Um metodo de correcao de interface para o ISPH

Douglas F. Cordeiro, Fabrıcio S. Sousa, Antonio Castelo FilhoInstituto de Ciencias Matematicas e de Computacao (ICMC),

Universidade de Sao Paulo (USP),

13566-590, Sao Carlos, SP - Brasil

E-mail: cordeiro@icmc.usp.br, fsimeoni@icmc.usp.br, castelo@icmc.usp.br

Joao M. NobregaDepartamento de Engenharia de Polımeros - Universidade do Minho

4800-058, Guimaraes - Portugal

E-mail: mnobrega@dep.uminho.pt

Resumo: A manutenabilidade de uma boa distribuicao de partıculas e algo fundamental emsimulacoes atraves do SPH, sendo um dos fatores responsaveis pela estabilidade do sistema e aacuracia do metodo. Em solucoes atraves do metodo ISPH (acronimo em ingles para Incompres-sible Smoothed Particle Hydrodynamcs) este resultado pode ser alcancado atraves de uma tecnicabaseada na introducao de um deslocamento de partıculas, de forma a retira-las de suas trajetoriaslagrangeanas. Entretanto, quando diretamente aplicada a escoamentos multifasicos, esta tecnicaacaba introduzindo um comportamento nao fısico na interface entre fluidos, resultando em umincorreto posicionamento da interface, e prejudicando a simulacao. Neste trabalho, propomosuma correcao baseada em uma funcao suave, definida inicialmente como a distancia normal ainterface. Testes numericos mostram que esta correcao consegue recuperar a correta posicao dainterface. Finalmente, um estudo sobre a conservacao de massa desta tecnica e apresentado.

Palavras-chave: ISPH, correcao de interface, escoamentos multifasicos.

1 Introducao

O metodo SPH (do ingles, Smoothed Particle Hydrodynamics) e um metodo de aproximacaolivre de malha que, atraves de um conjunto finito de partıculas e uma formulacao completa-mente Lagrangeana, permite a solucao de diversos tipos de escoamentos. Proposto por Gingolde Monaghan [4] e Lucy [7], o metodo foi desenvolvido para o tratamento de escoamentos com-pressıveis. De um modo geral, o SPH aproxima o valor de uma funcao ou derivada atraves deconceitos de interpolacao aliados a uma funcao nucleo. As vantagens caracterısticas do metodo,tais como a eficiente aproximacao entre contınuo e discreto [6], a semelhanca com problemas dedinamica molecular, alem dos ganhos computacionais, motivaram o seu aperfeicoamento para otratamento de escoamentos incompressıveis. Este aperfeicoamento foi alcancado atraves de umesquema de aproximacao, no qual os fluidos incompressıveis sao tratados como fluidos quasi-compressıveis, sendo denominado de WCSPH (do ingles, Weakly Compressible SPH) [8], ondea pressao e obtida por uma equacao de estado. Entretanto, o WCSPH apresenta alguns proble-mas, como a necessidade de um menor passo de tempo devido aos altos valores de velocidadedo som [5], e a possibilidade de um comportamento nao fısico no campo de pressao, podendotornar o sistema instavel.

Para resolver os problemas apresentados pelo WCSPH, Cummins e Rudman [3] propuseramcalcular a pressao atraves de uma equacao de Poisson. Este novo esquema, baseado em conceitosdo metodo da projecao [1] e denominado de ISPH (Incompressible SPH), e mais estavel que o

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WCSPH, e permite passos de tempo maiores, alem da obtencao de resultados para a pressaocom uma maior coerencia fısica [5].

Apesar destas vantagens, o ISPH nao e capaz de resolver um problema caracterıstico do SPH:a possibilidade de formacao de regioes de alta densidade de partıculas em escoamentos com umelevado movimento inercial, relacionado ao numero de Reynolds. Para tratar este problemaem solucoes atraves do ISPH, Xu et al. [9] apresentaram um esquema de correcao que aplicaum deslocamento nas partıculas e realiza uma correcao das variaveis hidrodinamicas por seriede Taylor. Entrentanto, quando aplicado a escoamentos multifasicos, este deslocamento acabagerando um comportamento nao fısico na interface entre as fases, prejudicando a simulacao.

