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Una introduccion a la medida e integral

de Lebesgue

(version preliminar)

Roberto Quezada BatallaDepartamento de Matematicas, UAM-I

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Introduccion

Estas notas son una breve introduccion a la teorıa de la medida e integralde Lebesgue, incluyen conceptos y resultados considerados clasicos y que todojoven matematico debe conocer.

Hemos hecho un intento serio por hacer accesible al lector los resultados masimportantes de la teorıa en toda su extension sin simplificarlos, discutiendolosde una manera completa y sin dejar huecos. Para entender el material de estasnotas solo se necesita un buen conocimieto del Calculo Diferencial e Integral,en la forma que se desarrolla en los cursos de Calculo Avanzado.

Nuestro objetivo principal es presentar aquellas partes de la teorıa que sonindispensables y encuentran aplicacion inmediata en otras areas, por ejemploen Probabilidad y en Fısica Matematica. Consecuentemente, otros temas comointegracion y diferenciacion, medidas en espacios abstractos, espacios Lp, seriesde Fourier, integral de Lebesgue-Stieltjes, tambien considerados clasicos, hanquedado fuera. Los lectores interesados en estos temas pueden estudiarlos enlos cursos mas avanzados de Analisis Matematico o bien pueden leerlos en lasreferencias incluidas al final de las notas.

El Capıtulo 1 contiene un breve repaso de la integral de Riemann, presentadade una manera tal que la integral de Lebesgue resulta ser una extension naturalde ella obtenida al reemplazar la clase de las funciones aproximantes, funcionesescalonadas, por la clase mas general de las funciones simples.

La medida de Lebesgue en la recta real se desarrolla en el Capıtulo 2, in-cluyendo la construccion de la σ-algebra de los subconjuntos Lebesgue-mediblesa partir de la condicion de Caratheodory, que interpretamos como una condicionde separabilidad; en la Proposicion 2.3.18 demostramos varias condiciones equiv-alentes a la de Caratheodory, las cuales permiten interpretar de manera intuitivael concepto de medibilidad.

La clase de las funciones medibles se trata en el Capıtulo 3, incluyendo losresultados sobre aproximacion por funciones continuas. La integral de Lebesguese trata en el Capıtulo 4, primero para funciones medibles y acotadas definidasen subconjuntos de medida finita, despues extendemos este concepto a la clase defunciones medibles no negativas y finalmente a la clase de las funciones mediblescon valores complejos.

Consideramos que esta es una version preliminar de las notas porque todavıarequieren ser completadas, por ejemplo en la parte de los ejercicios para elestudiante.

Capıtulo 1

La Integral de Riemann

Recordemos brevemente la construccion y algunas propiedades de la integral deRiemann en intervalos acotados de R.

Una particion P de [a, b] es una coleccion finitax0 = a < x1 < · · · < xn = b. La norma de P es ‖P‖ = max1≤j≤n |xj − xj−1|.

Sean P una particion de [a, b], f una funcion definida en [a, b] yξi ∈ [xi−1, xi], i = 1, . . . , n, una eleccion de puntos en [a, b]. Defınase

R(f,P, ξ) =n∑

i=1

f(ξi)|xi − xi−1|

A esta suma la llamaremos Suma de Riemann de f relativa a la particion Pde [a, b] y la eleccion ξ = ξ1, ξ2, . . . , ξn. Este nombre nos permitira recordarque para cada f esta suma depende de la particion P y de la eleccion ξ.

Definicion 1.0.1. (Riemann-integrabilidad).Una funcion f es Riemann integrable (R-integrable) si existe un numero realR tal que para cualquier ε > 0 ∃ δ > 0, tal que ∀P particion de [a, b] con‖P‖ < δ y toda eleccion ξ se tiene

|R(f,P, ξ)−R| < ε.

De manera breve:

(∀ε > 0) (∃δ > 0) (∀P) (∀ξ) [ ‖P‖ < δ ⇒ |R(f,P, ξ)−R| < ε ].

No es dificil demostrar que, en caso de existir, el numero R es unico: puessi existen dos R1 6= R2, digamos R2 > R1, que satisfacen la definicion anterior

entonces para ε <12(R2 −R1), ∃δ > 0 tal que ∀P y ∀ξ se tiene que si

‖P‖ < δ entonces |R(f,P, ξ)−R1| < ε y |R(f,P, ξ)−R2| < ε. Entoncesutilizando desigualdad del triangulo obtenemos que

|R1 −R2| ≤ 2ε,

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4 CAPITULO 1. LA INTEGRAL DE RIEMANN

lo cual es una contradiccion.

Al numero R lo denotaremos mediante el sımbolo

R−∫ b

a

f(x)dx = lim‖P‖→0

R(f,P, ξ).

Recuerdese que si f ≥ 0 entonces R− ∫ b

af(x)dx es el area bajo la grafica

de f en [a, b].La definicion que hemos dado para la integral de Riemann de una funcion,

no es constructiva. En lo que sigue describiremos un metodo constructivo quepermite calcular integrales de Riemann. Ademas este metodo nos servira comomotivacion para definir la integral de Lebesgue.

Definicion 1.0.2. (Funcion escalonada)Una funcion g definida en [a, b] es escalonada si existe una particion P de [a, b]tal que g es constante en cada subintervalo de P.

Como consecuencia inmediata de la definicion obtenemos que una funcionescalonada g toma solo un numero finito de valores. Pero la funcion de Dirichlet

f(x) =

1 si x ∈ Q ∩ [0, 1]0 si x ∈ [0, 1] \Q,

no es escalonada aun cuando toma solo dos valores.

12/31/3 1/2

1/3

2/3

1/2

Figura 1.1: una funcion escalonada

La funcion escalonada de la figura 1.1 acepta la siguiente representacion

g(x) =12χ(0, 1

3 )(x) +23χ( 1

3 , 23 )(x) +

13χ( 2

3 ,1)(x),

donde χ(α,β) es la funcion indicadora del intervalo (α, β) definida de la siguientemanera:

χ(α,β)(x) =

1 si x ∈ (α, β)0 si x /∈ (α, β).

Pero esta representacion de g no es unica. Aquı tenemos otra:

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g(x) =12χ(0, 1

3 )(x) +23χ( 1

3 , 12 )(x) +

23χ( 1

2 , 23 )(x) +

13χ( 2

3 ,1)(x).

Sean g1, g2, dos funciones escalonadas con representaciones

g1(x) =n∑

j=1

ajχ(xj−1,xj)(x) y g2(x) =m∑

k=1

bkχ(yk−1,yk)(x)

y seanP1 = x0, x1, . . . , xn y P2 = y0, y1, . . . , ym

las particiones asociadas con g1 y g2, respectivamente.

Si Q = P1 ∪ P2 = z0, z1, . . . , zk, podemos escribir

g1(x) =k∑

j=1

αjχ(zj−1,zj)(x), g2(x) =k∑

j=1

βjχ(zj−1,zj)(x),

con αj = am y βj = bl para algunos m y l,

y g1(x) + g2(x) =l∑

j=1

(αj + βj)χ(zj−1,zj)(x).

Proposicion 1.0.3. Si g es una funcion escalonada en [a, b] entonces g esR-integrable y ademas si

g(x) =n∑

i=1

ciχ(xi−1,xi)(x)

entonces ∫ b

a

g(x)dx =n∑

i=1

ci(xi − xi−1).

Para demostrar esta proposicion utilizaremos el siguiente resultado, cuyademostracion dejamos como ejercicio para el lector.

Teorema 1.0.4. (Aditividad)Si t0 = a < t1 < t2 < · · · < tn = b, entonces una funcion f es R-integrable en[a, b] si y solo si es R-integrable en cada subintervalo [ti−1, ti] i = 1, . . . , n yademas

∫ b

a

f(x)dx =∫ t1

a

f(x)dx +∫ t2

t1

f(x)dx + · · ·+∫ b

tn−1

f(x)dx.

Tambien necesitaremos el siguiente.


Lema 1.0.5. Si f es R-integrable en [a, b] y f(x) = g(x) excepto en un numerofinito de puntos c1, . . . , ck ∈ [a, b] entonces g es R-integrable y

∫ b

a

f(x)dx =∫ b

a

g(x)dx.

Demostracion.Supongase que k = 1. Bastara demostar que si f(x) = g(x), excepto en c ∈ [a, b],entonces |R(f,P, ξ)−R(g,P, ξ)| es arbitrariamente pequeno para ‖P‖ pequena.Dada cualquier particion P de [a, b] con P = x0 < x1 < · · · < xn, el punto cse encuentra a lo mas en dos subintervalos [xi−1, xi] y [xi, xi+1],Entonces

|R(f,P, ξ)−R(g,P, ξ)| = |R(f − g,P, ξ)| = |n∑

i=1

(f(ξi)− g(ξi))(xi − xi−1)|

≤ |f(c)− g(c)||xi − xi−1|+ |f(c)− g(c)||xi+1 − xi|≤ 2‖P‖ |f(c)− g(c)|

Para cualquier ε > 0, tomese δ < ε(2|f(c)− g(c)|)−1, entonces se tiene que|R(f,P, ξ)−R(g,P, ξ)| < ε ∀ eleccion ξ si ‖P‖ < δ. Esto demuestra el resul-tado si k = 1.

Si se tienen k puntos distintos, para cualquier particionP = x0 < x1 < · · · < xn, cada punto cj , j = 1, . . . , k, se encuentra en a lomas dos subintervalos [xj−1, xj ] y [xj , xj+1].Entonces

|R(f,P, ξ)−R(g,P, ξ)| = |R(f − g,P, ξ)| = |n∑

i=1

(f(ξi)− g(ξi))(xi − xi−1)| ≤

k∑

j=1

(|(f(cj)− g(cj))||xj − xj−1|+ |f(cj)− g(cj)||xj+1 − xj |) ≤

2‖P‖k∑

j=1

|f(cj)− g(cj)|.

Entonces para cada ε > 0 se puede tomar δ < ε(2∑k

j=1 |f(cj)− g(cj)|)−1, yse tendra que

|R(f,P, ξ)−R(g,P, ξ)| < ε ∀ξ si ‖P‖ < δ.

Demostracion.(de la Proposicion 1)Una funcion constante es R-integrable en cualquier intervalo [a, b] pues si

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R = c(b− a) donde c es el valor de la funcion, entonces

|R(f,P, ξ)−R| = |k∑

j=1

(f(ξj)(xj − xj−1)−R|

= |c(b− a)−R| = 0.

Como cada funcion escalonada es constante, digamos igual a cj en cada subin-tervalo [xj−1, xj ] de alguna particion P. Entonces esta funcion es R-integrableen cada subintervalo y ademas

∫ xj

xj−1

g(x)dx = cj(xj − xj−1) j = 1, 2, . . . , n.

Ahora basta aplicar el teorema de aditividad para obtener que g es R-integrableen [a, b] y ∫ b

a

g(x)dx =k∑

j=1

cj(xj − xj−1).

Teorema 1.0.6. Una funcion definida en [a, b] es R-integrable si y solo si paracualquier ε > 0, existen dos funciones escalonadas f1 y f2 tales quef1(x) ≤ f(x) ≤ f2(x) ∀ x ∈ [a, b] y

(R−

∫ b

a

f2(x)dx

)−

(R−

∫ b

a

f1(x)dx

)< ε.

Demostracion.Como f es R-integrable, esto implica que f es acotada en [a, b]. Dado ε = 1,sea δ > 0 como en la definicion 1.0.1, entonces para cualquier particion P con‖P‖ < δ y cualquier eleccion ξ se tiene que

|R(f,P, ξ)−R| < ε;

con R = R− ∫ b

af(x)dx, lo cual implica que

|R(f,P, ξ)| ≤ |R(f,P, ξ)−R|+ |R| < |R|+ ε.

Cada x ∈ [a, b] pertenece a algun intervalo de P, digamos x ∈ (xj−1, xj).Si f ≥ 0 entonces

|f(x)(xj − xj−1)| ≤ |R(f,P, ξ)| < |R|+ ε

entonces|f(x)| < (xj − xj−1)−1(R+ ε) ≤ 1

δ(R+ ε).


Por lo tanto f esta acotada. Si f cambia de signo escrıbase f = f+ − f− donde

f+(x) =

f(x) si f(x) ≥ 00 si f(x) < 0 = max(f(x), 0)

f−(x) =

f(x) si f(x) ≤ 00 si f(x) > 0 = max(−f(x), 0)

Se tiene que f+, f− ≥ 0 y |f | = f+ + f− y, por lo tanto es acotada.

Como f es R-integrable, entonces dado ε > 0 ∃δ > 0 tal que|R(f,P, ξ)−R| < ε para toda eleccion ξ, y toda particion P con ‖P‖ < δ.Si P = a = x0 < x1 < · · · < xn = b, como f es acotada tiene sentido definir

f1(x) = ınff(x) : x ∈ (xi−1, xi) para x ∈ (xi−1, xi),f2(x) = supf(x) : x ∈ (xi−1, xi) para x ∈ (xi−1, xi)

Estas funciones se pueden definir tambien en los puntos de P de manera queresulten escalonadas. Notese que f1(x) ≤ f(x) ≤ f2(x) x ∈ [a, b]. Recordemosque si S es un subconjunto acotado de R, entonces

(i) S = sup S ⇔ (i.1)S ≥ s ∀ s ∈ S(i.2)∀ ε > 0 ∃ sε ∈ S tal que sε > S− ε

(ii) s = ınf S ⇔ (ii.1)s ≥ s ∀ s ∈ S(ii.2)∀ ε > 0 ∃ sε ∈ S tal que sε < s + ε.

Por la definicion de f1, f2 existen ξi, ηi ∈ (xi−1, xi)) tales que

f(ξi) < f1(x) + ε ⇒ −f1(ξi) + ε > −f1(x)y f(ηi) > f2(x)− ε ∀x ∈ (xi−1, xi).

Por ser escalonada, f1 se puede representar en la forma

f1(x) =n∑

i=1

(ınff(x) : x ∈ [xi−1, xi))χ[xi−1,xi)(x).

Ahora,∫ b

a

f2(x)dx−∫ b

a

f1(x)dx =n∑

j=1

(f2(x)− f1(x))(xj − xj−1)

≤n∑

j=1

(f(ηj) + ε− f(ξj) + ε)(xj − xj−1)

=n∑

j=1

(f(ηj)− f(ξj))(xj − xj−1) +n∑

j=1

2ε(xj − xj−1)

= R(f,P, η)−R(f,P, ξ) + 2ε(b− a)< 2ε(1 + (b− a)),

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pues como |R(f,P, ψ)−R| < ε entonces

|R(f,P, ψ)−R(f,P, ξ)| ≤ |R(f,P, ψ)−R|+ |R −R(f,P, ξ)|< ε + ε = 2ε.

Reciprocamente, sea

R = sup ∫ b

af1(x)dx : f1 es escalonada y f1(x) ≤ f(x) ∀x ∈ [a, b]

.

Si f2 es escalonada con f2(x) ≥ f(x) ≥ f1(x), entonces

∫ b

a

f2(x)dx ≥∫ b

a

f1(x) ∀ f1 escalonada con f1 < f en [a, b].

Es decir,∫ b

af2(x)dx es cota superior del conjunto

∫ b

af1(x)dx : f1 es escalonada y f1 ≤ f

.

Entonces ∫ b

a

f2(x)dx ≥ R.

Consecuentemente R es cota inferior del conjunto ∫ b

af2(x)dx : f2 es escalonada y f2 ≥ f en [a, b]

.

Ademas si ε > 0 existen f1, f2 escalonadas con f1 ≤ f ≤ f2 en [a, b] y

∫ b

a

f2(x)dx <

∫ b

a

f1(x)dx + ε ≤ R+ ε.

Entonces,

R = ınf ∫ b

af2dx : f2 es escalonada y f2 ≥ f

.

Ahora veremos que R es la integral de f .Estas ultimas f1 y f2 son integrables y si P es una particion asociada con

f1 y f2

∫ b

af1(x)dx ≤ R(f,Q, ξ) ∀ Q particion con ‖Q‖ < ‖P‖,

∫ b

af2(x)dx ≥ R(f,Q, ξ) ∀ Q particion con ‖Q‖ < ‖P‖.

Entonces|R(f,Q, ξ)−R| < ε,


pues

−ε <

∫ b

a

f1(x)dx−∫ b

a

f2(x)dx ≤∫ b

a

f1(x)dx−R ≤ R(f,Q, ξ)−R.

Y

R(f,Q, ξ)−R ≤∫ b

a

f2dx−R ≤∫ b

a

f2(x)dx−∫ b

a

f1(x)dx < ε,

pues

R ≥∫ b

a

f1(x)dx.

Entonces,−ε < R(f,Q, ξ)−R < ε.

Esto demuestra que f es R-integrable y ademas,∫ b

af(x)dx = R.

Notese que en la demostracion del Teorema anterior se describe un metodopara calcular la integral de Riemann de cada funcion Riemann-integrable, dehecho tenemos que

R−∫ b

a

f(x)dx = sup ∫ b

af1(x)dx : f1 es escalonada y f1(x) ≤ f(x) ∀x ∈ [a, b]

=

sup ∫ b

af2(x)dx : f2 es escalonada y f2(x) ≥ f(x) ∀x ∈ [a, b]

.

Los siguientes teoremas, cuya demostracion dejamos como ejercicio para ellector, describen propiedades basicas de la integral de Riemann.

Teorema 1.0.7. (Linealidad)Si f y g son R-integrables entonces cf y f + g son R-integrables (c ∈ R) yademas∫ b

a

cf(x)dx = c

∫ b

a

f(x)dx y

∫ b

a

(f(x) + g(x))dx =∫ b

a

f(x)dx +∫ b

a

g(x)dx.

Teorema 1.0.8. (Monotonıa)Si f y g son R-integrables y f ≤ g en [a, b], entonces

∫ b

a

f(x)dx ≤∫ b

a

g(x)dx.

Corolario 1.0.9. Si f es R-integrable y m ≤ f ≤ M entonces

m(b− a) ≤∫ b

a

f(x)dx ≤ M(b− a).

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Teorema 1.0.10. Cualquier funcion continua en [a, b] es R-integrable en [a, b].

Teorema 1.0.11. Cualquier funcion monotona en [a, b] es R-integrable en [a, b].

Teorema 1.0.12. Sea U un abierto que contiene [a, b]. Si f es continua en Uy F es primitiva de f en U entonces

∫ b

a

f = F (b)− F (a)

Ejemplo 1.0.13. Sea Q el conjunto de los numeros racionales, considerese lafuncion caracterıstica

χQ(x) =

1 si x ∈ Q0 si x /∈ Q.

Tenemos que

(i) χQ(x) es acotada y no es continua en ningun punto.

(ii) χQ(x) no es monotona, ni seccionalmente monotona.

(iii) χQ(x) no es R-integrable.

Demostracion.(iii) Si f1 y f2 son dos funciones escalonadas, f1 ≤ χQ(x) < f2 bastara demostrarque para algun α > 0

∫ b

a

f2(x)dx−∫ b

a

f1(x)dx > α

Observese que f1 ≤ χQ(x) en [a, b] entonces f1 ≤ 0, para toda x ∈ [a, b] y porlo tanto

∫ b

af1(x)dx ≤ 0.

De manera analoga, si f2 es escalonada y χQ(x) ≤ f2 entonces f2 ≥ 1 y porlo tanto

∫ b

af2(x)dx ≥ (b− a)

Entonces ∫ b

a

f2(x)dx−∫ b

a

f1(x)dx ≥ (b− a) = α > 0,

para cualquier f1, f2 escalonadas con f1 ≤ χQ(x) < f2

Por lo tanto, por el teorema χQ(x) no es R-integrable.


Ejemplo 1.0.14. (La funcion de Riemann) Representemos a los racionalesno nulos en la forma

p

qcon q 6= 0 y (p, q) = 1.

Defınase

g(x) =

1q

si x =p

q1 si x = 00 si x /∈ Q.

Entonces:(i) g(x) es continua en cada irracional y discontinua en los racionales.

Demostracion.Sea x ∈ R\Q. Podemos suponer sin perder generalidad que [x−1, x+1] ⊂ [0,∞),en otro caso el intervalo [x− 1, x + 1] se puede transformar a un intervalo de laforma [y − 1, y + 1] con y ≥ 1.

Para cada ε > 0 el subconjunto Aε =

p

q:

p

q∈ [x− 1, x + 1] y

1q≥ ε

es finito. Pues si notamos que x− 1 ≤ p

q≤ x+1 y 0 < q ≤ 1

ε, tenemos que

0 ≤ (x− 1)q ≤ p ≤ (x + 1)q ≤ x + 1ε

.

Entonces p y q varian dentro de intervalos acotados y por lo tanto ]Aε < ∞.

Sea δ > 0 tal que [x− δ, x + δ] ∩Aε = ∅. Entonces si y ∈ [x− δ, x + δ],

g(y)

= 0 si y es irracional< ε si y es racional

Entonces g(y) < ε, para toda y ∈ [x− δ, x + δ], es decir,

|g(x)− g(y)| = |g(y)| < ε si |x− y| < δ.

Esto demuestra que g es continua para cada x ∈ R \Q.

Ahora, si x ∈ Q, digamos 0 6= x =p

q, entonces g(x) =

1q6= 0. Si g fuera

continua en x entonces para cualquier sucesion (xn)n≥1 que converge a x, lasucesion de sus imagenes convergerıa a g(x). No obstante, si (xn)n≥1 es unasucesion de irracionales con xn → x entonces

g(xn) = 0 91q

= g(x).

Esto demuestra que g no es continua en los racionales.

(ii) g es R-integrable en [0, 1]. En realidad, esto mismo vale para cualquierintervalo acotado.

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Demostracion.

Sean ε > 0 y f1(x) = 0 la funcion identicamente cero para x ∈ [0, 1]. Si1n

< ε,

sea f2(x) =1n

para todo x ∈ [0, 1] excepto en aquellos racionales en A 1n∩ [0, 1],

donde A 1n

=

p

q:

p

q∈ [0, 1] y

1q≥ 1

n

, recuerdese que ]

(A 1

n

)< ∞. Notese

que como x ∈ [0, 1], entonces [0, 1] ⊂ [x−1, x+1] y por lo tanto ]([0, 1] ∩A 1

n

)<

∞. Tenemos que f1(x) ≤ g(x) ≤ 1n = f2(x) se cumple excepto en [0, 1] ∩ A 1

n,

que tiene cardinalidad finita. Entonces,∫ 1

0

f2(x)dx−∫ 1

0

f1(x)dx =1n

< ε.

Y podemos concluir que g es R-integrable y ademas,∫ 1

0

g(x)dx = 0.

