TC – DEI, 2005/2006

» WHAT WOULD LIFE BE WITHOUT ARITHMETIC, BUT A SCENE OF HORRORS? « Sydney Smith, 1835

Sistemas de Numeração

Paulo Marquespmarques@dei.uc.pthttp://www.dei.uc.pt/~pmarques

Tecnologia dos Computadores 2005/2006

TC – DEI, 2005/2006

Sistemas de Numeração

Os valores existem no mundo, independentemente da sua representação

26XXVI

São representações igualmente válidas

TC – DEI, 2005/2006

Sistemas Posicionais

O sistema posicional é utilizado devido à facilidade com a qual é possível fazer calculos

Tente encontrar um algoritmo para multiplicar, em numeração romana, XVIII por XIXIII!

1 9 2 6

100103 102 101

1926 = 1x103 + 9x102 + 2x101 + 6x100

TC – DEI, 2005/2006

Sistemas Posicionais (2)

Sistema de numeração de base 10: Existem 10 algarismos diferentes

(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)

O valor de cada posição i é dado pelo valor nessa posição vezes um factor de escala basei

Para calcular o valor de um número representado numa base radix: (An-1 An-2 An-3... A0)radix

Faz-se:

An-1radixn-1 + An-2radixn-2 + An-3radixn-3 + ... +

A0radix0

TC – DEI, 2005/2006

Nos sistemas informáticos

Internamente, tudo é feito em base 2, i.e. BINÁRIO Existem dois símbolos: 0 e 1

(ligado/desligado, verdadeiro/falso) Cada símbolo é um bit (binary digit)

No entanto, em termos de representações, tipicamente utiliza-se: Binário (base 2) Hexadecimal (base 16)

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

... e algumas vezes Octal (base 8)

TC – DEI, 2005/2006

» quatre-vingt, quatre-vingt-dix, quatre-vingt-dix-neuf « 80, 90, 99 em Françês

TC – DEI, 2005/2006

Contar em binário

0000 => (0)10

0001 => (1)10

0010 => (2)10

0011 => (3)10

0100 => (4)10

0101 => (5)10

0110 => (6)10

0111 => (7)10

1000 => (8)10

1001 => (9)10

1010 => (10)10

1011 => (11)10

1100 => (12)10

1101 => (13)10

1110 => (14)10

1111 => (15)10

TC – DEI, 2005/2006

Contar em hexadecimal

00 => (0)10

01 => (1)10

02 => (2)10

03 => (3)10

04 => (4)10

05 => (5)10

06 => (6)10

07 => (7)10

08 => (8)10

09 => (9)10

0A => (10)10

0B => (11)10

0C => (12)10

0D => (13)10

0E => (14)10

0F => (15)10

10 => (16)10

11 => (17)10

TC – DEI, 2005/2006

Quiz: Conversão para decimal

Converta para decimal os seguintes números: Pista: lembre-se do que é que “sistema posicional” e

“base” querem dizer...

(1101010)2

(C1B3)16

TC – DEI, 2005/2006

Nota

Virtualmente todos os informáticos sabem as potências de dois de cabeça

28210 29 2427 26 25 2023 22 21

12481632641282565121024

0 11 21 41 81 161 321 641 1281 2561 51211 1024

TC – DEI, 2005/2006

Resposta ao Quiz

(1101010)2

= 020 + 121 + 022 + 123 + 024 + 125 + 126

= 106 (na base 10)

(C1B3)16

= 3160 + 11161 + 1162 + 12163

= 49587 (na base 10)

TC – DEI, 2005/2006

Conversão de decimal para outras bases

Divide-se sucessivamente o número pela base O resto da divisão vai constituindo os sucessivos

digitos do número Exemplo: Converter 402 em binário

402 ÷ 2 = 201 e resto 0201 ÷ 2 = 100 e resto 1100 ÷ 2 = 50 e resto 0 50 ÷ 2 = 25 e resto 0 25 ÷ 2 = 12 e resto 1 12 ÷ 2 = 6 e resto 0 6 ÷ 2 = 3 e resto 0 3 ÷ 2 = 1 e resto 1 1 ÷ 2 = 0 e resto 1

