Una Introduccion a las Ondas Dispersivas y a la

Transformada de Fourier

Maria Berenice Contreras Ortega.

13 de diciembre de 2012

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Indice

1. Introduccion. 3

2. La transformada de Fourier 42.1. La transformada inversa de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2. El producto de convolucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3. Ondas dispersivas 113.1. Correspondencia entre la ecuacion y su relacion de dispersion . . 123.2. Solucion general mediante integrales de Fourier. . . . . . . . . . . 133.3. Comportamiento asintotico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4. Fase, Velocidad de Fase, Paquete de Onda y Velocidad de grupo 19

2

1. Introduccion.

Una onda es un senal reconocible, la cual es transferida a traves de un mediocon una “velocidad de propagacion reconocible”. La senal puede ser cualquiercaracterıstica de la perturbacion de alguna propiedad de un medio, siempre quepueda reconocerse claramente y su ubicacion en cualquier momento se puedadeterminar. La senal se puede distorsionar, cambiar su magnitud, y cambiarsu velocidad, siempre y cuando siga siendo reconocible. Existen dos subclasesprincipales:

Ondas hiperbolicas.

Ondas dispersivas.

Ondas hiperbolicas: Una onda hiperbolica es una onda que matematica-mente es formulada en terminos de ecuaciones diferenciales parciales hiperboli-cas.

Los modelos mas simples de ecuaciones diferenciales hiperbolicas son:

Ecuacion de onda de primer orden unidireccional:

∂u

∂x+ c

∂u

∂t= 0

Ecuacion de onda de segundo orden:

∂2u

∂x2− c2 ∂

2u

∂t2= 0

Ambas ecuaciones tienen soluciones de la forma f(x − ct), donde f es unafuncion diferenciable arbitraria. Si c > 0, la onda se mueve una distancia ct a laderecha en un tiempo t.

Ondas Dispersivas: Las ondas dispersivas no se clasifican tan facilmentecomo las ondas hiperbolicas, la discusion se deriva de ciertos tipos de solucionoscilatoria representando un tren de onda. La clasificacion de ondas dispersivasse realiza en el tipo de solucion, en lugar de las propias ecuaciones.

Muchos movimientos de onda no son descritos mediante ecuaciones hiperboli-cas, estos movimientos de onda no hiperbolicos pueden ser agrupados en unasegunda clase llamada dispersivas.

Sobre este tipo de ondas se hablara de manera mas detallada a lo largo deltrabajo, por el momento iniciamos con “La transformada de Fourier” que nosayudara en la comprension de las ondas dispersivas, despues de eso regresaremosal tema.

3

2. La transformada de Fourier

Una funcion f(x), en el intervalo −π < x < π, puede ser expandida en unaserie de Fourier si f(x) es continua a trozos:

f(x) ∼ 12a0 +

∞∑n=1

(an cosnx+ bn sinnx),

donde

an =1π

∫ π

−πf(x) cosnxdx, n = 0, 1, 2, ...

bn =1π

∫ π

−πf(x) sinnxdx, n = 0, 1, 2, ...

Ahora, por la identidad de Euler-Lagrange

cosnx =12

(einx + e−inx),

sinnx =12i

(einx − e−inx),

podemos escribir la serie de Fourier de la siguiente manera:

f(x) =∞∑

n=−∞cne−inx,

donde cn = 12π

∫ π−π f(x)einxdx, entonces los an, bn, y c′ns estan relacionados

por:

cn =

12a0, para n = 012 (an + ibn), para n ≥ 012 (a−n − ib−n), para n ≤ 0.

La propiedad mas importante de los coeficientes de Fourier es el hecho deque si f(x) es expandida como una funcion periodica de periodo 2π, y es dosveces continuamente diferenciable, entonces:

f ′′(x) ∼∞∑−∞

(−n)2cne−inx.

Esto significa que si diferenciamos f(x) dos veces, corresponde a multiplicarlos coeficientes de la serie de Fourier, cn, por −n2.

Podemos ver que si f(x) es continua y continuamente diferenciable a pedazospara −π ≤ x ≤ π, y si f(−π) = lımx→π+ f(x), entonces∫ π

−πf ′(x)einxdx = f(x)einx

∣∣∣∣π−π− in

∫ π

−πf(x)einxdx

= −incn.

