TEORIGRAFALJABARDisusunOleh:DARMAJID(Bab1danSpektrumGraf )CORRYCORAZON(GrafRegulerdanGrafGaris)ISMAIL(CycledanCut)ANTON(PohonPembangun)ALPHAN(TheTreeNumber)MEILIN(EkspansiDeterminan)NOPENDRI(Partisi-TitikdanSpektrum)SISILIA(GrafAutomorsma)IRAAPNI(Vertex-transitiveGraphs)MONA(GrafSimetris)ProgramStudiMagisterMatematikaINSTITUTTEKNOLOGIBANDUNG2011DaftarIsi1 SekilasMengenaiGrafdanIstilahDalamAljabar 11.1 GrafSederhana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 GrafBerhinggadanDerajatTitik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Jalan,Lintasan,Jarak,danDiameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4 SubgrafdanSupergraf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.5 Keterhubungan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.6 GrafIsomok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.7 Kelas-kelasGrafTertentu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.8 SistemMatematika. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.9 IstilahDalamRuangVektor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.10 BeberapaIstilahDalamMatriks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.11 NilaiEigen,PolinomMinimal,danMatriksHermit . . . . . . . . . . . . . . 122 SpektrumGraf 172.1 MatriksKetetanggaandanSpektrumSuatuGraf . . . . . . . . . . . . . . . 172.2 AljabarKetetanggaan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.3 HubunganAntaraAljabarKetetangganDenganSpektrumGraf. . . . . . . 273 GrafRegulerdanGrafGaris 293.1 Pendahuluan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2 GrafReguler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 CycledanCut 485 PohonPembangun 63iDAFTARISI ii6 TheTreeNumber 727 EkspansiDeterminan 858 Partisi-TitikdanSpektrum 939 GrafAutomorsma 1039.1 Pendahuluan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1039.2 GrafAutomorsma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10610Vertex-transitiveGraphs 11011GrafSimetris 116DaftarPustaka 122Bab1SekilasMengenaiGrafdanIstilahDalamAljabar1.1 GrafSederhanaSuatugraf adalahpasangantigaterurutG=(V (G), E(G), G)yangterdiri dari him-punan tak kosong V (G) yang dinamakan himpunan titik, himpunan E(G) yang dinamakanhimpunansisi dimanaE(G) V (G)= , danfungsi keterkaitan(G)yangmengaitkansetiapsisidiE(G)denganpasangantakteruruttitikdiV (G)yangtidakharusberbeda.Selanjutnya,grafG = (V (G), E(G), G)cukupdituliskangrafGsaja. Misalkaneadalahsuatusisi danu, v adalahduabuahtitik(tidakharus beda). Sisi edikatakanterkaitdenganudanv, titikudanvdikatakanbertetangga, danudanvdikatakantitikujungdari ejikaG(e) =uv. Selanjutnya, sisi ecukupditulis sebagai uvjikaG(e) =uv.Secaragras, anggotahimpunantitikV (G)digambarkanolehtitik, sedangkananggotahimpunansisi E(G), misalkanedenganG(e) =uv, digambarkanolehsisi yangmen-gaitkanudanvdi V (G). HimpunansemuatitikyangbertetanggadengansuatutitikvdinotasikandenganN(v). Suatusisi yangmemiliki titikujungyangsamadisebutloop.SuatugrafGdikatakanmemiliki sisi gandajikaterdapatduasisi berbedae1, e2 E(G)danduatitikberbedau, v V (G)sehinggaG(e1)=uv=G(e2). GdikatakangrafsederhanajikaGtidakmemuatloopataupunsisiganda.PerhatikangrafGyangdiberikanpadaGambar1.1.1BAB1. SEKILASMENGENAIGRAFDANISTILAHDALAMALJABAR 2V (G) = v1, v2, v3, v4, v5 dan E(G) = v1v2, v1v3, v2v3, v3v4, v3v5, v4v5. N(v1) = v2, v3,N(v2) = v1, v3,N(v3) = v1, v2, v4, v5,N(v4) = v3, v5danN(v5) = v3, v4. GrafGmerupakangrafsederhanakarenaGtidakmemuatloopataupunsisiganda.Gambar1.1: GrafGGambar1.2: GrafG1Graf G1padaGambar1.2adalahcontohgraf yangtidaksederhana. G1bukangrafsederhana karena G1memuat loop e1dengan (e1= u1u1) dan terdapat sisi ganda e4dane5dimana(e4) = u2u4= (e5).1.2 GrafBerhinggadanDerajatTitikSuatu graf dikatakan berhingga jika himpunan titik V (G) berhingga. Banyaknya anggotadari V (G) disebut orde dari G, dinotasikan dengan [V (G)[, sedangkan banyaknya anggotadari E(G)disebutukurandari G, dinotasikandengan [E(G)[. Grafyangmemiliki orde0atau1disebutgraftrivial. GrafGpadaGambar1.1mempunyaiorde5danukuran6.Dengandemikian, Gbukangraf trivial. Untukselanjutnya, padateori graf aljabarini,grafyangdibicarakanadalahgrafberhinggadangrafsederhana.BAB1. SEKILASMENGENAIGRAFDANISTILAHDALAMALJABAR 3Banyaknyasisi yangterkaitpadasuatutitikv V (G)disebutsebagai derajattitikv,dinotasikandengandG(v) = d(v). Derajatterkecil padasuatugrafGdinotasikandengan(G), sedangkan derajat terbesarpada graf G dinotasikan dengan (G). Himpunan semuasisi yangterkaitpadasuatutitikvdinotasikandenganE(v). Graf GpadaGambar1.1mempunyaibarisanderajatdG(v1) = 2,dG(v2) = 2,dG(v3) = 4,dG(v4) = 2,dG(v5) = 2,sedangkan (G) =2 dan (G) =4. E(v1) =v1v2, v1v3, E(v2) =v1v2, v2v3,E(v3) = v1v3, v2v3, v3v4, v3v5,E(v4) = v3v4v4v5danE(v5) = v3v5, v4v5.1.3 Jalan,Lintasan,Jarak,danDiameterSuatujalandiGadalahsuatubarisantaknoldanhinggaW= v0e1v1e2v2 ekvkyanganggotanyaberselang-selingtitikdansisi, sehingga, untuk1 i k, titikujungdari eiadalahvi1danvi. Wdikatakansebagai suatujalandari v0kevk. Titik-titikv0danvksecaraberurutandisebuttitikawal dantitikakhirdariW,sedangkanv1, v2,vk1disebuttitik titikdalamdari W. Bilanganbulatkdinamakanpanjang dari W. Jikasisi-sisi e1, e2, , ekpadajalanWberbeda, makaWdisebuttrail. Jikav0, v1, , vkberbeda, makaWdisebut lintasan. Lintasanyangtitikawal dantitikakhirnyasamadisebutsiklus. Dalamreferensi lainjalandenganpanjangl dalamgrafGdari vikevjdidenisikansebagaibarisanberhinggatitik-titikdarigrafG,vi= u0, u1, . . . , ul= vj,sedemikiansehinggaut1danutbertetanggauntuk1 t l. Namundemikian, den-isi ini tidaklahbertentangandengandenisi yangpertamadankitaakanmenggunakandenisijalanyangterakhirdalampembahasanpadabab2.Graf GpadaGambar1.1memuatlintasandenganpanjang1, 2, 3dan4, jugamemuatsiklus berukuran 3. Himpunan semua lintasan dengan panjang 1 adalah himpunan semuasisi padaG. Himpunansemualintasandenganpanjang2adalah v1v2v3, v1v3v4, v1v3v5,v2v1v3, v2v3v4, v2v3v5, v3v4v5, v3v5v4, v4v3v1, v4v3v2. Himpunansemua lintasandenganpanjang 3 adalah v1v2v3v4, v1v2v3v5, v1v2v3v1, v1v3v4v5, v1v3v5v4, v2v1v3v4, v2v1v3v5, v2v3v4v5,v2v3v5v4, v3v4v5v3, dengan v1v2v3v1dan v3v4v5v3juga merupakan siklus dengan panjang3. Himpunan semua lintasan berukuran 4 adalah v1v2v3v4v5, v1v2v3v5v4, v2v1v3v4v5, v2v1v3v5v4.BAB1. SEKILASMENGENAIGRAFDANISTILAHDALAMALJABAR 4Jarakdari x ke y, dinotasikan dengan dG(x, y) = d(x, y), adalah panjang jalan terpendekdarixkey. Adapundiameter darigrafGyangdinotasikandengandiam(G)danradiusdarigrafGyangdinotasikandenganrad(G)masing-masingdidenisikansebagaiberikut:diam(G) = maxx,yV (G)d(x, y),rad(G) = minxV (G)(maxyV (G)d(x, y)).GrafGpadaGambar1.1memiliki barisanjarakd(v1, v2)=1, d(v1, v3)=1, d(v1, v4)=2, d(v1, v5) =2, d(v2, v3) =1, d(v2, v4) =2, d(v2, v5) =2, d(v3, v4) =1, d(v3, v5) =1, d(v4, v5) =1. Dengandemikian, diam(G) =2. Untukmenentukanradius dari G,perhatikanbahwamaxyV (G)d(v1, y)=2,maxyV (G)d(v2, y)=2,maxyV (G)d(v3, y)=1,maxyV (G)d(v4, y) = 2danmaxyV (G)d(v5, y) = 2. Sehinggadiperolehrad(G) = minxV (G)maxyV (G)d(vi, y)[i= 1, 2,5 = min2, 2, 1, 2, 2 = 1.1.4 SubgrafdanSupergrafMisalkan diberikan suatu graf G. Suatu graf Hdikatakan subgrafdari G, ditulis H G,jika V (H) V (G), E(H) E(G) dan Hmerupakan pembatasan fungsi Gpada E(H).Misalkan Hsuatu subgraf dari G. Maka G disebut supergrafdari H. H

disebut subgrafpembangundari GjikaH

GdanV (H

) =V (G). PadaGambar 1.3, G1danG2merupakansubgraf dari GkarenaV (G1) V (G), E(G1) E(G), V (G2) V (G)danE(G2) E(G). G1subgraf pembangundari G, sedangkanG2subgraf dari GnamunbukansubgrafpembangunkarenaG2tidakmemuatv4. G3bukansubgrafdariGkarenaterdapatsisi v2v4di G3yangtidaktermuatdi G. G4jugabukansubgrafdari Gkarenaterdapattitikv5diG4yangtidaktermuatdiG.1.5 KeterhubunganDuatitikudanvdikatakanterhubungjikaterdapatjalandari ukev. GdisebutgrafterhubungjikasetiappasangtitikudanvdiGterhubung. Subgrafterhubungmaksimaldisebutkomponen. Banyaknyakomponenpadagraf GdinotasikandenganG. Graf GBAB1. SEKILASMENGENAIGRAFDANISTILAHDALAMALJABAR 5Gambar1.3: G1 G,G2 G,G3G,G4Gpada Gambar 1.1 merupakan graf terhubung karena v1dan v2termuat pada lintasan v1v2,v1danv3termuatpadalintasanv1v3,v1danv4termuatpadalintasanv1v3v4,v1danv5termuatpadalintasanv1v3v5, v2danv3termuatpadalintasanv2v3, v2danv4termuatpadalintasanv2v3v4, v2danv5termuatpadalintasanv2v3v5, v3danv4termuatpadalintasanv3v4,v3danv5termuatpadalintasanv3v3danv4danv5termuatpadalintasanv4v5. Contohgraf yangtidakterhubungdiberikanpadagambardi bawahini. Graf G2padagambartersebuttidakterhubungkarenatidakadalintasanyangmemuatv1danv3danG2= 2.Gambar1.4: Contohgraftakterhubung1.6 GrafIsomokDenisi1.1. T: A Bpemetaansatu-satujikauntuksetiapx, y A, x ,= y T(x) ,=T(y).BAB1. SEKILASMENGENAIGRAFDANISTILAHDALAMALJABAR 6Denisi 1.2. T : A Bpemetaanpadajikauntuksetiapy B, terdapat x A,sedemikiansehinggay= T(x).MisalkanG)danHduagraf. Gdikatakanisomorf denganH, dinotasikandenganG = H,jikaterdapatsuatupemetaansatu-satupada: V (G) V (H)dan : E(G) E(H)sedemikiansehingga u, v V (G), uv E(G)berlakuG(e)=uvjikadanhanyajikaH((e)) = (u)(v).Gambar1.5: GisomorfdenganG

