tema 15 - movimiento en cauces abiertos

7/25/2019 Tema 15 - Movimiento en Cauces Abiertos

1/24

LECCIN 15. MOVIMIENTO EN CAUCES ABIERTOS

15.1 Clasificacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15 - 1

15.2 Velocidad de propagacin de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15 - 2

15.3 Movimiento uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15 - 3

15.4 Secciones ptimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15 - 4

15.5 Energa especfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15 - 7

15.6 Resalto hidrulico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 - 9

15.7 Movimiento gradualmente variado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 -12

15.8 Curvas de remanso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 -13

15.9 Vertedero en pared delgada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15 -16

15.10 Aforos por seccin crtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15 -18

15.11 Desage bajo compuerta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15 -19

15.12 Ondas de avenida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15 -21


2/24

15-1

LECCIN 15. MOVIMIENTO EN CAUCES ABIERTOS

15.1 Clasificacin

El movimiento en cauces abiertos es ms complejo que en tuberas debido a la presenciade la superficie libre; su presencia destruye la simetra axial que, en el flujo en tuberas, permitereducir en una las dimensiones espaciales a considerar. La lnea de carga coincide con estasuperficie libre, cuya posicin, en general, no se conoce a priori.

El rgimen en cauces abiertos es generalmente turbulento. El nmero de Reynolds, alconstituir una medida de las intensidades relativas de las fuerzas de inercia y de viscosidad, es elparmetro que indica la transicin del rgimen laminar al turbulento. En el flujo en caucesabiertos, el nmero de Reynolds se toma como:

= e4vRe . . . . . . . . . . . . . . . . . (1)

El parmetro e es el espesor hidrulico medio, es decir, el cociente entre la seccinocupada por el lquido y el permetro mojado. Claramente, para el caso particular en que elcauce abierto se convierta en una tubera, el parmetro 4e coincidira con el dimetro, con lo querecuperaramos la expresin utilizada en tuberas. En cauces abiertos, el flujo resulta ser laminarsi Re 2000, de transicin si 2000 Re 8000 y turbulento para Re 8000.

El movimiento en cauces abiertos puede ser estacionario/variable y uniforme/nouniforme. La primera clasificacin se refiere a la existencia o no de cambios en el tiempo; lasegunda, a cambios a lo largo del espacio.

Movimientoestacionario uniforme es el que ocurre en canales largos a los que llega uncaudal constante y que tienen inclinacin, seccin y rozamiento uniformes. En ellos se alcanza auna velocidad terminal uniforme. La prdida de carga coincide exactamente con la prdida deelevacin del fondo. La superficie libre es paralela a la solera. El caudal, la velocidad y el caladoson uniformes a lo largo del canal.

Movimientoestacionario no uniforme es el que ocurre en canales irregulares (seccin,inclinacin y/o rozamiento) en que el caudal que reciben no vara a lo largo del tiempo.Secciones distintas tienen en general distintos calados y velocidades, pero no hay variacin en eltiempo en ninguna de ellas.

El movimientovariable uniforme no es posible salvo en situaciones sumamenteartificiales. La velocidad finita de transmisin de efectos, que veremos ms adelante, seencargar en general de que los cambios que ocurran en el tiempo no sucedan a la vez en todoslos puntos.

Finalmente, elmovimiento variable y no uniforme es corriente pero muy difcil deestudiar sin utilizar mtodos numricos. Aqu las variaciones ocurren tanto en el espacio comoen el tiempo. Es el caso de un canal irregular al que lleguen caudales variables.


3/24

15-2

En funcin de que viajen ms deprisa las ondas de superficie o la masa de agua, elmovimiento en canales tambin puede clasificarse en lento (o fluvial) y rpido (o torrencial). Enel primer caso, las perturbaciones son ms rpidas que el flujo, con lo que pueden viajar aguasarriba e influenciar all el movimiento. En el segundo, la velocidad del agua en el canal esmayor que la de propagacin de las perturbaciones y, en consecuencia, el movimiento en unpunto slo puede estar influenciado por las condiciones aguas arriba del punto considerado. Encaso de igualdad entre las dos velocidades, el rgimen es crtico.