Capıtulo 2

La medida de Lebesgue

2.1 Introduccion

Alguna vez Lebesgue escribio: ”Es claro que se debe iniciar partiendo [c, d] enlugar de [a, b], . . . ”. En efecto, en contraposicion con la integral de Riemann,en la cual se inicia partiendo el dominio de la funcion, Lebesgue propuso iniciarpartiendo el rango de la funcion que se desea integral. Podemos ilustrar la difer-encia entre estos dos procedimientos con una analogıa propuesta por el mismoLebesgue: si en un paquete se tienen billetes de las siguiente denominaciones0.10, 1, 0.50, 100, 20, 0.10, 2, 500, 20, 10, 100, 0.50, de acuerdo con Riemann secontarıan agrupando los primeros tres, despues los cuatro siguientes y finalmentelos ultimos cinco para obtener 1.60+122.10+630.50 = 754.20. Pero de acuerdocon el procedimeinto propuesto por Lebesgue los contariamos agrupandolos deacuerdo a sus valores, ası: 0.10×2+0.50×2+20×2+100×2+2+500+1+10 =754.20.

En la siguiente figura ilustramos el proceso propuesto por Lebesgue.

a b

c

d

Ei1

yi

yi+1

Ei2 Ei

3

Figura 2.1: f−1[yi, yi+1] = E1i ∪ E2

i ∪ E3i

Como se puede observar la imagen inversa de un intervalo como [yi, yi+1],puede ser muy complicada. En la figura, la imagen inversa del intervalo [yi, yi+1]es una union de intervalos pero, para funciones menos regulares, esta imagen

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16 CAPITULO 2. LA MEDIDA DE LEBESGUE

inversa es mucho mas complicada. Por ejemplo, si f es la funcion de Dirichlet,

f(x) =

1 si x ∈ Q ∩ [0, 1]0 si x /∈ Q ∩ [0, 1],

la imagen inversa de un intervalo suficientemente pequeno alrededor de 1 esQ ∩ [0, 1] que no es una union de intervalos; lo mismo ocurre con la imageninversa [0, 1] \Q, de un intervalo suficientemente pequeno alrededor de 0.

No obstante el area de la parte sombreada en la figura 2.1 se puede aproximarpor cil(E1

i ) + ci`(E2i ) + ci`(E3

i ) = ci

∑k `(Ek

i ), con ci ∈ [yi, yi+1], donde `(E)representa la longitud del intervalo E. Y la integral se aproximarıa por la sumade las areas de las imagenes inversas de los intervalos [yi, yi+1]. Pero, ¿quelongitud es natural asignar a subconjuntos como Q ∩ [0, 1] y [0, 1] \Q?

En lo que sigue estudiaremos este problema separandolo en dos partes:

1.- Caracterizar la clase de los subconjuntos E que son imagenes inversas defunciones razonablemente buenas.

2.- Asignar una longitud (medida) a cada uno de estos subconjuntos E.

Para tratar con estos dos problemas utilizaremos el concepto de medidaexterior y la condicion de Caratheodory para definir la clase de los subconjuntosmedibles. No obstante las dificultades tecnicas que se deben enfrentar con esteenfoque, lo preferimos debido a su versatilidad para generalizarse a un contextomas abstracto.

2.2 La medida exterior de Lebesgue

Sea A ⊂ R arbitrario y sea (In)n≥1 una coleccion a lo mas numerable deintervalos abiertos tal que A ⊂ ⋃∞

n=1 In. La medida exterior de A se definemediante la relacion

0 ≤ m∗A = inf

∑

n≥1

`(In) : (In)n≥1

donde In es coleccion a lo mas numerable de subintervalos abiertoscon A ⊂ ∪∞n=1In

Como∑

n≥1 `(In) ≥ 0, para toda coleccion de intervalos abiertos Inn≥1,tenemos que

∑n≥1 `(In) ≥ 0. Entonces m∗A esta bien definida, pues es el ınfimo

de un subconjunto no vacıo y acotado por abajo.Si A es tal que

∑n≥1 `(In) = ∞ para toda coleccion Inn≥1 de intervalos

tales que⋃∞

n=1 In ⊃ A, en este caso definimos m∗A := ∞.

Tenemos que m∗φ = 0. Para demostrar esto, basta tomar las cubiertas(−1, 1), (− 1

2 , 12 ), . . . . Todas ellas cubren a φ, es decir, φ ⊂ (−1

n , 1n ), para

cada n ≥ 1; entonces 0 ≤ m∗φ ≤ 2n , . . . ∀n > 1.

2.2. LA MEDIDA EXTERIOR DE LEBESGUE 17

El mismo razonamiento permite demostrar que la medida exterior de unpunto a ∈ R es cero: m∗a = 0.

Teorema 2.2.1. Si A ⊂ B, entonces m∗A ≤ m∗B.

Demostracion. Si Inn≥1 es una cubierta de B por intervalos abiertos en-tonces ∪n≥1In ⊃ B ⊃ A, por lo tanto Inn≥1 tambien es una cubierta abiertade A por intervalos abiertos.

Notese que∑

n≥1 `(In) : ∪n≥1In ⊃ B⊂

∑n≥1 `(Jn) : ∪n≥1Jn ⊃ A

,

porque las cubiertas de B tambien cubren A y A tiene cubiertas que no cubrenB. Entonces

m∗B = ınf∑

`(Ij) : ∪jIj ⊃ B≥ ınf

∑

j

`(Ij) : ∪j≥1Ij ⊃ A

= m∗(A).

Teorema 2.2.2. La medida exterior de un intervalo es igual a su longitud.

Demostracion. (i) Consideremos el caso I = [a, b], a < b. Demostraremoslas dos desigualdades: m∗[a, b] ≤ b− a, y b− a ≤ m∗[a, b].

Consideremos cubiertas del tipo(

a− 1n

, b +1n

). Entonces

[a, b] ⊂(

a− 1n

, b +1n

), ∀n ≥ 1

y por lo tanto para toda n ≥ 1,

m∗[a, b] ≤ b− a +2n

.

Esto demuestra que m∗[a, b] ≤ b− a.Ahora sea Inn≥1 una cubierta de [a, b] por intervalos abiertos. Por la

compacidad de [a, b], existe una subcubierta finita InmMm=1 de [a, b]. Como

a ∈ ∪Mm=1Inm , existe un subintervalo I1 = Inm1

tal que a ∈ I1 = (a1, b1),entonces a1 < a < b1. Si b < b1 ya terminamos. En otro caso b1 < b y como[a, b] ⊂ ∪M

m=1Inm , existe un intervalo I2 = Inm2tal que b1 ∈ I2 = (a2, b2), es

decir a2 < b1 < b2. De esta manera logramos obtener una nueva subcoleccionfinita I1, I2, . . . , Ik de subintervalos abiertos tales que aj < bj−1 < bj para2 ≤ j ≤ k − 1 y ak < b < bk. Entonces para toda cubierta (In)n≥1 de [a, b],se tiene que

∑

n≥1

`(In) ≥M∑

m=1

`(Inm) ≥k∑

j=1

`(Ij) =k∑

j=1

(bj − aj)

= (bk − ak) + (bk−1 − ak−1) + · · ·+ (b2 − a2) + (b1 − a1)= bk − (ak − bk−1)− · · · − (a2 − b1)− a1 ≥ b− a.


Es decir, m∗([a, b]) ≥ b− a.

(ii) Supongase ahora que I es arbitrario pero con longitud finita. Entoncesexiste un intervalo cerrado J tal que J ⊂ I y `(J ) > `(I) − ε, ε > 0. Por lotanto,

`(I)− ε < `(J ) = m∗J ≤ m∗I

≤ m∗I = `(I) = `(I).

De aquı se sigue que m∗I ≤ `(I) y `(I)− ε ≤ m∗I para todo ε > 0, por lo tanto,m∗I = `(I).

(iii) Si I es un intervalo infinito, dado cualquier M > 0 existe un intervalocerrado J ⊂ I tal que `(J ) = M . Entonces

m∗I ≥ m∗J = `(J ) = M con M > 0 arbitrario.

Es decir,m∗I = ∞ = `(I).

Teorema 2.2.3. (Subaditividad de la medida exterior)Sea Ann≥1 una sucesion de subconjuntos de R entonces

m∗ ∪∞n=1 An ≤∞∑

n=1

m∗An.

Demostracion. Si m∗An = ∞ para algun n ≥ 1, entonces la desigualdad esobvia. Supongase m∗An < ∞ ∀ n ≥ 1. Para cada ε > 0 y n ≥ 1 sea εn =

ε

2n.

Entonces existe una cubierta In,jj≥1 de An por intervalos abiertos tales que

∞∑

j=1

`(In, j) < m∗An +ε

2n.

La coleccion In, jj≥1,n≥1 es una cubierta de ∪n≥1An por intervalos abiertos.Entonces

m∗ ∪n≥1 An ≤∑

n≥1

∑

j≥1

`(In,j) <∑

n≥1

(m∗An +ε

2n)

=∑

n≥1

m∗An + ε∑

n≥1

12n

=∑

n≥1

m∗An + ε,

para todo ε > 0.

Corolario 2.2.4. Supongase A ⊂ R a lo mas numerable, entonces m∗A = 0.

2.3. LA σ-ALGEBRA DE LOS SUBCONJUNTOS MEDIBLES 19

Demostracion. Si A = a1, a2, · · · , como m∗an = 0 para cada n ≥ 1,entonces

m∗A = m∗ ∪∞n=1 an ≤∞∑

n=1

m∗an = 0.

Sabemos que m∗[0, 1] = 1, entonces [0, 1] es no-numerable.

Si A ⊂ R es un subconjunto arbitrario entonces, de acuerdo con la definicionde m∗A y las propiedades del ınfimo de un conjunto, tenemos que dado ε > 0existe una cubierta Iε

nn>1 de A por intervalos abiertos tales que∑

n≥1

`(Iεn) < m∗A + ε.

Sea Oε = ∪n≥1Iεn entonces Oε ⊃ A, y

m∗Oε = m∗ ∪n≥1 Iεn ≤

∑n>1

m∗(Iεn) =

∑

n≥1

`(Iεn) < m∗A + ε.

En otras palabras, hemos demostrado el siguiente.

Corolario 2.2.5. Para todo A ⊂ R y ε > 0 existe Oε abierto tal que Oε ⊃ Ay m∗Oε < m∗A + ε.

Es decir la medida exterior de cualquier subconjunto de R se puede aproxi-mar por la medida de un abierto.

2.3 La σ-algebra de los subconjuntos medibles

Una propiedad natural de una medida es la σ − aditividad :

m∗ ∪∞n=1 An =∞∑

n=1

m∗An,

si la sucesion Ann≥1 tiene elementos mutuamente ajenos, es decir, An∩Am =∅, si n 6= m.

No es posible demostrar que m∗ es σ− aditiva cuando la sucesion Ann≥1

es cualquier sucesion de subconuntos de R. Pero esta propiedad se cumplecuando los elementos de la sucesion Ann≥1 pertenecen a una clase especial desubconjuntos, la de los subconjuntos medibles.

Definicion 2.3.1. (Caratheodory) Un subconjunto E de numeros reales esmedible si y solo si dado cualquier otro subconjunto A ⊂ R

m∗A = m∗(A ∩ E) + m∗(A\E) = m∗(A ∩ E) + m∗(A ∩ Ec).


La condicion de Caratheodory puede considerarse como una condicion deseparabilidad, es decir, un subconjunto medible E separa bien a cualquier otroconjunto en el sentido de la medida exterior.

Denotaremos por M a la coleccion de todos los subconjuntos medibles deR. Si E ∈M (i.e., si E es medible), entonces su medida de Lebesgue mE es sumedida exterior, mE = m∗E.

La condicion de Caratheodory es simetrica (invariante) respecto de la apli-cacion E → Ec. En consecuencia, E es medible si y solo si Ec es medible.

El subconjunto vacıo ∅ es medible, pues si A ⊂ R, es cualquier subconjunto(de prueba), entonces m∗(A∩∅) = m∗∅ = 0 y m∗(A∩∅c) = m∗(A∩R) = m∗A.Por lo tanto,

m∗(A ∩ ∅) + m∗(A ∩ ∅c) = m∗A ∀ A ⊂ R.

En consecuencia R tambien es medible.

Notese que la condicion de Caratheodory es equivalente con las dos desigual-dades

(i) m∗A ≤ m∗(A ∩ E) + m∗(A ∩ Ec), ∀ A ⊂ R(ii) m∗A ≥ m∗(A ∩ E) + m∗(A ∩ Ec) ∀ A ⊂ R.

Y la primera de ellas siempre se cumple, pues por subaditividad,

m∗A = m∗ ((A ∩ E) ∪ (A ∩ Ec)) ≤ m∗(A ∩ E) + m∗(A ∩ Ec).

Entonces para demostrar que un subconjunto E es medible, bastara verificar quela segunda desigualdad se cumple para todo subconjunto (de prueba) A ⊂ R.

Proposicion 2.3.2. Todo subconjunto E con medida exterior cero es medibley mE = 0.

Demostracion. Tomemos cualquier subconjunto A ⊂ R. Tenemos que A∩E ⊂E, entonces 0 ≤ m∗(A ∩ E) ≤ m∗E, por lo tanto

m∗(A ∩ E) = 0.

Por otra parte A ∩ Ec ⊂ A, entonces

m∗(A ∩ Ec) ≤ m∗A.

Por lo tanto tenemos que

m∗(A ∩ E) + m∗(A ∩ Ec) = m(A ∩ Ec) ≤ m∗A.

Como consecuencia inmediata de la Proposicion anterior se obtiene que todosubconjunto de R que es a lo mas numerable, es medible y tiene medida cero.Tambien son medibles aquellos subconjuntos de R cuyo complemento es a lomas numerable. En particular Q y R\Q son medibles y mQ = 0. Tambien sonmedibles todos los subconjuntos de conjuntos de medida exterior cero.


Proposicion 2.3.3. Si E y F son medibles, entonces E ∪ F es medible.

Demostracion.Tomemos cualquier subconjunto A ⊂ R. Bastara demostrar que

m∗(A ∩ (E ∪ F )) + m∗(A ∩ (E ∪ F )c) ≤ m∗A.

Tenemos que,

A ∩ (E ∪ F ) = (A ∩ (E ∪ F )) ∩ (E ∪ Ec)= (A ∩ (E ∪ F ) ∩ E) ∪ (A ∩ (E ∪ F ) ∩ Ec)= (A ∩ E ∩ E) ∪ (A ∩ F ∩ E) ∪ (A ∩ E ∩ Ec) ∪ (A ∩ F ∩ Ec)= (A ∩ E) ∪ (A ∩ F ∩ Ec).

Entonces por la subaditividad,

m∗(A ∩ (E ∪ F )) ≤ m∗(A ∩ E) + m∗(A ∩ F ∩ Ec),

consecuentemente,

m∗(A ∩ (E ∪ F )) + m∗(A ∩ Ec ∩ F c) ≤m∗(A ∩ E) + m∗(A ∩ F ∩ Ec) + m∗(A ∩ Ec ∩ F c) =

m∗(A ∩ E) + m∗(A ∩ Ec),

pues F es medible. Ası mismo, la medibilidad de E implica que

m∗(A ∩ (E ∪ F )) + m∗(A ∩ Ec ∩ F c) ≤ m∗(A ∩ E) + m∗(A ∩ Ec) = m∗A.

Definicion 2.3.4. Una coleccion A de subconjuntos de R se llama algebra (oalgebra de Borel) si para A,B ∈ A, se tiene que

(i) A ∪B ∈ A(ii) Ac ∈ A(iii) A ∩B ∈ A.

Si E, F ∈ A, entonces Ec y F c tambien pertenecen a A, por lo tanto Ec ∪F c ∈ A. Pero E ∩ F = (Ec ∪ F c)c. Entonces las propiedades (i) y (ii) juntocon leyes de DeMorgan implican (iii).

Ejercicio. Demostrar que si A1, A2, . . . , An ∈ A, entonces ∪nk=1Ak ∈ A.

De acuerdo con lo que hemos demostrado hasta ahora podemos concluir quela coleccion M, de los subconjuntos medibles de R, es un algebra.


Proposicion 2.3.5. Sea A un algebra y An∞n=1 una sucesion de subconjuntosde A, entonces existe una sucesion Bn∞n=1 de subconjuntos de A tales queBn ∩Bm = ∅ para n 6= m y ∪∞n=1Bn = ∪∞n=1An.

Demostracion. Tomese B1 = A1 y para n > 1, defınase

Bn = An\(An−1 ∪An−2 ∪ · · · ∪A1)= An ∩ (An−1 ∪An−2 ∪ · · · ∪A1)c.

Se tiene que Bn ∈ A para todo n > 1. Ademas, si m > n, entonces An = Am−j

para algun 1 ≤ j ≤ m− 1, por lo tanto:

Bm ∩Bn = (Am ∩Acm−1 ∩ · · · ∩Ac

m−j ∩ · · · ∩Ac1) ∩ (An ∩Ac

n−1 ∩ · · · ∩Ac1)

= Am ∩Acm−1 ∩ · · · ∩Ac

1 ∩ (Acm−j ∩An) ∩Ac

n−1 ∩ · · · ∩Ac1

= ∅Como Bn ⊂ An, entonces ∪n≥1Bn ⊂ ∪n≥1An. Si x ∈ ∪n≥1An, sea m el menorındice tal que x ∈ Am. Entonces x ∈ Bm ya que x /∈ Aj para 1 ≤ j ≤ m − 1 yconsecuentemente,

x ∈ ∪n≥1Bn

Definicion 2.3.6. Una σ−algebra A es un algebra que tambien es cerrada bajouniones contables, es decir, si A1, A2, . . . ,∈ A, entonces ∪n≥1An ∈ A.

Lema 2.3.7. Sea A cualquier subconjunto y E1, . . . , En subconjuntos mediblesy disjuntos. Entonces

m∗ (A ∩ (∪n

j=1Ej

))=

n∑

j=1

m∗ (A ∩ Ej) .

Demostracion. Si n = 1, entonces m∗ (A ∩ E1) = m∗ (A ∩ E1). Supongamosque el resultado vale para n − 1 subconjuntos. Como los E′

js son disjuntos,entonces

A ∩ (∪nj=1(Ej

) ∩ En = A ∩ En,

yA ∩ (∪n

j=1Ej

) ∩ Ecn = A ∩ (∪n−1

j=1 Ej

).

Entonces como En es medible

m∗ (A ∩ (∪n

j=1Ej

))= m∗ (

A ∩ (∪nj=1Ej

) ∩ En

)+ m∗ (

A ∩ (∪nj=1Ej

) ∩ Ecn

)

= m∗ (A ∩ En) + m∗ (A ∩ (∪n−1

j=1 Ej

)).

Ahora, por hipotesis de induccion

m∗ (A ∩ En) + m∗ (A ∩ (∪n−1

j=1 Ej

))

= m∗ (A ∩ En) +n−1∑

j=1

m∗ (A ∩ Ej) =n∑

j=1

m∗ (A ∩ Ej) .


Teorema 2.3.8. M es una σ−algebra.

Demostracion. Como ya sabemos que M es un algebra, bastara verificar quees cerrada bajo uniones numerables. Sea (En)n≥1 una sucesion de elementosde M. Siendo M un algebra por la proposicion 2.3.5, podemos suponer que(En)n≥1 es una sucesion disjunta. Sea Fn = ∪n

j=1Ej , cada Fn es medible yFn ⊂ E = ∪∞j=1Ej , entonces para cada n ≥ 1,

Ec ⊂ F cn.

Sea A ⊂ R cualquier subconjunto de prueba, entonces A ∩ Ec ⊂ A ∩ F cn, por

lo tanto tenemos:

m∗(A) = m∗(A ∩ Fn) + m∗(A ∩ F cn)

≥ m∗(A ∩ Fn) + m∗(A ∩ Ec)

=n∑

j=1

m∗(A ∩ Ej) + m∗(A ∩ Ec) ∀n ≥ 1,

la ultima igualdad al aplicar el lema 2.3.7 a m∗(A ∩ Fn). Entonces

m∗(A) ≥∞∑

j=1

m∗(A ∩ Ej) + m∗(A ∩ Ec)

≥ m∗(A ∩ E) + m∗(A ∩ Ec),

esto por la subaditividad.

Corolario 2.3.9. Sea (En)n≥1 una sucesion de subconjuntos medibles disjuntos,entonces m∪n≥1En =

∑n≥1 mEn, Es decir, la medida de Lebesgue es σ-aditiva.

Demostracion. Como M es σ-algebra, para cada m ≥ 1 tenemos que∪m

n≥1En ∈M y ∪n≥1En ∈M. Ahora, puesto que para cada m ≥ 1

∪mn=1En ⊂ ∪∞n=1En,

entoncesm (∪m

n=1En) ≤ m (∪∞n=1En) .

Por el Lema 2.3.7 para todo m ≥ 1 tenemos que:

m∑n=1

mEn = m ∪mn=1 En ≤ m (∪∞n=1En) .

Por lo tanto,

limm→∞

m∑n=1

mEn =∑

n≥1

mEn ≤ m (∪n≥1En) .

La desigualdad opuesta es la subaditividad.


Proposicion 2.3.10. El intervalo (a,∞), a ∈ R, es medible.

Antes de demostrar esta proposicion escribamos algunas consecuencias in-mediatas de ella:

(i) (−∞, b] = (b,∞)c es medible ∀b ∈ R.(ii) (a, b] = (−∞, b] ∩ (a,∞). es medible(iii) a ∪ (a, b] = [a, b] es medible.(iv) (a, b] ∩ bc = (a, b) es medible.(v) [0, 1] ∩Q es medible y m([0, 1] ∩Q) = 0.

Entonces [0, 1] ∩Qc es medible. Ademas,con [0, 1] como conjunto de prueba:

1 = m[0, 1] = m([0, 1] ∩Q) + m([0, 1] ∩Qc) = m([0, 1] ∩Qc).

Demostracion.(de la Proposicion 2.3.10) Bastara demostrar que para todoA ⊂ R,

m∗(A ∩ (a,∞)) + m∗(A ∩ (−∞, a]) ≤ m∗A.

(i) Si m∗A = ∞ no hay nada que demostrar.(ii) Supongase que m∗A < ∞. Por la definicion de m∗, dado ε > 0 existe unacubierta Inn≥1 de A por intervalos abiertos tales que

∑n

`(In) ≤ m∗A + ε.

SeanI ′n = In ∩ (a,∞) y I ′′n = In ∩ (−∞, a]

Los intervalos I ′n, I ′′n son disjuntos o vacıos y

`(In) = `(I ′n) + `(I ′′n) = m∗I ′n + m∗I ′′n .

Ademas(A ∩ (a,∞)) ⊂ ∪nI ′n,

entoncesm∗ (A ∩ (a,∞)) ≤

∑n

m∗I ′n =∑

n

`(I ′n). (1)

De manera analogaA ∩ (−∞, a] ⊂ ∪nI ′′n ,

y de aquı se obtiene que

m∗ (A ∩ (−∞, a]) ≤∑

n

m∗I ′′n =∑

n

`(I ′′n). (2)

Sumando (1) y (2) se obtiene que

m∗ (A ∩ (a,∞)) + m∗ (A ∩ (−∞, a]) ≤∑

n

`(I ′n) +∑

n

`(I ′′n)

=∑

n

(`(I ′n) + `(I ′′n)) =∑

n

`(In)

≤ m∗A + ε,


para todo ε > 0. Consecuentemente,

m∗(A ∩ (a,∞)) + m∗(A ∩ (−∞, a]) ≤ m∗A.

