tangentes, enlaces, espirales y curvas tÉcnicas. 3º eso
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Introducción al mundo de las tangentes, enlaces, espirales y curvas técnicas (óvalo y ovoide) diseñado especialmente para 3º de la ESO.TRANSCRIPT
3º ESO
TANGENCIAS TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
56
T1 P
Q
T3
T4
T2
T5
T6
T7
T8
O O O
rr
B
A
t
T
EXTERIORES TANGENTES
POSICIONES RELATIVAS ENTRE UNA RECTA Y UNA CIRCUNFERENCIA
SECANTES
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
O1
O1
O1 O1
O2
O2
O2 O1O2 O
O1
O2
TT
EXTERIORES INTERIORES
CONCENTRICAS TANGENTES EXTERIORES
TANGENTES INTERIORES
POSICIONES RELATIVAS ENTRE DOS CIRCUNFERENCIAS
SECANTES
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
PROPIEDADES DE LAS TANGENTES
o
r (recta TANGENTE)
o1
o2
T
T
Si dos circunferencias son tangentes, el punto T de tangencia es un punto que comparten ambas y está en la
recta que une sus centros
Si una recta es tangente a una circun-ferencia, el punto de tangencia T
es el pie de la perpendicular trazada por el centro O a la recta tangente
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
PROPIEDADES DE LAS TANGENTES
El radio perpendicular a una cuerda (r)la divide en dos partes iguales, así como
el arco que ésta subtiende.De ahí deducimos que
LA MEDIATRIZ DE UNA CUERDA PASAPOR EL CENTRO
O
r
B
A
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
o
Si una recta es tangente a una circun-ferencia, el radio en el punto de tangencia es perpendicular a
la tangente
T (Punto de tangencia)
RECTA TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA EN UN PUNTO T DE LA MISMA
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
o
T (Punto de tangencia)
1. Si una recta es tangente a una circunferencia, el radio en el punto de tangencia es perpendicular a la tangente Si una recta es tangente a una circunferencia, el radio en el punto de tangencia es perpendicular a la tangente
RECTA TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA EN UN PUNTO T DE LA MISMA
1. Trazamos el radio OT de la circunferencia, es decir, del centro al punto de tangencia
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
o
T (Punto de tangencia)
1. Si una recta es tangente a una circunferencia, el radio en el punto de tangencia es perpendicular a la tangente Si una recta es tangente a una circunferencia, el radio en el punto de tangencia es perpendicular a la tangente
2. Trazamos la perpendicular al radio OTdesde el punto T. Dicha recta es la tangente la circunferencia dada
RECTA TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA EN UN PUNTO T DE LA MISMA
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
1. Si una recta es tangente a una circunferencia, el radio en el punto de tangencia es perpendicular a la tangente
o
r (recta TANGENTE)
Si una recta es tangente a una circunferencia, el radio en el punto de tangencia es perpendicular a la tangente
RECTA TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA EN UN PUNTO T DE LA MISMA
T (Punto de tangencia)
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
RECTAS TANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIA PARALELAS A UNA DIRECCIÓN DADA
d
O
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
1. Trazamos una perpendiculardel centro O a la recta d,
prolongándola hasta cortara la circunferencia en dos
puntos, T1 y T2.
RECTAS TANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIA PARALELAS A UNA DIRECCIÓN DADA
d
O
T1
T1
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
2. T1 y T2 son los puntos de tangencia de las dos soluciones que buscamos,
las rectas t1 y t2, paralelas a d en los puntos T1 y T2
RECTAS TANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIA PARALELAS A UNA DIRECCIÓN DADA
d
O
T1
T1
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
TRAZADO DE LAS RECTAS TANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIADESDE UN PUNTO P EXTERIOR A ELLA
OP
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
TRAZADO DE LAS RECTAS TANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIADESDE UN PUNTO P EXTERIOR A ELLA
MOP
M
r1
1. Trazamos el segmento OP y su mediatriz
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
TRAZADO DE LAS RECTAS TANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIADESDE UN PUNTO P EXTERIOR A ELLA
MOP
M
T1
T2
2. Trazamos la circunferencia de radio MO (=MP), que cortará a lacircunferencia dada en los puntos
T1 y T2, puntos de tangenciade las rectas que buscamos
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
TRAZADO DE LAS RECTAS TANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIADESDE UN PUNTO P EXTERIOR A ELLA
MOP
M
T1
T2
r1
t1
t2
r2
3. Uniendo T1 y T2 con P, obtenemoslas rectas tangentes buscadas.
Para comprobar que están trazadascorrectamente, trazamos los
radios r1 y r2, que deben cortara t1 y t2 perpendicularmente.
