Calculo Diferencial e Integral II

Técnicas de Integración

Ciclo escolar 2013-2014

Integración por Partes • Sean 𝑢 y 𝑣 funciones derivables de 𝑥. En estas

condiciones

𝑑 𝑢𝑣 = 𝑢𝑑𝑣 + 𝑣𝑑𝑢

𝑢𝑑𝑣 = 𝑑 𝑢𝑣 − 𝑣𝑑𝑢

𝑢𝑑𝑣 = 𝑑(𝑢𝑣) − 𝑣𝑑𝑢

𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − 𝑣𝑑𝑢

• Esta es la formula de integración por partes

𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − 𝑣𝑑𝑢

• Para aplicar esta formula en la practica, se separa el integrando en dos partes: – Una de ellas se iguala a 𝑢

– y la otra junto con 𝑑𝑥, a 𝑑𝑣.

(por esta razón, este método se llama integración por partes)

• No existe una regla general para escoger 𝑢, o escoger 𝑑𝑣. Sin embargo, es conveniente tener en cuenta los dos criterios siguientes: – La parte que se iguala a 𝑑𝑣 debe ser fácilmente

integrable.

– 𝑣𝑑𝑢 no debe ser mas difícil de integrar que 𝑢𝑑𝑣.

Ejemplos

𝑥𝑒𝑥𝑑𝑥

𝑢 = 𝑥 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝑑𝑣 = 𝑒𝑥𝑑𝑥 𝑣 = 𝑒𝑥

𝑥𝑒𝑥𝑑𝑥 = 𝑥𝑒𝑥 − 𝑒𝑥𝑑𝑥

= 𝑥𝑒𝑥 − 𝑒𝑥 + 𝐶

𝑥2 ln 𝑥 𝑑𝑥

𝑢 = ln 𝑥 𝑑𝑢 =1

𝑥𝑑𝑥

𝑑𝑣 = 𝑥2𝑑𝑥 𝑣 =𝑥3

3

𝑥2 ln 𝑥 𝑑𝑥 =𝑥3

3ln 𝑥 −

𝑥3

3

1

𝑥𝑑𝑥

=𝑥3

3ln 𝑥 −

𝑥2

3𝑑𝑥

=𝑥3

3ln 𝑥 −

1

9𝑥3 + 𝐶

12𝑥2 − 4𝑥 + 8 cos 2𝑥 𝑑𝑥

𝑢 = 12𝑥2 − 4𝑥 + 8 𝑑𝑢 = 24𝑥 − 4 𝑑𝑥

𝑑𝑣 = cos 2𝑥 𝑑𝑥 𝑣 =1

2sen 2𝑥

12𝑥2 − 4𝑥 + 8 cos 2𝑥 𝑑𝑥

= 12𝑥2 − 4𝑥 + 81

2sen 2𝑥 𝑑𝑥

− 24𝑥 − 41

2sen 2𝑥 𝑑𝑥

= 6𝑥2 − 2𝑥 + 4 sen 2𝑥 𝑑𝑥

− 12𝑥 − 2 sen 2𝑥 𝑑𝑥

Y volvemos a integrar por partes haciendo:

