taller 1. serie de taylor
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TALLER SERIE DE TAYLOR
NORAIMA NAYARITH ZARATE GARCIA
COD. 2073173
ING. DE PETROLEOS
1. Determine el n-ésimo polinomio de Taylor centrado en c de:
Serie de Taylor
a) ,1
)(x
xf n = 4 , c = 1 = xi
Solución
Hallamos cada una de las derivadas de la función dada y la evaluamos en xi=1:
11
)( i
ix
xf
11
)('2
i
ix
xf
22
)(''3
i
ix
xf
66
)('''4
i
ix
xf
5
24( ) 24IV
i
i
f xx
Reemplazamos estos valores en la serie de Taylor y resolvemos para encontrar el
polinomio:
2 3 42 ( 6) 241 ( 1) 1 1 1 1
1 1 1 1 12! 3! 4!
2 3 41 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1
2 3 2 4 3 22 2 1 3 3 1 4 6 4 1
4 3 25 10 10 5
f x x x x xi i i i i
f x x x x xi i i i i
x xi
f x x x x x x x x x x x
f x x x x x
'' 2
' ...1 1 1 12! !
nf x f x ni i
f x f x f x x x x x x x Ri i i i ii i i in
b) )()( xInxf , n = 4 , c = 1 = xi
Solución
Hallamos cada una de las derivadas de la función dada y la evaluamos en xi=1:
0)1()( Inxf i
11
11)('
i
ix
xf
11
1
)(
1)(''
22
i
ix
xf
21
2
)(
2)('''
33
i
ix
xf
4 4
6 6( ) 6
( ) 1
IV
i
i
f xx
Reemplazando en la serie de Taylor f(x) y sus derivadas nos queda el siguiente
polinomio:
( 1) 2 ( 6)2 3 4( ) 0 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
1 1 1 1 12! 3! 4!
2 3 4( ) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
1 1 1 1 12 3 4
1 2 3 4( ) 12 12 6( 1) 4( 1) 3( 1)
1 1 1 1 112
Hacemos la sustituci
1 1 1
f x x x x xi i i i i
f x x x x xi i i i i
f x x x x xi i i i i
ón 1
2 3 2 4 31 12 12 6 12 6 4 12 12 4 3 12
( )212 18 12 3
1 4 3 2( ) 3 16 36 48 25
12
4 3 2524( ) 3 433 12
x xi
x x x x x x x xf x
x x
f x x x x x
x xf x x x
2. Para f(x) = arcsen (x)
a) Escribir el polinomio de MclaurinP3(x) para f(x).
Solución.
Hallamos cada una de las derivadas de la función dada y la evaluamos en xi=0:
2
1'( ) '(0) 1
1
f x fixi
''( ) ''(0) 03
2 2(1 )
xif x fi
xi
231
''( ) '''(0) 153
22 22 (1 )(1 )
xif x fi
xx ii
Reemplazamos en la Serie de Mclaurin:
3
11 1
(1)(( ) 0)( ) 0 (1)(( ) 0) 0
3!
ii i
xf x x
Reduciendo los términos anteriores, el polinomio de Mclaurin para
f(x)=arcsen(x), es:
ii i
( x )f ( x ) ( x )
3
11 1
6
c) Completar la siguiente tabla para P3(x) y para f(x) (Utilizar radianes).
100*verdadero
aproximadoverdadero
Valor
ValorValor
Los cálculos del error se realizan para cada uno de los valores de x de la Tabla 1:
3 3
( ) ( ) ( 0.75) 0.8481
( ) ( 0.75)1 ( ) ( ) ( 0.75) 0.820311
6 6
0.8481 ( 0.8203) *100 *100 3.278
0.8481
verdadero aproximado
verdadero
f x arcsen x arcsen
xif x xii
Valor Valor
Valor
2 3
1 1 11 1
(0)( ) (0)( ) (0)( )( ) ( ) (0) (0)( ) ..
2 ! 3 ! !
( 0)
n n
i i ii i
i
f x f x f xf x f x f f x
n
Serie de de Mclaurin x
X -0,75 -0,5 -0,25 0 0,25 0,5 0,75
f(x) -0,8481 -0,5236 -0,2527 0 0,2527 0,5236 0,8481
P3(x) -0,8203 -0,5208 -0,2526 0 0,2526 0,5208 0,8203
%E 3,278 0,5348 0,03957 0 0,03957 0,5348 3,278
TABLA 1
c. Dibujar sus graficas en los mismos ejes coordenados.
3. Confirme la siguiente desigualdad con la ayuda de la calculadora y complete
la tabla para confirmar numéricamente.
S Ln ( x ) S 2 3
1
Siendo Sn la serie que aproxima la f(x) dada.
