Sintonía de reguladores PID

Prof. Mª Jesús de la FuenteDpt. Ingeniería de Sistemas y Automática

Facultad de CienciasUniversidad de Valladolid

Indice

• Regulador PID• Tipos de reguladores PID• Criterios de Sintonía• Métodos de Ziegler-Nichols• Métodos de minimización del error • Métodos en el dominio frecuencial• Sintonía automática

EL PROBLEMA DE CONTROL

ProcesoControladoruw y

SP CV

v

MV

DV

EL REGULADOR PID

regulador basado en señal, no incorpora conocimiento explícito del proceso3 parámetros de sintonía Kp, Ti, Td

diversas modificaciones

e t w t y t

u t K e tT

e d T dedtp

id

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

= −

= + +⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟∫

1τ τ

Señales del regulador

ProcesoRegulador

Transmisor

Actuadorw

Las señales de entrada y salida al regulador son señales normalizadas, normalmente de 4-20 mA

u y

4-20 mA

4-20 mA

Dos opciones

ProcesoRw u

ProcesoRw u

Ing.

mAIng.

Ing.

Ing.

mA

Ing. %

%

mAe

e mA%

+-

+-

%

Kp % / %

Kp % / Ing.

Fórmulas de Conversión y,w

20 mA

4 mA

y0 yMy

Span=yM - y0

100 %

0 %

y0 yMy

mA%

)yy(span100% 0−=4)yy(

span16mA 0 +−=

)4mA(16

100% −=

Fórmulas de Conversión u

20 mA

4 mA

100 %0 %

mA

u %

4%10016mA +=

umA%

Apertura válvula en %

u

%

Actuador

Apertura válvula en %

Unidades

Gp(s)R(s)

100/span

Actuador

W(s)

Las señales de entrada y salida al regulador suelen expresarse en % del span del transmisor y del actuadorrespectivamente.La conversión del regulador debe corresponder ala calibración del transmisor

U(s)

%

%%

+-

Y(s)

100/span

Análisis del regulador

GpR

Actuadorw u

%

%

%Transmisor

Ga Gp GtRu

%

%%

+-

+-

%

%

Las dinámicas del actuador y transmisor deben incluirse si son significativas

100/span100/span

Análisis del lazo (1)Ga Gp GtR

u

%

%

%+

-

%

span100)s(W

RGGG1RGGG

span100)s(Y)%s(W

RGGG1RGGG

)%s(Ytpa

tpa

tpa

tpa

+=

+=

w

100/span

Ga Ing’/%

Gp Ing/Ing’

Gt %/Ing

R % / %

La salida es la variable medida, no la controlada

Análisis del lazo (2)Ga GpR(s)

u%

Ing+

-

Ing

)s(WRGGG1

RGG)s(Y

xpa

pa

+=

w

Ga Ing’/%

Gp Ing/Ing’

Gx adimensional

R % / Ing

GxIng

La salida es la variable controlada

Gx tiene ganancia 1 e incorpora la dinámica del transmisor

qa h

Control de flujo

FCwu

Bomba Caudalímetro Válvula

Caudalímetro: 0-50 m3/h 4-20mA

q

Δpv

a h

Δp0Δpb

Avq qCa1p

gAhvAfLpA)pp(Atd

mvd

22v

2v

2vb0

=ρ=Δ

ρ−ρ−Δ−Δ+Δ=

Modelo

u

aK)p(Kqtdqd 201 Δ+ΔΔ=Δ+

Δτ uKa

tdad

vv Δ=Δ+Δ

τ

Diagrama de bloques

u

%

%

%+

-

%

W

100/span

( ) ( ) 50100

1sK

1sK 2

v

v

+τ+τ2Q

( ) 50100

1sK1

+τ

ΔP0

+( )sT

1sTK

i

ip +

Kp % /%

Se desprecia la dinámica del transmisor

EL REGULADOR PID

regulador basado en señal, no incorpora conocimiento explícito del proceso3 parámetros de sintonia Kp, Ti, Td

diversas modificaciones

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ττ+=

−=

∫ dtdeTd)(e

T1)t(eK)t(u

)t(y)t(w)t(e

di

p

CONTROL DIGITAL

ProcesoOrdenador D/A

A/DTT periodo de muestreo

T debe escogerse de acuerdo a la dinámica del proceso, y a los problemas numéricos de integración y derivación.Integración. T≅ 0.1 ...0.3 Ti Derivación. T≅ 0.2 ...0.6 Td / NLa precisión depende de la resolución del D/AMayor precisión en los cálculos internos que el D/A

y(kT)

u(kT)

Discretización de reguladores PID

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+−−++−−=−−

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−−++−≈−

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−++≈

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ττ+=

∑

∑

∫

−

=

=

T)T2t(e)Tt(e2)t(eT)t(e

TT)Tt(e)t(eK)Tt(u)t(u

T)T2t(e)Tt(eTT)iT(e

T1)Tt(eK)Tt(u

T)Tt(e)t(eTT)iT(e

T1)t(eK)t(u

dtdeTd)(e

T1)t(eK)t(u

di

p

d

Tt

1iip

d

t

1iip

d

t

0ip

TTKg

TT21Kg

TT

TT1Kg

)T2t(eg)Tt(eg)t(eg)Tt(u)t(u

dp2

dp1

d

ip0

210

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛++=

−+−++−=

Aproximación rectangular

PID DIGITAL

e t w t y tu t u t g e t g e t g e t( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

