universidade do minho instituto de educação · 2012-06-27 · matemática, de professores do 1.º...

Julho de 2011

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011

Nuno Miguel Pinto da Silva

Avaliação do impacto do Programa de Formação Contínua em Matemática para Professores do 1.ºCiclo do Ensino Básico no desenvolvimento e implementação do conhecimento didáctico

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Universidade do MinhoInstituto de Educação

Trabalho efectuado sob a orientação dODoutor José António Fernandese da Doutora Maria Palmira Alves

Tese de Doutoramento Tese de Doutoramento em Ciências da Educação Especialidade em Educação Matemática

Julho de 2011

Nuno Miguel Pinto da Silva

Avaliação do impacto do Programa de Formação Contínua em Matemática para Professores do 1.ºCiclo do Ensino Básico no desenvolvimento e implementação do conhecimento didáctico

Universidade do MinhoInstituto de Educação

iii

Agradecimentos

Aos meus orientadores, Doutor José António Fernandes e Doutora Palmira Alves pela

determinação e encorajamento das suas palavras, que tantas vezes me motivaram. Pela

disponibilidade, compreensão e cooperação prestadas quando mais necessitei.

Aos professores participantes nesta investigação pela sua disponibilidade e colaboração.

Aos meus pais, irmãos e restante família pelos ensinamentos, pelas palavras de incentivo,

encorajamento, pelo apoio prestado e orgulho demonstrado.

À Isabel, por tantas vezes ter encorajado, apoiado e incentivado a realização deste

trabalho, bem como pelo orgulho e carinho demonstrados que tantas vezes me motivaram, nos

momentos menos bons, quando fraquejei devido às dúvidas e incertezas com que me deparei.

v

AVALIAÇÃO DO IMPACTO DO PROGRAMA DE FORMAÇÃO CONTÍNUA EM MATEMÁTICA

PARA PROFESSORES DO 1.º CICLO DO ENSINO BÁSICO NO DESENVOLVIMENTO E

IMPLEMENTAÇÃO DO CONHECIMENTO DIDÁCTICO

Nuno Miguel Silva Doutoramento em Ciências da Educação — Especialidade em Educação Matemática

Universidade do Minho, 2011

RESUMO

O insucesso na disciplina de Matemática tem originado, nos últimos anos, da parte dos responsáveis educativos, a implementação de acções conducentes à minimização deste problema. De entre tais acções, salienta-se o Programa de Formação Contínua em Matemática para professores do 1.º ciclo do ensino básico (PFCM). O PFCM tem como principal propósito desenvolver o conhecimento didáctico, matemático e curricular dos professores, proporcionando-lhes dinâmicas de trabalho colaborativo, potenciadoras de experiências de ensino e aprendizagem tendo em vista o desenvolvimento de uma atitude positiva dos professores em relação à Matemática e das suas capacidades para ensinar Matemática. Estes objectivos têm subjacente criar nos professores expectativas elevadas de que alunos são capazes de aprender e ter sucesso na Matemática.

Esta investigação teve como principal finalidade avaliar o desenvolvimento e implementação do conhecimento didáctico de professores do 1.º ciclo do ensino básico em Matemática, a partir de uma experiência de formação no referido programa, que perseguiu os seguintes objectivos: reflectir criticamente sobre o desenvolvimento do conhecimento profissional e as estratégias de formação, em Matemática, de professores do 1.º ciclo em contexto de formação contínua; intervir no processo de desenvolvimento do conhecimento didáctico, em Matemática, de professores do 1.º ciclo, quer ao nível das suas atitudes e conhecimentos, quer ao nível da sua capacidade para enfrentar situações complexas. No estudo, formularam-se as duas seguintes questões de investigação: (1) Que motivações levaram os formandos a inscrever-se no Programa de Formação Contínua em Matemática para Professores do 1.º ciclo do ensino básico? (2) Qual a influência do Programa de Formação Contínua em Matemática para Professores do 1.º ciclo do ensino básico no desenvolvimento e implementação do conhecimento didáctico do professor, no processo de ensino e aprendizagem da Matemática?

A investigação realizada assumiu uma natureza mista – quantitativa e qualitativa. Na vertente quantitativa participaram 197 formandos, inscritos no ano lectivo de 2007/2008, numa instituição de ensino superior. A recolha de dados foi efectuada através da administração aos participantes de dois questionários muito semelhantes, um aplicado antes e outro depois da formação, contemplando as seguintes dimensões: aspectos profissionais críticos; perspectivas sobre a Matemática; preparação das práticas lectivas; práticas lectivas de sala de aula; actividades extra-curriculares; formação de professores e, por último, razões da inscrição e balanço do PFCM. Na vertente qualitativa participaram 10 formandos, pertencentes ao mesmo Agrupamento de escolas, pelos quais o investigador era responsável enquanto formador no PFCM, e 12 formadores da instituição de ensino superior responsável pela implementação do programa de formação. Nesta fase do estudo, para a recolha de dados, efectuaram-se entrevistas aos formandos e aos formadores, recorreu-se à observação de aulas dos formandos e analisaram-se os portefólios dos formandos e os relatórios dos formadores.

Ao longo do ano lectivo em que se desenvolveu a formação, todos os formandos tiveram a oportunidade de trabalhar em vários cenários: conjuntamente, sozinhos e acompanhados pelo

vi

formador. Nestes cenários os formandos planificaram e implementaram estratégias e tarefas elaboradas conjuntamente, bem como avaliaram o trabalho desenvolvido.

Em termos de resultados, verificou-se que as principais motivações dos formandos para a inscrição no PFCM tiveram origem no desejo de melhorarem o seu conhecimento didáctico, procurando implementar tarefas e estratégias potenciadoras do sucesso escolar e da motivação dos alunos para a Matemática.

No processo de formação, o investigador, que desempenhou as funções de formador dos 10 formandos que lhe foram atribuídos, teve um papel interventivo, quer nas sessões conjuntas, quer nas sessões de acompanhamento. As sessões de formação conjunta constituíram-se como espaços de trabalho, de reflexão e de colaboração e foram fundamentais para um trabalho de discussão de textos/tópicos relacionados com a temática em estudo, para a elaboração de instrumentos de trabalho a utilizar na sala de aula, para a planificação de aulas e para a discussão das experiências de ensino que iam sendo realizadas. Nas sessões de acompanhamento, a observação participante ajudou a reforçar a aproximação dos formandos ao formador e permitiu recolher informação importante sobre as práticas de ensino. Esta informação revelou-se de interesse para a análise e reflexão em grupo, nas sessões conjuntas, tornando possível detectar pontos fortes, dificuldades e constrangimentos em relação a situações concretas.

Durante as sessões conjuntas e as sessões de acompanhamento constatou-se uma efectiva necessidade de mudança das práticas, alicerçada nas atitudes e nas aprendizagens dos alunos, em resultado dessas novas práticas dos formandos. Neste processo, foi fundamental a troca de experiências entre todos os intervenientes, a clarificação de dúvidas, a tomada de consciência da importância e potencialidades de alguns materiais didácticos e a melhoria do conhecimento matemático e curricular, além da relação de respeito e confiança criada entre todos os intervenientes.

Os resultados obtidos no estudo realizado indiciam que o PFCM contribuiu para a melhoria do conhecimento matemático e didáctico dos formandos ao nível do significado dos objectos matemáticos, das dificuldades, erros e obstáculos dos alunos na aprendizagem, da importância das capacidades transversais — resolução de problemas, raciocínio matemático e comunicação matemática, da análise de situações de ensino, metodologias específicas e recursos didácticos.

A partilha de experiências decorrentes das práticas individuais anteriores à frequência do PFCM e as implementadas ao longo do ano lectivo em que decorreu a formação revelaram-se contributos importantes para o desenvolvimento profissional dos professores envolvidos.

Na evolução destes professores, tal como foi valorizado por todos, foi essencial a complementaridade entre as sessões conjuntas e as sessões de acompanhamento ao longo de um significativo período de tempo (um ano lectivo) em que se desenvolveu o PFCM.

vii

IMPACT ASSESSMENT OF THE IN-SERVICE TEACHER TRAINING PROGRAM FORMAÇÃO

CONTÍNUA EM MATEMÁTICA PARA PROFESSORES DO 1.º CICLO DO ENSINO BÁSICO IN THE

DEVELOPMENT AND IMPLEMENTATION OF ELEMENTARY SCHOOL TEACHERS‘ DIDACTICAL

KNOWLEDGE

Nuno Miguel Silva PhD in Philosophy — Mathematics Education

Minho University, 2011

ABSTRACT

Failure in mathematics has been a major concern of Portuguese educational authorities in recent years. In order to face and minimize this problem several measures were adopted at nation-wide level, amongst which a mathematics in-service teacher training program, the Programa de Formação Contínua em Matemática (PFCM), focusing grades 1-6 teachers.

The PFCM major goals are to increase didactical, curricular and mathematical knowledge of grades 1-6 teachers through collaborative work providing for the achievement of curriculum development experiences, thus promoting a positive attitude towards mathematics as well as an improved capacity to teach mathematics. Underlying these goals, an ultimate purpose: to create positive expectations regarding students‘ abilities to learn mathematic.

The main purpose of this research is to assess the development and implementation of mathematics didactic knowledge of grades 1-4 teachers based on a PFCM training experience, described by the following objectives: reflect critically about the development of professional knowledge and strategies of training mathematics of first grade teachers involved, intervene in the process of didactic knowledge development in mathematics teaching for teachers in training at the level of attitudes, knowledge and capacity to face complex situations. In this study two research questions are placed: (1) what leads the trainees to enrol in an in-service mathematics training program? (2) what is the influence of this program in the development and implementation of elementary school teachers‘ didactical knowledge throughout the mathematics teaching/learning process?

This research has a mixed nature – quantitative and qualitative. The quantitative research involved 197 trainees enrolled in PFCM at a College of Education in 2007/2008. Data was collected through the application of two very similar pre and post-PFCM questionnaires. These questionnaires addressed the following dimensions: important professional issues, perspectives on mathematics, planning teaching practices, actual teaching practices in the classroom, extracurricular activities, teachers‘ training, reasons for enrolment in training and PFCM evaluation. The qualitative research involved 10 trainees from the group of schools selected for the research and 12 trainers from the College of Education that was locally developing the PFCM; data collection was based on trainers‘ and trainees‘ interviews, observation of classroom practices, and analysis of trainees‘ portfolios and trainers‘ reports.

Throughout the school year during which the training was developed, all trainees had the opportunity to work by themselves, with peers and with the trainer under different scenarios. They were able plan and apply tasks and strategies developed within the group as well as reflect over the work that had been done.

In terms of results it was found that the major motivation of trainees to get involved in the PFCM was the improvement of didactical knowledge; trainees focused on applying tasks and strategies that would improve their student‘s results and their liking for mathematics.

viii

In the training process, the researcher, that was also a trainer, had an intervening role in joint sessions and follow-up sessions. The joint sessions assumed an essential role as they allowed the discussion of texts/topics related with the subjects under study, preparation of classroom materials, planning of lessons and discussion of teaching experiences. They were an actual workshop of reflection and cooperation. In follow-up sessions, participant observation helped to reinforce the trainer-trainee relationship, making those sessions an important learning and reflection moment over classroom practices. On another hand, classroom observation became an important analysis and reflection factor during joint sessions, as discussion involved trainer and trainees detecting strengths, difficulties and constraints.

Joint and follow-up sessions pointed out the need to change practices, reinforced by the reflection over new practices, new attitudes and students‘ learning processes. Exchanging experiences played a critical role along this process, helping to clarify doubts, promoting the awareness of the importance of some didactic materials and the improvement of mathematical knowledge and curriculum; the respect and trust created among the group allowed for a rewarding collaborative work.

The results of the study indicates that the PFCM contributed to the improvement of didactical and mathematical knowledge regarding the meaning of mathematical objects, difficulties, obstacles and mistakes in students‘ learning, importance of cross-cutting problem solving capacities, communication and mathematical reasoning and analysis of teaching situations, specific methodologies and didactic resources.

Sharing experiences arising from individual practices prior to the PFCM and the implemented throughout the training process proved to be important contributions to the professional development of all teachers involved. Sharing practices as well as personal and collective reflections contributed to the development and implementation of didactical knowledge.

The complementary dynamics between joint sessions and follow-up sessions along a significant period of time (a school year during which the PFCM was developed) also proved to be essential for teachers‘ evolution.

ix

Índice

Agradecimentos ........................................................................................................................ iii

RESUMO ................................................................................................................................... v

ABSTRACT .............................................................................................................................. vii

Índice ....................................................................................................................................... ix

Lista de figuras ........................................................................................................................ xv

Lista de tabelas ...................................................................................................................... xvii

CAPÍTULO I

INTRODUÇÃO ........................................................................................................................... 1

1.1. Contextualização do problema ........................................................................................... 1

1.2. O Programa de Formação Contínua ................................................................................... 6

1.3. Objectivos e questões de investigação ................................................................................ 9

1.4. Metodologia do Estudo .................................................................................................... 12

1.4.1. Opções metodológicas .................................................................................................. 12

1.4.2. Participantes e métodos de recolha e análise de dados ................................................. 13

1.5. Organização da tese ........................................................................................................ 14

CAPÍTULO II

O CONHECIMENTO DIDÁCTICO E PROJECTO DE FORMAÇÃO ................................................ 17

2.1. A formação inicial dos professores do 1.º ciclo do ensino básico ...................................... 17

2.2. O desenvolvimento profissional do professor .................................................................... 22

2.2.1. A importância da reflexão no processo de ensino e aprendizagem da Matemática ......... 27

2.3. O conhecimento profissional do professor de Matemática ................................................ 33

2.4. O conhecimento didáctico em Matemática do professor do 1.º ciclo do ensino básico ...... 37

2.5. A Formação como Projecto .............................................................................................. 45

2.5.1. A formação contínua em Portugal ................................................................................. 49

2.5.2. Programa de formação contínua em Matemática para professores do 1.º ciclo do ensino

básico .................................................................................................................................. 54

2.5.3. O currículo e o Programa de Matemática do 1.º ciclo .................................................... 59

x

O trabalho com os alunos ................................................................................................ 62

Tarefas ........................................................................................................................... 64

Resolução de Problemas ................................................................................................. 67

O que é um problema? .................................................................................................... 67

Como se resolvem problemas? ........................................................................................ 69

As heurísticas.................................................................................................................. 72

Raciocínio matemático .................................................................................................... 73

Comunicação matemática ............................................................................................... 75

Conexões matemáticas ................................................................................................... 78

CAPÍTULO III

AVALIAÇÃO DE PROGRAMAS DE FORMAÇÃO .......................................................................... 81

3.1. Conceitos e perspectivas de avaliação da formação ......................................................... 82

As funções da avaliação .................................................................................................. 86

3.2. As gerações da avaliação ................................................................................................. 88

3.3. As ideologias da avaliação ............................................................................................... 89

3.4. Os paradigmas de avaliação ............................................................................................ 90

3.5. Os modelos de avaliação ................................................................................................. 92

3.5.1. A avaliação como medida ............................................................................................. 92

3.5.2. A avaliação como gestão .............................................................................................. 93

3.5.3. A avaliação como problemática de sentido .................................................................... 93

3.5.4. Modelos multinível ........................................................................................................ 94

3.5.5. Modelo CIRO ................................................................................................................ 94

3.5.6. Os modelos naturalistas de avaliação de programas ..................................................... 95

Observação do programa e participação dos intervenientes .............................................. 96

Subjectividade e compreensão ........................................................................................ 97

Valor e fundamentação do programa ............................................................................... 97

Juízo de valor e reflexão .................................................................................................. 97

Fontes variadas e independentes ..................................................................................... 98

Descrição e interpretação ................................................................................................ 98

Dimensão qualitativa ....................................................................................................... 98

3.6. Avaliação do impacto de um Programa de Formação ....................................................... 99

3.7. A avaliação plural .......................................................................................................... 102

xi

3.8. A Referencialização ....................................................................................................... 109

Os Critérios e Indicadores ............................................................................................. 112

3.9. Avaliação dos professores participantes na formação ..................................................... 113

CAPÍTULO IV

METODOLOGIA ..................................................................................................................... 119

4.1. Definição do problema em estudo .................................................................................. 119

4.2. Opções metodológicas ................................................................................................... 120

4.3. Fases da investigação .................................................................................................... 123

4.3.1. As sessões conjuntas ................................................................................................. 124

4.3.2. As sessões de acompanhamento ................................................................................ 126

4.3.3. O papel do formador .................................................................................................. 126

4.3.4. Processo de avaliação ................................................................................................ 129

4.4. Participantes ................................................................................................................. 130

4.4.1. Grupo 1 – Formandos inscritos no 1.º ano do PFCM em 2007/2008 ......................... 131

4.4.2. Grupo 2 – Formandos do grupo do investigador .......................................................... 132

4.4.3. Grupo 3 – Formadores ............................................................................................... 133

4.5. Métodos de recolha de dados ........................................................................................ 134

4.5.1. Questionários – Grupo 1 ............................................................................................. 134

4.5.2. Observação de aulas – Grupo 2 .................................................................................. 137

4.5.3. Notas de Campo – Grupo 2 ........................................................................................ 138

4.5.4. Questionários – Grupo 2 ............................................................................................. 139

4.5.5. Portefólios – Grupo 2 ................................................................................................. 139

4.5.6. Entrevistas – Grupos 2 e 3 ......................................................................................... 139

4.5.7. Relatórios – Grupo 3 .................................................................................................. 141

4.6. Tratamento e análise de dados ...................................................................................... 141

4.6.1. Dados quantitativos .................................................................................................... 141

4.6.2. Dados qualitativos ...................................................................................................... 142

CAPÍTULO V

APRESENTAÇÃO DE RESULTADOS ....................................................................................... 145

5.1. Influência do programa de formação no desenvolvimento do conhecimento profissional dos

formandos ............................................................................................................................ 145

5.1.1. Experiência pedagógica dos formandos ....................................................................... 147

xii

5.1.2. Aspectos profissionais críticos..................................................................................... 149

5.1.3. Perspectivas sobre a Matemática ................................................................................ 155

5.1.4. Preparação das práticas lectivas ................................................................................. 159

5.1.5. Práticas lectivas de sala de aula ................................................................................. 163

5.1.6. Actividades extra-curriculares ...................................................................................... 169

5.1.7. Formação de professores ........................................................................................... 170

5.1.8. Razões da inscrição e balanço do PFCM ..................................................................... 175

5.2. Influência do programa de formação no desenvolvimento do conhecimento matemático e

didáctico dos formandos ....................................................................................................... 181

5.2.1. Caracterização do grupo de formandos ....................................................................... 182

5.2.2. As sessões conjuntas e de acompanhamento ............................................................. 183

Programa de Formação (1ª sessão de formação) ........................................................... 183

Cálculo mental (da 2ª à 5ª sessão de formação) ............................................................ 185

Avaliação das sessões de cálculo mental ....................................................................... 198

Planificação, observação e reflexão da prática pedagógica (parte da 5ª sessão e 6ª sessão

de formação) ................................................................................................................ 200

Resolução de problemas (da 7ª à 9ª sessão de formação) ............................................. 203

Avaliação das sessões de resolução de problemas ......................................................... 212

Sistemas de numeração e algoritmos (10ª e 11ª sessões de formação) ......................... 214

Avaliação das sessões de sistemas de numeração e algoritmos ..................................... 218

Geometria (da 12ª à 14ª sessão de formação) ............................................................... 219

Avaliação das sessões de Geometria ............................................................................. 228

Avaliação da acção de formação (15ª sessão de formação) ........................................... 229

5.2.3. Percepções dos formandos sobre o impacto do programa de formação no conhecimento

matemático e didáctico ......................................................................................................... 231

Motivações para participar no PFCM .............................................................................. 231

Percepções sobre a frequência do PFCM ....................................................................... 232

As sessões conjuntas .................................................................................................... 235

As sessões de acompanhamento ................................................................................... 240

O portefólio ................................................................................................................... 242

Balanço final e sugestões .............................................................................................. 243

5.3. Percepções dos formadores sobre a implementação do programa de formação ............. 246

xiii

5.3.1. Motivações para participar na formação ...................................................................... 246

5.3.2. Percepções sobre o PFCM .......................................................................................... 248

5.3.3. As sessões conjuntas ................................................................................................. 253

5.3.4. As sessões de acompanhamento ................................................................................ 255

5.3.5. O portefólio ................................................................................................................ 258

5.3.6. Balanço final e sugestões ........................................................................................... 260

CAPÍTULO VI

DISCUSSÃO DOS RESULTADOS............................................................................................ 269

6.1. O momento anterior à formação – dimensão do induzido ............................................... 270


6.1.2. Preparação e práticas de sala de aula ......................................................................... 272

6.1.3. Razões de inscrição no PFCM ..................................................................................... 273

6.2. O momento da formação — dimensão do construído ...................................................... 274

6.2.1. Sessões conjuntas ...................................................................................................... 275

6.2.2. Sessões de acompanhamento .................................................................................... 281

6.2.3. Conhecimento matemático e didáctico – mudanças percepcionadas ........................... 284

6.3. O momento posterior à formação – dimensão do Produzido ........................................... 295


6.3.2. Preparação e práticas lectivas de sala de aula ............................................................ 296

6.3.3. Balanço final .............................................................................................................. 297

6.3.4. Alterações / mudanças .............................................................................................. 302

CAPÍTULO VII

CONCLUSÕES E REFLEXÃO FINAL ....................................................................................... 309

7.1. Síntese do estudo .......................................................................................................... 309

7.2. Conclusões do estudo ................................................................................................... 313

7.2.1. Questão de investigação 1: Que motivações levaram os formandos a inscrever-se no

Programa de Formação Contínua em Matemática para Professores do 1.º Ciclo do Ensino

Básico? ................................................................................................................................ 313

7.2.2. Questão de investigação 2: Qual a influência do Programa de Formação Contínua em

Matemática para Professores do 1.º Ciclo do Ensino Básico no desenvolvimento e

implementação do conhecimento didáctico do professor no processo de ensino e aprendizagem

da Matemática? .................................................................................................................... 314

xiv

7.3. Implicações e Recomendações do Estudo ...................................................................... 321

7.4. Futuras investigações .................................................................................................... 323

BIBLIOGRAFIA ...................................................................................................................... 325

Anexos ............................................................................................................................... 3487

xv

Lista de figuras

Figura 1. Síntese esquemática (Hill, Ball & Schilling, 2008) ..................................................... 42

Figura 2. Modelo prático-reflexivo de desenvolvimento/formação profissional (Wallace, 1991 in

Alarcão 1996) ........................................................................................................................ 58

Figura 3. Relação entre diversos tipos de tarefas, em termos do seu grau de desafio e de

abertura. ................................................................................................................................ 65

Figura 4. Funções da avaliação, segundo o seu papel na sequência da acção de formação (Hadji,

1994, p. 63) ......................................................................................................................... 105

Figura 5. O que se espera das sessões conjuntas. ................................................................ 125

Figura 6. O que se espera das sessões de acompanhamento. ............................................... 126

Figura 7. O papel do formador no PFCM. .............................................................................. 127

Figura 8. Organigrama das sessões conjuntas de formação. .................................................. 183

Figura 9. Tarefa de cálculo mental em contexto real .............................................................. 186

Figura 10. Tarefa de cálculo mental em contexto numérico ................................................... 187

Figura 11. Resoluções dos alunos da tarefa triângulos mágicos. ............................................ 189

Figura 12. Quadrados mágicos resolvidos pelos alunos ......................................................... 189

Figura 13. Alunos a resolverem cartas do jogo do 24. ........................................................... 190

Figura 14. Proposta de trabalho apresentada na primeira sessão de acompanhamento. ........ 192

Figura 15. Resposta de um aluno. ........................................................................................ 193

Figura 16. Estratégia de cálculo recorrendo à recta numérica. ............................................... 194

Figura 17. Proposta apresentada na primeira sessão de acompanhamento do formando F6. . 196

Figura 18. Resolução da tarefa pelos alunos. ........................................................................ 196

Figura 19. Resolução de um aluno. ....................................................................................... 197

Figura 20. Resolução de um aluno ........................................................................................ 197



Figura 23. Problema explorado na 2ª sessão de acompanhamento do formando F3. ............. 207

Figura 24. Estratégia seguida por um dos grupos. ................................................................. 208



Figura 27. Problema apresentado na sessão de acompanhamento do formando F2. ............. 210

Figura 28. Alunos a trabalhar na resolução do problema. ...................................................... 210

xvi

Figura 29. Explicação da resolução do problema pelo grupo 2. .............................................. 211


Figura 31. Explicação da resolução do problema pelo grupo 4 ............................................... 211


Figura 33. Classificação de quadriláteros .............................................................................. 221

Figura 34. Resolução dos alunos da primeira tarefa .............................................................. 223

Figura 35. Resolução dos alunos da segunda tarefa. ............................................................. 224

Figura 36. Terceira tarefa apresentada .................................................................................. 224

Figura 37. Primeira tarefa apresentada. ................................................................................ 224

Figura 38. Planificações construídas pelos alunos. ................................................................ 226

Figura 39. Planificações desenhadas pelos alunos. ............................................................... 226

Figura 40. Opinião de um aluno sobre a aula. ....................................................................... 227

Figura 41. Síntese esquemática do PFCM ............................................................................. 315

Figura 42. Componentes do conhecimento didáctico do conteúdo (Shulman, 1986) .............. 316

xvii

Lista de tabelas

Tabela 1 – Acções e intenções do professor antes, durante e depois da resolução de problemas

(Lopes, et al., 1996) ............................................................................................................... 72

Tabela 2 – Síntese do modelo CIPP (Machado, 2007) ........................................................... 101

Tabela 3 – Dimensões da avaliação segundo Figari (1996) ................................................... 111

Tabela 4 – Síntese do processo de avaliação do PFCM ......................................................... 130

Tabela 5 – Caracterização da amostra .................................................................................. 131

Tabela 6 – Caracterização do grupo de formandos do investigador ........................................ 132

Tabela 7 – Caracterização dos formadores............................................................................ 133

Tabela 8 – Síntese das dimensões e itens do questionário inicial ........................................... 135

Tabela 9 – Síntese das dimensões e itens do questionário final ............................................. 136

Tabela 10 – Síntese das opções metodológicas ..................................................................... 144

Tabela 11 – Número de cargos desempenhados pelos formandos ao longo da carreira ......... 147

Tabela 12 – Cargos desempenhados pelos formandos ao longo da carreira .......................... 147

Tabela 13 – Ciclos em que os formandos leccionaram ao longo da carreira .......................... 148

Tabela 14 – Anos do 1.º ciclo leccionados pelos formandos ao longo da carreira ................... 148

Tabela 15 – Anos do 1.º ciclo leccionados pelos formandos no ano lectivo 2007/2008 ......... 148

Tabela 16 – Razões da escolha da profissão pelos formandos ............................................... 149

Tabela 17 – Reiteração da escolha da profissão de professor pelos formandos ...................... 149

Tabela 18 – Razões por que escolheria ou não actualmente a profissão ................................ 150

Tabela 19 – Possibilidade de mudança de profissão ............................................................. 151

Tabela 20 – Razões do descontentamento com a profissão ................................................... 151

Tabela 21 – Gosto pelo estudo da Matemática, enquanto aluno ............................................ 152

Tabela 22 – Gosto pelo ensino da Matemática ...................................................................... 152

Tabela 23 – Influência dos professores no gosto pela Matemática ......................................... 153

Tabela 24 – Influência da formação no gosto pela Matemática .............................................. 153

Tabela 25 – Resultados escolares à disciplina de Matemática ............................................... 153

Tabela 26 – Aspectos fundamentais para a melhoria da aprendizagem da Matemática .......... 154

Tabela 27 – Importância da Matemática ............................................................................... 156

Tabela 28 – Aprendizagem da Matemática............................................................................ 156

Tabela 29 – Finalidades para o ensino da Matemática .......................................................... 158

Tabela 30 – Planificação de aulas de Matemática ................................................................. 160

xviii

Tabela 31 – Referências usadas pelos professores na planificação das aulas de Matemática . 160

Tabela 32 – Ordenação das referências usadas na planificação das aulas de Matemática ..... 161

Tabela 33 – Formas de preparação das aulas de Matemática ............................................... 162

Tabela 34 – Ordenação das formas de preparação das aulas de Matemática ........................ 162

Tabela 35 – Conhecimento de materiais didácticos ............................................................... 164

Tabela 36 – Situações de trabalho na sala de aula ................................................................ 165

Tabela 37 – Ordenação das situações de trabalho na sala de aula ........................................ 165

Tabela 38 – Frequência da utilização dos materiais para ensinar Matemática ........................ 167

Tabela 39 – Ordenação da frequência da utilização dos materiais para ensinar Matemática .. 168

Tabela 40 – Formas de avaliação em Matemática ................................................................. 168

Tabela 41 – Frequência da dinamização de actividades extra-curriculares ............................. 170

Tabela 42 – Ordenação da frequência da dinamização de actividades extra-curriculares ........ 170

Tabela 43 – Interesses/necessidades de formação em Matemática ...................................... 171

Tabela 44 – Ordenação dos interesses/necessidades de formação em Matemática............... 172

Tabela 45 – Modalidade de formação preferida (questionário inicial) ..................................... 173

Tabela 46 – Duração ideal de uma acção de formação ......................................................... 173

Tabela 47 – Frequência de acções de formação no âmbito da Matemática (questionário inicial) ... ..................................................................................................................................... 174

Tabela 48 – Aspectos que mais contribuíram para o desenvolvimento profissional (questionário

final) ..................................................................................................................................... 174

Tabela 49 – Razões da inscrição no PFCM (questionário inicial) ............................................ 175

Tabela 50 – Influência da formação na alteração das práticas ............................................... 176

Tabela 51 – Alterações nas práticas lectivas ......................................................................... 176

Tabela 52 – Influência da formação no conhecimento didáctico ............................................ 177

Tabela 53 – Alterações no conhecimento didáctico ............................................................... 177

Tabela 54 – Aspectos da formação mais positivos ................................................................. 178

Tabela 55 – Aspectos da formação menos positivos .............................................................. 178

Tabela 56 – Vontade em continuar com a formação .............................................................. 179

Tabela 57 – Razões a favor e contra uma reinscrição ............................................................ 179

Tabela 58 – Temas/interesses para um 2.º ano de formação ............................................... 180

Tabela 59 – Caracterização dos formandos acompanhados pelo investigador ........................ 182

Tabela 60 – Necessidades de formação dos formandos do grupo do formador ...................... 184

Tabela 61 – Ideias anteriores e posteriores à formação sobre cálculo mental ........................ 200

xix

Tabela 62 – Ideias anteriores e posteriores à formação em resolução de problemas .............. 214

Tabela 63 – Ideias anteriores e posteriores à formação sobre sistemas de numeração e

algoritmos ............................................................................................................................ 219

Tabela 64 – Ideias anteriores e posteriores à formação em Geometria .................................. 229

Tabela 65 – Avaliação da acção pelos formandos ................................................................. 230

Tabela 66 – Motivações dos formandos para participarem no PFCM ..................................... 231

Tabela 67 – Influência da formação no desenvolvimento das práticas lectivas ....................... 232

Tabela 68 – influência da formação no desenvolvimento do conhecimento dos formandos .... 233

Tabela 69 – O papel das sessões conjuntas .......................................................................... 235

Tabela 70 – Aspectos positivos da avaliação do PFCM .......................................................... 237

Tabela 71 – Aspectos menos positivos da avaliação do PFCM ............................................... 238

Tabela 72 – O papel das sessões de acompanhamento ........................................................ 240

Tabela 73 – O papel dos portefólios ...................................................................................... 242

Tabela 74 – Importância da acção de formação .................................................................... 243

Tabela 75 – Sugestões de melhoria na acção de formação ................................................... 245

Tabela 76 – Motivações dos formadores para participarem na formação ............................... 247

Tabela 77 – Motivações dos formandos para participarem na formação do ponto de vista dos

formadores ........................................................................................................................... 248

Tabela 78 – Influência da formação no desenvolvimento do conhecimento e das práticas lectivas

dos formadores .................................................................................................................... 249

Tabela 79 – Influência da formação no desenvolvimento do conhecimento e das práticas lectivas

dos formandos ..................................................................................................................... 250

Tabela 80 – Aspectos positivos das sessões conjuntas .......................................................... 254

Tabela 81 – Aspectos menos positivos das sessões conjuntas............................................... 254

Tabela 82 – Importância das sessões de acompanhamento .................................................. 256

Tabela 83 – Desvantagens da utilização do portefólio como metodologia de avaliação ........... 259

Tabela 84 – Objectivo da formação mais conseguido ............................................................ 261

Tabela 85 – Constrangimentos à implementação da formação .............................................. 263

Tabela 86 – Razão para o elevado número de inscrições na formação .................................. 265

Tabela 87 – Sugestões a aplicar na acção de formação ........................................................ 267

Tabela 88 – Contributos do PFCM para o desenvolvimento do conhecimento didáctico .......... 320

1

CAPÍTULO I

INTRODUÇÃO

1.1. Contextualização do problema

Desde há muito tempo que os educadores e a sociedade em geral se preocupam com o

insucesso na disciplina de Matemática. De há uns anos a esta parte, estas preocupações têm

despoletado um grande mediatismo para o qual muito contribuíram os resultados do PISA

(Programme for International Student Assessment) que, nomeadamente em 2003, avaliou a

literacia em Matemática e colocou Portugal entre os países com mais baixos níveis de literacia, o

que terá levado os responsáveis ministeriais a tomar medidas, entre as quais se salienta o

Programa de Formação Contínua em Matemática para Professores do 1.º Ciclo do Ensino Básico

(PFCM), objecto do nosso estudo.

São sobejamente conhecidos alguns dos factores que contribuem para tal insucesso,

nomeadamente os de ordem social e de ordem didáctica. A Matemática tem sido vista como o

―bicho-papão‖ e o insucesso nela verificado é desculpado e aceite, desde logo, pelos

Encarregados de Educação que se resignam à ideia de que a Matemática é difícil e já muitos

deles eram ―fracos‖ à disciplina.

Frequentemente, também os professores veiculam uma imagem deformada da

Matemática e manifestam atitudes negativas face à disciplina, que têm impactos importantes,

sobretudo no que diz respeito à aprendizagem da didáctica da Matemática e ao ensino dos

conteúdos matemáticos aos alunos (Ma, 2009; Morin, 2008).

Também na formação inicial os professores manifestam muitas lacunas na aprendizagem

da Matemática, que frequentemente são acentuadas pelas atitudes negativas veiculadas face à

Matemática e que têm, naturalmente, consequências no ensino destes conteúdos. A maior

dificuldade residirá na integração dos seus conhecimentos matemáticos e didácticos em sala de

aula.

Entre as numerosas definições de didáctica que encontramos na literatura, retemos a de

Jonnaert e Vander Borght (1999), incidindo sobre o objecto de estudo das didácticas das

disciplinas.

2

As didácticas das disciplinas interessam-se pelos processos de transmissão e aquisição de conhecimentos relativos às disciplinas escolares, sendo um projecto de ensino e aprendizagem referente a uma disciplina escolar em particular. Elas têm igualmente um interesse particular pelas diversas transformações que sustentam o conhecimento e tornam um objecto de ensino num objecto de conhecimento. Mas o principal objecto de estudo das didácticas das disciplinas é a relação que se estabelece entre o saber institucionalizado e os conhecimentos do aprendente.

Se é verdade que há professores que investem na sua formação e manifestam

preocupações com a forma como devem desenvolver o processo de ensino-aprendizagem,

procurando actividades interessantes e apelativas para os alunos, outros há que encaram o seu

trabalho como a implementação de actividades de carácter rotineiro, baseado na repetição de

exercícios e na aplicação de algoritmos. De acordo com Ponte e Serrazina (2000), ―é muito mais

complexo estabelecer objectivos e escolher tarefas e materiais diversificados do que passar duas

ou três fichas de trabalho por dia‖ (p. 19).

Nesta perspectiva, cabe ao professor, que lida directamente com o conhecimento,

procurar actualizar-se permanentemente de forma a poder redimensionar a sua prática

pedagógica. Deste ponto de vista, a formação contínua tem o papel de contribuir

significativamente nesse processo de construção do saber. É através desta formação que o

professor pode rever e repensar a sua actividade docente quotidiana. A formação deverá

articular-se com o desempenho profissional dos professores e tornar as escolas em lugares de

referência. Trata-se de um objectivo que só adquire credibilidade se os programas de formação

se estruturarem em torno de problemas e de projectos de acção e não em torno de conteúdos

académicos (Nóvoa, 1997). O conhecimento adquirido e construído na formação só se efectivará

na prática do professor se for sustentado numa prática reflexiva e não repetitiva, capaz de

identificar e solucionar problemas.

O professor reflexivo não se faz somente a partir de uma boa formação teórica e

metodológica, tão-pouco os cursos de formação inicial conseguem desenvolver competências

suficientes para que um professor se tome reflexivo. Para desenvolver uma compreensão sobre

a complexidade do acto de ensinar, o professor precisa de estar consciente que a aprendizagem

não se faz através da aplicação de conhecimentos produzidos por outros, pois o sujeito assume

a sua prática a partir dos significados construídos por ele e na interacção com os outros com

quem contacta.

3

A constante tomada de decisões que caracteriza a prática profissional dos professores

leva à necessidade de desenvolverem uma participação activa no processo de construção do seu

próprio conhecimento profissional. Para isso, é fundamental o recurso a uma actividade reflexiva

sistemática realizada a partir das suas práticas, identificando erros cometidos a partir da análise

do que fazem, como fazem e por que o fazem. Este processo de reflexão, em que a prática

funciona como espaço privilegiado para o desenvolvimento das suas próprias competências

profissionais, permite aos professores descobrirem outras formas de agir, pois ―a

experimentação e reflexão são elementos auto-formativos que levam a uma conquista

progressiva de autonomia e descoberta de potencialidades‖ (Amaral, Moreira & Ribeiro, 1996, p.

98).

Igualmente importantes são as potencialidades atribuídas pela investigação em Educação

ao trabalho colaborativo entre professores, ao processo de reflexão e ao desenvolvimento

profissional dos professores (Boavida, 2005). Ao colaborarem, os professores desenvolvem uma

atitude problematizadora e de partilha, colocando-se no centro da sua própria formação.

Esta ideia salienta o papel exercido pela formação, que ultrapassa uma simples

actualização científica, pedagógica e didáctica, convertendo-se na possibilidade de criar espaços

de participação, reflexão e formação para que os professores aprendam e se adaptem para

conviver com a mudança e a incerteza. Isso, por sua vez, implica rupturas de tradições e

ideologias, principalmente nos posicionamentos e nas relações profissionais. Nesse sentido,

entendemos que o caminho para a autonomia profissional partilhada exige o desenvolvimento de

capacidades reflexivas em grupo.

É reconhecido que alguns professores do 1.º ciclo apresentam várias lacunas na sua

formação matemática e didáctica (Correia, 1997; Serrazina, 1998). O professor do 1.º ciclo

necessita de uma formação matemática adequada, sendo fundamental que ―esteja seguro das

diferenças entre os vários conceitos matemáticos e da forma de os apresentar aos alunos‖

(Gomes, Ralha & Hirst, 2001, p. 189), a que acrescentaríamos a forma de os avaliar,

nomeadamente por a avaliação assumir uma perspectiva integrada no processo de

desenvolvimento do currículo. Neste sentido, Fernandes, Alves e Machado (2008), ao recensear

os principais aspectos que caracterizam a avaliação em Matemática, apresentaram três eixos

que, na opinião dos autores, constituem um referencial de avaliação em Matemática e em

relação aos quais propuseram uma leitura cruzada e articulada: 1) o eixo constituído pela

renovação das perspectivas didácticas em relação à avaliação, tendo em conta, sobretudo, as

4

propostas oriundas do discurso científico e da actividade investigativa; 2) o eixo respeitante ao

domínio da prescrição curricular, nomeadamente as orientações constantes dos programas de

Matemática, assim como de outros documentos orientadores; e 3) o eixo relativo ao quadro

legislativo, que tem um efeito relativamente determinante e constrangedor das práticas de

avaliação, circunscrevendo-o à realidade portuguesa, logo contingente, relativo e efémero,

características que são oriundas da natureza intrínseca de qualquer referencial.

Relativamente ao primeiro eixo, o das perspectivas didácticas sobre o ensino e a avaliação

em Matemática, os autores sustentam que o ensino da Matemática tem procurado responder às

exigências da evolução das sociedades e integrar os conhecimentos adquiridos sobre a

aprendizagem. Assim, de um ensino centrado no professor, que tem a função de transmitir o

conhecimento, passa-se a preconizar um ensino centrado no aluno, em que ele se assume como

o protagonista da sua própria aprendizagem e ao professor compete organizar e facilitar esse

processo de aprendizagem. Quanto ao segundo eixo, salientam a importância da construção de

um referencial para enquadrar as práticas de avaliação dos professores, em relação às quais as

orientações curriculares oriundas do contexto político-administrativo têm também uma

pregnância fundamental. Por fim, no terceiro eixo, referem que as práticas de avaliação, embora

resultando também de hábitos e regras consuetudinárias, são objecto de um sistema de

regulação e de prescrição normativas definido ao nível político-administrativo.

A Matemática, nomeadamente no 1.º ciclo, deve ser ensinada com o envolvimento activo

dos alunos, e as tarefas e actividades propostas pelos professores devem conduzir à

compreensão dos conceitos e dos processos matemáticos. Relativamente ao papel do professor

no processo ensino/aprendizagem, convém salientar que, nos últimos anos, tem ganho mais

autonomia no que concerne às estratégias que põe em prática na sala de aula, revelando-se um

elemento fundamental no desenvolvimento e coordenação das actividades dinamizadas na sala

de aula, e também na organização de tarefas adequadas aos seus alunos pois ―o ensino é mais

do que uma actividade rotineira onde se aplicam simplesmente metodologias pré-determinadas.

Trata-se, simultaneamente, de uma actividade intelectual, política e de gestão de pessoas e

recursos‖ (Ponte, 2002, p. 5).

Com base nesta constatação, torna-se importante que o professor tenha um

conhecimento profundo dos conteúdos, dos modos como os vai leccionar e das formas como os

alunos os compreendem. Porém, para compreender a forma como se processa o trabalho dos

professores nas escolas, Goodson (1997) salienta que é fundamental conhecê-los, dado que as

5

suas práticas profissionais são indubitavelmente marcadas por aspectos de natureza pessoal,

entre os quais, os seus conhecimentos, as suas concepções e dificuldades.

Este conhecimento assume particular importância uma vez que é fundamental a atitude

adoptada pelo professor, pois não existem receitas mágicas para ensinar Matemática nem para

que os docentes sejam capazes de inverter esta história de insucesso à disciplina. É necessário

adquirir/desenvolver alguns requisitos, especialmente gostar de Matemática, ser

matematicamente competente e estar interessado em promover a aprendizagem, uma vez que o

―bom professor é aquele que vibra com a matéria que ensina, conhece muito bem o assunto e

tem um desejo autêntico de transmitir esse conhecimento aos alunos, (…) interessa-se pelas

dificuldades dos seus alunos e procura colocar-se no lugar deles, entender os seus problemas e

ajudar a resolvê-los‖ (Lima, 2004, p. 16).

Em relação ao 1.º ciclo do ensino básico, caracterizado por um ensino de base generalista

e interdisciplinar, alguns professores não se sentem especialmente motivados para ensinar

Matemática, apresentando imensas dificuldades nesta área disciplinar (Serrazina, 1999a). Várias

investigações sugerem a necessidade de mudança nas práticas lectivas de muitos professores e

isso implica uma modificação das suas concepções e crenças sobre a natureza do

conhecimento e da aprendizagem, do seu conhecimento matemático e sobre o processo como

ele se desenvolve, da sua relação pessoal com a Matemática e das suas próprias práticas de

ensino (Ball, 1990; Guimarães, 1988; Serrazina, 1999).

O desenvolvimento de um percurso formativo alicerçado num trabalho colaborativo entre

os professores e centrado na reflexão pode constituir um contexto favorável à mudança

curricular dado que, para além de possibilitar a exteriorização de várias concepções e

dificuldades, pode permitir que se gerem situações promotoras de alterações das concepções e

das práticas lectivas. Este trabalho pode contribuir para uma utilização mais flexível do

conhecimento e para uma melhor compreensão das ideias matemáticas. Ao trabalhar

colaborativamente, o professor pode legitimar as suas novas opções didácticas através dos

acordos resultantes do processo colaborativo que realiza com os seus colegas.

Por outro lado, o trabalho colaborativo pode ajudar a promover uma maior reflexão e

discussão entre os professores, conduzindo a uma mudança das actividades que

tradicionalmente têm sido dominantes na aula de Matemática (Ponte, 1994a).

Referindo-se às práticas lectivas dos professores, Hargreaves (1992) identifica uma

cultura de individualismo, em que se valoriza a privacidade que uma sala de aula fechada lhes

6

oferece. Esta situação acontece habitualmente com os professores do 1.º ciclo, que trabalham

sozinhos e raramente conversam sobre assuntos relacionados com os currículos ou com

métodos de ensino. Nesta linha de pensamento, Pacheco (1998) afirma que o professor do 1.º

ciclo, no seu regime de monodocência, se isola na sua sala de aula com os seus alunos, o seu

método e a sua preparação científica e didáctica. Ora este isolamento em que geralmente

trabalham ―poderá ser um entrave ao seu desenvolvimento profissional e à implementação de

estratégias que o favoreçam‖ (Ferreira, 2002, p. 238).

Por seu lado, Thompson (1992) encara a possibilidade de mudanças nas práticas dos

professores a partir do conhecimento que se possa ter e das relações que se possam

estabelecer entre as concepções e as práticas lectivas.

A clarificação do que o professor precisa de saber de Matemática para ensinar tem sido

motivo de vários estudos, que permitiram salientar alguns desses aspectos, designadamente: o

conhecimento e a compreensão do significado das ideias e procedimentos matemáticos e das

conexões entre ideias e procedimentos; a compreensão da natureza da Matemática e das

relações da Matemática com a vida quotidiana; a representação e formulação do conteúdo

disciplinar de modo a torná-lo compreensivo para quem está a aprender; a compreensão do que

é que torna a aprendizagem de um determinado tópico fácil ou difícil; o conhecimento de

estratégias que permitam não só fazer ligações entre o que os alunos já sabem e o que estão a

aprender, como também para eliminar concepções erróneas (Clements & Bright, 2003; Lamon,

2005).

1.2. O Programa de Formação Contínua

O programa de Matemática do 1.º ciclo, datado de 1990, definia nas suas orientações

programáticas que o ensino da Matemática não deve centrar-se na transmissão de saberes,

antes deve permitir ao aluno a construção dos seus saberes, desenvolvendo de forma global o

seu raciocínio e o seu pensamento lógico/matemático.

O novo programa de Matemática (Ministério da Educação, 2007) mantém estas

orientações, reforçando que os alunos devem desenvolver capacidades transversais de resolução

de problemas, raciocínio e comunicação matemática. Nele é salientada a importância que a

Matemática desempenha nas diferentes dimensões das vidas das pessoas.

7

Hoje, mais do que nunca, [a Matemática] está presente em todos os ramos da ciência e tecnologia, em diversos campos da arte, em muitas profissões e sectores da actividade de todos os dias. Por isso hoje, certamente também mais do que nunca, se exige da escola uma formação sólida em Matemática para todos os alunos: uma formação que permita aos alunos compreender e utilizar a Matemática, desde logo ao longo do percurso escolar de cada um, nas diferentes disciplinas em que ela é necessária, mas igualmente depois da escolaridade, na profissão e na vida pessoal e em sociedade; uma formação que promova nos alunos uma visão adequada da Matemática e da actividade matemática, bem como o reconhecimento do seu contributo para o desenvolvimento científico e tecnológico e da sua importância cultural e social em geral; e, ainda, uma formação que também promova nos alunos uma relação positiva com a disciplina e a confiança nas suas capacidades pessoais para trabalhar com ela. (ME, 2007, p. 3)

Especificamente, em relação ao ensino da Matemática, é importante que os professores

vão além de ―uma visão estritamente utilitária da Matemática, que vê apenas os conceitos e

procedimentos a eles ligados‖, não ―esquecendo as competências para a resolução de

problemas e para a comunicação, competências estas que afinal constituem as grandes

finalidades do ensino básico. É preciso que os professores sejam capazes de motivar e dar

significação à aprendizagem da Matemática‖ (Migueis & Azevedo, 2007, p. 18).

A partir da formação dos professores, quer seja a inicial quer seja a contínua, poder-se-á,

segundo Nóvoa (1992), desempenhar um papel primordial e impulsionador de uma cultura

profissional no seio dos professores e de uma cultura organizacional no seio das escolas. Esta

cultura profissional, de que fala Nóvoa, é impulsionada a partir do interesse do professor em

reorganizar a sua identidade, encontrando os vínculos entre a sua identidade pessoal e a sua

identidade profissional. Este processo de formação de professores aposta numa perspectiva

crítico-reflexiva, que objectiva, prioritariamente, a construção de um pensamento autónomo em

que o sujeito, ao reflectir sobre sua prática, se percebe como produtor de saberes e imbuído da

capacidade de decidir, de criar e recriar a realidade, articulando novos saberes em novas

práticas.

Tal como é definido em termos Nacionais, o Programa de Formação Contínua em

Matemática para Professores do 1.º Ciclo do Ensino Básico (1.º ano) pretende desenvolver

actividades de formação que integrem as práticas dos professores, interligando a vertente do

saber matemático e a vertente do saber didáctico e pedagógico.

Os objectivos previstos e propostos para a acção de formação, comuns a todas as

instituições envolvidas a nível nacional e que se apresentam a seguir, centram-se no

8

aprofundamento do conhecimento matemático, didáctico e curricular como forma de sustentar

práticas de ensino:

1. Promover um aprofundamento do conhecimento matemático, didáctico e curricular dos professores do 1.º ciclo envolvidos, tendo em conta as actuais orientações curriculares neste domínio. 2. Favorecer a realização de experiências de desenvolvimento curricular em Matemática que contemplem a planificação de aulas, a sua condução e reflexão por parte dos professores envolvidos, apoiados pelos seus pares e formadores. 3. Desenvolver uma atitude positiva dos professores relativamente à Matemática promovendo a autoconfiança nas suas capacidades como professores de Matemática, que inclua a criação de expectativas elevadas acerca do que os seus alunos podem aprender em Matemática. 4. Criar dinâmicas de trabalho em colaboração entre os professores de 1.º ciclo com vista a um investimento continuado no ensino da Matemática ao nível do grupo de professores da escola/agrupamento, com a identificação de um professor dinamizador da Matemática que promova um desenvolvimento curricular nesta área. 5. Promover o trabalho em rede entre escolas e agrupamentos em articulação com as instituições de formação inicial de professores. (Serrazina, Canavarro, Guerreiro, Rocha, Portela & Saramago, 2005, p. 3)

O processo formativo deverá partir da experiência profissional dos professores criando

espaços de experimentação e reflexão conjunta, nomeadamente sobre as práticas e partir delas

para o desenvolvimento de um saber sustentado, que considere as características dos alunos.

No 1.º ano de formação estão contempladas 15 sessões de formação conjunta entre o

formador e os formandos, com a duração de três horas cada, e quatro sessões de

acompanhamento, correspondentes a experiências pedagógicas observadas em contexto de sala

de aula, num total de 10 horas por formando. Nas sessões de formação conjunta parte-se das

questões curriculares ao nível da concretização do currículo na sala de aula, procedendo à

planificação de aulas, trabalhando diversos temas matemáticos e explorando materiais

didácticos, estruturados ou não, de modo a ir de encontro às necessidades e interesses dos

formandos. Trata-se, assim, de um trabalho centrado no conhecimento matemático, curricular e

didáctico, em que as metodologias utilizadas nas sessões conjuntas contemplam espaços de

negociação dos principais focos de incidência, incentivando o trabalho em grupo, onde se

partilham reflexões e experiências, elaboram materiais e discutem ideias.

Ao longo das experiências pedagógicas, em sala de aula, são registados os episódios mais

significativos, servindo para a reflexão conjunta sobre as decisões que os professores tomam ao

longo da aula, pois a ―reflexão sobre o seu ensino é o primeiro passo para quebrar o acto de

9

rotina, possibilitar a análise de opções múltiplas para cada situação e reforçar a sua autonomia

face ao pensamento dominante de uma dada realidade‖ (Cardoso, Peixoto, Serrano & Moreira,

1996, p. 83). É a partir do que o professor registou que poderá dar-se o confronto entre o que

acontece na sala de aula e as atitudes de ensino, as teorias que se julgam seguidas e o

comportamento efectivamente adoptado (Ramos & Gonçalves, 1996).

O formador colabora nas planificações e participa nas dinâmicas de sala de aula, de modo

a aprofundar a reflexão posterior sobre as experiências realizadas com os alunos, ressaltando

conquistas e fracassos e apontando o que é necessário desenvolver. Será na interdependência

entre motivações e questionamento/reflexão que se criarão as condições para o

desenvolvimento profissional dos professores.

1.3. Objectivos e questões de investigação

A definição do problema de investigação afigura-se como um momento importante e

decisivo na orientação de toda a investigação funcionando como um guia de todo o processo.

No seguimento do que atrás foi dito, esta investigação centra-se na necessidade de

investigar sobre possíveis respostas dos percursos de formação às necessidades dos

professores. Esta necessidade ganha particular relevância para o investigador, uma vez que

desenvolve, desde o seu início, o papel de formador no referido Programa de Formação Contínua

em Matemática para Professores do 1.º Ciclo do Ensino Básico. O modelo de formação

apresentado é, no mínimo, pouco usual ou, porque não dizê-lo, inovador, por envolver os

professores num processo de formação em que a componente de supervisão assume uma

importância considerável.

Muito do que sabemos sobre formação de professores faz parte do senso comum; isto é,

é acumulado pelas experiências familiares. Raramente este conhecimento é codificado ou

examinado directamente (Doyle, 1990). Nesta perspectiva, a motivação para o estudo insere-se

num quadro conceptual que pode ser duplamente perspectivado. Numa primeira fase, partiu-se

de uma visão retrospectiva da forma como decorreu a formação, de que se destaca a entrega de

formandos e formadores à causa da melhoria do processo de ensino e aprendizagem da

Matemática. Os professores abrem as portas das suas salas de aula, participando num processo

de formação exigente e ambicioso, mostrando-se disponíveis para aprofundar o seu

conhecimento matemático, didáctico e curricular. Numa segunda fase, atendeu-se a uma visão

10

prospectiva, perspectivando o questionamento dos fundamentos da organização interna,

procurando criar-se condições para a mudança e/ou reorganização interna dos professores

envolvidos neste processo.

É, pois, nessa interdependência entre motivações e questionamento/reflexão que se

criarão as condições para o desenvolvimento profissional dos docentes. Neste sentido, afigurou-

se importante compreender todo este processo, entender como é vivenciado e perspectivado

pelos professores envolvidos e, em última análise, concluir acerca da mais-valia da formação

para os docentes.

O que se procura nesta investigação é avaliar o impacto do Programa de Formação

Contínua em Matemática para professores do 1.º Ciclo do Ensino Básico no desenvolvimento e

implementação do conhecimento didáctico.

A pertinência deste objectivo salienta-se, por um lado, quando considerados os objectivos

do Programa de Formação Contínua, em particular: ―promover um aprofundamento do

conhecimento matemático, didáctico e curricular dos professores do 1.º ciclo envolvidos, tendo

em conta as actuais orientações curriculares neste domínio e favorecer a realização de

experiências de desenvolvimento curricular em Matemática que contemplem a planificação de

aulas, a sua condução e reflexão por parte dos professores envolvidos, apoiados pelos seus

pares e formadores‖ (Serrazina et al., 2005, p. 3). Por outro lado, porque o professor com ―a

sua acção e o seu modo de estar marcam de forma decisiva as aprendizagens dos alunos com

que contacta diariamente‖ (Ponte, Matos & Abrantes, 1998, p. 215). Esta acção do professor

ganha, ainda, maior importância pois ―o que se passa na sala de aula determina de modo

essencial a relação dos alunos com a disciplina, o seu entendimento do que é e como se

aprende Matemática, para que serve e qual o valor desta ciência, aspectos, todos eles,

determinantes na aprendizagem‖ (Ponte, Costa, Lopes, Moreirinha & Salvado, 1997, p. 1).

A actuação do professor está necessariamente relacionada com as suas concepções

sobre a Matemática, as quais, por sua vez, são influenciadas pelas experiências que os

professores se habituaram a reconhecer como tal e pelas representações sociais dominantes.

Assim, as concepções condicionam a forma como o professor aborda as tarefas, orientando-o,

frequentemente, para abordagens que estão longe de ser as mais adequadas (Ponte, 1992).

O processo de ensino e aprendizagem é marcado pelas concepções dos professores, pois

as suas práticas pedagógicas habituais são influenciadas pelas perspectivas que estes têm

acerca da Matemática. Assim, ―o que os professores fazem na sala de aula é função do que

11

pensam sobre a Matemática e o seu ensino. A componente conhecimento está claramente

presente, mas existe dentro de uma estrutura mais lata de atitudes, crenças e sentimentos‖

(Hyde, 1989, p. 226).

Para além das concepções dos professores sobre a natureza da Matemática, assim como

as suas perspectivas pessoais acerca do ensino e da aprendizagem, existem mais dois aspectos

que determinam as práticas de ensino dos professores de Matemática: o contexto social da

situação de ensino e o nível de reflexão e de processos de pensamento do professor (Ernest,

1989).

Tendo em conta o enunciado anteriormente, procurou-se no presente estudo, num sentido

estrito:

1. reflectir criticamente sobre o desenvolvimento do conhecimento profissional e as

estratégias de formação, em Matemática, de professores do 1.º ciclo envolvidos num

processo de formação contínua;

2. intervir no processo de desenvolvimento do conhecimento didáctico, em Matemática,

de professores do 1.º ciclo, no contexto da formação contínua, quer ao nível das suas

atitudes e conhecimentos, quer ao nível da sua capacidade para enfrentar situações

complexas;

3. avaliar um modelo de formação contínua em Matemática do 1.º ciclo, centrado no

desenvolvimento e implementação do conhecimento didáctico através de uma aposta

forte nas práticas dos professores como ponto de partida para o trabalho desenvolvido

nas sessões conjuntas e nas sessões de acompanhamento em sala de aula.

Deste modo, no contexto particular deste programa de formação contínua, o problema

que orienta esta investigação especifica-se nas duas seguintes questões de investigação:

1. Que motivações levaram os formandos a inscrever-se no Programa de Formação

Contínua em Matemática para Professores do 1.º Ciclo do Ensino Básico?

2. Qual a influência do Programa de Formação Contínua em Matemática para

Professores do 1.º Ciclo do Ensino Básico no desenvolvimento e implementação do

conhecimento didáctico do professor no processo de ensino e aprendizagem da

Matemática?

12

1.4. Metodologia do Estudo

1.4.1. Opções metodológicas

A partir da definição do problema, dos objectivos e das questões de investigação delineou-

se a metodologia a desenvolver ao longo da investigação. Tendo em conta a experiência

formativa do investigador, a multiplicidade de informações que poderiam ser obtidas e a

complexidade do tema, optou-se por uma metodologia mista, recorrendo-se, numa perspectiva

de complementaridade, a abordagens quantitativas e qualitativas.

Apesar de exigir muito tempo, a complementaridade entre as estratégias metodológicas

qualitativas e quantitativas é recomendável, senão mesmo indispensável, pois os fenómenos

educativos, atendendo ao elevado grau de complexidade, colocam o investigador perante vários

desafios e dificuldades que o obrigam à utilização de uma metodologia adequada ao problema e

às questões de investigação.

Ao utilizar-se a metodologia quantitativa estudou-se, a partir da aplicação de dois

questionários, um antes e outro após a frequência do PFCM, a todos os formandos participantes

na formação no ano lectivo de 2007/2008, a influência exercida pelo PFCM sobre o

desenvolvimento do seu conhecimento didáctico. Esta abordagem revelou-se a mais indicada

porque se pretendia descobrir regularidades e formular generalizações. Para tal, procedeu-se à

categorização em variáveis (dependentes e independentes), tornando-se, assim, viável a análise

descritiva e comparativa-causal dessas variáveis (Gall, Gall & Borg, 2003).

A metodologia qualitativa teve como objectivo estudar em profundidade o grupo de

formação, constituído por 10 formandos, a cargo do investigador. Com esta metodologia, o

investigador procurou estudar os fenómenos no seu ambiente natural, adoptando uma

abordagem interpretativa e de pendor naturalista (Pérez Serrano, 2004).

Ao adoptar uma abordagem qualitativa, o investigador procurou compreender a influência

do PFCM a partir da perspectiva dos sujeitos da investigação, inseridos no seu ambiente natural

(Bogdan & Biklen, 1994). Para isso, foram utilizados um conjunto de procedimentos analíticos e

interpretações que foram avaliados tendo em conta um conjunto de critérios, de acordo com o

paradigma teórico em que a investigação se insere (Denzin & Lincoln, 2000).

Nesta perspectiva, o investigador foi um elemento fundamental no processo de recolha de

dados, que passou pela realização de entrevistas, observação de aulas e notas de campo. Na

adopção da perspectiva qualitativa teve-se ainda em conta a sua importância por se tratar de

13

uma investigação que estando centrada na necessidade de mudança, prossegue objectivos

vários, tais como os que se relacionam com a tomada de decisões práticas, com a melhoria de

programas e sua implementação ou a introdução de alguma inovação nas práticas. Trata-se pois

de uma abordagem que permite ao investigador compreender a forma como os intervenientes

entendem a situação, antecipar as dificuldades inerentes à mudança e, consequentemente, lidar

com os intervenientes na mudança. Consiste numa perspectiva de investigação que implica

observar os comportamentos no contexto em que ocorrem, isto é, que está centrada no terreno

(Bogdan & Biklen, 1994).

1.4.2. Participantes e métodos de recolha e análise de dados

No estudo quantitativo participaram 197 formandos que frequentaram o 1.º ano do


Básico, integrados numa Escola Superior de Educação no ano lectivo de 2007/2008.

A recolha de dados foi efectuada através de dois questionários – um aplicado antes e

outro após a frequência do referido programa de formação. Os questionários, com a maior parte

dos itens comuns, incluíam várias dimensões relativas ao professor de Matemática,

designadamente: aspectos profissionais críticos; perspectivas sobre a Matemática; preparação

das práticas lectivas; práticas lectivas da sala de aula; actividades extra-curriculares; formação

de professores; razões da inscrição e balanço do PFCM.

Ambos os questionários incluíam itens fechados a abertos. Nas questões que

apresentavam itens de resposta fechada e aberta, recorremos, respectivamente, a técnicas de

estatística descritiva e à análise de conteúdo.

No tratamento e análise de dados relativos aos itens fechados recorremos à estatística

descritiva, determinando-se percentagens, médias e desvios padrão, e à estatística inferencial

para testar a significância estatística das diferenças entre os resultados obtidos antes e depois

da formação, designadamente aos testes t de Student para amostras emparelhadas e de

McNemar. Para o tratamento estatístico recorreu-se ao Programa SPSS (Statistical Package for

Social Sciences), versão 16.0 para Windows, e adoptou-se um nível de significância de 0,05.

No caso das questões abertas procedemos à análise de conteúdo listando todas as

respostas dadas pelos respondentes a cada item. De seguida, em cada item, agruparam-se as

respostas de acordo com o construto comum a todas essas respostas, dando origem a uma

dada categoria (Bardin, 1988). Finalmente, em termos do relatório de investigação, optou-se por

14

exemplificar as várias categorias a partir de excertos do texto escrito pelos formandos,

apresentando-se as percentagens relativas à instanciação das categorias.

Na fase qualitativa do estudo participaram 10 formandos, atribuídos ao investigador na

qualidade de formador de uma instituição do ensino superior. Os formandos eram professores

em exercício, pertencentes ao mesmo Agrupamento de escolas e frequentaram o PFCM no ano

lectivo de 2007/2008, na mesma instituição do ensino superior. Dos formandos, um era do

sexo masculino e nove do sexo feminino, três pertenciam ao Quadro de Nomeação Definitiva de

Escola e sete ao Quadro de Zona Pedagógica. Para além de um formando com 51 anos, a idade

dos outros formandos situava-se predominantemente na faixa dos 30 anos ( 4,35=x e 5,6=s

). Também, à excepção de um formando mais velho, que tinha 31 anos de serviço docente,

todos os outros tinham entre 7 e 13 anos de serviço docente. Todos pertenciam a escolas

pequenas, algumas só com duas salas de aula e com poucos recursos materiais, situadas num

concelho do Distrito do Porto, num meio predominantemente rural.

Os dados foram recolhidos através de entrevistas semi-estruturadas, atribuindo-se um

papel importante à auto-avaliação dos formandos sobre o PFCM. Foram também recolhidos

dados a partir da observação de aulas, da análise dos portefólios de avaliação elaborados pelos

formandos e do registo de episódios das sessões conjuntas.

Nesta fase da investigação, foram ainda realizadas entrevistas a 12 formadores do PFCM

da mesma instituição, que dinamizaram a formação no ano lectivo de 2007/2008, e analisados

os relatórios por eles produzidos sobre a acção de formação.

Para o tratamento dos dados, procedeu-se à análise de conteúdo, tendo por referência os

contextos de formação, a problemática do estudo, o quadro teórico de referência e os construtos

expressos pelos participantes.

1.5. Organização da tese

Este trabalho encontra-se organizado em sete capítulos. No capítulo I, Introdução, faz-se

uma breve contextualização do problema em estudo, seguindo-se a explicitação do PFCM para

de seguida se definirem os objectivos e as questões de investigação, apresentar a metodologia

do estudo e as opções metodológicas e caracterizar brevemente os participantes e métodos de

recolha de dados.

15

No capítulo II, o conhecimento didáctico e projecto de formação, abordamos a formação

inicial dos professores do 1.º ciclo do ensino básico, o desenvolvimento profissional do professor,

a importância da reflexão no processo de ensino e aprendizagem da Matemática, o

conhecimento profissional do professor de Matemática, o conhecimento didáctico em

Matemática do professor do 1.º ciclo do ensino básico, a formação como projecto, a formação

contínua de professores em Portugal, o programa de formação contínua em Matemática para

professores do 1.º ciclo do ensino básico e as questões relacionadas com o currículo e o

Programa de Matemática do 1.º ciclo.

No Capítulo IIII, avaliação de programas de formação, começamos por explorar os

conceitos e perspectivas de avaliação da formação e as funções da avaliação. Seguidamente,

apresentamos as gerações da avaliação, as ideologias da avaliação, os paradigmas e os modelos

de avaliação, destacando num ponto os modelos naturalistas de avaliação de programas.

Desenvolvemos a avaliação do impacto de um programa de formação, salientando os modelos

de avaliação plural e a referencialização. Finalmente, analisamos a avaliação dos professores

participantes na formação.

O capítulo IV apresenta a metodologia utilizada na investigação, definindo-se o problema

em estudo, as opções metodológicas; as fases da investigação; os participantes; os métodos de

recolha, e o tratamento e análise de dados.

No capítulo V é feita a apresentação dos resultados, com destaque para a influência do

programa de formação no desenvolvimento do conhecimento profissional dos formandos e no

desenvolvimento do seu conhecimento matemático e didáctico. Apresentamos as percepções

dos formandos sobre a implementação do programa de formação e concluímos o capítulo com

um balanço e sugestões. No capítulo VI, a discussão dos resultados é apresentada com base

nas três dimensões do dispositivo de formação: o induzido, o construído e o produzido. Por fim,

o capítulo VII apresenta as principais conclusões da investigação, tendo como referência as

questões da investigação. Apresentam-se, ainda, as implicações e recomendações do estudo,

assim como as perspectivas para futuras investigações.

As referências bibliográficas e os anexos terminam este trabalho.

17

CAPÍTULO II

O CONHECIMENTO DIDÁCTICO E PROJECTO DE FORMAÇÃO

De acordo com as orientações programáticas, o ensino da Matemática não deve centrar-se

na transmissão de saberes, mas permitir ao aluno a construção dos seus saberes,

desenvolvendo de forma global o seu raciocínio e o seu pensamento lógico/matemático (ME,

1990). O novo programa de Matemática, refere que ―a aprendizagem da Matemática decorre do

trabalho realizado pelo aluno e este é estruturado, em grande medida, pelas tarefas propostas

pelo professor (ME, 2007, p. 8).

Nos últimos anos têm sido objecto generalizado de debate os problemas ligados à

aprendizagem da Matemática, preconizando-se e desenvolvendo-se actividades de formação

dirigidas aos professores. A docência é cada vez mais identificada com uma prática profissional

complexa e múltipla, que varia de um contexto para outro, envolvendo sujeitos em condições

materiais e culturais diversas. Os professores são instigados a procurar conhecimentos e a

identificar estratégias fundamentais para a sua formação, de modo a desenvolverem-se como

profissionais capazes de actuar com competência e criatividade nesses diferentes contextos de

prática escolar.

Dado que ―nenhuma investigação se faz a partir do vazio doutrinal ou sem preconcepções

sobre a realidade que se pretende estudar‖ (Zabalza, 1994, p. 22), procuramos com este

capítulo encontrar um suporte para a interpretação e análise da temática que envolve o presente

estudo.

2.1. A formação inicial dos professores do 1.º ciclo do ensino básico

O conhecimento matemático é um património cultural da humanidade cada vez mais

presente em diferentes vertentes sociais. A Matemática é explicitamente relacionada com o

desenvolvimento económico, com a tecnologia, com o desempenho profissional e com a

participação democrática.

Muitas investigações desenvolvidas sobre o conhecimento profissional do professor

evidenciaram fragilidades e insuficiências na formação específica para o ensino da Matemática.

18

De entre essas investigações, nas que se centraram no conhecimento matemático do professor

e do futuro professor de Matemática, sobressaiu a ideia de que os conhecimentos matemáticos

de muitos professores em exercício, bem como dos futuros professores, se resumem

essencialmente ao conhecimento de conceitos, algoritmos ou procedimentos matemáticos,

sendo poucos os professores que sabem justificar um algoritmo, uma fórmula ou um

procedimento, que conhecem conexões entre ideias ou conceitos matemáticos, ou possuem

mesmo alguma compreensão sobre a natureza da Matemática (Brown & Borko, 1992; Fennema

& Frank, 1992; Veloso, 2004).

Uma ideia comum é a de que o conteúdo da Matemática escolar, em particular na

escolaridade básica, é simples e, por isso, para se ensinar basta ser capaz de definir conceitos e

executar correctamente procedimentos. É igualmente frequente admitir-se que o conhecimento

matemático adquirido no ensino básico ou no ensino secundário é suficiente para a preparação

Matemática dos futuros professores (Veloso, 2004). Esta ideia repercute-se nas reduzidas

percentagens atribuídas à componente específica de Matemática nos currículos de formação de

professores para o 1.º CEB. Até 2007, nas Escolas Superiores de Educação públicas, a

componente de formação em Matemática e Didáctica da Matemática situava-se entre 5,6% e

9,5% nos cursos de formação inicial de professores do 1.º ciclo e entre os 20% e os 30% nas

variantes de Matemática/Ciências da Natureza para o 2.º CEB (Albuquerque, Veloso, Rocha,

Santos, Serrazina, & Nápoles, 2006, p. 26).

Actualmente vive-se um tempo de mudança no que diz respeito aos programas de

formação inicial de professores para o ensino básico (1.º e 2.º ciclos). Até 2007, a formação dos

professores destes níveis de ensino enquadrava-se em dois modelos de formação que, por

incluírem a realização de um estágio pedagógico profissionalizante, se caracterizavam como

integrados. Esses modelos de formação de professores estavam a cargo das Escolas Superiores

de Educação do ensino politécnico e de algumas Faculdades do ensino universitário, havendo

um modelo que formava apenas professores do 1.º ciclo do ensino básico e um outro que

formava professores especialistas de uma ou duas áreas curriculares do 2.º ciclo do ensino

básico, habilitando igualmente os diplomados para a docência no 1.º ciclo. Esta situação

permitiu suprir carências do sistema educativo, sobretudo ao nível do 1.º ciclo do ensino básico,

ao formar um grande número de profissionais.

Estes modelos começaram a revelar alguns problemas, de que se destacam o facto de o

percurso escolar dos candidatos a professores deste nível de ensino se caracterizar pela

19

diversidade. Alguns alunos, provenientes das áreas de humanidades, ingressavam no curso com

uma formação em Matemática que não excedia os nove anos correspondentes à escolaridade

obrigatória e, muitas vezes, com um percurso com muitas lacunas e dificuldades. Outros alunos,

ainda que provenientes de áreas ligadas à ciência e tecnologia e com um percurso de doze anos

de escolaridade em Matemática, não tinham desenvolvido, ao longo da sua escolaridade, uma

relação muito positiva com a disciplina acarretando consigo um passado escolar de insucesso

em Matemática, pelo que não só ―não sabiam matemática suficiente como também

desenvolveram atitudes muito negativas em relação à Matemática‖ (Albuquerque et al., 2006, p.

25).

Tendo em conta esta situação, muitos investigadores começaram a considerar essencial

não só a exigência de doze anos de escolaridade em Matemática no acesso aos cursos de

formação inicial de professores para o 1.º CEB, como também a necessidade de repensar os

próprios programas de formação inicial, sobretudo ao nível da componente de formação

Matemática (Albuquerque et al., 2006; Brocardo, 2004; Loureiro, 2004).

No que se refere ao modelo que formava professores especialistas de uma ou duas áreas

curriculares do 2.º ciclo do ensino básico e para o 1.º ciclo, muitos foram os que lhe teceram

críticas, por considerarem muito difícil formar, em 4 anos, professores generalistas para o 1.º

CEB e, simultaneamente, em uma ou duas áreas disciplinares para o 2.º CEB (Brocardo, 2003;

2004; Loureiro, 2004).

Em relação a esta situação Alarcão, Andrade, Couceiro, Santos e Vieira (2006) defendem

a aproximação do 1.º ciclo ao 2.º ciclo do ensino básico e consideram fundamental um regime

de monodocência ou ―quase monodocência‖ nos primeiros seis anos de escolaridade, tendo em

conta a especificidade e complexidade do ensino nestes anos de escolaridade. Salientam, ainda,

que nos dois últimos anos (5.º e 6.º), pela especificidade dos conhecimentos requeridos, o

professor deve desempenhar um papel de acompanhamento e mediação entre professores com

especializações bi-disciplinares, nomeadamente em Ciências e Matemática.

Opinião semelhante é emitida por Brocardo (2003, 2004) ao salientar a dificuldade em

compatibilizar, em 4 anos, a formação de um professor generalista para o 1.º CEB com a de um

especialista em duas áreas científicas do 2.º CEB. No entanto, com a publicação do Decreto-Lei

n.º 43 de 22 de Fevereiro de 2007 sobre as novas habilitações para a docência é aberta a porta

a um novo modelo de formação de professores ainda mais abrangente e ambicioso que os

anteriores. Assim, a reorganização da formação de professores desenvolvida no quadro do

20

Processo de Bolonha, vai permitir a coexistência, ao nível do 2.º ciclo de formação, de três

modelos de formação para a escolaridade básica:

1. Ensino do 1.º ciclo do ensino básico;

2. Educação Pré-Escolar e Ensino do 1.º ciclo do ensino básico;

3. Ensino do 1.º e 2.º ciclos do ensino básico.

No que se refere ao terceiro modelo de formação, o futuro professor ficará habilitado para

a docência no 1.º Ciclo do Ensino Básico e para as áreas de Língua Portuguesa, Matemática,

História e Geografia de Portugal e Ciências da Natureza no 2.º Ciclo do Ensino Básico. Salienta-

se que este modelo possibilita a mobilidade dos docentes entre o 1.º e o 2.º ciclo, permitindo ―o

acompanhamento dos alunos pelos mesmos professores por um período de tempo mais

alargado e a flexibilização da gestão de recursos afectos ao sistema educativo e da respectiva

trajectória profissional‖ (Dec-Lei n.º 43/2007).

Este modelo coloca às Instituições de Ensino Superior responsáveis pela formação de

professores o desafio de formar, em pouco mais de 4 anos (3+1 ou 3+2), professores

generalistas para o 1.º CEB e professores especialistas em quatro áreas do 2.º CEB.

Esta reorganização curricular reforça as preocupações de alguns autores, nomeadamente

Roldão (2004) que salienta o desafio colocado às instituições de formação e de investigação

perante a necessidade de reconceptualização dos programas de formação de professores do

ensino básico. Na perspectiva da autora, é fundamental que essas instituições entendam que

devem formar ―professores numa lógica de profissionalismo pleno e de capacidade de serem

decisores curriculares e actores actuantes e detentores de saber vivo‖ (Roldão, 2004, p. 194).

Referindo-se à reorientação curricular dos cursos de formação de professores, Cachapuz

(2002) reforça a necessidade de se recuperar uma perspectiva de currículo como um todo

coerente que harmonize as diferentes dimensões da formação, salientando que ao nível das

metodologias de ensino e aprendizagem é fundamental pôr a tónica em metodologias de

trabalho promotoras de competências para a acção, em particular do aprender a aprender. Para

este autor, é essencial que as mudanças a efectuar sejam acompanhadas e avaliadas, não só

por mecanismos externos às instituições formadoras, mas também ao nível da articulação entre

investigação e formação, pois só assim se pode aspirar a que os candidatos a professores

desenvolvam níveis elevados de desempenho.

Convém salientar que um professor do 1.º ciclo é, também, professor de Matemática, por

isso a sua formação deve assegurar as três vertentes fundamentais enunciadas por Ponte, Matos

21

e Abrantes (1998): uma vertente científica, vocacionada para o desenvolvimento e

aprofundamento de conhecimentos e competência matemática, estabelecendo uma relação

positiva com esta ciência; uma vertente didáctica, que possibilite o desenvolvimento de

capacidades para distinguir modos alternativos de seleccionar objectivos, de organizar tarefas e

situações de aprendizagem, de formular critérios de avaliação e de determinar procedimentos de

actuação para cada tipo de circunstâncias; uma vertente que imprima no professor a vontade de

estabelecer metas pessoais de desenvolvimento profissional e organizacional, bem como

situações de colaboração com outros professores e de intervenção na escola e na comunidade.

De acordo com esta perspectiva, é necessário que os programas de formação de

professores se organizem tendo em conta a necessidade de desenvolver nos futuros docentes a

capacidade para pensar matematicamente, para comunicar e para trabalhar em colaboração.

Esta perspectiva é particularmente importante, tanto mais quanto tem sido da exclusiva

responsabilidade das instituições formadoras a tomada de decisões curriculares e de gestão dos

recursos humanos e materiais, no que respeita à formação nas áreas da docência, educacional

e profissional (Ponte, 2004). Na opinião do autor, tem sido dada pouca importância à questão

da formação dos futuros professores para o ensino da Matemática, apesar de muitos

testemunhos e reflexões sugerirem a existência de grandes problemas neste campo. Os

problemas vão muito além dos aspectos relacionados com a listagem de conhecimentos que o

professor ou futuro professor deve adquirir, reforçando que as grandes questões têm a ver com

a competência matemática e didáctica que o professor deve possuir, como é que as pode

desenvolver, o que é expectável de um professor recém-licenciado e que tipos de experiências

lhe devem ser proporcionados na formação inicial. Tendo em conta o enunciado, é

particularmente importante que o sistema de acreditação dos programas de formação inicial de

professores se oriente por padrões capazes de dar ―garantia de qualidade do novo sistema de

habilitação para a docência‖ (Dec-Lei n.º 43/2007).

No que ao ensino da Matemática diz respeito, o National Council of Teachers of

Mathematics (NCTM) realça que

as primeiras funções como professor e as estruturas de apoio desempenham um papel significativo no desenvolvimento da forma de encarar a profissão e nos compromissos que vão assumindo em relação à mesma. [...] São confrontados com novos desafios e os conhecimentos e capacidades vão-se construindo dia a dia, no contexto de ensino, de uma forma mais significativa do que através de um programa formal de formação contínua (NCTM, 1994, p. 126).

22

Uma forma de lidar com este problema é incluir uma parte prática nos programas de

formação inicial e contínua, numa lógica de trabalho investigativo. De uma maneira geral, a

investigação é um trabalho feito de modo sistematizado e rigoroso, com o objectivo de resolver

um dilema ou responder a uma questão pessoalmente significativa. Os investigadores

profissionais procuram produzir conhecimentos gerais, organizados e transmissíveis no âmbito

de uma dada disciplina científica ou área do saber. No entanto, não é nesta perspectiva que os

professores têm interesse em se envolver em trabalho investigativo. O seu principal objectivo é

resolver problemas de natureza local, modificar aspectos concretos da sua situação de trabalho,

da sua prática, ou dos seus resultados (Ponte, 2004).

Para justificar a integração da investigação na formação de professores, o autor aponta as

seguintes razões: (a) favorece a construção de um conhecimento relevante do ponto de vista da

prática profissional; (b) promove a compreensão do professor relativamente à sua própria

aprendizagem através da investigação, o que possibilita a compreensão do mesmo processo nos

alunos; (c) desenvolve competências e valores decisivos, tais como o espírito crítico e a

autonomia dos professores face ao discurso das ciências humanas; e (d) constitui-se como um

paradigma transponível para o quadro de uma prática reflectida.

2.2. O desenvolvimento profissional do professor

A importância e a presença da Matemática na vida de qualquer um de nós são

inquestionáveis. Por isso, aprender Matemática deve ser um direito garantido a todos. A escola,

em particular a escolaridade básica, a par com as experiências quotidianas, desempenha nessa

aprendizagem um papel fundamental. A Matemática é, por isso, disciplina obrigatória em todos

os anos da escolaridade básica, assegurando a todos os cidadãos a possibilidade de serem

matematicamente alfabetizados. Contudo, o ensino da Matemática tem-se debatido desde

sempre com elevados índices de insucesso. Quantos dos nossos alunos não têm abdicado deste

direito de serem matematicamente competentes?

No sentido de combater este insucesso, novos métodos, mais centrados nos alunos, têm

sido desenvolvidos e implementados no processo de ensino e aprendizagem da disciplina. Nesta

perspectiva, a formação de professores e o seu desenvolvimento profissional revelam-se

essenciais para o acompanhamento destas mudanças. Assim, ―o professor é hoje visto como

um elemento-chave do processo ensino-aprendizagem. Sem a sua participação empenhada é

23

impossível imaginar qualquer transformação significativa no sistema educativo‖ (Ponte, 1994, p.

9). Mas, o que é então o desenvolvimento profissional? É ―(…) a ideia que a capacitação do

professor para o exercício da sua actividade profissional é um processo que envolve múltiplas

etapas e que, em última análise, está sempre incompleto‖ (Ponte, 1998, p. 29). Um profissional

responsável e empenhado na sua profissão procura, ao longo da sua carreira, actualizar os seus

conhecimentos científicos, pedagógicos e curriculares, e é nesta perspectiva que o NCTM (1994)

advoga que o desenvolvimento profissional dos professores, dentro e fora da sala de aula, é o

resultado da sua reflexão e participação em oportunidades de formação, que melhorem e

ampliem o seu desenvolvimento e progresso. Como profissionais, os professores têm a

responsabilidade do seu próprio crescimento e desenvolvimento.

Referindo-se ao desenvolvimento profissional do professor, Ponte (1998) afirma que este é

um aspecto marcante da profissão docente, pois tem como finalidades tornar os professores

mais capazes para ensinar Matemática, contribuindo, desta forma, para a melhoria das

instituições educativas. Esta ideia de desenvolvimento profissional é consequência:

Em primeiro lugar, das mudanças crescentes nas condições sociais, arrastando mudanças no sistema educativo (nos objectivos da educação, nos currículos, nos alunos, no próprio conceito de escola). Em segundo lugar, mudanças na teoria educacional, proporcionando novas orientações didácticas e novas perspectivas para fundamentar a acção do professor. E, finalmente, mudanças na própria visão do papel do professor, reconhecendo-se agora muito melhor a complexidade e dificuldade da sua função. (Ponte, 1994, p. 11)

Estas mudanças têm vindo a impelir cada vez mais profissionais a investir na sua

formação e no seu desenvolvimento profissional, de forma a tornarem-se mais aptos a conduzir

um ensino da Matemática adaptado às necessidades e interesses de cada aluno e a contribuir

para melhorar as instituições educativas, realizando-se pessoal e profissionalmente. O conceito

de desenvolvimento profissional acentua o carácter contínuo e evolutivo da profissão docente,

justificando ―uma abordagem na formação de professores que valorize o seu carácter contextual,

organizacional e orientado para a mudança‖ (Garcia, 1999, p. 137). O desenvolvimento

profissional pode aparecer associado à ideia de ―aprendizagem permanente‖ na medida em que

―umas vezes é natural e evolutiva, outras vezes é esporádica, outras, ainda, o resultado de uma

planificação‖ (Day, 2001, p. 16).

A formação inicial ou contínua é um suporte fundamental do desenvolvimento profissional,

cabendo às instituições de formação a promoção de oportunidades diversas de formação,

procurando adequar a sua oferta às necessidades dos professores. No entanto, este processo de

24

desenvolvimento é, também, da responsabilidade individual do professor o qual deverá procurar

desenvolver-se profissionalmente. A valorização do professor como profissional, nomeadamente

como um bom professor de Matemática, decorre do assumir-se como um promotor de ideias,

como um facilitador de aprendizagens, como um investigador que o conduzirá à procura e

aperfeiçoamento da ―(…) sua actividade de ensino. Tudo isto requer a mobilização de um saber

e pressupõe a adopção de um quadro de valores profissionais‖ (Ponte, 1994, p.9).

Para ensinar Matemática, de acordo com o NCTM (1994), é necessário ter conhecimentos

de Matemática, saber ensiná-la e criar oportunidades de empregar estes conhecimentos numa

extensa diversidade de cenários pedagógicos, pois ensinar Matemática é, acima de tudo, uma

actividade que obriga o professor a conhecer-se e a associar os conhecimentos, as capacidades,

o discernimento e a predisposição para ensinar à sensibilidade e responsabilidade para com os

alunos. Assim, o saber profissional dos professores afirma-se, essencialmente, na acção e

reflexão da prática pedagógica.

A chave da competência profissional é a capacidade de equacionar e resolver problemas

da prática profissional. Esta capacidade, aliada a um trabalho investigativo em questões relativas

a essa prática, assim como a promoção de contextos colaborativos, sejam eles institucionais,

associativos ou informais, é essencial para a criação de condições de desenvolvimento

profissional. O professor deve, então, desenvolver uma concepção de formação que ―pressupõe

encarar o desenvolvimento profissional através de uma multiplicidade de aspectos que

transcendem a preparação formal para o exercício da profissão e que evoluem ao longo da

carreira‖ (Simões, 1997, p. 48), o que implica uma atitude permanente de adaptação e evolução

para dar resposta às necessidades de ordem individual, mas, também, às circunstâncias

contextuais decorrentes de um determinado quadro formativo. Day (2001) ao mesmo tempo que

alerta para a importância de o desenvolvimento profissional dos professores ser contínuo, lembra

que ele depende das suas vidas pessoais e profissionais e das políticas e contextos escolares

nos quais realizam a sua actividade docente: a sala de aula, as culturas de ensino e a liderança.

Segundo o autor, as investigações realizadas sobre os professores e sobre o ensino revelam que

os professores constituem o maior trunfo da escola e uma das suas principais tarefas é a de

desenvolver nos seus alunos uma disposição para a aprendizagem ao longo da vida.

A aprendizagem baseada na experiência do professor não é suficiente; o pensamento e a

acção dos professores são o resultado das suas histórias de vida, os contextos sociais e políticos

nos quais trabalham. Ensinar é um processo complexo e cada vez mais as salas de aula estão

25

cheias de alunos com diferentes motivações e disposições para aprender, provenientes de meios

socioculturais diversos, donde os professores devem ser formados de forma activa pois o êxito

da escola depende do êxito do professor e o desenvolvimento profissional do professor é

responsabilidade conjunta dos professores, da escola e do governo.

O desenvolvimento profissional do professor deverá ter em conta os vários contextos em

que os professores trabalham e onde tem lugar a aprendizagem: a sua história de vida; a

biografia do professor; a fase da sua carreira; a aprendizagem profissional e cultural da escola;

as práticas de ensino; as influências externas, como a administração central; o apoio por parte

dos responsáveis pela direcção, colegas ou outras entidades; a qualidade das actividades de

aprendizagem profissional e a própria eficácia da aprendizagem. Day (2001) refere que os

professores são ―agentes de aprendizagem e mudança‖, e num mundo em transformação são

necessários novos recursos para que seja possível à escola cumprir as suas funções de

instrução e estimulação intelectual do aluno.

O processo identitário dos professores é sustentado pela adesão a princípios e valores,

pela adopção de projectos, por um investimento positivo nas potencialidades das crianças e dos

jovens e pela acção, isto é, pelos métodos e técnicas usados, pela postura adoptada e,

sobretudo, pela autoconsciência porque, em última análise, tudo se decide no processo de

reflexão que o professor leva a cabo sobre a sua própria acção (Nóvoa, 1992). Este processo

desenvolve a competência profissional dos professores pois salienta a sua própria identidade.

O conhecimento profissional do professor de Matemática envolve diversos domínios, tais

como o aluno, a aprendizagem, a instrução, o currículo, a Matemática, o contexto de trabalho e

o conhecimento de si próprio. Hoje, o professor é chamado a desempenhar muitos papéis, pois

―um professor é simultaneamente um educador, um matemático e um funcionário público,

sendo por vezes esta última a sua característica mais marcante, não se evidenciando valores

profissionais bem demarcados‖ (Ponte, Matos & Abrantes, 1998, pp. 327-328). Ao ser chamado

a desempenhar funções, não só a nível do processo ensino-aprendizagem mas também a nível

organizacional e administrativo, o professor tem de ser polivalente nos seus conhecimentos,

requerendo uma adequação e adaptação a um quadro de circunstâncias muito díspares. Nesta

perspectiva, os conhecimentos e competências adquiridos pelos professores antes e durante a

sua formação inicial tornam-se insuficientes para o exercício das suas funções como docentes ao

longo da carreira, desempenhando aqui um papel fundamental o desenvolvimento profissional.

26

Esta perspectiva salienta a responsabilidade dos docentes, enquanto profissionais, no seu

próprio crescimento e desenvolvimento. Ao interiorizar a necessidade de desenvolver-se

profissionalmente, o professor poderá acompanhar as mudanças e inovações na educação e,

por isso, a ―valorização do professor como profissional passa pelo estudo do conhecimento que

informa a sua acção prática e da forma como este conhecimento se desenvolve ao longo da sua

carreira‖ (Ponte, 1994, p. 11).

Qual é, então, a finalidade do desenvolvimento profissional dos professores? Ponte (1998)

sustenta que, desenvolvendo-se profissionalmente, o professor estará mais apto a conduzir um

ensino da Matemática que se adequa às necessidades e interesses de cada aluno, contribuindo

para a melhoria das instituições educativas, ao mesmo tempo que se realiza pessoal e

profissionalmente. Para que os professores sejam capazes de adequar o ensino à realidade dos

alunos, devem reflectir sobre o que é fazer Matemática, procurar tarefas e desenvolver

actividades de aprendizagem que se articulem com as competências desejadas para a

Matemática e deve, ainda, ter a preocupação de tornar o espaço da sala numa dinâmica de

situações de aprendizagem, onde haja comunicação e se dê ênfase à problemática da avaliação.

A didáctica assume, neste contexto, um papel fundamental ao constituir-se como ―uma

área integradora transversal, articulando contributos da psicologia, da sociologia, da

epistemologia, do pensamento educacional, etc., mobilizando-os para a reflexão sobre a prática

pedagógica do próprio professor‖ bem como ―instrumento de orientação, ajudando a conceber

as situações de aprendizagem. Mas é também o instrumento privilegiado de análise,

identificando questões, sugerindo alternativas‖ (Ponte, 1994, p. 12).

O desenvolvimento profissional é, pois, fundamental ao permitir a aquisição de valores,

atitudes, práticas e concepções profissionais, que possibilitam o desenvolvimento de

competências profissionais para que o professor desempenhe as suas funções com qualidade,

processo que beneficiará com a formação. Referindo-se à formação e ao desenvolvimento

profissional, Ponte (1998) aponta cinco contrastes entre a primeira e o segundo: a formação

está associada à ideia de frequentar cursos, no entanto o desenvolvimento profissional envolve,

para além dos cursos, projectos, trocas de experiências, leituras, reflexões; a origem do

movimento, isto é, enquanto na formação há um movimento de fora para dentro, no qual o

professor assimila conhecimentos e informações, no desenvolvimento profissional o movimento

é de dentro para fora, ou seja, é o professor que decide que projectos quer empreender e como

os quer executar; a formação atende às necessidades do professor, enquanto no

27

desenvolvimento profissional é dada atenção às suas potencialidades; na formação há uma certa

compartimentação por assuntos ou disciplinas, por sua vez o desenvolvimento profissional

abrange os aspectos cognitivos, afectivos e relacionais; e na formação há um enfoque na teoria,

enquanto que no desenvolvimento profissional a tendência é para interligar a teoria e a prática.

Resumindo, o desenvolvimento profissional coloca o enfoque no professor, procurando a

sua individualidade, em detrimento da ―normalização‖, havendo lugar para momentos formais e

informais de aprendizagem. No entanto, Ponte (1998) salienta que a formação, ao não subjugar-

se a uma lógica de transmissão e ao ser encarada pelo professor como uma oportunidade para

adquirir conhecimentos e superar dificuldades e necessidades potenciará o desenvolvimento

profissional. O autor considera que para o professor exercer bem a sua actividade tem de

possuir bons conhecimentos e estabelecer uma relação positiva com a Matemática; deve

conhecer o currículo e ser capaz de o recriar; conhecer o aluno e dominar métodos e técnicas

necessários ao ensino da disciplina, articulando-os com os objectivos e tópicos curriculares;

conhecer o seu contexto de trabalho e a si mesmo, enquanto profissional.

2.2.1. A importância da reflexão no processo de ensino e aprendizagem da

Matemática

O envolvimento dos professores em experiências de desenvolvimento profissional implica

proporcionar-lhes oportunidades para partilharem ideias, experiências e problemas do dia-a-dia.

Para isso, é necessário tempo e apoio para experimentarem novas ideias e novas metodologias e

para reflectirem sobre os seus efeitos na sala de aula. As investigações neste campo salientam a

importância do trabalho colaborativo e da reflexão, considerando-as como fundamentais na

implementação de programas de desenvolvimento profissional (Hargreaves, 1992; Nóvoa, 1992;

Santos & Kroll, 1992; Schön, 1992; Zeichner, 1993).

No seu quotidiano profissional, o professor depara-se com muitas situações de conflito

que exigem tomadas de decisão para a sua resolução. Para que estas não sejam precipitadas, é

necessário reflectir. Há diversas formas de reflexão. A reflexão-na-acção é um processo de

diálogo com uma situação problemática que exige uma intervenção concreta e que se processa

de forma intuitiva. Trata-se de realizar uma análise viva dos múltiplos factores intervenientes,

com a possibilidade de intervenção imediata, ocorrendo em simultâneo com a prática, exigindo

ao professor a capacidade de prestar atenção ao aluno. A reflexão-sobre-a-acção desenvolve-se

num momento posterior. Acontece quando reconstruímos mentalmente a acção e realizamos

28

uma análise a posteriori, possibilitando um maior rigor na medida em que se faz um balanço da

prática com vista à sua reformulação em termos futuros. É ao reflectir sobre a acção que o

professor se consciencializa, procura crenças erróneas e reformula o pensamento (Schön,

1996).

Alarcão (1996) refere que ―estes dois momentos de reflexão têm um valor epistémico e tê-

lo-ão ainda mais se sobre eles exercermos uma outra actividade que os ultrapassa: a reflexão

sobre a reflexão na acção, processo que leva o profissional a progredir no seu desenvolvimento e

a construir a sua forma pessoal de conhecer‖ (p. 17), auxiliando-o na compreensão e no

exercício da sua prática profissional. Este momento não tem um cariz tão imediatista como os

anteriores, procurando ser mais abrangente pretendendo-se que o professor olhe

retrospectivamente a sua acção, atribuindo outros significados aos acontecimentos e às suas

acções, ao mesmo tempo que desenvolve novas formas de pensar e de agir.

O processo de reflexão surge associado ao modo como se lida com problemas da prática

profissional, sendo encarada como uma oportunidade para o professor, a partir das incertezas,

procurar novas hipóteses de forma a construir e concretizar soluções para os problemas. Este

processo envolve, pois, um equacionar e reequacionar de uma situação problemática. Num

primeiro tempo, há o reconhecimento de um problema e a identificação do contexto em que ele

surge e, num segundo tempo, a conversação com o "repertório de imagens, teorias,

compreensões e acções" (Schön, 1987, p. 31).

O processo reflexivo caracteriza-se por um vaivém permanente entre o acontecer e o

compreender na procura de significado das experiências vividas.

Um professor reflexivo vive permanentemente num ciclo, da prática e da teoria à reflexão

para depois voltar à prática e à teoria. Tanto a prática como a teoria têm espaços relevantes,

pois há uma interacção constante entre elas, onde a teoria ilumina a prática e a prática

questiona a teoria. Ponte (1994) reafirma esse posicionamento quando refere:

A teoria é fundamental para um alargamento de perspectivas e para indicar linhas condutoras da reflexão. A prática permite o envolvimento activo do próprio professor, proporcionando uma experiência concreta a partir da qual é possível reflectir. A reflexão estimula novos interesses, chama a atenção para novas questões e possibilita uma prática mais segura, mais consciente e mais enriquecida. (p.11)

Dada a complexidade cognitiva e didáctica dos conceitos e métodos matemáticos,

interessa então, antes de mais, melhorar a formação dos profissionais da educação Matemática.

29

Godino, Batanero e Flores (1999), ao referirem-se à formação dos professores de

Matemática, chamam a atenção para a existência de um equívoco. Segundo eles, uma formação

exclusivamente Matemática e psico-pedagógica de índole generalista, que acontece nos

programas de formação inicial, não é adequada nem suficiente para o desenvolvimento

profissional do professor. Então propõem que os cursos de formação de professores de

Matemática contemplem diversos aspectos, tais como: a reflexão sobre o significado dos

objectos matemáticos e as transformações experimentadas pelos mesmos ao serem adaptados

aos distintos níveis de ensino; dificuldades, erros e obstáculos dos alunos na aprendizagem de

estratégias de resolução de problemas; análise de situações de ensino, metodologias específicas

e recursos didácticos distintos.