4

Por lo tanto, diferenciar una funcion periodica corresponde a multiplicar cadacoeficiente cn de la serie de Fourier por −in:

f ′(x) =∞∑−∞

(−incne−inx)

en los intervalos de convergencia uniforme.

Usando este hecho podemos reducir un gran numero de ecuaciones dife-renciales parciales cuyos coeficientes sean independientes de x a una ecuaciondiferencial ordinaria.

Ahora, si nosotros queremos representar una funcion f(x) continua a pedazosen un intervalo −L ≤ x ≤ L como una serie de Fourier, simplemente introduci-mos la variable x′ = π

Lx, −π ≤ x′ ≤ π:

f

(L

πx′)∼

∞∑−∞

(cne−inx′),

donde,

cn =1

2π

∫ π

−πf

(L

πx′)einx

′dx′.

Regresando a la variable x tenemos:

f(x) ∼∞∑−∞

c(L)n e−in

πLx,

donde,

c(L)n =

12L

∫ L

−Lf(x)ein

πLxdx.

5

Los coeficientes c(L)n definen a la funcion f(x) unicamente en el intervalo

(−L,L). Entonces tenemos la propiedad siguiente:

f(x) =∞∑−∞

(−in π

Lc(L)n +

(−1)n

2L[f(L)− f(−L)]

)e−in

πLx,

diferenciar f corresponde a multiplicar c(L)n por −inπ/L.

Supongamos que f(x) esta definida para −∞ < x < ∞, y que podemosdeterminar f(x) sobre cualquier subintervalo (−L,L) en termino de los coefi-cientes c(L)

n . Ahora debemos intentar determinar f(x) sobre todo el intervalo(−∞,∞), tomando lımites cuando L→∞.

Supongamos que f(x) es absolutamente integrable, es decir, que la integral∫∞−∞ | f(x) | dx converge, entonces:

|c(L)n | =

12L

∣∣∣∣∣∫ L

−Lf(x)ein

πxL dx

∣∣∣∣∣ ≤ 12L

∫ ∞−∞|f(x)|dx,

lo cual tiende a cero cuando L→∞, es decir, el lımite de cada coeficiente c(L)n

es cero.En vez de eso consideramos el lımite de 2Lc(L)

n . Si fijamos n, n/L→ 0 cuandoL→∞, entonces,

lımL→∞

2Lc(L)n = lım

L→∞

∫ L

−Lf(x)ein

πxL dx,

=∫ ∞−∞

f(x)dx,

este lımite es una constante, por lo tanto no podemos determinar de maneraunica a f(x).

Observemos que cuando L→∞ el conjunto de los numeros de la forma nπL

con n = 0,±1,±2, ... se vuelve cada vez mas denso sobre la recta real, lo cualnos motiva a hacer el cambio de variable continua nπ

L por ω, ademas de quemantenemos fija ω cuando L→∞, con lo cual obtenemos lo siguiente:

f(ω) = lımL→∞

2Lc(L)ωL/π

f(ω) =∫ ∞−∞

f(x)eiωxdx. (1)

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En lugar de tener una funcion c(L)n definida para todo entero n, tenemos una

funcion f(ω) para todo valor real de ω. La integral converge si∫∞−∞ |f(x)|dx

converge. A la expresion descrita por la ecuacion (1) le llamamos Transformadade Fourier de f(x).

La transformada de Fourier debe de tener las mismas propiedades basicascomo los coeficientes de Fourier. La primera de estas propiedades es el hecho deque derivar f(x) corresponda a multiplicar f(ω) por −iω. La segunda propiedadimportante es el hecho de que f(ω) determina a f(x) de forma unica. Para elloa lo lago de este trabajo tambien denotaremos a F [f ] como la transformada deFourier de f .

Proposition 2.1 Para la transformada de Fourier se cumple que F[f ′(x)] =−iωF[f(x)].

Prueba. Supongamos que f(x) es continua y continuamente diferenciable, que∫∞−∞ f(x)eiωxdx converge para toda ω y que lımx→±∞ = 0.

Tenemos que integrando por partes resulta:

F [f ′(x)] =∫∞−∞ f ′(x)eiωxdx = f(x)eiωx

∣∣∣∣∞−∞− iω

∫∞−∞ f(x)eiωxdx

Como lımx→±∞ = 0, pues f(x) es continua y integrable entonces tenemos que

f(x)eiωx∣∣∣∣∞−∞

, y F [f ′(x)] = −iωF [f(x)] ut

Proposition 2.2 Para la transformada de Fourier se cumple que dF[f(x)]dω =F[ixf(x)].