Lema 2.3.11. Cada abierto O en la topologıa τ de R es la union de unacoleccion numerable de intervalos abiertos disjuntos.

Demostracion.Como O es abierto, para cada x ∈ O existe y > x tal que(x, y) ⊂ O. Sea:

b = supy : (x, y) ⊂ OAsimismo sea:

a = infz : (z, x) ⊂ OTenemos que a < x < b y por lo tanto x ∈ Ix = (a, b). Notese que Ix ⊂ O,pues si ω ∈ Ix, digamos x < ω < b, entonces por definicion de b, existe y > ωtal que (x, y) ⊂ O y por lo tanto ω ∈ (x, y) ⊂ O. Ademas b /∈ O pues si b ∈ O,entonces existe ε > 0 tal que (b− ε, b + ε) ⊂ O y por lo tanto (x , b + ε) ⊂ O, locual contradice la definicion de b; de manera similar se demuestra que a /∈ O.

Considerese ahora la coleccion Ixx∈O . Tenemos que⋃

x∈O Ix = O . Sean(a, b) y (c, d) dos intervalos de esta coleccion tales que (a, b) ∩ (c, d) 6= ∅. En-tonces, claramente c < b y a < d. Como c /∈ O,entonces c /∈ (a, b) y por lo tantoc 6 a; es decir a = c. De manera similar se demuestra que b = d y por lo tanto(a, b) = (c, d). En conclusion dos subintervalos distintos en Ixx∈O deben serajenos.

Ahora,dado que los intervalos Ix son disjuntos y cada uno de ellos contiene unracional, rx, entonces se puede establecer la correspondencia biyectiva Ix ↔ rx

y por lo tanto Ixx∈O es numerable.

Proposicion 2.3.12. Todo abierto O ⊂ R es medible. Ademas, si O = ∪n≥1In,es la representacion de O como union de una coleccion a lo mas numerable deintervalos abiertos y disjuntos, entonces mO =

∑n≥1 `(In).

Demostracion. Sea O = ∪n≥1In la represntacion de O como union a lo masnumerable de intervalos abiertos disjuntos. Entonces O es medible porque Mes σ−algebra y cada In es medible, ademas por el Corolario 2.3.9

mO = m∗O =∑

n

m∗In =∑

n

`(In).


A partir de una coleccion arbitraria de subconjuntos se puede generar unaσ-algebra. El lector puede encontrar en la literatura la demostracion de lasiguiente Proposicion, o puede intentar elaborar su propia demostracion.

Proposicion 2.3.13. Dada una coleccion C de subconjuntos de R, existe unamınima σ-algebra A que la contiene. Es decir, si B es otra σ-algebra que con-tiene a C, entonces A ⊂ B.

Definicion 2.3.14. La mınima σ-algebra que contiene a la topologıa τ de R,se llama σ-algebra de Borel y se denota por B. Los elementos de B se llamansubconjuntos de Borel.

Todo subconjunto de Borel es medible pues, de acuerdo con la Proposicion2.3.13, B ⊂M.Ejercicio. Demostrar que existe un conjunto medible que no es de Borel,es decir la σ-algebra de Borel es una σ-algebra propia de la σ-algebra de lossubconjuntos medibles.

Los subconjuntos (a, b), (−∞, a), [a,∞) son borelianos y, por lo tanto,medibles.

Definicion 2.3.15. (Las clases Gδ y Fσ)

• Un subconjunto G ∈ Gδ si es una interseccion numerable de abiertos.Notese que estos elementos se pueden salir de la topologıa, pues esta noes cerrada bajo interseccion numerable de abiertos.

• Un subconjunto F ∈ Fσ si es una union numerable de cerrados.

Tenemos que Gδ, Fσ ⊂ B.

Proposicion 2.3.16. El conjunto de puntos de discontinuidad de una funcionarbitraria es un Fσ.

Demostracion.Sean M(x, h) y m(x, h) el supremo y el ınfimo de f en el in-tervalo [x − h, x + h].La funcion O(x) = limh→0(M(x, h) − m(x, h)) se llamala oscilacion def . Notese que la condicion O(x) = 0 significa que f es continuaen x. Consecuentemente el conjunto de puntos de discontinuidad de f se puederepresentar en la forma:

⋃

n≥1

x : O(x) ≥ 1n

Bastara demostrar que el conjunto x : O(x) ≥ 1n es cerrado para cada n ≥ 1.

Si (xk) → x y O(xk) ≥ 1n para cada k ≥ 1,entonces para cada h > 0 existe Nh tal

que xk ∈ (x−h, x+h) si n ≥ Nh. Sea ε > 0 tal que (xk−ε, xk+ε) ⊂ (x−h, x+h),existen puntos yk y zk en (xk− ε, xk + ε) tales que |f(yk)−f(zk)| > 1

n , entoncesO(x) ≥ 1

n .

Ejercicios.

1.-


i ∀k ∈ N\0 sea Ok(x) = M(x, 1k )−m(x, 1

k ). Pruebe que la definicion dela oscilacion de f es equivalente a O(x) = limk→∞Ok(x)

ii Demuestre que, para algun δ > 0, f([y − δ, y + δ]) ⊂ f([x − 1k , x + 1

k ])implica que M(y, δ) ≤ M(x, 1

k ) y m(x, 1k ) ≥ m(y, δ)

iii Utilizando (i) y (ii) demuestre que x : O(x) ≥ 1n es cerrado ∀n ≥ 1.

2.- Demuestre que en R la interseccion de una coleccion numerable de abiertosdensos es densa. 3.- Demuestre que R no es una union numerable de subcon-juntos cerrados con interior vacio (es decir, concomplemento denso).

4.- Demuestre que los irracionales no son un Fσ. Sugerencia: Si lo fueranentonces R serıa una union numerable de cerrados con interior vacıo.

5.- Concluya que no existe una funcion continua en los racionales y discon-tinua en los irracionales.

Proposicion 2.3.17. i Si (En)n≥1 es una sucesion decreciente (En+1 ⊂En) de subconjuntos medibles y mE1 < ∞, entonces

m (∩∞n=1En) = limn→∞

mEn

ii Si (En)n≥1 es una sucesion creciente de subconjuntos medibles,entonces

m (∪∞n=1En) = limn→∞

mEn

Demostracion. Sean E = ∩n≥1En y Fn = En\En+1 entonces

∪n≥1Fn = E1\E

Para ver esto, sea x ∈ ∪n≥1Fn entonces para algun n ≥ 1, x ∈ En\En+1 esdecir, x ∈ En y x /∈ En+1 lo cual implica que x ∈ E1 y x /∈ E. por lo tanto∪n≥1Fn ⊂ E1\E. Por otro lado, si x ∈ E1\E entonces x ∈ E1 y existe n tal quex /∈ En. Si n es el menor natural tal que x ∈ En−1 y x /∈ En entonces tenemosque x ∈ En−1\En = Fn−1 ⊂ ∪n≥1Fn Los Fn’s son disjuntos a pares ya que

Fn ∩ Fm = (En ∩ Ecn+1) ∩ (Em ∩ Ec

m+1) = ∅,

pues En ∩ Ecm+1 = ∅ para n > m. Por la σ−aditividad de m

m(E1\E) =∑

n≥1

mFn =∑

n≥1

m(En\En+1).


PeroE1 = E ∪ (E1\E),

entoncesmE1 = mE + m(E1\E).

Y de manera analoga se demuestra que

mEn = mEn+1 + m(En\En+1).

ComomE1 < ∞ y En ⊂ E1 ∀n ≥ 2,

entoncesmEn ≤ mE1 < ∞ ∀n ≥ 2.

Es decir todos los En y E, tienen medida de Lebesgue finita. De acuerdo conlo anterior tenemos que

m(E1 \ E) = mE1 −mE,

ym(En\En+1) = mEn −mEn+1.

Consecuentemente,

mE1 −mE =∑

n≥1

(mEn −mEn+1) = limn→∞

n−1∑

k=1

mEk −mEk+1

= limn→∞

(mE1 −mEn) = mE1 − limn

mEn.

Por lo tantomE = m(∩n≥1En) = lim

n→∞mEn.

Esto demuestra (i). Para demostrar (ii) observese que si mEn = ∅ para algunn, entonces m(∪n≥1) = ∞, pues la sucesion es creciente. Y si mEn < ∞ paracada n ≥ 1 podemos escribir:

⋃

n≥1

En = E1 ∪⋃

n≥1

(En+1 − En)

y la union es disjunta. Por lo tanto:

m(∪n≥1En) = mE1+∞∑

n=1

m(En+1−En) = mE1+limN

N∑n=1

m(En+1−En) = limN

mEN

El conjunto de Cantor. En [0, 1] considerese la siguiente construccion


C1

C2

C3

0 1/3 2/3 1

0

0

1/9 2/9 1/3

2/321/32

Figura 2.2: Conjunto de Cantor

El conjunto de Cantor C se define como,

C = ∩∞n=1Cn.

De acuerdo con la Proposicion ??

mC = limn

mCn,

pero

mC1 =23

mC2 =(

23

)2

mC3 =(

23

)3

. . . ,

y no es dificil demostrar por induccion que mCn =(

23

)n

. Por lo tanto

mC = limn

mCn = limn

(23

)n

= 0.

Para finalizar esta seccion demostraremos varias condiciones que son equiv-alentes con la condicion de Caratheodory. Cualesquiera de ellas pudo habersetomado como definicion de subconjunto medible.

Proposicion 2.3.18. Sea E ⊂ R. Las siguientes proposiciones son equivalentes:

(i) E es medible,

(ii) Para cada ε > 0 ∃ Oε ⊃ E abierto tal que m∗(Oε\E) < ε,

(iii) Para cada ε > 0 ∃ Fε ⊂ E cerrado tal que m∗(E\Fε) < ε

(iv) Existe G ∈ Gδ con E ⊂ G tal que m∗(G\E) = 0

(v) Existe F ∈ Fσ con F ⊂ E tal que m∗(E\F ) = 0.

Si m∗E < ∞, las proposiciones anteriores son equivalentes con

(vi) Dado ε > 0 existe una union finita de intervalos abiertos U tal quem∗(E M U) < ε con E M U = (E\U) ∪ (U\E) donde M denotala diferencia simetrica.


Demostracion. Demostraremos las siguientes implicaciones: (i) ⇒ (ii) ⇒ (iv) ⇒ (i),(i) ⇒ (iii) ⇒ (v) ⇒ (iv) y (ii) ⇒ (vi) ⇒ (ii).

Supongamos que m∗E < ∞. Dado ε > 0 ∃Oε ⊃ E tal que m∗Oε <m∗E + ε. Como E es medible entonces E separa bien a Oε es decir

m∗Oε = m∗ (Oε ∩ E) + m∗ (Oε ∩ Ec) = m∗E + m∗ (Oε\E) ,

entoncesm∗ (Oε\E) = m∗Oε −m∗E < ε.

Supongase ahora que m∗E = ∞. Sea En = E ∩ (n, n + 1) n ∈ Z. Comom∗En ≤ 1 < ∞ ∀ n ∈ Z, existe On ⊃ En tal que

m∗ (On\En) < εn =ε

2|n|.

Sea O = ∪n∈ZOn ⊃ ∪n∈ZEn = E, entonces O es abierto y

Oε\E = (∪n∈ZOn) ∩ Ec = ∪nOn ∩ Ec

= ∪n (On\E) .

Ahora comoOn\E ⊂ On\En,

m∗ (On\E) ≤ m∗ (On\En) ,

entonces

m∗ (O\E) ≤∑

n

m∗ (On\E) ≤∑

n

m∗ (On\En) <∑

n

ε

2|n|= 3ε.

Esto demuestra que (i) ⇒ (ii).

Sea (εn)n≥1, con εn > 0, cualquier sucesion que converge a cero.

∀n ∃On tal que On ⊃ E y m∗ (On\E) < ε.

Sea G = ∩∞n=1On ∈ Gδ, entonces ∀n ≥ 1G ⊂ On por lo tanto:

G\E = G ∩ Ec ⊂ On ∩ Ec = On\E

entonces0 ≤ m∗(G\E) ≤ m∗(On\E) < εn → 0.

Por lo tantom∗(G\E) = 0

Esto demuestra que (ii) ⇒ (iv).


Demostremos ahora que (iv) ⇒ (i). Bastara demostrar que m∗(A ∩ E) +m∗(A ∩ Ec) ≤ m∗A, para cualquier subconjunto de prueba A ⊂ R. Tenemosque A ∩ E ⊂ A ∩G, entonces m∗(A ∩ E) ≤ m∗(A ∩G). Por otra parte,

A ∩ Ec = (A ∩ Ec) ∩ R = (A ∩ Ec) ∩ (G ∪Gc)= (A ∩ Ec ∩G) ∪ (A ∩ Ec ∩Gc)= (A ∩G ∩ Ec) ∪ (A ∩Gc) ⊂ (G ∩ Ec) ∪ (A ∩Gc),

entonces

m∗(A ∩ Ec) ≤ m∗(G ∩ Ec) + m∗(A ∩Gc) = m∗(A ∩Gc),

pues m∗(G \ E) = 0.Por lo tanto,

m∗(A∩E)+m∗(A∩Ec) ≤ m∗(A∩G)+m∗(A∩Gc) = m∗A, pues G es medible.

Consideremos ahora la segunda cadena de implicaciones. Supongase que (i)se cumple y tomese un subconjunto E medible, entonces Ec es medible y por(ii), ∃ Oε ⊃ Ec abierto tal que m∗(Oε ∩ (Ec)c) < ε.Tomese el cerrado Fε = Oc

ε y observese que E ⊃ Ocε = Fε, por lo tanto

m∗(E\Fε) = m∗(E ∩ F cε ) ≤ m∗(E ∩ Oε) < ε.

Esto demuestra que (i) ⇒ (iii).

Sea (εn)n≥1, εn > 0, una sucesion convergente a cero, entonces por (iii),para todo n ≥ 1 existe un cerrado Fn tal que Fn ⊂ E y m∗(E ∩ F c

n) < εn. SeaF = ∪∞n=1Fn ∈ Fσ, como F ∈ Fσ ⇒ F c ∈ Fc

σ, y se tiene F ⊂ E. Ahora,dadoque Fc ⊂ F c

n,E\F = E ∩ F c ⊂ E ∩ F c

n ∀n ≥ 1,

por lo tanto

m∗(E\F ) = m∗ (∩∞n=1E ∩ F cn) ≤ m∗(E ∩ F c

n) < εn,

para todo n ≥ 1. Esto demuestra que

m∗(E\F ) = 0.

Es decir, (iii) ⇒ (v).

Sea E ⊂ R, tal que (v) se cumple para Ec; entonces existe F ∈ Fσ, F ⊂ Ec

tal que m∗(Ec\F ) = 0. Notese que f c ∈ Gδ y E ⊂ F c por lo tanto:

m∗(F c\E) = m∗(F c ∩ Ec) = m∗(Ec ∩ F c) = m∗(Ec\F ) = 0

consecuentemente (v) ⇒ (iv).


La ultima cadena de implicaciones se demuestra enseguida. Supongase que(ii) se cumple y sea ε > 0. Entonces existe un abierto O tal que E ⊂ Oy m∗(O\E) < ε

2 . Sea O = ∪∞n=1In la representacion de O como union deintervalos abiertos tales que In ∩ Im = ∅ ∀ n 6= m. Si E tiene medida finita,el abierto O se puede escoger con m∗O < ∞. Ademas por la σ-aditividad,

∞ > m∗O = m∗ ∪n≥1 In =∑

n≥1

m∗In,

es decir, la serie es convergente. Entonces existe un numero natural n0(ε) talque

∑n≥n0

m∗In < ε2 . Sea U =

⋃n0(ε)n=1 In.

Tenemos queE M U = (E\U) ∪ (U\E).

Pero

E\U = E ∩ Uc ⊂ O ∩ Uc = (∪∞n=1In) ∩ Uc

=(∪n0(ε)

n=1 In ∪ ∪∞n=n0+1In

)∩ Uc = ∅ ∪ Uc

= ∪∞n=n0+1In,

entoncesm∗(E\U) = m∗ (∪∞n=n0+1In

)=

∑

n≥n0

m∗In <ε

2.

Por otra parte U\E ⊂ O\E, entonces m∗(U\E) ≤ m∗(O\E) < ε2 .

Consecuentemente

m∗(E M U) = m∗(E\U) + m∗(U\E) ≤ ε

2+

ε

2= ε,

y por lo tantom∗(E M U) < ε.

Esto demuestra que (vi) se cumple.

Reciprocamente, si m∗E < ∞ y (vi) se cumple, para cada ε > 0 sea U =∪n

k=1Ik una union finita de intervalos abiertos con m∗(E M U) < ε2 . Tenemos

que m∗(E\U) ≤ m∗(E M U) < ε2 entonces existe una cubierta Jmm≥1 de

E\U por intervalos abiertos, tales que

∪m≥1Jm ⊃ E\U y m∗ (∪m≥1Jm) ≤∑

m≥1

`(Jm) <ε

2.

Sea O = U ∪ (∪m≥1Jm) , O es abierto y

E = (E\U) ∪ U ⊂ (∪m≥1Jm) ∪ U = O.

Observese que

O\E = U\E ∪ (∪m≥1Jm) \E = U\E ∪ (∪(Jm\E)) .

2.4. SUBCONJUNTOS NO MEDIBLES 33

Entonces

m∗(O\E) ≤ m∗(U\E) + m∗(∪m≥1(Jm\E))

<ε

2+ m∗(∪m≥1Jm) ≤ ε

2+

∑

m≥1

`(Jm) < ε.

Esto demuestra que (ii) se cumple.

2.4 Subconjuntos no medibles

En esta seccion demostraremos que la medida exterior de Lebesgue no es σ-aditiva. Para esto construiremos una sucesion V nn≥1 de subconjuntos ajenosde [0, 1] tal que

⋃n≥1 V n = [0, 1] pero

1 = m∗ (∪n≥1V n) 6=∞∑

n=1

m∗V n.

Entonces estos Vn’s son no medibles y esto demuestra que M & 2R.

Construccion de los Vn’s. Para cada α ∈ [0, 1] sea Eα = x ∈ [0, 1] : x−α ∈Q. Por ejemplo, E0 = [0, 1] ∩Q y E 1

2= E0 . De hecho,

E0 = Em para todo m =p

q, p, q ∈ Z, q 6= 0.

Pero Eπ46= E0 pues 1

2 /∈ Eπ4. De hecho

Eπ4∩ E0 = ∅,

pues si x ∈ Eπ4∩ E0, entonces x− π

4 = pq y x = r

s

⇒ π4 = r

s − pq ∈ Q, lo cual es una contradiccion.

De hecho tenemos lo siguiente:

i ∀α, Eα 6= ∅, pues α ∈ Eα.

ii Cada Eα es numerable pues la funcion x → x− α es una biyeccion de Eα

sobre Q.

iii Si Eα ∩ Eβ 6= ∅ entonces Eα = Eβ .

iv ∪αEalpha = [0, 1].

Pues si x ∈ Eα∩Eβ entonces x−α y x−β son racionales. Si y ∈ Eα, es decir,y−α ∈ Q, tenemos que y−β = (y−α)+(α−β), y (x−β)−(x−α) = α−β ∈ Q.Entonces y − β ∈ Q, es decir y ∈ Eβ . De manera analoga Eβ ⊂ Eα.


Dada la coleccion Eα con α ∈ [0, 1] y tal que α − β /∈ Q para cualquierβ ∈ [0, 1], por el Axioma de Eleccion podemos elegir exactamente un repre-sentante xα de cada Eα. Sea V el subconjunto formado con estos representantesxα’s. Notese que en V solo hay un racional y ningun par de elementos de estesubconjunto difieren en un racional.

Ahora considerese una lista de los racionales en [0, 1], q1, q2, . . . y para cadan ≥ 1 sea Vn = qn+V donde + denota suma modulo 1; es decir

x+y =

x + y si x + y < 1x + y − 1 si x + y ≥ 1.

Necesitaremos el siguiente resultado.

Lema 2.4.1. Si A ⊂ [0, 1], entonces m∗(x+A) = m∗A ∀x ∈ [0, 1]

Demostracion. Si A es un intervalo x+A = (a+x]∪[0, b+x−1] y m∗(x+A) =1− a− x + b + x− 1 = b− a. De manera analoga se demuestra el caso cuandoA = O = ∪∞n=1In, In ∩ Im = ∅ si n 6= m.

Para A ⊂ [0, 1] se tiene

m∗(x+A) = inf

∞∑n=1

`(In) : ∪nIn ⊃ x+A, In abierto

= infm∗(x+O) : A ⊂ −x+O, O abierto

= m∗A.

Tenemos que

(i) Vn ∩Vm = ∅ si n ≤ m.

Pues si x ∈ Vn ∩ Vm, entonces existen xα, xβ ∈ V tales que x = xα + qn

y x = xβ + qm de aquı se ve que xα − xβ = qm − qn ∈ Q lo cual esuna contradiccion.

(ii) ∪∞n=1Vn = [0, 1]. Pues obviamente ∪∞n=1Vn ⊂ [0, 1], y si x ∈ [0, 1], existeEα tal que x ∈ Eα. De manera que

x = xα + qn ∈ Vn entonces x ∈ ∪n≥1Vn.

(iii) m∗ no es σ-aditiva. Pues si suponemos que m∗ es σ-aditiva, entonces porel Lema anterior,

1 = m∗[0, 1] = m∗ (∪∞n=1Vn) =∞∑

n=1

m∗Vn

=∞∑

n=1

m∗(qn+V) =∞∑

n=1

m∗V.

Lo cual es imposible.

2.5. ESPACIOS DE MEDIDA 35

2.5 Espacios de medida

Llamemos espacio medible a un par (X, Σ) donde X es un conjunto y Σ es unaσ−algebra de subconjuntos de X. Un espacio de medida es una terna (X, Σ, µ)donde X, Σ son como antes y µ : Σ → [0,∞) es una medida. Es decir:

(i) µ∅ = 0,(ii) µ (∪nEn) =

∑µEn,

para toda sucesion (En)n≥1 de subconjuntos disjuntos de Σ.

Ejemplo 2.5.1. (El espacio de medida de Lebesgue). En secciones ante-riores construimos el espacio de medida de Lebesgue (R, µ,m). Tenemos que

(i) m∗φ = 0 y φ ∈ µ entonces mφ = 0,

(ii) Si (En)∞n=1 es una sucesion de medibles disjuntos entonces

m (∪n≥1En) =∑

n≥1

mEn.