𝑢 = 12𝑥 − 2 𝑑𝑢 = 12𝑑𝑥

𝑑𝑣 = sen 2𝑥 𝑑𝑥 𝑣 =−1

2cos 2𝑥

12𝑥 − 2 sen 2𝑥 𝑑𝑥

= 12𝑥 − 2−1

2cos 2𝑥 −

−1

2cos 2𝑥 12𝑑𝑥

= −6𝑥 + 1 cos 2𝑥 + cos 2𝑥 6𝑑𝑥

= −6𝑥 + 1 cos 2𝑥 + 3 sen 2𝑥 + 𝐶 Finalmente

12𝑥2 − 4𝑥 + 8 cos 2𝑥 𝑑𝑥

= 6𝑥2 − 2𝑥 + 4 sen 2𝑥 𝑑𝑥

− 12𝑥 − 2 sen 2𝑥 𝑑𝑥

= 6𝑥2 − 2𝑥 + 4 sen 2𝑥 𝑑𝑥

− −6𝑥 + 1 cos 2𝑥 + 3 sen 2𝑥 + 𝐶

𝑒𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥

𝑢 = 𝑒𝑥 𝑑𝑢 = 𝑒𝑥𝑑𝑥 𝑑𝑣 = cos 𝑥 𝑑𝑥 𝑣 = sen 𝑥

𝑒𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 sen 𝑥 𝑑𝑥 − sen 𝑥 𝑒𝑥 𝑑𝑥

= 𝑒𝑥 sen 𝑥 𝑑𝑥 − 𝑒𝑥 sen 𝑥 𝑑𝑥

Y volvemos a integrar por partes haciendo:

𝑢 = 𝑒𝑥 𝑑𝑢 = 𝑒𝑥𝑑𝑥 𝑑𝑣 = sen 𝑥 𝑑𝑥 𝑣 = −cos 𝑥

𝑒𝑥 sen 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 −cos 𝑥 − − cos 𝑥 𝑒𝑥𝑑𝑥

= −𝑒𝑥 cos 𝑥 + 𝑒𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥

Luego obtenemos

𝑒𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 sen 𝑥 − 𝑒𝑥 sen 𝑥 𝑑𝑥

= 𝑒𝑥 sen 𝑥

− −𝑒𝑥 cos 𝑥 + cos 𝑥 𝑒𝑥𝑑𝑥

= 𝑒𝑥 sen 𝑥 + 𝑒𝑥 cos 𝑥 − 𝑒𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥

De esta ultima parte despejamos 𝑒𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 que es la integral que queremos obtener

𝑒𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥

= 𝑒𝑥 sen 𝑥 + 𝑒𝑥 cos 𝑥 − 𝑒𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥

𝟐 𝑒𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 sen 𝑥 + 𝑒𝑥 cos 𝑥

𝑒𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 =𝑒𝑥 sen 𝑥 + 𝑒𝑥 cos 𝑥

2+ 𝐶

Integrales Trigonométricas

• Consideremos ahora la integral de algunas diferenciales trigonométricas que se presentan con frecuencia y que pueden integrarse fácilmente, transformándose en integrales por sustitución (o simplemente completando), mediante el uso de identidades trigonométricas.

sen𝑛 𝑣 cos𝑚(𝑣) 𝑑𝑣

• Si alguno de los exponentes 𝑛 o 𝑚 es impar, a la función que tiene la potencia positiva impar mas pequeña se le aplica la identidad trigonométrica 𝐬𝐞𝐧𝟐(𝜶) + 𝐜𝐨𝐬𝟐(𝜶) = 𝟏 tantas veces como sea necesario a fin de llegar a algo de la forma

𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠

𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒𝑛 sen(𝑣) cos 𝑣 𝑑𝑣

• O de la forma

𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠

𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒𝑛 cos(𝑣) sen 𝑣 𝑑𝑣

• Luego se separa cada termino de la expresión y se resuelve como

una integral del tipo 𝑣𝑛𝑑𝑣

sen2 2𝑥 cos3 2𝑥 𝑑𝑥

sen2 2𝑥 cos3 2𝑥 𝑑𝑥 = sen2 2𝑥 cos2 2𝑥 cos 2𝑥 𝑑𝑥

= sen2 2𝑥 1 − sen2 2𝑥 cos 2𝑥 𝑑𝑥

= sen2 2𝑥 − sen4 2𝑥 cos 2𝑥 𝑑𝑥

= sen2 2𝑥 cos 2𝑥 𝑑𝑥 − sen4 2𝑥 cos 2𝑥 𝑑𝑥

=1

2⋅sen3 2𝑥

3−1

2⋅sen5 2𝑥

5+ 𝐶

=sen3 2𝑥

6−sen5 2𝑥

10+ 𝐶

tan𝑛 𝑣 sec𝑚(𝑣) 𝑑𝑣

cot𝑛 𝑣 csc𝑚(𝑣) 𝑑𝑣 • Si m es un entero positivo par, se separa una 𝐬𝐞𝐜𝟐(𝒗) o un 𝐜𝐬𝐜𝟐(𝒗), según

sea el caso, para que forme parte de la diferencial. Al resto de la función se le aplica la identidad trigonométrica 𝐭𝐚𝐧𝟐(𝜶) + 𝟏 = 𝐬𝐞𝐜𝟐(𝜶), o la identidad 𝟏 + 𝐜𝐨𝐭𝟐(𝜶) = 𝐜𝐬𝐜𝟐(𝜶), según sea el caso, tantas veces como sea necesario a fin de llegar a algo de la forma

𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠

𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒𝑛 tan (𝑣) sec2 𝑣 𝑑𝑣

• O de la forma

𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠

𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒𝑛 cot(𝑣) csc2 𝑣 𝑑𝑣

• Luego se separa cada termino de la expresión y se resuelve como una

integral del tipo 𝑣𝑛𝑑𝑣

cot3 3𝑥 csc4 3𝑥 𝑑𝑥

cot3 3𝑥 csc4 3𝑥 𝑑𝑥 = cot3 3𝑥 csc2 3𝑥 csc2 3𝑥 𝑑𝑥

= cot3 3𝑥 1 + cot2 3𝑥 csc2 3𝑥 𝑑𝑥

= cot3 3𝑥 + cot5 3𝑥 csc2 3𝑥 𝑑𝑥

= cot3 3𝑥 csc2 3𝑥 𝑑𝑥 + cot5 3𝑥 csc2 3𝑥 𝑑𝑥

= −1

3⋅cot4 3𝑥

4−1

3⋅cot6 3𝑥

6+ 𝐶

=−cot4 3𝑥

12−cot6 3𝑥

18+ 𝐶

tan𝑛 𝑣 sec𝑚(𝑣) 𝑑𝑣

cot𝑛 𝑣 csc𝑚(𝑣) 𝑑𝑣 • Si n es un entero positivo impar, y 𝑚 ≠ 0, se separa una 𝐬𝐞𝐜 𝒗 𝐭𝐚𝐧 𝒗 o

una 𝐜𝐬𝐜 𝒗 𝐜𝐨𝐭 𝒗 , según sea el caso, para que forme parte de la diferencial. Al resto de la función se le aplica la identidad trigonométrica 𝐭𝐚𝐧𝟐(𝜶) + 𝟏 = 𝐬𝐞𝐜𝟐(𝜶), o la identidad 𝟏 + 𝐜𝐨𝐭𝟐(𝜶) = 𝐜𝐬𝐜𝟐(𝜶), según sea el caso, tantas veces como sea necesario a fin de llegar a algo de la forma

𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠

𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒𝑛 sec (𝑣) sec 𝑣 tan 𝑣 𝑑𝑣

• O de la forma

𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠

𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒𝑛 csc 𝑣 csc 𝑣 cot 𝑣 𝑑𝑣

• Luego se separa cada termino de la expresión y se resuelve como una

integral del tipo 𝑣𝑛𝑑𝑣

tan3 2𝑥 sec3 2𝑥 𝑑𝑥

tan3 2𝑥 sec3 2𝑥 𝑑𝑥 = tan3 2𝑥 sec3 2𝑥 𝑑𝑥

= tan2 2𝑥 sec2 2𝑥 sec 2𝑥 tan 2𝑥 𝑑𝑥

= sec2 2𝑥 − 1 sec2 2𝑥 sec 2𝑥 tan 2𝑥 𝑑𝑥

= sec4 2𝑥 − sec2 2𝑥 sec 2𝑥 tan 2𝑥 𝑑𝑥

= sec4 2𝑥 sec 2𝑥 tan 2𝑥 𝑑𝑥 − sec2 2𝑥 sec 2𝑥 tan 2𝑥 𝑑𝑥

=1

2⋅sec5 2𝑥

5−1

2⋅sec3 2𝑥

3+ 𝐶 =

sec5 2𝑥

10−sec3 2𝑥

6+ 𝐶

sen𝑛 𝑣 cos𝑚(𝑣) 𝑑𝑣

• Si ambas potencias son enteros pares positivas, se le aplica alguna (o algunas) de las identidades trigonométricas siguientes a fin de reducir las potencias de las funciones y luego aplicar el otro caso que involucra potencias de senos y cosenos.

