tapas of descartian geometry - universiteit utrechthietb101/gnpdf/descartes... · 2012. 4. 26. ·...
TRANSCRIPT
Tapas of Descartian Geometry
������ ������ � ��� � ��������� ���� ��������������
������ ������ 2009
Table of Contents
Introduction
Jan Hogendijk 3
Comparing Descartes’s La Geometrie and Discours de la Methode
Eric van Lit 5
Het construeren van oplossingen van vergelijkingen door Descartes
Lorijn van Rooijen 21
Over dioptriek in Descartes’ Geometrie
Anco Moritz 31
Handleiding bij Mathematica-notebooks voor het tekenen van enkele geometrische krommen van Descartes
Wouter Duivesteijn 41
Driehoekslandmeetkunde op de manier van Descartes
Auke Mollema 57
Jan de Witt, staatsman en wiskundige
Marianne Hoksbergen 73
De kus van de winterprinses
Thekla Teunis 89
2 Tapas of Descartian Geometry
Introduction
Jan Hogendijk
�� ��� ���� �� 2009 � ������ �� ��� �������� �� ����� ��������� �1596�1651� ��� ���� � ��� ����������
�� ���������� �� ��� �������� �� �������� ��� ������ ��� �������� � �! ���������� ��"����� ����
��� �������� �� ������� ��� ��"���� ���� ��� �������� �� #���� ��� ��� ��"���� ���� ��� ��������
�� $%����� ��� ������ ��� �"������� � ���� &����� ������ ��� &�� '� (����%)�
��� ��� �� ��� ������ ����� � ��������� ��� ��� '���� �������� ���%��� �� &����� ������ �� ���
����������� ���"������ �� *���� ��� +������� %"��� �1615�1660�� ,�� �� ��� �������� ����� "����
�� -�� +������� �� ������ ��� �� #��� ���������� �� ��� ���������� �� ��������� ������� �" ����� �
*����� � 1637� .� ���"�� ���� ��� ���������� ��"�� � � ��� �" %��� ��� � ������ ��� ����� ��������
*��� ��� ���������� � � ������ ���) � ��� ������ �� ���������� � ���� ���� �������� ��� ��������
���� ��� ��� �������� � ���������� ��"�� ��/ ��� ��� �������� "�� x ��� y� ���� �����"����
+������� ��� ���������� � ����� ����� �� � ��� ����� ����� � � ������� ��� �� 0���� ����������
���� ���� � ����"�� ��� �1925�� ��� ��)�� ��� ��!� ������ �� �� � ������ �������� �� ��"����� ���
������ ���� *������ ���� ��� ��������� � � � ����� � ��������� �������� ����� � �������/ � � ����
�������� � ��� ��) � (��) 1�� ������ ������� ��������� �� ��� ������ �� ����������/ ���� ���
���������� ���������� ��������� ������������� �� ��� ����� ������ ������� �� �����������
�$�� 2��)/ +����� 2001��
��� ������ �������� �� � ����� �� 3����� ���)�� ������ �� ��� ��"��� ��� 3��� ��� ������ ����
���������� ����"��� � &�� (����%) �� ��� ������ �� ��������� � ������ �� ���������� � ������ ���
�� ��� 3��� ���� �� 1��) 1 �� ��� ����������� 4����� ��� �� ��� ����� ������ ���� �������� � ��� ��"������
���� ���� "�"���� ����� ��� ��� 5��"��6 �� 45 ��"��� ����� � � 15���"�� ���)� �� ��� ����
�� ��� ������ ��� ����� 51��)�6 �� ��� ���������� ���� ���� "� ��� ����"� �������� �� ��� 3��� 5��"�6
��� �� ��� ��"����� ��"�� �����"�� � �����"��� ������ ���� �� ��� ���������� ��� �����!������ 25
��"��� �������� � 7"������ ��� ���"����� � ��� �"����� ���� ��� �"������ �� ���� ���� ��� ����
� �������� �� ����� ���"����� �� ���� � �� �� ������� ���� "� ��� ��� �� ��� �8�"���� � ��� ��!��
�� ��� ������ ��"� ������� ��"���� ��"�� �� � ����������� �� � �" %��� ������� �� ��� ���������� ��
���������� +"�� ��"���� ������������ ���� ��� �� ��� ������ 9���) ������ �� ���� ������� ���������
��� "���������� ��� ���������� : ����� �"���� )���� � 9���) ���7"�� ������ ������� 7"������!�:
��� ����� ����������� �� ���������; ����������� ���): ��� ����������� ���� �� ��������� ������� ��
Tapas of Descartian Geometry 3
Introduction
����������� ��� ������� � ������������ ������� ������� ��������� ��� �������� ��������� ����������
��� ���������� ������� ��� ����������� ��� � ��� � ��������� � ����� ������ ��� � ���������� � ���
������ �� � ��� ����������� �� ���� ��������������� ���� �� ��� �� ���� !�� �������� ���� ����� � �����
�� ������ ������ � ��� ���� � ��� � ����� ���������� � � � � ����� � � ��� ����������� "� ��� � ���� � ���
�������� �� ���� ���� � � #��� �� ��� $��� %� ���&� ��� � ������ ' �� 1 ��� 2 ��� ��� $��� ���� � ' �
3� ���� ������� ����� ���� 385