= −= − + + − + −1 1 20 1 2

varias formulaciones de discretizaciónreguladores basados en microprocesador con múltiples funciones auxiliares Período de muestreo T a menudo fijado en 100...200 msg

Implementación

Implementación

Implementación (DCS)

Arquitecturas

ImplementaciónEl algoritmo PID estáprogramado en los controladores del DCS

4 – 20 mA

Armario de control

Módulosde entrada/ salida

Módulosde control

Sala de control

4 – 20 mA

Campo

Operación

Configuración

Operación

Carátulatípica de un PID

Configuración

Formularioscon parámetrosde configuración

Configuración Java/Regula

• Un sistema de control es un conjunto de lazos interconectados

Configuración Java/Regula

• Para lazo se debe especificar:– Cuales son las entradas y las salidas (w,u,y)– Como se conectan unos lazos con otros (simple,

cascada, feedforward,…)– Sus parámetros (Kp, Ti, Td, span, restricciones)

Lazos de control Java-Regula

Fichero de configuración

Parámetros PID

• Kp ganancia / Término proporcional– % span control / % span variable controlada– banda proporcional PB=100/ Kp

• Ti tiempo integral / Término integral– minutos o sg. (por repetición) (reset time)– repeticiones por min = 1/ Ti

• Td tiempo derivativo / Término derivativo– minutos o sg.

Acción proporcional: Pbias)t(eK)t(u p +=

e

t

u

t

Un error del x % provoca una acción de controldel Kp x % sobre el actuador

bias = manual reset (CV = SP)

Acción directa/inversa

Direct acting controller Kp < 0 Reverse acting controller Kp > 0

u(t)=Kp(w-y) si aumenta y decrece u con Kp positiva

LT

considerar el tipo de válvula

LCLT

LC

Ejemplo de acción proporcional

u(t)=Kp e(t) + 30Solo puede alcanzarse un punto de equilibrio con error cero

Ejemplo de acción proporcional

Acción integral (automatic reset)

y yw w

t t

u

t

u

t

Un regulador P no eliminael error estacionario en procesos autoregulados

La acción integral continua cambiando la u hasta que el error es cero

KT

edp

i

τ∫

Acción Integral

e

t

e

tKp eSi e=cte.

KT

edp

i

τ∫

Ti = 1 repetición

KT

edKT

et K e t Tp

i

p

ip iτ∫ = = ⇒ =

Ti tiempo que tarda laacción integral en igualara la acción proporcional(una repetición) si e=cte.

u tKT

e dp

i

t

( ) ( )= ∫ τ τ0

Ejemplo de acción integral

Ejemplo de regulador PI

Acción derivativay yw w

t t

u

t

u

t

Un regulador P con gananciaalta para dar respuesta rápidapuede provocar oscilaciones por u excesiva

La acción derivativa acelera lau si e crece y la modera si e decrece, evitando oscilaciones

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ττ+=

−=

∫ dtdeTd)(e

T1)t(eK)t(u

)t(y)t(w)t(e

di

p

Acción derivativa

u t K T d ed tp d( ) =

e

t

e

tKp Td aSi e= a t

Td

Kp e

Con e variando linealmente, la acción derivativa da lamisma u que la acción proporcional daría Td sg. mas tardeAcción anticipativaNo influye en el estado estacionario

PD

Acción derivativa

u t K Td ed tp d( ) =

e

t

e

tKp Td aSi e= a t

Td

K Td ed t

K T a K at t Tp d p d p d= = ⇒ =Td tiempo que tarda laacción derivativa en igualara la acción proporcionalsi e= a.t.

Kp e

Acción derivativa

• El termino derivativo suavizará los cambios en la señal de control debido a cambios rápidos en el error

Acción derivativa

Acción derivativa

y yww

t t

u

t

u

t

u t K T d ed tp d( ) =

Saltos en la w provocanvalores muy altos de u enen instante de cambio

Señales de proceso ruidosasprovocan acciones inadecuadasen la u

PID ideal (no interactivo)u t K e t

Te d T

de tdt

T s T T sT s

E s

pi

t

d

i i d

i

( ) ( ( ) ( )( )

)

( )

= + +

+ +

∫1

10

2

τ τ

U(s) = K p

No es realizable físicamenteMuy sensible ante ruidosCeros reales para Ti > 4Td

w

y

I

D

e + Pu+

-

e(t) = w(t) - y(t)

PID real (no interactivo)

)s(ENsT1

sTTs11K=U(s)

)s(E1s

NT

1)s(Eerror elen filtro )t(eetd

edNT

tdedTd)(e

T1)t(eK)t(u

d

d

ip

dff

fd

fd

t

0ip

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

++

+==+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+ττ+= ∫

Realizable físicamenteIncorpora un filtro en el término derivativoA altas frecuencias la máxima ganancia del término D es Kp NN : máxima ganancia derivativa. Típicamente N=10.