Desta forma, propomos aqui uma correcao da interface em escoamentos multifasicos a seraplicada ao metodo de deslocamento de Xu et al. [9], que se baseia na definicao e adveccao deuma funcao distancia suave, bem conhecida de metodos de Level-set.

Este trabalho e organizado da seguinte forma: na secao 2 apresentamos a formulacao SPHpara escoamentos incompressıveis, seguida da descricao do metodo ISPH na secao 3. Na secao 4descrevemos o metodo de correcao das trajetorias proposto por Xu et al., e em seguida, na secao5, definimos o problema e sua correcao atraves da resolucao de um problema de transporte departıculas em um campo de velocidades conhecido. Resultados sao apresentados ainda na secao5, e conclusoes na secao 6.

2 Formulacao SPH

O SPH se propoe a resolver as equacoes de Navier-Stokes em sua forma lagrangeana, dadas por

∇ · v = 0, (1)

Dv

Dt= −1

ρ∇p+

µ

ρ∇2v + g, (2)

onde ρ e a densidade, p a pressao, µ a viscosidade dinamica, v o vetor velocidade e g as forcasexternas.

Neste sentido, o SPH segue a seguinte formulacao: seja f uma funcao qualquer, sabe-se queesta pode ser representada na seguinte forma integral, dita rigorosa ou exata,

f(x) =

∫f(x′)δ(x− x′)dx′, (3)

onde δ(x − x′) e o Delta de Dirac. Como nao e possıvel definir uma funcao que satisfaca aspropriedades da distribuicao delta de Dirac, usa-se uma aproximacao por uma funcao nucleo W :

f(x) ≈∫f(x′)W (x− x′)dx′. (4)

A integral de uma determinada funcao aplicada a um ponto do domınio do problema, deno-minado Θ, pode ser discretizada atraves de um somatorio sobre as partıculas do sub-espaco Ωi

de Θ definido pelo suporte compacto, onde Ωi = xj , |xi − xj | ≤ κh, sendo h o comprimento donucleo e κ uma constante que define a area nao nula da funcao nucleo, e o volume infinitesimaldx aproximado por δV , o qual refere-se ao volume ocupado por uma partıcula, tal que

f(x) ≈∑j∈Ωi

mj

ρjf(xj)Wij , (5)

onde mj e a massa da partıcula e Wij = W (xi − xj , h). Neste artigo, em todos os testes, foiutilizada uma funcao nucleo de quinta ordem.

Os operadores para calculo de derivadas podem ser obtidos de maneira similar [6]. Nestesentido, o operador gradiente SPH e dado pela seguinte expressao

∇φi =∑j

mj

ρjφji∇Wij , (6)

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sendo similar ao operador divergente. Estes operadores sao utilizados no ISPH durante o calculodo gradiente de pressao e do divergente de velocidade. O termo viscoso e obtido como(

µ

ρ∇2v

)i

=∑j

mj(µi + µj)xij · ∇Wij

ρjx2ij

vij . (7)

Por outro lado, o laplaciano da pressao utiliza um operador proposto em [2], mais adequadopara escoamentos multifasicos, onde e observado descontinuidade em relacao a densidade, dadopor (

∇ ·(

1

ρ∇p))

i

=∑j

mj

ρj

(4

ρi + ρj

)pij

xij

x2ij

∇iWij . (8)

3 O metodo ISPH

Diferentemente do WCSPH, no ISPH o valor de densidade e constante, sendo associada aspartıculas na fase inicial da simulacao, o que respeita diretamente a condicao de incompres-sibilidade (1). Assim, a dinamica do sistema e obtida atraves da equacao de conservacao daquantidade de movimento (2). Neste sentido, a primeira tarefa do ISPH e obter a posicaointermediaria x∗ advectando-se a posicao para um passo de tempo intermediario

x∗i = xni + ∆tvn

i , (9)

e com isso obter um campo de velocidade livre de divergencia, denominado velocidade inter-mediaria v∗, o qual e calculado no espaco intermediario Ω∗ atraves da equacao de quantidadede movimento sem a contribuicao do gradiente de pressao

v∗i = vni + (µ∇2vn

i )∆t. (10)

A partir disso, a pressao no tempo n+ 1 e obtida resolvendo-se uma equacao de Poisson

∇ ·(

1

ρ∇p)i

=1

∆t∇ · v∗i . (11)

Com os valores de pressao calculados, o campo de velocidade livre de divergencia, no tempon+ 1, pode ser obtido da correcao

vn+1i = v∗i −

(1

ρ∇pn+1

)∆t (12)

e com isso, a nova posicao das partıculas e finalmente obtida de

xn+1i = xn

i +∆t

2

(vn+1i + vn

i

). (13)

Durante a aplicacao do ISPH, as condicoes de contorno de Dirichlet para a velocidade e deNeumann para a pressao sao definidas utilizando-se partıculas fantasmas [6].