Ejemplo 2.5.2. Sea X cualquier conjunto y Σ = 2X la coleccion de todos lossubconjuntos de X. Para E ∈ 2X , defınase

µE = ∞ si E es infinito

]E si E es finito.

La terna (X, 2X , µ) es un espacio de medida.Demostracion. Tenemos que

(i) m∗φ = ]φ = 0,

(ii) Sea (En)n≥1 una sucesion de subconjuntos disjuntos de Σ,

Para demostrar la σ−aditividad consideraremos dos casos:

(a) ∪n≥1Enes finito,

(b) ∪n≥1Enes infinito.

En el primer caso solo un numero finito de sumandos son no vacıos, digamosE1, E2, . . . , En y como son ajenos

µ (∪n≥1En) = ] (∪nk=1Ek) =

∞∑

k=1

]Ek =∞∑

k=1

µEk porque ∀k > n ]Ek = 0.

Si (∪n≥1En) es infinito, puede ocurrir que existe En que es infinito. Eneste caso µEn = ∞ ≤ ∑∞

n=1 µEn, entonces∑∞

n=1 µEn = ∞ = µ(∪n≥1En).Si todos los En’s son finitos. Entonces existe una subsucesion (Enk

)k≥1 conEnk

6= ∅ ∀k ≥ 1, por lo tanto, ∞ =∑

k≥1 µEnk≤ ∑∞

n=1 µEn. Es decir∑∞n=1 µEn = ∞ = µ (∪n≥1En). Esto demuestra la σ-aditividad.


Ejercicio. Sea X = x1, x2, . . . , xn y λ : X → (0, 1) una funcion tal que∑nj=1 λ(xj) = 1. La terna (X, 2X ,P) es un espacio de medida, donde P : 2X →

[0, 1] esta definida para E ⊂ X mediante la relacion

P(E) =∑

xj∈E

λ(xj).

Definicion 2.5.3. Un espacio de medida (X,F ,P) es un Espacio de proba-bilidad si la medida P toma valores en el intervalo [0, 1], es decir P : F → [0, 1].

Ejercicio. (Delta de Dirac) Sea X 6= ∅ un conjunto y Σ = 2X . Para x0 ∈ Xy E ∈ Σ defınase

δx0E =

0 si x0 /∈ E1 si x0 ∈ E

(X, 2X , δx0) es un espacio de probabilidad.

Ejercicio En (R,M,m) considerese la sucesion (En = [n,∞))n≥1. Tenemosque E1 ⊃ E2 ⊃ E3 ⊃ . . . y ∩n≥1En = ∅, entonces µ (∩n≥1En) = 0. PeroµEn = ∞ para todo n ≥ 1, entonces m(∩nEn) 6= limn mEn. ¿ Porque esto nocontradice el resultado de la Proposicion ???

Ejercicio. Sea X un conjunto no numerable. Sea F la coleccion de los subcon-juntos de X que son contables (finitos o numerables) o que tienen complementocontable. Demuestre que

(a) F es una σ−algebra.

Para E ∈ F defınase

µE =

0 si E es contable1 si Ec es contable

(b) µ : F → [0, 1] es medida de probabilidad.

Capıtulo 3

Funciones medibles

En este capıtulo y el siguiente consideraremos funciones que pueden tomar losvalores ±∞. Es decir consideraremos funciones con valores en el conjuntoR] = R ∪ −∞,∞, al que llamaremos conjunto de los numeros reales exten-didos. La relacion de orden y las operaciones aritmeticas se pueden extender aR] de la siguiente manera:

Orden : dados a, b ∈ R] a ≤ b ⇔ a ≤ b, a, b ∈ R−∞ < a ∀a ∈ R, b < ∞ ∀b ∈ R.

Operaciones aritmeticas: para x ∈ R,

(i) x +∞ = ∞, x−∞ = −∞

(ii) x · ∞ = ∞ si x > 0

(iii) x · (−∞) = −∞ si x > 0

(iv) 0 · ∞ = 0

(v) ∞+∞ = ∞, −∞−∞ = −∞

(vi) ∞ · (±∞) = ±∞, −∞ · (±∞) = ∓∞

(vii) ∞−∞ permanece indefinida.

Para −∞ ≤ a ≤ b ≤ ∞ podemos definir los siguientes intervalos: [a, b] =x : a ≤ x ≤ b, (a, b] = x : a < x ≤ b, (a, b) = x : a < x < b,[a, b) = x : a ≤ x < b, por ejemplo R] = [−∞,∞].

Si llamamos abierto a todo subconjunto O ⊂ R] tal que O ∩ R es abierto y

• si +∞ ∈ O, existe una vecindad x : a < x ≤ +∞ ⊂ O;

• si −∞ ∈ O, existe una vecindad x : −∞ ≤ x < ⊂ O,

37

38 CAPITULO 3. FUNCIONES MEDIBLES

con a, b ∈ R. Entonces con esta topologıa R] es un espacio topologico compacto,es decir, R] es una compactificacion de R. Pero esta no es la unica manera decompactificar la recta real.

Si A ⊂ R] es no vacıo, entonces existen el supremo y el ınfimo de A a losque denotaremos por supA e infA, respectivamente.

Proposicion 3.0.4. Sea f : E → R], donde E es un subconjunto medible.Entonces la siguientes proposiciones son equivalentes:

(i) ∀α ∈ R f−1((α,∞]) = x ∈ E : f(x) > α es medible(ii) ∀α ∈ R f−1([α,∞]) = x ∈ E : f(x) ≥ α es medible(iii) ∀α ∈ R f−1([−∞, α)) = x ∈ E : f(x) < α es medible(iv) ∀α ∈ R f−1([−∞, α]) = x ∈ E : f(x) ≤ α es medible.

Y cada una de estas implica que

(v) ∀α ∈ R] el conjunto f−1(α) = x ∈ E : f(x) = α es medible

Demostracion. (i) ⇒ (iv); pues x ∈ E : f(x) ≤ α = E\x ∈ E :f(x) > α y como f−1((α,∞]) es medible, f−1((−∞, α]) tambien es medible.

De manera analoga se demuestra que (iv) ⇒ (i) y (ii) ⇒ (iii).

Demostremos ahora que (i) ⇒ (ii). Sea αn → α con αn < α. Entonces[α,∞] = ∩n≥1(αn,∞], consecuentemente f−1([α,∞]) = f−1 (∩n≥1(αn,∞]) =∩n≥1f

−1(αn,∞] es medible.Para demostrar que (ii) ⇒ (i), sea αn → α con αn > α. Entonces (α,∞] =

∪n≥1[αn,∞], por lo tanto f−1(α,∞] = f−1 (∪n≥1[αn,∞]) = ∪n≥1f−1[αn,∞],

que es medible.Finalmente, tenemos que α = [α,∞] ∩ [−∞, α], entonces f−1(α) =

f−1([α,∞])∩ f−1([−∞, α]), que es medible para α ∈ R. Ademas, si αn → −∞entonces x ∈ E : f(x) = −∞ = ∩n≥1x ∈ E : f(x) ≤ αn. Y de maneraanaloga, si βn → ∞ entonces x ∈ E : f(x) = ∞ = ∩n≥1x ∈ E : f(x) ≥βn.Definicion 3.0.5. Una funcion f : E → R] es medible (o mas propiamente,Lebesgue-medible) si E es medible y se cumple cualesquiera de las afirmaciones(i)− (iv) en la proposicion anterior.

Una funcion s : E → R] es simple si existen subconjuntos E1, E2, . . . , En

medibles tales que Ei ∩ Ej = ∅ y

s(x) =n∑

j=1

cjχEj (x),

con cj , 1 ≤ j ≤ n numeros reales.

Corolario 3.0.6. Sea E medible

39

(a) Si f : E → R] es continua, entonces f es medible.

(b) Si s : E → R] es simple, entonces es medible.

(c) Si f : E → R] es medible y F ⊂ E, F medible, entonces f |F : F → R]

es medible.

Demostracion.

(a) Para α ∈ R, (α,∞] es abierto en R] y por la continuidad de f, f−1(α,∞]es abierto, por lo tanto es medible y x ∈ E : f(x) > α = f−1(α,∞]∩Ees medible.

(b) Sea α ∈ R, entonces s−1(α,∞] = x ∈ E : s(x) > α = E ∩∪ck>αEk (conunion vacia igual al vacio), que es medible.

(c) Tenemos que x ∈ F : f(x) > α = F ∩ x ∈ E : f(x) > α, entoncescomo F es medible y x ∈ E : f(x) > α es medible obtenemos quex ∈ F : f |F (x) > α tambien es medible.

(d) Se tiene que h−1(α,∞] = f−1(g−1(α,∞]). Como g−1(α,∞] es abiertopodemos escribir g−1(α,∞] = ∪n≥1In donde In es un intervalo abiertopara cada n ≥ 1. Ahora, h−1(α,∞] = f−1(∪n≥1In) = ∪n≥1f

−1(In) ycada f−1(In) es medible para cada n ≥ 1.

Proposicion 3.0.7. Sean c una constante real y f, g dos funciones mediblescon valores reales y con el mismo dominio medible. Entonces las funcionesf + c, cf, f + g, g − f, f · g son medibles.

Demostracion.

(i) Si f, g : E → R son medibles, entonces (f + g)−1[−∞, α) = x ∈ E :f(x) + g(x) < α. Si f(x) + g(x) < α entonces f(x) < α − g(x) y por lotanto existe rx ∈ Q tal que f(x) < rx < α− g(x). Entonces

x ∈ E : f(x)+g(x) < α = ∪r∈Qx ∈ E : f(x) < r∩x ∈ E : g(x) < α−r,

que es medible pues es una union numerable de medibles.

(ii)

(f + c)−1(−∞, α) = x ∈ E : f(x) + c < ∞ = x ∈ E : f(x) < α + c,

es medible.


(iii) Si c 6= 0, tenemos que

x ∈ E : c · f(x) < α = x ∈ E : f(x) <α

c,

es medible.

Si c = 0,

x ∈ E : c · f(x) < α = ∅ si α ≤ 0

E si α > 0,

que es medible.

(iv) Por (iii), con c = −1 se tiene que −f es medible y aplicando (i) se obtieneque g − f es medible.

(v) Para mostrar que f · g es medible, primero veamos que f2 es medible.Para α ≥ 0;

x ∈ E : f2(x) < α = x ∈ E : |f(x)| < √α

= x ∈ E : f(x) <√

α ∩ x ∈ E : f(x) > −√α,

que es medible. Y si α < 0,

x ∈ E : f2(x) < α = ∅,

que es medible.

Ahora, aplicando los incisos anteriores se ve que f ·g =12[(f + g)2 − f2 − g2]

es medible.

La hipotesis que f y g tomen valores reales es necesaria porque en otro casof + g no estarıa bien definida en los puntos donde f(x) = ∞ y g(x) = −∞Teorema 3.0.8. Sea (fn)n≥1 una sucesion de funciones medibles con el mismodominio medible E entonces las funciones supf1, . . . , fn, inff1, . . . , fn,supn fn, infn fn, limnfn y limnfn son medibles; donde

supf1, . . . , fn(x) = supf1(x), f2(x), . . . , fn(x),(

supn

fn

)(x) = sup

nfn(x) = sup

nf1(x), f2(x), . . .

y(limnfn

)(x) = limnfn(x).

Demostracion. Por ejemplo si h(x) = supf1(x), f2(x), . . . , fn(x), x ∈ E,entonces

x ∈ E : h(x) > α = ∪nj=1x ∈ E : fj(x) > α,

resulta medible pues cada x ∈ E : fj(x) > α es medible.

41

Ası mismo, si h(x) = supnf1(x), f2(x), . . . , x ∈ E, tenemos que

x ∈ E : h(x) > α = ∪∞j=1x ∈ E : fj(x) > α,

que es medible.Ahora sea L(x) = limnfn(x), x ∈ E, es decir, L(x) = infn supk≥n fk(x).

Demostremos que infnf1(x), . . . es medible. Si k(x) = infnf1(x), f2(x), . . . , x ∈E, entonces x ∈ E : k(x) > α = ∩∞j=1x ∈ E : fj(x) > α. Por lo tanto k(x)es medible. Ahora si fk(x) = supj≥k fj(x), tenemos que

x ∈ E : L(x) > α = ∩∞j=1x ∈ E : fj(x) > α= ∩∞j=1 (∪k≥jx ∈ E : fj(x) > α) ,

entonces limnfn es medible.De manera analoga se demuestra que limnfn es medible.

Corolario 3.0.9. El lımite puntual de una sucesion de funciones medibles esmedible.

Demostracion. Una sucesion (fn)n≥1 de funciones definidas de subconjuntosE de R con valores en R] converge puntualmente si y solo si

limn

fn(x) = limnfn(x) ∀x ∈ E.

El resultado se sigue pues limnfn y limnfn son medibles.

Teorema 3.0.10. Sea f una funcion medible definida en [a, b] ⊂ R y tal quemx ∈ [a, b] : f(x) = ±∞ = 0. Entonces para cada ε > 0 existen una funcionescalonada gε y una funcion continua hε tales que

|f−hε| < ε y |f−gε| < ε excepto en un subconjunto de medida menor que ε.

Es decir,mx ∈ [a, b] : |f(x)− g(x)| ≥ ε < εmx ∈ [a, b] : |f(x)− h(x)| ≥ ε < ε.

Ademas si m ≤ f ≤ M, entonces g y h se pueden elegir acotadas con las mismascotas.

Demostracion. Separaremos la demostracion en varias partes.(a) Dado ε > 0 ∃ M > 0 tal que |f | ≤ M excepto en un subconjunto demedida menor que

ε

3. Es decir

mx ∈ [a, b] : |f(x)| > M <ε

3.


Esto se demuestra de la siguiente manera.

Sea En = x ∈ [a, b] : |f(x)| ≥ n= x ∈ [a, b] : |f(x)| > n ∪ x ∈ [a, b] : |f(x)| = n.

Cada En es medible y En ⊃ En+1, pues si |f(x)| > n + 1, entonces |f(x)| > n.Ademas

mEn ≤ m[a, b] = b− a < ∞ ∀n.

Entonces por la Proposicion 2.3.17 m (∩n≥1En) = lim mEn y mx ∈ [a, b] :|f(x)| = ∞ = m (∩n≥1En). Por lo tanto limmEn = 0.

Paraε

3> 0 existe Nε ≥ 1 tal que mEn <

ε

3∀n ≥ 1. Tomese M = Nε + 1,

entonces mx ∈ [a, b] : |f(x)| > M < ε3 .

(b) Dados ε > 0 y M > 0, existe una funcion simple tal que |f − ϕ| < ε,excepto en aquellos puntos donde |f(x)| > M .

Para demostrar esto dividamos a [−M, M ] en n subintervalos iguales. Es

decir sea ε > 0, tomese n tal que2M

n< ε y consideremos la particion

P = −M,−M +2M

n, . . . , M.

Sea

Ek = f−1

([−M +

2(k − 1)Mn

,−M +2kM

n

])

= x ∈ [a, b] : −M +2(k − 1)M

n< f(x) < −M +

2kM

n,

1 ≤ k ≤ n. Cada Ek es medible y podemos definir una ϕ de la siguiente manera

ϕn(x) =n∑

k=1

(−M +

2kM

n

)χEk

.

Para x ∈ Ek tenemos que |f(x)− ϕn(x)| < 2M

n< ε, pero ∪n

k=1Ek = [a, b]\E,

donde E = mx ∈ [a, b] : |f(x)| > M; pues

[a, b]\E = f−1([−M, M ])

= f−1

(∪n

k=1

[−M +

2(k − 1)Mn

,−M +2kM

n

])

= ∪nk=1f

−1

([−M +

2(k − 1)Mn

,−M +2kM

n

])= ∪n

k=1Ek.

Ademas Ek ∩ Ek′ = ∅, k 6= k′.

(c) Existe una funcion escalonada g en [a, b] tal que g(x) = ϕ(x), excepto enun subconjunto de medida menor que ε

3 .

43

Para obtener esta funcion observese que cada Ek del inciso anterior es med-ible y Ek ⊂ [a, b], entonces mEk < ∞, k = 1, 2, . . . , n. Para cada k, existeIk

` mk

`=1 coleccion finita de intervalos tales que

m(Ek M ∪mk

`=1Ik`

)<

ε

3n.

Sin perdida de generalidad podemos suponer que estos subintervalos son disjun-tos. Sea

g(x) =(−M +

2kM

n

)χ⋃mk

`=1 Ik`(x) para x ∈ Ek ∩ ∪mk

`=1Ik` .

Esta funcion es escalonada pues

χ∪kj=1Ij

= χI1 + χI2 + · · ·+ χIk.

Ademas g(x) = ϕ(x) excepto en A = ∪nk=1

(Ek M ∪mk

`=1Ik`

)y

mA ≤n∑

k=1

m(Ek M ∪mk

`=1Ik`

) ≤n∑

k=1

ε

3n=

ε

3.

(d) Notese que

g(x) =n∑

k=1

(−M +

2kM

n

)χ∪mk

`=1Ik`(x)

=m∑

j=1

cjχIj (x)

para algunos cj ∈ R. Podemos escribir Ij = [aj−1, aj ] para 1 ≤ j ≤ m.

En el intervalo(a1 − ε

6m, a1 +

ε

6m

)se define h como el segmento que une(

a1 − ε

6m, c1

)con

(a1 +

ε

6m, c2

)y ası para cada subintervalo de la particion.

De esta manera conseguimos una funcion continua h(x) tal que h(x) = g(x)excepto en

∪mj=1

(aj − ε

6m, aj +

ε

6m

).

Pero

m(∪m

j=1

(aj − ε

6m, aj +

ε

6m

))=

m∑

j=1

ε

3m=

ε

3.

En resumen tenemos que:

(i) |f − ϕ| < ε, excepto en E1 ⊂ [a, b] con mE1 < ε3 ,


(ii) ϕ = g excepto en E2 ⊂ [a, b] con mE2 < ε3 ,

(iii) h = g excepto en E3 ⊂ [a, b] con mE3 < ε3 .

Entonces |f − g| < ε excepto en E2 ∪ E1 y m(E1 ∪ E2) < ε. Y |f − h| < εexcepto en E3 ∪ E2 ∪ E1. Pero m(E1 ∪ E2 ∪ E3) < ε.

3.1 Casi dondequiera

Si una condicion, por ejemplo f(x) = g(x), se cumple excepto en un conjuntode medida cero, diremos que esta condicion se cumple casi donde quiera demanera breve escribiremos c.d. De manera mas general, si E es un subconjuntomedible y P es una propiedad, la frase P se cumple casi donde quiera en Esignifica que existe un subconjunto N de medida cero tal que la propiedad secumple en cada punto de E \N .

Proposicion 3.1.1. Si f : E → R] es medible y f = g c.d en E, entonces g esmedible.

Demostracion.Los subconjuntos E1 = x ∈ E : f(x) > α y E2 = x ∈ E :g(x) > α difieren a lo mas por unconjunto de medida cero. Es decir,E1 \E2 yE2 \ E1 sonmedibles y m(E14E2) = 0. Podemos escribir:

E2 = (E1 ∪ (E2 \ E1)) \ (E1 \ E2)

EntoncesE2 esmedible si E1 lo es.

Ejercicios.

1.- Demuestre que si una sucesion (fn)n≥1 de funciones medibles convergecasi dondequiera a una funcion f, entonces f es medible.

2.- Dada una funcion f : ω → R,de ejemplos que demuestren que la condicion“f es continua c.d en ω” no implica ni es implicada por la condicion “existeuna funcion continua g : ω → R tal que f = g c.d.”

3.2 Los teoremas de Egoroff y Lusin

Aparentemente existe una gran diferencia entre los conjuntos medibles y los con-juntos abiertos o con los intervalos entre las funciones medibles y las continuas,de manera que la intuicion se pierde al trabajar con subconjuntos y funcionesmedibles.En realidad la diferencia no es tanta, de acuerdo con el Teorema 2.3.17un subconjunto medible es casi un abierto,un cerrado o una union de intervalossi tiene medida finita; ası mismo, de acuerdo con el Teorema 3.0.10 una funcionmedible es casi una funcion continua. Algo similar ocurre entre las sucesiones

3.3. APENDICE 45

que convergen casi donde quiera y las que convergen uniformemente, tal comodemostraremos en esta seccion, de manera que tambien podemos decir que unasucesion que converge c.d casi converge uniformemente. Una forma rigurosa deesto esta contenida en el Teorema de Egoroff que demostraremos enseguida.

Teorema 3.2.1. Egoroff Si (fn)n≥1 es una sucesion de funciones medibles queconverge c.d a una funcion con valores reales medible f sobre un subconjuntomedible E de medida finita, entonces para cada ε > 0 existe un subconjuntomedible F ⊂ E, con mF < ε tal que (fn)n≥1 converge a f uniformemente enE\F .

Demostracion.Para cada ε > 0 y cada n ≥ 1,sean (εn)n≥1 una sucesion de-creciente con limnεn = 0 y δn = fraccε2n. Sea Γ el subconjunto de E donde(fn)n≥1 no converge.

SeaGn,k = x ∈ E \ Γ : |fk(x)− f(x)| ≥ εn,

y

En,K = ∪k≥KGn,k = x ∈ E \ Γ : |fk(x)− f(x)| ≥ εn, paraalgunak ≥ K.La sucesion (En,K)K≥1 es decreciente y como para cada x ∈ E \ Γ se tieneque fn(x) → f(x), entonces debe de existir algun K ≥ 1 tal que x /∈ En,K ,esdecir, ∩K≥1En,k = ∅.Por la parte (i) de 2.3.16, se tiene que limKm(En,K) =0.Entonces existe Kn tal que m(En,Kn) < δn,es decir:

mx ∈ E \ Γ : |fk(x)− f(x)| ≥ εn, paraalgunak ≥ Kn < δn

Sea En = En,Kn ,tenemos que mEn < δn y

(E \ Γ), En = x ∈ E \ Γ : |fk(x)− f(x)| < εn, paratodok ≥ KnTomese F = Γ ∪ ∪n≥1En, tenemos que mF ≤ ∑

n≥1 mEn = ε y E \ F =∩n≥1(E \ Γ) \ En. Para cada η > 0, existe n ≥ 1 tal que εn < η, por lo tanto,|fk(x)− f(x)| < η si k ≥ Kn para todo x ∈ E \F . Es decir la sucesion convergeuniformemente en E \ F .

Ejercicio. Demuestre lo siguiente (Teorema de Lusin): Sea f una funcioncon valores reales y medible en un intervalo cerrado [a, b]. Dado ε > 0 existeuna funcion continua g en [a, b] tal que mx : f(x) 6= g(x) < ε.

Sugerencia: Aplique el Teorema de Egoroff y las Proposiciones 2.3.17,3.0.10.

