strengthening invariants for efficient computation * yanhong a. liua

42

Upload: dinhxuyen

Post on 01-Feb-2017

228 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: Strengthening Invariants for Efficient Computation * Yanhong A. Liua

����������������� ��� ���������� ��������������! #" $% ������&'��( )�*+���,�� -���/.

02143�5�673�8:9<;>=%?A@�BDCFEHGJILKM6ONPNRQ<;JI�NH67STSVUXW>B�G>Y�?AZ Y[U\?]NHUXSA^�1O@�Z`_

acbed�fhgXicjVkmlon\prqskmtXpukwv[kAgcx�lyjzf�kmtMj|{}nXj]xPjVk�~Ot�q|��kml��yq|jz��d��h��k����Md�lu��xPj}n\j]d�t��[��l�drd-��{nXj]d�tM�[��l�d�d-��{}�2���P�����m��{[~�nc�

� v[kAg�x�l�jzf�k�tMj>d���bed�fhgXicjVk�lon�pmq]k�tXpyky{Jbed�lyt\km���>~4t�q|��kml��yq|jz�-{4�yj|��xPpux-{}�2���m���H ¢¡�{[~�n��

£�¤4¥m¦�§-¨�©¢¦ª>«M¬®­�¯M°�¯�±m²�¯M²³±r­�±r´Hµ³­�¯�²³¶¢·¢²u°¢¸`°¢´�°¢¹®º�­�±r­,°¢´�»¼µ�²u°¢´�­�½|¶¢²�¸�°�µ³¬¾¶P´�­�½�¶¢²�­�µ�²³±r´�·¢µ³«c±r´�¬®´c·¿¬®´�ÀÁ °�²�¬®°¢´Hµ³­�½�¶¢²[µ³«c±�¯MÂc²³¯�¶P­�±�¶¢½>±�Ã,Äm¬¾±r´Hµ�Ä�¶P¸�¯MÂcµ³°�µ³¬¾¶P´ÆÅeÇ7¬®´�»M¬®´c·µ³«c±�­�µ�²³¶P´c·¢±m²�¬È´ Á °�²�¬®°¢´Hµ³­Ä�¶¢²³²�±r­�¯�¶P´�»�­�µ�¶É»�¬®­³Ä�¶ Á ±m²�¬®´c·�°�·¢±r´c±m²u°¢¹�Äm¹®°¢­³­[¶¢½Ê°¢Â�Ë�¬È¹®¬®°�²³ºÉ¬®´�½�¶¢²�¸�°�µ³¬¾¶P´R½|¶¢²�°¢´Hº¿¬®´MÄ�²³±�À¸�±r´Hµ³°¢¹eÄ�¶P¸�¯MÂ�µ³°�µ³¬¾¶P´�¯�²³¶¢ÌX¹¾±r¸Å�Í�¶P¸ÎÌM¬È´�¬®´c·,µ³«c±�µ�±rÄ�«�´M¬®ÏHÂ�±r­hÐh¬¾µ³«Ñ¯�²³± Á ¬¾¶PÂ�­Jµ�±rÄ�«�´M¬®ÏHÂ�±r­½|¶¢²wÄm°¢Ä�«�¬®´�·�¬È´Dµ�±m²�¸�±r»�¬®°�µ�±Î²�±r­³Â�¹¾µ³­mÒ\ÐÓ±%¶¢Ì�µ³°¢¬È´Ñ°�­�º�­�µ�±r¸�°�µ³¬®Ä[°�¯�¯M²³¶P°¢Ä�«�µ³«�°�µJµ�²�°¢´�­³½�¶¢²�¸�­´c¶P´cÀV¬®´�Ä�²³±r¸�±r´Hµ³°¢¹e¯�²�¶¢·¢²�°¢¸�­o¬®´Hµ�¶2±�Ã,Äm¬®±r´DµÎ¬È´�Ä�²³±r¸�±r´Hµ³°¢¹e¯�²³¶¢·¢²u°¢¸�­wµ³«�°�µÎÂM­�±�°¢´�»É¸�°¢¬È´�Àµ³°¢¬®´�Â�­³±m½|Â�¹4°¢Â�Ëc¬®¹®¬®°�²�º2¬®´c½|¶¢²�¸�°�µ³¬¾¶P´Ñ°¢­ÊÐL±r¹È¹4°¢­wÂM­�±m½|ÂM¹O¬®´Hµ�±m²�¸�±r»M¬®°�µ�±%²�±r­³Â�¹¾µ³­mÅ�ª>«c±[Â�­�±�¶¢½°¢Â�Ëc¬®¹®¬È°�²³º�¬®´c½|¶¢²�¸�°�µ³¬®¶P´Ñ°¢¹È¹¾¶�Ð�­wÂM­Êµ�¶�°¢Ä�«�¬®± Á ±�°·¢²³±r°�µ�±m²�»c±m·¢²³±m±�¶¢½�¬®´�Ä�²³±r¸�±r´Dµ³°¢¹®¬®µVº�µ³«M°¢´¶¢µ³«c±m²�Ð�¬®­�±%¯\¶P­�­³¬¾ÌM¹¾±¢ÅXÔ�¯�¯X¹®¬®Äm°�µ³¬¾¶P´�­�¶¢½�µ³«c±�°�¯�¯�²�¶P°¢Ä�«�¬®´�Äm¹®ÂM»c±Î­�µ�²³±r´�·¢µ³«�²�±r»�Â�Ä�µ³¬¾¶P´Ñ¬®´2¶¢¯�Àµ³¬®¸�¬¾Õr¬®´c·�Ä�¶P¸�¯M¬È¹¾±m²�­�°¢´�»�ÖX´M¬¾µ�±w»�¬Ø×�±m²³±r´�Äm¬®´c·�¬®´�µ�²u°¢´�­�½|¶¢²�¸�°�µ³¬¾¶P´�°¢¹Ù¯�²³¶¢·¢²�°¢¸�¸�¬®´c·cÅ

Ú Û�ÜOÝ¢ÞPßeà}áLâ�Ý¢ãVß�Ü

ä�å âcã]æMÜOÝ%â�ß�çéèÓáeÝ¢ê\Ý¢ãVß�Ü+ë�ã]êÑãVÜ}â�ÞDæMçéæMÜOÝ�êÆì7â�ß�çéèLá�Ý¢êXÝPãVß�Ü>íïî�ð�ñ-òyòuñ-ð�ó�ñ�ôcñ�õ�ñ-ö�÷ø öyù�ú�ö�û�ü!ó�ù�ü ø\ý\þ ñ�ò�ÿc÷����Xñ���� ø ù�|ð þ � þ ñ�ö�û þ �|ù�ð7ôeñ� ø öyñ�òyòyñ�� ûHò�öyñ�ó ý öuò���õ�ñ � ý ð�ó þ �|ù�ð�òù�ö��|ùMù ø ò���������ò��|ò����c÷���ùXù ø ù ø\þ ��ü�����û þ �|ù�ð\ò�û�öuñòyù��|ü ø ù�ö þ ûHð þ ��� ��ùXù ø ÿOù!�\÷+ó�û�ðÿOñÑöyñ-ú�û�ö���ñ�� û�òû ø öuù�ú�öyû�ü#" ø û�ö�ûHü�ñ þ ñ-ö$�%��ñ&� ÿc÷ û�ð'��ð�� ý ó þ ��ù�ð õHû�ö$�zû�ÿ���ñ�( þ ��û þ�|ò���ð�ó-öuñ-ü�ñ-ð þ ñ��¼ù�ð�ñ�û�ó)�*� þ ñ-öyû þ ��ù�ð+ÿc÷û�ó)�Æû�ð�ú�ñ2ù ø ñ-öyû þ ��ù�ð*+,�.-0/�ó&��ñ-ð þ � þ ñ-ö�û þ ��õ�ñ1 ª�«�¬®­¿ÐL¶¢²32#ÐÓ°¢­�­�Âc¯�¯�¶¢²³µ�±r» ¬®´ ¯X°�²³µÌHº547698 ÂM´�»c±m²+·¢²�°¢´Dµ³­:69;<;<;>=@?�ÀBA<C�ÀBD¢ÀE=AGFIH�Ò6J;<;<;>=@?�ÀBA<A�ÀE=yÀK;>=H<C�Ò�°¢´�»L69;<;<;>=@?�ÀBA<A�ÀE=yÀK;GH<M<N°¢´M»ÌHºO6�P�ÇÂ�´�»c±m²�·¢²�°¢´Hµ³­JÍ�Í08�ÀBA<MI;GH<H=A�ÒÍ>ÍQ8�ÀBAGFR=<=C<M<H�ÒÆ°¢´�»�Í>Í08>ÀBA<NGFISI;GM<N�Åƪ>«�¬®­�°�²³µ³¬ÈÄm¹¾±o¬®­>°[²³± Á ¬®­�±r»�°¢´�»±�Ë�µ�±r´�»c±r» Á ±m²�­�¬¾¶P´¶¢½°,¯M°�¯�±m²�µ³«�°�µÊ°�¯�¯�±r°�²³±r»Ñ¬®´ bed¢tr�mkml�kmtXpukUT>k�p�d�lWV�d���j|��k�XD¡¢lWV��JtMt�i�x�����bZY nM��f�gcd-�uq|i�fd�t\[�lyq|tXpmq gX�®ky��d��][�l�d3^Pl�x�f[f[q|t_^�`�x�t_^¢i�x^�ky� Ò�P�µmÅZa4±mµ�±m²�­�ÌMÂ�²³·,bL±r°¢Äu«ÆÒOÇ7¹¾¶¢²u¬®»�°�ÒZDP°¢´�Â�°�²³º=A<A<S�Åc Í�¶¢²³²³±r­�¯�¶P´�»�¬È´c·�°¢Â�µ³«c¶¢²rÅedeÀV¸�°¢¬®¹gf�¹®¬®Â�hÊÄm­mÅ ­³Â�´Hº�­�ÌÙÅ ±r»�Â

ikj�lnm�jEoqp�r.sutwv<xyozrWrKlu{LrK|�}k~�s$l&��o%l$j�i�j�lnm�j$oqp�r ���0m�jEoq~��R�<�G�

Page 2: Strengthening Invariants for Efficient Computation * Yanhong A. Liua

ó-ù�ü ø�ý\þ û þ ��ù�ðÉöyñ��%�|ñ�òwù�ðRñ��Oñ-ó þ ��õ�ñ ý òuñ,ù_��ò þ û þ ñHôZ� � ñR�ÈôÆó-ù�ü ø�ý\þ �|ð�ú þ ��ñ,öuñ-ò ý � þ ùR�Óñ�û�ó)�� þ ñ-ö�û þ �|ù�ð���ð�ó-öuñ-ü�ñ-ð þ ûR����÷ ý ò��|ð\ú�ò þ ù�öyñ���öyñ�ò ý � þ òJù_� ø öyñ�õ!�|ù ý òJ� þ ñ�ö�û þ �|ù�ð\ò&�>������òJ�|ò����c÷ò þ öyñ-ð\ú þ �Röyñ�� ý ó þ �|ù�ð������Tô��Æð�� þ ñ �����Oñ-öuñ-ð�ó��|ð�ú������AôÆû�ð��Röyñ��zû þ ñ&� þ ñ�ó)��ð��� ý ñ�ò�ûHöyñ�ó-ö ý �ó&�|ûR���]ù�ö ø ñ-öE�]ù�öyü�û�ð�ó�ñR�

� �Èõ�ñ�ð û ø öuù�ú�ö�ûHü " û�ð��#û�ð �|ð ø�ýXþ ó)�Æû�ð�ú�ñ ù ø ñ-öyû þ ��ù�ð +2ôÎû ø öuù�ú�ö�ûHü "�� þ ��û þó-ù�ü ø�ý\þ ñ-ò "��z(\+�����ñ�/�ó&��ñ-ð þ �È÷ ÿc÷ ý ò���ð�ú þ ��ñRöyñ-ò ý � þ ùR� þ �\ñ ø öuñ�õ!�|ù ý ò�ó�ù�ü ø�ý\þ ûG�þ ��ù�ðÑùR��"��z(��Q�|ò�ó�ûR���|ñ���û�ð�������! �"# ��%$'&�(*)� ��,+��'-.��ùR�k" ý ð���ñ�ö�+e��/U� þ ñ�ð7ô���ð��]ù�öuüÑû þ �|ù�ðù þ �\ñ-ö þ ��û�ð þ ��ñ�öuñ-ò ý � þ ùR�U"��g(���ð�ñ-ñ���ò þ ù�ÿ�ñ�üÑû_�|ð þ ûR��ð�ñ&�<û�ð�� ý òyñ�� �]ù�ö�ñ�/�ó&��ñ-ð þ�|ð�ó�öyñ�ü�ñ�ð þ ûR�eó-ù�ü ø�ýXþ û þ �|ù�ð�ùR�Q"��z(,+0���u�21 ñ�ó-ûR�%�7û ø öuù�ú�öyû�ü þ ��û þ ó-ù�ü ø�ý\þ ñ-òoò ý ó)��|ð��]ù�öyü�û þ ��ù�ð�û�ð3 546$7 ���89 :8;)� ��,+��'-.��ùR��" ����� ý ò�ô þ ��ñ�ú�ùcûR�eù_��ó-ù�ü ø�ýXþ �|ð\úL��ùXù ø òoñ�/,�ó&��ñ-ð þ �È÷ó-ù�öyöyñ�ò ø ù�ð���ò þ ùRó�ù�ð�ò þ ö ý ó þ ��ð�úRû�ð¼ñu� þ ñ�ð���ñ�� õ�ñ�öyò$�|ù�ð¼ùR�Jû ø öyù�ú�ö�û�ü " û�ð����ñ-ö$��õ!�|ð\ú�û�ð,�|ð\ó-öyñ�ü�ñ�ð þ ûR�Mõ�ñ-öuò���ù�ð2ùR� þ ��ñÊñ� þ ñ-ð���ñ&�2õ�ñ�öyò���ù�ð ý ð���ñ�ö>û�ð,�|ð ø�ý\þ ó)�ÆûHð�ú�ñù ø ñ-ö�û þ �|ù�ð�+e�

î�ðÑú�ñ�ð�ñ-öyûR�Tôw��ð�ó-öuñ-ü�ñ-ð þ ûR�Ùó�ù�ü ø\ý\þ û þ �|ù�ð�ûR��ü�ò þ ù�òyùR��õ�ñ�û ø öuù�ÿ���ñ-ü/ù�ðÑû,òuñ< ý ñ-ð\ó-ñ�ùR��|ð ø\ý\þ ò þ ��û þ �����Oñ-ö�ù�ð��È÷ò����|ú� þ ��÷ �]öuù�ü/ù�ð\ñ�û�ð\ù þ ��ñ�ö-ô�ü�û�=w�|ð�ú ý òuñ%ùR� þ ��ñ ø öuñ�õ!�|ù ý ò���÷ó-ù�ü ø�ý\þ ñ&�ù ý\þ�ø�ýXþ �|ð¿ó-ù�ü ø�ý\þ �|ð�úÑû�ð�ñu� ù ý\þ�ø�ýXþ ô���ð�ò þ ñ�ûR�+ùR��ó-ù�ü ø�ýXþ �|ð\ú þ �\ñ�ð�ñ��ù ý\þyø�ý\þ �]öuù�ü òyó�ö�û þ ó)�.�Jî�ð�ó�öyñ�ü�ñ�ð þ ûR�Îó-ù�ü ø�ý\þ û þ ��ù�ð ��òÑû*� ý ð��Æû�ü�ñ-ð þ ûR�]��òyò ý ñ+öuñ&�|ñ�õHû�ð þ�þ �\öyù ý úR��ù ý\þ ó-ù�ü ø�ý\þ ñ-ö�òuùR� þ �Jû�öyñHô4ñR� ú��ÈôOù ø\þ ��ü����&�|ð\úó-ù�ü ø �%��ñ-öuò>�@?XôA�\ô�BDCXôE?��\ôEC�F��Tôþ öyû�ð�ò$�]ù�öyü�û þ ��ù�ðÆûR� ø öyù�ú�öyû�ü ��ñ�õ�ñ&��ù ø ü�ñ-ð þ ��F\ôG?�H\ôAI?XôAIJXôGC6C.�Aôwû�ð�� �|ð þ ñ�ö�û�ó þ ��õ�ñ ò�÷MòE�þ ñ�ü�òK�@JXôA\ôLBDH\ôG?6?XôA�6�\ô@�2B�ôGCMB�ôGC6?.�B�ON ý ü�ñ-öuù ý ò þ ñ-ó)��ð��� ý ñ-òO�]ù�ö �|ð�ó�öyñ�ü�ñ�ð þ ûR�Jó�ù�ü ø�ý\þ ûG�þ ��ù�ð\�Æû�õ�ñ�ÿOñ�ñ-ð ��ñ�õ�ñ&�|ù ø ñ��7ôÆñR� ú��ÈôP�@�\ô@��ôG?6JXôA���.QM��\ôEJ�\ôG���ôG�F\ôEC�H\ôEC��\ôEC�\ôEC�R\ôGF��� �

S Ý�ÞDæMÜOTÆÝVU}æMÜ}ãAÜOT�ãVÜOë\ê�ÞDãVêÆÜ�ÝVWYX�ßÙÞ ãAÜ}â�ÞPæMçéæMÜOÝ¢êÆìVã[ZcêXÝPãVß�Ü>í\1éñÉûHöyñ�ñ-ð\úcû�ú�ñ��'�|ðû�ð:û�ü�ÿ�� þ �|ù ý òñ��Où�ö þ2þ ù]89 ��^��)� �|ð�ó�öyñ-ü�ñ-ð þ ûR�wñu� þ ñ�ð���ñ�� ø öyù�ú�ö�û�ü�ò2û ý\þ ù�üÑû þ �|ó-ûR�%�È÷�Vù�ö�òyñ�ü��q�³û ýXþ ù�ü�û þ ��ó�ûR����÷����]öuù�ü ð�ù�ð!�W�|ð\ó-öyñ�ü�ñ�ð þ ûR� ø öuù�ú�ö�ûHü�ò��oö�� þyþ ñ-ð ��ð ò þ û�ð���û�ö��ø öyù�ú�ö�û�ü�üL�|ð�ú��|û�ð�ú ý û�ú�ñ-ò�� ������ò>û ø�ø öuùcû�ó)��ó-ù�ð þ ö�û�ò þ ò���� þ �2ü�û�ðc÷ù þ ��ñ-ö>û ø\ø öyùcûHó)��ñ-òþ �Æû þ ûR��ü þ ù_ �).&�(a`�&�$7 �ð\ù�ð��W��ð�ó-öuñ-ü�ñ-ð þ û_� ø öuù�ú�öyû�ü�òL�|ð\ó-öyñ�ü�ñ�ð þ ûR����÷�b1 ñó�û_�%� þ ����òû ø�ø öuùcû�ó)���������, �"# ��%$c&�(a�LdD&�$[�'-.���e1éñ*�Æû�õ�ñ ø ûHö þ � þ ��ù�ð�ñ&� þ ��ñ�ó�ù�öyñ�ùR� þ �\ñ ø öyù�ÿ��|ñ-ü�|ð þ ù þ ��öyñ�ñ�ò ý ÿ ø öuù�ÿ���ñ-ü�ò<f

gih B��- � ø ��ù� þ �|ð�ú þ ��ñj�! !+�`9(a$Vô�� � ñR�Èô þ ��ñ�öuñ þ�ý öyðÉõ�û_� ý ñHô�ùR�0"��z(���gih ?��PkÊû�ó)���|ð�ú�ô�ü�ûR�|ð þ ûR�|ð���ð�ú�ôOû�ð�� ñu� ø ��ù� þ �|ð�úY���%$l ��^"# :8��[&�$7 m�, !+�`9(a$n+[ùR� þ ��ñ�ó�ù�ü,�ø�ýXþ û þ �|ù�ð�"��g(��u�

gih ���9o��|òuó-ù¢õ�ñ�ö���ð�ú�ôcó-ù�ü ø�ýXþ �|ð\ú�ôcüÑû_�|ð þ ûR��ð��|ð\ú�ô�ûHð��Ññ� ø �|ù� þ �|ð\ú#&�`�46��(a�[&��^pq���srs-.�^"m&�t$[�'-.�ÑûHÿOù ýXþ (�ô�� � ñR�Èô\õHûR� ý ñ�òoð�ù þ ó-ù�ü ø�ýXþ ñ&�Rÿc÷ "��z(���

/ ý öJó ý öyöuñ-ð þ û ø�ø öyùcû�ó)�\ñ-ò þ ù ø öuù�ÿ��|ñ�ü�ò h B�û�ð�� h ?,û�öyñ]��ñ-òuó-ö���ÿOñ�� �|ðu�AJ���7ûHð��v�@J����Aôöyñ�ò ø ñ-ó þ ��õ�ñ&��÷R�Ùî�ð þ ���|ò ø û ø ñ�ö-ô��hñ,û_����öyñ�òyò ø öyù�ÿ��|ñ�ü h ��ûHð��¿ó�ù�ð þ ö$�|ÿ ý\þ ñ�f

g � ð�ù¢õ�ñ&� ø öyù ø ù�òyûR�.�]ù�ö7�Æð����|ð�ú�û ý �����%�|û�öu÷L�|ð��]ù�öyü�û þ ��ù�ð.�g � ó-ù�ü ø öyñ���ñ-ð\ò���õ�ñü�ñ þ ��ù!��ù��ù�ú�÷ �]ù�ö]��ñ-ö$��õ!�|ð\ú �|ð�ó�öyñ�ü�ñ�ð þ ûR� ø öyù�ú�ö�û�ü�ò þ �Æû þ û_�����öuñ-òuòyñ-ò%ûR��� þ ��öuñ-ñ�ò ý ÿ ø öyù�ÿ��|ñ�ü�ò��

?

Page 3: Strengthening Invariants for Efficient Computation * Yanhong A. Liua

� �|ð\ó-ñ2û ý �����%�zûHöu÷��|ð��]ù�öyü�û þ ��ù�ð ��ò�ð�ù þ ó�ù�ü ø\ý\þ ñ�� ÿc÷ þ ��ñù�ö���ú�|ð�ûR�Lÿ�ù!�\÷ùR��ó�ù�ü ø\ý �þ û þ �|ù�ð�"��z(��rô7ûR�����|ð�ú � þ ò þ öyñ�ð�ú þ �\ñ-ð�ò þ ��ñ,�|ðcõHû�ö��|û�ð þ ò þ �Æû þ ��ù�%��ù¢õ�ñ-ö þ �\ñO� þ ñ-ö�û þ ��õ�ñó-ù�ü ø�ý\þ û þ ��ù�ð þ ��û þoý òyñ�ò�" �z(��u�

� ù�ü�ñwû ø�ø öyùcû�ó)�\ñ-ò þ ù�ñu/�ó&�|ñ�ð þ ó-ù�ü ø�ý\þ û þ ��ù�ðO�Æû�õ�ñoñ� ø �|ù� þ ñ&��ò ø ñ-ó&���Æó =w�|ð��\ò�ùR�Oû ý �w��%���zû�ö�÷,�|ð��]ù�öyü�û þ ��ù�ðO�]ù�öJò þ öuñ-ð�ú þ ��ñ-ð��|ð�úO��ðcõ�ûHö��zûHð þ ò-ô�ñR� ú��Èô�û ý �����%�|û�öu÷2ûHö�� þ ��ü�ñ þ ��óÎû�òyòuù_�ó&�|û þ ñ��*��� þ ��òuù�ü�ñó��zû�òuò���ó�ûR�Lò þ öuñ-ð�ú þ ����öyñ&� ý ó þ �|ù�ð¼ö ý �|ñ-òm�����Aôeû ý �����%�zûHöu÷Éü�û ø ò�ü�ûR�|ð��þ ûR��ð�ñ&� ÿc÷��Æð�� þ ñL�����Oñ-öuñ-ð�ó��|ð�úÉö ý �|ñ-ò �]ù�ö�û�ú�ú�öyñ-ú�û þ ñ ø ö$�|üL� þ �Èõ�ñ�ò��|ð � -Q�����@����hû�ð��î7N k �@F6.�Tô�û�ð�� û ý ���%�%�|û�öu÷ �Æû þ û�ò þ ö ý ó þyý öyñ�òy�]ù�ö ø öyù�ÿ��|ñ-ü�ò���� þ � ó�ñ-ö þ ûR��ð ø öyù ø ñ-ö þ �|ñ�ò�%��=�ñ�ò þ ûHÿ��|ñy��ñ-ó�ù�ü ø ù�ò$� þ �|ù�ð��AC�H�� ���ÎùG�hñ�õ�ñ-ö�ô7òu÷Mò þ ñ-ü�û þ ��ó ���|òyó�ù¢õ�ñ-ö�÷ùR��û ý ���%���zû�ö�÷ �|ð!��]ù�öyü�û þ �|ù�ðU�]ù�öLûHöyÿ�� þ ö�ûHöu÷ ø öyù�ú�öyû�ü�ò �Æû�ò�ÿOñ�ñ-ð,ûÎò ý ÿ��uñ�ó þ ó-ù�ü ø �|ñ þ ñ���÷[ù ø ñ�ðy�]ù�öeò þ�ý �X÷�

� ý �����%�zûHöu÷ �|ð��]ù�öuüÑû þ �|ù�ð �|ò�ôwÿ�÷ �\ñ��Æð�� þ ��ù�ð7ô ý òuñ�� ý � ��ð��]ù�öyü�û þ �|ù�ð ûHÿOù ýXþ ( þ �Æû þ ��ò��-.$Óó�ù�ü ø\ý\þ ñ�� ÿc÷�"��z(����1 ��ñ-öuñ�ô þ ��ñ-ð4ô7ó�û�ð¼ù�ð\ñ �Æð��*� þ�� ����ñj=�ñ�÷ �|ð�ò$�|ú� þ ù_�hù ý öø öyù ø ù�òyûR�.��ò<f

íPkJù�ð\ò��%�\ñ-ö-ô4û�ò�ó-û�ð������Æû þ ñ�û ý �����%�zûHöu÷ ��ð��]ù�öyü�û þ �|ù�ð �]ù�ö�"Lô4û_�%���|ð þ ñ�öyü�ñ&���|û þ ñ�öyñ�ò ý � þ ò�ùR��ûHð �|ð\ó-öyñ�ü�ñ�ð þ ûR�oõ�ñ�öyò���ù�ð ùR� " þ ��û þ ��ñ ø ñ�ð�� ù�ð���÷ ù�ð (��ò ý ó)� û�ð �|ð!�ó�öyñ-ü�ñ-ð þ ûR�eõ�ñ-öuò���ù�ð+ó-û�ð+ÿ�ñ�ù�ÿ þ û_�|ð�ñ�� ý ò$�|ð�ú�òyù�ü�ñ þ ñ�ó)��ð��� ý ñ�ò]�hñ ��ñ�õ�ñ��|ù ø ñ&���]ù�öòuù��õ!�|ð\ú h B[ûHð�� h ?�� h ?y�|ò �|ð\ó&� ý ��ñ&����ñ-öuñ�òyù þ �Æû þ ó-û�ð������Æû þ ñ%û ý �����%�zûHöu÷O��ð��]ù�öuüÑû �þ �|ù�ð ý òuñ�� ý � �]ù�öwñu/�ó&�|ñ�ð þ ��÷�üÑûR��ð þ ûR��ð��|ð�ú �|ð þ ñ�öyü�ñ&���|û þ ñ�öyñ-ò ý � þ ò��|òoûR��òyùe�|ð�ó�� ý �\ñ&�.�

�%ù<� ó-û�ð#ù�ð�ñ*���|òuó-ù¢õ�ñ�ö�������ó)� ø ��ñ-ó�ñ-òRùR��ó-û�ð������Æû þ ñ û ý ���%�%�|û�öu÷ �|ð��]ù�öyü�û þ ��ù�ð û�öuñý òyñu� ý �}û�ð��\��ù<� þ ��ñ�÷�ó-û�ðRÿOñ ý òuñ&� � 1 ñ ø öyù ø ù�òuñ�f

� í�- � þ ñ�ð���" ��� þ �ÑûR�%�\ó�û�ð����%�Æû þ ñ�û ý ���%�%�|û�öu÷ �|ð��]ù�öyü�û þ ��ù�ð7ô�ûHð�� þ ��ñ-ðÑû ø�ø �È÷2òyù�ü�ñþ ñ-ó)��ð��� ý ñ-ò ý òuñ&�,��ð�ù ý öLü�ñ þ ��ù!��òk�]ù�ö h Bwû�ð�� h ? þ ù[ù�ÿ þ ûR��ð�û�ð�ñ� þ ñ-ð���ñ&�õ�ñ�öyò$�|ù�ðû�ð�� û�ð ��ð�ó-öuñ-ü�ñ-ð þ û_�hñ� þ ñ-ð��\ñ&� õ�ñ�öyò���ù�ð þ �Æû þ�þ ù�ú�ñ þ ��ñ�ö�ó-ù�ü ø�ýXþ ñ�ô}ñu� ø ��ù� þ ô}û�ð��ü�ûR�|ð þ ûR�|ð�ù�ð���÷ ý òyñu� ý � �|ð þ ñ�öyü�ñ&���|û þ ñ�öuñ-ò ý � þ ò%ûHð�� ý òyñu� ý �}û ý ���%���zû�ö�÷ ��ð��]ù�öyü�û þ �|ù�ð.�

��� ý ò-ô�ù�ð þ ��ñÑù�ð�ñ ��û�ð��7ôLù�ð�ñÑó-û�ð öyñ�úcû�ö$� þ ��ñ�ü�ñ þ ��ù!� �]ù�ö h � �|ð þ ����ò ø û ø ñ-ö�û�òû�ð¼ñu� þ ñ�ð�ò���ù�ð þ ù�ü�ñ þ �\ù���ò��]ù�ö h B�û�ð�� h ?�� /�ð þ ��ñ2ù þ ��ñ�ö��Æû�ð��4ô7ù�ð�ñó-û�ð öuñ-úcûHö��ü�ñ þ ��ù!��ò7�]ù�ö h B�û�ð�� h ? �Vò ý � þ ûHÿ���÷�öyñ�õ���òyñ����]ù�ö þ ��ñ&��ö7���L�4ñ�öyñ-ð þ û ø�ø �%�|ó-û þ ��ù�ð�ò9��ñ-öuñD�û�ò[û_�%��ò��]ù�öÎòyù�Èõ���ð�ú h ��������ñ,ü�ù!� ý �|û�öoó-ù�ü ø ù�ð�ñ-ð þ ò�ó-ù�ü ø ��ñ-ü�ñ-ð þ ù�ð�ñ,û�ð�ù þ ��ñ-ö þ ù�]ù�öyü ûwó-ù�ü ø öyñ���ñ-ð\ò���õ�ñ ø ö��|ð\ó&� ø �|ñ&��û ø�ø öyù�û�ó)�y�]ù�ö �|ð�ó�öyñ-ü�ñ-ð þ ûR�%����û þ �|ù�ð�ûHð�� þ ��ñ�öyñ��]ù�öyñûR�|òuù]�]ù�öLû�ó)����ñ�õ!�|ð\ú�ñ�/�ó��|ñ-ð þ � þ ñ�ö�û þ ��õ�ñhó�ù�ü ø\ý\þ û þ �|ù�ð�ú�ñ�ð�ñ-öyûR�%�È÷�G�U� þ ��ù ý ú� þ ��ñJñ�ð þ �|öuñû ø�ø öuùcû�ó)�Ròyñ�ñ-ü�ò%ó�ù�ü ø �|ñu�Oô�ñ-û�ó)�Rü�ù!� ý ��ñ[ù�öoò þ ñ ø �|òwò���ü ø �|ñR�

1éñ�ò ý ü�ü�û�ö$�%�-ñU��ñ-öuñ þ ��ñ�ñ-òyòuñ-ð�ó�ñ�ùR�Lù ý öwü�ñ þ ��ù!��ò<f

ÚÆí}î�ð0�AJ�.�Tô��hñúcû�õ�ñ�û�ò�÷Xò þ ñ�üÑû þ �|ó þ ö�û�ð�òE�]ù�öyü�û þ �|ù�ðÆû_�Lû ø�ø öyù�û�ó)���]ù�ö���ñ�ö���õ!��ð�úÉû�ð�|ð�ó�öyñ�ü�ñ�ð þ ûR��õ�ñ-öuò���ù�ðe"��HùR��û ø öyù�ú�öyû�ü " ý ð���ñ-öÓû�ðO�|ð ø�ý\þ ó)�Æû�ð�ú�ñ�+e� ����ñÊÿÆûHò��|ó �%�\ñ�û�|ò þ ù�����ñ-ð þ ���s÷ ��ð þ ��ñ�ó-ù�ü ø�ý\þ û þ ��ù�ð�ùR��" �z(O+i�2� þ ��ù�òyñ�ò ý ÿOó�ù�ü ø\ý\þ û þ �|ù�ð\ò þ �Æû þ û�öuñûR�|òuù ø ñ�ö$�]ù�öuü�ñ�� �|ð þ ��ñ�ó-ù�ü ø�ý\þ û þ ��ù�ð�ùR� "��g(��Jû�ð�� ����ù�òyñ�õHûR� ý ñ�òÊó�ûHðRÿ�ñ�öyñ þ ö$�|ñ�õ�ñ&��]öyù�ü þ ��ñ�ó-û�ó)��ñ&�Éöuñ-ò ý � þ�� ùR�k" �z(��u������ñ[ó�ù�ü ø\ý\þ û þ �|ù�ð�ùR� "��g(�+����Q�|ò�òu÷Mü�ÿ�ù�%��ó�ûR����÷þ öyû�ð�ò$�]ù�öyü�ñ&� þ ùû�õ�ù���Ñöuñu� ø ñ-öE�]ù�öyüL�|ð\ú þ ��ñ-òuñ[ò ý ÿ�ó-ù�ü ø�ýXþ û þ �|ù�ð�ò�ÿc÷Ñöuñ ø �|û�ó&��ð�ú þ ��ñ�ü

Page 4: Strengthening Invariants for Efficient Computation * Yanhong A. Liua

��� þ � ó�ù�öyöuñ-ò ø ù�ð����|ð�ú öyñ þ ö$�|ñ�õHûR��ò&�7�����|ò�ñ�/�ó��|ñ-ð þ �Êû�÷ ùR�,ó-ù�ü ø�ýXþ �|ð\ú "��z(�+ �2� ��òó�û øXþ�ý öuñ&� ��ð þ ��ñ ��ñu�Æð�� þ �|ù�ðRù_�Q"����z(��,��� � �u�

�� í>î�ð �@J����Aô �Jñ�ú�û¢õ�ñ�û+ü�ñ þ ��ù��4ô}ó-ûR�%��ñ&� �:&9���% �t &���8�t�����`9�� �ô.�]ù�ö�ò þ û þ ��ó�ûR����÷ þ ö�û�ð�ò3��]ù�öyüL�|ð\ú ø öyù�ú�ö�û�ü�ò þ ù�ó�û�ó)��ñÎûR������ð þ ñ-öuü�ñ����zû þ ñJöuñ-ò ý � þ ò ý òyñ�� ý ���]ù�ö0�|ð\ó-öyñ�ü�ñ�ð þ ûR��ó�ù�ü,�ø�ý\þ û þ ��ù�ð.������ñ�ÿ�û�ò���ó ����ñ�ûL�|ò þ ùu�Vî �Îñ� þ ñ-ð�� þ ��ñ ø öyù�ú�ö�û�ü " þ ùÑû ø öuù�ú�ö�ûHü " þ ��û þöyñ þ�ý öuð�òÊûR���Z�|ð þ ñ�öyü�ñ&���|û þ ñoöyñ�ò ý � þ ò�ô �]îyî � ��ð�ó-öuñ-ü�ñ-ð þ û_�%�%��ñ þ ��ñ ø öyù�ú�ö�û�ü " ý ð���ñ�ö�+ þ ùù�ÿ þ ûR�|ðÑû�ð �|ð�ó�öyñ�ü�ñ�ð þ ûR�Ùõ�ñ-öuò���ù�ð" � ùR��" ý ò���ð�ú�ù ý öJü�ñ þ ��ù!� �]ù�ö h B�ô\û�ð�� �Vîyîuî �hû�ð�û ���÷!�-ñ þ ��ñ9�\ñ ø ñ-ð���ñ�ð�ó&��ñ-ò �|ð "��zô þ ��ñ-ð ø ö ý ð�ñ þ ��ñ�ñu� þ ñ�ð���ñ�� ø öyù�ú�ö�û�ü " þ ù�û ø öuù�ú�öyû�ü �"þ �Æû þ öuñ þyý öyð�ò�ù�ð��È÷ þ �\ñ ý òuñ�� ý �Z��ð þ ñ-öuü�ñ����zû þ ñoöyñ-ò ý � þ ò-ô�û�ð�� ø ö ý ð�ñ þ ��ñ ø öyù�ú�ö�û�ü " � þ ùù�ÿ þ ûR�|ðû ø öyù�ú�öyû�ü �" � þ ��û þ �|ð\ó-öyñ�ü�ñ�ð þ ûR����÷�üÑû_�|ð þ ûR��ð�ò}ù�ð���÷ þ �\ñ ý òyñu� ý ���|ð þ ñ-öyü�ñ&���zû þ ñöyñ�ò ý � þ ò&�

� í�������ò ø û ø ñ-ö ø öyñ-òuñ-ð þ ò�û þ �hù_� ø �Æû�òyñ�ü�ñ þ ��ù!� þ �Æû þ ����òyó-ù¢õ�ñ-öyò�û+ú�ñ-ð�ñ�ö�ûR�Êó��zû�òuòùR�wû ý ���%�%�|û�öu÷ �|ð��]ù�öyü�û þ ��ù�ð �]ù�ö�û�ðc÷*��ð�ó-öuñ-ü�ñ-ð þ ûR�>ó�ù�ü ø\ý\þ û þ �|ù�ð ø öyù�ÿ���ñ-ü�� ����ñ þ �Jùø �Æû�òuñ-ò�ó-ù�öuöyñ-ò ø ù�ð�� þ ù:�`û�ð���� û�ÿ�ùPõ�ñR���Æù�ö h ��û�òyñ ��ôQ�Jñ �Æû�õ�ñ ��ñ�õ�ñ&�|ù ø ñ�� û�ðñ-ü�ÿ�ñ&�����|ð�úû�ðÆûR�È÷Xò$�|ò þ �Æû þ ��ñ&� ø ò�û�õ�ùR�%�'�|ð\ó&� ý ���|ð�ú¿öyñ�� ý ð��ÆûHð þ �|ð��]ù�öuüÑû þ �|ù�ð���ð û�ðñu� þ ñ�ð���ñ�� õ�ñ-öyò$�|ù�ð4ô7û�ð�� �Jñ,�Æû�õ�ññu� ø �|ùR� þ ñ��û �]ù�öE�ÊûHö�� ��ñ ø ñ�ð���ñ�ð�ó-ñ�û�ðÆû_��÷Mò���ò þ ��û þ��ñ&� ø òU����ñ-ð þ ���s÷Éó�ûHð����%��û þ ñ,û ý ���%���zû�ö�÷ �|ð��]ù�öyü�û þ ��ù�ð.���U�%� þ ��ñ ø öuù�ú�öyû�ü û�ðÆûR�È÷Mòyñ-ò[û�ð��þ öyû�ð�ò$�]ù�öyü�û þ ��ù�ð�ò ý òyñ&� �|ð þ ���|ò�ü�ñ þ ��ù�� ûHöyñ�ó-ù�ü�ÿ��|ð\ñ&� ��� þ � ó�ù�ð�ò$�%��ñ�ö�û þ �|ù�ð�ò��]ù�öó�û�ó)���|ð�ú �|ð þ ñ�öyü�ñ&���|û þ ñ>öuñ-ò ý � þ ò�ô¢òyù �Jñ�ù�ÿ þ ûR�|ðy�|ð�ó�öyñ�ü�ñ�ð þ ûR�cñu� þ ñ-ð���ñ�� ø öuù�ú�ö�ûHü�ò þ ��û þñu� ø ��ù� þ û�ð��Rü�ûR��ð þ ûR�|ð �|ð þ ñ�öyü�ñ&���|û þ ñ�öuñ-ò ý � þ òÎû�ò7�hñ&����û�òÎû ý ���%���zû�ö�÷L�|ð��]ù�öuüÑû þ �|ù�ð.�

1éñ �%��� ý ò þ öyû þ ñÊù ý ö�û ø�ø öuùcû�ó)�Ñÿc÷�û ø\ø ��÷!�|ð\úy� þ�þ ù ø öyù�ÿ��|ñ�ü�òQ��ð����|ò þ>ø öyùMó-ñ-òuò���ð�ú�ô�� � � î��ñ-ò$�|ú�ð4ôÆú�ö�û ø �¿û_�|ú�ù�ö$� þ ��ü�ò�ô\ûHð��¿ù þ ��ñ�ö%û ø�ø �%��ó�û þ �|ù�ð�û�öyñ-û�ò&�

����ñ�öyñ-ò þ ù_� þ ���|ò ø û ø ñ-ö���òeù�öyúcûHð��%��ñ&�,û�ò �]ù�%��ùG�oò�� � ñ�ó þ ��ù�ðq?7�]ù�öyü ý �|û þ ñ�ò þ ��ñ ø öuù�ÿ��|ñ�ü �� ñ-ó þ ��ù�ð �e���|òyó ý òyòuñ-ò ���|òuó-ù¢õ�ñ�ö���ð�ú2ó�û�ð����%�Æû þ ñ�û ý ���%���zû�ö�÷L�|ð��]ù�öuüÑû þ �|ù�ð.� � ñ-ó þ �|ù�ð �e��ñ�òyó�ö��|ÿ�ñ-ò ��ù<� ó�û�ð����%�Æû þ ñÊû ý �����%�|û�öu÷���ð��]ù�öuüÑû þ �|ù�ð ��ò ý òuñ&�.�R� ð ý ü�ÿ�ñ-öLùR�Ùñu�\û�ü ø �|ñ�ò�û�öuñú��õ�ñ-ð ��ð � ñ�ó þ �|ù�ð#���� �|ðÆûR����÷�ôR�JñU���|òuó ý òuòÊöyñ��zû þ ñ&���hù�ö5=�ûHð���ó-ù�ð�ó&� ý ��ñU��ð � ñ�ó þ �|ù�ðKC!�

� � ßÙÞDç á}ì]ê\ÝPãVÜPT¼ÝVU�æ+è}ÞDß��LìVæMç

1éñ ý òyñ�û¿ò���ü ø �|ñ,�Æöyò þ ��ù�ö���ñ�ö-ô}ó�ûR������ÿ�÷>�Tõ�û_� ý ñO� ý ð\ó þ ��ù�ðÆûR� ø öuù�ú�öyû�ü�üL�|ð\ú��|û�ð�ú ý û�ú�ñR�����ñ�ñu� ø öyñ�òyò$�|ù�ð�òÎùR� þ ��ñ �|û�ð�ú ý ûHú�ñ�û�öuñ�úR��õ�ñ�ð¿ÿc÷ þ ��ñ��]ù�%��ù<���|ð�ú�ú�ö�û�ü�üÑûHö<f