(�� ��#�� ������ �� ���� � ������ � ���� ������� �� ��� �������� �� ������������ �� ��� ������� � ���
������� � )��*� ��������� (��� ��� �������� ���� �� ���������� ����
(�� $��� ������ �� ���� #�� +��� �� �� �� ��� ������ ����� ������� ��� ����������� ��� ��� ���� � ������
����� � ��������� (�� ����������� ��� ��������� � ������ ���� �� ���� � ���� ��� ������� ��� ��� ���
���������� ���� � ���� � ������ ���� ����� � �������� �������� �� �� ��������� ��� ���� ������� ��� � �� �
���� ���� ��� ����������� �� �� %�������& � ��� �������� �� �� ��������
(�� $��� ����� �� �� ������� ��� ��� ��������� ������ ��� �� ������ ��� �������� ���� ��� ���� �� ���
������� "� ��� ��� �� ������ + ��,� #�� ) �,�� ��������� ��� ��� � ' � """ � ��� ������������ ���� ���
��� ���� ����� �� ��� � � � #�� �� ��� $��� %� ���& "� ��� ����� ������ !�� - ���. �����.�� � � ���������
������� � ������ �� ' � ""� ����� ������� �� ���� ������ � ���������� ������ ��� �������� �� �� ���
������� (�� � ���� ����� �� � ���� ���#�����,� �� ��# ��� � ��� ������� � � �� � ��� � ���������
���#�� ����� ���� �� ��� ��� �� ' � � ��� ����������� "� ��� $��� ������ !��� - ����� ������� ���
���� � � ��������� � ������� � ����������� �������� /��� ����� ��������0 �� � �#��� � �� ����� 12��3
������� ���#����� �� ����� (�� ���� ����� �� -������� 4 �������� �� �� �� ��� � �� � ��� �����
��������� ��� �� ���� /1625316720� �� ���� ��� ����� ������ �� � ��� 5� ����� ����� ��� �� ����
�� 6���� #�� 7�� ��� �� ��� �� 3# ���� ��� �� ����� � � ��� +���� ��������� � /1659316610 "� ��� $���
������ (����� (����� ��������� ��� � ����� ������ ������� ��������� ��� �������� ���.����� � ��� ��� ��
�� ���� � ������� ������� � !� �� ���� /�� 200 '80 ! �� �� ������� � ������ � ��� �������� � � �� �
���������� ��������� �� ���� �� ���� /��� � �� � � ������0 �� ��� � ����� ������
"� �� ���� ���� ���� ����� �� " ���� � ����� ��� ������� ������������ ��� ������� � ���� � � ����� ���� ������
��� ���� � ��
9������� !����� 11� 2009�
��� 4 �����,�
4 Tapas of Descartian Geometry
Driehoekslandmeetkunde op de maniervan Descartes
Auke Mollema
��� ������� � ��� ��� ���� �� ��� � �������� �� ������ ��� ���������� ��� ��� 3 �� ��� 4� ��
���� ��� ������� �� ������ �� ������������ ��� ���������� � ��� ��� �� �� ����� ��� �� �� ���
��� ����������� ��� �� ������� ��� ���� �� �� ����� ������ �� ���� ������ �� ��� ���������
������������� �������� �� ��������� ���� � ��� ������� ������ �� ������������ ����� ���� � ���
����� � ��� �����
Inleiding
�� �� ����� �� �� 17e ����� !� 1637 ������� �� "������ #��$� �������� ���� ���� �� ���������� %�����
�������� ��� &����� ��' �������� ���� ��� �� (�������� �� ��� �� ��� ����������� ��� �����
�� �������� �� ���� ��� ���� �� �� ������ ���� �� ��� ��� ����������� �� ������� ��� �� ������ �����
�� ��� ����� )� ���� �������� ����� ���� x �� �� ������ � �� �� ������ ������
�������� ����� ��� �� ������ �� ��� ��� ���� �� ��� ������ � �������� ��* +� ��� ���� ��� ��
���������� ��� ����� �� ��� ������ ������� ��� ������ ����������������� �� ��� �� ��� ���� ����
����� ��� �� �� �������
!� ��� �������� ������ ��' ��� �� �� ������� � �������� ����� ���� �� �� ������' ������ ����
��� ����������������������� ��� ������
La Geometrie
Geschiedenis
#��$� �������� ���� �� ���� �� &������� �� 1596 �� ������ ��� 1650� !� �� ������� � 1620 ��� 1628
������ ��� ��� �� �� ���� ����� ����� �� +����� �� 1628 ��� 1648 �� ��� �� (������� �� ����� ����
,������� !� 1648 ���� �������� �� )����� �� ������ �� �� 1650 � ��� ��������������� �������� �������
���� ���� �� �� �������� �� ���� �������� %�� ����� �� �������� �� �� ������ �� �� ���������
�� �����' �� ����� �� ��� ��������� � ������ ������� ���������� �� �� ������ ���� ��� ����������
������ ��������� !� 1637 ������� �������� �� ��������� �� ��� &��� ��� ��� �������� � �����������
Tapas of Descartian Geometry 57
Driehoekslandmeetkunde op de manier van Descartes
��������� ������� �� �� ���� ��� �� � ��������� ������� � ������ ��� ������ ��� � ������� ���
�������� �� ��� �� ������� ��� �� ������������� ����� �� ������ ��� ���� �������� ��134�138 !
