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Tema 3: Electrostática en medios dieléctricos
3.1 Dipolo eléctrico
3.2 Polarización y susceptibilidad eléctrica
3.3 Desplazamiento eléctrico y Ley de Gauss en un dieléctrico
3.4 Dieléctricos lineales, isotrópicos y homogéneos
3.5 Condiciones de contorno en medios dieléctricos
3.6 Energía electrostática en un medio dieléctrico
3.7 Dieléctricos no LIH
3.1 Dipolo eléctrico
• Dos cargas iguales y opuestas separadas una distancia L (pequeña) • Momento dipolar eléctrico:
• Campo creado por el dipolo: en el eje del dipolo, en un punto alejado Ejemplo de dipolo eléctrico: moléculas polares (H20) Moléculas no-polares: no poseen momento dipolar eléctrico permanente
Lqp
3
2
r
pkE
2 Masoller FIII
L esta orientado de – a +
Potencial creado por un dipolo
Lejos del dipolo:
r
kq
r
kqrV )( cos)2/( 222 rddrr
2
22
2cos1
r
d
r
drr
cos2
111
r
d
rr
2/12
2cos1
11
r
d
r
d
rr
r
kq
r
kqrV )(
cos111
r
d
rrr
cos2r
kqd cos
2r
pk
3
r
prk
p
Campo creado por un dipolo
cos
),(2r
pkrV
ˆsin
1ˆ1ˆ
V
r
V
rr
r
V
0sin
1
4
sin1
2
cos
3
0
3
0
V
rE
r
pV
rE
r
p
r
VEr
VE
p
r
Energía potencial de un dipolo en un campo externo
1FLMO
EpELqEqL
dMdW O dpE sin
dWdU dpEdU sin
EpU
Energía potencial
de un dipolo en un campo externo.
O
5 Masoller FIII
CpEU cos
(El signo de – es debido a que el momento tiende a disminuir )
Polarizabilidad atómica
• En un átomo neutro, en presencia de un campo externo se produce un momento dipolar inducido que es proporcional al campo externo.
Ep
=polarizabilidad atómica
Modelo sencillo para calcular la polarizabilidad atómica: Asumimos que el conjunto de electrones de carga –q se puede considerar una esfera de radio “a” con una densidad de carga volumétrica uniforme = -q/(4a3/3). En el punto donde se encuentra el núcleo (de carga +q) el campo creado por la esfera de electrones es: Y debe ser igual y opuesto al campo externo:
3
0
electrones4
1
a
qdE
Ea
qd
3
04
1
Ep
qdp
3
04 a
3.2 Polarización y susceptibilidad eléctrica
• Los materiales dieléctricos están compuestos por un gran conjunto de dipolos eléctricos.
• Se observa experimentalmente que cuando un dieléctrico se introduce entre las placas de un condensador, la capacidad del condensador aumenta en un factor k que depende del material.
• Desarrollaremos una teoría microscópica de los materiales dieléctricos que explica este aumento de capacidad.
Dieléctrico dentro de un condensador
• Cuando un dieléctrico se sitúa en el campo E0 externo creado por un condensador, las moléculas se polarizan parcialmente tal que se produce un momento dipolar neto paralelo al campo.
• La “respuesta” del material al campo externo depende de las características del material y de la temperatura.
• Aparece una carga inducida que crea un campo se que opone al campo externo.
k
EE 0
k 1 es la constante dieléctrica del material
k
VEdV 0
0
0
kCV
Qk
V
QC
Permitividad y rigidez dieléctrica
• Permitividad del dieléctrico:
• Si el campo externo es muy intenso, los enlaces moleculares se rompen, el material se ioniza y se transforma en conductor.
• La rigidez (o resistencia) dieléctrica es el valor límite de la intensidad del campo eléctrico para el cual un material es no-conductor.
• Algunos valores típicos:
0 kd
A
d
AkkCC
00
Polarización y susceptibilidad eléctrica
• Momento dipolar de un dipolo:
• Polarización: momento dipolar por unidad de volumen (C/m2).
externoE
dV
pdP dV
0lim
• Una polarización da lugar a una densidad de carga ligada o inducida
• Veremos que la carga ligada es la suma de una densidad superficial y densidad volumétrica dadas por
• Que producen un campo inducido opuesto al campo externo que induce la polarización.
