the sandwich variance estimator: efficiency properties and

22
Kauermann, Carroll: The Sandwich Variance Estimator: Efficiency Properties and Coverage Probability of Confidence Intervals Sonderforschungsbereich 386, Paper 189 (2000) Online unter: http://epub.ub.uni-muenchen.de/ Projektpartner

Upload: others

Post on 10-Apr-2022

3 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: The Sandwich Variance Estimator: Efficiency Properties and

Kauermann, Carroll:

The Sandwich Variance Estimator: Efficiency Propertiesand Coverage Probability of Confidence Intervals

Sonderforschungsbereich 386, Paper 189 (2000)

Online unter: http://epub.ub.uni-muenchen.de/

Projektpartner

Page 2: The Sandwich Variance Estimator: Efficiency Properties and

��� ������ ������ �������� ��� ���������

��� �������� ��������� �� �������� ���������

������ ������� ����� �� ������� �

������� ��� ����

��������

��� ������ ������ �� ���� �� �� �� ��� � ���� ������ ����� ������ � �

��� ������ ������ ����� ������ �� ��� ������ ������� ��� ��� ��� �� ���

� ������� � ���������� �������� ����� ��� ��� ����� � ���� � �� ���� �������

�������� � ��� ������ ����� � � ��������� �������� ���� ���� ��� ����� �����

���� � ��� ���� � � ��� � � � � ���� ������� ��������� �� ���� ����� ���

���� ����� ����� � � ��� �� ������ � ��� ������ ���� � ���� ���� ��������

!� ��������� ��� ������ ������ � � ��������� � � ���� ������ ������ ���

� ��� ����� ��� ����������� "���� ����� ��������� �� �� � ���� ���� ���

��������� � � ��� � ����� ��� ������ ������� � ���� ��� � �� ������� ����

��� ����� �������� ������ �������� ��� ������� ������ � � ���� ������� � ���

���� �� ��� ��� ��� �� ���� � ���� ������� ���� ���� ��� �������� � ���

����� !� �� � ���� ��� ���� ��� �������� ������ �#��� ��� ������ �� ������

� ������ �������� �������� �� � ������ ������ ��������� �� ��� ��� ���

� ������ �������� ����� ��� ��������� � �������� ���� ������ ��������

��� ������ �� ������ ������ ��� � ��� � ���� ������ !� �� � �� � ����� ��$����

���� � �������� ��� ������ ����� ��� ��$������� ������� ������ ��� ������

� ��� ������ ��������

�������� �������� ������ � ���������� �������� ��������� ���������� ������������ ��������������� � ����� ���������� ������� ������� ������������� �������������� ��������� ���� �� ��������!

���� ���� "�� ���� �� #�������������� ������� ������� ������������������ �������� �� ����������� ��������� ��!�����

"��#����$ ������� %�������� &� '()*+ ������� ����$� ,�$��� -� .����!! ������!! �������������/0����� �� ����������� 1 �� % 2 � "��#����$� .�!!� �������� 13 ))'45�5&45� "�%� .����!!6� ��������� ��00���� 7$ � ����� ��� 8������! .���� �������� �.%9:)(5(�� ��� 7$ �� 1 �� %2� .��� ���;�#�������! ��� ,���! <�!�� #�� � ����� ��� �� 8������! �������� �� ;�#�������! <�!�� �������=5(�;�>*&(+�� 1� ������� �!�� ������!�� �� ��00��� ���#� ��� �� /����� ?������������������� ����������������7���� 5'+�� =���� �� ���� 0�0� ������� �����! �� �� ��0�7!���� �������! �0��������� ���� /���!�� ��0���� %��$ ����7��� ���@�� A��� ��� /�#�� ,�00��� ���� �!0 �� ������!!$������!����

Page 3: The Sandwich Variance Estimator: Efficiency Properties and

� ����������

���� �� ������� ��������� ��� � ������ ���� ���� $�� ������� �������� �$ �����%

���� ��������! &������ ��������� ���� '()*+, ��� -��� '()./,0 ��� ������ �

�� ��� ���� � ��� �����1� �$ ���������� �������� ��������0 ��� �!�! ���� 2 3����

'().*,0 ����0 3���� 2 ����� '())/, ��� 4����0 ���� 2 3���� '())5,! #���� ��������

�$ ���������� � ��� ������ ������� ��� ����6����� �$ � ���������� ��������� ����� ���

����������0 ��� �� ���� � ����� � ����� �! "����$��� � ��%������ ����� ���������

����1 � ���� � ��� �������� ����0 ��� $�� ������� �������� � ������ �� ��

������������ ������� ������ � � ���� �� $���! "�� �������� ���� ��������� ���%

����� �$ ��� ��������� ����1 ����� ����� ���������� ����������� ��� ���� $ ���

������� ����� ������ �� ��� ��������� �������� � ��������! 7������ �$ ��� �������

�����8��������� ������� 0 ��� ���� �� �������� � �$��� ������ ��� ������ ������� �

��� ��������0 �� ��� � ���� ������� ��� ��������! "�� �������� � $���� �$ ���

���� �� ������� � ���� �� ������ ������� ��� ������ �������� ���6����� ��������

������ ��� � ��������� ������� �������0 �� ����� � �� ����� ���� �� ��������� � ����

�������� ��������� ����1 �������! "�� ��������� �� ���� ��� �� ���� � �� �������

�$ ��� ������ 0 !�! ���� �� ������� ��������� �������� ���� � ������ ������� ����

����� ���� �������� ������� ��������! 9� �� �������� �$ ��� ����� -� '().*,0 #$���

'().*, ���� �������� ������� �$ ��� ����������! 7����� '()):, ������������ ��� �

� �������� ���� �$ ������������ ;����� ���������! <��� '())/, ��� ��������� '())/,

��� ���� �������� ���� ��� ���� �� �������� �� � ���������� ������! 4���� �� ��!

'())50 ���� ++, ������� ���� � � ��� ���� ��� ��� ���� ���� $��� =��� �1���������

����>! ?� ������ �������� ���� ����� ������ ����������� $�� ��� ���� �� ������� �

$���� � ���@���� 2 -��� '().A,0 �� ������� B�����$� ���� �� ��������!