sen 2𝛼 = 2 sen 𝛼 cos 𝛼

cos 2𝛼 = 2 cos2 𝛼 − 1

cos 2𝛼 = 1 − 2 sen2 𝛼

sen2 𝑥 cos4 𝑥 𝑑𝑥

sen2 𝑥 cos4 𝑥 𝑑𝑥 = sen2 𝑥 cos2 𝑥 cos2 𝑥 𝑑𝑥

= sen 2𝑥

2

2cos 2𝑥 + 1

2𝑑𝑥

= sen2 2𝑥 cos 2𝑥 + sen2 2𝑥

8𝑑𝑥

= 1

8sen2 2𝑥 cos 2𝑥 𝑑𝑥 +

1

8sen2 2𝑥 𝑑𝑥

= 1

8sen2 2𝑥 cos 2𝑥 𝑑𝑥 +

1

8⋅cos 4𝑥 − 1

2𝑑𝑥

= 1

8sen2 2𝑥 cos 2𝑥 𝑑𝑥 +

1

16cos 4𝑥 −

1

16𝑑𝑥

=1

8⋅1

2⋅sen3 2𝑥

3+1

16⋅1

4sen 4𝑥 −

1

16𝑥 + 𝐶

=sen3 2𝑥

48+sen 4𝑥

64−𝑥

16+ 𝐶

Integración por descomposición en Fracciones Parciales

• Un polinomio de grado 𝑛 en 𝑥 es una función de la forma 𝒂𝒏𝒙

𝒏 + 𝒂𝒏−𝟏𝒙𝒏−𝟏 +⋯+ 𝒂𝟏𝒙 + 𝒂𝟎, en donde los coeficientes son

constantes, 𝑎𝑛 ≠ 0 y 𝑛 es un numero entero no negativo cualquiera incluido el cero.

• Si dos polinomios del mismo grado toman iguales valores numéricos para todos los valores de la variable, los coeficientes de los términos de igual grado de esta, en ambos polinomios , son iguales.

• Todo polinomio de coeficientes reales se puede expresar (al menos teóricamente) como producto de factores reales lineales, de la forma 𝒂𝒙 + 𝒃, y de factores cuadráticos reales irreducibles, de la forma 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄.

Integración por descomposición en Fracciones Parciales

• Una función 𝐹 𝑥 =𝑓 𝑥

𝑔 𝑥 en la que 𝑓 𝑥 y 𝑔 𝑥 son polinomios

recibe el nombre de función racional.

• Si el grado de 𝑓 𝑥 es estrictamente menor que el de 𝑔 𝑥 , 𝐹 𝑥 recibe el nombre de función racional propia; en caso contrario, 𝐹 𝑥 se denomina impropia.

• Toda fracción racional impropia se puede expresar como la suma de un polinomio y una función racional propia, usando el algoritmo de la división.

• Toda fracción racional propia se puede expresar como suma de fracciones simples cuyos denominadores son de la forma 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑛 y 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 𝑛, siendo 𝑛 un numero entero positivo. Atendiendo a la naturaleza de los factores del denominador, se pueden considerar cuatro pasos.

Caso I: Factores Lineales Distintos

• A cada factor lineal, 𝑎𝑥 + 𝑏, del denominador de una función racional propia, le corresponde

una fracción de la forma 𝐴

𝑎𝑥+𝑏, siendo 𝐴 una

constante a determinar.

kk

k

kk bxa

A

bxa

A

bxa

A

bxabxabxa

xp

...

