taller (graficas trigonométricas)
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Gráficas defunciones
trigonométricas
1Prof. Miguel L. ColónProfra. Fredes Rodríguez
TrigonometríaTrigonometría Es la rama de la matemática que estudia la relación entre los ángulos y los lados de un triángulo.
Actividad Gráficas funciones trigonométricas
Trabajar los ejercicios de las páginas 1 -
6
2Prof. Miguel L. ColónProfra. Fredes Rodríguez
El modelo de la gráfica de la función seno del ángulo se obtiene evaluando la función para algunos valores de que pertenecen al dominio. Luego se hace una tabla para la variable y la variable que es igual a . Finalmente se localizan los puntos y se unen formando la gráfica.
Gráfica de la función
Gráfica de la función
𝑓 (𝑥 )=𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑓 (0 )=𝑠𝑒𝑛 (0 )=0
𝑓 ( 𝜋2 )=𝑠𝑒𝑛( 𝜋2 )=1𝑓 (𝜋 )=𝑠𝑒𝑛 (𝜋 )=0
𝑓 ( 3𝜋2 )=𝑠𝑒𝑛( 3𝜋2 )=−1
𝑓 (2𝜋 )=𝑠𝑒𝑛 (2𝜋 )=0Evaluar algunos puntos
Características:
Dominio:
Alcance:
Intercepto:
Periodo:
3Prof. Miguel L. ColónProfra. Fredes Rodríguez
0 𝑥
𝑦1
−1
Gráfica de la función
Gráfica de la función
El modelo de la gráfica de la función coseno del ángulo se obtiene evaluando la función para algunos valores de que pertenecen al dominio. Luego se hace una tabla para la variable y la variable que es igual a . Finalmente se localizan los puntos y se unen formando la gráfica.
0 -1 1
𝑓 (𝑥 )=𝑐𝑜𝑠 𝑥𝑓 (0 )=𝑐𝑜𝑠 (0 )=1
𝑓 (2𝜋 )=𝑐𝑜𝑠 (2𝜋 )=1
Evaluar algunos puntos
𝑓 ( 𝜋2 )=𝑐𝑜𝑠( 𝜋2 )=0𝑓 (𝜋 )=𝑐𝑜𝑠 (𝜋 )=−1
𝑓 ( 3𝜋2 )=𝑐𝑜𝑠( 3𝜋2 )=0
Características:
Dominio:
Alcance:
Intercepto:
Periodo:
4Prof. Miguel L. ColónProfra. Fredes Rodríguez
0 𝑥
𝑦1
−1
Gráfica de la función
Gráfica de la función
El modelo de la gráfica de la función tangente del ángulo se obtiene evaluando la función para algunos valores de que pertenecen al dominio. Luego se hace una tabla para la variable y la variable que es igual a . Finalmente se localizan los puntos y se unen formando la gráfica.
- -
-1 0 1𝑓 (𝑥 )=𝑡𝑎𝑛𝑥
𝑓 (0 )=𝑡𝑎𝑛 (0 )=0
Evaluar algunos puntos
𝑓 ( 𝜋4 )=𝑡𝑎𝑛( 𝜋4 )=1
𝑓 (− 𝜋4 )=𝑡𝑎𝑛(− 𝜋4 )=−1
0 𝑥
𝑦
5Prof. Miguel L. ColónProfra. Fredes Rodríguez
Gráfica de la función
Gráfica de la función
El modelo de la gráfica de la función cosecante del ángulo se obtiene evaluando la función para algunos valores de que pertenecen al dominio. Luego se hace una tabla para la variable y la variable que es igual a . Finalmente se localizan los puntos y se unen formando la gráfica.
𝑓 (𝑥 )=𝑐𝑠𝑐 𝑥𝑓 (0 )=𝑐𝑠𝑐 (0 )=𝑖𝑛𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑜
𝑓 (2𝜋 )=𝑐𝑠𝑐 (2𝜋 )=𝑖𝑛𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑜
Evaluar algunos puntos
1 0 𝑥
𝑦
6Prof. Miguel L. ColónProfra. Fredes Rodríguez
Gráfica de la función
Gráfica de la función
El modelo de la gráfica de la función secante del ángulo se obtiene evaluando la función para algunos valores de que pertenecen al dominio. Luego se hace una tabla para la variable y la variable que es igual a . Finalmente se localizan los puntos y se unen formando la gráfica.
