UNIVERSIDAD TANGAMANGA

“TEORIA DE METODOS NUMERICOS “

M.C. NOÉ LOZANO VEGA.

San Luis Potosí, S.L.P.

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Medidas de tendencia central

Introducción

Medidas de tendencia

central

La media

La mediana

La moda

La media ponderada

La media geométrica

Comparación entre media,

mediana y moda

Medidas de colocación

Percentiles

Cuartiles

Deciles

PLAN DE LA UNIDAD IIIEn esta unidad se ilustra cómo puede describirse con unos cuantos números un conjunto de datos completo. Se estudiaran las cuatro medidas de tendencia central, como calcular las medidas de tendencia central para datos agrupados y no agrupados, finalmente se analizarán las ventajas y desventajas del uso de cada medida de tendencia central.

2

UNIDAD III

3.1 Introducción.Los datos, al igual que los estudiantes, se congregan alrededor de sus puntos de encuentro favoritos. Parece que los estudiantes acuden en masa a sitios tales como partidos de fútbol, fraternidades, bares populares y otros sitios de reunión y en raras ocasiones hasta la biblioteca. De igual forma, los números parecen disfrutar de la compañía de otros números y están propensos a reunirse alrededor de un punto central denominado medida de tendencia central o, más comúnmente, media. Una medida de

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tendencia central ubica e identifica el punto alrededor del cual se centran los datos.

Un conjunto grande de datos puede ser rápidamente descrito de manera sucinta con un solo número. Si el profesor dice que el promedio de la clase en el último examen fue de 95, esto indica algo. Si se dice que el promedio fue de 35, esto indica algo totalmente diferente.

3.2 Medidas de tendencia centralLa primera característica de un conjunto de datos que deseamos medir es el centro o la tendencia central. El propósito de una medida de tendencia central es resumir un conjunto de datos de forma que podamos tener un panorama general; una medida tal sirve como representante del resto de la información. Una medida de tendencia central de un conjunto de datos proporciona también una idea del valor central de un conjunto aparentemente desorganizado de observaciones. Considere los cuatro ejemplos siguientes:

a) Pesos en kilogramos: 5, 6, 12, 15 y 20.b) Calificaciones para un examen: 31, 73, 78, 79, 80 y 81.c) Colores de coches: 3 blancos, 4 rojos, 7 negros y 1 azul.d) Puestos académicos: 7 profesores, 3 profesores asociados, 2 profesores

asistentes y 10 instructores.

En los ejemplos 1 y 2, la escala usada es de razón; en el 3, nominal y en el 4, ordinal. ¿Qué medidas usaría usted para describir el valor central o para representar el conjunto de datos de cada ejemplo? Hay muchas medidas de tendencia central que se usan para encontrar un centro de un conjunto de datos; cuatro son las más comunes: la media, la mediana, la moda y el rango medio.

3.2.1 MediaLa media o promedio aritmético de un conjunto de números se encuentra sumando los números y dividiendo después la suma entre n, el número de medidas. La media se puede calcular tanto para muestras como para poblaciones, del mismo modo, pero se denotan en forma diferente; la media muestral se denota por x̄ y la media poblacional por la letra griega (pronúnciese mu). Una fórmula para calcular la media de una muestra de datos numéricos esta dada por

Donde x̄ denota la media muestral, x denota una medida de la muestra, x denota la suma de las medidas de la muestra y n es el tamaño de la muestra.

Una ecuación para encontrar la media poblacional está dada por

La media es el promedio aritmético.

La mediana es el puntaje ordenado medio.

La moda, si existe, es el puntaje más frecuente.

El rango medio es el promedio aritmético de las medidas mayor y menor.

Media muestralx̄=

∑ x

n (3.1)

4

Donde es la media de la población y N es el tamaño de la población. Para usar esta fórmula debe conocerse la medida de cada elemento de la población, sin embargo la media muestral no tiene sentido para todos los tipos de datos.

Para encontrar la media de datos muestrales exhibidos en una tabla de frecuencias, se utiliza la siguiente ecuación:

Donde f es la frecuencia y x es la marca de clase. La media tiene una seria desventaja: se ve afectada por los valores extremos del final de una distribución. Como depende del valor de cada medida, los valores extremos pueden llevarla a representar defectuosamente los datos

3.2.2 MedianaPara datos medidos en al menos una escala de intervalo, la mediana es el puntaje medio ordenado.

La mediana de una población se denota por y la mediana de una muestra se denota por ~x .El uso de la mediana para datos de intervalo posee tanto ventajas como desventajas. Una ventaja es que la mediana no se ve afectada por puntajes extremos al final de la distribución, la desventaja del uso de la mediana reside en que no es fácilmente determinable si el conjunto de datos es grande, puesto que las medidas deben ordenarse primero, ponerse en orden numérico de menor a mayor o al contrario. Para conjuntos grandes de datos que han sido organizados en una tabla de frecuencias donde los valores de x están ordenados, o un diagrama de tallo y hojas ordenado, la mediana se encuentra así:

Media poblacionalμ=

∑ x

N (3.2)

Media muestral para datos en una tabla de frecuencias

x̄=∑ f ¿ x

∑ f¿

(3.3)

Cómo determinar la mediana1. Ordene los datos2. si el número de medidas es impar, entonces la mediana será la medida en el

centro, pero si el número de medidas es par, la mediana es la media de las dos medidas que ocupan posiciones centrales.

Si n es impar, la mediana es la medida en el lugar

(n+1 )2 ; y si n es par, la mediana es el

promedio de las medidas en los lugares

n2 y

n2+1

.

5

X̄W=∑ XW

∑W (3.5)

MG=n√X1X2 X3 .. . .. Xn (3.6)

3.2.3 ModaLa moda, si se da, es la medida más frecuente; tiene dos ventajas: para ciertas muestras pequeñas, se le determina fácilmente y, en general, no se ve afectada por los valores extremos al final de un conjunto de datos ordenados, como cuando se analizan datos cualitativos. Finalmente, la moda puede usarse como una medida de tendencia central para datos numéricos empleados en sentido cualitativo. Una moda para datos en una tabla de frecuencia, se encuentra localizando el valor de frecuencia máxima, si no todas las frecuencias son iguales. El valor de x que corresponde al valor de frecuencia máxima se toma como una moda. La moda tiene varias desventajas como medida de tendencia central; una de ellas es que para un cierto conjunto de datos puede no haber moda; esta situación surge cuando todos los datos tienen la misma frecuencia; otra desventaja es que la moda puede existir pero no ser única.

Rango medioEl rango medio de un conjunto de datos es el promedio de las medidas mayor y menor

3.2.4 La media ponderada.En la discusión sobre la media, se asume que cada observación era de igual importancia. Sin embargo, en ciertos casos, puede querer darse mayor peso a algunas observaciones. Por ejemplo, si el profesor de estadística amenaza que el examen final de estadística valdrá el doble de los otros exámenes para determinar la nota final, entonces al puntaje que se obtenga en el examen final debe dársele el doble de peso. Es decir, que debe contarse doble al calcular la nota. Esto es exactamente lo que hace la media ponderada.

Donde X̄W es la media ponderada.X es la observación individual.W es el peso o ponderación asignada a cada observación.

3.2.5 La media geométrica.La media geométrica puede utilizarse para mostrar los cambios porcentuales en una serie de números positivos. Como tal, tiene una amplia aplicación en los negocios y en la economía, debido a que con frecuencia se ésta interesado en establecer el cambio porcentual en las ventas, en el producto nacional bruto o en cualquier serie económica. Por lo tanto podemos definir la media geométrica como aquella que proporciona una medida precisa de un cambio porcentual promedio en una serie de números. La media geométrica (MG) se halla tomando la raíz enésima del producto de n números. Así,

3.3 Comparación entre media, mediana y moda.La media es la medida más común de tendencia central. Se presta para mayor

Rango medio =

H+ L2 (3.4)

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manipulación e interpretación algebraica. Desafortunadamente, la media se ve afectada por valores extremos, o valores atípicos, y a diferencia de la mediana, puede ser sesgada por las observaciones que están muy por encima o muy por debajo de ésta.

Por ejemplo, para los datos 4,5,6,6,7,8 la media y la mediana son ambas 6 y representa una excelente medida del punto central de los datos. Si la última observación fuera 80 en lugar 8, la media sería 18, pero la mediana todavía sería 6, debido a que la mediana no se ve afectada por este valor extremo, representa mejor las seis observaciones.

La moda también es menos afectada por unas pocas observaciones atípicas y sigue siendo 6 aun cuando el último valor sea 80, sin embargo, si no hay moda, o si el conjunto de datos es bimodal, su uso puede ser confuso.

Esto no implica que una medida sea necesariamente mejor que las otras. La medida que se seleccione depende de la naturaleza de los datos o de la forma como se utilicen los datos. Por ejemplo Land’s End un vendedor minorista popular de equipos para acampar, se beneficiaría muy poco del hecho de saber que la talla promedio de las botas de excursionismo que vendió fue de 7.3492. De mayor utilidad para las decisiones futuras del negocio sería conocer el tamaño modal – reconociendo que vendió más botas de talla 8 que de cualquier otra.

Sin embargo, se asume que se desea comercializar una nueva tienda de acampar. Las dimensiones de la tienda dependerán, entre otras cosas, de la estatura promedio de los adultos. La experiencia ha demostrado que la media sirve muy bien como medida de tendencia central cuando se trata de productos que están hechos para acomodarse a la estatura de las personas. El tamaño de los marcos de las puertas de las entradas de los hogares y negocios minoristas, y gran parte del mobiliario se fabrica con base en la estatura promedio.

Ejercicios1. Encuentre la media, la mediana, la moda y el rango medio de los siguientes conjuntos de datos:a) 6, 10, 3, 7, 6, 6, 8, 5, 9, 10b) 1,2,5,9,8,4,10,15,16,9,8,7,6,2,3,8,9,11,11,12c) 1,15,16,20,25,2,3,3,3,3,5,8,9,21,23,18,17,16,15,14,10,9,8,7,6,5,4,3,2,9,5,1d)5,5,6,7,8,10,11,12,15,10,11,13,9,8,5,4,6,5,9,8,7,8,9,4,5,10,13,13,14,15,15,14,13,8,9,10,11,12,11,13,14,14,15,10,9,8,9,7,6,9,5,10,11,12,15,14,13,15,10,

2. Encuentre la media, la mediana, la moda y el rango medio de los siguientes conjuntos de datos:

a) 98,94,94,57,58,88,97,94,96,85,85,97,92,90,87,80,97,93,87,69,25,100,97,83,74,64,79,89,98,100.

b) 41,28,10,16,35,18,21,5,40,30,25,18,14,30,33,24c) 1.0,0.9,1.0,0.8,0.9,1.0,0.9,1.0,1.3,1.3,1.0,0.9,1.1,0.9,1.4,1.3d) -6, -8, 5, 6, 9, 8, 0, 0, 1, 2, -1, -1, -3, -7, 6, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0,-1,1,-2,-4,3,4,-

5, 6, 7, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 3, 2, 2, 2, 5, 6, -5, -4, -1, -2, 0, 1, 2, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 7, 8, 4, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 2, 2, 2, 2.

3. Los diez puntajes siguientes representan el número de puntos anotados en 10 juegos de básquetbol por el jugador Eduardo Najera, encuentre la media, la mediana, la moda y el rango medio para este jugador, 6, 14, 5, 9, 5, 7, 8, 6, 8, 10

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4. Los totales anuales en miles de millones de dólares, para las exportaciones agrícolas en los Estados Unidos de 1974 a 1983 son: 21.9, 21.9, 23.0, 23.6, 29.4, 34.7, 41.2, 43.3, 39.1 y 33.7. Encuentra la media, la mediana, la moda y el rango medio.