1.7 Kelas-kelasGrafTertentuMisalkann 2. MisalkanGsuatugraf denganntitikdanhimpunantitiknyaadalahv1, v2,vn. MakaGdikatakangraflintasan,dinotasikandenganPn,jikahimpunantitiknya dapat dibentuk menjadi suatu barisan u = v1, v2, . . . , vn= vsedemikian sehinggavivi+1= E(G) , i = 1, 2, ..., n 1dimanavi ,= vjuntuki ,= j.Gambar1.6: P4Gambar1.7: ContohHutanBAB1. SEKILASMENGENAIGRAFDANISTILAHDALAMALJABAR 7Hutanadalahsuatugraf sederhanayangtidakmemuat siklus. Sedangkanpohonadalahhutanyangterhubung.Gambar1.8: ContohPohonSuatugraf Gdikatakangraf lengkapjikasetiappasangtitiknyabertetangga. GraflengkapberordendinotasikandenganKn, n 2. Graf lengkapdengann=3disebutsegitiga. Graf Gdisebutregularjikaderajatsetiaptitinyasama. Graf G(V (G), E(G))disebut graf k regularjika dG(v) = k, untuk setiap v V (G). Graf terhubung 3-regulardisebutkubik.Gambar1.9: K5dangraf3 regularGraf lingkaranberorden, untukn 3, dinotasikandenganCn, adalahgraf ter-hubung2-regular.Gambar1.10: C5BAB1. SEKILASMENGENAIGRAFDANISTILAHDALAMALJABAR 8SuatugrafGdisebutgrafbipartitjikaV (G)dapatdipartisimenjadiduabuahsub-himpunantakhampaXdanY sedemikiansehinggauntuksetiapsisidiGberlakusalahsatu ujungnya berada di Xdan ujung lainnya berada di Y . Misalkan banyaknya titik di XadalahmdanbanyaknyatitikdiY adalahn,dimanam, n 1,makagrafGdinotasikandengan Gm,n. Jika setiap titik di Xbertetangga dengan setiap titik di Y , maka G disebutgrafbipartitlengkap,dinotasikandenganKm,n.Gambar1.11: ContohgrafbipartitdanbipartitlengkapGraf bintang, dinotasikandenganK1,n, adalahgraf bipartit dengan [X[ =1dan[Y [ = n.Gambar1.12: GrafbintangK1, nGrafkipas, dinotasikan dengan Fn, n 2, adalah graf yang dibentuk dari lintasan PndansatutitikxdenganmenghubungkansetiaptitikpadalintasanPndengantitikx.Grafmatahari,dinotasikandenganSn,untukn 3,adalahgrafyangdibentukdarilingkaranCndengancaramenambahkansebuahtitikberderajat1(pendan)padasetiaptitikdiCn.BAB1. SEKILASMENGENAIGRAFDANISTILAHDALAMALJABAR 9Gambar1.13: F4Gambar1.14: S5Grafroda, dinotasikandenganWn, n 2, adalahgrafyangdibentukdari lingkaranCndansatutitikxdenganmenghubungkansetiaptitikpadalingkaranCndengantitikx.Gambar1.15: W5Teorigrafaljabaradalahilmuyangmembicarakanpenerapanaljabarpadateorigraf.Dalambabinidijelaskanbeberapaistilahdalamaljabar.1.8 SistemMatematikaDenisi 1.3. GelanggangdenganunsurkesatuanadalahsuatuhimpunantakkosongRyangdilengkapidenganoperasi+dan sehingga1. a, b, c Rmemenuhi(a +b) +c = a + (b +c),BAB1. SEKILASMENGENAIGRAFDANISTILAHDALAMALJABAR 102. a, b Rmemenuhia +b = b +a,3. terdapat0 R,sedemikiansehingga a Rmemenuhia + 0 = a,4. a R,terdapat a R,sedemikiansehinggaa + (a) = 0,5. a, b, c Rmemenuhi(ab)c = a(bc),6. terdapat1 R,sedemikiansehingga a Rmemenuhia1 = 1a = a,7. a, b, c Rmemenuhia(b +c) = ab +ac,dan8. a, b, c Rmemenuhi(a +b)c = ac +bc.Denisi 1.4. MisalkanF adalahhimpunantakkosong. Sistemmatematika(F, +, )disebut lapanganjikamemenuhi kedelapansifat gelanggangdan a, b Rmemenuhiab = badanterdapata1 F,sedemikiansehingga a Rmemenuhiaa1= 1.Denisi 1.5. MisalkanF adalahlapangan. HimpunantakkosongV yangdilengkapidenganoperasi penjumlahandanaksi FpadaV disebutruangvektorataslapanganFjika1. a, b, c V ,memenuhi(a +b) +c = a + (b +c),2. a, b V ,memenuhia +b = b +a,3. terdapat0 V ,sedemikiansehingga a V ,memenuhia + 0 = a,4. a V ,terdapat a V ,sedemikiansehinggaa + (a) = 0,5. a, b V , Fmemenuhi(a +b) = a +b,6. a V , , Fmemenuhi( +) a = a +a,7. a V , , Fmemenuhi() a = (a),dan8. a V ,dan1 Fmemenuhi1a = a.Denisi 1.6. Sistem matematika (A, +, ) disebut aljabar atas lapangan Fjika memenuhi1. (A, +)ruangvektorataslapanganF,2. (A, +, )gelanggang,dan3. (ab) = a (b) = (a) buntuksetiapa, b A, F.Contoh dari aljabar yaitu F [X], himpunan polinom dengan variabel X dengan koesien-koesiennyaberupaunsurlapanganF.BAB1. SEKILASMENGENAIGRAFDANISTILAHDALAMALJABAR 111.9 IstilahDalamRuangVektorMisalkanV adalahruangvektor atas lapanganF. MisalkanXV, X,= . Unsurz Vadalah kombinasi linier dari Xjika terdapat sejumlah hingga unsur X, katakanlahx1, x2, . . . , xkdanunsur-unsura1, a2, . . . , akdiFsedemikiansehinggaz= a1x1 +a2x2 ++akxk. Himpunan semua kombinasi linier dari X dituliskan dalamX = a1x1+a2x2++akxk [ a1, a2, . . . , ak F, x1, x2, . . . , xk X, k adalah bilangan asli. Subhimpunan XdariV dikatakanmembangunV jikaV= X. SubhimpunanXdariV dikatakanbebaslinier jika 0 hanya dapat dituliskan sebagai kombinasi linier dari Xdengan satu cara yaitudengan semua koesien nol. Jika Xtidak bebas linier, kita katakan Xbergantunglinier.Subhimpunan Xdari Vdikatakan basis jika V= X dan Xbebas linier. Jika Vmemilikibasis hingga, kita katakan bahwa Vberdimensi hingga. Dalam hal ini, dimensi V , ditulisdimFV ,adalahbanyaknyaunsursembarangbasisbagiV .1.10 BeberapaIstilahDalamMatriksMisalkan Ann= (aij) adalah suatu matriks atas bilangan kompleks, traceA didenisikansebagaipenjumlahansemuaentripadadiagonaluntamayaknia11 + +ann.Selanjutnya,sembarangmatriksAnnmempunyaisubmatriksutamaberukuran(n k)(n k) yaitusubmatriks yangdiperolehdenganmenghapus secarabersamaankbuah baris dan kbuah kolom yang berindeks sama. Minor utama berukuran k kadalahdeterminandarisubmatriksutamaberukurank k. Sebagaicontoh,diberikanmatriksA =________1 2 1 11 0 1 11 1 0 11 1 1 0________SuatusubmatriksutamadariAyangberukuran1 1adalah_1_,diperolehdenganmenghapusbariske2,3,4,dankolomke2,3,4.SuatusubmatriksutamadariAyangberukuran2 2adalah__1 21 0__BAB1. SEKILASMENGENAIGRAFDANISTILAHDALAMALJABAR 12diperolehdenganmenghapusbariske3dan4dankolomke3dan4.SuatusubmatriksutamadariAyangberukuran3 3adalah_____0 1 11 0 11 1 0_____diperolehdenganmenghapusbariske1dankolomke1.Contohsubmatriksyangbukansubmatriksutamaadalah_____2 1 11 0 11 1 0_____diperolehdenganmenghapusbariske2dankolomke1.1.11 NilaiEigen,PolinomMinimal,danMatriksHermitPadabagianinikitaselalumemisalkanAsuatumatriksberukurann natas C. Skalardikatakannilai eigendari matriks Ajikaterdapat vektor taknol vCnsehinggaAv =v. Vektor v yangmemenuhi kesamaantersebut dinamakanvektor eigen yangbersesuaiandengannilai eigen. Polinomkarakteristikdari A, dinotasikandenganCA() ataudalambukuteori graf aljabar dinotasikan(A; ), adalahbentukpolinomdari det(I A). Ternyata, akar-akar dari polinom karakteristik disebut merupakan nilai-nilaieigendarimatriksA.MisalkanadalahsuatunilaieigendarimatriksAnn. TinjaunilaideterminandarimatriksIn + A. Dapatdiperhatikanbahwakoesien-koesieni1, . . . , impadadeter-minanmatriksA + diag1, . . . , nsamadenganminordari Ayangdiperolehdenganmenghapus secara bersamaan baris dan kolom dengan indeks i1, . . . , in. Dengan demikianakandiperolehnilaidet(In +A) = n+E1 (A) n1+E2 (A) n2+E3 (A) n3+... +En (A) ,denganEi (A) merupakanjumlahdari semuaminor dari Ayangberukuranii. Iniberarti,polinomkarakteristikdarisuatumatriksAdapatjugadituliskandalam(A; ) = det(InA) = nE1 (A) n1+E2 (A) n2E3 (A) n3+...+(1)nEn (A) .BAB1. SEKILASMENGENAIGRAFDANISTILAHDALAMALJABAR 13PolinomMA(x)dikatakanpolinomminimal dari AjikaMA(x)merupakanpolinommonik(koesienpemukanya1) taknol denganderajat terkecil sehinggaMA(A) =0.Misalkan0> 1>> s1adalahnilaieigenyangberbeda. Misalkan(A; ) = ( 0)m0( 1)m1 ( s1)ms1.Bilanganmidinamakanmultiplisitasaljabardari nilai eigeni i 0, 1, , s 1sedangkan multiplisitas geometri dari iadalah dimensi dari ruang eigen yang bersesua-ian dengan nilai eigen iyakni suatu ruang vektor yang basisnya merupakan vektor eigenyangbersesuaiandenganilaieigeni.Selanjutnya,kitaakanmembahasbeberapasifatmengenaimatriksHermit. Sebelum-nya, misalkanz=x + iyadalahsuatubilangankompleksdenganx, y R, z=x iydikatakansekawandari z. MisalkanA=(aij) suatumatriks atas lapangankompleksberukuranmn. MatriksAdinamakantranspossekawandari Adimanaentri bariskeikolomkejdariAadalahaji.Denisi 1.7.Misalkan Vadalah ruang vektor atas lapangan Fdimana Fadalah lapangankompleks. Misalkan pula h fungsi dari V Vke F. Kita katakan h suatuhasilkalidalampadaV jikamemenuhikeempatsifatberikut:1. h(u, v) = h(v, u),untuksemuau, v V ,2. h(u +v, w) = h(u, w) +h(v, w),untuksemuau, v, w V ,3. h(u, v) = h(u, v),untuksemuau, v V , F,4. h(u, u) 0,untuksemuau V ,danh(u, u) = 0jikadanhanyajikau = 0.Hasil kali dalamlebihseringmuncul dalamnotasi operasionalh(u, v)=.Ruangvektoryangdilengkapihasilkalidalamdisebutruanghasil kalidalam.Contohruanghasilkalidalamadalahruangvektor Cnataslapangan Cdenganhasilkalidalam< x, y>= yx = y1x1 + +ynxnuntuksetiapx =_____x1...xn_____, y=_____y1...yn_____ Cn.BAB1. SEKILASMENGENAIGRAFDANISTILAHDALAMALJABAR 14Untukpembicaraanseterusnya,kitamenggunakandenisihasilkalidalamtersebut. Duabuah vektor x dan y dikatakan orthogonal jika < x, y>= 0. Komplemen orthogonal dari SdalamruangvektordidenisikansebagaisubruangS= v V [ < v, w >= 0, w S.Denisi 1.8. SuatumatriksAnndikatakanHermit atauadjoindengandirinyasendirijikaA= A.MatriksAnnyangadjoindengandiri sendiri (matriksHermit)akanmemiliki sifat-sifatantaralain:1. Nilai-nilaieigendariAsenantiasareal,2. Vektor-vektoreigenuntuknilaieigenyangberbedasalingorthogonal,3. MisalkanadalahnilaieigendariA. Multiplisitasgeometri,ditulismg(),akanbernilaisamadenganmultiplisitasaljabar,ditulisma().Bukti. Misalkan adalah nilai eigen dari A. Akan terdapat vektor taknol v CnsehinggaAv= v. Diperoleh,< v, Av>=< v, v>= < v, v> = < v, v> = < v, v>,dan< Av, v>=< v, v>= < v, v> .MenggunakanfaktaA= Aakandiperoleh < v, v>=< v, Av>= (Av)v= vAv= v(Av) =< Av, v>= < v, v>,Karenavadalahvektor taknol maka,=0sehinggadiperoleh=yakni adalahsuatubilanganrealyangmembuktikansifatpertama.Selanjutnya diambil sembarang ,= dua buah nilai eigen di A. Ini berarti terrdapatvektortaknolu, v CnsehinggaAv= vdanAu = u. Akandiperoleh, < u, v>=< u, v>=< u, Av>= (vA)u = v(Au) =< Au, v>=< u, v>= < u, v> .Iniberarti,( ) < u, v>= 0.BAB1. SEKILASMENGENAIGRAFDANISTILAHDALAMALJABAR 15Karena ,= diperoleh< u, v>= 0yakniudanvsalingorthogonalyangmembuktikansifatkedua.MisalkanadalahsembarangnilaieigendariAdanW=E()yaknisubruangden-ganbasis berupavektor-vektor eigenyangbersesuaiandengannilai eigen. Menurutsifat kedua, jikaadalahvektor eigenyangberbedadari makaE() W. AkanditunjukkanbahwaAz Wuntuksemuaz Wyakni Winvarianterhadapop-erator A. Diambil sembarangz Wdanx W. Diperoleh, =xAz =xAz====0. Jadi, terbukti bahwaAz Wuntuksemuaz W. Denisikanoperator S: W Wmelalui Sv=Av, untuksetiapv Wyakni suatupembatasanoperatorApadaW. Jelasbahwasetiapnilai eigendariSmerupakannilaieigendariA. Sebaliknya,setiapnilaieigenAselainmerupakannilai eigenbagi S. MisalkanXadalahbasisdari WdanY adalahbasisbagi W. Kitaperoleh[A]XY=__Img()00 [S]Y__.Akibatnya,polinomkarakteristikCA(x) = (x )mg()CS(x). KarenaCS(x)samasekalitidakmemuatfaktorx haruslahmg() = ma().Sebagai konsekuensi dari sifat-sifat ini, matriks Aakanmemiliki basis yangterdiriatasgabungandaribasis-basisvektoreigensehinggaAdapatdidiagonalkan. Lebihjauh,jikamatriksAtersebutmemilikis nbuahnilaieigenberbeda1, . . . , smakapolinomminimaldariAdapatteruraiatasfaktor-faktorlinieryakniMA(x) = (x 1)(x s).Dalamkasusini,polinomminimaldariAakanmemilikiderajats.Secaraumum, untukmatriks Annatas bilangankompleks akanmemiliki derajatpolinom minimal yang tidak melebihi derajat polinom karakteristiknya. Dengan kata lain,polinom minimal Annakan berderajat paling tinggi n. Hal ini terjadi sebagai akibat dariadanyateoremaCayley-Hamilton.Teorema1.9. Cayley-Hamilton. MisalkanAnnadalahmatriksatasbilangankompleks.JikapolinomkarakteristikdariAadalahCA(x)makaCA(A) = 0.BAB1. SEKILASMENGENAIGRAFDANISTILAHDALAMALJABAR 16Bukti. Bukti dibuatberdasarkaninduksi atasordematriksn. Untukn=1makaper-samaan karakteristik dari A11= (a) adalah CA(x) = xa. Diperoleh, CA(A) = AaI1=A A=0. AsumsikanbahwauntukmatriksA(k1)(k1)memenuhi CA(A)=0. Akandibuktikanbahwamatriks Akkmemenuhi CA(A) =0. Misalkanadalahnilai eigendari Adenganvektor taknol e1sebagai vektor eigenyangberkorespondensi dengan.Misalkane1, e2, . . . , endiperluasmenjadi basisbagi Cn. Dalambasise1, e2, . . . , en, ma-triksAakanmempunyai bentuk__ 0 A1__, dimanaA1adalahsuatumatrikspersegiberukuran(k 1)(k 1)denganpolinomkarakteristikCA1(x). Akibatnya, CA(x)=(x )[xIn1 A1[ =(x )CA1(x). Berdasarkanhipotesis induksi, CA1(A1) =0.Selain itu, Karena e1merupakan vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen makadiperoleh(I A)e1=0Akibatnya, CA(A)=0. DengandemikianberdasarkaninduksiterbuktibahwaCA(A) = 0.Bab2SpektrumGraf2.1 MatriksKetetanggaandanSpektrumSuatuGrafPadapembahasanbabberikutini, diasumsikanbahwagraf yangdiberikanadalahgrafsederhanadanberhingga.Denisi 2.1.Misalkan G suatu graf dengan V (G) = v1, . . . , vn. Matriks ketetanggaansuatugrafGadalahsuatumatriksA = A(G)berukurann ndimanaaij=___1, jikavidanvjbertetangga;0, jikavidanvjtidakbertetangga.Berdasarkandenisi di atas, karenaaij=ajimakaAadalahsuatumatrikssimetri.JikaAdipandangsebagai matriksatasbilangankompleksmakaAmerupakanmatriksHermit. Selanjutnya, karenagraf yangdibicarakanadalahgraf sederhanamakaentripadadiagonalutamabernilainolsehinggatracedarimatriksAbernilainol. Lebihjauh,karenamatriksketetanggaanAmerupakanmatriksHermitmakanilai-nilaieigendariAmerupakan bilangan real. Misalkan adalah nilai eigen bagi A maka akan diperoleh faktabahwamultisiplitasgeometridariakansamadenganmultiplisitasaljabardari.Sebagaicontoh,matriksketetanggaandarigrafGpadaGambar1.1adalah,A =___________0 1 1 0 01 0 1 0 01 1 0 1 10 0 1 0 10 0 1 1 0___________17BAB2. SPEKTRUMGRAF 18Denisi 2.2. Misalkanadalahsuatunilai karakteristikdari Adanm()adalahmul-tiplisitasdari . MisalkanA(G)memilikinilai-nilaieigenberbeda0>1>. . .>s1denganmultiplisitasmasing-masingm(0), m(1), . . . , m(s1). Spektrumdari graf G,dinotasikandenganSpecG,dapatdituliskandalambentukberikutini.SpecG =__01 s1m(0) m(1)m(s1)__.Berikut ini diberikan contoh penentuan spektrum dari suatu graf lengkap K4. MatriksGambar2.1: K4ketetanggaandariK4adalahA(K4) = A =________0 1 1 11 0 1 11 1 0 11 1 1 0________.Selanjutnya,nilai-nilaieigendariAdidapatdenganmencariakar-akarpersamaankarak-BAB2. SPEKTRUMGRAF 19teristikmatriksAsebagaiberikut.det(I A) = det________ 1 1 11 1 11 1 11 1 1 ________= det_____ 1 11 11 1 _____(1)det_____1 1 11 11 1 _____+ (1)det_____1 11 1 11 1 _____+ (1)det_____1 11 1 1 1 1_____= (33 2) + (22 1) (2+ 2 + 1) + (22 1)= 4628 3= ( 3)( + 1)3.Dengandemikian,spektrumdariK4adalahSpecK4=__3 11 3__.Biasanya, suatunilai karakteristikdari matriksketetanggaanA=A(G)disebutse-bagai nilai karakteristikdari graf G. DemikianjugadenganpolinomkarakteristikdariA(G) biasanya disebut sebagai polinomkarakteristikdarigraf G yang dinotasikan dengan(G; ).Misalkangraf sederhanadengan [V ()[ =n. Misalkanjugapolinomkarakteristikdariadalah(; ) = n+c1n1+c2n2+... +cn.Proposisi2.3. Koesien-koesienpolinomkarakteristikdarigrafmemenuhi1. c1= 0,2. c2adalahbanyaknyasisipadagrafyakni c2= E(),3. c3adalahduakalibanyaknyasegitigapadagraf.BAB2. SPEKTRUMGRAF 20Bukti. 1. Misalkan A() = Ann adalah matriks ketetanggan graf . Karena adalah grafsederhana, makasemuaentri diagonal utamapadamatriksA()barnilai 0. Akibatnya,semua submatriks utama dari A yang berukuran 11 berupa matriks nol sehingga julmlahdeterminansemuamatriksutamaberukuran11tersebutadalah0. Olehkarenaitu,c1= E1 (A) = 0.2. Perhatikan bahwa submatriks utama dari A yang berukuran 22 hanya akan berbentuk__0 00 0__atau__0 11 0__. Misalkansubmatriksutama__0 00 0__dan__0 11 0__padaAmasing-masingsebanyakpdanqbuah. Diperoleh,c2= E2(A) = p0 00 0+q0 11 0= p.0 +q(1) = q.Tetapi, submatriks__0 11 0__merupakan representasi dari pasangan titik yang bertetanggayakni sebuahsisi padagraf . Dengandemikian, banyaknyasisi padagraf adalahE() = q. Lebihjauh,diperoleh c2= (q) = q= E().3. Submatriks utama Ayang berukuran 33 merupakan salah satu dari bentuk__0 0 00 0 00 0 0__,__0 1 01 0 00 0 0__,__0 0 10 0 01 0 0__,__0 0 00 0 10 1 0__,__0 1 11 0 01 0 0__,__0 0 10 0 11 1 0__,__0 1 01 0 10 1 0__atau__0 1 11 0 11 1 0__. Perhatikanbahwa0 1 11 0 11 1 0= 2dandeterminandarisubmatriksutamabentuklainnyabernilai nol. Misalkansubmatriksutamaukuran33yangberbentuk__0 1 11 0 11 1 0__adasebanyakpbuahsedangkantotal banyakdari submatriksutama33selainituadalahq buah. Akibatnya, E3(A) =p(2) + q(0) =2p. Tetapi, submatriksutama__0 1 11 0 11 1 0__merupakanrepresentasi dari 3buahtitikyangsalingbertetanggaBAB2. SPEKTRUMGRAF 21yaknisebuhsegitigapadagraf. Dengandemikian,c3= (E3) = 2p = 2banyaksegitigapadagraf.Gambar2.2: grafGContoh2.4. Matriksketetanggaandari graf GadalahA=A(G)=__0 1 0 11 0 1 10 1 0 11 1 1 0__.AdapunpolinomkarakteristikdarigrafGmerupakanpolinomkarakteristikdarimatriksAyakni (G; )=4 52 4. Koesiendari 3adalah0, banyaknyasisi adalah5,danbanyaknyasegitigaadalah2.Ternyatabebrrapakoesiendari polinomkarakteristiksuatugraf memberikaninfor-masi mengenai graf tersebut dalamhal banyaksisi danbanyaksegitigawalaupundraftersebuttidakdigambarkansecaravisual.2.2 AljabarKetetanggaanMisalkan A adalah suatu matriks persegi berukuran nn atas C. Didenisikan himpunanpolinomdenganvariabelberupamatriksAdankoesienbilangankompleksyakniC[A] =_a0 +a1A+ +akAk[ai C, k 0, k Z_.BAB2. SPEKTRUMGRAF 22Didenisikanoperasi penjumlahan, perkalian, danaksi skalaroleh Cpada C[A] sebagaiberikut.+ : C[A] C[A] C[A](p(A), q(A)) p(A) +q(A), : C[A] C[A] C[A](p(A), q(A)) p(A)q(A), : C C[A] C[A](c, q(A)) cq(A),dimanauntuksetiapc C,p(A), q(A) C[A]denganp(A) = p0 +p1A+ danq(A) =q0 +q1A+ hampirsemuapi, qj C,i, j Zbernilainolmemenuhiaturan:p(A) +q(A) = r0 +r1A+denganri= pi +qi, i Z,p(A)q(A) = r0 +r1A+denganri= piq0 +pi1q1 + +p1qi1, i Z,cq(A) = r0 +r1A+denganri= cqi, i Z,danuntuksetiapw CdanmatriksA=(aij)perkalianwAdidenisikandenganbaikkomponendemikomponen,yakniwA = (bij)denganbij= waij.Proposisi 2.5. HimpunanC[A] denganoperasi penjumlahan, perkalian, danperkaliandenganskalaryangtelahdidenisikansebelumnyamembentukaljabarataslapanganbi-langankompleks CBukti. Diambil sembarang p(A), q(A), r(A) C[A] dengan p(A) = p0 +p1A+ , q(A) =q0 +q1A+ ,danr(A) = r0 +r1A+ hampirsemuapi, qj, rk C,i, j, k Zbernilainol.1. Ditunjukkanberlakunyasifatkomutatifterhadappenjumlahanp(A) +q(A) = (p0+q0) +(p1+q1)A+ = (q0+p0) +(q1+p1)A+ = q(A) +p(A)2. DitunjukkanberlakunyasifatassosiatifterhadappenjumlahanBAB2. SPEKTRUMGRAF 23p(A) + (q(A) +r(A)) = p0 +p1 + + ((q0 +r0) + (q1 +r1)A+ )= (p0 +q0 +r0) + (p1 +q1 +r1)A+= ((p0 +q0) + (p1 +q1)A+ ) +p0 +p1 += (p(A) +q(A)) +r(A)3. Terdapato(A) C[A]dimanasemuakoesienoi= 0sehinggauntuksetiapp(A) C[A] denganp(A)=p0 + p1A +danhampirsemuapi C, i Zbernilai nolberlakup(A) +o(A) = (p0 + 0) + (p1 + 0)A+ = p0 +p1A+ = p(A),dano(A) +p(A) = (0 +p0) + (0 +p1)A+ = p0 +p1A+ = p(A).4. Untuksetiapp(A) C[A]denganp(A) = p0 +p1A+ danhampirsemuapi C,i Zbernilai nol, terdapat p(A) C[A] dimanapi= pi, i Zsedemikiansehinggap(A) +p(A) = (p0+p0) +(p1+p1)A+ = (p0p0) +(p1p1)A+ = o(A), danp(A) +p(A) = (p0 +p0) +(p1 +p1)A+ = (p0 +p0) +(p1 +p1)A+ = o(A).Diambil sembarangp(A), q(A), rA C[A] denganp(A) =p0+p1A+=

