Bruno TorrsaniCentre de Physique Thorique de Marseille (CNRS)

Analyse continue par ondelettesPrface de Yves Meyer, membre de lInstitut

S A V O I R S

A C T U E L S Interditions / CNRS ditions

O 1995, InterEditions, 5, rue Laromiguire, 75005 Paris et CNRS ditions, 20/22, rue Saint-Amand, 75015 Paris.

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SOMMAIRE

Prface IntroductionIRfrences .

x i

.............................

1 69

II

Dcomposition temps-frquence . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lanalyse de Fourier court terme . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1 Les gaborettes en dimension 1 . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Un exemple simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Le cas multidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . III Lanalyse par ondelettes en dimension 1 . . . . . . . . . . . . . 111.1 Dcompositions continues en ondelettes . . . . . . . . . . 111.2 Quelques exemples simples . . . . . . . . . . . . . . . . . IV Ondelettes multidimensionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.l Ondelettes radiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.2 Ondelettes engendres par les translations, rotations et dilatations de lR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.3 Retour sur lespace temps-frquence . . . . . . . . . . . V Noyauxreproduisants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI Quelques remarques et complments . . . . . . . . . . . . . . . VI .1 Analyses multirsolutions infinitsimales . . . . . . . . . . VI.2 Quelques exemples singuliers . . . . . . . . . . . . . . . . VI1 Commentaires et rfrences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI11 Complment A : Rotation dans l . . . . . . . . . . . . . . . R VIII.l Les angles dEuler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V111.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Analyse continue par ondelettes et par gaborettes

I II

10 11 11 15 17 17 17 24 25 2526 29 30 33 33 34 36 38 38 40

vi

Sommaire

III Quelques exemples et illustrations I Le plan temps-frquence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II Aspect temps-chelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .III IV V Aspect temps-frquence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exemples bidimensionnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Commentaires et rfrences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41 41 43 46 51 5659 59 59 64 66 66 69 71 71 77 78

IV Ondelettes et rgularit globale et locale des fonctions I Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .II III IV

V

VI

Singularit et contours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Convergence ponctuelle de la formule de reconstruction . . Rgularit holderienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.l Rgularit globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.2 Rgularit locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Auto-similarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V.l Mesures fractales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V.2 Fonctions fractales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Commentaires et rfrences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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VI II

Applications : Approximations asymptotiques et analyse de signaux moduls en amplitude et en frquence 81Signal analytique et transformation de Hilbert . . . . . . . . . Analyse par ondelettes de lignes spectrales . . . . . . . . . . . . 11.1 Coefficients dondelettes de lignes spectrales . . . . . . . . 11.2 Caractrisation de lignes spectrales . . . . . . . . . . . . . Signaux moduls en amplitude et en frquence . . . . . . . . . 111.1 Estimation des coefficients dondelettes . . . . . . . . . . . 111.2 Larte de la transforme en ondelettes . . . . . . . . . . . 111.3 Les courbes-ondelette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4 Extraction de larte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.5 Une implmentation possible . . . . . . . . . . . . . . . . 111.6 Commentaires, dveloppements . . . . . . . . . . . . . . . Le cas bidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.l Analyse de lignes spectrales . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.2 Frquences locales bidimensionnelles et texture . . . . . . IV.3 Illustrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Commentaires et rfrences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Complment B : Approximations asymptotiques et phase stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI.l Dveloppements asymptotiques : un exemple simple . . VI.2 Mthode de la phase stationnaire : calcul des premiers termes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .82 85 85 88 92 92 93 94 95 97 99 105 105 106 108 108

III

IV

V

VI

112 112114

Sommaire

vii

VI.3

Mthode de la phase stationnaire : qualit de lapproximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

VI Ondelettes discrtes. repre dondelettes et de gaborettes 119Thorie lmentaire des repres dans un espace de Hilbert . . . Repres de gaborettes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III Le phnomne de Balian-Low . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.1 Le principe dincertitude de Heisenberg . . . . . . . . . . 111.2 Le thorme de Balian-Low . . . . . . . . . . . . . . . . . IV Repre dondelettes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V Repres continus et gnralisation . . . . . . . . . . . . . . . . V.l Repres continus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V.2 Repres discrets dondelettes interpolantes . . . . . . . . . VI Ondelettes presque continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI1 Commentaires et rfrences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I II

119 122 126 126 127 129

132 132134 134 136

VI1 tats cohrents et reprsentations de carr intgrable de groupes localement compacts et despaces homognes associs139 I Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139II

Reprsentations de carrs intgrables et tats cohrents . . . . 140 11.1 Coefficients de Schur et relations dorthogonalit . . . . . 141 11.2 Etats cohrents et transformation associe . . . . . . . . . 143 11.3 Retour aux reprsentations temps-frquence . . . . . . . . 144 11.4 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 III Carr intgrabilit, modulo un sous-groupe et ondelettes associes151 111.1 Retour sur le groupe de Weyl-Heisenberg . . . . . . . . . 151 111.2 Ondelettes indexes par un espace homogne . . . . . . . 151 111.3 Atomes temps-frquence : le groupe de Weyl-Heisenberg affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 IV Espaces de phases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 IV.l Thorie de Kirillov et espace des phases . . . . . . . . . . 157 IV.2 Retour sur les exemples prcdents . . . . . . . . . . . . . 158 IV.3 Les ondelettes multidimensionnelles . . . . . . . . . . . . . 159 IV.4 Les gaborettes sur la sphre . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 V Commentaires et rfrences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 VI ComplmentC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 VI.l Quelques calculs despace des phases . . . . . . . . . . . . 166 VI.2 Le groupe euclidien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 VI1 ComplmentD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 VII.l Ondelettes sur les sphres . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 VII.2 Identit approche sur la sphre . . . . . . . . . . . . . . 175 VII.3 Le schma bilinaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

viii

Sommaire

VI11

Algorithmes rapides de calcul de la transforme en ondelettes 179Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ondelettes sur une grille dyadique . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1 Le thorme dchantillonnage . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Algorithmes pyramidaux en traitement dimages . . . . . 11.3 Codage en sous-bandes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4 Transforme en ondelettes sur grille dyadique . . . . . . . 11.5 Quelques exemples et commentaires . . . . . . . . . . . . Ondelettes sur grille rgulire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.1 Utilisation de QMFs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2 Pseudo-QMFs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3 Redondance en chelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Le cas bidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.l Produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.2 Algorithmes approchs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Commentaires et rfrences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Complment E : Filtres pour ondelettes splines et LOG . . . . VI.l Splines de base et ondelettes de Battle-Lemari . . . . . . VI.2 Filtres approchs pour ondelettes LOG . . . . . . . . . . . 179 181 181 184 187

I II

III

IV

V VI

189 191 193 194 195 201 203 203 205 207 208 208 212

Annexe A Elments danalyse I Notionsdebase . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Continuit, diffrentiabilit, rgularitII

III

1.2 Mesurabilit, intgrabilit Espaces fonctionnels et distributions . . . . . . . . . . . . . . . 11.1 Les espaces LP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Lespace L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Quelques ingalits utiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4 Identit approche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.5 Fonctions de test et distributions . . . . . . . . . . . . . . Analyse de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.1 Transformation de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2 Quelques proprits (aide-mmoire) . . . . . . . . . . . . . 111.3 Transformation de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . .

........... ..................

..........

217217 217 219 220 220 220 221 222 222 223 223 225 225

Annexe B Elments de thorie des groupes I Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Notion de groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

227227 227 227 230 230 231

II IIIIV

1.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Groupes et algbres de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mesure de Haar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Reprsentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Sommaire

ix 231 232 233 233 233 234 235

V

VI

IV.l Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.3 Reprsentation rgulire . . . . . . . . . . . . . . . . . Reprsentations induites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V.l Espaces homognes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V.2 Reprsentations induites . . . . . . . . . . . . . . . . . Rfrences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Index

237

PRFACE

Quand Bruno Torrsani ma pri de prfacer cet ouvrage, jai aussitt laiss de ct ce que je faisais et, oubliant le temps qui passe, me suis abandonn la lecture. Bien videmment je savais que mon plaisir serait la hauteur de mon admiration pour les travaux de B. Torrsani et de ses collaborateurs qui incluent notre matre Alex Grossmann. Mon attente na pas t due et ce livre est beau, car il est le reflet dune profonde conviction scientifique que je vais tenter dexpliquer et de justifier dans les lignes qui suivent. Les ondelettes sont dabord apparues (1981) dans larticle fondamental dAlex Grossmann et Jean Morlet comme des tats cohrents au sens de la mcanique quantique. Ce point de vue est gomtrique par opposition une approche algorithmique qui prit en 1985 le devant de la scne la suite des travaux de S. Mallat et I. Daubechies. Pour insister davantage, disons que lapproche algorithmique repose sur lapproximation de lespace gomtrique ambiant par une suite emboite de rseaux (ou grilles) de plus en plus denses. Ces rseaux, une fois choisis, imposent une pnible rigidit gomtrique et vont, par exemple, empcher deffectuer des translations ou des rotations arbitraires. Voil un srieux handicap si lon compare la transforme en ondelettes orthogonale la transforme de Fourier qui est compatible avec laction du groupe euclidien. Mais par ailleurs, on ne saurait faire danalyse numrique ou de calcul scientifique (mthodes multigrilles, etc.) sans utiliser ces grilles de plus en plus fines et lusage de la FFT (fast Fourier transform ou transforme de Fourier rapide) impose aussi de choisir de telles grilles. Ce divorce entre la libert de manuvre dont on souhaite disposer dans lanalyse par ondelettes et les contraintes imposes par lutilisation dalgorithmes efficaces, du type FFT, a t lune des tensions les plus fcondes et cratrices de la thorie des ondelettes depuis les origines. I1 est clair que louvrage de B. Torrsani avive ces tensions et sera donc la source de nouveaux progrs. Un des points forts de cet ouvrage est donc laccent mis sur la libert de mouvement fournie par les diverses actions de groupe (translations, dilatations et rotations) que lon peut envisager dans les constructions dondelettes. On ne peut cependant bouger dans tous les sens et si lon dsire le faire, il fau-

xii

Prface

dra relier ces trois types de transformations gomtriques dans une recherche qui sapparente celle de la meilleure base dans les algorithmes de Coifman et Wickerhauser, Cette tude, qui navait pas t prvue par les pres fondateurs, est un des points trs originaux du beau livre de B. Torrsani. Un second point fort est la description prcise et exacte du remarquable algorithme de dtection de la frquence instantane. Comme chacun sait, la qute de la frquence instantane est lune des popes majeures du traitement du signal et les techniques utilises classiquement taient bases sur la transformation de Wigner-Ville et ses gnralisations. Une des plus belles ralisations scientifiques de lquipe ondelettes de Marseille a t la dcouvert e dun algorithme temps-frquence bas sur la transformation en ondelettes. La prsentation de cet algorithme par B. Torrsani est la meilleure dont nous disposions aujourdhui. Une troisime nouveaut, prsente par B. Torrsani, est la construction sur la sphre donde1ettes de Gabor qui soient compatibles avec linvariance par rotation. Un dernier chapitre traite de la possibilit dutiliser des QMFs (quadrature mirror filters) pour effectuer des calculs approchs mais rapides sur des ondelettes non orthogonales. Louvrage que nous offre B. Torrsani complte Ten Lectures on Wavelets, crit par I. Daubechies, et je crois que ces deux traits feront bon mnage sur le bureau des scientifiques qui utilisent les ondelettes. Le style de B. Torrsani est remarquablement clair et efficace et je suis heureux quun large public scientifique puisse enfin disposer de cet excellent cours avanc sur les ondelettes et leurs applications. Yves Meyer, membre de lInstitut

