thomas c. hales- remarks on the density of sphere packings in three dimensions

8/3/2019 Thomas C. Hales- Remarks on the Density of Sphere Packings in Three Dimensions

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COMBINATORICAA k a d ~ m i a i K i a d 6 - S p r i n g e r - V e r l a g

C O M B I N A T O R I C A 1 3 ( 2 ) ( 1 9 9 3 ) 1 8 1 - 1 9 7

R E M A R K S O N T H E D E N S I T Y O F S P H E R E P A C K I N G SI N T H R E E D I M E N S I O N S

T H O M A S C . H A L E SR ece i ved Ja n u a r y 2 5 , 1 9 9 0R ev i s ed Decemb er 1 2 , 1 9 9 1

T h i s p a p e r s h o w s h o w t h e d e n s i t y o f s p h e r e p a c k i n g s o f s p h e r e s o f e q u a l r a d i u s m a y b es t u d i e d u s i n g t h e D e l a u n a y d e c o m p o s i t i o n . U s i n g th i s d e c o m p o s i t i o n , a l o c a l n o t i o n o f d e n s i t y f o rs p h e r e p a c k i n g s i n R 3 i s d e f in e d . C o n j e c t u r a l l y t h i s a p p r o a c h s h o u l d y i e l d a b o u n d o f 0 . 7 4 0 8 7 3 . . .o n s p h e r e p a c k i n g s i n N 3 , a n d a s m a l l p e r t u r b a t i o n o f t h i s a p p r o a c h s h o u l d y ie l d t h e b o u n d o f~ v /x /'i 8. T h e f a c e - c e n t e r e d - c u b i c a n d h e x a g o n a l - d o s e - p a c k i n g s p r o v i d e lo c a l m a x i m a ( i n a s t r o n gs e n s e d e fi n e d b e l o w ) t o t h e f u n c t i o n w h i c h a s s o c i a t e s t o e v e r y s a t u r a t e d s p h e r e p a c k i n g i n N 3 i t sd e n s i ty . T h e l o c a l m e a s u r e o f d e n s i t y c o i n c i d e s w i t h t h e a c t u a l d e n s i t y fo r t h e f a c e - c e n t e r e d c u b i ca n d h e x a g o n a l - c l o s e - p a c k i n g s .

I n t r o d u c t i o n

A n o l d c o n j e c t u r e s t a te s t h a t i n t h r e e d i m e n s i o n s n o s p h e r e p a c k i n g h a s d e n s i t ye x c e e d i n g t h a t o f t h e p a c k i n g o b t a i n e d b y p l a c in g s p h e r e s o f u n i t r a d i u s a t t h el a t t i c e p o i n t sm l V l q - m 2 v 2 -k m 3 v 3 , V l = ( 2 , 0 , 0 ) , v 2 - --- ( 1 , x / 2 , 1 ) , v 3 = ( 0 , 0 , 2 ) , m i E Z .

T h i s l a t t i c e i s c a l le d t h e f a c e - c e n t e r e d - c u b i c la t t i c e o r t h e A 3 - 1 a tt ic e . D e n o t e i t b yA fcc . O t h e r p a c k i n g s h a v e t h e s a m e d e n s i t y , n o t a b l y t h e h e x a g o n a l - c l o s e - p a c k i n gAhcp .T h e p u r p o s e o f t h i s n o t e is t o t a k e a f e w st e p s t o w a r d s t h e s o l u t i o n o f t h i sp r o b l e m . W e d e s c r i b e a c o n t i n u o u s f u n c t i o n f o n a c o m p a c t s u b s e t K o f E u c l i d e a ns p a c e w h i c h g iv e s a c o m p a c t b o u n d o n t h e d e n s i t y o f s p h e r e p a c k i n g s i n t h r e ed i m e n s i o n s i n t h e f o l l o w i n g s e n s e . I f A is t h e s e t o f c e n t e r s o f a s a t u r a t e d s p h e r ep a c k i n g w e o b t a i n a m a p ~ = ~ A

~:A--- -~ Ks u c h t h a t t h e d e n s i t y o f t h e p a c k i n g A d o e s n o t e x c e e d s u p f o ~ . T h e m a p ~ i s

Al o ca l i n t h e s e n se th a t ~ ( v ) d e p e n d s o n A o n l y t h r o u g h t h e p o i n t s B 4 ( v ) N A w h e r eB 4 ( v ) i s t h e b a l l o f r a d i u s 4 a b o u t v .O f c o u r se o t h e r c o m p a c t b o u n d s ( f , K ) h a v e b e e n p r o p o s e d in t h e p a s t. H o w -e v e r , t h e c o n s t r u c t i o n g i v e n h e r e h a s t h e f o l lo w i n g r e m a r k a b l e p r o p e r t i e s .A M S s u b j e c t c l a s s i f i c a t i o n c o d e ( 1 9 9 1 ) : 0 5 B 40 , 52 C 1 7


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1 8 2 T H O M A S C . H A L E S

1 . f ( ~ ( v ) ) is i n d e p e n d e n t o f v E A f c c .2 . f ( ~ ( v ) ) , v E A f c c i s e q u a l t o t h e d e n s i t y o f t h e p a c k i n g A lec.3 . ~ (A fcc ) i s f i n i t e .4 . E a c h p E% o (A fc c) i s a l o c a l m a x i m u m o f f o n K .

T h e s a m e s t a t e m e n t s h o l d w i t h A r cc r e p l a c e d b y A h c p . A n e a r l y v e r s i o n o ft h i s p a p e r i n c o r r e c tl y c o n j e c t u r e d t h a t t h e g l o b a l m a x i m u m o f f o n K is 7 r / x / ~ .H o w e v e r , t h e r e i s c o n s i d e r a b l e n u m e r i c a l e v i d e n c e d e s c r i b e d i n [4] t h a t t h e g l o b a lm a x i m u m o f f w i ll gi ve a n e x t r e m e l y g o o d b o u n d o n s p h e r e p a c k in g s : 0 .7 4 08 7 3 . . . .B y p e r t u r b i n g f t o cl o s e ly r e l a t e d f u n c t i o n s f l d i s c u s s e d in [ 4 ], n u m e r i c a l e v i d e n c es t r o n g l y s u g g e s t s t h a t w e m a y a ls o o b t a i n t h e b o u n d o f ~ r /v Z i8 f r o m t h i s m e t h o d .

