozitive pentru cazul in care se tine cont de rezistentele hidraulice ale conductelor este aproape de comportarea reala a servoamplificatorului hidraulic.
Se remarca variatia presiunilor ín camerele servoamplificatorului. Presiunile oscileaza cu amplitudini foarte mari, practic cu valoarea presiunii de alimentare ín cazul lui 1p si se
ating valori chiar mai mari ín cazul lui 2p . 5.3. Influenta structurala a fortelor asupra sistemelor dinamice hidraulice
Consideram un sistem dinamic autonom liniar sau liniarizat cu doua grade de libertate,
[I2], [V2]. Exemplele alese sunt pentru giroscoape, lagare pe suport fluid, pendul dublu, electroni
in campul magnetic si alte exemple din diferite domenii facand analogii pentru sistemul de ordinul patru.
In sistemul de ecuatii de ordinul al patrulea apar forte structurale generalizate: )(qK - forte conservative, )(qN - forte neconservative, )(qD forte disipative, )(qG forte giroscopice. In sistemul liniar, aceste forte din diferite combinatii structurale pot produce stabilitatea sau instabilitatea solutiei nule. In acest sens sunt cunoscute teoremele lui Thomson - Tait - Cetaev (T-T-C) pentru configuratiile ),,( GDK . Vor fi introduse fortele neconservative N , iar stabilitatea va fi studiata cu ajutorul criteriului Routh � Hurwitz sau construind functia Liapunov, obtinand cateva teoreme cu aplicatii practice, [M3], [P6], [L11].
0=
0=
2221212221212221212221212
2121112121112121112121111
xnxnxgxgxcxcxkxkx
xnxnxgxgxcxcxkxkx
(5.59)
La baza acestei structuri de forte )(),(),(),( qGqDqNqK vom analiza stabilitatea, facand cateva combinatii ale acestor forte, si vom obtine astfel o serie de teoreme pentru sistemul GDK ,, , Thomson - Tait - Cetaev (T-T-C).
Exemplele sunt pentru giroscoape, lagare pe suport fluid, pendul dublu, electroni in
23
campul magnetic, dinamica automobilului si alte exemple din diferite domenii facand analogii pentru sistemul de ordinal patru.
Vom nota in teoremele urmatoare cu sistemul (ex. ),( DK - sistemul compus din K si D ), cu S cazul stabil, cu SA. cazul asimptotic, si cu I cazul instabil, folosind direct polinomul caracteristic (H-R) sau functia Liapunov pentru
5.3.1. Studiul stabilitatii pentru sisteme dinamice
Teorema 10 Daca actionam cu forte nepotentiale atunci sistemul este instabil ))(()( NIN . (Vezi
aplicatia 1) Teorema 11 Daca avem sistemul )( cDN atunci acesta este instabil.
Teorema 12. � Pentru sistemul )( NK facem urmatoarele afirmatii: daca sistemul este stabil
atunci )( NK este perturbat (poate fi stabil si instabil).
� Daca sistemul )( GK este stabil sau instabil atunci )( NGK este perturbat (poate fi stabil sau instabil). Teorema 13. Fortele disipative pot influenta stabilitatea sistemului )( NK astfel: daca )( NK
este instabil atunci )( NKD poate fi stabilizat, daca )( NK este stabil atunci
)( NDK poate fi instabilizat.
Teorema 14 Daca in sistemul K cele doua ecuatii de ordin secund au frecventele egale si introducand N pentru sistemul )( NK avem: daca sistemul )( NK este liniar atunci stabilitatea
este perturbata indiferent de termenii neliniari Teorema 15 Daca )( NG este instabil, atunci )( DNG este stabil.
Se observa ca teoremele T-T-C nu conserva mereu daca apar forte nepotentiale. )(N Aplicatia 1 (Teorema 10)
Un sistem care are doar forte nepotentiale este mereu instabil. Un astfel de sistem este reprezentat prin ecuatiile::
0=
0=
pxy
pyx
(5.64)
Ecuatia caracteristica este: 0=24 p , cu solutiile pi)/2(12= avand radacini cu partea reala pozitiva, astfel avem instabilitate pentru sistem. Aplicatia 4. Pendulul giroscopic cu doua grade de libertate, yx, si 3 tipuri de amortizare, [L1]:
O amortizare liniara stationara ),( ycxc ss si o amortizare rotationala
)(),(( xycyxc rr cu ecuatiile:
0=)(0 axycyJxccxI rrs
0=)(0 ayxcxJybbyI rrs
24
Fig. 5.17 Pendulul giroscopic conform cu [W3]
cu 0I momentul inertial polar, J momentul inertial axial, viteza de rotatie, 1= .
Observam ca fortele conservative sunt: ),,( yaxaF iar fortele de amortizare sunt:
),(),,(),)(,)( xcycNxJyJGybbxbb rrrsrs .
Aplicatia 5. Lagarul cilindric cu rotor in camp de fluid vascos:
Fig. 5.18. Sectiune intr-un lagar circular
Centrul de stabilitate al rotorului ),,( NGK :
Ypxyyby
Xpyxxbx
=
=2
2
(5.68)
Aici avem fortele: ),(),,(),,( 22 ppNbbGyxK , unde N reprezinta fortele aerodinamice produse de rotorul in fluidul vascos, polinomul caracteristic este:
0=2)(22=)( 42222234 kpbkbkbP (5.69) Daca 0=p atunci domeniul de stabilitate este in primul cadran. Daca 0p atunci
stabilitatea dispare, astfel fortele nepotentiale pot face stabilitate sau pot extinde stabilitatea in afara cadranului intai.
Capitolul 6 Simularea numerica a sistemelor hidraulice bazata pe teoria sistemelor dinamice
Sistemele hidraulice pentru controlul automat al presiunii sunt organe intermediare care se
monteaza in paralel sau in serie in circuitul generator de presiune � motor hidraulic, in amonte sau in aval de acesta. Ele au rolul sa limiteze valoarea maxima admisa a presiunii generate in sisteme, sa mentina presiunea constanta in sistem permitand curgerea la rezervor a debitului in exces, etc.
25
In primul paragraf al capitolului 6.1 este efectuat un studiu al comportarii sistemului hidraulic echipat cu supapa. Supapa considerata este una cu ventil conic. Analiza stabilitatii este realizata prin crearea unei functii de transfer secventiale [F9]
In cel de-al doilea paragraf 6.2 este considerat un sistem hidraulic de urmarire cu acoperire perfecta. Modelul considerat s-a dovedit a fi unul instabil, analiza stabilitatii fiind efectuata atat numeric cat si cu ajutorul criteriului algebric al lui Routh Hurvitz. Acest studiu impreuna cu cel din paragraful 5.2 urmeaza sa fie publicate intr-o revista de specialitate.
Un alt model hidraulic echipat cu supapa este cel al unui lift hidraulic. Analiza este una comparativa cu cea existenta in literatura de specilaitate [H5] insa este studiata influenta masei unui grup de 5 persoane plus bagaje, respectiv cea a unei singure persoane cu bagaj [F10].
Ultimul paragraf al capitolului prezinta o contributie originala la studiul problemei vibroizolatoare [F3], este evidentiata o aplicatie a vibratiilor sistemelor mecanice cand efectul acestora are ca scop transportul de materiale, utilizate in cernerea de minerale, cereale sau procese mecanice de taiere, gaurire, lovire, etc.
6.1. Modelul matematic al unui sistem hidraulic pompa � motor - supapa
Consideram un sistem hidraulic format dintr-o pompa volumica, un motor volumic si o supapa de limitare a presiunii. O analiza dinamica completa a sistemului necesita considerarea dinamicii tuturor elementelor componente. Pentru evidentierea dinamicii supapei se neglijeaza dinamica pompei si a motorului, urmand ca acestea sa fie considerate ulterior, [M2]. In acest studiu s-a lucrat cu supape cu ventil conic. 6.1.1. Stabilirea functiei de transfer a supapei Modelul matematic complet al supapei este format din urmatoarele ecuatii, [V1]:
eeesshscscsss FxKpxKpAxm (6.18)
cse
cscscsscs p
VxAppK
)(
(6.19)
se
tssscsscsslmmmpp p
VpxKppKpKVnVn
)( .
