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UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID

ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS DE MINAS DE MADRID

SIMULACIÓN NUMÉRICA DE UN PROBLEMA DE CONTAMINACIÓN ATMOSFÉRICA

TESIS DOCTORAL

PEDRO MOLINA JIMÉNEZ

LICENCIADO EN CIENCIAS AMBIENTALES

2013

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA A LOS RECURSOS NATURALES

ESCUELA TÉCNICA DE INGENIEROS DE MINAS DE MADRID

SIMULACIÓN NUMÉRICA DE UN PROBLEMA DE CONTAMINACIÓN ATMOSFÉRICA

PEDRO MOLINA JIMÉNEZ

DIRECTOR

LUIS GAVETE CORVINOS

2013

RESUMEN La ecuación en derivadas parciales de advección difusión con reacción química es la base de los modelos de dispersión de contaminantes en la atmósfera, y los diferentes métodos numéricos empleados para su resolución han sido objeto de amplios estudios a lo largo de su desarrollo. En esta Tesis se presenta la implementación de un nuevo método conservativo para la resolución de la parte advectiva de la ecuación en derivadas parciales que modela la dispersión de contaminantes dentro del modelo mesoescalar de transporte químico CHIMERE. Este método está basado en una técnica de volúmenes finitos junto con una interpolación racional. La ventaja de este método es la conservación exacta de la masa transportada debido al empleo de la ley de conservación de masas. Para ello emplea una formulación de flujo basado en el cálculo de la integral ponderada dentro de cada celda definida para la discretización del espacio en el método de volúmenes finitos. Los resultados numéricos obtenidos en las simulaciones realizadas (implementando el modelo conservativo para la advección en el modelo CHIMERE) se han comparado con los datos observados de concentración de contaminantes registrados en la red de estaciones de seguimiento y medición distribuidas por la Península Ibérica. Los datos estadísticos de medición del error, la media normalizada y la media absoluta normalizada del error, presentan valores que están dentro de los rangos propuestos por la EPA para considerar el modelo preciso. Además, se introduce un nuevo método para resolver la parte advectiva-difusiva de la ecuación en derivadas parciales que modeliza la dispersión de contaminantes en la atmósfera. Se ha empleado un método de diferencias finitas de alto orden para resolver la parte difusiva de la ecuación de transporte de contaminantes junto con el método racional conservativo para la parte advectiva en una y dos dimensiones. Los resultados obtenidos de la aplicación del método a diferentes situaciones incluyendo casos académicos y reales han sido comparados con la solución analítica de la ecuación de advección-difusión, demostrando que el nuevo método proporciona un resultado preciso para aproximar la solución. Por último, se ha desarrollado un modelo completo que contempla los fenómenos advectivo y difusivo con reacción química, usando los métodos anteriores junto con una técnica de diferenciación regresiva (BDF2). Esta técnica consiste en un método implícito multipaso de diferenciación regresiva de segundo orden, que nos permite resolver los problemas rígidos típicos de la química atmosférica, modelizados a través de sistemas de ecuaciones

diferenciales ordinarias. Este método hace uso de la técnica iterativa Gauss-Seidel para obtener la solución de la parte implícita de la fórmula BDF2. El empleo de la técnica de Gauss-Seidel en lugar de otras técnicas comúnmente empleadas, como la iteración por el método de Newton, nos proporciona rapidez de cálculo y bajo consumo de memoria, ideal para obtener modelos operativos para la resolución de la cinética química atmosférica.

ABSTRACT

Extensive research has been performed to solve the atmospheric chemical-advection-diffusion equation and different numerical methods have been proposed. This Thesis presents the implementation of an exactly conservative method for the advection equation in the European scale Eulerian chemistry transport model CHIMERE based on a rational interpolation and a finite volume algorithm. The advantage of the method is that the cell-integrated average is predicted via a flux formulation, thus the mass is exactly conserved. Numerical results are compared with a set of observation registered at some monitoring sites in Spain. The mean normalized bias and the mean normalized absolute error present values that are inside the range to consider an accurate model performance. In addition, it has been introduced a new method to solve the advection-diffusion equation. It is based on a high-order accurate finite difference method to solve de diffusion equation together with a rational interpolation and a finite volume to solve the advection equation in one dimension and two dimensions. Numerical results obtained from solving several problems include academic and real atmospheric problems have been compared with the analytical solution of the advection-diffusion equation, showing that the new method give an efficient algorithm for solving such problems. Finally, a complete model has been developed to solve the atmospheric chemical-advection-diffusion equation, adding the conservative method for the advection equation, the high-order finite difference method for the diffusion equation and a second-order backward differentiation formula (BDF2) to solve the atmospheric chemical kinetics. The BDF2 is an implicit, second order multi-step backward differentiation formula used to solve the stiff systems of ordinary differential equations (ODEs) from atmospheric chemistry. The Gauss-Seidel iteration is used for approximately solving the implicitly defined BDF solution, giving a faster tool than the more commonly used iterative modified Newton technique. This method implies low start-up costs and a low memory demand due to the use of Gauss-Seidel iteration.

AGRADECIMIENTOS Quería aprovechar este espacio para dar las gracias a todas las personas que me han ayudado y apoyado durante mi doctorado:

En primer lugar a mi tutor Luis, que me dio la oportunidad de realizar esta Tesis, y las bases sobre la que construirla, que ha aguantado estoico mis dudas de programación y me ha dado los consejos necesarios para superar los baches que me he ido encontrando por el camino. Gracias por tu paciencia.

En segundo lugar quería agradecer el apoyo prestado por el Departamento de Matemática Aplicada a los Recursos Naturales de la E.T.S.I. de Minas, que me ha “alojado” durante estos años y me ha ayudado cada vez que lo he necesitado.

A la gente del área de contaminación atmosférica del C.I.E.M.A.T., como no, también agradecerles su apoyo durante mis visitas, y su paciencia para resolverme esas dudillas con FORTRAN que me han venido de perlas. Gracias Marta e Inma por prestarme ese tiempo que se que os falta.

A mi familia, a mis padres que han sido mis maestros en todos los sentidos, y a los que les debo mucho de lo que ahora soy, a mi hermana por esas charlas telefónicas y conversaciones “frikis” que tanto nos gustan, y a mis abuelos, que espero que me sigan “echando un ojo” como siempre lo hicieron.

Y claro, a mis amigos, que han aguantado mis ausencias, estando o no presente, siempre ahí para tomarse un café, tomar unas tapas, o aguantar mis agobios (vosotros sabéis quienes sois, ya os daré las gracias en persona en nuestro próximo café, esta vez sin prisas y con tranquilidad, lo prometo).

Y ya por último pero no menos importante, a ti, Martha, por estar ahí siempre, apoyarme y darme ánimos, conseguir que desconecte para volver con todas mis fuerzas, sin tu ayuda no lo habría conseguido. ;).

PMJ

ÍNDICE

RESUMEN .......................................................................................................... I

ABSTRACT .......................................... .............................................................. II

AGRADECIMIENTOS ................................... .................................................... III

ÍNDICE .............................................................................................................. IV

I.- INTRODUCCIÓN 1

I.1.- La atmósfera 2

I.1.1.- Estructura de la atmósfera 3

- La troposfera 5

I.1.2.- Contaminación atmosférica. 5

I.1.2.1.- Clasificación de los contaminantes atmosf éricos 7

I.1.2.1.1.- Clasificación de contaminantes atmosfér icos según su naturaleza físico-química 7

I.1.2.1.2.- Clasificación de contaminantes atmosfér icos según su origen 7

I.1.2.2 Descripción de los contaminantes atmosféric os más importantes 10

a) Dióxido de carbono (CO 2) 10

b) Monóxido de carbono (CO) 10

c) Dióxido de azufre (SO 2) 11

d) Trióxido de azufre (SO 3) 11

e) Óxidos de nitrógeno 12

f) Partículas 13

g) Ozono 14

h) Compuestos Orgánicos Volátiles 15

i) Metales 15

j) Hidrocarburos 15

II. MODELIZACIÓN DEL TRANSPORTE ADVECTIVO DE CONTAMINANTES EN LA ATMÓSFERA ..................... ............................. 16

II.1. – Tipos de modelos de transporte de contamina ntes .......................... 17

II.2. – Modelos Eulerianos y Lagrangianos ......... ......................................... 18

II.2.1. - Modelos Eulerianos ...................... ................................................ 18

II.2.2. - Modelos Lagrangianos .................... ............................................. 20

II.3. - Ecuación de dispersión de contaminantes en la atmósfera ............. 21

II.3.1. - Descripción de los procesos de dispersión ............................... 23

- Término de advección .............................. ................................ 23 - Término difusivo .................................. ..................................... 24 - Término relativo a las reacciones químicas ........ ................... 24 - Término relativo a las emisiones .................. ........................... 25 - Procesos de depósito o deposición ................. ....................... 25

II.4 - Resolución numérica del módulo de advección ................................. 25

II.4.1. – Resolución de la ecuación de transporte a dvectivo en 1-D .... 26

II.4.1.1. -Discretización del dominio. Mallado unif orme .................... 26

II.4.1.2. - Método Racional conservativo o CSLR0 .. .......................... 27

II. 4.1.2.1. – Desarrollo del método .............. ................................... 29

- Interpolación - Caso: velocidad del viento mayor que 0 (U > 0) - Caso: velocidad del viento menor que 0 (U < 0)

II.4.2.- Estructura del algoritmo CSLR0_1D. Método racional conservativo en 1 D ............................... .................................................. 36

II.5.- Resultados de la simulación de la ecuación d e transporte advectivo con el método racional conservativo en 1D ..................... 37

II.6.- Estructura del algoritmo CSLR0_2D. Método Ra cional Conservativo en 2 Dimensiones ..................... .................................... 56

II.6.1.- Discretización espacial. Esquema Arakawa C-grid .............. 57

II.6.2.- Resultados del método CSLR0_2D .......... .............................. 60

II.7.- Conclusiones .............................. ........................................................... 66

III. MODELIZACIÓN DE LA CINÉTICA QUÍMICA. UNA APLI CACIÓN A LA QUÍMICA DEL OZONO .............................. ......................................... 68

III.1 Introducción ................................ ............................................................. 68

III.2 Modelización de la cinética química ......... ............................................. 69

III.3 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Rígidas . ..................................... 70

III.3.1 Definición de Rigidez de una ecuación difer encial ..................... 70

III.3.2 Métodos para la resolución de sistemas de e cuaciones diferenciales ordinarias (SEDO) rígidas ........... ........................... 71

III.4 Métodos de diferenciación regresiva (Backward Differentiation Formula, BDF) ..................... ............................................ 73

III.5 Método TWO-STEP ............................. ..................................................... 76

III.5.1 Descripción de la cinética del ozono ...... ..................................... 76

III.5.2 Descripción de la notación utilizada en la modelización ........... 77

III.6. Descripción del método de integración TWO-ST EP de paso fijo .............................................. ............................................................... 83

III.6.1 Método numérico Gauss-Seidel............... ..................................... 84

III.6.2 Notación para representación de la cinética atmosférica según los términos de Producción (P) y Pérdida (L) ................. 85

III.6.3 Inicio del método ......................... ................................................... 87

III.7. Método TWO-STEP de paso variable ........... ......................................... 88

III.7.1 Ajuste del tamaño de paso. (Paso de integra ción variable) ......................................... ................................................... 91

III.8 Descripción del algoritmo TWO-STEP........... ........................................ 93

III.8.1 Resultados de la simulación ............... ........................................ 94

III.8.2 Solución teórica .......................... ................................................. 95

III.8.3 Análisis de sensibilidad a las tolerancias: absoluta y relativa .......................................... .......................................................... 97

III.9 Conclusiones ................................ ......................................................... 100

IV. SIMULACIONES REALES DE LA DISPERSIÓN DE CONTAMINANTES CON EL MODELO CHIMERE. ANÁLISIS DEL MODELO RACIONAL CONSERVATIVO ...................... .......................... 103

IV.1 Introducción ................................. ......................................................... 103

IV.2 Descripción de los índices de verificación de las simulaciones realizadas ........................................ ........................................................ 104

IV.3Descripción del modelo CHIMERE de dispersión de contaminantes y de los modelos MM5 y WRF de predicc ión meteorológica ..................................... ................................................... 106

IV.4 Análisis de datos de simulaciones con CHIMERE ............................. 111

IV.4.1 Descripción de casos ....................... ............................................. 113

IV.4.1 Caso 1: Dominio Comunidad de Madrid. Modelo CHIMERE + MM5 ........................................................................................................... 113

IV.4.2 Caso 2: Dominio España. Resolución 0.2º Mode lo CHIMERE + MM5 ........................................................................................................ 118

IV.4.3 Dominio España. Resolución 0.1º. Modelo CHIM ERE + WRF .... 123

IV.5 Conclusiones ................................. ....................................................... 126

V. PROCESOS DE ADVECCIÓN-DIFUSIÓN EN EL TRANSPORTE DE CONTAMINANTES EN LA ATMÓSFERA ..................... ................................ 127

V.1 Descripción de la ecuación en derivadas parcial es que modelizan el fenómeno difusivo .................... ....................................... 128

V.2 Coeficientes de difusión para contaminantes quí micos .................... 130

V.3 Aplicación del método de diferencias finitas pa ra la resolución de la ecuación en derivadas parciales que simula e l proceso difusivo .......................................... ......................................................... 131

V.4 Análisis de la estabilidad del método de difere ncias finitas .............. 137

V.5 Validación de la solución mediante la comparaci ón con la solución exacta de la ecuación de difusión ........ ................................ 141

V.6 Simulaciones de casos reales a largo plazo .... ................................... 165

V.6.1 Simulaciones de casos reales en 1 dimensión .......................... 165

V.6.1.1 Transporte advectivo-difusivo para el NO 2 ........................................ 165

CASO 1: Evolución de la contaminación para un foco emisor de NO 2 transcurridas 3 horas con una velocidad del viento de 5.55 m/s CASO 2: Evolución de la contaminación para un foco emisor de NO 2 tras un periodo de 3 horas con velocidad del viento de 15 m/s

V.6.1.2 Transporte advectivo-difusivo para el S O2 ......................................... 172

V.6.1.2.1. - CASO 3: Evolución de la contaminación para un foco emisor de SO 2 transcurridas 3 horas con una velocidad del viento de 5.55 m/s

V.6.1.2.1. - CASO 4: Evolución de la contaminación para un

foco emisor de SO 2 tras un periodo de 3 horas con velocidad del viento de 15 m/s

V.6.2 Simulaciones de casos reales en 2 dimensione s ...................... 180

V.6.2.1 CASO 5: Transporte advectivo-difusivo con u n foco de emisión.

V.6.2.2 CASO 6: Transporte advectivo-difusivo con dos focos de emisión.

V.6.2.3 CASO 7: Transporte advectivo-difusivo. Caso real para el NO2

V.6.2.4 CASO 8: Transporte advectivo-difusivo. Caso real para el SO2

V.7 Conclusiones .................................. ....................................................... 196

VI: MODELIZACIÓN DE LA DISPERSIÓN DE CONTAMINANTES QUÍMICOS EN LA ATMÓSFERA: ACOPLAMIENTO DE LOS PROCESOS DE ADVECCIÓN DIFUSIÓN Y REACCIÓN QUÍMICA . ....... 197

VI.1.- Descripción de las ecuaciones que simulan lo s procesos de reacción química advección y difusión en la atmósfe ra ................ 198

VI.2- Acoplamiento del procesador químico al módulo de transporte por advección difusión ............................ .............................................. 199

VI.3 Descripción del algoritmo advección-difusión-r eacción química para la dispersión de contaminantes químicos en la atmósfera 1D ............................................................................................................ 200

VI.3.1 Ejemplo académico: evolución del comportamie nto de tres contaminantes químicos en la atmósfera ....... ................... 204

VI.3.2 Ejemplo real: evolución de la emisión de dió xido de nitrógeno y dióxido de azufre dispersados en la atmósfera. Generación de lluvia ácida (ácido sulfúr ico y nítrico) por emisión de centrales térmicas ........ ....................... 215

VI.4 Descripción del algoritmo advección-difusión-r eacción química para la dispersión de contaminantes químicos en la atmósfera 2D ............................................................................................................ 224

VI.4.1 CASO 1: Simulación precursores lluvia ácid a .......................... 230

VI.5 Conclusiones ................................. ....................................................... 237

VIII. CONCLUSIONES Y LÍNEAS ABIERTAS .............. ................................ 239

REFERENCIAS .............................................................................................. 242

APÉNDICES .................................................................................................. 246

Apéndice I. Modelos numéricos de predicción meteoro lógica ............ 246

Apéndice II. Métodos numéricos empleados en la reso lución de la ecuación de advección incluidos en el módulo de transporte del modelo CHIMERE .................. .............. 257

Apéndice III. Estructura del programa TWO_STEP para la resolución de la química del ozono troposférico ... ..... 261

I. Introducción

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CAPÍTULO I. INTRODUCCIÓN

El modelado matemático es una herramienta imprescindible en el estudio de la contaminación atmosférica para entender los procesos implicados. En el caso de la contaminación atmosférica, el marco en el que se desarrollan los fenómenos es la atmósfera, la cual no es controlable, ni reproducible completamente en laboratorio. El objetivo del presente capítulo se centra en explicar nociones introductorias fundamentales de dicho marco de actuación y de los contaminantes principales tratados a lo largo de la Tesis

I. Introducción

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1.- LA ATMÓSFERA

La atmósfera es una delgada capa compuesta de una mezcla de gases, partículas y aerosoles que envuelve a la tierra. Esta mezcla de gases está compuesta por una veintena de gases cuyas proporciones relativas se mantienen constantes hasta una altura aproximada de 25 km. Los dos gases principales de la atmósfera son el nitrógeno (78%) y el oxígeno (21%). El 1% restante lo forman una serie de gases como el argón, neón, helio, xenón, ozono y los gases de efecto invernadero como el dióxido de carbono.

La atmósfera constituye apenas un 1% del radio de la Tierra, aunque los fenómenos que se producen en su seno son de gran importancia para el soporte de los ecosistemas. Actúa como escudo protector de la radiación procedente del sol, efecto imprescindible para la vida en la Tierra. Además influye de manera determinante en la misma, sobre todo los fenómenos producidos en los primeros 10 km.

Otro aspecto importante de la atmósfera es su carácter dinámico. No es algo estático sino que es un sistema reactivo extremadamente complejo en el cual tienen lugar numerosos procesos físicos y químicos que ocurren simultáneamente que la condicionan como un sistema en constante cambio. La interacción entre esta multitud de fenómenos tiene repercusiones en los seres vivos y sus ecosistemas y en última instancia en el ser humano y sus actividades, de ahí la necesidad de su estudio en profundidad como medio para obtener herramientas de predicción de su producción y efectos que serán la base de la toma de decisiones en cuanto a los mismos.

Estos fenómenos atmosféricos se producen a distintas escalas temporales y espaciales: desde la escala molecular, donde las reacciones químicas y la difusión molecular tienen lugar, hasta los procesos de transporte a escala global, pasando por la microescala, donde los procesos de difusión turbulenta toman cuerpo, la mesoscala, que es el rango habitual de la problemática en las grandes zonas urbanas e industriales, y la escala continental con los problemas de transporte transfronterizo de contaminantes. En la figura Fig. I.1 se puede observar la variedad de procesos clasificados en sus escalas espaciales y su correspondiente escala temporal.

I. Introducción

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Fig. I.1 Clasificación de procesos atmosféricos en función de sus escalas temporales y

espaciales.

I.1.1 ESTRUCTURA DE LA ATMÓSFERA

La atmósfera se puede dividir en distintas capas horizontales teniendo en cuenta la variación de la temperatura con la altura. Según su estratificación se pueden dividir en cuatro capas:

- Troposfera: es la capa más cercana a la superficie ya que ocupa los primeros 10 - 12 km y, por tanto, donde se producen los fenómenos meteorológicos más estudiados, así como la actividad propia de los seres vivos.

- Estratosfera: ocupa el espacio comprendido entre la tropopausa, hasta aproximadamente los 50 km. La estratosfera está dividida en dos capas, la primera se caracteriza por ser isoterma, mientras que en la capa superior se produce un aumento de temperatura conforme aumenta la altura. Este aumento se debe a las reacciones exotérmicas en las que el

I. Introducción

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oxígeno molecular (O2) y el ozono (O3) que reaccionan absorbiendo la radiación ultravioleta de longitud de onda dañina para los seres vivos, por lo tanto, su actividad es indispensable para la vida en la Tierra.

- Mesosfera: es la capa comprendida entre 50 y los 80 km, caracterizada por una disminución de temperatura con la altitud. Está compuesta por formas ionizadas de oxígeno atómico, y bajas concentraciones de ozono.

- Termosfera: se extiende desde la mesopausa hasta el espacio exterior. En las capas inferiores está compuesta por nitrógeno (N2) y oxígeno (O2) molecular, mientras que en las zonas altas sobre los 200 km hay una predominancia de oxígeno atómico (O). Se caracteriza por un aumento de temperatura con la altura debido a la absorción por parte del nitrógeno y oxígeno de radiación de longitud de onda muy corta (y por tanto, muy energética) que no llega a la mesopausa. En esta capa se dan fenómenos importantes, como la neutralización de la radiación cósmica, ultravioleta de onda corta y rayos X debido a la acción intensa del campo magnético de la Tierra.

En la figura Fig. I.2 se puede apreciar la evolución de la temperatura con la altura, la localización de las distintas capas y las zonas de transición entre ellas (Sportisse, 2010).

Fig. I.2. Estructura térmica vertical de la atmósfera.

Para el estudio de la contaminación atmosférica nos interesa la capa inferior que actúa como elemento receptor de la misma y donde se producirán las

I. Introducción

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transformaciones químicas de los contaminantes y fenómenos de transporte estudiados con posterioridad.

LA TROPOSFERA.

La troposfera es la porción inferior de la atmósfera libre. Su espesor es de aproximadamente 10 ó 12 km. Se caracteriza por el descenso de la temperatura con el incremento de la altitud. Por término medio el descenso de la temperatura en la troposfera libre es de 6.5º /K Km . Además, contiene la mayor parte de la masa de la atmósfera, entre un 75% y un 90% de la masa total de la misma.

Adquiere gran importancia por ser la capa atmosférica más próxima a la superficie y, por tanto, donde se producen los fenómenos meteorológicos más estudiados, así como la actividad propia de los seres vivos.

La parte de la troposfera más cercana a la superficie terrestre es la capa límite . Esta capa está influenciada por la superficie terrestre y responde a fuerzas de la superficie con un tiempo de escala de aproximadamente una hora o incluso inferior. Aquí la estratificación de temperatura es muy distinta a la del resto de la troposfera que llamaremos, troposfera libre . Además en esta capa límite se producen variaciones muy importantes de la temperatura a lo largo del día y la noche. Suelen aparecer zonas con situaciones de inestabilidad térmica (decrecimiento de la temperatura con la altitud) por el día y de estabilidad e incluso de inversión térmica durante la noche (decrecimiento de la temperatura con la altitud), procesos relacionados con episodios de contaminación en grandes urbes producidos por efectos denominados “isla térmica”.

I.1.2. CONTAMINACIÓN ATMOSFÉRICA

La Ley 34/2007, de 15 de noviembre, de calidad del aire y protección de la atmósfera define como contaminación atmosférica, la presencia en el aire de sustancias o formas de energía que impliquen riesgo, daño o molestia grave para las personas y bienes de cualquier naturaleza.

La contaminación atmosférica puede definirse como cualquier condición de la atmósfera en la que ciertas sustancias (elemento o compuesto natural o artificial) se incorporan o alcanzan concentraciones lo suficientemente elevadas sobre su nivel ambiental normal (tabla I.1), como para producir un efecto negativo en la salud de las personas y de los animales, dañar la vegetación, ensuciar y deteriorar los materiales, afectar al clima, reducir la

I. Introducción

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visibilidad y la radiación solar, y en general, en la calidad y disfrute de la vida.

SUSTANCIA CONCENTRACIÓN EN PPM

Nitrógeno 780840

Oxígeno 209460

Argón 9340

Dióxido de carbono 315

Neón 18

Helio 5.2

Metano 1.0-1.5

Criptón 1.1

Óxido nitroso 0.5

Hidrógeno 0.5

Xenón 0.08

Tabla I.1. Composición del aire seco a nivel del mar.

Cuando estas materias o fuentes de energía ponen, o es probable que pongan, en peligro la salud del hombre, su bienestar o recursos, directa o indirectamente, se denominan contaminantes (Williamson, 1972). De la definición anterior se deduce que para que una sustancia se pueda considerar contaminante atmosférico o no, dependerá de los efectos que produzca sobre sus receptores, por lo que una misma sustancia puede ser considerada un contaminante en determinadas condiciones y en otras considerarla como beneficiosa o neutra. Ejemplo de ello es el ozono, que es elemento esencial para la protección contra la radiación ultravioleta cuando se encuentra en la estratosfera pero es nocivo cuando supera determinados niveles en la troposfera.

Los problemas de contaminación atmosférica aparecen por la liberación a la atmósfera de diferentes especies, a las que se les denomina emisiones y que pueden tener varios orígenes.

I. Introducción

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La contaminación atmosférica no solo tiene su origen en la actividad humana (contaminación antropogénica), sino también en fenómenos naturales como los que se producen como parte de los ciclos elementales de la materia (ciclos del oxígeno, carbono, o nitrógeno), el vulcanismo, los procesos de fermentación, los incendios forestales, etc.

Para una completa comprensión del problema es necesario comprender una serie de procesos que surgen del sistema dinámico complejo que constituye la atmósfera terrestre. Estos procesos implican la emisión del contaminante a la atmósfera, el transporte, difusión turbulenta y transformaciones químicas y físicas, y, por último, su recepción por los seres vivos.

I.1.2.1. CLASIFICACIÓN DE LOS CONTAMINANTES ATMOSFÉ RICOS

I.1.2.1.1 Clasificación de contaminantes atmosféric os según su naturaleza físico-química.

Debido a la diversidad de tipos de contaminantes es difícil realizar una clasificación idónea de los tipos de contaminantes atmosféricos. Una clasificación frecuentemente utilizada sería la siguiente:

- Óxidos de carbono - Óxidos de azufre - Óxidos de nitrógeno - Partículas y aerosoles - Oxidantes - Compuestos orgánicos volátiles - Substancias radiactivas - Ruido - Calor - Otros contaminantes

I.1.2.1.2 Clasificación de contaminantes atmosféric os según su origen.

Otra aproximación al problema muy útil, se basa en la clasificación de contaminantes atmosféricos según el método de aparición en la atmósfera. De esta manera tendríamos:

- Contaminantes primarios. Son las sustancias que tienen carácter contaminantes y son vertidas directamente a la atmósfera desde los focos emisores, tanto naturales como antropogénicos, y provocan alteraciones en la calidad del aire

I. Introducción

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produciendo lo que se conoce a menudo como “contaminación convencional. Los principales contaminantes primarios son:

o Los compuestos del carbono: CO2, CO, CH4, VOC’s (Volatile Organic Compound)

o Compuestos del nitrógeno: NO2, NO, NH3. o Compuestos del azufre: SO2 o Compuestos halogenados. o Materia particulada (agrupada en PM10 (materia particulada de 10

micrómetros de diámetro), de baja penetrabilidad en las vías respiratorias, y PM2.5 (materia particulada de 2.5 micrómetros de diámetro), de profunda penetrabilidad en las vías respiratorias).

- Contaminantes secundarios. Los contaminantes secundarios son el resultado de la interacción química, entre contaminantes primarios y otros compuestos habituales de la atmósfera, los más importantes son el ácido sulfúrico (H2SO4), ácido nítrico (HNO3), ozono (O3), peroxiacetilnitrato (PAN) (Jacobson, 2005).. En la tabla I.2 se expone un resumen de las principales familias de contaminantes atmosféricos, y una breve descripción de sus fuentes, características y efectos.

I. Introducción

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TIPO CONTAMINANTE FUENTE CARACTERÍSTICAS EFECTOS

Óxidos de carbono

Monóxido de Carbono (CO)

Combustión incompleta de gasolina o gasoil

Primario Gas Incoloro Inodoro insípido

Reemplaza al oxígeno en la unión O2-hemoglobina produciendo anoxia y muerte celular.

Dióxido de Carbono (CO2)

Combustible de productos orgánicos

Primario Gas incoloro Inodoro insípido

Efecto invernadero. Cambio climático.

Óxidos de azufre

Dióxido de azufre SO2

Combustión de Carbón y petróleo Aerosol marino Volcanes

Primario Incoloro Olor fuerte e irritante No inflamable

Contribuye a la lluvia ácida.

Trióxido de azufre SO3

Reacciones de SO2 con O2

Secundario Contribuye a la lluvia ácida.

Óxidos de Nitrógeno

Óxido Nitroso (N2O)

Descomposición de materia orgánica nitrogenada.

Gas inerte. Anestésico.

Contribuye al efecto invernadero, afectando a la destrucción de la capa de ozono.

Óxido Nítrico (NO)

Acción biológica y procesos de combustión.

Incoloro. Inodoro. Tóxico en elevadas concentraciones.

Contaminación fotoquímica.

Dióxido de Nitrógeno (NO2)

Combustión a elevadas temperaturas de carbón, petróleo y gasolina.

Irritante. Precursor de O3

Contribuye a la lluvia ácida. Contaminación fotoquímica.

Partículas Polvos. Humos. Nieblas o brumas.

Natural. Antropogénico.

Pueden transportar consigo otros contaminantes.

Afecta a las vías respiratorias.

Oxidantes Ozono (O3) Reacciones químicas de sus precursores: - Óxidos de Nitrógeno. - Compuestos Orgánicos Volátiles.

Secundario Smog fotoquímico. Irritación de ojos y membranas. mucosas.

Tabla I.2 Resumen de los principales contaminantes atmosféricos.

I. Introducción

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I.1.2.2. DESCRIPCION DE LOS CONTAMINANTES ATMOSFÉRI COS MÁS IMPORTANTES.

a) Dióxido de carbono (CO 2) Es un gas incoloro, inodoro e insípido que se encuentra presente en la atmósfera de forma natural y no es tóxico. Desempeña un importante papel en el ciclo del carbono en la naturaleza y enormes cantidades, del orden de 1012 toneladas, pasan por el ciclo natural del carbono, en el proceso de fotosíntesis. Dada su presencia natural en la atmósfera y su falta de toxicidad, no deberíamos considerarlo una sustancia que contamina, pero se dan dos circunstancias que lo hacen un contaminante de gran importancia en la actualidad:

- es un gas que produce un importante efecto de atrapamiento del calor, el llamado efecto invernadero; y

- su concentración está aumentando en los últimos decenios por la quema de los combustibles fósiles y de grandes extensiones de bosques.

Por estos motivos es uno de los gases que más influye en el calentamiento global del planeta y el consiguiente cambio climático. Emisiones de CO2 proceden de combustiones diversas (industriales, domésticas, comerciales, etc), de las plantas eléctricas, y del transporte.

b) Monóxido de carbono (CO) Es un gas contaminante primario, sin color, olor ni sabor. Tiene una reactividad inferior a los óxidos de azufre y de nitrógeno y los procesos de eliminación por depósito no parecen ser tan efectivos. Ello explica que el tiempo de permanencia en la atmósfera sea del orden de un mes. La concentración ambiental en una atmósfera limpia es inferior a 200 µg /m3, mientras que una atmósfera contaminada puede ser superior a 30.000 µg /m3. Alrededor del 90% del que existe en la atmósfera se forma de manera natural, en la oxidación de metano (CH4) en reacciones fotoquímicas. Se va eliminando por su oxidación a CO2. Es uno de los contaminantes más abundantes en la baja atmósfera. Su origen está principalmente en la combustión incompleta de combustibles carbonosos. Las emisiones antropogénicas, consecuencia de las actividades humanas, lo genera en grandes cantidades siendo, después del CO2, el contaminante emitido en mayor cantidad a la atmósfera por causas no naturales. Procede, principalmente, de la combustión incompleta de la gasolina y el gasoil en los motores de los vehículos, pero también hay contribuciones significativas de industrias y centrales de producción de energía.

I. Introducción

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El CO es tóxico porque envenena la sangre impidiendo el transporte de oxígeno. Se combina fuertemente con la hemoglobina de la sangre y reduce drásticamente la capacidad de la sangre de transportar oxígeno. Es responsable de la muerte de muchas personas en minas de carbón, incendios y lugares cerrados (garajes, habitaciones con braseros, etc.) c) Dióxido de azufre (SO 2). El dióxido de azufre es un importante contaminante primario. Es un gas incoloro y no inflamable, de olor fuerte e irritante. Su vida media en la atmósfera es corta, de unos 2 a 4 días. Casi la mitad vuelve a depositarse en la superficie y el resto se convierte en iones sulfato (

), por este motivo es un importante factor en la lluvia ácida. En conjunto, más de la mitad del SO2 que llega a la atmósfera es emitido por actividades humanas, sobre todo por la combustión de carbón y petróleo y por la metalurgia. Otra fuente muy importante es la oxidación del H2S. En la naturaleza, es emitido en la actividad volcánica. En algunas áreas industrializadas hasta el 90% del SO2 emitido a la atmósfera procede de las actividades humanas, aunque en los últimos años está disminuyendo su emisión en muchos lugares gracias a las medidas adoptadas. En España sus emisiones se concentran en Galicia y Aragón, al estar situadas en estas Comunidades importantes instalaciones productoras de electricidad que usan combustibles de baja calidad. En los últimos años se están produciendo importantes disminuciones en la emisión de este contaminante como consecuencia de estar sustituyéndose los carbones españoles (de baja calidad) por combustibles de importación, más limpios. De todas formas las cantidades producidas siguen siendo bastante grandes y, de hecho, es el contaminante primario emitido en mayor cantidad después del CO. d) Trióxido de azufre (SO 3)

El SO3 es un contaminante secundario que se forma cuando el SO2 reacciona con el oxígeno en la atmósfera. Posteriormente, este gas reacciona con el agua formando ácido sulfúrico con lo que contribuye de forma muy importante a la lluvia ácida y produce daños importantes en la salud, la reproducción de peces y anfibios, la corrosión de metales y la destrucción de monumentos y construcciones de piedra.

Algunos otros gases compuestos de azufre, como el sulfuro de hidrógeno (H2S), son contaminantes primarios, pero normalmente sus bajos niveles de emisión hacen que no alcancen concentraciones dañinas.

Estos contaminantes son, por tanto, eliminados por la lluvia tanto en el proceso de formación de gotas, como en el lavado por la lluvia misma. También las partículas de sulfatos sedimentan sobre la superficie y la vegetación.

I. Introducción

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e) Óxidos de nitrógeno.

De los más de ocho óxidos distintos que forman esta familia, (NOx), tres son los que están en el aire en cantidades apreciables, N2O (óxido nitroso), NO (óxido nítrico) y NO2 (dióxido de nitrógeno).

- Óxido nitroso

El N2O es un gas inerte de carácter anestésico que contribuye al efecto invernadero (absorbe 200 veces más radiación infrarroja que el CO2) y afecta a la destrucción de la capa de ozono, incrementándose la presencia del mismo en la atmósfera como consecuencia de las emisiones procedentes de la descomposición de materia orgánica nitrogenada, alcanzando unos niveles en el aire de 0,50 ppm.

- Óxido nítrico

El NO es un gas incoloro e inodoro, tóxico a altas concentraciones y presente en el aire en menos de 0,50 ppm. Aunque a baja concentración su tolerancia por los seres vivos es aceptable, sin embargo es oxidado por acción del ozono para producir NO2 y por tanto responsable, en parte, de la contaminación fotoquímica.

El NO es producido por acción biológica y en los procesos de combustión. El tiempo de residencia es de solo 5 días.

Las reacciones entre el nitrógeno (tanto del aire como el que está presente en el combustible) y el oxígeno se resumen en las dos reacciones siguientes:

2 2

2 2

2

1

2

NO O NO

NO O NO

+ →

+ →

- Dióxido de nitrógeno

El NO2 es uno de los contaminantes más peligrosos, en primer lugar por su carácter irritante y, en segundo lugar, porque se descompone por medio de la luz solar según la reacción:

2 NO h NO Oυ+ → +

La formación de oxigeno atómico, que es muy reactivo, convierte al oxigeno en ozono.

En torno al 67% de las emisiones de NOx son de origen antropogénico, de las cuales, más del 90% se originan en combustiones a elevadas temperaturas, tanto de fuentes estacionarias como móviles.

I. Introducción

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Estos compuestos junto con el amoniaco pueden reaccionar con el agua de la atmósfera produciendo ácidos, que, por tanto, contribuyen también a la lluvia ácida.

Para un efectivo control de emisiones de los NOx se tendrá en cuenta lo siguiente:

- El exceso de aire incrementa la temperatura y por tanto es mayor la emisión de NOx.

- El precalentamiento del aire produce idéntico efecto, a pesar del ahorro energético.

- La recirculación de los gases de combustión fríos rebajan la temperatura y reducen las emisiones.

Las principales fuentes artificiales de óxidos de nitrógeno son la combustión de carbón, petróleo y gasolina, con una fuerte contribución de los automóviles. Son compuestos, en general, bastante reactivos siendo junto con los compuestos orgánicos volátiles precursores del ozono en la baja troposfera. Las reacciones químicas que dan lugar al ozono precisan de radiación solar (especialmente en el ultravioleta) y altas temperaturas. Son conocidas como reacciones fotoquímicas y los contaminantes como contaminantes fotoquímicos.

Las concentraciones ambientales en una atmósfera limpia son muy bajas (aproximadamente 2µg /m3), mientras que en atmósferas contaminadas nos encontramos concentraciones superiores a 400µg /m3.

f) Partículas

Por partículas entendemos cualquier sustancia, a excepción del agua, presente en la atmósfera en estado sólido o líquido bajo condiciones normales y cuyo tamaño es microscópico o submicroscópico, pero siempre superior a las dimensiones moleculares. Se utilizan varios términos en relación con las partículas en el aire:

1. Polvos . Partículas sólidas dispersas en un gas, originadas por la desintegración mecánica de algún material (trituración de rocas, polvaredas de polvo resuspendido por ráfagas de aire, etc), con tamaño entre 0,1 y 0,5 micrones.

2. Humos. Pequeñas partículas originadas por condensación de un vapor sobresaturado conteniendo concentraciones elevadas de sustancias con baja presión de vapor, por sublimación o bien producidas en las reacciones químicas. El tamaño aproximado es de 1 micrón.

I. Introducción

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3. Nieblas o Brumas. Suspensión de pequeñas gotas líquidas formadas por la condensación de gases o vapores sobre núcleos adecuados. El tamaño aproximado de estas partículas es de 10 micras.

Cada partícula es diferente en forma, tamaño y composición. Al mismo tiempo tiene su historia particular si nos fijamos en su origen, crecimiento, interacción y desaparición. El proceso de generación de partículas y su posterior eliminación es continuo y depende de las específicas fuentes contaminantes, ya sean naturales o antropogénicas, interviniendo de manera importante la meteorología y la topografía de la zona en estudio.

Al conjunto de partículas que pueden encontrarse en la atmósfera se les conoce con el nombre de Aerosoles (Nubes de partículas diversas en el aire de tamaño microscópico y submicroscópico).

En una atmósfera limpia, su concentración natural sería de unos 10 a 20µg /m3, mientras que en atmósferas contaminadas puede superar los 500µg /m3.

Las partículas tienen la particularidad de poder transportar consigo otros contaminantes, tales como metales, sulfatos, etc. El tamaño de la partícula es un factor importante ya que cuanto más pequeño sea este, mayor es la penetración de la partícula en las vías respiratorias. También la procedencia de la partícula va a marcar su tamaño. Se distinguen dos grupos fundamentales:

- Partículas gruesas . Tamaño superior a 2 micras con un máximo alrededor de 10 micras. Su origen es principalmente natural, aunque también puede ser liberadas por la acción del hombre. Las partículas mayores se depositan de forma rápida por acción de la gravedad.

- Partículas finas. Tamaño inferior a 2 micras. Su origen es diverso pero tienen una alta componente antropogénica. La eliminación se hace principalmente por acción de la lluvia.

Las partículas de tamaño inferior a 10 micras se las conoce como PM10 y son las habitualmente legisladas, aunque también lo son las partículas totales y próximamente las PM2.5.

g) Ozono.

Este es quizá el más importante de los contaminantes secundarios. Se origina por las reacciones químicas de sus precursores: óxidos de nitrógeno y compuestos orgánicos volátiles. En estas reacciones juega un importante papel la radiación solar, ya que las reacciones son de tipo fotoquímico y precisan de altas temperaturas para que sean efectivas. Por ello, la formación de ozono en la baja troposfera suele presentarse en días soleados y calurosos. Debido al tiempo necesario para la formación de ozono y a otros factores, los niveles

I. Introducción

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altos de ozono suelen presentarse alrededor de las ciudades, en las zonas donde el viento ha transportado los precursores emitidos desde las mismas. Produce juntos con otros compuestos lo que conocemos como niebla o smog fotoquímico.

En atmósferas limpias podemos encontrar niveles de ozono de entre 30 a 70µg /m3, en situaciones episódicas de ozono se pueden superar los 360µg/m3.

Cuando hay acumulación de este gas o bien de otros oxidantes, como peróxidos, en las capas bajas de la atmósfera se producen efectos nocivos para la salud, como irritación en los ojos y membranas mucosas.

h) Compuestos Orgánicos Volátiles

Los compuestos orgánicos volátiles, COVs, (no metánicos, excluidos CFCs y halones) tienen una procedencia natural considerable (aunque cada día tiene más importancia las emanaciones procedentes de industrias y vertederos de residuos sólidos urbanos) y contribuyen a la contaminación fotoquímica, sobre todo los aldehidos de bajo peso molecular, siendo precursores de la formación de NOx y por tanto corresponsables en la producción de lluvia ácida así como de la contaminación fotoquímica, además de contribuir al efecto invernadero.

i) Metales

Algunos metales y sus derivados presentan valores suficientemente altos de presión de vapor y, por tanto, pueden existir como gases en la atmósfera. Un ejemplo típico es el mercurio, cuya emisión a la atmósfera se debe principalmente a los procesos de obtención del metal y, en segundo término, a la combustión de fuel con un elevado contenido de mercurio.

Otro ejemplo es el plomo, principalmente en forma de sus alquilderivados utilizados en las gasolinas y emitidos a la atmósfera por los motores de automóviles.

j) Hidrocarburos.

Las emisiones de hidrocarburos están asociadas, fundamentalmente, a una mala combustión de derivados del petróleo.

No se describen sus efectos sobre los seres vivos, salvo para el etileno (detiene el crecimiento de las plantas) y los hidrocarburos aromáticos (resultan cancerígenos).

Contribuyen junto a los NOx y la luz UV a la contaminación fotoquímica y al efecto invernadero. Las emisiones de metano y gas natural suponen alrededor de 500 GKg/año procedentes de descomposiciones anaerobias, extracciones mineras y escapes de instalaciones industriales y domésticas.

II Modelización del transporte advectivo de contaminantes en la atmósfera

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CAPÍTULO II. MODELIZACIÓN DEL TRANSPORTE ADVECTIVO DE CONTAMINANTES EN LA ATMÓSFERA.

INTRODUCCIÓN

En este capítulo vamos a realizar una introducción a los modelos de dispersión de los contaminantes químicos centrándonos en las ecuaciones diferenciales parciales (EDP) que modellizan los fenómenos advectivos de la dispersión de contaminantes en la atmósfera. A continuación vamos a introducir un método racional conservativo para la resolución de la parte advectiva de la EDP que modeliza la dispersión de contaminantes. Este método está basado en un método de interpolación racional y en el método de volúmenes finitos.

La ventaja del método racional conservativo con respecto a otros métodos numéricos desarrollados para obtener la solución de la parte advectiva de la EDP de dispersión de contaminante está en que realiza el transporte de una función ( , )f x t o ( , , )f x y t a lo largo del tiempo conservando la masa durante

el desplazamiento. El método racional conservativo emplea una discretización del espacio en celdillas o volúmenes finitos, y en cada paso calcula la aproximación de la función mediante una interpolación racional que hace uso de los valores de la función en las interfases de la celdilla y de la integral ponderada en la celdilla.