i=0piAi,q(A)=q0 + q1A + =

j=0qjAj, danr(A)=r0 + r1A + =

k=0pkAkhampirsemuapi, qj, rk C,i, j, k Zbernilainol.5. Ditunjukkanberlakunyasifatdistributifkirip(A) [q(A) +r(A)] =_

i=0piAi___

j=0(qj +rj)Aj__=_

i=0_i

k=0pik(qk +rk)_Ai_=_

i=0_i

k=0pikqk +i

k=0pikrk_Ai_= p(A)q(A) +p(A)r(A)6. DitunjukkanberlakunyasifatdistributifkananBAB2. SPEKTRUMGRAF 24[p(A) +q(A)] r(A) =_

i=0(pi +qi)Ai___

j=0rjAj__=_

i=0_i

k=0(pik +qik)rk_Ai_=_

i=0_i

k=0pikrk +i

k=0qikrk_Ai_= p(A)r(A) +q(A)r(A)7. Ditunjukkanberlakunyasifatassosiatifterhadapperkalianp(A)(q(A)r(A)) =_

i=0piAi___

j=0_j

k=0qjkrk_Aj__=

j=0_j

l=0_l

k=0qlkrk__Aj=

j=0_j

l=0l

k=0pjlqlkrk_Aj=

j=0_j

k=0j

l=kpjlqlkrk_Aj=

j=0_j

k=0jk

l=0pjlkqlrk_Aj=

j=0_j

k=0_jk

l=0p(jk)lql_rk_Aj=_

i=0_i

l=0pilql_Ai___

j=0rjAj__= (p(A)q(A))r(A).8. Terdapat i(A) =1 C[A] sehinggauntuksetiapp(A) C[A] denganp(A) =p0 +p1A+ danhampirsemuapi C,i Zbernilainolberlakup(A)i(A) = (p0 +p1A+ ) (1) = p0 +p1A+ = p(A),dani(A)p(A) = (1) (p0 +p1A+ ) = p0 +p1A+ = p(A).KarenaC[A] memenuhi sifat 1sampai 8makaC[A] disebut sebagai gelanggang. Se-lanjutnya, diambil sembarangp(A), q(A)C[A] denganp(A) =p0+p1A+danq(A) =q0+q1A+hampir semuapi, qjC, i, j, kZbernilai nol dandiambilsembarang1, w, z C.a. DitunjukkanberlakunyasifatdistributifskalarterhadapvektorBAB2. SPEKTRUMGRAF 25w(p(A) + q(A))=w((p0 +p1A+ ) + (q0 +q1A+ ))=w(p0+ p1A +) +w(q0 +q1A+ ) = wp(A) +wq(A)b. Ditunjukkanberlakunyasifatdistributifvektorterhadapskalar(w + z)p(A) = (w + z)(p0 + p1A + ) = w(p0 + p1A + ) + z(p0 + p1A + ) =wp(A) +zp(A)c. (wz)p(A) = wz(p0 +p1A+ ) = w(z(p0 +p1A+ ))w(zp(A)).d. 1p(A) = 1(p0 +p1A+ ) = p0 +p1A+ = p(A)Karena C[A]memenuhisifat1sampai4dansifatasampaidmaka C[A]disebutsebagairuang vektor. Akhirnya,diambilsembarang p(A), q(A) C[A]dengan p(A) = p0 +p1A+ dan q(A) = q0+q1A+ hampir semua pi, qj C, i, j, k Z bernilai nol dan diambilsembarangz Csedemikiansehinggaw(p(A)q(A)) = w((p0 +p1A+ )(q0 +q1A+ ))= (w(p0 +p1A+ ))(q0 +q1A+ )= (wp(A))q(A)= (w(p0 +p1A+ ))(q0 +q1A+ )= (wp0 +wp1A+ )(q0 +q1A+ )= (p0w +p1Aw + )(q0 +q1A+ )= (p(A)w)q(A)Denisi2.6. Misalkan adalah suatu graf dengan V ( = n). Aljabar ketetanggaan darigraf , dinotasikan /(), adalahaljabar dari polinomdenganvariabel berupamatriksAnndankoesienbilangankompleks, dimanaAmerupakanmatriksketetanggaandarigraf.Misalkan persamaan karakteristik dari graf dengan V (G) = n dan matriks ketetang-gaanAnnadalahC(A)(x) = xn+c1xn1+ +cn.BerdasarkanteoremaCayley-Hamilton,An+c1An1+ +cnIn= CA(A) = 0.Ini berarti matriksnol dituliskansebagai kombinasi linierdari_In, A, A2, . . . , An_den-gantidaksemuaskalarnyanol yakni koesiendari An. Dengandemikian, himpunanBAB2. SPEKTRUMGRAF 26_In, A, A2, . . . , An_yangmemilikiunsursebanyakn + 1buahtidaklahbebaslinier. Aki-batnya,dimensidari /()maksimaln.Berikutnyaakandibahastentanghubunganantarabanyaknyajalanpadasuatugrafdenganmatriksketetanggaannyayangdisajikanpadalemaberikut.Lema2.7. MisalkanadalahsuatugrafsederhanadenganV (G) = ndanmatrikskete-tanggaanA. Banyaknyajalandenganpanjangldarivikevjdiadalahentri(Al)ijdarimatriksAl.Bukti. Pembuktiandilakukandenganmenggunakaninduksi. Untuk k =0 diperolehA0=In. Dapatdiperhatikanbahwaentri-entri diagonal utamadari Inadalah1yangmenyatakan banyaknya jalan dengan panjang 0 dari vike visedangkan entri selain diago-nalutamabernilainolyangmenyatakanbanyaknyajalandenganpanjang0darivikevjdengani ,= j. IniberartiLematersebutbenaruntukkasusk = 0.Untukk=1diperolehA1=A. Entri-entri matriksApadadiagonal utamabernilainol yang berarti tidak ada jalan dengan panjangnya 1 dari vike visedangkan untuk i ,= j,entri selain diagonal utama bernilai 1 jika vibertetangga dengan vjyang berarti terdapatsebuahjalandenganpanjang1dari vikevjdanbernilai 0jikavidanvjyangberartitidakterdapatjalandenganpanjang1dari vikevj. Jadi, lemajugabenaruntukkasusk = 1.Asumsikanlemabenaruntukk=L. Akandibuktikanlemmaini jugabenaruntukk = L+1. Diambil sebarang vi, vj V . Untuk mendapatkan jalan dengan panjang L+1darivikevj,tinjausemuatitikyangbertetanggadenganvj. Untuksetiapvhvj E(),banyaknyajalandenganpanjangLdari vikevhadalah_AL_ih, yaituentri baris ke-ikolom ke-h pada matriks AL. Berdasarkan hal tersebut,banyaknya jalan dengan panjangL + 1dari vikevjadalah

(vhvj)E()(AL)ih. Karenaentri ahjbernilai 1jikavhdanvjbertetanggadanbernilai0jikavhdanvjtidakbertetanggamakabentuksigmaterakhirdapatdiperumumuntuksemuatitikv V ()menjadin

h=1(AL)ihahj= (ALA)ij= (AL+1)ij.Dengandemikian, dapat diperhatikanbahwabanyaknyajalandari vikevjyangpan-jangnyaL + 1adalahentri_AL+1_ij. Jadi, lematerbukti berdasarkaninduksi matem-atika.BAB2. SPEKTRUMGRAF 272.3 HubunganAntaraAljabarKetetangganDenganSpek-trumGrafPadapembahasanini, graf selaludiasumsikansederhanadanmempunyai berhinggatitikV () = v1, . . . , vn.Proposisi 2.8. Misalkangrafterhubungdenganaljabarketetanggaan /()dandiam-eterk. Dimensidari /()minimal k + 1.Bukti. Diambilsembarangx, y V dengand(x, y) = k. Misalkanx = w0, w1, ..., wk= yadalahjalandari xkeydenganpanjangk. Karenadiam()=kmakatidakadajalandari xke y denganpanjangkurangdari k. Karenaterhubungmakauntuksetiapi 1, 2, ..., k, terdapat palingsedikit 1buahjalandenganpanjangi dari w0ke witetapi bukanmerupakanjalanterpendek. Misalkansajaw0=vkdanwi=vl. Ak-ibatnya,_Ai_kl,=0dan(In)kl=(A)kl=_A2_kl=... =_Ai1_kl=0. Mengingatentri baris kkoloml tersebut, Aitidakakanbisadinyatakansebagai kombinasi linierdari_In, A, A2, ..., Ai1_. Akibatnya,_In, A, A2, ..., Ai_merupakanhimpunanbebaslin-ier. Karenahal tersebutberlakuuntuksembarangi 1, 2, ..., kmakadapatdipilihiterbesaryaknii = kuntukmendapatkanIn, A, A2, ..., Ak /()bebaslinier. Iniberartipalingsedikitk + 1matrikstersebutdapatmenjadi unsur-unsursuatubasisbagi /().Dengandemikian,dimensidari /()minimalk + 1.Terdapatsuatuhubunganantaraaljabarketetanggaandenganspektrumsuatugraf. MisalkanAnn, matriksketetanggaandari graf , memiliki sbuahnilai eigenyangberbeda. Akan ditunjukkan bahwa dim/() = s. Karena A adalah suatu matriks Hermitmakapolinomminimal dari Amempunyai derajat s. Misalkanpolinomminimal dariAadalahMA(x) =xs+c1xs1+ +cn. Ini berarti, As+c1As1+ +cnIn=MA(A) =0. Perhatikanbahwa0tidakdapat dinyatakansebagai kombinasi linier dari_As, As1, . . . , A, In_dengansemuaskalarnyanol karenakoesiendari Asbernilai 1.Akibatnya, subhimpunan /()yangmemuats + 1unsurtidakbebaslinier. Andaikanhimpunan_As1, . . . , A, In_ /() tidak bebas linier. Akibatnya, terdapat skalar ki ,= 0dimana i diasumsikan sebagai indeks terbesar sedemikian sehingga ks1As1+ +k1A+k0In=0dengankjC. Denganmembuangsukubernilai nol denganindeks j >idanmembagi kedua ruas dengankiakandiperolehM