(6.20) Daca forta elastica este mentinuta constanta si debitul tQ este variabil se poate defini functia de transfer a supapei in raport cu debitul disponibil in ansamblul pompa, motor si supapa:
ctFt
sQ
esQ
spsH
)(
)()(
(6.25) Daca tQ este constant si se modifica precomprimarea resortului supapei, se poate defini functia de transfer a supapei in raport cu forta elastica:
ctQe
sF
tsF
spsH
)(
)()(
(6.26) In continuare, analiza elementelor ce intervin in expresia functiei de transfer este facuta printr-un studiu original.
26
Astfel se observa ca, constanta de timp este influentata de volumul de lichid supus variatiilor de presiune intre pompa, motor si supapa, de panta caracteristicii statice a supapei si de coeficientul de scurgeri a pompei si motorului. Deoarece constanta de intarziere a elementului de executie este semnificativa nu vom neglija niciunul din termenii care apar in functia de transfer, [L2], [F9]. Se doreste obtinerea functiei de transfer a sistemului in circuit inchis de forma :
111
1)(
sss
sksH
PET
Deescompunerea numitorului a fost facuta dupa radacinile ecuatiei de gradul 3 in necunoscuta s rezultata prin interconectarea in serie dintre:
Traductorul de masura (element al unui sistem cu reglare automata care transforma in semnal unificat o marime pe care este construit sa o masoare) cu functia de transfer
1s
k
T
T
Elementul de executie aproximat printr-un element cu intarziere cu functia de transfer
1s
k
E
E
Procesul reglat de conducta prin care circula debitul de fluid cu functia de transfer
1s
k
P
P
Constanta k cu care este direct proportionala functia de transfer a sistemului considerat este egala cu produsul celor trei coeficienti ai celor trei fuctii de transfer considerate mai sus. Deoarece sistemele de reglare sunt neinertiale, frecventa cu care sunt scoase din regimul stationar este relativ mare, astfel ca este necesar un studiu de stabilitatea sistemului din care vor rezulta conditiile utile de proiectare.
6.1.2. Studiul stabilitatii - Criteriul lui Nyquist
Functia de transfer pentru js : 111
1)(
jjj
jkjH
PET
, [L2], [F9].
Aceasta reprezentare se poate exprima cu partea reala si cea imaginara a lui )()()( jVUjH , care da informatii despre comportamentul hodografului
sistemului. Conditia 0)( U , specifica pulsatiile 1 la care hodograful taie axa
imaginara: PE
ETTPT
1 , iar 0)( V specifica pulsatiile in care hodograful
taie axa reala: PTETPET
T
2 . Deoarece )(sH nu are poli in semiplanul
drept, sistemul in circuit inchis este stabil daca hodograful )( jH nu inconjoara punctul critic j1 .
Daca )( jH nu taie axa reala nu exista o pulsatie 2 , conditie asigurata de:
0 PEPE , adica PE
PE
. Daca hodograful taie axa reala atunci conditia
este: PE
PE
27
6.2. Modelul matematic al unui sistem hidraulic prevazut cu sertar cu acoperire perfecta
In cazul unui sertaras cu acoperire negativa, x<0, ecuatiile modelului matematic vor fi:
22223
11114
pV
yApppxKQQQ
pV
yApppxKQQQ
eaQx
eaQx
Ecuatia de miscare a sertarasului este: ykyfAppym )( 12 (6.51)
Unde f este forta de frecare vascoasa iar k este coeficientul fortei elastice.
Transformam sistemul de ecuatii diferentiale de ordinul II (6.60- 6.61) intr-un sistem de ecuatii diferentiale de ordinul intai:
222
111
12 )(
pppxKpV
Az
pppxKpV
Az
kyfzAppzm
zy
aQxe
aQxe
(6.52)
Egaland cu zero ecuatiile diferentiale de ordinui I din sistemul (6.62) se obtine punctul de
echilibru al sistemului:
2,
2,0,0 aa pp
M . Ne intereseaza sa studiem stabilitatea solutiei nule.
Pentru studiul stabilitatii sistemului neliniar (6.64) vom folosi stabilitatea in prima aproximatie. Pentru liniarizarea sistemului vom dezvolta in serie Taylor termenii radical. Forma liniarizata a Simularile numerice au fost facute cu ajutorul softului matematic Matlab, utilizand functia ode46, [P3]. Numeric, concluzia obtinuta este aceeasi cu studiul cazului analitic: sistemul considerat este instabil. Analiza numerica poate fi comparata cu cea obtinuta de A. Halanay si C. Safta , [H1], [H3]
Fig. 6.6. Schema unei instalaţii pentru ridicarea caracteristicilor unui motor hidraulic cu sertăraş
distribuitor
Fig.6.7 Amplificator hidraulic cu sertăraş cu acoperire
negatvă
28
Fig. 6.8 Instabilitatea sistemului unui servomecanism dotat cu sertaras cu acoperire negativa 6.3. Modelul matematic al unui lift hidraulic echipat cu supapa Exista doua modele de tipuri de lift folosite : lifturile hidraulice si lifturile cu cablu. Sistemul lifturilor hidraulice utilizat la ridicarea masinii prevazut cu un piston instalat in interiorul unui cilindru. In figura de mai jos avem posibilitatea de a vedea functionarea acestui sistem, [W2].
Cilindrul este conectat la un sistem de pompare a fluidului ( de obicei sistemele hidraulice folosesc ca fluid de lucru uleiul, dar si alte fluide incompresibile pot fi utilizate). Sistemul hidraulic are trei parti:
Rezervorul de fluid O pompa actionata de un motor electric O valva intre cilindru si rezervor
Fig. 6.9: Sistemul liftului hidraulic
29
6.3.1. Analiza si simularea sistemului hidraulic
Vom analiza simularea numerica cu ajutorul mediului Simulink din mediul de programare Matlab. Simularea dinamica are doua obiective: unul este de a investiga caracteristicile dinamice ale valvei pentru a gasi si analiza problemele existente, precum si pentru a regla parametrii valvei. Un al doilea obiectiv este de a compara caracteristicile dinamice ale valvei cand parametrii sunt diferiti si sa analizam influenta factorilor asupra valvei.
Modelul matematic
Ecuatia presiunii este, [H5]: 2)( VsVcfpt QQKpp (6.59)
Ecuatia de continuitate este:
)( tssVssss ppCQ
dt
dxA
dt
dpV
(6.60)
Ecuatia diferentiala a debitului si presiunii este, [H5]:
22
22
22 1
2 ACQQKpp VcVcdtc
(6.61)
Ecuatia de echilibru a valvei este:
Rvsfp FFFFFFdt
xdm 212
2
(6.62)
Ecuatia de continuitate a debitului este, [H5]:
cttcvVccc
c
c pCppCQdt
dyA
dt
dpV )(
(6.64)
Ecuatia de echilibru din cilindru este:
cccccc Fdt
dyBApgm
dt
ydm
2
2
(6.65)
Studiul simularii numerice a fost efecatuat pentru un grup de 5 persoane plus bagaje a carui masa totalizeaza 500kg (se considera ca greutatea medie a unei persoane este de 80kg) si pentru o persoana plus bagaj. Observam ca in cazul urcarii liftului la incarcatura maxima punctul de extrem maximal al presiunii se realizeaza in jurul valorii de 4Mpa intr-un timp de t=0.25s, pe cand in cazul incarcaturii minime punctul de extrem maximal se obtine la jumatatea valorii pentru incarcatura maxima intr-un timp mai mare t=0.38s. In cazul coborarii liftului hidraulic cu incarcatura maximala presiunea maxima atinsa este de 5.8Mpa intr-un timp de 0.38 s, iar in cazul incarcaturii minime este de 3.80 Mpa atinsa intr-un timp de 0.42s. Studiul poate fi extins si pentru alte mase, dar caracteristicile esentiale au fost evidentiate in randurile de mai sus
Fig 6.11 Reteaua simularii numerice a liftului hidraulic
30
Fig 6.12: Evolutia miscarii liftului hiraulic la incarcaturi diferite la urcare (a) respectiv la
coborare(b). .6.4. Problema izolatiei Vibratiile masinilor sau ale sistemelor mecanice sunt admise sau utile cand efectul
acestor vibratii are ca scop transportul de materiale, utilizate in cernerea de minerale, cereale, sau procese mecanice de taiere, gaurire, lovire (procese necesare in functionarea masinilor unelte, etc. Acesti absorbitori (izolatori) de vibratii sau controlul lor se pot face prin construirea de sisteme mecanice, sisteme hidropneumatice sau hidroelectrice. Aceste vibroizolatoare sunt implementate in sistemul mecanic, in general se considera o masa mare M (platforma) ce vibreaza si in contact cu ele se monteaza mase ( Mm ) - absorbitoare dinamice ce sunt perturbate de M , masele m sunt conectate la sistemele de amortizare, rezistenta, frecare, [C3].