"�� �B������ �$ ��� ����� ��� � �$���0 6��� � ��������� ��� ���� �� ������� �

����� �$ ����� ��� ������� � ���� �� ��� �C��� �$ ��� �������� ������ �$ ���

(

Page 4: The Sandwich Variance Estimator: Efficiency Properties and

���� �� ������� �� ��� �������� ������ �$ ���6����� ��������! <�� ����� �

����� �� ������ �� ��� �� $��� ������ ����� ������ ���������0 ������ �$ ��� ������

�� ���� ��� �����6�� �$���! <�� �1�����0 ��� ���� �� ������ � ����� ����� ���������

��� �������� ��� ����� ��� �� �� ������ ����� ����� �� ��� ������ �$ ��� ������

������� �$ ��� ����� ������! "�� ������ ����� � ���������� ����� ������ �� ���! <��

�1�����0 � ����� ����� ������ ���������0 �� ��� ���� ����� ���� ����� � �� �C��� ���

�� ��� ��������0 ��� ���� �� ������D� �� ������ ������� ����� � ���� ��� ������

�$ ��� ������� �$ ��� ���������! 9� ;����� ���������0 ��� ���� �� ������ ��� ���� ����

����� !

"�� ������ �$ �������� ������ �$ ���6����� �������� ��� $��� ���� �� �������

�������� � �������� � ��� ������ ���� �$ ��� �����! �������� ������ ���� -�

'().*, ��� 7����� '()):, ������ ���� ��� �������� ������ �$ -���8� �� ����� ���� ��

��� ���� �� ��������! ��������� '().., ������ �� ��B����� �������� $������ $��

��� �%������� ���������� $��� ���� �� ������� ��������! -� ��� � �C����� ����������

B���6����� $�� ��� ������� $��� ���� ���6����� �������� ���������� $��� ���� �� �������

�������� ��� �%�������� �������� ��� �������� ��� �����0 !�! ��� �������� ������

$���� ��� ��� ������ �����! -� ��� ���� ������������� � ���� ��������� ���

������� �$ ��� ������� �������! "� ������� ��� ��6�� � ������� � ����� ��B�������

��� ������� �� ������ �������� �������� ��� ��� ������� �$ ��� ���� �� �������

�������!

"�� ����� � �������� �� $���� �! 9� ������ / � ������� ��� ���� �� ��������

�� ��� ����� ��������� ��������� �������� � ��� ������������ ����� ��������� �����!

������ E ���� � �������� �$ ��� ���� �� ������� $�� ������������ ��� ����������

�������� �������� '�##,! ���� ��������� ��� ��������� � ������ 5 ���� � �������

� ����� ��B������� ��� ������� �������� ������ ! ������ A ������� ���������

�������! ;���$� ��� ������� ���������� ��� ���� � ��� ?�����1!

/

Page 5: The Sandwich Variance Estimator: Efficiency Properties and

� �� �� � �� ����

��� �� ������ ��������

������� ��� ����� ����� ��������� ����� �� F ��� � G ��0 � F (� � � � � � ���� ��� ��� (� �

��������� ������� �$ ��������� ��� �� � ':� �,! ��� �� F '���,����� � ��� ������

����� ������� �������� �$ � ���� �� F '��� � � � ��, ��� �� F '��� � � ���,! ?����� ��

���� � ��� ��������� � �$������ ���� ��� ����� �������� �� ��0 ���� �� � � ( � �

��������� �������� ������ �$ ��� ������0 !�! ��� F (! "�� ������� �$ �� �� � ����

���'�� ��, F ���'���,��� ��� ��� � �������� ��� �������� ����� ���� �������

�������� ������ F H���'���,��� ���� H� F��

��� ���� �'�� �, �� ��� F � � ��� �� �� 6����

��������! ? ��B�� ��������� ������ ���� � ��� ���������� �$ ������ � ���� ��� ������ ��

��� ������������! 9$ ��� ��������� � ������� ������ ���� ��� ������ � ��������� �������

�������! 9� �������� ���� $ ��� ������ ��� ��� ������������ ��� ���� �� ������� �������

���� F ��'���,��'

��

����� ���� ,'���,��� F

�����

��� ���� � '(,

���������� �������� ���'�� ��,0 ���� �� F ��'���,����! 9� ����� ���������0 '(, � �$���

�������� ��'�� �, '����� 0 ()++, �� ������ ��� ��!

��� ���� �� � �� ������ ��������

��� ��� � ��� �%�� ������ ������� �$ ��� ��� ����1 � F �'���,���� F '��,! I����

������������� 0 �'���� , F �'(� ���,! 9� ���� $���� � ����

�'����, F ���'���,���'(� ��,� '/,

���� �� F��

��� ������ ���

��� ��� � ��1����� ���! ���� �� � : ��� ����� ���� � �������

��� ���� �� �������� � ���� �������! "�� �� ����� ������� �� ��� ����� �$ ��

��� � ��� � ��������� ��� ����� ��� �������� �����! 7�� ������� ��� � ������

�������� ��� � '(, ��� F ����'(����,���! "�� �������� �������� � ��$���� �� �� ��� ���������� �� ������� �������� ��� ������� ����� '-�0 ().*0 ������� /!*,! 9� � ����

E

Page 6: The Sandwich Variance Estimator: Efficiency Properties and

���� ���� �'����� , F ���'�� ��,! ���� ���'���� , F /� ��� ���'���� � ���, F /����� $�� � �F �0

���� ��� F ����'(� ���,'(� �,����0 � $���� � ����

���'����� , F��

���

������'���, G����

��� �����'���� � ���, F /� ��

���

��� G /�����

��� ������� 'E,

-� �� ������� ��� ������� 'E, �� ��� ������� �$ ��� ����� ���� ������� ��������

������ ��� ������ ���'������, /����'���,������� F /�'� ��� ,���!

������ � I���� ��� ������������ ����� ����� ��� ����� �$ ��� ������ ���� ��

������� ����� �������� �� ��� �������� ������� ������� ������ $�� �� �� ����$ J

���'����� ,

���'������,� ����

�����

��� �������

���

��� ��� � (� '5,

"�� ����$ $���� � ������ $��� ��� ����� ��� ��� ������� ! "������ ( ������ ����

��� ���� �� ������� � ���� ����� ��� ��� ����� � �������0 !�! ��� ��� ������ ���

������������!

