um mÉtodo para avaliaÇÃo aproximada de coeficientes de … · 2010-04-22 · mais precisamente,...
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Rev. JG, São Paulo, 1(1):53-68, jan./jun. 1980
UM MÉTODO PARA AVALIAÇÃO APROXIMADADE COEFICIENTES DE PERMEABILIDADE
EM AQDíFEROS
Eng.o MOACYR DE CARVALHO
ABSTRACT
The present work is an attempt to obtain approximate values of aquifer permeability coefficients whose structure often exhibit bedding.
The inethod consist in its essence, through some restrictive conditions, in theestablishment of a linear equation system.
For this purpose it is utilized known data of tubular wells within a limited areaunder the hypothesis that each aquifer strata behave as an individual free water table:
An example the applicability, it is presented using data draw out of three tubuTarwells from lhe town of Catanduva.
Nevertheless, the weIls have an imaginary sedimentary strata due to a lack of anadequated geological profiles description.
They does not foIlow the restrictive conditions established on such method,because the water contributions from underlying fractured rocks, should have comeprobably, from Botucatu Formation.
RESUMO
o presente trabalho é uma tentativa para a obtenção de valores aproximados decoeficiente de permeabilidade de aqüíferos em cuja estrutura' ocorrem camadas .ouestratos diversos de sedimentos.
O método consiste na essência, partindo de certas condições restritivas, no estabelecimento de um sistema de equações lineares utilizando-se de dados conhecidos depoços tubulares numa área limitada, sob a hipótese de que cada estrato doaqüífero se·comporte como um aqüífero individual de lençol livre.
Um exemplo de aplicação é apresentado com dados retirados de 3 poços tubulares da cidade de Catanduva, porém com estratificações sedimentares imaginárias devidoa inexistência de uma descrição adequada dos perfís geológicos. Observamos também que tais poços não obedecem as condições restritivas impostas no método, porreceberem contribuições de rochas fraturadas subjacentes, provavelmente de água proveniente da Formação Botucatu.
INTRODUÇÃO
Atualmente a busca de água ocorrenteem lençóis subt'errâneos tem crescido emiodo o mundo em função da expansão demográfica, da atividade econômica e aindacomo conseqüência da poluição dos cursosd'água de superfície.
Paralelamente à expansão da demandano uso da água para fins múltiplos, vemsendo imprimido um ritmo mais aceleradonas questões que dizem respeito à pesquisade água subterrânea, envolvendo no contexto uma política em· torno da racionalização do seu uso.
Estes aspectos têm condicionado a ne~oessidade de investigações cada vez mais
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precisas no dimensionamento das reservasde água de origem subterrânea e no conhecimento mais detalhado dos aqüíferos, parao estabelecimento do modelo que o representa em estrutura e da dinâmica da águaque por ela circula, como um segmento dociclo hidrológico que é.
No Estado de São Paulo ocorrem duasformações geológicas extremamente imporÜmtes que, por suas características, vêmsendo procuradas como fonte de abastecimento de água, como um meio de soluçãopara graves problemas que afetam principalmente populações de centros urbanos.São elas a Formação Bauru e a FormaçãoBotucatu. Contam-se já por milhares ospoços tubulares perfurados, notadamentena primeira estrutura sedimentar, sem onecessário cadastramento e controle, principais instrumentos de uma política de racionalização do uso de água de origemsubterrânea.
OBJETIVO
Este trabalho tem por finalidade tentardesenvolver uma metodologia orientada nosentido de obter, por via indireta, uma avaliação do débito de um poço tubular, mediante dementos de outros poços já perfurados numâ área restrita, nas condiçõesque abaixo serão impostas.
Hoje o método para a avaliação devazões de poços tubulares parte de dadosconhecidos de outros poços relativamentepróxÍmos'e do conhecimento da estruturageológica da região, conhecimento estesempre baseado. em extrapolações. Assim.0 perfil geológico e a vazão reais SOID:ntesão conhecidos após a perfuração e o bombeamento de teste de produção.