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
TRAZADO DE LAS RECTAS TANGENTES COMUNES EXTERIORESA DOS CIRCUNFERENCIAS DADAS
O1
O2
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
TRAZADO DE LAS RECTAS TANGENTES COMUNES EXTERIORESA DOS CIRCUNFERENCIAS DADAS
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
O1
O2
r2
r1-r2
r2
r1
1.Se traza desde O1 una circunferencia de radio igual a la diferencia entre O1 - O2
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
TRAZADO DE LAS RECTAS TANGENTES COMUNES EXTERIORESA DOS CIRCUNFERENCIAS DADAS
MO1
O2
2. Se unen O1 y O2 mediante una recta y se le calcula la mediatriz.
A continuación se traza una circunferencia con centro en M y radio M-O1,
que corta a la trazada anteriormente en A y B.
B
O1r1-r2
r2
r1
r2
A
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
TRAZADO DE LAS RECTAS TANGENTES COMUNES EXTERIORESA DOS CIRCUNFERENCIAS DADAS
M
A
B
O1
O2
r2
r1-r2
r2
r1
De esta manera estamos simplificando el problema al caso de tangente
entre punto y circunferencia (el punto sería O2, y la circunferencia
la de radio O1 menos O2)
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
TRAZADO DE LAS RECTAS TANGENTES COMUNES EXTERIORESA DOS CIRCUNFERENCIAS DADAS
M
A
B
O1
O2
De esta manera estamos simplificando el problema al caso de tangente
entre punto y circunferencia (el punto sería O2, y la circunferencia
la de radio O1 menos O2)
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
TRAZADO DE LAS RECTAS TANGENTES COMUNES EXTERIORESA DOS CIRCUNFERENCIAS DADAS
M
A
B
T1
T2
O1
O2
r2
r1-r2
r2
r1
3. Una vez realizadas estas dos tangentes provisionales, se prolongan los radios O1A y O1B, hasta que corten a la circunferencia dada de centro O1. Estos dos puntos serán T1 y T2, los puntos de tangencia de ésta
circunferencia.
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
TRAZADO DE LAS RECTAS TANGENTES COMUNES EXTERIORESA DOS CIRCUNFERENCIAS DADAS
M
A
B
T1
T2
T3
t1
t2
O1
O2
r2
r1-r2
r2
r1
4. Se traza el radio paralelo a O1-T1 desde O2, así obtenemos T3 y por lo tanto la
primera solución, la recta tangente t1
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
TRAZADO DE LAS RECTAS TANGENTES COMUNES EXTERIORESA DOS CIRCUNFERENCIAS DADAS
M
A
B
T1
T2
T3
t1
t2T4
O1
O2
r2
r1-r2
r2
r1
5. Se traza el radio paralelo a O1-T2 desde O2, así obtenemos T4 y por lo tanto la
segunda solución, la recta tangente t2
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
TRAZADO DE LAS RECTAS TANGENTES COMUNES INTERIORESA DOS CIRCUNFERENCIAS DADAS
O1
O2
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
TRAZADO DE LAS RECTAS TANGENTES COMUNES INTERIORESA DOS CIRCUNFERENCIAS DADAS
O1
O2
1. Este caso es similar al anterior. también se resuelve simplificando el problema al de
tangencia entre un punto y una circunferencia, pero en este caso en lugar de restar los radios de las circunferencias, los sumamos. De esta manera, trazamos
con centro O1 una circunferencia auxiliar O3 de radio O1-O2
r1+r2
r1 r2
=O3
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
TRAZADO DE LAS RECTAS TANGENTES COMUNES INTERIORESA DOS CIRCUNFERENCIAS DADAS
M
O1
O2
2. Trazamos la mediatriz de O1(O3)-O2,y trazamos la circunferencia MO2, que corta
a la circunferencia O3 en los puntos A y B
A
B
r1+r2
r1 r2
=O3
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
TRAZADO DE LAS RECTAS TANGENTES COMUNES INTERIORESA DOS CIRCUNFERENCIAS DADAS
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
M
O1
O2
A
B
r1+r2
r1 r2
=O3
De esta manera estamos simplificando el problema al caso de tangente
entre punto y circunferencia (el punto sería O2, y la circunferencia
la de radio O1 más O2)
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
TRAZADO DE LAS RECTAS TANGENTES COMUNES INTERIORESA DOS CIRCUNFERENCIAS DADAS
M
O1
A
B
O2
r1+r2
r1 r2
T1
T2
3. Unimos el centro O1 con A y con B, y dichas rectas cortan a la circunferencia O1
en los puntos de tangencia T1 y T2.