De methode
"�������� ������� ��� ��� ����� ��� ��#� ����$
%&��� ��������� �� � '������ � ������ ���������#� ��� �� ����� ������ ��� �� ��������������
�� ��� ����� ������ � ������ ��� ��� ���� ������ ��#��� � �� ��#����������! ���(� �� ������
�� �� � �� ���������! �� �����������) �*�� �� +������ ���� ��� � ������ �� ��89
&� ��� ����� ������� "�������� �� ��� ������� �� �������� ������������� ��� ��� �� ��� ��� �����
�������� �������� ,�� ������ ��� � �� ������������ �������� ��� ��� �������� ��� ��� �������#���� ��� -�-��
������� �
"�������� ������ ��� ����������� �� ��� ��� �������� ��� ��� �������#���� �� ����� "�� ������������ ��
�� �� ����. ��� �������� ��� ��� �� ���� ��� �������� ��� ����������� ������� ��� ���������� ���� ���
�����$
1 /��� ��� �� ��� �������� �� �������� ��
2 +��( ����� ��� � ��#�������� �� ��� ������� ��� 0���� �x �� y ��� ������� � �� ��#�������� a ��
b ��� ����� � ��#��������
3 1������ -�-�� ��#����� �� ���� ����������� � �������� ��� �� ������
4 ���� �� ���� ��� ��������� ��� ���� 3 ��� ������ ����#�� �� ���(� ��� �������#����
5 2�� � �������#���� �� ��� �� �� ��� �������
6 '��� � ������� ��� ���������
"��� �� �� ��� ����������� � ������������� �� ������� �� ������#���� ����� � ������ �� �� ��� ����� �
���� ��������� 3�����#� ��� �� #� �������������� ������ #��� ��������������� � �� � ���������� �
����� � /� �� "�������� ��#� ����� � ���������� ���(� ���� ��#$
%'��� �� ��� ���� ������� �� �� �� ���� ����� ��� �� ������� �� �� �� �� � ��� ������� ���
�(����� �� �� ���( ��� �� ������� �� ��� ��� ��� ��� �� ����� �� ���������� ��� � ���� ��
��(����� ������� ������� ��# ��� ��������#���� ��� �� �� ��� ��� ��� ���������� ��� �������)
�*�� �� +������ ���� ��� � 4����� �� ��90
58 Tapas of Descartian Geometry
Auke Mollema
Vraagstukken
�� �� ������� ���� � ����� �� ������� ��� ������ ����� ���� ���� ��� �� ������ ��� �� �����
��� �� �� ��� ����� �� ��������� ������ ������� �� �� �������� �� ��� ������������ ������ ��� ����� ��
������ ���� ��� ���� ������ �� ��� �� ������� ��� �� ����� ���� �������� ����� ��� ������� ��
���� ���� �������� ������ �� ��� �������� ���� ������ ����� ��� �� ���� ���� 1 �� 2 ��� �� �������
��� �� ����� ���� �������� ��� ��� ������ ����������� ������ ��� �� ���� ��� ������ ������� �� ���
�� �� � ��� ���� �� ����� ��� �����
Vraagstuk 1
��� ��� �� ����� �� � �������� ��� ��� �� ��� !����� ��� "����� ��� 1615 #���119$�
Gegeven: %�� ��������� �� ���� ABC ��� ����� �������
Gevraagd: ���� ���� ����� ���� ���� �������� ������ ��� ����
Oplossing:
1� &� ����� ��� ��� ��� ������� ������ � � � ������� ABC � �� ���� ���� ����� ��������� ABD ��
BCD �������� #'�� (���� 1$
2� &� ������ ������ C ��� �������� �� AB �� ��� ������� ��� AB ������ �� E� ����� ����� �� ���
������ ������ ��� ������) |CB| = a�|AC| = b� |AB| = c� |AD| = y� |ED| = d �� |BD| = x� *������ �����
�� �� ��� |AE| = y − d� ����� � �� ������ #|CE|$ ��� �� ������� ABC ��� ����� ��� �� �������
��� +,������� ����� ���√
b2 − (y − d)2
3� &� ����� �� ���������� ��� ������� ADC �� ������� BCD)
-��(ADC) =� � · ������
2=
y · √b2 − (y − d)2
2
-��(BCD) =� � · ������
2=
x · √b2 − (y − d)2
2
4� �� ���� ���������� �� �� ������ ��� ������ ��� ����� ����� ����� �� �� ���� ������)
-��(ADC) =y · √b2 − (y − d)2
2=
x · √b2 − (y − d)2
2= -��(BCD)
