tema 1 electrotecnia c.a

Profesor: Jos Maria Redondo Cars sistemas elctrico y electrnico 1

Tema 1 Sistemas de distribucin elctrica. Electrotecnia

bsica. Magnitudes en C.A. Modulo: SISTEMAS ELECTRICOS Y ELECTRONICOS CICLO SUPERIOR Profesor: Jos Maria Redondo Cars


INDICE: 1 Sistema de distribucin elctrica. 2 Corriente alterna 2.1. Caractersticas de la corriente alterna. 3 Circuito elctrico. 3.1 Relacin de magnitudes. 4. Ley ohm 4.1. Receptores en corriente alterna. 4.2. Ley de generalizada para corriente alterna 5. Calculo magnitudes de circuitos elctricas cuando son

atravesados por una c.a. 5.1 Circuito serie 5.2 Circuito paralelo 5.3 Circuito mixto 6.Calculo de circuitos trifsicos. Sistemas polifsicos. 6.1. Sistema bifsico. Intensidades y tensiones simples y compuestas. 6.2. Sistema trifsico, intensidades y tensiones simples y compuestas. 6.3. Conexin estrella, Tensiones, intensidades 6.4. Conexin triangulo, Tensiones, intensidades 7. Problemas


1 Sistema de distribucin elctrica. En un sistema de distribucin elctrica el tipo de corriente que se utiliza la corriente alterna, la

razn de esto viene determinada por su facilidad de transformacin, cualidad que carece la corriente continua. En el caso de la c.c. la elevacin de la tensin se logra conectando dnamos en serie, lo cual no es muy prctico, al contrario en corriente alterna se cuenta con un dispositivo: el transformador, que permite elevar la tensin de una forma eficiente gracias al efecto de la induccin.

La energa elctrica viene dada por el producto de la tensin, la intensidad y el tiempo. Dado que la seccin de los conductores de las lneas de transporte de energa elctrica depende de la intensidad, podemos, mediante un transformador, elevar el voltaje hasta altos valores (alta tensin), disminuyendo en igual proporcin la intensidad de corriente. Con esto la misma energa puede ser distribuida a largas distancias con bajas intensidades de corriente y, por tanto, con bajas prdidas por causa del efecto Joule y otros efectos asociados al paso de corriente tales como la histresis o las corrientes de Foucault. Una vez en el punto de consumo o en sus cercanas, el voltaje puede ser de nuevo reducido para su uso industrial o domstico y comercial de forma cmoda y segura.

El sistema a tres hilos o sea trifsico, es la forma ms equilibrada de generar, trasmitir, distribuir y consumir la energa elctrica.

En el siguiente esquema podemos observar como se realiza la distribucin elctrica, desde su produccin a su consumo:

Para comprender este sistema de distribucin debemos empezar comprendiendo sus

magnitudes y caractersticas de la corriente alterna. 2 Corriente alterna (repaso) Considerando el alternador elemental que representamos a continuacin, constituido por Los polos norte y sur de un potente imn y hacemos girar una espira cuyos extremos estn

conectados a dos anillos, aislados del eje, mediante unas escobillas podr recogerse la tensin que llegue a estos anillos.

Al girar la espira, en virtud de los fenmenos de induccin, nace una fuerza electromotriz (f.e.m.), es decir, aparecer en las escobillas una tensin elctrica, la cual har circular una corriente que varia constantemente y de forma repetitiva, pero en sentido opuesto cada media vuelta.


El nmero de lneas de campo magntico que corta la bobina varia en cada instante, por tanto

la f.e.m. tambin variar Si se sigue un lado de la bobina en el transcurso de una vuelta completa se observa que cada

media vuelta cambia el sentido de corte del campo, luego cambia el sentido de la corriente


Partiendo del siguiente caso practico en el que un campo magntico uniforme, se hace girar con una velocidad angular constante una bobina rectangular cogida a un eje perpendicular al campo.

En cada una de las espiras N de la bobina, existen dos conductores perpendiculares al campo, que producen f.em., y por eso se denominan conductores activos. La parte de conductor que une conductores de denomina cabeza de bobina y no produce f.e.m. neta.

Como cada conductor activo produce fem. esta vale: e l v= Siendo:

tv V sen= Que es la velocidad de corte de las lneas de fuerza. Mientras que la Vt es la velocidad tangencial que es

constante e igual a: tV R=

Como la direccin y sentido de la velocidad tangencial va cambiando, la velocidad de corte de las lneas de fuerza tambin va variando con el giro, que es lo que produce la variacin de la fem induca (Corriente

alterna: produccin). Por lo tanto, cuando el conductor se desplaza a la altura del polo perpendicularmente a las

lneas de fuerza, en este momento la velocidad de corte y la velocidad tangencial coinciden, luego tendr su valor mximo (sen 90=1, sen -270= -1).

Cuando el conductor llega a la altura de la lnea neutra se mueve por abajo, puede decirse que se desplaza hacia la derecha con velocidad variable, es este caso el valor ser nulo, puesto que la velocidad tangencial va en la misma direccin la lneas de fuerza del campo magntico (sen 0= 0, sen 180 = 0).

La f.em. sigue la variaciones de la velocidad de corte de las lneas de fuerza. Si se aplica la regla de la mano derecha

Para determinar el sentido, se observa que la fem. del conductor va hacia fuera en el recorrido

por encima de la lnea neutra y hacia dentro en el recorrido por debajo de la lnea neutra. Cambia de sentido y de valor de acuerdo al seno del ngulo t = . Es por tanto alterna sinusoidal, de valor:

v =velocidad de corte Vt= velocidad tangencial


t

t c

e l V senV r e l r sen t

t

= = = =

Su frecuencia es la misma que la de giro, producindose un periodo por revolucin

S

Eje

N

Anillos

A A"

Al considerar los dos conductores de la misma espira, que estn conectados en serie, se observa que la anchura de la bobina es 2*r, por lo que ocupara las mismas posiciones, pero con un desfase de 180.

Quiere esto decir que la fems. de ambos conductores son de sentido contrario, por lo que se suman aritmticamente en circuito de la espira.

La fem. en la espira es doble que la de un conductor: 2espe l r sen t = Como:

2 oS l r y S= = S es la superficie de la espira y o es el mayor flujo que puede atravesar la espira, cuando se

coloca perpendicularmente al campo, por lo tanto: esp oe sen t =

Ha de tenerse en cuenta que la fem. es doble precisamente porque el ancho de la bobina es igual al dimetro de giro; si fuese mas corta o mas larga, seria menor, puesto que el desfase no seria de 180.


Como todas las espiras estn en serie, suman sus fems., siendo: o o oe N sen t Cuyo valor mximo es E N = =

max

max max

Fem instantnea ::

e E sen tFem mxima E N

= =

El signo de la fuerza electromotriz va en funcin del sentido de la corriente que se le toma

segn Lenz, es decir, la fem de la ecuacin si se tiene como borne de salida se de A de la espira La definicin matemtica de la representacin grafica de una onda senoidal, tendramos la

siguiente definicin: Decimos que una senoide se engendra por la proyeccin sobre cualquier eje fijo de un vector

giratorio, OAuuur

, tal como se indica en la figura, en el punto A recorre la circunferencia de un radio r con un movimiento circular uniforme de velocidad angular .

Como la velocidad angular es el ngulo descrito en la unidad de tiempo, podemos decir; si en 1 s describe radianes en t s. describir radianes.