5. Para el siguiente conjunto de datos construya una tabla de frecuencia y encuentre la media, la mediana, la moda y el rango medio.

18, 18, 18, 18, 19, 19, 19, 20, 20, 21

6. Encuentre la media, la mediana, la moda y el rango medio para los datos muestrales organizados en la tabla de frecuencia que representa el número de faltas en el periodo de clases durante el semestre II del año 2005 en la materia de estadística.

Número de faltas Frecuencia f acumulada0 10 101 10 202 8 283 4 224 8 40

7. David y Ricardo lanzan cada uno 25 flechas a un blanco en una competencia de tiro con arco. Sus puntajes son como siguen

FrecuenciaPuntaje David Ricardo

10 2 09 3 08 4 57 7 86 2 55 1 44 1 33 1 02 2 01 2 0

Encuentre la media, la mediana, la moda, el centro de amplitud y construya un histograma para los puntajes de David y otro para Ricardo.

8. La siguiente información adjunta representa el rendimiento promedio en millas por galón estimado por la agencia de Protección Ambiental (EPA) para 30 coches nuevos. Construya una distribución de frecuencias agrupadas, calcule la frecuencia de clase, relativa, acumulada y acumulada relativa, construya los 4 histogramas correspondientes, por último calcule la media, la mediana, la moda y el rango medio.

22 31 20 27 21 29 27 35 47 2927 23 51 41 30 34 27 35 27 2731 38 25 27 44 35 34 32 21 19

9. Las estaturas en centímetros de 50 estudiantes mujeres del COBACH #19, son las siguientes:

157 155 171 150 163 150 172 161 154 174

8

163 148 152 163 149 158 176 164 157 153169 161 160 164 155 162 151 167 167 167170 158 163 175 169 169 158 150 156 157174 162 150 151 165 170 156 170 153 154

a) Construya una tabla de frecuencia agrupada usando 10 clasesb) Trace un d. de t. h. c) Encuentre la frecuencia de clase, relativa, acumulada y acumulada relativa.d) Grafique una ojiva de frecuencia acumulada y un polígono de frecuencia relativa.e) Encuentre la media, la mediana, la moda y el rango medio.

10. Los datos siguientes representan los pesos en libras de una muestra de estudiantes en el COBACH #19 de una muestra de estudiantes:

114 115 116 120 123 126 128 129 131 132132 133 134 135 135 137 138 139 142 142143 146 147 152 157 158 161 164 165 167168 168 170 170 172 174 174 174 175 175176 177 177 178 180 184 184 184 186 187189 194 195 195 200 201 202 206 207 209

a) Construya un d. de t. h.b) Construya un d. de t. h. de doble tallo. ¿Revela este d. de t. h. algunas

características de los datos que no fueron reveladas por el diagrama del inciso a, ofrezca una explicación para la diferencia de las formas.

c) Construya una distribución de frecuencias agrupadas utilizando la regla de Sturgesd) Encuentre la frecuencia de clase, la relativa, la acumulada y la acumulada relativae) Grafique una ojiva de frecuencia acumulada relativa y un polígono de frecuencia

de clase.f) Encuentre la media, la mediana, la moda y el rango medio.

11. En la ferretería “La Nacional” se venden 5 tipos de limpiadores para desagües. En la tabla se muestra cada tipo junto con la utilidad por lata y el número de latas vendidas.

Limpiador Utilidad por lata (X) Volumen de ventas en latas

Glunk Out 2.00 3Bubble Up 3.50 7Dream Drain 5.00 15Clear More 7.50 12Main Drain 6.00 15

Encuentre la media aritmética y luego la media ponderada, interprete su resultado.

12. El director ejecutivo de White-Knuckle Airlines desea determinar la tasa de crecimiento promedio en los ingresos con base en las cifras dadas en la tabla. Si la tasa de crecimiento promedio es menor que el promedio industrial del 10%, se asumirá una nueva campaña publicitaria.

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Ingreso para White-Knuckle AirlinesAño Ingreso (US$) Porcentaje del año interior1992 50,000 1.01993 55,000 55/50 = 1.101994 66,000 66/55 = 1.201995 60,000 60/66 = 0.911996 78,000 78/60 = 1.30

Encuentre la media geométrica y luego la media ponderada, interprete su resultado.

13. Calcule la media, la mediana, la moda y el rango medio para cada una de las muestras siguientes:a) 3,9,12,7,16,20,33,3b) 5,7,22,17,5,7,20c) 8,6,0,17,12,7,5d) -4,0,13,9,4,14,20,15

14. Calcule la media, la mediana, la moda y el rango medio para cada una de las muestras siguientes:a) 12,7,3,20,33,2,12b) 12,15,23,7,12,40,22,16c) 5,0,7,7,13,16,9d) -5,6,13,26,0,14,25,13

15. Las siguientes cifras indican el importe de ventas por persona registrada para 25 vendedores que trabajan para una compañía grande:

150 312 988 750 500750 919 400 550 670525 435 820 435 535713 650 92 117 835803 414 275 850 700

Calcule la media, la mediana, la moda y el rango medio.16. Se efectuó un estudio con 32 trabajadores de una compañía y a cada empleado se le preguntó: “¿cuantas horas dedicó ayer a ver televisión? Se obtuvieron los resultados siguientes:

0 0 .5 1 2 0 3 2.50 0 1 1.5 5 2.5 0 22.5 1 0 2 0 2.5 4 06 2.5 0 .5 1 1.5 0 2

Ahora encuentre lo siguiente:a) Construya una representación tallo-hoja.b) Encuentre la media.c) Obtenga la mediana.d) Calcule la moda.e) Determine el centro de la amplitud.f) ¿Cuál de las medidas de tendencia central representa “Mejor” al

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televidente promedio, si se trata de dar una idea acerca del telespectador típico? Explique.

g) ¿Que medida de tendencia central describe mejor el tiempo empleado en ver televisión?

17. El siguiente conjunto de datos se refiere a las edades de 118 personas identificadas como ladrones de automóviles en la ciudad de San Luis Potosí.

11 14 15 15 16 16 17 18 19 21 25 3612 14 15 15 16 16 17 18 19 21 25 3913 14 15 15 16 17 17 18 20 22 26 4313 14 15 15 16 17 17 18 20 22 26 4613 14 15 16 16 17 17 18 20 22 27 5013 14 15 16 16 17 17 19 20 23 27 5413 14 15 16 16 17 18 19 20 23 29 5913 15 15 16 16 17 18 19 20 23 30 6714 15 15 16 16 17 18 19 21 24 3114 15 15 16 16 17 18 19 21 24 34

a) Encuentre la media.b) Obtenga la mediana.c) Calcule la moda.d) Determine el centro de la amplitud.e) ¿Cuál es la medida de tendencia central describe mejor las edades de los

ladrones?

Conteste “Verdadero” si la afirmación es siempre correcta. En caso contrario, reemplace las palabras en tipo negro por otras que la aseveración resultante sea siempre cierta.

18. La media de una muestra divide siempre a los datos en dos partes, la mitad con valores mayores y la otra con valores menores que aquella.

19. Una medida de tendencia central es un valor cuantitativo que describe la variabilidad de los datos con respecto a un valor central.20. Todas las medidas de tendencia central arrojan el mismo valor ya que todas son promedios de un conjunto de datos.

21. La moda es el valor que más se repite en un conjunto de datos.

Medidas de colocaciónUn punto de posición, para una distribución, es aquel valor para el cual una porción específica de la distribución queda en o debajo de él; la mediana es un ejemplo de punto de posición, y también lo son los percentiles, deciles y cuartiles.

Percentiles

Un conjunto de datos tiene 99 puntos percentiles que lo dividen en 100 partes; cada parte contiene aproximadamente 1% de las medidas. Estos puntos percentiles se etiquetan con P1, P2, P3, P4, …., P99.

El n-ésimo percentil, denotado por Pn, es el valor para el cual al menos n% de la distribución cae en o por debajo de él y al menos (100-n)% cae en o por debajo de él

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Cuartiles y deciles

Hay tres puntos cuartiles, denotados con Q1, Q2, Q3. El primer cuartil, Q1, es el percentil 25, el segundo cuartil Q2, es el percentil 50 o la mediana, y el tercer cuartil, Q3, es el 75° percentil

Q1 = P25

Q2 = ~x = P50

Q3 = P75

Hay nueve deciles, denotados con D1, D2, D3, D4, … y D9; Dn es el n-ésimo decil, cada punto decil corresponde a un punto percentil. Por ejemplo, D4 = P40, D7 = P70 y así sucesivamente.

Cada conjunto de datos tiene tres cuartiles que lo dividen en cuatro partes iguales. El primer cuartil es ese valor debajo del cual clasifica el 25% de las observaciones, y sobre el cual puede encontrarse el 75% restante. El segundo cuartil es justo la mitad. La mitad de las observaciones están por debajo y la mitad por encima; en este sentido, es lo mismo que la mediana. El tercer cuartil es el valor debajo del cual esta el 75% de las observaciones y encima del cual puede encontrarse el 25% restante.

La determinación de cuartiles con frecuencia es de utilidad. Por ejemplo muchas escuelas de postgrados admitirán sólo a aquellos estudiantes que estén en el 25% superior (tercer cuartil) de los candidatos. Las empresas, con frecuencia, desean señalar las plantas cuyos deficientes registros de producción los colocan por debajo del cuartil inferior.

Los cuartiles son números que dividen en cuatro partes a un conjunto ordenado de medidas, extendiéndose desde la mínima hasta la máxima medida, por lo que cada parte cuenta con aproximadamente 25% de las medidas.

Los deciles son números que dividen en diez partes a un conjunto de medidas que van desde la menor a la mayor, de tal forma que cada parte contiene aproximadamente 10% de las medidas.

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Ejercicios22. Supongamos que queremos encontrar para el siguiente conjunto de datos lo siguiente:a) el primer cuartilb) el segundo cuartilc) el tercer cuartild) el segundo decile) el percentil 73f) el percentil 97g) el séptimo decilh) el percentil 42i) el percentil 33

34 43 50 60 71 84 34 4651 60 75 86 36 47 51 6478 88 39 48 55 64 78 8849 57 67 78 57 79 58 59

23. De la planta Mabe Leiser se tomo una muestra de 12 trabajadores del área de ensamblaje de la estufa 970CC se probó en cuanto a su capacidad de desarrollar su trabajo en base a una calificación del auditor interno de calidad con los siguientes resultados: {3P}

89.9 102.6 115.0 120.1 80.6 101.4131.8 160.5 151.6 138.6 123.4 126.3Determine lo siguiente:a) el primer cuartilb) el segundo cuartilc) el tercer cuartild) el segundo decile) el percentil 37f) el percentil 53

24. Considere el siguiente conjunto ordenado de datos que representa los valores de oxigeno registrados (en mL/Kg . min) de 21 corredores de mediana edad del sexo masculino y calcule el IQR.12.81 14.95 15.83 15.97 17.90 18.27 18.34 19.82 19.94 20.62 20.8820.93 20.98 20.99 21.15 22.16 22.24 23.16 23.56 35.78 36.73Además determine lo siguiente:a) el primer cuartilb) el segundo cuartilc) el tercer cuartild) el segundo decile) el percentil 31f) el percentil 57g) el decil 3h) el percentil 87i) el decil 7j) el decil 6

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Medidas de variabilidad y

distribución normal

Medidas de dispersión

El rango

El rango intercuartil

Varianza

Desviación estándar

Medidas de dispersión para

datos agrupados

Otras medidas de dispersión

La distribución normal y la regla

empírica

Sesgo

Coeficiente de variación

PLAN DE LA UNIDAD IV.Esta unidad ilustra cómo puede describirse con unos cuantos números un conjunto de datos completo. Esas técnicas representan medios visuales de describir relaciones, modos de comportamiento y tendencias en los datos; en esta unidad queremos complementar las interpretaciones visuales, hechas posibles por tablas y gráficas, con medidas numéricas de características poseídas por muchas colecciones de datos cuantitativos; dichas características incluyen el centro, la dispersión y los puntos de posición de un conjunto de datos.