������� � �� � ������� ������� ��� 6��� ������ �$ � � � ������ �$ ����0 ��� �����

������� ���� ����� �$ ����0 ��� �� F '(� :� � � � � :,! -� ���� ���� �� F ��� ��� ���

�� ������ ������� ����� � '5, � (!

������� � �� ����� � ������ �� ��� ��������� �� ?����� ��� F '(� ��, ������� F :!

������� � F ':� (, �� ���� ��� F �� �� � ��� ����� �������! 7������ ��� F ���'( G ��� ,0

��� ����� �������� � ������� �� ���� �� ��1'��, F �'����,0 � ��� ���� ��� �� ������

������� ����� � ���� 0 ���� �� F ������� �'�

������� �

�� ,

� � (! K��� ���� �� � ���

������ ������� �$ ��� ����� ����� ��! <�� ������� $ ��� ����� ����� '��� ���� ��, ���

���������� �$ � ������ ��������0 �� � E ��� ����� ��� ���� �� �������� ����� ���

E ���� ��� ������ �$ ��� ����� ����� ���� �������� ������! 9$ ��� ����� ����� ���

��������� $��� � ������� ��������0 ��� ����� ���� �� �������� � * ���� ���� ������!

"�� �1������ ���� ��� ���� ��� ��� �$ ���� �� ������� �������� � ����� ������ ���

5

Page 7: The Sandwich Variance Estimator: Efficiency Properties and

���� �� � ��������� ���� �$ ����� ! ? ����� ��������� ������ � �������� ������ ��

�������� � ��� ��1� ������!

� ������ ����� ��� � ���! � �������� �"������

��� �� ������ ������

9� ��� $���� �� ������ � ������� ��� ���� �� ������� ������� � ���������� ��������

�������� '�##,! ��� � F '���� � � � � ���,�0 � � ������ ������ ����� �� ��� �%�� ���0 $��

� F (� � � � � �! "�� ���������� �$ � ��� ���� �� �� � ���������� ��� ���������� �����

�� � � �C����� ���� ��� ����������! "�� ���� �$ � ���� ��� �� � ��������� �����

����1 ��� � ���� ��� ���������� ����� ����� �' ���, F �'��

� �,0 ���� �'�, � ��������� � ��������� ��� $������! -� ������ ���� ��� ������� ����1 �$ � �������

�� ��� ���� �$ �0 !�! ���' ���, F �� '��, FJ ��� ���� �� F �'��

� �,0 � '�, � � ��� �������� $������ ��� � � � �������� ������ ��� � ����� ����� �0 �!�! $�� ������

��������0 �� � ��� � ��������0 �!�! � ( $�� ;����� ����! ������ �$ ��� � �� ��� ��$������� �� ������� ������0 ��� �!�! 4���� �� ��! '())5, ��� ��$������� ���� �����! 9$ � � � ������0

!�! $ � F (0 ������ �$ ��� � �� ��� ���� ��� � �� ������������ ������ ' -��������0

()+5, �� ���������� ����� ������ ' ��������� 2 K�����0 ().),! "�� ��������� � ��� �

�������� ���� ��� ���������� �������� ������� ' �!�! ���� 2 3����0 ().* �� ��������10

���$��� ��� "������! ().5,

: F��

���������� ' � � ��,� 'A,

9� ��� ������� ������0 � ��� ��� �� ���$��� �1��� �����������! 9� ������������

������0 ���� �1��� ����������� ��� ��� $�����0 ��� �� ������� ��� �������! -� �� ���

��� �� � $����� �������� ��������0 �� ��������� ��� � �������� � ���� ������

������� �$ ��� ���������� �$ � ��� �1��0 �� ��� �� ������ ���������� �$ �'�,! I�������� �������� � "� ��� �1������ �$ 'A, ���� ��� ���� ��������� � ������� ��� 6��� �����

A

Page 8: The Sandwich Variance Estimator: Efficiency Properties and

�����1�����

�� � � F �����

���������� ' � � ��, G��'�

��,� '*,

���� � F�

� ���� �'��,�

��� ����'��,! ?����� ���� � ��� ��������� � �$������ ����

���! 9$ �� � �������� ����6��0 !�! ��� F ���' ���,0 ��� ���� ���'�

� ��, F ������� �6��� ����� �����1�����! ����� � ��� ������� ���'�� ��, ������ JF ���� ����� ������ � � ����� ���� � ������� �$ � ��� �� �� ������� �$ ��� �������� ���������0 $ ��� ������ �! �� ���� � ������� ��� ��������� ���' ���, �� ��� � ��� � �� ���� �� ������

�� ���� ������� �$ ��� ��������� � 'A,! 9� ��� ���� �� � ������ ��� ����� ���������

��� ��� ������� ���'�� ��, ��� � �������� ��� ���� �� $���������� F �

� ���� ���

� ������

�������� ���������

� �����

� ����� '+,

���� ��� F � � ��� F � � �'����, ��� ��� 6���� �������� ��� ��� ��� ������� ��$��� ��

����� ���� � ��������! "�� 6���� �������� ��� � �1������ ��� F �� � ����'���,'�� �

�,�( G��'�����,� ��� ���� �� '*, �'������� , F ��� � �����'��

�,��� ���� �'��,�( G�'���,�0 ������� ���� �� �������� ����6�� ��� ���������0 !�! �'���

�� , F ���! ����

����'���, ��� ���� �'��, � ������ ��6��� ��� 6��� ��� ���� �� ������� ���� �� �

���� �� � ���! ?� � ��� ������� ������ ��� �� ��� � ���������! -�� ��� F

����'���,������� �'��,�

��� � ��6�� ��� ��� ��������8��B����� ������� ��� F '�����,

� �

� ��� �� � �� ����� ����1! �������� �� �� � '+, �� ���� ��� �� ������� ���� �� ���%���� ����� ��� $��6��� �'����� , F ���'�

� ��,�( G�'���,�0 ������� ���� ��� �������� �������� ����6��!

