UNIVERSIDAD PRIVADA DEL NORTELaureate international Universities

APLICACIN DE INTEGRAL DEFINIDA EN TOLVA DE LLENADO

CURSO: MATEMATICA 2

PROFESOR : FREDY RAMIREZ

CICLO : 3 er CICLO AULA: 604

COORDINADOR: JUAN CASTELLO LOPEZ

INTEGRANTES : VARGAS MEJIA CESAR SANCHEZ GONZAGA LUIS LUNA ARCOS WILLIAN

TABLA DE CONTENIDOSINTRODUCCION1. GENERALIDADES1.1 DESCRIPCION DE LA EMPRESA1.2 DESCRIPCION DEL OBJETO1.3 CONTORNO DEL OBJETO1.3.1 INDICACION DEL OBJETO CON MEDIDAS2. FUNDAMENTACION2.1 FORMULAS DE INTEGRACION DEL AREA DE CONTORNO2.2 FORMULAS MATEMATICAS DEL VOLUMEN DEL OBJETO3 DEFINICION MATEMATICA3.1 FUNCIONES MATEMATICAS DEL CONTORNO3.2 DOMINIO Y RANGO DE LA FUNCION3.3 INTEGRAL DEFINIDA APLICADA A LA FUNCION3.4 VOLUMEN DE REVOLUCION3.5 INTERPRETACION DEL OBJETO4. CONCLUSIONES5. ANEXOS6. GLOSARIO7. BIBLIOGRAFIA

INTRODUCCION

La integracin es un concepto fundamental del clculo y del anlisis matemtico. Bsicamente, las integrales es la suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeos.El clculo integral, encuadrado en el clculo infinitesimal, es una rama de las matemticas en el proceso de integracin o anti derivacin, es muy comn en la ingeniera y en la ciencia tambin; se utiliza principalmente para el clculo de reas y volmenes de regiones y solidos de revolucin.En este caso, se va aplicar los mtodos y estudios de las integrales vistos en clase, en una tolva de llenado de harina para la produccin de fideos de la empresa Molitalia. Principalmente se usara la integral definida, para hallar su volumen y rea, teniendo como datos las medidas del objeto, para el anlisis matemtico.

1. GENERALIDADES

1.1 DESCRIPCION DE LA EMPRESA

Razn Social: MOLITALIA S.A

RUC: 20100035121

Nombre Comercial: MOLITALIA

Tipo Empresa: SOCIEDAD ANONIMA

Direccin Legal: Av. VENEZUELA Nro. 2850

Distrito / Ciudad: LIMA

Somos parte de un slido grupo empresarial orientado a la fabricacin y comercializacin de alimentos de consumo masivo, presente en gran parte de Latinoamrica y con un crecimiento en aumento a travs de los aos.En el Per, hoy en da nuestra empresa cuenta con marcas como Molitalia, Costa, Ambrosoli, 3 Ositos, Fanny, Marco Polo, San Remo y O'Rayan, compitiendo con gran xito en las categoras de pastas, harinas, smolas, galletas, wafers, bizcochos, chocolates, caramelos, avenas, conservas de pescado, conservas de fruta, mermeladas y cereales para el desayuno."

MISINSer una empresa multinacional especializada en la industria alimenticia, reconocida por su alta productividad y fuerte cultura, propia de una empresa familiar, sustentando su liderazgo en el mercado nacional.

VISINDesarrollar el espritu empresarial creando actividades productivas exitosas en el rubro alimenticio, dentro del marco de una cultura familiar que trascienda de generacin en generacin, lo anterior satisfaciendo plenamente a nuestros clientes y consumidores, impulsando el crecimiento de nuestra empresa y su personal y contribuyendo al engrandecimiento del pas

1.2 DESCRIPCION DEL OBJETO

El objeto que hemos tomado para el estudio es una tolva (como se muestra en el flujo grama), esta se encuentra ubicada en parte superior de la lnea, tiene su funcin es filtrar e inyectar la harina para luego ser dosificado e ingresar a la amasadora.La tolva es un dispositivo similar a un embudo de gran tamao.Es de forma cnica y de paredes inclinadas como las de un cono.Presenta las siguientes medidas:Dimetro superior 50 cm.Dimetro inferior 13 cm Longitud 162 cmEspesor 0,5 cm

