udc 536.11 analytical model of temperature after...

161

© Электронный научный журнал «Нефтегазовое дело». 2017. №1 http://ogbus.ru

UDC 536.11

ANALYTICAL MODEL OF TEMPERATURE

AFTER FLOW RATECHANGE

ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ В ПЛАСТЕ

ПОСЛЕ ИЗМЕНЕНИЯ ДЕБИТА

A. Sh. Ramazanov, D. F. Islamov

FSBEI HE “Bashkir State University”, Ufa, Russian Federation

Рамазанов А. Ш., Исламов Д. Ф.

ФГБОУ ВО «Башкирский государственный университет»,

г. Уфа, Российская Федерация

e-mail: [email protected], [email protected]

Abstract. At present time the interest to the quantitative interpretation of

temperature surveys is growing. Individual flow rate and reservoir pressure of

each layer, behind-casing flow rate, hydrodynamic layer parameters,

characterization of permeability changing at near-wellbore zone become the

purposes of quantitative interpretation. Non-stationary temperature and pressure

in the well are used as input data for transient processes analysis, and

temperature logs are used for quasi-stationary analysis. Particular interest is in

determination of the individual layer flow rates and near-wellbore zone

parameters.

The paper studies the problem of unsteady temperature field in

heterogeneous reservoir during fluid filtration. The aim of this work was to

develop and provide rationale for simplified analytical model of non-isothermal

single-phase fluid filtration in heterogeneous reservoir. Analytical solution for

the temperature field in the formation after flow rate change is obtained by the

method of characteristics. Two assumptions were made in solving the problem:

mailto:[email protected]

162


radial thermal conduction and compressibility of saturated porous medium are

ignored. Analytical models are compared with the numerical solution of the

problem. Radial heat conduction and compressibility of oil- or water-saturated

reservoirs influence insignificantly on the unsteady temperature field after the

flow rate changes.

It is possible to solve the inverse problem on the evaluation of the damage

zone radius of the permeability in the reservoir basing on the model curves of

the temperature change after flow rate change. The possibility of that method

realization is demonstrated on model curves of the temperature change.

Аннотация. В последнее время усиливается интерес к количественной

интерпретации температурных измерений в скважине. Целями при

количественной интерпретации становятся индивидуальные дебиты

жидкости из отдельных пластов, пластовое давление в отдельных пластах,

дебит заколонного перетока, гидродинамические параметры пластов,

характер изменения проницаемости пласта в прискважинной зоне. В

качестве исходных данных для переходных процессов используются

нестационарные поля давления и температуры в скважине, а для

квазистационарных условий – распределение температуры по глубине.

Особый интерес представляет определение дебитов притока из отдельных

пластов и определение параметров прискважинной зоны пластов.

В статье исследована задача о нестационарном температурном поле

при фильтрации жидкости в неоднородном по проницаемости пласте.

Целью работы была разработка и обоснование упрощенной аналитической

модели неизотермической однофазной фильтрации жидкости в пласте с

радиальной неоднородностью.

Методом характеристик получено аналитическое решение для

температурного поля в пласте после изменения дебита. При решении

сделаны два допущения: не учитываются радиальная теплопроводность и

сжимаемость насыщенной пористой среды. Аналитические модели

сравниваются с численным решением задачи. Показано, что влияние

163


радиальной теплопроводности и сжимаемости для нефте- и

водонасыщенных пластовых систем на нестационарное температурное

поле после изменения дебита незначительно.

На основе разработанной модели по кривым изменения температуры

после изменения дебита можно решать обратную задачу об оценке радиуса

зоны нарушения проницаемости в пласте. Возможность реализации данной

методики демонстрируется на модельных кривых изменения температуры.

Key words: temperature, pressure, filtration, convection, thermal

conduction, compressibility, barothermal effect, reservoir, well, heterogeneous

reservoir.

Ключевые слова: температура, давление, фильтрация, конвекция,

теплопроводность, баротермический эффект, пласт, скважина, изменение

дебита, неоднородный пласт.

Recently there has been increasing interest in the study of wells with

autonomous sensors of pressure and temperature [2].Such approach to study

makes it possible to detect the change in pressure and temperature in time and

explore layers of transient conditions when the well test [2,3]. Usually, only the

data about pressure changes are used in the quantitative interpretation of the well

test. Data of the temperature sensing can be used as an additional independent

source of information about the reservoir characteristics. A series of papers and

patents are dedicated to methodology of interpretation and research method of

thermometry [2,4, 5-11]. Paper [2] offers a method of multilayer wells study.

This method involves the registration of pressure and temperature changes on

the top and the bottom of each productive formation during the transition

conditions. Such method of well testing requires only one operation of flow rate

change at the wellhead for obtaining interpretable data of pressure and

temperature in the transition regime. The inverse problem is solved using the

regression algorithm of Levenberg — Marquardt. Patents [5-11] present the

164


possible practical applications of non-stationary thermometry data. It is possible

to determine: influx profile, flow rates of the different productive layers in

multilayer well and parameters of near wellbore zone: permeability and skin

factor. The solution of inverse problems involves the numerical simulation of

the wellbore temperature. Paper analyses the problem of unsteady temperature

field in the reservoir after flow rate changes. The aim of this work was to

develop and provide rationale for simplified analytical model of non-isothermal

single-phase fluid filtration in heterogeneous reservoir.