Filtrado

PID no interactivo[ ]

U sK T T s T T s

T s T sE sp i d i d

i d

( ). ( . )

( . )( )=

+ + +

+

01 11 1

1 01

2

ProcesoPIDUE

Algoritmo de velocidad: se calcula el cambio en la uAdecuado con actuadores incrementales como motorespaso a paso, pulsos, ...

Algoritmo de posición

PID (acción derivativa sobre la y)

u t K e tT

e d T dy tdt

T dy tdt

y t y t

pi

t

df

df

f

( ) ( ( ) ( ) ( ) )

. ( ) ( ) ( )

= + −

+ =

∫1

01

0

τ τ

w

y

I

-D

e + Pu

-

+

Usado en los sistemas de control por computadorEvita saltos bruscos en la u ante cambios salto de w

Honeywell tipo B

e = w -y

PID acción proporcional modificada

u t K w t y tT

e d Td yd tp

i

t

df( ) ( ( ) ( )) ( )= − + −

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥∫β τ τ

1

0

El factor β permite una cierta independencia en la sintonía ante cambios en la referencia o en la carga

w

y

I

-D-1

e +u

-

+

β

I Kp

PID acción proporcional modificada

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−ττ+−= ∫ td

ydTd)(eT1))t(y(K)t(u f

d

t

0ip

Honeywell tipo C

w

y -D-1

e +u

-

+I Kp

Con β = 0

PID Serie o Interactivo

w

y

I

D

e+ P

u+

-+

U s KT s

T sT s

E spsis

ds

ds

( ) ( )(.

) ( )= ++

+1

1 11 01

PID Serie o Interactivo

U s KT s

T sT s

E spsis

ds

ds

( ) ( )(.

) ( )= ++

+1

1 11 01

•Usado en los reguladores analógicos o de lazo•Tablas de equivalencias entre los parámetros de losPID serie y paralelo

F=1+Tds/Tis Kp= Kps F; Ti= Tis F; Td = Tds / F

Fs =0.5+(0.25-Td /Ti)0.5 Kps= Kp Fs; Tis = Ti Fs; Td s = Td / Fs

PID paralelo puro

)s(EsT

sTT1sTK=U(s)

dt

)t(deTd)(eT1)t(eK)t(u

ip

2dpipippp

dp

t

0ippp

++

+ττ+= ∫

w

y

I

D

e +u+

-

e(t) = w(t) - y(t)

P

dpdp

i

p

ip

ppp

TKT

TK

T1

KK

=

=

=

PID no lineal

( )

u t K f e e tT

e d Td yd t

f ef e e con

pi

t

df( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

= + −⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

= + −

∫1

1

0

τ τ

α α α

funcion del error, por ejemplo:p. e. = 0.1

La acción del controlador debe ser mas enérgicacuando el error es grande y poco sensible a pequeñoserrores debido a ruidos, etc.

PID no lineal

PIDu

e

f(e) Función no-lineal del errorZona muerta en torno a e=0Ganancia alta para |e| grande

y

F(e)

Anula los cambios de u con e pequeño, (debido p.e. al ruido)Hace acciones mas enérgicas con error grande

Saturación en los actuadores

q

ω

Todos los actuadores y señales de salida de los reguladores tienen un rango limitado de operación (0 - 100 %)

4-20 mA

Reset wind-up

ProcesoPID

)d)(eT1)t(e(K)t(u

t

0ip ∫ ττ+=

Retardo en la corrección cuando el término integral excede los límites superior o inferior de la señal de control.

Sistemas anti wind-up, o de saturación del término integral impiden este fenómeno.

Reset wind-up

ProcesoPID

)d)(eT1)t(e(K)t(u

t

0ip ∫ ττ+=

Sin antiwind-up

Con antiwind-up

w

y

u

100%

Debido al término integral

Anti-wind up )d)(e

T1)t(e(K)t(u

t

0ip ∫ ττ+= Parar la integración si u

excede sus limites

Kp

Kp/Ti

e

+ 1 / s

+

1/ Tt

uv

+-

1.

2. Tracking: Si v >uew corrige el términointegral hasta que v = u

Modelo actuador

ew

Tt traking time constant

Anti-windup

Kp=4

Ti=1

Transferencias auto/man

w

y

eu+

-PID

manual

auto

En los cambios de modo puede haber cambios bruscos en u

Transferencias suaves auto/man y man/auto (bumpless)

Cambios de valor de los parámetros sin saltos bruscos

Transferencias bumpless

w

y

e +u+

-PD

manual

auto

1/(1+Tis)

manual valor al sigue auto PDmanualsT1

1auto

teoricoserie PID )s(E)sT1(sT

sT1K)s(U

)s(E)sT1(K)s(UsT1

1)s(U

i

di

ip

dpi

++

=

++

=

+++

=

Transferencia suave man >> auto

Trasferencias bumpless

1/se

+

PD

+

1/ Tr

uauto

+-

ew

1/ Ti

1/sw +1/ Tr

1/ Tr+

-

man

Man sigue el valor autoen automático

Auto sigue el valor man enmanual

Sintonía de PID• Selección de los

parámetros del PID para obtener una respuesta adecuada

• Kp, Ti, Td

• Otros parámetros: N,Tr, β, T, límites, ...