T h e s e t K m a y b e t h o u g h t o f a s th e s e t o f c o n f i g u r a ti o n s o f a fi n it e n u m b e ro f s p h e r e s a r o u n d a f ix e d c e n t r a l s ph e r e . A l t h o u g h w e h a v e m a d e n o a t t e m p t t oo b t a i n t h e b e s t p o s s i b l e b o u n d o n t h e n u m b e r o f s p h e r e s o n e m u s t c o n s id e r , w es h o w t h a t e v e r y su c h c o n f i g u r a t i o n c o n s i s ts o f a t m o s t 5 3 s p h e r e s a r o u n d a fi xe dc e n t r a l s p h e r e .

T h e m o s t e x t e n s i v e l y s t u d i e d c o m p a c t b o u n d o f l a t ti c e p a c k in g s , t h a t b a s e do n V o r o n o i c ei ls , d o e s n o t s a t i s f y p r o p e r t y 4 . O u r a p p r o a c h , w h i c h i s b a s e d o n t h eD e l a u n a y d e c o m p o s i t i o n , is d u a l t o t h a t a p p r o a c h .

B y a p p l y i n g o u r c o n s t r u c t i o n t o t h e p a c k i n g o f d i sk s i n th e p l a n e , w e r e co v e rt h e s i m p l e p r o o f o f L . F ej e s T d t h [2] t h a t n o p a c k i n g i n tw o d i m e n s i o n s h a s d e n s i t ye x c e e d i n g 7 r / V / ~ . R e c e n t w o r k o f W . - Y . H s i a n g , c a r r ie d o u t s o m e t im e a f t e r t h i sp a p e r w a s w r i t t e n , s t u d i e s s p h e r e p a c k i n g s u s i n g V o r o n o i ce lls . T h e p a p e r o f J . H .L i n d s e y I I [5] m a k e s i m p l i c i t u s e o f D e l a u n a y s i m p l i c e s.S i n c e K i s c o m p a c t a n d f i s t h e r e s t r i c t i o n t o K o f a p i e c e w i s e a n a l y t i c f u n c t i o no n e m a y i n v e s t i g a t e t h e b e h a v i o r o f f o n K n u m e r i c a l ly . T h i s li n e o f i n v e s t i g a t i o ni s p u r s u e d i n [ 4 ]. A l l o f t h e c a l c u l a t i o n s t h a t f o ll o w a r e e l e m e n t a r y . W e h o p e t h a tt h i s m i g h t c o n v i n c e s o m e r e a d e r s t h a t t h is p a r t o f H i l b e r t ' s 1 8 t h p r o b l e m is n o tb e y o n d r e a c h .

S e c t i o n IT h i s s e c t i o n g i ve s a b o u n d o n t h e d e n s i t y o f s p h e r e p a c k i n g s b a s e d o n t h e

D e l a u n a y d e c o m p o s i t i o n a s s o c i a t e d t o a p a c k i n g .A s p h e r e p a c k i n g i n R n i s a s e t o f p o i n t s A C_ R n s u c h t h a t d ( v , w) > _ 2 fo r a l lv , w E A , v # w , d ( v , w ) = E u c l i d e a n d i s t a n c e o n R n . T h e d e n s i t y 6 A o f a s p h e r ep a c k i n g A i s d e f i n e d a s

v o l( B N ( W ) N B l ( v) )s u p l i m s u p y e A~ e R n N - ~o o v ~ '

w h e r e B t ( w ) , t E N + , w E 1Rn i s t h e o p e n b a l l o f r a d i u s t c e n t e r e d a t w E 1Rn . W ea l w a y s t a k e B t ( w ) t o b e o p e n , a n d t h e v a r i o u s p o l y t o p e s i n th i s p a p e r t o b e c l o se d .I f t h e r e e x i s t s w ~ c R n s u c h t h a t d ( v , w ~) > 2 fo r a l l v E A , t h en A '= A U { w ~} i sa s p h e r e p a c k i n g a n d 6A' >--6A. W h e n l o o k i n g fo r p a c k i n g s o f h i g h d e n s i t y w e s h a ll

a s s u m e w i t h o u t l os s o f g e n e r a l i t y t h a t t h e p a c k i n g h a s t h e p r o p e r t y : F o r a ll w ' E


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REMARKS ON THE DENSITY OF SPHER E PACKINGS 183

N n , 3 v E A s u c h t h a t d ( v , w ~)


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1 8 4 T H O M A S C . H A L E S

T h e o r e m 1 . Le t A be a sa tura ted pack ing . Supp ose 1 > ~ > 0 i s chosen so tha t ~ < 1w h e r ede f F6 ( A)0" = ( n + 1 ) v o l ( B l ( 0 ) ) "

T h e n~ A - - < 1 - - ~

P r o o f . F i x w 6 ]Rn, v E A, le t D * ( v ) d e n o t e th e D e l a u n a y s t a r a s s o c ia t e d t o v. L e tA N = ( v e A i D * ( v ) C B N ( w ) } , N > > O a n d le t A E N R R = { v6 A I v C A N } .

Z v ~ n B l ( v ) )v 6 A

v o l ( D * ( w ' ) n B l ( v ) ) + E l ( N ) ,=Z n+lw t C A N y E A

= ~ [ r ~ ( D * ( ~ ' ) ) + ~ v o l ( D * ( w ' )) ] + E l ( N )n + lw t 6 A N

< Z Fs(A-----!) ~ v ~ - E 2 ( N ) + E l ( N ) ,- n + lw t 6 A N

w i t h E 2 ( N ) - Z v o l ( B N ( w ) N D * ( w ' ) )w t E A / %R R

I A N I rS ( 3 ) E l ( N ) - E 2 ( N )o l ( B N ( ~ ) n B l ( v ) ) < + ~ +V"z ._ , v o l ( B N ( w ) ) ( n + 1 ) v o l ( B N ( w ) ) v o l ( B N ( w ) )yE AT a k e l i m s u p , u s in g E l ( N ) , E 2 ( N ) = O ( N n - 1 ) , v o l ( B N ( W ) ) = c N n , c ~ O .N - - + o o. ~ v o l ( B N ( w ) n B I ( V ) ) F 6 ( A ) [ I A N I v o l ( B l ( O ) ) ]lm su p ~ - - -


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R E M A R K S O N T H E D E N S I T Y O F S P H E R E P A C K I N G S 18 5

S e c t i o n 2T h i s s e c t io n g i v e s a n e x p r e s s i o n f o r F s ( D * ) .

