Studiepraktikalgoritmik øvelser

Gerth Stølting BrodalInstitut for DatalogiAarhus Universitet

“Algorithmics is more than a branch of computer science. It is the core of computer science, and, in all fairness, can be said to be relevant to most of

science, business, and technology.”

Dagens formål

• Illustrere algoritmiske problemstillinger• Finde algoritmer for simple problemstillinger• Få en følelse med kompleksiteten af algoritmer

Program

• Fisk (øvelser 1 - 3)• Sammenligne tal (øvelser 4 - 5)• Parringer (øvelse 6)• Google (øvelse 7)• Sammenligne flere tal (øvelser 8 - 12)

Grupper af 3 - 4 personer

Fisk

Andre paknings problemer

Find et tal

Find minimum

Sætning En algoritme der bestemmer minimum af n elementer laver mindst n-1 sammenligninger

Bevis: Alle elementer på nær minimum elementet skal have tabt mindst én sammenligning – ellers er de også kandidater til at være minimum. □

Find minimum & maximum

Sætning En algoritme der bestemmer minimum & maximum af n elementer laver mindst 3/2·n - 2 sammenligninger (i værste tilfælde)

Bevis: Lav en modspiller strategi der tvinger algoritmen til at lave mange sammenligninger. Placer elementerne i grupper:(I) Aldrig vundet, tabt mindst én gang(II) Både tabt og vundet mindst én gang(III) Aldrig tabt, vundet mindst én gang(IV) Aldrig sammenlignet

(I) Minimumkandidater

(II) Udelukkede

(III) Maximumkandiater

(IV) Ikke sammenlignede

Find minimum & maximum

• mindst n/2 sammenligninger involverende (IV)

• til sidst n - 2 (II)• en sammenligning kan højst

lave en ny (II) og en sådan involverer ingen (IV)

≥ n/2 + n – 2 sammenligninger □

x y Svar Gruppe flytning

I I x y Flyt y til II

III III x y Flyt x til II

III

II/IIIIII x y (ingen)

I/II IV x y Flyt y til III

IV III x y Flyt x til I

IV IV x y Flyt x til I og y til III

II II Konsistent med hidtige (ingen)

(I) Minimumkandidater

(II) Udelukkede

(III) Maximumkandiater

(IV) Ikke sammenlignede

Modspiller strategi

Find minimum & næst mindsteSætning En algoritme der bestemmer minimum og det næst mindste element af n elementer laver mindst n + log2 n - 2 sammenligninger

Bevis: Modspiller strategi

x y Svar $ flytning

0$ 0$ Konsistent med hidtige

(ingen)

0$ ≥ 1$ x y (ingen)

X$ ≥ Y$ ≥ 1$ x y Flyt alle y’s $ til x

• Alle elementer får i starten 1$. • Element med ≥ 1$ minimum kandidat.• Minimum kandidat tabt k gange har højst

2k $.• Til sidst har minimum elementet n$

tabt ≥ log2 n gange.• Af disse elementer har log2 n -1

elementer ud over at have vundet over minimum også vundet over et andet element for ikke at være kandidater til at være det næst mindste element.

• n-1 elementer vundet mindst én gang• log2 n -1 vundet over minimum og et

andet element. □

Stable marriage

Andre variationer af parringer

• Maximal parring i to-delte grafer• Stabil parring med flere A’er for

hvert B (flere elever per sygehus)• Vægtede parringer (hvert muligt

par har en payoff værdi)

• Eksempler på graf problemer

Korteste veje (i Vest-Europa)• 18.029.721 knuder• 42.199.587 orienterede kanter

Google’s PageRank algoritme

Internettet

Random Walk

Sandsynlighedsfordeling

Skridt 1 2 3 4 5 60 1.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.0001 0.028 0.861 0.028 0.028 0.028 0.0282 0.039 0.109 0.028 0.745 0.039 0.0393 0.039 0.432 0.028 0.118 0.338 0.0444 0.039 0.299 0.028 0.388 0.077 0.1695 0.039 0.406 0.028 0.277 0.189 0.0606 0.039 0.316 0.028 0.366 0.143 0.1077 0.039 0.373 0.028 0.291 0.180 0.0878 0.039 0.342 0.028 0.339 0.149 0.1039 0.039 0.361 0.028 0.313 0.169 0.09010 0.039 0.348 0.028 0.329 0.158 0.09811 0.039 0.357 0.028 0.318 0.165 0.09412 0.039 0.351 0.028 0.325 0.160 0.09613 0.039 0.355 0.028 0.320 0.163 0.09414 0.039 0.352 0.028 0.323 0.161 0.09615 0.039 0.354 0.028 0.321 0.163 0.09516 0.039 0.353 0.028 0.323 0.162 0.09517 0.039 0.354 0.028 0.322 0.162 0.09518 0.039 0.353 0.028 0.322 0.162 0.09519 0.039 0.353 0.028 0.322 0.162 0.09520 0.039 0.353 0.028 0.322 0.162 0.09521 0.039 0.353 0.028 0.322 0.162 0.09522 0.039 0.353 0.028 0.322 0.162 0.09523 0.039 0.353 0.028 0.322 0.162 0.09524 0.039 0.353 0.028 0.322 0.162 0.09525 0.039 0.353 0.028 0.322 0.162 0.095

1 hvis0

1 hvis10

v

vpv

Evu

iu

iv u

pp),(

1

)udgrad(

1

6

5

6

1

6

1

ivp = sandsynligheden for at være i knude v efter i skridt

Sortering…Øvelser fra introduktionskurset

Perspektiverende Datalogi