Mathematical Statement

The non-isothermality of flow is due to radial thermal conductivity and the

barothermal effect.

Assumptions for reservoir – horizontal, porous, heterogeneous permeability,

contains a slightly compressible single-phase fluid.

Thus, we have the following mathematical model that can be divided into

two problems for temperature and pressure:

( , ) ( , )

,0

,

w

w

res f f f

res

res

w r rr r

T T T p pC C v r t r C v r t C

t r r r r r t

T r T

T R t T

TT t T

r

(1)

where Cres, Cf are volumetric heat capacities of the reservoir and the fluid

J/(m3·K); T is reservoir temperature, K; r is the radial coordinate, the distance in

the reservoir from the wellbore axis, m; t is time, s; v is velocity of fluid flow

filtration, m/s; λ is thermal conductivity of the reservoir, W/(m·K); ε, η are the

Joule-Thomson coefficient and the adiabatic coefficient for the fluid, K/Pa; is

reservoir porosity (decimal fraction), p is pressure, Pa; R–reservoir radius, m;

165


Tres – is the initial reservoir temperature, K; Tw– is mean wellbore temperature,

K; α – is the thermal exchange coefficient, W/(m2·K).

At the initial point of time and at the external boundary, the temperature is

the same everywhere in the reservoir.

To describe the pressure field in a reservoir, we use a one-dimensional

diffusion equation for the axial symmetry case. The required v(r,t) and p(r,t) are

solutions of the boundary-value diffusivity problem:

1 ( )*

,0

,

,

0

2 ( )

w

w

res

res

w w

r r

w w

ws

r r

p k r pr

t r r t

p r P

p R t P

pp t p r t S r

r

p P

p dpQ t r r C

r dt

(2)

where β* – total compressibility, 1/Pa; β

f, β

sk– fluid compressibility and pore

compressibility, 1/Pa; k – permeability, m2; μ– is viscosity of the fluid, Pa·s;

pw – borehole pressure (or bottom-hole), Pa; rw – wellbore radius, m; S – is the

sandface skin factor; Q(t) is the well flow rate, m3/s; σ is reservoir

transmissibility, m3/(Pa·s); Cs is wellbore storage effect, m

3/Pa.

At the initial point of time, the pressure is the same everywhere in the

reservoir and equals to the reservoir pressure and at the outer boundary of the

reservoir, the pressure remains equal to the reservoir pressure. The boundary

condition on the sandface, taking into account the presence of skin factor.

The problem (1) - (2) in this form does not have an analytical solution, so it

was solved numerically by using the control volumes method for temperature

[12]. The radial coordinate grid is uneven. Coordinates of control volumes are

166


related by the ratio: 1ii rr , 1N

1

wr

R

(i is the index corresponding to the

node of the control volume, N is the number of nodes).

Simulator is developed on the basis of the numerical model. The simulator

calculates the model curves of pressure change and temperature change

depending on the reservoir parameters for variable flow rate [13].

Analytical solution

The following assumptions were made to have an analytical solution for

problem (1) - (2):

radial heat conduction is neglected (λ=0)

fluid and reservoir pore are incompressible (β*=0)

influence of wellbore processes for reservoir pressure is neglected (Cs=0)

sandface skin-factor is neglected, pw(t)=p(rw,t).

Given these assumptions the temperature field in the reservoir is described

by the following task:

rfT

t

p

r

p)t,r(cv

r

T)t,r(cv

t

T

0t

* (3)

Where c*,

resf CCc .

Problem (3) is solved by the method of characteristics. The temperature

along the characteristics calculate by the formula [14]

1*

1 1 1

0

, ,, , , ,

t

res

p r rT r t r t f r P p r t r t d

(4)

The pressure distribution p(r,t), r

p

and

t

p

are solution of the problem (2).

Suppose that the permeability distribution and flow rate is described by

piecewise-constant functions. Production during the time tр at flow rate is Q1,

167


after this the flow rate becomes Q2. The reservoir permeability k2, and in the

near wellbore zone k1.

Pressure distribution when production at flow rate is Q1(t<tр) is calculate by

the formula:

Rr,P

Rr,rr,r

rln

2

Qrp

rr,r

rln

2

QS

r

Rln

2

QP

tp

res

d

d2

1d1

d

w1

1d

w2

1res

1

. (5)

Pressure distribution when production at flow rate is Q2(t>tр) is calculate by

the formula:

RrP

Rrrrr

rQrp

rrr

rQS

r

RQP

t

res

d

d

d

d

w

d

w

res

,

,,ln2

,ln2

ln2

p2

2

2

1

2

2

2

2

(6)

rd – damage radius of near well bore zone, 1 – near well bore zone

transmissibility (d

rr ) и 2 – far zone transmissibility (d

rr ).