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UNIDAD IV

4.1 Medidas de variabilidad o de dispersiónUna vez que ha sido determinada la parte central de un conjunto de datos, la búsqueda de información inmediatamente se dirige a las medidas de dispersión. Estos valores numéricos describen el grado de dispersión, o variabilidad, de los datos. Los valores de estas medidas de dispersión serán mayores cuando los datos estén muy disgregados, y serán menores cuando los datos estén más cercanamente agrupados.

Es usual que las medidas de tendencia central solas no describan apropiadamente una característica en estudio, para tener una mejor comprensión del concepto realice el siguiente ejercicio:

Ejemplo¿Debe mandar el entrenador Francisco Estrada a Vinicio Castilla como bateador emergente? Su porcentaje es de .310, pero en algunos casos lo ponchan todo el tiempo y en otros logra un hit en todas sus veces al bat. ¿O debe poner a Benjamín Gil quien tiene un porcentaje de bateo de .290 y logra al menos un hit en todos los juegos en que participa? La respuesta parece obvia: mandar a Gil porque su capacidad de bateo es menos variable. Cualquier colección de medidas hechas con una misma unidad variará según la precisión del instrumento de medición. Por ejemplo en una caja de 24 barras de chocolate de 2 onzas, no todas las barras pesarán exactamente 2 onzas, si eso ocurre, la escala no es sensible o suficientemente precisa; si las mismas barras de chocolate se pesan en una balanza analítica sensible no tendrán todas el mismo peso, mostrarán cierto grado de variabilidad y esto no es deseable, porque si los pesos exceden de 2 onzas, el fabricante perderá dinero en la producción y venta de las barras de chocolate, por otro lado, si los pesos de las barras son menores de 2 onzas, el consumidor estará siendo engañado, lo cual causará quejas del cliente y una pérdida potencial de negocios. Es cualquier caso, una gran variabilidad en los pesos de las barras de chocolate no puede ser tolerada administrativamente.

La variabilidad es un concepto fundamental en estadística. Hay muchas medidas de variabilidad o medidas de dispersión para una colección de datos cuantitativos. Entre estas medidas están incluidos:

a) el rangob) el rango intercuartilc) la varianzad) la desviación estándar

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4.1.1. RangoDada una distribución de medidas muestrales o poblacionales, el rango se define como la diferencia entre la medida máxima U y la medida mínima L; es decir:

Rango intercuartilUna medida de dispersión que es indiferente de la presencia de observaciones aberrantes es el rango intercuartil, denotado por IQR. Se define como:

Donde Q3 es el tercer cuartil y Q1 es el primer cuartil. El rango intercuartil se usa para construir gráficas de cajas, resúmenes de datos que proporcionan información sobre el centro, la dispersión, la simetría contra el sesgo y la presencia de observaciones aberrantes. El rango y el rango intercuartil no son medidas sensibles de variación. El rango es dependiente sólo en los valores extremos L y U, mientras que el rango intercuartil no toma en cuenta las medidas debajo de Q1 o arriba de Q3. La varianza y la desviación estándar son ambas medidas más sensible de variación que el rango o el rango intercuartil, pues toman en cuenta todas las medidas en un conjunto de datos, pero comparten una desventaja común consistente en que ambas las influyen por puntajes extremos. Examinaremos estas medidas que se refieren al concepto de desviación de un valor más adelante

Desviación de un valorEn estadística, la cantidad ( x− x̄ ) se llama el valor de desviación.

Una desviación positiva para una medida, indica que la medida está por encima de la media, mientras que una desviación negativa nos señala que está por debajo de la media; una desviación de 0 para una medida indica que la medida es igual a la media.

Se puede demostrar fácilmente que la suma de las desviaciones de los valores para cualquier conjunto de números es 0, esto es,

Suma de cuadradosLa desviación de los valores puede usarse para describir la dispersión de una distribución dada de datos cuantitativos. Recuerde que la desviación de un valor representa la distancia dirigida entre una medida y la media de un conjunto de datos; en consecuencia, podríamos pensar que el promedio de todas las desviaciones de los valores proporciona una medida de la dispersión de todas las medidas respecto a la media, pero eso no ocurre, pues la ecuación 3.7 dice que la suma de todas las desviaciones de los valores es 0. Al sumar, las desviaciones positivas de valores se cancelan con las desviaciones

R = U – L (4.1)

IQR = Q3 – Q1 (4.2)

El valor de desviación = (x− x̄ ) (3.6)

∑ ( x− x̄ )=0 , para cualquier conjunto de datos (3.7)

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negativas. Para evitar este problema causado porque las desviaciones de valores negativas cancelan las positivas, podemos elevar primero al cuadrado cada desviación antes de sumar; la suma de los cuadrados de las desviaciones que se obtiene se llama la suma de cuadrados y se denota SS, este factor es muy útil en estadística para describir la dispersión de una colección de medidas respecto a su media.

Podemos calcular una suma de cuadrados ya sea para una muestra o para una población. Las fórmulas para ambos casos son las siguientes:

Para simplificar el procedimiento necesario en el cálculo de SS, serán útiles las siguientes fórmulas:

Donde x2 es la suma de los cuadrados de los datos, n es el tamaño de la muestra y N el tamaño de la población. Note que x2 (x)2. Para propósitos de cálculo, se acostumbra preferir las fórmulas dadas en 3.8 que en 3.9 porque son más fáciles de usar.

4.1.2. VarianzaLa varianza de una población de medidas se define como el promedio de los cuadrados de las desviaciones de los valores y se denota por 2 (léase sigma cuadrada). La varianza de la población esta dada por la fórmula (4.0).

La varianza de una muestra se denota por s2 y se define por la fórmula siguiente:

La varianza se usa la mayoría de las veces y con propósitos descriptivos, para comparaciones como una medida relativa de variación.

Fórmulas de suma de cuadrados

SS=∑ ( x− x̄ )2 SS=∑ ( x−μ )2 (3.8)

Muestra Población

Fórmulas para el cálculo de SS

SS=∑ x2−(∑ x )2

nSS=∑ x2−

(∑ x )2

N (3.9)

Muestra Población

Varianza de una población

σ 2= SSN (4.0)

Varianza de una muestra

s2= SSn−1 (4.1)

17

4.1.3. Desviación estándarOtra medida de dispersión, relacionada con la varianza, es la desviación estándar. La desviación estándar se define como la raíz cuadrada de la varianza. La desviación estándar poblacional se denota con y la desviación estándar muestral son s. en consecuencia, tenemos las fórmulas siguientes:

Ejercicios1. La siguiente tabla muestra los costos por litro, en centavos de dólar, de la gasolina de alta octanaje en 19 ciudades del mundo. Determine la varianza muestral y la desviación estándar muestral.

Problema 1

2. Los datos en la siguiente tabla indican los precios, en dólares, por libra, de asado de cerdo y queso cheddar en 15 capitales del mundo.

¿Para cual alimento, el asad de cerdo o el queso cheddar, son menos variables y más estables los precios?

Estimación de sEs interesante notar que para muestras de un tamaño mínimo de 20 con una distribución acampanada, tenemos la estimación siguiente de la desviación estándar muestral:

Donde R denota rango; esta es una estimación conservadora que puede usarse para verificar nuestro cálculo de s y requiere muy poco esfuerzo.

3. Para el ejercicio 1 y 2 estime s usando la fórmula 4.4, y verifique la estimación calculando el valor de s.

Desviación estándar muestral

s=√s2=√ var ianza ¿muestral ¿ (4.2)

Desviación estándar poblacional

σ=√σ2=√ var ianza ¿ poblacional ¿ (4.3)

Estimación de s

s

R4 (4.4)

18

Ciudad Costo por litroÁmsterdamBruselasBuenos AiresHong KongJohannesburgoLondresMadridManilaMéxicoMontrealNairobiNueva CorkOsloParísRío de JaneiroRomaSingapurSidneyTokio

57533857485659468547574065584276594379

Problema 2.

4. Suponga que una muestra la medida mayor es 90 y la menor 30; se ha calculado que la desviación estándar es 185. ¿Es razonable este valor? Explique.

Varianza y desviación estándar para datos en tablas de frecuencia no agrupadas.A menudo tendremos ocasión de encontrar la varianza y la desviación estándar para datos desplegados en una tabla de frecuencia. Ambas medidas pueden calcularse una vez que se conoce SS, para encontrar SS en datos que tienen medidas de repetición, determinamos primero la

frecuencia de cada medida. A continuación se dan las fórmulas correspondientes para encontrar la suma de cuadrados cuando los datos se organizan en una tabla de frecuencias no agrupada:

La fórmula del cálculo siguiente puede usarse para obtener la suma de cuadrados para datos desplegados en una tabla de frecuencia no agrupada:

Nótese que para encontrar la varianza y la desviación estándar tanto poblacional como muestral se usan de la ecuación 4.0 hasta 4.3 según lo que se quiera encontrar, es importante hacer notar que lo único que cambia es la forma de sacar la suma de cuadrados lo demás permanece igual.

Desventajas de la varianza y la desviación estándar.La varianza y la desviación estándar tiene una limitación seria: pueden verse gravemente afectadas en presencia de observaciones aberrantes, pues ambas dependen de la media, que se modifica por las medidas extremas. Cuando es un conjunto de datos están presentes observaciones aberrantes y se requiere una medida resistente a ellas, debe utilizarse el rango intercuartil.

Suma de cuadrados para datos en una tabla de frecuencias no agrupada

SS = ∑ f ( x− x̄ )2SS = ∑ f ( x−μ )2

(4.5)Muestra Población

Fórmula para calcular SS usando frecuencias

SS = ∑ fx2−

(∑ fx )

∑ f (4.6)

19

Capital Cerdo asado(sin hueso)

Queso Cheddar

Berna 6.61 4.00Bonn 2.38 2.74Brasilia 1.27 1.08Buenos Aires 1.36 2.03Canberra 2.06 2.60Londres 1.56 1.81Madrid 2.33 3.15México 1.08 2.29Ottawa 1.99 3.98París 2.47 2.37Pretoria 1.95 1.76Roma 2.46 2.96Estocolmo 5.35 2.54Tokio 4.19 2.38Washington 3.29 2.69

Teorema de ChebichevLa desviación estándar muestral s indica la dispersión de los datos respecto a la media muestral. Si los valores de los datos se acumulan cerca de la media, entones s es pequeña; si se dispersan considerablemente respecto a la media, entonces s es grande, pero, ¿Cómo podemos determinar cuales valores de s son grandes y cuáles son pequeños? Un teorema que lleva el nombre del matemático rusio Pafnuty Lvovich Chebichev (1821-1894), nos da alguna información útil sobre cómo la magnitud de la desviación estándar de cualquier conjunto de datos se relaciona con la concentración de éstos en torno a la media. Según el teorema de Chebichev, la afirmación siguiente es cierta para cualquier conjunto de datos cuantitativos, tanto poblacionales como muestrales:

Si k=1, entonces 1 - 1/k2 = 1 – 1/1 = 0. Entonces, al menos 0% de los datos dista no más de una desviación estándar de la media (esto es, cae dentro de x̄±s ). Así, para k = 1, la interpretación no ofrece información útil respecto a la dispersión de los datos.

Si k = 3/2, entonces 1 – 1/(3/2)2 = 1 – 4/9 = 5/9 56%, por lo tanto, al menos el 56% de los datos distarán no más de 1.5 desviaciones estándar de la media (esto es, caerán dentro de x̄±1 .5 s ).

Si k = 2, entonces 1 – 1/(2)2 = 3/4 = 75%, por lo tanto, al menos el 75% de los datos distarán no más de 2 desviaciones estándar de la media (esto es, caerán dentro de x̄±2 s ).

