ProbabilidadeProbabilidadeProbabilidadeProbabilidade

UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBAUNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBAUNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBAUNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBADepartamento de EstatísticaDepartamento de EstatísticaDepartamento de EstatísticaDepartamento de Estatística

Larson/Farber Ch. 3

ProbabilidadeProbabilidadeProbabilidadeProbabilidadeCálculo das Probabilidades e Estatística ICálculo das Probabilidades e Estatística ICálculo das Probabilidades e Estatística ICálculo das Probabilidades e Estatística I

Luiz MedeirosLuiz MedeirosLuiz MedeirosLuiz Medeiroshttp://www.de.ufpb.br/~luiz/

Existem muitas situações queenvolvem incertezas: fenômenos ouexperimentos aleatórios.

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Um modelo matemático ajudará ainvestigar de maneira bastante precisaesse fenômeno.

Introdução

• Determinísticos: Os resultados são sempre os mesmos edeterminados pelas condições sob as quais o procedimentoseja executado .

• Exemplo: Lançamento de um corpo, velocidade média, leis da física…

Encontramos na natureza dois tipos de fenômenos:

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• Não-Determinístico (Probabilístico ou Aleatório) : Aplicados em situações que envolvem incerteza. Resultados variam de uma observação para outra, mesmo

em condições normais de experimentação.As condições do experimento determinam apenas o

comportamento probabilístico do resultado observável .• Exemplo: Lançamento de um dado, índices econômicos, tempo de vida de um paciente.

A teoria das probabilidades é o fundamento para ainferência estatística. O objetivo desta parte é que oaluno compreenda os conceitos mais importantes daprobabilidade.

• O conceito de probabilidade faz parte do dia-a-diados trabalhadores de todas as áreas, uma vez que seu

Introdução

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dos trabalhadores de todas as áreas, uma vez que seuconceito é frequentemente utilizado. Por exemplo,podemos dizer que um aluno tem uma chance de 70%de ser aprovado em uma determinada disciplina. Umprofessor está 90% seguro de que um novo método deensino proporcione uma melhor compreensão pelosalunos. Um engenheiro de produção afirma que umanova máquina reduz em 20% o tempo de produção deum bem.

• Experimentos Aleatórios (E) : Sãoaqueles onde o processo deexperimentação está sujeito a influências defatores casuais que conduzem a resultadosincertos.

Conceitos importantes

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incertos.

Exemplo: Lançar um dado, Lançar uma moeda, Retirar uma carta do Baralho, Preço do Dólar ao final do dia.

• Características de um experimento aleatório :

Pode ser repetido indefinidamente sob asmesmas condições .

Podemos descrever todos os possíveisresultados.

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resultados.

Conceitos importantes

• Espaço Amostral (Ω) : É o conjunto de todos ospossíveis resultados de um experimento aleatório.

Exemplo 1: Lançamento de um dado e observação da faceΩ = 1, 2, 3, 4, 5, 6

Exemplo 2: Jogar uma moeda 3 vezes e observar a sequência de coroas e caras

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coroas e carasΩ=(k,k,k),(k,k,c),(k,c,k),(c,k,k),(c,c,k),(c,k,c),(k,c,c), (c,c,c)

Exemplo 3: Número de mensagens transmitidas por dia em uma rede de computaçãoΩ = 0,1, 2, 3, 4, …

Exemplo 4: Tempo de duração de um equipamento

0/ >∈=Ω tIRt

O espaço amostral pode ser

• Finito: Número limitado de resultados. Exemplo 1 e 2.

• Infinito Enumerável: Número infinito de

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• Infinito Enumerável: Número infinito de resultados que podem ser listados.

Exemplo 3.

• Infinito: Intervalo de números reais. Exemplo 4.

• Evento: Dado um espaço amostral Ω, associado a umexperimento E qualquer, definimos como evento qualquersubconjunto desse espaço amostral.

• Exemplo 1: Sair um número parA = 2, 4, 6

Conceitos importantes

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• Exemplo 2: Sair duas carasB = (k,k,c),(k,c,k),(c,k,k).

• Exemplo 3: transmitir duas mensagensC = 2.

Diz-se que “ocorre o evento A, B ou C ”, quando oresultado do experimento aleatório for um elemento de A,B ou C.

Alguns Eventos

• Em particular, o conjunto universo, Ω, e oconjunto vazio, φ, são também eventos, onde Ω

é denominado de evento certo e φ evento

impossível.