Fig. 6.13 Sistemul vibroizolator
Fig. 6.14. Schema vibroizolatorului
Ecuatia de miscare este,[C3]:
tsinm
Mg
m
tFyyy nn =
)(=2 2
(6.68)
echivalent cu
31
)(cos
4=
222222
tm
Mgy
nn
(6.71)
Coeficientul de transfer cK caracterizeaza calitatea vibroizolatiei astfel:
� daca legatura dintre m s i M este rigida atunci 1=cK
� pentru 1<cK vibroizolatia este eficienta; pentru 1>cK vibroizolatia devine factor perturbator la fundatia M
Alaturi de cK (coeficientul de transfer al fortelor) se mai foloseste coeficientul efectiv
al vibroizolatiei cmax
ef KQ
MK
1== .
6.4.1. Sistemul hidro-electro vibroizolator
Sistemele regulatoare sau de control actviv sunt acele sisteme de vibroizolatie in care
izolarea efectiva fata de vibratii se obtine compensand fortele perturbatoare (compensarea dupa perturbatie) 6.4.3.Ecuatiile de miscare ale sistemului
In sistem avem doua variabile: zy, , dar datorita legaturii (6.80), prin eliminare va ramane un grad de libertate y sau z si deci vom obtine o ecuatie diferentiala. Astfel putem scrie ecuatiile de miscare:
0=)(
0=)()(
zmFzyk
ymyczykkytF
ypy
y
(6.81)
unde ym este masa pistonului, iar pF forta de presiune care actioneaza asupra pistonului.
Daca forta de excitatie )(tF este armonica, adica tHsinF = atunci 22
=)(
ssX
este transformata sa Laplace. In aceasta situatie avem functia de transfer:
)(
)(=
)()()(
)(=
52322 sP
sK
kKscKkksmKcmss
sKW t
ttyt
t
(6.89)
Fig. 6.15. Vibroizolator pentru miscarea mase m relativ la pozitia statica
Daca sistemul hidraulic este fara actiunea vibroizolatorului atunci 0=0,=0,= zkK yt .
Atunci ecuatia de miscare a pistonului devine: )(= tFcyybym ooo (6.95)
Obtinandu-se noua functie de transfer:
32
kcsmssX
sYsW o
2
1=
)(
)()( (6.96)
Pentru a optimiza vibroizolatia avem conditia: 1>1
=1<din
efdin KKK , deci
parametrii ty Kkkc ,,, se aleg astfel incat sa avem: 1>efK . Se poate face o analiza in spatiul
parametrilor. De exepmlu: � pentru 0=c lipseste amortizorul (fig. 6.16) observam ca perturbarea este continua
in sistemul vibroizolator � pentru 0=k lipseste resortul (fig. 6.17) observam ca vibratia sistemului considerat
se stabilizeaza foarte aproape de zero.
Fig. 6.16. Sistemul vibroizolator pentru cazul in care lipseste amortizorul
Fig. 6.17 Sistemul vibroizolator in cazul in care lipseste resortul
6.4.4. Studiul stabilitatii Stabilitatea cu ajutorul criteriului Routh - Hurwitz
ttyt kKacKkkamKcama
ararara
=,=,=,=
0,=
3210
322
13
0
(6.100)
Pentru ca sistemul sa fie stabil trebuie ca:
ttyti mkKcKkkmKcaaaaa >))((>0,> 3021
Stabilitatea cu ajutorul criteriuluilui Nyquist Analiza structurii, analiza functionala, spectrala a sistemului Sistemul vibrizolatorului este un sistem liniar cu o legatura de tip intrare - iesire, unde
raportul x
y implica analiza
X
YW = . In acest sistem marimea de intrare )(tx se aduna sau se
scade cu )(txy (interactiunea piston-resort yF ). Semnalul se transmite catre iesirea )(ty prin
intremediul functiei de transfer iW :
33
yi XX
YW
= (6.101)
Deci functia de transfer in cazul legaturii pozitive, respectiv negative are forma:
skkcsmsKs
KssW
skkcsmsKs
KssW
yt
t
yt
t
)()(
=)(,)()(
=)(22
(6.107)
A carei descompunere in fractii simple este:
111)(
s
k
s
k
s
ksW
P
P
E
E
T
T
(6.109)
Deci functia de transfer este formata din: traductorul de masura 1s
k
T
T
, elementul de
executie 1s
k
E
E
si procesul de reglare al sistemului vibroizolator
1s
k
P
P
.
Revenind in plan real obtinem solutia prin transformarea inversa: t
P
Pt
E
Et
T
T PET ek
ek
ek
tx
tytw
111
)(
)()(
(6.110)
Observatie: In general la frecvente joase se recomanda masurarea deplasarilor sau a vitezelor, iar la frecvente inalte masurarea acceleratiilor. Aceasta se datoreaza atat limitarii reaspunsului in frecventa al aparatelor de masura cat si sensibilitatii specifice a diferitelor tipuri de traductoare.
Fig. 6.18. Sistemul vibrioizolator fortat
Observam ca vibratiile incep sa se amortizeze in jurul valorii de t=2s deci sistemul considerat este unul stabil. Simularea numerica a fos realizata cu softul Matlab cu procedura ode45 ce analizeaza numeric folosind metoda Runge � Kutta.
Capitolul 7 Metode analitico numerice utilizate in studiul sistemelor hidrodinamice
In aceast capitol sunt accentuate elemente din teoria potentialului prin utilizarea functiilor analitice din planul complex. Reprezentand campul vectorial din aero-hidrodinamica, electromagnetism sau caldura, probleme practice din aceste domenii sunt modelate cu ajutorul functiilor analitice.
Utilizand metoda transformarilor conforme sunt rezolvarte intr-o maniera eleganta urmatoarele probleme:
- determinarea potentialului complex pentru cazul curgerii fluide in prezenta obstacolului, respectiv in cazul a doi cilindri neconcentrici.
- obtinerea campurilor spatiale axial simetrice Aceste rezultate au aplicatii practice in mecanica, in dinamica axial simetrica a fluidelor,
34
in magnetohidrodinamica, in automatica, etc. Acest capitol este unul original fiind format din lucrari ce au fost publicate in
proceedings-urile unor conferinte internationale [L6], [L7], [L13].
7.1. Studiul dinamicii miscarii stationare a fluidelor vascoase intre cilindri coaxiali neconcentrici
Ne propunem sa determinam campul vitezelor in cazul miscarii stationare a unor fluide
vascoase intre doi cilindri neconcentrici cu generatoare paralele cu Oz ; fluidul este vascos incompresibil iar domeniul de miscare sectionat normal axei Oz este coroana circulara delimitata de cercurile ),,( 22 RCO , ),,( 111 RCO , 21 < RR , cercul 1C interior cercului 2C ,
dOO =1 , cu centrul 1O pe axa Oxx . [L7] Se rezolva doua probleme: in prima problema miscarea fluidului vascos are loc datorita
unui gradient de presiune 1= kz
p
si a potentialului gravific sing generatoarele fiind
inclinate cu unghiul fata de orizontala, [P5]. Pentru aceasta problema se foloseste metoda transformarii conforme si separarii de variabile. In continuare este rezolvata problema transferului de caldura; cilindri fiind incalziti pe suprafete cu temperatura 0T distribuie caldura in fluidul aflat in miscare. A doua problema pentru acelasi domeniu este rezolvata cand miscarea este generata prin glisarea cilindrului interior 1C cu viteza constanta U fata de
cilindrul 2C fixat (cilindri orizontali). Acest studiu are aplicatii in termodinamica fluidelor vascoase in lubrificatie si tribologie. Modelul matematic se poate aplica in studiul torsiunii barelor elastice in cazul problemei plane si termoelasticitate, electormagnetism, fluide nenewtoniene, [L7], [F9], [K1]..
