turbulence mec2345

8/19/2019 Turbulence MEC2345

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1

ESCOAMENTO TURBULENTO a turbulência em geral surge de uma instabilidade do

escoamento em regime laminar, quando o número deReynolds torna-se grande. As instabilidades estãorelacionadas com interações entre termos viscosos etermos de inércia não lineares nas equações dequantidade de movimento linear. Os efeitos advectivos altamente não lineares, são efeitos

amplificadores de perturbações é geradores deinstabilidades. Por outro lado os efeitos difusivos sãoamortecedores ou inibidores da formação de instabilidades.

O número de Reynolds (Re) é definido como a razão entreos efeitos advectivos e os efeitos difusivos. Desta forma umescoamento só poderá transicionar ou se manter turbulentoquando Re for maior que a unidade.


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3/99

3

As equações de conservação que regem oescoamento independem do regime de escoamento.Porém o regime turbulento é sempre tri-dimensional e

transiente. Se diferentes escoamentos turbulentos são

comparados, observa-se diferentes padrões deescoamento com diferentes tamanhos. Para descrever

um escoamento turbulento é portanto necessáriointroduzir a noção de escala de turbulência. Escala detempo e escala espacial. Para um escoamentoturbulento em um tubo, por exemplo, espera-se que aescala de tempo seja da ordem da razão entre o

diâmetro do tubo e a velocidade média do escoamentona seção transversal e a escala espacial seja da ordemde grandeza do diâmetro do duto.


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4

Considerando ser possível definir avelocidade como a soma de umvalor médio mais uma flutuação

uuu

O valor médio é obtido por

t

t d ut

1u

sendo 0u já que

zero

t

u

t t

dt ut

1dt u

t

1dt u

t

1u


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5

Somente a escala da turbulência não é suficientepara caracterizar o escoamento turbulento. Épreciso ter uma noção sobre a "violência" do

movimento. O valor médio da velocidade não podeser uma medida da violência do movimento, pois éexatamente a violência das flutuações em relação avelocidade média que desejamos saber.

Como a velocidade média não é uma boa medidapara a violência, é conveniente utilizar comodefinição de violência, a intensidade da turbulência,a qual foi definida por Dryden and Kuethe, 1930,

como a raiz quadrada do valor médio da flutuação(root mean square)

2)(uu


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6

As equações de conservação de massa equantidade de movimento linear são não lineares eacopladas.

Como o escoamento turbulento é transiente etridimensional, a solução numérica destas equaçõestraz muitas complicações porque característicasimportantes dos escoamento turbulentos estão

contidos nas recirculações que possuem apenasalguns milímetros em tamanho para escoamentocom domínios de muitos metros.

Mesmo o problema mais simples necessitaria umamalha muito fina.

Além disso, para captar a variação temporal dosturbilhões, passos de tempo muito pequenos sãonecessários.


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7

Atualmente existem basicamente trêsmétodos para se analisar um escoamento

turbulento, os quais serão descritos a seguir. DNS (Direct Numerical Simulation): cálculo de

todas as escalas de comprimento da turbulência.

LES (Large Eddy Simulation): cálculo dosturbilhões de grandes escalas, com umamodelagem dos turbilhões de escala menor.

RANS (Reynolds Averaged Navier-Stokes):modelos da turbulência estatística baseado nasequações de Navier-Stokes médias no tempo.


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8

Pode-se classificar os métodos de acordo ao graude modelagem e ao custo computacional comoilustrado na figura. Temos que a simulação degrandes escalas LES está entre os métodosestatísticos RANS e a simulação numérica diretaDNS, sendo que este último é o que tem o maiorcusto computacional.

Custo

Computacional

RANS

LES

DNS

100 %

0 %

baixo alto extremadamente

alto

Grau

de

Modelagem


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9

u

t

transiente permanente

u'

A análise estatística baseia-se no fato de que oescoamento turbulento pode ser descrito porum valor médio e mais uma flutuação u’

(muitas vezes da ordem de 1% a 10% de )u

'uuu

• Para o engenheiro, muitas vezes é suficienteconhecer o comportamento do valor médio.

u


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10

Note que com relação ao valor médio, podemosfazer a hipótese de regime permanente, pois

Observamos ainda que se o vetor velocidade édado por ,

poderemos fazer a hipótese de 2-D com relaçãoaos valores médios.

0 t u /

k w jvviuuV

)()(

Dessa forma, podemos simplificar bastante oproblema. Desejamos então determinar o campomédio de velocidades. Neste caso, é preciso obterequações de conservação para essa grandeza.


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Equações Médias de Reynolds

Os modelos de turbulência baseados nas equações de

Navier-Stokes médias no tempo RANS (ReynoldsAveraged Navier-Stokes) serão descritos.

No estudo de um escoamento turbulento, como asquantidades analisadas são caracterizadas porapresentar flutuações randômicas em torno de um valormédio, pode-se utilizar de métodos estatísticos. Uma

simples análise estatística é suficiente.