• Varios métodos + conocimiento del proceso

Pirámide de control• La operación y el

control en la industria de procesos están organizados en un conjunto de capas interactivas cada una con diferentes funcionalidades

Pirámide de control

ReactorFT

FT

FC

FC

TT AT

MPC

SP Temp SP Conc.

Refrigerante

Producto

u1u2

Reactivo

Optimización económica

JERARQUIA DE CONTROL

nivel 0Instrumentación

de Campo

Nivel 1Control Convencional

PID, DCS

Nivel 2Control Avanzado

Nivel 3Optimizació n

Interes econó mico

Para poder abordar problemasde un nivel, los niveles inferioreshan de funcionar correctamente

En concreto, el control avanzado exige que laregulación de lazos simplescon PID’s funcioneadecuadamente

Sintonía de PIDLos reguladores PID solucionan bien la mayoría de los problemas de control monovariable (caudal, presión, velocidad, ...)Sin embargo, el PID no es adecuado en casos de dinámica difícil, o con especificaciones exigentes:» retardos grandes inestabilidad» respuesta inversa mínima varianza

tu

y

t

Criterios de diseño• Selección del tipo de regulador P, PI, PID,

PD u otro regulador (DMC, IMC,...)• Sintonía para cambios en w o v• Diversidad de formas de especificar

objetivos• Tener en cuenta la señal de control• Robustez frente a cambios en el proceso o

punto de operación

Tipos de reguladores• PID indicado en procesos lentos sin ruidos, como

temperatura, concentración y, en algunos casos, presión.

• PI indicado en la mayor parte de los casos• P procesos con integrador o donde no sea

importante un error estacionario nulo.• En procesos con retardo alto: Predictor de Smith,

Conrol predictivo: MPC cuando el sistema es multivarible, o tiene restricciones o en unidades de proceso con importancia económica

Sintonía: ¿w ó perturbaciones?

+-

R

Proceso

uv

yG

w

vGR11w

GR1GRy

++

+=

Si se sintoniza el regulador para atenuar la respuesta ante perturbaciones, R queda fijada y, por tanto, la respuesta frente a cambios en w también.

Un solo grado de libertad

Perturbación / SP

Perturbación

50 → 52

CambioSP

Métodos de sintonía de PID• Métodos de prueba y error• Métodos basados en experimentos

– Estimar ciertas características dinámicas del proceso con un experimento

– Calcular los parámetros del regulador mediante tablas o fórmulas deducidas en función de las características dinámicas estimadas

• Métodos analíticos basados en modelos• Métodos de Sintonía automática

Prueba y Error

Partir de valores bajos de Kp, y sin acción integral o derivativa

Aumentar Kp hasta obtener una forma de respuesta aceptable sin excesivos u

Aumentar ligeramente Td para mejorar la respuesta

Disminuir Ti hasta eliminar el error estacionario

1 Aumentar Kp 2 Aumentar Td

3 Disminuir Ti

y y

y

w w

w

Métodos de Ziegler-Nichols•Criterio de sintonía: amortiguamiento de 1/4

ante perturbaciones. (QDR)•Desarrollados empíricamente para PID serie (1942)•Métodos en lazo abierto y lazo cerrado•Válidos para 0.15 < d /τ < 0.6 y procesos monótonos•Dan valores aproximados: requieren ajuste fino

11/4

y

w

MétodosEn lazo cerrado

ProcesoRegulador

En lazo abierto

Proceso

Método de Ziegler-Nichols en lazo cerrado

w

y

Kce Proceso

u+

-

y

TKc ganancia críticaT periodo de oscilación

La ganancia Kpse aumenta hasta llegar a la estabilidad crítica

Tabla de sintonía de Ziegler-Nichols en lazo cerrado

Tipo GananciaKp

Tiempointegral

Tiempoderivativo

P 0.5 Kc

PI 0.45 Kc T/1.2

PIDparalelo

0.75 Kc T/1.6 T/10

PID serie 0.6 Kc T/2 T/8

Kc ganancia crítica en % / % T periodo de oscilaciónTi y Td en las mismas unidades que T

Identificación con un salto en u

Kes

ds−

+τ 1

Κ= Δy/Δu

y

t

u

tΔu

Δy

d τ

tg de máxima pendiente

valor estacionario

Adecuado para Ziegler-Nichols

Identificación con un salto en u

τ = 1.5 (t2 - t1)d = t2 - τ

Κ= Δy/Δu

Kes

ds−

+τ 1

y

t

u

tΔu

Δy0.632Δy0.283Δy

t2t1

Adecuado para sistemas con ruido

Tabla de sintonía de Ziegler-Nichols en lazo abierto

Tipo GananciaKp

Tiempointegral

Tiempoderivativo

P τ / (K d)

PI 0.9τ /(K d) 3.33 d

PID serie 1.2τ /(K d) 2 d 0.5 d

K ganancia en % / % , d retardo , τ constante de tiempoTi y Td en las mismas unidades que dNótese que Ti = 4 TdPara reguladores digitales aumentar d en medio periodo de muestreo

Minimización de la integral del error

PID +w ye u

wy

K T Tp i d

min f e t dt , ,

( ( ))∫

error = f ( Kp , Ti, Td )

G(s)

minimización numérica

Minimización de la integral del error

K es

d s−

+τ 1PID +

wd

ye u

w

y K T T

K T T

K T T

p i d

p i d

p i d

min e t dt MIAE

min e t dt MISE

min e t tdt MITA

, ,

, ,

, ,

( )

( )

( )

∫

∫

∫

2

E

error = f ( Kp , Ti, Td )

Tabla de sintonía de Lopez et al.