... 22

2

11

1

2211

𝑥2 − 3𝑥 − 1

𝑥3 + 𝑥2 − 2𝑥 𝑑𝑥

• Factorizamos el denominador

𝑥3 + 𝑥2 − 2𝑥 = 𝑥 𝑥2 + 𝑥 − 2 = 𝑥 𝑥 − 1 𝑥 + 2

• Por lo que

𝑥2 − 3𝑥 − 1

𝑥3 + 𝑥2 − 2𝑥=𝐴

𝑥+

𝐵

𝑥 − 1+

𝐶

𝑥 + 2

• Donde A, B y C son constantes a determinar. • Multiplicamos primero por el denominador (factorizado) toda la

ecuación a fin de simplificar las expresiones y luego igualar los polinomios de la izquierda y la derecha

𝑥2 − 3𝑥 − 1 𝑥 𝑥 − 1 𝑥 + 2

𝑥3 + 𝑥2 − 2𝑥

=𝐴𝑥 𝑥 − 1 𝑥 + 2

𝑥+𝐵𝑥 𝑥 − 1 𝑥 + 2

𝑥 − 1

+𝐶𝑥 𝑥 − 1 𝑥 + 2

𝑥 + 2

𝑥2 − 3𝑥 − 1 = 𝐴 𝑥 − 1 𝑥 + 2 + 𝐵𝑥 𝑥 + 2 + 𝐶𝑥 𝑥 − 1

= 𝐴 𝑥2 + 𝑥 − 2 + 𝐵 𝑥2 + 2𝑥 + 𝐶 𝑥2 − 𝑥= 𝐴𝑥2 + 𝐴𝑥 − 2𝐴 + 𝐵𝑥2 + 2𝐵𝑥 + 𝐶𝑥2 − 𝐶𝑥= 𝐴𝑥2 +𝐵𝑥2 + 𝐶𝑥2 + 𝐴𝑥 + 2𝐵𝑥 − 𝐶𝑥 − 2𝐴= 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 𝑥2 + 𝐴 + 2𝐵 − 𝐶 𝑥 − 2𝐴

• Como dos polinomios son iguales cuando sus coeficientes son iguales, entonces obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones

𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 1𝐴 + 2𝐵 − 𝐶 = −3

−2𝐴 = −1

• Resolvemos el sistema para obtener

𝐴 =1

2𝐵 = −1

𝐶 =3

2

• Por lo que la fracción se transforma en

𝑥2 − 3𝑥 − 1

𝑥3 + 𝑥2 − 2𝑥=1/2

𝑥+−1

𝑥 − 1+3/2

𝑥 + 2

• Y la integral pedida es

𝑥2 − 3𝑥 − 1

𝑥3 + 𝑥2 − 2𝑥 𝑑𝑥

=1

2 1

𝑥𝑑𝑥 −

1

𝑥 − 1𝑑𝑥 +

3

2

1

𝑥 + 2𝑑𝑥

=1

2ln 𝑥 − ln 𝑥 − 1 +

3

2ln 𝑥 + 2 + 𝐶

Caso II: Factores Lineales Repetidos

• A cada factor lineal, 𝑎𝑥 + 𝑏, que figure 𝑛 veces en el denominador de una función racional propia, le corresponde una suma de 𝑛 fracciones de la forma

𝐴1

𝑎𝑥 + 𝑏+

𝐴2𝑎𝑥 + 𝑏 2

+⋯+𝐴𝑛

𝑎𝑥 + 𝑏 𝑛

siendo los numeradores constantes a determinar.

Caso III: Factores Cuadráticos Irreducibles Distintos

• A cada factor cuadrático irreducible, 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, que figure en el denominador de una función racional propia, le corresponde una fracción de la forma

𝐴𝑥 + 𝐵

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝐶

siendo 𝐴 y 𝐵 constantes a determinar.

Caso IV: Factores Cuadraticos Irreduciles Repetidos

• A cada factor cuadratico irreducible, 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑥, que figure 𝑛 veces en el denominador de una función racional propia, le corresponde una suma de 𝑛 fracciones de la forma 𝐴1𝑥 + 𝑏1

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐+

𝐴2𝑥 + 𝑏2𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 2

+⋯+𝐴𝑛𝑥 + 𝑏𝑛

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 𝑛

Donde los valores de 𝐴𝑖 y 𝐵𝑖 son constantes a determinar.