Prueba. Tenemos que:

dF[f(x)]dω

=d

dω

∫ ∞−∞

f(x)eiωxdx,

por ser eiωx continuo en ω, para −∞ ≤ ω ≤ ∞ podemos decir:

dF[f(x)]dω

=d

dω

∫ ∞−∞

f(x)eiωxdx

=∫ ∞−∞

d

dωf(x)eiωxdx,

integrando por partes y como el termino de frontera es f(x)∣∣∣∣∞∞

= 0 entonces:

dF [f(x)]dω

=∫ ∞−∞

(iω)f(x)eiωxdx

= F [(iω)f(x)].

ut

7

Esta ultima propiedad es muy util, entre otras cosas sirve para demostrarque la transformada de una Gaussiana es una Gaussiana, como lo veremos enlos siguiente ejemplo.

Ejemplo 2.1 Encontrar la transformada de Fourier de la siguiente funcionf(x) = e−ax

2.

Para este ejemplo se usan los dos proposiciones anteriores, primero uti-lizamos proposicion 2:

F [f(x)] = F [e−ax2]

F ′[f(x)] = F[ixe−ax2],

por linealidad tenemos que:

F ′[f(x)] = − i

2aF [−2axe−ax

2]

= − i

2aF [(e−ax

2)′],

y por la proposicion 1:

F ′[f(x)] = − i

2aF [(e−ax

2)′]

F ′[f(x)] = − i

2a(−iω)F [e−ax

2],

de donde, haciendo las cuentas, llegamos a la siguiente ecuacion diferencialordinaria:

F ′[f(x)]F [f(x)]

= − ω

2a

ln(F [f(x)]) = −ω2

4a+ C,

la cual, al finalmente resolverla, nos queda:

F [f(x)] =√π

ae−

ω24a .

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Una propiedad mas de la transformada de Fourier es la siguiente, para lacual retomaremos la notacion de la ecuacion (1), f(ω) =

∫∞−∞ f(x)eiωxdx:

Proposition 2.3 Para la transformada de Fourier se cumple:

F[f(ax− b)] =1|a|eiωb/af

(ωa

).

Prueba. Sea g la siguiente funcion, donde a, b son constantes:

g(x) ≡ f(ax− b),

aplicamos transformada de Fourier a ambos lados:

g(ω) =∫ ∞−∞

f(ax− b)eiωxdx,

hacemos el siguiente cambio de variable ξ = ax− b, tenemos que para a > 0 secumple:

g(ω) =1a

∫ ∞−∞

eiω(ξ+b)/af(ξ)dξ,

si a < 0, los lımites de integracion seran invertidos, lo cual introduce un signomenos. De esta manera obtenemos la formula con shift:

F[f(ax− b)] =1|a|eiωb/af

(ωa

)(2)

ut

2.1. La transformada inversa de Fourier

En muchos casos un problema que involucra una ecuacion diferencial par-cial para una funcion u, puede ser reducido a un problema que involucre unaecuacion diferencial ordinaria para la transformada F[u] de la funcion u. En-tonces, es posible usar esencialmente un metodo de ecuaciones diferenciales or-dinarias y resolver para F[u]. Debemos determinar u desde su transformada deFourier. Definimos la transformada inversa de Fourier como:

u(x) =1

2π

∫ ∞−∞

F [u]e−iωxdω (3)

De esta manera, con la transformada inversa de Fourier, podemos recuperaruna funcion u(x) unıvocamente, despues de que a esta se le haya aplicado latransformada de Fourier [1].

9

Ejemplo 2.2 Encuentre la solucion de la ecuacion de calor en una barra in-finita, para t > 0, donde u(x, 0) = e−x

2,

∂u

∂t− ∂2u

∂x2= 0.