K K a d

Ta

d

T a d

p

b

i

b

db

= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

τ

ττ

τ τ

•Para PID paralelo o no interactivo (1967)•Para rechazo de perturbaciones•Criterio de sintonía:

Minimizar la integral del error:MIAE |e|MISE e2

MITAE |e|t•Basadas en un modelo de primer orden con retardo•Proporcionan los parámetros a y b de las fórmulas•Validas para procesos monótonos con d / τ < 1

Tabla de Lopez y otros

Criterio Proporcional Integral Derivativo

MIAE a=0.984b=-0.986

a=0.608b=-0.707

MISE a=1.305b=-0.959

a=0.492b=-0.739

MITAE a=0.859b=-0.977

a=0.674b=-0.68

Reguladores PI paralelo

K K a d

Ta

d

T a d

p

b

i

b

db

= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

τ

ττ

τ τK en % / %Sintonia para rechazo de perturbacionesValidas para procesos monótonos con d / τ < 1Para reguladores digitales aumentar d en medio periodo de muestreo

Tabla de Lopez y otros

Criterio Proporcional Integral Derivativo

MIAE a=1.435b=-0.921

a=0.878b=-0.749

a=0.482b=1.137

MISE a=1.495b=-0.945

a=1.101b=-0.771

a=0.560b=1.006

MITAE a=1.357b=-0.947

a=0.842b=-0.738

a=0.381b=0.995

Reguladores PID paralelo

K K a d

Ta

d

T a d

p

b

i

b

db

= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

τ

ττ

τ τK en % / %Sintonia para rechazo de perturbacionesValidas para procesos monótonos con d / τ < 1Para reguladores digitales aumentar d en medio periodo de muestreo

Minimización de la integral del error

K es

d s−

+τ 1PID +

w ye u

wy

K T T

K T T

K T T

p i d

p i d

p i d

min e t dt MIAE

min e t dt MISE

min e t tdt MITA

, ,

, ,

, ,

( )

( )

( )

∫

∫

∫

2

E

error = f ( Kp , Ti, Td )

Tabla de sintonía de Rovira et al.

K K ad

Ta

db

Ta

d

p

b

i

db

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

ττ

τ

τ τ

•Para PI, PID paralelo o no interactivo (1969)•Para cambios de consigna•Criterio de sintonía:

Minimizar la integral del error:MIAE |e|MITAE |e|t

•Basadas en un modelo de primer orden con retardo•Proporcionan los parámetros a y b de las fórmulas•Validas para procesos monótonos con d / τ < 1

Tabla de Rovira y otrosCriterio Proporcional Integral Derivativo

MIAE a=0.758b=-0.861

a=-0.323b=1.020

MITAE a=0.586b=-0.916

a=-0.165b=1.030

PID Paralelo

MIAE a=1.086b=-0.869

a=-0.130b=0.740

a=0.348b=0.914

MITAE a=0.965b=-0.855

a=-0.147b=0.796

a=0.308b=0.929

PI paralelo

K en % / %Sintonia para cambios de consignaValidas para procesos monótonos con d / τ < 1Para reguladores digitales aumentar d en medio periodo de muestreo

K K ad

Ta

db

Ta

d

p

b

i

db

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

ττ

τ

τ τ

λ TuningTipo Kp Ti λ recomendado

λ>0.2τ siemprePI procesoscon integrador

PIλ

+τK4

d4

λK2

4d

+τ

λ2 7.1d

>λ

7.1d

>λ

w y1s

1+λ

λ constante de tiempo deseada en lazo cerrado

Algunas reglas recomiendan un λ sensiblemente mayor que el de lazo abierto

Rivera-Morari IMC

)d(K2d2

+λ+τ

Tipo Kp Ti Td λ recomendadoλ>0.2τ siempre

PI

PImejorado

PIDλ

+τK2

d2

d2d+τ

τ

λτ

K

2d

+τ

2d

+τ

τ 7.1d

>λ

7.1d

>λ

25.0d

>λ

w y1s

1+λ

λ constante de tiempo deseada en lazo cerrado

Modelo:

17.1T

,7.1K

1s96.0e46.0

i

p

s87.0

=

−=

+− −

Lambda tuning

λ = 1.5

Síntesis directaGR

u+

-

yw

)s(WGR1

GR)s(Y+

= M(s) = FT deseada en lazo cerrado

GR1GR)s(M+

= ))s(M1)(s(G)s(M)s(R

−=

Síntesis directa de PIDMetodología:

•Elegir G(s) de bajo orden

•Elegir M(s) deseada como una función sencilla

•Calcular R(s) e identificar los correspondientes parámetros de un PID

1s1)s(M+λ

=

λ=

−+λ=

+λ−

+λ=−

=K1

)11s(Ks

)1s

11(sK

1s1

))s(M1)(s(G)s(M)s(R

sK)s(G = Regulador P

con Kp = 1/Kλ

Síntesis directa de PID

1s1)s(M+λ

=

s1s

KsK1s

)11s(K1s

)1s

11(1s

K1s

1

))s(M1)(s(G)s(M)s(R

τ+τ

λτ

=λ+τ

=−+λ

+τ=

+λ−

+τ

+λ=−

=

1sK)s(G+τ

=

Regulador PI con Kp = τ/Kλ Ti = τ

Si:

sT)1sT(K

PIi

ip +=

Síntesis directa de PID

1s1)s(M+λ

=

s)()1s)(s(

K)(

sK)1s)(1s(

)11s(K)1s)(1s(

)1s

11()1s)(1s(

K1s

1

))s(M1)(s(G)s(M)s(R

21

212

212121

21

21

τ+τ+τ+τ+ττ

λτ+τ

=λ

+τ+τ=

=−+λ

+τ+τ=

+λ−

+τ+τ

+λ=−

=

)1s)(1s(K)s(G

21 +τ+τ=

Regulador PID con Kp = (τ1+ τ2)/KλTi = τ1+ τ2 Td = τ1τ2

Si:

sT)1sTsTT(K

ideal PIDi

i2

dip ++=

Síntesis directa de PID

1s1)s(M+λ

=

s)/2(1s)/2(s)2/1)(/2(

K2

sK1s)/2(/s

sKs2s

)11s(Ks2s

)1s

11(s2s

K1s

1

))s(M1)(s(G)s(M)s(R

n

n2

nn

n

n2n

2

2n

2nn

2

2n

2nn

2

2nn

2

2n

ωδ+ωδ+δωωδ

λωδ

=

=λ

+ωδ+ω=

λωω+δω+

=

=−+λωω+δω+

=

+λ−

ω+δω+ω

+λ=−

=

2nn

2

2n

s2sK)s(G

ω+δω+ω

=

Regulador PID con

Si:

sT)1sTsTT(K

ideal PIDi

i2

dip ++=

nd

ni

np 2

1T2TK

2Kδω

=ω

δ=

λωδ

=

CancelaciónGp

u+

-

yw

))s(M1)(s(G)s(M

−

M)GG(GMG

MG)M1(GMG

)M1(GMG1

)M1(GMG

CLTFp

p

p

p

p

p

−+=

+−=

−+

−=

¡ Si no hay cancelación por inexactitud del modelo, los polos inestables en lazo abierto se conservan en lazo cerrado !

))s(M1)(s(G)s(M)s(R

−= Sistemas de fase no mínima dan

reguladores inestables!

Clase invitada

• 18 y 19 de Mayo• Prof. Robin de Keyser, de la Universidad de

Gante, Bélgica• Diseño de controladores PID en el dominio

de la frecuencia• Autosintonía de reguladores

Margen de fase

-1Diagrama de Nyquist

O

φ

G(jω)ωf

φ+π−=ωφ

=ωω

)j(Garg( verificaque angulo 1)j(G que la a frecuenciamayor

f

ff

Margende fase

Margen de fase

G(s)w u y

t

yEl margen de fase φ esta relacionadocon el sobrepico y la estabilidadLa frecuencia ωf esta relacionada con la velocidad de respuesta

Diseño con el Margen de fase

-1 O

φ G(jω)

G(jω)R(jω)

ωf

Calcular R(s) para conseguir un margen de fase de G(jω)R(jω) igual a φ a la frecuencia ωf

G(s)w u yR(s)

Diseño de PID con especificación del margen de fase

-1 O

φ

G(jω)R(jω)

ωf

[ ]

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ω+

ω+

ω+=ω

φ+π−=ωω

=ωω

jT1.01jT

jT11K)j(R

)j(R)j(Garg1)j(R)j(G

d

d

ip

ff

ff

Diseño de PID con especificación del MF

•Dos ecuaciones y tres incognitas: Kp , Ti , Td

•Especificar ωf , φ•Rango de valores para los que existe solución •Basta conocer un punto del diagrama de Nyquist

[ ]

25.0......0con TT

)j(GargjT1.01

jTjT11arg

)j(G1

jT1.01jT

jT11K

id

ffd

fd

fi

ffd

fd

fip

=αα=

ω−φ+π−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ω+

ω+

ω+

ω=

ω+ω

+ω

+

[ ]

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ω+

ω+

ω+=ω

φ+π−=ωω

=ωω

jT1.01jT

jT11K)j(R

)j(R)j(Garg1)j(R)j(G

d

d

ip

ff

ff

Reguladores PI con especificaciones de MF

[ ])j(GargjT11arg

)j(G1

jT11K

ffi

ffip

ω−φ+π−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ω

+

ω=

ω+

[ ]