El cálculo evolutivo en el tiempo de la integral ponderada se realiza mediante una formulación de flujo, que contempla los valores de la integral ponderada en un instante de tiempo, y actualiza el valor en el siguiente instante de tiempo, agregándole a este valor el balance entre el flujo saliente y el flujo entrante. Esta es la razón por la que el método racional conservativo conserve la masa transportada durante el proceso de integración de la ecuación. El uso de la interpolación racional elimina las oscilaciones que suelen producirse empleando otros métodos numéricos.

Para el tratamiento de problemas advectivos en 2D se hace uso de la técnica de separación de operadores y de un mallado especial denominado Arakawa C-grid.


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II.1 Tipos de modelos de transporte de contaminante s

Los modelos atmosféricos, pueden dividirse, en un sentido amplio, en dos tipos de modelos, los modelos físicos y los modelos matemáticos (Seinfeld & Pandis, 1997).. Los modelos físicos se utilizan para simular los procesos atmosféricos por medio de la representación a pequeña escala del sistema real. Por ejemplo, una réplica a pequeña escala de una zona urbana. Los modelos matemáticos, a su vez, pueden clasificarse en modelos basados en la descripción de los procesos físicos y químicos atmosféricos, y modelos basados en el análisis estadístico. De aquí en adelante, nos referimos como modelos de dispersión a aquellos que se basan en la representación mediante una expresión matemática de los procesos físicos y químicos que afectan la concentración de las especies químicas en la atmósfera. Los usos más representativos de los modelos de dispersión de contaminantes son:

- simular la dispersión de los contaminantes emitidos desde una o varias fuentes, con objeto de estimar la concentración que se espera encontrar en lugares de interés.

- gestión de la calidad del aire en tiempo real, como por ejemplo, en el control de emisiones o protección de la salud humana, sirviendo de herramienta para conocer si se cumple o no la legislación vigente.

Los modelos de contaminación simulan cuantitativamente los distintos procesos que afectan a la evolución de los contaminantes en la atmósfera. Los principales procesos físico-químicos que afectan a la distribución de contaminantes en la atmósfera y que los modelos de dispersión tratan de representar, son:

- la advección de contaminantes (transporte por el viento) - la difusión - los procesos de depósito (deposición seca o húmeda) - las transformaciones químicas y las emisiones. - Otros procesos como los efectos aerodinámicos del terreno o la

sobreelevación del penacho de emisión que también deben ser considerados a la hora de simular el movimiento de un determinado contaminante.

Las información de entrada que necesitan los modelos de dispersión incluye un inventario de emisiones, con las variaciones espaciales y temporales necesarias, datos meteorológicos, como el viento, altura de capa de mezcla, coeficientes de difusión, etc, características de la región, como la topografía o los usos del suelo e información de concentraciones de los contaminantes en los contornos del área de estudio y en el instante inicial.


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II.2 Modelos Eulerianos y Lagrangianos

La solución de la ecuación de dispersión de contaminantes permite conocer la magnitud f en cada punto del espacio (x, y, z) y en el instante de tiempo t. Existen dos aproximaciones numéricas para el tratamiento de la dispersión de los contaminantes atmosféricos: la aproximación euleriana y la aproximación lagrangiana .

• La aproximación euleriana implica la simulación de los cambios de concentración de los contaminantes sobre una malla espacial fija, basándose en la solución numérica explícita de la ecuación de conservación de masa, resuelta en función de condiciones iniciales y de contorno adecuadas. Esta aproximación permite tratar directamente procesos no-lineales, como es la química atmosférica que surge de la interacción entre contaminantes de múltiples y diferentes fuentes. La principal desventaja de esta aproximación está relacionada con la complejidad computacional y la obtención de datos de entrada en la escala espacial requerida.

• La aproximación lagrangiana es más apropiada para el tratamiento de emisiones de fuentes individuales puntuales, pudiendo seguirse el desplazamiento y la trayectoria de dichas emisiones. Las emisiones suelen ser representadas por “plumas” o puntos de partículas, como se verá más adelante .

II.2.1 MODELOS EULERIANOS

En este tipo de modelos el área modelada se divide en celdas o cajas, tanto en la dirección horizontal como vertical. Las concentraciones se calculan en posiciones geográficas fijas y en momentos temporales concretos, basándose en concentraciones iniciales, nuevas emisiones, transporte hacia dentro y hacia fuera de cada caja o celda, dilución y reacciones químicas.

Aunque al principio esta aproximación estaba centrada principalmente a regiones urbanas, en seguida se desarrollaron modelos regionales de tipo euleriano. La necesidad de modelos a escala regional se puso de manifiesto en situaciones donde el transporte a largas distancias juega un papel importante para determinar la concentración de contaminantes en varias localidades.

Características principales

Los modelos eulerianos utilizan directamente la ecuación de dispersión.

( ) ( )fuf k f P L

t

∂ +∇ = ∇ ∇ + −∂ (2.1)


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Donde f es la cantidad de contaminante transportado, u es la velocidad del

viento, el término ( )uf∇ representa el transporte advectivo, el término ( )k f∇ ∇

representa la difusión del contaminante y los términos P y L representan la pérdida y producción de contaminante respectivamente, correspondiente a diferentes procesos como las emisiones, la generación química de contaminantes secundarios, o el depósito seco y húmedo y el consumo de contaminantes dentro de las reacciones químicas.

El dominio espacial (un área geográfica o un volumen de aire) en el cual se van a aplicar las ecuaciones, se divide en pequeñas celdas (ver Fig. 3.1).

Fig.2.1 . Discretización del dominio espacial en el modelo euleriano.

Por este motivo, estos modelos son conocidos también como modelos de celdas o modelos de malla. Las derivadas parciales que conforman la ecuación (2.1) se discretizan en la malla seleccionada. Esto quiere decir que cada uno de los procesos (advección, difusión vertical, reacciones químicas, depósito y emisiones) debe ser descrito para cada celda con respecto a un sistema de referencia fijo.

La figura 2.2 muestra los diversos flujos de contaminantes posibles: Entrada por advección por el oeste (HW), salida por advección hacia el este (HE), entrada por advección desde el sur (HS), salida hacia el norte (HN), pérdida por depósito (D), entrada por emisiones (E), variaciones por transformaciones químicas en el interior de la celda (Q), y entrada y salida de la celda en la dirección vertical (V).


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Fig. 2.2 Discretización de los flujos de contaminantes a través de una

celda del dominio

El sistema de ecuaciones debe ser resuelto para cada paso temporal. Se emplean métodos numéricos, como diferencias finitas, volúmenes finitos, etc.

II.2.2 Modelos Lagrangianos Características principales Esta aproximación se basa en el cálculo de las trayectorias del viento y en el transporte de parcelas de aire a lo largo de esas trayectorias. Por este motivo son conocidos también como modelos de trayectoria. La trayectoria puede calcularse desde el momento en que se produce la emisión hasta alcanzar la zona de interés o, por el contrario, desde el punto de interés hacia atrás, hasta llegar al origen de la emisión. Esta posibilidad de seguir la trayectoria de una nube de contaminantes originada por una emisión determinada hace que los modelos lagrangianos se empleen frecuentemente en la modelización de las emisiones de fuentes puntuales. Matemáticamente, los modelos lagrangianos calculan la difusión de los contaminantes en un sistema móvil ligado a una determinada parcela de aire mientras es transportada por el viento. Las emisiones son representadas por una serie de elementos discretos transportados por la velocidad media del viento. Los modelos que utilizan esta aproximación se diferencian entre sí en el

N

S

O E

AMv

AMD

AMQ

AME

AM HO

AM HE

AM HN

AM HS


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elemento lagrangiano que emplean para representar la emisión (pluma, penacho, partículas), en las características de dicho elemento y en cómo responde éste a los cambios del campo de viento a gran escala, Asimismo también se diferencian en las simplificaciones que se utilizan para reducir el tiempo de cálculo y los requisitos computacionales. II.3. – Ecuación de dispersión de contaminantes en la atmósfera

A partir de este punto nos centraremos en la definición y la resolución de la ecuación de transporte advectivo.

Para el caso de una dimensión, el transporte advectivo se puede representar como

0f f

ut x

∂ ∂+ =∂ ∂

(2.2)

Donde ( , )f x t es la concentración de sustancia transportada y u es la

velocidad del viento. Esta ecuación en derivadas parciales es lineal, de primer orden con un coeficiente, u correspondiente a la velocidad del viento. Con una velocidad del viento constante la solución de la ecuación es la translación de la función f con una velocidad u sin cambio de forma.

Para el caso de dos dimensiones se tiene:

0f f f

u vt x y

∂ ∂ ∂+ + =∂ ∂ ∂

(2.3)

siendo ( , , )f f x y t= Para el caso de tres dimensiones se tiene:

0f f f f

u v wt x y z

∂ ∂ ∂ ∂+ + + =∂ ∂ ∂ ∂

(2.4)

siendo ( , , , )f f x y z t= Esta ecuación, sin embargo, no es suficiente para describir todos los fenómenos físicos que ocurren en la atmósfera. Además de la advección o transporte tendremos un fenómeno de difusión y por tanto la ecuación anterior cambia a:

2 2 2

2 2 20

f f f f f f fu v w

t x y z x y zα β γ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + + + + =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (2.5)

siendo ∝, β y γ , los coeficientes de dispersión en las direcciones , x y y z


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La emisión de contaminantes a la atmósfera se representa como Q. Además existen procesos a través de los que se produce una disminución de la cantidad de contaminantes y que, por tanto, deben ser incorporados en el balance de masas. Se trata de los procesos de depósito de material (D), que pueden producirse sobre el suelo o sobre otros receptores. Si añadimos estas emisiones y pérdidas de masa a la ecuación (2.5), ésta se transforma en:

2 2 2

2 2 20

f f f f f f fu v w Q D

t x y z x y zα β γ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + + + + + − =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (2.6)

Por último, para concluir con el balance de masas representativo de los procesos físicos y químicos que se producen en la atmósfera, es necesario considerar las reacciones químicas que pueden tener lugar, bien entre el contaminante que estamos considerando y otras especies químicas presentes, o reacciones de fotolisis en presencia de luz solar. Si incluimos el término relativo a las reacciones químicas, R, la expresión (2.6) se convierte en:

2 2 2

2 2 20

f f f f f f fu v w Q D R

t x y z x y zα β γ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + + + + + − + =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (2.6)

Esta ecuación es la ecuación de dispersión de un contaminante en la atmósfera, para un fluido incompresible y en régimen turbulento. Lo que esta ecuación nos dice es que la variación de la concentración de un contaminante,

f , asociada a un flujo turbulento, por unidad de masa y de tiempo, se debe

fundamentalmente a cinco efectos:

1) Advección f f f

u v wx y z

∂ ∂ ∂+ + ∂ ∂ ∂ , es decir, el transporte de los

contaminantes por la acción del viento.

2) Difusión , 2 2 2

2 2 2

f f fx y z

α β γ ∂ ∂ ∂+ + ∂ ∂ ∂ que representa las variaciones que,

como consecuencia del estado turbulento del fluido, pueden producirse en el volumen de control

3) La emisión del contaminante , ( )Q , debida a la presencia de fuentes en el

volumen. Un ejemplo es la emisión desde chimeneas.

4) La eliminación del contaminante , ( )D , producida especialmente por

procesos de depósito sobre la superficie terrestre.


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5) La transformación química , ( )R , del contaminante, que puede conducir a

la eliminación del contaminante si éste reacciona con otros compuestos en la atmósfera, o a su producción, si otros compuestos reaccionan entre sí para formar el contaminante considerado. La Figura 2.3 muestra un esquema simplificado del conjunto de procesos que pueden tener lugar, de forma simultánea, en la atmósfera.

Fig. 2.3 . Esquema de los procesos que intervienen en la distribución de la concentración de los contaminantes atmosféricos.

II.3.1. Descripción de los procesos de dispersión A continuación se expone brevemente la relación que tiene cada uno de los términos que aparece en la ecuación de dispersión de contaminantes en la atmósfera (2.6) con la concentración final de los contaminantes y qué factores son necesarios conocer para su resolución.

• Término de advección. Este término, como ya se ha indicado, está relacionado con la llegada de contaminante al volumen de estudio procedente del exterior y que entra transportado por el viento. Del mismo modo se produce una pérdida de material, que sale del volumen de estudio arrastrado también por el viento. Una mayor intensidad de viento desplazará los contaminantes con mayor velocidad y favorecerá el transporte. Para resolver este término de la ecuación es necesario conocer el campo de velocidades del flujo atmosférico (viento). Este es el motivo de la importancia de los modelos meteorológicos, bien de tipo diagnóstico o de pronóstico, ya que permiten generar los campos de vientos


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necesarios para la resolución de la ecuación de dispersión. Para un resumen de los modelos meteorológicos ver Apéndice I.

• Término difusivo. Existen diversas parametrizaciones para la estimación de estos términos. Una aproximación muy frecuente utilizada en los modelos eulerianos es la teoría K o del gradiente. En general, este término está relacionado con los procesos turbulentos que producen movimientos verticales en la atmósfera y por tanto originan una mezcla vertical de contaminantes. Estos procesos tendrán mayor o menor importancia en función de ciertos factores meteorológicos, como son la estabilidad atmosférica (si la atmósfera es estable los movimientos verticales estarán más impedidos) o la altura de capa de mezcla , que indica el espesor de la atmósfera en el cual se producen los procesos de mezcla (si la altura de capa de mezcla es alta, los procesos de mezcla vertical se extenderán a una mayor altura, es decir, los contaminantes se dispersarán más verticalmente y por tanto en zonas próximas a la superficie su concentración será menor).

• Término relativo a las reacciones químicas . Este término incluye las transformaciones químicas que sufren los distintos compuestos en el interior del volumen. Pueden conducir a un aumento de la masa de contaminante en el sistema, si otros contaminantes reaccionan entre sí causando la formación del contaminante que nos interesa o puede producirse su desaparición, si dicho contaminante es el que reacciona con otros para producir nuevas especies. Se consideran también las reacciones de origen fotoquímico, es decir, producidas por la presencia de radiación ultravioleta. Muchos modelos no incorporan este término y, por tanto, su aplicabilidad se reduce al estudio de contaminantes inertes, o, lo que es lo mismo, al estudio de contaminantes que no sufren reacciones químicas en la atmósfera. Sin embargo, para los contaminantes reactivos (NOx, O3) es imprescindible la inclusión de este término. A los modelos que contienen la descripción de las reacciones químicas atmosféricas se les conoce como modelos fotoquímicos. El grado de sofisticación de los diferentes esquemas fotoquímicos varía de acuerdo a los modelos y los problemas en estudio.


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• Término relativo a las emisiones Otro término de la ecuación de continuidad es el correspondiente a las emisiones de sustancias a la atmósfera. Las emisiones pueden producirse bien por fuentes naturales o por fuentes antropogénicas. Otro criterio de clasificación permite distinguir entre fuentes primarias y fuentes secundarias. Las primeras son las emisiones directas de contaminantes, por ejemplo emisiones de SO2 por una chimenea. Las segundas se refieren a emisiones que ocurren por transformación química de los compuestos emitidos, por ejemplo la formación de sulfatos a partir de la oxidación de dióxido de azufre.

• Procesos de depósito o deposición. Además de las reacciones químicas, existen otros procesos por los cuales se eliminan contaminantes de la atmósfera. Son los procesos de depósito, y se producen a través de dos mecanismos diferentes:

Depósito seco (deposición seca) , o captura de gases o partículas directamente por la vegetación u otras superficies, mediante impacto, sedimentación o difusión

Depósito húmedo (deposición húmeda) o absorción de la contaminación por hidrometeoros y posterior precipitación hacia el suelo.

Tanto el depósito seco como el húmedo limitan el tiempo de permanencia en el aire de los contaminantes, controlan la distancia a la que pueden ser transportados y, en definitiva, determinan sus concentraciones finales. En esta Tesis nos interesa la modelización del transporte, difusión y reacciones químicas de los contaminantes, por lo que no trataremos los procesos de depósito o deposición. II.4 Resolución numérica del módulo de advección En esta Tesis se propone en primer lugar realizar una modelización del transporte mediante un método racional (empleando una función interpoladora racional) que sea a la vez conservativa, es decir, que conserve la masa o volumen del fluido durante el transporte.


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II.4.1 Resolución de la ecuación de transporte adve ctivo en 1- D II.4.1.1 Discretización del dominio – mallado unifo rme.

Se muestra en la figura 2.4 un esquema de mallado que representa los nodos en el eje de tiempo t y de espacio x, las separaciones de los nodos en el eje x son de valor fijo ∆x (definido para cada simulación, es un dato de entrada) y su nomenclatura es con subíndices numerados a partir del nodo 1. Lo mismo pasa para el eje t, las separaciones se notan con superíndices numerados a partir del instante inicial (0, 1....n) y se define su duración para cada simulación. Se define igualmente el número total de pasos de tiempo en cada simulación.

Fig. 2.4. Discretización del dominio. Mallado uniforme

Datos de entrada:

∆x = separación de los nodos en el eje x. ∆t = duración de cada paso de tiempo Nx = número de incrementos de x Nt = número total de pasos de tiempo.

n

i-1 i+1 i

x

t

∆x

n+1


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II.4.1.2 Método racional conservativo o método CSLR 0

El método racional conservativo (CSLR0) (Gavete et al., 2012), (Molina et al., 2011a), (Molina et al., 2011b), aproxima el flujo dentro de cada celda por funciones de interpolación racionales. Tanto el valor de la integral de la celda como los valores en las dos fronteras de celda se emplean para la construcción de la función de interpolación. El valor de la integral de la celda se obtiene calculando el valor de flujo de entrada y salida.

Los esquemas conservativos tienen reducidos errores de dispersión y difusión. Las interpolaciones racionales suprimen las oscilaciones producidas por las funciones interpoladoras polinomiales y se puede obtener un perfil continuo con mayor suavidad en todo el dominio computacional. Sin ninguna manipulación explícita del flujo, como el limitador de pendiente, los esquemas son computacionalmente más eficientes que los del Piecewise Parabolic Method (PPM) (Colella & Woodward, 1984).

El esquema PPM construye la interpolación utilizando solamente los valores medios de celda, y requiere manipulaciones extra para suprimir la oscilación numérica. El perfil de reconstrucción es, por tanto, a trozos (ver figura 2.5).

Fig. 2.5 : perfil PPM

En el esquema CSLR0, la función de interpolación se construye usando la integral en la celda y únicamente determinando los valores de límite de celda

1+if , los cuales se calculan mediante una aproximación semi-lagrangiana. Se obtiene así un perfil de reconstrucción bien conectado (ver figura 2.6). El esquema CSLR0 proporciona valores no solo en los nodos sino también entre ellos y es más efectivo para el caso en que requiera resolución dentro de una malla de tamaño variable.

fi-1

fi

fi+1


28/284

Fig. 2.6: Perfil CSLR0

El esquema CSLR0 es un esquema conservativo pero en él la interpolación a trozos se realiza utilizando una función racional (cociente de polinomios).

Se considera la ecuación de advección:

( )0

∂ ∂+ =∂ ∂f fut x

(2.7)

Para el programa numérico se tomará la velocidad u como un valor constante, por lo que u sale de la parcial de x por no depender de esa variable. En adelante se distinguirá el caso u < 0 del u > 0.

Un esquema numérico se puede construir utilizando directamente una forma de flujo, como:

( )( )1

ρ∂ −+=∂ ∆

fu fu ii it x

i (2.8)

donde iii xxx −=∆ +1 .

Aquí iρ denota el promedio de la integración de celda de la cantidad

transportada, mientras que ( ) 1+ifu y ( )i

fu son los flujos que atraviesan los

límites de celda. La formulación numérica resultante es en general automáticamente conservativa.

fi-1

fi

fi+1


29/284

Dados los valores de la integral ponderada en cada celda nip y los valores de la

función en la interfase de cada nif y n

if 1+ , se puede construir una función de

interpolación con tres grados de libertad en el interior de la celda ( )1, +ii xx .

Asignaremos a la función f un subíndice para indicar la posición en el espacio (eje x) y un superíndice para indicar el instante de tiempo (eje temporal, t ): n

if

. El esquema de mallado es el mismo que el que viene representado en la figura 2.4.

II.4.1.2.1 Desarrollo del método

Interpolación

El método utiliza un esquema de interpolación integral en el que se emplean los valores de f(x,t) en los puntos x1, x2, (f(x1, t) y f(x2, t)) y la integral de la función en ese intervalo ( )f x dx∫ como se observa en la figura 3.4.

Según (Feng Xiao & Yabe, 2001), (F. Xiao, 2002)(F. Xiao) (Feng Xiao & Peng, 2004), una función racional es capaz de producir resultados menos oscilatorios comparada con las funciones de interpolación en su forma polinómica. A continuación se van a obtener los valores de la función correspondientes a puntos intermedios a los del mallado utilizando una función racional.

Partiendo de la figura 2.7, la función interpoladora entre los puntos x1 y x2 será:

Fig.2.7 : Interpolación CSLR0

f(x, (Feng f(x1,t)=F(x1)

x1 x2

F(x)

2

1

1

1( ) ρ=

∆∫x

x

F x dxx


30/284

La función racional interpoladora es (para el intervalo ∆x1 = x2 – x1):

( )( )

21 1

2

1

2 ( ) ( )

1F

a b x x b x xx

x x

ββ

+ − + −=+ −

(2.9)

Usando las condiciones de contorno:

1 1( ) nF x f= (2.10)

2 2( ) nF x f= (2.11)

2

1

1

1

( )1 ρ=

∆ ∫x

n

x

F x dxx

(2.12)

La función racional interpoladora (2.9) se puede determinar de forma única siendo sus coeficientes (este es el esquema general de cálculo que se particulariza posteriormente para los casos u > 0 y u < 0):

Coeficiente 1: 1na f= (2.13)

Coeficiente 2: 2b , donde 1 1 1

1

1( )ρβ ρ= + −

∆n n nb f

x (2.14)

Coeficiente 3: bβ , donde 1 1 11

1 2

( )1

( )

ρβρ

−

−= ∆ −−

n n

n n

fx

f (2.15)

Es importante resaltar que puede aparecer una singularidad al aproximar

1 2( )ρ −n nf a cero. Este es el caso en el que un pico o depresión de la onda es transportado. Para evitar esta situación se introduce un modificador de β en:

11

2

1ρ

ρε

βε

− − +

−

+= ∆

+

n n

n n

f

fx (2.16)

donde ε es una cantidad muy pequeña y positiva que evita que aparezca la indeterminación al hacer 1 2 0ρ − =n nf en el denominador. ε puede ser tan


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pequeño como el límite aceptado por el ordenador y no hay necesidad de modificarlo para las diferentes aplicaciones.

Caso u >0

La onda en este caso se desplaza en el sentido positivo del eje x. Utilizando el polinomio interpolador para aproximar la solución de la ecuación de advección

( ) ( , )= − ∆ = − ∆i iF x x u t f x u t t , en este caso la interpolación se realiza entre los puntos i-1 e i .

1 ix x=

2 1ix x −= para u >0

1i i ix x x−∆ = −

( ) ( )( )

2

2

2 ( )

1

i i i ii

i i

Fa b x x b x x

xx x

ββ

+ − + −=

+ − (2.17)

1

( )1ρ

−

=∆ ∫

i

i

xni

xi

F x dxx

(2.18)

Los coeficientes de ( )F x pueden se obtienen como:

Coeficiente 1: nia f= (2.19)

Coeficiente 2: 2 ib donde 1

( )ρβ ρ= + −∆

n n ni i i i i

i

b fx

(2.20)

Coeficiente 3: i ibβ donde 1

1

1ρ

ρε

βε

−

−

− −

−

+= −∆

+

n ni i

i i n ni i

f

fx (2.21)

Después de que todos los intervalos de la función de interpolación ( )F x hayan sido determinados, la solución numérica de f en el paso de tiempo t t+ ∆ es:

( )2

2

1t t i i i

i

i

a b bf

ξ β ξξ β ξξ β ξξ β ξβ ξβ ξβ ξβ ξ

+∆ + +=+

(2.22)


32/284

siendo 1 ix x x x U tξ = − = − = − ∆ (esto es igual para u <0 y u >0.

El valor de la integral ponderada de cada celda ρ i se calcula en el instante siguiente por la formulación de flujo:

11( ) /ρ ρ+

−= − − ∆n ni i i i ig g x (2.23)

Finalmente hay que interpolar en el siguiente paso de tiempo para determinar el valor en la interfase como una función de la media en la celda

(2.24)

El valor medio de la pendiente en la celda, ifδ para la función racional se calcula como

1 1 1 1min( ,3 ,3 )sgn( ), si ( )( ) 0

0, resto de casos+ − + − − − − − >=

i i i i i i i i i ii

f ff

δ ρ ρ ρ ρ δ ρ ρ ρ ρδ (2.25)

siendo 1 1( ) / 2i i ifδ ρ ρ+ −= −

donde 1ig − representa el flujo de f en el paso 1ix x −= . Como puede verse en la

figura 2.8, el área que constituye 1ρ +ni es la resultante de sumar el área

correspondiente al flujo 1ig − (indicada por la parcela “sumar” en la figura) y

restar el área correspondiente al flujo ig (correspondiente a la parcela “restar”).

1 1 1

2

1 1( ) ( )

2 6i i i ii

f f fρ ρ δ δ+ −+= + − −


33/284

Fig.2.8. Esquema 1ρ +ni , U>0

Utilizando (2.12) para realizar la integración se obtiene:

(2.26)

Caso u < 0

En el caso u < 0 el polinomio calcula ( ) ( , ) +∆= − ∆ = − ∆ = t ti i iF x x u t f x u t t f

interpolando entre los puntos i e i+1 (ver figura 2.13).

1 ix x=

2 1ix x += para u <0

1i i ix x x+∆ = −

( ) ( )( )

2

2

2 ( )

1

i i i ii

i i

Fa b x x b x x

xx x

ββ

+ − + −=

+ −

1

( )1ρ

+

=∆ ∫

i

i

xni

xi

F x dxx

(2.27)

xi-1 D D xi x

suma resta

ρ ni

t tif

+∆

2

1t t i i

i

i

a bg

ξ ξβ ξ

+∆ +=+


34/284

Los coeficientes de ( )F x pueden ser obtenidos como:

Coeficiente 1: nia f= (2.28)

Coeficiente 2: 2 ib donde 1

( )ρβ ρ−= −∆

n n ni i i i i

i

b fx

(2.29)

Coeficiente 3: i ibβ donde 1

1

1ρ

ρ εβ

ε−

+

−

− += ∆

− +

n ni i

i i n ni i

fx

f (2.30)

El valor de la integral ponderada en cada celda 1ρ +ni es igual a:

11( ) /ρ ρ+

+= − − ∆n ni i i i ig g x (2.31)

Finalmente hay que interpolar en el siguiente paso de tiempo para determinar el valor en la interfase como una función de la media en la celda.

(2.32)

El valor medio de la pendiente en la celda, ifδ para la función racional se calcula como

(2.33)

siendo 1 1( ) / 2i i ifδ ρ ρ+ −= −

Puede verse en la figura 2.8 que el área que constituye 1ρ +ni es la resultante de

sumar el área correspondiente al flujo ig (flujo de f en ix x= ) y restar el área

correspondiente al flujo 1ig + (flujo de f en 1ix x += ).

1 1 1

2

1 1( ) ( )

2 6i i i ii

f f fρ ρ δ δ+ −+= + − −

1 1 1 1min( ,3 ,3 )sgn( ), si ( )( ) 0

0, resto de casos

δ ρ ρ ρ ρ δ ρ ρ ρ ρδ + − + − − − − − >

=

i i i i i i i i i ii

f ff


35/284

Fig.2.8 . Esquema 1ρ +ni , U<0

Las ecuaciones interpoladoras resultantes para el caso u < 0 son (2.22) y (2.34):

(2.34)

El esquema de cálculo es el mostrado en la figura 2.9.

Fig.2.9 . Esquema de cálculo

xi+1 D D xi x

resta suma

ρ ni

t tif

+∆

( )2

1t t ii

i

a bg

ξ ξβ ξ

+∆ += −+

1nif

+

nif1

nif −

( 1)t n t= + ∆

t n t= ∆

1ρ +n

11( )ρ

−

=∆ ∫

i

i

xn

i x

F x dxx


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II.4.2. Estructura del Algoritmo CSLR0_1D. Método R acional Conservativo en 1 dimensión

El diagrama de funcionamiento del programa en FORTRAN está esquematizado en la figura 2.10.

Fig. 2.10 . Esquema del programa

Archivo de entrada de datos

∆t, ∆x, F, U, Nt y Nx

Subrutina INIT1D

Define forma inicial de la onda, 4 posibles casos incluidos

Subrutina BDC

Define las condiciones de contorno

Bucle n = 1, 2…..Nt

Subrutina CSLR0_1D*

Subrutina MASA

Calcula la masa restante tras cada paso de tiempo

PROCGRAF

Procesador gráfico, representa la solución

Subrutina OUTPUT

Datos de salida del programa

F = valor función


37/284

II.5. Resultados de la simulación de la ecuación de transporte advectivo con el Método Racional Conservativo en una dimensió n.

En primer lugar se han realizado simulaciones para el caso de una onda inicial de forma cuadrada. Los datos de entrada van variando para ver la evolución de las gráficas de salida del programa. Las simulaciones van acompañadas de una gráfica que muestra la forma de la onda (gráfica generada por el procesador gráfico del programa en Fortran) y de otra gráfica generada en Matlab que representa la variación porcentual de la masa (o área contenida bajo la curva) con los pasos de tiempo.

En las simulaciones se incluye la representación en Matlab del cálculo de la masa en cada incremento de tiempo. El programa calcula para cada simulación la variación de la masa asociada a la función interpoladora F(x) y lo compara con el valor de referencia, que es el de la masa asociada a la función de partida f(x). El programa expresa esta variación como un porcentaje dado por la fracción:

( )100

VmasaStep VmasaVARIACIÓN

Vmasa

−=

Donde VmasaStep es la masa en cada paso de tiempo y Vmasa es el

valor de referencia (corresponde al área de la curva inicial). A su vez, el cálculo de masa en cada paso de tiempo se hace para cada intervalo con la

instrucción: ( ) ( )( )1

2

F I F I DX+ + ×, con lo que Vmasa se calcula como la

suma de esta expresión evaluada en cada uno de los intervalos.

Esto se representa gráficamente con la regla del trapecio (ver figura 2.11):

Fig. 2.11 . Cálculo de masa.

F (I+1)

F (I)

∆x


38/284

2.5.1 Simulaciones

2.5.1.1 Simulación 1 (caso 1, CFL = 0,5)

Datos:

DT = 0.001 (incremento de tiempo)

DX = 0.01 (incremento de x)

NT = 391 (número de pasos de tiempo)

NX = 200

U = 5.0 (velocidad)

0.0015.0 0.5 1

0.01

tCFL U

x

∆= = = <∆

La figura 2.12 es la de salida de Fortran, las líneas amarillas corresponden a la forma de la onda inicial cuadrada mientras que la roja/azul representa a la onda de salida. Vemos que la forma de ambas se ajusta bastante, en la ampliación se aprecia mejor (figura 2.13).

Fig. 2.12: Simulación 1

Fig. 2.13: Simulación 1, ampliación


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El programa genera un archivo de datos de salida con el formato de Matlab (extensión .m). Este archivo representa la variación de masa asociada a la función interpolada por cada paso de tiempo (ver figura 2.14), siendo el eje de ordenadas la variación porcentual de masa y el eje de abscisas el número de pasos de tiempo. Como se puede ver en la figura, la oscilación se mantiene en torno a cero, esto demuestra la eficiencia del método conservativo que se está evaluando.

Fig. 2.14: Simulación 1, variación de masa

El valor de la variación de masa en el último paso es de 1,524x10-3 %. Este valor debería ser cero en condiciones ideales, por lo que sirve como estimador del error del método. La variación porcentual de la masa para el último paso es del orden de 10-3 %, por lo que el error es muy reducido.

2.5.1.2 Simulación 2 (caso 1, CFL = 0.5, U<0)

Esta simulación mantiene los mismos datos de la simulación 1 pero con una velocidad U<0, en concreto de valor -5. Al realizar la simulación se observa que el sentido de desplazamiento es el contrario pero los resultados son análogos.

Datos:


número de pasos

%


40/284



NX = 200

U = -5.0 (velocidad)

0.0015.0 0.5 1

0.01

tCFL U

x

∆= = = <∆

En las figuras 2.15 y 2.16 vemos que la onda final se ajusta a la inicial con

bastante precisión.

Fig. 2.15. Simulación 2

Fig. 2.16: Simulación 2, ampliación


41/284

Las variaciones porcentuales de la masa en esta simulación son idénticas a

las de la simulación 1, por ser todos los parámetros idénticos excepto el

sentido de movimiento de la onda.


En esta simulación aumenta el número de pasos de tiempo dejando el resto

de datos de entrada igual que en la simulación 1. Esto se traduce en que el

movimiento dura más.

Datos:




NX = 200

U = 5.0 (velocidad)

0.0015.0 0.5 1

0.01

tCFL U

x

∆= = = <∆

Al ser el tiempo de simulación 10 veces más elevado que en la simulación 1,

la onda pasa 10 veces por el punto de partida (por ser las condiciones de

contorno periódicas). Vemos los resultados en las figuras 2.17 y 2.18, la

onda resultante se ajusta peor a la forma inicial por el mayor tiempo de

simulación.


42/284


Fig. 2.18. Simulación 3, ampliación

En la figura 2.19 se representa la variación porcentual de masa

correspondiente a los pasos de tiempo, se puede ver que está en torno a

cero.


43/284

Fig. 2.19. Simulación 3, variación de masa

El valor de la variación de masa en el último paso es de 3,018x10-3 %. Este

valor es superior al obtenido en la simulación 1 (1,524x10-3 %), lo cual se

explica por el mayor tiempo de simulación, que acarrea un error superior.


En esta simulación aumenta el CFL a 0,9, esto implica una variación en los

valores asociados, en este caso cambia el incremento de tiempo y el número

de pasos.

El número de pasos de tiempo se ve modificado al cambiar el incremento de

tiempo. Si con un ∆t = 0.001 y 390 pasos teníamos un tiempo total de 0,39

segundos, para ese mismo tiempo total y el nuevo ∆t = 0.0018 tenemos que

el número de pasos pasa a ser 217 (para que la onda pase una única vez

por punto de partida).

número de pasos

%


44/284

Datos:




NX = 200

U = 5.0 (velocidad)

La variación de los incrementos de tiempo y espacio y la velocidad de onda

vienen condicionadas por el número de Courant x

tUCFL

∆∆= .

0.00185.0 0.9 1

0.01

tCFL U

x

∆= = = <∆

La ventaja de este método es que es válido para cualquier valor de CFL, contrariamente a otros métodos como las diferencias finitas. Para la programación se ha elegido el caso CFL<1.

Pueden observarse los resultados en las figuras 2.20 y 2.21, la onda final e inicial se ajustan mucho. La precisión del método aumenta al acercarse el valor de CFL a 1, pues en el caso CFL=1 no es necesaria la interpolación de la función y la onda resultante coincide con la inicial.



45/284


La figura 2.22 representa la variación porcentual de masa con el número de pasos, se observa que la oscilación es en torno a cero y con una fluctuación menor que en la simulación 1 (al ser el CFL de la simulación 4 más cercano a 1).

Fig. 2.22 . Simulación 4, variación de masa

número de pasos

%


46/284

El valor de la variación de masa en el último paso es de 7,945x10-4 %. Es un error notablemente inferior al de las simulaciones anteriores, esto es debido a la proximidad del CFL a 1 y al reducido tiempo de simulación (número de incrementos de tiempo).

2.5.1.5 Simulación 5 (caso 1, CFL=0,1)

En esta simulación buscamos tener un valor de CFL bajo, de 0,1. Esto implica una reducción del incremento de tiempo. Al ser el incremento de tiempo menor que en las otras simulaciones pero la distancia a recorrer (longitud del eje x) la misma, el número de pasos aumenta considerablemente (de 390 a 1950).

Datos:




NX = 200

U = 5.0 (velocidad)

0.00025.0 0.1 1

0.01

tCFL U

x

∆= = = <∆

El CFL es de 0,1, por lo que se aleja del caso ideal (CFL = 1, que no requiere interpolación) con respecto a las simulaciones anteriores. Esto se traduce en una reducción de la precisión. Las figuras 2.23 y 2.24 reflejan un ajuste de la onda generada por el programa algo peor que en las simulaciones anteriores.



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Fig. 2.24 . Simulación 5, ampliación

La figura 2.25 refleja la fluctuación de masa con los pasos de tiempo en Matlab, la variación sigue en torno a cero aunque la densidad de fluctuación es mayor que en las simulaciones anteriores (con un CFL mayor).

Fig. 2.25 . Simulación 5, variación de masa

número de pasos

%


48/284

El valor de la variación de masa en el último paso es de 2,89x10-4 %, en principio debería ser mayor que en las simulaciones anteriores por alejarse más el CFL de 1 y por el mayor número de pasos de tiempo con respecto a la simulación 1 y 2, sin embargo hay que tener en cuenta que la figura se deforma. Viendo la figura 2.23 y comparándola con la de la primera simulación, se puede ver que la onda se ajusta peor en la parte superior pero se abre en la parte inferior, esto influye en el cálculo de masa del programa y compensa la pérdida de superficie en la parte superior. Por esto aparece un valor más reducido de error que en los casos anteriores, teóricamente más precisos.

2.5.1.6 Simulación 6 (caso 1, CFL muy bajo-0,01-)

Esta simulación es análoga a la simulación 5, pero reduciendo aun más el CFL y por lo tanto el incremento de tiempo.

El número de pasos de tiempo se ve modificado al cambiar el incremento de tiempo. Si con un ∆t = 0.001 y 390 pasos teníamos un tiempo total de 0,39 segundos, para ese mismo tiempo total y el nuevo ∆t = 0.00002 tenemos que el número de pasos pasa a ser 19500.

Datos:




NX = 200

U = 5.0 (velocidad)

0.000025.0 0.01 1

0.01

tCFL U

x

∆= = = <∆

Al alejarse el CFL del caso igual a uno, la precisión de los resultados es algo peor. Como sucedía en la simulación 5, en las figuras 2.26 y 2.27 se observa un ajuste de la onda final a la inicial algo peor a las simulaciones con CFL próximo a 1.


49/284

Fig. 2.26 . Simulación 6


En la figura 2.28 se ve que la variación de masa se mantiene en torno a

cero.


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Fig. 2.28. Simulación 6, variación de masa

El valor de la variación de masa en el último paso es de 2,807x10-5 %. Es un valor muy reducido con respecto a las primeras simulaciones, teóricamente más precisas por el CFL más cercano a 1 y el menor número de pasos. Pasa lo mismo que en la simulación 5.


El caso 2 se caracteriza por dos ondas iniciales cuadradas.

Datos:




NX = 200

F = 60 (valor inicial de la función, F( ) = variable de la ecuación)

U = 5.0 (velocidad)

número de pasos

%


51/284

0.15.0 0.5 1

1

tCFL U

x

∆= = = <∆

Puede verse en las figuras 2.29 y 2.30 la nueva forma de las ondas iniciales, en este caso se trata de dos ondas cuadradas. Puede observarse que las ondas resultantes se mantienen muy ajustadas a la forma inicial.

Fig.2.29. Simulación 7


52/284


Esta simulación tiene un CFL y un número de pasos igual al de la simulación 1 (que es caso 1, con onda inicial cuadrada). La gráfica de salida de Matlab se puede ver a continuación (figuras 2.31), en la que se ve que la variación de la masa está en torno a cero.

Fig.2.31. Simulación 7, variación de masa

número de pasos

%


53/284

El valor de la variación de masa en el último paso es de 3,883x10-3 %. Es un valor reducido y acorde con el valor de CFL (0,5) y el número de pasos (390), pues la simulación 1 tiene los mismos datos de entrada y tiene un valor de error del mismo orden.


El caso 3 está definido por una onda inicial con forma de función exponencial.

Datos:




NX = 200

F = 150 (valor inicial de la función, F( ) = variable de la ecuación)

U = 5.0 (velocidad)

0.15.0 0.5 1

1

tCFL U

x

∆= = = <∆

El gráfico siguiente (figura 2.32) muestra la forma exponencial de la onda definida en el caso 3 y la gran precisión del método al ajustar la onda de salida con la inicial, se puede comprobar que apenas pueden diferenciarse ambas funciones en el gráfico.


54/284


El valor de la variación de masa en el último paso es de -4,568x10-4 %.

Se puede concluir por tanto, que el método es igualmente eficaz

independientemente de las condiciones iniciales que apliquemos. Tanto las

gráficas de los casos 1, 2, 3 y 4 muestran un buen ajuste de las ondas

finales a la forma de las iniciales así como estimaciones de errores del

mismo orden.


La siguiente simulación corresponde al caso 4, que se caracteriza por la onda inicial con forma de función polinómica.

Datos:




NX = 200


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F = 0,064 (valor inicial de la función, F( ) = variable de la ecuación)

U = 5.0 (velocidad)

0.15.0 0.5 1

1

tCFL U

x

∆= = = <∆

En la figura 2.33 puede verse que la onda generada por el método mantiene la forma de la onda inicial polinómica.



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II.6 Estructura del algoritmo CSLR0_2D. Método Raci onal Conservativo en 2 dimensiones

Para llevar a cabo la resolución de las ecuaciones en derivadas parciales que modelizan el transporte advectivo en 2 dimensiones vamos a emplear un método de discretización de las ecuaciones en derivadas parciales definidas en un dominio de 2D, separando la EDP en dos dimensiones en sus correspondientes EDP en una dimensión mediante un proceso de splitting (separación de operadores) denominado STRANG SPLIT.

f f fu v

t x y∂ ∂ ∂= +∂ ∂ ∂

(2.35)

Pasamos de esta EDP (2.35) a dos EDP como sigue:

f fu

t xf f

vt y

∂ ∂=∂ ∂∂ ∂=∂ ∂

(2.36)

Vamos a llevar a cabo la resolución del problema resolviendo de forma consecutiva en cada uno de los ejes para minimizar los errores propios del método de splitting.

Para ello es necesario pasar de un mallado en 2-D en los ejes x, e y donde se fijarán los valores de la función (f(x,y)) y de la velocidad para cada uno de los ejes (u, v). Una vez definido, y debido a la necesidad de calcular los valores en la interfase de la celda y de la integral ponderada en el centro de cada celda de control, se va a transformar el mallado original a otro que sigue el esquema Arakawa-C Grid (F.Xiao, [F.3], donde las coordenadas X e Y se desplazan al punto medio de cada eje, y la integral ponderada se coloca en el centro de cada celda de control. Una vez definido el problema en 2- D, y gracias al empleo de este esquema, se facilita la transformación de variables para llevar a cabo la resolución de las EDP según el Método Racional Conservativo en 1 D, primero en el eje X y después para el eje Y, en un primer momento y alternando el orden para pasos sucesivos.

El esquema de funcionamiento del algoritmo es el siguiente:

- En un primer momento se definen los valores de la función en el mallado original (f(x,y)), así como los valores de la velocidad en los dos ejes (u, v).

- Así mismo, se dan valores a la variable función inicial utilizada para la comprobación de errores.

- Una vez definidos los valores se lleva a cabo una transformación de variables para ajustar los valores al mallado que sigue el esquema


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denominado Arakawa C-Grid, que facilita el proceso de splitting para pasar de 2D a 1D, y poder resolver el problema utilizando el algoritmo original CSLR0 en 1 dimensión.

- Una vez transformado el mallado según el esquema Arakawa C-Grid, se calcula el valor de la integral ponderada según la fórmula del trapecio.

- El siguiente proceso consiste transformar el problema de 2 D a 1 D almacenando el valor de la variable en un eje en una variable adicional que se empleará para llamar a la subrutina CSLR0_1D y resolver el problema en 1 D para un eje.

- Una vez resuelto el problema en un eje, se realiza el mismo proceso para el otro eje.