L e m m a 2 .1 . I f D* = D* (v ) , v c A , i s a De launay s tar o f a sa tura ted pack ing A t h e nB l ( V ) C D * ( v ) .P r o o f . L e t S b e a D e l a u n a y s i m p l e x w i t h v e r t e x v . I t is e n o u g h t o s h o w t h a tB l ( v ) d o e s n o t i n t e rs e c t t h e f a c e o f S o p p o s i t e v , f o r t h e n B l ( V ) c a n n o t m e e t t h eb o u n d a r y o f D * ( v) .T h e s p h e r e E c i r c u m s c r i b i n g S h a s r a d i u s 1 < r < 2 a n d c e n t e r 0 . L e t H d e n o t et h e h y p e r p l a n e b e t w e e n v a n d 0 d i s t a n c e 1 f r o m v n o r m a l t o th e l i ne th r o u g h va n d 0 . I f w l ie s o n t h e s p h e r e E o n t h e s a m e s id e o f H a s v t h e n d ( v , w ) K d ( v , w o )w h e r e w 0 l ie s o n H N E . N o w d ( v , wo ) , c o n s i d e r e d a s a f u n c t i o n o f t h e r a d i u s r , i si n c r ea s i n g in r a n d t a k e s t h e v a l u e 2 w h e n r = 2 . h e n c e d(v ,w) 2 . C o n s e q u e n t l y e v e r y v e r t e x o fS o t h e r t h a n v li es a c r o s s H f r o m v . T h u s t h e o p e n b a l l B ] ( v ) d o e s n o t m e e t t h ef a c e o f S o p p o s i t e v . |

/ f % ,\ /

\ / 'J

H

F i g . 1I f S i s a n y D e l a u n a y n - s i m p l e x C_ ] ~n d e f i n e

( * ) F s ( S ) --~ -6 v o l ( S ) q- E v o l ( S A B l ( v ) ) .V

H e r e v r u n s o v e r t h e v e r t i c e s o f S . I f S i s a D e l a u n a y s i m p l e x w i t h v e r t i c e s a tv o , . . . , V n w r i t e o i ( S ) - - v o l ( S N B l ( v i ) ) , i = 0 , . . . , n , a n d p ( S ) = ~ Q i ( S ) , s o t h a tF s ( S ) = - 6 v o l ( S ) + Q ( S ). A l s o b y L e m m a 2 .1 , if D * is a D e l a u n a y s t a r( 2 .2 ) r s ( D * ) = Z r ( s)

S C D *( t h e s u m r u n n i n g o v e r D e l a u n a y s i m p l ic e s l y in g in D * ) .T h e D e l a u n a y s t a r D * ( v ) a b o u t v E A d e t e r m i n e s a t r i a n g u l a t i o n o f t h e u n i ts p h e r e a t v - e a c h s p h e r i c a l t r i a n g l e i s t h e i n t e r s e c t i o n o f t h e u n i t s p h e r e w i t h aD e l a u n a y s i m p l e x . T h e s p h e r i c a l t r ia n g l e s c o v e r t h e s p h e r e a n d d o n o t i n t e r c e p te x c e p t a l o n g g eo d e s i c e d g es . L e t A b e a s a t u r a t e d p a c k i n g , D * a D e l a u n a y s t a r o fA a b o u t v E A .


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1 86 T H O M A S C . H A L E S

L e m m a 2.3 . E ve ry edge o f the spher ica l t r iangula t ion o f B l ( v ) has geodes ic l eng tha t l eas t r e~6 , and a t m os t 2 ~ r / 3 .P r o o f . L e t v x , v p , v Q b e t h r e e v e r t i c e s o f a D e l a u n a y s i m p l e x . L e t 0 b e t h e c e n t e ro f t h e c i rc l e c i r c u m s c r i b i n g v x , v p , V Q . S i n c e d ( v p , v Q ) > 2 >_ d ( O , v p ) = d ( O , v Q ) ,w e h a v e / v p O v Q _> 7r/3. T h e n / v p v x v Q = 8 9 _> I r / 6 . I f t w o ang l e s a r e a tl e a s t z c / 6 t h e t h i r d i s a t m o s t 27c/3. |

N o w t u r n t o p a c k i n g s i n t h r e e d i m e n s i o n s . T h e v o l u m e v o l ( S ) o f a s im p l e xS w i t h v e r t i c e s 0 , v l , v 2 , v 3 i s I d e t ( v l , v 2 , v 3 ) I / 6 a n d h e n c e d e p e n d s a n a l y t i c a l l y o nt h e c o o r d i n a t e s o f Vl, v 2, v 3 o n a n y o p e n s e t f o r w h i c h d e t ( v l , v 2 , v 3 ) has f i xed s i gn .N o w 3 0 i ( S ) i s t h e s o l id a n g l e o f S a t v i w h i c h i s g i v e n b y t h e c l a s s i c a l f o r m u l a f o rt h e a r e a o f a s p h e r i c a l t r ia n g l e : a l + c~ 2 + ( ~ 3 - r r w h e r e o~ 1,c t2 ,o ~ ( d e p e n d i n g o n i )a r e t h e a n g l e s o f t h e s p h e r i c a l t r i a n g l e c u t o u t b y S o n t h e s p h e r e o f r a d i u s 1 a t v i.W e n o t e t h a t t h e s p h e r i c a l l a w o f c o s in e s s t a t e s t h a t i f / ~ 1 , / ~ 2 , / ~ 3 a r e t h es p h e r i c a l le n g t h s o f t h e s id e s o f a t r ia n g l e w i t h o p p o s i t e a n g l e s a l , a 2 , a 3 t h e n

C O S / 31 - - C O S f 12 C O S ~ 3co s C~l = sin r sin/~3a n d s i m i l a rl y f o r a 2 a n d a 3 . I n p a r t i c u l a r , a j a n d Q i (S ) d e p e n d a n a l y t i c a l l y o nt h e l e n g t h s ~ j w h e n / 3 j s a t i s f y 0 < ~ j < ~r a n d ~ j r I~k 4- /~1, ( j , k , ~ a p e r m u t a t i o no f 1 ,2 , 3 ). T h u s u s i n g L e m m a 2 . 3 , o n e s e es t h a t 0 j ( S ) i s a n a l y t i c w h e n t h e t r ia n g l 9h a s p o s i t i v e a r e a . A l s o , f o r i n s t a n c e , i f S h a s v e r t i c e s O, Vl,V2 ,V3, a n d ~ ] , ~ 2 , ~ 3a r e t h e s p h e r i c a l l e n g t h s ( E u c l i d e a n a n g le s ) f o r t h e v e r t e x o f S a t t h e o r ig i n , t h e nc o s f lj = v k . v e / t v k l l v d w h e r e a g a i n j , k , ~ a r e a p e r m u t a t i o n o f 1 , 2 , 3 ; a n d t h i s g i v esg ( S ) a n a l y t i c a l l y in t e r m s o f t h e c o o r d i n a t e s o f t h e v e r t i c e s o f S p r o v i d e d S h a sp o s i t iv e v o l u m e .