El parmetro que mide este cociente de velocidades es el nmero de Froude Fr. As:

Fr < 1 lento o fluvialFr = 1 crticoFr > 1 rpido o torrencial

En canales, el rgimen suele ser lento.

15.2 Velocidad de propagacin de ondas

Consideremos una onda solitaria de altura dy que viaja con una celeridad c en lasuperficie libre de un lquido en reposo (Fig. 15.1). Si consideramos unos ejes que viajan con laonda, la situacin es la que muestra la parte derecha de la figura.

Fig. 15.1 Propagacin de una onda pequea

La aplicacin del principio de continuidad entre las secciones 1 y 2 da:( )( )dyydvvyv ++= . . . . . . . . . . . . . . . . . (2)

es decir:

dydvdvydyvyvyv +++= . . . . . . . . . . . . . . . . . (3)

donde, despreciando trminos de orden superior, queda:

vy

dvdy

0ydy

vdv

==+ . . . . . . . . . . . . . . . . . (4)

y y + dy

v = c

1 2

y y + dy

v = c v + dv

1 2


4/24

15-3

Por otra parte, la aplicacin del teorema de Bernoulli entre las secciones 1 y 2 da:

( ) ( )g2dvvdyy

g2vy

22 +++=+ . . . . . . . . . . . . . . . . . (5)

donde, despreciando tambin infinitsimos superiores; resulta:

gv

dvdy0dygdvv ==+ . . . . . . . . . . . . . . . . . (6)

La velocidad v = c a la que se traslada la onda puede entonces obtenerse eliminandodv/dy entre (4) y (6):

ygc = . . . . . . . . . . . . . . . . . (7)El nmero de Froude es el cociente de la velocidad del fluido dividida por la de

propagacin de la onda:

ygvFr = . . . . . . . . . . . . . . . . . (8)

Es fcil ver que el nmero de Froude es proporcional al cociente de dividir las fuerzasde inercia por las de gravedad (estrictamente es proporcional a la raz de ese cociente)

ji, j v,vI = ~ Lv 2m

j,(gy)G = ~ Lyg

15.3 Movimiento uniforme

Ya se ha mencionado que, en movimiento uniforme, el calado y la velocidad media sonconstantes a lo largo de la longitud del canal. La variacin de la carga corresponde entonces

exactamente a la variacin de la elevacin de la solera.El primer desarrollo satisfactorio de una frmula para movimiento en cauces abiertos

data del siglo XVIII y se atribuye a Chzy, que razon que las fuerzas de friccin seranproporcionales a v2p (v = velocidad media, p = permetro mojado), y las fuerzas de gravedad aAI (A = rea de la seccin, I = pendiente). En esas hiptesis, para que la velocidad fuerauniforme, tendra que ser proporcional a:

v eIpIA

= . . . . . . . . . . . . . . . . . (9)

GI

~

ygv2m


5/24


6/24

15-5

Fig. 15.2 Seccin de un canal rectangular

( )yy2pA = . . . . . . . . . . . . . . . . . (15)

Igualando (14) y (15):

( )yy2ppC 52 = . . . . . . . . . . . . . . . . . (16)

Para hallar el mnimo, basta derivar respecto de y e igualar dp/dy = 0.Derivando respecto de y:

y2dydpy2p

dydppC

52 53

+=

donde, haciendo dp/dy = 0, queda:

0y2y2p =

4py = . . . . . . . . . . . . . . . . . (17)

y, en consecuencia:

2pb = . . . . . . . . . . . . . . . . . (18)

y2b = . . . . . . . . . . . . . . . . . (19)

Por tanto, un canal rectangular de seccin ptima tiene el ancho igual al doble delcalado.