Chapitre I

INTRODUCTION

Lanalyse par ondelettes est apparue sous ses formes modernes, au dbut des annes 80, dans un remarquable article dAlex Grossmann et Jean Morlet. Lun des points essentiels quelle nous enseigne est quun objet mathmatique (quil sagisse dune fonction, dun signal, dun oprateur,...) peut tre reprsent de multiples faons, chacune de ces reprsentations permettant de mettre laccent sur certaines caractristiques de lobjet tudi. Un exemple significatif est fourni par le signal de parole, dont des reprsentations temps-frquence diffrentes (par exemple une reprsentation en ondelettes et une reprsentation de Gabor bande troite) conduisent des interprtations diffrentes. I1 est amusant de constater quil en va de mme pour lanalyse par ondelettes elle-mme : on peut la prsenter de divers points de vue, qui dpendent autant de lapplication vise que de la culture scientifique de lutilisateur. En effet, quelle que soit lapproche choisie, on peut toujours y retrouver une prhistoire des ondelettes, au cours de laquelle des techniques trs semblables aux ondelettes (et qui souvent avaient tout des ondelettes sauf le nom) taient couramment utilises. On peut se livrer un essai de classification des prhistoires des ondelettes et de leurs prolongements contemporains. Cette classification est bien entendu arbitraire (les quatre classes ci-dessous ont une intersection non vide - et il nest pas certain que leur runion recouvre lensemble du sujet), mais elle permet de dcrire les tendances gnrales.0

Approches temps-chelle : I1 sagit dapproches trouvant leur origine dans des problmes de caractrisation despaces fonctionnels et doprateurs. Certaines proprits de rgularit des fonctions se trouvent mises en vidence lorsque lon tudie le prolongement harmonique des fonctions en question (voir par exemple [13]), cest--dire une autre reprsentation. Lun des outils de base dans ce domaine est lidentit de Calderon [ 5 ] , dont la formule de reprsentation en ondelettes peut tre vue comme une paraphrase plus gomtrique. Lune des consquences a t la construction de bases orthonormes dondelettes par J.O. Stromberg [31] puis Y . Meyer et ses collaborateurs (voir [23]), qui a abouti au concept danalyse multirsolution [21], puis diverses gnralisations (bases dondelettes

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Introduction

sur un intervalle ou priodiques, ondelettes multidimensionnelles associes des dilatations gnralises, bases trigonomtriques locales,...).0

Approches algorithmiques : On peut regrouper dans cette catgorie les travaux qui font suite aux travaux de Marr [22] (bien que celui-ci ne se soit que trs peu intress aux aspects purement algorithmiques) et ses collaborateurs (ou mme certains prcurseurs, puisquil semble que certains physiologistes de la vision aient eu, la fin du sicle dernier, de semblables proccupations) sur la vision par ordinateur et le traitement dimages. Laccent est mis ici sur les aspects algorithmiques. Cela fait apparatre la richesse algorithmique des ondelettes, bases sur des oprations de dilatation et translation trs naturelles, y compris dans le cas de signaux dfinis sur un rseau (ce qui est le cas en pratique). Les rfrences historiques sont les articles fameux de Burt et Adelson sur le Laplacien Pyramidal [4], ainsi que les travaux dEsteban et Galand [ i l ] , puis de Smith et Barnwell [30] qui ont conduit la construction des filtres miroir en quadrature (QMF) et rejoignent la thorie des analyses multirsolution, puis plus rcemment aux algorithmes adaptatifs de dcomposition en paquets dondelettes de lquipe de Yale (voir par exemple [33]). Une avance plus rcente concerne lutilisation systmatique des bases dondelettes en analyse numrique [3], base sur le fait quune large classe doprateurs peuvent tre reprsents de faon conomique ( i e . par des matrices creuses) dans des bases dondclettes. Approclics temps-frquence : On se place ici dlibrment dans le contexte du traitement du signal. Suite aux travaux fondamentaux de J. Ville [32] sur les reprsentations temps-frquence des signaux, le sujet est presque devenu une discipline scientifique part entire. De nombreux auteurs se sont particulirement intresss au problme de dfinition et destimation de la frquence instantane dans les signaux (voir ce sujet le livre de P. Flandrin [12]). Les ondelettes apparaissent dans ce contexte comme une reprsentation temps-frquence parmi beaucoup dautres, qui a cependant pour elle une grande souplesse dutilisation. Le problme se pose maintenant des reprsentations temps-frquence adaptatives : tant donne une famille de reprsentations temps-frquence, comment choisir celle qui dcrira optimalement un signal donn ? I1 sagit de lun des dfis les plus stimulants lheure actuelle. Approches gomtriques : Bien que ces approches soient assez similaires aux prcdentes, lorigine et le langage sont ici ceux de la mcanique quantique et de la thorie des groupes (voir par exemple larticle de base [16], ou encore [27], dans lequel le lien avec les tats cohrents de la mcanique quantique est explicit). Laccent est mis sur les proprits de symtrie des reprsentations en ondelettes, ce qui permet de donner

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Introduction

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une description unifie dune famille de reprsentations temps-frquence incluant, outre les ondelettes dans diverses versions, les reprsentations de Fourier fentre (voir par exemple [29]) ainsi que de nombreuses gnralisations. En revanche, on ne sait toujours pas comment insrer dans ce cadre les analyses multirsolution ( lexception de quelques cas trop spcifiques), qui restent lune des pierres angulaires de ldifice ondelettes. Des descriptions axes sur divers points de vue (la plupart du temps il sagit des deux premiers) peuvent tre trouves par exemple dans [6], [lo], [12], [17], [23], [29] et [33]. En revanche, il nexiste ce jour que trs peu de textes de rference sur les dcompositions continues en ondelettes. Le prsent ouvrage ne prtend pas rendre compte de laspect multiforme des ondelettes que nous venons dvoquer (nous renvoyons [24] pour une description globale de certains aspects ou aux compilations darticles de revue 121, [7], [is],1201, [28]). I1 est plus spcifiquement consacr aux dcompositions continues en ondelettes ainsi qu certaines de leurs applications en traitement du signal. On insistera donc principalement sur les approches tempsfrquence et gomtrique, ainsi que sur les mthodes et algorithmes bass sur ces aspects. Les trois premiers chapitres sont consacrs des gnralits concernant les reprsentations temps-frquence et temps-chelle et, en particulier, sur les transformations continues en ondelettes et de Gabor. Aprs cette introduction, le chapitre II dcrit un certain nombre de reprsentations de type tempsfrquence ou temps-chelle, ainsi que certaines de leurs proprits caractristiques, notamment la souplesse des reprsentations continues, qui les rend adaptables de nombreuses situations spcifiques. Le chapitre III est, quant lui, consacr un certain nombre dexemples acadmiques comments et destins familiariser le lecteur avec les images de transforme en ondelettes. Les chapitres IV et V illustrent les deux aspects complmentaires des reprsentations en ondelettes, savoir les aspects temps-chelle et temps-frquence. Au chapitre IV on utilise les ondelettes pour effectuer une analyse locale des fonctions et des signaux, ce qui est illustr par les problmes de caractrisation de singularits ponctuelles des fonctions et mis en parallle avec les problmes de dtection de contours dans les images, et de caractrisation dauto-similarit dans les signaux, suivant entre autres les travaux du groupe de Bordeaux (voir par exemple [l]). chapitre V est consacr aux problmes de caractrisation Le de signaux par des amplitudes et frquences locales, donc des aspects tempsfrquence. On y dcrit les mthodes, mises au point par le groupe de Marseille, pour la mesure de frquences locales dans les signaux et les images au moyen des transformations continues en ondelettes ou de Gabor. Les trois derniers chapitres sont consacrs des points prcis de lanalyse continue par ondelettes. Le chapitre VI traite la stabilit des reprsentations

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Introduction

continues par rapport la discrtisation, suivant la voie trace par I. Daubechies [9]. chapitre VI1 consiste en une relecture des dcompositions dcrites au Le chapitre II selon un point de vue plus gomtrique ; on y justifie en particulier le terme temps-frquence sous un angle gomtrique et algbrique, en montrant comment les reprsentations temps-frquence sont naturellement associes un espace des phases construit par la thorie des groupes. Enfin, le chapitre VI11 est consacr aux algorithmes de calcul adapts aux diffrentes versions de la transformation en ondelettes envisages dans ce livre. On y montre notamment comment les algorithmes rapides de transforme en ondelettes discrtes sont obtenus naturellement partir des algorithmes pyramidaux d u traitement dimage et comment ils peuvent tre adapts la situation plus gnrale de la transformation (presque) continue en ondelettes. Ces trois chapitres peuvent tre lus indpendamment les uns des autres. Quelques aspects plus spcifiques encore (comme par exemple quelques calculs gomtriques sur les groupes de rotations ou le groupe euclidien ou des coefficients de filtres pour algorithmes pyramidaux) ne sont abords que sous forme de complments, situs en fin de chapitre, pour ne pas alourdir le corps du texte. Pour complter le texte, des annexes rsumant quelques bases mathmatiques ncessaires ont t placs la fin de louvrage. Les analyses multirsolution et les bases dondelettes napparaissent explicitement aucun moment dans le texte, du moins sous leur forme classique. I1 sagit l dun choix dlibr, dans la mesure o il existe dj dexcellents ouvrages faisant autorit sur le sujet (entre autres [6],[lo] et (231). En revanche, la notion danalyse multirsolution apparat en filigrane de nombreuses reprises, comme par exemple au chapitre VI11 (consacr aux algorithmes de calcul de transforme en ondelettes), o elle est naturellement associe aux algorithmes pyramidaux, ou la fin du second chapitre dans lequel est bauch le passage des ondelettes continues aux ondelettes discrtes. Le lecteur dsireux dexphrimenter les techniques dcrites dans ce livre peut utiliser un certain nombre de logiciels du domaine public, dposs sur quelques sites du rseau Internet (il existe aussi quelques logiciels commerciaux). Nous donnons ici une liste (qui est loin dtre exhaustive) de tels sites :e

cs.nyu.edu : Dans le rpertoire /pub/wave/software se trouve une version de logiciels dvelopps par le dpartement computer science du Courant Institute de New York. On y trouve en particulier des outils de transformation en ondelettes unidimensionnelle (fichier wavei. tar.2) et bidimensionnelle (fichier waved. tar.2), ainsi que de dcomposition tempsfrquence adaptative (fichier mpp.tar.2) ou dautres outils relis. Dans tous les cas, ce sont des logiciels dvelopps en langage C. pascal.math.yale.edu : Le rpertoire /pub/software contient des logiciels

e

Introduction

5

dvelopps par le dpartement de Mathmatiques de Yale University, et fonds sur les dcompositions temps-frquence et temps-chelle adaptatives, les bases de paquets dondelettes et les bases trigonomtriques locales, ainsi que des outils de dbruitage de signaux bass sur ces mthodes.e

maxweii.math.scaroJina.edu : Le rpertoire /pub/wavelets/prograrnscontient un certain nombre doutils lis aux dcompositions en ondelettes (dvelopps en langage C).stats.stanford.edu : Le rpertoire /pub/waveiab contient des outils (utilisant lenvironnement MATLAB) de dbruitage de signaux par transformation en ondelettes. cpt.univ-mrs.fr : Un logiciel (bas sur lenvironnement Spius), mettant en uvre les techniques dcrites au chapitre V de ce volume, ainsi que des algorithmes relis, sera prochainement disponible sur ce site.