Si k = 3, entonces 1 – 1/(3)2 = 8/9 89%, por lo tanto, al menos el 89% de los datos distarán no más de 3 desviaciones estándar de la media (esto es, caerán dentro de x̄±3 s ).

Ejercicios

Teorema de ChebichevLa expresión 1 – 1/k2 representa la proporción mínima de los datos que dista no más de k desviaciones estándar de la media si k1.

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5. Para la siguiente tabla encuentre lo siguiente:a) Determine el intervalo especificado por el

teorema de Chebichev que contendrá al menos 75% de los datos.

b) ¿Qué porcentaje de las medidas dista realmente menos de dos desviaciones estándar de la media?

6. Suponga que la asistencia promedio al estadio de futbol Alfonso Lastras para juegos locales es de 25500, con una desviación estándar de 4200. Use el teorema de Chebichev para determinar:

a) un intervalo que contenga al menos 80% de las asistencias de los juegos locales.

b) La proporción mínima de los juegos locales que tiene una asistencia de 15000 a 36000.

7. Un jugador de boliche ha estado jugando regularmente durante los últimos 5 años. Sus puntajes para los seis últimos juegos son: 201 187 162 234 208 198; para esta muestra calcule los valores de los estadísticos siguientes, si existen:a) media b) mediana c) moda d) rango medio e) Q1, Q2 y Q3

f) D2, D4, D6

8. En una investigación realizada por la secretaria de un médico de la clínica No.1 de Zapata para averiguar los tiempos de espera en minutos de los pacientes que acuden al doctor, una muestra de pacientes de un día arrojo los resultados:

35 25 35 50 25 55 30 50 35 355 5 60 35 30 30 25 55 30 2060 25 25 40 80 20 20 5 5 10

a) Describa un tiempo típico de espera usando la mediab) Describa un tiempo típico de espera usando la medianac) ¿Cuál medida, media o mediana, considera usted que es más representativa del

conjunto de datos? Expliqued) Determine los 3 cuartiles.e) Determine los 10 deciles.f) Encuentre la varianza y la desviación estándar.

9. La tabla siguiente contiene los salarios en pesos, de 25 trabajadores.a) ¿Cuál es la moda?b) ¿Cuál es la media?c) Diga la mediana yd) el rango medio.e) Determine el sesgo.f) ¿Cuál medida de tendencia central usaría

para determinar el valor central? Explique.g) ¿Cuál es Q1 y D6?h) Encuentre la varianza y la desviación

estándar.

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Ciudad Costo por litroÁmsterdamBruselasBuenos AiresHong KongJohannesburgoLondresMadridManilaMéxicoMontrealNairobiNueva CorkOsloParísRío de JaneiroRomaSingapurSidneyTokio

57533857485659468547574065584276594379

Salario anual Frecuencia55 760 570 675 980 4300 3

10. Se escogió una muestra de 705 conductores de autobús y se registró en la tabla siguiente el número de accidentes de tránsito que tuvieron durante 4 años.

Número de accidentes Frecuencia0 1141 1572 1583 1154 785 446 217 78 69 110 311 1

a) ¿Cuál es la moda?b) Señale la mediac) La mediana y el rango medio.d) Determine el sesgo.e) ¿Cuál medida de tendencia central usaría para determinar el valor central?

Explique su respuesta.f) ¿Cuánto vale Q3 y D4?g) Encuentre la varianza y la desviación estándar.

11. Los datos siguientes indican los pesos en libras rebajados por un grupo de mujeres en las dos primeras semanas de un programa de ejercicios diarios:

1 2 12 3 15 5 12 11 3 43 5 0 7 17 6 17 13 2 55 7 1 11 3 9 9 8 18 910 9 4 12 1 8 8 7 11 915 11 8 4 5 11 3 14 12 10

l) Construya un d. de t. h.m) Construya una tabla de frecuencia agrupada con cinco clases.n) Trace una ojiva usando frecuencias acumuladas relativas.o) Grafique un histograma de frecuencia con cinco barras usando la misma tabla.e) ¿Cuál es la moda?f) ¿Cuál es la media?g) Diga la mediana yh) el rango medio.i) Determine el sesgo.j) ¿Cuál medida de tendencia central usaría para determinar el valor central?

Explique.k) ¿Cuál es Q1 y D6?p) Encuentre la varianza y la desviación estándar.

12. Los datos siguientes presentan los puntajes en matemáticas en el examen de ingreso de la Universidad Tangamanga para el semestre 2006-A.

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411 606 425 444 507 300 548 387 432 527508 294 578 469 640 444 261 436 442 508520 423 556 546 363 569 457 554 624 515527 450 509 506 374 316 566 415 576 298401 589 474 571 455 615 439 404 447 676333 496 559 430 660 494 449 421 690 682349 485 505 648 475 309 531 499 503 400550 522 553 555 473 372 505 460 550 653560 327 458 490 557 337 513 579 403 489454 470 495 552 600 651 519 698 568 408

a) Construya un d. de t. h.b) Construya una tabla de frecuencia agrupada con diez clases.c) Trace una ojiva usando frecuencias acumuladas relativas.d) Grafique un histograma de frecuencia relativa.e) ¿Cuál es la moda?f) ¿Cuál es la media?g) Diga la mediana yh) el rango medio.i) Determine el sesgo.j) ¿Cuál medida de tendencia central usaría para determinar el valor central?

Explique.k) ¿Cuál es P13, P37, P53, Q1, Q3, D1, D3 y D6?l) Encuentre la varianza y la desviación estándar.

13. Los datos siguientes muestran los puntajes de pruebas de inteligencia de una muestra de 100 estudiantes del 10° semestre del Instituto Tecnológico de San Luis Potosí.132 103 94 78 108 105 98 114 89 11295 82 86 124 118 120 87 120 107 95104 100 81 91 94 99 89 93 86 98122 78 117 115 91 90 97 79 97 10471 95 86 87 97 107 78 149 124 8780 71 92 80 106 121 123 117 114 90109 90 72 86 75 94 94 83 100 86105 116 95 83 93 109 116 128 94 69134 111 116 94 135 88 88 102 130 9994 73 93 98 110 80 120 92 99 80

a) Construya un d. de t. h.b) Construya una tabla de frecuencia agrupada con diez clases.c) Trace una ojiva usando frecuencias acumuladas.d) Grafique un histograma de frecuencia.e) ¿Cuál es la moda?f) ¿Cuál es la media?g) Diga la mediana yh) el rango medio.i) Determine el sesgo.j) ¿Cuál medida de tendencia central usaría para determinar el valor central?

Explique.k) ¿Cuál es P13, P37, P53, Q1, Q3, D1, D3 y D6?l) Encuentre la varianza y la desviación estándar.

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14. Se listan aquí las calificaciones del examen de ingreso de una muestra de 100 aspirantes que acuden a la Universidad del Centro de México.432 257 502 506 425 479 387 394 282 423606 417 596 395 517 512 501 620 142 556671 633 340 489 646 394 440 323 367 554544 347 576 320 505 356 428 797 353 532294 555 512 433 454 563 299 355 455 452412 436 562 602 561 630 375 338 244 283452 412 326 564 350 664 279 284 221 432446 284 492 348 401 267 372 617 285 195309 637 314 415 546 577 282 370 353 497394 485 276 377 170 690 583 273 393 258

a) Construya una tabla de frecuencia agrupada utilizando la regla de Sturges.b) Trace una ojiva usando frecuencias acumuladas.c) Grafique un histograma de frecuencia.d) ¿Cuál es la moda?e) ¿Cuál es la media?f) Diga la mediana yg) El rango medio.h) Determine el sesgo.i) ¿Cuál medida de tendencia central usaría para determinar el valor central?

Explique.j) ¿Cuál es P13, P37, P53, Q1, Q3, D1, D3 y D6?k) Encuentre la varianza y la desviación estándar.

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Regresión linealHemos visto cómo determinar un modelo lineal dados dos puntos: se deduce la ecuación de la recta que pasa por ellos. Sin embargo, con frecuencia hay disponibles más de dos datos. Es raro que todos los puntos queden en una recta, pero con frecuencia están cercanos a ella. El problema es encontrar la recta más cercana que pase por todos los puntos. Supongamos, por ejemplo, que se tienen los siguientes datos de ventas de casas nuevas en determinada región durante un año:

Precio deventas (miles)

150-169 170-189 190-209 210-229 230-249 250-269 270-289

Casas vendidas

126 103 82 75 82 40 20

La tabla anterior involucra clases un concepto estadístico, simplifiquemos estos datos sustituyendo cada intervalo de precios con un precio individual en la mitad del intervalo:

Precio deventas (miles)

160 180 200 220 240 260 280

Casas vendidas

126 103 82 75 82 40 20

Usaremos estos datos para formular una función lineal de demanda de casas nuevas (En este caso estamos usando el término de función de demanda en forma algo vaga. De manera explicita, una función de demanda modela la demanda del mismo artículo a precios diferentes, mientras que en este caso se trata de modelar la demanda de casas diferentes a precios diferentes). Recordemos que una función de demanda expresa la demanda, que en este caso son las ventas anuales, como una función del precio. La figura 1.2 muestra la gráfica de ventas en función del precio. Estos puntos parecen indicar una recta descendente, aunque se ve claro que no todos están en una sola recta.

¿Qué recta se acerca más a los puntos? Para contestar esta pregunta necesitamos conocer qué quiere decir se acerca más. Nos gustaría que las ventas que pronosticara la recta (los valores pronosticados o esperados) estuvieran tan cerca como fuera posible de las ventas reales (los valores observados). La figura 1.3 muestra una recta que podría proponerse; las diferencias entre los valores esperados y los observados (que son los errores) son las distancias verticales que se marcan.

Entonces ¿por qué no determinar la recta que hace que todos los errores sean cero? Se podría hacer sólo si hubiera una recta que pasara por todos los puntos, es claro que no aplica para este ejemplo.Figura 1.2

25

Figura 1.3Entonces, ¿es posible determinar una recta que haga que cada uno de esos errores sea tan pequeño como sea posible? Esto tampoco se puede hacer. La recta que minimiza a los dos primeros errores es la que pasa por los primeros dos puntos, porque hace que cada uno de estos errores sea cero. Pero se ve que esa recta no minimiza a los demás errores. Hay entonces un intercambio: al hacer algunos errores más pequeños, otros se hacen más grandes.

Finalmente como no podemos hacer que todos los errores sean cero, ni podemos hacer que cada uno sea lo más pequeño posible, haríamos una combinación razonable de ellos tan pequeña como sea posible. Una posibilidad es minimizar la suma de los errores. Sucede que esto es difícil, sobre todo porque las distancias se miden usando valores absolutos. Lo que técnicamente es más fácil, es manejar la suma de los cuadrados de los errores. La recta que minimiza la suma de los cuadrados de los errores se llama recta de regresión, rectas de mínimos cuadrados o recta de mejor ajuste.

Recta de regresión (recta de mejor ajuste, recta de mínimos cuadrados)La recta que se ajusta mejor a los n puntos de datos (x1, y1), (x2, y2), ….., (xn, yn) tiene la forma

y=mx+b

donde

m=n (∑ xy )−(∑ x) (∑ y )n (∑ x2 )−(∑ x )2

b=∑ y−m (∑ x )

n

n = número de datos

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En esta fórmulas representa “la suma de”. Así, por ejemplo,

x = la suma de los valores de x = x1 + x2 +….+ xn

xy = la suma de los productos = x1y1 + x2y2+ …… + xnyn

Ejercicios47. Determine la recta que se ajuste mejor a los siguientes datos:

X 1 2 3 4Y 1.5 1.6 2.1 3.0

48. La empresa Potosina de Constructores S.A. de C.V. se dedica a la construcción y venta de casas nuevas. Deduzca el modelo lineal que se ajuste mejor a los datos siguientes. Posteriormente extrapole, partiendo del modelo, para pronosticar cuales serán las ventas de casas cuyo precio sea de alrededor de $140 000. La constructora planea lanzar un línea de casas de nivel medio, el precio de venta que ha determinado el departamento de contabilidad es de $310 000, calcule cual sería el pronóstico que usted daría.

