teoría de probabilidades (espacio muestral...
TRANSCRIPT
Teoría de probabilidades (espacio muestral simple)
Muchos experimentos muestran cierta “regularidad”, i.e., la frecuencia de un evento es aproximadametente la misma en una serie de intentos
Un espacio muestral se le llama simple
si la probablidad asignada a cada posible resultado
es 1/n
Si un evento A en ese espacio contiene m resultados, entonces
Teoría de probabilidades (espacio muestral simple)
Similarmente, sea el número de resultados de un
evento A y el número total de resultados del espacio muestral. Entonces
Ahora, si A y B son dos eventos en S:
Teoría de probabilidades
● Ejercicio:
Calcule la probabilidad de obtener un as o una espada/pica de un paquete de cartas
Teoría de probabilidadesEjercicio: supongamos que lanzamos 3 monedas simultáneamente. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 2 caras?
Número posible de eventos (C:cara, R:cruz):1 - C C C2 - R C C3 - C R C4 - C C R5 - C R R6 - R C R7 - R R C8 - R R R
Teoría de probabilidades
Ejercicio: Calcule la probabilidad de obtener de un paquete de cartas: un as o una espada/pica o un número par {2,4,6,8,10}
Solución:Sea A el evento de obtener un asSea B el evento de obtener una espada/picaSea C el evento de obtener un número par
Se nos pide entonces calcular
Teoría de probabilidades
que está dada por:
Métodos de conteo
Como hemos visto, para espacios muestrales simples es importante saber contar el número de resultados posibles de un evento y el número de resultados posibles del espacio muestral, pues de ahí podemos calcular la probabilidad de un evento.
- Multiplicación
- Permutación
- Combinación
Métodos de conteoMultiplicación
Regla de multiplicación.Si en un experimento tenemos que:i) el experimento se realiza en dos partesii) la primera parte tiene m posibles resultados: y, no importando cuales sean estos resultados, la segunda parte del experimento tiene n resultados:
Cada resultado del espacio muestral está dado por la pareja y S está dado por:
Métodos de conteo
De aquí que el espacio muestral tiene mxn resultados
Métodos de conteo
Ejemplo:
Lanzamiento de dos dados.
Como cada dado tiene 6 posibles resultados, el número total de posibles resultados es 6x6=36
Por supuesto, la regla de multiplicación puede extenderse a experimentos con más de dos partes.
Si un experimento tiene k partes (k>2), tal que la i-ésima parte del experimento tiene posibles resultados. Entonces el tamaño del espacio muestral es
Ejemplo:
Lanzamiento de 6 monedas.
Como cada parte del experimento tiene 2 posibidades (cara o cruz) tenemos entonces que el número total de posibles resultados es
2x2x2x2x2x2 = 64
Métodos de conteo
Permutaciones
Métodos de conteo
Permutaciones
Una permutación es un arreglo en un orden particular de los objetos que forman un conjunto.
Nos preguntamos de cuántas formas n objetos distintos pueden arreglarse/acomodarse (?)
Métodos de conteoRespuesta:
Ejemplo: Cuántos arreglos pueden hacerse con las letras a, b y c?
Respuesta: 3 x 2 x 1 = 3! =6
(a,b,c), (a,c,b), (b,a,c), (b,c,a), (c,a,b), (c,b,a)
Métodos de conteo
Si ahora seleccionamos solamente k elementos (uno a la vez) de los n, entonces tenemos que:
Métodos de conteo
Ejemplo: Sea
¿Cuáles son las permutaciones de 2 elementos tomados del conjunto anterior ?
Respuesta:
Métodos de conteo
Ejemplo:
De un grupo de 25 personas, serán seleccionados un presidente y un secretario. ¿Cuál es el número de formas posibles de escoger estas dos personas ?
Conteo con reemplazamientoConsideremos ahora un experimento donde una bola, seleccionada de una caja con n bolas, se regresa a la misma caja.
Si se hace un total de k selecciones de esta forma, el espacio muestral S contiene todos los vectores de la forma: donde :resultado de la i-ésima selección
A este proceso se le llama muestreo con reemplazamiento.
Como existen n posibles resultados para cada una de las bolas/selecciones, el número total de vectores en S es
Conteo con reemplazamiento
Si en el experimento anterior quisieramos saber la probabilidad del evento A en que cada una de las k bolas seleccionadas sean distintas.