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Dans tous les cas, ces logiciels sont disponibles par la procdure UNIX ftp usuelle : composer ftp site ; la question user, rpondre anonymous, et la question password, donner sa propre adresse Internet. Utiliser ensuite cd rep pour se positionner dans le rpertoire voulu (rep en loccurrence), puis get nomfichier pour transfrer le fichier voulu (dont le nom est ici nomfichier). Cet ouvrage se fonde sur des cours que jai donns au DEA Physique des Particules, Physique Mathmatique et Modlisation des universits dAixMarseille I et II, de Nice, Toulon-Var et Toulouse entre 1991 et 1994, ainsi qu lcole dt Ondelettes et Applications organise par lENSICA, Toulouse (t 1992). Avant et durant sa rdaction, jai bnfici dinnombrables discussions avec, en particulier, A. Grossmann, Ph. Tchamitchian, M.A. Muschietti, G. Beylkin, R. Carmona, B. Escudi, K. Flornes, P. Ponenti, V. Wickerhauser, M. Holschneider et F. Plantevin, que je tiens remercier ici. J e suis aussi particulirement reconnaissant envers Y . Meyer pour ses conseils, ses encouragements toujours chaleureux et ses critiques constructives, mais aussi pour avoir relu en dtail et corrig une version prliminaire de ce texte et accept den crire la prface. J e tiens adresser mes remerciements C. Fabre, directeur de la collection, pour ses nombreuses remarques. J e tiens enfin remercier S. Zhong, qui a aimablement produit les figures IV.l-IV.3 du chapitre IV, ainsi que M. Kunt, diteur de la revue Signal PTOcessing pour lautorisation de reproduire les figures 8, 9 et 10 du chapitre V (extraites de larticle de C. Gonnet et B. Torresani, Local frequency analysis with two-dimensional wavelet transform, Signal Processing, 37 (1994) 389-404).

6

Introduction

RFRENCESE. Bacry, A. Arneodo, J.F. Muzy, Singularity Spectrum of Fractal Signals from Wavelet Analysis : Exact Results, J . Stat. Phys., 70, (1993) p. 635. J. Benedetto, M. Frazier Ed., Wavelets : Mathematics and Applications, CRC Press (1993). G. Beylkin, R. R. Coifman, V. Rokhlin, Fast Wavelet Transforms and Numerical Algorithms I, C o m m . Pure and A p p l . Math., 44 (1991) p. 141-183. P. Burt, E. Adelson, The Laplacian Pyramid as a Compact Image Coder, I E E E Trans. o n Comm., 31 (1983) p. 482-540. A. Calderon, Intermediate Spaces and Interpolation, the Complex Method, Studia Math., 24 (1964) 113. C. Chui, An introduction to Wavelets, Academic Press, New York (1992). C. Chui Ed., Wavelets : a Tutorial an Theory and Applications, Academic Press, New York (1992). J.M. Combes, A. Grossmann, Ph. Tchamitchian Eds., Wavelets,Time-Frequency Methods and Phase Space, I P T I , Springer (1987). I. Daubechies,The Wavelet Transform, Time-Frequency Localisation and Signal Analysis, I E E E Trans. Inf. T h . 36 (1990) p. 961-1005. [lo] I. Daubechies,Ten Lectures on Wavelets, S I A M - C B M S (1992). [ll]D. Esteban, G. Galand, Application of Quadrature Mirror Filters to Split Band Voice Coding Schemes, PTOC.Int. Conf. A S S P (1977) p. 191-195. [12] P. Flandrin, Temps-Frquence, Herms (1993). [13] M. Frazier, B. Jawerth, G. Weiss, Littlewood-Paley Theory and the Study of Function Spaces, C B M S - A M S regional conferences series, S I A M [14] D. Gabor, Theory of Communication, J . Inst. Etec. Eng. 903 (1946), p. 429. [15] A. Grossmann, J. Morlet, Decomposition of Hardy Functions into Square Integrable Wavelets of Constant Shape, S I A M J . Math. An. 15, (1984) p. 723. [16] A. Grossmann, J. Morlet, T. Paul, Transforms Associated with Square Integrable Group Representations I, J. Math. Phys., 27 (1985) p. 2473 ; Transforms Associated with Square Integrable Group Representations II, A n n . Inst. H. Poincar, 45 (1986) p. 293. [17] M. Holschneider, Wavelets : a n Analysis Tool, Oxford University Press (1994). [18] J.R. Klauder, B.S. Skagerstam, Coherent States, World Scientific (1985). [19] T. Koornwinder Ed., Wavelets, a n Elementary Treatment of Theory and Applications, Series in Approximations and Decompositions 1, World Scientific (1993). [20] P. G. Lemari Ed., Les Ondelettes en 1989, Lect. Notes in Math., 1438 (1990). [21] S. Mallat, A Theory for Multiresolution Signal Decomposition : The Wavelet Representation, I E E E Trans. Pattern Anal. and Mach. Intell., 11, n. 7 (1989) p. 674-693. [22] D. Marr, Vision, Freeman, New York (1982). [23] Y. Meyer, Ondelettes et Oprateurs (en trois volumes), Hermann (1989-1991). [24] Y. Meyer, Les Ondelettes, Aigorithmes et Applications, Armand Colin, 2 dition (1994). [25] Y. Meyer Ed., Ondelettes et applications, Actes d e la confrence d e Marseille, Masson (1989).

Rfrences

7

1261 Y . Meyer, S. Roques Ed., Wavelets and their Applications, Actes de la confrence de Toulouse, Editions Frontires (1992). [27] T. Paul, Ondelettes et Mcanique Quantique, Thse dEtat, CPT Marseille (1985). [28] M.B. Ruskai et al. Ed., Wavelets and their Applications, Jones and Bartlett Publ. Comp., Boston (1992). [29] W. Schempp, Harmonic Analysis on the Heisenberg Nilpotent Lie Group, Pitm a n Research notes in Mathematical series, 147 (1986). [30] M.J. Smith, D.P. Barnwell, Exact Reconstruction for Tree-Structured Subband Coders, ZEEE Trans. A S S P , 34 (19%) p. 434-441. [31] J.O. Stromberg, A Modified Franklin System and Higher-Order Spline Systems on IR as Unconditional Bases for Hardy Spaces, Conference in Harmonic Analysis in Honor of A n t o n i Zygmund, Wadworth math. series (1983) p. 475-493. [32] J. Ville, Thorie et Applications de la Notion de Signal Analytique, Cbles et Transmissions 2 A (1) (1948) p. 61-74. [33] M.V. Wickerhauser, Adapted Wavelet Analysis f r o m Theory to Software, A.K. Peters Publ. Comp. (1994).

Chapitre II

ANALYSE CONTINUE PAR ONDELETTES ET PAR GABORETTES

Lanalyse de Fourier est sans conteste lun des outils les plus puissants mis la disposition des mathmaticiens et physiciens daujourdhui et aussi lun des plus utiliss. Nanmoins, bien que btie sur la base du concept physique de frquence (spatiale ou temporelle), elle se rvle imparfaitement adapte la description de fonctions ou signaux que lon peut rencontrer couramment. Lexemple le plus parlant (si lon peut dire) est celui de la musique. Nous sommes capables dassocier chaque note que nous entendons une frquence fondamentale (que nous appelons la, si, do,...), mais cette note est, presque par dfinition, de dure finie, contrairement aux exponentielles complexes utilises dans sa dcomposition de Fourier. Cette note semble donc a priori difficile dcrire par une analyse spectrale usuelle. Cest ainsi que la notation musicale usuelle fait naturellement intervenir simultanment des notions de temps et de frquence : sur une porte musicale, la variable temporelle correspond la direction horizontale et la variable frquentielle laxe vertical. Restons dans le monde de la musique et coutons un glissando jou par exemple par un violoniste ou un violoncelliste. Ce que nous entendons est peru comme une frquence (toujours la hauteur du son) dpendant du temps de faon continue, ce que, une fois encore, lanalyse de Fourier peut difficilement dcrire. Dans ces deux cas, il semblerait premire vue prfrable de calculer la transforme de Fourier dune partie finie (un segment) uniquement de la fonction, centre sur linstant auquel lon sintresse, plutt que de la fonction dans son intgralit. E n fait cette solution simple souffre dun grave dfaut ; elle quivaut calculer la transforme de Fourier du produit de la fonction initiale par lindicatrice du segment considr, qui nest autre que le produit de convolution de la transforme de Fourier de la fonction par celle du segment, savoir un sinus cardinal sin(wz)/wz. Le rsultat est une fonction lentement dcroissante de la frquence, qui ne reflte en rien la bonne localisation frquentielle de notre signal musical. La variante que lon introduit consiste remplacer lindicatrice du segment par une fonction (appele fentre), localise au voisinage du segment,

10

Analyse continue par ondelettes et par gaborettes

et suffisamment rgulire pour que sa transforme de Fourier soit elle aussi bien localise, pour viter linconvnient prcdent. Nous voyons donc lintrt quil peut y avoir utiliser une fentre bien localise des deux cots de la transforme de Fourier. I1 ne nous semble pas ncessaire pour linstant de donner une dfinition quantitative prcise de lexpression bien localise. Sauf spcification contraire, nous dirons quune fonction est bien localise si elle possde de bonnes proprits de dcroissance linfini (cest--dire aussi bonnes quun critre fix lavance). Dans des cas prcis, nous serons amens utiliser des notions plus prcises de localisation. On peut par exemple supposer quune fonction f(x) est telle que

pour certaines constantes positives IC et N . Avant dentrer dans le vif du sujet, donnons encore une motivation supplmentaire pour lintroduction dune analyse de Fourier locale et illustrons la encore par un exemple musical. Considrons une enregistrement analogique dun son extrmement rgulier, dont on peut supposer que la transforme de Fourier dcrot rapidement, sur un disque dtrior en un unique point. La prsence de ce craquement empche la transforme de Fourier du signal de dcrotre rapidement, ce qui se traduit par une reconstruction (par transforme de Fourier inverse) numriquement instable, car obtenue partir dintgrales trs oscillantes, et ce en tous points. Nous verrons plus loin comment lintroduction de fentres permettra de localiser cette instabilit numrique.