7.1.1. Cazul curgerii stationare a unui fluid vascos incompresibil intre doi cilindri neaxiali
Ecuatiile Navier - Stokes de miscare laminara stationara ale unui fluid vascos in
coordonate polare in care se considera forta gravifica si diferenta constanta de presiune
1= kz
p
sunt, [C1], [W1]:
sin
1=
112
2
22
2
gz
pw
rr
w
rr
w (7.1)
Fig. 7.1. Doi cilindri neconcentrici prin care fluidul vascos curge cu viteza w
Conditiile initiale si pe frontiera sunt:
0=),,(=),,(
0=0)=,,(
21 CCtrwtrw
trw
(7.2)
35
Transformarea conforma a fost realizata si cu ajutorul softului matematic Maple. Astfel, in figura de mai jos este realizata concentricitatea celor doi cilindrii:
Efectuam schimbarea de functie necunoscuta: pwwW = pentru a obtine:
0=W (7.10) Conditiile pe frontiera devin:
22
2
2222
22
2
4
2
2
114
22
21
cos21
sin=)(),()(1
2=
cos2
1
sin=)(),(
)(12
=
mmmr
KW
L
m
L
mL
mr
KW
C
C
(7.11)
Fig. 7.4. Simularea numerica a transformarii conforme
Ecuatia (7.10) in coordonate polare se scrie:
0=11
2
2
22
2
W
RR
W
RR
W (7.12)
A carei solutie particulara este: bRaWp ln= (7.13)
Folosim metoda separarii variabilelor si cautam pe W de forma: )()(= YRXW Astfel, solutia generala a ecuatiei (7.13) este:
)(cosln=1=
nRbRabRaW nn
nn
n
(7.17)
7.2. Metode speciale pentru determinarea campurilor potentiale in cazul curgerilor fluide cu simetrie axiala
Este cunoscut faptul ca ecuatiile constitutive ale unor campuri stationare, potentiale in
absenta fortelor masice din mecanica fluidelor, electromagnetism, caldura sau termoelasticitate sunt de forma (aici ),( yxv campul vitezelor)
0=0,= vrotvdiv (7.24) Avem deci pentru cazul plan ecuatiile pentru fluid ideal incompresibil, [C1]:
xyv
yxu
==,== (7.26)
Consideram deci campurile cu simetrie axiala alegand in planul meridian xOr cu Ox
axa de simetrie si Or axa radiala, unde 22= zyr . Fata de acest sistem campul vitezelor
),(= rxVV cu ecuatiile
36
0=0,= VrotVdiv (7.28) implica ),(,= rxgradV gradientul vitezelor, ),( rx functia de curent a lui Stokes.
Relatiile Cauchy Riemann generalizate arata ca functia F este p-analitica de
rPixrz
1=,=* si verifica ecuatia
0=1
10,=
4
)(,,****
2
zz FP
PF
zz
rP
zz
(7.35)
Metoda operatorilor lui Bergman [B2], arata ca solutiile ecuatiilor (7.35) se cauta de forma
)()(=),(),(),(=0=
zGzHzzfundergzzfImBxA nnnnnn
(7.36)
sunt armonice 0=2
zz
fn
iar nnn GHg ,, se determina din recurenta:
zdzGz
izGdzHz
izH
nPffPffPff
n
z
nn
z
n
nnnn
)(=)(,=)(
1,2,3,=,'=20,=2
1
0
1
0
1
"1
'0
'0
(7.37)
Faptul ca ),( rx nu este armonica conduce la rezolvarea problemelor pentru 0= sau componentele U, V afland apoi pe ),( rx
7.2.1. Metoda transformarilor geometrice pentru aflarea campului vitezelor in
cazul axial simetric cunoscand miscarea potentiala plana Este considerata miscarea plana potentiala, simetria in raport cu axa Ox avand campul
vitezelor dat )),(),,(( yxvyxuv
, domeniul de curgere fiind ),( yxD .
Fig. 7. 7 Miscarea potentiala plana a unui fluid
Rotind aceasta faza (imagine) in jurul axei Ox cu unghiul
20,
si considerand
pentru fiecare valoare a unghiului aceeasi densitate prin medierea dtthT
hT
),(1
=)(0
unde
2=
T obtinem curgerea axial simetrica ce are vitezele generate ),(),,( rxVrxU , [L10]
37
drxvVrxV
drxuVrxU
r
x
cos)cos,(2
==),(
)cos,(2
==),(
/2
0
/2
0
(7.39)
unde componenta axiala xV s-a obtinut prin inlocuirea in ),( yxu a lui y cu cosr , iar
componenta radiala prin inlocuirea in ),( yxv a lui y cu cosr ,iar factorul cos reprezinta proiectia lui )cos,( rxv pe axa Or sau initial Oy cand 0= . 7.2.2. Metoda operatorilor pentru potentiali
Pentru miscarea plana ecuatiile sunt:
0,02
2
2
2
2
2
2
2
yxyx
(7.41)
Iar pentru cazul axial simetric ecuatiile sunt: iZF )( (7.42)
xrrVV
rrxVU rx
1,
1 (7.43)
0,0)()(
r
U
x
V
r
rV
x
rU (7.44)
Se remarca in urmatoarele ecuatii:
01
,01
2
2
2
2
2
2
2
2
rrrxrrrx (7.45)
ca functiile armonice , nu verifica ecautia lui Laplace. Pentru gasirea solutiei aplicam metoda operatorilor lui Bergman si obtinem:
z
z
n
z
z
nnn
nnn
zdzGizGdzHizH
nPffPffPffn
00
1
)()(,)(
,3,2,1,2,02
11
'"1
'0
'0
(7.46)
7.2.3. Metoda operatorilor lui Bergman
Varianta I Conform teoriei prezentate mai sus se cunoaste potentialul complex pentru miscarea
plana a fluidului ideal incompresibil ),(),(=)( 00 yxiyxzf cu 0=0,= 00 ,[L7]. Vom transforma ecuatia functiei de curent in planul meridian luand
0=1
),(,yy
yxyr
si cautam o solutie de forma, [L3]:
0),,(=),( * yyxyyx (7.48)
unde * verifica:
0=4
3 *22
*2
2
*2
yyx (7.49)
Cautam dupa metoda lui Bergman [B2], [L10] solutia de tip (7.42)
38
kkkk
ygyxyx
),(),(),(=1=
0* (7.50)
cu recurenta:
1,2,=,4
3=,
4
3=
,=4
3,1,2,=,=2
2'11
'12
"1
jy
gy
g
ggy
gky jjjk
k
(7.51)
!
2
1
2
5
2
3
2
3
2
3
2
1
2
1
1)(=1)(= 1
j
jj
yy
Cg
j
j
j
jjj
(7.52)
Varianta II. Presupunand data functia olomorfa pentru miscarea plana ),(),(=)(0 yxiqyxpzf cu
0=0,= qp si xyyx yy ,,,,
1=,
1= , [L13]. Pentru acest sistem se iau solutii de forma,
[L4]:
k
k
kk
k
k
kk y
yyxy
qyyxyx
)(=),(,)(),(=),(
0=0=
(7.53)
unde 0=0,=0,= kk . Se obtine recurenta:
2
=,=,=,=2
000011'
1'
1
ycycyy jjjjjj (7.54)
Luand 1=0c analog cu varianta I, se obtine cu solutiile particulare
BAxy
=,2
= 0
2
0
d
z
yiH
z
f
iReyx
C
2,1,1,
2
1)(
2
1=),( 0 (7.55)
d
z
yiH
z
fIm
yyx
C
2,2,3,
2
3
)(
)(
2
1
2=),(
20
2
(7.56)
unde calculul din H nu depinde de conditiile pe frontiera. Tehnica de calcul cunoscand )(0 zf se reduce la calculul (7.55), (7.56) in care se pot lua in H si un numar finit de termeni aproximand solutia. In cazul jeturilor au fost aplicate aceste metode pentru functii (p,3) analitice.