De donde: ( ) ( ); 1 57, 2958t rad radian = =

A la velocidad angular , la llamamos velocidad elctrica o pulsacin, y por tanto tiene por expresin:

( )2 /f rad s = A los ngulos de la funcin senoidal les llamamos ngulos elctricos para distinguirlos de los

reales o geomtricos descritos por la espira o por el rotor de una maquina elctrica. La expresin matemtica y grafica de ese vector giratorio, OA

uuur, es la base para la aplicacin

del calculo vectorial simblico mediante el cual se resuelven los problemas de electrotecnia en corriente alterna.

t

0

0

30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

30

6090120

150

180

210

240

270300

330

360

/2 3/2 2

/20

A max

A ma

x

aa

A

a =A max sent =A maxsen2ft

A

O

2.1. Caractersticas de la corriente alterna.

Frecuencia y periodo de una onda senoidal Frecuencia es una magnitud peridica, en el que el tiempo es la variable independiente, al

nmero de veces que la seal pasa por un determinado punto con un mismo sentido en la unidad de tiempo.


Si un mvil representado en la figura anterior que representa el punto A, lleva una velocidad angular de radianes/segundos, el nmero de vueltas o de veces que pasa por el mismo sitio en la unidad de tiempo es la frecuencia y tiene como expresin:

( )2

f Hz= La unidad de frecuencia en el SI es el hercio Hz, que se define como la frecuencia de un

fenmeno peridico cuyo periodo es 1 segundo. La frecuencia industrial es de 50 Hz en Europa y de 60 Hz en Estados Unidos y Canad. Periodo (T) es la magnitud inversa de la frecuencia y lo definimos como el tiempo

transcurrido en realizar un ciclo. A la frecuencia industrial de 50 Hz, el tiempo que se tarda en realizar un ciclo es de 1/50 =

0,020 s = 20 ms El reciproco o magnitud inversa de la frecuencia tiene por expresin:

1 ( )T sf

= =

t

0

0

X

Valores de una onda senoidal Valor instantneo; el valor instantneo de una onda senoidal es el que toma una ordenada en

un instante determinados. Se escribe con la letra minscula del smbolo de la magnitud que represente la senoide, por ejemplo, e, u, i, p, etc.

Para calcular el valor instantneo de una onda, por ejemplo, de fem, basta con sustituir en su expresin matemticas el valor del por su equivalente en grados o radianes y operar.

Ejemplos: max max

1 max

2 max max

3 max max

4 max max

5 max max

:0 ,30 , 45 ,90 270

0 0

30 3 2

45 2 290270

e E sen t E senSolucinPara ye E sen v

e E sen E v

e E sen E ve E sen E ve E sen E v

= =

= == = = = = == =


t

0

0

30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

/2 3/2 2

E max

e

e1

e2

e3e4

e5 -E max

27060 9030

0 /4 /2 3/4

Una onda de intensidad alterna senoidal tiene por expresin algebraica 12 314i sen t A= .

Calcular: a). El valor de la frecuencia b). El valor del periodo c). El valor de la intensidad en el instante t = 5 ms, operar en grados y en radianes. d). El valor de la intensidad para = 150. Solucin:

). 2 ; tan :314 50

2 2 3,14). :

1 1 0,020 2050

a La velocidad angular es f rad s por lo to

f Hz

b El periodo

T s msf Hz

== = =

= = = =

( ) ( ) ( )

( )

3

90

90

). 5 :

12 314 / 5 10 12 1,57

2 360 1,57 360 901,57 6,28

:12 90 12 1 12 max

c El valor de i al cabo de ms operando en radianes

i sen rad s s sen rad A

Sirad sonrad

Luego i valei sen A Que es el valor imoValor de la i al cabo de

= =

= =

= = =

( ) ( ) ( )3905

12 314 / 5 10 57,3 / 12 90 12 1 12

). int 150

312 150 12 6 32

ms operando en grados

i sen rad s s rad sen A

d Valor de la ensidad para

i sen A

= = = = =

= = =


Valor mximo. El valor pico o de cresta de una magnitud variable con el tiempo, (al valor que toma la ordenada mxima de dicha magnitud en el intervalo de tiempo considerado).

Valor medio. El valor medio de una senoide simtrica se define como la media algebraica de los valores instantneos durante un semiperiodo.

max2

medE E= Valor eficaz. Es una magnitud variable en funcin del tiempo y se define como la raz

cuadrada de la media de los cuadrados de los valores instantneos, alcanzados durante un periodo o ciclo completo.

Dado que prcticamente todas las operaciones con magnitudes energticas se hacen con este valor eficaz, se representa con la letra mayscula de smbolo de la magnitud de que se trate; por ejemplo E, U, I, P, etc.

Y tiene como expresin: max

2EE =

3 Circuito elctrico. Es un conjunto de elementos conductores que forman un camino cerrado (malla) por el que

circula una corriente elctrica o se supone que puede circular. CIRCUITO ABIERTO Es el circuito en el que no existe continuidad entre dos conductores consecutivos

Ur=0 I=0


CIRCUITO CERRADO Es el circuito en el que existe continuidad entre dos conductores consecutivos

Ur=Uo I>0 3.1 Relacin de magnitudes.

Magnitudes que intervienen en un circuito elctrico. E: es la fuerza electromotriz que se produce en el interior del generador. La fuerza electromotriz E es la causa impulsora del desplazamiento de los electrones.

Magnitud medible con el voltmetro y cuya unidad es el voltio (V). La f.e.m es comparable a la presin que ejerce una bomba hidrulica.

U: es la diferencia de potencial o tensin que existe en los bornes del receptor. El exceso de potencial corresponde al polo positivo y el punto con defecto de potencial corresponde al polo negativo


La tensin U es de la misma naturaleza que la fem, su unidad es el voltio y puede ser representad por la diferencia de cota o altura a la que ha sido elevada el agua con respecto al plano de situacin de la rueda hidrulica

La corriente elctrica sigue el camino cerrado y es de igual valor en cualquier punto de un circuito.

La corriente es el efecto que se obtiene en el circuito gracias a la causa o impulso que la produce, es decir, la tensin. Magnitud medible con el ampermetro y cuya unidad es el amperio (A). La corriente elctrica es similar al caudal de agua que circula por un circuito hidrulico (litros/segundo).

En un principio el sentido de la corriente se puede considerar de la siguiente manera; en el interior de un generador se considera que va del polo negativo al polo positivo, y por el exterior o circuito va del polo positivo al negativo

La cada de tensin u, que se produce en la resistencia interna del generador, en los conductores y en las conexiones.

Es similar a las perdidas por rozamiento del agua contra las paredes de la tubera, las llaves de paso y los codos de cambio de direccin. En ambos casos lo ideal es que las perdidas sean nulas, cuya unidad se puede se en tantos por cien o en voltios

4.-Ley ohm LA CORRIENTE QUE CIRCULA POR UN CONDUCTOR ES DIRECTAMENTE

PROPORCIONAL A LA TENSIN APLICADA ENTRE SUS EXTREMOS E INVERSAMENTE PROPORCIONAL A LA RESISTENCIA QUE OFRECE ENTRE LOS MISMOS

RESISTENCIA ELECTRICA La resistencia elctrica es la oposicin que ofrece el circuito al desplazamiento de los

electrones o corriente elctrica. Se representa por la letra R y como magnitud medible tiene como unidad el ohmio.

Ahora bien, los conductores metlicos por su naturaleza presentan una resistencia especfica por cada unidad de seccin y longitud.