(402)10 = (110010010)2

TC – DEI, 2005/2006

Conversão decimal-hexadecimal

Exactamente o mesmo processo! Converter 402 em hexadecimal Converter 673 em hexadecimal

402 ÷ 16 = 25 e resto 2 25 ÷ 16 = 1 e resto 9 1 ÷ 16 = 0 e resto 1 (402)10 = (192)16

673 ÷ 16 = 42 e resto 1 42 ÷ 16 = 2 e resto 10 (A) 2 ÷ 16 = 0 e resto 2 (673)10 = (2A1)16

TC – DEI, 2005/2006

Conversão binário-hexadecimal e vice-versa

Como 16 é 24, isso quer dizer que cada digito em hexadecimal corresponde a 4 dígitos em binário, directamente! Exemplo: (110110010010)2

110110010010

D 9 2

TC – DEI, 2005/2006

Nota sobre o sistema hexadecimal

Nos computadores (e livros), é comum utilizar as seguintes notações para representar números hexadecimais: 0xD92 ou 0xd92 D92h ou d92h

TC – DEI, 2005/2006

BCD: Binary-Coded-Decimal

Nos sistemas electrónicos e muitas vezes nos informáticos, utiliza-se também o sistema BCD:

Binary Coded Decimal

Cada conjunto de quatro bits representa um valor decimal. Só são válidos os valores de 0000 a 1001 (i.e. 0 a 9)

011100011000

7 1 8

BCD

Decimal

TC – DEI, 2005/2006

Armazenamento de dados

Quantos bits são necessários para representar N números? Exemplo: quantos bits necessito para representar

100 objectos, ou para representar 100 números diferentes? (0..99)

Sistema binário é um sistema posicional. Com K bits, tenho 2K números diferentes

Para representar N elementos diferentes, são necessários log2(N) bits. Para representar 100 objectos, são necessários 7

bits!

TC – DEI, 2005/2006

Grandezas de armazenamento de informação

bit: binary digit, unidade básica de informação

byte: 8 bits

Kbyte: 210 byte, i.e. 1024 bytes

Mbyte: 210 Kbyte, i.e. 1024 Kbytes

Gbyte: 210 Mbyte, i.e. 1024 Mbytes

Tbyte: 210 Gbyte, i.e. 1024 Gbytes

Quiz: Se eu quiser armazenar 20.000.000 números inteiros, cada número de 32 bits, quantos MByte preciso?

TC – DEI, 2005/2006

Grandeza para transmição de informação

Largura-de-banda:100Mbps

100Mbps = 100*1000*1000 bits/s = = 11.9 Mbyte/s

Note-se que no caso de bps, K, M, G e Trepresentam factores de 1000, não de 1024!

TC – DEI, 2005/2006

Palavras do computador

Os registos do processador têm um certo tamanho em bits. Ao tamanho dos registos do processador chama-se word ou palavra. Quando se diz que o Pentium 4 é um processador de 32 bits,

quer dizer que este manipula internamente dados de 32 bits. Tipicamente também quer dizer que é capaz de gerar endereços de 32 bits.

Quiz 1: Sabendo que o Pentium 4 endereça a memória usando 32 bits, qual é a memória máxima que um PC comum pode ter? 4 Gbytes! (232/1024/1024/1024)

Quiz 2: Sabendo que os registos de dados do Pentium 4 são de 32 bits, qual é o número máximo (sem sinal), que se pode representar? 4294967295 (232-1)

TC – DEI, 2005/2006

Bit mais significativo e menos significativo

110110010010

MSB(Most Significant Bit)

LSB(Least Significant Bit)

TC – DEI, 2005/2006

Máquinas big-endian & little-endian

Imaginemos que um computador tem uma palavra de 16 bits. De que forma é que esta deverá ser armazenada

em memória?

MOV [1000], 0xff00

00ff

ff001001

100010011000

??

Little-endian(e.g. PC)

Big-endian(e.g. Sun-Sparc, Network-byte-order)

TC – DEI, 2005/2006

Porque é que o céu é azul?

