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Theorie des equations differentielles ordinaires

A. Munnier

Institut Elie Cartan

2006-2007

2

Bibliographie

Ce cours a en grande partie ete elabore a partir des livres suivants :– Coddington E-.A et Levinson L. Theory of Ordinary Differential Equations.

McGraw-Hill Book Company, Inc., New York-Toronto-London, 1955. xii+429pp.

– Zuily Cl. et Queffelec H. Elements d’analyse pour l’agregation. Masson, Paris-Milan-Barcelone, 1995. 478 pp.

et dans une moindre mesure :– Coddington E-. A. et Carlson R. Linear Ordinary Differential Equations. So-

ciety for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), Philadelphia, PA, 1997.xii+341 pp. ISBN 0-89871-388-9.

– Reinhard H. Equations differentielles, fondements et applications. Dunod, Pa-ris, 1982. xiv+446 pp.

Les portraits de phase ont ete realises avec le logiciel MATLAB.

Table des matieres

1 Existence et unicite de solutions 51.1 Definitions et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Existence locale de solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3 Unicite locale des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4 Prolongement des solutions locales, solutions maximales . . . . . . . 141.5 Cas particulier des edo lineaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.6 Dependance des solutions en fonction des conditions initiales . . . . 15

1.6.1 Continuite en fonction des conditions initiales . . . . . . . . . 161.6.2 Differentiabilite en fonction des conditions initiales . . . . . . 19

1.7 Exercices sur le chapitre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2 Equations differentielles lineaires 272.1 Rappels d’algebre lineaire, exponentielle de matrices . . . . . . . . . 272.2 Edo lineaire homogene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.3 Edo lineaire avec second membre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.4 Edo lineaire a cœfficients constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.4.1 Premieres proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.4.2 Calculer une exponentielle de matrice dans le cas general . . 34

2.5 Comportement asymptotique des solutions de (LCC) . . . . . . . . . 352.6 Edo lineaire d’ordre n a cœfficients constants . . . . . . . . . . . . . 372.7 L’equation de Sturm-Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.8 Exercices sur le chapitre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3 Annales des partiels 453.1 Partiel 2005-2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.2 Partiel 2006-2007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4 Stabilite des equations differentielles autonomes 494.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.2 Stabilite des edo lineaires a cœfficients constants . . . . . . . . . . . 50

4.2.1 La matrice M a deux valeurs propres reelles distinctes . . . . 504.2.2 La matrice M a une seule valeur propre reelle . . . . . . . . . 524.2.3 La matrice M a deux valeurs propres, non reelles, conjuguees 54

4.3 Stabilite des edo autonomes non lineaires . . . . . . . . . . . . . . . 564.4 Exercices sur le chapitre 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5 Annales des examens 615.1 Examen 2005-2006 (premere session) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.2 Examen 2005-2006 (deuxieme session) . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4 TABLE DES MATIERES

Chapitre 1

Existence et unicite desolutions

1.1 Definitions et notations

On note E = RN , N ≥ 1 et x = (x1, . . . , xN ) un element de E. Sa norme‖x‖E sera l’une quelconque des normes usuelles sur RN (on rappelle que toutes lesnormes sont equivalentes sur E). Soit D un ouvert de R × E et f : D → E unefonction continue. Pour tout (t, x) ∈ D, on notera f(t, x) = (f1(t, x), . . . , fN (t, x))ou chaque fonction fi est continue de D dans R. La notation (a, b) recouvre tousles intervalles de R de la forme [a, b], ]a, b], [a, b[ ou [a, b]. De meme, on utilisera parexemple la notation (a, b] pour ne pas preciser la nature de l’intervalle en a.

Dans ce cours, on s’interesse aux equations differentielles ordinaires (notees enabrege edo) du premier ordre, sous forme normale (ou resolue) :

x′(t) = f(t, x(t)). (E)

Commencons par preciser la notion de solution pour ce type d’equation :

Definition 1.1 Une solution de (E) est un couple (ϕ, J) ou J est un intervalle deR et ϕ = (ϕ1, . . . , ϕN ) est une fonction derivable sur J a valeurs dans E telle que(t, ϕ(t)) ∈ D pour tout t ∈ J et

ϕ′i(t) = fi(t, ϕ(t)), ∀ t ∈ J, ∀ i = 1, . . . , N.

On remarque tout de suite que, f et ϕ etant deux fonctions continues, par compo-sition ϕ′ = (ϕ′1, . . . , ϕ

′N ) est egalement continue sur J et ϕ est de classe C1 sur J .

On notera ϕ ∈ C1(J).

Exemple 1.1 Pour N = 2, x =(

x1

x2

)∈ R2 et

f(t, x) = M(t)x =(

a(t) b(t)c(t) d(t)

)(x1

x2

),

ou a(t), b(t), c(t) et d(t) sont des fonctions reelles continues, l’equation x′(t) =f(t, x(t)) est appelee equation lineaire du premier ordre.

Exemple 1.2 Pour N = 1, f(t, x) = a(t)x+b(t)xα ou a(t) et b(t) sont des fonctionscontinues et α ∈ R \ 0, 1, l’edo (E) est une equation de Bernoulli.

6 Chap. 1: Existence et unicite de solutions

Exemple 1.3 L’equation x′(t) = a(t)x2(t) + b(t)x(t) + c(t) pour laquelle N = 1,f(t, x) = a(t)x2 + b(t)x + c(t) ou a(t), b(t) et c(t) sont trois fonctions continues, estune equation de Riccati.

Le probleme (E) peut avoir de nombreuses solutions sur un intervalle donne. Parexemple, pour N = 1, D = R× R et f(t, x) ≡ 1 l’edo :

x′(t) = 1, (1.1)

admet ϕ(t) = t + c comme solution sur R pour tout c ∈ R. On introduit la notionde probleme de Cauchy :

Definition 1.2 Soit (t0, x0) ∈ D. Resoudre le probleme de Cauchy :

x′(t) = f(t, x),x(t0) = x0, (PC)

consiste a determiner un couple (ϕ, J) ou J est un intervalle de R contenant t0 etϕ une fonction derivable (en fait C1) de J dans E telle que (t, ϕ(t)) ∈ D pour toutt ∈ J , ϕ′(t) = f(t, ϕ(t)) pour tout t ∈ J et ϕ(t0) = x0.

En integrant l’edo du probleme de Cauchy (PC) entre t0 et t et en tenant comptede la condition x(t0) = x0, on obtient que :

ϕ(t) = x0 +∫ t

t0

f(s, ϕ(s)) ds, (PCI)

ou il faut comprendre :∫ t

t0

f(s, ϕ(s)) ds =(∫ t

t0

f1(s, ϕ(s)) ds, . . . ,

∫ t

t0

fN (s, ϕ(s)) ds

).

Reciproquement, toute fonction ϕ verifiant (PCI) est bien une solution C1 de (PC).Nous utiliserons souvent l’equivalence entre les deux formulations (PC) et (PCI)dans la suite du cours.

En reprenant l’exemple precedent, on voit que si l’on ajoute a l’equation (1.1) lacondition x(0) = 0, on doit fixer la constante c et l’unique solution definie sur R estϕ(t) = t. Nous verrons plus tard cependant que ce n’est pas toujours aussi simpleet que sans hypotheses supplementaires, notamment sur la fonction f , l’unicite dela solution n’est pas assuree en general pour le probleme de Cauchy.

Les formulations (E) et (PC), bien que ne faisant intervenir que la derivee premierede x(t), recouvrent en fait une large classe de problemes. En effet, il est souventpossible de mettre sous la forme (E) des edo dans lesquelles apparaissent des deriveesa un ordre quelconque. Considerons pour simplifier que les fonctions x(t) sont avaleurs dans R (i.e. N = 1). Soit D un ouvert de R× Rp avec p ≥ 1 et f : D → Rune fonction continue. En notant x(k)(t) la derivee k−eme de x(t), toute equationdifferentielle ordinaire du p−eme ordre associee a f qui s’ecrit :

x(p)(t) = f(t, x(t), x′(t), . . . , x(p−1)(t)), (En)

peut se mettre sous la forme (E). Notons en effet x1(t) = x(t) et xi+1(t) = x(i)(t)pour i = 1, . . . , p− 1 et introduisons

X(t) =

x1(t)x2(t)

...xp(t)

∈ Rp et F (t,X) =

x2(t)...

xp(t)f(t, x1(t), . . . , xp(t))

.

1.2 Existence locale de solutions 7

L’edo (En) devient alors :X ′(t) = F (t,X(t)).

Le probleme de Cauchy correspondant a l’equation ci-dessus s’obtient en ajoutantune condition du type X(t0) = X0 ou t0 ∈ R et X0 ∈ Rp. Ceci correspond a ladonnee de x(t0), x′(t0), . . . , xp−1(t0).

Nous allons introduire maintenant la notion de solution approchee. Ces solutionsne seront en general pas aussi regulieres que les solutions exactes dont nous venonsde parler.

Definition 1.3 On dira qu’une fonction ϕ a valeurs dans E est C1 par morceauxsur un intervalle J de R si :

1. ϕ est continue sur J .

2. Il existe un ensemble fini S = t1, . . . , tp de points deJ tels que ϕ soit C1

sur J \ S et limt→t+iϕ′(t) et limt→t−i

ϕ′(t) existent mais ne coıncident pasforcement.

Nous avons alors :

Definition 1.4 Soit ε > 0 et J un intervalle de R. On dira que ϕ ∈ C(J) est unesolution ε−approchee de (E) si :

1. (t, ϕ(t)) ∈ D, ∀ t ∈ J ,

2. ϕ est C1 par morceaux sur J (on note S les points ou ϕ′ n’est pas definie).

3. ‖ϕ′(t)− f(t, ϕ(t))‖E ≤ ε, ∀ t ∈ J \ S.

1.2 Existence locale de solutions

Historiquement, il a d’abord ete demontre que le probleme de Cauchy (PC)admettait localement une solution unique. Ce resultat, que nous demontrerons plusloin, necessite une hypothese plus forte que la simple continuite sur la fonction f .En introduisant une suite de solutions approchees, le mathematicien italien Peanoen s’appuyant sur un resultat d’Ascoli a demontre :

Theoreme 1.1 Soit (t0, x0) ∈ D et soit a > 0 et b > 0 tels que le cylindre C =|t− t0| ≤ a, ‖x− x0‖E ≤ b soit inclus dans D. On note

M = sup(t,x)∈C

‖f(t, x)‖E et α = min(

a,b

M

),

alors pour tout ε > 0 il existe une solution ε−approchee ϕ au probleme de Cauchy(PC) sur l’intervalle [t0 − α, t0 + α].

Demonstration : Soit ε > 0. On commence par construire la solution approcheesur l’intervalle [t0, t0 + α]. On procederait exactement de la meme facon sur [t0 −α, t0]. Comme f ∈ C(D) et que C ⊂ D est un compact, la fonction f est uni-formement continue sur C. Cela signifie que, pour le ε que nous avons choisi, ilexiste δε > 0 tel que

‖f(t, x)− f(t, x)‖E ≤ ε,

si (t, x) et (t, x) ∈ C et |t− t| ≤ δε, ‖x− x‖E ≤ δε. Divisons maintenant l’intervalle[t0, t0 + α] en n parties [ti−1, ti] i = 1, . . . , n telles que

t0 < t1 < . . . < tn = t0 + α,


avec

|ti − ti−1| ≤ min(

δε,δε

M

).

Sur le segment [t0, t1], on definit la fonction ϕ par :

ϕ(t) = x0 + (t− t0)f(t0, x0),

puis, de proche en proche, sur [ti−1, ti], i = 2, . . . , n par :

ϕ(t) = ϕ(ti−1) + (t− ti−1)f(ti−1, ϕ(ti−1)).

Il est clair que la fonction ainsi construite est C1 par morceaux sur [t0, t0 + α]

x0 − αM

(t0, x0)

x0 + αM

t1

tn−1

tn = t0 + α

ϕ(ti)

ti

Fig. 1.1 – Graphe de la fonction ϕ

(elle est lineaire sur chaque segment [ti−1, ti] donc C1 et ces applications lineairesse“recollent” aux points ti). D’autre part, sur chaque segment [ti−1, ti] on a lapropriete :

‖ϕ(t)− ϕ(t)‖E ≤ M |t− t|, ∀ t, t ∈, [ti−1, ti].

Cette propriete est donc encore verifiee sur tout le segment [t0, t0+α]. En particulier,avec t = t0, on obtient que :

‖ϕ(t)− x0‖E = ‖ϕ(t)− ϕ(t0)‖E ≤ M |t− t0| ≤ α M = b,

d’ou (t, ϕ(t)) ∈ C ⊂ D, pour tout t ∈ [t0, t0 + α]. Enfin, soit t ∈ [t0, t0 + α], t 6= tipour tout i = 0, . . . , n. Il existe i ∈ 1, . . . , n tel que ti−1 < t < ti. Par construction|t− ti−1| ≤ δε et

‖ϕ(t)− ϕ(ti−1)‖E ≤ M |t− ti−1| ≤ Mδε

M= δε.

L’uniforme continuite de f entraıne que :

‖ϕ′(t)− f(t, ϕ(t))‖E = ‖f(ti−1, ϕ(ti−1))− f(t, ϕ(t))‖E ≤ ε,

ce qui prouve que ϕ est bien une solution ε−approchee de (PC). ¥

Pour tout ε > 0, on peut donc construire des solutions ε−approchees, notees ϕε.Une idee naturelle consiste alors a considerer une suite (εk)k de reels positifs ten-dant vers 0, de construire la suite des fonctions approchees (ϕεk

)k et de chercher lalimite de cette suite de fonctions qui semble un bon candidat pour etre la solution

1.2 Existence locale de solutions 9

exacte du probleme de Cauchy. Remarquez que dans le Theoreme 1.1, l’intervalled’existence des solutions approchees ne depend pas de ε, ce qui va etre un pointcrucial dans la suite. Cependant, la suite des solutions ε−approchees ne convergepas toujours. Par contre, nous allons montrer qu’il existe toujours une sous-suiteconvergente. Introduisons d’abord la

Definition 1.5 Un ensemble de fonctions F definies sur un intervalle reel I et avaleurs dans E, est dit uniformement equicontinu si pour tout ε > 0, il existe δε > 0tel que :

‖f(t)− f(t)‖E ≤ ε ∀f ∈ F et ∀ t, t ∈ I, |t− t| ≤ δε.

Nous aurons besoin egalement du :

Lemme 1.1 (Ascoli) Soit I un intervalle borne de R et C(I) l’espace vectoriel desfonctions continues sur I a valeurs dans E, muni de la norme ‖f‖∞ = supt∈I ‖f(t)‖E.Alors tout sous ensemble F de C(I), borne et uniformement equicontinu est relati-vement compact.

Demonstration : Si F est un ensemble fini, c’est evident. On peut donc supposerque F contient une suite de fonctions deux a deux distinctes (fn)n. Soit ε > 0 fixe.L’uniforme equicontinuite de F nous assure de l’existence de δε > 0 tel que

‖f(t)− f(t)‖E ≤ ε

3, si |t− t| ≤ δε.

L’intervalle I etant borne, on peut le recouvrir par un nombre fini d’intervallesouverts I1, . . . , Ip de longueur inferieure a δε. Dans chacun de ces intervalles, onchoisit un reel t1, . . . , tp. La suite (fn(t1))n est bornee dans E. Elle admet doncune sous suite convergente (fn1(t1))n1 . De la meme facon, la suite (fn1(t2))n1 ad-met egalement une sous suite convergente notee (fn2(t2))n2 . En poursuivant ceprocede d’extraction, on aboutit a la construction de p suites, toutes convergentes(fnp(ti))np , i = 1, . . . , p. Notons fn = fnp . Pour le ε choisi plus haut, il existe doncun rang Nε tel que

‖fm(ti)− fn(ti)‖E ≤ ε

3, ∀ i = 1, . . . , p, ∀n, m ≥ Nε.

Montrons que (fn)n est uniformement convergente sur I. Pour tout t ∈ I, il existeti tel que |t− ti| ≤ δε. Pour n,m ≥ Nε, on a alors :

‖fm(t)− fn(t)‖E ≤ ‖fm(t)− fm(ti)‖E + ‖fm(ti)− fn(ti)‖E

+ ‖fn(ti)− fn(t)‖E ≤ ε

3+

ε

3+

ε

3= ε,

ce qui prouve que (fn)n est de Cauchy uniforme. ¥

Nous sommes maintenant en mesure de demontrer le

Theoreme 1.2 (Ascoli-Peano) Soit (t0, x0) ∈ D et soient a > 0 et b > 0 tels quele cylindre C = |t− t0| ≤ a, ‖x− x0‖E ≤ b soit inclus dans D. On note

M = sup(t,x)∈C

‖f(t, x)‖E et α = min(

a,b

M

),

alors il existe (au moins) une solution ϕ au probleme de Cauchy (PC) sur l’inter-valle [t0 − α, t0 + α].


Demonstration : Soit (εn)n une suite decroissante de reels positifs tendant vers0. Pour chaque εn, d’apres le Theoreme 1.1, il existe une solution εn−approcheeau probleme (PC), notee ϕn et definie sur [t0 − α, t0 + α]. Toujours d’apres lademonstration du Theoreme 1.1, chacune de ces solutions verifie :

‖ϕn(t)− ϕn(t)‖E ≤ M |t− t|, ∀ t, t ∈ [t0 − α, t0 + α].

Cette inegalite entraıne d’une part que la suite (ϕn)n est un ensemble uniformementequicontinu de C([t0 − α, t0 + α]). D’autre part, en choisissant t = t0, on montreque ‖ϕn(t)‖E ≤ ‖x0‖E + b pour tout t ∈ [t0 − α, t0 + α]. C’est a dire que la suite(ϕn)n est uniformement bornee. Les hypotheses du Lemme d’Ascoli 1.1 sont doncverifiees et il existe une suite extraite (ϕnk

)n convergeant vers une fonction continuesur [t0−α, t0+α] et notee ϕ. Posons ∆n(t) = ϕ′n(t)−f(t, ϕn(t)) aux points t ou ϕ′n(t)existe et ∆n(t) = 0 sinon. Par definition des solutions ε−approchees, ‖∆n(t)‖E ≤ εn

pour tout n et pour tout t ∈ [t0 −α, t0 + α]. En reecrivant maintenant les solutionssous forme integrale, on obtient que :

ϕn(t) = x0 +∫ t

t0

f(s, ϕn(s)) + ∆n(s) ds.

Comme ϕnkconverge uniformement vers ϕ et que f est uniformement continue

sur le compact C, f(t, ϕnk(t)) converge uniformement vers f(t, ϕ(t)). Si on ajoute

la convergence uniforme de ∆nkvers 0, on peut passer a la limite dans l’egalite

ci-dessus pour obtenir :

ϕ(t) = x0 +∫ t

t0

f(s, ϕ(s)) ds,

ce qui prouve que ϕ est de classe C1 sur [t0 − α, t0 + α] et est solution du problemede Cauchy (PC). ¥

On utilisera en general le Theoreme sous la forme simplifiee suivante :

Corollaire 1.1 Soit f ∈ C(D). Alors pour tout (t0, x0) ∈ D, il existe un voisinagede t0 dans R sur lequel le probleme de Cauchy (PC) admet une solution.

Avant de nous interesser au probleme de l’unicite des solutions, voici un exemplesimple qui montre qu’un probleme de Cauchy peut avoir une infinite de solutionsmeme sur un voisinage arbitrairement petit autour de la condition de Cauchy.