Based on (4) it is easy to obtain formula for sandface temperature after

change the flow rate

T22T21*

2wT21T2w rprpPrprft,rT , (7)

where

h

t-tQсrr

р22

w2T

(8)

T11res

*

1resres rpPxpPTxf (9)

168


h

tQcxr

р12

1T

(10)

The correctness of the analytical solutions are verified by comparison with

the results of numerical solution of (13) and (14), with account taken

assumptions for the analytical model. Production from a homogeneous reservoir

for variable production rate is simulated. Standard deviation (SD) did not exceed

10-4

K.

Analysis of the results of simulation

- Influence of thermal conductivity and compressibility to temperature

Temperature change is simulated numerically and analytically for production

from water-saturated and oil-saturated reservoir. Thermal conductivity (λ≠0) and

compressibility (β*≠ 0) of reservoir were taken into account during numerical

simulation.

Simulation parameters: well radius 0.1 m; reservoir radius 100 m; wellhead

flow rate 100 m3/day for 10 hours and 50m

3/day at a later time; the initial

pressure in the well and in the reservoir 200 atm; parameter of wellbore storage

effect 0 m3/Pa; initial temperature in the reservoir 20°C; reservoir permeability

100 md; reservoir porosity 0.2; thickness 5 m; pore compressibility 2·10-10

1/Pa;

rock thermal conductivity 2 W/(m·K); rock heat capacity 800 J/(kg·K); rock

density 2200 kg/m3.

Table 1. Parameters of the saturating fluid reservoir

Parameter Water Oil

Joule-Thomson coefficient, K/Pa 2·10-7

4·10-7

Adiabatic coefficient, K/Pa 3·10-8

1.4·10-7

Heat capacity, J/(kg·K) 4150 2000

Density, kg/m3 1000 800

Viscosity, Pa·s 10-3

10-2

Compressibility, 1/Pa 4·10-10

15·10-10

Thermal conductivity, W/(m·K) 0.55 0.14

http://www.multitran.ru/c/m.exe?t=238936_1_2&s1=%F2%E5%EF%EB%EE%B8%EC%EA%EE%F1%F2%FC

169


The thermal conductivity of fluid saturated reservoir was calculated with the

Lichtenecker model [15]. The thermal conductivity and the compressibility of

reservoir in the analytic model are zero.

Water-saturated reservoir

Figure 1. Sandface temperature changes for water-saturated reservoir:

B1 - analytical model, B2 - numerical model

Figure 1 shows that the numerical simulation results and analytical model

calculations are practically the same. Slight impact of the compressibility, which

lasts less than two hours, appears in the initial period of the production (figure

2). SD before changes of flow rate 0.0017 K, after changing flow rate SD was

0.0010 K.

170


Figure 2. Sandface temperature changes (T-Tres) for inflow period from the

water-saturated reservoir. Symbols as in Figure 1

Oil-saturate reservoir

Figure 3. Sandface temperature changes for the oil-saturated reservoir:

H1 - analytical model, the H2 - numerical model

-0,8

0,2

1,2

2,2

3,2

4,2

0 5 10 15 20 25 30

San

dfa

ce t

em

pe

ratu

re c

han

ge, К

Time, h

Н1 Н2

171


Figure 3 shows the results of numerical simulation (considering the thermal

conductivity and compressibility) and they are equal by analytical model. The

magnitude of the temperature change on the numerical model is slightly higher

results of the calculation of the analytical model. This effect for oil saturated

reservoir is shown more than in the case of water-saturated reservoir. It is

explained by the influence of the compressibility of reservoir, the

compressibility of oil is almost four times more than compressibility of water.

RMS before changes production rate 0.149 K, and after changing production

rate SD was 0.012K.

- Filtration in homogeneous and heterogeneous reservoir

The temperature in long production wells varies slightly with time and thus

to probe the reservoir by temperature changes is difficult. The easiest way to

achieve the temperature change - is to change flow rate.

Case with a variable flow rate from homogeneous and heterogeneous

reservoir is simulated to test the possibility of obtaining information about the

reservoir by temperature.

Simulation parameters: well radius 0.1 m; damage radius near wellbore zone

0.5 m; reservoir radius 10 m; wellhead flow rate 100 m3/day for 10 hours and

50m3/day at a later time; the initial pressure in the well and reservoir 200 atm;

initial temperature in the reservoir 20°C; permeability of damage zone 50 md,

permeability of reservoir 100 md; porosity 0.2; thickness 5 m; viscosity of the

fluid 1 cPs; Joule-Thomson coefficient 0.02 K/atm; Adiabatic coefficient

0.003 K/atm; rock heat capacity 800 J/(kg·K); water heat capacity

4150 J/(kg·K); rock density 2200 kg/m3; water density 1000 kg/m

3.