TC – DEI, 2005/2006

» Numbers written on restaurant bills within the confines of restaurants do not follow the same mathematical laws as numbers written on any other pieces of paper in any other parts of the

Universe « Douglas Adams, The Hitchhiker's Guide to the Galaxy

TC – DEI, 2005/2006

Leitura...

The Ultimate Hitchhiker's Guide to the Galaxyby Douglas AdamsISBN 0345453743, Del Rey Publisher

The Hitchhiker’s Guide to the Galaxy

The Restaurant at the End of the Universe

Life, the Universe and Everything

So Long, and Thanks for All the Fish

Mostly Harmless

TC – DEI, 2005/2006

» Every passing minute is another chance to turn it all around. « Sofia, in Vanilla Sky

Representação de Números Negativos & Racionais

Operações Aritméticas

Paulo Marquespmarques@dei.uc.pthttp://www.dei.uc.pt/~pmarques

Tecnologia dos Computadores 2004/2005

TC – DEI, 2005/2006

Números negativos: Sinal e Magnitude

Quando se coloca um símbolo extra (+-) que representa o sinal de um número, chama-se a essa representação: Representação em sinal e magnitude (100)10 = (1100100)2

+100-100

0 1 1 0 0 1 0 0

1 1 1 0 0 1 0 0

Bit Sinal Magnitude

+100

-100

TC – DEI, 2005/2006

Números Negativos: Sistema de Complementos

Problemas do sistema de sinal e magnitude Para fazer cálculos, as regras são confusas e

complicadas de implementar (e.g. se ambos os sinais são positivos, o sinal é o mesmo, se um é positivo e outro negativo, subtrai-se e o sinal é o do maior em valor absoluto, etc.)

Existem duas representações para 0

Sistemas de complemento: A ideia é simplificar as regras e os cálculos. Por

exemplo, subtrair deve de ser a mesma coisa do que adicionar, e.g. 3 - 2 = 3 + (-2)

TC – DEI, 2005/2006

Complementos para 1

O número negativo é obtido negando todos os bits do correspondente positivo Vantagens: muito fácil fazer cálculos e não é necessário processar o

bit de sinal separadamente

01010100001100100001000011111110110111001011101010011000

01100111

+5+4+3+2+100-1-2-3-4-5-6-7

+6+7

Exemplo: Somar 2 com -5 Subtrair a 2, o número 5

0 0 1 0 (+2)

1 0 1 0+ (-5)

1 1 0 0 (-3)

TC – DEI, 2005/2006

Complementos para 1

Na verdade, fazer a adição é um pouco mais complicado

0 1 0 1 (+5)

1 1 0 1+ (-2)

0 0 1 01Carry-out

1

0 0 1 1 (+3) Note-se que isto só se aplica quando sãonúmeros de sinais diferentes:

• O carry-out tem de ser adicionado!

As condições de overflow são algo complicadas de detectar...

• Por exemplo, 5+5 = ??

TC – DEI, 2005/2006

Complementos para 2

O sistema utilizado em todas as máquinas modernas Não é necessário uma pessoa preocupar-se com o carry

Cálculos realmente directos Overflow é trivial de detectar Uma única representação para o 0!

Conversão para complementos de 2 (dois métodos): Calcula-se o complementos para um e soma-se 1 Copiam-se os bits da direita (LSB) para a esquerda até

encontrar o primeiro 1 e trocam-se todos os bits a partir dai.

(23)10 = (00010111)2 (-23)10 = (11101001)2

(9)10 = (00001001)2 (-9)10 = (11110111)2

TC – DEI, 2005/2006

Complementos para 2

01010100001100100001000011111110110111001011101010011000

01100111

+5+4+3+2+10-1-2-3-4-5-6-7-8

+6+7

0 1 0 1 (+5)

1 1 1 0+ (-2)

0 0 1 11Carry-out (+3)

Exemplo: Subtrair a 2, ao número 5 Somar 5 com -2

Ignora-se o valor de carry!

TC – DEI, 2005/2006

Complementos para 2 Overflow

Quando o resultado não cabe no número de bits do resultado, diz-se que ocorreu um overflow.

