tema 4: corrientes estacionarias
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Electricidad y Magnetismo Curso 2010/2011
Tema 4: Corrientes Estacionarias EyM 4-1
J.L. Fernández JambrinaEyM 4-1
Tema 4: Corrientes Estacionarias.
• Definición.
• Comportamiento de los medios.
• Propiedades.
• Concepto de generador, f.e.m.
• Interpretación energética.
• Condiciones de contorno en interfases.
• Resolución de las ecuaciones en conductores.
• Concepto de resistencia.
• Dualidad Resistencia-Capacidad.
J.L. Fernández JambrinaEyM 4-2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )
=⋅∇
=×∇=⋅∇
=×∇ρ=⋅∇
σ=µ=ε=
→ ≠
=∂∂
=∂
∂ρ+⋅∇
∂∂
+=×∇=⋅∇
∂∂
−=×∇ρ=⋅∇
σ=µ=ε=
0
0
00
0
0,
,
,,,0,
,,,,
,,,,,,
rJ
rJrHrB
rErrD
rErJrHrBrErD
Jt
t
trtrJ
t
trDtrJtrHtrB
t
trBtrEtrtrD
trEtrJtrHtrBtrEtrD
rr
rrrrrr
rrrrr
rrrrrrrrrrrr
r
rrr
rrrrrrrr
rrrrrrr
rrrrrrrrrrrr
Corrientes estacionarias: Definición
• Definición:
– No hay variación con el tiempo.
– Se admite el movimiento de cargas que respete la condición anterior.
• Obtención de las ecuaciones:
– Dos juegos de ecuaciones:
» Uno con las corrientes como campo dependiente de unas fuentes.
» Otro con las corrientes como fuente.
– Existe una relación entre ambos juegos de ecuaciones, la fuerza de Lorentz, pero se puede ignorar como se verá al hablar del efecto Hall y la Ley de Faraday.
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Tema 4: Corrientes Estacionarias EyM 4-2
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44444 844444 76r
rrr
rrr444 8444 76
rr
rrriasEstacionar Corrientes
00
ticaElectrosta
0
0=⋅∇
σ=ρ=⋅∇
ε==×∇
=ρ=⋅∇
ε==×∇J
EJD
EDE
JD
EDE
( ) ( ) HBBrJrHrrrrrrr
µ==⋅∇=×∇ 0
Φ−∇=⇔=×∇ EErr
0
Definición (2)
• Ecuaciones de la Magnetostática:
– Se abordarán en el tema siguiente.
• Ecuaciones de las corrientes estacionarias:
– Las ecuaciones del campo eléctrico estacionario son similares a las de la Electrostática.
– Se puede seguir definiendo y utilizando el potencial como en Electrostática:
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• Dieléctricos: σ=0, la situación es idéntica a la electrostática:
• Conductores reales:
– Si circula una corriente, existe campo en su interior, no son volúmenes equipotenciales.
– Si son homogéneos, no hay carga en su interior:
• Conductores perfectos:
– Son una idealización de los buenos conductores:
– La corriente puede circular sin necesidad de campo.
– Son equipotenciales:
0
000
0
=ρ=⋅∇
ε==×∇ →=σ
=⋅∇σ=ρ=⋅∇
ε==×∇
JD
EDEJ
EJD
EDErr
rrrr
rrr
rrr
( ) 00 =ρ⇒ρεσ
=⋅∇εσ
=ε
⋅∇σ=⋅∇σ=σ⋅∇=⋅∇= DD
EEJr
rrrr
∞=σ
≠
=
⇒
≠
→0
0
0
0J
E
J
Elim
r
r
r
r
( )∞→σ
cte0 =Φ⇔=Φ−∇=Er
Comportamiento de los medios.
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Tema 4: Corrientes Estacionarias EyM 4-3
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• Las líneas de corriente estacionarias son cerradas:
– Divergencia nula = Líneas de corriente cerradas
» Si existiera una línea abierta de corriente desde V1 hacia V2 , la carga en V1 disminuiría y la de V2 aumentaría: No serían constantes en el tiempo y la situación no sería estacionaria.
0=⋅∇ Jr
Corrientes Estacionarias: Propiedades
V1V2
dQ
dt
1 0<dQ
dt
2 0>
rJ
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• En conductores reales no pueden existir corrientes estacionarias bajo la influencia exclusiva de campos estacionarios.