����� ��� � a! �" a �$#�%&('!) �+*-,/.�.�.�,0�2143 576-8$9;: �< 5=:;6 �a!>?> # " 5 a : " 6-8&A@4) � * ,/.�.�.�,0�21B3 >? �"�C�" : " � %ED < 8?5=: " 6-8 a!>?> # " 5 a : " 6-8&GFH) �+*-,I.�.�.�,0� 1 3 D < 8$5/: " 6-8 a!>?> # " 5 a : " 6-8&GJLK �+*�M!NHO?PQ�2R�O$SUT/OV�2WX576-8$Y " : " 6-8 a #Z%/[ >? % 9;9 " 6-8& SLO+M��\�]� * J P�� R � " 8?Y " 8?^ %/[ >? % 9;9 " 6-8

Page 5: Strengthening Invariants for Efficient Computation * Yanhong A. Liua

� ø öyù�ú�ö�û�ü �|òoûòyñ þ ùR�Lü ý\þyý ûR����÷�öyñ-ó ý öyò$��õ�ñy� ý ð\ó þ ��ù�ð\��ñ���ð�� þ �|ù�ð�òwù_� þ ��ñ��]ù�öyü

"���� c �������0�����6��� �7BV�

û�ð�� û � ý ð\ó þ ��ù�ð "� þ �Æû þ ��ò þ ù�ÿ�ñ�ñ�õHûR� ý û þ ñ&� ��� þ �<òyù�ü�ñ ��ð ø�ý\þ (����z( c �������0��(����u�� �|ú ý öyñ B�ú�Èõ�ñ-òoòuù�ü�ñ�ñ�\û�ü ø �|ñ���ñu�Æð�� þ �|ù�ð\ò&�

'��\@ 576 C�>�a! % 9E9 <?C 6 D 6 Y?Y a 8?Y >? 6 Y < 5=:E6 D % � % 8 > 6-9 " : " 6-8?9 6 D # " 9;:����'��\@4) � 3������ �X)! #"$"?) � 3;3�% @'&( )"?) �7� � � ) � 303 )"*"?) � 3+� JLK � �-,., ) � 3 M-NHO$P �0/ ,

O?SLT7O '� � � ) '�1*&$) � 3=,��I� � � ) '�"(&$) � 303;3�I� � � ) � 32� JLK � �-,., ) � 3 M-NHO$P �0/ ,

O?SLT7O )"*"?) '�"(&$) � 303

��� �X) � 3�� JLK � �0,., ) � 3 M!NHO?P O$SUT/O '�1*&$) � 3435��� �X) '�"(&$) � 3;3

@'&( )"?) � 3�� JLK � �0,., ) � 3 M!NHO?P cO$SUT/O '�1*&$) � 3�6 @'&( )"?) '�"*& ) � 303

Ç7¬¾·cÅ�=�Å!deËc°¢¸�¯M¹¾±Ê½zÂ�´�Ä�µ³¬¾¶P´�»c±�ÖX´�¬¾µ³¬®¶P´�­mÅ

��ð �|ð ø�ýXþ ó)��û�ð�ú�ñRù ø ñ-ö�û þ �|ù�ð + þ ùéû�� ý ð�ó þ �|ù�ð "7 �ó�ù�ü�ÿ���ð�ñ-ò�û�ð ù�%� �|ð ø�ý\þ (8��K( c �������0��(��9�}ûHð���ûoó)�Æû�ð\ú�ñ �:�;� � c �������0�,� � � þ ù��]ù�öyü ûoð�ñu�'�|ð ø\ý\þ (%�<�=�K(%� c �������0��(%�� �>�(e+i��ô�����ñ�öyñ�ñ�û�ó)��( �/ ��òwòyù�ü�ñ�� ý ð�ó þ �|ù�ðRù_� (@?7AFòÎû�ð�� �CB�A ò&���Æù�öwñu�\û�ü ø �|ñHôÆû�ð��|ð ø\ý\þó)�Æû�ð�ú�ñ[ù ø ñ-ö�û þ �|ù�ð þ ùy� ý ð�ó þ �|ù�ðED-FHG �|ð � �|ú ý öuñ B�üÑû�÷�ÿOñ]��ñ���ð�ñ&��ÿc÷L( � � ( + �I�D0J7KML �n� ��(���

1éñ ý òyñ�ûHð û�òu÷Mü ø\þ ù þ �|ó�ó-ù�ò þ ü�ù��\ñ&�Q�]ù�ö�ü�ñ�ûHò ý ö$�|ð�ú þ �|ü�ñ2ó-ù�ü ø ��ñu��� þ ÷ û�ð����oö�� þ ñN � "���� c �������0�����6�:� þ ùy�\ñ-ð�ù þ ñ þ ��ñ%û�òu÷Mü ø\þ ù þ �|ó þ �|ü�ñwùR�Oó-ù�ü ø�ý\þ �|ð�úy" ��� c �������0��������>��� ý ò-ôû�òyò ý üL�|ð�ú ûR��� ø ö��|üL� þ ��õ�ñ � ý ð�ó þ ��ù�ð�ò þ û�=�ñ¼ó-ù�ð�ò þ û�ð þ�þ �|ü�ñ�ô9� þ ò ý /�ó-ñ�ò þ ù ó-ù�ð\ò��%�\ñ-öù�ð��È÷ þ ��ñ%õHûR� ý ñ-òhùR� � ý ð�ó þ ��ù�ð�û ø\ø �%��ó�û þ �|ù�ð�ò�û�òhó�û�ð����%�Æû þ ñU��ð��]ù�öuüÑû þ �|ù�ð þ ù�ó�û�ó)�\ñR�%/U�ó-ù ý öyòyñHôOü�ûR��ð þ ûR�|ð��|ð�ú�ñ� þ ö�ûL�|ð��]ù�öyü�û þ ��ù�ð þ û�=�ñ-ò%ñu� þ öyû�ò ø û�ó-ñ_� / ý ö ø ö$�|ü�û�öu÷Ñú�ùcûR� ��òþ ùL�|ü ø öyù¢õ�ñ þ ��ñ�û�ò�÷Xü ø\þ ù þ ��ó�ö ý ð�ð���ð�ú þ ��ü�ñ[ù_� þ �\ñy��ð�ó-öuñ-ü�ñ-ð þ û_�eó-ù�ü ø�ý\þ û þ ��ù�ð.�M1 ñò�û�õ�ñ�ò ø û�ó-ñ�ÿc÷�üÑû_�|ð þ ûR��ð��|ð\ú�ù�ð��È÷ �|ð��]ù�öyü�û þ ��ù�ð ý òyñ�� ý ���]ù�öoû�ó)���|ñ�õ!�|ð�ú þ ���|ò&�

� �Èõ�ñ�ðéû ø öuù�ú�ö�ûHü "� ,û�ð�� û�ð*�|ð ø�ý\þ ó)�Æû�ð\ú�ñ�ù ø ñ�ö�û þ �|ù�ð:+ô.�Jñ ý òuñ þ ��ñ�û ø�ø öuùcû�ó)��|ð;�@J��� þ ù]��ñ�ö��Èõ�ñ�û�ðy�|ð�ó�öyñ-ü�ñ-ð þ ûR��õ�ñ�öyò$�|ù�ð " � ùR��"7 ý ð���ñ-ö +ôPò ý ó)� þ �Æû þ ôI����"� D�z(��� � ôþ ��ñ�ð ���\ñ-ð�ñ�õ�ñ-ö "� V�g( + �2�,öuñ þyý öyð�ò�ûõHûR� ý ñHô�" � �z(��,��� � �,öyñ þ�ý öuð�ò þ ��ñÉò�ûHü�ñ�õHûR� ý ñû�ð��:�|ò�û�ò�÷Mü ø\þ ù þ ��ó�ûR����÷+û þ �|ñ-û�ò þ ûHò �VûHò þ � 1 ���%�|ñL"7 V�z(���û�ÿ\ÿ�öyñ�õ��|û þ ñ�ò "� .�z( c �4�����;�$(��I�rôû�ð�� "� V�g(,+i���Jû�ÿ\ÿ�öyñ�õ��|û þ ñ�ò]"� V�O�K( c �������0��(��9�k+P� � c �4�����;�:� � �,��ô�"�� �g(��,� � � �JûHÿ�ÿ�öyñ�õ!�zû þ ñ-ò"�� �g( c �������0��(��E�6� c �4�����;�:� � � � �u�6NÎù þ ñ þ �Æû þ òuù�ü�ñÊùR� þ ��ñ ø û�ö�û�ü�ñ þ ñ-öuò�ùR��"�� üÑû�÷,ÿOñ��\ñ�ûR�û�ð�� ñ��%�|üL�|ð�û þ ñ�� �@J���B� �Æù�ö�ñu�\û�ü ø �|ñHô9�]ù�öL� ý ð�ó þ �|ù�ð�L�QRF ùR� � �|ú ý öuñ�B�ûHð�� �|ð ø\ý\þó)�Æû�ð�ú�ñ,ù ø ñ-öyû þ ��ù�ð (O+i�I�SD-J�KTL �[����(���ô�� ý ð�ó þ �|ù�ðUL�QVF � ��ð � �|ú ý öyñ ?O�|ò���ñ�ö��Èõ�ñ&���

î�ð2ù�ö���ñ�ö þ ù ý òuñoûR�|òuù��|ð þ ñ�öyü�ñ&���|û þ ñÊöuñ-ò ý � þ ò�ùR��"� .�z(�� þ ù�ó-ù�ü ø�ý\þ ñ "� .�g(9+K��� ø ù�òyò���ÿ���÷�Vû�ò þ ñ-ö�ôI�Jñ ý òyñ þ ��ñ�û ø\ø öyùcûHó)� �|ð;�@J���� þ ù%ó-û�ó)��ñ ý òyñu� ý �w�|ð þ ñ�öyü�ñ&���|û þ ñ�öuñ-ò ý � þ ò�ùR��"� Óû�ð��ù�ÿ þ ûR�|ðû ø öyù�ú�öyû�ü þ �Æû þ �|ð�ó�öyñ-ü�ñ-ð þ ûR�%�È÷,ó�ù�ü ø�ý\þ ñ�ò þ ��ñwöuñ þyý öyð�õHûR� ý ñwû�ð��2ü�ûR�|ð þ ûR�|ð�òþ ��ñ�òyñ9�|ð þ ñ�öyü�ñ&���|û þ ñ�öuñ-ò ý � þ ò�� �Æù�ö�ñ��ûHü ø ��ñ�ôI�]ù�ö � ý ð\ó þ ��ù�ðWD-FHG�ùR� � ��ú ý öuñ Bhû�ð�� �|ð ø\ý\þ

J

Page 6: Strengthening Invariants for Efficient Computation * Yanhong A. Liua

ó)�Æû�ð�ú�ñ�ù ø ñ�ö�û þ �|ù�ð (O+�� � c �,��� ��PD-J7KML �[� c �'D-J�KTL9�n���4�$(��:��ô þ ��ñ �|ð þ ñ-öyü�ñ&���zû þ ñ[öyñ�ò ý � þ òL�QRF ��J������z(��5��û�ð��UG � J���� ���@��Kb�g(��:��û�öyñ�ó�ûHó)��ñ&�7ôÓû�ð��*� ý ð�ó þ �|ù�ð�ò��D FHG ûHð����D FHG � �|ð� �|ú ý öyñ ?û�öuñ�ù�ÿ þ û_�|ð�ñ��.�

� ù�ü�ñ þ �|ü�ñ-ò-ôMû ý �����%�|û�öu÷e��ð��]ù�öyü�û þ �|ù�ð2ù þ ��ñ-ö þ �Æû�ð þ ��ñ���ð þ ñ-öuü�ñ����zû þ ñ%öuñ-ò ý � þ òÊùR� "� D�z(���|òhð�ñ-ñ���ñ&� þ ù�ó-ù�ü ø�ý\þ ñ�"� .�g(�+���� ý ��ó!=w��÷�E�Æù�öJñ�\û�ü ø �|ñ�ôw�]ù�ö � ý ð�ó þ �|ù�ð D-FHGÉù_�V� �|ú_�ý öyñ B�û�ð��y��ð ø�ý\þ ó)�Æû�ð�ú�ñ�ù ø ñ�ö�û þ �|ù�ð�(�+ � �SD-J�KTL �[����(���ô þ ��ñ�õHûR� ý ñ-òeùR� L�QVF � ���@��Kb�g(��:�û�ð�� G � J�����J������z(��5��ô��|ð ûR����� þ ��ù�ð þ ù þ ��ñ �|ð þ ñ�öyü�ñ&���|û þ ñÉõHûR� ý ñ�òEL�QVF � J������g(��:��û�ð��G � J���� ���@��K��z(��:�rô�û�öuñ�ó-ö ý ó&�|ûR�9�]ù�ö�ó-ù�ü ø�ý\þ �|ð�ú+D FHGP� D-J7KML �[����(��:� �|ð�ó�öyñ�ü�ñ�ð þ ûR�%�È÷ ÿ ý\þû�öyñ�ð�ù þ ó�ù�ü ø�ý\þ ñ����|ð+D FHGP�z(���Îò��|ð\ú þ ��ñü�ñ þ ��ù!� �|ð þ ���|ò ø û ø ñ-ö�ô��hñó�û�ð���ñ�ö��Èõ�ñ� ý ð�ó þ �|ù�ð�ò��D-FHG:û�ð�� �D-FHG � ��ð � �|ú ý öyñ ? þ �Æû þ ó�ù�ü ø\ý\þ ñ þ ��ñ-òuñ ø �|ñ-ó�ñ-ò2ùR�%û ý �����%�zûHöu÷�|ð��]ù�öyü�û þ ��ù�ð7ô ý òyñ þ ��ñ�ü �|ð¼ó-ù�ü ø�ý\þ �|ð�ú D FHGP� D-J7KML �[����(��:�rô�û�ð�� üÑû_�|ð þ ûR��ð þ ��ñ�ü!û�ò�Jñ��%�B��� ý ð�ó þ �|ù�ð �D-FHG � ó�ù�ü ø�ý\þ ñ�òQ�|ð�ó�öyñ�ü�ñ�ð þ ûR�%�È÷ ý ò���ð�ú�ù�ð��È÷�� �7BV� þ �|ü�ñR�V1éñ ý òyñ þ ����òñu�\û�ü ø �|ñ�ûHò%ûö ý ð�ð���ð�ú2ñu�\û�ü ø �|ñ_�

� D ��� � ) � 3 � &�� :�� % 8��� ��� )�� , & 3 � ��� �X) '� � � )�� ,�� 303 �� 6 � 6 D #�% 8?^!:�� � � ��� ��� )�� , & 3 : a�� % 9E: "�C % � ) c 3"!

��� � ) '� � � )�� ,�� 3;3 : a�� % 9 : "�C % � ) � 3 �

��� ��� )�� , & 3 � � 3 &

'��\@4) � 3 � c �$# ) �'�� @ ) � 303��� 6 � 6 D #�% 8?^!:�� � � �'�� @H) � 3 : a�� % 9E: "�C %%� ) � 3"!

'�� @4) � 3 : a�� % 9E: "�C %%� ) � 3��� D �'�� @H) � 3 �'&&�� :�� % 8 �'��\@ � )�� * , � R ,(&& 3 � �'�� @H) '� � � )�� * , '� � � )�� R ,�� 303;3 �� 6 � 6 D #�% 8?^!:�� � � �'�� @ � )�� *!, � R ,(&& 3 : a�� % 9E: "�C %%� ) c 3"!

�'�� @H) '� � � )�� *-, '� � � )�� R ,�� 303;3�: a�� % 9 : "�C %%� ) � 3 �

�'��\@H) � 3C� SLO+M��$* � ��� �X) )"*"�) � 303 J PSLO+M�� R � @'&( )"?) �I� � � ) � 303 J P) �$*0% �+R , �$*-, �+R+*

�'��\@ � )�� * , � R ,(&& 3�� S O M�� * � � * 3 �)� "�) && 3 J PS O M��+R�� � R 6�, &("?) && 3 J P) � *4% �+R , � *-, �+R+*

'��\@4) � 3 � c �$# ) �'�� @ ) � 303��� 6 � 6 D #�% 8?^!:�� � � �'�� @H) � 3 : a�� % 9E: "�C %%� ) � 3"!

'�� @4) � 3 : a�� % 9E: "�C %%� ) � 3��� D �'�� @H) � 3 �.- &�� :�� % 8 �'��\@ � )�� ,/- & 3 � �'�� @H) '� � � )�� ,�� 3;3 �� 6 � 6 D #�% 8?^!:�� � � �'�� @ � )�� ,/- & 3 : a�� % 9E: "�C %%� ) c 30!

�'�� @H) '� � � )�� ,�� 303�: a�� % 9E: "�C % � ) � 3 �

�'��\@H) � 3C� SLO+M�� * � )"*"?) � 3 J PSLO+MV� * � ��� �X) �$*23 J PSLO+M��+R � �I� � � ) � 3 J PSLO+MV� R � @'&( )"?) � R 3 J P) �Z*0% �HR , �Z*!,��BR , ��� � ) �+R-3 , @'&( )"?) � *I31*

�'��\@ � )�� ,/- & 3 � ) � 3+23#54 ) - & 39%76�#54 ) - & 3 ,� 3+23#54 ) - & 3 ,86�#54 ) - & 3 , �)� "�) - & 3 , � 6�, &("?) - & 31*

Ç4¬®·cÅ�C�Å!8>±r­�Â�¹¾µ³¬®´c·[½zÂ�´�Ä�µ³¬¾¶P´»�±�ÖX´�¬¾µ³¬¾¶P´M­mÅ

9 ßÆÝ¢ê\Ý¢ãVß�Ü>í 1 ñ ý òyñ�:<; þ ùó-ù�ð\ò þ ö ý ó þoþyý�ø �|ñ�ò þ �Æû þ ÿ ý ð�����ñ��|ð þ ñ�öyü�ñ&���|û þ ñ%öyñ�ò ý � þ òû�ð���û ý ���%�%�|û�öu÷ �|ð��]ù�öyü�û þ ��ù�ð,��� þ � þ ��ñ%ù�ö���ú�|ð�ûR�Æöyñ þ�ý öuðÑõHûR� ý ñÎùR��û � ý ð�ó þ �|ù�ð.�91 ñ ý òyñòyñ��|ñ-ó þ ù�öuò B7L N ô�? K�ÆôM� � �ÆôZ����� þ ù�òuñ&��ñ-ó þhþ ��ñ]�Æöyò þ ôMòyñ-ó�ù�ð��7ô þ ����ö��7ôZ�����Mñ&��ñ-ü�ñ-ð þ òÊù_�eò ý ó)�û þ�ý�ø ��ñR�

Page 7: Strengthening Invariants for Efficient Computation * Yanhong A. Liua

1éñ ý òuñ ( þ ù���ñ�ð�ù þ ñ þ ��ñ ø öyñ�õ!��ù ý ò �|ð ø�ýXþÎþ ù "7 � ô þ ��ñ,ó-û�ó)��ñ��öyñ�ò ý � þ ùR�Q"� .�g(�� %��ôþ ��ñ �|ð ø\ý\þ ó)�Æû�ð�ú�ñ ø û�öyû�ü�ñ þ ñ�ö �(%�sô þ ��ñ�ð�ñu� ��ð ø�ý\þ (L+]��Ùû�ð�� "�� ô�û�ð ��ð�ó-öuñ-ü�ñ-ð þ û_�õ�ñ�öyò���ù�ð+ù_� "� ý ð���ñ�ö�+,�%1éñy�|ñ þ "7 �öyñ þ�ý öuðûR���.�|ð þ ñ-öyü�ñ&���zû þ ñ�öuñ-ò ý � þ ò%ùR�Q"� ¢ô�û�ð����|ñ þ�"� öuñ þ�ý öyð ó�ûHð����%��û þ ñÑû ý ���%���zû�ö�÷��|ð��]ù�öyü�û þ ��ù�ð:�]ù�öO"7 ý ð���ñ�öL+e�P1éñ ý òyñ �"7 þ ù ��ñ�ð�ù þ ñ2û � ý ð�ó þ �|ù�ð þ �Æû þ öuñ þyý öyð�ò�ûR��� ��ð þ ñ-öuü�ñ����zû þ ñ�öuñ-ò ý � þ ò�ûHð���ó�û�ð����%�Æû þ ñ2û ý �����%�zûHöu÷�|ð��]ù�öyü�û þ ��ù�ð �� ô þ ��ñ%ó-û�ó)��ñ��Ñöyñ�ò ý � þ ùR� �"7 .�z(�� �ûHð�� �"7 � ô�ûHð���ð�ó-öuñ-ü�ñ-ð þ ûR��õ�ñ-öuò��|ù�ðÑùR� �"� ý ð���ñ�ö�+,��� �|ðÆû_�%��÷�ô��hñ ý òuñ � "7 þ ùL��ñ�ð�ù þ ñ�ûe� ý ð�ó þ �|ù�ð þ �Æû þ öuñ þ�ý öyð�ò%ù�ð���÷ þ ��ñ ý òyñu� ý ��|ð þ ñ�öyü�ñ&���|û þ ñ,öyñ�ò ý � þ ò�û�ð�� û ý �����%�|û�öu÷\��ð��]ù�öyü�û þ �|ù�ð -� ô þ ��ñó�û�ó)�\ñ&� öyñ-ò ý � þ ù_� � "7 V�z(�� û�ð�� � "� A�zôhû*� ý ð�ó þ �|ù�ð þ ��û þ ��ð�ó-öuñ-ü�ñ-ð þ û_�%��÷éüÑû_�|ð þ ûR��ð�ò2ù�ð��È÷ þ ��ñ ý òyñu� ý � �|ð þ ñ�öyü�ñ&���q�û þ ñ,öyñ�ò ý � þ ò%û�ð���û ý �����%�|û�öu÷ �|ð��]ù�öuüÑû þ �|ù�ð.�%N%ù þ ñ þ �Æû þ � ý òuñ�� ý � ����ð þ ñ-öuü�ñ����zû þ ñ�öyñ�ò ý � þ ò�|ð�ó�� ý �\ñ þ ��ñ�ù�ö$�|ú��ðÆûR��öyñ þyý öyðÉõHûR� ý ñR���Lû�ÿ���ñmB�ò ý ü�ü�û�ö$�%�-ñ�ò þ ��ñ�ð�ù þ û þ �|ù�ð.�

D < 8?5=: " 6-8 % : <$ 8 � a # < % Y % 8?6!: % Y a 9 " 8?5 % C % 8+: a # D < 8?5=: " 6-8F � 6 ;" ^ " 8 a # � a # < % & F ���F � a #�# " � � �&�F � 5 a 8$Y " Y a : % a � " � �&� �F � a #�# " � ��� 5 a 8?Y " Y a : % a � " � � �& � �F � �-F � < 9 %=D < # " � ��� < 9 %=D < # a � " � - & -F � �ª4°�ÌM¹¾± =

6h¶¢µ³°�µ³¬¾¶P´ÆÅ

�Æù�öwó-ù�ðcõ�ñ-ð���ñ-ð�ó�ñ�ôZ�Jñ�û�òuò ý ü�ñ þ �Æû þ ÿ�ù ý ð��ÉõHû�ö��|û�ÿ���ñ-ò7�Æû�õ�ñ ����ò þ �|ð�ó þ ðÆû�ü�ñ-ò&�

U}ê2W-æ �� ã[W�â�ßXë�æ�ÞDãAÜOT â�êÆÜLà}ãVà}ê\Ý�æêÆá ��ãAìVã]ê�Þ�� ãAÜOX�ßÙÞDçéê\ÝPã]ß�Ü

� ý �����%�zûHöu÷*�|ð��]ù�öyü�û þ ��ù�ð*�|ò�ôÓÿc÷ �\ñ��Æð�� þ ��ù�ð7ô ý òyñu� ý �7�|ð��]ù�öyü�û þ ��ù�ð¼ð�ù þ ó�ù�ü ø�ý\þ ñ�� ÿc÷þ ��ñ�ù�ö���ú�|ðÆû_� ø öyù�ú�öyû�ü "� ¢ôOòyù � þ ó�û�ð\ð�ù þ ÿ�ñ�ù�ÿ þ ûR�|ð\ñ&� ����öyñ�ó þ �È÷\�]öyù�ü "� I� �%ù<�hñ�õ�ñ�ö-ôû ý ���%���zû�ö�÷��|ð��]ù�öuüÑû þ �|ù�ð �|ò���ð��]ù�öuüÑû þ �|ù�ð ��ñ ø ñ-ð����|ð�úÉù�ð��È÷ù�ð�( þ �Æû þ ó-û�ð ò ø ñ-ñ&� ý�øþ ��ñ+ó-ù�ü ø�ý\þ û þ ��ù�ð ùR� "7 .�z( + ���u� � ñ-ñ�=!��ð�ú þ ù<ù�ÿ þ ûR��ð ò ý ó)� ��ð��]ù�öuüÑû þ �|ù�ð òu÷Mò þ ñ-ü,�û þ ��ó�ûR����÷�ô��Jñ�ó-ù�ü�ñ þ ù þ ��ñ ����ñ�û þ �Æû þ ����ñ�ð�ó-ù�ü ø�ý\þ �|ð�ú "� .�g(L+]�2�rô��]ù�ö%ñ�\û�ü ø �|ñy�|ðþ ��ñoü�û�ð�ð�ñ�ö�ùR���|ð�ó�öyñ�ü�ñ�ð þ ûR�\õ�ñ-öyò$�|ù�ð�" � �z(��,��� � ��ô þ ��ñ�öyñÎû�öyñwù_� þ ñ-ð2ò ý ÿOó�ù�ü ø�ý\þ û þ �|ù�ð�òþ �Æû þ ��ñ ø ñ-ð�� ù�ð��È÷ù�ð�(éû�ð�� � ô7ÿ ý\þ ð�ù þ ù�ðv�Oô4û�ð�������ù�òuñ�õHûR� ý ñ-ò[ó-û�ð�ð�ù þ ÿ�ñöyñ�þ ö$�|ñ�õ�ñ&�\�]öyù�ü þ ��ñ�öuñ þyý öyðÉõHûR� ý ñ�ù�ö��|ð þ ñ�öyü�ñ&���|û þ ñ�öyñ-ò ý � þ òoùR� "� .�z(����în� þ ��ñ[õHûR� ý ñ-òwùR�þ ��ñ�òyñ�ò ý ÿ�ó-ù�ü ø�ýXþ û þ �|ù�ð�ò7�hñ-öuñ�û�õHûR���zû�ÿ���ñ�ô þ ��ñ�ð��hñ�ü���ú� þ üÑû�=�ñ " � �Vû�ò þ ñ-ö��

�Lù�ù�ÿ þ û_�|ð�ò ý ó)���:&���8��[8I&�$l &�`�46��(a�[&��^p>���srs-.�^"m&�$[�'-.�Æô þ ��ñ�ÿ�û�ò���ó]����ñ�ûy�|ò þ ù þ ö�û�ð�òE�]ù�öyü"� .�g( + ���[ò���ü����zû�ö$��÷¿û�ò �]ù�ö �\ñ-ö��Èõ!�|ð�ú " � û�ð�� þ ù¿ó�ù�%��ñ-ó þ ò ý ÿOó�ù�ü ø�ý\þ û þ �|ù�ð�ò ��ð þ ��ñþ öyû�ð�ò$�]ù�öyü�ñ&� "� .�g(,+0��� þ �Æû þ ��ñ ø ñ�ð��+ù�ð���÷�ù�ð\(û�ð�� ����ù�òuñ�õHûR� ý ñ-òwó-û�ð�ð�ù þ ÿOñ�öyñ�þ ö$�|ñ�õ�ñ&� �]öuù�ü þ ��ñ[öuñ þ�ý öyð�õHûR� ý ñ�ù�ö9�|ð þ ñ�öyü�ñ&���|û þ ñÎöyñ�ò ý � þ òÊùR� "7 .�z(���2N%ù þ ñ þ �Æû þ ó�ù�ü,�ø�ý\þ �|ð�ú3���%$l ���"# :8��[&�$l �, !+�`9(a$n+�ùR��"� V�g(��O�|ð�ó�öyñ-ü�ñ-ð þ ûR�%�È÷�ô ��� þ � $=�% �����ó-ù�öyöyñ�ò ø ù�ð�����ð�úû ý ���%���zû�ö�÷*�|ð��]ù�öyü�û þ ��ù�ð7ô.��ò�ùR� þ ñ�ð<ó-ö ý ó&�|ûR�9�]ù�ö�ñ�/�ó��|ñ-ð þ ��ð�ó-öuñ-ü�ñ-ð þ ûR��ó-ù�ü ø�ýXþ û þ �|ù�ð.���� ý ò-ô��hñ�ü�ù!�����s÷ þ ��ñ�ÿÆû�ò$�|ó��%�\ñ�û � ý ò þ ��ñ-òuó-ö���ÿOñ��Éòyù þ �Æû þ � þ ò þ û�ö þ ò7��� þ � "� V�g( + ����|ð�ò þ ñ-ûR�¿ù_�Q"7 V�z(,+0�2��

C

Page 8: Strengthening Invariants for Efficient Computation * Yanhong A. Liua

h �Æû�òyñ � �ÆûHò þ �\öyñ-ñÑò þ ñ ø ò&� � þ ñ ø B�ñ� þ ñ-ð��\òe"� þ ùû � ý ð�ó þ �|ù�ð "� þ �Æû þ ó�û�ó)��ñ�ò2ûR�%��|ð þ ñ�öyü�ñ&���|û þ ñoöuñ-ò ý � þ ò�� � þ ñ ø ? þ ö�û�ð�òE�]ù�öyü�ò "� V�g(]+v��� ��ð þ ù�û � ý ð�ó þ �|ù�ð "� ��sô�ò���ü����zû�ö þ ù"� � ô þ �Æû þ ñ� ø ù�òuñ-òÊó-û�ð������Æû þ ñ%û ý ���%�%�|û�öu÷ �|ð��]ù�öyü�û þ ��ù�ð.� � þ ñ ø ��ó�ù�ð�ò þ ö ý ó þ òÊû � ý ð\ó þ ��ù�ð�"� þ �Æû þ ó-ù�ü ø�ý\þ ñ-òÎù�ð���÷ þ ��ñ�ó-û�ð������Æû þ ñ�û ý ���%�%�|û�öu÷L��ð��]ù�öyü�û þ �|ù�ð ��ð "� � �

����� � $l -�� ���� � &9���9�����;&�(�( ���%$7 ��^"# :8��[&�$l �, !+�`M(a$�+

- � þ ñ-ð����|ð�ú "� þ ù ó-û�ó)��ñ ûR�%�]�|ð þ ñ�öyü�ñ&���|û þ ñ+öyñ-ò ý � þ ò ý òyñ�ò þ ��ñ þ öyû�ð�òE�]ù�öyü�û þ ��ù�ð�ò��|ð� þ ûHú�ñ�î�ùR� �@J����B�Óî þ ��öyò þ2ø ñ-öE�]ù�öyü�òûò þ ö�û_�|ú� þ �]ù�ö$�Jû�ö�� 546$l ���+��'-.�i$[�5&���+nrs-.��"m&�$[�'-.�þ ù�ñ-ü�ÿ�ñ&�+ûR�%� ��ð þ ñ-öuü�ñ����zû þ ñ�öyñ�ò ý � þ ò �|ð þ ��ñ �ÆðÆû_�}öuñ þyý öyðRõ�û_� ý ñ�û�ð�� þ ��ñ�ð ø ñ-öE�]ù�öyü�òûR��üL�|ð���ò þ ö�û þ ��õ�ñ%ò���ü ø �����Æó-û þ ��ù�ð�ò��

kJñ-ö þ ûR��ð �|ü ø öyù¢õ�ñ-ü�ñ-ð þ ò�ôOò ý ú�ú�ñ�ò þ ñ��*�|ð �@J6J.�}ÿ ýXþ ð�ù þ ú��õ�ñ-ð ��ð �@J6J.�Lù�ö>�@J����Aô�ó�û�ðÿ�ñüÑû_��ñ þ ù þ �\ñ+ñu� þ ñ-ð�ò$�|ù�ð þ ö�û�ð\ò$�]ù�öuüÑû þ �|ù�ð���î�ð ø û�ö þ �|ó ý �zûHö-ô0�hñó�û�ð û¢õ�ù�%� ó�û�ó)����ð�úöyñ�� ý ð��ÆûHð þ �|ð þ ñ�öyü�ñ&���|û þ ñ2öyñ�ò ý � þ ò�ô �B�Fñ_��ô�õHûR� ý ñ�ò,ù_��� ý ð�ó þ �|ù�ðéû ø�ø ���|ó-û þ ��ù�ð�ò þ ��û þ û�öuñûR�|öuñ�ûR�X÷�ñ-ü�ÿ�ñ&����ñ&���|ð þ ��ñ2õHûR� ý ñ�ò�ùR� þ ��ñ&��ö�ñ�ð�ó&��ù�ò���ð�úÉó-ù�ü ø�ý\þ û þ ��ù�ð�ò�ôeò��|ð\ó-ñ þ ��ñ�òyñù�üL� þyþ ñ&��õ�û_� ý ñ�òJó�ûHð�ÿOñ�öyñ þ ö���ñ�õ�ñ�� �]öyù�ü þ ��ñ�öuñ-ò ý � þ òJùR� þ ��ñ%ñ-ð�ó��|ù�ò$�|ð�ú�û ø�ø ���|ó�û þ �|ù�ð�ò&�����ñ-òuñ7�|ü ø öuùPõ�ñ-ü�ñ-ð þ òÓû�öyñ�ü�ù�öyñ �|ü ø ù�ö þ ûHð þ �]ù�ö ����òyó�ùPõ�ñ-ö$�|ð�ú�û ý ���%�%�|û�öu÷U�|ð��]ù�öyü�û þ ��ù�ð7ôò���ð�ó-ñ þ ��ñ�öuñ-ò ý � þ ��ð�ú ø öyù�ú�öyû�ü ò���ù ý �%�<ÿ�ñ�ü ý ó)� ò$�|ü ø �|ñ�ö�ûHð�� þ �\ñ-öyñu�]ù�öyñ�ñ-û�ò���ñ-ö þ ùþ öuñ�û þ �|ð<ò ý ÿ�òyñ� ý ñ-ð þ û�ðÆûR�È÷Xòuñ-òûHð�� þ öyû�ð�ò$�]ù�öyü�û þ ��ù�ð�ò&������ñ�òyñ ��ü ø öuù¢õ�ñ-ü�ñ-ð þ òûR�|òuùÿOñ�ð�ñ�� þ�þ ��ñwü�ù������Æñ&�,õ�ñ-öuò���ù�ð�ù_� þ ���|òÓñu� þ ñ�ð�ò���ù�ð þ ö�û�ð\ò$�]ù�öuüÑû þ �|ù�ð ý òyñ�����ð � þ ñ ø � �G���

1éñ �Æöyò þ ÿ�ö$�|ñ���÷y��ñ-òuó-ö���ÿOñ þ ��ñhñu� þ ñ�ð�ò���ù�ð þ öyû�ð�ò$�]ù�öyü�û þ ��ù�ð �|ð �@J���� þ ��ñ�ð7ô �hñ7��ñ�òyó�ö��|ÿ�ñû�ð�ñ�ü�ÿ�ñ&������ð�ú[ûHðÆûR��÷Mò$�|ò þ �Æû þ �|ñ-ûR��ò þ ù þ ��ñ9��ñ-ò$�|öuñ&�O��ü ø öuù¢õ�ñ-ü�ñ-ð þ ò þ ù þ �\ñJñu� þ ñ-ð�ò$�|ù�ðþ öyû�ð�ò$�]ù�öyü�û þ ��ù�ð.�

ä �7Ý¢æMÜPW�ã]ßOÜéÝ�ÞDê�Ü W<XTß�ÞDçéêXÝPãVß�Ü>í �Æù�ö>ñ�ûHó)� � ý ð�ó þ �|ù�ð ��ñu�Æð�� þ �|ù�ð "���� c �������;���7��� ��ô�Jñ�ó-ù�ð�ò þ ö ý ó þ û,� ý ð�ó þ ��ù�ð\��ñ��Æð�� þ ��ù�ð

" ��� c �������0�����6� ��<( N � �.�<� � � ?6�

����ñ-öuñ��<( N � � �<� ��ñu� þ ñ-ð���òÎû�ðÉñ� ø öyñ-òuò���ù�ð � þ ù2öuñ þ�ý öyð þ ��ñ[õHûR� ý ñ-òwù_�Óû_�%��� ý ð�ó þ �|ù�ð�ó-ûR�%��òüÑû_��ñ �|ð+ó�ù�ü ø�ý\þ ��ð�ú ��ôZ� � ñR�Èô � þ ó-ù�ð�ò$�%��ñ�öyòÎò ý ÿ�ñu� ø öuñ-òuò��|ù�ð�ò�ùR� � �|ð¿û ø�ø ���|ó�û þ ��õ�ñ�û�ð���|ñu� þ � þ ù_��ö$�|ú� þ ù�ö���ñ�ö-ôw�|ð þ öuù�� ý ó-ñ�òhÿ���ð�����ð�ú�ò þ �Æû þ ðÆûHü�ñ þ ��ñÎöyñ�ò ý � þ ò�ùR��� ý ð�ó þ �|ù�ð�ó�ûR���|ò-ôÿ ý ���%��ò ý�ø2þ�ý�ø �|ñ-ò�ùR� þ ��ñ�òyñ%õHûR� ý ñ-ò þ ù�ú�ñ þ ��ñ-ö���� þ � þ ��ñoõ�û_� ý ñ�ò�ù_� þ �\ñ%ù�ö$�|ú��ðÆûR�Xò ý ÿ�ñu�w�ø öyñ�òyò$�|ù�ð�ò�ôÆû�ð�� ø û�òyòuñ-ò þ �\ñ-òyñ[õHûR� ý ñ-ò9�]öyù�ü'ò ý ÿ�ó-ù�ü ø�ýXþ û þ �|ù�ð�ò þ ù�ñ�ð�ó&��ù�ò���ð�ú�ó�ù�ü ø\ý �þ û þ �|ù�ð\ò&�

����ñ ��ñu�Æð�� þ �|ù�ð<ùR� �<( N �|ò,ú��õ�ñ-ð'��ð � ��ú ý öyñ;���P1éñÑû�òyò ý ü�ñ þ �Æû þ ñ�û�ó)�'��ð þ öyù!� ý ó�ñ&�ÿ��|ð����|ð�ú ý òyñ�òoû �]öyñ-ò$��õ�ûHö��zûHÿ��|ñÎðÆû�ü�ñR���Ùù�öÊû�ó-ù�ð�ò þ ö ý ó þ ñ&� þ�ý\ø �|ñ :<;�ôw�����%��ñU�Jñ ý òyñB7L N þ ù�öyñ þyý öyð þ ��ñ��Æöyò þ ñ&�|ñ�ü�ñ�ð þ ôR������ó)����ò þ ��ñwù�ö��|úR�|ðÆûR�Möyñ þ�ý öuðõ�û_� ý ñHôR�Jñ ý òuñ � L N þ ù

F

Page 9: Strengthening Invariants for Efficient Computation * Yanhong A. Liua

öyñ þ�ý öuð¼û þ�ý�ø �|ñ�ù_� þ ��ñ�öuñ-ü�ûR�|ð��|ð�ú�ñ&�|ñ�ü�ñ�ð þ ò-ô �����|ó)�¼ûHöyñ þ ��ñ�ó�ù�öyöuñ-ò ø ù�ð����|ð�ú ��ð þ ñ-ö3�ü�ñ����zû þ ñ�öuñ-ò ý � þ ò���1 ñ ý òyñ2û�ð*��ð�����ù ø ñ�ö�û þ �|ù�ð�� þ ùÉó�ù�ð�ó�û þ ñ-ð�û þ ñ þ �hù þyý�ø ��ñ-ò&�\�Æù�öþ öyû�ð�ò$�]ù�öyüL�|ð�ú2ûó-ù�ð���� þ �|ù�ð�ûR�Oñ� ø öyñ�òyò���ù�ð7ô þ �\ñ þ ö�û�ð\ò$�]ù�öuüÑû þ �|ù�ð�������� � �<� �}ú�ñ-ð�ñ�ö�û þ ñ-òÎûþ�ý�ø �|ñÎùR� A òhù_� �|ñ�ð�ú þ ��ñ< ý û_� þ ù þ ��ñ%ð ý ü�ÿOñ�öhùR��� ý ð�ó þ �|ù�ð�û ø�ø �%�|ó-û þ ��ù�ð�ò0��ð ��ô>����ñ�öyñ�|ò2û*� ý ü�ü�÷ ó�ù�ð�ò þ û�ð þ�þ �Æû þ � ý ò þ ùMó-ó ý�ø ��ñ-ò�û ò ø ù þ �Q����ñ ��ñ-ð�ú þ � ùR� þ ��ñ þ�ý�ø ��ñ

ú�ñ-ð\ñ-ö�û þ ñ&�¼ÿc÷�������� �.�<� �>ó-û�ð¼ñ�û�ò$�%�È÷+ÿ�ñ,��ñ þ ñ-öuü���ð�ñ&��ÿc÷�ò þ û þ �|óO��ð�ò ø ñ-ó þ �|ù�ð�ùR�>��.����ñý òyñ�ùR�������+ñ�ð�ò ý öyñ-ò þ �Æû þ ñ-û�ó)� ø ù�òyò$�|ÿ���ñe�|ð þ ñ�öyü�ñ&���|û þ ñöuñ-ò ý � þ û ø�ø ñ�û�öuò ��ð û ���Xñ&�ø ù�ò�� þ �|ù�ð ��ð���ñ ø ñ�ð���ñ-ð þ ùR�}õ�û_� ý ñ�òwùR� þ ��ñ�ó-ù�ð���� þ �|ù�ð�ò���ðÉó-ù�ð���� þ ��ù�ðÆûR�Oñu� ø öuñ-òyò$�|ù�ð\ò&�

� #� � � � � ) � * � #� � ) � * ,I.�.�.�,0�I1H3�� ��� � % % � " 9 ' 6 @ � SLO+M�� * � � #� � * � � J P .�.�.�SLO+M��-1 � � #� �I1�� � J P

) � ) c �$# ) �$*23 ,I.�.�.�, c �$# ) � 1 3;3 *�� & � # ) �$*I3�� .�.�.�� & � # ) � 1 3 � #� F4) � *-,/.�.�.�,0� 1 3�� � � SLO+M��$* � � #� � *�� � J P .�.�.�SLO+M�� 1 � � #� � 1 � � J P