- Finalmente se fusionan los valores actualizando los valores de las variables a 2D y se actualiza el valor de la integral ponderada en cada celda.

II.6.1 Discretización espacial. Mallado Arakawa C-g rid.

La discretización del dominio espacial en 2 D según el esquema Arakawa C-Grid (Feng Xiao & Peng, 2004), se puede observar en la figura 2.34.

Fig. 2.34 Discretización del dominio según el esquema Arakawa C-Grid en 2D


58/284

Como se puede observar se ha llevado a cabo un desplazamiento de los puntos de la malla a tratar, pasando los valores a los puntos medios de cada celda, obteniéndose como los valores medios entre los puntos originales de la malla en 2D original. En la figura 2.34 se pueden observar los valores de la función (f(x,y)) y su comparación con los valores x e y del mallado original recuadrados en los laterales.

Para llevar a cabo la transformación de las variables en 2 D, a 1 D, se sigue el proceso mostrado en la figura 2.35, donde se comparan los valores de los índices de la función en 1 dimensión con los valores de la función en 2 dimensiones:

Fig. 2.35. Transformación de los valores de la función de 1 D a 2 D y reconstrucción del proceso a 1 D.

Una vez realizada la discretización de las ecuaciones en 1 D, se resuelven las mismas empleando el Método Racional Conservativo en 1D (descrito en el anterior apartado) en el esquema en X y después en el esquema en Y alternando el orden en cada pasa de tiempo.

Como ejemplo, veremos a continuación la secuencia de acciones del proceso de splitting para el esquema de resolución primero en el eje X y después en el eje Y.

Sea la función f(i, j), donde i = 1, …., NX, y j = 1, …., NY. Siendo NX, y NY el número de pasos en el eje X y en el eje Y respectivamente.

1. Esquema en X en 1 D. Para cada J, se van a calcular los valores de la función y la integral ponderada en 1 dimensión variando todos los valores de I correspondientes a ese valor del subíndice J:

a. El primer paso es adaptar los valores de la función y velocidad de cada punto X, en el esquema en 2 D a una variable auxiliar que representa el valor en 1 D. Para llevar a cabo el proceso, se hace uso de la correspondencia entre los índices en el esquema en 2D y


59/284

en 1 D como se observa en la figura Fig. 3.14. De esta manera, al índice I se le suma 1 y se divide entre 2.

b. Los valores de la integral ponderada son divididos entre 2, como se muestra en la figura Fig. 3.14.

c. Una vez transformada la función, se hace uso de la subrutina CSLR0_1D para resolver el problema en 1 D, calculando los valores de la función y la integral ponderada en el siguiente instante de tiempo.

d. Los resultados en 1 D se adaptan de 1 dimensión a 2 dimensiones, haciendo corresponder los valores en 1 D a variables auxiliares intermedias en 2 D (FCN(x,y)) donde los subíndices se multiplican por 2 y se les resta 1, para el caso de los valores de la función, y multiplicando I por 2 para el caso de la integral ponderada, para deshacer el cambio de 2 D a 1 D.

2. Mediante la interpolación en el punto medio para cada valor de I se actualiza el valor de la integral ponderada para todos los valores de X, almacenados en la variable auxiliar de la integral ponderada FCN(x,y).

3. Una vez actualizados los datos, se lleva a cabo el mismo esquema en el

eje Y para 1D, para todos los valores de Y fijando los valores de X.

a. Se transforman las variables función y velocidad de 2 D a 1 D sumando al J una unidad y dividiendo entre 2.

b. Se transforma el valor de la integral ponderada dividiendo el subíndice J entre 2.

c. Se llama a la subrutina CSLR0_1D para resolver las EDPs en 1 D. d. Se deshace el cambio de 2 dimensiones a 1 dimensión

multplicando el subíndice J por 2 y restando 1 para el valor de la función en 2 D y multiplicando el subíndice J por dos para el valor de la integral ponderada en cada celda para el valor de la integral ponderada en 2D.

4. Una vez llevada a cabo la discretización y resolución de las ecuaciones

en 2D, es necesario calcular el valor de la integral ponderada en el centro de cada celda, debido a que el método racional conservativo en 1 D calcula el valor de la integral en el punto medio del eje a consideración. Para ello utilizamos la fórmula del trapecio para llevar a cabo el cálculo de la integral ponderada en el centro de cada celda.

Este sería el esquema de funcionamiento del método de separación de variables para llevar a cabo la resolución de las ecuaciones haciendo uso del método en 1 D. Una vez finalizado el proceso se calcula el valor total de la masa desplazada como el sumatorio del valor de la integral en todas las


60/284

celdas y se calcula la diferencia con el valor anterior para determinar el error en cada paso.

El orden de resolución se altera en cada paso de tiempo para minimizar los errores propios del método de splitting empleado.

II.6.2. Resultados del método CSLR0_2D

Para ilustrar el funcionamiento del método en 2 D se expondrán los resultados de simulaciones con diferentes casos, variando la forma de la función transportada así como los valores de la velocidad del viento.

Datos iniciales de la simulación .

Los datos de la simulación a realizar se llevarán a cabo con un tamaño de celda de 0.01 tanto en el eje X como en el eje Y, con valores iniciales de la función de 0.6 con 2700 pasos de tiempo. Se llevará a cabo 2 simulaciones de un caso con una onda prisma de base cuadrada modificando la velocidad del viento en cada caso. La velocidad del viento viene dada como velocidad angular con la expresión:

( )( )( )( )

2 1/ 2

2 1/ 2

u y y

v x x

π

π

= ∆ −

= − ∆ −

Caso 1: Onda prismática de base cuadrada.

Velocidad del viento: ( )( )

( )( )2 1/ 2

2 1/ 2

u y y

v x x

π

π

= ∆ −

= − ∆ −

Valores iniciales de la onda

Fig. 2.36. Valor incial de la función.


61/284

Valor final de la onda transportada

Fig. 2.37. Función de onda transportada

Valores del error de masa

Fig. 2.38. Valores del error de masa


62/284

Caso 2: Onda prismática de base cuadrada.


( )( )2.2 1/ 2

2.2 1/ 2

u y y

v x x

π

π

= ∆ −

= − ∆ −


Fig.2.39. Valor inicial de la función


Fig. 2.40. Valor final de la función transportada.


63/284


Fig. 2.41. Valor del error de masa

Caso 4: Onda con forma cónica.


( )( )2 1/ 2

2 1/ 2

u y y

v x x

π

π

= ∆ −

= − ∆ −


Fig. 2.42. Valores de la función inicial


64/284


Fig. 2.43. Valores de la función inicial


Fig. 2.44. Valores del error de masa.


65/284

Caso 5: Onda de forma cónica.


( )( )2.2 1/ 2

2.2 1/ 2

u y y

v x x

π

π

= ∆ −

= − ∆ −


Fig. 2.45. Valores de la función incial.


Fig. 2.47. Valores de la función final transportada.


66/284


Fig. 2.48. Valores del error de masa.

II.7. CONCLUSIONES

En este capítulo se ha presentado el método racional conservativo que proporciona un nuevo método para la resolución de la ecuación de transporte advectivo que transporta una función ( )f x o ( , )f x y

conservando la masa o volumen de la misma. A diferencia de métodos anteriores como los citados en el apéndice I, (método Upwind propuesto por (Godunov, 1959), Método MUSCL, (Bram Van Leer, 1977), (B Van Leer, 1979) o método Piecewise Parabolic –PPM- (Colella & Woodward, 1984)), actualmente implementados en modelos de dispersión de la contaminación atmosférica como CHIMERE, el método racional conservativo transporta la masa mediante un modelo más exacto, sin pérdidas de materia, y haciendo uso de un algoritmo cuya relación exactitud / precisión es adecuada, debido al menor número de operaciones matemáticas utilizadas.

Los errores de masa obtenidos en los resultados de las simulaciones realizadas en una y dos dimensiones nos permiten apreciar que la masa se conserva durante el tiempo de integración y que el error producido expresado en porcentaje es muy pequeño.

Los modelos desarrollados para tratar el transporte de contaminante en la atmósfera implantando el método racional conservativo (que hace uso de


67/284

una interpolación racional y del método de volúmenes finitos) emplean un método de discretización espacial (esquema Arakawa C-grid) que nos permiten resolver los problemas en 2D separando el problema bidimensional en dos unidimensionales, de modo que resuelve las ecuaciones primero en una dimensión en el eje y x después en una dimensión en el eje y, cambiando el orden en cada paso de tiempo para reducir el error debido al proceso de partición. Esta técnica de partición de operadores nos proporciona un equilibrio óptimo entre la velocidad de cálculo , necesaria para resolver el problema con el método de partición en lugar de enfrentarnos al problema directamente en 2D, y la precisión del resultado.

III. Modelización de la cinética química

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CAPÍTULO III. MODELIZACIÓN DE LA CINÉTICA QUÍMICA. UNA APLICACIÓN A LA QUÍMICA DEL OZONO.

INTRODUCCIÓN

Los modelos de dispersión atmosférica de especies químicas reactivas

incorporan no solamente el transporte de dichas especies sino también sus

transformaciones químicas representadas en forma de reacciones químicas

que han de ser resueltos numéricamente.

La troposfera se comporta como una reserva química diferente a la

estratosfera. A ella penetra energía solar con energía correspondiente a la

longitud de onda que no se consigue filtrar en la estratosfera, de manera que

en el seno de la troposfera se producen reacciones fotoquímicas en fase

gas.

Para llevar a cabo una buena aproximación a las transformaciones químicas

desarrolladas en la porción de la atmosfera que nos interesa, la troposfera,

es necesario una detallada definición de los procesos químicos que tienen

lugar en ella. Para ello necesitamos caracterizar las especies químicas que

intervienen en el proceso, las concentraciones de los contaminantes

primarios, y una buena descripción de la cinética química de las mismas

detallando el proceso químico y sus constantes de reacción.

En este capítulo describimos los métodos numéricos utilizados en esta Tesis

para modelizar las reacciones químicas, para ello utilizamos ecuaciones

diferenciales ordinarias, resueltas mediante un método numérico implícito y

resolvemos un caso complejo: la química del ozono.


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III.2 Modelización de la cinética química.

El objetivo de la aplicación de las ecuaciones diferenciales a la modelización

química es explicar el comportamiento de un proceso natural que se

desenvuelve con el tiempo según una ley o principio natural. Esta ley será

utilizada para hacer una descripción matemática del fenómeno, y la

integración de ese proceso en el tiempo (descrito, por tanto, como un

sistema de ecuaciones diferenciales), nos dará como resultado una función

que nos sirva como pronostico en el tiempo de dicho proceso.

En nuestro caso, vamos a modelizar la cinética química en función de la ley

de la conservación de la materia, y su aplicación a las constantes de

reacción, que nos definen la velocidad a la que se produce una reacción

química en función de la concentración de las sustancias participantes en

dicha reacción.

De acuerdo a la cinética química, los mecanismos de reacción se pueden

definir como un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias (SODE).

Veamos unos ejemplos:

→←

= − + = −

1

2

1 2

1 2

[ ][ ] [ ]

[ ][ ] [ ]

K

KA B

d Ak A k B

dtd B

k A k Bdt

→ →

= − = − =

1 2

1

1 2

2

[ ][ ]

[ ][ ] [ ]

[ ][ ]

k kA B C

d Ak A

dtd B

k A k Bdt

d Ck B

dt

en donde t es el tiempo.

En este apartado vamos a resolver uno de los problemas que aparecen en la

cinética química de la atmósfera. En el caso que nos ocupa, la modelización

de la cinética del ozono, tendríamos las siguientes reacciones químicas:


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1

2

3

2

2 3

3 2 2

· ·

·

·

K

K

K

NO h NO O

O O O

NO O O NO

υ+ → +

+ →

+ → +

(3.1)

que se puede expresar matemáticamente usando el siguiente sistema de

ecuaciones diferenciales:

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ][ ]

[ ] [ ][ ] [ ]

[ ] [ ] [ ][ ]

1 2 2

21 2 3 3

2 3 3 1 2

3 2 3 3

· ( ) ·

( )

( )

·

dO k t NO k O

dtd

NO k t NO k NO Odtd

NO k NO O k t NOdtd

O k O k NO Odt

= −

= − +

= −

= −

σ (3.2)

donde, 2k , 3k son las constantes de las reacciones, 2 y 3, y 1k es la

constante de la primera reacción, del tipo fotoquímico dependiente de la

cantidad de radiación solar incidente y, por tanto, dependiente del tiempo;

2 σ representa la emisión de NO y tiene un valor de 106.

III.3 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Rígidas

III.3.1 Definición de Rigidez de una ecuación difer encial

El término rigidez constituye un problema especial que puede surgir en la solución de algunas ecuaciones diferenciales ordinarias. En los casos en que la solución de la ecuación es asintóticamente estable, y esta converge rápidamente con el tiempo, se puede producir una situación en la que el error en la estimación de la solución domina la misma, por lo que dicha solución calculada y la real difieren haciendo inútil dicho cálculo. En la siguiente gráfica se puede observar un resultado común para la resolución de la ecuación diferencial rígida:


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Fig. 3.1. Solución real y aproximada de una EDO.

Como se puede observar en la figura 3.1, al llevar a cabo la resolución de la ecuación mediante un método de Euler explícito de paso

1, ,i i ih y y hky= = + la solución supera la tolerancia permitida en el error de

cálculo, convirtiendo en errónea la solución calculada, por lo que hay que emplear el método implícito de Euler.

En el caso de sistemas de ecuaciones diferenciales, la rigidez se presenta cuando hay tasas de cambio rápido, junto con componentes de cambio lento. En muchos casos, los componentes de variación rápida son efímeros, transitorios y desaparecen, después de lo cual, la solución es dominada por componentes de variación lenta. Aunque los fenómenos transitorios existen sólo en una pequeña parte del intervalo de integración pueden determinar el tamaño de paso en todo el proceso.

La rigidez se puede presentar tanto en ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO), como en sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias (SEDO), y su tratamiento requiere aplicaciones de métodos numéricos específicos para llegar a soluciones válidas.

III.3.2 Métodos para la resolución de sistemas de e cuaciones diferenciales ordinarias (SEDO) rígidas.

Para llevar a cabo la resolución de un sistema rígido podemos optar por varias vías:

- Disminuir el intervalo de integración o tamaño de paso, para conseguir resultados que se ajusten a la realidad en el intervalo de integración.

- Hacer uso de métodos implícitos incondicionalmente estables.

-1

-0 .8

-0 .6

-0 .4

-0 .2

0

0 .2

0 .4

0 .6

0 .8

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0

e xp l i c i t E u le r

im p l i c i t E u le r

a n a lyti c a l

dyky

dt= −


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Ya que optaremos por la segunda vía en la resolución del modelo de generación-destrucción de ozono troposférico vamos a ilustrar dicha estrategia mediante la aplicación del método de Euler implícito a la resolución de un SEDO rígido.

Aplicación del método de Euler implícito a la resol ución de un sistema de ecuaciones diferenciales rígidas.

Vamos a ilustrar el método con un ejemplo sencillo, donde partimos del siguiente sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias:

11 2

21 2

5 3

100 301

dyy y

dtdy

y ydt

= − + = −

(3.3)

con 1 0 52 29( ) .y = e 2 0 83 82( ) .y = la solución exacta es:

3 9899 302 0101

1

3 9899 302 01012

52 95 0 67

17 83 65 99 67

. .

. .

. .

. . .

t t

t t

y e e

y e e

− −

− −

= −

= +

Como se puede observar, los exponentes de la solución son negativos y

difieren en cerca de 2 órdenes de magnitud. Como en una sola ecuación, los

exponentes grandes son los que responden rápidamente y representan la

esencia de la rigidez del sistema.

Para este ejemplo, la aplicación del método implícito de Euler para sistemas

se formula como:

( )( )

1 1 11 1 1 2

1 1 12 2 1 2

5 3

100 301

n n n n

n n n n

y y y y h

y y y y h

+ + +

+ + +

= + − +

= + − (3.4)

Al agrupar términos se obtiene:

( )( )

1 11 1 2

1 12 1 2

1 5 3

100 1 301

n n n

n n n

y h y h y

y h y h y

+ +

+ +

= + −

= − + + (3.5)


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Se observa que el problema consiste en la resolución de un conjunto de

ecuaciones lineales en cada paso de tiempo.

Para SEDO no lineales, la solución se vuelve más difícil, ya que debe

resolverse un sistema de ecuaciones no lineales. Así, aunque se gana

estabilidad a través de procedimientos implícitos, la resolución del sistema

se vuelve más complicada. Una opción para la resolución de sistemas de

ecuaciones no lineales consiste en utilizar el método de Newton-Raphson

que implica la construcción de una matriz jacobiana para la linealización del

sistema.

III.4 Métodos de diferenciación regresiva ( Backward Differentiation Formula , BDF)

El modelo matemático propuesto para la resolución de la cinética química

consiste en un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales

que presentan unas tasas de variación expresadas en forma de constantes

cinéticas con diferentes grados de magnitud que hacen que el sistema de

ecuaciones diferenciales sea rígido y, por tanto, difícil de resolver (J.G.

Verwer & Simpson, 1995).

Para resolver el problema utilizaremos el método de Gear, basado en

fórmulas de diferenciación hacia atrás o regresivo donde las evaluaciones de

la derivada se realizan por un algoritmo implícito expresado mediante una

notación matricial que se resuelve por el método de Gauss-Seidel, lo que

constituye el núcleo del llamado método de “two-step”, (J G Verwer, 1994).

Las fórmulas de diferenciación regresiva (Backward Diferentiation Formulae)

(Dormand, 1996) son métodos multipaso que se utilizan para resolver

problemas donde la solución se vuelve rígida.

Para definir el método de un modo general se parte de una ecuación

diferencial:

( ) ( )' , , y , y Mn ny f x y x y= = ∈ℝ (3.6)


74/284

Suponiendo los valores iniciales conocidos:

( ), , 1,2,..., 1− − = −n k n kx y k p

(3.7)

Para determinar el valor de la función en un instante de tiempo se siguen los siguientes pasos:

• Construir un polinomio de interpolación de grado p utilizando la aproximación a ( )1' ny x + , y el valor de la función en los instantes

( )ny x , ( )1ny x − , ( ) ( )2 , ,n n py x y x− −… .

• Calcular la derivada de la expresión de dicha interpolación en el punto a calcular.

• Calcular la función en el instante 1n + a partir del valor de la derivada de la interpolación obtenida.

• Realizar una corrección a partir de los valores iniciales conocidos.

Por tanto, la fórmula general de interpolación que aproxima el valor en el instante a calcular es:

112

11

1...

2

1++++ ∇

−+++∇

++∇+= n

pnnnp y

p

psy

sysyY (3.8)

donde:

• 1( ) /ns x x h+= −

• p indica el grado de interpolación y el número de valores iniciales necesarios para llevar a cabo la construcción de la aproximación a la función y.

Si se asume que esta interpolación, se aproxima a ( )y x en el intervalo

1,n p nx x+ + , se puede deducir que su derivada en el paso siguiente, ( )1'p nY x +

, es una buena aproximación a ( )' ny x h= + .

Si se hace un cambio de variable, s por x , la ecuación diferencial a resolver

se convierte en:

10' +=

= nsp hyYds

d (3.9)


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Sustituyendo queda:

∑=

++ =∇p

knn

k hyyk1

11 '1

(3.10)

Finalmente para el cálculo del valor de la función en el instante deseado, se obtiene la expresión:

1 1 11

'p

n k n k nk

y a y b h y+ − + +=

= +∑ (3.11)

donde:

pkba kk ,...,1,, == β

pkk

bp

k

,...,1,1

1

1

=

=

−

=∑ (3.12)

pkkkj

k jjj

jjj

,...,2,1;1,...,1,11

=−=

−=

−= −

αββ

ααα

siendo pjjj ,...,1,0 === βα al inicio de cada paso.

Si se fija 2p = se obtiene una fórmula multipaso implícita denominada

fórmula BDF de grado 2, que es la que vamos a utilizar:

1 1 14 1 23 3 3

'nn n ny y y hy+ − += − + (3.13)

El análisis de estabilidad realizado en (Hundsdorfer & Verwer, 2003) demuestra que la expresión de segundo grado del método BDF es incondicionalmente estable, es decir, que si por problemas de redondeo tenemos un error en un paso, ese error tiende a disminuir en los pasos de tiempo sucesivos.

Como se puede observar en la ecuación (3.13) el método BDF2 es un método multipaso implícito, es decir que el susbíndice 1n+ aparece en los dos lados de la igualdad.


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III.5 Método TWO STEP

El método TWO STEP (J G Verwer, 1994) consiste en la aplicación del método BDF2, explicado anteriormente, al SEDO, en el que se aproximan las soluciones utilizando el método iterativo Gauss-Seidel. Para ilustrar la aplicación del método lo aplicaremos a un ciclo químico que explica la generación y destrucción del ozono troposférico cuando es catalizado por la presencia de dióxido de nitrógeno (NO2).

III.5.1 Descripción de la cinética del ozono

Las reacciones químicas que intervienen en la química atmosférica describen el ciclo de generación-destrucción de ozono en la troposfera catalizado por la acción de dióxido de carbono de origen antrópico. La cinética atmosférica concerniente al ozono está descrita de manera detallada en (J G Verwer, Blom, & Hundsdorfer, 1996; J G Verwer, 1994; VERWER, BLOM, VAN LOON, & SPEE, 1996; J.G. Verwer & Simpson, 1995). El ciclo químico resultante es:

1

2

3

2

2 3

3 2 2

· ·

·

·

K

K

K

NO h NO O

O O O

NO O O NO

υ+ → +

+ →

+ → +

(3.13)

Para poder llevar a cabo la modelización del problema deben definirse los siguientes datos:

- Las constantes de reacción. - Las concentraciones iniciales de cada sustancia. - El intervalo o paso de integración en el tiempo. - Las unidades de cada incógnita.

Las constantes de reacción tienen los siguientes valores:

52

163

10

10

k

k −

=

=

La primera reacción química es una reacción fotoquímica, la cinética de la misma viene determinada por su constante de reacción K1, cuyo valor oscila en función de la intensidad lumínica, entre los siguientes valores en función de la hora del día:

5 7

1 40

10

10

sec( ) durante el día (4:00-20:00)

durante la noche (20:00-4:00)

tek

−

−

=

(3.14)


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siendo:

( )0 2

14

16

24 24

3600

.

sec( ) h

h h h

h

t sen t

t t t

t t

π = −

= −

=

(3.15)

Las concentraciones iniciales de cada sustancia están fijadas según (J.G. Verwer & Simpson, 1995)

Especie Moléculas/cm3

[O] 0

[NO] 1,3·108

[NO2] 5,0·1011

[O3] 8,0·1011

La concentración de O2 se considera constante dentro del ciclo químico.

El intervalo a integrar son 5 días para comprobar la condición de periodicidad esperada según los resultados teóricos a comparar (en segundos desde el mediodía del primer día hasta el anochecer del sexto 14400 s < t < 504000 s).

Las unidades de medida son segundos para el tiempo y moléculas por cm3 para la concentración de las sustancias que intervienen en las reacciones químicas.

III.5.2 Descripción de la notación utilizada en la modelización

Para trasladar las reacciones químicas a un modelo matemático se seguirá la siguiente metodología utilizada en (Hundsdorfer & Verwer, 2003).

a) Cálculo del vector velocidad de reacción ( )g que depende del número

de especies químicas que intervienen en las reacciones ( )4s= .

b) Cálculo de la matriz estequiométrica ( )S cuyas dimensiones dependen

del número de reacciones químicas ( )3r = y del número de sustancias

químicas que intervienen en las mismas ( )4s= .


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c) Cálculo de la tasa de generación-consumo de cada sustancia química

( )'( )y t a partir del vector velocidad de reacción ( )g y de la matriz

estequiométrica ( )S .

a) Cálculo del vector velocidad de reacción (g)

Se puede expresar una reacción química para un ejemplo tipo como:

1 Ka b c dl A l B r C r D+ → + (3.16)

donde:

- A, B, C y D son las sustancias químicas implicadas en la reacción. - r y l se denominan coeficientes estequiométricos. - la y lb son el número de moléculas generadas de las sustancias A y

B que reaccionan para formar las sustancias C y D. - rc y rd son el número de moléculas generadas de las sustancias C y

D a partir de las moléculas que reaccionan de las sustancias A y B. - K1 representa a la constante de reacción química y según la ley de

acción de masas es igual a:

1

B D

a b

c d

l l

r r

Ak

C= (3.17)

El vector velocidad ( )g para una reacción química, es el producto de su

constante de reacción ( )k por el multiplicador de cada concentración de reactivos ( )c elevado al número de moléculas ( )l que reaccionan en el proceso.

Para este ejemplo sencillo sería:

( )1 1 ( ) ba

llg t k A B= (3.18)

En el caso de tener r reacciones químicas y s sustancias químicas que intervienen en las mismas se puede generalizar utilizando las siguientes expresiones:

1 1

j

s sk

ij i ij ii i

l Y r Y= =

→∑ ∑ (3.19)

donde:


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- 1, ,j r= …

- 1, ,i s= … - iY : concentración de la i-ésima sustancia química

- ijl : número de moléculas que reaccionan de la i-ésima sustancia

química en la j-ésima reacción química. - ijr : número de moléculas que se generan de la i-ésima sustancia

química en la j-ésima reacción química.

Y, por tanto, el vector de velocidad de reacción se convertiría en:

( ) ( ) 1

, ( ) njs

l

j j nn

g t y k t y=

= ∑ (3.20)

donde:

11

, ,, ,

j rn s

−−

==…

…

Como se puede observar, el vector velocidad de reacción depende del tiempo, y de la concentración de los reactivos químicos que intervienen en las s reacciones químicas.

Cálculo del vector velocidad de reacción g para el ciclo de generación-destrucción del ozono troposférico

Para el caso del ciclo del ozono troposférico se parte de las siguientes

reacciones:

1

2

3

2

2 3

3 2 2

· ·

·

·

K

K

K

NO h NO O

O O O

NO O O NO

υ+ → +

+ →

+ → +


80/284

Se define la variable que representa cada especie química:

s1 [O] y 1

s2 [NO] y 2

s3 [NO2] y3

s4 [O3] y4

Se aplica la expresión para el cálculo de la velocidad de reacción:

( ) ( ) 1

, ( ) njs

l

j j nn

g t y k t y=

= ∏ (3.22)

Se obtiene:

Reacción 1 1 3( )k t y

Reacción 2 2 1k y

Reacción 3 3 2 4k y y

b) Cálculo de la matriz estequiométrica ( S)

Si se sigue la expresión general para la reacción de s sustancias en r

reacciones químicas:

1 1

j

s sk

ij i ij ii i

l Y r Y= =

→∑ ∑ (3.23)

donde:

- 1, ,j r= …

- 1, ,i s= … - iY : concentración de la i-ésima sustancia química

- ijl : número de moléculas que reaccionan de la i-ésima sustancia



81/284

- ijr : número de moléculas que se generan de la i-ésima sustancia


La matriz estequiométrica tiene la expresión sxr ij ijS = r - l

, donde i =

1,…,s y j = 1,…,r . Para calcular la matriz estequiométrica, en el caso del ciclo del ozono troposférico, se deben definir las dimensiones de la matriz, con un número de columnas igual al número de especies químicas que intervienen (s = 4) y, un número de filas igual al número de reacciones químicas (r = 3). Por tanto:

1

2

3

2

2 3

3 2 2

· ·

·

·

K

K

K

NO h NO O

O O O

NO O O NO

υ+ → +

+ →

+ → +

Especie química/Reacción Química K1* (r-l) K2

* (r-l) K3* (r-l)

[O·] 1-0 0-1 0-0

[NO] 1-0 0-0 0-1

[NO2] 0-1 0-0 1-0

[O3] 0-0 1-0 0-1

*El valor ha sido calculado como número de moléculas de esa especie en esa reacción química generadas como producto, menos el número de moléculas de esa especie en esa reacción que se consumen como

reactivo (r – l) .

Finalmente se tiene la matriz estequiométrica (El signo hace referencia a si se genera o se consume, el valor hace referencia a los números moleculares que intervienen en la relación estequiométrica. Cuando es 0 no se presenta para esa reacción. Hay que colocar en las columnas la reacción química y en las filas las especies).

[ ]4 3

1 1 0

1 0 1

1 0 1

0 1 1

xS

− − = − −

(3.24)


82/284

c) Cálculo de la tasa generación/consumo de cada su stancia

La tasa de generación de cada sustancia se puede calcular mediante:

( ) ( )1

'( ) , ( )

r

i t ij ij jj

y r l g t y t=

= −∑ (3.25)

donde

1

1

, ..., s=nº de especies químicas

, ..., s=nº de reacciones químicas

i s

j r

= →= →

si se utiliza la expresión y = (y1,…,ys)T, el sistema queda:

[ ] ( ) '( ) , ( )i t j iixj

y S g t y t= (3.26)

De manera que para el caso del ciclo del ozono troposférico se obtiene:

( ) 1 3

2 1

3 2 4

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

,t t

i i t t

t t

k y

g t y k y

k u y

=

[ ]4 3

1 1 0

1 0 1

1 0 1

0 1 1

xS

− − = − −

(3.27)

Por tanto queda

[ ] 1 3 2 1

1 3 21 3 3 2 4

2 1

3 2 4 1 3

3 2 42 1 3 2 4

1 1 0

1 0 1

1 0 1

0 1 1

( ) ( )

'( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) - ( )

( ) ( ) - ( ) ( )( , ( )

( ) ( ) - ( ) ( )

( ) - ( ) ( )

t t

i t j i tixj

t t

k t y t k y tk y

k t y t k y t y ty S g t y t k y

k y t y t k t y tk y y

k y t k y t y t

− + − = = = − −

υ

(3.28)

Así se llega al Sistema de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (SEDO) rígido que vamos a resolver mediante el método (Backward Differentiation Formulae) de segundo orden (BDF2), aplicando el método implícito de Euler para conocer la solución del sistema en el segundo instante de tiempo para poder inicializar la fórmula multipaso BDF2, y el método de Gauss-Seidel para resolver el sistema de ecuaciones no lineales al que se llega.


83/284

1 1 3 2 1

22 1 3 3 2 4

3 3 2 4 1 3

4 2 1 3 2 4

'

'

'

'

( ) ( ) ( ) - ( )

( ) ( ) ( ) - ( ) ( )

( ) ( ) ( ) - ( ) ( )

( ) ( ) - ( ) ( )

y t k t y t k y t

y t k t y t k y t y t

y t k y t y t k t y t

y t k y t k y t y t

σ=

= +

=

=

(3.29)

σ2 representa la emisión constante de una fuente de NO2 a la atmósfera, con un valor de 106 moléculas/cm3.

III.6 Descripción del método de integración two-ste p de paso fijo.

La expresión general del método BDF2 tiene la siguiente forma:

1 1 14 1 2

3 3 3( ) ( ) 'n n n n

i i i iy y y t y+ − += − + ∆ (3.30)

Al aplicarlo al caso del ciclo del ozono, obtendremos la siguiente expresión

1 1 1 1 11 1 1 1 3 2 1

1 1 1 1 1 1 22 2 2 1 3 3 2 4

1 1 1 1 1 13 3 3 3 2 4 1 3

1 14 4 4

4 1 2

3 3 34 1 2

3 3 34 1 2

3 3 34 1

3 3

( )

( )

( )

(

n n n n n n

n n n n n n n

n n n n n n n

n n

y y y t k y k y

y y y t k y k y y

y y y t k y y k y

y y y

+ − + + +

+ − + + + +

+ − + + + +

+ −

= − + ∆ −

= − + ∆ − +

= − + ∆ −

= −

σ

1 1 12 3 3 2 4

2

3) n n n nt k y k y y+ + ++ ∆ −

(3.31)

[O] y1

[NO] y2

[NO2] y3

[O3] y4


84/284

Para su resolución procedemos con la siguiente metodología

- Conociendo el valor inicial en el instante n - 1.

- Se inicia el proceso de integración calculando el valor de la función en el instante n mediante un método de Euler implícito.

- Una vez iniciado el método con la ayuda del algoritmo de Euler implícito, aun se desconoce el valor de la derivada en el instante a calcular, necesario al ser un método implícito. Para solventar el problema, utilizamos un valor aproximado y resolvemos el sistema de ecuaciones no lineales al que se llega mediante un método Gauss-Seidel iterativo cuya solución converge a la real.

Fig.3.2. Secuencia del cálculo de la solución por BDF2 mediante resolución por Gauss-Seidel del SEDO implícito (3.31).

III.6.1 Método numérico Gauss-Seidel

En cualquier método multipaso implícito la principal tarea computacional es la solución de un sistema de ecuaciones no lineales de la forma:

( ) 1 11 0( ) ,n n n

n nF c c c t f t cβ+ ++= − − ∆ =

(3.32)

donde los valores β > 0 y Cn son parámetros del método de integración y una combinación lineal de valores previos respectivamente. Si el sistema de ecuaciones no lineales (3.32) se resuelve por un método de Gauss-Seidel, la nueva carga consiste en diseñar una solución al método para un sistema de ecuaciones de la forma:

[ ] [ ]( )[ ] I t J A c bβ− ∆ = (3.33)


85/284

donde J es una aproximación de ( , )f t cc

∂∂∂∂ ∂∂∂∂

. Normalmente la matriz J

se mantiene constante para algunos pasos temporales y se recalcula si la convergencia es lenta o después de un número fijo de pasos temporales.

Para probar, usando el método BDF, una iteración Gauss-Seidel con un número fijo de iteraciones. Si [ ], [ ]L D y [ ]U denotan la matriz

estrictamente inferior, la diagonal y la matriz estrictamente superior de J ,

[ ] [ ] [ ] [ ]J L D U= + += + += + += + + puede escribirse:

( ) 1 jj cI t D t U c t L b+ ∆ − ∆ − ∆ ∆ = ∆ +β β β (3.34)

La iteración de Gauss-Seidel se utiliza como aproximación para obtener la solución a las ecuaciones diferenciales de la cinética química sumando los

términos de producción ( ) 1 11,

n nnP t c c+ +

+ al valor de concentración en el

punto n y, finalmente, dividiendo por la matriz diagonal

[ ] ( )11 , n

n nI t L t cβ ++

+ ∆ . La nueva forma queda:

[ ] ( )( ) ( ) 1

1 1 11 1 , , n n n n

n n n nc I t L t c t P t c C−

+ + ++ +

= + ∆ ∆ + β β

(3.35)

III.6.2 Notación para representación de la cinética atmosférica según los términos de Producción (P) y Pérdida (L).

El coste computacional de los modelos de contaminación atmosférica es elevado. Por lo tanto, es conveniente reescribir el sistema de ecuaciones diferenciales rígido de la cinética química utilizada. Por ello, se emplea una notación que favorece el procesado de datos así como puede a ayudar a la comprensión de los cálculos.

A la vista de las ecuaciones, por las que se determinan las concentraciones de las diferentes especies, presentadas previamente pueden distinguirse dos términos en cada una de ellas lo que hace posible emplear una nueva notación.

( ) ( ) ( )

( )1

, , ,

( ) ( ), , ( )T

m

dy f t y P t y L t y y

dx

y t y t y t

= = −

= … (3.36)


86/284

donde:

- y es el vector de concentraciones.

- ( ) ,P t y es el vector de producción de sustancia química.

- ( ),L t y es la matriz diagonal de velocidad de consumo de

sustancia química. - P y ·L y son positivos y representan respectivamente la

generación de la especie química y el consumo de la misma durante las reacciones químicas a estudio (Sandu, Verwer, Van Loon, Carmichael, & Potra, 1997).

( ) ( )

,

,

P t y vector

L t y matriz

= =

(3.37)

La concentración de una sustancia química es el resultado del balance entre un término de producción que representa la generación que sufre dicha sustancia durante el ciclo de reacciones químicas y otro término que representa la pérdida o consumo de la misma durante el proceso de signo negativo, ambos expresados en términos másicos.

Entonces, se reconstruye el sistema de ecuaciones diferenciales en términos de producción, P y consumo, L:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2 2 2 2

3 3 3 3

[ ] , , [ ]

[ ] , , [ ]

[ ] , , [ ]

[ ] , , [ ]

dO P t O L t O O

dxd

NO P t NO L t NO NOdxd

NO P t NO L t NO NOdxd

O P t O L t O Odx

= −

= −

= −

= −

(3.38)

Usando notación matricial podemos reescribir el sistema de ecuaciones diferenciales como:

( ) ( ) ( ) ' , , ,i i i i iy f t y P t y L t y y = = −

21 22

3 31 2

2 1 23 3

3 3 32

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

'

'

' ( )( ) ( )

' ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( )

O k O tk t NO t

NO k O t NO tk t NO t

NO k t NO tk O t NO t

O k NO t O tk O t

σ + = −

(3.39)


87/284

III.6.3 Inicio de método

Al ser el método BDF un método multipaso implícito es necesario conocer el

valor de la función en 2 pasos anteriores de tiempo 1, yn ni iy −−−− así como

conocer la derivada en el instante de tiempo que se pretende calcular

1' i

ny

++++.

Por lo tanto, se deben conocer el valor de la función en los dos primeros

instantes de tiempo antes de implementar el método BDF2. La solución en el

primer instante de tiempo se conoce debido a que se conocen las

concentraciones iniciales empleadas en el algoritmo. El segundo paso de

tiempo se calcula mediante la implementación del algoritmo de Euler

implícito.

Se parte de la fórmula general de Euler implícito:

1 1 'nn ny y t y+ ++ ++ ++ += + ∆= + ∆= + ∆= + ∆ (3.40)

El procedimiento de cálculo consiste en calcular el término de la derivada utilizando la notación cinética en términos de producción y pérdida.

(((( )))) (((( )))) (((( )))) ' , , ,i i i iy f t y P t y L t y y = = −= = −= = −= = −

(3.41)

Se procede a reescribir la expresión de la derivada en función de términos de producción y pérdida:

(((( ))))1 11 · n i nnn P L yy y t + ++ ++ ++ +++++ −−−−= + ∆= + ∆= + ∆= + ∆ (3.42)

Después se procede a despejar 1ny ++++ para poder determinar su valor

quedando el método de Euler implícito en función de la cinética química:

11

1

1 n n

nn

y t Py

t L++++

++++++++

+ ∆+ ∆+ ∆+ ∆==== + ∆+ ∆+ ∆+ ∆ (3.43)

A partir de esta expresión se calcula el segundo paso necesario para

emplear el método BDF2 pero con una salvedad. Para calcular el primer


88/284

paso, no se conocen los valores de 1nP ++++ ni los valores de 1nL ++++ porque

dependen de las concentraciones en el paso 1n ++++ desconocidos. Por lo

tanto, se aproxima el valor de (3.43) como:

1

1 n n

nn

y t Py

t L+++++ ∆+ ∆+ ∆+ ∆==== + ∆+ ∆+ ∆+ ∆ (3.44)

Entonces para calcular el primer paso utilizando el método de Euler implícito

los pasos a seguir son:

- Se calculan los términos 0P y 0L con los datos de

concentraciones iniciales por las relaciones cinéticas de cada

especie química.

- Se introducen 0y y el parámetro t∆∆∆∆ y se procede al cálculo de 1y .

III.7 Método TWOSTEP de paso variable

El método Two-Step consiste en la aplicación de un método implícito multipaso (BDF2) cuyas soluciones se aproximan con un método iterativo de resolución de sistemas de ecuaciones, Gauss-Seidel.

Las iteraciones empleadas para que la solución obtenida por el método de Gauss-Seidel converjan hacia la real se determinan indirectamente fijando la tolerancia de la solución. A su vez, este grado de tolerancia será la base para la elección de la amplitud del tamaño de paso en cada instante de tiempo, si queremos utilizar un paso de tiempo variable (J G Verwer, 1994).

Si implementamos el proceso de iteración de Gauss-Seidel en el método BDF2 (ecuación 3.30) obtenemos:

(((( ))))1 11 ,n n n

ny Y f t yγ τγ τγ τγ τ+ ++ ++ ++ +++++= += += += + siendo 1 nnt tττττ ++++= −= −= −= −

(3.45)

donde:

( 1)( 2)cc

γγγγ ++++==== ++++ , 1

1

( )( )

n n

nn

t tc

t t−−−−

++++

−−−−==== −−−− , (((( ))))2 1

2

( 1)

( 2 )

n nn

c y yY

c c

−−−−+ −+ −+ −+ −====

++++

(3.46)


89/284

Se ha elegido la fórmula de segundo orden (BDF2) en virtud de la exigencia de la precisión requerida. La aproximación también se puede evaluar por fórmulas del método BDF de mayor orden.

El segundo orden es suficiente porque para problemas de flujos reactivos un bajo nivel de exactitud es suficientemente bueno. Un nivel más alto, como se piensa, es redundante debido a errores existentes en otros procesos e incertidumbres en las constantes de reacción de los modelos químicos. La cinética química puede ser escrita del siguiente modo para la aplicación de la técnica de Gauss-Seidel

(((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( ))))(((( ))))11 1 1 1

1 1 , ,n n n n nn ny F y I L t y Y P t yγ τ γ τγ τ γ τγ τ γ τγ τ γ τ

−−−−+ + + ++ + + ++ + + ++ + + +

+ ++ ++ ++ += = + += = + += = + += = + + (3.47)

La fórmula anterior está expresada en términos de producción y consumo de contaminante teniendo en cuenta las formas matriciales en la que ha sido transformado el sistema de ecuaciones diferenciales. A continuación se muestran los términos de producción y pérdida para el sistema que estamos tratando:

(((( ))))2

3 4

1

3 2

0 0 0

0 ( ) 0 0,

0 0 ( ) 0

0 0 0 ( )

k

k y tL t y

k t

k y t

==== ;

(((( )))) 1 3

21 3

3 2 4

2 1

( )

( ) ( ),

( ) ( )( )

k y t

k t y tP t y

k y t y tk y t

σσσσ

++++====

(3.48)

Para la iniciación del cálculo de las soluciones por el método TWOSTEP, se utiliza el método de Euler implícito para obtener el valor de la función en el segundo paso y poder así iniciar BDF2. El método de Euler implícito corresponde al método BDF de grado 1 y tiene como expresión siguiendo la cinética química:

[[[[ ]]]](((( )))) (((( ))))11 1 0 1

1 1 ( , ) ( , )iy I L t y Y P t yγ τ γ τγ τ γ τγ τ γ τγ τ γ τ−−−−

= + += + += + += + + (3.49)

Incluso con una iteración, el esquema de integración aplicado conserva el

segundo orden de consistencia (error de orden 2t∆∆∆∆ ). El número de iteraciones de Gauss-Seidel se establece de antemano y en la última

iteración se asigna a la nueva aproximación de 1ny ++++ en el paso de tiempo

1nt ++++ . Se pueden utilizar ambas variables y un tamaño de paso constante.


90/284

De esta manera, se aplica la notación utilizada anteriormente para que exista coherencia en la notación:

(3.50)

siendo la expresión anterior válida para el sistema cuando se utiliza el paso variable con el método numérico BDF2 aplicando los términos de generación-pérdida.

Si se supone que el paso es constante , se ajustan los parámetros anteriores γ, τ, c , como sigue:

( )( )

( )( )

11

1

1 21

2 3 ; ; n n

nnnn

t t cht t h c

t t h cτ γ−

++

− += − = = = = = =

− + (3.51)

obteniendo finalmente:

( )( )

2 11

12

1 4 4 13 3 32

n nn n

n n nc y y y yY y y

c c

−−

−

+ − −= = = −+

(3.52)

Por lo tanto, sustituyendo la expresión anterior por la nomenclatura aplicada para las ecuaciones específicas del ozono:

( )( )

1 1 11 2

11

2 1 1 111 1 2

311

1122 211

33

4 1 23 3 3

0 0 01 0 0 0 4 1 20 0 00 1 0 0 2 3 3 30 0 00 0 1 0 3 4 1 2

3 30 0 00 0 0 1

n n n n

nn n n n

nn

nnn n

nn

O O h k NO

kONO NO h k NOk ONO

hkNO NO NO

k NOO

− + +

−+− + +

++

++−

++

− +

− += +

− + ( )( )

1 13 3

1 13 3 2

34 1 23 3 3

n n

n n n

h k O NO

O O h k O

+ +

− +

− +

(3.53)

(((( ))))(((( ))))(((( ))))(((( ))))

1 11 1 1 2

21 1 1 1

1 23 1 1 1 112 3 3

1 13 13

2

0 0 01 0 0 00 0 00 1 0 00 0 00 0 1 00 0 00 0 0 1

n n nn

n n nn n

nn n n n

nnn n

Y k NOO k

Y k NONO k OkNO Y k O NO

k NOO Y k O

γτγτγτγτ

γτγτγτγτγτγτγτγτ

γτγτγτγτ

γτγτγτγτ

+ ++ ++ ++ +−−−−++++

+ ++ ++ ++ +++++ ++++

++++++++ + ++ ++ ++ +

++++++++++++

++++

++++= += += += +

++++

++++


91/284

III.7.1 Ajuste del tamaño de paso (paso de integrac ión variable).