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• Se A contém apenas um elemento, dizemosque A é um evento elementar ou simples.

Diagrama de Venn

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Algumas Operações entre conjuntos

• A ∪ B é o evento que ocorrerá se e somente se A ou B ou ambos ocorrerem.

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Algumas Operações entre conjuntos

• A ∩ B é o evento que ocorrerá se e somente se A e B ocorrerem simultaneamente.

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Algumas Operações entre conjuntos

• ocorrerá se e somente se não ocorrer A (COMPLEMENTAR).A

A

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A

Algumas Operações entre conjuntos

• A − B ocorrerá se e somente se ocorrer A e nãoocorrer B.

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Algumas Operações entre conjuntos

• LEIS DE MORGAN:

(I) O complementar da ocorrência de pelo menos um dos eventos é a não ocorrência de todos os eventos.

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(II) O complementar da ocorrência de todos os eventos é a não ocorrência de pelo menos um dos eventos.

Eventos mutuamente excludentes

Dois eventos, A e B, serão mutuamente excludentes senão puderem ocorrer simultaneamente, isto é, aocorrência do evento A impede a ocorrência de B. Nateoria dos conjuntos representamos que dois eventos sãomutuamente exclusivos por A∩B = ∅.

Exemplo: A = sair PAR = 2, 4, 6

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Exemplo: A = sair PAR = 2, 4, 6B = sair IMPAR = 1, 3, 5

A BExclusão mútua

Eventos não mutuamente excludentes

Se dois eventos podem ocorrer na mesma tentativa, eles não são mutuamente excludentes, ou seja, A∩B ≠ ∅.

Exemplo: A = sair PAR = 2, 4, 6B = sair nº maior que 4 = 5, 6

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A BSem exclusão mútua

A ∩ B

•REGRA DA ADIÇÃO: Se existirem k procedimentose o i-ésimo procedimento puder ser realizado de nimaneiras, então o número de maneiras pelas quaispoderemos realizar ou o procedimento 1 ou oprocedimento 2,..., ou o procedimento k, supondoque dois deles não possam ser realizados

Alguns Conceitos Básicos de Contagem

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que dois deles não possam ser realizadosconjuntamente, é:

•REGRA DA MULTIPLICAÇÃO: O procedimentoformado por 1, seguido por 2,..., seguido peloprocedimento k poderá ser executado de :

•PERMUTAÇÃO SIMPLES: O número de maneiras dese permutar n objetos distintos é:

•ARRANJO SIMPLES: São todas as maneiras deescolher r objetos dentre n (r<n) objetos distintos(ordenados) que diferem pela natureza e pelaORDEM.

Alguns Conceitos Básicos de Contagem

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•COMBINAÇÃO SIMPLES: São todas as maneiras deescolher r objetos dentre n (r<n) objetos distintossem considerar a ordem.

•Algumas oservações:

•EXEMPLO 1: Patrícia, Jairo, Vanessa, Matheus eDanielle vão fazer uma entrevista para um estágio.De quantas formas os candidatos podem serchamados para fazer a entrevista?

EXEMPLOS

•EXEMPLO 2: Os alunos de E. Civil, Física, QuímicaIndustrial , E. de Produção e E. Elétrica disputam um

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Industrial , E. de Produção e E. Elétrica disputam umcampeonato em que apenas três times serãoclassificados. De quantas formas pode ser essaclassificação?

•EXEMPLO 3: De uma produção de 10 peças, dasquais 3 são defeituosas, de quantas formaspoderemos escolher 4 peças das quais metade édefeituosa?

Aproximação da Probabilidade pela Freqüência Relativa

Realize um experimento um grande número devezes e conte o número de vezes que o evento Aocorre. Baseado nesses resultados efetivos, P(A)é definido como:

ocorreuA evento o que vezesde número)( =AP

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repetido foi oexperiment o que em vezesde número

ocorreuA evento o que vezesde número)( =AP

A medida que um experimento é repetido váriasvezes, a probabilidade dada pela freqüênciarelativa de um evento tende a se aproximar daverdadeira probabilidade.

•Definição: é uma medida com a qual podemosesperar a chance de ocorrência de umdeterminado evento, atribuindo um número(valor) entre 0 e 1. Assim, se temos a certeza deque um evento ocorrerá, diremos que suaprobabilidade é 1 (ou 100%), caso contrário

Probabilidade

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probabilidade é 1 (ou 100%), caso contráriodiremos que sua probabilidade é 0 (ou 0%).