Pb
nPb
ˆ
inducidoE
Teoría molecular de las cargas inducidas
Física con Ordenador: http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/elecmagnet/campo_electrico/dielectrico/dielectrico.htm
Potencial creado por un material polarizado
V
r
pdrkV
3
')'(
dV
pdrP
' )'(
)(3
dVr
rrPkRV
V
rRr
32ˆ
11
r
rr
rr
V
dVr
rPkV '1
)'(
AfAfAf
VV
dVr
rPkdV
r
rPkV '
)'('
)'(
R
r
O
VS
dVr
rPkdSn
r
rPk '
)'(ˆ
)'(
Potencial y campo creado por un material polarizado
• Si comparamos con el potencial creado por una distribución de carga +
• Las densidades de carga ligadas son:
• Para calcular el campo creado por el material polarizado:
VS
dVr
rPkdS
r
nrPkV '
)'(ˆ)'(
VS
r
dVk
r
dSk
r
dqkV
'
Pb
nPb
ˆ
V
b
S
b dVr
rkdS
r
rkE '
33
Densidad de carga ligada o inducida
S
b
SVV
b dSdSnPdVPdV ˆ
0 S
b
V
b dSdV
P
Ejemplo: Cilindro con polarización uniforme
0 Pb
nPbˆ
1 2
P
P
b
b
2
1
0
interior
PE
(La carga ligada total es cero)
3.3 Desplazamiento eléctrico y Ley de Gauss en un dieléctrico
• Desplazamiento eléctrico:
llbt P
0
tE
lPE
0
• Densidad de carga total = densidad de carga ligada + densidad de carga libre
PED
0
• Ley de Gauss generalizada (en un material dieléctrico):
• Diferencial
• Integral
lD
dVdVDV
l
V
lQdSnD S
ˆ
0
lP
PE
0
3.4 Dieléctricos lineales, isotrópicos y homogéneos
• En los dieléctricos lineales la polarización es proporcional al campo eléctrico
EP e
0
• La constante de proporcionalidad e es la susceptibilidad eléctrica, que caracteriza la “respuesta” de un material a un campo eléctrico.
• El campo E es el campo total, creado por todas las cargas (libres y ligadas).
• Si tenemos un campo externo E0, este induce una polarización, que da lugar a cargas ligadas que crean su propio campo, Eb. El campo total será E = E0 + Eb.
• Desplazamiento eléctrico
• = permitividad del material
• k = constante dieléctrica o permitividad relativa
EEEPED e
000
e 10
erk 1/ 0
Dieléctricos lineales
• Ejemplo: esfera dieléctrica de permitividad con una carga q en el centro
qdSnD S
ˆ
ED
rq
rE ˆ
4
12
Ejemplo: condensador con un dieléctrico lineal
lQdSnD S
ˆ
lD ED
lE
Ed
A
V
QC l
d
AC
l
l
)/(
0C
d
AC r
Pb l
r
b
11
d
AC 0
0
ED 0
lEE 00
3.5 Condiciones de contorno en medios dieléctricos
• En el vacío vimos que (Tema 1):
lDD
12
||
1
||
2 EE
12 VV
• Cuando los medios son dieléctricos lineales: la densidad de carga ligada es proporcional a la densidad de carga libre
• Cuando hay dieléctricos:
00
12
bltEE
lQdSnD S
ˆ
EP eb
0
• Si 0l 000
2
bltV
le
0DD e
e
0
0
0 b
En el interior del dieléctrico si no hay cargas libres se cumple la ecuación de Laplace
Ejemplo: calcular la capacidad de los condensadores
• Las placas tienen área de dimensiones a x b y están separadas una distancia d
x
x
0/)(/ xdx
abC
d
xb
d
bxaC
)(0
21
111
CCC
21 CCC
3.6 Energía electrostática en un medio dieléctrico
• Vimos que el trabajo que hay que hacer para cargar un capacitor, cuando hay vacío entre sus placas, es 2
02
1VCW
• Cuando hay un dieléctrico entre las placas del condensador, hay que aumentar la carga libre para compensar la carga ligada, y el trabajo es:
2
0
0
2
2
1
2
1VCCVW
• Se puede demostrar que en medios dieléctricos, la densidad de energía electrostática es:
EDu
2
1
• En el vacío: 2
00
2EuED
• En un dieléctrico lineal: 2
2 EuED
3.7 Dieléctricos no LIH
• En algunos cristales que contienen moléculas polares (ej. cuarzo) las tensiones mecánicas producen una polarización de las moléculas.
• Este efecto se denomina efecto piezoeléctrico.
• La polarización del material genera una diferencia de potencial que puede usarse para generar una corriente eléctrica.
• El efecto piezoeléctrico se usa para convertir tensiones mecánicas (deformaciones) en señales eléctricas (ejemplo: micrófonos).
• El efecto inverso (un voltaje aplicado genera una tensión mecánica que da lugar a una deformación) se usa en muchos dispositivos (ejemplo: auriculares).
• En algunos cristales (piro eléctricos) cuando aumenta la temperatura se generan campos eléctricos.
• En muchos cristales la polarización depende de la orientación del campo eléctrico (relativa a los ejes de simetría del cristal)