En ciertos casos muy complejos puede ser necesario utilizar un tamaño de

paso de integración variable. El tamaño de paso está limitado por valores

máximos y mínimos establecidos previamente. Si se realizan dos rechazos

consecutivos se procede a reiniciar el proceso.

El paso inicial se elige cumpliendo con los requisitos impuestos de las

tolerancias, tanto la absoluta como relativa. El esquema de dos pasos se

aplica con el mismo tamaño de paso y después se activa el mecanismo de

tamaño de paso variable. Normalmente, el tamaño de paso, 1 nnt tττττ ++++= −= −= −= −

conduce a una estimación inicial más bien pequeña que será aceptada, y

posteriormente, será incrementada rápidamente de acuerdo a la norma del

error.

La estrategia para el cálculo del tamaño de paso variable se basa en la

utilización del cálculo del error local y en considerar la norma del error

promediado, que ha sido definido y prefijado de antemano dentro del

algoritmo, como una ponderación de las tolerancias.

(((( ))))1 1maxn n nw w kE E W+ ++ ++ ++ +====

n n

k kW ATOL RTOL y++++====

(3.54)

Donde ATOL y RTOL son las tolerancias, definidas a priori, de error

absoluto y relativo respectivamente. Si 1 1nwE + ≤ entonces el paso de

integración se acepta, de otra manera será rechazado. El nuevo tamaño de

paso se estima por:

1

0.8max 0.5,min 2.0,nuevo anterior

n

WE

τ ττ ττ ττ τ++++

==== (3.55)

El error local estará determinado por la expresión:

(((( ))))1 1 1 2 (1 )

( 1)n n n nE c y c y y

c c+ + −+ + −+ + −+ + −= − + += − + += − + += − + +

++++ (3.56)


92/284

Con esta expresión no se trata de estimar el error local del método BDF2. La

principal razón consiste en evitar el uso explícito de valores derivados en

1nE ++++ . De esta manera, esto podría amplificar los pequeños errores

insignificantes en la solución debido a la rigidez del sistema lo cual dificulta

la predicción del nuevo tamaño de paso.

El valor necesario para inicializar el método multipaso BDF2 se consigue

aplicando un método de Euler implícito que corresponde al método BDF2 de

grado 1. Para obtener un valor predicho seguro para el tamaño de paso

inicial se reemplaza 1nE ++++ por 0 ' ky y se define ττττ según:

( )0 '0min /τ = k kW y (3.57)

siendo

(((( )))) (((( )))) 0 0 0 0 ' , ,k k k ky P t y L t y y

= −= −= −= − (3.58)

De ahí, el tamaño de paso es elegido de modo que 0 ' ky satisface los

requerimientos de tolerancias previamente definidas, tanto la absoluta como

la relativa. El esquema two-step se aplica entonces con el mismo tamaño de

paso y después de eso el mecanismo de tamaño de paso variable se activa.

Normalmente, se permiten predicciones bastante pequeñas inicialmente que

serán aceptadas y por consiguiente se incrementarán rápidamente.

Al utilizar el método two-step, el cálculo realizado por las iteraciones de

Gauss-Seidel tiende a la convergencia en un número pequeño de pasos.

Según se indica en (J G Verwer, 1994; J.G. Verwer & Simpson, 1995) la

exactitud general del código mejora con el número de iteraciones pero la

eficiencia generalmente no. Por lo tanto es preferible un pequeño número de

iteraciones, las cuales son convenientes en cualquier caso, después de

volver a empezar con un tamaño de paso pequeño. En las pruebas

realizadas de la cinética del ozono, el tamaño de paso es variable y está

gobernado por las tolerancias definidas por el .usuario pero limitadas a un


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máximo y un mínimo. Por lo tanto, se definen un máximo y un mínimo en el

tamaño de paso en segundos.

1 1 900maxmin ; ; inicialτ τ τ= = = (3.59)

Mientras el límite inferior es de 1 segundo se impone por razones de

eficiencia, el límite superior de 900 segundos sirve para proteger el código

del problema de tomar valores de tamaño de paso demasiado grandes. Este

límite superior es razonable en términos químicos debido a que con tamaños

de paso mucho mayores que 15 minutos, la fiabilidad de los métodos

numéricos puede degradarse.

III.8. Descripción del algoritmo Two-Step . La estructura del programa está dividida en un programa principal que a su

vez contiene 4 subrutinas diferentes. El programa principal inicia las

variables más importantes y que deben estar bien acotadas para obtener la

resolución deseada. Las 4 subrutinas serán las encargadas de ejecutar los

pasos deseados para la resolución de la química atmosférica del ozono.

Estos pasos consistirán, en primer lugar, en la aplicación directa del método

BDF2. Las demás subrutinas efectúan tareas auxiliares como son el cálculo

del nuevo tamaño de paso, el ajuste del tamaño de paso a las horas en las

que se desean obtener datos en el intervalo de integración y, por último, al

cálculo de la cinética química y los parámetros de resolución del método de

Gauss-Seidel.

De un modo esquemático se presentan las 4 subrutinas implementadas en el

método y la función que presenta cada una en la resolución de la cinética

atmosférica del ozono.

- TWO-STEP: Cálculo de las tolerancias e inicialización de los

parámetros necesarios para el cálculo del tamaño de paso.

- NUEVODT: Cálculo del tamaño de paso variable según las

tolerancias.


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- FIT: Ajuste del tamaño de paso para garantizar que el intervalo a

resolver es múltiplo del tamaño de paso.

- ITER: Construcción del método BDF2, cálculo de k1 y resolución

del sistema por Gauss-Seidel.

En el apéndice 3 puede verse el organigrama completo del programa de

ordenador utilizado.

III.8.1 Resultados de la simulación Para realizar la simulación del sistema de generación-consumo de ozono

troposférico se ha optado por un método numérico multipaso de tamaño de

paso variable que se denomina BDF2 y que está regido por la siguiente

expresión:

1 1 1

4 1 2 '3 3 3

n n n ni i i iy y y t y+ − ++ − ++ − ++ − +

= − + ∆= − + ∆= − + ∆= − + ∆ (3.60)

Como se puede observar en esta expresión, para calcular el valor en el

instante 1n ++++ , es necesario conocer el valor de la función en el instante n

calculado por Euler implícito y en el instante 1n −−−− que corresponden a los

datos iniciales, así como el valor de la derivada en el instante 1n ++++ . El

método es implícito al usar la evaluación de la función en los instantes 1n ++++

a ambos lados de la ecuación, y además, es un método multipaso ya que

para iniciar el proceso de integración es necesario conocer el valor de la

función en dos instantes de tiempo anteriores.

Para resolver (3.60), se procede a implementar el proceso de iteración de

Gauss-Seidel.

Se ha utilizado paso de integración variable.

(((( ))))1 11 ,n n n

ny Y f t yγ τγ τγ τγ τ+ ++ ++ ++ +++++= += += += + (3.61)

donde:

1 nnt tττττ ++++= −= −= −= −


95/284

(((( ))))(((( ))))

1

1

n n

nn

t tc

t t−−−−

++++

−−−−====

−−−−

(((( ))))(((( ))))

12

c

cγγγγ

++++====

++++

(((( ))))(((( ))))

2 1

2

1

2

n n

nc y y

Yc c

−−−−

+ −+ −+ −+ −====

++++

resultando:

(((( ))))(((( ))))

(((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( ))))

2 1

1 112 1

1 1 ,

22

n n

n nnnn

c y y cy f t y

cc ct t

−−−−

+ ++ ++ ++ +++++++++

+ −+ −+ −+ − ++++= += += += +

++++++++−−−− (3.62)

III.8.2 Solución teórica

Una vez que se ha ejecutado el programa, se procede al análisis de

resultados. Para ello, se realizan gráficas de evolución de valores en un

programa en R para, posteriormente compararlas con las soluciones de la

referencia (J.G. Verwer & Simpson, 1995).

Fig. 3.2 Evolución en el periodo simulado de las concentraciones de las soluciones de

referencia de O·, NO, NO2 y O3. (J.G. Verwer & Simpson, 1995)


96/284

En las siguientes gráficas se muestran los resultados de la simulación

realizada con el programa considerando una tolerancia absoluta de 10-1 y

una tolerancia relativa de 10-3:

Fig. 3.3. Evolución en el período simulado de las concentraciones de la solución

aproximada con tolerancia absoluta de 10-1 y tolerancia relativa de 10-3 de O·, NO, NO2 y O3

Una vez que se tienen los resultados gráficamente, pueden compararse los

resultados del método BDF2 resuelto por Gauss-Seidel (Fig. 3.3) con la

solución de referencia (Fig.3.2), (J.G. Verwer & Simpson, 1995).

Como se ve para la especie O, las curvas son muy similares en cuanto a los

máximos y mínimos obtenidos si bien es verdad que el método de resolución

propuesto desplaza ligeramente el ascenso en concentración de O.

Para la especie NO, también se observan valores muy parecidos a los

generados analíticamente salvo que se aprecia un descenso atenuado en la

solución numérica que no existe en la solución de referencia donde se

produce una caída de concentración de NO repentina.

Analizando el NO2, se observa un ligero retardo en el crecimiento de la

concentración pero una vez que comienza a formarse se produce de manera

[O]

[O3]

[NO]

[NO2

]


97/284

constante. Sin embargo, en la solución de referencia cuando comienza el

crecimiento, éste se mantiene continuo hasta que se acerca a la

concentración máxima, que llega de noche, donde el crecimiento se atenúa

poco a poco hasta que comienza a descender la concentración por la

entrada de la radiación.

El ozono simulado por el método numérico no presenta máximos de

concentración tan prolongados en el tiempo como se deduce de la solución

analítica. El descenso de la concentración de ozono no se produce tan

rápidamente en la solución numérica como se da en la solución analítica

sino que este descenso es menor pronunciado pero prácticamente es

constante hasta que se alcanza la concentración mínima para cada día que

en este caso corresponde a períodos nocturnos.

III.8.3 Análisis de sensibilidad a las tolerancias: absoluta y relativa

A continuación se han planteado la resolución del modelo considerando

menores tolerancias para el cálculo.

El primer estudio realizado consiste en definir una tolerancia absoluta de 10-3

y una tolerancia relativa de 10-6 (ver Fig. 3.4):


98/284

Fig. 3.4 Evolución en el período simulado de las concentraciones de la solución

aproximada con tolerancia absoluta de 10-3 y tolerancia relativa de 10-6 de O·, NO, NO2 y O3

La siguiente simulación realizada consiste en definir una tolerancia absoluta

de 10-6 y una tolerancia relativa de 10-9 para obtener una solución

aproximada más próxima a la solución de referencia (J.G. Verwer &

Simpson, 1995) y, por tanto, con menor error (ver Fig. 3.5):

[O]

[NO]

[NO2

]

[O3]


99/284

Fig. 3.5 . Evolución en el período simulado de las concentraciones de la solución aproximada con tolerancia absoluta de 10-6 y tolerancia relativa de 10-9 de O·, NO, NO2 y O3

Según se observa en las figuras, a menor tolerancia en el error la solución

calculada se acerca más a la solución de referencia (J.G. Verwer & Simpson,

1995). Al final, prácticamente la solución aproximada es idéntica a la

solución (J.G. Verwer & Simpson, 1995) con lo que se consigue minimizar el

error a valores prácticamente nulos.

También se observa que la forma que adquieren las gráficas en torno a la

respuesta de las mismas es igual, por lo que no existe desfase en las

soluciones. Sin embargo, cuanto menor son las tolerancias definidas, se

hace necesario disminuir el tamaño de paso y a su vez repercute

negativamente en el tiempo de simulación empleado. En este caso, no

supone un coste computacional elevado debido a que los tiempos

empleados son inferiores a 1 minuto pero si se pretendiera calcular para

mayor número de días, probablemente, este parámetro haya que estudiarlo

más en profundidad.

[O] [NO]

[NO2] [O3]


100/284

III.8. Conclusiones.

En este capítulo se ha dedicado al método multipaso implícito Backward

Differentiation formula de segundo grado (BDF2) utilizado para llevar a cabo

la simulación de la cinética química de reacciones de contaminantes

gaseosos atmosféricos.

Este método numérico es idóneo para obtener la solución de los sistemas de

ecuaciones diferenciales ordinarios rígidos que modelizan la cinética química

atmosférica. La rigidez presente en este tipo de sistemas de ecuaciones

diferenciales ordinarias se debe a la presencia de reacciones fotoquímicas

que favorecen una diferencia de varios órdenes de magnitud en las

velocidades de reacción implicadas en las reacciones químicas que se

desean modelizar. El método multipaso implícito BDF2 unido a la aplicación

de la técnica iterativa Gauss-Seidel para la obtención de la solución de la

parte implícita de la ecuación, nos proporciona una herramienta para la

resolución de los problemas de rigidez, precisa, rápida y de bajo consumo de

memoria.

En este capítulo se ha implementado el método BDF2 en un algoritmo que

modela el ciclo químico de generación-destrucción de ozono troposférico y

se han comparado los resultados con la solución teórica propuesta en

(Hundsdorfer & Verwer, 2003), observando un buen ajuste perfecto en

ambas. El algoritmo usado se ha implementado junto con una técnica de

paso variable, que determina el valor del paso de integración en el tiempo en

función de la derivada segunda de la función, lo que relaciona las

aceleraciones de reacción con la precisión del método, permitiendo un buen

ajuste en función de la velocidad de reacción dominante de cada una de las

reacciones químicas presentes en el ciclo del ozono troposférico.

Las principales ventajas que posee este método son

- La rapidez del cálculo debido a la aplicación del método iterativo

de Gauss-Seidel para la resolución de las ecuaciones no lineales


101/284

obtenidas tras aplicar el método BDF2 para aproximar la solución

del SEDO que modelizan las reacciones químicas.

- Solventa los problemas de rigidez de las reacciones químicas, y

aumenta la rapidez de cálculo.

- Permite acoplar una técnica de paso variable, dependiente de las

tolerancias admitidas que aumenta la precisión en el caso de

sistemas de elevada rigidez.

- El método BDF2 es estable a lo largo del periodo de tiempo de

integración.

IV. Simulaciones de la dispersión de contaminantes en la atmósfera con el modelo CHIMERE

102/284


103/284

IV. Simulaciones reales de la dispersión de contami nante con el modelo CHIMERE. Análisis del modelo racional conservativo

INTRODUCCIÓN

En el presente capítulo de esta Tesis se va a llevar a cabo el análisis de

resultados de simulaciones de dispersión de contaminantes con el Programa

CHIMERE (Institute Pierre-Simon Laplace (C.N.R.S.) & INERIS, 2007; Roux,

2002) modificado para incluir el método Racional Conservativo para la

resolución de la parte advectiva de las ecuaciones en derivadas parciales

que regulan la dispersión de contaminantes en la atmósfera por distintos

procesos, entre los que se encuentra la advección, la difusión vertical y la

reacción química de contaminantes durante el transporte al que son

sometidos tras su emisión en la atmósfera. Dichas simulaciones se llevaron

a cabo mediante colaboración con la Unidad de Contaminación Atmosférica

del Centro de Investigaciones Energéticas Medioambientales y Tecnológicas

(C.I.E.M.A.T.)

Estos resultados se compararán con los resultados obtenidos en las mismas

condiciones con los métodos clásicos de resolución de la ecuación de

advección incluidos en el modelo CHIMERE (los métodos utilizados para

resolver la ecuación de advección –método Upwind (Godunov, 1959),

VanLeer o MUSCL (B Van Leer, 1979; Bram Van Leer, 1977), y Piecewise

Parabolic Method o PPM (Colella & Woodward, 1984) - se desarrollaron en

el capítulo II de la presente Tesis; mientras que el método de resolución del

proceso químico completo en el que se inspira el método simplificado del

programa CHIMERE se desarrollo en el capítulo III).

Los resultados se han verificado mediante contraste con las medidas

continuas de concentración de contaminantes registradas en la red de

estaciones fijas de seguimiento y medición localizadas dentro de los

dominios a estudio, utilizando los indicadores propuestos por la US

Environmental Protection Agency (Doll, 1991; Tesche, Georgopoulos, &

Seinfeld, 1990). Los resultados se han presentado en diferentes congresos

internacionales (CMMSE 2010, CMMSE 2011, ICSSA 2011, que llevaron a

la publicación en la revista Journal of Computational and Applied

Mathematics (Gavete et al., 2012).


104/284

IV.2 DESCRIPCIÓN DE LOS ÍNDICES DE VERIFICACIÓN DE LAS SIMULACIONES REALIZADAS .

Para determinar la fiabilidad de los resultados de las modificaciones del

modelo empleado se han utilizado técnicas estadísticas y gráficas de

verificación de los resultados. Para realizar el proceso de verificación de los

resultados de las simulaciones empleadas con objeto de determinar si la

simulación es una representación precisa del sistema real objeto a estudio

se han utilizado conjuntos de datos experimentales obtenidos a partir de las

mediciones continuas recogidas en la red de estaciones de seguimiento y

medición distribuidas dentro de las áreas simuladas.

Las técnicas gráficas consisten en la representación de las predicciones y

observaciones en el tiempo y en el espacio (figura 4.1).

Fig. 4.1. Ejemplo técnicas de verificación gráfica. Representación de los valores simulados con los cuatro métodos para la resolución del proceso advectivo frente a datos observados.

24 48 72 96 1200

50

100

150MS01016001 B6

Time(hours)

O3 (

mic

rogr

/m3 )

obsppmrmupwindvanleer


105/284

Las técnicas estadísticas utilizadas se han empleado siguiendo las guías de

la US environmental Protection Agency (Doll, 1991), (Tesche et al., 1990) y

se describen en la tabla 4.1.

Estadístico Fórmula Interpretación Bias Medio, MB ( )0

1

1 N

pMB c cN

= −∑ = 0 Buen ajuste > 0 Subpredicción < 0 Sobrepredicción

Bias Medio Normalizado, NMB ( )0

1

01

N

p

N

c cNMB

c

−=∑

∑

= 0 Buen ajuste >0 Subpredicción <0 Sobrepredicción >1 Subpredicción importante <1 subpredicción importante

Error cuadrático medio, RMSE ( )2

01

1 N

pRMSE c cN

= −∑ = 0 Buen ajuste Cuanto mayor sea, peor es la predicción.

Error cuadrático normalizado, EMNAE ( )2

01

01

1 N

p

N

p

c cNEMNAE

c c

−=

∑

∑

= 0 Buen ajuste Cuanto mayor sea, peor es la predicción.

Error normalizado, NME ( )0

1

01

N

p

N

c cNMSE

c

−=∑

∑

= 0 Buen ajuste Cuanto mayor sea, peor es la predicción.

Tabla 4.1 Descripción de los indicadores empleados en la verificación de los resultados de las simulaciones.


106/284

IV.3 Descripción del modelo CHIMERE de dispersión d e contaminantes y de los modelos MM5 y WRF de predicción meteorológ ica.

El Método Racional Conservativo (RCM) se ha incluido en el modelo

CHIMERE de simulación del proceso de dispersión de contaminantes en la

atmosfera para poder hacer una validación del mismo mediante contraste

con los resultados de otros tres métodos de resolución de las ecuaciones

advectivas incluidas y previamente validadas dentro de CHIMERE.

El modelo multi-escala CHIMERE es un modelo de dispersión de

contaminantes en la atmósfera, que simula el comportamiento de los

contaminantes sometidos a diferentes procesos como son la advección, la

difusión, reacciones químicas, deposición seca y húmeda, etc. Está

diseñado para la producción de predicciones diarias de ozono, aerosoles y

otros contaminantes primarios y secundarios en la atmósfera, así como para

realizar predicciones a largo plazo con diferentes escenarios de emisión

controlada. El modelo CHIMERE utiliza un rango de escala espacial que va

desde la escala regional (varios miles de kilómetros) hasta la escala urbana

(entre 100-200 km) con resoluciones que oscilan entre los 1-2 km hasta los

100 km. El diseño del programa se ha orientado a su uso en Europa,

aunque tiene la posibilidad de modificarse para hacer uso del mismo en

otros continentes.

El modelo CHIMERE posee diferentes tipos de opciones de configuración

para la realización de simulaciones del comportamiento de los

contaminantes en la atmósfera y es un código muy útil a la hora de chequear

nuevas parametrizaciones, hipótesis o procesos dentro de su código,

publicado bajo licencia libre (GNU General Public License) por el Institut

Pierre-Simon Laplace (Institute Pierre-Simon Laplace (C.N.R.S.) & INERIS,

2007).

El modelo CHIMERE necesita una serie de datos de entrada como base a

las predicciones de difusión de contaminantes entre las que se incluyen:


107/284

- Predicciones meteorológicas. Posee capacidad para conectarse a

información de servidores o acoplarse a modelos meteorológicos

como MM5 o WRF.

- Datos de usos del suelo.

- Datos de emisiones.

- Condiciones de contorno e iniciales.

Por último cabe destacar la flexibilidad del modelo CHIMERE para ejecutar

distintas configuraciones en lo que se refiere a la resolución vertical de la

atmósfera contemplada, así como a diferentes tipos de mecanismos de

reacción química de contaminantes, entre los que se puede citar los modelos

MELCHIOR I (descripción de 300 reacciones de 80 especies gaseosas),

(Lattuati, 1997), y el modelo reducido MELCHIOR II (descripción de 120

reacciones), (Derognat, Beekmann, Baeumle, Martin, & Schmidt, 2003).

El modelo CHIMERE se enmarca dentro de los modelos determinísticos, que

se basan en ecuaciones físicas que modelan los procesos de transporte y

reacciones químicas de los contaminantes atmosféricos contemplados. El

modelo CHIMERE está basado en la aplicación de la ecuación de masas a

las concentraciones de especies químicas discretizando el dominio espacial

en una malla compuesta de celdas o cajas adyacentes. Una vez realizado el

preproceso de los campos de vientos obtenidos mediante modelos

meteorológicos, el modelo CHIMERE se centra en la resolución de un

sistema de ecuaciones en derivadas parciales (PDE en sus siglas en inglés),

obtenidas tras la aplicación de la ecuación de conservación de masas:

( ) ( )fuf k f P L

t∂ + ∇ = ∇ ∇ + −∂ (4.1)

En esta ecuación, típica de una aproximación Euleriana, f representa un

vector con las concentraciones de las especies contempladas en el modelo,

georreferenciada dentro de la malla diseñada, u es un vector tridimensional

que contiene el valor de la velocidad del viento en el dominio modelado,

correspondiente al coeficiente advectivo, obtenida a través de los campos de

viento simulados en los modelos meteorológicos empleados, k es la matriz

de difusividad turbulenta, y P y L representan los términos de producción y


108/284

pérdida de especies químicas debido a procesos de emisión, deposición y

reacciones químicas. El campo de viento tridimensional y la matriz de

difusividad son datos conocidos a la hora de resolver el sistema de

ecuaciones en derivadas parciales, por lo que el problema es lineal en lo que

al transporte se refiere. Sin embargo, los términos relativos a las reacciones

químicas son de segundo orden, por lo que el efecto de las reacciones

químicas en los términos de producción y pérdida son cuadráticamente no

lineales (ya que la concentración de cada especie química depende del valor

de más de la concentración de más de una de sus precursoras).

Para llevar a cabo el cálculo de los términos de producción y pérdida de

contaminantes, es necesario resolver un sistema de ecuaciones en

derivadas ordinario rígido. La rigidez del sistema (como se ha visto en el

capítulo III de la presente Tesis) se debe a la elevada diferencia entre los

valores de las constantes de reacción, definidas en las reacciones químicas

que contempla el modelo CHIMERE. La resolución de la parte química se

lleva a cabo mediante un método numérico basado en un algoritmo de

segundo orden llamado TWO-STEP (ver capítulo III) originalmente propuesto

para el tratamiento de la química en fase gas. Este método se basa en la

aplicación del sistema iterativo Gauss-Seidel para la resolución del sistema

de ecuaciones no lineales obtenido tras aplicar el esquema implícito

multipaso de diferenciación regresiva hacia atrás (Backward differentiation

formula- BDF2)

( )1 1 14 1 2

3 3 3n n n nf f f t R f+ − += − + ∆ (4.2)

Siendo nf el vector que contiene las concentraciones de las especies

químicas en el instante nt , t∆ el incremento de tiempo desde el instante nt

al 1nt + , y ( ) ( )( ) f fR f P L= − la evolución temporal de las concentraciones

debido a los procesos de generación y emisión (P) y pérdida debido a los

procesos de consumo y deposición (L). Agrupando términos en (4.2) y

teniendo en cuenta que P es el vector de producción de contaminantes

medido en unidades de concentración y L es una matriz diagonal, que

contiene los parámetros de pérdida de sustancia química, obtendríamos:


109/284

( ) ( )1

1 1 1 12 4 1 2

3 3 3 3n n n n nf I tL f f f t P f

−+ + − + = + ∆ − + ∆

(4.3)

Debido a la cantidad de operaciones llevadas a cabo para evitar la

característica de rigidez del sistema, este es un proceso clave en el tiempo

de cálculo dentro del modelo CHIMERE.

Para la resolución del proceso se utiliza un método de spliting aditivo,

mediante el que se tratan por separado uno de los procesos contemplados

en el sistema de ecuaciones en derivadas parciales (P.D.E) contemplado.

Una vez aplicado el método de spliting, el modelo lleva a cabo la aplicación

de los métodos numéricos que resuelven el transporte advectivo (Godunov,

VanLeer, Piecewise Parabolic Method, o Racional Conservativo) descritos

en el apéndice II y el capítulo II, y una vez resuelto el proceso de transporte

se lleva ejecuta el proceso químico, por lo que el modelo primero transporta

el contaminante en cada una de las direcciones, actualiza el valor de la

cantidad transportada y posteriormente resuelve el sistema de ecuaciones

diferenciales ordinarias que simula el proceso químico. En la figura 4.2 se

puede observar un esquema del proceso de spliting utilizado en el modelo

CHIMERE.

Fig.4.2. Proceso de spliting en el modelo CHIMERE.


110/284

El modelo CHIMERE solo tiene en cuenta la difusión vertical, mediante una

parametrización de la difusión turbulenta dependiente de la velocidad del

viento, contemplando como despreciable el efecto de la difusión horizontal,

suposición comúnmente utilizada en la mayoría de los modelos de

dispersión de contaminantes mesoescalares.

Descripción del modelo de predicción meteorológica.

MM5 es un modelo de predicción meteorológica mesoescalar desarrollado

en base a la quinta generación del NCAR/Penn State Mesoscale Model

utilizado por el NCAR (National Center for Atmospheric Research, Colorado,

USA).

El MM5 es un modelo no hidrostático de predicción atmosférica a corto plazo

que resuelve las ecuaciones dinámicas de la atmósfera mediante métodos

numéricos. La formulación de una dinámica no hidrostática permite que el

modelo pueda ser empleado eficazmente para representar fenómenos con

dimensiones de muy pocos kilómetros (hasta 1 km).

El modelo MM5 incorpora los esquemas de parametrización de los

siguientes procesos físicos:

- Radiación atmosférica.

- Microfísica de nubes y precipitación.

- Convección por cúmulos.

- Turbulencia.

- Flujos de energía y momento sobre la superficie terrestre.

El modelo MM5 tiene capacidad de anidamiento múltiple entre dominios de

diferente resolución para facilitar la consecución de las condiciones de

contorno adecuadas al área a estudio, en una dirección (“one-way”) y en

ambas direcciones (“two-way”), facilitando el estudio de fenómenos

atmosféricos bajo distintas escalas espaciales y el diseño de predicciones de

alta resolución.

El modelo MM5 es de libre acceso y está mantenido a través de la NCAR,

con propósitos de investigación científica, estudios de calidad de aire,

estrategias de control, etc.


111/284

IV.4 ANÁLISIS DE DATOS DE SIMULACIONES CON CHIMERE

IV.4.1 DESCRIPCIÓN DE CASOS

Durante el periodo de doctorado se han realizado visitas al Centro de

Investigacioines Científicas, Tecnológicas y Medioambientales, donde se ha

podido implantar el algoritmo de mejora Rational Conservative Method, para

la resolución del término advectivo en el modelo CHIMERE que modeliza el

transporte y reacción química de contaminantes en la atmósfera. Como

resultado de la cooperación con la Unidad de Contaminación Atmosférica del

CIEMAT, se ha llevado a cabo estudios comparativos de resultados de la

simulación del transporte de contaminante en diferentes dominios con

distintas resoluciones, con medidas observadas de la red de vigilancia de

Contaminación del Instituto Nacional de Meteorología. Tras el estudio, se ha

podido confirmar la idoneidad del método para este propósito quedando

reflejada la misma mediante diversas publicaciones y difusión en congresos

internacionales (CMMSE 2010 y 2011, e ICCSA 2011).

Los casos a estudio son los siguientes:

a) CASO 1: Se ha simulado el comportamiento de tres contaminantes en

la atmósfera dentro del área correspondiente a la Comunidad de

Madrid, con una resolución horizontal de 0.2º. El modelo de

dispersión de contaminantes usado ha sido el modelo CHIMERE en

su versión V200603 par-rc1, alimentado por los datos meteorológicos

obtenidos a través del modelo MM5. Los contaminantes a estudio

son: O3, NO2, SO2 para un periodo comprendido entre el 1 de agosto

y el 30 de agosto de 2003. Las simulaciones llevadas a cabo por el

modelo CHIMERE han empleado los métodos de resolución numérica

de la ecuación de advección PPM (Piecewise Parabolic Method) y

RCM (Rational Conservative Method).

Los resultados del presente estudio se expusieron en la Conferencia

Internacional CMMSE (International Conference Computational and

Mathematiacl Methods in Science and Engineering) del año 2010, y

han sido publicados en la revista Journal of Computational and

Applied Mathematics) (Gavete et al., 2012).


112/284

b) CASO 2: En este caso, se ha modelado el comportamiento de 5

contaminantes ( NO2, NOX, SO2, O3, PM10), para un área

correspondiente a la Península Ibérica con una resolución horizontal

de 0.2º. En este caso se ha empleado la versión 2008 del modelo

CHIMERE, comparando los resultados del método de resolución

numérica RCM con los métodos incluidos en CHIMERE (Upwind,

VanLeer, y PPM). Estos resultados se validaron mediante la

comparación con los valores observados en la red de estaciones de

medición localizadas en el área a estudio.

Los datos de predicción meteorológicos necesarios para llevar a cabo

la simulación de la difusión de contaminantes se obtuvieron a partir

del modelo MM5 para un periodo de tiempo comprendido entre el 30

de junio y el 3 de agosto de 2007. Los resultados del estudio han sido

defendidos en la Conferencia Internacional ICCSA 2011 (International

Conference on Computational Science and Its Applications).(Molina et

al., 2011b)

c) CASO 3: El último caso analizado cubre la Peninsula Ibérica con una

resolución horizontal de 0.1º, simulando la difusión de ozono que

abarca desde el 19 de junio hasta el 23 de julio de 2008, mediante el

uso del modelo CHIMERE en su versión 2008. Se compararon los

resultados obtenidos utilizando los métodos de resolución numérica

del método RCM frente a los métodos incluido en el modelo

CHIMERE (Upwind, VanLeer y PPM), que se verificaron

comparándolos con los valores medidos en las estaciones de

seguimiento localizadas dentro del área a estudio.

Para obtener los datos de predicción meteorológica que necesita el

modelo CHIMERE se utilizaron los pronósticos meteorológicos del

modelo WRF.

Los resultados del estudio fueron presentados en la Conferencia

Internacional CMMSE 2011 (International Conference Computational

and Mathematiacl Methods in Science and Engineering).(Molina et al.,

2011a)


113/284

IV.4.1 CASO 1: Dominio Comunidad de Madrid. Modelo CHIMERE + MM5

Se lleva a cabo la simulación de contaminantes en un dominio centrado en la

Comunidad de Madrid, con una configuración similar a (Ver referencia 7 del

artículo CHIMERE 2010). Este dominio tiene una resolución horizontal de

0.5º, y una resolución vertical que se extiende desde el nivel de sigma-

presión 14 hasta más de 500 hPa. Para la definición de las condiciones de

frontera necesarias para la resolución de las ecuaciones en derivadas

parciales que conforman el modelo CHIMERE se ha utilizado la técnica de

dominios anidados, el dominio de interés se alimenta de un dominio que

abarca toda la península ibérica, con una resolución de 0.2º. A su vez este

segundo dominio se ha anidado a un dominio de escala europea con un

rango que va desde los 10.5ºW hasta los 22.5º E, y de los 35ºN hasta los

57.5 ºN, con una resolución horizontal de 0.5º. El área donde se lleva a cabo

la simulación se puede observar en la figura 4.2:

Fig. 4.2 Representación de los dominios anidados. Área simulada resaltada en amarillo

Las condiciones de contorno para el dominio anidado provienen de los

climatología mensual del año 2003 extraidas del modelo LMDz-INCA ,

(Hauglustaine et al., 2004) para las concentraciones de gases y de las

predicciones mensuales del modelo GOCART 2004, (Chin et al., 2002) para

especies particuladas, (Vautard, Bessagnet, Chin, & Menut, 2005). Las


114/284

emisiones que alimentan al modelo han sido extraídas de la base de datos

de totales emitidos publicada por EMEP del año 2004.

Para los datos meteorológicos de entrada se ha utilizado el modelo MM5.

Las simulaciones se han llevado a cabo para 3 dominios, con resoluciones

espaciales de 36, 19 y 7 km respectivamente. Las dos simulaciones

anidadas del MM5 se han validado mediante análisis siguiendo el modelo

(GFS) proporcionado por la National Center for Environmental Prediction. El

dominio con mayor resolución se ha anidado a una simulación

proporcionada con el modelo MM5 de 21 km de resolución.

Para este estudio se simuló el comportamiento de la dispersión de tres

contaminantes: O3, NO2, SO2. En la figura 4.3 se observa en detalle el área a

estudio con la disposición de las estaciones de medición de los tres

contaminantes:

Fig. 4.3 Área de estudio del caso 1, con la disposición de las estaciones de medición de O3,NO2, y SO2.


115/284

En las siguientes gráficas se puede observar la comparación de los

resultados del modelo Racional Conservativo frente a los datos observados

para un periódo de 5 días en la estación 2807924 localizada en la ciudad de

Madrid, donde se aprecia el ajuste de las predicciones respecto a los valores

reales, así como los ciclos diurnos de los tres contaminantes fotoquímicos,

con picos correspondientes a las horas de máxima circulación de

automóviles:

Fig. 4.4 Serie temporal de concentraciones de NO2 observada y simulada.

Fig. 4.5 Serie temporal de concentraciones de O3 observada y simulada.


116/284

Fig. 4.6 Serie temporal de concentraciones de SO2 observada y simulada.

Los resultados de los estadísticos comparativos entre las

concentraciones simuladas en las estaciones de seguimiento para

estas series temporales se exponen a continuación:

Tabla 4.2 . Resultados estadísticos comparativos para las simulaciones del O3, NO2, SO2.


117/284

Fig.4.6 Representación del valor del EMNAE para el NO2

Fig. 4.7. Representación del valor del EMNAE para el SO2

Fig. 4.8 . Representación del valor del EMNAE para el O3


118/284

IV.4.2 CASO 2: Dominio Península Ibérica. Resolució n 0.2º Modelo CHIMERE + MM5.

ICCSA 2011: En este caso se ha utilizado un dominio centrado en la

Península Ibérica con una resolución horizontal de 0.2º, anidado a un

dominio Europeo, enmarcado entre los 10.5ºE hasta los 22.5ºW, y desde los

35º N hasta los 57.5ºN que alimenta al domino peninsular para obtener sus

valores de frontera para las concentraciones a estudio (ver figura 4.8). Se ha

utilizado un método de una dirección para el anidamiento de los dos

dominios ya que dicho anidamiento se va a emplear únicamente para definir

las condiciones de contorno del dominio peninsular con mayor resolución.

La introducción de datos meteorológicos (campos de viento, presión, etc) se

hace a partir de los datos obtenidos en la simulación del modelo MM5 con

resoluciones horizontales de 36 km y 19 km respectivamente. Los resultados

de la simulación del modelo MM5 meteorológico se han validado utilizando

los métodos de análisis propuestos por la National Center for Prediction

(GFS).

Se han analizado las concentraciones de las siguientes especies químicas:

O3, NO2, NOx, SO2, y materia particulada con un diámetro inferior a 10 nm

(PM10), para una serie temporal comprendida entre el 30 de junio y el 3 de

agosto de 2007. Las series temporales observadas se han tomado de un

total de 73 estaciones de seguimiento para el ozono, 76 estaciones de

seguimiento para el NOx, 72 estaciones de seguimiento para los óxidos de

nitrógeno, NOx, 86 estaciones de seguimiento para el dióxido de azufre, SO2,

y 54 estaciones de seguimiento de calidad del aire para la materia

particulada PM10. En la figura 4.9 se puede observar la disposición de las

estaciones de medición de contaminantes dentro del área a estudio:


119/284

Fig. 4.9 Distribución de las estaciones de seguimiento de contaminantes

En las figuras 4.10, 4.11, 4.12, 4.13, se puede observar la comparación de

los resultados simulados frente a los observados para un intervalo de 5 días.

Fig. 4.10 Representación gráfica de los resultados simulados y observados de NOx


120/284

Fig. 4.11 Representación gráfica de los resultados simulados y observados de O3.

Fig. 4.12 Representación gráfica de los resultados simulados y observados de SO2.


121/284

Fig. 4.13 Representación gráfica de los resultados simulados y observados de PM10.

A continuación se muestran la comparativa de las medias de

concentración para una selección de 17 estaciones que muestrean

conjuntamente todos los contaminantes y las concentraciones

simuladas de los mismos, en la tabla 4.4, así como el resultado del

análisis estadístico aplicado a cada contaminante en la tabla 4.5


122/284

Tabla 4.4 Medias de las concentraciones observadas y simuladas de los 3 contaminantes con los 4 métodos, para una selección de estaciones representativas.

Tabla 4.5 Valores de estadísticos para cada contaminante con cada método resolutivo.


123/284

IV.4.3 CASO 3: Dominio Península Ibérica. Resolució n 0.1º. Modelo CHIMERE + WRF

En este caso se ha empleado la versión V2008 del modelo CHIMERE que

contempla el comportamiento de 44 especies gaseosas orgánicas e

inorgánicas, así como de aerosoles de origen primario y secundario,

incluyendo materia particulada, polvo mineral, sulfatos, nitratos amonio,

especies orgánicas secundarias y agua.

El dominio a estudio se centra en la Península Ibérica, con una resolución

horizontal de 0.1º. Las condiciones de contorno se han obtenido a partir de

dominio Europeo, al que está anidado el presente caso, localizado entre los

10.5W hasta los 22.5E, y desde los 35N, hasta los 57.5N con una resolución

de 0.2º. El anidamiento del dominio se ha llevado a cabo mediante un

procedimiento de una dirección, como se observa en la figura 4.14.

Fig.4.14. Localización del área de estudio.

Las condiciones de contorno para el dominio anidado se han extraído de los

datos del modelo LMDz-INCA, (Hauglustaine et al., 2004) para

concentración de gases y de las predicciones mensuales del modelo


124/284

GOCART 2004, (Chin et al., 2002) para las especies particuladas, (Vautard

et al., 2005).

Las emisiones se han extraído de la base de datos de la EMEP para el año

2007.

En este caso, el modelo que realiza las predicciones meteorológicas se ha

modificado, y se ha empleado el modelo WRF para obtener los datos de los

campos de viento necesarios para simular el transporte de contaminantes.

Las simulaciones se han llevado a cabo usando dos dominios anidados, de

19 km y 9 km de resolución respectivamente. Ambas simulaciones han

pasado el análisis de la National Center for Environnmental Prediction

(GFS).

En este caso nos hemos centrado en la evolución del ozono troposférico en

el área contemplada, para un periodo comprendido entre el 19 de junio y el

23 de julio de 2008. Dentro del dominio se han utilizado un total de 79

estaciones de medición y seguimiento de ozono, distribuidas como se

observa en la figura 4.15.

Fig.4.15 Estaciones de seguimiento y medición.


125/284

Los resultados de los estadísticos de medición de la desviación entre la

concentración modelada y la medida en el total de estaciones se exponen en

la tabla 4.6 y en la figura 4.16, se puede observar la diferencia entre los 4

métodos empleados en la resolución de la ecuación de transporte.

Tabla 4.6. Resultados de los estadísticos para los 4 métodos numéricos

empleados.

Fig.4.16 Resultados del estadístico EMNAE.


126/284

IV.5 CONCLUSIONES

En este capítulo se ha expuesto la implementación del método racional conservativo desarrollado en el capítulo II dentro del modelo mesosescalar de dispersión de contaminantes en la atmósfera CHIMERE.

El modelo CHIMERE modificado se ha utilizado para llevar a cabo tres simulaciones diferentes, con distinto grado de precisión en la malla utilizada para los dominios correspondientes a la Comunidad de Madrid y la Península Ibérica. Se han utilizado mallas de menor a mayor resolución para comprobar la sensibilidad del método a aumentos en los tamaños de celdilla utilizados.

Los resultados numéricos de las simulaciones se han validado mediante a la comparación con los valores de concentración de contaminantes registrados en la red de estaciones de monitoreo disponibles en las correspondientes áreas contempladas. Adicionalmente, se han comparado los valores simulados con los resultados de simulaciones empleando los otros tres métodos disponibles en el modelo CHIMERE para la parte advectiva de la ecuación de transporte y difusión de contaminantes atmosféricos (ver apéndice I).

Las conclusiones obtenidas se pueden resumir en:

- El modelo racional conservativo incluido dentro del modelo CHIMERE proporciona predicciones de la evolución de la dispersión de contaminantes que se ajustan a los valores tomados en las estaciones de predicción, con unos valores dentro del intervalo de confianza propuesto en los estudios previos (Tesche et al., 1990).

- La velocidad de resolución del algoritmo propuesto mejora el tiempo de resolución de los sistemas de ecuaciones diferenciales de los anteriores modelos, aunque la diferencia no es tan considerable, pese a realizar menos cálculos que su competidor más aceptado, el método PPM.

V. Modelización de la advección-difusión de contaminantes en la atmósfera

127/284

V. MODELIZACIÓN DE LA ADVECCIÓN-DIFUSIÓN DE CONTAMINANTANTES EN ATMÓSFERA

INTRODUCCIÓN

En este capítulo se introduce un nuevo método numérico para resolver la parte difusiva de la ecuación en derivadas parciales que modeliza la advección-difusión de contaminantes en la atmósfera. La base del modelo es un método de diferencias finitas de alto orden en el espacio y de diferencias finitas en el tiempo. Hasta el momento, los grandes códigos de cálculo de dispersión de contaminantes (CHIMERE, CMAQ,…) no tienen en cuenta la difusión horizontal, mientras que calculan la difusión vertical mediante ecuaciones paramétricas.

Este modelo permite obtener una solución que presenta estabilidad en el tiempo. Para determinar esta estabilidad se ha procedido a calcular el índice de estabilidad difusivo para una dimensión y para dos dimensiones. El valor máximo para este límite de estabilidad determina la relación entre los intervalos de integración temporal y espacial con respecto a los coeficientes de difusividad de los contaminantes transportados. El análisis de estabilidad revela una gran tolerancia los valores permitidos para estas variables.