11


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Decomposição de Reynolds:

12

'

iii

uuu ' p p p

'

t

dt

t

1

0'

Φ y y Ψ

;

Generalizando podemos escrever:

onde o valor médio é obtido por

Antes de derivarmos as equações médias para um escoamentoturbulento, vamos sumarizar algumas regras que governam as médiastemporais das flutuações das propriedades

e suas combinações, derivadas e integrais


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13

Essas equações podem ser facilmente demonstradas, ao notar que aoperação de média é uma operação de integração e, portanto a ordemde diferenciação ou integração e obtenção de média temporal podemser invertidas.

0 '' y Φ

s s

Φ dsds Φ

ΨΦ y

ΨΦψψ

0 ψψ ''

;;

;


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Correlação entre variáveis

Vimos que a média de uma flutuação é nula. No entanto, a média do

produto de duas flutuações só é diferente de zero, se estas foremcorrelacionadas, se estas não forem correlacionadas, a média é nula.

14

A figura a seguir ilustra oconceito de flutuações devariáveis que sãocorrelacionadas

A flutuação da variável a tem omesmo sinal que a variável b,na maior parte do tempo,

resultando em > 0. Por outrolado, a variável c não écorrelacionada com a e b,então

ab

0ac 0bc


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15

0vu ''

As flutuações da velocidade sãocorrelacionadas, então

''

''''''

ΨΦ

)ΦΨΨ(Φ))(Ψ(Φ

y y

y y y y

De um modo geral, tem-se


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16

Uma vez que o divergente e o gradiente sãodiferenciações, as regras acima podem ser estendidas paraum vetor com flutuação e sua combinação com um escalar

com flutuação

Aa

divdiv

)a()a()a( div)(divdivdiv A

Φgraddivgraddiv


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17

0 x

u

t j

j

0 x

u

j

j

As equações de Navier-Stokes médias no tempo são apresentadas aseguir:

Equação da con tinu idade

para constante 0

x

u

j

j

Note que subtraindo a equação acima da equação de conservação de massaobtemos

isto é, as flutuações da velocidade assim como as velocidades médiassatisfazem a equação de conservação de massa incompressível.

0 xu

xu

xu

j

j

j

j

j

j

'


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Equação de Conservação de Quantidade de

Movimento Linear

18

ijk k

i

j

ji

ji

i j

i ji x

u

x

u

x

u

x g x

p

x

uu

t

u

3

2

Para propriedades variáveis a equação média no tempo de Navier-Stokes é

j

jiij

k

k

i

j

j

i

j

ii j

i ji

x

uu

x

u

x

u

x

u

x

g x

p

x

uu

t

u

)(

3

2

O termo é denominado tensão de Reynolds, e envolve oscomponentes das flutuações da velocidade que não são conhecidas.Com muita freqüência o tensor de Reynolds é definido

'' ji uu

'' ji uu


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Tensão de Reynolds A tensão viscosa corresponde a uma transferência de quantidade

de movimento a nível molecular. A tensão de Reynolds corresponde a uma transferência de

quantidade de movimento devido ao campo de velocidadesflutuantes

O tensor de Reynolds é de 2a. ordem e ésimétrico

Os componentes da diagonal são as tensões normais, enquantoas tensões fora da diagonal são as tensões cisalhantes

A energia cinética turbulenta é definida como a metade do traço

do tensor de Reynolds

é a energia cinética por unidade de massa do campo develocidade flutuante

19

''''i j ji uuuu

''ii uu

2

1


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Modelos RANS

Determinar diretamente as Tensão de Reynolds,através de suas equações de conservação

Modelos de Viscosidade Turbulenta

20


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Modelos de Viscosidade Turbulenta Os modelos de viscosidade turbulenta são baseados no conceito da

viscosidade turbulenta introduzido por Boussinesq em 1877. Boussinesqpropõe para o núcleo turbulento uma analogia entre as tensõesturbulentas e as tensões existentes no regime laminar.

Vimos que a tensão viscosa para um fluido Newtoniano é

21

I V

3

2V V

T

div])grad(grad[

ijk

k

i

j

j

iij

xu

32

xu

xu

Em notação indicial a equação acima pode se escrita com

onde ij é o delta de Kronecker.


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Fazendo uma analogia entre a tensão laminar e turbulento, a tensãoturbulenta é definida como:

onde t é a viscosidade turbulenta.

O termo é a parte isotrópica do tensor e é introduzido pararepresentar a pressão dinâmica associada aos turbilhões, em

analogia à pressão estática, termodinâmica. é a energia cinéticaturbulenta, definida como

Com a substituição da expressão para a tensão de Reynolds naequação média de quantidade de movimento, obtêm-se a seguinteexpressão para a equação de conservação de quantidade demovimento linear para regime turbulento baseada no conceito daviscosidade turbulenta

22

ijijk

k

t i

j

j

i

t ji x

u

x

u

x

uuu

3

2

3

2

2222i wvu2

1u

2

1 ''''


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onde P é a pressão modificada, definida como

e a viscosidade efetiva ef :

onde é a viscosidade molecular e t é a viscosidade turbulenta.