)j(GcosK

tg1T

)j(Garg

fp

fi

f

ωθ

=

θω=

ω+φ−π=θ

θ=θ+=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ω

+=ω

+

θ−=ω

−=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ω

−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ω

+

sectg1

T11

jT11

T1arctg

T1j1arg

jT11arg

2

2

fifi

fi

fifi

Reguladores PD con especificaciones e MF

[ ])j(GargjT1.01

jT1arg

)j(G1

jT1.01jT

1K

ffd

fd

ffd

fdp

ω−φ+π−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ω+

ω+

ω=

ω+ω

+

))j(Garg(tg22.0

tg44.011T

T1.01T

1)j(GK

f

fd

12

fd

fdfp

ω−φ−π=θθω

θ−+−=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ω+

ω+ω=

−

Diseño con el MF

tiempo

y

A mayor φ menor sobrepico

Valores mayores de ωf dan respuestas mas rápidas y controles mas activos

Diseño con el MF

[ ] φ+π−=ωω

=ωω

)j(R)j(Garg1)j(R)j(G

ff

ff

El cumplimiento de las ecuaciones

No garantiza la estabilidad en lazo cerrado

-1GR

φ

Margen de ganancia

-1π−=ω

ω=

))j(Garg(

)j(G1MG

g

g

ωg

MG = factor en el que se puede incrementar la ganancia antes de que el sistema en lazo cerrado se haga inestable

Medida de robustezG(s)w u y

G(jω)

Diseño con el MG

-1 O

G(jω)

G(jω)R(jω)

ωg

Calcular R(s) para conseguir un margen de ganancia de G(jω)R(jω) igual a Μγ a la frecuencia ωg

G(s)w u yR(s)

Diseño con el MG

[ ] π−=ωω

=ωω

)j(R)j(GargM1)j(R)j(G

gg

ggg

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ω+

ω+

ω+=ω

jT1.01jT

jT11K)j(R

d

d

ip

Problemas similares al diseño con el MF

Diseño con MF y MG

-1 O

G(jω)

G(jω)R(jω)

ωg

ωf

φ[ ] π−=ωω

=ωω

)j(R)j(GargM1)j(R)j(G

gg

ggg

[ ]

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ω+

ω+

ω+=ω

φ+π−=ωω

=ωω

jT1.01jT

jT11K)j(R

)j(R)j(Garg 1)j(R)j(G

d

d

ip

ff

ff

Funciones de transferencia

++-

R

Proceso

u

v

yG

w

vGR11w

GR1GRy

++

+=

vGR1Rw

GR1Ru

+−

+=

Swy Svy

Swu Svu

Esfuerzos de control

)j(GR1)j(Rlog20)j(Glog20

)j(GR1)j(GRlog20

SGGR1RG

GR1GRS uwuw

ω+ω

=ω−ω+

ω

=+

=+

=

logω20log| . |

GR1GR+

G esfuerzos de controlUn ancho de banda grande implica esfuerzos de control elevados

Rechazo de perturbaciones

1S si0S 0 si

integralaccion tieneR si)j(R)j(G1

1GR11S

vy

vy

vy

→∞→ω

→→ω

ωω+=

=+

=|Svy(jω)| en dB

ω

En un rango de frecuencias,el regulador puedeempeorar el rechazo deperturbaciones.Importante minimizar elmaximo |Svy(jω)|

Margen de Módulo

-1

1vySGR1NM

)j(R)j(GOMNM1−=+=

ωω==+−N

M

Diagrama de Nyquist

O

min |NM| = −( ( ) )max S jvy ω 1

=∞

−S jvy ( )ω

1

Un margen de módulo mayor mejora el rechazo de perturbaciones

Margen de módulo = min |NM|

Diseño con el margen de módulo

)j(R)j(G1minmaxdip T,T,K

ωω+ω

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ω+

ω+

ω+=ω

jT1.01jT

jT11K)j(R

d

d

ip

Optimización min max orientada al rechazo de perturbaciones

Robustez del diseño

++-

R

Proceso

u

v

yG

w

vGR11w

GR1GRy

++

+=

GR1GRT

GT

TG

GGTT

adSensibilid+

=∂∂

=∂

∂

¿ Como varía la respuesta en lazo cerrado cuando varian los parámetros del proceso?

Robustez del diseño

++-

R

Proceso

u

v

yG

w

SvTw

vGR11w

GR1GRy

+=+

++

=

vy22 S)GR1(

1)GR1(

RRGR1

)GR1(GRRR)GR1(

GR)GR1(G

GR1GR

GTG

=+

=+

+=

+−++

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

+∂∂

Función de sensibilidad Svy = sensibilidad frente a errores en G

Importante minimizar los errores en la zona de frecuencias donde mayor es la sensibilidad frente a w o v

T)GR1(

GR)GR1(

)R(1

)GR1(GGR11

GSG

2 −=+−

=+−+

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

+∂∂

Métodos de sintonía automática

• Autosintonía (autotuning): el proceso de sintonía empieza bajo demandad del operario

• Control adaptativo (adaptive control): el sintonizador automático continuamente identifica la dinámica del procesos y reajusta los parámetros del controlador si hay algún cambio.