Exemple 1.4 Le probleme de Cauchy

x′(t) =√|x(t)|, x(0) = 0,

ou f(x, t) =√|x| est definie et continue sur D = R×R et (0, x(0)) ∈ D, admet sur

[0, 1] et pour tout 0 ≤ c ≤ 1 la solution ϕc definie par :

ϕc(t) =14(t− c)2, c ≤ t ≤ 1, ϕc(t) = 0, 0 ≤ t < c.

1.3 Unicite locale des solutions

On commence par un Lemme technique mais qui sera tres utile dans la suite :

Lemme 1.2 (Gronwall) Soit ψ une fonction continue definie sur un intervalle[a, b] ⊂ R et a valeurs dans R+. On suppose qu’il existe t0 ∈ [a, b] et trois constantesA ≥ 0, B > 0 et C ≥ 0 telles que :

ψ(t) ≤ A + B

∣∣∣∣∫ t

t0

ψ(s) ds

∣∣∣∣ + C|t− t0|, ∀ t ∈ [a, b].

1.3 Unicite locale des solutions 11

Alors, pour tout t ∈ [a, b] on a l’estimation :

ψ(t) ≤ AeB|t−t0| +C

B

(eB|t−t0| − 1

).

Demonstration : Si t = t0, la conclusion est evidente. Interessons nous dans unpremier temps aux valeurs de t telles que t0 < t ≤ b et posons :

Ψ(r) =∫ r

t0

ψ(s) ds, ∀ r ∈ [t0, b].

La continuite de ψ entraıne que Ψ ∈ C1([t0, b]) et

(Ψ(r)e−Br

)′= (Ψ′(r)−BΨ(r)) e−Br =

(ψ(r)−B

∫ r

t0

ψ(s) ds

)e−Br.

On en deduit, d’apres l’inegalite verifiee par ψ, que :(Ψ(r)e−Br

)′ ≤ e−Br(A + C(r − t0)), ∀ r ∈ [t0, b],

puis, en integrant cette relation entre t0 et t, on obtient :

Ψ(t)e−Bt ≤ A

B

(e−Bt0 − e−Bt

)+ C

∫ t

t0

e−Br(r − t0) dr.

Une integration par parties nous permet de calculer le dernier terme :∫ t

t0

e−Br(r − t0) dr =1B

eB(t−t0) − 1B− (t− t0),

ce qui nous permet d’estimer la fonction Ψ comme suit :∣∣∣∣∫ t

t0

ψ(s) ds

∣∣∣∣ = Ψ(t) ≤ A

B

(eB(t−t0) − 1

)+

C

B

(1B

eB(t−t0) − 1B− (t− t0)

).

En combinant cette relation avec l’inegalite donnee dans les hypotheses, on obtientla conclusion du Lemme dans le cas t0 < t ≤ b. Pour le cas a ≤ t < t0, on procedede la meme facon mais en posant

Ψ(r) =∫ t0

r

ψ(s) ds.

¥

La bonne propriete qui va assurer l’unicite pour le probleme de Cauchy (PC) est lecaractere lipschitzien de la fonction f . Precisons cette notion :

Definition 1.6 On dira que f est lipschitzienne en x (uniformement par rapporta t), et on notera f ∈ Lip (D), si il existe k > 0 tel que :

‖f(t, x1)− f(t, x2)‖E ≤ k‖x1 − x2‖E , ∀ (t, x1), (t, x2) ∈ D.

Remarquer que cette notion n’entraıne pas que f est continue sur D comme leprouve l’exemple suivant : D = R2, f(t, x) = 1 si t > 0 et f(t, x) = 0 si t ≤ 0. Enrevanche, si f est lipschitzienne au sens classique, c’est a dire s’il existe k > 0 telque

‖f(t1, x1)− f(t2, x2)‖E ≤ k(|t1 − t2|+ ‖x1 − x2‖E), ∀ (t1, x1), (t2, x2) ∈ D,

alors f est en particulier lipschitzienne en x uniformement en t. L’exercice suivantfournit un exemple simple de fonction lipschitzienne.


Exercice 1.1 Montrer que si f ∈ C1(D) ou si Dxf est continue en (t, x), alors fest lipschitzienne en x uniformement par rapport a t sur tout compact convexe Kinclus dans D.

Une application importante du Lemme de Gronwall concerne les solutions ε−appro-chees :

Application 1 (du Lemme de Gronwall) Soit f ∈ Lip (D) ∩ C(D) avec pourconstante de Lipschitz k > 0. Soient ϕ1 et ϕ2 deux solutions respectivement ε1 etε2−approchees de (E) sur un meme intervalle (a, b) et telles que, pour un certaina < t0 < b on ait :

‖ϕ1(t0)− ϕ2(t0)‖E ≤ δ.

Alors, pour tout t ∈ (a, b) :

‖ϕ1(t)− ϕ2(t)‖E ≤ δek|t−t0| +ε1 + ε2

k

(ek|t−t0| − 1

). (G)

Demonstration : En reprenant la demonstration du Theoreme 1.2, on a l’ecrituredes solutions ε−approchees sous forme integrale :

ϕi(t) = ϕi(t0) +∫ t

t0

f(ϕi(s), s) + ∆i(s)ds, i = 1, 2,

avec ‖∆i(s)‖E ≤ εi, i = 1, 2. On pose ψ(t) = ‖ϕ1(t)− ϕ2(t)‖E et on a :

ψ(t) ≤ ‖ϕ1(t0)− ϕ2(t0)‖E +∫ t

t0

‖f(ϕ1(s), s)− f(ϕ2(s), s)‖Eds

+ (ε1 + ε2)|t− t0|.

Or, f etant Lipschitzienne en x uniformement en t :

‖f(ϕ1(s), s)− f(ϕ2(s), s)‖E ≤ k‖ϕ1(s)− ϕ2(s)‖E = kψ(s).

On applique alors l’inegalite du Lemme de Gronwall pour obtenir (G). ¥

Exercice 1.2 Soient ϕ et ψ deux fonctions continues de [a, b] dans R+ et t0 ∈ [a, b].On suppose qu’il existe des constantes positives A,B telles que

ϕ(t) ≤ A + B

∣∣∣∣∫ t

t0

ψ(s)ϕ(s) ds

∣∣∣∣ , ∀ t ∈ [a, b].

Montrer qu’alors :

ϕ(t) ≤ A exp(

B

∣∣∣∣∫ t

t0

ψ(s) ds

∣∣∣∣)

.

Theoreme 1.3 (Cauchy-Lipschitz) Soit f ∈ C(D) ∩ Lip (D) et avec les memesnotations que pour le Theoreme 1.2, il existe une unique solution au probleme deCauchy (PC) sur l’intervalle [t0 − α, t0 + α].

Demonstration : Le Theoreme 1.2 nous assure de l’existence d’au moins unesolution ϕ1 sur l’intervalle considere. On note ϕ2 une eventuelle autre solution eton introduit la fonction continue

ψ(t) = ‖ϕ1(t)− ϕ2(t)‖E ,

1.3 Unicite locale des solutions 13

definie sur [t0 − α, t0 + α]. Les fonctions ϕ1 et ϕ2 etant des solutions du problemede Cauchy, elles s’ecrivent, sous la forme integrale (PCI) :

ϕi(t) = x0 +∫ t

t0

f(s, ϕi(s)) ds, ∀t ∈ [t0 − α, t0 + α], i = 1, 2.

On obtient en particulier que :

ψ(t) =∥∥∥∥∫ t

t0

f(s, ϕ1(s))− f(s, ϕ2(s)) ds

∥∥∥∥E

≤∫ t

t0

‖f(s, ϕ1(s))− f(s, ϕ2(s))‖E ds,

puis, f etant lipschitzienne en x uniformement en t sur D, il existe k > 0 telle que‖f(s, ϕ1(s))− f(s, ϕ2(s))‖E ≤ k‖ϕ1(s)− ϕ2(s)‖E pour tout s ∈ [t0 − α, t0 + α], cequi nous donne :

ψ(t) ≤∫ t

t0

k|ψ(s)| ds.

On conclut ensuite en appliquant le Lemme 1.2 de Gronwall avec A = 0, B = k etC = 0. ¥

Introduisons une nouvelle definition :

Definition 1.7 On dira que f est localement lipschitzienne sur D si pour tout(t, x) ∈ D il existe une boule B = (t′, x′) ∈ D, ‖x − x′‖E < ε, |t − t′| < ε ⊂ Det une constante k > 0 telles que f soit lipschitzienne sur B. On note alors f ∈Lip loc(D).

Dans cette definition la constante de lipschitz n’est valable que localement.

Exercice 1.3 Montrer que si f ∈ C1(D) alors f ∈ C(D) ∩ Lip loc(D).

Du Theoreme precedent, on deduit que l’unicite de la solution est en fait globale,ce qui peut se traduire par : lorsque la fonction f ∈ Lip loc(D) alors les graphes dedeux solutions distinctes de (E) ne peuvent se croiser.

Theoreme 1.4 (Unicite globale) Soit f ∈ C(D) ∩ Lip loc(D) et soient (ϕ1, J1)et (ϕ2, J2) deux solutions de (E) telles que J1 ∩ J2 6= ∅. Si il existe un point t0 deJ1 ∩ J2 tel que ϕ1(t0) = ϕ2(t0) alors ϕ1 ≡ ϕ2 sur J1 ∩ J2.

Demonstration : Les ensembles J1 et J2 sont des intervalles. Il en est donc dememe de J = J1 ∩ J2 qui est en particulier connexe et non vide puisqu’il contientt0. On note I = t ∈ J tels que ϕ1(t) = ϕ2(t). Montrons que I est ouvert et fermedans J ce qui entraınera que I = J . Les fonctions ϕ1 et ϕ2 etant continues, on endeduit que I est ferme. Soit t1 ∈ I, notons x1 = ϕ1(t1) = ϕ2(t1). Alors (t1, x1) ∈ Det selon le Theoreme 1.3, le probleme de Cauchy :

x′(t) = f(t, x(t)), x(t1) = x1,

admet une unique solution sur [t1 − α, t1 + α]. On en deduit que ϕ1 ≡ ϕ2 sur cetintervalle et que ]t1 − α, t1 + α[⊂ I et donc que I est ouvert. ¥

On considerera a partir de maintenant que l’on a toujours f ∈ Lip loc(D)∩C(D) ouplus simplement f ∈ Lip (D) ∩ C(D), c’est a dire qu’il existe toujours une solutionunique pour le probleme de Cauchy (PC).


1.4 Prolongement des solutions locales, solutionsmaximales

Commencons par poser quelques definitions :

Definition 1.8 Soit (ϕ1, J1) et (ϕ2, J2) deux solutions de (E). On dit que (ϕ2, J2)prolonge (ϕ1, J1) si J1 ⊂ J2 et ϕ1 ≡ ϕ2 sur J1.Une solution (ϕ, J) de (E) est dite maximale si elle n’admet aucun prolongement.

Theoreme 1.5 (Existence d’une solution maximale) Soit f ∈ C(D)∩Lip loc(D).Alors par tout point (t0, x0) ∈ D il passe une unique solution maximale au problemede Cauchy (PC).

Demonstration : Considerons l’ensemble S de tous les couples (ϕ, J) de solutionsau probleme de Cauchy (PC). Si (ϕ1, J1) et (ϕ2, J2) sont deux tels couples alorsJ1∩J2 n’est pas vide car il contient t0 et ϕ1 ≡ ϕ2 sur J1∩J2 d’apres le Theoreme 1.4.Soit I la reunion de tous les intervalles J . Sur I on peut donc definir la fonctionψ par ψ ≡ ϕ sur J pour tout (ϕ, J) ∈ S. Cette fonction est la solution maximalecherchee. ¥

La question a laquelle nous allons repondre maintenant est : pourquoi une solu-tion maximale, definie sur un intervalle borne, ne peut-elle etre prolongee sur unintervalle plus grand ?

Theoreme 1.6 On suppose que Ω est un ouvert de RN et que D =]a, b[×Ω. Soientf ∈ C(D) ∩ Lip loc(D) et (t0, x0) ∈ D. Si (ϕ, (T−, T+)) est une solution maximaledu probleme de Cauchy (PC), alors on a l’alternative suivante :

– ou bien T+ = b,ou bien T+ < b et pour tout compact K de Ω il existe t < T+ tel que ϕ(t)∈/ K.

– Enonce analogue pour T−.

Demonstration : Supposons que T+ < b et qu’il existe un compact K tel queϕ(t) ∈ K pour tout t ∈ (t0, T+). Alors, comme f ∈ C(D), il existe M > 0 telque ‖f(t, x)‖E ≤ M pour tout (t, x) ∈ [t0, T+]×K. Soit (tn)n une suite croissantetendant vers T+ et telle que t0 < tn < T+ pour tout n. En ecrivant la solution ϕsous forme integrale, on obtient que :

‖ϕ(tm)− ϕ(tn)‖E ≤∫ tm

tn

‖f(s, ϕ(s))‖E ds ≤ M |tm − tn|, ∀m > n.

La suite (tn)n etant de Cauchy, il en est de meme pour (ϕ(tn))n qui est doncconvergente. Notons x1 = limn→∞ ϕ(tn). Alors x1 ∈ K ⊂ Ω et on a donc (T+, x1) ∈D. La solution du probleme de Cauchy

x′(t) = f(t, x(t)), x(T+) = x1,

admet selon le Theoreme 1.2 une solution locale qui prolonge ϕ au dela de T+. Cecicontredit la maximalite de ϕ. On procede de facon analogue pour T−. ¥

Si Ω est borne, ce Theoreme se traduit par : Le point de R × E de coordonees(t, ϕ(t)) tend vers un point de la frontiere du cylindre ]a, b[×Ω quand t → T+ ett → T−.

1.5 Cas particulier des edo lineaires 15

1.5 Cas particulier des edo lineaires

Un cas particulier interessant est celui ou f est une application lineaire en x.Considerons I un intervalle de R et N ×N fonctions reelles continues :

mij : t ∈ I 7→ mij(t) ∈ R.

Notons alors M(t) la matrice carree N × N dont les cœfficients sont les fonctionsmij(t). On notera L(E) l’espace vectoriel des matrices carrees N×N dont la normenaturelle est :

‖M‖L(E) = max‖x‖E=1

‖Mx‖E .

On dira qu’une ode (E) est lineaire homogene si elle s’ecrit :

x′(t) = M(t)x(t). (LH)

Theoreme 1.7 Si mij ∈ C(I) pour tout i, j = 1, . . . , N , alors pour tout t0 ∈ I etx0 ∈ E, le systeme (LH) admet une unique solution maximale definie sur I toutentier et telle que x(t0) = x0.

Demonstration : Il est clair que f(t, x) = M(t)x est une fonction continue sur

I × E. Soit I(t0) un voisinage compact de t0 dans I (si t0 ∈I, on peut choisir un

intervalle de la forme [t0 − δ, t0 + δ], δ > 0, sinon, t0 est une extremite de I et onpeut choisir [t0, t0 + δ] par exemple). Les fonctions aij etant continues sur I(t0), lafonction k(t) = ‖M(t)‖L(F ) est elle aussi continue sur I(t0) (le demontrer a titred’exercice1). On peut alors considerer k = maxt∈I(t0) k(t) et f est uniformementlipschitzienne en x, de constante de lipschitz k sur I(t0)×E. Selon le Theoreme 1.3,il existe une unique solution locale ϕ au probleme de Cauchy considere. D’autrepart, en appliquant l’inegalite de Gronwall (G) avec ϕ1 = ϕ et ϕ2 ≡ 0, on obtientl’estimation :

‖ϕ(t)‖E ≤ ‖x0‖Eek|t−t0|.

La solution reste donc bornee sur tout intervalle borne et suivant le Theoreme 1.6,elle peut donc etre prolongee sur I tout entier. ¥

Nous reviendrons largement sur les edo lineaires dans le chapitre suivant qui leursera dedie.

1.6 Dependance des solutions en fonction des condi-tions initiales

Lorsqu’elle est unique, la solution d’un probleme de Cauchy :

x′(t) = f(t, x(t)),x(τ) = ξ,

peut etre vue comme une fonction de la variable t dependant du parametre (τ, ξ) ∈R×E. Pour mettre en exergue cette dependance, on ecrira cette solution ϕ(t, τ, ξ).Noter que l’unicite est fondamentale : si le probleme de Cauchy ci-dessus admettaitplusieurs solutions, la valeur de ϕ(t, τ, ξ) ne serait pas definie de facon univoque eton ne pourrait pas parler de fonction !

1Plus generalement si fi est un ensemble de fonctions continues, supifi et infifi sontdes fonctions continues


(τ, ξ)

ϕ2(t, τ, ξ)ϕ1(t, τ, ξ)

En considerant alors la fonction ϕ definie sur un ouvert de R× R× E, on peutse poser la question de la regularite de la fonction par rapport a l’ensemble de sesvariables.

1.6.1 Continuite en fonction des conditions initiales

Si ψ est une fonction continue definie sur un intervalle I ⊂ R et a valeurs dansE, on notera :

T (ψ, δ) = (t, x) ∈I ×E, ‖x− ψ(t)‖E < δ, ∀ t ∈I,

le tube ouvert centre en (t, ψ(t)). On peut alors enoncer le

Theoreme 1.8 Soit f ∈ Lip (D) ∩ C(D) et soit ψ une solution de (E) definie surun intervalle I = [a, b]. Alors il existe δ > 0 tel que T (ψ, δ) ⊂ D et pour tout(τ, ξ) ∈ T (ψ, δ) il existe une unique solution ϕ a (E) definie sur I et verifiantϕ(τ, τ, ξ) = ξ. En outre, ϕ est continue sur V =]a, b[×T (ψ, δ).

Demonstration : Par definition d’une solution de (E), l’ensemble (t, ψ(t)), t ∈I ⊂ D. Cet ensemble etant compact et le domaine D etant ouvert, il est possible detrouver δ1 > 0 tel que T (ψ, δ1) ⊂ D (on pourra ecrire les details a titre d’exercice).Choisissons alors δ < e−k(b−a)δ1 ou k designe la constante de Lipschitz de f surD. Pour tout (τ, ξ) ∈ T (ψ, δ), il existe d’apres le Theoreme 1.3 une unique solutionlocale a l’edo (E) verifiant ϕ(τ) = ξ. L’estimation de Gronwall (G) founit, surl’intervalle d’existence de ϕ(·, τ, ξ) :

‖ϕ(t, τ, ξ)− ψ(t)‖E ≤ ek|t−τ |‖ξ − ψ(τ)‖E < δ1.

Ceci prouve que le point (t, ϕ(t, τ, ξ)) reste a l’interieur de T (ψ, δ1) ⊂ D et donc,d’apres le Theoreme 1.6, ϕ(·, τ, ξ) peut etre prolongee sur tout l’intervalle [a, b].On peut donc affirmer que toute solution qui passe par un point de T (ψ, δ) estentierement contenue dans T (ψ, δ1) (cf. dessin).

1.6 Dependance des solutions en fonction des conditions initiales 17

b

t

δ

(s, ψ(s))(s, ϕ(s))

(τ, ξ)

a

δ1

T (ψ, δ)

T (ψ, δ1)

Fig. 1.2 – Les tubes T (ψ, δ) et T (ψ, δ1)

Pour montrer la continuite de le fonction ϕ, nous allons montrer qu’elle est la limiteuniforme d’une suite de fonctions continues sur V . Introduisons pour cela la suite(ϕn)n definie de la facon suivante :

ϕ0(t, τ, ξ) = ψ(t) + ξ − ψ(τ),

ϕn+1(t, τ, ξ) = ξ +∫ t

τ

f(s, ϕn(s, τ, ξ)) ds, ∀ (t, τ, ξ) ∈ V, ∀n ≥ 0,

et montrons par recurrence qu’elle a les bonnes proprietes. Il est clair que ϕ0 estcontinue sur V et que pour tout n, la continuite sur V de ϕn entraıne la continuite deϕn+1. Toutes les fonctions ϕn sont donc bien continues sur V . Montrons maintenantque, pour tout n ≥ 1 :

(t, ϕm(t, τ, ξ)) ∈ T (ψ, δ1),

‖ϕm(t, τ, ξ)− ϕm−1(t, τ, ξ)‖E ≤ km |t− τ |mm!