172


Figure 4. Sandface temperature change after change flow rate (1-heterogeneous

reservoir, 2 - homogeneous reservoir)

Figure 4 shows that the temperature decreases after reduction of flow rate. In

the case of heterogeneous reservoir the temperature change is greater as the

magnitude of draw-down pressure due to a decrease permeability in the near-

wellbore zone more than for a homogeneous reservoir. The following algorithm

(based on solution (8)) is used to define the boundaries of damage zone:

1. Draw the chart

рtрtt,rTt,rT

and рttln

2. Select the straight sections on the chart

3. Find time, which corresponds to a break in the chart

4. According to the formula (9) calculate the damage radius of near wellbore

zone

http://www.multitran.ru/c/m.exe?t=6245227_1_2&s1=%E4%E5%EF%F0%E5%F1%F1%E8%FF

173


Figure 5. Sanface temperature change after change flow rate (1- heterogeneous

reservoir, 2 - homogeneous reservoir)

T* – temperature at the time of changing flow rate, T

*=T(tр).

Time after changing flow rate corresponding to the point of break is

0.96 hours (Δtр), and the damage radius of near wellbore zone 0.497 meters. The

difference between the specified damage radius and the resulting inverse

problem solution is 0.48%.

One more proof that the unsteady temperature from inflowing fluid after

changing flow rate brings information about a damage radius zone is illustrated

on Figure 6. As an example of three model curves shows the slope of the curves

in a semi-logarithmic coordinates after the break the same and equal to

0.0229 K. This is explain by the same permeability’s distant zones - 100 md.

174


Figure 6. Sandface temperature change after changing flow rate (permeability of

near wellbore zone 10 md, 25 md, 50 md)

Conclusions

1. Analytical model is developed to describe the non-stationary temperature

field during a single-phase fluid filtration in the reservoir with the radial

inhomogeneity after changing of flow rate. It is based upon convective heat

transfer and barothermal effect.

2. Comparison calculations of analytical model with the numerical solution

that takes into account thermal conductivity and compressibility showed that the

influence of the thermal conductivity and compressibility on the simulation

results is negligible.

3. As a result of model research it is clear that damage radius of near

wellbore can be estimated by the curves of temperature history recorded after

flow rate change.

This work was supported by Russian Foundation for Basic Research

(RFBR) (project № 16-29-15130 ofi_m)

175


В последнее время наблюдается усиленный интерес к исследованиям

скважин автономными датчиками давления и температуры [2]. Такой

подход к исследованиям дает возможность регистрировать изменение

давления и температуры во времени и зондировать пласты на переходных

режимах при испытании скважины [2,3]. Обычно при количественной

интерпретации данных испытаний скважин используются только данные

об изменении давления. Данные температурного зондирования могут быть

использованы в качестве дополнительного независимого источника

информации о свойствах коллектора. Методике интерпретации и

проведению исследований методом термометрии посвящены ряд статей и

патентов [2,4, 5-11].

В работе [2] предлагается методика исследования многопластовых

скважин. Данная методика подразумевает регистрацию изменения

давления и температуры на кровле и подошве каждого продуктивного

пласта во время переходного режима. Для данного метода испытания

многопластовой скважины требуется только одна операция изменения

дебита на устье для получения интерпретируемых данных давления и

температуры на переходном режиме. Обратная задача решается с

помощью алгоритма регрессии Левенберга — Марквардта.

В патентах [5-11] изложены возможности практического

использования данных нестационарной термометрии. Можно определять:

профиль притока в скважину, дебиты отдельных продуктивных пластов в

многопластовой скважине и параметры околоскважинного пространства

такие, как проницаемость и скин-фактор. Решение обратных задач

подразумевает численное моделирование температуры в стволе скважины.

В представленной работе исследуется задача о нестационарном

температурном поле в пласте после изменения дебита. Целью работы была

разработка и обоснование упрощенной аналитической модели

неизотермической однофазной фильтрации жидкости в пласте с

176


радиальной неоднородностью. Неизотермичность фильтрации

обуславливается теплопроводностью в радиальном направлении и

баротермическим эффектом[1]. Допущения для пласта – пористый,

неоднородный по проницаемости горизонтальный пласт, насыщенный

однофазной слабосжимаемой жидкостью.

В итоге имеем следующую математическую модель, которую условно

можно разделить на две задачи, для температуры и давления:

wrrw

wrr

res

res

fffres

TtTr

T

Tt,RT

T0,rT

t

pC

r

p)t,r(vC

r

Tr

rrr

T)t,r(vC

t

TC

(1)

где Cres, Cf – объемные теплоемкости пласта и флюида, Дж/(м3·К);

T – температура, К; r – радиальная координата, расстояние в пласте от оси

скважины, м;t – время, с; v – скорость фильтрации флюида, м/с;

λ – теплопроводность пласта, Вт/(м·К); ε, η – коэффициент Джоуля-

Томсона и адиабатический коэффициент для флюида, К/Па; – пористость

пласта, д. ед.; p – давление, Па; R– радиус контура питания пласта, м;

Tres – начальная температура в пласте, К; Tw– средняя по сечению

температура в стволе скважины, К; α – коэффициент теплообмена между

жидкостью в стволе скважины и стенкой скважины, Вт/(м2·К).

В начальный момент времени температура в пласте постоянная.

Температура на внешней границе области остается равной пластовой

температуре.