Consideremos ahora un canal trapezoidal (Fig. 15.3). El rea y permetro son en estecaso:

y

b


7/24

15-6

Fig. 15.3 Seccin de un canal trapezoidal

2ymybA += . . . . . . . . . . . . . . . . . (20)

2m1y2bp ++= . . . . . . . . . . . . . . . . . (21)

de donde:

5222 pCymym1y2pA =++= . . . . . . . . . . . . . . . (22)

Puesto que hay dos variables, las derivadas respecto a ambas debern anularse paraencontrar el mnimo. Derivando respecto a y (con m constante) y tomando dp/dy = 0:

0ym2m1y2m1y2p 22 =+++

0ym2m1y4p 2 =+= . . . . . . . . . . . . . . . . . (23)

Derivando respecto a m (con y constante) y tomando dp/dm = 0:

0ym12

m2y2 22

2 =++

1

m1

m22

=

+

. . . . . . . . . . . . . . . . . (24)

ecuacin que indica que 31m = . Reemplazando en (23):

y3

12311y4p +=

y32= . . . . . . . . . . . . . . . . . (25)

y

b

m


8/24

15-7

y, entrando en (21):

311y2by32 ++=

y3

32b = . . . . . . . . . . . . . . . . . (26)

Esto indica que el canal trapezoidal ptimo tiene por ancho de la base 1/3 del permetro.Adems, puesto que 31m = = tg 30, la seccin trapezoidal ptima es medio exgonoregular.

El proceso podra continuarse aumentando el nmero de parmetros libres en la seccin.Cuando esto se hace, se ve que la seccin ptima de todas las posibles es un semicrculo.

15.5 Energa especfica

Consideremos un canal rectangular de ancho b; se llamacaudal unitario q al caudal porunidad de ancho: q = Q/b.

Descomponiendo la altura geomtrica en dos partes (la elevacin de la solera y el caladoo espesor de agua) (Fig. 15.4), la energa en una seccin cualquiera es:

Fig.15.4 Energa hidrulica en un canal

2

2

yg2qyzH ++= . . . . . . . . . . . . . . . . . (27)

donde z es la elevacin de la soleray es el calado

z

y v /2g


9/24

15-8

Se llamaenerga especfica a la energa sobre el nivel de la solera:

2

2

0 yg2qyH += . . . . . . . . . . . . . . . . . (28)

relacin que est dibujada en la figura 15.5.

Recordemos que la celeridad de las ondas es (7):

ygc = . . . . . . . . . . . . . . . . . (29)

Si llamamoscalado crtico al que hace crtico el movimiento (Fr = 1), esto es, alcaracterizado porque el agua y las ondas se mueven a la misma velocidad (v = c):

cc

ygyq

= . . . . . . . . . . . . . . . . . (30)

312

c gqy

= . . . . . . . . . . . . . . . . . (31)

lo que sustituido en (28) nos dara:

2c

3c

c0 y2yyH +=

cy23

= . . . . . . . . . . . . . . . . . (32)

De donde se deduce que el calado crtico es:

0c H32y = . . . . . . . . . . . . . . . . . (33)

La ecuacin (28) indica que, para un caudal unitario dado, los calados y las energasestn relacionados como indica la figura 15.5.


10/24

15-9

Fig.15.5 Curva caracterstica de un canal para caudal fijo

El mnimo valor de H0 ocurre cuando:

4

20

yg2y2q10

dydH

==

312

gq

y

=

. . . . . . . . . . . . . . . . . (34)

es decir que la energa especfica es mnima cuando el calado es el crtico; dicho valor mnimoes precisamente 3/2 del calado crtico (32).

Como puede verse en la figura, para un caudal fijo, hay dos calados que pueden llevar elcaudal con una misma energa especfica: uno en rgimen rpido y otro en lento. El caladocrtico separa las dos regiones. Si la energa es menor que 3yc /2, el movimiento no es posible: qes demasiado grande para fluir con tan poca energa.