‖ξ − ψ(τ)‖E ,

∀ 1 ≤ m ≤ n,∀ (t, τ, ξ) ∈ V . (Pn)

D’une part :‖ϕ0(t, τ, ξ)− ψ(t)‖E = ‖ξ − ψ(τ)‖E < δ ≤ δ1,

ce qui prouve que (t, ϕ0(t, τ, ξ)) ∈ T (ψ, δ1) ⊂ D pour tout (t, τ, ξ) ∈ V . D’autrepart, comme :

ψ(t) = ψ(τ) +∫ t

τ

f(s, ψ(s)) ds, ∀ t ∈ [a, b],

on obtient que

‖ϕ1(t, τ, ξ)− ϕ0(t, τ, ξ)‖E ≤∣∣∣∣∫ t

τ

‖f(s, ϕ0(s, τ, ξ))− f(s, ψ(s))‖E ds

∣∣∣∣

≤∣∣∣∣∫ t

τ

k‖ϕ0(s, τ, ξ)− ψ(s)‖E ds

∣∣∣∣= k|t− τ |‖ξ − ψ(τ)‖E ,


ce qui est la relation (Pn) pour n = 1. On obtient egalement :

‖ϕ1(t, τ, ξ)− ψ(t)‖E ≤ ‖ϕ1(t, τ, ξ)− ϕ0(t, τ, ξ)‖E + ‖ϕ0(t, τ, ξ)− ψ(t)‖E

≤ (1 + k|t− τ |)‖ξ − ψ(τ)‖E ≤ ek|t−τ |‖ξ − ψ(τ)‖E ≤ δ1,

ce qui prouve que (t, ϕ1(t, τ, ξ)) ∈ T (ψ, δ1) pour tout (t, τ, ξ) ∈ V . Supposons main-tenant que (Pn) soit verifiee pour un certain rang n. Alors

‖ϕn+1(t, τ, ξ)− ϕn(t, τ, ξ)‖E ≤∣∣∣∣∫ t

τ

‖f(s, ϕn(s, τ, ξ))− f(s, ϕn−1(s, τ, ξ))‖E ds

∣∣∣∣ .

D’apres (Pn), (t, ϕn(t, τ, ξ)) et (t, ϕn−1(t, τ, ξ)) sont dans T (ψ, δ1) ⊂ D, on peutdonc ecrire que :

∣∣∣∣∫ t

τ

‖f(s, ϕn(s, τ, ξ))− f(s, ϕn−1(s, τ, ξ))‖E ds

∣∣∣∣

≤∣∣∣∣∫ t

τ

k‖ϕn(s, τ, ξ)− ϕn−1(s, τ, ξ)‖E ds

∣∣∣∣ .

On utilise l’inegalite de (Pn), pour obtenir :∣∣∣∣∫ t

τ

k‖ϕn(s, τ, ξ)− ϕn−1(s, τ, ξ)‖E ds

∣∣∣∣ ≤∣∣∣∣∫ t

τ

kn+1 |s− τ |nn!

‖ξ − ψ(τ)‖E ds

∣∣∣∣

= kn+1 |t− τ |n+1

(n + 1)!‖ξ − ψ(τ)‖E .

L’inegalite triangulaire fournie :

‖ϕn(t, τ, ξ)− ψ(t)‖E ≤n∑

p=1

‖ϕp(t, τ, ξ)− ϕp−1(t, τ, ξ)‖E + ‖ϕ0(t, τ, ξ)− ψ(t)‖E

=n∑

p=0

kp |t− τ |pp!

‖ξ − ψ(τ)‖E ≤ ek|t−τ |‖ξ − ψ(τ)‖E ≤ δ1,

et la propriete (Pn) est demontree pour tout n ≥ 1. On en deduit que, pour toutn ≥ 0 et tout m ≥ 1 :

‖ϕn+m(t, τ, ξ)− ϕn(t, τ, ξ)‖E ≤n+m∑

p=n+1

kp |t− τ |pp!

‖ξ − ψ(τ)‖E

≤ δ

n+m∑p=n+1

kp |b− a|pp!

.

La suite (ϕn)n est donc de Cauchy uniforme sur V . Sa limite, notee ϕ est continuesur V . En passant a la limite quand n →∞ dans la relation :

ϕn+1(t, τ, ξ) = ξ +∫ t

τ

f(s, ϕn(s, τ, ξ)) ds,

on obtient que

ϕ(t, τ, ξ) = ξ +∫ t

τ

f(s, ϕ(s, τ, ξ)) ds,

ce qui prouve que ϕ ≡ ϕ. ¥

Remarquer que dans la demonstration de ce Theoreme, on a prouve une nouvellefois l’existence (locale) d’une solution de (PC).

1.6 Dependance des solutions en fonction des conditions initiales 19

1.6.2 Differentiabilite en fonction des conditions initiales

Nous allons maintenant etudier la differentiabilite de la solution ϕ en fonctiondes conditions initiales (τ, ξ). Nous noterons Dxf la matrice (quand elle existe) :

Dxf(t, x) =

∂f1∂x1

(t, x) . . . ∂f1∂xN

(t, x)...

...∂fN

∂x1(t, x) . . . ∂fN

∂xN(t, x)

.

Pour une fonction ϕ(t, τ, ξ) ou (t, τ, ξ) ∈ R × R × E, on notera (quand elle existe)la derivee partielle :

∂ϕ

∂ξi(t, τ, ξ) =

∂ϕ1∂ξi

(t, τ, ξ)...

∂ϕN

∂ξi(t, τ, ξ)

, i = 1, . . . , N.

Theoreme 1.9 En reprenant les memes notations et sous les memes hypothesesque dans le Theoreme 1.8 precedent et en supposant de plus que Dxf existe et queDxf ∈ C(D), alors ϕ ∈ C1(V ).

Demonstration : Prouver que ϕ est de classe C1 est equivalent a prouver quetoutes ses derivees partielles ∂ϕ/∂t, ∂ϕ/∂τ , ∂ϕ/∂ξ1, . . . , ∂ϕ/∂ξN existent et sontcontinues sur V . La relation

ϕ(t, τ, ξ) = ξ +∫ t

τ

f(s, ϕ(s, τ, ξ)) ds,

et la continuite de ϕ assuree par le Theoreme precedent, nous donnent immediatementl’existence et la continuite de ∂ϕ/∂t. Montrons que ∂ϕ/∂ξ1 existe et est continue surV . Pour cela, fixons δ1 et δ comme dans le Theoreme precedent et considerons (τ, ξ)un point de T (ψ, δ). Comme T (ψ, δ) est un ouvert, si l’on pose h = (h1, 0, . . . , 0)T ∈E, alors, pour tout h1 proche de 0, ξh = ξ + h = (ξ1 + h1, ξ2, . . . , ξN ) ∈ T (ψ, δ).Enfin considerons :

χh(t, τ, ξ) =ϕ(t, τ, ξh)− ϕ(t, τ, ξ)

h1.

On peut alors enoncer :

Lemme 1.3 Pour tout ε > 0, il existe δε > 0 tel que si |h1| ≤ δε alors pour tout(τ, ξ) ∈ T (ψ, δ), la fonction χh(·, τ, ξ) est une solution ε−approchee du probleme deCauchy lineaire :

y′(t) = Dxf(t, ϕ(t, τ, ξ))y(t),y(τ) = e1,

ou e1 = (1, 0, . . . , 0)T ∈ E.

Demonstration du Lemme: Posons :

θh(t, τ, ξ) = ϕ(t, τ, ξh)− ϕ(t, τ, ξ).

En appliquant l’inegalite de Gronwall (G) a ϕ(·, τ, ξh) et ϕ(·, τ, ξ), on obtient que :

‖θh(t, τ, ξ)‖E ≤ ‖θh(τ, τ, ξ)‖E e|t−τ | ≤ |h1|e(b−a). (I1)

Ainsi, θh tend uniformement vers 0 sur V quand h → 0. D’autre part, ϕ etant unesolution de (E), on deduit que :

θ′h(t, τ, ξ) = f(t, ϕ(t, τ, ξh))− f(t, ϕ(t, τ, ξ)).


Le Theoreme des accroissements finis applique a la fonction C1 :

Ft,τ,ξ,h : s ∈ [0, 1] 7→ f(t, (1− s)ϕ(t, τ, ξ) + sϕ(t, τ, ξh)),

nous assure de l’existence de s1 = s1(t, τ, ξ, h) ∈ [0, 1] tel que :

θ′h(t, τ, ξ) = Ft,τ,ξ,h(1)− Ft,τ,ξ,h(0) = F ′t,τ,ξ,h(s1)

= Dxf(t, (1− s1)ϕ(t, τ, ξ) + s1ϕ(t, τ, ξh))θh(t, τ, ξ).

Cette relation devient :

θ′h(t, τ, ξ) = (Dxf(t, ϕ(t, τ, ξ)) + Γh(t, τ, ξ))θh(t, τ, ξ), (I2)

si l’on pose :

Γh(t, τ, ξ) = Dxf(t, (1− s1)ϕ(t, τ, ξ) + s1ϕ(t, τ, ξh))−Dxf(t, ϕ(t, τ, ξ)).

Les vecteurs ϕ(t, τ, ξ) et ϕ(t, τ, ξh) etant dans la boule de centre ψ(t) et de rayonδ1, par convexite il en est de meme de (1 − s1)ϕ(t, τ, ξ) + s1ϕ(t, τ, ξh) et donc(t, (1− s1)ϕ(t, τ, ξ) + s1ϕ(t, τ, ξh)) ∈ T (ψ, δ1). Or T (ψ, δ1) est compact, inclus dansD et Dxf est continue sur D. Donc Dxf est uniformement continue sur T (ψ, δ1).Pour tout ε > 0, il existe δε > 0 tel que

‖Dxf(t, x)−Dxf(t, x)‖F ≤ εe−(b−a), ∀x, x ∈ E, ‖x− x‖E ≤ δε.

Un calcul simple conduit a l’estimation :

‖(1− s1)ϕ(t, τ, ξ) + s1ϕ(t, τ, ξh)− ϕ(t, τ, ξ)‖E = |s1|‖θh(t, τ, ξ)‖E

≤ |h1|e(b−a).

En posant δε = δεe−(b−a), on obtient donc que :

‖Γh(t, τ, ξ)‖F ≤ εe−(b−a), ∀ (t, τ, ξ) ∈ V, ∀ |h1| ≤ δε. (I3)

Comme χh = θh/h1, en rassemblant les estimations (I1), (I2) et (I3), on obtient :

‖χ′h(t, τ, ξ)−Dxf(t, ϕ(t, τ, ξ))χh(t, τ, ξ)‖E ≤ ε, ∀ (t, τ, ξ) ∈ V, ∀ |h1| ≤ δε.

Il suffit de verifier (ce qui est evident) que χ(τ, τ, ξ) = e1 pour avoir la conclusiondu Lemme. ¥

Considerons maintenant la solution β(t, τ, ξ) du probleme de Cauchy lineaire :

y′(t) = Dxf(t, ϕ(t, τ, ξ))y(t),y(τ) = e1.

D’apres le Theoreme 1.7, cette solution existe pour tout t ∈ [a, b] et d’apres leLemme, pour tout ε > 0, il existe δε > 0 tel que χh(t, τ, ξ) soit une solutionε−approchee si |h1| ≤ δε. En utilisant l’estimation de Gronwall (G), on en deduitque :

‖χh(t, τ, ξ)− β(t, τ, ξ)‖E ≤ ε

k(ek(b−a) − 1),

pour tout (t, τ, ξ) ∈ V . En d’autres termes, χh(t, τ, ξ) → β(t, τ, ξ) uniformement surV . On en conclut que ∂ϕ/∂ξ1 = β existe et est une fonction continue sur V carc’est la limite uniforme des fonctions χh qui sont continues sur V .

1.7 Exercices sur le chapitre 1 21

On procede exactement de la meme facon pour les autres derivees partielles∂ϕ/∂ξi, i = 2, . . . , N qui sont les solutions des problemes de Cauchy :

y′(t) = Dxf(t, ϕ(t, τ, ξ))y(t),y(τ) = ei,

ou ei = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0)T , le 1 occupant la ieme position.La fonction ∂ϕ/∂τ verifie la meme edo lineaire, la seule difficultee consiste a

determiner la valeur de y(τ) dans la formulation ci-dessus. On l’obtient par le calculsuivant :

ϕ(τ, τ + h, ξ)− ϕ(τ, τ, ξ) = ϕ(τ, τ + h, ξ)− ξ

= ϕ(τ, τ + h, ξ)− ϕ(τ + h, τ + h, ξ)

=∫ τ

τ+h

f(s, ϕ(s, τ + h, ξ)) ds,

puisϕ(τ, τ + h, ξ)− ϕ(τ, τ, ξ)

h= − 1

h

∫ τ+h

τ

f(s, ϕ(s, τ + h, ξ)) ds.

La fonction s 7→ f(s, ϕ(s, τ + h, ξ)) etant continue au point s = τ , on obtient enpassant a la limite quand h → 0 (le demontrer en exercice) :

∂ϕ

∂τ(τ, τ, ξ) = −f(τ, ξ),

ce qui conclut la demonstration du Theoreme. ¥

Application 2 Un cas particulier important est le suivant : fixons τ0 et t0 dans Iet considerons Ω un ouvert de E inclus dans la section T (ψ, δ) ∩ τ = τ0 du tubeT (ψ, δ). L’application suivante et alors bien definie et de classe C1 :

Tt0 : Ω → Tt0(Ω) = Ωξ 7→ ϕ(t0, τ0, ξ).

Elle est aussi inversible, son inverse etant donne par :

T−1t0 : Ω → Ω

ξ 7→ ϕ(τ0, t0, ξ).

Remarquer que si t0 = τ0 alors Ω = Ω et Tt0 est l’identite.

1.7 Exercices sur le chapitre 1

Exercice 1.4 On considere l’equation differentielle x(t)x′(t) + t = 0.

1. Montrer que pour tout (t0, x0) ∈ R × R∗ cette equation admet une uniquesolution maximale sur un intervalle (T−, T+) telle que x(t0) = x0.

2. Determiner explicitement cette solution et la representer graphiquement.

3. Quel est le comportement de la solution lorsque t → T+ ?

Exercice 1.5 Meme questions que dans l’exercice precedent avec l’edo : t2x′(t) −x(t) = 0. Discuter l’existence de solutions globales sur R.


Exercice 1.6 Soit l’edo t2x′(t) = t2 + x2(t)− tx(t).

1. Etudier l’existence et l’unicite de solutions pour le probleme de Cauchy as-socie.

2. En remarquant que cette equation est homogene en x(t)/t, c’est a dire qu’ellepeut se mettre sous la forme x′(t) = g(x(t)/t), resoudre explicitement etlocalement le probleme de Cauchy associe en cherchant la solution sous laforme x(t) = ty(t).

3. Determiner les bornes T− et T+ des intervalles sur lesquels sont definies lessolutions maximales. Etudier le comportement des solutions au voisinage deT− et de T+.

4. Representer graphiquement les solutions.

Exercice 1.7 On considere le probleme de Cauchy suivant :

x′(t) = F (x(t)), x(t0) = x0,

ou F est une fonction C1 de R dans R telle que

F (x) > 0, ∀x ∈ R et∫ +∞

−∞

ds

F (s)< +∞.

1. Expliquer pourquoi ce probleme admet une unique solution puis montrer qu’ilest equivalent a une equation fonctionnelle de la forme G(x(t)) = t− t0 ou Gest une fonction C1 sur R telle que G(x0) = 0.

2. Montrer que G realise une bijection strictement croissante de R sur un inter-valle que vous preciserez.

3. Resoudre le probleme de Cauchy et expliciter l’intervalle d’existence des solu-tions maximales (T−, T+).

4. Appliquer ces resultats au cas ou F (x) = 1 + x2.

Exercice 1.8 Soient f et g deux fonctions continues de [a, b]×R dans R telles que

f(t, x) < g(t, x), ∀ (t, x) ∈ [a, b]× R. (H1)

Soient ϕ et ψ deux fonctions C1 de [a, b] dans R solutions respectivement desequations :

x′(t) = f(t, x(t)), y′(t) = g(t, y(t)), t ∈ [a, b]. (E)

Supposons qu’il existe t0 ∈ [a, b[ tel que ϕ(t0) = ψ(t0).

1. Montrer qu’il existe δ > 0 tel que ϕ(t) < ψ(t), ∀ t ∈]t0, t0 + δ].

2. En deduire que ϕ(t) ≤ ψ(t), ∀ t ∈ [t0, b] (on pourra considerer l’ensembleJ = c ∈ [t0, b] tq ϕ(t) ≤ ψ(t) sur [t0, c] et son max note c∗).

Exercice 1.9 Soit F une fonction de classe C2 de E = RN dans R et (t0, x0) ∈R× RN . On considere le probleme de Cauchy :

x′(t) = −∇F (x(t)),x(t0) = x0,

ou ∇F est le vecteur (∂F/∂x1, . . . , ∂F/∂xN )T . On suppose de plus que

lim‖x‖E→+∞

F (x) = +∞.


1. Montrer que le probleme de Cauchy ci-dessus admet une solution maximaleunique definie sur ]T−, T+[ et que la fonction F (x(t)) est decroissante. Endeduire que T+ = +∞.

2. En considerant le cas N = 1 et F (x) = x4/4, montrer que l’on peut avoirT− > −∞.

Exercice 1.10 Soit Ω ⊂ RN et V (x) = (v1(x), . . . , vN (x))T une application declasse C1 de Ω dans RN (une telle application est appelee un champ de vecteurs).On souhaite determiner toutes les fonctions F : Ω → R de classe C1 verifiantl’equation aux derivees partielles :

∇F (x) · V (x) = 0, ∀x ∈ Ω.

Soit x = (x1, . . . , xN )T un point de Ω tel que V (x) 6= 0 (par exemple v1(x) 6= 0).

1. Expliquer pourquoi la solution φ(t, ξ) avec ξ ∈ RN−1 du probleme de Cauchy :

x′(t, ξ) = V (x(t, ξ)))x(0, ξ) = (x1, ξ),

est bien definie et de classe C1 sur un voisinage ]−T, T [×ω de (0, (x2, . . . , xN )) ∈R× RN−1.

2. Montrer que le Jacobien de φ est non nul en (0, (x2, . . . , xN )).

3. En utilisant le Theoreme d’inversion locale, montrer que φ est un diffeomorphismed’un voisinage de (0, (x2, . . . , xN )) sur un voisinage de x.

4. Poser F (t, ξ) = F (φ(t, ξ)) et repondre a la question initialement posee.

Exercice 1.11 Considerons le probleme de Cauchy dans R :

x′(t) = f(x(t))x(0) = x0,

ou x0 ∈ R et f : R→ R est lipschitzienne de constante de lipschitz k > 0.

1. Montrer qu’il existe une unique solution maximale.

2. Montrer que cette solution verifie

|x(t)− x0| ≤ |t||f(x0)|ek|t|,

pour tout t dans l’intervalle maximal.