S e c t i o n 3I n th i s s e c t i o n , a n d i n t h e r e m a i n d e r o f t h e p a p e r , w e r e s t ri c t t o p a c k i n g s Ai n 3 d i m e n s i o n s . W e s t a t e o u r r e s u l t s u s i n g t h e l a t t i c e p a c k i n g A fco b u t t h e sa m er e s u l ts a l so h o l d w i t h o u t m o d i f i c a t i o n fo r t h e h e x a g o n a l - c l o s e - p a c k i n g A h cp . T h eD e l a u n a y d e c o m p o s i t i o n o f t h e l a t t ic e A fcc i s n o t u n i q u e . T h e r e i s a u n i q u e c h o i c e5 = 5o ct w h i c h i n s u r e s t h a t F s ( D * ) is t h e s a m e f o r a ll D e l a u n a y s t a r s D * a r i s i n g i na n y c h o i c e of a D e l a u n a y d e c o m p o s i t io n o f t h e p a c k in g Ale c. A n y o t h e r c h o i c e o f5 w o u l d l e a d t o u n s a t i s f a c t o r y b o u n d s . T h i s s e c t i o n sh o w s f o r t h e l a t t ic e A f cc in 3d i m e n s i o n s u s i n g th i s c h o i ce 5 - - 5 o c t t h a t t h e b o u n d

def (A oc t ) / 167r5 o c t / ( 1 - - O f c c ) , Crfcc = 3F 5o co n t h e d e n s i t y o f Afcc g i v e n in T h e o r e m 1 c o i n c id e s w i t h t h e p a e k i n g ' s t r u e d e n s i t y

7r5A fcc = ~ . W r i t e r o c t f o r r S o~ t . W e s e t X 0 = a r c c o s ( 1 / x / ~ ) .L e t V o c t b e a s o li d re g u l a r o c t a h e d r o n w h o s e e d g e s h a v e l e n g t h 2 . L e t V l , . . . , v 6d e n o t e t h e v e r t i c e s o f V o ct. W e l e t 5 oc t b e t h e d e n s i t y o f V oc t:

6 vol (Voct N B l ( v i ) ) _ -37 r + 12X 05oct = E vo l (V oc t ) 2V ~ - - 0 . 720902 9495 . . . .i= 1


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R E M A R K S O N T H E D E N S I T Y O F S P H E R E P A C K I N G S 1 8 7

T h e r e a r e t h r e e t y p e s o f D e l a u n a y s i m p l ic e s in A rcc.T y p e I ( r e g u l a r t e t r a h e d r o n w i t h e d g e l e n g t h 2 )T y p e I I ( t e t r a h e d r o n w i t h e d g e s o f l e n g t h 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , 2 x / 2 )T y p e I I I ( t e t r a h e d r o n o f z e r o v o l u m e , e d g e s o f l e n g t h 2 , 2 , 2 , 2 , 2 v / 2 , 2 x / 2 )F o u r s im p l i c e s o f t y p e I I f i t t o g e t h e r t o f o r m a r e g u l a r o c t a h e d r o n w h o s e ed g e s h a v el e n g t h 2 . T h e r e a r e s e v e r a l p o s s i b le w a y s t o b r e a k a n o c t a h e d r o n s u c h a s t h i s i n t o 4D e l a u n a y s i m p l ic e s . I n e a c h c a s e o n e o b t a i n s 4 s i m p l i ce s o f t y p e I I a n d p o s s i b l y o n eo f t y p e I I I. T h r e e o f t h e s e w a y s c o r r e s p o n d t o t h e t h r e e p a i rs o f o p p o s i t e v e r t ic e so f t h e o c t a h e d r o n ( d e p e n d i n g o n tl~ e p e r t u r b a t i o n o f A c h o se n i n t h e c o n s t r u c t i o no f t h e D e l a u n a y d e c o m p o s i ti o n ).H e r e w e s tr e s s t h a t w i t h t h i s c h o ic e ( 5 =3 o ct , w e h a v e F so ot ( S ) = F o c t ( S ) = 0 f o ra n y t y p e I I o r t y p e I I I t e t r a h e d r o n . H e n c e i f D * is a n y s t a r o f t h e f cc p ac k i n g , t h e nt h e v a l u e F o c t ( D * ) is i n d e p e n d e n t o f D * , a n d i s e q u a l i n f a c t t o 8 F o c t ( S ) w h e r e Sis a t e t r a h e d r o n o f t y p e I .R e c a l l t h a t

r o c , ( D * ( v ) ) = Z r o o t ( s ) = (- o tv o l( S) + 0 ( s ) ) .SCD* SC_D*

B y c o n s t r u c t i o n F o c t ( S ) = 0 f o r S o f t y p e I I , a n dl l xF o c t ( S ) - 3 1 2X 0 = 0 . 0 5 5 3 7 3 6 4 5 6 7 . . .

f o r S o f t y p e I . A n y D e l a u n a y s t a r o f Arcc h a s p r e c i s e l y 8 D e l a u n a y s i m p l i c e s o ft y p e I . T h e r e f o r e F o c t ( D * ) = 8 F o c t ( S ) a n d v o l ( B ] ( 0 ) ) = ~.o~. S o

5oct 7rroct(D*) -- X// '~"1 - 4vol(Bl(0))B u t ~ is t h e d e n s i t y o f t h e s p h e r e p a c k i n g A rcc.