No sabemos quien es u(x, y), pero aun ası trabajamos con su transformada deFourier F [u(x, t)] y usamos dos veces la propiedad 2 en el segundo termino dela ecuacion de calor, de esta manera tenemos:

∂F [u]∂t

− ∂2F [u]∂x2

=∂F [u]∂t

+ ω2F [u]

= 0,

de esta manera, pasamos de tener un problema de ecuaciones diferenciales par-ciales a uno de ecuaciones ordinarias de primer orden:

∂F [u]∂t

= −ω2F [u],

al resolver la ecuacion diferencial tenemos:

F [u] = Ce−ω2t,

determinamos C = F [u(x, 0)] con la condicion inicial:

F [u(x, 0)] = F [e−x2]

=√πe−ω2

4 ,

ahora que ya conocemos el valor de C y tenemos que F [u(x, t)] =√πe−ω

2( 14+t),

para recuperar la funcion u(x, t) aplicamos la transformada inversa de Fouriera F [u(x, t)], la cual nos determina unıvocamente u, ası pues:

u(x, t) =1

2π

∫ ∞−∞

F [u]e−iωxdω

=1

2π

∫ ∞−∞

√πe−ω

2( 14+t)e−iωxdω

= (1 + 4t)12 e−

x21+4t .

Finalmente, tenemos que u(x, t) = (1 + 4t)12 e−

x21+4t , para t > 0, donde u(x, 0) =

e−x2.

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2.2. El producto de convolucion

Sean f(x) y h(x) cualesquiera dos funciones, ambas absolutamente inte-grables y de cuadrado integrable, definimos el producto de convolucion como:

f ∗ h ≡∫ ∞−∞

f(x0 − x)h(x)dx (4)

Teorema 2.1 Si f(x) y h(x) son ambas absolutamente integrables y de cuadra-do integrable, y f(ω) y h(ω) son sus transformadas de Fourier, entonces el pro-ducto f(ω)h(ω) es la transformada de Fourier del producto de convolucion f ∗h.

3. Ondas dispersivas

En general, su clasificacion es un poco mas difıcil que en las ondas hiperboli-cas, ya que esta se realiza en el tipo de solucion, en lugar de las propias ecua-ciones. Un sistema lienal dispersivo es cualquier sistema fısico que tiene solu-ciones de la forma:

ϕ(x, t) = A cos(ik · x− iωt),

donde k es el numero de onda, ω es el periodo, A la amplitud de onda.

Para problemas lineales, las ondas dispersivas usualmente son reconocidaspor la existencia de soluciones elementales de la forma:

ϕ(x, t) = Aei(k·x−ωt). (5)

Para satisfacer las ecuaciones, ω y k deben de estar relacionadas por unaecuacion G(ω, k) = 0, la cual es determinada por el problema. La relacion entreω y k se llama “Relacion de Dispersion.”

Asumimos que la relacion de dispersion se soluciona en la forma de raıcesreales ω = W (k). Esto dara el numero de soluciones y nos referimos a cada raızde ω como “Los modos”.

La cantidad θ = k · x − ωt es la fase, y determina la posicion entre crestay valle. El gradiente de θ en el espacio es el numero de onda k cuya norma esnormal a los planos, y cuya magnitud k es el promedio del numero de crestaspor cada 2π unidades de distancia en esa direccion. Similarmente, −θt es lafrecuencia ω, y es el promedio de numero de crestas por cada 2π unidades detiempo. El ancho de onda es λ = 2π/k y el periodo es τ = 2π/ω.

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3.1. Correspondencia entre la ecuacion y su relacion dedispersion

La relacion de dispersion es la relacion que existe entre el sistema dispersivoy las variables ω y k a traves de las parciales de dicho sistema. Podemos pre-scindir de la ecuacion una ves que conocemos la relacion de dispersion y tambienpodemos construir la ecuacion a partir de la relacion de dispersion.

Una ecuacion diferencial parcial lineal con coeficientes constantes puede serescrita como:

P

(∂

∂t,∂

∂x1, · · · , ∂

∂xn

)ϕ(x, t) = 0,

donde P es un polinomio; cuando la solucion elemental (5) es sustituida enla ecuacion, cada ∂

∂t produce un factor −iω, y cada ∂∂xj

produce in factor ikj .Ası la relacion de dispersion sera

P (−iω, ik1, . . . , ikn) = 0 (6)

y tenemos una correspondencia directa entre la ecuacion y la relacion de disper-sion a traves de la correspondencia:

∂

∂t↔ −iω, ∂

∂xj↔ ikj .

Desde (6) podemos recobrar la ecuacion diferencial parcial. Esta es la basede la observacion anterior, de que podemos prescindir de la ecuacion cuando larelacion de dispersion se conoce.

Es claramente cierto, en general, que las ecuaciones con coeficientes con-stantes reales daran lugar a relaciones de dispersion reales si y solo si consistenenteramente de derivadas pares o incluso si consisten enteramente de derivadasimpares.

