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8/12/2019 Tex Fluid Os

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5 MECANICA DE FLUIDOS

BERNARDO ARENAS GAVIRIAUniversidad de Antioquia

Instituto de Física

2010



Índice general

5. Mecánica de fluidos 1

5.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.2. Estática de fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25.2.1. Fuerza distribuida y fuerza concentrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

5.3. Presión en un fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35.3.1. Principio de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45.3.2. Densidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55.3.3. Variación de la presión con la profundidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65.3.4. Presión en la interfase de dos fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75.3.5. Medición de la presión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95.3.6. Principio de Arquímedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

5.4. Dinámica de fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

5.4.1. Línea de flujo y línea de corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155.4.2. Tubo de flujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165.5. Ecuación de continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165.6. Ecuación de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

5.6.1. Tubo o medidor de Venturi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215.6.2. Aplicaciones de la ecuación de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3



Capı́tulo5Mecánica de fluidos

ObjetivosEn esta unidad se busca

Analizar los métodos que permiten descri- bir la estática y la dinámica de fluidos.

Identificar y definir las cantidades físicasrelacionadas con la mecánica de fluidos.

Analizar la estática de fluidos.

Analizar el movimiento de un fluido.

Aplicar los conceptos de la mecánica defluidos a situaciones físicas particulares.

CONCEPTOS BASICOSEn esta unidad de mecánica de fluidos, sedefinirán los siguientes conceptos que son bási-cos en el estudio de la estática y la dinámicatanto de líquidos como de gases: Definición defluido, fuerza distribuida y fuerza concentrada,Presión (P), Principio de Pascal, densidad ( ρ),presión absoluta y presión manométrica, pre-

sión en la interfase de dos fluidos, barómetroy manómetro, Principio de Arquímedes, fluidoideal, línea de flujo y línea de corriente, tubo deflujo, Ecuación de Continuidad y conservaciónde la masa, Ecuación de Bernoulli y conser-vación de la energía.

5.1. Introducción

Aunque los sólidos son las sustancias más fa-miliares en la vida cotidiana, sólo comprenden

una pequeña parte de toda la materia del uni-verso. La mayor parte de esa materia se en-

cuentra en forma de un tipo u otro de fluido.Esto lleva a clasificar la materia, consideradamacroscópicamente, en sólidos y fluidos. Des-de el punto de vista microscópico, es posibleexplicar esta clasificación teniendo en cuentaque toda la materia está formada por átomosque interactúan mutuamente, y es la intensidadde estas interacciones la que en última instan-cia permite que la sustancia se comporte co-mo un sólido o como un fluido. Si la intensi-dad de las fuerzas entre los átomos es grande,la sustancia se presenta en fase sólida, en cam-

bio, si la intensidad de las fuerzas interatómi-cas es muy débil, la sustancia se encuentra enla fase gaseosa. Cuando las fuerzas entre áto-mos no son tan grandes como en los sólidos, nitan pequeñas como en los gases, se tiene la faselíquida. Dinámicamente se puede interpretar lafase sólida, difícil de deformar, con la poca liber-tad de movimiento de los átomos, una situacióncompletamente opuesta a la que ocurre en el ca-so de los gases, donde los átomos se mueven deforma casi independiente, esto es, su movimien-to prácticamente no es afectado por la presen-cia de los demás. En el caso de los líquidos sumovimiento no es tan afectado por los demásátomos, como en los sólidos pero tampoco estan independiente como en los gases sino quese presenta un término medio. Un gas se com-prime fácilmente, mientras que un líquido esprácticamente incompresible. En este estudiono se consideran las pequeñas variaciones de



2 CAPÍTULO 5. MECÁNICA DE FLUIDOS

volumen que experimenta un líquido sometidoa presión, es decir, estos se consideran incom-presibles, o de volumen constante. Como conse-cuencia de lo descrito anteriormente, los fluidos

adquieren la forma del recipiente que los con-tiene y pueden fluir debido a la mayor indepen-dencia de movimiento que tienen los átomos enestas sustancias, en comparación con los átomosen sólidos. Un fluido como su nombre lo indica,es una sustancia que puede fluir, esto es, el tér-mino fluido incluye a líquidos y gases. A pesarque las propiedades de los líquidos y gases di-fieren bastante, en esta unidad se considera lasque son comunes como es el hecho de fluir yde adquirir la forma del recipiente que los con-

tiene.De esta forma, las mismas leyes funda-mentales rigen el comportamiento estático ydinámico tanto de líquidos como de gases apesar de las diferencias que se presentan entreellos, según se observan normalmente.

Puesto que los fluidos cambian de forma fá-cilmente y, en el caso de los gases, tienen unvolumen igual al del depósito en que están en-cerrados, se deben desarrollar nuevas técnicasque permitan analizar la mecánica de fluidos.

En esta unidad, a diferencia de las unidades2 y 4, se analiza inicialmente la estática de flui-dos, esto es el estudio de fluidos en reposo, paraluego considerar la dinámica de fluidos o estu-dio de fluidos en movimiento. A pesar de hacer-lo en esta forma, se mostrará que la estática defluidos es un caso particular de la dinámica defluidos.

5.2. Estática de fluidos

5.2.1. Fuerza distribuida y fuerza concen-trada

Hasta este momento se han considerado fuerzasque están aplicadas sobre una partícula de uncuerpo. A este tipo de fuerza se le conoce co-mo fuerza concentrada por el hecho de actuar so-

bre un punto del cuerpo. Otro tipo de fuerza seconoce como fuerza distribuida, donde a diferen-cia de las fuerzas concentradas, éstas actúan so-

bre una superficie determinada de un cuerpo o

sustancia. Por ejemplo, cuando un libro se colo-ca sobre una mesa, la fuerza que el libro ejercesobre ella está distribuida sobre toda la superfi-cie del cuerpo en contacto con la mesa; en este

caso se tiene un sistema de fuerzas paralelas,que es posible reemplazar por una fuerza únicaconcentrada que es equivalente, como se anali-zó en la unidad 4. En esta situación, la fuerzaúnica corresponde al peso del libro, que estáaplicado en su centro de masa.

Fluido

Embolo

Figura 5.1: Fuerza distribuida ejercida por un ém-bolo.

Una situación similar se presenta cuando enun recipiente que contiene un fluido, se disponede un émbolo hermético y móvil, como se mues-tra en la figura 5.1, donde el peso del émboloestá distribuido sobre toda la superficie en con-

tacto con el fluido.Para un fluido en reposo, la fuerza distribui-da en la superficie siempre debe estar dirigi-da perpendicularmente a la superficie. En efec-to, un fluido en reposo no puede resistir unafuerza tangencial ya que las capas del fluidoresbalarían unas sobre las otras cuando se lassometiera a tal fuerza. Por otra parte, es pre-cisamente la incapacidad de los fluidos de re-sistir tales fuerzas tangenciales (o esfuerzos cor-tantes) lo que les da la propiedad característica

de cambiar su forma, y por ende de fluir. Lo an-terior se ilustra en las figuras 5.2 y 5.3.

FluidoFluido

Distribuida Concentrada

Figura 5.2: Fuerza distribuida y fuerza concentrada.



5.3. PRESIÓN EN UN FLUIDO 3

F(garantiza reposo)

Láminas de fluido

F’ (no garantiza reposo)

Figura 5.3: Fuerzas sobre un fluido estático.

5.3. Presión en un fluido

Hay una diferencia cuando una fuerza superfi-cial actúa sobre un cuerpo rígido en reposo y

sobre un fluido. Para un cuerpo rígido en re-poso, no hay ninguna restricción respecto a ladirección en que se aplique una fuerza sobre lasuperficie, como se ilustra en la figura. 5.4.

Figura 5.4: Fuerzas sobre un cuerpo rígido.

Sedefinelapresiónenunfluidocomolamag-nitud de la fuerza "normal"por unidad de áreade la superficie. La presión se transmite a loslímites sólidos o a través de secciones arbitrariasde un fluido en tal forma que la fuerza de pre-sión es perpendicular a esos límites o secciones

en todos sus puntos. Así, como en la figura 5.5 lapresión en cualquier punto se define como la mag-nitud de la fuerza normal dF, ejercida sobre una pe-queña superficie de área dA que incluya dicho pun-to, por unidad de área dA, como se muestra en lafigura 5.6.

Matemáticamente, lo anterior se puede escri- bir en la forma

p ≡ dF

d AdF = pd A, (5.1)

Porción

de fluido

Figura 5.5: Fuerzas de presión en un fluido estático.

d AFluido

dF

Figura 5.6: Presión en un punto de un fluido.

donde por la definición dada en la ecuación(5.1), se tiene que la presión es una cantidad es-calar. Por otro lado, si la presión es la misma entodos los puntos de una superficie plana finitade área A, como en la figura 5.7, se obtiene

p ≡ F

AF = pA. (5.2)

A

Fluido

F

Figura 5.7: Presión constante en la superficie de un fluido.

Dimensiones y unidades de presiónDe acuerdo con la definición dada por las ecua-ciones (5.1) ó (5.2), las dimensiones de presiónestán dadas por [ p] = [F] [ A−1] . Por ello, launidad en el sistema SI de unidades es el Nm−2,unidad conocida como Pascal (Pa), es decir,1 Pa ≡ 1 Nm−2, que es la unidad más utilizadade presión.




5.3.1. Principio de Pascal

En esta sección se analiza lo que ocurre en el in-terior de un fluido cuando se ejerce una fuerza

externa en ausencia de la gravedad. Esto es, nointeresa por ahora el efecto de la gravedad, sola-mente interesa el efecto de la fuerza externa enel interior del fluido.

Como se indica en la figura 5.8, mediante unémbolo se ejerce una presión al fluido que se en-cuentra en el interior de un recipiente de formarectangular. Se considerará la presión sobre elelemento infinitesimal de fluido de forma trian-gular.

Sólo se consideran las tres caras (lados) al tra-

bajar en el plano, pero el resultado es válidopara las caras frontal y opuesta.

A

Fluido

F

Figura 5.8: Presión en el interior de un fluido debidoa una fuerza externa.

En realidad, las fuerzas están uniformementedistribuidas sobre las caras, pero por simplici-dad se consideran como si estuvieran concen-tradas en el centro de las caras sobre las cualesactúan.

Como el fluido está en equilibrio estático, elelemento infinitesimal de volumen, de la figura

5.9, está igualmente en equilibrio estático. Estoocurre si la fuerza neta que actúa sobre el ele-mento de volumen es cero. Por ello se trata esteelemento como cuerpo de interés, donde el dia-grama de cuerpo libre se muestra en la figura5.9.

Aplicando las condiciones de equilibrio, setiene

+→∑

iFx = 0,

dFv − dFisenθ = 0. (5.3)

x

y

d Ai

dFi

d Ah

d Av

dFh

dFv

Figura 5.9: Diagrama de cuerpo libre.

+ ↑∑ i

F y = 0,

dFh − dFicosθ = 0. (5.4)

Por la ecuación (5.1), se tiene que la presión delfluido sobre la cara vertical, está dada por

pv = dFv

d Av, (5.5)

donde, de acuerdo con la figura 5.9

d Av = d Aisenθ. (5.6)

Igualmente, la presión del fluido en la cara ho-rizontal, es

ph = dFh

d Ah, (5.7)

con

d Ah = d Aicosθ. (5.8)

Mediante las ecuaciones (5.3), (5.5) y (5.6) se ob-tiene el resultado

pv = pi. (5.9)

Similarmente, mediante las ecuaciones (5.4),(5.7) y (5.8) se obtiene

ph = pi. (5.10)

De las ecuaciones (5.9) y (5.10), se puede con-cluir que

pv = ph = pi, (5.11)

resultado que es válido sólo si no se consideranefectos gravitacionales.




Así, la presión sobre el elemento infinitesi-mal de fluido situado en una posición dadacualquiera dentro del fluido en reposo, es inde-pendiente de la orientación de sus superficies,

es decir, la presión es isótropa, o sea, igual en to-das las direcciones. Este es un resultado conoci-do como principio de Pascal.

La presión ejercida sobre un fluido, que se en-cuentra en el interior de un recipiente, se trans-mite sin disminución a cada punto del fluido ya las paredes del recipiente que lo contiene. Ensíntesis, el principio de Pascal se expresa en laforma: la presión se transmite a todos los puntos enel interior del fluido, de manera uniforme en todaslas direcciones.

Un medidor de presión sumergido en un flui-do estático, en cierto punto, marcará la mismapresión independientemente de cómo sea orien-tado.

5.3.2. Densidad

Cuando se trata de determinar la presión en elinterior de un fluido, sometido al efecto de lagravedad, se hace necesario considerar el flui-do que se encuentra por encima del punto deinterés y por tanto la masa de ese fluido. Eneste caso, es de utilidad definir la densidad, quees una cantidad relacionada con la masa m delfluido, pero independiente del volumen V de lamuestra particular que se considere. Se definela densidad como la masa por unidad de volu-men, o sea

ρ ≡ m

V . (5.12)

Dimensiones y unidades de densidadLa ecuación (5.12) muestra que las dimensionesde densidad son ML−3. De este modo, la unidaden el sistema de unidades SI es el kgm−3 y en elsistema gaussiano el gcm−3.

Tabla 5.1. Densidades de varias sustancias.

Sustancia Densidad

(kg m−3)

Densidadrelativa

SólidosPlatino 21.4× 103 21.4

Oro 19.3× 103 19.3Plomo 11.3× 103 11.3Cobre 8.93× 103 8.93Hierro 7.86× 103 7.86Acero 7.85× 103 7.85

Tierra (promedio) 5.52× 103 5.52Aluminio 2.70× 103 2.70

Vidrios 2.50× 103 2.50Hueso 2.00× 103 2.00Hielo 9.17× 102 0.917

Ladrillo 1.70× 102 0.17Fluidos

Núcleo del Sol 1.6× 105 160Mercurio 13.6× 103 13.6

Núcleo de la tierra 9.5× 103 9.5Glicerina 1.26× 103 1.26

Agua de mar 1.025× 103 1.025

Agua 1.00× 103

1.00Aceite de oliva 0.92× 103 0.92Aire ( −147oC ) 9.2× 102 0.92Alcohol etílico 7.91× 102 0.791

Gasolina 6.7× 102 0.67Oxígeno 1.429 1.429× 10−3

Aire (nivel del mar) 1.29 1.29× 10−3

Nitrógeno 1.25 1.25× 10−3

Vapor de agua (100oC ) 0.6 0.6× 10−3

Aire (20oC ) 0.20 0.2× 10−3

Helio 1.78× 10−1 1.78× 10−4Hidrógeno 8.98× 10−2 8.98× 10−5

En la tabla 5.1 se muestran las densidades de al-gunas sustancias y la densidad relativa de ellasrespecto al agua, definida en la forma

ρr = ρsustancia

ρH2O

Aunque, en general, la densidad de un fluidohomogéneo depende de la presión y la tempe-




ratura, en esta unidad se supone que la tempe-ratura es una constante igual a la temperaturaambiente.

Al aumentar la presión de un fluido, con-

tenido en el interior de un recipiente, el volu-men disminuye y la densidad de dicha cantidadde sustancia aumenta. Aunque es un efecto quesiempre está presente, en condiciones ordina-rias de presión y temperatura, se encuentra queen los líquidos el volumen disminuye muy pocoy en los gases disminuye bastante; así, para losfines de interés, en lo que sigue se supone quela densidad de los líquidos permanece constan-te, mientras que en los gases no es válida estasuposición ya que la variación de densidad es

grande.

5.3.3. Variación de la presión con la pro-fundidad

En esta sección, se desea determinar la relacióngeneral entre la presión p en cualquier puntodel interior de un fluido situado en un campogravitacional y a la profundidad h.

El fluido de la figura 5.10 se encuentra en-cerrado en un recipiente provisto de un émbo-

lo hermético y móvil. La pregunta a responderes ¿Cuál es la presión en un punto arbitrario Qsituado a una profundidad h por debajo de laparte superior del fluido?

A

Fluido

h

Q

F

Figura 5.10: Presión total en el interior de un fluido.

La presión en el punto Q depende de dosfuentes, la primera tiene que ver con la fuerzaexterna F ejercida sobre el pistón de área A y lasegunda con la fuerza hacia abajo ejercida porel fluido que se encuentra por encima del puntoQ. Ambas dan lugar a presiones isótropas en el

fluido, esto es, igual presión en todas las direc-ciones. De este modo, la presión pQ en el puntoQ, se puede expresar como la suma de dos tér-minos, uno externo y otro interno, en la forma

pQ = pext + pint,

donde la presión externa pext está dada por

pext = F

A.

La presión interna pint, se puede obtener medi-ante el siguiente procedimiento.

Como el fluido se encuentra en reposo, nece-sariamente cualquier elemento de volumen se

encuentra en reposo. Por ello, se considera elelemento en forma de lámina delgada repre-sentado en la figura 5.11, cuyo espesor es d y ycuyas caras superior e inferior tienen área a. Si ρes la densidad del fluido, la masa del elementoes dm = ρad y y su peso dW = ρagd y.

Ahora, la fuerza ejercida sobre el elementopor el fluido que lo rodea, en cualquier punto,es normal a la superficie. Por simetría, la fuerzahorizontal resultante sobre los lados laterales escero ya que está en reposo.

A

y

O

y

d ya

dW pa j

( d ) p p a+ j

F

Figura 5.11: Variación de la presión con la profun-

didad.

En cuanto a la vertical se tiene

+ ↑∑ F y = 0,

pa − ( p + d p)a − ρ gad y = 0,

donde al simplificar se encuentra que

d p = − ρ gd y

d p

d y

= − ρ g (5.13)




Como ρ y g son cantidades positivas, de laecuación (5.13) se deduce que a una d y positi-va (aumento de y) corresponde una d p negativa(disminución de p), y viceversa.

Si en la figura 5.12, p1 y p2 son las presiones alas alturas y1 y y2 respecto al origen de coorde-nadas, la ecuación (5.13) se puede transformaren p2

p1

d p = − ρ g y2

y1

d y,

donde luego de integrar y evaluar se obtiene

p2 − p1 = − ρ g( y2 − y1). (5.14)

A

Fluido

y

y1

y2

O

1

2

F

Figura 5.12: Diferencia de presión entre 1 y 2.

Para el caso de interés mostrado en la figura5.13, con y2 − y1 = h, p1 = pQ y p2 = pext, laecuación (5.14) adquiere la forma

pext − pQ = − ρ gh

pQ = pext + ρ gh, (5.15)

con pint = ρ gh.

Cuando se trata de un líquido contenido enun recipiente abierto, como en la figura 5.14 yde acuerdo con la ecuación (5.15), la presión ex-terna es la presión atmosférica pa y la presióninterna en el punto de interés es p, esto es

p = pa + ρ gh (5.16)

En la ecuación (5.16) se observa que la formadel recipiente no influye en la presión y que es-ta sólo depende de la profundidad. Igualmente,

A

Fluido

y

y1

y2

2

O

1hQ

F

Figura 5.13: Presión en el punto Q.

Líquido

2

1

h

pa

Figura 5.14: Presión en el interior de un líquido.

se tiene que la presión externa pa, es la misma acualquier profundidad, como lo exige el prin-cipio de Pascal, es decir, en un fluido la pre-sión varía con la profundidad debido a la fuerzagravitacional.

5.3.4. Presión en la interfase de dos flui-dos

Para determinar la presión en la interfase dosfluidos, se considera el tubo en U como se ilus-tra en la figura 5.15.a, donde inicialmente se de-posita un fluido de densidad ρ1, y luego se de-posita otro fluido de densidad menor ρ2 en larama izquierda del tubo, como se ilustra en lafigura 5.15.b.

h1

h2

d

A B

C

pa

pa pa

pa

1

1

2

(a) (b)

Figura 5.15: Presión en la interfase de dos fluidos.




Como la presión es independiente de la for-ma del recipiente, en todos los puntos de la

base del tubo se debe tener el mismo valor. Porotro lado, en el punto C la presión es la misma

independientemente que se considere la ramaderecha o la rama izquierda de la figura 5.14.b,pues de lo contrario los dos líquidos estarían enmovimiento. De este modo, de acuerdo con laecuación (5.16), se satisface la igualdad

pa + ρ2 gh2 + ρ1 gd = pa + ρ1 gh1 + ρ1 gd (5.17)

donde al cancelar el término común a amboslados de la igualdad en la ecuación (5.17), con pA = pa + ρ2 gh2 y pB = pa + ρ1 gh1, se obtiene

pA

= pB

,

por consiguiente, la presión al nivel de la inter-fase entre los dos fluidos, es la misma a amboslados del tubo en U. Igualmente, este resultadoes válido para puntos por debajo de la interfaseque se encuentren a la misma altura respecto a

base.

Ejemplo 5.1.Igual cantidad de un líquido de densidad ρ se deposita en dos recipientes cilíndri-cos, uno de radio R y el otro de radio 2R.

Las alturas alcanzadas por el líquido son,respectivamente, h1 y h2. a) obtenga unarelación entre las alturas h1 y h2. b) deter-mine la relación entre las presiones ejerci-das por el fluido en la base de los recipien-tes. c) Hallar la relación entre las fuerzasejercidas por el fluido en la base de los re-cipientes. d) Encontrar el peso del fluido.Comparar el resultado con el obtenido enel numeral c).SoluciónDiagrama ilustrativo de la situaciónplanteada.

h1

h2

2R

4R

a) Volumen de fluido, considerando elrecipiente de radio R, está dado por

V 1 = π R2h1, (1)

y en el recipiente de radio 2R, es

V 2 = 4π R2h2. (2)

Ahora, como la cantidad de líquido es lamisma en ambos recipientes, al igualar lasecuaciones (1) y (2), se encuentra que larelación entre las alturas es

h1 = 4h2, (3)

de donde se puede concluir que al du-plicar el radio, la altura en dicho recipientese reduce a la cuarta parte.

b) La presión, en la base de cada reci-piente, es

P1 = ρ gh1, (4)

y

P2 = 14 ρ gh1. (5)

Así, mediante las ecuaciones (4) y (5), seencuentra que la relación entre las pre-siones es

P1 = 4P2, (6)

donde de nuevo, al duplicar el radio, lapresión en la base de dicho recipiente sereduce a la cuarta parte.

c) De acuerdo con la ecuación (5.2), lafuerza que el líquido ejerce sobre la basede cada recipiente es,

F1 = ρ gπ R2h1, (7)

F2 = ρ gπ R2h1. (8)

Comparando las ecuaciones (7) y (8), setiene que la fuerza es la misma en la basede los dos recipientes, sólo que en el reci-piente de radio R la fuerza está distribuida

en un área menor, comparada con el áreadel recipiente de radio mayor 2R.

Ejercicio 5.1.

Considere la situación planteada en elejemplo 5.1. a) Encuentre el peso del líqui-doenfunciónde h1 y compare el resultadocon la fuerza que éste ejerce sobre el fondode los recipientes. b) Calcule los valores deh1, h2, p1, p2 y F1, si el líquido es agua conun volumen de 3 litros y R = 5 cm




5.3.5. Medición de la presión

Barómetro de mercurio

Este dispositivo, que permite medir la presiónatmosférica, consiste en un tubo largo de vidrioque se ha llenado completamente de mercurio yluego se ha invertido en una cubeta con mercu-rio, como en la figura 5.16. El espacio que se for-ma arriba de la columna de mercurio contienesólo vapor de mercurio, cuya presión es tan pe-queña a temperaturas ordinarias, que se puededespreciar.

h

y1

y2

Hg

Hg

Hg

Hg

pa 1

2

Figura 5.16: Barómetro de mercurio.

De acuerdo con la ecuación (5.14), para estecaso, y2 − y1 = h, p1 = pa y p2 = 0. De estemodo,

pa = ρ gh,

donde pa es la presión atmosférica.La mayoría de los instrumentos que miden

presiones, utilizan la presión atmosférica comonivel de referencia y miden la diferencia entrela presión real o absoluta y la presión atmosféri-ca, llamándose a este valor presión manométricao diferencial. La presión real, en un punto de unfluido, se llama presión absoluta. Es decir, en laexpresión p − pa = ρ gh, p es la presión absolu-ta y p − pa la presión manométrica o diferencial,que corresponde a la presión ejercida por el flui-do. La presión manométrica se da ya sea sobrela presión atmosférica o debajo de ella.

Al nivel del mar, la columna de mercurio ten-drá una altura cerca de 76cm ≡ 760mm, va-riando con la presión atmosférica. Una presiónequivalente a la ejercida por 760 mmHg a 0o enlas condiciones de aceleración de la gravedadnormal, g = 980.665cms−2, se llama una at-mósfera (1 atm), esto es

1atm ≡ 1.013× 105 Pa.

Otras unidades de presión que también sonutilizadas, se definen mediante las relaciones1bar ≡ 105 Pa, 1 lb pul−2 ≡ 1psi ≡ 6.9× 103 Pay 1torr ≡ 133.32 Pa, que es la presión debida a

una columna de mercurio de un milímetro dealtura.

A menudo se especifican las presiones dandola altura de la columna de mercurio, que es elorigen de la expresión presión en mm Hg; sin em-

bargo, una presión es la relación de fuerza entreárea y no es una longitud.

El manómetro

Es un dispositivo que permite medir la pre-

sión de un gas dentro de un recipiente, comoel mostrado en la figura 5.17.

pa

pa A

BC

h

GAS

GAS

Figura 5.17: Manómetro.

Un tubo en forma de U contiene un líquidotal como mercurio, que se encuentra a distintosniveles en cada lado una vez que se abre la llave.La presión en el punto A es la presión atmos-férica pa, ya que el tubo es abierto por encimade A. Así, la presión en el punto B es pa + ρ gh,donde ρ es la densidad del fluido manométrico.La presión en la interfase C es igual a la presión

en el punto B, ya que están al mismo nivel. Porlo tanto, la presión de salida en el recipiente dela figura 5.17 es

p = pa + ρ gh,

donde de nuevo p es la presión absoluta y p − pa = ρ gh es la presión manométrica o diferen-cial.

Ejemplo 5.2.En el recipiente cilíndrico mostrado en la




figura, se deposita un líquido de densidad ρ, hasta una altura h respecto a su base.a) Determine, en función de h, la presiónmanométrica y la presión absoluta sobre la

base del recipiente. b) Compare el peso to-tal del fluido con la fuerza que éste ejercesobre la base del recipiente.

h

4R

h/42R

Solución

a) Como la presión sobre la superficielibre del líquido corresponde a la pre-sión atmosférica, se tiene que la presiónmanométrica sobre la base está dada por

p − pa = ρ gh. (1)

De este modo, la presión absoluta es

p = pa + ρ gh. (2)

De acuerdo con las ecuaciones (1) y (2), setiene que la presión manométrica corres-

ponde a la presión ejercida por el fluido,mientras que la absoluta se debe tanto alfluido como a la atmósfera terrestre.

b) El peso total del fluido, utilizando laecuación (5.12), es

W = 134 πρ gR2h. (3)

Por otro lado, con ayuda de la ecuación(5.2), la fuerza que el fluido ejerce sobre la

base, esF = πρ gR2h. (4)

Mediante las ecuaciones (3) y (4), larelación entre el peso del fluido y la fuerzaque éste ejerce sobre la base, es de la forma

W = 134 F . (5)

Este resultado muestra que el peso delfluido es mayor que la fuerza ejercida so-

bre la base del recipiente. La diferenciaradica en que la fuerza de presión de-pende tanto del área de la base, como dela altura del líquido sobre ella, mientrasque el peso tiene que ver con la cantidad

total de fluido que se ha depositado en elrecipiente. Desde otro punto de vista, lafuerza de presión la ejerce el fluido a unaprofundidad h sobre la base de radio R,

mientras que el peso es la fuerza que latierra ejerce sobre todo el fluido.

Ejercicio 5.2.

Resuelva el ejemplo 5.2, suponiendo queel recipiente cilíndrico tiene la formamostrada en la figura. Compare sus resul-tados con los obtenidos en el ejemplo 5.2.

h

4R

h/4

2R

5.3.6. Principio de Arquímedes

El empuje de los líquidos es un fenómeno muyconocido. Un cuerpo sumergido en agua parecepesar menos que en aire, y un cuerpo cuya den-sidad media es menor que la del fluido en queestá sumergido puede flotar en él. Son ejemplosde este fenómeno un globo lleno de helio enel aire, un pedazo de corcho en agua, hielo enagua. Así, cuando un cuerpo está total o par-cialmente sumergido en un fluido (ya sea líqui-do o gas) en reposo, el fluido ejerce una presiónsobre todas las partes de la superficie del cuer-po en contacto con el fluido. De acuerdo con elresultado obtenido en sección 5.2.5, la presiónes mayor en las porciones sumergidas a mayorprofundidad, por ello, la resultante de todas lasfuerzas de presión es una fuerza ascendente lla-mada fuerza de flotación del cuerpo sumergido.Se puede determinar la magnitud y direcciónde esta fuerza resultante de una manera sim-ple, mediante el principio de Arquímedes que es,al igual que el principio de Pascal, una conse-cuencia de las leyes de la estática de fluidos.

Se considera una porción de un fluido en re-poso de forma arbitraria. El contorno irregular




Porción de

fluido

Cuerpo

idéntico

(a) (b)

Figura 5.18: Fuerza de flotación.

de la figura 5.18.(a) representa la superficie quelimita esta porción del fluido. Las flechas repre-sentan las fuerzas ejercidas por el fluido envol-vente sobre pequeños elementos de la superfi-

cie límite. Como todo el fluido está en reposo, lacomponente horizontal de la resultante de estasfuerzas superficiales es nula. En cambio, la com-ponente vertical de la resultante Fv = B = E, hade ser compensada por la magnitud del peso mgdel fluido contenido dentro de dicha superficiey su línea de acción ha de pasar por el centro degravedad de la porción de fluido, es decir,

Fv = mf g = ρV f g, (5.18)

donde mf es la masa de la porción de fluido y V f su volumen.

Como la presión en cada punto de la super-ficie de un cuerpo sumergido en un fluido, nodepende del material que está hecho el cuerposino de la profundidad, al reemplazar la porciónde fluido por un cuerpo sólido, figura 5.18.(b),de forma y volumen exactamente igual a la de laporción de fluido considerada, la presión en ca-da punto será exactamente la misma que antes,esto es, la fuerza ejercida sobre el sólido por elfluido envolvente permanecerá inalterada y, porlo tanto, será igual al peso mf g del fluido desa-lojado o desplazado por dicho cuerpo. La úni-ca diferencia es que la línea de acción de estafuerza pasa por el centro de gravedad del flui-do desalojado, que no coincide necesariamentecon el centro de masa del cuerpo. De este resul-tado se deduce el principio de Arquímedes quese expresa en la forma

Un cuerpo, que está parcial o totalmente sumergi-do en un fluido, es empujado hacia arriba por una

fuerza de módulo igual al peso del fluido desalojado

y dirigida verticalmente según una línea que pasa através del centro de gravedad del fluido desalojado.

De este modo, teniendo en cuenta la ecuación(5.18), el empuje debido al principio de Ar-

químedes se expresa porB = ρf V s g,

donde B es el empuje o fuerza ejercida por elfluido sobre el cuerpo, ρf la densidad del fluidoy V s el volumen de fluido que ha desalojado odesplazado el cuerpo. Este volumen no siemprecoincide con el volumen total del cuerpo, ya queeste puede estar parcialmente sumergido.

Para mayor claridad se analiza lo que ocurrecuando un globo flota en el aire y cuando unsubmarino flota a cierta profundidad bajo elagua.

El peso del globo que flota en el aire, de acuer-do con el principio de Arquímedes, es igual alpeso del volumen de aire, que en este caso esidéntico al volumen del globo; es decir, la den-sidad media del globo es igual a la del aire ala altura que se encuentra el globo. Ahora si ladensidad media es menor, el globo asciende yviceversa.

Por otro lado, el peso del submarino que flotaa cierta profundidad bajo el agua, es igual al pe-so del volumen de agua, idéntico al volumendel submarino; así, la densidad media del sub-marinoesigualaladensidaddelaguaaesapro-fundidad. En forma idéntica, si la densidad me-dia es mayor, el submarino desciende y vicever-sa.

Un cuerpo cuya densidad media sea inferiorque la densidad de un líquido puede flotar par-cialmente sumergido en la superficie libre dedicho líquido; por ejemplo, hielo o madera enagua.

Se sabe entonces que el empuje obra verti-calmente hacia arriba pasando por el centro degravedad del fluido antes de ser desalojado; alpunto correspondiente en el cuerpo sumergidose le conoce como centro de flotación.

Cuando un cuerpo se sumerge en un fluido,no permanecerá necesariamente en equilibrioestático, ya que su peso puede ser mayor, menoro igual a B. Además, si no es homogéneo, sucentro de gravedad puede no encontrarse sobre




mg

B

C'C

Fluido

Figura 5.19: Rotación de un cuerpo que desciende enun fluido.

la línea de acción de B. Por lo tanto, como casogeneral, estará sometido a una fuerza resultante

que pasa por su propio centro de gravedad y aun torque, y se elevará o descenderá girando ala vez, como se muestra en la figura 5.19 dondeC es el centro de gravedad del cuerpo y C’ sucentro de flotación.

Ejemplo 5.3.Cuando un cubo de madera de lado a, sesumerge en un líquido de densidad ρ1,la mitad de su volumen queda sumergi-do. Cuando el mismo cubo se introduceen otro líquido de densidad ρ2, la terceraparte de su volumen queda por fuera de

él. Determine la relación entre las densi-dades de los líquidos.SoluciónDiagrama de cuerpo libre para el bloque,cuando se sumerge en cada líquido.

1 2

W

W

B1 B2

(a) (b)

Ecuaciones de equilibrio estático para elbloque.

Bloque en la figura (a)

+ ↑∑ F y = 0:

B1 −W = 0. (1)

Bloque en la figura (b)

+ ↑∑ F y = 0:

B2 −W = 0. (2)

Mediante el principio de Arquímedes yutilizando las ecuaciones (1) y (2), se ob-tiene

ρ1 = 43 ρ2.

Ejercicio 5.3.

Teniendo en cuenta el ejemplo 5.3, calculela densidad de los líquidos si la densidadde la madera es 0.5gcm−3 y la arista delcubo es igual a 2cm. Dar su respuesta enel sistema de unidades SI.

Ejemplo 5.4.Como se muestra en la figura, la mitad deuna varilla cilíndrica, de longitud L y ra-

dio a, se encuentra en el interior de un re-cipiente que contiene dos líquidos inmisci- bles de densidades ρ1 y ρ2 . La cuarta partedel volumen de la varilla, está inmersa enel líquido de densidad mayor. La varillaestá suspendida del techo mediante un re-sorte de constante k . Determine a) La den-sidad de la varilla, en función de ρ1 y ρ2.

b) La deformación del resorte, en funciónde ρ1 y ρ2.

1

2

A

B

k

1

2

A

B

k

SoluciónDiagrama de cuerpo libre para la varilla

A

B

Fe

mg

B2

B1

Ecuaciones de equilibrio estático para lavarilla, considerada como un cuerpo rígido.

+ ↑∑ F y = 0,




B1 + B2 + Fe − mg = 0. (1)

∑ τ B = 0,

mg 12 Lcosθ − B1

58 Lcosθ − B2

78 Lcosθ = 0,

(2)donde se ha tomado el sentido antihorariocomo positivo.

a) Densidad de la varilla: De acuerdo conel principio de Arquímedes, se tiene,

B1 = 14 V v g ρ1 y B2 = 1

4 V v g ρ2, (3)

donde V v es el volumen de la varilla.Mediante las ecuaciones (2) y (3), se

encuentra que la densidad del material dela varilla es

ρv =

1

16 (5 ρ1 + 7 ρ2). (4) b) Deformación del resorte: Con ayuda de lasecuaciones (1), (3) y (4), se obtiene

x = π a2 gL

16k ( ρ1 + 3 ρ2)

De acuerdo con los resultados obtenidospara la densidad de la varilla y la defor-mación del resorte, la única restricción es ρ1 < ρ2. ¿Por qué?

Ejercicio 5.4.En el ejemplo 5.4, calcule el peso de la var-illa y la deformación del resorte si a =

0.5cm, L = 0.6m, k = 100Nm−1 y loslíquidos son mercurio y glicerina.

Ejemplo 5.5.Como se ilustra en la figura, una esfera ho-mogénea de densidad ρ1 se sostiene en elinterior de un recipiente que contiene unlíquido de densidad ρ2. Determine la ace-leración de la esfera, una vez que es solta-

da.

2

a

1

SoluciónDiagrama de cuerpo libre para la esfera.

Ecuación de movimiento para la esfera.

Movimiento

B

mg

Suponiendo que la esfera inicia sumovimiento verticalmente hacia abajo, setiene

+ ↓∑ Fy = ma:

mg − B = ma, (1)

donde m es la masa de la esfera.Además, la masa de la esfera y la

fuerza que ejerce el líquido sobre ella, es-tán dadas respectivamente por

m = ρ1V e y B = ρ2V e g, (2)

con V e volumen de la esfera.Mediante las ecuaciones (1) y (2), para

la aceleración de la esfera se encuentra laexpresión

a = ρ1 − ρ2

ρ1 g. (3)

Como es de esperarse, la magnitud de la

aceleración de la esfera es menor que laaceleración de la gravedad, ya que el líqui-do impide que descienda en cada libre.

Por otro lado, al comparar las densi-dades se tiene que si ρ1 > ρ2 la esferadesciende verticalmente, mientras que enel caso ρ1 < ρ2, la esfera asciende verti-calmente luego de ser soltada. En el caso ρ1 < ρ2, la ecuación (3) sólo se satisfacemientras la esfera permanezca completa-mente sumergida. ¿Por qué?

Un tercer caso se presenta cuando ρ

1 = ρ

2, lo que genera una aceleración

cero y lleva a que la esfera permanezca enel lugar que se coloque.

Ejercicio 5.5.

En el ejemplo 5.5, calcule la aceleración dela esfera, si: a) El líquido es agua y la esferaes de: i) platino, ii) oro, iii) cobre, iv) alu-minio y v) vidrio. b) La esfera es de plomoy el líquido es: i) mercurio, ii) glicerina, iii)agua de mar, iv) aceite de oliva y v) Gasoli-na. Compare los resultados obtenidos.




5.4. Dinámica de fluidos

En las secciones anteriores se consideraron flui-dos en reposo, es decir, se analizó el compor-

tamiento de fluidos estáticos y de cuerpos to-tal o parcialmente sumergidos en estos fluidos.En lo que sigue, se considera el movimiento defluidos, esto es, se estudia la dinámica de flui-dos que es una de las ramas más complejas dela mecánica. Como un fluido está compuestode muchas partículas, donde cada una de ellascumple con las leyes de Newton, se hace difícilanalizar su movimiento ya que las ecuacionesresultantes son extremadamente complicadas,como ocurre por ejemplo, en el caso de una cas-

cada de agua o en el de las volutas de humo.Sin embargo, a pesar de la complejidad que

se presenta en estas situaciones, muchos casosde importancia práctica se pueden represen-tar por modelos ideales bastante sencillos loscuales permiten un análisis fisco detallado.

Hay una forma de abordar el problema, con-veniente para la mayoría de los fines. En ella seabandona el propósito de especificar la trayec-toria de cada partícula de fluido y en cambiose especifica la densidad y la velocidad del fluidoen cada punto del espacio y en cada instante.Mediante este método simple, que se seguiráaquí, se describe el movimiento del fluido es-pecificando la densidad ρ(x, y, z) y la velocidadv(x, y, z) en el punto (x, y, z) y en el instante t.Así, se enfoca la atención en lo que ocurre encierto punto del espacio, en un determinadomomento, más bien que en lo que le está ocu-rriendo a una partícula determinada del fluido.Cualquier cantidad que se emplee para descri-

bir el estado del fluido, por ejemplo la presión p, tendrá un valor definido en cada punto delespacio y en cada instante de tiempo. Aun cuan-do esta descripción del movimiento de un flui-do, enfoca la atención en un punto del espacio,más bien que en una partícula del fluido, nose puede evitar seguir las partículas mismas almenos durante cortos intervalos de tiempo dt,ya que al fin y al cabo, es a las partículas y no alos puntos del espacio, a quienes se aplican lasleyes de la mecánica.

Para estudiar la naturaleza de estas simplifi-

caciones, primero se consideran algunas carac-terísticas generales de los fluidos, que permitendefinir el modelo que se utilizará en adelante,conocido como fluido perfecto, y definido como

aquel cuyo flujo es de régimen estable, irrota-cional, incomprensible y no viscoso, caracterís-ticas que se consideran en lo que sigue.

Flujo en régimen estable o estacionario

En régimen estable o estacionario, la velocidadde una partícula, en un punto dado cualquiera,es la misma al transcurrir el tiempo. Así, todapartícula que pase por el punto A de la figura5.20, adquiere la velocidad v. Igualmente, toda

partícula que pase por el punto B, adquiere lavelocidad v.

En otras palabras, la velocidad de unapartícula puede cambiar entre un punto y otro,pero en un punto específico, toda partícula quepor allí pase adquiere exactamente la misma ve-locidad en magnitud y dirección.

Flujo

v

v'A

B

Figura 5.20: Flujo de un fluido en regimen estable.

La condición de régimen estable se puede lo-grar cuando la velocidad del fluido es reduci-da; por ejemplo, cuando una corriente de aguafluye suavemente.

Flujo en régimen inestable o no estacionario

El movimiento del fluido, en este caso, es tal quelas velocidades sí son funciones del tiempo, esdecir, a diferencia del caso anterior, las partícu-las de fluido que pasen por un punto determi-nado, adquieren diferentes velocidades sin im-portar la velocidad de la primera partícula quepor allí pasó. Un ejemplo es el movimiento demarea, o en el caso del flujo turbulento, tal co-mo una cascada, donde las velocidades varían



5.4. DINÁMICA DE FLUIDOS 15

irregularmente de un punto a otro, así como deun instante a otro.

Flujo irrotacional de un fluido

Si ningún elemento del fluido, posee una veloci-dad angular neta, esto es, no rota, se dice que seha alcanzado un flujo irrotacional.

Flujo

Figura 5.21: Flujo irrotacional de un fluido.

Es decir, si la pequeña rueda con aspas dela figura 5.21, colocada en el interior del flui-do, se mueve sin girar, el movimiento es irrota-cional. El flujo irrotacional es importante sobretodo porque conduce a problemas matemáticossimples. En tal caso, el movimiento angular nointerviene y la forma de la velocidad es relativa-mente simple.

Flujo rotacional de un fluido

Cuando la rueda con aspas, de la figura 5.21,adquiere una velocidad angular diferente decero, se tiene un flujo rotacional. El flujo rota-cional incluye movimiento de vórtice, como enel caso donde se presentan remolinos. Esto tam-

bién incluye movimientos en los cuales el vectorvelocidad varía en dirección transversal.

Flujo compresible e incompresible de un flui-do

Generalmente se considera que los líquidostienen un flujo incompresible o de densidadconstante. Pero hasta un gas altamente compre-sible puede experimentar algunas veces cam-

bios de densidad pequeños, tales que su flujo es prácticamente incompresible. En vuelos avelocidades muy inferiores a la velocidad delsonido en el aire ( 340ms−1), el movimientodel aire con respecto a las alas es de fluido casi

incompresible. En estos casos la densidad ρ esconstante e independiente de x, y, z y t y el es-tudio del flujo de ese fluido se simplifica con-siderablemente. Así, un gas puede tratarse co-

mo incompresible si su movimiento es tal quelas diferencias de presión no son grandes.

Flujo viscoso y no viscoso de un fluido

Como se vio en la unidad 2, la viscosidad es unfenómeno análogo al rozamiento que se presen-ta en el movimiento de sólidos sobre superficiesrugosas. En muchos casos, tales como en pro-

blemas de lubricación, es sumamente impor-tante aunque algunas veces es insignificante.

La viscosidad, en el movimiento de fluidos, in-troduce fuerzas tangenciales entre las capas defluido en movimiento relativo y da lugar a pér-dida de energía mecánica.

Cuando el fluido es no viscoso, la velocidaden todos los puntos de una sección transversaldeterminada es la misma.

En lo que sigue, se trata únicamente el flui-do ideal o perfecto, que como fue definido antes,es aquel cuyo flujo es de régimen estable, irrota-cional, incompresible y no viscoso.

Aunque con esto se puede simplificar de-masiado, se verá que este análisis restringidotiene amplias aplicaciones en situaciones prác-ticas.

5.4.1. Línea de flujo y línea de corriente

Como se ilustra en la figura 5.22, la trayectoriadescrita por cualquier elemento de un fluido enmovimiento, se denomina línea de flujo. En ge-neral, la velocidad del elemento de fluido varía

punto a punto en magnitud y en dirección a lolargo de ella.

Figura 5.22: Línea de flujo.

Por otro lado, si cada elemento de fluidoque pasa por un punto dado, sigue la misma




línea de flujo que los elementos precedentes,se tiene un flujo de régimen estable o esta-cionario. Necesariamente, cuando se inicia unflujo determinado, pasa por un estado no esta-

cionario, pero en muchos casos se puede hacerestacionario al cabo de cierto tiempo.

Así, en el flujo de régimen estable la veloci-dad v en un punto dado es constante, esto es,toda partícula que pase por ese punto adquierela misma velocidad.

P

Q

R

vP

vQ

vR

Figura 5.23: Línea de corriente.

Si en el interior de un fluido se considera unpunto P, figura 5.23, se tiene que vP no cambiaal transcurrir el tiempo, estos es, toda partículaque llegue a P adquiere la velocidad vP (mag-nitud y dirección). La misma situación se pre-senta en los puntos Q y R, donde la velocidadde una partícula concreta del fluido puede serdiferente, pero en cada punto es constante. Porlo tanto, si se traza la trayectoria de la primerapartícula que pasó por P, como en la figura 5.23,esa curva será la trayectoria de toda partículaque llegue a P. Esta curva se llama línea de co-rriente y es una curva cuya tangente, en un pun-to cualquiera, tiene la dirección de la velocidaddel fluido en ese punto. De acuerdo con estasdefiniciones, en régimen estacionario, las líneasde corriente coinciden con las líneas de flujo.

Como consecuencia de lo anterior, se tieneque dos líneas de corriente nunca se puedencruzar, ya que si lo hacen, una partícula de flui-do que allí llegara podría adquirir una de lasdos velocidades y seguiría ya sea por una líneaoporlaotrayentonceselfluidonoseríaderégi-men estable. Esta situación se ilustra en la figura5.24.

En el flujo de un fluido en régimen estable, elmapa de las líneas de corriente permanece inal-

?

v

v'

Figura 5.24: Dos líneas de corriente nunca secruzan.

terado al transcurrir el tiempo, ya que en cadapunto se tiene una velocidad determinada.

5.4.2. Tubo de flujo

Se considera un flujo de régimen estable y sedibujan todas las líneas de corriente que pasanpor la periferia de una superficie, como la sec-ción transversal A de la figura 5.25; este con-

junto de líneas de corriente rodea un tubo lla-mado tubo de flujo. En virtud de la definición delínea de corriente, el fluido no puede atravesarlas paredes de un tubo de flujo; esto es, en ré-gimen estacionario no puede haber mezcla de

fluidos de tubos de flujo diferentes, de este mo-do, el tubo se comporta como si fuera una tu-

bería de la misma forma. En otras palabras, elfluido que entra por un extremo del tubo de flu-

jo debe salir por el otro.

A

Figura 5.25: Tubo de flujo.

5.5. Ecuación de continuidad

Con el fin de obtener la ecuación de con-tinuidad, se considera la figura 5.26 donde se ha



5.5. ECUACIÓN DE CONTINUIDAD 17

trazado un tubo de flujo entre las secciones P yQ.

A1

A2

P

Q

1

2

v1

v2

Figura 5.26: Ecuación de continuidad.

Para el flujo de un fluido en régimen es-table, irrotacional, incompresible y no viscoso,la ecuación de continuidad se puede obtener dela siguiente forma. La velocidad del fluido en elinterior, aun cuando es paralela al tubo en unpunto cualquiera, puede tener magnitudes di-ferentes en diferentes puntos. Se considera en-tonces que v1 es la velocidad de las partículasque pasan por la región P y v2 la velocidad delas partículas en la región Q.

Además, las secciones transversales de los tubos, perpendiculares a las líneas de corriente enlos puntos P y Q, tienen respectivamente áreas A1 y A2 . En un pequeño intervalo de tiempo∆t, un elemento de fluido recorre aproximada-mente la distancia v1∆t. Entonces, la masa defluido ∆m, que cruza A1 en el intervalo de tiem-po ∆t es aproximadamente

∆m ≈ ρ1 A1v1∆t,

o sea que la masa por unidad de tiempo o flujode masa por la región P es

∆m∆t ≈ ρ1 A1v1.

Se debe tomar ∆t suficientemente pequeño paraque en ese intervalo de tiempo v1 y A1 no cam-

bien apreciablemente en la distancia que recorreel fluido. En el límite, ∆t → 0, se obtienen lasdefiniciones precisas

Flujo de masa en P

dm

dt

| A1 = ρ1 A1v1.

Flujo de masa en Q

dm

dt | A2 = ρ2 A2v2.

En las expresiones anteriores, ρ1 y ρ2 son lasdensidades del fluido en las regiones P y Q, res-pectivamente.

Como no puede salir fluido por las paredeslaterales del tubo de flujo y puesto que no hayfuentes ni sumideros en los que se pueda crearo destruir fluido en el interior del tubo, la masaque cruza cada sección del tubo por unidad detiempo, debe ser la misma. Lo anterior, debe serasí, ya que el volumen comprendido entre A1 y A2 es constante. Así, el flujo de masa por P debe

ser igual al flujo de masa en Q, es decir,dm

dt | A1 =

dm

dt | A2 ρ1 A1v1 = ρ2 A2v2, (5.19)

de donde el producto ρ Av = Constante a lolargo de cualquier tubo de flujo dado, pueslas secciones elegidas son completamente arbi-trarias. Este resultado expresa la ley de conser-vación de la masa en la dinámica de fluidos.

Adicionalmente como el fluido es incompre-sible, se tiene que ρ1 = ρ2,porloquelaecuación

(5.19) se convierte en

A1v1 = A2v2, (5.20)

es decir, el producto Av = Constante y laecuación (5.20) corresponde a la ecuación decontinuidad para un fluido ideal.

El producto Av (volumen /tiempo) da el flujo de volumen, rapidez de flujo, caudal o gastocomo se denomina a menudo. De acuerdo conesta expresión, se tiene que en un flujo de ré-gimen estable, irrotacional, incompresible y noviscoso, la velocidad de flujo varía en razón in-versa al área de la sección transversal, siendomayor donde la sección del tubo disminuye, co-mo ocurre en el estrechamiento de la figura 5.27,donde v1 < v2. Esto se comprueba fácilmenteintroduciendo pequeñas partículas en el fluidoy observando su movimiento, a través de unatubería que tenga una sección transversal varia-

ble.El hecho que el producto Av permanezca

constante a lo largo del tubo de flujo, permite




A1

v1

A

v2

A2

a

F 'F

F1 F2

PQ

Figura 5.27: Fuerzas de un fluido en un tubo horizontal.

dar cierta interpretación al mapa de líneas decorriente. En una parte angosta, región Q de lafigura 5.27, las líneas de corriente deben estar

más próximas entre sí que en una parte ancha,región P de la figura 5.27. Por consiguiente, con-forme disminuye la distancia entre líneas de co-rriente, la magnitud de la velocidad del fluidodebe aumentar. Así, se llega a la conclusión quelíneas de corriente muy espaciadas indican re-giones de baja velocidad, y líneas de corrientemuy próximas representan regiones de alta ve-locidad.

Se obtiene otro resultado importante cuandose aplica la segunda ley de Newton al flujo del

fluido entre las regiones P y Q de la figura 5.27.Una partícula de fluido, que en P tiene una ve-locidad de magnitud v1, debe aumentar su ve-locidad a medida que avanza hasta adquirir enQ la velocidad mayor v2. Este aumento de ve-locidad proviene, bien sea de una diferencia depresión que obre sobre la partícula de fluido queva de P a Q o de la acción de la gravedad. Enel caso de un tubo de flujo horizontal, la fuerzagravitacional no genera variaciones de presiónya que no se presentan diferencias de altura en

la línea de corriente central. Como se muestraa continuación, en el flujo horizontal y de régi-men estable, la presión es máxima donde la ve-locidad es mínima. Esto se puede entender másfácilmente como sigue.

Como v1 < v2, entonces se tiene una acelera-ción en el sentido de P a Q. Además el fluido ala izquierda de la sección A1 ejerce una fuerzade magnitud F1 sobre A1 y el fluido a la derechade la sección A2 ejerce una fuerza de magnitudF2 sobre A2. De acuerdo con la segunda ley de

Newton la fuerza neta tiene el sentido de la ace-leración, es decir

F1 > F2 ó F1

F2

> 1.

Finalmente, al tomar la sección de área Amostrada en la figura 5.27, la presión ejercidapor el fluido a la izquierda es p = F/ A y lapresión ejercida por el fluido a la derecha es p = F / A, de este modo, con F > F se obtiene

F

A >

F

A ó p > p (5.21)

Por lo tanto, de la ecuación (5.21) se puede con-cluir que la presión en los estrechamientos es

menor que en los ensanchamientos.

5.6. Ecuación de Bernoulli

Cuando un fluido incompresible fluye a lo largode un tubo horizontal de sección transversal va-riable, figura 5.28, su velocidad cambia como loexige la ecuación de continuidad.

A1

A2

P1 P

2

v1

v2

Figura 5.28: Flujo de un fluido en un tubo horizon-tal.

Para generar esta aceleración, de acuerdo conla sección 5.4, es necesaria una fuerza y paraque esta se origine por el fluido que rodea auna porción del mismo, la presión debe variaren diferentes zonas del tubo de flujo. Si la pre-sión fuera constante a lo largo del tubo, la fuerzaneta ejercida sobre cualquier porción de fluidosería cero. Por lo tanto, cuando la sección deltubo cambia, la presión debe variar a lo largo deél, aunque no exista diferencia de altura, ya quesi la altura también varía, se presenta una dife-rencia de presión adicional, como en la figura5.29.



5.6. ECUACIÓN DE BERNOULLI 19

A1

A2

Figura 5.29: Flujo de un fluido en un tubo inclinado.

La ecuación de Bernoulli, que es una relaciónfundamental en la mecánica de fluidos, no es unnuevo principio sino que se puede derivar delas leyes fundamentales de la mecánica de New-

ton. Dicha ecuación es una expresión generalque relaciona la diferencia de presión entre dospuntos de un tubo de flujo, tanto con las varia-ciones de velocidad como con las variaciones dealtura.

Como se verá a continuación, la ecuación deBernoulli es esencialmente un enunciado delteorema del trabajo y la energía para el flujo defluidos; por esta razón, en su deducción se apli-ca el teorema del trabajo y la energía al flujo con-tenido en una sección de un tubo de flujo, como

el mostrado en la figura 5.30.

EP= 0

y2

A2 p2

F2

A1 p1

y1

F1

L1

L2

EP= 0

y2

A2 p2

F2

A1 p1

y1

F1

L1

L2

(a) Situación incial.

(b) Situación final.

Figura 5.30: Flujo de un fluido en una porción detubería.

Se considera que el flujo del fluido por unatubería o tubo de flujo, es de régimen estable,incompresible y no viscoso. La porción de la tu-

bería que se muestra en la figura 5.30, tiene a

la izquierda una sección transversal uniformede área A1, donde es horizontal y está a unaaltura y1 respecto a algún sistema de referen-cia inercial. Gradualmente se ensancha levan-

tándose a la derecha hasta un región horizontalubicada a una altura y2, donde tiene una sec-ción transversal uniforme de área A2. En lo quesigue, se concentra la atención en la porción defluido sombreado y se toma a este fluido comoel sistema. Se considera entonces el movimientodel sistema de la situación inicial, figura 5.30.(a),a la situación final, figura 5.30.(b). En todos lospuntos de la parte angosta de la tubería, la pre-sión es p1 y la magnitud de la velocidad v1 y entodos los puntos de la porción ancha, la presión

es p2 y la magnitud de la velocidad v2.De acuerdo con el teorema del trabajo y la

energía, se tiene que el trabajo efectuado por la fuerza resultante que actúa sobre un sistema, es igualal cambio de la energía cinética del sistema, es decir

W = ∆Ek. (5.22)

En la figura 5.30, las fuerzas externas que rea-lizan trabajo sobre el sistema, están dadas porla fuerza de presión de magnitud F1 = p1 A1

ejercida por el fluido que se encuentra a laizquierda del extremo horizontal inferior de latubería; la fuerza de presión con magnitud F2 = p2 A2 ejercida por el fluido que hay a la derechadel extremo horizontal superior; y la fuerza degravedad que corresponde al peso del fluido.

Ahora, conforme se mueve el fluido por eltubo, el efecto neto es elevar la cantidad de flui-do en la porción horizontal izquierda, represen-tado en la figura 5.30 (a), a la posición del flui-do en la porción horizontal derecha, mostrado

en la figura 5.30 (b). La cantidad de fluido, en-tre estas dos regiones horizontales, permaneceinalterado, esto es, se comporta como si se en-contrara estático. Por consiguiente, el trabajo W realizado por la fuerza resultante sobre el sis-tema, se puede obtener como sigue.

- El trabajo W 1 efectuado sobre el sistema porla fuerza de presión de magnitud F1 = p1 A1 es

W 1 = p1 A1 L1. (5.23)

- El trabajo W 2 realizado sobre el sistema por la




EP= 0

Figura 5.31: La presión es menor en los es-trechamientos.

presión, en el caso de un tubo horizontal comoel mostrado en la figura 5.31. El principio quegeneralmente se emplea en tales dispositivosmedido-res es el siguiente; la ecuación de con-tinuidad requiere que la velocidad del fluidoaumente en los estrechamientos, mientras quela ecuación de Bernoulli indica que en ese sitiodebe disminuir la presión.

En este caso y de acuerdo con la figura 5.31,la ecuación (5.30) se convierte en

p + 12 ρv2 = Constante,

donde se puede concluir que si la velocidadaumenta y el fluido es incompresible, la pre-sión debe disminuir. Resultado que fue posible

obtener en la sección 5.4, bajo consideracionesdinámicas.

5.6.1. Tubo o medidor de Venturi

Este dispositivo, mostrado en la figura 5.32,se coloca en una tubería para medir la velocidadde flujo de un líquido. Un líquido, de densidad ρ, fluye por una tubería horizontal cuya sec-ción transversal ancha tiene una área A, mien-tras que en el estrechamiento, o cuello, el árease reduce a a. Entre estas dos regiones se conec-ta un tubo en U o manómetro, que contiene unlíquido estático, por ejemplo mercurio (Hg), dedensidad mayor ρ.

Para obtener la velocidad de flujo, se aplicala ecuación de Bernoulli y la ecuación de con-tinuidad en las regiones 1 y 2 de la figura 5.32,esto es

p1 + 12 ρv2

1 = p2 + 12 ρv2

2. (5.31)

Av1 = av2 (5.32)

A a

12

'

hH H'

Flujo

Ep= 0

C D

Figura 5.32: Medidor de Venturi.

Con ayuda de las ecuaciones (5.31) y (5.32),es posible demostrar que la diferencia de pre-siones entre las regiones ancha y estrecha, es

p1 − p2 = 12 ρv2

1 A2

a2 − 1 . (5.33)

Por otro lado, como los puntos C y D de la figu-ra 5.32 se encuentran al mismo nivel de la inter-fase, la presión en ellos es la misma. Teniendoen cuenta esta situación, se puede mostrar quela diferencia de presiones también está dada por

p1 − p2 = ( ρ − ρ) gh, (5.34)

donde h = H − H .Igualando la ecuaciones (5.33) y (5.34), se ob-

tiene para la velocidad en la región de sección

transversal A, la expresión

v1 = a

2( ρ − ρ) gh

ρ( A2 − a2) . (5.35)

Pregunta :a) De acuerdo con la ecuación (5.35), ¿porqué razón se debe cumplir la condición ρ > ρ? b) Cuando ρ‘ = ρ, ¿cómo se puede inter-pretar el resultado dado por la ecuación(5.35)?

Si se desea conocer el gasto Q, definido comoel volumen de líquido que pasa por una seccióncualquiera cada segundo, simplemente se calcu-la

Q = v A.

Ejercicio 5.5.

Para el tubo de Venturi, encuentre a) Lavelocidad del líquido en el estrechamien-to. b) El gasto en las regiones ancha y an-gosta. Compare los resultados obtenidos.




5.6.2. Aplicaciones de la ecuación deBernoulli

Mediante la ecuación de Bernoulli es posible ex-

plicar muchos fenómenos físicos de interés, quese presentan comúnmente. A continuación seanalizan algunas de estas situaciones.

- Es costumbre tomarse una gaseosa con laayuda de un pitillo, como se ilustra en la figura5.33.

pa

pa pa

p1

Aire

(a) (b)

Figura 5.33: Presiones en el interior y el exterior deun pitillo.

Cuando se sumerge el pitillo en el vaso, figu-ra 5.33.(a), el nivel del líquido dentro del pitilloes el mismo que en el vaso, debido a que la pre-sión es la misma en ambas regiones, correspon-

diente a la presión atmosférica pa. Una vez quese extrae el aire del interior del pitillo, figura5.33.(b), la presión en su interior se reduce a lapresión p1. Esta reducción de la presión en elpitillo, debido al flujo de aire que se genera, per-mite que la presión atmosférica mayor empujeel líquido por el pitillo ( pa > p1).

- En los noticieros de televisión, frecuente-mente se muestra el desprendimiento del techode una o más casas durante un vendaval, sinque se presenten mayores daños en el resto de

la edificación. Esta situación se explica de unaforma simple.

(a) (b)

Pa

Pa

Pa P

a

P P1 a< P P

1 a<

Figura 5.34: Presión en el interior y exterior de untecho.

Cuando el aire está en calma, figura 5.34.(a),la presión en la parte inferior y superior deltecho corresponde a la presión atmosférica Pa.En un vendaval, figura 5.34.(b), la alta veloci-

dad del aire reduce la presión en la parte supe-rior del techo a P1, y como consecuencia la pre-sión atmosférica en el interior, donde el vientono llega, empuja el techo hacia arriba.

- La figura 5.35 representa, de forma sim-ple, el modelo de un atomizador. Oprimiendola pera, se genera una corriente de aire por eltubo central, lo que genera una disminución dela presión en su interior. De este modo, la pre-sión atmosférica que actúa sobre la superficiedel líquido, lo empuja hacia arriba por el tubo

vertical para ser emitido hacia el exterior con lacorriente de aire.

pa

p1 a<p

Figura 5.35: Presiones en un atomizador.

Otro tipo de atomizador más eficiente, se ob-tiene cuando se presenta un estrechamiento co-mo en la figura 5.36. Este estrechamiento gene-ra una disminución adicional de presión, es de-cir, la presión menor en A se debe tanto al es-trechamiento como a la velocidad que adquiereel aire debido a la pera.

pa

p1 a<p

Figura 5.36: Presiones en un atomizador con es-trechamiento.

- El ala de un avión proporciona su sus-tentación, esto es, la fuerza hacia arriba que




mantiene el avión en el aire. Esta fuerza se debeen gran parte, a la diferencia de presión entrela parte superior del ala y su parte inferior. Estadiferencia de presión, más baja en la parte su-

perior, se debe a que la velocidad del aire porencima del ala es mayor que por debajo. Deeste modo, la mayor parte de la sustentación delala se debe a la superficie superior. La determi-nación de la fuerza de sustentación hacia arriba,depende del efecto anterior y de otros factorestales como la viscosidad del aire y la turbulen-cia que se genera.

Ejemplo 5.6.Un tanque cilíndrico de radio R contieneun líquido de densidad ρ, hasta una altura

H como se muestra en la figura. El tanquetiene un orificio de radio r, a una altura hrespecto a su base. Determine a) La veloci-dad con la cual sale el líquido por el orifi-cio. b) La velocidad con la que desciendela superficie libre del líquido. c) El alcancehorizontal del chorro sobre el piso. d) Larelación entre H y h para la cual se obtieneel máximo alcance. En este caso, ¿a qué esigual xmx?

H

h

pa A1

2v2

1

pa

OE =p 0

SoluciónAplicando la ecuación de Bernoulli a lospuntos 1 y 2 y teniendo en cuenta el nivelcero de energía potencial tomado, se ob-tiene

v22 − v2

1 = 2 g( H − h). (1)

Igualmente, mediante la ecuación de con-tinuidad y teniendo en cuenta los radiosdel cilindro y el orificio, se llega a

v1 = r2

R2 v2. (2)

a) Mediante las ecuaciones (1) y (2), se en-cuentra que la velocidad con la cual sale elagua por el orificio, es

v2 =

2 g( H − h)

1− r4

R4

. (3)

La ecuación (3) muestra que a medida que H disminuye, la velocidad de salida dis-minuye, a no ser que el nivel del aguano descienda, por ejemplo, mediante unamanguera o llave que llegue al tanque. Porotro lado, suponiendo H constante, a me-dida que aumenta el radio del orificio, lavelocidad aumenta. En el caso particularr << R, es válida la aproximación

v2 =

2 g( H − h),

resultado conocido como la ley de Torri-celli.

b) Reemplazando la ecuación (3) en laecuación (2), se encuentra

v1 =

2 g( H − h)R4

r4 − 1. (4)

El resultado dado por la ecuación (4), indi-ca que el comportamiento de esta veloci-dad con H y r es semejante al caso de lavelocidad de salida por el orificio.

Cuando el área transversal del tanquees muy grande comparada con el área delorificio, esto es, para el caso presente r <<R ó r/R << 1, de acuerdo con la ecuación

(2), el coeficiente (

r/R)2

tiende a cero, y deese modo la velocidad de la superficie libre del líquido es muy pequeña compara-da con la velocidad de salida del líquidopor el orificio, es decir, se puede despre-ciar v1 frente a v2. Debe quedar claro queno puede ser cero sino que tiende a cero.¿Por qué?

En la siguiente tabla, se muestra larelación entre estas velocidades para dife-rentes relaciones entre los radios del orifi-cio y del tanque.

r/R 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6v1/v2 0.25 0.11 0.06 0.04 0.03

c) Para el alcance horizontal del chorro sobre el piso, se utiliza el sistema de referen-cia mostrado en la siguiente figura.

Ecuaciones cinemáticas de posición,para una partícula de líquido que sale porel orificio con una velocidad v2, dada porla ecuación (3).

En xx = v2t, (5)




En y

y = h − 12 gt2. (6)

H

hx

v2

O

y

xmáx

En el piso, y = 0 y por la ecuación (6),el tiempo que demora la partícula en ir delorificio al piso es

t =

2h g

. (7)

Reemplazando las ecuaciones (7) y (3) enla ecuación (5), se llega a

xmx = 2

h( H − h)

1− r4

R4

. (8)

Para el caso r << R, es válida la aproxi-mación

xmx = 2

h( H − h).

d) La relación entre H y h que permiteel máximo valor del alcance, se obtiene alderivar xmx respecto a h e igualar a cero.Así, con la ayuda de la ecuación (8) se ob-tiene

h = 12 H . (9)

Reemplazando la ecuación (9) en laecuación (8), se tiene

x

mx = H

1− r4R4

, (10)

donde para r << R, se transforma en

x

mx = H .

Ejercicio 5.7.

Resuelva el ejemplo 5.6, si el orificio cir-cular de radio r se practica a una profun-didad h respecto a la superficie libre dellíquido. Compare los resultados con losobtenidos anteriormente.

Ejemplo 5.7.Un tanque muy grande y sellado en suparte superior, contieneun líquido de den-sidad ρ. Como se ilustra en la figura, eltanque tiene un pequeño orificio a una al-tura h respecto a la base, donde se le haconectado un tubo delgado de longitud he inclinado un ángulo θ respecto a la hori-zontal. Entre la tapa del tanque y la super-ficie del líquido, se tiene un gas a la pre-sión p1. Determine la velocidad inicial conla que sale el líquido por el extremo abier-to del tubo.

3h

h

p1

1

2 pa

E p= 0

SoluciónAplicando la ecuación de Bernoulli entrelos puntos 1 y 2, teniendo en cuenta el ni-vel cero de energía potencial y que la pre-sión en 2 es la atmosférica, se encuentra

p1 − pa = 12 ρ(v2

2 − v21) + ρ gh(senθ − 2).

(1)

Ahora, al aplicar la ecuación de con-tinuidad entre los mismos puntos, se ob-tiene

v1 = A2

A1v2. (2)

Reemplazando la ecuación (2) en laecuación (1), se tiene

p1− pa = 12 ρv2

2

1−

A22

A21

+ ρ gh(senθ−2).

(3)Como el tanque es muy grande y el ori-

ficio de salida muy pequeño, es válida larelación A1 >> A2, esto es, A2

2/ A21 tiende

a cero. Bajo esta aproximación, la veloci-dad en 1 es despreciable, no nula, frentea la velocidad en 2. Por consiguiente, laecuación (3) permite encontrar

v2 =

2 ρ

( p1 − pa) + 2 gh(2− senθ). (4)

Teniendo en cuenta la ecuación (4), paraun ángulo θ fijo, la velocidad de salida au-menta al aumentar la presión p1, donde




p1 > pa. ¿Por qué? Por otro lado, para unapresión p1 fija, se tiene que la velocidaddisminuye al aumentar el valor del ángulode inclinación del tubo de salida; de estemodo, la velocidad adquiere su máximovalor para θ = 0 y el mínimo valor paraθ = 90o.

Igualmente, para p1 y θ fijos, la veloci-dad también depende del líquido ya queesta depende de la densidad, de tal mane-ra que a mayor densidad menor velocidadde salida.

Ejercicio 5.8.

Compare la velocidad inicial de salida,obtenida en el ejemplo 5.7, con la veloci-

dad inicial de salida una vez que se prac-tica un orificio en la parte superior deltanque.

PREGUNTAS

1. Se pone a congelar agua en un recipiente, detal manera que el hielo ocupe completamente suvolumen. Cuando se deja descongelar el hielo,¿qué se puede decir del volumen final del agua,comparado con el volumen inicial del hielo? Ex-plique su respuesta.2. Un bloque se encuentra en el aire suspendidode un dinamómetro. ¿Se presenta alguna dife-rencia en la lectura del dinamómetro, cuando el

bloque se sumerge en un líquido? ¿Por qué?3. En una varilla horizontal que se encuentra adeterminada altura respecto a la tierra, se sujetaun globo de helio y otro de oxígeno, utilizandouna cuerda en cada caso. a) ¿Se presenta algunadiferencia en la posición de las bombas? b) Si secortan las cuerdas, ¿qué se puede afirmar sobrelo que le sucede a cada bomba? Explique cadauna de sus respuestas.4. Los tanques de almacenamiento de agua parael consumo humano, se encuentran en las partesaltas de la ciudad. ¿Qué se busca con lo ante-rior? Justifique su respuesta.5. En el interior de los recipientes de la figura seha depositado el mismo líquido, hasta el nivelindicado por h. a) ¿Existe alguna diferencia en-tre las fuerzas que el fluido ejerce sobre la basede cada recipiente? b) En cada caso, ¿la fuerzaes igual al peso del fluido? c) ¿La presión ejerci-

da por el fluido sobre la base de cada recipientees la misma? Justifique cada de las respuestas.

h

6. Se tienen dos esferas macizas de igual radio,pero una es de hierro y la otra de madera. Cuan-do se sueltan desde una altura determinada res-pecto a la tierra, sobre cual esfera el aire ejercemayor fuerza, considerándolo como un fluidoideal? ¿Por qué?

7. Una varilla uniforme de madera, se coloca sobre la superficie del agua contenida en un reci-piente estático. a) Bajo estas condiciones, ¿quéorientación adquiere la varilla? b) Si uno de losextremos de la varilla se lastra con plomo, ¿quéefecto físico se presenta inicialmente sobre lavarilla? Explique cada una de sus respuestas.8. Por una tubería fluye agua en régimen es-table. ¿Cómo debe ser la tubería, para garan-tizar que las moléculas de agua se muevan a)Aceleradamente? ¿Por qué? b) Desacelerada-

mente? ¿Por qué?9. El humo sale por la chimenea hacia el exte-rior de una vivienda, cuando el aire está en cal-ma. ¿ocurrirá algún cambio, cuando el aire ex-terior se encuentra en movimiento? Explique surespuesta.10. Por el conducto AB de la figura, se permiteque circule una corriente de aire a una veloci-dad determinada. a) Si se coloca una lámina decartulina C frente a la corriente de aire, ¿queocurre una vez que esta se suelta? b) Cuando

se elimina la corriente de aire, ¿qué le sucede ala lámina? Justifique cada una de las respuestas.

Corriente de aireA

B

C

tex fluid os

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