Esta reflexão ganha ainda mais importância, porque

o profissional mobiliza um capital de saberes e de saber-fazer e de saber-ser que não estagnou, pelo contrário, cresce, constantemente, acompanhando a experiência e, sobretudo, a reflexão sobre a experiência. Aliás, a formação contínua mais eficaz consiste muitas vezes em intensificar e fazer partilhar a reflexão sobre a prática. (Perrenoud, 1997, p.186)

A inclusão da reflexão como apoio ao desenvolvimento profissional dos professores tem

sido recomendada por diversos autores (Artzt, 1999; Cooney, Shealy & Arvold, 1998; Hatton &

Smith, 1995; Schön, 1992). Um desenvolvimento baseado na reflexão e na supervisão radica no

pressuposto que através da melhoria das competências metacognitivas, o professor tem

condições para um desenvolvimento mais consciente e orientado. Fernandes (2000) afirma que

os professores precisam de tempo no seu dia lectivo e fora dele para pensar sobre as complexas mudanças que lhes são propostas e em que estão empenhados. Precisam fazê-lo individualmente e com os colegas. E precisam de aconselhamento e de apoio para que as novas abordagens ganhem sentido. (p.78)

Hargreaves e Fullan (1992) referem que o desenvolvimento profissional dos professores

manifesta-se em: (i) desenvolvimento do conhecimento e das competências profissionais; (ii)

auto-compreensão da sua pessoa; e (iii) mudança ecológica ou mudança em contexto. Por seu

lado, Krainer (2001) defende que o desenvolvimento dos professores manifesta-se na acção, na

reflexão, na autonomia e na colaboração, sendo estas concebidas como competências

profissionais.

Tendo em conta o percurso profissional do professor e questões relativas à sua pessoa e

ao contexto da actividade, identificam-se cinco formas de promover o desenvolvimento

30

profissional: (i) desenvolvimento profissional autónomo; (ii) desenvolvimento profissional baseado

na reflexão e na supervisão; (iii) desenvolvimento profissional através do desenvolvimento

curricular e organizacional; (iv) desenvolvimento profissional através de cursos de formação; (v)

desenvolvimento profissional através da investigação (Sparks & Loucks-Horsley, 1990).

Uma prática reflexiva proporciona aos professores oportunidades para o seu

desenvolvimento ao surgir como um modo possível dos professores interrogarem as suas

práticas de ensino. Num processo de reflexão são criadas oportunidades para voltar atrás e rever

acontecimentos, funcionando como catalisador de melhores práticas (Kemmis, 1985; Schön,

1987; Zeichner, 1993).

De acordo com Cardoso et al., (1996),

Clarificando o significado de reflexão na formação de professores, diríamos que esta maneira de pensar encontra eco em muitos autores que escrevem (…) defendendo dever ser o professor um prático e um teórico da sua prática. A reflexão sobre o seu ensino é o primeiro passo para quebrar o acto de rotina, possibilitar a análise de opções múltiplas para cada situação e reforçar a sua autonomia face ao pensamento dominante de uma dada realidade. (p. 83)

Os mesmos autores reforçam a importância da reflexão na promoção de profissionais

mais autónomos, tornando-se mais críticos em relação aos papéis que desempenham. Assim,

defendem que as ―práticas de supervisão aplicadas à sua formação terão de ser feitas no

sentido de fornecer novas ideais, sugestões, opiniões que poderão então ser sujeitas ao

julgamento do próprio professor‖ (Cardoso et al., 1996, p. 83).

Ao desenvolver a sua reflexão o professor cria uma oportunidade para se confrontar ele

próprio com aquilo que escreveu. Desta forma, ―para além de proporcionar uma reflexão sobre o

que acontece na sala de aula, é também (ou pode ser) fonte de conflito entre as atitudes, as

filosofias de ensino, as teorias que se julgam seguidas e o comportamento efectivamente

adoptado‖ (Ramos & Gonçalves, 1996, p. 140).

De acordo com Infante, Silva e Alarcão (1996), a reflexão sobre a prática permite uma

integração entre a teoria e a prática, desafiando a reconsideração dos saberes científicos com

vista à apresentação pedagógica. Esta estratégia assume uma importância crucial ao permitir ao

professor inovar, evitando a rotina. Subjacente à reflexão está a ideia de que não é apenas com

a experiência que se aprende, mas sim com a reflexão sistemática sobre essa experiência.

31

O conceito de professor reflexivo não se esgota no imediato da sua acção docente. Ser professor implica saber quem sou, as razões pelas quais faço o que faço e consciencializar-me do lugar que ocupo na sociedade. Numa perspectiva de promoção do estatuto da profissão docente, os professores têm de ser agentes activos do seu próprio desenvolvimento e do funcionamento das escolas como organização ao serviço do grande projecto social que é a formação dos educandos. (Alarcão, 1996, p. 177)

Smyth (1992) propõe formas de acção que podem ajudar os professores na reflexão.

1. Descrever: O que faço? O objectivo desta acção é descrever eventos concretos de

ensino, em que o professor revê as suas acções distanciadas do contexto, permitindo-lhe uma

maior organização para observar com clareza as decisões tomadas na sala de aula. É importante

que o professor descreva como se desenrolou a aula. Esta descrição funcionará como ponto de

partida para a reflexão, como um passo necessário para a interpretação do que aconteceu na

aula.

2. Informar: Qual o significado das minhas acções? Implica a procura dos princípios que

fundamentam, conscientemente ou não, as acções realizadas. Ao informar, o professor pode

perceber e verbalizar as teorias que ele próprio foi percebendo e interiorizando.

3. Confrontar: O que me levou a agir dessa forma? Este é o momento de confrontar

ideias e razões, de interrogar as teorias que fundamentam as acções, ou seja, questionar o seu

ensino. Neste sentido, confrontar envolve uma avaliação e reflexão sobre a prática lectiva.

4. Reconstruir: Como posso fazer diferente? Aprender é reconstruir, remodelar,

transformar, integrar o novo ao conhecido. Pela reconstrução dos seus conceitos e visões, o

professor pode alterar a sua prática, compreendendo que o ensino não é uma realidade

imutável, definida pelos outros, mas discutível na sua essência. Pela reconstrução dos seus

conceitos e visões sobre o ensino/aprendizagem, o professor vai ganhando, gradualmente,

maior controlo sobre esse processo, de forma a poder decidir o que é melhor para a sua prática

(teorização), tornando-se também ele gerador de teorias (particulares) que progressivamente se

vão aproximando das teorias formais.

O processo de mudança das práticas e das concepções dos professores pode ser

alcançado através da reflexão, quer ao nível das propostas curriculares, quer ao nível das

práticas (Serrazina, 1999). Essas mudanças, segundo Ferreira (2002), ―ocorrerão mais

facilmente num confronto com a prática, onde os professores sejam apoiados para que se

sintam mais seguros, em que a reflexão seja uma constante dessa prática‖ (p. 255).

32

Neste sentido, ―a prática reflexiva proporciona aos professores oportunidades para o seu

desenvolvimento, tornando-os profissionais mais responsáveis, melhores e mais conscientes‖

(Oliveira & Serrazina, 2002, p. 37). Assim, o professor deve ser incentivado a desenvolver um

―contexto de reflexão-experimentação que o motiva a um reposicionamento sistemático face às

suas concepções e práticas profissionais‖ (Vieira, 1993, p. 16).

A formação de professores baseada no racionalismo técnico fez com que a actividade

profissional do professor se tornasse rotineira, instrumental e acrítica. O professor, na lógica

racionalista, é um mero executor de tarefas, cumprindo regras previamente estabelecidas, sem

colocar em questão os procedimentos adoptados nem ter em consideração os contextos

educativos específicos onde desenvolve a sua acção (Pérez-Gómez, 1992).

A reflexão sistemática, inserida num contexto educativo concreto, possibilita a articulação

entre a teoria e a prática, tornando possível questionar a própria actuação, identificando os

aspectos positivos e os menos positivos, contribuindo para que o professor não caia na lógica de

racionalidade técnica, manifestamente insuficiente na actividade docente.

Focando-se no ensino da Matemática, Serrazina (1999) defende que a reflexão pode partir

de diversos aspectos, uns relativos à organização e gestão da sala de aula e outros relativos à

compreensão dos conceitos matemáticos.

Particularizando ao caso dos professores do 1.º ciclo, quando estes se envolvem numa

reflexão mais profunda sobre o que significa fazer Matemática, aumenta a sua compreensão

matemática e o seu conhecimento sobre como ensinar Matemática aos seus alunos (Ball,

1990). A este propósito, várias investigações apontam para a necessidade de desenvolver

programas que adoptem estratégias promotoras da reflexão que impliquem o professor na sua

própria formação (Alarcão, 1996; Amaral, Moreira & Ribeiro, 1996; Borralho, 1997; Gómez,

1993; Nóvoa, 1992; Schön, 1996; Vieira, 1993).

Para estimular a formação de professores reflexivos Gómez (1993) enumera três

princípios básicos: 1) promover a aprendizagem relevante durante todo o processo de formação;

2) estimular o professor a ser um investigador e, como tal, centrar o processo de formação na

investigação sobre a sua prática; 3) conjugar, na formação de professores, a reflexão e análise

do contexto social onde se desenvolve a sua prática. Nesta perspectiva, a formação de

professores reflexivos poderá ser facilitada se for dada aos professores a possibilidade de

aprenderem fazendo, responsabilizando-os pelo seu próprio desenvolvimento profissional.

33

Ao reflectirem sobre as suas próprias práticas e sobre o que é o ensino e a aprendizagem

da Matemática, os professores podem alterar as suas concepções sobre o que é ensinar

Matemática e a sua relação com a disciplina (Thompson, 1992).

Para Ponte (1994), a reflexão sobre as práticas, ao estimular novos interesses, levanta

novas questões, possibilitando uma prática mais enriquecedora e consciente. Neste sentido, a

prática reflexiva pode constituir uma ferramenta poderosa no desenvolvimento profissional do

professor, baseando-se no pressuposto de que a mudança organizacional começa em cada

indivíduo na análise crítica dos seus comportamentos, fazendo sobressair as suas concepções e

procedendo a uma auto-regulação sistemática das concepções e comportamentos (Guimarães,

1988).

O modelo de ensino reflexivo permite a interacção harmoniosa entre a prática e os

referentes teóricos. Uma prática reflexiva leva à (re)construção de saberes, atenua a separação

entre teoria e prática e assenta na construção de uma circularidade em que a teoria ilumina a

prática e a prática questiona a teoria (Amaral, et al., 1996, p. 99).

2.3. O conhecimento profissional do professor de Matemática

Ao professor é cada vez mais exigido que desenvolva uma diversidade de papéis, tais

como, educador, matemático, dinamizador de projectos e investigador. Para isso, deve mobilizar

conhecimentos, aperfeiçoar as suas competências e saber usar uma variedade de recursos que

permitam construir e dinamizar actividades de ensino. Para aperfeiçoar a sua actividade de

ensino, o professor necessita de mobilizar um saber e de adoptar um quadro de valores

profissionais que, muitas vezes, nem sequer são reconhecidos como importantes pelo próprio

professor (Ponte, 1994). É nesta perspectiva que o interesse pela natureza do pensamento

docente e a sua influência no quotidiano profissional do professor tem alcançado cada vez mais

importância e relevância na pesquisa em educação Matemática.

Diversos autores dedicaram-se ao estudo do conhecimento profissional do professor e da

sua influência na fundamentação da sua acção profissional, pois o professor deve fundamentar a

sua acção pedagógica numa dimensão crítico-reflexiva sobre o contexto e o momento – único e

sem reprodução – no qual se desenvolve a referida acção. Elbaz (1983) defende que o

conhecimento profissional é essencialmente prático e resulta da integração da experiência e dos

saberes práticos assimilados individualmente pelo professor. Esse conhecimento inclui a

34

identificação de diferentes estilos de aprendizagem, interesses, necessidades, potencialidades e

dificuldades dos estudantes e um repertório de técnicas de ensino e formas de actuar na sala de

aula, incluindo o conhecimento da estrutura social da escola e o que esta requer para o sucesso,

assim como o conhecimento da comunidade em que está inserida.

Com os trabalhos de Schön (1983), em contraposição ao conhecimento proveniente das

ciências convencionais que abordavam a racionalidade técnica, estabeleceu-se uma linha de

investigação denominada epistemologia da prática, na qual se valorizou o saber resultante da

prática dos professores. Nesta perspectiva, termos como ―conhecimento na acção‖, ―reflexão na

acção‖ ou ―reflexão sobre a prática‖ e a ideia do professor como ―profissional reflexivo‖ foram

sendo considerados pelas investigações subsequentes. Baseado nesta ideia, Schön (1983)

salienta que o conhecimento proveniente da acção, baseado na experiência e na reflexão sobre a

experiência, mais ou menos informado pelo saber académico, é que permite o desenvolvimento

do conhecimento profissional do professor.

É a partir da análise e reflexão sobre as práticas lectivas, das dificuldades concretas que

experienciam no seu dia-a-dia que os professores vão construindo e reconstruindo as suas

competências profissionais, procurando compreender como ultrapassar eventuais obstáculos.

Este processo é optimizado quando os professores realizam um trabalho colaborativo,

partilhando vivências com os seus pares.

O desenvolvimento profissional envolve todas as experiências espontâneas de aprendizagem e as actividades conscientemente planificadas, realizadas para benefício, directo ou indirecto, do indivíduo, do grupo ou da escola e que contribuem, através destes, para a qualidade da educação na sala de aula. É o processo através do qual os professores, enquanto agentes de mudança, revêem, renovam e ampliam, individual ou colectivamente, o seu compromisso com os propósitos morais do ensino, adquirem e desenvolvem, de forma crítica, juntamente com as crianças, jovens e colegas, o conhecimento, as destrezas e a inteligência emocional, essenciais para uma reflexão, planificação e prática profissionais eficazes, em cada uma das fases das suas vidas profissionais. (Day, 2001, p. 21)

O papel do conhecimento científico do professor, nomeadamente dos conteúdos que

ensina, bem como do seu conhecimento pedagógico-didáctico foi salientado por vários

investigadores, dos quais se salienta Shulman (1986) que, ao falar de conhecimento do

conteúdo pedagógico, o define como aquele que permite ao professor adaptar o conteúdo às

necessidades dos alunos, incluindo o seu conhecimento sobre o que pode ser fácil ou difícil, a

influência de determinadas representações e a sua relação com tópicos concretos da disciplina.

O autor salienta também a existência do conhecimento de casos (conhecimento detalhado de

35

situações concretas de aprendizagem) e do conhecimento estratégico (o que informa sobre as

decisões profissionais tomadas), que não podem ser ensinados nas instituições de formação,

devendo antes resultar da elaboração pessoal dos próprios professores. Resumindo, Shulman

(1986) identifica no conteúdo do conhecimento do professor: o conteúdo pedagógico – formas

mais comuns de representar um conteúdo, como analogias, ilustrações, exemplos e explicações,

as formas de representar e formular o conteúdo para torná-lo compreensível aos outros, a

compreensão sobre o que torna um determinado assunto mais fácil ou difícil, as concepções e

pré-concepções frequentes nos estudantes; e o conteúdo da disciplina – a organização do

conhecimento da disciplina e o conhecimento do currículo, que inclui a compreensão do

programa como um todo, o conhecimento de materiais disponíveis e a articulação

horizontal/vertical do conteúdo curricular.

Ponte (1992) considera útil distinguir três tipos de conhecimento profissional do professor:

saber científico, saber profissional e saber comum. O saber científico é produto da actividade

científica caracterizada pelo esforço de racionalização, pela argumentação lógica e pela

confrontação com uma realidade empírica. O saber profissional é proveniente de uma actividade

profissional caracterizada pela experiência prática num domínio e que será mais eficaz à medida

que possa referir-se a conhecimentos científicos. O saber comum desempenha um papel

decisivo nos processos de socialização e articula-se com uma interpretação da experiência mais

imediata. Apesar de ser inegável e francamente reconhecida a importância em dominar bem os

conteúdos a serem ensinados, é igualmente importante uma boa formação pedagógica. De

acordo com Ponte (1995), um professor deve ter como objectivo resolver os problemas

concretos que surgem no decurso da sua prática e não produzir saber de carácter geral, não

sendo adequado avaliar o seu conhecimento prático pelos padrões do saber académico, de

características científicas ou filosóficas.

A tomada de decisões e, no caso de professores, a tomada de decisões em tempo real, no decurso da acção, desempenha um papel essencial na actividade profissional. Esta tomada de posição pode beneficiar do apoio do saber académico mas requer o uso de outros recursos. Precisa de uma apreensão intuitiva das situações, de uma capacidade de articular pensamento e acção, de um sentido de relações e autoconfiança. (Ponte, 1995, pp.195-196)

Assim, Ponte (1995) refere que o conhecimento na acção sobre a prática lectiva não está

compartimentado, relacionando-se num primeiro momento com outros dois domínios essenciais:

o conhecimento de si mesmo, ou seja, tudo que o professor sabe de si próprio, a sua auto-

36

confiança, os seus recursos e capacidades; e o conhecimento do contexto de ensino e dos seus

alunos, colegas, pais, do sistema educativo, sobre a sua perspectiva profissional, etc. Segundo o

autor, o conhecimento do professor na acção deve ser analisado em relação a três áreas: a

prática lectiva, a prática não lectiva e o desenvolvimento profissional. Esse conhecimento

relaciona-se directamente com saberes de referência que incluem o conhecimento do conteúdo

de ensino, a pedagogia e o currículo, bem como diversos processos reflexivos para e sobre a

acção.

Sobre o conhecimento na acção, relativo à prática lectiva, Ponte (1995) apresenta dois

domínios distintos e inter-relacionados: o conhecimento sobre a gestão da aula – tudo que o

possibilita ao professor criar um ambiente favorável à aprendizagem; e o conhecimento

didáctico, ou seja, o guia curricular, a agenda, a monitorização e a avaliação. O guia curricular

envolve um domínio de conhecimento com o qual se articula todo um conjunto de informações,

experiências e representações emocionais que correspondem às vivências e ao trabalho

realizado nos aspectos curriculares. É um domínio que o professor é capaz de activar

rapidamente, por exemplo, no momento de elaboração de uma aula e que inclui os objectivos,

as tarefas e outras situações de aprendizagem, as representações e os critérios de avaliação. A

agenda é o plano de aula idealizado mentalmente pelo professor, entendido como um plano

dinâmico e em constante evolução desde a fase de preparação da aula até à sua

implementação, a partir das decisões do professor. A monitorização refere-se a tudo que o

professor pensa e decide durante a aula, tendo como referência a agenda estabelecida e

recorrendo, em tempo real, a muitos outros aspectos do guia curricular. A avaliação, ao contrário

da agenda, começa a tomar forma a partir do início da aula, com atenção especial às reacções

dos alunos e aos objectivos e acções do professor, ou seja, à verificação da sua consecução.

Como categorias do conhecimento didáctico do professor, Oliveira e Ponte (1997)

identificam: a Matemática (conceitos, terminologia, relações entre conceitos, etc.); os processos

de aprendizagem (relação entre acção e reflexão, papel das interacções, estratégias de

raciocínio, etc.); o currículo (finalidades e objectivos, materiais, etc.) e a instrução (ambiente de

trabalho e cultura em classe, tarefas, comunicação e negociação de significados, etc.). Segundo

Ponte e Santos (1998), a forma como o professor conduz o processo de ensino e aprendizagem

na sala de aula pressupõe o conhecimento de quatro domínios fundamentais: a Matemática, o

currículo, o aluno e os seus processos de aprendizagem e a organização da actividade

instrucional. Serrazina (1999) enfatiza que o conhecimento profissional do professor está

37

directamente relacionado com a acção e enraizado necessariamente na experiência e na reflexão

sobre a experiência, porém não está limitado à experiência.

Day (2001) reforça a ideia de que o pensamento e a acção dos professores constituem o

resultado da interacção entre as suas histórias de vida, a sua fase de desenvolvimento

profissional, o cenário da sala de aula e da escola e os contextos mais amplos, sociais e políticos

nos quais trabalham. Acrescenta que a maneira como o currículo é interpretado depende da

construção das identidades pessoais e profissionais dos professores. Neste sentido, o

conhecimento do conteúdo e o conhecimento pedagógico não podem estar dissociados das

necessidades pessoais e profissionais dos professores e dos seus propósitos morais.

2.4. O conhecimento didáctico em Matemática do professor do 1.º ciclo do ensino

básico

A baixa literacia Matemática dos alunos e da população, em geral, é uma das

preocupações daqueles que se dedicam ao ensino e em particular ao ensino da Matemática. A

investigação realizada sobre o conhecimento profissional do professor e a influência desse

conhecimento no processo de ensino e aprendizagem tem vindo a ser feita desde os anos

sessenta, do século XX, mantendo-se hoje como uma das preocupações, incluindo a

investigação sobre o professor de Matemática (Ball, Lubienski & Mewborn, 2001). No entanto,

apesar de haver um número significativo de estudos centrados no conhecimento e nas crenças

dos professores, apenas um reduzido número destes se preocupam em investigar como esse

conhecimento afecta as suas práticas e são ainda menos os que estudam os seus efeitos na

aprendizagem dos alunos, apesar de ser um facto que os professores com ―a sua acção e o seu

modo de estar marcam de forma decisiva as aprendizagens dos alunos com que contacta

diariamente‖ (Ponte, Matos & Abrantes, 1998, p. 215). É com base nesta realidade que surge o

interesse em estudos nos quais o professor é a figura central, investigando o seu conhecimento

didáctico, pois este assume um papel fundamental na gestão do processo de ensino-

aprendizagem.

Este conhecimento, no que ao professor do 1.º ciclo diz respeito, torna-se ainda mais

importante dado que a formação Matemática dos professores do 1.º ciclo parece ter sido

negligenciada durante muito tempo pela comunidade científica. Esta situação, de acordo com

Gomes, Ralha e Hirst (2001), baseia-se na ideia de que estes professores não seriam

38

especialistas em Matemática e que a Matemática elementar é simples, por conseguinte fácil de

ensinar, não requerendo uma preparação profunda do professor.

No entanto, a Matemática ensinada nos primeiros anos é fundamental, pois constitui os

alicerces da futura aprendizagem Matemática mais avançada e contém os rudimentos de muitos

conceitos importantes. Para tal, é necessário garantir que os professores deste nível de ensino

tenham conhecimentos matemáticos e didácticos sólidos, pois o conhecimento didáctico do

professor é decisivo para a sua prática profissional. Este conhecimento é dinâmico,

reelaborando-se constantemente em função das experiências e das situações de prática com

que o professor se vai deparando (Ponte & Santos, 1998).

O conhecimento didáctico é, ainda, valorizado por ser parte do conhecimento profissional

do professor, ―que é chamado a intervir directamente na prática‖ (Ponte, et al., 1997, p. 32),

ainda mais porque o papel do professor deixou de ser encarado como um ―técnico que deveria

seguir o currículo estabelecido‖, ou seja, como ―um transmissor passivo de factos e de

informação, usando um repertório bem definido de meios de ensino e de avaliação da

aprendizagem dos alunos‖ (Ponte, Matos & Abrantes, 1998, p. 215).

Assim, se o próprio professor tiver uma má relação com a Matemática e não tiver, ele

próprio, desenvolvido competências matemáticas significativas dificilmente poderá contribuir

para o desenvolvimento dos seus alunos e integrar e implementar quaisquer inovações, como é

o caso de novos currículos ou de novos materiais de apoio. Serrazina (2002) afirma que ensinar

Matemática nos primeiros anos implica tomar uma série de decisões, de forma consciente,

sobre que parte dos conhecimentos matemáticos ensinar, em que momento é conveniente

ensiná-los e de que forma pode ser mais adequado tratá-los, de modo a que sejam aprendidos.

Esta afirmação contraria a ideia frequentemente assumida que, por serem básicos, os tópicos

pertencentes ao currículo dos primeiros anos são fáceis de ensinar.

Podemos questionar-nos sobre os conhecimentos matemáticos que usam os professores

dos primeiros anos no seu ensino. A resposta a esta questão engloba dois aspectos: o que

ensinar, no domínio do conteúdo, e como ensinar, no domínio da pedagogia do conteúdo.

Porque os professores têm que trabalhar com os conteúdos de uma forma não final, em que

estes conhecimentos se adquirem em espiral ao longo dos anos, eles devem ser capazes de

trabalhar a partir de conhecimentos mais avançados e comprimidos, desmontando-os nos seus

constituintes mais básicos. Por isso, ―aprender Matemática num curso de formação de

39

professores é importante, mas desenvolver uma atitude de investigação e de constante

questionamento em Matemática é ainda mais importante‖ (Serrazina, 2002, p. 11).

Tendo em conta todos os problemas enunciados anteriormente, foi elaborado um perfil

específico de desempenho profissional do professor do 1.º ciclo do ensino básico, publicado no

Decreto-Lei n.º 241/2001 de 30 de Agosto. Neste documento normativo afirma-se sobre o

desempenho do professor deste nível de ensino no âmbito da Educação Matemática:

3 – No âmbito da educação em Matemática, o professor do 1.º ciclo: a) promove nos alunos o gosto pela Matemática, propiciando a articulação entre a Matemática e a vida real e incentivando-os a resolver problemas e a explicitar os processos de raciocínio; b) implica os alunos no seu próprio conhecimento matemático, mobilizando conhecimentos relativos ao modo como as crianças aprendem Matemática e aos contextos em que ocorrem essas aprendizagens; c) promove nos alunos a aprendizagem dos conceitos, das técnicas e dos processos matemáticos implicados no currículo do 1.º ciclo, designadamente na compreensão e representação dos números e operações aritméticas, na compreensão do processo de medição e dos sistemas de medida, no conhecimento de formas geométricas simples, na recolha e organização de dados e na identificação de padrões e regularidades; d) desenvolve nos alunos a capacidade de identificar, definir e discutir conceitos e procedimentos, bem como de aprofundar a compreensão de conexões entre eles e entre a Matemática e as outras áreas curriculares; e) proporciona oportunidades para que os alunos realizem actividades de investigação em Matemática, utilizando diversos materiais e tecnologias e envolvendo nos educandos a autoconfiança na sua capacidade de trabalhar com a Matemática. (In Perfil específico de desempenho profissional do professor do 1.º ciclo do ensino básico, Decreto-Lei n.º 241/2001 de 30 de Agosto)

Deste documento ressalta a complexidade da tarefa que é atribuída ao professor do 1.º

ciclo no âmbito do ensino da Matemática, o que vem salientar a importância do conhecimento

didáctico do professor para levar a cabo, com sucesso, a sua tarefa. O saber didáctico contribui

para o desenvolvimento profissional por implicar, desde logo, a valorização da reflexão sobre o

que é fazer Matemática; por ressaltar a natureza das actividades de aprendizagem e a sua

articulação com os objectivos para o ensino da disciplina e por salientar a dinâmica das

situações de aprendizagem, onde sobressai a comunicação e o discurso na sala de aula e toda a

problemática da avaliação (Ponte, 1994).

A didáctica desempenha um papel fundamental como instrumento de orientação,

ajudando a conceber as situações de aprendizagem e é, simultaneamente, um instrumento

privilegiado de análise, permitindo identificar questões e sugerir alternativas. Ponte e Serrazina

40

(2000) dedicam um capítulo à dinâmica do processo de ensino-aprendizagem no 1.º ciclo,

salientando dois estilos fundamentais de aula de Matemática: aquele em que o professor

introduz os conceitos e os conhecimentos de forma acabada e aquele em que os alunos

assumem uma participação activa na aquisição do conhecimento, onde o professor assume um

papel de organizador e dinamizador da aprendizagem. Os autores realçam que a dinâmica da

aula resulta de vários factores:

1 – das tarefas matemáticas propostas pelo professor;

2 – dos alunos, nomeadamente as suas atitudes, crenças e experiências em relação à

Matemática;

3 – do contexto escolar e social;

4 – do próprio professor, do seu conhecimento e competência profissional.

É ao professor que se pede para criar situações de aprendizagem, que tire partido dos

recursos disponíveis e que não ―se limite a seguir em cada dia a sequência de tarefas indicada

pelo manual escolar‖ (Ponte & Serrazina, 2000, p. 112). A didáctica não fornece respostas para

todos os problemas, mas sugere pistas que ajudarão os professores a identificar problemas.

Com essas pistas, com um sólido conhecimento didáctico, os professores serão capazes de

orientar a sua actividade como principais responsáveis pela aprendizagem dos seus alunos.

A didáctica é, assim, um instrumento fundamental na actuação profissional do professor

de Matemática, ajudando a conceber as situações de aprendizagem, e também como

instrumento privilegiado de análise, identificando questões e sugerindo alternativas. O professor

de Matemática, além de ser um especialista curricular, deverá treinar-se para tirar partido dos

recursos disponíveis pela escola, incluindo, obviamente, os tecnológicos. O conhecimento

didáctico do professor permite-lhe, então, construir situações de aprendizagem que despertem o

interesse do aluno. Para isso, deve usar uma linguagem que ele entenda e que seja desafiadora,

de contrário, muito provavelmente, o aluno voltar-se-á para outras actividades que o resto da

sociedade tão bem sabe fazer (Ponte, 1994). De acordo com Brun (2000, p. 51),

o único meio de «fazer» Matemática é procurar e resolver determinados problemas específicos e, a este propósito, colocar novas questões. O professor tem, pois, de efectuar, não a comunicação de um conhecimento, mas a devolução do problema adequado. Se esta devolução se opera, o aluno entra no jogo e, se ele acaba por ganhar, a aprendizagem teve lugar.

Serrazina (2005) afirma que ―quando os futuros professores chegam à sua formação

inicial possuem um modelo implícito, um conhecimento dos conteúdos matemáticos que têm de

41

ensinar, adquiridos durante a sua escolarização, bem como um conhecimento didáctico vivido

durante a sua experiência como alunos‖ (p. 307). À medida que o professor vai adquirindo mais

experiência desenvolve o seu conhecimento didáctico e as suas competências pedagógicas. O

conhecimento didáctico pode caracterizar-se como um conhecimento transversal, intrínseco e

que se alimenta da acção, da investigação, da reflexão constante sobre a acção (Schön, 1987) e

da sua problematização. Neste processo de investigação e reflexão, o professor vai-se

apropriando de teorias que lhe permitem enfrentar os problemas da sua prática, promovendo a

mudança e a transformação.

Shulman (1986) discute as perspectivas sobre o conhecimento do professor, propondo

três categorias do conhecimento didáctico do conteúdo, que é o conhecimento pedagógico

específico do conteúdo, ―conhecimento que vai mais além do conhecimento do conteúdo em si,

um conhecimento do conteúdo para ensinar‖ (p. 9): (a) conhecimento do conteúdo de ensino;

(b) as formas de representação ou estratégias para ensinar o tema; (c) conhecimento da

aprendizagem do aluno. O conhecimento do conteúdo é mais do que conhecimento de factos ou

conceitos, pois não basta conhecer, é necessário compreender porquê. Assim, deverá distinguir

o essencial do acessório na disciplina, de forma a fazer uma boa gestão curricular. A segunda

categoria combina o conhecimento das representações do conteúdo em questão e as estratégias

educativas, tais como: analogias, ilustrações, exemplos, explicações e demonstrações, ou seja,

estratégias para tornar o conteúdo compreensível para os alunos. Por fim, o conhecimento da

aprendizagem do aluno refere-se à necessidade do professor conhecer os erros, dificuldades,

crenças e concepções dos seus alunos e as condições necessárias para conseguir transformar

estas concepções de maneira adequada e correcta.

Hill, Ball e Schilling (2008) propõem três componentes do conhecimento matemático do

professor: (1) conhecimento comum do conteúdo, ou seja, a capacidade para resolver

problemas matemáticos; (2) conhecimento especializado do conteúdo, isto é, um conhecimento

especial do professor que o habilita para planificar e desenvolver sequências de ensino do

currículo e (3) conhecimento no horizonte matemático, que se refere aos aspectos mais

avançados que proporcionam perspectivas ao professor, por exemplo a detecção de possíveis

desvios em relação a ideias matemáticas, aspectos históricos, etc.

Relativamente ao conhecimento didáctico do conteúdo, os autores consideram também

três componentes: (1) conhecimento do conteúdo e os alunos, que se refere ao conhecimento

sobre como os alunos pensam, sabem ou aprendem este conteúdo. É o conhecimento de

42

Conhecimento comum do conteúdo

Conhecimento especializado do conteúdo Conhecimento

no horizonte matemático

Conhecimento do conteúdo e

os alunos

Conhecimento do conteúdo e

o ensino

Conhecimento do currículo

Conhecimento matemático Conhecimento didáctico do

conteúdo

Matemática necessário para a tarefa de ensinar, que inclui o saber dos erros e dificuldades

comuns, as concepções erróneas e uma compreensão mais profunda dos conceitos

matemáticos de forma a ser capaz de explicar aos alunos o significado dos conteúdos,

valorizando a compreensão do aluno, e saber como evolui o seu raciocínio matemático; (2)

conhecimento do conteúdo e o ensino que resulta da integração do conhecimento do conteúdo

matemático com o conhecimento do ensino desse conteúdo. Inclui saber construir, a partir do

raciocínio dos alunos e das estratégias por eles usadas, processos pertinentes para tratar e

corrigir os seus erros e concepções erróneas; (3) conhecimento do currículo, entendido como o

conhecimento das directrizes curriculares, orientações, fins e motivações das mesmas, materiais

curriculares e sequencialização do tema nos diferentes níveis escolares.

Figura 1. Síntese esquemática (Hill, Ball & Schilling, 2008)

Outros autores destacam quatro domínios nas práticas pedagógicas do professor, que

constituem o núcleo do conhecimento didáctico: (1) o conhecimento do conteúdo ou

conhecimento da Matemática; (2) o conhecimento do currículo; (3) o conhecimento do aluno e

dos seus processos de aprendizagem e (4) o conhecimento do processo instrucional (Ponte &

Santos, 1998; Ponte, Oliveira, Cunha & Segurado, 1998; Varandas, 2000).

O conhecimento do conteúdo refere-se ao conhecimento disciplinar, à visão que se tem

sobre a natureza e a estrutura do conteúdo. Ponte (1999) refere que ―o professor não tem de

conhecer estes conteúdos do mesmo modo que o cientista, mas de um modo diferente. Muito

43

em especial tem de conhecer as boas maneiras de os tornar compreensíveis e relevantes para

os alunos‖ (p. 61).

O conhecimento do currículo diz respeito ao conhecimento dos objectivos e métodos, da

articulação dos conteúdos elencados no programa oficial da disciplina e dos materiais e recursos

a partir dos quais se seleccionam as tarefas a propor aos alunos, bem como o tempo de

leccionação dos conteúdos.

O conhecimento sobre a aprendizagem reporta-se ao conhecimento do professor sobre as

capacidades dos seus alunos e à forma como eles aprendem e, ainda, dos seus interesses e

expectativas de modo a adaptar a tarefa aos interesses e necessidades dos alunos.

O conhecimento instrucional refere-se aos saberes provenientes da prática e que orientam

toda a actividade profissional do professor. É a partir dele que cada professor organiza as tarefas

de acordo com os objectivos que se propõe alcançar e determina procedimentos de acção para

cada tipo de situação emergente da sua prática. Nesta dimensão do conhecimento inclui-se a

preparação e gestão das aulas, as formas de trabalho dos alunos e a avaliação.

Em 1987, Shulman concluía que a investigação didáctica não se preocupava em encontrar respostas para as questões relacionadas com os conteúdos do ensino, com o conhecimento que os professores têm desse conteúdo e da forma como o aplicam em sala de aula. Posteriormente, a realização de investigações sobre esta problemática permitiu que se concluísse que o conhecimento pedagógico-didáctico é uma combinação entre o conhecimento da matéria e o conhecimento do modo de a ensinar e de a tornar compreensível ao aluno, conhecimento que Shulman designa por pedagogical content knowledge. (Infante, Silva & Alarcão, 1996, p. 154)

Brown e Borko (1992) referem que o professor adquire e desenvolve o seu conhecimento

didáctico através da reflexão sobre o conteúdo, uma vez que tem de o ensinar a um determinado

grupo de alunos. Isto pressupõe o professor como um profissional que reflecte sobre a sua

prática e que identifica e faz os ajustamentos necessários para incrementar a aprendizagem dos

alunos.

Para além de dominar bem a matéria a ensinar, o professor deverá dominar igualmente

um conjunto de capacidades e conhecimentos pedagógicos e ter ―uma predisposição interior

que caracteriza o professor como tal e que inclui aspectos de racionalidade técnica associados a

capacidades de juízo, improvisação e intuição‖ (Shulman, 1992, p.56). O desenvolvimento do

conhecimento didáctico dos professores passa, em grande medida, ―pela possibilidade destes

profissionais, através da construção de soluções para os problemas com os quais se deparam,

se tornarem autores das suas práticas e não apenas aplicadores e reprodutores de soluções que

44

alguém possa pensar na sua vez, tal como historicamente tem vindo a verificar-se‖ (Sá-Chaves,

2005, p.7).

Os professores deverão privilegiar a implementação de tarefas e materiais didácticos que

favoreçam uma participação activa e construtiva do aluno em relação à sua aprendizagem

escolar, estimulando-o a desenvolver capacidades de auto-regulação durante a execução das

suas actividades. Os professores, ao trabalharem em contextos colaborativos que promovam a

negociação, a interacção e a colaboração na construção do saber, tendo em conta as

representações, conhecimentos e ―saber-fazer‖ de cada um dos elementos, criarão

oportunidades para aprofundar uma reflexão sobre as experiências pessoais e profissionais de

cada um, promovendo a auto-regulação dos seus processos de formação (Alarcão, 1996).

A colaboração entre professores, por ser um processo dinâmico que valoriza a diversidade

dos percursos profissionais dos seus intervenientes e as diferentes interpretações das situações

pedagógicas concretas, afirma-se como um meio privilegiado para estes profissionais

aprofundarem a sua compreensão das situações pedagógicas do seu quotidiano,

proporcionando, assim, o desenvolvimento do seu conhecimento didáctico.

Ao referirem-se ao conhecimento didáctico, Godino, Contreras e Font (2006) clarificam o

conceito de idoneidade didáctica como a articulação de seis componentes – (1) Idoneidade

epistémica que se refere à representatividade dos significados institucionais implementados (ou

pretendidos) em relação a um significado de referência, trata-se de averiguar se os significados

dos objectos presentes num processo são adequados do ponto de vista matemático; (2)

Idoneidade cognitiva, ou seja, o grau em que os significados pretendidos e/ou implementados

são exequíveis para os alunos, assim como o grau em que os significados pessoais atingidos

pelos alunos são os significados pretendidos pelo professor; (3) Idoneidade interaccional, isto é,

o grau em que a organização do ensino permite identificar conflitos semióticos e resolvê-los

durante o processo de instrução. Esta componente valoriza-se na medida em que as

configurações didácticas possibilitam que o professor e os alunos identifiquem conflitos

semióticos potenciais (a priori), efectivos (durante o processo de instrução) e residuais (a

posteriori) e resolvam conflitos mediante a negociação de significados; (4) Idoneidade

mediacional entendida como a disponibilidade e adequação dos recursos necessários para o

desenvolvimento do processo de ensino-aprendizagem. A idoneidade mediacional do processo

de estudo será tão maior quanto mais o professor e os alunos tiverem ao seu alcance os meios

materiais mais adaptados aos significados pretendidos; (5) Idoneidade afectiva: interesse e

45

motivação dos alunos no processo de estudo. Um processo de estudo tem idoneidade emocional

alta na medida em que as configurações didácticas motivem a acção e participação dos alunos;

isto pressupõe a criação de um ambiente de trabalho que tenha em conta os interesses, afectos

e emoções dos alunos em relação à Matemática; (6) Idoneidade ecológica que se refere ao grau

de adequação do processo de estudo levado a cabo em relação aos currículos oficiais, ao

projecto educativo da escola, à sociedade, etc.

2.5. A Formação como Projecto

A noção de projecto abrange ―conteúdos extremamente variáveis, pois é utilizada para

designar tanto uma concepção geral de educação (projecto educativo) como um dispositivo

específico de formação (um projecto de formação propriamente dito) ou, ainda, uma

determinada démarche de aprendizagem (a pedagogia de projecto)‖ (Barbier, 1996, p.20).

Tendo em conta esta diversidade de acepções, o mesmo autor, que se tem debruçado

sobre os instrumentos de análise da elaboração e de interpretação do funcionamento projectos

de acção e das démarches do projecto, define projecto como: ―ideia de uma possível

transformação do real‖ (p. 37); ―o futuro a «fazer», um amanhã a concretizar, um possível em

transformar em real, uma ideia a transformar em acto‖ (p. 52); ―um enunciado relativo a uma

representação antecipadora e finalizante da estrutura ordenada de operações susceptíveis de

conduzirem ao estado final da realidade objecto do processo de transformação que constitui

uma acção singular. É a imagem antecipadora de um processo de transformação do real. É uma

representação de operações‖ (p. 71); ―instrumento mental de produção de novas práticas.‖ (p.

96).

Ao referir-se à noção de projecto, Pacheco (2001) considera-o como um instrumento de

definição das opções de formação, ―(…) observáveis nas intenções e nas práticas de

dinamização do plano global de formação – entendida como uma comunidade integrada num

território educativo‖ (p. 90). Quando desenvolvemos um projecto, procuramos ―(…) responder a

uma interrogação, simples curiosidade ou expressão de um problema‖ (Freitas, 1997, p. 9).

O trabalho de projecto obriga a uma articulação sistemática entre a teoria e a prática,

desenvolvendo a capacidade investigativa de quem o realiza. Em relação à prática profissional

dos professores, o verdadeiro projecto encontra-se no impulso e desejo do professor. Este tipo

de trabalho exige aos professores alguma capacidade para a concepção e desenvolvimento de

46

projectos aliada a uma certa liberdade de actuação profissional. Esta liberdade profissional é

aqui concebida como saber observar, reflectir sobre o que se faz, relacionar a informação que é

obtida e estabelecer conclusões. O recurso a esta liberdade intelectual permitirá aos professores

aprofundarem a sua capacidade reflexiva sobre as suas práticas diárias, promovendo assim o

seu desenvolvimento profissional.

A construção de projectos sem pensar em questões abrangentes como inovação,

mudança, reforma e evolução não faz sentido. Quando falamos em inovação educativa

reportamo-nos a um processo que questiona a prática, procurando a mudança e a evolução que

vai de encontro às necessidades e anseios dos intervenientes.

Segundo Cortesão, Leite e Pacheco (2003), o projecto em contexto escolar distingue-se de

uma mera actividade de ensino e aprendizagem pela intencionalidade que o orienta, pela

organização que pressupõe, pelo tempo de realização que o acompanha e pelos efeitos que

produz. Para isso envolve uma articulação entre intenções e acções, entre teoria e prática,

organizada num plano que estrutura essas acções. É partindo desta perspectiva que a

démarche de projecto aparece hoje como uma via privilegiada de acção para todos os que investigam uma transformação dos sistemas de formação e que pensam que essa transformação passa também pela paciente realização de mudanças muito concretas, com uma amplitude muitas vezes limitada, mas implicando na sua condução os actores directamente interessados e tocando-os nas suas actividades quotidianas. (Barbier, 1996, p. 19)

A sociedade e o equilíbrio que deve comportar não pode ser o da estagnação, mas o que

permite alterações constantes em ordem ao benefício do indivíduo e da comunidade a que

pertence. A escola, como um dos mais importantes microorganismos da sociedade, tem de

saber inovar e criar e, nesta perspectiva, os professores devem assimilar este espírito de

mudança para serem capazes de evoluir e desenvolverem-se profissionalmente.

Um certo número de démarches de projectos funciona, por esta razão, ―como démarches

de identificação, ou de reconhecimento dos desejos de produção de mudança dos actores

implicados‖ (Barbier, 1996, p. 47).

Desenvolver um projecto implica um trabalho proporcional à dimensão que apresenta,

envolvendo todos os intervenientes para que este tenha êxito. Assim, é essencial a definição de

uma metodologia clara e que seja do conhecimento de todos para que todo o processo de

planificação, desenvolvimento e avaliação tenha sucesso.

47

A démarche de projecto, a nível ideológico, é muitas vezes apresentada como ―sinónimo

de dinamismo, de progresso, de movimento, de abertura, de mais-valia‖ e ainda ―de liberdade,

de autonomia, de tomada de poder, de redução das incertezas, de recusa dos determinismos‖.

Por outro lado, a sua ideologia é oposta ―a imobilismo, oportunismo e estagnação‖. Pressupõe

ainda ―um trabalho de articulação entre gestos quotidianos e discursos defendidos‖ de forma a

reduzir o desfasamento entre valores, discursos e actos. Só assim um trabalho pode ter

coerência, contribuindo para a produção do resultado final (Barbier, 1996, pp. 21-22).

Enquanto se realiza, um projecto deve ser visto como processo; depois de realizado, como

produto; e para que se atinjam os objectivos propostos, tem que ser minuciosamente planeado e

concretizado (Freitas, 1997, p.10). Consideram-se, assim, quatro momentos fundamentais na

elaboração de um projecto: (1) o planeamento; (2) a realização; (3) a obtenção do produto

desejado; (4) e a avaliação.

Barbier (1996) salienta as práticas de planificação e de elaboração de projectos de acção

através das ―operações de concepção, de construção, de organização, de programação e

mesmo de condução das acções‖ (p. 26), sem menosprezar outros momentos como o da

determinação de objectivos e o de avaliação.

No processo de orientação da planificação, este autor sugere quatro questões

fundamentais:

1. Com que objectivo, intenções e motivações se parte – ―O projecto de acção é produzido

ou é susceptível de ser produzido, «a partir de quê»?‖ (p. 143);

2. Qual o contexto, a situação, limitações e disponibilidade – ―O projecto de acção é

produzido ou é susceptível de ser produzido, «em função de quê»?‖ (p.165);

3. Como desenvolver uma metodologia de projecto no contexto educacional, dando relevo

ao papel dos actores principais neste processo, os professores e os alunos, durante o

desenvolvimento do projecto – ―as relações sociais que se estabelecem no seio desta prática,

apresentam todos os traços de uma variável-chave para a apreensão da sua lógica global‖ (p.

190);

4. Qual o resultado da planificação – ―O que produz o acto de planificação?‖ (p. 208).

As preocupações desta investigação, cujo enfoque incide no desenvolvimento de um

projecto de formação, salienta a importância da articulação entre ―os planos pedagógico,

administrativo, de formação, investigação, documentação, gestão ou (...) da articulação de

48

experiências de formação contínua, experiências profissionais e experiências sociais‖ (Barbier,

1996, p. 22).

Neste sentido, para além da concepção e planeamento, assume particular relevância a

fase de desenvolvimento e realização, assim como de avaliação.

Num projecto, tanto o processo como o produto devem ser avaliados; e as informações

(dados da avaliação) podem e devem ter dois fins: primeiro, ajudar quem concebeu e quem está

a desenvolver o projecto; depois, permitir apreciar os seus resultados (Freitas, 1997, p. 13).

A qualidade e o rigor dos dados obtidos são aspectos essenciais para que o processo de

avaliação seja fiável. Nesta perspectiva, a diversidade de instrumentos de recolha de dados será

um factor fundamental na prossecução deste objectivo. Cabe, então, ao avaliador a selecção dos

instrumentos tendo em conta os objectivos definidos. Vários métodos de recolha de dados

poderão ser considerados, dependendo do tipo de informação pretendida: a) entrevista (permite

uma investigação aprofundada ao fornecer muita informação); b) produções escritas, como

diários e questionários; c) dados de observação directa; d) análise de documentos produzidos no

âmbito do projecto – relatórios, programas, actas de reuniões, bem como vídeos e

audiocassetes de sessões, ou trabalhos executados pelos participantes, entre muitos outros

(Freitas 1997). Pode ainda recorrer-se a outras fontes de informação para tornar viável a

avaliação, designadamente os mais variados intervenientes no projecto, bem como o recurso a

actividades desenvolvidas no projecto em curso.

Tudo se passa como se, à volta da ideia de avaliação, se tivesse construído um espaço ideológico, estruturado por dois pólos: um pólo negativo organizado em torno das noções de repressão, selecção, sanção e controlo, e um pólo positivo organizado em torno das noções de progresso, mudança, adaptação e racionalização. Para um grande número de autores e praticantes todo o problema seria minimizar o primeiro tipo de função e maximizar o segundo, no sentido de fazer da avaliação uma nova prática que estaria ao serviço do formando. (Barbier, 1992, p. 8)

Segundo Amaral, Moreira e Ribeiro (1996), o trabalho de projecto exige:

uma observação objectiva das circunstâncias oferecidas pelo meio ambiente;

um conhecimento de experiências anteriores, desenvolvidas em condições

semelhantes;

a escuta de conselhos daqueles cuja experiência é mais rica;

a avaliação das observações e recordações anteriores para delas se tirar sentido (pp.

113 – 114).

49

2.5.1. A formação contínua em Portugal

A criação e desenvolvimento de um sub-sistema de formação contínua de professores em

Portugal, sobretudo a partir da reforma educativa de meados da década de 80, realiza-se, em

larga medida, sob o signo de um Estado que pretende ―substituir uma visão burocrático-

centralista por uma função de regulação-avaliação, que prolongue (e legitime) o seu controlo

sobre a profissão docente‖ (Nóvoa, 1992, p. 22). Neste aspecto, a situação portuguesa insere-se

numa tendência comum à geração de reformas educativas dos anos 80 em vários países, na

qual é possível detectar, um reforço dos dispositivos de controlo a nível central, nomeadamente

na estandardização dos programas e na certificação da formação de professores. Mas, em

contraponto crítico, este período corresponde à prevalência de um conjunto de ―práticas

discursivas‖, oriundo da investigação científico-académica, sobre a formação em geral e sobre a

formação contínua de professores em particular.

Em Portugal, podemos considerar dois grandes períodos na formação contínua de

professores: o anterior e o posterior ao Regime Jurídico da Formação Contínua de Professores.

Centrando-nos no período anterior, verificamos que, em termos legislativos, a preocupação com

a preparação profissional contínua dos professores em Portugal remonta ao Decreto-Lei n.º

27084/36 de 14 de Outubro, que estabelece que ―os professores têm por obrigação fazer o seu

aperfeiçoamento contínuo sob pena de processo disciplinar‖. Desta forma, toda a

responsabilidade pela formação é atribuída aos próprios professores. Com a publicação da Base

XXVI da Lei n.º 5/73 de 25 de Julho, esta situação é alterada, estabelecendo-se que ―a

formação permanente dos agentes educativos constitui obrigação do estado (...) e deverá ser

bastante diversificada, de modo a assegurar a actualização dos conhecimentos e o

aperfeiçoamento da preparação pedagógica e a fornecer a promoção e mobilidade

profissionais‖.

Posteriormente, com o surgimento da Lei de Bases do Sistema Educativo, Lei n.º 46/86

de 14 de Outubro, é reforçado o papel da ―formação contínua que complemente e actualize a

formação inicial numa perspectiva de educação permanente‖ (artigo 30.º). A mesma lei, no

artigo 35.º salienta que ―a formação contínua deve ser suficientemente diversificada‖ e o seu

conteúdo deve ―assegurar o complemento, aprofundamento e actualização de conhecimentos e

competências profissionais‖, com o objectivo de ―possibilitar a mobilidade e a progressão na

carreira‖. No mesmo artigo estabelece-se que a formação contínua deve ser predominantemente

assegurada pelas instituições de formação inicial, em estreita cooperação com os

50

estabelecimentos onde os educadores e os professores trabalham. Partindo deste contexto

legislativo, surgem referências no relatório final da proposta global da reforma da Comissão de

Reforma do Sistema Educativo acentuando a importância dos modelos de ―formação e gestão

dos agentes educativos através de maior exigência qualitativa na formação inicial e contínua‖

(CRSE, 1988, p.15), bem como da necessidade de realização de acções vocacionadas para

―reconversão ou actualização, sugeridas pela reorganização curricular, nomeadamente,

reconversão orientada para a docência de novas áreas ou grupos; actualização científica-

pedagógica; exercício de novas funções‖.

Tendo como referência a Lei de Bases do Sistema Educativo, o Decreto-Lei n.º 344/89 de

11 de Outubro, que estabelece o ordenamento jurídico da formação dos educadores de infância

e dos professores dos ensinos básico e secundário, salienta a importância atribuída à formação

contínua, considerando-a ―indissociável da formação inicial, numa perspectiva de auto-

aprendizagem e que deve promover o desenvolvimento profissional permanente dos docentes‖

(artigo 3.º, alínea b). O mesmo decreto, no artigo 25.º, realça a formação contínua como um

direito e um dever dos docentes, acentuando, no artigo 26.º, a sua influência na progressão na

carreira (ponto 4) e na mobilidade (ponto 5). O mesmo artigo estabelece como objectivos

fundamentais da formação contínua: ―melhorar a competência profissional dos docentes nos

vários domínios da sua actividade; incentivar os docentes a participar activamente na inovação

educacional e na melhoria da qualidade da educação e do ensino; adquirir novas competências

relativas à especialização exigida pela diferenciação e modernização do sistema educativo‖

(artigo 26.º, alíneas a, b, c). Com este Decreto-Lei determina-se que a iniciativa para organizar

acções de formação contínua pertence a: ―instituições (...) de formação inicial de docentes, (...)

organismos nacionais, regionais ou locais do Ministério da Educação, de outros Departamentos

do Estado, de entidades e organismos empregadores bem como de docentes, incluindo as

associações profissionais e científicas‖ (artigo 27.º, ponto 1); acrescentando-se que pode ―ser

promovida e apoiada pelo próprio estabelecimento de educação ou ensino ou por vários

estabelecimentos apoiados por um mesmo centro de recursos‖ (idem, ponto 2).

Com o surgimento da Lei de Bases do Sistema Educativo e com o ordenamento jurídico

da formação dos docentes abriu-se caminho à institucionalização do sistema de formação

contínua, aliada à avaliação e progressão na carreira docente, através do Decreto-Lei n.º 139-

A/90 de 28 de Abril, que define o Estatuto da Carreira dos Educadores de Infância e dos

51

Professores dos Ensinos Básico e Secundário, mais conhecido por Estatuto da Carreira Docente.

Neste normativo, merecem destaque os seguintes aspectos:

o direito dos docentes à formação e informação (artigo 4.º, ponto 4, alínea b), através

do acesso a acções de formação contínua regulares e do apoio à autoformação (artigos 6.º e

15.º);

os objectivos da formação contínua: actualizar, aprofundar, aperfeiçoar conhecimentos

profissionais, apoiar a actividade profissional docente e, ainda, possibilitar a reconversão

profissional, mobilidade e progressão na carreira (artigos 6.º e 15.º);

o dever profissional do docente em se empenhar e concluir as acções de formação em

que participa (artigo 10.º, ponto 2, alínea g);

a iniciativa da formação contínua ser assegurada pelas instituições para tal

vocacionadas ou por organismos públicos ou entidades privadas, podendo ser ainda promovida

ou apoiada pelos estabelecimentos de educação ou de ensino, individualmente ou em regime de

cooperação (artigo 16.º);

o estabelecimento da formação contínua como componente não lectiva. A realização

de trabalho a nível dos estabelecimentos de educação ou de ensino, pretendendo contribuir para

a realização do projecto educativo da escola, pode compreender, entre outros aspectos, a

participação, promovida nos termos legais ou devidamente autorizada, em acções de formação

contínua ou em congressos, conferências, seminários e reuniões para estudo e debate de

questões e problemas relacionados com a actividade docente (artigo 82.º, ponto 3, alínea d);

o direito a licença sabática, concedido após 10 anos de tempo de serviço ininterrupto

no exercício de funções docentes. Esta licença corresponde à dispensa da actividade docente e

destina-se à formação contínua, à frequência de cursos especializados ou à realização de

investigação aplicada (artigo 108.º, ponto 2);

o direito à dispensa de serviço docente para formação, incluindo a participação em

congressos, simpósios, cursos, seminários ou outras realizações, que tenham lugar no país ou

no estrangeiro, conexas com a formação do docente e destinadas à respectiva actualização

(artigo 109.º).

No entanto, apesar da crescente relevância que a formação contínua foi assumindo nos

referidos diplomas legais, estes apenas perspectivaram a sua implementação e regulamentação,

servindo, sobretudo, de base à elaboração do Regime Jurídico da Formação Contínua de

Professores. Neste contexto legislativo, com a publicação do Decreto-Lei n.º 249/92 de 9 de

52

Novembro deu-se origem ao sistema nacional de formação contínua de professores. A criação de

um sistema nacional que contribuísse para a valorização da profissão docente e para a

implementação da Reforma Educativa já vinha a ser reclamado há bastante tempo (Correia,

1993), tendo este documento gerado um certo consenso pela convergência de interesses

relacionados com a reforma educativa, estruturas sindicais, escolas e professores (Ruela, 1998).

O Decreto-Lei n.º 249/92 de 9 de Novembro ―estabelece o regime jurídico da Formação

Contínua de Professores (RJFCP) e define no seu artigo 1.º o respectivo sistema de

coordenação, administração e apoio‖. A análise deste documento permite destacar as principais

regras de orientação da formação contínua que contemplaram os seguintes aspectos: nos

princípios gerais – os objectivos (artigo 3.º), os princípios (artigo 4.º) e os seus efeitos (artigo

5.º); nas acções de formação contínua – as modalidades de formação (artigo 7.º), a forma de

divulgação das acções (artigo 9.º), a avaliação das mesmas (artigo 10.º) e a avaliação dos

formandos (artigo 11.º); nas entidades formadoras – as entidades responsáveis pela promoção

de formação contínua (artigo 15.º); nos formandos – os seus direitos (artigo 35.º) e os seus

deveres (artigo 36.º); na criação do Conselho Coordenador da Formação Contínua –

representação e competências (artigos 37.º a 42.º); na administração da formação – a sua

orientação pelo Ministério da Educação (artigo 43.º).

No que se refere aos objectivos, coexiste a concepção de formação contínua como

reciclagem, pela ―actualização e aprofundamento de conhecimentos‖ e pelo ―aperfeiçoamento

da competência profissional e pedagógica‖, e como desenvolvimento profissional, pelo ―incentivo

à autoformação, à prática de investigação e à inovação educacional‖.

Nos princípios orientadores advoga-se a diminuição do papel do Estado no controlo da

formação, seja pela ―descentralização funcional e territorial do sistema de formação contínua‖,

transferido para as escolas, seja pelo ―associativismo entre escolas‖, ou ainda pelo

―associativismo docente nas vertentes pedagógica, científica e profissional‖. Realça-se a

―valorização da comunidade educativa‖, a concessão de ―liberdade de iniciativa‖ e a ―autonomia

científico-pedagógica‖ dos centros de formação.

Nos efeitos da formação contínua refere-se a ―apreciação curricular‖ e a ―progressão na

carreira docente‖, através da creditação das acções de formação.

No que se refere às modalidades de formação encontram-se as tradicionais, centradas

nos conteúdos – cursos e módulos de formação, disciplinas singulares do ensino superior e

53

seminários, coexistindo com modalidades potencialmente mais inovadoras e centradas nos

contextos educativos – oficinas de formação, estágios, projectos e círculos de estudos.

Relativamente à divulgação das acções de formação contínua pelos centros de formação,

indica-se que ―devem ser referidas as condições de frequência e de avaliação dos formandos,

bem como os créditos a atribuir‖, sendo ignorados os objectivos e as metodologias.

A avaliação das acções é feita ―pelo formando e pelo formador ou entidade formadora‖,

de acordo com a ―adequação aos objectivos previamente definidos e a sua utilidade na formação

contínua do docente‖. Desta forma, apenas se indaga da legitimidade da acção com ela própria

e da sua pertinência para o professor (Correia, 1992), ignorando-se a inserção desta na escola.

A avaliação do formando é feita pelo aproveitamento individual e sob a forma escrita, o que, de

acordo com Ruela (1998, p. 24), ―reforça a tendência que ignora que o desenvolvimento

profissional dos professores e o desenvolvimento da escola como organização têm de estar

articulados‖. Contudo, os direitos dos formandos parecem contrariar essa tendência, dando-lhes

a possibilidade de ―escolher as acções de formação que mais se adeqúem ao seu plano de

desenvolvimento profissional e pessoal‖ e ―contabilizar créditos‖ com o objectivo de

desenvolvimento profissional, bem como ―participar na elaboração do plano de formação do

centro‖, além de cooperar para desenvolver projectos e promover círculos de estudos que vão no

sentido do desenvolvimento da escola.

Relativamente às entidades formadoras, o RJFCP dedica às instituições do ensino superior

dois artigos (16.º e 17.º), aos Centros de Formação das Associações de Escolas CFAE‘s dez

artigos (18.º a 27.º) e aos centros de formação de associações de professores um artigo (28.º),

parecendo privilegiar a formação centrada nos contextos organizacionais. No entanto, institui a

formação num contexto de oferta e procura, em que os professores são considerados

individualmente, desinseridos dos contextos de trabalho.

O Conselho Científico-Pedagógico da Formação Contínua (CCPFC) é um órgão de parceria

social onde estão representados o Ministério da Educação, as diversas entidades formadoras e

associações de professores, competindo-lhe coordenar, avaliar e superintender as acções de

formação contínua. A qualidade da formação é assegurada pela acreditação das entidades

formadoras, dos formadores e das acções que também são creditadas. A administração da

formação contínua fica sob a orientação do Ministério da Educação pelo estabelecimento de

prioridades, criação de programas nacionais relacionados com a reforma educativa e

coordenação, administração e avaliação do sistema de formação contínua. Em suma, o RJFCP

54

possibilita uma grande diversidade de formação a nível de objectivos, princípios, modalidades de

formação e entidades formadoras (Matos, 1993), em que a qualidade da formação é assegurada

pela acreditação e creditação das entidades formadoras e das acções de formação contínua, a

cargo do CCFC. Como inovação, apesar das limitações relativas à oferta e à procura individual

dos professores, centra-se a formação na escola (Ferreira, 1994), pretendendo-se contribuir,

deste modo, para a renovação das dinâmicas institucionais de forma que a formação seja mais

sistematizada e planificada, procurando ir de encontro às necessidades da escola e do sistema

educativo (Estrela & Estrela, 1993).

2.5.2. Programa de formação contínua em Matemática para professores do 1.º

ciclo do ensino básico

As orientações programáticas para o ensino da Matemática no ensino básico apontam a

importância atribuída a uma formação sólida em Matemática, que permita a sua compreensão e

utilização não só no percurso escolar, nomeadamente nas disciplinas onde ela é necessária,

mas também no desempenho de uma profissão, na vida pessoal e na sociedade. Assim,

salientam que o ensino da Matemática deve promover

nos alunos uma visão adequada da Matemática e da actividade Matemática, bem como o reconhecimento do seu contributo para o desenvolvimento científico e tecnológico e da sua importância cultural e social em geral; e, ainda, uma formação que também promova nos alunos uma relação positiva com a disciplina e a confiança nas suas capacidades pessoais para trabalhar com ela. (ME, 2007, p. 3)

Os problemas ligados à aprendizagem da Matemática têm sido, nos últimos anos, objecto

generalizado de debate, preconizando-se e desenvolvendo-se actividades de formação dirigidas

aos professores. A docência é cada vez mais identificada como uma prática profissional

complexa e múltipla, que varia de um contexto para outro, envolvendo sujeitos em condições

materiais e culturais diversas. Os professores são instigados a procurar conhecimentos e a

identificar estratégias fundamentais para a sua formação, de modo a desenvolverem-se como

profissionais capazes de actuar com competência e criatividade nesses diferentes contextos de

prática escolar.

Referindo-se ao conceito de formação contínua, Day (2001) considera-o ―um

acontecimento planeado, um conjunto de eventos ou um programa amplo de aprendizagens

acreditadas e não acreditadas, de modo a distingui-la de actividades menos formais de

desenvolvimento profissional dentro da escola, de redes de parcerias dentro e fora da escola‖ (p.

55

203), tendo como objectivo ―proporcionar uma aprendizagem intensiva, durante um período de

tempo, e, apesar de poder ser planeada em conjunto, tem geralmente um líder nomeado cuja

função consiste em facilitar, mas também estimular, a aprendizagem de uma forma activa‖

(p.204).

Para Ribeiro (1993), o mesmo conceito é cada vez mais identificado como ―o processo de

desenvolvimento permanente do professor, acentuando a unidade desse processo na

diversidade das fases que nele se podem distinguir‖ (p. 7).

O conceito de formação contínua é polissémico, podendo situar-se em diversas vertentes e

perspectivar-se ―de diferentes modos, conforme as posturas adoptadas em relação aos curricula

de formação, ao papel do professor e às finalidades do processo educativo‖ (Pacheco, 1995, p.

53). Ainda em relação ao conceito de formação contínua, podemos considerá-lo um fenómeno

complexo e diverso, por não se diluir dentro de outros conceitos que também se usam, tais

como educação, ensino, treino; por estar presente uma dimensão pessoal de desenvolvimento

humano global que é preciso ter em conta e por ter a ver não só com a capacidade de formação,

mas também com a vontade de formação, sendo o indivíduo responsável pelo seu processo

formativo, não implicando que a formação seja necessariamente autónoma (Marcelo, 1999).

A formação contínua de professores que pretende, designadamente, possibilitar uma

aprendizagem permanente e renovadora, poderá realizar-se pela acção (Yinger, 1987), pela

reflexão na acção (Schön, 1987) e pela reflexão sobre a acção (Zeichner, 1994).

Numa concepção renovada da formação de professores, o papel da prática é fundamental

para a análise e reflexão da acção do professor, que emerge como uma estratégia possível para

a aquisição do saber profissional. Esta abordagem permite uma integração entre a teoria e a

prática e desafia a reconsideração dos saberes científicos com vista à apresentação pedagógica

(Infante, Silva & Alarcão, 1996, p. 154).

Tal como é definido em termos Nacionais, o Programa de Formação Contínua em

Matemática para Professores do 1.º Ciclo do Ensino Básico pretende desenvolver actividades de

formação que integrem as práticas dos professores, interligando a vertente do saber matemático

e a vertente do saber didáctico e pedagógico. Nesta medida, a experiência profissional dos

professores é considerada como ponto de partida para a criação de espaços de experimentação

e reflexão conjunta, de modo a que se possa reflectir sobre as práticas e partir delas para o

desenvolvimento de um saber sustentado, que entre em linha de conta com as características

dos alunos a quem se dirige. Esta ―acção reflexiva, desencadeada pela problematização da

56

prática, ao pesquisar as soluções lógicas para os problemas que importa resolver, exige aos

professores intuição, mas exige ainda emoção e paixão que animem na adversidade, mas não

ceguem perante a realidade, nem gerem impaciência‖ (Lalanda & Abrantes, 1996, p. 58).

Explicitar as práticas, comunicá-las aos outros, de uma forma compreensível, argumentar e

contextualizá-las ―permitem ao professor conhecer melhor o seu funcionamento e descobrir o

dos outros‖ (Cró, 1998, p. 130), contrariando o isolamento, na medida em que

muitos professores ainda trabalham isoladamente, separados dos seus colegas, durante grande parte do tempo. As oportunidades para a melhoria das práticas, através da observação e da crítica, continuam limitadas e, apesar dos melhores esforços de muitos directores de escolas para promover culturas colegiais, estas situam-se quase sempre a nível da planificação ou servem para falar sobre o ensino e não para examinar as próprias práticas. (Day, 2001, p. 159)

Tendo em conta a sua estrutura e os seus objectivos, este programa de formação, que se

desenvolve ao longo de dois anos (1.º ano e 2.º ano de formação), pretende ser um forte

contributo para a criação de oportunidades para a melhoria das práticas. Tanto o primeiro como

o segundo ano de formação alicerçam-se numa estrutura sustentada por um conjunto de

sessões de formação em grupo – as sessões conjuntas, e um conjunto de sessões individuais

em sala de aula – as sessões de acompanhamento.

Relativamente ao primeiro ano de formação, são desenvolvidas, ao longo de um ano

lectivo, 15 sessões de formação conjunta com a duração de três horas cada uma e observadas

quatro experiências pedagógicas em contexto de sala de aula (sessões de acompanhamento),

num total de dez horas por formando. No segundo ano de formação são também contempladas

15 sessões: 10 são dinamizadas pelo formador, com a duração de 3 horas, e as restantes cinco

são de trabalho autónomo dos formandos, com a duração de 2 horas. São, ainda, contempladas

5 sessões de acompanhamento.

Nas sessões conjuntas devem ser trabalhados os diversos temas matemáticos, explorados

materiais didácticos, sejam eles estruturados ou não estruturados, procurando ir de encontro às

necessidades e interesses dos professores envolvidos. Nestas sessões é desenvolvido trabalho

centrado no conhecimento matemático, didáctico e curricular. As metodologias utilizadas nas

sessões conjuntas contemplam espaços de negociação dos principais focos de incidência,

incentivando o trabalho em grupo onde se partilhem ideias e experiências, elaborem materiais e

discutam perspectivas.

57

Nesta medida, nas sessões de formação conjunta deve partir-se de questões curriculares

ao nível da concretização do currículo na sala de aula, para proceder à planificação de aulas.

Dessas aulas, será feita uma análise, quer pelo professor de forma autónoma, quer

conjuntamente pelo grupo de formação, de modo a identificar causas de sucesso e insucesso

das experiências levadas a cabo com os alunos. Esta metodologia assenta numa perspectiva

dialógica, na medida em que ―o diálogo entre professores é fundamental para consolidar

saberes emergentes da prática profissional. Mas a criação de redes colectivas de trabalho

constitui, também, um factor decisivo de socialização profissional e de afirmação de valores

próprios da profissão docente‖ (Nóvoa, 1992, p. 26).

Os registos dos episódios mais significativos ocorridos ao longo das experiências de

formação em sala de aula constituem-se como meio ideal para a reflexão conjunta sobre as

decisões que os professores têm de tomar ao longo da aula. No processo de formação, o

formador surge como um dos intervenientes, colaborando nas planificações, participando nas

dinâmicas de sala de aula, de modo a que a reflexão posterior sobre as experiências realizadas

com os alunos seja feita com maior profundidade, ajudando a perceber aquilo que resultou, o

que deve ser evitado, o que é necessário desenvolver, etc. Assim, ―práticas de supervisão

aplicadas à formação terão de ser feitas no sentido de fornecer ideias novas, sugestões,

opiniões, que poderão ser sujeitas ao julgamento do próprio professor‖ (Cardoso et al., 1996, p.

83).

Tendo em conta o papel que desempenha nesta formação, o formador surge como um

parceiro que questiona com um outro olhar as práticas, ajuda a preparar materiais, propõe

novas abordagens num ambiente de colaboração. Desta forma, é-lhe atribuído um papel

preponderante no desenvolvimento autonomizante dos professores. Para isso, deverá assumir

uma postura prospectiva, interactiva e retrospectiva, analisando as implicações da sua actuação,

seja ao nível técnico e prático ou ao nível crítico e emancipatório. Ao formador que adopte esta

atitude é exigida abertura de espírito, responsabilidade e entusiasmo, utilizando, ele próprio, as

estratégias de formação reflexiva que usa com os formandos para a sua autoformação (Alarcão,

1996). Ao ser caracterizada por uma constante tomada de decisões, a prática profissional dos

professores necessita de um envolvimento destes profissionais no processo de construção do

seu próprio conhecimento profissional. O recurso a uma actividade reflexiva sistemática sobre o

58

que fazem, como fazem e por que fazem a partir das experiências, onde são cometidos erros

que, por sua vez, são fonte de aprendizagem, permite a descoberta de outras formas de agir.

As descrições verbais são fruto de uma reflexão. Todavia, esta pode ocorrer em

simultâneo com a acção ou retrospectivamente. No primeiro caso, Schön fala em

reflexão na acção; no segundo, em reflexão sobre a acção. Se reflectimos no

decurso da própria acção, sem a interrompermos, embora com breves instantes de

distanciamento, e reformulamos o que estamos a fazer enquanto estamos a realizá-

lo, tal como fazemos na interacção verbal em situação de conversação, estamos

perante um fenómeno de reflexão na acção, entabulamos uma conversa com a

situação. Se reconstruímos mentalmente a acção para tentar analisá-la

retrospectivamente, então estamos a fazer uma reflexão sobre a acção. (Alarcão,

1996, pp. 16-17)

Neste programa de formação, os dois momentos de reflexão, na acção e sobre a acção,

são de grande valor para o desenvolvimento profissional dos professores. O formador deverá

preparar a sua formação procurando implementar as estratégias formativas que melhor

correspondam à personalidade, interesses, motivações e necessidades dos formandos com

quem trabalha, estabelecendo com eles uma relação que propicie a aprendizagem e o

desenvolvimento profissional.

O conceito de desenvolvimento profissional assume que o professor é um prático

reflexivo, alguém com um conhecimento tácito de base, que continuamente constrói

sobre aquela base através da pesquisa da prática, repensando e reavaliando

constantemente os seus valores e prática, em concertação com os outros.

(Liberman, 1996, p. 15)

Figura 2. Modelo prático-reflexivo de desenvolvimento/formação profissional

(Wallace, 1991 in Alarcão 1996)

Estádio 1 Estádio 2 META (Pré-formativo) (Desenvolvimento / formação profissional)

Esquemas conceptuais/ Construtos mentais do formando

Saber documental

Saber experiencial prévio

Reflexão Prática Competência profissional

59

Para desenvolver o seu trabalho, o formador não deve adoptar exclusivamente uma

estratégia, mas sim uma diversidade de estratégias, podendo adoptar uma postura mais

expositiva em determinadas sessões, quando quer, por exemplo, descrever alguma teoria ou

exemplificar; enquanto noutras sessões deve utilizar metodologias que favoreçam o

questionamento, a discussão, o desenvolvimento do espírito crítico.

O PFCM assume, ainda, importância por procurar intervir nas práticas dos professores,

pois ―a grande batalha da educação e, consequentemente, nos diversos subsistemas de

formação, no ensino e aprendizagem, terá de travar-se ao nível dos professores, das estratégias,

das tácticas, numa palavra, dos métodos‖ (Tavares, 1997, p. 48).

Assim, a análise da actividade profissional sublinha o valor epistemológico da prática e revaloriza o conhecimento que brota da prática inteligente e reflectida que desafia os profissionais não apenas a seguirem as aplicações rotineiras de regras e processos já conhecidos, ainda que através de processos mentais heurísticos correctos, mas também a dar resposta a questões novas, problemáticas, através da invenção de novos saberes e novas técnicas produzidas no aqui e no agora que caracteriza um determinado problema. (Alarcão, 1996, p. 17)

2.5.3. O currículo e o Programa de Matemática do 1.º ciclo

O currículo pode definir-se como um plano operacional de ensino que descreve o que os

alunos precisam de saber, como devem atingir esses objectivos, o que é que os professores

devem fazer para desenvolver nos alunos os conceitos matemáticos e o contexto em que a

aprendizagem e o ensino devem processar-se (NCTM, 1994). No caso específico do 1.º ciclo do

Ensino Básico, o NCTM defende, nas suas Normas para o currículo e a avaliação em Matemática

escolar, que o currículo deve: (1) considerar a relação entre as crianças e a Matemática; (2)

reconhecer a importância das dimensões qualitativas da aprendizagem das crianças; (3)

construir concepções sobre o que é Matemática, sobre o que significa saber e fazer Matemática

e sobre a visão que as crianças têm de si próprias enquanto aprendizes de Matemática.

Segundo Pacheco (2001), ―o currículo é uma construção permanente de práticas, com

um significado marcadamente cultural e social, e um instrumento obrigatório para a análise e

melhoria das decisões educativas‖ (p. 19). De acordo com este autor, o currículo apresenta três

tipos de legitimação: a) normativa, que coloca a ênfase no que deve ser ensinado; b) processual,

que valoriza o currículo como um projecto exterior, mas que depende do seu processo de

desenvolvimento; e c) discursiva, que encara a construção do currículo de acordo com os

sujeitos intervenientes. O processo de desenvolvimento curricular, isto é, a forma como o

60

currículo é implementado, suporta-se em concepções que têm a ver com o papel do professor,

do aluno e do conhecimento, ou seja, na teoria curricular que lhe está subjacente, cuja função é

―descrever, explicar e compreender os fenómenos curriculares, servindo de programa para a

orientação das actividades resultantes da prática com vista à sua melhoria‖ (Pacheco, 2001, p.

31).

O Programa de Matemática do Ensino Básico (2007) constitui um reajustamento aos

programas datados do início dos anos noventa. Este novo programa ―assume que o ensino-

aprendizagem se desenvolve em torno de quatro eixos matemáticos fundamentais: o trabalho

com os números e operações, o pensamento algébrico, o pensamento geométrico e o trabalho

com dados‖ (p. 1). No 1.º ciclo do ensino básico não surge o tema da Álgebra, embora haja

objectivos de cunho algébrico noutros temas deste ciclo. As ideias algébricas aparecem, assim,

neste ciclo, no trabalho com sequências, ao estabelecerem-se relações entre números e entre

números e operações e ainda no estudo de propriedades geométricas como da simetria.

Para além destes quatro temas, assumem particular importância três capacidades

transversais: a resolução de problemas, o raciocínio matemático e a comunicação matemática.

Estas capacidades transversais devem merecer uma atenção permanente no ensino e são

apresentadas num espaço próprio com indicação dos seus objectivos gerais e específicos.

A definição de duas grandes finalidades para o ensino da Matemática vem clarificar o que

se pretende com o ensino desta disciplina, evidenciando:

a) a importância atribuída à compreensão dos conceitos e procedimentos, assim como a

capacidade para os utilizar em contextos matemáticos e não matemáticos. Esta finalidade está

assim relacionada com o desenvolvimento da compreensão e utilização da Matemática;

b) a necessidade dos alunos criarem e estabelecerem uma relação positiva com a

Matemática, sendo capazes de a apreciarem e desenvolverem uma auto-confiança que lhes

permita serem mais competentes.

Às finalidades enunciadas para o ensino da Matemática associa-se um conjunto de

objectivos gerais, igualmente formulados em termos de resultados de aprendizagem esperados

por parte dos alunos, mas de uma forma mais específica. Os objectivos gerais propostos

contemplam, no seu conjunto, o desenvolvimento de conhecimentos, capacidades e atitudes,

mas, diferentemente dos programas da década de noventa, não são apresentados em categorias

separadas associadas a estes três domínios, por se considerar que deste modo se favorece uma

visão integradora dos referidos domínios.

61

As finalidades e os objectivos gerais definidos no programa pretendem ser mais claros e

específicos no conteúdo proposto, promover a articulação entre ciclos e estabelecer a ligação

com o Currículo Nacional do Ensino Básico – Competências Essenciais (2001), nomeadamente

através da valorização dos aspectos ligados à apreciação da Matemática, às conexões dentro e

fora da Matemática e ao desenvolvimento da autonomia. Os objectivos gerais pretendem, ainda,

clarificar o significado e alcance das finalidades enunciadas e constituem igualmente metas de

aprendizagem que o ensino da Matemática deve visar. Numa formulação mais próxima do

trabalho na disciplina, procuram tornar mais explícito o que se espera da aprendizagem dos

alunos, valorizando as dimensões dessa aprendizagem relacionadas com:

a representação, comunicação e raciocínio em Matemática;

a resolução de problemas e as conexões matemáticas;

a compreensão e disposição para usar e apreciar a Matemática em contextos diversos.

Com este entendimento, o ensino desta disciplina nos três ciclos da escolaridade básica

deve ter em vista que os objectivos gerais se interligam profundamente e não envolvem uma

relação de ordem entre si. Os objectivos curriculares da Matemática do 1.º ciclo do Ensino

Básico não podem, por um lado, ―ser desligados do currículo global do 1.º ciclo, por outro têm

de ser pensados em conjunto com os aspectos da própria disciplina de Matemática que são

tratados nos outros níveis da educação básica‖ (Serrazina, 1999, p. 40).

Ao nível das indicações programáticas por ciclo, é feita uma introdução sobre o tema e o

que se espera com o seu ensino, bem como são estabelecidos os objectivos gerais de

aprendizagem e o propósito principal do ensino. Este propósito constitui a orientação principal

de fundo que deve nortear o ensino respeitante ao tema ou capacidade respectiva.

A importância de possibilitar aos alunos diferentes tipos de experiências matemáticas

decorrentes da utilização de uma diversidade de tarefas é essencial, pois proporcionam, no seu

conjunto, um percurso de aprendizagem coerente que permite aos alunos a construção dos

conceitos fundamentais em jogo, a compreensão dos procedimentos, o domínio da linguagem

Matemática e das representações relevantes e o estabelecimento de conexões.

A resolução de problemas, o raciocínio matemático e a comunicação matemática, para

além de constituírem objectivos de aprendizagem, constituem orientações metodológicas

importantes para o professor estruturar as actividades a desenvolver na aula.

As orientações curriculares abrem um vasto campo de possibilidades de desenvolvimento

curricular, pelo que os professores necessitam de ter uma noção clara de todo o

62

desenvolvimento curricular no 1.º ciclo e de conhecer bem os conceitos, técnicas e processos

matemáticos que intervêm neste nível de ensino (Ponte & Serrazina, 2000).

Nesta perspectiva, o professor assume-se como um construtor do currículo ao decidir

―intencionalmente as sequências didácticas, os conteúdos, as metodologias e as formas de

instrumentos de avaliação, de acordo com os objectivos visados, ou seja, quando proporciona

aprendizagens significativas e de qualidade a todos os alunos‖ (Patrício, 2002, p. 258).

O papel desempenhado pelo professor na gestão do currículo na sala de aula é

fundamental, pois tem a ver com a forma como interpreta e desenvolve o currículo. Nessa

gestão, os professores analisam os temas que têm de leccionar e os objectivos de aprendizagem

fazendo a sua distribuição pelos períodos, unidades e aulas. Esta autonomia de desenvolvimento

curricular pode constituir, para os professores, um instrumento essencial no processo de ensino

e aprendizagem (Puigdellívol, 1996). Porém, em 1997, Correia conduziu um estudo que

mostrou que os professores do 1.º ciclo possuem várias dificuldades em inserir, nas suas

práticas, as inovações propostas pelo currículo.

O trabalho com os alunos

O trabalho com os alunos permitirá, de acordo com as experiências de aprendizagem

proporcionadas pelos professores, um maior ou menor desenvolvimento das competências

matemáticas definidas no currículo nacional.

Entre as experiências de aprendizagem a propor aos alunos destaca-se a resolução de

problemas, pois estes devem ser centrais na vida escolar para que os alunos possam explorar,

criar, adaptar-se a novas condições e estar abertos a uma formação contínua no decurso das

suas vidas (NCTM, 1998).

Para que os alunos aprendam a pensar, a comunicar matematicamente, a raciocinar e

desenvolver o pensamento matemático, é fundamental que sejam desafiados a isso, que

mostrem interesse e curiosidade, pois ―só há aprendizagem quando a criança reage

dinamicamente a uma questão que suscite o seu interesse e responda à sua curiosidade‖ (DEB,

2001, p. 174). Parece, assim, que uma prática lectiva centrada na resolução de problemas e em

situações não rotineiras desenvolverá, no aluno, a capacidade de pensar e mobilizar os

conhecimentos para situações diversas. Nesta perspectiva, quando se pretende desenvolver

capacidades ligadas ao raciocínio e à resolução de problemas, o professor não deve promover o

treino isolado e mecanizado de procedimentos de cálculo, nem um conhecimento memorizado

de termos e factos, pois tal não contribui para a compreensão do que é a Matemática, nem é

63

garante de uma boa utilização prática de conhecimentos aparentemente adquiridos (Abrantes,

Serrazina & Oliveira, 1999).

Os currículos de Matemática tradicionalmente incluem a formulação das finalidades e

objectivos a alcançar, a indicação de uma listagem de conteúdos matemáticos a abordar, um

conjunto de orientações metodológicas gerais e a indicação das formas e instrumentos de

avaliação das aprendizagens. Esta forma de definir o currículo conduz, no entender de Niss

(2003), à ideia de que ensinar e aprender Matemática se reduz e limita aos conteúdos

identificados e listados e, ainda, que ―saber Matemática‖ se reduz ao conhecimento de factos e

à execução de destrezas relacionadas com os conteúdos programáticos. Ora, na actualidade, o

ensino da Matemática deve ser orientado para o desenvolvimento da literacia Matemática e

focado nas aplicações da Matemática nas quais os alunos se situem num determinado contexto,

preferencialmente familiar (Schoenfeld, 2001).

De Lange (2003), apoiado no enquadramento conceptual do projecto PISA, que preconiza

que as competências matemáticas específicas constituem a ―coluna vertebral‖ da Matemática,

enfatiza a importância das competências como facilitadoras da transferência de conhecimentos

de uma área de aplicação para outra, por serem independentes da área de aplicação. Segundo

esta perspectiva, o desenvolvimento de competências matemáticas de raciocínio e pensamento

matemático, de argumentação, de formulação e resolução de problemas deve assumir um papel

central no currículo de Matemática. De Lange (2003) salienta, também, a importância assumida

pelos ambientes apropriados para a resolução de problemas, devendo ser potenciadores de uma

progressiva matematização e generalização, e a ênfase que o ensino deve dar ao

estabelecimento de conexões intra-matemáticas e de ligações com a vida pessoal e escolar dos

alunos.

O papel exercido pela vivência de experiências matemáticas diversificadas em contextos

intra e extra-matemáticos, em profunda articulação com os tópicos curriculares, revela-se

essencial, ao possibilitar um ensino orientado, para o desenvolvimento da literacia e

competência matemática do aluno. Esta vivência, ao possibilitar ao aluno a recolha e análise de

dados reais, contribuiu para que, progressivamente, se torne num resolvedor de problemas,

aprenda a dar sentido a situações aplicadas e desenvolva a capacidade de comunicar o seu

pensamento de forma convincente (Schoenfeld, 2001).

As orientações e propostas curriculares para a Matemática escolar veiculadas pelos

Princípios e Normas para a Matemática Escolar (NCTM, 2007) salientam que a resolução de

64

problemas apela ao uso de saberes escolares e à compreensão de conteúdos subjacentes ao

problema a resolver. Esta ideia realça a importância atribuída à necessidade de se dar atenção à

compreensão dos conteúdos matemáticos e, em paralelo, ao desenvolvimento de competências

matemáticas (Ponte, 2000; Guimarães, 2005).

Nas dez normas para a Matemática escolar, apresentadas para a concretização desta

perspectiva, especifica-se aquilo que o ensino da Matemática deve possibilitar ao aluno saber e

saber fazer. Dessas normas, cinco centram-se na descrição dos conteúdos matemáticos que os

alunos deverão aprender – normas de conteúdo – e, as outras cinco, referem-se aos modos de

adquirir e utilizar os conhecimentos sobre os conteúdos – designadas por normas de processo:

Resolução de Problemas, Raciocínio e Demonstração, Comunicação, Conexões e Representação

(NCTM, 2007). A ideia de que aprender Matemática requer a compreensão de conceitos e

processos matemáticos e a capacidade de os aplicar em contextos diversificados fica bem

marcada neste documento.

O desenvolvimento da literacia Matemática contribui para que os alunos identifiquem

ideias matemáticas em contextos diversificados (Hughes-Hallett, 2001). Outros autores, entre

eles Guzmán (1993), defendem que a Matemática é, sobretudo, saber fazer e que o mais valioso

que a educação Matemática pode proporcionar aos alunos é a aquisição de processos eficazes

de pensamento matemático.

A criação de um ambiente de trabalho em que se valorize a exploração, a descoberta, a

criação de regras e padrões e em que a actividade a desenvolver pelo aluno provoque o

raciocínio e outros processos de pensamento matemático, é um ambiente propício a um ensino

vocacionado para o desenvolvimento da literacia e da competência Matemática (Guzmán, 1993;

NCTM, 1994). A aula de Matemática, nesta perspectiva, assumir-se-á como uma comunidade

Matemática genuína em que se constroem ideias matemáticas, se produz conhecimento e se

desenvolvem capacidades matemáticas (Schoenfeld, 1992).

Tarefas

Tarefa e actividade estão associadas. Quando o aluno está envolvido numa actividade,

realiza uma tarefa. A tarefa é o objectivo da actividade (Ponte, 2005).

Uma tarefa pode ser formulada pelo professor, ser da iniciativa do próprio aluno ou

resultar da negociação entre professor e alunos. A forma como as tarefas são entendidas pelos

alunos é condicionada pelas actividades propostas que, por isso, influenciam e estruturam a

capacidade de pensamento e raciocínio e, em última análise, a aprendizagem da Matemática. As

65

tarefas centradas na exploração de conceitos matemáticos contribuem para o desenvolvimento

de formas mais produtivas de raciocinar, permitindo um melhor domínio dos conceitos do que

as tarefas centradas numa aprendizagem mecânica (Hiebert & Wearne, 1993).

Na mesma linha de ideias, o desenvolvimento de um ensino suportado em tarefas com

um nível de exigência cognitivo elevado, isto é, com uma aposta forte no raciocínio, parece

conduzir a melhores desempenhos matemáticos do que um ensino suportado em tarefas de

memorização e processos mecânicos de resolução de problemas (Hiebert & Carpenter, 1992;

Fennema, Franke, Carpenter & Carey, 1993; Stein & Lane, 1996).

A análise das tarefas é tipicamente feita através da diferenciação por tipo, de que são

exemplos os exercícios, problemas, actividades de exploração, trabalho de projecto. De acordo

com a estrutura desenvolvida pelo Programa PISA, a diferenciação das tarefas assenta na

análise de três componentes do domínio do conhecimento matemático – conteúdo matemático,

contexto e competências matemáticas (OCDE, 2004).

De acordo com Ponte (2005), o grau de desafio matemático e o grau de estrutura são as

duas dimensões fundamentais das tarefas. O primeiro relaciona-se com a percepção da

dificuldade de uma questão; o segundo é uma dimensão que só recentemente começou a

merecer atenção, variando entre os pólos ―aberto‖ e ―fechado‖.

O esquema seguinte ilustra a relação entre diversos tipos de tarefas, em termos do seu

grau de desafio e de abertura.

Figura 3. Relação entre diversos tipos de tarefas, em termos do seu grau de desafio e de abertura.

Exercício Exploração

Desafio reduzido

Desafio elevado

Problema Investigação

Fechado Aberto

66

O desempenho dos alunos é influenciado pelas tarefas, pois: (1) a tarefa em termos de

conteúdo apresenta um determinado nível de exigência cognitiva; (2) a tarefa apresentada pelo

professor pode ser mais ou menos elaborada e incluir ou não um direccionamento verbal, a

distribuição de materiais e instrumentos auxiliares, discussão sobre aquilo que é esperado, etc.;

(3) a tarefa implementada, tal como ela é trabalhada pelos alunos, se estes usam ou não as

sugestões do professor ou se alteram o processo de trabalho (Stein, Grover & Henningsen,

1996; Stein & Smith, 1998).

O conteúdo matemático inerente às tarefas está relacionado com os vários temas de

estudo abrangidos pela disciplina – números e operações, geometria e medida, álgebra e

organização e tratamento de dados. Em cada um dos temas, as tarefas devem ser variadas de

forma a revelar o essencial da Matemática nesse mesmo tema. É importante que as tarefas

sejam contextualizadas para que as situações problemáticas reais criem um pretexto para a

utilização da Matemática, em vez de abordar a utilização da Matemática como um fim em si

mesma.

Os professores devem escolher tarefas que promovam o desenvolvimento da

compreensão dos conceitos e dos processos e que estimulem a capacidade de resolução de

problemas e de comunicação matemática: ―As boas propostas de actividades são aquelas que

não separam o pensamento matemático dos conceitos matemáticos ou aptidões, que despertam

a curiosidade dos alunos e que os convidam a especular e a prosseguir com a intuição‖ (NCTM,

1994, p. 27).

Na selecção das tarefas, os professores devem determinar os aspectos que pretendem

realçar, a forma de organizar e orientar os alunos, as questões que desafiam o desenvolvimento

de diversos níveis de competência e como apoiar os alunos sem eliminar o desafio cognitivo.

As tarefas que surgem no currículo, nos manuais ou nos materiais auxiliares, que são

depois propostas pelo professor, e o modo como essas tarefas são trabalhadas pelos alunos

podem ser diferentes. Assim, ―a tarefa que aparece nos materiais curriculares ou de ensino nem

sempre é idêntica à tarefa apresentada pelo professor; por outro lado, esta não é exactamente a

mesma tarefa que os alunos realmente fazem‖ (Stein & Smith, 1998, p. 4). Pode então

acontecer que no trabalho sobre tarefas mais abertas, implementadas com o intuito de permitir

que os alunos pensem e raciocinem, construindo significados em torno da actividade

Matemática desenvolvida, a actividade dos alunos se restrinja ao uso de procedimentos,

perdendo-se a possibilidade de construir significados matemáticos.

67

O foco nas tarefas matemáticas baseia-se na ideia que as tarefas usadas na sala de aula

constituem a base para a aprendizagem dos alunos (Doyle, 1988). Relacionando as tarefas com

a preparação das aulas, Ponte (2005) refere que:

Ao estabelecer uma estratégia adequada, contemplando diversos tipos de tarefa e momentos próprios para exploração, reflexão e discussão, o professor dá um passo importante para criar oportunidades que favoreçam a aprendizagem dos alunos. A partir daí, o professor entra numa nova fase, a da realização e regulação do processo de ensino-aprendizagem. Uma boa preparação não garante totalmente o êxito do trabalho subsequente. Há muita coisa que pode correr mal devido a factores externos ou internos ao trabalho na sala de aula. No entanto, parece-me indiscutível que uma preparação cuidada é uma condição necessária para a qualidade do trabalho do professor e inclui, de modo decisivo, a definição da estratégia e a selecção das tarefas (p. 20)

Resolução de Problemas

A resolução de problemas como experiência de aprendizagem da Matemática tem sido

objecto de estudo por muitos investigadores. Ao debruçarem-se sobre esta problemática, muito

têm contribuído para a clarificação de aspectos sobre várias questões levantadas pela discussão

do papel da resolução de problemas na educação Matemática.

George Pólya, nome de referência associado à resolução de problemas, publica já em

1945 a sua obra mais marcante ―How to Solve It‖. Não obstante a antiguidade dos seus estudos

e o seu contributo para a relevância desta problemática, só nos anos 80, com a publicação da

Agenda para a Acção do NCTM, é que a resolução de problemas surge como uma ideia central

da renovação do ensino da Matemática.

O que é um problema?

Desde o início que a noção de problema tem sido difícil de definir. Para Pólya (2003),

está-se perante um problema quando se procura de forma consciente alguma acção apropriada

à consecução de um objectivo claramente definido, mas não imediatamente atingível. Para

Kantowski (1980) um problema é uma situação com que uma pessoa se depara e para a

realização da qual não tem um procedimento ou algoritmo que conduza à solução. Esta

investigadora acrescenta que a obtenção de solução para um problema requer do indivíduo a

combinação do conhecimento de que dispõe de uma maneira que é nova para ele. Refere ainda

que o que é problema para um indivíduo poderá ser exercício para outro ou ainda uma

frustração para um terceiro.

Há que ter em conta que a classificação de uma tarefa como problema está estreitamente

relacionada com os alunos a quem se pretende propor, com os seus conhecimentos e

68

capacidades. De facto, uma mesma situação poderá representar um exercício para uns e um

problema para outros. Da mesma forma, o que poderá ser um problema para um indivíduo

numa fase de aprendizagem poderá passar a um exercício numa fase posterior. Considere-se o

seguinte exemplo: ―Dou ao meu cão três biscoitos por dia. Quantos biscoitos come ele por

semana?‖ Para um aluno que conhece a multiplicação esta situação é um exercício, mas para

um aluno do 1.º ano de escolaridade, que não conhece nem o conceito nem a tabuada da

multiplicação, esta questão é seguramente um problema. Assim, no campo da Matemática

escolar, é ao professor que cabe julgar se uma determinada tarefa constitui ou não um problema

para os seus alunos, entrando em linha de conta com o seu conhecimento sobre o currículo,

sobre os alunos e o seu próprio estilo de ensino (Cabrita, 1998).

Referindo-se à definição de problema, as Normas do NCTM referem que ―um problema

genuíno é uma situação em que, para o indivíduo ou para o grupo em questão, uma ou mais

soluções apropriadas precisam ainda de ser encontradas. A situação deve ser suficientemente

complicada para constituir um desafio, mas não tão complexa que surja como insolúvel‖ (NCTM,

1994, p.11).

Para Krulik e Rudnik (1993), problema é uma situação, quantitativa ou outra, com a qual

se confronta um indivíduo ou grupo na procura de uma solução, para a qual não tem

prontamente resposta. Estes autores distinguem ainda entre questão (uma situação que apela à

capacidade de memória), exercício (uma situação em que é necessário treinar ou reforçar

algoritmos já aprendidos) e problema (onde é necessário raciocinar e sintetizar o que já foi

aprendido).

Um problema pressupõe, pois, um objectivo a atingir, mas contém sempre um obstáculo,

uma dificuldade de natureza cognitiva não transponível de forma imediata (Cabrita, 1998;

Palhares, 1997). Pode então dizer-se que um problema se caracteriza pela existência de uma

situação inicial que contém certos elementos (dados e condições) a partir da qual se pretende

chegar a outra situação (situação final), através da realização de um conjunto de transformações

sucessivas, de que não se conhece a priori o seu potencial resolvedor e que deverão conduzir à

obtenção de uma solução (ou mais soluções) ou à conclusão da inexistência de solução.

Em resumo, nas definições de problemas acima descritas podem ser identificadas duas

características comuns para um problema: a) é uma situação para a qual se pretende uma

solução; b) não há procedimento que conduza imediatamente à solução.

69

Seguidamente, há que especificar quais são os aspectos característicos de um problema,

isto é, quais os aspectos que o proponente deve ter em linha de conta para que uma dada tarefa

constitua um problema e não um exercício, para um aluno ou determinado grupo de alunos.

Assim, um bom problema deverá geralmente possuir três características:

ser desafiante e interessante de uma perspectiva matemática;

ser adequado, permitindo relacionar o conhecimento que os alunos já têm de modo

que o novo conhecimento e as capacidades de cada aluno possam ser adaptadas e aplicadas

para completar as tarefas;

ser problemático, partindo de algo que faz sentido e onde o caminho para a solução

não está completamente visível (NCTM, 2007).

Uma forma de classificar os problemas é enquadrá-los numa de quatro tipos de

categorias: (1) problemas de aparato experimental – são problemas que implicam a utilização de

um equipamento experimental e sobre o qual o aluno deve exercer as suas acções, como, por

exemplo, fazer uma medição, determinar uma massa; (2) problema de conteúdo – nestes

problemas é necessário utilizar e/ou aplicar conteúdos curriculares específicos, tais como

conceitos e algoritmos abordados nas aulas e já adquiridos ou que se pretendem reforçar; (3)

problemas de processo – são problemas que, em geral, não envolvem mais do que

conhecimentos elementares de aritmética e geometria e salientam-se por não serem resolúveis

por aplicação de uma definição ou algoritmo e por exigirem processos complexos de

pensamento, por exemplo a descoberta de um padrão e a formulação e testagem de uma

conjectura; (4) problemas de aplicação – estes problemas referem-se a situações e contextos da

vida real em que é necessário lidar com dados reais, que, nalguns casos, têm de ser recolhidos

e analisados. São problemas cuja resolução se pode estender no tempo, exigindo normalmente

a escolha de uma ou mais estratégias de resolução e a tomada de decisões (Vale & Pimentel,

2004

Como se resolvem problemas?

Um problema é um tipo específico de tarefa proposta em situação de ensino que

potencialmente desencadeia nos destinatários um conjunto de acções, também designadas por

actividade. Como qualquer outro tipo de tarefa, de que são exemplos o exercício, questões,

jogos, um problema envolve informações sobre uma dada situação – situação inicial, e exige

uma resposta, encarada como o produto da actividade desencadeada.