1𝑓 (𝑥 )=𝑠𝑒𝑐 𝑥
𝑓 (0 )=𝑠𝑒𝑐 (0 )=1
Evaluar algunos puntos
𝑓 ( 𝜋2 )=𝑠𝑒𝑐 (𝜋2 )=𝑖𝑛𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑜
𝑓 ( 3𝜋2 )=𝑠𝑒𝑐 ( 3𝜋2 )=𝑖𝑛𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑜 0 𝑥
𝑦𝑓 (− 𝜋2 )=𝑠𝑒𝑐(− 𝜋2 )=𝑖𝑛𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑜
7Prof. Miguel L. ColónProfra. Fredes Rodríguez
Gráfica de la función
Gráfica de la función
El modelo de la gráfica de la función cotangente del ángulo se obtiene evaluando la función para algunos valores de que pertenecen al dominio. Luego se hace una tabla para la variable y la variable que es igual a . Finalmente se localizan los puntos y se unen formando la gráfica.
1𝑓 (𝑥 )=𝑐𝑜𝑡 𝑥𝑓 (0 )=𝑐𝑜𝑡 (0 )=𝑖𝑛𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑜
𝑓 (𝜋 )=𝑐𝑜𝑡 (𝜋 )=𝑖𝑛𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑜
Evaluar algunos puntos
𝑓 ( 𝜋4 )=𝑐𝑜𝑡 ( 𝜋4 )=1𝑓 ( 𝜋2 )=𝑐𝑜𝑡 ( 𝜋2 )=0𝑓 ( 3𝜋2 )=𝑐𝑜𝑡 ( 3𝜋4 )=−1 0 𝑥
𝑦
8Prof. Miguel L. ColónProfra. Fredes Rodríguez
Transformaciones de las gráficas de las funciones trigonométricas
Transformaciones de las gráficas de las funciones trigonométricas
9Prof. Miguel L. ColónProfra. Fredes Rodríguez
Las características de las gráficas de la ecuaciones y son similares. Por ejemplo estas funciones tienen el mismo dominio, el mismo alcance el mismo período.
La gráfica del las funciones representa las transformaciones de las gráficas de las ecuaciones
Las características a estudiar son:
Amplitud Período Desfase Translación Vertical Alcance
Transformaciones de las gráficas de las funciones trigonométricas
Transformaciones de las gráficas de las funciones trigonométricas
Amplitud de las funciones seno y coseno del ángulo
Sean y las funciones trigonométricas del seno del ángulo y coseno del ángulo entonces, la amplitud es la mitad de la distancia entre el valor máximo y el valor mínimo.
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0 𝑥
𝑦1
−1
am
plit
ud
am
plit
uda
mp
litu
da
mp
litu
d
𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑=|𝐴|
0 𝑥
𝑦1
−1
Transformaciones de las gráficas de las funciones trigonométricas
Transformaciones de las gráficas de las funciones trigonométricas
Amplitud de las funciones seno y coseno del ángulo
Ejemplo:Determine la amplitud de y dibuje su gráfica.
11Prof. Miguel L. ColónProfra. Fredes Rodríguez
Solución:
am
plit
ud
0 𝑥
𝑦3
−3
am
plit
ud
Inicialmente se identifica que el tres representa . Después se busca la amplitud de la función.
Luego se dibuja la gráfica del modelo de la función seno del ángulo indicando que el valor más alto es 3 y el valor más bajo es -3.
Transformaciones de las gráficas de las funciones trigonométricas
Transformaciones de las gráficas de las funciones trigonométricas
Amplitud de las funciones seno y coseno del ángulo
Ejemplo:Determine la amplitud de y dibuje su gráfica.
12Prof. Miguel L. ColónProfra. Fredes Rodríguez
Solución:
am
plit
ud
0 𝑥
𝑦4
−4
am
plit
ud
Inicialmente se identifica que el cuatro representa . Después se busca la amplitud de la función.
Luego se dibuja la gráfica del modelo de la función seno del ángulo indicando que el valor más alto es 4 y el valor más bajo es -4.
Transformaciones de las gráficas de las funciones trigonométricas
Transformaciones de las gráficas de las funciones trigonométricas
Período de las funciones seno y coseno del ángulo
Sean y las funciones trigonométricas del seno del ángulo y coseno del ángulo entonces, el período es la duración o tamaño de un ciclo completo. También se dice que es el mínimo lapso que separa dos instantes en los que el sistema se encuentra exactamente en el mismo estado.