3. Montrer que la solution maximale est definie sur R tout entier.

Exercice 1.12 Soit f : RN → RN une application continue. On se propose demontrer que toute solution maximale de l’equation differentielle :

y′ = f(y)

est definie sur R+ si f verifie :

∃une constante a ∈ R telle que f(y) · y ≤ a‖y‖2, ∀ y ∈ RN . (H)

1. Montrer que sous l’hypothese (H), une solution de l’edo partant de y0 a t = 0verifie :

(‖y(t)‖2)′ ≤ 2a‖y(t)‖2.


2. En deduire que

‖y(t)‖2 ≤ ‖y0‖2e2|at|, ∀ t ∈]T−(y0), T+(y0)[,

ou ]T−(y0), T+(y0)[ est l’intervalle maximal d’existence de la solution.3. On suppose que T+(y0) < +∞. Montrer que y(t) et y′(t) sont bornees sur

[0, T+(y0)[. Montrer que ces fonctions se prolongent par continuite en T+(y0).Montrer que ceci conduit a une contradiction puis conclure.


x′′ = x,x(0) = α ∈ R,x′(0) = 0.

1. Montrer que ce probleme admet une unique solution definie sur R tout entier.2. Calculer la solution.


x′ = 1/x,x(0) = 1.

1. Montrer que ce probleme admet une unique solution maximale. Cette solutionest-elle necessairement definie sur R tout entier ?

2. Calculer la solution maximale (en precisant l’intervalle maximal). Que sepasse-t-il lorsque t tend vers le bord fini de l’intervalle maximal ?

Exercice 1.15 (tire de l’examen 2007) Le but de cet exercice est de montrer letheoreme d’unicite d’Osgood.

Soit α > 0 et h une fonction definie sur ]0, α[ qui est :– lipschitzienne sur tout compact inclus dans ]0, α[,– strictement positive sur ]0, α[,– et qui verifie :

limε→0+

∫ α

ε

du

h(u)= +∞.

Soit f une fonction continue sur R× E et a valeurs dans E qui verifie

‖f(t, y1)− f(t, y2)‖E ≤ h(‖y1 − y2‖E), ∀ t ∈ R, ∀ y1, y2 ∈ E, ‖y1 − y2‖E < α.

Alors, le theoreme d’Osgood affirme que pour tout (t0, y0) ∈ R × E, il existe auplus une solution au probleme de Cauchy :

y′(t) = f(t, y(t)),y(t0) = y0.

(E1)

1. On noteG(s) =

∫ α

s

du

h(u).

Montrer que G realise une bijection de ]0, α[ sur ]0,+∞[.2. Soit t1 > 0 et u1 ∈]0, α[. Que pouvez-vous dire (existence et unicite d’une

solution) concernant le probleme de Cauchy :

u′(t) = 2h(u(t)),u(t1) = u1.

(E2)

Donner explicitement la solution de ce probleme en faisant intervenir la fonc-tion G (preciser l’intervalle maximal d’existence de la solution).


3. On note φ1 et φ2 deux solutions de (E1) definies sur un meme intervalle[t0, t0 + δ[ avec δ > 0 ainsi que ψ = ‖φ1 − φ2‖E . On suppose qu’il existet ∈]t0, t0 + δ[ tel que ψ(t) 6= 0. Prouver qu’alors il existe t1 ∈]t0, t0 + δ[ tel queψ(t1) ∈]0, α[.

4. Soit u la solution du probleme de Cauchy (E2) pour laquelle on choisit t1 = t1et u1 = ψ(t1). Montrer que :

ψ(t)− u(t) ≤∫ t

et1 h(ψ(s))− 2h(u(s))ds,

pour tout t dans un voisinage de t1. En deduire que u(t) ≤ ψ(t) sur unintervalle ]t1 − ε, t1].

5. On note

T ∗ = infT ∈ [t0, t1] tel que u(t) ≤ ψ(t) sur [T, t1].

Montrer que T ∗ = t0. Conclure.

6. Pourquoi peut-on dire que ce theoreme generalise le resultat d’unicite dutheoreme de Cauchy-Lipschitz ?

7. Application : on pose, pour N = 1 :

f(y) =

y ln |y| si y ∈]− 1, 1[\0,0 si y = 0.

(a) Montrer que

|f(y2)− f(y1)|≤ |y2 − y1| (ln |y2 − y1|+ (u + 1/2) ln |u + 1/2|

−(u− 1/2) ln |u− 1/2|) ,

ou u = (y1 + y2)/2(y2 − y1).

(b) On pose g(u) = (u + 1/2) ln |u + 1/2| − (u− 1/2) ln |u− 1/2| definie surl’intervalle

]− 1

2|y2−y1| ,1

2|y2−y1|[. Montrer que

|g(u)|| ln |y2 − y1||+ 1

≤ C,

pour tout u ∈]− 1

2|y2−y1| ,1

2|y2−y1|[

et pour tout y2, y1 ∈]− 1, 1[.

(c) Deduire des questions precedentes que |f(y2−f(y1)| ≤ C|y2−y1|(| ln |y2−y1||+ 1) pour tout y2, y1 ∈]− 1, 1[.

(d) Montrer que pour tout y0 ∈]− 1, 1[, il existe une et une seule solution auprobleme de Cauchy :

y′(t) = f(y(t)),y(0) = y0.


x

10,50-0,5-1

0,3

0,2

0,1

0

-0,1

-0,2

-0,3

Fig. 1.3 – Graphe de la fonction f .

Chapitre 2

Equations differentielleslineaires

Nous avons deja pose quelques definitions et donne quelques resultats concernantles edo lineaires dans le chapitre precedent, au paragraphe 1.5. Avant d’entrer plusavant dans les details, faisons quelques rappels d’algebre lineaire.

2.1 Rappels d’algebre lineaire, exponentielle de ma-trices

Toutes les matrices considerees dans ce chapitre ont des cœfficients complexes.On notera F = CN (N ≥ 1), L(F ) l’espace vectoriel des matrices carrees d’ordreN et IN la matrice identite de L(F ). Pour A ∈ L(F ) on note

χA(λ) = det(λIN −A),

le polynome caracteristique de A. Ses racines, λ1, . . . , λq (1 ≤ q ≤ N) sont lesvaleurs propres de A. Comme C est algebriquement clot, le polynome caracteristiquese factorise sous la forme :

χA(λ) =q∏

i=1

(λ− λi)di ,

di etant l’ordre de multiplicite algebrique de λi. On a d1 + . . . + dq = N . L’ordre demultiplicite geometrique de λi sera note αi et le polynome :

µA(λ) =q∏

i=1

(λ− λi)αi ,

est le plus petit polynome annulateur de A. Il est appele polynome minimal de A.Les sous-espaces propres generalises

Fi = ker(λiIN −A)αi ,

sont en somme directe dans F , i.e. F = F1⊕ . . .⊕Fq et dim Fi = di. En reecrivant Adans une base bien adaptee a cette decomposition, on montre qu’elle est semblablea la matrice diagonale par blocs J suivante, appelee reduite de Jordan de A :

J =

J1 0 · · · 0

0 J2. . .

......

. . . . . . 00 · · · 0 Jq

.

28 Chap. 2: Equations differentielles lineaires

Chaque bloc Ji est une matrice carree di×di, elle aussi diagonale par blocs, chaquesous bloc de Ji etant de dimensions au plus αi×αi (l’un au moins etant de dimensionexactement αi × αi) et ayant la forme :

λi 1 0 · · · 0

0. . . . . . . . .

......

. . . . . . . . . 0...

. . . . . . 10 · · · · · · 0 λi

.

Ainsi Zi = Ji − λiIdiest une matrice nilpotente d’indice αi. Puisqu’il existe une

matrice inversible P telle que J = P−1AP , on deduit que :

detA = det J =q∏

i=1

λi, tr A = tr J =q∑

i=1

λi.

L’exponentielle de la matrice A est defini comme etant la somme de la serieuniformement convergente sur L(F ) :

eA = IN +∞∑

p=1

Ap

p!.

En appliquant l’inegalite triangulaire, on deduit de cette definition que :

‖eA‖L(F ) ≤ e‖A‖L(F ) .

Attention ! Pour A et B dans L(F ), la relation eAB = eAeB n’est verifiee que si Aet B commutent. Par contre eA est toujours inversible et (eA)−1 = e−A. De meme,si P est inversible, on a pour tout A ∈ L(F ), P−1eAP = eP−1AP .

Quelques proprietes de differentiabilite

L’application t ∈ R 7→ etA est analytique sur R et (etA)′ = AetA. Le determinantest analytique sur L(F ), on note D det(A) sa differentielle en A et on a :

〈D det(A),H〉 =(det(A))tr (A−1H), si det(A) 6= 0,

〈D det(A),H〉 =0, si det(A) = 0.

L’application inv: A 7→ A−1 est analytique au voisinage de toute matrice inversiblede L(F ) et

〈Dinv(A), H〉 = −A−1HA−1.

On en deduit que pour toute application t ∈ I 7→ Φ(t) ∈ L(F ) derivable (ou I estun intervalle de R) et on a les formules :

(Φ−1(t))′ = −Φ(t)−1Φ′(t)Φ(t)−1, (det Φ(t))′ = (det Φ(t))tr (Φ(t)−1Φ′(t)).

Si Φ est solution de l’edo matricielle suivante, t ∈ I 7→ M(t) etant une applicationcontinue donnee :

Φ′(t) = M(t)Φ(t), ∀ t ∈ I,

alors (det Φ(t))′ = (detΦ(t))tr (Φ(t)−1M(t)Φ(t)) = (detΦ(t))trM(t), que l’on peutintegrer pour obtenir :

detΦ(t) = detΦ(τ) exp∫ t

τ

trM(s) ds. (F)

2.2 Edo lineaire homogene 29

Application 3 Revenons sur l’application 2 de la fin du chapitre precedent. Lediffeomorphisme Tt0 est defini par Tt0(ξ) = ϕ(t, τ0, ξ) ou ϕ(t, τ0, ξ) est solution duprobleme de Cauchy :

ϕ′(t, τ0, ξ) = f(t, ϕ(t, τ0, ξ)),ϕ(τ0, τ0, ξ) = ξ.

Si f est C1, on a vu que ϕ etait aussi de classe C1 par rapport a toutes ses variableset que Dξϕ(t, τ0, ξ) etait solution du probleme de Cauchy :

d

dtDξϕ(t, τ0, ξ) = Dxf(t, ϕ(t, τ0, ξ))Dξϕ(t, τ0, ξ),

Dξϕ(τ0, τ0, ξ) = IN .

Comme DTt0(ξ) = Dξϕ(t0, τ0, ξ), on applique la formule (F) pour obtenir que :

detDTt0(ξ) = det Dξϕ(τ0, τ0, ξ) exp(∫ t0

τ0

trDxf(s, ϕ(s, τ0, ξ)) ds

)

=exp(∫ t0

τ0

trDxf(s, ϕ(s, τ0, ξ)) ds

)6= 0.

Cela nous donne le determinant de la Jacobienne associee au changement de va-riables x = Tt0(ξ).

2.2 Edo lineaire homogene

Rappelons brievement le contexte du chapitre 1, paragraphe 1.5. On designepar M : t ∈ I 7→ M(t) ∈ L(F ) une application continue d’un intervalle I ⊂ Rdans L(F ), ce qui est equivalent a dire que tous les cœfficients mij(t) de M(t) sontdes fonctions complexes continues sur I. L’edo lineaire homogene associee a M(t)s’ecrit :

x′(t) = M(t)x(t), t ∈ I. (LH)

On a vu que pour toute donnee initiale (τ, ξ) ∈ I×F , il existe une unique solution ϕa (LH) verifiant la condition ϕ(τ) = ξ et definie sur I tout entier. On peut enoncerun premier resultat concernant la structure de l’ensemble des solutions de (LH) :

Theoreme 2.1 L’ensemble de toutes les solutions de (LH) sur I est un sous espacevectoriel de C1(I) de dimension N .

Demonstration : Si ϕ1 et ϕ2 sont deux solutions de (LH) et si c ∈ C, il est clairque ϕ1 + cϕ2 est encore une solution ce qui prouve que l’ensemble des solutionsest bien un sous ev de C1(I). Pour montrer qu’il est de dimension N , nous allonsexhiber une base. Choisissons τ ∈ I et notons ϕi la solution de (LH) verifiantla condition de Cauchy ϕi(τ) = ξi ou B = ξ1, . . . , ξN est la base canonique deF . Soit maintenant ϕ une solution de (LH). Alors il existe N nombres complexesc1, . . . , cN tels que ϕ(τ) = c1ξ1 + . . . + cNξN car B est une base de F . Les deuxsolutions ϕ et c1ϕ1 + . . . + cNϕN coıncident au point t = τ et par unicite glo-bale de la solution du probleme de Cauchy, elles coıncident partout : Finalementϕ = c1ϕ1 + . . . + cNϕN sur I et ϕ1, . . . , ϕN est un systeme generateur de l’en-semble des solutions. Montrons qu’il est libre. Considerons pour cela c1, . . . , cN ,N nombres complexes tels que c1ϕ1 + . . . + cNϕN ≡ 0 sur I. Alors en particulierc1ϕ1(τ) + . . . + cNϕN (τ) = c1ξ1 + . . . + cNξN = 0. On utilise encore une fois le faitque B soit une base pour conclure que c1 = . . . = cN = 0. ¥

La connaissance de N solutions de (LH) lineairement independantes permet doncde resoudre n’importe quel probleme de Cauchy associe a (LH).


Definition 2.1 Une matrice Φ(t) de L(F ) dont les vecteurs colonnes ϕ1, . . . , ϕN

sont N solutions lineairement independantes de (LH) sur I est appelee matricefondamentale de l’edo (LH). Elle verifie

Φ′(t) = M(t)Φ(t), ∀ t ∈ I. (LHF)

D’apres le Theoreme 2.1, ses vecteurs forment une base de l’ensemble des solutionsde (LH).

Dans la demonstration du Theoreme 2.1 on a prouve en particulier que pour toutebase B = ξ1, . . . , ξN de F et pour tout τ ∈ I, on pouvait construire une matricefondamentale Φ(t) telle que ses vecteurs colonnes ϕ1(t), . . . , ϕN (t) verifient ϕi(τ) =ξi pour tout i = 1, . . . , N . Si on choisit pour B la base canonique de F , on en deduit :

Proposition 2.1 Si M(t) est continue sur I alors pour tout τ ∈ I il existe uneunique matrice fondamentale Φ(t) a l’edo (LH) definie sur I et qui verifie Φ(τ) =IN .

Le determinant de la matrice fondamentale jouera un role particulier dans la suite,c’est pourquoi on definit plus generalement :

Definition 2.2 Soit Φ(t) une solution de l’edo matricielle (LHF) sur I. Son determinant

WΦ(t) = det(Φ(t)), t ∈ I,

est appele le Wronskien de Φ(t). Il verifie d’apres (F) :

WΦ(t) = WΦ(τ) exp(∫ t

τ

trM(s) ds

). (W)

Si Φ(t) est une matrice fondamentale dont les vecteurs colonnes sont ϕ1, . . . , ϕN

alors, pour tout τ ∈ I et pour tout ξ ∈ F , il existe un unique N uplet C =(c1, . . . , cN )T ∈ F tel que ξ = c1ϕ1(τ) + . . . + cNϕN (τ). Dans ce cas ϕ = c1ϕ1 +. . . + cNϕN est alors la solution de (LH) verifiant ϕ(τ) = ξ. On peut ecrire sousforme matricielle que :

ϕ = Φ(t)C.

Il est donc important de preciser les proprietes des matrices fondamentales. C’estce qui est fait dans le Theoreme suivant :

Theoreme 2.2 Une condition necessaire et suffisante pour qu’une matrice Φ(t)solution de (LHF) soit une matrice fondamentale est qu’il existe τ ∈ I tel queWΦ(τ) 6= 0. Dans ce cas WΦ(t) 6= 0, pour tout t ∈ I.

Si Φ(t) est une matrice fondamentale de (LH) et si P ∈ L(F ) est inversible, alorsΦ(t)P est encore une matrice fondamentale de (LH). Reciproquement, si Φ1(t) etΦ2(t) sont deux matrices fondamentales de (LH), alors Φ1(t)−1Φ2(t) est une matriceconstante sur I.

Demonstration : Si Φ(t) est une solution de (LHF) alors chacun de ses vecteurscolonnes notes ϕi est une solution de (LH). D’autre part, det Φ(τ) 6= 0 entraıneque ϕ1(τ), . . . , ϕN (τ) est une base de F . Pour toute solution ϕ de (LH), il existedonc C = (c1, . . . , cN )T ∈ F tel que ϕ(τ) = Φ(τ)C. Par unicite du probleme deCauchy, on en deduit que ϕ(t) = Φ(t)C pour tout t ∈ I et Φ(t) est une ma-trice fondamentale. Si det Φ(τ) 6= 0, alors, d’apres la relation (W), det Φ(t) 6= 0pour tout t ∈ I. Si P est une matrice inversible, alors Φ(t)P est encore une so-lution de (LHF) et det(Φ(t)P ) = det(Φ(t)) det(P ) 6= 0. La matrice Φ(t)P estdonc encore une matrice fondamentale. Enfin, en derivant Φ1(t)−1Φ2(t), on ob-tient −Φ1(t)−1Φ′1(t)Φ1(t)−1Φ2(t) + Φ1(t)−1Φ′2(t) et comme Φ1(t) et Φ2(t) sont

2.3 Edo lineaire avec second membre 31

toutes deux solutions de (LHF), il vient (Φ1(t)−1Φ2(t))′ = −Φ1(t)−1M(t)Φ2(t) +Φ1(t)−1M(t)Φ2(t) = 0. ¥

Remarquer que si Φ(t) est une matrice fondamentale et si P est une matriceconstante inversible alors PΦ(t) n’est pas forcement une matrice fondamentale.Remarquer egalement que (LHF) entraıne M(t) = Φ′(t)Φ(t)−1 pour tout t ∈ I :Deux edo (LH) differentes ne peuvent pas avoir la meme matrice fondamentale.

2.3 Edo lineaire avec second membre

Soit M(t) une matrice continue sur un intervalle I de R et b(t) une fonctioncontinue sur I a valeurs dans F . Si b(t) est non identiquement nulle sur I, alorsl’edo suivante est appellee edo lineaire avec second membre :

x′(t) = M(t)x(t) + b(t), t ∈ I. (LSM)

A ce stade, on pourrait appliquer le Theoreme de Cauchy-Lipschitz pour montrerl’existence et l’unicite d’une solution a (LSM). Nous allons proceder differement etnous ramener a des resultats deja demontres pour (LH).

Theoreme 2.3 Soit (τ, ξ) ∈ I×F et Φ(t) la matrice fondamentale de (LH) verifiantΦ(τ) = IN . Alors ,la fonction ϕ definie sur I par :

ϕ(t) = Φ(t)ξ + Φ(t)∫ t

τ

Φ(s)−1b(s) ds, t ∈ I,

est l’unique solution de l’edo (LSM) verifiant ϕ(τ) = ξ.