I

DCOMPOSITION TEMPS-FRQUENCE

Nous allons maintenant dcrire un certain nombre de reprsentations tempsfrquence des fonctions dune variable relle ; par reprsentation temps-frquence nous entendons la mise en correspondance de la fonction avec une fonction de deux variables : le temps (ou la position) et la frquence (ou la frquence spatiale). Nous verrons plus loin quil existe une infinit de faons diffrentes de construire de telles correspondances ; aussi nous nous restreindrons une sous-classe, savoir celle des correspondances :00

linaires ; covariantes : certaines transformations naturelles de la fonction analyse (translation, modulation, dilatation, . . , ) se traduisent de manire simple sur la reprsentation temps-frquence.

On ajoutera cela une contrainte plus intuitive de lisibilit : la reprsentation choisie doit permettre (dans la mesure du possible) de mettre en vidence

Lanalyse de Fourier court terme

11

certains types dinformations sur la fonction ou le signal analys. Comme nous lavons signal plus haut, la reprsentation musicale est un prototype de reprsentation temps-frquence. Les notions que nous allons maintenant introduire et utiliser dans les &apitres suivants se rapporteront toujours un objet essentiel, appel le pian temps-frquence (ou position-impulsion dans le cas multidimensionnel), que lon nommera aussi espace des phases. Le plan temps-frquence permettra de donner une description la fois temporelle et frquentielle des fonctions tudies. Disons tout de suite que la prcision de cette description sera limite par lingalit de Heisenberg (dont nous verrons en particulier une consquence au chapitre VI) :

1 AXA[ 2 2qui nous montre quon ne peut esprer dcrire une fonction avec une prcision infinie simultanment en temps et en frquence.

II

LANALYSE DE FOURIER COURT TERME

Nous dbutons cette analyse par une description de la transformation de Fourier court terme (aussi appele transformation de Fourier fentre glissante ou transforme de Gabor) et de la transformation inverse. Plaons-nous tout dabord dans le cadre unidimensionnel.

11.1

Les gaborettes en dimension 1

Lide de base est donc dintroduire dans lanalyse de Fourier usuelle une notion de localit spatiale (ou temporelle) en remplaant la fonction analyse par un produit de celle-ci par une fentre convenablement choisie au pralable possdant de bonnes proprits de localisation, puis en calculant la transforme de Fourier du produit ainsi form. On renouvelle alors lopration avec des copies translates de la fentre, ce qui conduit une analyse locale en tous points. Si nous choisissons de noter g(x) la fentre et f(x) la fonction analyse, le rsultat est alors la collection de nombres :

J,f(z)g(z- b ) i U W 2 d ZPour des raisons pratiques, il est souvent plus intressant de considrer les coefficients :

(11.1)Nous ne sommes pas encore en mesure ce point de prciser la signification d e cette contrainte ; o n rejoint l la problmatique du traitement du signal adaptatif, qui vise essentiellement adapter (de faon automatique) loutil danalyse lobjet analys. Ces notions se prciseront par la suite.

12

Analyse continue par ondelettes et par gaborettes

qui sobtiennent partir des prcdents par une multiplication par eiwb une et redfinition de la fentre. Les nouveaux coefficients forment la transforme de Gabor G f ( b , ) de f(x), et sexpriment simplement par : w

G f (b, w ) = (f g(b,w) L a ) o les fonctionsg(b,w). ) (

(11.2) (11.3)

= g( - b)e

iw( z-6 )

sont appeles ondelettes de Gabor, ou encore gaborettes. Remarque : La transformation de Gabor nous met en prsence dun objet nouveau, que nous appelons Plan temps-frquence, ou Espace des phases. I1 sagit ici du plan IR2, mais nous verrons par la suite quil peut aussi prendre des formes diffrentes. La transformation de Gabor permet de reprsenter les fonctions de L2(IR)comme des fonctions sur le plan temps-frquence. Cependant, il est important de rappeler qu cause de lingalit de Heisenberg dj mentionne, toute fonction sur le plan temps-frquence ne peut tre transforme de Gabor dune fonction de L2(lR). Remarquons que les gaborettes sont construites partir de la fentre g(x) par une procdure extrmement simple, savoir par des translations et des modulations (cest--dire des translations en frquence). Cest naturellement aussi le cas de leur transforme de Fourier :S G ) (0 =

- w>

(11.4)

La formule de Plancherel permet donc dexprimer la transforme de Gabor de f(x) comme une transforme de Gabor de sa transforme de Fourier f(t): (11.5) Supposant sans perte de gnralit que g(x) et ij(.

I1 est bien clair que cet exemple simple noffre en lui-mme que peu dintrt, dans la mesure o A et w peuvent tre caractriss plus simplement par une simple transforme de Fourier. I1 est nanmoins rvlateur de lusage qui peut tre fait des dcompositions temps-frquence pour le problme de dtermination de frquences locales. Nous verrons des exemples plus complexes au chapitre

V) *

I1 faut aussi remarquer que, compte tenu de la linarit de la transforme de Gabor, la transforme dune fonction du type :k

est donne par

G f ( b , u )=k

Ak(b)eiXkb6(Xk W ) * -

+ R(b,U )

cest--dire une superposition de composantes possdant des proprits de localisation diffrentes dans le plan temps-frquence, ce qui facilite leur sparation.

Lanalyse par ondelettes en dimension 1

17

E n effet, ds que w est proche de lune des frquences x k o , ou plus prcisment si Ako(b>ij(&, - w) > Ak(b)ij(Xk - w ) pour tout k # ko, la transforme de Gabor va essentiellement voir la composante dindice ko. Remarque : On sait que le problme de la recherche des lieux x, tels quune fonction If(x)I atteigne un maximum, est un problme mal pos et donc numriquement instable. Nanmoins, le cas que nous considrons est plus favorable, dans la mesure o une transforme de Gabor est une fonction trs redondante, comme nous verrons la fin de ce chapitre. Cette redondance confre la mthode que nous venons de dcrire une plus grande stabilit. Nous aurons loccasion de revenir sur ce point au chapitre V.

11.3

Le cas multidimensionnel

Terminons cette partie par une description de lanalyse de Fourier court terme en dimensions suprieures un. La gnralisation se fait de faon immdiate. On considre une fonction g E L2(Rn) les gaborettes associes, et toujours dfinies par (11.3) :

mais pour lesquelles les paramtres de translation et de modulation dcrivent chacun IR et o w-(z-b) est un produit scalaire dans lR.Dans ces conditions, on montre aisment que pour toute f E L2(iRn), a la dcomposition suivante on gnralisant (11.6) :

(11.13)Les gaborettes sont alors localises dans lespace des phases lRn x IR dans des domaines de forme et de volume constants.

III111.1

LANALYSE PAR ONDELETTES EN DIMENSION 1Dcompositions continues en ondelettes

Tournons-nous maintenant vers une autre procdure permettant de dcrire le plan temps-frquence 1R x iR. En guise de justification, mettons dabord en vidence lun des dfauts de lanalyse de Fourier court terme, qui est la consquence immdiate du processus utilis pour la construction des gaborettes. Les gaborettes sont des fonctions de taille constante et ne permettent donc pas dobtenir une rsolution temporelle aussi haute que ncessaire. Supposons en

18

Analyse continue par ondelettes et par gaborettes

particulier que la fonction analyse f(z)soit singulire en un point 2 = 5 0 . Les coefficients G f ( b ,u)ne permettent alors pas de localiser la singularit, cest-dire de dterminer zo avec une prcision suprieure la taille de g(z). Les gaborettes tant aussi de taille constante dans lespace de Fourier, un argument similaire peut y tre dvelopp. Ce raisonnement trs simple dmontre la ncessit de pouvoir disposer dune mthode danalyse agissant en quelque sorte comme un microscope mathmatique, cest--dire adaptant sa rsolution (ici la taille des fentres danalyse) la taille de lobjet (ou du dtail) analys. Cest prcisment ce que fait lanalyse par ondelettes. Partant dune fonction $(x) bien localise (dans le plan tempsfrquence), on lui associe la famille dondelettes $((,a) ) engendres par des ( . translations et des dilatations de $(z) : (111.1) les paramtres b et a dcrivant gnralement l et a;. R Les ondelettes sont donc de forme constante, mais de taille variable, proportionnelle au paramtre de dilatation a. Les ondelettes $(b,a) (z) permettent de dcrire le plan temps-frquence de faon assez diffrente de la description donne par les gaborettes. Remarquons tout dabord que lon peut toujours, sans perte de gnralit, supposer que +(z) est bien localise autour de lorigine z = O. En revanche, G(() na aucune raison dtre localise autour de lorigine des frquences x = O , nous allons en fait voir plus loin que cette hypothse doit tre exclue. Supposons donc bien localise autour du point z = u > O. Dans ces conditions, @ s ( ~ , ~est z ) g )( bien localise dans une rgion du plan temps-frquence, centre sur le point de coordonnes (b,uO/a). De plus, ce domaine est une version dilate (dans la variable z) et contracte (dans la variable 1 ; si a < 1, il y a dilatation en z et contraction en ( N - 3/2)!, autrement dit

114

Applications

VI.2

Mthode de la phase stationnaire : calcul des premiers termes

La mthode de la phase stationnaire procde de la mme logique. I1 sagit dvaluer une intgrale de la forme :

i=

J

M(z)ef(z)dz

(B.9)

pour laquelle on suppose que les variations relatives de M ( z ) sont lentes par rapport aux variations de f(z).I est donc une intgrale rapidement oscillante, de sorte que 1011 peut sattendre des phiinomnes de compensation sur des intervalles en z o e i f ( z )effectue une oscillation complte. Ceci est concrtis par le rsultat suivant :

Lemme 1 Soit M E C,oO(&!) et soit f E I/($)p ( M ) . Alors > Ovz E S u p

C-(a) valeurs relles

telle que

Preuve : Supposons que 2 + f soit un changement de variable sur Supp(A4). Si tel nest pas le cas, on sy ramne laide dune partition de lunit, ie. en crivant M ( z ) = M ( z ) u x ( z ) , les fonctions U A E CF(B3) sont telles que o C u x ( z ) = 1 presque partout et pour tout A, z + f est un changement de variable sur S u p p ( M u ~ )Lintgrale sexprime alors comme : .

cest--dire comme la transforme de Fourier de M / f . Le lemme est alors obtenu par k intgrations par parties. Ici, le paramtre p a t introduit pour contrler les oscillations de largument de lexponentielle. La limite p -+ co est appele limite asymptotique. Considrons inainteiiaiit le cas o il existe un ou des points x s (dits points stationnaires) tels que f ( z g ) O. Le mcanisme de compensation ne fonc= tionne plus au voisinage de tels points, qui contribuent donc de faon importante I . I1 est donc naturel de construire un dveloppement en srie autour de chaque point stationnaire. Ecrivons donc :