Ejemplos 3.1 1. Encuentre la relacion de dispersion de la siguiente ecuaciondiferencial parcial, ϕtt + γ2ϕxxxx = 0. Sabemos que la solucion a este sis-tema es ϕ = Aeikx−iωt, calculamos las derivadas parciales de ϕ:

ϕtt = −ω2Aeikx−iωt

ϕxxxx = k4Aeikx−iωt.

Sustituyendo en la ecuacion diferencial tenemos que:

ϕtt + γ2ϕxxxx = (−ω2 + γ2k4)Aeikx−iωt = 0.

La relacion de dispersion es −ω2 + γ2k4 = 0, los modos son ω = W (k) =±γk2, es decir, ω1 = γk2, y ω2 = −γk2, de este modo tenemos dos solu-ciones de la forma:

ϕ1 = k1Aeikx−iγk2t

ϕ2 = k2Aeikx+iγk2t.

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2. Diga cual es la ecuacion diferencial parcial si su relacion de dispersion es:

ω + αk − βk3 = 0.

Multiplicamos por i la relacion de dispersion:

iω + αik − βik3 = 0.

Por otro lado tenemos que

ϕt = −iωAeikx−iωt

ϕx = ikAeikx−iωt

ϕxxx = −ik3Aeikx−iωt.

De esta manera al sustituir recuperamos la ecuacion diferencial parcial

ϕt + αϕx − βϕxxx = 0.

3.2. Solucion general mediante integrales de Fourier.

Para problemas lineales, soluciones mas generales son obtenidas mediantesuperposicion a la integral de Fourier.

Si (5) con ω = W (k) es una solucion elemental para una ecuacion linealentonces,

ϕ(x, t) =∫ ∞−∞

F (k)eik·x−iW (k)tdk (7)

tambien es solucion, donde F (k), arbitraria, puede ser elegida para cumplirlas condiciones iniciales y de frontera, siempre y cuando, estos datos cumplanlas condiciones para admitir transformadas de Fourier. Si existen n modos conn diferentes opciones de W (k), entonces tenemos n terminos como (7), con nfunciones F (k), entonces seria correcto tener n condiciones iniciales para deter-minar el problema.Es decir, en el ejemplo (3.1), tenemos:

ϕtt + γ2ϕxxxx = 0,

donde con la relacion de dispersion tenemos que ω(k) = ±γk2, para estaecuacion tenemos dos modos, lo cual es apropiado para determinar ϕ y ϕt,en t = 0, ası pues:

ϕ(x, t) =∫ ∞−∞

F1(k)eik·x−iW (k)tdk +∫ ∞−∞

F2(k)eik·x−iW (k)tdk, (8)

con condiciones iniciales, ϕ = ϕ(x), ϕt = ϕ1(x) en t = 0.

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Si W (k) es impar en k, el primer termino de (8) representa los movimientosde onda para la derecha y el segundo para la izquierda. Si W (k) es par, losmovimientos para la izquierda y derecha aparecen en ambos terminos de (8).

Aplicando las condiciones iniciales tenemos

ϕ0(x) =∫ ∞−∞{F1(k) + F2(k)}eikxdk

ϕ1(x) = −i∫ ∞−∞

W (k){F1(k)− F2(k)}eikxdk.

La formula inversa nos da:

F1(k) + F2(k) = Φ0(k) =1

2π

∫ ∞−∞

ϕ0(x)e−ikxdk

iW (k){F1(k)− F2(k)} = Φ1(k) =1

2π

∫ ∞−∞

ϕ1(x)e−ikxdk.

De este modo podemos determinar F1(k) y F2(k) como:

F1(k) =12

{Φ0(k) +

iΦ1(k)W (k)

}F2(k) =

12

{Φ0(k)− iΦ1(k)

W (k)

}.

Ejemplos 3.2 1. Resolveremos usando trasformada de Fourier la Ecuacionlinea de Schrodinger:

iUt(x, t) +12Uxx(x, t) + |A|U(x, t) = 0, U(x, 0) = f(x).