In aceast capitol a fost facut studiul teoriei curgerii axial simetrice a fluidelor incompresibile in absenta fortei masice. Au fost prezentate metode pentru determinarea campului vitezelor si potentialului compex. Sunt prezentate exemple si aplicatii tehnice ale teoriei functiilor complexe. Aceste metode se dovedesc a fi foarte utile in studiul fenomenelor hidroaerodinamice, termice sau termoelastice.
39
Capitolul 8. Concluzii generale, contributii personale, modul de valorificare a rezultatelor si directii viitoare de cercetare Caracterizari generale Teza este structurata in 8 capitole si contine un material bibliografic alcatuit din 77 de titluri. Numarul total de pagini este 205. Implementarea pe calculator Au fost folosite pentru analiza numerica softurile matematice Maple si Matlab cu mediul de simulare Simulink. Simularile au fost efectuate in scopul validarii rezultatelor teoretice si pentru a obtine o imagine realista a comportarii sistemelor hidraulice. Contributii personale originale
In capitolele 2 si 3 s-a facut o sintetizare a stadiului actual al cercetarii. Pe baza acestor studii bibliografice vor fi facute conexiuni, respectiv analize numerice ale unor modele de sisteme de actionare hidraulica.
Noutatea din capitolul 2: - analiza comportarii unui sistem mecano hidraulic echipat cu regulator de presiune, ca
sistem dinamic neliniar. Elaborarea modelului analogic cu ajutorul mediului SIMULINK, pentru semnale treapta si sinusoidale. Prin compararea cu analiza bazata pe functia de transfer simplificata (existent în literatura de specialitate), experimentele numerice
demonstreaza ca servomecanismul este descris fidel prin functia de transfer simplificata, cu precizarea ca toate calculele se bazează pe o valoare experimentala pentru coeficientul debit-presiune al distribuitorului
Contributiile personale din capitolul 3: - am studiat stabilitatea modelului sistemului hidraulic pe caz liniar cu ajutorul diagramelor Bode (paragraful 3.1) - am construit schemele de simulare numerica si am efectuat studiul stabilitatii pentru cazul a trei modele de sisteme de actionare neliniare: raspunsul unui servomecanism la semnal treapta, regimul tranzitoriu la un semnal forta treapa, precum si raspunsul unui servomecanism simultan la semnal treapta si forta treapta. Rezultatele obtinute au fost comparate cu cele existente in literatura de specialitate (paragraful 3.5)
In capitolul 4 sunt tratate aspecte legate de metodologia clasica de proiectare a sistemelor pentru controlul parametrilor tehnologici (debit, presiune, temperatura, nivel) din automatizarile industriale. Contributiile personale la acest capitol sunt: - am creat un nou model si anume cel al unei conducte inclinate ce face comunicarea intre doua rezervoare (paragraf 4.1.3, 4.1.4) - am modelat un sistem hidraulic in raport cu disiparea unor oscilatii discontinue pentru obtinerea stabilitatii asimptotice. Sistemul de amortizare a fost facut prin folosirea unor senzori cu blocuri de calcul si control electronic pentru sistemul matematic la intrare si iesire. Este modelat un sistem hidraulic � pneumatic pentru oscilatii de amortizare ca un raspuns pentru fluid si amortizarea uscata (paragraf 4.2). Aici se regaseste partea experimentala a lucrarii. Experimentele au fost facute in cadrul Universitatii Bucuresti, Facultatea de Automatica in laboratorul dlui. Conf. Dr. Ing. Ciprian Lupu.
In capitolul 5 sunt tratate probleme referitoare la sistemele hidraulice de urmarire. Pentru ca sistemele hidraulice de urmarire sa corespunda scopului lor este necesar ca parametrii lor constructivi si caracteristicile lor principale sa fie alese in concordanta cu proprietatile statice si dinamice ale obiectului comandat. Principalele conditii impuse unui sistem hidraulic de
40
uramarire sunt asigurarea preciziei de reproducere si a sensibilitatiila semnalele traductorului, precum si rapiditatea de actiune. - in paragraful 5.2. este facut un studiu original asupra unui sistem hidraulic de urmarire cu acoperire pozitiva, al carui model este preluat din literatura de specialitate, in care insa rezistentele hidraulice ale conductelor nu sunt neglijate. Este studiata stabilitatea sistemului neliniar folosind metoda in prima aproximatie si cu ajutorul functiei Liapunov pentru ecuatii de gradul al patrulea. Acest studiu urmeaza a fi trimis spre publicare. - in paragraful 5.3 este studiata influenta structurala a fortelor asupra sistemelor dinamice hidraulice. A fost considerat un sistem dinamic autonom liniar sau liniarizat cu doua grade de libertate. In sistemul de ecuatii de ordinal al patrulea apar forte structurale generalizate: K(q) - forte conservative, N(q) - forte neconservative, )(qD forte disipative, )(qG forte giroscopice. In sistemul liniar, aceste forte din diferite combinatii structurale pot produce stabilitatea sau instabilitatea solutiei nule. In acest sens sunt cunoscute teoremele lui Thomson - Tait - Cetaev (T-T-C) pentru configuratiile (K,D,G). Noutatea adusa in acest studiu consta in introducerea fortele neoconservative N , iar stabilitatea a fost studiata cu ajutorul criteriului Routh � Hurwitz sau construind functia Liapunov, au fost obtinute cateva teoreme cu aplicatii practice. Exemplele alese sunt pentru giroscoape, lagare pe suport fluid, pendul dublu, electroni in campul magnetic
In capitolul 6 este studiata analiza stabilitatii sistemelor hidraulice echipate cu supapa cu ajutorul functiei de transfer. - in paragraful 6.1 este facut un studiu comparativ al sistemelor echipate cu supapa cu ajutorul criteriul lui Nyquist care permite o acuratete mai buna pentru proiectarea sistemului. - in paragraful 6.2 este considerat modelul matematic al unui sistem hidraulic prevazut cu sertar cu acoperire perfecta. Studiul stabilitatii acestui sistem este facut cu metoda in prima aproximatie. Sistemul considerat de autor este unul instabil. Simularile numerice au fost facute cu ajutorul softului matematic Matlab, utilizand functia ode45, [P3]. Numeric, concluzia obtinuta este aceeasi cu studiul cazului analitic: sistemul considerat este instabil. Analiza numerica poate fi comparata cu cea obtinuta de A. Halanay si C. Safta , [H1], [H3] - in paragraful 6.3 este facut un studiu comparativ cu cel din literatura de specialitate al unui lift hidraulic echipat cu supapa, [H5]. Simularea dinamica are doua obiective: unul este de a investiga caracteristicile dinamice ale valvei pentru a gasi si analiza problemele existente, precum si pentru a regla parametrii valvei. Un al doilea obiectiv este de a compara caracteristicile dinamice ale valvei cand parametrii sunt diferiti si sa analizam influenta factorilor asupra valvei. - In paragraful 6.4 este efectuat un studiu aplicativ al unui hidro-electro vibroizolator. este efectuata o aplicatie a vibratiilor masinilor sau ale sistemelor mecanice care sunt admise sau utile cand efectul acestora are ca scop transportul de materiale, utilizate in cernerea de minerale, cereale, sau procese mecanice de taiere, gaurire, lovire (procese necesare in functionarea masinilor unelte, etc. Sistemele regulatoare sau de control actvive sunt acele sisteme de vibroizolate in care izolarea efectiva fata de vibratii se obtine compensand fortele perturbatoare (compensarea dupa perturbatie). In capitolul 7 sunt abordate cateva metode analitico numerice ale sistemelor hidraulice. - in paragraful 7.1 este considerat cazul curgerii unui fluid printre doi cilindrii neconcentrici. Se foloseste analiza complexa, cu ajutorul unei functii omografice pentru ai aduce cu centrul in origine. Obtinerea solutiei este facuta cu ajutorul coeficientilor Fourier. Acest studiu are aplicatii in termodinamica fluidelor vascoase in lubrificatie si tribologie. - in paragraful 7.2 sunt prezentate metode speciale pentru determinarea campurilor potentiale in cazul curgerilor fluide cu simetrie axiala, cu aplicatii tehnice ca: translatia, sursa, dipolul, sarcina electrostatica, etc. Contributia personala din aceast este studiul teoriei curgerii axial simetrice a fluidelor incompresibile in absenta fortei masice. Au fost prezentate metode pentru
41
determinarea campului vitezelor si potentialului compex. Sunt prezentate exemple si aplicatii tehnice ale teoriei functiilor complexe in mecanica fluidelor. Prin utilizarea metodelor operatorilor lui Bergman se pot rezolva probleme ce apar in magnetohidrodinamica sau din dinamica axial simetrica a fluidelor. Directii viitoare de cercetare Rezultatele teoretice si experimentale ale cercetarilor dezvoltate in prezenta teza de doctorat deschid noi orizonturi de cercetare in dezvoltarea sistemelor hidraulice de control si a staqbilitatii acestora. Dintre numeroasele cercetari ce vor fi abordate in viitor se pot mentiona: - elaborarea unor solutii combinate intre studiul existent si criteriile de stabilitate ale sistemelor de actionare - utilizarea algoritmilor folositi in studiu si in alte sisteme hidraulice de urmarire. Bibliografie selectiva [B1]. Basta, T.M., Transmisiile hidraulice de urmarire ale masinilor, Bucuresti: Editura
Tehnica, 1961 [B2]. Bergman, S., Determination of axial symmetry flow patterns of a compressible fluid, J.