Demonstration : Il suffit de deriver l’expression de ϕ ci-dessus pour verifier quec’est bien une solution de (LSM). Pour l’unicite, considerons ϕ1 et ϕ2 deux solu-tions telles que ϕ1(τ) = ϕ2(τ) = ξ. Alors ϕ1−ϕ2 est une solution de (LH) verifiantϕ1(τ)− ϕ2(τ) = 0 et par unicite de la solution pour (LH), ϕ1 − ϕ2 ≡ 0 sur I. ¥

L’expression de ϕ donnee dans ce Theoreme a ete obtenue en cherchant une so-lution sous la forme Φ(t)C(t) ou C(t) est une fonction inconnue. En derivanton obtient (Φ(t)C(t))′ = Φ′(t)C(t) + Φ(t)C ′(t) et comme Φ(t) verifie (LHF), ilvient (Φ(t)C(t))′ = M(t)Φ(t)C(t) + Φ(t)C ′(t). Pour que Φ(t)C(t) soit une so-lution de (LSM), il faut et il suffit donc que Φ(t)C ′(t) = b(t), c’est a dire queC ′(t) = Φ(t)−1b(t) pour tout t ∈ I. En integrant cette relation, on obtient que

C(t) =∫ t

τ

Φ(s)−1b(s) ds.

Cette methode s’appelle la methode de la variation de la constante .

Si l’on dispose de deux solutions ϕ1 et ϕ2 a l’edo (LSM), on constate que ϕ1−ϕ2

est solution de l’edo homogene (LH). En notant Φ(t) une matrice fondamentale de(LH), on en deduit qu’il existe C ∈ F tel que ϕ1(t)−ϕ2(t) = Φ(t)C pour tout t ∈ I.Il est alors facile de demontrer :

Proposition 2.2 Soit τ ∈ I et Φ(t) la matrice fondamentale de (LH) verifiantΦ(τ) = IN . Si l’on dispose d’une solution particuliere ϕ a l’edo (LSM), alors pourtout ξ ∈ F

ϕ(t) = ϕ(t) + Φ(t)(ξ − ϕ(τ)),

est la solution de (LSM) qui verifie ϕ(τ) = ξ.


2.4 Edo lineaire a cœfficients constants

2.4.1 Premieres proprietes

Dans ce paragraphe, on se restreindra au cas ou la matrice M dans (LH) ou(LSM), ne depend pas de t (on dit que l’edo est autonome) :

x′(t) = Mx(t), ∀t ∈ R. (LCC)

La Proposition suivante rassemble les premiers resultats sur (LCC) qui se deduisentdirectement de l’etude des l’edo plus generales (LH) et (LSM) :

Proposition 2.3 Pour toute matrice M ∈ L(F ) et pour tout couple (τ, ξ) ∈ R×F :– Il existe une solution maximale unique ϕ a l’edo (LCC) definie sur R tout

entier et qui verifie ϕ(τ) = ξ.– La matrice fondamentale Φ(t) associee a l’edo (LCC) et verifiant Φ(τ) = IN

est Φ(t) = e(t−τ)M .– Pour toute fonction t ∈ R 7→ b(t) ∈ F continue, il existe une unique solution

maximale ϕ a l’edox′(t) = Mx(t) + b(t),

verifiant ϕ(τ) = ξ. Cette solution est definie sur R tout entier par

ϕ(t) = e(t−τ)Mξ +∫ t

τ

e(t−s)Mb(s) ds.

Traitons un exemple simple (N = 2) pour illustrer tout cela :

Exemple 2.1 Soit M =(

0 1−1 0

)et l’edo lineaire :

x′(t) = Mx(t), t ∈ R.

Afin de determiner la matrice fondamentale Φ(t) = etM , commencons par determinerla reduite de Jordan de M . On calcule que χM (λ) = λ2+1 = (λ−i)(λ+i). La matriceM admet donc deux valeurs propres disctinctes λ1 = i et λ2 = −i et comme N = 2,on en deduit que M est diagonalisable. On determine les sous espaces propres enresolvant :

(M − λ1I2)x =( −i 1−1 −i

)(x1

x2

)=

(00

).

Les solutions sont les combinaisons lineaires de u1 = (1/√

2, i/√

2)T . De meme lessolutions de

(M − λ2I2)x =(

i 1−1 i

)(x1

x2

)=

(00

),

sont les combinaisons lineaires de u2 = (1/√

2,−i/√

2)T . Remarquer que l’on achoisi de normer les vecteurs propres u1 et u2 (pour la norme euclidienne classique).En notant

P =(

1/√

2 −i/√

2i/√

2 −i/√

2

)et J =

(i 00 −i

),

on a la relation P−1MP = J . La matrice J etant diagonale

etJ =(

eit 00 e−it

),

2.4 Edo lineaire a cœfficients constants 33

x ’ = A x + B yy ’ = C x + D y

B = 1D = 0

A = 0C = − 1

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

x

y

Fig. 2.1 – Quelques trajectoires de l’edo x′(t) = Mx(t)

et en appliquant ensuite la formule PetJP−1 = etPJP−1= etM , on obtient :

Φ(t) = PetJP−1 =(

1/√

2 −i/√

2i/√

2 −i/√

2

)(eit 00 e−it

)(1/√

2 −i/√

21/√

2 i/√

2

)

=(

cos t sin t− sin t cos t

).

Pour tout couple (τ, ξ) ∈ R×R2, la solution ϕ(t, τ, ξ) de l’edo verifiant ϕ(τ, τ, ξ) = ξest donc :

ϕ(t, τ, ξ) =(

cos(t− τ) sin(t− τ)− sin(t− τ) cos(t− τ)

)(ξ1

ξ2

).

On remarque qu’elle est periodique de periode 2π. Soit b =(

12

). On souhaite

maintenant resoudre l’equation avec second membre :

x′(t) = Mx(t) + b, ∀t ∈ R.

Une premiere methode consiste a chercher une solution particuliere “a la main”.Par exemple, en cherchant une solution constante, on est amene a resoudre

Mx = −b,

et l’on trouve sans difficulte que ϕp = (2,−1)T est une solution. L’unique solutionϕ(t, τ, ξ) verifiant ϕ(τ, τ, ξ) = ξ est donc obtenue en appliquant la Proposition 2.2,c’est a dire :

ϕ(t, τ, ξ) =(


) (ξ1 − 2ξ2 + 1

)+

(2−1

).

Une autre approche consiste a appliquer la methode de la variation de la constante :

ϕ(t, τ, ξ) = e(t−τ)Mξ +∫ t

τ

e(t−s)Mbds.

Comme b est une vecteur constant, on peut le sortir de l’integrale. On doit donc


calculer :∫ t

τ

e(t−s)M ds =∫ t

τ

(cos(t− s) sin(t− s)− sin(t− s) cos(t− s)

)ds

=(

sin(t− τ) − cos(t− τ) + 1cos(t− τ)− 1 sin(t− τ)

).

Finalement, la solution s’ecrit :

ϕ(t, τ, ξ) =(


)(ξ1

ξ2

)

+(

sin(t− τ) − cos(t− τ) + 1cos(t− τ)− 1 sin(t− τ)

) (12

),

et on verifie quelle coıncide bien avec celle trouvee precedement.

2.4.2 Calculer une exponentielle de matrice dans le cas general

Comme nous venons de le voir, une matrice fondamentale de l’edo (LCC) estdonnee par Φ(t) = etM . Il convient donc de savoir calculer etM pour toute ma-trice M ∈ L(F ). Pour cela nous allons exploiter le fait que toute matrice de L(F )est semblable a une matrice de Jordan. Commencons par remarquer que si M estdiagonale par blocs :

M =

M1 0. . .

0 Mk

,

ou chaque Mi est une matrice carree, alors

etM =

etM1 0. . .

0 etMk

.

Soit J la reduite de Jordan de M et P la matrice de passage telle que P−1MP = J .Alors, comme cela a ete rappele dans le paragraphe 2.1, M admet q valeurs proprescomplexes distinctes (q ≥ 1) notees λ1, . . . , λq et la matrice de Jordan est diagonalepar blocs.

21

s11 s12 s13

s1k1

s1k1

d1

r11 r11 + 1 s12 + r12 s1k1 + r1k1

sq1

r11 r12 r1k1

N − 1 N

rq(kq−1) rqkq

sq(kq−1)

sq(kq−1) + rq(kq−1)

dq

sqkq

Fig. 2.2 – Recapitulatif des indices des lignes et des colonnes de la reduite de Jordan

Chaque bloc correspondant a une valeur propre λi est de taille di × di. Il secompose de ki sous blocs Rij , j = 1, . . . , ki. Chaque sous bloc Rij est de dimensions

2.5 Comportement asymptotique des solutions de (LCC) 35

rij × rij et est de la forme :

Rij =

λi 1 0 0

0 λi. . .

......

. . . . . . 10 · · · 0 λi

.

Le bloc Rij commence a la colonne sij et se termine a la colonne sij + rij (cf.figure 2.2), l’un au moins des blocs Rij est de taille αi × αi (on rappelle que αi estl’ordre de multiplicite geometrique de λi). Il est facile, en utilisant la definition del’exponentielle d’une matrice sous forme de serie de prouver que :

etRij = etλi

1 t t2

2! . . . trij−1

(rij−1)!

0. . . . . . . . .

......

. . . . . . . . . t2

2...

. . . . . . t0 . . . . . . 0 1

.

On retrouve ensuite l’expression de etM grace a la formule etM = PetJP−1.

2.5 Comportement asymptotique des solutions de(LCC)

Rappelons que l’edo (LCC) est une equation lineaire a cœfficients constants quis’ecrit :

x′(t) = Mx(t), ∀ t ∈ R,

avec M ∈ L(F ). On peut enoncer le

Theoreme 2.4 On note λ1, . . . , λq les valeurs propres de M . L’ordre de multiplicitealgebrique de λi est di et son ordre de multiplicite geometrique est αi. Alors, toutesolution de (LCC) est bornee ssi

1. Re (λi) ≤ 0, ∀ i = 1, . . . , q,2. (Re (λi) = 0) ⇒ αi = 1.

Toute solution de (LCC) tend vers 0 quand t → ∞ ssi Re (λi) < 0, pour touti = 1, . . . , q.

Demonstration : Comme nous l’avons vu dans le paragraphe precedent, une ma-trice fondamentale de l’edo (LCC) est etM . Notons P la matrice inversible de L(F )verifiant P−1MP = J , ou J est la reduite de Jordan de M . Alors, d’apres unepropriete des matrices fondamentales, Φ(t) = etMP est encore une matrice fonda-mentale. La relation P−1etMP = etJ entraıne que Φ(t) = PetJ . D’apres les resultatsetablis concernant l’exponentielle d’une matrice, etJ est une matrice diagonale parblocs, chaque bloc etant de la forme :

etRij = etλi

1 t t2

2! . . . trij−1

(rij−1)!

0. . . . . . . . .

......

. . . . . . . . . t2

2...

. . . . . . t0 . . . . . . 0 1

,


et de taille rij × rij avec rij ≤ αi, l’un au moins de ces blocs etant exactement detaille αi×αi. Pour tout l ∈ 1, . . . , N, il existe donc un unique indice i ∈ 1, . . . , q,un unique indice j ∈ 1, . . . , ki et un unique β ∈ 1, . . . , rij tels que l = sij +β (cf.figure 2.2). On en deduit que la colonne ϕl(t) de la matrice Φ(t) a pour expression :

ϕl(t) = etλi

(Psij

+ Psij+1t + . . . + Psij+βtβ−1

(β − 1)!

),

ou P1, . . . PN designent les vecteurs colonne de la matrice P . En faisant tendret →∞, on a l’equivalence :

‖ϕl(t)‖F∼+∞ exp(Re (λi(t))tβ−1

(β − 1)!‖Psij+β‖F ,

pour tout l = 1, . . . , N . La matrice P etant inversible, aucune de ses colonnes n’estle vecteur nul. Toute solution ϕ de l’edo (LCC) s’obtenant comme combinaisonlineaire des ϕl, on en deduit la deuxieme partie du Theoreme : ϕ(t) tend vers 0 ssiRe (λi) < 0 pour tout i = 1, . . . q.

Comme d’autre part β ≤ αi et qu’il existe au moins un indice l pour lequelβ = αi, on est deduit egalement la premiere equivalence du Theoreme. ¥

A partir des calculs faits dans cette demonstration, on peut deduire

Corollaire 2.1 Soit M ∈ L(F ) telle que Re (λi) < 0 pour toute valeur propre λi

de M . Alors, pour tout 0 < σ < mini−Re λi, il existe une constante Cσ > 0 telle

que‖etM‖L(F ) ≤ Cσ e−tσ, ∀ t ≥ 0.

Demonstration : Comme dans la demonstration du Theoreme, notons J la reduitede Jordan de M et P la matrice inversible telle que P−1MP = J . Pour tout x ∈ F ,‖etMx‖F = ‖etPJP−1

x‖F = ‖PetJP−1x‖F . Notons y = P−1x et ϕl(t) les vecteurscolonnes de la matrice PetJ . On obtient alors que :

‖etMx‖F = ‖N∑

l=1

ylϕl(t)‖F ≤N∑

l=1

|yl|‖ϕl(t)‖F ≤ C1

N∑

l=1

‖ϕl(t)‖F ,

avec C1 = max|yl|, l = 1, . . . , N = ‖y‖∞ = ‖P−1x‖∞. Comme toutes les normessont equivalentes, ‖P−1x‖∞ ≤ C2‖P−1‖L(F )‖x‖F ≤ C3‖x‖F . Finalement, en choi-sissant σ comme dans l’enonce, on obtient :

‖etMx‖F eσt ≤ C3‖x‖F

(N∑

l=1

‖ϕl(t)‖F

)etσ.

Du comportement asymptotique de ϕl(t) etabli dans la demonstration du Theoreme,on deduit qu’il existe Cσ > 0 tel que

C3

(N∑

l=1

‖ϕl(t)‖F

)etσ ≤ Cσ, ∀ t ≥ 0,

ce qui conclu la demonstration du Corollaire. ¥

2.6 Edo lineaire d’ordre n a cœfficients constants 37

2.6 Edo lineaire d’ordre n a cœfficients constants

Soient a0, a1, . . . , an−1, n complexes. Considerons l’edo lineaire d’ordre n :

x(n)(t) + an−1x(n−1)(t) + . . . + a1x

′(t) + a0x(t) = 0. (LAn)

Comme nous l’avons deja remarque dans la chapitre 1, cette equation peut se mettresous forme resolue :

X ′(t) = AX(t),

ou

X(t) =

x(t)x′(t)

...x(n−2)(t)x(n−1)(t)

et A =

0 1 0 . . . 0... 0

. . . . . ....

......

. . . . . . 00 0 . . . 0 1−a0 −a1 . . . −an−2 −an−1

.

En cherchant la reduite de Jordan de A, on etablit :

Lemme 2.1 Le polynome caracteristique de la matrice A est :

χA(λ) = λn + an−1λn−1 + . . . + a1λ + a0.

La matrice A est alors la matrice compagnon de son polynome caracteristique.

Demonstration : D’apres la definition :

χA(λ) = det(λIn −A) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

λ −1 0 . . . 0

0 λ. . . . . .

......

. . . . . . . . . 00 . . . 0 λ −1a0 a1 . . . an−2 λ + an−1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

.

Notons L1, L2, . . . , Ln les lignes de la matrice apparaissant a droite dans l’expressionci-dessus. En supposant que λ 6= 0, on peut remplacer la derniere ligne par

Ln −[a0

λL1 +

1λ

(a1 +

a0

λ

)L2 + . . . +

1λ

(an−2 + . . . +

a0

λn−2

)Ln−1

],

sans changer la valeur du determinant. Le determinant a calculer est alors :∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

λ −1 0 . . . 0

0 λ. . . . . .

......

. . . . . . . . . 0...

. . . λ −10 . . . . . . 0 P (λ)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

,

ou P (λ) = λ+an−1 +λ−1an−2 + . . .+λ−(n−1)a0. La matrice etant maintenant dia-gonale, on obtient facilement le resultat annonce. Si λ = 0, on calcul le determinanten developpant par rapport a la premiere colonne et on trouve bien que χA(0) = a0.¥

Le Theoreme suivant donne explicitement les solutions de (LAn).


Theoreme 2.5 Soient λ1, . . . λq les valeurs propres distinctes de la matrice A (c’esta dire les racines de χA), chaque λi ayant pour ordre de multiplicite algebrique di.Alors les fonctions tkieλit avec i = 1, . . . , q et ki = 0, . . . , di − 1 sont n solutionslineairement independantes de l’edo (LAn).

Demonstration : Notons L l’operateur differentiel associe a l’edo (LAn), c’est adire que pour toute fonction ϕ, n fois derivable :

Lϕ(t) = ϕ(n)(t) + an−1ϕ(n−1)(t) + . . . + a1ϕ

′(t) + a0ϕ(t),

et pour tout k ∈ N et tout λ ∈ C, calculons :

L(tketλ) = L

(∂k

∂λketλ

)=

∂k

∂λkL(eλt) =

∂k

∂λk

(χA(λ)eλt

).

En appliquant alors la formule de Newton pour deriver un produit de fonctions,nous obtenons :

L(tketλ) =∂k

∂λk

(χA(λ)eλt

)=

[k∑

p=0

(kp

)χ

(p)A (λ)tk−p

]eλt.

Si λi est une racine d’ordre di de χA(λ), cela signifie que χA(λi) = χ′A(λi) = . . . =χ

(di−1)A (λi) = 0, ce qui prouve avec la formule ci-dessus que les fonctions tkieλit sont

bien des solutions de (LAn). Montrons qu’elles sont lineairement independantes :Supposons qu’il existe un ensemble de n constantes cij ∈ C avec i = 1, . . . , q,j = 1, . . . , di − 1, non toutes nulles, telles que

q∑

i=1

di−1∑

j=1

cijtjeλit ≡ 0.

On peut reecrire cette relation

σ∑

i=1

Pi(t)eλit ≡ 0 avec Pi(t) =di−1∑

j=1

cijtj ,

et ou σ est le plus grand indice ≤ q tel que Pσ ≡/ 0. En multipliant cette relationpar e−λ1t, on obtient :

P1(t) +σ∑

i=2

Pi(t)e(λi−λ1)t ≡ 0.

Comme deg(P1) ≤ d1 − 1, en derivant d1 fois on obtient :

σ∑

i=2

Qi(t)e(λi−λ1)t ≡σ∑

i=2

Qi(t)eλit ≡ 0,

ou chaque Qi(t) est un polynome verifiant deg(Qi(t))=deg(Pi(t)) pour tout i =2, . . . , σ (utiliser la formule de Newton pour deriver un produit). Reiterant cetteoperation, on finit par obtenir un polynome F (t) du meme degre que Pσ(t) etverifiant F (t) ≡ 0, ce qui est impossible. ¥

Terminons ce chapitre par un exemple qui utilise une partie des resultats que nousvenons d’etablir.

2.7 L’equation de Sturm-Liouville 39

2.7 L’equation de Sturm-Liouville

Soient a0(t) et a1(t) deux fonctions reelles definies et continues sur un intervalleI ⊂ R. On souhaite etudier la position des zeros des solutions de l’edo :

x′′(t) + a1(t)x′(t) + a0(t)x(t) = 0, (S)

appelee equation de Sturm-Liouville. En introduisant X = (x(t), x′(t))T , cetteequation se met sous forme resolue :

X ′(t) =(

0 1−a0(t) −a1(t)

)X(t).

On sait (resultat concernant les edo lineaires homogenes) que l’ensemble des solu-tions est un espace vectoriel de dimension 2. On note

Φ(t) =(

ϕ′1(t) ϕ′2(t)ϕ1(t) ϕ2(t)

),

une matrice fondamentale. On a alors :

Theoreme 2.6 Soient ϕ1 et ϕ2 deux solutions independantes de (E). Alors, entredeux zeros consecutifs de ϕ1 il existe exactement un zero de ϕ2.