– Si se supone que existe una línea de corriente cerrada en un conductor real y que su origen está en el campo eléctrico, al calcular la circulación del campo eléctrico a lo largo de ella (en el sentido de la corriente):
– Contradicción:
» Si existe esa línea, el campo no puede ser estacionario.
» Si el campo es estacionario, tal línea no puede existir.
– Consecuencia:
» Hace falta una fuerza con otro origen.
Corrientes Estacionarias: Propiedades
rJ
dlr
C
0000
//
≠×∇⇒>⋅⇒>⋅⇒
σ=
>⋅ ∫ EldEldE
EJ
ldJ
Jld
C
rrrrr
rr
rr
rr
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Concepto de fuerza electromotriz.
• Se puede definir un campo eléctrico equivalente que represente a todas las fuerzas aplicadas sobre las cargas:
• La ley de Ohm debe englobar a estas fuerzas:
• Definición:
– f.e.m. es la circulación de la fuerza por unidad de carga a lo largo de un contorno cerrado.
– En situaciones estacionarias las contribuciones de los campos y se anulan:
– Nota: En el resto del capítulo se omite:
Tg EqEBvEqFrrrrrr
=+×+= )(
∫∫ ⋅=⋅=C
T
C
ldEldq
Fmef
rrrr
...
( ) ( ) ( ) ∫∫
⋅=⇒
=⋅×⇒⊥×⇒
⊥×
=⋅⇒=×∇
C
g
C
ldEmefldBvldBv
vBv
ldv
ldEErr
rrrrrrrrr
rr
rrr
...0
||
00
Bvrr
×
TEJrr
σ=
Er
Br
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• Normalmente, el campo sólo existe en una región bien delimitada: el generador.
– Dentro del generador el campo eléctrico y el del generador van en sentidos contrarios.
– La integral de la fuerza electromotriz se puedelimitar al interior del generador:
( ) 0
generador
... >⋅=⋅=⋅+=⋅= ∫∫∫∫+
−
48476
rrrrrrrrldEldEldEEldEmef g
C
g
C
g
C
T
rEg
rE
Concepto de generador, f.e.m.
gEr
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f.e.m.: Interpretación.
• Si el generador está en circuito abierto (no circula corriente), en el interior del generadorel campo debe ser nulo:
– Calculando la circulación del campo total a lo largo delcontorno de la figura:
• La f.e.m.g. coincide con la diferencia de potencial entre los bornes del generador en circuito abierto.
– El concepto de es más general que su aplicación a los generadores.
– Las unidades de la f.e.m. son los Voltios (V).
I = 0
r rE Eg+
rE
σσσσ = 0
EEEEJ
JgT
T
rrrrr
r
−=⇒=⇒
σ=
≠σ=0
00
−+
+
−
−
+
−
+
+
−
Φ−Φ=⋅−=⋅=⋅+⋅=⋅= ∫∫∫∫∫
48476rr
48476rr
48476rr
48476rrrr
exteriorexteriorexteriorinterior
.... ldEldEldEldEldEgmef TTT
C
T
∫ ⋅=C
T ldEmefrr
...
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Interpretación Energética.
• En el tema 2 se vio que la potencia disipada en un volumen es:
• En general representa la conversión de energía de tipo electromagnético en otro:
– Si la carga (positiva) circula de mayor a menor potencial: se desplaza a favor de la fuerza eléctrica que se aplica sobre ella.
» Se produce una disminución de la energía electromagnética.
» Se convierte en calor, energía mecánica, química, ...
– Si la carga (positiva) circula de menor a mayor potencial: se desplaza contra la fuerza eléctrica que se aplica sobre ella.
» Se produce un aumento de la energía electromagnética.
» El aumento se produce a costa de energía mecánica, química, ...
• El resultado es aplicable a otros tipos de fuerzas.
– En el generador, normalmente, , luego se producirá una pérdida de energía del generador. Una entrega de energía al campo electromagnético.
∫∫∫∫∫∫∫∫∫ σ=⋅σ=⋅=VVV
dVEdVEEdVEJ2
disipadaPotenciarrrrr
0>⋅ EJrr
0<⋅ EJrr
0>⋅ gEJrr
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Tema 4: Corrientes Estacionarias EyM 4-6
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Interpretación Energética: (2)
• Dentro de un generador real: ya que σσσσ relaciona la densidad corriente con la fuerza que se ejerce por unidad de carga.
