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Theoretical Mechanics

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主讲教师黄璟

第一篇静力学

第三章力偶系

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§ 3-1　力矩　　

§ 3-2　力偶

§ 3-3　力偶系的合成

§ 3-4　力偶系的平衡

第三章力偶系目录


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3.1 力矩

其大小为即 MO(F) = r×F

在直角坐标系 Oxyz 中 r = xi + yj + zk F = Fxi +Fyj +Fzk

力 F 对 O 点之矩 : 矢径 r 与力 F 的矢积

zyx

O

FFF

zyx

kji

FM )( kji )()()( xyzxyz yFxFxFzFzFyF

OABFhFrO Δ2sin)( FrFM

则

3.1.1 力对点之矩

kFMjFMiFMFM zOyOxOO )()()()(


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若力 F 作用在 Oxy 平面内，即 Fz≡0 ， z≡0

MO(F) = r×F = (Fxy – Fyx)k

力 F 对 O 点之矩总是沿着 z 轴方向，可用代数量来表示

MO(F) = Mz(F) = ±Fh = ±2△OAB

在平面问题中，力对点之矩为代数量，一般规定逆时针为正，顺时针为负。

则

3.1 力矩 3.1.1 力对点之矩



OabhFMM xyxyoz 2)()( FF

当力与轴平行（ Fxy =

0 ）或相交时（ h = 0 ），力对轴之矩等于零。

力对轴之矩：力对轴之矩等于力在与轴垂直平面上的投影对轴与该平面交点之矩。力对轴之矩是代数量，它的正负号则由右手螺旋规则来确定。

xyz yFxFM )(F即

3.1 力矩 3.1.2 力对轴之矩



力 F 对 O 点之矩、力 F 对通过O 点的 z 轴之矩的大小分别为 OabM

OAB

z

O

2)(

2)(

F

FM

OabOAB cos

式中为两三角形平面之间的夹角，即 M

O(F) 与 z 轴之夹角。

3.1 力矩 3.1.3 力矩关系定理

力矩关系定理：力对点之矩在过该点任意轴上的投影等于力对该轴之矩。


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xyzzO

zxyyO

yzxxO

yFxFFMFM

xFzFFMFM

zFyFFMFM

)()(

)()(

)()(

设过任一点 O 之直角坐标轴为 x 、 y 、 z ，

3.1 力矩 3.1.3 力矩关系定理



合力矩定理：作用于同一点的两个力的合力对一点（或轴）之矩等于这两个分力对同一点（或轴）之矩的矢量和（或代数和）。

MO(FR) = MO(F1) + MO(F2)

Mz(FR) = Mz(F1) + Mz(F2)

3.1 力矩 3.1.4 合力矩定理


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x

y

z

a

b

F

)30,20,10(A 35,25,15B

xF

xF

yF

yF

zF

xyF

例 3-1 求力 F 对三坐标轴的矩。

已知 A 、 B 两点位置如图，单位

为 cm ； F=30N 。

解： NFFFF zyx 31033

mNzFyFFM yzx 73.1)(

3.1 力矩例题

mNxFzFFM zxy 46.3)(

mNyFxFFM xyz 73.1)(


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P

x y

z

a

b

c

例 3-2 求力 P 在三轴上的投影和对三轴的矩。

解：222

coscoscba

PaPPx

222sincos

cbaPbPPy

222sin

cbaPcPPz

3.1 力矩例题

222 cba

PbccPPM yx

222 cba

PbaaPPM yz

0PM y


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A

B C

D

abc

F例 3-3 如图所示，长方体棱长

为 a 、 b 、 c ，力 F 沿 BD ，求力 F 对 AC 之矩。解： ACCACM )()( FMF

22cos)(

baFbaFaC

FM

22222cos)()(

cbabaFabcM CAC

FMF

3.1 力矩例题


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O x

y

F

A

1r

2r

Bd

例 3-3 求 F 对 A 点的矩。解一：应用合力矩定理

)cos(

)cos(sincos

sinsin)cos(cos

)()()(

21

2212

112

rrF

FrFr

rFrrF

FMFMFM yAxAA

解二：由定义 cos1rOB

cos1

2

rrAB

12 coscos rrABd

)cos()( 21 rrFFdFM A

3.1 力矩例题


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3.2 力偶 3.2.1 力偶的概念

两力作用线所决定的平面称为力偶的作用面，两力作用线间的距离称为力偶臂。

力偶是一种基本力学量 , 力偶对刚体产生转动效应 .