15.6 Resalto hidrulico

Si introducimos un caudal en rgimen rpido en un canal horizontal o de pendientesuave, se producir espontneamente una transicin al rgimen lento. En general, esta transicinse realiza a travs de un resalto hidrulico. Las ecuaciones que rigen la transicin de rgimenrpido a lento pueden establecerse sin dificultad para canales rectangulares suponiendo que lasvelocidades son uniformes en 1 y en 2, las presiones son hidrostticas y la friccin con el caucees despreciable. La figura 15.6 muestra cmo el agua llega en rgimen rpido a la seccin 1 ysale en rgimen lento por la 2 tras experimentar el resalto hidrulico y dejar una energaH0 en

el proceso. Al calado y2 se le llamacalado conjugado del y1.

H0

y

y

v2 /2g yc

LENTO

RPIDO


11/24

15-10

Fig. 15.6 Resalto hidrulico y curva caracterstica

Aunque la friccin sea despreciable, hay prdidas internas de energa que impidenaplicar Bernoulli. El teorema de la cantidad de movimiento establece:

222

211

22

21 vyvyy

2

1y2

1+= . . . . . . . . . . . . . . . . . (35)

y por continuidad:

qvyvy 2211 == . . . . . . . . . . . . . . . . . (36)

Dividiendo (35) por /2 y reagrupando, queda:

gvy2y

gvy2y

2222

2

2112

1 +=+ . . . . . . . . . . . . . . . . . (37)

Utilizando (36), se pueden poner las velocidades en funcin del caudal unitario:

2

222

1

221 yg

q2yygq2y +=+ . . . . . . . . . . . . . . . . . (38)

Esto significa que una de las posibles soluciones del sistema de ecuaciones planteado(continuidad y conservacin de la cantidad de movimiento) es que no haya resalto hidrulico, loque resulta evidente observando que la ecuacin (38) admite la solucin trivial y1 = y2.Reagrupamos (38) una vez ms:

y

y1 y2

v1 v2

H0

H0


12/24

15-11

( ) 0yyyyg

q2yy 2121

222

21 = . . . . . . . . . . . . . . . . . (39)

y dividimos por y1y2 para eliminar la solucin trivial:

0yyg

q2yy21

2

21 =+ . . . . . . . . . . . . . . . . . (40)

0ygq2yyy

1

2

2122 =+

Esta ecuacin tiene dos soluciones. Teniendo en cuenta que los calados negativoscarecen de sentido fsico, la nica solucin aceptable es:

2ygq8yy

y 1

2211

2

++

= . . . . . . . . . . . . . . . . . (41)

Dividiendo por y1 y observando que:

( ) 21

1

21 Fr

ygyq

= . . . . . . . . . . . . . . . . . (42)

se obtiene

( )1Fr8121

yy 2

11

2 += . . . . . . . . . . . . . . . . (43)

La expresin anterior produce el calado de salida en funcin de las condiciones a laentrada. Para hallar la velocidad de salida, bastara con usar la continuidad (36).

Las prdidas de carga experimentadas al pasar de 1 a 2 se calculan sin ms que restar lasenergas en estos dos puntos:

++=

g2vy

g2vyH

22

2

21

10

+= 2

221

2

21 y1

y1

g2qyy . . . . . . . . . . . . . . . . . (44)

Pero, de la ecuacin (40), obtenemos:

( )21212

yyyy41

g2q += . . . . . . . . . . . . . . . . . (45)


13/24

15-12

que, reemplazado en (44), da:

( )

++= 2

2

2

1

2121210 y1

y1yyyy

41yyH

( ) ( ) += 1yy4yyyy

21

212

12

( )21

312

yy4yy

= . . . . . . . . . . . . . . . . . (46)

Puesto que las leyes de la termodinmica requieren queH0 > 0, se sigue que y2 y1. Es

decir, que la transicin espontnea del rgimen rpido al lento es posible, pero la contraria no.