Для описания поля давления в пласте используется одномерное

уравнение пьезопроводности для случая осевой симметрии

Необходимые для расчета температуры v(r,t) и p(r,t) находятся из

решения краевой задачи пьезопроводности:

177


dt

dpC

r

p)r(r2tQ

P0p

r

prSt,rptp

Pt,Rp

P0,rp

t

p)r(kr

rr

1

t

p*

ws

wrr

ww

wrr

ww

res

res

(2)

β* – упругоемкость насыщенного жидкостью пласта, 1/Па;

βf, β

sk– сжимаемость флюида и скелета пласта, 1/Па; k – проницаемость

пласта, м2; μ – вязкость флюида, Па·с;pw – забойное давление, давление в

стволе скважине, Па; rw – радиус скважины, м; S – скин-фактор на границе

между скважиной и пластом;Q(t) – дебит скважины, м3/с;

σ – гидропроводность пласта, м3/(Па·с); Cs– параметр влияния ствола

скважины (ВСС), м3/Па.

В начальный момент времени давление в пласте равно начальному

пластовому и на внешней границе оно поддерживается равным пластовому

давлению. Граничное условие на стенке скважины учитывает наличие

поверхностного скин-фактора.

Задача (1) - (2) в данном виде не имеет аналитического решения,

поэтому решалась численно, методом контрольных объемов c

использованием для температуры разностной схемы против потока

[12].Сетка по координате r неравномерная. Координаты контрольных

объемов связаны соотношением: 1ii rr ,1N

1

wr

R

(i – индекс узловой

точки контрольного объема,N - количество узлов).

На основе численной модели разработан симулятор, который позволяет

строить модельные кривые изменения давления и температуры на стенке

178


скважины в зависимости от параметров пласта и скважины для

переменного дебита [13].

Аналитическое решение

Для того чтобы задачи (1) и (2) имели аналитическое решение приняты

следующие допущения:

пренебрегаем радиальной теплопроводностью по сравнению с

конвективным теплопереносом (λ=0)

флюид и скелет пласта несжимаемы (β*=0)

пренебрегаем влиянием процессов в стволе скважины на поле

давления в пласте (Cs = 0)

пренебрегаем поверхностным скином, pw(t)=p(rw,t).

С учетом этих допущений температурное поле в пласте описывается

следующей задачей:

rfT

t

p

r

p)t,r(cv

r

T)t,r(cv

t

T

0t

*. (3)

Здесь с*,

resf CCc .

Задача (3) решена методом характеристик. Температура вдоль

характеристик рассчитывается по формуле [14]

t

0

1*

1res11 d,r,rp

t,r,trpPrft,r,trT

(4)

Распределение давления p(r,t), необходимые r

p

и

t

p

находятся из

решения задачи (2).

Пусть распределение проницаемости в пласте и дебит жидкости из

пласта описывается кусочно-постоянными функциями. Скважина в

течение времени tр работает с дебитом Q1, а затем дебит скважины

179


становится Q2. Проницаемость пласта k2, а в ближней к скважине

зоне(r≤rd), в зоне нарушения пласта k1.

Распределение давления при работе с дебитом Q1 (t<tр) рассчитывается

по формуле:

Rr,P

Rr,rr,r

rln

2

Qrp

rr,r

rln

2

QS

r

Rln

2

QP

tp

res

d

d2

1d1

d

w1

1d

w2

1res

1

(5)

Распределение давления после однократного изменения дебита (для

t>tр) рассчитывается по формуле:

Rr,P

Rr,rr,r

rln

2

Qrp

rr,r

rln

2

QS

r

Rln

2

QP

tp

res

d

d2

2d2

d

w1

2d

w2

2res

2

(6)

rd – радиус зоны нарушения проницаемости пласта, Sd – скин-фактор за

неоднородность пласта по проницаемости; 1 – гидропроводность ближней

зоны (d

rr ) и 2 – гидропроводность дальней зоны (d

rr ) пласта.

На основе (4) нетрудно получить для температуры на стенке скважины

после изменения дебита следующую формулу:

T22T21*

2wT21T2w rprpPrprft,rT , (7)

где

h

t-tQсrr

р22

w2T

(8)

180


T11res

*

1resres rpPxpPTxf (9)

h

tQcxr

р12

1T

(10)

Корректность аналитического решения проверена путем сравнения с

результатами численного решения задач (1) и (2), с учетом принятых для

аналитической модели допущений. Для этого был смоделирован случай

отбора жидкости из однородного пласта с переменным дебитом. СКО не

превысило 10-4

К.

Анализ результатов моделирования

- Влияние теплопроводности и сжимаемости пласта на температуру

Смоделировано численно и аналитически изменение температуры при

отборе жидкости из водонасыщенного и нефтенасыщенного пласта. При

численном моделировании учитывались теплопроводность (λ≠0) и

сжимаемость (β*≠0) пласта.