=O3
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
TRAZADO DE LAS RECTAS TANGENTES COMUNES INTERIORESA DOS CIRCUNFERENCIAS DADAS
M
O1
A
B
O2
r1+r2
r1 r2
T1
T2
T3
t1
4. Si trazamos una paralela a O1T1 desde O2, pero en este caso por el lado contrario
del centro O2, obtendremos el punto de tangencia T3
=O3
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
TRAZADO DE LAS RECTAS TANGENTES COMUNES INTERIORESA DOS CIRCUNFERENCIAS DADAS
M
O1 =O3
A
B
O2
r1+r2
r1 r2
T1
T2
T3
T4t1
t2
5. Si trazamos una paralela a O1T2 desde O2, También por el lado contrario del centro O2, obtendremos el punto de tangencia T4, y
uniendo T2 y T4 obtendremos la rectatangente t2
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
TRAZADO DE LAS CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A UNA RECTA s EN UN PUNTO DE ELLA T, CONOCIDO EL RADIO DE LAS SOLUCIONES
r
T
R
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
TRAZADO DE LAS CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A UNA RECTA s EN UN PUNTO DE ELLA T, CONOCIDO EL RADIO DE LAS SOLUCIONES
r
T
R
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
TRAZADO DE LAS CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A UNA RECTA s EN UN PUNTO DE ELLA T, CONOCIDO EL RADIO DE LAS SOLUCIONES
r
T
O1
O2
R
R
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
TRAZADO DE LAS CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A UNA RECTA s EN UN PUNTO DE ELLA T, CONOCIDO EL RADIO DE LAS SOLUCIONES
r
T
O1
O2
R
R
R
R
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
TRAZADO DE LA CIRCUNFERENCIA TANGENTE A UNA RECTA r EN UN PUNTO T DE ELLA Y QUE PASA POR UN PUNTO P DADO
rT
P
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
TRAZADO DE LA CIRCUNFERENCIA TANGENTE A UNA RECTA r EN UN PUNTO T DE ELLA Y QUE PASA POR UN PUNTO P DADO
rT
P
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
TRAZADO DE LA CIRCUNFERENCIA TANGENTE A UNA RECTA r EN UN PUNTO T DE ELLA Y QUE PASA POR UN PUNTO P DADO
rT
P
o
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
TRAZADO DE LA CIRCUNFERENCIA TANGENTE A UNA RECTA r EN UN PUNTO T DE ELLA Y QUE PASA POR UN PUNTO P DADO
rT
P
o
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A UNA RECTA r, QUE PASAN POR UN PUNTO P Y QUE TIENEN UN RADIO DADO
r
P
R
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A UNA RECTA r, QUE PASAN POR UN PUNTO P Y QUE TIENEN UN RADIO DADO
r
P
R
R
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A UNA RECTA r, QUE PASAN POR UN PUNTO P Y QUE TIENEN UN RADIO DADO
r
R
R
P
O1 O2
R
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A UNA RECTA r, QUE PASAN POR UN PUNTO P Y QUE TIENEN UN RADIO DADO
r
R
R
P
O1
T1 T2
O2
R
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A UNA RECTA r, QUE PASAN POR UN PUNTO P Y QUE TIENEN UN RADIO DADO
r
P
O1
T1 T2
O2
R
R
R
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A DOS RECTAS r Y s QUE SE CORTAN,CONOCIDO EL RADIO R DE LAS SOLUCIONES
s
rR
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A DOS RECTAS r Y s QUE SE CORTAN,CONOCIDO EL RADIO R DE LAS SOLUCIONES
s
rR
R
R
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A DOS RECTAS r Y s QUE SE CORTAN,CONOCIDO EL RADIO R DE LAS SOLUCIONES
s
O1
O2
O3
O4
rR
R
R
R
R
R
R
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A DOS RECTAS r Y s QUE SE CORTAN,CONOCIDO EL RADIO R DE LAS SOLUCIONES
s
O1
T1
T8
T7
T6
T5T4
T3
T2
O2
O3
O4
rR
R
R
R