S e c t i o n 4W e c o n t i n u e t o w r i t e F o c t ( ' ) f o r F ho ct( - ) . I n t h i s s e c t i o n w e s h o w t h a t i f D * iss u f f i c ie n t l y c lo s e t o a D e l a u n a y s t a r D ~cc o f t h e p a c k i n g A r cc t h e n

Fo ot( D *) _< Foct(D~cc)w i t h e q u a l i t y o n l y i f D * = D ~ cc . W e s t a t e o u r a r g u m e n t s f o r t h e f cc p a c k i n g b u tt h e s a m e a r g u m e n t g i v e s t h e s a m e r e s u l t s f o r t h e h e x a g o n a l - c l o s e - p a c k i n g a s w e l l .T h e D e l a u n a y s t a r D ~ cc is t h e u n i o n o f f o u r t y p e s o f r e g i o n s

( Af cc ) a re g u l a r t e t r a h e d r o n = a si n g le D e l a u n a y s i m p l e x o f t y p e I.( B lo c) a r e g u l a r o c t a h e d r o n = t h e u n i o n o f f o u r D e l a u n a y si m p l ic e s o f t y p e I I .(C fcc ) h a l f a r e g u l a r o c t a h e d r o n = t h e u n i o n o f t w o D e l a u n a y s i m p l ic e s o f t y p eI I ( t h e o t h e r t w o D e l a u n a y s i m p li c es o f t h e g i v e n o c t a h e d r o n b e l o n g t o ad i f fe r e n t D e l a u n a y s t a r ) .


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188 THO MAS C. HALES

( D fc c) t h r e e q u a r t e r s o f a r e g u la r o c t a h e d r o n = t h e u n i o n o f t h r e e D e l a u n a ys i m p l i ce s o f t y p e I I , a n d o n e o f t y p e I I I . I n t h i s c a s e t h e l o n g e d g e s o f t h es impl ices l i e a long two d i f fe ren t axes .N o t e t h a t t h e r e a r e a l w a y s 2,3 , o r 4 si m p l i c e s o f t y p e I I m e e t i n g a t a v e r t e x o fa n o c t a h e d r o n - n o m a t t e r h o w t h e D e l a u n a y d e c o m p o s i t i o n is c h o s en . ( T h e r e isa l w a y s m o r e t h a n o n e s i m p l e x o f t y p e I I a t a v e r t e x b e c a u s e t h e t r i a n g u l a t i o n o f as q u a r e a l w a y s r e q u i r e s a t l e a s t t w o t r i a n g l e s ) . T y p e s B f cc , C fc c a n d D f cc c o r r e s p o n dr e s p e c t i v e l y t o 4 ,2 a n d 3 si m p l i c e s o f t y p e I I m e e t i n g a t a v e r t e x .

A+cc G c B+cc G cFig. 2

T h u s i t i s e n o u g h t o s h o w t h a tFo c t (X ) ~ Foc t (Xfcc ) (X , Xfcc ) E { (A, Afcc ), (B , Bfcc ) , (C , Cfcc ), (D , Dfcc)}

w h e r e A , B , C , D a r e p e r t u r b a t i o n s o f A rco Bfcc, Cfcc, Dfcc.W e b e g i n w i t h t h e c a se ( A , A f cc ). W e u s e c o o r d i n a t e s ( Q , . . . , t 6 ) t o d e s c r i b et h e t e t r a h e d r o n A w h e r e t i + 2 i s t h e l e n g t h o f t h e i t h e d g e o f A ( e d g es l a b e l l e di n a n y o r d er ). T h e t e t r a h e d r o n A fcc t h e n h a s c o o r d i n a te s ( Q , . . . , t 6 ) = ( 0 , 0 , . . . , 0 ) .B o t h t h e v o l u m e o f A a n d t h e s o li d an g l e s o f A a r e a n a l y t i c f u n c t io n s o f ( t l , . . . , t 6 )i n a n e i g h b o r h o o d o f ( 0 , . . . , 0 ) , t h u s ( b y S e c ti o n 2 ) F o c t ( A ) m a y b e c o n s id e r e d a na n a l y t i c fu n c t i o n o f ( t l , . . . , t 6 ) . W e c o n s id e r a fi rs t o r d e r a p p r o x i m a t i o n

6 = OFoct(Afcc )Foc t (A) = Foc t (Afcc ) + E ~ i ~ + h igh e r o rd e r t e rm s .1

OFB y s y m m e t r y ~ ( Af cc , 5 oc t) = a 0 i n d e p e n d e n t o f i . S oF o c t ( A ) = F o c t ( A f c c) + a 0 t 0 + h i g h e r o r d e r t e r m s

w h e r e t 0 + 1 2 is t h e p e r i m e t e r o f A . A l o n g th e c u r v e A t: ( t l , . . . , t 6 ) = ( t , . . . , t ) w eh a v eFoc t (A~) = -5o c tv o l ( A t ) + E vo l(Arcc N B1 (v ) ) ( sum ov e r ve r t i ce s o f Afcc )

v

d F o c t ( A t ) = 6 a 0 = - 5 o c t 4 v o l ( A t ) = -6 oc tV /2 < 0 .d t t = o a t t= 0


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T h e r e q u i r e m e n t f o r A t o b e a D e l a u n a y s i m p l e x n o w f o r c e s t i 0 , i = 1 , . . . , 6or to _> 0 so th a tF o c t ( A ) = F o c t ( A f c c) + a o t o + h i g h e r o r d e r t e r m s

< Foct(A fcc ) for 0 < ' to < e .N o w t u r n t o t h e o c t a h e d r a l c as e ( B , B f c c) . F o c t ( B ) d e p e n d s a n a l y t i c a ll y o nt h e l e n g t h s o f t h e e d g es o f t h e s i m p l ic e s c o m p r i s i n g B . T h e s e c o n s i st o f t h e e d g e so f B a n d a d i a g o n a l o f B . M o r e o v e r t h e l e n g t h o f t h e d i a g o n a l o f B is a n a n a l y t i cf u n c t i o n o f t h e l e n g t h s o f i ts e d g es . T h u s w e m a y l e t ( t l , . . . , t 1 2 ) b e t h e c o o r d i n a te so f B n e a r B f cc w i t h t i -+- 2 t h e l e n g t h o f t h e i t h e d g e o f B .P r o c e e d i n g a s i n t h e p r e v i o u s c a s e , w e f i n d

w h e r e

a n d

F o c t ( B ) = F o c t( B f c c) + / 3 0 t 0 + h i g h e r o r d e r t e r m s

flO ---- -~ 3~ 6 oc t < 0,t o + 2 4 = t h e p e r i m e t e r o f B .