23

ijijk

k

t i

j

j

i

t i

j

j

i

j

ii j

i j

i

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

g x

p

x

uu

t

u

3

2

3

2

)(

ii

j

j

ief

ji j

i j

i g x

u

x

u

x x

P

x

uu

t

u

3

2

x

u

3

2 p P

k

k t

)(x, t t ef

(*)


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A equação (* ) não constitui um modelo de turbulência por si só, masé a base para construção de um grande número de modelos deturbulência simples e complexos, cujo ponto de partida é a avaliaçãoda viscosidade turbulenta t .

A viscosidade turbulenta não é uma propriedade, e sim função doescoamento. Analisando o escoamento próximo à parede,observamos que na região imediatamente adjacente à parede, aviscosidade turbulenta t é desprezível em relação a viscosidade

absoluta . Esta região é denominada sub-camada laminar. Longe daparede, na região do núcleo turbulento, a viscosidade absoluta é deuma magnitude muito inferior à da viscosidade turbulenta t .

24

> t

núcleo

turbulento

camada amortecedora

sub-camada laminar


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Diferentes modelos têm sido propostos para a avaliação daviscosidade turbulenta. Cada modelo apresenta um grau decomplexidade diferente e com uma abrangência diferente.

Os modelos podem ser classificados em modelos:

modelos algébricos, modelos de zero equaçõesdiferenciais

modelos de uma equação diferencial modelos de duas equações diferenciais

modelos de n equações diferenciais

25


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VISCOSIDADE TURBULENTAInterpretação física:

De acordo com a teoria cinética dos gases, a viscosidade absoluta(molecular) é resultante da transferência de quantidade de movimentoresultante da colisão de moléculas ( a x ), onde a é a velocidade dosom e x é o caminho médio livre entre colisões.

De forma análoga a viscosidade turbulenta é definida como sendoresultante da transferência de quantidade de movimento da colisão deturbilhões turbulentos, podendo ser estimada por

onde V c e Lc são, respectivamente, a velocidade e o comprimentocaracterístico ou típicos da escala de movimento.

Os diversos modelos para viscosidade turbulenta, diferem com respeitoa determinação dos valores característicos da escala turbulenta.

26

cct LV


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Modelos Algébricos

Os modelos algébricos também são chamados de modelos de zero

equações (diferencias)

Viscosidade Turbulenta Constante

Este é o modelo mais simples possível. Ocasionalmente, como umaprimeira aproximação, para alguns escoamentos, a viscosidadeturbulenta pode ser considerada como constante, onde o valor daconstante deveria ser ajustado a partir de dados experimentais, Estemodelo não é muito utilizado, por ser muito grosseiro.

27


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Modelo de Comprimento de Mistura: A Hipótese do Comprimento de Mistura foi desenvolvida por Prandtl

(1925), considerando um escoamento turbulento simples com

Considere que em um escoamento turbulento ao longo de uma parede,porções de fluido se juntam e se movimentam através de umdeterminado comprimento m sem alterar sua quantidade de movimentona direção x.

28

Vamos analisar o movimento de uma porção defluido começando em y = - m e se deslocandocom velocidade v positiva (v' > 0 ) até a posiçãoy =0. Sua quantidade de movimento por unidadede volume é . Considerando que ofluido mantém sua quantidade de movimento, suavelocidade na nova posição y=0 é menor do que avelocidade a existente lá. A diferença entre asvelocidades na nova posição será

0wv yuu ;)(

v' >0

v'


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esta diferença de velocidades pode ser estimada utilizando umaexpansão em série de Taylor

Considerando agora, uma porção de fluido se deslocando comvelocidade negativa (v' < 0 ), saindo de y = m até a posição y =0. Suavelocidade será maior do que da nova posição e a diferença develocidades será

As diferenças no valor de velocidade originada pelo movimentotransversal podem ser interpretadas como as flutuações de velocidade

em y=0. O valor médio do módulo dessas flutuações de velocidade emy=0 pode ser avaliado por

29

0 y

m1 y

uu

02

y

m y

uu

0 y

m21 y

uuu

2

1u

'


30/99


31/99

Para avaliar o produto , podemos notar que uma condição de

v' > 0 geralmente está associada a uma condição de u' < 0, já que

porções de fluido vindas de regiões com menores velocidades tendem

a produzir uma redução de velocidade (flutuação) no novo meio.Usando o mesmo argumento, podemos associar à condição de v'


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A expressão anterior, deve ser modificada, para que o sinal da tensão

turbulenta seja coerente para diferentes perfis de velocidade, logo

Esta expressão é o principal resultado da

Hipótese de Comprim ento de Mistura de Prand t l .

Finalmente, podemos determinar a viscosidade turbulenta, pois

Então sendo

já que

32

yu

y

u

vu 2m''

y

uvu t ''

y

u2mt

y

uV mc

mct V


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A distribuição de m deve ser especificada algébricamente.

Para escoamentos mais gerais, a viscosidade turbulenta pode serobtida de

33

21

j

i

i

j

j

i2

mt x

u

x

u

x

u/


34/99


35/99


36/99

escoamentos desenvolvidos em dutos: Neste caso, afórmula de Nikuradse é satisfatória (R é o raio da tubulaçãoe y é a distância à parede)

escoamentos desenvolvidos em dutos com geometriaarbitrária: Buleev (1962) sugere a seguinte expressão

36

42m R y106 0 R y1080140 R /,/,,/

onde r é o comprimento do raiodesenhado a partir de um certoponto até a parede do duto aolongo da direção q .

r q

q

2

0

11m d r 251,


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Comentários sobre o Modelo de Comprimento de Mistura

O modelo é limitado a escoamento simples, não sendocapaz de responder a mudanças rápidas no escoamento, a

recirculação de escoamentos, a efeitos de turbulência nacorrente livre, etc.