4 A tecnica de deslocamento de partıculas

A formacao de aglomerados de partıculas e um problema crıtico em solucoes de escoamentosatraves do ISPH, tanto pelo comportamento nao fısico apresentando quanto por questoes relaci-onadas ao proprio metodo ISPH, tais como o mal condicionado da matriz referente a equacao dePoisson (11), podendo ser observado em experimentos classicos como, por exemplo, na resolucaode vortices de Taylor-Green (Figura 1). Para corrigir este problema, introduziu-se em [9] umatecnica que consiste em realizar um deslocamento nas partıculas, de forma a retira-las de suas

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Figura 1: Simulacao de vortices de Taylor-Green atraves do metodo ISPH (esquerda), e com odeslocamento de partıculas (direita).

linhas de corrente originais, e posteriormente corrigir as variaveis hidrodinamicas. Para isso,apos o calculo da posicao no tempo n + 1 atraves do ISPH (Equacao 13), este deslocamento ecalculado como

δxi = CαXi, (14)

sendo C uma constante entre 0.01 e 0.1, α a magnitude do deslocamento, onde α = Vmax∆t,com Vmax sendo a velocidade maxima do sistema e Xi e o vetor deslocamento calculado por

Xi =∑j

x2i

x2ij

nij , com xi =1

Mi

∑j

xij , (15)

onde Mi e o numero de vizinhos da partıcula i. A partir disso, as variaveis hidrodinamicas, nocaso monofasico, velocidade e pressao, sao entao corrigidas atraves de uma expansao de primeiraordem em serie de Taylor:

φi′ = φi + δxii′ · (∇φ)i, (16)

onde φ e uma variavel a ser corrigida e δxii′ e o vetor distancia entre a antiga posicao dapartıcula xi e nova posicao da partıcula xi′ . A correcao possui um erro da ordem de O(δr2

ii′).Experimentos realizados com a tecnica demonstram sua robustez em relacao a manutenabilidadeda disposicao de partıculas e, alem disso, a introducao de um ganho de acuracia no metodo ISPH(veja resultado deste procedimento na Figura 1, a direita).

5 Um metodo de correcao de interface no ISPH

Para introduzir o problema causado pelo deslocamento das partıculas lagrangeanas no ISPH,consideremos um teste numerico realizado em um domınio bidimensional [0, 1]× [0, 1], com umcampo de velocidades prescrito e fixo, que da origem aos chamados vortices de Taylor-Green:

u(x, y, t) = − cos(2πx) sin(2πy)

v(x, y, t) = sin(2πx) cos(2πy) (17)

Considerando partıculas marcadoras representando dois fluidos diferentes, realiza-se a inte-gracao temporal das partıculas imersas neste campo, ate um determinado tempo. Em seguida,inverte-se o campo de velocidades para, integrando a mesma quantidade de passos, recuperar aconfiguracao inicial.

Este teste foi realizado para a distribuicao de partıculas apresentada na Figura 2(a-d). Nestafigura, partıculas de cor azul estao posicionadas dentro de um cırculo de centro em (0.5, 0.5)e raio r = 0.4. Quando as trajetorias sao integradas aplicando um metodo Runge-Kutta deordem 4, sem qualquer tipo de perturbacao adicional, a posicao inicial e a interface entre as

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(h)

Figura 2: Integracao das trajetorias em um escoamento de Taylor-Green: (a) inicial, (b) apos200 passos, (c) apos 400 passos (onde ocorre a inversao do campo), e (d) configuracao final, apos800 passos, e com correcao de Xu et al. (e) inicial, (f) 200 passos, (g) 400 passos, e (h) final,apos 800 passos.

partıculas e recuperada quase exatamente, com o erro causado apenas pelo metodo RK4, quaseimperceptıvel.