T h e e d g e s o f a D e l a u n a y s i m p l e x m u s t h a v e l e n g t h a t l e a s t 2 , a n dF o o t ( B ) = F o c t ( B f c c ) + / 3 0 t o + - . - < F o o t ( B l o c ) f o r 0 < t o < c .

N e x t , t u r n t o h a l f a n o c t a h e d r o n ( C , C f cc ). W e ta k e C f cc t o b e t h e c o n v e x h u l lo f 0, V l , V 2 , V 3 , V 4 w h e r e d(O , v i ) = 2 , d ( v i , v i + l ) = 2 , d ( v i , v i + 2 ) = 2 v ~ , V i.T a k e W l , W 2 , W 3 , W 4 t o b e v e c t o r s n e a r V l , V 2 , v 3 , v 4 . T a k e t i + 2 , i = 1 , . . . , 4 t ob e t h e l e n g t h s o f t h e e d g e s r u n n i n g f r o m 0 to w i . T a k e t i + 2 , i = 5 , . . . , 8 , t o b et h e l e n g t h s o f t h e e d g e s f r o m t h e v e r t e x w i t o t h e v e r t e x W i + l ( s u b s c r i p t s m o d u l o4 ). L e t 0 b e t h e c e n t e r o f t h e s p h e r e c i r c u m s c r i b i n g t h e s i m p l e x w i t h v e r t ic e sO , W l , W 3 , W 4 . Def ine t9 = d ( 0 , w 4 ) 2 - d (O , w l ) 2 = w 4 " w 4 - 2 0 " w 4 . T h e n w e t a k e( t l . . . , t g ) t o b e t h e c o o r d i n a t es f or C i n a n e i g h b o r h o o d o f C fcc-N o t e t h a t e v e r y s m a l l n e i g h b o r h o o d o f Cfcc is a u n i o n o f t w o r e g io n s . O n o n e ,t h e D e l a u n a y d e c o m p o s i t i o n g i v e s t w o s i m p l i c e s w i t h v e r t i c e s { 0 , W l , W 2 , W 3 } a n d{ 0, W l , w 3 , w 4 } . O n t h e o t h e r , t h e D e l a u n a y d e c o m p o s i t i o n g i ve s tw o s i m p l ic e s w i t hv e r t i c e s { O , w 2 , w 3 , w 4 } a n d { O , w 4 , W l , W 2 } . I f F o c t ( C ) _ < F o c t (C f c c ) o n o n e o f t h e s er e g io n s t h e n t h e i n e q u a l i t y h o l d s o n b o t h r e g io n s . W e d e fi n e a n a n a l y t i c f u n c t i o nl ~o c t( C ) o f l o c al p a r a m e t e r s ( t l , . . . , t g ) w h i c h is e q u a l t o F o c t ( C ) o n t h e f i r st o ft h e s e r e g io n s . L e t S 1 b e t h e s i m p l e x w i t h v e r t ic e s { O , w l , w 2 , w 3 } a n d l e t $ 2 b et h e s i m p l e x w i t h v e r t i c e s {O , w l , w 3 , w 4 } . S e t C = S ] U $ 2 , a n d d e fi n e F o c t ( C ) =F o c t ( S 1 ) + F o c t ($ 2 ) . I t c a n b e c h e c k e d u s i n g t h e e x p l i c i t f o r m u l a s o f S e c t i o n 2 t h a tt h e f u n c t i o n F o c t ( C ) d e p e n d s a n a l y t i c a ll y o n ( t l , . . . , t 9 ) n e a r C fcc.A c a l c u l a t i o n u s i n g M a t h e m a t i c a ( t h e c o d e i s a v a i l a b l e u p o n r e q u e s t ) s h o w st h a t

Foct (C ) : Foc t (Cfcc) + v ~ ( t l + t3) + 70b( t2 + t4) + 7~( t5 + t6 + t7 + ts ) + 7dr9+ h i g h e r o r d e r s


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I90 THOMAS C. HALESw h e r e 2 4

7 ~ = - 5 + 3 - - ~ (1 - 5oc t ) = - 0 . 4 0 3 5 3 1 4 4 4 . . . < 07 0 _ 2 (1 - v / 2 ) _ 0 . 2 7 6 1 4 2 3 7 4 9 . . . < 03

- 5 o c t _~ - - 3 ~ - - 0 . 1 6 9 9 1 8 4 5 4 7 . . . < 01 1 5oct _~'0d = - 6 + 3 ~ 6 ~ - 0 . 0 1 5 9 2 3 6 3 3 6 3 . . . < 0 .

F o r a D e l a u n a y s i m p l e x t h e e d g e s h a v e l e n g t h a t l e a st 2 , s o t h a t t l , t 2 , . . . , t 8 _> 0 .B y t h e o b v i o u s s y m m e t r y o f t h e c o n f i g u r a ti o n w e m a y a s s u m e t h a t $ 1 a n d $ 2a re t w o D e l a u n a y s i m p li ce s i n C . T h u s b y t h e c o n s t r u c t i o n o f D e l a u n a y s i m p li ce sd(O, w4 ) >_d(O, wi ) , i = 1 , 2 ,3 , s o t h a t t 9 _> 0 . Th i s s how s t h a t Foo t ( C ) _< Foo t ( Cf cc ) .T h e f in a l c a se ( D , D f c c ) i s s im i la r to t h e o t h e rs . W e le t 2 + t 1 , . . . , 2 + t 1 2 b e th el e n g t h s o f t h e e d g e s o f t h e o c t a h e d r o n s p a n n e d b y t h e v e r t ic e s o f D . D c o n s i st so f f o u r D e l a u n a y s i m p l ic e s . T h r e e o f t h e s i m p l ic e s a r e p e r t u r b a t i o n s o f s i m p li c eso f t y p e I I . T h e f o u r t h is a n e a r l y f l a t s im p l e x w h i c h c o l la p s e s in t o a s i m p l e x o f n ov o l u m e f o r D = D f cc. W e c o n si d e r D a s an o c t a h e d r o n w i t h o n e D e l a u n a y s i m p l e xr e m o v e d . C a l l t h is e x c i s e d s i m p l e x S o , a n d l e t t h e l o n g e s t e d g e o f S o b e d e n o t e d g .T h e n w e d i v i d e t h e c o o r d i n a t e s i n t o f o u r s e t s :