3.3 Apendice

En este apendice incluimos algunos resultados importantes sobre puntos lımitey lımites superior e inferior de una sucesion en R]. Dejamos la demostracion deellos como un ejercicio para el lector.


Dada una sucesion (sn)n∈N de numeros reales se tiene que

s = limn

sn ⇔ ∀ε > 0 ∃Nε ∈ N tal que |s− sn| < ε ∀n > Nε.

Debilitando un poco esta condicion se obtiene la nocion de punto lımite: `es un punto lımite de (sn)n∈N si ∀ε > 0 existen una infinidad de terminos dela sucesion (sn)n≥1 que distan de el menos que ε > 0. De manera mas precisatenemos.

Definicion 3.3.1. ` es punto lımite de (sn)n≥1 si y solo si dados ε > 0 y N ≥ 1existe n = nε ≥ N tal que |sn − `| < ε.

Una forma equivalente de expresar este concepto esta contenida en la sigu-iente.

Proposicion 3.3.2. ` es punto lımite de una sucesion de numeros reales (sn)n≥1

si y solo si existe una subsucesion (snk)k≥1 de (sn)n≥1 tal que ` = limk snk

.

Demostracion. Sea ` un punto lımite de (sn)n≥1 y tomen ε =1k

,N = k.

Entonces para cada k existe nk ≥ k tal que |snk− `| < 1

k, por lo tanto la

subsucesion (snk)k≥1 converge a `.

Reciprocamente, si ` = limk snk, (snk

)n≥1 subsucesion de (sn)n≥1. En-tonces para cada ε > 0 ∃kε ≥ 1 tal que |snk

− `| < ε, si nk ≥ kε. Entoncesdados ε > 0 y N ≥ 1 sea nε ≥ max(kε, N). Tenemos que |snk

− `| < ε.

Si (sn)n≥1 es una sucesion de reales extendidos ` es un punto lımite si ` ∈ Ry se cumple la condicion de la definicion, o bien ` = ±∞ y existe (snk

)k≥1

subsucesion de (sn)n≥1 tal que snk→ `.

Si ` = limn sn entonces ` es punto lımite de (sn)n≥1. El recıproco no escierto, por ejemplo sn = 1 + (−1)n no es convergente pero si tiene puntoslımites.

Definicion 3.3.3. Si (sn)n≥1 es una sucesion de reales extendidos definimossu lımite superior y su lımite inferior como,

(i) limn sn = infn supk≥n sk

(ii) limn sn = supn infk≥n sk ,

respectivamente.

Recuerde que “Todo subconjunto de reales extendidos tiene supremo e ınfimosi es no vacıo.”

Considerese la sucesion sn = supk≥n sk = supsn, sn+1, . . . . Como sn+1 =supsn+1, sn+2, . . . , entonces sn+1 ≤ sn,; es decir, la sucesion (sn)n≥1 es no-creciente en R]. Entonces existe

limn

sn = infs1, s2, . . . , = limn

sn.

3.3. APENDICE 47

De manera analoga, si sn = infk≥n sk = infsn, sn+1, sn+2, . . . , la sucesion(sn)n≥1 es monotona no-decreciente en R], y por lo tanto

limn

sn = supn

sn = limnsn.

Proposicion 3.3.4. (a) Sea L ∈ R, L = limnsn si y solo si

(a.i) Para cada ε > 0 existe n tal que sk < L + ε para todo k ≥ n;

(a.ii) Dados ε > 0 y n ≥ 1, existe k′ ≥ n tal que s′k > L + ε.

(b) Sea ` ∈ R, ` = limnsn si y solo si

(b.i) Dado ε > 0 existe n tal que sk > `− ε para todo k ≥ n;

(b.ii) Dados ε > 0 y n ≥ 1, existe k′ ≥ n tal que sk′ < `− ε.

La condicion (b) en la Proposicion anterior es dual de la condicion (a).

Teorema 3.3.5. Sea (sn)n≥1 una sucesion en R] y

L = ` ∈ R] : ` es punto lımite de (sn)n≥1o bien,

L = ` ∈ R] : existe una subsucesion (snk)k≥1 de (sn)n≥1tal que snk

→ `.Entonces

limnsn = inf L y limnsn = supLlimnsn, limnsn ∈ L.

Observe que la sucesion (sn)n≥1 es convergente si y solo si L tiene solo unpunto.

Corolario 3.3.6. Una sucesion (sn)n≥1 en R] es convergente si y solo si

limnsn = limn

sn.

Proposicion 3.3.7. Supongase limnsn y limnsn ∈ R, entonces

(i) limn(−sn) = −limnsn

(ii) limnsn ≤ limnsn

(iii)limnsn + limntn ≤ limn(sn + tn) ≤ lim

nsn + limntn

≤ limn

(sn + tn) ≤ limn

sn + limn

tn.

Capıtulo 4

La integral de Lebesgue

La integral de Riemann es la primera generalizacion, a una clase mas grande defunciones del concepto de integral de una funcion continua, definido rigurosa-mente por Cauchy. Sin embargo la integral de Riemann no resulto suficientepara tratar algunos problemas de la teorıa de series de Fourier, ni tampoco esapropiada para aplicaciones en otras areas de las Matematicas, por ejemplo enProbabilidad. La integral de Lebesgue cumple estos requisitos y por esta razones una herramienta indispensable en Matematicas.Ademas, los teoremas de intercambio de lımites con integrales son mucho maspoderosas cuando se formulan en terminos de la integral de Lebesgue en lugarde la integral de Riemann.

En este capıtulo definiremos la integral de Lebesgue siguiendo un esquemasimilar al aplicado en el Capıtulo 1 a la integral de Riemann. En lugar de lasfunciones escalonadas que usamos para construir la integral de Riemann, aquıusaremos una clase mas amplia de funciones, las funciones simples.

Una funcion simple es una combinacion lineal de la forma

s(x) =n∑

j=1

ajχEj (x),

donde los E′js son subconjuntos medibles de R y aj ∈ R, j = 1, 2, . . . , n.

Igual que en el caso de las funciones escalonadas esta representacion no es unica.Observese que una funcion S es simple si y solo si es medible y toma solo un

numero finito de valores. Si a1, . . . , an son los valores de una funcion simples, entonces

s(x) =n∑

j=1

ajχAj (x),

con Aj = s−1(aj) = x ∈ R : s(x) = aj, j = 1, 2, . . . , n. Esta ultima es larepresentacion canonica de s, tiene la propiedad de que los A′js son disjuntosy los a′js son distintos y no nulos.

49

50 CAPITULO 4. LA INTEGRAL DE LEBESGUE

De manera similar que en el caso de funciones escalonadas, si s es una funcionsimple que se anula fuera de un subconjunto de medida finita, definimos suintegral de Lebesgue s mediante

∫sdm =

n∑

j=1

ajmAj ,

cuando s =∑n

j=1 ajχAj, es la representacion canonica de s.

Tambien como en el caso de las funciones escalonadas, la integral de Lebesguede una funcion escalonada no depende de la representacion elegida.

Proposicion 4.0.8. Sea s =∑n

j=1 ajχEj , con Ei ∩ Ej = ∅ para i 6= j.Supongase ademas que cada subconjunto Ej es medible con medida finita,entonces

∫sdm =

n∑

j=1

ajmEj .

Demostracion. Sea Aj = x ∈ R : s(x) = aj = ∪ai=aj Ei.Entonces

ajmAj =∑

ai=aj

aimEi por la aditividad de m

por lo tanto ∫sdm =

∑

j=1

ajmAj =∑

i

aimEi.

Proposicion 4.0.9. Si s y t son funciones simples que se anulan fuera de unsubconjunto de medida finita, entonces

(i)∫

(as + bt)dm = a∫

sdm + b∫

tdm, para cualesquiera a, b ∈ R(ii)

∫sdm ≤ ∫

tdm, si s ≤ t c.d.

Demostracion. Si (Aj)nj=1 y (Bj)

mj=1 son los subconjuntos que aparecen en

la representacion canonica de s y t, respectivamente, y A0 y B0 los subconjuntosdonde s y t se anulan; entonces (Ai ∩Bj)0≤i≤n,0≤j≤m es una coleccion finitade subconjuntos medibles y disjuntos que podemos reenumerar y denotar por(Ek)N

k=1. Podemos escribir

s =N∑

k=1

akχEky t =

N∑

k=1

bkχEk,

consecuentemente

as + bt =N∑

k=1

(aak + bbk)χEk

51

por la proposicion anterior obtenemos que

∫(as + bt)dm = a

∫sdm + b

∫tdm.

Ahora, como t− s ≥ 0, entonces

∫tdm−

∫sdm =

∫(t− s)dm ≥ 0.

Esto demuestra (ii).

Como consecuencia de esta ultima proposicion y el principio de induccionmatematica, se obtiene que para cada funcion simple s =

∑nj=1 ajχEj se tiene

que∫

sdm =∑n

j=1 ajmEj .De manera que la hipotesis Ei ∩ Ej = ∅ si i 6= j en la primera proposicionno es esencial.

Si s es una funcion simple y E un subconjunto medible, definimos

∫

E

sdm :=∫

sχEdm

Notese que sχE tambien es una funcion simple, por lo tanto el lado derechode la igualdad anterior tiene sentido.

Proposicion 4.0.10. Si s es una funcion simple que se anula fuera de un con-junto de medida finita E y E = E1 ∪E2 con E1, E2 medibles y disjuntos,entonces

∫

E

sdm =∫

E1

sdm +∫

E2

sdm

Demostracion. Supongase que s =∑n

j=1 cjχFj , cj ∈ R y Fj mediblepara 1 ≤ j ≤ n y E = ∪n

j=1Fj .

Tomemos las restricciones s|E1 =∑n

j=1 cjχE1∩Fj y s|E2 =∑n

j=1 cjχE2∩Fj .


Tenemos que∫

sdm =n∑

j=1

cjmFj =n∑

j=1

cj(mE1 ∩ Fj + mE2 ∩ Fj)

=n∑

j=1

cjm(E1 ∩ Fj) +n∑

j=1

cjm(E2 ∩ Fj)

=∫ n∑

j=1

cjχE1∩Fj dm +∫ n∑

j=1

cjχE2∩Fj dm

=∫ n∑

j=1

cjχE1χFj dm +∫ n∑

j=1

cjχE2χFj dm

=∫

s · χE1dm +∫

s · χE2dm

=∫

E1

sdm +∫

E2

sdm

Hemos usado que χA∩B = χAχB ..

Teorema 4.0.11. Sea f una funcion acotada definida en un subconjunto med-ible E con mE < ∞. Los siguientes enunciados son equivalentes :

(i) f es medible,

(ii) Para cada ε > 0, existen dos funciones simples s y t tales ques(x) ≤ f(x) ≤ t(x), para todo x ∈ E y

∫

E

tdm−∫

E

sdm < ε.

Demostracion. Sea M la cota de M y supongase que f es medible. Lossubconjuntos

Ek =

x ∈ E :kM

n≥ f(x) ≥ (k − 1)M

n

, −n ≤ k ≤ n,

son medibles, ajenos y E = ∪nk=−nEk. Consecuentemente mE =

∑nk=−n mEk.

Las funciones simples definidas por

sn(x) =M

n

n∑

k=−n

(k − 1)χEk(x) y tn(x) =

M

n

n∑

k=−n

kχEk(x),

satisfacen las desigualdades sn(x) ≤ f(x) ≤ tn(x), para cada x ∈ E.Ademas

∫

E

tndm−∫

E

sndm =M

n

n∑

k=−n

(k − (k − 1))mEk

=M

nmE.

53

Dado ε > 0, para n suficientemente grande tenemos que∫

E

tndm−∫

E

sndm < ε.

Esto demuestra que (i) implica (ii).

Reciprocamente, supongase que (ii) se cumple y para cada n ≥ 1 seansn y tn funciones simples tales que sn(x) ≤ f(x) ≤ tn(x), y

∫

E

tndm−∫

E

sndm <1n

.

Las funciones s = supn sn y t = infn tn son medibles por el Teorema ?? yademas sn(x) ≤ f(x) ≤ tn(x), para todo x ∈ E.Sea F = x ∈ X : s(x) < t(x) y para cada k ≥ 1 sea

Fk =

x ∈ X : s(x) < t(x)− 1k

.

Tenemos que

F = ∪k≥1Fk y Fk ⊂ Fk,n =

x ∈ E : s(x) < tn(x)− 1k

para todo n ≥ 1; pues sn(x) ≤ s(x) < t(x)− 1k≤ tn(x)− 1

kpara todo

n ≥ 1.Por lo tanto se tiene que

1k

χFk(x) < tn(x)− sn(x), para todo x ∈ Fk y todo n ≥ 1

Integrando se obtiene

1k

mFk <

∫

Fk

tndm−∫

Fk

sndm

≤∫

E

tndm−∫

E

sndm

<1n

, para todo n ≥ 1

Es decir, mFk <k

npara todo n ≥ 1, lo cual demuestra que mFk = 0.

Consecuentemente mF = 0 pues F = ∪k≥1Fk. Esto implica que s = f = t c.d.y por lo tanto f es medible.

Con las mismas notaciones de la demostracion anterior tenemos que∫

E

sndm ≤ sup∫

E

sdm : s es simple y s ≤ f


y ∫

E

tndm ≥ inf∫

E

tdm : t es simple y t ≥ f

,para cada n ≥ 1

Entonces

0 ≤ inf∫

E


− sup

∫

E


≤∫

E

tndm−∫

E

sndm =M

nmE, para cada n ≥ 1.

Permitiendo que n → ∞ obtenemos que, si alguna de las condiciones en elteorema anterior se cumple, entonces

inf∫

E

tdm : t es simple y f ≤ t

= sup

∫

E


.

Esto motiva la siguiente

Definicion 4.0.12. Si f es medible y acotada definida en un subconjunto med-ible E con mE < ∞, la integral de f sobre E se define como

∫

E

fdm = inf∫

E

tdm : t es simple y f ≤ t

= sup∫

E


.

Si E = [a, b], a < b, entonces escribiremos∫ b

afdm en lugar de

∫[a,b]

fdm.Si f es medible, acotada y nula fuera de un subconjunto de medida finita E,escribiremos simplemente

∫fdm en lugar de

∫E

fdm. Con esta convecciontenemos que

∫E

fdm =∫

f · χEdm.

La diferencia entre las integrales de Riemann y Lebesgue se aprecia muybien en el caso de funciones escalonadas, que tambien son simples.Por ejemplo, consideremos la funcion escalonada

e(x) = 0 · χ[0,1) + 2 · χ[1,2) + 3 · χ[2,3) + 0 · χ[3,4) + 2 · χ[4,5),

cuya representacion canonica como funcion simple es

e(x) = 0 · χ[0,1)∪[3,4) + 2 · χ[1,2)∪[4,5) + 3 · χ[2,3).

Tenemos que

R−∫ 5

0

e(x)dx = 0 · (1− 0) + 2 · (2− 1) + 3 · (3− 2) + 0 · (4− 3) + 2 · (5− 4) = 7

y∫ 5

0

edm = 0 · ((1− 0) + (4− 3)) + 2 · ((2− 1) + (5− 4)) + 3 · (3− 2) = 7

En general tenemos el siguiente resultado.

55

Proposicion 4.0.13. Sea f una funcion definida en un intervalo cerrado [a, b].Si f es Riemann integrable en [a, b], entonces es medible, acotada y

R−∫ b

a

f(x)dx =∫ b

a

fdm.

Demostracion. Por ser Riemann integrable es acotada y de acuerdo con elTeorema 1.0.6 para cada ε > 0 existen funciones escalonadas f1 y f2 tales quef1(x) ≤ f(x) ≤ f2(x), x ∈ [a, b] y

(R−

∫ b

a

f2(x)dx

)−

(R−

∫ b

a

f1(x)dx

)< ε.

Pero cada funcion escalonada es simple y ademas

R−∫ b

a

fj(x)dx =∫ b

a

fjdm, j = 1, 2.

Entonces se cumple la condicion (ii) en el Teorema ?? y por lo tanto f esmedible.Ademas(R−

∫ b

a

f(x)dx

)= sup

∫ b

a

f1(x)dx : f1 es escalonada y f1(x) ≤ f(x), ∀x ∈ [a, b]

≤ sup

∫ b

a

sdm : s es simple y s(x) ≤ f(x) ∀x ∈ [a, b]

≤ inf

∫ b

a

tdm : t es simple y t(x) ≥ f(x) ∀x ∈ [a, b]

≤ inf

∫ b

a

f2(x)dx : f2 es escalonada y f2(x) ≥ f(x), ∀x ∈ [a, b]

=

(R−

∫ b

a

f(x)dx

)

Esto demuestra que R− ∫ b

af(x)dx =

∫ b

afdm.

Proposicion 4.0.14. Si f y g son funciones acotadas y medibles definidas enun subconjunto de medida finita, entonces

(i)∫

E(af + bg)dm = a

∫E

fdm + b∫

Egdm.

(ii) Si f = g c.d., entonces∫

Efdm =

∫E

gdm.

(iii) Si f ≤ g c.d., entonces∫

Efdm ≤ ∫

Egdm.

Consecuentemente∣∣∫

Efdm

∣∣ ≤ ∫E|f |dm.


(iv) Si a ≤ f(x) ≤ A, entonces amE ≤ ∫E

fdm ≤ AmE.

(v) Si E1 y E2 son medibles y disjuntos de medida finita, entonces∫

E1∪E2

fdm =∫

E1

fdm +∫

E2

fdm.

Demostracion. Notese que si t es una funcion simple, entonces la funcion attambien es simple y el recıproco vale si a 6= 0. Entonces para a > 0 tenemos que

∫

E

afdm = inf∫

E

atdm : t es simple y t ≥ f

= a inf∫

E


= a

∫

E

fdm

Si a < 0 tenemos que∫

E

afdm = inf∫

E

asdm : s es simple y s ≤ f

= a sup∫

E


= a

∫

E

fdm

Esto demuestra que∫

Eafdm = a

∫E

fdm, pues esta identidad tambien secumple si a = 0.

Para demostrar (i) bastara demostrar que∫

E(f +g)dm =

∫E

fdm+∫

Egdm.

Si t1 y t2 son funciones simples que satisfacen t1 ≥ f y t2 ≥ g, entonces t1 + t2es una funcion simple que satisface la desigualdad f + g ≤ t1 + t2, por lo tanto

∫

E

(f + g)dm = inf∫

E

tdm : t es simple y f + g ≤ t

≤∫

E

(t1 + t2)dm =∫

E

t1dm +∫

E

t2dm.

Como inf∫

Etdm : t es simple y f + g ≤ t

=

∫E

fdm +∫

Egdm, esto de-

muestra que ∫

E

(f + g)dm ≤∫

E

fdm +∫

E

gdm.

Para demostrar la desigualdad opuesta, observese que si s1 y s2 son funcionessimples que satisfacen s1 ≤ f y s2 ≤ g, entonces s1 + s2 es una funcion simpley satisface que s1 + s2 ≤ f + g. Por lo tanto,

∫

E

(f + g)dm = sup∫

E


≥∫

E

(s1 + s2)dm

=∫

E

s1dm +∫

E

s2dm,

57

esto demuestra que∫

E

(f + g)dm ≥∫

E

fdm +∫

E

gdm;

de lo cual se sigue (i).

Como f − g = 0 c.d., si t es una funcion simple tal que t ≥ f − g, entoncest ≥ 0 c.d. Por lo tanto

∫E

tdm ≥ 0 y de esto se sigue que

∫

E

(f − g)dm = inf∫

E

tdm : t es simple y t ≥ f − g

≥ 0.

De manera analoga∫

E

(f − g)dm = sup∫

E

sdm : s es simple y s ≤ f − g

≤ 0.


De la misma manera se demuestra que si f ≤ g c.d. entonces∫

E

fdm ≤∫

E

gdm.

De aquı se sigue que ∣∣∣∣∫

E

fdm

∣∣∣∣ ≤∫

E

|f |dm,

pues −|f | ≤ f ≤ |f | implica que − ∫E|f |dm ≤ ∫

Efdm ≤ ∫

E|f |dm, lo cual

demuestra (iii).

Como∫

EAdm = AmE y

∫E

adm = amE (iv) se sigue de (iii).

Tenemos que∫

E1∪E2

fdm =∫

fχE1∪E2dm =∫

(fχE1 + fχE2) dm

=∫

fχE1dm +∫

fχE2dm

=∫

E1

fdm +∫

E2

fdm,

donde hemos usado (i).


Proposicion 4.0.15. Sea f medible y acotada definida en un medible E conmE < ∞.Si E =

⋃n≥1 En, con En medible para cada n ≥ 1 y En∩Em = ∅ si n 6= m,

entonces ∫

E

fdm =∑

n≥1

∫

En

fdm.

Demostracion. Usando el Principio de Induccion Matematica y la parte (v)de la proposicion anterior se demuestra que

∫

∪Nn=1En

fdm =N∑

n=1

∫

En

fdm, para cada N ≥ 1.

Ahora, para cada N ≥ 1 sea FN = ∪∞n=N+1En. Tenemos que

∫

E

fdm−N∑

n=1

∫

E

fdm =∫

E

fdm−∫

∪Nn=1En

fdm =∫

Fn

fdm,

pues E =(∪N

n=1EN

) ∪ FN . Observese que como f es acotada, digamos|f(x)| ≤ M, entonces

∫E|f(x)|dm ≤ MmE < ∞ y por lo tanto

∫E

fdm < ∞por la parte (iv) de la proposicion anterior, ası mismo

∫∪N

n=1Enfdm y

∫FN

fdm

son ambas finitas.Entonces ∣∣∣∣∣

∫

E

fdm−N∑

n=1

∫

E

fdm

∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∫

FN

fdm

∣∣∣∣ ≤∫

FN

|f |dm.

De acuerdo con la Definicion, para cada ε > 0 existe una funcion simple s talque 0 ≤ s ≤ |f | y

∫

FN

|f |dm− ε

2<

∫

FN

sdm ≤ MmFN , para cada N ≥ 1.

Como FN+1 ⊂ FN y mF1 ≤ mE < ∞, de acuerdo con la Proposiciontenemos que limN mFN = m (∩N≥1FN ) = m∅ = 0.

Tomando N suficientemente grande obtenemos que MmFN <ε

2y por lo tanto

∣∣∣∣∣∫

E

fdm−N∑

n=1

∫

E

fdm

∣∣∣∣∣ ≤∫

FN

|f |dm <ε

2+

ε

2= ε.

Esto demuestra la Proposicion..

Si f es medible, acotada y f ≥ 0 definido en R, entonces la funcionµf : M → [0,∞] definida por µfE :=

∫E

fdm, para E ∈ M, donde Mes la σ−algebra de los subconjuntos Lebesgue-medibles, es una medida. Pues

4.1. LA INTEGRAL DE FUNCIONES NO NEGATIVAS. 59

obviamente µfE ≥ 0, para cada E ∈ M, µf∅ = 0 y si E = ∪n≥1En conEn ∈ M y En ∩ Em = ∅ para n 6= m, entonces por la Proposicion anteriortenemos que

µfE =∫

∪n≥1En

fdm =∑

n≥1

∫

En

fdm =∑

n≥1

µfEn.