Casi todos los reguladores comerciales incorporan algún método de sintonía automática (autotuning)En pocos casos hay funciones verdaderamente adaptativas

Métodos de sintonía automática

• Respuesta salto• Método del relé• Identificación de la respuesta en lazo

cerrado (Exact)• Control Adaptativo

Respuesta salto

ProcesoPIDue

Si se activa la función de autosintonía, el regulador cambia a manual y da un salto a la variable manipulada.De la respuesta del proceso, identifica un modelo deprimer orden con retardo a partir del cual calcula mediante tablas la nueva sintonía del regulador

SIPART (Siemens)Pre-tuning:EXACT, Electromax

Análisis de sistemas con elementos no lineales

G

u+

-

ywR N

N: función descriptiva: aproximación lineal de la no-linealidad: relé, saturación, histéresis, etc

ecuación característica: 1+GRN = 0

Función descriptiva

Respuesta en frecuencia de un elemento no-lineal

1 excitar el sistema con una sinusoide de frecuencia ω

2 Calcular el primer armónico de la señal de salida

3 Calcular la ganancia y desfase en relación al primer armónico

Análisis de Fourier

=+

+

+...

Análisis de sistemas con elementos no lineales

Kc

wc

GR(jω)

-1/N (relé)GR = -1/N

En el análisis de estabilidad de Nyquist, el trazo de -1/N juega el mismo papel que el punto -1en los sistemas lineales

Estable

oscilaciones

Método del relé

ProcesoPIDue

Si se activa la función de autosintonía, se conecta un rele en lugar del PID , que sirve para provocar oscilaciones controladas en el proceso que permitan la identificación de características dinámicas del mismo.

Astrom, Hagglund 1984

ECA40 (Satt) DPR9000 (Fisher)

Método del Relé

yw

t

t

uProceso

ue d

-d

T

A

T periodo de oscilaciónA amplitud del primer armónico

Modificaciones: rele con histeresislazos adicionales para forzar oscilaciones

Método del Relé

y

t

Kc

wc

T2

Ad4K

c

c

π=ω

π=

T

A

Permite identificarun punto del diagramade Nyquist G(jω)

1+GN=0 N funcióndescriptiva del relé

-1/N

Sintonía mediante ajuste por margen de fase

Método ExactEXact Adaptive Controller Tuning (Foxboro)

•Sintonía continua en lazo cerrado•Si el error excede unos límites, se identifica un modelo del proceso mediante reconocimiento de patrones•El regulador calcula la nueva sintonía en tiempo real usandotablas modificadas de Ziegler-Nichols (+ reglas)•Comportamiento deseado : sobrepico y amortiguamiento

ProcesoPIDe

Presintoníacon salto

Activación Exact

w

y

w

y

NB

Wmax

Activación automática si el error supera la banda NB y el segundo pico aparece antes de Wmax sg. tras el primero.Si se supera Wmax se considera al proceso sobreamortiguado.

Perturbación

Cambio de we

Exact

w

y

Cuando se activa la sintonia,el Exact mide los picos E1, E2, E3 y sus instantes de ocurrencia , lo que se utiliza para estimar un modelo del proceso en base a:

E1

E2

E3

T

amortiguamiento = sobrepicoE EE E

EE

3 2

1 2

2

1

−−

=

O un modelo del proceso sobreamortiguadoPosteriormente se aplican las tablas y reglas de sintonía

Control Adaptativo

ProcesoPID

IdentificaciónAjuste

Modelo estimado

Nueva sintonía

Excitación externa para identificación o activación condicionalActivación del ajuste en una escala temporal mayorSupervisión del controlador / Estabilidad

PID AdaptativosElectromaxFirstloop (First Control)Identificación de un modelo con dos polosSintonia del PID por asignación de polos

Novatune (ABB)Identificación recursivaSintonía mediante varianza mínima

Wittenmark (1979) Cameron-Seborg (1983)Radke-Isermann (1987) Vega/Prada (1987)

Ganancia Planificada

ProcesoPID

Tabla de Ajuste Nueva sintonía

w

Se ajustan los parámetros del regulador mediante una tabla preestablecida función de alguna condición de operación: p.e. Punto de consigna.

SP

Kp

-1.32

-0.5

145 ºC130 ºC

Gain Scheduling

Sistemas con retardo

• Si el retardo es mayor que la constante de tiempo del proceso, el sistema es difícil de sintonizar

• El predictor de Smith es un controlador que mejora la respuesta en el tiempo de este tipo de procesos. Para calcularlo es necesario conocer el modelo Ge-ds

Retardos: Predictor de Smith

Ge-dsR

Gm(1-e-ds)

u yw

[ ][ ]

[ ]GuwRGey GG si

u)e1(GuGewRGe

u)e1(GywRGeuGey

dsm

dsm

dsds

dsm

dsds

−==

−−−=

=−−−==

−

−−−

−−−

Predictor de Smith[ ]GuwGRey ds −= −

GRu y

w e-ds

Si G = Gm puede sintonizarse R como si no existiera retardo

Diagrama equivalente

Predictor de SmithKp = 0.4

Ti = 5

Con Smith

Kp = 1.2Ti = 5

Predictor de Smith96.0T,32.1K1s96.0

e46.0

ip

s87.0

=−=+

− −

Sintonía en DCSAplicacionesde ayudas a la sintoníaautomática o manual en el DCS