A(A) =Ai+ki1kiAi1+ +BAB2. SPEKTRUMGRAF 28k1kiA +k0kiIn=0. AkibatnyaterdapatpolinomdenganM

x(A)denganderajati kurangdari ssehinggaM

A(A)=0. Kontradiksi denganpolinomminimal MA(A)berderajatsJadi,_As1, . . . , A, In_ /()denganbanyaknyaunsursbuahbebaslinier. Akibatnyadim/() = s.Akibat2.9. Suatu graf terhubung dengan diameter kmemiliki paling sedikit k+1 buahnilaieigenyangberbeda.Bukti. Karenadiam()=kmakamanurutproposisi 2.8, dim(/()) k + 1. Andaikanmatriks ketetanggaan A = A() mempunyai paling banyak knilai eigen berbeda. KarenaA adalah suatu matriks Hermit maka polinom minimal dari A mempunyai derajat s dengans k. Misalkan polinom minimal dari A adalah MA(x) = xs+c1xs1++cn. Ini berarti,As+c1As1++cnIn= MA(A) = 0. Perhatikan bahwa 0 tidak dapat dinyatakan sebagaikombinasi linierdari_As, As1, . . . , A, In_dengansemuaskalarnyanol karenakoesiendariAsbernilai1. Akibatnya,subhimpunan /()yangmemuats +1unsurtidakbebasliniersehinggadim(/()) s k 1> 2>> s1. Jikaq() =

1is1( i)makaJ =_nq(k)_q(A)Bukti. Dari proposisi 3, diperolehq(A)=J, untuksuatu. Akanditunjukkansemuanilaieigendariq(A)adalahq(k)danq(i), 1 i s 1. MisalkanAx = kxdenganx ,= 0adalahvektoreigendariAyangberkorespondensidengannilaieigenkdanAvi= ivi;1 i s 1denganvi ,= 0adalahvektoreigendariAyangberkorespondensidengannilaieigeni.Misalq(A) = (A1I)(A2I)...(As1I)q(A) =as1As1+ as2As2+ ... + a1A1+ a0I ; untuksuatukonstantaai;1 i s 1Perhatikanbahwaq(A)x = (as1As1+as2As2+... +a1A1+a0I)x= as1As1x +as2As2x +... +a1A1x +a0Ix= as1ks1x +as2ks2x +... +a1k1x +a0x= (as1ks1+as2ks2+... +a1k1+a0)xBAB3. GRAFREGULERDANGRAFGARIS 35= q(k)xArtinyaq(k)adalahnilaieigendariq(A).Selanjutnya,q(A)vi= (as1As1+as2As2+... +a1A1+a0I)vi= as1As1vi +as2As2vi +... +a1A1vi +a0Ivi= as1s1ivi +as2s2ivi +... +a11ivi +a0vi= (as1s1i+as2s2i+... +a11i+a0)vi= q(i)viArtinyaq(i)adalahnilaieigendariq(A).Daridenisiq(),q(i) = 0untuksetiap1 i s 1,sedangkanq(k) ,= 0.Klaimnilai eigenq(A) yangtaknol hanyalahq(k). Andaikanadaduanilai eigenq(A) yangtaknol, katakanr1danr2denganr1 ,=r2. Tulis q(A)w1=r1w1denganw1 ,=0adalahvektoreigendari q(A)yangberkorespondensi dengannilai eigenr1danq(A)w2=r2w2denganw2,=0adalahvektor eigendari q(A) yangberkorespondensidengannilai eigenr2. Karenaw1danw2adalahvektor eigenyangberkorespondensidengannilai eigenyangberbeda, w1danw2bebaslinier. Sehinggar1w1danr2w2jugabebas linier. Artinyadim(q(A)) 2. Hal ini kontradiksi denganq(A) =Jkarenaq(A) = Jmenyebabkanq(A)berdimensi1. Jadinilaieigenq(A)yangtaknolhanyalahq(k). SementaranilaieigentaknoldariJadalahn.Buktinya: MisalkanadalahnilaieigentaknoldariJ.Tulis Jx = x ; dengan x ,= 0 adalah vektor eigen dari J yang berkorespondensi dengannilaieigen.Perhatikanbahwa________ ... ... ............ ... ________________x1x2...xn________= ________x1x2...xn________________(x1 +x2 +... +xn)(x1 +x2 +... +xn)...(x1 +x2 +... +xn)________=________x1x2...xn________BAB3. GRAFREGULERDANGRAFGARIS 36Sehinggadiperoleh___(x1 +x2 +... +xn) = x1(x1 +x2 +... +xn) = x2...(x1 +x2 +... +xn) = xn___(x1) = (x2) = ... = (xn)Karena ,= 0, x1= x2= ... = xn.Misalkanx1= x2= ... = xn= a. Maka________nana...na________=________aa...a________n________aa...a________= ________aa...a________Jadi, = nadalahnilaieigentaknoldariJ. Sehinggadiperoleh = q(k)/n.Contoh3.5. Dari contoh2diperolehdet(I A)=( 2)(2+ 2 + 1). Jadi q()=2+ 2 + 1. Perhatikanbahwa:_nq(k)_q(A) =_322+ 2 2 + 1_________0 1 11 0 11 1 0__2+ 2__0 1 11 0 11 1 0__+__1 0 00 1 00 0 1________=13_______2 1 11 2 11 1 2__+__0 2 22 0 22 2 0__+__1 0 00 1 00 0 1_______=13__3 3 33 3 33 3 3__=__1 1 11 1 11 1 1__= JBAB3. GRAFREGULERDANGRAFGARIS 37MatriksSberukurannndikatakanmatrikssirkulanjikaentri-entrinyamemenuhisij=s1,ji+1dimanaindeks-indeksnyabilanganmodulondanterletakdi himpunan1, 2, . . . , n. Dengan kata lain baris i dari matriks Sdidapatkan dari baris pertama yangdigeserkekanansebanyaki 1. Sehinggasebarangmatrikssirkulandapatditentukandari barispertamanya. MisalkanWmatrikssirkulandenganbarispertamanyaadalah[0, 1, 0, . . . , 0] dan S matriks sirkulan dengan baris pertamanya adalah [s1, s2, . . . , sn]. Per-hatikanbahwan

j=1sjWj1= s1W0+s2W1+s3W2+... +snWn1= s1___________1 0 0 ... 00 1 0 ... 00 0 1 ... 0............0 0 0 ... 1___________+s2___________0 1 0 ... 00 0 1 ... 00 0 0 ... 0............1 0 0 ... 0___________+s3___________0 0 1 0 ... 00 0 0 1 ... 00 0 0 0 ... 0............0 1 0 0 ... 0___________+... +sn___________0 0 0 ... 11 0 0 ... 00 1 0 ... 0............0 0 0 ... 0___________=___________s1s2s3... snsns1s2... sn1sn1sns1... sn2............s2s3s4... s1___________= SJadi S =n

j=1sjWj1.AkandicarinilaieigendariW.BAB3. GRAFREGULERDANGRAFGARIS 38det(I W) = det_______________ 1 0 ... 0 00 1 ... 0 00 0 ... 0 0...............0 0 0 ... 11 0 0 ... 0 _______________0 = 1 ... 0 00 ... 0 0............0 0 ... 10 0 ... 0 + (1)n1(1)1 0 ... 0 0 1 ... 0 00 ... 0 0............0 0 ... 10 = . ... 0 0.........0 ... 10 ... 0 + (1)n1(1)(1)1 ... 0 0 ... 0 0.........0 ... 10 = .n1+ (1)n1(1)(1)n10 = n+ (1)2n1= n1n= 1r= e2ri/ndenganr = 0, 1, 2, ..., n 1Sehingganilai-nilai eigendari Wadalah1, , 2, . . . , n1dimana=exp(2i/n),akibatnyanilai-nilaieigendariSadalah0= s1 +s2 +s3 +... +sn1= s1.1 +s2.1+s3.2+... +sn.n12= s1.1 +s2.2+s3.4+... +sn.2(n1)...n1= s1.1 +s2.(n1)+s3.2(n1)+... +sn.(n1)(n1)Atausecaraumumdapatdituliskanr=n

j=1sj(j1)r,r = 0, 1, . . . , n 1.S.uatugrafsirkulanadalahgrafdimanatitik-titiknyadapatdiurutkansehinggama-triksketetanggaanA()adalahmatrikssirkulan. MatriksketetanggaanadalahmatriksBAB3. GRAFREGULERDANGRAFGARIS 39simetri dengan entri nol pada diagonal utama. Akibatnya jika baris pertama matriks kete-tanggaandari graf sirkulanadalah[a1, a2, . . . , an] makaa1=0danai=ani+2untuki = 2, . . . , n.Proposisi 3.6. Misalkan[0, a2, . . . , an] adalahbarispertamadari matriksketetanggaansuatugrafsirkulanmakanilai-nilaieigendariadalahr=n

j=2aj(j1)r,r=0, 1, . . . , n 1.Bukti. KarenamatriksketetanggaandarigrafdapatditulisA() =n

j=2ajWj1,nilai-nilaieigendariA()adalahr=n

j=2aj(j1)r,r=0, 1, . . . , n 1.Contoh3.7. Menghitungnilai-nilaieigendarigrafsirkulan.Contohpertama, graf lengkapKnadalahgraf sirkulandenganbaris pertamamatriksketetanggaannya adalah [0, 1, 1, . . . , 1]. Berdasarkan proposisi 7, nilai eigen dari Kn adalah0= a2 +a3 +... +an= n 11= a2.1+a3.2+... +an.n1= 1+2+... +n12= a2.2+a3.4+... +an.2(n1)= 2+4+... +2(n1)...n1= a2.(n1)+a3.2(n1)+... +an.(n1)(n1)= (n1)+2(n1)+... +(n1)(n1)Karena 1+r+ +(n1)r= 0 untuk r 1, 2, . . . , n1, nilai eigen dari Knadalahn 1dan-1. SehinggaspectrumKnadalah:SpecKn=__n 1 11 n 1__.ContohkeduaadalahgraflingkaranCndimanamatriksketetanggaannyaadalahma-triks sirkulandenganbaris pertamaadalah[0, 1, 0, . . . , 0, 1]. Berdasarkanproposisi 7,BAB3. GRAFREGULERDANGRAFGARIS 40nilai-nilai eigennyaadalahr=2cos(2r/n)yangsemuanyabelumtentuberbeda; den-ganmelihatsemuabentuknilai-nilaieigennyakitaperolehspectrumnyaadalah:SpecCn=__2 2cos2/n . . . 2cos(n 1)/n1 2 . . . 2__(nganjil),SpecCn=__2 2cos2/n . . . 2cos(n 2)/n 21 2 . . . 2 1__(ngenap).3.3. GrafGarisMisalkan adalah suatu graf dengan himpunan sisi E=e1, e2, ..., em dan himpunantitikV =v1, v2, ..., vn. Matriksketetanggaansuatugraf adalahsuatumatriksA=A()nndimana(A)ij=___1, jikavidanvjbertetangga;0, jikavidanvjtidakbertetangga.Berdasarkandenisidiatas,Aadalahsuatumatrikssimetridansetiapunsurpadadiag-onalutamaadalah0.Contohnya,grafyangterdiridari4titikdan5sisiberikut. MatriksketetanggaandariGambar3.3: grafgraftersebutadalahA =________0 1 1 11 0 1 01 1 0 11 0 1 0________BAB3. GRAFREGULERDANGRAFGARIS 41Dari suatugraf dapat dibentukgraf garis L(), dimanasetiapsisi di adalahtitikdi L()danuntuksetiaptitikpadayangterkaitpadasisi eadansisi yanglainmisal eb, makaeadanebbertetanggadi L(). Dari L()dapatjugadibentukmatriksketetanggaannyayaituALberukuranmmdimana(AL)ij=___1, jikaeidanejbertetangga;0, jikaeidanejtidakbertetangga.Sebagai contoh, graf garis L() dan matriks ketetanggaan AL dari graf di atas adalahGambar3.4: ContohgrafL()AL=___________0 1 0 1 11 0 1 0 10 1 0 1 11 0 1 0 11 1 1 1 0___________DenisikanmatriksXnmsebagaiberikut.(X)ij=___1, jikavidanejterkait;0, jikavidanejtidakterkait.Sebagaicontoh,matriksXdarigrafdiatasadalahX=________1 0 0 1 11 1 0 0 00 1 1 0 10 0 1 1 0________Denisidiatasakandigunakanuntukmembuktikanlemaberikut.BAB3. GRAFREGULERDANGRAFGARIS 42Lema3.8. Didenisikan, A, L(), ALdanXsepertidiatas. Maka1. XtX= AL + 2Im2. Jikaadalahgrafk-reguler,makaXXt= A+kInBukti. 1.Misalkan (X)ij=________x11x12... x1mx21x22... x2m............xn1xn2... xnm________(X)ijt=________x11x21... xn1x12x22... xn2............x1mx2m... xmn________XtX=_____x11.x11 +x21.x21 +... +xn1.xn1x11.x12 +... +xn1.xn2... x11.x1m +... +xn1.xnm............x1m.x11 +x2m.x21 +... +xnm.xn1x1m.x12 +... +xnm.xn2... x1m.x1m +... +xnm.xnm_____Sehingga(XtX)ij=n

l=1(X)li(X)lj(3.1)Daridenisi(X)ijdandari(1)maka(XtX)ijadalahbanyaknyatitikvlyangterkaitdengansisieidanej.Jikai =j, artinyabanyaknyatitikvlyangterkaitdengansisi eiyaitusebanyak2.Sehingga(XtX)ij=2,untuki = j.Jika i ,= jartinya banyaknya titik vlyang terkait dengan sisi eidan ejyaitu sebanyak1 (jika eidan ejbertetangga) atau 0 (jika eidan ejtidak bertetangga). Sehingga (XtX)ij=1(jikaeidanejbertetangga)atau(XtX)ij=0(jikaeidanejtidakbertetangga).Perhatikanbahwa(AL + 2Im)ij=___2, jikai = j;1, jikai ,= j,eidanejbertetangga;0, jikai ,= j,eidanejtidakbertetangga.dapatdilihatbahwa(XtX)ij=(AL + 2Im)ij. Terbukti(XtX) = AL + 2Im.BAB3. GRAFREGULERDANGRAFGARIS 432.DenganpemisalanXdanXtdiatas,diperolehXXt=_____x11.x11 +x12.x12 +... +x1m.x1mx11.x21 +... +x1m.x2m... x11.xn1 +... +x1m.xmn............xn1.x11 +xn2.x12 +... +xnm.x1mxn1.x21 +... +xnm.x2m... xn1.xn1 +... +xnm.xmn_____Sehingga(XXt)ij=n