Demostraremos ahora nuestro primer teorema de convergencia, es decir,nuestro primer resultado que indica condiciones suficientes para intercambiarun lımite con una integral.

Proposicion 4.0.16. (Teorema de Convergencia Acotada).Si (fn)n≥1 es una sucesion de funciones medibles sobre un subconjunto medibleE con mE < ∞ que esta uniformemente acotada por una constante real M, esdecir, |fn(x)| ≤ M para todo n ≥ 1 y todo x ∈ E, y ademas se tienelimn fn(x) = f(x) casi dondequiera en E entonces

∫

E

fdm = limn

∫

E

fndm.

Demostracion. Por el Teorema de Egoroff, dados ε > 0 y δ =ε

4Mexisten

un subconjunto A ⊂ E con mA <ε

4My un natural N tal que para n ≥ N

y todo x ∈ E \A tenemos que |f(x)− fn(x)| < ε

2mE.

Entonces∣∣∣∣∫

E

fdm−∫

E

fndm

∣∣∣∣ ≤∫

E

|f − fn|dm

=∫

E\A|f − fn|dm +

∫

A

|f − fn|dm

<ε

2mEmE + 2MmA

=ε

2+

ε

2= ε.

4.1 La integral de funciones no negativas.

En la seccion anterior hemos definido la integral de Lebesgue para la clase defunciones que son medibles, acotadas y estan definidas sobre un subconjuntomedible de medida finita. En esta seccion extenderemos esta definicion al casode funciones medibles no negativas definidas sobre un subconjunto medible,eliminando la restriccion de que las funciones sean acotadas y los subconjun-tos (dominios) sean de medida finita. Posteriormente, en la proxima seccion,tambien eliminaremos la restriccion sobre el signo de las funciones.


En esta seccion seguiremos la construccion de la integral de Lebesgue parafunciones medibles no negativas del libro de Royden[].

Definicion 4.1.1. Si f es una funcion medible no negativa, definida en unconjunto medible E, definimos:

∫

E

f = suph≤f

∫

E

h

Donde h es una funcion medible acotada tal que mx : h(x) 6= 0 < ∞Proposicion 4.1.2. Sean f,g funciones medibles no negativas, entonces

i∫

E(af + bg)dm = a

∫E

fdm + b∫

Egdm, a, b > 0.

ii Si f ≤ g c.d., entonces∫

Efdm ≤ ∫

Egdm.

Demostracion. Para a > 0 tenemos por la Proposicion 4.0.14 que∫

E

afdm = sup∫

E

ahdm : h es medible, acotada, h ≤ f y mx : h(x) 6= 0 < ∞

= a sup∫

E

hdm : h es medible, acotada, h ≤ f y mx : h(x) 6= 0 < ∞

= a

∫

E

fdm.

Demostremos que∫

E(f+g)dm =

∫E

fdm+∫

Egdm. Si h ≤ f, g k ≤ g y h, k

son medibles, acotadas y se anulan fuera de conjuntos de medida finita, entoncespor la Proposicion 4.0.14 tenemos que

∫

E

hdm +∫

E

kdm =∫

E

(h + k)dm ≤∫

E

(f + g)dm.

Entonces tomando supremo obtenemos que∫

E

fdm +∫

E

gdm ≤∫

E

(f + g)dm.

Ahora, si ` es una funcion medible, acotada y nula fuera de un subconjunto demedida finita tal que ` ≤ f + g.Entonces para h(x) = min(f(x), `(x)) y k(x) = `(x) − h(x), tenemos queh(x) ≤ f(x) y

k(x) = `(x)− h(x) =

`(x)− f(x) si f(x) ≤ `(x)0 si `(x) < f(x),

por lo tanto k(x) ≤ g(x). Ademas h y k estan acotadas por la cota de ` y seanulan donde se anula `.Entonces ∫

E

`dm =∫

E

hdm +∫

E

kdm ≤∫

E

fdm +∫

E

gdm,


de manera que ∫

E

fdm +∫

E

gdm ≥∫

E

(f + g)dm.

Esto termina la demostracion de (i).

Como∫

Ehdm : h es medible, acotada, h ≤ f y mx : h(x) 6= 0 < ∞ ⊂

⊂ ∫E

kdm : k es medible, acotada, k ≤ g y mx : k(x) 6= 0 < ∞,

entonces∫

Efdm ≤ ∫

Egdm, lo cual demuestra (ii).

Teorema 4.1.3. (Lema de Faton).Sea (fn)n≥1 una sucesion de funciones medibles no negativas tales quelimn fn(x) = f(x) c.d. en un subconjunto medible E. Entonces

∫

E

fdm ≤ limn

∫

E

fn.

Demostracion. Sea E0 ⊂ E tal que limn fn(x) = f(x), ∀x ∈ E \ E0.Entonces mE0 = 0.Sea h una funcion medible, acotada, h ≤ f y E′ ⊂ E \E0 tal que mE′ = ∞y h es nula fuera de E′. Defınase

hn(x) = min(h(x), fn(x)),

entonces hn esta acotada por la cota de h y se anula fuera de E′. Ahora, comohn(x) = h(x) si h(x) ≤ fn(x), o bien, hn(x) = fn(x) si fn(x) < h(x),tenemos que hn(x) →n h(x) para cada x ∈ E′.Entonces podemos aplicar el Teorema de Convergencia Acotada para obtenerque

∫

E

hdm =∫

E\E0

hdm =∫

E′hdm

= limn

∫

E′hndm ≤ limn

∫

E

fndm,

pues hn ≤ fn para cada n ≥ 1.Tomando supremo sobre h obtenemos que

∫

E

fdm ≤ limn

∫

E

fndm.

El Lema de Fatou es un resultado preliminar que supone muy pocas hipotesissobre la sucesion (fn)n≥1 , pero casi permite intercambiar el lımite con laintegral, afirma solo que

∫E

fdm ≤ limn

∫E

fndm.


Los dos teoremas de convergencia mas fuertes se demuestran usando el Lemade Fatou.La hipotesis de no negatividad de las funciones fn en el Lema de Faton esesencial; pues si en E = R consideramos la relacion (fn)n≥1 dondefn = −n2χ(0,1/n), entonces tenemos que f(x) = limn fn(x) = 0 para cada x ∈ R,pero

∫R−n2χ(0,1/n)dm = −n, entonces limn

∫R fndm = −∞ < 0 =

∫R fdm.

Por otra parte, la desigualdad en el Lema de Fatou puede ser estricta. Porejemplo para la sucesion de funciones medibles no negativas (fn)n≥1 dondefn(x) = χ[n,n+1](x), tenemos que f(x) = limn fn(x) = 0 para cada x ∈ R pero∫R fndm = 1 para todo n ≥ 1, entonces

∫

Rfdm = 0 < 1 = lim

n

∫

Rfndm.

Teorema 4.1.4. (de Convergencia Monotona)Sea (fn)n≥1 una sucesion monotona creciente de funciones medibles no neg-ativas sobre un subconjunto medible E, y sea f = limn fn. Entonces

∫

E

fdm = limn

∫

E

fndm.

Demostracion. Por el Lema de Fatou tenemos inmediatamente que∫

E

fdm ≤ underlinelimn

∫

E

fndm.

Pero fn ≤ f para cada n ≥ 1, consecuentemente∫

Efndm ≤ ∫

Efdm para cada

n ≥ 1, De aquı se obtiene que

limn

∫

E

fndm ≤∫

E

fdm.

Se sigue inmediatamente de esto que limn

∫E

fndm existe y∫

E

fdm = limn

∫

E

fndm,

pues

limn

∫

E

fndm ≤ limn

∫

E

fndm

Corolario 4.1.5. Sea (Un)n≥1 una sucesion de funciones medibles, no neg-ativas sobre un medible E y sea f =

∑n≥1 Un.

Entonces ∫

E

fdm =∑

n≥1

∫

E

Undm.


Demostracion. Bastara tomar la sucesion de sumas parciales fn =∑n

k=1 Uk,n ≥ 1 que es una sucesion creciente de funciones medibles y no negativas.Aplicando el Teorema anterior se obtiene que

∫

E

fdm = limn

∫

E

fndm = limn

n∑

k=1

∫

E

Ukdm

=∑

k≥1

∫

E

Undm

Notese que en todos los resultados anteriores puede ocurrir que∫

Efdm = ∞.

Tambien observese que hasta ahora no hemos usado el nombre Lebesgue in-tegrable para designar a una funcion cuya integral de Lebesgue existe, puesde acuerdo con el Teorema 4.0.11 esta ultima condicion se cumple para todafuncion medible. Este nombre lo aplicaremos solo a aquellas funciones mediblesque tienen integral de Lebesgue finita.

Definicion 4.1.6. Una funcion medible no negativa se llama Lebesgue inte-grable sobre un subconjunto medible E si

∫

E

fdm < ∞.

Si una funcion medible no negativa g esta dominada por una funcion in-tegrable f sobre un subconjunto medible E, es decir, g(x) ≤ f(x) para cadax ∈ E; entonces por la linealidad

∫

E

fdm =∫

E

(f − g)dm +∫

E

gdm.

Como el lado izquierdo es finito, los dos terminos del lado derecho son finitos ypor lo tanto g tambien es integrable.

Corolario 4.1.7. (Continuidad absoluta).Sea f una funcion no negativa e integrable sobre un medible E. Entonces paraA ⊂ E, ∫

A

fdm → 0 cuando mA →n 0.

Demostracion. Sea

fn(x) =

f(x) si f(x) ≤ nn si f(x) > n,

para cada n ≥ 1.

La sucesion (fn)n≥1 es monotona creciente de funciones medibles no negativas,entonces por Teorema de Convergencia Monotona se tiene que limn

∫E

fndm =


∫E

fdm.Entonces para cada ε > 0, existe N ≥ 1 tal que

∫

E

(f − fn)dm <ε

2para n ≥ N.

Entonces si A ⊂ E es un subconjunto medible con mA <ε

2Ntenemos que

∫

A

fdm =∫

A

(f − fN ) dm +∫

A

fNdm <

∫

A

(f − fN ) dm + NmA

<ε

2+

ε

2= ε.


Ejercicios.

1. Demuestre que cada funcion medible no negativa, definida sobre un sub-conjunto medible E, es lımite de una sucesion creciente de funciones sim-ples no negativas.

Sugerencia: Para cada n ≥ 1 sean En,k =

x ∈ E :k − 12n

≤ f(x) ≤ k

2n

,

k = 1, 2, . . . , 22n

, y En,0 = E \ ∪22n

k=1En,k = x ∈ E : f(x) ≥ 2n .

Cada En,k es medible y E = ∪22n

k=0En,k. Defina

sn(x) = 2nχEn,0 +22n∑

k=1

k − 12n

χEn,k, para cada n ≥ 1.

2. Demuestre que si f es medible y no negativa sobre un medible E, entonces∫

E

fdm = sup∫

E


.

Sugerencia. Use el ejercicio 1 y el Teorema de Convergencia Monotona.

3. Si (fn)n≥1 es una sucesion de funciones medibles no negativas, demuestreque

(a)∫

Elimnfndm ≤ limn

∫E

fndm, esta es una generalizacion delLema de Faton.Sugerencia: Defina gn = infk≥n fk. (gn)n≥1 es una sucesion cre-ciente de funciones medibles no negativas y limn gn = limnfn.Use que gn ≤ fn para cada n y aplique el Teorema de ConvergenciaMonotona.

(b)∫

Elimnfndm ≥ limn

∫E

fndm.

4. (a) Suponga que f es una funcion medible y no negativa y definaµfE =

∫E

fdm para cada E ∈ M, la sigma algebra de los subcon-juntos Lebesgue medibles. Demuestre que µf es una medida sobreM y que para cada funcion medible y no negativa g se tiene que

∫gdµf =

∫gfdm.

Sugerencia: La identidad es obviamente cierta si g = χE , E ∈ M.Consecuentemente tambien vale para cada funcion simple no nega-tiva. El caso general se demuestra usando el Teorema de Convergen-cia Monotona.

(b) Si ademas f es integrable, demuestre que µf es absolutamente con-tinua respecto de m, es decir, si mE = 0 entonces µfE = 0.


4.2 La integral de funciones complejas

En esta seccion extenderemos el concepto de integral de Lebesgue al caso defunciones medibles con valores complejas.

Si f : E → R] es una funcion medible y O ⊂ R es un subconjunto abierto,entonces O = ∪n≥1In con In un intervalo abierto para cada n ≥ 1. Por lotanto f−1(O) = ∪n≥1f

−1(In) es un subconjunto medible, pues cada f−1(In)es medible para n ≥ 1.Reciprocamente, si f−1(O) es medible para cada subconjunto abierto O ⊂ R,entonces f es medible. Esta caracterizacion de la medibilidad motiva la siguientedefinicion.

Definicion 4.2.1. Una funcion con valores complejos f : E → C es medible siE es medible y f−1(O) = x ∈ E : f(x) ∈ O es medible para cada subconjuntoabierto O ⊂ C.

Lema 4.2.2. Si g : C → F, donde F es C o R, es una funcion continua yf : E → C es medible, entonces h = gf es medible.

Demostracion. Si O ⊂ F es un subconjunto abierto, entonces por la con-tinuidad de g tenemos que g−1(O) es abierto en C. Como f es medible obten-emos que

h−1(O) = f−1(g−1(O)

)

es medible..

Proposicion 4.2.3. Si f = u+iv es una funcion con valores complejos definidaen un subconjunto medible E ⊂ R, entonces

(a) f es medible si y solo si u y v son funciones reales medibles.

(b) |f | es una funcion medible.

Demostracion. Las funciones g1(z) = Rez y g2(z) = Imz son continuasde C en R. Tenemos que u = g1f y v = g2f, entonces aplicando el Lema4.2.2 obtenemos que u y v son medibles.

Reciprocamente, si u y v son funciones reales medibles y R es un rectanguloabierto, es decir, R = I1 × I2 con I1, I2 intervalos abiertos en R, entoncesf−1(R) = u−1(I1) ∩ v−1(I2) es medible. Ahora, cada abierto O ⊂ C se puedeescribir como union a lo mas numerable de rectangulos abiertos (Rn)n≥1 , esdecir, O = ∪n≥1Rn. Por lo tanto

f−1(O) = ∪n≥1f−1(Rn)

es medible. Esto demuestra (a).

4.2. LA INTEGRAL DE FUNCIONES COMPLEJAS 67

Finalmente, tenemos que g(z) = |z| es una funcion continua de C en R y|f | = gf, entonces |f | es medible por el Lema anterior.

La parte positiva de una funcion real u es la funcion u+ = u ∨ 0, es decir,

u+(x) = maxu(x), 0.De manera similar la parte negativa de u es la funcion u− = (−u)∨0. La funcionu es medible si y solo si u+ y u− son medibles. Tenemos que

u = u+ − u−,

y|u| = u+ + u−.

Definicion 4.2.4. Si f = u + iv, con u y v funciones reales medibles sobre unsubconjunto medible E, entonces decimos que f es integrable sobre E si cadauna de las funciones u+, u−, v+ y v− son integrables sobre E y su integralde Lebesgue esta dada por,

∫

E

fdm =∫

E

u+dm−∫

E

u−dm + i

∫

E

v+dm− i

∫

E

v−dm.

Como las funciones u+, u−, v+ y v− son medibles no negativas, susintegrales de Lebesgue tienen sentido.

En particular una funcion real u es Lebesgue integrable sobre un medible Esi u+ y u− son ambas integrables sobre E y en este caso

∫

E

udm =∫

E

u+dm−∫

E

u−dm.

Proposicion 4.2.5. Sean f y g funciones complejas integrables sobre E, en-tonces

(i) La funcion cf es integrable sobre E y∫

E

cfdm = c

∫

E

fdm.

(ii) La funcion f + g tambien es integrable sobre E y∫

E

(f + g)dm =∫

E

fdm +∫

E

gdm.

(iii) Si A y B son medibles y disjuntos contenidos en E, entonces∫

A∪B

fdm =∫

A

fdm +∫

B

fdm.


Demostracion. Si f = u + iv, f es integrable sobre E si y solo si u y v sonintegrables sobre E como funciones reales y

∫

E

fdm =∫

E

udm + i

∫

E

vdm. (1)

Tenemos que

(cu)+ =

cu+ si c ≥ 0−cu− si c < 0,

entonces por la Proposicion 4.2.3 (cu)+ es integrable sobre E. De manera similarse demuestra que (cu)− es integrable sobre E. Entonces tenemos que cu esintegrable y

∫

E

cudm =∫

E

(cu)+dm−∫

E

(cu)−dm

= c

∫

E

u+dm− c

∫

E

u−dm

= c

∫

E

udm,

pues

(cu)− =

cu− si c ≥ 0−cu+ si c < 0,

De manera analoga se demuestra que cv es integrable sobre E y∫

E

cvdm = c

∫

E

vdm.

Esto demuestra (i) en el caso cuando a y b son reales. El caso general se siguede esto usando la identidad (1).

Si u1 y u2 son funciones no negativas e integrables sobre E tales queu = u1−u2, entonces u++u2 = u−+u1 y por la Proposicion 4.2.3 obtenemosque ∫

E

u+dm +∫

E

u2dm =∫

E

u−dm +∫

E

u1dm.

Como estas integrales son finitas tenemos que∫

E

udm =∫

E

u+dm−∫

E

u−dm =∫

E

u1dm−∫

E

u2dm.

Si f = u + iv y g = p + iq son integrables entonces u, p, v y q son integrablesy por ejemplo u + p = (u+ + p+)− (u− + p−) entonces

∫

E

(u + p)dm =∫

E

(u+ + p+)dm−∫

E

(u− + p−)dm

=∫

E

u+dm +∫

E

p+dm−∫

E

u−dm−∫

E

p−dm

=∫

E

udm +∫

E

pdm.

4.2. LA INTEGRAL DE FUNCIONES COMPLEJAS 69

De manera analoga se demuestra que∫

E

(v + q)dm =∫

E

vdm +∫

E

qdm.


Finalmente tenemos que∫

A∪B

fdm =∫

fχA∪Bdm

=∫

fχAdm +∫

fχBdm

=∫

A

fdm +∫

B

fdm,

lo cual demuestra (iii).

Proposicion 4.2.6. Si f es una funcion compleja integrable sobre un subcon-junto medible E, entonces

∣∣∣∣∫

E

fdm

∣∣∣∣ ≤∫

E

|f |dm.

Demostracion. Sea z =∫

Efdm y α ∈ C con |α| = 1 tal que αz = |z|.

Supongase que αf = u + iv, entonces tenemos que u ≤ |αf | = |f | y conse-cuentemente

∣∣∣∣∫

E

fdm

∣∣∣∣ = α

∫

E

fdm =∫

E

αfdm

=∫

E

udm ≤∫

E

|f |dm,

donde se ha usado que∫

αfdm es un numero real.

Teorema 4.2.7. (Convergencia Dominada)Sean g una funcion no negativa integrable sobre E y (fn)n≥1 una sucesion defunciones complejas medibles tales que |fn| ≤ g sobre E para cada n yf(x) = limn fn(x) c.d. en E. Entonces

∫

E

fdm = limn

∫

E

fndm

y

limn

∫

E

|fn − f |dm = 0.


Demostracion. f es medible y |fn| ≤ g, entonces |fn − f | ≤ 2g.Aplicando el Lema de Faton a la sucesion de funciones medibles y no negativas(2g − |fn − f |)n≥1 obtenemos que

∫

E

2gdm ≤ limn

∫

E

(2g − |fn − f |) dm =∫

E

2gdm + limn

(−

∫

E

|fn − f |dm

)

=∫

E

2gdm− limn

∫

E

|fn − f |dm

Como g es integrable obtenemos que

limn

∫

E

|fn − f |dm ≤ 0 ≤ limn

∫

E

|fn − f |dm,

pues la sucesion de reales(∫

E|fn − f |dm

)n≥1

es no negativa. Entonces pode-mos concluir que

limn

∫

E

|fn − f |dm = 0.

Por la Proposicion 4.2.6 obtenemos que∣∣∣∣∫

E

fndm−∫

E

fdm

∣∣∣∣ =∣∣∣∣∫

E

(fn − f)dm

∣∣∣∣ ≤∫

E

|fn − f |dm,

lo cual implica que

limn

∫

E

fndm =∫

E

fdm.

Capıtulo 5

Espacios de Hilbert

5.1 Productos internos y funcionales lineales

A menos que se diga lo contrario a lo largo de este curso todos los espacios vecto-riales seran complejos, (es decir sobre el campo de los numeros complejos),conuna excepcion notable; los espacios euclidianos Rk son espacios vectoriales so-bre el campo de los numeros reales.

Recuerdese que una transformacion lineal de un espacio vectorial V en otroespacio vectorial W es una funcion Λ de V en W tal que:

Λ(αx + βy) = αΛ(x) + βΛ(y) (1)

para todo x, y ∈ V y todos los escalares α, β ∈ C. En el caso particular cuandoW es el campo de escalares (excepto por el espacio trivial que consiste solo del0, este es el ejemplo mas simple de un espacio vectorial), Λ se llama FuncionalLineal. Por lo tanto un funcional lineal es una funcion compleja que satisface(1).

Definicion 5.1.1. . Un espacio vectorial H se llama Espacio con ProductoInterno (o espacio unitario) si a cada par ordenado de vectores x, y ∈ H existeasociado un numero complejo 〈x, y〉, llamado Producto Interno (o productoescalar) de x, y, tal que se satisfacen las siguientes propiedades:

Para todo x, y, z ∈ H y α ∈ Ca 〈y, x〉 = 〈x, y〉 (la barra denota conjugacion compleja)

b 〈x + y, z〉 = 〈x, z〉+ 〈y, z〉c 〈αx, y〉 = α〈x, y〉d 〈x, x〉 ≥ 0 para todo x ∈ H

71

72 CAPITULO 5. ESPACIOS DE HILBERT

e 〈x, x〉 = 0 solo si x = 0

Entonces un espacio con producto interno es un par de la forma (H, 〈〉).Listemos algunas consecuencias inmediatas de estos axiomas:

(i) (c) implica que 〈0, y〉 = 0 para toda y ∈ H(ii) (b) y (c) se pueden combinar en solo una proposicion:

∀y ∈ H, lafuncion x −→ 〈x, y〉 es un funcional linealenH

(iii) (a) y (b) implican que 〈z, x + y〉 = 〈z, x〉 + 〈z, y〉 ( distributividad en lasegunda coordenada)

(iv) (a) y (c) implican que 〈x, αy〉 = α〈x, y〉. Es decir:

∀x ∈ H lafuncion y −→ 〈x, y〉 esantilineal(o conjugada lineal)

(v) (i) y (e) implican que 〈x, x〉 = 0 si y solo si x = 0

Observese que el producto interno es una funcion 〈, 〉 : H × H −→ C que eslineal en la primera coordenada y antilineal en la segunda. En contraposiciona esta convencion usual en Matematicas,en muchos libros de Fısica o de FısicaMatematica, se prefiere definir un producto interno como una funcion que esantilineal en la primera coordenada y lineal en la segunda.