Em um contexto do metodo ISPH, as distribuicoes intermediarias das partıculas causariamproblemas de estabilidade no metodo. Desta forma, foi realizado o mesmo teste, agora com acorrecao nas trajetorias proposta por Xu et al. Apos cada passo de integracao das trajetorias,as partıculas sao perturbadas de acordo com a Equacao (14). A Figura 2(e-h) mostra a evolucaono tempo deste problema. Apesar da boa distribuicao de partıculas no domınio em todos ospassos de tempo, a interface nao foi bem recuperada (Figura 3), com a presenca de partıculasque cruzaram a interface, destruindo a configuracao original esperada.

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Figura 3: Detalhe da configuracao das partıculas apos 800 passos de integracao, e comparacaocom a interface original: (a) sem perturbacao, (b) com perturbacao proposta por Xu et al.

Assim, uma correcao da interface e necessaria. Para tanto, foi definida uma funcao suave,que em cada partıcula e calculada como a distancia normal a interface, ou seja, para a interfacedescrita acima, tem-se

Φ(x, y) =√

(x− 0.5)2 + (y − 0.5)2 − 0.4 . (18)

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Tal campo e negativo no interior do cırculo, positivo no exterior, e portanto, a interface pode serdefinida, a exemplo dos metodos de Level-set, como o conjunto de nıvel zero deste campo, maisespecificamente como Γ = (x, y) : Φ(x, y) = 0. Como este campo e suave, pode-se aplicar amesma correcao utilizada para corrigir as variaveis hidrodinamicas por uma expansao em seriede Taylor de primeira ordem, a saber,

Φi′ = Φi + δxii′ · (∇Φ)i (19)

e a nova configuracao da interface e entao computada, baseando-se no sinal do campo resultante.O resultado ao final de 800 passos de integracao no teste de Taylor-Green e uma interface bemdefinida entre os “fluidos” (Figura 4). A Tabela 1 apresenta ainda uma comparacao entre aquantidade de partıculas posicionadas erroneamente em relacao a interface apos 800 passos deintegracao, para o metodo sem e com correcao de interface.

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(b)

Figura 4: Detalhe da configuracao das partıculas apos 800 passos de integracao, e comparacaocom a interface original: (a) com perturbacao proposta por Xu et al., (b) com a correcao dainterface proposta neste trabalho.

Tabela 1: Comparacao entre a contagem de partıculas posicionadas erroneamente apos 800passos de integracao.

Sem correcao Com correcao

Numero de partıculas azuis fora do cırculo 30 0Numero de partıculas vermelhas dentro do cırculo 20 2

Como se pode notar da Tabela 1, tal estrategia nao conserva o volume inicial totalmente,pois esta sujeita ao erro da correcao aplicada, de ordem O(δr2

ii′). Na Figura 5 e apresentadaa evolucao da razao entre volume da “bolha” e volume inicial, com erro maximo da ordem de3.5%.

6 Conclusao

Um metodo de correcao de interface para aplicacao do metodo ISPH com perturbacao de tra-jetorias proposto por Xu et al. em escoamentos incompressıveis multifasicos foi apresentado. Ometodo baseia-se na utilizacao de uma funcao distancia suave, como feito nos metodos Level-set,e na correcao das variaveis hidrodinamicas do metodo de Xu et al. Resultados mostram quea correcao efetivamente elimina o problema causado quando o metodo de Xu e aplicado emescoamentos multifasicos, o que foi demonstrado utilizando-se um teste de escoamento prescrito.Apesar de efetivo, o metodo nao conserva volume exatamente, mas um metodo conservativo estaem desenvolvimento pelos autores.

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Figura 5: Historico de conservacao de volume para o metodo de correcao de interface. Em azulesta o volume normalizado da “bolha” nos 800 passos de integracao (eixo x). Em vermelho, ovolume esperado. Nota-se um erro maximo da ordem de 3.5% e final da ordem de 1.5%.

Agradecimentos

Os autores agradecem o apoio da Fundacao de Amparo a Pesquisa do Estado de Sao Paulo(FAPESP) e da Coordenacao de Aperfeicoamento de Pessoal de Nıvel Superior (CAPES).

Referencias

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