1.3 CONTORNO DEL OBJETO

2. FUNDAMENTACION2.1 FORMULAS DE INTEGRACION DEL AREA DE CONTORNOEl concepto de integral definida surge ntimamente ligado al de rea. Riemann introduce la integral definida de una funcin continua en un intervalo a partir del lmite de una suma de reas de rectngulos. Por ello, una de las aplicaciones ms inmediatas de la integral definida es el clculo de reas de recintos planos acotados y definidos por curvas o grficas de funciones.El clculo de reas sencillas limitadas por curvas puede contribuir a ayudar al alumno a comprender la potencia del clculo integral y a familiarizarse con aspectos prcticos del mismo. Ha de servir como introduccin para otras aplicaciones de las integrales en los diferentes campos de la ciencia: Fsica, Biologa, Ingeniera o Economa. En ellas, la integral definida permitir medir magnitudes a travs de la medida de reas.Si la funcin es positiva en un intervalo [a, b] entonces la grfica de la funcin est por encima del eje de abscisas. El rea de la funcin viene dada por:

Para hallar el rea seguiremos los siguientes pasos:1 Se calculan los puntos de corte con con el eje OX, haciendo f(x) = 0 y resolviendo la ecuacin. 2 El rea es igual a la integral definida de la funcin que tiene como lmites de integracin los puntos de corte. Ejemplos1. Calcular el rea del recinto limitado por la curva y = 4x x2 y el eje OX.En primer lugar hallamos los puntos de corte con el eje OX para representar la curva y conocer los lmites de integracin.

En segundo lugar se calcula la integral:

Se detalla a continuacin las integrales que nos servirn para determinar el rea del objeto, teniendo como datos las funciones extradas del programa GEOGEBRA.

Formula de integracin del rea del contorno exterior

Formula de integracin del rea del contorno interior

2.2 FORMULAS MATEMATICAS QUE DETERMINAN EL VOLUMEN DEL OBJETOPrimero debemos tener claro que es un volumen para luego hacernos una idea de como calcularlo en el clculo integral. Un volumen es una magnitud definida como el espacio ocupado por un cuerpo. Es una funcin derivada ya que se halla multiplicando las tres dimensiones.En matemticas el volumen es una medida que se define como los dems conceptos mtricos a partir de una distancia o tensor mtrico.En fsica, el volumen es una magnitud fsica extensiva asociada a la propiedad de los cuerpos fsicos de ser extensos, que a su vez se debe al principio de exclusin de Pauli.La unidad de medida de volumen en el Sistema Internacional de Unidades es el metro cbico, aunque temporalmente tambin acepta el litro, que se utiliza comnmente en la vida prctica.

V = masa / densidad.

A continuacin mostraremos algunas de las formas geomtricas ms comunes, y las ecuaciones parahallar su volumen.Cilindro:

El volumen del cuerpo de revolucin engendrado al girar la curva f(x) alrededor del eje OX y limitado por x = a y x = b, viene dado por:

Ejemplos1. Hallar el volumen engendrado por las superficies limitadas por las curvas y las rectas dadas al girar en torno al eje OX:y = sen xx = 0x =

A continuacin se seala las formulas integrales que se van aplicar para la obtencin del volumen del objeto,teniendo como base las funciones extraidas del programa GEOGEBRA.

3. DEFINICION MATEMATICA3.1 FUNCIONES MATEMATICAS DEL CONTORNO OBJETOEn matemticas, se dice que una magnitud o cantidad es funcin de otra si el valor de la primera depende exclusivamente del valor de la segunda. Por ejemplo el rea A de un crculo es funcin de su radio r: el valor del rea es proporcional al cuadrado del radio, A = r2. Del mismo modo, la duracin T de un viaje de tren entre dos ciudades separadas por una distancia d de 150 km depende de la velocidad v a la que este se desplace: la duracin es inversamente proporcional a la velocidad, d / v. A la primera magnitud (el rea, la duracin) se la denomina variable dependiente, y la cantidad de la que depende (el radio, la velocidad) es la variable independiente.En anlisis matemtico, el concepto general de funcin, aplicacin o mapeo se refiere en a una regla que asigna a cada elemento de un primer conjunto un nico elemento de un segundo conjunto (correspondencia matemtica). Por ejemplo, cada nmero entero posee un nico cuadrado, que resulta ser un nmero natural (incluyendo el cero):

Las funciones matematicas fueron extraidas del programa geogebra mediante el despeje de las ecuaciones para hallar la funcionf(x) .