O fato de t ser zero quando u/ y é zero é uma implicaçãoinconveniente; causando a inexistência de fluxo de calor

turbulento através de planos com gradiente de velocidadenulo.

Mesmo para escoamentos simples, a distribuição de m nãoé universal. Dificuldades ocorrem quando uma camada demistura torna-se um jato, quando um jato encontra-se comuma camada limite próxima a uma parede, etc.

Para escoamentos complexos, não existe esperança de seprescrever uma distribuição útil para m .

37


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Estrutura da Turbulência em

Escoamentos Junto à Superfícies Sólidas

Os níveis de tensões de Reynolds em escoamentos turbulentos junto àsuperfície sólidas são muito menores do que aqueles encontrados emescoamentos livres, devido à ação inibidora da parede.

Por outro lado, devido à inibição do movimento do fluido na direçãonormal à parede, a anisotropia das flutuações de velocidade junto àparede é bem maior do que no caso de escoamento livre.

38


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A figura baixo, ilustra dados experimentais para a distribuição detensões de Reynolds ( , , ; ) e velocidade média ( )

junto a uma parede sólida, onde é a velocidade do escoamentolonge da parede. Como pode ser observado, as maiores

intensidades das flutuações de velocidade ocorrem na regiãoadjacente à parede, onde os gradientes de velocidades são muitoelevados e, como conseqüência a geração da turbulência P ktambém é elevada

39

2u ' 2v' 2w' '' vu u

U


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A figura seguinte ilustra a distribuição de tensão total e turbulentapara um escoamento turbulento em um canal formado por placasparalelas, distantes entre si de H . Note que na maior parte doescoamento as tensões se devem exclusivamente aos termos

turbulentos. Apenas junto à parede, onde as flutuações devem ir azero, as tensões laminares dominam.

40

'' vu

'' vut

t l


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41

A figura a seguir ilustra os componentes de flutuação turbulenta emum canal.

O escoamento próximo à parede, seja para uma camada limite ouescoamento em um canal é muito semelhante e as mesmas leispodem ser aplicadas em ambas as situações.


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Para caracterizar a turbulência, além da distribuição das flutuaçõesda velocidade, pode-se utilizar a função de correlação

42

2221

21

uu

uu R

A figura ao lado ilustra a função de

correlação para um duto circular. Nocentro, as flutuações u’1 e u’2 sãoidênticas, logo R(0)=1. Note que a funçãocorrelação cai rapidamente em direção aparede.


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44

Correlação de espaço-tempo consiste em avaliar doiscomponentes da velocidade em diferentes posições e diferentesinstantes de tempo

O deslocamento temporal tm do máximo de cada curva é devido a

passagem dos turbilhões turbulentos, os quais no exemplo acima, semovem com velocidade aproximadamente igual a 0,8 U. O valormáximo decai, pois com a passagem do tempo, o turbilhão perde suaindividualidade devido a mistura com o fluido turbulento adjacente.Paralelamente, novos turbilhoes são continuamente formados.


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46/99


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47

Distribuição de Energia Turbulenta

O movimento oscilatório continuamente extrai energia do

movimento médio principal através das tensões turbulentas, sendoque esta energia é completamente dissipada em forma de calordevido à ação da viscosidade nas altas freqüências (pequenosvórtices).

uu,uu),(

),(),(uu),(

uu),(

><

2

1

2

1

2

1

2

1

t x E

t x E t x E t x E

t x E Energia cinética

Energia cinéticado escoamentomédio

Energia cinéticaturbulenta


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49/99

49

Vimos que para um fluido Newtoniano

Definindo

tem-se

ij jii S U pU T 2/

ijij S S t D

E D 2 T

ijijiii

ij j

i

i

ijijijijij j

i

j j

S S S p

x

S U

x

pU

S S p

S p

U

xt D

U DU

22

22

)/(

Mas Sii =0 pela continuidade para = constante

Dissipação viscosa representaa conversão de energiamecânica em energia térmica

E i i éti édi l l d édi d ã d i


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50

ijijijij s sS S

E E t t

E

22

>

<

ijij

ijij

S S E t

E

S S E t

E

2

2

T)u(

T)(u

>


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51

Definindo:

dissipação devido ao escoamento médio:

em geral é desprezível por ser proporcional à Re-1

dissipação turbulenta:

ijij S S 2

ijij s s 2

/ puuuS uT i jiij ji 2

/ puuuu suT i j jiij ji 2

Definindo:

E i Ci éti d E t Médi T b l t


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52

onde:

é a produção de energia cinética turbulenta

T

T

t D

D

t D

E D

j

i ji xuuu

Energia Cinética do Escoamento Médio e Turbulenta

ij ji ji ji S u puuuuT 2 /

ij ji j jii su puuuuT 2/

A ação do gradiente de velocidade média atuando sobre as

tensões de Reynolds, remove energia cinética do escoamentomédio (- na equação para ) e transfere para o campo flutuantede velocidade (+ na equação para ).