70

Vários autores concebem a resolução de problemas como um processo sequencial onde

se estabelecem diversas fases. De acordo com Pólya (2003), a resolução de problemas inclui

quatro etapas:

a) Compreender o problema – procura-se compreender o problema até encontrar com

precisão a incógnita. Esta etapa implica:

A leitura atenta do enunciado do problema;

A compreensão do vocabulário;

A formulação do problema por outras palavras;

A identificação dos dados;

A identificação da questão do problema;

A construção de uma figura/esquema com indicação dos dados e da incógnita (se

adequado);

b) Conceber um plano de resolução – obtém-se um plano quando, de um modo geral, se

tem a percepção dos cálculos ou planos/estratégias a executar a fim de obter a solução. O

importante é a concepção da estratégia/plano, que pode consistir em:

Procurar regularidades;

Identificar um padrão;

Formular e testar conjecturas;

Proceder por tentativa e erro;

Identificar um problema relacionado e reconhecer as semelhanças;

Reduzir a um problema mais simples, com menos dados;

Fazer um esquema, uma figura ou um desenho;

Construir uma tabela;

Supor o problema resolvido;

Escolher uma notação adequada;

Usar raciocínio indutivo ou dedutivo.

c) Executar o plano – o plano dá-nos apenas um roteiro geral, sendo necessário examinar

todos os detalhes. Executa-se o plano que se elaborou até chegar à solução. Se se chegar a um

impasse, volta-se à fase de planificação. Esta etapa inclui:

Execução dos vários passos do plano concebido;

Verificação da correcção de cada passo (intuitivamente ou por meio de um raciocínio

dedutivo);

71

Reformulação da estratégia se necessário (com base nas ideias ocorridas na fase

anterior);

Avaliação da razoabilidade da solução, isto é, certificação de que a solução matemática

obtida é efectivamente solução do problema.

Apresentação por escrito da resolução e da resposta ao problema.

d) Reflectir e avaliar o trabalho realizado – revisão crítica do trabalho realizado, ou seja,

verificação do resultado em função da situação inicial e do raciocínio. Abrange a reflexão sobre o

processo de resolução de forma a melhorá-lo, a aprofundar a compreensão sobre a resolução,

tais como avaliar as potencialidades e o alcance da estratégia seguida e investigar as conexões

do problema com outras situações. Esta etapa inclui:

Apreciação do caminho seguido, isto é, da forma como se chegou à solução;

Percepção do alcance da estratégia seguida;

Procura de ligações a conhecimentos já anteriormente adquiridos;

Reflexão sobre o próprio processo de pensamento.

O objectivo de desenvolver estas quatro etapas é ajudar o aluno a organizar o seu

processo de resolução de um dado problema. Ao longo das etapas o aluno deverá colocar a si

mesmo uma série de questões com o objectivo de organizar o seu pensamento de uma forma

mais sistemática e eficaz.

Quando o aluno consegue resolver um problema, então é porque foi capaz de realizar

uma acção que lhe permitiu alcançar o objectivo pretendido. Assim, resolver um problema é

procurar uma solução, chegando à sua obtenção ou à conclusão justificada da sua inexistência

(Pólya, 2003).

Segundo Palhares (1997), o ―processo de resolução de um problema é um processo de

descoberta e não de criação. Os problemas podem ser criados ou descobertos, mas uma vez

que existam, a sua solução (ou soluções, ou falta de solução) existe à espera de ser descoberta‖

(p. 167).

Na Tabela 1 apresentam-se as acções e intenções do professor com essas acções, antes,

durante e após o processo de resolução de problemas.

72

Tabela 1 – Acções e intenções do professor antes, durante e depois da resolução

de problemas (Lopes, et al., 1996)

ACÇÕES DO PROFESSOR INTENÇÕES DO PROFESSOR

Pedir ao aluno para ler o enunciado do problema em voz alta. Discutir palavras ou

frases que possam levantar dúvidas.

A N T E S

Mostrar como é importante a leitura cuidadosa do problema e centrar a atenção

em certas palavras que têm significado especial.

Pedir a um aluno para recontar o problema, usando palavras suas.

Realçar a importância que tem a compreensão do enunciado e do problema.

Discutir com toda a turma a compreensão do problema, fazendo os comentários

adequados.

Centrar a atenção em dados importantes e clarificar partes do problema.

Discutir com toda a turma possíveis estratégias de resolução.

Fazer surgir ideias sobre possíveis maneiras de resolver o problema.

Observar e pôr questões aos alunos, no decurso do trabalho, dando sugestões, se

necessário. D U R A N T E

Identificar os pontos fracos dos alunos. Ajudar os alunos a ultrapassar situações de

impasse.

Proporcionar extensões do problema, se necessário.

Desafiar e encorajar os alunos mais rápidos a generalizar a sua estratégia de resolução a

um problema semelhante.

Pedir aos alunos que resolveram o problema para ―dar a resposta‖.

Proporcionar o confronto das soluções e a discussão da sua plausibilidade.

Pedir aos alunos que expliquem e discutam as estratégias de resolução que utilizaram.

D E P O I S

Identificar diferentes estratégias que permitiram resolver o problema.

Pedir aos alunos que relacionem o problema com problemas já resolvidos, ou que

resolvam extensões desses problemas.

Mostrar que as estratégias de resolução de problemas não são específicas de um dado problema e ajudar os alunos a reconhecer diferentes tipos de situações, onde estas

estratégias podem ser úteis.

As heurísticas

A relevância educativa atribuída aos problemas começou por estar relacionada com as

operações mentais utilizadas na procura da sua solução, isto é, as heurísticas usadas no

processo de resolução do problema.

O Programa de Matemática para o Ensino Básico (2007) propõe que se trabalhem

diferentes estratégias de resolução de problemas ao longo dos vários ciclos. Algumas das

estratégias de resolução de problemas sugeridas são:

Utilizar um esquema / diagrama / tabela / gráfico;

Trabalhar do fim para o princípio;

Simular / Simplificar o problema;

73

Descobrir uma regularidade / regra;

Organizar uma sequência de passos;

Tentativa e erro;

Procurar um problema análogo mas mais simples;

Desdobrar um problema complexo em questões mais simples;

Criar um problema equivalente;

Explorar casos particulares.

Raciocínio matemático

Fazer Matemática é raciocinar. De acordo com o NCTM (1994), para que a Matemática se

torne uma via poderosa de interpretação do mundo é fundamental que a ênfase no raciocínio

seja estendida a toda a actividade Matemática.

É a partir das experiências de aprendizagem propostas aos alunos que o professor poderá

estimular o seu pensamento e desenvolver a capacidade de raciocinar matematicamente. Para

isso, o professor deve colocar frequentemente questões do tipo: Porquê?, Porque será que isso

acontece?, O que acontece se?, procurando que os alunos expressem e desenvolvam as suas

ideias e clarifiquem e organizem os seus raciocínios. Deve encorajar os alunos a participar em

momentos de partilha e debate na aula e a explicar e justificar o seu raciocínio de modo claro e

coerente, usando propriedades e relações matemáticas. Quando essas justificações não são

compreendidas, devido a dificuldades no discurso, cabe ao professor incentivar a sua

reformulação, sugerindo, por exemplo, que se utilizem palavras mais facilmente compreensíveis,

que se clarifique alguma ideia ou que se siga outro caminho. Ser capaz de formular e testar

conjecturas constitui um aspecto importante do raciocínio matemático. O professor desempenha

um papel fundamental neste processo através das questões que coloca, das pistas que dá e do

modo como estimula e incentiva os alunos, transmitindo-lhes confiança nas suas capacidades.

Para além disso, questões do tipo Porque será que esta é uma boa resposta? e Como sabem

que esta resposta é correcta? proporcionam o entendimento de que não basta dar uma resposta

mas é preciso também saber justificá-la (ME, 2007, p. 30).

Um dos objectivos centrais do ensino e da aprendizagem da Matemática, apontado desde

há muito, é a capacidade de raciocinar. Efectivamente quando os alunos exploram e resolvem

problemas ou quando justificam ou avaliam as explicações apresentadas pelos seus pares estão

envolvidos em formas de raciocínio, mais ou menos formais de acordo com o seu

desenvolvimento cognitivo.

74

É pois através do raciocínio que acedemos à compreensão de situações matemáticas, que

examinamos um problema sob vários ângulos e que estabelecemos relações, transformamos

ideias ou formulamos conjecturas.

De acordo com os Princípios e Normas para a Matemática Escolar (NCTM, 2007), bem

como o Programa de Matemática do Ensino Básico (2007), o raciocínio matemático é encarado

como uma capacidade fundamental, que envolve a explicação e a justificação de ideias, a

formulação e o teste de conjecturas e, numa fase mais avançada, a demonstração. No primeiro

documento é destacada a importância dos alunos reconhecerem o raciocínio e a demonstração

como aspectos fundamentais da Matemática, formularem e investigarem conjecturas

matemáticas, desenvolverem e avaliarem argumentos e provas matemáticas, bem como

seleccionarem e usarem diversos tipos de raciocínios e métodos de demonstração. No segundo

salienta-se a importância dos alunos raciocinarem matematicamente usando os conceitos, as

representações e procedimentos matemáticos, fazendo sobressair que o raciocínio matemático,

além de ser concebido como um objectivo de aprendizagem central, constitui-se como uma

orientação metodológica importante para o professor estruturar as actividades a desenvolver em

sala de aula.

Assim, nestes documentos, valoriza-se a justificação de passos e operações na resolução

das tarefas a partir escolaridade básica, caminhando-se no sentido da evolução gradual para

argumentações mais complexas, distinguindo-se e apresentando-se generalizações, casos

particulares e contra-exemplos e, por último, reconhecendo e usando diferentes métodos de

demonstração.

Em Portugal, tal como um pouco por todo o mundo, os documentos curriculares apontam

o desenvolvimento do raciocínio matemático como um objectivo central do ensino da

Matemática, alertando para a importância de se recorrer à sua utilização sistemática numa

diversidade de contextos, de modo a contribuir para o desenvolvimento dessa capacidade nos

alunos de forma consistente (NCTM, 2007; ME, 2007).

Cabe ao professor um papel importante no desenvolvimento do raciocínio matemático dos

alunos, pois será a partir das suas propostas de trabalho, ao dinamizar a exploração de tarefas,

de reflexão e raciocínio, que ajudará os alunos a valorizarem e a usarem o poder do raciocínio

matemático. A sua atenção aos raciocínios dos alunos, a partir da promoção da discussão oral

na aula, incentivando à explicitação com clareza das suas ideias e estratégias de resolução das

tarefas, reveste-se de importância crucial. Desta forma, os próprios alunos poderão confrontar as

75

suas estratégias de resolução das tarefas, bem como identificar e discutir os raciocínios

elaborados pelos seus colegas.

Esta forma de encarar e valorizar o raciocínio matemático deve ser promovida desde os

primeiros anos de escolaridade, proporcionando-se, para isso, condições adequadas para que os

alunos possam ser capazes de raciocinar matematicamente. Ou seja, em ambientes apropriados

os alunos são

capazes de explicar e de justificar os raciocínios usados durante o processo de resolução de uma tarefa matemática, de fazer generalizações a partir da análise de casos particulares, de compreender o que significa um contra-exemplo, de reflectir sobre o que constitui um argumento aceitável e adequado quando se trabalha em Matemática e de aplicar resultados gerais a exemplos específicos. (Boavida, Paiva, Cebola, Vale & Pimentel, 2008, p. 81)

Desta forma, é importante que o raciocínio matemático e, em particular a argumentação,

esteja presente, de forma consistente, em qualquer tópico matemático e não fique limitado a

situações esporádicas ou a determinado tema matemático. Impõe-se que desde os primeiros

anos de escolaridade se dê atenção à criação de hábitos de raciocínio, incentivando os alunos a

apresentar justificações para as suas afirmações, soluções e processos de resolução usados nos

problemas e a sujeitar essas justificações à crítica.

É exigido que os alunos percebam, desde muito cedo, que as afirmações matemáticas

têm justificações e que sejam habituados a fazê-lo com níveis progressivos de exigência e rigor,

de modo que, nos anos terminais do ensino secundário, sejam capazes de compreender,

apreciar e construir demonstrações matemáticas, isto é, argumentos que estabeleçam a

validade de uma afirmação a partir de um conjunto de hipóteses e fazendo uso de deduções

lógicas rigorosas (NCTM, 2000).

Comunicação matemática

A comunicação é um elemento essencial da acção educativa, tendo sido amplamente

reconhecida a sua importância no contexto específico da sala de aula de Matemática e nos

vários níveis de ensino (Bishop & Goffree, 1986; NCTM, 1994; Ponte & Santos, 1998; Ponte &

Serrazina, 2000).

A aprendizagem Matemática do aluno baseia-se na construção progressiva de um quadro

de significados através do qual realiza uma apropriação pessoal do conhecimento matemático.

Este é um processo dinâmico estabelecido entre novos conteúdos e conhecimentos anteriores.

76

A comunicação matemática, através do discurso na de aula, em que participam alunos e

professor, é fortemente influenciada pela forma como este último organiza as situações de

aprendizagem. Dois aspectos claramente identificados na literatura respeitante à comunicação

na aula de Matemática são: a) interacção continuada entre os intervenientes na sala de aula; b)

a negociação de significados enquanto modo como os intervenientes partilham entre si as

formas como encaram os conceitos e processos matemáticos (Ponte, Boavida, Graça &

Abrantes, 1997; Ponte & Serrazina, 2000).

A publicação do Currículo Nacional do Ensino Básico – Competências Essenciais

(Ministério da Educação, 2001) veio salientar a importância da comunicação matemática como

um aspecto transversal da aprendizagem, ao referir que:

A comunicação inclui a leitura, a interpretação e a escrita de pequenos textos de Matemática, sobre a Matemática ou em que haja informação Matemática. Na comunicação oral, são importantes as experiências de argumentação e de discussão em grande e pequeno grupo, assim como a compreensão de pequenas exposições do professor. O rigor da linguagem, assim como o formalismo, devem corresponder a uma necessidade sentida e não a uma imposição arbitrária. (p. 70)

Mais recentemente, o novo Programa de Matemática do Ensino Básico dá uma grande

ênfase à comunicação, afirmando nos seus objectivos gerais que ―Os alunos devem ser capazes

de comunicar as suas ideias e interpretar as ideias dos outros, organizando e clarificando o seu

pensamento matemático (ME, 2007, p.5). Ao clarificar o que entende por este grande objectivo,

o programa salienta a importância da interpretação de enunciados, tenham eles uma formulação

oral ou escrita, reforçando o uso da linguagem matemática para expressar ideias, descrever e

explicar estratégias e procedimentos matemáticos utilizados. Ainda clarificando o objectivo

enunciado, é realçada a comunicação como forma de argumentar e discutir as ideias dos outros.

Para além de se constituir como um objectivo, a comunicação é definida como uma

capacidade transversal a todo o trabalho na disciplina, salientando o Programa que:

A comunicação envolve as vertentes oral e escrita, incluindo o domínio progressivo da linguagem simbólica própria da Matemática. O aluno deve ser capaz de expressar as suas ideias, mas também de interpretar e compreender as ideias que lhe são apresentadas e de participar de forma construtiva em discussões sobre ideias, processos e resultados matemáticos. A comunicação oral tem lugar tanto em situações de discussão na turma como no trabalho em pequenos grupos, e os registos escritos, nomeadamente no que diz respeito à elaboração de relatórios associados à realização de tarefas e de pequenos textos sobre assuntos matemáticos, promovem a comunicação escrita. O desenvolvimento da capacidade de comunicação por parte do aluno, é assim considerado um objectivo curricular

77

importante e a criação de oportunidades de comunicação adequadas é assumida como uma vertente essencial no trabalho que se realiza na sala de aula. (ME, p. 8)

Os processos de interacção presentes na sala de aula, entre professor e alunos, reflectem

a visibilidade que a comunicação assume, condicionando o tipo de aula em que ocorrem.

Quando o papel exercido pelo professor se baseia na exposição da matéria e na resolução de

exercícios, este assume-se como um controlador; mas se pelo contrário o seu papel for o de

coordenador, o desenvolvimento de capacidades de comunicação estará assegurado. (Ponte,

Oliveira, Cunha & Segurado, 1998).

A comunicação assume, assim, um lugar de relevo na prática lectiva, pois é através da

discussão na aula que os alunos confrontam as suas estratégias de resolução de problemas e

que identificam e expressam raciocínios. A este respeito, o programa refere que:

A comunicação, oral e escrita, tem um papel essencial na aprendizagem da Matemática, contribuindo para a organização, clarificação e consolidação do pensamento dos alunos. Estes devem ser incentivados a exprimir, partilhar e debater ideias, estratégias e raciocínios matemáticos com os colegas e com o professor. (…) O ambiente na sala de aula deve ser propício à comunicação, encorajando os alunos a verbalizar os seus raciocínios e, também, a expor dúvidas ou dificuldades, a colocar questões e a manifestar-se sobre erros seus ou dos colegas. Os momentos de discussão de processos de resolução e de resultados de problemas na turma devem ser frequentes. O professor assume um papel relevante, nomeadamente na colocação de questões que estimulem o pensamento dos alunos, na condução do discurso, centrando-o nos conhecimentos matemáticos, e na organização e regulação da participação dos alunos nos momentos de discussão. (ME, 2007, p. 30)

Para regular a comunicação oral, o professor deve ouvir com atenção as ideias dos

alunos, pedindo-lhes que as clarifiquem e justifiquem. A este propósito, Ponte e Santos (1998)

referem que o professor deve pedir justificações aos alunos sempre que considerar oportuno,

procurando que estes decidam o que está certo ou errado.

A comunicação escrita proporciona uma oportunidade importante para os alunos

aprenderem ao ―ajudar os alunos a consolidar o seu pensamento, uma vez que os obriga a

reflectir sobre o seu trabalho e a clarificar as suas ideias acerca das noções desenvolvidas na

aula‖ (NCTM, 2007, p. 67).

Comunicar para aprender Matemática e aprender a comunicar matematicamente

depende das oportunidades, do encorajamento e do apoio que são dados aos alunos para falar,

escrever, ler e ouvir nas aulas de Matemática (NCTM, 2007).

78

A ênfase na transmissão de mensagens do professor para os alunos e entre os alunos ou

nos processos de interacção entre o professor e os alunos sustentam diferentes

posicionamentos em relação à comunicação na sala de aula de Matemática (Martinho & Ponte,

2005).

A colocação de questões pelos professores é uma das formas principais de dirigir o

discurso na sala de aula, sendo preponderantes no controlo do processo de comunicação. As

questões formuladas pelos professores, sejam mais dirigidas ou mais abertas, baseiam-se no

seu conhecimento matemático, bem como no modo como encaram o seu papel e o dos alunos

no processo de comunicação. As limitações dos professores a nível do conhecimento

matemático impedem-nos ―de usar de um modo mais eficiente as questões abertas e de

acompanhar e gerir melhor as discussões entre os alunos na sala de aula‖ (Almeida &

Fernandes, 2010, p.150)

De acordo com Matos e Serrazina (1996), as questões mais comuns são do tipo de

confirmação, com o objectivo de testar o conhecimento e a memória dos alunos. Se o aluno não

responde correctamente procura um outro aluno que responda ou continua o diálogo adoptando

um padrão de funil ou de focalização (Wood, 1998).

No padrão de funil, as novas questões caracterizam-se por serem mais fáceis e

direccionadas para a resolução do problema. Por seu lado o padrão de focalização caracteriza-se

pela formulação de questões salientando os aspectos problema, não compreendidos pelo aluno,

de modo a levá-lo a ultrapassar as dificuldades e a encontrar uma solução. Ao serem desafiados

a comunicarem os seus pensamentos, os alunos aprendem a usar argumentos que lhes

permitam ser claros e convincentes nas suas explicações (Wood, 1998).

Conexões matemáticas

Uma das principais características do conhecimento matemático é a existência de

conexões intra-matemáticas e extra-matemáticas. Não é possível compreender um conceito

matemático sem fazer conexões (NCTM, 2007).

As conexões intra-matemáticas referem-se às ligações entre diferentes temas e tópicos da

Matemática, assim como entre diferentes representações de ideias ou problemas matemáticos.

A resolução de problemas pode facilitar e promover uma abordagem integrada da

Matemática, e o consequente estabelecimento de conexões entre ideias matemáticas (De Lange,

2003; Usiskin, 2001).

79

As conexões internas reforçam a linguagem matemática, dão sentido a cada noção

através dos vínculos com a estrutura conceptual na qual o conceito se insere e proporcionam

objectividade e potencial argumentativo (Rico, 2006).

As conexões extra-matemáticas referem-se ao estabelecimento de relações entre a

Matemática e o mundo real ou outras áreas disciplinares.

Mais uma vez, a resolução de problemas, a partir de contextos exteriores à Matemática,

constituem-se como tarefas fundamentais no estabelecimento destas conexões, o que se traduz,

segundo Carvalho e Silva (1992), numa forma de evidenciar a profunda relação existente entre a

Matemática e o mundo real. Na verdade, as aplicações matemáticas podem ser encaradas como

um veículo para tornar visível aos olhos do aluno o papel da Matemática no mundo, para

desenvolver o seu espírito crítico relativamente aos usos amplos da Matemática na sociedade

passada e contemporânea (Niss, 1992, 2003).

A este propósito, Niss (1992) defende que para que o aluno se torne um cidadão capaz

de compreender e de enfrentar com sucesso situações reais que envolvem pensamento

matemático, o ensino da Matemática não pode descurar experiências de aprendizagem que

exijam a efectiva activação dos conhecimentos e capacidades matemáticos dos alunos em

problemas e situações extra-matemáticas.

Do ponto de vista didáctico, a abordagem em sala de aula das aplicações matemáticas

pode decorrer de várias formas, resolvendo exercícios, problemas, explorando jogos…. No

entanto, importa compreender que estas podem ser encaradas como um instrumento capaz de

tornar visível, aos olhos dos alunos, o papel da Matemática no mundo, contribuindo para o

desenvolvimento do espírito crítico relativamente aos usos amplos da Matemática na sociedade.

Na verdade,

não é possível ensinar Matemática de forma eficaz, ensinando apenas teoria: como a teoria, por alguma razão, existe enraizada no mundo que nos rodeia, o ensino deve proporcionar ao aluno a oportunidade de contactar com aplicações significativas que usem os conceitos que vão aprendendo, pois só desse modo podem alcançar a sua compreensão‖ (Carvalho e Silva, 1992, p. 4).

O estabelecimento de relações entre a Matemática e o mundo real é decisivo para que os

alunos, ao serem confrontados com situações que requeiram o uso da Matemática, sejam

capazes de mobilizar os conhecimentos adquiridos na escola.

A este respeito, o NCTM (1994) defende que ―os problemas e as aplicações da

Matemática devem ser utilizados para introduzir novos assuntos, para ajudar os alunos a

80

desenvolver simultaneamente a compreensão de conceitos e o desembaraço nos procedimentos

e para aplicar e rever processos já aprendidos‖ (p. 163).

O Programa de Matemática do Ensino Básico (2007) valoriza ―a exploração de conexões

entre ideias matemáticas e ideias referentes a outros campos do conhecimento ou a situações

próximas do dia-a-dia do aluno‖ (p. 9), salientando a potencialidade dos temas Geometria e a

Medida: e Organização e Tratamento de Dados.

Estas recomendações vão de encontro ao defendido internacionalmente no que se refere

à importância de proporcionar aos alunos um ensino sustentado na resolução de problemas

emergentes de contextos exteriores à Matemática, quer relativos a outras áreas temáticas e

disciplinas escolares, quer ao quotidiano do aluno, apontando-se para um ensino da Matemática

na escolaridade básica menos formal e mais intuitivo, menos abstracto e mais contextualizado,

menos simbólico e mais concreto (NCTM, 2000; De Lange, 2003).

A mais-valia didáctica do estabelecimento de conexões surge pelo facto de, na vida real, o

confronto com situações que requerem o uso da Matemática surgirem, frequentemente, com

contornos matemáticos mal definidos, sem qualquer indicação dos conteúdos e métodos

matemáticos adequados à sua resolução (De Lange, 2003; OCDE, 2004).

Valoriza-se, assim, a ideia de que as aplicações matemáticas devem também ser usadas

como o contexto a partir do qual ocorre a aprendizagem de conceitos e se desenvolvem

competências.

81

CAPÍTULO III

AVALIAÇÃO DE PROGRAMAS DE FORMAÇÃO

Hoje em dia, os vários actores envolvidos nos projectos formativos mobilizam-se para a

construção partilhada e reflectida de novas soluções pedagógicas, de novas formas de aprender

e agir, por forma a responder mais eficazmente aos cada vez mais complexos e exigentes

desafios da sociedade actual. A formação profissional resultante de necessidades efectivas e/ou

imposta por normativos legais deve responder positivamente aos desafios dos contextos

profissionais e melhorar efectivamente as competências e respectivos desempenhos dos

participantes. Este é o primeiro desafio que se coloca, mas também ganha peso a forma como

se pratica a formação, sendo valorizada a adequabilidade e inovação. A avaliação é uma

actividade essencial, quer para medir resultados, quer como forma de controlo da qualidade dos

processos de formação, quer como sustentação para a implementação de processos de

transformação e melhoria (avaliação formativa)

A revisão da literatura permite identificar algumas práticas de avaliação da formação, que

sugerem a necessidade de um grande investimento na definição do quadro conceptual utilizado

no domínio da avaliação, ou seja, na clarificação das estratégias de avaliação preconizadas, na

especificação de modelos de intervenção que orientam a tomada de decisão dos diferentes

actores que intervêm na avaliação e um maior investimento na fase da caracterização do

contexto de partida. Os autores que se debruçam sobre a problemática da avaliação da

formação/programas de intervenção) tendem a posicionar-se de forma distinta no que diz

respeito ao conceito de avaliação. Tais posicionamentos determinam, em grande medida, a

definição de estratégias e práticas dando origem a diferentes propostas de intervenção, sendo

desejável que qualquer processo de avaliação seja consequente e, por conseguinte, útil para

quem é chamado a nele participar.

As decisões associadas ao domínio da avaliação da formação são, muitas vezes, tomadas

tardiamente, o que dificulta a recolha de informação necessária para a realização de

intervenções de avaliação mais exigentes (transferência de competências para situações reais de

trabalho e respectivos resultados e impactos no desempenho das organizações), construção e ou

adaptação de instrumentos que visem avaliar determinados aspectos de um projecto de

82

formação e envolvimento dos vários actores na construção e implementação das estratégias de

avaliação a aplicar antes, durante e após a execução da formação.

Neste capítulo, expomos o enquadramento teórico da avaliação, ressaltando a variedade

de conceitos e de abordagens de avaliação da formação e damos conta da abordagem utilizada

para avaliar o PFCM, tendo em conta a natureza do programa e dos intervenientes, sustentando

com Freitas (1997, p. 17) que ― para a avaliação de qualquer dispositivo de formação, é

necessário considerar alguns aspectos fundamentais: (1) o objecto da avaliação; (2) o design da

avaliação – possíveis questões; (3) os instrumentos a ser utilizados no processo de recolha de

dados; (4) os critérios de apreciação; e (5) a comunicação de resultados – análise e

interpretação dos dados‖.

3.1. Conceitos e perspectivas de avaliação da formação

Segundo Hadji (1994) a avaliação pode ser definida como a gestão do provável. Avaliar é

proceder a uma análise de situação e a uma apreciação das consequências prováveis do seu

acto numa tal situação. Assim, avaliar pode significar verificar, julgar, estimar, situar,

representar, determinar, dar um conselho e/ou verificar o que foi apreendido e compreendido. A

quantidade de verbos inerentes à classificação da avaliação está associada a um conjunto de

alvos que são o objecto deste acto: objectivos, resultados, produtos, competências ou processos:

Em sentido restrito avaliar significa verificar, situar e julgar: verificar a presença de qualquer coisa que se espera; situar (um individuo, uma produção) em relação a um nível, a um alvo; julgar (o valor de…). (Hadji 1994, p. 28)

Avaliar significa tentar estabelecer elos e pontes, entre diferentes níveis de realidade,

sempre a marcar e a sublinhar a distância que os separa: a realidade daquele que constrói e

formula o juízo de valor e a daquilo em que incide esse juízo, ainda que se trate da mesma

pessoa, num acto de auto-avaliação (Hadji, 1994).

O essencial da avaliação reside numa relação a) entre o que existe e o que é esperado;

b) entre um dado comportamento e um comportamento-alvo; c) entre uma realidade e um

modelo ideal.

A avaliação é, então, o acto pelo qual se formula um juízo de valor incidindo num

determinado objecto (indivíduo, situação, acção, etc….) por meio de um confronto entre duas

séries de dados que são postos em relação a) dados que são da ordem do facto em si e que

83

dizem respeito ao objecto real a avaliar; b) dados que são da ordem do ideal e que dizem

respeito a expectativas, intenções ou a projectos que se aplicam ao mesmo objecto.

Assim, a avaliação é um conceito polissémico, pois tanto serve para designar um processo

como um produto final. A avaliação como objecto de estudo é multidisciplinar e, nessa medida,

pode ser abordada a partir de diversas perspectivas teóricas e metodológicas. Não é uma

disciplina, mas um objecto aberto a uma pluralidade de olhares técnicos, políticos, pedagógicos,

éticos e metodológicos. Assim, qualquer programa de formação deverá ter em conta os

principais pressupostos da formação para a actividade profissional a que se destina e a sua

avaliação exige o recurso a dispositivos de avaliação adequados. É forçoso reconhecer que as

orientações propostas pelos órgãos responsáveis pela formação são, a maior parte das vezes,

orientações de tipo tradicional, que dificilmente permitem a valorização dos processos de

formação utilizados nos programas avaliados, pois não fornecem mais do que informações sobre

o grau de consecução dos objectivos dos programas de formação. Contudo, é também justo

reconhecer que começam a surgir as abordagens de avaliação orientadas para a consideração

das opiniões, das preocupações, dos valores e das expectativas dos intervenientes na formação.

Em qualquer dos casos há, ainda, uma certa fragilidade do conceito que leva a uma necessidade

crescente de afirmar a sua complexidade:

(…) é uma questão complexa, em permanente discussão e geradora de muitas tensões. A avaliação é um elemento integrante e regulador das práticas pedagógicas, mas assume também uma função de certificação das aprendizagens realizadas e das competências desenvolvidas. Além disso, tem influência nas decisões que visam melhorar a qualidade do ensino, assim como na confiança social quanto ao funcionamento do sistema educativo (Abrantes, 2002, p. 9).

Os vários paradigmas teóricos, que sustentam as abordagens de avaliação, remetem os

avaliadores para diferentes conceitos de avaliação, regra geral descritos em função das

finalidades da avaliação preconizada. Assim, alguns autores (Weiss, 1997) colocam a ênfase nas

consequências das intervenções de avaliação, atribuindo particular relevo às intervenções de

natureza formativa para avaliar os efeitos de determinado programa em relação aos objectivos

pré-estabelecidos, visando reunir informação suficiente de apoio à tomada de decisões que

resultem na introdução de melhorias nos programas que se encontrem a decorrer ou

intervenções formativas futuras.

A ideia da avaliação ao serviço do processo formativo está igualmente patente em Rossi e

Freeman (1993, p.13) ―avaliar é uma recolha sistemática de informação sobre um conjunto de

84

dimensões/componentes de um projecto de formação sobre os quais se emitem juízos de valor

com vista à utilização dos resultados produzidos‖. A recolha sistemática de dados traduz-se aqui

no cerne da questão, uma vez que permite potenciar a função utilitária da avaliação (Patton,

2008). Barbier (1992) refere que a finalização de um acto avaliativo ocorre com a produção de

um juízo de valor sobre determinada componente de um projecto formativo. Partilham a mesma

ideia o Joint Committee on Standards (1994), House (1993), Scriven (1991) Stufflebeam e

Shinkfield (1995), pois sustentam que deve avaliar-se o mérito ou valor de um programa.

Apesar da literatura especializada que acabámos de referenciar e à qual acrescentaríamos

(Cardinet, 1993; De Ketele, 1984, 1985 e 1986, De Ketele & Roegiers, 1999) estar de acordo

ao afirmar que a avaliação é um processo, e não simplesmente um produto, que consiste em

confrontar um referente com um referencial, é possível considerar duas correntes que co-existem

actualmente. A primeira afirma que a avaliação é um processo que conduz a uma apreciação ou

a um juízo; a segunda estima que, se o processo avaliativo compreende procedimentos de

apreciação e de juízo, tem por finalidade fundamentar uma tomada de decisão pertinente (que

responde à questão: será que não me engano ao…?), válida (que responde à questão: o que

avalio realmente corresponde mesmo ao que declaro avaliar?) e fiável (que responde à questão:

a decisão tomada é independente do avaliador e das circunstâncias?). Na sequência dos

trabalhos de Stufflebeam e Shinkfield (1995), De Ketele (1986, p. 42) refere que

Avaliar consiste em recolher um conjunto de informações pertinentes, válidas e fiáveis e confrontar este conjunto de informações com um conjunto de critérios coerente através de um referencial pertinente para fundamentar uma tomada de decisão adequada à função visada.

Na maior parte dos países, nas últimas duas décadas, vem-se assistindo a procedimentos

―inovadores‖ no domínio da formação, nomeadamente, na formação de professores. Citemos, a

título de exemplo, o ensino reflexivo e a abordagem por competências. Contudo, a generalidade

das avaliações conduzidas até à actualidade, denominadas por abordagens formalistas, (Wood,

1997), têm sido fundamentadas na verificação da eficácia dos programas, pois consistem em

fornecer ou tomar decisões, sendo a avaliação encarada como um processo pelo qual os dados

são obtidos, analisados e sintetizados, de forma que sejam úteis ao decisor. Estas abordagens

são, como refere o autor, frequentemente, denunciadas por um grande número de teóricos da

avaliação como sendo mecanicistas (ao não permitirem distinguir nem os pontos fortes nem os

pontos fracos do programa avaliado) e insensíveis ao que realmente se passa nos meios da

85

formação (ao clarificarem pouco as preocupações e as necessidades dos principais

intervenientes, implicados directa ou indirectamente nos diferentes programas de formação).

Em alguns contextos, estas avaliações respondem a necessidades institucionais, dizem

respeito a um número restrito de pessoas e os resultados daí decorrentes conduzem, a maior

parte das vezes, a tomadas de decisão relativas à continuidade, ou não, do programa,

fundamentadas na sua rentabilidade e/ou eficácia. Parece evidente que o recurso a métodos de

avaliação de tipo sumativo potencia a emissão de juízos de valor sobre a eficácia do programa,

muitas vezes sob a forma de dados quantitativos, reduzindo a importância do processo que o

subentende.

Ora, os programas de formação são entidades dinâmicas, objecto de experimentações,

de modificações diversas e até mesmo de transformações. Uma abordagem de avaliação linear,

―confirmada e validada‖, centrada no impacto da intervenção, excluindo as informações sobre o

contexto, as condições, as motivações das pessoas envolvidas e incidindo nas acções

individuais, deixa manifestamente de lado as informações indispensáveis à realização dos

objectivos de um dado programa. Este enfoque nos resultados e nos impactos, fornecerá

informações aos planificadores sobre a eficácia do programa, mas não pode explicar, nem as

causas do insucesso, nem as razões do êxito. Assim, considerar as diferentes variáveis de um

programa de formação implica procedimentos de avaliação analíticos e explicativos, flexíveis,

numa palavra, holísticos, capazes de fornecer, aos principais interessados, explicações, não

somente sobre a forma como funciona o programa mas, igualmente, sobre as razões que

explicam o seu bom ou mau funcionamento. Avaliar é, então, o exame sistemático e objectivo de

um projecto ou programa, terminado ou em curso, que contemple o seu desempenho,

implementação e resultados, com vista à determinação da sua eficiência, efectividade, impacto,

sustentabilidade e relevância dos seus objectivos. O propósito da avaliação é o de guiar os

decisores, orientando-os quanto à continuidade, necessidade de correcções ou mesmo quanto à

suspensão de uma determinada formação ou programa, o que pressupõe um sustentado quadro

teórico que fundamente as decisões tomadas, sublinhando a ideia de que uma concepção sobre

a avaliação pode ter um efeito de permanência e influência para além do contexto em que

surgiu, sendo necessário um confronto de gerações (Guba & Lincoln, 1989), de ideologias

(Scriven, 2000), de paradigmas (Rodrigues, 1994, 2002, 2006) ou de modelos (Bonniol & Vial,

2001, Madaus & Kellaghan, 2000, Santos & Pinto, 2006), que permitirá explicitar as tensões

que, explícita ou implicitamente, existem hoje no campo da avaliação (Machado, 2007). Assim,

86

uma primeira reflexão sobre a avaliação da formação remete-nos para a problemática da

avaliação que versa sobre as funções, os paradigmas, os modelos, as teorias e os conceitos de

avaliação que orientam e condicionam o que avaliar, como avaliar, para quê avaliar. O plano

teórico-conceptual assume-se, assim, como fio condutor para a construção metodológica e

operacionalização da avaliação.

As funções da avaliação

A avaliação pode assumir várias funções, sendo que as mais importantes, no domínio do

ensino, da formação e da educação, são as funções de orientação, regulação e de certificação

(De Ketele & Roegiers, 1999; De Ketele, 1999, 2001).

A certificação é uma função essencialmente social, que tem como objectivo a certificação

perante as instâncias sociais dos efeitos ou produtos de uma acção realizada. Num processo de

aprendizagem concluído (sequência, período, ano de estudos ou fim de ciclo), certificar o

sucesso ou o fracasso ou o grau de sucesso de um aluno, atribuir um diploma ou seleccionar

um número determinado de candidatos para um curso são exemplos de processos avaliativos

com a função certificativa. Ao nível macro dos sistemas educativos, as avaliações internacionais

situam as performances educativas de um país em relação a outros, fornecendo uma

classificação (um "ranking") a partir de uma escala estandardizada.

No domínio da formação, estamos perante uma avaliação essencialmente de produto, que

segue uma lógica sumativa, assume uma relação de exterioridade, obedece a critérios

económicos (custo/rentabilidade), produz juízos de conformidade e de adequação entre as

necessidades e o dispositivo de formação e visa o controlo da formação.

A regulação é uma função essencialmente formativa, no sentido em que serve para

melhorar uma acção em curso. Numa aprendizagem em desenvolvimento, identificar as

aprendizagens e os erros ainda presentes, fazer o respectivo diagnóstico, propor estratégias de

remediação ou de consolidação e procurar os aspectos que deveriam ser melhoradas são

exemplos de processos avaliativos com uma função formativa (termo com uma vocação mais

escolar) ou reguladora (termo com uma vocação mais geral).

No domínio da avaliação do desempenho profissional, as estratégias que procuram

desenvolver as competências profissionais dos professores em exercício através de uma análise

das relações entre os resultados obtidos e as suas práticas, através de uma investigação dos

efeitos potenciais de uma modificação das práticas sobre os resultados, tal como nas acções de

formação em que existe troca de experiências, através de uma confrontação dos efeitos obtidos

87

na sequência de uma modificação implementada, são exemplos de processos de avaliação

reguladora. Ao nível mais macro, podem identificar-se, entre outros, processos reguladores

através de análises de balanço, de relatórios oriundos do terreno e de processos de

acompanhamento dos responsáveis.

No âmbito da formação, estamos perante uma avaliação dos processos de aprendizagem,

que segue uma lógica formativa, assume uma relação de interioridade, visa melhorar a

verificação da aquisição das competências da formação, pretende regular o processo de

aprendizagem e visa controlar as aprendizagens, dando ao formador elementos para melhor

gerir as resistências dos formandos.

A orientação tem por função preparar uma nova acção, tal como uma nova sequência de

aprendizagem, um novo ano escolar, um novo curso de estudos, um novo conteúdo, um ensino

perante um novo público e a introdução de uma mudança importante. Ao nível individual,

orientar um aluno ou um professor num determinado curso exige um processo avaliativo para

fundamentar uma decisão pertinente. O professor que começa um ano escolar com um teste

sobre os pré-requisitos das novas aprendizagens conduz um processo avaliativo para decidir se

pode começar directamente as novas aprendizagens ou se, pelo contrário, é importante rever

certas aprendizagens fundamentais que se desvaneceram com o tempo ou que estão

insuficientemente dominadas. O mesmo se passa quando o professor prepara a planificação dos

conteúdos para um período dado ou quando uma autoridade (local, regional ou nacional)

prepara acções de formação ou de acompanhamento dos professores com o intuito de as fazer

corresponder às necessidades prioritárias reais e de maximizar as hipóteses de transferência nas

práticas. Ao nível mais macro, o processo avaliativo que consiste em preparar a acção de

implementação de uma reforma projectada é uma avaliação com uma função de orientação.

No âmbito da formação, estamos perante uma avaliação dos processos de formação, que

segue uma lógica formadora, acentua a dinamização dos formandos através do seu

envolvimento no projecto de formação, pretende promover o investimento afectivo e social,

privilegia os espaços de diálogo e negociação e visa mobilizar e motivar os formandos para

construir e dar sentido(s) ao projecto de formação.

88

3.2. As gerações da avaliação

Guba e Lincoln (1989) defendem que a construção da avaliação se tornou cada vez mais

informada e profissionalizada, pelo que emerge uma quarta geração da avaliação, que marca a

ruptura com as anteriores. Para os autores, a primeira geração da avaliação é a geração da

medida, influenciada sobretudo por dois factores: o desenvolvimento das técnicas psicométricas

e a respectiva aplicação em contexto escolar com o objectivo de adoptar novas formas de

mensuração e a emergência da organização científica do trabalho que, valorizando a eficácia e a

eficiência, incutiu nas escolas o uso de testes para verificar o grau de consecução dos objectivos

definidos. A esta primeira geração da avaliação subjaz uma concepção epistemológica e

pedagógica que encara os formandos como realidades uniformes, fixas e susceptíveis de

mensuração. A avaliação estava, deste modo, ao serviço de uma ideologia de eficientismo social,

segundo a qual os formandos deviam ser controlados e medidos para responder às

necessidades do produtivismo e o avaliador tinha uma função de atestador de conhecimentos:

―se não houvesse instrumentos apropriados, o avaliador devia possuir a competência técnica

para os criar‖ (Guba & Lincoln, 1989, p. 26). Na actualidade, tal como referem os autores, a

avaliação é ainda muito herdeira desta concepção técnica da avaliação, pois continua a prática

de realização de testes para a aprovação dos alunos no final de um ciclo de estudos.

A segunda geração, a da descrição, surge a seguir à I Guerra Mundial, a partir da

consciencialização de que os formandos são considerados objectos de avaliação e da aceitação

de que fornecer informação não cumpre as funções da avaliação, pelo que é necessário

reformular o currículo, assumindo a avaliação um carácter mais formativo. A avaliação passa a

ser uma descrição das aprendizagens alcançadas em função de objectivos previstos. O avaliador

tem a função de descrever começando a ter um estatuto de especialista, a avaliação enfatiza a

eficácia dos currículos e os alunos são um dos elementos de um processo, apesar de terem

pouca participação.

A terceira geração, a da avaliação juízo, surge na crise pós-Sptunik (1957) e a principal

mudança surge com o estatuto do avaliador que, mesmo exercendo as funções técnicas e

descritivas deve ir mais além, devendo também julgar, pelo que ―julgar era uma parte integrante

da avaliação‖ (Guba & Lincoln, 1989, p. 31). Cabendo este papel exclusivamente ao avaliador,

os alunos não participam no processo, pelo que assumem um papel passivo.

89

Os autores reconhecem várias limitações e problemas a estas formas de conceber e

praticar a avaliação, elencando três fundamentais: a tendência para o gerencialismo, a não-

aceitação da pluralidade de valores e a exagerada racionalidade técnica, ou seja, a crença

positivista de que o método científico seria garantia de sucesso metodológico, sendo o avaliador

um especialista que produz informação.

Estas limitações fazem emergir uma quarta geração de avaliação, que pressupõe o

reconhecimento do contexto, ou seja, da importância que os factores sociais, políticos e culturais

assumem para que a avaliação seja uma actividade com significado e utilidade. Pressupõe,

ainda, que a avaliação se transforme num processo de colaboração e de negociação, ou seja,

num processo de ensino e de aprendizagem contínuo, emergente, alterando-se o estatuto do

avaliador e dos avaliados, que aprendem e ensinam mutuamente. Neste sentido, os

instrumentos escolhidos para avaliar e as opções tomadas só podem ser especificados no final

do processo.

Madaus e Stufflebeam (2000) contribuíram para uma melhor compreensão da

constituição da avaliação como um campo profissional tendo como enfoque a evolução da figura

do avaliador enquanto profissional e das técnicas de avaliação. Consideram sete idades na

história da avaliação: a idade da reforma (1792-1900), a idade da eficiência e do testing (1900-

1930), a idade tyleriana (1930-1945), a idade da inocência (1946-1957), a idade do

desenvolvimento (1958-1972) e a idade da profissionalização (1973-1983).

3.3. As ideologias da avaliação

As ideologias situam-se entre as filosofias e os modelos de avaliação e assumem uma

função de legitimação (Machado, 2007). Scriven (2000) identifica as seguintes ideologias de

avaliação: a ideologia separatista, a ideologia positivista, a ideologia gerencialista, a ideologia

relativista e a ideologia consumista. A primeira, a separatista, separa sujeito e objecto para

garantir a objectividade da avaliação, imputando ao avaliado as consequências da avaliação.

A ideologia positivista considera a ciência como uma construção neutra e objectiva, sendo

a avaliação destituída de qualquer carácter social, cultural ou político. Os processos dialógicos

entre o sujeito e o objecto na construção da avaliação devem ser evitados, uma vez que põem

em risco a própria objectividade do conhecimento. A ideologia gerencialista postula uma

concepção genérica sobre o que deve ser o processo de avaliação, sendo a ciência uma

90

produção de conhecimento objectivo. Assim, o fundamental é identificar os objectivos de um

programa e verificar se foram atingidos, concepção que continua a dominar nos programas de

avaliação actuais, enfatizando os interesses dos gestores e relegando para um plano secundário

as necessidades dos clientes.

Em reacção à legitimidade da medição e do estatuto soberano do avaliador, a ideologia

relativista sustenta uma visão de legitimidade de todas as concepções da realidade, apesar de

não deixar de considerar-se a possibilidade de existir uma realidade objectiva: ―embora se possa

rejeitar a existência de uma única descrição correcta, não devemos também abandonar a ideia

da existência de uma realidade objectiva‖ (Scriven, 2000, p. 259). No campo da avaliação, a

ideologia relativista tem constituído um desafio metodológico, pois é evidente a inconsistência

entre teoria e a prática, por exemplo, em modelos de avaliação pretensamente participativos e

multiculturais, mas que assentam em referenciais extrínsecos, não negociados e únicos.

A ideologia consumista é uma consequência da ideologia relativista: ao reconhecer a

legitimidade de todas as perspectivas, a avaliação tem que reconhecer que todas as partes que,

de algum modo, são afectadas ou criticadas devem ser tidas moralmente em consideração e,

inclusivamente, devem ter uma oportunidade para participar ou responder aos resultados

obtidos

neste caso, a avaliação é quase uma não avaliação ou uma avaliação que se nega a si própria, uma vez que está fragilizada pela ―ideologia relativista‖ que sustenta a contestação ou, pelo menos, a relativização das várias formas de hegemonia (científica, moral, organizacional, etc.) inerentes ao próprio acto avaliativo. No limite, esta ―ideologia consumista‖, ao salvaguardar a necessidade de proteger os ―consumidores‖, impede a avaliação de contribuir para a mudança, dando origem, de uma forma enviesada, a uma espécie de conservadorismo: as razões dos consumidores, no final, devem sobrepor-se, legitimamente, às razões da avaliação (Machado, 2007, p.112)

3.4. Os paradigmas de avaliação

Rodrigues (2006, p.193) recorre ao conceito de paradigma no sentido de Kuhn (1986) e

propõe a delimitação de diferentes lógicas de avaliação e a relação destas com as perspectivas

mais amplas do mundo, do homem, da sociedade, do conhecimento e da própria educação, o

que o leva a sistematizar o conjunto de pressupostos ontológicos, éticos, epistemológicos e

políticos, que se articulam de um modo coerente e legitimam as diferentes normas e práticas de

avaliação (Rodrigues, 1995 e 2006). O autor distingue, nesta sequência três paradigmas: o

91

paradigma objectivista que considera a avaliação como técnica; o paradigma subjectivista que

concebe a avaliação como prática e o paradigma dialéctico ou interaccionista que perspectiva a

avaliação como praxis.

O paradigma objectivista, ao considerar a realidade social com um carácter estável,

previsível e pepetível, permite um conhecimento objectivo, independente dos desejos ou

representações dos sujeitos. Este pressuposto implica que os avaliadores e os avaliados têm

uma relação assimétrica e assente na separação positivista entre sujeito e objecto, o que

legitima uma postura autoritária e prescritiva da avaliação em relação às práticas e permite

conceber a intervenção social e política como um carácter neutro. Nesta perspectiva, a avaliação

equivale a

um processo de controle externo e não necessita de explicitar, questionar, fundamentar ou justificar o referencial de avaliação, estabelecido e imposto autoritariamente pelas hierarquias administrativas. E no plano metodológico ela apela privilegiadamente para os designs experimentais com o intuito de averiguar os efeitos das políticas, programas, projectos, materiais educativos, métodos, estratégias, dispositivos de formação, etc., devendo além disso controlar e verificar a sua fiel implantação, utilização e realização (Rodrigues, 1995, p. 97-98).

O paradigma subjectivista considera a realidade social como uma construção complexa,

resultante da diversidade e do conflito de interesses e valores, pelo que o conhecimento terá um

carácter interno e participativo, que possibilite a compreensão da subjectividade. No plano

axiolo gico, o conhecimento assume um carácter valorativo, é a prática que legitima e valida a

teoria, pelo que o conhecimento científico informará os sujeitos sobre as decisões a tomar, de

acordo com cada situação. No plano político valoriza-se a negociação e a participação e, no caso

da formação, a centralidade pedagógica do formando confere à avaliação uma função de auto-

regulação ou auto-controlo

o indivíduo , sujeito social ,é sujeito na formação e na avaliação . E ele a fonte do

referencial de avaliação e compete-lhe participar na organização, gestão e execução e controlo do dispositivo e do processo de avaliação, bem como na utilização dos seus resultados (Rodrigues, 1995, p. 99).

O autor alerta para o relativismo desta posição, que poderá gerar posições tão tradicionais

como aquelas que se podem encontrar no paradigma objectivista, pois falta-lhe o carácter

institucional.

O paradigma dialéctico concebe a realidade social como o resultado da interacção entre

os sujeitos e a realidade social externa, sendo esta, simultaneamente, construção objectiva e

92

subjectiva pelo que, o conhecimento científico deve ser o resultado desta dialéctica. Com base

neste pressuposto, a acção social exige uma análise crítica do conhecimento subjectivo e uma

distanciação que permita reconstruir o significado das intenções, atitudes ou representações dos

sujeitos: prática e teoria estabelecem uma relação dialógica e mutuamente legitimadora. No

plano pedagógico, segundo Rodrigues (2006, p. 197) a concepção dialéctica do conhecimento e

dos valores corresponde a uma ―pedagogia reflexiva e crítica‖, na qual a avaliação é

perspectivada como ―uma co-construção assente no confronto, transformação e síntese‖ dos

referenciais internos e externos (Rodrigues, 1995, p. 102), segundo um processo em

permanente elaboração.

3.5. Os modelos de avaliação

A proliferação de teorias e modelos no domínio da avaliação deixa claro que ainda se está

longe da estabilização de eventuais fronteiras para este campo de intervenção. Contudo, é

possível constatar o predomínio de três enfoques distintos: na verificação do cumprimento dos

objectivos de aprendizagens pré-definidos, no processo formativo e nos resultados/benefícios da

formação para os respectivos destinatários.

Os modelos são definidos, de um modo geral, como construções abstractas, sem

conteúdo normativo explícito, com as quais se pretende mostrar a maneira como um

determinado avaliador conceptualiza e descreve o processo de avaliação (Madaus & Kellaghan,

2000, p. 20). Para Bonniol e Vial (2001, p. 11), na educação, um modelo é uma construção

figurada da própria realidade: ―pensar em um modelo é – pelo menos na avaliação – utilizar um

conjunto de princípios, axiomas e postulados que só são visíveis porque uniformizam os

discursos e as práticas decorrentes‖. Os autores propõem três modelos de avaliação que

reflectem três posturas epistemológicas: a avaliação como medida (centrada nos produtos); a

avaliação como gestão (focalizada nos procedimentos) e a avaliação como problemática do

sentido (orientada para os processos).

3.5.1. A avaliação como medida

Segundo este modelo, assente numa lógica gerencialista, a avaliação confunde-se com a

medição, cabendo ao avaliador, que assume uma postura de completa exterioridade e

separação em relação ao objecto de avaliação, pois participa numa lógica de performatividade e

de produtivismo, construir instrumentos objectivos e quantitativos, ou seja, desenvolver um

93

conjunto de operações de medição, através das quais seja possível quantificar objectivamente

um juízo de valor:

as estatísticas ocupam um lugar primordial, em vez da metodologia. Em outros termos, o método de avaliação confunde-se com os procedimentos de aplicação dos testes, em suma cientificidade estrita, extraída das Ciências da Natureza: descobrir os acontecimentos enganadores, tomar distância por meio da Matemática, gerar o acaso e generalizar os resultados (Bonniol & Vial, 2001, p. 49).

3.5.2. A avaliação como gestão

Com a designação de gestão, Bonniol e Vial (idem, p. 106) incluem um conjunto de

concepções da avaliação com perspectivas diferentes entre si, tais como a avaliação por

objectivos, de inspiração tyleriana cujo propósito principal é racionalizar o acto avaliativo através

da selecção, domínio e intenção deliberada dos alvos do processo de ensino-aprendizagem; à

avaliação como cibernética, que deu origem às concepções de avaliação formativa; à avaliação

sistémica, segundo uma visão holística do processo de ensino e aprendizagem; e/ou a avaliação

como procura de invariantes universais que estão relacionados entre si e explicam o

funcionamento do objecto.

E neste sentido que o modelo da avaliação como gestão se distingue do anterior, pela

passagem, ou o desejo de passagem de uma avaliação como controlo externo, para uma

avaliação como interiorização do controlo, abandonando-se o princípio da separação entre sujeito

e objecto, entre avaliador e avaliado, que devem partilhar o poder.

3.5.3. A avaliação como problemática de sentido

É um modelo que procura incluir os contributos das ―teorias da complexidade‖ no

questionamento da natureza do conhecimento e da natureza da realidade (Prigogine & Stengers,

1987). A avaliação interroga-se a si própria como actividade, como domínio de investigação e

como produtora de sentidos. Trata-se de um modelo no qual a avaliação ―recoloca o problema

da sua função como domínio de pesquisa e o problema de sentido de suas práticas, a partir de

uma interrogação epistemológica e antropológica sobre as suas intenções: um questionamento

ético e político sobre as suas metas, sobre o seu projecto‖ (Bonniol & Vial, 2001, p. 348).

94

3.5.4. Modelos multinível

A taxonomia apresentada por Kirkpatrick (1998) procurou dar uma sequência lógica às

intervenções de avaliação, constituindo-se um contributo importante no sentido da gestão do

processo avaliativo. O autor apresenta uma proposta de intervenção avaliativa a 4 níveis

distintos, a saber: nível 1 – avalia a reacção dos participantes à formação (os formandos ficaram

satisfeitos com a formação?); nível 2 – avalia as aprendizagens efectuadas (os formandos

aprenderam com a formação realizada?) nível 3 – avalia os comportamentos no contexto real de

trabalho (os formandos alteraram os respectivos comportamentos com base no que adquiriram

e desenvolveram através da formação? – processo de transferência de competências; nível 4 –

avalia os resultados da formação (a transferência de competências para os contextos reais de

trabalho provocou impactos no desempenho da organização?)

A proposta deste autor para a avaliação da formação, recorrendo aos quatros níveis

referidos, assenta nos seguintes pressupostos: os níveis possibilitam recolher informação distinta

sendo que o nível 1 tenderá a recolher menos informação sobre a formação quando comparado

com os níveis seguintes, pelo que a proposta será a aplicação dos vários níveis de avaliação

sempre que se pretenda recolher informação sobre os resultados imediatos e impactos de

determinada intervenção formativa. Os níveis de avaliação estão interligados, sendo que a

informação produzida no primeiro nível assume particular importância no âmbito do segundo

nível e assim sucessivamente.

Embora se trate de uma abordagem pouco desenvolvida em algumas das suas propostas

metodológicas, traduz-se, sem dúvida, numa solução ―arrumada‖, que remete as entidades que

intervêm na formação para uma focalização no durante e no após a formação.

3.5.5. Modelo CIRO

Trata-se de um modelo de avaliação especificamente focalizado na aferição dos resultados

da formação no contexto das organizações (Warr, Bird & Rackham, 1970). Esta abordagem,

desenvolvida originariamente no contexto europeu, introduz um conceito de avaliação mais

abrangente, revolucionando, em grande medida, as práticas avaliativas da época. O antes da

formação assume aqui uma dimensão de observação importante. De acordo com os autores, as

organizações deviam desenvolver as respectivas intervenções de avaliação em quatro grandes

áreas: contexto ou ambiente de partida da formação, em que a avaliação visa compreender as

razões que justificam a intervenção formativa, o distanciamento entre as competências detidas

95

pelos formandos e as competências desejadas, o tipo de saber a desenvolver na formação o que

se deseja que seja modificado com a intervenção formativa.

Uma das mensagens-chave do modelo CIRO é a recomendação para serem considerados

todos os aspectos associados ao ciclo da formação. Neste sentido, este modelo constitui uma

perspectiva sistémica já que se apresenta focalizada nos aspectos cruciais associados aos vários

domínios de um ciclo formativo.

3.5.6. Os modelos naturalistas de avaliação de programas

Frequentemente descrita como uma representação do que conhecem, sabem e sentem as

pessoas implicadas no programa (Nadeau, 1988) ou, ainda, como qualquer forma de

investigação que visa uma descoberta e uma verificação pela lente da observação (Willems &

Raush, 1969), os modelos de avaliação ― naturalistas ‖ têm sido objecto de numerosas

definições. Teoricamente, consistem, essencialmente, numa série de observações dirigidas,

alternativamente, para a descoberta ou para a verificação, pelo que agrupamos, nesta

designação, diferentes modelos de avaliação.

Contrariamente aos modelos ditos formalistas, a investigação naturalista procede da

recolha de dados com um mínimo de categorias ou de noções pré-concebidas, como se o

fenómeno fosse observado pela primeira vez. Trata-se de uma avaliação centrada no processo,

que contribui grandemente para a identificação dos problemas encontrados no momento da

implementação e da aplicação de um programa, possibilitando a introdução de correcções que

se revelem pertinentes. Como sugerem Chen (1994) e Smith (1994), as abordagens, ditas de

construção, orientadas para a acção, permitem mais flexibilidade e são mais apropriadas à

natureza do fenómeno estudado. Segundo Smith (1994), uma das principais vantagens destas

abordagens reside no facto de elas estarem melhor posicionadas para explicar o funcionamento

e o impacto dos programas implementados, tanto no domínio da educação, quanto no das

ciências sociais. Este autor sustenta que o valor dos programas, a fundamentação da formação

dos professores, as realidades da aula e as práticas pedagógicas preconizadas escaparão à

avaliação tanto mais tempo quanto os modelos de avaliação processuais não forem utilizados.

Mesmo não sendo, ainda, muito frequentes no domínio da formação de professores, as

abordagens avaliativas orientadas para a verificação dos ― produtos ‖ dos programas ou dos

projectos de formação, cedem, pouco a pouco, lugar a abordagens que têm em conta as

opiniões, as preocupações, os valores e as expectativas das pessoas envolvidas pelo programa

96

avaliado. A consideração dos modelos naturalistas, em geral, e das suas características, em

particular, conduzirá a abordagens avaliativas melhor adaptadas às necessidades das pessoas

inscritas nos programas de formação, assim como às exigências e aos pressupostos da

formação subjacente a cada programa. A maior parte das vezes, o contributo destes modelos é

perspectivado a partir de uma comparação com os antigos, pelo que, ao longo das duas últimas

décadas, vários autores insistiram na capacidade que têm novos modelos de avaliação dos

programas, para inventariar os verdadeiros problemas e necessidades que surgem durante o

processo de desenvolvimento de qualquer programa.

A este respeito, Hamilton (1997) descreve as características principais dos modelos

naturalistas em avaliação e constata que estes, comparados com os modelos clássicos, são

mais completos, mais vastos e aprofundados. Segundo o autor, preocupam-se mais com as

actividades de um programa do que com as suas intenções e revelam-se mais flexíveis, uma vez

que não estão limitados por previsões experimentais planificadas a priori. Orientados para os

actores, estes modelos permitem ao avaliador ser mais sensível aos valores veiculados pelos

participantes, utilizar os métodos empíricos que mobilizam o trabalho no terreno e fornecer a

informação sobre o programa numa linguagem acessível aos utilizadores. É também necessário

mencionar que uma tal abordagem atribui menos lugar ao juízo formal do avaliador para o

atribuir em vantagem ao dos participantes.

Assim, a utilização de um modelo naturalista significa que o avaliador considera o processo

da formação como um empreendimento complexo, atribuindo à interacção dos diversos actores

e elementos uma parte determinante. A análise de vários modelos naturalistas desenvolvidos,

entre outros, por Stake (1978, 1991), Guba e Lincoln (1981), Rippey (1973), Eisner (1979),

permitiram-nos concluir sobre os contributos destes, entre outros aspectos, para a reflexão, a

observação e participação, a subjectividade, a compreensão, o valor e a fundamentação do

programa, que analisamos de seguida.

Observação do programa e participação dos intervenientes

Os modelos de avaliação naturalista preocupam-se, sobretudo, com a observação do

programa enquanto tal e com o seu funcionamento. O avaliador que a eles recorre visa recolher

os elementos que o ajudarão, quer a identificar as necessidades, os constrangimentos, as

potencialidades, quer às futuras tomadas de decisão. Estas últimas decorrerão da identificação

da natureza das intervenções, da determinação dos grupos alvo, da implementação do

programa, da selecção dos processos de mediação necessários e, ainda, da enumeração dos

efeitos do programa estudado. A participação das pessoas envolvidas no programa, quer seja

97

com a ajuda de técnicas, tais como o estudo de caso ou as entrevistas, quer através de

encontros formais e/ou informais, ou por outro qualquer meio, constitui um dado necessário ao

bom desenvolvimento do processo de avaliação. Isto pressupõe, por parte do avaliador, uma

enorme sensibilidade aos propósitos formulados, às observações e às ideias emitidas pelos

diferentes participantes num clima propício à autonomia, à responsabilidade, à confidencialidade

e livre de qualquer censura. A interacção com o meio contribui, de forma essencial, para o

desenvolvimento deste processo avaliativo.

Subjectividade e compreensão

Contrariamente aos modelos tradicionais, onde emerge, como uma das principais

preocupações, a preparação de instrumentos e de documentos formais, os modelos naturalistas

visam a observação em situação, a descoberta no terreno, a consideração da realidade tal qual

ela se revela, a identificação das preocupações e dos problemas, assim como das suas

consequências para o sistema de formação. Numa palavra, estes modelos fazem apelo a um

processo simples, flexível, que evolui e se transforma à medida da sua utilização e da sua

aplicação, para se adaptar às necessidades que vão emergindo. Em síntese, o modelo

naturalista-reflexivo da avaliação de programas, tem como objectivo caracterizar, compreender e

emitir um juízo sobre o ou os fenómenos que foram sendo observados durante a implementação

do programa.

Valor e fundamentação do programa

Os modelos de avaliação ditos ― formalistas ‖ colocam, como atrás referimos, a ênfase no

produto acabado, nos resultados tangíveis e bem determinados. Por seu lado, os modelos

naturalistas interessam-se, primeiramente, com o valor do programa, seja ao nível da sua

implementação, da sua realização ou do seu funcionamento a longo ou a curto prazo. Mais do

que os objectivos e as intenções do programa, o motor do processo de avaliação são as suas

actividades que, encaradas como séries de acontecimentos tão importantes umas quanto as

outras, não podem ser consideradas estáticas, lineares, invariáveis e contínuas, uma vez que se

valoriza a experiência directa das pessoas em ligação com estas actividades e com o meio, que

é também parte do processo de avaliação.

Juízo de valor e reflexão

A reflexão e o juízo de valor são os dois eixos fundamentais que, na aplicação de um

modelo naturalista, não permitem avaliar somente os acontecimentos, as situações ou os dados,

mas sobretudo as percepções, os problemas, as opiniões, as questões que vão surgindo, assim

98

como as expectativas das pessoas envolvidas pela formação em questão. Um modelo naturalista

pressupõe a implementação e a continuidade de uma reflexão aprofundada sobre a globalidade

dos efeitos de qualquer programa de formação.

Fontes variadas e independentes

Os modelos naturalistas e reflexivos remetem para fontes variadas e independentes umas

das outras. A metodologia que utilizam não se apresenta como uma via formal e imutável no

tempo. Pelo contrário, ela adapta-se, elabora-se, transforma-se e renova-se a partir dos dados

recolhidos, assim como pela análise e a interpretação que deles derivam. A pessoa torna-se a

primeira e a principal fonte de informações, indispensável à recolha de dados, pelo que o

avaliador não poderá ficar sujeito a nenhuma teoria ou à dedução a priori de hipóteses

preconcebidas, inserindo a sua actividade, quer num processo de avaliação formativa, quer no

de uma avaliação sumativa. A possibilidade de utilizar múltiplas técnicas de recolha de dados

(estudo de caso, entrevistas, etc.) permitirá um olhar sobre os aspectos menos tangíveis, mas

não menos cruciais, do comportamento humano e organizacional, dada a possibilidade de

procurar informações credíveis e reais.

Descrição e interpretação

Identificar e descrever para melhor julgar e interpretar é, a principal preocupação desta

abordagem. Os conceitos de flexibilidade, de disparidade, de descontinuidade, variabilidade, etc.,

fazem parte do vocabulário corrente dos defensores deste tipo de modelo. Nesta perspectiva, a

abordagem de Guba e Lincoln (1981) pode servir de ponto de referência à ilustração deste

processo, pois insiste na necessidade de uma melhor interpretação do contexto e da

problemática de uma dada avaliação.

Dimensão qualitativa

Como já referimos, o modelo naturalista privilegia uma dimensão qualitativa, pois é mais

voltado para a reflexão, para a compreensão e para a melhoria do mérito e da qualidade do

programa, do que para dimensões e orientações predominantemente quantitativas. A este

propósito, Nadeau (1988) sublinha que os modelos de avaliação naturalistas são, antes de mais,

simultaneamente uma forma de compreensão crítica das práticas, de apreciação das qualidades

de uma actividade e/ou de um projecto. Contudo, Sechrest (1980) denuncia que alguns autores

apresentem a abordagem qualitativa como uma metodologia destinada a substituir as outras, e

não como um vantajoso processo de desenvolvimento, nomeadamente no domínio da avaliação

dos programas, que poderia e deveria ser utilizada com outras abordagens. Lessard-Hébert,

99

Goyette e Boutin, (1996), sustentam que os métodos qualitativos e quantitativos têm papéis

diferentes. De uma forma geral, os métodos quantitativos constituem instrumentos quando se

pretendem avaliar as mudanças; os métodos qualitativos são utensílios importantes para

conhecer as experiências e as concepções dos indivíduos. Segundo Chen (1994), o

desenvolvimento e as etapas da avaliação não deveriam ser ditados pelo método, este deveria

apenas permanecer um utensílio no processo de avaliação dos programas e não deveria

determinar-lhe o conteúdo. Em síntese, a utilidade de um método depende das diferentes

configurações de um programa, tais como as necessidades das pessoas implicadas e o contexto

do programa.

Não obstante a pertinência da abordagem naturalista no que concerne à avaliação dos

programas de formação, temos de reconhecer que a sua aplicação está ainda longe de ser

generalizada. Por um lado, a implementação de um tal dispositivo exige, da parte do avaliador, o

conhecimento dos fundamentos teóricos desta abordagem; por outro lado, é necessário ter em

conta o facto de que, aos responsáveis pelos programas de formação, interessam sobretudo os

resultados tangíveis, em detrimento do processo, do qual normalmente, só lhes interessam as

informações estritamente necessárias. Ora, a adequação entre os objectivos da avaliação e as

metodologias utilizadas constitui um factor importante de êxito das abordagens naturalistas, na

medida em que condiciona, digamos assim, a interpretação dos dados recolhidos realizada pelo

avaliador.

3.6. Avaliação do impacto de um Programa de Formação

A avaliação, integrada no processo de desenvolvimento de qualquer programa, constitui

um utensílio indispensável, quer à sua formulação, quer à sua implementação, quer, ainda, à

melhoria da acção. Realizar uma avaliação credível, implica ter em conta as necessidades dos

diferentes actores e as características do meio, no interior do qual se inserem as suas práticas. A

participação dos diferentes actores em todas as etapas do procedimento de uma avaliação é

uma das melhores formas de assegurar o êxito desta e a utilidade dos resultados que foram

obtidos. A avaliação de programas deve, por isso, à semelhança de outros domínios, ser

entendida como um processo de regulação, ao serviço da melhoria, e não um fim em si mesmo,

isto se quisermos que os resultados remetam para a necessidade de construir programas de

formação que capacitem os indivíduos para a reflexão, para a resolução de problemas e para a

interacção com os outros.

100

Uma análise mais aprofundada sobre os modelos avaliativos existentes permite verificar

que se traduzem, na maior parte das vezes, em adaptações de modelos já existentes. Esta

realidade permite-nos concluir que são as organizações que definem normalmente a melhor

estratégia avaliativa a seguir, criando ou ajustando referenciais capazes de dar resposta às

respectivas necessidades, pois implementar modelos avaliativos nem sempre é tarefa fácil.

Dependendo do tipo de avaliação pretendida, assim as intervenções são mais ou menos

complexas. Na realidade, é o tipo de informação pretendida e a abrangência da intervenção a

realizar, que podem exigir métodos mais ou menos complexos, devendo as organizações aferir

da efectiva mais-valia dos investimentos a realizar face à utilidade da informação a produzir. Não

raras vezes, prefere-se não avaliar contextos que, à partida, exigiriam a aplicação de estratégias

avaliativas complexas e difíceis de implementar. Estas preocupações surgem, em regra,

associadas às preocupações com a garantia da ―objectividade‖ nos processos de avaliação – o

que resulta, não raras vezes, na busca de sistemas de medição que meçam objectivamente

determinada realidade.

Não desvalorizando as preocupações com a medição, não podemos esquecer que,

tratando-se da avaliação da formação, o desafio prende-se com a avaliação de

dimensões/componentes relativas a determinada realidade social que se deseja seja construída

pelos diferentes actores que na mesma assumem maior ou menor protagonismo. Daqui resulta

que a objectividade pretendida será sempre e necessariamente uma construção dos vários

actores, na medida em que se postula que qualquer estratégia de avaliação a realizar seja o

resultado de um conjunto de compromissos a assumir por parte dos vários actores que intervêm

em determinado projecto formativo.

De acordo com Figari (1996), qualquer investigação tem de recorrer a um modelo teórico

pois é ele que proporcionará a compreensão do real, ao mesmo tempo que subjaz às hipóteses

de trabalho que possibilitam a construção dos instrumentos de recolha de dados, assim como a

sua interpretação.

Neste estudo, tal como já temos vindo a referir, as opções metodológicas e os referentes

de interpretação partem de um conjunto de perspectivas teóricas sobre a avaliação de um

programa de formação contínua de professores de Matemática, baseando-nos em dois autores:

Hadji (1994) e Figari (1996), que apresentam modelos de avaliação com uma matriz teórica

comum: o modelo CIPP (Context, Input, Processus, Product) de Stufflebeam, que analisamos

seguidamente. São convocadas também as perspectivas teóricas sobre o ensino e a

101

aprendizagem da Matemática, nomeadamente no 1.º ciclo do ensino básico, os programas de

Matemática do 1.º ciclo e as questões curriculares.

Ao longo das últimas décadas, o modelo CIPP teve um significativo impacto na avaliação

de programas de formação, principalmente na formação contínua, contexto em que a avaliação

da formação pressupõe quatro operações fundamentais: avaliação do contexto, avaliação dos

inputs, avaliação do processo e avaliação do produto, implicando, cada uma delas, a respectiva

tomada de decisão. A avaliação do contexto respeita a análise da adequação entre os objectivos

traçados e as necessidades inventariadas, de que resultará a planificação da acção. A avaliação

do input respeita a análise da adequação das estratégias previstas aos objectivos da acção de

formação, com base na qual são tomadas decisões de estruturação; a avaliação do processo

respeita a análise da adequação das estratégias realmente implementadas às estratégias

previstas, sendo tomadas decisões de aplicação; e a avaliação do produto respeita a análise da

adequação dos resultados obtidos aos objectivos da acção ou dos resultados esperados, o que

permite tomar decisões de revisão.

Machado (2007, p.75) sistematiza o modelo CIPP da seguinte forma:

Tabela 2 – Síntese do modelo CIPP (Machado, 2007)

Operações de avaliação Tipo de decisão Ferramentas utilizadas

Avaliação do

Contexto

Definir o contexto institucional

Identificar oportunidade de responder a necessidades

Diagnosticar problemas

Avaliar a adequação dos objectivos às necessidades

Decisões de planificação

Análise sistémica

Pesquisas

Análises de documentos

Entrevistas

Testes diagnósticos

Técnica Delphi

Avaliação dos

―Inputs‖

Identificar capacidades do sistema

Circunscrever as estratégias alternativas

Prever procedimentos

Decisões de estruturação

Reuniões de equipa

Consulta de inventários

Visitas

Técnicas de planificação

Simulações

Avaliação do

Processo

Identificar e prever disfunções do dispositivo

Fornecer informações

Registar e julgar as actividades de formação

Decisões de aplicação

Diários

Métodos dos incidentes críticos

Reunião de equipa

Entrevistas

Análises de representações

Avaliação do

Produto

Reunir descrições e juízos sobre os resultados

Relacionar os objectivos ao contexto, aos ―inputs‖ e ao processo

Decisões de revisão

As ferramentas defendidas pelo método de Tyler

As ferramentas capazes de recolher os juízos dos actores sobre os resultados

Relatório final

102

Roegiers (1997) atribui o sucesso deste modelo de avaliação da formação à associação

necessária entre a avaliação e a tomada de decisão, ao alargamento do espaço-tempo da

avaliação, na medida em que decorre ao longo do processo não se restringindo ao produto

possibilitando ter em consideração a complexidade de informações; e da função da avaliação

que passa a abarcar a validação. Machado (2007), ao mesmo tempo que chama a atenção para

a lógica iterativa deste modelo, na medida em que se propõe uma interacção reversível entre os

diferentes tipos de avaliação e de decisão, alerta para um conjunto de críticas e limitações que

lhe são feitas, nomeadamente o facto de este modelo não resolver o problema da ambiguidade

do papel e do lugar da avaliação (Hadji, 1996), uma vez que não se sabe se a avaliação deve

simplesmente fornecer informações, não participando nas decisões, ou se, pelo contrário, o acto

avaliação é por inerência uma tomada de decisão. De Ketele (1986) refere que o carácter

holístico deste modelo CIPP é, simultaneamente, a sua grande vantagem e a sua grande

limitação pois, se por um lado, permite construir uma visão abrangente e macroscópica do

processo de formação, por outro, pode ter dificuldades de adequação ao mundo microscópico

da sala de aula. Por seu lado, Roegiers (1997) salienta que o modelo CIPP subestima a

diversidade das lógicas no processo de elaboração das acções de formação, não tem conta a

pluralidade de referenciais e não abrange a diversidade dos níveis de operacionalização das

decisões que estão em jogo na avaliação das acções de formação.

A partir das vantagens e das limitações do modelo CIPP, diversos autores propuseram

modelos de análise do processo de avaliação de uma acção de formação, dos quais

destacamos, o de Hadji (1994), que propõe um modelo de avaliação plural e Figari (1996), que

propõe a adopção de uma démarche de referencialização para avaliar qualquer dispositivo

educativo.

3.7. A avaliação plural

O acto de avaliar resulta de um conjunto de opções que o avaliador tem que tomar,

exercendo, por um lado, a sua liberdade, mas, por outro, considerando os constrangimentos e

as limitações inerentes à sua actividade. É necessário ter em conta que se antes de uma acção

de formação toda a avaliação apenas é diagnóstica (não podendo ser formativa ou sumativa),

também é verdade que avaliação diagnóstica não estará remetida apenas ao momento prévio da

103

formação. Com efeito, durante e depois da formação, perante os processos e os produtos, a

avaliação continua a cumprir uma função de orientação e, até, de adaptação, uma vez que se

torna necessário reajustar, permanentemente, as decisões prévias face às exigências

contingentes da acção. Não será talvez exagerado afirmar que, apesar de se concentrar no

momento anterior à acção, toda a avaliação é diagnóstica. Durante a acção de formação, a

avaliação está centrada, sobretudo, nos processos e nas actividades de produção. Neste

momento, a ―janela‖ que se abre é de natureza pedagógica, na medida em que se pergunta de

que forma a avaliação pode contribuir para facilitar, ajudar ou melhorar a aprendizagem.

Podemos, pois, falar de avaliação com propriedade e num processo de integração no próprio

acto de ensino. Durante a acção de formação, o avaliador deverá recolher informação pertinente,

avaliá-la em função dos referentes de que dispõe e, principalmente, tomar e ajudar a tomar

decisões. Trata-se da avaliação formativa ou ―progressiva‖, a qual, ―tem por objectivo contribuir

para melhorar a aprendizagem em curso, informando o professor sobre as condições em que

está a decorrer essa aprendizagem, e instruindo o aprendente sobre o seu próprio percurso, os

seus êxitos e as suas dificuldades‖ (Hadji, 1994, p. 64).

Neste caso, a avaliação desempenha, pois, uma função predominantemente reguladora,

mas esta função subsume um conjunto de funções anexas e complementares tanto ou mais

importantes que a regulação: segurança, assistência, feedback, diálogo, interacção, reforço,

correcção, etc. Por outro lado, a regulação remete também para a questão do ―agente‖:

devemos falar de ―hetero-regulação‖ ou de ―auto-regulação‖. Parece ser evidente que toda a

regulação, pelas competências que procura desenvolver, remete para uma lógica

tendencialmente auto-reguladora. É neste sentido que alguns autores preferem utilizar a

―avaliação formadora‖ com o propósito de centralizar a regulação no próprio aluno (Abrecht,

1992, p. 49). Acresce ainda, apesar da distinção dos vários tempos da formação, a função

reguladora que tem também cabimento quer no ―antes‖, quer do ―depois‖ de uma acção de

formação. Deste ponto de vista, toda a avaliação cumprirá uma função reguladora, procurando,

no limite, uma auto-regulação pelo qual o sujeito seja participante e protagonista na avaliação.

Atendendo à sequencialidade da acção de formação, Hadji (1994) refere, por último, a

função que está centrada nos ―produtos‖, ou seja, a função sumativa. A primeira dificuldade da

avaliação sumativa reside no entendimento que se pode dar ao conceito de ―produtos‖,

nomeadamente do ponto de vista epistemológico. No caso da avaliação, os ―produtos‖ devem

possuir algumas características, sem as quais o ―balanço‖ ou ―soma‖ não são realizáveis, a

104

saber: a observabilidade (o produto tem que se apresentar sob a forma de uma tangível, material

e concreta), mensurabilidade (o produto tem que ser medido segundo escalas previamente

definidas) e comparabilidade (o produto deve ser comparado com ―referentes‖ ou ―referenciais‖,

quer seja numa lógica normativa, quer seja numa lógica criterial). É desta forma que a avaliação

pode cumprir a função de verificar, de um modo pontual, o que se fez no final de uma unidade

de formação, de um módulo de aprendizagem ou de um ciclo de ensino. No entanto, a

sumatividade da avaliação tem sempre um carácter pontual e relativo e, eventualmente,

confundir-se com a própria avaliação formativa: num curso de formação, a avaliação feita no

final de cada módulo é sumativa ou formativa? Em bom rigor, pode cumprir as duas funções, o

que, uma vez mais, é difícil garantir uma separação estanque entre as várias funções de

avaliação. Em todo caso, só a avaliação sumativa pode cumprir a função certificativa no

momento posterior à acção de formação.

Este modelo proposto por Hadji permite uma modelização que fornece uma significativa

inteligibilidade dos jogos pragmáticos da avaliação. Mas, como o próprio refere, um dispositivo

de formação, mesmo analisada segundo a sua sequencialidade temporal, corresponde a uma

situação muito complexa devido, entre outros, aos seguintes aspectos:

as categorias utilizadas não são mutuamente exclusivas: a avaliação diagnóstica pode

ser formativa, a avaliação sumativa também pode ser formativa, etc.

as várias funções da avaliação são, em si mesmas, muitos complexas e comporta

várias funções anexas que se cruzam entre si;

a distinção antes/depois não é verdadeiramente operatória, na medida em que, por

exemplo, qualquer avaliação preditiva também pode ser sumativa;

a avaliação é uma realidade pluridimensional ou multifuncional, o que faz com que

cada função suscite uma pragmática de jogos involuntários/voluntários,

contingentes/necessários, conscientes/inconscientes.

Ao realizar uma avaliação, o avaliador tem que fazer determinadas opções, assim o acto

de avaliar resulta, por um lado, das opções que o avaliador toma, considerando a sua liberdade

para optar, mas por outro lado há que ter em conta os constrangimentos e limitações inerentes

à sua actividade. É neste momento, que ―se exerce a sua liberdade e (…) se manifesta a sua

competência‖ (Hadji, 1994, p. 60). A competência de que fala Hadji relaciona-se, aqui, com a

adequação dos procedimentos técnicos ao que se pretende obter com a avaliação. A

competência que o avaliador deve adquirir não é nem a de saber construir um questionário ou

105

2

Sequência ou acção de

formação

qualquer instrumento deste género, nem a de criar dispositivos complicados, nem mesmo a de

construir um modelo refinado do funcionamento cognitivo, mas a de saber imaginar e realizar

situações-problema adequados. Trata-se de uma competência pedagógica, que exige um

trabalho de reflexão sobre a essência da disciplina ensinada, e um esforço constante de atenção

às capacidades e ao saber-fazer efectivamente dominados pelos formandos (avaliação

diagnóstica ou "identificação").

Por sua vez, a liberdade nunca é total dado que a avaliação, nomeadamente no campo

educativo, está sempre limitada por orientações políticas e sociais. A liberdade está, então,

limitada às ―escolhas e (…) decisões que fundamentaram o modelo de avaliação‖ (Id, p. 60).

A avaliação assume-se, desta forma, como um conjunto de jogos, que dão origem ao

campo das funções. Pode definir-se função da avaliação como ―o papel característico de um

elemento ou de um objecto no conjunto em que está integrado‖ (Ibidem, p. 61).

Hadji propõe um modelo que salienta a importância do tempo e da linearidade inerente a

uma acção de formação, organizada em torno de três grandes funções: orientar, intimamente

relacionada com a avaliação diagnóstica ou prognóstica ou preditiva; regular, associada à ideia

de avaliação formativa e certificar, ligada à avaliação sumativa.

1 3

ANTES DA ACÇÃO DE FORMAÇÃO DURANTE A ACÇÃO DE FORMAÇÃO DEPOIS DA ACÇÃO DE FORMAÇÃO

Avaliação: • Diagnóstica • Prognóstica • Preditiva

Avaliação: • Formativa • ―Progressiva‖

Avaliação: • Sumativa • Terminal

Função: • Orientar • Adaptar

Função: • Regular • Facilitar (a aprendizagem)

Função: • Verificar • Certificar

Centrada: • No produtor e nas suas características (Identificação)

Centrada: • Nos processos • Nas actividades

Centrada: • Nos produtos

Figura 4. Funções da avaliação, segundo o seu papel na sequência da acção de formação (Hadji, 1994, p. 63)

de produção

106

No momento anterior a uma acção de formação, a avaliação aparece centrada no

formando, em relação ao qual se torna necessário conhecer as suas características. Procura-se

nesta fase, a partir das informações recolhidas, ―(…) articular, de maneira adequada, um perfil

individual a um perfil de formação‖ (Ibidem, p. 62), estaremos perante um acto de avaliação

diagnóstica (prognóstica ou preditiva). Esta avaliação concebida como um conjunto de decisões

de planificação, organização e previsão assume, fundamentalmente, uma função de orientação

ou de adaptação. Não obstante a ênfase atribuída à avaliação diagnóstica no momento anterior à

acção de formação, esta deve assumir-se fundamental ao longo de todo o processo formativo,

uma vez que perante os processos e produtos, a avaliação deverá cumprir as funções de

orientação e de adaptação ao ser, inevitavelmente, necessário reajustar as decisões prévias às

exigências da acção.

Durante a acção de formação, a avaliação centra-se, fundamentalmente, nos processos e

nas actividades de produção. Nesta fase, a avaliação assume uma finalidade pedagógica cuja

―característica essencial é a de ser integrada na acção de formação, de ser incorporada no

próprio acto de ensino‖ (Ibidem, p. 63). Cabe ao avaliador a recolha de informação pertinente

que o ajude a tomar decisões sobre o processo formativo, cujo objectivo é ―(…)contribuir para

melhorar a aprendizagem em curso, informando o professor sobre as condições em que está a

decorrer essa aprendizagem, e instruindo o aprendente sobre o seu próprio percurso, os seus

êxitos e as suas dificuldades‖ (Ibidem, p. 64).

Nesta óptica, a avaliação desempenha uma função predominantemente ―reguladora‖,

sem perder de vista um conjunto de funções anexas e complementares tanto ou mais

importantes que a regulação: segurança, assistência, feedback, diálogo, interacção, reforço,

correcção, etc.

De acordo com a sequencialidade enunciada por Hadji segue-se a avaliação sumativa,

cuja função se centra nos ―produtos‖, validando-os e certificando-os. Quando confrontados com

a avaliação sumativa, deparamo-nos com algumas dificuldades, desde logo o que se entende por

―produtos‖? Quais as características que devem possuir para que o ―balanço‖ ou ―soma‖ sejam

realizáveis?

De acordo com Hadji (1994),

―nas actividades de ensino ou de formação, como em qualquer processo de ensino-aprendizagem, há dois grandes tipos de actores: os formadores e os formandos. Trata-se de ajudar estes últimos a ultrapassarem as dificuldades que lhes são próprias, enquanto formandos. Simplificando, este é o único problema dos formadores. É necessário, pois, poder tornar segura a avaliação. (p. 88)

107

Como fazer? Quais as condições para uma formação com sucesso? Como envolver

formandos e formadores neste processo? São questões decorrentes desta preocupação.

Dependendo do grau de participação nos processos de definição dos objectivos e de

determinação dos indicadores, o formando pode desempenhar um papel mais passivo,

apresentando-se apenas como um simples objecto que se submete à evolução do processo, ou,

pelo contrário, ser um sujeito activo que constrói as condições de emergência de um juízo

pertinente em relação às suas necessidades e preocupações, e de que poderá, finalmente,

beneficiar para o seu próprio desenvolvimento.

Há, porém, que ter em conta as armadilhas deste discurso de pretensão objectivista, pois

―quer para superar o risco de deriva autoritarista, quer para evitar cair no impasse do

objectivismo, convém determinar, de forma rigorosa, o objecto da avaliação (saber o que se quer

"medir" num caso, definir a competência-alvo, no outro)‖ (Ibidem, p. 116).

O avaliador assume um papel fundamental na determinação dos objectivos da formação,

para poder apreciar os resultados alcançados em função desses objectivos. Convém clarificar

que se entende objectivo como um enunciado de intenção pedagógica que traduz, em termos de

capacidade ou de competência do aprendente, o resultado antecipadamente esperado de uma

sequência de formação. Para que seja operacionalizável, quando é capaz de definir que

comportamento será observável; em que condições será observado e que critérios permitirão

apreciar o seu sucesso (nível de desempenho aceitável).

Na perspectiva de Hadji (1994) para avaliar um programa deve colocar-se a questão das

intenções, dos fins e das metas procurando fazer a articulação entre os valores e as intenções,

pois o avaliador deve ―procurar a intenção susceptível de tornar significante a realidade avaliada.

(…) na medida em que o seu trabalho é o de ajudar à emergência do ou dos sentidos implicados

na e por uma realidade descrita como opaca, complexa e equívoca‖ (p. 133). O avaliador-

intérprete ajuda a enfrentar o inesperado, ao fazer nascer novas questões e ao permitir fazer a

irrupção de outras dimensões. O problema será o de traduzir, objectivamente, a realidade que

pretende entender. Para isso, o avaliador não pode ser um simples observador, mas alguém que

confere sentido às suas observações, em função de uma grelha de observação de interpretação,

ou seja, um referente.

O referente é ―um modelo ideal que articula as intenções consideradas significativas a

partir de um ou de uma pluralidade de projectos‖ (Ibidem, p. 32).

108

Esta questão da observação é extremamente importante, pois cada indivíduo / avaliador

fará a selecção de elementos em função das suas preferências:

Cada um de nós faz a triagem e a selecção de elementos de uma forma relativamente constante, em função de preferências pessoais (pressupostos, conceitos) e de particularidades da sua história, as informações a que é sensível. A realidade é filtrada; apropriamo-nos dela através de quadros específicos. É, pois, particularmente necessário que o observador saiba situar-se e tomar consciência dos filtros que permitem habitualmente recolher informações. Para falar verdade, nunca há dados, mas simplesmente "recolhas" de dados!‖ (Ibidem, p. 136)

Quando o observador tem de se pronunciar sobre o que vê é fundamental que tenha

presente um modelo predefinido sob pena de ao colocar-se a ênfase na necessidade de

interpretar, se arriscar a ser insignificante a sua interpretação. Isto porque interpretar é ter a

capacidade de encontrar formas de pensar a realidade, pois ―o observável - comportamento, ati-

tude, discurso - é apenas um signo em que é preciso encontrar o sentido. Os números devem

ser decifrados! Interpretar significa pôr a claro, descodificar‖ (Ibidem, p. 139), pelo que se deve

elaborar um conjunto de indicadores, isto é, uma forma de reconhecer a existência de um

fenómeno determinado, a presença de um efeito previsto ou a eminência de um perigo.

Para isso, é necessário definir um sistema de referentes predefinidos que nos permitam

uma interpretação que possibilite procurar no real os indicadores que correspondam aos

diferentes critérios considerados. O que não estiver definido escapará, certamente, ao avaliador

―É por isso que "a avaliação como interpretação" necessita de dois movimentos, ascendente e

descendente. Temos de ir dos factos ao sistema de ideias que permite tê-los em conta, modificar

este sistema em função dos factos analisados, voltar aos factos para os apreender com a ajuda

deste sistema modificado‖ (Ibidem, p. 141).

Ao construir este sistema de referentes, procura-se traçar um dispositivo que permita

compreender a realidade. Este sistema não se constitui como um modelo ideal, mas um modelo

de inteligibilidade.

Na verdade, avaliar não se reduz a uma apresentação de informações é, mais do que

isso, tratar essas informações. Mas sem critérios que permitam atribuir significado às

observações e dados recolhidos, os indicadores nada nos dirão. Assim, prever-se-ão modalidades

de tratamento da informação, seja ela de tipo quantitativa ―(modelo de eficácia, na avaliação por

defeito de medida) ou qualitativo (modelo de valor, ou modelo de sentido), a avaliação é uma

leitura da realidade à luz de uma grelha de referência, com que estabelece uma relação, e

109

donde nasce o juízo que a define. Temos, pois, de considerar níveis e tipos de comparação

referente/referido‖ (Ibidem, p. 148).

Para se poder avaliar o impacto da formação, deverá ser apreciada a relação entre as

necessidades reais dos formandos, os efeitos da formação (análise dos efeitos) a as

necessidades do contexto profissional (análise das necessidades). Para isso terá de se de

recolher o máximo de dados relativos aos diferentes intervenientes, a fim de lhes permitir

compreender melhor a sua acção e melhorá-la.

3.8. A Referencialização

Figari (1996) propõe que toda a avaliação de um dispositivo educativo seja sustentada

num referencial, considerado como um sistema de referências capaz de atribuir sentido aos

resultados da avaliação. Os referenciais têm as seguintes funções: teleológicas (indicam as

orientações de uma instituição, a curto e a longo prazo, que dirão respeito à avaliação);

normativas (fixam os fins, os objectivos aos quais os avaliadores têm de submeter-se ou,

relativamente aos quais são convidados a medir a conformidade com o objecto observado);

metodológicas (ajudam a elaborar os indicadores que servirão para definir os descritores do

desempenho ou da competência) e comunicacionais (fundamentam o projecto). Um referencial

de avaliação tem a função de aproximar os resultados de qualquer avaliação, ao ponto de vista

construído pelo avaliador, na medida em que todo o avaliador selecciona o que vai interpretar,

em função de sistemas de referências. Não se trata de um catálogo de capacidades ou

objectivos, ao qual se atribuiria, indiscriminadamente, a denominação oriunda do seu sentido

geral, limitando os referentes à sua dimensão normativa, mas poderá ficar-se na perspectiva de

um instrumento, ou seja, de um conjunto estático de categorias pré-estabelecidas. Para evitar

que tal aconteça, há necessidade de recorrer à referencialização (Figari & Achouche, 2001).

Para Figari (1996) a referencialização é entendida como um modelo que delimita e define

um corpo de referências, a partir do qual se criam condições para uma melhor compreensão da

realidade.

A referencialização consiste em assinalar um contexto e em construir, fundamentando-o com dados, um corpo de referências relativo a um objecto (ou a uma situação), em relação ao qual poderão ser estabelecidos diagnósticos, projectos de formação e avaliações […] pretende ser um método de delimitação de um conjunto de referentes e nisso se distingue do referencial que, por sua vez, designa um produto acabado e, mais exactamente, uma formulação momentânea da referencialização. (Figari, 1996, p. 52)

110

A referencialização afigura-se, assim, como tendo uma função orientadora, permitindo

avaliar a partir dos referentes, elementos exteriores ―a que qualquer coisa pode ser reportada,

referida‖ (Idem, p.47), um dispositivo de formação. Assume-se como um modelo de referências,

como prática de avaliação e técnica de investigação.

o processo de referencialização persegue, os seguintes objectivos essenciais: i) encontrar e/ou construir referentes; ii) operar diagnósticos provisórios que se destinam a motivar o prosseguimento da procura sistemática de informações; iii) definir dimensões de avaliação: abrir categorias de questionamento que desemborcarão na formulação dos critérios utilizados para a avaliação; iv) delimitação do contexto num ambiente multiforme, criando um quadro em relação ao qual os diagnósticos poderão ser discutidos; v) justificar e nomear os critérios que presidirão à avaliação.‖ (Alves, 2001, p.249).

Qualquer dispositivo de avaliação tem de ser construído atendendo a três níveis de

análise: o induzido, o construído e o produzido (ICP), que permitirão ter uma visão em três

tempos: o antes, o durante e o depois.

A dimensão do induzido posiciona-se, privilegiadamente, na temporalidade prévia à

formação, correspondendo à fase de elaboração do projecto de formação. Assume-se como a

figura do ―projecto‖ na lógica de gestão da formação e desenvolve uma função prognóstica de

avaliação, identificando as relações entre as constatações e as intenções, isto é, o carácter de

indução que uma determinada realidade produz na acção. Esta dimensão diz respeito ao

conhecimento de ―factores determinantes‖ (situações, instruções e limitações), dos ―actores‖

(representações e funções), das ―relações‖ (poder e interacções) e dos ―funcionamentos‖

(sistema), ou seja, ao conjunto de determinações que correspondem não só à vida social e

profissional, mas também à vida individual, situando as decisões num contexto ou nas origens

(sociais, económicas, culturais).

A dimensão do construído refere-se ao período durante a acção de formação, na qual se

situa a parte mais importante do dispositivo, quer em termos de tempo, quer em termos

relacionais, quer em termos de actividades. Esta dimensão designa tudo o que tem a ver com o

―processo‖, com a ―negociação‖, com a ―elaboração‖. Na lógica de gestão da formação, remete

para o momento propriamente dito da ―aprendizagem‖, no qual se elaboram, individual ou

colectivamente, os projectos, as intenções e os objectivos. É nesta dimensão que entram em

jogo os diversos intervenientes, que se definem as diferentes estratégias, que se articulam os

111

diferentes interesses e posições de poder. Estamos, pois, no contexto institucional com os seus

constrangimentos, regras e normas face às estratégias de liberdade que os próprios actores vão

construindo e conquistando ―zonas de liberdade‖. Segundo Figari (1996, p. 90), esta dimensão

―dá conta dos projectos que desenvolvem um modo de concepção que associa uma

preocupação operatória com a procura de referências‖. Neste sentido, a avaliação cumpre uma

função formativa, regulando as produções dos actores e a operacionalização da acção, a partir

do próprio processo de referencialização.

A dimensão do produzido refere-se ao que, de um modo simples, se pode designar como

o que pertence à ordem do tratamento dos efeitos e dos resultados. Esta dimensão situa-se

numa temporalidade posterior à acção, embora, de facto, ela corresponda a uma margem de

realização que é inerente a todo o processo de desenvolvimento do dispositivo. É marcada, quer

do ponto de vista temporal, quer do ponto de vista das actividades, pelo fim do tempo previsto,

embora possa ter prolongamentos, nomeadamente em termos de avaliação. Assim, o produzido

diz respeito, simultaneamente, ao processo e aos produtos propriamente ditos, apesar de estar

dominado pela dimensão acabada e fechada das actividades, dos projectos, dos balanços, etc.

Nesta dimensão, a avaliação adquire um papel central na lógica de gestão do dispositivo,

segundo uma função de carácter sumativo em relação aos efeitos e aos resultados esperados.

Tabela 3 – Dimensões da avaliação segundo Figari (1996)

Dimensões Lógica de gestão Função de avaliação

Sequência temporal

Contexto de análise

Induzido Projecto Prognóstica Antes Social, profissional e individual

Construído Aprendizagem Formativa Durante Institucional e as estratégias de liberdade

Produzido Avaliação Sumativa Depois Pedagógico Efeitos e Resultados

112

Os Critérios e Indicadores

Se a avaliação é uma forma de verificar o desempenho de programas, é necessário definir

critérios para a aferição do resultado obtido, pois são eles que fundamentam o juízo ou a

decisão. O critério poderá ser entendido como ―a noção central, aquela que a construção do

referencial deve permitir justificar e formular‖ (Figari, 1996, p.110), reunindo duas

características: a abstracção e a discriminação. O critério representa sempre uma dimensão que

o avaliador resolveu privilegiar entre outras e é independente do objecto avaliado.

Embora se associe normalmente a avaliação de programas à eficiência, este não é o único

e talvez não seja o mais importante. A eficiência é um termo originado na Economia que significa

a menor relação custo/benefício possível para atingir os objectivos estabelecidos no programa.

Outros critérios são fundamentais quando avaliamos uma formação para a fundamentação dos

resultados, tais como a eficácia, que mede em que medida, os objectivos e metas programa

foram atingidos; o impacto, que indica se o projecto tem efeitos (positivos) no contexto em que

interveio; a sustentabilidade, que avalia a capacidade de continuidade dos efeitos benéficos

alcançados através do programa em questão, após a sua conclusão e a equidade, que procura

avaliar se os benefícios de um programa são distribuídos de maneira justa e compatível com as

necessidades dos formandos.