��� �#���� �

9� ������������ ��� ���������� �������� ��������0 ������� �������� ���� � � �C�����

������� �$ ��������� �������! "�� 6��� ������ ��� �� ��� �������� �$ ��� ��������

��������� �0 $ ��� � ����� �! "�� ������ ������ ��� �� ��� ��� �$ ���� � ��������0

*

Page 9: The Sandwich Variance Estimator: Efficiency Properties and

��� ������ $ ��� ������� $������ � '�, ������� �� ��� ���� �� $ ��� ��� $������ �'�,� ��� ��������! 9� ��� $���� �� � � �1������ � ��������� �� ��� ������ ������ �C����

��� ���� �$ ����� $�� ��� ���� �� ������� �������! -� ������� � ;����� ��� 7�����

����� ���� � ( � 61��0 �� ������ �$ ��� ������� ������� ������ ��� �� ���� �

��������! ? ������� ���������� �������� � ���� � ��� ������1!

������� � ������ ����� ��� ��������� �� -� ������� ��� �������� ����� �'���, F�1�'��� �, ���� �� F '(� ��, �� �� �� ������0 � F '��� ��,

� ��� �� ��� ;����� ��������!

"�� ����� �� � ��� ��������� �$ ������� ��� � ��������� ��� ���� ���� � F '(� :,�!

"���0 �� ���� � ��� ������10 $ � ��� � � ������ ��������0 ���'����,����'������, F

���( G / �1�'��,� ���� �� F ����

� ��� �'�

���� �

�� ,

� � ��� ������ ������� �� � #1�����

/ ����! "�� �������� ������ � ��� ;����� ���� � ���� ��� ��������0 ����� ����

�� ��� ��������� ����� ���� �1�'��, ��������0 �� ��� ���� ���� ��� ���� �� �������� ���

����� ��������� �� ����!

������� � ������� ��������� �� ��� �� � ��� �� �'����, F ������'��� �, �� ��

�� ������� ����! ?���0 ��� ����� �� � ��� ��������� �$ �������! -� ��� �� ���

������� �� �� ���� �������� �'��, F :�(:! -�� �� F :�:� :�A� (�:� (�A0 ��� �� ��%

���� ������� ����� ���'����,����'������, ����� $�� �� �������� ������� ��������

�� E�::� /�A)� (�)/� (�*/0 ���������� ! -��� �� ����� $��� � ������� �������� ' �� ���

�������,0 ��� ������������ ������� ��� *�::� 5�E*� E�E(� /�A+! K��� ���� � ��� �����0 ��

��� ���� ���� �� F :0 ��� ����� �$ ��� ���� �� �������� � �1���� ��� ���� �� ��� �����

��������� ������! "�� � �� �������� L���0 ��� � $��� ��� � ��� � �� ���� ��������

��� � ��� � � ������ ��������!

"�� ���� � � �1������ ��� ���� ��� ���� �$ ����� �$ ��� ���� �� ������� �������

� ���%������ ������ �C��� $��� ��� ��� � ���� ���� �������� �� ������ ������!

+

Page 10: The Sandwich Variance Estimator: Efficiency Properties and

$ %��&� � ��� �'��� (�� � �� ������ )���� ������ �

$�� �� ���� ��* �� +�� ��' ���

9� ��� $���� �� ������ � ��������� ��� �C��� �$ ��� �������� ������ �$ ��� ����%

�� ������� ������� �� ��� �������� ������ �$ ���6����� ��������! ?� ��� ����

�1����0 ��� �1���� ������ �$ ��� ���� �� ������� � ������ ��L����� � ����������%

��� �$ ���6����� ��������! -� ����������� �� ������ �������� ������! ��� � F ��� �

��� ����� � ��������� �$ ������� �� �� F �� �� � '�� ���, �� ������ ������� �$ �

���� �� � ������ ������ �$ ��� �! -� ������� ��� � ������ (� � ���6����� ��������

��'�� �, JF M�� � �����N ���� �� � ��� � F ( � ��/ ������� �$ ��� �������� ������

��������! 9$ � � �������� �� ������ ������� ������� �� � � ��� ��� � ������� ���6����� ������� ��'��� �, ��� � ������������� ��� � ����� �%�������� ����������� ���� ������ �$ ������ ��������! "�� $���� �� ������� ��� � �� ��� ������� �$ ���

������� ������� �� ������ �C���� �C��� ��� �������������!

������ � � ��� �� �������� � ����� � � ������ � �� �� � � ���� ��� � ���� ��

�� �������� ���������! �" �� (� � �� #�� �� � ����� ��'��� �, �$����

�� � ��'��� �,� F (� �� !'��,���'��,���� G ��

.�

�G�'�����, '.,

���� !'�, � ��� �������� ������ �������� ����� !

"�� ����$ �$ ��� ������� � ���� � ��� ������1! &�� ������ ���� ���� ��� ����������

��������� �$ ����������� �$ �� ��� �� � � ����� � � ������ ��������� ����� $ �� ����������� $��� 6���� ��������! ����� � ����� $�� ���� �� ������� ��������! 9� � ����

$��� '., ���� ��� �������� ������ �$ ��� ���6����� ������� $���� ��� ��� ��� ������

�����! ��������0 ��� ������������� �������� ������ �� ��� ������� �$ ��� �������

������� ��! I��� ��� ������� �$ "������ ( � �����$��� 6�� ���� ��� ���� �� �������

.

Page 11: The Sandwich Variance Estimator: Efficiency Properties and

�������� ��� � �1������ �� ���� �� �� �������� ������ $�� ���6����� �������� ����

$�� ����� ���� ������� ��������! ��������0 ���������� �������� ������ �$ �������������� �� ��� ������� ��� �������������! "�� ������ � "������ / �������� ���� ����

� ��������� '()..0 �! (::A, �� ������ �� ��B������� $�� ��� �������� $������ �$

��� � ������� ���� �� ���� �� ������� ��������! 9� �������� �� ���������0 "������

/ ����� ��� ��� ������ ���� �$ ��� ������� �$ ��� ������� ������� ��� � ���� � ���

$���� �� ������ �� ������� ��� �������������!