SLO+M�� � �F4) c � # ) �$*23=,7.�.�.�, c � # ) � 1 303 J P) c � # ) � 3�*�� & � # ) � * 3�� .�.�.�� & � # ) �-143�� ) � *

� #� JLK � *EM-NHO$PQ�2R�O$SUT/O �IW�� � � SLO+M��$* � � #� � *�� � J PJLK c � # ) �$*23 M-NHO$P S O M��+R � � #� �2R�� � J P

) c �$# ) �-R 3 *�� & � # ) �$*I3�� & � # ) �+R-3���� 1 " �2W�� �O$SUT/O SLO+M��-W4� � #� �2W�� � J P

) c � # ) �-W+3 *�� & � # ) �$*23���� 1#" �!R�� ��� & �$# ) �!W 3 � #� SLO+M�� � � * J P � R � � � SLO+M�� * � � #� � * � � J P

SLO+M�� � c �$# ) � *!3 J P SLO+M��+R � � #� �!R�� � J P) c � # ) �+R+3 *�� & �$# ) �$*I3�� & � # ) �+R-3

Ç4¬®·cÅ!H�Å��J±�ÖX´�¬¾µ³¬¾¶P´�¶¢½! �"$#uÅ

î þ �|ò2ñ�û�ò�÷ þ ù¼ò��\ùG� ÿc÷'��ð�� ý ó þ ��ù�ð þ �Æû þ ñ-û�ó)� ö ý �|ñ �<( N � � �<� � � � � ú ý û�ö�û�ð þ ñ-ñ-ò þ ��û þB7L N � � � � � ��9��� ý ò-ô B7L N � " ��� c �������0�������5� � "���� c �������0�����6�u�J-�òyòyñ�ð þ �zû_�%��÷�ô " ø ñ-öE�]ù�öyü�òþ ��ñ�ò�û�ü�ñ%ó�ù�ü ø�ý\þ û þ �|ù�ð�û�ò7"¿ñu�Xó-ñ ø\þwþ ��û þ "Rÿ ý �%����òhû þ öuñ-ñ[ùR�.�|ð þ ñ�öyü�ñ&���|û þ ñÎöyñ�ò ý � þ òó-ù�ü ø�ý\þ ñ&�O��ð,ó�ù�ü ø�ý\þ ��ð�úU" �G����ñJù�ö$�|ú��ðÆûR��õHûR� ý ñ�öyñ þyý öyð\ñ&��ÿc÷�û�ðc÷,ò ý ÿ�ó-ù�ü ø�ý\þ û þ ��ù�ð�|ò%ûR���Jû�÷Mò�û �|ñu� þ ü�ù�ò þ ó�ù�ü ø ù�ð�ñ�ð þ ��-�ûHó)���|ñ�� þ ü�ù�ò þ ó-ù�ü ø ù�ð�ñ-ð þ �|ò�ó�ù�ð�ò ý ü�ñ���û�ò]�|ðþ ��ñJù�ö���ú�|ðÆû_�có-ù�ü ø�ý\þ û þ ��ù�ð þ ù ø öyù!� ý ó�ñ þ �\ñÊù�ö���ú�|ð�ûR��õHûR� ý ñ_� ��û_� ý ñ�òÓùR��� ý ð\ó þ ��ù�ð�ó-ûR�%��òû�öyñ2û_�|òyùK=Hñ ø\þ �|ð þ ��ñ2ù þ ��ñ�ö�ó-ù�ü ø ù�ð�ñ-ð þ ò-ô�û�ò��Æöuò þ ñ-ò þ û�ÿ����|ò$��ñ&�¼ÿc÷ þ �\ñL�|û�ò þ : � ;�|ð þ ��ñ�ö ý �|ñ��]ù�ö�� ý ð�ó þ �|ù�ð+û ø\ø �%��ó�û þ �|ù�ð�òÊû�ð�� ø öyù ø ûHúcû þ ñ��¿ÿc÷%� � L N ����/�����ð þ ��ñ�ù þ ��ñ�öö ý ��ñ-ò��

�U��üL�|ð��|ò þ ö�û þ ��õ�ñ�ò��|ü ø �����Æó-û þ ��ù�ð�ò�û�öuñ ø ñ-öE�]ù�öyü�ñ&��ù�ð þ ��ñhöuñ-ò ý � þ �|ð�ú�� ý ð�ó þ �|ù�ð�ò þ ù%ò$�|ü,�ø �%���s÷ þyý�ø ��ñÊù ø ñ-ö�û þ �|ù�ð�ò �]ù�ö ø ûHòyò���ð�ú��|ð þ ñ-öyü�ñ&���zû þ ñÊöyñ�ò ý � þ ò-ô ý ð>���|ð���ÿ��|ð����|ð�ú�ñu� ø öyñ�òE�ò���ù�ð�ò þ �Æû þ ÿ�ñ-ó�ù�ü�ñ ý ð�ð\ñ-ó-ñ�òyòyû�öu÷ÉûHòwû�öyñ�ò ý � þ ùR��ò$�|ü ø �%���s÷!�|ð�ú þ �\ñ&�|öhò ý ÿ�ñu� ø öuñ-òuò��|ù�ð�ò-ôû�ð��'����� þ ÿ��|ð����|ð�ú�ò�ù ý\þ ùR�Îñ�ð�ó&��ù�ò���ð�úñu� ø öuñ-òuò��|ù�ð�ò,����ñ-ð�ñ�õ�ñ�ö ø ù�òyò$�|ÿ���ñ þ ù�ñ-ð��ÆûHð�ó-ñöyñ-ûR�Æû�ÿ����%� þ ÷� �Ùù�ö[ñu�\û�ü ø �|ñHô��]ù�ö]� ý ð�ó þ �|ù�ð\ò L�QRFïû�ð�� G � J�����ð � �|ú ý öyñ B�ô��hñ�ù�ÿ þ ûR��ð� ý ð�ó þ �|ù�ð�ò L�QRF`û�ð�� G � J���ô�öyñ�ò ø ñ-ó þ ��õ�ñ&��÷�ô��|ð � C6��ô����\ñ-öyñ ��ð þ ñ-öuü�ñ����zû þ ñ�õHûR� ý ñ-òÊùR�Löyñ�ó ý öuò��Èõ�ñoó�ûR���|ò þ ùWL QVF û�ð�� G � J��Æô�öuñ-ò ø ñ�ó þ �Èõ�ñ���÷�ô�ûHöyñwöyñ þ�ý öuð�ñ&��û�òQ�hñ&�%��û�ò þ ��ñoù�ö$�|ú��ðÆûR�

R

Page 10: Strengthening Invariants for Efficient Computation * Yanhong A. Liua

öyñ þ�ý öuðRõHûR� ý ñ-ò��

����ñ\�]ù�%��ùG����ð�ú��|ü ø öuùPõ�ñ-ü�ñ-ð þ ò�ô>ð�ù þ ú��õ�ñ-ð �|ð_�AJ�J.�Îù�ö�AJ����Tô�ó-û�ð ÿ�ñÉüÑûR�\ñ þ ù þ ��ñû�ÿ�ùPõ�ñ¿ÿ\ö ý\þ ñu�n�]ù�öyó-ñÉó-û�ó)���|ð\ú ùR��ûR���7�|ð þ ñ�öyü�ñ&���|û þ ñ�öuñ-ò ý � þ ò&�X� ��öyò þ ô�ÿ�ñ��]ù�öuñ¿û ø�ø ��÷!��ð�úþ ��ñ�ñu� þ ñ�ð�ò���ù�ð þ öyû�ð�ò$�]ù�öyü�û þ ��ù�ð7ôÆó-ù�ü�ü�ù�ð+ò ý ÿ�ó-ù�ü ø�ý\þ û þ ��ù�ð�òU��ðÿ�ù þ �ÿ\ö�û�ð�ó)�\ñ-ò�ùR�û�ó�ù�ð���� þ �|ù�ðÆûR�7ñ� ø öyñ-òuò���ù�ð�û�öuñ ����� þ ñ��Éù ý\þ ùR� þ ��ñ�ó�ù�ð���� þ �|ù�ðÆûR� �������|òÎò���ü ø �%����ñ-ò ø öuù_�ú�ö�ûHü�òO��ð ú�ñ-ð\ñ-ö�û_� � �Æù�ö�ó-û�ó)����ð�ú¼ûR�%�9�|ð þ ñ�öyü�ñ&���|û þ ñÑöyñ-ò ý � þ ò-ô þ ���|ò,����� þ �|ð�úRò�û�õ�ñ�ò þ ��ññu� þ ñ�ð�ò���ù�ð þ öyû�ð�ò$�]ù�öyü�û þ ��ù�ð �]öuù�ü ó-û�ó)����ð�ú<õHûR� ý ñ�ò�ùR��ó-ù�ü�ü�ù�ð ò ý ÿOó�ù�ü ø�ý\þ û þ �|ù�ð�òû þ ���L�4ñ�öyñ-ð þ�ø ù�ò�� þ �|ù�ð�ò,�|ð ���L�4ñ�öyñ-ð þ ÿ�öyû�ð�ó)��ñ�ò-ôQ�����|ó)� ü�û�=�ñ�ò�� þ ñ�û�ò$�|ñ�ö þ ù¼öyñ�ûHòyù�ðû�ÿ�ù ý\þ�ý ò���ð�ú þ ��ñ-òuñ%õHûR� ý ñ-òQ�]ù�ö �|ð�ó�öyñ�ü�ñ�ð þ ûR�Æó-ù�ü ø�ýXþ û þ �|ù�ð.�>���\ñ%òyû�ü�ñÎñ��Oñ-ó þ ó-û�ðÑÿ�ñû�ó)����ñ�õ�ñ��:ÿc÷ ñ� ø �%��ó&� þ ��÷ ûR���|ùMó�û þ �|ð�ú�ô.�]ù�ö�õ�û_� ý ñ�ò�ùR�%ó-ù�ü�ü�ù�ð<ò ý ÿ�ó-ù�ü ø�ýXþ û þ �|ù�ð�ò �|ð�����Oñ-öuñ-ð þ ÿ�ö�ûHð�ó)��ñ-ò�ô þ ��ñ�ò�ûHü�ñ�ò���ù þ ��ðRñ-û�ó)�+ó�ù�öyöuñ-ò ø ù�ð����|ð�ú2ÿ�öyû�ð�ó)�.�

N%ñ� þ ô��hñ[ó-ù�ð�ó-ñ�ð þ ö�û þ ñ[ù�ð�ü�û �uù�ö �|ü ø öuùPõ�ñ-ü�ñ-ð þ ò�������ñ�òyñ���ü ø öyù¢õ�ñ�ü�ñ�ð þ òwû�öuñ�ÿÆû�òuñ&�ù�ð¿û�ð �"��� :8I8������#&���&�(apD+���+u�

ä ç ��æMàLà}ãAÜOT ê�Ü}êÆì �OW�ã[W�í � �|öuò þ ô �Jñe��ñu�Æð�ñ�û�ð��¼ó�ù�ü ø\ý\þ ñ �"��� :8I8����������! :8��'�:&�$l !+� " ûHð�� � ��ô ����ñ-öuñ��$�|ò�ñ-ü�ÿ�ñ&����ñ&� ��ð��éü�ñ�û�ð\ò��uó-û�ð ÿ�ñöyñ þ ö���ñ�õ�ñ&� �]öyù�ü�����1 ñý òyñ � "�� "��l� þ ù���ð�����ó�û þ ñ ����ñ þ ��ñ-ö þ ��ñ�õHûR� ý ñù_�>�7/ �|ò[ñ�ü�ÿ�ñ&����ñ�����ð þ ��ñõHûR� ý ñ�ùR�"���� c �������;���7�6��ô7ûHð�� �hñ ý òyñ � � � �����M� þ ù �|ð����|ó�û þ ñ ���\ñ þ �\ñ-ö þ ��ñ�õHûR� ý ñ�ùR��õHû�ö$�zû�ÿ���ñW��|ò�ñ-ü�ÿ�ñ&����ñ&�'��ð þ �\ñ�õHûR� ý ñ�ùR�Êñu� ø öyñ�òyò$�|ù�ð �������ñ�òyñ ø öuñ&����ó�û þ ñ-ò�ü ý ò þ ò�û þ �|ò$�s÷ þ ��ñ�]ù�%��ù<���|ð�ú�òyû_�]ñ þ ÷Éöuñ< ý ��öyñ-ü�ñ-ð þ ò<f

��� � "��B"��c� � N � Q ��ô þ ��ñ�ð þ ��ñ-öuñ,ñ����ò þ ò%ûO� ý ð\ó þ ��ù�ð "�� c/ò ý ó)� þ �Æû þ ô���� QE� " ��� c �������0�������rô þ ��ñ�ðU�7/ � " � c/ ��Q����� � � � ��� ���� N � QR��ô þ �\ñ-ð þ ��ñ�öyñ�ñu���|ò þ òÎû,� ý ð�ó þ �|ù�ð � � c�ò ý ó)� þ �Æû þ ô���� QE�S��ô þ ��ñ-ð �I� � � c� ��Q��

�[�I�

�Æù�ö�ñ�û�ó)� � ý ð�ó þ �|ù�ðy��ñ���ð�� þ �|ù�ð "���� c �������;���7�6� � F ô<�hñJ��ñu�Æð�ñ � "��B"��c� � � � � � F ���7/n�rôû�ð�� �hñ �\ñ��Æð�ñ � �öyñ-ó ý öyò$��õ�ñ&��÷¿û�ò]�|ð � �|ú ý öyñ ��� �Ùù�ö%û ø ö���ü�� þ ��õ�ñ�� ý ð�ó þ �|ù�ð Geô� G�� c/��ñ-ð\ù þ ñ�ò $ �^`% J����G\�Æû�òwûHð �|ðcõ�ñ�öyòyñ��]ù�ö þ �\ñ� þ �¿ûHöyú ý ü�ñ-ð þ ô\û�ð��>r�&�(G+D �ù þ ��ñ�ö$����òyñR���Æù�öûó-ù�ð���� þ �|ù�ðÆû_�hñ� ø öyñ-òuò���ù�ð7ô� " � *�2R!�2W ��ñ�ð�ù þ ñ�ò $ �^`% O��� þ ��ñÑõHûR� ý ñ�ùR� � c ó�ûHð ÿ�ñ ��ñ þ ñ�öE�ü���ð�ñ&�Rò þ û þ ��ó�ûR����÷Ñù�ö]��ð��]ñ-öuöyñ�� �]öyù�ü þ ��ñ�õ�û_� ý ñ�ùR�>ãnXW� c ÝVU�æMÜ � �[æMì W-æ � , ôOûHð��;r�&�(G+D ù þ �\ñ-ö$����òyñ_���Ùù�öÊñu�\û�ü ø �|ñHô� " �+*�2R!�2W �|ò $ �^`% ���� � c �|ò�� �z�]ù�ö þ ö ý ñD�Jù�ö�� �z�]ù�ö7�VûR��òyñs��ô\ù�ö����þ ��ñ þ �Jùÿ\ö�û�ð�ó)�\ñ-òwùR� þ ��ñ[ó�ù�ð���� þ �|ù�ðÆûR�Æñu� ø öuñ-òuò��|ù�ðRöuñ þyý öyð�û ø�ø �%��ó�û þ �|ù�ð\ò�ù_� �����Oñ-öuñ-ð þó-ù�ð\ò þ ö ý ó þ ù�öyò����Æù�öwû �JùMù�|ñ-û�ð�ñ� ø öyñ-òuò���ù�ð � c ô�� c�� � � � �����M�Jü�ñ�û�ð�ò þ �Æû þ ���\ñ-ð�ñ�õ�ñ-öþ ��ñÎõHûR� ý ñoùR�M� c �|ò���ô þ ��ñÎõHûR� ý ñoùR�T�,�|ò>ñ-ü�ÿ�ñ&����ñ&� ��ð þ ��ñÎõHûR� ý ñÎùR�M���î�ð�ù�ö$��ñ-ö þ ��û þþ ��ñ2ñ�ü�ÿOñ�������ð�úRû�ðÆûR�È÷Xò$�|ò��\ùXñ�ò�ð\ù þ ù�ÿcõ!�zû þ ñ ý òyñu� ý �>ó�û�ó)����ð�ú�ô.� þ ó-ù�ð�ò�����ñ-öuò,û�õHûR� ý ñþ ù�ÿ�ñ[ñ�ü�ÿOñ�����ñ��Rù�ð���÷L��� þ ��ñ�õHûR� ý ñ�ó-û�ð�ÿ�ñ[öyñ þ ö���ñ�õ�ñ&� �]öyù�ü þ ��ñ�õHûR� ý ñ�ùR��� þ òJ��ü�ü�ñu����zû þ ñ&�È÷�ñ-ð\ó&�|ù�ò��|ð\úÑó-ù�ü ø�ýXþ û þ �|ù�ð\�|ð¿ó-ù�ð\ò þ ûHð þ%þ ��ü�ñ ��|ð ø û�ö þ �|ó ý �zû�ö�ô þ ����ò%ó�ù�ð�ò þ ö�û_�|ð þû ø�ø ���|ñ�ò þ ù þ ��ñ�öuñ þ ö$�|ñ�õ�û_�|ò7����ñ�ð� G�� c/ ù�ö� " � *�2R!�2W �|ò $[�^`* u�

BDH

Page 11: Strengthening Invariants for Efficient Computation * Yanhong A. Liua

� � ) � ,0� 3 �� # & � � " D � � �F 1 , �I� 6!:�� % � " 9 %� � ) '-) � *2,7.�.�.�,;� 1 3 ,�� 3 � � � ) � *!,;� 3�� .�.�.�� � � ) � 1 ,0� 3� � ) @Z) � *2,7.�.�.�,0� 1 3 ,0�$3 ����� @ **�� � � ) �+*!,�� 3� �� .�.�.������ @ *1 � � � ) � 1 ,;� 3� � � ) F4) � * ,/.�.�.�,0�I1H3 ,�� 3 � � � FH) F , c 3 � � � ) � * ,0� 3 � .�.�.�� � � FH) F , � 3 � � � ) �I1 ,0� 3 � � ) JLK � *EM-NHO$PQ�2R�O$SUT/O �IW ,0� 3 � / F���������� � � �+*�� � � ) �!R+,�� 3 � ��� �+*�� � � ) �IW$,;� 3 � � ) SLO+MV�V� � * J PQ�2R ,0�$3 � � � ) �!R ,;� 3�� � � � ) �+*-,0�$3 � � � ) �!R+,��B3

Ç7¬¾·cÅw?cÅ��J±�ÖX´M¬¾µ³¬¾¶P´�¶¢½����PÅ1éñwó-û�ð�ñ�û�ò$�%��÷,ò��\ùG� ÿc÷,�|ð�� ý ó þ �|ù�ð þ �Æû þ�þ ��ñoò�û_�]ñ þ ÷öyñ� ý �|öyñ�ü�ñ�ð þ ò � �I�Lû�öyñwòyû þ ��ò$�Æñ��.��Lù�ó-ù�ü ø�ý\þ ñ � "Lô��Jñ,ò þ û�ö þ ��� þ � � " � "�� l� � N � QR� �]ù�öoñ�õ�ñ-öu÷ " ûHð�� hû�ð�� � þ ñ�ö�û þ ñý ò���ð�ú þ ��ñû�ÿ�ù¢õ�ñ,��ñu�Æð�� þ �|ù�ð\ò þ ùÑó-ù�ü ø�ý\þ ñ þ ��ñ�ú�öyñ-û þ ñ�ò þ ���Xñ�� ø ù��ð þ �|ð þ ��ñ ø ù�|ð þ ����|òuñ[ñu� þ ñ�ð�ò���ù�ð�ùR� þ ��ñ �JùMù�|ñ-û�ð �\ù�üÑû_�|ðe��� þ � r�&�(G+D � $ �^`% >�!����ñ�� þ ñ-ö�û þ �|ù�ðÑûR���Êû�÷Mòþ ñ�öyüL�|ðÆû þ ñ-òwò$�|ð�ó�ñ þ ��ñ-òuñ �\ñ��Æð�� þ ��ù�ð�òoû�öuñ�ü�ù�ð\ù þ ù�ð��|ó�û�ð�� þ ��ñ ��ù�ü�ûR�|ð ��ò7�Æð�� þ ñR�

N%ñ� þ ô��hñ�ó�ù�ü ø�ý\þ ñm �"��� :8I8������j$'& �.+u� �Æù�öJñ-û�ó)� � ý ð�ó þ �|ù�ð ��ñ��Æð�� þ ��ù�ð�"���� c �4�����;� ���6� � F ôJ�Jñ û�òuòyùMó&�zû þ ñ û�ð ñ-ü�ÿ�ñ&�����|ð�ú þ ûHú � N �"!����V� ��� þ � ñ�û�ó)� ùMó-ó ý öyöyñ�ð�ó-ñ ùR��ñ�û�ó)�ò ý ÿ�ñu� ø öuñ-òuò��|ù�ð �ÑùR��� F ô��|ð����|ó-û þ ��ð�ú ����ñ þ ��ñ-ö þ ��ñ2õHûR� ý ñ�ùR� � �|ò�ñ-ü�ÿ�ñ&����ñ&� ��ð þ ��ñõHûR� ý ñ ùR� � F � � N �#!#ó�û�ð ÿ�ñ ��ñu�Æð�ñ&� �|ð�û ò��|üL�%�|û�ö �Vû�ò$���|ù�ð þ ù � �� 1 ñ ��ñu�Æð�ñ� N �#!�� � F � � N � Q ��ô�û�ð�� ��ñ��Æð\ñ þ ��ñv$ �^`% �õHûR� ý ñ-ò2ùR� � N �#! �]ù�öò ý ÿOñ� ø öyñ-òuò���ù�ð�òE�ùR� � F û�ò��|ð�� �|ú ý öuñuJ� þ ��ñ þ ûHú�òÑùR�[ù þ ��ñ�öÑò ý ÿOñ� ø öyñ�òyò���ù�ð�òÉùR� � F û�öuñ ��ñu�Æð�ñ�� þ ùÿOñmr�&�(G+D u� ����ñ�òyñ þ ûHú�ò�ó-û�ð ÿ�ñ+ó�ù�ü ø�ý\þ ñ�� ����öyñ-ó þ �È÷ ù�ð�ó�ñ þ �\ñû�ÿ�ù¢õ�ñ+ñ�ü�ÿ�ñ&������ð�ú

" D � # 1 � ) '!) �+* ,/.�.�.�,;�21B303 � # & � � :�� % 8 � # 1 � ) �$;3 � # & � � , D 6 / � c .�. �" D � # 1 � ) @4) �+* ,/.�.�.�,;� 1 303 � # & � � :�� % 8 � # 1 � ) �$;3 � # & � � " D � @ *$ , D 6 / � c .�. �" D � # 1 � ) FH) �+* ,/.�.�.�,0� 1 303 � # & � � :�� % 8 � # 1 � ) �$;3 � # & � � " D � FH) F , / 3=, D 6 / � c .�. �" D � # 1 � ) JLK � * M-NHO$PQ�!R�O?SLT7OV�IW-3 � # & �B� :�� % 8 � # 1 � ) �$;3 � # & � � " D / F ��������� , D 6 / � c , � ,�," D � # 1 � ) SLO+M\�Z� � * J P �!R-3 � # & � � :�� % 8 � # 1 � ) �!R-3 � # & � �(! � # 1 � ) � *23 �7# & � � " D � � ) �2R ,0�$3

Ç4¬®·cÅ!M�Å��J±�ÖX´�¬¾µ³¬¾¶P´�¶¢½�� #%'&MÅø öyñ����|ó-û þ ñ�òÎû�öyñ�ó-ù�ü ø�ýXþ ñ&���

� �|ð�ûR�%�È÷�ô��Jñ ý òyñ þ �\ñ ñ�ü�ÿ�ñ&������ð�ú þ û�ú�ò þ ù#ó�ù�ü ø�ý\þ ñHô��]ù�ö�ñ�ûHó)� � ý ð�ó þ ��ù�ð "Lô�û�ð �"��� :8I8�������t &�(�( ø öyù ø ñ�ö þ ÷ � �)(*( �B" �.�|ð�����ó�û þ �|ð�ú ����ñ þ ��ñ-öLûR���R�|ð þ ñ-öyü�ñ&���zû þ ñÓöyñ�ò ý � þ ò�ùR��"û�öyñoñ�ü�ÿOñ�����ñ�����ð þ ��ñwõHûR� ý ñwù_� " ��1éñ���ñu�Æð�ñ�ô>�]ù�ö�ñ-û�ó)�e� ý ð�ó þ �|ù�ð�"���� c �������0�����6��� F ô

� �+(�( � "�� � ,°¢¹®¹�½|ÂM´�Ä�µ³¬¾¶P´°�¯�¯M¹È¬®Äm°�µ³¬¾¶P´�­&.-/� c10�2323230 � �+4 ¶�ÄmÄmÂc²³²u¬®´c·�¬®´5� F

� N �#!���!���� c �������0�'� � �:��6 � �)(*( �/!2� �n� �

B6B

Page 12: Strengthening Invariants for Efficient Computation * Yanhong A. Liua

����ñ-öuñ � N �#!��|ò9��� þ ��öyñ-ò ø ñ�ó þwþ ù:� F ���}ù�ó�ù�ü ø\ý\þ ñ � �)(*(�ô!�Jñ[ò þ û�ö þ ��� þ � � �+(�( � "�� �N � QR���]ù�ö�ûR���9":û�ð�� � þ ñ�ö�û þ ñ ý ò��|ð\ú þ ��ñ���ñ���ð�� þ �|ù�ð:�|ð]�[� � ý ð þ �%� þ ��ñÑú�öuñ�û þ ñ-ò þ ���Xñ&�ø ùR�|ð þ �|òwöuñ�û�ó)��ñ��.�Z�����|ò����Xñ�� ø ù�|ð þ ñ����ò þ ò��]ù�öwò��|üL�%�|û�öJöuñ�û�òuù�ð�òÎû�ò��]ù�ö � " �

-�ü�ÿOñ�������ð�ú�û�ðÆû_��÷Mò���ò ��ò,öuñ&�zû þ ñ&� þ ù þ ��ñ þ ö�û�ð\òyüL�|òyò$�|ù�ðéû�ðÆûR�È÷Mò��|ò �]ù�ö�ó-ù�ü ø ���|ñu� þ ��ü�ñúcû�öuÿÆû�ú�ñ,ó-ù���|ñ-ó þ ��ù�ð ���6R��AôZ�|ð þ �Æû þ ÿOù þ �û�ð�ûR��÷!�-ñ�õHûR� ý ñ�ò þ �Æû þ û ø�ø ñ-û�öU��ð þ ��ñ�öyñ�ò ý � þùR� þ ��ñwñ�ð�ó&��ù�ò���ð�ú�ó-ù�ü ø�ýXþ û þ �|ù�ð.�.1 ���%��ñJñ�ü�ÿOñ�������ð�ú�û�ðÆûR�È÷Xò$�|ò0�\ñ þ ñ�öyüL�|ð�ñ�ò����% �$/�% ��LûõHûR� ý ñÊû ø�ø ñ�û�öuòQ�|ð þ �\ñwöyñ-ò ý � þ ô þ ö�û�ð�òuü���òyò$�|ù�ðûHðÆûR��÷Mò$�|ò0��ñ þ ñ�öyüL�|ð�ñ�ò�����&�$b�!-."]�%-.�� ��%$�+-7rûõHûR� ý ñÉû ø�ø ñ�û�öe�|ð ó�ñ-ö þ ûR�|ð ó-ù�ü ø ù�ð�ñ�ð þ ò2ùR� þ ��ñRöyñ-ò ý � þ �0����ñ���ù�ü�ûR�|ð �]ù�öyü�ñ&���� þ �]$ �^`% ,û�ð�� r�&�(G+D ��]ù�ö�ñ�ü�ÿOñ�������ð�úû�ð�ûR��÷Mò���ò ��òy�Æð�� þ ñHôLòuù � þ ûR���|ù<�oò�ûHð<ñ�/�ó&��ñ-ð þ�%��ð�ñ�û�ö3� þ �|ü�ñoû�ðÆûR�È÷Xò$�|ò�ô!������ó)� �|òhûR�|òuù ø öuñ-ó&��òyñU�]ù�öJù ý ö ý ò�ûHú�ñ���ñ�öyñR������ñ[ó�ù�ü ø ù�ð�ñ�ð þ ò�|ð þ ö�û�ð\òyüL�|òyò$�|ù�ð û�ðÆûR�È÷Xò$�|òÑû�öyñ �\ñ-òyó�ö���ÿOñ��#ûHò�ð�ñ-ò þ ñ�� ø û þyþ ñ�öyð�ò þ �Æû þ �]ù�öyü û�ð �|ð!��Æð�� þ ñ ��ù�üÑûR��ð7ô}ó�û ý ò$�|ð�ú þ ��ñÉû�ðÆû_��÷Mò���ò þ ù�ÿ�ñ �|ü ø öuñ-ó&��òyñ�ù�öO�|ð\ñ�/�ó&��ñ-ð þ �|ð<ú�ñ-ð�ñ�ö�ûR�B�-�ü�ÿOñ�������ð�úû�ðÆû_��÷Mò���òJ�|òJûR�|òuù�öyñ��zû þ ñ&� þ ù þ �\ñ ø öyù ø û�úcû þ �|ù�ðÑû�ðÆûR�È÷Mò��|ò��]ù�ö ý�ø ��û þ ñ[ù ø �þ ��ü�����û þ �|ù�ð ��F�B<�Aôcÿ ý\þhþ �Æû þ û�ð�ûR��÷Mò���òhù�ð���÷,�\ñ þ ñ�öyüL�|ð�ñ�ò ���\ñ þ �\ñ-öwû�õHûR� ý ñ ��+ $/�% +<&�"# &.+ þ ��ñ�öyñ�ò ý � þ ù_� þ ��ñ�ñ-ð�ó��|ù�ò$�|ð�ú2ó-ù�ü ø�ýXþ û þ �|ù�ð.�

Û-ç èLÞPßXë�æMà æ �7Ý¢æMÜPW�ã]ßOÜ Ý¢ÞPêÆÜ W�X�ßÙÞHç ê\ÝPã]ßOÜ>í ���\ñ�ûHÿOù¢õ�ñ2ñ�ü�ÿOñ�������ð�úRû�ðÆûR�È÷Xò$�|ò���òý òyñ�� þ ùL��ü ø öyù¢õ�ñ þ ��ñ�ñu� þ ñ�ð�ò���ù�ð þ ö�û�ð�òE�]ù�öyü�û þ �|ù�ð�ûHò��]ùR�%�|ù<�oò��

� �|öuò þ ô0��� � �)(�( � " � � N � QR��ôQ� � ñR�Èô0����û_�%�7��ð þ ñ-öuü�ñ����zû þ ñ�öyñ�ò ý � þ ò2ùR��" ûHöyñÉñ-ü�ÿ�ñ&����ñ&��|ð þ ��ñ�õ�û_� ý ñ�ùR� "Lô þ �\ñ-ð �hñO��ù�ð�ù þ ó�ù�ð�ò þ ö ý ó þ û�ð¿ñu� þ ñ�ð���ñ��*� ý ð�ó þ �|ù�ð��]ù�ö�"k� �����|òüÑû�=�ñ-ò þ ��ñ þ ö�ûHð�ò$�]ù�öuüÑû þ �|ù�ð �]ù�öwó�û�ó)���|ð�ú�ûR���.�|ð þ ñ�öyü�ñ&���|û þ ñ�öyñ-ò ý � þ ò��%��ñ�ü ø ù þ ñ�ð þ �

în� þ �\ñ-öyñ]�|òhûy� ý ð\ó þ ��ù�ðÑð\ù þ û_�%�ÙùR�����\ù�òyñ���ð þ ñ-öuü�ñ����zû þ ñoöyñ�ò ý � þ òÊûHöyñÎñ-ü�ÿ�ñ&���\ñ&� �|ðL� þ òöyñ þ�ý öuð õHûR� ý ñ�ô þ ��ñ-ð û�ð ñu� þ ñ�ð���ñ�� � ý ð�ó þ �|ù�ð*�]ù�ö�� þ ð�ñ�ñ&��ò þ ùRÿ�ñ,��ñ��Æð\ñ&�<ûHòy��ð0�'?6��1éñ�ü�ù!�����s÷ þ �\ñ ��ñ��Æð�� þ ��ù�ð ùR� �<( N � � " � � c �������0�'�4�6�7� �oûHòO�]ù�%��ùG�oò��Lîn� � �)(�( � " � � N � QR��ô�����|ó)� ��ð�ó&� ý ��ñ�ò þ ��ñ�ó�û�òuñ�����ñ-öuñy" ��ùXñ�òÊð�ù þ ó-ù�ð þ ûR�|ð � ý ð\ó þ ��ù�ð�û ø\ø �%��ó�û þ �|ù�ð�ò�ô þ ��ñ�ð7ô� ý ñ þ ù þ ��ñ ��öyò þ �|ü ø öyù¢õ�ñ-ü�ñ-ð þ ô�":��ò%ð�ù þ ñ� þ ñ-ð��\ñ&�7ô7òuù �hñ�öyñu�]ñ-öuñ-ð�ó�ñ þ ��ñ�õHûR� ý ñ�ùR�" ���|öuñ-ó þ ��÷�f

�<( N � � "���� c �������0�'�4�I�l� � � ìVæcÝ � c � �<( N � � � c � �}ãAÜ������ÙìVæcÝ ���M� �<( N � � �4��� �}ãVÜìVæcÝ � � "��7B7L N ��� c � �4�����;�<B7L N ���7�I�5�ÊãAÜ:�� ; � � L N ��� c ��� ����� � � L N ���7�I��� : � ;

� J6�

� ý ö þ ��ñ-öuü�ù�öuñ�ô���� � �)(�( � " �� N � QR��ô�û�ð�� � N �#! �B"�� � c �4�����;���4�I�5� � N � QR��ô�� � ñ�ô þ ��ñ�õHûR� ý ñùR�J"�� � c �������0�'�4�I� �|ò�ñ�ü�ÿ�ñ&����ñ�����ð þ �\ñ�õHûR� ý ñ�ùR��� þ ò[ñ-ð�ó��|ù�ò$�|ð�ú�û ø�ø ���|ó�û þ �|ù�ð7ô þ ��ñ�ð*�hñû�õ�ù���Ró-û�ó)����ð�ú þ ��ñ�õHûR� ý ñ�ù_�Q"òyñ ø û�öyû þ ñ���÷�f

�<( N � � "�� � c �4�����;���4�I�l� �T� ì]æcÝ � c � �<( N � �.� c � �LãVÜ �����Ùì]æcÝ ���M� �<( N � � �4��� �}ãVÜ: "��7B7L N ��� c � �������;�sB L N �������5� ; � � L N ��� c ��� ����� � � L N ���7�6�

�[I�

BV?

Page 13: Strengthening Invariants for Efficient Computation * Yanhong A. Liua

�Lù�ò ý ü�üÑû�ö$�%��ñ�ô þ ��ñ þ ö�û�ð�òE�]ù�öyü�û þ �|ù�ð �<( N öuñ-ü�ûR�|ð\ò þ �\ñ�ò�û�ü�ñ�û�òO��ðA� ��ú ý öyñ �+ñu�w�ó-ñ ø\þ�þ �Æû þ+þ �\ñ<ö ý ��ñ �]ù�ö+û � ý ð�ó þ �|ù�ð û ø�ø ���|ó�û þ �|ù�ð "���� c �������0�'�4�6� �|ò¿öyñ ø �zû�ó�ñ&� ��� þ �þ ��ñe�]ù���|ù<���|ð�ú�f���� � �+(�( � "�� � N � QR��û�ð�� � N �#!�� "���� c �������0�'�4�I�5� � N � QR��ô þ ��ñ�ð���ñu�Æð�ñ�<( N � � "���� c �������0�'�4�6�7� �oûHòO�|ð �[I� Lñ&��òyñ ��� � �)(�(5�B" �:� N � QR��ÿ ý\þ � N �"!��B"�� � c �������;�'�4�6�:�:�r�&�(G+D �ô þ �\ñ-ð ��ñu�Æð�ñ �<( N � � "�� � c �������;�'�4�6�7� �7û�òJ��ðv�'J�� Mù þ ��ñ�ö$����òyñU�\ñ��Æð�ñ �<( N � � "���� c �������0�'�4�I�l� �û�ò �|ð � �|ú ý öuñb���DNÎù þ ñ þ �Æû þ � ý ð\ó þ ��ù�ð�û ø�ø �%�|ó-û þ ��ù�ð�ò."�� � c �4�����;���4�I�4ò ý ó)� þ �Æû þ � �+(�( � "�� �N � QR� û�ð�� � N �"!��B"�� � c �4�����;���4�I�5� � N � QR�<ò���ù ý �%� ð�ù þ ÿOñ<ó�ù ý ð þ ñ�� ÿ�÷ �����Z�]����ñ�|ñ�ð�ú þ �\òÎù_� þyý�ø �|ñ�òwú�ñ-ð\ñ-ö�û þ ñ&�¿ÿc÷ �����Ñó�û�ðRò þ �%���4ÿ�ñ�ò þ û þ �|ó-ûR�%�È÷��\ñ þ ñ�öyüL�|ð�ñ��.�

�Æù�öU� ý ð�ó þ ��ù�ð+D-FHG*��ð � �|ú ý öyñ B�ô þ ���|ò���ü ø öuù¢õ�ñ&��ñ� þ ñ-ð\ò��|ù�ð þ ö�û�ð�òE�]ù�öyü�û þ �|ù�ðR÷���ñ&����òþ ��ñ��]ù���|ù<���|ð\ú � ý ð�ó þ �|ù�ð�ò<f

'��\@H) � 3 � SLO+M��$*E� )"*"?) � 3 J PSLO+MV� * � ��� �X) � * 3 J PSLO+M��+R �]�7� � � ) � 3 J PSLO+MV�BR � @'&( )"?) �-R-3 J P) c � # ) � * 3�% c �$# ) � R 3 ,?� * ,'� * ,$� R ,�� R *

��� � ) � 3 � J K � �-, , ) � 3�M!NHO$P ) , *O$SUT/OVSLO+M��$*E� ��� �X) '�"(&$) � 303 J P

) '�1$&$) � 343 c �$# ) �$*I3 , �$* *@'&( )"$) � 3 � JLK � �-,., ) � 3 M-NHO$P ) c , *

O?SLT7O SLO+M��$*E� @'&( #"�) '�"(&$) � 303 J P) '�1$& ) � 3�6 c � # ) �$*23=, � * *

� C6�

����ñ-öuñ D FHG �|òÎñu� þ ñ-ð���ñ�� þ ù�öyñ þyý öyð¿õ�û_� ý ñ�ò%ùR� J�����û�ð�� ���@��KÓôOû�ò �hñ&���ÓûHò%öuñ-ó ý öyò��Èõ�ñó�ûR���|ò þ ù L�QRF û�ð�� G � J��Z��� ý ð�ó þ �|ù�ð\òIJ���� û�ð�� ���@��K û�öyñ�ð�ù þ ñu� þ ñ�ð���ñ��7ô>ò��|ð\ó-ñRûR�%�þ ��ñ��|ö���ð þ ñ-öuü�ñ����zû þ ñ[öyñ�ò ý � þ òÎû�öuñ�ñ�ü�ÿ�ñ&����ñ�� ��ð þ ��ñ��|öwöyñ þ�ý öuð¿õHûR� ý ñ-ò��

����� � $l -�� ������ 4B�%-D+������ &�`�46��(a�[&��^pm���srs-.�^"m&�$[�'-.� �<pm�������! �"# ��%$'&�(a�LdD&�$[�'-.�

�����|òJò þ ñ ø�þ öyû�ð�ò$�]ù�öyü�ò "� D�z( +���� þ ù�ñu� ø ù�òyñ�ò ý ÿ�ó-ù�ü ø�ý\þ û þ ��ù�ð�ò9��ñ ø ñ-ð����|ð�úù�ð���÷�ù�ð(�ûHð��,����ù�òyñÊõHûR� ý ñ-ò�ó-û�ð�ð�ù þ ÿOñwöuñ þ ö$�|ñ�õ�ñ&�,�]öuù�ü þ ��ñwó�ûHó)��ñ&��öyñ�ò ý � þ ùR� "� .�z(����î þ�ý òuñ-òû�ðÆûR�È÷Mòyñ-ò}û�ð�� þ ö�û�ð�òE�]ù�öyü�û þ �|ù�ð�ò4ò��|üL�%�|û�ö þ ù þ ��ù�òyñ��|ð;�@J��� þ �Æû þ ��ñ�ö���õ�ñ�û�ð ��ð�ó-öuñ-ü�ñ-ð þ û_�ø öyù�ú�ö�û�ü "7 � �z(��,��� � ��ô�ÿc÷�ñu� ø û�ð����|ð�ú,ò ý ÿ�ó-ù�ü ø�ý\þ û þ ��ù�ð�ò�ùR� "7 V�z(]+Y�2�Q��ñ ø ñ�ð����|ð\ú�ù�ðÿOù þ ��( ûHð���� û�ð�� öyñ ø �zû�ó��|ð�ú þ �\ù�òyñ���ñ ø ñ-ð����|ð�úù�ð���÷�ù�ð ( ÿc÷éöuñ þ ö��|ñ�õHûR�|ò��]öyù�ü �����ñ-ð ø ù�òyò���ÿ��|ñ_�

/ ý öoú�ùcûR� ��ñ�öyñ �|òoð�ù þoþ ùm ý �|ó!=w�È÷Éöyñ þ ö���ñ�õ�ñ�õHûR� ý ñ-ò��]öyù�ü � ôÙÿ ý\þÎþ ùe�Æð�� ø ù þ ñ-ð þ �zûR����÷ý òyñu� ý �%û ý ���%���zû�ö�÷ ��ð��]ù�öyü�û þ �|ù�ð7ô � � ñR�Èô�ò ý ÿ�ó-ù�ü ø�ýXþ û þ �|ù�ð�òL��ñ ø ñ�ð����|ð\úéù�ð ( �AûHð�� � �ÿ ý\þ ð�ù þ �L���\ù�òyñ�õHûR� ý ñ-ò �:&��%��-.$�ÿOñ�öuñ þ ö��|ñ�õ�ñ��\�]öuù�ü � ����� ý ò-ô þ ��ü�ñ%ó-ù�ð\ò��%�\ñ-ö�û þ �|ù�ð�ò�|ð �AJ�.��ûHöyñ���öyù ø\ø ñ�� ��ñ-öuñ+ÿ ýXþ û�öuñ ø ��ó!=�ñ�� ý�ø û_� þ ñ-ö � þ ñ ø � �A�\ô�û�òL���|òuó ý òuòyñ�� �|ð� ñ-ó þ ��ù�ðJ��

BD�

Page 14: Strengthening Invariants for Efficient Computation * Yanhong A. Liua

î�ð ø û�ö þ �|ó ý �zûHö-ô �|ð3�@J���Aô7ûY�]öyñ�ó ý öuò���õ�ñD�[û ø\ø �%��ó�û þ �|ù�ð¿ùR��û � ý ð�ó þ �|ù�ð*" �|ò[öuñ ø �|û�ó-ñ���ÿc÷û�ð�û ø\ø �%��ó�û þ �|ù�ðÉùR��û�ð �|ð�ó�öyñ-ü�ñ-ð þ ûR�eõ�ñ-öuò���ù�ð:"��7ù�ð���÷\���>û��Vû�ò þ öyñ þ ö$�|ñ�õHûR� �]öuù�ü òyù�ü�ñó�û�ó)�\ñ&� öyñ�ò ý � þ ùR� þ ��ñ ø öyñ�õ!��ù ý ò�ó�ù�ü ø�ý\þ û þ �|ù�ðéó�ûHð<ÿOñ ý òyñ�� û�ò þ ��ñ�û�öuú ý ü�ñ-ð þ �]ù�öþ ��ñ ø û�öyû�ü�ñ þ ñ�ö,ùR��" � þ �Æû þ ó-ù�öuöyñ�ò ø ù�ð���ò þ ùûRó�û�ó)��ñ�� öyñ�ò ý � þ � �Ùù�ö�ñ�\û�ü ø �|ñ�ô����oû�ð�|ð�ó�öyñ�ü�ñ�ð þ ûR�Xõ�ñ-öuò��|ù�ð "*�n�z(��:� � � �k��ò0�|ð þ öyù!� ý ó-ñ�� þ ù�ó-ù�ü ø�ýXþ ñ "��g(9+K���k��ð�ó-öuñ-ü�ñ-ð þ ûR����÷�]ù�ö � � "��z(��rô þ ��ñ�ð �|ði�@J���AôLû � ý ð�ó þ ��ù�ðéû ø�ø �%��ó�û þ �|ù�ð�"��/!��z(�� +��P�n�2�5���|ò�öyñ ø �zû�ó�ñ&�ÿc÷�û�ðÉû ø�ø �%��ó�û þ �|ù�ð�ùR� " � ù�ð��È÷�����òyù�ü�ñ]�VûHò þ öuñ þ ö$�|ñ�õ�û_�@GP� � �Q�]ù�ö þ ��ñ�õHûR� ý ñ%ù_�0" ��!��z(��5�ó�û�ð+ÿOñ ý òyñ��¼û�ò þ ��ñ�û�öuú ý ü�ñ-ð þ �]ù�ö þ ��ñ ø ûHö�û�ü�ñ þ ñ-ö � ùR��" � �g(��,� � � �rô��|ð �����|ó)��ó�ûHòyñþ ��ñ,û ø�ø �%�|ó-û þ ��ù�ð �|òÎöyñ ø �zûHó-ñ&�¿ÿc÷ " � �/! �g(�� ���O�n�2� �#GP� � �:���î�ð � þ ñ ø � �G?L��ñ�öyñHôOûHðû ø�ø �%���ó�û þ �|ù�ð ùR�]" ��ò�öyñ ø �zûHó-ñ&� ÿc÷éû�ð û ø\ø �%��ó�û þ �|ù�ð ùR�]" � ûR�|òuù ����ñ�ð:û¿öyñ þ ö���ñ�õHûR�>ó�û�ð\ð�ù þÿOñ �]ù ý ð�� ��|ð þ ����òoó�û�òuñ�ô þ ��ñ�õHûR� ý ñ�ð\ñ-ñ&�\ñ&� �]ù�ö þ ��ñ�ó�û�ó)��ñ ø û�öyû�ü�ñ þ ñ�ö ��òwó-ù�ü ø�ý\þ ñ&����|öuñ-ó þ ��÷�ô>òyù��]ù�ö þ ���|ò�ñu�\û�ü ø �|ñHô þ ��ñ+û ø�ø ���|ó�û þ �|ù�ð " ��!��z(�� +��O�[���:�O��ò�öuñ ø �|û�ó-ñ�� ÿc÷" � �/!��z(�� ���P�n�2� �"��/! �g(��:�5�u�Ùî þ �|ò�ñ�û�ò�÷ þ ù�òuñ-ñ þ ��û þ ô��|ð þ ���|ò[ó-û�òyñHôk"���!��g(��:�Îÿ�ñ-ó�ù�ü�ñ-ò�ûø �|ñ�ó-ñ�ùR�Ló�û�ð����%�Æû þ ñ�û ý �����%�zûHöu÷��|ð��]ù�öuüÑû þ �|ù�ð.�

� �|ð\ó-ñ þ �\ñO� ý ð�ó þ �|ù�ð\ò�ù�ÿ þ û_�|ð�ñ�� �]öyù�ü þ ����ò[ò þ ñ ø üÑû�÷¿ÿOñ,���L�4ñ�öyñ�ð þ �]öuù�ü þ ��ñ,�|ð\ó-öyñ�ü�ñ�ð þ ûR�.� ý ð\ó þ ��ù�ð�ò " � ù�ÿ þ ûR��ð�ñ&�\�|ð �@J���Aô��hñy�\ñ-ð�ù þ ñ þ ��ñ-ü ÿ�÷ " � �

�Æù�ö�� ý ð�ó þ �|ù�ð D FHG'�|ði�'C6��û�ð�� �|ð ø�ý\þ ó)�Æû�ð�ú�ñ�ù ø ñ-öyû þ ��ù�ð:( +_�+� D0J7KML �[����(��rô��hñþ öyû�ð�ò$�]ù�öyü þ ��ñ�ó-ù�ü ø�ý\þ û þ ��ù�ð�ùR� D-FHGP��D0J7KML �n� ��(��5��ô���� þ � D FHGP�z(��� � f

c � < 8 D 6 # Y '��\@H) '� � � )�� , � 303� SLO+M�� * � )"*"?) '� � � )�� , � 303 J PSLO+MV�Z* � ��� �X) � *!3 J PSLO+M��+R � �7� � � ) '� � � )�� , � 303 J PSLO+MV� R � @'&( )"?) � R 3 J P) c � # ) �Z*23�% c �$# ) �BR-3 ,��$*-, � *2,��+R ,��BR *

� � < 8 D 6 # Y )"*" � ��� � � �I� � � a 8$Y�9 "�C�> # " D��� SLO+M�� � * � �7� � � ) � 3 J PSLO+MV� � * � ��� �X) � � * 3 J PSLO+M��+R � )"*"?) � 3 J PSLO+MV�BR � @'&( )"?) �+R-3 J P) � 3 c � # ) � � * 3�% c �$# ) �BR-3 , '� � � )�� ,0� � * 3 , ) � 3 c �$# ) � � * 3 ,�� � * * ,$�+R ,��BR *

, � % > # a 5 % a!>?> # " 5 a : " 6-8$9�6 D �I� � � a 8?Y )"*" ��� % : �" % � a # 9� SLO+M�� � * � 23#54 ) �& 3 J PSLO+MV� � * � ��� �X) � � * 3 J PSLO+M��+R � �)� "�) �& 3 J PSLO+MV�BR � @'&( )"?) �+R-3 J P) � 3 c � # ) � � * 3�% c �$# ) �BR-3 , '� � � )�� ,0� � * 3 , ) � 3 c �$# ) � � * 3 ,�� � * * ,$�+R ,��BR *

� �|ü ø �����Æó-û þ ��ù�ð7ô� � ñR�Èô ý ð>���|ð����|ð�ú þ ��ñ>ÿ���ð�����ð�ú�ò �]ù�öM� �c û�ð�� ��� ��ñ�öyñ�ô¢÷!�|ñ��%��ò þ ��ñ��]ù�%��ùG�7�

Bs�

Page 15: Strengthening Invariants for Efficient Computation * Yanhong A. Liua

�|ð�ú]� ý ð�ó þ �|ù�ð D FHG �Mò ý ó)� þ �Æû þ ôR��� D FHGP�g(�� � � ô þ ��ñ�ð D-FHG �[�[��� � �� D FHG � D-J�KTL9�n� �$(��:��f

'��\@��0)�� , �& 3 � SLO+MV� � * � ��� �X) 23#54 ) �& 3;3 J PSLO+MV�BR � @'&( )"?) �)� "?) �& 303 J P) � 3 c �$# ) � � * 3O% c �$# ) �BR-3 , '� � � )�� , 23#54 ) �& 3;3 , ) � 3 c �$# ) � � * 3=,�� � * * , �)� "?) �& 3 ,'�BR *

�[FI�

��� � � $l -�� � �� � -.(�(� !��$[�����K�:&���8��[8I&�$l &�`�46��(a�[&���pm���srs-.�^"m&�$ �'-.�

�����|ò�ò þ ñ ø ó-ù���|ñ-ó þ òu�:&���8��[8I&�$l &�`�46��(a�[&��^p ���srs-.�^"m&�$ �'-.�ÆôQ�B�Fñ_��ôQ��ð þ ñ-öuü�ñ����zû þ ñ�öyñ�ò ý � þ òùR� "� �n�z(��,��� � � þ �Æû þ ��ñ ø ñ�ð��éù�ð���÷¿ù�ð�( û�ð�� � ôeû�ð���÷!�|ñ��%��ò�� ý ð�ó þ �|ù�ð �"� D�z(�� � �u�7î þ ��òò���ü����zû�ö þ ù � þ ñ ø � ��B���ð þ �Æû þ ÿOù þ �ó-ù���|ñ�ó þ ��ð þ ñ-öuü�ñ����zû þ ñJöuñ-ò ý � þ ò þ ��ñ�÷ �����Oñ-ö �|ð þ ��û þ� þ ñ ø � �LBÑó�ù�%��ñ-ó þ ò,ûR�%�Q��ð þ ñ-öuü�ñ����zû þ ñ2öyñ-ò ý � þ ò-ô �������|ñ þ ����ò,ò þ ñ ø ó-ù���|ñ-ó þ ò�ù�ð��È÷ þ ��ù�òyñþ �Æû þ ��ñ ø ñ-ð��¿ù�ð��È÷�ù�ð\(�û�ð�� � �

� ß�Þ���ê�ÞDà à}æ�è�æMÜ}à}æMÜ}â�æêÆÜ�êÆì � W�ã WHí � �|öuò þ ô��hñ ý òyñ�û rs-.� � &��58;89 -�% ���89 ����! &���&�(atpV+���+ þ ù\�%�\ñ-ð þ ���s÷ò ý ÿOó�ù�ü ø\ý\þ û þ �|ù�ð\ò�ùR� "7 � �g(��,��� � � þ �Æû þ �\ñ ø ñ-ð�� ù�ð���÷+ù�ð*( û�ð�� � �����ñ2û�ðÆû_��÷Mò���òU�|òU�|ð þ ��ñ�ò�ûHü�ñ�ò ø �|ö$� þ û�ò[ÿ���ð�����ð�ú_� þ �|ü�ñ�û�ðÆûR�È÷Xò$�|ò>�@�6FXôA� JV� �]ù�ö ø û�ö þ �zûR�ñ�õHûR� ý û þ ��ù�ð7ô>���.�Jñ�öyñ-ú�û�ö�� þ ��ñ�û�öuú ý ü�ñ-ð þ òhó-ù�öuöyñ�ò ø ù�ð�����ð�ú þ ù (Rû�ð�� � û�òJò þ û þ �|ó�û�ð��þ ��ñhöyñ�ò þ û�ò �\÷MðÆû�üL�|ó_�V1 ñJó�ù�ü ø�ý\þ ñ þ ��ñ �]ù�%��ù<���|ð�úoòyñ þ ò�ô�ó�û_�%�|ñ�� rs-.� � &��58 89 -�% ���89 �����p+D �$n+�ô����|öyñ�ó þ ��÷�

�Æù�öñ�û�ó)� � ý ð�ó þ ��ù�ð " ��� c �������0���7�I� � F ô0�hñ¿ó�ù�ü ø�ý\þ ñÉû¼òyñ þ�� "�� "�� þ �Æû þ ó�ù�ð þ ûR��ð�òþ ��ñ\��ð����|ó�ñ-ò2ùR� þ ��ñRû�öuú ý ü�ñ-ð þ ò2ùR��" ò ý ó)� þ �Æû þ ôQ�|ð ûR��� ý òuñ-ò�ùR��"}ô þ ��ñÉõHûR� ý ñ-òùR�þ ��ñ�òyñRû�öuú ý ü�ñ-ð þ ò,��ñ ø ñ�ð�� ù�ð���÷ ù�ð'( ûHð�� � ô�ûHð��7ô �]ù�öñ-û�ó)� ùXó�ó ý öuöyñ-ð\ó-ñÉùR�%ñ�û�ó)�ò ý ÿ�ñu� ø öuñ-òuò��|ù�ðU��ùR� � F ô!�Jñ�ó-ù�ü ø�ý\þ ñ[û�òuñ þ�� � � �V� þ �Æû þ ó-ù�ð þ ûR�|ð�ò þ ��ñ]�]öyñ-ñ%õ�ûHö��zûHÿ��|ñ�ò�|ð � þ �Æû þ ��ñ ø ñ�ð��¼ù�ð��È÷+ù�ð ( û�ð�� � ������ñöyñ�ó ý öuò���õ�ñ,��ñ���ð�� þ �|ù�ð�ò�ùR� þ ��ñ�òyñòuñ þ ò�û�öuñú��õ�ñ-ð���ð � �|ú ý öyñ>Xô ����ñ-öuñ ���#� �V�]��ñ�ð�ù þ ñ-ò þ �\ñòyñ þ ù_� �]öuñ-ñ�õHû�ö$�zû�ÿ��|ñ-ò]�|ð+�2û�ð�����ò

� 6 % a 50� D < 8?5=: " 6-8 FH) �$*-,7.�.�.�, � 1 3��A� � Y %�� 8 %� � ) ��?3 ���I� $ & /�� FH) F 3�� a 8?Y � D 6 % a 50� 9 < � %=[ >? % 9;9 " 6-8 � 6 D �� �" D � " 9 '!) �+*-,7.�.�.�,0� 1 3 6 @4) � *!,7.�.�.�,0� 1 3 :�� % 8 � ) � */3 � .�.�.-� � ) � 1 3 � � ) �!3" D � " 9 F * ) � *-,/.�.�.�,0� 1 3 :�� % 8 � ) � */3 � .�.�.-� � ) � 1 3 � � ) �!3 � FH) F *I3-��� / &����\) �$03�� � ) �!3���� FH) F *I3" D � " 9 JLK � * M-NHO$PQ� R O$SUT/O � W :�� % 8 � ) � * 3 � � ) � R 3 � � ) � W 3 � � ) �!3" D � " 9 SLO+M��\� � * J PQ�!R :�� % 8 � ) � */3 � � ) �!3 � � ) �!R!3 �

� � ) �23�� �I��� " D ��� ) � * 3�� � ) �!3 � ) �23�!"�I�#� 6!:�� % � " 9 %

Ç7¬¾·cÅ�S�Å��J±�ÖX´M¬¾µ³¬¾¶P´�¶¢½%$�&Ñ°¢´�»'$��PÅ

BVJ

Page 16: Strengthening Invariants for Efficient Computation * Yanhong A. Liua

��ñ���ð�ñ&�+û�ò��]ù�%��ùG�oò�f

� �#����� � � ���� �#�/! ��� c �������0�'�4�6�:� � ����ñ�öyñ ! �|ò�DPô9Geô�ù�öU" � ���;� � c ��� ������� ���;� �4�6�� �#�Vã[X � c ÝVU�æXÜ � ��æMì W�æ � , � � ���;� � c ��� � �#��� ����� � �#� � , �� �#�VìVæcÝ �I� � c ãVÜ � �^� � ���;� � c ��� � ���;� � �^��� � ����

�Lù ó�ù�ü ø�ý\þ ñ þ ��ñ�òyñ¼òyñ þ ò-ô9�Jñ�ò þ û�ö þ ��� þ � � "�� "7 ��L��ó-ù�ð þ ûR�|ð���ð�ú þ ��ñ��|ð����|ó�ñ-ò�ùR� þ ��ñû�öyú ý ü�ñ�ð þ ò�ùR� "7 � ó�ù�öyöuñ-ò ø ù�ð����|ð�ú þ ùU(�ûHð�� � ô�û�ð��7ô �]ù�ö�û_�%�Mù þ ��ñ�ö � ý ð�ó þ ��ù�ð�ò�"Lô � "��B" �ó-ù�ð þ ûR�|ð���ð�ú þ �\ñ��|ð�����ó-ñ�òwùR�LûR�%�4û�öyú ý ü�ñ�ð þ òwùR�0"Lô�û�ð���� þ ñ�ö�û þ ñ ý ð þ �%�4ûú�öyñ-û þ ñ�ò þ ���Xñ&�ø ùR�|ð þ ��� þ �¼öyñ-ò ø ñ�ó þ�þ ù þ ��ñ ø ùR�|ð þ � ���|òyñ�ñu� þ ñ�ð�ò���ù�ð ù_�Jò ý ÿ�òyñ þ ù�ö���ñ�ö���ð�ú\�|ò[öuñ�û�ó)��ñ��.������|ò�� þ ñ-öyû þ ��ù�ð2ûR���Êû�÷Mò þ ñ-öuü���ðÆû þ ñ-ò�ò���ð�ó-ñHô>�]ù�ö�ñ�û�ó)�e� ý ð�ó þ ��ù�ð "}ôw"\��û�ò�û����\ñ���û�ö$� þ ÷�ô� "��B" �J��ñ-ó�öyñ-û�òyñ�ò-ôOû�ð��¿ûe��ù<�Jñ�öÎÿ�ù ý ð����ñu���|ò þ ò��

�Æù�ö þ �\ñ�ö ý ð�ð��|ð�úwñ��ûHü ø ��ñ�ô&�hñ�ù�ÿ þ ûR�|ð � "�� D FHG ��� � � ?��JûHð�� � "�� L�QVFK�� � "�� G � J�� � �� B �w� �Ùù�ö�ñ�õ�ñ-ö�÷�ò ý ÿ�ñu� ø öuñ-òuò��|ù�ð �,��ð þ ��ñ ��ñ��Æð�� þ ��ù�ðùR� D FHG � �[��� � ��ô ��� � � ���V�u� �Æù�öñ�õ�ñ-öu÷Éò ý ÿ�ñu� ø öyñ�òyò$�|ù�ð � �|ð þ ��ñ ��ñ��Æð�� þ ��ù�ð�òÊù_� L�QVF �z(��wû�ð�� G � J����g(���ô � � ���V� � � (��w�

� ßOìVì]æXâ�Ý¢ãVß�Ü�Ý¢ÞPêÆÜPW<X�ßÙÞDçéê\ÝPã]ß�Ü�í N%ñu� þ ô �hñ ý òyñÉû+ó�ù�%��ñ-ó þ �|ù�ð þ öyû�ð�òE�]ù�öyü�û þ ��ù�ð þ ùó-ù���|ñ�ó þÊþ ��ñ�ó�û�ð����%�Æû þ ñ�û ý �����%�zûHöu÷L�|ð��]ù�öyü�û þ ��ù�ð.�w����ñ�üÑû_�|ð ���L�4ñ�öyñ�ð�ó-ñ�ÿ�ñ þ �hñ-ñ-ð þ ����òó-ù���|ñ�ó þ ��ù�ð þ öyû�ð�ò$�]ù�öyü�û þ ��ù�ð�û�ð�� þ ��ñJñ� þ ñ-ð\ò��|ù�ð þ öyû�ð�òE�]ù�öyü�û þ ��ù�ð �|ð � þ ñ ø � �LBJ��ò þ �Æû þ ô�|ð þ ��ñe�]ù�öuü�ñ�ö-ô þ �\ñ�õHûR� ý ñ�ù�ö��|úR�|ðÆûR����÷Ró-ù�ü ø�ýXþ ñ&� ÿc÷éûRò ý ÿ�ñu� ø öuñ-òuò��|ù�ð �|ò�öyñ þ�ý öuð�ñ&�ù�ð��È÷ ����� þ �\ñ ø ñ-ð���ò2ù�ð���÷ ù�ð ( û�ð�� � ô �������|ñ ��ð þ �\ñ �zû þuþ ñ-ö�ô þ ��ñ�õHûR� ý ñÑù�ö$�|ú��ðÆûR�%�È÷ó-ù�ü ø�ý\þ ñ&�Rÿc÷Éû�ò ý ÿ�ñu� ø öyñ�òyò$�|ù�ð �|òoûR���Êû�÷Mòoöyñ þyý öyð\ñ&�.�

�Æù�öwñ�û�ó)��� ý ð�ó þ �|ù�ð " ��� c �������0���7�I�8�,ó-ûR�%��ñ&�\�|ð þ �\ñ ø öyù�ú�öyû�ü �]ù�ö "7 � û�ð��Rò ý ó)� þ ��û þ� "��B" ������ô��hñ,ó�ù�ð�ò þ ö ý ó þ ûe� ý ð�ó þ �|ù�ð\��ñu�Æð�� þ �|ù�ð

�"����7/ * �������;���7/���� ��4J'(:� � �<� � �[RI�

����ñ-öuñ � " � " ��� � c �4�����;� #B��2û�ð�� B��� c : ����� : B��EK ���4J'( � �.�<� �Óó-ù���|ñ-ó þ ò þ �\ñ,öuñ-ò ý � þ òÎùR��|ð þ ñ�öyü�ñ&���|û þ ñ�� ý ð�ó þ ��ù�ð�û ø\ø �%��ó�û þ �|ù�ð�ò���ðH� þ �Æû þ ��û¢õ�ñÊÿ�ñ-ñ-ðò þ û þ �|ó-ûR�%�È÷���ñ þ ñ-öuü���ð�ñ&� þ ù��ñ ø ñ-ð��+ù�ð��È÷�ù�ð\(�ûHð�� � �*NÎù þ ñHô���ù<�Jñ�õ�ñ-ö�ô þ �Æû þ û�ð��|ü ø öuùPõ�ñ-ü�ñ-ð þ ò���ü����zû�ö þ ù þ ��û þ�|ð � þ ñ ø � ��BL�|ò�ü�ûR��ñHôeðÆû�ü�ñ&��÷�ô��hñÑû�õ�ùR�%� ó-ù�ð�ò þ ö ý ó þ �|ð�úRò ý ó)�<ûRó�ù�%��ñ-ó þ ñ&��õ�ñ�öyò$�|ù�ð�]ù�ö " ��� � "��B" � � � B��4�����;� K���û�ð�� � �)(�(5�B" �� N � Q ��

����ñ þ öyû�ð�ò$�]ù�öyü�û þ ��ù�ð��4J (7û_���Jû¢÷MòQ�Æöuò þ ñu�\û�üL�|ð\ñ-òQ����ñ þ ��ñ-ö � þ ò�û�öuú ý ü�ñ-ð þ ñu� ø öuñ-òyò$�|ù�ð� �ÆûHò%ÿ�ñ-ñ�ð ��ñ þ ñ�öyüL�|ð�ñ�� þ ù���ñ ø ñ�ð��+ù�ð���÷�ù�ð�(û�ð�� � ô��B�Fñ_��ô � �#���V��� � � � �V��Æîn��òuù�ô�4J (5� �.�<� � � �<( N � � �<� ��ô_����ñ-öuñ �<( N �|ò þ ��ñ���ü ø öuù¢õ�ñ&�2ñ� þ ñ-ð�ò$�|ù�ð þ ö�û�ð�òE�]ù�öyü�û þ �|ù�ð ��ñ��Æð\ñ&�L�|ð� þ ñ ø � ��B��/ þ �\ñ-ö$����òyñHô��4J'(:� � �<� � ��ò���ñ��Æð\ñ&��û�ò �|ð � ��ú ý öyñ CXô����\ñ-öyñ � ������ � �<� �Óú�ñ-ð�ñ�ö�û þ ñ-òû þyý�ø ��ñ�ùR� A òÉùR� ��ñ-ð�ú þ � ñ< ý ûR� þ ù þ ��ñ¼ð ý ü�ÿOñ�öÉùR� þ ��ñ�� ý ð�ó þ �|ù�ð û ø\ø �%��ó�û þ �|ù�ð�ò�|ð ��ôÓñu�Xó-ñ ø\þþ �Æû þ � ý ð�ó þ �|ù�ð û ø�ø ���|ó-û þ ��ù�ð�ò "�� � c �������;�'�4�6��ò ý ó)� þ �Æû þ � "�� "��H���ôLù�ö

BD

Page 17: Strengthening Invariants for Efficient Computation * Yanhong A. Liua

� "��B" �E� � B��������;��K���ÿ ý\þ � �)(�( � " � � N � QR�û�ð�� � N �#! �B"�� � c �4�����;���4�I�5� � N � QR�û�öuñð�ù þ ó-ù ý ð þ ñ&�.��N%ù þ ñ þ ��û þ ��� �O�Æû�ò�ÿOñ�ñ-ð ��ñ þ ñ�öyüL�|ð�ñ�� þ ù �\ñ ø ñ-ð���ù�ð���÷Éù�ð ( ûHð�� � ôþ ��ñ�ð]B7L N � �4J'(:� � �<� �n� �|ò þ ��ñ�ù�ö$�|ú��ðÆûR��õHûR� ý ñ�ùR�5��ôLûHð�� � L N � �4J ( � � �<� �[��ó�ù�ð þ ûR��ð�ò,õHûR� ý ñ-ò�ùR��|ð þ ñ�öyü�ñ&���|û þ ñL� ý ð�ó þ �|ù�ð û ø�ø ���|ó-û þ ��ù�ð�ò þ �Æû þ ��ñ ø ñ-ð�� ù�ð���÷ ù�ð (:û�ð�� � Óù þ ��ñ-öE���|òyñHô�4J (5� �.�<� �Ló-ù�ð þ ûR�|ð\òÎù�ð���÷�õHûR� ý ñ-òÎùR� �|ð þ ñ�öyü�ñ&���|û þ ñ�� ý ð\ó þ ��ù�ð¿û ø�ø ���|ó�û þ �|ù�ð�ò þ ��û þ �\ñ ø ñ-ð��ù�ð��È÷�ù�ð\(�û�ð�� � �

� , � � � � ) *� , � ) � * ,/.�.�.�,;�21B3�� � � � % % � " 9 ' 6 @ � � , � * � � � .�.�.�� � , �21�� �� , FH) � * ,7.�.�.�,0�21B3�� � � SLO+M�� * � � , � * � � J P .�.�.?SLO+M��-1 � � , �21 � � J PQ� � * � .�.�. � � � 1 � � �

� � % % � � $ � � & � # ) � $;3 " D / � F4) F 3� $ 6!:�� % � " 9 %

� � �� ) * " D� FH) F 3-���) �FH) c � # ) � $ � 3 ,I.�.�.�, c �$# ) � $��;3;31* 6!:�� % � " 9 %� � % %� FH) F 3-� � / *-,/.�.�.�, /�� � a 8?Y c % / * ) .�.�. ) / � % �

� , J K � * M!NHO?PQ�2R�O$SUT/OV�2W�� � � SLO+M��$* � � , � * � � J PJLK c � # ) �$*23 M-NHO$PQS O M��+RB� � , �!R � � J P

& �$# ) � *!3�� �+R!��� �1)" �2W�� �O$SUT/O�S O M��!W4� � , �2W � � J P

& � # ) �$*I3���� �1)" �2R � ��� �-W

" D ���\) �+*I3 � � ) � *73

� SLO+M��$* � � , � * � � J P S O M��+R � � , �!R � � J PS O M��-WB� � , �2W�� � J P�$* � �+R � �-W

6!:�� % � " 9 %

� , S O M � � �+* J P �!R � � � SLO+M��$* � � , � * � � J PSLO+M�� � c �$# ) �$*23 J P�SLO+M��+RH� � , �2R � � J P

& � # ) �$*23�� �+R

" D ���\) �+*I3 � � ) � *73

� SLO+M��$* � � , � * � � J P S O M��+R � � , �!R � � J P�$* � �+R

6!:�� % � " 9 %

Ç7¬¾·cÅ�FHÅ$�J±�ÖX´�¬®µ³¬¾¶P´�¶¢½����4Ð�«c±r´ ��� -/� 4��� $��'-/� 4 Å

�U� þ ��ù ý ú� þ ����ò��]ù�ö$�Jû�ö��L��ñ ø ñ-ð���ñ-ð�ó�ñ[û�ð�ûR��÷Mò���òQ�|ò�ñ� ý ��õHûR�|ñ�ð þ�þ ù�ÿ��|ð����|ð�ú þ ��ü�ñÊû�ðÆûR�q�÷Mò��|ò9�|ð ø û�ö þ �zûR�Æñ�õHûR� ý û þ �|ù�ðu���IC.�Aô þ ��ñ�û ø�ø ���|ó�û þ �|ù�ðL�\ñ-öyñU�|ò �����Oñ-öuñ-ð þ �Mî�ð ø û�ö þ �|ûR�Æñ�õHûR�q�ý û þ �|ù�ð7ô þ ��ñ�ú�ù�ûR����ò þ ùù�ÿ þ ûR�|ðÉûöuñ-ò���� ý ûR� ø öyù�ú�ö�û�ü þ �Æû þ ��òwò ø ñ-ó��zûR���%�-ñ���ù�ðRûú��õ�ñ-ðòyñ þ ù_��ò þ û þ �|óÉû�öuú ý ü�ñ-ð þ ò2û�ð�� þ û�=�ñ�ò�ù�ð���÷ þ ��ñ �\÷MðÆûHü���óÉû�öyú ý ü�ñ�ð þ ò-ô �����%�|ñ �\ñ-öyñHô�Jñ¿ó-ù�ð\ò þ ö ý ó þ û ø öuù�ú�öyû�ü þ �Æû þ ó�ù�ü ø�ý\þ ñ�òÑù�ð���÷ ù�ð þ ��ñ �uò þ û þ ��ó � û�öyú ý ü�ñ�ð þ ò&�>î�ðûRòuñ-ð�òuñ�ôk���Æû þ �|ò�ó-ù�ü ø�ý\þ ñ&� ÿ�÷ ù ý ö�öuñ-ò ý � þ �|ð�ú ø öyù�ú�ö�û�ü ó-ù�öuöyñ-ò ø ù�ð���ò þ ù�����û þ ��òó-ù�ü ø�ý\þ ñ&�Rÿc÷ þ ��ñ��Æöuò þ ùR� þ ��ñ þ �Jù�ò þ û�ú�ñ-ò��]öuù�ü þ �\ñ�ò þ û�úR�|ð�ú þ öyû�ð�òE�]ù�öyü�û þ ��ù�ð � �IH��B�����ñ�öyñ�ò ý � þ ��ð�ú ø öyù�ú�ö�û�ü'ù�ÿ þ ûR�|ð\ñ&� ��ñ�öyñ �|òhò���ü����zû�ö þ ù þ ��ñ�ò����|ó�ñ[ù�ÿ þ ûR�|ð�ñ�� �]öyù�ü �]ù�ö3��ÊûHö�� ò��%��ó&��ð�úv��F����B� �%ù<�hñ�õ�ñ�ö-ô}ù ý ö��]ù�öE�ÊûHö��:��ñ ø ñ-ð��\ñ-ð�ó�ñ�û�ðÆû_��÷Mò���òU�Æð���ò ø ûHö þ ò�ùR�Jûø öyù�ú�ö�û�ü þ �Æû þ ��ñ ø ñ�ð�� -.�%(ap�ù�ðRó-ñ�ö þ û_�|ð��|ð��]ù�öuüÑû þ �|ù�ð7ô��������|ñ��]ù�öE�ÊûHö��+ò$�%��ó&�|ð\úe��ð���òø û�ö þ òJù_�}û ø öyù�ú�ö�û�ü þ �Æû þ �\ñ ø ñ-ð�� �%-D+!+�� �<(apoù�ð�ó�ñ-ö þ ûR��ð �|ð��]ù�öyü�û þ ��ù�ð.� � ý ö þ ��ñ�öyü�ù�öyñHôù ý ö[öuñ-ò ý � þ �|ð�ú ø öyù�ú�öyû�ü�ûR�|òuù�öyñ þ�ý öuð�ò�ûR��� ��ð þ ñ-öuü�ñ����zû þ ñ,öuñ-ò ý � þ ò[ù�ð þ �\ñû�öyú ý ü�ñ�ð þ ò

BVC

Page 18: Strengthening Invariants for Efficient Computation * Yanhong A. Liua

ùR� �|ð þ ñ�öyñ-ò þ �

�Æù�ö � ý ð�ó þ �|ù�ð D-FHG � �|ð � FI�rôOó�ù�%��ñ-ó þ �|ð�ú�ûR��� �|ð þ ñ�öyü�ñ&���|û þ ñ�öyñ�ò ý � þ ò þ �Æû þ ��ñ ø ñ-ð���ù�ð���÷ù�ð�� þ òwòuñ-ó�ù�ð�� ø û�ö�ûHü�ñ þ ñ-öÊ÷!��ñ&�%�\ò

�'�� @H) �& 3 � ) ��� � ) 23#54 ) �& 303 , @ &) )"?) �)� "�) �& 303�* � BsHI�

1éñ,ó�û�ð¿òyñ�ñ þ ��û þ ó�ù�ü ø�ý\þ ��ð�ú �D-FHGP� � ���|òÎð�ù�ò��|ù<�hñ-ö þ �ÆûHðó-ù�ü ø�ý\þ �|ð�ú D FHGP�z(���*1 ñ���%���Æòyñ-ñ þ �Æû þ�þ ���|ò�ú ý û�öyû�ð þ ñ-ñ�ò þ ��û þ ��ð�ó-öuñ-ü�ñ-ð þ û_��ó�ù�ü ø�ý\þ û þ �|ù�ð ý ò$�|ð�ú þ ��ñ ø öyù�ú�ö�û�üù�ÿ þ ûR�|ð�ñ��Rû þwþ ��ñ�ñ�ð�� ��òoû þ �|ñ-û�ò þ û�ò��Vû�ò þ û�òoó-ù�ü ø�ý\þ �|ð�úID FHG��]öyù�ü òuó-öyû þ ó)�.�

� U}ê2W-æ � ��� W�ãVÜOT<êÆá ��ãAìVã]ê�Þ�� ãAÜOX�ßÙÞDçéê\ÝPã]ß�Ü

h �Æû�òyñ � ��ñ þ ñ-öyüL�|ð\ñ-ò������|ó)� ø �|ñ�ó-ñ�òhùR� þ ��ñÎó-ùR�%�|ñ�ó þ ñ&�2ó�û�ð����%�Æû þ ñÎû ý ���%���zû�ö�÷ ��ð��]ù�öuüÑû �þ ��ù�ðÑûHöyñ ý òyñu� ý � �]ù�ö9��ð�ó-öuñ-ü�ñ-ð þ ûR�Ùó�ù�ü ø\ý\þ û þ �|ù�ð2ùR��"� V�g(]+v����ûHð���ñu�\û�ó þ �È÷e��ù<� þ ��ñ�÷ó�û�ð ÿ�ñ ý òyñ��.������ñ2ÿÆû�ò���ó,�%��ñ-û �|ò þ ùRü�ñ-öuú�ñ þ �\ñ�ó-û�ð������Æû þ ñ2û ý ���%���zû�ö�÷ ��ð��]ù�öuüÑû þ �|ù�ð��� þ � þ �\ñ�ù�ö$�|ú��ðÆûR�7ó�ù�ü ø\ý\þ û þ �|ù�ðRùR� "7 V�z(��rô��\ñ-ö��Èõ�ñ�û�ð ��ð�ó-öuñ-ü�ñ-ð þ ûR�eõ�ñ-öyò$�|ù�ð �]ù�ö þ ��ñü�ñ�öyú�ñ�� ø öyù�ú�ö�û�üRô�ûHð��'��ñ þ ñ-öuü���ð�ñ þ ��ñ ��ñ�û�ò þ �|ð��]ù�öyü�û þ ��ù�ð ý òyñu� ý �7�]ù�ö�ó�ù�ü ø\ý\þ ��ð�úþ ��ñ�õHûR� ý ñ�ùR�0"� .�z(O+i���9�|ð þ ��û þ �|ð�ó�öyñ-ü�ñ-ð þ ûR�4õ�ñ�öyò$�|ù�ð.�

�%ù<�hñ�õ�ñ�ö-ô �hñ �Jû�ð þ�þ ��ñ��|ð�ó�öyñ�ü�ñ�ð þ ûR��ó-ù�ü ø�ý\þ û þ ��ù�ð ù_�]"� V�g(\+ ��� þ ù �Æû�õ�ñ�ûHó-ó-ñ�òyòþ ù þ �\ñ2û ý ���%���zû�ö�÷ ��ð��]ù�öuüÑû þ �|ù�ð ���3&I8I8���$[�'-.��$l- þ ��ñe�|ð þ ñ�öyü�ñ&���|û þ ñ�öuñ-ò ý � þ ò�ùR��"7 V�z(������ ý ò-ô��hñ�ü�ñ-öuú�ñ þ ��ñ�ó�û�ð����%�Æû þ ñ�û ý �����%�zûHöu÷L�|ð��]ù�öyü�û þ ��ù�ð ��ð �"� V�g(�� � �9��� þ � "7 .�z(��J�|ð!�ò þ ñ�ûR��ù_��"� V�g(��u� �]� þ ñ�ö ��ñ�ö��Èõ���ð�ú[ûHð �|ð\ó-öyñ�ü�ñ�ð þ ûR��õ�ñ�öyò���ù�ð �]ù�ö þ �\ñJöyñ�ò ý � þ ��ð�ú ø öuù�ú�öyû�ü¿ô�Jñ ø ö ý ð�ñ�ù ý\þ�þ �\ñ ý òuñ&�|ñ�òyò�û ý ���%���zû�ö�÷��|ð��]ù�öyü�û þ ��ù�ð¼û�ð�� þ ��ñ ý òyñ��|ñ-òuòO�|ð þ ñ-öyü�ñ&���zû þ ñöyñ�ò ý � þ ò&�

h �Æû�òyñ � �Æû�ò þ ��öuñ-ñ�ò þ ñ ø ò�� � þ ñ ø B�ü�ñ�öyú�ñ�ò �"7 ��� þ � "� þ ù,�]ù�öuü ûO� ý ð�ó þ �|ù�ð �"� þ ��û þöyñ þ�ý öuð�ò[ó�ûHð����%��û þ ñ,û ý ���%���zû�ö�÷ �|ð��]ù�öyü�û þ ��ù�ðRû�ò]�hñ&���ÓûHò[ûR���k��ð þ ñ-öuü�ñ����zû þ ñ�öyñ�ò ý � þ ò&�Oî þûR�|òuùO��ñ þ ñ-öuü���ð�ñ-òÊû ø öyù �uñ�ó þ �|ù�ð�� þ �Æû þÊø öyù �uñ�ó þ ò þ ��ñ[öuñ þyý öyð�õHûR� ý ñ�ùR� "7 Îù ý\þ ùR� �"7 <�� þ ñ ø ?y��ð�ó-öuñ-ü�ñ-ð þ û_�%�%��ñ-ò �"� ý ð���ñ�ö�+ þ ù�ù�ÿ þ ûR�|ð�û�ð ��ð�ó-öuñ-ü�ñ-ð þ û_�Ùõ�ñ-öuò��|ù�ð �"� � � � þ ñ ø �ø ö ý ð�ñ-ò�ù ý\þ ùR� �"� �û�ð�� �"7 � þ �\ñ���ð þ ñ-öuü�ñ����zû þ ñ�öyñ�ò ý � þ ò�û�ð��:û ý ���%���zû�ö�÷ ��ð��]ù�öuüÑû þ �|ù�ðþ �Æû þ û�öyñ�ð�ù þoý òyñ�� ý � �

� ��� � $l -��� ���� � -."��<���%�����m���%$l ��^"# :8��[&�$7 �! !+�`9(a$�+q&���8 &�`�46��(a�[&��^pj���srs-.�^"m&�$ �'-.�

�Lù,ü�ñ�öyú�ñ þ ��ñ%ó-û�ð������Æû þ ñ%û ý ���%�%�|û�öu÷ �|ð��]ù�öyü�û þ ��ù�ð ��� þ � "7 ¢ô>�JñÎó-ù ý �%��ò��|ü ø �È÷û þuþ û�ó)�� þ ù�ð þ ù "7 %ÿc÷\��ñu�Æð���ð�ú �"� þ ù2ÿOñ þ ��ñ ø ûR�|öwù_� "7 �û�ð�� �"7 Df

�"7 .�z(�� ì]æcÝ � � "7 .�z(��wãAÜéìVæcÝ �� � �"7 .�z(�� � �wãVÜ : � � �� ;

BDF

Page 19: Strengthening Invariants for Efficient Computation * Yanhong A. Liua

û�ð�� ý òyñ þ ��ñ ø öuù �uñ-ó þ ��ù�ð � .� �� � � B L N �7B7L N � �� �:� þ ù ø öyù �uñ�ó þ ù ý\þ�þ ��ñ�ù�ö$�|ú��ðÆûR�7öuñ þyý öyðõHûR� ý ñ%ùR� "� I� �%ù<�hñ�õ�ñ�ö-ô��hñ�ó�û�ð �\ùÿOñ þyþ ñ�öÊÿc÷ ý ò$�|ð�ú�û þ ö�ûHð�ò$�]ù�öuüÑû þ �|ù�ð þ ù �|ð þ ñ�ú�ö�û þ ñþ ��ñ�ó�ù�ü ø�ý\þ û þ �|ù�ð�ùR� �"� wü�ù�öyñ þ �|úR� þ ��÷L�|ð þ ù þ ��ñ�ó�ù�ü ø\ý\þ û þ �|ù�ðÑùR� "� ¢ô\û�òwù ø�ø ù�òyñ�� þ ùó�û�öuöu÷!�|ð\ú[ù ý\þLþ �Jù�����ò �uù��ð þ ó�ù�ü ø\ý\þ û þ �|ù�ð\ò&�G����ñ7��ð þ ñ-ú�öyû þ ñ���ó-ù�ü ø�ýXþ û þ �|ù�ð �|ò ý ò ý û_�%��÷ü�ù�öyñ�ñ�/�ó��|ñ-ð þ ÆòyùL�|ò�� þ ò��|ð�ó�öyñ�ü�ñ�ð þ ûR�7õ�ñ�öyò$�|ù�ð.�

1éñ:��ù ð�ù þ ��ñ�òyó�ö��|ÿ�ñ þ ��ñ:�|ð þ ñ�ú�ö�û þ �|ù�ð �|ð ��ñ þ ûR�%�B� �Êû�ò$�|ó-ûR�%�È÷�ôJ� þÉý òyñ�ò þ ö�ûR��� þ ��ù�ðÆûR�þ öyû�ð�ò$�]ù�öyü�û þ ��ù�ð þ ñ-ó)��ð��� ý ñ-ò �aBs��� ����=�ñ þ ��ù�òyñ ý òuñ&���|ð þyý�ø �%��ð�ú þ û�ó þ �|ój�@?���ôA6\ôLBVJ.�B�91 ñöyñ� ý �|öyñ,ù�ð��È÷ þ �Æû þ � V� �"� .�z(��5�%ûR���Êû�÷Mò ø öyù �uñ�ó þ ù ýXþ B7L N � "7 V�z(��5��ô �����|ó)� ��ò þ ��ñ,õHûR� ý ñùR� "� .�g(���ô\û�ð�� þ ��û þÊþ �\ñ�õHûR� ý ñ�òÊùR�}ûR���Où þ ��ñ�öÊó-ù�ü ø ù�ð�ñ-ð þ òwùR� "� .�g(��Jû�ð�� �"7 V�z(�� � �Jû�öuññ-ü�ÿ�ñ&����ñ&�:�|ð þ �\ñ�õ�û_� ý ñùR� �"� D�z(��u� �����|ò�ûR���|ù<�oò�öyñ�³û�öuö�û�ð�úR�|ð�ú þ ��ñ2ó-ù�ü ø ù�ð�ñ-ð þ ò��|ðþ ��ñ�öuñ þ�ý öyðÉõ�û_� ý ñ_�

�Æù�ö7� ý ð�ó þ �|ù�ð�ò D-FHG �|ð � C6�Êû�ð�� �D-FHG �|ð �7BDHI�rô��Jñ �Æöuò þ ��ñ���ð�ñ�ûO� ý ð\ó þ ��ù�ð

� � �'��\@4) � 3 � SLO+M �& � '��\@H) � 3 J PQS O M �& � �'��\@H) �& 3 J P ) �& , �& *

û�ð���û ø öyù �uñ�ó þ �|ù�ð � .� �� � � B7L N �7B7L N � �� �:���NÎñu� þ ô!�Jñ þ ö�û�ð\ò$�]ù�öuü �D FHGP�g(�� þ ù �|ð þ ñ�ú�ö�û þ ñþ ��ñ�ó�ù�ü ø\ý\þ û þ �|ù�ð\òwùR� D FHG¿û�ð�� �D-FHG7ô

c � < 8 D 6 # Y � � �'�� @ � :�� % 8 '��\@ a 8$Y �'��\@� S O M �& �]SLO+M��$*E� )"*"?) � 3 J P

SLO+MV� * � ��� � ) �$*I3 J PSLO+M�� R �]�I� � � ) � 3 J PSLO+MV�HR�� @ &) )"$) �-R 3 J P) c � # ) � *I39% c �$# ) �BR+3=,$�$*-,��Z*-,$�+R ,��BR * J P

S O M �& � ) ��� �X) 23#54 ) �& 3;3 , @'&( )"?) �)� "?) �& 303�* J P) �& , �& *

� � # " D : � " 8?Y " 8?^-9 D 6 �$* � �Z* � �+R � �BR � a 8?Y 9 "�C�> # " D �� S O M��$*E� )"*"�) � 3 J PS O MV�Z* � ��� �X) �$*I3 J PS O M��+R � �I� � � ) � 3 J PS O MV�BR � @'&( )"$) �+R+3 J PS O M �& � ) c �$# ) �Z*I39% c � # ) �HR-3 ,?� *-,'�Z*!,?�+R , �BR * J PS O M �& � ) ��� �X) �+R-3=, @'&( #"�) �$*23 * J P) �& , �& *

, � < 8 D 6 # Y � " 8$Y " 8?^-9 D 6 �& a 8?Y �&� S O M��$*E� )"*"�) � 3 J PS O MV� * � ��� �X) � * 3 J PS O M��+R � �I� � � ) � 3 J PS O MV�BR � @'&( )"$) �+R+3 J P) ) c � # ) � * 39% c �$# ) � R 3 ,�� * ,�� * ,$� R ,�� R * , ) ��� �X) � R 3 , @'&( )"$) � * 3 * *

BDR

Page 20: Strengthening Invariants for Efficient Computation * Yanhong A. Liua

� �|ü ø �����s÷!�|ð�ú þ ��ñ�öuñ þ�ý öyðÉõ�û_� ý ñ�û�ð�� � �ô��Jñ�ù�ÿ þ ûR��ð þ ��ñ�� ý ð�ó þ �|ù�ð

� � �'��\@4) � 3 � SLO+M��$*E� )"*"?) � 3 J PSLO+MV� * � ��� � ) �$*23 J PSLO+M�� R �]�I� � � ) � 3 J PSLO+MV�HR�� @ &) )"$) �-R 3 J P) c � # ) �Z*!39% c �$# ) �BR+3=,$�$*-,��Z*-,$�+R ,��BR , ��� �X) �+R+3=, @'&( )"?) �$*I3 *

� B�BV�

û�ð�� þ ��ñ ø öuù �uñ-ó þ ��ù�ð � .� �� �� B L N � �� ��

� ��� � $l -��� ���� � �����, �"# ��%$'&�(a�LdD&�$ �'-.�

�Lù ��ñ-ö$��õ�ñ�û�ð'�|ð�ó�öyñ�ü�ñ�ð þ ûR�>õ�ñ-öuò���ù�ð �"� @��ùR� �"7 ý ð���ñ�öe+2ôk�Jñ�ó-û�ð ý òuñ þ �\ñ�ü�ñ þ ��ù!��|ð3�@J���AôOû�ò�ò5=�ñ þ ó)��ñ&���|ð � ñ-ó þ �|ù�ð B� o[ñ ø ñ�ð�����ð�úÑù�ð þ ��ñ ø ù<�Jñ�ö[ñu� ø ñ-ó þ ñ&���]öyù�ü þ ��ñ��ñ-ö$��õHû þ �|ù�ð7ô þ ��ñ�ü�ñ þ ��ù��Éó-û�ð¿ÿ�ñ�üÑû_��ñ�òyñ�ü��q�³û ý\þ ù�ü�û þ ��ó%ù�ö7� ý �%��÷�û ý\þ ù�üÑû þ �|ó_�

�Æù�ö]� ý ð\ó þ ��ù�ð �D FHG*�|ð � B6BV�Îû�ð�����ð ø�ý\þ ó)�Æû�ð�ú�ñù ø ñ�ö�û þ �|ù�ð�(�+ �E�=D0J7KML �n� ��(��rô �hñ��ñ-ö$��õ�ñ,ûHð ��ð�ó-öuñ-ü�ñ-ð þ ûR�Oõ�ñ-öuò���ù�ð¿ù_� �D FHG ý ð���ñ-öU+ f

c � < 8 D 6 # Y � � �'��\@H) '� � � )�� , � 303� SLO+M��$* � )"*"?) '� � � )�� , � 303 J PSLO+MV�Z* � ��� �X) � *!3 J PSLO+M��+R � �7� � � ) '� � � )�� ,�� 3;3 J PSLO+MV� R � @'&( )"?) � R 3 J P) c � # ) �Z*I3�% c �$# ) �BR-3 ,��$*-, � *2,?�+R ,'�BR , ��� � ) �+R-3 , @'&( #"$) �$*23 *

� � < 8 D 6 # Y )"*" � ��� � � �7� � � � @'&( #" a 8?Y�9 "�C�> # " D �� SLO+M�� � * � �7� � � ) � 3 J PSLO+MV� � * � ��� �X) � � * 3 J PSLO+M��+R � )"*"?) � 3 J PSLO+MV�BR � @'&( )"?) �+R-3 J PSLO+MV� � � � @'&( )"?) � � * 3 J P) � 3 c � # ) � � * 39% c � # ) �BR-3=, '� � � )�� ,;� � * 3=, ) � 3 c � # ) � � * 3=,�� � * * ,$�+R ,'�BR ,��� � ) �+R+3=, ) � 6 c �$# ) � � � 3=,�� � � * *

, � % > # a 5 % a #�# a!>?> # " 5 a : " 6-8?9 � � % : �" % � a # 9� SLO+M�� � * � 23#54 ) � �& 3 J PSLO+MV� � * ����#54 ) � �& 3 J PSLO+M��+R � �)� "�) � �& 3 J PSLO+MV�BR ��� #54 ) � �& 3 J PSLO+MV� � � � 6�#54 ) � �& 3 J P) � 3 c � # ) � � * 39% c � # ) �BR-3=, '� � � )�� ,;� � * 3=, ) � 3 c � # ) � � * 3=,�� � * * ,$�+R ,'�BR ,, &("?) � �& 3 , ) � 6 c �$# ) � � � 3 , � � � * *

� �|ü ø �����Æó-û þ ��ù�ð7ô� � ñR�Èô ý ð>���|ð����|ð�úÎûR��� þ ��ñ�ÿ���ð����|ð\ú�ò-ô-÷!��ñ&�%�\ò þ ��ñ��]ù�%��ù<���|ð�ú7��ð�ó-öuñ-ü�ñ-ð þ û_�

?�H

Page 21: Strengthening Invariants for Efficient Computation * Yanhong A. Liua

õ�ñ�öyò���ù�ð �D-FHG � ò ý ó)� þ �Æû þ ô���� �D-FHGP�g(��� �� ô þ ��ñ�ð �D FHG � �n� � �� �� �D FHGP��D0J7KML �[����(��5��f

� � �'��\@ � )�� , � �& 3 � ) � 3 c � # ) ��#54 ) � �& 303�% c � # ) � #54 ) � �& 3;3 ,'� � � )�� , 23#54 ) � �& 303 , ) � 3 c �$# ) ��#54 ) � �& 303 , ��#54 ) � �& 31* , �)� "?) � �& 3=, � #54 ) � �& 3 ,, &("?) � �& 3=, ) � 6 c � # ) 6�#54 ) � �& 303 ,"6�#54 ) � �& 31* *

� BD?6�

kJ�|ñ-û�ö��È÷�ô �D FHG � �n� � �� �Jó�ù�ü ø�ý\þ ñ�ò �D-FHG ��D0J7KML �[����(��5�9�|ðÉù�ð��È÷ �#� BV� þ �|ü�ñR�

� � � � $l -��� � �� � �^`M�%�����

�Lù ø ö ý ð\ñ �"� ÉûHð�� �"7 A�sôQ�hñ ý òyñ þ ��ñ+û�ðÆûR�È÷Xòuñ-òÑû�ð�� þ ö�û�ð�òE�]ù�öyü�û þ �|ù�ð�òe��ð � þ û�ú�ñ+îuîyîùR� �AJ.��� ��� ÿÆû�ó!=>�Jû�ö�����ñ ø ñ-ð���ñ-ð�ó�ñ�ûHðÆûR��÷Mò$�|òJ�\ñ þ ñ�öyüL�|ð�ñ�ò þ ��ñ�ó�ù�ü ø ù�ð\ñ-ð þ òwùR� �� û�ð��ò ý ÿ�ó-ù�ü ø�ýXþ û þ �|ù�ð�ò�ùR� �"� � ���\ù�òyñ2õHûR� ý ñ�ò�û�öyñ ý òuñ�� ý ���|ð ó-ù�ü ø�ýXþ �|ð\ú�� .� �"7 � �z(��,��� �� �:�rô�����|ó)� �|ò þ ��ñ�õHûR� ý ñ�ù_��"� <�Z� ø ö ý ð��|ð\ú þ öyû�ð�òE�]ù�öyü�û þ ��ù�ð�öyñ ø �zûHó-ñ-ò ý òyñ��|ñ�òyò�ó�ù�ü ø�ý\þ ûG�þ ��ù�ð�ò���� þ � � � �|ðÆû_�%��÷�ô þ ��ñ�öuñ-ò ý � þ ��ð�ú � ý ð�ó þ �|ù�ð\òJû�öuñ�ù øXþ �|üL�%��ñ&�2ÿc÷�ñ&�%��ü���ðÆû þ �|ð�ú þ ��ñó�ù�ü ø ù�ð�ñ�ð þ ò-ôMûR� � ý ò þ �|ð�ú þ �\ñ%òuñ&�|ñ�ó þ ù�öyò�ôMñ þ ó_�Mî�ü ø öuùPõ�ñ&��ü�ñ þ ��ù!��òQ�]ù�ö ø ö ý ð��|ð\ú�û�öuñ��ñ-òuó-ö$�|ÿ�ñ&���|ð ���6F\ôEJ�?.� �

�Æù�ö�� ý ð�ó þ ��ù�ð�ò �D FHG ��ðm� B6BD�4û�ð�� �D FHG � �|ðm�7BV?6��ô�B7L N � �D FHG � �n� � �� �5����ñ ø ñ�ð���ò}ù�ð B7L N � N �O� �� �5�û�ð��mB7L N �'C N �O� �� �5��ôI������ó)� ��ñ ø ñ�ð���ù�ð;B7L N �[� � ��� �� �5�eû�ð��mB7L N �'J N �O� �� �5��ô¢öyñ�ò ø ñ-ó þ ��õ�ñ&�È÷�G�U���ù þ �\ñ-öoó-ù�ü ø ù�ð�ñ-ð þ ò%ûHöyñ�ð�ù þ ð�ñ�ñ&��ñ��.�%1éñ�ù�ÿ þ ûR��ð

�'�� @4) � 3�� S O M�� * � )"*"?) � 3 J PS O MV�Z* � ��� �X) �$*23 J PS O M��-R �]�I� � � ) � 3 J PS O MV� R � @'&( #"$) � R 3 J P) c �$# ) �Z*I39% c � # ) �BR+3=, , ) c � # ) �Z*I3=, * , , ) c �$# ) �BR-3 , * ,) c � # ) ��� ��) �+R-303=, * , ) c �$# ) @'&( )"�) �$*I3;3 , * *

�'��\@ � )�� ,/- & 3 � ) � 3 c � # ) ��#54 ) - & 303�% c �$# ) � #54 ) - & 3;3 , , ) � 3 c � # ) ��#54 ) - & 3;3 , * , , ) c �$# ) � #54 ) - & 303 , * ,) c � # ) , &("?) - & 3;3 , * , ) � 6 c �$# ) 6�#54 ) - & 303 , * *

/ ø\þ ��ü����&�|ð\ú þ �\ñ-òyñ�� ý ð\ó þ ��ù�ð�ò�ô�� � ñR�Èô�ñ&���|üL�|ðÆû þ �|ð\ú ý ð\ð�ñ-ñ���ñ&�¿ó-ù�ü ø ù�ð�ñ-ð þ ò�ôÆûR� � ý ò þ ��ð�ú�|ð��\ñu���|ð�ú\ô�û�ð��éò$�|ü ø �%���s÷!�|ð�ú þyý�ø ��ñ�ó�ù�ð�ò þ ö ý ó þ ��ù�ð�ò�û�ð�� òyñ&��ñ-ó þ �|ù�ð�ò-ôe÷!�|ñ��%��ò þ �\ñL�Æð�ûR���ñ���ð�� þ �|ù�ð�òwù_� �D FHGûHð�� �D FHG � ô������|ó)�¿û ø�ø ñ�û�ö���ð � �|ú ý öyñ ?��

� ã[W�âcá W<W�ãVß�Ü

� ß�ÞPÞPæMâ�ÝPÜ�æMW<W�í#� ý �����%�|û�öu÷ ��ð��]ù�öuüÑû þ �|ù�ð\��ò�ü�ûR�|ð þ û_�|ð�ñ�� �|ð\ó-öyñ�ü�ñ�ð þ ûR����÷�ôÙòuù�û þ�þ ��ñò þ ñ ø ùR�J���|òyó�ù¢õ�ñ-ö$�|ð�ú\� þ ô��hñ2ò���ù ý �%�¼ð�ù þ ÿ�ñó-ù�ð�ó-ñ�öyð�ñ������ þ � þ ��ñ þ �|ü�ñ�ó-ù�ü ø ��ñu��� þ ÷ùR�eó�ù�ü ø\ý\þ ��ð�ú � þ �]öuù�ü òyó�ö�û þ ó)� þ ���|ò �|ò ����÷ þ ��ü�ñoó�ù�ð�ò�����ñ-öyû þ ��ù�ð�ò��Jñ�öyñ��\öyù ø�ø ñ&� �|ð

?MB

Page 22: Strengthening Invariants for Efficient Computation * Yanhong A. Liua

� þ ñ ø � �G?�� �%ù<�Jñ�õ�ñ�ö-ô þ ù�üÑû�=�ñ þ ��ñ�ù¢õ�ñ-ö�û_�%�Lû ø�ø öuùcû�ó)��ñ��Oñ-ó þ �Èõ�ñ�ô �Jñ�ü ý ò þ ó-ù�ð\ò��%�\ñ-öþ ��ñÉó�ù�ò þ ùR�%ó-ù�ü ø�ý\þ �|ð�ú¼ûHð�� üÑûR��ð þ ûR��ð��|ð�ú þ ��ñRû ý �����%�|û�öu÷:�|ð��]ù�öyü�û þ ��ù�ð.� �%ñ�öyñHô��hñò���ü ø �È÷�öyñ< ý ��öyñ þ �Æû þwþ �\ñ�ó�û�ð����%�Æû þ ñ�û ý ���%���zû�ö�÷e�|ð��]ù�öyü�û þ ��ù�ðÑÿ�ñ�ó-ù�ü ø�ý\þ ñ&�Rû þ ��ñ�û�ò þû�ò��Vû�ò þ û�ò þ ��ñ�ù�ö��|úR�|ðÆûR� ø öyù�ú�ö�û�üRô�� � ñR�Èô N � �"7 .�z(�� � �:� � N � "7 .�z(��5���]ù�ö � � "7 .�z(��� �����|òó�û�ð,ÿOñ�ó)��ñ�ó!=�ñ&��û_� þ ñ-ö � þ ñ ø � �A���D1 ñhú ý û�ö�û�ð þ ñ-ñ þ ���|ò�ó�ù�ð���� þ �|ù�ð,ÿc÷�ò���ü ø �È÷���öuù ø�ø ��ð�úø �|ñ�ó-ñ�ò�ù_�%ó-û�ð������Æû þ ñÉû ý ���%���zû�ö�÷*�|ð��]ù�öuüÑû þ �|ù�ð��]ù�ö �����|ó)� � þ ó-û�ð�ð�ù þ ÿOñ�ó�ù�ð��Æöuü�ñ��.�� þ ûHð��Æû�ö$�<ó-ù�ð\ò þ ö ý ó þ �|ù�ð\ò �]ù�ö�ü�ñ�ó)�Æû�ð���ó�ûR� þ ��ü�ñ�û�ðÆû_��÷Mò���ò �@C6JXôAF6�\ô@�IR���ó�ûHð<ÿOñ ý òyñ��7ôûR� þ ��ù ý úR� � ý ö þ ��ñ-öò þ�ý �\÷ �|ò�ð�ñ�ñ&��ñ��7ô>û�ð�� � þ �|ò�ÿ�ñ&��ð�ú�ó�ûHöyö���ñ&� ù ýXþ �]ù�öÿ�ù þ � þ �|ü�ñû�ðÆûR�È÷Mò��|ò �@?�R��eû�ð��Rò ø û�ó�ñ�û�ðÆûR�È÷Xò$�|ò ��F6H��B������ñ þ öyûR��ñu��ù���ÿ�ñ þ �hñ-ñ�ð þ ��ü�ñ�ûHð��Éò ø û�ó�ñ ��òû ø öyù�ÿ��|ñ-ü ù ø ñ�ð �]ù�öwò þyý �\÷�� ý�ø�ø ù�òuñ � þ ñ ø �U�LB ø öyù �uñ�ó þ ò�ù ý\þ�þ ��ñ�ù�ö���ú�|ð�ûR�ÓõHûR� ý ñ ý ò$�|ð�ú B7L N �O1 � þ � þ �\ñ�û�ÿ�ù¢õ�ñó-ù�ð���� þ �|ù�ð7ô��|ðRûò���ü����zû�ö �Êû�÷ þ ùu�@J����Aô��hñ,ó-û�ð¿ò$��ù<� þ �Æû þ ô���� "� .�z(��� � ô þ ��ñ-ð

B7L N � � "� .�z(��5�� � û�ð�� N � � "� .�z(��5� � N � "� .�g(��:� � Bs�I�

û�ð������ � "� .�g(��� -� û�ð�� "7 .�z(O+i�2� � � �|ô þ ��ñ�ð

B7L N � � "� � �g(��,� � -� �5� � � � � � "7 � �g(��,��� -� �� � "� V�g(e+0��� �û�ð�� N � � "7 � �z(��,��� -� �:� � N �B"� .�z(O+i���:�-�

� B<� �

� � ñR�Èô þ ��ñ ø öuù�ú�ö�ûHü�ò � "7 �û�ð�� � "� @� ø öyñ-òuñ-ö�õ�ñ þ ��ñ�òyñ-ü�û�ð þ ��ó-ò,û�ð�� ó-ù�ü ø�ý\þ ñ�û�òu÷Mü ø\þ ù þ ��|ó-ûR�%�È÷+û þ ��ñ�û�ò þ û�ò��Vû�ò þ ûHòy"� <�ON%ù þ ñ þ ��û þ � "� .�g(���ü�û�÷ þ ñ-öyüL�|ð�û þ ñ�ü�ù�öuñùR� þ ñ�ð þ �Æû�ð"� .�g(���ô�û�ð�� � "� � �z(��,��� -� ��ü�û¢÷ þ ñ�öyüL�|ðÆû þ ñ�ü�ù�öyñ�ùR� þ ñ�ð þ �Æû�ð "7 V�z(�+ ����ô � ý ñ þ ù þ ��ñþ öyû�ð�ò$�]ù�öyü�û þ ��ù�ð�ò ý òuñ&� �|ð � þ ñ ø ò �U�G?�û�ð�� �]�G���

� áLìsÝPã���è}ê%WsW à}ã W�â�ßMë�æMÞ�� ß*X�êÆá ��ãVìAã]ê�Þ��'ãAÜOX�ßÙÞDçéê\ÝPã]ß�Ü�í ����ñ ø öyù�ú�ö�û�ü � "� Ñó�û�ðòyù�ü�ñ þ �|ü�ñ-ò>ÿ�ñÎó�ù�ü ø�ý\þ ñ��Ññ�õ�ñ-ð��Vû�ò þ ñ-ö�ÿ�÷2ü�ûR��ð þ ûR�|ð��|ð�ú�û ý ���%�%�|û�öu÷ �|ð��]ù�öyü�û þ ��ù�ð ý òuñu�� ý ���]ù�öQ��ð�ó-öuñ-ü�ñ-ð þ û_�Æó-ù�ü ø�ý\þ û þ ��ù�ð�ùR� þ ��ñÎû ý �����%�|û�öu÷y�|ð��]ù�öyü�û þ ��ù�ðûR��öyñ-ûR�\÷O��ð � "� <��1 ñó�û�ð2ù�ÿ þ ûR��ð�ò ý ó)��û ý �����%�zûHöu÷ �|ð��]ù�öyü�û þ ��ù�ð�ùR�Oû ý ���%���zû�ö�÷ �|ð��]ù�öuüÑû þ �|ù�ð�ÿc÷O� þ ñ-öyû þ ��ð�ú þ ��ñû�ÿ�ùPõ�ñoû ø�ø öuùcû�ó)�.�.1 ��ñ þ ��ñ-ö þ ù[ó-ù�ð þ �|ð ý ñ�� þ ñ-öyû þ ��ù�ð ý ò���ð�ú þ ��ñÊû ø�ø öuùcû�ó)�,��ñ ø ñ�ð���ò>ù�ð����ñ þ ��ñ-ö þ ��ñO��ñ�ò��|öuñ&� ø ñ-ö$�]ù�öyü�û�ð�ó-ñ �|ü ø öyù¢õ�ñ�ü�ñ�ð þ �|ò�ûHó)���|ñ�õ�ñ&��� ����ñ-öuñ��]ù�öuñ�ôeû�ú�ûR�|ð7ôû�ðÆûR�È÷Mò��|òwù_� ø ñ-öE�]ù�öyü�û�ð�ó�ñ�ùR� þ ��ñ þ öyû�ð�ò$�]ù�öyü�ñ&� ø öyù�ú�ö�û�ü �|ò��|ü ø ù�ö þ û�ð þ �

� ÝVU�æ�ÞRê�á ��ãVìVãVê�Þ�� ãVÜOX�ßÙÞHç ê\ÝPã]ßOÜ>í ����ñ-öuñû�öyñ,ó�û�òuñ-ò�����ñ�öyñ þ ��ñ�û ý �����%�|û�öu÷ ��ð��]ù�ö3�üÑû þ �|ù�ð����|òuó-ù¢õ�ñ�öyñ&� ý ò��|ð\ú þ ��ñ�û�ÿOù¢õ�ñ�û ø�ø öyùcû�ó)�:�|ò�ð�ù þ ò ý /�ó&��ñ-ð þ �]ù�ö�ñu/�ó��|ñ�ð þ �|ð!�ó-öuñ-ü�ñ-ð þ ûR�Óó-ù�ü ø�ý\þ û þ ��ù�ð.� �Ùù�ö[ñu�\û�ü ø �|ñHô��hñe��ù�ð�ù þ ÷�ñ þ =�ð�ù<� ��ù<� þ ù ����òyó�ùPõ�ñ-ö�û��ñ�û ø �Æû þ û ò þ ö ý ó þyý öyñRòu÷Mò þ ñ-ü�û þ ��ó�ûR����÷��]ù�ö2ó-ù�ü ø�ý\þ �|ð�ú û¼ü���ð��|ü ý üïñ��|ñ-ü�ñ-ð þ �|ð:ûòyñ þý ð���ñ�öñ&��ñ-ü�ñ-ð þ ��ñ��|ñ þ �|ù�ð�ò&�}î�ð þ ��ñ�òyñ�ó-û�òyñ�ò-ô�ó��zû�òuòyñ-ò�ùR�Îò ø ñ-ó&�|ûR� ø û�ö�ûHü�ñ þ ñ-ö$�%��ñ&��Æû þ û�ò þ ö ý ó þ�ý öyñ-ò[û�öyñ�ùR� þ ñ�ð ý òuñ&�.��îW��ñ-ûR�%�È÷�ô��hñ�ó-ù ý �%�Ró-ù���|ñ�ó þoþ ��ñ�ü û�ò%û ý ���%���zû�ö�÷ �|ð!��]ù�öyü�û þ �|ù�ð ø û�öyû�ü�ñ þ ñ�ö��%��ñ&� ��� þ �<ó�ñ-ö þ ûR��ðéó&�|û�òyòuñ-òùR����û þ û þ ÷ ø ñ-ò��0����ñ�ð7ô �hñ�ó-ù ý �%�

?6?

Page 23: Strengthening Invariants for Efficient Computation * Yanhong A. Liua

òu÷Mò þ ñ-ü�û þ ��ó�ûR����÷Rñu� þ ñ-ð�� û ø öyù�ú�ö�û�ü þ ùÉó-ù�ü ø�ýXþ ñ�ò ý ó)�éû ý ���%�%�|û�öu÷���ð��]ù�öyü�û þ �|ù�ð+û�ð��üÑû_�|ð þ ûR��ð � þ �|ð�ó�öyñ�ü�ñ�ð þ ûR�%�È÷� �Îù<� þ ùU�\ù þ ���|ò ø öyñ�ó&�|òuñ&�È÷ �|òLû ø öuù�ÿ��|ñ�ü ù ø ñ-ð �]ù�ö}ò þ�ý �X÷�î�ð þ ��ñ��Jù�öuò þ ó-û�òyñHô �hñ�ó-ù ý �%�<ó�ù��\ñ�üÑûHð ý ûR�%�È÷*���|òuó-ù¢õ�ñ�öyñ&� û ý �����%�|û�öu÷���ð��]ù�öuüÑû þ �|ù�ðþ ù�ù�ÿ þ ûR��ð�û�ðñ� þ ñ-ð���ñ&� ø öyù�ú�ö�û�ü � "7 ¢ô4û�ð�� þ ��ñ�ð ý òyñù ý ö�òu÷Mò þ ñ-ü�û þ �|óû ø\ø öyùcûHó)� þ ù��ñ-ö$��õ�ñ[û�ð ��ð�ó-öuñ-ü�ñ-ð þ û_�Ùõ�ñ-öuò��|ù�ð � "� @� þ ��û þ ��ð�ó-öuñ-ü�ñ-ð þ ûR����÷ó�ù�ü ø�ý\þ ñ�ò þ ��ñ�ð�ñu� ù ý\þyø�ý\þý ò���ð�ú þ ��ñ�û ý �����%�|û�öu÷L�|ð��]ù�öyü�û þ ��ù�ð�û�ð��¿û_�|òyù2ü�ûR�|ð þ ûR�|ð�ò þ ��ñ�û ý �����%�|û�öu÷��|ð��]ù�öyü�û þ ��ù�ð.�

Û-Ü}â�ÞPæMçéæMÜOÝ¢êÆìVã[ZcêXÝPãVß�Ü X�ßÙÞ�èLÞPß*TÙÞPêÆç æ å âcã]æMÜLâ � ãVçéèLÞPßMëOæMçéæMÜOÝ�í �}ù ý òyñ�ù ý öû ø�ø öuùcû�ó)�*�]ù�ö ø öuù�ú�ö�ûHü ñ�/�ó��|ñ-ð\ó�÷*�|ü ø öuùPõ�ñ-ü�ñ-ð þ ô��Jñ2ð�ñ�ñ&� þ ù\�%��ñ�ð þ ���s÷+ñu� ø ñ�ð�ò��Èõ�ñó-ù�ü ø�ý\þ û þ ��ù�ð�ò "�û�ð��Rû ø\ø öyù ø ö��zû þ ñ�ó)�Æû�ð\ú�ñ,ù ø ñ�ö�û þ �|ù�ð�ò�+e�

- � ø ñ-ð\ò���õ�ñó-ù�ü ø�ý\þ û þ ��ù�ð�ò�û�öyñ,ú�ñ-ð�ñ�ö�ûR����÷Éñ-û�òu÷ þ ù �\ñ þ ñ�öyüL�|ð�ñHôOñ_�Fú���ô � ý ð�ó þ �|ù�ð+ó�ûR���|ò-ôñ-ò ø ñ�ó&�zû_�%��÷Ñó�ûR���|òÊù_�Óð�ù�ð��W���|ð�ñ-û�öJ� ý ð�ó þ ��ù�ð�ò-ô���ðRûe�|û�ð�ú ý û�ú�ñ þ �Æû þ ó-ù�ð þ ûR�|ð�ò�� ý ð\ó þ ��ù�ð�ò�ôù ø ñ-ö�û þ �|ù�ð�òoù�ð¿òuñ þ ò[û�ð��Rü�û ø ò��|ð¿û2õ�ñ-ö�÷w�n���|úR���W��ñ�õ�ñ����zû�ð�ú ý û�ú�ñHôÆù�öoü ý � þ � ø ���|ó-û þ ��ù�ð�òû�ð�� ñu� ø ù�ð�ñ-ð þ �|û þ ��ù�ð�ò �|ð û\�Æû�ö����Êû�öuñ ��ñ�òyó�ö�� øXþ �|ù�ð��|û�ð�ú ý ûHú�ñR�OkJ��û�ð�ú�ñ�ù ø ñ-ö�û þ �|ù�ð�ò�|ð û�ð � þ ñ-öyû þ �Èõ�ñ ø öyù�ú�ö�û�ü û�öuñ¿ò$�|ü ø ��÷ ý\ø �Æû þ ñ-ò þ ù þ ��ñ ø û�ö�ûHü�ñ þ ñ-öuòÑùR� "#ÿc÷ þ ��ñ�|ùMù ø ÿ�ù!�\÷�ôOÿ ý\þ ó)�ÆûHð�ú�ñ�ù ø ñ-öyû þ ��ù�ð�ò]�|ð�û�öuñ-ó ý öyò��Èõ�ñ ø öuù�ú�öyû�ü¿ôÙñ�ò ø ñ-ó&�|ûR�%�È÷\�]ù�ö�ð�ù�ð���%��ð�ñ�û�öJöyñ-ó ý öyò$��õ�ñ � ý ð�ó þ �|ù�ð�ò�ôÙû�öyñ�ð\ù�ð�� þ ö��Èõ��|ûR� þ ùe��ñ þ ñ-öuü���ð�ñR�%NÎñ�õ�ñ-ö þ ��ñ&��ñ-òuò-ô ��� ý û�ð��� þ ùR�%�|ñ�ö��Æû�õ�ñ�ò þyý ���|ñ��<ûÉú�ñ-ð\ñ-ö�û_��ü�ñ þ ��ù!�:�]ù�öy����ñ-ð þ ���s÷!�|ð�ú�ó)��û�ð�ú�ñ�ù ø ñ�ö�û þ �|ù�ð\òm�AJMB���]ù�ö�öyñ�ó ý öuò��Èõ�ñ�� ý ð�ó þ �|ù�ð�ò&�>����ñoÿÆûHò��|ó�����ñ�û���ò þ ù ý òuñ%û " ���%��"m&�(G�|ð ø�ý\þ ó)�Æû�ð\ú�ñ þ �Æû þ ��ò�|ð þ ��ñK-�� �%-D+���$7 ����|öyñ�ó þ �|ù�ð¿ùR��ó)�Æû�ð\ú�ñ�ó-ù�ü ø ûHöyñ&� þ ùÑû�öyú ý ü�ñ�ð þ ò�ùR�>öuñ-ó ý öyò$��õ�ñ�ó�ûR���|ò&�%ò$�|ð�ú þ ��ñù ø�ø ù�ò�� þ ñO���|öyñ�ó þ �|ù�ð�ùR��ó)�ÆûHð�ú�ñ÷!�|ñ&����ò�û�ð*��ð�ó-öuñ-ü�ñ-ð þ ý ò���ð�úRû�ü���ð��|ü�ûR�ó)�Æû�ð�ú�ñ�ûR���|ù<�oòÊü�û ���|ü ý ü öuñ ý òuñ�ôZ� � ñR�Èô�ü�û ���|ü ý ü �|ð�ó�öyñ�ü�ñ�ð þ ûR�%� þ ÷�

� ñ-ó þ ��ù�ð ú�Èõ�ñ�òRñ�\û�ü ø �|ñ-ò ���\ñ-öyñ ñ�/�ó��|ñ-ð þ �|ð\ó-öyñ�ü�ñ�ð þ ûR� ø öuù�ú�öyû�ü�ò�û�öyñ*��ñ�ö���õ�ñ&�ý ò���ð�ú þ ��ñ�ü�ñ þ ��ù!����ð þ ����ò ø û ø ñ-öwÿ�û�òyñ��¿ù�ð\����ñ-ð þ ���Æñ&�Éñ� ø ñ-ð\ò���õ�ñ,ó�ù�ü ø�ý\þ û þ �|ù�ð�ò�"û�ð��Ró)�Æû�ð�ú�ñ�ù ø ñ�ö�û þ �|ù�ð�ò +,�

� ä �7êÆçéèLìVæ9W

����ñ�ö ý ð�ð���ð�ú�ñu�\û�ü ø ��ñ�ù�ð ���|ò þ�ø öuùXó�ñ-òuò��|ð\ú �%�%� ý ò þ ö�û þ ñ-ò þ ��ñ�û ø�ø ���|ó-û þ ��ù�ð¿ù_�>ù ý ö[û ø �ø öyù�û�ó)� þ ùÉòyù�Èõ���ð�ú�ñu� ø ���|ó�� þ ��ð�ó-öuñ-ü�ñ-ð þ û_� ø öyù�ÿ��|ñ�ü�ò��]ù�ö�ô4ñ_�Fú��Èô �|ð þ ñ-ö�ûHó þ �Èõ�ñò�÷Xò þ ñ�ü�òû�ð�� öyñ-û�ó þ ��õ�ñ�òu÷Mò þ ñ-ü�ò&� / þ ��ñ�öÉû ø�ø ���|ó-û þ ��ù�ð�òL�|ð�ó�� ý ��ñ+ù ø\þ ��ü����&��ð�ú ó�ù�ü ø �%��ñ-öyò�û�ð��þ öyû�ð�ò$�]ù�öyü�û þ ��ù�ðÆûR� ø öuù�ú�öyû�ü�üL�|ð\ú��<�����|òÓòyñ-ó þ ��ù�ðO�Æöyò þ�ø öuñ-òyñ�ð þ ò�û�ð�ñ��ûHü ø ��ñJ�]ù�öLñ�û�ó)�ùR� þ ��ñ�òyñ þ �hù û ø�ø �%��ó�û þ �|ù�ð\ò-ô�ÿÆû�òuñ&� ù�ð ø öuù�ÿ��|ñ�ü�ò �|ð � � � î ��ñ�ò���ú�ð û�ð�� ú�öyû ø � ûR�q�ú�ù�ö$� þ �\ü�ò�ôJöyñ�ò ø ñ-ó þ ��õ�ñ&�È÷������ñ�ð7ô7�Jñ:��ñ�òyó-ö$�|ÿ�ñ �]ù ý ö�ù þ ��ñ-öÉñ��ûHü ø ��ñ-ò�ô þ û�=Hñ-ð �]öyù�üø öyù�ÿ��|ñ�ü�ò��|ð¿úcû�ü�ñ-ò�ôÆò þ ö$�|ð�ú ø öyùMó-ñ�òyò$�|ð�ú�ôÙó�ù�ü�ÿ���ðÆû þ ù�ö��zû_�7ù ø\þ �|üL�%��û þ �|ù�ð7ô\ûHð�� ��üÑû�ú�ñø öyùMó-ñ�òyò$�|ð�ú��Z����ñ�÷���ñ&� ø ò��\ùG� þ �Æû þÎþ ���|òoòu÷Mò þ ñ-ü�û þ ��ó,ü�ñ þ ��ù!���]ù�ö�����òyó�ùPõ�ñ-ö$�|ð�úÑû ý �w��%���zû�ö�÷'�|ð��]ù�öyü�û þ ��ù�ð �|ò ø ù<�Jñ�ö$� ý �Aô þ �Æû þÑþ ��ñ ý ð���ñ-ö$��÷!�|ð�ú ø ö���ð�ó&� ø �|ñ �|òÑú�ñ-ð�ñ�ö�ûR��û�ð��û ø�ø ���|ñ�ò þ ù2ù þ �\ñ-ö��zû�ð\ú ý û�ú�ñ]�]ñ�û þyý öyñ�ò-ô�û�ð�� þ ��û þ � þ �ÆûHòÎü�û�ðc÷Éû ø\ø �%��ó�û þ �|ù�ð�ûHöyñ�ûHò&�

?��

Page 24: Strengthening Invariants for Efficient Computation * Yanhong A. Liua

� ��� � $[�! �����$=� �, :8�`*��$[�'-.�Y��� -���$[��" �Ld<�����K�!-."]����(� ��,+ �<����&��^pm���%$7 �9 �� +��<`�&��! �!-D-.$

�����|ò�ñu�\û�ü ø �|ñy�|ò �]öyù�ü �]ù�öyü�ûR���Æû�ö$���Jû�öyñO�\ñ-ò���ú�ð3��6H��Aô ���\ñ-öyñ2û�ò ø ñ-ó&���Æó�û þ �|ù�ðùR��ûð�ù�ð���öyñ�ò þ ù�ö��|ð\ú�ÿ��|ðÆû�ö�÷,�|ð þ ñ-ú�ñ�ö�ò5 ý û�öyñ%öyùMù þ ûR��ú�ù�ö�� þ ��ü �|ò þ ö�û�ð�òE�]ù�öyü�ñ&�L�|ð þ ù,û � � � îó&��öyó ý � þ ��ñ-ò$�|ú�ð:û�ð�� �|ü ø �|ñ�ü�ñ�ð þ û þ �|ù�ð.� ����ñ-öuñ�ôhû ò þ öuñ-ð�ú þ ����öuñ&� ý ó-ñ&� ø öyù�ú�ö�û�ü#�Jû�òüÑûHð ý ûR�%�È÷e���|òuó-ù¢õ�ñ�öyñ&�¿û�ð�� þ ��ñ-ð ø öuùPõ�ñ&�Éó-ù�öyöyñ�ó þoý ò$�|ð�újN ý�ø ö$�e� BsF�� � �%ñ�öyñ�ô��Jñ�ò��\ùG���ù<� ù ý ö%ü�ñ þ ��ù!�+ó-û�ð�û ý\þ ù�ü�û þ ��ó�ûR����÷���ñ-ö$��õ�ñ þ ��ñ,ò þ öyñ-ð\ú þ ��öuñ&� ý ó þ ��ù�ð�ò&� ������òU�|òÎùR�ø û�ö þ �|ó ý �zûHö7�|ð þ ñ�öyñ�ò þ �|ð\�%��ú� þ ùR� þ ��ñ h ñ-ð þ � ý ü ó)��� ø �ÙûI� �|ðvBDR6R���@?�F��B�

����ñ��|ð�� þ �|ûR�Hò ø ñ�ó&���Æó�û þ �|ù�ð�ùR� þ ��ñ�ûR�|ú�ù�ö�� þ ��ü �|òeú�Èõ�ñ�ðy��ð;� BVJ6�� � ��õ�ñ�ð�ûoÿ��|ðÆû�ö�÷���ð þ ñ-ú�ñ�öK:ù_� (Êÿ�� þ ò�ô.����ñ-öuñ K ; H �AûHð�� (J��ò ý ò ý û_�%��÷YF\ôbBD\ôQ�����G��ô � þ ó-ù�ü ø�ý\þ ñ-ò þ ��ñ�ÿ���ðÆû�öu÷�|ð þ ñ�ú�ñ-ö�ò: ý ûHöyñÑöuùXù þ F ùR� K ý ò���ð�ú þ ��ñ�ð�ù�ð���öyñ-ò þ ù�ö$�|ð�úÉü�ñ þ ��ù��]�A?�\ôG�H��Tô.�����|ó)� ��òñu�\û�ó þ �]ù�ö ø ñ�ö$�]ñ-ó þ ò: ý û�öuñ-ò%û�ð��Éù���ÿc÷Éû þ ü�ù�ò þ B��]ù�öÊù þ ��ñ-ö���ð þ ñ-ú�ñ�öyò�������ñ�ü�ñ þ ��ù!��|ò þ ùe��öyò þ òuñ þ ÿ�� þ (��]B�ùR� þ ��ñ�û�ð�òE�Jñ�ö F þ ùKB�û�ð�� þ ��ñ�ð+û_� � ý ò þ ÿ�� þ ò (��3? þ ùmH,�|ðù�ö��\ñ-ö<f��|ð�ó�öyñ�ûHòyñ F ÿc÷ ? / ��� F ��òwòyü�ûR�%��ñ-ö þ �Æû�ð�� KÓôÆû�ð��\��ñ�ó-öyñ-û�òyñ F�ÿ�÷? / ��� F ��ò�zû�öuú�ñ-ö þ �Æû�ð � K �

& � 1$"?) � , ,U3"!� � � ��� * !K�� / � � , � �� �� P�M �

@ � � � � � R !J K @ * M!NHO?P

� � � � 3 � $ !O$SUT/O JLK @ ) M!NHO$P

� � � � � � $ !� & / # � ) � 30!