Esta resistencia especfica se convierte en resistencia del conductor en funcin de sus dimensiones y mediante la expresin:

Expresin que nos dice que la resistencia R de un cuerpo homogneo de seccin transversal

uniforme S, depende de su naturaleza y varia proporcionalmente a la longitud l y en razn inversa a la seccin S

RESISTIVIDAD Es la resistencia que ofrece al paso de la corriente elctrica un conductor de longitud y seccin

igual a la unidad

2R S mm ml m

= = =

, , ( ), ( )

Re ( )

UI U R IR

I Intensidad corriente que circula su unidad Amperios AU Tensin o diferencia de potencial su unidad voltio VR sistencia su unidad es el ohmio

= = ===

lRS

=


CONDUCTANCIA Mientras que la resistencia es la oposicin que ofrecen los conductores al paso de la corriente

elctrica, la conductancia representa la facilidad que ofrecen los conductores al paso de la corriente elctrica.

La conductancia G, tiene como unidad derivado de las del SI es el siemens, S y como magnitud medible se expresa:

El siemens se define como la conductancia de un conductor que tiene una resistencia elctrica

de un ohmio CONDUCTIVIDAD La conductividad es la inversa de la resistividad y la definimos como la facilidad que ofrecen

los materiales por unidad de longitud y seccin, al paso de la corriente elctrica. Tiene por expresin:

Que ocurre a una resistencia cuando es atravesado por en corriente alterna? La resistencia que ofrece el conductor al desplazarse por su interior una corriente elctrica no

cambiante, sin tener en cuenta sus efectos electromagnticos, ni la induccin de la fem en el conductor debida a los campos magnticos externos. A esta resistencia la llamamos resistencia hmica o resistencia de corriente continua.

A la resistencia que ofrece el mismo conductor al paso de una corriente alterna se llama resistencia en corriente alterna o resistencia efectiva.

La resistencia efectiva es mayor que la resistencia hmica debido al efecto pelicular o efecto Kelvin. Esto hace que en corriente alterna los conductores presenten una densidad mayor en la superficie que en el centro.

Ello es debido a que la variacin del campo magntico es mayor en el centro, lo que da lugar a una reactancia inductiva mayor y, por tanto, a una intensidad menor en el centro del conductor y mayor en la periferia.

El efecto Kelvin es apreciable en conductores de grandes secciones, sobre todo si son macizos. Es mayor a altas frecuencias y tambin aumenta en conductores con cubierta metlica o sin estn arrollados sobre un ncleo ferromagntico.

Adems del efecto Kelvin, en las lneas areas la intensidad de campo elctrico del conductor comienza la ionizacin del aire circundante y se producen efluvios que rodean al conductor con la correspondiente descarga y perdida de energa. Este fenmeno se conoce como efecto corona.

Tanto el efecto Kelvin como el efecto corona no los cuantificamos aqu, pues corresponde a los temas especficos indicados, y si definiremos lo que entendemos por resistencia efectiva en corriente alterna:

Resistencia total ofrecida al paso de la corriente alterna, incluyendo la resistencia de corriente continua u hmica y la resistencia debida a las corrientes parsitas, por histresis, dielctricas y por efecto corona.

1GR

=

2

1 1 1 /l m S mR S m m

= = = = =


4.1. Receptores en corriente alterna. Que efectos produce la c.a. en los receptores, para ello vamos a estudiar los receptores en

estado puro y observar sus efectos, para luego estudiarlos en combinacin, puesto que en esta combinacin estaran los recetores mas reales Receptores hmicos o circuito resistivo puro. (Resistencias, lmparas de incandescencia, estufas, hornos,...) Llamamos circuito resistivo puro a aquel cuyos elementos pasivos tienen solo resistencia

hmica. Circuito con parmetro R. Si al resistencia del circuito de la figura se le aplica una tensin alterna senoidal de la forma maxgu U sen t= , en cada instante nos produce una corriente alterna senoidal que va en fase con la intensidad hmica instantnea le corresponde la siguiente expresin matemtica

maxRi I sen t=

La relacin que existe en todo instante entre la fem alterna senoidal y la intensidad que

produce es una constante que, como sabemos, llamamos resistencia:

( )( )max maxmax maxR

R

U sen t UuRi I sen t I

+= = = + En electrotecnia, para hallar el valor de la resistencia hmica no se puede emplear la ecuacin

anterior y si se opera con valores eficaces, mediante la frmula de la conocida ley de Ohm E URI I

= = En un circuito resistivo puro, la intensidad es slo limitada por la resistencia hmica y la

frecuencia no influye para retardar o adelantar la intensidad, pues ya hemos visto que la tensin aplicada y la intensidad que produce estn en fase.


*Receptores inductivos (Todos los receptores que tienen autoinduccin: bobinas, motores, transformadores,

electroimanes, balastos (reactancias),...) Llamamos inductancia a la propiedad de un circuito o elemento de un circuito para retardar el

cambio en la corriente que circula por l. Es decir, retarda la variacin de la intensidad de la corriente, y no a la corriente misma...

El retardo est acompaado por la absorcin o cesin de energa, y se asocia con la variacin en la magnitud del campo magntico que rodea los conductores.

Un circuito inductivo puro corresponde a una bobina o devanado en el que la resistencia hmica es nula. Inductancia pura. Esta hiptesis de trabajo terica en la que idealmente se trabaja con el parmetro L o coeficiente de autoinduccin.

Para conseguir una inductancia de cierta magnitud hemos de arrollar bastante longitud de hilo esmaltado con lo que la resistencia es de unos centenares de ohmios.

La inductancia de un circuito sirve para retardar el aumento o disminucin de la corriente,

pero en ningn caso previene ni limita el cambio. Ahora bien, la frecuencia limita la amplitud de la corriente en valor igual a:

( )2 LL f L X ohmios = = A este valor L le llamamos reactancia inductiva LX , que crece al aumentar la frecuencia y

disminuye si tambin lo hace la frecuencia. De ah que en corriente continua, como 0f Hz= , el valor de reactancia inductiva sea cero.

Por lo tanto, para los valores eficaces deducimos la siguiente formula:

( )2LL UX L f L ohmiosI = = = = En esta ecuacin la reactancia inductiva son ohmios, si la frecuencia se da en hercios (Hz) y la

autoinduccin en henrios (H).


Como vemos, a un circuito inductivo puro se le puede aplicar la ley de Ohm, pero la relacin entre la UL aplicada y la intensidad que produce o circula, ya no es una constante R que solo depende de las caractersticas fsicas del material conductor, sino que es un valor 2 f L de la naturaleza distinta al de la resistencia hmica. *Receptores capacitivos: (Condensadores) La capacidad de un circuito elctrico o elemento de un circuito sirve para retardar una

variacin de la tensin que se aplica entre sus bornes. Este retardo es causado por la absorcin o cesin de energa y esta asociado con la variacin de la carga de electricidad.

Un circuito capacitivo puro es aquel cuya resistencia hmica es cero. Capacitancia pura. Por las leyes del campo elctrico sabemos que la tensin entre las placas de un condensador es proporcional a la carga almacenada y que la relacin es la capacidad. Es decir:

( )argCQ C a almacenada en un condensadorU

=

La capacidad de un circuito sirve para retardar el aumento o disminucin de la tensin, pero en

ningn caso previene ni limita el cambio. Ahora bien, la frecuencia limita la amplitud de la corriente en valor igual a ( )1 1 2C f C ohmios = = . A este valor1 C le llamamos reactancia capacitiva XC, que crece al disminuir la frecuencia y disminuye si aumenta la frecuencia. De ah que en corriente continua como f = 0 Hz, el valor de reactancia capacitiva se infinito y el de la corriente cero amperios.

Si en la siguiente ecuacin operamos con valores eficaces, la reactancia capacitiva vale:

( )1 12

CL

C

UX ohmiosI C f C = = = =


4.2. Ley de generalizada para corriente alterna En esos circuitos la corriente elctrica hemos visto quedaba limitada por el valor de la

resistencia (R), la reactancia inductiva (XL) o la reactancia capacitiva (XC), respectivamente. Ahora bien, los receptores reales en c.a. estn formados por uno o varios circuitos puros,

parmetros R, L, C. Es decir, son de naturaleza resistiva-inductiva, resistiva-capacitiva o resistiva-inductiva-capacitiva.