Math Phzsics 29(1950) Pp 133 - 145 [C3]. Chiriacescu, S., Controlul Vibratiilor, Ed. Acad. Romane, 2007 [D1]. Dinca, L. Liniarizarea modelului matematica al unui sistem hidraulic prevazut cu
distribuitor cu sertar cu acoperire perfecta, Sesiunea Nationala de Comunicari Stiintifice. Brasov: Academia Fortelor Aeriene �Henri Coanda�, 2005
[D2]. Dragos, L., Principiile mecanicii mediilor continue, Ed. Tehnica Bucuresti, 1983 [D3]. Dumitrache I., The engineering of automatic regulation, Ed. Politehnica, Bucuresti,
2005 [F3]. Florea, O. , Mathematical model of a hydraulic model with Applications in the
vibrations of the mechanical Machines, Proccedings of the International Conference "Scientific Reserch And Education In The Air Force", Brasov, (2009), pp. 887-894
[F4]. Florea, O., Hydraulic servomechanisms installed in ideal And Real Conditions � Mathematical Modeling And Simulation, Analele Universitatii Ovidius, Seria Inginerie Mecanica, Vol. X, Nr. 1, 2008
[F5]. Florea, O., Studierea Transmisiei Hidraulice Cu Ajutorul Analizei Armonice, Proceedings Of The Int. Conf. Nav-Mar-Edu, Constanta, 2005
[F6]. Florea, O., Mathematical Modeling Of The Flow Process For A Hydraulic System Of Automatic Regulation, Annals Of The Oradea University, Fasc. Of. Management And Tehnological Engineering, Vol. VIII (XVIII), 2009
[F7]. Florea, O. - Mathematical models and the dynamics optimization for hydraulic servomechanisms installed in ideal conditions, Proceedings of International Conferences NAV-MAR-EDU, pp. 337 � 348, 2007
[F9]. Florea, O. - Stability study of a system equipped with a hydraulic valve, Proceeding Of Intenational Session Of Scientific Papers "Scientific Reserch And Education In The Air Force", (2008), Pp. 732-738
[F10]. Florea, O. - Mathematical modeling of a hydraulic system equipped with a pipe rupture valve, Bulletin of the Transilvania University of Brasov � Vol.13(48) � 2006, pp. 153-158
[G2]. Goodwin, A.B., Fluid Power Systems, The Macmillan Press LTD., London and Basingstoke, 1976
[G3]. Guillon, M., L�asservissement hydraulique et electrohydraulique, Dunod, Paris, 1972
42
[H2]. Halanay, A., s.a.: Periodic motions for loaded two control edges hidraulic copyng systems,Comput. Meth. Appl. Eng. 158 (1998) 367-374
[H5]. Hu Guo � liang: Design and Experimental Research on a New Pipe Rupture Valve, Front. Mech. Eng. China (2006) 1: 26-32
[I1]. Iacob, C., Matematici Clasice si Moderne, Ed. Tehnica Bucuresti 1979. Vol. II [I2]. Iacob, C., Mecanica Teoretica, Ed. Didactica Si Pedagogica, 1980 [I5]. Ionescu, D., Introduction To Mechanics Of Fluids, Ed. Tehnica, Bucuresti, 2004 [I6]. Ionescu, Fl.; Catrina, D.; Dobrin, Al. � Mecanica Fluidelor si Actionari Hidraulice si
Pneumatice, EDP Bucuresti, 1980 [K1]. Koppenfels, W., Stallmann, F. Praxis Der Konformen Abbilduing, Ed. Springer -
Verlag, 1959 [K2]. Kohr, M., Probleme moderne in mecanica fluidelor vascoase, Ed. Universitara Cluj,
2000 [L1]. Lungu, N., Chisalita, A., Chisalita, G., Sisteme Dinamice Si Haos � Teorie Si Software,
Ed. Matrix Rom, 2007 [L2]. Lupu C., Popescu D., S.A, Sisteme De Conducere A Proceselor Industriale. Ed.
Printech, Bucuresti, 2004 [L3]. Lupu, M., On The Utilization Of The Bergman's Operators In Studying The Free
Surface Fluid Dynamics, Bul. Univ. Brasov, Vol. 23. 1981, Pp 51 - 59 [L4]. Lupu, M., Study Of A Model J-R-E In The Ax. Symm. Jet, Studii Cerc. Mec. Apl. 3-
4.1991 Pp 167 - 183 [L5]. Lupu, M., The Dirichlet Problem For Biharmonic Equation In Case The Half Plane
Demonstratio Matematica Poland, Nr. 1 (1999) Pp 41 - 53 [L6]. Lupu, M., Florea, O., Complex Mathematical Analysis Applied On The Potential
Theory And Dynamical Systems In Engineering Problems,Proceedings Of The Sixth Internationl Conference On Chalenges In Higher Education And Research In The 21th Century, Heron Press, Sozopol, Bulgaria, 2008
[L7]. Lupu, M., Florea, O., Studiul Transferului De Masa Si Caldura In Cazul Miscarii Stationare A Fluidelor Vascoase Intre Cilindrii Coaxiali Neconcentrici, Proceedings Of Intenational Session Of Scientific Papers "Education And Research At European Standards", (2007) Pp. 414-421
[L8]. Lupu, M., Lupu, C., Florea, O., Theoretical and Practical Methods Regarding the Absorbitors of Oscillations and the Multi-Model Automatic Regulation of Systems, Proceedings of The 5th International Conference Dynamical Systems and Applications, Ovidius University Annals Series: Civil Engineering, Volume 1, Special Issue 11, pg. 63-72, 2009
[L9]. Lupu, M., Kohr, M., The Application Of The (P,Q) Analitic Functions To Study Axial Symetry. Jet, Studio Univ. Babes - Bolyai Math. 1993, Pp. 81 - 94
[L10]. Lupu, M., On the utilization of the Bergman�s operators in studying the free surface fluid dynamics, Bul. Univ. Brasov, Vol. 23. 1981, pp 51 � 59
[L11]. Lupu, M., Florea, O., Lupu, C., The structural influence of the forces of the stability of dynamical systems, An. St. Univ. Ovidius Contsanta, Seria Matematica, Vol. 17(3), 2009, pp. 159-169 (ISI)
[L13]. Lupu, M., Florea, O., Exact solutions and analitycal methods for special limit problems applied in continous environments mechanics, Proceedings of the International Symposium on Complex Function Theory and Applications, Brasov, Transilvania University, (2006), pp. 65-74
[L14]. Lungu, R., Dinca, L., Integrarea numerica a unor modele matematice ale servoamplificatoarelor hidraulice, Proceedings of the 17th International Symposium on Naval and Marine Education, Constanta, 2001
[L15]. Lungu, R., Nicolae, D., Cismaru, C., Masurarea parametrilor fluidelor , echipamente si sisteme, Editura Scrisul Romanesc, Craiova, 1986.