A proximidade relativa de poços tubulares é freqüente, principalmente nos centros urbanos que se servem de água subterrânea para fins de abastecimento públicoe industrial, fato est,e comum nas cidadesimplantadas na Formação Bauru.
Q1nR - 1nr
'1TDd
a1nR - 1nr
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Mais precisamente, o que se quer é amedida de valores de permeabilidade pormodelo matemático das várias camadas desedimento de aqüíferos a partir dé um certonúmero de poços tubulares que, por condições de proximidade e de comportamentohidráulico faça supor um certo grau dehomogeneidade estrutural, evident'ementeválidas dentro de limites restritos.
METODOLOGIA'
A metodologia aqui aplicada, na dedução de coeficientes de permeabilidade, consiste na obtenção de um sistema linearde equações de n incógnitas (k1, k2 .. Kn),
a partir de n poços perfurados com vazõesde teste conhecidos: Ql, Q2, Qn, comcamadas de sedimentos reconhecidos e deespessuras Hi -hi determinadas, que podemser conseguidas no curso da própria perfuração.
O poço será considerado como t'endoraio constante e um raio de influência Rque será retirado de tabelas a partir doconhecimento da fração granulométricaprincipal do sedimento.
Nestas condições, tendo-se n camadas d~sedimentos, ter-se-ão os correspondentescoeficientes Kl, K2 .•••• KIl de permeabilidade, não todos nulos. Supõe-se que oscoeficientes ki de camadas argilosas sãotodos nulos, devido a baixa permeabilidadedas argilas.
Admite-se também que ,em cada camadaidentificada do aqüífero é válida a expressão de Dupuit:
Q = 21T xyk dy
dx
deduzida para um poço perfeito para ocálculo do afluxo de água 'em um lençollivre.
Consideramos que a vazão de testepode ser expressa pela fórmula:
1T k Dd'ak
1nR - 1nr
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onde:
D = H-h espessura da camada de sedimento a contar do plano horizontal que passa pelo fundo dopoço que a limita inferiormente
d=H+h
R raio de influência
Para as camadas de sedimentos distin
tos, compondo o aqüífero, a vazão de testepoderá ser decomposta de acordo com aexpressão:
all a12· ...... aln k101a21
a22· ...... a2n k202a31
a32• • J •••• a3n k303
o = 6. 01 + 6. 02 + + 6.On anl an2 ann On
onde os Oi representam a contribuição isolada de cada camada de sedimentos.
Imaginemos a superfície de um aqüífero de dimensões reduzidas, com certograu de homogeneidade, onde se encontram n poços tubulares com vazões deteste conhecidas:
01, 02, On'
Pelas hipóteses admitidas pode-se tern incógnitas, de solução única, isto é, admite apenas o sistema único k1, k2 .... kn. Se
O = ~ Oi e Oi = aik Kt i, k = (1,2, ........ n)
então tem-se o sistema linear:
allk1 + a12k2 + + alnkn 01a21kl + a22k2 + + a2nkn 02
(1)
an,K1 + an2k2 + + annkn = On
Usando-se a notação da álgebra matricialvem:
Os elementos da matriz quadrada A sãoexpressos por
e assImInR lnr
Oi aikki vazão de cada camada doaquífero
Hi e hi é a altura dos planos que limitam superior e inferiormentecada camada i de sedimentos
As alturas Hi e h1 sempre serão referidasao plano que passa pelo fundo do poço elimita inferiormente o aqüífero.
Assinalamos desde já que os valores doscoeficientes de permeabilidade obtidos porbombeamento diferem dos valores obtidos
por injeção de água, tendendo os primeirosa apresentarem valores mais baixos, o queé compreensível.