E

PRODUÇÃO


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PRODUÇÃO

(i) Somente a parte simétrica do tensor gradiente de velocidade afeta a produção

(ii)Somente a parte anisotrópica do tensor de Reynolds afeta a produção

(iii) De acordo com a hipótese de viscosidade turbulenta

a produção é

Note que esta expressão é a mesma de , com t no lugar de

53

ij ji S uu

ijij S a ij jiij uua 3

2

02 ijijt S S

DISSIPAÇÃO Na equação de , o sorvedouro é a dissipação da energia cinética

turbulenta ou simplesmente dissipação.

O gradiente das velocidades flutuantes u’ i / x i trabalha contra atensor deviatórico de flutuações ( 2 sij ) e transforma a energiacinética em energia interna.

A dissipação é sempre positiva.

P fil d V l id d R iã d P d


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Perfil de Velocidade na Região da Parede

Vamos agora estimar o perfil de velocidade em cada uma daszonas na região próxima à parede, a partir das equações deconservação.

54

*u

uu

yu y

*

0 x

u

j

j

'' ji ji j

i

j j

i j

i uu

x x

p

x

u

x x

uu

t

u

Vamos definir velocidade e distância adimensionais como

onde u* é chamado de velocidade de atrito, sendo definido como

/* su


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A l ã é fil d l id d d t t b l t


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A conclusão é que o perfil de velocidade de um escoamento turbulentopossui forma linear na região muito próxima à parede. Podemosconcluir ainda que u+ e y + e são variáveis de similaridade para estaregião. Dados experimentais mostram que esta relação é válida para

y + < 5.

Imediatamente acima da região laminar viscosa deve existir uma regiãoonde os efeitos das tensões laminares e turbulentas possuem a mesmaimportância. É a camada amortecedora . Esta região é mais difícil de

ser modelada.

A região seguinte, chamada de Reg ião tu rb u len ta , a tensãoturbulenta domina, então

56

sctevu y

u

''

svu ''

Infelizmente não podemos integrar a equação acima sem a introdução


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Infelizmente, não podemos integrar a equação acima, sem a introduçãode uma relação constitutiva que permita modelar o termo turbulento.

Assumindo que próximo a parede a aproximação do comprimento demistura se aplica, podemos reescrever a tensão turbulenta como

igualando a tensão turbulenta com a tensão cisalhante na parede

temos

o coeficiente k é conhecido como a constante de von Kármán, e deacordo com dados experimentais é aproximadamente igual a 0,4.

Integrando a equação acima, obtemos

Para paredes lisas o valor da constante de integração é determinadoempiricamente como sendo igual a 5.

57

y

u yk u

y

uu

y

uvu t

**''

yk

1

y

u yu yk u s

*

cte yk

u ln1

A figura a seguir ilustra uma comparação entre os perfis para a região


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A figura a seguir ilustra uma comparação entre os perfis para a regiãoda sub-camada laminar e região turbulenta e dados experimentais,onde observa-se excelente concordância

58

Camada Limite Turbulenta: Placa Plana


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Camada Limite Turbulenta: Placa Plana

Para estimar o perfil de velocidade médio turbulento sob uma placa

plana, pode-se utilizar expressões empíricas

59

71/

y

U

u

A espessura da camada limite pode ser estimada a partir da seguintecorrelação empírica

x x x Re

Re

,

/

102703810

51


60/99

A força sobre a placa é


61/99

61

A força sobre a placa é

sL2L

xturb

x

0lam

2

L

0

2

sA

2

ssss

ACf 2

Uxd b)x(Cf xd b)x(Cf 2

U

dx b)x(Cf 2

UAd)x(Cf

2

UAd)x(AF

c

c

s

cx

0lamturb

L

0turbL xd)]x(Cf )x(Cf [xd)x(Cf L

1

Cf

L5/1

L

LRe

1740

Re

074,0Cf para 5 x 105 Rex 10

7

L58,2LL

Re

1610

Relog

455,0Cf para 5 x 105 Rex 109 (**)


62/99

62

Se xc< < L , a camada limite sobre a placa é praticamente toda turbulenta, pode-se então

aproximar o coeficiente de atrito médio para

Se xc< < L então

5/1L

L

Re

074,0Cf para 5 x 105 Rex 10

7 (++)

Se xc< < L então 58,2L

LRelog

455,0Cf para 5 x 105 Rex 10

9 (##)

(**)

(##)

(++)

L

L

3281Cf

Re

,


63/99


64/99

Podemos também, assim como para a camada limite, utilizar dados


65/99

65

Podemos também, assim como para a camada limite, utilizar dadosempíricos.

Para um tubo liso, o perfil de velocidade pode ser aproximado pela “lei de

potências” de forma análoga ao regime turbulento na camada limite n

R

r

u

u/1

max

1

maxuU

O expoente n depende donúmero de Reynolds, baseadona velocidade máxima

e no diâmetro, de acordo com afigura

Conhecido o perfil de velocidade, a velocidade média pode ser facilmente obtida


66/99

66

R

AT T m r d r udAu AuQ

T 0

2 )12()1(

2 2

max

nn

n

u

um

Naturalmente que a relação entre a velocidade média e máxima depende do expoente n.