El número de vectores donde los k componentes son distintos está dado por
Como el tamaño del espacio muestral es , entonces la probabilidad del evento es
Métodos de conteo
Ejemplo:El problema del cumpleaños (versión simplificada)
Un planeta gira alrededor del sol en 3 días. ¿Cuál es la probabilidad de que Manolo y Juan cumplan años en diferente fecha (sin considerar el año) en ese planeta?Las posibilidades son:
Y la probabilidad de cada uno de estos resultados es:
Métodos de conteo
Problema del cumpleaños:
¿Cuál es la probabilidad de que al menos dos personas de un grupo de k personas (2< k < 365) hayan nacido el mismo día (festejen su cumpleaños).
Supongamos que los nacimientos son independientes (gemelos son excluidos!). Entonces para cada una de las k personas hay 365 posibilidades. Por tanto, el espacio muestral es
Métodos de conteo
La probabilidad de que todos los cumpleaños sean distintos es
Así pues, la probabilidad de que al menos dos personas tengan el mismo día su cumpleaños es
Métodos de conteoAlgunos vales de q:
k q
5 0.027
10 0.117
15 0.253
20 0.411
25 0.507
30 0.706
40 0.891
50 0.970
Métodos de conteo
Combinaciones
Supongamos que tenemos un conjunto con n distintos elementos (distinguibles), de los cuales escogemos k elementos.
¿Cuál es el número de subconjuntos diferentes que se pueden formar con los n elementos?● En este problema el orden de los elementos es
irrevelante● No hay dos combinaciones que tengan los
mismos elementos
Métodos de conteo (combinaciones)
Cada subconjunto se trata como una unidad y a ésta se le llama combinación.
El número de combinaciones se denota por:
(n combinación k)
Ejemplo: un conjunto contiene los elementos a,b,c,d.
¿Cuál es el número de subconjuntos de 2 elementos que podemos formar?
Respuesta: {a,b},{a,c},{a,d},{b,c},{b,d},{c,d}
Métodos de conteo (combinaciones)
Ejemplo: Se quiere seleccionar un comité de 8 personas de un grupo de 20. ¿Cuál es el número de comites que pueden formarse?
Respuesta: número de combinaciones de 8 elementos tomados de un grupo de 20.
Métodos de conteo (combinaciones)
Teorema del binomio
Métodos de conteo (combinaciones)
Ejemplo:
Supongamos que lanzamos una moneda 10 veces y queremos determinar
a) la probabilidad de obtener 3 caras exactamente
b) la probabilidad de obtener 3 caras, o menos
Métodos de conteo (combinaciones)
Ejemplo (usando regla de multiplicación):
En una clase hay 15 hombres y 30 mujeres. De estos 45 estudiantes, 10 serán seleccionados aleatoriamente. ¿Cuál es la probabilidad de que 3 hombres sean seleccionados?
Métodos de conteo (combinaciones)
Ejemplo (playing cards):
Un paquete de 52 cartas se distribuyen entre 4 jugadores, de modo que cada jugador recibe 13 cartas. Si el paquete contiene 4 aces, determinar la probabilidad de que cada jugador reciba un as.
Coeficientes multinomiales
Generalización de los coeficientes binomiales.
Veamos antes un ejemplo:
Supongamos que con 20 personas se forman 3 comités: A, B y C. Los comités A y B tendrán 8 miembros, mientras que C tendrá 4 miembros.
¿Cuál es el número de formas posibles en que las 20 personas pueden repartirse en cada uno (y sólo uno) de los comités?
Coeficiente multinomiales
Supongamos que tenemos n elementos distintos que serán repartidos en k grupos, de modo que para , el j-ésimo grupo contiene exactamente elementos, donde
Entonces, el número de formas distintas en que los n elementos pueden repartirse entre los k grupos puede obtenerse de la siguiente forma:
a) Los elementos del primer grupo pueden seleccionarse de los n elementos disponibles de formas.
Coeficientes multinomiales
b) Los elementos del segundo grupo pueden seleccionarse de los restantes elementos de formas distintas.
De aquí que el número total de formas distintas de seleccionar los dos primeros grupos es
c) Continuando con este procedimiento para el tercer grupo tenemos formas posibles de escoger elementos y un total de
formas para los 3 grupos
Coeficientes multinomiales
Por lo tanto, el número total de modos distintos de seleccionar/repartir n elementos en k grupos es
Al número se le llama
coeficiente multinomial
Coeficientes multinomiales
Ejemplo
En un paquete de cartas (52 cartas), 13 son corazones. Suponga que las cartas serán repartidas entre 4 jugadores A, B, C y D. De modo que cada jugador recibirá 13 cartas. ¿Cuál es la probabilidad de que el jugador A reciba 6 corazones, el jugador B, 4 corazones; C, 2 corazones y el jugador D, un corazón?