El método presentado se ha implementado junto al método racional conservativo en dos programas en FORTRAN en una y dos dimensiones. Los resultados de las simulaciones realizadas se han validado mediante la comparación de resultados con una solución analítica en 1D.

Una vez validado el método se han expuesto los resultados de un conjunto de simulaciones para casos teóricos y reales de transporte de plumas contaminantes contemplando la advección y difusión de una dimensión y dos dimensiones para varios tipos de contaminantes.


128/284

V.1 Descripción de la ecuación en derivadas parcial es que modelizan el fenómeno difusivo.

La fórmula general de la ecuación de advección-difusión de un contaminante en la atmósfera corresponde a una ecuación en derivadas parciales que combina la forma parabólica e hiperbólica. La ecuación general tendría la siguiente expresión:

( ) ( )

ff u f R

tα∂ = ∇ ∇ + ∇ +

∂

(5.1)

Dentro de la ecuación tenemos los siguientes tipos de variables:

- ( , , )f x y t representa la variable de interés, en el caso de la

modelización de la calidad del aire, representa la concentración de contaminante para un volumen de aire dado, en un tiempo determinado.

- ∝∝∝∝ es una constante que representa el coeficiente de difusión.

- u

es el coeficiente de advección, o lo que es lo mismo la velocidad media a la que el viento desplaza el contaminante en el dominio a estudio.

- R representa las fuentes o sumideros del contaminante que se está desplazando en la atmósfera. Este término engloba las pérdidas y ganancias producidas por distintos fenómenos físico-químicos, como son, la generación o consumo de contaminante debido a las reacciones químicas que se dan entre ellos, o el depósito seco o húmedo del sistema en movimiento hacia la superficie terrestre, o la liberación de contaminantes desde una fuente productiva.

Para el estudio y validación del método numérico empleado vamos a ilustrar un caso simplificado en el que se cumplen los siguientes condicionantes:

- Se contempla la homogeneidad de la atmósfera. - El contaminante modelado será incompresible. - La velocidad del viento será uniforme. - La atmósfera se contemplará en una primera aproximación

unidimensional. - La atmósfera es isotérmica y adiabática.


129/284

A partir de estas simplificaciones obtenemos la expresión de la ecuación de advección-difusión en estado no estacionario en una dimensión:

(5.2)

con condiciones iniciales:

(5.3) donde es un vector que representa la cantidad transportada de contaminante (por medios advectivos y difusivos), u es el coeficiente de advección, que representa la velocidad de la advección, y ∝, representa el coeficiente de difusión, o la velocidad con la que el contaminante se difunde a través de la atmósfera.

Para resolver la ecuación (5.2) se va a emplear un método de partición de la ecuación como sigue:

2

2

f fu

t xf ft x

α

∂ ∂=∂ ∂∂ ∂=∂ ∂

(5.4)

Para resolver esta ecuación se emplea el Método Racional Conservativo para la resolución de la parte advectiva de la ecuación de transporte de contaminantes en la atmósfera.

Para resolver la parte difusiva se emplea un método explícito diferencias finitas con fórmulas de alto orden para las derivadas espaciales (que desarrollaremos en el apartado V.3). Todo ello constituye un nuevo método de resolución de la ecuación (5.2).

0( ,0) ( )f x f x=

[ ]

2,

( , ) [0, ] 0,

α∂ ∂ ∂= +∂ ∂ ∂

∈ ×

f f fu f

t x x

x t L T

( , )f x t


130/284

V.2 Coeficientes de difusión para contaminantes quí micos

La difusión molecular es un proceso físico que ocurre cuando las diferentes especies que componen una mezcla (de líquidos, gases, etc) se mueven bajo la influencia de gradientes de concentración, este fenómeno juega un papel importante en una gran variedad de fenómenos atmósféricos y biológicos. Por ejemplo, la difusión afecta a la velocidad de movimiento de gases y es un proceso esencial en la química atmosférica. En general, el coeficiente de difusión (o flujo) se determina como el producto de un gradiente de concentración (una propiedad específica de cada especie química) y un coeficiente de difusividad (que es función del tipo de mezcla).

El coeficiente de difusividadα , es función de la temperatura (T) y la presión (p), siendo ( , )T pα dicha función. Para su determinación se ha tomado la

fórmula (5.5) propuesta en (Massman, 1998) donde el cálculo del coeficiente de difusividad depende del valor tomado en condiciones normales (0ºC y 1 atm. de presión) según:

( )( )0 0( , ) (0,1)

aT P p p T Tα α=

(5.5)

Con el objetivo de comprobar el comportamiento del modelo con datos experimentales de valores de difusividad reales de gases se ha obtenido una recopilación de los valores de difusividad para un conjunto de contaminantes recogidos en (Massman, 1998). En dicho estudio se ha llevado a cabo una recopilación de los valores estudiados para diez tipos de gases en la atmósfera (Barr & Watts, 1972; Bzowski, Kestin, Mason, & Uribe, 1990; Cowie & Watts, 1971; Marrero & Mason, 1972; Yaws, 1989) y un nuevo análisis experimental del conjunto de gases predeterminados para la actualización de los valores de los coeficientes de difusividad de los mismos. El experimento ha consistido en una toma de valores experimentales, con cuyos valores se ha aplicado una técnica estadística de regresión local, conocida como loess (Cleveland, Grosse, & Shyu, 1992) para la toma de unos valores representativos. El rango de temperatura de los experimentos oscila entre los -25ºC y los 100ºC.

En la tabla 5.1 se exponen los valores de difusividad medidos en 2m s

según (Massman, 1998).


131/284

Gas Difusividad en aire,

( )2 m sα

H2O 2.178 · 10-5 CO2 1.381· 10-5 CH4 1.952· 10-5 CO 1.807· 10-5 SO2 1.089· 10-5 O3 1.444· 10-5

NH3 1.978· 10-5 N2O 1.436· 10-5 NO 1.802· 10-5 NO2 1.361· 10-5 N2 1.788· 10-5 O2 1.820· 10-5

Tabla 5.1 Recopilación de valores de difusividad (Massman, 1998).

V.3 Aplicación del método de diferencias finitas pa ra la resolución del término difusivo en la ecuación de advección-difusi ón.

Durante las últimas dos décadas se han propuesto diferentes métodos basados en la aplicación de diferencias finitas para la resolución de las ecuaciones de transporte de advección-difusión en estado estacionario. Algunos métodos utilizan diferencias finitas compactas (Gupta, Manohar, & Stephenson, 1984; Noye & Tan, 1989; Spotz & Carey, 2001). Para el objetivo de la presente Tesis, vamos a emplear un método novedoso de diferencias finitas de alto orden basado en una modificación del método de diferencias finitas centrales, que amplía el número de nodos utilizados para obtener la aproximación del valor de la función en cada instante.

El objetivo de la modificación es aportar más información de la función para obtener una mayor precisión en el cálculo del valor de la función en un instante posterior ( 1t

if + ). Para la implementación del método, el primer paso

es la definición de una malla adecuada donde localizar los nodos que utilizaremos para el cálculo de la función.

La figura 5.1 muestra una malla en una dimensión espacial. El eje de ordenadas t, representa el tiempo, y el eje x, la posición espacial de la función.


132/284

Fig. 5.1 Representación de un método de diferencias finitas de alto orden en una malla unidimensional.

El método de diferencias finitas central de alto orden utilizado usa hasta un máximo de nueve nodos para el cálculo del valor de la función en el siguiente instante de tiempo. Adicionalmente es un método adaptativo, ya que la función empleada para aproximar la función se adapta al número de nodos disponibles en función de la posición de la función que queramos calcular.

A continuación se presenta la expresión de la función según la posición que se esté tratando:

a) Cálculo de la aproximación de la solución del término de difusión mediante un método de diferencias finitas central cuando x = 2 ó x = NX-1. La información disponible en esta posición se representa en la figura 5.2:

t

t+1

i i+1i-1

1tif

+

i-2 i+2


133/284

Fig. 5.2. Representación MDF cuando x = 2.

( )

1

1 122

2

n nn n ni i

i i i

f ff f f

t xα+

− +− = − +

∆ ∆ (5.6)

La ecuación (5.7) representa el esquema explícito que aproxima el valor de la solución real en el siguiente paso de tiempo.

( )1

1 12 21

2n n n n

i i i i

t tf f f f

x xα α+

− +∆ ∆ = − + + ∆ ∆ (5.7)

Similarmente se haría para el caso X = NX - 1

b) Cálculo de la aproximación de la solución del término de difusión mediante un método de diferencias finitas central cuando x = 3 ó x = NX-2. En la figura 5.3 se observa la información disponible en este caso para el cálculo de la función:

t+1

t

1tif +

1t

if +1t

if −

tif

t+1

1 2 3

t

1 2 3

X > 2 ó X < NX -1


134/284

Fig. 5.3. Representación MDF cuando x = 3

La expresión del Método de Diferencias Finitas sería:

1

2 1 1 22

1 4 5 4 1

12 3 2 3 12

n nn n n n ni i

i i i i i

f ff f f f f

t xα+

− − + +− = − + − + − ∆ ∆ (5.8)

12 1 1 22 2

5 1 4 4 1 1

2 12 3 3 12n n n n n n

i i i i i i

t tf f f f f f

x xα α+

− − + +∆ ∆ = − + − + + − ∆ ∆ (5.9)


c) Cálculo de la aproximación de la solución del término de difusión mediante un método de diferencias finitas central cuando x = 4 ó x = NX-3:

t+1

t

1tif

+

1t

if + 2t

if +2t

if − 1t

if −

tif

t+1

1 2 3 4 5

t

1 2 3 4 5

X > 3 ó X < NX -2


135/284

Fig. 5.4. Representación MDF cuando x = 4

1

3 2 1 1 2 32

1 3 3 49 3 3 1

90 20 2 18 2 20 90

n nn n n n n n ni i

i i i i i i i

f ff f f f f f f

t xα+

− − − + + +− = − + − + − + ∆ ∆

(5.10)

13 2 1 1 2 32 2

49 1 3 3 3 3 11

18 2 90 20 2 2 20 90n n n n n n n n

i i i i i i i i

t tf f f f f f f f

x xα α+

− − − + + +∆ ∆ = − + − + + − + ∆ ∆

(5.11)


d) Cálculo de la aproximación de la solución del término de difusión mediante un método de diferencias finitas central para el resto de valores del dominio. En este caso disponemos al menos de cuatro valores de la función en un instante anterior al objetivo a calcular tanto a la derecha como a la izquierda de la posición calculada. Gráficamente tendríamos:

t+1

t

1tif

+

1t

if + 2t

if + 3t

if +3t

if − 2t

if − 1t

if −

tif

t+1

1 2 3 4 5 6

t

1 2 3 4 5 6

X > 4 ó X < NX -3


136/284

Fig. 5.5. Representación del M.D.F. cuando x = 5.

La expresión matemática del método sería:

1

4 3 2 12

1 2 3 4

1 8 1 8 205

560 315 15 5 72

8 1 8 1

5 5 315 560

n nn n n n ni i

i i i i i

n n n ni i i i

f ff f f f f

t x

f f f f

α+

− − − −

+ + + −

− = − + − + − +∆ ∆

+ − + − (5.12)

14 3 2 12 2

1 2 3 4

205 1 8 1 81

72 2 560 315 15 5

8 1 8 1

5 5 315 560

n n n n n ni i i i i i

n n n ni i i i

t tf f f f f f

x x

f f f f

α α+− − − −

+ + + −

∆ ∆ = − + − + − + + ∆ ∆

+ − + −

(5.13) Similarmente se haría para el caso X = NX - 4

De esta manera se consigue un aumento en la exactitud de la solución aproximada, al incorporar información adicional, que nos permite una aproximación más exacta de la derivada de la función en cada punto del dominio.

t+1

t

1tif +

1t

if + 2t

if + 3t

if + 4t

if +4t

if − 3t

if − 2t

if − 1t

if −

tif

t+1

1 2 3 4 5 6

t

1 2 3 4 5 6

X > 5 ó X < NX -4


137/284

V.4 Análisis de la estabilidad del método de difere ncias finitas

En el apartado 5.3 se desarrolló el método de diferencias finitas centrales empleado para la resolución del término difusivo. La aproximación empleada varía en función de la información de la que se dispone. De esta manera para el cálculo del valor de la función en el siguiente paso de tiempo, 1n

if + ,

emplearemos un número creciente de valores de la función conocida en instantes posteriores, que variará desde los 3 puntos ( 1 1, ,n n n

i i if f f− + ) hasta los

9 puntos ( 4 3 2 1 1 2 3 4, , , , , , ,n n n n n n n n ni i i i i i i i if f f f f f f f f− − − − + + + + ), para conseguir un mayor

grado de precisión. Al utilizar una expresión más compleja las condiciones de estabilidad del método se harán ligeramente más restrictivas como se muestra a continuación.

Para llevar a cabo el análisis de estabilidad del método de diferencias finitas empleado para la resolución de la ecuación de difusión, vamos a centrarnos en la expresión de la ecuación de difusión en una dimensión.

2

2

f ft x

α∂ ∂=∂ ∂

(5.14)

La aproximación de la función según el método de diferencias finitas centrales para la ecuación de difusión usando la información del valor de la función en 3 puntos de un paso de tiempo anterior se corresponde, en el tiempo y el espacio con las siguientes expresiones:

( ) ( )2

21 12 2

1n

n n ni i i

i

ff f f x

x x + −∂ = − + + Ο ∆∂ ∆

(5.15)

( ) ( )11

2

nn n

i ii

ff f t

t t+∂ = − + Ο ∆

∂ ∆ (5.16)

Sustituyendo (5.26) y (5.27) en (5.25) tendremos:

( )1 21 12 2 2

1 2n n n ni i i i

t t tf f f f x t

x x xα α α+

+ −∆ ∆ ∆ = + − + + Ο ∆ + ∆ ∆ ∆ ∆ (5.17)

Obtenemos, por tanto, una expresión algebraica que calcula el valor de la variable dependiente en el siguiente paso de tiempo , a partir de los ( )1n

if+


138/284

valores de la aproximación de la función conocidos en un paso de tiempo anterior . .

En este caso por tanto, para que obtener una solución estable, siguiendo la

regla del valor positivo, se requiere que:

2

1 2 0t

xα ∆− ≥

∆ (5.18)

y reagrupando valores, se obtiene la expresión del coeficiente de estabilidad

para el método de diferencias finitas, utilizando el valor aproximado de la

función en tres puntos en un paso de tiempo anterior para obtener el valor de

la función en un punto, en un paso de tiempo posterior:

2

1

2

tx

α ∆ ≤∆ (5.19)

Siguiendo el mismo razonamiento para cada expresión, el coeficiente de

estabilidad se modificaría de la siguiente manera:

a) Método de diferencias finitas utilizando 5 puntos:

12 1 1 22 2

5 1 4 4 1 1

2 12 3 3 12n n n n n n

i i i i i i

t tf f f f f f

x xα α+

− − + +∆ ∆ = − + − + + − ∆ ∆

(5.20)

b) Método de diferencias finitas utilizando 7 puntos:

13 2 1 1 2 32 2

49 1 3 3 3 3 11

18 2 90 20 2 2 20 90n n n n n n n n

i i i i i i i i

t tf f f f f f f f

x xα α+

− − − + + +∆ ∆ = − + − + + − + ∆ ∆

(5.21)

( )1 1, ,n n ni i if f f− +

3 2 1 1 2 3

2

Siete puntos , , , , , ,

18

49

n n n n n n ni i i i i i if f f f f f f

tx

α

− − − + + −

∆ ≤∆

2 1 1 2

2

Cinco puntos , , , ,

2

5

n n n n ni i i i if f f f f

tx

α

− − + +

∆ ≤∆


139/284

c) Método de diferencias finitas utilizando 9 puntos:

14 3 2 12 2

1 2 3 4

205 1 8 1 81

72 2 560 315 15 5

8 1 8 1

5 5 315 560

n n n n n ni i i i i i

n n n ni i i i

t tf f f f f f

x x

f f f f

α α+− − − −

+ + + −

∆ ∆ = − + − + − + + ∆ ∆

+ − + −

(5.22)

En la tabla 5.2 se resumen los valores límite del coeficiente de estabilidad para cada una de las expresiones empleadas, siendo el más restrictivo (el de 9 puntos), el empleado para calcular las condiciones de aplicación del método.

Nº de Puntos Valor Límite coeficiente de estabilidad

3 puntos 0.5000 5 puntos 0.4000 7 puntos 0.3673 9 puntos 0.3462

Tabla 5.2. Rango de valores límite del coeficiente de estabilidad.

Por lo tanto, dado que empleamos diferentes fórmulas en función de la disponibilidad de información en el contorno de la posición donde queremos calcular el valor de la función en un instante de tiempo posterior, vamos a utilizar el criterio de estabilidad más estricto de los 4 utilizados (ver tabla 5.2), que corresponde a la expresión que emplea el valor de la función en 9 puntos en el instante n para calcular el valor de la función en el instante n+1.

Si conocemos los valores del coeficiente de estabilidad para la parte advectiva y la parte difusiva de la ecuación de transporte de contaminante necesitamos comparar los valores de estos dos coeficientes de estabilidad para la ecuación advectiva y la ecuación difusiva en 1D, y determinar cuál de los dos es el más restrictivo. Este valor será el utilizado a la hora de definir los incrementos de espacio y de tiempo, en función de los valores de velocidad y difusividad de la sustancia química que tengamos en cuenta.

Para el caso del coeficiente de estabilidad difusivo su valor más restrictivo para el método numérico de resolución del proceso difusivo en 1D es:

4 3 2 1 1 2 3 4

2

Nueve puntos , , , , , , , ,

72

208

n n n n n n n n ni i i i i i i i if f f f f f f f f

tx

α

− − − − + + − −

∆ ≤∆


140/284

2

72

208

tx

α ∆ ≤∆

Mientras que el valor del coeficiente de estabilidad para el método numérico de resolución del proceso advectivo en 1D sería:

1 0.t

ux

∆ ≤∆

De esta manera, fijando un valor del tamaño de x∆ de la malla y para unos valores fijos de velocidad del viento y de difusividad de la sustancia, se debe comprobar que el valor del incremento de tiempo de integración cumple las siguientes restricciones:

272

208

xt

α∆∆ ≤

1 0.x

tu

∆∆ ≤

Para un valor de ∆x el límite para el paso de tiempo ∆t dependerá del coeficiente de difusividad (αααα ) y de la velocidad u , cuando la ecuación a resolver sea:

2

2

f f fu

t x xαααα∂ ∂ ∂= +

∂ ∂ ∂


141/284

V.5 Validación de la solución mediante comparación con la solución exacta de la ecuación de advección-difusión.

Este apartado está dedicado al análisis de resultados obtenidos en la simulación del proceso de advección-difusión haciendo uso de los métodos explicados en el presente capítulo para el tratamiento de la difusión y en el capítulo II para la advección.

Con el objetivo de comprobar el error del método se han llevado a cabo diferentes ejecuciones de los algoritmos junto con el método racional conservativo. Para ello se han realizado unos programas en Fortran en una dimensión (CSLR0_1D_ADV.f90) y en dos dimensiones (CSLR0_2D_ADV.f90). De este modo se ha comprobado la sensibilidad del método variando la información de entrada, observando el comportamiento de la solución a variaciones de parámetros (cambios de la velocidad y del coeficiente de difusividad). El error del método se ha obtenido mediante la comparación de la solución en determinados instantes de tiempo, con el valor de la solución analítica siguiente.

( )( )

( )

20.4

1 45,

1 4

x tu

tf x t e

t

α

− + − + =+ (5.23a)

Para la ecuación (5.2)

( )( )

( )( )

( )

2 20.5 0.5

1 4 1 45, ,

1 4x y

x ut y vt

t tf x y t e

t

α α

− − − − − − + + =+ (5.23b)

Simultaneamente también se obtendría el error comparando con la solución analítica (5.23b) para la ecuación de advección-difusión en dos dimensiones.

2 2

2 2∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + + +∂ ∂ ∂ ∂ ∂f f f f fu vx x y x y

α αα αα αα α (5.23c)

En la figura 5.6 podemos observar la representación gráfica del valor inicial de la solución analítica en una dimensión en el instante inicial.


142/284

Fig. 5.6 . Representación de la solución analítica en 1D cuando t = 0.

El valor del error medio de la función (EMF) corresponde al cociente entre la

diferencia en valor absoluto del valor obtenido ( ),f x t y el valor de la

solución analítica ( , )exf x t dividido entre el valor de la solución analítica y el

número total de puntos contemplados en el dominio, como se expresa en la ecuación (5.23):

( )1

100( , ) ( , ) ( , )N ex ex

i T

f x t f x t f x tEMF

N=

−= ∑ (5.24)

En un primer lugar vamos a analizar los efectos de la variación de la velocidad del viento en el proceso de difusión. Para ello se van a llevar a cabo diversas ejecuciones del modelo, variando los valores de velocidad del

viento, para unas condiciones fijas de mallado ( )∆x , y difusividad ( )αααα .

A continuación se estudiará la sensibilidad del método a los cambios en el

coeficiente de difusión ( )αααα . Para ello, usaremos ejemplos académicos

donde nos iremos acercando a los valores límite de estabilidad.

0 20 40 60 80 100

01

23

45

Posición

Val

or d

e la

func

ión

T =

0

f(x, t) =5

1 + 4te

(−1(x−0.4+tu)2

α(1+4t) )


143/284

Finalmente, ejecutaremos el modelo, incluyendo valores reales de coeficientes de difusividad para diferentes gases O3, NO2, SO2 (Massman, 1998).

CASOS ACADÉMICOS

Para esta serie de análisis se va a comprobar el efecto de la velocidad sobre el proceso difusivo. Para ello vamos a discretizar el espacio (1D) en pasos de 0.01 metros. El tamaño de paso temporal será 0.001 segundos. Los valores que usaremos para la velocidad serán 0.0, 0.6, 2.0, 4.0 en m/s. Se llevarán a cabo pasadas del programa con esta configuración para dos valores de coeficientes de difusividad (0.005 y 0.0005).

Mediremos el porcentaje de error mediante la diferencia entre el valor obtenido por el modelo y la expresión de la solución analítica (ver 5.23a) en porcentaje (ver ecuación 5.24).

BLOQUE 1. CASOS ACADÉMICOS CON COEFICIENTE DE DIFUS IVIDAD ∝∝∝∝ = 0.005

En el primer bloque de casos académicos se ha fijado un valor del coeficiente de difusividad a ∝∝∝∝ = 0.005, ejecutándose casos con velocidad variable creciente desde los 0 m/s hasta los 4 m/s:

o CASO 1: velocidad del viento u = 0, como caso control, para observar la evolución del error sin velocidad.

o CASO 2: velocidad del viento u = 0.6. o CASO 3: velocidad del viento u = 2.0 o CASO 4: velocidad del viento u = 4.0

En este primer bloque de casos observaremos la evolución del error medio de la función aumentando la velocidad del viento manteniendo los valores de los coeficientes de estabilidad difusivo y advectivo dentro del margen de estabilidad

CASO 1.

El primer caso corresponde al coeficiente de difusividad 0.005. Comprobaremos el efecto de la difusión sin transporte advectivo, anulando la velocidad del viento. A continuación se resumen los parámetros de entrada utilizados para este caso:


144/284

CASO 1: Valores iniciales DT 0.001 DX 0.01 NX 255 T 1000 u 0.0 ∝∝∝∝ 0.005 Coeficiente de estabilidad difusivo

2

tx

α∆∆

0.05 (<0.3462)

Fig.5.7 . Evolución del error medio de la función.

Media = 2.7118·10-4 %; Promedio = 2.4731·10-4%; Máximo = 4.7069·10-4 %; Mínimo= 2.0294·10-4%

Como podemos ver en la gráfica 5.7 que representa la diferencia entre el valor modelado y el valor de la solución analítica, el error aumenta hasta llegar a un valor de 0.09 %.

CASO 2 :

En el segundo caso, fijado el valor del coeficiente de difusividad se aumenta el valor de la velocidad del viento hasta los 0.6 m/s.

CASO 2: Valores iniciales DT 0.001 DX 0.01 NX 255 NT 1000 U 0.6 ∝∝∝∝ 0.005 Coeficiente de estabilidad

difusivo 2

tx

α∆∆

0.05 (<0.3462)

Coeficiente de estabilidad

advectivo t

ux

∆∆

0.06

0 2 4 6 8 10 12

x 104

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1


145/284

En la figura 5.8 podemos observar la evolución de la función a lo largo de los diferentes pasos temporales:

Fig.5.8 Representación de la solución modelada (trazo continuo) y de la solución analítica (trazo discontinuo) para los pasos temporales 0, 200, 400, 600 y 900 ∆t .

Fig.5.9. Evolución del error medio de la función.

Media = 0.0342%; Promedio = 0.0379%; Máximo = 0.0441%; Mínimo = 0.0010%

0 50 100 150 200 250

01

23

45

Posición en X

Val

or d

e la

func

ión

ISTEP = (0,100,200,400,600,900)DT = 0.001DX = 0.01NX = 255

NT = 1000u = 0.6

α = 0.005

0 200 400 600 800 1000 12000

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

Pasos temporaler (h=0.001)

Err

or M

edio

de

la F

unci

ón (

%)


146/284

En este caso, al aumentar la velocidad del viento, el error se va acumulando en cada paso de tiempo hasta alcanzar un máximo de 0.0441 % como se observa en la figura 5.9.

CASO 3

En el caso 3 el valor de la velocidad alcanza los 2 m/s, por lo que el valor del coeficiente de estabilidad advectivo aumenta hasta triplicar su valor.


difusivo 2

tx

α∆∆

0.05 (<0.3462)


advectivo t

ux

∆∆

0.2


Media = 0.2061; Promedio = 0.2382; Máximo = 0.2489; Mínimo = 0.0035

En la figura 5.10 se observa que el valor del error medio de la función crece uniformemente, hasta un cierto valor en que las diferencias entre el valor obtenido tras la ejecución del modelo y el valor analítico crecen con mayor rapidez alcanzando un máximo de 0.2489 %.

CASO 4:

En el caso 4 duplicamos el valor de la velocidad del viento, hasta un valor de 4 m/s, quedando aún por debajo del límite del coeficiente de estabilidad advectivo.

0 1000 2000 3000 4000 5000 60000

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

Pasos temporales (h=0.001)

Err

or M

edio

de

la F

unci

ón (

%)


147/284

CASO 4: Valores iniciales DT 0.001 DX 0.01 NX 255 NT 1000 u 4.0 ∝∝∝∝ 0.005 Coeficiente de estabilidad difusivo

2 t x α∆ ∆

0.05 (<0.3462)

Coeficiente de estabilidad advectivo

u t x∆ ∆ 0.4


Media = 0.1606%;

Promedio = 0.1318%;

Máximo = 0.2475% ;

Mínimo = 0.0086%

Al comparar la gráfica del error medio de la función, 5.11, con la gráfica del caso anterior 5.10, se puede observar cómo se alcanza el momento en el que el error se hace constante con mayor rapidez. El error crece en mayor grado, llegando a un punto estable con un valor de 0.25 %.

BLOQUE 2. CASOS ACADÉMICOS CON COEFICIENTE DE DIFUS IVIDAD ∝∝∝∝ = 0.0005

Iniciamos las ejecuciones del modelo reduciendo el valor del coeficiente de difusividad 10 veces hasta un valor de ∝∝∝∝ = 0. 0005, manteniendo la discretización espacial y la discretización temporal. La velocidad del viento se modificará en los mismos términos que los casos 1 a 4, comprobando su efecto desde un valor nulo de la velocidad del viento, y por tanto, de la advección, hasta un valor máximo de 4. Los casos estudiados son:

o CASO 5: velocidad del viento u = 0, como caso control, para observar la evolución del error sin efectos de la velocidad.


0 200 400 600 800 1000 12000

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25


Err

or M

edio

de

la F

unci

ón (

%)


148/284

CASO 5:

Se inicia el análisis del bloque dos ejecutando el modelo con un valor de la velocidad nulo, para comprobar el efecto de la difusividad y la evolución del error sin efectos del proceso advectivo.


difusivo 2

tx

α∆∆

0.005 (<0.3462)


Media = 7.5641· 10-5 %

Promedio = 6.8392· 10-5 %

Máximo = 1.5478· 10-4 %;

Mínimo = 4.2807· 10-5 %

El valor del error se reduce conforme aumenta el paso del tiempo desde un máximo de 1.5478· 10-4%, hasta un mínimo de 4.2807· 10-5 % cuando se completan 1000 pasos de tiempo, al contrario de lo que ocurre cuando la advección entra en funcionamiento, donde el error aumenta con el paso del tiempo hasta estabilizarse en un valor constante.

CASO 6:

Para el caso 6 se ha aumentado el valor de la velocidad del viento hasta un primer valor de 0.6 m/s, siendo el primer caso donde se puede observar el efecto de la advección en la evolución del error para el bloque de casos con coeficiente de difusividad ∝∝∝∝=0.0005.

0 200 400 600 800 1000 12000.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6x 10

-4


149/284


difusivo 2

tx

α∆∆

0.005 (<0.3462)


advectivo t

ux

∆∆

0.06

Media = 0.0513 %

Promedio = 0.0558 %

Máximo = 0.0605 %

Mínimo = 0.0012 %

El comportamiento del error es similar al caso anterior.

En la figura 5.13 podemos observar la evolución de la función a lo largo de los diferentes pasos temporales:


0 200 400 600 800 1000 12000

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07


Err

or M

edio

de

la F

unci

ón (

%)


150/284

Fig.5.13 Representación de la solución modelada (trazas continuas) y de la solución analítica (trazas discontinuas) para los pasos temporales 0, 200, 400, 600 y 900 ∆t .

CASO 7:

En el caso 7, ejecutamos el modelo con la misma configuración que en el caso anterior aumentando la velocidad del viento hasta los 2 m/s.


difusivo 2

tx

α∆∆

0.005 (<0.3462)


advectivo t

ux

∆∆

0.2

0 50 100 150

01

23

45

Posición en X

Val

or d

e la

func

ión

ISTEP = (0,100,200,400,600,900)DT = 0.001DX = 0.01NX = 255

NT = 1000u = 0.6

α = 5e-04

0 1000 2000 3000 4000 5000 60000

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12


Err

or

Me

dio

de

la

Fu

nci

ón

(%

)E

rro

r M

ed

io d

e l

a F

un

ció

n (

%)

Err

or

Me

dio

de

la

Fu

nci

ón

(%

)E

rro

r M

ed

io d

e l

a F

un

ció

n (

%)



151/284

Media = 0.0783 %

Promedio = 0.0776 %

Máximo = 0.1028 %

Mínimo = 0.0042 %

El error de la función se estabiliza en un valor constante de 0.0783 %.

CASO 8:

En el caso 8 se alcanza un valor de velocidad del viento de 4 m/s, para observar el comportamiento del error con un valor cercano al valor máximo del coeficiente de estabilidad soportado por el método numérico empleado.

CASO 8: Valores iniciales DT 0.001 DX 0.01 NX 255 NT 1000 U 4.0 ∝∝∝∝ 0.0005 Coeficiente de estabilidad difusivo

2 t xα ∆ ∆

0.005 (<0.3462)

Coeficiente de estabilidad advectivo u t x∆ ∆

0.4

Media = 0.0795; Promedio = 0.0775; Máximo = 0.1092; Mínimo = 0.0099

En este caso se produce diferencias con respecto al caso 4, con el mismo valor de velocidad. Al disminuir el valor de la difusión, llegamos a un máximo de error, para luego disminuir y mantenerse constante pasados 600 pasos de tiempo con un valor del error de 0.0775%.

0 200 400 600 800 1000 12000

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12


Err

or M

edio

de

la F

unci

ón (

%)



152/284

BLOQUE 3: VALORES DE COEFICIENTES DE DIFUSIÓN REALE S.

En este bloque 3, se van a llevar a cabo ejecuciones del modelo con valores de coeficientes de difusividad reales (Massman, 1998) para los compuestos químicos NO2 (∝∝∝∝ = 1.361 · 10-5 2m s), SO2 (∝∝∝∝ = 1.089 · 10-5 2m s), y

O3 (∝∝∝∝ = 1.444 · 10-5 2m s),. La discretización del espacio tendrá un tamaño de paso espacial de

0 01∆ =x . metros. El tamaño de paso temporal se ha fijado en 0 001∆ =x .segundos. Los valores de velocidad del viento contemplados serán 0.0, 0.6, 2.0, 4.0 m/s. El porcentaje de error se ha medido usando la diferencia absoluta entre el valor obtenido por el modelo y la expresión de la solución analítica (ver 5.23a). Se exponen, por tanto, los datos de las 12 ejecuciones, (4 modificaciones de la velocidad del viento, para cada uno de los tres contaminantes contemplados), y se finaliza con el análisis de resultados. Para el valor de la difusividad del ozono, O3 (∝∝∝∝ = 1.444 · 10-5 2m s), tenemos

los siguientes casos:


o CASO 10: velocidad del viento u = 0.6 m/s. o CASO 11: velocidad del viento u = 2.0 m/s. o CASO 12: velocidad del viento u = 4.0 m/s

1. - BLOQUE 3: ANÁLISIS PARA EL VALOR DE DIFUSIVID AD DEL

OZONO ∝∝∝∝=1.444 · 10-5 2m s

CASO 9: En este caso ejecutamos el modelo para una velocidad del viento nula.

CASO 9: Valores iniciales DT 0.001 DX 0.01 NX 255 NT 1000 u 0.0 ∝∝∝∝ 1.444 · 10-5 Coeficiente de estabilidad

difusivo 2

tx

α∆∆

1.444 · 10-4 (<0.3462)


0 200 400 600 800 1000 12000

1

2

3

4

5

6

7x 10

-3


Err

or M

edio

de

la F

unci

ón (

%)


153/284

Media = 0.0057 %

Promedio = 0.0065 %

Máximo = 0.0067 %

Mínimo = 1.83·10-5 %

El error medio en la ejecución corresponde a 0.0057%, alcanzado un máximo de 0.0067%

CASO 10:

En el siguiente caso para el coeficiente de difusividad del ozono, se ha fijado la velocidad del viento en 0.6 m/s siendo el primer caso del ozono donde observamos el efecto de la advección.


difusivo 2

tx

α∆∆

1.444 · 10-4 (<0.3462)


tu

x∆∆

0.06


Máximo = 0.0253 %

Promedio = 0.0262 %

Máximo = 0.0294 %

Mínimo = 0.0024 %

En este caso el error medio alcanzado es 0.0253 % llegando a un máximo de 0.0294 %.

0 200 400 600 800 1000 12000

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03


Err

or M

edio

de

la F

unci

ón (

%)


154/284

CASO 11

En este caso se ha aumentado la velocidad del viento hasta 2 m/s, para observar como aumenta el error conforme aumenta la velocidad del viento.


difusivo 2

tx

α∆∆

1.444 · 10-4 (<0.3462)


tu

x∆∆

0.2

Media = 0.0279 %

Promedio = 0.0285 %

Máximo = 0.0321 %

Mínimo = 0.0076 %

Como podemos observar en los resúmenes del error medio de la función se alcanza un máximo de 0.0321% ligeramente mayor que el caso anterior.

CASO 12

Para el último caso analizado para el ozono, se ha empleado una velocidad del viento de 4 m/s, duplicando el valor anterior.

0 200 400 600 800 1000 12000.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035


Err

or M

edio

de

la F

unci

ón (

%)



155/284


difusivo 2

tx

α∆∆

1.444 · 10-4 (<0.3462)


tu

x∆∆

0.4


Media = 0.0243 %

Promedio = 0.0235 %

Máximo = 0.0330 %

Mínimo = 0.0115 %

Observando la representación del Error Medio de la Función podemos ver que se alcanza un valor máximo de 0.033 %, cercano al valor máximo del caso anterior, pero alcanzando dicho valor en un paso de tiempo anterior, para después reducir el valor y mantenerse constante en un valor inferior a 0.02%.

2. BLOQUE 4: ANÁLISIS PARA EL VALOR DE DIFUSIVIDAD DEL

DIÓXIDO DE NITRÓGENO ∝∝∝∝=1.361 · 10-5 2m s Para el valor de la difusividad del dióxido de nitrógeno, NO2 (∝∝∝∝ = 1.361 · 10-5

2m s), se han analizado los siguientes casos:



0 200 400 600 800 1000 12000.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035


Err

or M

edio

de

la F

unci

ón (

%)


156/284

CASO 13

Se inicia este grupo de casos con un valor de la velocidad del viento nulo, para observar la evolución del error medio de la función sin efecto de advección.

CASO 13: Valores iniciales DT 0.001 DX 0.01 NX 255 NT 1000 u 0.0 ∝∝∝∝ 1.361 · 10-5 Coeficiente de estabilidad difusivo

2t xα ∆ ∆

1.361 · 10-4 (<0.3462)


Media = 0.0059 %

Promedio = 0.0068 %

Máximo = 0.0071 %

Mínimo = 1.726·10-5 %

El error medio de la función crece hasta hacerse constante llegando a un valor de 0.0071%.

0 200 400 600 800 1000 12000

1

2

3

4

5

6

7

8x 10

-3

Pasos temporales (h00.001)

Err

or M

edio

de

la f

unci

ón (

%)


157/284

CASO 14

En el siguiente caso analizado para el dióxido de nitrógeno, aumentamos la velocidad del viento hasta los 0.6 m/s, donde empezamos a observar el efecto de la advección en la evolución del error medio de la función.


difusivo 2

tx

α∆∆

1.361 · 10-4 (<0.3462)


tu

x∆∆

0.06


Media = 0.0252 %

Promedio = 0.0260 %

Máximo = 0.0295 %

Mínimo = 0.0024 %

El error medio de la función crece oscilando hasta un valor que se va haciendo constante a partir del paso temporal 500, alcanzando un valor de 0.025%.

0 200 400 600 800 1000 12000

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03


Err

or M

edio

de

la F

unci

ón (

%)


158/284

CASO 15

En el siguiente caso contemplado, la velocidad del viento toma un valor de 2 m/s.


2t xα ∆ ∆

1.361 · 10-4 (<0.3462)


0.2


Media = 0.0277 %

Promedio = 0.0283 %

Máximo = 0.0321 %

Mínimo = 0.0074 %

Al igual que en el caso anterior el error medio de la función se estabiliza en un valor de 0.027 %, pero manteniendo el carácter oscilante del caso 14.

0 200 400 600 800 1000 12000.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035


Err

or M

edio

de

la F

unci

ón (

%)


159/284

CASO 16

En el último caso estudiado para el dióxido de nitrógeno, la velocidad del viento se duplica hasta los 4 m/s.


difusivo 2

tx

α∆∆

1.361 · 10-4 (<0.3462)


tu

x∆∆

0.4


Media = 0.0242; Promedio = 0.0229; Máximo =0.0330; Mínimo = 0.0121

En este caso el error llega a un valor máximo de 0.03 %, y se reduce hasta llegar a un valor constante por debajo de 0.02%.

3. BLOQUE 5: ANÁLISIS PARA EL VALOR DE DIFUSIVIDAD DEL DIÓXIDO DE AZUFRE ∝∝∝∝=1. 089 · 10-5 2m s

Los casos analizados para el valor del coeficiente de difusividad del dióxido de azufre (∝∝∝∝ = 1.089 · 10-5 2m s) son:



0 200 400 600 800 1000 12000.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035


Err

or M

edio

de

la F

unci

ón (

%)


160/284

CASO 17

Iniciamos el análisis del modelo para los valores del SO2 dando un primer valor de la velocidad del viento nulo, para observar el comportamiento del error sin la influencia del proceso advectivo.


difusivo 2

tx

α∆∆

1.089 · 10-4 (<0.3462)


Media = 0.0067 % Promedio = 0.0077 % Máximo = 0.0084 % Mínimo = 1.3826·10-5 % CASO 18

En el segundo caso analizado, se aumenta el valor de la velocidad del viento hasta los 0.6 m/s, manteniendo el resto de parámetros con la misma configuración.


difusivo 2

tx

α∆∆

1.089 · 10-4 (<0.3462)


advectivo t

ux

∆∆

0.06


0 200 400 600 800 1000 12000

1

2

3

4

5

6

7

8

9x 10

-3


Err

or M

edio

de

la F

unci

ón (

%)

0 200 400 600 800 1000 12000

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03


Err

or M

edio

de

la F

unci

ón (

%)


161/284

Media =0.0245 %

Promedio = 0.0254 %

Máximo = 0.0296 %

Mínimo = 0.0024 %

El error medio de la función, como en casos similares para el dióxido de nitrógeno y para el azufre, aumenta de forma oscilante, hasta un valor máximo (0.0296%), para reducirse hasta un valor constante alrededor de 0.0254%.

CASO 19

En este caso se ha fijado la velocidad del viento en 2 m/s.


2t xα ∆ ∆

1.089 · 10-4 (<0.3462)


0.2


Media = 0.0268 % Promedio = 0.0275 % Máximo = 0.0322 % Mínimo = 0.0064 %

Observamos un comportamiento oscilante similar, llegando a un valor constante alrededor de 0.025%, pasados 600 pasos temporales.

0 200 400 600 800 1000 12000.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035


Err

or M

edio

de

la F

unci

ón (

%)


162/284

CASO 20

En el último caso académico estudiado, fijamos el valor de la velocidad del viento en 4 m/s, duplicando el valor del caso anterior.


2t xα ∆ ∆

1.089 · 10-4 (<0.3462)


0.4


Media = 0.0237 %

Promedio = 0.0212 %

Máximo = 0.0330 %

Mínimo = 0.0142 %

Como se puede observar en la gráfica del error, podemos observar un crecimiento del error hasta alcanzar un valor máximo (0.033%) para después apreciar una disminución de su valor hasta un valor constante de 0.02%.

En la tabla 5.3a y 5.3b se observa un resumen de los casos académicos y reales ejecutados con los valores de configuración de cada uno de ellos.

Discretización espacial ∆x = 0.01. NX = 255

Discretización temporal ∆t = 0.001. NX = 100 CASOS ACADÉMICOS

GRUPO 1 GRUPO 2 Difusividad ∝∝∝∝ = 5 · 10-2 Difusividad ∝∝∝∝ = 5 · 10-3 CASO 1 u = 0.0 CASO 5 u = 0.0 CASO 2 u = 0.6 CASO 6 u = 0.6 CASO 3 u = 2.0 CASO 7 u = 2.0 CASO 4 u = 4.0 CASO 8 u = 4.0

Tabla 5.3a . Resumen de casos académicos en 1D.

0 200 400 600 800 1000 12000.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035


Err

or M

edio

de

la F

unci

ón (

%)


163/284

Discretización espacial ∆∆∆∆x = 0.01. NX = 255 Discretización temporal ∆∆∆∆t = 0.001. NX = 100

CASOS REALES OZONO O3 DIÓXIDO DE N. NO2 DIÓXIDO DE S. S O2

Difusividad ∝∝∝∝

1.444 · 10-5 Difusividad ∝∝∝∝

1.3611.3611.3611.361· 10-5 Difusividad ∝∝∝∝

1.089 · 10-5

CASO 9 u = 0.0 CASO 13 u = 0.0 CASO 17 u = 0.0 CASO 10 u = 0.6 CASO 14 u = 0.6 CASO 18 u = 0.6 CASO 11 u = 2.0 CASO 15 u = 2.0 CASO 19 u = 2.0 CASO 12 u = 4.0 CASO 16 u = 4.0 CASO 20 u = 4.0 Tabla 5.3b . Resumen de casos reales en 1D.


164/284

CONCLUSIONES

Observando las representaciones del error medio de la función para los casos ejecutados con los valores de difusividad de los tres contaminantes estudiados (NO2, SO2, O3) podemos extraer las siguientes conclusiones:

- Sin contemplar los efectos de la advección, es decir, con la velocidad del viento nula, los valores de los errores medios de la función se mantienen por debajo de 9 · 10 -3 %.

- Al aumentar el valor de la velocidad del viento, los errores crecen ligeramente, hasta un orden de 10-2 %.