(B.11)

Complment B

115

Supposons pour simplifier que f(z,) > O, f ( x ) - f ( x g ) se comporte donc comme (z - 2,) au voisinage de z, et introduisons une variable u telle que

-u2 = if. [()Au voisinage de x,, on obtient :

- f(4]

(B.12)

u2 N

2

-2(2

-X,)2f/(ZS)

(B.13)

(B.14)que lon dveloppe en srie :

(B.15)

(B.16) o lon a pos :

Considrons par exemple le prcmier terme de ce dveloppement en srie, qui est celui que nous utiliserons cssenticllcment par la suite :

conduit (B.17) Le terme suivant est proportionnci =(O) < 00 et J-, ue-udu = O ; il vaut donc = O. Passons donc au terme dordre 2. Un calcul lmentaire montre que :dM

d 2 M (U )du2

-

A ~ u - 3MLll ~

+ A l ( 3 ~ - uu) ~

u5

(B.18)

Lvaluation des drives succcssivcs de u en x , conduit :

116

Applications

de sorte que le troisime terme est donn par :

Remarque : Une procdure tout fait similaire peut tre employe si, par exemple, toutes les drives de f(x,) sannulent jusqu un certain ordre k - 1 et f(k)(xs) > O. Dans ces conditions, le calcul de la srie asymptotique se ramne lvaluation dintgrales du type ue-du. A titre dexemple, le premier terme de la srie asymptotique dans le cas k = 3 scrit :

VI.3

Mthode de la phase stationnaire : qualit de lapproximation

Dans les applications de la mthode de la phase stationnaire que nous dvelopperons, nous nous contenterons de lapproximation donne par le premier terme (B.17) du dveloppement asymptotique. Pour juger de la qualit de lapproximation, on peut soit se contenter de comparer le rsultat obtenu au terme suivant (B.19) du dveloppement, soit tenter destimer lerreur commise. Nous donnons ici un rsultat qui permet destimer cette erreur. Le lecteur intress peut se rfrer [13] pour une prsentation plus dtaille et des estimations plus prcises.

Thorme 1 Soient J4 E C,(a) E C4(LR),f(x) valeurs relles. Supet f posons que z, soit iunique point stationnaire de f(z) et que f(z) ne sannule pas sur Je support de Ad. Alors1. II existe une constante C > O telle que

(B.22)

Complment B

117

2. A la limite p

+ 03,

on a le comportement asymptotique :

Preuve 1) Si zo E lR,si U est un voisinage de zo et si f E C k ( U ) ,la formule de Taylor scrit :

pour tout 2 = 20 E E M donne, pour IC = 2 : f(zo E ) = ~ ( z o ) E ~ ( z o ) e 2 F 2 ( z ) ,avec F2 E C1(U) et lF2(2)1 5 f supzELI lf(z)I. En insrant ceci dans (B.14) et en utilisant les valuations des premiers termes I ( 0 ) et 1 ( 1 ) prouve (B.21). On a alors :

+

+

+

+

et (B.25) Lestimation prcdente, combine avec un calcul similaire (B.18) et (B.19) conduit (B.22). 2) dcoule trivialement de (1) et le thorme est prouv. Notation : Tout au long de ce chapitre, nous utilisons le symbole A N B pour signifier que B est le premier terme du dveloppement asymptotique de A considr.

Chapitre VI

ONDELETTES DISCRTES, REPERE DONDELETTES ET DE GABORETTES

Dans la plupart des applications numriques prsentes dans les chapitres prcdents, il est bien clair que lon na pu valuer numriquement les valeurs des coefficients dondelettes T f ( b u ) pour tous (b, u ) E a x , I1 est ncessaire dchantillonner T f , cest--dire de se contenter des valeurs prises par T f ( b , ) u sur un sous-ensemble discret de i x R Dans les exemples numriques en question, lchantillonnage tait suffisamment fin pour que la transforme chantillonne donne une description assez prcise de la fonction analyse. Nanmoins, il est utile dtre un peu plus prcis et destimer la qualit de lapproximation fournie par lchantillonnage de la transforme en ondelettes. Cest le propos de la thorie des repres dondelettes (ou de gaborettes) que nous allons dcrire dans ce chapitre. Mais avant dentrer dans le vif du sujet, il est utile de dcrire, dans ses grandes lignes, la thorie abstraite des repres dans un espace de Hilbert. Nous nous intresserons par la suite aux cas particuliers des repres de gaborettes et dondelettes, avec leurs spcificits. Nous dcrirons de plus une variante des ondelettes discrtes, se situant mi-chemin entre les decompositions continues et les repres et qui sont utiles ds que lon veut construire des reprsentations qui soient covariantes comme les reprsentations continues.

a;.

a;.

I

THORIE LMENTAIRE DES REPRES DANS U N ESPACE DE HILBERT

Nous nous en tiendrons pour le moment aux repres discrets, cest--dire aux repres constitus dun ensemble au plus dnombrable de vecteurs. Nous nous plaons donc dans le cadre le plus gnral dun espace de Hilbert sparable 3c, muni de sa forme hermitienne que nous noterons (, ). Un repre discret dans 3c est une famille {e,} de vecteurs de 3c telle que lon peut trouver deux constantes relles strictement positives O < A 5 B < c ralisant lencadrement m

(1.1)

120

Ondelettes discrtes, repre dondelettes et de gaborettes

pour tout z E 31. Les constantes A et B sont appeles les bornes du repre. Le repre sera dit strict, si B = A et exact, si aucun de ses sous-ensembles nest un repre. Par exemple, considrons lespace euclidien lR2 et deux vecteurs orthonorms el et e2. Ces deux vecteurs forment une base orthonormale de lR2, alors que e l , e2 et e1 +e2 forment un repre inexact et non strict. En revanche, on se convainc sans peine que {el,eZ,e2} par exemple est un repre strict et inexact. Un repre cst, par dlfinition, une famille complte de 3c. En effet, si tel ntait pas le cas, cest--dire sil existait un e E H non nul tel que (e, e,) = O pour tout n, (1.1) impliquerait immdiatement que llell = O, do une contradiction. En revanche, lcs exemples prcdents montrent clairement quun repre nest pas ncessaircment une base. Etant donn un repre {e,} dans 31,on lui associe loprateur auto-adjoint R suivant, appel oprateur de repcre et dfini par :

On obtient alors :

Proposition 1 Soit {e,} un repre dans 3c, de bornes A et B. Alors R est un oprateur born, tel que : A . 1 5 RI Be1 (1.3)(Rappelons ici que pour deux oprateurs auto-adjoints X et Y sur un espace de Hilbcrt 31, la notation X 5 Y signifie que (v,X v) 5 (v, . v) Vv E 3c.) Y Avant de montrer sa proposition, notons que sa rciproque est triviale. Preuvc : Considrons la suite des sommes partielles

Alors, soit O

< n < m et

Thorie lmentaire des repres dans un espace de Hilbert

121

montre que llRll 5 B. On dmontre de manire similaire que A 5 IlRll. Un repre dans un espace de Hilbert devient particulirement intressant lorsque lon peut facilement reconstruire tout v E 3c partir de ses coefficients par rapport au repre (ve,). Cest le cas lorsque le repre est strict. On a ainsi une formule dinversion directe :

la somme convergeant fortement. En revanche, lorsque le repre nest pas strict, la situation est plus complexe. Nous allons maintenant voir que lorsque le repre est presque strict, cest--dire lorsque les constantes A et B sont proches lune de lautre, v peut tre reconstruit laide dun algorithme itratif, dont la convergence est dautant plus rapide que B - A est petit. Pour cela, il est ncessaire dtudier linverse de loprateur de repre R. Notons

La famille {En, n E

E}vrifie :

Proposition 2 {,, n E Z } est un repre de Z, de bornes B- et A - , appel repre dual de {e,,n E 22). De plus, pour tout v E Z, on a les formules de dcomposition :(1.6)n

v=

n

en)n

Preuve : La premire partie de la proposition est une consquence immdiate de : (v,E,) = (R- v,e,). (1.8)1

Dautre part, valuons : C,(v,n)(en,u)= C,(R- * v,e,)(e,,u)

= (R-1 v , R u)= (v,u).

Ceci prouve la proposition.Donc, connaissant linverse de loprateur de repre, on peut reconstruire tout v E Z partir de ses coefficients par rapport au repre, par un calcul pralable du repre dual. Le problme qui se pose est que souvent on ne connat pas cet inverse.

122

Ondelettes discrtes, repre dondelettes et de gaborettes

Nanmoins, dans les cas o le repre est presque strict, on en obtient une excellente approximation comme suit. On crit R-comme :

R- - 1 - (1 - -)]2R =A+B

[

-1

A+B

que lon dveloppe en srie entire, qui converge puisque111

2R m 5 B+A 1 B-A 1

(1.10)

On obtient ainsi un algorithme itratif de reconstruction dun vecteur partir de ses coefficients par rapport un repre donn. En notant :

7=1-il suffit dcrire :2 ,

.

2R

A+B

(1.11)

= (1

+ 7 + P + ...) C O, ce qui prouve les ingalits de gauche de (11.2). On obtient ainsi un repre de L 2 ( a ) . Notons en particulier que les hypothses faites impliquent :bow0

5 27r.

(11.3)

Le nombre l/bowo est parfois appel densit de Nyquist p ~ Nous aurons . loccasion de revenir par la suite cette densit temps-frquence et ce pour des fentres support non ncessairement compact. Nous verrons aussi ce qui arrive lorsque lon se rapproche de la densit dite critique p~ = 1/2a (phnomne de Balian-Low). Considrons maintenant une fcntre g( x) support non ncessairement compact et la famille {grim, n, m E Z}de gaborettes associe aux paramtres bo, WO. Nous cherchons des critres permettant de dcider si cette famille constitue un repre ou non. Le rsultat suivant est d I. Daubechies. Nous renvoyons lannexe A (section 11.1)- pour les dfinitions ncessaires.

Thorme 2 Soient(11.4) (11.5) (11.6) (11.7)

si m(g,bo) > O, nd(g,bo) < co et C,< co pour un certain E > O, alors il existeune vaieur critique wc telle que Vwo repre de L2(a).

< wc, la fainilk {grim, n, m

E Z } est un

Preuve : Soit f E L2(IIz). Evaluons I(gnm,) 1 2 laide de la formule somf matoire de Poisson (voir annexe A, section 11.1). Nous obtenons :

Repres de gaborettes

125

Evaluons tout dabord le terme en k = O. I1 vaut :

Lingalit de Cauchy-Schwarz applique aux termes k

> O donne :

E n appliquant de nouveau lingalit de Cauchy-Schwarz, on obtient lencadrement :

C, < 00 assure que la somme sur b converge et tend vers O, quand wo tend vers O. Ceci implique donc quil existe une valeur critique strictement positive wcau-dessous de laquelle on obtient un repre. Ceci achve la dmonstration du thorme et prouve donc lexistence de repres de gaborettes. Notons en particulier que ce rsultat fournit des estimations simples pour les bornes A et B du repre. Une tude systmatique (thorique et numrique) de ces bornes est effectue dans [5] pour quelques cas simples.