En este punto no sabemos quien es U(x, t), sin embargo trabajaremos conla transformada de U , F [U(x, t)], usamos la propiedad 1 de la transfor-mada Fourier para el segundo termino de la ecuacion, de tal manera queresulta la siguiente ecuacion:

idU(x, t)dt

+12

(−iω)2F [U(x, t)] + |A|F [U(x, t)] = 0,

la cual podemos resolver por algun metodo para ecuaciones diferencialesordinarias, obteniendo:

F [U(x, t)] = Ce(i12ω

2−|A|)t,

ahora como U(x, 0) = f(x) y como estamos trabajando con la transfor-mada de la funcion U , por consecuencia, F [U(x, 0)] = F [f(x)], de estamanera:

F [U(x, t)] = F [f(x)]e(i12ω

2−|A|)t.

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Sabemos que la transformada inversa de Fourier determina unıvocamentela funcion original, de este modo determinamos U(x, t):

U(x, t) =1

2π

∫ ∞−∞

F [f(x)]e(i12ω

2−|A|)tdω.

En este caso, buscamos una funcion g(x), tal que, F [g(x)] = e(i12ω

2−|A|)t,para de esta manera usar el producto de convolucion y g(x) = 1√

πt1

(−1+i)e|A|t− ix22t .

De tal modo que:

U(x, t) =1

2π

∫ ∞−∞

F [f(x)]e(i12ω

2−|A|)tdω

U(x, t) =1

2π

∫ ∞−∞

F [f(x)]F [g(x, t)]dω,

Usando el producto de convolucion tenemos:

U(x, t) =1√πt

e|A|t

(−1 + i)

∫ ∞−∞

f(y)e−i(x−y)2

2t dy,

2. Usando la transformada de Fourier, resuelva la ecuacion lineal de Korteweg-de Vries (KDV):

Ut(x, t) + CUx(x, t) + αUxxx(x, t) = 0, U(x, 0) = f(x)

Usamos la primera propiedad de las transformadas de Fourier en el segun-do y tercer termino, de tal manera que al igual que el ejemplo anterior,aunque no conocemos la funcion U , trabajamos con su transformada deFourier:

dU(x, t)dt

+ C(−iω)F [U(x, t)] + α(−iω)3F [U(x, t)] = 0, U(x, 0) = f(x)

A partir de aquı resolvemos por algun metodo para Ecuaciones Diferen-ciales Ordinarias, y ası obtenemos:

F [U(x, t)] = Keiω(C−αω2)t,

luego determinamos K con la condicion inicial U(x, 0) = f(x), ya que,F [U(x, 0)] = F [f(x)] = K, sustituyendo en la ecuacion anterior tenemos:

F [U(x, t)] = F [f(x)]eiω(C−αω2)t,

Con la transformada inversa de Fourier recuperamos nuestra funcion U

U(x, t) =1

2π

∫ ∞−∞

F [f(x)]eiω(C−αω2)te−iωxdω.

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3. Usando la transformada de Fourier resuelva la ecuacion lineal de Onda:

Utt(x, t)− c2Uxx(x, t) = 0, U(x, 0) = f(x), U(x, 0)t = g(x).

Al igual que en los dos ejemplos anteriores trabajamos con la transformadade Fourier de U y sus propiedades, para ası pasar al siguiente problema:

d2F [U(x, t)]dt2

− c2(−iω)2F [U(x, t)] = 0,

con condiciones iniciales:

F [U(x, 0)] = F [f(x)]F [U(x, 0)t] = F [g(x)].

Resolviendo la ecuacion diferencial ordinaria obtenemos:

F [U(x, t)] = C1eicωt + C2e

−icωt

F [U(x, 0)] = C1 + C2 = F [f(x)]F [U(x, 0)]t = icω(C1 + C2) = F [g(x)],

donde C1 y C2 son:

C1 =F [f(x)]

2+F [g(x)]

2icω

C2 =F [f(x)]

2− F [g(x)]

2icω,

sustituyendo C1 y C2 en F [U(x, t)] tenemos:

F [U(x, t)] =(F [f(x)]

2+F [g(x)]

2icω

)eicωt +

(F [f(x)]

2− F [g(x)]

2icω

)e−icωt

F [U(x, t)] =12(F [f(x)]eicωt + F [f(x)]e−icωt

)+

12c

(F [g(x)]iω

eicωt − F [g(x)]iω

e−icωt).

Haciendo los calculos correspondientes y aplicando la transformada inver-sa de Fourier tenemos la siguiente expresion de U :

U(x, t) =12

(f(x+ ct)− f(x− ct)) +12c

∫ x+ct

x−ctg(τ)dτ.