43
[M3]. Merkin D.R., Introduction in the movement stability theory, Moscova, Nauka, 1978 [M5]. Merrit, H.E. Hydraulic Control systems, John Wiley and Sons Inc., New York,
London, Sydney, 1967 [M6]. Mobley, K., Fluid Power Dynamics, Elsevier, 2000 [O1]. Oprean, A. s.a., Actionari hidraulice. Elemente si sisteme, Ed. Tehnica, Bucuresti, 1982 [P1]. Paidoussis, M., Fluid-Structure Interactions � Slender structures and axial flows, Vol. 1,
Academic Press, 2003. [P3]. Petrila, T., Trif, D., Numerical And Computational Methods In Fluid Dynamics, Ed.
Digital Data Cluj, 2002 [P5]. Postelnicu, A. Mecanica fluidelor si masini hidraulice. Culegere de probleme.
Universitatea din Brasov, 1995. [P6]. Panovko Ya. G., Gubanova I.I., Stability and oscilation in elastic systems, Ed. Moskva,
1964, (in rusa) [P7]. Pop, I., Postelnicu, A., - Probleme clasice si moderne in teoria stratului limita laminar,
Ed. Studia, Cluj Napoca, 1999 [S1]. Seteanu, I. si al., Mecanica fluidelor si sisteme hidraulice. Fundamente si aplicatii.
Editura Tehnica, Bucuresti, 1998. [T1]. Tanguy G.D., Fandloy L., Popescu D., Modelisation identification et comandes des
systems, Ed. Acad. Rom., 2004 [T2]. Taca, C., Paunescu, M., Actionari hidraulice si pneumatice, Ed. MatrixRom, Bucuresti,
2009 [V1]. Vasiliu, N.: Actinari Hidraulice Si Pneumatice, Vol. I, Ed. Tehnica, 2005 [W1]. Wesseling, P., Principles Of Computational Fluid Dynamics, Ed. Springer, 2000 [W2]. http://science.howstuffworks.com/elevator1.htm [W3]. http://virtual.cvut.cz/virtualexperiments/gyro.html [W4]. Wylie, E., Streeter, V., Fluid Transients, MC Graw Hill Book Company, New York,
1983
44
METODE ANALITICE SI NUMERICE IN REZOLVAREA PROBLEMELOR SISTEMELOR DINAMICE APLICATE IN SIMULAREA
UNOR COMPONENTE ALE SISTEMELOR HIDRAULICE Lucrarea de fata se concentrează pe analiza unor sisteme hidraulice, privite esential
din viziunea sistemelor dinamice. Sistemele dinamice neliniare constituie un domeniu deosebit de complex; fundamentele sale se afla in matematica (teoria ecuatiilor neliniare, teoria bifurcatiilor, teoria stabilitatii) si are aplicatii in mecanica, mecanica fluidelor, actionari hidraulice, chimie, biologie, etc. Complexitatea acestui domeniu impune o abordare interdisciplinara, in cazul nostru intre mecanica fluidelor, actionari hidraulice si pneumatice, matematica-informatica şi automatica.
Este analizat un mare numar de sisteme hidraulice, intalnite in actionarile hidraulice, controlul şi reglarea proceselor fluide, transportul şi distributia fluidelor, a caror stabilitate in
functionare este esentiala. Deoarece analiza liniarizata a acestor sisteme este clasica, tendinta actuala este de a identifica neliniaritatile si de a le simula cat mai riguros, pentru a realiza o proiectare optima a lor.
Aceasta teza este o lucrare bazata pe analiza numerica a unor modele matematice din mecanica fluidelor fiind folosite pentru analiza numerica softurile Maple şi Matlab, ultimul si
cu mediul de simulare Simulink. Rezultatele teoretice si experimentale ale cercetarilor dezvoltate in prezenta teza de
doctorat deschid noi orizonturi in dezvoltarea studiilor asupra sistemelor hidraulice de control si a stabilitatii acestora.
ANALYTICAL AND NUMERICAL METHODS FOR SOLVING PROBLEMS OF DYNAMICAL SYSTEMS AS APPLIED IN THE SIMULATION OF SOME COMPONENTS OF THE HYDRAULIC
SYSTEMS
The main aim of the present paper is the analysis of some hydraulic systems, essentially regarded from the perspective of dynamical systems. The nonlinear dynamical systems represents a remarkably complex domain; its fundaments are in mathematics (the nonlinear equations, the bifurcation theory, the stability theory) and has applications in mechanics, fluid mechanics, fluid power control, chemistry, biology, etc. The complexity of this domain establishes an interdisciplinary approach, in our case between fluid mechanics, fluid power control, mathematics, computer science and fluidics.
In this thesis there are analyzed a large of hydraulic systems which are found in the fluid power control, in the control and regulation of the fluid processes, the transport and the fluid distribution, of whose stability is essential. Because the liniarized analysis of this systems is classically, the actual trend is to identify and to simulate as rigorously as possible the nonlinearities of these systems in order to obtain an optimal design.
This thesis is based on the numerical analysis of some mathematical models from the fluid mechanics; in this study were used the mathematical software products Maple and Matlab, the last of them with the simulation environment Simulink.
The theoretical and experimental results of the developed research in the present thesis opens new directions in the development of the studies on the control and stability of hydraulic systems.