Precio de ventas (miles) 160 180 200 220 240 260 280Casas vendidas 126 103 82 75 82 40 20

Si los puntos están en una recta ¿Será la recta de mejor ajuste? Si los puntos están en una recta, el valor mínimo posible de la suma de cuadrados de los errores es cero, y eso sucede si se usa la recta que pasa por todos los puntos. Por otro lado si no todos los puntos están en una recta, existe un número que mide la “bondad de ajuste” de la recta de cuadrados mínimos llamado coeficiente de correlación. Este número, que se suele representar por r, está entre -1 y 1. Cuando más se acerca r a -1 o a 1, el ajuste es mejor. Si el ajuste es exacto, r = -1 (para una recta con pendiente negativa) o r = 1 (para una recta con pendiente positiva). Si el ajuste es malo, r se acerca a cero. La figura 1.4 muestra varios conjuntos de puntos con sus rectas de cuadrados mínimos, y los valores correspondientes de r.

Figura 1.4El coeficiente de correlación se calcula con la siguiente fórmula. Para obtenerla se requieren conocimientos de estadística.Coeficiente de correlación.El coeficiente de correlación de la recta que se ajusta mejor a los n puntos dato (x1, y1), (x2,y2), ……, (xn, yn) es

Ejercicios

27

49. Calcule el coeficiente de correlación para la recta de mejor ajuste que se determino en el ejercicio 48.

50. Según un estudio realizado por el INEGI, el porcentaje de inversiones en fábricas y equipos nuevos por las empresas manufactureras que hay en México, para control de la contaminación, el siguiente (t = 0 representa a 1990):

Año 0 5 6 9 12Porcentaje invertido 9.3 4.8 4.3 3.3 4.3

Mediante una recta de mejor ajuste, estime el porcentaje para 2000 y el 2010. Calcule el coeficiente de correlación para la recta de mejor ajuste.

51. En el año de 1978 el congreso de los Estados Unidos estudio la cantidad de crudo adicional que se puede extraer de los pozos petroleros actuales mediante “técnicas intensivas de recuperación”, como inyectar solventes o vapor a un pozo para bajar la densidad del crudo. Al aumentar el precio del petróleo, la cantidad de crudo que se puede recuperar en forma económica por esos métodos también aumenta. La tabla siguiente muestra las estimaciones de crudo recuperable a que llegó el estudio, basadas en el precio por barril.

Precio por barril $12 $14 $22 $30Recuperación (miles de millones) 21 30 42 49

Use una recta de mejor ajuste para estimar la cantidad adicional de crudo que se podría recuperar en forma económica si el precio en el mercado bajara a $10 por barril, de la misma manera estime que pasaría si el precio subiera a $50 por barril. Redondee los coeficientes de regresión a tres cifras significativas y el resultado final a dos. Calcule el coeficiente de correlación para la recta de mejor ajuste. Nota: En México sucedió algo similar con el proyecto Cantarel, investigue acerca de este pozo supergigante que esta apunto de iniciar su declive y también investigue que es lo que se tuvo que hacer para mantenerlo como uno de los pozos más importantes del mundo.

52. En 1995 el FBI se fijo el objetivo de vigilar en forma simultánea 74,250 líneas telefónicas. La siguiente gráfica muestra la cantidad de líneas telefónicas vigiladas desde 1987 hasta 1993. Con un modelo lineal para los datos, proyecte a 1999 la cantidad de líneas telefónicas vigiladas por el FBI, posteriormente proyecte al 2006, si la tendencia proyectada por usted permanece, en que año el FBI cumplirá su objetivo. Calcule el coeficiente de correlación para la recta de mejor ajuste.

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53. La siguiente gráfica muestra las calificaciones SAT verbales (un examen de ingreso) de 1994, en Estados Unidos, como una función del nivel de ingresos de los padres. Determine la recta de regresión de mejor ajuste y calcule el coeficiente de regresión. Finalmente diga que nivel de ingreso tendría una persona que obtiene una calificación de 500 puntos.

54. La siguiente gráfica muestra los ingresos netos, con precisión de $15 millones, de la compañía Walt Disney para los años 1984-1992.

29

Determine un modelo lineal de mejor ajuste para estos datos. Determine la utilidad P como una función del año t = 0 para 1980. Use su modelo para pronosticar los ingresos netos de Disney en 1993, 1998, 2003 y 2006. Calcule el coeficiente de correlación para la recta de mejor ajuste.

55. Repita el ejercicio 54, pero exprese los precios de las acciones de Walt Disney que se ven en la siguiente gráfica. Calcule el coeficiente de correlación para la recta de mejor ajuste.

30

UNIDAD III

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

3.1 Definición de un sistema de ecuaciones lineales homogéneas y tipos de solución.

Dos ecuaciones con dos incógnitas.

Lineal.- {Adjetivo} Relativo a las líneas o de aspecto de línea. En matemáticas la teoría de álgebra lineal elemental es de hecho una generalización de las propiedades de las líneas rectas.

REPASO RELATIVO A LAS RECTAS:

i. La pendiente m de una recta que pasa por los puntos (x1, y1) y (x2, y2) esta dada por (si x2 ≠ x1):

m=y2− y1

x2−x1

=∆ y∆x

ii. Si x2 – x1 = 0 & y2 ≠ y1 entonces la recta es vertical y se dice que la pendiente no está definida [A veces se dice que una recta vertical “tiene una pendiente infinita” o que “no tiene pendiente”

iii. Cualquier recta (excepto una con pendiente indefinida) se puede describir expresando su ecuación en la forma simplificada y = mx + b, donde m es la pendiente de la recta y b es la ordenada al origen (el valor de y en el punto donde la recta cruza al eje y.

iv. Dos rectas son paralelas si y solo si tienen la misma pendiente.

v.Si la ecuación de una recta es ax + by = c (b ≠ 0) entonces, como se ve fácilmente,

m=−ab

vi. Si m1 es la pendiente de la recta L1, m2 la de L2, m1 ≠ 0 y L1, L2 son perpendiculares, entonces m2 = - m1.

vii. Las rectas paralelas al eje x tienen pendiente cero.

viii. Las rectas paralelas al eje y tienen pendiente indefinida.

31

Consideremos el siguiente sistema de dos ecuaciones lineales en dos incógnitas x & y:

a11 x+ a12 y=b1

a21 x+ a22 y=b2

Donde a11, a12, a21, a22, b1 y b2 son números dados. Cada una de estas ecuaciones es la ecuación de una línea recta (en el plano xy). La pendiente de la primera recta es - a11/a12 y la pendiente de la segunda es - a21/a22 (si a12≠0 y a22≠0). Para saber cuantas soluciones tiene y cuantas son usaremos 2 propiedades importantes del álgebra elemental:

PROPIEDAD A. Si a=b y c=d entonces a+c = b+dPROPIEDAD B. Si a=b y c es cualquier número real, entonces ca = cb.

La propiedad A dice que si sumamos dos ecuaciones obtenemos una tercera ecuación válida. La B dice que si multiplicamos ambos lados de una ecuación por una constante obtenemos una segunda ecuación válida.

Problema resuelto 1Considere el sistema:

x− y=7x+ y=5

Si sumamos las dos ecuaciones tenemos, por la propiedad A, la siguiente ecuación es válida:

x-y+x+y = 7+5

2x = 12

x = 6

Entonces de la segunda ecuación tenemos:

y = 5-x

y = 5-6

y=-1

Conclusión: Entonces el par [6,-1] satisface el sistema y como solamente encontramos un par único este sistema tiene SOLUCIÓN UNICA.

Problema resuelto 2Considere el sistema:

¿ x− y=7 ¿2 x−2 y=14

32

Es claro que estas dos ecuaciones son equivalentes. Para ver esto multiplicamos la primera por 2 (Propiedad B). Entonces x-y=7 ó y=x-7. Así, el par (x, x-7) es una solución del sistema y podemos ver que tiene un NUMERO INFINITO DE SOLUCIONES. Por ejemplo (7,0), (0,-7), (8,1), (1-6), (3,-49 y (-2, -9)

Problema resuelto 3Considere el sistema:

¿ x− y=7 ¿2 x−2 y=13Al multiplicar la primera ecuación por 2 (lo cual esta permitido por la propiedad B) nos da 2x – 2y = 14. Esto contradice a la segunda ecuación. Así el sistema NO TIENE SOLUCION.

3.2 Compatibilidad e incompatibilidad de los sistemas.

EXPLICACION GEOMETRICAPrimero, recordemos que las ecuaciones del primer problema es un punto (x,y) que esta en ambas rectas. Si las dos rectas no son paralelas se intersectan en un solo punto, si son paralelas nunca se intersectan (no tienen puntos en comun), o son la misma recta (tienen un número infinito de puntos en común).

Por otro lado para el sistema:

a11 x+ a12 y=b1

a21 x+ a22 y=b2

Definimos el determinante del sistema como:

Det=a11a22−a12 a21

De lo anterior podemos definir que el sistema tendrá:

i. Una única solución si y solo si su determinante es distinto de cero.ii. Ninguna solución o un número infinito de soluciones si la determinante es cero.

ECUACIONES SIMULTÁNEAS.Dos o más ecuaciones con dos o más incógnitas son simultaneas cuando se satisfacen para iguales valores de las incógnitas.

Así las ecuacionesx+ y=5x− y=1

Son simultáneas porque x=3 & y=2, satisfacen ambas ecuaciones.

33

ECUACIONES EQUIVALENTES.Son las que se obtienen una de la otra:

34

Así:

¿ x+¿ y=4 2 x+2 y=8¿

¿

son equivalentes porque dividiendo por 2 la segunda ecuación se obtiene la primera. Las ecuaciones equivalentes tienen infinitas soluciones comunes. Ecuaciones independientes son las que no se obtienen una de la otra.

Cuando las ecuaciones independientes tienen una sola solución común son simultáneas. Así, las ecuaciones x+y = 5 & x-y = 1 son independientes porque no se obtienen una de la otra y simultáneas porque el único par de valores que satisface ambas ecuaciones es x=3 & y=2.

ECUACIONES INCOMPATIBLES.Son ecuaciones independientes que no tienen solución común. Así, las ecuaciones:

¿ x+2 y=10 ¿2 x+4 y=5Son incompatibles porque no hay ningún par de valores de x e y que verifique ambas ecuaciones.

SISTEMA DE ECUACIONES

Es la reunión de dos o más ecuaciones con dos o más incógnitas. Así:

2 x+3 y=134 x− y=5

Es un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas.

La solución de un sistema de ecuaciones es un grupo de valores de las incógnitas que satisface todas las ecuaciones del sistema. La solución del sistema anterior es x=2, y=3. Un sistema compatible es determinado cuando tiene una solución e indeterminado cuando tiene infinitas soluciones.

SISTEMA DE DOS ECUACIONES SIMULTÁNEAS DE PRIMER GRADO CON DOS INCOGNITAS.Para resolver un sistema de esta clase es necesario obtener de las dos ecuaciones dadas una sola ecuación con una incógnita. Esta operación se llama ELIMINACION.