O mesmo critério pode servir vários referentes (tal como um mesmo referente pode ser

servido por vários critérios) e torna-se legível através de um ou vários indicadores, podendo-se,

porventura, falar numa relação biunívoca entre critério e indicador.

A aplicação dos critérios descritos requer, por seu lado, formas específicas de

operacionalização, os indicadores, uma vez que constituem medidas indirectas, ou seja, que

devem ser calculadas a partir da identificação e quantificação dos resultados obtidos. O

indicador constitui o elemento observável e mensurável que permite ―medir concretamente o

desvio entre o modelo ideal e a realidade‖ (Alves, 2001, p.243).

Aqui também encontramos uma variedade de formas de definir e utilizar essa medida,

dependendo do âmbito e do propósito da avaliação.

113

3.9. Avaliação dos professores participantes na formação

A realidade da formação contínua nem sempre tem contemplado a avaliação como algo

desejável e importante, nem com preocupações de credibilização da própria formação, nem

como elemento promotor das aprendizagens dos professores (Canavarro, Martins & Rocha,

2008). Parece, contudo, que o olhar sobre a avaliação está a mudar. A avaliação faz parte

integrante de qualquer processo que se pretenda válido e sério, pelo que, também, na formação

de professores esta deve constituir o meio de regulação de todo o processo, apresentando-se

como «uma bússola orientadora» (Cortesão, 2002, p.39) da formação e, consequentemente,

contribuindo para a sua melhoria.

Do ponto de vista teórico, parece adequada a conciliação dos pressupostos inerentes ao

desenvolvimento profissional e os inerentes à avaliação reguladora. No entanto, a tradição da

avaliação em formação de professores tem, como em muitos outros domínios, assumido uma

dimensão essencialmente sumativa, e isto não só no domínio da formação inicial, na qual os

conteúdos de aprendizagem são prévios e bem delimitados exteriormente, e a responsabilidade

pela sua aprendizagem é exclusivamente do professor. Que dificuldades a ultrapassar? Como

conseguir que a dimensão reguladora se possa exercer?

A formação de professores deverá incidir sobre domínios específicos do respectivo

conhecimento profissional, mas isso não é suficiente. Necessita, também, de acautelar o

desenvolvimento de uma atitude profissional responsável, que integre o auto-questionamento e a

reflexão como parte integrante da vida profissional do professor. Que dificuldades poderão surgir

ao avaliar esta dimensão do profissionalismo docente? Como conseguir ajudar a reflectir e a

manter essa atitude?

O portefólio é um instrumento de avaliação que conjuga os pressupostos inerentes ao

desenvolvimento do professor e à sua avaliação reguladora, em especial no que diz respeito ao

desenvolvimento da capacidade de reflexão. No entanto, exige bastante esforço por parte de

quem o faz e de quem o acompanha. Que cuidados ter ao usar um portefólio? De que forma

promover a sua realização? Existirão outros instrumentos igualmente adequados?

A formação que visa o desenvolvimento profissional não pode perder de vista o contexto

em que o professor trabalha, em particular os colegas do seu grupo disciplinar. Como conseguir

114

uma avaliação que mobilize e torne cúmplices os professores de um mesmo grupo de formação

ou escola?

Ao utilizarem-se os portefólios procura-se que estes se constituam como instrumentos de

diálogo entre o formador e formandos, sendo produzidos, continuamente (re)elaborados e

partilhados ao longo do ano. Com esta metodologia procura-se estimular o pensamento reflexivo,

ao mesmo tempo que se proporciona ao formando a possibilidade de se apropriar de outros

modos de ver e de interpretar que lhe permitam melhorar o seu conhecimento (Sá-Chaves,

2001).

Tal como em outros campos da educação, também na formação de professores, a

avaliação deve ser coerente com o processo de formação em causa, os métodos a utilizar devem

ser adequados aos propósitos estabelecidos, devem ser avaliados todos os aspectos do processo

e ser utilizadas múltiplas fontes de informação. Convém salientar que ―a escolha dos métodos e

instrumentos de avaliação depende de vários factores: das finalidades e objectivos pretendidos,

do que vai ser objecto de avaliação, da área disciplinar e nível disciplinar a que se aplicam, do

tipo de actividade em que o desempenho se manifesta, do contexto e dos próprios avaliadores‖

(Fernandes, 2002, pp.69-70).

Em contexto educativo, nomeadamente na formação de professores, a construção de um

portefólio passa por um processo sistemático de reflexão por parte de quem o elabora,

implicando-o fortemente nas tarefas de aprendizagem, que assim vão construindo o seu próprio

conhecimento.

Segundo as Normas profissionais para o ensino da Matemática (NCTM, 1994) e

concretamente na secção dedicada às Normas para a avaliação do ensino da Matemática, é

assinalado que o processo de avaliação deve gerar informação sobre o ensino e proporcionar

uma análise dessa informação que conduza a ricas e adequadas experiências de

desenvolvimento profissional. Deve, por um lado, enfatizar a participação activa do professor ao

longo do processo de avaliação, dando-lhe oportunidades e incentivo para reflectirem sobre os

seus próprios métodos de ensino e para discutir com os colegas e, por outro lado, basear-se em

informação obtida através de fontes diversificadas que permitam o confronto entre a informação

recolhida.

Quanto à diversidade de fontes a utilizar no campo da avaliação de professores em

formação, destacamos apenas meios relacionados com a avaliação da prática lectiva do

115

professor em formação, designadamente, o processo de supervisão, a auto-avaliação e a

construção de um portefólio.

O processo de supervisão, centrado quer na observação de aulas por colegas ou

supervisores, de maneira a recolher informação sobre os métodos que o professor usa para

ensinar Matemática, quer na identificação dos objectivos e das expectativas de um professor

relativamente à aprendizagem dos alunos, de forma a servir de matéria de discussão com o

professor antes da observação das suas aulas. A avaliação deve ser um processo cíclico que

começa com a recolha de informação sobre a prática pedagógica do professor. De seguida, essa

informação é analisada no que respeita ao que é valorizado no ensino da Matemática, devendo

ser definidos os aspectos do ensino que são considerados concordantes com o que é valorizado,

bem como os que precisam de ser melhorados. Depois, deve ser criada uma planificação que

ajude o professor a desenvolver-se profissionalmente, incluindo alternativas de métodos que

possam proporcionar a melhoria do ensino e estratégias para aplicar estas alternativas. Por fim,

a planificação deve ser aplicada na sala de aula, voltando-se, assim, à fase inicial. (NCTM,

1994).

Quanto à auto-avaliação, entendida ―como um processo mental interno através do qual o

próprio toma consciência dos diferentes momentos e aspectos da sua actividade cognitiva‖

(Santos, 2002, p. 79), é, pois, um processo indicado para realizar uma avaliação auto-regulada.

Para Day (1993), os esquemas de avaliação devem reconhecer e explorar a capacidade

autocrítica dos professores, devem assumir o valor do conhecimento sobre a prática e criar

oportunidades para que este seja explicitado e utilizado, indicando a reflexão-na-acção, descrita

por Schön, como exemplo de uma estratégia de auto-análise. Este é um processo através do

qual os professores ―aprendem a partir da análise e interpretação da sua prática.‖ (Marcelo,

1992, p. 60). São vários os investigadores (Alarcão, 1996; Schön, 1983; Zeichner, 1993) que

defendem um modelo de formação de professores centrado na reflexão.

No entanto, tal como é referido nas Normas para a avaliação do ensino da Matemática

(NCTM, 1994), não se pode esperar que todas as situações de ensino de um dado professor

possam ser observadas, exemplos de planificações de aulas, de actividades desenvolvidas pelos

alunos e dos materiais utilizados, dos projectos e das técnicas de avaliar os alunos, que o

professor foi recolhendo durante um determinado período de tempo devem funcionar como

complemento da observação do processo de ensino desse professor. A construção de um

116

portefólio pode servir para integrar uma colecção contínua de exemplos desses materiais. Neste

caso, o portefólio surge da necessidade de reunir diversos métodos de avaliação, mas a sua

importância e papel não se restringe simplesmente a este aspecto.

No campo da educação, o portefólio surgiu para responder a necessidades relacionadas

com a avaliação das aprendizagens dos alunos, contudo as suas potencialidades têm permitido

utilizá-lo com outras funções, como é o caso da formação de professores.

No campo da formação de professores, vários autores (Barton & Collins, 1993; Hurst,

Wilson & Cramer, 1998; Krause, 1996; Pokay & Tayek, 1996; Santos, 2005) salientam a

importância da utilização de portefólios em programas de formação inicial de professores. São

várias as razões apresentadas, como sejam, consciencializar os alunos, futuros professores, da

existência de outras formas de avaliação, fomentar a reflexão, desenvolver capacidades de auto-

avaliação, visualizar a aprendizagem que se efectuou durante um determinado período, fomentar

uma maneira de aprender acerca dos alunos e do ensino, documentar a avaliação, promover a

interacção entre pares, entre outras. Para Hurst, Wilson e Cramer (1998) os portefólios são (i)

um conjunto de documentos de reflexão auto-seleccionados; (ii) os portefólios são

representações das competências do seu criador; (iii) fornecem uma visão holística do seu

criador; (iv) fornecem documentação útil para entrevistas, na procura de emprego.

Qualquer um dos motivos apresentados acima justifica também a sua utilização no campo

da formação contínua de professores. Como refere Klenowski (2005), dos resultados

encontrados sobre o seu uso na formação com professores experientes é possível concluir que

este promove o desenvolvimento de capacidades importantes, tais como a reflexão, a auto-

avaliação e a análise critica. Lyons (1999) adianta que o portefólio é também considerado uma

estratégia que contribui para o desenvolvimento profissional, no sentido de poder constituir um

elemento que explica tanto processos de ensino como de aprendizagem.

Em qualquer caso, quer na formação inicial quer na formação contínua, pretende-se que o

portefólio reflicta o desenvolvimento profissional do professor ou futuro professor ao longo da

formação, servindo para reflectir sobre todos os aspectos relacionados com a formação,

especificamente o conhecimento matemático, didáctico e curricular adquirido e as experiências

de desenvolvimento curricular desenvolvidas, e sobre si próprio, questionando os seus próprios

papéis, funções, desempenhos, atitudes e concepções, com o intuito de melhorar as práticas

docentes.

117

É fundamental estabelecer algumas características do portefólio que permitem distanciá-lo

de um conceito redutor de dossiê, a que por vezes é associado. A construção do portefólio

implica uma selecção deliberada e sistemática do material a incluir, procurando,

respectivamente, dar a conhecer as estratégias que o professor utilizou para conseguir atingir os

objectivos delineados inicialmente e a evolução realizada ao longo de determinado período de

tempo.

Além destes aspectos, a componente reflexiva que o portefólio tem que integrar, possibilita

completar a sua caracterização. Para Shulman (1999), ―um portefólio didáctico é a história

documental estruturada de um conjunto (cuidadosamente seleccionado) de desempenhos que

receberam preparação ou tutoria, e adoptam a forma de amostras de trabalho de um estudante

que só alcançam realizam plena na escrita reflexiva, na deliberação e na conversação‖ (p. 62).

No que respeita à forma de organização do portefólio, como refere Sá-Chaves (2001) é

fundamental definir previamente os objectivos da construção do portefólio, dado que deles

dependem as estratégias que sustentam esses mesmos objectivos, o modelo interno da sua

organização, a natureza dos recursos e dos registos a incluir e, naturalmente, a reflexão que

sobre eles se venha a fazer. Assim, é fundamental que desde o inicio desta construção haja

entendimento por parte dos intervenientes dos propósitos da sua utilização, do conceito, das

características e funcionalidade deste instrumento, definindo-se as acções de desenvolvimento, a

reflexão a efectuar, o processo de selecção dos trabalhos e a forma de análise que sobre eles se

efectuará. Em articulação com este último ponto referido, importa acrescentar alguns aspectos a

atender para efectuar a sua avaliação, não esquecendo que estes devem ser consentâneos com

a natureza e dinâmica deste instrumento. Assinalam-se: (i) a apresentação (aspecto gráfico,

escrita…); (ii) a organização e estrutura (sequência estabelecida, consulta fácil…); (iii) a selecção

(representatividade dos trabalhos, qualidade das descrições…); (iv) a reflexão (qualidade das

justificações e dos comentários, abrangência, problematização da prática, …).

Pelas suas características é fácil considerar a utilização do portefólio uma forma adequada

para avaliar o professor ou futuro professor em formação, no entanto Shulman (1999) alerta que

―as boas práticas podem ser vítimas de mau uso ou abuso‖ (p. 59) e apresenta algumas

condições para garantir o sucesso da sua utilização: (i) não deve ser dada mais ênfase à

apresentação do que ao conteúdo, pois o portefólio pode converter-se numa mera exibição de

trabalhos; (ii) o professor deve assumir que leva tempo é difícil de construir, pois exige seriedade

118

na sua construção; (iii) não mostrar apenas o melhor, pois poderão ser desprezados contextos

favoráveis de reflexão; (iv) evitar-se a banalização, no sentido de documentar coisas sobre as

quais não vale a pena reflectir; (v) evitar a perversão da sua natureza, procurando estabelecer

critérios de avaliação demasiado objectivos que acabem por o transformar num exame.

119

CAPÍTULO IV

METODOLOGIA

Neste capítulo, começamos por apresentar uma breve definição do problema em estudo,

os objectivos e questões de investigação, prosseguindo-se com a explicitação das opções

metodológicas fundamentais do estudo. Seguidamente indicam-se as fases da investigação

realizada, clarificando o trabalho desenvolvido nas sessões conjuntas e de acompanhamento, o

papel exercido pelo formador e o processo de avaliação utilizado, caracterizam-se os

participantes e referem-se os métodos de recolha e análise de dados.

4.1. Definição do problema em estudo

A investigação é essencial para o desenvolvimento educacional, quer ao nível teórico quer

ao nível da melhoria da prática educativa (Gall, Gall & Borg, 2003).

A metodologia a utilizar num trabalho de investigação, no âmbito da educação, depende

da natureza da problemática a que se pretende dar uma resposta, dos objectivos da

investigação, das características do fenómeno e do contexto em que o mesmo se desenvolve

(Abrantes, 1994). A definição do problema afigura-se como um momento importante e decisivo

na orientação da investigação, funcionando como um guia de todo o processo.

O que se procura nesta investigação é avaliar o impacto do Programa de Formação

Contínua em Matemática (PFCM) para professores do 1.º ciclo do ensino básico no

desenvolvimento e implementação do conhecimento didáctico. A pertinência deste objectivo

salienta-se, por um lado, quando considerados os objectivos do PFCM, em particular:

promover um aprofundamento do conhecimento matemático, didáctico e curricular dos professores do 1.º ciclo envolvidos, tendo em conta as actuais orientações curriculares neste domínio e favorecer a realização de experiências de desenvolvimento curricular em Matemática que contemplem a planificação de aulas, a sua condução e reflexão por parte dos professores envolvidos, apoiados pelos seus pares e formadores. (Serrazina, et al., 2005, p. 3)

Por outro lado, o professor com ―a sua acção e o seu modo de estar marcam de forma

decisiva as aprendizagens dos alunos com que contacta diariamente‖ (Ponte, Matos & Abrantes,

1998, p. 215). Esta acção do professor ganha, ainda, maior importância pois ―o que se passa

120

na sala de aula determina de modo essencial a relação dos alunos com a disciplina, o seu

entendimento do que é e como se aprende Matemática, para que serve e qual o valor desta

ciência, aspectos, todos eles, determinantes na aprendizagem‖ (Ponte, Guimarães, Leal,

Canavarro & Abrantes, 1997, p. 1).

Tendo em conta o que foi referido, procurou-se no presente estudo:

1. Reflectir criticamente sobre o desenvolvimento do conhecimento profissional, em

Matemática, de professores do 1.º ciclo envolvidos num processo de formação contínua;

2. Intervir no processo de desenvolvimento do conhecimento didáctico, em Matemática,

de professores do 1.º ciclo, no contexto da formação contínua, quer ao nível das suas atitudes e

conhecimentos, quer ao nível da sua capacidade para enfrentar situações complexas;

3. Avaliar um modelo de formação contínua em Matemática do 1.º ciclo, centrado no

desenvolvimento e implementação do conhecimento didáctico, com uma aposta forte nas

práticas dos professores como ponto de partida para o trabalho desenvolvido nas sessões

conjuntas e nas sessões de acompanhamento em sala de aula

Deste modo, no contexto particular deste programa de formação contínua, a problemática

do estudo desenvolveu-se nas duas seguintes questões de investigação:

Questão de investigação 1: — Que motivações levaram os formandos a inscrever-se no


Básico?

Questão de investigação 2: — Qual a influência do Programa de Formação Contínua em

Matemática para Professores do 1.º Ciclo do Ensino Básico no desenvolvimento e

implementação do conhecimento didáctico do professor no processo de ensino e aprendizagem

da Matemática?

4.2. Opções metodológicas

Para realizar um trabalho de investigação é necessário que o processo empírico tenha

subjacente um conjunto de princípios metodológicos que o orientem. Assim, a organização

crítica das práticas de investigação é concretizada através da metodologia, a qual fornece ao

investigador um conjunto de meios necessários para seleccionar os métodos e as técnicas

consideradas mais adequadas para realizar o trabalho em causa.

121

Deste modo, ―a selecção das técnicas, o controlo da sua utilização, a integração dos

resultados parciais obtidos, constituem a função dos métodos de pesquisa (...). Compete, assim,

aos métodos, organizar criticamente as práticas de investigação, sendo o seu campo de

incidência constituído pelas operações propriamente técnicas, das quais portanto se distinguem‖

(Almeida & Pinto, 1995, p. 80).

A dicotomia ―quantitativo‖ versus ―qualitativo‖ tem sido motivo de discussão quando

falamos em metodologias de investigação em Educação. Em relação a esta discussão, o

posicionamento geral dos diversos autores é o da complementaridade entre as abordagens

quantitativas e qualitativas, de modo a que se possa obter um trabalho mais ―rico‖ e

aprofundado da realidade.

Assim, as duas abordagens de investigação constituem um continuum epistemológico e

não uma dicotomia.

O debate sobre uma distinção paradigmática conduz à construção de barreiras que entravam a sua liberdade de movimentos e impede o progresso das questões metodológicas de ordem prática, com as quais os investigadores actualmente se defrontam. (Boutin, Goyette & Lessard-Hébert, 1994, p. 35)

Por isso, apesar de exigir muito tempo, a complementaridade entre as estratégias

metodológicas qualitativas e quantitativas é recomendável, senão mesmo indispensável.

Alguns investigadores acreditam que a investigação qualitativa é mais indicada para

descobrir temas e relações ao nível de casos, enquanto a investigação quantitativa é mais

indicada para validar aqueles temas e relações em amostras e populações. Nesta perspectiva, a

investigação qualitativa desempenha um papel de descoberta, enquanto a investigação

quantitativa desempenha um papel confirmatório.

Tendo em conta os objectivos que se propõem atingir com este trabalho, optámos por

uma metodologia mista, qualitativa e quantitativa.

Ao utilizarmos a metodologia qualitativa, assumimos que nada é trivial e que todos os

pormenores são susceptíveis de constituírem uma pista que permita estabelecer uma

compreensão mais esclarecedora do objecto de estudo. Esta é "uma metodologia de

investigação que enfatiza a descrição, a indução, a teoria fundamentada e o estudo das

percepções pessoais" (Bogdan & Biklen, 1994, p. 11), assumindo desta forma um forte cunho

descritivo e interpretativo.

A adopção de perspectivas qualitativas em investigações em educação, ao centrarem-se

numa necessidade de mudança, prossegue vários objectivos, nomeadamente os que se

122

relacionam com a tomada de decisões práticas, com a melhoria de programas e sua

implementação ou com a introdução de alguma inovação nas práticas. Situações desta natureza

permitem ao investigador compreender como entendem os intervenientes a situação,

antecipando dificuldades inerentes à mudança. Refere-se a uma perspectiva de investigação que

obriga a observar os comportamentos no seu contexto, isto é, que está centrada no terreno

(Bogdan & Biklen, 1994).

Numa investigação qualitativa de índole descritiva e interpretativa há a considerar um

conjunto de estratégias de investigação que encerram um conjunto de competências,

pressupostos e práticas que o investigador adopta, nas quais se incluem, entre outras, o estudo

de caso, a observação participante e não-participante e a investigação-acção (Cohen, Manion &

Morrison, 2000; Denzin & Lincoln, 2000). Estas estratégias privilegiam um conjunto de métodos

específicos de recolha de dados, tais como entrevistas não estruturadas, observações, análise de

documentos, notas de campo, etc. A metodologia de investigação-acção, segundo Dick (1999),

tem um duplo objectivo: acção – para obter mudança numa comunidade ou organização ou

programa; investigação – no sentido de aumentar a compreensão por parte do investigador.

Para que seja possível uma melhor compreensão do problema é fundamental o

desenvolvimento de amplo conjunto de práticas interpretativas interrelacionadas que permitam

descrever as rotinas e os momentos problemáticos e os significados das vidas dos indivíduos

(Denzin & Linclon, 2000, p. 3). Contudo, este método apresenta alguns inconvenientes, como,

por exemplo, a possibilidade de uma maior subjectividade por parte do investigador, e o facto de

não permitir generalizações ou comparações de resultados, dado que não se destina à análise

de populações vastas.

A metodologia quantitativa permite ―a observação, por meio de perguntas directas e

indirectas, de populações relativamente vastas de unidades colocadas em situações reais, a fim

de obter respostas susceptíveis de serem manejadas mediante uma análise quantitativa.‖

(Greenwood, citado em Almeida & Pinto, 1995, pp. 94-95).

Este método permite-nos analisar populações vastas e amplas, que exigem a constituição

de amostras o mais representativas possível da população em estudo.

É a operacionalização de técnicas mais ou menos estandardizadas, como por exemplo o

inquérito por questionário, que nos permitirá realizar uma análise quantitativa das informações

recolhidas de modo a possibilitar generalizações.

123

Não obstante, este método também apresenta, segundo Quivy e Campenhoudt (1997),

determinadas desvantagens, tais como a superficialidade da informação obtida, porque não

permite a análise de certos processos como o das concepções ideológicas profundas; leva à

individualização dos entrevistados, que são considerados independentemente das suas relações

sociais e o carácter relativamente frágil da credibilidade do dispositivo caso não sejam tomadas

algumas precauções. Além disso, a construção de um inquérito por questionário, com perguntas

fechadas, pode conduzir a uma menor diversidade de respostas bem como a uma

desactualização da informação.

Para a realização deste estudo recorreu-se a uma metodologia quantitativa e qualitativa.

No que se refere à dimensão quantitativa, procedeu-se à elaboração de dois questionários, à

aplicação dos questionários aos formandos (um antes e outro depois da acção de formação) e,

finalmente, ao tratamento e análise estatística dos dados obtidos. Com este questionário

pretendeu-se conhecer aspectos profissionais e a motivação para a participação dos formandos

no PFCM, recolher informação sobre as suas práticas lectivas, materiais didácticos, actividades

extra-curriculares e o seu percurso formativo e avaliar impacto do PFCM.

No que respeita à dimensão qualitativa, procedeu-se à realização de entrevistas a

formadores e formandos, à elaboração de grelhas de observação e questionários e à análise de

relatórios dos formadores e portefólios dos formandos. Com esta diversidade de métodos de

recolha de dados pretendeu-se compreender as motivações dos formandos subjacentes à sua

participação na formação, compreender a influência da formação no desenvolvimento do

conhecimento e das práticas lectivas dos formandos e apontar sugestões para o futuro.

4.3. Fases da investigação

A investigação de campo decorreu no âmbito da formação contínua realizada no Programa

de Formação Contínua em Matemática para Professores do 1.º Ciclo do Ensino Básico (PFCM).

A recolha de dados ocorreu durante o ano lectivo 2007/2008, durante o qual se desenvolveu o

1.º ano de formação do referido programa.

De seguida, explicitamos as metodologias inerentes ao desenvolvimento do PFCM no 1.º

ano de formação.

Ao longo do ano lectivo de 2007/2008, o grupo de formadores responsáveis pela

implementação do PFCM no terreno desenvolveu o referido programa de acordo com as

124

orientações definidas, em primeira instância, pela equipa responsável pelo acompanhamento do

programa a nível nacional e, em segunda instância, pelos necessários ajustes efectuados ao

nível da Instituição de Ensino Superior responsável pela sua dinamização a nível regional.

Esta formação decorreu de acordo com o desenho do Programa a nível Nacional,

consubstanciando-se no seguinte:

quinze sessões conjuntas de trabalho com duração de três horas cada e com

periodicidade quinzenal;

quatro sessões de acompanhamento em sala de aula, num total de dez horas por

formando.

No desenvolvimento e implementação da acção de formação foram sempre considerados

os princípios e os objectivos do PFCM. Ao nível da preparação da formação, foi dada ênfase ao

papel do formador, à importância das sessões conjuntas e seu desenvolvimento e à relevância

das sessões de acompanhamento.

No que se refere aos princípios do PFCM, salienta-se a valorização do desenvolvimento

profissional do professor, a par de uma formação matemática de qualidade do professor e do

desenvolvimento curricular em Matemática.

O ponto de partida foi o reconhecimento das práticas lectivas dos professores,

considerando as suas necessidades concretas relativamente às práticas curriculares.

Essencial para a implementação do programa foi a valorização do trabalho colaborativo

entre os diferentes actores, bem como das dinâmicas curriculares contínuas centradas na

Matemática.

Assim, em termos de objectivos, a implementação da acção de formação centrou-se nos

seguintes objectivos:

Promover o aprofundamento do conhecimento matemático, didáctico e curricular;

Favorecer a realização de experiências de desenvolvimento curricular;

Desenvolver uma atitude positiva dos professores relativamente à Matemática;

Criar dinâmicas de trabalho em colaboração entre os professores.

4.3.1. As sessões conjuntas

As actividades de formação, integrando as práticas dos professores, foram concebidas de

modo a interligar a vertente do saber matemático e a vertente do saber didáctico, enquadrados

pelas orientações curriculares actuais.

125

Partir das práticas dos professores significa ter em conta a experiência profissional dos

professores, proporcionando espaços de experimentação e reflexão conjunta de modo a poder-se

reflectir sobre as práticas e partir delas para o desenvolvimento de um saber sustentado,

entrando linha de conta com as características dos alunos a quem se dirige. Os episódios de

aula registados durante a observação de aulas constituíram o contexto ideal para a reflexão

conjunta sobre as múltiplas decisões que os professores têm de tomar ao longo da aula.

Procurou-se ir ao encontro das necessidades dos professores, contemplando espaços de

negociação dos principais focos de incidência, incentivou-se o trabalho em grupo, a partilha de

ideias e experiências, elaboração de materiais e discussão de ideias. Partiu-se das questões

curriculares, ao nível da concretização do currículo na sala de aula, nomeadamente realizando

planificações conjuntas, que depois foram experimentadas na sala de aula, procedendo-se à sua

análise, quer pelo professor de forma autónoma, quer de novo no âmbito do grupo de formação,

de modo a identificar causas de sucesso e insucesso das experiências levadas a cabo com os

alunos.

As sessões conjuntas apresentam um grande potencial com vista a mudanças efectivas

nas práticas dos formandos. Estas sessões, como se observa na Figura 5, permitem a

integração de novas práticas, saberes e experiências e propiciam a reflexão, o questionamento e

o debate de ideias.

Figura 5. O que se espera das sessões conjuntas.

SESSÕES CONJUNTAS

INTERLIGA SABERES

PROPICIA REFLEXÕES

QUESTIONA

PROPORCIONA EXPERIMENTAÇÃO

ATENDE A NECESSIDADES

CONFRONTA

SUGERE

INTEGRA PRÁTICAS

126

4.3.2. As sessões de acompanhamento

Ao nível da sala de aula, o formador teve uma função de acompanhamento/supervisão do

trabalho realizado. A observação correspondeu a algo que foi planificado e preparado nas

sessões de formação. Através de uma ficha de observação, o formador anotou os episódios

relevantes, quer no que se refere à forma como as tarefas foram apresentadas pelo professor,

quer às interacções que se desenrolaram entre os alunos e entre estes e o professor, para

posterior discussão e reflexão com o docente, individualmente e no grupo. O confronto entre as

expectativas à partida e aquilo que os alunos foram capazes de fazer constituiu um aspecto

fundamental para reflexão.

As sessões de acompanhamento, como é visível na Figura 6, permitem a criação de um

ambiente favorável ao confronto e discussão de ideias, à reflexão, à experimentação e ao

questionamento.

Figura 6. O que se espera das sessões de acompanhamento.

4.3.3. O papel do formador

Ao longo da formação, o formador, que coincidiu com o investigador, assumiu um papel

activo de forma a promover e manter um ambiente de pesquisa, de discussão e de reflexão, que

proporcionasse e sustentasse a mudança (Day, 2001). Assim, o investigador desempenhou um

papel, durante o trabalho de campo, numa dupla perspectiva: por um lado, trabalhou

SESSÕES ACOMPANHAMENTO

EXPERIMENTA

REFLECTE

QUESTIONA

PROPORCIONA EXPERIMENTAÇÃO

ATENDE A NECESSIDADES

CONFRONTA

SUGERE

DISCUTE

127

colaborativamente com os professores formandos como formador do PFCM e, por outro lado,

procurou compreender a relação entre o Programa de Formação e o desenvolvimento e

implementação do conhecimento didáctico, como investigador.

Na Figura 7 evidencia-se que o papel desempenhado pelo formador no PFCM se coloca ao

nível de parceiro questionador, com outro olhar sobre as práticas, ajuda a preparar materiais e

propõe novas abordagens. O formador surge, assim, como um dos intervenientes, colaborando

nas planificações, participando nas dinâmicas de sala de aula, de modo a ajudar a aprofundar as

reflexões individuais do professor, questionando, sugerindo e problematizando com o intuito de

melhorar o conhecimento curricular em Matemática e a desenvolver um espírito reflexivo e

construtivo das práticas dos professores.

Figura 7. O papel do formador no PFCM.

Nas suas variadas acções, o formador colabora, acompanha, observa, questiona, provoca

silêncios, reflexões e partilhas, anota episódios significativos e orienta no sentido de identificar

possíveis caminhos e estratégias alternativas.

As estratégias desenvolvidas no decorrer da formação apresentaram-se variadas e

flexíveis, baseadas no princípio da liberdade co-responsável de pensar, questionar, debater,

esclarecer e aprender. Para tal, recorreu-se aos seguintes procedimentos:

preparação em grupo das sessões de trabalho e posterior adaptação às motivações e

interesses profissionais dos professores, especialmente indo ao encontro da realidade da

FORMADOR

AJUDA

REFLECTE

QUESTIONA

ESCLARECE

CONFRONTA

APOIA

SUGERE

COLABORA

128

constituição das turmas, implicando várias vezes a necessidade do mesmo conteúdo ser

trabalhado nos diferentes anos de escolaridade;

preparação específica de conteúdos com base nos interesses solicitados pelos

professores;

exploração didáctica de vários materiais: não estruturados, estruturados, específicos e

tecnológicos;

apresentação de textos e reflexão sobre os conteúdos tratados;

resolução e discussão de fichas de trabalho;

planificação e orientação de percursos de aulas para observação e acompanhamento

em sala de aula, com posterior reflexão individual e/ou em grupo.

Durante o ano lectivo, o investigador assumiu o papel de formador e, como todos os

outros formadores, procurou proporcionar aos formandos um confronto entre as suas ideias e as

suas práticas. Este processo de confronto e de readaptação baseou-se nas actividades e

reflexões desenvolvidas nas sessões conjuntas de formação e nas sessões individuais em sala de

aula, a partir de um procedimento de supervisão alicerçado num modelo reflexivo (Vieira, 1993).

O plano de formação implementado obedeceu às orientações da coordenação do

Programa ao nível da Instituição de Ensino Superior, devidamente discutidas, apresentadas e

trabalhadas nas reuniões semanais da equipa.

Não descurando a especificidade de cada grupo de formandos, de uma forma geral, o

plano de formação desenvolvido teve como esquema base a exploração das seguintes temáticas:

1. Cálculo mental;

2. Resolução de problemas e heurísticas;

3. Actividades de investigação;

4. Sistemas de numeração posicional;

5. Sistema de numeração posicional decimal;

6. Operações aritméticas e numéricas;

7. Modelos algorítmicos e algoritmos usuais;

8. Geometria.

129

4.3.4. Processo de avaliação

O processo de avaliação desenvolvido ao longo da investigação fundamentou-se no

esquema: induzido, construído e produzido (ICP), o qual permite uma visão a três tempos: o

antes, o durante e o depois (Alves, 2001).

A dimensão do induzido posiciona-se na temporalidade prévia ao PFCM, exercendo uma

função diagnóstica. Nesta dimensão consideraram-se as razões da criação do PFCM, o

conhecimento dos formandos, as suas perspectivas sobre a Matemática, as suas práticas e

motivações para a inscrição no PFCM.

A dimensão do construído refere-se ao período durante a acção de formação, na qual se

situa a parte mais importante do dispositivo, em termos de tempo, em termos relacionais e em

termos de actividades. Nesta dimensão reportamo-nos ao trabalho desenvolvido ao longo da

formação, avaliando o papel das sessões conjuntas e de acompanhamento e respectivos

contributos no desenvolvimento e implementação do conhecimento didáctico. O portefólio e as

reflexões produzidas foram importantes na consciencialização das potencialidades e limitações

das acções dos formandos, no desenvolvimento do processo de ensino e aprendizagem e nas

repercussões do trabalho desenvolvido na aprendizagem dos alunos.

A dimensão do produzido pode designar-se como pertencente à ordem dos efeitos do

tratamento e dos resultados. É marcada, quer do ponto de vista temporal, quer do ponto de vista

das actividades, pelo fim do tempo previsto. Nesta dimensão, a avaliação adquire um papel

central na lógica de gestão do dispositivo, segundo uma função de carácter sumativo em relação

aos efeitos e aos resultados esperados. Reportámo-nos aqui ao balanço do PFCM, salientando as

alterações/mudanças produzidas no conhecimento didáctico dos formandos em resultado da

sua frequência.

Na tabela 4 apresenta-se o processo de avaliação do PFCM nas dimensões do induzido,

construído e produzido.

130

Tabela 4 – Síntese do processo de avaliação do PFCM

Dimensão Objectivos Instrumentos

Induzido

Identificar aspectos profissionais críticos;

Inventariar as perspectivas sobre a Matemática e as práticas lectivas;

Recolher informações sobre o conhecimento e utilização de materiais didácticos e actividades extra-curriculares;

Inventariar o percurso formativo;

Inventariar, esclarecer e compreender os motivos da inscrição no PFCM;

Questionário

(antes da frequência

do PFCM)

Construído

Avaliar o papel das sessões conjuntas e de acompanhamento e respectivos contributos no desenvolvimento e implementação do conhecimento didáctico.

Avaliar o papel do portefólio e das reflexões produzidas na consciencialização das potencialidades e limitações das acções dos professores no desenvolvimento do processo de ensino e aprendizagem e as repercussões do trabalho desenvolvido na aprendizagem dos alunos.

Entrevistas

Grelhas de

observação (sessões

de acompanhamento

Portefólios

Questionários

(sessões conjuntas)

Produzido

Compreender a influência da formação no desenvolvimento do conhecimento e das práticas lectivas dos formandos;

Avaliar o contributo do PFCM para o desenvolvimento e implementação do conhecimento didáctico dos formandos.

Questionário (após a

frequência do PFCM)

Entrevistas

Portefólios

Relatórios

4.4. Participantes

Tendo em conta o trabalho desenvolvido, considerámos três grupos de participantes:

Grupo 1 – todos os formandos inscritos no 1.º ano do PFCM na instituição de ensino

superior, no ano lectivo 2007/2008;

Grupo 2 – o grupo de dez formandos da responsabilidade do formador (que era também o

investigador), a frequentar o 1.º ano de formação do PFCM;

Grupo 3 – os formadores responsáveis pela implementação do PFCM na instituição de

ensino superior, no ano lectivo de 2007/2008.

131

4.4.1. Grupo 1 – Formandos inscritos no 1.º ano do PFCM em 2007/2008

O grupo 1 era composto por 273 formandos a frequentar, no ano lectivo 2007/2008, o

primeiro ano do PFCM, pertencentes a 25 Agrupamentos de Escolas e divididos em 30 turmas.

Foram então distribuídos 273 questionários, referentes ao total de formandos inscritos no

1.º ano de formação. Destes foram devolvidos 197, representando 72,2% da totalidade dos

formandos inscritos. Na Tabela 5 apresenta-se a caracterização dos participantes neste estudo,

tendo em consideração as variáveis género, idade, habilitações académicas, situação profissional

e anos de serviço docente.

Tabela 5 – Caracterização da amostra

Variáveis Valores Percentagem (n=197)

Género Feminino 85,8

Masculino 14,2

Idade Menos de 35 36,5

Entre 35 e 45 inclusive 39,1

Mais de 45 24,4

Habilitações académicas

Bacharelato 15,2

Licenciatura 78,2

Pós-graduação 2,0

Mestrado 3,6

Não responde 1,0

Situação profissional Quadro de Escola 41,1

Quadro de Zona Pedagógica 58,4

Contratado 0,5

Anos de serviço docente

Menos de 10 33,5

Entre 10 e 20 inclusive 39,6

Mais de 20 26,9

Por observação da Tabela 5, verificamos que este grupo é composto por 85,8% de

mulheres e 14,2% de homens, como seria de esperar numa população de professores. Em

relação à idade, obteve-se um perfil que assume uma divisão equilibrada de acordo com os

seguintes escalões etários: menos de 35 anos (36,5%), entre os 35 e os 45 anos inclusive

(39,1%) e com mais de 45 anos (24,4%).

No que se refere às habilitações académicas, a amostra revela um predomínio claro da

licenciatura (78,2%), seguida do bacharelato (15,2%), enquanto que apenas 5,6% dos formandos

possui uma pós-graduação ou mestrado.

132

Relativamente à situação profissional, 99,5% pertencem aos quadros do Ministério da

Educação, sendo 41,1% de quadro de escola e 58,4% de quadro de zona pedagógica. Apenas

0,5% se encontrava na situação de contratado.

Finalmente, no que se refere aos anos de serviço docente, verificamos uma divisão

equilibrada, tendo em conta a definição dos três intervalos considerados: menos de 10 anos de

serviço, 33,5%; entre 10 e 20 anos de serviço (inclusive), 39,6%; e com mais de 20 anos de

serviço, 26,9%).

4.4.2. Grupo 2 – Formandos do grupo do investigador

No âmbito da fase qualitativa, participaram os formandos pelos quais o investigador foi

responsável. Na Tabela 6 apresenta-se a caracterização dos formandos a partir das variáveis:

género, idade, tempo de serviço docente e situação profissional.

Tabela 6 – Caracterização do grupo de formandos do investigador

Participantes Género Idade (anos) Tempo de serviço

docente (anos)

Situação

profissional

Formando 1 Feminino 51 31 QE

Formando 2 Feminino 30 8 QZP






Formando 8 Masculino 39 7 QZP



Observando a Tabela 6, constatamos que neste grupo um professor é do sexo masculino

e nove do sexo feminino, todos os professores pertencem aos quadros do Ministério da

Educação, sendo 3 do Quadro de Nomeação Definitiva de Escola e 7 do Quadro de Zona

Pedagógica.

Em relação às idades, verifica-se um predomínio na faixa dos 30 anos e apenas uma

professora tinha 51 anos (média=35,4 anos; desvio padrão=6,5 anos; valores extremos: 29 a 51

anos).

133

No que se refere ao tempo de serviço docente, verifica-se que, à excepção de uma

professora com uma experiência de ensino de 31 anos, todos os outros se situam entre os 7 e

os 13 anos de serviço docente.

4.4.3. Grupo 3 – Formadores

Neste grupo incluem-se os 12 formadores participantes na investigação, os quais foram

responsáveis pela implementação do PFCM na instituição de ensino superior, no ano lectivo de

2007/2008. Na Tabela 7 apresenta-se a caracterização dos formadores a partir das variáveis:

género, idade, tempo de serviço docente, anos de formador e números de grupos de formação.

Tabela 7 – Caracterização dos formadores

Participantes Género Idade (em

anos)

Tempo de

serviço (em

anos)

N.º de anos

de formador N.º de grupos

de formação

Formador 1 Feminino 35 12 2 5


Formador 3 Masculino 39 17 2 5










Pela Tabela 7, observamos uma heterogeneidade no que se refere à idade (média=44,9

anos, desvio padrão=8,1 anos; valores extremos: 32 a 56 anos) e tempo de serviço docente

(média=22,8, desvio padrão=8; valores extremos: 9 e 32 anos) dos formadores.

Relativamente à sua experiência como formadores, a grande maioria apresenta uma

experiência de 3 anos (incluindo o ano lectivo de 2007/2008).

134

4.5. Métodos de recolha de dados

4.5.1. Questionários – Grupo 1

Os dados utilizados no estudo e recolhidos no âmbito deste grupo, foram obtidos através

de dois questionários – um aplicado antes da formação e outro após a formação (Anexos 1 e 2).

A utilização destes instrumentos teve vários propósitos: 1) identificar aspectos

profissionais críticos; 2) inventariar as perspectivas sobre a Matemática e as práticas lectivas; 3)

recolher informações sobre a utilização e conhecimento de materiais didácticos e actividades

extra-curriculares; 4) inventariar o percurso formativo; 5) compreender os motivos da inscrição

no PFCM; 6) avaliar as percepções dos formandos sobre o impacto da formação, em particular

as alterações produzidas ao nível do conhecimento didáctico da Matemática e das suas práticas

pedagógicas.

Para o efeito, foi pedida a colaboração dos formadores que aplicaram os questionários em

cada um dos seus grupos de formação. O primeiro momento de aplicação, correspondente ao

primeiro questionário, ocorreu na primeira sessão de formação. O segundo momento,

correspondente ao segundo questionário, ocorreu na última sessão de formação.

Os questionários incluíam questões de escolha múltipla; questões de escala tipo Likert

(contemplando os pontos: Nunca ou raramente; Algumas vezes; Muitas vezes; Sempre ou quase

sempre), questões dicotómicas do tipo Sim/Não, questões formadas por listas (podendo ser

assinaladas uma ou mais opções), questões de ordenação e questões abertas.

O processo de validação, depois de definida a primeira versão, de cada um dos

questionários, pelo investigador, decorreu basicamente em duas fases. Na primeira, os

questionários foram avaliados pelos orientadores, sendo um especialista em Desenvolvimento

Curricular e outro em Metodologia do Ensino da Matemática, tendo sido introduzidas pequenas

alterações. Na segunda fase, os questionários foram passados a cinco professores do 1.º ciclo,

com o objectivo de avaliar a sua compreensão e a sua adequação aos propósitos do estudo.

Uma vez que estes não ofereceram dúvidas, os questionários ficaram na sua versão final.

De seguida, na Tabela 8, apresentam-se as dimensões e itens do questionário inicial.

135

Tabela 8 – Síntese das dimensões e itens do questionário inicial

Dimensões Itens

Aspectos profissionais críticos

Identificação dos motivos da escolha da profissão

Contentamento com a profissão

Gosto pela aprendizagem da Matemática

Gosto pelo ensino da Matemática

Influência dos professores no gosto pela Matemática

Resultados escolares à disciplina de Matemática

Aspectos fundamentais para a melhoria da aprendizagem

Perspectivas sobre a Matemática

Importância da disciplina

Actividade do aluno quando aprende Matemática

Finalidades do ensino da Matemática

Preparação das práticas lectivas

Frequência da planificação de aulas

Suportes para a planificação das aulas

Apoio na planificação das aulas

Práticas lectivas da sala de aula

Metodologias implementadas na sala de aula

Materiais utilizados e frequência de utilização

Instrumentos de avaliação das aprendizagens

Actividades extra curriculares Tipo e frequência de utilização

Materiais didácticos Conhecimento

Formação de professores

Necessidades de formação

Modalidades preferidas

Duração ideal

Razões da inscrição no PFCM Motivos da inscrição no PFCM

Na Tabela 9 apresentam-se as dimensões e os itens contemplados no questionário final.

Os dois questionários apresentavam uma estrutura idêntica, com as mesmas questões em todas

as dimensões, à excepção da última dimensão. No caso do questionário inicial, incluiu-se a

dimensão razões da inscrição no PFCM; no final definiu-se a dimensão balanço do PFCM.

136

Tabela 9 – Síntese das dimensões e itens do questionário final

Dimensões Itens


Identificação dos motivos da escolha da profissão

Contentamento com a profissão

Gosto pelo ensino da Matemática

Influência da formação no gosto pela Matemática

Aspectos fundamentais para a melhoria da aprendizagem

Perspectivas sobre a Matemática

Importância da disciplina

Actividade do aluno quando aprende Matemática

Finalidades do ensino da Matemática


Frequência da planificação de aulas

Suportes para a planificação das aulas

Apoio na planificação das aulas

Práticas lectivas da sala de aula

Metodologias implementadas na sala de aula

Materiais utilizados e frequência de utilização

Instrumentos de avaliação das aprendizagens

Actividades extra curriculares Tipo e frequência de utilização

Materiais didácticos Conhecimento


Necessidades de formação

Duração ideal

Formação frequentada

Balanço do PFCM

Alterações nas práticas

Alterações no conhecimento didáctico

Aspectos positivos e negativos

Reinscrição na formação

A utilização deste instrumento adequa-se ao presente estudo por ser é um método que

permite a recolha de dados num grupo grande de sujeitos, em que se requer ao respondente

que registe por escrito as suas respostas a um conjunto de itens que podem ser natureza

fechada ou aberta.

O inquérito por questionário ―presta-se bem a uma utilização pedagógica pelo carácter

muito preciso e formal da sua construção e da sua aplicação prática‖ (Quivy & Campenhoudt,

1997, p. 187). Estes autores acrescentam ainda a possibilidade de quantificar uma

multiplicidade de dados e de proceder, em consequência, a numerosas análises estatísticas.

No entanto, ―convém não perder de vista que o recurso a um questionário não é mais do

que um método de recolha de informação entre outros‖ (De Ketele & Roegiers, 1999, p. 36).

137

A utilização de itens de tipo alternativo, nos quais os respondentes têm de assinalar uma

de duas ou mais alternativas, apresenta vantagens e inconvenientes. Como grandes vantagens

salientam-se o permitir orientar o respondente de modo apropriado para certo tipo de respostas

e a facilidade de codificação; como inconveniente destaca-se a superficialidade que decorre de

uma pergunta já com as respostas pré-elaboradas e o facto de nem sempre ser fácil ao

respondente situar-se de forma clara numa das opções de respostas (Cohen, Manion &

Morrison, 2000).

Assim, para obviar esta situação, nos questionários alternaram-se itens fechados com

outros de natureza aberta e, ainda, alguns dos itens fechados foram acompanhados de uma

pergunta indagadora da razão da opção escolhida. Os itens de natureza aberta foram formulados

de modo a proporcionarem um marco de referência para as respostas, sem imposições sobre o

conteúdo e a expressão da resposta.

Em qualquer das opções tomadas relativamente à natureza e tipo de questões, o

questionário apresenta limitações a vários níveis, como sejam, por exemplo: a impossibilidade de

pedir ao respondente que clarifique o sentido de uma resposta ou de o investigador fazer uma

nova pergunta; a capacidade de expressão escrita do respondente; a redução de dados fica

limitada, em geral, a uma lista prévia de categorias (Cohen, Manion & Morrison, 2000).

4.5.2. Observação de aulas – Grupo 2

Ao longo da formação foram observadas quatro aulas por formando, as chamadas

sessões de acompanhamento, em relação às quais foram preenchidas grelhas de observação

das aulas (Anexos 6 e 7) e feitas reflexões individuais. Em cada uma das aulas procurou-se

observar tendo em vista a posterior reflexão sobre:

1. A estrutura e organização da aula;

2. O ambiente da aula;

3. A actividade do aluno;

4. A actividade do professor;

5. A produção matemática dos alunos;

6. A utilização e exploração de recursos materiais;

7. Episódios de sala de aula.

Nestas sessões, o formador desempenhou uma função de acompanhamento e

simultaneamente de observação da aula, recolhendo dados de suporte para posterior discussão

138

e reflexão. As grelhas utilizadas possibilitaram a reconstituição da aula, procurando salientar a

forma como as tarefas foram exploradas, essencialmente no que diz respeito à aprendizagem da

Matemática pelos alunos e às interacções que se desenrolaram entre os alunos e entre os

alunos e o professor.

As observações das aulas corresponderam sempre a algo planificado e preparado nas

sessões de formação e/ou temáticas abordadas no momento.

Para a reflexão da aula foi fundamental o confronto entre as expectativas à partida e

aquilo que os alunos foram capazes de fazer.

Na observação de aulas, ao serem objecto de investigação comportamentos e acções do

sujeito (por vezes, não verbais) são várias as razões que concorrem para a sua relevância.

Destas, destaca-se a possibilidade do investigador, ―pela relação próxima que pode criar com os

restantes participantes na investigação, poder identificar comportamentos habituais e tomar

notas sobre os seus aspectos mais característicos‖ (Cohen, Manion & Morrison, 2000, p. 168).

Durante as quatro aulas, e cumprindo as orientações da coordenação do PFCM, o

investigador/observador esteve envolvido, em algumas aulas, em maior ou menor grau, nas

actividades que presenciava, fazendo uma observação participante. Noutras alturas, o

observador permaneceu completamente separado das actividades do grupo que investigava,

fazendo uma observação não participante.

A escolha de uma dada estratégia de observação (participante ou não participante) está

associada a um certo número de factores, nos quais se inclui o tipo de situação em que tem

lugar a investigação. Certo é que uma investigação que decorra no seu contexto natural torna

muito difícil ao investigador não assumir o papel de observador participante. É este o caso das

investigações em Educação, cujo contexto, pela sua complexidade, está cheio de significados

compartilhados pelos participantes (Cohen, Manion & Morrison, 2000).

O investigador/observador envidou todos os esforços, no sentido de contrariar uma das

grandes críticas apontadas à observação – a do seu carácter subjectivo, que se avoluma quando

o investigador assume um papel de observador participante, isto é, tão activo e interveniente que

chega a confundir-se com o próprio grupo.

4.5.3. Notas de Campo – Grupo 2

As notas de campo foram utilizadas com o intuito de permitir, ao investigador, desenvolver

mais a visão da realidade na sequência das observações de aulas ou de sessões de formação.

139

Assim, as notas de campo incluíam apontamentos de natureza descritiva, bem como ideias,

estratégias, reflexões e palpites do investigador sobre aquilo que lhe foi dado ouvir, ver e sentir

durante a recolha de dados, incluindo os sentimentos, as ansiedades, as dúvidas do investigador

acerca da investigação e dos vários intervenientes (Bogdan & Biklen, 1994). Desta forma, as

notas de campo devem incluir uma componente descritiva e outra reflexiva que se dirige, desde

logo, para a análise dos dados e devem ser tomadas, no caso de resultarem de observações, tão

rapidamente quanto possível logo após a observação (Bogdan & Biklen, 1994). Na sua redacção

o investigador deve ter o cuidado de fazer um retrato claro e vivido dos factos descritos (Cohen,

Manion & Morrison, 2000).

No nosso estudo, as notas de campo foram usadas com o propósito de interpretar mais

aprofundadamente alguns discursos dos formandos, nomeadamente, como auxiliar da

organização e da análise dos resultados.

4.5.4. Questionários – Grupo 2

Ao longo do ano os formandos do grupo de formação do investigador responderam a

alguns pequenos questionários relacionados com as temáticas abordadas (Anexo 5), que foram

aplicados no fim da abordagem dessas temáticas. Estes instrumentos foram aplicados com o

intuito de ir percepcionando o impacto da formação junto dos formandos e, simultaneamente,

recolher a opinião dos professores sobre o processo formativo em curso.

4.5.5. Portefólios – Grupo 2

A avaliação dos formandos foi feita através da análise de um portefólio de desempenho

elaborado por cada um dos participantes. Este portefólio incluiu uma reflexão detalhada sobre

duas experiências pedagógicas (duas aulas), sendo, por isso, um elemento de análise

fundamental, onde o professor formando explicita as mais-valias que a formação trouxe ao seu

desenvolvimento profissional.

4.5.6. Entrevistas – Grupos 2 e 3

A entrevista foi utilizada enquanto estratégia de recolha de dados, tendo sido entendida

como uma conversa intencional entre duas pessoas, conduzida pelo investigador e focalizada no

conteúdo especificado pelos objectivos da investigação, com o propósito de obter informação

140

relevante para a investigação. Enquanto diálogo, proporciona acesso, na linguagem do próprio

sujeito, aos conhecimentos, aos valores e preferências e às atitudes e crenças do entrevistado

(Cohen, Manion & Morrison, 2000).

Uma entrevista pode assumir diferentes graus de flexibilidade, desde um carácter

completamente estruturado, no qual o entrevistador faz as perguntas seguindo um guião

previamente estruturado, até um carácter não estruturado, em que o entrevistador é livre para

alterar a sequência de questões planeada, a sua formulação e alcance (Cohen, Manion &

Morrison, 2000; Bogdan & Biklen, 1994).

Numa entrevista estruturada é concedida uma liberdade de acção muito restrita ao

investigador, exigindo-se uma esquematização prévia muito detalhada, ao ponto de incluir o

planeamento pormenorizado de uma eventual alteração da sequência ou formulação das

perguntas. No caso das entrevistas não estruturadas, apesar de haver um planeamento muito

cuidadoso, o entrevistador tem maior liberdade na condução da mesma, sobretudo ao nível das

perguntas de natureza aberta, por lhe ser permitido aclarar respostas, indagar o entrevistado

sobre as razões de uma determinada resposta de modo a obter uma compreensão mais

profunda e sugerir relações ou hipóteses não contempladas previamente (Cohen, Manion &

Morrison, 2000).

No caso desta investigação, optou-se pela utilização de entrevistas semi-estruturadas. Para

isso, as entrevistas foram cuidadosamente preparadas, tendo sido idealizados guiões (Anexos 3

e 4), contendo um conjunto de questões que serviram de orientação ao entrevistador e

funcionaram como garante do não esquecimento de nenhuma questão essencial, com nenhum

dos entrevistados. No entanto, as perguntas eram relativamente abertas permitindo ao

entrevistador aclarar respostas e/ou indagar o entrevistado sobre as razões de uma determinada

resposta de modo a obter uma compreensão mais profunda das suas ideias (Quivy &

Campenhoudt, 1997).

A utilização deste método de recolha de dados apresenta como principais vantagens o

grau de profundidade dos dados recolhidos e o respeito pelos quadros de referência dos

entrevistados, nomeadamente quanto à linguagem (Quivy & Campenhoudt, 1997). Como

limitação ou problema, poderá estar a menor validade dos dados obtidos, resultante de várias

causas como a inabilidade do entrevistador, das características do respondente e do conteúdo

substantivo das questões (que podem reflectir as atitudes e opiniões do entrevistador). Corre-se,

em particular, o risco do investigador procurar respostas que apoiem as suas concepções,

141

percepcionar erradamente as respostas dadas ou que o próprio respondente não compreenda o

que lhe está a ser perguntado (Cohen, Manion & Morrison, 2000). Deste modo, um dos

aspectos cruciais da entrevista incide sobre a formulação das perguntas de modo a garantir a

sua clareza e a não indução da resposta.

Para colmatar algumas destas limitações, a entrevista deverá ser conjugada com outros

métodos (como, por exemplo, a observação ou um questionário, previamente passado aos

participantes) (Cohen, Manion & Morrison, 2000).

Para apoio à realização das entrevistas aos formandos foi elaborado um guião (Anexo 3)

com um conjunto de questões orientadoras e com os seguintes objectivos: inventariar e

esclarecer as motivações para participar na formação; compreender a influência da formação no

desenvolvimento do conhecimento e das práticas lectivas do formando e avaliar a acção de

formação e apontar sugestões para o futuro.

Na entrevista aos formadores também foi desenvolvido um guião (Anexo 4) com objectivos

idênticos à entrevista dos formandos: inventariar/esclarecer as motivações para participar na

formação, compreender a influência da formação no desenvolvimento do conhecimento e das

práticas lectivas do formador e dos formandos, avaliar a acção de formação e apontar sugestões

para o futuro.

4.5.7. Relatórios – Grupo 3

Cada formador tem de produzir um relatório final sobre a formação desenvolvida. Nesse

relatório deverá ser feita uma abordagem ao contexto em que decorreu a formação, ao trabalho

desenvolvido nas sessões presenciais conjuntas e sessões de acompanhamento, bem como

uma reflexão sobre o trabalho desenvolvido e sobre a produção dos portefólios pelos formandos.

Considerando que estes são documentos importantes para a recolha de dados, esses relatórios

foram também objecto de análise.

4.6. Tratamento e análise de dados

4.6.1. Dados quantitativos

No tratamento dos dados recolhidos nos questionários procedemos de forma diferenciada,

tendo em conta o tipo de questões. Nas questões que apresentavam itens de resposta fechada

recorremos a técnicas de estatística descritiva, nos itens de resposta aberta procedemos à

análise de conteúdo.

142

No caso da estatística descritiva, determinaram-se percentagens nos vários itens fechados

e quando esses itens contemplavam escalas tipo Likert foram ainda calculadas médias e desvios

padrão, depois de codificadas as respostas do seguinte modo: para as escalas de preferência 1

– ―Não gosto‖, 2 – ―Gosto pouco‖, 3 – ―Gosto‖ e 4 – ―Gosto muito‖; para as escalas de

frequência 1 – ―Nunca ou raramente‖, 2 – ―Algumas vezes‖, 3 – ―Muitas vezes‖ e 4 – ―Sempre

ou quase sempre‖.

Utilizámos a estatística inferencial para procedermos à comparação dos resultados do

questionário inicial (antes da formação) com os do questionário final (após a formação). Neste

caso recorremos ao teste t de Student para amostras emparelhadas e ao teste de McNemar,

também conhecido por teste de mudança de opinião, por pretendermos comparar as respostas

dicotomizadas dadas antes e depois da formação, consoante se tratava de uma variável do tipo

escala ou nominal.

No tratamento estatístico recorreu-se ao programa SPSS (Statistical Package for Social

Sciences), versão 16.0 para Windows, e adoptou-se um nível de significância de 0,05 para

reconhecer diferenças estatisticamente significativas.

No caso das questões abertas, procedemos à análise de conteúdo listando todas as




exemplificar as várias categorias a partir de excertos do texto escrito pelos formandos,


4.6.2. Dados qualitativos

Numa metodologia de investigação qualitativa não existe um modelo rígido para a análise

dos dados (Bogdan & Biklen, 1994; Pérez Serrano, 2004).

Ao realizar-se uma investigação qualitativa e para se obter uma visão o mais completa

possível da realidade em estudo, é fundamental que a análise de dados se centre na procura de

regularidades ou padrões que possibilitem a descoberta de aspectos importantes. Quando os

dados são resultantes, na sua grande maioria, de várias formas de comunicação verbal (escrita

ou oral), a sua redução e classificação deve ser apoiada pelo desenvolvimento e caracterização

de um conjunto de categorias que permitam a identificação de unidades de dados dentro de um

tópico particular, representado pela respectiva categoria de codificação (Bogdan & Biklen, 1994).

143

Assim, o desenvolvimento de um sistema de categorias é um passo crucial na análise de

dados qualitativos e, na sua elaboração, deve-se ter em conta os propósitos e questões do

estudo, o quadro teórico de referência e os construtos expressos pelos participantes no estudo

(Bogdan & Biklen, 1994; Pérez Serrano, 2004). Ao agirmos como um investigador qualitativo

procuramos assegurar a classificação/categorização das observações e a inclusão em cada

categoria dos aspectos que efectivamente lhe correspondem, como também evitar

interpretações dúbias e, sobretudo, tornar os resultados susceptíveis de verificação (Pérez

Serrano, 2000).

A análise de conteúdo facilita a descrição sistemática e compreensiva de um assunto com

a facilidade de o evidenciar e interpretar (Pérez Serrano, 2004; Taylor & Bogdan, 1992).

Na análise de conteúdo teve-se em consideração um conjunto de informação, como a

escolha dos termos usados pelo locutor, a sua frequência e o seu modo de disposição, a

construção do discurso e o seu desenvolvimento. Estes aspectos formais da comunicação são

considerados indicadores da actividade cognitiva do locutor, dos significados sociais ou políticos

do seu discurso ou do uso social que faz da comunicação, a partir dos quais o investigador tenta

construir o conhecimento. A análise de conteúdo implica a utilização de processos técnicos

relativamente precisos, pois, só desta forma, o investigador pode elaborar uma interpretação que

não tome como referência os seus próprios valores e representações (Quivy & Campenhoudt,

1997).

Em suma, a análise de conteúdo é uma forma de se aceder às intenções do sujeito na

qual a inferência desempenha um papel fundamental (Pérez Serrano, 2004), permitindo explicar

e interpretar os resultados obtidos. A análise de conteúdo permite tratar informações complexas

de forma rigorosa e profunda.

Tendo em conta que esta investigação está centrada no conhecimento didáctico do

professor, revela-se fundamental a identificação de categorias que estejam relacionadas com

esta forma de conhecimento, tais como a natureza das tarefas de ensino/aprendizagem

propostas pelo professor, a representação e formulação do conteúdo e a orientação das

actividades do aluno.

Na análise do conteúdo teve-se por referência os contextos da formação, a problemática

do estudo, o quadro teórico de referência e os construtos expressos pelos participantes.

144

Na Tabela 10 apresenta-se a síntese da metodologia do estudo, incluindo as suas

dimensões quantitativa e qualitativa, os objectivos, os participantes e os métodos de recolha e

tratamento de dados.

Tabela 10 – Síntese das opções metodológicas

Dimensão Objectivos Participantes (total)

Instrumentos Tratamento de dados

Quantitativa

Identificar aspectos profissionais críticos Inventariar as perspectivas sobre a Matemática e as práticas lectivas Recolher informações sobre a utilização e conhecimento de materiais didácticos e actividades extra-curriculares Inventariar o percurso formativo Compreender os motivos da inscrição no PFCM Avaliar o PFCM

Formandos do 1.º ano de formação (197, inclui o grupo de formandos do investigador)

Questionários (antes da acção de formação e após a acção de formação)

Tratamento estatístico

Qualitativa

Inventariar/esclarecer as motivações para participar na formação Compreender a influência da formação no desenvolvimento do conhecimento e das práticas lectivas dos formandos Avaliar a acção de formação e apontar sugestões para o futuro

Formandos do Grupo da responsabilidade do investigador (10) Formadores (12)

Entrevistas Grelhas de observação Portefólios Questionários Relatórios

Análise de conteúdo

145

CAPÍTULO V

APRESENTAÇÃO DE RESULTADOS

Ao longo deste capítulo apresentamos os dados recolhidos na investigação realizada.

Atendendo à diversidade de informação, optámos por delimitar este capítulo em três secções

distintas, correspondendo cada uma delas a um grupo em estudo. Na primeira secção

apresentam-se os resultados relativos ao grupo dos formandos que frequentaram o 1.º ano do

PFCM, centrados, sobretudo, nas várias componentes do processo didáctico. Neste caso, os

dados foram recolhidos junto dos formandos, no início e no fim do ano lectivo 2007/2008,

através da aplicação de dois questionários, um no início e outro no fim da formação.

Na segunda secção aprofundam-se os resultados da secção anterior através de dados

recolhidos num grupo de formandos acompanhados pelo investigador, na qualidade de

formador, ao longo da formação. Na recolha de dados foram utilizados diversos métodos,

designadamente observação de aulas, realização de entrevistas, aplicação de questionários e

portefólios.

Por último, na terceira secção apresentamos os resultados relativos aos formadores,

centrados nas suas motivações de participação no programa, na influência do programa no

desenvolvimento do conhecimento e das práticas lectivas do formador e dos formandos e na

avaliação do programa e em sugestões para o futuro. Na recolha de dados recorreu-se,

essencialmente, à realização de uma entrevista aos formadores e à análise dos seus relatórios

finais. Neste caso, salienta-se a triangulação de dados dos formadores com dados dos

formandos, especialmente no que se refere à dimensão das práticas lectivas.

5.1. Influência do programa de formação no desenvolvimento do conhecimento

profissional dos formandos

Nesta secção apresentamos os resultados relativos aos questionários aplicados a todos os

formandos inscritos no 1.º ano do PFCM, no ano lectivo de 2007/2008. A aplicação dos

questionários foi realizada em dois momentos distintos, tendo sido o primeiro aplicado no início

do ano lectivo (antes da formação) e o outro no final do ano lectivo (após a formação). Os dois

questionários contemplam as mesmas sete dimensões – aspectos profissionais críticos;

146

perspectivas sobre a Matemática; preparação das práticas lectivas; práticas lectivas da sala de

aula; actividades extra curriculares; materiais didácticos; formação de professores –, com as

mesmas questões, diferindo apenas na última dimensão, que no caso do questionário inicial

incide sobre as razões da inscrição no PFCM e no final sobre o balanço da implementação desse

programa.

No tratamento e análise dos dados recolhidos através dos questionários procedemos de

forma diferenciada, tendo em conta o tipo de questões. Assim, nas questões que apresentavam

itens de resposta fechada e aberta, recorremos, respectivamente, a técnicas de estatística e à

análise de conteúdo.

Na apresentação dos resultados recorremos a percentagens organizadas em tabelas, para

os vários itens do questionário, agrupados em secções correspondentes às dimensões referidas

anteriormente.

Nos itens fechados, na sua análise, recorremos à estatística descritiva, determinando-se

frequências (em percentagem) e médias das respostas, neste último quando se tratava de itens

com escalas tipo Likert envolvendo opções de resposta desde ―Nunca ou raramente‖ a ―Sempre

ou quase sempre‖.

Recorremos também à estatística inferencial para procedermos à comparação dos

resultados do questionário inicial (antes da formação) com os do questionário final (após a

formação). Nos itens dicotómicos, de tipo nominal, utilizámos o teste McNemar por comparar as

frequências das respostas dadas antes e depois da formação. Nos itens de tipo intervalar

utilizámos o teste t para amostras emparelhadas, tendo sido codificadas as respostas de acordo

com a escala seguinte: 1 – correspondendo a ―Nunca ou Raramente‖; 2 – correspondendo a

―Algumas vezes‖; 3 – correspondendo a ―Muitas vezes‖; e 4 – correspondendo a ―Sempre ou

quase sempre‖. Na aplicação de qualquer deste dois testes usámos um nível de significância

estatística de 0,05.

No caso das questões abertas, procedemos à análise de conteúdo listando todas as




exemplificar as várias categorias a partir de excertos do texto escrito pelos professores,


147

5.1.1. Experiência pedagógica dos formandos

Neste ponto faremos uma apresentação do perfil dos professores que responderam aos

questionários, considerando a sua experiência profissional, nomeadamente no que se refere ao

desempenho de cargos e aos ciclos e anos leccionados.

No que se refere ao exercício de cargos, verificamos, pela Tabela 11, que 72,6% dos

professores já exerceu pelo menos um cargo ao longo da carreira, enquanto 27,4% nunca

desempenhou qualquer cargo. De entre os formandos que desempenharam cargos, constata-se

que cerca de metade apenas desempenhou um cargo, enquanto a outra metade já

desempenhou dois ou mais cargos.

Tabela 11 – Número de cargos desempenhados pelos formandos ao longo da

carreira

N.º de cargos desempenhados Percentagem (n=197)

Zero 27,4

Um 38,6

Dois ou mais 34,0

Relativamente aos cargos desempenhados, observando a Tabela 12, verifica-se a

predominância dos cargos relacionados com a coordenação escolar, designadamente de

Coordenador de escola, Representante de escola, Coordenador de ano escolar e Coordenador de

ciclo.

Tabela 12 – Cargos desempenhados pelos formandos ao longo da carreira

Cargos desempenhados Percentagem (n=197)

Coordenador de escola 42,1

Representante de escola 22,8

Coordenador de ano escolar 26,4

Coordenador de ciclo 14,7

Outros cargos 14,2

De acordo com os resultados apresentados na Tabela 13, verificamos que cerca de três

quartos dos professores (75,1%) só leccionou no 1.º ciclo do Ensino Básico, enquanto os

restantes 24,9% tiveram também experiência de leccionação no 2.º ciclo e/ou no 3.º ciclo. Esta

situação decorre do facto de muitos professores em exercício no primeiro ciclo serem detentores

de licenciaturas em variantes que lhes permitem leccionar até ao 6.º ano de escolaridade.

148

Tabela 13 – Ciclos em que os formandos leccionaram ao longo da carreira

Ciclos em que leccionaram Percentagem (n=197)

Só 1.º ciclo 75,1

1.º e outros ciclos 24,9

Da análise à Tabela 14 constata-se que a grande maioria dos professores (79,2%) já

leccionou todos os anos de escolaridade do 1.º ciclo do ensino básico, enquanto 11,2% tem

experiência em apenas dois anos de escolaridade e 7,6% já leccionou três anos de escolaridade

desse ciclo.

Tabela 14 – Anos do 1.º ciclo leccionados pelos formandos ao longo da carreira

Anos do 1.º ciclo em que leccionaram Percentagem (n=197)

Apenas um ano 1,0

Dois anos de escolaridade 11,2

Três anos de escolaridade 7,6

Apoio educativo 1,0

Todos 79,2

Em relação aos anos leccionados no ano lectivo 2007/2008, observamos pela Tabela 15

que a grande maioria dos professores leccionou apenas um ano de escolaridade (55,0%) ou dois

anos de escolaridade (29,4%). Dos formandos que leccionaram apenas um ano de escolaridade,

verifica-se uma distribuição relativamente uniforme pelos diferentes anos de escolaridade: 14,2%

no 1.º ano; 12,2% no 2.º ano; 17,4% no 3.º ano; e 11,2% no 4.º ano.

Tabela 15 – Anos do 1.º ciclo leccionados pelos formandos no ano lectivo

2007/2008

Anos do 1.º ciclo em que leccionaram Percentagem (n=197)

Nenhum (apoio educativo) 5,0

Apenas um ano 55,0

Dois anos de escolaridade 29,4

Três anos de escolaridade 5,0

Todos 5,6

Há, ainda, uma percentagem considerável de professores (40%) que lecciona na mesma

sala mais do que um ano de escolaridade, salientando-se com 29,4% dois anos de escolaridade.

Constatámos, por último, que 5% dos professores se encontrava na situação de apoio sócio-

educativo ou no ensino especial.

149

Em síntese, dos 197 formandos que participaram nesta fase do estudo, ao longo da

carreira docente, a grande maioria tinha desempenhado pelo menos um cargo escolar,

salientando-se os cargos de Coordenador de escola, Representante de escola e Coordenador de

ano escolar, tinha leccionado apenas no 1.º ciclo e em todos os anos de escolaridade e, no ano

lectivo de 2007/2008, leccionaram um ou dois anos escolares do 1.º ciclo.

5.1.2. Aspectos profissionais críticos

As razões da escolha da profissão foram apenas recolhidas no questionário inicial,

considerando-se não ser necessário voltar a colocar esta questão no questionário final.

Tabela 16 – Razões da escolha da profissão pelos formandos

Razões Percentagem (n=197)

Opção 25,4

Trabalho/emprego 6,1

Vocação 64,0

Outra 4,5

Pela Tabela 16 verifica-se que a vocação para a profissão docente é a razão mais

apontada pelos inquiridos, seguindo-se ser professor por opção e, finalmente, muito poucos

referem ter escolhido a profissão por razões de trabalho/emprego.

Quando confrontados com a questão: ―Hoje escolheria ser professor do 1.º ciclo?‖,

constata-se que mais de 30% não o faria aquando da aplicação do questionário inicial e

continuaria a não o fazer no fim da formação (ver Tabela 17). Salienta-se, no entanto, que a

maioria (mais de 60%) continuaria a escolher a profissão.

Tabela 17 – Reiteração da escolha da profissão de professor pelos formandos

Hoje escolheria ser professor do 1.º ciclo? Antes da formação

Percentagem (n=197) Após a formação

Percentagem (n=197)

Sim 66,5 63,5

Não 33,5 33,0

Não responde 0 3,5

Em termos de significância estatística, a aplicação do teste de McNemar não determinou

diferenças estatisticamente significativas entre as frequências das respostas no questionário

inicial e final.

150

Avançando para as razões da possível escolha actual da profissão, particularmente os

motivos pelos quais a voltaria a escolher, constatamos que é salientado o gosto pelo ensino e,

desta vez, com menos expressão a vocação (ver Tabela 18).

Tabela 18 – Razões por que escolheria ou não actualmente a profissão

Razões da escolha ou não da profissão Antes da formação


Percentagem (n=197)

Por que escolheria a profissão?

Por gosto 53,9 46,2

Vocação 9,6 7,6

Por que não escolheria a profissão?

Forma como os professores são tratados 17,3 14,2

Política educativa 8,2 7,7

Desmotivação 3,0 2,0

Stress diário 2,5 1,0

Seguir outra licenciatura 1,5 0,5

Pressões externas 0,5 0,5

Nunca foi a primeira escolha 0,5 0,5

Mais carga horária que os outros ciclos 0 0,5

Ainda não tenho lugar num outro ciclo 0,5 0,5

Não responde 2,5 18,8

Relativamente aos motivos pelos quais não voltariam a escolher a docência, enquanto

profissão, destacam-se aspectos relacionados com a ―forma como os professores têm sido

tratados‖ e com as ―políticas educativas‖ implementadas.

Fazendo uma comparação dos resultados obtidos no início e no fim da formação,

constatamos que não houve grandes alterações.

As respostas à questão: ―Se tivesse oportunidade mudaria de profissão‖, estão

apresentadas na Tabela 19. Neste caso, embora a maioria dos professores afirme que mesmo

tendo oportunidade não mudaria de profissão, constata-se existir uma percentagem significativa

de professores afirmando que se tivessem oportunidade mudariam de profissão (acima dos

30%), quer antes quer depois da formação.

151

Tabela 19 – Possibilidade de mudança de profissão

Se tivesse oportunidade mudaria de profissão?

Antes da formação Percentagem (n=197)

Após a formação Percentagem (n=197)

Sim 38,6 36,5

Não 59,4 59,4


Comparando os resultados obtidos no início e no fim da formação, verifica-se que a

aplicação do teste de McNemar não determinou diferenças estatisticamente significativas.

Analisando a Tabela 20, observamos que as duas principais razões para o

descontentamento com a profissão são a política educativa implementada, com 35,5% de

respostas nos dois questionários, e a imagem negativa do professor na sociedade, com 32,5%

de respostas no início e 29,4% no final.

Tabela 20 – Razões do descontentamento com a profissão

No caso de ter respondido sim à questão anterior, indique as razões do seu descontentamento com a profissão



Baixa remuneração 14,7 18,3

Falta de realização profissional 9,6 7,1

Imagem negativa do professor na sociedade 32,5 29,4

Política educativa 35,5 35,5

Outra 3,6 3,6


Para verificarmos se houve mudança de opinião dos participantes, comparámos as suas

respostas antes e depois da formação através da aplicação do teste de McNemar. Para isso, as

respostas foram dicotomizadas em ―Sim‖ (correspondente a um dos motivos pelos quais

mudaria de profissão) e ―Não‖ (quando esse motivo não era assinalado). Após a aplicação do

teste, verificámos que não houve alterações significativas em nenhuma das opções

estabelecidas.

Os resultados apresentados na Tabela 21 reportam-se a uma questão feita apenas no

questionário inicial, com o intuito de perceber a relação dos professores inquiridos com a

Matemática, enquanto alunos. Por essa tabela, podemos verificar que a maioria dos professores

afirma que, enquanto aluno, gostava de estudar Matemática (51,3%), havendo mesmo bastantes

professores que gostavam muito (25,9%). Apesar desta tendência positiva, mais de 20% afirma

que não gostava ou gostava pouco.

152

Tabela 21 – Gosto pelo estudo da Matemática, enquanto aluno

Enquanto aluno gostava de estudar Matemática? Percentagem (n=197)

Gostava muito 25,9

Gostava 51,3

Gostava pouco 14,7

Não gostava 7,1

Não responde 1,0

No caso do ensino, a maioria dos respondentes afirma gostar ou gostar muito de ensinar

Matemática em ambos os questionários. Salienta-se a alteração verificada na opção ―gosto

muito‖, passando de 36% antes da formação para 45,7% no final da formação.

Tabela 22 – Gosto pelo ensino da Matemática

Gosta de ensinar Matemática? Antes da formação


Percentagem (n=197)

Gosto Muito 36,0 45,7

Gosto 57,4 49,2

Gosto pouco 5,6 3,6

Não gosto 0 0


Depois de codificadas as opções de resposta – 4 correspondendo a ―gosto muito‖, …, até

1 correspondendo a ―não gosto‖, obtiveram-se os seguintes valores para as médias: no início

formação 3,3x e no final 4,3x . Além disso, a aplicação do teste t para amostras

emparelhadas determinou diferenças estatisticamente significativas ( 010,0p ).

De acordo com estes resultados, há fortes evidências de que a formação influiu

positivamente no gosto dos professores pelo ensino da Matemática.

Para mais de 80% dos respondentes os seus professores influenciaram, em maior ou

menor grau, o seu gosto pela Matemática (ver Tabela 23). Destes, mais de 20% considera que

essa influência foi particularmente importante, ao escolherem a opção ―Sim, muito‖. Apenas

16,2% refere que não houve influência dos professores no seu gosto pela disciplina de

Matemática.

153

Tabela 23 – Influência dos professores no gosto pela Matemática

Os professores que teve influenciaram o seu gosto pela matemática?

Percentagem (n=197)

Sim, muito 23,9

Sim 38,1

Sim, mas pouco 21,8

Não 16,2

A maioria dos professores (53,8%) afirma que a acção de formação influenciou

positivamente e muito o seu gosto pela Matemática (ver Tabela 24). Apenas 2,5% dos

respondentes afirmou que a acção não teve influência no seu gosto pela disciplina. Estes

resultados reforçam os resultados apresentados na Tabela 22, onde observámos um aumento

significativo no gosto dos professores formandos pelo ensino da Matemática após a formação.

Tabela 24 – Influência da formação no gosto pela Matemática

A Formação que frequentou influenciou, positivamente, o seu gosto pela Matemática?

Percentagem (n=197)

Sim, muito 53,9

Sim 38,6

Sim, mas pouco 2,5

Não 2,5

Não responde 2,5

Enquanto estudantes, os resultados escolares dos professores inquiridos, na disciplina de

Matemática, foram bons ou muito bons para 55,4% dos casos, satisfatórios para 42,6% dos

casos, enquanto para 1,5% foram insuficientes e para 0,5% muito fracos.

Tabela 25 – Resultados escolares à disciplina de Matemática

Os seus resultados escolares à disciplina de Matemática globalmente foram:

Percentagem (n=197)

Muito bons 10,7

Bons 44,7

Satisfatórios 42,6

Insuficientes 1,5

Muito fracos 0,5

Do ponto de vista dos professores inquiridos, observando a Tabela 26, conclui-se que os

aspectos mais assinalados para a melhoria da aprendizagem da Matemática são, no que diz

respeito às condições de trabalho, a necessidade de um melhor apetrechamento das escolas

154

com materiais didácticos (assinalado por mais de 190 professores em qualquer dos dois

questionários), a redução do número de alunos por turma (indicada por mais de 70% dos

professores) e a carência de equipamentos (para mais de 50% dos professores).

Tabela 26 – Aspectos fundamentais para a melhoria da aprendizagem da

Matemática

Indique os aspectos que considera fundamentais para a melhoria da aprendizagem da Matemática



Melhoria das condições de trabalho

Equipamentos 55,8 55,8

Materiais didácticos 97,5 97,0

Espaços 20,3 25,9

Menor número de alunos por turma 74,6 72,1

Outra 3,6 6,1

Mais formação

Matemática durante a formação inicial 35,0 34,0

Pedagógico-didáctica durante a formação inicial

54,3 49,2

Contínua 78,7 76,1

Valorização social

Remuneração 23,9 27,4

Imagem social da profissão 56,3 51,3

Estabilidade profissional 72,6 68,0

Outra 1,5 1,5

Sistema de ensino

Reformulação de programas 67,5 72,1

Regime de pluridocência 25,9 26,4

Outra 3,6 4,1

Mais de 75% dos professores refere, em ambos os questionários, que deveria haver mais

formação contínua. No que se refere à formação inicial, apenas 35% no questionário inicial e

34% no final, consideram que deveria haver mais formação Matemática. Já a formação

pedagógico-didáctica é referida por cerca de metade dos professores em ambos os

questionários.

Quanto à valorização social da profissão, a maioria considera ser necessária uma maior

estabilidade profissional e uma valorização da imagem social da profissão.

Por último, no que concerne ao Sistema de Ensino, a maioria, nos dois questionários,

considera importante a reformulação de programas.

155

Numa análise global, verifica-se que respostas são idênticas no início e no fim da

formação, não se registando alterações significativas após a formação.

Em síntese, verificámos que a vocação para o ensino foi a razão mais apontada pelos

professores como fundamento da sua escolha da profissão. Perante a questão: ―Hoje escolheria

ser professor do 1.º ciclo?‖, cerca de um terço dos inquiridos não o faria, sendo ainda maior o

número de formandos que, tendo oportunidade, mudaria de profissão. Relativamente aos

motivos deste descontentamento salientam-se a discordância face à política educativa

implementada e a imagem negativa do professor na sociedade.

Quando foi pedido para indicarem a sua relação com a Matemática, enquanto estudantes

e enquanto professores, registámos que apenas uma minoria dos formandos não gostava ou

gostava pouco de estudar Matemática, sendo ainda menos os que não gostavam de a ensinar.

Particularmente, no que se refere ao gosto pelo ensino da disciplina de Matemática, verificou-se

uma influência positiva da formação, tendo-se registado, pela aplicação do teste t para amostras

emparelhadas, diferenças estatisticamente significativas entre o início e o fim da formação. Este

resultado é reforçado pela opinião manifestada pelos formandos, ao afirmarem (em 95% dos

casos) que a acção de formação influenciou positivamente no seu gosto pela disciplina.

Enquanto alunos, estes formandos revelaram uma boa relação com a disciplina de

Matemática, tendo-se registado apenas 2,0% com resultados escolares insatisfatórios.

Por último, no que se refere aos aspectos considerados fundamentais para a melhoria da

aprendizagem da Matemática, são apontados, com maior percentagem, a melhoria das

condições de trabalho, nomeadamente o apetrechamento das escolas com mais materiais

didácticos e a redução do número de alunos por turma, a necessidade de mais formação

contínua, a valorização do papel do professor, uma maior estabilidade profissional e a

reformulação dos programas.

5.1.3. Perspectivas sobre a Matemática

Quando confrontados com a necessidade de apontar os motivos pelos quais é valorizado o

papel da Matemática, verificamos, pela Tabela 27, que mais de 70% dos professores apontam a

importância para perceber o espaço que nos rodeia. Há, ainda uma percentagem considerável,

sempre acima dos 60%, que salientam a sua importância para fazer cálculos e exercer uma

cidadania esclarecida e crítica. As opções menos valorizadas são as que se referem ao acesso a

um melhor curso ou emprego.

156

Por observação da Tabela 27, conclui-se que os resultados são idênticos nos dois

momentos, não havendo alterações significativas após a frequência do Programa de formação.

Tabela 27 – Importância da Matemática

Para si, a Matemática é importante para: Antes da formação


Percentagem (n=197)

Fazer cálculos 68,5 62,9

Perceber o espaço que nos rodeia 75,1 77,7

Exercer uma cidadania esclarecida e crítica 62,4 68,5

Ter acesso a um melhor emprego 26,9 24,9

Ter acesso a um melhor curso 25,9 24,4

Outra 6,6 3,6

Na Tabela 28 apresentamos a opinião dos professores sobre as metodologias que melhor

promovem a aprendizagem dos alunos em Matemática. Numa primeira observação, em ambos

os momentos, verificamos que a resolução de problemas relacionados com o dia-a-dia é a opção

que mais professores seleccionaram, seguindo-se a exposição e discussão entre os alunos das

suas ideias, o trabalho com os colegas (em pares ou pequenos grupos), a descoberta dos

conceitos e a participação dos alunos na avaliação do seu trabalho.

Tabela 28 – Aprendizagem da Matemática

Os seus alunos aprendem melhor Matemática quando:



Resolvem muitos exercícios repetitivos 32,0 15,7

O professor mostra como fazer 41,1 31,5

Descobrem por eles próprios os conceitos 66,0 73,6

Resolvem problemas relacionados com o seu dia-a-dia

85,8 89,3

Expõem e discutem as suas ideias e as dos outros

76,6 82,7

Escutam atentamente as ideias de outros que são mais competentes (seja o professor ou outros alunos)

31,0 30,5

Trabalham com os seus colegas, em pares ou pequenos grupos

75,6 76,6

Trabalham individualmente 27,9 25,9

Participam na avaliação do seu trabalho 53,9 68,5

Outra 2,0 0,5

157

Entre os dois momentos podem-se detectar algumas alterações nas respostas dadas pelos

formandos antes e após a frequência do PFCM. Uma das modificações reporta-se à opção

―resolvem muitos exercícios repetitivos‖, onde é evidente uma diminuição significativa do

número de respondentes a assinalá-la, passando de 32%, no questionário inicial, para 15,7%, no

final. Uma diminuição menos expressiva, mas ainda assim na ordem dos 10%, foi registada na

opção de resposta ―o professor mostra como fazer‖.

Por outro lado registou-se um aumento nas opções: ―Descobrem por eles próprios os

conceitos‖; ―Resolvem problemas relacionados com o seu dia-a-dia‖; ―Expõem e discutem as

suas ideias e as dos outros‖ e ―Participam na avaliação do seu trabalho‖.

Nesta questão foi aplicado o teste de McNemar, procedendo à dicotomização das

respostas em ―Sim‖ (assinala a opção como sendo uma das formas pela qual os alunos

aprendem melhor Matemática) e ―Não‖ (quando a opção não é assinalada). De acordo com os

resultados obtidos pela aplicação do teste, verificaram-se alterações significativas nas opções:

Resolvem muitos exercícios repetitivos ( 000,0p ); O professor mostra como fazer ( 034,0p

); Descobrem por eles próprios os conceitos ( 045,0p ); e Participam na avaliação do seu

trabalho ( 000,0p ).

Com o intuito de saber quais as finalidades para o ensino da Matemática mais valorizadas

pelo formandos e verificar a eventual mudança de opinião produzida pela formação, pedimos

aos professores que assinalassem as três finalidades que considerassem mais importantes. Os

resultados desta questão estão apresentados na Tabela 29.

158

Tabela 29 – Finalidades para o ensino da Matemática

Assinale, de entre as finalidades para o ensino da Matemática que se seguem, as três que considera mais importantes

Antes da formação Percentagem

(n=197)

Após a formação Percentagem

(n=197)

Desenvolver a capacidade de utilizar a Matemática como instrumento de interpretação e de intervenção no real.

49,2 48,2

Promover a estruturação do indivíduo no campo do pensamento, desenvolvendo os conceitos de espaço, tempo e quantidade, ou estabelecendo relações lógicas, avaliando e hierarquizando.

55,8 54,8

Desenvolver as capacidades de raciocínio e resolução de problemas, de comunicação, bem como a memória, o rigor, o espírito crítico e a criatividade.

87,8 84,8

Facultar as capacidades de aprender a aprender e condições que despertem o gosto pela aprendizagem permanente.

39,1 38,6

Promover a realização pessoal mediante o desenvolvimento de atitudes de autonomia e cooperação.

17,3 20,3

Promover o aprofundamento de uma cultura científica, técnica e humanística que constitua suporte cognitivo e metodológico tanto para o prosseguimento de estudos como para a inserção na vida activa.

45,7 42,6

Contribuir para uma atitude positiva face à Ciência. 4,1 5,6

Segundo os resultados apresentados na Tabela 29 e atendendo à percentagem de

respondentes que assinalou cada uma das finalidades enunciadas chegámos, nos dois

questionários, à seguinte ordenação:

1. Desenvolver as capacidades de raciocínio e resolução de problemas, de comunicação,

bem como a memória, o rigor, o espírito crítico e a criatividade;

2. Promover a estruturação do indivíduo no campo do pensamento, desenvolvendo os

conceitos de espaço, tempo e quantidade, ou estabelecendo relações lógicas, avaliando e

hierarquizando;

3. Desenvolver a capacidade de utilizar a Matemática como instrumento de interpretação

e de intervenção no real;

4. Promover o aprofundamento de uma cultura científica, técnica e humanística que

constitua suporte cognitivo e metodológico tanto para o prosseguimento de estudos como para a

inserção na vida activa;

5. Facultar as capacidades de aprender a aprender e condições que despertem o gosto

pela aprendizagem permanente;

159

6. Promover a realização pessoal mediante o desenvolvimento de atitudes de autonomia e

cooperação;

7. Contribuir para uma atitude positiva face à Ciência.

Sintetizando, a maioria dos professores, sempre acima dos 60%, afirma que a Matemática

é importante para perceber o espaço que nos rodeia, fazer cálculos e exercer uma cidadania

esclarecida e crítica.

Para os docentes, os alunos aprendem melhor Matemática quando resolvem problemas

relacionados com o dia-a-dia, expõem e discutem as suas ideias e as dos outros; trabalham com

os seus colegas, em pares ou pequenos grupos. Os aspectos relacionados com a aprendizagem

da Matemática, em particular, no que se refere ao trabalho a desenvolver na sala de aula, por

aplicação do teste de McNemar, registaram várias alterações significativas na opinião dos

professores após a formação, designadamente ao atribuírem menor importância a uma

metodologia de trabalho centrada no professor – O professor mostra como fazer – e ao trabalho

rotineiro – Resolvem muitos exercícios repetitivos – e passando a dar mais ênfase ao papel

activo do aluno na sua aprendizagem – Descobrem por eles próprios os conceitos e Participam

na avaliação do seu trabalho.

Quando confrontados com a necessidade de assinalar num conjunto de finalidades para o

ensino da Matemática, as três consideradas mais importantes, os formandos assinalaram mais

frequentemente: 1. Desenvolver as capacidades de raciocínio e resolução de problemas, de

comunicação, bem como a memória, o rigor, o espírito crítico e a criatividade; 2. Promover a

estruturação do indivíduo no campo do pensamento, desenvolvendo os conceitos de espaço,

tempo e quantidade, ou estabelecendo relações lógicas, avaliando e hierarquizando; e 3.

Desenvolver a capacidade de utilizar a Matemática como instrumento de interpretação e de

intervenção no real.

5.1.4. Preparação das práticas lectivas

A preparação das práticas lectivas, nomeadamente no que se refere à frequência e

referências utilizadas na planificação das aulas de Matemática foi objecto de indagação. Pela

Tabela 30, concluímos que a frequência com que as aulas são planificadas difere bastante,

prevalecendo, no entanto, a periodicidade diária.

160

Tabela 30 – Planificação de aulas de Matemática

Com que frequência planifica as suas aulas de Matemática?

Antes da formação Após a formação

Percentagem (n=197) Percentagem (n=197)

Anualmente 1,0 1,5

Trimestralmente 1,5 2,5

Mensalmente 13,2 17,8

Semanalmente 20,3 21,8

Diariamente 43,7 34,5

Anual, Trimestral e Diária 20,3 20,4

Não responde 0 1,5

Na Tabela 31 apresentamos as referências utilizadas pelos professores formandos quando

planificam as suas aulas. Por observação da Tabela verificamos que, em ambos os momentos,

mais de metade dos formandos referem usar ―Muitas vezes/Sempre ou quase sempre‖

qualquer das referências consideradas, exceptuando o caso dos ―Guias ou livros do professor‖,

destacando-se uma grande maioria que recorrem aos Conteúdos programáticos, às

Competências definidas para a disciplina, aos Objectivos e à Experiência pessoal.

Tabela 31 – Referências usadas pelos professores na planificação das aulas de

Matemática

Quando prepara as suas aulas de Matemática apoia-se em:

Nunca ou raramente/

Algumas vezes

Muitas vezes/ Sempre ou

quase sempre Média Desvio Padrão

Antes Após Antes Após Antes Após Antes Após

a) Objectivos 16,8 17,3 83,2 82,7 3,2 3,2 0,73 0,70

b) Conteúdos programáticos 5,6 8,6 94,4 91,4 3,3 3,3 0,62 0,65

c) Orientações metodológicas 29,9 23,9 70,1 76,1 2,9 3,0 0,75 0,73

d) Competências definidas para a disciplina

11,7 8,1 88,3 91,9 3,2 3,3 0,66 0,62

e) Experiência pessoal 17,3 21,3 82,7 78,7 3,1 3,0 0,68 0,72

f) Guias ou livros do professor

52,8 60,4 47,2 39,6 2,5 2,3 0,81 0,80

g) Orientações curriculares a nível de escola

48,7 47,2 51,3 52,8 2,5 2,5 0,86 0,76

h) Manuais escolares 36,0 41,1 64,0 58,9 2,7 2,7 0,76 0,80

A análise atenta à Tabela permite observar pequenas diferenças nas respostas antes e

após a formação. Para podermos proceder à ordenação das referências utilizadas codificámos

as opções de resposta desde 1, a que correspondia a opção ―nunca ou raramente‖, até 4,

correspondente à opção ―sempre ou quase sempre‖. Com este procedimento foi possível

161

calcular as médias e os desvios padrão com que cada uma das opções apresentadas é utilizada

no grupo dos formandos, que constam da Tabela 31. Na Tabela 32 são apresentadas, por

ordem decrescente do valor da média, as várias referências utilizadas antes e após a formação.

Tabela 32 – Ordenação das referências usadas na planificação das aulas de

Matemática


Conteúdos programáticos Conteúdos programáticos

Competências definidas para a disciplina Competências definidas para a disciplina

Objectivos Objectivos

Experiência pessoal Experiência pessoal

Orientações metodológicas Orientações metodológicas

Manuais escolares Manuais escolares

Guias ou livros do professor Orientações curriculares a nível de escola

Orientações curriculares a nível de escola Guias ou livros do professor

Entre estes dois momentos de formação mantém-se a ordenação das diferentes

referências, exceptuando o caso das referências Guias ou livros do professor e Orientações

curriculares a nível de escola, que trocaram de posição. Considerando os valores das médias,

antes e após a formação, constatamos um maior aumento no caso das opções Competências

definidas para a disciplina e Orientações metodológicas, e uma maior diminuição na opção

Guias ou livros do professor. A aplicação do teste t para amostras emparelhadas determinou

diferenças estatisticamente significativas nas opções: Competências definidas para a disciplina (

025,0p ) e Guias ou livros do professor ( 002,0p ). Verificamos ainda que na opção

Orientações metodológicas se registou um valor no limite da significância estatística considerada

( 050,0p ).

A Tabela 33 evidencia, no que diz respeito à preparação das aulas de Matemática, que a

maioria dos professores planifica, muitas vezes ou quase sempre, as suas aulas individualmente.

Verifica-se, ainda, que após a formação, a percentagem de formandos que assinalou a opção

com colegas da escola que leccionam os mesmos anos escolares aumentou cerca de 12%.

162

Tabela 33 – Formas de preparação das aulas de Matemática

Prepara as suas aulas de Matemática:

Nunca ou raramente/

Algumas vezes




a) Individualmente 12,2 11,7 87,8 88,3 3,5 3,4 0,85 0,79

b) Com colegas da escola que leccionem os mesmos anos escolares

67,5 55,8 32,5 44,2 2,1 2,4 0,99 0,99

c) Com outros colegas da escola

84,3 87,3 15,7 12,7 1,7 1,7 0,75 0,71

d) Com colegas de outras escolas

85,8 83,8 14,2 16,2 1,7 1,8 0,83 0,84

Podemos verificar ainda que, à excepção desta (opção b), as percentagens de respostas

dadas em cada uma das outras opções são muito idênticas no início e no fim da acção de

formação.

Depois de codificadas as opções de resposta − em que 4 corresponde a ―sempre ou

quase sempre‖, e 1 corresponde a ―nunca ou raramente‖, obtiveram-se os valores para as

médias de frequência de cada uma das opções definidas, que constam da Tabela 33. A partir

desses valores obteve-se a ordenação, por ordem decrescente do valor da média, das formas de

planificação das aulas de Matemática, apresentada na Tabela 34.

Tabela 34 – Ordenação das formas de preparação das aulas de Matemática


Individualmente Individualmente

Com colegas da escola que leccionem os mesmos anos escolares

Com colegas da escola que leccionem os mesmos anos escolares

Com colegas de outras escolas Com colegas de outras escolas

Com outros colegas da escola Com outros colegas da escola

Apesar de os resultados serem idênticos nos dois questionários, verificou-se com a

aplicação do teste t para amostras emparelhadas diferenças estatisticamente significativas na

opção com colegas da escola que leccionem os mesmos anos escolares ( 01,0p ). Esta

situação evidencia uma influência positiva da formação no desenvolvimento de um trabalho

colaborativo entre os professores.

Em síntese, os resultados referentes à dimensão de preparação das práticas lectivas

revela-nos uma grande diversidade na frequência com que são planificadas as aulas. A opção

163

diariamente foi a que recolheu maior número de respostas, salientando-se ainda as opções

anualmente, trimestralmente e mensalmente com uma percentagem muito reduzida de

respostas, o que indicia a pouca importância atribuída à planificação das aulas a longo e a

médio prazo.

As referências mais utilizadas na planificação das aulas são os conteúdos programáticos,

as competências e os objectivos definidos para a disciplina. É evidente nos resultados dos

questionários que a preparação das aulas é sobretudo um processo individual, sendo pouco

habitual um trabalho colaborativo. Quando planificam em conjunto, fazem-no essencialmente

com outros colegas da mesma escola que leccionam os mesmos anos de escolaridade.

Após a implementação da formação, verificou-se um aumento do valor da média,

estatisticamente significativo, nas opções Competências definidas para a disciplina e Guias ou

livros do professor e no limite da significância estatística na opção Orientações metodológicas,

enquanto referências usadas pelos formandos na preparação das aulas. Verificou-se também um

aumento do valor da média, estatisticamente significativo, na opção Com colegas da escola que

leccionem os mesmos anos escolares, enquanto forma de preparação das aulas de Matemática.

5.1.5. Práticas lectivas de sala de aula

Em geral, o conhecimento de materiais didácticos utilizados no ensino da Matemática é,

em alguns casos, deficitário antes da formação. Desses materiais, salienta-se um menor

conhecimento das miras, polydrons e curvímetros.

164

Tabela 35 – Conhecimento de materiais didácticos

Para cada um dos materiais seguintes, assinale os que não conhece



a) Material Multibásico 10,2 1,0

b) Geoplanos 0,5 1,5

c) Tangran 0,5 1,5

d) Miras 62,9 26,5

e) Conjunto de sólidos geométricos 0,0 2,0

f) Conjunto de poliedros regulares 7,1 4,1

g) Polydrons 52,8 29,6

h) Cubinhos fixáveis 18,3 15,3

i) Barras de Cuisenaire 18,8 3,6

j) Blocos Padrão 31,5 20,4

k) Curvímetros 47,2 24,0

l) Fita métrica 0,5 2,6

m) Blocos Lógicos 0,0 1,5

n) Ábacos 0,5 1,0

Após a frequência do PFCM, verificamos que o conhecimento dos professores melhorou

em relação a quase todos os materiais. Salienta-se esta tendência no caso das Miras, passando

o seu desconhecimento de 62,9% para 26,5%; dos Polydrons, onde a percentagem de

desconhecimento diminuiu de 52,8% para 29,6% e os curvímetros, que passaram de 47,2% para

24%.