– Luego:
» La potencia disipada o aumento de energía térmica por unidad de tiempo:
» El aumento de energía electromagnética por unidad de tiempo:
» El aumento de la energía del generador por unidad de tiempo:
– Evidentemente se cumple el principio de conservación de la energía:
» La energía entregada por el generador se transforma en energía eléctrica y calor.
( )gT EEEJrrrr
+σ=σ=
0=∂
∂+
∂
∂+
∂∂
⇔=++ggg
gggV
calor
V
g
V
EM
VcalorVgVEMt
W
t
W
t
WcteWWW
0≥⋅−=∂
∂∫∫∫
gg VV
EM dVJEt
W rr
0≤⋅−=∂
∂∫∫∫
gg V
g
V
gdVJE
t
W rr
( ) 0≥⋅+=∂
∂∫∫∫
gg V
g
V
calor dVJEEt
W rrr
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Condiciones de contorno en las interfases.
• Dieléctrico-Dieléctrico:
– Como en Electrostática.
• Conductor-Conductor:
– Es más simple la condición de que la de ,
» Existe una densidad superficial de carga constante en el tiempo.
Medio 1
Medio 2ε µ σ2 2 2
2 2 2 2 2
, ,
, , , ,r r r r rE D H B J
ε µ σ1 1 1
1 1 1 1 1
, ,
, , , ,r r r r rE D H B J
$n
( ) ( )0
0ˆˆ
121
12
2
1212
=Φ−Φρ=∂Φ∂
ε+∂Φ∂
ε−
=−×ρ=−⋅
SSS
SS
SS
S
nn
EEnDDnrrrr
rJ
rD
( ) ( ) ( )00
0ˆ0ˆˆ
121
12
21
12
2
121212
=Φ−Φ=∂Φ∂
σ+∂Φ∂
σ−ρ=∂Φ∂
ε+∂Φ∂
ε−
=−×=−⋅ρ=−⋅
SSSS
S
SS
SSS
S
nnnn
EEnJJnDDnrrrrrr
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Tema 4: Corrientes Estacionarias EyM 4-7
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Condiciones de contorno en las interfases. (2)
• Conductor-Dieléctrico:
– Suponiendo que el conductor es el medio 1:
– Las líneas de corriente no cruzan la interfase:
• Conductor-Conductor Perfecto:
– Dentro del conductor perfecto, medio 1, los campos son nulos y el potencial constante.
( )00
0ˆ0ˆˆˆ
1212
2
12112
=Φ−Φ=∂Φ∂
ρ=∂Φ∂
ε−
=−×=⋅=⋅ρ=⋅
SSS
S
S
SSSS
S
nn
EEnDnJnDnrrrrr
( )
122
2
2122 0ˆ0ˆˆ
Φ=Φρ=∂Φ∂
ε−
=×=−⋅ρ=⋅
SS
S
SSS
S
n
EnJJnDnrrrr
Dieléctrico
Conductor
rJ1
rJ 2 0=
0ˆˆˆ111 =⋅=⋅=⋅
SSSDnEnJnrrr
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Condiciones de contorno en las interfases. (3)
• Conductor recubierto de un conductor perfecto.
– Es una aproximación de un conductor recubierto de un conductor mucho mejor.
– La diferencia con el desarrollo conocido es que existe una corriente superficial:
– Por tanto:
σσσσ σσσσ= 0
σσσσ = ∞∆∆∆∆h
rJ
σσσσ σσσσ= 0
σσσσ = ∞
rJ
rJS
rJ S
∫∫∫∫
∫ ∫∫∫
⋅∇=⋅=⋅∆≈
≈
⋅=⋅
→∆
∆→∆→∆
S
SS
C
lS
C
lh
h C
lh
Sh
dSJdlnJdlnJh
dhdlnJSdJ
latlat
latlat
rrr
rrr
ˆˆlim
ˆlimlim
0
00
( ) 0ˆ12 =⋅∇+−⋅ SS
SJJJnrrr
$n
∆∆∆∆h
σσσσ σσσσ= 1
σσσσ σσσσ= 2 σσσσ = ∞
Medio 1
Medio 2$nl
$nl
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Tema 4: Corrientes Estacionarias EyM 4-8
J.L. Fernández JambrinaEyM 4-15
Resolución de las ecuaciones en conductores.