A continuación, se exponen cinco métodos para resolver un sistema de ecuaciones lineales.

a) Método de reducción Cuando sea necesario, se puede multiplicar las ecuaciones dadas por números, de manera que los coeficientes de una de las incógnitas en ambas ecuaciones sea el mismo. Si los signos de los términos de igual coeficiente son distintos, se suman las ecuaciones; en caso contrario, se restan. Consideremos

35

(1)¿2x− y=4 ¿ (2) x+2 y=−3Para eliminar y, se multiplica (1) por 2 y se suma con (2), obteniendo

2¿ x¿(1 )¿2 x− y=4 (2) x+2 y=−3 ¿¿

¿

5x = 5 o sea x = 1

Sustituyendo x = 1 en (1), se obtiene 2 – y = 4, o sea y = -2.

Por tanto la solución del sistema formado por (1) y (2) es x = 1, y = - 2

Comprobación: Sustituyendo x=1, y=-2 en (2) se obtiene 1 + 2(-2) = -3, -3 = -3.

b) Método de sustitución. Consiste en despejar una incógnita en una de las ecuaciones y sustituir su valor en la otra.

(1)¿2x− y=4 ¿ (2) x+2 y=−3Para el sistema anterior se despeja una de las variables de alguna de las ecuaciones, por ejemplo y de la ecuación (1).

y=2x−4 (3)

Se sustituye (3) en (2)

x+2(2x−4 )=−3 (4)

x+4 x−8=−3 (5)

5 x=−3+8 (6)

x=55=1

(7)

Una vez encontrado el valor de x se sustituye (7) en (3)

y=2(1 )−4=2−4=−2 (8)

Podemos concluir que el par solución del sistema es:

36

( x , y )=(1 ,−2) (9)

c) Método de igualación. Este método consiste en despejar una de las variables de una de las ecuaciones, de la misma forma, se despeja la misma variable de la otra ecuación, es importante hacer notar que las variables deben de tener el mismo coeficiente [esto es si se despeja x, la otra variable también debe de ser x], posteriormente se igualan las dos variables y se resuelve para esta variable.

(1)¿2x− y=4 ¿ (2) x+2 y=−3Despejando una de las variables, por ejemplo x de (1) tenemos que:

x=4+ y2 (3)

De la misma forma despejamos la variable elegida en el paso (3), para este caso sería x de (2), de manera que:

x=−3−2 y (4)

Como su nombre lo indica lo que a continuación procede es la igualación de la variable x:

x = x (3) = (4)

4+ y2

=−3−2 y(5)

El 2 esta dividiendo pasa del otro lado multiplicando:

4+ y=−6−4 y (6)

El 4 esta sumando, pasa del otro lado restando, el -4y esta restando pasa del otro lado sumando, entonces, queda:

5 y=−10 (7)

Despejando y da como resultado:

y=−2 (8)

Sustituyendo el valor de (8) en (3) o en (4) nos da el valor de x, en este caso vamos a sustituir en (4):

37

x=−3−2 y=−3−2(−2 )=−3+4=1 (9)

Podemos concluir que el par solución del sistema es:

( x , y )=(1 ,−2) (10)

3.4 Regla de Cramer.

d) Método de Kramer o determinantes. Este método consiste en resolver una serie de ecuaciones que están relacionadas con determinantes que se forman del propio sistema de ecuaciones lineales. Primeramente tenemos la definición de una determinante:

Por definición, el determinante de una matriz de segundo orden se define de la siguiente manera:

det A=(a11 a12

a21 a22)=(a11∗a22)−(a12∗a21)

(1)

Ahora un sistema de ecuaciones lineales puede escribirse de la siguiente manera

a11x+a12 y=b1 (2)

a21 x+a22 y=b2 (3)

Para resolver el sistema por la regla de Kramer vamos a definir las siguientes determinantes:

det A=(a11 a12

a21 a22)=(a11∗a22)−(a12∗a21)

(1)

det Ax=(b1 a12

b2 a22)=(b1∗a22)−( a12∗b2)

(4)

det A y=(a11 b1

a21 b2)=(a11∗b2 )−(a21∗b1 )

(5) Las raíces del sistema se encuentran de la siguiente manera:

x=det Ax

det A (6)y=

det A y

det A (7)

38

Ahora apliquemos el método de Kramer para resolver el sistema anterior. Sea el siguiente sistema:

(1)¿2x− y=4 ¿ (2) x+2 y=−3Encontremos las determinantes correspondientes:

det A=(2 −11 2 )=(2∗2 )−(1∗−1)=4+1=5

(8)

det Ax=( 4 −1−3 2 )=(4∗2 )−(−3∗−1)=8−(3)=5

(9)

det A y=(2 41 −3 )=(2∗−3 )−(4∗1)=−6−4=−10

(10)

Para encontrar las raíces vamos a sustituir los valores de 8, 9 y 10 en las ecuaciones 6 y 7.

x=det Ax

det A=5

5=1

(11)

y=det A y

det A=−10

5=−2

(12)

Podemos concluir que el par solución del sistema es:

( x , y )=(1 ,−2) (13)

3.5 Método Gráfico

En este método lo que se hace es despejar la variable “y” de las 2 ecuaciones y se grafican alrededor de la raíz en “x”.

(1)¿2x− y=4 ¿ (2) x+2 y=−3y1=2 x−4 (3 ) y2=

−3−x2

(4)

39

Ahora realizamos una tabla de valores alrededor de la raíz en “x” que es 1.

x y1 y2-1 -6 -10 -4 -1.51 -2 -22 0 -2.53 2 -3

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

-7-6-5-4-3-2-10123

y1y2

Podemos ver que el cruce se da exactamente en el punto (1, -2) con lo cual queda comprobado el resultado.

3.3 Método de solución de Gauss y de Gauss- Jordan.

Sistema de ecuaciones lineales en más de dos variables.Para sistemas de ecuaciones lineales en más de dos variables, se puede usar tanto el método de sustitución, como de eliminación. El método de eliminación es el más corto y directo para llegar a las soluciones. Además, nos lleva a las técnicas matriciales que se van a estudiar.

Problema que ilustra el método de eliminación para resolver un sistema de ecuaciones lineales.

Resolver el sistema

Solución

243

342

432

zyx

zyx

zyx

Se multiplica por -2 la primera ecuación y se suma a la segunda.

40

¿¿ x−2 y+3 z=4 5 y−10 z=−5 −3 x+4 y−z=−2¿

¿

Las soluciones del último sistema se pueden calcular con facilidad mediante sustitución inversa o retrosustitución. Si se observa que en la tercera ecuación, z=2. Poniendo 2 en lugar de z en la segunda ecuación, y – 2z = -1, se obtiene y=3. Por último, se calcula el valor de x sustituyendo y=3 y z=2 en la primera ecuación, x – 2y + 3z = 4, y se obtiene x=4. Por consiguiente, hay una solución, que es (4, 3, 2).

Todo sistema de tres ecuaciones lineales en tres variables tiene solución única, un número infinito de soluciones, o no tiene solución. Como en el caso de un sistema de dos ecuaciones en dos variables, la terminología que se emplea para designarlo es consistente, dependiente y consistente, o inconsistente, respectivamente.

Si se analiza el método de solución del ejemplo anterior, se ve que los símbolos que se usan para representar a las variables no tienen importancia. Lo que se debe tener en cuenta son los coeficientes de las variables. Por tanto, si para indicar las variables se usan símbolos diferentes, como r, s y t se obtiene el siguiente sistema:

Se multiplica por 3 la primera ecuación y se suma a la tercera.

Se multiplica la segunda ecuación por

15

Se multiplica por 2 la segunda ecuación y se suma a la tercera.

Se multiplica por

14 la tercera

ecuación.

41

¿¿ x−2 y+3 z=4 5 y−10 z=−5 −2 y+8 z=10¿

¿

¿¿ x−2 y+3 z=4 y−2 z=−1 −2 y+8 z=10¿

¿

¿¿ x−2 y+3 z=4 y−2 z=−1 4 z=8¿

¿

¿¿ x−2 y+3 z=4 y−2 z=−1 z=2¿

¿

¿¿ r−2 s+3 t=4 2 r+s−4 t=3 −3 r+4 s−t=−2¿

¿

Así el método de eliminación puede proseguir exactamente como en el ejemplo. Como esto es válido, es posible simplificar el proceso. Específicamente se introduce un esquema para mantener el registro de los coeficientes, de modo que no se tengan que escribir las variables. En relación con el sistema anterior, primero se comprueba que las variables aparezcan en el mismo orden en cada ecuación, y que los términos donde no intervienen las variables están a la derecha del signo igual. A continuación se enlistan o tabulan los números que intervienen en las ecuaciones, como sigue:

[ 1 −2 3 42 1 −4 3

−3 4 −1 −2 ]Un conjunto de números en esta forma se llama matriz. Los renglones de la matriz son los números que aparecen uno a continuación de otro en dirección horizontal.

1 -2 3 4 primer renglón, R1

2 1 -4 3 segundo renglón, R2

-3 4 -1 -2 tercer renglón, R3

Las columnas de la matriz son los números que aparecen uno junto a otro en dirección vertical:

primera columna, C1 segunda columna, C2

tercera columna, C3 cuarta columna, C4

1 -2 3 42 1 -4 3-3 4 -1 -2

La matriz que se obtiene a partir de un sistema de ecuaciones lineales en la forma que se acaba de mostrar, se llama matriz del sistema. Si omitimos la última columna de esa matriz, el conjunto remanente de números es la matriz de coeficientes. Como la matriz del sistema se puede obtener de la matriz de coeficientes adjuntando una columna, se le llama matriz aumentada de coeficientes, o simplemente, matriz aumentada. Después, al emplear matrices para determinar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, se introduce un segmento vertical de recta en la matriz aumentada para indicar dónde estarían los signos igual en el sistema correspondiente de ecuaciones, como a continuación se muestra:

Matriz de coeficientes y matriz aumentada.

42

¿¿¿¿

Antes de explicar un método matricial para resolver un sistema de ecuaciones lineales, se da la definición general de una matriz. Se emplea la notación de doble subíndice, que indica que el número que aparece en el renglón i y la columna j es aij. El subíndice de renglón en aij es i, y el subíndice de columna es j.

Definición de una matriz

Sean m y n enteros positivos. Una matriz m x n es una disposición que tiene la siguiente forma, donde todo elemento aij es un número real:

[a11 a12 a13 . .. .. . a1n

a21 a22 a23 . .. .. . a2 n

a31 a32 a33 . .. .. . a3 n

.

.

.am1

.

.

.am2

.

.

.am3

.

.

.amn

]La notación m x n en la definición se lee “m por n”. Con frecuencia se dice que la matriz es m x n, y se dice que m x n es el tamaño de la matriz. Es posible tener matrices en las cuales los símbolos aij representen números complejos, polinomios u otros objetos matemáticos. Los renglones y las columnas de una matriz se definen como ya se mencionó. Así, la matriz de la definición tiene m renglones y n columnas. Nótese que a23

está en el renglón 2 y la columna 3, y que a32 está en el renglón 3 y en la columna 2. Cada aij es un elemento de la matriz. Los elementos a11, a22, a33, ….., son los elementos de la diagonal principal. Si m=n, se tiene la matriz cuadrada de orden n.

Ejemplos

Matrices m x n

[−5 3 17 0 −2 ] [5 −1

2 3 ][ 3 1 −2 ]

2 x 3 2 x 2 1 x 3

43

[2 −10 18 3 ] [−4

05 ]

3 x 2 3 x 1

Para calcular las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, se comienza con la matriz aumentada. Si una variable no aparece en una ecuación, se supone que el coeficiente es cero. A continuación trabajaremos con los renglones de la matriz como si fueran ecuaciones. Lo único que falta son los símbolos de las variables, los signos de suma que se usan entre los términos y los signos de desigualdad. Simplemente se tiene en mente que los números de la primera columna son los coeficientes de la primera variable, los de la segunda columna son los coeficientes de la segunda, y así sucesivamente. Las reglas de transformación de una matriz se formulan de tal forma que produzcan siempre una matriz de un sistema equivalente de ecuaciones.