Общие параметры моделирования: радиус скважины 0,1 м; радиус

контура питания пласта 100 м; дебит на устье скважины 100 м3/сут в

течение 10 ч и 50м3/сут в последующее время; начальное давление в

скважине и в пласте 200 атм; параметр ВСС 0 м3/Па; начальная

температура в пласте 20 ºС; проницаемость пласта 100 мД; пористость

пласта 0,2; толщина пласта 5 м; сжимаемость скелета пласта 2·10-10

1/Па;

теплопроводность скелета пласта 2 Вт/(м·К); удельная теплоемкость

скелета пласта 800Дж/(кг·К); плотность скелета пласта 2200кг/м3.

181


Таблица 1. Параметры, насыщающего пласт флюида

Параметр Вода Нефть

Коэффициент Джоуля-Томсона, К/Па 2·10-7

4·10-7

Адиабатический коэффициент, К/Па 3·10-8

1.4·10-7

Удельная теплоемкость, Дж/(кг·К) 4150 2000

Плотность, кг/м3 1000 800

Вязкость, Па·с 10-3

10-2

Сжимаемость, 1/Па 4·10-10

15·10-10

Теплопроводность, Вт/(м·К) 0.55 0.14

Теплопроводность, насыщенного флюидом пласта рассчитывалась по

модели Лихтенеккера [15]. Теплопроводность и сжимаемость пласта в

аналитической модели равны нулю.

Водонасыщенный пласт

Рисунок 1. График изменения температуры на стенке скважины для

водонасыщенного пласта:

В1 – аналитическая модель, В2 – численная модель

Как видно из рисунка 1, результаты численного моделирования и

расчетов по аналитической модели практически совпадают. В начальный

период отбора проявляется незначительное влияние сжимаемости, которое

длится менее двух часов (рисунок 2). СКО до изменения дебита 0,0017 К, а

после изменения дебита СКО составило 0,010 К.

182


Рисунок 2. График изменения температуры T-Tres на стенке скважины для

водонасыщенного пласта в период притока. Обозначения как на рисунке 1.

Нефтенасыщенный пласт

Рисунок 3. График изменения температуры на стенке скважины для

нефтенасыщенного пласта:

Н1 – аналитическая модель, Н2 – численная модель

183


Как видно из рисунка 3, результаты численного моделирования с

учетом теплопроводности и сжимаемости и по аналитической модели

качественно одинаковы. Величина изменения температуры по численной

модели несколько выше результатов расчета по аналитической модели.

Этот эффект для нефтенасыщенного пласта проявляется сильнее, чем в

случае водонасыщенного пласта. Это объясняется влиянием сжимаемости

пласта, сжимаемость нефти почти в четыре раза больше сжимаемости

воды. СКО до изменения дебита 0,149 К, а после изменения дебита СКО

составило 0,012К.

- Фильтрация в однородном и неоднородном по проницаемости пласте

В длительно работающих скважинах температура слабо изменяется со

временем и поэтому зондировать среду по изменениям температуры

сложно. Самый простой способ добиться изменения температуры – это

изменить дебит. Для проверки возможности получения информации о

пласте по температуре моделируется случай отбора жидкости с

переменным дебитом из однородного и неоднородного по проницаемости

пласта. Параметры моделирования: радиус скважины 0,1 м; радиус

нарушенной зоны пласта 0.5 м; радиус контура питания пласта 10 м; дебит

на устье скважины 100 м3/сут начальные 10 ч и 50 м

3/сут последующее

время; начальное давление в скважине и в пласте 200 атм; начальное

распределение температуры в пласте 20 ºС; проницаемость пласта в зоне

нарушения 50 мД, в пласте 100 мД; пористость пласта 0,2; толщина пласта

5 м; вязкость флюида 1сПз; коэффициенты Джоуля-Томсона и

адиабатический для воды: 0,02, 0.003 К/атм; удельные теплоемкости

скелета пласта и воды 800, 4150 Дж/(кг·К); плотность скелета пласта и

воды 2200, 1000кг/м3.

184


Рисунок 4. График изменения температуры на стенке скважины после

изменения дебита (1 – неоднородный пласт, 2 – однородный пласт)

Как видно на рисунке 4 температура после уменьшения дебита падает.

В случае неоднородного пласта изменение температуры больше,

поскольку величина депрессии вследствие уменьшения проницаемости в

прискважинной зоне пласта больше, чем для однородного пласта. Чтобы

определить границы нарушенной зоны решена обратная задача с

использованием следующего алгоритма (на основе нашего решения (7):

1. Построить график:

рt,, rTtrT

tрt

от рttln

2. Выделить прямолинейные участки на графике

3. Найти время, которому соответствует излом на графике

4. По формуле (8) вычислить радиус нарушенной зоны пласта

185



изменения дебита (1– неоднородный пласт, 2 – однородный пласт)

T* –температура в момент изменения дебита, T

*=T(tр).

Время после изменения дебита, соответствующее точке излома

составило 0,96 ч (Δtр), а радиус нарушенной зоны 0.497 м. Разница между

заданным радиусом нарушения и полученным в результате решения

обратной задачи составляет 0,48%.

Еще одно доказательство того, что нестационарная температура

притекающего из пласта флюида после изменения дебита несет в себе

информацию о радиусе нарушенной зоны проиллюстрировано на рисунке

6. На примере трех модельных кривых показано, что наклон всех кривых в

полулогарифмических координатах после излома совпадает, и равен

0,0229 К. Это объясняется одинаковыми проницаемостями дальних зон –

100 мД.