A todos ellos se les puede someter a una tensin alterna senoidal que, en rgimen permanente, les hace circular una intensidad de c.a. de la misma forma y frecuencia de onda. Igualmente, en todos ellos de verifica la ley de Ohm, generalizada para c.a., cuya expresin es:

UZI

= = ururr

La impedancia ( )Zur se calcula vectorialmente como un numero complejo, tal y como hemos estudiado anteriormente.

La impedancia Zur

expresada en forma exponencial trigonomtrica y binmica es: ( )cosZ Z sen j R Xj = + = +ur

La parte real del nmero complejo Zur

es la magnitud que conocemos con el nombre de R, se representa en el eje real. Su modulo vale:

2 2

cosR ZTambin

R Z X

=

=

La parte imaginaria del nmero complejo, Zur

es la reactancia X, que si es de naturaleza inductiva es positiva +XLj, y si es de naturaleza capacitiva resulta negativa, -XCj, su modulo vale:

2 2

X Z senTambin

X Z R

=

=

El ngulo, o argumento, es el ngulo de desfase entre la tensin y la intensidad, de tal forma que si es positivo, corresponde a un circuito inductivo. Si es negativo, corresponde a un circuito capacitivo. Como sabemos, este ngulo es de gran importancia en c.a. pues le llamamos factor de potencia y nos da la informacin acerca de la naturaleza y de la energa reactiva y nos la cuantifica.

La magnitud inversa de la impedancia, Z, se llama admitancia Y tiene como expresin:

( ) ( )1 1 cos1

Y sen j siemens SZZIY

UZ

= = =

= =

urur

rurur


Si multiplicamos numerador y denominador por Z, obtenemos: ( ) ( )

2 2

2 2

coscos cos

cos , :

Z sen j Zsen j Z sen j ZYZ Z Z Z Z Z Z Z

Como Z R y sen j Z X nos quedaR XY jZ Z

= = = = =

=

ur

ur

Al termino 2R Z le llamamos conductancia G

2

RGZ

= Al trmino 2X Z le llamamos susceptancia B

2

XBZ

=

La susceptancia ser negativa 2X jZ

si el circuito es inductivo. Ser positiva 2X jZ+ , si el circuito es capacitivo.

Para la obtencin en valores eficaces de las diferentes potencias se pueden obtener de la siguiente manera:

2

2

2

Potencia activaP R IPotencia reactivaQ X IPotencia aparenteS Z I

=

=

=

La naturaleza inductiva o capacitiva de Q nos la da la reactancia inductiva o capacitiva como veremos a continuacin:

Qj+ Inductiva Qj capacitiva

( )( )

( )

( ) mod,

:cos

S U I P Qj VA esto implica que en valores ulares o eficacestenemos que aplicando la forma trigonometrica podremos obtener lassiguientes formulasP U I W

Q U I sen VAR

S U I VA

= = +

= = =

ur ur r

XL

R

Z

Z

R

-XCR

Z

XL -XC

X (Inductiva)


S

P

Q

U

I

5. Calculo magnitudes de circuitos elctricas cuando son

atravesados por una c.a... 5.1 Circuito serie *.Caractersticas principales Intensidad nominal constante I=cte Tensiones parciales segn la cantidad de receptores conectados en serie, por lo tanto la

tensin total ser igual a la suma de las diferentes tensiones:

1 2 .......T nV V V V= + + +uur ur uur uur

La impedancia total del circuito ser la suma de las diferentes impedancias de los receptores

conectados en serie:

1 2 .......T nZ Z Z Z= + + +uur uur uur uur

La potencia total del circuito sea la suma de las diferentes potencias de los receptores

conectados en serie:

1 2 .......T nP P P P= + + +uur ur uur uur

Ejemplo: Resuelve el siguiente circuito:

A

B

Solucin a). Impedancias

1 6 8Z j= + uur

2 12 6Z j= + uur

( ) ( )

1

2 2 2 21

2

2 2 2 22

1 2

6 8 10 53,13

86 8 10 arg 1,33 53,136

12 6 13,41 26,56

612 6 13,41 arg 0.5 26,5612

6 8 12 6 6T

Z j

Z R X umento o angulo tg arctg

Z j

Z R X umento o angulo tg arctg

Z Z Z j j

= + = = + = + = = = == + = = + = + = = = == + = + + + =

uur

uur

uur uur uur ( ) ( )12 8 6 18 14 22,80 37,87j j+ + + = + =


Calculo grafico de impedancias

b). Tensiones. UT= 220 0TU v=

uur

Calculo grafico de Tensiones

( )( )1 1

2 2

220 0 9,65 37,87 9,65 0,789 0,613 7,61 5,9122,80 37,87

10 53,13 9,65 37,87 96,515,26 96,5 0,964 0,263 93,03 25,38

13,41 26,56 9,65 37,

TT

T

T

T

U vI A j j AZ

U Z I A v j j v

U Z I

= = = = = = = = = + = += =

uuruuruur

uur uur uuruur uur uur ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )1 287 129,4 11,31 129,4 0,98 0,196 126,81 25,36

93,03 25,38 126,81 25,36 93,03 126,81 25,38 25,36

219,84 0,02 220 0T

T

A v j j v

U U U j v j v j

U jv v

= = = = + = + + = + + + == +

uur uur uuruur


c). Potencias.

Calculo grafico de Potencias

( )

1 1

220 0 9,65 37,87 2123 37,87 2123 0,789 0,613 1675,05 1301,4

1675,051301,4

cos 0,789 37,87

96,515,26 9,65 37,87 931,22 53,13 931,22 0,6 0,79

T T T

T

T

T

S U I v A VA j j VA

P WQ VAR

S U I v A VA

= = = = + = +==

= == = = = +

uuruur uur

uuruur uur ( )

( )

1

1

1 1

2 2

2

2

2

2 2

9 558,7 744

558,7744

cos 0,6 53,13

129,4 11,31 9,65 37,87 1248,7 26,56 1248,7 0,894 0,447

1116,33 558,161116,33558,16

cos 0,894 26,56

T

T

j j VA

P WQ VAR

S U I v A VA j

S j VAP WQ VAR

S

= +==

= == = = = + == +==

= =

uuruur uuruur

u ( ) ( ) ( ) ( )1 2 558,7 744 1116,33 558,16 558,7 1116,33 744 558,161675,03 1302,16T

S S j j j

S j VA

= + = + + + = + + + =+

ur uur uuruur


Resuelve el siguiente circuito

( ) ( ) ( ) ( )

3

6

10 100002 2 50 30 10 9,42

1 1 1 12738,92 2 50 0,25 10

9,42 12738,9 12728,58

10000 12728,58 16186,93 51,84

220 016186,

L

C

L C

T

TT

T

R KX L f L Hz

XC f C Hz

X X j X j j

Z j

U vIZ

= = = = = = = = = =

= + + = + + = = = = =

uuruuruuruur ( )0,0136 51,84 0,0136 0,617 0,786 0,0084 0,0106

93 51,84A j j A= = + = +

( )220 0 0,0136 51,84 3 51,84 3 0,617 0,786 1,85 2,361,852,36

cos 0,617 51,84

T T T

T

T

Potencias

S U I v A VA j j VA

P WQ VAR

= = = = = ==

= =

uuruur uur

( )173,25 38,16 0,0136 51,84 2,35 90 2,35 0 10 2,3502,35

cos 0 90

C C T

C

C

C

C C

S U I v A VA j

S j VAP WQ VAR

= = = = == ==

= =

uuruur uuuruur

220 0TU v=uur

A

B

F

( )( )

