Klcinc Mitteilungen 615

ZAMM 55,615 -616 (1975)

R. C. SEARMA

Siispended Particles and the Gravitational Instability

1. I n t r o d u c t i o n The gravitational instability of an infinite homogeneous self-gravitating medium was discovered by JEANS [l]. A detailed account of the gravitational instability, under varying assumptions of hydrodynamics and hydromagnetics, has been given by CKANDRASEEHAR [ 2 ] . SCANLON and SEGEL [3] considered the influence of suspended particles on the onset of B ~ A R D convection. The effect of suspended particles was found to destabilize the layer. The object of the present, note is to study the effect of suspended particles on the gravitational instability of an infinite homogeneous gas-particle medium.

2 . P e r t u r b a t i o n E q u a t i o n s The linearized perturbation equations for the gas are

0

It

'- I

I I t - + I- + -t

0 3

x C

+ 3 - N b I

i-

Sp = c2Se , (3) v 2 S U = -44nGSe, (4) where ?i(u, v, w), SQ, Sp, 6U denote respectively the pertur- bations in gas velocity, density Q, pressure p and gravitatio- nal potential U, N(Z, t ) and Z(Z, t ) denote the number den- sity and velocity field of the particles, K = 6 q v q , q being the particle radius and v the kinematic viscosity of the gas, is a constant and Z = (r, y, z) . c denotes the velocity of sound in the medium and G is the constant of gravitation.

In writing the equation of motion for the particles, we neglect the buoyancy force as its stabilizing effect for the case of two free boundaries is extremely small. Interparticle reactions are also ignored by assuming the distance between particles to be too large compared with their diameter. Under the above assumptions, the equations of motion and continuity for the particles are

-t

+ + d c

.C b

+ N

E I -

(;-v); = K N ( d - ; ) , 1 iiN - + v * ( N ; ) = 0 , at

where mN is the mass of particles per unit volume. The linearized perturbation form of Eq. ( 5 ) is +

c o o 0 3 t - + 1 v=u, (i 1- - (7) + d c b .+

where t = m/K. 3. Dispersion Re la t ion a n d Discussion

Seeking solutions of these equations whose dependence on x, z, and t is given by

(8 ) exp i(k,x + k,z + a t ) , where a is the growth rate and kZ, k , are the wave numbers of the perturbations along the x- and z-axes.

For perturbations of the form (8) , Eqs. (1)-(4) and (7) give

+ N

i;

7 + +

+ 2 +

0 , 4 0 0

3 J

*C b

+ 2 N

= - (2) Szp + ins) s ,

) + w e

= - (2) n;(l + ins) S f I -

616 Bleine Mitteilungen - Buchbesprechungen

where s (= &/e) denotes the condensation in the medium. k2 = k2 + ka and Sr; = c2k2 - 4nGe.

Taking divergenee of Eq. (1) and using Eqs. (2)-(4) and (7), we get

2 2

i - iU(Ts -? ; + Ilk2) - 1 - e

Equations (9)-(12) can be written in matrix form Eq. (13) page 615. This leads t o the dispersion relation

+ ia ( x q + V P ) $- I?;] = 0 . The first fartor of Eq. (14) can be w-ritten as

e

BUCHBESPRECHUNGEN G. C. Sih, P r o c e e d i n g s of a n I n t e r n a t i o n a l C o n -

f e r e n c e o n C r a c k P r o p a g a t i o n . XI + 721 Seiten. Groningen 1974. Noordhoff International Publishing. Preis Dfl. 120. -.

Die Probleme der dynamischen RiBa,usbreitung stehen gegenwartig im Mitt,elpunkt der theoretischen nnd experi- mentellen Untersuchungen zur Weiterentwicklung der Bruchmechanik. Von ihrer Losung erhofft man sich wesent- liche Fortschritte bei der Verbindung der niikrostrukturellen und kontinnumsmechanischen Aspekte des Bruches und der daraus ableitbaren Bruchsicherheitskriterien, z. B. fur Druck- behdter und Rohrleitungen.

I m vorliegenden Berichtsband sind die anladlich einer 1972 dnrchgefuhrten internationalen Konferenz uber die dynamische RiBausbreitung gehaltenen Vortrage und Dis- kussionsbeitrage zu folgenden Problemkreisen zusammen- gefaBt: - niikrostrukturelle Aspckte des Bruches - spriide Werkstoffe und Glas - duktile Werkstoffe - dynamische RiBmodelle - kontinuumsmechanische Experimente - analytische HiBprobleme -- Bruch von Konstruktionsteilen Bcinerkenswert,e neue Erkenntnissc ergaben die Ermittlnng der RiBausbreitnngsgeschwindigkeit in unterschiedlichen Werkstoffen, die Untersuchungen uber die Richtung der RiBausbreitung einschlieBlich der RiBverzweigang sowie zur dynamischen RiBausbreitung unter elast,isch-plastischen Be- dingungen nnd die Entwicklung der Zusammenhange zwi- schen der RiBausbreitung und der craze-Bildung in Hoch- polymeren bzw. dem Bruch und der Versetzungsdynamik in kristallinen Materialien. Wichtige Hinweise werden auch zur Weiterentwicklung der Werkstoffpruftechnik, z. B. zur Anwendung des registrierenden Kerbschlagbiegeversuches und ziim EinfluB der Priifmaschine auf die RiBausbreit'ung und -arretierung, gegeben. Die Palette der untersuchten Ma- terialien nmfaBt dukt,ile Metalle (Aluminium, austenit.ischer Stahl), Hochpolymere, Sprodwerkstoffe (Glas, Keramik) und Oestein. Moglichkeiten einer t,echnischen Anwendung zeigen 11. a. die Arbeiten uber den Bruch von Gasleitungen, die RiBarretierung in geschweiBten Stahlplatten fur GroOt'anker und das Bruchverhalten von Verbundwerkstoffen.