$�� , ���� %�' ��� ,�-���� ��

<������ '., ��� � ����� �� �� ��������� � ����� �������� ��������� $�� ���6����� ����%

����! 9������ �$ ���� ��� ������� �� ������ � ������� ������� �� " � ��� ���� ��� �$

��� ��� �������! -� ����� ������ �� ���� ���� '� � MH�� ��� ����N, F � �����0 !�! ���� '.,

� �����

� F ��� !'���,���'��,���� G ���.�

'),

$�� �� �������� ��� � ���� ������ ��� ��������� !

������� % �&��������� $�� ������ -� ����������� ��� ���� ��������� � � ������

���� �� �1��� ������� � �������! ��� ��� ������ ������ �� � '�� �, � ��� � $���

�� �������� ������ ��������! "�� ���� � �������� �� F ��� ���� �� ���� �

���'����,� ':� �, ��������! "�� ������� � � ���� � �������� �� F ��

� '�� � ��,��'�� (,!#1��� �������� $�� ���6����� �������� ���� �� ��� �������� �� ��� �� ��� ������� $����%�������� �������� �� � � ( ������� �$ $������! ?����1����� �������� ��� $���� $��� ������ '), ���� ���'��, F /��'�� (,! &�� ������ ���� ���� ��� ����� � �������� '), ������� ��� �� ���� �������� �$ � � ��� ������� $�� ��� ���������� �$ ���! 9� "���( � ������� ��� �1��� �������� �� ��� ��������� ������ ���! #��� $�� ����� ������ ������� ��������� �������� ��� ��� ������� ����� �� ��� �1��� �%�������� ��������! "�� ����

)

Page 12: The Sandwich Variance Estimator: Efficiency Properties and

��� � � ��� ���� �������� ������ 'H� � � G ���H���, �$ ��� ���6����� �������� ���

������������ ���� ��� ��B������� ������ � � �������� ������ ������ ��������� ���!

-� �� ������ �� ��� ������������ ��� ���������� �������� ������� ��������! -� ��

������� ��� �C��� �$ ���� � �������� � ��� $���� �� ��� ����������� �� ������ ��������

������ 6���! <�� ��� ���������� �$ ��� ������� �$ ����� � � ����$�� �� ��� '+, �

����1 $���! ��� � ������ ��� '��, � ( ��������� ������ ' �� � � � � �

�� ,

� ��� ��� � F

'��� � � � � � ���,

�! "�� ������� ������ � ��6��� � F � � � ��� �� � � ������ ���

���B����� � �� ����1 � F '� ��, ���� � � ��� '��, � '��, ����� ����1 ��� � �

��� ��� � �� ����1

� F��

��������

������'�

��� ,�

�� ����'���� , ������� ��� ���� ������� ����1 ������

��� �� �� �������0 � F (� � � � �!

K��� ���� $�� � ( ����� ������� �$ ��� ��� ����1 ���� ��� ��������� '��� ���� 2

-�����0 ()./0 ����� ()(8()/0 $�� ������ ��������� �� ������� 2 �������0 ().+0 ���� +50

$�� ����� ������,! ��� � � ��� ���� ������� ����1 � F ����'��� ��, �� �

�� �� ��

��� ���� �������� ���� �� F �����

������ � ��� ! -�� � F ����'� ����,

���� � ��� ���

�������� ��B����� 6���� �������� �� F ��� � ��� F ��'� � �,�( G ��'�����,�! ?� ����

� ��� ��� ��� ������� �� ������ ���� � ��������! "�� ���� � �� �� ���

����� F ������� F ��'��� �� ���,� F O���� O� �( G�'���,�� '(:,

���� � F �����'����� ,����� ����'�

���� , ��� O�� F 'O��� � � � � � O�

�� , ����������0

������������ �������� ��6��� O�� F ������ ���0 ���� � ������� ���� ����

���

�������� ����6�� ��� ������� �$ �! "�� �������� $��� �� ���� ���� � ���������� �$

��� ������� �$ ��� ���� �� �������! ��� ��� ������ ��� #� $%�� ������� �$� ��� ��� O�� �

��� �������� �$ O�0 ���� #� $ F (� /� � � ���! K�������� ��� �C��� �$ ����%� �������� � 6��

���'����� , F /�����'��, G��

��' O���,� E������ '((,

(:

Page 13: The Sandwich Variance Estimator: Efficiency Properties and

9$ ��� ' O��, ��� �������� ������0 '((, ����6�� �� ���'����� , F /��'��,� "�� ������� �$

��� ���� �� ������� ������� ���� ������� ������� �� ��� ����� �$ ��� ��������� ���

�� ���� ��� F ����'%,��% �� % F ��� �!

"�� �������� ��B������� '), ��� �� ���� � ������� �� ���� �� ������� ��������!

?����� ������'����, � ':� �, �� �� F ������ ��� ������� ���'��, F �����'����� ,

���������� $��� '((,! 9������� ��� ��� '), ������ ���� ��� ��B����� ������� ��� ��� ����� �� ��� ��� '(� �, ���6����� ������� M�� �� � �������

���� N �� � F /'(� �,!

'������� � ����� ����� ���� ��� � � '���� ��, �� �� F '��� �, ���� �� � ���

�� ( ��������� ��� ������ ��� � � �� �� ( �������� ������! -� ��� � F ':�A� :�A,�

��� ������� �� F ':� (,� �� ��������� �$ �������! -� ������� $��� ��� $���� �� ������

$�� ��� ���������J ��� � F ���� �� ������ �� � � ������ '�, ������� 0 ', ��$����

�� '�, $��� � ������� ��������! "��� / ��� � �������� �������� �������� $�� /:::

��������� $�� ��� � F :�) ���6����� �������! -����� ����������� � ���� $�� 6���� �0

�� � � �������� $��� � � �������0 ', �� ��������� ���' �, F ��0 !�! �������� ����6��

����� ���������0 ��� ', �� ���' �, F �'E�5 �G(�5 (�(��,0 !�! ���������� ����������!

4�� ��� $��� ��� ������ ������� ��� ��� � �� ������� ������! <�� ��������� � ������

��� �������� �������� $ �%�������� �������� �� �� / ������� �$ $������ ��� ����!