Teorema de transformación de renglones de una matriz

A los pasos 1 a 3 se les llama transformaciones elementales de renglón de una matriz. Si se obtiene una matriz de otra mediante una o más transformaciones elementales de renglón, se dice que las dos matrices son equivalentes, o más exactamente, equivalentes de renglón. Se usan los símbolos de la tabla siguiente [Nomenclatura opcional] para indicar transformaciones elementales de renglón. La flecha quiere decir “remplaza”. Así, para la transformación kRi Ri, el múltiplo constante kRi reemplaza a Ri .

Igualmente, para kRi + Ri Rj, la suma kRi + Rj reemplaza a Rj. Por comodidad, se representa (-1) Ri como - Ri.

Símbolo SignificadoRi ↔ Rj Intercambiar los renglones Ri y Rj

kRi → Ri Multiplicar por k el renglón Ri

kRi + Rj → Rj Sumar kRi al renglón Rj

Eliminación de Gauss

1. Se dividió la primera ecuación para hacer el coeficiente de x1 en ella igual a 1.

Dada una matriz de un sistema de ecuaciones lineales, se obtiene una matriz de un sistema equivalente si

(1) se intercambian dos renglones.(2) se multiplica un renglón por una constante distinta de cero.(3) Se suma un múltiplo constante de un renglón a otro renglón.

44

2. Se “eliminaron” los términos en x1 de la segunda y tercera ecuaciones. Esto es, los coeficientes de estos términos se hicieron cero multiplicando la primera ecuación por los números adecuados y sumándola a la segunda y tercera ecuaciones, respectivamente.

3. Se dividió la segunda ecuación para hacer el coeficiente x2 igual a 1 y después se usó la segunda ecuación para eliminar el término x2 de la tercera ecuación.

4. Se dividió la tercera ecuación para hacer el coeficiente de x3 igual a 1.

Una vez terminada la regla 4 la matriz queda en su forma Gaussiana, de aquí se realiza la sustitución inversa o retrosustitución para, a partir del tercer renglón empezar con la variable x3 y utilizar esta para resolver la x2 del segundo renglón, finalmente con los valores de x2∧x3 sustituyo en el renglón 1 para resolver la x1.

Eliminación de Gauss-Jordan

Este procedimiento es el mismo hasta la regla 4 de la eliminación de Gauss de aquí se siguen las siguientes reglas.

5. Una vez que el coeficiente de x3 es 1 utilizamos este para eliminar el termino x3 de la primera y segunda ecuación.

6. Con el valor de x2 que es 1 eliminamos el termino x2 de la primera ecuación cuando hacemos esto llegamos a la matriz unitaria, esto es, la diagonal principal tiene puros unos y el resto de los valores son cero.

7. Como tenemos ya la matriz unitaria se obtienen directamente los valores de las raíces para x1 , x2 y x3.

45

Encontrar la solución de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales por los cuatro métodos algebraicos y por el método gráfico para los problemas del 1 al 10.

1.

¿¿ x−3 y=4 −4 x+2 y=6¿

¿

Problema resuelto

2.

2 x− y=−35 x+7 y=4

Saco la determinante base para ver que tipo de solución tiene:

detA=|2 −15 7 |=14−(−5 )=14+5=19

Como el valor es diferente de cero concluimos que tiene solución única.

1. REDUCCIÓN

Vamos a reducir la “y”

46

[2 x− y=−3 (1 ) ]∗75 x+7 y=4 (2 )

14 x−7 y=−21(3)5 x+7 y=4 (2 )

Sumando (2) & (3) queda:

19 x=−17 ; x=−1719

; x=−.8947 (4 )

Despejamos “y” de (2) y sustituimos (4)

y= 4−5 x7

=4−5(−.8947)

7=4+4.4736

7=8.4736

7=1.2105(5)

Por lo tanto el par solución es:

( x , y )=(−.8947 ,1.2105)

2. SUSTITUCION

2 x− y=−3 (1 )5 x+7 y=4 (2 )

Despejamos x de (1) y sustituimos en (2)

x=(−3+ y)

2(3)

{5[−3+ y2 ]+7 y=4 }(2 ) ;5 (−3+ y )+14 y=8 ;−15+5 y+14 y=8

19 y=8+15;19 y=23; y=2319

=1.2105(4)

Sustituyo (4) en (3)

x=(−3+1.2105)

2=−1.7895

2=−.8947 (5)

Por lo tanto el par solución es:

47

( x , y )=(−.8947 ,1.2105)

3. IGUALACION

2 x− y=−3 (1 )5 x+7 y=4 (2 )

Despejo “y” de (1) & (2)

y1=2 x+3 (3 ); y2=4−5x

7(4 )

Igualo y1= y2

2 x+3=4−5 x7

;7 (2x+3 )=4−5 x ;14 x+21=4−5 x ;19 x=−17

x=−1719

=−.8947 (5 )

Sustituimos (5) en (3)

y1=2 (−.8947 )+3=−1.7894+3=1.2106 (6)

4. KRAMER

2 x− y=−35 x+7 y=4

Primero definimos los coeficientes del sistema:

a11=2 ;a12=−1 ;b1=−3

a21=5; a22=7 ;b2=4

Encontremos las determinantes correspondientes:

det A=(2 −15 7 )=(2∗7 )−(5∗−1 )=14+5=19

(7)

48

det Ax=(−3 −14 7 )=(−3∗7 )−(4∗−1 )=−21+4=−17

(8)

det A y=(2 −35 4 )=(2∗4 )−(5∗−3 )=8+15=23

(10)

Para encontrar las raíces vamos a sustituir los valores de 7, 8 y 9 en las siguientes ecuaciones.

x=det Ax

det A=−17

19=−0 . 8947

(11)

y=det A y

det A=23

19=1 .2105

(12)

Podemos concluir que el par solución del sistema es:

( x , y )=(−0.8947 ,1,2105) (13)

5. GRAFICO

2 x− y=−3 (1 )5 x+7 y=4 (2 )

Despejo “y” de (1) & (2)

y1=2 x+3 (3 ); y2=4−5x

7(4 )

x y1 y2-2 -1 2-1 1 1.28571429

-0.89473684 1.21052632 1.210526320 3 0.571428571 5 -0.14285714

49

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

Podemos concluir que el par solución del sistema es:

( x , y )=(−0.8947 ,1,2105)

Y que es el lugar geométrico donde se cruzan las 2 rectas siempre y cuando sea un sistema con solución única.

3.

2 x−8 y=5−3 x+12 y=8

4.

¿2 x−8 y ¿=6 −3 x+12 y=−9¿

¿

5.

¿6 x+ y ¿=3 −4 x− y=8¿

¿

6. 3 x+¿ y=0 ¿2x−3 y=0

7. ¿4 x−6 y=0 ¿−2 x+3 y=0

8.

5 x+2 y=32 x+5 y=0

9.

2 x+3 y=43 x+4 y=5

50

10.

2 x−3 y=73 x+ y=5

Encuentre condiciones para a y b, c es una constante ≠ 0 de forma que el sistema tenga una única solución:

11.

ax+by=cax−by=c

Encuentre condiciones para a y b, c es una constante ≠ 0 de forma que el sistema tenga un número infinito de soluciones, que no tenga soluciones y que tenga solución única:

12.

ax+by=cbx+ay=c

Encuentre condiciones para a y b, c y d son constantes ≠ 0 de forma que el sistema tenga un número infinito de soluciones, que no tenga soluciones y que tenga solución única:

13.

ax−by=cbx+ay=d

14. La diferencia de dos números es 14 y

14 de su suma es 13. Hallar los números.

Problema resuelto

15. Hallar dos números sabiendo que uno de ellos se suma con el doble del otro se obtiene 21, y que si este último se suma con el doble del primero resulta 18.

Sean los números x & y

x+2 y=21(1)y+2 x=18(2)

Reacomodando tenemos que:

x+2 y=21(1)2 x+ y=18(3)

Aplicando reducción voy a multiplicar por (-2) la ecuación (3) elimino “y”

51

x+2 y=21(1)−4 x−2 y=−36 (4)

Hacemos la suma y resta quedando:

−3 x=−15 ; x=−15−3

=5(5)

A continuación despejo “y” de (1) y sustituyo (5)

y=21−x2

=21−52

=162

=8

Por lo cual los números pedidos son:( x , y )=(5 ,3)

16. Hallar dos números tales que 5 veces el mayor exceda a

15 del menor en 222 y 5

veces el menor exceda a

15 del mayor en 66.

17. Hallar dos números cuya suma es de 28 y su diferencia 12. Sean x & y los dos números pedidos.

18. Hallar una fracción sabiendo que si el numerador se aumenta en 2 y el denominador

en 1 se obtiene

12 , y que si el numerador se aumenta en 1 y el denominador se disminuye

en 2, se obtiene

35 .

19. Hace 2 años un padre era 6 veces mayor que su hijo. Hallar sus edades actuales sabiendo que dentro de 18 años la edad del padre será el doble que la del hijo.

20. Hallar un número de dos cifras que satisfaga las 2 condiciones siguientes: (1) El cuádruple de la cifra de las unidades es igual al doble de la correspondiente a las decenas menos 6. (2) El número es igual al triple del que se obtiene invirtiendo sus cifras menos 9

21. En Office Max 5 cuadernos y 8 lapiceros cuestan 115 pesos; 3 cuadernos y 5 lapiceros cuestan 70 pesos. Hallar el precio de cada cuaderno y de cada lapicero.

22. Una persona va al HEB, esta persona compra 6 kg de café y 5 kg de azúcar pagando 227 pesos, por otro lado otra persona compra 5 kg de café y 4 kg de azúcar y pago de 188 pesos. Hallar el precio de un kilogramo de café y una de azucar.

52

23. Si a los dos términos de una fracción se añade 3, el valor de la fracción es

12 , y si a

los dos términos se resta 1, el valor de la fracción es

13 . Hallar la fración.

24. Se tienen $120 en 33 billetes de a $5 y de a $2. ¿Cuántos billetes son de $5 y cuantos de $2.

25. Un comerciante liquida sus existencias de lapiceros y gomas por 1000 pesos; los primeros los vende a razón de 10 pesos el conjunto de 3 lapiceros y la segunda a 2 pesos cada una. Sabiendo que vendió la mitad de los lapiceros y las dos terceras partes de la goma recaudando un total de 600 pesos, hallar las unidades que vendió de cada uno de los artículos citados.

26. Un inversionista ha colocado un cierto capital al 4% una parte y al 5% la otra recibiendo, anualmente, un interés de 1100 pesos. Si las hubiera invertido al revés, recibiría al año 50 pesos más en concepto de intereses. Hallar la cantidad de dinero que ha invertido.

Problema resuelto

27. Un depósito A contiene 10 litros de agua y 5 litros de alcohol puro. Otro depósito B contiene 12 litros de agua y 3 litros de alcohol. Hallar el número de litros que se deben extraer de cada depósito para conseguir una solución de 8 litros que contenga un 25% en volumen de alcohol.

Fracción de alcohol en A + Fracción de alcohol en B = 2 (2)

Ahora para obtener las fracciones tanto en A como en B procedemos de la siguiente manera:

Fracción de alcohol en A Fracción de alcohol en B

510+5

= 515

=13 (3)

312+3

= 315

=15 (4)

Quiere decir que

13 de la cantidad x de litros que se saca de A es alcohol, de la misma

manera

15 de la cantidad y de litros que se saca de B es alcohol, aplicando (3) y (4) en

(2) queda:

13x+1

5y=2

(5)

53

El sistema a resolver es:

¿¿ x+ y=8−−−(6 )13x+

15y=2−−−(7 )

¿¿

Resolviendo por sustitución, despejo y de (6)

y=8−x (8) Sust. (8) en (7)

13x+1

5(8−x )=2

(9)Por simplicidad podemos multiplicar por 15 toda la ecuación para que me queden coeficientes enteros

( 13x+ 1

5(8−x )=2)×15

(10) 5 x+3(8−x )=30 (11)

5 x+24−3x=30 (12) 2 x=30−24 (13)

x=62=3

(14) Sust. (14) en (8) y=8−3=5 (15)

Concluimos que tendríamos que sacar 3 litros del contenedor A y 5 litros del contenedor B.