Demonstration : Soient u et v deux zeros consecutifs de ϕ1 (c’est a dire queϕ1(u) = ϕ1(v) = 0 et ϕ1(t) 6= 0 pour tout t ∈]u, v[). Le Wronskien de Φ(t) est

WΦ(t) = detΦ(t) = ϕ′1(t)ϕ2(t)− ϕ′2(t)ϕ1(t).

On sait que le Wronskien est toujours non nul donc WΦ(u) 6= 0 et WΦ(v) 6= 0, ce quientraıne que ϕ2(u) 6= 0 et ϕ2(v) 6= 0. Supposons que ϕ2 ne s’annule pas sur ]u, v[,alors la fonction f = ϕ1/ϕ2 est bien definie sur cet intervalle et f(u) = f(v) = 0.D’apres le Theoreme des accroissements finis, il existerait un point c ∈]u, v[ tel quef ′(c) = 0 = −WΦ(c)/ϕ2

2(c), ce qui contredit WΦ(t) 6= 0 pour tout t ∈ I. Il existedonc au moins un zero de ϕ2 entre u et v. S’il en existait deux, notons les t1 ett2, alors par symetrie des roles joues par ϕ1 et ϕ2, il existerait un autre zero de ϕ1

entre t1 et t2, ce qui est absurde puisque ϕ1(t) 6= 0 pour tout t ∈]u, v[. ¥

On suppose maintenant de plus que a1 est continuement derivable sur I. Soient(t0, x0, x1) ∈ I × R× R et ϕ la solution de (E) verifiant ϕ(t0) = x0 et ϕ′(t0) = x1.Alors

φ(t) = ϕ(t) exp(

12

∫ t

t0

a1(s) ds

),

est l’unique solution de l’edo de Sturm-Liouville reduite

y′′(t) + q(t)y(t) = 0, (SR)

ou q(t) = −a′1(t)/2−a21(t)/4+a0(t), telle que φ(t0) = x0 et φ′(t0) = x1+a1(t0)x0/2.

De plus les fonctions ϕ et φ ont les memes zeros. On peut donc se restreindre auxcas ou l’edo de Sturm-Liouville est sous la forme (SR).

Theoreme 2.7 Soit [t1, t2] ⊂ I un intervalle sur lequel q(t) ≤ 0. Alors toute solu-tion non identiquement nulle de (SR) a au plus un zero dans [t1, t2].

Demonstration : Soit φ une solution de (SR) non identiquement nulle et θ ∈ [t1, t2]un zero de φ. Comme φ n’est pas identiquement nulle, φ′(θ) 6= 0 (en effet, la seulesolution de (SR) verifiant les conditions de Cauchy φ(θ) = φ′(θ) = 0 est la solu-tion identiquement nulle par unicite de la solution). Supposons par exemple que


φ′(θ) > 0. Par continuite de φ′, il existe δ > 0 tel que sur ]θ, θ + δ[ on ait φ′(t) > 0.Posons J = c ∈]θ, b] tels que φ′(t) > 0 sur ]θ, c[. Nous venons de montrer queθ + δ ∈ J . Notons c∗ = sup J . Si c∗ < b alors par continuite de φ′ sur I, φ′(c∗) = 0.Or φ(θ) = 0 et φ′(t) > 0 sur ]θ, c∗[, donc φ(t) > φ(θ) > 0 sur ]θ, c∗[. D’apres l’edo(SR), φ′′(t) = −q(t)φ(t) ≥ 0 sur ]θ, c∗[. On en deduit que φ′ est croissante sur]θ, c∗[ et donc φ′(c∗) ≥ φ′(θ) > 0 ce qui contredit la maximalite de c∗. Finallement,φ est strictement croissante et donc ne s’annule pas sur ]θ, b] (si on avait supposeφ′(θ) < 0, on aurait obtenu que φ etait strictement decroissante). Supposons qu’ilexiste un autre zero de φ, note λ, sur [a, θ[. Un raisonnement analogue entraıneraitque φ doit etre soit strictement croissante, soit strictement decroissante sur ]λ, θ[ cequi contredit l’assertion φ(θ) = 0. ¥

Le Theoreme suivant permet de comparer la position des zeros pour deux solu-tions d’edo de Sturm-Liouville sous forme reduite.

Theoreme 2.8 Soient ϕ1 et ϕ2 deux solutions sur I respectivement de

x′′(t) + q1(t)x(t) = 0, (SR1)x′′(t) + q2(t)x(t) = 0. (SR2)

On suppose que q1(t) ≥ q2(t) sur I. Alors, entre deux zeros consecutifs de ϕ2 ilexiste au moins un zero de ϕ1.

Demonstration : Soient u et v deux zeros consecutifs de ϕ2 et supposons parexemple que ϕ2(t) > 0 sur ]u, v[. Cela entraıne que ϕ′2(u) ≥ 0 et ϕ′2(v) ≤ 0.Supposons egalement que ϕ1 ne s’annule pas sur ]u, v[, par exemple ϕ1(t) > 0.Par analogie avec ce que nous avons fait dans la demonstration du Theoreme 2.6,notons :

W (ϕ1, ϕ2)(t) = ϕ1(t)ϕ′2(t)− ϕ2(t)ϕ′1(t).

Alors W (ϕ1, ϕ2)(u) = ϕ1(u)ϕ′2(u) ≥ 0 et W (ϕ1, ϕ2)(v) = ϕ1(v)ϕ′2(v) ≤ 0. Or unsimple calcul nous donne :

W ′(ϕ1, ϕ2)(t) = ϕ1(t)ϕ′′2(t)− ϕ2(t)ϕ′′1(t) = ϕ1(t)ϕ2(t)(q1(t)− q2(t)) ≥ 0,

sur ]u, v[ de sorte que W (ϕ1, ϕ2) devrait etre croissante, d’ou la contradiction. Lesautres cas se traıtent de la meme facon. ¥

Soient ν ∈ R+. Considerons l’edo suivante, definie sur ]0,∞[ :

x′′(t) +1tx′(t) +

(1− ν2

t2

)x(t) = 0,

appelee equation de Bessel. Sous forme reduite, elle s’ecrit :

y′′(t) +(

1 +1− 4ν2

4t2

)y(t) = 0. (B)

Nous allons comparer les zeros ce cette edo avec ceux de

x′′(t) + x(t) = 0,

dont les solutions sont ϕ(t) = A sin(t− θ), A ∈ R, θ ∈ R. Distinguons trois cas :– Soit 0 ≤ ν ≤ 1/2, alors 1 + (1− 4ν2/4t2) > 1 et toute solution de (B) admet

au moins un zero dans tout intervalle de longueur π.– Soit ν > 1/2, alors 1 + (1− 4ν2/4t2) ≤ 1 et les zeros (eventuels) des solutions

de (B) sont distants d’une longueur plus grande que π.


– Si ν = 1/2, les solutions de (B) sont A sin(t+θ) et les zeros sont ecartes d’unedistance exactement egale a π.

On demontre qu’en fait, les solutions des edo de Bessel, quelque soit ν, ont toujoursune infinite de zeros sur ]0,∞[.

15 20

x

0

10

1

0,2

5

-0,4

25

0,6

-0,2

0,4

0

0,8

J1

J4

J0

J2J3

Fig. 2.3 – Les fonctions de Bessel de premiere espece Jν , solutions de (B) pourν = 0, 1, . . . , 4.


Exercice 2.1 On definit les matrices

A =

1 −1 43 2 −12 1 −1

, P =

1/3 1/6 1/2−1/3 −2/3 1−1/3 −1/6 1/2

et

P−1 =

1 1 −31 −2 31 0 1

.

Verifier que

P−1AP =

−2 0 00 1 00 0 3

.

On note ensuite X(t) = (x1(t), x2(t), x3(t))T . Resoudre le probleme de Cauchy :

X ′(t) = AX(t), X(0) =

10−1

.

Exercice 2.2 On se donne cette fois les matrices :

B =

−4 −4 010 9 1−4 −3 1

, P =

−4 −6 16 10 0−2 −4 0


et

P−1 =

0 1 5/20 −1/2 −3/21 1 1

.

Verifier que P−1BP =

2 1 00 2 10 0 2

puis resoudre le probleme de Cauchy :

X ′(t) = BX(t), X(0) =

21−1

.

Exercice 2.3 On pose X(t) = (x1(t), x2(t))T .

1. Integrer le systeme differentiel lineaire homogene :

X ′(t) =[

1 −11 3

]X(t).

2. En appliquant la methode de la variation de la constante, resoudre ensuite lesysteme avec second membre :

X ′(t) =[

1 −11 3

]X(t) +

( −t2

2t

).

Exercice 2.4 1. Soient ϕ, ψ et χ trois fonctions reelles, continues par morceauxsur un intervalle I = [a, b]. On suppose de plus que χ(t) > 0 sur I et que pourtout t ∈ I :

ϕ(t) ≤ ψ(t) +∫ t

a

χ(s)ϕ(s) ds.

Montrer qu’on a alors l’estimation de Gronwall suivante sur I :

ϕ(t) ≤ ψ(t) +∫ t

a

χ(s)ψ(s) exp(∫ t

s

χ(u) du

)ds.

Indication : On posera R(t) =∫ t

aχ(s)ϕ(s)ds et on montrera que R′−χR ≤

χψ.

2. Soit t ∈ R+ 7→ A(t) ∈ L(E) une application continue. Supposons qu’il existeune matrice fondamentale Φ de l’edo x′(t) = A(t)x(t) qui soit uniformementbornee sur R+ et telle que

lim inft→∞

Re(∫ t

0

trA(s)ds

)> −∞.

Demontrer que Φ−1 est uniformement bornee sur R+ et que la seule solutionverifiant limt→∞ ϕ(t) = 0 est la solution identiquement nulle.

3. Soit B une autre matrice continue sur R+ verifiant∫ ∞

0

‖A(t)−B(t)‖L(E) dt < ∞.

Montrer que toute solution ψ de l’edo x′(t) = B(t)x(t) est bornee sur R+.Indication : Remarquer que ψ(t) = ϕ(t)+

∫ t

t0Φ(t)Φ(s)−1(B(s)−A(s))ψ(s) ds

et utiliser la question 1.


4. Montrer que pour toute solution ϕ de l’edo de la question 2., il existe uneunique solution ψ a l’edo de la question 3. verifiant ϕ(t) − ψ(t) → 0 quandt →∞.Indication : Remarquer que ψ(t) = ϕ(t)−∫∞

tΦ(t)Φ(s)−1(B(s)−A(s))ψ(s) ds.

5. On suppose maintenant que∫ ∞

0

‖B(t)‖L(E) < ∞.

Montrer que toute solution de l’edo x′(t) = B(t)x(t), non identiquement nulle,tend vers une limite non nulle quand t → ∞. Montrer de plus que pour toutvecteur c ∈ E, il existe une unique solution ψ verifiant ψ(t) → c quand t →∞.

Exercice 2.5 (tire de l’examen 2007) Soit A ∈ L(E) (E = RN ) une matricediagonalisable dont les valeurs propres λi verifient Re(λi)< 0 pour tout i = 1, . . . , Net soit t ∈ R+ 7→ B(t) ∈ L(E) une application continue telle que

∫

R+

‖B(s)‖L(E)ds < +∞.

On noteσ = − max

i=1,...,NRe(λi),

et on souhaite etudier le comportement asymptotique des solutions ϕ(t) du problemede Cauchy :

x′(t) = (A + B(t))x(t)x(0) = x0.

(2.1)

1. Montrer que si B(t) = 0 pour tout t ∈ R+ alors il existe une constante C > 0telle que ‖ϕ(t)‖E ≤ C‖x0‖Ee−σt pour tout t ≥ 0.

2. En notant φ(t) = ϕ(t)eσt, montrer que

‖φ(t)‖E ≤ C‖x0‖E + C

∫ t

0

‖B(s)‖L(E)‖φ(s)‖Eds ∀ t ≥ 0.

3. Appliquer une inegalite de Gronwall (vue dans l’exercice precedent) pour ob-tenir le meme resultat que dans la question 1.

Exercice 2.6 Le but de cet exercice est d’etudier le caractere borne des solutionsde l’edo :

x′′(t) + q(t)x(t) = 0, (E)

ou q : R → R est une fonction continue, π−periodique, paire. Cette equation s’ap-pelle l’equation de Hill-Mathieu.Preliminaires :

1. Traiter le probleme de l’existence et de l’unicite de solutions pour l’edo (E).On note S l’ensemble des solutions et ϕ1, ϕ2 la base canonique de S associeeau point t0 = 0 (i.e. ϕ1(0) = 1, ϕ′1(0) = 0 et ϕ2(0) = 0, ϕ′2(0) = 1).

2. On considere l’application A : S → S qui a toute solution ϕ de (E) associela solution Aϕ : t ∈ R→ ϕ(t + π). Quelle est la nature de cette application ?Donner l’expression de la matrice de A dans la base ϕ1, ϕ2. Verifier que

tr A = ϕ1(π) + ϕ′2(π).

Premiere partie :


1. On pose ψ1(t) = ϕ1(−t). Montrer que ψ1 est solution de (E). En deduire queψ1 ≡ ϕ1 et donc que ϕ1 est paire.

2. En procedant de la meme facon avec la fonction ψ2(t) = −ϕ2(−t), montrerque ϕ2 est impaire.

3. On note W (ϕ1, ϕ2) le Wronskien associe a ϕ1 et ϕ2. Montrer que W (ϕ1, ϕ2)est de classe C1 et qu’il est constant sur R (il vaut toujours 1).

4. Deduire de la question precedente la valeur de det A puis expliciter A−1. Enremarquant que l’on a aussi A−1ϕ(t) = ϕ(t−π) pour toute solution ϕ de (E),en deduire que ϕ1(π) = ϕ′2(π).

Deuxieme partie : Nous allons demontre les points suivants :– |tr A| < 2 ⇒ toute solution de (E) est bornee.– |tr A| = 2 ⇒ l’edo (E) possede une solution non nulle bornee.– |tr A| = 2 ⇔ ϕ′1(π)ϕ2(π) = 0.– |tr A| > 2 ⇒ toute solution non nulle de (E) est non bornee.

1. Expliciter le polynome caracteristique χA(λ) de A. En deduire que si |tr A| <2, χA admet deux racines complexes conjuguees distinctes de module 1, noteesλ et λ.

2. On note u1 et u2 deux vecteurs propres associes respectivement a λ et λ. Onrappelle qu’alors u1, u2 est une base de S. Verifier que les fonctions |u1| et|u2| sont π−periodiques, continues. En deduire qu’elles sont bornees puis quetoute solution de (E) est bornee.

3. On suppose que |tr A| = 2. En procedant comme dans la question precedente,montrer qu’il existe une solution u non nulle a l’edo (E) verifiant u(t + π) =±u(t). En deduire que u est bornee.

4. Montrer l’equivalence |trA| = 2 ⇔ ϕ′1(π)ϕ2(π) = 0.

5. Montrer que si |tr A| > 2, les racines de χA sont λ et 1/λ avec λ ∈ R et|λ| > 1. On note u1 et u2 les vecteurs propres de A associes a λ et 1/λ.

6. soit ϕ une solution de (E). En ecrivant ϕ dans la base u1, u2, determinerϕ(t + nπ), n ∈ Z. En deduire que ϕ(t + nπ) → +∞ lorsque n → +∞ oulorsque n → −∞.

Chapitre 3

Annales des partiels

3.1 Partiel 2005-2006

On considere l’edo lineaire d’ordre 2 avec second membre :

x′′(t) + p(t)x′(t) + q(t)x(t) = g(t), (E)

definie sur I = [a, b] ou p, q et g sont trois fonctions donnees continues sur I. Soientα et β deux reels. On dit qu’une solution ϕ de (E) verifie les conditions auxlimites (LE) lorsque :

ϕ(a) = α et ϕ(b) = β. (LE)

On introduit egalement l’equation homogene associee a (E) :

x′′(t) + p(t)x′(t) + q(t)x(t) = 0. (H)

On dira qu’une solution ϕ de (H) verifie les conditions aux limites homogenes(LH) lorsque :

ϕ(a) = 0 et ϕ(b) = 0. (LH)

Le but de ce devoir est de demontrer le

Theoreme 3.1 (Alternative de Fredholm) L’equation (E) admet pour tout αet β une solution unique verifiant (LE) si et seulement si le probleme homogene(H)+(LH) admet ϕ ≡ 0 comme unique solution.

1. Mettre les edo (E) et (H) sous forme resolue :

X ′(t) = M(t)X(t) + G(t), (ER)

etX ′(t) = M(t)X(t), (HR)

ou X : t ∈ I 7→ R2 et ou l’on precisera l’expression de la matrice M(t) et dela fonction G : t ∈ I 7→ R2.

2. Rappeler succintement les resultats du cours concernant l’existence et l’unicitede solutions pour (ER) et (HR).

3. On considere ϕ1 et ϕ2 deux solutions de (H) verifiant respectivement ϕ1(a) =0, ϕ′1(a) = −1 et ϕ2(b) = 0, ϕ′2(b) = 1. A partir de ces solutions, expliciter unematrice solution de (HR) ainsi que son Wronskien que l’on note W (ϕ1, ϕ2)(t).

4. On suppose dans la suite que W (ϕ1, ϕ2)(a) 6= 0. Que vaut W (ϕ1, ϕ2)(b) ? Soitϕ une solution de (H). Expliquer pourquoi il existe deux reels A1 et A2 telsque ϕ = A1ϕ1 + A2ϕ2.

46 Chap. 3: Annales des partiels

5. Montrer que si la solution ϕ de la question precedente verifie de plus (LH)alors ϕ ≡ 0.

6. Soit ψ la solution particuliere de (E) qui verifient ψ(a) = ψ′(a) = 0. Donnerla forme, en fonction de ϕ1, ϕ2 et ψ, de toute solution f de (E). En deduirequ’il existe une et une seule solution de (E) qui verifie (LE) (α et β etantdonnes).

7. On suppose maintenant que W (ϕ1, ϕ2)(a) = 0. Quelle type de relation existe-t-il entre ϕ1 et ϕ2 ? En deduire que le probleme (H)+(LH) admet une infinitede solutions non nulles.

8. On note ϕ3 une solution de (H) lineairement independante de ϕ1 (et doncaussi de ϕ2). Donner les expressions de W (ϕ1, ϕ3)(a) et W (ϕ2, ϕ3)(b).

9. En procedant comme dans la question 6, montrer que le probleme (E)+(LE)admet soit une infinite de solutions si :

W (ϕ1, ϕ3)(a)(ψ(b)− β)− αW (ϕ2, ϕ3)(b) = 0,

soit aucune solution si cette relation n’est pas satisfaite.10. Demontrer le Theoreme ci-dessus.11. Application : On pose I = [0, π]. Donner deux solutions lineairement independantes

de x′′(t)+x(t) = 0. On ajoute les conditions aux limites x(0) = x(π) = 0. Selonl’alternative de Fredholm, combien y-a-t-il de solutions a l’edo x′′(t) + x(t) =g(t) avec les conditions aux limites x(0) = α et x(π) = β (g, α et β sontdonnes et on ne demande pas de resoudre) ?

3.2 Partiel 2006-2007

Exercie 1 : Le but de cet exercice est d’etudier les solutions du probleme de Cauchysuivant :

y′(t) = sin(

1y(t)

),

y(0) = y0 ∈ R∗.(C)

1. Preliminaires :

(a) Que pouvez vous dire quant a l’existence et l’unicite d’une solution maxi-male pour (E) ? (citer precisement le theoreme du cours).