186



изменения дебита (проницаемость прискважинной зоны пласта 10 мД, 25

мД, 50 мД)

Выводы

1. Для описания нестационарного температурного поля при

однофазной фильтрации жидкости в пласте с радиальной

неоднородностью после изменения дебита скважины разработана

аналитическая модель. Она основана на модели жесткого пласта для поля

давления, учитывает конвективный теплоперенос и баротермический

эффект.

2. Сравнение расчетов по аналитической модели с численным

решением, учитывающим теплопроводность и сжимаемость среды,

показало, что влияние теплопроводности и сжимаемости на результаты

моделирования незначительно.

3. В результате исследования модели показано, что по кривым

изменения температуры во времени, зарегистрированной после изменения

187


дебита можно оценить радиус нарушения проницаемости в прискважинной

зоне пласта.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект №

16-29-15130офи_м)

References

1 Chekalyuk E.B. [Thermodynamics of oil reservoir]. Moscow, Nedra

Publ., 1965. 238 p. [in Russian].

2 Sui W, Zhu D, Hill A.D. &Ehlig – Economides C.A. Model for

Transient Temperature and Pressure Behavior in Commingled Vertical Wells.

Society of Petroleum Engineers – SPE Russians Oil and Gas Technical

Conference and Exhibition 2008 Ser. «SPE Russian Oil and Gas Technical

Conference and Exhibition 2008» 2008, pp. 387-404.

3 Onur M., Cinar M. Temperature Transient Analysis of Slightly

Compressible, Single-Phase Reservoirs. Society of Petroleum Engineers – SPE

Europec featured at78th EAGE Conference and Exhibition 2016 Ser. «SPE

Europec featured at 78th EAGE Conference and Exhibition 2016» 2016,

pp.1309-1356.

4 Ramazanov A., Valiullin R., Sharafutdinov R., Khabirov T.,

Sadretdinov A., Zakirov M., Islamov D. The Use of Simulators for Designing

and Interpretation of Well Thermal Survey.Abstract Book of 7th Saint

Petersburg International Conferences & Exhibition «Understanding the

Harmony of the Earth’s Resources through Integration of Geosciences». Saint

Petersburg Publ., 2016, 4 p.

5 ShakoV.V., Pimenov V.P., Kuchuk F.D. [Method of determination of

fluid-movement profile and parameters of near-wellbore].Pat. RF no. 2455482,

2012, Bull. no. 19. 13 p. [in Russian].

6 Shako V.V., Pimenov V.P., Kuchuk F.D. [Method for determining

profile of fluid influx and parameters of borehole environment].Pat. RF no.

2460878, 2012, Bull. no. 25.11 p. [in Russian].

188


7 Shako V.V., Pimenov V.P., Teveni B. [Method for determining profile

of fluid influx of multiformation deposits].Pat. RF no. 2474687, 2013, Bull. no.

4.18 p. [in Russian].

8 Shako V.V., Pimenov V.P. [Method for determining of influx profile and

borehole environment parameters in multilay well]. Pat. RF no. 2505672, 2014,

Bull. no. 3. 12 p. [in Russian].

9 Shako V.V., Pimenov V.P., ТевелиБ., Sidorova M.V. [Method for

determining fluid movement profile of stacked pools in well].Pat. RF

no.2531499, 2014, Bull. no. 29. 21 p. [in Russian].

10 Spesivtsev P.E.,Shako V.V., Teveni B. [Method for determining of

parameters for well bottomhole and bottomhole area].Pat. RF no. 2535324,

2014, Bull. no. 34. 13 p. [in Russian].

11 Shako V.V., Pimenov V.P., Teveni B., Sidorova M.V. [Method for

determination of filtration rate of formation fluids].Pat. RF no. 2537446, 2015,

Bull. no. 1. 11 p. [in Russian].

12 Islamov D.F., RamazanovA.Sh. [Non-stationary temperature field for

fluid flow in heterogeneous reservoir]. Bullet of Bashkir University, 2016,no.1,

pp. 4–8.[in Russian].

13 Islamov D.F., RamazanovA.Sh. [Calculation of

nonstationarytemperature fieldsin the liquid filtration in a

heterogeneousreservoir].Certificate ofstate registrationof computer programsno.

2016615222,2016. [in Russian].

14 RamazanovA.Sh., Filippov A. I. [Temperature field in non-stationary

filtration.]IzvestiyaАN SSSR. MekhanikaZhidkostii Gaza, 1983, no. 4, pp.175-

178.[in Russian].

15 Lichtenecker. K. and Rother. K. Die Herkeitung des logarithmischen

Mischung-gesetzes aus allgemeinen Prinsipien des stationaren Stroming. Phys.

Z. 32, pp. 255-260.

189


Список используемых источников

1 Чекалюк Э.Б. Термодинамика нефтяного пласта. М.: Недра, 1965.

238 с.

2 Sui W, Zhu D, Hill A. D. & Ehlig – Economides C. A. Model for

Transient Temperature and Pressure Behavior in Commingled Vertical Wells.