R
R
R
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A DOS RECTAS r Y s QUE SE CORTAN,CONOCIDO EL RADIO R DE LAS SOLUCIONES
s
O1
T1
T8
T7
T6
T5T4
T3
T2
O2
O3
O4
rR
R
R
R
R
R
R
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA Y A UNA RECTA RDADO EL RADIO R DE LAS SOLUCIONES
R
O
r
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA Y A UNA RECTA RDADO EL RADIO R DE LAS SOLUCIONES
R
R
O
r
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA Y A UNA RECTA RDADO EL RADIO R DE LAS SOLUCIONES
R
R
r
O
r
O1 O2
R+
r
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA Y A UNA RECTA RDADO EL RADIO R DE LAS SOLUCIONES
R
R
rr
R-r
O
O4O3
R+
r
O1 O2
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA Y A UNA RECTA RDADO EL RADIO R DE LAS SOLUCIONES
R
R
rr
R-r
O
O4O3
T2T1
R+
r
O1 O2
T3T4
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA Y A UNA RECTA RDADO EL RADIO R DE LAS SOLUCIONES
R
R
rr
R+
r
R-r
O
O4O3
T3T4
T2T1O1 O2
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA Y A UNA RECTA RDADO EL RADIO R DE LAS SOLUCIONES
R
R
rr
R+
r
R-r
O
O4O3
T3T4
T2T1O1 O2
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA Y A UNA RECTA RDADO EL RADIO R DE LAS SOLUCIONES
R
R
rr
R+
r
R-r
O
O4O3
T3T4
T2T1O1 O2
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA Y A UNA RECTA RDADO EL RADIO R DE LAS SOLUCIONES
R
R
rr
R+
r
R-r
O
O4O3
T3T4
T2T1O1 O2
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
ENLACESSe llama enlace o empalme, en los trazados
geométricos, a la unión de rectas con curvaso de curvas entre sí, efectuadas por medio de
su punto de tangencia. Este punto común es el que permite la transición
suave de unas a otras sin brusquedades de ningún tipo.
r T
T1O
s
O
O1
T1
T2
s
R
R+R1 R1
T
O1
P
O
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
ENLACES
ENLACE ENTRE DOS RECTAS r Y s, PERPENDICULARES ENTRE SÍ,
CONOCIENDO EL PUNTO DE TANGENCIA T EN LA RECTA r
r T
s
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
ENLACES
ENLACE ENTRE DOS RECTAS r Y s, PERPENDICULARES ENTRE SÍ,
CONOCIENDO EL PUNTO DE TANGENCIA T EN LA RECTA r
r T
s
Sabemos que el arco que buscamosserá tangente a r en T, por tanto su
centro estará en la perpendicular a r trazada desde T
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
ENLACES
ENLACE ENTRE DOS RECTAS r Y s, PERPENDICULARES ENTRE SÍ,
CONOCIENDO EL PUNTO DE TANGENCIA T EN LA RECTA r
r T
O
s
También sabemos que el centro de un arco tangente a dos rectas que se cortan seencuentra en la bisectriz del ángulo
que dichas rectas forman
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
ENLACES
ENLACE ENTRE DOS RECTAS r Y s, PERPENDICULARES ENTRE SÍ,
CONOCIENDO EL PUNTO DE TANGENCIA T EN LA RECTA r
r T
T1O
s
Para hallar el punto de tangencia en s,trazamos la perpendicular a s desde O
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
ENLACES
ENLACE ENTRE DOS RECTAS r Y s, PERPENDICULARES ENTRE SÍ,
CONOCIENDO EL PUNTO DE TANGENCIA T EN LA RECTA r
r T
T1O
s
Teniendo O, T y T1, podemostrazar el arco que enlaza r y s
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
ENLACES
ENLACE ENTRE DOS RECTAS r Y s, PERPENDICULARES ENTRE SÍ,
CONOCIENDO EL PUNTO DE TANGENCIA T EN LA RECTA r
r T
T1O
s
Teniendo O, T y T1, podemostrazar el arco que enlaza r y s
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
ENLACES
R
r
s
ENLACE ENTRE DOS RECTAS r Y s OBLICUAS ENTRE SÍ,CONOCIENDO EL RADIO R DEL ARCO QUE LAS ENLAZA