TABELA DE R (m), RAIODE INFLU:eNCIA
onde
A
K
TERRENOR(m)
all
a12vaza arenosalOa20.......
aln
a21
a22.......a2n areia fina argilosa
a31
a32 FP de 0,01-0,05 mm30 a40.......
a3n
••• o ••••••••••••
areia fina homogênea
anl
an2 annFP de 0,01-0,05 mm40 a50....... areia fina argilosa
k10=01 FP de 0,1-0,25 mm50 a60
~2
Q2- areia fina homogêneakil
03FP de 0,1-0,25 mm60 a80
- areia média· argilosaku
OnFP de 0,25-:-0,5 mm80 a120
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CONCLUSÃO
FP - fração principal
OBS.: Esta tabela foi extraída da obra"Hydrogéologie et notions degeologie d'ingénieur"
Iniciemos esta conclusão com uma ligeiradiscussão da metodologia proposta.
Designemos por d (A) o determinanteassociado à matriz quadrada A. Para queo sistema (1) tenha solução é necessário esuficiente que d(A) =1= O.
Então:
Ak = Q e k= A -IQ onde a determinação do inverso da matriz A, A-I exige acondição d (A) =1= O.
Os elementos aik da matriz A são todospositivos por razões geométricas e físicas,isto é, aik~ O.
Também os coeficientes de permeabilidade ki são maiores ou iguais a zero. Logotodos os termos da esquerda das equaçõesdo sistema são positivos. Assim se no sistema (1) ocorrer que dois ou mais valoresQi sejam idênticos, as equações correspondentes serão idênticas e o sistema se reduza um sistema de menor número de equações.
Também ki = O (caso da permeabilidadedas argilas) o número de equações se reduzigualmente pela redução do número deincognitas ki' Assim, para que o sistema(1) seja compatível e determinada, de solução única, as dua's condições abaixo deverão estar satisfeitas
d(A) =1= O e Qi =1= Q2 =1= Qs =1= .... =1= Qn
A não satisfação destas condições é apenas uma possibilidade teórica.
- areia média homogêneaFP de 0,5 mm
- . areia grossa levementeargilosaFP de 0,5-1,0mm
- areia grossa homogêneaFP de 0,5-1,0mm
- cascalho
- rochas fissuradas
- rochas muito fissuradas
100 a 150
150 a 225
225 a 275
275 a 350
150 a 200
500
O trabalho aqui desenvolvido' é, na realidade, uma tentativa de generalização daequação de Dupuit para a determinaçãode k a partir de dois poços testemunhos:
k = Q (Ina2 - 1nal)
2 M (h2 - hl)
M = espessura do aquífero
'sendo Q, hl e h2 a água bombeada e osníveis nos dois poços testemunhos distantes de aI e a2 do poço central ensaiado.Assim, pode-se calcular o coeficiente k emum lençol aqüífero livre.
Entretanto se um poço tubular atravessaum aqüífero que recebe contribuição devárias camadas de sedimentos com valores
Qh a determinação' de k pela fórmula indicada daria um valor médio do co'eficiente
de permeabilidade, já que neste caso seexprimira pela soma k = kl + k2+ kn. Isto foi admitido na for-mulação do sistema (1).
Quanto ao raio de influência R que integra a expressão dos elementos aik damatriz A, as fórmulas existentes para a suadeterminação são imprecisas, porém aceitáveis.
Aliás deve-se ter em conta que as leisque descrevem os movimentos da água, emHidráulica, são freqüentemente afetadas decüeficientes corretivos obtidos experimentalmente. Desta maneira qualquer desenvolvimento teórico do fluxo de fluidos,objeto da Hidrodinâmica, ao passar paraas aplicações práticas tem necessidade deser testado, tarefa essa nem sempre fácilou possível.
A comprovação do método deduzido dependerá, pois, de um teste, embora se fundamente em equações correntes na práticada hidrogeologia.
:E: ainda de se esperar que, em razão dacomplexidade do arranjo, dimensões eforma das partículas de sedimentos quecompõem as formações geológicas sedimentares, os coeficientes ki de permeabilidadecalculados sejam de uma natureza probabilística ou freqüencista. Em vista disso, aabordagem correta do problema deveriase realizar através da teoria Matemática daProbabilidade. Por exemplo, a clássica formula de Darcy para a avaliação de perdasde carga ou de energia específica está hojesuperada em precisão pela fórmula de
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Hazen-Willians obtida estatisticamente, paranão citar outros exemplos da Física' Estatística.