Magdeb arg H. BLGMEXAGER

D. A. Dubin, S o l v a b l e M o d e l s .in A l g e b r a i c S t a - t i s t i c a l M e c h a n i c s . (Oxford Science Research Papers.) V1, 121 S. Oxford 1974, Oxford University Press. Preis a' 5.25 net.

Unter algebraischer statistisclier Mechanik versteht man cinen iieuen Zweig der stat,istischen Physik, in dem mit den

where we have put ia = IV. Equation (15) does not admit of a positive real root, or a complex root whose real part is positive and so the system is stable.

The second factor of Eq. (14) can be written as

(16) where ia = W. When 0: < 0, Eq. (16) has a t least one positive root. This means that a t least one value of iu is positive, meaning thereby instability.

We conclude, therefore, that JEANS' criterion of in- stability holds good in the presence of suspended particles on the gravitational instability of an infinite homogeneous gas-particle medium.

R e f e r e n c e s 1 J. H. JEANS, Phil. Trans. Roy. Sor. (London) 199, 1 (1902). 2 S. CHANDRASEKHAR, Hydrodynamic and Hydromagnetic Stability, (Cla-

3 J. W. SCANLOX and L. A. SEGEL, Phys. Fluids 16, 1573 (1973). rendon Press, Oxford, 1961) Chap. 13.

Eingereicht am 17. 7. 1974

Anschriff: Dr. R. C . SHARMA, Deptt. of Math . , Himachal Pradesh University, Simla-5jIndia

Mitteln dcr Funktionalanalysis und insbesondere der Theorie der Operatoralgebren der Versuch einer mathematisch stren- gen Begrundung der statistischen Physik unternommen wird. Charakteristisch ist dabei, daB man von vornherein Systeme mit nnendlich vielen Freiheitsgraden betrachtet, wlihrend in der konventionellen Theorie der Grenzubergang zii unend- lich groBen Systemen erst an einer geeigneten Stelle vorge- nommen werden muB.

Das vorliegende Buchlein will eine Einfiihrung in die algebraische statistische Mechanik geben, wobei in der Hauptsache Probleme der Gleichgewichts-Quantenstatistik an Hand streng losbarer Modelle (ideales Fermi-Gas, ideales Bose-Gas, Bardeen-Cooper-Schrieffer-Modell der elektri- schen Supraleitung und Ising-Modell) diskutiert werden; irreversible Prozesse und etwa die Ergodentheorie werden nicht untersucht. Die Darstellung ist komprimiert und schwer lesba.r, da nur die allgemeinen Gedankengange skiz- ziert werden. Beweise werden meist nicht geliefert, sondern durch Literaturzitate ersetzt ; eine Reihe von weniger geltiu- figen mathematischen Begriffen. wird ebenfalls ohne Defini- tion verwendet. Zu bemangeln sind auch einige irrefiihrende Schreibweisen und Formulierungen (z. B. auf 8. 20 u. 49 He 111, He IV stat t richtig 3He, 4He, dagcgen ist richtig He I1 = 4He 11); es stimmt nicht, daB das Ising-Model1 das einzige exakt losbare Modell mit Phaseniimwandlung ist (S. 99), das Acht-Vertex-Modcll von Baxter (1971) ist vie1 allgemeiner und enthalt das Ising-Idodeil und weitere exakt losbare Modelle mit Phasenumwandlnng als Spezialfalle. Die Literaturzitate am Ende des Textes werden ohne Seitcn- angaben gemacht.

Wenn das Buch als Einfiihrung weniger geeignet erscheint, so gibt es doch fur Leser, die uber eine fundierte mathema- tische Vorbildung verfugen, einen guten ifberblick uber moderne Entwicklungen in der algebraischen Formalierung der statistkchen Mechanik.

Dresden G. VOJTA

K. F. Riley, M a t h e m a t i c a l M e t h o d s f o r t h e P h y - s i c a l Sc iences . Cambridge University Press. (1974).

Diese , ,zwanglose Behandlung" mathematischer Methoden will den Schwierigkeiten begegnen, denen die Studenten der Physik und der Ingenieurwissenschaften namentlich in den ersten beiden Studienjahren angesichts der mathematischen Bearbeitung ihres Hauptfachs gegenuberstehen. Tatsachlich konzentriert sich der Verf., ein Physiker, ganz anf sein Fach- gebiet, so daB nur die Frage nach dem Niitzen dieses Buches fur die Ausbildung von Physikstudenten zu stellen ist. Hin- sichtlich der Stoffauswahl kann man positiv antworten. Das einleitende Iiapitel bcinhaltet im wesentlichen einen Abri 13 der Differential- und Integralrechnung und ist offrribar a18