POR LA PARTE EN LA QUE SE APROXIMAN UNA A LA OTRA
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
ENLACES
R
r
s
El centro de un arco tangente a dos rectas que se cortan seencuentra en la bisectriz del ángulo
que dichas rectas forman
ENLACE ENTRE DOS RECTAS r Y s OBLICUAS ENTRE SÍ,CONOCIENDO EL RADIO R DEL ARCO QUE LAS ENLAZA
POR LA PARTE EN LA QUE SE APROXIMAN UNA A LA OTRA
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
ENLACES
R
O
r
r
r
s
El arco de radio R será tangente a las rectasr y s en aquellos puntos donde dos de sus
radios sean perpendiculares a r y srespectivamente, por tanto el centro Oestará a distancia R de las dos rectas, es decir, en la unión de las paralelas
a r y s a la distancia R
ENLACE ENTRE DOS RECTAS r Y s OBLICUAS ENTRE SÍ,CONOCIENDO EL RADIO R DEL ARCO QUE LAS ENLAZA
POR LA PARTE EN LA QUE SE APROXIMAN UNA A LA OTRA
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
ENLACES
R
T1
T2
O
r
s
Para calcular los puntos de tangencia, trazamos perpendiculares desde O a r y s
ENLACE ENTRE DOS RECTAS r Y s OBLICUAS ENTRE SÍ,CONOCIENDO EL RADIO R DEL ARCO QUE LAS ENLAZA
POR LA PARTE EN LA QUE SE APROXIMAN UNA A LA OTRA
r
r
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
ENLACES
R
T1
T2
O
r
s
Una vez calculados los puntos de tangencia, podemos trazar el arco de enlace entre r y s
ENLACE ENTRE DOS RECTAS r Y s OBLICUAS ENTRE SÍ,CONOCIENDO EL RADIO R DEL ARCO QUE LAS ENLAZA
POR LA PARTE EN LA QUE SE APROXIMAN UNA A LA OTRA
r
r
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
ENLACES
R
T1
T2
O
r
s
Una vez calculados los puntos de tangencia, podemos trazar el arco de enlace entre r y s
ENLACE ENTRE DOS RECTAS r Y s OBLICUAS ENTRE SÍ,CONOCIENDO EL RADIO R DEL ARCO QUE LAS ENLAZA
POR LA PARTE EN LA QUE SE APROXIMAN UNA A LA OTRA
r
r
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
ENLACES
T1T1
T2T2
OO
r r
s s
En el problema anterior, si no conocemos el vérticedel ángulo entre r y s, trazando las paralelas
obtenemos el punto O
Si conocemos el vértice, basta con hallar la bisectrizdel ángulo y trazar una paralela a r o s a la distancia
R y obtendremos el centro O
ENLACE ENTRE DOS RECTAS r Y s OBLICUAS ENTRE SÍ,CONOCIENDO EL RADIO R DEL ARCO QUE LAS ENLAZA
POR LA PARTE EN LA QUE SE APROXIMAN UNA A LA OTRA
r r
r
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
ENLACESENLACE ENTRE DOS RECTAS r Y s OBLICUAS ENTRE SÍ,
CONOCIENDO EL PUNTO T DE TANGENCIA EN LA RECTA r
r
s
T
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
ENLACESENLACE ENTRE DOS RECTAS r Y s OBLICUAS ENTRE SÍ,
CONOCIENDO EL PUNTO T DE TANGENCIA EN LA RECTA r
rd
d
s
T
V
Como ya sabemos, el centro de un arco tangente a dos rectas oblicuas entre sí se
encuentra en la bisectriz del ánguloque dichas rectas forman.
En el caso que no veamos el vérticede dicho ángulo, trazamos dos
paralelas a r y s respectivamente a una distancia d arbitraria.
Así conseguiremos un ángulo de vértice Vcuya bisectriz coincide con la de r y s
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
ENLACESENLACE ENTRE DOS RECTAS r Y s OBLICUAS ENTRE SÍ,
CONOCIENDO EL PUNTO T DE TANGENCIA EN LA RECTA r
rd
d
s
T
V
Como ya sabemos, el centro de un arco tangente a dos rectas oblicuas entre sí se
encuentra en la bisectriz del ánguloque dichas rectas forman.
En el caso que no veamos el vérticede dicho ángulo, trazamos dos
paralelas a r y s respectivamente a una distancia d arbitraria.