Em que pesem tais considerações; é provável que se possa obter precisão razoávelná avaliação prévia de produção de poços'a perfurar, através do Q}.étodoaqui apresentado. Também, dada a simplicidade, aestrutura ou modelo de aqüíferos poderáser construídó por esta via.
Nota-se que, se no aqüífero atravessadopor poços tubulares ocorrem camadas deargila, desde logo ficam alijadas do sistemavárias, incógnitas e, portanto, este se simplifit:a.
Sertdo 'a matriz quadrada Ã' composta depequeno número de elementos, via deregra, o sistema ,,(1) pode ser resolvido"em uma, pequena calculadora' eletrônicaprogramável como a Hewlett Packard mo~dela 9820 A, opção 001. .
Dada a existência de perspectiva de aplicação de uma tal metodologia, seria deconveniência não somente para propósito comopara outras investigações futuras, que ospoços tubular'es perfurados por este Instituto Geológico, bem como por outras entidades, fosse providenciada a locação dosmesmos através de coordenadas do sistemaUTM, o que pode ser conseguido ao nívelde precisão permissível, usando-se folhastopográficas na escala de 1:50.000, hojedisponíveis para todo o Estado,de SãoPaulo.
A descrição e a espessura dos sedimentosatravessados são também dados de extremaimportância no aprofundamento de pesquisas hidrogeológicas, bem como a determinação da granulometria de amostras representativas das camadas de sedimentos,dados esses que contribuem para a construção do modelo de aqüíferos.
A aplicação sucessiva do método apresentado concorrerá para que os resultadosencontrados se aproximem por iteraçõesaos do modelo real.
Outro aspecto positivo que poderá decorrer da aplicação de modelos matemáticos é o desenvolvimento de métodos indiretos, cada vez mais necessários às investigações hidrogeológicas, tendo em consideração os custos e o tempo despendidopela via direta.
Esta é uma abordagem que vem crescendo rapidamente como conseqüência dodesenvolvimento de vários ramos da matemática aplicada e principalmente doscomputadores eletrônicos.
, Para a compatibilização das unidadesque entram nos termos das equações dosistema (1), observando-se que os valoresde permeabilidade são expressos habitualmente em metro / dia, é necessário que asoutras grandezas sejam expressas em metroe, os valores de vazão O, ao invés de ma/hora como é corrente em testes de vazão,sé expressem em ma/ dia.
DADOS PARA OS CÁLCULOS DOS COEFICIENTES alk
poçO 101 = 38,94 m3/hProfundidade = 85 mHI 73,10mhl = 56,60mDI = HI hl - 16,5 mdi HI + hl - 129,10 m
lu = 21 m112 = 25 mlia = 27,10 m
RI = 40mR2 = 42mRa = 45 m
poçO 2
Q2 = 22,23m3/hProfundidade = 85 mH2 67mh2 - 57mD2 - H2 h2 10md2 - H2 + h2 - 124 m
20m23m24m
40m42m45m
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poço 3
Q3 = 18,37 m3/h
Hs = 62,10 mhs = 52,40m
Ds = H3 - h3 = 9,70 mdg = Hs + h3 = 114,5 m
131 = 20,7 m132 = 22,7 m133 = 18,7 m
RI = 40mR2 = 42mR3 = 45 m
CÁLCULO DOS COEFICIENTES CXik
an
= 3,14 X16,5 X 129,1X2123,85
24 (73,10)2
1n40 - 1nO,10
a12
= 3,14 X 16,5 X 129,1 X2525,40
24 (73,10)2
1n42 - 1nO,10
a13 = 3,14
X 16,5 X 129,1X27,1026,26
24 (73,10)2
ln45 - lnO,lO
a21
3,14 X10X124 X 2022,42