recta

diagonal

recta

parabola

Puntos de interseccion

3.2 DOMINIO Y RANGO DE FUNCION

Como ya vimos, el dominio de una funcin es el conjunto de valores para los cuales la funcin est definida; es decir, son todos los valores que puede tomar la variable independiente (la x). Por ejemplo la funcin f(x) = 3x2 5x est definida para todo nmero real (x puede ser cualquier nmero real). As el dominio de esta funcin es el conjunto de todos los nmeros reales.En cambio, la funcin tiene como dominio todos los valores de x para los cuales 1< x < 2, porque aunque pueda tomar cualquier valor real diferente de 2, en su definicin determina en qu intervalo est comprendida.Si el dominio no se especfica, debe entenderse que el dominio incluye a todos los nmeros reales para los cuales la funcin tiene sentido.En el caso de la funcin , el dominio de esta funcin son todos los nmeros reales mayores o iguales a 3, ya que x + 3 debe ser mayor o igual que cero para que exista la raz cuadrada.Como resumen, para determinar el dominio de una funcin, debemos considerar lo siguiente:Si la funcin tiene radicales de ndice par, el dominio est conformado por todos los nmeros reales para los cuales la cantidad subradical sea mayor o igual a cero.Si la funcin es un polinomio; una funcin de la forma f(x) = a0 + a1x + a2x2 +...+ anxn (donde a0, a1, a2,..., an son constantes y n un entero no negativo), el dominio est conformado por el conjunto de todos los nmeros reales.Si la funcin es racional; esto es, si es el cociente de dos polinomios, el dominio est conformado por todos los nmeros reales para los cuales el denominador sea diferente de cero.El rango (recorrido o mbito) es el conjunto formado por todas las imgenes; es decir, es el conjunto conformado por todos los valores que puede tomar la variable dependiente; estos valores estn determinados adems, por el dominio de la funcin.EjemploIdentificar dominio y rango de la funcin

Veamos:Como la funcin tiene radicales el dominio est conformado por todos los valores para los cuales x 2 0. Esto es, el dominio de la funcin incluye todos los reales que son mayores o iguales a 2.El rango es igual al conjunto de los nmeros reales positivos incluyendo el cero; puesto que al reemplazar los valores del dominio se obtienen nicamente valores positivos bajo la funcin f.

El dominio de la funcin

0 x

10 x

110 x

160 x

El rango de la funcin

Rf(6.5)

Rf(6.5,25)

Rf(25)

Rf(0,25)

Puntos de interseccin

3.3 INTEGRAL DEFINIDA APLICADA A LA FUNCION

Dada una funcin f(x) y un intervalo [a,b], la integral definida es igual al rea limitada entre la grfica de f(x), el eje de abscisas, y las rectas verticales x = a y x = b.

La integral definida se representa por . es el signo de integracin.a lmite inferior de la integracin.b lmite superior de la integracin.f(x) es el integrando o funcin a integrar.dx es diferencial de x, e indica cul es la variable de la funcin que se integra.Propiedades de la integral definida1. El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los lmites de integracin.

2. Si los lmites que integracin coinciden, la integral definida vale cero.

3. Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se descompone como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].

4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales

5. La integral del producto de una constante por una funcin es igual a la constante por la integral de la funcin.

Funcin integralSea f(t) una funcin continua en el intervalo [a, b]. A partir de esta funcin se define la funcin integral:

que depende del lmite superior de integracin.Para evitar confusiones cuando se hace referencia a la variable de f, se la llama t, pero si la referencia es a la variable de F, se la llama x.Geomtricamente la funcin integral, F(x), representa el rea del recinto limitado por la curva y = f(t), el eje de abscisas y las rectas t = a y t = x.

A la funcin integral, F(x), tambin se le llama funcin de reas de f en el intervalo [a,b].

Calculo de reas con integrales definidas

Calculo contorno exterior

Calculo de contorno interior

3.4 VOLUMEN DE REVOLUCION

Mtodo del disco circularEste mtodo consiste en hacer rotar nuestra funcin sobre algn eje para obtener un slido de revolucin que pueda modelarse como la sumatoria de discos. El rea transversal de los discos ser el rea de un circulo, y el ancho ser un. Es importante saber el eje de rotacin, ya que dependiendo de esto se encuentra o despeja la ecuacin en funcin de la variable especficamente. Por ejemplo si rotramos la funcin en el eje y, despejamos la funcin dependiendo de y. Siendo el ancho del disco. Por lo tanto,n = Cantidad de discos usadosUsualmente el radio del disco est dado por le funcin. Para estos casos, haciendo el nmero de discos tender al infinito:

Ahora lo cambiamos a forma de integral (si es el lmite inferior y es el lmite superior): .En el caso de que el radio no este dado por la funcin, debemos encontrarlo segn las condiciones del problema dado.De forma ms general, el volumen ser: (Si r est en funcin de x).