Quanto maior o número de Reynolds, maior é o expoente n e mais achatado é o perfil de

velocidade, maior é a tensão cisalhante. Note que a relação entre a velocidade média e

máxima para o regime laminar em um tudocircular é 1/2.

A figura ao lado ilustra uma comparação

entre o perfil de velocidade no regime

laminar e no regime turbulento para

diferentes expoentes.

Na prática, com muita freqüência, especifica-se o expoente n =7 independente


67/99

67

do número de Reynolds.

Vale ressaltar que a hipótese de velocidade uniforme na seção transversal éuma péssima aproximação no caso de regime laminar. Já para o regime

turbulento, é uma aproximação razoável, especialmente para altos Reynolds.

O lei 1/n aproxima bem o perfil de velocidade em quase todo o domínio, comexceção da região próximo à parede, não sendo possível estimar o atrito a partirdeste perfil.

Utiliza-se então dados empíricos para estimar o fator de atrito, o qual dependenão só do número de Reynolds, mas da rugosidade relativa da tubulação.

O fator de atrito nada mais é do que uma queda de pressão adimensional outensão cisalhante na parede adimensional

22

2

1

4

2

1m

s

m uu

D x

p

f

)/(Re, D f f

Na prática, com muita freqüência, especifica-se o expoente n =7


68/99

68

independente do número de Reynolds.

Vale ressaltar que a hipótese de velocidade uniforme na seçãotransversal é uma péssima aproximação no caso de regime laminar. Jápara o regime turbulento, é uma aproximação razoável, especialmentepara altos Reynolds.

O lei 1/n aproxima bem o perfil de velocidade em quase todo o

domínio, com exceção da região próximo à parede, não sendo possívelestimar o atrito a partir deste perfil.


69/99

69

A rugosidade relativadepende do material

da tubulação e dodiâmetro da mesma

O fator de atrito pode ser a aliado a partir do diagrama de Mood


70/99

70

O fator de atrito pode ser avaliado a partir do diagrama de Moody

A representação gráfica é conveniente e facilita a determinação do fator


71/99

71

de atrito, no entanto, quando desejamos utilizar de forma sistemática emum programa de computador por exemplo, é desejável, representar ainformação do diagrama de Moody por uma correlação.

A correlação mais utilizada é a fórmula de Colebrook

A correlação de Colebrook é uma equação transcendental, isto é, não épossível explicitar o valor do fator de atrito. É necessário resolver deforma iterativa. Miller recomenda como estimativa inicial para o processoiterativo, a seguinte expressão

Com essa inicialização, obtém-se um resultado dentro de 1% comapenas uma iteração.

2

9,0Re

74,5

7,3

/log25,0

D f o

5,05,0 Re

51,2

7,3

/log0,2

1

f

D

f

Dutos com seção transversal não


72/99

Dutos com seção transversal não

circular

Fator de atrito

72

22

2

1

2

14

m

h

m

s

u

D

x

p

u

f

l

Para escoamento laminar, f Re = C=cte

Circular: C=64

Triângulo isosceles: C= 52

Triângulo equilátero: C=53

Quadrado: C=57Retângulo com razão de aspecto de 3/1 a 5/1: 71

Anulus: 54 a 96 para d2/d11

Fator de


73/99

Fator deatrito

73

2

2

2

1

2

1

4

m

h

m

s

u

D

x

p

f

u

f

l

Para escoamento turbulento, com o uso do diâmetro hidráulico, acorrelação para duto circular ( curva 2) representa bem as outrasgeometrias, para escoamento até número de Mach=1.

Analisando curvas de iso-velocidades nestes dutos, observa-se altas


74/99

74

velocidades nas quinas.

O escoamento secundário continuamente transporta “momentum” do

centro para as quinas, gerando altas velocidades

Dutos rugosos


75/99

Dutos rugososFator de atrito para duto rugoso com areia:

Rugosidade relativa: ks/R

75

2

2

2

1

2

1

4

m

h

m

s

u

D x

p

f

u

f

l

Distribuição de velocidade


76/99

Distribuição de velocidade

Gradiente menos

acentuado na paredepara duto rugoso(expoente n=4 5)

76

n

R

r

u

u/1

max

1


77/99

Modelos de Turbulência


78/99

Modelos de Turbulência

Diferenciais Os modelos algébricos não são capazes de prever deforma adequada escoamentos mais complexos. Destaforma, surgiram os modelos de turbulência diferenciais

modelos de uma equação diferencialmodelos de duas equações diferenciais

modelos de n equações diferenciais

Além das flutuações das velocidades do escoamento,todas as outras grandezas relevantes também flutuam,dando origem a fluxo turbulento de grandezas escalares.

78

Modelos de Difusividade Turbulenta


79/99

Para avaliar o fluxo de difusão turbulento de uma grandeza escalar,também é possível fazer uma analogia com o fluxo de difusão molecular.

onde G t é a difusividade turbulenta.