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3.3. Comportamiento asintotico

Aunque las integrales de Fourier dan soluciones exactas, el comportamientoes difıcil de ver. Se empiezan a entender las principales caracterısticas de ondadispersiva considerando el comportamiento asintotico para x y t muy grandes.Consideremos la tıpica integral:

ϕ(x, t) =∫ ∞−∞

F (k)eik·x−iW (k)tdk (9)

en el caso de una dimension.El lımite interesante ocurre cuando t→∞ con x

t fijo, donde una particulareleccion de x

t nos permite examinar movimiento de onda con esa velocidad. Enconsecuencia (9) es escrito:

ϕ(x, t) =∫ ∞−∞

F (k)e−iχtdk, (10)

donde χ(k) = W (k)− k xt .

La mayor contribucion para (9) proviene de la zona de puntos estacionariosk = κ tal que

χ′(κ) = W ′(κ)− x

t= 0. (11)

Las funciones F (k) y x(k) son expandidas en series de Taylor alrededor dek = κ. El dominio de contribuciones viene dado por los terminos

F (k) ' F (κ)χ(k) ' χ(κ) + (k − κ)2χ′′(κ),

siempre y cuando χ′′(κ) 6= 0.

Con esta aproximacion la contribucion es:

F (κ)e−iχ(κ)t

∫ ∞−∞

e−12 (k−κ)2χ′′(κ)tdk.

La integral restante se reduce a la integral de error∫ ∞−∞

eαz2dz =

(πα

)2

,

girando la integral de camino ±π4 y ajustando el signo para que sea igual al deχ′′(κ) tenemos:

F (κ)

√2π

t|χ′′(κ)|e−iχ(κ)t− iπ4 sgnκ

′′. (12)

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Si existe mas de un punto k = κ que satisface (11) tenemos un terminosimilar a (12) tenemos:

ϕ =n∑κ

F (κ)

√2π

t|W ′′(κ)|eiκ·x−iW (κ)t− iπ4 sgnW (κ)′′ . (13)

Para los casos especiales de dos modos, la solucion completa esta dada por (8).

Hacemos la siguiente suposicion, que W ′(k) es monotona y positiva parak > 0, que es el caso usual, y consideramos el comportamiento asintotico de(8) para x > 0. Si W (k) es impar, W ′(k) es par y (11) tiene dos raıces ±κ.Entonces hay dos contribuciones en (13), pueden ser combinadas, y entoncespara κ, xt > 0 tenemos:

ϕ ∼ 2<

(n∑κ

F1(κ)

√2π

t|W ′′(κ)|eik·x−iW (κ)t− iπ4 sgnW (κ)′′

). (14)

Para W (κ) impar la segunda integral en (8) no contribuye a la solucion enx > 0; esto da una correspondiente expresion para x < 0. Cuando W (k) es par,W ′(k) es impar; (11) tiene una raız k para x > 0 y es positiva, esto es, solo unacontribucion de la primera integral en (8). Para la segunda integral en (8) lospuntos estacionarios satisfacen

W ′(k) = −xt

Si W ′(k) es una constante, aquı no hay puntos estacionarios y para x/tgeneral el analisis asintotico es diferente. No es necesario ya que la integral deFourier puede ser simplificada inmediatamente. El significado para W ′′(κ) 6= 0aparece tambien en el denominador de (14). Si W ′′(k) no es identicamente cero,pero desaparece para algun punto estacionario κ, el correcto comportamientoasintotico es encontrado por los siguientes terminos en la serie de Taylor paraχ.

Si χ′′(κ) = 0, pero χ′′′(κ) 6= 0, la contribucion para (10) es:

F (κ)e−iχ(κ)t

∫ ∞−∞

e−i6 tχ′′′(κ)(k−κ)3dk =

(13

)!35/621/3 F (κ)

(t|W ′′′(κ)|)1/3eiκx−iW (κ)t

ya que κ esta en funcion de x/t, esto indicarıa un comportamiento singularen la correspondiente lenea y su vecindad.

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4. Fase, Velocidad de Fase, Paquete de Onda yVelocidad de grupo

En esta seccion se haran mencion a conceptos inherentes a los sistemas linea-les dispersivos, lo cual nos servira para terminar de comprender las ondas dis-persivas.

Fase: La fase indica la situacion instantanea en el ciclo, de una magnitudque varıa cıclicamente, describiendo las variaciones entre la maxima y la mınimalocal y se denota:

θ = k · x− ωt

donde k es el numero de onda, ω es la frecuencia.