En general, una funcion S : H ×H −→ C que es lineal en una de las coor-denadas y antilineal en la otra se llama Forma Sesquilineal.

Como una consecuencia de (d), podemos definir ||x|| , la norma del vectorx ∈ H, como la raız cuadrada no negativa de 〈x, x〉. De manera que:

||x||2 = 〈x, x〉

Lema 5.1.2. (La desigualdad de Cauchy-Schwartz). Las propiedades de(a) a (d) de un producto interno implican que:

Para todox, y ∈ (H), |〈x, y〉| ≤ ||x||||y||

Demostracion.Sean A = ||x||2, B = |〈x, y〉| y C = ||y||2 Existe un numerocomplejo α de modulo unitario |α| = 1 tal que α〈y, x〉 = B. De hecho,

α =|〈x, y〉|〈y, x〉 , si〈y, x〉 6= 0

Para cualquier λ real tenemos que:

0 ≤ 〈x− λαy, x− λαy〉 = 〈x, x〉 − λα〈y, x〉 − λα〈x, y〉+λ2〈y, y〉 = ||x||2 − 2λ|〈x, y〉|+ λ2||y||2

5.1. PRODUCTOS INTERNOS Y FUNCIONALES LINEALES 73

EntoncesA− 2Bλ + Cλ2 ≥ 0 (2)

Para cualquier real λ. Si C = 0 debemos tener que B = 0 pues en caso contrario(2) es falsa para λ grande y positiva. Si c > 0, tomando λ = B

C en (2) se obtieneque B2 ≤ AC.

Observese que la demostracion de la desigualdad de Cauchy-Schwartz sepuede extender al caso de formas sesquilineales que satisfagan las condicionesde (a) a (d) de un producto interno pues bastarıa tomar A = s(x, x) ≥ 0,B = |s(x, y)| y C = s(y, y). De esta manera obtenemos la siguiente desigualdadde Cauchy-Schwartz para formas sesquilineales que satisfacen de (a) a (d):

|s(x, y)| ≤ s(x, x)12 s(y, y)

12 (3)

Definicion 5.1.3. Un espacio vectorial complejo X se llama Espacio LinealNormado (o espacio vectorial normado) si cada x ∈ X tiene asociado unnumero real no negativo ||x|| , que se llama la Norma de x, tal que:

∀x, y ∈ X y α ∈ C(a) ||x + y|| ≤ ||x||+ ||y||(b) ||αx|| = |α|||x||(c) ||x|| = 0 implica que x = 0

Entonces un espacio lineal normado es un par (X, || · ||). Por (a) se cumplela siguiente desigualdad del triangulo:

||x− y|| ≤ ||x− z||+ ||y − z||, x, y, z ∈ X

Definiendo d : X ×X −→ R+ ∪ 0 mediante:

d(x, y) = ||x− y||

se obtiene que cada espacio lineal normado puede considerarse como un espaciometrico (X,d).

Un Espacio de Banach es un espacio vectorial normado que es completoen la metrica inducida por la norma.

Una Seminorma sobre un espacio vectorial X es una funcion real p : X −→R que satisface solo las propiedades (a) y (b) de una norma,es decir:

p(x + y) ≤ p(x) + p(y), ∀x, y ∈ X y p(αx) = |α|p(x), x ∈ X y α un escalar

A diferencia de una norma,una seminorma puede anularse sobre vectores nonulos de X. Un par (X,p) donde X es un espacio vectorial y p una seminormase llama un Espacio Semi-normado.


Corolario 5.1.4. Si s es una forma sesquilineal definida positiva en H ×H,entonces p(x) = s(x, x)

12 es una seminorma en H. Si ademas se satisface

la propiedad (e) (i.e. s(x, x) = 0 =⇒ x = 0),entonces p es una norma.

Demostracion.Aplicando el lema de Cauchy-Schwartz a la forma sesquilinealpositiva s:

p(x + y)2 = s(x + y, x + y) = s(x, x) + s(y, x) + s(x, y) + s(y, y) ≤s(x, x) + 2|s(x, y)|+ s(y, y) ≤ p(x)2 + 2p(x)p(y) + p(y)2 = (p(x) + p(y))2

Por lo tantop(x + y) ≤ p(x) + p(y)

Obviamentep(αx) = s(αx, αx)

12 = [ααs(x, x)]

12 = |α|p(x)

Por lo tanto p es una seminorma.

Si ademas s satisface que s(x, x) = 0 implica que x = 0,entonces p(x) = 0implicara x = 0, es decir, p sera una norma.Todo espacio unitario (H, 〈〉) puede considerarse como un espacio vectorial nor-mado (H, || · ||),con la norma inducida por su producto interno y tambienpuede considerarse como un espacio metrico (H, d), con la metrica inducidapor su norma. Si este espacio (H, d) es completo, i.e. si cualquier sucesion deCauchy converge en H ,entonces el espacio unitario original se llama Espaciode Hilbert.

Ejemplos

(1) Si f : X −→ C es un funcional lineal,entonces p(x) = |f(x)| es unaseminorma en X .

(2) Sea L1(R) el conjunto de las funciones Lebesgue integrables en R i.e.

L1(R) = f : R −→ C : f es medible y∫

R|f | < ∞

La funcion L1R −→ R+ ∪ 0 definida por:

p(f) =∫

R|f |

es una seminorma pero no es una norma, pues se anula en las funcionesque son cero µ− c.d.

(3) Para cada n fijo,el conjunto Cn de todas las n-adas x = (ξ1, ..., ξn) dondeξ1, ..., ξn son numeros complejos, es un espacio de Hilbert con el productointerno:

< x, y >=n∑

j=1

ξjηj (y = (η1, ..., ηn))

5.1. PRODUCTOS INTERNOS Y FUNCIONALES LINEALES 75

(4) El espacio vectorial de todas las funciones complejas continuas en [0,1] esun espacio con producto interno definido por:

〈f, g〉 =∫ 1

0

f(t)g(t)dt

pero no es un espacio de Hilbert

(5) El espacio L∞(E, µ) de todas las funciones f : E −→ C con (E,µ) unespacio de medida, que satisfacen la condicion:

∃c > 0 tal que µc(f) = µ(x ∈ E : |f(x)| > c) = 0

Es decir, el espacio de las funciones Esencialmente Acotadas es unespacio vectorial complejo. El par (L∞(E, µ), || · ||∞) es un espacio semi-normado, donde la seminorma || · ||∞ esta definida mediante:

||f ||∞ = infc > 0 : µc(f) = 0

|| · ||∞ no es una norma, pues se anula en las funciones que son cero µ−c.d.

(6) Denotemos por `2 el espacio de todas las sucesiones complejas (an) talesque

∑n≥1 |an|2 < ∞, la estructura de espacio vectorial de `2 es obvia.

Defınase el producto interno en `2 mediante:

〈(an), (bn)〉 =∑

n≥1

anbn

`2 es un espacio de Hilbert. Queda como ejercicio demostrar la completez.

(7) Los espacios Lp(X, µ).

Teorema 5.1.5. (a) Para cada y ∈ H fijo, las funciones:

x −→ 〈x, y〉, x −→ 〈y, x〉, x −→ ||x||

son uniformemente continuas en H.

(b) El producto interno es una funcion continua en H×HDemostracion.Sean x, y, h, h′ ∈ H.Tenemos por la desigualdad de Cauchy-Schwartz:

|〈x, y〉 − 〈x + y, y + h′〉| = |〈h, y〉+ 〈x, h′〉+ 〈h, h′〉| ≤ (5.1)||h||‖y‖+ ||x||||h′||+ ||h||||h′||

Con h = 0 o h′ = 0 se obtienen las continuidades, de hecho la continuidaduniforme de las dos primeras funciones en (a). Cuando ||h′||+ ||h|| −→ 0 se ob-tiene que 〈x+h, y +h′〉 −→ 〈x, y〉 lo que demuestra la continuidad del producto


interno.

La desigualdad del triangulo implica que:

||x|| ≤ ||x− y||+ ||y||

de donde se obtiene||x|| − ||y|| ≤ ||x− y||

e intercambiando x,y se obtiene que

||x|| − ||y|| ≤ ||x− y||

lo cual demuestra la continuidad uniforme de la norma

5.2 Subespacios

Un subconjunto M de un espacio vectorial X se llama subespacio de X si elmismo M es un espacio vectorial con las operaciones de X restringidas a M . Unacondicion necesaria y suficiente para que un subconjunto M ⊂ X sea subespacioes que sea cerrado bajo las operaciones de suma y producto por escalares,i.e.x + y ∈ M y αx ∈ M para cualesquiera x, y ∈ M y α escalar.

Ejemplos

(i) Si X es el espacio de todas las funciones complejas sobre un conjunto E,el conjunto de las funciones acotadas es un subespacio de X.

(ii) Si X es como en (i), el conjunto de las funciones que satisfacen |f(x)| ≤ 1para todo x ∈ X no es un subespacio de X, pues no es cerrado bajo lasoperaciones de X.

(iii) El espacio vectorial R3 tiene los siguientes subespacios y solo esos:

-R3 -Todos los planos que pasan por el origen -Todas las rectas que pasanpor el origen. -El espacio trivial 0

(iv) En `2 el conjunto de sucesiones complejas (xn)n≥1 tales que:

∑

n≥1

xn

n= 0

es un subespacio de `2

(v) En C[0, 1], el espacio de las funciones complejas continuas en [0, 1] consid-erese M el conjunto de las funciones derivables, este es un subespacio.

5.2. SUBESPACIOS 77

Un conjunto de vectores x1, .., xn es Linealmente Dependiente,(l.d) si exis-ten escalares α1, α2, .., αn no todos iguales a cero, tales que:

α1x1 + ... + αnxn = 0 (4)

y si cuando (4) se cumple se tiene que

α1 = α2 = ... = αn = 0

entonces el conjunto x1, .., xn se llama Linealmente Independiente,(l.i).

Un subconjunto S ⊂ M es l.i. si cada subconjunto finito es l.i.

Un conjunto de vectore x1, .., xn de un subespacio M de un espacio vectorialX se dice que generan a M si cualquier vector de M se puede representar enla forma:

y =n∑

j=1

αjxj

donde α1, α2, .., αn son escalares, que dependen de y.

Los vectores x1, .., xn forman una Base de un subespacio M si lo generan yson linealmente independientes. En este caso la representacion de cada y ∈ Mcomo combinacion lineal de x1, .., xn es unica,pues si

y =n∑

j=1

αjxj y y =n∑

j=1

βjxj

entoncesn∑

j=1

(αj − βj)xj = 0

y por la independencia lineal de las xj ’s se obtiene que αj = βj , j = 1, 2, .., n

Un subespacio M de un espacio vectorial X tiene dimension finita iguala k si tiene una base con k elementos. Si ningun conjunto finito de vectoresgenera a M , entonces M tiene dimension infinita.

Ejemplos

(i) En el espacio vectorial R3

- R3 es el unico subespacio de dimension 3 y 0 es el unico subespacio dedimension cero


-Los subespacios de dimension dos son todos los planos que pasan por elorigen.

-Las rectas que pasan por el origen son los subespacios de dimension uno.

-Todo subespacio de R3 tiene dimension finita menor o igual a tres.

(ii) En `2 el subconjunto M de vectores (sucesiones) de la forma (x1, x2, .., xn, 0, 0, 0, ...)es un subespacio de dimension n.

(iii) El subespacio M de `2 de todas las sucesiones (xn)n≥1 tales que:∑

n≥1

xn

n= 0

es un subespacio de `2 de dimension infinita. El conjunto de vectores(1,−2, 3,−4, .., 2k + 1,−2k, 0, ...), k = 1, 2, 3, ... es l.i. en M

(iv) En L2[0, 1], el subconjunto de las funciones que satisfacen la condicion:∫ 1

0

f(t)dt = 0

es un subespacio de dimension infinita. Pues el conjunto de funcionessen(2πk)k≥1 es l.i. y

∫ 1

0

sen(2kπt)dt = 0, ∀k ≥ 1

Teorema 5.2.1. Sea X un espacio vectorial y M un subespacio de dimensionk de X, el maximo numero de vectores l.i. en M es k.

Demostracion.Bastara demostrar que cualquier subconjunto de k+1 vectoreses l.d.

Usemos induccion. Sea k = 1 y x1 una base de M . Si y1, y2 ∈ M y ningunode estos vectores es nulo, entonces:

y1 = α1x1 y y2 = α2x1, α1 6= 0 6= α2

entonces α2y1 − α1y2 = 0 y no todos los escalares son nulos.

Supongamos que cualquier subconjunto de k vectores en un subespacio dedimension k-1 es l.d. Ahora sean y1, y2, .., yk+1 vectores en un espacio k dimen-sional de M ninguno de ellos nulo. Si x1, .., xk es una base de M tenemos paracada j = 1, 2, .., k + 1

yj = α1jx1 + α2jx2 + αkjxk

5.2. SUBESPACIOS 79

y no todos los αij ’s son iguales a cero. Supongase α11 6= 0 y considerense los kvectores:

α11yj − α1jy1, j = 2, 3, .., k + 1

Estos vectores pertenecen a Mk, el subespacio generado por x2, .., xk, pues

α11yj − α1jy1 = α11α1jx1 + α11α2jx2 + α11αkjxk − α1jα1jx1 −α1jα2jx2 − ...− α1jαk1xk = (α11α2j − α1jα21)x2 + ... + (α11αkj − α1jαk1)xk

Entonces por hipotesis de induccion, existen escalares β2, .., βk+1 no todos nulostales que:

β2(α11y2 − α12y1) + ... + βk+1(α11yk+1 − α1k+1y1) = 0

oβ2α11y2 + ... + βk+1α11yk+1 − (β2α12 + βk+1α1k+1)y1 = 0

Un Subespacio Cerrado M de un espacio de Hilbert H es un subepacioque es cerrado en la topologıa inducida por la metrica de H.

Ejemplos.

(i) En `2 el conjunto M de las sucesiones con solo un numero finito de coorde-nadas distintas de cero es un subespacio pero no es un subespacio cerradode `2; la sucesion (xn)n≥1 definida por:

xn = (1,12,13, ..,

1n

, 0, ...)

es una sucesion en M que converge en `2 al punto x = (1, 12 , 1

3 , ...) que noesta en M .

(ii) En `2 el subconjunto M de las sucesiones (xn)n≥1 tales que:∑

n≥1

xn

n= 0

es un subespacio cerrado de `2, pues si (xk)k≥1 es una sucesion en M queconverge en `2 a x = (xn)n≥1 entonces como

〈xk, x0〉 =∑

n≥1

xk, n

n= 0, parak = 1, 2, ...

donde x0 = (1, 12 , 1

3 , ...) y como el producto interno es una funcion continuaen la primera coordenada, tenemos que:

∑

n≥1

xn

n= 〈x, x0〉 = 〈lim

kxk, x0〉 = lim

k〈xk, x0〉 = 0

es decir, x ∈ M .


5.3 Conjuntos Convexos

Un subonjunto E de un espacio vectorial X se llama Convexo si tiene la sigu-iente propiedad geometrica: Para cualesquiera x, y ∈ Ey0 < t < 1 el punto

zt = (1− t)x + ty

tambien pertenece a E

(i) Cualquier subespacio de X es convexo

(ii) Si es convexo, cada uno de sus trasladados

E + x = y + x : y ∈ Ees convexo.

(iii) La bola abierta unitaria B en un espacio normado es un subconjuntoconvexo, pues si x, y ∈ B y 0 < t < 1, entonces:

||(1− t)x + ty|| ≤ |1− t|||x||+ |t|||y|| < (1− t) + t = 1

5.4 Ortogonalidad

Si 〈x, y〉 = 0 para algunos x, y ∈ H, entonces diremos que x es ortogonal a y y aesta relacion la denotaremos por x ⊥ y. Como 〈x, y〉 = 0 implica que 〈y, x〉 = 0,la relacion ⊥ es simetrica.

Mediante el sımbolo x⊥ denotaremos al conjunto de todos los y ∈ H que sonortogonales a x. Si M es un subespacio de H , sea M⊥ el conjunto de todos losy ∈ H que son ortogonales con cada x ∈ M .

Observese que x⊥ es un subespacio de H: x ⊥ y y x ⊥ y′ implican quex ⊥ y + y′, y x ⊥ αy , para cada alpha ∈ C. Observese tambien que :

x⊥ = y ∈ H : 〈x, y〉 = 0es decir, es la imagen inversa del 0 bajo la funcion continua y −→ 〈x, y〉, porlo tanto x⊥ es un subespacio cerrado de H.

Como M⊥ =⋂

x∈M x⊥, M⊥ tambien es un subespacio cerrado de H pueses una interseccion de subespacios cerrados.

El siguiente teorema es uno de los resultados geometricos mas importantesen la teorıa de los espacios de Hilbert.

Teorema 5.4.1. (Beppo-Levi). Cualquier subconjunto convexo y cerrado y novacio E de un espacio de Hilbert H tiene un unico elemento de norma mınima.

5.4. ORTOGONALIDAD 81

Demostracion. . Debemos demostrar que existe un unico x0 ∈ E tal que

||x0|| ≤ ||x||para cualquier x ∈ E.

A partir de la definicion de un producto interno se puede obtener, despuesde algunos calculos, la siguiente identidad ”del paralelogramo” (Tarea)

||x + y||2 + ||x− y||2 = 2(||x||2 + ||y||2), x, y ∈ H (1)

LLamemos δ al infimo de las normas de los elementos de E

δ = inf||x|| : x ∈ EObviamente este δ existe pues ∀x ∈ E ||x|| ≥ 0 y ademas δ ≥ 0. Sea (xn)n≥1

una sucesion en E tal que:limn||xn|| = δ

Como E es convexo, 12 (xn + xm) ∈ E para todo m,n ∈ N y por lo tanto

δ ≤ ||12(xn + xm)|| (2)

Por la identidad del paralelogramo obtenemos ,usando (2), que:

14||xn − xm||2 =

12||xn||2 +

12||xm||2 − 1

4||xn + xm||2 ≤ 1

2||xn||2 +

12||xm||2 − δ2

Como ||xn||2 y ||xm||2 tienden a δ2 cuando n y m van a infinito obtenemos que:

||xn − xm||2 −→ 0

es decir, (xn)n≥1 es una sucesion de Cauchy. Como H es completo y E escerrado, obtenemos que existe x0 ∈ E tal que limn xn = x0 y como la norma esuna funcon continua:

||x0|| = limn||x0|| = δ

Corolario 5.4.2. Sea E un subconjunto convexo y cerrado no vacio de un es-pacio de Hilbert H. Para todo x ∈ H existe un unico vector x0 ∈ E tal que:

||x− x0|| = infy∈E

||x− y||

Demostracion.Tomese Ex = x − y : y ∈ E; Ex es cerrado y convexo y novacıo. Aplicando el resultado anterior a Ex obtenemos que existe un unico x0 ∈tal que:

||x− x0|| = infy∈E

||x− y||


Corolario 5.4.3. Sea M un subespacio cerrado de un espacio de Hilbert H .Dado x ∈ H, sea x0 ∈ M el unico vector que satisface:

||x− x0|| = infy∈E

||x− y||

Entonces x− x0 ∈ M⊥

Demostracion.Como xo ∈ M , para todo y ∈ M con ||y|| = 1 y α ∈ C tenemosque

||x− x0 − αy||2 ≥ ||x− x0||2

o equivalentemente,

0 ≤ 〈x−x0−αy, x−x0−αy〉−〈x−x0, x−x0〉 = −α〈y, x−x0〉−α〈x−x0, y〉+|α|2

con α = 〈x− x0, y〉 de aquı se obtiene

0 ≤ −|〈x− x0, y〉|2

entonces 〈x− x0, y〉 = 0, para todo y ∈ M

La restriccion ||y|| = 1 no es esencial.

Al vector x0 definido en el corolario anterior se le llama la ProyeccionOrtogonal de x sobre el subespacio M . Observese que cada elemento de Htiene una representacion unica de la forma:

x = x0 + (x− x0)

con x0 ∈ M y x− x0 ∈ M⊥; es decir:

H = M + M⊥

Observese que si x ∈ H y x1 ∈ M , x2 ∈ M⊥. son tales que:

x = x1 + x2

entonces

||x||2 = 〈x1+x2, x1+x2〉 = ||x1||2+〈x1, x2〉+〈x1, x2〉+||x2||2 = ||x1||2+||x2||2 (∗)Esta ultima formula es una generalizacion del Teorema de Pitagoras.

Teorema 5.4.4. Sea M un subespacio cerrado de H. Existe un unico par detransformaciones P y Q tales que P envıa H en M y Q envıa H en M⊥ y:

x = Px + Qx

para todo x ∈ H. Ademas estas transformaciones tienen las siguientes propiedades:

(i) Si x ∈ M , entonces Px = x y Qx = 0


(ii) Si x ∈ M⊥, entonces Px = 0 y Qx = x

(iii) ||x− Px|| = infy∈M ||x− y|| si x ∈ M

(iv) ||x||2 = ||Px||2 + ||Qx||2

(v) P y Q son operadores lineales

Demostracion.Sea Px la proyeccion ortogonal de x sobre M , y defınase

Qx = x− Px ∈ M⊥

entonces obviamente (i) se cumple , P envıa H en M y Q envıa H en M⊥ .

Si P1 y Q1 son otro par de transformaciones que satisfacen (1) entonces:

x = P1x + Q1x

con P1x ∈ M y Q1x ∈ M⊥, entonces:

P1x− Px = Qx−Q1x

Como P1x − Px ∈ M , Qx − Q1x ∈ M⊥ pero M ∩M⊥ = 0 (lo cual es unaconsecuencia inmediata de que 〈x, x〉 = 0 implica x = 0), entonces tenemos que

P1x = Px y Qx = Q1x

lo cual demuestra la unicidad

La linealidad se demuestra de manera similar; aplicando (i) a x, y y aαx + βy se obtiene:

P (αx + βy)− αPx− βPy = αQx + βQy −Q(αx + βy)

El lado izquierdo esta en M y el lado derecho en M⊥; entonces ambos soniguales a cero y esto demuestra la linealidad.

La propiedad (ii) se sigue directamente de (i).

(iii) es consecuencia del corolario 4.11 y (iv) se sigue de (*).