�������� � ���� ������ ��� �������� ������ ���� �� �%�������� �������� ��� ���

B�����$� ������� �� ��������� ���@���� 2 -��� '().A0 $������ (E,! ?������

����� ����������� ��� ������� ���� B�����$� ������� ������

��� F�� (���'���,��'

��

���������� ��, '�

��,���� �� (��

�&��&� '(/,

���� �& F ��'���,������!<�� ��� ����� ������ ��� �������� ��B������� ��� � ����$����� ������! "�� ��%

����6����� �$ ��� ��������� ����� ����� ��� �� �C��� �� ��� �������� ������ ��

((

Page 14: The Sandwich Variance Estimator: Efficiency Properties and

���� ��� ��B������� ������� ������� ���� $�� ������6�� ������! 9� ��������0 ��� ������

�������� �������� ��� B�����$� �������� ��� �������������0 �������� ��� B�����$�

�������� ������ ���� ��������� 0 �� ������ ������� � ���@���� 2 -��� '().A,!

"�� �������� ���� ��� � ���� ������������� ��� � ������ ��� ������ � ��������� $

��������� ��� �� ��� ����! <�� �������� ������� ��������� �� ��� ����� ���� ��%

����������� � ��� �� ���� �� ���� $��� ��� $���� �� �1�����!

������� ( ���� �� ����� �� ������� ���� ��� ���������� ������ ����� � � '��� ��

��,0

�� ��� �� �� � ����� ����1! -� ������ ���� ��� ��������� ��� ������ ��� ����������

���� ���� � F�

������ F ��! "�� ����

�� �

�� �� F � ��� ��� ������� � ������ $���

��������� � F /���'��, F /��'��,�( G�'���,� F /������

'��� ��,��( G�'���,�

� /�����

��� ��

��

�( G�'���,� F /�����( G�'���,��

"�� �� �� ���� � ����� ������� $ ��� ��������� ��� �������� ���������� �� �������

� ��� ����� ����� F � $�� ��� �! "�� � ��� ���� $�� ������� $ ��� ������� ����� ��

���� ��� �C�� ����� ��� ��������! 9� ��� ���� ��� ���� ��� �� �� ���� ���'����� , F

/�����'� � (,��( G �'���,� ��� ������ ��� ������� �$ ��� �������� ������� ��������������� � #1����� A! �����0 ��� 6��� ���� � ������� ��� � ������ ����� �� ��������� 0

���� ��� �� �� ���� � ������� $ ��� ����� � �������� �������! ?� �����������0

������������� � ��� �� ���� � ��� ����!

9� � 6��� �������� � ��� �� ��� ��B������� ������ $�� ���%������ ����!

'������� � ������� � � ������ ��������� �� 9� ������ � ����� ���� ��� ��B������� $��

������ ���� ������� ��� �� ��� ����� �� ��� �� � �� �! "�� ������� ���� ��� ���� $��

���%������ ���� ���� �� � ����� ������� �� ��� ���� ��! "�� ���������� �$ ���'����� ,

(/

Page 15: The Sandwich Variance Estimator: Efficiency Properties and

�����$��� ������� ���� ����%� ��������! 9� �������� �� ������ E � ���� ������� ��� �C���

�$ ���� � �������� ��� �����1���� ��� ������� �$ ��� ���� �� ������� �������

'((,! -� ���� ��� �$ ��� ��B����� �������� ��� $��� '),0 ���� ���� ���� � ��������

��� ���� �� ��������� ���! -� ������� '����������, ����� ���� �� �������� ��� �

� F ':�A� :�A,� ��� ;����� ���� �� � F '(� (,�! "�� ��������� �� ��� �������� ��

� �������� ( ��� � ��� ��������� � ��� ����� ��������� ��! <�� ��������� � ����

������� ��� �������� ��������� �� ��� B�����$� �������0 ��� � ��� ���� � � ������

������ �$ '(/,! "�� ������� ��� ���� � "��� E! "�� ��������� ��B������� ��� � �����

������������ ��� ������� $��� ��������� ��� �C��� �$ ��� ����%� ��������! <�� ;�����

�������� ��� ������� �������� ��������� ��� ��B������� ��� ��� ������ ���������� ���

�������������! "�� ��� �$ �%�������� �������� � ��� ����� ������ ����� �������������!

"�� B�����$� ������� ������ �������� �� ��� �������� � ��� �1�����!

. /������

-� ���� ��� � ���� ���� �� ������� �������� ��� ���� ����� ���� ����� ���� �������

��������! "�� ���� �$ ����� ������� �� ��� ����� ��� $�� �������� ����� � � ������%

����� �� ��� ������ �$ ��� ������� �$ ��� ����� �����! <�� ���%������ ���� ��������

���������� ���� ��� ������� �L����� ��� ���� �$ ����� ! "�� ������� �$ ��� ���� ��

������� ������� ������ �C���� ��� �������� ������ �$ ���6����� ��������! ? �����

��B������� ��� ������� �� ��� ����� �� ���������0 ��� ������� �� ���� �������

������!

, � ���� / ����

,�� ������ ������ � � ������ ����� ��� � ���! � ��0

������ �"������

7��� � ����� ��� ������� ����� � ������������ ������! <�� ������ �$ �������

� ������� �������� ��������� ������ �$ ��� $��� �'����, F �'��� �, F �'��� �, ��

(E

Page 16: The Sandwich Variance Estimator: Efficiency Properties and

��� �� ( � � ������! "�� ������� �$ �� � ���� ���'����, F �� ��'��� �,� ���� � '�,� � ��� � ������� $������! 9� ���� �������0 � � ��������0 ��� � ������

������ ' F (0 ��� ��� � � ��� � � ��� ' F :! -� ������ ��� ��������� �$ $�������

�����������0 �!�! ���'%, F ���'%,�'�%,�! ��� �� ������ ���� ��� ������� � ��������

����6��0 !�! ���'����, F �� ��'��� �,�0 �� ���� �� �1������ '*, � ��� ���'��������, F������( G �'���,� ���� ����� F ������� '�,� ��� ��'�, F ���

����� ���

�� ('�

��,

�� ('%, F ����'%,���� '%,! "�� ����� ���� ������� �������� $�� �������� � ������ F

��'��,������ '��,�� ����

��'�, F '�����

���

��� � �'���,���� '���, G �'(� ',�

4�6��� !�'�, F �����

��� ����� )'��� �,��� � �'��� �,�� ��� )'%, F ����'%,�� '%,��0 ���

���� �� �������� $�� ������ �� � ����� �� ���� F ������ '��,!�'��,���� '

��,��<�� ��� �������� �$ ��� $���� �� ������� � ���� ���� �������� �������! ��� "� F

'�����

��� *'��� �,�

�� ���� *'%, F '���%, ����� '%,�� �� F ��� � �'��� �,��� ���'��� �,� +�� F

��� ���� '�,�� �� F �

����� '�,�� #� F �����

��� +���(

��'��� �,�� ���

��� F ���� '�,�����'��� �,��

���'��� �,�

,� F ��� � �'��� �,��)'��� �,� �('��� �,�

�� F �����

���

+���� '��� �,)

��'��� �,���

9� ��� $���� �0 � �� ����� �� �� � ������ $��� � ��������! -� ������ ���� ������

������� �$ ��� ���������� �$ � ��� � �1��0 �� ��� �� ������ ���������� �$ �'�,! I������� �������� $��� ����0 �� ����� �� ��������� ����� �� � �� �������� �����0 �� ����

��� ����� ��� ������ ���� �� ��������� �� ���� ����� �� ������ ������! -� ���

P�'�, F ����'�,�0 + F �� P���'�,�0 � F �� P���'�,�0 P# F ��+�(��'���,��0 ���!0 !�! ���

(5

Page 17: The Sandwich Variance Estimator: Efficiency Properties and

�� ������� ��$��� �� �� ������ �������!

������ $ ?� ���0 ����� ��� �������� ���� � ����

����'������ ������, � K�����M:�Q����� JF ���''�� � �,� �'� P"G P#,�����N�

����'���� ������, � K�����M:�Q��� JF ��+�, G ' P�� /� P#,�����N�

<�� ��� ����$ ��L��� ���� ����'�� � �, �������

��� �����0 ���� ����� ���� ��� �C��%

���� � �$ ����� ��'(,! -� ��� � ����� �����8������ ���������� '�������'��, � ��

�������

��� ''��� � �,� �"�

�����'�� � �,� "���0

����������� �������

'�������'��,� ���� G ������������ '��,����� '�,��

'�������'��,� ���� � ����������� '�,���'��,���'�,����� '�,�

'�������'��,� ���� � �#���

���'�� � �,

�������

���

���''��� � �,� �'��"� G#�,��������

��� ��� � ��� 6��� ���� �$ "������ 5!

-� �� ���� �� ��� ���� �� ��������0 ��� ���� ���� !�'�, � ���'�, F ��'�����,!

7������ �$ ���0 � ���� ����

��������� ������� �/����������� '�,���'��,���'�,����� '�,�

G���������� '�,�!�'��,� ���'�,����� '�,�

�/��������

���

#������� G �����

�����

+���M)'�����,� � � �'��

���,�� � �('��� �,N

�/��������

���

#������� G �����

�����

+���,� G �����

���

+��)��'��� �,��� � � �'��� �,������'�� � �,

�/��������

���

#������� G �����

�����

+���,� G �����

���

+��)��'��� �,��� '�

�� �,�

���'�� � �,

�������

���

'�/�#������� G +�� ,� G�

�������,�

(A

Page 18: The Sandwich Variance Estimator: Efficiency Properties and

�� ������!

"������ E ��� �� � ���� �� ����� ��� ���������� ����� � #1������ E ��� 5! <��

��� ������ ���� � ���� � '%, F ���'%, F ('%, F �'%,�(� �'%,�0 � F (0 ' F :0 "� F :0

(��'%, F ���'%,�(�/�'%,�! ?�� ��� ����� � "������ E ��� ���� � �������� ��������

��������� ��� ���� ��� ������ ��������� � #1����� 5!

<�� ��� ;����� ���� � � ���� ���6�� ���� P�'�, F �1�'��,��0 ���� �� � ��� /�/ ���%�� ����1! ?���0 + F - �1�'���,0 ��� F ��0 (

��'���, F �1�'��,0 P# F �1�'���,'(� :,�0� F �1�'����/,'(� -,�0 � F � � �1�'��,�� �1�'���/, ��� ����� Q����� F �1�'�E��,!

��� � F �1�'��,! "��� �' �, F �G��0 �' �, F ��GE��G�0 ��� �' �, F ��G*��G+��G�!

9$ � ��6�� . F � �0 ���� �'., F :0 �'.�, F �'.�, F � ��� �'.�, F E�� G �!

<������0 )'%, F (0 ) ��'%, F :0 P� F :! ? ������� ���������� ���� ��� � ���� Q��� F

/� �1�'�/��, G � �1�'�E��, ��� ��� � ��� ������� ����� ���� � #1����� E!

,�� ����� �� �� �� � �

��� ����'����, � K�����':� �, ��� �� F R��'�,0 ���� R'�, � ��� �������� ������ �����%��� $������! -� ��6�� ,� F �� ��� �,� F ��� ���� ���� / ',�, F �����'�� � �, � ,�� F �

�� / ',�, F R'��,! "�� ������� � �� ��������� �����'�� � �, � �,��! ��� 0���'�, ��������� �������� $������ �$ �,� ��� ���� �� �� �� ��������� ������� ������� �����������$ �� � �! "�� ����

�'H� � �, � H,�� F� �'H� � �, � ,H,� F ,,10���',,

F�/ ',,10���',, F ��/ 'H,�,��

�����0 � ���� �� ��������� ��� �1�������� �$ / 'H,�, �� ���� ��� �������� ������ !