1=1(X)il(X)jl(3.2)Dari denisi (X)ijdandari (2)maka(XXt)ijadalahbanyaknyasisi elyangterkaitdengantitikvidanvj.Jikai =j, artinyabanyaknyasisi elyangterkait dengantitikviyaitusebanyakk(karenaadalahgrafregulerberderajatk). Sehingga(XtX)ij=k,untuki = jJika i ,= jartinya banyaknya sisi elyang terkait dengan titik vidan vjyaitu sebanyak1 (jika vidan vjbertetangga) atau 0 (jika vidan vjtidak bertetangga). Sehingga (XXt)ij=1(jikavidanvjbertetangga)atau(XXt)ij=0(jikavidanvjtidakbertetangga).Sekarangperhatikanbahwa(A+kIn)ij=___k, jikai = j;1, jikai ,= j,vidanvjbertetangga;0, jikai ,= j,vidanvjtidakbertetangga.dapatdilihatbahwa(XXt)ij=(A+kIn)ij. Terbukti(XXt) = A+kIn.Contoh3.9. Berdasarkancontohdiatas,matriksXdanXtdarigrafadalahsebagaiberikut.X=________1 0 0 1 11 1 0 0 00 1 1 0 10 0 1 1 0________Xt=___________1 1 0 00 1 1 00 0 1 11 0 0 11 0 1 0___________BAB3. GRAFREGULERDANGRAFGARIS 44SehinggadiperolehXtX=___________1 1 0 00 1 1 00 0 1 11 0 0 11 0 1 0___________________1 0 0 1 11 1 0 0 00 1 1 0 10 0 1 1 0________=___________2 1 0 1 11 2 1 0 10 1 2 1 11 0 1 2 11 1 1 1 2___________=___________0 1 0 1 11 0 1 0 10 1 0 1 11 0 1 0 11 1 1 1 0___________+ 2___________1 0 0 0 00 1 0 0 00 0 1 0 00 0 0 1 00 0 0 0 1___________= AL + 2ImdanXXt=________1 0 0 1 11 1 0 0 00 1 1 0 10 0 1 1 0___________________1 1 0 00 1 1 00 0 1 11 0 0 11 0 1 0___________=________3 1 1 11 2 1 01 1 3 11 0 1 2________=________0 1 1 11 0 1 01 1 0 11 0 1 0________+ 2________1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1________,= A+kIn(karenatidakreguler)Proposisi3.10. JikaadalahnilaieigendariAL,maka -2.Bukti. MisaladalahnilaieigendariXtX,makaXtX.z= .zdenganzadalahvektoreigenyangbersesuaiandenganztXtXz= .ztzDisisilain, | Xz |2= < Xz, Xz> = (Xz)t.Xz = ztXtXz.BAB3. GRAFREGULERDANGRAFGARIS 45Karena | Xz |20,ztXtXz 0. Sementaraztz 0. Maka 0.PandangXtX.z = .z(AL + 2Im).z = .zAL.z + 2Im.z = .zAL.z = 2Im.z +.zAL.z = ( 2).Im.zAL.z = ( 2).zAL.z = .zKarena 0,nilaieigendariALyaitu -2.Satu fakta tentang hubungan graf reguler dengan graf garisnya yaitu jika graf regulerberderajatkmakagraf garisL()adalahgraf regulerdenganderajat2k 2. Teoremaberikutmenjelaskanhubunganantarapolinomial karakteristikdari suatugraf regulerdenganpolinomialkarakteristikdarigrafgarisL(). Sehinggabila kitatelahmengetahuipolinomial karakteristik dari suatu graf reguler kita dapat langsung mengetahui polinomialkarakteristikgrafgarisL()tanpamenghitungdet(I AL)lebihdulu.Teorema3.11. (Sachs1967)Jikasuatugraf regulerberderajat kdenganntitikdanm =12nksisimaka(L(); ) = ( + 2)mn(; + 2 k).Bukti. Denisikanduamatriksyangdipartisidenganukuran(n + m)(n + m)sebagaiberikut:U =__InX0 Im__, V =__InXXtIm__.MakakitaperolehUV =__In XXt0XtIm__, VU =__In0XtIm XtX__.BAB3. GRAFREGULERDANGRAFGARIS 46Kitadapatmenggunakanekspansi kofaktoruntukmenghitungdet(UV)dandet(VU).Sehinggakitaperolehdet(UV)=mdet(In XXt)dandet(VU)=ndet(Im XtX).Karenadet(UV)=det(U)det(V)=det(VU)makamdet(In XXt) = ndet(Im XtX).Akibatnya,untuk ,= 2,(L(); ) = det(Im AL)= det(( + 2)Im XtX)= ( + 2)mndet(( + 2)In XXt)= ( + 2)mndet(( + 2 k)In A)= ( + 2)mn(; + 2 k).Sedangkanuntuk = 2,(L(); 2) = det(2Im AL)= det(XXt)= det((A+kIn))= det(kIn A))= (; k)Jikasuatugrafregulerdanspectrumdariadalahsebagaiberikut:Spec =__k 1. . . s11 m1. . . ms1__,BAB3. GRAFREGULERDANGRAFGARIS 47Artinyapolinomial karakteristikdari graf yaitu(; ) =( k)( 1)m1. . . ( s1)ms1. Berdasarkanteorema12kitaperoleh(L(); ) = ( + 2)mn(; + 2 k)= ( + 2)mn( + 2 k k)( + 2 k 1)m1. . . ( + 2 k s1)ms1= ( + 2)mn( 2k + 2)( k + 2 1)m1. . . ( k + 2 s1)ms1.Sehinggakitaperolehbahwa2k 2, 2dank 2 + iuntuk1 i s 1adalahnilai-nilaieigendariL(). Dapatdiperiksabahwamasing-masingnilaieigendariL()diatassemuanyaberbeda. AkibatnyaspectrumdariL()bisakitatuliskanmenjadiSpecL() =__2k 2 k 2 +1. . . k 2 +s121 m1. . . ms1mn__.Sebagai contoh, misalkanKtgraf lengkapdengant titik. Graf garisL(Kt) kadangdi-namakantrianglegrafdanditulist. PerhatikanhimpunanI= 1, 2 . . . , t, makatitikpada graf garis bisa kita tulis sebagai pasangan bilangan dari I. Sehingga banyaknya titikdarigrafgarisdarigrafKtyaitu12t(t 1). Lebihjelasnyaangkainikitaperolehdenganalasansebagai berikut. Setiaptitikpadagraf garis merupakansisi padaKt, sehinggadapat direpresentasikan sebagai pasangan tak terurut (a, b) dimana a, b Idan ab adalahsisi pada graf Kt. Selain itu setiap titik (a, b) di tberlaku a ,= b. Jadi banyaknya titik ditsamadengansetengahdari banyaknyacaramengisi komponenpertamadanmengisikomponen kedua yang berbeda dari digit pertama pada (a, b). Sekarang dengan represen-tasi di atas, sisi padatberkorespondensi denganduapasanganterurutyangmemilikisatudigityangsama.KitaketahuipadapembahasansebelumnyaspectrumdariKtyaituSpecKt=__t 1 11 t 1__.AkibatdariteoremadiataskitaperolehSpect=__2t 4 t 4 21 t 112t(t 3)__.Bab4CycledanCutMisalkan C dinotasikan sebagai lapangan atas bilangan kompleks, dan X adalah sebaranghimpunan berhingga. Misalkan himpunan seluruh fungsi dari X ke C mempunyai strukturruangvektorberdimensi hingga. Misal f:X Cdang:X C, dimanaoperasinyamemenuhi:(f+g)(x) = f(x) +g(x), (f)(x) = f(x), (x X, C)R. uangtitikC0()dari suatugraf adalahruangvektordari semuafungsi V C.RuangsisiC1()darisuatugrafadalahruangvektordarifungsiE C.MisalV = v1, v2, . . . , vn,E = e1, e2, . . . , en. AkandibuktikanC0()danC1()adalahruangvektor.C0() = f[f: V CDenisikanoperasi+ : C0() C0() C0()oleh(f, g) f+g(f+g)(x) = f(x) +g(x) : C0() C0() C0()48BAB4. CYCLEDANCUT 49oleh(, f) fSifat-sifatruangvektoryangharusdipenuhiyaitu:(1)(f+ g)(x) =f(x) + g(x) =g(x) + f(x) =(g+ f)(x) karenaf(x), g(x) C(sifatkomutatif)(2)((f+ (g+ h))(x)=f(x) + (g+ h)(x)=f(x) + g(x) + h(x)=(f+ g)(x) + h(x)=((f+g) +h)(x)karenaf(x), g(x), h(x) C(sifatassosiatif)(3)0 C0()xi V (), 1 i nsedemikianhingga(f+ 0) = fmisalkan0 : vi()) 0(f+ 0)(xi) = f(xi) + 0(xi) = f(xi) + 0 = f(xi)(4) f C0(), f C0()sedemikianhinggaf+ (f))(x) = f(x) f(x) = 0 = 0(x)(5)((f+g))(x) = (f+g)(x) = (f(x) +g(x)) = f(x) +g(x) = (f+g)(x)(6)(( +)f))(x) = ( +)f(x) = f(x) +f(x) = (f+f)(x)(7) (()f)(x) = (f)(x) = ()f(x) = (f(x) = ((f))(x) = (f(x) = ((f))(x)(8)(1 f)(x) = 1 f(x) = f(x)Jadi C0()adalahruangvektor. DenganlangkahpengerjaanyangsamaakanterbuktibahwaC1()jugamerupakanruangvektor.SelanjutnyaakanditunjukkandimC0()=ndandimC1() = m.BAB4. CYCLEDANCUT 50MisalkanV =v1, v2, ..., vndanmisalkanA=a1, a2, ..., anadalahbasis standart dariC0(),didenisikanoleh:ai(vj) =___1, ifi = j;0, yanglain.Ambilsebarangf C0()danmisalkanf(vi) = kiuntuksuatuki C .Akanditunjukkanf=

iaiuntuksuatui C, i=1, 2,...,n. Pilihi=ki(domainfdan

iaiadalahC0()).Selanjutnyaambilvj C0())sebarangmakaf(vj) = kj.

iai(vj) =

kiai(vi)

iai(vj) = kjaj(vj) = kj. JadiaimembangunC0()Selanjutnyaperhatikankombinasilinier1a1 +2a2 +... +nan= 0Ambilsebarangvj V Tulis

iai(vj) = jaj(vj) = j= 0(vj) = 0Jadiaibebaslinier.Karenaaimembangundanbebasliniermakaaimerupakanbasisbagi C0(), sehinggadapatdisimpulkandimC0()=nSelanjutnyasetiapfungsif: V Cdapatdirepresentasikanolehvektorkolomy= [y1, y2, ..., yn]tdimanayi= f(ai)(1 i n).SelanjutnyamisalkanE=e1, e2, ..., emdanmisalkanjugaMisalB= b1, b2, ..., bnadalahbasisstandartdariC1(),didenisikanoleh:bi(ej) =___1, ifi = j;0, yanglain.Ambilsebarangf C1()danmisalkanf(ei) = kiuntuksuatuki C .Akanditunjukkanf=

ibiuntuksuatui C, i=1, 2,...,m. Pilihi=ki(domainfdan

ibiadalahC1()).Selanjutnyaambilej C1())sebarangmakaf(ej) = kj.BAB4. CYCLEDANCUT 51

ibi(ej) =

kibi(ei)

ibi(ej) = kjbj(ej) = kj. JadibimembangunC1()Selanjutnyaperhatikankombinasilinier1b1 +2b2 +... +mbm= 0Ambilsebarangej ETulis

ibi(vj) = jbj(vj) = j= 0(vj) = 0Jadibibebaslinier.Karenabimembangundanbebasliniermakabimerupakanbasisbagi C1(), sehinggadapatdisimpulkandimC1()=mSelanjutnyasetiapfungsif: E Cdapatdirepresentasikanolehvektorkolomx = [x1, x2, ..., xn]tdimanaxi= f(bi)(1 i m).Pandangedgee=(v, v) dari dipilihvsebagai positiveend, danvsebagainegativeend. Prosedurinidinamakanmemberikan()suatuorientation.M.atrikincidensiDnmdari()denganorientasididenisikanoleh:dij=___+1, vipositiveenddariej;1, vinegativeenddariej;0, yanglain.Denganbarisnyabersesuaiandenganvertek- vertek, dankolomnyabersesuaiandenganedge-edge. Misaldiberikan:Makamatriksincidensinyaadalah:D =_____1 0 11 1 00 1 1_____(4.1)BAB4. CYCLEDANCUT 52Gambar4.1: K3Dapatdilihatbahwasetiapkolomdarigraphmemuathanyaduaentryyangtidaknolyaitu+1dan-1.Dianggapdadalahmatriksrepresentasi denganbasisstandartdari pemetaanlinierf :C1 C0. PemetaaninidisebutpemetaaninsidensidandinotasikandenganD.untuksetiapg: E CmakafungsiDg: V CdidenisikandenganDg(vi) =m

j=1dijg(ej) (1 i n)Proposisi 4.1. Matriks insidensi Ddari graf mempunyai rank=n c, dimanacmerupakanbanyaknyakomponenterhubungpadagrafdankomponenmerupakansubgrafterhubungyangmaksimal.Bukti. MatriksinsidensiDbisaditulisdalambentukpartisisebagaiberikut:D =__D(1)000 D(2) 0............0 0D(c)__denganpelabelanyangsesuai padatitik-titikdansisi-sisi padagraf , dimanamatriksD(i)untuk1 i cmerupakanmatriksinsidensidarikomponen(i)padagraf.AkandibuktikanbahwarankDadalahn c.PertamaakandibuktikanbahwarankD(i)adalahni 1,dimanani=V (i). Perludiketahui bahwa rank sebuah matriks adalah banyaknya baris bebas linier yang maksimal.BAB4. CYCLEDANCUT 53MisaldjdinotasikansebagaibarispadaD(i)yangberkorespondensidengantitikvjpada(i). TinjauentridisetiapkolompadaD(i). Karenahanyaterdapatsatu+1dansatu-1disetiapkolom,makajumlahdarisemuabarispadaD(i)menghasilkanvektor0.Pandangkombinasilinier1d1 +2d2 + +ndn= 0, (4.2)Karena

n1 dj= 0,makakombinasilinier(1)terpenuhiolehj ,= 0untuksetiap1 j n. Sehingga d1, d2, , dntidakbebaslinier(bergantunglinier), dandiperolehrankD(i) ni 1.Kemudianpilihbarisdkdengank ,=0. Perhatikanbahwaentri taknol padabarisdkyangberkorespondensidengansisi, misalet, berinsidensidengantitikvk. Jadihanyaterdapatsatubarislain,sebutdl,dimanaentritaknolnyajugaberkorespondensidengansisi et, berinsidensi dengan titik vl. Perhatikan bahwa entri tak nol pada kolom et hanyalah+1dan-1. Sehinggakombinasilinier1d1 + +kdk + +ldl+ +ndn= 0dengank ,= 0menyebabkank= l.Selanjutnyajikak ,=0makak=luntuksetiaptitikvkyangbertetanggaden-gantitikvl. Karena(i)merupakansubgraf terhubung, makasetiapsisi eakanberte-tangga dengan dua titik v, vmenyebabkan koesien jakan bernilai sama untuk setiap1 j n, dapatditulisj=, untuksemuaj=0atauj ,=0. Sehinggakombinasilinier(1)bisaditulisdengan