5� ���� ����������� ����� �� ���� ��)y
2=
x
2
*������ ���� ��� x ����� ���� ���� ��� y�
Tapas of Descartian Geometry 59
Driehoekslandmeetkunde op de manier van Descartes
6� ��� �� �� ���� C ��� ��� ������ � ��������� ���� ��� ������� ���������� �� �� AB �������
������ 1� �������� ��� �������� 1
��� �� �� ������ �� ��������� �� �� ���������� ��������� ������� �� �� �� ��� �� ���� ��� �� ���
����� �� ����� ��� ����� �� ��� � ���� �� ����� ������ ���� �� �� ���� �� �� ����� ����
���� � �������� ��� �� ����� �� �� ������ �� �� �� ����� �� ������ �� �� � �����! �� �� ��
���� � � �� �������� ������� �� �� �������� �� ������� ���� "����� ������� �� ��� �������� ��� ��
��� ���� �� �#�� ��� �� ������ ����������� ���� ������� ��� � �� �� ��$
%�� � � ������ ��� � �� �� ������ �������� �� �� 17e ���� ������ �� � ���� ��� �� ������� ���� � ��
�� ���� ��� �� � �� �� ����� ������ ������ ���
Vraagstuk 2
&� ������� ������ �� ��� � ��� �� "����� �� 1� �������� ��� �� ������ �� �� �� �� ������� ��'
������� ������ �� ����� ������ �� �� � ���� �� �� ���� �� ()���� &��� *������� �� 1614
+���24,�
Gegeven: -� ���������� � �� ��� ABC �� ������ �����
Gevraagd: ���� ����������� � ���� ��� ������ ��� ���� ���� ���� �������� ��� 1 : 2�
Oplossing:
1� .� ��� �� �� �� �������� ������� ��� �������� ABC �� � ��� ����������� � ���� ��� +ADC
� BCD, ������� �� �� ��������� �� 1 : 2 ���� �� ��� � ���� ����
2� .� ���� ���� C �� ������ �� AB � �� ���� �� AB ���� �� E� "����� ���� �� ��
�� �� ���� �� �� ��� |CB| = a!|AC| = b! |AD| = c |DB| = d � |EC| = y� �� ���� �� �� �� �����
��������� �� �� �������
3� .� ������ �� ��������� � �� �������� ABD � �������� BCD�
/��(ADC) =����� · ���� �
2=
c · y2
60 Tapas of Descartian Geometry
Auke Mollema
���(BCD) =����� · ����
2=
d · y2
4� � ��� ����������� ��� �� ����� ��� ����� �� �� ��������� 2 : 1 ����� �� �� ��� ������
2 ·���(ADC) = 2 · c · y2
=d · y
2= ���(BCD)
5� ��� ���������� ������ �� ���������
c =d
2
������ ����� �� d ����� ��� ���� ��� 2c�
6� �� �� ���� ����� C ��� ��� ���������� ��� ��� �� �� ��������� 1 : 2 ����� ��� ������� �� ���
����� ��� �� ���� AB ��������
������ 2� �������� ��� �������� 2
�� ��������� ��� �� ������� ���� � � �������� ���� ���� �� ��� ��� ������� 1� ������ ��� �� ��
�� ����� AB �� 2 ������ �������� �� ��� D ���� 2|AD| = |DB|�
Vraagstuk 3
� ������� �� �� ��� ������� ! ������� ��� ��� ���� ��� "����� ��� #����� �� 1615 $���84%�
Gegeven: &�� ��������� ��� ���� ABC �� ������� �������
Gevraagd: &�� ��������� ��� ���� �� �� ����� ����� ��� �� �������� ��� ����� ��� �� �������� ��
�������� ���������� ��� �� ���������
Oplossing:
1� '� ����� ��� �� �� �������� ������ ��� (�� �������� ABC ���� ��� �������� ABEF ������� ��
����� ����� ��� �� �������� ��� ����� ��� �� �������� ��� &� ��� ��� �� �� ���������� ��� ��
�������� ABC ����� �� ��� �� ���������� ��� �� �������� ABEF�
Tapas of Descartian Geometry 61
Driehoekslandmeetkunde op de manier van Descartes
2� �� ������� ���� C ��� ��� ��� �� ������ AB �� ��� ������ ��� AB ������ �� D� ��� �� ��� �
|CB| = a� |AC| = b� |AB| = c� |AD| = d �� |AF| = |BE| = x� ��� �� � � ������ �|CD|� ��� � ������
ABC ��� ����� ��� � ������� ��� ���������� ����� ���√
b2 − d2
3� �� ������� � ����������� ��� � ������ ABC �� � ����������� ��� � ��������� ABEF�
���(ABC) =���� · ������
2=
c · √b2 − d2
2