Volumen Mediante Mtodo de Arandelas Este mtodo se basa en el mtodo anterior llamado "Mtodo de Discos" pero en este caso se utilizan dos discos. El disco ms pequeo es vaci por la tanto se le da el nombre de arandela por formar un especie de solido hueco. En trminos generales este mtodo se utiliza cuando el eje de rotacin se encuentra a una distancia de la funcin que formara el slido. Este espacio entre el eje y la funcin crea un hueco en el slido, por esto mismo se necesita restar el rea del hueco al solido en revolucin. Es muy importante mentalizar que este mtodo se utiliza dos radios por lo tanto dos discos diferentes pero siempre el ancho del disco es o dependiendo del eje de rotacin.

1. Se dibuja, en un diagrama, el rea generatriz, una franja representativa paralela al eje de rotacin, y su rectngulo correspondiente. 2. Se halla el volumen (= circunferencia media X altura X espesor) del anillo cilndrico producido en la rotacin del rectngulo genrico con respecto al eje de giro y se halla la suma correspondiente a los n rectngulos. 3. Se aplica el teorema fundamental, o regla de Barrow, suponiendo que el nmero de rectngulos crece indefinidamente.

Calculo de volmenes de objeto

CONCLUSIONES Las integrales son una buena herramienta, ya que podemos dar varias aplicaciones, como en este caso la determinacin del volumen. Adems se utiliza para la determinacin de reas, presiones facilitando el trabajo.

Las integrales nos sirve para el estudio de volmenes y superficies irregulares, mediante la integracin de las funciones del contorno del objeto.

Las integrales tambin es usada en otros campos como la Fsica, Mecnica de fluidos, Termodinmica y en el clculo de resultados para la evaluacin de proyectos como construcciones de puentes y infraestructuras.

GLOSARIO

AREA:Es una medida de extensin de una superficie expresada en unidades de medida.CONTORNO: Conjunto de lneas que limitan una figura, forma que presenta un objeto cuando esta sobre un fondo ms claro que l.DERIVADA: La derivada de una funcin es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha funcin matemtica, segn cambie el valor de su variable independiente.FUNCION: En matemticas, se dice que una magnitud o cantidad es funcin de otra si el valor de la primera depende exclusivamente del valor de la segunda.INTEGRAL DEFINIDA:Es un concepto utilizado para determinar el valor delas reas limitadas por curvas y rectas dados en el intervalo(a,b)en el que para cada uno de sus puntos x se elige una funcin F(X).METODO DE LA ARANDELA: Este mtodo se basa en el mtodo anterior llamado "Mtodo de Discos" pero en este caso se utilizan dos discos. El disco ms pequeo es vaci por la tanto se le da el nombre de arandela por formar un especie de solido hueco. En trminos generales este mtodo se utiliza cuando el eje de rotacin se encuentra a una distancia de la funcin que formara el slido.METODO DEL DISCO: Este mtodo consiste en hacer rotar nuestra funcin sobre algn eje para obtener un slido de revolucin que pueda modelarse como la sumatoria de discos. El rea transversal de los discos ser el rea de un circulo, y el ancho ser un. Es importante saber el eje de rotacin, ya que dependiendo de esto se encuentra o despeja la ecuacin en funcin de la variable especficamenteSOLIDO DE REVOLUCION: Se denomina slido de revolucin o volumen de revolucin, al slido obtenido al rotar una regin del plano alrededor de una recta ubicada en el mismo, las cuales pueden o no cruzarse. Dicha recta se denomina eje de revolucinTOLVA: Se denomina tolva a un dispositivo similar a un embudo de gran tamao destinado al depsito y canalizacin de materiales granulares o pulverizados, entre otros.VOLUMEN: Es la cantidad de espacio que ocupa un cuerpo.El volumen es una magnitud fsica derivada. La unidad para medir volmenes en el Sistema Internacional es el metro cbico (m3) que corresponde al espacio que hay en el interior de un cubo de 1 m de lado.

BIBLIOGRAFIA

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Haeussler, Ernest F., y Paul, Richard S., Matemticas para administracin y economa. Editorial Pearson decimosegunda edicin.

Arya, Jaddish C. y Lardner, Robin W., Matematicas aplicadas, Prentice Hall, quinta edicin. 2010

Edwin Purcell,Dale Varberg,Steven Rigdon ,Calculo diferencial novena edicin ,capitulo 4 pagina 215.

Burton, David M. (2005). The History of Mathematics: An Introduction (6th edicin). McGraw-Hill. p.359

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