n1 dj= 0.Akandibuktikan d1, d2, , dn1bebaslinier.Pandangkombinasilinier1d1 +2d2 + +n1dn1= 0, (4.3)Perhatikanbahwakombinasilinier(3)bisaditulissebagaiBAB4. CYCLEDANCUT 541d1 +2d2 + +n1dn1 +0.dn= 0Karenaj=, untuksetiap, maka1=2==n1=0=n. Jadi kombinasilinier (3) dipenuhi hanya oleh 1= 2== n1= 0, dan diperoleh d1, d2, , dn1bebaslinier.Jadi rank D(i)adalah ni1. Karena rank D merupakan penjumlahan dari rank D(i),makarankDadalahn c.Contoh4.2. Diberikangrafdengan2komponen, sebagaiberikut: diperolehmatriksGambar4.2: graf-1insidensiD =__+1 0 +1 01 1 0 00 +1 1 00 0 0 10 0 0 +1__denganasumsiarahpanahmasukmerupakanujungpositifdanujungnegatifuntuklain-nya.MatrikDtersebutbisadipartisimenjadi2,karenagrafmempunyai2komponen.Perhatikan matriks insidensi untuk komponen pertama berikut : D(1)=__+1 0 +11 1 00 +1 1__.Misald1,d2,d3merupakanbaris-barisdiD(1),makad1+d2+d3= 0.BAB4. CYCLEDANCUT 55Pandangkombinasilinier1d1 +2d2 +3d3= 0, (4.4)Tulis1_____+10+1_____+2_____110_____+3_____0+11_____=_____000_____pilih1= 2= 3= 2 ,= 0,se-hinggakombinasilinier(3)terpenuhi. Dapatdisimpulkanbahwa d1, d2, d3bergantunglinierdanrankD(1) 2.Pilihbarisdengankoesien ,=0, misal d2, yangberkorespondensi denganv2. Karenav2bertetanggadenganv3danpadasetiapkolomdi D(1)hanyaterdapat satu+1dansatu-1, menyebabkan2=3. Dankarenav3jugabertetanggadenganv1, diperoleh3=1. Sehingga1=2=3. Sehinggakombinasi linier (3) bisaditulis dengan(d1+d2+d3) = 0.Kemudianakandibuktikan d1, d2bebaslinier.Pandangkombinasilinier1d1 +2d2= 0, (4.5)Kombinasilinierdiatasdapatditulisdengan1d1 +2d2 + 0.d3= 0Karena1= 2=3dan 3= 0, maka kombinasi linier (4) dipenuhi hanya oleh 1= 2= 0. Jadi d1, d2bebaslinier. SehinggarankD(1)= 2.D. iberikangraf dengann-titik, m-sisi danc-komponen. Rank dari graf , ditulisdenganr()adalahn c. Co-rankdarigraf,ditulisdengans()adalahmn +c.Misal Qmerupakanhimpunansisi-sisi padagrafsehinggasubgraf Qadalahgrafsiklus. Q disebut cycle pada graf . Perhatikan bahwa terdapat dua kemungkinan orientasipadaQ,yaknisearahjarumjamatauberbedaarahjarumjam.PilihsalahsatudariduakemungkinanorientasipadaQ.DefenisikanfungsiQ: EQ CdimanaQ C1().BAB4. CYCLEDANCUT 56Gambar4.3: graf-2Q(e) =___+1, e Q, orientasi e Q=orientasi e 1, e Q, orientasi e Q ,=orientasi e 0, e/ QContoh4.3. Misal diberikan graf dan Q seperti berikut, dimana graf Q adalah subgrafyangmerupakancycledi.Gambar4.4: graf-3sehinggadiperolehQ=_________________0+1110+10_________________.Teorema 4.4. Kernel dari pemetaan insidensi Tpada graf adalah ruang vektor dimanadimensinyabernilai samadenganco-rankdari graf . JikaQadalahcyclepadagraf ,makaQ Ker(T).Bukti. Diketahuipemetaan T : C1() C0()BAB4. CYCLEDANCUT 57Akandibuktikandim(Ker(T)) = co rank(T)PerhatikanbahwaKer(T) = f C1() [ Tf = 0merupakansubruangdariC1().KarenaC1()berdimensihingga,makaberlaku:dimC1() = rank(T) +null(T)m = (n c) +null(T)sehinggadiperolehnull(T) = mn +c = co rank()SelanjutnyaakandibuktikanjikaQadalahcyclepadagraf,makaQ Ker(T).MisalxQ= QdimanaQdirepresentasikansebagaivektorkolomxQ. Perhatikanbahwa(DxQ)imerupakanhasilkalidalambarisdipadamatriksinsidensiDdanxQ.Akandibuktikan(DxQ) = 0Tinjaudalam2kasus:1. TitikvitidakberinsidensidengansisidiQ.Perhatikanbahwabarisdiberkorespondensidengantitikvi. Karenavitidakberinsidensidengansisi di Q, makaberdasarkanpendefenisianpadaQ, nilai (xQ)i=0. Sehinggadiperoleh(DxQ)i= 0,untuk1 i n.2. TitikviberinsidensidengansisidiQ,dimanaviberinsidensidengantepatduasisidiQ.TinjausemuakemungkinanorientasipadadanQ. PilihsalahsatuarahorientasipadaQ. Kemudianbandingkandengan4kemungkinanorientasipadagraf.Gambar4.5: graf-4BAB4. CYCLEDANCUT 58Denganpemberiannilai sesuai pendefenisianpadamatriksinsidensi DdanpadaQ,makadapatdilihatbahwa(DxQ)i= 0,untuk1 i n.Dari1dan2,dapatdisimpulkanDQ= 0sehinggaQ Ker(T).Contoh4.5. Misalkanterdapatgrafsepertipadacontoh2,Gambar4.6: graf-3diperolehmatriksinsidensiD =__+1 0 0 0 +1 0 01 +1 0 0 0 1 00 1 1 0 0 0 +10 0 +1 1 0 0 00 0 0 +1 1 +1 1__danQ=_________________0+1110+10_________________Perhatikanhasilkalidalam(DxQ)berikut:BAB4. CYCLEDANCUT 59__+1 0 0 0 +1 0 01 +1 0 0 0 1 00 1 1 0 0 0 +10 0 +1 1 0 0 00 0 0 +1 1 +1 1____0+1110+10__=__00000__Tinjau titik v1 pada graf yang tidak berinsidensi dengan sisi pada subgraf Q. BerdasarkanpendefenisianpadaQ,makaentritaknolpadabarisd1akandikalikandengan0divek-torxQdanmenghasilkan0. Kemudiantinjautitikv2, v3, v4, v5yangberinsidensidengansisipadasubgrafQ. MakaberdasarkanpendefenisianpadaQ,hasilkalientri-entripadabaris d2, d3, d4, d5 dengan entri-entri di vektor xQ juga menghasilkan 0. Sehingga diperolehDQ= 0.DandapatdisimpulkanbahwaQ Ker(T).SebelumnyatelahdijelaskanbahwaC1()membentukruangvektor. SekaranguntuksetiapdandiC1(),kitadenisikan(, ) =

eE(e)(e), (4.6)dimanagarisatasmenyatakankonjugatkompleks. Jikay = [y1, y2, . . . , ym]tdanz = [z1, z2, . . . , zm]t(4.7)berturut-turutadalahrepresentasi dari danrelatif terhadapbasisstandardi C1(),maka(, ) =m

i=1yizi= zty, (4.8)yangmerupakanhasilkalidalamstandardi Cm. Jadi,C1()jugamerupakanruanghasilkalidalamdenganhasilkalidalamsepertididenisikandiatas.S.ubruang siklus dari adalah kernel dari matriks insidensi dari . Subruang pemisahdariadalahkomplemenorthogonaldarisubruangsiklusdiC1(),relatifterhadaphasilkalidalamdiC1()yangdidenisikandiatas.Bagianpertamadari denisi di atas sudahdijustikasi di Teorema4.5, yangmen-gatakanbahwasemuavektor di C1() yangmerepresentasikansiklus di termuat diBAB4. CYCLEDANCUT 60kernel dari matriksinsidensi, yaitusubruangsiklus. Padababberikutnya, akandibuk-tikanbahwasubruangsiklusjugamemilikibasisyangsetiapanggotanyaadalahvektordiC1()yangmerepresentasikansiklus. Sekarangkitajustikasibagiankeduadaridenisidiatas.MisalkanV1danV2sebarangpartisitakkosongdariV ,yaituV1danV2takkosong,salinglepas, dangabungannyasamadenganV . MisalkanHadalahhimpunansemuasisi di E yang salah satu titik ujungnya ada di V1dan ujung satunya di V2. Jika Htidakkosong, Hdikatakanpemisahdi . Dalamhal ini, kitakatakanjugamemisahkanV1dan V2. Sekarang kita dapat memilih salah satu dari dua orientasi pemisah yang mungkinuntukH, dengancaramemilihsalahsatudiantaraV1danV2sebagai himpunanyangmemuatsemuaujungpositif dari sisi-sisi di Hdanyangsatunyamemuatsemuaujungnegatif.Selanjutnya, kita denisikan vektor Hdi C1() yang merepresentasikan H sebagai berikut.UntuksetiapediE,H(e) = 1jikae HdanorientasipemisahnyadiHsamadenganorientasinyadi , H(e) = 1jikae Hdanorientasi pemisahnyadi Hberlawanandenganorientasinyadi,danH(e) = 0jikaetidakdiH.Proposisi 4.6. Subruangpemisahdari adalahruangvektor berdimensi rankdari .JikaHsuatupemisahdi,Htermuatdisubruangpemisahdari.Bukti. Karenasubruangpemisahadalahkompelemenorthogonal dari subruangsiklus,maka subruang pemisah dari adalah subruang dari C1() yang dimensinya sama dengandimensiC1()dikurangdimensidarisubruangpemisah,yaitum(mn +c) = n c =r().MisalkanHpemisahdidanV1, V2adalahpartisidariV yangdipisahkanolehH.Dengandemikian, setiapsisi Hmemuattepatsatuujungdi V1dansatunyalagi di V2.Jadi,jikaxHadalahvektorkolomdi CmyangmerepresentasikanH,kitapunyaxtH= 12__

viV1di

viV2di__, (4.9)dengandiadalahbarisdari matriksinsidensi Dyangberkorespondensi dengantitikvi.Tanda plus dan minus pada ruas kanan persamaan di atas hanya bergantung pada pemil-ihan orientasi pemisah untuk H. Sekarang jika sebarang anggota subruang siklus dari BAB4. CYCLEDANCUT 61danzadalahvektorkolomyangmerepresentasikan,makazadadikerneldarimatriksinsidensi, yaituDz = 0. Akibatnyadiz=0untuksetiapvi V . KarenaxtHadalahkombinasi lineardari di, makaxtHz=0, danakibatnya, (, H)=xtHz=0. Jadi, Htermuatdikompelemenorthogonaldarisubruangsiklus,yaitusubruangpemisah.Sama seperti subruang siklus, subruang pemisah juga memiliki basis yang anggotanyamerupakanvektor-vektordi C1()yangmerepresentasikanpemisahdi . Basisini akandijelaskandibabberikutnya. Kitaakhiripembahasansiklusdanpemisahdenganhubun-gansederhanaantaramatriksLaplacianQ = DDtdenganmatriksketetanggaanAdari.Proposisi4.7. MisalkanDmatriksinsidensidari(relatifterhadapsuatuorientasi)darigraf , danmisalkanjugaAmatriks ketetanggaandari . Makamatriks LaplacianQmemenuhiQ = DDt= A, (4.10)denganadalahmatriksdiagonalyangkomponenpadadiagonalke-iadalahderajatdarititikvi, 1 i n. Akibatnya, Qtidakbergantungpadaorientasi yangtelahdiberikanuntuk.Bukti. MisalkanD = [dij]dandiadalahbariske-idariD. Kitapunya(DDt)ij=m

k=1dikdjk= dtjdi, (4.11)merupakanhasilkalidalamdaribarisdidandj. Jikai ,= j,keduabaristersebutmemi-liki komponentaknol di kolomyangsamajikadanhanyajikaterdapatsuatusisi yangmenghubungkanvidanvj. Kolomtersebut adalahkolomyangberkorespondensi den-gansisi tersebutdankeduakomponentaknol tersebutadalah+1dan 1. Akibatnya,(DDt)ij= 1. Dengancarayangsama, (DDt)iiadalahhasil kali dalamdari diden-gandirinyasendiri. Karenasetiapkomponentaknoldaribaristersebutadalah 1yangbanyaknyasamadenganderajatdarivi. Jadi,(DDt)ii= d(vi). AkibatnyaQ = DDt= A, (4.12)BAB4. CYCLEDANCUT 62sepertiyangdiinginkan.Bab5PohonPembangunPohonadalahgrafterhubungyangtidakmengandungsiklus.Graf terhubungadalahgraf dimanauntuksetiapduatitikpadagraf tersebut selaluterdapatlintasanyangmenghubungkankeduatitikitu.Lintasanadalahperjalananyangsemuasisinyaberbeda.Jaluradalahperjalananyangsemuatitiknyaberbeda.Pohonpembangundari graf adalahsubgraf terhubungdari graf yangmengan-dungsemuatitikdarigrafdanberupapohon.Siklusadalahlintasanyangberawaldanberakhirpadatitikyangsama.Cut dari graf terhubung adalahhimpunansisi minimal yangbiladibuangdarigrafakanmenyababkangraftidakterhubunglagi.Permasalahan untuk mencari basis dari subruang siklus dan subruang cut sangatlah pent-ingsecarapraktisdanteoritis. PermasalahantersebutdiselesaikanolehKircho(1847)dalamstudinyatentangrangkaianlistrik.63BAB5. POHONPEMBANGUN 64Table5.1: PerbandinganGrafdanPohonPembangunPembahasanbabini dibatasi hanyauntukgraf yangterhubung, karenasubruangsiklusdansubruangcut untukgraf yangtidakterhubungadalahhasil tambahlangsungdariruang-ruangyangsesuaidarimasing-masingkomponen.Gambar5.1: Contohgraf Misalkanadalahsebuahgrafterhubungyangtelahdiberi orientasi denganntitikdanmsisi, makar()=n 1dans()=m n + 1. Pohonpembangundi graf adalahsubgraf terhubung yang memiliki n1 sisi dan tanpa siklus. Simbol Tmenyatakan pohonpembangunmaupunhimpunansisi-sisinya.Cyc(T,g)menyatakansiklusyangunik,sedangkanCut(T,h)menyatakancutyangunik.(T,g)dan(T,h)menyatakanelemendariruangsisiC1().BAB5. POHONPEMBANGUN 65Gambar5.2: ContohpohonpembangunTdarigraf Lema5.1. MisalkanTadalahsebuahpohonpembangundalamgrafterhubung,maka:(1)UntuksetiapsisigdariyangtidaktermuatdalamT,adasiklusyangunikdiyangmemuatgdanbeberapasisidiT.(2) Untuk setiap sisi h dari yang termuat dalam T, ada cut yang unik di yang memuathdanbeberapasisiyangtidaktermuatdiT(jikaada).Bukti. (1)Ambilsebarangsisig E T.Misalkansisi gmenghubungkantitikAdantitikB. KarenaT pohonpembangundarigraf maka Tmemuat titik A dan titik B. Karena Tpohon maka terdapat lintasan padaTyangmenghubungkankeduatitiktersebut.Lintasan yang menghubungkan titik A dan titik Bpada pohon pembangun Tmembentuksiklusdengansisig.Akandibuktikansiklustersebutunik.Andaikan ada 2 siklus yang menghubungkan titik A dan titik B maka terdapat dua lintasanpadapohonpembangunTyangmenghubungkantitikAdantitikBsehinggaTbukanpohon.(2)Ambilsebarangsisih TMisalkansisi hmenghubungkantitikAdantitikBpadapohonpembangunT, karenasisihdibuangdariTmakatitikAdantitikBpadapohonpembangunTmenjaditidakterhubung, tapi mungkinsajatitikAdantitikBmasihterhubungolehlintasanpadagrafyangtidakadapadapohonpembangunT,makasisihdanlintasantersebutakanmembentukcutpadagraf.Akanditunjukancuttersebutunik.BAB5. POHONPEMBANGUN 66Ambilsebarangsisih TMisalkansisihmenghubungkantitikAdantitikB.Andaikanada2cutyaituCut(T, h)danCut(T, h)makatitikAdantitikBdihubungkanolehsisi hdansisi h.Karenaadaduasisi padaTyangmenghubungkantitikAdantitikBmakaTbukanlahpohon.Teorema5.2. DenganhipotesisyangsamadenganLema5.1,maka:(1)Ketikagberjalanmelalui himpunanE- T, (m- n+1)elemen(T,g)membentuksuatubasisbagisubruangsiklusdari.(2)Ketikahberjalanmelalui himpunanT, (n-1)elemen(T,h)membentuksuatubasisbagisubruangcutdari.Bukti. Subruangsiklusadalahkerneldaripemetaaninsidensi.Pemetaaninsidensi T : C1() C0()Ker(T) = f C1() [ Tf = 0SubruangsiklusadalahKer(D)Basissubruangsiklus= (T,g) [ g E T.Subruangnyaadalah