Uma análise atenta à tabela permite ainda detectar uma melhoria significativa no

conhecimento do material Multibásico e das Barras de Cuisenaire.

Observando a Tabela 36 e fazendo uma análise global à mesma, verificamos um

predomínio na utilização de exercícios e problemas como situações de trabalho apresentadas

pelos professores na sala de aula. No extremo oposto, com pouca frequência de utilização,

encontra-se o uso da História da Matemática.

165

Tabela 36 – Situações de trabalho na sala de aula

Para cada uma das situações de trabalho na sala de aula apresentadas a seguir, assinale a frequência com que as explora nas suas aulas

Nunca ou raramente/

Algumas vezes




a) Exercícios 7,1 10,2 92,9 89,8 3,3 3,2 0,58 0,57

b) Problemas 19,8 8,1 80,2 91,9 3,0 3,1 0,60 0,48

c) Exposição pelo professor 42,6 51,3 57,4 48,7 2,7 2,6 0,73 0,72

d) Trabalho com situações da realidade

32,5 15,2 67,5 84,8 2,8 3,1 0,63 0,60

e) Discussão entre alunos 54,8 33,5 45,2 66,5 2,5 2,8 0,69 0,70

f) Actividades de exploração 44,2 40,1 55,8 59,9 2,6 2,7 0,68 0,69

g) História da Matemática 93,4 92,9 6,6 7,1 1,6 1,6 0,63 0,63

h) Actividades de investigação

81,7 70,6 18,3 29,4 2,0 2,2 0,66 0,67

i) Trabalho individual 19,3 19,8 80,7 80,2 3,0 2,9 0,63 0,56

j) Trabalho de grupo 48,2 40,1 51,8 59,9 2,5 2,7 0,60 0,61

k) Trabalho de pares 52,8 42,1 47,2 57,9 2,5 2,6 0,64 0,63

l) Trabalho de Projecto 80,7 78,2 19,3 21,8 2,0 2,0 0,68 0,70

Para melhor destacar qual ou quais as situações de trabalho mais utilizadas na sala de

aula pelos professores e verificar se houve alterações significativas entre a situação anterior e

posterior à frequência do programa de formação, procedemos como para a questão anterior,

codificámos as opções de resposta de acordo com a sua frequência de utilização (desde 1 até 4)

e calculámos as médias das frequências, que constam da Tabela 36. Depois de ordenados, por

ordem decrescente do valor da média, obtiveram-se os resultados apresentados na Tabela 37.

Tabela 37 – Ordenação das situações de trabalho na sala de aula


Exercícios Trabalho individual Problemas Trabalho com situações da realidade Exposição pelo professor Actividades de exploração Trabalho de grupo Discussão entre alunos Trabalho de pares Actividades de investigação Trabalho de Projecto História da Matemática

Exercícios Problemas Trabalho com situações da realidade Trabalho individual Discussão entre alunos Actividades de exploração Trabalho de grupo Trabalho de pares Exposição pelo professor Actividades de investigação Trabalho de Projecto História da Matemática

166

Analisando as Tabelas 35 e 36, notamos que a formação exerceu influência na frequência

com que são exploradas e implementadas determinadas tarefas ou formas de trabalho na sala

de aula. Se atendermos, ainda, aos resultados da aplicação do teste t para amostras

emparelhadas, observaram-se diferenças, estatisticamente significativas, entre as médias antes e

após a formação nas seguintes situações de trabalho de sala de aula:

− relativamente ao trabalho com situações da realidade, tendo havido um aumento na

frequência de utilização ( 000,0p );

− no que concerne à discussão entre alunos, tendo-se observado um aumento significativo

da sua frequência de utilização ( 000,0p );

− em relação às actividades de investigação, que passaram a ser utilizadas com mais

frequência ( 000,0p );

− no trabalho de pares, tendo-se registado um aumento significativo na sua

implementação na sala de aula ( 000,0p );

− tal como o trabalho de pares, também o trabalho de grupo passou a ser implementado

com maior frequência na sala de aula ( 007,0p );

− no que se refere aos problemas, houve um aumento significativo na frequência com que

passaram a ser utilizados ( 009,0p );

− finalmente, em relação aos exercícios, embora mantendo-se no fim da formação como

uma das tarefas que os professores mais utilizam, houve uma diminuição significativa na

frequência com que foram apresentados ( 013,0p );

No caso da exposição pelo professor, que passou a ser utilizada com menos frequência,

obteve-se uma alteração próxima da significância estatística ( 051,0p ).

Em relação às restantes situações, verificou-se que:

− a utilização de actividades de exploração e o trabalho de projecto mantiveram-se

sensivelmente iguais;

− a história da Matemática é das situações menos exploradas na sala de aula e manteve-

se sensivelmente igual;

− o trabalho individual passou a ser utilizado com menos frequência, não se registando

porém diferenças significativas.

167

Na Tabela 38 apresentamos os resultados referentes à frequência de utilização, pelos

formandos, de materiais para ensinar Matemática.

Tabela 38 – Frequência da utilização dos materiais para ensinar Matemática

Para cada um dos materiais apresentados a seguir, assinale a frequência com que os utiliza nas suas aulas para ensinar Matemática

Nunca ou raramente/

Algumas vezes




a) Manual adoptado 19,3 21,3 80,7 78,7 3,0 3,0 0,70 0,75

b) Calculadora 89,8 89,3 10,2 10,7 1,6 1,6 0,69 0,70

c) Jogos didácticos 51,8 44,2 48,2 55,8 2,5 2,6 0,59 0,63

d) Materiais manipuláveis 35,5 35,0 64,5 65 2,8 2,7 0,63 0,67

e) Computador 80,7 69,5 19,3 30,5 2,0 2,1 0,70 0,75

f) Fichas de trabalho do próprio professor

26,4 24,9 73,6 75,1 2,9 2,9 0,69 0,66

g) Fichas de trabalho de outros professores

61,4 67,0 38,6 33 2,3 2,2 0,76 0,72

h) Fichas de trabalho comerciais

75,6 72,1 24,4 27,9 2,1 2,1 0,70 0,74

i) Quadro preto 10,2 9,6 89,8 90,4 3,4 3,3 0,74 0,71

j) Compilação de textos 81,2 80,2 18,8 19,8 1,9 1,9 0,72 0,76

k) Trabalhos dos alunos 56,9 52,8 43,1 47,2 2,5 2,5 0,81 0,79

Tal como nos casos anteriores, tendo em conta as frequências com que os diferentes

materiais foram referidos, antes e após a formação, procedemos ao cálculo das médias das

frequências, que constam da Tabela 38. Os valores obtidos para as médias permitiram-nos

estabelecer a ordem de frequência da utilização dos materiais pelos professores. Na Tabela 39

podemos observar, por ordem decrescente dos valores das médias, as frequências de utilização

dos diferentes materiais.

168

Tabela 39 – Ordenação da frequência da utilização dos materiais para ensinar

Matemática


Quadro preto Manual adoptado Fichas de trabalho do próprio professor Materiais manipuláveis Jogos didácticos Trabalhos dos alunos Fichas de trabalho de outros professores Fichas de trabalho comerciais Computador Compilação de texto Calculadora

Quadro preto Manual adoptado Fichas de trabalho do próprio professor Materiais manipuláveis Jogos didácticos Trabalhos dos alunos Fichas de trabalho de outros professores Fichas de trabalho comerciais Computador Compilação de textos Calculadora

Analisando os resultados obtidos, verifica-se que, do antes para o após a formação, não se

verificou a alteração da ordem com que foram referidos. Constatamos ainda que o quadro preto

( 4,3x e 3,3x ) e os manuais escolares ( 0,3x e 0,3x ) foram os materiais mais

frequentemente utilizados. No extremo oposto aparecem a compilação de textos ( 9,1x e

9,1x ) e as calculadoras ( 6,1x e 6,1x ).

A aplicação do teste t para amostras emparelhadas determinou alterações significativas na

utilização de jogos didácticos ( 024,0p ) e do computador ( 029,0p ).

Quando questionamos os professores sobre as formas de avaliação utilizadas para avaliar

os alunos, verificamos que as três opções mais assinaladas foram: a participação na aula; as

fichas de trabalho (com um valor perto dos 100%) e os testes escritos (acima dos 85%).

Comparando os resultados obtidos antes e após formação, observam-se percentagens muito

semelhantes.

Tabela 40 – Formas de avaliação em Matemática

Quais das seguintes formas de avaliação utiliza na avaliação dos seus alunos em Matemática?



Testes escritos 88,8 85,2

Fichas de trabalho 97,5 98,5

Participação na aula 98,5 96,9

Trabalhos de casa 58,9 50,5

Registo de incidentes críticos 22,8 24,0

Grelhas de auto-avaliação 63,5 64,3

169

A aplicação do teste de McNemar, considerando a mudança de opinião para cada uma

das opções de resposta, determinou alterações significativas apenas na opção trabalhos de casa

( 017,0p ).

Sintetizando, verificamos que as situações de trabalho mais frequentes na sala de aula

são os exercícios e os problemas. No que diz respeito especificamente a estes dois tipos de

tarefas, verifica-se que antes da formação se utilizavam mais os exercícios e após a formação

valorizam-se mais os problemas. No entanto, este não é o único aspecto sobre o qual a

formação exerceu influência, pois verificaram-se outras alterações, aumentando a frequência

com que são utilizadas, nomeadamente no trabalho com situações da realidade; na discussão

entre alunos; nas actividades de investigação e no trabalho de pares/grupo. Sobressai, ainda, a

fraca valorização da utilização da História da Matemática nas aulas (mais de 92% dos

professores raramente as utiliza).

No que se refere à utilização de materiais, salienta-se o quadro; o manual escolar e as

fichas produzidas pelos próprios professores. Pouco utilizados são os computadores e as

calculadoras.

Relativamente às formas de avaliação utilizadas pelos professores, observa-se a

valorização da participação na aula, os resultados das fichas de trabalho e os testes de

avaliação.

5.1.6. Actividades extra-curriculares

A frequência com que são dinamizadas actividades extra-curriculares foi objecto de uma

questão. Pela Tabela 41 verificamos que a dinamização de concursos e/ou clubes de

Matemática é muito pouco frequente entre estes professores. Salienta-se, ainda, a baixa

frequência de dinamização de actividades tais como semana/dia da Matemática e problema da

semana/quinzena.

170

Tabela 41 – Frequência da dinamização de actividades extra-curriculares

De entre as actividades extra-curriculares apresentadas a seguir, assinale a frequência com que os seus alunos participam em cada uma delas

Nunca ou raramente/

Algumas vezes




a) Concursos de Matemática (na escola)

94,4 94,9 5,6 5,1 1,4 1,4 0,61 0,60

b) Semana/Dia da Matemática

88,3 88,3 11,7 11,7 1,6 1,6 0,76 0,77

c) Problema da semana/quinzena

72,1 61,9 27,9 38,1 2,0 2,2 0,95 0,98

d) Clubes/Laboratórios de Matemática

98,0 96,4 2,0 3,6 1,2 1,2 0,42 0,47

Após o cálculo da média das frequências, que constam da Tabela 41, ordenámos, por

ordem decrescente dos valores das médias, as diferentes opções de resposta, que se

apresentam na Tabela 42.

Tabela 42 – Ordenação da frequência da dinamização de actividades extra-

curriculares


Problema da semana/quinzena Semana/Dia da Matemática Concursos de Matemática (na escola) Clubes/Laboratórios de Matemática

Problema da semana/quinzena Semana/Dia da Matemática Concursos de Matemática (na escola) Clubes/Laboratórios de Matemática

Analisando os resultados apresentados na Tabela 42, verificamos valores para a média

compreendidos entre 1 (nunca ou raramente) e 2 (algumas vezes) para a dinamização de clubes

de Matemática. Situação semelhante verifica-se para os concursos de Matemática e na

dinamização de semanas ou dias dedicados à Matemática. Um pouco melhor, aparece a

promoção de problemas da semana/quinzena. Por aplicação do teste t, esta actividade foi a

única na qual se verificou uma alteração significativa após a formação ( 000,0p ).

5.1.7. Formação de professores

Nesta dimensão do questionário pretendíamos conhecer os interesses e necessidades de

formação dos professores em Matemática. Para isso, apresentámos um conjunto de nove

assuntos que poderiam ser abordados na formação, para que os professores os ordenassem de

acordo com os seus interesses/necessidades, considerando que o número 1 corresponderia ao

assunto mais importante, … até ao número 9 menos importante. Esta questão foi apresentada

nos dois questionários, antes e após a acção de formação, tendo-se registado os valores

apresentados na Tabela 43.

Tabela 43 – Interesses/necessidades de formação em Matemática

Assuntos

Antes Após Antes Após Antes Após Antes Após Antes Após Antes Após Antes Após Antes Após Antes Após

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Integração de conteúdos na perspectiva inter e multididisciplinar.

23,4 17,3 21,3 25,0 22,3 20,4 9,2 9,7 7,6 6,1 2,5 9,7 4,6 3,1 2,0 4,1 7,1 4,6

Ligação da Matemática à realidade através da resolução de problemas

36,0 38,3 35,6 34,2 21,4 18,9 3,0 2,6 0,5 0,5 0 1,5 1,0 1,5 2,0 1,0 0,5 1,5

Uso de materiais manipulativos na construção de conceitos

34,0 37,8 26,4 26,0 22,3 21,9 8,7 8,7 2,0 1,0 5,1 3,1 0 0,5 1,5 0,5 0 0,5

Geometria (igualdade geométrica, transformações, construções)

2,0 0 7,6 5,1 13,7 11,2 27,9 25,5 18,3 23,0 13,2 15,8 9,6 9,7 5,1 4,6 2,6 5,1

Avaliação da aprendizagem 2,0 2,6 2,0 4,6 8,1 11,7 17,8 19,4 8,1 14,3 14,2 11,2 14,2 13,3 11,3 11,2 22,3 11,7

Estatística e análise de dados 0,5 0,5 1,0 0 4,1 4,6 9,6 7,7 16,2 9,7 20,3 18,4 18,3 22,4 19,8 30,6 10,2 6,1

Estimativa e erros de medição 0 0 1,0 0 1,0 5,1 5,1 3,1 14,7 13,3 15,2 20,4 26,4 21,4 25,9 21,9 10,7 14,8

Padrões e regularidades 0,5 0,5 3,0 5,6 1,5 3,6 8,7 15,3 19,3 21,4 21,8 11,7 16,8 18,4 16,2 13,3 12,2 10,2

Uso de calculadoras e desenvolvimento das capacidades de cálculo e estimação

1,5 3,1 2,0 0 5,7 2,0 10,2 8,2 13,2 10,7 7,6 8,2 9,1 9,7 16,2 12,8 34,5 45,3

172

Para compararmos os resultados obtidos antes e após a participação dos formandos na

acção de formação, procedemos à ordenação desses assuntos. Para isso, utilizámos a

numeração atribuída a cada um dos assuntos, considerando o 1 como o mais importante e o 9

o menos importante. Calculámos, então, a média para cada um dos assuntos, ordenando-os,

por ordem crescente, dos valores das médias obtidas. Assim, foi possível obter a ordenação

apresentada na Tabela 44.

Tabela 44 – Ordenação dos interesses/necessidades de formação em Matemática


Ligação da Matemática à realidade através da resolução de problemas Uso de materiais manipulativos na construção de conceitos Integração de conteúdos na perspectiva inter e multididisciplinar Geometria (igualdade geométrica, transformações, construções) Avaliação da aprendizagem Padrões e regularidades Estatística e análise de dados Estimativa e erros de medição Uso de calculadoras e desenvolvimento das capacidades de cálculo e estimação

Ligação da Matemática à realidade através da resolução de problemas Uso de materiais manipulativos na construção de conceitos Integração de conteúdos na perspectiva inter e multididisciplinar Geometria (igualdade geométrica, transformações, construções) Avaliação da aprendizagem Padrões e regularidades Estatística e análise de dados Estimativa e erros de medição Uso de calculadoras e desenvolvimento das capacidades de cálculo e estimação

Analisando a tabela anterior, verificamos que a ordenação dos assuntos é a mesma antes

e após a acção de formação. Apesar disso, registámos valores para a média diferentes nos dois

momentos. Do antes para o após formação constatámos que os professores passaram a

considerar mais importantes os assuntos uso de materiais manipulativos na construção de

conceitos, avaliação da aprendizagem e padrões e regularidades.

A modalidade de formação considerada mais vantajosa e a sua duração ideal foram

objecto de indagação. Em relação à primeira questão, constatamos pela Tabela 45, que a

modalidade de formação preferida dos professores é a oficina, registando 45,2% das respostas.

Seguem-se, com muito menos expressão, os cursos de formação e a frequência de módulos e

seminários.

173

Tabela 45 – Modalidade de formação preferida (questionário inicial)

Que modalidade de formação considera mais vantajosa?

Percentagem (n=197)

Cursos 15,7

Módulos 12,2

Disciplinas singulares 8,7

Seminários 11,7

Oficinas 45,2

Estágios 2,5

Projectos 1,0

Círculo de Estudos 2,5

Não responde 0,5

No que se refere à duração ideal de uma acção de formação, registou-se uma alteração

expressiva na opção ―1 ano‖ (ver Tabela 46). Antes da participação no PFCM, apenas 16,2% dos

formandos considerava a duração de um ano como a ideal, enquanto após a sua participação na

formação a percentagem de respondentes que a assinalou aumentou para 41,1%. Todas as

outras opções recolheram menos respostas após a formação.

Tabela 46 – Duração ideal de uma acção de formação

Para si a duração ideal de uma acção de formação é:



1 dia 3,0 0

2 a 5 dias 11,7 3,0

Um mês 31,5 22,8

Mais de um mês 26,9 23,9

1 ano 16,2 41,1

Outra 10,2 5,1


Pela Tabela 47, notamos uma percentagem significativa de professores, perto de 50%,

que nunca frequentaram acções de formação no âmbito da Matemática. Observamos, ainda,

que 9,1% já frequentou quatro ou mais acções neste âmbito.

174

Tabela 47 – Frequência de acções de formação no âmbito da Matemática

(questionário inicial)

Ao longo do seu percurso profissional quantas acções de formação frequentou no âmbito da Matemática?

Percentagem (n=197)

Zero 47,7

Uma 15,7

Duas 8,2

Três 3,6

Quatro ou mais 9,1

Não responde 15,7

De acordo com os resultados apresentados na Tabela 48, constata-se que para mais de

80% dos inquiridos a experimentação de novos materiais/troca de experiências e a abordagem

de novas estratégias/metodologias de ensino foram os aspectos da formação que mais

contribuíram para o seu desenvolvimento profissional. São, também, de salientar a reflexão

promovida sobre as aulas e o trabalho desenvolvido nas sessões conjuntas com 70,1% e 68,5%,

respectivamente.

Menos importantes parecem ter sido a presença do formador na sala de aula (35,5%) e a

construção do portefólio (17,3%).

Tabela 48 – Aspectos que mais contribuíram para o desenvolvimento profissional

(questionário final)

Assinale, se for caso disso, os aspectos que mais contribuíram para o seu desenvolvimento profissional.

Percentagem (n=197)

O trabalho desenvolvido nas sessões conjuntas 68,5

A presença do formador na sala de aula 35,5

A construção do Portefólio 17,3

A experimentação de novos materiais/troca de experiências

83,8

A abordagem de novas estratégias/metodologias de ensino

85,3

A reflexão sobre as aulas 70,1

Sintetizando, constatámos que relativamente aos interesses e necessidades de formação,

os professores passaram a considerar mais importantes os assuntos: uso de materiais

manipulativos na construção de conceitos; avaliação da aprendizagem e padrões e

regularidades.

175

No que diz respeito às acções de formação, a modalidade preferida é a oficina. No entanto

quase 50% dos inquiridos nunca havia realizado formação no âmbito da Matemática. No que se

refere à duração ideal das acções de formação, verificamos que a participação no PFCM exerceu

influência nos formandos já que muitos passaram a considerar a duração de um ano como a

melhor. Grande parte dos inquiridos considerou que a experimentação de novos materiais, a

troca de experiências, a reflexão promovida sobre as aulas, o trabalho desenvolvido nas sessões

conjuntas e a abordagem de novas estratégias e metodologias de ensino foram os aspectos que

mais contribuíram para o seu desenvolvimento profissional.

5.1.8. Razões da inscrição e balanço do PFCM

Observando a Tabela 49, constatamos que o principal motivo apontado pelos inquiridos

para se terem inscrito no PFCM (41,6%) foi a necessidade de conhecer novas técnicas de ensino

e novos materiais. Segue-se a necessidade de se actualizar (16,8%) e poucos são os que

atribuem motivos como o cumprimento de horas de formação necessárias ou a pressão dos

Conselhos Executivos.

Tabela 49 – Razões da inscrição no PFCM (questionário inicial)

Percentagem (n=197)

Cumprir as horas de formação necessárias e para actualizar

9,6

Necessidade de se actualizar 16,8

Mais-valia para o currículo 8,1

Conhecer novas técnicas de ensino e novos materiais didácticos

41,6

Cumprir as horas de formação necessárias 1,5

Colmatar as dificuldades sentidas no domínio da Matemática

7,6

Por gosto 3,6

Pressão por parte do Conselho Executivo 1,5

Inovar as planificações 1,0

De acordo com os resultados obtidos, verificamos que para mais de 90% dos inquiridos a

formação produziu alterações nas suas práticas. Esta situação é indicadora de que a formação

exerceu influência na prática dos professores. Apenas 5,1% afirmam que não alteraram as suas

práticas ao frequentarem o PFCM.

176

Tabela 50 – Influência da formação na alteração das práticas

A formação que frequentou produziu alterações nas suas práticas?

Percentagem (n=197)

Sim 91,4

Não 5,1

Não responde 3,5

Na Tabela 51 apresentamos as alterações das práticas lectivas enumeradas pelos

formandos após a frequência do programa de formação.

Tabela 51 – Alterações nas práticas lectivas

Se respondeu Sim, que alterações ocorreram? Percentagem (n=197)

Novas competências e metodologias 44,2

Introdução de novos materiais 17,7

Uso de mais situações problema, menos exposições, mais discussão de ideias

6,6

Reflexão sobre as aulas 6,1

Deixar os alunos resolver os seus problemas 5,6

Uso de novas tecnologias 0,5

Mais segurança no ensino da Matemática 0,5

Motivação para continuar 0,5

Não responde 18,3

Segundo os respondentes, as suas práticas alteraram pois desenvolveram novas

competências que lhes permitiram utilizar novas metodologias de trabalho (44,2%). Para 17,7% a

formação permitiu-lhes introduzir nas suas aulas novos materiais, que desconheciam ou não

sabiam utilizar.

Alguns formandos (6,6%), com a formação, passaram a apresentar tarefas mais

diversificadas na aula, com particular atenção para os problemas. Salientam, ainda, a

importância que passaram a atribuir à discussão de ideias, nomeadamente, entre alunos, em

detrimento de situações mais expositivas.

Outros formandos (6,1%) salientaram que a formação alterou as suas práticas pois

passaram a dar mais importância à reflexão sobre as aulas, o que implicou uma

consciencialização dos pontos fortes e fracos do seu desempenho e os levou ao aperfeiçoamento

das práticas.

177

Por fim, apesar de menos expressivo, constatamos alguns formandos (5,6%) deixaram de

ser tão directivos e passaram a dar mais tempo aos alunos para resolverem os problemas

propostos.

Quando pedimos aos formandos que se pronunciassem sobre a influência do PFCM no

seu conhecimento didáctico em Matemática, verificámos que 81,2% considera ter havido

alterações no seu conhecimento didáctico após a frequência da formação. Dos restantes, 5,6%

não respondeu, enquanto 13,2% refere que a formação não alterou o seu conhecimento

didáctico em Matemática.

Tabela 52 – Influência da formação no conhecimento didáctico

A formação que frequentou alterou o seu conhecimento didáctico em Matemática?

Percentagem (n=197)

Sim 81,2

Não 13,2

Não responde 5,6

No que se refere às alterações produzidas ao nível do conhecimento didáctico, com a

frequência da formação, verificamos, pela Tabela 53, que se destaca a utilização de novos

materiais e exploração de actividades (42,6%), para além da grande percentagem de professores

que não respondeu.

Tabela 53 – Alterações no conhecimento didáctico

Se respondeu Sim, em que aspectos? Percentagem (n=197)

Utilização de novos materiais e exploração de actividades

42,6

Aplicar correctamente conceitos matemáticos 11,7

Melhorou o conhecimento didáctico e pedagógico da Matemática

13,7

Boa formação inicial 1,0

Não responde 31,0

Para 13,7% dos formandos o programa de formação melhorou o conhecimento didáctico e

pedagógico da Matemática e para 11,7% permitiu desenvolver a sua capacidade de aplicar

correctamente alguns conceitos matemáticos.

Relativamente aos aspectos da formação mais positivos, apontados pelos inquiridos,

salienta-se, com grande expressão, a troca de experiências (54,8%) e, com menor expressão,

178

são apontados a exploração de novos materiais didácticos (18,8%) e a interacção gerada entre

os formandos (6,1%).

Tabela 54 – Aspectos da formação mais positivos

Que aspectos da formação considera mais positivos? Percentagem (n=197)

Troca de Experiências 54,8

Novos materiais didácticos 18,8

Interacção entre os formandos 6,1

Aulas assistidas e a posterior reflexão 0,5

Reflexão 1,0

Motivar os alunos 0,5

Melhorar os conhecimentos matemáticos 1,0

Não responde 17,3

No que se refere aos aspectos menos positivos, verificamos que uma percentagem

elevada de professores não apontou qualquer aspecto, ao não responder (53,4%). Aqueles que

mencionaram aspectos menos positivos referiram o horário das sessões conjuntas (25,9%), a

necessidade de elaborar um portefólio (7,6%) e a elevada carga horária da formação (3,6%).

Tabela 55 – Aspectos da formação menos positivos

Que aspectos da formação considera menos positivos?

Percentagem (n=197)

Falta de condições das instalações 1,5

Reduzida durabilidade da acção 1,0

Elevada carga horária 3,6

O horário da acção 25,9

Não entrega dos materiais usados pois não existem na escola

2,0

Elaboração do Portefólio 7,6

Pouca partilha de experiências 0,5

Formação demasiado extensa 2,0

Pouco tempo para trabalhar cada tema 1,0

Presença do formador na sala de aula 0,5

Deveria ter só a componente prática. 1,0

Não responde 53,4

Pela tabela 56 observamos que uma percentagem bastante considerável de professores

(74,6%) manifestou vontade de continuar no PFCM, pensando inscrever-se para o segundo ano

179

de formação. Apenas 13,2% não manifestou a vontade de se reinscrever, enquanto 12,2% não

respondeu, o que poderá significar alguma indecisão.

Tabela 56 – Vontade em continuar com a formação

Pensa inscrever-se num segundo ano de formação?

Percentagem (n=197)

Sim 74,6

Não 13,2

Não responde 12,2

Quando confrontados com a necessidade de exporem as suas razões a favor ou contra a

reinscrição no PFCM, foram apontadas como favoráveis a vontade em dar continuidade ao

processo formativo (42,6%) e porque acharam que a formação foi enriquecedora (23,9%).

Os que apontaram motivos para não se reinscreverem referiram a vontade em fazer

formação noutras áreas (5,6%), a falta de disponibilidade (4,1%), o facto de a formação não ter

correspondido às expectativas (1%) e o cansaço (0,5%).

Tabela 57 – Razões a favor e contra uma reinscrição

Porquê? Percentagem (n=197)

Foi uma formação enriquecedora 23,9

Dar continuidade 42,6

Fazer a mesma formação em outras áreas 5,6

Falta de disponibilidade 4,1

Não correspondeu às minhas expectativas 1,0

Cansaço 0,5

Não responde 22,3

Perante a necessidade de apontarem temas e interesses de formação para um segundo

ano do PFCM, verificamos que quase metade dos professores não deu qualquer sugestão

(49,7%), ao não responderem.

Dos que responderam, constatamos que forneceram uma grande variedade de sugestões,

salientando-se o estudo da geometria (11,7%) e a abordagem do novo programa de Matemática,

(9,2%).

180

Tabela 58 – Temas/interesses para um 2.º ano de formação

Que temas gostaria de ver tratados nesse segundo ano de formação?

Percentagem (n=197)

Operações 2,5

Continuação desta 2,0

Novos materiais e técnicas 3,6

Números e cálculo, problemas, estimativas e análise de gráficos

4,1

Grandezas, medidas e geometria 4,1

Novos programas de Matemática 9,2

Temas de Matemática do primeiro ano 0,5

Estatística 3,6

Números fraccionários 2,5

Geometria 11,7

Avaliação 0,5

Uso da Calculadora na sala de aula 0,5

Áreas e volumes 2,0

Estratégias para alunos de NEE 2,0

Algoritmos 1,0

Cálculo mental 0,5

Não responde 49,7

Em síntese, verificamos que a formação criou alterações nas práticas da grande maioria

dos docentes, essencialmente, porque desenvolveram novas competências que lhes permitiram

utilizar novas e diversificadas metodologias de trabalho e introduzir, nas suas aulas, novos

materiais, que desconheciam ou não sabiam utilizar. Grande parte dos inquiridos referiu que a

formação influenciou o seu conhecimento didáctico em Matemática, nomeadamente através da

sensibilização para a utilização de novos materiais e exploração de actividades diversificadas.

No que se refere aos aspectos da formação mais positivos apontados pelos professores

salienta-se, com grande expressão, a troca de experiências e; com menos expressão, a

exploração de novos materiais didácticos e a interacção gerada entre os formandos.

Relativamente a aspectos menos positivos grande parte dos inquiridos não encontrou nada a

salientar. Os que responderam apontaram, essencialmente, o horário das sessões conjuntas, em

muitos casos a decorrer a partir das 18h30. Grande parte dos formandos manifestou vontade

em continuar no PFCM por dois motivos: por um lado, para dar continuidade ao processo

formativo e, por outro lado, porque acharam a formação enriquecedora.

181

5.2. Influência do programa de formação no desenvolvimento do conhecimento

matemático e didáctico dos formandos

O 1.º ano do PFCM encontra-se estruturado em torno de dois grandes eixos: sessões

conjuntas e sessões de acompanhamento. Nesta formação, um formador, ligado ao ensino

superior, assumia a responsabilidade da formação de um grupo de formandos que exerciam a

actividade docente em uma ou mais escolas. Neste caso, ao formador foram atribuídos 10

formandos que exerciam a sua actividade profissional num mesmo Agrupamento de Escolas

situado num Concelho do Distrito do Porto, num meio predominantemente rural. Os formandos

estavam afectos a 7 escolas desse Agrupamento, algumas das quais bastante pequenas,

funcionando apenas com duas salas de aula e com poucos recursos materiais.

As sessões conjuntas destinam-se à planificação e reflexão de actividades ligadas à prática

lectiva. Para isso, as sessões conjuntas tinham uma periodicidade quinzenal, num total de 15

sessões com a duração de 3 horas cada. Nestas sessões, em que participavam todos os 10

formandos do grupo de formação e o formador, exploravam-se propostas curriculares a

experimentar na aula, aproveitando-as para promover o aprofundamento do conhecimento

matemático e didáctico necessário para a sua concretização. Com esta metodologia, o PFCM

desenvolveu-se ao longo de um ano lectivo, possibilitando o acompanhamento deste grupo de

formandos por um período alargado de tempo.

As sessões de acompanhamento consistem na presença do formador na sala de aula de

cada um dos formandos com vista ao desenvolvimento de actividades curriculares

correspondentes à implementação das práticas que concretizam a planificação trabalhada nas

sessões conjuntas e respectiva discussão. Cada formando foi acompanhado em 4 aulas num

total de 10 horas de formação.

Neste projecto de formação, o formador assume um papel activo e interventivo ao nível da

planificação e da reflexão sobre das práticas de sala de aula, valorizando-se uma dimensão de

trabalho colaborativo em todos domínios da sua actuação.

182

5.2.1. Caracterização do grupo de formandos

O grupo de formação pelo qual o investigador foi responsável integrava 10 professores

com formações iniciais diversas e com diferentes preferências pelo ensino da Matemática. Na

Tabela 59 caracteriza-se cada um dos formandos relativamente à idade, à formação inicial, às

preferências pelo ensino da Matemática e à situação profissional.

Tabela 59 – Caracterização dos formandos acompanhados pelo investigador

Formando Idade (anos) Formação inicial Gosta de ensinar

Matemática Situação

profissional

Formando 1 51 Curso do magistério primário Não QA

Formando 2 30 Curso de professores do 1.º ciclo Não QZP

Formando 3 35 Curso de Professores do 2.º ciclo, EVT

Não QZP

Formando 4 35 Educadores de Infância e 1.º ciclo

Sim QA

Formando 5 39 Curso de Professores do 2.º ciclo, Português / Francês

Não QA

Formando 6 31 Curso de professores do 1.º ciclo Não QZP

Formando 7 31 Curso de professores do 1.º ciclo Sim QZP

Formando 8 39 Curso de Professores do 2.º ciclo, Educação Física

Sim QZP

Formando 9 34 Curso de Professores do 2.º ciclo, Português / Francês

Não QZP

Formando 10 29 Curso de professores do 1.º ciclo Sim QZP

Nota: QA – Professor do Quadro de Agrupamento; QZP – Professor do Quadro de Zona Pedagógica.

Dos formandos, codificados de F1 a F10, um era do sexo masculino e nove do sexo

feminino, três pertenciam ao Quadro do Agrupamento e sete ao Quadro de Zona Pedagógica.

Para além de um formando com 51 anos, a idade dos outros formandos situava-se

predominantemente na faixa dos 30 anos ( 4,35x e 5,6s ). Também à excepção do

formando mais velho, que tinha 31 anos de serviço docente, todos os outros tinham entre 7 e

13 anos de serviço. Dos 10 formandos, um tinha o curso do Magistério primário, cinco possuíam

o curso de professores do 1.º ciclo, quatro o curso de professores do 2.º ciclo, sendo dois na

variante de Português e Francês, um na variante de Educação Física e outro na variante de

Educação Visual e Tecnológica.

Relativamente ao gosto pelo ensino da Matemática, seis afirmam não gostarem muito e

quatro gostam de leccionar a disciplina.

183

5.2.2. As sessões conjuntas e de acompanhamento

Ao longo das 15 sessões conjuntas foram abordados diversos temas, apresentados na

Figura 8, e que constituía o organigrama da acção de formação.

Temas segundo o número de sessões conjuntas a eles dedicadas

Programa de

formação

Cálculo mental

Observação Planificação

Resolução

de problemas

Sistemas de numeração e algoritmos

Geometria Avaliação

1 sessão 3,5 sessões 1,5 sessões 3 sessões 2,5 sessões 2,5 sessões 1 sessão

Figura 8. Organigrama das sessões conjuntas de formação.

Seguidamente, iremos apresentar o que de mais relevante aconteceu nas sessões

conjuntas e nas sessões de acompanhamento, organizadas segundo os diferentes temas

referidos na Figura 8.

Relativamente às sessões conjuntas, é elaborada uma síntese da sua estrutura e

salientam-se alguns episódios ilustrativos do que de mais importante aconteceu. No que se

refere às sessões de acompanhamento, são apresentados alguns episódios de sala de aula e

comentadas as reacções e o trabalho desenvolvido pelos alunos e professores.

Programa de Formação (1ª sessão de formação)

A primeira sessão de formação tinha como objectivos:

1. Fazer a apresentação dos intervenientes, formador e formandos;

2. Auscultar as perspectivas e as expectativas dos formandos para a formação;

3. Apresentar o PFCM, enunciando objectivos, conteúdos e estratégias de intervenção

definida;

4. Calendarizar as sessões conjuntas;

5. Preencher a documentação necessária;

6. Recolher as necessidades de formação.

Relativamente aos motivos que levaram estes formandos a inscreverem-se no PFCM

destacam-se a necessidade de actualização de conhecimentos e a vontade em melhorar as suas

práticas lectivas de forma a aumentar o sucesso dos seus alunos em Matemática. Estas

184

motivações correspondem às referidas em resposta ao questionário aplicado a todos os

formandos da instituição de formação.

O facto de não se sentirem muito à vontade na área da Matemática, fez com que os

formandos procurassem melhorar os seus conhecimentos matemáticos e didácticos, tendo por

principal objectivo serem capazes de motivar os seus alunos para a disciplina.

Considero que necessito de aprender mais, pois nesta área não me sinto tão à vontade como por exemplo em Língua Portuguesa. Levar a que os meus alunos gostem de Matemática ao contrário da professora quando tinha a idade deles. (F1)

Penso que esta experiência só poderá ser enriquecedora a todos os níveis. Que possa actualizar conhecimentos e discutir estratégias e experiências de aprendizagem, partilhando as minhas e ouvindo as dos colegas. (F3)

A necessidade e a curiosidade em saber mais sobre como ensinar a Matemática e aprender novas metodologias de ensino. (F7)

A necessidade de aprofundar e criar estratégias diferentes que cativem os alunos para o gosto da Matemática e é uma das áreas onde sinto mais dificuldades. (F9)

Nesta sessão, os formandos pronunciaram-se também sobre as suas necessidades de

formação, indicando os assuntos que gostariam de ver abordados. Esta questão foi difícil de

responder, pois ficaram todos um pouco surpresos com a proposta, indiciando que este tipo de

questionamento não era usual nas formações que frequentaram antes. Passado o momento de

hesitação, foram apontadas as necessidades de formação apresentadas na Tabela 60.

Tabela 60 – Necessidades de formação dos formandos do grupo do formador

Temas N.º de formandos

Números e Operações 9

Geometria 4

Organização e Tratamento de Dados 0

Capacidades transversais (resolução de problemas)

2

Estratégias de ensino / motivação dos alunos 4

Pela Tabela 60 verificamos que, para quase todos os formandos, as necessidades de

formação apontadas incidem no tema Números e Operações. Nos outros temas matemáticos, 4

formandos apontam necessidades de formação no tema Geometria e nenhum refere o tema

Organização e Tratamento de Dados.

185

Relativamente às necessidades de formação no tema Números e Operações são

apontados, como os aspectos que mais gostariam de ver abordados na formação, o cálculo

mental, as tabuadas, a divisão e a multiplicação.

Em relação à Geometria, apontam genericamente a necessidade de clarificarem alguns

conceitos sobre os sólidos geométricos e as unidades de medida.

Outras preocupações/interesses referidos pelos formandos foram a vontade em introduzir

nas aulas jogos didácticos e a diversificação de estratégias de ensino que, na sua perspectiva,

permitem motivar os alunos para a disciplina e, consequentemente, melhorar os seus resultados

escolares.

Cálculo mental (da 2ª à 5ª sessão de formação)

Na formação, dentro do tema Números e Operações houve uma aposta forte na

explicitação do conceito de cálculo mental e na apresentação e exploração de tarefas

relacionadas com ele. Para tal, foram dedicadas 3,5 sessões (2ª, 3ª e 4ª sessões e parte da 5ª

sessão) a este assunto, tendo sido definidos como objectivos:

Explicitar o conceito de cálculo mental;

Apresentar a perspectiva histórica dos programas escolares, desde 1970 até aos

programas actuais, referindo a importância que neles é atribuída a este conceito;

Reflectir sobre a importância do cálculo mental na componente numérica e operatória

da aprendizagem da Matemática;

Analisar sugestões de tarefas para a sala de aula;

Reflectir sobre as potencialidades do cálculo mental na resolução de problemas.

Durante as sessões foram apresentadas tarefas de cálculo mental, em contexto real e em

contexto numérico, envolvendo as quatro operações. Em termos de forma de trabalho, foi

proposta a sua resolução em pequenos grupos, seguida de discussão colectiva.

Na segunda sessão de formação foi apresentada e explorada a seguinte situação em

contexto real:

186

Numa tarde de domingo, depois do cinema, a Ana, o seu filho André e a sua filha Eva pararam numa

confeitaria para lanchar.

Inicialmente a mãe fez o seguinte pedido:

— um cachorro;

— uma sandes de fiambre;

— uma sandes de queijo;

— um batido;

— um sumo de laranja;

— um chá.

O André perguntou à mãe se podia comer mais um gelado.

A mãe propôs-lhe o seguinte desafio:

— Se conseguires calcular mentalmente por quanto ficará o nosso lanche, deixo-te pedir. O André ficou a olhar para a tabela de preços para, mentalmente, tentar encontrar a resposta.

Explique como faria mentalmente este cálculo.

Figura 9. Tarefa de cálculo mental em contexto real

Relativamente a esta situação, os formandos utilizaram estratégias focadas

essencialmente na ideia do algoritmo da adição, desenvolvendo poucas ou nenhumas

estratégias de cálculo mental. Numa primeira fase, nenhum formando começou a calcular da

esquerda para a direita, focando-se muito na ideia do algoritmo que começa da direita para a

esquerda.

A ideia da maioria dos formandos era a de que efectuando mentalmente o algoritmo,

estariam a fazer cálculo mental. Esta ideia tem origem na perspectiva que o cálculo mental é

sinónimo de ―fazer contas de cabeça‖, utilizando mentalmente o procedimento algorítmico, sem

recorrer ao registo escrito.

Após algum debate sobre as formas possíveis de resolver a situação, dois formandos (F7

e F10) começaram por colocar a hipótese de começar por adicionar os valores inteiros, por

exemplo dois euros do cachorro, dois euros da sandes de queijo… e depois a parte decimal,

agrupando valores que perfizessem um euro, por exemplo cinquenta cêntimos do cachorro com

cinquenta cêntimos da sandes de fiambre, acrescentando este valor ao apurado até então, e

assim sucessivamente.

cachorro…………...…. €2,50

sandes de queijo……...... €2,00

sandes de fiambre…....... €1,50

bolos diversos ..................€0,70

pastel de carne ............... €0,75

café .................................€0,55

batido……………...... €2,40

sumo de laranja…….... €1 ,50

chá……………….......€0,80

gelado……………...... €1.80

187

Esta situação permitiu discutir a importância e o papel do cálculo mental na resolução de

problemas do dia-a-dia, contribuindo para a reflexão sobre as vantagens e potencialidades deste

instrumento de cálculo.

Uma das outras situações propostas, agora em contexto numérico, foi o triângulo mágico

seguinte:

O jogador tem de colocar, sobre os lados do triângulo,

os seis discos numerados de 1 a 6 de modo a obter a

mesma soma em cada lado.

Pode tentar obter a menor soma possível.

Pode tentar obter a maior soma possível.

Pode tentar obter outras somas.

Figura 10. Tarefa de cálculo mental em contexto numérico

Perante esta tarefa, a reacção geral foi recorrer ao processo de tentativa e erro. Todos os

formandos foram tentando dispor os números sem procurar uma explicação Matemática para

tal. Por exemplo, para encontrar a maior soma possível deveriam colocar os discos de maior

valor nos vértices, assim como para encontrar a menor soma possível deveriam colocar nos

vértices os discos de menor valor.

Durante a resolução da tarefa, alguns formandos chegaram a desistir e questionavam o

formador sobre a existência de solução. Por exemplo, nesta situação, depois de dispostos os

números, como é apresentado na figura abaixo, e de terem verificado que não era uma solução

do problema, a tendência geral foi retirar os discos e tornar a dispor os números na expectativa

de encontrar uma solução.

Tendo em conta o número de tentativas infrutíferas, os formandos começaram a

questionar a possibilidade de haver solução para o problema. Tendo em conta esta reacção, o

2

3 1 6

4

5

188

formador garantiu que o problema tinha solução e que deveriam pensar numa estratégia para

descobrir, por exemplo a maior soma possível.

A partir desta sugestão, os formandos começaram a questionar-se sobre como obter essa

soma. Após alguns minutos, o formador começou por fazer algumas perguntas orientadoras, tais

como: há valores que devem ser adicionados em mais do que um lado? Se eu quero a maior

soma possível, que valores deverão estar nesses locais?

Perante estas questões, o formando F10, avançou com a seguinte solução:

Descoberta a solução de soma 12, a vontade de continuar

a explorar a proposta e em procurar novas soluções aumentou,

começando por se avançar a hipótese de que para encontrar o

menor valor possível, deveriam dispor os números de menor valor

nos ―vértices‖, tendo surgido a solução:

A partir daqui e sabendo que outras soluções possíveis seriam a soma 10 e 11, os

formandos ganharam mais gosto pela tarefa e conseguiram chegar às soluções do problema.

As primeiras sessões de acompanhamento versaram as temáticas exploradas nas sessões

conjuntas, em que foram planificadas aulas de cálculo mental. Relativamente às tarefas

seleccionadas para essas aulas, verificou-se o predomínio de exercícios de cálculo e de jogos,

com o intuito de incentivar a aplicação de estratégias de cálculo mental.

Os triângulos, a par dos quadrados mágicos e do jogo do 24 mereceram uma atenção

especial pelos formandos nestas primeiras sessões de acompanhamento. Estas tarefas, de uma

forma geral, foram bem aceites pelos alunos. A vertente de jogo com que foram apresentadas

motivou o empenho dos alunos na procura das soluções das tarefas.

No caso dos triângulos mágicos, os professores pediram aos alunos que procurassem

dispor os seis números de forma a conseguirem obter o mesmo resultado em cada um dos

lados do triângulo. À semelhança do que lhes tinha sido proposto na sessão conjunta, não

forneceram qualquer indicação sobre o valor a encontrar.

2

5 6 1

4

3

5

2 3 4

1

6

189

Confrontados com esta proposta, os alunos começaram a dispor os números procurando

uma solução. A estratégia seguida por todos foi de tentativa e erro, dispondo os números e

verificando os resultados. Se a disposição não correspondesse a uma solução, retiravam todos

os números e voltavam a dispô-los.

De uma forma geral, verificou-se alguma dificuldade em encontrar as soluções e alguns

alunos começaram a desanimar. No entanto, outros mais persistentes, foram conseguindo

chegar a algumas soluções (Figura 11), suscitando novamente o entusiasmo dos menos

persistentes. Ainda assim, perante a falta de solução de alguns alunos, os professores foram

avançando alguns valores possíveis, diminuindo o grau de dificuldade da tarefa.

Figura 11. Resoluções dos alunos da tarefa triângulos mágicos.

Uma das ideias exploradas nas sessões conjuntas para ajudar a desenvolver o cálculo

mental foi a de explorar com os alunos situações como, por exemplo: se 936 , então

903060 .

Este trabalho foi desenvolvido pelos formandos nas sessões de acompanhamento,

propondo aos alunos a resolução de alguns quadrados mágicos que possibilitassem essa

associação.

Figura 12. Quadrados mágicos resolvidos pelos alunos

190

Outra tarefa bastante explorada nas salas de aula foi o jogo do 24. Alguns formandos

organizaram campeonatos de cálculo mental utilizando este jogo.

Figura 13. Alunos a resolverem cartas do jogo do 24.

Nas reflexões realizadas sobre a aplicação destas tarefas em sala de aula sobressaíram

duas ideias a registar:

— Alguns alunos conseguiram resolver as tarefas mais facilmente do que os seus

professores. Estes, aliás, manifestaram por diversas vezes as suas dificuldades em usar

estratégias de cálculo mental;

— De acordo com os professores, alguns alunos considerados menos participativos ou

―com pior desempenho‖ sobressaíram na resolução destas tarefas.

Regressando à sessão conjunta, outra situação proposta, também em contexto numérico,

foi a seguinte:

Sem utilizar ―os algoritmos‖, calcule por dois processos diferentes:

(Explique os processos que utilizou.)

a) 7531586

b) 1625

c) 3100

Em relação a esta proposta os formandos ficaram um pouco surpresos e sem

compreenderem muito bem o que lhes era pedido, pois para eles estes cálculos efectuar-se-iam

por aplicação do respectivo algoritmo, e essa seria, no seu entender, a estratégia mais fácil e

mais rápida. Esta situação demonstrou, mais uma vez, a falta de outras estratégias para resolver

estas operações, nomeadamente estratégias de cálculo mental. Consequentemente, entendiam

191

que deveriam efectuar o processo algorítmico mentalmente, pois para eles essa seria a única

estratégia possível.

No caso da situação b), que foi a que suscitou maior debate e diversidade de estratégias,

e após algum debate sobre as possíveis estratégias, os formandos F4 e F8 começaram por

indicar como possibilidade: 62510251625 .

Esta estratégia permitiu salientar a importância do cálculo mental na compreensão e

utilização das propriedades das operações, em particular da propriedade distributiva da

multiplicação em relação à adição.

Após a explicitação desta estratégia, outros formandos (F3 e F5) avançaram com a

hipótese de se fazer 6162016 . A partir desta situação, os formandos começaram a

mostrar-se mais participativos, tendo o formando F1 avançado a possibilidade de se fazer

1651621016 .

Depois de avançadas várias possibilidades de resolução da situação b) e não tendo

surgido mais nenhuma estratégia, o formador apresentou a estratégia seguinte:

44251625 . Apesar de o formando F1 ter já aplicado esta estratégia no produto

parcial 2016 ( 21016 ), verificou-se alguma perplexidade nos formandos, evidenciando que

as estratégias baseadas na decomposição de um dos factores numa adição eram mais

acessíveis.

Perante esta possibilidade, verificou-se alguma perplexidade na reacção dos formandos,

evidenciando que nunca tinham pensado em decompor um dos factores num produto. Até

então, as estratégias basearam-se na decomposição de um dos factores numa soma.

No decorrer da sessão foram exploradas outras formas de calcular, tendo sido possível

identificar diferentes estratégias de cálculo mental e salientar a importância destas estratégias no

desenvolvimento da compreensão do sistema de numeração decimal, o interesse em fazer

composições e decomposições de quantidades e a valorização da compreensão e aplicação das

propriedades das operações utilizadas.

Em determinada altura da sessão, após terem sido trabalhadas as propostas anteriores,

surgiu a seguinte resolução na determinação do resultado da operação 2347 , apresentada

pelo formando F1: 7020503472347 .

Perante esta resolução, o formador questionou os formandos no sentido de identificarem

o que nela havia de errado. A maior parte dos formandos não detectou qualquer problema, não

192

tendo percebido que a resolução não pode ser representada desta maneira, pois 2347 não é

igual a 347 . Este exemplo despoletou uma reflexão sobre o rigor requerido em Matemática e

da necessidade de se exigir uma linguagem Matemática correcta. Esta situação é bastante

comum junto dos alunos, pois eles tendem e escrever como pensam, sem terem em atenção o

rigor na transposição para o papel do seu raciocínio.

Durante estas sessões foram ainda explorados materiais didácticos, nomeadamente o

material Cuisenaire, realçando o seu papel essencial no desenvolvimento da composição e

decomposição de quantidades e, consequentemente, como instrumento fundamental para as

primeiras abordagens ao cálculo mental com os alunos.

Foi ainda dedicado algum tempo à apresentação e exploração de jogos destinados ao

desenvolvimento de competências de cálculo mental, tais como o dominó, o jogo do 15, o jogo

do 24 e o golfe da multiplicação.

Ao salientar a importância do cálculo mental e as formas de o desenvolver, foi avançada a

sugestão de no início de cada aula se implementar uma actividade de cálculo, denominada

actividade de ―aquecimento‖. Esta ideia surgiu pelo facto de todos os formandos considerarem

que os alunos usam poucas estratégias de cálculo mental. Partindo desta ideia, na primeira aula

supervisionada do formando F5, foi proposto aos alunos, como actividade de ―aquecimento‖, a

resolução da tarefa seguinte:

Resolve todas as operações em 8 minutos:

141 12

213 124

1511 154

117 350200

126 119

244 85

152 10370

294 100500

117100 50400

1510 2310

Figura 14. Proposta de trabalho apresentada na primeira sessão de acompanhamento.

193

A turma deste formando era constituída por alunos do 4.º ano de escolaridade e estes

cálculos seriam, no entender do formando, relativamente simples para os alunos. Apesar da

aparente simplicidade dos cálculos apresentados, verificaram-se algumas, e em alguns casos

muitas, dificuldades por parte dos alunos. Em geral, os alunos iam efectuando os cálculos com o

lápis numa parte da folha e de seguida apagavam. Nas situações de divisão, que ofereceram

maior dificuldade, todos os alunos recorreram ao procedimento algorítmico.

Terminado o tempo estipulado para a resolução da tarefa, verificou-se que nenhum aluno

conseguiu resolver todas as situações, pelo que o formando decidiu dar mais algum tempo para

a sua conclusão. Concluída a tarefa, procedeu-se à correcção e discussão das estratégias

utilizadas pelos alunos. Durante a discussão, foi possível verificar a ausência de estratégias de

cálculo mental. Nas suas explicações alguns alunos apresentavam estratégias que decorriam da

aplicação mental do procedimento algorítmico e outros nem isso, pois tinham simplesmente

calculado no papel e apagado em seguida.

Nas situações do produto e do quociente por uma potência de 10, alguns alunos

aplicavam regras memorizadas e mecanizadas, sem uma verdadeira compreensão do efeito de

multiplicar ou dividir e acrescentando ou retirando zeros ao valor dado. Por exemplo, na situação

10370 alguns alunos apresentaram como resultado o valor 3700.

Figura 15. Resposta de um aluno.

Na reflexão realizada com o formando sobre esta tarefa salientaram-se as vantagens do

desenvolvimento de estratégias de cálculo mental e o seu contributo para a melhoria do

conhecimento do sistema de numeração decimal. Grande parte dos alunos não desenvolve um

sentido crítico, aceitando, muitas vezes, resultados sem se questionarem sobre a sua

razoabilidade. A este propósito foi referido, pelo formando, que alguns alunos aquando da

aplicação do algoritmo da subtracção e havendo necessidade de empréstimo, aceitam

resultados maiores que o aditivo. Por exemplo, 63235603 . Em situações como esta e

perante a impossibilidade de a 3 tirarem 5, alguns alunos invertem o processo, fazendo ―5

194

menos 3‖. Reflectiu-se sobre estas ocorrências, avançando como uma possível explicação o

facto de os alunos usarem os algarismos isoladamente, aplicando um procedimento que não

entenderam totalmente.

Esta dificuldade permitiu ainda reflectir sobre a preocupação manifestada por alguns

formandos de não proporem aos alunos tarefas que impliquem uma subtracção com

empréstimo antes de ter sido ensinada. Esta preocupação resultou da falta de conhecimento dos

formandos de outras estratégias de cálculo ao alcance dos alunos, salientando-se a importância

do desenvolvimento de estratégias pessoais de cálculo decorrentes dos conhecimentos dos

alunos e que permitam chegar à solução. Nesta situação poderia ser utilizada, por exemplo, a

estratégia apresentada na Figura 16.

Figura 16. Estratégia de cálculo recorrendo à recta numérica.

Nesta sessão de acompanhamento, com o processo de reflexão realizado, o formando

compreendeu as vantagens do cálculo mental, concluindo que ―na turma um aluno resolvia

muitos cálculos mentalmente, mas que ele não entendia muito bem o seu raciocínio, obrigando-

o a resolver a operação através do algoritmo. Agora compreendia as vantagens do cálculo mental

e começava a estimular esse aluno a explicar aos colegas as suas estratégias‖.

Numa outra sessão de acompanhamento, o formando F2 planificou uma aula com o

intuito de abordar o produto de um número por uma potência de 10. Até então, quando

abordava este assunto era usual fornecer aos alunos uma regra e propor a realização de um

conjunto de exercícios para aplicação da regra enunciada. No entanto, desta vez, a ideia seria

implementar uma actividade de investigação que permitisse aos alunos compreenderem o efeito

de multiplicar um número por uma potência de 10. Para tal, a planificação estruturou-se da

seguinte forma:

— Os alunos poderiam recorrer ao uso da calculadora para efectuar as operações;

— Procurar alguma regularidade;

— Enunciar uma regra de cálculo para o produto de um número por 10, 100 ou 1000.

195

Esta aula foi muito interessante, pois até então o formando nunca tinha pensado em

desenvolver uma aula com esta estrutura. Para ele, bastava fornecer aos alunos a regra, que

deveria ser memorizada e aplicada quando necessário.

O desenvolvimento da aula permitiu percepcionar alguma falta de orientação dos alunos.

Não era usual a resolução de uma actividade de investigação, o facto de terem de concluir, de

escreverem um texto fez-lhes alguma confusão. Por outro lado, ficaram entusiasmados perante a

possibilidade de usarem a calculadora, pois para eles era um objecto proibido.

Durante a resolução da tarefa, os alunos foram sendo apoiados pelo formando, que os foi

incentivando a observarem os resultados obtidos e a registarem as conclusões a que fossem

chegando. O entusiasmo dos alunos foi grande e a discussão em pequenos grupos começava a

evidenciar as descobertas realizadas, que iam no sentido pretendido. Concluída esta fase,

procedeu-se à discussão colectiva, na qual cada grupo apresentou as conclusões a que

chegaram. Todos os grupos conseguiram enunciar as regras pretendidas pelo professor, o que o

deixou bastante satisfeito, pois achava que os alunos não iriam conseguir. No entanto, verificou-

se alguma dificuldade em comunicar matematicamente as descobertas realizadas. Os alunos

apresentavam um vocabulário pouco desenvolvido e falta de conhecimento dos termos e

conceitos matemáticos.

Numa outra sessão de acompanhamento do formando F6, a aula também se iniciou com

o ―aquecimento‖ mental, tendo o formando referido aos alunos que iriam fazer um jogo. Ao ser

proferida a palavra jogo, os alunos voltaram a sua atenção para o professor e evidenciaram uma

motivação espontânea e imediata. O jogo consistia em ―adivinhar‖ uma regra definida pelo

professor. Foi então estabelecido o diálogo seguinte:

Professor: Joana diz um número? Joana: Seis. Professor: Se eu usar a regra respondo dez? Luís diz outro número. Luís: Oito. Professor: Se eu usar a regra respondo doze? Joana: Professora já sei! É sempre mais quatro.

O jogo prolongou-se por mais alguns minutos, tendo os alunos mostrado bastante

interesse e entusiasmo.

Concluído este momento inicial, foi apresentada a tarefa seguinte aos alunos:

196

À RODA COM OS NÚMEROS

— Descobre 5 maneiras diferentes para chegares aos números do exterior, utilizando as operações que entenderes; — Podes usar o 1/2/3/4 enquanto algarismos ou enquanto números; — Podes repetir os algarismos/números as vezes que quiseres.

Figura 17. Proposta apresentada na primeira sessão de acompanhamento do formando F6.

Tratando-se de uma turma do 2.º ano de escolaridade, na introdução à tarefa o formando

começou por clarificar com os alunos algumas noções, nomeadamente de algarismo, número,

interior e exterior, tendo ainda verificado se os alunos tinham compreendido o que lhes era

pedido.

Clarificadas todas as questões, iniciou-se o trabalho, tendo sido estabelecido que

poderiam resolver a tarefa dois a dois. Com esta metodologia de trabalho pretendia-se promover

o trabalho de grupo e a troca de estratégias e dúvidas entre os alunos.

Figura 18. Resolução da tarefa pelos alunos.

Durante o tempo em que os alunos estiveram a resolver a tarefa, o professor movimentou-

se pela sala prestando alguns esclarecimentos e incentivando os alunos na procura de novas

soluções. Nas resoluções dos alunos, o formando foi verificando que estes usavam sempre

valores pequenos, por exemplo 123 . Assim, à medida que ia circulando pelos grupos, o

formando ia propondo e alertando para novas possibilidades, como por exemplo 14243 ,

aumentando assim o número de situações possíveis para cada resultado.

197

Figura 19. Resolução de um aluno.

A aula prosseguiu, tendo os alunos utilizado, para satisfação do formando, a multiplicação

para chegar a alguns dos resultados, a qual estava ainda a ser introduzida.

Terminado o tempo de resolução da tarefa, iniciou-se a discussão colectiva. Nesta altura,

o formando começou por pedir a cada grupo que indicasse um cálculo realizado para obter o

número um. Todos os grupos apresentaram uma das seguintes possibilidades:

112 ; 123 ; 134

Então o formando começou por avançar outras possibilidades, designadamente:

11112 e 1111112 .

Confrontados com estas possibilidades, os alunos perceberam o que o professor estava a

fazer e quiseram continuar a descobrir outras hipóteses, ao que o professor acedeu. Surgiram

assim novas ―descobertas‖, como se pode observar na Figura 20.

Figura 20. Resolução de um aluno

198

Avaliação das sessões de cálculo mental

No sentido de compreender e avaliar a importância atribuída a esta temática e a sua

influência no conhecimento e nas práticas dos formandos, aplicámos um pequeno questionário

no qual os formandos se pronunciaram sobre as sessões realizadas sobre o cálculo mental. A

primeira pergunta visava conhecer as melhorias identificadas pelos próprios formandos no seu

conhecimento sobre o cálculo mental. Perante esta questão, os formandos foram unânimes em

reconhecer que houve uma melhoria no seu conhecimento, referindo:

Aprendi a seleccionar estratégias diferentes para trabalhar o cálculo mental e percebi que as actividades de cálculo mental são muito importantes para o desenvolvimento do raciocínio da criança e portanto devem ser diversificadas. (F1)

Melhorou na aquisição de novos conhecimentos sobre o cálculo mental e permitiu ter uma nova perspectiva sobre exercícios e situações que estão a contribuir para que os meus alunos desenvolvam o cálculo mental. Também contribuiu para aprender novas estratégias de resolução de algumas situações. (F2)

Com a segunda questão os formandos foram incitados a pronunciarem-se sobre as

alterações/influências exercidas pela formação relativamente às práticas lectivas após a

exploração deste tema na formação. Segundo os formandos, o cálculo mental passou a ser

valorizado, fazendo parte das actividades diárias da sala de aula. Associado ao cálculo mental,

foi introduzido um conjunto de jogos didácticos que colocam a ênfase no desenvolvimento de

estratégias de cálculo.

Passei a desenvolver mais actividades de cálculo mental na sala de aula e a concretizar actividades diversificadas e lúdicas para que a criança aprenda jogando. (F3)

Foram alteradas pois passei a utilizar mais vezes o desenvolvimento do cálculo mental. Quase todos os dias aplico exercícios com o objectivo de desenvolver o cálculo mental. (F7)

Influenciou de forma bastante positiva as minhas aulas. Já recorri várias vezes ao jogo do 24, ao jogo salute, ao da memorização da tabuada, com vista a desenvolver o raciocínio lógico. E sinto-me muito mais à vontade para abordar determinados temas matemáticos, uma vez que possuo diversos recursos. (F9)

Relativamente aos aspectos considerados mais positivos na formação sobre o cálculo

mental, os formandos apontaram a possibilidade de aplicar nas suas aulas as tarefas

desenvolvidas nas sessões conjuntas. Para isso, no seu entender, torna-se fundamental a

199

presença do formador na sala, pois dá maior segurança para o desenvolvimento destas

experiências pedagógicas. Esta vertente de trabalho colaborativo entre os formandos e o

formador favoreceu a troca de experiências, tornando a acção de formação muito prática,

embora sem descurar os aspectos teóricos de suporte.

Um dos aspectos que considero mais positivo é o facto de podermos partilhar experiências, actividades ou troca de material entre todos os intervenientes nesta formação. (F4)

Um dos aspectos mais positivos é relativo à parte muito prática desta acção. As aulas assistidas são uma mais-valia para a troca de opiniões. No grupo, a troca de ideias, trabalhos e fichas de sistematização. (F5)

A apresentação e discussão de exercícios e problemas. A existência de situações mais concretas e não tão abstractas. As aulas assistidas tornam-se muito gratificantes, uma vez que há uma reflexão, uma troca de ideias. (F10)

No que se refere aos aspectos menos positivos, os formandos apontaram essencialmente

razões relacionadas com o pouco tempo disponível para pesquisarem e aprofundarem os

conhecimentos. Este facto decorre de os formandos não serem dispensados da componente não

lectiva para participarem na formação. Esta situação leva a que as sessões tenham de ocorrer a

uma hora mais tardia, traduzindo-se numa sobrecarga de trabalho para os formandos.

No horário pós-laboral torna-se um pouco difícil conciliar o trabalho com a formação. Por vezes, o cansaço é inibidor e limita a capacidade de interiorização. (F2)

O facto de a acção de formação acontecer em horário pós-laboral torna-se muitas vezes cansativa. (F8)

Em relação às sugestões apresentadas para melhorar a futura formação, são apontadas a

necessidade de mais tempo dedicado às sessões de acompanhamento, de forma a terem um

apoio mais individualizado por parte do formador.

Que houvesse mais tempo individual para a realização da planificação para a aula, para que pudessem ser esclarecidas possíveis dúvidas sobre a forma como iriam ser criadas / desenvolvidas determinadas competências. (F1)

Os professores titulares de turma não deveriam dar aulas de apoio ao estudo, ficando com os 90 minutos para programar e executar tarefas relativas à formação. O formador deveria deslocar-se mais vezes à escola do formando. (F3)

O formador deveria estar mais vezes presente nas nossas práticas pedagógicas. (F8)

200

Na tabela seguinte apresentam-se as principais alterações verificadas após a exploração

deste tema nas sessões conjuntas.

Tabela 61 – Ideias anteriores e posteriores à formação sobre cálculo mental


O cálculo mental é fazer contas de cabeça. O cálculo mental é a aplicação de estratégias diferenciadas que resultam da compreensão do sistema de numeração e das propriedades das operações.

O principal instrumento de cálculo deve ser o algoritmo.

O principal instrumento de cálculo deve ser o cálculo mental.

Os alunos usam poucas estratégias de cálculo mental.

Os alunos começam a desenvolver estratégias de cálculo mental e a partilhá-las com os colegas.

Com o cálculo mental não há registos de como o aluno fez.

O cálculo mental pode ser trabalhado e explicitado através de registos escritos.

Planificação, observação e reflexão da prática pedagógica (parte da 5ª sessão e 6ª

sessão de formação)

Parte da 5ª sessão e a 6ª sessão de formação foram dedicadas à reflexão de algumas

aulas entretanto observadas pelo formador. Nestas sessões foram ainda debatidas questões

relacionadas com a planificação de aulas, nomeadamente ao nível da sua importância, do seu

conteúdo e da sua estrutura.

As aulas observadas até então centraram-se no desenvolvimento de actividades de cálculo

mental associado à resolução de problemas.

Relativamente às reflexões das aulas, os formandos descreveram as suas experiências,

concretamente no que se refere à reacção dos alunos, às dificuldades encontradas e às

vantagens verificadas com o desenvolvimento de estratégias de cálculo mental.

As reflexões produzidas mostraram que os formandos perceberam as vantagens da

utilização e do desenvolvimento de estratégias de cálculo mental pelos alunos. Assim, o

formando F6 afirmou que uma das potencialidades que o cálculo mental pode trazer é uma

melhor compreensão do próprio sistema de numeração. Neste momento foi debatido um

documento já entregue anteriormente pelo formador13 ideias sobre o cálculo mental,

salientando as vantagens do seu desenvolvimento e utilização pelos alunos.

201

No entanto, apesar das vantagens enunciadas, os formandos salientaram as dificuldades

que eles próprios sentiram em explorar estratégias de cálculo mental, uma vez que não estavam

muito conscientes do que era e de como se desenvolve o cálculo mental. Nesta perspectiva, o

formando F2 referiu que enquanto aluno e na sua formação de professor, não foi alertado para a

importância do cálculo mental, não tendo desenvolvido, ele próprio, muitas estratégias de

cálculo. Desta forma, valorizava essencialmente a utilização dos procedimentos algorítmicos em

detrimento de outras estratégias. Por isso, salientou que, apesar da adesão dos seus alunos às

tarefas propostas, observou várias dificuldades na aplicação de estratégias de cálculo, tendo

grande parte dos alunos procurado resolver as tarefas através da aplicação dos algoritmos.

Outro formando (F7) acrescentou que sente uma grande dificuldade em fazer com que os

alunos saibam a tabuada. Salientou que apesar de se preocupar em fazer os alunos

perceberem, considera fundamental que a memorizem e que isso é importante para o cálculo

mental.

Relativamente à introdução de alguns jogos de cálculo mental, como por exemplo, o jogo

do 24, o formando F1 salientou que os alunos manifestaram algumas dificuldades iniciais

decorrentes da falta de estratégias e de capacidades de aplicação do cálculo mental. No entanto,

com o tempo, alguns alunos foram ficando mais entusiasmados pela vertente dinâmica deste

jogo, começando a resolver os cartões em menos tempo. Acrescentou que tem utilizado este

jogo em alguns momentos da aula, quase diariamente, e que são os alunos que pedem para

jogar.

A generalidade dos formandos instituiu um momento do dia (alguns minutos) destinado ao

desenvolvimento de estratégias de cálculo, em que apresentaram aos alunos algumas operações

que eles deviam resolver e explicar o procedimento utilizado, umas vezes por escrito outras

oralmente.

Quanto ao entendimento do que é e como se desenvolve o cálculo mental, o formando F5

escreveu na sua reflexão sobre a aula que:

O cálculo mental deve ser essencialmente um processo individual, mas nunca um conhecimento fechado e terminado porque permite que o aluno elabore diferentes estratégias que lhe permitam formar um conhecimento mais significativo para ele que o construiu, tornando-se auto-suficiente para continuar a procurar estratégias diferentes daquelas que já utilizou, permitindo-lhe, deste modo, desenvolver alguma flexibilidade mental. (F5)

202

Outro formando (F3) acrescentou que é necessário tempo para desenvolver o cálculo

mental, devendo ser trabalhado ao longo de todo o ano, tendo referido que na sua turma alguns

alunos já utilizavam algumas estratégias pessoais e que ele os incentivava a utilizarem o

algoritmo. A partir da formação começou a dar mais atenção a algumas estratégias utilizadas

pelos alunos e a promover a sua utilização e partilha, o que fez com começasse a ficar

convencida das suas vantagens.

No seguimento desta intervenção, o formando F5 reforçou que é importante a selecção

das tarefas e o papel do aluno na sua resolução, tendo escrito na sua reflexão da aula:

O sucesso dos alunos dependerá bastante das nossas atitudes. Para obtermos sucesso devemos seleccionar cuidadosamente as tarefas que propomos aos alunos e ouvir atentamente as suas explicações, estimulando a sua participação. Só assim o cálculo mental deixa de ser uma simples técnica, ou um exercício rotineiro, para se converter num instrumento de trabalho que desenvolve o raciocínio dos alunos. (F5)

Durante estas sessões debateram-se, ainda, algumas questões relacionadas com a

planificação de aulas – importância, conteúdo, estrutura. A este respeito salientou-se que, para

além da identificação de competências, dos objectivos e dos conteúdos, é fundamental a

organização do percurso de aula, no qual se faça referência: (1) à natureza das tarefas

(problemas, actividades de investigação, jogos, projectos e outras); (2) a descrição das tarefas

escolhidas; (3) os recursos necessários e (4) a cultura da sala de aula – comunicação, papéis

pedagógicos do professor e dos alunos, ambiente de aprendizagem, gestão do tempo,

organização do trabalho (individual, em pares ou em grupo).

A planificação da aula, particularmente a elaboração do percurso da aula, dá ao professor

mais segurança para experimentar novas abordagens didácticas e facilita o processo de reflexão

da aula.

Relativamente ao processo de avaliação considerou-se importante a elaboração de

instrumentos de registo e análise, tendo em conta as expectativas do professor em relação ao

trabalho dos alunos. Num esforço de antecipação, o professor deve reflectir sobre: O que espero

que seja fácil? O que espero que seja difícil?

Por último, considerou-se que uma boa organização da aula poderia ser:

1 – Uma actividade introdutória que aborde uma ideia/conceito/assunto ligado à

Matemática, que desenvolva a comunicação oral e o raciocínio. Poderá ser, também, uma

203

actividade que se relacione com noções e conceitos que vão ser tratados no segundo momento

da aula;

2 – Um tema matemático a ser estudado, através da apresentação de uma ou mais

tarefas a serem realizadas pelos alunos. O professor deverá assegurar que todos os alunos se

apropriaram da natureza das tarefas e dos conceitos a mobilizar. Dado que o ritmo de

aprendizagem dos alunos é variado, o professor deverá proporcionar diferentes formas de

organização de trabalho;

3 – Um debate/reflexão sobre os trabalhos realizados pelos alunos, considerando o ―erro‖

como uma oportunidade para rever o conhecimento em questão e para clarificar a compreensão

não só de quem errou mas também dos outros alunos.

Resolução de problemas (da 7ª à 9ª sessão de formação)

A resolução de problemas, como uma capacidade transversal fundamental, foi uma

temática muito aprofundada no programa de formação.

Nestas duas sessões foram explicitados os conceitos de exercício, problema e actividade

de investigação. Como a maioria dos formandos não sabia a distinção entre estes três tipos de

tarefas matemáticas, numa das sessões procedeu-se à discussão conjunta sobre o que é um

problema, explicitando a diferença entre problema e exercício e entre problema e actividade de

investigação.

Na sessão 7, foram apresentadas as duas situações seguintes para os formandos

resolverem.

Situação 1

―Dou ao meu cão três biscoitos por dia. Quantos biscoitos lhe dou por semana?‖

Situação 2

―A professora Carla comprou para os seus alunos 13 caixas de marcadores. Uns vinham

embalados em caixas de meia dúzia e outros de uma dezena. Quando os marcadores estavam

todos em cima da mesa, o Rui contou 110. Quantas caixas de cada tipo foram compradas?‖

Cada formando resolveu as situações propostas, tendo-lhes sido perguntado pelo

formador em que tipo de tarefas colocariam as situações apresentadas.

204

A resposta geral foi: problemas. Assim, o formador voltou a questioná-los sobre o que

entendiam como sendo um problema. Para os formandos, o facto de a situação ter um

enunciado, contextualizando uma situação do dia-a-dia, era encarada como sendo um problema.

Desta forma, o formador perguntou o que diferenciava a situação 1 da situação 2, tendo os

formandos afirmado que era o grau de dificuldade. Na primeira situação a resposta era imediata,

dada pelo produto de três por sete. Na segunda situação a resposta não era obtida de uma

forma tão imediata, havendo necessidade de desenvolver uma estratégia de resolução.

Posto isto, discutiu-se o conceito de problema e de exercício, tendo-se concluído que a

situação 1, para alguém capaz de fazer uma multiplicação, não representa um problema pois

terminada a leitura da situação dá a resposta de imediato. No entanto, a situação 2 obriga a

parar para pensar, não se obtendo de imediato resposta à questão colocada.

Após esta clarificação da noção de problema, foram resolvidos alguns problemas pelos

formandos. A partir das suas resoluções, procedeu-se à discussão das várias estratégias

(heurísticas) utilizadas, salientando-se a importância do desenvolvimento de estratégias variadas

e flexíveis, adequadas aos conhecimentos que cada um possui, reforçando-se que o fundamental

é a compreensão do enunciado e a capacidade para dar resposta ao problema.

Durante o tempo destinado à resolução dos problemas e reflexão sobre as estratégias

utilizadas, verificou-se que, para mais de metade dos formandos, era fundamental que os alunos

resolvessem os problemas de acordo com uma estratégia padronizada: indicação e operação.

Assim, na resolução dos problemas os alunos deveriam fazer a indicação da operação a utilizar,

seguida a aplicação do seu algoritmo. Esta situação despoletou a discussão sobre o tipo de

problemas que podiam ser resolvidos aplicando esta estratégia e os constrangimentos inerentes

ao facto de o aluno se habituar a resolver os problemas utilizando uma estratégia padronizada.

Assim, estabeleceu-se o diálogo seguinte:

Formado: Os alunos resolvem os problemas sempre desta forma? Formando 1: Os meus alunos escrevem sempre os dados, a indicação e a operação. Formador: Que tipo de problemas se resolvem desta forma? Formando 3: Tem de haver uma conta para fazer. Formando 4: Mas há problemas que não dá para resolver desta forma.

205

Perante esta situação, o formador propôs a resolução do problema seguinte:

O António e a Susana foram à quinta dos avós e viram algumas galinhas e

alguns porcos. O António disse que viu 18 animais. A Susana concordou com o

António e acrescentou que tinha contado um total de 52 patas. Quantas

galinhas e quantos porcos foram vistos pelo António e pela Susana?

Confrontados com o problema, alguns formandos consideraram-no difícil não sabendo

muito bem como o resolver. Verificou-se um período de hesitação e de procura de um cálculo

para a sua resolução. Decorridos alguns minutos, partilharam-se os resultados e as estratégias

utilizadas. O Formando F10 começou por explicar a sua resolução:

Comecei por dividir os animais em dois grupos de 9. Depois multipliquei 9 por 2, dando-me 18 patas de galinhas. Depois multipliquei 9 por 4, dando-me 36 patas de porcos. Só que desta forma dava 54 patas. Como eram 52 patas, tinha de ser mais uma galinha e menos um porco: 10 galinhas e 8 porcos.

Outros formandos foram dizendo que tinham pensado da mesma forma, tendo o

formando F7 partilhado uma estratégia diferente:

Cada animal tem pelo menos duas patas, por isso 18 vezes 2 dá 36 e sobram 16 patas. Depois divide-se essas 16 por dois e dá 8. Então são 8 porcos e 10 galinhas.

Alguns formandos não perceberam esta estratégia, tendo havido a necessidade de

clarificar o que foi feito, nomeadamente sobre o porquê de ter dividido os 18 por dois. O

formando explicou que como os animais tinham duas ou quatro patas e já tinha distribuído duas

patas por cada animal, tinha agora de distribuir mais duas para chegar ao número de animais

com 4 patas. Os restantes seriam as galinhas.

Após este momento, o formador propôs a planificação de uma aula com o intuito de

propor aos alunos a resolução deste problema. Grande parte dos formandos considerou que o

problema iria ser muito difícil para os alunos e que estes não o iriam resolver.

Na sessão seguinte (sessão 8) os formandos trouxeram algumas das resoluções dos

alunos do problema trabalhado na sessão anterior, entretanto aplicado nas sessões de

acompanhamento, para serem analisadas.

O formando F1 apresentou a seguinte resolução:

206


Após a análise desta resolução, os formandos afirmaram que o aluno não compreendeu o

problema e procurou refugiar-se na estratégia que utilizava habitualmente e na qual se sentia

confortável. Deste modo, procurou no enunciado dois números para fazer um cálculo.

Perante esta situação, vários formandos foram dizendo que os alunos aquando da

resolução de problemas questionaram, várias vezes, os professores sobre a conta que tinham de

fazer para resolver o problema. Isto advém do facto de resolverem todos os problemas com

recurso à estratégia dados, indicação e operação, o que os faz pensar que para resolver um

problema basta seleccionar e aplicar um algoritmo.

Outros formandos disseram, também, que em muitas situações os alunos têm

necessidade de utilizar todos os dados do problema que estejam escritos em algarismos, mesmo

que esses dados não sejam necessários e não façam qualquer sentido na resolução do

problema. Assim, concluíram que este aluno, à semelhança do que acontece com muitos outros,

segundo a experiência dos formandos, teve apenas a preocupação de encontrar no enunciado

dois dados numéricos para fazer um cálculo. Foi unânime a opinião de que o aluno não

compreendeu o enunciado e não foi capaz de encontrar uma estratégia para resolver o

problema.

Outro trabalho dos alunos, apresentado pelo formando F8, foi:

207


Analisou-se esta resolução, tendo sido dito que o aluno compreendeu o problema, tendo

desenvolvido uma estratégia simples e adequada aos seus conhecimentos, o que lhe permitiu

resolver o problema. Para tal, começou por desenhar os animais, aos quais ia acrescentando as

patas até satisfazer as condições (18 animais e 52 patas).

Neste caso, salientou-se que o importante é o desenvolvimento de capacidades de leitura

e compreensão do enunciado, procurando encontrar uma estratégia de resolução capaz de

solucionar o problema. Concluiu-se ainda que quanto mais capaz for o aluno de mobilizar os

conhecimentos que possui, melhor será a sua capacidade para resolver problemas e que,

apesar de algumas estratégias necessitarem de mais tempo para serem implementadas, o

fundamental é que o aluno lhes atribua significado e que não se limite a utilizar estratégias

padronizadas e mecanizadas que apenas se adequam a algumas situações e às quais o aluno

não atribui significado.

Na sessão de acompanhamento do formando F3, dedicada à resolução de problemas, foi

apresentada aos alunos a seguinte situação:

O Pedro tem oito periquitos. Todos os dias dá a cada dois periquitos 3

folhas de alface.

Quantas folhas de alface tem de dar, por dia, aos seus 8 periquitos?

Explica como encontraste a resposta. Para o fazeres podes usar desenhos, palavras ou

cálculos.

Figura 23. Problema explorado na 2ª sessão de acompanhamento do formando F3.

208

O problema deveria ser resolvido em pequenos grupos de 3 a 4 elementos para,

posteriormente, serem apresentados os resultados e estratégias utilizadas por cada grupo a toda

a turma.

Iniciou-se então a resolução tendo cada grupo definido a sua metodologia de trabalho.

Alguns grupos optaram por fazer a leitura individual do problema, após a qual cada aluno

começou a delinear uma estratégia para o resolver. Outros grupos optaram por nomear um

elemento para fazer a leitura para os restantes e começaram a delinear uma estratégia colectiva.

Durante esta fase, o formando ia observando o comportamento dos diversos grupos e a forma

como cada um se organizava.

Concluída a resolução por todos os grupos, iniciou-se a discussão colectiva dos resultados

e estratégias utilizadas. O primeiro grupo a falar começou por dizer que o Pedro precisaria de 24

folhas de alface por dia e a apresentou a seguinte explicação:

Figura 24. Estratégia seguida por um dos grupos.

Nós fizemos 2438 porque os periquitos são 8 e em cada dia ele dava 3 folhas a

cada um.

Outros dois grupos concordaram com a resposta do grupo anterior e acrescentaram que

fizeram da mesma maneira, mas que tinham utilizado o desenho:


Perante estes resultados, outros grupos manifestavam a sua discordância face às

soluções apresentadas pelos colegas. Então o formando propôs que fosse lido o enunciado para

209

toda a turma. Quando a aluna leu a parte ―dá a cada dois periquitos 3 folhas de alface‖ parou

por um momento, olhou para o professor, olhou para a colega do grupo e repetiu a mesma

expressão ―dá a cada dois‖, e logo disse: ―é 32 porque num dia ele dava aos dois 3 folhas‖.

Parou novamente e acrescentou: ―ele a 2 periquitos dá 3 folhas e … são 8 periquitos…‖ Ficou

calada. O silêncio foi quebrado pela colega do seu grupo que disse: ―eu acho que são 8

periquitos e ele dava 3 folhas de alface a cada um.‖ A turma reagiu: ―nós já vimos que ele não

dá 3 folhas de alface a cada um, mas a cada dois.‖

Entretanto, outra aluna de outro grupo interrompeu, dizendo: ―dá 12 folhas de alface‖ e

pediu para explicar, baseando na Figura 26.


Observando a Figura, a aluna referiu que 3 folhas eram para dois periquitos, outras 3

folhas eram para dois periquitos, outras 3 folhas eram para dois periquitos e outras 3 folhas

eram para os outros dois periquitos, dando 1234 . A turma concordou com a explicação

desta aluna e deu-se por concluída a resolução da tarefa.

Sobre esta aula, aquando da reflexão realizada com o formando, concluiu-se que é

extremamente importante para a aprendizagem dos alunos proporcionar-lhes situações em

relação às quais possam analisar e reflectir sobre as suas resoluções e dos colegas,

desenvolvendo o raciocínio e a comunicação matemática.

Concluiu-se, ainda, que muitos alunos têm dificuldade em compreender aquilo que lêem

e, em alguns casos, começam a resolver o problema utilizando todos os dados numéricos

disponíveis sem pensarem primeiro numa estratégia a seguir. Salientou-se também a

necessidade de desenvolver um ensino centrado na resolução de problemas e a relevância de

trabalhar as etapas de resolução de problemas com os alunos. Concretamente, compreender o

problema; conceber um plano de resolução; executar o plano e reflectir e avaliar o trabalho

realizado.

210

Numa outra sessão de acompanhamento, do formando F2, também dedicada à resolução

de problemas, foi apresentado o seguinte problema.

Com algumas conchas que apanhou na praia, a Rosa fez o par de brincos que está representado na figura.

A Rosa quer fazer um par de brincos, igual a este, para cada uma das suas 6 amigas. De quantas conchas, de cada tipo, vai precisar?

Figura 27. Problema apresentado na sessão de acompanhamento do formando F2.

A metodologia de trabalho seguida foi idêntica à explicitada na situação anterior: trabalho

em pequenos grupos, seguida de apresentação e exploração em grande grupo.

Figura 28. Alunos a trabalhar na resolução do problema.

Mais uma vez o enunciado não foi lido para toda a turma e foi dado tempo para que cada

grupo realizasse a tarefa. Terminado o tempo, iniciou-se a partilha dos resultados obtidos e das

estratégias de resolução dos diferentes grupos.

O primeiro grupo a apresentar explicou: ―Primeiro observámos a figura, depois

observámos que as conchas mais larguinhas eram de 4 em 4 e depois fomos contando

444444 . Depois vimos que as conchas mais ―bicudinhas‖ eram de 2 em 2 e

depois fomos contando: 222222444444 ‖.

211

Já o grupo 2 apresentou a seguinte explicação: ―Como aqui tinha seis amigos tínhamos

que repetir seis vezes o número 4, depois juntamos isto tudo e foi o total:

Figura 29. Explicação da resolução do problema pelo grupo 2.

Neste grupo, para além do erro na determinação do resultado da adição, os alunos

esqueceram-se de incluir mais uma parcela 2 e não calcularam separadamente o total de

conchas de cada tipo.

O grupo 3, partindo de um desenho dos brincos, referiu: ―Fomos desenhar os brincos e

quando acabámos de desenhar contámos os brincos‖.


Também o grupo 4 recorreu a um desenho dos brincos, muito semelhante ao efectuado

pelo grupo 4, conforme se pode observar na Figura 31.

Figura 31. Explicação da resolução do problema pelo grupo 4

Um dos alunos deste grupo acrescentou: ―Nós fizemos 46 para saber quantas eram as

conchas mais largas. Depois fizemos 26 para ver quantas eram as conchas mais bicudas‖,

apresentando os resultados que constam da Figura 32.

212


Após a sessão de acompanhamento reflectiu-se sobre a importância da comunicação na

aula de Matemática, tendo-se considerado que esta aula possibilitou aos alunos tempo para

poderem expressar as suas ideias e também para poderem interpretar e compreender as ideias

que lhes foram apresentadas. Relativamente ao problema apresentado, concluiu-se que foi de

resolução relativamente fácil, não oferecendo grandes dúvidas aos alunos.

Avaliação das sessões de resolução de problemas

O pequeno questionário sobre as sessões de resolução de problemas foi aplicado com o

intuito de compreender e avaliar a importância atribuída a esta temática e a sua influência no

pensamento dos formandos. À semelhança do questionário sobre o cálculo mental, a primeira

pergunta visava conhecer as melhorias identificadas pelos próprios formandos no seu

conhecimento sobre a resolução de problemas. Perante esta questão, os formandos foram

unânimes em reconhecer que houve uma melhoria no seu conhecimento, referindo:

Por vezes o conceito de problema confundia-se um pouco com o conceito de exercício e a formação em resolução de problemas ajudou-me a reflectir melhor sobre o que é um problema, como dinamizá-lo e colocá-lo em prática, ou seja, como o descodificar. (F9)

Fiquei a conhecer melhor as etapas da resolução de problemas que devemos seguir e como avaliar os problemas. (F6)

Ficou claro que há várias formas de resolução de problemas que devem ser discutidas com os alunos, tentando usar estratégias de resolução que não passem exclusivamente pela aplicação de um algoritmo. (F10)

Fiquei a saber melhor outras estratégias de resolução de problemas e de como as explicar aos alunos. Também melhorei a avaliação sobre a resolução de problemas. (F3)

Nas respostas à segunda questão, os formandos identificaram as alterações/influências

exercidas pela formação relativamente às práticas lectivas após a exploração deste tema. De

acordo com as suas respostas, verificou-se que passaram a valorizar as estratégias utilizadas

213

pelos alunos para resolver problemas. Para uma grande parte, resolver problemas deixou de se

reduzir ao processo de indicação e operação, até aqui muito utilizado. Diferentemente, a

mobilização dos conhecimentos dos alunos, utilizando estratégias flexíveis e pessoais para a

resolução dos problemas passou a ser essencial para os formandos.

Aumentei a minha capacidade e confiança para estimular os alunos a resolverem os problemas aplicando estratégias diferenciadas. Passei a dar mais liberdade aos alunos para aplicarem as estratégias que são mais simples para eles. Ao clarificar o conceito de problema e ao reflectir sobre as etapas de resolução passei a utilizar mais situações problemáticas, que não se resumiam à aplicação directa de um algoritmo. (F4)

A formação em resolução de problemas permitiu-me reflectir sobre os meus métodos de ensino, tendo passado a valorizar mais a utilização de situações problemáticas nas aulas. Compreendi que é importante dar liberdade para os alunos aplicarem estratégias de resolução mais confortáveis para eles, sendo fundamental o processo de resolução. Por vezes, aplicava situações que não eram verdadeiros problemas para os alunos, mas sim exercícios. Assim, passei a seleccionar situações que se revelavam verdadeiros problemas, obrigando os alunos a parar para pensar e a utilizar várias formas de resolução. (F6)

Ao clarificar o conceito de problema e de exercício verifiquei que em muitas situações o que eu entendia ser um problema se revelava um exercício para os alunos. Muitos manuais valorizavam como estratégia de resolução a utilização de uma indicação e a resolução de uma operação, pelo que era sobretudo este modelo que eu promovia junto dos alunos. Após a formação passei a ter mais cuidado na selecção dos problemas e a valorizar as estratégias dos alunos, que podem e devem ser pessoais e ajustadas aos seus conhecimentos. (F7)

Relativamente aos aspectos considerados mais positivos da formação sobre a resolução

de problemas, os formandos salientaram a discussão e reflexão em torno das etapas de

resolução de problemas, da clarificação da noção de problema e da partilha de experiências.

A discussão sobre as estratégias para resolver um determinado problema. A troca de experiências pedagógicas (diversificação de estratégias, avaliação dos resultados obtidos para uma reformulação dos mesmos). (F2)

Um dos aspectos mais positivos é relativo à parte muito prática desta acção. As aulas assistidas são uma mais-valia para a troca de opiniões e na avaliação dos resultados. Os problemas propostos e a reflexão sobre a sua implementação na sala de aula foram aspectos muito positivos. (F9)

A apresentação e discussão de exercícios e problemas permitiram clarificar as minhas ideias sobre estes assuntos. Foi positivo o planificarmos, implementarmos e reflectirmos sobre os resultados das aulas sobre resolução de problemas (F5).

214

Na tabela seguinte apresenta-se a síntese das principais alterações evidenciadas após a

exploração deste assunto nas sessões conjuntas.

Tabela 62 – Ideias anteriores e posteriores à formação em resolução de problemas


A definição de problema estava pouco clarificada, acreditando-se que a existência de um contexto/enunciado era suficiente para enquadrar uma tarefa no grupo dos problemas.

O que para uns é problema, para outros pode ser exercício. Clarificou-se o conceito de problema, como uma tarefa para a qual o aluno não tem uma resposta imediata, sendo obrigado a parar para pensar e definir uma estratégia de resolução, baseada nos conhecimentos que possui.

Nas aulas de resolução de problemas era dada pouca importância ao processo de validação das respostas pelos alunos.

A clarificação das etapas de resolução de problemas definidas por Polya permitiu uma melhor compreensão da importância da partilha de estratégias e raciocínios e da valorização da validação das respostas encontradas.

A resolução de problemas era sobretudo baseada na ideia da aplicação de um algoritmo (indicação e operação).

Na resolução de problemas é importante o papel do aluno e o desenvolvimento de estratégias de resolução diversificadas, baseadas no conhecimento que cada aluno possui.

A resolução de problemas já era importante para os formandos, mas havia uma grande valorização da utilização de exercícios.

As práticas passaram a ser mais centradas na resolução de problemas.

Sistemas de numeração e algoritmos (10ª e 11ª sessões de formação)

Nestas sessões foram trabalhados os sistemas de numeração posicional, não posicional e

misto, a leitura e escrita de números, a clarificação dos conceitos de número, numeral e

algarismo, a História do número, alguns exercícios em diferentes bases e os algoritmos usuais e

outros algoritmos.

A primeira sessão destinada à exploração deste assunto (sessão 10) começou com a

resolução de uma proposta de trabalho.

215

Esta tarefa tinha como objectivos clarificar algumas questões relacionadas com a leitura e

escrita de números, em particular com a base auxiliar utilizada na leitura do número (milhar ou

milhão), e compreender o conceito de número, numeral e algarismo.

Relativamente às questões relacionadas com a leitura de números, verificou-se que alguns

formandos manifestaram algumas dúvidas quanto à leitura do segundo número apresentado. Os

formandos F1, F2, F5 e F9 apresentaram a seguinte leitura: ―Um bilião, quatrocentos e sete

milhões e setecentos e trinta e nove milhares‖.

Esta leitura baseia-se na utilização da base auxiliar milhar. No entanto, a IX Conferência

Geral de Pesos e Medidas, realizada em 1948, aconselhou a adopção, pelos países da Europa,

do milhão como base auxiliar de leitura, sendo esta a que se encontra actualmente em vigor.

Deste modo, o número 1407739000 deveria ler-se: ―Um milhar de milhão, quatrocentos e sete

milhões e setecentos e trinta e nove milhares‖.

A partir desta situação discutiram-se questões relacionadas com o sistema de numeração,

nomeadamente:

1. Porque é que o nosso sistema de numeração é de base dez?

A santa casa da Misericórdia prevê, na semana de 25 de Janeiro a 1 de Fevereiro de 2006, apostas no valor de 41,5 milhões de euros. Por quantas ordens é formado este número? ________________ Escreva agora o numeral que representa aquela quantidade: ______________________

De acordo com o ‗Almanaque Mundial‘, a população da China crescerá para 1407739000 até 2025. Complete o quadro seguinte, colocando cada um dos algarismos na ordem correcta. Milhares Unidades

Centenas Dezenas Unidades

3 9 0 0 0

216

A este respeito, o formando F5 começou por dizer que era por termos 10 algarismos. Os

outros formandos concordaram com esta explicação e não avançaram mais nenhuma

justificação.

2. Como se calcula noutras bases?

Explicitada a justificação da base dez, foi proposto o cálculo seguinte: 55 2324 .

Esta tarefa suscitou muitas dúvidas nos formandos. Numa primeira fase, nenhum

conseguiu resolver a questão, perguntando-se como o deviam fazer. Foi então necessária a

ajuda do formador, que explicou o procedimento algorítmico. Durante a explicação, os

formandos mostravam-se um pouco confusos e com dificuldade em acompanhar o formador.

Este exercício permitiu reflectir sobre a importância de uma boa compreensão do sistema

de numeração no desenvolvimento de capacidades de cálculo, possibilitando ainda confrontar os

formandos com algumas das dificuldades que os alunos sentem quando não desenvolvem essa

compreensão.

Esta situação colocou alguns problemas aos formandos decorrentes do facto de, ao

utilizarem a base cinco, terem de fazer agrupamentos de cinco para passar para a ordem

superior. Uma vez que alguns formandos estavam esquecidos deste assunto e outros nunca

tinham sequer trabalhado noutras bases, houve muitas dificuldades na resolução da operação.

Tal situação permitiu colocar os formandos no papel dos seus alunos, que ao não terem

desenvolvido um conhecimento sólido sobre o sistema de numeração, manifestam muitas

dificuldades na compreensão do procedimento algorítmico, nomeadamente da adição com

transporte e da subtracção com empréstimo.

Seguidamente efectuou-se o cálculo recorrendo ao MAB, explicando o procedimento de

cálculo, que anteriormente havia sido explicado apenas oralmente e sem recurso a nenhum

material didáctico. Neste momento realçaram-se as potencialidades do uso deste material para o

desenvolvimento da compreensão do sistema de numeração.

Seguidamente foram apresentados alguns jogos com o MAB (jogo da loja e jogo do

banqueiro), adequados a esta temática.

3. O que é o número, numeral e algarismo?

Por último discutiram-se os conceitos de número, numeral e algarismo. Relativamente a

este aspecto, ninguém foi capaz de fazer a distinção entre estes três conceitos.

217

O formando F1 começou por pedir para esclarecer uma dúvida que tinha e que sabia que

outras colegas também tinham: ―Até ao 9 são algarismos, daí para a frente são números?‖

Mais ninguém se pronunciou sobre este assunto, havendo necessidade do formador

clarificar os três conceitos.

Na segunda sessão destinada a este tema (sessão 11) foram explorados alguns desafios

numéricos. Seguidamente debateu-se a abordagem didáctica dos algoritmos e o sentido das

quatro operações aritméticas (adição, subtracção, multiplicação e divisão). A este respeito, os

formandos foram incentivados a explicarem a forma como ensinavam os algoritmos.

Relativamente à adição, a abordagem era idêntica para todos os formandos e limitava-se à

explicação da técnica que os alunos deveriam decorar e reproduzir.

No que se refere à subtracção, verificaram-se algumas diferenças:

— Sete formandos ensinavam o algoritmo utilizando o método baseado na propriedade da

invariância do resto;

— Três formandos utilizavam o método de decomposição do aditivo.

O primeiro método era explicado de uma forma mecânica e repetitiva, sem os próprios

formandos terem muito a noção da sua explicação matemática. Assim, por exemplo, 2743

era explicado da maneira seguinte: sete para treze seis e vai um, dois e um três para quatro um.

Esta mecânica suscita, segundo os formandos, algumas dúvidas nos alunos. Por exemplo,

muitos professores aquando da explicação do processo aos alunos dizem que de três não se

pode tirar sete, assim têm de pedir uma dezena emprestada, mas depois devolvem essa dezena

ao 27 (dois mais um três). Perante esta explicação, muitos alunos questionam os professores

sobre o porquê de devolverem em baixo.

Relativamente ao segundo método, havia um melhor conhecimento do procedimento, e no

entender dos formandos os alunos compreendiam melhor o processo, pois apenas se decompõe

o aditivo de uma forma compreensível para os alunos.

Relativamente ao ensino dos algoritmos, os formandos não usavam nenhum material

didáctico, baseando o seu ensino na explicação do procedimento e que depois era mecanizado

pelos alunos.

Por último, foram apresentados e explorados alguns procedimentos algorítmicos não

usuais e que eram do desconhecimento dos formandos. Alguns dos formandos ficaram até um

218

pouco surpreendidos com o facto de existirem outros algoritmos, pois não faziam ideia da sua

existência ou não tinham sequer pensado nesse assunto e colocado essa hipótese.

Avaliação das sessões de sistemas de numeração e algoritmos

Mais uma vez foi aplicado um pequeno questionário no final das sessões dedicadas aos

sistemas de numeração e algoritmos. Relativamente às melhorias no conhecimento identificadas

pelos formandos, foram salientados os aspectos relacionados com a compreensão dos sistemas

de numeração, nomeadamente no que respeita ao sistema decimal posicional e ao ensino dos

algoritmos.