Corolario 5.4.5. Si M es un subespacio cerrado de un espacio de Hilbert H yM 6= H, entonces existe y ∈ H, y 6= 0, tal que y ⊥ M , i.e. y ∈ M⊥ (o bienM⊥ 6= 0)

Definicion 5.4.6. Consideremos una transformacion lineal Λ de un espacionormado X en otro espacio normado Y, y defınase su norma por:

||Λ|| = sup ||Λx||||x|| : x ∈ X x 6= 0 (1)


Si ||Λ|| ≤ ∞ , entonces Λ se llama una Transformacion Lineal Acotada(o un operador lineal acotado).

En (1) ||x|| es la norma de x en X y ||Λx|| es la norma de Λx en Y; ocur-rira frecuentemente que varias normas aparecen en una misma expresion y enel contexto quedara claro cual norma es de que espacio.

Tambien observese que nos podemos restringir en (1) a los vectores unitariosx ∈ X , ||x|| = 1, sin cambiar el supremo, pues por una parte

||Λx|| ≤ ||Λ||, ∀x ∈ X con ||x|| = 1

y por otra parte, para todo ε > 0 existe x ∈ X con ||x|| = 1 tal que

||Λx|| > ||Λ|| − ε

Entonces ||Λ|| = sup||x||=1 ||Λx||, pues basta tomar x 6= 0 tal que:

||Λx||||x|| > ||x|| − εyx =

x

||x||Observese que ||Λ|| es el numero mas pequeo que satisface la desiguldad ||Λx|| ≤||Λ||||x|| para toda x ∈ X.Geometricamente se puede decir que un operador acotado envıa la bola unitariacerrada en X en la bola cerrada en Y con centro en 0 y radio ||Λ||.

En el caso cuando Y = C al operador acotado Λ lo llamaremos FuncionalLineal Acotado.

Teorema 5.4.7. Para una transformacion lineal Λ de un espacio normado Xen otro espacio normado Y, cada una de las siguientes tres condiciones implicalas otras dos :

(a) Λ es acotada.

(b) Λ es continua.

(c) Λ es continua en punto de X.

Demostracion.Como ||Λ(x1 − x2)|| ≤ ||Λ||||x1 − x2|| , es claro que (a) implica(b) y (b) implica (c) trivialmente. Supongase que λ es continua en x0. A cadaε > 0 corresponde un δ > 0 tal que ||x− x0|| < δ implica ||Λx− Λx0|| < ε. Enotras palabras, ||x|| < δ implica que:

||Λ(x0 + x)− Λx0|| < ε, (pues ||x0 + x− x0||) = ||x|| < δ

Pero entonces la linealidad de λ implica que ||Λx|| < ε. Por otro lado:

∀x 6= 0 y δ1 < δ, || δ1x

||x|| || = δ1 < δ =⇒ ||Λ(δ1x

||x|| )|| < ε

⇐⇒ δ1||Λx||||x|| < ε ⇐⇒ ||Λx||

||x|| <ε

δ1


Por lo tanto, por la propiedad del supremo, ||Λ|| < ∞ y (c) implica (a)Si E1 , E2 son subespacios de un espacio vectorial normado X tales que:

X = E1 + E2

entonces X es la Suma Directa de los subespacios E1 y E2 y la denotamoscomo: X = E1 ⊕ E2

En una suma directa,cada elemento x ∈ X tiene una unica descomposicionx = x1 + x2, donde xi ∈ Ei Pues si x1 + x2 = y1 + y2 =⇒ x1 − y1 = x2 − y2 ∈E1 ∩ E2 =⇒ x1 − y1 = 0 x2 − y2 = 0

Proposicion 5.4.8. La transformacion E1 × E2 −→ X dada por (x1, x2) −→x1 + x2 es un homeomorfismo si y solo si por lo menos una de las proyeccionesPi : X −→ Ei, Pix = xi si x = x1 + x2 es continua.

Demostracion.Supongamos que P1 : X −→ E1 es continua. La relacion P2 =Id − P1 implica que P2 tambien es continua y lo mismo ocurre con la funcionX −→ E1 × E2, x −→ (P1(x), P2(x)) La funcion inversa es dada precisamentepor E1×E2 −→ X, (x1, x2) −→ x1+x2 y esta es continua porque las operacioneslineales son continuas en un espacio normado. Entonces esta transformacion esun homeomorfismo entre X y E1 × E2

Proposicion 5.4.9. Sea E ⊂ H un subespacio vectorial cerrado en un espaciode Hilbert. El operador lineal de Proyeccion Ortogonal PE : H −→ E es unoperador continuo y la descomposicion

H = E ⊕ E⊥

es una suma directa topologica

Demostracion.Bastara demostrar la continuidad de PE , pero (*) implica que:

||PE(x)|| =√||x1||2 ≤

√||x1||2 + ||x2||2 = ||x||

entonces PE es un operador acotado y por 4.16 la suma es una suma directatopologica

Ya hemos observado que para cada y ∈ E el funcional x −→ 〈x, y〉 es linealy continuo en H. Es un hecho notable que todos los funcionales lineales sobreH son de este tipo.

Teorema 5.4.10. Si L es un funcional lineal continuo en H, entonces existeun unico y ∈ H tal que :

Lx = 〈x, y〉, x ∈ H (1)

Demostracion.Si Lx = 0 para todo x ∈ H, basta tomar y = 0. En otro casodefınase

M = x : Lx = 0 = L−1[0]


La linealidad de L muestra que M es un subespacio y la continuidad de Ldemuestra que M es cerrado. Como Lx 6= 0 para algun x ∈ H, el corolario 4.13prueba que M⊥ 6= 0; entonces existe z ∈ M⊥ con ||z|| = 1. Defınase:

u = (Lx)z − (Lz)x

ComoLu = LxLz − LzLx = 0

tenemos que u ∈ M y por lo tanto 〈u, z〉 = 0. Esto implica que:

Lx = (Lx)〈z, z〉 = (Lz)〈x, z〉De manera que (1) se cumple con y = αz tal que α = Lz. La unicidad esinmediata: 〈x, y〉 = 〈x, y〉 para todo x ∈ H, se tiene 〈x, z〉 = 0 con z = y− y; enparticular 〈z, z〉 = 0 y por lo tanto z 6= 0

5.5 Conjuntos Ortonormales

Si E es un espacio vectorial un subconjunto S ⊂ E es Linealmente Indepen-diente si cualquier subconjunto finito de S es l.i. El conjunto [S] de todas lascombinaciones lineales de todos los subconjuntos finitos de S (conjunto de lascombinaviones lineales finitas de elementos de S) es un subespacio vectorial deE; [S] se llama el espacio generado por S.

Un conjunto de vectores uα, α ∈ A , en un espacio de Hilbert H, se llamaOrtonormal si satisface las relaciones de ortogonalidad:

〈uα, uβ〉 = 0 ∀α, β, α 6= β (1)

y si esta normalizado de manera que ||uα|| = 1 para cada α ∈ A

Si (uα)α∈A es ortonormal , asociamos con cada x ∈ H una funcion complejasobre el conjunto de ındices A definida por :

x(α) = 〈x, uα〉, α ∈ A

Algunas veces a los numeros x se les llama Coeficientes de Fourier de x,relativos al conjunto (uα)α∈A

Teorema 5.5.1. Si u1, u2, u3, .., uk es un conjunto ortonormal y si

x =k∑1

cnun,

entoncescn =< x, un >, 1 ≤ n ≤ k (1)

y ||x||2 =∑k

1 |cn|2 (2)

5.6. UN PROBLEMA DE APROXIMACION 87

Demostracion.Una aplicacion inmediata de (4.20) (1)

Corolario 5.5.2. Cada conjunto ortonormal es linealmente independiente

Demostracion. Inmediata

5.6 Un problema de aproximacion

Sean v1, v2, v3, .., vk un conjnto de vectores l.i. en H , y supongase x ∈ H . Elproblema es encontrar un metodo para calcular el mınimo valor de :

||x−k∑

j=1

cjvj ||

donde c1, c2, c3, .., ck recorren todos los escalares, y encontrar los valores corre-spondientes de c1, c2, c3, .., ck .

Sea M el subespacio generado por v1, v2, v3, .., vk . Si supieramos que M escerrado , podriamos aplicar el teorema de Beppo-Levi y deducir la existencia deun unico elemento minimizador x0 = Px donde:

x0 =k∑

j=1

cjvj

que tambien satisface x−x0 ∈ M⊥ y esto puede usarse para obtener informacionacerca de los coeficientes c1, c2, c3, .., ck

Lema 5.6.1. Si E es un subespacio cerrado de H , y /∈ E y E∗ es el espaciogenerado por E y y , entonces E∗ es cerrado.

Demostracion.Sea z un punto lımite de E∗, i.e

z = limn

(xn + λny)

donde xn ∈ E y λn son escalares. Toda sucesion convergente en un espaciometrico es acotada, entonces existe η > 0 tal que :

||xn + λny|| < η, n = 1, 2, 3, ...

si se tuviera que |λn| −→ ∞ entonces

||λ−1n xn + y|| < η

|λn| −→ 0

de manera que −y ∈ E pues E es cerrado. Pero y /∈ E , entonces |λn| es acotaday (λn)n≥1 debe tener una subsucesion convergente (λni)i≥1 a algun λ .Entoncescomo:

zn = xn + λny


y tanto (zn)n≥1 como (λny)n≥1 son sucesiones de Cauchy,(xn)n≥1 es una sucesionde Cauchy en H y converge a algun punto x ∈ E; entonces

z = x + λy

y esto demuestra que E∗ contiene a z = x + λy y por lo tanto es cerrado

Corolario 5.6.2. Si M es el subespacio generado por un numero finito de vec-tores, entonces M es cerrado.

Demostracion.Razonando por induccion vemos que 0 es cerrado y aplicandoel lema se obtiene el resultado.

Pongamos aij = 〈vj , vi〉, bi = 〈x, vi〉. Entonces si x0 es la proyeccion ortogo-nal de x sobre vjk

j=1,

x0 =k∑

j=1

cjvj

es el elemento minimizador , debemos tener que :

〈x− x0, vi〉 = 0, i = 1, 2, .., k (1)

lo cual nos lleva al siguiente sistema de ecuaciones:

0 = 〈x− x0, vi〉 = 〈x, vi〉 −k∑

j=1

aijcji.e.

k∑

j=1

aijcj = bi 1 ≤ i ≤ k (2)

Sabemos que x0 existe y es unico, entonces el determinante de aij es diferentede cero y las cjs se pueden calcular de (2).Ahora sea δ el mınimo valor de ||x − ∑k

j=1 cjvj ||. Entonces por (1) debemostener 〈x− x0, x0〉 , entonces

δ2 = 〈x− x0, x− x0〉 = 〈x, x− x0〉 = 〈x, x−k∑

j=1

cjvj〉 = ||x||2 −k∑

j=1

cjbj (3)

Esto resuelve el problema en terminos de aij y bi.Consideremos ahora un caso especial : reemplacemos v1, v2, .., vk por un sub-conjunto ortonormal u1, u2, .., uk; entonces aij = δij (deltadeKronecker) y de(2) se obtiene cij = bij ,ademas (3) , toma la forma :

δ2 = ||x||2 −k∑

j=1

|bj |2

Resumimos esto en el siguiente :


Teorema 5.6.3. Sea u1, u2, .., uk un conjunto ortonormal en H , y sea x ∈ H;entonces

(1) ||x−k∑

j=1

〈x, uj〉uj || ≤ ||x−k∑

j=1

λjuj ||

para todos los escalares λ1, λ2, .., λk . La igualdad se cumple si y solo si λj =〈x, uj〉 , para j = 1, 2, .., k . El vector

k∑

j=1

〈x, uj〉uj (2)

es la proyeccion ortogonal de x en el subespacio [u1, u2, .., uk] , y si δ es ladistancia de x a este subespacio , entonces:

k∑

j=1

|〈x, uj〉|2 = ||x||2 − δ2 (3)

Corolario 5.6.4. (Desigualdad de Bessel) Si uα : α ∈ A es cualquierconjunto ortonormal en H , si x ∈ H y si x(α) = 〈x, uα〉 entonces:

∑

α∈A

|x(α)|2 ≤ ||x||2 (4)

Como A es cualquier conjunto de ındices , posiblemente no numerable, lasuma en el lado izquierdo de (4) debe definirse de una manera apropiada. Engeneral, si 0 ≤ ϕ(α) ≤ ∞ para cada α ∈ A , el sımbolo

∑

α∈A

ϕ(α) (5)

denota el supremo del conjunto de todas las sumas finitas ϕ(α1), ϕ(α2), .., ϕ(αk)donde α1, α2, .., αk son elementos diferentes de A. Con esta definicion, es claroque (4) es una consecuencia de (3).

Observese que (5) es la integral de Lebesgue de ϕ con respecto a la medida deconteo en A. Sea `2(A) = L2(A) con respecto a esta medida de conteo, entonces(4) asegura que x ∈ `2(A) y que:

||x||2 ≤ ||x||

Una consecuencia inmediata de (4) es la siguiente :

Teorema 5.6.5. ”Para cualquier x ∈ H y cualquier conjunto ortonormal uα ⊂H , el conjunto de todos los ındices α tales que x(α) 6= 0 es a lo mas contable”.


Demostracion. Sea Λ =∑

α∈A |x(α)|2 = ||x||2 < ∞ pues ||x||2 < ||x||2 yJ = α ∈ A : x(α) 6= 0. El siguiente subconjunto de A

Jn = α ∈ A : |x(α)|2 ∈ [Λ

n + 1,λ

n]

es finito para cada n ∈ N , pues en otro caso Λ = ∞. Por otra parte:

J =∞⋃1

Jn

entonces J es a lo mas numerable.

Sea F la transformacion que asigna a cada x ∈ H la funcion x sobre A. Paracada α ∈ A , x −→ 〈x, uα〉 = x(α) es una funcion lineal.

F es una transformacion lineal de H en `2(A) , pues x ∈ `2(A) por (4).Tambien es inmediato que F es una contraccion, pues

||x− y||2 ≤ ||x− y|| por (4)

En particular F es continua.

Veremos ahora que la completez de H implica que F transforma H sobre`2(A) y que bajo ciertas condiciones adicionales sobre uα, F es una isometrıa,i.e. ||x||2 = ||x|| ∀x ∈ H .Entonces F sera , por supuesto , uno a uno (unisomorfismo isometrico).

Teorema 5.6.6. Teorema de Riesz-fisher Sea uα : α ∈ A un sistemaortonormal en H. Supongase ϕ ∈ `2(A) . Entonces ϕ = x para algun x ∈ HDemostracion.Para n = 1, 2, 3, ..., sea An = α : |ϕ(α)| > 1

n. Cada An esfinito (de hecho, An tiene a lo mas n2||ϕ||22 elementos). Pongamos

xn =∑

α∈An

ϕ(α)uα n = 1, 2, 3, ...

Entonces xn = ϕ·χAn , asi que xn(α) −→ ϕ(α) para todo α ∈ A y |ϕ−x|2 ≤ |ϕ|2.Entonces por una aplicacion del teorema de convergencia dominada de Lebesguese obtiene que :

||ϕ||2 −→ 0 cuando n −→∞Entonces (xn)n≥1 es una sucesion de cauchy en `2(A) y como cada An es finito,aplicando el teo. 4.21-2 obtenemos

||xn − xm|| = ||xn − xm||2Entonces (xn)n≥1 es una sucesion de Cauchy en H y por la completez de esteespacio , existe

x = limn

xn en H


Para cada α ∈ A tenemos

x(α) = 〈x, uα〉 = limn〈xn, uα〉 = lim

nxn(α) = ϕ(α),

lo cual completa la demostracion.Observese que el ingrediente crucial en la demostracion de este teorema es

la completez de L2. Este hecho es tan bien reconocido que frecuentemente elnombre Teorema de Riesz-Fisher se asigna al teorema que asegura la completezde L2 , o aun la de cualquier Lp.

Condiciones necesarias y suficientes para que un conjunto ortonor-mal sea una base Un conjunto ortonormal (uα)α∈A es maximal si no existeun vector en H que pueda adjuntarse a (uα)α∈A de tal manera que el conjuntoresultante tambien sea ortonormal.

Un conjunto ortonormal maximal se llama frecuentemente un ConjuntoOrtonormal Completo o Base Ortonormal.

Teorema 5.6.7. Sea (uα)α∈A un conjunto ortonormal en H. Cada una de lassiguientes condiciones sobre (uα)α∈A implica a las otras tres:

(a) (uα)α∈A es un conjunto ortonormal maximal en H(b) El subespacio S = [uα]α∈A generado por (uα)α∈A es denso en H .

(c) Para cada x ∈ H , tenemos

||x||2 =∑

α∈A

|x(α)|2

(d) Si x, y ∈ H , entonces 〈x, y〉 =∑

α∈A x(α)y(α)

Demostracion.Demostraremos la cadena de implicaciones (a) → (b) → (c) →(d) → (a).

Sea M la cerradura de S . Si S no es denso entonces existe un elemento nonulo en M⊥ y por lo tanto , (uα)α∈A no serıa maximal. Entonces (a) implica (b).

Supongase que (b) y tomese x ∈ H y ε > 0 fijos. Como S es denso , existeun conjunto finito uα1 , .., uαn tal que alguna combinacion lineal de estos distade x en menos que ε . Por el teorema 4.2.3 esta aproximacion se puede mejorartomando la proyeccion ortogonal de x sobre M, i.e. tomando

z = x(α1)uα1 x(αn)uαn (1)

tenemos que ||x − z|| < ε , entonces ||x|| < ||z|| + ε y por el teorema 4.21obtenemos

(2) (||x|| − ε)2 < ||z||2 = |x(α1)|2 + ... + |x(αn)|2 ≤∑

α∈A

|x(α)|2


Como ε > 0 es arbitrario , (c) se sigue de (2) y la desigualdad de Bessel.

Observe que la identidad en (c) tambien puede escribirse en la forma

〈x, x〉 = 〈x, x〉

uno de los productos internos en H y el otro en `2(A).

Sean x, y ∈ H fijos. Si (c) se cumple entonces :

〈x + λy, x + λy〉 = 〈x + λy, x + λy〉

para cualquier escalar λ , consecuentemente:

λ〈x, y〉+ λ〈y, x〉 = λ〈x, y〉+ λ〈y, x〉,

tomando λ = 1 se tiene :

2Re〈x, y〉 = 2Re〈x, y〉

y con λ = i se obtiene

2Im〈x, y〉 = 2Im〈x, y〉

lo cual demuestra (d)

Finalmente si (a) es falso existe u 6= 0 , u ∈ H tal que 〈u, uα〉 = 0, ∀α ∈ A. Si x = y = u, entonces 〈x, y〉 = ||u||2 6= 0 , pero x(α) = 0,∀α ∈ A. Entonces(d) es falso.

Dos espacios de Hilbert H1,H2 son isomorfos si existe una transformacionlineal Λ uno a uno de H1 sobre H2 que preserva los productos internos :〈Λx, Λy〉 = 〈x, y〉, ∀x, y ∈ H∞ . Un Λ como el anterior se llama un isomor-fismo de espacios de Hilbert .

Los dos teoremas anteriores llevan al siguiente:

Corolario 5.6.8. Si (uα)α∈A es un conjunto ortonormal maximal en H, y six(α) = 〈x, uα〉 , entonces la transformacion x −→ x es un isomorfismo deespacios de Hilbert de H sobre `2(A) .

Demostracion.Basta demostrar que la transformacion es uno a uno y sobre.Que es uno a uno se sigue de (a), es decir: Para cualquier α ∈ A, si x = y,entonces 〈x, uα〉 = 〈y, uα〉 lo que implica que 〈x − y, uα〉 = 0. Por lo tantox− y = 0. Es suprayectiva por el teorema de Riesz-Fisher.

5.7. EXISTENCIA DE BASES ORTONORMALES 93

5.7 Existencia de bases ortonormales

En esta seccion demostraremos que cada espacio de Hilbert no trivial (que noconsista solo del vector cero) es isomorfo a algun `2(A) , demostrando con elloque cada espacio de esta clase tiene una base ortonormal. La prueba requierede una propiedad de los conjuntos parcialmente ordenados.

Un conjunto P es parcialmente ordenado por una relacion binaria ≤ si:

(a) a ≤ b y b ≤ c implica a ≤ c

(b) a ≤ a para cada a ∈ P

(c) a ≤ b y b ≤ a implica a = b

Un subconjunto Q de un conjunto parcialmente ordenado P se llama Total-mente Ordenado (o Linealmente Ordenado) si cada par a, b ∈ Q satisfacea ≤ b o b ≤ a .

Por ejemplo, la coleccion de subconjuntos de un conjunto fijo X esta par-cialmente ordenado por (c).

Un subconjunto totalmente ordenado Q de P es Maximal si no existe unelemento de P que pueda adjuntarse a Q de manera que la coleccion resultantesea totalmente ordenada.

Ejemplo. Sea P subconjuntos abiertos del plano, Q los discos circularesabiertos con centro en el origen. Q es totalmente ordenado y maximal en P .

Teorema 5.7.1. (De maximalidad de Hausdorff) Cada conjunto no vacioparcialmente ordenado contiene un subconjunto totalmente ordenado maximal.

Este teorema es equivalente al axioma de seleccion ;no lo demostraremosaqui.

Teorema 5.7.2. Cada conjunto ortonormal B en un espacio de Hilbert H estacontenido en un conjunto ortonormal maximal en H.

Demostracion. Sea P la coleccion de todos los conjuntos ortonormales enH que contienen a B . Ordenese P parcialmente por inclusion. Como B ∈ P,P 6= ∅ . Consecuentemente P contiene una subcoleccion Ω totalmente ordenaday maximal. Sea S la union de todos los miembros de Ω . Es claro que B ⊂ S .Afirmamos que S es un conjunto ortonormal maximal:

Si u1, u2 ∈ S ,entonces u1 ∈ A1 y u2 ∈ A2 para algunos A1, A2 ∈ Ω. ComoΩ es totalmente ordenado, A1 ⊂ A2 (o A2 ⊂ A1 ) de manera que u1, u2 ∈ A2 ycomo A2 es un subconjunto ortonormal que contiene a B, 〈u1, u2〉 = 0 siu1 6= u2


y 〈u1, u2〉 = 1 si u1 = u2. Por lo tanto S es ortonormal.

Supongase que S no es maximal. Entonces S es subconjunto propio de unconjunto ortonormal S∗. Claramente S∗ /∈ Ω y S∗ contiene cada elemento deΩ . De manera que podemos adjuntar S∗ a Ω y obtener una clase totalmenteordenada. Pero esto contradice la maximalidad de Ω.

Corolario 5.7.3. Todo espacio de Hilbert no trivial tiene una base ortonormal.

Demostracion.Como H es no trivial, existe u ∈ H con ||u|| = 1, es decir,existe un conjunto ortonormal no vacio en H . La existencia de un conjuntoortonormal maximal es consecuencia del teorema anterior.

Bibliography

[1] H.L. Royden, Real Analysis. The Macmillan company, Collier-MacmillanLimited, London, (1968).

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una introducci¶on a la medida e integral de lebesgue (versi¶on...

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