transfer^encia de calor - engenharia mecânica · 2017. 11. 13. · 1 ˆ dp 1 dx g + @2u @y2 (1) i...

Transferencia de CalorConveccao Natural - Parte 1

Filipe Fernandes de [email protected]

Departamento de Engenharia de Producao e MecanicaFaculdade de Engenharia

Universidade Federal de Juiz de Fora

Engenharia Mecanica

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Introducao

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Introducao

I Na conveccao natural, o movimento do fluido e devido as forcas deempuxo no seu interior, enquanto na conveccao forcada omovimento e imposto externamente;

I O empuxo e devido a presenca combinada de um gradiente dedensidade no fluido e de uma forca gravitacional que e proporcionala densidade;

I Um gradiente de densidade pode aparecer devido a presenca de umgradiente de temperatura;

I A densidade de gases e de lıquidos depende da temperatura,geralmente diminuindo (devido a expansao do fluido) com o aumentoda temperatura (∂ρ/∂T < 0).

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Introducao

I A presenca de um gradiente de densidade em um fluido em umcampo gravitacional nao assegura a existencia de correntes deconveccao natural;

I Considere as condicoes em que o fluido esta confinado por duasgrandes placas horizontais a diferentes temperaturas (T 1 6= T 2);

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IntroducaoI No caso (a):

I A temperatura da placa inferior e maior do que a temperatura daplaca superior, e a densidade diminui no sentido da forcagravitacional;

I Se a diferenca de temperaturas e superior a um valor crıtico, ascondicoes sao instaveis e as forcas de empuxo sao capazes de superara influencia retardadora das forcas viscosas;

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IntroducaoI A forca gravitacional no fluido mais denso nas camadas superiores

excede aquela que atua no fluido mais leve nas camadas inferiores eum determinado padrao de circulacao ira existir;

I O fluido mais pesado ira descer, sendo aquecido durante o processo,enquanto o fluido mais leve ira subir, resfriando-se a medida que sedesloca;

I A transferencia de calor ocorre por conveccao natural ou livre dasuperfıcie inferior para a superfıcie superior.

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Introducao

I No caso (b):I T1 > T2, e a densidade nao mais diminui no sentido da forca

gravitacional;I As condicoes agora sao estaveis e nao ha movimento global no fluido;I A transferencia de calor (do topo para a base) se da por conducao.

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IntroducaoI Escoamentos de conveccao natural podem ser classificados de

acordo com o fato de estarem ou nao limitados por uma superfıcie;I Na ausencia de uma superfıcie adjacente, podem ocorrer

escoamentos de fronteiras livres na forma de uma pluma ou de umjato livre.

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IntroducaoI Uma pluma esta associada a ascensao de um fluido originada em

um objeto aquecido nele submerso;I Embora a largura da pluma aumente com a distancia do fio, a

pluma tende a se dissipar como resultado dos efeitos viscosos e deuma reducao na forca de empuxo causada pelo resfriamento dofluido na pluma;

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IntroducaoI A diferenca entre uma pluma e um jato livre e feita geralmente com

base na velocidade inicial do fluido;I Essa velocidade e zero para a pluma, mas diferente de zero no jato

livre.

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IntroducaoI O outro tipo de conveccao natural e a limitada por uma superfıcie,

o qual um exemplo classico desse tipo de escoamento e odesenvolvimento de uma camada-limite em uma placa verticalaquecida;

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IntroducaoI A placa encontra-se imersa em um fluido extenso quiescente e, com

Ts > T∞, o fluido proximo a placa e menos denso do que o fluidodela afastado;

I Consequentemente, as forcas de empuxo induzem o aparecimento deuma camada-limite de conveccao natural na qual o fluido aquecidoascende verticalmente, arrastando fluido da regiao quiescente;

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IntroducaoI A distribuicao de velocidades resultante e diferente da associada as

camadas-limite de conveccao forcada. Em particular, a velocidade ezero quando y →∞, bem como em y = 0;

I Uma camada-limite de conveccao natural tambem se desenvolve seTs < T∞.

I Nesse caso, contudo, o movimento do fluido e descendente.

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As Equacoes que Governam Camadas-LimiteLaminares

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As Equacoes que Governam Camadas-Limite Laminares

I Como para a conveccao forcada, as equacoes que descrevem astransferencias de momento e de energia na conveccao natural saooriginadas nos princıpios de conservacao correspondentes;

I Os processos especıficos sao muito semelhantes aos dominantes naconveccao forcada;

I As forcas inerciais e viscosas permanecem importantes, assim comoas transferencias de energia por adveccao e difusao.

I A diferenca entre os dois escoamentos e que, na conveccao natural,as forcas de empuxo desempenham um papel importante.

I Sao essas forcas que, na realidade, impulsionam o escoamento.

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As Equacoes que Governam Camadas-Limite LaminaresI Considere um escoamento de camada-limite laminar que tenha

como forca motriz forcas de empuxo:I Admita condicoes bidimensionais, em regime estacionario e com

propriedades constantes, nas quais a forca da gravidade atua nosentido negativo da direcao x ;

I Considere o fluido incompressıvel, exceto efeito da densidade variavelque origina a forca de empuxo.