10000 0 0,0136 51,84 136 51,84 136 0,617 0,786 84 107

9, 42 90 0,0136 51,84 0,129 141,84 0,129 0,786 0,617 0,101 0,08

12738,9 90 0,01

R T

L L T

C C T

U R I A v j j v

U X I A v j j v

U X I

= = = = + = += = = = + = += =

uuur ur uuruur uuur uuruuur uuur uur ( )

( ) ( )( ) ( )

36 51,84 173, 25 38,16 173, 25 0,786 0,617

136,17 106,9

0,101 0,08 136,17 106,9 136,07 106,8 173 38,13

84 107 136,07 106,8 220,07 0, 2 2

C

LC L C

T R LC

A v j

U j v

U U U j v j v jv v

U U U j v jv j

= = == = + = + + = =

= + = + + = +

uuuruuuur uur uuuruur uuur uuuur

20 0 v

( )0,129141,84 0,0136 51,84 0,00175 90 0,00175 0 1 0 0,0017500,00175

cos 0 90

L L T

L

L

L L

S U I v A VA j j VA

P WQ VAR

= = = = + = +==

= =

uuruur uur


( )

( ) ( ) ( )

136 51,84 0,0136 51,84 1,85 0 1,85 1 0

1,85 01,850

cos 1 0

0 0,00175 0 2,35 1,85 0

1,85 2,348

R R T

R

R

R

R R

T L C R

T

S U I v A VA j

S j VAP WQ VAR

S S S S j j j

S j VA

= = = = == +==

= == + + = + + + + =

uuruur uuuruur

uur uur uur uuruur

Solucin Grafica


5.2 Circuito paralelo *.Caractersticas principales Partiendo de las siguientes caractersticas principales de un circuito en derivacin: Tensin constante en todo el circuito UT = cte. Diferentes intensidades en funcin de las ramas de los receptores que estn conectados en

paralelo:

1 2 ........T nI I I I= + + +uur ur uur uur

La impedancia total de este circuito, debemos de tener cuenta las caractersticas anlogas del

circuito en paralelo en corriente continua, ya que la resistencia total era:

1 2

11 1 1......

T

n

R

R R R

=+ + +

Por lo tanto debido a la caracterstica implcita de es tipo de conexionado y al tipo de receptores y corriente alterna debemos de partir de la siguiente formulacin

1 2

1 2

1 2

1

........

........

1 1 1........

tan 1 , tan :

1

T n

Tn

Tn

T T

T

I I I I

U U UIZ Z Z

I UZ Z Z

Por definicin Y la dmi cia es igual Z por lo to si sustituimos

IU Z

= + + += + + +

= + + +

= +

uur ur uur uurur ur uruuruur uur uur

uur uruur uur uur

uur uuruurur uur 1 2

2

1 1........ ........T nn

Y Y Y YZ Z

+ + = + + +uur ur uur uuruur uur

Para sumar las admitancias parciales de la ecuacin se expresa en forma binmica mediante su correspondiente conductancia G y su susceptancia B, es decir, mediante la ya conocida:

2 2

R XY j G Bj siemensZ Z

= = ur Calcula la intensidad que absorbe el circuito de la figura, si consta de cuatro impedancias en

paralelo de las siguientes caractersticas:


( )

1

2

3

4

11

22

4 2 4, 47 26,56

3 3 4, 24 45

6 8 10 53,13

10 10 14,14 45

1 1 0, 223 26,56 0, 223 0,894 0, 447 0, 20 0,104, 47 26,56

1 1 0, 235 45 0, 235 0,704, 24 45

Z j

Z j

Z j

Z j

Y S j j SZ

Y SZ

= + = = + = = + = = + =

= = = = = = = = =

uuruuruuruur

uruur

uuruur ( )

( )( )

( ) ( )

33

44

1 2 3 4

7 0,707 0,166 0,166

1 1 0,10 53,13 0,10 0,6 0,8 0,06 0,0810 53,73

1 1 0,07 45 0,07 0,707 0,707 0,05 0,0514,14 45

0, 20 0,10 0,166 0,166T

j j S

Y S j j SZ

Y S j j SZ

Y Y Y Y Y j j

=

= = = = = = = = = =

= + + + = + +

uuruur

uuruur

uur ur uur uur uur ( ) ( )0,06 0,08 0,05 0,050, 476 0,396 0,619 39,75

1 1 1,615 39,750,619 39,75

0,619 39,75 220 0 136,18 39,75

T

TT

T T

j j

Y j S S

ZSY

I Y U S V A

+ = = = = =

= = =

uur

uuruur

uur uur ur

( )( )

( )

11

22

33

220 0 49, 21 26,56 49, 21 0,894 0.447 44 224,47 26,56

220 0 51,88 45 51,88 0,707 0,707 36,68 36,784, 24 45

220 0 22 53,13 22 0,60 0,79910 53,13

UI A j j AZ

UI A j j AZ

UI A jZ

= = = = = = = = = = = = = =

ururuururuuruurururuur

( )

( ) ( ) ( ) ( )

44

1 2 3 4

13, 2 17,58

220 0 15,55 45 15,55 0,707 0,707 11 1114,14 45

Comprobacin de la intensidad total

44 22 36,68 36,78 13, 2 17,58 11 11 104,88 87,36

1T

T

j A

UI A j j AZ

I I I I I j j j j j A

I

=

= = = = =

= + + + = + + + =

uruuruur

uur ur uur ur uuruur

36, 49 39,79 A


( )220 0 136,18 39,75 29959,6 39,75 29959,6 0,786 0,63923548,24 19144,1823548,2419144,18

cos 0,786 39,75

T T T

T

T

T

Potencias

S U I v A VA j

S j VAP WQ VAR

= = = = + == +==

= =

uuruur uuruur

( )1 11

1

1

1 1

220 0 49,21 26,56 10826,2 26,56 10826,2 0,894 0,447

9678,62 4839,319678,624839,31

cos 0,894 26,56

TS U I v A VA j

S j VAP WQ VAR

= = = = + == +==

= =

uuruur uuruur

( )2 2

2

2

2

2 2

220 0 51,88 45 11413,6 45 11413,6 0,707 0,707

8069,41 8069,418069,418069,41

cos 0,707 45

TS U I v A VA j

S j VAP WQ VAR

= = = = + == +==

= =

uuruur uuruur

( )3 3

3

3

3

3 3

220 0 22 53,13 4840 53,13 4840 0,600 0,799

2904 3867,1629043867,16

cos 0,600 53,13

TS U I v A VA j

S j VAP WQ VAR

= = = = + == +==

= =

uuruur uuruur

( )4 44

4

4

4 4

220 0 15,55 45 3421 45 3421 0,707 0,707

2418,64 2418,642418,642418,64

cos 0,707 45

TS U I v VA j

S j VAP WQ VAR

= = = = + == +==

= =

uuruur uuruur

( ) ( ) ( )( )

1 2 3 4 9678,62 4839,31 8069, 41 8069, 41 2904 3867,16

2418,64 2418,64 23070,67 19194,52 30011, 42 39,76 29959,6 39,75T

Potencias

S S S S S j j VA j

j j VA VA VA

= + + + = + + + + + ++ + = + =

uur uur uur uur uur


Solucin grafica Admitancias:


Existe un caso particular de dos impedancias conectadas en paralelo, se puede aplicar

directamente una formula abreviada. Tenemos un circuito formado por dos impedancias Z1 y Z2 al que sometemos a una tensin

alterna de valor U. 1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 1 11 1

Operando con el m.c.m de los denominadores, nos queda:

T

TT

T

Y Y Y

ZY Y Y

Z Z

Z ZZZ Z

= += = =+ +

= +

uur ur uur

uuruur ur uur

uur uur

uur uuruuruur uur

Otro caso particular podemos comprobar la intensidad total partiendo de la suma de intensidades parciales, en principio para circuitos de dos impedancias conectadas en paralelo:

2 21 2 1 2

1 2

1 1

2 cos

tan :coscos

T

T

I I I I ISiendo y el ngulo que corresponde al factor de potenciaresul te

II

= + + = +

=


Ejemplo:

L2=30mH

R1=6R1=4

L1=10mHf=50Hz

U=400 V

IT

I1 I2

( ) ( )( ) ( )

31 1 1

32 2 2

1 2

1 2

314 10 10 3,14 4 3,14 5,08 38,13

314 30 10 9,42 6 9,42 11,16 57,5

5,08 38,13 11,16 57,5 56,7 95,63 56,7 95,634 3,14 6 9,42 10 12,56

L

L

T

X L Z j

X L Z j

Z ZZj j jZ Z

= = = = + = = = = = + =

= = = =+ + + ++

uuruur

uur uuruuruur uur

( )( )

1 2

11

22

3,53 44,1616,05 51,47

400 0 78,74 38,13 78,74 0,786 0,617 61,88 48,585,08 38,13

400 0 35,84 57,5 35,84 0,537 0,843 19,24 30,2111,16 57,5

T

T

I I I

U vI A j j AZ

U vI A j j AZ

I

=

= += = = = = = = = = =

uur ur uurururuururuuruur

uur ( ) ( )1 22 2 2 2

1 2 1 2

61,88 48,58 19,24 30,21 81,12 78,79 113,31 44,16

2 cos 78,74 35,84 2 78,74 35,84 cos19,37 113,18T

I I j j j A A

I I I I I A= + = + = == + + = + + =

ur uur

uur


5.3 Circuito mixto El clculo de un circuito mixto se realiza utilizan las formas para los circuitos serie y paralelo

con sus respectivas formulas, pero teniendo en cuenta unos pasos a seguir que se pueden observar grficamente y veremos a continuacin:

1. Reduccin (Siempre debemos reducir primero las conexiones en serie)

It

I1

I2

I3

Z1 Z2

Z3

Z4 Z5

Z6

Z7

Z8

Z9

2. Reduccin

ZA

ZBI4

I5

ZA

It I2

I3

I1

Z3

ZB

Z6

I5

I4

Z8

Z9

Z7

ZC Reduccin de la circuitos paralelo impedancias ZD

Indicar las formulas su resulucin:

ZC Z6It

Z9ZD

ZtIt

Zt

C

D


6.Calculo de circuitos trifsicos. Sistemas polifsicos. Se llama sistemas de corrientes polifsicas equilibrados, al conjunto de dos o ms corrientes

simples o monofsicas de igual frecuencia y amplitud que presentan una diferencia de fase entre ellas y estn dadas en cierto orden.

La existencia de un sistema polifsico de corrientes equilibrado supone, por un lado, que los receptores constan de un numero igual de circuitos o de fases de idnticas caractersticas y, por otro, que se dispone de un generador polifsico en el que se obtiene un sistema de tensiones equilibradas de igual numero de fase a aqul.

Se llama sistema polifsicos de tensiones equilibradas al conjunto de dos o ms fuentes de tensin monofsicas senoidales, de igual frecuencia y valor mximo, cuyos valores instantneos estn desfasados simtricamente y dados en un cierto orden.

El nmero de circuitos simples o fuentes de tensin monofsicas se les llaman fases, y se designan por letras o nmeros.

La representacin vectorial es un haz de m vectores cuyos extremos estn situados en el centro de una circunferencia de radio igual al valor mximo o al valor eficaz segn nos interese.

Industrialmente se emplea, casi en exclusiva, el sistema trifsico en el que el numero de fases m es igual a tres y el ngulo de desfase caracterstico del sistema es de 360:3 = 120 entre cada una de las tensiones simples o de fase.

Se llama sistema de cargas desequilibradas al conjunto de impedancias desiguales que hacen que por el receptor circulen intensidades de fase distintas, aunque las tensiones del sistema o de la lnea sean equilibradas

6.1. Sistema bifsico. Intensidades y tensiones simples y compuestas. El sistema bifsico est formado por dos corrientes alternas monofsicas de la misma

amplitud y periodo, y desfasadas un ngulo de 90. Este ngulo de desfase corresponde en realidad al sistema tetrafsico que se convierte en monofsico, mediante la siguiente conexin. (Excepcin a la regla).

a b

cd

a

b

c

d

Ia

Ib

Ic

Id

Ia

Ib

Ic

Id

In

L1

L2

L3L4

L1

L2

L3

L4

N

Poligono

Estrella

En la siguiente figura representa en general la disposicin de un esquema bifsico. En la fase

OR, existe una diferencia de tensin U1 desfasada 90 en adelanto, respecto a la U2 existente en OS. La corriente I1, que producida por la diferencia de tensin U1, circula por la resistencia R1, vuelve por el conductor NO y la corriente I2 que circula por la resistencia R2, tambin vuelve por el conductor N, que llamamos neutro. De esta manera la conduccin de la intensidad hasta los receptores, se efecta mediante tres conductores, dos de ellos los llamamos conductores de fase y el tercero neutro.


S

R

N

R1

R2

L1

N

L2

I1

I2

Umax1

Umax2

u

/2

3/22

u1=Umax1 sen(t+/2)u2=Umax2 sent

In

La intensidad del neutro es igual a la suma vectorial de las intensidades de las intensidades de

fase (I1 y I2) que absorben los receptores R1 y R2 que forman un ngulo recto

I1

I2O

In

1 2nI I I= +uur ur uur

Esta intensidad resultante es senoidal y tiene la misma frecuencia y periodo que las

intensidades componentes y aplicando el principio del cuadrado de la hipotenusa por lo tanto tenemos:

2 2 21 2

1 22 2 2

1

2

:

2 2

2 2

:

n

f

n f f

f L

I I ISi el sistema es equilibrado tenemos queI II I Iestrayendo la raiz cuadrada

I I I

Tambien debemos considerar queI I

= +

== =

= =

=

Con respecto a las tensiones podemos operar de la misma manera:

U 1= U f

U 2= U f

U L

O

( )1 22 2 2

:

2 2 2

2

RS RO SOSL

L RO SO

L RO SO

L RO SO f

L f

U U U U U U Ley de kirchoffSi traducimos a sus valores absolutos realizamos la suma geometrica

U U U

Como U U U por lo que nos queda

U U U U

U U

= = =

= += =

= = = =

uur ur ur ur uur uur


Potencia de un sistema bifsico:

2

2 cos 2 cos2

2 2 2 2cos cos 2 cos2 2 2

2 cos 2 cos2

2 2 2 2cos2 2 2

LIIY f f L

L LIIY L L L L

f L

LII f f L

L LII L

Para conexin estrellaUP U I I

U UP I I U I

Para conexin poligono o triangulo U UIP U I U

I IP U

= = = = =

== =

= = 2 cos 2 cosL L LU U I =

6.2. Sistema trifsico, intensidades y tensiones simples y compuestas. El sistema trifsico es un conjunto de tres corrientes alternas monofsicas de la misma

amplitud y periodo, y desfasadas entre si un ngulo: 2 360 120

3m = = =

Angulo de desfase que corresponde a un tercio del periodo

/2

3/2

2

uR=Umx*sent uR=Umx*sen(t-2/3)uR=Umx*sen(t+2/3)

= t

u

UT

US

UR

En esta figura se representa un sistema trifsico vectorial y senoidalmente. Los

vectores , , ,R S TU U Uur ur ur

indican cada uno de ellos la tensin de fase o simple. Las sinusoides uR, uS, uT, representan los distintos valores que toman en cada momento dichas tensiones. El orden de las fases es R, S, T, o STR, o TRS, se llaman directo con el giro supuesto, tal y como indica la flecha, si gira al revs, seria inverso.

