The topology of randomgraphons

Jan Reimann, Penn State April 29, 2015

joint work with Cameron Freer (MIT)

Homogeneous structuresA countable (relational) structure   is homogeneous ifevery isomorphism between finite substructures of extends to an automorphism of  .

Fraissé: Any homogeneous structure arises as aamalgamation process of finite structures over the samelanguage (Fraissé limits).

Examples:

,the Rado (random) graphthe universal  ‑free graphs,   (Henson)

(ℚ, <)

Kn n ~ 3

Randomnized constructionsMany universal homogeneous structures can obtained(almost surely) by adding new points according to arandomized process.

: add the  ‑th point between (or at the ends) ofany existing point with uniform probability  .

Rado graph: add the  ‑th vertex and connect to everyprevious vertex with probability   (uniformly andindependently).

Vershik: Urysohn space, Droste and Kuske: universalposet

Henson graph: ???

(ℚ, <) n1/n

np

Constructions ʺfrom belowʺA naive approach to ʺrandomizeʺ the construction of theHenson graph would be as follows:

In the  ‑th step of the construction, pick a one‑vertexextension uniformly among all possible extensions thatpreserve  ‑freeness.

However: Erdös, Kleitman, and Rothschild showed thatthis asymptotically almost surely yields a bipartite graph(in fact, the random countable bipartite graph)

The Henson graph(s), in contrast, has to contain everyfinite  ‑free graph as an induced subgraph, inparticular,   and hence cannot be bipartite.

n

Kn

KnC5

Constructions ʺfrom aboveʺPetrov and Vershik (2010) showed how to constructuniversal  ‑free graphs probabilistically by samplingthem from a continuous graph.

These continuous graphs, known as graphons, have beenstudied extensively over the past decade.

See, for example the recent book by Lovasz, Largenetworks and graph limits (2012).

Kn

GraphonsOne basic motivation behind graphons is to capture theasymtotic behavior of growing sequences of densegraphs, e.g. with respect to subgraph densities.

While the Rado graph can be seen as the limit object of asequence   of finite random graphs, it does notdistinguish between the distributions with which theedges are produced.

For any  ,   converges almost surely to(an isomorphic copy of) the Rado graph.

However,  ,   will exhibit verydifferent subgraph densities than 

( )Gn

0 < p < 1 �(n, p)

�p1 p2 �(n, )p1�(n, )p2

Graphons and graph limitsBasic idea: ʺpixel picturesʺ

from Lovasz (2012), Large networks and graph limits

Graphons and graph limitsConvergence of pixel pictures

from Lovasz (2012), Large networks and graph limits

Graphons and graph limitsConvergence of pixel pictures

from Lovasz (2012), Large networks and graph limits

ConvergenceLet   be a graph sequence with  .

We say   converges if

( )Gn |V( )| → 7Gn

( )Gn

for every finite graph  , the relative number  of embeddings of   into 

converges.

F(F, )ti Gn F Gn

Graphons measurable, and for all  , 

 and  .

Think:   is the probability there is an edge between and  .

Subgraph densities:

edges: triangles: this can be generalized to define  .

W : [0, 1 → [0, 1]]2 x, y

W(x, x) = 0 W(x, y) = W(y, x)

W(x, y)x y

D W(x, y) dx dyD W(x, y)W(y, z)W(z, x) dx dy dz

(F, W)ti

The limit graphonTHM: For every convergent graph sequence   thereexists (up to weak isomorphim) exactly one graphon 

such that for all finite  :

( )GnW

F

.(F, ) ⟶ (F, W)ti Gn ti

The limit graphonExample: Uniform attachment graphs

from Lovasz (2012), Large networks and graph limits

A compatible metricEdit distance:  . Cut distance:  , where   isthe cut norm

 can be extended to graphs of different order... ... and to graphons:

(F, G) => +d1 AF AG>1

(F, G) => +d◻ AF AG>◻ >. >◻

>A = .>◻1n2 max

S,T�[n]<< ∑i!S,j!T

Aij <<

d◻

>W = W(x, y) dx dy.>◻ supS,T�[0,1] ∫S×T

   

A compatible metric

A sequence   converges iff it is a Cauchy sequencewith respect to  . 

     iff     

( )Gnd◻

→ WGn ( , W) → 0d◻ Gn

Sampling from graphonsWe can obtain a finite graph   from   by(independently) sampling   points   from and filling edges according to probabilities  .

almost surely, we get a sequence with  .