Se, por exemplo, a probabilidade é ¼ diremos queexiste uma chance de 25% de ocorrência de talevento

Clássica

Probabilidade

número de resultados do evento A

número total de resultados no espaço amostralP(A)

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Noções Fundamentais de Probabilidade

• Seja E um experimento e Ω um espaço amostralassociado a E. Probabilidade é uma função P queassocia a cada evento A ∈ F(Ω) um número realrepresentada por P(A) e denominado probabilidade doevento A, satisfazendo aos seguintes axiomas:

1) 0 ≤ P(A) ≤ 1.

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1) 0 ≤ P(A) ≤ 1.2) P(Ω) = 1.3) Se A e B forem eventos mutuamente excludentes,

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)Se A1, A2, ..., An, ... forem, dois a dois, eventos mutuamente excludentes, então,

P A P A P A P A P Ai i n i

i

( ) ( ) ( ) .. . ( ) .. . ( )∪ = + + + + ==

∞

=

∞

∑1 1 2

1

Propriedades Fundamentais

1) Se φ for o conjunto vazio, então P(φ)=0.

2) Se for o evento complementar de A, então P( ) = 1 - P(A).

AA

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3) Se A e B forem eventos quaisquer tais que A ⊂ B então P(A) ≤ P(B).

4) Se A e B são dois eventos quaisquer, entãoP(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

Espaços amostrais finitos e equiprováveis

• Um espaço amostral Ω é dito finito se Ω =a1,a2,...,an. Considere o evento Ai = aiformado por um resultado simples. A cadaevento simples ai associaremos um númeropi, denominado de probabilidade de ai,satisfazendo às seguintes condições:

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satisfazendo às seguintes condições:

i) pi ≥ 0, i = 1, 2, ..., n.

ii) p1 + p2 + ... + pn =1.

Exemplo 4• Três cavalos, A, B e C, estão numa corrida; A é duas vezes

mais provável de ganhar que B e B é duas vezes mais doque C. Quais são as probabilidades de vitória de cada um,isto é, P(A), P(B) e P(C)? Qual é a probabilidade de que B ouC ganhe?

Seja P(C) = p; como B é duas vezes mais provável de ganhar do que C, P(B)=2p; e como A é duas vezes mais provável do que B,

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que C, P(B)=2p; e como A é duas vezes mais provável do que B, P(A) = 2P(B) = 2(2p) = 4p. Como a soma das probabilidades tem que ser 1; então

p + 2p + 4p = 1 ou 7p = 1 ou p = 1/7.

Logo, P(A) = 4/7 ; P(B) = 2/7 e P(C) = 1/7

Por definição, P(B ∪ C) = P(B) + P(C) = 2/7 + 1/7 = 3/7

Exemplo 5

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Exemplo 6

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1,11,21,3

2,12,22,3

3,13,23,3

4,14,24,3

5,15,25,3

6,16,26,3

Exeperimento: Dois dados são jogadosEspaço Amostral (ΩΩΩΩ)

Exemplo 7

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1,31,41,51,6

2,32,42,52,6

3,33,43,53,6

4,34,44,54,6

5,35,45,55,6

6,36,46,56,6

Detemine a probabilidade de que: A =a soma seja 4.

Determine a probabilidade de que: B = (a soma seja 11.

P(A) = 3/36 = 0,083

P(B) = 2/36 = 0,056

Tabela de contingência

Revela a existência de eventos combinados, efacilita o tratamento probabilístico de taiseventos.

É uma tabela que disponibiliza informações

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É uma tabela que disponibiliza informaçõesdiretamente nas linhas e colunas, e que alémdessas informações é possível visualizartambém o número de casos comuns àsinterseções de eventos.

Perguntou-se a uma amostra de adultos em três cidades se eles gostavam de um novo suco. Os resultados estão a seguir.

J. Pessoa Recife C. Grande TotalSim 100 150 150 400Não 125 130 95 350Não sabe 75 170 5 250

Exemplo 8

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Não sabe 75 170 5 250Total 300 450 250 1.000

Determine a probabilidade de sortear um adulto de C. Grandeou que tenha respondido SIM

P(C. Grande ∪ SIM) = 250/1.000 + 400/1.000 – 150/1.000= 500/1.000 = 0,5

Perguntou-se a uma amostra de adultos formados emengenharia, em três capitais, se eles atuavam na área. Osresultados estão a seguir.