15.7 Movimiento gradualmente variado

Nos referimos aqu al movimiento estacionario en que, a pesar de no ser uniforme, lasvariaciones de todos los parmetros (calado, seccin, rozamiento, pendiente y espesorhidrulico) ocurren con suavidad a lo largo del canal. Cuando esto sucede, puede estudiarse conrelativa facilidad la evolucin de la superficie libre en el canal. La forma que toma estasuperficie libre recibe el nombre decurva de remanso .

Ya hemos visto anteriormente que la energa puede expresarse:

g2vyzH

2

++= . . . . . . . . . . . . . . . . . (47)

Llamando x a la coordenada a lo largo de la proyeccin horizontal del canal (positiva enel sentido del movimiento) y derivando (47):

dxdv

g21

dxdy

dxdz

dxdH 2

++= . . . . . . . . . . . . . . . . . (48)

donde dH/dx = I, siendo I la pendiente motriz, es decir, la prdida de energa experimentadapor unidad de longitud

dz/dx = I0, siendo I0 la pendiente de la solera; dz/dx es la prdida de energa que seexperimentara con un rgimen uniforme, en el que la energa disipada sera igual a lasuministrada por el campo gravitatorio.

Reemplazando la velocidad en funcin del caudal unitario v = q/y (lo que equivale asuponer un canal de gran anchura), la ecuacin (48) es:


14/24

15-13

++= 22

0 y1

dxd

g2q

dxdyII

dx

dy

yg

q

dx

dyI 32

0 +=

dxdy

ygyq

dxdyI

22

0 +=

( )20 Fr1dxdyI += . . . . . . . . . . . . . . . . . (49)

De aqu puede obtenerse la variacin del calado a lo largo del canal:

20

Fr1II

dxdy

= . . . . . . . . . . . . . . . . . (50)

que es la ecuacin diferencial de las curvas de remanso.

15.8 Curvas de remanso

La integral de la ecuacin (50) proporciona la evolucin de la superficie libre a lo largoel canal. Para discutirla, conviene distinguir varios casos. Estos se diferencian entre s enfuncin de la pendiente de la solera (que puede ser favorable I0 > 0, horizontal I0 = 0 o adversaI0 < 0) y del calado uniforme (que puede ser mayor que el crtico y0 > yc, igual y0 = yc o menory0 < yc). El calado uniforme es el que adoptara el canal si las condiciones locales (rugosidad,pendiente, etc.) se extendieran lo suficiente como para desarrollar un rgimen uniforme. Sellama velocidad uniforme a la que corresponde al calado uniforme; es la que se obtendra por lafrmula de Manning.

Desde el punto de vista de la ecuacin (50), las combinaciones de caractersticasmencionadas resultan en cinco casos distintos de pendientes a considerar:

pendiente suave: I0 > 0; y0 > yc

pendiente rpida: I0 > 0; y0 < yc

pendiente crtica: I0 > 0; y0 = yc

pendiente horizontal: I0 = 0

pendiente adversa: I0 < 0

La ecuacin (50) no puede integrarse a mano con facilidad, pero s puede estudiarse sucomportamiento y la forma de las curvas de remanso que genera. Se discuten a continuacin lascurvas de remanso correspondientes a la pendiente suave a modo de ejemplo. Las dems serazonan de forma similar. Los doce tipos de curva de remanso posibles pueden verse en la


15/24

15-14

figura 15.7 acompaados de las situaciones fsicas en que se generan.

Curva M1

Tenemos una pendiente suave con calados superiores al uniforme, es decir que I0 > 0 yadems y > y0. Como el calado y > y0, se sigue que la velocidad es menor que la uniforme y, enconsecuencia, I < I0. Adems, puesto que y > y0 > yc, se sigue que Fr < 1.