Solución
Aproximamos la función por medio de la serie de Mclaurin, donde xi=0
2 2
1 1'( ) 1
1 0 1
1 1''( ) 1
( 1) (0 1)
i
i
i
i
f xx
f xx
3 3
2 2'''( ) 2
( 1) (0 1)i
i
f xx
Para S2 el polinomio es:
2
11 1
2
1 1 1
(1)(( ) 0)( ) ln(0 1) (1)(( ) 0)
2!
1( ) ( ) ( )
2
ii i
i i i
xf x x
f x x x
Para S3 el polinomio es:
2 3
1 11 1
2 3
1 1 1 1
(1)(( ) 0) (2)(( ) 0)( ) ln(0 1) (1)(( ) 0)
2! 3!
1 1( ) ( ) ( ) ( )
2 3
i ii i
i i i i
x xf x x
f x x x x
In (x+1)
( ) ln( 1) ln(0.2 1) 0.1823f x x
S2
2 2( ) (0.2)1
( ) ( ) (0.2) 0.18001 12 2
xif x xi i
S3
2 2 2 2( ) ( ) (0.2) (0.2)1 1
( ) ( ) (0.2) 0.18261 12 3 2 3
x xi if x xi i
Estos cálculos se realizan para cada uno de los valores de x en la Tabla 2:
x 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
S2 0 0,1800 0,3200 0,4200 0,4800 0,5000
In (x+1) 0 0,1823 0,3364 0,4700 0,5877 0,6931
S3 0 0,1826 0,3413 0,4920 0,6506 0,8333
Grafique y analice los resultados obtenidos
De acuerdo a los resultados obtenidos es claro que la función In (x+1) es mayor
que S3 pero menor que S2, por lo tanto la desigualdad no es correcta.
4. A partir de la serie de Taylor demostrar las expresiones de diferencia finita
regresiva y diferencia finita centrada.
Serie de Taylor:
a. Diferencia finita regresiva:
Con la serie de Taylor truncamos en el segundo término, obteniendo:
iiiii xxxfxfxf 11 '
Despejando la primera derivada:
(1)
b. Diferencia finita centrada:
Para obtener la ecuación se requiere tener las series de diferencia finita regresiva
y diferencia finita progresiva.
Serie de Taylor para diferencias finitas progresivas:
Rhn
xfh
xfh
xfh
xfhxfxfxf
nin
iIV
iiiii
!...
!4!3
'''
!2
'''
4321
Con la serie de Taylor truncamos en el segundo término, obteniendo:
Rxxn
xfxx
xfxxxfxfxf
nii
in
iii
iiiii 12
111!
...!2
'''
1
1
'i i
i
i i
f x f xf x
x x
2 4 5
4
E 0.5x10 % 5x10s
n
2E 0.5x10 % = Cifras Significativasn
s n
iiiii xxxfxfxf 11 '
Ecuación para diferencias finitas progresivas, despejando la primera derivada:
(2)
Restando la ecuación (1) de (2), obtenemos:
Despejando la primera derivada:
)(2'
11
11
ii
iii
xx
xfxfxf
5. Usando los términos de la serie de Taylor, aproxime la función f(X)=cos(x) en
x0=π/3 con base en el valor de la función f y sus derivadas en el punto x1=π/4.
Empiece con solo el termino n=0 agregando sucesivamente un término hasta
que el error porcentual sea menor que la tolerancia, tomando 4 cifras
significativas.
Solución:
Tolerancia
De acuerdo al enunciado:
1 3
xi
4xi
Hallamos las derivadas de la función:
'
f x Cos x
f x Sen x
''
'''
f x Cos x
f x Sen x
Reemplazando tenemos:
32
4...
4 4 4 2! 4 3! 4 ! 4
nn
i
SenCos x f x
f x Cos Sen x x x xn
Ahora empezamos a agregar término por término:
0.70713 4
f Cos
Siguiente término:
23
0.52203 4 4 3 4 2! 3 4
Cos
f Cos Sen
Siguiente término:
Se continúa agregando términos hasta que como se muestra en la
tabla:
Términos Resultado εa
(%)
1 0.7071
2 0.5220 35.46
3 0.4978 4.86
4 0,4999 0.42
5 0,5000 0.02
6 0.5000 0
La aproximación usando el sexto término de la serie cumple con la tolerancia
exigida.
323 4
0.49993 4 4 3 4 2! 3 4 3! 3 4
Cos Sen
f Cos Sen
0.4999 0.5220*100% 4,42%
0.4999a
sa
0.5220 0.7071*100% *100% 35,5%
0.5220
nuevo anteriora
nuevo
Valor Valor
Valor