João Pessoa Recife Natal Total

Sim 160 220 180 560

Não 135 80 95 310

Exemplo 9

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1. P(Natal U Sim)2. P(Recife ∩ Não)3. P(João Pessoa)

80 310

Total 295 300 275 870

Um adulto é selecionada ao acaso. Determine:

Probabilidade condicionalUm lote é formado pelos seguintes artigos: 80 não defeituosose 20 defeituosos. Dois artigos são retirados do lote. SejamA=o 1° artigo é defeituoso e B=o 2° artigo é defeituoso.Calcule P(A) e P(B)

a) com reposição; b) sem reposição.

a) Se extrairmos com reposição, , pois cada vez queestivermos extraindo do lote, existirão 20 peças defeituosas no total de

P A P B( ) ( )= = =20100

15

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estivermos extraindo do lote, existirão 20 peças defeituosas no total de100.

b) Se estivermos extraindo sem reposição, é ainda verdade que .Mas e sobre P(B) ? É evidente que, a fim de calcularmos P(B) énecessário conhecer a composição do lote no momento de se extrair asegunda peça. Isto é, devemos saber se A ocorreu ou não.

Este exemplo mostra a necessidade de se introduzir o seguinteconceito

P A( ) = 15

Definição: A probabilidade de um evento A ocorrer,dado (ou na condição de) que outro evento B jáocorreu.

Probabilidade condicional

0)( para,)(

)|( >∩

= BPBAP

BAP

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Sempre que calcularmos P(A|B) , estaremosessencialmente calculando P(A) em relação aoespaço amostral reduzido B, em lugar de fazê-loem relação ao espaço original ΩΩΩΩ.

0)( para,)(

)()|( >

∩= BP

BP

BAPBAP

• Observações importantes:

1) Se P(B) = 0, nada podemos afirmar a respeito da probabilidade condicional.

Probabilidade condicional

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2) Se A e B forem mutuamente excludentes, então

P A BP

P B( / )

( )

( )= =

φ0

Exemplo 10

Dois dados são lançados ao acaso. Qual aprobabilidade da soma ser igual a 6, dado que oprimeiro dado saiu um número menor que 3

A = soma igual a 6 = (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)

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A = soma igual a 6 = (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)

B = 1º dado com nº < 3 = (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6)

A ∩ B = (1,5), (2,4)Logo P(A | B) = (2/36) ÷ (12/36) = 2/12 = 1/6

100 150 150125 130 95 35075 170 5 250

J. Pessoa Recife C. Grande TotalSimNãoNão sabeTotal 300 450 250

400

1.000

Exemplo 8

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1. P(Não | C. Grande)2. P(João Pessoa | Sim)3. Qual a probabilidade do adulto ter respondido não, sabendo queele não é de Recife?

= 95/250 = 0,38

Estudos realizados pela SDS da Paraíba, em relação a situação do status depromoção de oficiais masculinos e femininos, são apresentados na tabelaabaixo (dados fictícios):

Exemplo 11

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Depois de rever o registro de promoções, um comitê feminino de oficiaislevantou um caso de discriminação com base em que 288 oficiais masculinosreceberam promoções mas somente 36 oficiais femininas foram promovidas. Aadministração da polícia argumentou que o número relativamente baixo depromoções para as oficias femininas foi devido não à discriminação, mas aofato de que há relativamente poucas oficias mulheres na força policial. E agora,como as mulheres podem analisar os dados para defender o seuquestionamento da acusação de discriminação?

Teorema da Multiplicação

A mais importante consequência da definição deprobabilidade condicional é o seguinte teorema:

Sejam A e B dois eventos quaisquer de um mesmoespaço amostral Ω, então:

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)/()()( BAPBPBAP ×=∩

)/()()( ABPAPBAP ×=∩

Teorema da Multiplicação

O teorema da multiplicação de probabilidades podeser generalizado para mais de dois eventos.

Sejam A1, A2,..., An eventos quaisquer de um mesmoespaço amostral Ω, a probabilidade da ocorrência

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espaço amostral Ω, a probabilidade da ocorrênciasimultânea de A1, A2,..., An é dada por:

P(A1 ∩ A2 ∩...∩ An) = P(A1)*P(A2/A1)*...*P(An/A1 ∩ A2 ∩...∩ An-1)

Exemplo 12

Uma caixa contém 4 lâmpadas boas e 2 queimadas.Retira-se ao acaso 3 lâmpadas, sem reposição.Calcule a probabilidade dessas 3 lâmpadas seremboas.