• Existe redundancia debido a que:
– Por la mayor simplicidad de las condiciones de contorno es conveniente resolver primero el sistema:
– Posteriormente puede calcularse y a continuación las densidades de carga.
• Las técnicas son similares a las de Electrostática:
– Se puede utilizar el potencial eléctrico:
– es equivalente a la Ley de Gauss y se puede
aplicar en condiciones similares.
– Además en las interfases dieléctrico-conductor:lo que permite resolver primero el problema delos conductores con independencia del problema de los dieléctricos.
– Esta condición minimiza el efecto de bordes.
00ˆ =∂Φ∂
⇒=⋅S
S nJnr
EJEDrrrr
σ=ε=
EJJErrrr
σ==⋅∇=×∇ 00 rD
00
:0=∆Φ⇒
=⋅∇σ=σ⋅∇=⋅∇
=Φ∇−Φ∃⇒=×∇
EEJ
EErrr
rr
00 =⋅⇒=⋅∇ ∫∫S SdJJrrr
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Resolución de las ecuaciones en conductores.
• Teorema de Unicidad:
– La solución en los conductores es única e independiente de la solución en los dieléctricos.
σ
ε
Generador
+
-
+
+=Φ V
S
−
−=Φ V
S
0=∂Φ∂
Scn
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Tema 4: Corrientes Estacionarias EyM 4-9
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• Sea una estructura conductora excitada a través de dos electrodos conductores perfectos.
– Supóngase que como respuesta a una excitación el campo eléctrico es:
– Bajo estas condiciones:
– Si se multiplica la excitación por un factor α, la solución será y:
• Resulta claro que existe una relación de proporcionalidad entre corriente y diferencia de potencial: La resistencia de la estructura
– La resistencia depende de la forma de excitación/conexión.
Er
[ ] S
SS
SAB
b
a
b
a
AB ISdESdJIVVldEldEVV αασαα =⋅=⋅′=′−=⋅−=⋅′−=′−′ ∫∫∫∫∫∫rrrrrrrr
∫∫∫∫∫ ⋅=⋅=⋅−=−SS
S
b
a
AB SdESdJIldEVVrrrrrr
σ
EErr
α=′
AB
AB
BA
BAAB
I
VV
I
VVR
→→
−=
−=
σσσσ σσσσ= 0
ΦΦΦΦ =VA
ΦΦΦΦ =VB
I A B→
SASB
$n
Concepto de resistencia:
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Dualidad Resistencia-Capacidad.
• Si sobre una misma estructura se definen dos problemas equivalentes, uno de capacidad y otro de resistencia, si la relación ε/σ es constante, entonces:
– Si para unas determinadas condiciones de contorno la solución para es :
– Si se cambian los medios de forma que , la solución seguirá siendo ya que las condiciones de contorno serán las mismas a excepción de:
– que se transforma en:
– y sigue siendo la misma.
σε
=RC
AA
SV=Φ
0=∂Φ∂
LatSn
SASB
BB
SV=Φ
σ ,ε,ε,ε,ε
Er,Φ( )rfK
rεε =
( )rfKr
σσ =Er,Φ
011
22 =
∂Φ∂
+∂Φ∂
−SS nn
εε
011
22
11
22
11
22 =
∂Φ∂
ε+∂Φ∂
ε−=
∂Φ∂
ε+∂Φ∂
ε−=∂Φ∂
σ+∂Φ∂
σ−ε
σ
SSSSSS nnnnK
K
nn
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Tema 4: Corrientes Estacionarias EyM 4-10
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Dualidad Resistencia-Capacidad.
• En el caso del condensador:
• En el caso de la resistencia:
• Y, por tanto:
• Este resultado se aplica en el estudio de líneas de transmisión.
σε
σ
ε ==K
KRC
0=∂Φ∂
LatSn
AA
SV=Φ
SASB
BB
SV=Φ
( )rfr
0εε =
AA
SV=Φ
0=∂Φ∂
LatSn
SASB
BB
SV=Φ
( )rfr
0σσ =
( )
∫∫∫
⋅−
⋅=
Φ−Φ=
B
A
S
BS
AS
AS
ldE
SdErfK
QC rr
rrr
ε
( )∫∫∫
⋅
⋅−=
Φ−Φ=
→S
B
A
BS
AS
BS
AS
SdErf
ldE
KIR rrr
rr
σ
1