Así conseguiremos un ángulo de vértice Vcuya bisectriz coincide con la de r y s
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
ENLACESENLACE ENTRE DOS RECTAS r Y s OBLICUAS ENTRE SÍ,
CONOCIENDO EL PUNTO T DE TANGENCIA EN LA RECTA r
rd
d
s
T
OV
Para calcular el centro del arco que buscamos trazamos por T
una perpendicular a la bisectriz hallada anteriormente.
Donde dicha perpendicular corta a la bisectriz está el centro O
del arco que buscamos
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
ENLACESENLACE ENTRE DOS RECTAS r Y s OBLICUAS ENTRE SÍ,
CONOCIENDO EL PUNTO T DE TANGENCIA EN LA RECTA r
rd
d
s
T
T1
OV
Trazando una perpendicular a s desde Oconseguimos el otro punto de tangencia T1
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
ENLACESENLACE ENTRE DOS RECTAS r Y s OBLICUAS ENTRE SÍ,
CONOCIENDO EL PUNTO T DE TANGENCIA EN LA RECTA r
rd
d
s
T
T1
OV
Trazamos el arco OT
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
ENLACESENLACE ENTRE DOS RECTAS r Y s OBLICUAS ENTRE SÍ,
CONOCIENDO EL PUNTO T DE TANGENCIA EN LA RECTA r
rd
d
s
T
T1
OV
El enlace es la unión de r-arco-s
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
ENLACESENLACE ENTRE DOS RECTAS r Y s OBLICUAS ENTRE SÍ,
CONOCIENDO EL PUNTO T DE TANGENCIA EN LA RECTA r
rd
d
s
T
T1
OV
El enlace es la unión de r-arco-s
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
Inscribe en un cuadrado cuatro circunferencias tangentes entre sí.1. Trazamos el CUADRADO correspondiente
A
D
B
C
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
2. Trazamos las DIAGONALES del cuadrado
A
D
B
C
Inscribe en un cuadrado cuatro circunferencias tangentes entre sí.
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
3. Trazamos dos perpendiculares por el centro del cuadrado desde la mitad de cada uno de los lados
A
D
B
C
Inscribe en un cuadrado cuatro circunferencias tangentes entre sí.
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
4. Trazamos la BISECTRIZ del ángulo que forma el lado AB del cuadrado con la diagonal AC, que cortará en O1 a la mediatriz
de AB
A
D
B
C
O1
Inscribe en un cuadrado cuatro circunferencias tangentes entre sí.
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
5. Dibujamos la circunferencia de centro O1
A
O1
T1 T2
T3
D
B
C
Inscribe en un cuadrado cuatro circunferencias tangentes entre sí.
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
6. Una vez tenemos O1, ya podemos calcular el resto de centrosde circunferencias. Haciendo centro en el centro del cuadrado
trazamos una circunferencia que corte a la mediatriz de BC y DC enO2, O3 y O4
A
O1
O2
O3
O4
T1 T2
T3
D
B
C
Inscribe en un cuadrado cuatro circunferencias tangentes entre sí.
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
7. Trazamos el resto de circunferencias
A
O1
O2
O3
O4
T1 T2
T3
D
B
C
Inscribe en un cuadrado cuatro circunferencias tangentes entre sí.
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
Traza circunferencias de radio 15 cm. tangentes a las circunferencias del dibujo
O1
O2
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
1. Trazamos las circunferencias concéntricas a las dadasaumentando sus radios 15 mm.
O1
O2 r2 + 15
r1 + 15
r2
r1
Traza circunferencias de radio 15 cm. tangentes a las circunferencias del dibujo
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
2. Los puntos donde se cortan dichas circunferencias son loscentros de las circunferencias tangentes buscadas
O1
O4
O3
O2
Traza circunferencias de radio 15 cm. tangentes a las circunferencias del dibujo
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
3. Unimos los centros de las circunferencias dadas conlos de las circunferencias tangentes, así obtenemos los
puntos de tangencia T1, T2, T3 y T4, fundamentales para trazar las circunferencias resultado
O1
O4
O3
T1 T2
T4
T3
O2
Traza circunferencias de radio 15 cm. tangentes a las circunferencias del dibujo
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
4. Trazamos las circunferencias O1 y O2, tangentes a lascircunferencias dadas.
O1
O4
O3
O2
T1 T2
T4
T3
Traza circunferencias de radio 15 cm. tangentes a las circunferencias del dibujo
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
Reproduce la siguiente pieza a escala 1:1. La medidas están expresadas en mm.