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0 𝑥
𝑦
1
−1
Per í odo =𝑇=2𝜋𝒃
período 0 𝑥
𝑦1
−1
período
Transformaciones de las gráficas de las funciones trigonométricas
Transformaciones de las gráficas de las funciones trigonométricas
14Prof. Miguel L. ColónProfra. Fredes Rodríguez
Período de las funciones seno y coseno del ángulo Ejemplo:
Determine el período de y dibuje su gráfica.
Solución:
Inicialmente se identifica que el uno representa . Después se busca el período de la función.
Luego se dibuja la gráfica del modelo de la función coseno del ángulo indicando que el periodo es . 0 𝑥
𝑦1
−1
período
Transformaciones de las gráficas de las funciones trigonométricas
Transformaciones de las gráficas de las funciones trigonométricas
15Prof. Miguel L. ColónProfra. Fredes Rodríguez
Ejemplo: Determine las transformaciones de y dibuje su gráfica.
Solución:
y
Inicialmente se identifica que es igual a dos y es igual a dos. Después se busca el período de la función y la amplitud.
Luego se dibuja la gráfica del modelo de la función coseno del ángulo indicando que el periodo es y la amplitud es .
0 𝑥
𝑦2
−2
am
plit
ud
am
plit
ud
período
Transformaciones de las gráficas de las funciones trigonométricas
Transformaciones de las gráficas de las funciones trigonométricas
Desfase de las funciones seno y coseno del ángulo
Sean y las funciones trigonométricas del seno del ángulo y coseno del ángulo entonces, la desfase (traslación horizontal) es el cambio de posición horizontal. La gráfica se desplaza a la derecha o a la izquierda h unidades.
16Prof. Miguel L. ColónProfra. Fredes Rodríguez
0 𝑥
𝑦
1
−1
Desface=h
desfasedesfase
0 𝑥
𝑦1
−1
Transformaciones de las gráficas de las funciones trigonométricas
Transformaciones de las gráficas de las funciones trigonométricas
17Prof. Miguel L. ColónProfra. Fredes Rodríguez
Desfase de las funciones seno y coseno del ángulo Ejemplo: Determine la desfase de y dibuje su gráfica.
Solución:
Inicialmente se identifica que el medio representa . Después se busca la desfase.
Luego se dibuja la gráfica del modelo de la función seno del ángulo indicando que la desfase es a la izquierda. 0 𝑥
𝑦1
−1
desfase
Transformaciones de las gráficas de las funciones trigonométricas
Transformaciones de las gráficas de las funciones trigonométricas
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Ejemplo: Determine las transformaciones de y dibuje su gráfica.
Solución:
, y
Inicialmente se factoriza el argumento para identificar , y correctamente.
Después se busca el período, la amplitud y la desfase de la función.
Luego se dibuja la gráfica del modelo de la función coseno del ángulo indicando que la desfase es , el periodo es y la amplitud es .
0 𝑥
𝑦2
−2
am
plit
ud
am
plit
ud
períododesfase
Transformaciones de las gráficas de las funciones trigonométricas
Transformaciones de las gráficas de las funciones trigonométricas
Traslación vertical de las funciones seno y coseno del ángulo
Sean y las funciones trigonométricas del seno del ángulo y coseno del ángulo entonces, la traslación vertical es el cambio de posición vertical. La gráfica se desplaza hacia arriba o hacia abajo k unidades.
19Prof. Miguel L. ColónProfra. Fredes Rodríguez
0 𝑥
𝑦
1
−1
Traslaci ón vertical=𝑘
Tra
slac
ión
vert
ical
Tra
slac
ión
vert
ica
l
0 𝑥
𝑦1
−1
Transformaciones de las gráficas de las funciones trigonométricas
Transformaciones de las gráficas de las funciones trigonométricas
20Prof. Miguel L. ColónProfra. Fredes Rodríguez
Traslación vertical de las funciones seno y coseno del ángulo
Ejemplo: Determine la traslación vertical de y dibuje su gráfica.
Solución:
Inicialmente se identifica que el representa . Después se busca la traslación vertical.
Luego se dibuja la gráfica del modelo de la función seno del ángulo indicando que la traslación vertical es uno hacia arriba.