Si las tres corrientes fuesen independientes, haran falta seis conductores para su transporte; ahora bien, para la debida dependencia de cada fase con las otras hay que establecer entre ellas alguna conexin, por ejemplo, como indicamos en la en la siguiente figura, en la que se ve, con cuatro conductores se puede transportar las corrientes de fase desde el generador al receptor.


IL2

IL3

IL1

In

L1(R)

L2(S)

L3(T)

L1(R)

L2(S)

L3(T)

N

U1

V1

W1

W2

U2

U1

U2V2

V2

V1

W1

W2

GENERADOR RECEPTOR

N

En cada uno de los conductores R, S y T circula tan solo la corriente producida en cada

devanado del generador. En el conductor N circulan conjuntamente las tres corrientes de los conductores R, S y T, cuya resultante es cero si el sistema es equilibrado en cargas y tensiones, lo se comprueba mediante la representacin vectorial, en la que la suma de las tres corrientes IR, IS e IT es igual a cero y, por tanto la IN = 0.

En la actualidad se ha sustituido la denominacin de las tres fases R, S, T, por las de las lneas: L1, L2, L3, respectivamente.

UL10, UL20, UL30 y I1, I2, I3 son los valores de fase y los valores de lnea UL1-L2 UL2-L3 UL3-L1 y las corrientes IL1, IL2, IL3. Nosotros variaremos un poco las iniciales para su mejor facilidad de entender los tipos de conexiones y su clculo.

La potencia por fase de un sistema trifsico equilibrado ser: cos

3 cos 3 cos

f f f

III f f III L L

P U IPotencia en trifsica

P U I P U I

=

= =

Los generadores o receptores que estn conectados en estrella o triangulo tienen la misma expresin.


6.3. Conexin estrella, Tensiones, intensidades Por ser un circuito serie formado por la bobina generadora o receptora de cada fase y el

conductor de lnea, tenemos que: L fI I=

Respecto a las tensiones: 1 1 2

2 2 3

3 3 1

L f f

L f f

L f f

U U UU U UU U U

= = =

IL1

In

IL2

IL3

L1(R)

L2(S)

L3(T)

N

U1

U2V2

V1

W1

W2

L1(R)

L2(S)

L3(T)

If1

If2If3

N


+j

-j

+-

IL1IL2

IL3

Por lo tanto podemos deducir que la relacin entre la tensin de lnea y la de fase se

demuestra que: 3cos30

23cos 30 2 3

2 2

3

Lf L f f

LY f

U U U U U

U U

=

= = = =

En un sistema equilibrado la suma vectorial de las intensidades de las intensidades es igual cero, sea la corriente que recorre el la lnea del neutro es cero:

1 2 3 0N f f fI I I I= + + =r r r r

+j

-j

+- IL1

IL2

IL3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

0Y por lo tanto las impedacias (cargas) deben ser igualesZ Z = Z

de t :

0f f f

I I I

Tambien ocurre que la suma vectorial las ensiones es igual a cero

U U U

+ + =

=

+ + =

ur uur ur

ur ur ur


El valor de la potencia en valores eficaces:

Vectorialmente seria:

Ejemplo: L1(R)

L2(S)

L3(T)

N

U1

U2V2

V1

W1

W2

L1(R)

L2(S)

L3(T)

NUf1=

220

0 v

Uf2=

220

-120

v

Uf2=

220

120

v

3 1Z Z=ur ur 2 1Z Z=ur ur

1 3 4Z j= + uur

1

2

3

1 2 3

220 0 220 0

220 120 110 190,5

220 120 110 190,5

3 4 5 53,13

f

f

f

U v j v

U v j v

U v j v

Z Z Z j

= = += = = = +

= = = + =

urururur ur ur

-Tensiones compuestas: ( ) ( )( ) ( )( ) ( )

1 1 2

2 2 3

1 3 1

220 0 110 190,5 330 190,5 381,1 30

110 190,5 110 190,5 0 381 381 90

110 190,5 220 0 330 190,5 381,1 30

L f f

L f f

L f f

U U U j j j v v

U U U j j j v v

U U U j j j v v

= = + = + == = + = = = = + + = + =

ur ur urur ur urur ur ur

3 cos

3 cos 3 cos3

IIIY f f

LIIIY L L L

P U IUP I U I

= = =

1 2 3

1 2 3

*111

*222

*333

3IIIY IIIY f

IIIY

Lf

Lf

Lf

P P P P En un sistema equilibrado P P

S S S S

S U I

S U I

S U I

= + + = = + +

= = =

ur uur uuruur uur uur

uur ur ruur ur ruur ur r


-.Intensidades.

11 1

1

22 2

2

33 3

3

1 2 3

220 0 44 53,13 26,4 35,15 53,13

220 120 44 173,13 43,69 5,25 53,13

220120 44 66,87 17,28 40,55 53,13

26,

fL f

fL f

fL f

N L L L

U vI I A j AZ

U vI I A j AZ

U vI I A j AZ

I I I I

= = = = = = = = = =

= = = = = += + + =

urr rururr rururr rur

r r r r ( ) ( ) ( )4 35,1 43,69 5,2 17,28 40,50 0N

j j j

I jA Sistema equlibrado

+ + += + r

-.Potencias *

11 1

*22 2

*33 3

1 2 3

220 0 44 53,13 9680 53,13 5808 7744

220 120 44173,13 9680 53,13 5808 7744

220120 44 66,87 9680 53,13 5808 7744

ff

ff

ff

IIIY

S U I v A j VA

S U I v A j VA

S U I v A j VA

S S S S

= = = = += = = = += = = = +

= + +

ur ur r

ur ur r

ur ur rur uur uur

17424 23232 29040 53,13

1742423232 53,13

IIIY

IIIY

j VAP WQ VAR

= + === =

uur

Modelo grafico utilizando la forma binmica para el calculo de de las tensiones compuestas Relaciones para desarrollar el grafico: 110 ----------- 55 unidades 220 ----------- 110 unidades 190 ----------- 95 unidades


110-----55 unidades380----190 unidades190-----95 unidades330----165 unidades

Uf1

Uf2

-Uf2UL1

UL2

UL3

-Uf1

Uf3

-Uf3

+j

-j

- +

Calculo grafico de las intensidades

+j

-j

- +

5 = 10 unidades26 = 52 unidades35 = 70 unidades43= 86 unidades17= 34 unidades40 = 80 unidades

1LIr

2LIr

3LIr

Calculo grafico de las Potencias


+j

+S1

S2

S3

QT

PT

ST

5808----- 60 unidades23232 VAR---- 240 unidades29040VA------- 300 unidades17424W-------- 180 unidades

6.4. Conexin triangulo, Tensiones, intensidades Por el sistema de conexin triangulo, el valor de la tensin o fem del arrollamiento de fase

coincide con el valor de lnea, por lo que: L fU U=

Respecto a las intensidades tenemos que aplicando la ley de kirchoff: En cualquier nudo, la suma de

las corrientes que entran en un nudo es igual a la suma de las corrientes que salen. De forma equivalente, la suma de todas las corrientes que pasan por el nudo es igual a cero

( )2 1

1 3 1

1 3 1

:

0

L f f

L f f

Nudo W U

I I I

I I I

+ =+ + =

uur uuur uuruur uuur uur

IL3

IL1

If3

V2

If2V1

U2

If1

U1

IL2

L3(T)