12
28
56
46
12
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
Reproduce la siguiente pieza a escala 1:1. La medidas están expresadas en mm.
1. Trazamos dos ejes perpendiculares y haciendo centro en la intersección deambos trazamos las dos circunferencias centrales concéntricas (14 y 23 mm.
de radios, ya que sus diámetros miden 28 y 46 respectivamente)
1423
12
28
56
46
12
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
Reproduce la siguiente pieza a escala 1:1. La medidas están expresadas en mm.
2. Hallamos la situación de los centros de las circunferencias de los extremos, a 56 mm de distancia en el eje mayor
1423
56
12
28
56
46
12
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
Reproduce la siguiente pieza a escala 1:1. La medidas están expresadas en mm.
2. Trazamos las circunferencias pequeñas ( 6mm. de radio) y los arcos decircunferencia de los extremos (12 mm. de radio).
12
6
56
12
28
56
46
12
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
Reproduce la siguiente pieza a escala 1:1. La medidas están expresadas en mm.
3. El resto del dibujo se resuelve con el procedimiento de rectas tangentes exteriores a dos circunferencias
56
T1
T2
12
28
56
46
12
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
Reproduce la siguiente pieza a escala 1:1. La medidas están expresadas en mm.
3. El resto del dibujo se resuelve con el procedimiento de rectas tangentes exteriores a dos circunferencias
56
T1
T3
T4
T2
12
28
56
46
12
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
Reproduce la siguiente pieza a escala 1:1. La medidas están expresadas en mm.
3. El resto del dibujo se resuelve con el procedimiento de rectas tangentes exteriores a dos circunferencias
56
T1
T3
T4
T2
12
28
56
46
12
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
Reproduce la siguiente pieza a escala 1:1. La medidas están expresadas en mm.
3. El resto del dibujo se resuelve con el procedimiento de rectas tangentes exteriores a dos circunferencias
56
T1 P
Q
T3
T4
T2
T5
T6
T7
T8
12
28
56
46
12
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
Reproduce la siguiente pieza a escala 1:1. La medidas están expresadas en mm.
3. El resto del dibujo se resuelve con el procedimiento de rectas tangentes exteriores a dos circunferencias
56
T1 P
Q
T3
T4
T2
T5
T6
T7
T8
12
28
56
46
12
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
Reproduce la siguiente pieza a escala 1:1. La medidas están expresadas en mm.
3. El resto del dibujo se resuelve con el procedimiento de rectas tangentes exteriores a dos circunferencias
56
T1 P
Q
T3
T4
T2
T5
T6
T7
T8
12
28
56
46
12
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
ESPIRAL DE BASE UN SEGMENTO (DE DOS CENTROS)
AB
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
ESPIRAL DE BASE UN SEGMENTO (DE DOS CENTROS)
AB
1
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
ESPIRAL DE BASE UN SEGMENTO (DE DOS CENTROS)
AB
1
paso2
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
ESPIRAL DE BASE UN SEGMENTO (DE DOS CENTROS)
AB
1 32
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
ESPIRAL DE BASE UN SEGMENTO (DE DOS CENTROS)
AB
1 324
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
ESPIRAL DE BASE UN SEGMENTO (DE DOS CENTROS)
AB
1 3 524
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
ESPIRAL DE BASE UN SEGMENTO (DE DOS CENTROS)
AB
1 3 5246
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
ESPIRAL DE BASE UN SEGMENTO (DE DOS CENTROS)
AB
1 3 5 7246
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
ESPIRAL DE BASE UN SEGMENTO (DE DOS CENTROS)
AB
1 3 5 7246
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
VOLUTA DE BASE TRIANGULAR (ESPIRAL DE TRES CENTROS)
A
C
B
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
VOLUTA DE BASE TRIANGULAR (ESPIRAL DE TRES CENTROS)
A
C
B
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
VOLUTA DE BASE TRIANGULAR (ESPIRAL DE TRES CENTROS)
A
C
B
1
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
VOLUTA DE BASE TRIANGULAR (ESPIRAL DE TRES CENTROS)
A
C
B
1
2
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
VOLUTA DE BASE TRIANGULAR (ESPIRAL DE TRES CENTROS)