Vamos supor que a equação de interesse é a equação da energia e quea grandeza escalar é a entalpia, =h . O fluxo difusivo de calor molecular

é

logo, o coeficiente de difusão é G /Pr , onde Pr é o número dePrandtl.

A difusividade turbulenta pode então ser definida como

onde Pr t é o número de Prandtl turbulento ou número de Schmidtturbulento

79

j j j x

h

x

h

x

T j

cp

k k q

Pr

t

t t Pr G

j xt ju

G ''

Modelos De Uma Equação


80/99

Como vimos uma das dificuldades do modelo decomprimento de mistura é a relação direta entre a

viscosidade turbulenta e o gradiente da velocidade. O modelo de uma equação utiliza outra velocidade

característica para avaliar a viscosidade turbulenta. Comovimos a intensidade da turbulência é uma boamedida da violência do escoamento, podendo ser utilizadopara avaliar a velocidade característica do turbilhão.

No caso geral, a intensidade da turbulência pode serrepresentada pela energia cinética turbulenta

2uu )(

2222i

21i wvu

2

1u

2

1u ''''/'

80

a viscosidade turbulenta pode então ser avaliada por


81/99

A equação acima foi proposta independentemente porKolmogorov ( 1942) e Prandtl (1945).

Neste modelo continua sendo necessário uma expressãoalgébrica para avaliar o comprimento de característica demistura .

Para avaliar a energia cinética, utiliza-se uma equação deconservação para , a qual, como vimos, é obtida a partir da

equação de Navier Stokes.

21t /

81

Tt D

D

j

i ji x

uuu


Termo de produção Pk =


82/99

Termo de produção P k Este termo representa a taxa de transferência de energia do escoamento

médio para o mecanismo de turbulência

Para os modelos baseados na hipótese de viscosidade turbulenta,utiliza-se o modelo já apresentado para a tensão de Reynolds, e o termo

de produção pode ser escrito como

Para fluidos incompressíveis, como o divergente da velocidade é nulo,

temos

82

j

i ji

x

uuu P

''

j

iij

k

k

i

j

j

it

x

u

x

u

x

u

x

u P

3

2

j

i

i

j

j

it

x

u

x

u

x

u P

Termo de difusão Dk TD


83/99

Termo de difusão D k

83

T D


i

j

j

iij

x

u

x

u s

2

1

Estes termos representam o transporte de por difusãolaminar e turbulenta

2 j

2 j

j xk

pu

x D

'''

Termo de difusão Dk


84/99


A primeira parcela representa o transporte difusivoturbulento de k, e pode ser aproximado utilizando o conceito

de difusividade turbulenta

onde s k é o número de Prandtl de energia cinéticaturbulenta, sendo um parâmetro empírico, em geral igual aum (s k = 1). O termo de difusão pode então ser escrito

84

j

t

j

j j x x

k p

u x

s

''

'

j

t

j

k x x

D

s


85/99


86/99

Equação de Conservação de Energia Cinética Turbulenta


87/99

q ç ç g Vimos que o trabalho de energia por unidade de volume devido à

dissipação viscosa é definido como ,logo trabalho deenergia por unidade de volume devido à dissipação viscosa de umturbilhão, ou dissipação da energia cinética é , então

onde

sendo c = 0,09 uma constante empírica.

Em geral, a escala de comprimento é considerada igual a ( = ),e as expressões já apresentadas podem ser utilizadas para avaliarestas grandezas, podendo-se alterar ligeiramente os valores dasconstantes empíricas.

87

s

23

2 j

2t

j

i

i

j

j

it j

j

c x

x

u

x

u

x

uu

xt

/

21t /

Modelos De Duas Equações


88/99

Estes modelos consistem na solução de duas equaçõesdiferenciais para avaliar a viscosidade turbulenta. Na

elaboração de um modelo de duas equações, faz sentidocontinuarmos utilizando a equação para a energia cinética , devido ao pouco empiricismo usado na sua obtenção.Como podemos utilizar qualquer combinação do tipo paraa segunda variável, várias propostas surgiram ao longo

dos anos: Freqüência de vórtices f ( f = ½ -1) (Kolmogorov, 1942)

Produto energia versus escala de comprimento (Rodi e Spalding, 1970)

Vorticidade w (w -2 ) (Wilcox, 1988)

Dissipação ( 3/2 -1 ) da energia cinética turbulenta (Harlow e Nakayama, 1968 e Launder e Spalding, 1974)

88

Modelo


89/99

O modelo é sem dúvida o modelo que tem recebido maior atençãodevido, principalmente, aos trabalhos de Jones e Spalding (1972,1973) e Launder e Spalding (1974). Neste modelo a velocidade

característica continua sendo V c 1/2 e o comprimento característicoé obtido em função da dissipação ( u 3 / u 3 / 3 /2 / .