If we sample  ‑many points from  , wealmost surely get the random graph.

�(n, W) Wn ,… ,x1 xn W

W( , )xi xj

�(n, W) → W

ω W(x, y) z 1/2

The Petrov‑Vershik graphonPetrov and Vershik (2010) constructed, for each  , agraphon   such that we almost surely sample auniversal  ‑free graph.

The graphons are (necessarily)  ‑valued.

Such graphons are called random‑free.

The constructions resembles a finite extensionconstruction with simple geometric forms, where eachstep satisfies a new type requiring attention.

The method can also be used to construct random‑freegraphons universal for all finite graphs.

n ~ 3WKn

0, 1

Universal graphonsA random‑free graphon is countably universal if for everyset of distinct points from  ,  , 

, the intersection

has non‑empty interior. Here   is the neighborhood of  .

For countably  ‑free universal graphs, we require this tohold only for such tuples where the induced subgraph bythe   has no induced  ‑subgraph,additionally, require that there are no n‑tuples in Xwhich induce a  .

[0, 1] , ,… ,x1 x2 xn,… ,y1 ym

B⋂i,j

Exi ECyj

= {y: W(x, y) = 1}Ex x

Kn

xi Kn+1

Kn

which induce a  .Kn

The topology of graphonsNeighborhood distance: 

and mod out by  .

Example:   is a singleton space.

THM: (Freer & R.) (informal) If   is a random‑free universalgraphon obtained via a ʺtameʺ extension method, then   is notcompact in the   topology.

(x, y) = > W(x, . ) + W(y, . ) = ∫ |W(x, z) + W(y, z)rW >1

(x, y) = 0rW

W(x, y) z p

WW

rW

ʺTameʺ extensionsDEF: A random‑free graphon   has continuous realizationof extensions if there exists a function

that is continuous a.e. such that for all  ,

Here   is the neighborhood of  .  The Petrov‑Vershik graphons have uniformly continuousrealization of extensions.

W

f : ( ,… , ), ( ,… , ) ↦ (l, r)x1 xn y1 ym,x ⃗ y ⃗

[l, r] � B .⋂i,j

Exi ECyj

= {y: W(x, y) = 1}Ex x

Non‑compactness  

THM: If a countably ( ‑free) universalgraphon has uniformly continuous realizationof extensions, then it is not compact in the 

‑topology.

Kn

rW

Features of the proofBuilding a ʺCantor sequenceʺ in  .

Apply the Szemeredi regularity lemma to pass to asequence of stepfunctions that approximate the graphonuniformly.

Use universality to find the next splitting.

Uniform continuity guarantees that the Szemerediʺsquaresʺ are filled with the right measure.

W

Regularity lemmaFor every   there is an   such that everygraph   with at least   vertices has an equitablepartition of V into   pieces (1/ε ≤ k ≤ S(ε)) such that for allbut   pairs of indices  , the bipartite graph is  ‑regular.

For every graphon   and   there is stepfunction with   steps such that

ϵ > 0 S(ϵ) ! ℕG S(ϵ)

kϵk2 i, j G[ , ]Vi Vj

ϵW k ~ 1 U

k

(W, U) < > Wd◻2

log k‾ ‾‾‾‾3>2

Complexity of universal graphonsconstruction: fully

randomtamedeterministic

generaldeterministic

complexityof graphon

low(singleton)

high (non‑compact,infiniteMinkowskidimension)

           ?