Remarque : Repres de gaborettes en dimension n. On peut tout aussi bien obtenir des repres de gaborettes de L 2 ( a n ) . En effet, comme nous lavons vu au chapitre II, lanalyse de Fourier fentre glissante en dimension n est la gnralisation immdiate de lanalyse de Fourier fentre une dimension. I1 est donc facile dadapter les dmonstrations des thormes prcdents la dimension n afin dobtenir des bornes pour les repres de gaborettes que lon a obtenus.Pour conclure cet te section, nous revenons brivement sur la remarque que nous avions faite un peu plus tt sur de la relation entre les bornes du repre et les paramtres qui le dfinissent, savoir les constantes bo et wo du rseau de discrtisation. En effet, il est ais de se convaincre que lon a ncessairement : (II.1O)

126

Ondelettes discrtes, repre dondelettes et de gaborettes

ce qui implique en particulier que dans le cas dun repre strict de gaborettes, A = B = ~ ~ ~ Ong voit~ rapparaitre. ici la densit critique de Nyquist. ~ 2 Nous y reviendrons dans la prochaine section, en discutant le phnomne de Balian-Low.

III

LE PHNOMNE DE BALIAN-LOW

Nous avons vu au thorme 1 de la section prcdente un exemple de condition suffisante dexistence de repre de gaborettes, avec lhypothse b o w 0 5 27r. I1 savre que cette hypothse est en fait ncessaire. En dautres termes, si b o w 0 > 27r, lchantillonnage de la transforme de Gabor nest pas suffisamment fin. La valeur b o w 0 = 27r est la valeur critique. Cest ce quexprime le thorme suivant, dont la preuve peut tre trouve dans [5] et les rfrences incluses dans cet article.

Thorme 3 Soit {grim, n, m E Z}un repre de gaborettes, de paramtres bo et W O . Alors b o w 0 5 27r ; plus prcisment, si b o w 0 > 27r, il existe f E L(El) telle que f > O et (f, grim) = O pour tous n, rn E Z.Le thorme de Balian-Low dcrit le comportement des repres de gaborettes la densit critique, cest--dire pour b o w 0 = 27r. Plus prcisment, il exprime lincompatibilit entre le fait que la famille {gmn, n E Z } soit un rn, repre de gaborettes la densit critique et la rgularit de g et 9. En fait, si b o w 0 = 27r, {gnm,n,m E Z } serait une base inconditionnelle de L 2 ( B ); mais nous allons montrer que cest impossible. De nombreuses dmonstrations ont t proposes, depuis la premire totalement rigoureuse de R. Coifman et S. Semmes, fondes sur des arguments diffrents. Nous donnerons ici la preuve de G. Battle, qui a le mrite dtre relativement simple et de dcouler du principe dincertitude de Heisenberg.

111.1

Le principe dincertitude de Heisenberg

Commenons par une brve description du principe de Heisenberg, dans sa forme la plus gnrale. Soit A un oprateur auto-adjoint sur lespace de Hilbert i. Si u E i, on associe A les quantits suivantes :0

Valeur moyenne de A dans ltat v :

( A ) v = (v, A0

*

V)

(111.1)

Incertitude sur A dans 16tat u :

A,A = [(A), - (A):]Dans ces conditions, le principe de Heisenberg snonce ainsi :

(111.2)

Le phnomne de Balian-Low

127

Thorme 4 Soient A et B deux oprateurs auto-adjoints sur lespace de r Hilbert ?f et soit v E D ( A ) n D(B) l D ( i [ A ,BI). Alors1 A,,A * A u B 2 - ( i [ A ,BI),, 2 (Ici [ A ,B ] = A B - B A est le commutateur de A et B.) Preuve : On voit facilement que : A,,A = ll[A - (A),,]~ AuB. Soit X E l?l et valuons :

(111.3)

V I I et de mme pour

ll[A - ( A ) , ] . v+

iX[B - (B>Ul. V1I2 = X2A,B2 iX(v, [ A - ( A ) , , , B- (B),,] V) . = X2A,,B2 LX([A, BI), A,A2

+ +

+

+ A,,A2

I1 sagit dun polynme du second degr en A, toujours positif ou nul. Sondiscriminant est donc ngatif ou nul, ce qui prouve le thhorme. Revenons au cas de L2(l?l) et introduisons les oprateurs usuels de la mcanique quantique : la position

et limpulsion (III.5) (111.3) scrit alors, pour toute f E D ( Q ) fi D(P) :

AfQ. A/P 2En particulier, on en dduit aisment que :

1 2

(1II.G)

o

est la valeur moyenne de z (resp. f ) . La relation dincertitude de Hcisenbcrg exprime donc lexistence dune limite aux proprits de concentration dune fonction dans lespace des phases (ou espace temps-frquence) .

s = Szlf(~)12dz/llf11~ (resp.

c)

111.2

Le thorme de Balian-Low

Passons maintenant au thorme de Balian-Low. Par commodit, on introduira encore les oprateurs suivants sur L2(a) :0

Modulation :

E,

. j ( x ) = fo,(s)

(111.8) (111.9)

0

Translation : T,. f(x) = f,,o(z)

La preuve de G. Battle repose sur les deux lemmes suivants :

128

Ondelettes discrtes, repre dondelettes et de gaborettes

Lemme 2 Si f,g E L 2 ( a )sont telles que Q f , Q g E L 2 ( a )et Q - f, Q - 9 E L 2 ( a ) ,on obtient :

(Q f , P*

*

9) - ( P

f,Q

1 9) = ~ ( f , 9).

(111.10)

Preuve: Q . f , Q . G E L2(lR)implique que P . f , P . g E L 2 ( a ) .Supposons tout dabord que f,g E S ( a ) . Alors ( Q f , P . g ) - ( P .f,Q g ) = ( [ Q Pl . f,g) = , t ( f , g ) . Ensuite, par densit de S ( a )dans L2(17?.), peut trouver deux suites on { f k } et { g k } dans telles W e f k + f, gk -+ 9, p.f k + p - f ,& * f k + Q -f, P * g k + P . g et Q . g k + Q . g et la continuit du produit perinet de conclure.

s(a)

(a,-)

Preuve : i) 0 1vrifie aisment que [Q,Em]= O, pour tout m et [P,Tn]= O , 1 pour tout n. Donc, daprb lidentit de Jacobi, [Q,EmTn]= Em[Q,Tn] = nboE,T,,. ii) Mme dmonstration. Nous sommes maintenant en mesure de prouver le thorme de BalianLow (ou plus exactement une forme plus faible, comme nous allons le voir). Lide gnrale de ce rsultat est quon ne peut construire de repre strict de gaborettes (et a fortiori de base de gaborettes) rgulires et localises. En supposant que lon ait un tel repre, construit partir dune gaborette g(z), on a alors obligatoirement j ~ ~ 1 g ( x ) 1 ~ d00 (donc mauvaise localisation dans =z lespace des z) ou E21j(E)I2dE= 00 (donc mauvaise localisation dans lespace des frquences).

Thorme 5 Soit g E L 2 ( m ) telle que ( g n m , n , mE Z } soit un repre de gaborettes, de paramtres bo et W O , avec bow0 = 21r. Soit {tjnm TI, rn E Z } le repre dual. On nepeiit avoir alors simuitanmciit Q-9,Q.4, Q.5, Q.5 E L 2 ( E ) .Preuve : Procdonspar labsurde et supposons que Q-g,&.Y., Q-9,Q.6 E L2(LR). Nous savons que { g n m , n , m E 27) est une base inconditionnelle borne de L 2 ( a )et { f i n m , n , m E}est donc sa base biorthogonale. Donc (gnm,&l)= E 6 n k d r n l . Evaluons :

Repre dondelettes

129

Dautre part, daprs les hypothses, P.g, P.4 E L2(Ds) et (9, m T n P E (P g, EmTn daprs le lemme 3. Donc,S G )

5) =

(Q

*

9, P

*

3) =

x(Q

9 E m T n . G)(EmTn * 9, P 5 )*

S) = C ( E m T n *s,Q *G)(P*g,EmTn5 ) = C(E-mT-nQ g>G)(g, - m T - n P E = (P-9,Q.S)ce qui contredit le lemme 2 et prouve ainsi le thorme.

Remarque : Ce thorme nest pas exactement le rsultat de Balian et Low, mais une forme faible de celui-ci. Lnonc original est simplement quon ne peut avoir simultanment Q . g E L 2 ( a )et Q . tj E L2(Ds).Lquivalence entre les deux noncs est de I. Daubechies et A. Janssen, qui ont montr que, si {grim, ri, rn E Z } est un repre de gaborcttes la densit critique, alorsQ . 9 E L2(Ds)w Q * jE L2(Ds),

Q . tj E

~ ~ ( Qa E ~ ~ ( a ) . .ij)$

Le thorme de Balian-Low a, notamment, une importante consquence ngative. I1 implique que lon ne peut esprer construire de base de gaborettes (orthonorme ou pas) de L2 possdant sirnultanchent de bonnes proprits de localisation et de rgularit. Nous verrons un peu plus loin que les ondclcttes ne prsentent pas un tel dfaut.

(a)

IV REPRE DONDELETTESConsidrons maintenant le cas des ondclettes. La premire tape est le choix dune grille de discrtisation adapte la gomtrie sous-jacente. Dans ce cas, le choix naturel est celui dune grille dyadique, cest--dire un rseau

{ ( b k , u j ) = (kboa{,a{) ,j , k E Z }

(IV.1)

pour deux nombres rels strictement positifs a0 et bo. Sans perte de gnralit, on peut encore se restreindre a0 > 1, en sy ramenant pour a0 < 1 par un changement j + - j . Etant donne une fonction $ E L1(Ds), telle que lq(u)12$ < 00, on considre donc la famille dondelettes c$ =$j&)

= .;$(a{.

L

- kbo).