45
1. Lucrari Publicate In Reviste ISI: 1. M. Lupu, O. Florea, C. Lupu, The Structural Influence Of The Forces Of The Stability Of Dynamical Systems, An. St. Univ. Ovidius Contsanta, Seria Matematica, Vol. 17(3), 2009, Pp. 159-169, Issn 1224-1784
2. Articole Publicate In Volumele Conferintelor Internationale Cotate ISI 1. A. Postelnicu, C. Falup � Pecurariu, O. Florea, O. Falup Pecurariu, R. Ilea, Computerized Modelling Of The Willis Circle Using Quemada Model, European Journal Of Neurology, Vol. 15, 2008, Pp. 255, 12th Congress Of The European Federation Of Neurological Societies, Madrid, 2008 2. A. Postelnicu, O. Florea, Cristian Falup Pecurariu Steady Flow In The Willis Circle Using A Quemada Model, pp. 4020021-4020022, Published Online: Oct 6 2008 6:37am Doi: 10.1002/Pamm.20070058, Sixth International Congress On Industrial Applied Mathematics (Iciam07) And Gamm Annual Meeting, Zürich 2007 3. Lucrari Publicate In Reviste De Specialitate Cotate B/B+ 1. O. Florea, Mathematical Modeling Of The Flow Process For A Hydraulic System Of Automatic Regulation, Analele Univ. Oradea, Fasc. Management And Technological Engineering, Volume Viii(Xviii), 2009, Pp. 238-235, Issn 1583-0691 2. O. Florea, Hydraulic Servomechanisms Installed In Ideal And Real Conditions - Mathematical Modeling And Numerical Simulation, An. Univ. Ovidius, Seria Ing. Mecanica, Vol. X, Nr. 1, 2008, Pp. 80-86, Issn 12241776 3. O. Florea, Study On A Mathematical Model Regarding The Automatic Regulation Of A Dynamic System, Bulletin Of The Transilvania University Of Brasov, Seria Matematica, Vol 1(50) - 2008, Pp. 465-468, Issn 2065-2151 4. O. Florea, Laminar Movement Of A Viscous Uncompressible Fluid In A Plane, Parallel Stream, Bulletin Of The Transilvania University Of Brasov Series B, Romania, 2005 Vol. 12 (47) 5. A. Postelnicu, C. Falup Pecurariu, O. Florea, Steady Flow In The Willis Circle Using A Quemada Model, 31�St National Conference �Caius Iacob� Of Fluid Mechanis, Mathematical Modelling,
Nonlinear Systems And Dynamic Nonlinear Systems And Technical Applications� Braşov � Proceeding Bulletin Of Transilvania University , 2006 Vol. 13(48) 6. O. Florea, Mathematical Modeling Of A Hydraulic System Equipped With A Pipe Rupture Valve, 31�St National Conference �Caius Iacob� Of Fluid Mechanis, Mathematical Modelling, Nonlinear
Systems And Dynamic Nonlinear Systems And Technical Applications� Braşov � Proceeding Bulletin Of Transilvania University, 2006 Vol. 13(48) 7. M. Marin., O. Florea, A Generalization Of The Cowin And Nunziato's Domain, 31�St National Conference �Caius Iacob� Of Fluid Mechanis, Mathematical Modelling, Nonlinear Systems And
Dynamic Nonlinear Systems And Technical Applications� Braşov � Proceeding Bulletin Of Transilvania University, 2006 Vol. 13(48)
4. Lucrari Publicate In Volumele Conferintelor Internationale
1. M. Lupu, O. Florea, C. Lupu, Theoretical And Practical Methods Regarding The Absorbitors Of Oscillations And The Multi-Model Automatic Regulatin Of Systems, Proceedings Of The 5th International Conference Dynamical Systems And Applications, Ovidius University Annals Series: Civil Engineering, Volume 1, Special Issue 11, (2009) Pg. 63-72 2. O. Florea, Mathematical Model Of A Hydraulic Model With Applications In The Vibrations Of The Mechanical Machines, Proceedings Of The Afases 2009 - Scientific Research And Education In The Air Force, Pp. 887-894, Isbn 978-973-8415-67-6 3. M. Marin, O. Florea, A New Approach Of The Domain Of Influence For The Theory Of Microstretch Elastic Materials, Iwcmm'19, 1-4 September 2009, Constanta, Pp. 17-18 4. O. Florea, Mathematical Models And The Dynamics Optimization For Hidraulic Servomechanisms Installed In Ideal Conditions, Proceedings Of International Conferences Nav-Mar-Edu, 2008, Pp. 337 - 348, Isbn 978-973-8303-84-3
46
5. M. Lupu, O. Florea , Studies And Contributions In The Equilibrium State Stability Of A Solid Body Floating On A Liquid Surface, Proceedings Of International Conference Nav-Mar-Edu, 2008, Pp 349 - 356, Isbn 978-973-8303-84-3 6. O. Florea, Stability Study Of A System Equipped With A Hydraulic Valve, Proceedings Of The International Conference "Scientific Research And Education In The Air Force", Pp 732-739, Isbn 978-973-8415-56-0 7. M. Lupu, O. Florea, Complex Mathematical Analysis Applied On Potential Theory And Dynamical Systems In Engineering Problems, Vol. 6 (Part I), Proccedings Challenges In Higher Education And Research In The 21th Centuri, June 4-7, 2008, Sozopol, Bulgaria Heron Press Ltd 2008, Pp. 237-245, Isbn 978-954-580-247-8 8. M. Lupu, O. Florea - Studiul Transferului De Masa Si Caldura In Cazul Miscarii Stationare A Fluidelor Vascoase Intre Cilindrii Coaxiali Neconcentrici, Proceedings �International Session Of Scientific Papers � Air Force Academy � Henri Coanda� Brasov, 2007, Isbn 978-973-8415-45-4 9. O. Florea, Mathematical Models And The Dynamics Optimization For Hidraulic Servomechanisms Installed In Ideal Conditions, Proceedings Nav-Mar-Edu, Constanta, 2007, Isbn 978-973-8303-84-3 10. M. Lupu, O. Florea - Studies And Contributions In The Equilibrium State Stability Of A Solid Body Floating On A Liquid Surface, Proceedings Nav-Mar-Edu, Constanta, 2007, Isbn 978-973-8303-84-3 11. O. Florea, About The Solutions Of Navier-Stokes Equation For The Symmetrical Axial Flow Of Compressible Gases , Air Forces Academy, Henri Coandă, Braşov, May 2006, Issn 1453-0139 12. M. Lupu, O. Florea, Exact Solutions And Analytical Methods For Special Limit Problems Applied In Continuous Environments Mechanics, International Symposium On Complex Function Theory And Applications, Transilvania University Of Brasov, 2006 13. O. Florea, Mathematical Model For Some Following Type Hydraulic Systems Dynamic Problems, International Conference Nav-Mar-Edu, Naval Academy, Constanta, Romania June 2005, Isbn 973-8303-54-0 On Cd 14. O. Florea, C. Ida, Lagrangian Formalism Of A Dynamic System, Air Forces Academy, Henri Coandă, Braşov, November 2004, Issn1453-0139 On Cd 5. Granturi Şi Contracte De Cercetare Ştiinţifică
Programul/Proiectul Funcţia Perioada Proiect Cncsis 405/2006: Modelarea dinamicii curgerii sangelui in poligonul lui Willis cu aplicatii clinice in accidentul vascular cerebral, director de contract Prof. dr. ing. Adrian Postelnicu
Membru 2006 � 2008
Proiect Ceex, Contract Nr. 2-Cex06-8-85 / 19.09.2006: Modele Si Indicatori De Evaluare A Calitatii Cercetarii Stiintifice In Universitati In Contextul Societatii Bazate Pe Cunoastere � Cerex , Director: Prof. Dr. Ing. Elene Helerea
Membru 2006-2008
6. Organizare de evenimente ştiinţifice (conferinţe, workshop-uri, etc.) Membru in organizarea 31�St National Conference �Caius Iacob� Of Fluid Mechanis, Mathematical
Modelling, Nonlinear Systems And Dynamic Nonlinear Systems And Technical Applications� Braşov
19-21 octombrie 2006
47
B-dul Garii, nr. 36, bl. 22,
sc. C, Ap. 50, Brasov
Phone 0722196724
E-mail: [email protected];
Petcu O. Olivia Ana cas Florea
Date Personale Data si locul nasterii: 14.04.1979, Brasov, Romania Cetatenia: Romana Casatorita
Educatie si Formare 2001-2002 � Studii Aprofundate: �Metode Matematice şi Modele
Software� � Facutatea de Matematică � Informatică, Universitatea
�Transilvania� Braşov
1997 � 2001 � Facultatea de Matematică � Informatică, Secţia Matematică,
Universitatea �Transilvania� Braşov
1993 � 1997 � Liceul �Nicolae Titulescu� Braşov, Secţia Matematică �
Fizică
Cursuri de
specialitate
2004 ECDL Curs de specialitate absolvit (certificat + examinator autorizat)
Experienţa
Profesională
2007 � Asistent Universitatea Transilvania din Brasov, Facultatea de
Matematica Informatica, Catedra de Algebra, Geometrie si Ecuatii
Diferentiale
2004 � Preparator Universitatea �Transilvania� Braşov, Facultatea de
Matematica si Informatica, Catedra de Ecuaţii
2003 � 2004 � Profesor Şc. Gen. nr. 13 Braşov
2002 � 2003 � Profesor Colegiul Naţional �Unirea� Braşov
Activitate Stiintifica Articole publicate in reviste ISI: 1
Aticole publicate in volumele conferintelor cotate ISI: 2
Articole publicate in reviste B/B+: 7
Articole publicate in volumele conferintelor internationale: 14
Participare la contracte de cercetare: 2
Organizare de
evenimente
ştiinţifice
Membru in organizarea 31�St National Conference �Caius Iacob� Of Fluid
Mechanis, Mathematical Modelling, Nonlinear Systems And Dynamic
Nonlinear Systems And Technical Applications� Braşov 19-21 octombrie
2006
Limbi Străine Engleza � mediu;
Franceza - mediu
Cuvinte Cheie Ecuaţii Diferentiale, Mecanica Fluidelor, Sisteme Dinamice, Actionari
Hidraulice, Teoria Functiilor Complexe.