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I Com as simplificacoes anteriores, a equacao do momento na direcaox e da seguinte forma:

u∂u

∂x+ v

∂u

∂y= −1

ρ

dp∞dx− g + ν

∂2u

∂y 2(1)

I Onde dp∞/dx e o gradiente de pressao na corrente livre na regiaoquiescente fora da camada-limite;

I Nessa regiao, u = 0 e a equacao 1 se reduz a:

1

ρ

dp∞dx

= −ρ∞g (2)

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I Substituindo a equacao 2 na equacao 1, obtem-se a expressao aseguir:

u∂u

∂x+ v

∂u

∂y= g

∆ρ

ρ+ ν

∂2u

∂y 2(3)

I Onde ∆ρ = ρ∞ − ρ;I A primeira parcela do lado direito da equacao 3 e a forca de empuxo

por unidade de massa e o escoamento e gerado em funcao dadensidade ρ ser variavel.

I Se a variacao da densidade for somente devido a variacao detemperatura, essa parcela pode ser relacionada a uma propriedadedo fluido conhecida como o coeficiente de expansao volumetricatermica:

β = −1

ρ

(∂ρ

∂T

)p

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I Essa propriedade termodinamica do fluido fornece uma medida davariacao da densidade em resposta a uma mudanca na temperatura,a pressao constante;

I β pode ser aproximado por:

β ≈ −1

ρ

∆ρ

∆T= −1

ρ

ρ∞ − ρT∞− T

(5)

ρ∞ − ρρ

≈ β(T − T∞) (6)

I Essa simplificacao e conhecida como aproximacao de Boussinesq.

I Utilizando a aproximacao de Boussinesq, a equacao 3 se torna:

u∂u

∂x+ v

∂u

∂y= gβ(T − T∞) + ν

∂2u

∂y 2(7)

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I Como os efeitos do empuxo estao restritos a equacao do momento,as equacoes de conservacao de massa e de energia permanecem semalteracoes em relacao a conveccao forcada;

I O conjunto de equacoes que governam a conveccao natural e, entao,

∂u

∂x+∂u

∂y= 0 (8)

u∂u

∂x+ v

∂u

∂y= gβ(T − T∞) + ν

∂2u

∂y 2(9)

u∂T

∂x+ v

∂T

∂y= α

∂2T

∂y 2(10)

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I Nao e mais possıvel que o problema fluidodinamico seja desacopladoe resolvido sem o problema termico;

I A solucao da equacao do momento depende do conhecimento de T ,e assim da solucao da equacao da energia;

I Consequentemente, as equacoes 8, 12 e 13 sao fortemente acopladase devem ser resolvidas simultaneamente;

I Os efeitos da conveccao natural dependem do coeficiente deexpansao β;

I A forma pela qual β e obtido depende do fluido;

I Para um gas ideal ρ = p/RT e,

β = −1

ρ

(∂ρ

∂T

)p

=1

ρ

p

RT 2=

1

T(11)

I Para lıquidos e gases nao ideais, β deve ser obtido em tabelas depropriedades apropriadas.

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Consideracoes de Similaridade

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I Agora vamos analisar os parametros adimensionais que governam oescoamento vinculado a conveccao natural e a transferencia de calorem uma placa vertical;

I Como para a conveccao forcada, os parametros podem ser obtidospela adimensionalizacao das equacoes que governam o processo.Definindo,

x∗ ≡ x

Ly∗ ≡ y

L

u∗ ≡ u

u0v∗ ≡ v

u0T ∗ ≡ T − T∞

Ts − T∞

I Sendo L um comprimento caracterıstico e u0 uma velocidade dereferencia.

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I As equacoes do momento na direcao x e da energia (equacoes 12 e13) se reduzem a:

u∗∂u∗

∂x∗+ v∗

∂u∗

∂y∗=

gβ(Ts − T∞)L

u20

T ∗ +1

ReL

∂2u∗

∂y∗2(12)

u∗∂T ∗

∂x∗+ v∗

∂T ∗

∂y∗=

1

ReLPr

∂2T ∗

∂y∗2(13)

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I A velocidade de referencia u0 pode ser especificada para simplificara forma da equacao;

I E conveniente escolher u20 = gβ(Ts − T∞)L, de maneira que o

termo multiplicando T∗ se torna unitario;

I Entao, ReL se torna [gβ(Ts − T∞)L3/ν2]1/2;

I Costuma-se definir o numero de Grashof GrL como o quadradodeste numero de Reynolds:

GrL =gβ(Ts − T∞)L3

ν2(14)

I Gr e uma medida da razao entre a forca de empuxo e as forcasviscosas que atuam no fluido.

I O numero de Grashof desempenha na conveccao natural o mesmopapel que o numero de Reynolds desempenha na conveccao forcada;

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I Devido a importancia do numero de Grashof, as correlacoes para atransferencia de calor serao da forma NuL = f (GrL,Pr) naconveccao natural.

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