(b) La valeur de y0 etant fixee, on note T− et T+ les bornes de l’intervallesur lequel est definie la solution maximale ϕ de (E). D’apres de cours,decrivez les divers comportements possibles de cette solution lorsque t →T+.

(c) Soit ϕ est la solution maximale correspondant a une donnee initialey0. Quelle est la solution correspondant a la donnee −y0 ? On choisitdorenavant y0 ∈ R∗+.

2. On suppose que y0 ∈]0, 1/π] :

(a) Determiner les solutions constantes de l’edo. En deduire que si y0 ∈]0, 1/π], la solution maximale de (E) est bornee. Que valent T− et T+ ?

(b) Montrer que dans ce cas la solution est monotone sur (T−, T+). Endeduire qu’elle admet des limites l− et l+ lorsque t → T− et t → T+.

(c) Montrer que l+, l− ⊂

1(k + 1)π

,1kπ

ou k est en entier dont vous

preciserez la valeur en fonction de y0 (utiliser l’ecriture de la solutionsous forme integrale).

3.2 Partiel 2006-2007 47

3. On suppose que y0 > 1/π :

(a) Que valent T− et T+ ?

(b) Montrer que ϕ est strictement croissante sur (T−, T+) puis que limt→T−

ϕ(t) =

1/π.

(c) En admettant que la fonction y 7→ sin(y)y

est decroissante sur ]0, π],

montrer que :

ϕ2(t) ≥ y20 + 2y0 sin

(1y0

)t,

pour tout t ∈ [0, T+). En deduire limt→T+

ϕ(t).

(d) On rappelle quesin(y)

y= 1 + ε(y) ou ε(y) est une fonction qui tend vers

0 lorsque y tend vers 0. Montrer que pour tout t ∈ [0, T+) :

ϕ(t)2 = y20 + 2(1 + ε(t))t,

ou ε(t) tend vers 0 quand t → +∞. En deduire un equivalent de ϕ enT+.

48 Chap. 3: Annales des partiels

4. Representation graphique :

(a) Soient ϕ et ϕ deux solutions telles que les conditions initiales correspon-dantes y0 et y0 soient toutes les deux dans un meme intervalle du type]

1(k + 1)π

,1kπ

[, k ∈ N∗ ou ]1/π, +∞[. Montrer qu’alors, ϕ(t) = ϕ(t + t)

avec t = ϕ−1(y0) (expliquer pourquoi ϕ−1 est bien definie et preciser sondomaine de depart et d’arrivee).

(b) Dessiner quelques solutions de (E) en choisissant les donnees initiales

dans un intervalle]

1(2k + 2)π

,1

2kπ

[, k ∈ N∗. Faire un autre dessin en

choisissant cette fois y0 > 1/π.

Exercie 2 : Dans cet exercice, on souhaite prouver le resultat suivant : si ϕ1 et ϕ2

sont deux solutions independantes de l’edo

x′′(t) + a1(t)x′(t) + a0(t)x = 0, (E)

ou a1 et a0 sont deux fonctions reelles continues sur un intervalle I = [a, b] ⊂ R,alors entre deux zeros consecutifs de ϕ1 il existe exactement un zero de ϕ2.

1. Mettre l’edo (E) sous forme resolue :

X ′(t) = M(t)X(t), (ER)

ou X : t ∈ I 7→ R2 et ou l’on precisera l’expression de la matrice M(t).

2. Traiter la question de l’existence et de l’unicite de solutions a l’ode (E).Preciser la notion de solutions independantes.

3. Soient ϕ1 et ϕ2 deux solutions lineairement independantes de (E). En deduirel’expression d’une matrice fondamentale de l’edo (ER) et du Wronskien (quel’on note W (ϕ1, ϕ2)(t)).

4. Soient u et v deux zeros consecutifs de ϕ1 dans I (i.e. ϕ1(u) = ϕ1(v) = 0 etϕ(t) 6= 0 ∀ t ∈]u, v[). En utilisant les proprietes du Wronskien, prouver queϕ2(u) 6= 0 et ϕ2(v) 6= 0.

5. On suppose que ϕ2(t) 6= 0, ∀ t ∈]u, v[. En appliquant le theoreme des ac-croissements finis a la fonction f = ϕ1/ϕ2 et en utilisant encore une fois lesproprietes du Wronskien, montrer que l’on aboutit a une contradiction.

6. En remarquant que les fonctions ϕ1 et ϕ2 jouent un role symetrique et enfaisant une demonstration par l’absurde, prouver qu’il ne peut y avoir qu’unseul zero de ϕ2 dans ]u, v[.

Chapitre 4

Stabilite des equationsdifferentielles autonomes

4.1 Definitions

Soit Ω un ouvert de E = RN et f une fonction a valeurs reelles de classe C1 surΩ. Une equation differentielle autonome est une edo du type :

x′(t) = f(x(t)). (EA)

D’apres les resultats etablis dans le chapitre 1, pour tout t0 ∈ R et pour toutx0 ∈ Ω, il existe une unique solution maximale ϕ(t, t0, x0) a l’edo (EA) qui verifieϕ(t0, t0, x0) = x0. Si l’on note φ(t, x0) la solution definie sur (a, b) ⊂ R (−∞ ≤ a <b ≤ +∞) qui vaut x0 lorsque t = 0 (i.e. φ(t, x0) = ϕ(t, 0, x0)) alors

φ(τ + s, x0) = φ(τ, φ(s, x0)), ∀ s ∈ (a, b), ∀ τ ∈ (a− s, b− s).

φ(τ + s, x0) = φ(τ, φ(s, x0))

x0

t = s

t = τ + s

t = 0

φ(s, x0)

La demonstration est une consequence de l’unicite des solutions maximales. Lescourbes parametrees t 7→ φ(t, x0) sont les orbites (ou trajectoires) de l’edo (EA).En TD, nous avons demontre le Theoreme suivant :

Theoreme 4.1 Si x = (x1, . . . , xN )T est un point de Ω pour lequel f(x) = (f1(x), . . . , fN (x))T 6=0 (par exemple, pour fixer les idees, f1(x) 6= 0) alors il existe un voisinage V de xdans Ω, δ > 0 et ω un voisinage de (x2, . . . , xN )T dans RN−1 tels que l’application

F :]− δ, δ[×ω → V(t, y) 7→ F (t, y) = φ(t, (x1, y)),

soit un C1 diffeomorphisme.

50 Chap. 4: Stabilite des equations differentielles autonomes

0

t = −δ

F−1

F−δ

x2

t

ω

t = 0 t = δ

x1 0

(0, x2)

δ

(x1, x2)

x2

En d’autres termes, il existe sur un voisinage de x un diffeomorphisme qui envoieles trajectoires de (EA) sur des droites paralleles. Interessons nous maintenant aucomportement des orbites au voisinage des points ou f s’annule.

Definition 4.1 Un point d’equilibre (ou point critique) de l’edo (EA) est un pointx0 ∈ Ω pour lequel f(x0) = 0.

On remarque que pour un tel point, φ(t, x0) ≡ x0 pour tout t d’ou la denomination“point d’equilibre”.

Definition 4.2 Un point d’equilibre x0 est dit– Stable si : Pour tout ε > 0 il existe δε > 0 tel que, pour tout x ∈ Ω verifiant‖x−x0‖E ≤ δε, φ(t, x) est definie pour tout t ≥ 0 et ‖φ(t, x)−x0‖E < ε pourtout t ≥ 0.

– Instable s’il n’est pas stable.– Asymptotiquement stable s’il est stable et s’il existe δ > 0 tel que ‖x−x0‖E <

δ entraıne que φ(t, x) est definie pour tout t ≥ 0 et

limt→∞

φ(t, x) = x0.

Autrement dit, x0 est stable si l’on peut rendre la solution φ(t, x) aussi procheque l’on veut de x0 pour tout t ≥ 0 pourvu que x soit suffisamment proche dex0. Commencons pas etudier le cas le plus simple : les edo lineaires a cœfficientsconstants.

4.2 Stabilite des edo lineaires a cœfficients constants

On supposera dans tout ce paragraphe que E = R2 et que detM 6= 0 ou M estla matrice intervenant dans l’edo lineaire :

x′(t) = M x(t), (LCC)

de sorte que x = 0 est le seul point d’equilibre de l’equation (LCC). L’allure destrajectoires depend essentiellement de la nature des valeurs propres de M .

4.2.1 La matrice M a deux valeurs propres reelles distinctes

Soient λ1 et λ2 les valeurs propres de la matrice M et u1, u2 les vecteurs propresassocies. Pour tout x 6= 0, la solution φ(t, x) a l’edo (LCC) s’ecrit dans la baseu1, u2 :

φ(t, x) = α1(t)u1 + α2(t)u2.

On calcule ensuite que φ′(t, x) = α′1(t)u1 + α′2(t)u2 = Mφ(t, x) = α1(t)Mu1 +α2(t)Mu2 = α1(t)λ1u1 + α2(t)λ2u2. Comme u1, u2 est un systeme libre, cette

4.2 Stabilite des edo lineaires a cœfficients constants 51

egalite implique que α′1(t) − λ1α1(t) = 0 et α′2(t) − λ2α1(t) = 0 pour tout t ∈ R.Sachant que φ(0, x) = x = x1u1 + x2u2, on obtient que

α1(t) = x1eλ1t,

α2(t) = x2eλ2t, ∀ t ∈ R.

Il est alors facile de montrer que α2 = C |α1|λ2/λ1 , avec C = (x2/λ1)|x1|−λ2/λ1 . Dansla base u1, u2, les trajectoires decrivent les courbes d’equations α2 = C |α1|λ2/λ1

dans le sens des α1 croissants si λ1 > 0 (decroissants si λ1 < 0) et α2 croissants siλ2 > 0 (decroissants si λ2 < 0).

De cette etude on deduit que le point d’equilibre 0 est stable si λ1 et λ2 sont< 0 et instable si λ1 > 0 ou λ2 > 0.

x ’ = A x + B yy ’ = C x + D y

B = 1D = − 3

A = − 2C = 2

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

x

y

u2

u1

0

α2(t)

α1(t)

λ1 = −1, λ2 = −4

Fig. 4.1 – Nœud stable

x ’ = A x + B yy ’ = C x + D y

B = 1D = 3

A = 2C = 2

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

x

y

u1

u2

0

λ1 = 1, λ2 = 4

Fig. 4.2 – Nœud instable


x ’ = A x + B yy ’ = C x + D y

B = 1D = 1

A = − 1C = 1

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

x

y

0

u2

u1

λ1 = −√2, λ2 =√

2

Fig. 4.3 – Selle (ou cole)

4.2.2 La matrice M a une seule valeur propre reelle

On note λ cette valeur propre double et δ = dimKer (M − λI2). On doit alorsdistinguer encore deux cas :

Le cas δ = 2

Dans ce cas, la matrice M est diagonale et s’ecrit M = λI2. Il est facile demontrer que, pour tout x ∈ R2, x 6= 0,

φ(t, x) = eλ tx, ∀ t ∈ R.

Les trajectoires sont des droites passant par 0.Le point critique 0 est stable si λ < 0 et instable si λ > 0.

x ’ = A x + B yy ’ = C x + D y

B = 0D = 1

A = 1C = 0

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

x

y

0

λ = 1

Fig. 4.4 – δ = 2, source (instable)


x ’ = A x + B yy ’ = C x + D y

B = 0D = − 1

A = − 1C = 0

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

x

y

0

λ = −1

Fig. 4.5 – δ = 2, puit (stable)

Le cas δ = 1

Il existe une base u1, u2 dans laquelle la reduite de Jordan de M est

J =(

λ 10 λ

).

Dans cette base, les solutions φ(t, x) s’ecrivent φ(t, x) = α1(t)u1 + α2(t)u2 et onmontre que

α1(t) =(x2 t + x1)eλ t,

α2(t) =x2 eλ t,

ou comme precedemment x = x1u1 + x2u2. Si x est sur la droite portee par u1

(i.e x2 = 0), alors la trajectoire est une droite. Sinon elle est portee par la courbeα1 = C1α2 ln(|α2|) + C2α2, ou C1 = 1/λ1 et C2 = (x1 − (x2/λ1) ln(|x2|))/x2.

x ’ = A x + B yy ’ = C x + D y

B = 1D = 1

A = 1C = 0

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

x

y

0

α2(t)φ(t, x)

x

λ = 1, δ = 1

α1(t)

Fig. 4.6 – Nœud degenere instable


x ’ = A x + B yy ’ = C x + D y

B = 1D = − 1

A = − 1C = 0

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

x

y

0

λ = −1, δ = 1

Fig. 4.7 – Nœud degenere stable

Le point d’equilibre 0 est stable si λ > 0 et instable si λ > 0.

4.2.3 La matrice M a deux valeurs propres, non reelles, conjuguees

Notons λ1 = a + ib et λ2 = a − ib les valeurs propres complexes de M etconsiderons z = u + iv un vecteur propre associe a la valeur propre λ1. AlorsMz = Mu + iMv = (a + ib)(u + iv) = (au − bv) + i(av + bu), c’est a dire queMu = au− bv et Mv = av + bu. Autrement dit, dans la base u, v, la matrice Ma pour expression :

M =(

a −bb a

).

Dans la base u, v, la solution φ(t, x) s’ecrit

φ(t, x) = α1(t)u + α2(t)v, ∀t ∈ R,

et les fonctions α1(t) et α2(t) sont solutions du systeme d’edo :

α′1(t) = a α1(t)− b α2(t),α′2(t) = b α1(t) + a α2(t), ∀ t ∈ R.

En posant βi(t) = αi(t)e−a t, i = 1, 2, ces fonctions verifient :

β′1(t) = −b β2(t),β′2(t) = b β1(t), ∀ t ∈ R.

Si x = x1u+ x2v dans la base u, v, alors il existe R ∈]0,∞[ et θ ∈ [−π, π[ tels quex1 = R cos(θ) et x2 = R sin(θ). En integrant le systeme d’edo ci-dessus, on trouveque β1(t) = R cos(b t + θ), β2(t) = R sin(bt + θ) puis que

α1(t) = R ea t cos(bt + θ),

α2(t) = R ea t cos(bt + θ), ∀ t ∈ R.

Dans la base u, v, les trajectoires sont soit des cercles de centre 0 et de rayons Rsi a = 0, soit des spirales qui emanent de l’origine (si a > 0) ou qui convergent versl’origine (si a < 0).


x ’ = A x + B yy ’ = C x + D y

B = 1D = − 1

A = − 1C = − 1

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

x

y

0

λ1 = −1− i, λ2 = −1 + i

Fig. 4.8 – Foyer stable

x ’ = A x + B yy ’ = C x + D y

B = − 1D = 1

A = 1C = 1

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

x

y

0

λ1 = 1− i, λ2 = 1 + i

Fig. 4.9 – Foyer instable


x ’ = A x + B yy ’ = C x + D y

B = 2D = − 1

A = 1C = − 5

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

x

y

v

u

λ1 = i, λ2 = −i

Fig. 4.10 – Centre

Le point d’equilibre 0 est stable si Re (λ1) = Re (λ2) ≤ 0 et instable si Re (λ1) =Re (λ2) > 0.

4.3 Stabilite des edo autonomes non lineaires

Une premiere idee pour etudier le comportement des solutions de l’edo (EA) auvoisinage d’un point d’equilibre x0 est de lineariser l’equation. En effet, si f est declasse C1, on peut ecrire que f(x) = Df(x0)(x − x0) + g(x − x0) ou la fonction gest de classe C1 et verifie ‖g(x− x0)‖F /‖x− x0‖F → 0 quand x → x0. L’edo (EA)devient :

x′(t) = Df(x0)(x(t)− x0) + g(x(t)− x0).

Si on effectue le changement de variables y(t) = x(t)− x0, alors

y′(t) = Df(x0)y(t) + g(y(t)).

On peut donc sans perte de generalite se ramener au cas ou x0 = 0. Enoncons unpremier resultat :

Theoreme 4.2 (de Perron) Soit M une matrice dont toutes les valeurs propresλi sont telles que Re (λi) < 0 et soit g une fonction C1 sur E et verifiant

limx→0

‖g(x)‖E

‖x‖E= 0.

Alors pour tout ε > 0 et pour tout 0 < σ < mini−Re (λi), il existe δ > 0 tel que si

|x| < δ :– La solution φ(t, x) de l’edo

x′(t) = Mx(t) + g(x(t)), (E)

verifiant φ(0, x) = x existe pour tout t ≥ 0.– |φ(t, x)| ≤ εe−σt, pour tout t ≥ 0.

En particulier, la solution identiquement nulle est asymptotiquement stable.

4.3 Stabilite des edo autonomes non lineaires 57

Demonstration : Soit ε > 0 et σ comme dans l’enonce. Introduisons egalement σtel que 0 < σ < σ < min

i−Re (λi), ce qui est toujours possible. Le Corollaire 2.1

nous assure de l’existence d’une constante Ceσ > 0 telle que

‖etM‖L(E) ≤ Ceσe−eσt, ∀t ≥ 0.

D’apres l’hypothese verifiee par g, il existe δ > 0 tel que si ‖x‖E ≤ δ alors ‖g(x)‖E ≤(σ − σ)‖x‖E/Ceσ. Posons δ = minδ/2, δ/Ceσ, ε/Ceσ et choisissons x ∈ E tel que‖x‖E ≤ δ. Pour un tel x, notons φ(t, x) la solution maximale de l’edo (E) telleque φ(0, x) = x (remarquer qu’une telle solution existe toujours car g est C1). Sonintervalle de definition maximal est [0, T ) avec 0 < T ≤ ∞. Comme nous l’avons vudans le chapitre precedent, on a l’expression sous forme integrale :

φ(t, x) = etMx +∫ t

0

e(t−s)Mg(φ(s, x)) ds, ∀ 0 ≤ t ≤ T.

On en deduit que

‖φ(t, x)‖E ≤ ‖etM‖L(E)‖x‖E +∫ t

0

‖e(t−s)M‖L(E)‖g(φ(s, x))‖E ds, ∀ 0 ≤ t ≤ T.

Comme ‖x‖E ≤ δ ≤ δ/2, la continuite de φ(t, x) entraıne qu’il existe un intervallede longueur maximale [0, T ] avec T > 0 sur lequel ‖φ(t, x)‖E ≤ δ, d’ou :

‖φ(t, x)‖E ≤ Ceσe−eσtδ + (σ − σ)e−teσ ∫ t

0

eseσ‖φ(s, x)‖E ds, ∀ 0 ≤ t ≤ T .

Cette inegalite s’ecrit encore

‖ψ(t, x)‖E ≤ Ceσδ + (σ − σ)∫ t

0

‖ψ(s, x)‖E ds, ∀ 0 ≤ t ≤ T ,

avec ψ(t, x) = φ(t, x)eteσ. En appliquant alors l’inegalite de Gronwall du Lemme 1.2,on obtient :

‖ψ(t, x)‖E ≤ Ceσδe(eσ−σ)t, ∀ 0 ≤ t ≤ T ,

puis‖φ(t, x)‖E ≤ Ceσδe−σt, ∀ 0 ≤ t ≤ T .