A viscosidade turbulenta é ( t c 1/2 3/2 -1 ), ou melhor

Para avaliar a dissipação da energia cinética, deriva-se uma equaçãode conservação para , a qual também é obtida a partir da equação deNavier Stokes, lembrando que

2

t

k c

2

j

i

x

u

'

89

Equação de Conservação da Dissipação da EnergiaCi éti T b l t


90/99

Cinética Turbulenta

A equação de conservação para é obtida através dasseguintes etapas:

i. Subtrair a equação média de Navier-Stokes daequação de Navier-Stokes

ii. Derivar a equação resultante em relação a x jiii. Fazer um produto escalar com 2 u’ i / x j

iv. obter a média da equação resultante

90

Os termos da equação de transporte de podem ser agrupados detal forma a representarem mecanismos físicos distintos


91/99

tal forma a representarem mecanismos físicos distintos

onde D ; P e d representam, respectivamente, os mecanismosde difusão, produção e destruição de . As principais técnicas para amodelagem dos termos na equação de são a análise dimensional ea intuição física.


A difusão De de é aproximada usando o gradiente de :

onde s é o número de Prandtl de dissipação de energia cinéticaturbulenta, sendo um parâmetro empírico.

d P D ju xt j

j

t

j x x

D

s

91

Termo de Produção P


92/99

ç

A produção de P de deve ser balanceada pela produção P de ,para evitar um aumento ilimitado de . Assim

onde (/ ) é o inverso da escala de tempo.

Termo de destruição de , d

O termo de destruição d na equação de deve tender ao infinitoquando 0 , caso contrário pode se tornar negativo. Destaforma:

Finalmente, usando as equações anteriores, pode-se escrever asequações para o modelo padrão, lembrando que 3 /2 /

P P

2

22

j

i xk xud

'

d

92


93/99

O modelo é robusto, econômico e apresenta precisão razoável,

ã l l é it d i d t i l t i l


94/99

razão pela qual é muito usado industrialmente para simular

escoamentos. No entanto, existem diversas variantes em relação a

estas equações.

Pode-se simplificá-la ainda mais para escoamentos com altos números

de Reynolds.

A mesma deve ser modificada na presença de empuxo, e para

escoamentos compressíveis. Existem também algumas variaçõesdestas equações para tentar levar em conta aspectos anisotrópicos do

escoamento.

A equação de apresenta um maior número de aproximações e

diversas variações da mesma podem ser encontradas, quando busca-

se eliminar algumas das simplificações feitas anteriormente, como

considerar separadamente o efeito do gradiente de pressão, ou

introduzir o efeito da compressibilidade do escoamento.

t t ef

94

Modelos de Viscosidade Turbulenta - Região da Parede C i d l d i id d b l b i


95/99

Como vimos, os modelos de viscosidade turbulenta se baseiam nahipótese de Boussinesq, onde a tensão turbulenta é obtida por

e o escoamento pode ser determinado pela solução da equação médiade conservação dado por

A maioria dos modelos apresentados para a viscosidade turbulenta,seja de zero equação, uma ou duas equações diferenciais são válidoslonge da parede. Na região da parede emprega-se a Lei da Parede ,isto é a solução exata de u+ y+ válida para a região da parede.

Recomenda-se a utilização do perfil logaritmo para y + > 11. Para os modelos de uma ou duas equações diferenciais informações

adicionais relativas a energia cinética turbulenta e a taxa de dissipaçãode k na região da parede devem ser obtidas.

95

ijijk

k

t i

j

j

i

t ji x

u

x

u

x

u

uu

3

2

3

2

'' ji ji j

i

j j

i j

i uu x x

p

x

u

x x

uu

t

u

Energia Cinética Turbulenta k


96/99

Na região próxima a parede (y+> 11) a produção da energia cinética seiguala com a sua destruição, então

A produção pode ser obtida pela seguinte expressão

Como vimos, a viscosidade turbulenta e a dissipação podem ser obtidospor

Substituindo as relações acima na equação de equilíbrio entre produçãoe destruição de k , temos

Finalmente como vimos, a tensão turbulenta é aproximadamenteconstante e igual a tensão na parede, logo

96

P

t

2

y

u

y

uvu P

''

21t /

23

c

/

23

21

2

t

2

c/

/

21 /c

21 s c /

Concluímos então que como a tensão cisalhante é aproximadamentet t iã d d i i éti t b l t t bé


97/99

97

constante na região da parede, a energia cinética turbulenta tambémo é. Como o valor da tensão cisalhante na parede não é conhecido,uma condição de contorno conveniente para k é

Vale ressaltar aqui, que a relação obtida acima entre a tensãocisalhante e a energia cinética é muito conveniente, ao utilizar a lei daparede, pois a velocidade de atrito pode ser obtida em função daenergia cinética turbulenta

0 y

2141 s cuu //**

Dissipação da Energia Cinética Turbulenta k No caso dos modelos de duas equações precisamos obter uma


98/99

98

No caso dos modelos de duas equações, precisamos obter umaexpressão para a dissipação turbulenta na região da parede. Novamente,vamos considerar equilíbrio entre a produção e destruição de k .

onde

Neste caso a viscosidade turbulenta é

Substituindo a expressão para a produção e viscosidade turbulenta daequação de equilíbrio, temos

P 2

t y

u

y

u

y

uvu P

''

2

t

c

222

t y

uc

y

u

P

c 21 /

u

u

u

)/( *

*

cu 21 /


99/99

turbulence mec2345

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