0 𝑥
𝑦
1
−1
2
Tra
slació
n
vertica
l
Transformaciones de las gráficas de las funciones trigonométricas
Transformaciones de las gráficas de las funciones trigonométricas
Alcance de las funciones seno y coseno del ángulo
Sean y las funciones trigonométricas del seno del ángulo y coseno del ángulo entonces, el alcance es el conjunto de números que son imagen de la función. Se utilizará la representación de intervalos.
21Prof. Miguel L. ColónProfra. Fredes Rodríguez
0 𝑥
𝑦
1
−1
Alcance=[𝑘−|𝐴|,𝐾+|𝐴|]
alca
nce
alca
nce
0 𝑥
𝑦1
−1
Transformaciones de las gráficas de las funciones trigonométricas
Transformaciones de las gráficas de las funciones trigonométricas
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Alcance de las funciones seno y coseno del ángulo
Ejemplo: Determine las transformaciones de y dibuje su gráfica.
Solución:
y Inicialmente se identifica que el dos es la y el uno representa . Después se busca la amplitud, traslación vertical y el alcance.
Luego se dibuja la gráfica del modelo de la función seno del ángulo indicando que la amplitud es dos, la traslación vertical es uno hacia arriba y el alcance es de menos uno a tres.
0 𝑥
𝑦
1
−1
3
Resumen de las Transformaciones
de las funciones seno y coseno del ángulo
Resumen de las Transformaciones
de las funciones seno y coseno del ángulo La grafica del las funciones representa las transformaciones
de las graficas de las ecuaciones
Transformaciones:
Amplitud Es la mitad de la distancia entre el
valor máximo y el valor mínimo.
Periodo Duración o tamaño de un ciclo completo.
Desfase Es el cambio en posición horizontal.
Traslación vertical Es el cambio en posición vertical
Alcance Es el conjunto de números que son
imagen de la función. 23Prof. Miguel L. ColónProfra. Fredes Rodríguez
0 𝑥
𝑦
1
−1
alca
nce
Tra
slac
ión
vert
ical desfase
período
am
plit
ud
Transformaciones de la gráfica de la función seno del ángulo
Transformaciones de la gráfica de la función seno del ángulo
Ejemplo: Trace la gráfica de la función
Transformaciones:
Amplitud
Periodo
Desfase ( a la izquierda)
Traslación vertical
Alcance
Datos : Se obtienen de la función , , y
24Prof. Miguel L. ColónProfa. Fredes Rodríguez
𝑥
𝑦
−1
3
1
Nota: La solución de la desigualdad representa las posiciones horizontales del inicio y final del ciclo fundamental de la gráfica de la función seno del ángulo.
Transformaciones de la gráfica de la función coseno del ángulo
Transformaciones de la gráfica de la función coseno del ángulo
Ejemplo: Trace la gráfica de la función
Transformaciones:
Amplitud
Periodo
Desfase a la derecha
Traslación vertical
Alcance
Datos : Se obtienen de la función , , y
𝑥
𝑦
−3
1
25Prof. Miguel L. ColónProfa. Fredes Rodríguez
Nota: La solución de la desigualdad representa las posiciones horizontales del inicio y final del ciclo fundamental de la gráfica de la función coseno del ángulo.
Transformaciones de la gráfica de una función trigonométrica
Transformaciones de la gráfica de una función trigonométrica
Ejemplo:
Escribe una función que represente la siguiente gráfica.
Información que se obtienen de la gráfica
𝑥
𝑦
−3
1
de
sfa
se
período Traslación vertical
alc
an
ce Ecuación:am
plit
ud
Alcance
26Prof. Miguel L. ColónProfa. Fredes Rodríguez
Amplitud Desfase a la derecha
Periodo
Traslación vertical
3 −𝜋2
Transformaciones de la gráfica de la función secante del ángulo
Transformaciones de la gráfica de la función secante del ángulo
Ejemplo: Trace la gráfica de la función
Transformaciones:
Asíntotas
Periodo
Traslación horizontal
Traslación vertical
Alcance
Datos : Se obtienen de la función , , y
𝑥
𝑦
−2
2
27Prof. Miguel L. ColónProfa. Fredes Rodríguez
Nota: La solución de la desigualdad representa las posiciones horizontales del inicio y final del ciclo fundamental de la gráfica de la función secante del ángulo.