力偶：大小相等、方向相反、作用线平行但不重合的两个力称为力偶。



3.2 力偶 3.2.1 力偶的概念

设 rBA 和 rAB 分别表示图中的矢径和，矢量 BA AB

M = rBA×F = rAB×F

称为力偶 (F, F) 的力偶矩矢量简称为力偶矩矢。

力偶的作用效果取决于力偶矩的大小、力偶转向和作用面方位。因此可用一矢量表示；用的模表示力偶矩的大小；的指向按右手法则表示力偶的转向；的作用线与力偶作用面的法线方位相同。如图所示。称为力偶矩矢。

MM

M

M

M



特例：力偶矩在平面问题中视为代数量，记为 M ，

M = ±Fd

正负号分别由力偶的转向决定。逆时针为正，顺时针为负。

平面力偶对任一点的力矩：

FdxFxdFMMM ooo )()(),( FFFF

MM o ),( FF

3.2 力偶 3.2.1 力偶的概念



在图中空间任取一点 O ，则 A 、B 两点的矢径，用 rA 、 rB 表示， rBA = rA – rB 。

力偶对 O 点之矩 MO(F,F ') = MO (F) + MO (F ')

= rA×F + rB×F ' = (rA – rB)×F = rBA×F

∴ MO (F, F')=M

3.2 力偶 3.2.1 力偶的概念



（ 1 ）力偶矩矢量 M 与矩心的选择无关，因而是一个自由矢量；

（ 2 ）决定力偶矩矢的三要素为：力偶矩的大小、力偶作用面的方位及力偶的转向；

（ 3 ）因为力偶矩矢是自由矢量，在保持这一矢量的大小和方向不变的条件下，可以在空间任意移动力偶矩矢量而不改变力偶对刚体的作用效果，称为力偶的等效性。

力偶对刚体的作用完全决定于力偶矩矢。

3.2 力偶 3.2.1 力偶的概念


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3.2 力偶 3.2.2 力偶的性质

力偶是具有特殊关系的力组成的力系，虽然力偶中每个力仍具有一般的力的性质，但作为一个整体又有它本身的特性，现归纳如下：

力偶的性质

性质 1：力偶无合力，即力偶不能简与一个力等效。

性质 2：力偶对于作用面内任一点之矩的和恒等于力偶矩，与矩心位置无关。

性质 3：力偶中两力在任一轴上投影的代数和等于零。

性质 4：力偶矩矢相等的两力偶等效。

性质 5：力偶作用平面可以在同一刚体内平行移动，而不改变原力偶对刚体的效应。


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设刚体上作用力偶矩矢 M1 、 M2 、…、 Mn ，根据力偶的等效性，将各力偶矩矢平移至图 (b) 中的任一点 A ，力偶系合成结果为一合力偶。


3.3 力偶系的合成



合力偶矩矢在各直角坐标轴上的投影：

n

iziz

n

iyiy

n

ixix MMMMMM

111

,,

其力偶矩 M 等于各力偶矩的矢量和：

n

ii

1

MM

对于平面力偶系 M1 、 M2 、…、 Mn ，合成结果为该力

偶系所在平面内的一个力偶，合力偶矩 M 为各力偶

矩的代数和

n

iiMM

1

3.3 力偶系的合成


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力偶系平衡的必要与充分条件是：合力偶矩矢等于零。

0 iMM

因为： 222 )()()( zyx MMMM

所以：

0

0

0

z

y

x

M

M

M

上式即为力偶系的平衡方程。

3.4 力偶系的平衡

即


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平面力偶系平衡的必要与充分条件是：力偶系中各力偶矩的代数和等于零。即：

0M

上式称为平面力偶系的平衡方程。

特例：

3.4 力偶系的平衡


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A B1M2M 3M

AF BF

例 1 ：求图示简支梁的支座反力。

A B1M2M 3M

l

解：以梁为研究对象，受力如图。

0:0 321 MMMlFm A

解之得：

BA Fl

MMMF

321

3.4 力偶系的平衡例题


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BA 1M

2M

D

E45

EB

1MA

AF

EF

例 2 ：如图杆 AB 上有一导槽，套在杆 CD 上的销子 E 上，在两杆上各有一力偶作用。已知，若杆重和摩擦不计，求机构平衡时应为多大。

mNm 10001

2m

解：先以 AB 为研究对象，受力如图。0:0 1 MAEFM E

再以 CD 为研究对象，受力如图。0:0 2 AEFMM E

于是得：mNMM 100012


C

2M

D

ECF

EF

C


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例 3 ：系统如图， AB 杆上作用矩为M 的力偶，设 AC=2R ， R 为轮 C 的半径，各物体的重量及摩擦不计。求绳子的拉力和铰 A 对 AB 杆的约束反力及地面对轮 C 的反力。

MB

A

DNDF

NAF

解：先以 AB 杆为研究对象，受力如图。

0:0 ADFMM NA

由几何关系：RRRAD 3)2( 22

NDNA FRM

RM

ADMF

33

3所以：

A

MB

C

E

D



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再以轮 C 为研究对象，受力如图，建立如图坐标。

0coscos:0 TNDx FFF0sinsin:0 TNNY D

2

1sinsin,

2

3coscos 其中：

解之得：RMFFF NENDT 3

3

A

MB

C

D

NEFAF讨论：本题亦可以整体为研究对象求出：

RMFF NEA 3

3


C

NDF

NEF

x

y

TF

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