2 + t 1 , 2 + t 2 , 2 + t 3 , 2 + t 4 t h e le n g t h s o f t h e e d g es ( r o f S o w h i c h m e e t g a t av e r t e x ,2 + t 5 t h e l e n g t h o f t h e e d g e o f S o o p p o s i te g,

2 + t a , 2 + t 7 , 2 + t s , 2 + t 9 t h e l e n g t h s o f t h e e d g e s o f t h e s i m p l i c e s i n D s h a r i n ga v e r t e x w i t h g ,2 + t l 0 , 2 + t n , 2 + t1 2 t h e r e m a i n i n g e d g es .N o t e t h a t a ll o f t h e s e e d g e s a r e t a k e n t o b e e x t e r n a l ed g e s o f t h e o c t a h e d r o n . T h e na M a t h e m a t i c a c a l c u l a t i o n s h o w sroCt(D) = F oc t(D fcc ) + 5~ (t l + t2 + t3 + t4) q- 50bt5 + 5~1(t6 + t7 + t8 q- t9)

+ s d ( t t o + t n + t 12 ) + h i g h e r o r d e r sw h e r e

1 1 55~ - 6 3 ~ / - 2 - 6 7 - - 0 . 1 5 3 9 9 4 8 2 1 1 . . . < 01 1 55~ = - 2 + v ~ 2 v/_ - 0 . 0 4 7 7 7 0 9 0 0 9 . . . < 01 1 565 ~ = - g + 3 ~ 6 ~ - - 0 ' 3 5 5 7 6 0 5 4 3 1 " " < 0

1 1 55X~ - 6 3 v ~ ~ /2 2= - - 0 . 3 2 3 9 1 3 2 7 5 8 . . . ~ 0 .T h u s F o c t ( D ) < F o c t ( D f c c ) f o r t l , . . . ,t1 2 > 0 .D *i n a l ly , i f r o c t ( D * ) = F o o t ( f e e ) t h e n w e m u s t h a v e t i = 0 V i i n a ll o f t h ep r e ce d in g c as es . T h e n A = A f c c , B = B f c c , C = C f c c , D = D f c c a n d D * = D ~ c c.


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R E M A R K S O N T H E D E N S I T Y O F S P H E R E P A C K I N G S 1 91

S e c t i o n 5

W e c o n t i n u e t o w o r k w i t h p a c k i n g s in th r e e d i m e n s i o n s . T h e m a i n r e s u lt o ft h i s s e c t i o n is T h e o r e m 5 .4 w h i c h e l i m i n a t e s t h e h y p o t h e s i s ((r < 1 ) i n T h e o r e m 1 ,s o t h a t a n y s a t u r a t e d p a c k i n g A h a s d e n s i t y a t m o s t & c t / ( 1 - 3 F 0 /( 16 7 c )) , F 0 =s u p D , F o c t ( D * ) . W e l ea d u p t o T h e o r e m 5 .4 w i t h 3 t e c h n i c a l l e m m a s . L e t to b e t h ep o s i t i v e r o o t o f t h e q u a d r a t i c e q u a t i o n 3 t~ - 1 = 2 / 5 o c t . S e t t ~ = ( t o - 1 ) 2 ( 2 t0 + 1 ) / 3 .S o t o = 1 . 1 2 1 6 5 . . . , t 8 = 0 . 0 1 5 9 9 9 . . ..L e m m a 5.1 . L e t S b e a n y D e l a u n a y s im p l ex . I t s vo l u m e i s a t lea s t

c o ( S ) / ~ o c t - - 47ct8.L e m m a 5.2 . L e t S b e a n y D e l a u n a y s i m p l ex . T h er e a r e a t m o s t t w o ve rt ice s v o fS such th a t t he d i s tance f rom v t o t he f ace o f S oppo s i t e v is l ess t han to .L e m m a 5.3 . L e t S b e a n y D e l a u n a y s im p l e x . T h e n

[ 'o ct (S ) _< 4~r(5octt8 < 0 .15 .T h e o r e m 5 .4 . Ever y D e l a u n a y s t a r D * s a t i s f i e s

Foc t (D*) < 16~r /3 .W e b e g i n t h is s e q u e n c e o f p r o o f s b y i n t ro d u c i n g s o m e t e m p o r a r y n o t a t i o n a n d

t e r m i n o l o g y . W e c a l l a v e r t e x v o f a s i m p l e x w h i c h c o m e s w i t h i n t o o f t h e f a c eo p p o s i t e v a n osculat ing v e r t e x . I f t h e p o i n t c l o s e st to v o n t h e t r i a n g u l a r f a c eo p p o s i t e v l ie s o n a n e d g e o f t h e t r i a n g l e w e s a y t h a t v is a n o u t e r v e r t e x . I f t h ep o i n t l ie s i n t h e i n t e r i o r o f t h e t r i a n g u l a r f a c e w e s a y v i s a n i n n e r v e r t e x . W ed e n o t e t r ia n g l e s b y e x p r e s s io n s s u c h a s AVAVBVC, e d g e s b y e x p r e s s i o n s s u c h a sVAVB, a n d a n g l e s b y e x p r e s s i o n s s u c h a s LVAVBV C.P r o o f o f 5 .2 . S u p p o s e f o r a c o n t r a d i c t i o n t h a t t h e r e i s a s i m p l e x S w i t h a t l e a s t3 o s c u l a t i n g v e r ti c e s. W e d e n o t e t h e m b y v X , V A , V B , a n d d e n o t e t h e r e m a i n i n gv e r t e x b y v C .C a s e 1: S u p p o s e t h a t v x i s a n i n n er ve r tex . L e t ~ x d e n o t e t h e o rt h o g o n a l p ro -j e c t i o n o f v x o n t o t h e i n t e r i o r o f t h e t r i a n g l e A V A V B V C . S i n c e d ( vB ,v X ) >_ 2 ,d ( v x , g x ) _ ~ / 4 - t 8 >_1 . 6 a n d s i m -i l a r ly d ( v A , ~ X ) > _ 1 . 6 . E i t h e r / v c g x v A o r L v C g X V B i s o b t u s e , s a y L v c g x v B . I fZ v A ~ X V B w e r e a l s o o b t u s e ,

1.2 >_ to > d( v B , AVXVAVC) ~ d ( vB , A V x V A V c ) = - d ( v B , V x ) >_ 1.6,a c o n t r a d i c t i o n . S o LVA~XV B i s a c u t e , a n d t h i s f o rc e s b o t h L v A V x v c a n dL v t s g x v C t o b e o b t u s e .