- Se observan comportamientos similares, donde el error oscila hasta llegar a un punto concreto, alrededor de los 600 pasos de tiempo, donde se mantiene constante, con un valor en torno a 0.025 %.

- El aumento del valor de la velocidad del viento hace que dicho valor se alcance con mayor rapidez.


165/284

V.6 SIMULACIONES DE CASOS REALES A LARGO PLAZO.

El objetivo de este apartado es presentar simulaciones del proceso de transporte por advección y difusión utilizando valores reales de los coeficientes de difusión para el dióxido de nitrógeno y el dióxido de azufre durante periodos de tiempo más prolongados a los vistos en anteriores apartados en los que se ha llevado a cabo la validación del método.

En este apartado se llevarán a cabo los análisis para casos en 1 dimensión espacial y en 2 dimensiones espaciales, modificando la velocidad del viento y los valores iniciales de concentración de la pluma contaminante.

Se iniciará el análisis con los resultados en 1 dimensión para los casos de dióxido de nitrógeno y dióxido de azufre con valores de velocidad del viento de 5.5 m/s y de 15 m/s.

A continuación se realiza el análisis de los casos en 2 dimensiones para ambos contaminantes, con las mismas variaciones de la velocidad del viento, que actúa en la diagonal del dominio cuadrado estudiado.

V.6.1 SIMULACIONES DE CASOS REALES EN 1 DIMENSIÓN.

V.6.1.1 TRANSPORTE ADVECTIVO-DIFUSIVO PARA EL NO 2

A continuación se lleva a cabo el estudio de casos con valores reales de difusión y velocidades medias del viento reales a largo plazo para observar la dispersión de contaminantes durante un periodo de tiempo prolongado. El modelo se ejecutará contemplando una emisión puntual

de dióxido de nitrógeno de 1000 3/g mµ , para un periodo de tiempo de 3

horas, tras los cuales compararemos el valor de concentración de contaminante en un receptor puntual localizado a 25,6 km con los valores de concentración fijados por la legislación para el dióxido de

nitrógeno (200 3/g mµ como límite horario, según Real Decreto

102/2011, de 28 de enero, relativo a la mejora de la calidad del aire).

Para ello utilizaremos el modelo unidimensional con condiciones de contorno periódicas (lo que sale por un extremo entra por el extremo opuesto). Los datos de entrada al modelo se basaran en los valores reales de los tres contaminantes previamente analizados, con valores de la velocidad del viento promedio de 5,55 m/s (20 km/h) y de 15 m/s (54 km/h).


166/284

Para poder ejecutar el modelo con estos valores es necesario estudiar los coeficientes de estabilidad para el proceso advectivo y difusivo, para asegurar que el conjunto de valores de intervalos temporales y espaciales junto con los coeficientes de difusividad y velocidad del viento se encuentran dentro de límites estables. Para ello utilizaremos las expresiones del coeficiente de estabilidad difusivo y advectivo como se muestra a continuación:

La expresión del coeficiente de estabilidad para el método numérico de resolución del proceso difusivo se elige como el más restrictivo de los analizados en la sección 5.4 y su expresión es:

2

72

208

tx

α ∆ ≤∆

La expresión del coeficiente de estabilidad para el método numérico de resolución del proceso advectivo es:

1 0.t

ux

∆ ≤∆

Si fijamos un intervalo de paso espacial de 100.0 metros, con unos valores de velocidad del viento 20 km/h (5.55 m/s) o de 54 km/h (15 m/s) el intervalo de tiempo de integración debe cumplir los requisitos de coeficientes de estabilidad para ambos métodos. De esta manera tendríamos:

Coeficiente de estabilidad difusivo para el NO 2

Coeficiente de estabilidad difusivo para el SO 2

2

2

2

5

72

208

72

208

72 (100)

208 1.361·10254337873,7 segundos

tx

xt

t

t

−

∆ ≤∆

∆∆ ≤

∆ ≤

∆ ≤

α

α

( )

2

2

2

5

72

208

72

208

10072

208 1.089·10317863954.2 segundos

tx

xt

t

t

−

∆ ≤∆

∆∆ ≤

∆ ≤

∆ ≤

α

α


167/284

Coeficiente de estabilidad advectivo para u = 5.55 m/s

Coeficiente de estabilidad advectivo para u = 15 m/s

1 0

1 0

100

5 5518 02

.

.

.. segundos

tu

xx

tu

t

t

∆ ≤∆

∆∆ ≤

∆ ≤

∆ ≤

1 0

1 0

100

156 67

.

.

. segundos

tu

xx

tu

t

t

∆ ≤∆

∆∆ ≤

∆ ≤

∆ ≤

Como se puede observar en los valores obtenidos, el valor más restrictivo corresponde al obtenido para el coeficiente de estabilidad advectivo.

El modelo, por tanto, se ejecutará con un valor de 100 metros para el intervalo espacial, con valores de 15 segundos para el caso en el que la velocidad del viento sea igual a 5.55 m/s y un intervalo temporal de 5 segundos para el caso en el que la velocidad del viento sea igual a 15 m/s.

El objetivo de esta simulación es observar cómo se reduce la concentración de contaminación emitida por un foco puntual transcurridas 3 horas desde el momento de la emisión (10800 segundos). Analizaremos la concentración a la que se somete un receptor localizado al final del recorrido de la pluma de contaminante, que transcurridas 3 horas (10800 segundos) estaría a 85.48 Km del punto emisor, si la velocidad del viento se mantiene constante con un valor de 5.55 m/s (20 km/h) y a 162 Km si la velocidad del viento permanece constante con un valor de 15 m/s (54 km/h).

Para el valor de la función en el instante inicial tomamos el siguiente valor:

3

3

1000 25 6 30 72

0 0 25 6 30 72

( ) / . .

( ) . / . .

f x g m si x

f x g m si x o x

= < <= ≤ ≥

µµ

(5.25)

Que correspondería a un foco de emisión de una chimenea, que

alcanzaría un valor máximo de 1000 3/g mµ para el instante inicial t=0,

(Figura 5.30)


168/284

Fig. 5.30. Representación de la función de onda para el emisor en el instante inicial t = 0.

CASO 1: Evolución de la contaminación para un foco emisor de dióxido de nitrógeno transcurridas 3 horas con una velocidad del viento de 5.55 m/s Para el primer caso, hemos fijado un valor de la velocidad del viento de 5.55 m/s, con un coeficiente de difusividad de 5 21.361 · 10 /m s−=αcorrespondiente al dióxido de nitrógeno (NO2). La pluma de contaminante emitida por un foco puntual, se transporta durante 3 horas recorriendo una distancia de 85.48 Km, durante la simulación. Transcurrido ese período, se compara el valor de concentración del contaminante con el valor legal horario (200 microgramos / m3) de manera que podamos determinar si un receptor localizado a esa distancia en ese instante se vería expuesto a un valor superior al legal permitido. El resumen de los datos de entrada al modelo se resumen en la tabla 5.4.

020

040

060

080

010

00

Posición (Km)

Val

or d

e la

func

ión

(mic

rog/

m^3

)

0 12.8 25.6


169/284

CASO 1. VALORES REALES A LARGO PLAZO DT 15 segundos DX 100 metros NX 255 pasos espaciales NT 720 pasos temporales u 5.55 m/s α 1.361 · 10-5 m2/s Coeficiente de estabilidad

difusivo 2

tx

α∆∆

2.04 · 10-8 (<0.3462)


advectivo t

ux

∆∆

0.8325 (<1)

Tabla 5.4 . Resumen de los valores de entrada en la simulación del caso 1 para valores reales de contaminantes.

En la figura 5.31 se representa la evolución de la función de onda que representa la dispersión del contaminante en el tiempo para los valores de tiempo t = 0 h, t = 1.0h, t = 2.0h, y t = 3.0 h.

Transcurridos tres días de la emisión puntual de la nube de

contaminante de 1000 3/g mµ , la nube de contaminante se desplaza

59,9 Km, reduciéndose la concentración durante el transporte hasta un

valor de 197.12 3/g mµ valor inferior a los 200 3/g mµ contemplados en

la legislación.


170/284

Fig.5.31 . Detalle evolución de la función en los instantes 0, 1.0, 2.0, y 3.0 horas.

020

040

060

080

010

00

Tiempo = 0.0 horas

Posición (Km)

Val

or d

e la

fun

ción

(m

icro

g/m

^3)

0 12.8 25.6

020

040

060

080

010

00

Tiempo = 1.0 h.

Posición (Km)

Val

or d

e la

fun

ción

(m

icro

g/m

^3)

19.98 32.73 45.48

020

040

060

080

010

00

Tiempo = 2.0 h.

Posición (Km)

Val

or d

e la

func

ión

(mic

rog/

m^3

)

39.96 52.71 65.46

020

040

060

080

010

00

Tiempo = 3.0 h.

Posición (Km)

Val

or d

e la

func

ión

(mic

rog/

m^3

)

59.94 72.74 85.44


171/271

CASO 2: EVOLUCIÓN DE LA CONTAMINACIÓN PARA UN FOCO EMISOR DE DIÓXIDO DE NITRÓGENO TRAS UN PERIÓDO DE 3 HORAS CON VELOCIDAD DEL VIENTO CONSTANTE DE 15 m/s. En el segundo caso, se ha aumentado la velocidad del viento hasta un valor de 15 m/s (54 Km/h). Para mantener el valor del coeficiente de estabilidad dentro de los límites permitidos, se ha reducido el intervalo de tiempo de integración hasta los 5 segundos. En (5.26) se da el valor máximo permitido para el coeficiente de estabilidad advectivo, para este valor de velocidad del viento. (5.26) En este caso, transcurridas tres horas, la pluma de contaminante recorre 162 km. Transcurrido este periodo de tiempo, se procede al análisis del resultado para comprobar si un receptor situado a esa distancia estaría expuesto a una concentración superior al límite legal permitido (200 3/g mµ ). El resumen de los datos de entrada al modelo se resume en la tabla 5.5.

CASO 2. VALORES REALES A LARGO PLAZO DT 5 segundos DX 100 metros NX 255 pasos espaciales NT 2160 pasos temporales U 15.0 m/s α 1.361 · 10-5 m2/s Coeficiente de estabilidad

difusivo 2

tx

α∆∆

1.089 · 10-8 (<0.3462)


advectivo t

ux

∆∆

0.75 (<1)

Tabla 5.5. Valores de entrada del modelo para la ejecución del caso 2 con valores reales.

En la figura 5.32 se representa la evolución de la función de onda que representa la dispersión del contaminante en los instantes (t = 0 h, t = 1.0h, t = 2.0h y t = 3.0 h).

1 0


advectivo para u = 15 m/s

.t

ux

∆ ≤∆

1 0

100

156 67

.

. segundos

xt

u

t

t

∆∆ ≤

∆ ≤

∆ ≤


172/271

Fig. 5.32. Valores de la función transcurridos (t = 0 h, t = 1.0h, t = 2.0h y t = 3.0 h).

Transcurridas 3 horas de la emisión de la nube de contaminante se desplaza

162 km, pasando de una concentración inicial de 1000 3/g mµ a un valor de

114.64 3/g mµ , por debajo del valor legal de 200 3/g mµ como se observa en la

figura 5.33.

V.6.1.1 TRANSPORTE ADVECTIVO-DIFUSIVO PARA EL SO 2

El modelo se ejecutará contemplando una emisión puntual de dióxido de azufre

de 500 3/g mµ , para un periodo de tiempo de 3 horas, tras los cuales

compararemos el valor de concentración de contaminante en un receptor puntual localizado a 25,6 km con los valores de concentración fijados por la

legislación para el dióxido de azufre (350 3/g mµ como límite horario, según

Real Decreto 102/2011, de 28 de enero, relativo a la mejora de la calidad del aire).

020

040

060

080

010

00

Tiempo = 0.0 horas

Posición (Km)

Val

or d

e la

func

ión

(mic

rog/

m^3

)

0 12.8 25.6

020

040

060

080

010

00

Tiempo = 1.0 h.

Posición (Km)

Val

or d

e la

fun

ción

(m

icro

g/m

^3)

54.4 66.9 79.5

020

040

060

080

010

00

Tiempo = 2.0 h.

Posición (Km)

Val

or d

e la

fun

ción

(m

icro

g/m

^3)

108 120.75 133.5

020

040

060

080

010

00Tiempo = 3.0 h.

Posición (Km)

Val

or d

e la

fun

ción

(m

icro

g/m

^3)

162 174.75 187.5


173/271

Para ello utilizaremos el modelo unidimensional con condiciones de contorno periódicas. Los datos de entrada al modelo se basan en los valores reales de los tres contaminantes previamente analizados, con un valor de la velocidad del viento promedio de 5,55 m/s (20 km/h) y de 15 m/s (54 km/h).

Para poder ejecutar el modelo con estos valores es necesario estudiar los coeficientes de estabilidad para el proceso advectivo y difusivo, para asegurar que el conjunto de valores de intervalos temporales y espaciales junto con los coeficientes de difusividad y velocidad del viento se encuentran dentro de límites estables. Para ello utilizaremos las expresiones del coeficiente de estabilidad difusivo y advectivo como se observa a continuación.

La expresión del coeficiente de estabilidad para el método numérico de resolución del proceso difusivo se elige como el más restrictivo de los analizados en la sección 5.4 y su expresión es:

2

72

208

tx

α ∆ ≤∆

La expresión del coeficiente de estabilidad para el método numérico de resolución del proceso advectivo es:

1 0.t

ux

∆ ≤∆

Si fijamos un intervalo de paso espacial de 100.0 metros, con unos valores de velocidad del viento 20 km/h (5.55 m/s) o de 54 km/h (15 m/s) el intervalo de tiempo de integración debe cumplir los requisitos de coeficientes de estabilidad para ambos métodos. De esta manera tendríamos:

Coeficiente de estabilidad difusivo para el NO 2

Coeficiente de estabilida d difusivo para el SO 2

2

2

2

5

72

208

72

208

72 (100)

208 1.361·10254337873,7 segundos

tx

xt

t

t

−

∆ ≤∆

∆∆ ≤

∆ ≤

∆ ≤

α

α

( )

2

2

2

5

72

208

72

208

10072

208 1.089·10317863954.2 segundos

tx

xt

t

t

−

∆ ≤∆

∆∆ ≤

∆ ≤

∆ ≤

α

α


174/271

Coeficiente de estabilidad advectivo para u = 5.55 m/s

Coeficiente de estabilidad advectivo para u = 15 m/s

1 0

1 0

100

5 5518 02

.

.

.. segundos

tu

xx

tu

t

t

∆ ≤∆

∆∆ ≤

∆ ≤

∆ ≤

1 0

1 0

100

156 67

.

.

. segundos

tu

xx

tu

t

t

∆ ≤∆

∆∆ ≤

∆ ≤

∆ ≤

Como se puede observar en los valores obtenidos, el valor más restrictivo corresponde al obtenido para el coeficiente de estabilidad advectivo.

El modelo se ejecutará con un valor de 100 metros para el intervalo espacial, con valores de 15 segundos para el caso en el que la velocidad del viento sea igual a 5.55 m/s y un intervalo temporal de 5 segundos para el caso en el que la velocidad del viento sea igual a 15 m/s.

El objetivo de esta simulación es observar cómo se reduce la concentración de contaminación emitida por un foco puntual transcurridas 3 horas desde el momento de la emisión (10800 segundos). Analizaremos la concentración a la que se somete un receptor localizado al final del recorrido de la pluma de contaminante, que transcurridas 3 horas (10800 segundos) estaría a 85.48 Km del punto emisor, si la velocidad del viento se mantiene constante con un valor de 5.55 m/s (20 km/h) y a 162 Km si la velocidad del viento permanece constante con un valor de 15 m/s (54 km/h).

Para el valor de la función en el instante inicial tomamos el siguiente valor:

500 25 6 30 72

0 0 25 6 30 72

( ) . .

( ) . . .

f x si x

f x si x o x

= < <= ≤ ≥

(5.25)

Que correspondería a un foco de emisión de una chimenea, que alcanzaría un

valor máximo de 500 3/g mµ para un instante inicial t=0, (Figura 5.33)


175/271

Fig. 5.33. Representación de la función de onda para el emisor en el instante t = 0.

CASO 3: Evolución de la contaminación para un foco emisor de dióxido de azufre transcurridas 3 horas con una velocidad d el viento de 5.55 m/s Para el tercer caso, hemos fijado un valor de la velocidad del viento de 5.55 m/s, con un coeficiente de difusividad de 5 21.361 · 10 /m s−=α correspondiente al dióxido de azufre (SO2). La pluma de contaminante emitida por un foco puntual, se transporta durante 3 horas recorriendo una distancia de 85.48 Km, durante la simulación. Transcurrido ese período, se compara el valor de concentración del contaminante con el valor legal horario (350 microgramos / m3) de manera que podamos determinar si un receptor localizado a esa distancia en ese instante se vería expuesto a un valor superior al legal permitido. El resumen de los datos de entrada al modelo se resume en la tabla 5.6.

020

040

060

080

010

00

Posición (Km)

Val

or d

e la

func

ión

(mic

rog/

m^3

)

0 12.8 25.6


176/271

CASO 3. VALORES REALES A LARGO PLAZO DT 15 segundos DX 100 metros NX 255 pasos espaciales NT 720 pasos temporales U 5.55 m/s α 1.089 · 10-5 m2/s Coeficiente de estabilidad

difusivo 2

tx

α∆∆

2.04 · 10-8 (<0.3462)


advectivo t

ux

∆∆

0.8325 (<1)

Tabla 5.6 . Resumen de los valores de entrada en la simulación del caso 3 para valores reales de contaminantes.

En la figura 5.34 se representa la evolución de la función de onda que representa la dispersión del contaminante en el tiempo para los valores de tiempo t = 0 h, t = 1.0h, t = 2.0h y t = 3.0 h. Transcurridos tres horas de la emisión puntual de la nube de contaminante de

500 3/g mµ , recorre 59,9 km, reduciendo su concentración hasta un valor de

98.56 3/g mµ valor inferior a los 350 3/g mµ contemplados en la legislación.


177/271

Fig.5.34 . Detalle evolución de la función en los instantes 0, 1.0, 2.0 y 3.0 horas.

010

020

030

040

050

0

Tiempo = 0.0 horas

Posición (Km)

Val

or d

e la

fun

ción

(m

icro

g/m

^3)

0 12.8 25.6

010

020

030

040

050

0

Tiempo = 1.0 h.

Posición (Km)

Val

or d

e la

fun

ción

(m

icro

g/m

^3)

19.98 32.73 45.48

010

020

030

040

050

0

Tiempo = 2.0 h.

Posición (Km)

Val

or d

e la

fun

ción

(m

icro

g/m

^3)

39.96 52.71 65.46

010

020

030

040

050

0

Tiempo = 3.0 h.

Posición (Km)

Val

or d

e la

fun

ción

(m

icro

g/m

^3)

59.94 72.74 85.44


178/271

CASO 4: EVOLUCIÓN DE LA CONTAMINACIÓN PARA UN FOCO EMISOR DE DIÓXIDO DE AZUFRE TRAS UN PERIÓDO DE 3 HORAS CON VELOCIDAD DEL VIENTO CONSTANTE DE 15 m/s.

En el segundo caso, se ha aumentado la velocidad del viento hasta un valor de 15 m/s (54 Km/h). Para mantener el valor del coeficiente de estabilidad dentro de los límites permitidos, se ha reducido el intervalo de tiempo de integración hasta los 5 segundos. En (5.26) se expone el valor máximo permitido para el coeficiente de estabilidad advectivo, para este valor de velocidad del viento. (5.26) En este caso, transcurridas tres horas, la pluma de contaminante recorre 162 km. Transcurrido este periodo de tiempo, se procede al análisis del resultado para comprobar si un receptor situado a esa distancia estaría expuesto a una concentración superior al límite legal permitido (350 3/g mµ ). El resumen de los datos de entrada al modelo se resume en la tabla 5.7.

CASO 4. VALORES REALES A LARGO PLAZO DT 5 segundos DX 100 metros NX 255 pasos espaciales NT 2160 pasos temporales U 15.0 m/s ∝∝∝∝ 1.089 · 10-5 m2/s Coeficiente de estabilidad

difusivo 2

tx

α∆∆

1.089 · 10-8 (<0.3462)


advectivo t

ux

∆∆

0.75 (<1)

Tabla 5.7. Valores de entrada del modelo para la ejecución del caso 4 con valores reales.

1 0

1 0

100

156 67


advectivo para u = 15 m/s

.

.

. segundos

tu

xx

tu

t

t

∆ ≤∆

∆∆ ≤

∆ ≤

∆ ≤


179/271

En la figura 5.35 se representa la evolución de la función de onda que representa la dispersión del contaminante en los instantes (t = 0 h, t = 1.0h, t = 2.0h, y t = 3.0 h).

Fig. 5.35. Valores de la función transcurridos (t = 0 h, t = 0.5 h, t = 1.0h, t = 1.5 h., t = 2.0h, t = 2.5 h y t = 3.0 h).

Transcurridas 3 horas de la emisión de la nube de contaminante de 500 3/g mµ su concentración se redujo hasta un valor de 49.37 3/g mµ , por debajo

del valor legal de 350 3/g mµ como se observa en la figura 5.35.

010

020

030

040

050

0

Tiempo = 0.0 horas

Posición (Km)

Val

or d

e la

fun

ción

(m

icro

g/m

^3)

0 12.8 25.60

100

200

300

400

500

Tiempo = 1.0 h.

Posición (Km)

Val

or d

e la

fun

ción

(m

icro

g/m

^3)

54.4 66.9 79.5

010

020

030

040

050

0

Tiempo = 2.0 h.

Posición (Km)

Val

or d

e la

fun

ción

(m

icro

g/m

^3)

108 120.75 133.5

010

020

030

040

050

0

Tiempo = 3.0 h.

Posición (Km)

Val

or d

e la

fun

ción

(m

icro

g/m

^3)

162 174.75 187.5


180/271

V.6.2 SIMULACIONES DE CASOS REALES EN 2 DIMENSIONES .

V.6.2.1 Transporte advectivo-difusivo con un f oco emisor.

V.6.2.2 Transporte advectivo-difusivo con dos focos emisores.

Tras realizar el estudio de los casos en 1 dimensión vamos a proceder a llevar a cabo el estudio de los procesos de transporte advectivo difusivo en 2 dimensiones. Para ello vamos a emplear el programa CSLR0_DIF_2D. El algoritmo que forma la base del código del programa emplea un método de partición o Split, que separa el problema bidimensional en un problema unidimensional, de manera que resolvemos las ecuaciones primero en una dimensión en el eje x y después en una dimensión en el eje y, intercalando el orden en cada paso de tiempo para reducir el error provocado durante el proceso de partición.

Complementariamente, el programa CSLR0_DIF_2D emplea un partición a la hora de resolver los dos procesos físicos que se dan en el transporte, por lo que el algoritmo actuará en 1 dimensión, primero resolviendo la ecuación de transporte advectivo mediante el método racional conservativo, (desarrollado en el capítulo IV) y posteriormente resuelve el proceso difusivo, (desarrollado en el apartado 5.3 del presente capítulo).

En este apartado nos centraremos en la simulación de diferentes problemas en 2 dimensiones para el caso de considerar un foco emisor y dos focos emisores.

De forma análoga a como procedemos en el caso 1D, antes de configurar el modelo es necesario llevar a cabo un estudio de los coeficientes de difusión advectivo y difusivo para conocer los valores de incrementos de espacio y tiempo válidos para ejecutar el modelo en función de los valores de velocidad del viento y coeficientes de difusión contemplados para el transporte advectivo y difusivo.

Como se vio en el capítulo II, el programa de transporte soluciona la ecuación de advección llevando a cabo un proceso de separación, de manera que pasamos de una ecuación en 2D a dos ecuaciones en 1D mediante un proceso de partición denominado STRANG SPLIT:

f f fu v

t x y∂ ∂ ∂= +∂ ∂ ∂

Pasamos de esta EDP a dos EDP como sigue:

f fu

t xf f

vt y

∂ ∂=∂ ∂∂ ∂=∂ ∂


181/271

Similarmente para el caso de advección difusión tendríamos:

2 2

2 2

f f f f fu v

t x y x yα αα αα αα α∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

que podríamos separar como:

2

2 2

2

f fu

f f f t xu

t x x f ft x

αααααααα

∂ ∂ =∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + → ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂

2

2 2

2

f fv

t yf f fv

t y y f ft y

αααααααα

∂ ∂ = ∂ ∂∂ ∂ ∂ = + → ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂

Esto equivale a trabajar con las componentes en x e y de los vectores de velocidad y difusión.

x yi jα α α= +

x yu u i u j= +

A la hora de calcular el valor de los coeficientes de estabilidad difusivo

2DIF

tCFL

xα ∆ = ∆

y advectivo ADV

tCFL u

x∆ = ∆

hay que tener en cuenta que

los valores de velocidad del viento y de difusividad introducidos, para un transporte en diagonal, serían aproximadamente un 40% mayores que el valor de las componentes en cada eje, como se observa en la siguiente figura:


182/271

De esta manera, los valores límite de los coeficientes de estabilidad para los métodos difusivo y advectivo en 2D se hacen un 40% más restrictivos que sus homólogos en 1D.

El método empleado para resolver la ecuación advectiva en 1D, emplea los valores de la interfase de cada celda y el valor de la integral ponderada en el centro de la celda (ver II.4). En el caso de 2D, vamos a resolver el problema resolviendo primero en una dimensión en el eje x y después en 1D en el eje y. Para ello es necesario discretizar el espacio empleando un método que nos facilite estos cambios y que a su vez, nos proporcione los valores de la interfase de cada celda y de la integral doble ponderada en la misma. Para ello se emplea un discretizado espacial del tipo Arakawa C-grid (ver II.6). Los valores iniciales de los que partimos, con un mallado regular en 2D donde los valores de la celda se fijan en las esquinas de las mismas y la integral doble ponderada se sitúa en el centro de la celdilla, necesitan transformarse para suministrar los valores de interfase. En la siguiente figura se puede observar la transformación de un mallado regular en 2D a uno del tipo Arakawa C-grid (siguiendo los pasos expuestos en II.6).

Uy

Ux

U y xU U U= +

2 1 40

.

x y

x x

si U U

entonces

U U U

=

= ≈

x0 x1 x2 x3 x4 x5

y0

y1

y2

y3

y4

x0 x1 x2 x3 x4 x5

y0

y1

y2

y3

y4

Arakawa C-gridMallado regular 2D


183/271

Una vez calculado la solución de la ecuación de advección en una dimensión en el eje x, y posteriormente en 1D en el eje y, haciendo uso de los valores de la interfase de cada celda, y de la integral doble ponderada, se procede a resolver la ecuación de difusión haciendo uso del método de diferencias finito explícito de alto orden desarrollado en V.3. Como se puede observar en (5.7), (5.9), (5.11), y (5.13), este método no emplea el valor de la integral doble ponderada en el centro de la celdilla, pero si modifica los valores de la función, por ello es necesario posteriormente volver a calcular las integrales ponderadas en el centro de la celda, para actualizar su valor.

V.6.2.1 Transporte advectivo-difusivo con un foco e misor en 2D.

Para esta simulación en 2D se propone una configuración del modelo para un mallado discretizado con 400 x 400 puntos, con unas celdas de 0.01 m x 0.01 m. El incremento temporal es de 0.01 segundos. La velocidad de viento utilizada es de 2 m/s en el eje x y de 2 m/s en el eje y. Los valores del coeficiente de difusión son iguales a 0.001 m2/s.

Durante el periodo de tiempo durante el que se ejecuta el modelo (700 pasos temporales con un incremento temporal de 0.001 segundo) se puede observar la deformación de la pluma de contaminante, y el efecto combinado de la advección y difusión, en el mismo sentido que el desplazamiento de la misma, que aumenta conforme pasa el tiempo.

El resumen de los datos introducidos en el modelo para la discretización del dominio, y la descripción de los parámetros físicos se expone en la tabla 5.8

CASO 6. Advección difusión 2D DT 0.001 segundos DX 0.01 metros DY 0.01 metros NX NY 400 puntos x 400 puntos NT 700 pasos temporales U 2.0 m/s V 2.0 m/s ∝∝∝∝y, y, y, y, ∝∝∝∝xxxx 0.001 m2/s VALOR INICIAL DE LA ONDA

Cilindro con volumen 0.8 μg/m3


difusivo 1D 2

tx

α∆∆

0.01 (<0.3462)


advectivo 1Dt

ux

∆∆

0.2 (<1)

Tabla 5.8. Configuración del modelo.


184/271

En las representaciones siguientes se observará el efecto, representando con mapas de curvas de nivel la evolución del contaminante a lo largo del tiempo, para el dominio definido.

Todas las representaciones se presentan junto con su escala de concentración relativa al valor máximo de concentración de la pluma de contaminante en cada paso de tiempo.

Fig. 5.36 Representación de la pluma de contaminante en el instante inicial.

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

Eje X (m)

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

Eje

Y (

m)

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0.55

0.6

0.65

0.7

0.75

0.8


185/271

Fig. 5.37 Representación de la pluma de contaminante tras 200 pasos temporales.

Fig. 5.38 Representación de la pluma de contaminante tras 400 pasos temporales.

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

Eje X (m)

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5E

je Y

(m

)

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0.55

0.6

0.65

0.7

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

Eje X (m)

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

Eje

Y (

m)

00.020.040.060.080.10.120.140.160.180.20.220.240.260.280.30.320.340.360.380.40.420.44


186/271

Fig. 5.39 Representación de la pluma de contaminante tras 600 pasos temporales

Fig. 5.40 Representación de la pluma de contaminante tras 700 pasos temporales

Como resumen, en la figura 5.41, que representa los valores de la función como curvas de nivel, podemos observar los valores superpuestos para los

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

Eje X (m)

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5E

je Y

(m

)

00.010.020.030.040.050.060.070.080.090.10.110.120.130.140.150.160.170.180.190.20.210.220.230.240.250.260.27

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

Eje X (m)

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

Eje

Y (

m)

00.010.020.030.040.050.060.070.080.090.10.110.120.130.140.150.160.170.180.190.20.210.22


187/271

pasos temporales 0, 200, 400, y 700, donde se puede ver en detalle la deformación de la forma de la función original, así como la caída de sus valores de concentración. Esta caída se puede observar en detalle en la figura 5.42, que representa la misma superposición en 3D.

Fig. 5.41. Curvas de nivel de los valores de la función para los pasos temporales 0, 200, 400, 700.

Fig. 5.42. Representación en 3D de los valores de la función para los pasos temporales 0, 200, 400, 600, 700.

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

Eje X (m)

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

Eje

Y (

m)


188/271

V.6.2.2 Transporte advectivo-difusivo con dos focos emisores

Para esta simulación en 2D, se ha procedido a implementar la misma configuración que en la simulación 6. En la tabla 5.9 se puede observar un resumen de los parámetros utilizados para el mallado del dominio y los coeficientes de difusión y velocidades del viento en ambas direcciones.

En este caso se ha procedido a estudiar el caso de tener dos fuentes de emisión simultánea en el mismo valor inicial, y comprobar la evolución de la pluma de contaminante durante los 550 pasos temporales ejecutados.

Durante el periodo de tiempo durante el que se ejecuta el modelo (550 pasos temporales con un incremento temporal de 0.01 segundo, es decir, 5 segundos) se puede observar la deformación de la pluma de contaminante, y el efecto combinado de la advección y difusión, en el mismo sentido que el desplazamiento de la misma, que aumenta conforme pasa el tiempo.

En la figura 5.43 se puede observar la superposión de la pluma de contaminante para todos los pasos de tiempo, en una representación en 2 dimensiones, mientras que en la figura 5.44 se puede observar la representación de la pluma de contaminante en 3 dimensiones en tres instantes de tiempo que corresponderían a los instantes iniciales, medio y final.

Advección difusión 2D. 2 focos emisores DT 0.001 segundos DX 0.01 metros DY 0.01 metros NX NY 400 puntos x 400

puntos NT 100 pasos temporales U 2.0 m/s V 2.0 m/s ∝∝∝∝y, y, y, y, ∝∝∝∝xxxx 0.001 m2/s VALOR INICIAL DE LA ONDA

2 cilindros de 0.8 μg/m3

Coeficiente de estabilidad difusivo 1D

2

tx

α∆∆

0.01 (<0.3462)

Coeficiente de estabilidad advectivo 1D

tu

x∆∆

0.2 (<1)

Tabla 5.9. Configuración del modelo.


189/271

Fig. 5.44 Representación tridimensional de la pluma de contaminante en 4 pasos de tiempo. Sentido inverso de movimiento de la pluma.

Fig.5.45. Representación de la pluma de contaminante en el instante inicial.

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

Eje Y (m)

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

Eje

Y (

m)

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0.55

0.6

0.65

0.7

0.75


190/271

Fig. 5.46. Representación de la pluma de contaminante a los 100 pasos temporales.


0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

Eje Y (m)

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

Eje

Y (

m)

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0.2

0.22

0.24

0.26

0.28

0.3

0.32

0.34

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

Eje Y (m)

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

Eje

Y (

m)

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

0.11

0.12

0.13

0.14

0.15

0.16

0.17


191/271


Fig. 5.49 Representación de la pluma de contaminante a los 400 pasos temporales.

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

Eje Y (m)

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

Eje

Y (

m)

00.005

0.010.0150.02

0.0250.030.035

0.040.0450.050.055

0.060.0650.070.075

0.080.0850.09

0.095

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

Eje Y (m)

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

Eje

Y (

m)

00.0050.01

0.0150.020.0250.03

0.0350.040.0450.05

0.0550.060.065

0.070.0750.080.085

0.090.095


192/271

V.6.2.3 Transporte advectivo-difusivo para el NO 2. Caso real

Para esta simulación en 2D se propone una configuración del modelo para un mallado discretizado con 400 x 400 puntos, con unas celdas de 150 m x 150 m. El incremento temporal es de 80 segundos. La velocidad de viento utilizada es de 1.0 m/s en el eje x y de 0.3 m/s en el eje y. El valor del coeficiente de difusión para el dióxido de nitrógeno es 1.361 · 10-5 m2/s.

Durante el periodo de tiempo en el que se ejecuta el modelo (1000 pasos temporales con un incremento temporal de 80 segundo, es decir, 11 horas) se puede observar la deformación de la pluma de contaminante, y el efecto combinado de la advección y difusión.

En esta simulación se ha contemplado un foco emisor de dióxido de nitrógeno con una concentración inicial de 1000 μg/m3.


Advección difusión 2D. 2 focos emisores DT 80 segundos DX 150 metros DY 150 metros NX NY 400 puntos x 400

puntos NT 1000 pasos temporales U 2.0 m/s V 2.0 m/s ∝∝∝∝y, y, y, y, ∝∝∝∝xxxx 1.361 · 10-5 m2/s VALOR INICIAL DE LA ONDA

1000 μg/m3


2

tx

α∆∆

0.01 (<0.3462)


tu

x∆∆

0.2 (<1)

Tabla 5.10. Detalle valores de entrada del modelo.

En la figura 5.50 se puede observar la representación de la pluma de contaminante en varios pasos de tiempo, comprobándose la deformación de la pluma de contaminante por advección y difusión a lo largo del tiempo. En la figura 5.51 podemos observar en detalle dicha deformación mediante una representación por curvas de nivel.


193/271

Fig. 5.50. Representación 3D del valor inicial de la pluma de contaminantes y de valores sucesivos del intervalo de integración (0, 100, 200, 300, 400 pasos temporales).

Fig. 5.51. Representación de curvas de nivel de la pluma de contaminantes a los 0, 100, 200, 300, 400 pasos temporales.

5000 1500025000

3500045000

55000

Eje X (m)

500015000

2500035000

4500055000

Eje

Y (

m)


194/271

V.6.2.4 Transporte advectivo-difusivo para el SO 2. Caso real

En este caso se ha mantenido la configuración del modelo con los mismos parámetros que el caso anterior (V.5.2.4), manteniendo la discretización espacial y temporal, y los mismos valores de velocidades. Se ha modificado la fuente de emisión, formada en esta ocasión por una pluma de contaminante de dióxido de azufre de 200 μg/m3


Advección difusión 2D. 2 focos emisores DT 80 segundos DX 150 metros DY 150 metros NX NY 400 puntos x 400

puntos NT 1000 pasos temporales U 1.0 m/s V 0.3 m/s ∝∝∝∝y, y, y, y, ∝∝∝∝xxxx 1.089 · 10-5 m2/s VALOR INICIAL DE LA ONDA

200 μg/m3


2

tx

α∆∆

0.01 (<0.3462)


tu

x∆∆

0.2 (<1)

Tabla 5.11. Configuración del modelo

La figura 5.52 presenta la variación de la pluma de contaminante desde el instante inicial, observándose la modificación propia de los fenómenos advectivo y difusivo para los pasos temporales 0, 100, 200, 300, 400. En la figura 5.53, se lleva a cabo una representación similar mediante curvas de tendencia, donde se observa la variación de la concentración desde el instante inicial hasta el último representado.


195/271

Fig. 5.52. Representación de la simulación para el caso real del SO2 para los pasos temporales 0, 100, 200, 300, 400.

Fig.5.52 Representación de la simulación para el SO2. Pasos temporales 0, 100, 200, 300 y 400.

5000 1500025000

3500045000

55000

Eje X (m)

500015000

2500035000

4500055000

Eje

Y (

m)


196/271

V.7 CONCLUSIONES

En el presente capítulo se ha llevado a cabo un análisis del modelo para la resolución de la ecuación de transporte advectivo-difusiva, resuelto mediante un método racional conservativo para la parte advectiva, junto con un nuevo método de diferencias finitas de alto orden para la parte difusiva.

En la actualidad, la mayoría de los modelos de dispersión de contaminantes atmosféricos no contemplan la difusión horizontal del contaminante, siendo la difusión vertical parametrizada mediante ecuaciones empíricas. El método de diferencias finitas de alto orden nos permite corregir el resultado de la ecuación de la dispersión contemplando los fenómenos presentes en el transporte de una manera más realista. La difusión de contaminantes provoca una disminución de la concentración prevista contemplando solamente la advección, así como un desplazamiento mayor a lo largo de la dirección del movimiento de la pluma de contaminante.

El método ha sido validado mediante la realización de simulaciones en 1D que han sido contrastadas con los resultados de la solución analítica de la ecuación de advección-difusión (Sanín & Montero, 2007), comprobando que los errores obtenidos oscilan entre un 10-4 % y un 0.025%.

Se ha comprobado la robustez del método ante simulaciones a largo plazo, observándose complementariamente al cálculo del error, cómo la función de onda mantiene la forma teórica que debe tener a lo largo de un número alto de pasos temporales, de esta manera se comprueba la validez del método para llevar a cabo el cálculo de la solución en periodos largos de simulación manteniendo correctamente los efectos combinados de los fenómenos advectivos y difusivos.

Complementariamente se han llevado a cabo simulaciones del transporte de contaminantes reales en dos dimensiones, comprobándose una robustez similar así como el mantenimiento de la forma esperada en la nube de contaminante transportado, y la aplicabilidad del método en periodos largos de simulación.

VI Modelización de la advección-difusión con reacción química de cont. en la atmósfera

197/271

CAPÍTULO VI: MODELIZACIÓN DE LA DISPERSIÓN DE CONTA MINANTES QUÍMICOS EN LA ATMÓSFERA: ACOPLAMIENTO DE LOS PROCE SOS DE ADVECCIÓN DIFUSIÓN Y REACCIÓN QUÍMICA.

INTRODUCCIÓN

Este capítulo se dedica a explicar cómo se lleva a cabo la integración de los diferentes métodos numéricos, desarrollados en los capítulos anteriores, que nos permiten calcular la solución de las ecuaciones en derivadas parciales que modelizan la advección-difusión-reacción (química) de contaminantes en la atmósfera. Para resolver este tipo de problemas se ha empleado el método de elementos finitos (Bermejo & El Amrani, 2003; John & Schmeyer, 2008). En esta Tesis se emplean los métodos descritos en el capítulo V para la advección-difusión y para la parte química se emplea un método multipaso implícito que resuelve los sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias rígidas que modelizan las reacciones químicas de los contaminantes en la atmósfera.

Se han desarrollado programas en FORTRAN en una y dos dimensiones que unen los tres métodos:

- El método racional conservativo que emplea una interpolación racional conservativa junto a un método de volúmenes finitos para la parte advectiva.

- Un nuevo método de diferencias finitas de alto orden para la parte difusiva.

- El método multipaso implícito Backward Differentiation Formula de segundo grado resuelto mediante una técnica iterativa Gauss-Seidel para los sistemas de ecuaciones diferenciales rígidos que modelizan las reacciones químicas.

Se explica cómo llevar a cabo el acoplamiento de todos los algoritmos ajustando el tamaño de paso de integración advectivo y difusivo en función del intervalo de integración químico. Se explica el orden de acción de cada uno de los métodos empleados (el algoritmo del método químico se puede observar en detalle en el apéndice III).

A continuación se han propuesto dos casos para resolver en una dimensión y dos dimensiones. El primero de los casos, es un caso académico que se basa en la simplificación de un conjunto de reacciones químicas que modelizan la transformación de dos sustancias catalizadas mediante una reacción intermedia rápida cuya concentración se mantiene constante cuando se llega al equilibrio químico. En el segundo caso se ha propuesto un conjunto de reacciones químicas en las que a partir de dióxido de nitrógeno y dióxido de azufre se generan los precursores de la lluvia ácida. El inicio de estas reacciones viene determinado una reacción rápida de origen fotoquímico.


198/271

VI.1 Descripción de la ecuación en derivadas parciales q ue gobiernan los procesos de advección, difusión y reacción química en la atmósfera

Una vez liberados los contaminantes primarios a la atmósfera, sufren procesos de transporte por la acción del viento, proceso advectivo, y difusión turbulenta. Adicionalmente, al estar en contacto, los contaminantes químicos reaccionan entre sí, generando nuevas sustancias químicas que pueden actuar como contaminantes por sí mismas. Al proceso acumulado de transporte advectivo y difusivo y reacción química se le denomina dispersión de contaminantes.

La ecuación en derivadas parciales que modeliza el fenómeno de dispersión de contaminantes en la atmósfera es del tipo convección-difusión-reacción química definida para cada contaminante. Su expresión se deriva de la aplicación de la ley de conservación de masas aplicada durante el movimiento de la pluma de contaminante en la atmósfera.

La ecuación de advección-difusión-reacción química es una ecuación en derivadas parciales de tipo parabólico, se puede escribir para cada especie contaminante i, siguiendo un enfoque euleriano, como se puede observar en la ecuación (6.1):

( ) 1∂ = ∇ −∇ ∇ + − = Ω∂

, , ..., en i

i i i i i i

fu f K f P L i p

t (6.1)

Siendo p el número de especies contaminantes, ( ), , ,i if f x y z t= la

concentración media de la especie i , iu

el campo de velocidades del fluido,

( ) ( ) ( )1 2 3, , , , , , , , ,i i i iK K x y z K x y z K x y z =

el tensor diagonal de difusividad

turbulenta y iP y iL representan los términos de producción y pérdida de

contaminante químico debido a los procesos de reacción química, emisión y deposición.

Con el objetivo de calcular la producción y pérdida debido a las reacciones químicas que se producen en la pluma del contaminante es necesario resolver un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias rígido, definido a partir de las reacciones químicas consideradas. El método numérico utilizado para obtener la solución temporal de este sistema de ecuaciones está basado en una adaptación del método multipaso de diferenciación regresiva de segundo orden, algoritmo propuesto en (Hundsdorfer & Verwer, 2003; J G Verwer, 1994) conocido como Two-Step. Está basado en la aplicación del esquema de iteración de Gauss-Seidel para la resolución del sistema de ecuaciones no lineales obtenidas tras aplicar el método implícito multipaso Backward Differentiation Formula de segundo orden (BDF2):


199/271

[ ] 1 1 14 1 4

3 3 3n n n nf f f t R f+ − += − + ∆ (6.2)

Siendo nf el vector de concentraciones químicas en el instante de tiempo nt ,

t∆ el paso de tiempo desde nt hasta 1nt + y ( ) ( ) ( )f f fR P L= − la evolución

temporal de la concentración debido a la producción y emisión P y la pérdida

de sustancia química L debido a los procesos de deposición y consumo

durante las reacciones químicas. Introduciendo los términos de producción y pérdida de contaminantes en la ecuación (6.2), la expresión del método BDF2 quedaría de la siguiente manera:

[ ] 1

1 1 1 12 4 1 21

3 3 3 3n n n n nf t L f f f t P f

−+ + − + = + ∆ − + ∆

(6.3)

El sistema implícito de ecuaciones lineales obtenido se resuelve mediante un esquema de Gauss-Seidel.