Melhorei o meu conhecimento sobre os sistemas de numeração, compreendendo melhor a importância do trabalho com o MAB (Material multibásico) para o desenvolvimento da compreensão do sistema de numeração pelos alunos. (F3)

Clarifiquei alguns conceitos que me suscitavam dúvidas, tais como numeral, número e algarismo. (F10)

Fiquei a conhecer mais abordagens para o ensino dos algoritmos, passando a compreender melhor todo o procedimento algorítmico que fazia de uma forma um pouco mecanizada. Acho que os algoritmos não usuais trabalhados nas sessões e que eu não conhecia podem ser úteis para as aulas. (F7)

Relativamente à influência do tratamento deste tema nas sessões de formação nas

práticas lectivas, os formandos destacaram a valorização do uso de materiais estruturados

fundamentais para o ensino do sistema de numeração e dos algoritmos.

Nas sessões reflectimos sobre as potencialidades do uso de materiais didácticos como o Cuisenaire, o MAB e o calculador multibásico no ensino do sistema de numeração e dos algoritmos. Reconheci essas vantagens e passarei a utilizá-los mais na sala de aula. (F5)

Salientaram, porém, que as escolas dispõem de poucos recursos didácticos e alguns dos

materiais trabalhados nas sessões nem sequer existem.


exploração deste assunto nas sessões conjuntas.

219

Tabela 63 – Ideias anteriores e posteriores à formação sobre sistemas de

numeração e algoritmos


Alguns materiais didácticos como o material Cuisenaire, MAB e calculador multibásico são pouco valorizados.

Compreenderam e valorizaram o uso de materiais didácticos específicos para o ensino desta temática.

Alguns conceitos, particularmente número, numeral e algarismo suscitam dúvidas e confusões.

Perceberam os conceitos de número, numeral e algarismo.

Os algoritmos são ensinados de uma forma mecanizada, tal como os professores aprenderam enquanto alunos. Não é valorizada a explicação do processo, em parte por eles próprios apresentarem lacunas na sua compreensão.

Valoriza-se a compreensão dos procedimentos algorítmicos pelos alunos.

Para além dos algoritmos usuais, que aprenderam enquanto alunos, os professores não conhecem outros procedimentos algorítmicos

Os professores conhecem e valorizam outros procedimentos algorítmicos não usuais.

Geometria (da 12ª à 14ª sessão de formação)

Nas sessões dedicadas à exploração do tema Geometria foram realizadas algumas tarefas

com o intuito de explorar alguns materiais didácticos importantes no estudo deste tema.

Clarificaram-se, ainda, alguns conceitos que suscitavam dúvidas aos formandos.

A primeira sessão destinada a este tema (12ª sessão) começou com a apresentação de

um PowerPoint, com o intuito de clarificar alguns conceitos, propondo-se a resolução de

algumas tarefas. As primeiras tarefas propostas foram:

Tarefa 1

O Sr. Jorge e o Sr. Manuel têm cada um a sua horta. A horta do Sr. Jorge é quadrada. A horta do Sr. Manuel é rectangular, e o comprimento tem

o dobro da largura. Um destes dias encontraram-se e o Sr. Jorge disse: — Ó amigo, tenho andado a pensar que podia ser uma boa ideia trocarmos as nossas

hortas, ficava-nos mais próximo de casa aos dois. O que é que acha? — Talvez tenha razão, mas acabei de comprar 24 metros de rede para a vedação da minha! — Não tem problema! 24 metros? Serve à justa para vedar a minha horta! — Vou pensar, compadre! Será que o Sr. Manuel deve aceitar a troca?

220

Tarefa 2

O João viu este canil e quer fazer um parecido no quintal, vedando com rede uma zona rectangular. Para ladrilhar o chão, já tem 36 mosaicos quadrados iguais, com 1dm de lado.

O João quer gastar o mínimo possível na rede. Então, como deve ele dispor os 36 mosaicos?

Estas duas tarefas tinham como objectivo trabalhar dois problemas, um sobre rectângulos

isoperimétricos e outra sobre rectângulos equivalentes. Era assim pretendido predispor os

formandos para o tema, diagnosticando a sua ideia sobre o conceito de rectângulo.

Durante a discussão, nomeadamente na segunda tarefa, os formandos tinham a ideia de

que o quadrado não poderia ser classificado como rectângulo. Tal ideia baseava-se no

fundamento de que o rectângulo tem dois lados iguais e dois diferentes, enquanto que o

quadrado tem os lados todos iguais.

Perante esta situação, o formador propôs a resolução da tarefa seguinte:

Observe os polígonos representados na figura seguinte:

Preencha as tabelas com as letras que correspondem aos polígonos da figura.

Não tem

Sim, tem

Um par Dois pares

Tem lados opostos

paralelos?

Tem lados

congruentes?

Tem ângulos

congruentes?

221

Após a resolução desta tarefa, os formandos perceberam o porquê de se incluir o

quadrado no grupo dos rectângulos e discutiu-se a ideia enraizada de classificar as figuras

apenas pelo seu aspecto visual.

Em relação a este aspecto, o formador questionou os formandos sobre a forma como

classificariam as duas figuras seguintes:

Em relação à primeira figura não houve qualquer dúvida em classificá-la como quadrado,

no entanto a segunda foi classificada pela maioria como losango. Esta classificação veio muito a

propósito, tendo-se discutido o facto de os professores e os manuais apresentarem na maioria

das vezes as figuras em determinadas posições. Tal actuação leva a que os alunos classifiquem

as figuras, para além do aspecto visual, de acordo com a sua posição.

Para clarificar a questão da classificação de quadriláteros, foi apresentado e analisado o

esquema seguinte:

Figura 33. Classificação de quadriláteros

A análise deste esquema permitiu clarificar as confusões relativas à classificação de

quadriláteros anteriormente enunciadas.

222

Entretanto, ainda a respeito da classificação de polígonos, o formando F9 referiu que o

mesmo acontece com os triângulos. Neste caso, os alunos afirmam que:

―Assim é um triângulo‖.

―Desta forma é um triângulo de pernas para o ar‖.

A partir desta questão abordou-se a necessidade e as vantagens da utilização de uma

linguagem matemática rigorosa por parte dos professores, que possibilite uma melhor

compreensão da Matemática por parte dos alunos.

No seguimento dos episódios relatados, o formador clarificou alguns conceitos,

nomeadamente: polígono; convexidade; poliedro; prisma; pirâmide; cilindro e cone.

No final desta sessão concluiu-se que muitas vezes a ideia de que as classificações dos

objectos matemáticos estão completamente estabelecidas, encarando-se como verdades

absolutas, conduzem ao risco de, sob a alçada do rigor, tornar o estudo da Matemática num

conjunto de definições e regras, o que está longe de traduzir o que é a Matemática e a actividade

Matemática.

Na segunda sessão destinada à Geometria, foram explorados alguns materiais didácticos.

Entre eles, destacaram-se: as miras, os polydrons, o tangram, os hexagramas e os pentaminós.

Relativamente às miras, utilizadas no estudo das simetrias, e os polydrons, utilizados para

planificação e construção de sólidos, o desconhecimento por parte dos formandos era total. Não

sabiam que existia este material, nem para que servia.

No que se refere ao Tangram, apesar de ser um material presente nas escolas e de a

generalidade dos manuais escolares lhes fazer referência, os formandos não lhe reconheciam

grandes potencialidades. A respeito deste material, o formando F1 afirmou que:

Os livros traziam sempre o tangram, mas eu nunca lhe dei muita importância. Pensava que só servia para os garotos brincarem. De vez em quando deixava-os brincar com ele.

Atendendo à falta de conhecimento, fosse da sua existência ou das suas potencialidades,

foram exploradas algumas tarefas utilizando os materiais enumerados. A partir deste trabalho, os

223

formandos planificaram uma aula com o Tangram. Na sessão de acompanhamento do formando

F9 foram trabalhadas as três tarefas que se apresentam a seguir.

Com duas peças do tangram constrói um triângulo, um paralelogramo e um quadrado.

A resolução desta primeira tarefa revelou-se relativamente fácil para os alunos, tendo

apenas havido algumas dúvidas quanto à construção do paralelogramo. Na Figura 34

apresentam-se alguns trabalhos realizados pelos alunos.

Figura 34. Resolução dos alunos da primeira tarefa

Das resoluções dos alunos destaca-se a dificuldade em desenhar as figuras de forma

rigorosa, o que pode dever-se ao facto do professor não ter exigido a utilização de régua.

Com quatro peças do tangram, constrói um triângulo, um rectângulo e um quadrado.

Nesta tarefa, quando lhes foi pedido que construíssem com as 4 peças um quadrado, um

rectângulo e um triângulo, as dificuldades aumentaram um pouco. Depois de muito tentarem e

com alguma ajuda do professor, a maioria dos alunos foi conseguindo representar as figuras

pedidas. No entanto, alguns revelaram dificuldade em desenhar no papel as figuras que

conseguiram fazer com o Tangram.

224

Figura 35. Resolução dos alunos da segunda tarefa.

Uma vez terminada a resolução das tarefas propostas nesta primeira parte, passou-se à

discussão e apresentação colectiva dos resultados/trabalho desenvolvido. Alguns alunos foram

explicar como tinham construído cada uma das figuras pedidas nas duas tarefas. Para tal, os

alunos mostraram as peças que usaram e construíram no quadro magnético as respectivas

figuras.

Em seguida, foi distribuída uma nova tarefa:

Utilizando todas as peças constrói as figuras que o Imperador conseguiu descobrir:

a) Um quadrado; b) Um rectângulo; c) Um triângulo; d) Dois triângulos geometricamente iguais; e) Dois quadrados geometricamente iguais.

Figura 36. Terceira tarefa apresentada

O grau de dificuldade aumentou e os alunos começaram a experimentar, tendo sido muito

poucos os que conseguiram resolver toda a tarefa, pois a maior parte teve muitas dificuldade.

Foi então que o formando decidiu dar a cada aluno uma folha com as soluções, procurando ver

até que ponto eram capazes de reproduzir as soluções usando as peças do Tangram. Mesmo

assim, alguns alunos precisaram de ajuda, pois sozinhos não conseguiram representar o que era

pedido.

Figura 37. Primeira tarefa apresentada.

225

No final da aula, durante a reflexão com o formando, foi possível salientar as

potencialidades do Tangram, que até então tinha sido usado como mero jogo, sem um fim

específico de ensino. Reflectiu-se, ainda, sobre as dificuldades apresentadas pelos alunos,

nomeadamente quanto à capacidade visualização e de reprodução das figuras a partir dos

modelos apresentados. O formando avançou que a geometria é uma área de que não gosta

muito e em relação à qual investe pouco.

Outros dos materiais utilizados nas sessões conjuntas foram os polydrons. A partir da

exploração deste material, foram trabalhadas tarefas de planificação de sólidos, em particular

uma actividade de investigação com o objectivo de descobrir todas as planificações possíveis do

cubo.

Na aula do formando F10 foi utilizado o material polydron com o intuito de desenvolver

uma actividade de investigação para descobrir as 11 planificações possíveis do cubo. A vontade

em utilizar esta tarefa radicou, de acordo com o formando, no facto de nem ele nem os alunos

alguma vez terem trabalhado com este material.

A aula iniciou-se com uma revisão dos conceitos de sólido geométrico e figuras

geométricas, levando os alunos a falar sobre as diferenças entre eles. Entretanto, o formando

pediu aos alunos que dessem exemplos de sólidos, até que um deles referiu o cubo. Falou-se

então sobre o cubo e as suas características, focando o número de arestas, de vértices e de

faces. Os alunos chegaram à conclusão que o cubo tem doze arestas, oito vértices e seis faces

com a forma de um quadrado.

Seguidamente, abordou-se o conceito de planificação, tendo um aluno dito que ―era uma

maneira de construir um sólido geométrico‖

Concluída esta actividade introdutória, a turma foi dividida em seis grupos. A cada um dos

grupos foram distribuídas seis peças quadradas, necessárias à construção das planificações. Os

alunos deveriam ir construindo e validando as suas planificações, procedendo posteriormente ao

registo numa folha quadriculada.

226

Figura 38. Planificações construídas pelos alunos.

No desenrolar da tarefa, os alunos mostraram-se sempre muito motivados e com vontade

em descobrir o maior número de planificações possível.

Figura 39. Planificações desenhadas pelos alunos.

227

Durante o tempo que durou a actividade foi possível observar momentos de descoberta

mais intensos, alternados com momentos em que a produção diminuiu de intensidade. Alguns

grupos conseguiram rapidamente encontrar cerca de seis planificações. Mesmo alunos

considerados com mais dificuldades, segundo o próprio formando, surpreenderam-no ao

conseguirem encontrar 9 planificações diferentes, tendo o formando referido que estes alunos

superaram as suas expectativas.

Dos seis grupos formados, nenhum conseguiu descobrir as onze planificações possíveis

do cubo, mas dois grupos conseguiram chegar a dez.

Concluída esta parte da aula, procedeu-se à partilha e discussão de resultados em grande

grupo. Cada grupo, alternadamente, foi ao quadro representar uma planificação. Este foi o

momento em que validarem as suas próprias descobertas e que se revelou muito rico em

termos de comunicação e de envolvimento dos alunos.

No final da aula, os alunos pronunciaram-se sobre o trabalho desenvolvido, tendo um dos

alunos registado a seguinte opinião:

Figura 40. Opinião de um aluno sobre a aula.

Após a aula e na reflexão com o formando, este salientou que esta aula superou as suas

melhores expectativas. Na sua opinião, os alunos não iriam descobrir muitas planificações e

estava mesmo convencido que iriam ter bastantes dificuldades. Por isso, considerou a aula

muito bem sucedida, referindo especialmente o caso de uma aluna que normalmente demonstra

muitas dificuldades a Matemática e que durante a aula ―participou sem medos, conseguindo um

trabalho melhor do que muitos dos seus colegas‖. O formando acrescentou ainda que:

228

Esta aula foi uma mais-valia pois através dela consegui verificar que os alunos ficam mais motivados e conseguem chegar a conhecimentos válidos através da experimentação/manipulação e como participam na construção do seu próprio conhecimento, este é retido mais facilmente. A maioria dos alunos tem capacidades matemáticas que apenas precisam ser desafiadas. A experimentação e a descoberta têm um papel fundamental na realização das aprendizagens. (F10)

Na última sessão conjunta de geometria foi explorada uma tarefa sobre frisos, com o

intuito de aprofundar conhecimentos relacionados com algumas transformações geométricas.

Avaliação das sessões de Geometria

A aplicação do questionário, no final das sessões dedicadas à Geometria, evidenciou que

os formandos sentiram que os seus conhecimentos sobre alguns conceitos necessitavam de ser

aprofundados. No seu entender, estas sessões exerceram um papel importante ao alertá-los

para o facto de algumas ideias pré-concebidas influenciarem a forma como leccionavam este

tema. Consideraram, ainda, muito benéfica a exploração de alguns materiais didácticos que não

conheciam ou em relação aos quais não identificavam as suas potencialidades. Porém, mais

uma vez salientaram a não existência de muitos desses materiais nas escolas, o que inviabiliza a

sua utilização.

Durante estas sessões pude explorar alguns materiais, como o tangram em relação ao qual não reconhecia a sua importância. Os alunos usavam-no como um jogo, como uma brincadeira. Com a formação percebi as vantagens de o utilizar. (F1)

Estas sessões foram importantes, pois permitiram-me clarificar alguns conceitos sobre a classificação de polígonos. Também permitiram explorar e conhecer alguns materiais para o ensino da Geometria, como por exemplo as miras e os polydrons. (F2)

Melhorei a minha capacidade para ensinar a Geometria, pois melhorei o meu conhecimento sobre alguns assuntos, como, por exemplo, a classificação de figuras e os frisos. (F5)


formação sobre Geometria.

229

Tabela 64 – Ideias anteriores e posteriores à formação em Geometria


A Geometria é vista como um tema baseado na definição e memorização de conceitos.

A Geometria é vista como uma rede complexa de interligações entre conceitos, modos de pensar e sistemas de representação que são usados para conceptualizar e analisar ambientes espaciais físicos e imaginados‖ (Battista, 2007).

O trabalho com os alunos centra-se muito na definição de conceitos, identificação de figuras e resolução de exercícios.

O trabalho com os alunos privilegia uma vertente exploratória e dinâmica.

Pouca valorização da utilização de materiais didácticos no ensino da Geometria. Por exemplo, o Tangram é visto como um jogo para brincar.

Valorização do papel dos materiais didácticos como recursos fundamentais no ensino da Geometria.

Há um completo desconhecimento de alguns materiais estruturados para o ensino da Geometria, particularmente os polydrons e os geo-reflectores.

Há uma melhoria no conhecimento de alguns materiais estruturados e no reconhecimento da sua importância no ensino da Geometria.

Avaliação da acção de formação (15ª sessão de formação)

Esta sessão foi dividida em dois momentos:

— O primeiro momento foi dedicado à elaboração de um cartaz para apresentar no

seminário final da formação (este seminário junta todos os formandos envolvidos no programa

de formação, representando o culminar de um ano de trabalho);

— O segundo momento foi dedicado à avaliação da acção de formação, fazendo-se um

balanço final do trabalho desenvolvido. Para isso, os formandos puderam falar um pouco do

trabalho desenvolvido, tendo sido unânime a opinião de que a formação superou as suas

expectativas. No seu entender, o facto desta se ter centrado na sala de aula, atribuindo um papel

importante à sessões de acompanhamento, foi uma mais-valia. Posteriormente responderam a

um questionário, constituído por vários itens fechados, incluindo uma escala tipo Likert com

quatro pontos: inadequado, pouco adequado, adequado e muito adequado. Na Tabela 63

apresentam-se os itens e as percentagens de formandos segundo as diferentes opções de

resposta.

230

Tabela 65 – Avaliação da acção pelos formandos

Inadequado Pouco

adequado Adequado Muito

adequado

Os objectivos da acção foram 0% 0% 60% 40%

Os conteúdos propostos foram 0% 0% 50% 50%

O desenvolvimento das sessões conjuntas foi 0% 0% 60% 40%

As metodologias utilizadas no decorrer das sessões conjuntas foram

0% 0% 66,7% 33,3%

As oportunidades de participação nas sessões conjuntas foram

0% 0% 30% 70%

A documentação fornecida foi 0% 0% 50% 50%

O ambiente humano e de trabalho no grande grupo foi 0% 0% 20% 80%

O funcionamento dos grupos de trabalho em que se integrou foi

0% 0% 60% 40%

O processo de supervisão foi 0% 0% 20% 80%

No que diz respeito às suas expectativas iniciais esta acção foi

0% 0% 20% 80%

Na mudança/melhoria das suas práticas profissionais esta acção foi

0% 0% 40% 60%

Para o seu enriquecimento pessoal foi 0% 0% 10% 90%

O processo de avaliação foi 0% 0% 80% 20%

Cada formando pronunciou-se, ainda sobre a formação, apresentando-se de seguida a sua

opinião.

Posso concluir que os meus objectivos foram alcançados e que as expectativas iniciais foram superadas. Esta acção melhorou as minhas práticas profissionais (F1). A acção foi bastante enriquecedora a nível profissional e pessoal e superou as minhas expectativas iniciais. (F2) A acção foi bastante enriquecedora no sentido que houve interacção entre a teoria e a prática. Os conteúdos foram pertinentes e desenvolveram algumas práticas a aplicar na sala de aula. (F3) Melhorei a qualidade da aprendizagem e algumas estratégias de resolução de problemas na sala de aula. (F4) Melhorou o conhecimento matemático e didáctico. Notou-se melhoria nas práticas de reflexão e nas aprendizagens matemáticas dos alunos. (F5) Permitiu alargar diversos conhecimentos, nomeadamente o cálculo mental e a resolução de problemas. (F6) O meu conhecimento matemático e didáctico aumentou significativamente, permitindo-me tomar consciência de como é importante reflectir sobre a nossa prática pedagógica. (F7) As aprendizagens dos alunos melhoraram e alguns [alunos] que não gostavam de Matemática começaram a gostar. (F8)

231

Ajudou a desenvolver-me como professor reflexivo, contribuindo para o desenvolvimento dos alunos. Possibilitou a discussão em grupo com os pares, enriquecendo o nosso saber. (F9) Permitiu melhorar o meu conhecimento matemático e a minha actuação pedagógica. Permitiu-me tomar consciência de como é importante reflectir sobre a prática pedagógica e sobre os insucessos e sucessos obtidos com os alunos. (F10)

Em síntese, a avaliar pelas afirmações dos formandos, pode concluir-se que a acção de

formação teve um impacto muito positivo, reflectindo-se na melhoria do seu conhecimento

matemático e didáctico e repercutindo-se nas suas próprias práticas pedagógicas.

5.2.3. Percepções dos formandos sobre o impacto do programa de formação no

conhecimento matemático e didáctico

Nesta secção apresentamos os resultados relativos aos dados recolhidos junto do grupo

dos 10 formandos da responsabilidade do investigador.

Motivações para participar no PFCM

Neste ponto inventariamos e explicamos as motivações dos professores para a frequência

da acção de formação.

Para isso, questionámos os formandos sobre o que os motivou a participar no programa

de formação. A partir das suas respostas foi possível identificar duas categorias, colmatar

dificuldades e motivar os alunos.

Tabela 66 – Motivações dos formandos para participarem no PFCM

Motivações do formando N.º de formandos

Colmatar dificuldades 6

Motivar os alunos 4

De acordo com as motivações enunciadas, inferimos que a vontade de

melhorar/aprofundar os conhecimentos é uma das principais razões para a participação no

programa de formação. Esta situação decorre do facto de os formandos manifestarem

dificuldades no ensino da Matemática, pois consideram que têm lacunas ao nível dos seus

conhecimentos matemáticos. Alguns formandos salientam que essas lacunas se devem ao facto

de a sua formação de base não ter incidido muito na área da Matemática, como é o caso, por

exemplo, das licenciaturas nas variantes de Português e Francês.

232

O grande motivo que me levou a participar na formação foi não me sentir muito à-vontade na área da Matemática uma vez que não é a minha formação base. (F3)

Salienta-se, ainda, a preocupação manifestada pelos formandos em motivar os alunos

para a área da Matemática, procurando, com a formação, desenvolver metodologias de trabalho

potenciadoras do sucesso escolar dos seus alunos. Esta preocupação revela a necessidade

sentida na actualização do seu conhecimento didáctico.

A Matemática é uma disciplina em que os alunos apresentam dificuldades, por isso procuro com esta formação contactar com materiais, jogos ou outras actividades que me permitam motivar mais os alunos e encontrar estratégias para superar as suas dificuldades. (F7)

Para alguns formandos esta preocupação de motivar os alunos para a Matemática resulta

também do facto de eles próprios não gostarem muito da disciplina e sobretudo de ensinar

Matemática. Para minimizar esta situação procuram, eles próprios, não passar este sentimento

aos seus alunos.

Percepções sobre a frequência do PFCM

Quando questionados sobre a influência do PFCM no desenvolvimento do seu

conhecimento e na eventual alteração das suas práticas, verificámos que os formandos

reconheceram várias alterações manifestamente positivas. Das suas respostas foi possível

identificar duas categorias – a alteração das práticas lectivas e utilização de novos materiais

didácticos.

Tabela 67 – Influência da formação no desenvolvimento das práticas lectivas

Influência no desenvolvimento das práticas N.º de formandos

Alteração das práticas lectivas 9

Utilização de novos materiais 10

Da análise da Tabela 67 constatamos que todos os formandos consideram que o

Programa de Formação influenciou as suas práticas. A partir deste processo formativo,

passaram a dar mais ênfase à utilização de materiais didácticos que habitualmente não

utilizavam, fosse por falta de conhecimento da sua existência, ou pela não valorização do seu

uso por não compreenderem as vantagens da sua utilização. Os formandos foram unânimes na

valorização e na promoção da utilização de materiais didácticos nas suas aulas, afirmando que

233

com a formação perceberam a importância da sua utilização e, em alguns casos, verificaram

que não lhes davam o melhor uso.

A formação contribuiu para mudar as minhas práticas (…) passei a usar mais material que habitualmente não usava. Por exemplo as miras e o tangram nunca tinha utilizado. Outro aspecto foi a valorização da resolução de problemas. Neste aspecto os alunos estavam muito vinculados à utilização de operações para a resolução das situações problemáticas, tudo muito padronizado colocando: dados, indicação e operação. E isso deixei de fazer, porque existem outras maneiras, outras estratégias de eles chegarem na mesma ao resultado. Passei a valorizar outras estratégias. (F10)

Intimamente relacionada com a valorização e aumento da utilização de materiais

didácticos está a implementação de metodologias de ensino diferentes das que habitualmente

utilizavam. Com a formação foi possível experimentar novas abordagens a temas leccionados

sempre da mesma maneira e em alguns casos de uma forma demasiadamente expositiva. A

partilha de experiências, a planificação de aulas em conjunto e as sugestões apresentadas pelos

vários intervenientes, permitiram alterações significativas na estrutura das aulas de alguns

formandos.

A formação permitiu-me ganhar confiança para introduzir nas minhas aulas elementos como os jogos, motivou-me para a utilização de novas estratégias e permitiu-me colocar questões mais profundas, (…) Em resumo, acabei por diversificar as actividades utilizadas na sala de aula e mudei a minha forma de ensinar a Matemática. Anteriormente usava muito o tradicional, ou seja, umas fichas e umas explicações e isto foi um bocadinho alterado o que originou uma maior motivação por parte dos alunos. (F1)

Quando questionados sobre a influência do PFCM no desenvolvimento do seu

conhecimento, os formandos salientaram a evolução sentida ao nível do conhecimento

matemático, didáctico e curricular.

Tabela 68 – influência da formação no desenvolvimento do conhecimento dos

formandos

Influência no conhecimento N.º de formandos

Desenvolvimento do conhecimento matemático 9

Desenvolvimento do conhecimento didáctico 9

Desenvolvimento do conhecimento curricular 6

234

Observando a Tabela 68 verifica-se que quase todos os formandos referem que a

frequência do PFCM, permitiu-lhes desenvolver os seus conhecimentos matemático e didáctico.

Relativamente ao conhecimento matemático, os formandos salientaram que

compreenderam melhor alguns tópicos que abordavam nas suas aulas. Na sua opinião, antes da

experiência de formação, a Matemática assumia-se como uma disciplina de rotinas e de

procedimentos. A este propósito uma formanda refere:

Modifiquei a maneira como abordava os assuntos geralmente dava um conteúdo e consolidava com uma ficha de trabalho. Na formação ficou bem claro que não precisa ser assim. Acaba por ser ao contrário, primeiro trabalham e depois concluem. (F9)

Esta ideia revela uma prática pedagógica assente na transmissão e exposição de

conteúdos, seguida de um momento de exercitação. Esta prática resulta, na opinião dos

formandos, de dois motivos: não se sentirem muito à-vontade no ensino da Matemática e não

terem tido na formação inicial disciplinas que abordassem o uso de determinados materiais

didácticos. Assim, os formandos acabam por encontrar a segurança de que precisam usando o

manual escolar. Contudo, após a formação, foi possível ouvir dos formandos afirmações que

confirmam um caminho de mudança e de vontade em alterar as práticas por se sentirem mais

confiantes e mais capazes de ensinar Matemática, declarando dois deles:

(…) sentia algumas dificuldades ao leccionar a disciplina de Matemática. Com esta formação fiquei a conhecer um conjunto de materiais de que não tinha conhecimento, aprendi a manipulá-los de modo a puder utilizá-los na aula e aprofundai alguns conhecimentos que me permitiram ter um maior à-vontade para leccionar Matemática. (F3) (…) esta formação ensinou-me a perceber a importância da linguagem no ensino da Matemática. Fez-me compreender que a utilização de materiais didácticos é fundamental para o desenvolvimento do conhecimento dos alunos, ainda mais dada a dificuldade natural da idade em abstrair e compreender os conceitos. (F4)

Segundo os formandos, a explicitação da importância e pertinência de alguns temas,

permitiram-lhes uma melhor compreensão da forma como deveriam agir. A compreensão que

desenvolveram de alguns conteúdos anteriormente pouco valorizados e a importância que

passaram a atribuir às capacidades transversais, como a resolução de problemas e a

comunicação matemática, permitiram-lhes implementar novas tarefas e explorar novas situações

didácticas. Este aspecto foi essencial para uma melhor compreensão das relações entre os

235

conteúdos matemáticos abordados, permitindo o estabelecimento de conexões que até então

não eram feitas.

A formação revelou-se muito importante no desenvolvimento do meu conhecimento didáctico. Por um lado passei a dar mais importância à comunicação e à linguagem na sala de aula, por outro lado obrigou-me a realizar algumas pesquisas o que contribuiu para melhorar o meu conhecimento, especialmente o conhecimento curricular. Isto fez com que passasse a valorizar determinados aspectos que anteriormente não valorizava tanto, a articular melhor entre os diferentes anos e a valorizar muito mais as estratégias de aprendizagem e a sua diversidade. (F8)

A pesquisa, o confronto de ideias e práticas em torno da aplicação de tarefas propostas

e/ou preparadas nas sessões de formação possibilitou uma maior confiança para as

implementar na sala de aula.

As sessões conjuntas

As sessões conjuntas de formação, com periodicidade quinzenal, num total de 15 sessões

com a duração de 3 horas cada, decorriam na sede de agrupamento com a presença de todos

os formandos. Nestas sessões eram exploradas propostas curriculares a desenvolver na sala de

aula, realizadas planificações, esclarecidas dúvidas e aprofundados os conhecimentos

matemáticos, didácticos e curriculares. O formador desempenhava um papel importante e

bastante activo na dinamização destas sessões.

Nesta perspectiva, as sessões conjuntas desempenharam um papel importante na

preparação e reflexão sobre a implementação de tarefas na sala de aula. De acordo com as

respostas dos formandos foi possível definir três categorias que, segundo os mesmos,

caracterizaram o papel das sessões conjuntas: reflexão sobre as práticas, troca de experiências e

utilização de novos materiais.

Tabela 69 – O papel das sessões conjuntas

Sessões conjuntas N.º de formandos

Reflexão sobre as práticas 10

Troca de experiências 8

Utilização de novos materiais 10

Pela análise da Tabela 69 verifica-se que todos os formandos atribuíram um papel

relevante às sessões conjuntas como espaço de promoção da reflexão sobre as práticas e a da

utilização de novos materiais. Segundo eles, nas sessões conjuntas foi importante a troca de

236

experiências pois permitiram partilhar dúvidas, anseios, necessidades e práticas, contribuindo

para a melhoria da sua prática lectiva. Alguns formandos chegaram mesmo a sugerir um

aumento do número de sessões conjuntas de forma a permitir uma abordagem mais profunda

dos temas e a elaboração de mais planificações conjuntas de aulas.

As sessões conjuntas permitiram a troca de experiências. No grupo havia colegas que acabaram o curso mais recentemente e que traziam novas ideias, eu pude contribuir com a minha experiência, ou seja, pudemos fazer um trabalho colaborativo. No próximo ano deveríamos trabalhar ainda mais em grupo, fazer dois ou três grupinhos e debater mais os temas da nossa área, fazer as planificações, etc. (F5)

Durante o ano lectivo de formação, os formandos implementaram metodologias de

trabalho diferentes das que usavam habitualmente. Em vez da exposição seguida da realização

de exercícios, valorizou-se o aluno e o seu percurso de descoberta. A mudança para um ensino

mais exploratório criou algumas inseguranças, pelo que as sessões conjuntas desempenharam,

neste aspecto, um papel essencial, ao proporcionar um espaço e um tempo de diálogo e

partilha. Os formandos puderam clarificar algumas dúvidas sobre as temáticas abordadas com

os seus alunos, apresentar as suas experiências e reflectir sobre a implementação das tarefas a

partir dos relatos apresentados pelos colegas e pelo formador. Desta forma, puderam evitar

erros cometidos por outros colegas, perceber a vantagem da utilização dos novos materiais e de

formas diferentes de leccionar.

Um dos entraves à aplicação das ideias veiculadas na formação passou pela insegurança

sentida face aos seus conhecimentos matemáticos. Uma coisa era planear um exercício, outra

era valorizar o aluno, o seu papel mais activo, ser capaz de prever os principais erros cometidos

e dúvidas comuns e sobretudo agir face ao imprevisto. Esta última forma de leccionar requer

conhecimentos matemáticos muito consolidados, já que ao leccionar um assunto poderiam ser

levados a explicar algo complexo e bastante diferente do planeado. Esta possibilidade deixava

alguns formandos bastante hesitantes. Para muitos, a implementação de novas tarefas,

pressupondo um ensino diferente, só foi possível porque viram colegas, com as mesmas

dificuldades, a experimentarem e ouviram os relatos da aprendizagem dos alunos e dos

acontecimentos de sala de aula. Já não era só o formador a referir as vantagens das novas

metodologias e tarefas, mas alguém com um percurso profissional semelhante ao seu, que havia

237

sentido as mesmas dificuldades, as mesmas dúvidas e que via as potencialidades das tarefas

aplicadas e das novas abordagens aos tópicos.

Nas sessões conjuntas pude aprender uma maneira sugestiva de preparar as minhas aulas através de jogos/actividades que desencadearam e desenvolveram certos hábitos e capacidades de trabalho. De início estava bastante renitente na aplicação de novas formas de ensinar, já que eram muito diferentes do que tradicionalmente usava na aula. Tinha alguma dificuldade em saber como iriam os alunos reagir a algo tão distinto do habitual, como iria eu conseguir dar a aula de uma forma tão diferente? E se os alunos perguntassem algo que eu não sabia? Era muito mais reconfortante agir da forma como sempre agi, mas nas sessões conjuntas íamos ouvindo relatos de colegas que mostravam o como os alunos estavam motivados, como aprendiam com mais facilidade, isto motivou-me a aplicar estas novas práticas. Por vezes ao trocar ideias com colegas que já leccionaram determinado tema numa aula, ouvia as suas sugestões o que me permitia melhorar. (F6)

Questionámos os formandos sobre os aspectos positivos que poderiam apontar às

sessões conjuntas. Na Tabela 70 apresentamos as categorias definidas a partir das suas

respostas, tendo sido possível identificar três aspectos: reflexão sobre as práticas e uso de novos

materiais, troca de experiências e adequação aos novos programas de Matemática.

Tabela 70 – Aspectos positivos da avaliação do PFCM

Aspectos positivos N.º de formandos

Reflexão sobre as práticas e uso de novos materiais

5


Adequação aos novos programas 2

Muito dos formandos sentiam algumas dificuldades em leccionar e/ou em motivar os

alunos para a Matemática. As sessões conjuntas permitiram-lhes reflectir sobre as suas práticas

e partilhar com os colegas as suas dúvidas e interesses, bem como experiências. A introdução

de novos materiais didácticos, muitos deles desconhecidos, permitiu leccionar de uma forma

mais motivadora para os alunos e com melhores resultados.

Um aspecto muito positivo na formação foi a reflexão sobre as práticas, a troca de experiências e o contacto com os novos materiais. Ao convivermos com os restantes colegas e ao ouvir os seus relatos pudemos dar opiniões o que, em muitos casos, contribuiu para aumentar os nossos conhecimentos. Ao percebermos diferentes formas de fazer as coisas escolhemos a que melhor se adaptava a nós.

238

Para mim outro aspecto muito importante passou pela divulgação de novos materiais. À medida que estes nos iam sendo apresentados era-nos explicado em que temáticas e como os poderíamos usar. Estes novos materiais foram facilitadores das aprendizagens, os alunos mostraram-se sempre muito receptivos a estas actividades pois aprendiam enquanto ―brincavam‖, e até alunos com mais dificuldades, iam compreendendo os temas tratados. (F2)

Outro aspecto valorizado prende-se com a adequação da formação ao que é preconizado

pelo novo programa de Matemática, nomeadamente no que se refere à importância atribuída à

promoção de tarefas que possibilitem uma aprendizagem exploratória, na qual o aluno

desempenha um papel muito activo. Este programa dá, ainda, uma grande ênfase ao

desenvolvimento de três grandes capacidades transversais: resolução de problemas, raciocínio e

comunicação matemática. Assim, a formação possibilitou um melhor conhecimento das

finalidades e objectivos do ensino da Matemática.

Os aspectos positivos foram os temas tratados, a sua adequação aos novos programas, a troca de experiências entre os colegas e a utilização dos novos materiais. A introdução do novo programa cria a necessidade de materiais e estratégias diversificadas, pelo que considero importante a formação já contemplar este aspecto. (F8)

Quando incitados a indicarem os aspectos que consideravam menos positivos, os

formandos mostraram dificuldades em enunciar algum, referindo apenas a sobrecarga de

trabalho que a formação acarreta e a dificuldade sentida em fazer as reflexões escritas das

aulas.

Tabela 71 – Aspectos menos positivos da avaliação do PFCM

Aspectos menos positivos N.º de formandos

Sobrecarga de trabalho 3

Dificuldade em fazer a reflexão de aula 2

Nada a assinalar 5

Alguns formandos salientam ser muito cansativo a participação na acção de formação,

uma vez que decorre durante todo o ano lectivo e em horário pós-laboral. Na sua opinião, a

formação poderia ter sido mais produtiva caso não houvesse tanta sobrecarga de trabalho, já

que lhes permitiria pesquisar algumas temáticas, adquirir e consolidar conhecimentos. Muitas

vezes, nas sessões conjuntas, os formandos estavam cansados, não participando tão

239

activamente na sessão ou não aproveitando tanto quanto gostariam. Na sua opinião, tal não

aconteceria se as sessões fossem em horário laboral.

O menos bom a salientar na formação foi a sobrecarga de trabalho, as aulas, a formação, as reuniões. Após um longo dia de trabalho não há, por vezes, paciência para participar nas sessões, para ouvir os colegas, para apresentar resultado válidos. Muitas vezes pensava que se as sessões fossem feitas num outro dia ou num outro horário, em que não estivesse tão desgastado, aproveitaria e participaria muito mais. Considero que se houvesse mais disponibilidade de tempo poderia ter investigado temas abordados na formação e que considerei pertinentes, podendo depois retirar as dúvidas que entretanto foram surgindo e discuti-las com os restantes colegas. Mas, como já referi, era um mal menor uma vez que considero que não se poderia fazer esta formação em menos tempo. (F5)

Para outros formandos o aspecto menos positivo prende-se com a realização do portefólio,

particularmente as reflexões de aula, pelo trabalho e pela exigência. Recorde-se que o portefólio,

instrumento que funcionava como único elemento de avaliação dos formandos, deveria

apresentar de forma detalhada e reflexiva o trabalho desenvolvido ao longo da formação,

particularmente nas sessões de acompanhamento. Este era um documento que se pretendia

pessoal, pelo que a sua estrutura era flexível e da responsabilidade de cada formando, tendo, no

entanto, como obrigatório a selecção de duas tarefas preparadas para os alunos e exploradas na

nas sessões de acompanhamento, que deveriam ser comentadas, apresentando uma reflexão

sobre a sua exploração. Essa reflexão deveria enfatizar os objectivos iniciais, o decorrer da

experimentação e a avaliação da sua aplicação, baseando-se na análise das produções dos

alunos.

Para estes formandos, a participação na acção de formação e as aulas assistidas

poderiam servir de avaliação não existindo a necessidade de realizar uma avaliação escrita.

Desta forma havia uma diminuição do trabalho realizado.

Não encontro aspectos menos positivos, poderá considerar-se o facto de o relatório final ser um pouco exigente, deveria considerar-se mais a prática, no contexto sala de aula, e não uma reflexão escrita. A reflexão escrita acabou por representar uma sobrecarga de trabalho, a meu ver, desnecessária. (F4)

240

As sessões de acompanhamento

As sessões de acompanhamento contemplavam o desenvolvimento de experiências

pedagógicas em sala de aula, acompanhadas pelo formador. Assim, foram planificadas quatro

aulas, assistidas pelo formador, sendo posteriormente objecto de reflexão.

Questionámos os formandos sobre a importância das sessões de acompanhamento no

seu percurso formativo. Na Tabela 72 apresentamos as categorias definidas a partir das suas

respostas, tendo sido possível definir quatro aspectos: permitiu experimentar novas

metodologias, promoveu o auto-questionamento e a reflexão, possibilitou a correcção de

pequenos erros e motivou os alunos.

Tabela 72 – O papel das sessões de acompanhamento

As sessões de acompanhamento N.º de formandos

Permitiu experimentar novas metodologias 5

Auto-questionamento e reflexão 2

Correcção de pequenos erros 1

Motivação dos alunos 4

Pela Tabela 72 verificamos que as sessões de acompanhamento foram importantes ao

favoreceram a experimentação de novas estratégias e materiais e para a motivação dos alunos,

a reflexão sobre as práticas e a correcção de pequenos erros. Muitos formandos consideraram

que as sessões de acompanhamento ajudaram na experimentação de novas tarefas e novas

abordagens, pois sentiam a ajuda e apoio do formador. Sem as sessões de acompanhamento

teria sido mais difícil a experimentação das tarefas exploradas e planificadas nas sessões

conjuntas.

A presença de um formador, cuja função não era classificar, criou o ambiente ideal para

desenvolver destas experiências, já que, em caso de necessidade poderiam contar com o seu

apoio.

Apesar do nervosismo sentido com as primeiras sessões de sala de aula, uma vez que receava estar a ser avaliada, elas revelaram-se importantes. Estas sessões foram relevantes para definir um percurso de aula, permitindo-me experimentar novas estratégias e metodologias. Por exemplo, na aula em que leccionei os problemas tinha a primeira situação problemática preparada mas depois estava a pensar: o que faço de tarde? Vou continuar, mas de que forma? E aí o formador ajudou e isso foi muito importante. (F3)

241

A reflexão subsequente à sessão de acompanhamento foi, segundo os formandos,

importante por permitir perceber alguns aspectos a melhorar e, muitas vezes, compreender a

diferença de resultados obtidos com as novas estratégias e/ou tarefas implementadas. Este

processo de reflexão criou a necessidade de pensar sobre a aula leccionada não a dando por

encerrada no final do tempo lectivo. Neste processo, o formador revelou-se essencial, pois ao

acompanhar o professor e a aula registou, também ele, alguns episódios significativos, que

contribuíram para a elaboração de uma reflexão mais consistente e completa. Ao ajudar os

formandos a explicitar e enumerar os aspectos positivos e negativos da aula, a analisar os

registos escritos dos alunos bem como a suas intervenções, o formador contribuiu para a

melhoria do conhecimento didáctico dos formandos.

Considero as sessões de sala de aula necessárias uma vez que me deu mais confiança para experimentar coisas novas, principalmente no início ajudou no auto questionamento e na reflexão sobre as práticas, permitiu corrigir pequenos erros. Por exemplo, por vezes usava a expressão número em vez de utilizar algarismo. Possibilita [ainda] uma melhor definição do percurso de aula define a altura da apresentação, da resolução e da reflexão. O facto do formador estar presente na aula tornou-se importante na hora de realizar a reflexão, pois ajudou-me a relatar a aula tal como ela aconteceu e levou à realização de uma análise mais exaustiva. Eu não tinha o hábito de fazer reflexões das aulas o que me criou dificuldades. Mas o facto de abordar o que ia ―descobrindo‖ com o formador e, nas sessões conjuntas, com os restantes colegas levou-me a perceber melhor as minhas práticas e a crescer profissionalmente. (F5)

Outro dos aspectos que os formandos consideraram importantes das sessões de

acompanhamento prende-se com o facto de terem contribuído para motivar os alunos para a

Matemática. As sessões de acompanhamento foram, segundo os formandos, muito apreciadas

pelos alunos. Na sua opinião, os alunos gostavam da presença do formador na sala de aula e

apreciavam as tarefas desenvolvidas nessas aulas.

A planificação das actividades lectivas tinha como pressuposto a utilização de tarefas e

materiais trabalhados nas sessões conjuntas. De uma maneira geral, os alunos respondiam

muito bem, sentindo-se figuras centrais e estando muito empenhados na realização das

actividades. Foi através da percepção de como os alunos reagiam às novas metodologias que

alguns formandos compreenderam a sua importância.

Incitou os alunos a trabalharem e a tentarem resolver sempre algo mais difícil, acima daquilo que eles estavam a fazer, ou seja, teve um papel motivador e activo

242

para a aprendizagem da Matemática. O formador não se limitou a estar, pura e simplesmente, sentado numa cadeira a ver o que se passava; em vez disso, teve um papel activo o que para além de me dar mais confiança levou a que os alunos tivessem mais ajuda, participassem com mais entusiasmo e se sentissem importantes, o que se revelou um elemento motivador. Os discentes gostavam destas aulas e estavam sempre a perguntar quando vinha o outro professor. Eles chegaram a querer saber se tinha boa nota considerando que isso tinha relação com o facto de eles se terem tornado bons a Matemática. (F1)

O portefólio

A construção de um portefólio reflexivo de todo o percurso formativo constituiu-se como

único elemento de avaliação dos formandos.

Ao analisarmos a opinião dos formandos sobre o uso do portefólio como metodologia de

avaliação definimos as seguintes categorias: proporcionou a reflexão, permitiu melhorias nas

práticas, permitiu ver o trabalho desenvolvido pelos formandos, desenvolveu os conhecimentos

científicos e não é a melhor metodologia de avaliação.

Tabela 73 – O papel dos portefólios

O papel dos portefólios N.º de formandos

Proporciona a reflexão 5

Permitiu melhoria nas práticas 3

Permitiu ver o trabalho realizado pelos formandos 2

Desenvolveu os conhecimentos científicos 2

Não é a melhor metodologia de avaliação 2

Relativamente à utilização do portefólio como metodologia de avaliação, os formandos

consideraram que contribuiu para o seu desenvolvimento profissional pois, proporcionou a

reflexão, permitiu uma melhoria das práticas, desenvolveu a escrita e aumentou o conhecimento

científico dos formandos.

Na minha opinião o portefólio é uma boa metodologia pois prefiro apresentar o trabalho realizado ao longo do ano do que, por exemplo, fazer um teste escrito. O portefólio tinham uma parte de realização obrigatória, por exemplo as reflexões, mas também proporcionava uma certa liberdade para colocarmos o que íamos fazendo, ou seja, não era um trabalho para fazer no final da acção mas sim ao longo do ano. Na minha opinião o portefólio revelou-se algo muito positivo pois, para além de promover o auto-questionamento, é um instrumento de avaliação fácil de utilizar e de consultar. (F1)

243

O portefólio promoveu a realização de reflexões sobre as aulas, fomentando um processo

de auto-questionamento que permitiu um aprofundamento dos conhecimentos, levando,

segundo os formandos, a melhorias nas suas práticas. A construção do portefólio proporcionou a

melhoria da expressão escrita e dos conhecimentos científicos pois incentivou a pesquisa de

informação, de modo a fundamentar as ideias apresentadas.

Permitiu desenvolver diversos aspectos, entre os quais o uso do português uma vez que tive que transcrever o que pensei para o papel e, por último, ajudou a clarificar alguns conceitos e ideias sobre a própria Matemática já que realizei um conjunto de pesquisas para saber o que deveria abordar em alguns itens. (F3)

Dois dos formandos consideraram que o portefólio não era a metodologia de avaliação

mais adequada, uma vez que, deveriam ser observadas as práticas lectivas e o envolvimento

com os alunos. Para estes formandos, as sessões de acompanhamento deveriam ser objecto de

avaliação, devendo centrar-se nas práticas lectivas.

Não acho necessária a elaboração do portefólio para sermos avaliados, a formação durou um ano lectivo, durante este tempo estivemos sempre em contacto com o formador que acompanhou algumas aulas. Na minha opinião, deveriam ser avaliadas as práticas lectivas e o nosso envolvimento com os alunos. Afinal o objectivo último da formação deverá ser melhorar as nossas práticas. (F10)

Balanço final e sugestões

Quando analisámos as respostas dadas pelos formandos relativamente à importância da

acção de formação, emergiram as seguintes categorias: a ligação entre a teoria e a prática, a

partilha de experiências, a alteração de dinâmicas de sala de aula e a melhoria do conhecimento

científico.

Tabela 74 – Importância da acção de formação

Balanço da acção N.º de formandos

Ligação entre a teoria e a prática 3

Partilha de experiências 2

Alterações na dinâmica da sala de aula 2

Melhoria do conhecimento científico 3

Quando confrontados com questões relacionadas com a avaliação da formação, os

formandos salientaram aspectos, tais como a ligação entre a teoria e a prática, uma vez que o

trabalho das sessões conjuntas era centrado nas práticas lectivas; a partilha de experiências

244

entre formandos e formador, salientando o facto de haver a oportunidade para se reflectir sobre

a implementação das tarefas na sala de aula, dando testemunhos e trocando opiniões; a

melhoria do conhecimento científico, pois a formação valorizou o aprofundamento do

conhecimento matemático atendendo a que só com um bom conhecimento matemático o

professor será capaz de estabelecer conexões dentro e fora da Matemática e terá uma melhor

capacidade para compreender e antecipar as dúvidas dos alunos, melhorando assim o seu

conhecimento curricular e didáctico. Relativamente à alteração de dinâmicas na sala de aula, os

professores passaram a valorizar um ensino mais exploratório, a diversificar mais as tarefas

propostas aos alunos e a dar mais importância ao papel do aluno na sala de aula.

Eu faço um balanço muito positivo da formação devido a vários factores dos quais saliento a ligação entre a teoria e a prática e a partilha de experiências entre os formandos. Aos formandos era pedido para, nas sessões conjuntas, exporem o que haviam realizado procedendo-se a uma reflexão. Deste modo pude tomar conhecimento de novas estratégias e, se assim o entendesse, aplicá-las na minha sala de aula. (F5)

Alguns dos formandos referiram como a grande mais-valia da acção de formação a

alteração de dinâmicas de sala de aula. Ao utilizarem as novas metodologias valorizaram os

conhecimentos adquiridos pelos alunos, compreenderam a importância do erro na aquisição de

conhecimentos, introduziram novos materiais e passaram a leccionar alguns temas de uma

forma menos expositiva.

Eu faço um balanço muito positivo da formação pois promoveu alterações nas minhas práticas lectivas. Passei a utilizar novas metodologias, estratégias novas e diferenciadas, passei a ir ao encontro do que o aluno já sabe, e utilizei novos materiais (muitos deles desconhecidos). Deste modo deixei de leccionar determinados conteúdos de uma forma tão expositiva. Por exemplo, ao ensinar a tabuada, já não insisto tanto na memorização mas na compreensão do caminho para a conhecer. Obviamente que não posso dizer que daqui para frente vou ser totalmente diferente. (F2)

Para alguns formandos a sua inscrição no PFCM deveu-se ao facto de sentirem lacunas ao

nível dos seus conhecimentos matemáticos e didáctico. Quando os questionamos sobre a

importância da formação percebemos que ela permitiu colmatar algumas destas falhas.

Esta formação permitiu-me também aprofundar e clarificar alguns conhecimentos de índole científica. Por vezes, não sabia muito bem o que alguns conceitos significavam e havia uma certa confusão entre certos termos, como por exemplo, os

245

poliedros e polígonos. Para mim a formação foi uma mais-valia uma vez que, como professora, tenho que estar constantemente a actualizar-me. (F9)

Relativamente às sugestões de melhoria apresentadas pelos formandos foi possível definir

três categorias: aprofundar conhecimentos; diminuir a carga horária/reestruturação do número

de horas de formação e utilizar mais materiais.

Tabela 75 – Sugestões de melhoria na acção de formação

Sugestões de melhoria N.º de formandos

Aprofundar conhecimentos 3

Diminuir a carga horária/reestruturação do número de horas de formação

5

Utilizar mais materiais 2

Ao analisar a tabela referente às sugestões para melhoria da acção de formação o aspecto

mais referido foi a diminuição da carga horária, seguindo-se o aprofundamento de outros temas

e, por último, a utilização de mais materiais.

Metade dos formandos considerou a redução ou reestruturação do número de horas de

formação a principal sugestão de melhoria. Os formandos consideraram haver uma sobrecarga

de trabalho ao acumularem a formação com todo o trabalho, lectivo e não lectivo, a realizar na

escola. Assim, consideram que poderiam aproveitar mais da formação se fossem libertados da

componente não lectiva.

Na minha opinião as aulas de apoio ao estudo, se o ministério concordasse, poderiam ser substituídas pela formação de Matemática. O trabalho realizado poderia ser feito em grupo, poderia haver mais aulas assistidas. (F1)

Outros formandos consideraram importante a existência de mais material didáctico nas

escolas. Algumas escolas não possuíam todos os materiais trabalhados na formação o que

tornou necessário que o formador os levasse para as sessões ou que os formandos os

adquirissem. Isto foi visto pelos formandos como uma fragilidade, pois não tinham estes

materiais permanentemente à sua disposição.

Os formandos acharam a introdução dos materiais manipuláveis uma mais-valia já que

permitiu aos alunos compreenderem melhor alguns dos tópicos tratados.

Este ano lectivo tinha pouco material didáctico, o que foi um verdadeiro problema. Penso que é importante o programa arranjar uma forma de fornecer o material de modo a que o possamos aprender para posteriormente dar aos alunos. É muito

246

importante aprendermos a usar os materiais manipuláveis pois, por vezes, em determinados locais vejo um jogo muito interessante mas pergunto-me para que é que serve. Nós temos que nos adaptar às novas metodologias e eu necessito de material didáctico na minha sala de aula pois deste modo os alunos compreendem melhor. (F7)

Para alguns formandos a formação deveria aprofundar mais alguns dos temas tratados,

como é o caso da Geometria.

Eu considero que a forma de trabalhar é a ideal, só aprofundava o novo programa de Matemática e a geometria. (F5)

5.3. Percepções dos formadores sobre a implementação do programa de formação

Nesta secção apresentamos os resultados relativos ao ponto de vista dos formadores

sobre o trabalho desenvolvido com os seus formandos, fazendo uma avaliação à implementação

da formação.

Todos os formadores foram entrevistados, tendo sido objectivos das entrevistas:

inventariar/esclarecer as motivações para participar na formação; compreender a influência da

formação no desenvolvimento do conhecimento e das práticas lectivas do formador e dos

formandos e avaliar a acção de formação e apontar sugestões para o futuro.

As entrevistas foram gravadas e posteriormente transcritas. Para a apresentação dos

resultados optámos por organizar a informação recolhida em quadros, tendo sido identificadas

as categorias e subcategorias a partir da análise de conteúdo.

5.3.1. Motivações para participar na formação

Neste ponto inventariamos as motivações dos formadores para participarem no Programa

de Formação Contínua em Matemática, o que nos permitiu compreender as razões da sua

adesão a este projecto. Os 12 formadores que participaram no estudo desenvolviam as funções,

no âmbito do programa, na mesma instituição de ensino superior em que os formandos estavam

inscritos para realizar a sua formação.

A partir das respostas dos formadores foi possível identificar quatro categorias: aprofundar

o conhecimento sobre o 1.º ciclo; desempenhar o papel de formador; conhecer o projecto de

formação e aprofundar a formação e as práticas lectivas.

247

Tabela 76 – Motivações dos formadores para participarem na formação

Motivações dos formadores N.º de formadores

Aprofundar o conhecimento sobre o 1.º ciclo 2

Desempenhar o papel de formador 5

Conhecer o projecto de formação 9

Aprofundar a formação e as práticas lectivas 2

Analisando as motivações enunciadas, constatámos preocupações de ordem pessoal,

relacionadas com a vontade de aprofundar o conhecimento do 1.º ciclo, uma vez que a

formação foi dirigida essencialmente para este nível de ensino.

A primeira razão foi conhecer como era o primeiro ciclo, até porque a minha filha vai entrar agora para a escola, depois achei uma experiência diferente dar formação a este nível uma vez que anteriormente tinha estado ligada ao secundário e à geometria. Deste modo podia experimentar um grupo diferente e um ambiente diferente. (FR1)

A segunda motivação denota a vontade dos entrevistados em desempenharem o papel de

formador, que, segundo os eles, se adequa ao seu perfil e à sua vontade profissional. Veja-se o

que refere uma das formadoras a este respeito.

Sinto que o meu perfil é mais como formadora (…) Ao ver o perfil da formação achei que me enquadrava melhor aqui, poderia partilhar as minhas experiências com os formandos e eles depois aplicavam. Com os alunos é necessário aplicar muito a liderança, na formação é um trabalho mais cooperativo e interactivo, enquadra-se comigo, como objectivo de profissão. (FR2)

Relativamente à terceira motivação enunciada, verifica-se o interesse dos formadores em

aderirem a um Projecto com o qual se identificaram, que consideraram motivador e em relação

ao qual poderiam dar o seu contributo.

A oportunidade de poder participar num projecto de formação de qualidade para os professores do 1.º ciclo, cujo objectivo primordial seria melhorar as aprendizagens dos alunos. (FR8)

Por último, a quarta motivação prende-se com a consciência de que, neste projecto, eles

próprios melhorariam os seus conhecimentos e práticas.

O que me motivou a participar foi a expectativa de aprender mais e de apurar as minhas práticas. Ao longo da minha carreira apostei sempre na formação e na actualização. Neste convite vi uma oportunidade de descobrir novas formas de melhorar a minha prática. (FR10)

248

Pretendemos também saber a percepção dos formadores quanto às motivações dos seus

formandos para se inscreverem na formação. Para isso, questionámo-los sobre o que, na sua

opinião, teria motivado a sua inscrição.

De acordo com o ponto de vista dos formadores, foram dois os principais motivos de

inscrição dos formandos: a vontade de actualizar os seus conhecimentos de forma a ensinarem

melhor a Matemática e a necessidade de dar cumprimento à exigência legal de formação para

progressão na carreira.

Tabela 77 – Motivações dos formandos para participarem na formação do ponto de

vista dos formadores

Motivações dos formandos N.º de formadores

Actualizar conhecimentos 10

Progressão na carreira 2

Analisando a Tabela 77 verificamos que a actualização de conhecimentos é, na opinião

dos formadores, a principal razão de inscrição dos seus formandos no programa de formação.

Embora alguns formadores reconheçam que há formandos que se inscreveram com o intuito de

fazer a formação para cumprir os requisitos necessários à progressão na carreira, a maioria

considera que o fizeram por sentir vontade em aprofundar conhecimentos e melhorar as

práticas.

Houve formandos, uma minoria, que se inscreveram por imposição dos executivos. Mas, a maioria tinha que fazer formação e estava interessada na Matemática porque detinham algumas dificuldades neste campo, ou seja, não sabiam bem como ensinar certos assuntos. Os professores tinham os manuais, mas às vezes ouviam que algo não deveria ser bem assim, e vieram procurar novas formas. Outros quiseram confirmar se o que faziam estava validado ou não. A maioria dos formandos pretendia melhorar uma área onde estavam menos à vontade. (FR3)

5.3.2. Percepções sobre o PFCM

Na realização da entrevista tivemos também como preocupação aferir a importância

atribuída à participação no PFCM, tendo, para isso, questionado os formadores sobre as

possíveis mais-valias adquiridas. No que respeita à importância da formação para os

formadores, foi possível identificar duas subcategorias: a melhoria do conhecimento científico e

didáctico, a troca de experiências e um melhor conhecimento do 1.º ciclo. O trabalho

249

desenvolvido nas sessões de trabalho na ESE e a formação nela promovida proporcionaram uma

melhoria do conhecimento matemático e didáctico dos formadores, permitindo-lhes entender

melhor, por exemplo, a forma como os alunos adquirem os seus conhecimentos e qual a base

de determinados conhecimentos matemáticos. Estes aspectos originaram um crescimento dos

formadores enquanto professores, melhorando as suas práticas lectivas, uma vez que

possibilitaram um maior conhecimento dos programas, de materiais inovadores e da forma

como a Matemática é ensinada.

Tabela 78 – Influência da formação no desenvolvimento do conhecimento e das

práticas lectivas dos formadores

Influências nas práticas dos formadores N.º de formadores

Melhoria do conhecimento matemático e didáctico

10


Melhoria do conhecimento do 1.º ciclo 1

Pela Tabela 78 podemos concluir que a formação recebida ao nível da Instituição de

Ensino Superior, bem como os momentos de preparação e desenvolvimento das sessões de

formação permitiram o desenvolvimento e melhoria do conhecimento matemático e didáctico

dos formadores. Um dos formadores refere que melhorou particularmente o conhecimento

matemático, pois o nível de ensino em que trabalhava não o fazia sentir necessidade de

aprofundar os seus conhecimentos.

Apesar de considerar que tinha uma boa base didáctica adquirida na Escola do Magistério Primário, penso que a formação contribuiu para me actualizar e ter acesso ao que de mais inovador existe, através de livros, artigos e conferências. Penso que o conhecimento matemático foi onde senti a maior mais-valia da formação, pois sendo eu professora do 1.º ciclo não sentia necessidade de aprofundar os meus conhecimentos científicos, uma vez que o nível etário com que trabalhava a isso não me obrigava. (FR9)

Com a formação apercebeu-se da importância de aprofundar o conhecimento matemático,

considerando que este aprofundamento se revelou uma mais-valia importante, actualizando os

sues conhecimentos. Nesta intervenção o formador salientou o facto de no seu dia-a-dia não

sentir com necessidade de aprofundar os seus conhecimentos matemáticos, considerando que a

250

participação neste programa de formação o incentivou a investir neste domínio e a compreender

a importância da sua actualização.

A este respeito, um outro formador salienta a importância de investir no aprofundamento

do seu conhecimento matemático, pois só assim se sente capaz de contribuir para a melhoria

das práticas dos formandos com quem trabalha.

Para se conseguir melhorar e mudar as práticas de outros há necessidade estudar, aprofundar o conhecimento científico para que o conhecimento didáctico seja mais facilmente transmitido, clarificado e ajustado às necessidades de cada turma. (FR12)

Ao questionarmos os formadores sobre a mais-valia do PFCM para os formandos

identificamos como subcategorias, a melhoria do conhecimento matemático, didáctico e

curricular, a alteração das práticas lectivas e a promoção da reflexão e o incentivo à troca de

experiências.

Tabela 79 – Influência da formação no desenvolvimento do conhecimento e das

práticas lectivas dos formandos

Influência nas práticas dos formandos N.º de formadores

Melhoria do conhecimento matemático, didáctico e curricular

10

Alteração das práticas lectivas 9

Promoção da reflexão e troca de experiências 4

Segundo os formadores, o facto de muitos docentes do primeiro ciclo terem formação de

base em variantes tão díspares como a Educação Física e a Língua Portuguesa origina, por

vezes, lacunas ao nível da Matemática. Segundo eles, esta formação permitiu aprofundar os

conhecimentos científicos e didácticos, desenvolver o raciocínio lógico-dedutivo, o que permitiu

aos formandos sentirem-se mais seguros nas suas práticas.

Considero que a formação foi uma mais-valia para os formandos, uma vez que lhes permitiu colmatar algumas dificuldades. Por exemplo, a nível dos algoritmos eles não compreendiam bem a sua distinção e a questão do empréstimo. Permitiu-lhes também trocar opiniões, experiências e descobrir maneiras menos tradicionais de ensinar. A formação acabou por alterar as práticas lectivas dos formandos, estes tornaram-se mais flexíveis. Permitiu esclarecer dúvidas, trocar opiniões e ter consciência dos problemas que acarreta trabalhar com determinados materiais ou assuntos. Por exemplo a questão dos triângulos no geoplano, se a malha é quadriculada eles não conseguem obter

251

ali um triângulo equilátero. No entanto, muitos formandos não tinham pensado nisso, considerando que bastava três pregos próximos. A formação contribuiu para um aprofundar dos conhecimentos, aumentar o raciocínio lógico-dedutivo e ampliar a variedade de estratégias. (FR1)

De acordo com o formador FR11, um exemplo extremo foi o de um docente, licenciado

em Português, que leccionou pela primeira vez o primeiro ciclo e que se limitava a ler e analisar

o manual. A formação permitiu a este docente colmatar algumas das suas lacunas na área da

Matemática e promover a implementação de novas estratégias, repercutindo-se na melhoria dos

resultados escolares dos seus alunos, nomeadamente ao nível do cálculo mental.

Os formadores constataram uma certa apreensão dos formandos na aceitação e

implementação de novas metodologias de ensino devido à sua insegurança em dar resposta às

dúvidas dos alunos. Neste caso, as sessões de acompanhamento foram essenciais para os

formandos aplicarem as novas estratégias e os novos materiais, uma vez que se sentiam mais

seguros com a presença do formador.

O formador FR4 salienta o papel exercido pela formação no aprofundamento do

conhecimento matemático, considerando a importância da promoção de um conhecimento

matemático que vá além da Matemática que ensinam aos seus alunos.

A Matemática para eles é a Matemática escolar e não conseguiram identificar exactamente o que é a Matemática, para eles, para além daquilo que fazem na aula. É essa a grande mais-valia que eles acabam por ter quando começam a ver as relações que a Matemática tem do ponto de vista das várias formas de conhecimento e, em alguns casos, conseguem mesmo melhorar essa percepção. (FR4)

O mesmo formador realça o contributo da formação para a melhoria do conhecimento do

formando sobre o currículo.

As experiências de aprendizagem também contam para definir o currículo e como eles começam a ficar sensíveis para o papel das investigações, o papel da exploração, o papel da própria resolução de problemas, como é que o cálculo mental pode ser potenciador da melhoria da aprendizagem e de uma aprendizagem compreensiva, não é dos algoritmos e de outras questões, isso acaba por levar a que os professores fiquem de facto com melhores percepções do currículo, porque afinal começam a trabalhar o currículo em toda a sua extensão e não apenas ligado a um conjunto de conteúdos. (FR4)

252

Apesar de considerar que a formação contribuiu para a melhoria do conhecimento

matemático, didáctico e curricular dos formandos, o formador FR7mostra-se mais céptico

quanto ao impacto da formação na alteração das práticas.

Se tiver presente a avaliação final do trabalho realizado, considero que a formação acrescentou bastante ao ponto de partida. A nível científico eram flagrantes as deficiências e no final houve melhorias. Contudo, estou convencido que se ficarem por ali, se não consolidarem os conhecimentos, não darão saltos efectivos. Eu não estou muito seguro se já adquiriram as competências necessárias para trabalharem de forma autónoma, se não continuarem receio que o que ensinámos vingue pois o ponto de partida deles e o que lhes pedíamos exigia um salto tão grande que duvido que um ano chegue. (FR7)

Segundo este formador, as necessidades dos formandos, nomeadamente ao nível do

conhecimento matemático, eram muitas o que impossibilitava o aprofundamento na exploração

das tarefas propostas aos alunos. No seu entender, ―os professores estavam habituados a ser

muitos directivos, por vezes, colocavam a questão e já iniciavam a resposta‖, o que impedia ou

dificultava a promoção do raciocínio dos alunos, ao não criarem oportunidades de discussão.

Assim, remata dizendo que na sua opinião

a formação deveria ter pelo menos mais um segundo ano. Quando tive formandos de segundo ano tratámos um conjunto mais vasto de temas e pudemos evoluir mais. Contudo, muitos formandos associam a formação a muito trabalho e, a maioria, não optaria por um segundo ano de formação apesar de acharem que precisam. (FR7)

O seu posicionamento crítico, quanto à atitude de muitos formandos, passa ainda pela

convicção com que ficou de que muitos professores se limitam a utilizar o manual, seguindo a

rotina aí estabelecida. No seu entender esta atitude de delegar no manual a gestão curricular

dificulta a alteração das práticas.

A minha convicção é que os formandos não alteraram as suas práticas de forma profunda, mas a formação permitiu uma certa estabilidade, há novos rumo e novos paradigmas, há a compreensão de outros caminhos válidos explicados, quanto mais não seja, nas sessões de acompanhamento. Pessoas com muitos anos de práticas lectivas terão dificuldades em mudar de práticas, pois daqui a três ou quatro anos vão embora. (FR7)

Apesar desta opinião mais crítica, a maioria dos formadores considera que a formação

contribuiu para que houvesse algumas mudanças nas práticas dos formandos; no entanto

253

reconhecem que essa mudança só se tornará efectiva se continuar a haver um investimento por

parte dos formandos no aprofundamento dos conhecimentos e na reflexão sobre as práticas.

Considero que a alteração de práticas é um processo de difícil avaliação. Prefiro referir que a formação, na minha opinião, tem servido para consciencializar muitos professores da necessidade de alteração de algumas práticas, de valorização de certos conteúdos e de aspectos que, por vezes, não estão muito claros nas suas perspectivas de ensino da disciplina, como, por exemplo, o papel da resolução de problemas e da comunicação matemática. Não tenho a certeza que esta consciencialização já se manifeste numa efectiva mudança de práticas, pois a meu ver esta requer também a confiança do professor e esta adquire-se com tempo, estudo e reflexão. (FR8) Gostaria de poder dizer que alterou na totalidade. Porém, considero que a formação para a maior parte dos formandos ajudou a "rasgar" mentalidades em muitos dos aspectos da prática lectiva, nomeadamente na forma de encarar o manual. Passou a haver um olhar mais crítico e atento sobre os mesmos. Na forma de trabalhar mais colaborativamente, na preparação/planificação e realização das aulas. (FR6)

Outro aspecto valorizado foi a promoção da reflexão, assim como a troca de experiências

entre formador e formandos e entre os próprios formandos, contribuindo, segundo os

formadores, para a melhoria do conhecimento dos formandos. Durante as reflexões, quer com o

formador, quer com os pares nas sessões conjuntas, os professores foram incentivados a

questionarem as suas práticas e os papéis assumidos por si e pelos alunos no decorrer das

aulas. Durante este processo, havia lugar à análise das produções matemáticas dos alunos,

procurando perceber as suas dificuldades na compreensão dos conceitos matemáticos inerentes

às tarefas aplicadas e inventariar estratégias que contribuíssem para a superação dessas

dificuldades.

Essa capacidade de olhar para prática e reflectir sobre ela acho que é extremamente importante sob o ponto de vista do desenvolvimento profissional e isso foi uma das coisas que as pessoas mais salientaram em termos de reflexão. (FR5)

5.3.3. As sessões conjuntas

Relativamente aos aspectos positivos das sessões conjuntas, duas categorias surgem com

nitidez, são elas a troca de experiências/reflexão e a melhoria do conhecimento matemático e

didáctico.

254

Tabela 80 – Aspectos positivos das sessões conjuntas

Sessões conjuntas N.º de formadores

Troca de experiências / reflexão 8

Melhoria do conhecimento matemático e didáctico

4

Nas sessões conjuntas foi possível aos formandos exporem as suas dúvidas, relatarem os

seus sucessos, trocarem conhecimentos. Este intercâmbio de experiências revelou-se uma forma

de melhorar os conhecimentos científicos e didácticos e de criar um novo olhar sobre as suas

práticas. Ao reflectirem sobre os episódios de aulas uns dos outros, sobre os seus problemas e

sobre a forma como os conseguiram resolver, eles puderam compreender os pontos fortes e

menos fortes de determinadas metodologias e, porventura, aplicá-las na própria sala de aula.

O aspecto que considero mais positivo foi a troca de experiências entre os formandos e entre o formador e os formandos, potenciadas pelas reflexões conjuntas onde todos exprimiam as suas opiniões e experiências. (FR1) O aspecto mais positivo prende-se com o facto de os formandos estarem juntos a discutir aspectos ligados à Matemática e a procederem à reflexão das práticas. (FR7) Para mim os aspectos mais positivos são a partilha de experiência e o colocar dúvidas. Nas sessões conjuntas contávamos com um grupo de docentes com muita experiência e com bons conhecimentos matemáticos, estes ao partilharem as suas experiências enriqueciam os colegas. As pessoas mostraram-se sempre interessadas, evidenciando do entanto mais gosto pela parte prática. (FR10) As sessões conjuntas foram uma mais-valia porque manifestavam as dificuldades dos formandos, estas eram resolvidas conforme iam surgindo e isso foi positivo. Como o grupo de trabalho é pequeno e conhecido, a dinâmica criada favorecia a aprendizagem e o à vontade dos formandos. (FR3)

Ao analisarmos os aspectos que surgiram como constrangimentos às próprias sessões

conjuntas, constatámos o cansaço dos formandos, as dificuldades na gestão do tempo de

formação e a não valorização, pelos formandos, da linguagem matemática.

Tabela 81 – Aspectos menos positivos das sessões conjuntas

Sessões conjuntas N.º de formadores

Cansaço dos formandos 9

Dificuldades na gestão do tempo 3

Não valorização da linguagem matemática 1

255

A participação na acção de formação não se reflectiu na diminuição do número de horas

lectivas e não lectivas dos formandos, pelo que, muitas vezes, estas sessões tiveram que ocorrer

após as 18 horas e 30 minutos, o que motivou, em alguns casos, situações de desgaste dos

formandos. Este desgaste traduziu-se na desmotivação para a realização de algumas tarefas

propostas, reduzindo as possibilidades para trabalhar de forma mais exaustiva todos os temas.

O aspecto menos positivo é o horário, o facto de ser ao final de um dia de trabalho. Para tantos conteúdos que queríamos passar, o tempo era pouco pois se queremos a dinâmica de lançar questões, de propiciar a reflexão e a pesquisa é necessário tempo. Depois de um dia inteiro de trabalho, isto é irreal. Para minimizar isso criava grupos interactivos, mas isto ainda os esgota mais. (FR2) Como aspecto negativo tenho que salientar o horário tardio das sessões. Notei que as sessões, sessões conjuntas a partir das 18.30 rendiam menos, os formando estavam mais cansados e com menos energia. (FR3)

Os outros aspectos menos positivos mencionados referem-se às dificuldades sentidas na

gestão do tempo necessário ao aprofundamento dos temas matemáticos trabalhados. Tendo em

conta as solicitações inerentes à dinâmica e objectivos das próprias sessões, que procuravam

aprofundar o conhecimento matemático do professor, mas também planificar conjuntamente as

aulas e reflectir sobre as mesmas, criava dificuldades à integração de todos estes aspectos.

Nas sessões há que gerir o tempo dedicado para trabalhar os conhecimentos matemáticos e o tempo dedicado aos assuntos curriculares e didácticos. Na minha opinião, precisaríamos de mais tempo para isto, ou então fazer sessões separadas para tratar as diferentes problemáticas. (FR4)

O formador FR2, referiu ainda a dificuldade que diz ter sentido na sensibilização para a

importância do uso de uma linguagem matemática rigorosa.

Um aspecto em que penso que não tive grande sucesso foi no facto de se utilizar os termos mais correctos, independentemente da idade. A linguagem matemática é muito difícil e, apesar de terem aprendido coisas novas, penso que continuaram a ensinar da mesma forma. Por exemplo, que o diâmetro é uma linha que une de um lado ao outro. Apesar de tentar incutir que os alunos poderão aprender errado para a vida toda, penso não ter tido muito sucesso. (FR2)

5.3.4. As sessões de acompanhamento

Ao analisarmos a importância das sessões de acompanhamento do ponto de vista dos

formadores, evidenciaram-se duas categorias: a experimentação de novas práticas e a promoção

da reflexão.

256

Tabela 82 – Importância das sessões de acompanhamento

Sessões de acompanhamento N.º de formadores

Experimentação de novas práticas 12

Promoção da reflexão 6

Por parte da instituição de ensino superior, responsável pela formação, houve a

preocupação de permitir aos formadores conhecerem os seus formandos antes de efectuarem a

supervisão pedagógica. Esta decisão trouxe, no entender dos mesmos, uma grande vantagem,

pois permitiu desenvolver uma relação de confiança e proximidade. À medida que os formandos

perceberam que o objectivo não era avaliar, a supervisão tornou-se uma grande mais-valia, uma

vez que criou a oportunidade ideal para a experimentação de novas práticas, novos materiais e

novas metodologias. Muitos formandos estavam inseguros na implementação de algumas

tarefas e na utilização de alguns materiais. Contudo, na supervisão, sentiam o à vontade

necessário para introduzir essas práticas, já que contavam com a presença do formador para

qualquer eventualidade.

Nas sessões de sala de aula, os professores sentiam-se mais à vontade para arriscar o que ouviam na teoria. Se ocorresse um problema na utilização de um material ou de ma metodologia, eu estava lá para ajudá-los. Assim que perceberam que eu não estava lá para avaliar, tornou-se produtivo. Considero, no entanto, que seria interessante gravar a aula pois permitia uma melhor análise. Por vezes há maneirismos de linguagem que dificultam a aprendizagem e nós não vamos dizer isso mas, se vissem as gravações percebiam. (FR2)

A supervisão foi a única forma de compelir alguns formandos mais cépticos a aplicarem o

que iam aprendendo, podendo, deste modo, aferir as vantagens ou inconvenientes das

metodologias aplicadas.

As sessões de sala de aula foram bem recebidas pelos alunos que queriam mostrar o trabalho realizado e colocar questões. Estas sessões permitiram a implementação das estratégias desenvolvidas na formação, pois possibilitavam uma maior segurança dos docentes que poderiam contar com a minha ajuda, por vezes, alguns formandos, vinham discretamente à minha beira para retirar uma dúvida. Estas sessões permitiram experimentar coisas novas em que à partida até não tinham muita fé. (FR10)

Uma outra vantagem da supervisão resultou de incentivar a reflexão, já que a presença do

formador fomentou a discussão do que havia sido tratado na aula, permitindo aos formandos

aperceberem-se dos pontos fortes e menos fortes, da reacção dos alunos perante determinado

257

material, das questões levantadas por estes. Este processo de reflexão constituiu-se uma

oportunidade para melhorarem as suas práticas.

A grande mais-valia da supervisão é apontar questões ao professor para fazer a sua reflexão, apresentar um olhar diferente e distante sobre as práticas, possibilitavam o debate de ideias. Por vezes, aconteciam, na sala de aula, coisas excelentes e o professor não as valorizava, e o acompanhamento permitiu salientar esses aspectos e refocalizar o professor nas questões fundamentais. Aquilo que eu acho que se alterou substancialmente é a forma como os professores interpretam as próprias produções dos alunos, isto é, passaram de um paradigma em que os alunos faziam as coisas certas ou faziam as coisas erradas, em que praticamente certificavam, e parece-me que eles começam a dar outro tipo de feedback ao aluno. Isto é, ‗Sim sra. fizeste assim, mas porquê?‘ e tentam perceber. À custa disso, exploram um pouco as produções dos alunos, mesmo no quadro, mesmo que não o façam do ponto de vista… no papel. (FR4)

A par disso, a presença do formador na sala de aula era do agrado dos alunos, que se

mostravam sempre muito entusiasmados e com vontade de que o professor de Matemática

(formador) viesse à sala de aula. Era habitual os formadores serem questionados pelos alunos

sobre quando seria a sua próxima vinda à sala de aula, pois segundo os mesmos as aulas eram

muito divertidas.

Com a sua presença na sala de aula, o formador FR9 pôde observar as dificuldades

sentidas na implementação das tarefas e os papéis desempenhados pelos formandos e alunos

―com a formação ao longo do ano e com as sessões de aula pude ler as crianças, o professor e

as interacções entre ambos‖ considerando que ―nestas sessões houve bastante empenhamento

e vontade de fazer diferente‖. Por último acrescenta que fica com a convicção de que este

trabalho ―se irá reflectir nas aulas seguintes‖.

Durante as sessões de acompanhamento, alguns formadores consideraram que

quebradas algumas inseguranças iniciais e o pouco à-vontade de alguns formandos por terem

um outro professor na sala a observá-los, foi possível desenvolver uma relação de confiança que:

Contribuía para a melhoria da prática lectiva. Algumas vezes foi sugerida a intervenção do formador para dar resposta a uma qualquer situação surgida no desenvolvimento da aula. Por outro lado, a implementação de materiais menos conhecidos aumentou o desafio do professor, bem como a sua auto-estima em relação à disciplina. (FR12)

258

Para o desenvolvimento desta relação de confiança foi, na opinião de alguns formadores,

importante o facto de as sessões de acompanhamento não terem influência na classificação dos

formandos.

Para mim é positivo as sessões não contarem para a avaliação dos formandos, já que assim se encontram mais à-vontade, o que permite a reflexão e consequente melhoria das práticas. (FR10) O portefólio deve ser, na minha opinião, o único instrumento de avaliação. Não se deve avaliar as aulas pois poderia ter um efeito perverso, poderia deteriorar as relações entre os formandos e entre estes e o formador. O bom clima entre todos é fundamental nesta formação. (FR5)

Estas sessões foram também importantes para os próprios formadores, que enquanto

professores, alguns deles noutros níveis de ensino, se questionavam sobre as suas próprias

práticas e formas de ajudar os alunos a realizarem melhores aprendizagens.

Esta experiência [supervisão] criou-me interrogações para o futuro, vi alunos do primeiro ciclo a resolver alguns exercícios de determinadas temáticas que mais tarde (no sétimo ano) vão ter dificuldades em apresentar a sua resolução. Para mim isto foi um motivo de reflexão. (FR3)

5.3.5. O portefólio

Uma das questões colocadas aos formadores centrou-se nos aspectos positivos e nas

desvantagens da utilização do portefólio como instrumento de avaliação. No caso dos aspectos

positivos emergiu apenas a categoria ―favorece a reflexão‖, referida por todos os formadores.

Eu acho que o portefólio questionou mais as pessoas, colocou-as em causa, permitiu que se apercebessem das suas dificuldades, tornou-as mais exigentes consigo próprias. (FR7)

A introdução do portefólio como metodologia de avaliação apresentou algumas

dificuldades na sua implementação, nomeadamente pelo facto de grande parte dos formandos

atribuir pouca importância à reflexão escrita das aulas. Esta resistência foi entendida pelos

formadores como uma dificuldade dos formandos em escreverem e fundamentarem as suas

práticas pois não possuíam um conhecimento científico suficiente para isso.

Os meus formandos tiveram dificuldades na sua realização, pois para falar sobre os temas é necessário um conhecimento científico que não possuíam. (FR8)

No entanto, com o apoio do formador, estas resistências foram sendo ultrapassadas. Este

apoio revelou-se essencial, pois ao acompanhar o processo de construção das reflexões das

259

aulas e ao fornecer ajuda e sugestões permitiu ―melhorar a escrita (…) e reflectir de uma forma

cuidada nas práticas [pelo que] os formandos encaram o portefólio de forma não muito positiva,

mas depois de o concluírem conseguem vê-lo como uma mais-valia‖ (FR8).

Desta forma, a construção do portefólio, particularmente no processo de reflexão das

aulas, ao permitir uma constante reformulação dos seus conteúdos tornou-se uma mais-valia,

uma vez que, favoreceu o crescimento profissional dos formandos obrigando-os a repensar as

práticas.

Os formandos, apesar das dificuldades iniciais na implementação desta metodologia, gostaram de a utilizar. O portefólio apresenta vantagens como o reformular constante da reflexão, um acumular de aprendizagem, o errar e o perguntar porquê. O apoio prestado pelos formadores permite uma evolução profissional dos formandos, o acompanhamento do formador que mostra o que poderá ser melhorado e o corresponder a essas melhorias torna importante esta metodologia. Este ano recebi as primeiras versões do portefólio e as coisas não estavam muito conforme as orientações, mas eles melhoraram-no e tiraram notas elevadas. (FR3)

Relativamente às desvantagens da utilização do portefólio como metodologia de avaliação,

emergiram duas categorias nas respostas dos formadores: a superficialidade da avaliação e a

sobrecarga de trabalho para os formandos.

Tabela 83 – Desvantagens da utilização do portefólio como metodologia de

avaliação

Portefólio N.º de formadores

Superficialidade da avaliação 5

Sobrecarga de trabalho 1

Os critérios a serem incluídos no portefólio foram definidos pela Comissão de

Acompanhamento. Muitos formadores consideraram isto um factor limitativo, já que não se

valorizava, por exemplo, a assiduidade, o desempenho durante a formação e os trabalhos extra

realizados pelos formandos. Alguns formandos elaboraram o portefólio de uma forma muito

superficial, limitando-se a lá colocar o que de melhor realizaram, não reflectindo sobre as suas

práticas nem aprendendo com os seus erros.

O uso desta metodologia tornou, na minha opinião, a avaliação superficial uma vez que, embora se façam reflexões orais nas sessões conjuntas, todo o trabalho e a maioria das reflexões foram adiados ao máximo. A aprendizagem do professor a

260

nível da didáctica é difícil de avaliar, um professor tinha que estar completamente a zero para experimentar uma aula e, a partir dessa aula, aprender imensas coisas… é um dos parâmetros que avaliamos e é um bocado abstracto de avaliar. As pessoas já têm um certo conhecimento e através destas aulas ou das sessões aprendem mais. Outra modalidade de avaliação, como o conjugar do portefólio com o filmar das suas aulas, teria efeitos mais significativos, uma vez que veriam a aula como nós a vimos. Os formandos acham sempre que estas aulas correram muito bem. A primeira reflexão é isso, correu tudo muito bem, fizeram tudo o que estava previsto e, muitas vezes, não se apercebem de coisas menos conseguidas, duvidando da nossa palavra. Com o filme podiam ter uma visão diferente. Claro que isto depende dos formandos- Há formandos que fizeram as reflexões das quatro aulas e realmente aquilo tem sumo, mas outros realizaram algo artificial, puseram ali uma coisa mínima para atingir os parâmetros que esperam, não fizeram a reflexão. Não foi isso que os tornou um professor reflexivo. No meu entender, o portefólio foi só um trabalho escrito. (FR1) A forma como foi realizado tornou-o um pouco superficial. Outros aspectos deveriam ser tidos em conta como, por exemplo, a participação nas sessões (FR7). Penso que o Portefólio como único instrumento de avaliação é um pouco redutor, deixando de fora toda uma dinâmica de sala de aula presenciada pelo formador, reveladora de boas ou más práticas. (FR9)

O portefólio ao contemplar elementos obrigatórios, por vezes difíceis de perceber, originou

uma sobrecarga de trabalho aos formandos, especialmente quando o encaram como algo que

poderá estar em constante actualização.

É um instrumento de avaliação bom. Mas em temos práticos causa uma sobrecarrega aos professores, pois tem a reflexão de duas aulas e, em termos de avaliação de portfólio, tem alguns itens obrigatórios que podem ser de difícil entendimento, nomeadamente o auto-questionamento. Na teoria é bom, mas na prática, devido aos parâmetros obrigatórios e à dificuldades de redigir sobre os indicadores, será mais difícil. O portefólio acaba por não ser um instrumento baseado nos interesses de cada um, acaba por estar condicionado. Contudo, aponta para aspectos chave que considero importante estarem lá, nomeadamente o relatar uma aula e reflectir sobre ela. A forma como isto se materializa na atribuição de uma classificação é que pode ser questionado. (FR5)

5.3.6. Balanço final e sugestões

Quando questionamos os formadores sobre quais os objectivos da formação mais

conseguidos, emergiram três categorias: melhorar a aprendizagem dos alunos, promovendo o

gosto pela Matemática; melhorar o conhecimento dos professores e promover o trabalho

cooperativo.

261

Tabela 84 – Objectivo da formação mais conseguido

Objectivos da formação N.º de formadores

Melhorar a aprendizagem dos alunos, promovendo o gosto pela Matemática

3

Melhorar os conhecimentos dos professores 7

Promover o trabalho cooperativo 3

Um dos objectivos apontados por três formadores como o mais conseguido foi a melhoria

da aprendizagem dos alunos, promovendo o gosto pela Matemática. Nas aulas em que os

formadores estiveram presentes viram os alunos motivados para a aprendizagem da

Matemática.

Eu quero acreditar que foi o melhorar a aprendizagem dos alunos, pelo menos eu tentei ter sempre isso como meta. Para além disso, penso que promoveu o gosto pela Matemática. Para isso levei jornais, revistas e outros materiais onde estavam referidos os aspectos mais lúdicos da Matemática, enviei por e-mail endereços electrónicos que permitiam investigar determinados assuntos. Penso que contribuí para o atingir destes objectivos pois os miúdos perguntavam porque não ia a professora de Matemática mais vezes à aula. Isto acontecia, na minha opinião, porque sentiam que eram aulas diferentes, em que o empenho das pessoas era diferente. Por exemplo, na aula de estatística, estudaram o tipo de calçado que tinham levado para a aula ou o número de bolsos. Deste modo estavam a estudar Matemática, mas de uma forma divertida que nem lhes sabe a Matemática. Muitos dos alunos ainda consideravam que a Matemática era só números, aliás uma miúda de quarto ano referiu que o seu avô lhe disse que a Matemática era só contas. (FR1)

A formação permitiu a muitos formandos atenuarem as lacunas científicas e didácticas da

sua formação inicial. Contudo, alguns formadores consideram que estes deveriam continuar na

formação durante mais tempo, pois no primeiro ano não são tratados todos os temas de uma

forma profunda.

A melhoria dos conhecimentos matemáticos e didácticos dos professores, conjuntamente

com a introdução de novas estratégias e materiais, leva a melhorias no aproveitamento dos

alunos e incentiva o seu gosto pela Matemática. O PFCM valoriza um ensino da Matemática

centrado no aluno, em que o professor deixa de ser um mero transmissor de conhecimentos,

passando a orientar o aluno na descoberta da Matemática. A aprendizagem será mais eficiente

se, em vez de exercícios repetitivos, utilizarmos actividades mais lúdicas, valorizarmos os

conhecimentos dos alunos e os erros por eles cometidos. No entanto, isto só é possível se

262

dotarmos os docentes de conhecimentos sólidos que lhes permitam ultrapassar as dificuldades

que este tipo de metodologia implica.

A nível dos professores, acho que em termos de conhecimento matemático também houve partes importantes que, apesar de tudo, foi mais um aflorar de situações em termos daquilo que as pessoas captaram, que achavam necessário aprofundar um pouco mais, mas não sei se sentiram essa necessidade de por si avançarem nesse conhecimento matemático. Onde as pessoas manifestam mais interesse e depois traduzem isso em termos de prática é no conhecimento curricular e no conhecimento didáctico. Eu acho que as pessoas estão muito ainda a quererem saber como podem melhorar a forma de ensinar determinados assuntos, sem muita preocupação de saberem que Matemática estão a trabalhar. A prática, a parte didáctica, a forma como trabalhar com os alunos, e não estavam preocupados com ao fazer isto que conhecimentos matemáticos estavam por trás disto. Um exemplo: a mobilização na resolução de problemas de trabalhar as várias estratégias e as várias etapas de Polya, sobretudo na parte da comunicação e da revisão dos problemas, isto foi muito significativo entre os professores. Outra, talvez não tanto este ano, é a questão do cálculo mental, a importância do cálculo mental e ele ser trabalhado de alguma forma com consistência. Por exemplo, a nível de um segundo ano, a parte da valorização da geometria, quer em termos de conhecimento matemático quer em termos de prática de sala de aula, criando tarefas que fossem boas para a construção Matemática pelos alunos. (FR5) Faço um balanço positivo. Acho que a formação tem sido importante como espaço de desenvolvimento profissional dos professores, de criação de espaços de colaboração entre estes e de aproximação a uma forma de ver a Matemática como descoberta, o que pode ajudar em muito ao envolvimento dos alunos e ao desenvolvimento do gosto por aprender Matemática. (FR8)

A participação na acção de formação desenvolveu, na maioria dos formandos, a

capacidade de trabalhar em conjunto, originando melhorias nos seus conhecimentos e

incentivando o trabalho de pares. Contudo, alguns formadores notaram que nem sempre os

formandos realizavam um verdadeiro trabalho cooperativo, limitando-se, muitas vezes, a dividir

as tarefas.

Colocar as pessoas a trabalhar em equipa e a arriscarem coisas novas, mas sabendo que não estão sozinhos, desenvolveu a cooperação e os conhecimentos. Perderam o medo de arriscar e o seu conhecimento didáctico aumentou. (FR2) Eu penso que a elaboração das planificações foi bem conseguida. Outro objectivo atingido prende-se com a maior abertura e partilha entre os formandos, estes já não trabalham individualmente mas em grupo, mesmo nas reuniões fazem trabalho corporativo. (FR11)

Apesar das mudanças ocorridas nas salas de aula, alguns formadores levantam dúvidas

sobre se estas serão permanentes uma vez que a metodologia introduzida é, em muitos casos,

263

contrária à prática estabelecida. Os formandos não utilizam sempre as novas práticas e, por

vezes, procuravam novas formas de ensinar determinados temas sem se preocuparem com a

Matemática que se encontra subjacente. Tudo isto leva os formadores a pensarem se estas

práticas estarão realmente enraizadas.

O objectivo último é a melhoria da aprendizagem dos alunos e este é de difícil aferição. Eu estou em crer que os alunos aprenderam melhor com isto. Tenho, contudo, algumas dúvidas sobre os efeitos desta formação a longo prazo e de forma mais aprofundada a nível dos professores. Acho que os efeitos da formação mexem com muitas questões, inclusive a politica educativa. A forma como os professores abordam as questões na formação e depois as aplicam pode ser complicada de aferir. Por exemplo, a nível do trabalhar em grupo os formandos referem que funciona muito bem mas, na realidade, não é bem assim. Por exemplo, nem todos intervêm no trabalho cooporativo. Acho que esta formação mexeu com muitas coisas e que muitos professores vão com certeza mudar. Melhoraram o seu conhecimento curricular e didáctico, logo vão ter uma maneira diferente de ver o trabalho de sala de aula. Em termos de dinâmicas de grupo, acho que as mudanças não ocorrerão, pelo menos no meu caso. (FR5)

Ao questionarmos os formadores sobre os constrangimentos à implementação da

formação, identificamos como categorias: a falta de materiais, a difícil aceitação das novas

metodologias, o horário da formação, o elevado número de formandos por formador e

dificuldades na organização da formação.

Tabela 85 – Constrangimentos à implementação da formação

Constrangimentos à implementação do PFCM N.º de formadores

Falta de materiais 5

Difícil aceitação das novas metodologias 1

Horário da formação 3

Elevado número de formandos 1

Dificuldades na organização da formação 2

Um dos constrangimentos apontados prende-se com a falta de materiais nalgumas

escolas. Na opinião dos formadores, se é compreensível que nem todas as escolas tenham

pentaminós, é mais difícil compreender a falta de materiais como o tangram e o geoplano.

Embora no decorrer da formação, a instituição de ensino superior, responsável pela formação,

tenha disponibilizado os materiais necessários, não se pode esperar que a utilização dos

materiais se torne uma prática corrente quando não estão disponíveis para serem utilizados.

264

A falta de condições no espaço revelou-se, por vezes, um problema. Um outro problema foi a falta de equipamentos. Houve ocasiões em que precisei, por exemplo, de um projector de vídeo e não tive. No meu caso, foi necessário levar os materiais necessários para a escola. Os pentaminós é natural não existirem, mas, nos dias de hoje, as escolas não terem tangrans e geoplanos é uma lacuna importante. Quando os formandos fizeram aulas com tangram, fui eu que os emprestei e no primeiro ciclo é essencial existirem estes materiais para os alunos manipularem. É claro que estes constrangimentos dependem da escola, há escolas bem equipadas e outras mal. (FR1) Os professores sentem dificuldades em ter disponíveis determinados materiais, o que é um constrangimento importante quando se quer criar a necessidade da sua utilização. Este ano, devido ao descontentamento que houve nos docentes, a contestação às políticas educativas e à avaliação e o grande trabalho nas escolas levou a formação para horas tardias e retirou tempo aos docentes para esta actividade. (FR5) Ao longo da formação também foi possível constatar que algumas escolas não possuíam os materiais necessários e isto leva-me a concluir que haverá uma certa dificuldade em implementarem o que aprenderam. (FR7)

Um outro aspecto referido pelos formadores foi a dificuldade demonstrada por alguns

formandos em aceitar as novas metodologias, muitos limitaram-se a criticá-las sem as

experimentar. Foram necessárias as aulas assistidas para os forçarem a usar estas técnicas e

materiais, o que levou alguns a mudar de opinião. Contudo, muitos continuaram a sentir-se mais

seguros com a utilização das velhas práticas.

A forma como alguns formandos reagiram também se revelou um constrangimento. O objectivo da formação é dar coisas diferentes, outro tipo de tarefas e, por vezes, alguns formandos tiveram dificuldades em abandonar a sua visão, em dar o braço a torcer. As pessoas quando entram na formação deveriam vir com a mente aberta e experimentar coisas novas, se depois não gostarem não usam. Alguns formandos ao usarem novos materiais, nas aulas assistidas, mudaram a sua mentalidade, mas outros não. No cálculo mental, por exemplo, alguns formandos sentem-se muito inseguros pois não dominam estratégias, receiam que os alunos nesses aspectos sejam mais fortes do que eles, claro que não desenvolvem os miúdos tanto como poderiam, nota-se mesmo que alguns miúdos estão a ficar atrofiados. (FR1)

Um outro constrangimento prende-se com a sobrecarga dos formandos, o que tornava

difícil, por exemplo, a marcação das sessões. Isto originou, por vezes, pequenos conflitos entre

dos docentes.

Eu tive alguns grupos cujos professores tinham conflitos, mas no fim trabalharam bem. A questão do horário foi o maior constrangimento. (FR2) Para mim, o maior constrangimento foi o horário tardio das sessões, foi difícil conciliar o horário de todos. (FR10)

265

Neste momento penso que o único constrangimento é o horário e as actividades extra-curriculares, o que dificulta a marcação das sessões. (FR11)

No que se refere aos formadores, o elevado número de formandos por turma causou uma

menor disponibilidade, o que se traduziu por alguma lentidão na resposta a solicitações dos

formandos.

A quantidade elevada de formandos leva a que tenhamos pouco tempo e isto origina constrangimentos. Por exemplo, por vezes, demorava algum tempo a dar o feedback a algum problema. Os formandos não notavam estas coisas e achavam que tudo estava bem, mas eu, com a experiência do ano anterior, achava que poderia correr melhor se, como é óbvio, tivesse uma maior disponibilidade de tempo. (FR3) Os constrangimentos logísticos são fortes, as deslocações, por exemplo, deixam-nos com uma sobrecarga de trabalho, pois é tempo que se perde. Na própria acção o nosso trabalho, por vezes, não é valorizado pelas estruturas intermédias da escola e pelos órgãos regionais. O programa é, por vezes, algo que está ao lado, vai acontecendo, mas não é integrado e isso é um constrangimento. (FR4) Os maiores constrangimentos prendem-se com a questão dos horários. A impossibilidade das escolas darem parte da componente não lectiva para a formação criou uma sobrecarga de trabalho. Este ano, a maior parte dos materiais, foram dados através de suporte digital o que, para mim, também é um constrangimento. O apoio dado pelas escolas aos formandos não terá sido muito visível, não houve muito envolvimento das escolas. (FR7)

Ao analisarmos as respostas dadas pelos formadores ao elevado número de inscrições na

acção de formação, surgiram três categorias: referências de anos anteriores, colmatar

dificuldades e a proximidade entre a formação e os agrupamentos.

Tabela 86 – Razão para o elevado número de inscrições na formação

Razão para o elevado número de inscrições na formação

N.º de formadores

Referências de anos anteriores 5

Colmatar dificuldades 1

Proximidade entre a formação e os agrupamentos 2

Um dos motivos que levou os formandos a participarem na acção de formação prende-se

com a necessidade de aprofundarem os seus conhecimentos matemáticos, o que é

particularmente pertinente no caso dos docentes cuja formação inicial não está voltada para o

primeiro ciclo. Com as alterações que são provocadas nas salas de aula, por exemplo com a

introdução dos computadores e de jogos, torna-se necessária formação para utilizarem, da

266

melhor maneira possível, estes materiais. Deste modo, a participação na formação torna-se uma

mais-valia pois permite colmatar as dificuldades e tornar as actividades lúdicas de forma a

motivar os alunos.