Na adição em complementos para dois, um overflow é detectado quando o valor de carry que entra no bit de sinal é diferente do que sai.

0 1 0 (+5)

0 1 1+ (+6)

Carry

1

0

1

0

1

0

0

1

1

0

≠, o que implica que o cálculo está errado!

(-5) ????

TC – DEI, 2005/2006

Representação de números reais

Existem dois sistemas de uso comum: Vírgula fixa: existe um determinado número de bits

fixo que representa a parte inteira, e um fixo de bits que representa a parte fraccionária

1 1 0 1 0 0 023 22 21 20 2-1 2-2 2-3

12-4

3 2 5 2 2 1 5103 102 101 100 10-1 10-2 10-3

310-4

3252.2153

1101.0001

• Quanto vale este número em decimal?• Qual é o valor máximo e mínimo que consigo representar?

TC – DEI, 2005/2006

Representação de números reais

Vírgula flutuante: o equivalente à representação científica. Existe um número de bits que corresponde a mantissa e um certo número de bits que corresponde ao expoente

0 0 0 3 4 0 0103 102 101 100 10-1 10-2 10-3

010-4

+3.4e+05 (=3.4x10+05) 0S

0 0S 101

5100

Mantissa Expoente

TC – DEI, 2005/2006

Formato IEEE 754

Actualmente virtualmente todos os computadores utilizam o formato IEEE 754.

A base é implicita e é 2. Precisão simples: 32 bits

É utilizado um código de excesso para a mantissa (127)

Precisão dupla: 64 bits É utilizado um código de excesso para a mantissa (1023)

ExpoenteS Mantissa

1bit 8 bits23 bits

ExpoenteS Mantissa

1bit 11 bits52 bits

Algumas Operações Importantes em Binário

Paulo Marquespmarques@dei.uc.pthttp://www.dei.uc.pt/~pmarques

Tecnologia dos Computadores 2005/2006

TC – DEI, 2005/2006

AND, OR, XOR

TC – DEI, 2005/2006

Operações Bitwise

AND, útil para desligar bits! Queremos desligar o terceiro bit de uma palavra:

01011110 AND 11111011 = 01011010

OR, útil para ligar bits! Queremos ligar o primeiro bit de uma palavra:

01011110 OR 00000001 = 01011111

XOR, útil para inverter bits! Queremos trocar o primeiro bit de uma palavra:

01011110 XOR 00000001 = 0101111101011111 XOR 00000001 = 01011110

0110101011AND

01001

0110101011OR

01111

0110101011XOR

00110

TC – DEI, 2005/2006

Operações de Deslocamento

Shift Right (SHR ou >>): Desloca para a direita os bits de uma palavra

01011110 >> 2 = 00010111

Shift Left (SHL ou <<): Desloca para a esquerda os bits de uma palavra

01011110 << 2 = 01111000

São operações importantes nomeadamente porque: SHL 1: Corresponde a multiplicar o número por 2

SHL 2: Corresponde a multiplicar o número por 4etc.

SHR 1: Corresponde a dividir o número por 2SHR 2: Corresponde a dividir o número por 4etc.

TC – DEI, 2005/2006

Operações de Deslocamento (2)

Normalmente existem duas operações de deslocamento à direita: Lógica, em que é um deslocamento simples e o bit

que é introduzido no MSB é 0

Aritmética, em que o bit que é introduzido no MSB é igual ao bit de sinal

Usado quando o deslocamento corresponde a uma divisão e tem de se manter o valor do bit de sinal para as coisas baterem certo!

1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1>> 1

1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1>>> 1

(-7)

TC – DEI, 2005/2006

That’s it!

Sistema pictográfico de representar números... em chinês!http://www.webcom.com/ocrat/chargif/numbers.html

TC – DEI, 2005/2006

Para saber mais...

[CSO] Computer Science – An Overview Capítulo 1 (1.1, 1.2, 1.4-“representing numeric

values”, 1.5, 1.6, 1.7, Capítulo 2 (2.4)

The Essentials of Computer Organization and Architecture Capítulo 2 (2.1 a 2.6.1);

cópias fornecidas no quiosque