//Society of Petroleum Engineers – SPE Russians Oil and Gas Technical

Conference and Exhibition 2008 Ser. «SPE Russian Oil and Gas Technical

Conference and Exhibition 2008» 2008. S.387-404.

3 Onur M., Cinar M. Temperature Transient Analysis of Slightly

Compressible, Single-Phase Reservoirs. //Society of Petroleum Engineers – SPE

Europec featured at 78th EAGE Conference and Exhibition 2016 Ser. «SPE

Europec featured at 78th EAGE Conference and Exhibition 2016» 2016, pp.

1309-1356.

4 Ramazanov A., Valiullin R., Sharafutdinov R., Khabirov T.,

Sadretdinov A., Zakirov M., Islamov D. The Use of Simulators for Designing

and Interpretation of Well Thermal Survey. Abstract Book of 7th Saint

Petersburg International Conferences & Exhibition «Understanding the

Harmony of the Earth’s Resources through Integration of Geosciences». Saint

Petersburg, 2016, 4 p.

5 Способ определения профиля притока флюидов и параметров

околоскважинного пространства / В.В.Шако, В.П.Пименов, Ф.Д. Кучук:

пат.№ 2455482Рос. Федерация, E21B47/103. 2010139993/03; заявл.

30.09.2010; опубл. 10.07.2012, Бюл. № 19.13 с.

6 Способ определения профиля притока флюидов и параметров

околоскважинного пространства / В.В.Шако, В.П.Пименов, Ф.Д. Кучук:

пат. № 2460878Рос. Федерация, E21B47/06. 2010139992/03; заявл.

30.09.2010; опубл. 10.09.2012, Бюл. № 25. 11 с.

190


7 Способ определения профиля притока флюидов многопластовых

залежей / В.В.Шако, В.П. Пименов, Б.Тевени:пат. № 2474687Рос.

Федерация, E21B47/10. 2011143218/03;заявл. 26.10.2011; опубл. 10.02.2013,

Бюл. № 4. 18 с.

8 Способ определения профиля притока и параметров

околоскважинного пространства в многопластовой скважине / В.В. Шако,

В.П. Пименов: пат. № 2505672Рос. Федерация, E21B47/06. 2012131302/03;

заявл. 31.12.2009; опубл. 27.01.2014, Бюл. № 3. 12 с.

9 Способ определения профиля притока флюидов многопластовых

залежей в скважине / В.В. Шако, В.П. Пименов, Б.Тевени, М.В. Сидорова:

пат. № 2531499Рос. Федерация, E21B47/103. 2013139149/03; заявл.

23.08.2013; опубл. 20.10.2014, Бюл. № 29. 21 с.

10 Способ определения параметров забоя и призабойной зоны

скважины / П.Е.Спесивцев, В.В.Шако, Б.Тевени: пат. № 2535324Рос.

Федерация, E21B47/06.2012155806/03; заявл. 24.12.2012; опубл. 10.12.2014,

Бюл. № 34. 13 с.

11 Способ определения скорости фильтрации пластовых флюидов /

В.В.Шако, В.П.Пименов, Б.Тевени, М.В.Сидорова: пат. № 2537446Рос.

Федерация, E21B 47/103. 2013146561/03;заявл. 18.10.2013; опубл.

10.01.2015, Бюл. № 1. 11 с.

12 Исламов Д.Ф., Рамазанов А.Ш. Нестационарное температурное

поле при фильтрации жидкости в неоднородном пласте// Вестник

Башкирского университета. 2016. №1. С. 4–8.

13 Исламов Д.Ф., Рамазанов А.Ш. Расчет нестационарного

температурного поля при фильтрации жидкости в неоднородном пласте:

св-во о гос. регистр. программы для ЭВМ, № 2016615222, 2016.

14 Рамазанов А.Ш., Филиппов А.И. Температурные поля при

нестационарной фильтрации жидкости // Изв. АНСССР. Механика

жидкости и газа. 1983. №4.С.175-178.

191


15 Lichtenecker. K. and Rother. K. Die Herkeitung des logarithmischen

Mischung-gesetzes aus allgemeinen Prinsipien des stationaren Stroming. Phys.

Z. 32, pp. 255-260.

About the authors

Сведения об авторах

A. Sh. Ramazanov, Doctor of Engineering Sciences, Professor of the

Department of Geophysics of Bashkir State University, FSBEI HE «Bashkir

State University»,Ufa, Russian Federation

Рамазанов А. Ш., д-р техн. наук, проф. кафедры геофизики, ФГБОУ ВО

«Башкирский государственный университет», г. Уфа, Российская

Федерация

e-mail: [email protected]

D. F. Islamov, Graduate Student of the Department of Geophysics of

Bashkir State University, FSBEI HE «Bashkir State University», Ufa, Russian

Federation

Исламов Д. Ф., аспирант кафедры геофизики ФГБОУ ВО «Башкирский

государственный университет», г. Уфа, Российская Федерация

e-mail: [email protected]

udc 536.11 analytical model of temperature after...

Documents