24 (67)2
ln40 - lnO,10
a22 = 3,14
X10X124 X 2323,17
24 (67)2
1n42 - lnO,10
a23
3,14 X10X124 X 2423,42
24 (67)2
1n45 - lnO,lO
aSI = 3,14
X 9,7 X: 114,5X20,702= 2,68
24 (62,10)2
1n40 - 1nO,10
aS2
3,14X 9,7 X 114,5 X22,702= 3,20
24 (62,10)2
ln42 - 1nO,10
a33 = 3,14
X 9,7 X 114,5X18,7022,15
24 (62,10)2
ln45 - 1nO;10
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SISTEMA LINEAR DE EQUAÇõES
3,85 K1 + 5,40 K2 + 6,26 Ka 38,942,42 K1 + 3,17 K2 + 3,42 Ka 22,232,68 K1 + 3,20 K2 + 2,15 Ka 18,37
[ 3,85
5,40
626Jf':::, = 2,42
3,173:42 = 0,79 >0
2,68
3,202,15
~8'94
5,40
6'2~J
.:lK1= 22,23
3,173,4~ .= 1,09 >018,37
3,20-2,15
[ 3,85
38,94
6'26J.:lK2= 2,42
22,233,42 = 1,69 >_02,68
18,372,15
[ 3,85
5,40
38,94]
.:lKa=2,423,1722,23 = 2,79 >0
2,68
3,2018,37
K1
.:lKl1,091,32 metro/dia-- f':::,0,79
K2
.:lK21,692,14 metro/dia
f':::, 0,79
Ka .:lK3 -:-. 2,79 = 3,53 metro/dia
f':::, 0,79
então K = Kl + K2 + K3 1,32 ++ 2,14 + 3,53 = 6,99 m/dia
No exemplo em qu~tão foram satisfeitasas condições atrás formuladas, isto é:
Q1 =F Q2 =F =f= Qn
d (A) =1= O
alk >0Sendo K1 >0,
então todos os produtos ,~lk K1 >°
A possibilidade de aplicação do métodoexige certa uniformidade dos' estratos desedimentos e uma distância entre poços deno mínimo 100 metros, tendo em vista oraio de influência R.
Os sinais de f':::, , f':::,Kl, f':::,K2, ... f':::,Kn
deverão ser idênticas para que não resul-
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tem K1 <0, pois neste caso não se cumpriria a relação Q = f':::,Qj. Se algum K1<0for de valor pequeno, adota-se K1 = O,pois que o valor negativo resulta de inevitáveis imprecisões na avaliação das grande2ias em jogo.
O método aqui proposto parte das se-guintes suposições:
a estrutura do aqüífero tem certa uniformidade, isto é, as estratificaçõesocorrem segundo camadas dispostasmais ou menos horizontais e sedimentologicamente uniformes;cada camada de estratos se comportacomo um aqüífero independente delençol livre; .os componentes do aqüífero obedecema equação de Dupuit;o rebaixamento total se distribui proporcionalmente à espessura dos estratossedimentares;o diâmetro do poço é constante e oraio de influência é tomado aproximadamente em função das frações de sedimentos de cada camada.
Estas hipóteses de base são evidentemente necessárias e são procedimentos correntes na formulação de qualquer lei quedescreva fenômenos físicos.
Em conclusão o método deverá encerrarerros devidos às seguintes razões:
1. A descrição matemática do problemaé inexata (por exemplo, os dados, iniciais não são exatos).
2. A solução exata requereria um numero infinito e inaceitávd de operações aritméticas, o que justifica aprocura de soluções aproximadas, sa~tisfatórias em face do problema considerado.
3 . O inevitável erro de arredondamentode valores resultantes das operações.
Os erros devidos a estas causas sãogeralmente classificados como:
a) erros inerentes r1,b) erros de método r2,c) erros de cálculo ra.
O erro total resultante será então r =r1 + r2 + ra.
Não obstante a lógica do método, existea sua aplicabilidade, se viabiliza na medidadas possibilidades da redução dos errosacima citados.