Como el numerador y el denominador en (50) son positivos, dy/dx es siempre positiva.Por tanto para x , y debe tender asintticamente a y0, valor que no puede alcanzar puescuando y tiende a y0, dy/dx tiende a 0; en esta situacin la curva de remanso sera una recta (y =y0) paralela a la solera. La implicacin es que aguas arriba tenemos un rgimen uniforme.

Para x + , y aumenta indefinidamente ya que dy/dx > 0. Pero tanto I como Frtienden entonces a cero, con lo que dy/dx = I0. Esto hace a la curva M1 asinttica a la horizontalen la zona de aguas abajo. Este caso corresponde al de un embalse aguas abajo que eleve elcalado por encima de y0.

Curva M2

Suponemos que en un punto de la curva de remanso existe un calado comprendido entreel crtico y el uniforme: y0 > y > yc. En este caso, al ser y < y0 se sigue que v > v0, con lo que I0 I0. Al ser y < yc, tenemos tambin que Fr > 1. Numerador y denominador son negativos, conlo que dy/dx > 0.

Al decrecer x, el calado se va hacia cero; es claramente imposible que lo alcance. Lavalidez de la curva empieza con un calado finito en el punto en que inyectamos una corriente enrgimen rpido. Al crecer x, llega un punto en que y = yc, punto en el cual dy/dx =.

La interpretacin es que se inyecta una corriente en rgimen rpido, por ejemplo, comoconsecuencia de un desage bajo compuerta. Si el canal es suficientemente largo, llegar aalcanzar su calado uniforme y0. La transicin consiste en un aumento gradual de calado hasta unpunto en que se produce un resalto hidrulico. El punto en que se formar corresponder alpunto en que se alcance el calado que tiene a y0 como conjugado.

En cualquiera de los casos anteriores, es posible que la curva de remanso considerada sevea interrumpida si el canal no es suficientemente largo en cuyo caso habra una transicin aalguna otra curva de remanso. En la figura 15.8 se muestra la transicin de una pendiente largasuave a una larga rpida.

Fig. 15.8 Sucesin de curvas de remanso

La curva de remanso que aparece al final de la pendiente suave es del tipo M2 (yc < y y2, la velocidad relativa|v2 va| es mayor que 2yg , que sera lavelocidad de propagacin de ondas de pequea amplitud en la zona no afectada por laavenida.

Utilizando la ecuacin (66), podemos as mismo hallar v1 va, que resulta:

2yy1

yy

ygy2

yyygvv 12

1

2

11

212a1

+

=+

= . . . . . . . . . . (68)

Recordando que y1>y2, resulta tambin claro que la velocidad relativa|v1 va| esmenor que 1yg , que sera la velocidad de ondas de pequea amplitud en la zona afectadapor la avenida. Vemos por tanto que la velocidad relativa de las ondas de avenida estcomprendida entre las velocidades que tendran las ondas de pequea amplitud en las zonasanterior y posterior a la onda de avenida.


24/24

15-23

Conviene aadir una aclaracin adicional. Se dijo que la velocidad ygc = es la que

corresponde a la celeridad de las ondas superficiales de pequea amplitud. Si el agua semueve con una velocidad v yg , el rgimen es rpido y la informacin de aguas abajo no

puede viajar hacia aguas arriba. Aqu, sin embargo, hemos visto que|v2 va| 2yg ; estosubraya la importancia de que las ondas con celeridad yg son slo las de pequeaamplitud. Si la amplitud es suficientemente grande, su velocidad, como acabamos de ver,puede ser claramente superior.

Por ltimo, puede comprobarse que, cuando la amplitud es realmente pequea, esdecir cuando y2 y1, recuperamos la expresin de la celeridad de ondas de pequea amplitudestudiada anteriormente.

tema 15 - movimiento en cauces abiertos

Documents