Um outro factor relevante para o elevado número de inscritos na formação é a referência

positiva dada pelos colegas que participaram na formação nos anos anteriores. Os docentes

puderam ver os materiais utilizados pelos colegas, as novas práticas, as metodologias

introduzidas na sala de aula e os efeitos que isso provocou na aprendizagem dos alunos, o que

criou a vontade de também eles participarem na formação.

O interesse dos formandos advém do facto de sentirem necessidade de trabalhar mais a área da Matemática. O facto de aparecerem outros programas e as inscrições continuarem a aumentar provém do feedback positivo da ESE, dos formadores e do programa. Se isso não acontecesse, iam, na minha opinião, para outros programas. A imagem deste projecto lá fora é muito positiva. Também há aqueles agrupamentos que obrigaram as pessoas a inscreverem-se, mas o mais importante foi as pessoas quererem e sentirem necessidade deste tipo de formação. No meu grupo eles estavam interessados. (FR3) Uma das principais razões prende-se, na minha opinião, com as informações transmitidas pelos formandos dos anos anteriores. Considero que a formação tem deixado marcas muito positivas nos formandos e que estes tendem a transmiti-las, levando outros a quererem também fazer a formação. Também penso que há maior consciência por parte dos professores que têm necessidades de formação nesta área e que este programa os pode ajudar. Também me parece que a necessidade de melhoria das aprendizagens dos alunos e dos resultados destes, quer nas provas de aferição quer nos exames, e o impacto que isso tem na sociedade podem influenciar os professores a procurar este programa de formação. (FR8)

O facto da acção de formação ocorrer nos agrupamentos também é um factor importante,

já que os docentes se juntam em pequenos grupos e aderem à acção de formação.

A proximidade da forma de inscrição também terá ajudado, os agrupamentos inscreveram os seus professores o que cria uma dinâmica diferente. O que não impediu adversidades. Havia colegas que referiam que estavam aqui porque os executivos não tinham dado muitas hipóteses. No primeiro ano não havia a pressão de fazer créditos para a avaliação pois a progressão estava congelada. O facto de a formação ser no agrupamento também é bom, pois cria a proximidade dos professores o que pode ser um factor positivo, faziam um grupinho e faziam a formação. (FR5)

Ao analisarmos as sugestões dos formadores para melhorar a acção de formação, várias

categorias emergiram: gravar as aulas supervisionadas, diminuir a carga horária de formadores

267

e formandos, alterar a metodologia de avaliação, fornecer materiais às escolas, uma maior

unidade a nível nacional e aferir os efeitos da formação nas práticas.

Tabela 87 – Sugestões a aplicar na acção de formação

Sugestões a aplicar na acção de formação N.º de formadores

Gravar as aulas supervisionadas 2

Diminuir a carga horária de formandos e formadores

4

Alterar a metodologia de avaliação 2

Fornecer material às escolas 6

Criar maior unidade a nível nacional 2

Aferir os efeitos da formação nas práticas 3

Alguns formadores vêem vantagens na gravação das aulas supervisionadas, uma vez que,

desta forma, os docentes poderiam analisar a sua postura durante as aulas, tomando

consciência de algumas atitudes, comportamentos e linguagem contraproducentes para

processo de ensino/aprendizagem.

Gravar as aulas e discutir sobre a gravação e reflectir. A estrutura de avaliação ser de facto um portefólio e, por isso, irmos fazendo avaliações intercalares. Deveria haver formação do que é um portefólio, os parâmetros limitavam a acção do professor porque não valorizaram o resto. (FR2)

Uma outra sugestão prende-se com a diminuição da carga horária de formadores e

formandos. Deste modo, poderia existir uma maior motivação por parte dos formandos, o que

lhes permitiria participar de uma forma mais interventiva na acção. Por outro lado, a redução do

número de docentes acompanhados pelo formador permitiria um maior acompanhamento do

trabalho desenvolvido pelos formandos, sendo mais fácil analisar e orientar o seu percurso ao

longo da formação.

Eu acho que na comissão de acompanhamento há muito a fazer, não há condições com cinco turmas para fazer algo com muita qualidade e de forma a poder incentivar os formando, dar feedbacks e levarmos cada formando a questionar-se, a reflectir, etc., é muita coisa. Uma redução de formandos era essencial. (FR3)

Muitos formadores consideraram que a metodologia de avaliação deveria ser repensada.

Poderia, por exemplo, haver a aplicação do portefólio, mas sem os itens obrigatórios Cada

docente deveria ser livre para colocar o que considerasse relevante. Aos formadores poderia, por

268

exemplo, ser ministrada formação sobre portefólios, desta forma poderiam orientar melhor a sua

realização e evitar alguns entraves à sua correcta execução.

Deverá rever-se um pouco o papel do portefólio como elemento de avaliação, deveria haver alguma reflexão sobre isso. Deveria também ser visto o efeito da formação nas práticas profissionais e na aprendizagem dos alunos. Contudo, isto é muito complexo porque os efeitos, por vezes, não são imediatos e são de difícil aferição. Mas não foi pensado ou criado nenhum processo para avaliar isto. (FR5)

Os formadores também consideram ser necessário dotar as escolas de materiais para os

docentes usarem nas suas aulas e deveria também estruturar-se uma forma de avaliar o

impacto da formação na prática dos professores e no sucesso escolar dos alunos.

Penso que juntamente com a formação se poderia oferecer um kit de materiais às escolas. Algumas escolas angariaram dinheiro e compraram materiais de Matemática. Este ano andou uma equipa de inspectores nas escolas e, numa das que compraram materiais, na aula observada pelos inspectores foram usados os materiais e as técnicas que aprenderam na formação. (FR10)

Uma outra sugestão prende-se com a necessidade de haver uma maior unidade a nível

nacional no que respeita à formação, apesar de já se ter percorrido um longo caminho através

das reuniões de coordenação, seminários e encontros de formação.

Em termos de construção do programa, este está muito bem conseguido. Contudo, no primeiro ano não se criou no início uma unidade a nível nacional, a comissão de acompanhamento tinha um documento base, mas demasiado lato para as instituições agarrarem um programa mais concreto. Outro aspecto é cada instituição ter produzido os seus materiais. Com as reuniões de coordenadores, seminários e encontros de formadores houve uma maior interligação. Centralizar a formação pode jogar contra a necessidade de formação dos formandos, que é uma das ideias base deste programa. Há quem defenda que as necessidades de formação são construídas, pois eu só posso questionar se já tenho algum conhecimento sobre determinada questão. A necessidade também se vai criando. Isto aconteceu com o desenvolvimento de actividades de investigação de sala de aula, em que determinados tópicos da Matemática, como o estudo das regularidades, é mais facilmente perceptível fazendo-se actividades de investigação. Acontece que muitos docentes desconheciam esse facto, logo não sentiam necessidade de trabalhar isso. Neste momento, se a formação em termos nacionais se virar para o estudo do novo programa, deveria ser definido um fio condutor mais preciso. Muitas destas situações já foram corrigidas, mas no próximo programa se tiverem elementos novos deverão ser acauteladas estas questões. (FR5)

269

CAPÍTULO VI

DISCUSSÃO DOS RESULTADOS

Neste capítulo procede-se à discussão dos resultados. Na sua organização atendeu-se a

uma visão a três momentos: o antes, o durante e o depois. O primeiro momento configura a

ideia de avaliação diagnóstica, a dimensão do induzido, que diz respeito ao conhecimento dos

formandos, das suas perspectivas sobre a Matemática, das suas práticas e motivações para a

inscrição no PFCM.

O segundo momento envolve a avaliação formativa, a dimensão do construído, que se

refere ao período durante a acção de formação, incluindo tudo o que tem a ver com o

―processo‖, com a ―negociação‖ e com a ―elaboração‖. Reportamo-nos aqui ao trabalho

desenvolvido ao longo da formação, particularmente no que diz respeito ao grupo pelo qual o

investigador era responsável enquanto formador no PFCM, avaliando o papel das sessões

conjuntas e de acompanhamento e respectivos contributos na implementação e

desenvolvimento do conhecimento didáctico. Salientamos ainda o papel do portefólio e das

reflexões produzidas na consciencialização das potencialidades e limitações das suas acções no

desenvolvimento do processo de ensino e aprendizagem e as repercussões do trabalho

desenvolvido na aprendizagem dos alunos.

Finalmente, o terceiro momento corresponde à avaliação sumativa, à dimensão do

produzido, reportando-se aos resultados, numa temporalidade posterior à acção, permitindo

destacar as alterações / mudanças produzidas pela frequência do PFCM e, fazer um balanço

final.

270

6.1. O momento anterior à formação – dimensão do induzido

Várias investigações desenvolvidas sobre o conhecimento profissional do professor

revelaram insuficiências na formação específica para o ensino da Matemática, evidenciando que

os conhecimentos matemáticos de muitos professores se resumem essencialmente ao

conhecimento de conceitos, algoritmos ou procedimentos matemáticos, sendo poucos aqueles

que sabem justificar um algoritmo, uma fórmula ou um procedimento, que são capazes de

estabelecer conexões entre ideias ou conceitos matemáticos ou que possuem alguma

compreensão sobre a natureza da Matemática (Brown & Borko, 1992; Fennema & Frank, 1992;

Veloso, 2004).

Estas investigações salientam a importância de proporcionar aos professores experiências

formativas promotoras do desenvolvimento do seu conhecimento profissional. Mas para que este

desenvolvimento aconteça, o professor deve capacitar-se que ―o exercício da sua actividade

profissional é um processo que envolve múltiplas etapas e que, em última análise, está sempre

incompleto‖ (Ponte, 1998, p. 29).

A importância da formação contínua em Matemática sustenta-se na ideia de que para

aumentar o conhecimento matemático dos alunos é fundamental colocar professores bem

preparados na sala de aula. Deste modo, uma educação de qualidade para todos alunos, numa

altura em que a população estudantil é cada vez mais diversa, significa uma educação mais

exigente (Sowder, 2007).

O caso específico da Matemática, com uma grande história de insucesso escolar, em que

se verifica uma baixa literacia dos alunos e da população em geral, tem levado a que os

responsáveis ministeriais promovam acções de combate a esta situação.

De entre essas medidas salienta-se a criação do PFCM para professores do 1.º Ciclo do

Ensino Básico, que pretende contribuir para o desenvolvimento do conhecimento matemático,

didáctico e curricular dos professores, procurando melhorar as condições de ensino e

aprendizagem da Matemática e os níveis de sucesso dos alunos. Esta necessidade de formação

sustenta-se ainda nos resultados das provas de aferição do 4.º ano que mostram que a

generalidade dos alunos evidencia baixos níveis de desempenho na resolução de problemas, no

raciocínio e na comunicação matemática (Direcção Geral de Inovação e Desenvolvimento

271

Curricular, 2004). Como possíveis explicações são apontadas a ausência de processos de

reflexão, discussão e argumentação. Para ultrapassar esta situação é fundamental que nas aulas

de Matemática sejam desenvolvidas experiências de aprendizagem que permitam aos alunos

argumentarem, raciocinarem e comunicarem matematicamente, como sejam a resolução de

problemas e actividades de investigação.

No diagnóstico realizado aos formandos que participaram neste estudo, verificou-se que

cerca de dois terços dos professores justificaram a sua escolha da profissão como uma vocação

e os restantes referiram que o ensino foi uma opção ou representou o acesso a um emprego.

Cerca de um terço dos formandos afirmou que não voltaria a escolher esta profissão e

que se tivesse oportunidade mudaria de profissão, apontando como principais razões do seu

descontentamento o desgaste, a imagem negativa que a sociedade tem vindo a desenvolver

acerca dos professores e a não identificação com as políticas educativas actuais.

Esta situação pode traduzir-se numa maior dificuldade dos professores em aderirem e

envolverem-se activamente no PFCM, dificultando o processo identitário sustentado pela adesão

a princípios, valores e projectos, um investimento que seria positivo nas potencialidades das

crianças e dos jovens. Ora, como salienta Nóvoa (1992), este processo de aprofundamento da

identidade dos professores, constitui um requisito fundamental ao desenvolvimento da sua

competência profissional.

Relativamente à relação dos professores com a Matemática, a maioria dos professores

afirmou gostar da disciplina, enquanto alunos, assim como de a ensinar. No entanto, alguns

formandos referiram que não gostar de Matemática quer enquanto alunos, quer enquanto

professores, manifestando preocupações relacionadas com a capacidade de motivar os alunos.

Relativamente a este tópico, os formandos reconheceram que os professores exercem influência

no desenvolvimento de atitudes positivas dos alunos em relação à disciplina, sendo este um

factor que leva os alunos a gostar ou não da Matemática.

No que diz respeito às diferentes modalidades das acções de formação, a modalidade

preferida dos formandos recaiu sobre a oficina, embora quase metade dos inquiridos nunca

tivesse realizado qualquer acção de formação no âmbito da Matemática.

272


Mais de 60% dos professores afirmou a importância da Matemática para perceber o

espaço que nos rodeia, fazer cálculos e exercer uma cidadania esclarecida e crítica,

considerando que os alunos aprendem melhor Matemática quando resolvem problemas

relacionados com o dia-a-dia, expõem e discutem as suas ideias e as dos outros e trabalham

com os seus colegas em pares ou pequenos grupos.

A maior parte dos formandos considerou que a Matemática apresenta como grandes

finalidades o desenvolvimento das capacidades de raciocínio e resolução de problemas, de

comunicação, bem como de memória, rigor, espírito crítico e criatividade. Foram apontados

também a promoção da estruturação do pensamento individual, desenvolvendo os conceitos de

espaço, tempo e quantidade ou estabelecendo relações lógicas, avaliando e hierarquizando, e

ainda o desenvolvimento da capacidade de utilizar a Matemática como instrumento de

interpretação e de intervenção no real.

6.1.2. Preparação e práticas de sala de aula

No geral, a planificação das aulas é um processo individual, havendo pouco trabalho

colaborativo. Para planificar, os formandos têm sobretudo em consideração os conteúdos

programáticos, as competências e os objectivos definidos para a disciplina.

O PFCM parte das práticas dos professores para promover o desenvolvimento profissional.

É então esperado que os professores tenham oportunidades de planificar e concretizar as

planificações, procedendo posteriormente à reflexão sobre as suas práticas. Este é o contexto

para os professores desenvolverem o seu conhecimento, esperando que a reflexão aumente a

sua consciência sobre as suas práticas (Matos, Powell, Sztjan, Ejersbo & Hovermill, 2009)

As experiências de aprendizagem proporcionadas aos alunos são, maioritariamente, a

resolução de exercícios e problemas. Quanto à utilização de materiais, salienta-se o uso do

quadro; do manual escolar e das fichas produzidas pelos próprios professores. São pouco

utilizados os computadores e as calculadoras.

Estes resultados evidenciam a predominância de um ensino alicerçado na resolução de

exercícios e na utilização do manual escolar como elemento preponderante das actividades

lectivas.

273

As práticas de avaliação dos alunos, levadas a cabo pelos formandos, baseiam-se,

essencialmente, na valorização da participação na aula, nos resultados das fichas de trabalho e

nos testes de avaliação. Estes resultados são concordantes com os obtidos por Fernandes, Alves

e Machado (2008).

6.1.3. Razões de inscrição no PFCM

Considerando os motivos de inscrição no PFCM, os formandos salientaram a necessidade

de conhecer novas técnicas de ensino e novos materiais e, em menor percentagem, a

necessidade de se actualizarem.

Para quase todos os formandos, as necessidades de formação apontadas incidiram no

tema Números e Operações, apenas quatro formandos apontaram necessidades de formação no

tema Geometria e nenhum referiu o tema Organização e Tratamento de Dados. Este facto

resulta da existência ―entre muitos professores a convicção de que a estatística é um assunto

fácil, não apresentando, por isso, grandes dificuldades de aprendizagem‖ (Fernandes & Barros,

2005, p.141).

Os conteúdos relacionados com o tema Números e Operações que mais gostariam de ver

abordados na formação eram o cálculo mental, as tabuadas, a divisão e a multiplicação. Em

relação à Geometria, apontaram genericamente a necessidade de clarificarem alguns conceitos

sobre os sólidos geométricos e as unidades de medida.

Outros dos interesses referidos pelos formandos relacionaram-se com a vontade de

diversificar as estratégias de ensino, introduzindo nas aulas jogos didácticos e práticas que

permitissem motivar os alunos para a disciplina e, consequentemente, melhorar os seus

resultados escolares. Verificou-se, assim, que a vontade de melhorar/aprofundar o

conhecimento didáctico foi uma das principais razões para a participação no programa de

formação. Esta situação decorre do facto de os formandos manifestarem dificuldades no ensino

da Matemática, pois consideram que têm lacunas ao nível do seu conhecimento matemático e

didáctico. Alguns formandos salientam que essas lacunas se devem ao facto de a sua formação

de base não ter incidido muito na área da Matemática, como é o caso, por exemplo, das

licenciaturas nas variantes de Português e Francês.

Os professores procuraram, com a sua participação no PFCM, respostas às suas

necessidades de melhoria das práticas, centrando-se assim no plano didáctico. Queriam

274

desenvolver competências para tornar o conhecimento matemático em conhecimento

matemático para ensinar (Shulman, 1986).

Este conhecimento, no que ao professor do 1.º ciclo diz respeito, torna-se ainda mais

importante dado que a formação Matemática dos professores do 1.º ciclo parece ter sido

negligenciada durante muito tempo pela comunidade académica. Esta situação, de acordo com

Gomes, Ralha e Hirst (2001), tem origem na ideia de que estes professores não seriam

especialistas em Matemática e que a Matemática elementar é simples, por conseguinte fácil de

ensinar, sendo suficiente para estes professores uma preparação pouco aprofundada nessa

área.

Salienta-se, ainda, a preocupação manifestada pelos formandos em motivar os alunos

para a área da Matemática, procurando, com a formação, desenvolver metodologias de trabalho

potenciadoras do sucesso escolar dos seus alunos. Esta preocupação revela a carência sentida

na actualização do seu conhecimento didáctico.

Esta necessidade de actualizar conhecimentos e a vontade em fazer com que os alunos

gostem da Matemática e melhorem as suas aprendizagens vai de encontro à ideia de que os

professores se inscrevem nos programas de desenvolvimento profissional com o objectivo

principal de contribuir para o sucesso dos seus alunos (Guskey, 2002).

6.2. O momento da formação — dimensão do construído

Para se ensinar Matemática é necessário não só sabê-la mas ter a capacidade de tornar

os conteúdos acessíveis aos alunos, conseguir entender as suas questões e ser capaz de as

explicar (Hill, Sleep, Lewis & Ball, 2007).

Hoje em dia, parte-se do princípio de que todos os alunos têm a capacidade de aprender,

pelo que se torna fundamental a pesquisa sobre como aprendem de modo a desenvolver e

implementar estratégias de ensino diversificadas e adequadas às necessidades de cada um.

Os professores, como agentes de ensino, têm de estar atentos às mudanças nas filosofias

e práticas lectivas, havendo mesmo a necessidade de muitas das suas ―crenças‖ serem

desafiadas para que essas mudanças possam ocorrer. Assim, ao possibilitar um percurso

formativo aos professores, favorece-se um desenvolvimento profissional que permite introduzir

novas tarefas, actividades e materiais na sua prática. Contudo, por vezes é necessário ajudá-los

275

a desaprender algumas práticas e ideias, caso contrário, introduzem-se novas actividades e

materiais nas suas velhas práticas, o que acaba por originar não uma verdadeira mudança mas

sim práticas mistas Muitos dos formandos tinham necessidade de modificar as suas práticas

lectivas, implementar novas metodologias e usar novos materiais para motivar os alunos para a

disciplina. Para muitos professores, a segurança transmitida pelo manual, instrumento de apoio

às suas aulas e a partir do qual desenvolvem o trabalho diário, faz com que não sintam vontade

de sair da rotina. Consideravam que não estavam muito preparados para ensinar determinados

conteúdos, tendo, muitas vezes, como único suporte a explicação/exposição apresentada pelos

manuais.

Vários formadores confirmaram esta ideia, salientando o predomínio de uma prática

essencialmente expositiva e com a utilização do manual como recurso pedagógico prioritário. A

Formação impulsionou a necessidade de reflectir sobre a exploração e utilização de materiais

diversificados, com ênfase para os manipuláveis, no processo da aprendizagem e ensino da

Matemática.

6.2.1. Sessões conjuntas

Uma das componentes da formação foi a realização de sessões conjuntas de formação

para aprofundamento do conhecimento, troca de experiências, planificação de aulas e reflexão

do trabalho desenvolvido.

Durante estas sessões foram exploradas propostas curriculares a implementar na sala de

aula, com o intuito de desenvolver o conhecimento matemático, didáctico e curricular dos

formandos. Durante estas sessões o formador desempenhou um papel activo e interventivo,

procurando potenciar a discussão e reflexão entre os formandos em torno de tarefas e

acontecimentos das aulas, nomeadamente as supervisionadas, de forma a possibilitar a partilha

de experiências e o surgimento de dúvidas a serem respondidas.

De acordo com os formandos, as sessões conjuntas foram fundamentais na preparação

de tarefas a implementar na sala de aula, promovendo uma consciencialização das orientações

curriculares mais actuais, enfatizando a importância da utilização de alguns materiais didácticos

até então desconhecidos ou pouco valorizados. Desta forma, reconheceram que as sessões

conjuntas ao possibilitarem a troca de experiências, dúvidas, anseios, necessidades e práticas,

contribuíram para a melhoria da sua prática lectiva.

276

Ao longo do ano lectivo as práticas dos formandos até então, na sua maioria, baseadas na

exposição seguida da realização de exercícios, foram dando lugar uma metodologia exploratória,

na qual se valorizou o trabalho e o conhecimento do aluno e o seu percurso de descoberta. Esta

mudança criou algumas inseguranças e dúvidas em relação às quais as sessões conjuntas

desempenharam um papel preponderante criando um espaço de diálogo e partilha clarificador

dessas dúvidas e reflectindo sobre a implementação das tarefas a partir dos relatos

apresentados pelos colegas e pelo formador. Estas sessões permitiram que os formandos

tomassem conhecimento das experiências desenvolvidas pelos colegas o que permitiu evitar

erros cometidos, perceber a vantagem da utilização dos novos materiais e de formas diferentes

de leccionar.

Ao trabalharem em grupo, os professores poderão influenciar as práticas uns dos outros.

A disposição para reflectir e trabalhar em conjunto com os pares, revendo e partilhando as suas

práticas é potenciadora do desenvolvimento profissional dos professores (Matos et al., 2009)

A segurança para levar a cabo as aulas planificadas era tanto maior quanto mais

confiantes os formandos se sentissem em relação ao seu conhecimento matemático. Não basta

simplesmente planificar, sendo necessário estar preparado para ser confrontado e ser capaz de

prever os principais erros cometidos, dúvidas comuns e sobretudo agir face ao imprevisto. Esta

última forma de leccionar requer conhecimentos matemáticos muito consolidados, já que ao

leccionar um assunto pode surgir a necessidade de explicar algo complexo e bastante diferente

do planeado deixando alguns formandos bastante hesitantes.

O desenvolvimento do conhecimento matemático e didáctico tem lugar em todas fases do

trabalho do professor desde a planificação à condução e análise da aula. Quando planificam a

aula os professores expressam a necessidade de conhecerem bem os materiais a utilizar e de

preverem a reacção dos alunos sobre possíveis dificuldades, respostas e questões. Na

planificação os professores envolvem-se em actividades que lhes permitem alcançar novas

visões.

A respeito das sessões conjuntas, também os formadores destacam a troca de

experiências como meio para melhorar o conhecimento matemático e didáctico, pois

possibilitaram a exposição de dúvidas e relato das aulas onde puderam ser apresentados os

aspectos bem sucedidos e os que se revelaram mais problemáticos. Este intercâmbio de

experiências configurou-se como uma metodologia formativa capaz de melhorar os

277

conhecimentos dos formandos lançando um novo olhar sobre as suas práticas, permitindo que

os mesmos reflictam sobre as aulas leccionadas pelo próprio e pelos restantes colegas, sobre os

seus problemas e sobre a resolução dos mesmos. Os formandos puderam compreender os

pontos fortes e as restrições de determinadas metodologias e, porventura, aplicá-las na própria

sala de aula.

Nestas sessões, os formandos compreenderam que para ensinar Matemática não basta

um saber superficial do conteúdo a leccionar. Para se poder estabelecer conexões, para se

poder prever os potenciais erros e dúvidas dos alunos e para se ser capaz de dar resposta às

suas dúvidas e dificuldades, os professores têm de possuir um conhecimento matemático

aprofundado e muito mais abrangente do que aquilo que vai ensinar. Um professor que ensina

Matemática deve ter um conhecimento correcto dos conceitos e procedimentos; compreender os

princípios subjacentes e os significados em que se baseiam os procedimentos matemáticos; e

apreciar e compreender as conexões entre as ideias matemáticas (Ball, 1990).

As orientações curriculares actuais não se coadunam com um ensino sustentado no

repetir de fórmulas para resolver situações rotineiras.

O ensino tem de permitir aprendizagens mais consistentes e os alunos têm de

compreender os conceitos, não se limitando a memorizá-los. A este propósito Loureiro (2004)

afirma que ―o papaguear de fórmulas para resolver determinado tipo de situações rotineiras é

também frequente (…) todos sabem que a área do triângulo é base vezes altura sobre dois, mas

contam-se pelos dedos os alunos que sabem explicar porque é que esta fórmula funciona‖ (p.

99).

Um dos exemplos mais citados por formados e formadores é o do cálculo mental, em

relação ao qual grande parte dos formandos mostrou um desconhecimento da sua definição,

das suas vantagens e da forma de o desenvolver com os alunos. Com a sua exploração nas

sessões conjuntas foi possível aos formandos compreenderem o conceito e vantagens do seu

desenvolvimento. A consciencialização para este assunto, a par das estratégias de cálculo que

foram sendo clarificadas facilitou a preparação de tarefas a desenvolver com os alunos.

Para muitos formandos o cálculo mental era sinónimo de fazer contas de cabeça, o que

vem de encontro ao defendido por Loureiro (2004).

Ao confrontar professores e futuros professores do primeiro ciclo com exercícios de cálculo mental é frequente encontrar várias pessoas que fazem o algoritmo na

278

cabeça. E para estas pessoas este é o único recurso de que dispõem para realizar o cálculo. Entre aqueles que realizam os cálculos recorrendo a estratégias pessoais, adaptando a estratégia aos números em jogo, é também comum encontrar quem esbarre numa divisão por 4 ou por 8, sem saber que dividir por 4 é dividir duas vezes seguidas por 2, que dividir por 8 é dividir três vezes seguidas por 2. Em Portugal, no 1.º ciclo, os algoritmos têm um papel muito importante condicionante de todo o trabalho que o professor faz (p. 98).

A ideia de que o cálculo mental é fazer contas de cabeça aplicando o procedimento

algorítmico deu lugar à ideia de que é a aplicação de estratégias diferenciadas que resultam da

compreensão do sistema de numeração e das propriedades das operações. Em vez do

algoritmo, o cálculo mental deve ser o principal instrumento de cálculo e tanto professores como

alunos começaram a desenvolver estratégias de cálculo mental e a partilhá-las uns com os

outros, passando o cálculo mental a ser utilizado com mais frequência, sendo incentivada a

explicitação das estratégias utilizadas através de registos escritos clarificadores da compreensão

dos alunos. O cálculo mental passou a ser visto como uma capacidade básica, ou seja, como

um conjunto de procedimentos que têm de ser ensinados e praticados, no sentido de caminhar

para o desenvolvimento de capacidade de pensamento de ordem elevada, quando os alunos

inventam as suas próprias estratégias (Reys, Reys, Nohda & Emori, 1995).

Os formadores reconhecem que os formandos compreenderam as vantagens e

potencialidades do cálculo mental, esforçando-se por desenvolver tarefas com os alunos que

promovessem o seu desenvolvimento. Porém, foram sendo verificadas algumas dificuldades em

explorar, em toda a sua profundidade, as tarefas propostas. Vários formadores referiram, a este

respeito, o facto de ter havido evolução em termos teóricos, mas em termos práticos ainda haver

trabalho a fazer. Segundo eles é importante que os próprios professores melhorem as suas

capacidades de cálculo, de forma a poderem ajudar os alunos a desenvolverem estratégias de

cálculo mental.

Para isso, vários formandos agarraram a ideia de desenvolverem um trabalho sistemático

com o cálculo mental, implementando uma primeira parte da aula, de cerca de 10 minutos,

para esse efeito, tal como defendido por Brown, Millett e Askew (2008), por referência à

Estratégia Nacional de Numeracia desenvolvida em Inglaterra a partir do fim dos anos noventa.

Relativamente à resolução de problemas, outro dos temas fortes do plano de formação, foi

a possibilidade de observar alterações nas ideias e nas práticas dos formandos. Apesar de

alguns formandos já estarem sensibilizados para a importância da resolução de problemas, não

279

tinham uma ideia muito clara sobre a definição de problema, confundindo-a com a noção de

exercício.

Anteriormente à formação, muitos formandos consideravam que a existência de um

contexto/enunciado era suficiente para enquadrar uma tarefa no grupo dos problemas. Após a

formação os formandos compreenderam que, o que para uns é problema, para outros pode ser

exercício. Clarificou-se o conceito de problema, como uma tarefa para a qual o aluno não tem

uma resposta imediata, sendo obrigado a parar para pensar e definir uma estratégia de

resolução, baseada nos conhecimentos que possui. Nas aulas de resolução de problemas o

processo de validação das respostas obtidas pelos alunos era pouco valorizado. Ao terem sido

apresentadas e/ou clarificadas as etapas de resolução de problemas definidas por Polya (1975)

verificou-se uma melhor compreensão da importância da partilha de estratégias e raciocínios e

da valorização da validação das respostas encontradas.

O tipo de tarefas implementadas implicava uma maior capacidade do professor lidar com

a incerteza, repensar a Matemática e considerar alternativas; criar múltiplas abordagens à

resolução de problemas e a aprender sobre o pensamento dos alunos (Ponte, Zaslavsky, Borba,

et al., 2009).

Apesar da resolução de problemas já ser encarada como uma capacidade a desenvolver

nos alunos, havia uma excessiva valorização da utilização de exercícios. Após a exploração desta

temática, os formandos passaram a dar mais importância à resolução de problemas variados,

apostando na discussão e diversificação das estratégias. Nas reflexões de aulas apresentadas

nos seus portefólios, salientam a importância do papel do professor na resolução de problemas,

evidenciando que é preciso explorar bem as etapas de resolução dos mesmos, realçando a

importância da compreensão do enunciado e da selecção dos dados importantes. A par disso é

fundamental ajudar a clarificar partes do problema e promover a discussão das diferentes

estratégias utilizadas pelos alunos.

Na resolução de problemas eram maioritariamente propostas situações cuja resolução

passava pela aplicação de um algoritmo, aplicando mecanicamente a metodologia de indicação

e realização da operação. Com a formação, passou a valorizar-se o papel do aluno e o

desenvolvimento de estratégias de resolução diversificadas, baseadas no conhecimento que

cada aluno possui. Resolver problemas deixou de se reduzir ao processo de indicação e

operação, até aqui muito utilizado. Assim, a mobilização dos conhecimentos dos alunos,

280

utilizando estratégias flexíveis e pessoais para a resolução dos problemas passou a ser essencial

para os formandos.

Nas sessões de formação destinadas à exploração dos algoritmos e sistemas de

numeração foram salientadas, tanto por formandos como por formadores, melhorias

relacionadas com a compreensão dos sistemas de numeração, nomeadamente no que respeita

ao sistema decimal posicional e ao ensino dos algoritmos.

Estas sessões tiveram influência nas práticas lectivas, uma vez que foi valorizado o uso de

materiais estruturados fundamentais para o ensino do sistema de numeração e dos algoritmos

como é o caso do MAB e do calculador multibásico.

Alguns conceitos, tais como número, numeral e algarismo foram clarificados. Os

algoritmos habitualmente ensinados de uma forma demasiado mecanizada, à semelhança do

que os formandos aprenderam enquanto alunos, foram devidamente explorados, passando-se a

valorizar a compreensão do procedimento por parte dos alunos.

Os formandos passaram a conhecer e a utilizar outros procedimentos algorítmicos até

então desconhecidos, valorizando a perspectiva histórica da Matemática.

Para além de todas as dificuldades que o ensino totalmente dominado pelos algoritmos vai criar nos alunos, os professores portugueses só conhecem um algoritmo para cada operação aritmética e têm muita dificuldade em compreender não só o algoritmo que sabem utilizar e que ensinam, como algoritmos alternativos que lhes são apresentados. (Loureiro, 2004, p. 98)

Nas sessões dedicadas à Geometria, os formandos sentiram que os seus conhecimentos

sobre alguns conceitos necessitavam de ser aprofundados. No seu entender, estas sessões

exerceram um papel importante ao alertá-los para o facto de algumas ideias pré-concebidas

influenciarem a forma como leccionavam este tema. Consideraram, ainda, benéfica a exploração

de alguns materiais didácticos que não conheciam ou cujas potencialidades não identificavam.

A Geometria deixou de ser encarada como um tema baseado na definição e memorização

de conceitos, e sim como uma rede complexa de interligações entre conceitos, modos de pensar

e sistemas de representação que são usados para conceptualizar e analisar ambientes espaciais

físicos e imaginados (Battista, 2007). O trabalho com os alunos passou a privilegiar uma

vertente exploratória e dinâmica em vez de se centrar na definição de conceitos e na

identificação de figuras. Alguns materiais didácticos, como por exemplo os polydrons e os geo-

reflectores eram desconhecidos da maioria dos formandos e outros como por exemplo os

281

tangrans, eram pouco valorizados. Com a formação observou-se uma melhoria no conhecimento

de alguns materiais estruturados e no reconhecimento da sua importância no ensino da

Geometria.

Outra das vantagens apontadas às sessões conjuntas foi o trabalho colaborativo, que nem

sempre acontecia, e que foi possível desenvolver. Em termos curriculares a maioria dos

formandos não trabalhava centrado no currículo mas sim nos manuais. Estas sessões

contribuíram para alterar esta situação.

Os professores vão reconstruindo o seu conhecimento profissional, de preferência em contextos colaborativos, questionando as suas formas de agir e crenças que lhes estão associadas. Esta concepção estabelece uma nítida ruptura com a anterior, no que diz respeito à relação entre conhecimento profissional e a prática, inserida num novo paradigma, a epistemologia da prática. (Cochran-Smith & Lytle, 1999)

Vários formandos salientaram o papel das sessões conjuntas como espaços onde se

discutiram e partilharam formas de pensar e de agir permitindo aprofundar os conhecimentos

matemáticos; se clarificaram alguns aspectos/conteúdos matemáticos e se colocaram

dúvidas/questões e onde se pôde avaliar os procedimentos.

O desenvolvimento de uma cultura de colaboração entre professores constituiu uma

estratégia de desenvolvimento profissional, conduzindo-os ―a uma maior disponibilidade para

fazerem experiências e para correrem riscos‖ (Hargreaves, 1998, p. 209).

6.2.2. Sessões de acompanhamento

Alguns professores limitavam-se a trabalhar apoiados no manual, implementando uma

metodologia muito tradicionalista, sustentada na leitura e exposição de conteúdos com posterior

realização de exercícios. Um formador chega a referir um caso, que considerou ―caótico‖ de um

formando, que leccionava normalmente no segundo ciclo e o ano de formação era o primeiro em

que estava a leccionar no primeiro ciclo. De acordo com o formador, método de ensino desse

formando baseava-se na leitura do manual, seguida duma explicação / clarificação, caso os

alunos manifestassem dúvidas. Posteriormente eram realizados um conjunto de exercícios,

essencialmente os propostos no próprio manual. Com a formação este formando

consciencializou-se da necessidade de mudar e sentiu-se apoiado para iniciar essa mudança. Ao

longo da frequência do PFCM e com o apoio do formador em sala de aula durante as sessões de

282

acompanhamento, começou a preparar e a utilizar materiais didácticos, a dar mais ênfase à

resolução de problemas como estratégia de trabalho e incentivar a discussão e partilha de ideias

entre os alunos.

Este exemplo ilustra a importância da formação no despertar da consciência dos

professores para as vantagens de um ensino exploratório e sustentado nas orientações

curriculares actuais. Ilustra, igualmente, a vantagem deste modelo de formação alicerçado na

ideia de desenvolver um processo formativo a partir das práticas dos professores, no qual a

supervisão em sala de aula se revela fundamental na detecção destes problemas e no apoio, em

aula, para os superar. Só com a sua presença na sala de aula é que o formador pôde detectar

esta situação e ajudar, intervindo no sentido de a alterar. Para os formandos que se sentiam

mais inseguros ou mais reticentes a arriscar novas abordagens ou a utilizar novos materiais, a

presença do formador revelou-se fundamental por lhes proporcionar a segurança ou o estímulo

necessários. Sem as sessões de acompanhamento teria sido mais difícil a experimentação das

tarefas exploradas e planificadas nas sessões conjuntas. A formação contínua dos professores e

o desenvolvimento das suas competências profissionais pressupõe uma mudança na prática de

ensinar/educar que seja adequada a novas situações e a diferentes contextos. A mudança ao

nível da prática de ensino tem a ver com as mudanças executadas por um professor no

momento de planificação de ensino, da fase interactiva ou da fase pós-interactiva (Cró, 1998).

As sessões de acompanhamento revelaram-se, assim, como um meio fundamental de

avaliar o conhecimento didáctico, pois é através da observação directa ou da gravação de aulas,

que é possível analisar a qualidade e características daquilo que é proposto pelos professores e

percebido pelos alunos. A observação dos professores é muito importante quando o objectivo é

medir o conhecimento didáctico porque é nas salas de aula que este se expressa (Hill, et al.,

2007).

Ao avaliarem as sessões de acompanhamento, quer os formandos, quer os formadores,

consideraram que, após ultrapassadas as reservas iniciais, estas foram uma mais-valia. Estas

sessões facilitaram a reflexão sobre as práticas instituídas e potenciaram a mudança, uma vez

que, estabeleciam a ligação entre a teoria e a prática.

Os formadores sentiram que a sua presença na sala de aula ajudou os formandos a terem

mais confiança nas experimentações, tendo ainda sido importante no processo de reflexão. Em

algumas situações onde se procedeu à introdução de novos materiais que os formandos nunca

283

tinham utilizado, as sessões de acompanhamento revelaram-se ainda mais importantes, uma

vez o apoio do formador fazia-os sentir mais à vontade. A presença de um formador, cuja função

não era classificar, com o qual foi possível desenvolver uma relação de confiança criou o

ambiente ideal para desenvolver estas experiências, já que, sempre que se revelava necessário e

o formando solicitava, fosse para esclarecer uma dúvida de um aluno, para ajudar junto de um

grupo de alunos na implementação de tarefas ou manuseio de materiais, poderiam contar com o

seu apoio. Com esta metodologia, os formandos foram-se sentindo apoiados e viam na presença

do formador uma mais-valia que lhes transmitia segurança.

A reflexão subsequente à sessão de acompanhamento foi fundamental por permitir

perceber alguns aspectos a melhorar e, muitas vezes, compreender a diferença de resultados

obtidos com as novas estratégias e/ou tarefas implementadas. Este processo de reflexão criou a

necessidade de pensar sobre a aula leccionada não a dando por encerrada no final do tempo

lectivo. Neste processo, o formador revelou-se essencial pois, ao acompanhar o professor e a

aula, registou, também ele, alguns episódios significativos, que contribuíram para a elaboração

de uma reflexão mais consistente e completa. Ao ajudar os formandos a explicitar e enumerar os

aspectos positivos e negativos da aula, a analisar os registos escritos dos alunos bem como a

suas intervenções, o formador contribuiu para a melhoria do conhecimento didáctico dos

formandos. Este processo permitiu o desenvolvimento de práticas reflexivas valorizando a

construção pessoal do conhecimento e legitimando o valor epistemológico da prática profissional

(Schön, 1983; Vieira, 1995), dado que a prática surge como elemento de análise e de reflexão

do professor. No entanto, para o professor, esta prática só é possível num ―contexto de reflexão-

experimentação que o motiva a um reposicionamento sistemático face às suas concepções e

práticas profissionais‖ (Vieira, 1993, p. 16). Alguns formadores referiram, ainda, que a

supervisão permitiu corrigir alguns erros de linguagem e de postura. No entanto, sugeriram que

se fosse usada, como estratégia de formação, a gravação de aulas para posteriormente serem

vistas e analisadas pelos formandos e formadores, estas e outras situações poderiam ser

corrigidas de uma forma mais eficaz. Salientam, também, que esta estratégia permitiria fazer

reflexões mais profundas e analisar mais pormenorizadamente as práticas lectivas.

Considero, no entanto, que seria interessante gravar a aula pois permitia uma melhor análise. Por vezes há maneirismos de linguagem que dificultam a aprendizagem e nós não vamos dizer isso mas, se vissem as gravações percebiam. (FR2)

284

Outro dos aspectos que os formandos consideraram importantes das sessões de

acompanhamento prende-se com o facto de terem contribuído para motivar os alunos para a

Matemática. As sessões de acompanhamento foram, segundo os formandos, muito apreciadas

pelos alunos. Na sua opinião, a presença do formador na sala de aula era do agrado dos alunos,

que se mostravam sempre muito entusiasmados e com vontade de que o professor de

Matemática (formador) viesse à sala de aula. Era habitual os formadores serem questionados

pelos alunos sobre quando seria a sua próxima vinda à sala de aula, pois segundo os mesmos

as aulas eram muito divertidas.

A planificação das actividades lectivas tinha como pressuposto a utilização de tarefas e

materiais trabalhados nas sessões conjuntas. De uma maneira geral, os alunos respondiam

muito bem, sentindo-se figuras centrais e estando muito empenhados na realização das

actividades. Foi através da percepção de como os alunos reagiam às novas abordagens que

alguns formandos compreenderam a sua importância. O factor mais importante de como o

conhecimento do professor influencia os resultados dos alunos é a selecção de tarefas propostas

(Neubrand, 2006).

Com a sua presença na sala de aula, os formadores puderam observar as dificuldades

sentidas na implementação das tarefas e os papéis desempenhados pelos formandos e alunos.

A este respeito, vários formadores referiram que ―com a formação ao longo do ano e com as

sessões de aula foi possível ler as crianças, o professor e as interacções entre ambos‖

considerando que ―nestas sessões houve bastante empenho e vontade de fazer diferente‖.

Finalmente acreditam que esse trabalho ―se irá reflectir nas aulas seguintes‖.

6.2.3. Conhecimento matemático e didáctico – mudanças percepcionadas

Durante a formação, os formandos revelaram uma tomada de consciência relativamente

ao contributo do PFCM na alteração das suas práticas, particularmente no que se refere à

diversificação da natureza das tarefas propostas aos alunos.

Até à frequência do PFCM, grande parte dos formandos dava particular relevância à

realização de exercícios e problemas bastante simples que seleccionavam essencialmente do

manual escolar. A partir de então, ficaram consciencializados para a necessidade de diversificar

as tarefas, ao compreenderem verdadeiramente o significado de algumas delas, nomeadamente

as de cariz mais aberto como é o caso das actividades de investigação. Esta situação fez com

285

que passassem a implementar mais tarefas de investigação e exploração, bem como a

diversificar o tipo de problemas apresentados aos alunos. A par disso, incentivaram os alunos a

exporem as suas ideias e explicarem os seus raciocínios e estratégias utilizadas de uma forma

mais sistemática.

A implementação em sala de aula de tarefas exploradas e planificadas nas sessões

conjuntas, permitiu aos professores avaliarem os pontos fortes e fracos das tarefas e abordagens

idealizadas. Este aspecto revelou-se essencial, uma vez que o professor tende, apenas, a

legitimar e adoptar uma nova abordagem quando verifica que ela funciona na sua prática

(Loucks-Horsley, Hewson, Love & Stiles, 1998). Os formandos passaram a ter em conta não

apenas os objectivos relacionados com os conteúdos escolares, que por sua vez se mostraram

progressivamente mais ambiciosos, mas também aspectos relacionados com as capacidades

transversais de comunicação e raciocínio matemático.

Não obstante estas mudanças ocorridas no sentido da implementação de orientações

metodológicas consideradas mais actuais e potenciadoras do sucesso dos alunos, os formadores

consideram que essas alterações se afiguram mais consolidadas nos formandos que

frequentaram o 2.º ano de formação. Estes formandos, agora mais conscientes das suas

dificuldades, erros e potencialidades, a par de uma maior convicção nos resultados, entretanto

visíveis, que evidenciavam uma melhoria no desempenho e motivação dos seus alunos para com

a disciplina, apoiados pelo formador, revelavam um maior domínio e confiança na utilização do

conhecimento didáctico mostrando uma maior capacidade e facilidade em gerir a aula.

Estes resultados são concordantes com o preconizado por várias entidades de que se

destaca o NCTM (1989, 2000) sobre a ideia de que uma reorganização curricular só terá

verdadeiramente efeitos se forem proporcionadas oportunidades de formação contínua aos

professores, pois caso contrário correr-se-á o risco de nada de substancial mudar nas práticas de

ensino da Matemática.

Currículos de qualidade são importantes, mas de nada valem se os professores não os

souberem interpretar e implementar, pois nenhum currículo ensina por si mesmo (Ball, Goffney

& Bass, 2005).

Durante a frequência do PFCM os professores tiveram a oportunidade de trabalharem os

conteúdos matemáticos, com o intuito de melhorar o seu conhecimento matemático. A

importância de um bom conhecimento matemático resulta da necessidade de compreender o

286

verdadeiro alcance dos conteúdos a ensinar de forma a poder estabelecer conexões intra e extra-

matemáticas. Este conhecimento permitirá, ao professor, implementar estratégias de ensino que

melhorem a compreensão dos conteúdos pelos seus alunos, possibilitando a introdução de

analogias, ilustrações, exemplos, demonstrações e explanações. É portanto necessário

compreender o que torna a aprendizagem de determinados tópicos fácil ou difícil, as concepções

dos alunos de diferentes idades e de diferentes proveniências.

Um profissional matemático que não sabe Matemática com profundidade suficiente para ser capaz de a ensinar, não compreende verdadeiramente Matemática e não pode, portanto, ser um bom profissional matemático. Mais uma razão para que a formação Matemática de qualquer destes profissionais seja profunda, suficientemente profunda para que lhe seja possível ensinar, isto é, semelhante à formação Matemática dos futuros professores… Todos os profissionais matemáticos devem ter capacidade de comunicar Matemática. Esta é uma verdade óbvia. Não se exerce a profissão Matemática para uso exclusivo do próprio. (Braumman, 2004, p. 78).

As observações de aulas por parte do formador investigador e as entrevistas concedidas

pelos formandos evidenciaram algumas destas fragilidades. Um dos formandos a certa altura da

sua entrevista refere que ―por vezes não sabia muito bem o que alguns conceitos significavam e

havia uma certa confusão entre certos termos, como por exemplo, os poliedros e polígonos‖

(F3).

Outro dos assuntos onde foram visíveis lacunas diz respeito à explicitação dos algoritmos

das operações. Muitos formandos apenas sabiam explicar o algoritmo transmitindo aos alunos a

―mecânica‖ que eles próprios aprenderam enquanto estudantes. Assim, por exemplo, o

algoritmo da subtracção com empréstimo para a resolução da seguinte situação: 64 – 38 era

ensinado da maneira seguinte: ―oito para catorze, 6 e vai 1, três e um 4, para seis 2‖. Quando

questionados sobre a explicação para tal procedimento, as respostas foram vagas ou nenhumas.

Ensinar Matemática nos primeiros anos implica tomar uma série de decisões, de forma

consciente, sobre que parte dos conhecimentos matemáticos ensinar, em que momento é

conveniente ensiná-los e de que forma pode ser mais adequado tratá-los para que sejam

aprendidos. Porque os professores têm que trabalhar com os conteúdos numa forma não final,

em que estes conhecimentos se adquirem em espiral ao longo dos anos, eles devem ser

capazes de trabalhar a partir de conhecimentos mais avançados e comprimidos, desmontando-

os nos seus constituintes mais básicos. É pois importante saber o que ensinar, no domínio do

287

conteúdo, e como ensinar, no domínio da pedagogia do conteúdo. Por isso, ―aprender

Matemática num curso de formação de professores é importante, mas desenvolver uma atitude

de investigação e de constante questionamento em Matemática é ainda mais importante‖

(Serrazina, 2002, p. 11). Desconstrói-se desta forma a ideia frequentemente assumida que pelo

facto de os tópicos pertencentes ao currículo dos primeiros anos serem básicos são fáceis de

ensinar.

Os professores de Matemática têm de perceber o pensamento dos alunos, saber o que

normalmente costumam fazer, quais os seus potenciais erros. Se o professor souber, por

exemplo, que os alunos ao trabalharem os números inteiros ficam frequentemente a acreditar

que a multiplicação ―torna maior‖, poderão planear as aulas mais eficazmente, uma vez que,

podem entender as dificuldades dos alunos.

A forma como os alunos pensam também pode ser usada, pelos professores, para

determinarem as tarefas apropriadas para a aprendizagem da Matemática e para as questões

que necessitam ser colocadas para levar a uma melhor compreensão por parte dos alunos.

É nesta perspectiva que Braumman, Moreira, Brocardo e Ponte (2004) afirmam estar

convencidos que muito cedo a criança cria o gosto ou a aversão pela Matemática. As influências sociais e, principalmente, a influência do (da) professor(a), são cruciais. Assim, é importante que o (a) professor(a) do 1° ciclo do ensino básico goste de Matemática (é difícil disfarçar se o gosto não existe) e transmita esse gosto. Há que apostar na formação matemática destes professores [ao nível adequado], mas, para isso, devem ter a preparação e a inclinação desejáveis (p. 81).

Os professores ensinam em escolas marcadas pela diversidade, escolas onde coexistem

alunos com interesses e dificuldades diferentes, provenientes de meios socioeconómicos

distintos e com diversas expectativas quanto à escola. Todos interpretamos comportamentos e

informações através da nossa cultura, mas sem nos apercebermos, fazendo parecer que a

nossa visão é simplesmente a maneira como se fazem as coisas. O desenvolvimento profissional

tem que versar estas circunstâncias únicas.

A selecção criteriosa das tarefas matemáticas por parte do professor é um aspecto

fundamental na dinâmica da sala de aula, em particular a discussão que pode gerar. Nessa

dinâmica desempenha um papel fundamental a implementação de actividades centradas na

resolução de problemas e de investigações, constituindo-se como oportunidades de

288

aprendizagem e de desenvolvimento da comunicação matemática por serem potenciadoras

criação de uma atmosfera em que o professor e os alunos assumem uma atitude de

questionadores (Martinho & Ponte, 2005; Wood, Cobb & Yackel, 1991).

O NCTM (1994) indica as características das tarefas matemáticas válidas nos seguintes

termos: apelam à inteligência dos alunos; desenvolvem a compreensão e aptidão matemática;

estimulam os alunos a estabelecer conexões e a desenvolver um enquadramento coerente para

as ideias matemáticas; apelam à formulação e resolução de problemas e ao raciocínio

matemático, promovem a comunicação sobre Matemática; mostram a Matemática como uma

actividade humana permanente; têm em atenção diferentes experiências e predisposições dos

alunos e promovem o desenvolvimento da predisposição de todos os alunos para fazer

Matemática.

O professor desempenha um papel fundamental na forma como apresenta as tarefas aos

alunos, como promove a sua discussão e a construção do conhecimento. A formação permitiu a

compreensão da necessidade de organizar sequências de tarefas coerentes e potenciadoras das

características enunciadas anteriormente. Em vez de o professor explicar os novos conceitos,

exemplificar como se faz e exercitar a matéria com os alunos, os professores foram incentivados

e passaram a apresentar tarefas que os alunos deveriam interpretar e desenvolver o seu

trabalho na tarefa. Após isto, o trabalho dos alunos deveria ser apresentado num ambiente de

discussão e argumentação, concluindo-se com a síntese das principais ideias aprendidas.

Estes momentos de sala de aula em que são fomentadas a colaboração entre pares e a

discussão alargada a toda a turma possibilitam o envolvimento activo num discurso em que os

seus significados pessoais ficam sujeitos ao questionamento dos colegas, havendo um espaço

de negociação dos diferentes significados individuais até se chegar a um consenso (Wood et. al.,

1991).

Durante a discussão o papel do professor é fundamental de forma a estabelecer as regras

de funcionamento incutindo nos alunos o respeito por saber ouvir os outros, encorajando-os a

pensar em questões a colocar quando ouvem os seus colegas. Para isso o professor deve ser

capaz de seleccionar tarefas adequadas para propor aos alunos e gerir os distintos momentos da

aula de Matemática (Veia, 1996).

Ao apontarem as mudanças identificadas nas suas práticas, os professores referiram

melhorias na aprendizagem da Matemática pelos alunos, a par de uma maior motivação para a

289

disciplina. Assim, sobressaem a melhoria identificada pelos professores ao nível das

capacidades de resolução de problemas, raciocínio e comunicação matemática dos alunos.

Muitos dos aspectos poderiam ser avaliados, mas posso resumir o seguinte, melhorou as aprendizagens dos alunos e valorizou as competências dos professores do primeiro ciclo, desenvolveu uma altitude positiva face a esta área do saber. (Portefólio F2) Ao longo do ano constatei que o trabalho desenvolvido, permitiu aos alunos descobrirem que os problemas não são meros exercícios, geralmente de resolução mecânica e repetitiva, em que apenas se aplica um algoritmo que conduz directamente à solução. Problemas são situações não rotineiras que constituem desafios para os alunos e em que frequentemente, podem ser utilizadas várias estratégias e métodos de resolução. (Portefólio F8) Durante as actividades com os alunos tive oportunidade de provocar as situações mais apropriadas, de modo a que a dinâmica de aprendizagem se desenvolvesse naturalmente em cada um dos alunos e estes colaboraram sempre nas actividades com muito interesse e muitas vezes os alunos considerados mais fracos surpreenderam-me, com a rapidez com que resolveram algumas das tarefas. É de registar que a adesão, a motivação, a compreensão e a resolução das tarefas é realmente surpreendente quando propomos algo de diferente aos alunos. Este diferente, curiosamente, não é mais fácil é simplesmente mais atraente e motivador. Muitas vezes exige até mais esforço mental, mas como eles estão realmente envolvidos e empenhados conseguem muito mais facilmente, e por iniciativa própria, partir em busca das soluções. (Portefólio F5)

Ao longo das sessões de acompanhamento em sala de aula foram observadas alterações

positivas nos alunos, verificando-se um desenvolvimento do pensamento matemático,

nomeadamente no contexto da resolução de problemas. Inicialmente, quando confrontados com

problemas para resolverem, os alunos questionavam qual é a conta que temos de fazer? Outros

alunos, perante a situação, procuravam, no enunciado, dados numéricos que depois utilizavam

para fazer cálculos no sentido de chegar à solução, muitas vezes sem qualquer sentido. Ainda a

este propósito, quando confrontados com questões como porque resolveste desta maneira?

Como pensaste? muitos alunos apresentavam dificuldade em responder e em muitas situações

tendiam a apagar a resposta pensando que tinham resolvido mal. Esta situação resultava das

suas experiências ligadas à resolução de problemas essencialmente numéricos e em relação aos

quais tinham de fazer, obrigatoriamente, a indicação e a operação. Assim, os alunos tentavam

adivinhar a operação a partir da reacção do próprio professor, sem atender ao contexto.

290

Desta forma, era frequente ver os alunos a optarem por resolver os problemas recorrendo

a uma das quatro operações aritméticas, sem pararem para reflectir sobre a adequação da

opção tomada. Por fim, chegados a uma resposta, não tinham o hábito de se questionarem

sobre a razoabilidade da solução encontrada, aceitando soluções passíveis de serem

consideradas absurdas, como por exemplo, situações em que alguém depois de ter gasto parte

do seu dinheiro em compras, ficava com uma quantia superior àquele que tinha inicialmente.

A propósito de uma aula de resolução de problemas, uma formanda escreveu na sua

reflexão de aula que os alunos revelaram dificuldades em explicar as suas ideias, colocá-las no

papel e procurar estratégias alternativas. O trabalho desenvolvido pelos professores e reflectido

nas sessões conjuntas e de acompanhamento foi no sentido de contrariar estas ideias dos

alunos.

Durante o ano lectivo foi dado a observar uma tendência de abandono de resoluções

baseadas na tentativa de adivinhar a operação adequada à resolução de um problema, bem

como a tendência para monitorizar o processo de resolução e a solução obtida. De uma forma

progressiva, notou-se uma maior capacidade dos alunos explicarem as suas estratégias e

raciocínios, não se limitando a procurar a conta para resolver o problema. Verificou-se que

discutiam e reflectiam mais sobre os possíveis caminhos e estratégias a utilizar antes de

partirem para a resolução do problema. Por outro lado, começavam a dar mais importância à

avaliação do percurso seguido e à plausibilidade do resultado encontrado, sugerindo um

crescimento a nível de pensamento metacognitivo.

Progressivamente, muitos alunos evidenciaram maior flexibilidade de pensamento,

procurando compreender o problema e resolvê-lo recorrendo a uma estratégia adequada, que

podia envolver, nomeadamente, fazer desenhos, fazer um esquema ou fazer uma tabela.

Denotou-se ainda, designadamente nas interacções estabelecidas entre os alunos, uma maior

preocupação em rever o processo de resolução e em avaliar a aceitabilidade da solução no

contexto do problema.

Outro aspecto a registar prende-se com o gosto que os alunos foram desenvolvendo pela

resolução de problemas. Assim, em vez de afirmações de tristeza aquando das propostas de

resolução de problemas, passaram a ser proferidas afirmações de satisfação e entusiasmo,

pedindo mesmo aos professores que lhes apresentassem novos problemas.

291

Eu leccionava os diferentes temas recorrendo muito à exposição dos conteúdos, eu falava e os alunos ouviam. Nas sessões de acompanhamento deu para compreender de forma inequívoca que há outras formas. Na aula assistida de resolução de problemas os alunos gostaram tanto, que me pediam constantemente para resolver problemas. (F9)

Tal situação permite inferir algumas mudanças em vários indicadores de crescimento

intelectual, nomeadamente: (i) impulsividade, (ii) metacognição, (iii) precisão de linguagem; e (iv)

gosto pela resolução de problemas (Tenreiro-Vieira, 1994).

Para que se dê aprendizagem é necessário que os alunos interajam com as tarefas e com

os objectivos propostos pelo professor. Mas, para que tal aconteça o professor tem um papel

importante na construção, introdução e regulação dessa aprendizagem. Podemos considerar

este processo de ensino e aprendizagem como um jogo duplo, isto é, uma situação didáctica,

com dois jogos a serem jogados em fases diferentes.

Há que tomar em consideração que este tipo de situação envolve alunos e professores

cada um com as suas intenções, papéis e capacidades e a interacção dá-se seguindo certas

regras implícitas e explícitas. O ensino começa com a intenção de que alguém, o aluno, adquira

determinados conhecimentos.

Durante as supervisões foi, ainda, dado a observar um progressivo uso de terminologia

mais correcta e adequada, bem como uma melhoria na capacidade dos alunos expressarem o

seu pensamento e estratégias de resolução, fazendo transparecer um crescimento na

capacidade para usar linguagem matemática, melhorando a sua capacidade de comunicação.

A formação pretendia salientar as vantagens do desenvolvimento de um ensino

exploratório, que valorizasse o papel do aluno na sua aprendizagem. Para isto exploraram-se as

potencialidades dos materiais didácticos, dos jogos e de uma diversidade de estratégias de

ensino, suportadas na diversidade de tarefas a propor aos alunos.

Veja-se o que diz um formador:

Permitiu esclarecer dúvidas, trocar opiniões e ter consciência dos problemas que acarreta trabalhar com determinados materiais ou assuntos. A formação contribuiu para um aprofundar dos conhecimentos, aumentar o raciocínio lógico-dedutivo e ampliar a variedade de estratégias. (FR1)

Estas alterações na actuação do professor podem relacionar-se com os seus esquemas de

acção, com as suas decisões durante a planificação das actividades e, ainda, com o modo como

analisa as acções por si realizadas, as interacções estabelecidas com os seus colegas e toda a

292

reflexão efectuada sobre a sua própria acção. ―O conjunto destes elementos constitui o que nós

chamamos a sua prática de ensinar/educar. Por outro lado, não há mudança senão em relação

a uma situação anterior. E o próprio professor é quem reconhece a mudança ou deve

reconhecê-la‖ (Cró, 1998, p. 121).

A metodologia de avaliação escolhida para esta acção de formação foi o portefólio. Este

documento pode demonstrar o empenho do professor e pode incluir materiais, amostras de

trabalhos dos alunos, comentários escritos, etc. Há, contudo, que ter em conta que os

professores podem escolher as aulas a colocar no portefólio e essas aulas podem não

representar a prática do dia-a-dia (Hill, et al., 2007).

A utilização do portefólio como metodologia de avaliação não é unânime entre formandos

e formadores. Há quem só aponte vantagens e há quem encontre inconvenientes. Uma das

desvantagens apontadas prende-se com o facto de terem sido decididos os aspectos que

deveriam constar no portefólio, o que acabou por retirar alguma liberdade aos formandos para

escolherem o que gostariam de colocar no seu portefólio e que, na sua opinião, melhor reflectia

as suas práticas.

Alguns formadores constataram que nem sempre o que estava representado no portefólio

correspondia ao dia-a-dia e que, em alguns casos, docentes com boas práticas não o

demonstravam no portefólio.

Não obstante estas situações, o portefólio enquanto instrumento de reflexão sobre as

práticas e de consciencialização do professor para as mudanças que deveria operar, para as

potencialidades do uso de determinadas tarefas e materiais, para os aspectos mais positivos da

sua prática e para as situações onde evidenciava mais dificuldades, revelou-se essencial. Para

isso, a presença do formador nas sessões de acompanhamento era fundamental ao levantar

questões ao professor para fazer a sua reflexão, apresentar um olhar diferente e distante sobre

as práticas. Durante as reflexões orais realizadas após as sessões e o acompanhamento das

reflexões escritas registadas nos portefólios, era possível valorizar aspectos das práticas pouco

ou nada valorizados pelos formandos focalizando-os nas questões fundamentais. Foram então

salientadas como vantagens da utilização dos portefólios as potencialidades na promoção da

reflexão das práticas e do auto-questionamento.

O uso de portefólios como estratégia de formação tem vindo a ganhar cada vez mais

realce pelo seu papel no processo de reflexão dos participantes (Sá-Chaves, 2000).

293

O desenvolvimento profissional contínuo implica uma aprendizagem por parte do

professor. O resultado dessa aprendizagem não só se torna visível em mudanças nas suas

práticas profissionais, mas também no pensar no sobre, no como e no porquê das suas práticas.

A formação permitiu a troca de experiências e a reflexão, procurando clarificar as dúvidas

e incertezas. Com o relato das situações de sala de aula, os professores podiam perceber quais

as situações que funcionavam e quais as que não funcionavam, tentavam encontrar soluções

ouvindo as opiniões e experiências dos colegas. Isto permitiu, na opinião de formadores e

formandos, um grande crescimento profissional, criando-se grupos de trabalho unidos.

Segundo os formadores, o relato e a reflexão das aulas supervisionadas revelou-se uma

mais-valia desta formação, pois ao reflectirem sobre o trabalho desenvolvido, as acções e opções

tomadas, as dúvidas apresentadas pelos alunos e o seu envolvimento nas tarefas permitiu extrair

lições a nível didáctico e curricular, ao mesmo tempo que se aprofundava o conhecimento

matemático. Esta reflexão sobre a prática tem vindo a ser apontada como facilitadora de uma

prática mais responsável e mais bem sucedida (Alarcão, 1996; Schön, 1983, 1995; Serrazina,

1998; 2002; Sowder, 2007; Zeichner, 1995).

Os formandos reconheceram por isso que a reflexão foi um dos aspectos que lhes trouxe

grandes benefícios, uma vez que embora tenha incidido sobre todos os acontecimentos da aula,

centrou-se nos alunos e na sua aprendizagem promovendo/proporcionando uma análise crítica

dos diferentes acontecimentos da aula, particularmente das actividades dos alunos.

Normalmente a reflexão baseou-se no recordar e narrar os acontecimentos da aula no

final de cada sessão de acompanhamento e nas sessões conjuntas posteriores à aula. Esta

reflexão oral era acompanhada de uma reflexão escrita, por imperativos do portefólio, na qual

eram incluídos trabalhos dos alunos devidamente analisados e comentados.

Também ao nível da reflexão se observaram melhorias nos formandos, pois no início as

reflexões assumiam uma natureza essencialmente descritiva, passando com o tempo e apoio do

formador a problematizar mais os acontecimentos da aula, avançando possíveis explicações

para o sucedido e a criticar o trabalho desenvolvido.

Este trabalho de reflexão conjunta desenvolvido no PFCM ao longo do ano lectivo

consciencializou os formandos para a importância do desenvolvimento das capacidades de

comunicação, raciocínio e resolução de problemas. Para isso foram fundamentais os princípios

294

subjacentes a este programa de formação que aludiam a uma forte componente de práticas de

reflexão conjunta baseadas no contexto e realidade em que os professores se inserem.

A reflexão foi incentivada para promover a preparação de professores capazes de reflectir

e assumir a responsabilidade pelo seu desenvolvimento profissional. Isto porque, para que os

professores sejam verdadeiramente reflexivos é fundamental que não se assumam, nem sejam

vistos, como consumidores do conhecimento, mas como elementos capazes de gerar um

conhecimento válido e de valorizar o conhecimento desenvolvido por outros.

O conhecimento profissional dos professores não resulta da aplicação apenas dos

conhecimentos teóricos, nem se apresenta como conhecimento exclusivamente prático,

adquirido pela actividade reflexiva sobre as práticas. Trata-se de um conhecimento que é

construído pelo professor, preferencialmente em contextos colaborativos, envolvendo outros

professores e investigadores, a partir da investigação que é realizada sobre as práticas concretas

de ensino (Azcaráte, 1999; Elliott, 1997; Ponte, 1995).

Ao longo do ano lectivo de formação foram proporcionadas várias oportunidades para se

desenvolver um trabalho colaborativo ao nível das planificações e das práticas a partir da partilha

de experiências.

Os formandos reconheceram e salientaram a importância da implementação e promoção

desse aspecto no desenvolvimento do seu conhecimento e capacidades. Vários formandos

referiram que ao longo do ano lectivo foram amadurecendo profissionalmente pois tiveram

oportunidade de levar a cabo experiências pedagógicas sempre com o apoio do formador, que

lhes permitiram desenvolver novas dinâmicas de sala de aula. Neste processo revelou-se ainda

como uma mais-valia o trabalho colaborativo desenvolvido com os pares, permitindo a troca de

experiências e dúvidas que contribuíram para o processo reflexivo e para a melhora das práticas.

Para isso contribuiu a heterogeneidade do grupo, pois havia formandos com mais anos de

experiência e outros com menos, havia quem tivesse leccionado noutros ciclos, com diversas

apetências e interesses, o que permitiu um trabalho colaborativo mais enriquecido.

Esta partilha e colaboração revelou-se um ponto forte deste programa de formação na

medida em que um desenvolvimento profissional que permita aos professores explorar a

Matemática com outros pode levá-los a criar confiança nas suas habilitações permitindo-lhes

desenvolver um maior entendimento da Matemática. Trabalhar em conjunto em vez de

individualmente, tentar um desenvolvimento contínuo em vez de uma melhoria esporádica

295

origina professores capazes de lidar melhor com colegas e alunos e cria oportunidades de

aprendizagem. Os professores podem melhorar uns com os outros e têm acesso a mais

oportunidades de reflexão.

Segundo Sowder (2007) ser professor de Matemática significa desenvolver uma

identidade como professor. Essa identidade cresce com o tempo, é construída através das

diferentes experiências de ensino/aprendizagem, é reforçada através dos comportamentos dos

alunos que indicam se estão a aprender Matemática, dos colegas que demonstram respeito

profissional e por uma variedade de fontes externas que reconhecem a profissão como tendo

valor. Professores de Matemática confiantes têm maior vontade e flexibilidade no conhecimento

matemático e um compromisso com o seu próprio desenvolvimento profissional.

6.3. O momento posterior à formação – dimensão do Produzido


De uma forma geral os formandos reconheceram que desenvolveram o seu conhecimento

matemático e didáctico, salientando que a formação permitiu a clarificação e aprofundamento de

conceitos. Para isso foi muito importante o trabalho desenvolvido nas sessões conjuntas,

nomeadamente a análise de textos, a partilha de experiências e de saberes e as reflexões

conjuntas. Os formandos realçaram o facto de muitas vezes as dúvidas ou inseguranças sentidas

serem impeditivas de um maior aprofundamento dos conteúdos e/ou do estabelecimento de

conexões entre diversos temas e conteúdos.

Os formadores também salientaram o desenvolvimento do conhecimento matemático e

didáctico dos formandos, assinalando ainda algumas insuficiências resultantes do pouco tempo

disponível para o aprofundamento de todos os temas matemáticos.

Relativamente a alterações resultantes da frequência do PFCM, verificou-se uma menor

ênfase na ideia de que os alunos aprendem melhor Matemática quando o professor mostra

como fazer e de que a aprendizagem melhora quando se resolvem muitos exercícios repetitivos.

Pelo contrário, observou-se um aumento no reconhecimento de que a melhoria da aprendizagem

acontece quando os alunos descobrem por eles próprios os conceitos, resolvem problemas

relacionados com o seu dia-a-dia, expõem e discutem as suas ideias e as dos outros e

participam na avaliação do seu trabalho.

296

A maioria dos formandos continua a considerar como finalidades mais importantes para o

ensino da Matemática: 1. desenvolver as capacidades de raciocínio e resolução de problemas,

de comunicação, bem como a memória, o rigor, o espírito crítico e a criatividade; 2. promover a

estruturação do indivíduo no campo do pensamento, desenvolvendo os conceitos de espaço,

tempo e quantidade, estabelecendo relações lógicas, avaliando e hierarquizando; e 3.

desenvolver a capacidade de utilizar a Matemática como instrumento de interpretação e de

intervenção no real.

6.3.2. Preparação e práticas lectivas de sala de aula

Os formandos revelaram terem tomado consciência do contributo do PFCM para a

alteração de algumas das suas práticas de sala de aula. Um dos aspectos mais mencionados

prende-se com o alargamento da natureza das tarefas que passaram a propor aos alunos. A

primazia atribuída até então, pela generalidade dos formandos, à realização de exercícios e

problemas muito simples passou a dar lugar ao desenvolvimento de tarefas de natureza aberta e

com um maior grau de dificuldade.

Após a frequência do PFCM, observaram-se diferenças, estatisticamente significativas, nas

percepções dos formandos sobre a frequência de utilização de algumas situações de trabalho

em sala de aula, particularmente no acréscimo de utilização de situações da realidade como

propostas de trabalho apresentadas aos alunos; um aumento significativo na promoção da

discussão entre alunos; uma maior utilização das actividades de investigação e dos problemas

nas práticas dos professores e um aumento significativo na implementação de trabalho de pares

e de grupo.

A resolução de exercícios continuou a ser uma das tarefas mais utilizadas pelos

professores, tendo-se no entanto registado uma diminuição na sua frequência de utilização.

Também a dinamização de aulas baseadas na exposição pelo professor, registou uma

diminuição significativa.

A introdução de actividades de investigação, até então desconhecidas ou pouco

valorizadas, foi um dos aspectos sublinhados pelos formandos, reconhecendo que este tipo de

tarefas possibilitava uma visão mais global dos conteúdos e conceitos explorados. Com estas

actividades os alunos eram incentivados a conjecturar, a descobrir e a discutir estratégias,

permitindo-lhes ensaiar, errar, recomeçar e corrigir.

297

A confiança nos seus conhecimentos matemáticos e didácticos, que os formandos foram

desenvolvendo, esteve na base da implementação de tarefas de cariz mais aberto, permitindo

alterações nas suas práticas.

Após a frequência do PFCM, tanto formandos como formadores consideraram que a

prática de sala de aula melhorou, especialmente ao nível dos materiais utilizados, do tipo de

tarefas implementadas e do tempo dedicado à Matemática, no qual se incluía a preparação de

tarefas e estratégias e o aprofundamento de conceitos.

O professor deverá criar condições para apoiar a aprendizagem Matemática dos alunos.

Os professores aprendem com a prática, da prática e para a prática. Os professores procuram

novas ideias, materiais educativos e tarefas, ouvem as perguntas, as respostas e os comentários

dos alunos enquanto reflectem no que acontece na sala de aula e na adequação da planificação

das suas acções. Os professores aprendem à medida que se envolvem em projectos e

actividades (Ponte & Chapman, 2006).

Nas suas práticas, os professores passaram a ter em conta objectivos curriculares mais

ambiciosos. Para além dos temas matemáticos e dos conteúdos, os formandos salientaram a

importância de implementarem actividades capazes de desenvolver as capacidades de

raciocínio, comunicação e resolução de problemas, incentivando os alunos a discutir com outros

e comunicar descobertas e ideias matemáticas, através da linguagem oral e escrita.

De acordo com os formadores, estas mudanças parecem estar mais consolidadas nos

formandos que frequentaram o 2.º ano de formação, revelando um maior domínio e confiança

na utilização do conhecimento matemático, a par da maior facilidade em gerir a aula de

Matemática.

6.3.3. Balanço final

De acordo com os resultados obtidos, verificou-se que, para quase todos os inquiridos, a

formação produziu alterações nas suas práticas. Esta situação é indicadora de que a formação

exerceu influência na prática dos professores. Segundo os formandos, as suas práticas

alteraram-se pois desenvolveram novas competências que lhes permitiram utilizar novas

metodologias de trabalho e introduzir, nas suas aulas, novos materiais, que desconheciam ou

não sabiam utilizar.

298

Alguns formandos, com a frequência do PFCM, passaram a apresentar tarefas mais

diversificadas na aula, com particular atenção para os problemas. Salientaram, ainda, a

importância que passaram a atribuir à discussão de ideias, nomeadamente entre os alunos, em

detrimento de situações mais expositivas.

Outros formandos salientaram que a formação alterou as suas práticas, contribuindo para

tal a mais importância atribuída à reflexão sobre as aulas, o que permitiu uma

consciencialização dos pontos fortes e fracos do seu desempenho e os levou ao aperfeiçoamento

das práticas.

Por fim, apesar de menos expressivo, constatamos que alguns formandos deixaram de ser

tão directivos e passaram a dar mais tempo aos alunos para resolverem os problemas

propostos.

Relativamente à influência do PFCM no conhecimento didáctico em Matemática, verificou-

se que oito em cada dez professores considerou ter havido melhorias após a frequência da

formação. Especificamente, com a frequência da formação, destaca-se a capacidade para utilizar

materiais didácticos e explorar tarefas mais abertas.

Relativamente aos aspectos da formação mais positivos, apontados pelos inquiridos,

salienta-se a troca de experiências, a exploração de novos materiais didácticos e a interacção

gerada entre os formandos.

No que se refere aos aspectos menos positivos, verificamos que cerca de metade dos

professores não apontou qualquer aspecto. Cerca de um quarto dos formandos mencionaram o

horário tardio das sessões, que depois de um dia de trabalho tornava cansativa a formação, e

uma pequena minoria referiu a necessidade de elaborar um portefólio e a elevada carga horária.

Cerca de sete em cada dez formandos manifestaram vontade de continuar no PFCM,

pensando inscrever-se para o segundo ano de formação. No que se refere aos motivos de uma

reinscrição, salientaram a vontade em dar continuidade ao processo formativo que consideraram

muito enriquecedor.

Segundo Sowder (2007), para realizarmos mudanças nas formas tradicionais de ensinar

necessitamos levar os formandos a desaprender algumas práticas e ideias, caso contrário

correm-se sérios riscos de coexistirem novas actividades e materiais nas suas velhas práticas,

acabando por originar práticas mistas que podem produzir confusões entre os professores.

299

De um modo geral foi aceite que a formação originou melhorias nas práticas da maioria

dos formandos, ao permitir colmatar algumas das suas dificuldades sentidas a nível matemático

e a nível didáctico. Estas dificuldades advêm do facto de muitos dos formandos terem a sua

formação de base no segundo ciclo e em áreas como a Educação Física o que propicia algumas

lacunas no ensino da Matemática.

Apesar dos progressos referidos, vários formadores referiram a necessidade de a

formação se prolongar por mais do que um ano para se poderem abordar, com o tempo

necessário, todos os temas matemáticos. Esta necessidade foi salientada por alguns formadores

com base na detecção de graves lacunas dos formandos nalgumas áreas. Mas o facto de não

fazerem parte da planificação idealizada para o 1.º ano de formação ou o tempo limitado a ela

atribuída não permitiram desenvolver o tema com a profundidade que seria desejável.

A este propósito, um dos formadores a leccionar o segundo ano de formação referiu que

tendo em conta a sua experiência, por vezes, só no segundo ano e pelo facto de continuarem

acompanhados pelo formador, os formandos começavam a fazer verdadeiras mudanças nas

suas práticas.

No segundo ano da formação desenvolve-se mais a geometria, por isso tenho pena que os formandos possam não ter a continuidade que merece pois é um aprofundar completamente diferente, os professores ganham mais no segundo ano. Professores com lacunas a nível da formação inicial, em áreas como a geometria, sentem-se muito inseguros. O segundo ano de formação permite-lhes resolver esses problemas, uma vez que no primeiro ano é impossível. Praticamente é uma ou duas sessões de formação que só dá para aflorar os materiais, mas não dúvidas profundas. No primeiro ano de formação são tratados quatro temas, mas de uma forma pouco aprofundada. (Entrevista FR1)

Outro formador acrescenta que, apesar das melhorias, ficou com a convicção de que os

formandos valorizaram pouco o conhecimento matemático. Procuravam, sobretudo, soluções

para os problemas decorrentes da sua prática lectiva.

Eu acho que as pessoas estão muito ainda a quererem saber como podem melhorar a forma de ensinar determinados assuntos, sem muita preocupação de saberem que Matemática estão a trabalhar. A prática, a parte didáctica, a forma como trabalhar com os alunos, e não estavam preocupados com: ‘Ao fazer isto, que conhecimentos matemáticos estavam por trás disto?‘ (Entrevista FR5)

Frequentemente os formadores referiram que os formandos possuíam uma informação

muito compartimentada, utilizavam os conhecimentos numas situações e noutras em que

300

também os poderiam facilmente utilizar não o faziam. Como exemplo, é referido o caso do

cálculo mental em que os formandos têm necessidade de desenvolver estratégias de cálculo

para poderem estimular os alunos a desenvolverem as suas próprias estratégias. Na resolução

de problemas alguns formadores consideraram que:

Os formandos preocuparam-se em estimular os alunos para a procura de estratégias diversificadas, destacando a sua importância na resolução de problemas. No entanto, notei que alguns formandos durante a fase da leitura e compreensão do problema ainda faziam uma exploração muito dirigida, orientando os alunos para a estratégia de resolução a utilizar. (Relatório FR10)

Apesar de compreenderem que os alunos deveriam aprender uma linguagem matemática

correcta, o mais cedo possível, acabavam por não o fazer na prática.

Um aspecto em que penso que não tive grande sucesso foi no facto de se utilizar os termos mais correctos, independentemente da idade. A linguagem matemática é muito difícil, e apesar de terem aprendido novas coisas, penso que continuaram a ensinar da mesma forma. Por exemplo, que o diâmetro é uma linha que une de um lado ao outro. Apesar de tentar incutir que os alunos poderão aprender errado para a vida toda, penso não ter tido muito sucesso. (Entrevista FR2)

Outro formador apresenta uma perspectiva crítica em relação aos efeitos da formação na

melhoria do ensino e das aprendizagens dos alunos, questionando o futuro envolvimento dos

formandos em dinâmicas de grupo e de trabalho colaborativo.

O objectivo último é a melhoria da aprendizagem dos alunos e este é de difícil aferição. Eu estou em crer que os alunos aprenderam melhor. Tenho, contudo, algumas dúvidas sobre os efeitos desta formação a longo prazo e de forma mais aprofundada a nível dos professores. Acho que os efeitos da formação mexem com muitas questões, inclusive de política educativa. A forma como os professores abordam as questões na formação e depois as aplicam pode ser complicada de aferir. Acho que esta formação mexeu com muitas coisas e que muitos professores vão com certeza mudar. Melhoraram o seu conhecimento curricular e didáctico, logo vão ter uma maneira diferente de ver o trabalho de sala de aula. Em termos de dinâmicas de grupo e de trabalho colaborativo tenho dúvidas que ocorram mudanças. (Entrevista FR5)

A maioria dos formandos faz uma crítica produtiva em relação às alterações das práticas

após a frequência do PFCM. Nos seus portefólios consideraram que melhoraram o seu

conhecimento didáctico, possibilitando uma melhoria na aprendizagem dos alunos, referindo que

após a frequência do PFCM serem mais capazes de ―criar nas crianças um gosto maior pela

301

Matemática, assim como melhorar a sua compreensão, o espírito de equipa, o exercitar do

cálculo mental‖ (FR 1)

Alguns formadores referiram nos seus relatórios que as práticas dos formandos, nuns

casos, aproximaram-se de um paradigma construtivista do ensino/aprendizagem e, noutros

casos, verificou-se um aprofundam e desenvolvimento do trabalho neste paradigma. Os

formandos passaram, de um modo geral, a estar mais atentos aos aluno que erram, às

respostas erradas, e não tanto satisfeitos com o facto de um ou dois alunos darem a resposta

pretendida com a rapidez que os satisfaz, passando de imediato ao problema seguinte.

Consideraram ainda que os formandos tiveram oportunidade de perceber a razão de ser das

competências essenciais, e daí até à integração na prática de uma tendência à promoção de um

pouco mais de espaço para o aluno ser o construtor do seu conhecimento foi um pequeno

passo. Um dos efeitos deste posicionamento foi a melhoria da postura didáctica na apresentação

de situações problemáticas e na realização do trabalho de grupo.

Em síntese, a avaliar pelas afirmações de formadores e formandos, pode concluir-se que a

acção de formação teve um impacto positivo, reflectindo-se na melhoria do seu conhecimento

matemático e didáctico e repercutindo-se nas suas próprias práticas pedagógicas.

Quando analisámos as respostas dadas pelos formandos relativamente à importância da

acção de formação, emergiram os seguintes pontos fortes: a ligação entre a teoria e a prática, a

partilha de experiências, a alteração de dinâmicas de sala de aula e a melhoria do conhecimento

matemático e didáctico.

No caso da ligação entre a teoria e a prática, foi salientado o trabalho das sessões

conjuntas, centrado nas práticas lectivas; na partilha de experiências entre formandos e

formador realçou-se a oportunidade para se reflectir sobre a implementação das tarefas na sala

de aula, dando testemunhos e trocando opiniões; na alteração de dinâmicas na sala de aula, os

professores passaram a valorizar um ensino mais exploratório, a diversificar mais as tarefas

propostas aos alunos e a dar mais importância ao papel do aluno na sala de aula; e, finalmente,

na melhoria do conhecimento científico e didáctico, valorizou-se o aprofundamento do

conhecimento matemático e didáctico, realizado ao longo da formação, atendendo a que só com

um bom conhecimento matemático o professor será capaz de estabelecer conexões dentro e

fora da Matemática e terá uma melhor capacidade para compreender e antecipar as dúvidas dos

alunos, melhorando assim o seu conhecimento curricular e didáctico.

302

6.3.4. Alterações / mudanças

Ao longo do ano de formação, foram observadas mudanças nas ideias, conhecimentos e

práticas de ensino da Matemática, particularmente no que respeita à resolução de problemas e

a tarefas de natureza investigativa. Durante o processo de supervisão foram recolhidas

evidências de alterações, nomeadamente ao nível do envolvimento dos alunos na resolução das

tarefas propostas decorrentes de uma maior valorização de experiências de aprendizagem de

resolução de problemas e actividades de investigação. Ao longo das sessões, as evidências

recolhidas apontam para mudanças nas dinâmicas criadas na sala de aula, especialmente no

que diz respeito ao papel desempenhado pelos alunos na sua aprendizagem. Destas

sobressaem as interacções estabelecidas entre alunos e entre alunos e professor, um aumento

do número de ocorrências do professor relacionadas com o questionamento aos alunos,

nomeadamente quanto à explicitação da forma como pensaram e à apresentação e partilha das

estratégias de resolução utilizadas.

Tais observações indiciam mudanças das práticas no sentido de proporcionar uma maior

diversidade de experiências matemáticas aos alunos, orientadas de uma forma mais explícita e

intencional para a (re)construção de conhecimento matemático e para o desenvolvimento de

atitudes e de capacidades, nomeadamente capacidades de resolução de problemas, de

raciocínio matemático e de comunicação matemática.

Outro aspecto a merecer uma maior atenção por parte dos formandos, com a

consequente exigência aos alunos, prende-se com o cuidado e rigor utilizados na linguagem e

nos discursos de professores e alunos. Vários formadores referiram nos seus relatórios finais da

acção que durante as sessões de acompanhamento observaram o uso de uma linguagem

matemática menos correcta por parte dos formandos, ao que estes últimos contrapunham com

a necessidade de usar termos mais próximo dos alunos para facilitar a comunicação. No sentido

de contrariar esta ideia, durante o processo de reflexão sobre a aula, os formadores alertaram os

formandos da necessidade de se utilizar uma linguagem correcta, fazendo-os entender que

aquilo que lhes pode parecer facilitador pode tornar-se um entrave à comunicação matemática e

à capacidade de compreensão dos conceitos por parte dos alunos.

Neste confronto entre a teoria e a prática, conseguida através da interdependência entre

sessões conjuntas e sessões de acompanhamento, os formandos foram desenvolvendo a

compreensão sobre a importância do rigor exigível na comunicação.

303

As transcrições de excertos de portefólios dos formandos que se apresentam a seguir

evidenciam algumas das mudanças ocorridas nas práticas, ilustrando ainda a tomada de

consciência dos próprios formandos da sua ocorrência.

Foi com grande satisfação que observei o interesse e o empenho dos alunos na realização das tarefas propostas com materiais manipulativos. Decidi mesmo comprar alguns materiais para manter vivo o interesse manifestado pelos alunos. Desde então, as aulas de Matemática são mais dinâmicas, mais apoiadas na acção dos alunos e aquela «aversão» inicial pela Matemática foi um pouco ultrapassada. Os alunos sempre que terminam uma tarefa, enquanto esperam, pedem para utilizar os materiais. (Portefólio F2)

De acordo com este formando, as aulas de Matemática sofreram alterações quanto à

metodologia de trabalho. Os alunos passaram a desempenhar um papel mais activo no

desenvolvimento das actividades lectivas e passaram a ser utilizados mais materiais

manipulativos nas aulas. Estas alterações permitiram aumentar o interesse e o empenho dos

alunos na realização das tarefas, levando a que eles passassem a gostar mais da disciplina.

A forma como passámos a planificar cada unidade e as respectivas aulas, com as competências sempre por perto, a ―emancipação‖ em relação ao manual escolar, o recurso às tarefas práticas e a reflexão antecipada do que poderia correr bem ou mal com as respectivas estratégias de remediação foi excelente a vários níveis: os alunos ganharam com aulas mais dinâmicas, práticas e divertidas, e a componente pedagógica e científica surgiu mais reforçada e eficaz. As tarefas/actividades passaram a ser programadas tendo sempre presente as competências a desenvolver e eu acabei por sentir que estava a crescer profissionalmente, senti-me mais confiante no meu papel de ―professora‖ e também mais competente para promover um pleno desenvolvimento do conhecimento matemático. (...) Leccionar aulas de Matemática de forma expositiva, baseada no débito de ―conteúdos‖, na memorização, em que o aluno adopta uma atitude sobretudo de espectador, é certamente pouco aliciante e acaba por ser um passaporte para a promoção do insucesso na Matemática. (...) Oferecer aos alunos uma matemática mais interessante e divertida, conceder aos professores formação que lhes permita actualizar metodologias e conhecer novas ferramentas de trabalho, mais adequadas à época em que vivemos, é fundamental para abrandar a ansiedade que o ensino/aprendizagem desta disciplina cria em alunos, pais e professores. (Portefólio F8)

No discurso deste formando é possível observar alterações manifestamente positivas e

condizentes com os objectivos do programa de formação. De acordo com o formando, a

melhoria do seu conhecimento científico e pedagógico permitiu-lhe desenvolver uma nova

304

competência para implementar tarefas que, no seu entender, contribuíram para uma melhoria

da sua prática lectiva e, por consequência, das aprendizagens dos alunos.

Um contributo importante da formação resultou da possibilidade de formador e formandos

planificarem conjuntamente actividades lectivas. Este trabalho permitiu reflectir sobre as

possíveis dificuldades dos alunos de forma a antecipar os possíveis obstáculos, procurando

formas de os ultrapassar. Com este trabalho, os formandos passaram a não estar tão

dependente do uso do manual escolar.

Esta formação fez-me alterar rotinas que se instalaram e das quais não nos apercebemos, passei a ver as aulas de Matemática como um todo, tendo sempre presente as competências que os alunos devem desenvolver. (...) A acção surgiu como momento privilegiado para estimular e facilitar a investigação-acção, criando ambientes de formação cooperativa, partilha de ideias, de estratégias, construção de materiais, um conjunto de reflectidas soluções para os problemas concretos dos alunos da nossa escola. (Portefólio F9)

Este formando salienta o impacto da formação na alteração da forma de leccionar,

permitindo-lhe alterar as suas rotinas. Com a formação foi possível trabalhar colaborativamente,

partilhando práticas e estratégias, construindo materiais e reflectindo sobre as práticas lectivas.

Este trabalho possibilitou uma nova visão do que é a aula de Matemática.

Os formadores salientaram igualmente esta evidência, reforçando as mudanças ocorridas

ao longo do processo formativo.

As práticas dos formandos foram-se adaptando ao paradigma construtivista por verem finalmente aspectos muitos positivos nesse tipo de paradigma, que puderam ser testados e reflectidos. Neste âmbito, não foram poucos aqueles que experimentaram, por exemplo, o trabalho de grupo no 1.º ciclo, que de forma reflectida foi possível salientar as virtudes e resolver os aspectos menos conseguidos (Relatório FR10).

De acordo com este formador, os formandos passaram a dar mais ênfase ao papel do

aluno no processo de aprendizagem. A este respeito salienta a dinamização de mais trabalhos

de grupo.

A constatação de uma prática lectiva, essencialmente expositiva e com a utilização do manual como recurso pedagógico prioritário, induziu a necessidade de reflectir sobre a exploração e utilização de materiais diversificados, com ênfase para os manipuláveis, no processo da aprendizagem e ensino da Matemática. (Relatório FR7)

305

Segundo este formador havia uma prática lectiva sustentada na exposição do professor e

no recurso ao manual. Com a formação foi possível reflectir sobre a importância e papel de

alguns materiais didácticos na aprendizagem da Matemática.

As práticas dos formandos foram-se centrando cada vez mais no aluno e menos no professor. Houve um reconhecimento dos erros na ajuda à interpretação de enunciados de situações problemáticas e na forma como se utilizam materiais em geometria. Houve aprendizagem relativa à utilização da calculadora no 1.º ciclo. Houve um arriscar de metodologias de trabalho, destacando-se o trabalho de grupo, que foi devidamente enquadrado e reconhecido como instrumento de desenvolvimento de autonomia. Todos os episódios didácticos significativos foram discutidos abertamente nas sessões conjuntas, o que levou a uma maior eficácia dos mesmos em prol da formação. Considero estarem reunidas condições para que, no futuro, os próprios professores sejam autónomos na melhor forma de proporcionar o desenvolvimento de competências matemáticas, mas poderiam ir muito mais longe se tivessem um ano de aprofundamento da formação. Se tal não acontecer, aprendizagens pouco consolidadas podem deixar de ser integradas na prática com normalidade. (Relatório FR2)

No que se refere às mudanças ocorridas na dinâmica da sala de aula e na gestão do

tempo, observou-se que vários formandos tendiam, inicialmente, a apresentar os conteúdos

novos, de uma forma bastante expositiva, seguido de exercitação com resolução de tarefas para

aplicação dos conteúdos. Foi ainda dado observar que no contexto da resolução de problemas

os formandos apresentavam a tarefa e iam dando pistas para a sua resolução, fornecendo

indicações aos alunos que conduziam à resposta esperada e tendo em conta a sua própria

estratégia pessoal ou aquela que julgavam mais indicada. Verificou-se, também, que os

momentos de partilha e discussão com toda a turma eram muito reduzidos ou limitados à

apresentação da resposta e de apenas uma estratégia de resolução.

Ao longo das sessões de acompanhamento e nas reflexões produzidas, individual e

colectivamente, notou-se uma preocupação por parte dos formandos em criar oportunidades

para uma maior participação dos alunos, promovendo a partilha de estratégias e pensamentos,

dando um papel mais activo ao aluno. Foi visível, de uma forma crescente, uma maior

preocupação dos professores em incentivar os alunos a progredirem e a ultrapassarem as

dificuldades com base em questões que os faziam pensar e desbloquear, sem fornecer

indicações sobre o caminho a seguir.

A organização dos alunos e a gestão do tempo tendeu a privilegiar a partilha e a discussão

entre os alunos, promovendo-se mais o trabalho de grupo e a apresentação das estratégias e

306

resultados alcançados por toda a turma. Com esta dinâmica, observou-se que os formandos

estimulavam, cada vez mais, a discussão e comunicação entre os alunos, solicitando a

explicitação, a clarificação e a justificação dos processos e estratégias utilizados e dos resultados

e conclusões obtidos. O papel do professor tendeu para a orientação e promoção da

aprendizagem dos alunos de uma forma menos directiva e expositiva.

A diversificação de tarefas utilizadas na aula revelou-se outro dos contributos da formação.

Os professores passaram a diversificar mais as tarefas utilizadas, propondo mais problemas e

actividades de investigação e não somente exercícios ou problemas de cálculo. As situações e os

contextos subjacentes às tarefas propostas revelaram-se mais diversificadas, enfatizando o

estabelecimento de conexões dentro e fora da Matemática.

Nos seus portefólios os formandos reconheceram e enumeraram várias alterações

produzidas pela frequência do PFCM. Consideraram que ao melhorarem o seu conhecimento

matemático se sentiam mais seguros para abordar os conteúdos matemáticos e com mais

capacidade para utilizar materiais didácticos facilitadores da promoção de aprendizagens

significativas.

Registaram que ao incentivarem os alunos a desempenharem um papel mais activo no

processo de aprendizagem, decorrente da utilização de uma metodologia de ensino mais

exploratória, permitiu-lhes reconhecer que o professor tem a responsabilidade de propor,

organizar e coordenar o desenvolvimento das actividades, sem ignorar as experiências e

conhecimentos prévios que os alunos possuem. Ao incentivarem os alunos a argumentarem e

apresentarem os seus raciocínios, estratégias e ideias permitiu-lhes verificar que em muitas

situações eles tinham assimilado ideias erradas e que na maior parte das vezes manifestavam

muitas dificuldades em explicar os seus raciocínios e pensamentos.

Todos os formandos concluíram com a ideia de que ao frequentarem o PFCM

modificaram a forma como ensinam a Matemática, considerando que ―ensinar Matemática é um

grande desafio que inclui proporcionar aos alunos experiências matemáticas significativas‖

(Serrazina et al., 2005, p.2) e que o aluno, por sua vez, terá de caminhar pelos trilhos da

descoberta, desenvolvendo a capacidade de estabelecer conexões matemáticas, ao seu ritmo.

O PFCM alicerçou-se num conceito de formação que aponta para a ideia de aprendizagem

permanente ligada ao desenvolvimento profissional dos professores (Day, 2001; Fullan &

Hargreaves, 1992; Marcelo, 1999; Pacheco & Flores, 1999). O seu contributo para a melhoria

307

do ensino da Matemática foi claramente enunciado por todos os intervenientes, considerando-o

uma necessidade, ainda mais porque no caso do 1.º ciclo é muito difícil preparar bons

professores de Matemática em apenas quatro anos, quando se começa com alunos que muitas

vezes têm uma compreensão da Matemática muito limitada (Sowder, 2007).

309

CAPÍTULO VII

CONCLUSÕES E REFLEXÃO FINAL

Neste capítulo apresentam-se e explicitam-se as principais conclusões da investigação

realizada. O capítulo organiza-se em quatro secções: na primeira secção apresenta-se uma breve

síntese do estudo; na segunda secção apresentam-se as conclusões do estudo, tendo por

referência as respectivas questões de investigação; na terceira secção abordam-se as

implicações do estudo e fazem-se algumas recomendações decorrentes da investigação

realizada; e, finalmente, na quarta secção enumeram-se perspectivas sobre possíveis futuras

investigações.

7.1. Síntese do estudo

A avaliação do contributo do PFCM no desenvolvimento e implementação do

conhecimento didáctico dos professores, tendo em conta que as práticas dos professores se

constituíram como ponto de partida para o desenvolvimento desse conhecimento, constituiu a

problemática de estudo desta investigação. Shulman (1987) definiu o conhecimento pedagógico

do conteúdo, que designou de pedagogical content knowledge (PCK), como uma combinação

especial entre conteúdo e pedagogia, que é típica do professor. Desta forma, o autor considera

que esta categoria é aquela que distingue o conhecimento do conteúdo de um especialista de

uma dada área do conhecimento de um professor da mesma área. Este conhecimento constitui-

se como um conhecimento específico do professor a partir do qual será capaz de tornar um

determinado conteúdo compreensível ao aluno.

A escolha do conhecimento didáctico fundamenta-se na importância que este assume na

prática lectiva e porque o professor o adquire e desenvolve através da reflexão sobre o conteúdo,

uma vez que tem de o ensinar a um determinado grupo de alunos (Brown & Borko, 1992).

310

O conhecimento didáctico caracteriza-se como um conhecimento transversal, intrínseco e

que se alimenta da acção, da investigação, da reflexão constante sobre a acção e da sua

problematização (Schön, 1987).

A literatura revela que alguns professores do 1.º ciclo apresentam lacunas na sua

formação matemática e didáctica (Correia, 1997; Serrazina, 1998) e que não se sentem

especialmente motivados para ensinar Matemática (Serrazina, 1999). Esta situação resulta da

ideia de que os professores do 1.º ciclo não seriam especialistas em matemática e que a

matemática elementar é simples, por conseguinte fácil de ensinar, independentemente da

preparação do professor, pelo que a formação matemática dos professores do 1.º ciclo parece

ter sido negligenciada durante muito tempo pela comunidade científica (Gomes, Ralha & Hirst,

2001). Alguns autores observaram um domínio inadequado dos conhecimentos matemáticos

nos professores do 1.º ciclo (Fennema & Frank, 1992), situação que merece uma atenção

especial, pois se é um facto que alguns erros podem ser superáveis, outros podem gerar

consequências importantes relativamente à aprendizagem e ao ensino da Matemática.

Brousseau (1983, p.171) refere que ―o erro não é somente o efeito da ignorância, da

incerteza, do acaso (…), mas o resultado de um conhecimento anterior, que poderia ter o seu

interesse, o seu sucesso, mas que agora se revela falso ou simplesmente inadaptado‖. Nesher

(1987) estabeleceu uma distinção entre os erros que parecem fruto da ignorância, da incerteza,

do acaso e os que dissimulam uma certa lógica, opondo desta forma erro a concepção errada.