g(ET)g(T,g)dengan C(1)Misalkangi E Tuntuki = 1, . . . , mn + 1.Pandangkombinasilinierdari0 = 1(T,g1) +... +mn+1(T,gmn+1)0(gi) = (1(T,g1) +... +mn+1(T,gmn+1))(gi)0 = 1(T,g1)(gi) +... +i(T,gi)(gi) +... +mn+1(T,gmn+1)(gi)0 = 0 +... +i(T,gi)(gi) +... + 00 = iJadii= 0 untuk i = 1, . . . , mn + 1sehinggaelemen-elemen(T,g)bebaslinier.Karenaelemen-elemen(T,g)berkaitandengansiklus-siklus, mengikuti dari teorema4.5,BAB5. POHONPEMBANGUN 67makaelemen-elementersebut miliksubruangsiklus. Akhirnyakarenajumlahelemen-elementersebutadalahm n + 1yangmerupakandimensi dari subruangsiklusmakaelemen-elementersebutmembentukbasisbagisubruangsiklus.(2) Hal ini dibuktikanmenggunakanargumenyangserupadenganyangdipakai dalambuktipadabagianpertama.Proposisi5.3. (Poincare1901)Sebarang submatriks persegi dari matriks insidensi Ddari graf memiliki determinansamadengan0atau+1atau-1.Bukti. :MatrikincidensiDnmdarigrafdenganelemen-elemennya:dij=___+1, jikavitempatkeluarnyapanahpadasisiej;1, jikavitempatmasuknyapanahpadasisiej;0, yanglain.Contohmatriksinsidensidarigrafpadagambar5.1D =___________+1 0 0 0 0 1 01 +1 +1 0 0 0 00 1 0 +1 +1 0 00 0 0 0 1 0 +10 0 1 1 0 +1 1___________MisalkanSadalahsuatusubmatriksdarimatriksD.Kasus1JikasetiapkolomStidakmemilikientritidaknol,makadetS=0.Kasus2Jika setiap kolom dari S memiliki dua entri tak nol, maka entri tersebut haruslah + 1 dan-1,karenamasing-masingkolomharusmemilikientri-entriyangjumlahnyanolsehinggaSmatrikssingulir,jadidetS=0.BAB5. POHONPEMBANGUN 68Kasus3JikasebuahkolomdariSmemilikitepatsatuentritaknol. DalamhalinidetS= detS

,denganS memiliki satubarisdansatukolomlebihsedikitdaripadaS. Prosesini dilan-jutkansampaipadaakhirnyatibapadadeterminannolatauentritunggaldariD.Proposisi 5.4.Misalkan U adalah subhimpunan dari E dengan [ U [ = n - 1. Submatriks(n-1)x(n-1)dari D,dinotasikansebagai Du, terdiriatasperpotongann-1kolomdari Dyangbersesuaiandengansisi-sisidiUdansebaranghimpunandarin-1barisdariD.Dudapatdibalikjikadanhanyajikasubgrafadalahpohonpembangundari.Bukti. :Misalkan subgraf adalah pohon pembangun dari , maka submatriks Duterdiri atas(n-1) baris pada matriks insidensi D dari U. Karena subgraf adalah graf terhubung,makarankD=n-1sehinggaDudapatdibalik.Sebaliknya, misalkanDudapatdibalik. makamatriksinsidensi D dari memilikisubmatriks (n-1) x (n-1) yang dapat dibalik, konsekuensinya rank dari D adalah n - 1, iniberartibahwadimensidarisubruangsiklusdariadalahnol, sehinggaadalahpohonpembangundari.Proposisi 5.5. MisalkanTadalahpohonpembangundari graf danmisalkanadanbadalahsisi-sisidarisedemikiansehinggaa Tdanb/ Tmaka:b Cut(T,a)jikadanhanyajikaa Cyc(T,b)Bukti. :HasilinidapatdiperolehdaripendenisianCTdanKT,sertafaktabahwaCT+KTt=0.MisalkanTadalahpohonpembangundarigraf.Matriksinsidensidaridipartisisebagaiberikut:BAB5. POHONPEMBANGUN 69D =__DTDNdn__DTadalahmatrikspersegiberukuran(n 1) (n 1)yanginvertible,sedangkandnbergantunglinier.MisalkanCadalahmatriksyangkolomnyaberupavektoryangmewakili elemen-elemen(T,ej)dengann j mKemudianCdapatditulisdalambentukpartisi:C=__CTImn+1__Karenasetiapkolomdari Cmewakili sebuahsiklus, konsekuensinyamenjadi kernel dariDmaka:DC=0sehinggaCT= D1TDNDengancarayangserupa, matriksKadalahmatriksyangkolomnyaberupavektoryangmewakili elemen-elemen (T,ej)dengan 1 j n1 dapat ditulis dalam bentuk partisi :K=__In1KT__Karenamasing-masingkolomdarimatriksKadalahkomplemenortogonaldarisubruangsiklusmakaCKt= 0sehinggaCT+Kt= 0jadiKT= (D1TDN)tBAB5. POHONPEMBANGUN 70ContohAplikasiPohonPembangun:Suatu Rangkaian Listrik merupakan sebuah graf terhubung yang memiliki karakter-istiksiktertentu, yangdinyatakanolehduabuahvektorpadaruangsisi dari yaituvektorarusidanvektorteganganv.Vektor-vektorinidihubungkanolehpersamaanlinierv=Ri+EdimanaRadalahmatriksdiagonal yangentri-entrinyaadalahkonduktansi dari sisi-sisi,sedangkanEmewakilisumberteganganyangdigunakan.Selanjutnyaidanvmemenuhipersamaan:Di = 0Ctv = 0KeduapersamaantersebutdikenalsebagaiHukumKircho.PilihpohonpembangunTdi grafdanpartisi DdanCseperti penjelasansebelumnyamaka:i =__iTiN__danv =__vTvN__KemudiandariDi = 0diperolehDTiT+ DNiN= 0Karena CT= D1TDNmakaiT= CTiNdani = CiNBAB5. POHONPEMBANGUN 71Dengankatalain,seluruhentridarivektorarusdinyatakanolehentriyangberkorespon-densidengansisi-sisidiluarT.Substitusikanv = Ri +EdansebelumnyakalikandenganCt,Sehinggadiperoleh(CtC) iN= CtEKarena(CtRC)adalahmatrikspersegi denganukuranyangsamadenganranknyayaitum-n+1,makainvertible.SehinggadaripersamaaninidiperolehiN,konsekuensinyaijugadapatdiperolehdarii = CiNsertavdapatdiperolehdariv = Ri +E.Inilahmetodeyangsistematisuntukmenyelesaikanpersamaanrangkaianlistrik.Bab6TheTreeNumberBeberapahasil yangterkenal padateori graf aljabar adalahmencari banyaknyapohonpembangunpadasuatugraf. Padababiniakandigunakanmatrikslaplacianuntukmen-dapatkanbanyaknyapohonpembangundarisuatugrafsederhana.Denisi 6.1Misalkansuatugraf denganntitik. Pohonpembangundari graf adalah subgraf terhubung dari yang banyaknya sisi adalah n1 dan tidak memuat sik-lus. Banyaknyapohonpembangundaridinamakanbilanganpohondandilambangkandengan() .Untukgraftidakterhubung,didenisikan() = 0. Selanjutnyaakandibahasten-tangsifat-sifatyangberkaitandenganbilanganpohondarisuatugraf.Lemma6.2MisalkanDmatriksinsidensi dari suatugraf . JikaQ=DDtadalahmatriks laplacianmakaadjugate(matriks kofaktor) dari Qadalahperkalianmatriks Jdengansuatuskalar.Beberapafaktayangdiperlukanuntukmembuktikanteorema:1. MisalkanqijmerupakanentridariQmakaberlakuqij=___d(vi) , jikai = j1 , jikai ,= jdanvibertetanggadenganvj0 , jikai ,= jdanvitidakbertetanggadenganvj72BAB6. THETREENUMBER 732. proposisi4.33. rank(A) = rank(AAt)untuksuatuAmatriksberukurann n.Bukti:AkanditunjukkanKer(A) = Ker(AtA)(i) Ambil v Ker(A) makaAv =0, akibatnyaAtAv =0. Jadi v Ker(AtA)sehinggaKer(A) Ker(AtA)(ii)Ambilv Ker(AtA)makaAtAv= 0vtAtAv= 0(Av)tAv= 0|Av|2= 0Av= 0jadi v Ker(A) sehinggaKer(AtA) Ker(A). Menurut (i) dan(ii) Ker(A) =Ker(AtA).Karena rank(A)+dim(Ker(A)) = n = rank(AtA)+dim(Ker(AtA)) dan Ker(A) =Ker(AtA)akibatnyarank(A) = rank(AtA).Tetapirank(A) = rank(At) sehinggarank(A) = rank(AtA) = rank(AtA)t= rank(AAt).Bukti:Misalkankardinalitastitikdariadalahn.KasustidakterhubungJikatidakterhubungmakac 2,dengancmenyatakanbanyaknyakomponendari. Berdasarkanproposisi 4.3rank(D) =n c, akibatnyarank(Q) =rank(DDt) =rank(D) 0. Maka X= X()I sebuah matriks simetriyang denit-positif. Matriks X dipartisi dengan cara seperti X menjadi P= P()I,Q=Q, danR=R ( )I. DenganmengaplikasikanmetodekuosienRayleighkematriksX,bisaditunjukkanbahwamax(X) max(P) +max(R).Maka,dalambentukX,P,danRmenjadimax(X) = max(X( )I)= max(X) ( ) max(P) +max(R)= max(P( )I) +max(R( )I)= max(P) ( ) +max(R) ( )Diperoleh,max(X) ( ) max(P) ( ) +max(R) ( ).Karenasangatkecildan = min(X),makamax(X) max(P) +max(R) max(X) + max(P) +max(R)max(X) +min(X) max(P) +max(R)Akibat 8.7. Misal Amatriks real simetris yang dipartisi menjadi t2submatriks Aijsedemikiansehinggapartisibarisdankolomnyasama;dengankatalain,setiapsubmatriksdiagonal Aii(1 i t)adalahmatrikspersegi. Makamax(A) + (t 1)min(A) t

i=1max(Aii).Bukti.Pembuktianmelalui induksi padat. Saatt=2, max(A) + min(A) max(A11) +max(A22) (sesuai dengan Lema 8.6). Asumsikan benar untuk t = T1. Akan ditunjukkanBAB8. PARTISI-TITIKDANSPEKTRUM 101benaruntukt = T. MisalAdipartisimenjadiT2submatriks. MisalBadalahmatriksAyang baris dan kolom terakhirnya dihapus. Berdasarkan Lemma 8.6, max(A)+min(A) max(B)+max(ATT). Berdasarkanasumsi hipotesis, max(B)+(T 2)min(B)

T1i=1max(Aii). BerdasarkanProposisi8.3,min(B) min(A) (T 2)min(B) (T 2)min(A).Dariduapertaksamaantersebutdiperoleh,max(B) + (T 2)min(A) max(B) + (T 2)min(B)T1

i=1max(Aii)Sehinggadiperoleh,max(B) T1

i=1max(Aii) (T 2)min(A).Olehkarenaitu,max(A) +min(A) max(B) +max(ATT)T1

i=1max(Aii) (T 2)min(A) +max(ATT)=T

i=1max(Aii) (T 2)min(A)Akhirnyadiperoleh,max(A) +min(A) + (T 2)min(A) T

i=1max(Aii)max(A) + (T 1)min(A) T

i=1max(Aii)Teorema8.8. Untuksebaranggraf yanghimpunansisinyatidakkosong, () 1 +max()min()BAB8. PARTISI-TITIKDANSPEKTRUM 102Bukti. HimpunanV dapatdipartisimenjadi= ()kelaswarna,konsekuensinyama-triksketetanggaanAdaridapatdipartisimenjadi2submatriks(sepertipadaAkibat8.7). Dalamhalini,Aii(1 i )bernilainol,makamax(Aii) = 0(1 i ). DenganmengaplikasikanAkibat8.7,diperolehmax(A) + ( 1)min(A)

i=1max(Aii)= 0Tetapi, jikamemiliki setidaknyasatusisi, makamin(A) =min() 1>> s1adalahnilaieigenyangberbeda. Misalkan(A; ) = ( 0)m0( 1)m1 ( s1)ms1.Makamiadalahmultiplisitasaljabardariiuntuksetiapi 0, 1, , s 1.Ketikanilaimi= 1,makaidisebutnilaieigensederhanaDenisi 9.7. Graf Ladder Lh (h 3)adalahgraf regularberderajat3dengan2htitik-titiku1, u2, . . . , uh, v1, v2, . . . , vh; dengantitik-titiku1, u2, . . . , uhdari lingkarandenganpanjangh,titik-titikv1, v2, . . . , vhjugadarilingkarandenganpanjangh,dansisisisanyaberasaldaribentuk ui, vi , 1 i h.BerikutiniadalahgambarandarigrafLadderL3Denisi 9.8. Graf Mobius Ladder adalahgraf regular berderajat 3dengantitik-titik2h, (h 3).BAB9. GRAFAUTOMORFISMA 106Gambar9.5: LadderGraphL39.2 GrafAutomorsmaDenisi 9.9. Automorsmadari suatugraf (sederhana) Gadalahsuatupermutasi dariV Gyangmempunyaisifat u, vadalahsisipadaGjikadanhanyajika (u), (v)adalahsisidiG.Dengankatalaingraf automorsmaadalahgraf yangisomorkdengandirinyasendiri.HimpunansemuaautomorsmadiG,dinotasikanAuth(G).Gambar9.6: GrafGContoh9.10. Misal Gadalahgraf yangdigambarkanseperti padagambar15.6. Him-punansemuaautomorsmadarigrafGadalahAuth(G) = 1, 2, 3, 4dimana1=(1) (2) (3) (4) (5) (6), 2= (1) (2) (3) (4) (56), 3= (14) (23) (5) (6), dan 4= (14) (23) (56).Denisi 9.11. Duatitikxdanydikatakanberadadalamorbityangsamajikaterdapatsuatuautomorsmasedemikiansehingga(x) =y. Akibatnyaxdanymempunyaiderajatyangsama.BAB9. GRAFAUTOMORFISMA 107Gambar9.7: Automorsma-automorsmadarigrafGDenisi 9.12. Graf Gdikataantransitif titikjikaAuth(G) beraksi secaratransitif diV G,yaitu,jikahanyaterdapatsatuorbit.Ini berarti bahwa jika diberikan 2 buah titik u dan v maka terdapat suatu automorsmadiAuth(G)sedemikiansehingga (u) = v.Denisi 9.13. Graf Gdikataan transitif-sisi jika aksi V Gpada EGdengan aturan x, y = (x) , (y).Dengankatalain, jikadiberikansebarangpasangansisi makaterdapat suatuauto-morsmayangmentransformasikansatukeyanglainnya. Graf tangga(ladder graph)L3adalahsalahsatucontohgrafyangtransitif-titiktapi tidaktransitif-sisi, graftangga(laddergraph)L3.Proposisi 9.14. Jikasuatugraf terhubungadalahtransitif-sisi tapi tidaktransitif titik,makagraftersebutbipartite.Bukti. Misal x, y adalah sisi pada graf G, dan misalkan Xdan Ymenotasikan orbit-orbityang memuat x dan y berturut-turut di bawah aksi Auth(G) pada titik-titik. Berdasarkandenisi dari suatuorbit bahwaXdanY adalahdisjoinatauidentik. KarenaGgrafterhubung,setiaptitikzadadalamsuatusisi z, w,dankarenagrafGadalahtransitif-sisi, zberadadi XatauY . SehinggaX Y =V G. JikaX=Y =V GmakaGakanmenjaditransitif-titik,kontradiksidenganhipotesis;akibatnyaX Y kosong. SetiapsisidiGpunyasatutitikujungdiXdansatutitikujungdiY ,jadiGbipartite.Graf bipartite lengkap Ka,bdengan a ,= b adalah suatu contoh yang jelas dari graf yangtransitif-sisi tapi tidak transitif-titik. Dalam hal ini graf nya bukan graf regular, dan tidakBAB9. GRAFAUTOMORFISMA 108transitif-titikuntukalasantersebut, karenajelasbahwasuatudalamsuatugraftransitiftitiksetiaptitikharusmempunyaiderajatyangsama.Proposisi selanjutnya membuat suatu hubungan antara spektrum dari suatu graf den-gan grup automorsmanya. Kita bisa menganggap bahwa V Gadalah himpunan v1, v2, ..., vn,danbahwabarisdankolomdari matriksketetanggandari Gdi labeli sesuai carayangbiasa. Suatupermutasi dari graf V Gdapatdirepresentasikan(digambarkan)denganmatriks permutasi P= (pij), di mana pij= 1 jika vi= (vj), dan pij= 0 untuk selainnya.Proposisi 9.15. Misal Aadalahmatriksketetanggaandari suatugraf G, danadalahpermutasidariV G. MakaadalahsuatuautomorsmadariGjikadanhanyajikaPA =AP,dimanaPadalahmatrikspermutasiyangmenggambarkan.Bukti. Misalvh= (vi)danvk= (vj). Makakitapunya(PA)hj=