���(ABEF) = ���� · ������ = c · x
4� ����!�� � ���� ������������ �� � ����� ���� ��� ������ ����� ������ !�� ��� ��
���(ABC) =c · √b2 − d2
2= c · x = ���(ABEF)
5� "� ���������� �������� ���#� ��� √b2 − d2
2= x
�� !�� �� � ��������� ��� � ���������� ����� � ��� 12 |CD|�
6� "� � ��������� ���#� ��� ������ �x� ��� 12 |CD|�
������ 3� �������� ��� �������� 3
$"�� � ��� �����%� !� � �������� �� ��� ������� ��� � ������ $ �� � ����������� ��� ��� ������
� ���#� ��� ���� ���� ������ �� � ����������� ��� ��� ��������� ���� ���� ������ �� ���� �� � �
���#� ��� � ������ ��� ������ ��� � ��������� �����&% '�� �������� �� � ����� ��� "�������� !��� �
�������� ���� ���� ����������
Vraagstuk 4
"� ������ � ���� ����������� !�� ������� ��� (���� ��� )������� 1659*1660 ����56�57��
Gegeven: +�� �����!� � ������� ��� ��� ABC ��� ����� � !� � �a��
Gevraagd: "�� �#����� �� ������ �����!� �� �������� ������ ��� � ����� �!��# � ������
������ ��� ��� ������������ !�������� ��� ��� �
Oplossing:
62 Tapas of Descartian Geometry
Auke Mollema
�� ����� ���� ��� �� � ��� ���� ������� ��� �� ����� ���� ���������� ��� ����� |AD| = |AI| = |DI| =
|CE| = |CF| = |EF| = |BG| = |BH| = |GH| = x �������� �������� ������������� ����������� |DE| = |FG| =
|HI| = b = a − 2x ��� ��� 2x ��� ���� ����� ��� ��� ������������� ������� ��� �� |AB| = |BC| = |AC| = a =
x + x + b� �� ���� ��� �! ������
�(ADI) = �(CEF) = �(BGH) = 3x
�(DEFGHI) = 3x + 3b = 3(a − 2x) + 3x = 3a − 3x
�� ����� �� �������� ��� �� ���� ���������� ����� ������ ���� ��� �� ����� ��� �� �������
3 · (3x) = 9x = 3a − 3x �"�
������� �����
12x = 3a → x =1
4a
#� ����� �� �� ������ ��� �� ������ ���������� ���� ���� ���� ��� ��� ���� ��� �� ����� ��� �� ����
��������
������ 4� �������� ��� �������� 4
�� �� �����$ ������ � � �� $��$�������� �� �$������� %#� ���� ������ ���� �� � �� ��� �������
��� �� ����� �������$��������� ��� � ���� �� �� b ������ ��� ���� ��� 2x�& ������ ��� ��� %�������
�� ��� ����� ���������� ������� ����$�� ���� ����� ��� �� ���� �� ��� ��� #��$����� '�� ��� ��
������������ �"� ��� 3x ��� ���� ����� ��������& #������ ������� �� �� �� 3x ��� ���� ����� �����
Vraagstuk 5
Gegeven: (�� ������������ ��������� ��� ���� ABC �� ������ ����� �a��
Gevraagd: #��� �������� ������������� ���������� ������ ���� ��� ����� �������� ���������� � �� ���
Tapas of Descartian Geometry 63
Driehoekslandmeetkunde op de manier van Descartes
��� ������� �������� ��� ����
Oplossing:
�� ����� ���� ��� ��� ��� ���� ��� ���� �� �� �� ����� � � ��������� ��� ����� |AD| = |AI| = |DI| =
|CE| = |CF| = |EF| = |BG| = |BH| = |GH| = x �������� ��������� �� ��������� ������������ |DE| = |FG| =
|HI| = b ��� ��� � 2x ��� � �� ���� ��� ��� �� ��������� �������� ��� �� |AB| = |BC| = |AC| = a = x+ x+b�
�� �� �� ��� �� ������ ��� �������� ABC �� ��� � ����
�����(ABC) =
√a2 −
(1
2a
)2
=
√3
4a2 =
1
2
√3a
!� � �� ������ ���� ��� �������� ABC�
"��(ABC) =��� · ������
2=
1
4
√3a · a =
1
4
√3a2
#������� �� ������ ���� ��� �� ���� ���������� ��� �� ������ ���� ��� �� ����� �� ��� ������ ��� ���
�� ������ ���� ��� �� �������� ABC �� �� ��� �� ���������� ��� ������ ���� ��� 18
√3a2 ������ �������
$� �� �� ���
"��(ADI) = "��(BEF) = "��(CGH) =
√3
24a2
!� ������ ��� %�%�� ���������� � ��� ���� � ��� �� &�� ��� ��� '(������� �� ��� ���√
32 x� !� ��� � ��
������ ���� ��� ��� �����������
"��(ADI) = "��(BEF) = "��(CGH) =
√3
4x2
�� ������ �� ���� ����� �������� ���� ��� ����������� !�� ������ �� ��� � ���� �� ����� ���
"��(ADI) = "��(BEF) = "��(CGH) =
√3
24a2 =
√3
4x2
"� ��� ����� ����1
24a2 =
1
4x2
→ x =1√6a
������ 5� �������� ��� �������� 5
64 Tapas of Descartian Geometry
Auke Mollema
��������� � �� � ������� ��� �� ����� ��� �� ������ �� ��� ���� �� ������� �� ��� �������� �� ��
���� ��� ����� ���� �� ��� ���� ��� ����� ��� �� �� ���� � ��� ������ ������ �� ���� ������ ��
���� ������ ��� �� � ������� �� �� ��� �� ������� ��� ����� ����� �������� �� ��� ��� ����������� �
������� ��� ��� �� ��� � ��� �� ���� ������ ��� �� � ��� � ����� ����� �� ������� ��� �� ����� � ��������
Vraagstuk 6
�� ������� � ������� � �������� ��� ��� ��� ��� !" ���� #���� $� ����� �� 1614 %���35&� '�� �� ���
��� �� ��� ���� � ������ ���� ���� �������� ��� � ��� ����� ���� ��� ( � ������� ��� �� ������ ���
�� ������ )����* ��� ��� ���� ���� �� +������ � ��� ��� �� ���� ������ ��� ��� ���� ���� � �������� �
�� ��� �� )�����* ��� ��� ���� ����� '�� ���� � ��� ����
Gegeven: (�� ��������� � ������ ���� ���� ABC ��� �� �������� �������������
|AC| =√
605 %,&
|AB| + |BC| + ���(ABC) = 154 %-&
Gevraagd: �� ������� |AB| �� |BC|�
Oplossing:
.��������� ��� ��� � ����� � �������� ����� �� ���� ���������� ��� ����� |BC| = a/ |AB| = c ��
|AC| = b =√
605� .�� �� ��� � ������ �� �� ���� ������ ��� � ����� ABC�
���(ABC) =��� · ������
2=
c · a2
��� ������ �� ���� �������� ������� � �� ������� %-&�
|AB| + |BC| + ���(ABC) = c + a +c · a2
= 154 %0&
1� ��� ���������� � ����� ������ �� �� !������ ��� 2"����� �� ��������� ������
|AB|2 + |BC|2 = |AC|2������ ���−−−−−−→ c2 + a2 = b2 = 605 %3&
4� ���� �� ��� �� ��������� %0& �� %3& ���� �� ��������� �������� ��� ���� ���������/ �� ��
������ ��������� 5� ��� ���� ��� ����� ��� %3&�
a =√
605 − c2 %6&
���� ������� � �� ������� %0& ��� � ����
√605 − c2 + c +
√605 − c2 · c
2= 154 %7&
Tapas of Descartian Geometry 65
Driehoekslandmeetkunde op de manier van Descartes
���� ���������� � ������ ����� �� ���� ������� c = 11� ��� �������� �� ��� ������
a =√
605 − c2 =√
605 − 112 =√
484 = 22
��� �� ��������� ������� ����� |AB| = 11 �� |BC| = 22 ��� ��������� ������
������ 6� �������� �� ��� ������� 6
���� �� ��� ������ �������� ������ ��� �������� ����������� ���� ��� �� ��� !" �������� �� ���������
�� �#�� � �$ ��� ���������� �%� ���� ������ �� ����������� ����� � ������� ! &���� � ���� �������
��� ��� ��������� ���� � ������� ��� ��� ����� ��� ��� �'�� ��� ���� ������� ���� ��� ������� ��� !�
Conclusies
(� ��� �� ��� ������ ������ � �������� ������ �� ����������� ��� �� ��� �����������
De werkwijze van de scholiere
�� ��������� ����� ��� ������ )������* �� ����� ��� �� ����� �������� ������ �� +������� 3� ��� �� �� ��
�������� �� ��� � ������ ��� �� ����������� &���� �� ��� �������� ������� ��� ����� �� ����������
���� ��� �������� ������ �� ���� ��� ������ ��� �� ������� ��� ��� �������� ������ �� ����������
�� +������� 1�� &���� �� �� ������� ��� ��������� ��������� ���� ������� �� ��� �� ��� ������ ����
�� ����� ��������� , ������� ����� ������ �� � ��������� �&�� ��� � ������ ������������ �����
� ������ ���� ������ �� ��� ! �� �-����� ����� �� ������� ��� ��������� ��������� �������� ��� ���� �
� ������ �� +������� 1�!