Para cualquier punto (x, t), k(x, t) = xt determina un cierto numero de onda

y la relacion de dispersion ω = W (k) da la frecuencia en ese punto. Entonces,para este caso tenemos la fase:

ω(x, t) = xk(x, t)− tω(x, t)

y (14) debe ser escrita como

ϕ = <{A(x, t)eiθ(x,t)}, (15)

donde la amplitud es:

A(x, t) = 2F1(k)

√2π

t|W ′′(k)|e−( iπ4 )sgnW (k)′′ .

La expresion (15) esta en la forma de solucion elemental, pero A, k, ω no sonconstantes. La solucion aun representa una oscilacion de tren de onda con unafase θ describiendo las variaciones entre la maxima y mınima local. La diferenciaes que el tren de onda no es uniforme; la distancia y el tiempo con la maximasucesiva no son contantes ni tampoco la amplitud.

Es natural intentar generalizar el concepto de numero de onda y la frecuenciaen este caso no uniforme al definirlas como θx y −θt, respectivamente. Contarel numero de maximos en unidad de distancia, obviamente, serıa una cantidadtorpe y mal definida, mientras que θx es sencillo y se corresponde con la ideaintuitiva de un numero de onda local.

θ = kx−W (k)tθx = k

θt = −W (k).

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Ası, el numero de onda k, que se introdujo por primera vez como un valorparticular del numero de onda en la integral de Fourier, concuerda con nuestradefinicion ampliada de un numero de onda local θx en un tren de ondas no uni-forme oscilatorio. Lo mismo es cierto de la frecuencia correspondiente. Ademas,el numero de onda local y la frecuencia local satisfacen la relacion de dispersion,incluso en el tren de ondas no uniforme. Estas extensiones funcionan tan bienya que la falta de uniformidad no es demasiado grande.

Velocidad de Fase: La velocidad de fase de una onda es la tasa a la cual lafase de la misma se propaga en el espacio y se denota:

vp =ω

k

Velocidad de Grupo: La velocidad de grupo es la velocidad con la que lasvariaciones en la forma de la amplitud de la onda (tambien llamada modulaciono envolvente) se propagan en el espacio. La velocidad de grupo se define como:

vg =dω

dk

Paquete de Onda: Un paquetes de onda es una superposicion lineal de ondas,que toman la forma de un pulso, que se desplaza de modo relativamente com-pacta en el espacio antes de dispersarse, tambien podemos ver a los paquetesde onda como envolvente en un tren de onda no uniforme. Dichos paquetes sedefinen de la siguiente manera:

u(x, t) =∫ k0+ε

k0−εa(k)ei(k·x−ωt)dk,

en una vecindad de k0. La velocidad de grupo es una propiedad local del paquetede onda.

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Velocidad de dispersion del grupo: La velocidad de dispersion del grupo esdefinida como se sigue:

dω2

dk2(k0),

esto mide como los paquetes de onda se separan, dicho de otro modo, da la tasaa la cual las ondas se dispersan y pueden ocurrir los siguientes casos:

Cuando d2ωdk2 (k0) < 0, los paquetes de onda se separan con respecto a k0.

Cuando d2ωdk2 (k0) > 0, los paquetes de onda se desplazan hacia la izquierda.

El caso d2ωdk2 (k0) = 0 no se toma en cuenta ya que cuando eso pasa el sistema

no clasifica como dispersivo ya que la velocidad de fase y la velocidad de grupocoinciden.

En otras palabras, para que un sistema lineal dispersivo clasifique como taldebe de cumplir:

Admitir soluciones de la forma (5)

La Velocidad de dispersion del grupo sea distinta de cero.

En la figura 1. se pueden apreciar los paquetes de onda y los lugares dondeactuan, la velocidad de grupo y la velocidad de fase.

Figura 1: Paquetes de onda, velocidad de fase y velocidad de grupo

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Referencias

[1] Hans.F. Weinberger. A first course in Partial Differential Equations withcomplex variables and transform methods. Dover Publications, Inc. (1995),pp 298-345

[2] G.B. Witham. Linear and nonlinear waves. John Wiley and Sons, Inc.(1974), pp 363-390

[3] Erwin Kreyszing Matematicas Avsnzadas Para Ingenierıa II. Limusa Wiley,Inc. (20087), pp 57-79

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