E i t h e r LVAVB~X o r LVBVA~X i 8 acu t e , s a y LVAVB~X . L e t ~ A b e t h e p r o j e c -t i o n o f VA o n t o t h e s e g m e n t ~ x v B . T h e nto >_ d (v B , AVXVAVC) >_ d ( vB , A ~ X VA VC ) > d (vB , 5XVA) > d ( v B , 5A)to >_ d (vA , AV XV BV C) >_ d (vA , AV XV BV C ) = d (VA, VA) .


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1 9 2 T H O M A S C . H A L E S

T h e P y t h a g o r e a n t h e o r e m g iv e s t h e c o n t r a d i c t i o n i n ca s e 1:4 1 .6 2 .S i m i l a r l y , d ( ~ l , v 3 ) > 1 . 6, s o a l s o

d ( v 2 , v 3 ) = d ( v 2 , V l ) + d ( V l , v 3 ) > 3 . 2 .d ( v 3 , V l ) = d ( v 3 , v 2 ) - d ( v 2 , ~ l ) ~ 4 - 1 .6 = 2 . 4

d ( v l , v 3 ) 2 = d ( v l , ~ l ) 2 + d ( V l , V 3 ) 2 ~ t ~ 2 . 4 2 < 2 .7 2 .S i m i l a r l y d ( v l , v 2 ) < 2 .7 . I n s u m m a r y , th e a d j a c e n t e d ge s v l v 2 , v l v 3 o f a o u t e ro s c u l a t i n g v e r t e x V l a r e s h o r t ( m e a n i n g o f l e n g t h < 2.7 ) a n d t h e o p p o s i t e e d g e v 2 v 3o f a n o u t e r o s c u l a t i n g v e r t e x v l is l o n g ( m e a n i n g o f l e n g t h > 3 . 2) .

S u p p o s e t h e r e w e r e a s i m p l e x w i t h t h r e e o r m o r e o s c u l a t i n g o u t e r v e r ti c e s.F o r t h i s, t h e s i m p l e x w o u l d n e e d a t l e a s t t h r e e s h o r t e d g e s ( l e a v i n g a t m o s t 3 l o n ge d g e s ) a n d a t l e a s t t w o lo n g ed g e s . W e il l u s t r a t e t h e f iv e p o s s i b l e c o m b i n a t o r i a lp a t t e r n s w i t h t w o o r t h r e e l o n g e d g e s a n d m a r k w i t h a n a s t e r i s k t h e v e r t ic e s p o s si b l yS a t i sf y i n g t h e 1 - o p p o s i t e & : l o n g - 2 - a d j a c e n t & : s h o r t e d g e c o n d i t i o n g i v e n a b o v e . T h et o n g e d g e s a r e i n d i c a t e d b y b o l d e d g e s . O n l y o n e o f t h e s e c o n f i g u r a t i o n s h a s 3 o rm o r e v e r ti c e s m a r k e d w i t h a n a s t e ri s k . I t h a s 2 n o n - a d j a c e n t l o n g e d ge s .

F i g . 3T o c o m p l e t e c a se 2 , w e s ho w t h a t s u c h a s i m p l e x w i t h t h r e e o u t e r v e r t i c e s a n d

2 n o n - a d j a c e n t l o n g e d g e s d o e s n o t e x i st . L e t a s i m p l e x w i t h v e r t i c e s v x , V A , V B , v cb e g i v e n w i t h V X V B , v A v c l o n g ( i . e . d ( v x , v B ) , d (v A , v c ) >_3 . 2 ) . E x c h a n g i n g V A , v cw i t h v X , V B i f n e c e ss a ry , w e m a y a s s u m e b o t h v x a n d V B a r e o s c u l a t i n g o u t e rv e r ti c e s. W e d e f o r m t h e s im p l e x b y le n g t h e n i n g t h e s e g m e n t V X V B k e e p i n g t h e

l e n g t h s o f t h e o t h e r e d g e s f ix e d u n t i l v X , V A , V B , V C a r e c o p l a n a r . I t i s e n o u g h t o


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s h o w t h a t i n t h i s e l o n g a t e d p l a n a r c o n f i g u r a t i o n d ( v x , v B ) < 3 c o n t r a d i c t i n g t h eh y p o t h e s i s t h a t V x V B i s a l o n g e d g e .

L e t ~ X ( re s p . ~ B ) b e th e o r t h o g o n a l p r o j e c t i o n o f v x ( r e s p . v B ) o n t o t h es e g m e n t V A V C . I n t e r c h a n g i n g v x a n d v B i f n e c e s sa r y , a s s u m e w i t h o u t l os s o fg e n e r a l i t y t h a t ~ x is b e t w e e n V B a n d v C . W e h a v ed ( v c , ~ x ) 2 =- d ( v c , v x ) 2 - d ( v x , ~ x ) 2 _> 4 - t 2 > 1.6 52 .

S i m i l a r l y d ( V A , ~ B ) >_1 . 6 5 . T h e nd ( ~ B , ~ X ) = - d ( ~ B , V A ) + d ( v A , v c ) - d ( v c , v x ) ~ 4 - 2 ( 1 . 6 5 ) = . 7 .

T h i s g iv e s t h e c o n t r a d i c t i o nd ( V B , v x ) 1 f r o m t h e c e n t e r o f t h e s p h e r e i sf 0 / / 0r = 7r t 2 - t2 d t t o Q ( s ) - = t 3 o Q ( S ) - 2 t ' oC o n s i d e r S i N S j . I f d ( v i , v j ) > 2 t 0 , t h e n S i n S j = 0 . M o r e g e n e r a l l y i fd ( v i , v j ) = 2 x 0 , 1 < x 0 _< t o t h e p e r p e n d i c u l a r b i s e c t i n g p l a n e b e t w e e n v i a n d v jb r e a k s B t o ( v i ) A B t o ( v j ) i n t o t w o r e g io n s o f e q u a l v o l u m e , e a c h o f v o l u m e ~ r f ( x o )

thomas c. hales- remarks on the density of sphere packings in three dimensions

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