Es importante destacar que el término [[[[ ]]]]L corresponde a una matriz diagonal

que almacena los términos de pérdida de contaminante químico

VI.2 Acoplamiento del procesador químico al módulo de transporte por advección difusión.

El algoritmo de resolución de la ecuación de advección-difusión-reacción química en 1D procede a resolver el sistema de ecuaciones diferenciales obtenido mediante un método de separación (Split) en subprocesos. De esta manera el algoritmo primero lleva a cabo la resolución del sistema de ecuaciones diferenciales obtenido para las reacciones químicas, y posteriormente lleva a cabo el transporte de las mismas, de forma ordenada, primero transportando por efecto del proceso advectivo para posteriormente llevar a cabo la difusión del contaminante.

En este punto es importante tener en cuenta los incrementos temporales de integración para cada proceso. El tamaño de paso de integración para los


200/271

procesos de advección-difusión, viene condicionado como se vio en el capítulo V por el proceso advectivo. Una vez añadido el proceso químico, hay que tener en cuenta las velocidades de reacción del proceso químico, de esta manera pasará a tener mayor relevancia el tamaño de paso de tiempo debido a las reacciones químicas que denominaremos “paso químico”. Dentro del algoritmo para la resolución de la ecuación de advección-difusión-reacción química se contempla esta característica haciendo el tamaño de paso del transporte múltiplo del tamaño de paso del proceso químico. Como los procesos se resuelven separadamente, se integrarán las ecuaciones que simulan el proceso químico con un paso de tiempo adecuado hasta que se consiga igualar el intervalo temporal del proceso de transporte.

La subrutina encargada de resolver las ecuaciones que gobiernan las reacciones químicas está diseñada para determinar la evolución temporal de las concentraciones de sustancias químicas. En el caso del algoritmo utilizado para la simulación en 1D y 2D se ha tomado como valor inicial una función a lo largo del eje (x), o una superficie a lo largo del plano (x,y) respectivamente, por esta razón, vamos a resolver las reacciones químicas para cada punto discretizado del dominio en cada caso.

VI.3 Descripción del algoritmo advección-difusión-r eacción química para la dispersión de contaminantes químicos en la atmós fera.

En este apartado se desarrollarán los fundamentos del algoritmo que simula los procesos de advección-difusión-reacción química que gobiernan el proceso de dispersión de contaminantes químicos en la atmósfera.

El algoritmo se divide en distintas subrutinas, contempladas como módulos que se interrelacionan a partir de un programa principal que determina el orden de ejecución de las subrutinas que resuelven los diferentes procesos.

Se ha programado e implementado un programa FORTRAN 90 que está compuesto por los siguientes módulos:

- PROGRAMA PRINCIPAL_CHEM_ADV_DIF: es el programa principal que controla el avance temporal y llama a las diferentes subrutinas. En el programa principal se fijan los valores de incrementos de tiempo de integración tanto para el proceso de transporte como para el proceso


201/271

químico. Se fijan el número de pasos temporales y los valores de los coeficientes de difusividad para cada uno de los contaminantes.

- SUBRUTINA INIT1D: en esta subrutina se fijan los valores iniciales de cada contaminante así como la velocidad del viento.

- SUBRUTINA BDC: en esta subrutina se fijan las condiciones de contorno necesarias para la resolución de las ecuaciones en derivadas parciales. Se contemplan condiciones de contorno periódicas.

- SUBRUTINA SIMPLY_CHEM_QUIM_3: en esta subrutina lleva a cabo la resolución de las reacciones químicas y lleva integrado el esquema BDF2. Esta subrutina controla el tamaño de paso temporal para la integración del proceso químico.

- SUBRUTINA CSLR0_1D: en esta subrutina se lleva a cabo la resolución de las ecuaciones que gobiernan el transporte de contaminante. Mediante un proceso de partición, primero se resuelve el transporte de contaminantes por el proceso advectivo, y posteriormente se resuelve el proceso difusivo.

La subrutina CHEM_QUIM_3 está a su vez subdividida en 2 subrutinas:

- Subrutina TWO_STEP: define los valores iniciales con los que se iniciará el proceso de resolución del sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias (ecuación 6.2) para iniciar el proceso iterativo Gauss-Seidel, y posteriormente construye la fórmula implícita BDF2.

- Subrutina ITER: en esta subrutina se lleva a cabo la resolución del sistema de ecuaciones obtenido tras aplicar el método BDF2, mediante un proceso de iteración de Gauss-Seidel. En nuestro caso es suficiente emplear 2 iteraciones.

En este caso se ha tomado el paso químico constante a lo largo del proceso.

En la figura 6.1, 6.2, y 6.3 se muestra un diagrama donde se resume el orden de llamadas de las subrutinas desde el programa principal.


202/271

Fig. 6.1 Diagrama de ejecución del algoritmo CHEM_ADV_DIF_1D (I).

Entrada de

valores

iniciales

I = 1, NX

U(I) = U0

CALL INIT1D(A,FA,FINIA,FA,FXA,U,ALFAA,DX,DT,ARX,CFL,INUM)

CALL INIT1D(B,FB,FINIB,FB,FXB,U,ALFAB,DX,DT,ARX,CFL,INUM)

CALL INIT1D(X,FX,FINIX,FX,FXX,U,ALFAX,DX,DT,ARX,CFL,INUM)

I = 1, NX

AA = FA(I)

BB = FB(I)

XX = FX(I)

CALL SIMPLY_CHEM_3(AA,BB,XX,TIME,DT,DQ,Y1,Y2,Y3)

FA(I) = AA

FB(I) = BB

FX(I) = XX

CALL BDC(U,FA,FXA,FINIA)

CALL BDC(U,FB,FXB,FINIB)

CALL BDC(U,FX,FXX,FINIX)

NX = Número de pasos espaciales.

NT = Número de pasos espaciales

DX = Tamaño de paso espacial

DT = Tamaño de paso temporal en el proceso de

transporte

DQ = Tamaño de paso temporal en el proceso químico

AlfaA = Coef. Difusividad especie A

AlfaB = Coef. Difusividad especie B

AlfaX = Coef. Difusividad especie X

Time = instante inicial.

A,B,X

ICONT

*

VARIABLES DE ENTRADA

PRINCIPAL_CHEM3_ADV_DIF

VARIABLES DE SALIDA

FA(I)= Vector concentración de sustancia A

FB(I) = Vector de concentración sustancia B

FX(I) = Vector concentración de sustancia X

FXA(I)= Vector integral función FA

FXB(I) = Vector integral función FB

FXX(I) = Vector integral función FX


VARIABLES DE SALIDA

[U, A, B, X, DT,DX]

[U,FA,FXA,FINIA]

[U,FB,FXB,FINIB]

[U,FX,FXX,FINIX]

ARX

INUM

CFL


VARIABLES DE SALIDA

[AA, BB, XX, DT,DX, DQ]

[Y1,Y2,Y3]

Son las concentraciones de

A,B,X, en cada posición I, para

un ISTEP fijo

VARIABLES DE ENTRADA VARIABLES DE SALIDA

[U]

[FA, FXA,FINIA]

[FB, FXB, FINIB]

[FX, FXX, FINIX]

[FA, FXA,FINIA]

[FB, FXB, FINIB]

[FX, FXX, FINIX]


203/271

Fig. 6.2 Diagrama de ejecución del algoritmo CHEM_ADV_DIF_1D (II).


204/271

Fig. 6.3 Diagrama de ejecución del algoritmo CHEM_ADV_DIF_1D (III).

VI.3.1 Ejemplo académico: evolución del comportamie nto de tres contaminantes químicos en la atmósfera.

En el presente apartado se expone un caso académico con el que se puede observar el funcionamiento del programa.

En una primera parte, aplicaremos los conceptos desarrollados durante el capítulo IV relativo a la simulación de reacciones químicas, que podemos subdividir en los siguientes pasos:

- Estudio de las reacciones químicas, y de sus velocidades de reacción. - Formación de los vectores de producción de sustancias químicas. - Formación de la matriz diagonal de consumo de sustancias químicas. - Construcción del sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias que

modeliza la evolución de sustancias químicas durante su reacción. - Aplicación del método implícito multipaso BDF2, para aproximar la

solución mediante un sistema de ecuaciones no lineales. - Aplicación del método Gauss-Seidel, para obtener las soluciones al

sistema de ecuaciones no lineales obtenido tras aplicar el método BDF2.

Una vez configurado el módulo químico, observaremos cómo funciona el modelo de transporte advectivo-difusivo-reacción química para este caso

ICONT

CALL PROCGRAF(FA) CALL PROCGRAF(FB) SIN GRAFICAR

ICONT = 1

ICONT = 3ICONT = 2

CALL PROCGRAF(FX)

ICONT ≠1,2, 3

**

CALL BDC(U,FA,FXA,FINIA)

CALL BDC(U,FB,FXB,FINIB)

CALL BDC(U,FX,FXX,FINIX)


205/271

académico. Como explicamos en el apartado anterior, la secuencia de procesos sería la siguiente:

- Primero se produce la emisión de contaminantes químicos. - Al estar en contacto, las sustancias químicas reaccionan, por lo que el

primer paso es llamar al módulo químico. - En cada paso temporal resolveremos las ecuaciones mediante un

método de partición por procesos, primero se inicia el módulo químico, y posteriormente siguen los procesos advectivo y difusivo.

PRIMER PASO:

Configuración del módulo químico. Estudio de las re acciones químicas.

El caso simulado está basado en la reacción de dos contaminantes químicos catalizados mediante una sustancia adicional. Como se ve en las reacciones químicas expuestas en (6.4), las sustancias A y B reaccionan para producir C, y este producto a su vez regenera A y B, y produce dos sustancias adicionales R y S al reaccionar en solitario con B. El objetivo del problema es determinar cómo evolucionan las concentraciones de A, B y C durante el tiempo.

+ →

→ +

+ → +

1

2

3

k

k

k

A B C

C A B

C B R S

siendo 1

2

3

1.0

1.0

10.0

k

k

k

===

(6.4)

SEGUNDO PASO:

Construcción de los términos de producción química : Los términos de producción para cada contaminante químico corresponden al producto de la velocidad de reacción donde cada producto se consume por la concentración del reactivo del que proceden. De esta manera la producción para cada contaminante sería:

( )( )( )

→ =

→ =

→ =

2

2

1

A P A K C

B P B K C

C P C K A B (6.5)


206/271

TERCER PASO:

Construcción de la matriz de pérdida-consumo químico :

La matriz [L] , es una matriz cuadrada de dimensiones el número de sustancias químicas, cuyos términos de la diagonal principal corresponden a las velocidades de destrucción-consumo de las sustancias químicos, y el resto de elementos son iguales a 0. La velocidad de destrucción-consumo de cada contaminante es igual a la velocidad de reacción con que cada reactivo se consume, por la concentración de producto que se genera en dicha reacción. De esta manera tendremos:

( )( )( )

→ =

→ = +

→ = +

1,1 1

2,2 1 3

3,3 2 3

A L A K B

B L B K A K

C L C K K B

1 ( )

1 3(3 3) ( )

2 3 ( )

0 0

0 0

0 0

= ++

B

x A

B

K f

L K f K

K K f

(6.6)

CUARTO PASO:

Construcción del sistema de ecuaciones diferenciale s ordinarias que representa las reacciones químicas.

El sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias se expresa de forma general según:

[ ]

1

( , ) : ( , ) ( , )

( ) ( ( ),..., ( ))Tm

dy f t y P t y L t y y

dx

y t y t y t

= = −

= (6.7)

De esta manera, sustituyendo los valores de producción y pérdida para las reacciones químicas contempladas tendríamos:


207/271

∂= −

∂∂

= −∂

∂= −

∂

( )

( ) 1,1( ) ( )

( )

( ) 2,2( ) ( )

( )

( ) 1,1( ) ( )

A

A A A

B

B B B

C

C C C

fP L f

t

fP L f

t

fP L f

t

(6.8)

siendo ( )if la concentración de la sustancia química i .

y sustituyendo los valores de producción y pérdida para cada contaminante, obtendríamos:

( )

( )

∂= −

∂∂

= − +∂

∂= − +

∂

( )

2 ( ) 1 ( ) ( )

( )

2 ( ) 1 ( ) 3 ( )

( )

1 ( ) ( ) 2 3 ( ) ( )

A

C B A

B

C A B

C

A B B C

fK f K f f

t

fK f K f K f

t

fK f f K K f f

t

(6.9)

Aplicando notación matricial, el sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias (SEDO), quedaría:

(6.10)

QUINTO PASO:

Aplicación del método BDF2 para aproximar la soluci ón del sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias.

Una vez obtenido el SEDO que gobierna la evolución de las tres sustancias químicas, podemos aplicar el método BDF2 (6.3), obteniendo:

( )

( )

( )

2 1( ) ( ) ( )

2 1 3( ) ( ) ( )

1 2 3( ) ( ) ( ) ( )

' 0 0

' 0 0

0 0'

= − ++

A

B

C

C B A

C A B

A B B C

f K f K f f

f K f K f K f

K f f K K f ff


208/271

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

11

21

2

11

1 11

1 11

0 01 0 020 1 0 0 03

0 0 1 0 0

4 1 23 3 3

4 1 2 3 3 3

−+

+

+

− +

− +

×

= + ∆

− + ∆

− + ∆

A C

B C

A BC

A A B

B B A

n n

n n

n nn

n n n

n n n

f K f

f t K f

K f ff

f f t K f

f f t K f( )( )( ) ( ) ( )

3

1 12 3

4 1 23 3 3

− +

+

− + ∆ +C C Bn n n

K

f f t K K f

(6.10)

SEXTO PASO:

Aplicación del método Gauss-Seidel para la resoluci ón del sistema de ecuaciones no lineales que aproxima la solución del SEDO que gobierna las reacciones químicas a estudio.

[ ] 11 1 1

1 1( , ) ( , )β β−+ + +

+ + = + ∆ ∆ +

n n n nn n n nf I t L t f t P t f f

(6.11)

Aplicando el método BDF2 resuelto mediante el método Gauss-Seidel según (3.35) podemos simular la evolución temporal de las concentraciones puntuales de nuestros 3 contaminantes que componen el caso académico a estudio, es decir, la evolución temporal de las sustancias A, B, C, que reaccionan según las ecuaciones 6.5.

Utilizando el módulo químico, la concentración química de las tres sustancias químicas localizadas en un punto concreto en el eje x de nuestro dominio evolucionaría durante una hora como se muestra en la figura 6.4.


209/271

Fig. 6.4 Evolución de la concentración de las sustancias químicas del ejemplo académico 6.1 durante la primera hora de reacción química.

Sin embargo, el modelo de advección-difusión, reacción química, tal y como está descrito en el apartado 6.2, simula en 1D la evolución temporal de una pluma de contaminantes, y no de una concentración puntual definida en una posición determinada x(i) , por lo que debemos ejecutar el modelo, para cada uno de los puntos del dominio en el eje x. Por esta razón, en cada paso temporal, la llamada a la subrutina SIMPLY_CHEM_QUIM_3 debe realizar las operaciones descritas en este apartado, para cada punto del eje x, mediante un bucle que se ejecute desde x=1, hasta x = NX, siendo NX, el número total de pasos espaciales, lo que se lleva a cabo como se observa en la figura 6.5, en la que se detalla el organigrama expuesto en el apartado 6.3.

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Evolución de [A]

Tiempo, (h)

[A]

0 0.5 1

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Evolución de [B]

Tiempo, (h)

[B]

0 0.5 10.

000

0.00

50.

010

0.01

50.

020

Evolución de [X]

Tiempo, (h)

[X]

0 0.5 1


210/271

Fig. 6.5. Detalle de la llamada a la subrutina SIMPLY_CHEM_3 para todos los puntos del dominio definidos en X.

De esta manera, en cada paso temporal, mediante un proceso de split, o partición, resolveremos las ecuaciones diferenciales para los procesos químicos, advectivos y difusivos de forma separada, por este orden, igualando para este ejemplo los intervalos temporales de integración para cada proceso.

Las figuras 6.6ª, 6.6b, 6.6c, y 6.6d representan la evolución temporal de la concentración de las tres sustancias químicas sometidas a los procesos de transporte advectivo-difusivo y reacción química, obtenidas ejecutando el programa CHEM3_ADV_DIF_1D.

La configuración del modelo para este ejemplo académico se ha fijado según los datos de la tabla 6.1:

CASO 1. VALORES REALES A LARGO PLAZO DT 0.025 segundos DX 0.25 metros NX 500 pasos espaciales NT 1000 pasos temporales u 4.0 m/s (14.4 km/h) ∝∝∝∝ 0.0005 m2/s Conc. inicial Sust. A 1 µg/m3 Conc . inicial Sust. B 1 µg/m3 Conc . inicial Sust. C 0 µg/m3

Tabla 6.1. Configuración modelo CHEM3_ADV_DIF_1D para ejemplo 6.3.2


211/271

Fig. 6.6a . Valor de la función concentración para las sustancias A, B, y C en el instante inicial.

0.0

000.

004

0.00

8

Tiempo = 0.0 s

Posic ión (m)

Val

or

de

la f

unci

ón

(mic

rog

/m3

)

0 63.5

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Tiempo = 0.0 s

Posición (m)

Va

lor d

e la

fun

ció

n (m

icro

g/m

3)

0 63.5

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Tiempo = 0.0 s

Posición (m)

Va

lor d

e la

fun

ció

n (m

icro

g/m

3)

0 63.5

[A]

[C]

[B]


212/271

Fig. 6.6b . Valor de la función concentración para las sustancias A, B, y C para t = 7.5 segundos.

0.00

00

.00

40.

008

Tiempo = 7.5 s

Posición (m)

Va

lor

de

la f

un

ció

n (m

icro

g/m

3)

2 65.5

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Tiempo = 7.5 s

Posición (m)

Va

lor d

e la

fun

ció

n (m

icro

g/m

3)

30 93.5

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Tiempo = 7.5 s

Posición (m)

Va

lor d

e la

fun

ció

n (m

icro

g/m

3)

30 93.5

[A]

[C]

[B]


213/271

Fig. 6.6c . Valor de la función concentración para las sustancias A, B, y C para t = 17.5 segundos.

0.00

00

.00

40

.00

8

Tiempo = 17.5 s

Posición (m)

Va

lor

de

la f

un

ció

n (m

icro

g/m

3)

70 133.5

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Tiempo = 17.5 s

Posición (m)

Va

lor d

e la

fun

ció

n (m

icro

g/m

3)

70 133.5

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Tiempo = 17.5 s

Posición (m)

Va

lor d

e la

fun

ció

n (m

icro

g/m

3)

70 133.5

[B]

[C]

[A]


214/271

Fig. 6.6d . Valor de la función concentración para las sustancias A, B, y C para t = 25 segundos.

0.0

00

0.00

40

.00

8

Tiempo = 25 s

Posición (m)

Va

lor

de

la f

un

ció

n (m

icro

g/m

3)

100 163.5

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Tiempo = 25 s

Posición (m)

Va

lor d

e la

fun

ció

n (m

icro

g/m

3)

163.5 227

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Tiempo = 25 s

Posición (m)

Va

lor d

e la

fun

ció

n (m

icro

g/m

3)

163.5 227

[B]

[C]

[A]


215/271

VI.3.2 Ejemplo real: evolución de la emisión de dió xido de nitrógeno y dióxido de azufre dispersados en la atmósfera. Gene ración de lluvia ácida (ácido sulfúrico y nítrico) por emisiones de centra les térmicas.

El presente apartado se centra en la producción de ácido nítrico y sulfúrico a partir de los contaminantes primarios óxidos de nitrógeno, NOx

(contemplándolo como la suma de las concentraciones de NO2 y NO), y dióxido de azufre, SO2 producidos por la combustión incompleta en motores de combustión y/o centrales térmicas.

Siguiendo la estructura utilizada en el ejemplo anterior, 6.3.1, se exponen las reacciones químicas contempladas donde interactúan los óxidos de nitrógeno y el dióxido de azufre, para formar ácido sulfúrico y ácido nítrico (responsables del fenómeno de la lluvia ácida). Posteriormente, estudiaremos las ecuaciones diferenciales que gobiernan las reacciones químicas que se dan entre dichas especies, expresándolas en términos de producción y consumo. Esta notación nos permite hacer uso del método BDF2 para obtener una aproximación de la solución del sistema de ecuaciones diferenciales de partida.

Una vez caracterizado el sistema químico, se implementa en el código del programa CHEM4_ADV_DIF_1D, en el que se simularán los procesos de transporte advectivo y difusivo y de reacción química en una dimensión, aplicando los algoritmos presentados en los capítulos IV, V y VI de la presente Tesis, según el orden mostrado en el diagrama de flujo expuesto en las figuras 6.1, 6.2, y 6.3.

Las reacciones químicas contempladas para monitorear el comportamiento de los óxidos de nitrógeno y del dióxido de azufre en la atmósfera y la generación de ácidos nítrico y sulfúrico se exponen en (6.11), según (Montero, Montenegro, Escobar, Rodriguez, & González-Yuste, 2004).

1

2

3

2

2 3

2 2

·

·

·

K

K

K

NO h NO O

OH NO HNO

OH SO HOSO

υ+ → +

+ →

+ → (6.11)

La primera reacción química es una reacción fotoquímica, la cinética de la misma viene determinada por su constante de reacción K1, cuyo valor oscila en función de la intensidad lumínica, entre los siguientes valores en función de la intensidad de radiación solar incidente, según:

5 7

1 40

10

10

sec( ) 04:00 h - 20:00 h

20:00 h- 04:00 h

tek

−

−

=

(6.12)


216/271

siendo:

( )0 2

14

16

24 24

3600

.

sec( ) h

h h h

h

t sen t

t t t

t t

π = −

= −

= (6.13)

Las otras dos reacciones químicas son reacciones termoquímicas, cuyas

constantes de reacción según (Finlayson-Pitts & Pitts, 2000; Montero et al.,

2004; Sanín & Montero, 2007), son:

112

123

1 6 10

1 5 10

. ·

. ·

K

K

−

−

=

= (6.14)

El sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias que simulan el proceso de reacción química es:

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

3

2

2

2 4

2

1 2

1 2

1 3

2

1 3

2

2

2

2

2

X

X

NOX

NO

HNO

NO

SO

SO

H SO

SO

dfK K f

dtdf

K K fdt

df K Kf

dt K

df K Kf

dt K

= − ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅

⋅= − ⋅

⋅= ⋅

(6.15)

A continuación vamos a construir los vectores de producción P y los términos de la matriz de consumo [L] de sustancia durante las reacciones químicas, según (Hundsdorfer & Verwer, 2003; J G Verwer et al., 1996; J G Verwer, 1994).

Los valores del vector de producción P que representa la generación de las cuatro sustancias químicas durante su reacción son:


217/271

3 1 2

2

1 32 4 2

2

0

2

0

2

( )

( ) · · · ( )

( )

·( ) ( )

x

x

P NO

P HNO K K f NO

P SO

K KP H SO f SO

K

==

=

=

(6.16)

Los términos de la matriz [L] de pérdida de las cuatro sustancias químicas por consumo durante las reacciones químicas son:

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

3

2 2

2 4

1 2

1 3

2

2

0

2

0

· · ·

·

x XNO NO

HNO

SO SO

H SO

L K K f

L

K KL f

K

L

=

=

=

=

(6.17)

Una vez obtenidos los vectores de producción y los términos de la matriz de pérdida de sustancias químicas, se aplica la ecuación (6.7) para obtener el SEDO en notación matricial:

( )

( )

( )

( ) 2

1 2

1 3

2

3

2

2 2

1 2 ( )

1 3( )

2

3

2

2 4

'

'

'

'

( )

( )

( )

( )

2· · 0 0 0

0 0 0 0

·0 0 2 0

0 0 0 0

0

2· · ·

0

·2

= −

x

X

NO

SO

xNO

HNO

SO

H SO

NO

HNO

SO

H SO

K K

K K

K

K K f

K Kf

K

f

f

f

f

f

f

f

f

(6.18)

y finalmente, aplicando el método BDF2 (ecuación 6.3) la aproximación de la solución quedaría expresada según (6.19) y preparada para su resolución por el método de Gauss-Seidel (J G Verwer, 1994).


218/271

( )

( )

( )

( )

3

2

22 2

11

1 1 2 ( )

1

1 31( )

2

0 0 0 01 0 0 0

0 2· · · 0 00 1 0 0 2

0 0 0 00 0 1 0 3

·0 0 0 1 0 0 0 2

−+

+

+

+

= + ∆ ×

X

x

nNO

n NOHNO

nSO

nSO

H SO

fK K f

ft

fK K

ff K

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

3 3

2 2 2

2 2 2 2 2

1 11 2

1 11 2

1 11 3

2

1 11 3

2

4 1 22· ·

3 3 34 1 2

2· · ·3 3 3

·4 1 22

3 3 3

·4 1 22

3 3 3

− +

− +

− +

− +

− + ∆ − − + ∆ ×

− + ∆ −

− + ∆

X X X

X

n n nNO NO NO

n n nNOHNO HNO

n n nSO SO SO

n n nH SO H SO SO

f f t K K f

f f t K K f

K Kf f t f

K

K Kf f t f

K

(6.19)

Una vez implementado el módulo químico a resolver en la Subrutina del programa CHEM4, podemos iniciar la simulación del proceso de advección-difusión y reacción química, según el algoritmo presentado en los diagramas 6.1, 6.2 y 6.3 resumen del programa CHEM4_ADV_DIF_1D, que implementa los métodos numéricos desarrollados en los capítulos IV, V y VI, para el proceso químico (algoritmo TWO_STEP), para el proceso de transporte advectivo (algoritmo RCM) y para el proceso de difusivo (algoritmo de diferencias finitas de alto orden).

Problema Lluvia ácida.

- Comportamiento de las reacciones entre NO2 y SO2. - Generación de ácido nítrico (HNO3) y ácido sulfúrico (H2SO4) catalizado

por la acción de la radiación solar en presencia del radical hidroxilo (OH·)

Reacciones químicas a estudio:

1

2

3

2

2 3

2 2

·

·

·

K

K

K

NO h NO O

OH NO HNO

OH SO HOSO

υ+ → +

+ →

+ → (6.11)

Las figuras 6.7a, 6.7b, 6.7c, 6.7d representan la evolución temporal de la concentración de las cuatro sustancias químicas sometidas a los procesos de


219/271

transporte advectivo-difusivo y reacción química, obtenida ejecutando el programa CHEM4_ADV_DIF_1D.

La configuración del modelo para este ejemplo académico se ha fijado según los datos de la tabla 6.2:

CASO 1. VALORES REALES A LARGO PLAZO DT 0.025 segundos DX 0.25 metros NX 500 pasos espaciales NT 1000 pasos temporales U 4.0 m/s (14.4 km/h)

1.089·10-5 m2/s

1.180 ·10-5 m2/s

1.089 ·10-5 m2/s

0.90 ·10-5 m2/s Conc. inicial NOx 1000 µg/m3 Conc . inicial HNO3 0 µg/m3 Conc . inicial SO2 200 µg/m3 Conc . inicial H2SO4 0 µg/m3

Tabla 6.2. Configuración modelo CHEM3_ADV_DIF_1D para ejemplo 6.3.2


220/271

Fig. 6.7a. Representación de la evolución de la función concentración para el NOx, NO3H, SO2, SO4H2, en el instante incial

02

004

006

008

001

000

[NOx]. Tiempo = 0.0 min

Posición (Km)

Val

or d

e la

func

ión

(mic

rog/

m3)

0 12.8 25.5

02

040

6080

100

[NO3H]. Tiempo = 0.0 min

Posición (Km)

Val

or d

e la

func

ión

(mic

rog/

m3

)

0 12.75 25.5

050

100

150

200

[SO2]. Tiempo = 0.0 s

Posición (Km)

Va

lor

de

la f

unc

ión

(m

icro

g/m

3)

0 12.75 25.5

05

1015

20

[SO4(H2)]. Tiempo = 0.0 min

Posición (Km)

Val

or

de la

fun

ció

n (

mic

rog

/m3

)

0 12.75 25.5

NOx NO3H

SO4H2 SO2


221/271

Fig. 6.7b. Representación de la evolución de la función concentración para el NOx, NO3H, SO2, SO4H2, para t = 40 min.

020

04

006

0080

010

00

[NOx]. Tiempo = 40 min

Posición (Km)

Val

or d

e la

func

ión

(mic

rog/

m3)

9.6 22.35 35.1

02

04

060

8010

0

[NO3H]. Tiempo = 40 min

Posición (Km)

Val

or d

e la

func

ión

(mic

rog/

m3)

9.6 22.35 35.1

05

010

015

02

00

[SO2]. Tiempo = 40 min

Posición (Km)

Va

lor

de

la f

unc

ión

(m

icro

g/m

3)

9.6 22.35 35.1

05

1015

20[SO4(H2)]. Tiempo = 40 min

Posición (Km)

Va

lor

de

la f

unc

ión

(m

icro

g/m

3)

9.6 22.35 35.1

NOx NO3H

SO4H2 SO2


222/271

Fig. 6.7c. Representación de la evolución de la función concentración para el NOx, NO3H, SO2, SO4H2, para t = 1.1 h.

020

040

060

080

010

00

[NOx]. Tiempo = 1.1 h

Posición (Km)

Val

or d

e la

func

ión

(mic

rog/

m3)

16 28.75 41.5

020

4060

8010

0

[NO3H]. Tiempo = 1.1 h

Posición (Km)

Val

or d

e la

fun

ción

(m

icro

g/m

3)

16 28.75 41.5

050

100

150

200

[SO2]. Tiempo = 1.1 h

Posición (Km)

Va

lor

de

la f

unc

ión

(m

icro

g/m

3)

16 28.75 41.5

05

1015

20[SO4(H2)]. Tiempo = 1.1 h

Posición (Km)

Va

lor

de

la f

unci

ón

(m

icro

g/m

3)

16 28.75 41.5

NOx NO3H

SO4H2 SO2


223/271

Fig. 6.7d. Representación de la evolución de la función concentración para el NOx, NO3H, SO2, SO4H2, para t = 4.4 h.

020

04

006

0080

010

00

[NOx]. Tiempo = 4.4 h

Posición (Km)

Val

or d

e la

func

ión

(mic

rog/

m3)

64 76.75 89.5

050

100

150

200

[NO3H]. Tiempo = 4,4 h

Posición (Km)

Val

or d

e la

func

ión

(mic

rog/

m3)

64 76.75 89.5

05

010

015

02

00

[SO2]. Tiempo = 4.4 h

Posición (Km)

Val

or d

e la

func

ión

(mic

rog/

m3)

64 76.75 89.5

05

10

1520

[SO4(H2)]. Tiempo = 4.4 h

Posición (Km)

Val

or d

e la

func

ión

(mic

rog/

m3)

64 76.75 89.5

NOx NO3H

SO4H2 SO2

VI. Modelización de la advección-difusión y reacción química de cont. en la atmósfera.

224/271

VI.4 Descripción del algoritmo advección-difusión-r eacción química para la dispersión de contaminantes químicos en la atmós fera 2D

A continuación vamos a comentar la explicación del programa desarrollado en FORTRAN90 donde se implementan los procesos advectivo, difusivo y de reacción química en 2D. Las diferencias con respecto al programa desarrollado en 1D se numeran a continuación:

- En este caso se va a discretizar el dominio mediante un mallado que sigue el modelo Arakawa C-grid (descrito en los capítulos II, y V). Mediante esta discretización del dominio podemos implementar el método de separación de operadores denominado “STRANG SPLIT” para emplear el modelo numérico de resolución de la ecuación de advección-difusión en 1D en el caso de 2D, de manera que pasamos de la EDP de advección difusión en 2D a dos ecuaciones de advección-difusión en 1D.

2 2

2 2

f f f f fu v

t x y x yα α∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (6.12)

Pasamos de esta EDP a dos EDPs como sigue:

2

2 2

2

f fu

f f f t xu

t x x f ft x

∂ ∂ =∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + → ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂

αα

(6.13)

2

2 2

2

f fu

t yf f fv

t y y f ft y

∂ ∂ = ∂ ∂∂ ∂ ∂ = + → ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂

αα

- A su vez, los procesos de advección, difusión y reacción química se van se van a resolver por un método de partición, de manera que se va a resolver en un primer momento la química del problema, para posteriormente resolver la advección y finalmente la difusión en cada una de las dimensiones del problema. Es importante resaltar que el proceso químico es más restrictivo a la hora de fijar un incremente de paso de tiempo de integración, por lo que será este el que fijaremos, haciendo múltiplo el tamaño de paso del proceso de transporte, del paso químico.


225/271

- El modelo químico se mantiene invariable con respecto a lo comentado en el apartado VI.2. Al ser el procesador químico un modelo que hace reaccionar la concentración de cada sustancia en cada punto del dominio discretizado mediante el modelo Arakawa C-Grid, se va a llevar a cabo una partición por ejes, de manera que hacemos reacción cada punto en el eje x y posteriormente realizamos el mismo proceso en el eje y, y finalmente, una vez ejecutados todos los puntos de la malla, se reconstruye el valor de la función y de su integral ponderada en el centro de cada celdilla, de la malla Arakawa C-grid.

2

2

2

2

x

y

f f fu Q

t x xf f f

v Qt y y

α

α

∂ ∂ ∂= + +∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂= + +∂ ∂ ∂

(6.14)

siendo:

variación de la concentración con respecto al tiempo.

, velocidad del viento en el eje x e y.

coeficiente de difusión del contaminante químico.

, término advectivo en el eje x e y

α

∂ =∂

=

=∂ ∂ =∂ ∂

ft

u v

f fx y2 2

2 2

.

, término difusivo en el eje x e y.

, término relativo a la reacción química en el eje x e y.

∂ ∂ =∂ ∂

=x y

f fy x

Q Q

- La estabilidad del método, se comprueba mediante el cálculo de los coeficientes de estabilidad advectivo y difusivo.

2D

tCFL

xα ∆=

∆

A

tCFL u

x∆=∆

(6.16)

Al igual que en el capítulo V, los coeficientes de estabilidad para el caso de 2D se ven restringidos en un 40 % (ver apartado V.5.2, Simulaciones del transporte advectivo difusivo en 2D).


226/271


227/271

IST

EP

= 1

, N

T


228/271

IST

EP

= 1

, N

T


229/271

Dentro de este apartado dedicado a las simulaciones en 2D, vamos a realizar una simulación con datos de contaminantes reales. El problema va a contemplar las ecuaciones químicas base de la generación de los precursores de la lluvia ácida (6.4). Las emisiones serán similares a los valores de emisión aproximados a los producidos tras una combustión incompleta de dióxido de azufre y de óxidos de nitrógeno en centrales térmicas para una localización puntual dentro del dominio discretizado con incrementos de tiempo y espacio de integración que nos permitan estudiar la evolución de la pluma de contaminante durante un plazo temporal elevado.


230/271

VI.4.1 CASO REAL 1. Modelización del transporte advectivo-difusivo con reacción química para los precursores de lluvia áci da, dióxido de azufre y óxidos de nitrógeno.

En este caso, se modifica el caso real en 1D, para aplicarlo a un problema en 2D. La emisión está compuesta de una pluma de contaminante compuesta de los precursores de la lluvia ácida, óxidos de nitrógeno, NOx (NO2+NO) y dióxido de azufre, SO2. Durante el proceso de dispersión, observaremos como los contaminantes primarios reaccionan y generan ácido nítrico, HNO3, y ácido sulfúrico H2SO4, mientras la pluma se desplaza y deforma por acción conjunta de la advección-difusión en una malla discretizada en 2D.

Las reacciones químicas que se emplean para la simulación según (Finlayson-Pitts & Pitts, 2000; Montero et al., 2004; Sanín & Montero, 2007) son:

1

2

3

2

2 3

2 2

·

·

·

K

K

K

NO h NO O

OH NO HNO

OH SO HOSO

υ+ → +

+ →

+ → (6.17)

Como se puede observar, la primera reacción química es de origen fotoquímico, por tanto, la velocidad de la reacción dependerá de la intensidad de luz incidente, y variará en función de la hora del día. Los valores de las constantes de reacción son:

5 7

1 40

10

10

sec( ) 04:00 h - 20:00 h

20:00 h- 04:00 h

tek

−

−

=

(6.18)

siendo:

( )0 2

14

16

24 24

3600

.

sec( ) h

h h h

h

t sen t

t t t

t t

π = −

= −

= (6.19)

Las otras dos reacciones químicas son reacciones termoquímicas, cuyas

constantes de reacción según son:

112

123

1 6 10

1 5 10

. ·

. ·

K

K

−

−

=

= (6.20)


231/271

El sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias que modeliza la evolución de

estas reacciones químicas, es:

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

3

2

2

2 4

2

1 2

1 2

1 3

2

1 3

2

2

2

2

2

X

X

NOX

NO

HNO

NO

SO

SO

H SO

SO

dfK K f

dtdf

K K fdt

df K Kf

dt K

df K Kf

dt K

= − ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅

⋅= − ⋅

⋅= ⋅

(6.21)

Para emplear el método BDF2 adaptado para resolverse mediante una técnica iterativa, necesitamos expresar el sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias en función de los términos de producción P y consumo [L] (ver capítulo III, y VI.3.2).

3 1 2

2

1 32 4 2

2

0

2

0

2

( )

( ) · · · ( )

( )

·( ) ( )

x

x

P NO

P HNO K K f NO

P SO

K KP H SO f SO

K

==

=

=

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

3

2 2

2 4

1 2

1 3

2

2

0

2

0

· · ·

·

x XNO NO

HNO

SO SO

H SO

L K K f

L

K KL f

K

L

=

=

=

=

(6.22)

Una vez obtenidos los vectores de producción y los términos de la matriz de pérdida de sustancias químicas, se aplica la ecuación (6.7) para obtener el SEDO en notación matricial:

( )

( )

( )

( ) 2

1 2

1 3

2

3

2

2 2

1 2 ( )

1 3( )

2

3

2

2 4

'

'

'

'

( )

( )

( )

( )

2· · 0 0 0

0 0 0 0

·0 0 2 0

0 0 0 0

0

2· · ·

0

·2

= −

x

X

NO

SO

xNO

HNO

SO

H SO

NO

HNO

SO

H SO

K K

K K

K

K K f

K Kf

K

f

f

f

f

f

f

f

f

(6.18)


232/271

y finalmente, aplicando el método BDF2 (ecuación 6.3) la aproximación de la solución quedaría expresada según (6.19) y preparada para su resolución por el método de Gauss-Seidel (J G Verwer, 1994).

( )

( )

( )

( )

3

2

22 2

11

1 1 2 ( )

1

1 31( )

2

0 0 0 01 0 0 0

0 2· · · 0 00 1 0 0 2

0 0 0 00 0 1 0 3

·0 0 0 1 0 0 0 2

−+

+

+

+

= + ∆ ×

X

x

nNO

n NOHNO

nSO

nSO

H SO

fK K f

ft

fK K

ff K

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

3 3

2 2 2

2 2 2 2 2

1 11 2

1 11 2

1 11 3

2

1 11 3

2

4 1 22· ·

3 3 34 1 2

2· · ·3 3 3

·4 1 22

3 3 3

·4 1 22

3 3 3

− +

− +

− +

− +

− + ∆ − − + ∆ ×

− + ∆ −

− + ∆

X X X

X

n n nNO NO NO

n n nNOHNO HNO

n n nSO SO SO

n n nH SO H SO SO

f f t K K f

f f t K K f

K Kf f t f

K

K Kf f t f

K

(6.19)

Para la modelización, se emplea un programa en FORTRAN.f90, CIPCSLR0_ADV_DIF_CHEM4_2D.f90, que implementa los métodos racional conservativo para resolver la ecuación del transporte, un método de diferencias finitas de alto orden para resolver la difusión, y un método multipaso implícito, BDF2 (método de regresión hacia atrás o Backward Differentiaton Formula de segundo orden) para resolver el módulo químico. Este programa está diseñado para trabajar en una malla del tipo Arakawa C-Grid, que permite la partición de procesos, es decir, cada una de ellas se resuelven mediante un proceso de partición STRANG SPLIT, en cada una de las 2 dimensiones, pasando de un problema en 2D a dos problemas en 1D.

En la tabla 6.4 se detallan los datos de entrada que alimentan al modelo para resolver el caso real 1.


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CASO 1: VALORES REALES A LARGO PLAZO. ∆t 10 s ∆x / ∆y 100 m NX 400 NY 400 NT 500 u 4 m/s v 4 m/s Difusividad NO x 1.089·10

-5 m

2/s

Difusividad HNO 3 1.180 ·10-5

m2/s

Difusividad SO 2 1.089 ·10-5

m2/s

Difusividad H 2SO4 0.90 ·10-5

m2/s

NOx 1000 µg/m3

SO2 200 µg/m3

HNO3 0 µg/m3

H2SO4 0 µg/m3

Tabla 6.3 Configuración del modelo CHEMIV_ADV_DIF_2D

En las figuras 6.8, 6.9, 6.10, 6.11, 6.12, 6.13 se puede observar la evolución de los contaminantes con el paso del tiempo, un número de pasos de tiempo t = 0, 20, 50, 90, 150, 180 minutos.


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Fig.6.8 Concentraciones NOx, SO2 en 0 min

Fig.6.9 Concentraciones NOx, SO2 para 20 min.

NOx HNO3

H2SO4SO2

T = 0.0 min

NOx HNO3T = 20.0 min

H2SO4SO2


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Fig.6.11 Concentraciones NOx, SO2 para 90 ∆t


H2SO4SO2


H2SO4SO2


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Fig.6.13 Concentraciones NOx, SO2 para 180 ∆t


H2SO4SO2


H2SO4SO2


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VI. Conclusiones

En este capítulo se ha presentado un modelo de resolución de la ecuación de advección-difusión y reacción química de contaminantes en la atmósfera. Para ello se han implementado los siguientes métodos numéricos:

- El método racional conservativo junto con el método de volúmenes finitos para la parte advectiva de la ecuación de dispersión de contaminantes que proporciona una solución para la parte advectiva de las EDP sin pérdidas de masa durante el transporte.

- La parte difusiva se resuelve mediante un nuevo método de diferencias finitas de alto orden que permite contemplar los procesos de difusión horizontal hasta ahora no contemplados, en los grandes códigos de cálculo como CHIMERE o CMAQ.

- El método implícito multipaso BDF2 resuelto mediante la técnica iterativa Gauss-Seidel se ha implementado para resolver los sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias (SEDO) rígidos que modelizan las reacciones químicas de contaminantes en la atmósfera.

El modelo desarrollado se ha utilizado para resolver un conjunto de casos académicos y reales en una y dos dimensiones, en ellos se contempla la generación de lluvia ácida a partir de la reacción química de sus precursores (NO2 y SO2). El desarrollo y validación de los diferentes algoritmos que componen el modelo se han expuesto en los capítulos precedentes de esta Tesis y los resultados obtenidos nos demuestran que:

- El modelo nos proporciona una solución a las ecuaciones diferenciales parciales (EDPs) muy aproximada a la solución real del problema.

- El método de diferencias finitas de alto orden se mantiene estable (dentro de su límite de estabilidad a lo largo de los intervalos de tiempo).

- El módulo químico nos permite predecir la producción de contaminantes secundarios que se generan durante el transporte, al entrar en contacto los diferentes contaminantes primarios presentes en las emisiones originales. Este módulo químico permite la resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias muy rígidas que modelizan reacciones químicas con velocidades de reacción muy dispares entre sí, lo que conlleva la aparición de las características de rigidez propias de estas ecuaciones.