Para a autora, a concepção errada que advém de conceitos e de crenças já implementadas, mas

aplicadas a outro domínio, é mais grave do que o erro. A este propósito, um estudo conduzido

por Fischbein, Deri, Nello e Marino (1985) revelou que, de uma forma geral, as operações

aritméticas estão ligadas a modelos primitivos, tais como o facto de a multiplicação ter de dar

sempre um número maior, o divisor ter de ser um número inteiro ou a divisão dar sempre um

número menor.

Para inverter esta situação é importante o papel que a formação contínua poderá

desempenhar na clarificação e aprofundamento dos saberes, levando o professor a rever os seus

conhecimentos do conteúdo e a repensar a sua actividade docente quotidiana. Num processo de

investigação e reflexão, o professor vai-se apropriando de teorias que lhes permite enfrentar os

problemas da sua prática, promovendo a mudança e a transformação. As práticas profissionais

são marcadas por aspectos de natureza pessoal, entre os quais se salientam os conhecimentos,

311

as concepções e as dificuldades (Goodson, 1997), pelo que um percurso formativo alicerçado no

trabalho colaborativo e na reflexão promoverá mais articulação inter-pares e favorecerá a

mudança curricular, nomeadamente ao nível das actividades que, tradicionalmente, têm

predominado na aula de Matemática (Ponte, 1994).

Assim, neste contexto, tendo em vista compreender o desenvolvimento do conhecimento

didáctico dos formandos através da sua participação num programa de formação contínua em

Matemática do 1.º ciclo, definiram-se como objectivos de estudo:

1. reflectir criticamente sobre o desenvolvimento do conhecimento profissional e as

estratégias de formação, em Matemática, de professores do 1.º ciclo envolvidos num

processo de formação contínua;

2. intervir no processo de desenvolvimento do conhecimento didáctico, em Matemática,

de professores do 1.º ciclo, no contexto da formação contínua, quer ao nível das suas

atitudes e conhecimentos, quer ao nível da sua capacidade para enfrentar situações

complexas;

3. avaliar um modelo de formação contínua em Matemática do 1.º ciclo, centrado no

desenvolvimento e implementação do conhecimento didáctico, com uma aposta forte

nas práticas dos professores como ponto de partida para o trabalho desenvolvido nas

sessões conjuntas e nas sessões de acompanhamento em sala de aula.

Em termos de questões de investigação, formularam-se no estudo as duas seguintes

questões:

1. Que motivações levaram os formandos a inscrever-se no Programa de Formação

Contínua em Matemática para Professores do 1.º Ciclo do Ensino Básico?

2. Qual a influência do Programa de Formação Contínua em Matemática para

Professores do 1.º Ciclo do Ensino Básico no desenvolvimento e implementação do

conhecimento didáctico do professor no processo de ensino e aprendizagem da

Matemática?

Para concretizar a investigação desenvolveu-se uma metodologia mista, baseada na

complementaridade e nas potencialidades de interacção entre os estudos quantitativos e

qualitativos.

312

O estudo quantitativo envolveu a aplicação de dois questionários, um antes e outro após a

frequência do PFCM, a 197 formandos inscritos no referido programa de formação no ano

lectivo de 2007/2008.

Nesta vertente do estudo, no tratamento e análise de dados recorremos à estatística

descritiva, determinando-se percentagens, médias e desvios padrão, e à estatística inferencial

para testar a significância estatística das diferenças entre os resultados obtidos antes e depois

da formação, designadamente aos testes t de Student e de McNemar para amostras

emparelhadas.

O estudo qualitativo envolveu 10 formandos do grupo de formação pelo qual o

investigador, enquanto formador no referido programa, era responsável e 12 formadores

responsáveis pela formação na mesma instituição de ensino superior à qual pertenciam os

formandos.

Os 10 formandos, atribuídos ao investigador, enquanto formador no âmbito do PFCM,

eram professores em exercício, pertencentes ao mesmo Agrupamento de escolas e

frequentaram o PFCM no ano lectivo de 2007/2008, enquanto os 12 formadores eram

responsáveis pela implementação do PFCM junto dos restantes formandos inscritos na

instituição de ensino superior, no mesmo ano lectivo.

Nesta vertente do estudo, os dados foram recolhidos através de uma multiplicidade de

fontes, especificamente o trabalho e reflexões desenvolvidas nas sessões conjuntas, a

observação de aulas, a análise dos portefólios e entrevistas semi-estruturadas a todos os

formandos. Quanto aos formadores, foram também realizadas entrevistas semi-estruturadas e

analisados os seus relatórios sobre a acção de formação.

Para o tratamento dos dados, obtidos pelos métodos anteriormente referidos, procedeu-se

à análise de conteúdo, tendo por referência os contextos de formação, a problemática do estudo,

o quadro teórico de referência e os construtos expressos pelos participantes.

313

7.2. Conclusões do estudo

Nesta secção apresentam-se as principais conclusões do estudo, a partir das questões de

investigação nele formuladas.

7.2.1. Questão de investigação 1: Que motivações levaram os formandos a

inscrever-se no Programa de Formação Contínua em Matemática para Professores

do 1.º Ciclo do Ensino Básico?

As motivações dos formandos para participarem no PFCM revelaram preocupações na

melhoria do seu conhecimento didáctico e na promoção da motivação dos alunos para a

aprendizagem da Matemática, através da implementação de tarefas e estratégias potenciadoras

do sucesso escolar.

Os formandos esperavam que a formação lhes permitisse explorar a ligação da

Matemática à realidade através da resolução de problemas, seguindo-se a vontade de melhorar

o seu conhecimento e capacidade de uso de materiais manipulativos na construção de

conceitos. A integração de conteúdos na perspectiva inter e multididisciplinar surge como o 3.º

aspecto mais salientado. Com menos valorização seguem-se os temas Geometria e Organização

e Tratamento de Dados. Menos valorizadas foram a exploração de assuntos relacionados com o

uso de calculadoras e o desenvolvimento de capacidades de cálculo e estimação.

O grupo de formandos pelo qual o investigador era responsável apresentava as mesmas

motivações, tendo sido possível compreender que várias das dificuldades dos formandos

relacionam-se com uma má relação com a disciplina originando, em grande parte dos casos, um

fraco investimento na formação nesta área e uma abordagem na sala de aula baseada num

trabalho rotineiro e muito dependente do manual.

Conclui-se assim que, de uma forma geral, os formandos procuravam no PFCM respostas

para as suas necessidades relacionadas com o conhecimento didáctico, isto é, na forma de

tornar o conhecimento matemático em conhecimento matemático para ensinar, o que na

perspectiva de Shulman (1986), tal como antes foi referido, é designado por conhecimento

pedagógico do conteúdo.

Para ser um bom profissional, capaz de ensinar matemática, é fundamental saber

matemática com profundidade e também, como sustentam Hill, et al. (2007), ter capacidade de

314

mobilizar estratégias capazes de fazer com que os alunos a aprendam. Tendo em vista a

melhoria da aprendizagem dos alunos, a formação incidiu em práticas centradas nas

descobertas dos alunos, valorizando o erro e as soluções por eles encontradas. Para tal,

introduziram-se novos materiais, jogos e desenvolveram-se novas estratégias. Assim, foram

salientadas as três componentes do tríptico didáctico: os alunos, o professor e o saber, assim

como o trabalho de transposição didáctica para que o saber se transforme num objecto de

ensino. Chevallard (1985, p.39) define a transposição didáctica como ―a passagem de um

conteúdo de saber preciso a uma versão didáctica deste objecto de saber‖, que significa que

antes de ser ensinado, um conteúdo matemático deve passar por ―um conjunto de

transformações adaptativas que vão torná-lo apto a ter lugar nos objectos de ensino‖. Neste

sentido, a formação, nomeadamente no pequeno grupo, procurou que o professor relacionasse a

noção ensinada com as outras noções matemáticas.

7.2.2. Questão de investigação 2: Qual a influência do Programa de Formação

Contínua em Matemática para Professores do 1.º Ciclo do Ensino Básico no

desenvolvimento e implementação do conhecimento didáctico do professor no

processo de ensino e aprendizagem da Matemática?

O conhecimento didáctico do professor reelabora-se constantemente em função das suas

experiências pedagógicas (Ponte & Santos, 1998) e é fundamental para a prática lectiva por ser

conhecimento profissional que intervém directamente nessa prática (Ponte et al., 1997).

Durante o ano lectivo, em que decorreu o PFCM, os professores tiveram oportunidade de

desenvolver o seu conhecimento didáctico sendo fundamental, nesse processo, a

interdependência entre sessões conjuntas e sessões de acompanhamento.

De uma forma resumida, pode esquematizar-se o processo de formação desenvolvido da

seguinte forma:

315

Figura 41. Síntese esquemática do PFCM

O processo formativo centrou-se então nas questões sobre as práticas lectivas dos

formandos, questões curriculares ao nível da concretização do currículo na sala de aula. Essas

questões funcionavam como ponto de partida para o trabalho desenvolvido nas sessões

conjuntas, nas quais se realizava o ―desenvolvimento de propostas curriculares a experimentar

na aula e o aprofundamento do conhecimento matemático necessário para a sua concretização‖

(Serrazina et al., 2005, p.5). Num momento posterior, na sessão de acompanhamento, era

concretizada a aula planificada, com a presença do formador. Durante a aula, o formador

procedia à recolha de dados que serviam de base à posterior discussão e reflexão, tanto

individualmente com o formando, como colectivamente na sessão conjunta seguinte.

Ao longo deste percurso cíclico, os formandos puderam desenvolver o conhecimento do

conteúdo de ensino, as formas de representação ou estratégias para ensinar o tema e o

conhecimento sobre a aprendizagem do aluno, componentes essenciais do conhecimento

didáctico do conteúdo (Shulman, 1986).

Sessões conjuntas

sessões de acompanhamento

Reflexão

Questões centradas nas

práticas

316

Figura 42. Componentes do conhecimento didáctico do conteúdo (Shulman, 1986)

Fazendo um paralelismo do esquema da figura 41 com da figura 42, as sessões

conjuntas proporcionavam o espaço e tempo privilegiados para o desenvolvimento do

conhecimento do conteúdo de ensino, pois nestas sessões exploraram-se os conceitos

matemáticos, assim como as formas de os tornar compreensíveis para os alunos.

Durante as sessões de acompanhamento, foram observados os comportamentos dos

alunos, dificuldades, erros e interesses, registando-se episódios significativos para posterior

reflexão individual e conjunta. Desta forma, estas sessões constituíam-se como momentos

privilegiados para a recolha de elementos fundamentais ao desenvolvimento das componentes

relacionadas com as representações e estratégias de ensino, assim como o conhecimento sobre

a aprendizagem do aluno, os quais eram incorporados nas sessões conjuntas seguintes.

Desta forma, ao referirem-se às sessões conjuntas, os formandos fizeram uma avaliação

muito positiva, reconhecendo-lhe um papel fundamental no PFCM por: abordar temáticas em

que manifestavam dificuldades, clarificando e aprofundando o seu conhecimento; possibilitar a

realização de um trabalho colaborativo, algo que nem sempre acontecia até então.

Em relação a estas sessões, também os formadores destacaram os aspectos enunciados

anteriormente, acrescentando ainda o facto de permitirem evidenciar a importância do

conhecimento do currículo e do programa, de forma a compreender a ênfase a dar a certos

Conhecimento do conteúdo de ensino

Formas de representação ou estratégias para ensinar o tema

Conhecimento sobre a

aprendizagem do aluno

Conhecimento didáctico

do conteúdo

317

conteúdos, pois muitos professores trabalhavam centrados na visão que os manuais transmitiam

do currículo e não na sua própria interpretação.

Conclui-se então que a formação proporcionou oportunidades aos professores de

aprenderem mais matemática, focalizando-se na forma de pensar dos alunos e nos

acontecimentos de sala de aula. Um bom conhecimento matemático, didáctico e curricular

melhora a eficácia do ensino e ajuda o professor a reformular os conteúdos, a ensinar através de

analogias, ilustrações, exemplos, demonstrações e explicações, de modo a serem

compreendidos por outros.

Neste processo teve ainda um papel essencial o acompanhamento do formador na sala

de aula durante as sessões de acompanhamento, uma vez que permitiu, por um lado,

experimentar outras metodologias e materiais e, por outro, corrigir, por exemplo, alguns erros de

linguagem e postura, ajudando o formando a ganhar mais confiança. Professores de Matemática

confiantes tendem a revelar maior flexibilidade no conhecimento matemático e a

comprometerem-se com o seu próprio desenvolvimento profissional (Sowder, 2007).

Trabalhar em conjunto em vez de individualmente, empreender um desenvolvimento

contínuo em vez de uma melhoria esporádica proporciona aos professores mais oportunidades

de aprendizagem, reflexão e desenvolvimento profissional (Day, 2001), cujo resultado não só se

torna visível em mudanças nas suas práticas profissionais mas também ao nível do pensar

sobre, como e porquê das suas práticas. De facto, ao incluir este momento de acompanhamento

em sala de aula, o PFCM proporcionou um momento de formação individualizado, no qual o

formando podia contar com o formador, e que, em muitas situações, foi fundamental para

incentivar os formandos a experimentarem abordagens didácticas e a implementarem tarefas e

materiais de forma a darem o primeiro passo na ruptura com as rotinas.

Outro aspecto evidenciado por todos, formandos e formadores, foi a troca de experiências

e a reflexão proporcionada. O espírito de grupo e o ambiente de respeito pelas fragilidades e

necessidades de cada um permitiu a exposição de dúvidas e necessidades e, em consequência,

desenvolver os seus conhecimentos. O relato de situações de sala de aula, a partir dos quais

podiam perceber as situações que melhor funcionavam, possibilitou o desenvolvimento e

aplicação de estratégias e tarefas que se julgavam mais eficazes. Segundo Borralho e Espadeiro

(2004), este processo promove ―a preparação de professores reflexivos, que assumam a

318

responsabilidade do seu próprio desenvolvimento profissional e que participem activamente na

concepção e implementação das políticas educativas‖ (p. 286).

Um professor deve ser capaz de adaptar o seu conhecimento didáctico às situações com

que se depara e às necessidades dos alunos. Um bom conhecimento didáctico só é possível se

o professor tiver um bom conhecimento matemático e curricular, se conhecer ou for capaz de

percorrer diversos caminhos, utilizando materiais diversificados em relação aos quais conheça

as potencialidades e fragilidades. Para isso é essencial o trabalho conjunto, permitindo-lhe rever,

renovar e ampliar os seus compromissos quanto aos propósitos do ensino, adquirindo e

desenvolvendo, de forma crítica, o conhecimento e capacidades essenciais a uma prática

profissional de qualidade com os alunos, no contexto escolar (Day, 2001).

Durante o ano de formação foram observadas mudanças nas práticas lectivas de sala de

aula. Destas, destaca-se nas percepções dos formandos, do antes para o após formação, uma

diminuição da frequência de exploração de exercícios e um aumento da frequência no recurso a

problemas, investigações e situações da realidade; na promoção de discussões entre alunos; no

trabalho de pares e no trabalho de grupo. Em todos estes casos, as diferenças entre as médias

das frequências revelaram-se estatisticamente significativas. No caso da exposição pelo

professor, que passou a ser utilizada com menor frequência, obteve-se uma diferença próxima

da significância estatística.

Estes resultados mostram que os professores interiorizaram a ideia de que o treino isolado

e mecanizado de procedimentos de cálculo, bem como o conhecimento memorizado de termos

e factos, não contribui para a compreensão do que é a matemática, não sendo um pré-requisito

para o desenvolvimento de capacidades ligadas ao raciocínio e à resolução de problemas

(Abrantes, Serrazina & Oliveira, 1999).

Quanto à utilização de materiais didácticos, salientaram-se, pela frequência com que

foram referidos, o quadro preto, o manual escolar e as fichas produzidas pelos próprios

formandos. No outro extremo, surgiram as calculadoras, a compilação de textos e os

computadores, referidos com baixas frequências. Do antes para o após formação, observaram-se

aumentos das médias das frequências, estatisticamente significativos, no caso da utilização de

jogos didácticos e do computador.

Finalmente, relativamente às formas de avaliação utilizadas pelos formandos, observou-se

a valorização da participação na aula, dos resultados das fichas de trabalho e dos testes de

319

avaliação. Do antes para o após formação, observou-se uma diminuição da frequência,

estatisticamente significativa, da influência dos trabalhos de casa na avaliação dos alunos.

Em síntese, conclui-se que, após os formandos terem frequentado o PFCM, as suas

percepções sobre as práticas de ensino foram alteradas em alguma medida. Embora essa

mudança tenha ocorrido apenas ao nível de alguns itens, tal resultado deve ser valorizado, uma

vez que a mudança de práticas lectivas é um processo lento e difícil (Ponte & Serrazina, 2000).

Em termos de avaliação global do PFCM, todos os participantes concordaram que a

experiência vivida foi muito positiva para a sua formação profissional, permitindo aprofundar o

seu conhecimento para ensinar matemática e concretizar práticas de ensino alicerçadas nesse

conhecimento.

De acordo com os testemunhos dos professores sobre as mudanças ocorridas nos seus

alunos, complementadas por algumas observações e anotações do investigador decorrentes das

visitas às salas de aula dos formandos, com o consequente contacto com os alunos, foi possível

identificar algumas repercussões do PFCM nas aprendizagens dos alunos. Foi claramente visível

que, na maioria dos casos, os alunos passaram a gostar mais da disciplina de Matemática. Essa

maior apetência adveio, sobretudo, da introdução de novas abordagens metodológicas e da

utilização de mais materiais didácticos pelos seus professores.

A este respeito é de registar a satisfação de vários formandos que leccionavam o 4.º ano

de escolaridade pelos resultados alcançados pelos seus alunos nas provas avaliação externa, ou

seja, nas provas de aferição. Vários foram os casos de formandos a utilizarem as expressões:

não estava nada à espera que este aluno fosse capaz; ou o aluno X que é tão bom aluno e não

foi capaz de fazer.

Esta situação demonstra a motivação promovida nos alunos, nomeadamente naqueles

que não demonstravam, aos olhos dos seus professores, tantas capacidades na área da

Matemática. A promoção de tarefas de carácter desafiador, em detrimento de situações mais

rotineiras, favoreceu as aprendizagens de muitos alunos.

Ao longo das muitas visitas efectuados pelo investigador às salas de aula, no papel de

formador e no âmbito das sessões de acompanhamento, muitas foram as vezes que os alunos

se dirigiram ao investigador, confidenciando-lhe: agora já gosto de Matemática ou professor já

tive positiva no teste.

320

Na Tabela 88 resumem-se os principais contributos do PFCM, ao nível das suas várias

acções, para o desenvolvimento do conhecimento didáctico dos professores.

Tabela 88 – Contributos do PFCM para o desenvolvimento do conhecimento

didáctico

Aspectos Contributos do PFCM

Sessões conjuntas

Possibilitaram a exploração de propostas curriculares a implementar na sala

de aula, contribuindo para o desenvolvimento do conhecimento matemático,

didáctico e curricular dos formandos.

Possibilitaram a reflexão conjunta sobre as experiências pedagógicas

desenvolvidas, promovendo a troca de experiências, dúvidas, anseios,

necessidades e práticas, potenciando a melhoria das práticas lectivas.

Sessões de

acompanhamento

Revelaram-se uma mais-valia neste programa de formação ao permitirem um

contacto individual entre formador e formando, contribuindo para o

desenvolvimento de uma relação de confiança e partilha. Possibilitaram a

implementação de tarefas planificadas conjuntamente, para as quais, muitas

vezes, os formandos revelavam reservas sobre a sua exequibilidade. Para

isso foi fundamental a postura do formador, que adoptou o papel de

observador participante, intervindo para dar apoio aos alunos sempre que

necessário ou mesmo, por vezes, dando ao professor sugestões de questões

a colocar.

Práticas lectivas

Ao aliar a teoria à prática, acompanhando todas as fases: planificação,

condução e reflexão das aulas, promoveu a melhoria das práticas e,

consequentemente, contribuiu para a melhoria das aprendizagens dos

alunos.

Reflexão

A reflexão é um aspecto fundamental no âmbito da formação de professores

(Alarcao, 1996; Schon, 1987; Ponte, 1994; Serrazina, 1999; Vieira, 1993;

Zeichner, 1993), tendo assumido um papel central neste programa de

formação. A reflexão individual e colectiva da e na prática revelou-se uma

estratégia de desenvolvimento profissional ao permitir ajustar, reajustar e

enriquecer as práticas dos formandos, contribuindo para os alunos

aprenderem mais e melhor Matemática.

321

7.3. Implicações e Recomendações do Estudo

Esta investigação salienta a importância e a necessidade de proporcionar aos professores

do 1.º ciclo do ensino básico programas de formação que apresentem uma aposta forte na

reflexão sobre as práticas lectivas. O PFCM foi fundamental na criação de oportunidades

concretas e de condições favoráveis a essa reflexão, tendo, ainda, como base um contexto

colaborativo favorável e potenciador do desenvolvimento profissional.

Esse trabalho formativo e colaborativo contribuiu para desenvolver um espírito de partilha

e aprendizagem conjunta nos professores envolvidos na formação. Para isso, foram

proporcionados espaços e meios para encontrar soluções para os problemas da prática, a partir

dos vários contributos; foi promovido o questionamento e a colaboração no processo de tomada

de decisões; foi incentivada a co-responsabilização pelo trabalho realizado e dinamizado um

processo de negociação permanente (Stewart, 1997). Por outro lado, a colaboração entre os

formandos constituiu-se também como um meio favorável ao desenvolvimento e autonomia

profissionais.

O programa de formação permitiu envolver os professores num processo de reflexão

visando o desenvolvimento de práticas profissionais reflexivas. Mas, para que os professores nas

suas práticas profissionais diárias possam desenvolver as competências reflexivas, terão de

implementar no seu quotidiano estratégias que proporcionem e facilitem a prática da referida

reflexão. O desenvolvimento de capacidades de auto-análise e de auto-reflexão que este

programa de formação pretendia desenvolver nos professores assentava na ideia de que ―na

acção profissional coexistem a acção e o discurso sobre a acção. Sabe-se que os professores

podem conseguir ser melhores profissionais reflectindo sobre o que fazem‖ (Zabalza, 1987, p.

297). Para isso, os professores deverão englobar não apenas as dimensões teóricas e práticas,

mas também a dos valores da escola e do seu projecto educativo, tendo em linha de conta as

suas especificidades e contextos.

Globalmente, os participantes avaliaram positivamente a experiência vivida no PFCM,

enunciando mais-valias relacionadas com o desenvolvimento do conhecimento para ensinar

Matemática, fruto da concretização de experiências pedagógicas que se revelaram inovadoras e

motivadoras para os seus alunos.

322

A partir desta investigação verificámos que os professores, a partir das suas reflexões

sobre as suas práticas profissionais, dispuseram de uma oportunidade para melhorar o seu

conhecimento didáctico e, por consequência, o seu desempenho em sala de aula,

proporcionando mais e melhores aprendizagens matemáticas aos seus alunos.

No entanto, a ideia de que os professores do 1.º ciclo não são especialistas em

Matemática e que a Matemática elementar é simples, por conseguinte fácil de ensinar, levaram

a que a formação matemática dos professores do 1.º ciclo tenha sido negligenciada durante

muito tempo pela comunidade científica (Gomes, et al., 2001). Acresce a este aspecto o facto de

ser um professor generalista, que tem de dar atenção a todas as áreas, levando a que a

evolução e a mudança sejam um processo lento e progressivo. Aliás, apesar de ser grande a

vontade em evoluir rapidamente para níveis elevados de sofisticação, é fundamental que a

formação tenha como ponto de partida a experiência dos professores. Desta forma será possível

desenvolver o conhecimento didáctico dos professores a partir do conhecimento existente pois,

de outro modo, corre-se o risco do discurso da formação não ser significativo para os

professores, levando-os naturalmente a voltar aos hábitos antigos. Por isso, é essencial a

participação dos professores no próprio processo de formação, uma vez que não podem nem

devem ―ser formados passivamente. Eles formam-se activamente. É, portanto, vital que

participem activamente na tomada de decisões sobre o sentido e os processos da sua própria

aprendizagem (Day, 2001, p.17).

Por outro lado, o trabalho colaborativo é um processo contínuo, que não se desenvolve de

imediato e não se limita a regras rígidas de tempo e de espaço. Para que se desenvolva uma

verdadeira colaboração é necessário que se partilhem problemas, que se discutam situações

educativas, que se procurem conjuntamente soluções para os problemas (Hargreaves, 1998).

Assim, o desenvolvimento de um trabalho colaborativo e os reflexos da formação seriam

mais sólidos se fosse possível, senão a todos, pelo menos a uma grande parte dos professores,

a frequência de mais tempo de formação.

323

7.4. Futuras investigações

Durante o estudo, observou-se um envolvimento activo dos alunos nas tarefas propostas

pelos seus professores durante as sessões de acompanhamento. Todos os intervenientes

reconheceram uma evolução nas aprendizagens dos alunos e no seu gosto pelo estudo da

Matemática. Seria relevante estudar as implicações desta experiência de formação, analisando o

seu impacto a médio e longo prazo.

A continuação deste estudo com os 10 professores envolvidos no presente estudo dentro

de alguns anos, no sentido de aferir as mudanças consolidadas e os aspectos que acabaram por

ser abandonados ou pouco desenvolvidos, seria outra das linhas de investigação que

possibilitaria um estudo sistemático dos efeitos a longo prazo deste programa de formação

contínua.

325

BIBLIOGRAFIA

Abrantes, P. (1994). O trabalho de projecto e a relação dos alunos com a Matemática. Lisboa:

APM.

Abrantes, P. Serrazina, L. & Oliveira I. (1999). A Matemática na Educação Básica. Lisboa:

Ministério da Educação.

Alarcão, I. (Org.) (1996). Formação reflexiva de professores. Estratégias de Supervisão. Porto:

Porto Editora.

Alarcão, I., Andrade, A. I., Couceiro, F., Santos, L. & Vieira, R. M. (2006). O Processo de

Bolonha como oportunidade para renovar o ensino superior: o caso particular da

formação de professores do ensino básico na Universidade de Aveiro. Revista de

Educação, v. XIV, n.º 1, 57-76.

Albuquerque, C. Veloso, E., Rocha, I., Santos, L., Serrazina, L. & Nápoles, S. (2006). A

Matemática na Formação Inicial de Professores. Lisboa: APM e SPCE.

Almeida, J. F. & Pinto J. M. (1995). A Investigação nas ciências sociais. Lisboa: Editorial

Presença.

Almeida, M. G & Fernandes, J. A. (2010). A comunicação promovida por futuros professores na

aula de Matemática. ZETETIKÉ, v. 18 n.º 34, 109-154.

Alves, M. P. (2001). O papel do pensamento do professor nas suas práticas de avaliação. Tese

de doutoramento não publicada, Universidade do Minho, Braga.

Amaral, M. J., Moreira, M. A. & Ribeiro, D. (1996). O papel do supervisor no desenvolvimento

do professor reflexivo – estratégias de supervisão. In I. Alarcão (Org.), Formação reflexiva

de professores- estratégias de supervisão (pp. 89-122). Porto: Porto Editora.

Artzt, A. F. (1999). A Structure to Enable Preservice Teachers of Mathematics to Reflect on their

Teaching. Journal of Mathematics Teacher Education, 2(2), 143-166.

Azcaráte, P. (1999). El conocimiento profesional: Naturaleza, fuentes, organización y desarrollo.

Quadrante, 8, 111-138.

Ball, D. L. (1990). The mathematical understanding that prospective teachers bring to teacher

education. Elementary School Journal, 90, 449-466.

Ball, D. L., Goffney, I.M & Bass H. (2005). The role of mathematics instruction in building a

socially just and diverse democracy. The Mathematics Teacher, 15 (1), 2-6.

326

Ball, D. L., Lubienski, S. & Mewborn, D. (2001). Research on teaching mathematics: The

unsolved problem of teachers mathematical knowledge. In V. Richardson (Ed.), Handbook

of Research on Teaching (pp. 433-456). New York: Macmillan.

Barbier, J. M. (1992). A avaliação em formação. Porto: Edições Afrontamento.

Barbier, J. M. (1996). Elaboração de projectos de acção e planificação. Porto: Porto Editora.

Bardin, L. (1988). Análise de Conteúdo. Lisboa: Edições 70.

Barton, J. & Collins, A. (1993). Portfólios in teacher education. Journal of Teacher Education, 44

(3), 200-212.

Battista, M. T. (2007). The Development of Geometric and Spatial Thinking. In F. K. Lester, Jr.

(Eds.), Second Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning (pp. 843-

908). Charlotte, NC: NCTM.

Bishop, A. J., & Goffree, F. (1986). Classroom organization and dinamics. In B. Christiansen, A.

G. Howson, M. Otte (Eds.), Perspectives on mathematics education (pp. 309-365).

Dordrecht: Reidel.

Boavida, A. (2005). A argumentação em Matemática. Investigando o trabalho de duas

professoras em contexto de colaboração. Tese de doutoramento, Universidade de Lisboa,

Lisboa.

Boavida, A. M., Paiva, A. L., Cebola, G., Vale, I & Pimentel, T. (2008). A experiência matemática

no ensino básico. Programa de formação contínua em matemática para professores dos

1.º e 2.º ciclos. Lisboa: Ministério da Educação – DGIDC.

Bogdan, R. C. & Biklen, S. K. (1994). Investigação qualitativa em educação. Porto: Porto

Editora.

Bonniol, J. J. & Vial, M. (2001). Modelos de avaliação. Textos fundadores. São Paulo: Artmed.

Borralho, A. (1997). O ensino da resolução de problemas de Matemática por parte de futuros

professores: relações com a sua formação inicial. In D. Fernandes, I. Vale & G. Amaro

(Orgs.), Resolução de problemas na formação inicial de professores de Matemática:

múltiplos contextos e perspectiva (pp. 129-158). Aveiro: Grupo de Investigação em

Resolução de Problemas.

Borralho, A. & Espadeiro, R. (2004) A formação matemática ao longo da carreira profissional do

professor. In A. Borralho, C. Monteiro & R. Espadeiro (Orgs.), A matemática na formação

do professor (pp. 279-305). Lisboa: Secção de Educação Matemática da SPCE.

327

Boutin, G., Goyette, G. & Lessard-Hébert, M. (1994). Investigação qualitativa: fundamentos e

práticas. Lisboa: Instituto Piaget.

Braumman, C. (2004). A matemática e diferentes modelos de formação. In A. Borralho, C.

Monteiro & R. Espadeiro (Orgs.), A matemática na formação do professor (pp. 75-82).

Lisboa: Secção de Educação e Matemática da SPCE.

Braumman, C., Moreira, D., Brocardo J. & Ponte, J. P. (2004). A Matemática e Diferentes

Modelos de Formação. In A. Borralho, C. Monteiro & R. Espadeiro (Orgs.), A Matemática

na Formação do Professor (pp. 69-86). Lisboa: Secção de Educação e Matemática da

SPCE.

Brocardo, J. (2003). Formação inicial de professores de matemática: consensos e dificuldades.

In CNE (Org.), Ensino da Matemática: Situações e Perspectivas (pp.141-150). Lisboa:

Conselho Nacional de Educação.

Brocardo, J. (2004). A Matemática e Diferentes Modelos de Formação. In A. Borralho, C.

Monteiro & R. Espadeiro (Orgs.), A Matemática na Formação do Professor (pp.82- 86).

Lisboa: Secção de Educação e Matemática da SPCE.

Brousseau, G. (1983). Les obstacles épistémologiques et les problèmes en mathématiques.

Revue de Didactique des Mathématiques, Vol. 4, n.°2, 165-198.

Brown, C., & Borko, H. (1992). Becoming a mathematics teacher. In D. A. Grouws (Ed.),

Handbook of research in mathematics teaching and learning (pp. 209-239). New York:

Macmillan

Brown, M. Millett A., & Askew, M. (2008) O impacto da estratégia nacional de numeracia no

ensino e na aprendizagem em Inglaterra. In J. Brocado, L. Serrazina & L. Rocha (Ogs), O

sentido do número: reflexões que entrecruzam teoria e prática (pp.61-92). Lisboa:

Escolar Editora

Brun, J. (org) (2000). Didáctica das Matemáticas. Lisboa: Instituto Piaget.

Cabrita, I. (1998). Resolução de problemas: aquisição do modelo de Proporcionalidade Directa

apoiada num documento hipermédia. Tese de Doutoramento não publicada,

Universidade de Aveiro, Aveiro.

Cachapuz, A. (2002). A formação inicial de professores na encruzilhada do processo de

Bolonha. Revista de Educação, V. XI, n.º 1, 31-36.

328

Canavarro, A. P., Martins, C. & Rocha, I. (2008). Avaliação na formação de professores. Alguns

pontos para discussão. In L. Menezes, L. Santos, H. Gomes & C. Rodrigues (Orgs.),

Avaliação em Matemática: Problemas e desafios (pp 287-296). Viseu: Secção de

Educação Matemática da SPCE.

Cardinet, J. (1993). Avaliar é medir? Porto: Edições Asa.

Cardoso, A. M., Peixoto, A. M., Serrano, M. C., & Moreira, P. (1996). O movimento da

autonomia do aluno: Estratégias a nível da supervisão. In I. Alarcão (Org.), Formação

reflexiva de professores: Estratégias de supervisão (pp. 89-122). Porto: Porto Editora.

Carvalho e Silva, J. (1992). As aplicações da Matemática: a vida quotidiana na sala de aula.

Educação e Matemática, 23, 3-9.

Chen, H. T. (1994). Theory-driven evaluations: Needs, difficulties and options. Evaluation

Practice, 15(1), 79-82.

Chevellard, Y. (1985). La transposition didactique. Du savoir savant au savoir enseigné.

Grenoble: La Pensé Sauvage.

Clements, D. & Bright, G. (Eds.) (2003). Learning and Teaching Measurement (2003 Yearbook).

Reston, VA: NCTM.

Cochran-Smith, M. & Lytle, S. (1999). Relationships of knowledge and practice: Teacher learning

in communities. Review of Research in Education, 24, 249-305.

Cohen, L., Manion, L. & Morrison K. (2000). Research Methods in Education. London:

Routledge.

Cooney, T. J., Shealy, B. E., & Arvold, B. (1998). Conceptualizing belief structures of preservice

secondary mathematics teachers. Journal for Research in Mathematics Education, 29 (3),

306-333.

Correia, J. (1992). Formação Contínua de Professores: A formação profissional contínua e a

continuidade docente em crise. Correio Pedagógico, 69, 2-3.

Correia, J. (1993). Formatividade e Profissionalidade Docentes: algumas considerações sobre o

ordenamento jurídico da Formação Contínua de Professores. O Professor, 32, 53-68.

Correia, M. G. (1997). O Desenvolvimento Profissional dos Professores do 1.º Ciclo na área de

Matemática: três estudos de casos no contexto do trabalho colaborativo (Dissertação de

Mestrado, Universidade de Lisboa). Lisboa: APM.

http://www.google.com/search?hl=pt-PT&tbo=p&tbm=bks&q=inauthor:%22Keith+R.+B.+Morrison%22

329

Cortesão, L. (2002). Formas de ensinar, formas de avaliar. Breve análise das práticas correntes

de avaliação. In P. Abrantes & F. Araújo (Coords.), Avaliação das Aprendizagens. Das

concepções às práticas (pp. 35-42). Lisboa: Ministério da Educação.

Cortesão, L., Leite, C. & Pacheco, J. A. (2003). Trabalhar por Projectos de Educação. Uma

inovação interessante? Porto: Porto Editora.

Cró, M. (1998). Formação inicial e contínua de educadores/professores. Estratégias de

intervenção. Porto: Porto Editora.

CRSE (1988). Proposta global de reforma. Relatório final. Lisboa: Ministério da Educação.

Day, C. (1993). Avaliação do desenvolvimento profissional dos professores. In A. Estrela & A.

Nóvoa (Orgs.), Avaliações em Educação: Novas perspectivas (pp. 95-114). Lisboa:

Publicações D. Quixote.

Day, C. (2001). Desenvolvimento profissional de professores: Os desafios da aprendizagem

permanente. Porto: Porto Editora.

De Ketele, J. M. (1984). Observar para educar. Observación y evaluación en la práctica

educativa. Madrid: Visor Libros.

De Ketele, J. M. (1985). Docimologie.Introduction aux concepts e aux pratiques. Louvin-La-

Neuve: Cabay.

De Ketele, J. M. (1986). L‘évaliation du savoir-être. In J. M. De Ketele (Éd.), L´évaluation:

approche descriptive ou prescriptive? (pp. 179-208). Bruxelles: De Boeck.

De Ketele, J. M. (2001). Evolution dês problématiques issues de l‘évaluation formative. In G.

Figari, M. Achouche (Eds), L‘activité évaluative. Regards scolaires et socioprofessionnels

(pp. 102-108).Bruxelles: De Boeck.

De Ketele, J.M. & Roegiers, X. (1999). Metodologia da recolha de dados. Lisboa: Instituto

Piaget.

De Lange, J. (2003). Mathematics for Literacy. In L. B. Madison & L. A. Steen (Eds.),

Quantitative Literacy. Why Numeracy Matters for Schools and Colleges (pp.75-89).

Washington DC: National Council on Education and the Disciplines.

Denzin, N.K. & Lincoln, Y.S. (2000). The discipline and practice of qualitative research. In N.K.

Denzin & Y.S. Lincoln (eds.), Handbook of qualitative research (pp. 1-28). Thousand

Oaks: Sage Publications.

http://www.fpce.up.pt/ciie/pubonline%20livros.htm#69



330

Dick, B. (1999). Whath is action research? (Disponível em

http://www.scu.edu.au/schools/gem/ar/whatisar.html)

Doyle, W. (1988). Work in mathematics classes: The context of students‘ thinking during

instruction. Educational Psycologist, 23, 167-80.

Doyle, W. (1990). Themes in teacher education research. In W. Robert Houston (Ed), Handbook

of reseach on teacher education (pp. 3-24). New York: MacMillan.

Eisner, E. W. (1979). The Educational Imagination. New York: McMilan

Elbaz, F. (1983). Teacher Thinking: A Study of Pratical knowledge. Londres: Croom Helm.

Elliott, J. (1997). School-based curriculum development and action research in United Kingdom.

In S. Hollingsworth (Ed.), International action research (pp. 17-28). London: The Falmer

Press.

Ernest, P. (1989). The knowledge, beliefs and attitudes of the mathematics teacher: A model.

Journal of Education for Teaching, 15(1), 13-33.

Estrela, A. & Estrela, T (1993). A formação contínua e reforma educativa. Revista Educação, 6,

73-77.

Fennema, E & Frank, M. L. (1992). Teachers´ knowledge and its impact. In: D. A. Rouws (Ed.),

Handbook of research on teaching and learning (pp. 147-164). New York, NY: Macmillan

Fennema, E., Franke, M. L., Carpenter, T. P., & Carey, D. A. (1993). Using chindren‘s

mathematical knowledge in instruction. American Educational Research Journal, 30, 555-

583.

Fernandes, J. A. & Barros, P. M. (2005). Dificuldades em estocástica de uma futura professora

do 1.º e 2.º ciclos do ensino básico. Revista Portuguesa de Educação, 2005, 18(1), 117-

150.

Fernandes, J. A., Alves, M. P & Machado, E. A. (2008). Perspectivas e práticas de avaliação de

professores de Matemática. Braga: Centro de Investigação em Educação da Universidade

do Minho.

Fernandes, M. (2000). Mudança e Inovação na Pós-modernidade – perspectivas curriculares.

Porto: Porto Editora.

Fernandes, M. (2002). Métodos de avaliação pedagogica. In P. Abrantes & F. Araújo (Coords.),

Reorganização Curricular do Ensino Básico: Avaliação das aprendizagens. Das

concepções às práticas (pp.65-74). Lisboa: Ministério da Educação, DEB

http://www.scu.edu.au/schools/gem/ar/whatisar.html

331

Ferreira, E. (2002). Da professora à formadora. In Grupo de Trabalho sobre Investigação (Org.),

Reflectir e investigar sobre a prática profissional (pp. 235-256). Lisboa: APM.

Ferreira, F. (1994). Formação Contínua e Unidade do Ensino Básico: o papel dos professores,

das escolas e dos centros de formação. Porto: Porto Editora.

Figari, G. (1996). Avaliar. Que referencial? Porto: Porto Editora.

Figari, G. & Achouche M. (Eds). (2001). L‘activité évaluative réinterrogée. Regards scolaires et

socioprofessionnels. Bruxelles: De Boeck.

Fischbein, E., Deri M., Nello M. & Marino M. (1985). The role of implicit models in solving verbal

problems in multiplication and division. Journal of Research in Mathematics Education

16, 3-17.

Freitas, C. (1997). Gestão e avaliação de projectos nas escolas. Lisboa: Instituto de Inovação

Educacional.

Fullan, M. & A. Hargreaves (1992). Teacher development and educational change. In M. Fullan

& A. Hargreaves (Eds.), Teacher development and educational change (pp. 1-9). London:

Falmer Press.

Gall, M. D., Gall, J. P., & Borg, W. R. (2003). Educational Research: An Introduction, Boston:

Allyn & Bacon.

Garcia, C. M. (1999). Formação de Professores. Para uma mudança educativa. Porto: Porto

Editora.

Godino, J. D., Batanero, C. & Flores, P. (1999). El análisis didáctico del contenido matemático

como recurso en la formación de profesores. In Homenaje al profesor Oscar Sáenz Barrio

(pp. 165-185). Granada: Departamento de Didáctica y Organización Escolar.

Godino, J. D., Contreras, A. & Font, V. (2006). Análisis de procesos de instrucción basado en el

enfoque ontológico-semiótico de la cognición matemática. Recherches en Didactiques des

Mathematiques, 26(1), 39-88.

Gomes, A., Ralha, E. & Hirst, K. (2001). Sobre a formação matemática dos professores do 1.º

ciclo: Conhecer e compreender as possíveis dificuldades. In I. Lopes & M. C. Costa

(Orgs.), Actas do XII SIEM (pp. 175-196). Lisboa: APM.

Gómez, A. P. (1993). La interacción teoria-practica en la formación del docente. In L. Mesa & J.

Jeremias (Eds.), Las didácticas específicas en la formación del profesorado (pp. 29-50).

Tórnulo Ediciones.

332

Goodson, I. F. (1997). A construção social do currículo. Lisboa: Educa.

Guba, E. G. & Lincoln, Y. S. (1981). Effective Evaluation. San Francisco: Jossey-Bass.

Guimarães, H. M. (1988). Ensinar Matemática: concepções e práticas. Dissertação de

Mestrado, Universidade de Lisboa, Lisboa.

Guimarães, H. M. (2005). Os novos Standards do NCTM na entrada do século XXI. Educação e

Matemática, 84, 2-5.

Guskey, T. (2002). Professional development and teacher change. Teachers and Teaching:

Theory and Practice, 8(3/4), 381-391.

Guzmán, M. (1993). Tendencias innovadoras en educación matemática. Boletim da Sociedade

Portuguesa de Matemática, 25, 9-34.

Hadji, C. (1994). A avaliação, regras do jogo: das intenções aos instrumentos. Porto: Porto

Editora.

Hadji, C. (1996). L´évaluation des actions éducatives. Paris: PUF.

Hamilton, D. (1997). Curriculum evaluation. Londres : Falmer

Hargreaves, A. (1992). Cultures of teaching: A focus for change. In A. Hargreaves & M. G. Fullan

(Eds.), Understanding teacher development (pp. 216-240). New York: Teachers College

Press..

Hargreaves, A. (1998). Os professores em tempos de mudança. Lisboa: McGraw-Hill.

Hargreaves, A. & Fullan, M. (1992). Introduction. In A. Hargreaves & M. Fullan (Eds.),

Understanding teacher development (pp. 1-19). New York: Teachers College Press..

Hatton, N., & Smith, D. (1995). Reflection in teacher education: Towards definition and

implementation. Teaching and Teacher Education, 11(1), 33-49.

Hiebert, J. & Carpenter, T. (1992). Learning and teaching with understanding. In D. A. Grouws

(Ed.), Handbook of research on mathematics and learning (pp. 65-100). New York, NY:

Macmillan.

Hierbert, J., & Wearne, D. (1993). Instruction tasks, classroom discourse, and students‘ learning

in second-grade arithmetic. American Educational Research Journal, 30, 393-425.

Hill, C., Sleep, L., Lewis, J. M. & Ball, D. L. (2007). Assessing Teachers‘ Mathematical

Knowledge: What Knowledge Matters and What Evidence Counts? In F. K. Lester, Jr.

Second Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning (pp. 111-156).

Charlotte, NC: NCTM.

333

Hill, H. C., Ball, D. L. & Schilling, S. G. (2008). Unpacking pedagogical content knowledge:

Conceptualizing and measuring teachers' topic-specific knowledge of students. Journal for

Research in Mathematics Education, 39, 372-400.

Hughes_Hallett, D. (2001). Achieving Numeracy: The Challenge of Implementation. In L. A.

Steen (Ed), Mathematics and Democracy: the case for quantitative Literacy (pp. 93-98).

Princeton, NJ: National Council on Education and the Disciplines.

Hurst, B., Wilson, C. & Cramer, G. (1998). Professional teaching portfolios: tools for reflection,

growth, and advancement. Phi Delta Kappan, 79(8), 578-582.

Hyde, A. (1989). Staff development: Directionsand realities. In P. Trafton, & A. Shulte (Eds.),

New directions for elementary school mathematics (pp. 223-233) Reston, VA: NCTM.

Infante, M. J., Silva, M. S. & Alarcão, I. (1996). Descrições e análise interpretativa de episódios

de ensino – os casos como estratégia de supervisão reflexiva. In I. Alarcão (Org.), As

narrativas autobiográficas do professor como estratégia de desenvolvimento e a prática

de supervisão (pp. 151-169). Porto: Porto Editora.

Jonnaert, Ph. & Vander Borght, C. (1999). Créer les conditions d'apprentissage. Un cadre de

référence pour le formation didactique des enseignants. Bruxelles: De Boeck

Kantowski, M. G. (1980). Some thoughts on teaching for problem solving. In R. E. Reys (Ed.),

Problem solving in school mathematics (pp 195-203). Reston, VA: NCTM.

Kemmis, S. (1985). Action research and the politics of reflection. In D. Boud, R. Keogh, & D.

Walker (Orgs.), Reflection: Turning experience into learning (pp. 139-163). London: Kogan

Page.

Kirkpatrick, D. (1998). Evaluating training programs – The four levels. San Francisco: Berrett-

Koehler.

Klenowski, V. (2005). Desarrolo de portfolios para el aprendizage y la evaluación. Madrid:

Narcea.

Krainer, K. (2001). Teachers‘ growth is more than the growth of individual teachers: The case of

Gisela. In F. Lin & T. Cooney (Eds.), Making sense of mathematics teacher education (pp.

271-293). Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.

Krause, S. (1996). Portfólios in teacher education: Effects of instrution on preservice teachers‘

early comprehension of the portfolio process. Journal of Teacher Education, 47(2), 130-

138.

334

Krulik, S. & Rudnik, J. A. (1993). Reasoning and Problem Solving: A Handbook for Elementary

School Teachers. Massachussets: Allyn and Bacon.

Lalanda, M. C. & Abrantes, M. M. (1996). Ser professor reflexivo. In I. Alarcão (Org.), O conceito

de reflexão em J. Dewey (pp. 41-61). Porto: Porto Editora.

Lamon, S. J. (2005). Teaching fractions and ratios for understanding. Essencial Contet

Knowledge and Instructional Strategies for Teachers (2nd edition). Mahwah, New Jersey:

Lawrence Erlbaum Associates.

Lessard-Hébert, M., Goyettte, G. & Boutin, G. (1996). La recherche qualitative. Fondements et

pratiques. Montréal : Éditions Nouvelles

Lieberman, A. (1996). Practices that support teacher development: Transforming conceptions of

professional learning. In M. W.McLaughlin, & I. Oberman (Eds.), Teacher learning: New

policies, new practices. (pp. 109-128). New York: Teachers College Press.

Lima, E. L. (2004). Matemática e Ensino. Lisboa: Gradiva.

Lopes, A. V., Bernardes, A., Loureiro, C., Varandas, J. M., Oliveira, M. J. C., Delgado, M. J.

Bastos, R., & Graça, T. (1996). Actividades Matemáticas na sala de aula. Lisboa: Texto

Editora.

Loucks-Horsley, S., Hewson, P., Love, N. & Stiles, K. (1998). Designing professional

development for teachers of science and mathematics. Thousand Oaks, CA: Corwin

Press.

Loureiro, C. (2004). Que Formação Matemática para Professores do 1.º Ciclo e para os

Educadores de Infância? In A. Borralho, C. Monteiro & R. Espadeiro (Orgs.), A Matemática

na Formação do Professor (pp.89-123). Lisboa: Secção de Educação Matemática da

SPCE.

Lyons, N. (1999). Possibilidades del portafolio: Propuestas para un nuevo profesionalismo

docente. In N. Lyons (Org.), El uso de portafolios: Propuestas para un nuevo

profesionalismo (pp. 29-43). Buenos Aires: Amorrortu.

Ma, L. (2009). Saber e ensinar matemática elementar. Lisboa: Gradiva

Machado, A. E. (2007). Avaliação e Participação. Um estudo sobre o papel dos actores na

avaliação da formação contínua. Tese de Doutoramento, Universidade do Minho, Braga.

Madaus, G.F., & Kellaghan, T. (2000). Evaluation models:Viewpoints on educational and human

services evaluation. Boston: Kluwer Academic Publishers

335

Marcelo, C. (1992). A formação de professores: Novas perspectivas baseadas na investigação

sobre o pensamento do professor. In A. Nóvoa (Ed.), Os professores e a sua formação

(pp. 51-76). Lisboa: Publicações D. Quixote.

Marcelo, C. (1999). Formação de professores – para uma mudança educativa. Porto: Porto

Editora.

Martinho, M. H., & Ponte, J. P. (2005). Comunicação na sala de aula de Matemática: Práticas e

reflexão de uma professora de Matemática. In J. Brocardo, F. Mendes & A. M. Boavida

(Eds.), Actas do XVI Seminário de Investigação em Educação Matemática (pp. 273-293).

Setúbal: APM

Matos, M. (1993). Formação contínua ou um certo regresso à escola... O Professor, 32, 32-40.

Matos, J. F., Powell, A., Sztajn, P., Ejersbo, L., & Hovermill, J. (2009). Mathematics teachers'

professional development: Processes of learning in and from practice. In R. Even & D. L.

Ball (Eds.), The professional education and development of teachers (pp. 167-183).

Springer.

Matos, J. M. & Serrazina, M. L. (1996). Didáctica da Matemática. Lisboa: Universidade Aberta.

Ministério da Educação – Departamento do Ensino Básico (2001). Currículo nacional do ensino

básico – competências essenciais. Lisboa: ME.

Migueis, M. R. & Azevedo, M. G. (2007). Educação Matemática na Infância. Abordagens e

desafios. Vila Nova de Gaia: Gailivro.

Ministério da Educação (1990). Programa do 1.º Ciclo do Ensino Básico. Porto: Porto Editora.

Ministério da Educação (2007). Programa de Matemática do Ensino Básico. Lisboa: Ministério

da Educação, Direcção-Geral de Inovação e de Desenvolvimento Curricular.

Morin, M. P. (2008). Les connaissances Mathématiques et didactiques chez les futurs maîtres

du primaire: quatre cas à l‘étude. Canadian Journal of Education, 31(3), 537-566.

Nadeau, M.-A. (1988). L‘évaluation de programme. Théorie et pratique. Québec: Les Presses de

l‘Université Laval.

NCTM (1994). Normas profissionais para o ensino da matemática. (tradução portuguesa de

Professional standards for teaching mathematics, 1991). Lisboa: APM e IIE.

NCTM (1998). Normas para o currículo e a avaliação em matemática escolar. (Tradução

portuguesa do original em inglês de 1989). Lisboa: APM & IIE.

336

NCTM (1999). Normas para a avaliação em matemática escolar. Lisboa: Associação de

professores de Matemática. (Tradução portuguesa da edição original de 1995.). Lisboa:

APM.

NCTM (2000). Principles and standards for School Mathematics. Reston, VA: NCTM.

NCTM (2007). Princípios e Normas para a Matemática Escolar. Lisboa: APM.

Nesher, P. (1987). Towards an instructional theory: the role of students' misconceptions. For

the Learning of Mathematics, vol. 7, n° 3, 33-40.

Niss, M. (1992). O papel das aplicações e da modelação na Matemática escolar. Educação e

Matemática, 23, 1-2.

Niss, M. (2003). The need for reform: Perspectives on the result of education – student‘s

competence in mathematics. In J. Carter, K. Eriksen, S. Horst & R. Troelsen (Eds.), If

reform of University Science Education is the answer – what were the Questions? –

Proceedings from the 3rd DCN Conference (pp.29-36). Copenhagen: University of

Copenhagen.

Nóvoa, A. (Coord.) (1992). Os professores e a sua formação. Lisboa: Publicações D. Quixote.

Nóvoa, A. (1997). Formação de professores e Profissão docente. In A. Nóvoa (Coord), Os

professores e a sua formação. Lisboa: Publicações D. Quixote.

OCDE (2004). Learning for Tomorrow‘s World: First results from PISA 2003. Paris: OCDE.

Oliveira, H., & Ponte, J. P. (1997). Investigação sobre concepções, saberes e desenvolvimento

profissional dos professores de matemática. Actas do SIEM VII (pp. 3-23). Lisboa: APM.

Oliveira, I., & Serrazina, L. (2002). A reflexão e o professor como investigador. In Grupo de

Trabalho sobre Investigação (Org.), Reflectir e investigar sobre a prática profissional (pp.

29-42). Lisboa: APM.

Pacheco, J. (1998). Uma escola de ―Área Aberta‖. In R. Trindade, A. Cosme, J. Pacheco, & R.

Nunes (Orgs.), As escolas do ensino básico como espaços de formação pessoal e social.

Porto: Porto Editora.

Pacheco, J. A. (1995). Formação de Professores: Teoria e Praxis. Braga: Instituto de Educação

e Psicologia da Universidade do Minho.

Pacheco, J. & Flores, A. (1999). Formação e avaliação de professores. Porto: Porto Editora.

Pacheco, J. A. (2001). Currículo: teoria e praxis. Porto: Porto Editora.

337

Palhares, P. (1997). Histórias com problemas construídos por futuros professores. In D.

Fernandes, F. Lester, Jr., A. Borralho & I. Vale (Coords.), Resolução de Problemas na

Formação Inicial de Professores de Matemática: Múltiplos Contextos e Perspectivas

(pp.159-188). Aveiro: GIRP.

Patrício, C. (2002). O professor do 1.º ciclo enquanto gestor do currículo de Matemática. In

Grupo de Trabalho sobre Investigação (Org.), Reflectir e investigar sobre a prática

profissional (pp. 257-282). Lisboa: APM.

Patton, M. Q. (2008). Utilization Focused Evaluation (4th ed.). Thousand Oaks: Sage

Publications.

Pérez Gómez, A. (1992). O pensamento Prático do Professor — A formação do professor como

profissional reflexivo. In A. Nóvoa (Ed.), Os Professores e a sua Formação (pp.93-114).

Lisboa: Publicações D. Quixote.

Pérez Serrano, G. (coord.). (2000). Modelos de investigación cualitativa en educación social y

animación sociocultural: aplicaciones prácticas. Madrid: Narcea.

Pérez Serrano, G. (2004). Metodologias de Investigacion en animación sociocultural. In Trilla,

Jaume (Coord.), Animación Sociocultural: teorias programas y âmbitos. (pp. 99-118).

Barcelona: Edital Ariel

Perrenoud, P. (1997). Práticas Pedagógicas, Profissão docente e formação. Lisboa: Publicações

D. Quixote/IIE.

Pokay, P. & Takey, C. (1996). Preservice elementary teachers: Building portfolios around

student‘s writings. Teaching Children Mathematics, Jan., 308-312.

Pólya, G. (2003). Como resolver problemas (Tradução do original inglês de 1945). Lisboa:

Gradiva.

Ponte, J. P. (1992). Concepções dos professores de Matemática e processos de formação. In

M. Brown, J. F. Matos, D. Fernandes & J. P. Ponte (Eds.), Educação Matemática: Temas

de Investigação (pp. 185-239). Lisboa: IIE.

Ponte, J. P. (1994). O desenvolvimento profissional do professor de Matemática. Educação e

Matemática, 31, 9-12 e 20.

Ponte, J. P. (1994a). Formação contínua: Políticas, concepções e práticas. Aprender, 16, 11-

16.

338

Ponte, J.P. (1995). Saberes profissionais, renovação curricular e prática lectiva. In B. Nieto L. &

V. Mellado (Coords.), La formación del professorado de ciencias y matemáticas en

España y Portugal (pp. 187-202). Badajoz: Universidad de Extremadura.

Ponte, J. P. (1998). Da formação ao desenvolvimento profissional. In Comissão Organizadora

do ProfMat 98 (Ed.), Actas do ProfMat 98 (pp. 27-44). Guimarães: Associação de

Professores de Matemática.

Ponte, J.P (2000). Principles and Standards for school mathematics: um novo documento de

orientação curricular do NCTM. Educação e Matemática, 60, 64-66.

Ponte, J. P. (2002). Investigar a nossa própria prática. In GTI (Org), Reflectir e investigar sobre a

prática profissional (pp. 5-28). Lisboa: APM.

Ponte, J. P. (2004). A formação matemática do professor: Uma agenda com questões de

reflexão e investigação. In A. Borralho, C. Monteiro & R. Espadeiro (Orgs.), A Matemática

na Formação do Professor (pp.71-74). Lisboa: Secção de Educação Matemática da

SPCE.

Ponte, J. P. (2005). Gestão curricular em Matemática. In GTI (Ed.), O professor e o

desenvolvimento curricular (pp. 11-34). Lisboa: APM.

Ponte, J. P., Boavida, M. A., Graça, M. & Abrantes, P. (1997). Didáctica da Matemática. Lisboa:

Ministério da Educação.

Ponte, J. P., Costa, F., Lopes, H., Moreirinha, O. & Salvado, D. (1997). Histórias da aula de

Matemática. Lisboa: APM.

Ponte, J. P. & Chapman, O. (2006). Mathematics teachers' knowledge and practices. In A.

Gutierrez & P. Boero (Eds.), Handbook of reaserch on the psychology of mathematics

education: Past, present and future (pp. 461-494). Roterdham: Sense.

Ponte, J. P. & Santos, L. (1998). Práticas lectivas num contexto de reforma curricular.

Quadrante, v. VII, n.º 1, 3-32.

Ponte, J. P. & Serrazina, M. L. (2000). Didáctica da Matemática no 1.º Ciclo. Lisboa:

Universidade Aberta.

Ponte, J. P., Guimarães, H., Leal, L. C., Canavarro, P. & Abrantes, P. (1997). O conhecimento

profissional dos professores de matemática: Relatório do projecto "O saber dos

professores - concepções e práticas". Lisboa: DEFCUL.

339

Ponte, J. P., Matos, J. M. & Abrantes P. (1998). Investigação em educação matemática:

Implicações curriculares. Lisboa: IIE.

Ponte, J. P., Oliveira, H., Cunha, M. H., & Segurado, M. I. (1998). Histórias de investigações

matemáticas. Lisboa: IIE.

Ponte, J. P., Zaslavsky, O., Silver, E., Borba, M. C., van der Heuvel-Panhuizen, M.,Gal, H.

Fiorentini, D., Miskulin, R., Passos, C., de La RocquePalis, G., Huang, R., Chapman, O., &

van den Heuvel-Panhuizen, M. (2009). Tools and settings supporting mathematics

teachers‘ learning in and from practice. In R. Even & D. Loewenberg Ball (Orgs.), The

professional education and development of teachers of mathematics: The 15th ICMI

Study (pp. 185- 209). New York, NY: Springer.

Prigogine, I. & Stengers ,I. (1987). Métamorphose de la science, Paris: Gallimard

Puigdellívol, I. (1996). Programación de aula y adecuación curricular: El tratamiento de la

diversidad. Barcelona: Editorial Graó.

Quivy, R. & Campenhoudt, L. V. (1998). Manual de Investigação em Ciências Sociais. Lisboa:

Gradiva.

Ramos, A. & Gonçalves, R. E. (1996). Ser professor reflexivo. In I. Alarcão (Org.), As narrativas

autobiográficas do professor como estratégia de desenvolvimento e a prática de

supervisão (pp. 123-150). Porto: Porto Editora.

Reys, R., Reys, B., Nohda, N. & Emori, H. (1995). Mental Computation Performance and

Strategy Use of Japanese Students in Grades 2, 4, 6, and 8. Journal for Research in

Mathematics Education, 26 (4), 304-326.

Ribeiro, A. (1993). Formar professores. Elementos para uma teoria e prática de formação.

Lisboa: Texto Editora.

Rico, L. (2006). Marco teórico de evaluación en Pisa sobre matemáticas y resolución de

problemas. Revista de Educación, extraordinario, 275-294.

Rippey, R. M. (1973). Studies in Transactional Evaluation. Berkeley, California: McCutchan

Rodrigues, P. (1995). As três ―lógicas‖ da avaliação de dispositivos educativos. In A. Estrela e P.

Rodrigues (Coord.). Para uma Fundamentação da Avaliação em Educação. (pp. 93-

120) Lisboa: Edições Colibri.

340

Rodrigues, P. (2006). Le Recours a des ―Paradigmes‖ de l‘Évaluation. Logiques d‘évaluation en

relation avec des conceptions élargies du monde et de la connaissance. In G. Figari e L.

M. Lopez (eds.). Recherche sur l‘évaluation en éducation (pp. 193-201). Paris: L‘

Harmattan.

Roegiers, X. (1997). Analyser une action d'éducation ou de formation. Bruxelles: De Boeck.

Roldão, M. C. (2004). Competências na Cultura de escolas do 1.º ciclo. Saberes básicos de

todos os cidadãos no Século XXI (pp.145-174). Lisboa: CNE.

Rossi, P. & Freeman, H. (1993). Evaluation: a systematic approach. Sage: Thousand Oaks

Ruela, C. (1998). Centros de Formação das Associações de Escolas: Processos de construção e

natureza da oferta formativa. Lisboa: IIE.

Sá-Chaves, I. (2000). Formação, Conhecimento e Supervisão. Contributos nas áreas da

formação de professores e de outros profissionais. Aveiro: Edições CIDInE.

Sá-Chaves, I. (2001). Novas abordagens metodológicas: Os portfolios no processo de

desenvolvimento profissional e pessoal dos professores. In A. Estrela & J. Ferreira (Orgs.),

Investigação na educação: Métodos e técnicas (pp. 181-187). Lisboa: Educa.

Sá-Chaves, I. (Org.) (2005). Os ―Portfolios‖ reflexivos (também) trazem gente dentro. Porto:

Porto Editora.

Santos, L. (2002). Auto-avaliação regulada: Porquê, o quê e como? In P. Abrantes & F. Araújo

(Coords.), Reorganização Curricular do Ensino Básico: Avaliação das aprendizagens. Das

concepções às práticas (pp.75-83). Lisboa: Ministério da Educação, Departamento do

Ensino Básico.

Santos, L. (2005). The portfolio in teacher education. Proceedings CERME4. (Disponível em

http://www.educ.pt/docentes/msantos/CER.pdf em 19/06/2006)

Santos, V., & Kroll, D. L. (1992). Empowering Prospective Elementary Teachers Through Social

Interaction, Reflection and Communication. Proceedings of PME XVI (pp. 282-289),

Durham, USA.

Schoenfeld, A. (2001). Reflections on an Impoverished Education. In Lynn A. Steen (Ed),

Mathematics and Democracy: the case for quantitative Literacy (pp.49-54). Princeton, NJ:

National Council on Education and the Disciplines. (Disponível em:

http://www.maa.org/Ql/mathanddemocracy.html, acesso em: 12/02/2008).

http://www.educ.pt/docentes/msantos/CER.pdf

341

Schoenfeld, A. H. (1992). Learning to think mathematically: Problem solving, metacognition and

sense making in mathematics. In D. Grouws (Ed.), Handbook of research on mathematics

teaching and learning. (pp. 334-370). New York, NY: Macmillan.

Schön, D. (1983). The reflective practitioner. London: Basic Books.

Schön, D. (1987). Educating the reflective practitioner. San Francisco: Jossey Bass.

Schön, D. (1992). Formar professores como profissionais reflexivos. In A. Nóvoa (Ed.), Os

professores e a sua formação (pp. 77-92). Lisboa: Publicações D. Quixote.

Schön, D. (1996). The reflective practitioner: how professionals think in action. Aldershot:

Arena.

Scriven, M. (2000). Evaluation Ideologies. In D. L. Stufflebeam, G. F. Madaus e T. Kellaghan

(Eds.). Evaluation Models. Viewpoints on educational and human services evaluation.

(pp. 249-278). Massachusets: Kluver Academic Publishers.

Sechrest, L. B. (1980). Training program evaluators. San Francisco, Calif.: Jossey-Bass

Serrazina, L. (1998). Teacher‘s professional development in a period of radical change in

primary mathematics education in Portugal. (Tese de doutoramento, Universidade de

Londres). Lisboa: APM.

Serrazina, L. (1999). Reflexão, conhecimento e práticas lectivas em Matemática num contexto

de reforma curricular no 1.º ciclo. Quadrante, 8, 139-167.

Serrazina, L. (1999a). Desenvolvimento profissional dos professores: Contributos para reflexão.

In I. Vale, & J. Portela (Eds.), Actas do IX SIEM. (pp. 63 – 78). Lisboa: APM.

Serrazina, L. (2002). A formação para o ensino da Matemática. Perspectivas futuras. In L.

Serrazina (Org.), A Formação para o Ensino da Matemática (pp. 9-19). Porto: Porto

Editora.

Serrazina, M. L., Canavarro, A. P., Guerreiro, A., Rocha, I., Portela, J & Saramago, M. J..

(2005). Programa de Formação Contínua em Matemática para Professores dos 1.º e 2.º

Ciclos do Ensino Básico. Lisboa: DGIDC.

Shulman, L. (1986). Those who understand: knowledge growth in teaching. Educational

Researcher, 15(2), 4-14.

Shulman, L. S. (1987). Knowledge and teaching: foundations of new reform. Harvard

Educational Review, 57(1), 1-22.

342

Shulman, L. (1992). Reviewing the pedagogy of teacher education: the impact of subjectspecific

conceptions of theaching. In L. Monteiro, & J. Vaz (Eds.), Didácticas específicas en la

formación del profesorado (pp. 53-69). Santiago de Compostela: Tórculo Edicións.

Shulman, L. (1999). Portafolios del docente: Una actividad teórica. In Nona Lyons (Org.), El uso

de portafolio: Propuestas para un nuevo profesionalismo (pp. 44-62). Buenos Aires:

Amorrortu.

Simões, C. M. & Simões, H. R. (1997). Maturidade pessoal, dimensões da competência e

desempenho profissional. In I. Sá-Chaves (Org.), Percursos de Formação e

Desenvolvimento Profissional (pp. 37-58). Porto: Porto Editora.

Smith, N. L. (1994). Clarifying and expanding the application of program theory-driven

evaluations. Evaluation Practice, 15(10), 83-87.

Smyth, J. 1992. Teacher‘s Work and the Politics of Reflection. American Educational Research

Journal, 29(2), 267-300.

Sowder, J. T. (2007) The Mathematical Education and Development of Teachers. In F. K. Lester

Jr. (Ed.). Second Handbook of Research on Mathematics Teaching ond Learning. A

project of National Council of Teachers of Mathematics. (pp 157-224). Charlotte, NC:

NCTM.

Sparks, D. & Loucks-Horsley, S. (1990). Models of staff development. In W. Houston (Ed.),

Handbook of Research on Teacher Education (pp. 234-250). New York: MacMillan.

Stein, M. K., & Lane, S. (1996). Instructional tasks and the development of student capacity to

think and reason: An analysis of the relationship between teaching and learning in a

reform mathematics project. Educational Research and Evaluation, 2, 50-80.

Stein, M. K., & Smith, M. S. (1998). Mathematical tasks as a framework for reflection: From

research to practice. Mathematics Teaching in the Middle School, 3, 268-275.

Stein, M. K., Grover, B. W., & Henningsen, M. (1996). Building student capacity for

mathematical thinking and reasoning: An analysis of mathematical tasks used in reform

classrooms. American Educational Research Journal, 33, 455-88.

Stewart, H. (1997). Metaphors of interrelatedness: Principles of collaboration. In H.Christiansen,

L. Goulet, C. Krentz, & M. Maeers (Eds.), Recreating relationships: Collaboration and

educational reform (pp. 27-53). New York, NY: SONY Press.

343

Stufflebeam, D.L. & Shinkfield, A.J. (1985). Systematic evaluation. New York: Kluwer- Nijhoff

Publishing

Tavares, J. (1997). Encontros e desencontros da inovação e mudança em educação. RUMUS,

17, 16-17.

Taylor, S. & Bogdan, R. (1992). Introducción a los métodos cualitativos de investigación.

Barcelona: Paidós.

Tenreiro-Vieira C. (1994): O pensamento crítico na educação científica: Proposta de uma

metodologia para a elaboração de actividades curriculares. Dissertação de mestrado,

Universidade de Lisboa, Lisboa.

Thompson, A. (1992). Teachers` beliefs and conceptions: A synthesis of the research. In D.

Grouws (Ed.), Handbook of research on mathematics teaching and learning (pp. 127-

146). Nova Iorque, NY: Macmillan.

Usiskin, Z. (2001). Quantitative Literacy. In Lynn A. Steen (Ed), Mathematics and Democracy:

the case for quantitative Literacy (pp.79-86). Princeton, NJ: National Council on Education

and the Disciplines.

Vale, I. & Pimentel, T. (2004). Resolução de problemas. In P. Palhares (Coord.), Elementos de

Matemática para professores do Ensino Básico (pp.7-52). Lousã: Lidel.

Varandas, J. M. (2000). Avaliação de Investigações Matemáticas: Uma experiência. Dissertação

de mestrado não publicada, Universidade de Lisboa, Lisboa.

Veia, L. (1996). A Resolução de problemas, o raciocínio e a comunicação no primeiro ciclo do

Ensino Básico – três estudos de caso. Lisboa: APM.

Veloso, E. (2004). Educação Matemática dos Futuros Professores. In A. Borralho, C. Monteiro &

R. Espadeiro (Orgs.), A Matemática na Formação do Professor (pp.31-67). Lisboa: Secção

de Educação Matemática da SPCE.

Vieira, F. (1993). Supervisão. Uma prática reflexiva de formação de professores. Rio Tinto:

Edições ASA.

Vieira, F. (1995). A autonomia na aprendizagem das línguas. In Ciências da educação:

Investigação e acção, Actas do II Congresso da Sociedade Portuguesa de Ciências da

Educação vol. I (pp. 235-243). Porto: SPCE.

344

Weiss, C.H. (1997). Evaluation. New Jersey: Prentice Hall.

Wood, T. (1998). Alternative patterns of communication in mathematics classes: Funneling or

focusing? In H. Steinbring, M. Bartolini Bussi, & A. Sierpinska (Eds.), Language and

communication in the mathematics classroom (pp. 167-178). Reston, VA: NCTM.

Wood, T., Cobb, P., & Yackel, E. (1991). Change in teaching mathematics: A case study.

American Educational Research Journal, 28, 587-616.

Yinger, R. (1987). Learning the language of pratice. Curriculum Inquiry, 17(3), 293-318.

Zabalza, M. (1987). Diseño y desarollo curricular. Madrid: Narcea

Zabalza, M. (1994). Diários de aula. Contributo para o estudo dos dilemas práticos dos

professores. Porto: Porto Editora.

Zeichner, K. (1993). A formação reflexiva de professores: Ideias e práticas. Lisboa: Educa.

Zeichner, K. (1994). Research on teacher thinking and different views of reflective practice in

teaching and teacher education. In G. Carlgren, G. Handal, & S. Vaage (Eds.), Teacher‘s

minds and actions: Researchs on teacher‘s thinking and practice (pp. 9-28). London:

Falmer Press.

Zeichner, K. (1995). Novos caminhos para o practicum: uma perspectiva para os anos 90. In A.

Nóvoa (Coord.) Os professores e a sua formação (pp. 115-138). Lisboa: Publicações D.

Quixote.

Legislação Decreto-Lei n.º 43 de 22 de Fevereiro de 2007 – Define as condições necessárias à obtenção de

habilitação profissional para a docência num determinado domínio.

Decreto-Lei n.º 241/2001 de 30 de Agosto – Define os Perfis específicos de desempenho

profissional do educador de infância e do professor do 1.º ciclo do ensino básico.

Decreto-Lei n.º 27084/36 de 14 de Outubro – Estabelece a obrigatoriedade da formação

contínua.

Lei n.º 5/73 de 25 de Julho – Lei de Reforma do Sistema Educativo (Reforma Veiga Simão).

Lei de Bases do Sistema Educativo, Lei n.º 46/86 de 14 de Outubro – Aprova a lei de bases do

Sistema Educativo

Lei de Bases do Sistema Educativo, o Decreto-Lei n.º 344/89 de 11 de Outubro – Define o perfil

profissional dos educadores e dos professores.

345

Decreto-Lei n.º 139-A/90 de 28 de Abril – Aprova o Estatuto da Carreira dos Educadores de

Infância e dos Professores dos Ensinos Básico e Secundário.

Decreto-Lei n.º 249/92 de 9 de Novembro – Aprova o regime jurídico da formação contínua de

professores.

Anexo 1 – Questionário aos formandos (antes da formação)

347

Estimado(a) professor(a),

Venho solicitar-lhe que responda ao presente questionário, que se destina a efectuar um

trabalho de investigação que me propus realizar no âmbito da minha tese de Doutoramento,

que, ao enquadrar-se no domínio da Educação Matemática, procura dar um contributo para a

melhoria do ensino e aprendizagem da Matemática. Mais especificamente, procurar-se-á, com

base nas respostas obtidas, compreender e clarificar as motivações e interesses dos professores

quando se inscrevem no Programa de Formação Contínua em Matemática para Professores do

1.º Ciclo do Ensino Básico e a influência do conhecimento didáctico do professor do 1.º ciclo do

ensino básico no processo de ensino e aprendizagem da Matemática.

Tratando-se de um trabalho de investigação, é da maior importância que responda de

forma cuidada e empenhada a todas as questões apresentadas no questionário, pois delas

depende a validade dos resultados desta investigação. Neste contexto de responsabilização, eu,

enquanto utilizador dos dados, comprometo-me a não fazer qualquer uso desta informação a

não ser preservando o anonimato dos respondentes e apenas para fins de investigação.

Muito obrigado pela colaboração.

(Nuno Miguel Pinto da Silva)


348

Dados Pessoais

Idade: ________ Sexo: Feminino Masculino

Agrupamento a que pertence: _____________________________________________

Habilitações académicas: _________________________________________________

Situação profissional: Quadro de Nomeação Definitiva de Escola Quadro de Nomeação Definitiva de Zona Pedagógica Quadro de Nomeação Provisória Professor contratado Outra. Qual? _____________________________________________________

Cargos que desempenhou ao longo da sua carreira profissional: Coordenador de escola Representante de escola Coordenador de ano escolar Coordenador de ciclo Director de Turma Outros. Quais? ____________________________________________________ _______________________________________________________________

N.º de anos de serviço docente: ________

Ciclos do ensino básico em que leccionou durante a sua carreira profissional: 1.º ciclo 2.º ciclo 3.º ciclo

Anos que leccionou durante a sua carreira profissional: 1.º ano 2.º ano 3.º ano 4.º ano

Anos que lecciona no presente ano lectivo: 1.º ano 2.º ano 3.º ano 4.º ano


Escolheu ser professor(a) do 1.º ciclo porque representava para si: (Assinale apenas uma resposta) Uma opção Um trabalho/emprego Uma vocação Outra. Qual? _____________________________________________________

Hoje escolheria ser professor do 1.º ciclo? Sim Não Porquê? ___________________________________________________________


349

Se tivesse oportunidade mudaria de profissão? Sim Não

No caso de ter respondido Sim à questão anterior, indique as razões do seu descontentamento com a profissão: (Assinale todas as respostas que se aplicam ao seu caso) Baixa remuneração Falta de realização profissional Imagem negativa do professor na sociedade Política educativa Outras. Quais? ____________________________________________________

Enquanto aluno(a) gostava de estudar Matemática? (Assinale apenas uma resposta) Gostava muito Gostava Gostava pouco Não gostava

Gosta de ensinar Matemática? (Assinale apenas uma resposta) Gosto muito Gosto Gosto pouco

Não gosto

Os professores que teve influenciaram o seu gosto pela matemática? (Assinale apenas uma resposta) Sim, muito Sim Sim, mas pouco Não

Os seus resultados escolares à disciplina de Matemática globalmente foram: (Assinale apenas uma resposta) Muito bons Bons Satisfatórios Insuficientes Muito fracos


350

Indique os aspectos que considera fundamentais para a melhoria da aprendizagem da Matemática. Melhoria das condições de trabalho: (Assinale todas as respostas que se aplicam ao seu caso) Equipamentos Materiais didácticos Espaços Número de alunos por turma Outra. Qual? _____________________________________________________ Mais formação: (Assinale todas as respostas que se aplicam ao seu caso) Matemática durante a formação inicial Pedagógico-didáctica durante a formação inicial Contínua Outra. Qual? ______________________________________________________ Valorização social: (Assinale todas as respostas que se aplicam ao seu caso) Remuneração Imagem social da profissão Estabilidade profissional Outra. Qual? ______________________________________________________ Sistema educativo: (Assinale todas as respostas que se aplicam ao seu caso) Reformulação de programas Regime de pluridocência Outra. Qual? ______________________________________________________

Perspectivas sobre a matemática

Para si, a matemática é importante para: (Assinale todas as respostas que se aplicam ao seu caso) Fazer cálculos. Perceber o espaço que nos rodeia.

Exercer uma cidadania esclarecida e crítica. Ter acesso a um melhor emprego. Ter acesso a um melhor curso. Outra. Qual? ______________________________________________________


351

Os seus alunos aprendem melhor matemática quando: (Assinale todas as respostas que se aplicam ao seu caso) Resolvem muitos exercícios repetitivos. O professor mostra como fazer. Descobrem por eles próprios os conceitos. Resolvem problemas relacionados com o seu dia-a-dia. Expõem e discutem as suas ideias e as dos outros. Escutam atentamente as ideias de outros que são mais competentes (seja o professor

ou outros alunos). Trabalham com os seus colegas, em pares ou pequenos grupos. Trabalham individualmente. Participam na avaliação do seu trabalho. Outra. Qual? ______________________________________________________

Assinale, de entre as finalidades para o ensino da Matemática que se seguem, as três que considera mais importantes: Desenvolver a capacidade de utilizar a Matemática como instrumento de interpretação

e de intervenção no real. Promover a estruturação do indivíduo no campo do pensamento, desenvolvendo os

conceitos de espaço, tempo e quantidade, ou estabelecendo relações lógicas, avaliando e hierarquizando.

Desenvolver as capacidades de raciocínio e resolução de problemas, de comunicação, bem como a memória, o rigor, o espírito crítico e criatividade.



Promover o aprofundamento de uma cultura científica, técnica e humanística que constituam suporte cognitivo e metodológico tanto para o prosseguimento de estudos como para a inserção na vida activa.

Contribuir para uma atitude positiva face à Ciência. Outra. Qual? ______________________________________________________


352


Com que frequência planifica as suas aulas de Matemática? (Assinale apenas uma resposta) Anualmente Semestralmente Trimestralmente Mensalmente Semanalmente Diariamente Não planifica


Nunca ou Raramente

Algumas vezes

Muitas vezes

Sempre ou quase sempre

a) Objectivos

b) Conteúdos programáticos

c) Orientações metodológicas


e) Experiência pessoal



h) Manuais escolares

i) Noutras fontes. Quais? ___________________ _____________________________________


Nunca ou Raramente

Algumas vezes

Muitas vezes


a) Individualmente

b) Com colegas da escola que leccionem os mesmos anos



i) Outras. Quais? _________________________ _____________________________________


353

Práticas lectivas de sala de aula


Não sei o que é.

a) Material Multibásico

b) Geoplanos

c) Tangran

d) Miras

e) Conjunto de sólidos geométricos

f) Conjunto de poliedros regulares

g) Polydrons

h) Cubinhos fixáveis

i) Barras de Cuisenaire

j) Blocos Padrão

k) Balanças

l) Recipientes de capacidade variada

m) Curvímetros

n) Fita métrica

o) Blocos Lógicos

p) Ábacos

q) Dominós

r) Computadores

s) Calculadoras

t) Material de desenho para o quadro (esquadro, régua, compasso…)

Para cada uma das situações de trabalho na sala de aula apresentadas a seguir, assinale a frequência com que as explora nas suas aulas:

Nunca ou Raramente

Algumas vezes

Muitas vezes


a) Exercícios

b) Problemas

c) Exposição pelo professor


e) Discussão entre alunos

f) Actividades de exploração

g) História da Matemática


i) Trabalho individual

j) Trabalho de grupo

k) Trabalho de pares

l) Trabalho de Projecto

m) Outras. Quais? ________________________ _____________________________________


354

Para cada um dos materiais apresentados a seguir, assinale a frequência com que os utiliza nas suas aulas:

Nunca ou Raramente

Algumas vezes

Muitas vezes


a) Manual adoptado

b) Calculadora

c) Jogos didácticos

d) Materiais manipuláveis

e) Computador




i) Quadro preto

j) Compilação de textos

k) Trabalhos dos alunos

l) Outros materiais. Quais? __________________ _____________________________________

Quais das seguintes formas de avaliação utiliza na avaliação dos seus alunos em Matemática? (Assinale todas as respostas que se aplicam ao seu caso) Testes escritos. Fichas de trabalho Participação na aula Trabalhos de casa Registo de incidentes críticos Grelhas de auto-avaliação Outras formas. Quais? ______________________________________________ _______________________________________________________________

Actividades extra-curriculares

De entre as actividades extra-curriculares apresentadas a seguir, assinale a frequência com que participa em cada uma delas:

Nunca ou Raramente

Algumas vezes

Muitas vezes






e) Outros. Quais? ________________________ _____________________________________


355


Ordene de acordo com os seus interesses/necessidades os assuntos que gostaria de ver tratados numa formação em Matemática (assinale com 1 o mais importante, com 2 o que se segue em importância, … e com 9 o menos importante).

Preferência (n.os de 1 a 9)

Assunto

Integração de conteúdos na perspectiva inter e multididisciplinar




Avaliação da aprendizagem

Estatística e análise de dados

Estimativa e erros de medição

Padrões e regularidades


Que modalidade de formação considera mais vantajosa? (Assinale apenas uma resposta) Cursos Módulos Disciplinas singulares Seminários Oficinas Estágios Projectos Círculo de Estudos

Para si a duração ideal de uma acção de formação é: (Assinale apenas uma resposta) 1 dia 2-5 dias 1 mês mais de um mês 1 ano Outra duração. Qual? _______________________________________________

Ao longo do seu percurso profissional que acções de formação frequentou no âmbito da Matemática? ________________________________________________________

_________________________________________________________________ _________________________________________________________________


356

Razões da inscrição no Programa de Formação Contínua em Matemática para Professores do 1.º ciclo do Ensino Básico

O que o(a) levou a inscrever-se no programa de Formação Contínua em Matemática para Professores do 1.º Ciclo do Ensino Básico?

_________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________

FIM

Obrigado pela colaboração prestada

Anexo 2 – Questionário aos formandos (após a formação)

357

Estimado(a) professor(a),

Venho solicitar-lhe que responda ao presente questionário, que se destina a efectuar um

trabalho de investigação que me propus realizar no âmbito da minha tese de Doutoramento,

que, ao enquadrar-se no domínio da Educação Matemática, procura dar um contributo para a

melhoria do ensino e aprendizagem da Matemática. Mais especificamente, procurar-se-á, com

base nas respostas obtidas, compreender e clarificar as motivações e interesses dos professores

quando se inscrevem no Programa de Formação Contínua em Matemática para Professores do

1.º Ciclo do Ensino Básico e a influência do conhecimento didáctico do professor do 1.º ciclo do

ensino básico no processo de ensino e aprendizagem da Matemática.

Tratando-se de um trabalho de investigação, é da maior importância que responda de

forma cuidada e empenhada a todas as questões apresentadas no questionário, pois delas

depende a validade dos resultados desta investigação. Neste contexto de responsabilização, eu,

enquanto utilizador dos dados, comprometo-me a não fazer qualquer uso desta informação a

não ser preservando o anonimato dos respondentes e apenas para fins de investigação.

Muito obrigado pela colaboração.

(Nuno Miguel Pinto da Silva)


358

Dados Pessoais

Idade: ________ Sexo: Feminino Masculino

Agrupamento a que pertence: _____________________________________________

Habilitações académicas: _________________________________________________

Situação profissional: Quadro de Nomeação Definitiva de Escola Quadro de Nomeação Definitiva de Zona Pedagógica Quadro de Nomeação Provisória Professor contratado Outra. Qual? _____________________________________________________

N.º de anos de serviço docente: ________


Hoje escolheria ser professor do 1.º ciclo? Sim Não Porquê? ___________________________________________________________ _________________________________________________________________

Se tivesse oportunidade mudaria de profissão? Sim Não

No caso de ter respondido Sim à questão anterior, indique as razões do seu descontentamento com a profissão: (Assinale todas as respostas que se aplicam ao seu caso) Baixa remuneração Falta de realização profissional Imagem negativa do professor na sociedade Política educativa Outras. Quais? ____________________________________________________

Gosta de ensinar Matemática? (Assinale apenas uma resposta) Gosto muito Gosto Gosto pouco Não gosto


359

A formação que frequentou influenciou, positivamente, o seu gosto pela matemática? (Assinale apenas uma resposta) Sim, muito Sim Sim, mas pouco Não

Indique os aspectos que considera fundamentais para a melhoria da aprendizagem da Matemática. Melhoria das condições de trabalho: (Assinale todas as respostas que se aplicam ao seu caso) Equipamentos Materiais didácticos Espaços Número de alunos por turma Outra. Qual? _____________________________________________________ Mais formação: (Assinale todas as respostas que se aplicam ao seu caso) Matemática durante a formação inicial Pedagógico-didáctica durante a formação inicial Contínua Outra. Qual? ______________________________________________________ Valorização social: (Assinale todas as respostas que se aplicam ao seu caso) Remuneração Imagem social da profissão

Estabilidade profissional Outra. Qual? ______________________________________________________ Sistema educativo: (Assinale todas as respostas que se aplicam ao seu caso) Reformulação de programas Regime de pluridocência Outra. Qual? ______________________________________________________


360

Perspectivas sobre a matemática

Para si, a matemática é importante para: (Assinale todas as respostas que se aplicam ao seu caso) Fazer cálculos. Perceber o espaço que nos rodeia. Exercer uma cidadania esclarecida e crítica. Ter acesso a um melhor emprego. Ter acesso a um melhor curso. Outra. Qual? ______________________________________________________

Os seus alunos aprendem melhor matemática quando: (Assinale todas as respostas que se aplicam ao seu caso) Resolvem muitos exercícios repetitivos. O professor mostra como fazer. Descobrem por eles próprios os conceitos. Resolvem problemas relacionados com o seu dia-a-dia. Expõem e discutem as suas ideias e as dos outros. Escutam atentamente as ideias de outros que são mais competentes (seja o professor

ou outros alunos). Trabalham com os seus colegas, em pares ou pequenos grupos.

Trabalham individualmente. Participam na avaliação do seu trabalho. Outra. Qual? ______________________________________________________

Assinale, de entre as finalidades para o ensino da Matemática que se seguem, as três que considera mais importantes: Desenvolver a capacidade de utilizar a Matemática como instrumento de interpretação

e de intervenção no real. Promover a estruturação do indivíduo no campo do pensamento, desenvolvendo os

conceitos de espaço, tempo e quantidade, ou estabelecendo relações lógicas, avaliando e hierarquizando.

Desenvolver as capacidades de raciocínio e resolução de problemas, de comunicação, bem como a memória, o rigor, o espírito crítico e criatividade.



Promover o aprofundamento de uma cultura científica, técnica e humanística que constituam suporte cognitivo e metodológico tanto para o prosseguimento de estudos como para a inserção na vida activa.

Contribuir para uma atitude positiva face à Ciência. Outra. Qual? ______________________________________________________


361


Com que frequência planifica as suas aulas de Matemática? (Assinale apenas uma resposta) Anualmente Semestralmente Trimestralmente Mensalmente Semanalmente Diariamente

Não planifica


Nunca ou Raramente

Algumas vezes

Muitas vezes


a) Objectivos

b) Conteúdos programáticos

c) Orientações metodológicas


e) Experiência pessoal



h) Manuais escolares

i) Noutras fontes. Quais? ___________________ _____________________________________


Nunca ou Raramente

Algumas vezes

Muitas vezes


a) Individualmente

b) Com colegas da escola que leccionem os mesmos anos



i) Outras. Quais? _________________________ _____________________________________


362

Práticas lectivas de sala de aula


Não sei o que é.

a) Material Multibásico

b) Geoplanos

c) Tangran

d) Miras

e) Conjunto de sólidos geométricos

f) Conjunto de poliedros regulares

g) Polydrons

h) Cubinhos fixáveis

i) Barras de Cuisenaire

j) Blocos Padrão

k) Balanças

l) Recipientes de capacidade variada

m) Curvímetros

n) Fita métrica

o) Blocos Lógicos

p) Ábacos

q) Dominós

r) Computadores

s) Calculadoras

t) Material de desenho para o quadro (esquadro, régua, compasso…)

Para cada uma das situações de trabalho na sala de aula apresentadas a seguir, assinale a frequência com que as explora nas suas aulas:

Nunca ou Raramente

Algumas vezes

Muitas vezes


a) Exercícios

b) Problemas

c) Exposição pelo professor


e) Discussão entre alunos

f) Actividades de exploração

g) História da Matemática


i) Trabalho individual

j) Trabalho de grupo

k) Trabalho de pares

l) Trabalho de Projecto

m) Outras. Quais? ________________________ _____________________________________


363

Para cada um dos materiais apresentados a seguir, assinale a frequência com que os utiliza nas suas aulas:

Nunca ou Raramente

Algumas vezes

Muitas vezes


a) Manual adoptado

b) Calculadora

c) Jogos didácticos

d) Materiais manipuláveis

e) Computador




i) Quadro preto

j) Compilação de textos

k) Trabalhos dos alunos

l) Outros materiais. Quais? __________________ _____________________________________

Quais das seguintes formas de avaliação utiliza na avaliação dos seus alunos em Matemática? (Assinale todas as respostas que se aplicam ao seu caso) Testes escritos. Fichas de trabalho Participação na aula Trabalhos de casa Registo de incidentes críticos Grelhas de auto-avaliação Outras formas. Quais? ______________________________________________

Actividades extra-curriculares

De entre as actividades extra-curriculares apresentadas a seguir, assinale a frequência com que participa em cada uma delas:

Nunca ou Raramente

Algumas vezes

Muitas vezes






e) Outros. Quais? ________________________ _____________________________________


364


Ordene de acordo com os seus interesses/necessidades os assuntos que gostaria de ver tratados numa formação em Matemática (assinale com 1 o mais importante, com 2 o que se segue em importância, … e com 9 o menos importante).

Preferência (n.os de 1 a 9)

Assunto

Integração de conteúdos na perspectiva inter e multididisciplinar




Avaliação da aprendizagem

Estatística e análise de dados

Estimativa e erros de medição

Padrões e regularidades


Para si a duração ideal de uma acção de formação é: (Assinale apenas uma resposta) 1 dia 2-5 dias 1 mês

mais de um mês 1 ano Outra duração. Qual? _______________________________________________

Assinale, se for caso disso, os aspectos que mais contribuíram para o seu desenvolvimento profissional: O trabalho desenvolvido nas sessões conjuntas A presença do formador na sala de aula A construção do portefólio A experimentação de novos materiais / troca de experiências A abordagem de novas estratégias / metodologias de ensino A reflexão sobre as aulas

Outra duração. Qual? _______________________________________________

Balanço do Programa de Formação Contínua em Matemática para Professores do

1.º ciclo do Ensino Básico no final do 1.º ano de formação

A formação que frequentou produziu alterações nas suas práticas? Sim Não Se respondeu Sim, que alterações ocorreram? ________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________


365

_________________________________________________________________

A formação que frequentou alterou o seu conhecimento didáctico em matemática? Sim Não Se respondeu Sim, em que aspectos? ______________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

Que aspectos da formação considera mais positivos? _____________________________ _________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

Que aspectos da formação considera menos positivos? ____________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

Pensa inscrever-se num segundo ano de formação? Sim Não Porquê? ___________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

Que temas gostaria de ver tratados nesse segundo ano de formação? _________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

FIM

Obrigado pela colaboração prestada

Anexo 3 – Guião de entrevista aos formandos

366

Guião de entrevista aos formandos

Objectivos Questões Inventariar/esclarecer as motivações para participar na formação

O que o motivou a participar no programa de formação?

Compreender a influência da formação no desenvolvimento do conhecimento e das práticas lectivas do formando

A formação foi uma mais-valia no desenvolvimento do seu conhecimento didáctico? De que forma? E no desenvolvimento do seu conhecimento científico? De que forma? E no desenvolvimento do seu conhecimento curricular? De que forma? Considera que a formação alterou as suas práticas de ensino? De que forma?

Avaliar a acção de formação e apontar sugestões para o futuro

Globalmente, que balanço que faz da formação? Revelou-se uma mais-valia? Em que aspectos? Quais os aspectos mais positivos das sessões conjuntas? E os menos positivos? As sessões de sala de aula influenciaram as suas práticas e o seu desenvolvimento profissional? De que forma? O que considera do portefólio como metodologia de avaliação? Que sugestões considera importantes fazer para melhorar o programa de formação no futuro?

Anexo 4 – Guião de entrevistas aos formadores

367

Guião de entrevista aos formadores

Objectivos Questões Inventariar/esclarecer as motivações para participar na formação

Que razões o levaram a participar no programa de formação como formador? O que terá motivado a participação dos seus formandos no programa de formação?

Compreender a influência da formação no desenvolvimento do conhecimento e das práticas lectivas do formador e dos formandos

A formação foi uma mais-valia no desenvolvimento do seu conhecimento didáctico? De que forma? E dos formandos? De que forma? E no desenvolvimento do seu conhecimento científico? De que forma? E dos formandos? De que forma? E no desenvolvimento do seu conhecimento curricular? De que forma? E dos formandos? De que forma? Considera que a formação alterou as suas práticas lectivas? De que forma? E dos formandos? De que forma?

Avaliar a acção de formação e apontar sugestões para o futuro

Qual o balanço que faz da formação? Revelou-se uma mais-valia para o formador? Em que aspectos? E para os formandos? Em que aspectos? Quais os aspectos mais positivos das sessões conjuntas? E menos positivos? Como encarou as sessões de sala de aula? Estas sessões influenciaram as suas práticas de ensino e o seu desenvolvimento profissional? De que forma? Como considera que os formandos encararam as sessões de sala de aula? Estas sessões influenciaram as práticas de ensino e o desenvolvimento profissional dos formandos? De que forma? O que considera do portefólio como metodologia de avaliação? Que vantagens/desvantagens destaca nesta metodologia? Como encararam os formandos esta metodologia? Qual dos objectivos da formação considera ter sido mais conseguido? Porquê? Quais foram os maiores constrangimentos à implementação da formação? Tendo em conta a sua experiência de formador e o contacto com os formandos, que razões encontra para explicar o elevados número de professores a quererem inscrever-se no programa de formação? Que sugestões considera importantes fazer para melhorar o programa de formação no futuro?

Anexo 5 – Exemplo dos questionários aplicados ao grupo de formandos do investigador

368

FORMAÇÃO EM SISTEMAS DE NUMERAÇÃO E ALGORITMOS

1. O seu conhecimento sobre este tema melhorou em consequência da formação realizada nas

sessões em que foi tratado?

Sim Não

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

A formação sobre este tema influenciou as suas práticas, alterando-as?

Sim Não

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

Anexo 5 – Exemplo dos questionários aplicados ao grupo de formandos do investigador

369

Quais os aspectos que considera mais positivos na formação realizada neste tema?

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

Quais os aspectos que considera mais negativos na formação realizada neste tema?

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

Que sugestões tem a fazer tendo em vista melhorar uma futura formação neste tema?

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

Muito obrigado pela colaboração

Anexo 6 – Grelha de apoio à observação e reflexão de aulas (para o formando)

370

Auto-reflexão da Prática Pedagógica

Nome:________________________________________________________________

Grupo/Turma de formação: _______________________________________________

AULA: Autónoma Com participação ____ colega formação ____outro elemento ___formador

Data: ____/ ____/ ________ Duração:_________ Ano(s):________

Tema/Contéudo:_____________________________________________________

1- Representatividade das situações

(explicitação das razões da escolha das situações; coerência com os objectivos de formação, …)

2- Planificação e preparação da aula

(preparação de plano de aula; investigação previa realizada, partilha com os seus pares …)

3- Estrutura e organização da aula

(organização do espaço; sequência da aula; gestão de tempo; metodologias utilizadas, …)

4- Ambiente da aula

(participativo; directivo; descontraído; inibidor; …)


371

5- Actividade do aluno

(qual o papel dos alunos nos vários momentos da aula; como lidaram com a tarefa proposta; exibiram

dificuldades; quais; solicitaram muito a minha participação, como, porquê e para quê; responderam

matematicamente à tarefa; conseguiram desenvolver raciocínios válidos; descobriram o que se pretendia;

estabeleceram relações com as outras áreas disciplinares, …)

6- A minha actividade

(rigor da linguagem; aproveitamento do erro; intervenções significativas ao longo da aula; consegui responder

às solicitações dos alunos; dificuldades sentidas, …)

7- Utilização e exploração de recursos materiais

(recursos materiais utilizados; adequação pedagógica; os alunos têm livre acesso aos mesmos; existência de

regras explícitas de utilização, …)


372

8- Episódios de sala-de-aula

(acontecimentos que me surpreenderam pela positiva ou pela negativa; comentários ou atitudes dos alunos, …)

9- Explicitação do que aprendi sobre conhecimento matemático, didáctico ou curricular

PARA ALÉM DA AULA:

Tema/Contéudo:_____________________________________________________

(envolvimento da família do aluno; promoção da cultura matemática na Escola/Agrupamento; trabalho em rede, …)

Auto questionamento

Anexo 7 – Grelha de observação de aulas (para o formador)

373

OBSERVAÇÃO E REFLEXÃO DE AULAS – DOCUMENTO DO FORMADOR

Nome do formando(a): Ano(s):

Grupo a que pertence:

Observação número: Duração:

Tema/Contéudo:

Local de observação e data:

Items observados:

1. Estrutura e organização da aula

2. Ambiente da aula

3. Actividade do aluno

Anexo 7 – Grelha de observação de aulas (para o formador)

374

4. Actividade do professor

5. Produção matemática dos alunos

6. Utilização e exploração de recursos materiais

7. Episódios de sala de aula

8. Reflexão final do formador

universidade do minho instituto de educação · 2012-06-27 · matemática, de professores do 1.º...

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