On en deduit d’une part, selon la definition de δ, que ‖φ(T , x)‖E ≤ δe−eTeσ et par unargument de continuite que ‖φ(t, x)‖E resterait inferieur a δ au dela de T si T < T ,ce qui contredirait la maximalite de T . Donc T = T . D’autre part, toujours d’apresla definition de δ, ‖φ(t, x)‖E ≤ εe−σt, ce qui est l’estimation du Theoreme et quientraıne que T = ∞. ¥

Pour terminer ce chapitre, on peut enoncer le Theoreme suivant qui prouve quel’etude detaillee de la stabilite que nous avons faite dans le cas des edo lineaires aune portee assez generale :

Theoreme 4.3 (Hartman-Grobman) Soit Ω un ouvert de E contenant 0 et fune fonction C1 sur Ω a valeurs dans E. Pour tout x ∈ Ω, on note φ(t, x) la solutionde l’edo autonome

x′(t) = f(x(t)), (LA)

qui verifie φ(0, x) = x. On suppose que f(0) = 0 et que pour toute valeur propreλ de la matrice M = Df(0), Re (λ) 6= 0. Alors il existe deux ouverts U et V de Econtenant 0 et un homeomorphisme H de U dans V tel que, pour tout x ∈ U ,

H(φ(t, x)) = etMH(x), ∀ t ∈ Ix,


ou Ix est un intervalle ouvert de R contenant 0. En particulier H envoie les trajec-toires de l’edo (LA) sur les trajectoires de l’edo lineaire a cœfficients constants

x′(t) = Mx(t),

en preservant la parametrisation.

La demonstration est longue et difficile. On peut en trouver les grandes lignes dansle livre de Perko L. Differential equations and dynamical systems, Springer Verlag.


Exercice 4.1 On souhaite faire le portrait de phase d’un systeme 2 × 2 d’edoautonomes de la forme :

x′1(t) = f1(x1(t), x2(t)),x′2(t) = f2(x1(t), x2(t)),

ou f1 et f2 sont des fonctions donnees de classe C1 sur R. On notera (ϕ1, ϕ2) unesolution de ce systeme. Avant de traiter un exemple concret, on commence paretablir quelques resultats preliminaires.

Partie 1 : Montrer qu’au voisinage des points (x1, x2) tels que f1(x1, x2) 6= 0, lestrajectoires du systeme coıncident avec le graphe des solutions de l’edo

y′(x) =f2(x, y(x))f1(x, y(x))

.

En particulier, les trajectoires sont des courbes y = ψ(x).Indication : On appliquera le Theoreme d’inversion locale a la fonction ϕ1 au voi-sinage de t0 tel que ϕ1(t0) = x1.

Partie 2 : On dit qu’une trajectoires (ϕ1(t), ϕ2(t)), t ∈ (T−, T+) est monotonesi ϕ′1(t) 6= 0 pour tout t ∈]T−, T+[ et si c’est le graphe y = ψ(x) d’une fonctionψ monotone. Montrer que si une trajectoire est monotone et si elle reste dans undomaine K compact du plan pour t ≥ t0 alors

– elle est definie pour tout t ∈ [t0,∞[,– elle converge lorsque t →∞ vers un point d’equilibre du systeme.

Indication : On commencera par demontrer que si ϕ est une fonction C1 sur [t0,∞[verifiant limt→∞ ϕ(t) = x1 et limt→∞ ϕ′(t) = l avec x1, l ∈ R alors l = 0.On en deduit : si une trajectoire est monotone, elle sort de tout compact qui necontient pas de point d’equilibre.

Partie 3 : Demontrer les regles de l’Hospital suivantes :

1. Soient u et v deux fonctions reelles C1 definies sur un intervalle (a, T ), −∞ ≤a < T ≤ +∞ et verifiant limt→T u(t) = limt→T v(t) = 0. Si limt→T v′(t)/u′(t)existe, alors on a :

limt→T

v(t)u(t)

= limt→T

v′(t)u′(t)

.

2. Soit u une fonction C1 sur (a,+∞). On suppose que limt→∞ u′(t) = l (ou ∞).Alors u(t)/t tend aussi vers l (ou ∞) quand t →∞.Indication : Ecrire que u(t) = u(t0) +

∫ t

t0u′(s) ds.


Partie 4 : On considere maintenant le systeme differentiel suivant :

x′1(t) = x1(t)− x1(t)x2(t)− x1(t)2,x′2(t) = −4x2(t) + 2x1(t)x2(t).

On pose f1(x1, x2) = x1 − x1x2 − x21 et f2(x1, x2) = −4x2 + 2x1x2.

1. Determiner les points d’equilibre, les zones du plan dans lesquelles f1 et f2

ont un signe constant ainsi que les courbes f1 = 0 et f2 = 0.

2. Etudier la nature des points d’equilibre et donner l’allure des trajectoires dessystemes linearises.

3. On note P1 = (x1, x2) ∈ R2 : x1 > 0, x2 > 0.(a) Soit t 7→ (ϕ1(t), ϕ2(t)) une solution de l’edo pour laquelle la condition

initiale se trouve dans K1 = (x1, x2) ∈ P1 : 0 < x1 ≤ 1, 1−x1−x2 ≥ 0.i. Montrer que (ϕ1(t), ϕ2(t)) ∈ K1 pour tous les temps ulterieurs de

son ensemble de definition.

ii. En deduire que ϕ1 et ϕ2 sont definis sur [0,∞[ et que limt→∞(ϕ1(t), ϕ2(t)) =(1, 0).

iii. Montrer que la fonction t 7→ u(t) = ϕ2(t)/(ϕ1(t) − 1) tend vers 0lorsque t → ∞ (on montrera que u admet une limite u0 puis quelimt→∞ ϕ′2(t)/ϕ′1(t) = 2u0/(1 + u0) et donc que u0 = 0).

(b) Montrer que toute trajectoire ayant sa condition initiale dans K3 =(x1, x2) ∈ P1 : x1 ≥ 2 est le graphe d’une fonction decroissante sur[2,∞[. Etudier la branche infinie de cette trajectoire.

(c) Que se passe-t-il pour une trajectoire de condition initiale dans K2 =(x1, x2) ∈ P1 : x1 ≤ 2, 1− x1 − x2 ≤ 0.

(d) Dessiner l’allure des trajectoires dans P1.

4. On note P2 = (x1, x2) ∈ R2 : x1 < 0, x2 > 0, A = (x1, x2) ∈ P2 : x2 >−x1 + 1 et B = (x1, x2) ∈ P2 : x2 < −x1 + 1.(a) Montrer que toute trajectoire issue d’un point A entre dans B.

(b) Montrer que sur une trajectoire issue d’un point de B on a limt→T∗ ϕ1(t) =−∞ et limt→T∗ ϕ2(t) = 0 (ou T ∗ est le temps maximal d’existence pourla solution (ϕ1, ϕ2)).

(c) Tracer les trajectoires dans P2.

5. On note P3 = (x1, x2) ∈ R2 : x < 0, y < 0.(a) On note (T∗, T ∗) l’intervalle d’existence d’une solution dont la donnee

initiale (x1, x2) est dans P3. Montrer que pour une telle solution on alimt→T∗ ϕ1(t) = −∞, limt→T∗ ϕ2(t) = 0, limt→T∗ ϕ1(t) = 0, limt→T∗ ϕ2(t) =−∞.

(b) Tracer les trajectoires dans P3.

6. On note P4 = (x1, x2) : x1 > 0, x2 < 0. Soient α le point (1, 0), β lepoint (2,−1), γ le point (2, 0) et T le triangle (x1, x2) : 1 < x1 < 2, x2 <0, x1 + x2 > 1.(a) Montrer que T est une zone piege (c’est a dire que toute trajectoire qui

entre dans T ne ressort pas).

(b) En deduire que toute trajectoire entrant dans T est definie pour tous lestemps ulterieurs et converge vers le point α lorsque t →∞.

(c) Montrer qu’il y a deux trajectoires issues de β dont l’une est definie pourtout temps et converge vers α lorsque t →∞.


(d) Representrer les trajectoires dans P4.

x ’ = x − x y − x2

y ’ = − 4 y + 2 x y

−2 −1 0 1 2 3 4

−3

−2

−1

0

1

2

3

x

y

x1 + x2 − 1 = 0

A

B

K1

K2

0

α

T

β

γ

K3

Fig. 4.11 – Portrait de phase du systeme d’edo

Chapitre 5

Annales des examens

5.1 Examen 2005-2006 (premere session)

On pose E = RN . Le but du probleme est de generaliser la notion de stabiliteaux edo lineaires non autonomes de la forme :

x′(t) = A(t)x(t), (I)x′(t) = A(t)x(t) + b(t), (II)

ou A : t ∈ R+ 7→ A(t) ∈ L(E) et b : t ∈ R+ 7→ E sont deux applications continues.Pour tout t0 ∈ R+ et x0 ∈ E, on note ϕ(t, t0, x0) les solutions de (I) ou de (II)verifiant ϕ(t0, t0, x0) = x0.

– On dit qu’une solution ϕ(t, t0, x0) est uniformement stable (on ecrira u.s) si∀ ε > 0, ∃ η(ε) > 0 tel que pour tout x1 ∈ E verifiant ‖x1 − x0‖E ≤ η(ε) on a

supt≥t0

‖ϕ(t, t0, x1)− ϕ(t, t0, x0)‖E ≤ ε, ∀ t0 ≥ 0.

(les solutions restent a une distance inferieure a ε pourvu que l’on choisissedes donnees initiales a une distance inferieure a η(ε))

– On dit qu’une solution ϕ(t, t0, x0) est uniformement asymptotiquement stable(on ecrira u.a.s) si elle est u.s et si ∃ η > 0 tel que ∀ ε > 0, ∃T (ε) > 0 tel quesi x1 ∈ E verifie ‖x1 − x0‖E ≤ η alors

supt≥t0+T (ε)

‖ϕ(t, t0, x1)− ϕ(t, t0, x0)‖E ≤ ε, ∀ t0 ≥ 0.

(pour des donnees initiales a une distance inferieure a η, les solutions restenta une distance inferieure a ε pourvu que l’on attende un temps T (ε)).

1. On note Φ(t, t0) la matrice fondamentale de l’edo (I) telle que Φ(t0, t0) = IE(l’identite de L(E)). Expliquer clairement cette notion et demontrer la relationΦ(t, t1)Φ(t1, t0) = Φ(t, t0) pour tout t ≥ t1 ≥ t0 ≥ 0.

2. Ecrire ϕ(t, t0, x0) en fonction de Φ(t, t0) et en deduire l’equivalence entre lestrois points suivants :

(a) La solution ϕ0(t) ≡ 0 de (I) est u.s.

(b) Toute solution de (I) est u.s.

(c) Il existe M ≥ 0 telle que sup0≤t0≤t

‖Φ(t, t0)‖L(E) ≤ M , ∀t0 ≥ 0.

Indication : Revenir a la definition de la norme dans L(E).Si l’une des assertions ci-desssus est realisee, on dit que l’edo (I) est u.s.

62 Chap. 5: Annales des examens

3. On souhaite montrer l’equivalence entre les trois points suivants :(a) La solution ϕ0(t) ≡ 0 de (I) est u.a.s.

(b) Toute solution de (I) est u.a.s.

(c) Il existe K > 0 et α > 0 tels que sup0≤t0≤t

‖Φ(t, t0)‖L(E) ≤ K e−α(t−t0),

∀ t0 ≥ 0.Montrer que (3a)⇔(3b) et (3c)⇒(3b). Si (3a) ou (3b) est realisee, on dit quel’edo (I) est u.a.s.

4. Montrer que si (I) est u.a.s, alors pour tout 0 < δ < 1, il existe T (δ) > 0 telque

supt≥t0+T (δ)

‖Φ(t, t0)‖L(E) ≤ δ, ∀ t0 ≥ 0.

5. On fixe maintenant δ < 1. Montrer que supt≥t0+nT (δ)

‖Φ(t, t0)‖L(E) ≤ δn, ∀t0 ≥ 0,

∀n ∈ N∗.Indication : utiliser la relation demontree dans la question 1.

6. En remarquant que pour tout t ≥ t0, il existe n ∈ N tel que t0 + nT (δ) ≤t < t0 + (n + 1)T (δ) et en utilisant (2c), montrer que (3b)⇒(3c) avec α =ln(1/δ)/T (δ) et K = M/δ.

7. En utilisant les questions precedentes, montrer que si une solution de (II) estu.s, toute les solutions de (II) sont u.s et de meme que si une solution de (II)est u.a.s, toutes les solutions de (II) sont u.a.s. On dit alors que l’edo (II) estu.s (ou u.a.s).

8. Montrer que les deux edo (I) et (II) sont de meme nature en ce qui concernela stabilite (u.s ou u.a.s).

5.2 Examen 2005-2006 (deuxieme session)

Exercice 1 : On considere l’edo suivante :

x′(t) = −x(t) + α(t)x2(t), t ≥ 0, (E)

ou α : R+ → R est une fonction de classe C1 et verifiant |α(t)| ≤ 1 pour toutt ∈ R+. On note ϕ(t, x0) la solution maximale de (E) verifiant ϕ(0, x0) = x0. Lebut de l’exercice est de montrer que si |x0| < 1, alors t 7→ ϕ(t, x0) est definie surR+ tout entier. On note [0, T ∗) l’intervalle d’existence maximal de t 7→ ϕ(t, x0).

1. En mettant l’edo (E) sous forme resolue, montrer l’existence et l’unicite de lasolution maximale t 7→ ϕ(t, x0).

2. On considerant dans (E) le terme α(t)x2(t) comme le second membre d’uneedo lineaire, montrer que :

ϕ(t, x0) = e−tx0 +∫ t

0

e−(t−s)α(s)ϕ(s, x0)2 ds. (R)

3. On suppose que T ∗ < ∞. Posons |x0| = 1 − δ, δ ∈]0, 1[ et pour δ0 ∈]0, δ[ onintroduit l’ensemble

I = T ∈ [0, T ∗[ tel que |ϕ(t, x0)| ≤ 1− δ0, ∀ t ∈ [0, T ].

Montrer que I est un intervalle. On le note [0, a).

4. En utilisant (R) et l’inegalite de Gronwall, montrer que pour tout T ∈ I on a|ϕ(t, x0)| ≤ |x0|e−δ0t, pour tout t ∈ [0, T ].

5.2 Examen 2005-2006 (deuxieme session) 63

5. Montrer que |ϕ(t, x0)| ≤ 1 − δ pour tout t ∈ [0, a] et en deduire qu’il existeε > 0 tel que a + ε ∈ I. Conclure que T ∗ = ∞.

Exercice 2 : On admet que si g est une fonction continue positive sur [0, T ], lafonction h definie par h(0) = g(0) et h(t) = sup

s∈[0,t]

g(s), t > 0 est continue sur [0, T ].

On considere l’edo suivante :

x′(t) = λ + α(t)x2(t), t > 0, (E)

ou α est une fonction C1 de R+ dans R+ telle qu’il existe α0 > 0 verifiant

∀T > 0, sups∈]0,T ]

1s

∫ s

0

σ2α(σ) dσ < α0, (I)

et λ est un reel strictement positif.

1. Montrer que l’edo (E) admet une unique solution maximale ϕ verifiant ϕ(0) =0. On note [0, T ∗) son intervalle de definition. Montrer que ϕ(t) > 0, ∀ t ∈]0, T ∗).

2. On va montrer que toute solution maximale de (E) est definie sur [0,∞[ siλ ∈]0, 1/(4α0)].

(a) On suppose que T ∗ < ∞ et pour T < T ∗ on pose h(0) = λ et h(t) =sup

s∈]0,t]

ϕ(s)/s si t ∈]0, T ]. Montrer que h est continue sur [0, T ]. Etudier

la monotonie de h. En deduire la forme de h([0, T ]).

(b) En ecrivant (E) sous forme d’une equation integrale, montrer qu’il existeune constante µ ∈]0, α0[ telle que

h(t) ≤ λ + µh(t)2, ∀ t ∈ [0, T ].

(c) En deduire que pour tout t ∈ [0, T ], on a

h(t) ≤ 1−√1− 4µλ

2µou bien h(t) ≥ 1 +

√1− 4µλ

2µ.

(d) En utilisant la question 2a, trancher entre les deux possibilites de laquestion precedente et en deduire que T ∗ = ∞.

3. On suppose dans cette question que α(t) = 1/(1 + t2).

(a) Montrer que la fonction α(t) verifie (I) avec α0 = 1.

(b) On suppose que λ > 1/4 et l’on pose ϕ(t) = ψ(t)√

1 + t2. Montrer quel’on a les inegalites suivantes sur [0, T ∗[:

ψ(t)2 + λ− ψ(t) ≤ ψ′(t)√

1 + t2 ≤ λ + ψ(t)2.

(c) En deduire d’une part que ψ est strictement croissante et d’autre partque

∫ t

0

ψ′(s)ψ2(s) + λ

ds ≤∫ t

0

ds√1 + s2

≤∫ t

0

ψ′(s)ψ2(s)− ψ(s) + λ

ds.

(d) Effectuer le changement de variables τ = ψ(s) apres l’avoir justifie. Endeduire que T ∗ < ∞.

64 Chap. 5: Annales des examens

Exercice 3 : On considere le systeme d’edo autonome suivant :

x′(t) = y(t) + ε(x3(t) + 2x(t)y2(t))y′(t) = −x(t) + εy3(t), (S)

ou ε est un reel donne. On note X0 = (x0, y0) ∈ R2 et ϕ(t,X0) = (ϕ1(t, x0), ϕ2(t, y0))la solution de (S) verifiant ϕ(0, X0) = X0.

1. Verifier que (0, 0) est un point d’equilibre de (S) et ecrire le systeme lineariseau voisinage de ce point sous la forme X ′(t) = AX(t) ou A est une matrice2× 2 que l’on precisera.

2. Determiner les valeurs propres de A et etudier la stabilite du point (0, 0).

3. Soit ε 6= 0. On note ρ(t,X0) = ϕ21(t, x0)+ϕ2

2(t, y0). Verifier que ρ est solutionde l’edo x′(t) = 2εx2(t) avec la condition initiale ρ(0, X0) = 2ε|X0|2.

4. Integrer explicitement l’edo de la question precedente. En deduire que– Si ε > 0, la solution ρ(t,X0) est instable.– Si ε < 0, la solution ρ(t,X0) est asymptotiquement stable.

5. En deduire la nature (stable, asymptotiquement stable ou instable) du systeme(S) et comparer avec celle du systeme linearise. Que constatez vous ?

Index

equation de Bernoulli, 5equation de Riccati, 6equicontinuite, 9

autonome, 26

Bessel (edo), 34

conditions initiales, 15cylindre, 7

derivees partielles, 18diffeormorphisme, 23

edo d’ordre n, 6, 31edo du premier ordre, 5exponentiel de matrice, 22

forme normale (edo), 5forme resolue (edo), 5

homeomorphisme, 20

Lemme d’Ascoli, 9Lemme de Gronwall, 11lineaire (edo), 14lineaire homogene (edo), 14lipschitzien, 12

matrice compagnon, 31matrice fondamentale, 24matrice identite, 21matrice jacobienne, 18matrice nilpotente, 22

norme, 5norme matricielle, 14

orbites, 37ordre de multiplicite algebrique, 21ordre de multiplicite geometrique, 21

point critique, 38point d’equiblibre, 38polynome caracteristique, 21polynome minimal, 21probleme de Cauchy, 6

reduite de Jordan, 21

second membre, 25solution (d’une edo), 5solution approchee, 7solution maximale, 13sous-espace propre, 21Sturm-Liouville (equation), 33Sturm-Liouville (edo), 33

Theoreme d’Ascoli-Peano, 10Theoreme de Cauchy-Lipschitz, 12Theoreme de Hartman-Grobman, 45Theoreme de Perron, 44trajectoires, 37tube ouvert, 15

valeurs propres, 21variation de la constante, 25

Wronskien, 24

th¶eorie des ¶equations diﬁ¶erentielles ordinairesalexandre.munnier/files/cours...r...

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