28. En el zoológico de Mexquitic hay en 2 corrales aves exoticas (de dos patas), mientras que en el otro hay caballos de diferentes razas (de cuatro patas). Si el zoológico en esas dos áreas contiene 60 cabezas y 200 patas ¿Cuántas aves y caballos viven en él?

Encuentre para los siguientes sistemas su solución utilizando los métodos Gauss y Gauss-Jordan. Nota: Hay que utilizar los dos métodos por problema si es que esto es posible.

29. x1 – 2x2 + 3x3 = 11 4x1 + x2 - x3 = 4 2x1 - x2 + 3x3 = 10

54

30. 3x1 + 6x2 – 6x3 = 9 2x1 – 5x2 + 4x3 = 6 - x1 +16x2 – 14x3 = -3

Problema resuelto

31.

x1+x2−x3=74 x1−x2+5 x3=4

2 x1+2 x2−3 x3=0

Sacamos la determinante base

(1 1 −1 1 14 −1 5 4 −12 2 −3 2 2 )=(3+10−8 )−(2+10−12 )=5−0=5

Lo cual nos indica que tenemos una solución única.

Método de Gauss

Primeramente generamos la matriz de coeficientes aumentada.

(1 1 −1 74 −1 5 42 2 −3 0 )R1 (−4 )+R2=NR2(1 1 −1 7

0 −5 9 −242 2 −3 0 )R1 (−2 )+R3=N R3

(1 1 −1 70 −5 9 −240 0 −1 −14) R2

−5=N R2(

1 1 −1 7

0 1−95

245

0 0 −1 −14)R3 (−1 )=N R3

(1 1 −1 7

0 1−95

245

0 0 1 14)Forma finalde Gaussx3=14

x2−95x3=

245; x2=

245

+ 95x3=

245

+ 95

(14 )=245

+ 1265

=30

x1+ x2−x3=7 ; x1=7−x2+x3=7−30+14=−9

55

La tercia solución es:

(x1 , x2 , x3 )=(−9 ,30 ,14)

Método de Gauss-Jordan

Usamos la forma final de Gauss y continúanos el proceso hasta llegar a la matriz final que es la unitaria

(1 0 0 x1

0 1 0 x2

0 0 1 x3)Forma final deGauss Jordan

(1 1 −1 7

0 1−95

245

0 0 1 14)Forma finalde Gauss(

1 1 −1 7

0 1−95

245

0 0 1 14)R3( 9

5 )+R2=N R2

(1 1 −1 70 1 0 300 0 1 14)R3+R1=N R1(1 1 0 21

0 1 0 300 0 1 14)R1−R2=N R1

(1 0 0 −90 1 0 300 0 1 14 )(x1=−9

x2=30x3=14 )

La comprobación consiste en sustituir los 3 valores en el sistema completo:

−9+30−14=−23+30=74 (−9 )−30+5 (14 )=−36−30+70=−66+70=4

2 (−9 )+2 (30 )−3 (14 )=−18+60−42=0

Con lo cual queda comprobado que la solución es correcto además de tomar en cuenta que el método de Gauss y el de Gauss-Jordan arrojan el mismo resultado.

32.

2x1+ 4 x2+ 6 x3= 18

4 x1+ 5 x2+ 6 x3= 24

3 x1+ x2− 2 x3= 4

56

33. x1 = x2 – 2x3

2x2 = x1 + 3x3 + 1 x3 = 2x2 – 2x1 - 3

34.

2x1+ 4 x2+ 6 x3= 10

4 x1+ 5 x2+ 6 x3= 4

3 x1+ x2− 2 x3= 12

Problema resuelto

35.

x3+ y

2−z=7

x4−3 y

2+ z

2=−6

x6− y

4− z

3=1

Vamos a resolver la determinante para ver si tenemos un sistema con solución única o no única.

(13

12

−1

14

−32

12

16

−14

−13

)=( 16+ 1

24+ 1

16 )— ( 14− 1

24− 1

24 )=1348

−16= 5

48

Por lo tanto la solución es única

(13

12

−1 7

14

−32

12

−6

16

−14

−13

1 )R1 (3 )=NR1( 132

−3 21

14

−32

12

−6

16

−14

−13

1 )R1(−14 )+R2=N R2

57

( 132

−3 21

0−15

854

−454

16

−14

−13

1 )R1(−16 )+R3=NR3(1

32

−3 21

0−15

854

−454

0−12

16

−52

)R2(−815 )+R2=N R2

(132

−3 21

0 1−23

6

0−12

16

−52

)R2( 12 )+R3=NR3(1

32

−3 21

0 1−23

6

0 0−16

12

)R3 (−6 )=N R3

(132

−3 21

0 1−23

6

0 0 1 −3)Forma final deGauss

z=−3 (1 )

y−23z=6 ; y=6+ 2

3z=6+ 2

3(−3 )=6−2=4(2)

x+32y−3 z=21 ; x=21−3

2y+3 z=21−3

2(4 )+3 (−3 )=21−6−9=6 (3)

Gauss-Jordan

Para la forma de Gauss-Jordan partimos de la forma final de Gauss

(132

−3 21

0 1−23

6

0 0 1 −3)R3( 2

3 )+R2=NR2(132

−3 21

0 1 0 40 0 1 −3

)R3 (3 )+R1=NR1

58

(132

0 12

0 1 0 40 0 1 −3

)R2(−32 )+R1=NR1(1 0 0 6

0 1 0 40 0 1 −3)R3 (3 )+R1=NR1

De la última matriz podemos deducir que:

x=6 ; y=4 ; z=−3

Con lo cual queda comprobado que la solución es correcto además de tomar en cuenta que el método de Gauss y el de Gauss-Jordan arrojan el mismo resultado.

36. 2x + y + z = 0 x - 2y – 2z = 0 x + y + z = 0

37.

2x1+ 4 x2+ 6x3= 18

4 x1+ 5 x2+ 6x3= 24

2x1+ 7 x2+ 12x3= 40

38.

2 x− y+ z= 3x+ 3 y− 2 z= 11

3 x− 2 y+ 4 z= 1

39.

x3+ y

2− z

4= 2

x4+

y3−

z2=

16

x2− y

4+ z

3= 23

6

40. En un taller de maquinados de la UASLP existen 3 empleados: Ezequiel, Francisco y Joaquín. Si Ezequiel y Francisco trabajando juntos pueden realizar una tarea en 4 días; Francisco y Joaquín juntos pueden hacerlo en 3 días y Ezequiel y Joaquín en 2.4 días. Hallar el tiempo que tardaría cada obrero en realizar dicha tarea actuando independientemente.

59

41. Hallar 3 números sabiendo que el primero es igual al doble del tercero menos el segundo, que la suma del segundo y el tercero es igual al primero más 1, y que si se resta el segundo de la suma del primero con el tercero el resultado es 5.

42. Un departamento de Caza y Pesca Estatal suministra tres tipos de alimento a un lago que mantiene a tres especies de peces. Cada pez de la especie 1 consume cada semana, un promedio de una unidad del alimento 1, una unidad del alimento 2 y dos unidades de alimento 3. Cada pez de la especie 2, consume cada semana un promedio de tres unidades del alimento 1, cuatro unidades del alimento 2 y cinco unidades del alimento 3. Para un pez de la especie 3 , el consumo semanal promedio es dos unidades del alimento 1, una unidad del alimento 2 y cinco unidades del alimento 3. Cada semana se proporcionan al lago 25000 unidades del alimento 1, 20000 unidades del alimento 2 y 55000 unidades del alimento 3. Si se supone que todo el alimento es ingerido, ¿cuántos peces de cada especie pueden coexistir en el lago?

43. El miembro BC en compresión ejerce sobre el pasador en C una fuerza de 365 N dirigida a lo largo de la línea BC . Determínese las componentes horizontal y vertical de esa fuerza.

Problema 43 Problema 44

44. Dos cables con tensiones conocidas están atados a la punta de una torre AB. Si se usa un tercer cable AC como tirante de alambre, determínese la tensión en AC, sabiendo que la resultante de las fuerzas ejercidas en A por los tres cables debe ser vertical.

45. Se aplican dos cargas al extremo C del pescante BC como se muestra en la figura. Determínese la tensión en el cable AC sabiendo que la resultante de las tres fuerzas ejercidas en C debe estar dirigida a lo largo de BC.

46. Un collarín que puede resbalar sobre una varilla vertical esta sujeto a las tres fuerzas mostradas. Determínese a) el valor del ángulo para el cual la resultante de las tres fuerzas es horizontal y b) la magnitud correspondiente de la resultante.

60

Problema 45 Problema 46

47. Dos cables están unidos en el punto A y soportados como se indica. Sabiendo que P = 640 N, determínese la tensión en cada cable.

48. Dos cables están unidos en el punto A y soportados como se indica. Determínese el intervalo de valores de P para los cuales ambos cables permanecen tirantes.

Problema 47 y 48

49. El cable AB tiene 65 ft de longitud y su tensión es de 3900 lb. Determínese a) las componentes x, y & z de la fuerza ejercida por el cable sobre el anclaje B; b) los ángulos x, y y z que definen la dirección de la fuerza ejercida en B.

50. Un camión de la marca de botanas Sabritas por exceso de velocidad ha volcado en el boulevar Antonio Rocha Cordero a la altura del parque Tangamanga 1 por donde se esta construyendo el museo “Laberinto de las Ciencias”. Para mover el camión se amarran en A dos cables y se tira de ellos con los malacates B y C como se muestra. Sabiendo que la tensión en el cable AB es de 10 kN, determínese las componentes de la fuerza ejercida por el cable AB sobre el camión.

61

51. Con referencia al camión del problema 50 y sabiendo que la tensión en el cable AC es 7.5 kN, determínese las componentes de la fuerza ejercida por el cable AC sobre el camión

Problema 50 & 51 Problema 49

Problema 52Sabiendo que la tensión en el cable AB es de 285 lb, determínese las componentes de la fuerza ejercida sobre la placa en B.

Problema 53Refiérase al problema 52, sabiendo que la tensión en el cable AC es de 426 lb determínese las componentes de la fuerza ejercida sobre la placa en C.

Problema 54Conociendo que la tensión es de 285 lb en el cable AB y de 426 lb en el cable AC, determínese la magnitud y dirección de la resultante de las fuerzas ejercidas en A por los dos cables.

Problema 52, 53 y 54

Problema 55

62

Con referencia al camión del problema 50 y sabiendo que la tensión es de 10 kN en el cable AB y de 7.5 kN en el cable AC, determínese la magnitud y dirección de la resultante de las fuerzas ejercidas por 2 cables sobre el camión.

Problema 56Determínese la magnitud y dirección de la resultante de las 2 fuerzas mostradas

Problema 57Con referencia a la torre del problema 49 y recordando que la tensión en el cable AB es de 3900 lb y en el cable AC es de 5250 lb. a) Determínese la magnitud y dirección de la resultante de las fuerzas ejercidas en A por los cables AB y AC; b) Sabiendo que la resultante de las fuerzas ejercidas en A por los 3 cables debe ser vertical, encuentre el ángulo que la línea OD forma con el eje x negativo. Problema 56

Problema 58El aguilón OA lleva una carga P y esta sostenida por 2 cables como se indica. Sabiendo que la tensión en el cable AB es de 850 N y que la resultante de la carga P y de las fuerzas ejercidas en A por los 2 cables debe estar dirigida a lo largo de OA, determínese la tensión en el cable AC.

Problema 58

63