(IV.2)

La premire remarque faire concerne une diffrence fondamentale avec le cas des gaborettes. I1 nexiste, dans le cas des rcpZres dondelettes, aucun analogue

130

Ondelettes discrtes, repre dondelettes et de gaborettes

de la densit critique de Nyquist, ni donc du phnomne de Balian-Low. En effet, si { $ j k , j , k E Z } est un repre dondelettes de paramtres a0 et bo et de bornes A et B et si lon note q ( z ) = A-$$(!), il est facile de voir que q(z) engendre un repre dondelettes, de paramtres ao/A et Ab0 et de bornes A et B. De plus, mme en fixant le paramtre A, on peut montrer que le phnomne persiste. Des exemples sont montrs dans [5]. Pour a0 fix, il nexiste donc aucune valeur critique pour bo au-del de laquelle aucun repre dondelettes ne peut exister (indpendamment du choix de $). Cette remarque est en fait dune importance considrable pour la suite. La non-existence dune version ondelettes du phnomne de Balian-Low permet desprer pouvoir construire des bases dondelettes de L 2 ( E )possdant de bonnes proprits de rgularit et de localisation. Le premier exemple de telles bases a t donn par J.O. Stromberg en 1981 et on en connat maintenant un trs grand nombre. Revenons au problme des repres dondelettes. Nous avons ainsi vu quil nest pas possible de trouver un domaine pour (bo, U O ) hors duquel { $ j k , j , k E Z } ne peut tre un repre de L2(lZ2),indpendamment du choix de $(z). En revanche, pour un $(z) fix, il est possible de prciser un peu plus la situation, cest--dire dobtenir des estimations analogues au thorme 2 de la section II.

Thorme 6 soit $(z) une ondelctte et soit dondelcttes dfinie par (IV.2). Notons

{$jk,j,k

E Z } une famille

(IV.3)

(IV.4) (IV.5) (IV.6)

s ?n($,ao) > O, n4($,uo) < et c, < CO pour un certain E > 0, il existe i aiors une valeur critique b telle que Vbo < b, la fainille { $ j k , j , k E z }est un repre de L2(a).O) ;

Preuve : Soit f E L 2 ( E ) Evaluons . matoire de Poisson. Ceci nous donne :

l($jk,f)12

laide de la formule som-

Repre dondelettes

131

Evaluons tout dabord le terme en IC = O. I1 vaut :

Lingalit de Cauchy-Schwarz applique aux termes IC

> O donne :

Appliquant de nouveau lingalit de Cauchy-Schwarz, o n obtient lencadrement :

C,< CO assure que la somme sur k converge et tend vers O quand a0 tend versCeci implique donc quil existe une valeur critique strictement positive bC au-dessous de laquelle on obtient un repre. Ceci achve la dmonstration du thorme et montre donc lexistence de repres dondelettes. Notons que ce rsultat fournit trs simplement des estimations pour les bornes du repre. En effet, on obtient immdiatement le corollaire suivant :CO.

Corollaire Avec les notations d u thorme prddcnt, si $(z),ao et bo sont tels que(IV.9)

alorslafamille{$jk,j,k E Z } est unrcpi.redoidelettcsde L 2 ( l R ) ,de bornes:

k>O

132

Ondelettes discrtes, repre dondelettes et de gaborettes

Dans de nombreuses applications, il est intressant de choisir une maille de rseau a0 gale 2. Dans ce cas, il est possible dobtenir des estimations plus prcises pour les bornes A et B du repre. Ceci est dcrit dans [5] (corollaire 2.9). Remarque : Repres dondelettes en dimension n. On peut aussi construire des repres dondelettes en dimension n quelconque et ce pour chacune des variantes prsentes au chapitre II. En ce qui concerne les ondelettes engendres simplement par des translations et dilatations, on peut aisment adapter la dmonstration du thorme prcdent pour obtenir des estimations pour les bornes des repres correspondants. Lintroduction des rotations rend la situation lgrement plus complexe, car elle oblige construire une discrtisation adapte du groupe SO(n) ou de la sphre Sn-l, autrement dit une partition de SO(n) ou de 5- en cellules de volume constant (par rapport la mesure associe). Ainsi, on obtient aisment par des arguments similaires aux prcdents des estimations pour A et B. Ceci a t fait dans les cas particuliers de SO(2) et SO(3) dans [15].

v

REPRES CONTINUS ET GNRALISATION

Nous avons dans ce chapitre introduit les repres uniquement pour dcrire le contrle de la discrtisation des formules continues prcdemment utilises. Un repre discret de L 2 ( l R )est naturellement introduit en considrant des familles de fonctions $A, o X E A est un index au plus dnombrable. Dans ces conditions, loprateur

R:

f E L 2 ( q -) R f =AA

(f+x>+x

P.1)

na en gnral aucune raison dtre une multiplication par une constante. Le cas des repres discrets correspond aux cas o R est born et inversible inverse born. On lcrit alors sous la forme dune perturbation dun oprateur constant, ce qui conduit lalgorithme itratif dcrit au dbut de ce chapitre.

V.l

Repres continus

I1 faut cependant noter que la notion de repre peut tre gnkralise au cas de dcompositions continues, comme nous le voyons sur cet exemple simple : Supposons maintenant que A soit, non plus un index dnombrable, mais un espace mesur ( A , p ) et considrons une famille de fonctions $A, o X E A. On introduit de mme loprateur :

Repres continus et gnralisation

133

On dira alors que la famille {$A, X E A} est un repre de L(Ill) si R est born inverse born. Exemple : atomes temps-frquence. Revenons une problmatique de traitement du signai et considrons par exemple le cas des atomes temps-frquence, motiv de la faon suivante. Nous entrerons plus profondment dans ces aspects au chapitre VII. Nous avons dcrit au chapitre II deux types de reprsentations temps-frquence linaires, fondes sur un ensemble de transformations naturelles (translation, modulation, dilatation). Chacune de ces reprsentations est adapte certains types de signaux ou de problmes. I1 est naturel de chercher une gnralisation de ces deux mthodes, en mettant ensembles ces trois transformations, qui napparaissaient que par paires dans les deux cas classiques. On voit immdiatement quil nest pas possible de conserver simultanment les trois variables (R nest pas dans ce cas born) et quil faut donc introduire des dpendances (par exemple la variabIe dchelle fonction de la variable de modulation). Le programme est donc de refaire lanalyse prcdente dans ce cadre. Donnons-nous donc une fonction $ E L(Ill) et associons-lui la famille forme par

o ,(w) une fonction de classe Cpar morceaux et b, w E iR. Si lon prend est A = El2 et pour mesure la mesure de Lebesgue associe, il est facile de vrifier que loprateur associ est un oprateur de convolution, donc caractris par un multiplicateur

x(0=

/ 1 4 ( P ( W H t 4) l2m

-

dw

(V.4)

Ainsi, on obtient un repre continu si et seulement si il existe deux constantes Cl et Cz telles que : 0 < Ci 5 x(E) 5 c < 00, 2 (V.5) ce qui correspond une condition dadmissibilit portant simultanment sur $ et sur p. Nous voyons donc quil est facile de construire des repres continus. Dans ce cas, on parle parfois de repres associs des multiplicateurs. On peut considrer par exemple des foiictions P( w) particulires, utiles dans certains contextes spcifiques. Citons entre autres la famille de choix suivante :

qui conduit des systmes de fonctions se comportant comme des ondelettes haute frquence et des gaborettes basse frquence, proprit parfois utile pour le traitement de la parole.

134

Ondelettes discrtes, repre dondelettes et de gaborettes

V.2 Repres discrets dondelettes interpolantesReprenons lexemple prcdent et voyons maintenant dans quelle mesure il est possible de remplacer lintgrale par une somme discrte. On peut sans trop de difficults renouveler lanalyse prcdente, et conclure lexistence de repres discrets associs aux repres continus considrs. Avec des arguments en tous points similaires aux prcdents, on a alors un critre identique pour lexistence de repres discrets dondelettes interpolantes : Soit +(z) E L 2 ( B )et soit{(bmnwn)}

= { ( m P ( u n ) b o , w n ) : m , nE

z}

un sous-ensemble discret du plan temps-frquence. Notons

n=-m

et

Thorme 7 Avec les mines notations que plus haut, si ment born suprieurcmeiit et infrieurement et sia-+O

Q ( test essentielle)

iim C Bk#O

(:)

B

(-a)

=O

Alors, il existe une valeur critique bo, de bo telle que Vbo < bo,, la famille

soit un repre de L2(a), Nous renvoyons [12] pour une preuve de ce rsultat, ainsi que quelques exemples traits en dtail. I1 est en particulier montr que des fonctions / de 3 la forme P ( w ) = wQ conduisent des repres aussi bien discrets que continus.

VI

ONDELETTES PRESQUE CONTINUES

I1 est souvent utile de pouvoir disposer dune version intermdiaire entre les formules continues et les repres dondelettes, en particulier lorsquon veut utiliser numriquement une dcomposition continue tout en essayant de prserver au maximum les proprits de covariance de la transforme continue

Ondelettes presque continues

135

(qui sont absentes par construction dans le cas des repres). Plus prcisment, la covariance par translation (ie. la transforme continue en ondelettes dune copie translate dune fonction f ( x ) est gale la copie translate -de la mme quantit- de la transforme continue en ondelettes de f(z))est souvent utile en pratique. Ainsi, tant donne une ondelette $(x), on est amen considrer la famille suivante : (V1.1) $jk(Z) = 2-j$ (2-j(z - IC)) (Alors que dans le cas dun repre, les objets considrs sont plutt de la forme 2-j$ ( 2 - j ~ I;) .) La diffrence essentielle entre ces deux types de fonctions est leur localisation spatiale. Alors que $ ( 2 - j ~ IC) est essentiellement localise au voisinage de x = k2j, $ (2Tj(x - IC)) est localise au voisinage de x = k . Ainsi, les $jk(z) permettent-elles un chantillonnage de la transforme sur un rseau rgulier en IC, indpendant de lchelle. Commenons par considrer une ondelette $(x) telle que 14(2j P)f [(O, O, u, * ( % P , a, 4 0) 1 = A(Q,P, P)f [ b q , U - l P , 1,P ) ( O , O, atl, O)] a,= A ( q , p , a, p)eZ['Lqf~u-'P1 O, au, O) f (O,

En identifiant 3c avec L2(172t), obtient : on (C.22)

170 VI.1.4

tats cohrents et reprsentations de carr intgrable Orbites de type Stone-Von-Neumann

Ce sont les orbites caractrises par :

t'#O

(C.23)

Pour tous x;,ti, il existe des valeurs de p , q , a telles que x* = t*= O. On peut donc choisir sans perte de gnralit :

xo' = 6 = O ;de sorte que les orbites coadjointes

(C.24)

x* = -pt' I a,

=e,ei

J f(s)f(s)*Pe(a,)Pet(, -

*

s~v(s)dv(s~v(a)

(D.23) E n utilisant la formule de Hecke (D.9), on obtient :

ce qui, combin au thorme daddition (D.3), conduit &

J I T , ( ~ , ~d)vI (~a ) =

IIa(e)121frln12

(D.25)

e,

7n

et, de l, au rsultat. Le fait que cette construction nentre pas dans le cadre gomtrique dcrit dans ce chapitre nentrane pas pour autant que la transforme en ondelettes ainsi dfinie ne possde pas de proprit de covariance. En fait, il rbsulte de linvariance par rotation du produit scalaire de m3 que, si f ( s ) E L2(S2), si r E SO(3) est une matrice de rotation de lR3 et si on note fr(s) = f(r- . s) une copie tourne de f ( s ) , on a

pour tous a, a. On retrouve bien ainsi une proprit de covariance par rotation, similaire celle obtenue prcdemment.