L2(S)

L1(R)

W1

W2

1 1 3

2 2 1

3 3 2

L f f

L f f

L f f

I I I

I I I

I I I

= = =

r r rr r rr r r


+j

-j

+

If1

If1

IL1

IL/2

IL/2

-If2

If2

-If1

If3IL3If3

If2

-If3

IL2

-If3

If2

-If1

UL1

UL2

UL3

Por tanto podemos deducir que la relacin entre la intensidad de lnea y la de fase; se

demuestra de la siguiente manera:

En un sistema equilibrado la suma vectorial de las intensidades es igual cero, sea la

corriente: 1 2 3 0L L LI I I+ + =r r r

+ j

+If1

-I f2 IL1

If2I f1

IL/2

IL /2

3cos302

3cos 30 2 32 2

3

Lf L f f

L f

I I I I I

I I

=

= = = =


1 2 3

1 2 3

1 2 3

0Y por lo tanto las impedacias (cargas) deben ser igualesZ Z = Z

de t :

0f f f

I I I

Tambien ocurre que la suma vectorial las ensiones es igual a cero

U U U

+ + =

=

+ + =

ur uur ur

ur ur ur

El valor de la potencia ser en valores eficaces:

3 cos

3 cos 3 cos3

III f f

LIII L L L

P U IIP U U I

= = =

Vectorialmente seria:

1 2 3

1 2 3*

111*

222*

333

3III III f

III

ff

ff

ff

P P P P En un sistema equilibrado P P

S S S S

S U I

S U I

S U I

= + + = = + +

= = =

ur uur uuruur uur uur

uur ur ruur ur ruur ur r

IL1

IL2

IL3

L1(R)

L2(S)

L3(T)

U1

U2

V2 V1

W1

W2

L1(R)

L2(S)

L3(T)

N

If3

If1

If2

220 0 V

220 -120 V 220 120 V


1

2

3

1 2 3

220 0 220 0

220 120 110 190,5

220 120 110 190,5

3 4 5 53,13

f

f

f

U v j v

U v j v

U v j v

Z Z Z j

= = += = = = +

= = = + =

urururur ur ur

-.Intensidades. 1

11

22

2

33

3

220 0 44 53,13 26,4 35,15 53,13

220 120 44 173,13 43,69 5,25 53,13

220120 44 66,87 17,28 40,55 53,13

ff

ff

ff

U vI A j AZ

U vI A j AZ

U vI A j AZ

= = = = = = = =

= = = = +

urrururrururrur

-Intensidades compuestas: ( ) ( )( ) ( )( ) ( )

1 1 2

2 2 3

1 3 1

26,4 35,1 43,69 5,2 70,09 29,9 76,20 23,1

43,69 5,2 17,28 40,5 60,97 45,7 76,2 36,85

17,28 40,5 26,4 35,1 9,12 75,6 76,2 83,12

L f f

L f f

L f f

I I I j j j A

I I I j j j A

I I I j j j A

= = = = = = + = == = + = + =

r r rr r rr r r

-.Potencias

-

5 = 10 unidades26 = 52 unidades35 = 70 unidades43= 86 unidades17= 34 unidades40 = 80 unidades 75,7 =151unidades

*11 1

*22 2

*33 3

1 2 3

220 0 44 53,13 9680 53,13 5808 7744

220 120 44173,13 9680 53,13 5808 7744

220120 44 66,87 9680 53,13 5808 7744

ff

ff

ff

IIIY

S U I v A j VA

S U I v A j VA

S U I v A j VA

S S S S

= = = = += = = = += = = = +

= + +

ur ur r

ur ur r

ur ur rur uur uur

17424 23232 29040 53,13

1742423232 53,13

IIIY

IIIY

j VAP WQ VAR

= + === =

uur


7 PROBLEMAS: 1. Segn el siguiente circuito calcula a) Impedancias b) Tensiones c) Potencias d) Intensidad total e) Los grficos de potencias, tensiones el desfase entre la tensin y la intensidad f) Factor de potencia

2.Segn el siguiente circuito calcula a) Impedancias b) Tensiones c) Potencias d) Intensidad total e) Los grficos de potencias, tensiones el desfase entre la tensin y la intensidad

f) Factor de potencia

3.Segn el siguiente circuito calcula a) Impedancias b) Tensiones c) Potencias d) Intensidad total e) Los grficos de potencias, tensiones el desfase entre la tensin y la intensidad f) Factor de potencia

A

B

1 6 7Z j= uur

2 12 9Z j= + uur

Uab=220 v f=50Hz

A

B

L=800mHR=1k

Uab=220v f=50Hz

A

B

C=5FR=500

Uab=200v f=50Hz


4.Segn el siguiente circuito calcula g) Impedancias h) Tensiones i) Potencias j) Intensidad total k) Los grficos de potencias, tensiones el desfase entre la tensin y la intensidad l) Factor de potencia

L= 25mH C= 0,50F

Vt= 240

f= 50 hz

0 v

R=5 K

5.Segn el siguiente circuito calcula a) Impedancias b) Tensiones c) Potencias d) Intensidades e) Los grficos de potencias,

intensidades, el desfase entre la tensin y la intensidad total

f) Factor de potencia 6.Calcula los siguientes circuitos (Completos) a)

2 12 28Z j= + uur

1 6 13Z j= uur

3 20 15Z j= + uur

280 0 U V=ur

IL3

IL1

If3

V2W2

If2V1

U2

If1

W1

U1

IL2

L3(T)

L2(S)

L1(R)

NINZ1=2+7j

Z2=6-16j Z3=5+13j

1 400 0 vfU =

2 400 120 vfV =

3 400 120 vfV =

1 1 7Z j= + uur

2 2 6Z j= + uur

3 3 8Z j= uur

260 0 U V=ur


b) c)

L1(R)

L2(S)

L3(T)

N

U1

U2V2

V1

W1

W2

L1(R)

L2(S)

L3(T)

NUf1=4

40 0

vU

f2=

440

-120

v

Uf2=4

40 1

20 v

Z1=3+4j

Z2=6-8jZ1=24+36j

d)

IL1

IL2

IL3

L1(R)

L2(S)

L3(T)

U 1

U 2

V 2 V 1

W 1

W 2

L1(R)

L2(S)

L3(T)

N

If3

If1

If2

400 0 V

400 -120 V 400 120 V

Z 1=5+12j

Z 2=4+7j

Z 3=5-10j

L 1 (R )

L 2 (S )

L 3 (T )

N

U 1

U 2V 2

V 1

W 1

W 2

L 1(R )

L 2 (S )

L 3(T )

NUf1=

220

0 v

Uf2=

220

-120

v

Uf 2=

220

120

v

Z 1= 2 + 2 j

Z 2= 2 -2 jZ 3= 3 + 4 j


e) f)

IL1

IL2

IL3

L1(R)

L2(S)

L3(T)

U1

U2

V2 V1

W1

W2

L1(R)

L2(S)

L3(T)

N

If3

If1

If2

Z2=12+12j

Z3=12-12j Z1=22-36j380 0 V

380 -120 V 380 120 V

7 Una onda de tensin alterna senoidal tiene como expresin algebraica 311, 2 314u sen t v= . Calcula: a) El valor de la frecuencia b) El valor del periodo c) Los valores instantneos necesarios para realizar el grafico de la senoide correspondiente

IL3

IL1

If3

V2

W2If2

V1U2

If1

W1 U1

IL2

L3(T)

L2(S)

L1(R)

1 240 0 vLU =

3 240 120 vLV =

2 240 120 vLV =

Z1=7+20j

Z2=5+10j

Z3=2+18j

tema 1 electrotecnia c.a

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