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Seja Ai: a i-ésima lâmpada é boa, então

P(A1 ∩ A2 ∩ A3) = P(A1)xP(A2/A1)xP(A3/A1 ∩ A2) = .5

1

4

2

5

3

6

4=××

Dois carros são selecionados em uma linhade produção com 12 unidades, 5 delasdefeituosas. Determine a probabilidade deambos os carros serem defeituosos.

Exemplo 13

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A = o 1o carro é defeituoso. B = o 2o carro é defeituoso.

P(A) = 5/12 P(B|A) = 4/11

P(A ∩ B) = 5/12 x 4/11 = 5/33 = 0,1515

Teorema da probabilidade Total

Sejam A um evento qualquer do espaço amostral Ω

e B1, B2,..., Bk uma partição do mesmo espaçoamostral Ω, então:

P(A) = P(A/ B1)P(B1) + P(A/ B2)P(B2) + ... + P(A/ Bk)P(Bk) = P A B P Bi i

i

k

( / ) ( )=

∑1

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Exemplo 14

Voltando ao exemplo 5.1, calcule a P(B) se asretiradas dos artigos são feitas sem reposição.

Como já vimos . Assim, temos que .

Agora, , porque se A tiver ocorrido,

P A( ) =1

5P A( ) =

4

5

P B A( / ) =19

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Agora, , porque se A tiver ocorrido,então na segunda extração restarão somente 99peças, das quais 19 delas serão defeituosas. Demodo similar, temos que . Pelo teoremada probabilidade total, temos

P B A( / ) =19

99

P B A( / ) =20

99

5

1

5

4

99

20

5

1

99

19)()/()()/()( =×+×=+= APABPAPABPBP

Dois eventos A e B são independentes se aprobabilidade de ocorrência do evento B não é afetadapela ocorrência (ou não-ocorrência) do evento A.

A = ser mulher.B = ter sangue tipo O.

A = 1o filho ser menino.B = 2o filho ser menino.

Eventos independentes

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A = tomar uma aspirina por dia.B = ter um ataque do coração.

A = ser mulher.B = ter menos de 1,62 m.

Dois eventos que não são independentes são dependentes.

Se os eventos A e B são independentes, P(B|A) = P(B)

Entre os 12 carros de uma linha de produção, 5 têm defeito e 2

Eventos independentes

Probabilidade condicional Probabilidade

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Entre os 12 carros de uma linha de produção, 5 têm defeito e 2 são selecionados ao acaso.

A = o primeiro carro é defeituoso.B = o segundo carro é defeituoso.

A probabilidade de o segundo carro ser defeituoso depende de o primeiro ter ou não defeito. Os eventos são dependentes.

Dois dados são lançados. Determine a probabilidade de sair 4 em ambos.

A = sair 4 no primeiro dado e B = sair 4 no segundo dado.

P(A) = 1/6 P(B|A) = 1/6

Exemplo 15

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P(A) = 1/6 P(B|A) = 1/6

P(A ∩ B) = 1/6 x 1/6 = 1/36 = 0,028

Quando dois eventos A e B são independentes, P(A ∩∩∩∩ B) = P(A) x P(B)

Teorema de Bayes

Sejam B1, B2, ..., Bk uma partição do espaço amostral Ω, ou seja, eventos mutuamente exclusivos. Seja A um evento qualquer associado a S, então:

)().|()().|(

)().|(

)(

)()|( iii

iBPBAPBPBAP

BPBAP

Ap

ABPABP

++=

∩=

K

Larson/Farber Ch. 3

)().|()().|()()|(

11 kk

iBPBAPBPBAPAp

ABP++

==K

Teorema de Bayes

Exemplo 16: Em uma turma 60% dos estudantes sãohomens e 40% mulheres. Além disso, sabe-se que 1% doshomens e 4% das mulheres tem menos de 1,60m. Dadoque um estudante com menos de 1,60m foi sorteadoaleatoriamente, qual a probabilidade de ser mulher ?

Larson/Farber Ch. 3

Solução: H=Homem, M = Mulher, A = menos de 1,60m

=∩+∩

∩=

∩=

)()(

)(

)(

)()|(

AHPAMP

AMP

Ap

AMPAMP

)60,001,0()40,004,0(

40,004,0

)().|()().|(

)().|(

×+×

×=

+=

HPHAPMPMAP

MPMAP

727,0=

Exemplo 17

Larson/Farber Ch. 3

Um Produto é escolhido ao acaso e é verificado ser defeituoso. Quala probabilidade dele ter vindo da fábrica 3? e