phlalj= aij;(AP)hj=

ahlplj= ahkAkibatnya, AP =PAjikadanhanyajikavidanvjbertetanggaketikavhdanvkbertetangga;yaitu,jikadanhanyajikaadalahsuatuautomorsmadariG.Konsekuensi dari hasil ini adalahbahwaautomorsmamenghasilkankelipatandarivektoreigenyangterkaitdengannilai eigenyangdiberikan. Tepatnya, misal xadalahvektor eigendari Ayangterkait dengannilai eigen. Makakitamempunyai APx=PAx = Px = Pxini berarti bahwa Px juga adalah vektor eigen dari A yang terkait dengan nilai eigen .JikaxdanPxbebaslinearkitasimpulkanbahwabukannilaieigensederhana.Lemmaberikutinimemberikangambaranyanglengkaptentangapayangterjadiketikaseder-hana.Lema 9.16. Misal adalahnilai eigensederhanadari G, danmisal xadalahvektoreigenyangterkaitdengan,dengankomponen-komponenreal. JikamatrikspermutasiPmerepresentasikansuatuautomorsmadariGmakaPx = x.Bukti. Jikamempunyai multiplisitas1, xdanPxbebaslinear; yaituPx=xuntuksuatubilangankompleks . KarenaxdanP real, real, dankarenaPn=I untukBAB9. GRAFAUTOMORFISMA 109suatubilanganasli s 1, ini mengikuti bahwaadalahsuatuakarke-sdari kesatuan.Akibatnya = 1danlemmaterbukti.Teorema9.17. (Mowshowitz1969, PetetrsdorfdanSachs1969)JikasemuanilaieigendarigrafGadalahnilaieigensederhana,setiapautomorsmadariG(lepasdariidentitas)mempunyaiorder2.Bukti. MisalsetiapnilaieigendarigrafGmempunyaimultiplisitas1. Makauntuksem-barang matriks permutasi Pmerepresentasikan suatu automorsma dari graf G, dan sem-barangvektoreigenx, kitapunyaP2x=x. Ruangyangdirentangkanolehvektoreigenadalahseluruhruangdarivektor-vektorkolom,danjugaP2= I.Denisi9.18. Misal G graf dengan automorsma grup Auth(G) . Graf G adalah simetrijikauntuksetiaptitik-titiku, v, x, ydiGsedemikiansehinggatitikudanvbertetangga,titikxdanybertetangga, terdapatsuatuautomorsmadi Auth(G)dimana(u)=xdan(v) =y. Graf Gdikatakantransitif-jarakjika,untuksemuatitiku, v, x, y diGsedemikiansehingga (u, v) = (x, y), adasuatuautomorsmadi Auth(G) yangmemenuhi(u) = xdan(v) = y.SehinggajelaskitamempunyaikondisiKita sebut bahwa Gadalah jarak-transitif jika untuk semua titik u, v, x, y di Gsedemikiansehingga (u, v) = (x, y), ada suatu automorsma di Auth(G) yang memenuhi (u) =xdan(v) = y. Inijelasbahwakitamempunyaisuatukondisihirarki:transitif-jarak Simetri transitif-titikBab10Vertex-transitiveGraphsPada bab ini, kita akan mempelajari tentang graf dimana grup automorsmanya beraksitransitif pada V . Sebelum kita melangkah pada pembahasan dalam bab ini, ingat kembalibeberapadenisiberikut.MisalkanShimpunantakkosong. Permutasi padaSadalahpemetaandariSkeSyangbersifatsatu-satudanpada. HimpunansemuapermutasipadaSmembentukgrupterhadapoperasikomposisidankitanamakangrupsimetri padaS. KitanotasikangrupinidenganSim(S). Jika [S[ = n,kitagunakannotasiSnuntukSim(S). Sebagaicontoh,misalkan S= 1, 2, 3, 4 maka pemetaan yang memetakan 1 ke 2, 2 ke 4, 3 ke 1, dan 4 ke3 adalah suatu permutasi pada S. Pemetaan ini juga dapat kita representasikan sebagaisuatu matriks dengan dua baris. Pada baris pertama kita tuliskan 1, 2, 3, 4 dan pada bariskeduakitatuliskan(1), (2), (3), (4)sehinggadapatdituliskansepertiberikut.__1 2 3 42 4 1 3__.Suatuautomorsmadari graf sederhanaadalahsuatupermutasi padaV yangmemenuhiuntuksetiapu, v V , u, vadalahsisidijikadanhanyajika (u), (v)adalahsisidi. Himpunansemuaoperasikomposisimembentukgrupdankitanamakangrupautomorsmadari danditulisAut(). Sebagai contoh, kitaambil graf K3danmisalkan V K3= v1, v2, v3. Denisikan permutasi pada K3 oleh (v1) = v3, (v2) = v1,dan(v3) = v2makajelasbahwaadalahsuatuautomorsmapadaK3.MisalkanGsuatugrupdanadalahhimpunantakkosong. Asumsikanuntuksetiapg Gdan terdapatsecaratunggal g . GrupGdikatakanberaksi pada110BAB10. VERTEX-TRANSITIVEGRAPHS 111jikamemenuhisifatberikut.1. 1 = untuksemua 2. g(h) = (gh)untuksemua dang, h G.Dalamhal ini,adalahaksi dari Gpada. JikaGberaksi pada, himpunanyangberbentuk g[g Gkitanamakanorbit dari.Misalkanadalahsuatugraf,kitadapatmendenisikanaksi dariAut()padaV melalui u = (u), untuk setiap Aut() dan u V . Aksi dari G pada dikatakantransitif jikasetiapduaunsur, terdapatg Gsehinggag=. Ini berarti,hanyaadasatuorbitpadaaksi yangtransitif. Graf dikatakanvertex-transitivejikaaksi dari Aut()padaV bersifattransitif. Sebagaimanatelahkitabahaspadababsebelumnya,sifatvertex-transitivitymengakibatkansetiaptitikmempunyaiderajatyangsama,sehinggaadalahgrafreguler.Berikutinidiberikanbeberapahasilstandarpadagrup-gruppermutasitransitifyangakankitagunakan. MisalG = Aut()danGvmenotasikansubgrupstabilizeruntuktitikv, yaitusubgrupdari Gyangmemuatautomorsmadengantitiktetapv. Dalamkasusvertex-transitive, semuasubgrupstabilizerGv(v V )adalahconjugatepadaG, danakibatnyaisomorphic. IndeksdariGvpadaGdiberikanolehpersamaanberikut[G : Gv[ = [G[ / [Gv[ = [V [ .JikasetiapstabilizerGvadalahgrupidentitas,makasetiapelemendariG(kecualiiden-titasnya)tidakmemasangkansetiaptitikkedirinyasendiri, dankitakatakanbahwaGberaksiregulerpadaV . Dalamkasusini,orderdariGsamadenganjumlahtitiknya.Terdapat suatu konstruksi standar, diberikan oleh Cayley (1878), yang memungkinkankitauntukmengkonstruksi beberapavertex-transitive graphs. Kitaakanmemberikansuatuversisingkatyangtelahdibuktikanmenjadisangatsesuaiuntukkebutuhandalamteori graf aljabar. MisalkanGsuatugrupberhinggaabstrakdenganidentitas 1danandaikanadalahhimpunanpembangununtukGyangmemenuhi sifat: (i)x x1 dan(ii)1/ .Denisi 10.1. Graf Cayley=(G, )adalahgraf sederhanadenganhimpunantitikV = GdanhimpunansisiE = g, h[g1h .BAB10. VERTEX-TRANSITIVEGRAPHS 112Verikasi sederhana menunjukkan bahwa Eterdenisi dengan baik dan (G, )adalahsuatugraf terhubung. Sebagai contoh, jikaGadalahgrupsimetrisS3dan=(12), (23), (13),makagrafCayley(G, )isomorphicdenganK3,3(Gambar16.1).Gambar10.1: K3,3sebagaigraphCayleyuntukS3Proposisi 10.2. (1)Graf Cayley(G, )merupakanvertex-transitive. (2)Andaikanadalahsuatuautomorsmadari grupGsehingga()=, makaadalahsuatuauto-morsmagraf dengantitiktetap1. Dalamhal ini, dipandangsebagai suatupermutasidarititik-titik(G, ).Bukti. (1) Untuk setiap gdi G, denisikan suatu permutasi gdari V = G dengan aturang(h) =gh(h G). Permutasi ini adalahautomorsmadari . Untuk h, k Eberlakuh1k (gh)1gk g(h), g(k) E. Himpunandari semuag(g G) merupakan suatu grup G (isomorphik dengan G) dengan suatu subgrup dari gruplengkapdariautomorsma-automorsma(G, )danberaksitransitifpadatitik.(2) Karena adalah suatu grup automorsma,harus memasangkan 1 ke 1. Lebih jauh,adalahsuatugrafautomorsmakarenauntuksetiap h, k Eberlakuh1k (h1k) (h)1(k) ((h), (k) E.Bagiankeduadari proposisi ini mengakibatkangrupautomorsmadari graf Cayley(G, )seringlebihbesardaripadaG. PadacontohyangdiilustrasikandiGambar16.1,setiap grup automorsma dari S3 memasangkan satu sama lain dan hal ini menyebabkanstabilizerdari titik1mempunyai orderpalingsedikit6. Faktanya, orderdari stabilizertersebutadalah12,dan [Aut(K3,3)[ = 72.BAB10. VERTEX-TRANSITIVEGRAPHS 113Tidak setiapgraf dengantitik-transitif adalahgraf Cayley. Sebagai contoh, grafPetersenO3bukanmerupakangraf Cayleykarens tidakmungkinhanyaterdapat duagrupberorder10yangmempunyaibeberapahimpunanpembangunberukurantigayangmemenuhi kondisi padaDenisi 16.1. Denganmemeriksasemuakemungkinan, dapatdibuktikanbahwagrafPetersentidakmembentukgrafCayley.Kita mulai pembahasan ini dengan mempelajari hirarki dari konsisi simetri saat Aut()beraksiregulerpadaV ().Lema 10.3. Misalkan suatu graf terhubung. Subgraf Hdari Aut() beraksi reguler padatitikjikadanhanyajikaisomorphicdengansuatugrafCayley(H, ),untukbeberapahimpunandenganpembangunH.Bukti. AndaikanV = v1, v2, ..., vndanHadalahsubgrupdari Aut()yangberaksireguler padaV . Akibatnya, untuk1 i n, terdapat hi Hyanguniksehinggahi(vi) = vi. Misalkan = hi H[vibertetanggakev1di. DapatditunjukkanbahwamemenuhiduakondisipadaDenisi16.1danbijeksivi hiadalahisomorphismdarike(H, ). Sebaliknya,jika = (H, ),makagrupHyangdidenisikanpadabuktidariProposisi16.2beraksiregulerpadaV danH HLema16.3menunjukkanbahwajikaAut()beraksiregularpadaV ,makaadalahgraphCayley(Aut(), ).Denisi 10.4.Ggrup abstrak berhingga memuat Graphical Regular Representation (GRR)jikaterdapatgraphsehinggaGisomorphicdenganAut()danAut()beraksiregularpadaV .Pertanyaan mengenai grup-grup abstrak yang memuat GRR terjawab pada akhir tahun1970. Hal ini menyebabkan pernyataan pada bagian kedua dari Proposisi 16.2 merupakansatu-satunyahalutamayangmenyangkalkeberadaanGRRuntukG. Denganperkataanlain, grupGtidakmempunyai GRRjikadanhanyajikasetiaphimpunanpembangununtuk G memenuhi (i) dan (ii) sehingga ada suatu automosma dari G yang memasangkansatusamalain.Sebagaicontoh,grupS3tidakmemuatGRR.Jikaterdapatgrafyangsesuai,makagraf tersebut pastilah suatu graf Cayley (S3, ). Sekarang dengan mudah dapat diperiksaBAB10. VERTEX-TRANSITIVEGRAPHS 114bahwa untuk setiap himpunan pembangun yang memenuhi (i) dan (ii), terdapat beber-apa automorsma S3 yang memasangkan satu sama lain. Dengan demikian, berdasarkanbagian(2)Proposisi16.2,grupautomorsmadarisuatugrafCayley(S3, )lebihbesardariS3.Pada kasus grup abelian transitif, informasi yang tepat disajikan oleh proposisi berikut.Proposisi 10.5. Misalkanvertex-transitive graphyang grupautomorsmanyaG=Aut() merupakangrupabelian. MakaGberaksi reguler padaV danGadalahgrupabelianberorde2.Bukti. Ambil sebarangg, h Gdengang(v)=v(vtitiktetappadag), makagh(v)=hg(v)=h(v)(h(v)jugatitiktetappadag). JikaGtransitif, setiapv V berbentukh(v) untuk beberapa h G, sehingga gmemasangkan semua titik ke dirinya sendiri, yaitug(vi) = viuntuksetiapvi V . Jadig= 1. Karenag= 1,makaGberaksiregulerpadaV . KarenaGberaksi regulerpadaV , makadari Lema16.3, adalahgraphCayley(G, ). KarenaGabelian, fungsi : g g1adalahsuatuautomorsmadari Gdanmemasangkansatusamalain. Jikaautomorsmaini tidaktrivial, makaberdasarkanbagian (2) Proposisi 16.2, G tidak reguler. Dengan demikian, g= g1untuk setiap g G.Karenag2= g g= g g1= 1,setiapg Gberorde2.Diskusi selanjutnyamembahassifat-sifatspektral dari vertex-transitif graph. Suatuvertex-transitif graphadalahgraphreguler makaspektrumnyamempunyai sifat-sifatyangdinyatakanpadaProposisi 3.1. Secarakhusus, jikaadalahgraf terhubungdanregulerdenganderajatk,makakadalahnilaieigendari. Dengandemikian,kitadapatmenggunakansifatvertex-transitifuntukmengkarakterisasinilaieigendari.Proposisi 10.6. (Petersdorf andSachs1969)Misalkanadalahvertex-transitif graphyangberderajat kdanadalahnilai eigendari . Jika [V [ ganjil, maka=k. Jika[V [genap,maka = 2 kuntuksuatu0 kBukti. MisalkanxadalahvektoreigenrealyangbersesuaiandengannilaieigendanPadalahmatrikspermutasi yangmemrepresentasikansuatuautomorsmadari . Jika(vi)=vj, makaberdasarkanLema15.3, xi=(Px)j= xj. Karenaadalahvertex-transitive graph, setiapunsur di xmempunyai nilai mutlakyangsama. Selanjutnya,perhatikan bahwa u = [1, 1, ..., 1]tadalah vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigenBAB10. VERTEX-TRANSITIVEGRAPHS 115k. Akibatnya, jikak ,=, makautx=0, yaitu

xi=0. Hal ini tidakmungkin. Jadiharuslahk = .Jikamempunyai titikyangbanyaknyagenap, pilihsebarangvi V danmisalkanvibertet