?��� �� ��� ����� ������ �� ��� ���� $������ *',, F ,��� � 6��

� � F *'��,� *'�, F�� � �

/� '�� � �,�

.�G��'�

����,�

(*

Page 19: The Sandwich Variance Estimator: Efficiency Properties and

"�� ����� �� �,� F ,� G ��'� � ,

/ '�,�, F /

,� G ��

�� � �

/�� ��

'�� � �,�

.�

G��'�

����,

F / ',�, G / ��',�,

���� � �

/�� ��

'�� � �,�

.�

G(

// ��',�,

���� � �

/�

G��'�����,�

���� / ',�, F � ��� ����

� �/ '�,�,� F �G ���'��,���/ ��'��,

.�� ��/

��'��,

.�

G�'�����,�

9������� �� ��� ��������� $�� / ',, F R',�, ���� $������ '., � "������ /!

"�%���&'��

7����� 0 K! '()):,! "��� �$ � �������� � ������������ ��������� ��� ����� ������������

������! ������ �� ��� � ���� ������� ��������0 .A0 A*A8A+(!

����0 �! 4! 2 -�����0 �! '()./,! ������� �� �������� � ���������! ������� 2

����0 ������!

4����0 ;! S!0 ����0 @! T! 2 3����0 �! �! '())5,! ������ �� ��������� ��! ���������

;����0 &1$���!

#$���0 7! '().*,! 4������� �$ ��� ����� �! <! S! -� =S�����$�0 �������� ��� �����

��������� ������� � ��������>! ����� �� �������0 (50 (E:(8(E:5!

<���0 4! '())/,! 4������� �$ ��� ����� ����0 3���� 2 ����� =���������� ���������

���� �� $�� ���������� ����>! ������ �� ��� ���� ������� ������ ����� !0 A50 /58/*!

��������10 �!0 ���$���0 ?! ��� "������ ?! '().5,! ;����� ��1��� �������� �������J

���������� �� ;����� ������! "���� ����0 A/0 +:(8+/:!

����0 ;! '())/,! #�� !������� �� "�������� "������! '��� ��� )�����0 7����0K� T���!

����� 0 4! U! '()++,! S�����6�� � ��������� ��������! #����� �����0 ()0 /.A8/)/!

����0 ;! S! '()*+,! "�� ������ �$ ��1��� �������� �������� ����� �����������

��������! $��������� �� ��� %��� !��&���� �� ���� �� '��� ��� ������� ��

$�������0 (0 �����0 �! �! ��� K� ���0 S! ������! I������ �$ ���$���� ;����0 ��!

//(8/EE!

����0 @! T! 2 3����0 �! �! '().*,! ���������� ���� ���� �� ���� ���������� �����

������! !� ���&0 +E0 (E8//!

����0 @! T!0 3����0 �! �! 2 �����0 7! '())/,! ���������� ��������� ���� �� $�� �������%

��� ����! ������ �� ��� ���� ������� ������ ����� !0 A50 E85:!

���@����0 S! �!0 ��� -���0 �! '().A,! ���� ��������������� %��������� ���������

����1 ��������� �� ������� 6��� ������ ���������! ������ �� "���� �����0 /)0

E:A8E/A!

(+

Page 20: The Sandwich Variance Estimator: Efficiency Properties and

���������0 ;! '().+,! "����� ������� � ��������! *����� + ,���0 ������!

���������0 ;! '())/,! 4������� �$ ��� ����� ����0 3���� 2 ����� =����������

��������� ���� �� $�� ���������� ����>! ������ �� ��� ���� ������� ������ �����

!0 A50 /58/*!

���������0 ;! ��� K�����0 S!?! '().),! ���������� ����� ������! (�� � �� )�0 K�

T���!

���������0 "!S! '()..,! ?����1����� �� �� $������� $�� ���� ����� ����� �$ ���������

��������! "���� ����0 A*0 ))+8(:()!

-���0 �! '()./,! ��1��� �������� �������� �$ ������6�� ������! "���� ����0

A:0 (8/A!

-�0 �! <! S! '().*,! S�����$�0 �������� ��� ����� ��������� ������� � ��������! �����

�� �������0 (50 (/*(8(EA:!

-��������0 �! -! � '()+5,! ����%�������� $�������0 ���������� ����� ������0 ���

��� �����%K� ��� ������! !� ��&0 *(0 5E)855+!

(.

Page 21: The Sandwich Variance Estimator: Efficiency Properties and

"��� (J ��������� �$ �������� ������ ���� �� ��� ��� �%�������� �������� ������$�� �� ( ������� �$ $������

� ������ ��� 'H� � � G ���H���,

� F A!): (!AEE (!AA( !):/!)A /!(E/ /!:)A !)5.!)+A /!++* /!A5E !)*.

� F (A!): (!E5A (!E5* !)::!)A (!+*( (!+*( !)A:!)+A /!(5A /!(E+ !)+A

"��� /J �������� ������ ���� �� ����� �� ��� ��� � �������� �������� ��������� B�����$� ������� ��� '������� ������ ��� ��������� $�� ���������� ���������,

�������� ���� ������� ����� ���

����� ������ ��� ��� ������ ������� F (: '� F 5,

'�, /!(: ..!. '--.%, .5!) '-�./, .*!5 '-0.�,

', (!.* /!:E ..!A '/1.�, .*!E '-0.%, .+!* '-/.1,

'�, /!(. ..!) '-/.1, .5!/ '-�.(, .*!+ '-(.-,

� F /: '� F 5,

'�, (!.* .)!A '-/.0, .+!: '-0.-, ..!E '--.-,

', (!+( (!.( ):!E '/1.1, ..!A '--.�, .)!. '-/./,

'�, (!)5 ):!: '/1.%, .*!A '-0.�, ..!/ '--./,

Page 22: The Sandwich Variance Estimator: Efficiency Properties and

�������� ���� ������� ����� ���

����� ������ ��� ��� ������ ������������ ��������� � F (A '� F 5,

'�, (!.) )(!: .E!. ):!/

', (!++ (!.5 .)!+ .A!* .)!/

'�, (!)* )(!( .E!E .)!)

;����� ��������� � F (A '� F 5,

'�, (!): ):!( .*!) .)!E

', (!++ (!.+ ):!5 ..!( .)!.

'�, (!): .+!A .5!/ .*!E

"��� EJ �������� ������ �$ ���6����� ���� �� ����� �� ��� ���������� �� ������� 6���� ���������� ��� � �������� �������� ������

/: