teorija skupova - marul.ffst.hrmarul.ffst.hr/~logika/2007/25sijecnja/teorijaskupova.pdf · teorija...

Teorija skupova

sijeµcanj 2008.

() Teorija skupova sijeµcanj 2008. 1 / 55

Teorija skupova

Plan izlaganja

�to je aksiomatski sustav?

Njegova poµzeljna svojstva.

Pojam skupa.

Skupovi i opsezi pojmova.

Naivna teorija skupova.

Aksiom(ski oblik) komprehenzije.Aksiom ekstenzionalnosti.

Dokazi nekih teorema.

Antinomija naivne teorije skupova: Russsellov paradoks.


Teorija skupova

Po tradicionalnom poimanju, aksiom je naµcelo (reµcenica) za koje se,bez dokaza, uvi�a ili pretpostavlja da je istinito.

Primjer

Aristotel (384-322) znanost je obiljeµzena ne samo s istinito�cu reµcenicakoje je tvore vec i s njihovim ustrojstvom. Znanost se treba izlaµziti kaodeduktivan sustav u kojemu su manje opcenite reµcenice dokazane pomocuprvih, najopcenitijih naµcela. Na primjer: Nijedna reµcenica ne moµzeistodobno biti i istinita i neistinita.Euklid (oko 330-260) u knjizi Elementi aksiomatizira geometriju."Opcenita naµcela" obuhvacaju 23 de�nicije, 5 postulata i 5 opcenitihideja. 5. opcenita ideja: "Cjelina je veca od svakog svog dijela."Spinoza (1632 - 1677) daje grandiozni �lozofski sustav u aksiomatskomobliku (Ethica more geometrico demonstrata). Primjer aksioma: Sve �tojest, jest ili u sebi ili u drugome.

Izbjegavanje beskonaµcnog regresa. Dokazivanje ne moµze ici ubeskonaµcnost. Ono mora negdje stati. Ako dokaz shvatimo u smisludedukcije, onda su krajnje toµcke dokaza aksiomi.


Teorija skupova

Kako prepoznajemo aksiome?

U tradiciji su aksiomi bili shvaceni kao istine jasne po sebi (samo-evidentneistine).U novije vrijeme napu�ten je zahtjev da aksiomi moraju biti "jasnisami po sebi". Razlozi napu�tanja vjerojatno su povezani s racionalistiµckompristrano�cu takvog pojma i µcinjenicom da on ukljuµcuje nepouzdanapsiholo�ka obiljeµzja.

Primjer

Descartes, René (1596-1650): "I uoµciv�i da mi u postavci mislim, dakle jesam ba�ni�ta drugo ne jamµci da govorim istinu, osim da vidim vrlo jasno kako moramopostojati da bismo mislili, do�ao sam do uvjerenja da mogu postaviti opce pravilo,da su stvari koje shvacam jasno i razgovijetno potpuno istinite."Aksiomski naµcin razmi�ljanja proteµze se i izvan granica �lozo�je. U Deklaracijinezavisnosti (1776) tvrdnja o ljudskim pravima shvaca se kao aksiom (uoµciteuporabu pridjeva �self-evident�): "We hold these truths to be self-evident, that allmen are created equal, that they are endowed by their Creator with certainunalienable Rights, that among these are Life, Liberty, and the pursuit ofHappiness."() Teorija skupova sijeµcanj 2008. 4 / 55

Teorija skupova

Anatomija formalnog aksiomatskog sustava

Formalni aksiomatski sustav(i) koristi neki rjeµcnik (popis simbola, alfabet)(ii) od kojega se po pravilima tvorbe slaµzu reµcenice. Na taj se naµcinzadaje jezik teorije. K tome,(iii) neke reµcenice (aksiomi) uzimaju se(iv) za polazi�te primjene pravila za dokazivanje drugih reµcenica.Aksiomatska teorija (skup teorema) T obuhvaca one reµcenice izzadanog jezika L koje se mogu dokazati iz skupa aksioma Aprimjenom pravila dokaza `:

T = fR 2 L j A ` Rg

Dokaz u aksiomatskom sustavu je niz reµcenica gdje je svaka reµcenicaili aksiom ili je dobivena primjenom pravila dokaza iz prethodnihreµcenica u nizu. Neka je reµcenica R teorem (pouµcak) ako postojinjezin dokaz, to jest ako postoji dokaz R1, ...,Rn i R = Rn.


Teorija skupova

Vjeµzba

Primjer

Jedan "igraµcka-sustav". Simboli: a, b. Reµcenice: (a) a i b su reµcenice,(b) ako je R reµcenica onda su Ra i Rb reµcenice, (c) ni�ta drugo osimonoga �to moµzemo dobiti primjenom pravila (a) i (b) nije reµcenica.

Aksiom: a. Pravilo dokaza:RRa

(R ` Ra).Odredite koji uvjet trebaju zadovaljavati reµcenice u zadanom jeziku da bibile teoremima!Uoµcite da pravilo koje ste otkrili nije teorem igraµcka-sustava, vecmetateorijska tvrdnja, tj. tvrdnja o teoriji!


Teorija skupova

µZeljena svojstva aksiomatskog sustava

Formalna konzistentnost: skup aksioma A ne smije omogucavatidokaz obje reµcenice iz para proturjeµcnih reµcenica, ili

A ` ?

Nuµzan uvjet.


Teorija skupova

µZeljena svojstva aksiomatskog sustava

Potpunost ne znaµci isto za ne-logiµcke i logiµcke aksiomatske.U ne-logiµckim sustavima, potpunost zahtijeva da iz para kojeg µcinereµcenica i njezina negacija uvijek jedna me�u njima bude dokaziva:

za sve R 2 L, A ` R ili A ` :R

U mnogim se sluµcajevima ovaj uvjet ne moµze ispuniti.

U klasiµcnom logiµckom sustavu potpunost znaµci ne�to drugo. Ovdjepoµzeljno svojstvo teorema nije samo istinitost, vec nuµzna istinitost.Negacije kontingentne reµcenice je kontingentna reµcenica. No, ni jednaniti druga ne smiju biti dokazive u nekom logiµckom sustavu. Prematome, u logiµckim aksiomatskim sustavima potpunost ne moµze bitide�nirana sintaktiµcki.

Neovisnost: nijedan aksiom ne moµze se dokazati pomocu ostalih.

ako R 2 A, onda A� fRg 0 R

Ako uvjet neovisnosti nije zadovoljen, gre�ka nije fatalna.


Teorija skupova

Vjeµzba

Prouµcite sljedeci citat i odredite o kojim svojstvima aksiomatskogsustava govori autor, te kako odre�uje njihov odnos!

CitatU pomnijem razmatranju, javlja se pitanje: ovise li neki iskazi pojedinihaksioma jedni o drugima, te ne sadrµze li zato aksiomi neke zajedniµckeelemente, koji moraju biti izdvojeni ako µzelimo doci do sustava aksiomakoji su posve neovisni jedni o drugima. Ali iznad svega µzelim sljedeceistaknuti kao najvaµznije me�u mnogobrojnim pitanjima koja se mogupostaviti u vezi aksioma: dokazati da oni nisu kontradiktorni, naime, daodre�eni broj, na njih oslonjenih logiµckih koraka ne moµze nikada dovesti dokontradiktornog rezultata.David Hilbert. Matematiµcki problemi (predavanje na Me�unarodnomkongresu matematiµcara u Parizu, 1900.)


Teorija skupova

Pojam skupa

Teorija skupova je kao rijetko koja druga teorija opcenito prisutna ikoristi se za modeliranje tako ekstenzivno da u tom smislu zasluµzujeposve poseban poloµzaj.

Jedan je �lozof duhovito primijetio da su do 19. stoljeca skupoviµzivjeli dosadnim µzivotom pod imenom opsega pojmova.

Za iskazati semantiku logike prvoga reda trebamo skupove.

Citat�Russell je �lozof�istinito je ako i samo ako predmet imenovan s �Russell�pripada skupu koji je zadan predikatom �je �lozof�. [D. Davidson]


Teorija skupova

Utemeljitelj

Georg Cantor (1845-1918), njemaµcki matematiµcar koji je prviekstenzivno prouµcavao skupove i inkonzistentnosti koje se kriju unaivnom pojmu o skupu.

Skup je "sabiranje u jednu cjelinu odre�enih, razliµcitihpredmeta na�eg opaµzanja ili mi�ljenja, a njih nazivamoelementima skupa" [G. Cantor]


Teorija skupova

Termini

Koriste se razliµciti nazivi: skup, razred, klasa, kolekcija, zbirka,mnoµzina, agregat itd. U nekim se teorijama razlikuju skup (set) irazred (class), gdje je razred opcenitiji pojam (skupovi su elementinekog razreda, a neki razredi, pravi razredi nisu; pravi razredi iskupovi zajedno daju razrede).


Teorija skupova

Osnovni rjeµcnik teorije skupova

1 Predikati:=, dvomjesni predikat identiteta,2, dvomjesni predikat µclanstva (pripadanja), a 2 b [µcitamo: "a jeelement od b"],�, dvomjesni predikat inkluzije (ukljuµcenost, odnos podskupa).

2 Funkcijski simboli (operacije):\, dvomjesna funkcija presjeka (intersekcije),[, dvomjesna funkcija unije,� dvomjesna funkcija razlike.

3 Individualne konstante:?, prazni skup.


Teorija skupova

Jezik s dvije vrste varijabli

Moµzemo naporaviti izbor izme�u jezika koji u domeni obuhvaca svepredmete bili oni skupovi ili ne i jezika koji koristi razliµcite vrstevarijabli za razliµcite vrste predmeta.

Drugospomenuti ("many-sorted") jezik koristi jednu vrstu varijabli zadio domene koja ukljuµcuje sve skupove i jedino skupove, a drugu vrstuvarijabli za cjelokupnu domenu. U ovoj diferenciranoj opciji korisitimovarijable a, b, c , ... koje se proteµzu preko skupova (svih i jedino njih) ivarijable x , y , z , ... koje se proteµzu preko svih predmeta, bili oniskupovi ili ne.

Primjer

Reµcenicu �Svaka je stvar element nekog, ovog ili onog skupa�u jeziku sjednom vrstom varijabli prikazujemo kao 8x9y(Skup(y) ^ x 2 y), a ujeziku s dvije vrste varijabli ovako: 8x9a(x 2 a).


Dva osnovna aksioma naivne teorije skupova Ekstenzionalnost

Dva osnovna aksioma naivne teorije skupovaAksiom ekstenzionalnosti

Skup je u potpunosti odre�en svojim µclanstvom.

Ako znamo elemente skupa b, onda znamo sve �to je potrebno zautvr�ivanje identiteta tog skupa.

Aksiom se iskazuje ovako: ako skupovi a i b imaju iste elemente ondasu a i b identiµcni (oni su "jedan te isti" skup).

8a8b[8x(x 2 a$ x 2 b)! a = b]

Identitet skupova ne ovisi o naµcinu na koji su oni opisani.

Primjer

Skupovi {1,2}, {2,1}, {2,2,1}, {2,1,1,1,1,1} nisu razliµciti (identiµcni su).


Dva osnovna aksioma naivne teorije skupova Komprehenzija

Aksiom(ska shema) komprehenzije (apstrakcije)

U naivnoj teoriji skupova nalazimo tzv. neograniµceno naµcelokomprehenzije. Po tom naµcelu, svaki uvjet (svako svojstvo) odre�ujeneki skup.

Primjer

Neka nam je zadan uvjet �x rado µcita Kanta�. Po aksiomu komprehenzijepostoji cjelina, skup saµcinjen od svih onih i jedino od onih koji rado µcitajuKanta. Neka nam je zadan uvjet �9yVoli(x , y)�. taj uvjet odre�uje skupkoji obuhvaca sve one i samo one koji nekoga vole.

Ovakav naµcin iskazivanja aksioma donosi stanovite pote�koce. Naime,govorili smo o svim svojstvima, a to nas vodi izvan granica logikeprvoga reda i zahtjeva teoriju svojstava.Da bismo to izbjegli aksiom iskazujemo kao aksiomsku shemu.Sve reµcenice koje imaju oblik aksiomske sheme � aksiomi su i njihima beskonaµcno mnogo.

9a8x [x 2 a$ P(x)]

Aksiom kaµze da postoji (barem jedan) skup a µciji su µclanovi sve stvari(P(x)! x 2 a) i samo one stvari (x 2 a! P(x)) kojezadovoljavaju formulu P(x).



Aksiomska shema komprehenzije u opcenitom obliku

Primjer

Aksiomsku shemu treba iskazati u jo�opcenitijem obliku. Na primjer, akobismo htjeli reci da za svaki predmet postoji skup koji sadrµzi samo tajpredmet, onda bi nam trebalo jo�varijabli.8z9a8x [x 2 a$ x = z ]

Primjer

Postojanje kojih skupova jest zajamµceno sljedecom instancom aksiomakomprehenzije ako je rijeµc o osobama: 8y9a8x [x 2 a$ Voli(x , y)]?

Odgovor

Zajamµceno je da za svakoga postoji skup osoba koje ga/ju vole, pa makartaj skup bio prazan.



Aksiomska shema komprehenzije u opcenitom obliku

Opceniti oblik za aksiom komprehenzije:

8z1...8zn9a8x [x 2 a$ P(x)]



Vjeµzba

Teorem

U naivnoj teoriji skupova za svaku isf-u P(x) postoji jedan jedinstveniskup stvari koje zadovoljavaju P(x).

9!1a8x [x 2 a$ P(x)]

Iskaµzimo drukµcije gornju tvrdnju:

9a8x [x 2 a$ P (x)]

^8a8b [(8x (x 2 a$ P (x)) ^ 8x (x 2 b $ P (x)))! a = b]



Dokaz.Za dokaz ove numeriµcke tvrdnje trebamo dokazati da barem jedan i najvi�ejedan predmet zadovoljava propoziciju. Moramo dokazati (i) �baremjedan�: 9a8x [x 2 a$ P(x)], i (ii) �najvi�e jedan�:8a8b8x [((x 2 a$ P(x)) ^ (x 2 b $ P(x)))! a = b)]. (i) jedokazano jer je to upravo aksiom komprehenzije. Za (ii) koristimouniverzalnu generalizaciju. Pretpostavimo da su a i b skupovi µciji suµclanovi upravo oni predmeti koji zadovoljavaju P(x). Iz toga proizlazi8x [x 2 a$ x 2 b]. Izradite ovaj dio dokaza sami: otvorite Proof 15.5 idokaµzite spomenutu tvrdnju. Primjena aksioma ekstenzionalnosti daje nama = b.

Vidimo da za bilo koji uvjet aksiom komprehenzije jamµci postojanjeskupa predmeta koji zadovoljavaju taj uvjet, a aksiomekstenzionalnosti osigurava jedinstvenost takvog skupa.



Aksiom tvorbe skupova

Namjena aksioma komprehenzije bila je u tome da se pokaµze kako"nastaju skupovi". Aksiom je nazvan aksiomom komprehenzije(obuhvacanja) ili aksiomom apstrakcije (odluµcivanja, poopcavanja) jerga moµzemo razumjeti kao aksiom koji kazuje kako nastaje "predmet"o kojemu moµzemo misliti. U jednom drugom naµcinu tumaµcenjaaksiom moµzemo shvatiti kao obja�njenje nastanka opsega pojma, pabi P bio sadrµzaj, a a opseg:

9a8x

24x 2 a|{z}opseg

$ P|{z}sadrµzaj

(x)

35Pokazalo se da aksiom komprehenzije vodi u proturjeµcje. Po Russellukoji je ukazao na taj problem, otkriveno proturjeµcje naziva se�Russellovim paradoksom�.



Odre�uje li svaki uvjet neki skup?

U naivnoj teoriji skupova i naivnoj teroji pojma pretpostavlja se daba�svaki uvjet odre�uje neki (toµcno jedan) skup i da ba�svaki pojamima (toµcno jedan) opseg.

Pitanje

Ispitajmo uvjet x /2 x! Iskaµzimo taj uvjet (pojam) u prirodnom jeziku!Odredimo odgovarajuci instancu komprehenzije:

9a8x [x 2 a$ x /2 x ]

Dokaµzimo9a8x [x 2 a$ x /2 x ] ` ?

Slijedi li da je naivna teorija skupova formalno inkonzistentna?

Aksiomska shema komprehenzije kasnije je zamijenjen aksiomskomshemom separacije, 8a9b8x [x 2 b $ (x 2 a ^ P (x))].

Pitanje

Procijenite sniµzava li shema separacije �lozofske ambicije!


Zanimljivi skupovi, njihovi odnosi i operacije

Jednoµclani skupovi i prazni skup

Jednoµclani skup fxg trebamo razlikovati od njegovog jedinog µclana x .

Primjer

fDonald Davidsong je skup, apstraktni objekt, a pok. Donald Davidsonbio je istaknuti �lozof.

Zamislimo da niti jedan predmet ne zadovoljava P(x). Na primjer,neka je P(x) formula x 6= x . Skup fx j x 6= xg jest prazan, tj. bezelemenata. Moµzemo dokazati da postoji jedan i samo jedan prazanskup.

Oznake koje se koriste za prazan skup: fg, 0, ∅,...

Pitanje

Zapi�ite odgovarajucu instancu sheme komprehenzije koja jamµci postojanje(barem jednog) praznog skupa? Ako postoji prazan skup, je li on "ne�to"ili "ni�ta"? Ako je "ne�to", �to je? Koliko ima praznih skupova? Kako toznamo? Dokaµzite!



Odnos inkluzije

De�nicija

Ako su zadani skupovi a i b, kaµzemo da je a podskup skupa b ako je svakiµclan skupa a tako�er µclan skupa b.

De�niciju moµzemo shvatiti na dva naµcina. Prvo moµzemo tvrdnju�a � b�shvatiti kao skraceni zapis tvrdnje

8x(x 2 a! x 2 b)

Drugo, moµzemo relaciju inkluzije shvatiti kao dodatni simbol ide�niciju iskazati kao aksiom:

8a8b[a � b $ 8x(x 2 a! x 2 b)]

Ako a � b i a 6= b, onda pi�emo a � b i µcitamo: "a je pravi podskupod b".



Vjeµzbe

Koristeci Vellemanov "graditelj dokaza" za teoriju skupova(http://www.¤st.hr/~logika/pilot/applet/skupovi/dizajner.htm) dokaµzitesljedece tvrdnje!

Teorem

8a a � a

Teorem

8a ∅ � a

Teorem

8a8b [(a � b ^ b � a)$ a = b]



Presjek i unija

Operacije uzimaju dva skupa i daju treci.

De�nicija (PRESJEK)

Presjek skupova a i b je skup µciji su µclanovi - µclanovi i u a i u b. Zapis:a \ b.

8a8b8z [z 2 a \ b $ (z 2 a ^ z 2 b)]

De�nicija (UNIJA)

Unija skupova a i b je skup µciji su µclanovi - µclanovi ili u a ili u b. Zapis:a [ b.

8a8b8z [z 2 a [ b $ (z 2 a _ z 2 b)]

De�nicija (RAZLIKA)

8a8b8z [z 2 a� b $ (z 2 a ^ z /2 b)]



Pitanje

Kako znamo da postoje takvi skupovi? Jesu li dva aksioma, komprehenzijei ekstenzionalnosti, dovoljna da se utvrdi njihovo postojanje ijedinstvenost?


Zanimljivi skupovi, njihovi odnosi i operacije Pogled na tradicionalno uµcenje o pojmu

Generalizacija i specijalizacija

U tradicionalnoj logici i psihologiji posebnu paµznja posvecivala senekim naµcinima tvorbe pojmova. Apstrakcijom se nazivala ona tvorbapojmova koja nastaje tako �to se na osnovi odre�enog broja primjeraizdvaja ono svojstvo koje im je zajedniµcko a ostala se zanemaruju(odluµcuju, apstrahiraju).

Pitanje

Izradite dijagram toka za proces apstrakcije! Drugim rjeµcima, dajte nizuputa sljedeci koja bismo na osnovi nekog broja predmeta mogli saµcinitipojam o njima!

Generalizacijom se naziva oblik tvorbe pojma u kojemu se nekom vecusvojenom pojmu oduzima neko obiljeµzje. Takvim postupkom obiµcnomoµzemo dobiti novi pojam i on ce biti opcenitiji od poµcetnog.Specijalizacija je oblik tvorbe pojmova u kojemu se vec usvojenompojmu dodaje novo obiljeµzje. Takvim postupkom obiµcno moµzemodobiti novi pojam i on ce biti manje opcenit, "posebniji" od poµcetnog.() Teorija skupova sijeµcanj 2008. 28 / 55


Primjer

Primjer

Vennovi dijagrami mogu se iskoristiti za prikaz tvorbe pojmovaspecijalizacijom:



Operacije sa skupovima i tvorba novih opsega pojma

Operacije sa skupovima moµzemo shvatiti kao naµcin tvorbe novihpojmova ili, bilo bi bolje reci, novih pojmovnih opsega.

Exercise

Usporedite operacije sa skupovima (uniju, presjek i razliku) stradicionalnim uµcenjem o tvorbi pojmova!

Exercise

Oznaµcimo skupove sa slike na sljedeci naµcin: z = fx j x je µzutog iv = fx j x je voceg. Odredite pojmove µciji su opsezi z \ v i v � z! Nazivetih pojmova iskaµzite �to prirodnije!



Operacije sa skupovima i tvorba novih opsega pojma

Exercise

Zadan je sljedeci skup: a = fx j x je zaposlen i x je studentg. Odreditepojam µciji je opseg upravo skup a! Provedite generalizaciju ispu�tajucijedan od dva uvjeta! Koliko skupova moµzemo dobiti na taj naµcin? Kakavje njihov odnos prema skupu a? Provedite specijalizaciju dodavajuci uvjet�x je µzena�! Koji pojam odgovara skupu dobivenom specijalizacijom?Prona�ite �to prirodniji naziv tom pojmu!



Vjeµzba

Dokaµzite sljedece tvrdnje!

Tvrdnja

a \ b = b \ a

Tvrdnja

a \ b = a! a � b

Tvrdnja

a [ b = a! b � a

Tvrdnja

:a � b ! a� b 6= ∅



Partitivni skup

De�nicija

Partitivni skup }a skupa a jest skup svih podskupova od a.

Ovu de�niciju moµzemo napisati na sljedeci naµcin:

}a = fb j b � ag

De�niciju smo mogli zapisati i kao instancu (naivnog) aksiomakomprehenzije:

8a9b8x [x 2 b $ x � a]U ovom sluµcaju, za razliku od prethodnog, tvrdnju da postoji najvi�ejedan takav skup nismo ugradili u de�niciju, ali je lako moµzemo dobitiuz pomoc aksioma ekstenzionalnosti.



TeoremZa bilo koji skup b, :}b � b.

Dokaz.Za premise uzmimo de�niciju inkluzije i sljedecu instancu komprehenzije,koja je istodobno i instanca separacije jer govori o podskupovima:

8a9b8x�x 2 b $ (x 2 a ^ x /2 x)| {z }

�Promotrimo bilo koji skup a. Nazovimo njegov podskup µcije postojanjejamµci aksiom komprehenzije (separacije) a jedinstvenost aksiomekstenzionalnosti Russellovim skupom r . Po de�niciji za r znamo da vrijedir � a. Pretpostavimo da vrijedi i r 2 a. Ispitajmo r 2 r ! Vidimo da tonije moguce. Prema tome r /2 r . Ali tada buduci r � a i r /2 r , po instanciaksioma dobivamo r 2 r . Kontradikcija. Dakle, r jest podskup ali nijeelement skupa a. Buduci da je a bio proizvoljno odabran, moµzemogeneralizirati: 8a9b (b � a ^ b /2 a).


Zanimljivi skupovi, njihovi odnosi i operacije Russellov paradoks

Dilema

Upravo smo dokazali tvrdnju 8a :}a � a.Aksiom komprehenzije ne postavlja ograniµcenja na dopustive uvjete zatvorbu skupova.

Promotrimo uvjet x = x .

Po aksiomu komprehenzije takav skup postoji, a po kasiomuekstenzionalnosti postoji toµcno jedan takav skup.

Zato ga moµzemo imenovati. Neka ga imenuje u = fx j x = xg!

Pitanje

Ispitajte vrijedi li :}u � u!



Sve

Mnogi me�u kategorije uvr�tavaju pojam �ne�to�(entitet, bivstvo,bice, predmet ...)

Tvrdnja

9a}a � a

Dokaz.Konstrukcijom primjera. Primjer je u. Za proizvoljni a pretpostavimoa � u. Po zakonu identiteta (= Intro), a = a. Prema tome, a 2 u.Univerzalnom generalizacijom (8Intro) uz primjenu de�nicije za }dobivamo }u � u. Egzistencijalnom generalizacijom dolazimo dotraµzenoga.

Vec smo dokazali 8a :}a � a. Sada smo dokazali :8a :}a � a. Udokazima se nismo morali pozivati na aksiom ekstenzionalnosti.



Sve i ne�to

Pitanje

Koji je aksiom "krivac"?Kako izgleda njegova negacija?�to moµzemo zakljuµciti o opsegu pojma �ne�to�?


Zermelo Fraenkel teorija skupova

Prvu je aksiomatizaciju teorije skupova dao 1908. Ernst Zermelo,njemaµcki matematiµcar. Na osnovi analize paradokasa, on je zakljuµcioda su oni povezani sa skupovima koji su "preveliki", poput skupa svihskupova... Zbog toga, Zermelovi aksiomi su restriktivni s obzirom napitanje egzistencije skupova. Zermelov aksiomatski sustav obiµcno serazmatra u obliku koji ukljuµcuje modi�kacije i pobolj�anja koja su daliNorveµzanin Thoralf Albert Skolem, pionir u metalogici, i AbrahamAdolf Fraenkel, izraelski logiµcar. U literaturi, sustav se nazivaZermelo-Fraenkelovom teorijom skupova iako bi povijesno gledajucibilo toµcnije nazivati je Zermelo-Skolem-Fraenkelovom teorijom.


Zermelo Fraenkel teorija skupova

Aksiomi tvorbe (i postojanja)

Dva aksioma naivne teorije skupova omogucavala su nam dokazepostojanja i jedinstvenosti raznovrsnih skupova.

Revizija aksioma komprehenzije (zamjena s aksiomom separacije)blokirala je dokaze ovakve vrste.

Zato u Zermelo-Fraenkelovoj teoriji skupova moraju biti zastupljeni iaksiomi koji ce garantirati egzistenciju skupova odre�enih vrsta.


Zermelo Fraenkel teorija skupova Aksiomi Zermelo-Fraenkelove teorije skupova

Aksiomi

[1] Aksiom ekstenzionalnosti.Nije sporan. Jednak je aksiomu ekstenzionalnosti u naivnoj teoriji.

8a8b [8x (x 2 a$ x 2 b)! a = b]

[2] Aksiom separacije.

8a9b8x [x 2 b $ (x 2 a ^ P (x))]

Dopu�ta tvorbu skupova iz vec postojeceg skupa.

[3] Aksiom neure�enog para: za bilo koja dva predmeta postoji skupkoji ih ima kao svoje µclanove.

8x8y9b8z [z 2 b $ (z = x _ z = y)][4] Aksiom unije: ako je dan bilo koji skup skupova a, unija svihnjegovih elemenata tako�er je skup. To jest:

8a9b8x [x 2 b $ 9c(c 2 a ^ x 2 c)]() Teorija skupova sijeµcanj 2008. 39 / 55


Aksiomi

[5] Aksiom partitivnog skupa: svaki skup ima partitivni skup.

8a9b b = }a

[6] Aksiom beskonaµcnosti: postoji skup svih prirodnih brojeva.

Skraceni zapis jedne varijante tog aksioma:

9a[∅ 2 a ^ 8b(b 2 a! b [ fbg 2 a)]

Malo sloµzeniji zapis istoga:

9a[9x(x 2 a ^ 8y (y 2 x $ y 6= y)) ^8x(x 2 a! 9y(y 2 a ^ 8z(z 2 y ! (z 2 x _ z = x)))]

Skraceni zapis druge varijante tog aksioma:

9a[∅ 2 a ^ 8b(b 2 a! fbg 2 a)]



Jo�o aksiomu beskonaµcnosti

Primjer

Pogledajmo kako aksiom generira beskonaµcni skup. U prvoj varijanti: 0 ili∅, 1 ili ∅ [ f∅g = f∅g, 2 ili f∅g[ ff∅gg = f∅, f∅gg, 3 ilif∅, f∅gg [ ff∅, f∅ggg = f∅, f∅g, f∅, f∅ggg, itd. U drugoj varijanti:∅, f∅g, ff∅gg, ...

Ovakva logiµcka struktura obiµcno se naziva �kumulativna hijerarhija�.

Polazeci od praznog skupa postupno se putem de�niranih operacijakonstruiraju daljni skupovi. U procesu se ne koriste poµcetni elementi.Mnogi beskonaµcni skupovi mogu nastati na taj naµcin, ali ne iuniverzalni skup.



Aksiomi

[7] Aksiom zamjene: ako je dan neki skup a i operacija f koja de�nirajedinstveni predmet za svaki x iz a, onda postoji skup ff (x) j x 2 ag.Drukµcije kazano, ako 8x(x 2 a! 9!yP(x , y)), onda postoji skupb = fy j 9x(x 2 a ^ P(x , y))g.[8] Aksiom izbora: Ako je f funkcija s nepraznom domenom a i akoza svako x 2 a, f (x) jest neki neprazni skup, onda tako�er postojifunkcija g tako�er s domenom a takva da za svako x 2 a,g(x) 2 f (x). (Funkcija g naziva se funkcijom izbora jer za svako x iza ona bira jedan element iz f (x).)

Ako se Zermelo-Fraenkel teorija skupova koristi zajedno s aksiomomizbora, onda se oznaµcava s ZFC ("C" stoji za eng. "choice", izbor).Aksiom izbora postulira postojanje odre�enog skupa (skupa izbora) aliza razliku od drugih aksioma te vrste on ne daje upute kako se taj skupkonstruira. Takva nekonstruktivna narav aksioma izazvala je brojnerasprave.



[9] Aksiom regularnosti: svaki neprazan skup ima prazan presjeksbarem jednim svojim elementom:

8b[b 6= ∅! 9y(y 2 b ^ y \ b = ∅)]

Ovaj aksiom iskljuµcuje skupove koji su svoji vlastiti elementi. Pomocuovoga aksioma moµze se pokazati da je relacija 2 ire�eksivna iasimetriµcna.



Intuicije u pozadini

Povijest pojma o skupu i relaciji 2 pokazuje da nije rijeµc jednostavnimpojmovima.

S �lozofskog stajali�ta, nipo�to nije primjereno odbaciti razmatranjetog pojma s rijeµcima: "Skup je primitivan pojam i o njemu se nemoµze ni�ta reci mimo onoga �to aksiomi o njemu tvrde." Takvoodbacivanje nije primjereno jer su upravo razmatranja o pojmu skupavodila prema otkricu nezadovoljivosti naivne teorije i konstrukcijamaaksiomatske teorije.

U pozadini ZF-teorije stoje dvije osnovne intuicije:

Skupovi ne mogu biti "preveliki".Skupovi se postupno konstruiraju.

O ovoj drugoj intuiciji govori aksiom regularnosti. Za�to ne bi smjelovrijediti x 2 x? Odgovor se mora pozvati na neku temeljnu ideju.


Zermelo Fraenkel teorija skupova Kumulativni skupovi

Kumulativnost

Promotrimo skup a = fag. Ako bismo ga htjeli zapisati u popiszapisu, susreli bismo se pote�kocama: fag ali a = fag, pa zatoffagg ali a = fag, pa zato fffaggg, ... pa zato fff...gggitd.Najbliµze �to moµzemo doci jest da naznaµcimo beskonaµcno"ugnjeµz�ivanje" a = fff...ggg. Buduci da je svoj jedini µclan tj.a = fag, slijedi da je on jednoµclani skup. Zbog toga intuicija oograniµcenoj veliµcini skupova ne moµze odbaciti ovakve skupove.



Logiµcar Zermelo tvrdio je da o skupovima trebamo misliti kao oneµcemu �to nastaje na osnovi apstraktne radnje povezivanja u cjelinupredmeta koji su nam vec dani. prije no �to se izgradi neki skupnjegovi elementi vec moraju biti izgra�eni. na osnovi ovakve"kumulativne" metafore moµzemo objasniti za�to se skup a = fag nemoµze izgraditi. Da bi se taj skup konstruirao prethodno mora bitiizgra�en njegov jedini element, ali to je on sam. Kumulativnakonstrukcija zahtijeva da element nekog skupa bude konstruiran unekom prethodnoj fazi, a µclan iregularnog skupa ne moµze bitikonstruiran u prethodnoj fazi.



Kumulativnost kao postupna konstrukcija

Joseph Shoen�eld poku�ao je opravdati aksiome ZFC teorije pozivajuci sena intuicije u "redoslijedu" konstrukcije: neki skup moµze nastati ako sunjegovi µclanovi nastali prije njega (gdje rijeµc �prije�, kaµze on, trebarazumjeti u logiµckom a ne u temporalnom smislu). Pogledajmo kako seopravdava aksiom beskonaµcnosti.

CitatPogledajmo za�to je aksiom beskonaµcnosti istinit. Neka je x0 prazni skup aza svaki n neka je xn+1 skup µciji su µclanovi � µclanovi od xn i sam xn. Nabilo kojem stupnju moµzemo formirati x0; ako je xn formiran na nekomstupnju, onda se xn+1 moµze formirati na bilo kojem kasnijem stupnju.Pretpostavimo da je xn nastao na stupnju Sn. Tada postoji stupanj S kojise javlja nakon svih stupnjeva Sn. Na ovom stupnju, moµzemo formiratiskup x µciji su µclanovi x0, x1, ... Ovaj x je onaj skup µcije postojanje tvrdiaksiom beskonaµcnosti.Joseph Shoen�eld. Axioms of Set Theory.



Shoen�eld obrazlaµze neograniµcenu mogucnost da se po "receptu"aksioma beskonaµcnosti saµcini dodaju novi i novi skupovi.

Netko bi mogao prigovoriti da aksiom ne tvrdi ne�to jaµce od toga �postojanje skupa s beskonaµcno mnogo µclanova. Shoen�eldovoobja�njenje pokazuje kako bi beskonaµcno mnogo takvih µclanova moglonastati, ali ne obja�njava kako bi mogao nastati skup koji bi ihobuhvacao. Takvo obja�njenje zahtijevalo bi postojanje stupnja nakonbeskonaµcnog broja stupnjeva i intuiciju aktualne beskonaµcnosti kojaµcini se nedostaje mnogim �lozo�ma nakon Aristotela.


Zermelo Fraenkel teorija skupova Problem veliµcine

Moguce je dovesti u pitanje intuiciju o skupovima kao o predmetimakoji nisu preveliki.

Najprije se trebamo osvrnuti na µcinjenicu da partitivni skup nekogskupa koji ima n µclanova ima 2n µclanova. Ako, na primjer, neki skupima 1000 µclanova, onda njegov partitivni skup ima 21000 - veci (kakose kaµze) od broja atoma u svemiru.

No �to se doga�a ako je broj µclanova nekog skupa beskonaµcan?



De�nicija

Funkciju f nazivamo injektivnom ili 1� za� 1 ako za razliµcite predmete usvojoj domeni ona dodjeljuje razliµcite predmete u svom rangu: ako x 6= y ,onda f (x) 6= f (y) za sve x , y iz domene funkcije f .

Oznaµcimo s jbj kantorsku veliµcinu skupa b.

De�nicija

Skupvi b i c imaju istu kantorovsku veliµcinu, jbj = jc j akko se njihovielementi mogu povezati na naµcin 1� za� 1, to jest - ako postojiinjektivna funkcija s domenom b i rangom c .

De�nicija

jbj = jc j akko postoji funkcija f takva da (i)do (f ) = fx j 9y f (x) = yg = b, (ii) ra (f ) = fy j 9y f (x) = yg = c ,(iii) 8x8y [x 6= y ! f (x) 6= f (y)].



Pitanje

Pokaµzite da je gornja de�nicija jednakobrojnosti skupova a i b ekvivalentnas tvrdnjom da postoji bijektivna funkcija izme�u a i b.

Odgovor

Funkcija f sa skupa a u skup b je surjekcija akko je (i) rang te funkcijeskup b, to jest, b = fy j 9x : f (x) = yg. [Neki autori razlikuju kodomenui rang funkcije: kodomena je skup mogucih, a rang - skup stvarnihvrijednosti funkcije. Kod surjekcije kodomena i rang su jedan te isti skup.](*) Funkcija je bijekcija (1� za� 1 korespondencija) akko je ona surjekcijai (ii) injekcija. Moramo pokazati da je prva de�nicija ekvivalentna drugoj:a to cemo uµciniti ako pokaµzemo da prva povlaµci drugu i obratno. L-DPretpostavimo da postoji injektivna funkcija f s domenom b i rangom c.Reiteracijom dobivamo da je f injekcija a, po de�niciji (i) - slijedi da je fsurjekcija. D-L Pretpostavimo da je funkcija f s a u b bijekcija. Ona jetada injekcija i njezin je rang b. A to je upravo prva de�nicija.



Primjer

Neka je f (x) = 2x za bilo koji prirodni broj x . �to je domena ovefunkcije? �to je rang ove funkcije? Je li ta funkcija 1� za� 1?

Odgovor

Domena ove funkcije je skup prirodnih brojeva N. Rang ove funkcije jeskup parnih brojeva fx j x 2 N ^ 9y(y 2 N ^ x : 2 = y)g. Ta je funkcija1� za� 1 jer je vrijednost 2x razliµcita za svaki x.

Vidimo da postoji injektivna funkcija s domenom prirodnih brojeva irangom parnih brojeva. Zato oni imaju jednaku kantorovsku veliµcinu.



TeoremCantor je pokazao da za bilo koji skup b vrijedi

j}bj > jbj

Buduci da aksiom beskonaµcnosti garantira postojanje beskonaµcnogskupa, a aksiom partitivnog skupa omogucuje konstrukciju partitivnogskupa, onda ce kantorska veliµcina (i) partitivnog skupa beskonaµcnogskupa biti veca od kantorske veliµcine (ii) beskonaµcnog skupa. No i (i)spomenutom partitivnom skupu moµzemo konstruirati partitivni koji ceopet biti veci. Nisu li takvi skupovi "preveliki" da bi bili cjeline?



Pitanje

Dokaµzite da za bilo koji skup b, j}bj 6= jbj!

Dokaz.

Posluµzimo se metodom indirektnog dokaza. Pretpostavimo (*) j}bj = jbj.Po de�niciji za kantorovsku veliµcinu, onda postoji injektivna funkcija f sdomenom }b i rangom b. Svi elementi od }b podskupovi su od b, zatomoµzemo s pravom pitati za svaki y 2 b je li sluµcaj da ako f (x) = y taday 2 x . Razmotrimo skup c = fy j 9x(f (x) = y ^ y /2 x)g, skup svihelemenata od b kojima funkcija f ne pridruµzuje podskup kojemu pripadaju.Po pretpostavci (*) postoji f (c). Dodjelimo mu ime u = f (c). Mora bitisluµcaj da ili (i) u 2 c ili (ii) u /2 c . Ispitajmo sluµcajeve! (i) Ako u 2 c ,onda u mora zadovoljavati uvjet 9x(f (x) = u ^ u /2 x), pa zato moravrijediti u /2 c . Kontradikcija. (ii) Pretpostavimo u /2 c . Tada u ispunjavauvjet 9x(f (x) = u ^ u /2 x) jer u = f (c). Zato, u 2 c . Kontradikcija.



Ima li smisla intuicija veliµcine?


teorija skupova - marul.ffst.hrmarul.ffst.hr/~logika/2007/25sijecnja/teorijaskupova.pdf · teorija...

Documents