A
C
B
1
2
3
paso
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
VOLUTA DE BASE TRIANGULAR (ESPIRAL DE TRES CENTROS)
A
C
B
1
2
3
4
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
VOLUTA DE BASE TRIANGULAR (ESPIRAL DE TRES CENTROS)
A
C
B
1
2
5
3
4
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
VOLUTA DE BASE TRIANGULAR (ESPIRAL DE TRES CENTROS)
A
C
B
1
2
5
36
4
VOLUTA DE BASE CUADRADA (ESPIRAL DE CUATRO CENTROS)
D C
A B
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
VOLUTA DE BASE CUADRADA (ESPIRAL DE CUATRO CENTROS)
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
D C
A B
VOLUTA DE BASE CUADRADA (ESPIRAL DE CUATRO CENTROS)
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
D C
A
1
B
VOLUTA DE BASE CUADRADA (ESPIRAL DE CUATRO CENTROS)
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
D C
A
1
2
B
VOLUTA DE BASE CUADRADA (ESPIRAL DE CUATRO CENTROS)
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
D C
A
1
3
2
B
VOLUTA DE BASE CUADRADA (ESPIRAL DE CUATRO CENTROS)
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
D C
A
1
4
3
2
Bpaso
VOLUTA DE BASE CUADRADA (ESPIRAL DE CUATRO CENTROS)
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
D C
A
1
5
4
3
2
B
VOLUTA DE BASE CUADRADA (ESPIRAL DE CUATRO CENTROS)
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
D C
A
1
5
4
3
2 6
B
VOLUTA DE BASE CUADRADA (ESPIRAL DE CUATRO CENTROS)
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
D C
A
1
5
4
3
7
2 6
B
VOLUTA DE BASE CUADRADA (ESPIRAL DE CUATRO CENTROS)
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
D C
A
1
5
48
3
7
2 6
B
VOLUTA DE BASE CUADRADA (ESPIRAL DE CUATRO CENTROS)
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
D C
A
1
5
9
48
3
7
2 6
B
VOLUTA DE BASE CUADRADA (ESPIRAL DE CUATRO CENTROS)
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
D C
A
1
5
9
48
3
7
2 6 10
B
D C
A
1
5
9
48
3
7
2 6 10
B
VOLUTA DE BASE CUADRADA (ESPIRAL DE CUATRO CENTROS)
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
CONSTRUCCIÓN DEL ÓVALO CONOCIDO EL EJE MAYOR (de tres partes)
A B
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
CONSTRUCCIÓN DEL ÓVALO CONOCIDO EL EJE MAYOR (de tres partes)
A O1 O2B
1
2
3
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
CONSTRUCCIÓN DEL ÓVALO CONOCIDO EL EJE MAYOR (de tres partes)
A O1
O4
O3
O2B
1
2
3
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
CONSTRUCCIÓN DEL ÓVALO CONOCIDO EL EJE MAYOR (de tres partes)
A O1
T1
T4T3
T2
O4
O3
O2B
1
2
3
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
CONSTRUCCIÓN DEL ÓVALO CONOCIDO EL EJE MAYOR (de tres partes)
A O1
O4
O3
O2B
1
2
3
T1
T4T3
T2
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
CONSTRUCCIÓN DEL ÓVALO CONOCIDO EL EJE MAYOR (de tres partes)
A O1
O4
O3
O2B
1
2
3
T1
T4T3
T2
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
CONSTRUCCIÓN DEL ÓVALO CONOCIDO EL EJE MAYOR (de tres partes)
A O1
O4
O3
O2B
1
2
3
T1
T4T3
T2
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
CONSTRUCCIÓN DEL OVOIDE CONOCIDO EL EJE MENOR
C
D
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICASTANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
CONSTRUCCIÓN DEL OVOIDE CONOCIDO EL EJE MENOR
C
D
O1
O3
O2
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICASTANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
CONSTRUCCIÓN DEL OVOIDE CONOCIDO EL EJE MENOR
C
D
O1
O4
O2
O3
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICASTANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
CONSTRUCCIÓN DEL OVOIDE CONOCIDO EL EJE MENOR
C
D
O1
O4
O2
O3
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICASTANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
CONSTRUCCIÓN DEL OVOIDE CONOCIDO EL EJE MENOR
C
D
O1
O4
O2
O3
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICASTANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
CONSTRUCCIÓN DEL OVOIDE CONOCIDO EL EJE MENOR
C
D
O1
O4
O2
T2
T1
T1
T2
O3
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICASTANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
CONSTRUCCIÓN DEL OVOIDE CONOCIDO EL EJE MENOR
C
D
O1
O4
O2
T2
T1
T1
T2
O3