VII. Conclusiones y líneas abiertas.

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CAPÍTULO VII. CONCLUSIONES Y LÍNEAS ABIERTAS

VII.1 CONCLUSIONES

A continuación pasamos a resumir las conclusiones obtenidas en la presente Tesis para la construcción de un modelo de transporte, difusión y reacción química de contaminantes en la atmósfera.

En primer lugar se ha realizado la implementación de un esquema racional conservativo en la parte advectiva del código de transporte químico denominado CHIMERE. Se han comparado los resultados obtenidos con otros esquemas obteniendo una mejora en la exactitud del método.

Además se ha desarrollado en esta Tesis un nuevo método de resolución de la ecuación de advección-difusión en una y dos dimensiones aplicando el método racional conservativo con volúmenes finitos para la advección y un método de diferencias finitas de alto orden para la difusión. Ambos métodos tienen sus condiciones o límites de estabilidad. Sin embargo estos límites no son muy restrictivos por lo que las ecuaciones se pueden resolver con intervalos de tiempo bastante grandes, lo que facilita su utilidad para resolver problemas reales de contaminación atmosférica.

Se ha aplicado este nuevo método al problema de dispersión de los contaminantes SO2, NOx, SO4H2 y NO3H, mostrándose en esta Tesis la importancia de considerar no solo la advección, sino también la difusión de los contaminantes. Se han utilizado valores reales en estas modelizaciones, por lo que los resultados obtenidos corresponden a casos que se pueden dar habitualmente en la dispersión de contaminantes en la atmósfera.

En tercer lugar, se ha modelizado el problema de advección-difusión con reacciones químicas utilizando un método multipaso implícito para resolver las ecuaciones diferenciales ordinarias que modelizan las reacciones químicas. Como finalmente se llega a un sistema discretizado de ecuaciones no lineales, éste se ha resuelto de forma aproximada utilizando un método simple de Gauss-Seidel, que converge en muy pocas iteraciones. Se ha aplicado esta metodología para resolver un problema simplificado que representa la lluvia ácida producida por centrales térmicas y plantas industriales en una y dos dimensiones.


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VII.2 LÍNEAS ABIERTAS

Entre las líneas abiertas que podrían constituir una continuación de la presente Tesis, cabe destacar

- Posible implementación en el modelo CHIMERE del método advectivo-difusivo propuesto en esta Tesis.

- Adaptación del tamaño de paso variable para la resolución de la química del modelo de transporte, difusión y reacción química de contaminantes en la atmósfera.

- Implementación de los procesos de deposición seca y húmeda.

- Desarrollo de aplicaciones informáticas que faciliten el uso al usuario medio para el desarrollo de una herramienta operativa, útil en la modelización del transporte de emisiones a pequeña escala.

- Desarrollar posibles aplicaciones en casos reales de centrales térmicas o plantas industriales con estaciones de medida de contaminantes y valores atmosféricos situadas en las propias plantas emisoras de contaminación y en su entorno cercano, que permitan ajustar los modelos propuestos en esta Tesis, a casos reales.

VIII. Referencias

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VIII. Referencias

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VIII. Apéndices

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APÉNDICES

APÉNDICE I. MODELOS NUMÉRICOS DE PREDICCIÓN METEOROLÓGICA.

APÉNDICE II. MÉTODOS NUMÉRICOS EMPLEADOS EN LA RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE TRANSPORTE ADVECTIVO INCLUIDOS EN EL MÓDULO DE TRANSPORTE DEL MODELO CHIMERE.

APÉNDICE III. ESTRUCTURA DEL PROGRAMA TWO_STEP PARA LA

RESOLUCIÓN DE LA QUÍMICA DEL OZONO TROPOSFÉRICO.

VIII. Apéndices

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APÉNDICE I. MODELOS NUMÉRICOS DE PREDICCIÓN METEOROLÓGICA.

AI.1.- INTRODUCCIÓN.

Los modelos meteorológicos son ecuaciones matemáticas que permiten la obtención de campos meteorológicos (por ejemplo, viento, temperatura) en toda la región modelada. Además, pueden proporcionar valores de otras variables meteorológicas más complejas, que el modelo estima a partir de distintas ecuaciones y parametrizaciones.

Para efectuar los cálculos, los modelos necesitan cierta información de entrada que variará en función del tipo de modelo (por ejemplo, topografía, usos del suelo; observaciones de viento de modelos de diagnóstico). Entre los resultados (variables de salida) de los modelos meteorológicos se encuentran, normalmente, el campo de vientos, la temperatura, la altura de la capa de mezcla, el ritmo de precipitación, así como información sobre otras variables. Este tipo de información resulta de gran importancia para la aplicación de modelos de dispersión de contaminantes. Por ejemplo, el carácter de los vientos va a determinar el grado de dispersión de los contaminantes, transportándolos en mayor o menor medida. La altura de capa de mezcla, a su vez, va a condicionar la dispersión vertical (mezcla vertical), ya que representa la altura hasta la cual se produce la mezcla vertical de los contaminantes, y el ritmo de precipitación estará relacionado, por ejemplo, con cierto tipo de procesos de eliminación de material de la atmósfera (procesos de depósito húmedo).

AI.2 BASES MATEMÁTICAS DE LA PREDICCIÓN METEOROLÓGI CA. MATEMÁTICAS DE LOS FLUIDOS

La predicción del tiempo se basa en modelos de dinámica de fluidos formados por ecuaciones en derivadas parciales no lineales, que en su forma general son muy complicados y tienen una gran dificultad matemática. Debido a esta dificultad en la resolución analítica se hace uso del cálculo de aproximaciones mediante el empleo de métodos numéricos para la resolución de este conjunto de ecuaciones en derivadas parciales (EDP).

Uno de los grandes capítulos de la mecánica de fluidos es el desarrollo y resolución de modelos matemáticos de la dinámica atmosférica, con el fin de predecir el tiempo, la ocurrencia de fenómenos meteorológicos adversos y el clima.

VIII. Apéndices

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AI.2.1 Principios físicos y ecuaciones de la dinámica atmo sférica.

Las ecuaciones que modelizan la evolución de la atmósfera son la expresión matemática de principios generales de la física, de la mecánica de fluidos, aplicados a una muy pequeña parcela de aire que se sigue en su movimiento.

En 1904, el científico noruego Vilhelm Bjerknes definió por primera vez que la predicción del tiempo es un problema matemático y enunció las siete ecuaciones en derivadas parciales con siete funciones incógnitas (las tres componentes de la velocidad del viento, la presión, la densidad, la temperatura y la humedad específica) que gobiernan la dinámica atmosférica. A estas funciones incógnitas se las denomina variables meteorológicas.

Los principios físicos de los que parten las 7 ecuaciones son:

- La segunda ley de Newton para la definición de la aceleración de la masa de aire a estudio.

- La ley de Conservación de la masa, que indica cómo evolucionará la cantidad de materia que compone la masa de aire durante su movimiento.

- La Ley de gases ideales que relaciona la presión y la temperatura de los gases componentes de la masa de aire en movimiento.

- El Principio de Conservación de la Energía aplicado a la masa de aire. - La descripción de la variación del vapor de agua de la masa de aire.

El primero de los principios es la segunda ley de Newton, que dice que “la fuerza es igual a la masa por la aceleración”. Así, en un sistema de referencia inercial, la aceleración absoluta de una parcela de aire es igual a la fuerza que se ejerce sobre la parcela dividida por su masa:

a ad v F

dt m= (A1.1)

En un sistema de referencia con origen en el centro de la Tierra y que gira con ella, la velocidad absoluta de la parcela es la suma de la velocidad relativa v de la parcela con respecto al sistema de referencia y de la velocidad debida al giro de la Tierra. Esto hace que en los sistemas rotatorios haya dos fuerzas aparentes: La fuerza de Coriolis y la fuerza centrífuga. Las fuerzas reales que actúan sobre la parcela de aire son tres: el empuje debido a las diferencias de presión, la fuerza gravitatoria y la fuerza de rozamiento de la parcela del aire con el resto de la atmósfera. Así, vista desde la Tierra, la segunda ley de Newton se escribe:

12 r

dvp g v F

dt ρ= − ∇ + − Ω + (A1.2)

VIII. Apéndices

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Donde p es la presión en la parcela de aire, ρ la densidad de la parcela y Ω

la velocidad angular de la rotación terrestre. En esta ecuación, el primer miembro es la aceleración de la parcela respecto al sistema de referencia que gira con la Tierra y el segundo contiene las fuerzas por unidad de masa: el primer término es la fuerza gradiente de presión, el segundo la aceleración gravitatoria aparente g , que agrupa la aceleración gravitatoria real y la

centríguga, 2 v− Ω es la aceleración de Coriolis y rF la fuerza de rozamiento

de la parcela del aire con el resto de la atmósfera. Esta es una ecuación vectorial que tiene tres componentes, tres ecuaciones escalares.

El segundo principio general es la Ley de Conservación de la Masa, que afirma que cuando se sigue una parcela de aire en su movimiento, la masa de la parcela se conserva. Esta ley se traduce en la ecuación de continuidad:

v vt

ρ ρ ρ∂ + ∇ = − ∇∂

(A1.3)

El siguiente principio, la ecuación de los gases ideales, nos dice que cuando la densidad de un gas es pequeña, el producto de la presión por el volumen es prácticamente proporcional a la temperatura, o de forma más precisa, un gas se dice perfecto si la presión es directamente proporcional al producto de la densidad por la temperatura. Suponiendo que la atmósfera se comporta como un gas perfecto entonces se cumple la siguiente relación:

p R Tρ= (A1.4)

donde R es la constante de los gases y T la temperatura de la parcela de aire.

El Principio de Conservación de la Energía aplicado a una parcela de aire afirma que el calor suministrado a una parcela de aire se utiliza para aumentar su energía interna, su temperatura o para producir trabajo de dilatación. La ecuación que recoge este principio es:

v

dT dC Q

dt dt

αρ+ = (A1.5)

Donde vC , es el calor específico del aire a volumen constante, 1αρ

= el

volumen específico, y Q la tasa de calor por unidad de masa emitida

(absorbida) debido a la condensación (evaporación), congelación (fundición), calentamiento solar y calentamiento infrarrojo.

Para terminar, la variación del vapor del agua q por unidad de masa contenido en una parcela de aire es igual a los aportes de vapor de agua debidos a la evaporación ( E ), menos las pérdidas debidas a la condensación (C ):

VIII. Apéndices

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dqE C

dt= − (A1.6)

Estas siete ecuaciones están escritas en un sistema de referencia cartesiano de origen el centro de la Tierra y que gira con ella. Ahora bien, como la Tierra y la atmósfera que la rodea son aproximadamente una esfera, es natural utilizar como coordenadas de la posición de la parcela de aire la longitud, la latitud y la altitud z sobre la superficie de la Tierra. Transformando las ecuaciones a estas coordenadas se obtiene el modelo básico de la dinámica atmosférica.

AI.2.2 LAS ECUACIONES METEOROLOGICAS DEL MOVIMIENTO

Las ecuaciones del movimiento de los fluidos definidas previamente solo son válidas para un sistema de coordenadas inercial. Ahora bien, en meteorología se utilizan como referencia sistemas ligados a la superficie de la Tierra. Esto supone dos alteraciones en las ecuaciones, las debidas a la rotación terrestre (fuerza de Coriolis) y las debidas a la forma esférica de la Tierra. Se tiene por tanto que modificar esas ecuaciones para escribirlas en las nuevas coordenadas.

Sea (x,y,z) un sistema de coordenadas cartesianas que está fijado a la superficie terrestre. La coordenada x es la distancia sobre el paralelo terrestre (hacia el este x es positivo), la coordenada y es la distancia sobre el meridiano (hacia el norte y es positiva) y la coordenada z es la altura sobre la superficie terrestre.

Designaremos por u la componente del viento en la dirección de x, por v la componente de la dirección de y; y por w la componente en la dirección de z.

Escribiendo las ecuaciones en estas nuevas variables y haciendo un análisis del orden de magnitud de los distintos términos de las ecuaciones de forma que se eliminen los términos de menor influencia atendiendo a la escala de los fenómenos meteorológicos que se quieran tratar; para las latitudes medias del hemisferio norte y escala sinóptica se obtiene así el sistema simplificado:

1rx

u u u u pu v w fv f

t x y z xρ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + = − + +∂ ∂ ∂ ∂ ∂

(A1.7)

1ry

v v v v pu v w fu f

t x y z yρ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + = − − +∂ ∂ ∂ ∂ ∂

(A1.8)

VIII. Apéndices

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1rz

w w w w pu v w fv f

t x y z zρ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + = − − +∂ ∂ ∂ ∂ ∂

(A1.9)

pg

zρ∂ = −

∂ (A1.10)

p RTρ= (A1.11)

u v wu v w

t x y z x y z

ρ ρ ρ ρ ρ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + = − + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (A1.12)

p

T T T T RTC u v w u v w Q

t x y z p t x y z

ρ ρ ρ ρ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + = + + + = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (A1.13)

'q q q q

u v w Qt x y z

∂ ∂ ∂ ∂+ + + =∂ ∂ ∂ ∂ (A1.14)

El término 2= Ωf senϕ en las ecuaciones (A1.6), (A1.7), (A1.8), donde Ω

corresponde a la velocidad de rotación de la Tierra y φ la latitud, se denomina parámetro de Coriolis, en honor del matemático francés Gaspard Gustav de Coriolis (1792-1843).

Notemos que la ecuación (A1.8) es la Ecuación Hidrostática, que expresa la variación de la presión con la altura. Hay que resaltar que la simplificación hidrostática permite filtrar las ondas acústicas, que sin embargo son solución de las ecuaciones generales.

Básicamente, éste es el sistema propuesto por V. Bjerknes a principios del siglo XX y que intentó resolver L.F. Richardson a finales de los años 1910.

Las ecuaciones en derivadas parciales anteriores son una variante de las denominadas ecuaciones de Navier-Stokes y como para éstas, solo se han hallado soluciones analíticas (expresiones matemáticas explícitas) en unos pocos casos particulares. La dificultad esencial reside en las no linealidades, en concreto en la presencia de términos del tipo:

u v wx y z

∂ ∂ ∂+ +∂ ∂ ∂ (A1.15)

denominados términos advectivos. Como ya se ha comentado anteriormente, para resolverlas es necesario utilizar aproximaciones numéricas ejecutadas con un ordenador.

VIII. Apéndices

252/271

AI.3 RESOLUCIÓN NUMÉRICA

Las ecuaciones anteriores conforman un sistema de ecuaciones en derivadas parciales que modelizan el comportamiento de una masa de aire en la atmósfera. Para su resolución es necesario definir las condiciones iniciales y las condiciones de contorno, es decir, los valores de las variables en la frontera del dominio espacial de resolución. Debido al carácter no lineal de las ecuaciones el sistema con las correspondientes ecuaciones iniciales y de contorno, no se puede resolver obteniendo una solución analítica. Su resolución solo se puede abordar con métodos numéricos, convirtiendo el problema continuo en uno discreto, para luego resolverlo en un ordenador y obtener así valores aproximados de las variables meteorológicas.

Las ideas directrices de la resolución numérica de estas ecuaciones se pueden resumir en las siguientes:

1. Discretización del espacio. Se divide la atmósfera en cajas y se considera que en cada una de las cajas las variables meteorológicas son homogéneas, que valen lo mismo). Según los modelos y los plazos de las predicciones, las dimensiones horizontales de estas cajas pueden ir desde diez a unas pocas centenas de kilómetros y el número de niveles de altura desde unos veinte hasta sesenta.

2. Discretización de las ecuaciones. Una vez discretizada la atmósfera, se tienen que adaptar las ecuaciones a esta atmósfera con un número finito de componentes. Para fijar las ideas consideremos la ecuación (A1.5) de la humedad específica de vapor de agua en forma desarrollada:

q q q

u v w E Ct x y z

ρ∂ ∂ ∂ ∂= − − − + −∂ ∂ ∂ ∂ (A1.16)

Donde u, v, y w son las tres componentes de la velocidad de la parcela de aire. Supongamos conocidos los valores de las distintas variables en las cajas en que se ha dividido la atmósfera, en el instante t. Discretizando las derivadas espaciales de q mediante fórmulas del tipo (diferencias finitas):

VIII. Apéndices

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1, , 1, ,

, ,

( )2

i j k i j k

i j k t

q qt

x x

ρ + −− ∂ ≅ ∂ ∆ (A1.17)

Donde qi,j,k es el valor de q en el instante t en la caja con centro de coordenadas (i,j,k) y ∆x la dimensión de las cajas en la dirección de la variable x, se obienen valores aproximados de esas derivadas en las cajas atmosféricas. Con estos valores de la ecuación (6) se obtienen

valores aproximados de ( )

dqt

dt en las cajas atmosféricas en el instante t. De la discretización de la deriva temporal de q:

( ) ( )( )

q q t t q tt

t t

∂ + ∆ −≅∂ ∆ (A1.18)

O lo que es lo mismo de:

, , , ,, ,

( ) ( ) ( )i j k i j ki j k

qq t t q t t t

t

∂ + ∆ ≅ + ∆ ∂ (A1.19)

Donde ∆t es un paso de tiempo, se obtienen valores aproximados de q en las cajas en el instante posterior t + ∆t y repitiendo sucesivamente el proceso descrito, mediante un número finito de operaciones se puede avanzar paso a paso hasta obtener valores aproximados de las variables en el instante deseado. Cuanto más pequeñas sean las cajas atmosféricas y menor el paso de tiempo, el coste de la resolución es mayor, pero cabe esperar que la aproximación será mejor.

3. Asimilación de datos. Para arrancar el proceso de resolución se necesita conocer el estado de la atmósfera en un instante inicial de partida, más exactamente el valor de las magnitudes meteorológicas en todas las cajas en t = 0. Para determinar esos valores se parte de los datos proporcionados por una extensa red de recogida de datos meteorológicos “in situ” sobre la superficie terrestre y en capas altas de la atmósfera (observatorios,

VIII. Apéndices

254/271

estaciones automáticas en tierra, boyas marinas, barcos mercantes, globos sonda, aviones comerciales…) y por aparatos de teledetección, como son los satélites meteorológicos geoestacionarios, los polares y los radares meteorológicos. Las estaciones meteorológicas no están igualmente distribuidas por toda la superficie terrestre ni por toda la atmósfera, de unas zonas geográficas se tienen muchos más datos que de otras y hay pocos datos en altura. En lo que respecta a los satélites polares, barren continuamente la Tierra y sus medidas no se obtienen simultáneamente en todos los puntos. Con toda esta gran cantidad de datos, mal distribuidos, hay que construir el estado inicial de las variables meteorológicas en todas las cajas atmosféricas. Además, todas las variables meteorológicas tienen que estar relacionadas entre sí, ya que conforman un estado instantáneo de la atmósfera. El proceso de pasar de los datos observados a las condiciones iniciales se denomina “asimilación de datos”. Actualmente los modelos meteorológicos operativos más avanzados lo hacen resolviendo un problema matemático de optimización dinámica denominado Asimilación Variacional 4D-VAR. La idea subyacente de este método consiste en fijar un intervalo temporal precedente, por ejemplo doce horas, y hallar las condiciones iniciales en todas las cajas atmosféricas minimizando la diferencia entre el valor real de las condiciones iniciales y los resultados obtenidos con este modelo para ese intervalo de tiempo inicial.

4. Condiciones de contorno. Si no se fijan condiciones de contorno, es decir, valores de las variables meteorológicas en la frontera del dominio de resolución, el problema sigue sin ser resoluble. En los modelos globales para toda la atmósfera, el dominio de integración está formado por las superficies inferior y superior de la atmósfera. En esos casos, hay algoritmos que resuelven las distintas ecuaciones de forma sucesiva y las condiciones de contorno no presentan especiales dificultades. En los modelos regionales, en los que el dominio de integración está limitado lateralmente, una opción ampliamente utilizada consiste en tomar como condiciones de contorno los valores obtenidos de la resolución de un modelo global. Se dice entonces que el modelo regional está anidado en el global.

5. Parametrizaciones físicas. Toda discretización, sea del tipo que sea y por muy alta que sea su resolución espacial, por muy pequeñas que sean las cajas atmosféricas,

VIII. Apéndices

255/271

tiene una limitación derivada de la existencia de fenómenos atmosféricos de “pequeña” escala que no pueden ser resueltos explícitamente por el modelo discreto. Se incluyen aquí desde movimientos turbulentos con escalas que varían entre unos pocos centímetros y las dimensiones horizontales de las cajas atmosféricas, hasta procesos que ocurren a escala molecular como son la condensación, la evaporación, el rozamiento y la radiación. Todos estos procesos que no pueden ser resueltos explícitamente por el modelo numérico, que no son recogidos por el modelo, los denominaremos procesos de escala subcaja, en contraposición con los fenómenos de escala resoluble por el modelo. Por ejemplo, durante el día el calentamiento solar de la superficie terrestre no sólo calienta el suelo, sino que también hace que las plantas transpiren y que la humedad del suelo se evapore, teniéndose así un transporte de vapor de agua a la atmósfera. También, este calentamiento de la superficie de la Tierra da lugar a un movimiento atmosférico turbulento sobre todo en sentido vertical, que tiene una escala horizontal comprendida entre unos centímetros y unos pocos cientos de metros. Cuando el tamaño horizontal de las cajas está entre diez y cien kilómetros, los modelos discretos no pueden resolver estos movimientos. Los procesos que tienen escalas pequeñas dependen y afectan a los procesos de escala más grande y a los procesos que son resueltos explícitamente por los modelos numéricos. Por ejemplo, la condensación de vapor de agua, de escala subcaja, ocurre cuando la humedad de la escala del modelo es suficientemente grande y, en sentido inverso, la condensación libera calor latente que eleva la temperatura de la escala resoluble del modelo. Por todo esto, si se ignora el efecto de los procesos subcaja en los campos de escala resoluble, el modelo deja de ser realista en un plazo de tiempo muy corto y se produce una degradación de la calidad de la predicción. Para recoger la interacción entre los fenómenos de escala subcaja y los de escala resoluble, los de escala subcaja se tienen que parametrizar, es decir, sus efectos se tienen que formular en términos de las escalas resolubles, lo que constituye la denominada parte física de los modelos.

6. Modelos numéricos operativos de predicción del tiempo. Para la predicción del tiempo a medio plazo, entre dos y diez días, se utilizan modelos numéricos globales de toda la atmósfera. Uno de los modelos más desarrollados es el del European Center for Medium-Range Forecast (ECMWF). Actualmente la resolución horizontal del modelo es de 40 km y tiene 60 niveles de altura. Cuando se quieren

VIII. Apéndices

256/271

hacer predicciones para un horizonte de hasta dos o tres días, por ejemplo para España, se utilizan modelos regionales, que tienen mayor resolución que los globales. El modelo regional HIRLAM (High Resolution Limited Area Model) del Instituto Nacional de Meteorología (INM) tiene como dominio un cuadrado centrado en España de unos 5000km de lado, con una resolución espacial de 17 km y 40 niveles de altura. Las condiciones de contorno laterales se obtienen de la solución del modelo global proporcionadas por el ECMWF. La Agencia Estatal de Meteorología (AEMET) también integra una versión con una resolución horizontal de 5 km anidada a la anterior, con la que realiza predicciones de hasta 24 horas. El resultado de los modelos de predicción numérica está compuesto por los valores de las variables meteorológicas en las cajas en que hemos dividido la atmósfera. A partir de esos valores se realiza lo que se denomina “postproceso del modelo”, que básicamente consiste en representar en mapas geográficos bidimensionales los campos meteorológicos solución del modelo para que puedan ser utilizados por los “hombres del tiempo” para elaborar sus predicciones.

VIII. Apéndices

257/271

APÉNDICE II. MÉTODOS NUMÉRICOS EMPLEADOS EN LA RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE ADVECCIÓN INCLUIDOS EN EL MÓDULO DE TRANSPORTE DEL MODELO CHIMERE.

AII.1. Método Upwind o Godunov

El método de Godunov, también conocido como método Upwind emplea una función constante de valor ia , representada en una malla genérica en el

intervalo 1 2 1 2,i ix x− + teniendo en cuenta el sentido de la velocidad, de manera

que el valor de la función interpoladora toma los valores:

1

0

0

( ) si

( ) si i i

i i

F x a u

F x a u−

= >= >

para 1 2 1 2,i ix x x− + ∈ (A2.1)

donde ai es el valor de la función, donde los valores iniciales son conocidos

1 2 1 2( ) ni i i iF x f a− −= =

(A2.2)

Para el caso de un flujo con valor de la velocidad del viento u>0, el flujo se calcula según

( )( )

1 2 1 2 1 2

1 2 1 21 2 1 2 1 2 1 2

1 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 1( ) ( )

i i i

nn ni ii i i i

x x xn ii i

x u tx u t x u t

n n ni ii i i i i i

ag F x dx a dx x

t t t

a ax x u t u t u a

t t

+ + +

+ ++ + + +

+− ∆− ∆ − ∆

+ + + + +

= = = =∆ ∆ ∆

= − − ∆ = ∆ =∆ ∆

∫ ∫

(A2.3) Donde el superíndice corresponde al valor del tiempo.

El valor del flujo, por tanto, se puede calcular para el método de Godunov original como el valor medio de la integral de la función en cada celda como

1 1

2 21

2 1 1 1

2 2 2

0

0

, si

, si

n n ni

i i

n n ni

i i i

u u

gu u

ρρρρ

ρρρρ

+ +

++ + +

>

= <

(A2.4)

AII.2. Método VanLeer o MUSCL

El método de VanLeer, conocido como MUSCL (derivado de sus siglas en inglés de “Monotocnic Upstream-Centered Scheme”) se calcula según la ley de Conservación, haciendo uso de la técnica minmod, que usa una función lineal cuya expresión en un mallado genérico en el intervalo definido entre

1 2 1 2,i ix x− + para un valor de la velocidad u < 0 es

( )1 2( )i i i iF x a b x x −= + − para 1 2 1 2,i ix x x− + ∈ (A2.5)

VIII. Apéndices

258/271

donde ia , y ib son los coeficientes de la función interpoladora.

ia se calcula a partir del valor en el momento inicial para cada celda mediante

( )

( )

1 2 1 2

1 2 1 1 2

1

0

0

si

si

n ni i i i

ni i

n ni i i i

ni i

F x f u

a f

F x f u

a f

− +

− + +

+

= ≥

=

= ≤

=

(A2.6)

Para calcular el valor de la pendiente de la función interpoladora, ib , es necesario definir un limitador de la pendiente que asuma una relación óptima entre la función interpoladora y la función original teniendo en cuenta un comportamiento de crecimiento monótono. Una buena aproximación de este limitador se facilita en B. van Leer (Van Leer, 1979), como

( )( )

1 1 2 3 2

1 2 1 2 3 2

0

0

minmod

i i i ini

i i i i

f f if f fb

f f if f f

δ δδ δδ δδ δ

δ δδ δδ δδ δ− − −

− − − −

− − >= = − − < (A2.7)

donde ( )1i i if f fδδδδ −= −

la formulación del flujo vendría dada por

( )( )

1 2 1 2 1 2

1

2 1 2 1 1 2 1 2

1

2

1 0

1 0

Caso Monótono

si

si

Caso no Monótono

n n n n ni i i i i in

n n n n nii i i i i i

n ni

i

u CFL u x b ug

u CFL u x b u

g

ρρρρ

ρρρρ

ρρρρ

+ + +

++ + + +

+

+ − ∆ ≥= + − ∆ <

= (A2.8)

Donde CFL corresponde a la expresión del número de Courant, necesario para determinar las condiciones de estabilidad del método. Se calcula según

ni

i

u tCFL

x

∆=

∆

(A2.9)

Para conocer el comportamiento monótono de la función se necesita conocer el valor de la integral en tres puntos ( )2 1, ,i i iρ ρ ρρ ρ ρρ ρ ρρ ρ ρ− − .

VIII. Apéndices

259/271

AII.3. Piecewise Parabolic Method (PPM)

El método PPM (en sus siglas en inglés, “The Piecewise Parabolic Method”)(Colella & Woodward, 1984) emplea una función interpoladora parabólica, definida en una malla genérica con límites 1 2 1 2,i ix x− + para un

valor de la velocidad u<0 como

( ) ( )1i i i i i i iF x a b X c X X= + + − para 1 2 1 2,i ix x x− + ∈ (A2.10)

donde

( )1 2

1i i

i

X x xx −= −

∆

, i ia b y ic son los coeficientes de la función interpoladora que se obtienen al

fijar condiciones restrictivas que vienen dadas en cada celda por

( )( )

1 2

1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

1( )

i

i

ni i i

ni i i

x

ni i

i x

F x f

F x f

F x dxx

ρρρρ+

−

− −

+ +

=

=

=∆ ∫

(A2.11)

donde 1 2 1 2i i ix x x+ −∆ = −

De esta manera la expresión de los coeficientes , i ia b y ic vienen dados por

( )( ) ( )

( ) ( )( )

1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

16

2

i i i

i i i i i

i i i i i i

a F x

b F x F x

c f F x F x

−

+ −

− +

=

= −

= − +

(A2.12)

Este método, al utilizar una función interpoladora de alto orden produce errores provocados por las oscilaciones propias del uso de una función de alto orden para resolver numéricamente las ecuaciones. Para evitar este efecto se introduce una modificación de la pendiente utilizada en el método PPM. Para el caso a estudio se emplea el modificador presentado por Colella y Woodward (Colella & Woodward, 1984) para obtener el valor de la función en la interfase de cada celda.

( ) ( )1 2 1 1

1 1

2 6n n n n n

i i i i if f fρ ρ δ δρ ρ δ δρ ρ δ δρ ρ δ δ+ + −= + − − (A2.13)

donde nifδδδδ es la media de la pendiente en la celda definida en 1 2 1 2,i ix x− +

como

VIII. Apéndices

260/271

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

1 1 2 1 1

1 1 2 1 1

2 0

2 0

min , , ,

max , , ,

i i i i i i i

i

i i i i i i i

f sif

f si

δ α ρ ρ α ρ ρ ρ ρδ α ρ ρ α ρ ρ ρ ρδ α ρ ρ α ρ ρ ρ ρδ α ρ ρ α ρ ρ ρ ρδδδδ

δ α ρ ρ α ρ ρ ρ ρδ α ρ ρ α ρ ρ ρ ρδ α ρ ρ α ρ ρ ρ ρδ α ρ ρ α ρ ρ ρ ρ+ − +

+ − +

− − − >= − − − <

(A2.14)

donde ( )1 1 4i i ifδ ρ ρδ ρ ρδ ρ ρδ ρ ρ+ −= − . Los valores positivos 1αααα y 2αααα son parámetros que

controlan la media de la pendiente y controlan el error por dispersión de la solución numérica. Para el método PPM usado en el modelo CHIMERE

1 2 1α αα αα αα α= = (Institute Pierre-Simon Laplace (C.N.R.S.) & INERIS, 2007). Para asegurar unas buenas propiedades en la formulación de la función es necesario determinar la monotonicidad parabólica en cada celda. Una vez asegurado, un segundo algoritmo corrector se emplea para asumir esta monotonicidad. El cálculo del flujo viene dado por:

( )

( )

1 21 2 1 2 1 2

1

21 2

1 2 1 1 2 1 1 1 21

1 21 0

2 3

1 21 0

2 3

nin n

i i i i i ii

n

i nin n

i i i i i ii

u tu F x CFL a c si u

xg

u tu F x CFL a c si u

x

++ + +

++

+ + + + + ++

∆ − ∆ − − ≥ ∆ =

∆ − ∆ − + < ∆

(A2.15)

donde 1 2ni

i

uCFL

x+=

∆

VIII. Apéndices

261/271

APÉNDICE 3. ESTRUCTURA DEL PROGRAMA TWO_STEP PARA L A

RESOLUCIÓN DE LA QUÍMICA DEL OZONO TROPOSFÉRICO.

A3.1 ESTRUCTURA

El programa está compuesto de un cuerpo principal y de varias subrutinas que

se encargan de ejecutar diferentes tareas para la correcta resolución del

sistema concreto de ecuaciones diferenciales de la cinética química

atmosférica del ozono.

A3.1.1 Programa Principal

El programa principal tiene como objetivo primordial la declaración de las

variables y parámetros que intervienen en el proceso para su posterior

utilización según avanzan los cálculos y son requeridos. Otro objetivo consiste

en la resolución adecuada por el método multipaso BDF de grado 2 y que

también tiene importancia en el cálculo de la constante cinética de

fotodisociación del NO2 debido a que varía con el transcurso del intervalo

temporal evaluado. También calcula el tiempo para escribir los valores cada 2

horas.

A3.1.2 Subrutina de iniciación: TWOSTEP

Esta subrutina principalmente se encarga del proceso llamar a otras subrutinas

y suministrar las variables y parámetros que necesitan. También comienza la

resolución del sistema de ecuaciones mediante asignación de los parámetros

que intervienen en el método numérico y el cálculo de variables relacionadas

con el propio método numérico y el cálculo del tamaño de paso a partir de las

definidas en el programa principal.

Otra función importante que se realiza en esta subrutina supone la

comprobación del indicador del error local diseñado específicamente para el

cálculo del tamaño de paso y proceder a la aceptación del tamaño de paso

calculado o, en caso de no ser válido, volver a calcular haciéndolo más

pequeño.

VIII. Apéndices

262/271

A3.1.3 Subrutina de cálculo del nuevo tamaño de pas o: NEWDT

Esta subrutina tiene como tarea fundamental calcular el nuevo tamaño de paso

a aplicar en la resolución del sistema. Para decidir si debe ser variado el

tamaño de paso o no, se procede al cálculo del indicador de error local

mediante la expresión:

!"# = |%& ' (!"# ) %& * 1+ ' (! * (!#+/%-./0 * 1./0 ' |(0|+|

(A3.1)

siendo & 23434563476348

(A3.2)

Una vez calculado el error local se estima el nuevo tamaño de paso que

posteriormente será utilizado para calcular las siguientes soluciones de las

ecuaciones diferenciales.

A3.1.4 Subrutina del ajuste del tamaño de paso: FIT

El objetivo fundamental de esta tarea es ajustar el tamaño de paso para

garantizar que el resto del intervalo de integración es un múltiplo entero de la

amplitud del tamaño de paso actual. El ajuste se realiza cuando el intervalo es

menor que 10. Este ajuste puede inducir a un tamaño de paso más pequeño

que el límite inferior para diez pasos de integración.

Con esto se asegura que el programa calcule los datos en los momentos de

intervalo que son importantes para el seguimiento del proceso así como

permanecer dentro del intervalo que interesa para evitar la redundancia y para

evitar problemas de convergencia en métodos numéricos. En este caso, las

horas en las que se pretende obtener la solución para poder mostrar los

resultados en el periodo deseado y conseguir un apropiado tratamiento de los

datos.

A3.1.5 Subrutina del cálculo cinético y resolución por Gauss-Seidel: ITER

Esta parte del programa está compuesta de dos objetivos principales que

serán:

VIII. Apéndices

263/271

- Calcular los parámetros químicos necesarios para modelizar las

ecuaciones diferenciales como son las constantes cinéticas de las reacciones

inmersas y los términos de producción y pérdida de las mismas.

- Resolver el sistema de ecuaciones diferenciales por Gauss-Seidel.

En primer lugar, en esta subrutina, se fijan las constantes cinéticas de las dos

reacciones en las que permanecen fijas y se crea un bucle para calcular la

constante de fotólisis del NO2 debido a su variabilidad respecto del tiempo,

dependiendo, concretamente, si se trata de día o de noche.

Después, se construyen los términos de producción y consumo de las especies

químicas que componen el modelo y conocidos estos parámetros se resuelve

por Gauss-Seidel la expresión del método BDF2 de paso variable.

A3.1.6 Variables y parámetros definidos en el progr ama

Se definen las variables principales que se utilizan en todo el programa. El

primer paso realizado por el programa será llevar a cabo la declaración de las

variables principales utilizadas a lo largo del mismo:

- Las iteraciones que se desean para la resolución por Gauss-Seidel.

- El tiempo inicial en segundos y otras variables creadas para el

cálculo necesario a realizar en base horaria.

- Contadores para aceptar o rechazar el cálculo del nuevo tamaño de

paso generado.

- Vectores que se utilizan de manera auxiliar en las aplicaciones, tanto

de Gauss-Seidel como BDF2.

- Las tolerancias, absoluta y relativa, para obtener la solución con el

error deseado para cada una de las especies química que son

calculadas y que, en este caso, son 4.

- Vectores que se utilizan para albergar las soluciones para los pasos

que se necesitan en la aplicación del método numérico y son 3, el

anterior, el actual y el posterior.

VIII. Apéndices

264/271

- Los términos de producción y pérdida definidos para ecuación

diferencial.

A continuación, y después de haber declarado las variables a utilizar en el

programa se define el cuerpo del programa en sí. En primer lugar, se estructura

la apertura de 3 archivos de salida una vez que se ejecuta el programa:

- Salida.dat: Este archivo constituye la salida principal del programa y

ofrece datos de tipo temporal y de concentración. Después escribir la

cabecera donde se detallan las variables generadas, aparecen el

tiempo, reflejado en horas, y las concentraciones de las especies de

estudio en el siguiente orden: O(3P), NO, NO2 y O3.

- R.dat: La estructura es la misma que en el archivo anterior pero la

diferencia es que se ha procedido a eliminar la cabecera de los datos

para así poder realizar el tratamiento de los datos en el programa R

para obtener perfiles de concentración temporales en el intervalo que

interesa estudiar.

- ControlK1.dat: Es un archivo en el que se definen todos los

parámetros auxiliares para el cálculo de la constante cinética de la

reacción correspondiente a la fotodisociación del NO2.

Después se introducen los valores de concentración inicial de las especies que

comportan el sistema que son:

y(1) = concentración de oxígeno atómico (O·).

y(2) = concentración de óxido de nitrógeno (NO).

y(3) = concentración de dióxido de nitrógeno (NO2).

y(4) = concentración de ozono (O3).

El problema consiste en calcular la evolución en el tiempo de los valores de

concentración de las especies que comportan el sistema. El tiempo de

evaluación elegido es desde las 04:00 horas del día 1 de simulación hasta las

VIII. Apéndices

265/271

20:00 horas del día 5 de la simulación. En segundos equivale a comenzar en

14400 y terminar en 564000.

El siguiente paso corresponde a fijar el tiempo inicial del sistema. Este tiempo

que se ha elegido corresponde a las 04:00 horas, lo que en segundos son

14400. Esto se ha definido de esta manera porque la constante

correspondiente a la fotodisociación del NO2 varía en función de la radiación

solar y presenta un comportamiento cíclico a lo largo del día.

Otro parámetro que se establece son los límites del tamaño de paso. Se fija el

mínimo en 1 segundo por razones de eficiencia de cálculo mientras que el

máximo se estipula en 900 segundos para evitar que los cálculos de los

términos químicos puedan degradarse.

Sobre las tolerancias cabe decir que influirán de forma decisiva en el grado de

error de la solución final y, concretamente, en la calidad de la solución

aproximada por el método numérico. Por ello, se han definido las tolerancias

relativas con un valor de 10-3 para cada una de las especies que intervienen en

la cinética química y las tolerancias absolutas se han fijado en 10-1 asimismo

para cada una de las especies químicas para el caso inicial.

Con todas estas variables y parámetros definidos al principio del programa se

llamará a la primera subrutina que se denomina TWOSTEP. Esta subrutina

comienza con la declaración de unos contadores a cero que contabilizarán los

diferentes procesos que se llevan a cabo por la subrutina. Están relacionados

con las iteraciones del método de resolución y con el tamaño de paso, en

función de la tolerancia obtenida por el mismo o si simplemente se desean

tener un registro del número de veces que se acepta, se rechaza o se reinicia

un cálculo. Los contadores especificados y empleados se centran en diferentes

tareas y cada uno presenta función dentro del algoritmo.

VIII. Apéndices

266/271

Los contadores que intervienen en el proceso y han de definirse son:

- Un contador para el número de iteraciones del método de resolución

Gauss-Seidel.

- Dos contadores que tienen como misión contabilizar la cantidad de

números de tamaño de paso que son aceptados o rechazados al

emplear el método de cálculo del tamaño de paso.

- Un contador para el número de reinicios del cálculo del tamaño de

paso en función de la validez del mismo.

También es necesario para el funcionamiento ordenado del algoritmo, la

introducción de valores lógicos para realizar la toma de decisiones dentro del

programa. Serán la base del algoritmo y que supondrán puntos decisivos a la

hora de llevar a cabo la realización de tareas necesarias en la resolución del

sistema. Se introducen 3 valores de este tipo con 3 funciones claras:

- Para aceptar el tamaño de paso recalculado por el algoritmo

especificado o recalcular el mismo.

- Para proceder a la realización del tamaño de paso y comprobarlo.

- Para rechazar el tamaño de paso recalculado y comenzar los

cálculos hacia un disminución del mismo.

Otro de los parámetros importantes para en la implementación del código será

el término que interviene como denominador en la fórmula del cálculo del

indicador del error. Este término depende de las tolerancias definidas y también

del valor que alcance la solución en el instante actual.

También son calculados diferentes parámetros intermedios que son utilizados

en la resolución del sistema mediante Gauss-Seidel. Estos parámetros deben

ser recalculados en cada paso de tiempo puesto que son calculados a partir de

más de un paso temporal en base a los pasos temporales inmediatamente

anteriores.

VIII. Apéndices

267/271

A3.2. Diagrama de flujo del programa.

Parte Principal

TWOSTEP

ITER

Declaración de Variables

Apertura de Archivos de

Salida

Valores de [ ] Inicial

Nº iteraciones de Gauss-Seidel

Mín. y Máx. Δt

Tolerancia Absoluta y Relativa

Escritura de Cabecera

Valores iniciales: t y [ ]

Bucle de Integración cada 2 horas

Inicialización de contadores y valores lógicos

Cálculo de solución en t = 0. Yp e Yl

Asignación del Δt inicial

Disminución de Δt en caso de REINICIO

25

VIII. Apéndices

268/271

FIT

TWOSTEP

ITER

TWOSTEP

ITER

TWOSTEP

Ajuste Δt múltiplo de intervalo tomado

Inicializar yn+1, yn, yn-1 y vectores auxiliares

Cálculo de 1er

paso con EULER implícito en t = t+Δt

Yn = Yn+1

60 Cálculo de variables auxiliares para utilizar BDF2

Cálculo de 2do

paso con BDF2 en t = (t+Δt)+ Δt

tmin = tmax

NO SI

t = t + Δtn-1

Δtn ≠ Δtn-1

SI NO

VIII. Apéndices

269/271

NUEVODT

FIT

Recálculo del ratio temporal

t = t – Δtn-1 +Δtn

t ≥ tintervalo

NO SI

Cálculo del indicador del Error Local

||En+1

||≥ 1 & Δt > tmin

NO SI

Valor lógico aceptar= false

Valor lógico aceptar= true

Δtn-1 = Δt & t = t + Δtn-1

Cálculo Δt variable a partir del Error


Ir a 120 Ir a 60

anterior

w

nnuevo

Eττ

=

+1

8.0,0.2min,5.0max

( )nk

nkw

n WEE /max 11 ++ =

VIII. Apéndices

270/271

NUEVODT

FIT

Recálculo del ratio temporal

t = t – Δtn-1 +Δtn

t ≥ tintervalo

NO SI

Cálculo del indicador del Error Local

||En+1

||≥ 1 & Δt > tmin

NO SI

Valor lógico aceptar= false

Valor lógico aceptar= true

Δtn-1 = Δt & t = t + Δtn-1

Cálculo Δt variable a partir del Error


Ir a 120 Ir a 60

anterior

w

nnuevo

Eττ

=

+1

8.0,0.2min,5.0max

( )nk

nkw

n WEE /max 11 ++ =

VIII. Apéndices

271/271

Parte Principal

Valor lógico fallo = true

Reajuste de valores temporales para cálculo de constantes y tintervalo

Escritura de solución de archivos de salida para Δt

Fin de programa

120

Ir a 60

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