tema2_c
TRANSCRIPT
-
7/23/2019 Tema2_C
1/4
2 SERII DE PUTERI REALE. DEZVOLTARI IN SERIE TAYLOR
2.3. Exerciii propuse
Exerciiul 2.3.1. S se determine mulimea de convergen a seriilor urmtoare:
a)1n
nx!n ,xR b)
1n
1n2
1n
)!1n2)(1n2(
x)1( ,xR
c) 1n
n
)1n(n
x,xR d) n
1n
n
xn
1n2
,xR
e)
0n
n
22/n
n xtgn13
1)1( ,x
2,
2
R.a) {0}, b) R, c) [-1, 1], d)
e
1,
e
1, e)
3,
3.
Exerciiul 2.3.2.S se determine mulimea de convergen i suma seriilor de puteri:
a)
1n
3n4
3n4x ,xR
b)
1n
1n1n
)1n(n
x)1( ,xR
R.a)f(x) =2
1arctg x+
4
1ln
x1
x1
, x (-1, 1); b)f(x) = (x+1)ln (x+1)x
x(-1, 1).Exerciiul 2.3.3.S se determine sumele urmtoare, folosind seriile de puteri:
a)
1n
1n
2n3
1)1( b)
1n
1n
3n4
1)1( c)
1n
1n
)1n2(n
1)1( d)
0n
n
1n6
1)1( e)
0n )3n4)(1n4(1
Indicaie:
a) Se folosete relaia1n
1dxx
1
0
n
i teorema de integrare termen cu termen a unei serii de puteri:
1n
1n
2n3
1)1( =
1n
1
0
3n31n dxx)1( = dxx)1(1
0 1n
3n31n
= dx)x(
1
0 1n
1n3
=
1
0
3x1
dx=
32ln
3
1.
b) Se procedeaz ca mai sus.
c) Se observ c
1n
1n
)1n2(n
1)1( =
1n
1n
n
1
1n2
2)1( = =
1n
1n
1n2
1)1( -
1n
1n
n
1)1( , a cror sum se determin folosind teorema de derivare termen cu termen a unei serii de
puteri. Suma cerut se obine pentrux = 1.
-
7/23/2019 Tema2_C
2/4
d) Se folosete seria de puteri
0n
1n6n
1n6
x)1( i teorema de derivare termen cu termen.
e) Se descompune)3n4)(1n4(
1
n fracii simple.
R.a)
32ln
31 , b)
2)21ln(
221 , c)
2 - ln 2,
d)6
)347ln(34
1 , e)
8
.
Exerciiul 2.3.4.S se determine mulimea de convergen i suma urmtoarelor serii de puteri:
a)
0n
nx)1n(
b)
1n
2nx)2n)(1n(n
1
c)
n
1n 2x
2x
n
1
d)
1n
1n2x1n2
2n2
R.a) S(x) =2)x1(
1
,x(-1, 1); b) S(x)=-
2
)x1( 2ln(1 - x) -
4
x3
2
x 2
x(-1, 1) iar n -1 i 1 se prelungete prin continuitate; c) S(x) = ln4
x2, x (-, 0]; d) S(x) =
x1
x1ln
2
1
x1
xx22
3
,x(-1, 1).
Exerciiul2.3.5. S se calculezes =
0n
n231
)1n4(1 .
R.Se studiaz seria de puteri
0n
1n4
n2 x
3)1n4(
1.
Se obine S(x)=3
xarctg
2
3
x3
x3ln
4
3
, x 3,3 i
s = S(1) =12
3)32ln(
4
3 .
Exerciiul 2.3.6.S se dezvolte n serie de puteri urmtoarele funcii indicnd i mulimile de convergen:
a)f(x) = ln (1 + x) b)f(x) =2)1x(3x2
c)f(x) =
3x4x5x3
2
d)f(x) = xe-2x e)f(x) = sin 3x + x cos 3x f)f(x)= lnx1
x1
g)f(x) = ln(1 + x - 2x2) h)f(x) = sin2xcos2x i)f(x) = (1 + ex)3
j)f(x) = x
0
dtt
tsin
-
7/23/2019 Tema2_C
3/4
R. a)
1n
n1n
n
x)1( ,x(-1, 1], b)
0n
nx)3n( , |x | < 1,
c)
0n
n
1n x
3
21 , |x | < 1, d) x +
2n
n1n1n
)!1n(
x2)1(,xR
e) 2
0n
1n2n2n
)!1n2(x3)2n()1( ,xR; f) 2
0n
1n2
1n2x ,x(-1, 1)
g)n
1n
n1n
xn
12)1(
,x
2
1,
2
1,
h)
1n
n23n41n
)!n2(
x2)1( ,xR;
i) 8 + 3 n
1n
1nn
x!n
321
,xR;
j)
0n
1n2n
)1n2()!1n2(
x
)1(,x[0, )
Exerciiul 2.3.7. Fief(x) = arcsin x,x[-1, 1]a)
S se dezvolte aceast funcie n serie de puteri ale lui x
b) Folosind aceast dezvoltare s se calculeze suma
1n2n2
222
2)!2n2(
)1n2(...31.
Indicaie:
a) Se deriveaz funcia i se dezvolt derivata n serie de puteri. Prin integrare termen cu termen se obine,pentru x(-1, 1)
arcsin x= x +1n2
x
!)!n2(
!)!1n2( 1n2
1n
.
Deoarece3)1n2(
11n2
1!)!n2(!)!1n2(
, dezvoltarea se prelungete la intervalul [-1, 1].
b) Deoarece xdxarcsin = x arcsin x + 2x1 + C, integrnd termen cu termen seria de la a),punndx = 0se obine c = -1, deci
2n2
1n
2
x2n2
1
)1n2(!)!n2(
!)!1n2(
2
x
= x arcsin x+ 2x1 - 1
Pentrux =2
1obinem
2n21n 2
1
2n2
1
)1n2(!)!n2(
!)!1n2(
=
=8
9
2
3
12
. Deoarece (2n + 2)! = (2n - 1)!!(2n)!!(2n + 1)(2n + 2) rezult c suma cerut este
8
9
2
3
12
.
Exerciiul 2.3.8.S se dezvolte n serie de puteri ale luixfuncia
f(x) =
2
x
xarcsin
.
Indicaie:
-
7/23/2019 Tema2_C
4/4
Folosind dezvoltarea funciei arcsin x, pentru x 0, se obine dezvoltarea n serie de puteri a
funcieix
xarcsini apoi se ridic la ptrat.
Exerciiul 2.3.9.S se calculeze cu trei zecimale exacte integralele urmtoare:
a)
2
0
dxx
xsin b)
1
04x1
dx
c)
4/1
0
x dxe2
d) 1
1,0
x
dxx
e
R. a) 1, 605; b) 0, 927; c) 0, 244; d) 3, 518