66 Tapas of Descartian Geometry
Auke Mollema
De methode
�� ��������� ���� � ����� � � ��������� ���� �������� ����� � �� x � y ��� ��� ��� �� �
����� � � a� b � c ��� ���� � ���� ��� ���� �� �� �� ��� ���� ����������� �� ��� ����� �
���� ��� �������� �� � �� ������ ������ �� ������ � �� �� ����������� ���� �������� ���������� �
����� �� ��� ��� � � ��� ���� ��� ��� �� �� ��������� �� ������������ ������� �� �� �� ���
����� �� �� ��� ���� �� �� ��� � �� �������� �� �� ����� �� ���������!" � �� ���� � ���� �
��� ����� � �� �� ����� �� ����� ������������ ��� �������� � ����� � � �� ��� � � ���������� ��
���� � �� �� ����� � ����� ���
De vraagstukken
#�� � ������ ��� ����������� ��������� � ��������� �� � ��� ���� � � ���� �� ��������� �����������
$��� �� � ��������� ��� ���� � �� %�����& ��������� � �� ����� � �� ����������� � � �� ����
�� �������� � ��� ��������� �� �� ������ �� ��� ��� ���� ��� ���� ��� ��� �� ��� � ���������� ���
���� '�� �� �� ������ � ��� ���� �� ��� ������ �� ������� �� ��� �� ������� ��� � ��� �� �� ����� ���
� �� �� �� ����������� ���� �� ��������� �� �� ������ ��� ��!"
(����� � ����� �� (�������� 4 �� �� ������� � �� ���� �� ��� ��� ��������� �� ���)���� ��
��� ���� � ���������� ��� � *�� (�������� 5 � (�������� 6 �� �� ��� ������ �� ��������� � ���� �
�� ��������� ��� ���� ���������� � (�������� 5 �� �� ������ +���� ����� ��������� �� ��� ��� �������
��������� �� ���,���� ����������
Conclusie van de scholiere
� � �� ��� ��� ���� � �� ��! (����������� ������� �� ����� �� �� �� �������� #��� �� ��� ���
�� ��� � �������� � ��� �� ��� ����� ������� �������� �� ���� � �� ��������� �� �������� ���� ����
��� ���� � ��� ��� � �� � � ������ ������ ��� �� �� ����� ������ � � �� �� ��� ����� �� ���
� ��� ��� ����������� �� ��� ���� �� (-� 4 �� ���� ���� ��� ��� ��� ������ �����!" .���������
������ �� �� ������� �� /�/� ���������� *��� �� �������� �� ��� ����� �� ��� � � ����������� ��� ���
� ��� ��������� ��� �� ������
Tapas of Descartian Geometry 67
Driehoekslandmeetkunde op de manier van Descartes
Mijn conclusie
����� ��� ���� �� � ��� ����������� �� �� �� ������ ��� � ��������� �������� �� � ���������
�� ��� �� ��� � ��������� ����� ���� ������� � ��� ��� �� � ���������� ��� ����� ��� � ��� ���
����������� �� ��� � ����� ��� ����� �� ������ ����� ������� �� ��������� �� �� ���� ��� ���� ����
��� � ��� �� ����� ���
������ �� ����� �� � � ������� �������� �� � ��������� �� � ��������� ��� ��� �� �� ������ ���
��� �� � ������ �� �� � ��������� ��� �������� ��������� ���� � ���� ��� � ��������� �� ���
��� ��� ���� �� �� � ��� ������ ���� � ��������� ������� ����� �� ������� ���� �� �� ����� �
���! "# ��� ��� ��� ����� ���� � ��� ���� �� �� �� ��� ������ ������ �� �� �� �� �� ���� �� ���
������$� # ��� �� ���� ����� � ��������� ��� ���� �������� ���������� ������ ����������
%�� �� ����� ����� �� ��� ������� ��� &���' ��������� ��� ������ �� ����� ���� �� �� �� ����������
���� �� ���������� ���� ��� �������� ���������� �������� �� ���� ������������� ��� ������������ ������
���������� ����� ����� (������������ �������� �� ������ )� �� ����� � ������ �� ��������� ��� ���
�������� �� ��������� ������ ��� ��� ������ �� ���������� ��� �������� �����������
Verantwoording
(��� �� ����* ��� � �������� �� ��������� �� +��,� ��������� �������� #� ��� �������� ��������
� � ������� ����� -���� ��� )�����. ��� ��������� ���� �������� ������ �� �� ������� ��� ���
���������� ���� ����� ��� �� �������� ���������' ������ ��� ��� �������� �� ��� ��������
�������� ����� ������� �� �� � ������ ���� ������'� �� ���� ���� ���� ���� ������ ���� ��� ��������
�� �� ���� �� http://www.math.uu.nl/people/hogend/descartes1.pdf. (���� ���� � ��������� ���/
���� ��� ��������� ��� � ������ ����� �� � �� ������� ����� # ��� ��� �� ��������� � �����
��� ������ � ��������� �� 0���� �� 1�������� �� ����� � �� �������� � ����������� ��
2���� �� 3����� �� ������ �������� � ������� ��� �� ������� �� 1*����� ����� 3�������
�������� # ��� ������� �� ��� ��������� ���� ����� ���� �� �� �� ������� �� ���� ��� �
�������� ����������� #� � ������� ���� � ������� ����'� �� � ��������� ����� ���� # ��� ������
��� ��� ��������� �� ������� �� ����������������
4� ��� � ������ ������ �� � ���������� ��� ��� ������ ��� ��� ��5� ��������� ��� �� ������ �� ����/
��� ��� � %�� �������� %������ �� ���� ��� ��� ������� � �� � ���������� ������ ��� ������������
�� �������� ����������� ��� ����� ���� ����� � ������� www.fransvanschooten.nl �������
68 Tapas of Descartian Geometry
Auke Mollema
���� �� ��������� ���� �� �� �� ���� ������ ��� �� ��� ������������ � �� ���� ��� ��� ����
����� �� �� ����� ������������ � �� ���� ��� �� �� ����������� ���� ����� ��� ���� ��������� ��
��� ���� �������
��� �� ���� ��� ��� �������� ������� �� �� ����� ��� ��� ������ ��� ��������� �� !� �� �� ������
���� ��� �� ��"� �� ���� �� ����� �������� ���� ���� ������ ��� �������� �� ����# ������ ������
������ �� �� ������ ��� ������� �� ������ �� �������� �� ��� ������ ����� ���� �� � �������
$� ��!�������� ��� �� ����������� ��� �� �� �� ���� ����� �� ������� �� �� ����� ��� �� ��������
�� �� ����������� �� �� ���� ����% ���� ����� &����
Bibliografie
��� ��������� �� ����� ������� ����� ������������ � �� ���� ��� 2� ������� '��������� '���#
����� �� 2008�
�����# ����� ������������ � �� ���� ���# ������� 1990� �� ������ (�# '���� )"�����* http:
//www.dbnl.org/tekst/stru008gesc01_01/)
+����� ��� ,������ �� ������������ �� ������������ ����������� ��� ��� ����� ��� � ���� ��
���� ����������� ��������� � ������� ��� ���������� ���� ������� �� ���������� ���� ���������
��������� ���� ���� ��� ����� ����� ���� �� ������ �� � ���������� � +�%���# 1615� )"�����* http:
//books.google.com-
�% ���� ����! ,��������# 1614 ������� ������������ � ������ ��� ��� ��� ����� �� ��������� ��
�� ��!��� �� ���� ���� �� ���* +����� � ���# 1614 �����!�� ��� ���������� ��������� )"�����*
http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?IDDOC=312895-�
.���� ��� ������# 1659/1660� ����������� "�#������� �����$�� �� �!� ������� %&' �����! ��� ��
�� ��� (����� ��������� � ���������� �� �$����� � ��� �� ���� �)���� *������� � � ���� ��
����� �� �� ���������� ��� ��� ����� ���������� � �� ���������� ��� $���$����� � ��������#
0(�� 1���� ��� 1����� ����# ������������ �� 2 &��� �� ��3 )"�����* http://digbijzcoll.library.
uu.nl-
��4� ���� �� $�+� +����# 1954 (�� �������� �� ���� ��������# 5�& 6���* ����� �� ��������
)"�����* ���$+,,��������������� -
Tapas of Descartian Geometry 69
Driehoekslandmeetkunde op de manier van Descartes
Bijlagen
������� ��� ����� � 1
������� ��� ����� � 2
70 Tapas of Descartian Geometry
Auke Mollema
������� ��� ����� � 3
������� ��� ����� � 4 �� 5
Tapas of Descartian Geometry 71
Driehoekslandmeetkunde op de manier van Descartes Auke Mollema
������� ��� ����� � 6
72 Tapas of Descartian Geometry