Chapitre VI11

ALGORITHMES RAPIDES DE CALCUL DE LA TRANSFORME EN ONDELETTES

I

INTRODUCTION

Lun des problmes essentiels qui se posent cn pratique est celui du calcul effectif de la transforme en ondelettes dune fonction ou dun signal analyser. Considrons par exemple le cas simple de la transforme en ondelettes unidimensionnelle. On doit donc valuer des intgrales de la forme

Clairement, le choix dun algorithme de calcul prsuppose le clioix dune discrtisation de la transforme en ondelettes et donc le choix dun rseau dchantillonnage. Nous nous limiterons ici aux deux cas les plus simples. Le premier, que nous appellerons chantillonnage sur grille dyadique, est dict par les rgles de discrtisation que nous avons dcrites en discutant la construction de repres dondelettes. Le second respecte une version discrtise des proprits de covariance de la transforme en ondelettes (covariance par dilatation et translation) : la transforme en ondelcttcs dune copie translatc et dilate dun signal donn est gale la copie translate et dilate de la transforme du signal original, pour peu que la translation et la dilatation respectent le rseau de discrtisation. La solution la plus immdiate si lon dispose dune expression analytique pour la fonction f(x) est dutiliser des mthodes numriques dintgration (des mthodes pas adaptatif si ncessaire) pour lvaluation de (1.1). Cette mthode prsente lavantage dtre a p r i o n aussi prcise quon le dsire, mais est en gnral extrmement coteuse en temps de calcul, en particulier pour les grandes chelles (ie. les grandcs valciirs de a ) . Dans ce cas, le support de londelette $(b,a) crot proportioiiiiellcmcrit a et le temps de calcul galement. De plus, dans les cas pratiques (cest--dire pour le traitement de signaux numriques), quand on ne dispose pas dune expression analytique pour f (x), il est ncessaire dutiliser une procdure dinterpolation, par exemple, pour

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Algorithmes rapides de calcul

pouvoir se ramener au cas prcdent, ce qui est aussi coteux en temps de calcul. I1 faut alors valuer lintgrale (1.1) partir des chantillons de j(x), ce qui peut tre fait de faon approximative en utilisant pour discrtiser lintgrale des sommes de Riemann

(o lon a cliantillonii la frquence unit pour simplifier) ou une mthode de trapzes, ou autre en fonction de la prcision voulue. Bien entendu, ceci ne supprime en aucun cas le premier dfaut de la mthode, qui est de ncessiter un temps de calcul trs lev grande chelle. I1 est facile dvaluer la complexit de lalgorithme correspondant, cest--dire le nombre doprations effectuer. Si lon dispose de N = 2 L cliantillons du signal fn et que lon souhaite valuer T f ( b , a ) avec la mCme frquence dchantillonnage en b, sur des clielles en progression gomtrique, disons 2 j , j = 1, ...log2(N) pour fixer les ides, le nombre dchantillons de londelette j fix se comporte comme 2jM et le calcul j fix ncessite donc 2jMN oprations. En sommant sur les chelles, on obtient :L

2jMN 2 K N 21

pour une certaine constante Ii. I1 sagit donc dun algorithme en ( N 2 ) , extrimement lent pour grand N . Une alternative consiste utiliser la forme de la transforme en ondelettes donne par la foriniile de Parseval :

Dans ce cas, on reconnat immdiatement la transforme de Fourier iiiverse du produit f ( ( ) & u ( ) * , ce qui suggre dutiliser une mthode de transforme de Fourier rapide. Ainsi, la complexit de lalgorithme est rduite comme suit. Laissant de cot la premire FFT qui donne .f(E) partir de j(x), qui est effectue une bonne fois pour toute, on obtient pour le mime problme que prcdeinmciit L = log,(N) fois une FFT inverse, do un algorithme de complexit totale I i N log, (N) ce qui, pour N grand, rcprkseiite dj une amlioration certaine. Le dfaut de cette mthode est dutiliser la FFT comme une boite noire et dtre ainsiPour ce faire, on c o m p t e habituellement les multiplications, le cot dune addition t a n t e n gnaral plus faible.

Ondelettes sur une grille dyadique

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tributaire de sa qualit2 E n fait, il est possible dans certains cas de construire des algorithmes adapts la nature mme de la transforme en ondelettes. Ce sont ces algorithmes que nous allons maintenant dcrire. Ils ont en fait t dvelopps indpendamment des ondelettes, dans un contexte de traitement numrique des images. Nous avons choisi dans ce chapitre de commencer par dcrire la structure algorithmique elle-mme, avant denvisager son utilisation dans le calcul de transformes en ondelettes. Comme nous allons le voir, ces algorithmes correspondent davantage une mthodologie gnrale (filtrage et souschantillonnage) qu une technique fige. Ds lors, on peut concevoir beaucoup de variations autour du cadre que nous dcrivons ici.

Remarque : Nous nous restreindrons ici aux algorithmes de calcul de la transforme en ondelettes et ne discuterons pas la transforme de Gabor, pour la bonne et simple raison quil nexiste pas dalgorithme rapide de calcul de celleci autre que ceux fondCs sur lutilisation de la FFT. La raison essentielle en est que les algorithmes de type ondelettes sont fonds sur des ides de dilatation et sous-chantillonnage, iiaturcllement adaptCes des rseaux de discrtisation, au contraire des modulations qui sont la base de la tranforiiie de Gabor.

II

O N D E L E T T E S SUR UNE GRILLE DYADIQUE

Nous dbutons notre description par une analyse des algorithmes permettant un calcul efficace de la transforme en ondelettes sur une grille dite dyadique, cest--dire de la forme dcrite dans le chapitre consacr aux repbres dondelettes. I1 savre que, dans ce cas, il existe une relation trs troite entre les dcompositions en ondelet tes et les algorithmes pyramidaux dvelopps par les spcialistes de traitement numrique des images, savoir essentiellement la technique du laplacien pyramidal et du codage en sous-bandes. Avant den revenir aux ondelet tes, nous allons cominencer par dcrire ces deux techniques et, tout dabord, revenir sur le thorme dchantillonnage.

11.1

Le thorme dchantillonnage

Concentrons-nous dans ce cas au problme dchantillonnage (cest--dire de discrtisation) de fonctions dfinies sur la droite relle. La question essentielle est la suivante : peut-on chantillonner une fonction sans perte dinformation ? La rponse est bien entendu positive, condition de disposer dinformation a priori sur la fonction chantillonne, cest--dire de la certitude de pouvoir reconstruire la fonction partir des cliantillons par interpolation. Nous nous2 E n particulier, i l peut arriver que dans certaines implmentations, la phase de la FFT ne soit pas trs fiable.

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Algorithmes rapides de calcul

limiterons ici au cas de lchantillonnage des fonctions bande limite, cest-dire des fonctions appartenant un espace de Paley-Wiener

o w est un nombre rel non nul.

La question est : comment chantillonner convenablement une fonction f donne ? En dautres ternies, comment remplacer une fonction f E PW, par un enseinble discret de ses valeurs, sans perte dinformation ?On associe f la suite de nombres (chantillons) :

(11.2)

o i i ue est un nombre rel, appel frquence dchantillonnage. E n fait, pour que

lchantillonnage soit consistant, la frquence dchantillonnage ne peut tre choisie arbitrairement. Pour une fonction donne f, dans une certaine classe (f est suppose bande limite, cest--dire que sa transforme de Fourier est support compact), il existe une frquence critique, appele frquence de Shannon us. Dit autrement, pour une frquence dchantillonnage donne v,, il existe une frquence critique (appele frquence de Nyquist, un = TU,) telle que toute fonction ayant dans son spectre de Fourier des frquences suprieures la frquence critique ne pourra tre correctement chantilloiine. Avant dentrer dans plus de dtail, considrons lexemple simple dune fonction f ( z ) monochromatique, de pulsation wo. Dans ces conditions, il est vident que pour u, < w0/7rIT, cest--dire si lon prend moins de deux chantillons par priode de f(z), lchantillonnage sera insuffisant pour caractriser f(x) de manire consistante. Les traiteurs de signaux parlent dcliantillonner une fonction liarnioiiique deux points par cycle. Plus prcisment, le rsultat suivant (dit thorme dchantillonnage) montre que toute fonction f , dont la transforme de Fourier est support compact contenu dans un intervalle [-wo, W O ] ~ compltement caractrise par est les chantillons f n = f(nde) = f ( E ) , n E Z , pour toute frquence dchantillonnage infrieure la frquence de Shannon us = w o / ~ . Inversement, 1Cchaiitillonnage dune fonction continue qui nest pas bande limite moins de la frquence de Nyquist substitue celle-ci une autre fonction, qui est elle-mme bande limite par v, -cet effet est connu sous le nom aliaszng (plinomne de repliement).

Ondelettes sur une grille dyadique

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Thorme 1 Soit f(z)E PW,,.

(i) Si u, < w o / r , lciiaiitillonnage fn = f (n/v,) nepermetpas de dterniiner f (x) sans hypo thse supplnient aire. (ii) s u, > w o / r soit 4 E S ( I R ) une fonction tciie que s u p p ( 4 ) est contenu i dans iintervalle [-rv,,rv,] et 4(z) = 1 pour tout z dans lintervalle [ - W O , W O ] . Alors on a :

(11.3) (11.4)(iii) Si v, = w o / r ichantillonnagc pcrinct de dterminer f (z) si la suite est dans 12(22). f est alors donne par :fn

(11.5)

Nous ne donnerons pas ici la dmonstration de ce thorme bien connu (voir lintroduction du livre de Y. Mcycr par exemple pour une dcscription simple). Nous nous contenterons de lillustrcr par des arguments de physiciens. La base est la formule sommatoire de Poisson, que les physiciens ont lhabitude dinterprter cornine suit. On appelle peigne de Dirac la priodise de la masse de Dirac lorigine :

Dans un certain sens, la formule de Poisson (voir lannexe A) dit que la transforme de Fourier dun peigne de Dirac de priode v,- V , / , e ( z )est ( une (E constante prs) un peigne de Dirac de priode 2rv, V2rrv, ) . Si lon interprte lchantillonnage f n = f ( n / v , ) de la fonction f(z)comme une multiplication de f(x) par le peigne de Dirac de pitriode ve-, alors la transforme de Fourier discrte de {fn} sera le produit de coiivoliition de j ( < ) le peigne de Dirac par de priode 2rve, cest--dire la priodise de f( YI1

(1-8)

Si yf(z) est intgrable au sens dc Ricmann, f ( z ) est intgrable. Son intgrale de Lebesgue est alors :

Dans le cas gnral, on suppose If(z)I iiit6grable et on note : f+(z) (resp. f-(z)) est le produit de f ( z ) par la fonction de Heaviside H ( z ) (rcsp. H ( - z ) ) . Alors l'intgrale de Lcbcsgue de f(z)cst doiiric parr

roo

rm

(1.10)* i l s'agit en fait de la mesure ext6rieiire de Lebesgue, mais nous n