� BDJ6�

î�ð ��û�ö����Jû�öuñ�ôÆü ý � þ � ø �%��ó�û þ �|ù�ð�ò�û�ð��Rñ� ø ù�ð\ñ-ð þ �|ûR�|òoû�öuñ�ü ý ó)�Rü�ù�öyñ[ñ� ø ñ-ð\ò���õ�ñ þ �Æû�ðûR����� þ ��ù�ð�ò�û�ð��,ò������ þ ò �K��ù ý ÿ��%��ð�ú�òeù�ö��Æû_��õ!�|ð�ú�ò!��ô¢òuù þ ��ñhú�ùcûR�>�|ò þ ù%öuñ ø �|û�ó-ñ þ ��ñ��]ù�öuü�ñ�öÿc÷ þ ��ñ �zû þyþ ñ�ö&�

�Lù¿ò���ü ø �����s÷ þ ��ñ ø öyñ�òyñ�ð þ û þ ��ù�ð7ô �hñ � ý ü ø þ ù þ ��ñ��\ñ�û�ö þ ùR� þ ��ñ ø öyù�ÿ��|ñ�ü¿ôeðÆûHü�ñ���÷�ôó-ù�ü ø�ý\þ �|ð�ú K���F � û�ð�� ? / �|ð�ó�öyñ�ü�ñ�ð þ ûR�%�È÷:�|ð ñ�ûHó)� � þ ñ�ö�û þ �|ù�ð ý ð���ñ�ö þ ��ñ�ó)�ÆûHð�ú�ñF � �SF�� ? / û�ð�� � � �� B� �eñ þ "7 %ÿ�ñ

F � ) � , � , / 3C� @-1 / &$) � � � R , � $ 3

����ñ-öuñ5G � � ��òwû�ó-ù�ð�ò þ ö ý ó þ ù�ö7��� þ ��òyñ��|ñ�ó þ ù�öyò "-L N � � �����>� �Ñû�ð�� L�K ��� � ����� ���Pô�û�ð���|ñ þ �|ð ø�ýXþ ó)�Æû�ð�ú�ñ�ù ø ñ-öyû þ ��ù�ð�+ ÿOñ

� � � , � � , / ��� � � � , � , / ��� � � � � � , ��� � $ , / � c �?��

Page 25: Strengthening Invariants for Efficient Computation * Yanhong A. Liua

S Ý�æMè íVÚÆí�1 ñ�ó�û�ó)�\ñ�ûR������ð þ ñ-öuü�ñ����zû þ ñ�öyñ�ò ý � þ òoùR�0"� �ôÆù�ÿ þ ûR��ð��|ð�ú

�F � ) � , � , / 3�� S O M�� � � R J P ) @ 1 / &$) � � ��, � $ 3=, � *S Ý�æMè í � í�1 ñ þ öyû�ð�ò$�]ù�öyü "7 ý ð���ñ-ö]+ôÆù�ÿ þ û_�|ð���ð�ú

�F � � ) � , � , / , �& 3�� S O M��\� �)� "�) �& 3 � � 6 � 6�� � "�) c � # ) �& 3;343 ) � � "?) c �$# ) �& 303;3 R J P) @ 1 / &$) � � ��,-� � "?) c �$# ) �& 303�� � 3 ,E� *

S Ý�æMè í í�1 ñ�ó-ù���|ñ�ó þ ó�ûHð����%��û þ ñ�û ý �����%�|û�öu÷L�|ð��]ù�öyü�û þ ��ù�ð7ôMù�ÿ þ ûR�|ð���ð�ú

�F � ) � , � , / , �& 3 � ) � 6 � 6�� � "?) c �$# ) �& 303=, ) � � "?) c � # ) �& 3;303 R * � BsI�

S Ý�æMè � íVÚÆí�1éñ�ü�ñ-öyú�ñ þ ��ñ�ó-ù���|ñ-ó þ ñ�� ó-û�ð������Æû þ ñ�û ý �����%�|û�öu÷ �|ð��]ù�öuüÑû þ �|ù�ð ��� þ � "7 ¢ôù�ÿ þ ûR�|ð���ð�ú � D� �� � � B7L N � �� �wû�ð��

� �F � ) � , � , / 3�� S O M�� � � R J P�SLO+MV� � � $ J P) @ 1 / & ) � � ��,��H3 , ��, � 6 � 6O�Z,@� R *

S Ý�æMè � í � í�1 ñ ��ñ-ö$��õ�ñ,ûHð ��ð�ó-öuñ-ü�ñ-ð þ ûR�Oõ�ñ-öuò���ù�ð¿ù_� �"7 ý ð��\ñ-ö]+2ôÆù�ÿ þ ûR��ð��|ð\ú

� �F � � ) � , � , / , � �& 3�� S O M��\� �)� "�) � �& 3 � , &("?) � �& 343.23#54 ) � �& 3 J PS O MV� � � � "?) c � # ) � �& 3;3�� � J P) @ 1 / &$) F � # ) c � # ) � �& 3;3�� , &("?) � �& 3 � 23#54 ) � �& 3 ,��H3 ,��, , &("?) � �& 3�� � � 23#54 ) � �& 3 ,�23#54 ) � �& 3�� 2 *

S Ý�æMè � í íI1éñ ø ö ý ð�ñ9� ý ð\ó þ ��ù�ð�ò �"� �û�ð�� �"� � ôDñ&���|üL�|ðÆû þ �|ð�ú þ ��ñ��|ö}òyñ-ó�ù�ð��ó�ù�ü ø ù�ð�ñ�ð þ òû�ð��Rù�ÿ þ ûR�|ð���ð�ú

-F � ) � , � , / 3�� S O MV�V� � $ J P ) @ 1 / &$) � � � R ,��B3 , � 6 � 6O�Z,@� R * � BDC6�

-F � � ) � , � , / ,/- & 3 � ) @-1 / &$) F � # ) c � # ) - & 303�� �)� "?) - & 3 � , &("?) - & 3=,'� � "?) c � # ) - & 3;3�� � 3 ,�)� "?) - & 3�� � � , &("?) - & 3 ,<, &("?) - & 3�� 2*

� BsFI�

��� ý ò-ôk�Jñ�ó�û�ð��|ð�� þ �zû_�%�%��ñ ý ò$�|ð�ú � BVC���ûHð�� ø ñ-öE�]ù�öyü þ ��ñÑó�ù�öyöuñ-ò ø ù�ð����|ð�ú��|ð�ó�öyñ�ü�ñ�ð��þ ûR� ý\ø �Æû þ ñ��|ð þ ��ñ��|ùMù ø ÿOù!�\÷ ý ò$�|ð�úi� BsFI�u�Q����ñ¿ñu� ø ñ-ð�ò$��õ�ñ¿ü ý � þ � ø �%�|ó-û þ ��ù�ð�ò�û�ð��ñu� ø ù�ð�ñ-ð þ �zûR��ò]��ð þ ��ñ ��ùXù ø ÿ�ù��X÷\�Æû�õ�ñ�ÿ�ñ-ñ�ð+ó�ù�ü ø �|ñ þ ñ&�È÷�öyñ ø �zû�ó�ñ&����� þ �+ûR����� þ ��ù�ð�ò-ôò ý ÿ þ ö�ûHó þ ��ù�ð�ò�ôLûHð�� ò$����� þ ò&� 1 ñ�ñ�õ�ñ�ð ���|òuó-ù¢õ�ñ�ö þ �Æû þ û�ð ý ð�ð�ñ�ó-ñ-òuò�û�ö�÷éò$����� þ ��òy�\ù�ð�ñ�|ð �@�H�� ����� ý ò�ôJû¼òu÷Mò þ ñ-ü�û þ ��ó+û ø�ø öyù�û�ó)� ò ý ó)� û�ò�ù ý öyòL�|òe��ñ�ò���ö�û�ÿ���ñÉð�ù þ ù�ð���÷ �]ù�öû ý\þ ù�üÑû þ �|ð\ú ��ñ�ò���ú�ð�òoû�ð���ú ý û�ö�ûHð þ ñ-ñ��|ð�ú�ó�ù�öyöuñ-ó þ ð�ñ�òyò-ôÆÿ ý\þ ûR��òyù �]ù�öhöyñ�� ý ó&��ð�úó-ù�ò þ ò��- � ø �%�|ó�� þ ��ð�ó-öuñ-ü�ñ-ð þ ûR���%�-û þ ��ù�ð¼ûR�|òuù¿ñ�ðÆû�ÿ���ñ-ò � ý ö þ ��ñ-ö�ù ø\þ �|üL�%�-û þ ��ù�ð�ò[ù�ð þ �\ñÑù¢õ�ñ�ö�ûR����|ùMù ø ò þ ö ý ó þ�ý öuñ�ô�û�ò�����òyó ý òyòyñ�� ��ð�� � C.�B�

?6J

Page 26: Strengthening Invariants for Efficient Computation * Yanhong A. Liua

� ��� � �,-."#-.$ �'-.� &���8;&9�!��`9" `9(L&�$ �'-.����$[�5&���+nrs-.��"m&�$[�'-.��&�( ���!- ���5&�" " ����� ��&�$=�;+D �t�<`% ����! ���!-��<(� �"

�����|ò�ñ��ûHü ø ��ñ0�ÊûHò ý òuñ&�,ÿ�÷ �9�|ö�� þ ù ���%� ý ò þ ö�û þ ñ0�|ü ø ù�ö þ ûHð þ4ø öyù�ú�ö�û�ü þ ö�ûHð�ò$�]ù�öuüÑû þ �|ù�ðò þ ö�û þ ñ-ú��ñ-ò�ó�û_�%�|ñ�� ø öyù�ü�ù þ �|ù�ð ûHð�� û�ó-ó ý ü ý �|û þ ��ù�ð���F�� � � ��õ�ñ-ð û'���|öuñ-ó þ ñ&� û�ó�÷Mó&�%��óú�ö�û ø �7ô�û�ð�� û ò þ ö���ð�ú*����ù�òyñ¿ñ&��ñ-ü�ñ-ð þ ò�û�öyñÉõ�ñ�ö þ �|ó-ñ�ò ��ð þ ��ñ¿ú�ö�û ø �4ô þ ��ñ ø öyù�ÿ��|ñ-ü�|ò þ ù�ó-ù�ü ø�ýXþ ñ þ ��ñ,�|ñ�ð�ú þ �ùR� þ �\ñO�|ù�ð\ú�ñ-ò þ ò ý ÿ�òyñ� ý ñ-ð�ó�ñ �|ð þ ��ñ�ò þ ö$�|ð�ú þ �Æû þ �]ù�öyü�òû ø û þ ���|ð þ ��ñ�ú�ö�û ø �.� 1éñe�]ùMó ý ò�ù�ð þ ��ñ�òyñ-ó�ù�ð�� ��ûR���hùR� þ ��ñÑñ�\û�ü ø �|ñ�ô.���\ñ-öyñÑû�ðñu� ø ù�ð�ñ-ð þ �zûR�q� þ ��ü�ñöuñ-ó ý öyò$��õ�ñÑòyù� ý\þ ��ù�ð*�|òy�|ü ø öyù¢õ�ñ�� �z�|ð�ó�ù�öyöuñ-ó þ ��÷*��ð]��F��AôLó�ù�öyöuñ-ó þ ñ&��|ð ��R�����

� ý ð�ó þ �|ù�ð (�(!G ��ñu�Æð�ñ��<ÿOñ��|ù<�/ó�ù�ü ø�ý\þ ñ�ò þ ��ñL��ñ-ò$�|öuñ&� ��ñ-ð�ú þ �.� ����ñL�|ð ø�ý\þ ò þ ö��|ð\ú���òú��õ�ñ-ð¼ñu� ø ���|ó�� þ �È÷¿û�ò þ ��ñ2û�öuú ý ü�ñ-ð þ�þ ù (�(!G �.����ñe��ð ø�ý\þ ú�öyû ø �*�|ò�öyñ ø öyñ-òuñ-ð þ ñ��<ÿc÷¼ûø öyñ����|ó-û þ ñ � � D,ò ý ó)� þ �Æû þ � � D���� �����]�|ò þ ö ý ñ,��� þ ��ñ�öyñ,�|ò[û�ð�ñ&��ú�ñO�]öyù�ü õ�ñ�ö þ ñ� � þ ùõ�ñ�ö þ ñ� �O�|ð þ ��ñ�ú�ö�û ø �.� ����ñ ø ö���ü�� þ �Èõ�ñO� ý ð�ó þ ��ù�ð+F �>( öuñ þyý öyð�ò þ �\ñ�ü�û ���|ü ý ü ùR�� þ ò þ �Jù�û�öyú ý ü�ñ�ð þ ò&�

, , @4) ,U37� JLK � �0,., ) ,U3 M-NHO$P O$SUT/O � 1 � ) ,., @4) '�"*& ) ,U3;3 , c 3 FH) '�1*&$) ,U3 , '�"(&$) ,U303;3

F4) � , ,U3 � JLK � �-,., ) , 3 M!NHO$P O?SLT7O J K 1*&-'!) � , '�1*&$) , 303 M-NHO$P

� 1 � ) FH) � , '�"(&$) , 303=, c 3 FH) '�1*&$) , 3 , '�"(&$) ,U3;303O?SLT7O FH) � , '�"(&$) ,U3;3

� BsRI�

����ñ ø öuù�ÿ���ñ-ü5�|ò þ ù�ó-ù�ü ø�ý\þ ñ (�(!G,�|ð\ó-öyñ�ü�ñ�ð þ ûR����÷ ý ð��\ñ-ö þ ��ñJ��ð ø�ý\þ ó)�Æû�ð\ú�ñÊù ø ñ-öyû þ ��ù�ð( � � (�+ �SD-J�KTL � $� ( ��%%ò$�|ð�ú þ �\ñ�ü�ñ þ ��ù!���\ñ-òyó�ö���ÿOñ�� �|ð þ ���|ò ø û ø ñ�ö-ô��hñ,ù�ÿ þ ûR��ð

-, , @H) ,U3�� JLK � �0,., ) ,U3 M-NHO$P ) *O$SUT/O�S O M��\� -FH) '�1*&$) , 3 , '�"(&$) , 303 J P

) � 1 � ) ,., @4) '�"(&$) ,U3;3 , c 3 c � # ) �$303 ,�� *-F4) � , ,U3 � JLK � �-,., ) ,U3�M!NHO$P ) *

O?SLT7OVS O MV� � -F4) '�1*&$) , 3 , '�"(&$) , 303 J PJ K 1*&-'!) � , '�1*&$) , 303 M-NHO$P

) � 1 � ) FH) � , '�"(&$) , 303 , c 3 c � # ) �H3 ,@� *O$SUT/O ) FH) � , '�"*& ) ,U3;3 ,�� *

�'?�HI�

?�

Page 27: Strengthening Invariants for Efficient Computation * Yanhong A. Liua

û�ð��

-, , @ � ) / , , ,/- & 3�� J K � �-,., ) , 3 M!NHO?P ) c , ) * *O$SUT/OVSLO+M��\� -F � ) / , , , �)� "?) - & 3;3 J P

) � 1 � ) c �$# ) - & 3 , c 3 c � # ) � 3;3 , ��*-F �;) / , , ,3-& *=3 � JLK � �-,., ) '�"*& ) ,U3;3 M!NHO?P

JLKR1*&-'!) / , '�1*&$) ,U303�M!NHO$P ) c , ) * *O$SUT/O ) , ) * *

O?SLT7O SLO+MV� � -F �;) / , '�"*& ) ,U3=, �)� "?) -& *2303 J PJLKR1*&-'!) / , '�1*&$) ,U303�M!NHO$P

) � 1 � ) c � # ) �B3=, c 3 c �$# ) -& * 3;3 , -& * *O$SUT/O ) c �$# ) �B3 ,�-& * *

�'?9BV�

kJù�ü ø�ý\þ ��ð�ú (�( GO� D-J�KTL9� $��([�5�Q�]öuù�ü/òyó�ö�û þ ó)� þ û�=�ñ-ò�ñu� ø ù�ð�ñ�ð þ �zûR� þ �|ü�ñ�ô�ÿ ýXþ ó�ù�ü ø\ý\þ ��ð�ú�(�( G � � ��(-� -� � þ û�=Hñ-ò�ù�ð���÷ � ��K � þ �|ü�ñ�ô ����ñ�öyñEK �|ò þ ��ñ ��ñ-ð�ú þ �<ùR� (�ôÓò$�|ð�ó�ñ �(�(!G � � $��(-� -� �ó�ûR���|ò -" � ô�������ó)�¿ú�ùMñ-ò þ ��öyù ý ú� þ ��ñ �%��ò þ (Lù�ð�ó-ñ_�� �|ð�ûR�%�È÷�ôZ�Jñ ý òyñ þ �\ñ-òyñL��ñ�ö���õ�ñ&�*� ý ð�ó þ �|ù�ð�ò þ ùÉó-ù�ü ø�ý\þ ñ þ ��ñ2ù�ö$�|ú��ðÆûR� � ý ð�ó þ �|ù�ð (�(!G �N%ù þ ñ þ �Æû þ (�( GO� ([�>��B7L N � �(�(!G � ([�:�Oû�ð��7ôI��� �(*(!GP�*([� � -� ô þ ��ñ�ð �(�(!G � D-J7KML � ��([�:�� �(�(!G%�n� $��(-� -� �u�%ò$�|ð�ú þ �\ñy�\ñ��Æð�� þ ��ù�ðÉùR� �(�(!G � �|ð � ?MBV�J�|ð þ ���|ò��|û�ò þ ñ� ý û þ ��ù�ð7ô��hñ,ù�ÿ þ ûR��ð

-,., @H) '� � � ) / , ,U3;3 � J K � �-, , ) ,U3 M!NHO?P ) c , ) * *O$SUT/O SLO+M - & � -,., @H) , 3 J P

SLO+M��\� -F � ) / , , , �)� "?) - & 303 J P) � 1 � ) c � # ) - & 3=, c 3 c �$# ) � 303=,E��*

%ò$�|ð�ú þ ���|ò�ñ� ý û þ ��ù�ð û�ð�� þ ��ñÿÆûHòyñ�ó�ûHòyñ �(�(!GP��K� ([� � :�H ;�ô �Jñ�ù�ÿ þ ûR��ð û<ð�ñ����ñ���ð�� þ �|ù�ðÉùR� �(�( G f

-, , @H) ,U3C� JLK � �0,., ) ,U3 M-NHO$P ) *O?SLT7O J K � �-, , ) '�"(&$) ,U3;3 M!NHO?P ) c , ) * *O?SLT7OVS O M - & � -, , @4) '�"(&$) , 303 J P

S O M��\� -F �;) '�1$& ) ,U3=, '�"(&$) ,U3 , �)� "�) - & 303 J P) � 1 � ) c � # ) - & 3 , c 3 c � # ) � 3;3 ,E��*

�'?�?6�

����ñ-öuñ -" � �|ò0�\ñ��Æð�ñ�� ��ð �'?MBV��R������ò�ð�ñ�� �(�( G�öyñ�ó ý öuò��Èõ�ñ&�È÷�ó�ù�ð�ò�����ñ-öuò þ ûR���|òÓù_� þ ��ñ��|ð ø\ý\þòyñ� ý ñ-ð�ó�ñ�û�ð��4ô��]ù�ö[ñ-û�ó)� ñ��|ñ�ü�ñ�ð þ û þ�þ ��ñ,�\ñ�ûR�¼ùR�Jû�ò ý ÿ\òyñ< ý ñ�ð�ó-ñHôÓó-ûR�%��ò -" � þ ù ý òyñ� þhþ ù�ñ� þ ñ-ð��Röyñ�ó ý öuò��Èõ�ñ&�È÷Ñó�ù�ü ø�ý\þ ñ��Éòyñ< ý ñ�ð�ó-ñ ��ñ-ð�ú þ ��ò&�Xî þÊþ û�=�ñ-òwù�ð���÷ � ��K � � þ �|ü�ñ�ôò���ð�ó-ñ � þ ó-ûR�%��ò -" � ù�ð���÷ �#��K � þ �|ü�ñ-ò��

?6C

Page 28: Strengthening Invariants for Efficient Computation * Yanhong A. Liua

� � � � - � ��,+>-7r�� &���-.�

�����|ò ø öuù�ÿ���ñ-ü ó�ù�ü ø�ý\þ ñ�ò þ ��ñ�òuñ< ý ñ-ð\ó-ñJù_�\ò þ ñ ø òLð�ñ�ñ&��ñ�� þ ùÎü�ù¢õ�ñ�ûwò þ û�ó!=[ùR�2Ke���|ò5=Mò�ôù�ð�ñ�û þ û þ ��ü�ñHô��]öuù�ü ù�ð\ñ ø ñ-ú �Æô��|ð�� þ �|ûR�%�È÷O��� þ �Éð�ùe�zû�öuú�ñ-ö7���|ò:=�òoù�ð þ ù ø ùR�Lòyü�ûR���|ñ-öù�ð�ñ�ò-ô þ ù,û�òuñ-ó�ù�ð�� ø ñ-ú �Jõ!�zû�û þ ����ö�� ø ñ�ú DPô��� þ ��ù ý\þ ñ�õ�ñ-ö ø�ý\þuþ ��ð�ú�û �zûHöyú�ñ�ö0���|ò5=ù�ðþ ù ø ùR��û%òuüÑû_�%�|ñ�ö�ù�ð�ñ � B�ôAIC.�B� �����|ò}ó�û�ð�ÿOñhòyù�Èõ�ñ&� ý ò���ð�ú�û%ò$�|ü ø �|ñ>öuñ-ó ý öyò���ù�ð þ �Æû þ �Æû�òù�ð�ñ�ü�ù¢õ�ñhù ø ñ-öyû þ ��ù�ð7ô þ �hù�öuñ-ó ý öyò��Èõ�ñÊó-ûR�%��ò-ô¢ûHð�� þ �hù[ó-ù�ð�ó�û þ ñ-ðÆû þ �|ù�ð,ù ø ñ-öyû þ ��ù�ð�ò�ô¢ÿ ý\þó-ù�ü ø�ý\þ �|ð�ú þ ��ñJöyñ-ó ý öyò$��õ�ñ7� ý ð�ó þ �|ù�ðO�]ù�ö K ���|ò:=�ò þ û�=�ñ�ò � �'? � � þ ��ü�ñHô � ý ñ þ ù[öuñ ø ñ�û þ ñ&�öyñ�ó ý öuò���õ�ñ,ó-ûR�%��òÊù�ð þ ��ñ�òyû�ü�ñ�ûHöyú ý ü�ñ-ð þ ò&�

h ñ þyþ ù�öyù�òuò��ÊûHð�� h öyùR�|ñ þuþ � ý òuñ þ�ý�ø �%�|ð\ú ��6�� þ ù¿ú��õ�ñ�ô þ ù+ù ý ö =Mð\ùG����ñ&��ú�ñ�ô þ ��ñ�ü�ù�ò þöyñ�ó-ñ-ð þ �\ñ-ö��ÈõHû þ ��ù�ð�ù_��û ���|ð�ñ-û�öE� þ �|ü�ñ ø öuù�ú�ö�ûHü �]ù�ö þ ���|ò ø öuù�ÿ��|ñ�ü �@6C.� �!����ñ þ ö�ûHð�ò$�]ù�ö3�üÑû þ �|ù�ð �|ðcõ�ùR��õ�ñ�ò ý ð��]ù�����|ð�úO� ý ð�ó þ �|ù�ð�ò R þ �|ü�ñ-òwû�ð��¿ñ�õ�ñ-ð þyý ûR�%�È÷ ����ñ-ð þ ���s÷!�|ð�ú þ �Æû þ � ý ð�ó þ �|ù�ðó�ûR���|òÎó�û�ð�ÿ�ñ�ó�ù�ü ø�ý\þ ñ����|ð+û þ�ý�ø �|ñ ý ò��|ð\ú�ûÑöyñ�ó ý öuò���ù�ð ��� þ �ò þ ñ ø ò����-ñj?!�����ñJöuñ-ò ý � þ �|ð�ú ø öyù�ú�ö�û�ü ó�ù�ð�ò���ò þ òÓùR�*RÎü�ù¢õ�ñ-ò�ûHð�� BDFÎó-ù�ð�ó-û þ ñ�ðÆû þ �|ù�ð�òk�|ð�û%öuñ-ó ý öyò��Èõ�ññ< ý û þ �|ù�ð,û�ð��q�Îü�ù¢õ�ñ�òÓû�ð��>oó-ù�ð�ó-û þ ñ�ðÆû þ �|ù�ð�ò þ ù�ú�ñ þ ��ñ-ök�|ð���õ�ñJù þ ��ñ-ö}ð�ù�ð!��öyñ�ó ý öuò��Èõ�ññ< ý û þ �|ù�ð\ò&�

/ ý ö>ü�ñ þ ��ù!�e�%��ñ�ð þ ���Æñ�ò�û�ó)��û�ð�ú�ñÎù ø ñ-ö�û þ �|ù�ð þ �Æû þ ó�ù�öyöuñ-ò ø ù�ð��\ò þ ù,ò þ ñ ø ò����-ñ B�ô ý òuñ-òþ ��ñ�ü�ñ þ �\ù��*�]ù�öy���|òuó-ù¢õ�ñ�ö��|ð\úû ý �����%�zûHöu÷ �|ð��]ù�öuüÑû þ �|ù�ð þ ���|ó-ñHô}û�ð�� ÷!��ñ&�%�\ò�û�ð:�|ð\ó-öyñ�ü�ñ�ð þ ûR� � ý ð�ó þ �|ù�ð þ ��û þ �Æû�ò ��ü�ù¢õ�ñ-ò�û�ð�� �ó-ù�ð�ó-û þ ñ�ðÆû þ �|ù�ð�ò�� %ò$�|ð�ú þ ���|ò�� ý ð\ó þ ��ù�ð���|öuñ-ó þ ��÷ þ ù,�]ù�öuü û�ð\ñ���öuñ-ó ý öyò$�|ù�ð7ô��Jñ�ù�ÿ þ ûR�|ðÉûO���|ð�ñ-û�öE� þ ��ü�ñ ø öuù�ú�ö�ûHü þ ��û þ �|òJù�ð�ñ ý û�ö þ ñ-ö þ �\ñ�ò$�%��ñ�ù_� þ �Æû þ �|ð ��IC.�B�

� ý ð�ó þ �|ù�ð � ��K J ��\ñ��Æð�ñ�� ÿOñ��|ù<� ó-ù�ü ø�ýXþ ñ-ò þ ��ñ �\ñ-ò���öyñ��'�|ñ-ð\ú þ �7ô�����ñ�öyñ L�� �G û�ð��F J��@�,û�öyñ�ó�ù�ð�ò þ ö ý ó þ ù�öuò-ô�û�ð�� fLf��|òoû ø ö���ü�� þ �Èõ�ñ]� ý ð�ó þ �|ù�ð �]ù�öwó�ù�ð�ó�û þ ñ-ð�û þ ��ù�ð.�

4 1 � / ) � , 1 ,��2, ' 37� JLK � % M!NHO?P � B / @O$SUT/O�4 1 � / ) � � c , 1 , ' ,��/3 ��� � � � )!1 ,��/3���� 4 1 � / ) � � c , ' ,��2, 1 3

�'?��I�

����ñ ø öyù�ÿ��|ñ-ü ó�û�ðRÿOñ��]ù�öuü ý �|û þ ñ��¿ûHòÎó�ù�ü ø�ý\þ ��ð�ú � ��KTJ�9��ð�ó-öuñ-ü�ñ-ð þ ûR����÷ ý ð���ñ�ö þ ��ñ�|ð ø\ý\þ ó)�Æû�ð�ú�ñ�ù ø ñ-öyû þ ��ù�ð � K � � � � ��� � �'D � � �=��K���� ���Z�'D0��+E�#�>�;��KmB���� �'D ���-��ô<�%��ñ�ð þ ����ñ&�ý ò���ð�ú þ ��ñ�ü�ñ þ ��ù!� ��ð �AJ9B<�ÊûHò þ ��ñÑü���ð��|ü ý ü �|ð ø\ý\þ ��ð�ó-öuñ-ü�ñ-ð þ ù ø ñ-öyû þ ��ù�ð.�k�]� þ ñ�ö���|òuó-ù¢õ�ñ�ö���ð�úéû ý ���%�%�|û�öu÷��|ð��]ù�öyü�û þ ��ù�ð þ ����ó-ñ ý ò���ð�ú þ ��ñRü�ñ þ ��ù!� �|ð þ ����ò ø û ø ñ-ö�ô��hñù�ÿ þ ûR�|ð

�4 1 � / ) � , 1 ,��2, ' 3�� ) 4 1 � / ) � , 1 ,��2, ' 3 , 4 1 � / ) � ,��2, ' , 1 3=, 4 1 � / ) � , ' , 1 ,��/3 * �'?.� �

û�ð���4 1 � / � ) � , 1 ,��2, ' ,/- & 3�� J K � 3 c % M!NHO?P ) � B / @ ,�� B / @ ,�� B / @ *

O$SUT/O ) c � # ) - & 3���� � � � )!1 , ' 3���� �)� "?) - & 3 ,, &("?) - & 3 ��� � � � ) ' ,��/3 ��� c �$# ) - & 3 ,�)� "?) - & 3 ��� � � � ) �2, 1 3 ���3, &("?) - & 3 *

�'?�J6�

?�F

Page 29: Strengthening Invariants for Efficient Computation * Yanhong A. Liua

kJ�|ñ-û�ö��È÷�ô7ó�ù�ü ø\ý\þ ��ð�ú��� ��K J ^��K B���� �'D �������]öuù�ü òuó-öyû þ ó)� þ û�=�ñ�ò,ñ� ø ù�ð\ñ-ð þ �|ûR� þ �|ü�ñ�ôÿ ý\þ ó-ù�ü ø�ý\þ �|ð�ú��� ��KTJ� � ��K���� ���Z�'D � -� � þ û�=Hñ-òhù�ð���÷�� � BD� þ �|ü�ñR�R�Lù�ó-ù�ü ø�ý\þ ñ þ ��ñÎù�ö���ú���ðÆûR� � ��KTJ�yô-ð�ù þ ñ þ �Æû þ � ��KTJ�!��K���� ���Z�'D��� B7L N ���� ��KTJ�!��K���� ���Z�'D��:�7û�ð��7ôI������ ��KTJ�^��K���� ���Z�'D���-� ô þ ��ñ�ð �� ��KTJ�^��K vB ��� �'D ����� � �� ��K J [�[��K ��� ���Z�'D � -� �� %ò$�|ð�ú þ ��ñ���ñ���ð�� þ �|ù�ðùR� �� ��KTJ� ��|ð þ ���|ò��zûHò þ ñ< ý û þ �|ù�ð7ô��hñ,ù�ÿ þ ûR��ð

�4 1 � / ) � 3 c , 1 , ' ,��/3 � J K � 3 c % M!NHO?P ) � B / @ ,�� B / @ ,�� B / @ *O$SUT/O SLO+M - & � �4 1 � / ) � , 1 ,��2, ' 3 J P

) c � # ) - & 3 ��� � � � )!1 , ' 3 ��� �)� "?) - & 3=,, &("?) - & 3���� � � � ) ' ,��/3���� c � # ) - & 3 ,�)� "?) - & 3 ��� � � � ) �2, 1 3���� , &("?) - & 3 *

� ñ ø �zûHó&�|ð\ú K BO��� þ � KLô7û�ð���ñ�Xó)�Æû�ð�ú��ð�ú ��û�ð��+DPô��hñù�ÿ þ û_�|ð�û�ð�ñu� �\ñ��Æð�� þ ��ù�ðùR� �� ��K J ,f

�4 1 � / ) � , 1 ,��2, ' 3�� JLK � % M-NHO$P ) � B / @ ,�� BO/ @ ,�� B / @ *O?SLT7O S O M - & � �4 1 � / ) � � c , 1 , ' ,��/3 J P

) c �$# ) - & 3���� � � � ) 1 ,��/3 ��� �)� "?) - & 3 ,, &)"�) - & 3���� � � � ) �2, ' 3 ��� c � # ) - & 3=,�)� "?) - & 3���� � � � ) ' , 1 3 ��� , &("?) - & 3 *

�'?�I�

kJ�|ñ-û�ö��È÷�ô��hñ�ó�û�ðRó-ù�ü ø�ý\þ ñ � ��K J ý ò$�|ð�ú þ �\ñ�ð\ñ����� ��KTJ��ô�������ó)� þ û�=�ñ�ò �#��K � þ �|ü�ñR�

� � � � -.���9 !+�$ �!-." "#-.�K+�`���+D �<`% ����!

� ý�ø�ø ù�òuñ �Jñy�ÊûHð þ�þ ùÑó�ù�ü ø�ý\þ ñ þ ��ñ �|ñ�ð�ú þ �¿ùR� þ ��ñO�|ù�ð�ú�ñ-ò þ ó�ù�ü�ü�ù�ðRò ý ÿ�òyñ� ý ñ-ð�ó�ñùR� þ �hù�ú�Èõ�ñ-ð�òyñ� ý ñ-ð�ó�ñ-ò7(Rû�ð��;�ùR� ��ñ-ð�ú þ ��ò K+û�ð�� F�ôMöyñ-ò ø ñ�ó þ ��õ�ñ���÷ �aBDR��B�!�����|ò�ó�û�ðÿOñ ø öyù�ú�öyû�ü�ü�ñ�� û�ò2ûò þ ö�ûR��ú� þ �]ù�öE�ÊûHö�� öyñ�ó ý öuò���õ�ñ � ý ð�ó þ �|ù�ð þ �Æû þþ û�=�ñ�ò �#�'? � 3 � �þ ��ü�ñ þ ùÑó-ù�ü ø�ýXþ ñR� Îò��|ð\ú þ ��ñ�ü�ñ þ ��ù����|ð þ ���|ò ø û ø ñ-ö�ô ��ðû2ò���ü����zû�öJ�VûHò�����ù�ð þ ù þ ��ñø û þ ��òyñ� ý ñ-ð�ó�ñ ø öyù�ÿ���ñ-ü ����òyó ý òyòyñ���ñ�û�ö$�%��ñ-ö-ô>�hñ[ó�ûHð ��ñ-ö$��õ�ñ�û�ð�ù øXþ �|üL�%��ñ&� ø öyù�ú�ö�û�üþ �Æû þ ö ý ð�ò �|ð �#��K� F � þ �|ü�ñR�

� ý ð�ó þ �|ù�ð (�D0LÊÿOñ��|ù<� ó-ù�ü ø�ýXþ ñ-ò þ ��ñ7�\ñ-ò���öyñ��O�|ñ�ð�ú þ �4ô ����ñ�öyñ7( ��K � ��ò þ �\ñ K þ �ñ&��ñ-ü�ñ-ð þùR�Lòyñ< ý ñ�ð�ó-ñy(�ôÙû�ð�� � ��F �J�|ò þ ��ñ F þ �Rñ&�|ñ�ü�ñ�ð þ ùR��òuñ< ý ñ-ð\ó-ñq� �

, ' � ) � , � 3C� JLK � % #& � % M!NHO$P O?SLT7O JLK � ) � 3 � � ) � 3 M!NHO$P , ' � ) � � c , � � c 303 cO?SLT7O � 1 � ) , ' � ) � , � � c 3=, , ' � ) � � c , � 3;3

�'?�C6�

1éñe��ð�ó-öuñ-ü�ñ-ð þ ûR���%��ñ (�D4L ý ð���ñ�ö þ ��ñ,�|ð ø�ý\þ ó)�Æû�ð\ú�ñ2ù ø ñ�ö�û þ �|ù�ð ��K � � F � � � � K�� F �0+�)�+� � K B ��F ��ô7����ñ-ð þ ���Æñ&� ý ò$�|ð�ú þ ��ñ¼ü�ñ þ ��ù!� �|ð �@JMB<��û�òRû üL�|ð���ü ý ü �|ð ø\ý\þ

?�R

Page 30: Strengthening Invariants for Efficient Computation * Yanhong A. Liua

�|ð�ó�öyñ�ü�ñ�ð þ ù ø ñ-öyû þ ��ù�ð7ô\û�ð��Rù�ÿ þ û_�|ð� , ' � ) � , � 3�� JLK � % #&R� % M-NHO$P ) *

O$SUT/O�S O M�� � � , ' � ) � , � � c 3 J PJ K � ) � 3 � � ) � 3�M-NHO$P ) , ' � ) � � c , � � c 3�3 c ,;� *O$SUT/O ) � 1 � ) c � # ) � 3=,�, ' � ) � � c , � 303=,;� *

�'?�FI�

û�ð��� , ' � �0) � , � ,/- & 3 � JLK � 3 c % & � % M!NHO?P ) *

O?SLT7O JLK � % M!NHO?PSLO+M��\� � , ' � � ) � 3 c , � � c , ) *E3 J PJLK � ) � 3 c 3 � � ) � 3�M!NHO?P ) c ,�� *O$SUT/O ) c � # ) �$3 , � *

O?SLT7O SLO+M�� � � , ' � � ) � 3 c , � � c , �)� "?) - & 303 J PJLK � ) � 3 c 3 � � ) � 3�M!NHO?P ) c � # ) �)� "?) - & 30343 c ,0��*O$SUT/O ) � 1 � ) c �$# ) � 3 , c � # ) - & 303=,;��*

�'?�RI�

kJù�ü ø�ý\þ ��ð�ú �(�D0L9��K B���F � �]öuù�ü òuó-öyû þ ó)� þ û�=�ñ-òwñ� ø ù�ð\ñ-ð þ �|ûR� þ �|ü�ñ�ôMÿ ý\þ ó�ù�ü ø\ý\þ ��ð�ú�(�D4L � ��K���F � -� � þ û�=�ñ-ò%ù�ð��È÷ � ��F � þ �|ü�ñR�%NÎù þ ñ þ �Æû þ (�D0L ��K ��F �>� B L N � �(�D4L ��K ��F �:�wû�ð��7ô��� �(�D4L ��K���F � � -� ô þ ��ñ�ð �(�D0L9��K B���F � � �(�D4L � ��K���F � -� ��%ò$�|ð�ú �(�D0L � þ ù �]ù�öyü`û�ð�ñ���(�D4L�ô��hñ�ù�ÿ þ ûR��ð

, ' � ) � , � 3�� c �$# ) � , ' � ) � , � 303� , ' � ) � , � 3�� J K � % #&R� % M!NHO?P ) *

O$SUT/O SLO+M - & � � , ' � ) � � c , � 3 J P � , ' � � ) � � c , � ,/- & 3� ��HI�

� ý ð�ó þ �|ù�ð �(�D0L þ û�=Hñ-ò7� ��K � F � þ �|ü�ñ[ò���ð�ó-ñ � þ ó�ûR���|ò �(�D4L<�+� ��K � þ �|ü�ñ-ò&�����ñû ý �����%�|û�öu÷ ��ð��]ù�öuüÑû þ �|ù�ð ý òuñ&�*�|ð þ ����ò ø öuù�ÿ���ñ-ü�û�ð�� þ ��ñ ø û þ �òuñ< ý ñ-ð\ó-ñ ø öyù�ÿ���|ñ�ü ÿOñ��|ù�ð\ú�ò þ ù�û2ò ø ñ-ó��zûR��ó��zû�òuò þ �Æû þ ó�û�ð¿ÿOñ ����òyó�ùPõ�ñ-öuñ&� ý ò$�|ð�ú�û�ò$�|ü ø �|ñ�öwü�ñ þ ��ù!�þ �ÆûHð þ ��ñú�ñ�ð�ñ-öyûR��ü�ñ þ �\ù�����ñ�òyó�ö��|ÿ�ñ&�*��ð þ ����ò ø û ø ñ-ö����Êû�ò$�|ó�û_�%��÷�ô þ ��ñ2û ý �����%�|û�öu÷��|ð!��]ù�öyü�û þ �|ù�ð�ð�ñ-ñ���ñ&�Éó�ù�öyöuñ-ò ø ù�ð��\ò þ ù �$��ð þ ñ-öuü�ñ����zû þ ñ%öuñ-ò ý � þ ò � þ ��û þ û�öuñ[ó-ù�ü ø�ýXþ ñ&� �|ðòyù�ü�ñoÿ�ö�ûHð�ó)��ñ-òJÿ ý\þ ð�ù þ òyù�ü�ñoù þ �\ñ-ö�ÿ�ö�û�ð\ó)��ñ-òhùR� þ ��ñ%ù�ö��|úR�|ðÆûR� ø öyù�ú�ö�û�ü�� kJù�ü ø�ý\þ ��|ð�ú�ò ý ó)�öyñ�ò ý � þ ò%ûR�|òuùL��ð þ ��ñ-òuñ�ù þ ��ñ-öoÿ�öyû�ð�ó)��ñ�òU�]ù�öuü�ò þ ��ñ�û ý ���%�%�|û�öu÷ �|ð��]ù�öyü�û þ ��ù�ð.���� ý ò-ô þ ��ñÎò���ü ø ��ñ-ö>ü�ñ þ �\ù���ù�ð��È÷2ð�ñ-ñ���ò þ ù ø ñ-ö$�]ù�öyü �Vî �>û,ü�ù!�����Æñ���ó-û�ó)����ð�ú þ ö�û�ð�ò3��]ù�öyü�û þ �|ù�ð7ô}ñu� þ ñ-ð�����ð�ú � þ ñ ø � ��B�ô �Vîuî � �|ð�ó�öyñ-ü�ñ-ð þ ûR�%����û þ �|ù�ð7ô}û�ò,��ð � þ ñ ø �]�E?Xô�û�ð���Vîuîyî � ø ö ý ð��|ð\ú�ôÙû�ò��|ð � þ ñ ø �U�A���

�Æù�ö�ñu�\û�ü ø �|ñHôJ�]ù�ö � ý ð�ó þ �|ù�ð " �|ð þ �\ñ ù�ö��|úR�|ðÆûR� ø öuù�ú�ö�ûHü � BsRI�L�]ù�ö þ ��ñ ø û þ � òuñu� ý ñ-ð�ó�ñ ø öuù�ÿ��|ñ�ü¿ô þ ��ñ�öyñ�ò ý � þ ùR��"�� D � � �*([� �'D � � �*( �5�.�|ò�ó-ù�ü ø�ý\þ ñ&� �|ð þ ��ñ�ÿ�ö�ûHð�ó)� ����ñ�öyñ� � D���K �'D � � � ([�:���|ò þ ö ý ñÑÿ ý\þ ð�ù þ ��ð þ �\ñ�ûR� þ ñ-öuðÆû þ ��õ�ñ�ÿ�öyû�ð�ó)�7ôLû�ð�� þ ��ñ þ ö ý\þ � õHûR� ý ñùR� þ ��ñ ø öyñ����|ó-û þ ñ�� � D��|ò��|ð��\ñ ø ñ-ð���ñ�ð þ ùR� þ �\ñ ��ùXó-ûR�OõHû�ö$�zû�ÿ���ñ-ò5K û�ð�� (W�Æî�ð�� ý ð\ó þ ��ù�ð-"*��ð þ ��ñ,öuñ-ò ý � þ �|ð�ú�ñu� þ ñ�ð���ñ�� ø öyù�ú�ö�û�ü � ?�HI�rô þ ����òÎöuñ-ò ý � þ �|òoó-ù�ü ø�ýXþ ñ&�+û�ð�� ø�ý\þ �|ð

�6H

Page 31: Strengthening Invariants for Efficient Computation * Yanhong A. Liua

õHû�ö��|û�ÿ��|ñ Q<öyñ�úcû�ö����|ñ-òuò�ùR� þ ��ñ þ ö ýXþ �¼õ�û_� ý ñùR� � � D���K �'D � � � ([�:�rô.� � ñR�Èô � þ ��ò�ó-ù�ü ø�ý\þ ñ&�����ñ-ð � � D���K��'D � � �*([�:� ��ò9�VûR��òyñ%û�ò9�hñ&���TôXû�ò þ ��ñ�û ý �����%�|û�öu÷,��ð��]ù�öuüÑû þ �|ù�ð þ ����ò9��ð��]ù�öuüÑû �þ ��ù�ð���ò ý òyñ�� û�ð�� üÑû_�|ð þ ûR��ð�ñ&�*��ð þ ��ñ�öuñ-ò ý � þ �|ð�ú��|ð�ó�öyñ�ü�ñ�ð þ ûR� ø öuù�ú�ö�ûHü �'?MBV�� ����ñ��ñ þ ûR�%��ò�ùR� þ ����ò�ò���ü ø ��ñ-öLÿ ý\þ öyñ�ò þ ö$�|ó þ ñ&��ü�ñ þ �\ù��2û�ð�� þ ��ñ���ñ-ö$��õHû þ �|ù�ðO�]ù�ö þ ��ñ��|ù�ð�ú�ñ-ò þó-ù�ü�ü�ù�ð�ò ý ÿ\òyñ< ý ñ�ð�ó-ñ ø öyù�ÿ��|ñ-ü û�öyñ���ñ�òyó�ö��|ÿ�ñ&� �|ð �@JMB<�B�

� ��� � t ��� ��& �%+<&9���

�����|ò ø öyù�ÿ��|ñ-ü ó-ù�ü ø�ý\þ ñ-ò þ ��ñ�ü�û ���|ü ý ü õHûR� ý ñU�]ù�öJû�ò ý ÿ�òuñ þ ùR� K�� þ ñ-ü�òJùR�k��ð þ ñ-ú�ñ�ö�Jñ��|ú� þ ����ù�òyñ þ ù þ ûR� �hñ&��ú� þ ��ùMñ-ò�ð�ù þ ñ�Xó-ñ-ñ���� �aBDR��B�7î þ ó-û�ð¼ÿOñ ø öyù�ú�öyû�ü�ü�ñ���û�òþ ��ñ��]ù�%��ù<���|ð�ú¼öyñ�ó ý öuò��Èõ�ñ � ý ð�ó þ ��ù�ð �2K ��GP��K �� �rô����\ñ-öyñ �$�)(�QR� ��K ��û�ð��� � ! � N ��K �û�öyñ þ ��ñ�õHûR� ý ñû�ð����hñ&�|úR� þ ô7öyñ�ò ø ñ-ó þ ��õ�ñ&�È÷�ô7ùR� þ �\ñ:K þ �*� þ ñ-ü�� ����ñ2ö ý ð�ð��|ð�ú þ �|ü�ñ�ùR��2K!��GP��K��� �J�|ò �#�'? � �u�

BO� 17@Z) � , � 3�� JLK � % #& � % M!NHO$P O?SLT7O J K ��� / �(4 # ) � 3�� � M-NHO$P B � 1I@4) � � c , � 3O?SLT7O � 1 � ) � 1 , � � ) � 3 3 B � 1I@4) � � c , � � � � / �(48# ) � 303 , B � 17@4) � � c , � 303

� �MBV�

%ò$�|ð�ú þ �\ñ,ü�ñ þ ��ù��\��ð þ ���|ò ø û ø ñ�ö-ô��hñ,ó-û�ð\�Æð��¿û ø ��ñ-ó�ñ�ù_��û ý �����%�|û�öu÷��|ð��]ù�öyü�û þ ��ù�ð7ô�2K!��GP��K��� � � � ! � N ��K BV�5��ô þ �Æû þ �|ò�ð�ñ�ñ&��ñ�� �]ù�ö�ó�ù�ü ø\ý\þ ��ð�ú �@K!��GP��K B���� ��ô����ñ-öuñ�� � *! � N ��K 0BV��ó-û�ð�ÿ�ñ�û�ðc÷ ��ð þ ñ-ú�ñ-öJ�]öuù�ü H þ ù�� � � �|ð�ó�ñ�� ��� � ! � N ��K BV�ó�û�ð ûR��òyù ÿ�ñ�û�ðc÷ ��ð þ ñ-ú�ñ�ö �]öyù�ü H þ ù��,ô þ û�=w�|ð�ú �2K ��GP��K � �2���]ù�ö�ûHð�÷ ø û�ö þ �|ó ý �zûHöõHûR� ý ñ �¼û�ò�û ý �����%�zûHöu÷��|ð��]ù�öyü�û þ ��ù�ð �|ò�ð\ù þ ò ý /�ó&��ñ-ð þ �]ù�ö�ñ�/�ó��|ñ-ð þ ó-ù�ü ø�ý\þ û þ ��ù�ð�ùR��2K!��GP��K B��� ���1 ñ�ð�ñ�ñ&� �2K!��GP��K�� �2���]ù�ö�ûR��� ��ò ý ó)� þ �Æû þ H � � ��� � 1 ñ2ó�û�ðñu� þ ñ�ð�� þ ��ñü�ñ þ ��ù�����ð þ ����ò ø û ø ñ-ö þ ù�ó�û�ó)�\ñ�ûHð¼û�öyöyû¢÷ �]ù�ö þ ��ñ-òuñ�õ�û_� ý ñ�ò-ôeû�ð�� ý òyñþ ��ñoöuñ-ò þ ùR� þ ��ñoü�ñ þ ��ù!�e�|ð þ �\ñÎòyû�ü�ñ7�Êû�÷� þ ����òÓ÷!�|ñ&����ò>û�ð�ù ø\þ �|üL�%�-ñ�� ø öuù�ú�ö�ûHü þ ��û þö ý ð\ò��|ð � ��K ��� � þ �|ü�ñR�Z����ñ ø öyñ-ó��|òuñ �]ù�öuü ý �zû þ �|ù�ðRù_� þ ����ò�ñu� þ ñ-ð�ò$�|ù�ðð\ñ-ñ&�\ò þ ùÑÿ�ñò þyý ���|ñ��7ô�ÿ ý\þ �����JñRû�òuò ý ü�ñ þ �Æû þþ ��ñÉó-ù�ð\ò þ ö ý ó þ X�ßÙÞ � f � �Ý�ß��<à�ß ��� �9� f!� �û�òyò$�|ú�ð\òhñ� ø öyñ-òuò���ù�ð � þ ù þ ��ñ � þ ��ñ&�|ñ�ü�ñ�ð þ ù_�eû�öuö�û�÷ � �]ù�ö>ñ�ûHó)� ��ûHð���öuñ þyý öyð�ò��Æôw�hñó�û�ð��|ð\ó-öyñ�ü�ñ�ð þ ûR���%�-ñ �2K!��G ý ð���ñ�ö ��K � �� � � �=��K��� � +8�)��=� K B �� �Êû�ð��Rù�ÿ þ ûR��ð

�B � 17@H) � , � 37� K � B � � M � - & B �B� � B � 17@4) � , B 3

� �6?6�

û�ð��

�B � 1I@ � ) � , ��,/- & 3 � K � B � � M � - & � B �H� � JLK � 3 c % & � % M!NHO?P

O?SLT7O J K ��� / �(4 # ) � 3 c 3�� � M!NHO?P�- & �$�O?SLT7O � 1 � ) � 1 , � � ) � 3 c 303 - & � � ��� / �(4 # ) � 3 c 3 � ,/- & ���U3

� ���I�

��B

Page 32: Strengthening Invariants for Efficient Computation * Yanhong A. Liua

kJù�ü ø�ý\þ ��ð�ú���2K!��G ��K B��� ���]öuù�ü òyó�ö�û þ ó)� þ û�=Hñ-ò�ñ� ø ù�ð\ñ-ð þ �|ûR� þ �|ü�ñ�ô¢ÿ ý\þ ó�ù�ü ø\ý\þ ��ð�ú��2K!��G � ��K���� � -� � þ û�=Hñ-òù�ð��È÷ � � � � þ �|ü�ñR�ONÎù þ ñ þ �Æû þ �2K � GO��K���� � ����2K ��G ��K���� �<� � �û�ð��7ô ��� ��2K!��G ��K��� � � -� ô þ ��ñ�ð ��2K � GO��K _B��� � � ��2K!��G � ��K��� � -� �u� %ò$�|ð�ú ��2K!��G � þ ù�]ù�öyü û�ð\ñ�� ��@K!��G�ô��hñ,ù�ÿ þ ûR��ð

B � 17@4) � , � 37� �B � 1I@4) � , � 3� �$��B � 17@H) � , � 37� J K � % #& � % M-NHO$P K � B � � M � - & B �4� �

O$SUT/O SLO+M - & � �B � 1I@H) � � c , � 3 J P �B � 17@ � ) � � c , � ,/- & 3� ��� �

����ñ�û ý ���%���zû�ö�÷U��ð��]ù�öuüÑû þ �|ù�ð ý òyñ�� �\ñ-öyñ �|ò4ñ-òyòuñ-ð þ �|ûR�%�È÷�ûoüÑû ø û�ð��y�|ò ý òuñ&��ñu� þ ñ�ð�ò��Èõ�ñ&�È÷�|ð ��ð�� þ ñJ���L�4ñ�öyñ-ð\ó&�|ð\ú[ùR��òyñ þ ñu� ø öuñ-òyò$�|ù�ð\ò �@���� �Hî þ �|ò �|ð þ ñ�öyñ-ò þ ��ð�ú þ ù�ð�ù þ ��ó-ñ þ �Æû þ ü�ù�ò þø öyñ�õ!�|ù ý ò�ü�ñ þ ��ù!��òO�Æû�õ�ñ ý òyñ�� û�öuö�û�÷Mòû�ò þ ��ñ�ù�ð��È÷:�Æû þ ûò þ ö ý ó þyý öyñ�òO�]ù�ö�ó�ûHó)���|ð�ú\ôñR� ú��Èô � BDXô�BDRXôGIJV�TôwûHð��#ù_� þ ñ-ð ñ�ð���ñ&� ý�ø ý ò���ð�ú ûHòu÷Mü øXþ ù þ �|ó�û_�%��÷ ü�ù�öyñ�ò ø û�ó�ñ þ �Æû�ðð�ñ-ó�ñ-òuò�û�ö�÷� 1 ñ ý òuñ�û�öuö�û�÷Mò�ù�ð��È÷*����ñ-ð ð�ñ�ó-ñ�òyò�ûHöu÷�ô�û�ð�� �hñ��]ù ý ð�� þ ��û þ ô��]ù�ö�ü�ù�ò þø öyù�ÿ��|ñ�ü�ò�ôÆû�öyöyû�÷XòÎû�öuñ�ð�ù þ ð�ñ�ñ&��ñ�� �@JMB<�B�

� � � � -D�:&�( �� �� � ����-.�?�%-D-<8 ���,-��<(� �"q+

� û�ðc÷��|ü�û�ú�ñ ø öuùXó�ñ-òuò��|ð\ú ø öuù�ÿ��|ñ�ü�òoó�ù�ü ø\ý\þ ñy�|ð��]ù�öyü�û þ ��ù�ðÉû�ÿ�ù ý\þ �|ùMó�ûR�eð\ñ&�|úR�Mÿ�ù�ö3���ùMù���òJùR��ù�ÿ��uñ�ó þ ò�ôÆò ý ó)�Rû�ò ø ���Xñ&��ò-ôXöyù<�oò-ôÆûHð���öyñ�ú�|ù�ð\ò ��FI?XôAFIJXôAFICXôAF6F��B���Æù�öhñu�\û�ü ø �|ñHôû�ð ûR�|ú�ù�ö�� þ ��ü þ ùRÿ�� ý ö�û ø ��ó þ�ý öyñ2ó-ù�ü ø�ý\þ ñ-ò þ ��ñ2ò ý ü!ùR�ÊûÉò: ý ûHöyñ�û�öyñ-û\�]ù�ö�ñ�õ�ñ-ö�÷ø ���Xñ�� � � ý ó)� ø öyù�ú�ö�û�ü�ò�û�öyñ2ùR� þ ñ-ð ñ�û�ò$�%�È÷ �oö�� þyþ ñ�ð ý ò��|ð\ú ��ùXù ø ò�û�ð��<ûHöyö�û�÷Mò-ô�öyû þ ��ñ�öþ �ÆûHð¿öuñ-ó ý öyò��Èõ�ñ � ý ð�ó þ �|ù�ð�ò&�

�Lù�ù ø\þ ��ü����-ñ þ ��ñ�òyñ ø öuù�ú�ö�ûHü�ò ý ò���ð�ú��|ð�ó�öyñ�ü�ñ�ð þ ûR�%����û þ �|ù�ð4ô.�Jñ ����ñ-ð þ ���s÷ û�ú�ú�öuñ-úcû þ ñó-ù�ü ø�ý\þ û þ ��ù�ð�ò�ù�ð�ûHöyö�û�÷Mò ø ñ-öE�]ù�öyü�ñ&��ÿ�÷��|ùMù ø òhû�ò�� ý ð�ó þ �|ù�ð\"Lôw�%��ñ�ð þ ���s÷ ý\ø �Æû þ ñ-ò þ ù�|ùMù ø õ�ûHö��zûHÿ��|ñ�òLûHð���û�öuö�û�÷�ò ý ÿ�òyó�ö�� øXþ ò�û�ò}ù ø ñ-öyû þ ��ù�ðO+ôHû�ð�� ��ð�ó-öuñ-ü�ñ-ð þ û_�%�%��ñ9" ý ð��\ñ-ö+ �@J�H�� �|ð�ó�öyñ-ü�ñ-ð þ ûR�%����û þ �|ù�ð\�|ò%öyñ�� ý ó-ñ�� þ ù�òuù��õ!��ð�ú�ó�ù�ð�ò þ ö�û_�|ð þ ò[ù�ð �|ùMù ø õ�ûHö��zûHÿ��|ñ�òû�ð��¿û�öyöyû�÷�ò ý ÿ�òyó�ö�� øXþ ò-ô��]ù�ö7�����|ó)� �hñ ý òyñq/[ü�ñ�úcûK��6R��B�

�Lù �|ð�ó�öyñ�ûHòyñ ��ð�ó-öuñ-ü�ñ-ð þ ûR��� þ ÷�ôk��ð þ ñ-öuü�ñ����zû þ ñ�öyñ-ò ý � þ òû�ð��<û+ò ø ñ-ó��zûR� =!��ð��<ùR�Îû ý ���%����zû�ö�÷ ��ð��]ù�öyü�û þ �|ù�ð �]ù�ö,ûHú�ú�öyñ�úcû þ ñ�ûHöyö�û�÷�ó�ù�ü ø�ý\þ û þ �|ù�ð�ò�û�öyñ�ûR��òyùRó�û�ó)�\ñ&�<ûHð�� ý òyñ&�����ñ-ðéð�ñ-ñ���ñ&� �@J�H��B� ����ñÑû ý ���%���zû�ö�÷ ��ð��]ù�öyü�û þ �|ù�ð þ ��ñ-öuñ�ó�ù�öyöuñ-ò ø ù�ð��\ò þ ù �$��ð þ ñ-öuü�ñ����zû þ ñ�öyñ�ò ý � þ ò � þ �Æû þ ûHöyñ�öyñu��û�òyòuùXó��zû þ ñ&�¿ÿÆû�òyñ��+ù�ð+û�òyòuùXó��zû þ ��õ!� þ ÷ÑùR��ù ø ñ�ö�û þ �|ù�ð�ò����Æù�öñu�\û�ü ø �|ñHô�ú�Èõ�ñ-ð,û�ð�û�öuö�û�÷ �]��� þ � K c öyù<�oò}û�ð�� K �}ó-ùR� ý ü�ð�ò-ô þ ��ñ�öuùG�7��ð�ñ&��ú��ÿOù�ö���ùMù��!�ò ý ü�ü�û þ ��ù�ð ø öyù�ÿ��|ñ-ü ó�ù�ü ø�ý\þ ñ�ò-ô>�]ù�ö�ñ�û�ó)�Ñöyù<� � H � � K c �5F �rô þ ��ñ�ò ý ü ùR� þ ��ñF ��ÿc÷>�(K+�wöyñ-ó þ û�ð\ú�|ñ%ó-ù�ü ø ö���ò���ð�ú,öuù<�oò� þ ��öyù ý ú� F � B������ñU�]ùR�%�|ù<����ð�ú,ò þ öyûR�|ú� þ �

�I?

Page 33: Strengthening Invariants for Efficient Computation * Yanhong A. Liua

�]ù�ö$�Jû�ö$� ø öuù�ú�öyû�ü ó�ù�ü ø\ý\þ ñ�ò þ ���|ò���ð � ��K c K �'F � þ �|ü�ñR�

K � / � � M � * � � � / �B� � !K�� B � � M � � c

K � ,Z� � M � R � c � / �B� � � / �$3 1 / 3 B ,�, �

� �6J6�

%ò$�|ð�ú þ ��ñÊü�ñ þ �\ù��,��ðK�AJ�H��Tô �Jñwó-û�ó)��ñoû[ò ø ñ�ó&�zû_��=w�|ð��ù_�4û ý ���%�%�|û�öu÷ ��ð��]ù�öuüÑû þ �|ù�ð þ ��û þó-ù�öuöyñ�ò ø ù�ð���ò þ ù þ ��ñU��ð�ð�ñ�öyü�ù�ò þ X�ßÙÞ)� (%�W��ùXù ø ôR�����|ó)��ó-ù�ü ø�ý\þ ñ-ò þ ��ñÎò ý ü ùR�7öyù<� �

ùR�Óû�öyöyû¢÷ �Ùô�û�ð����|ð�ó�öyñ-ü�ñ-ð þ ûR�%���-ñ þ ��ñ X�ßÙÞ&� �w�n�|ùMù ø ��� þ �Éöyñ-ò ø ñ�ó þÎþ ù � � B�ùR� þ ��ñX�ßÙÞ&� z�W�|ùMù ø ôM÷!�|ñ&�����|ð\ú

� �4� � !K � B � � M � � c � * B �H� � !K � , � � M � R � c �+* B �B� � �+* B �O3 1 B , , � !

� �4� � � �*3 � * B � !K � / � � c M � * � � �-* / 3 � � c �H� � !K � , � � M � R � c �+* / 3 � � c �4� � �-* / 3 � � c �O3 1 / 3 � � c ,�, � !

� / �H� � � / � c � � �-* / � c �O35�-* / 3 � � c �

� ��I�

%ò$�|ð�ú þ ��ñ �%��ñ-û�ò��|ð þ ����ò ø û ø ñ�ö-ô>�hñ�ó�ûHð ����òyó-ù¢õ�ñ-ö þ ��ñ%û�ÿOù¢õ�ñ[û ý �����%�zûHöu÷O��ð��]ù�öuüÑû þ �|ù�ðÿc÷*���|öuñ-ó þ ��÷���ð�ó-öuñ-ü�ñ-ð þ û_�%�%���|ð�ú þ ��ñmX�ßÙÞ� �w�n�|ùMù ø ��� þ � öuñ-ò ø ñ�ó þ�þ ù � � B�ùR� þ ��ñX�ßÙÞ.� K�n�|ùMù ø ��� þ ��ù ý\þ ó-û�ó)����ð�ú þ ��ñ-ü ò ø ñ�ó&�|ûR�%�È÷ ��ð þ ��ñ*�Æöyò þ¿ø �zû�ó�ñR� /[ÿ�òyñ�öuõ�ñ þ ��û þó-ù�ü ø�ý\þ �|ð�ú þ ��ñjX�ßÙÞR� �w�n�|ùMù ø �]ù�ö � � �B2öuñ< ý �|öuñ-ò�ûR�����|ð�úÉñ&��ñ-ü�ñ-ð þ ò ��ð�öyù<� F B�û�ð��Éò ý ÿ þ öyû�ó þ �|ð�ú2ñ��|ñ-ü�ñ-ð þ ò��|ð�öyù<� þ ���|òwñ� ø ù�òuñ-ò þ ��ñ�òyñ�öyù<�oòÎû�òoû ý �����%�zûHöu÷�|ð��]ù�öyü�û þ ��ù�ð.�k�����|ò2û ø\ø öyùcûHó)� ��òü�ù�öuñ�ú�ñ-ð\ñ-ö�û_�Tô�ò$�|ð�ó�ñ�ô>ñ�õ�ñ-ð �����JñRñu�Xó)�Æû�ð\ú�ñ þ ��ñX�ßÙÞ�� �w�n�|ùMù ø û�ð��0X�ßÙÞ�� (%�W�|ùMù ø �|ð_�[�IJ6� þ ù ó-ù�ü ø�ý\þ ñ þ ��ñRò�û�ü�ñ þ ����ð�ú�ô þ ���|ò2ü�ñ þ ��ù!�÷!�|ñ&����ò þ ��ñ�ò�û�ü�ñ�ûR����� þ �|ù�ð�ò�û�ð�� ò ý ÿ þ öyû�ó þ �|ù�ð\ò&� �Îù<�Jñ�õ�ñ-ö�ô������hñ ý òyñ þ �\ñ�ü�ñ þ ��ù!��|ð �@J�H��Aô ý ò$�|ð�ú þ ��ñò ø ñ-ó��zûR� =!��ð���ùR�hû ý �����%�zûHöu÷\�|ð��]ù�öyü�û þ ��ù�ð ��ð þ �\ñ,�|ð�ð�ñ�öyü�ù�ò þ X�ßÙÞ_��w�W��ùXù ø ÷���ñ&����òoð�ù���ü ø öyù¢õ�ñ�ü�ñ�ð þ �21éñ�ÿ�ñ&���|ñ�õ�ñ þ �Æû þoþ ��ñ�ÿÆû�ò���ó �%��ñ-û�ò��]ù�ö��%��ñ�ð þ ���s÷!��ð�úú�ñ-ð\ñ-ö�û_�>û ý ���%���zû�ö�÷ ��ð��]ù�öyü�û þ �|ù�ð �|ð þ ����ò ø û ø ñ-ö�ûR��òyùRû ø�ø �È÷ þ ù����|òyó�ù¢õ�ñ-ö$�|ð�úRú�ñ�ð�ñ-öyûR�û ý ���%���zû�ö�÷ �|ð��]ù�öyü�û þ ��ù�ð��]ù�ö�û�ú�ú�öyñ-ú�û þ ñJû�öyöyû¢÷,ó-ù�ü ø�ýXþ û þ �|ù�ð�ò���o[ñ þ ûR���|ñ���û�ðÆû_��÷Mòyñ�ò>û�ð��þ öyû�ð�ò$�]ù�öyü�û þ ��ù�ð�òwû�öuñ�ÿOñ��|ð�ú,��ñ�õ�ñ��|ù ø ñ&�.�

�6�

Page 34: Strengthening Invariants for Efficient Computation * Yanhong A. Liua

� � æMì]ê\Ý¢æMà ��ß�Þ�� êÆÜ}à â�ß�ÜLâcìVá W-ãVß�Ü

1éù�ö:= öuñ&�zû þ ñ&� þ ù:ù ý öÉû�ðÆûR�È÷Xò$�|òRû�ð�� þ ö�û�ð�òE�]ù�öyü�û þ �|ù�ð þ ñ-ó)��ð��� ý ñ-ò �Æû�òÉÿOñ�ñ-ð ���|ò3�ó ý òuòyñ�� þ ��öyù ý ú��ù ýXþ�þ ��ñ ø öuñ-òyñ�ð þ û þ �|ù�ð.� �%ñ�öyñHô9�hñ þ û�=�ñ�û ó&�|ù�òyñ-ö��|ùMù6= û þ öyñ��zû þ ñ&��Jù�ö:=<ù�ð'���|òyó�ù¢õ�ñ-ö$�|ð�ú û ý �����%�|û�öu÷:�|ð��]ù�öyü�û þ ��ù�ð��]ù�öO�|ð�ó�öyñ�ü�ñ�ð þ ûR�Jó�ù�ü ø�ý\þ û þ �|ù�ð û�ð��ù�ðRò þ öuñ-ð�ú þ ��ñ�ð��|ð�úe��ð�õHû�ö$�zû�ð þ ò7�]ù�öwñ�/�ó&��ñ-ð þ ó-ù�ü ø�ý\þ û þ ��ù�ð �|ð�ú�ñ�ð�ñ-öyûR� �

� �%$l ��5&9��$ ��)� +�pV+�$l �"q+%û�ð�� �, :&9��$[��)� q+�pD+�$7 �"q+Îù_� þ ñ-ð ý òyñO��ð�ó-öuñ-ü�ñ-ð þ ûR�ÓûR�|ú�ù�ö�� þ ��ü�ò þ ùû�ó)����ñ�õ�ñ �Vû�ò þ öyñ�ò ø ù�ð�òyñ þ �|ü�ñY�@JXôGXô�BDHXôE?6?MôG�6�XôA�2B�ôECMB�ôEC6?V� � � �|ð\ó-ñ�ñu� ø ���|ó�� þ ��ð�ó-öuñ-ü�ñ-ð þ û_�ûR�|ú�ù�ö�� þ ��ü�ò�û�öyñ���û�ö�� þ ù �oö�� þ ñ�û�ð��Éû ø�ø öyù ø ö��|û þ ñ�û ý ���%���zû�ö�÷e�|ð��]ù�öuüÑû þ �|ù�ð���ò7�Æû�ö$� þ ù���|òuó-ù¢õ�ñ�ö-ô þ ��ñ%ú�ñ-ð�ñ�ö�ûR�Oû ø�ø öyùcû�ó)� �|ð þ ���|ò ø û ø ñ-ö ø öyù¢õ!�%�\ñ-òwû�òu÷Mò þ ñ-ü�û þ ��ó�ü�ñ þ �\ù��L�]ù�ö��ñ�õ�ñ&��ù ø �|ð\ú ø û�ö þ ��ó ý �|û�ö �|ð�ó�öyñ-ü�ñ-ð þ ûR�Jû_�|ú�ù�ö$� þ ��ü�ò�� �Æù�ö�ñu�\û�ü ø �|ñHô �]ù�ö þ ��ñ �X÷Xð�û�ü���ó�|ð�ó�öyñ�ü�ñ�ð þ ûR�eû þuþ ö$�|ÿ ý\þ ñ�ñ�õHûR� ý û þ ��ù�ðÉûR��ú�ù�ö�� þ ��ü ��ð��@C����Aô þ ��ñ�ó)�Æû�ö�ûHó þ ñ�ö���ò þ ��ó�ú�ö�û ø ����òû =w�|ð���ùR�eû ý ���%���zû�ö�÷O�|ð��]ù�öyü�û þ ��ù�ð þ �Æû þ �Jù ý �%�Ñÿ�ñ ���|òuó-ù¢õ�ñ�öyñ&� �]ùR�%�|ù<����ð�ú þ ��ñÎú�ñ�ð�ñ-öyûR�ø ö���ð�ó&� ø �|ñ�ò ý ð���ñ�ö��È÷���ð�úÎù ý ö}û ø�ø öuùcû�ó)�.� �Æù�öeò þ û þ �|ó��|ð�ó�öyñ�ü�ñ�ð þ ûR��û þuþ ö���ÿ ý\þ ñ�ñ�õHûR� ý û þ ��ù�ðûR�|ú�ù�ö�� þ ��ü�ò ��� ?MôA�I�.�TôG����ñ-öuñwð�ù�û ý �����%�zûHöu÷ �|ð��]ù�öyü�û þ ��ù�ð �|ò�ð\ñ-ñ&�\ñ&�7ô þ ��ñwû ø\ø öyùcûHó)�ó�û�ðó�û�ó)�\ñ ��ð þ ñ-öuü�ñ����zû þ ñ[öyñ�ò ý � þ òÎû�ð��Rü�ûR�|ð þ û_�|ð þ ��ñ-ü û ý\þ ù�ü�û þ �|ó�û_�%��÷�@J����B�

� $ �, �����$=� �, :8�`%��$ �'-.� ���\ôLBVCXôGC�F��9�|ò�û þ öyûR��� þ �|ù�ð�ûR�>ó-ù�ü ø �%��ñ-ö�ù ø\þ �|üL�%�-û þ ��ù�ð þ ñ-ó)�\ð��� ý ñþ �Æû þ ûR�|ü�òû þ ó-ù�ü ø�ý\þ �|ð�úñ-û�ó)� � þ ñ�ö�û þ �|ù�ð��|ð�ó�öyñ�ü�ñ�ð þ ûR�%�È÷ ÿÆû�òyñ��:ù�ð þ ��ñ�öyñ�ò ý � þ ùR�þ ��ñ ø öyñ�õ���ù ý ò�� þ ñ�ö�û þ �|ù�ð����Jû�ò���ó�ûR����÷�ô>û:���Xñ&� òyñ þ ùR��ò þ öyñ�ð�ú þ ����öuñ&� ý ó þ ��ù�ð ö ý ��ñ-òL�]ù�öø ö���ü�� þ �Èõ�ñ�ù ø ñ-ö�û þ ù�öuò��%��=�ñ þ �|ü�ñ-ò%û�ð�� ø � ý ò�û�öuñ ý òuñ&�.� / ý ö[ü�ñ þ ��ù!�ó-û�ð�ÿOñ�õ!�|ñ��hñ&�û�ò�û ø ö��|ð\ó&� ø �|ñ&�2ò þ öyñ�ð�ú þ �Ñöyñ�� ý ó þ �|ù�ð þ ñ-ó)��ð��� ý ñ%ð\ù þ �%�|üL� þ ñ&� þ ù�û����Xñ&��òyñ þ ùR�4ö ý ��ñ-ò�f� þ ó�û�ðÉÿ�ñ ý òyñ�� þ ù�öyñ�� ý ó�ñ�ò þ öuñ-ð�ú þ �ÉùR�}ó-ù�ü ø�ý\þ û þ ��ù�ð�ò9���\ñ-öyñ�ð\ùú��õ�ñ-ðÉö ý ��ñ-òwû ø�ø ��÷û�ð��7ôZ� ý ö þ ��ñ�öyü�ù�öyñHô þ ù ��ñ�ö��Èõ�ñ�ù�ö � ý ò þ ���s÷Éò ý ó)��ö ý �|ñ�ò ����ñ�ð�ð�ñ-ó�ñ-òuò�û�ö�÷�ô7ûHò�ò��\ùG�oð �|ðþ ��ñ ��ð þ ñ-ú�ñ�öoò: ý û�öuñ�öuùXù þ ñu�\û�ü ø �|ñ_�

� ���%��$l j8�� � ��, ���������� ���B�QM����Óú�ñ�ð�ñ-öyûR�%���-ñ�ò[ò þ öyñ-ð\ú þ ��öuñ&� ý ó þ ��ù�ð þ ù�òuñ þ � þ ��ñ�ù�öyñ þ ��ó�ñu�w�ø öyñ�òyò$�|ù�ð�ò �]ù�ö�ò�÷Xò þ ñ�üÑû þ �|ó ø öuù�ú�ö�ûHü ��ñ�õ�ñ&��ù ø ü�ñ-ð þ �V�ÊûHò��|ó-ûR�%�È÷�ôOö ý ��ñ-ò�û�öyñ2ü�û�ð ý ûR����÷��ñ�õ�ñ&��ù ø ñ����]ù�ö����L�4ñ�öyñ-ð þ �zû þ �|ð�ú�òuñ þ ñ� ø öyñ-òuò���ù�ð�ò&���Æù�ö%ó-ù�ð þ �|ð ý ù ý ò�ñ� ø öyñ-òuò���ù�ð�ò-ôeù ý öü�ñ þ ��ù!� ó-û�ð �\ñ-ö��Èõ�ñ¿ò ý ó)� ö ý �|ñ�ò�����öyñ�ó þ �È÷ ý ò���ð�ú ø öyù ø ñ-ö þ ��ñ-òÑù_� ø ö$�|üL� þ �Èõ�ñ�òuñ þ ù ø �ñ-öyû þ ��ù�ð�ò&�V�Æù�ö ����òyó-ù�ð þ �|ð ý ù ý ò�òyñ þ ñ� ø öyñ-òuò���ù�ð�ò-ôÓû ý ���%���zû�ö�÷ñ� ø öyñ-òuò���ù�ð�ò�ð\ñ-ñ&� þ ù¿ÿ�ñ���|òuó-ù¢õ�ñ�öyñ���û�ð��Rö ý ��ñ-ò7�]ù�öoü�ûR�|ð þ ûR�|ð���ð�ú þ ��ñ-ü �\ñ-ö��Èõ�ñ��.���Êû�òuñ&�+ù�ð¿ó-û�öyñu� ý �eò þyý �\÷ÉùR�þ ��ñ �Æð�� þ ñ �����Oñ-öyñ�ð�ó&��ð�ú¼ö ý ��ñ-ò������Aô �JñRÿ�ñ&�%��ñ�õ�ñ þ �Æû þ ù ý ö�ÿ�û�ò���ó �%��ñ-û�òO�]ù�öe���|òuó-ù¢õ>�ñ-ö$�|ð�ú+û ý ���%���zû�ö�÷��|ð��]ù�öyü�û þ ��ù�ð û ø�ø �È÷ þ ù ����òyó�ùPõ�ñ-ö$�|ð�ú�û ý ���%�%�|û�öu÷+òyñ þ ñu� ø öuñ-òyò$�|ù�ð\òû�ò�Jñ��%�Aô�û�ð��éù�ð�ó-ñL���|òuó-ù¢õ�ñ�öyñ��7ôLù ý ö�ü�ñ þ ��ù!� ó-û�ð<û_�|òyùRÿ�ñ ý òyñ&� þ ù���ñ-ö$��õ�ñ�ö ý �|ñ-ò þ ��û þüÑû_�|ð þ ûR��ð þ ��ñ-òuñoñu� ø öyñ�òyò$�|ù�ð�ò���î�ðú�ñ�ð�ñ-öyûR�TôHò ý ó)�2ö ý �|ñ-ò�û ø�ø �È÷,ù�ð���÷ þ ù�õ�ñ-ö�÷w�n���|úR���W��ñ�õ�ñ���zû�ð\ú ý û�ú�ñ�ò��%��=Hñ � -Q��� Dù ý ö�ü�ñ þ ��ù��,û ø�ø �%�|ñ�ò}ûR�|òuù þ ù]��ùG�hñ-ö3�W��ñ�õ�ñ��w�zû�ð�ú ý û�ú�ñ�òk����=Hñ � ��ò øù�ö���û�õHû��

� &����%$'&����%����� &���8 +�$[�, �����$/�% ��%����� (�-D-�� ���%).&����[&��%$�+��Æû�òeÿ�ñ-ñ�ð,û_�\õ�ùMó�û þ ñ&��ÿc÷ o�� �5=�ò þ ö�û\ô� ö$�|ñ�ò-ôÆû�ð��+ù þ ��ñ-öuòq�@?MB�ôA��B�ôA�I?XôGC������]ù�öoûR�|ü�ù�ò þÊþ �Jù���ñ-ó-ûR��ñ�ò[û�òÎû2ò þ ûHð��Æû�ö$�¿ò þ ö�û þ ñ-úH÷�]ù�öy��ñ�õ�ñ&�|ù ø �|ð�ú��|ùMù ø ò��eî�ð<ù�ö$��ñ-ö þ ù ø öyù!� ý ó�ñÑñu/�ó��|ñ�ð þ�ø öyù�ú�ö�û�ü�ò-ô ��ùXù ø ��ð�õHû�ö$�zû�ð þ òð�ñ-ñ�� þ ù�ÿ�ñ[ü�ûR�|ð þ û_�|ð�ñ��Ñÿc÷ þ ��ñ���ñ�ö���õ�ñ&� ø öuù�ú�öyû�ü�ò9�|ð�ûHð �|ð�ó�öyñ-ü�ñ-ð þ ûR���Vû�ò$���|ù�ð.���}ù

���

Page 35: Strengthening Invariants for Efficient Computation * Yanhong A. Liua

üÑû�=�ñhû ��ùXù ø ü�ù�öyñ>ñu/�ó��|ñ�ð þ ô þ ��ñ�ò þ ö�û þ ñ-ú�÷�ùR�\ò þ öyñ-ð\ú þ ��ñ�ð��|ð\ú[û��|ùMù ø �|ðcõHû�ö��|û�ð þ ô¢ùR� þ ñ-ðÿc÷ �|ð þ öuù�� ý ó&��ð�ú �]öyñ�ò���õHû�ö��|û�ÿ���ñ-ò-ô��|ò ø öyù ø ù�òyñ�� �@�I?V� �������|òwó-ù�öyöyñ�ò ø ù�ð���ò þ ù,���|òuó-ù¢õ�ñ�öE��|ð�ú�û ø\ø öyù ø ö��zû þ ñoû ý �����%�zûHöu÷ �|ð��]ù�öuüÑû þ �|ù�ð�û�ð��L��ñ�ö���õ!��ð�ú �|ð�ó�öyñ-ü�ñ-ð þ ûR� ø öyù�ú�ö�û�ü�ò þ ��û þüÑû_�|ð þ ûR��ð�ò ý ó)� �|ð��]ù�öyü�û þ ��ù�ð.� 1éù�ö5=�ù�ð��|ùMù ø �|ðcõHû�ö$�zû�ð þ òwò þ öuñ-òyòuñ&�ü�ñ-ð þ ûR� þ ùMù�|ò9�]ù�öø öyù�ú�ö�û�ü�üL�|ð�ú�ôDö�û þ ��ñ�ö þ �Æû�ð�ü�ñ�ó)�Æû�ð���ó�ûR�ÆûHòyò���ò þ û�ð�ó-ñHôXòuù,ð\ù,ò�÷Xò þ ñ�üÑû þ �|ó ø öuùXó�ñ&� ý öuñ-ò�Jñ�öyñ ø öyù ø ù�òuñ&�.�

� ��8�`%��$ �'-.� &���8 �9 ��� ��5&�(a�LdD&�$ �'-.� �aB6B�ôGJ�R��>ûHöyñ þ �\ñL��ù�ú��ó�ûR�k�]ù ý ð��Æû þ �|ù�ð�òU�]ù�ö�öuñ-ó ý öyò��Èõ�ñó�ûR���|òwûHð�� � þ ñ�ö�û þ ��õ�ñU�|ùMù ø ò7��ð��\ñ&� ý ó þ �Èõ�ñ ø öyù�ú�ö�û�ü òu÷Mð þ ��ñ�ò��|òq�@J6C.��û�ð��Ró�ù�ð�ò þ ö ý ó þ �Èõ�ñ�|ù�úR�|ó-ò � BDF.� �����\ñ-òyñ,ó-ù�ö ø ù�ö�û,�Æû�õ�ñ��]ù�ö þ ��ñ�ü�ù�ò þoø û�ö þ ��ú�ð�ù�öuñ&� þ ��ñ�ñ�/�ó&��ñ-ð�ó�÷ÉùR� þ ��ñø öyù�ú�ö�û�ü�ò �\ñ-ö��Èõ�ñ��7ô�û�ð�� þ ��ñ�öyñ�ò ý � þ ��ð�ú ø öuù�ú�ö�ûHü�ò �uû�öyñ�ù_� þ ñ-ð �Jû�ð þ ù�ð���÷:�ÊûHò þ ñu� ý �ùR� þ ��ü�ñÑû�ð�� ò ø ûHó-ñ �i�@J�F��B�Óî�ð ó-ù�ð þ ö�û�ò þ ô þ ��ñRû ø�ø öuùcû�ó)� �|ð þ ���|ò ø û ø ñ�ö,�|ò ø û�ö þ �|ó ý ��zû�ö$��÷2ó�ù�ð�ó-ñ�öyð�ñ�� ��� þ � þ ��ñ[ñu/�ó&�|ñ�ð�ó�÷�ùR� þ ��ñ���ñ�ö���õ�ñ&� ø öuù�ú�öyû�ü�ò�� � ù�öyñ�ùPõ�ñ-ö�ô��Jñ�ó�û�ðòyñ�ñ þ �Æû þ �|ð�� ý ó þ �|ù�ð4ôk����ñ þ ��ñ�ö�ó-ù ý öyòuñu��ù_� ��õHûR� ý ñ �|ð�� ý ó þ �|ù�ð]�������Tô}ò þ ö ý ó þ�ý öyûR�J��ð�� ý ó�þ ��ù�ð_� B6B�ô�BD�.�Tô�ù�öO�hñ&����� �]ù ý ð���ñ�� ��ð�� ý ó þ ��ù�ð_� B6B�ôEJ�R.�Tô�ñ�ðÆû�ÿ���ñ-òL��ñ-ö$��õ�ñ&� ø öyù�ú�öyû�ü�ò þ ùý òyñöuñ-ò ý � þ ò[ùR� ø öuñ�õ!�|ù ý ò�� þ ñ-ö�û þ �|ù�ð�ò]��ðñ�ûHó)�:� þ ñ�ö�û þ �|ù�ð7ôÙûHð���ú�ñ-ð\ñ-ö�û_�%�%�-û þ ��ù�ð�� B6B�ôEJ�R.�ñ-ðÆûHÿ��|ñ�òk�\ñ-ö��Èõ�ñ�� ø öuù�ú�öyû�ü�ò þ ù ý òyñ�û ø\ø öyù ø ö��zû þ ñ�û ý �����%�|û�öu÷ �|ð��]ù�öyü�û þ ��ù�ð�ÿc÷�ò þ öuñ-ð�ú þ ���ñ-ð���ð�ú ��ð�� ý ó þ ��ù�ð��c÷ ø ù þ ��ñ�òyñ�ò-ô�� ý ò þ ����=�ñ2ò þ öyñ�ð�ú þ ��ñ-ð���ð�ú ��ùXù ø �|ðcõHû�ö$�zû�ð þ ò�� ����ñ�û ø �ø öyù�û�ó)�'�|ð þ ���|ò ø û ø ñ-ö�ü�û�÷ ÿ�ñ ý òuñ&�'�]ù�ö,òu÷Mò þ ñ-ü�û þ ��ó�ûR����÷ ó-ù�ð\ò þ ö ý ó þ �|ð�ú���ð�� ý ó þ ��ù�ðò þ ñ ø òq��������û�ð��Rò þ öyñ�ð�ú þ �\ñ-ð���ð�ú���ð�� ý ó þ ��ù�ð �c÷ ø ù þ ��ñ-òuñ-ò&�

����ñ ���,-."#-.$ �'-.� &���8 &9�!��`9" `M(L&�$[�'-.��+�$[�5&�$7 ���' !++û�öuñ ø öuù ø ù�òyñ&� ÿc÷ �J�|ö$� �@F\ôAR���û�òú�ñ-ð\ñ-ö�û_�Lü�ñ þ ��ù��\ò]�]ù�ö%û�ó)����ñ�õ!�|ð�ú�ñ�/�ó&��ñ-ð þ[þ ö�û�ð�òE�]ù�öyü�ñ&� ø öyù�ú�ö�û�ü�ò&� h öyù�ü�ù þ �|ù�ðRû þ �þ ñ�ü ø\þ ò þ ù\��ñ-ö$��õ�ñÑû ø öuù�ú�ö�ûHü þ �Æû þ ��ñ��Æð\ñ-ò," � D-J�KTL9� � ��(��:���|ð þ ñ-öyü�ò�ùR��"��z(��rô�û�ð��û�ó-ó ý ü ý �|û þ ��ù�ðú�ñ�ð�ñ-öyûR�%���-ñ�ò�û ��ñ���ð�� þ �|ù�ð�ÿc÷ ��ð�ó&� ý ����ð�ú�û�ð�ñ� þ ö�ûÉû�öuú ý ü�ñ-ð þ ����� ý ò-ôø öyù�ü�ù þ �|ù�ð�ó-û�ðRÿOñ�öyñ�úcû�ö$��ñ&�¿û�ò���ñ-ö$��õ!�|ð\úL��ð�ó-öuñ-ü�ñ-ð þ û_� ø öyù�ú�ö�û�ü�ò-ôÆûHð��+ûHó-ó ý ü ý �zûG�þ ��ù�ð¼û�ò�����ñ-ð þ ���s÷!�|ð�ú�û ø�ø öyù ø ö��|û þ ñO��ð þ ñ-öuü�ñ����zû þ ñ�öuñ-ò ý � þ ò�ù�ö�û ý �����%�zûHöu÷��|ð��]ù�öyü�û þ ��ù�ð.��J�|ö$� �%��� ý ò þ öyû þ ñ�ò þ ��ñ-òuñ�ò þ öyû þ ñ�ú�|ñ�ò ��� þ � þ �hù ñ�\û�ü ø �|ñ-ò�� �ÎùG�hñ�õ�ñ-ö�ô�ð�ù�òu÷Mò þ ñ-ü�û þ ��óò þ ñ ø ò �hñ-öuñú�Èõ�ñ-ð �|ð ��F��B�9�%ò ��ñ�ü�ù�ð�ò þ ö�û þ ñ&� ��� þ � þ ��ñ ø û þ � òuñ< ý ñ�ð�ó-ñ ø öuù�ÿ��|ñ�ü¿ôù ý ö�û ø�ø öyùcû�ó)� ó�ûHð ÿ�ñöyñ�úcû�ö��\ñ&�<ûHò�ûRò�÷Xò þ ñ�üÑû þ �|ó,�]ù�öuü ý �zû þ �|ù�ð+ùR� þ ��ñ ø öuù�ü�ù þ �|ù�ðû�ð�� û�ó�ó ý ü ý �zû þ �|ù�ð<ò þ öyû þ ñ�ú�|ñ�ò&�Óî þ �\ñ&� ø ò2û¢õ�ù�%� þ ��ñ =w�|ð�� ùR�Îñ�öyöyù�öyòöyñ ø ù�ö þ ñ�� û�ð��ó-ù�öuöyñ�ó þ ñ�� ��ð���R��B�

/ þ ��ñ�ö��hù�ö:= ù�ð þ ö�ûHð�ò$�]ù�öuüÑû þ �|ù�ðÆûR� ø öuù�ú�öyû�ü�üL�|ð\ú �]ù�ö\�|ü ø öyù¢õ!�|ð�ú ø öuù�ú�ö�ûHü ñ�/,�ó&��ñ-ð�ó�÷�ô��|ð\ó&� ý ���|ð�ú þ ��ñ# 546$l ���+��'-.� þ ñ-ó)��ð��� ý ñy�|ð �A?�H��Tô þ ��ñ þ ö�û�ð�òE�]ù�öyü�û þ �|ù�ð�ùR�}öuñ-ó ý öE�ò��Èõ�ñU� ý ð\ó þ ��ù�ðÆûR� ø öuù�ú�ö�ûHü�ò9�|ð þ ��ñ kJî h:ø öyù �uñ�ó þ �@CXôLBV?XôAIJ.�Aô\û�ð�� þ ��ñU��ð�� þ ñ������Oñ-öuñ-ð�ó��|ð�úoùR��� ý ð�ó þ �|ù�ðÆûR� ø öuù�ú�öyû�ü�ò ��ð þ ��ñ>òyñ�ü��q�³û ý\þ ù�ü�û þ ��ó ø öuù�ú�ö�ûHü ��ñ�õ�ñ&��ù ø ü�ñ-ð þ ò�÷Mò þ ñ�ü� î7o � �@C6C.�AôÆó�ûHð¿û_�|òyù2ÿ�ñ�� ý ö þ ��ñ-öÎû ý\þ ù�ü�û þ ñ��\��� þ �Éù ý öwò�÷Mò þ ñ�üÑû þ �|ó�û ø\ø öyùcûHó)�.�

î�ð<ó-ù�ð�ó&� ý ò���ù�ð7ôk�|ð�ó�öyñ-ü�ñ-ð þ ûR�>ó-ù�ü ø�ý\þ û þ ��ù�ð �ÆûHò ���%�\ñ-ò ø öyñ�û_� û ø�ø ���|ó�û þ �|ù�ð�ò��]ù�ö ��üe�ø öyù¢õ!�|ð\ú þ ��ñ<ñu/�ó&�|ñ�ð�ó�÷ ùR�2ó-ù�ü ø�ýXþ û þ �|ù�ð�ò þ ��öuù ý ú�\ù ý\þ ó�ù�ü ø\ý\þ ��ð�ú�� �����|ò ø û ø ñ�öø öyù ø ù�òuñ-òÑû òu÷Mò þ ñ-ü�û þ �|ó¿û ø�ø öuùcû�ó)� �]ù�ö�ò þ öyñ�ð�ú þ ��ñ-ð���ð�ú ��ðcõ�ûHö��zûHð þ ò2ÿ�÷ ����òyó�ùPõ�ñ-ö$�|ð�úû�ú�ñ-ð�ñ�ö�ûR�Æó��zû�òuò>ùR�7û ý ���%�%�|û�öu÷ �|ð��]ù�öyü�û þ ��ù�ð �]ù�öQ�|ð�ó�öyñ-ü�ñ-ð þ ûR��ó-ù�ü ø�ýXþ û þ �|ù�ð.��î þ �|ò�ðÆû þ �ý ö�û_�%��÷[ó-ù�ü�ÿ��|ð�ñ�� ��� þ ��ü�ñ þ �\ù���ò��]ù�ö}öyñ ý ò���ð�ú þ �\ñ ø öuñ�õ!�|ù ý òÓöyñ�ò ý � þ ûHð��O�|ð þ ñ-öyü�ñ&���zû þ ñ

�IJ

Page 36: Strengthening Invariants for Efficient Computation * Yanhong A. Liua

öyñ�ò ý � þ ò þ ù �]ù�öuü û�ó�ù�ü ø öyñ���ñ-ð�ò$��õ�ñ�û ø�ø öyù�û�ó)���]ù�ö�ñ�/�ó&��ñ-ð þ �|ð\ó-öyñ�ü�ñ�ð þ ûR��ó�ù�ü ø�ý\þ ûG�þ ��ù�ð.�>����ñ%ü�ù!� ý �|û�ö�� þ ÷�ùR� þ ��ñ%û ø�ø öuùcû�ó)� ��ñ þ ò ý ò �|ð þ ñ�ú�ö�û þ ñÎù þ ��ñ�ö þ ñ-ó)��ð��� ý ñ-òJ�|ðÑù ý ö�]ö�û�ü�ñ��hù�ö5=�û�ð��Éöyñ� ý òuñ,ù ý öwó-ù�ü ø ù�ð�ñ-ð þ ò��]ù�öwù þ ��ñ�öoù ø\þ ��ü�����û þ �|ù�ð\ò&�

�U� þ ��ù ý ú�éù ý ö�û ø\ø öyùcûHó)� �|ò ø öuñ-òyñ�ð þ ñ&� ��ð þ ñ�öyü�ò,ù_�oû��Æöuò þ ��ù�ö$��ñ-ö � ý ð�ó þ �|ù�ðÆûR���zû�ð!�ú ý û�ú�ñ�ô þ ��ñ ý ð���ñ-ö$��÷!�|ð\ú ø ö$�|ð�ó�� ø ��ñ-ò[ûHöyñ�ú�ñ-ð�ñ�ö�ûR�Lû�ð��¼û ø\ø ��÷ þ ùÑù þ ��ñ�öU�|û�ð�ú ý ûHú�ñ-ò%û�ò�Jñ��%�B� �Ùù�ö�ñ�\û�ü ø �|ñ�ô þ ��ñÎü�ñ þ ��ù!����û�òhÿ�ñ-ñ�ð ý òuñ&� þ ù ��ü ø öuù¢õ�ñ��|ü ø ñ�ö�û þ ��õ�ñ ø öyù�ú�öyû�ü�ò��� þ �¿ûHöyö�û�÷Mò��]ù�ö þ �\ñy��ùXó-ûR�7ð�ñ��|ú��ÿ�ù�ö��\ùXù!� ø öyù�ÿ��|ñ�ü�ò���ð���üÑûHú�ñ ø öuùXó�ñ-òyò$�|ð�ú �@J�H��B�

� ø öyù þ ù þ ÷ ø ñ�òu÷Mò þ ñ-üRô�kJ� k��U-Q��ô��]ù�ö���ð�ó-öuñ-ü�ñ-ð þ ûR���%�-û þ ��ù�ð �Æû�òÎÿOñ�ñ-ð ý ð���ñ�ö]��ñ�õ�ñ����ù ø ü�ñ-ð þ ��î þ �ÊûHò���öyò þ �\ñ�õ�ñ��|ù ø ñ&��û�ò>û�òuñ-üL���³û ý\þ ù�ü�û þ �|ó þ öyû�ð�ò$�]ù�öyü�û þ ��ù�ð�ò�÷Xò þ ñ�ü ���I.��]ù�ö���ñ-ö$��õ!�|ð\úL��ð�ó-öuñ-ü�ñ-ð þ û_� ø öyù�ú�ö�û�ü�ò þ �Æû þ ñ� ø �|ù� þ öyñ þ�ý öuðRõHûR� ý ñ-ò �@J���B� � ùXù�ð+û_� þ ñ-ö�ôþ öyû�ð�ò$�]ù�öyü�û þ ��ù�ð�òû�ð�� û�ð�ûR��÷Mòyñ�òL�]ù�öó�û�ó)��ñ+û�ð�� ø ö ý ð�ñ �AJ6JMôEJ����Tô0� ý ����÷éû ý\þ ù�üÑû þ ñ&�4ô�Jñ�öyñRûR���\ñ&�.� ��û þ ñ-ö�ù�ð7ô�ûò ý ÿ�òyñ þ ùR� þ ��ñ þ ö�û�ð\ò$�]ù�öuüÑû þ �|ù�ð\òy�]ù�ö�ñu� ø �|ùR� þ ��ð�ú+öuñ þyý öyðõHûR� ý ñ�òJ�hñ-öyñ�ü�ûR��ñ]� ý �%�È÷Ñû ý\þ ù�ü�û þ �|óq�@F6R.�Tô\û�ð�� þ �\ñ�û�ðÆûR�È÷Mò��|ò9�]ù�ö ø ö ý ð���ð�úO�ÊûHò���ö�û�ò3�þ ��ó�ûR����÷e�|ü ø öuùPõ�ñ&� �@J6?.�B��� òyñ ø û�öyû þ ñ�ü�ù�� ý �|ñ �]ù�öÊù ø\þ �|üL�%���|ð�ú,û�ú�ú�öuñ-úcû þ ñ�û�öuö�û�÷�ó�ù�ü,�ø�ý\þ û þ ��ù�ð�ò �@J�H����Jû�ò�ûR���\ñ&�ü�ù�ò þ öyñ�ó-ñ-ð þ ��÷���U��� þ ��ñ-òuñ2û�öyñ �|ü ø �|ñ�ü�ñ�ð þ ñ&� ý ò$�|ð�ú þ ��ñ� ÷Mð þ ��ñ�ò��%��ñ-ö � ñ-ð�ñ�ö�û þ ù�öv�@C6?.�Aôhü�û�=w�|ð\úéñu� þ ñ-ð�ò$��õ�ñ ý òuñùR� � þ òÑòuó-ö$� ø\þ �|ð�ú �|û�ð�ú ý û�ú�ñ�ô� � = ���6H��Aô�û����zû_�|ñ-ó þ ùR� � ó)��ñ�ü�ñ_� kJ� k��U-Q� �Æû�òÿ�ñ-ñ�ð ý òyñ&� �|ð þ ñ�û�ó)����ð�ú¼òyñ�õ�ñ-öyûR�ú�ö�û_� ý û þ ñ%ó�ù ý öyòuñ-òÊù�ðÑöyñ��zû þ ñ&� þ ù ø ��ó-ò����}ù�ÿ�ñ þuþ ñ-ö9�|ð þ ñ�ú�ö�û þ ñÎñu���|ò þ �|ð\úy� ý ð\ó þ ��ù�ðÆûR��� þ �|ñ-ò�|ð þ ��ñwòu÷Mò þ ñ-üRôcû�ð�� þ ù��Vû�ó��%�%� þ û þ ñ��|ü ø �|ñ�ü�ñ�ð þ û þ ��ù�ð�ùR�Z�|ü ø öyù¢õ�ñ-ü�ñ-ð þ ò þ ù þ ��ñ�òyñ�� ý ð�ó�þ ��ù�ðÆûR��� þ ��ñ-ò�ô �hñ�ûHöyñoó ý öuöyñ�ð þ ��÷ ø �|û�ð�ð���ð�ú�ù�ð�û�öuñ&��ñ�ò��|ú�ðÑû�ð��Ñó&��ñ�û�ð ý�ø ùR� þ ��ñÎòu÷Mò þ ñ-ü�������|òoò$��ù ý ���¿û_�|òyù�ûR���|ù<� ý ò þ ù2ñ�ûHò��%�È÷�ûR���¿ð�ñu��ñ� þ ñ-ð�ò$�|ù�ð\ò>�@JMB�ôGJ����B�

� æ X�æ�ÞPæXÜ}â�æ9W

� =��:Ô%Å��%ÅcÔJ«c¶cÒwDcÅ>d>Å��h¶¢¯�Ä�²�¶¢½�µmÒc°¢´�»,DcÅ ��Å��h¹È¹®¸�°¢´ÆÅ v�x¢j]x�nXjzlyi�prjzi�l�k��wx¢t�V��Ê� ^Hd�luqzj|�Df�� ÅÔJ»�»�¬È­�¶P´�À��±r­³¹¾±mº¢Ò�8>±r°¢»�¬®´�·cÒ��°¢­³­rÅ¾Ò =A<N<H�Å

� C��:Ô%Å �%Å�Ôh«c¶cÒ8oÅ>P�±mµ³«�¬sÒH°¢´�» D�Å ��Å �J¹®¹®¸�°¢´ÆÅ bed¢f�g\q��®k�lu��{�[�luq|tXpmq gX�®ky�u{��\k³p��Ht�q��riMky��{�x�t�V�Xdrd��F� Å�ÔJ»�»�¬®­�¶P´cÀ��±r­³¹¾±mº¢Òw8>±r°¢»M¬®´c·cÒ�Ñ°¢­³­mÅ¾Ò =A<N<S�Å

� H��:ÇÓÅ�d�Å4ÔJ¹®¹¾±r´ÆÒ DcÅ�ÍÓ¶�Ä32¢±¢Ò}°¢´M»���Å��w±r´M´c±r»cº¢Å\8>±r»MÂ�Ä�µ³¬¾¶P´+¶¢½�¶¢¯�±m²�°�µ�¶¢²�­�µ�²�±r´c·¢µ³«ÆÅ���´P�ÅRP\Å�ÑÂ�Ä�«M´�¬®Ä32�°¢´�»y6ÎÅ �%ÅRD¢¶P´c±r­mÒH±r»�¬¾µ�¶¢²�­rÒ [�l�d3^¢l�x�f��}�Ød¢�¿�JtXx�� �-�uq�� ÒD¯X°�·¢±r­0FIA���=);>=�Åa}²³±r´Hµ³¬®Ä�±�À��h°¢¹È¹sÒ!d}´�·P¹¾±mÐL¶�¶�»�Í�¹®¬Ø×Æ­mÒ>6ÎÅ D�Å¾Ò =A<N=�Å

� ?�� bJÅ�ÔJ¹¾¯�±m²�´ÆÒ08oÅ���¶�¶ Á ±m²rÒJbJÅ�8>¶P­�±r´ÆÒ9aOÅ7P�ÐL±m±r´�±mº¢Ò�°¢´�»���Å� �°¢»�±rÄ32\Å!�T´MÄ�²³±r¸�±r´Hµ³°¢¹± Á °¢¹®Â�°�µ³¬®¶P´�¶¢½�Ä�¶P¸�¯MÂcµ³°�µ³¬¾¶P´M°¢¹�Äm¬¾²�ÄmÂ�¬®µ³­mÅ"�T´ [�l�d�puk�kEV�q|t_^��d���j|��k��-��j��JtMt�i�x��O��bZY$#nc���9Y nM��fhg�d-�uq|i�f d�tvÎqÈ�mpml³kmjVkJ�J� ^Hd�lyq|j|�Df�� Òc¯M°�·¢±r­ H<C�� ? C�ÅMÔ�Í%¿Ò>6�±mÐ'&�¶¢²E2XÒ!DD°¢´ÆÅ=A<AI;�Å

� M�� 8ÎÅ_b�°¢«�¹ 2¢±J°¢´�»)([ÅP�´c±r¹®µ³¬®´c·cÅ�ª>«c± a0P�( ­�º�­�µ�±r¸,f�Ç4²³¶P¸ ½|¶¢²�¸�°¢¹X¹®°¢´c·PÂ�°�·¢±J»c±�ÖX´�¬®µ³¬¾¶P´�­µ�¶�¬®´Hµ�±m²�°¢Ä�µ³¬ Á ±�¯�²³¶¢·¢²�°¢¸�¸�¬®´c·�±r´ Á ¬®²³¶P´�¸�±r´Hµ³­mÅ ��bZY*��l�x¢tc�,+.[�l�d3^¢l�x�f-+ `Ùx�tR^�+�nM�-�yj+ ÒN"-%? 4 f M&?_F.�RMGFIS�Ò.4ÊÄ�µmÅ =A<N<S�Å

�6

Page 37: Strengthening Invariants for Efficient Computation * Yanhong A. Liua

� S�� 8ÎÅÆÔÎÅ�b�°¢¹®¹®°¢´�Ä�±¢ÒZP\Å���Å (J²�°¢«�°¢¸ÒÆ°¢´�» ¿Å��}Å ��°¢´ �J± ��°¢´Dµ�±m²�Åoª>«c± [>x�t ¹®°¢´c·PÂM°�·¢±�ÀÌX°¢­�±r»<±r»�¬¾µ³¬®´�·¿­�º�­�µ�±r¸Å ��bZY �cl�x�tc� +on�d��yj+���tR^�+7YRkmj|��dVPd�� + Ò�= -n= 4 f A<M���=CGFHÒ�DD°¢´ÆÅ=A<A<C�Å

� F��:ÇÓÅ���Å&bÓ°¢Â�±m²rÒ&bJÅ���¶P¹È¹¾±m²rÒ��%Å&a7°�²³µ³­�Ä�«ÆÒ�°¢´�»UaOÅ&a4±m¯�¯�±m²rÅHÇc¶¢²u¸�°¢¹D¯M²³¶¢·¢²�°¢¸ Ä�¶P´�­�µ�²�Â�Ä�µ³¬®¶P´Ì�º µ�²�°¢´M­�½�¶¢²u¸�°�µ³¬¾¶P´�­�� ÍÓ¶P¸�¯MÂcµ�±m²³ÀV°¢¬®»c±r»ÆÒ>¬®´Hµ³Â�¬¾µ³¬®¶P´�À]·PÂ�¬®»c±r»<¯M²³¶¢·¢²�°¢¸�¸�¬È´c·cÅ �������l�x�tc�,+en\d���jz� +���t_^�+ ÒZ=M"-gC 4 fq=S<M���=NI;�Ò�Çc±mÌÙÅ�=A<N<A�Å

� N�� 8ÎÅ0P\Å bÓ¬®²�»ÆÅ ª>«�±2¯�²³¶P¸�¶¢µ³¬®¶P´¼°¢´�» °¢ÄmÄmÂM¸%Â�¹È°�µ³¬¾¶P´ ­�µ�²u°�µ�±m·P¬¾±r­,¬È´�µ�²�°¢´�­�½|¶¢²�¸�°�µ³¬®¶P´�°¢¹¯M²³¶¢·¢²�°¢¸�¸�¬È´c·cÅ ��bZY �cl�x�tc� +�[�l�d3^Pl�x�f-+.`Ùx�tR^�+4nM�-��j+ Ò�S"-%? 4 f ? NGF.�RMI;I?cÒ.4ÊÄ�µmÅ =A<N&?cÅ

� A�� 8ÎÅ�P\Å,b�¬¾²�»ÆÅ ÔJ»�»c±r´�»MÂ�¸,f,ª�«c± ¯�²³¶P¸�¶¢µ³¬¾¶P´/°¢´�» °¢ÄmÄmÂM¸%Â�¹È°�µ³¬¾¶P´ ­�µ�²�°�µ�±m·P¬¾±r­ ¬®´µ�²u°¢´�­�½|¶¢²�¸�°�µ³¬¾¶P´�°¢¹�¯�²³¶¢·¢²�°¢¸�¸�¬®´c·cÅ ��bZY �cl�x�tc� +k[�l�d3^¢l�x�f-+ `�x�t_^ +ÓnM�-�yj+ Ò�F#-gH 4 f ? AI;��? A<C�Ò�DPÂ�¹®º�=A<N<M�Å

� =); ��a4Å bÓ¶¢²³²�°¢­mÒ ��ÅRÍ�¹� ±r¸�±r´HµmÒ�ªwÅ �J±r­�¯�±mº�²³¶PÂ�Ë�Ò\DcÅ �T´�Ä�±m²�¯M¬sÒ$([Å$�ΰ¢«�´ÆÒ�bJÅ���°¢´�·cÒ°¢´M»!��Åya7°¢­³ÄmÂ�°¢¹sÅ Í0dk6JªOÔ��J8�f,ª>«c± ­�º�­�µ�±r¸Å �T´ [�l�drpukuk3V�q|t_^��:d��<j|�cké��bZYnc���Ón�� � ����n����k[k`O�h� n\d���jz�}x�l�k���t_^Pq�t\kuk�lyq�tR^2nX�-fhg�d��uq|i�f d�t�[�l�xPp�jzqzpux���n\d��yjz�}x�l³kv[km��k��¾dugXf�kmtMj���t���q�l�d�t�f�k�tXj|� ÒM¯X°�·¢±r­ =@? �RC&?cÅXÔ�Í�RÒ�6�±mÐ�&�¶¢²E2XÒ!6h¶ Á Å�=A<N<N�Å

� =<=���8ÎÅ>P�Å_bÓ¶�º¢±m²>°¢´�»ODcÅwP\Å �¶�¶¢²³±¢Å � bed�fhgXicj]x¢jzqsd�tXx���`�d3^¢qsp Å4Ô�Í% �¶P´c¶¢·¢²�°�¯M«,P�±m²�¬®±r­mÅÔJÄm°¢»c±r¸�¬ÈÄ�a�²³±r­�­mÒw6�±mÐ &�¶¢²32\Ò =AGFIA�Å

� =C�� ¿Å bÓ²³¶�º¢Å�ÔJ¹¾·¢±mÌ�²�°¢¬®Ä,¸�±mµ³«c¶�»�­%½�¶¢²[¯�²³¶¢·¢²u°¢¸ Ä�¶P´�­³µ�²�Â�Ä�µ³¬¾¶P´�f7ª>«c±,¯�²³¶���±rÄ�µ�Í%� a�Å ��´a4Åka4±m¯�¯�±m²rÒ7±r»�¬®µ�¶¢²rÒ [�l�d3^¢l�x�f �cl�x�tc�|��d�lyf�x¢jzqsd�t:x�t�V [�l�d3^Pl�x�f[f[q|t_^���tM��q|l�d�tMf�kmtMj|� Ò¯X°�·¢±r­ =A<A��RC<C<C�Å P�¯�²�¬È´c·¢±m²�À�e±m²�¹®°�·cÒwbÓ±m²�¹È¬®´ÆÒ�=A<N&?cÅ

� =H���8ÎÅ ¿ÅZbÓÂ�²�­�µ³°¢¹®¹sÅ�a}²³¶ Á ¬®´c·�¯�²³¶¢¯�±m²³µ³¬®±r­Ê¶¢½L¯�²�¶¢·¢²�°¢¸�­wÌ�ºÑ­³µ�²�Â�Ä�µ³Âc²�°¢¹e¬È´�»�Â�Ä�µ³¬¾¶P´ÙÅ ����kbed¢f�g\i�jVkml��cd�i�lut\x�� Ò�=C"-n= 4 f ?w= � ? N�Ò�=A<S<A�Å

� =@?���8ÎÅ�RÅ�b�Âc²�­³µ³°¢¹®¹h°¢´M» D�Å �J°�²u¹®¬®´c·¢µ�¶P´ÆÅ Ô'µ�²�°¢´�­�½|¶¢²�¸�°�µ³¬®¶P´é­³º�­�µ�±r¸ ½|¶¢²2»c± Á ±r¹¾¶¢¯X¬®´c·²�±rÄmÂc²�­³¬ Á ±w¯M²³¶¢·¢²�°¢¸�­mÅ ��+���bZY ÒwC&?+-n= 4 f ?<? �RSGFHÒ DP°¢´ÆÅZ=AGF<FHÅ

� =M�� � Å ÀK6%Å¢Í�«M¬®´ÆÅ�ª�¶�ÐÓ°�²�»M­�°¢´Î°¢Â�µ�¶P¸�°�µ�±r»Îµ³Â�¯M¹®¬®´c·�­�µ�²u°�µ�±m·¢º¢Å���´ [�l�drpukuk3V�q|t_^¢��d���j|��k���bZYnc���k[k`��J� nM��fhg�d-�uq|i�f d¢t'[�x�lyjzqsx������-x�� i�x¢jzqsd�t x¢t�V n�k�f�x�tMjzqsp���#s�Jx-�rk3V�[�l�d3^Pl�x�fYRx�t�q gXi��ØxPjzqzd�t ÒM¯M°�·¢±r­]=<=A���=H<C�Å�Ô�Í�RÒ!6h±mÐ &�¶¢²E2XÒ�DDÂ�´c± =A<A<H�Å

� =S�� � Å ÀK6%ÅoÍ�«�¬®´ °¢´M» ¿Å �J°�·P¬¾ºP°�Å Ô Ì�¶PÂ�´�»M­2¬®´c½|±m²³±r´�Ä�±+¸�±mµ³«c¶�» ½|¶¢² Á ±rÄ�µ�¶¢²�À]ÌM°¢­�±r»¸�±r¸�¶P¬¾Õr°�µ³¬¾¶P´ÆÅ ��´ [�l�drpukuk3V�q|t_^¢� d�� j|��k �P�D�c�:��bZY n����k[ `��J� �utMjVk�lytXx¢jzqsd�tXx¢�bed¢tr�mkml�kmtXpukod�t ��i�tXprjzqsd�tXx¢�>[�l�d3^Pl�x¢f�f[q|t_^ Ò�¯M°�·¢±r­9=uFIS���=NGFHÅ�Ô�Í%¿Ò 6h±mÐ &�¶¢²32\Ò_DDÂ�´c±=A<AGFHÅ

� =uF���D�Å}ÍÓ¶�ÄE2¢±2°¢´�» ��Å �w±r´�´c±r»�º¢Å�ÔJ´�°¢¹¾·¢¶¢²�¬®µ³«�¸'½|¶¢²�²³±r»�ÂMÄ�µ³¬¾¶P´+¶¢½>¶¢¯�±m²�°�µ�¶¢²�­�µ�²³±r´c·¢µ³«ÙÅbed¢f�f[i�t +4��bZY ÒwCI;)-n=<= 4 f N<MI;��RN<M<S�Ò�6h¶ Á Å =AGF<FHÅ

� =N���8ÎÅ���Å�ÍÓ¶P´�­�µ³°�ÌM¹®± ±mµ °¢¹sÅ �ufhgX�®k�f�k�tXjzq�t_^ YRx¢j|��kmf�xPjzqzpm�<�eqzj|� j|��k �oi�gXly� [�l�d�d��v[km��k��¾dugXf�kmtMjLnM�-�yjVk�f Åka}²³±r´Hµ³¬®Ä�±�À��h°¢¹È¹sÒwd}´c·P¹®±mÐL¶�¶�»ÑÍ�¹®¬Ø×Æ­mÒ6ÎÅ D�Å¾Ò =A<N<S�Å

� =A��XªoÅ �%Å�ÍÓ¶¢²�¸�±r´ÆÒÆÍJÅ�d>Å��Ù±r¬®­³±m²�­�¶P´ÆÒ\°¢´�» 8oÅ���Å�8�¬ Á ±r­�µmÅ �utMjzl�dV�i�p�jzqzd�t�j]d��Ê� ^Hd�luqzj|�Df�� Ū�«c± ��ª a}²³±r­³­�� ÑÄ�(J²�°�Ð�À��h¬È¹®¹sÒZ=A<AI;�Å

� CI; ��6%Å��J±m²�­³«�¶�Ð�¬¾µ�բŠ����k����-d�� icjzqzd�tÉd���[�l�d3^¢l�x�f�� Ò Á ¶P¹®Â�¸�±]M[¶¢½ [�l�d3^¢l³ky�u�Îq|t�bed¢f�g\i�jVkmln�pmq]k�tXpyk Åkb�¬¾²32�« �°¢Â�­³±m²rÒ>bL¶P­³µ�¶P´ÆÒ =A<N<H�Å

�IC

Page 38: Strengthening Invariants for Efficient Computation * Yanhong A. Liua

� C=���d�Å�� Å �ʬ �W2�­³µ�²�°�Å � vÎq���pmq gX� q�t�k�d���[�l�d3^¢l�x�f[f[q�t_^ Å>a�²³±r´Hµ³¬®Ä�±�À��J°¢¹®¹RP�±m²u¬¾±r­Ù¬®´oÔJÂcµ�¶P¸�°�µ³¬ÈÄÍ�¶P¸�¯MÂcµ³°�µ³¬¾¶P´ÙÅwa�²³±r´Hµ³¬®Ä�±�À��J°¢¹®¹sÒwd}´�·P¹¾±mÐL¶�¶�»�Í�¹®¬Ø×Æ­mÒ6ÎÅ D�Å¾Ò =AGFIS�Å

� C<C�� ��Å �J¶P´cÕm±r°¢Â�À (ʶPÂc·¢±¢Ò�([Å �hÂ�±mµmÒ (�Å �o°¢«�´ÙÒ¼°¢´�» bJÅ ��°¢´c·cÅ a}²³¶¢·¢²�°¢¸�¸�¬®´c·±r´ Á ¬¾²³¶P´�¸�±r´Hµ³­2ÌX°¢­�±r» ¶P´:­�µ�²�Â�Ä�µ³Âc²�±É±r»�¬¾µ�¶¢²f>ª�«c± �±r´Dµ�¶¢²Ñ±�Ë�¯�±m²�¬®±r´�Ä�±¢Å ��´ ��Å98ÎÅb�°�²�­³µ�¶�ÐoÒ �%ÅQd>Å�P�«c²³¶¢Ì�±¢ÒL°¢´M» d�ÅQPc°¢´�»c±mÐ�°¢¹®¹sÒ}±r»M¬¾µ�¶¢²�­mÒ �utMjVk�l�xPp�jzq��¢kL[�l�d3^Pl�x�f[f[q|t_^��t���q|l�d�t�f�k�tMj|� ÒM¯M°�·¢±r­]=C<N���=@?G;�Å �Ä�(J²u°rÐ�À��J¬®¹®¹sÒw6h±mÐ &�¶¢²E2XÒ =A<N&?cÅ

� C<H���D�Å�d}°�²�¹¾±mº¢Å �J¬¾·P«�¹¾± Á ±r¹7¬¾µ�±m²�°�µ�¶¢²u­w°¢´�»�°�¸�±mµ³«c¶�»Ñ½|¶¢²w°¢Âcµ�¶P¸�°�µ³¬®Äm°¢¹®¹®º�»c±r­³¬¾·P´M¬®´c·,»M°�µ³°­³µ�²�Â�Ä�µ³Âc²³±w²�±m¯�²³±r­�±r´Hµ³°�µ³¬¾¶P´ÆÅ ��+�bed�fhgXicj+�`�x�t_^ + Ò =If H<C= �RH&? C�Ò =AGFIS�Å

� C&?�� ¿Å�P\Å�Çc±r°�µ³«c±m²�Å�Ô ­�º�­�µ�±r¸'½|¶¢²[°¢­³­³¬®­�µ³¬È´c·¯�²³¶¢·¢²�°¢¸ µ�²�°¢´�­³½�¶¢²�¸�°�µ³¬¾¶P´ÆÅ ��bZY �cl�x�tc� +[�l�dE^¢l�x�f-+�`�x�t_^�+7nM�-�yj+ Òw?+-n= 4 fq= �RCI;�Ò DP°¢´ÆÅZ=A<N<C�Å

� C<M���D�ÅÓÇ7¬¾±r¹È» °¢´�»<ªwÅÓª�±r¬¾µ�±r¹®ÌM°¢Â�¸Å �T´�Ä�²�±r¸�±r´Dµ³°¢¹h²³±r»�ÂMÄ�µ³¬¾¶P´ ¬È´¼µ³«c±�¹®°¢¸%Ì�»M°RÄm°¢¹®ÄmÂ�¹ÈÂ�­mÅ��´ [�l�drpyk�kEV�q�tR^�� d�� j|��k �P�P� � ��bZY bed�tr�rk�l³k�tXpyk d�t `O��n[ x�t�V ��i�tXp�jzqzd�t\x��[�l�dE^¢l�x�f[f�q|t_^ Ò\¯X°�·¢±r­9HI; F.�RH<C<C�Å�Ô�Í%RÒ�6�±mÐ &�¶¢²32XÒ�DPÂ�´c± =A<AI;�Å

� C<S�� �yÅXÇ7¹¾¶¢²�±r­mÅ ����k `Ùd3^Pqzp�d��,bed�fhgXicjVk�lo�Jlyq|j|�Df�krjzqzp Å a}²³±r´Dµ³¬ÈÄ�±�À��h°¢¹®¹]Ò!d}´c·P¹®±mÐL¶�¶�»ÑÍ�¹®¬Ø×Æ­mÒ6%Å DcžÒ�=A<S<H�Å

� CGF�� [�l�d�puk�kEV�q|t_^��Éd���j|�ck���j|��utMjVkmlut\x¢jzqzd¢tXx���bed�tr�rk�l³k�tXpykÉd�t �Æi�tXprjzqsd�tXx���[�l�d3^Pl�x�f[f[q|t_^`�x�t_^Picxu^Hky�[x�t�V�bed�fhgXicjVk�lw�Jl�pm�DqzjVk³prjzi�l³k Å\Ô�Í%RÒ�6�±mÐ�&�¶¢²E2XÒ�P�±m¯�µmÅZ=A<N<A�Å

� C<N���D�Å (ʹ®°¢´cբŠѰ�µ³«c±r¸�°�µ³¬®Äm°¢¹>¹®¶¢·P¬®Ä��XÂ�­³«�±r­%¶PÂ�µ�µ³«�±ÌMÂc·P­�¬®´Ä�«M¬¾¯¼»c±r­³¬¾·P´M­mÅ n\prqskmtXpuk ÒC<SGF_f H<H<C��RH<H<H�Ò�DP°¢´�Â�°�²³º,CI;�Ò =A<A<M�Å

� C<A�� ([Å ( ¶P¸�±mÕ�°¢´�» &[ÅOÔ%Å �O¬®ÂÆÅÔhÂ�µ�¶P¸�°�µ³¬®Ä�µ³¬È¸�±�À]Ì�¶PÂ�´�»É°¢´�°¢¹®º�­³¬È­o½|¶¢²�°�«�¬¾·P«c±m²�À]¶¢²u»c±m²¹È°¢´c·PÂ�°�·¢±¢Å2ªO±rÄ�«�´�¬ÈÄm°¢¹k8>±m¯�¶¢²³µ%ª�8 M<H<M�Ò�ÍÓ¶P¸�¯XÂcµ�±m²�P�Äm¬®±r´�Ä�±��J±m¯M°�²³µ³¸�±r´HµmÒ��T´�»M¬®°¢´�°�J´�¬ Á ±m²u­³¬¾µVº¢Ò�6�¶ Á Å =A<A<A�Å

� HI; � (ʲ�°¢¸�¸�°¢ªO±rÄ�«ÆÒ��T´MÄ�Å nM��tMj|�cky�uq���kml ��k�t\kml�xPj]d�l�n\prluq g\jzq|t_^ `�x�t_^Picxu^HkÉnMi�gPgX�®k�f�k�tXj]x��YRx�t�i�x��F{.T>km�¾k�x-�mk� �+ �-Å�(J²�°¢¸�¸�°¢ª�±rÄu«ÆÒ���´�Ä�žÒ��Tµ³«�°¢Äm°�Ò!6h±mÐ &�¶¢²32\Ò =A<A<S�Å

� H=��$��Å (ʲ�¬¾±r­mÅ ����kÎn�pmq]k�tXpyk%d��J[�l�d3^¢l�x�f[f[q�tR^ Å P�¯�²�¬È´c·¢±m²�À�e±m²�¹®°�·cÒ>6h±mÐ &�¶¢²32\Ò =A<N=�Å� H<C��$��Å (ʲ�¬¾±r­mÅ�Ô ´c¶¢µ�±2¶P´¼°É­³µ³°¢´�»�°�²�»�­�µ�²u°�µ�±m·¢º�½�¶¢²�»�± Á ±r¹¾¶¢¯M¬®´c·�¹¾¶�¶¢¯¼¬®´ Á °�²u¬®°¢´Dµ³­�°¢´M»

¹®¶H¶¢¯M­rÅ n\pmq +�bed�fhgXicj+�[�l�d3^Pl�x¢f"+ Ò�CRf CI; F.�RC=@?cÒ.=A<N&?cÅ� H<H��XÔ%Å�6%Å��J°�Ì�±m²�¸�°¢´�´Î°¢´�»���Å�6h¶¢µW2�¬®´ÆÅ (Ê°¢´M»�°¢¹¾½ f&P�¶¢½|µVÐ�°�²³±L»c± Á ±r¹®¶¢¯M¸�±r´Hµ�±r´ Á ¬¾²�¶P´�¸�±r´Hµ³­mÅ

����� ��l�x�t��,+7n�d��yjz� +���t_^ + Ò�Pd�ÀE=C"-n=C 4 fq=<=<=uF.��=<=CGF�Ò �J±rÄ�Å�=A<N<S�Å� H&?���8ÎÅ���¶�¶ Á ±m²rÅ7ÔJ¹¾¯M«c¶P´�­³±<f���´�Ä�²³±r¸�±r´Hµ³°¢¹�Ä�¶P¸�¯MÂcµ³°�µ³¬¾¶P´�°¢­�°%¯�²³¶¢·¢²�°¢¸�¸�¬®´c·�°�ÌM­�µ�²�°¢Ä�µ³¬¾¶P´ÙÅ

��´ [�l�drpyk�kEV�q�tR^�� d�� j|��k ��bZY n����k[k`O�h� � �<X bed�tr�rk�l³k�t\puk d�t [�l�d3^Pl�x�f[f[q|t_^`�x�t_^Picxu^Hk[v[ky�uq ^¢tx�t�V��ufhgX�¾kmf�k�tMj]x¢jzqsd�t ÒO¯M°�·¢±r­ C<S= �RCGFIC�Å7Ô�Í%¿ÒZ6�±mÐ &�¶¢²32\Ò�DDÂ�´c±=A<A<C�Å

� H<M���P�Å��h¶¢²³Ð�¬¾µ�ÕR°¢´M» ªwÅ�ªO±r¬¾µ�±r¹¾ÌX°¢Â�¸Å (J±r´c±m²�°�µ³¬®´�·¼±r»�¬¾µ³¬®´�·¼±r´ Á ¬¾²³¶P´M¸�±r´Dµ³­�ÌM°¢­�±r» ¶P´²�±r¹®°�µ³¬¾¶P´�­L°¢´�»�°�µ�µ�²�¬®ÌMÂcµ�±r­mÅ ��bZY ��l�x¢tc�,+�[�l�d3^¢l�x�f-+�`Ùx�tR^�+ÙnM�-�yj+ ÒRN"-%? 4 f MGF<F.�RSI;GN�Ò�4wÄ�µmÅ=A<N<S�Å

� H<S��XÇÓÅ0DP°¢¹®¬®¹È¬L°¢´�»�DcÅ �%Å (Ê°¢¹®¹È¬¾±m²rÅ*b�Â�¬®¹®»M¬®´c·Ñ½�²�¬®±r´�»�¹¾ºÉ¯X°�²�­�±m²�­mÅ ��´ bed�t��mkml�kmtXpuk,T>k�p�d�lWVd��%j|��k[�¢j|���Êt�t�i�x�����bZY nM��fhg�d-�yq�i�f d�t�[�luq|tXpmq gX�®ky��d��J[�l�d3^¢l�x�f[f[q�tR^ `�x�t_^¢i�x^�ky� Ò¯X°�·¢±r­ =A<S��RCI;GS�ÅÆÔ�Í%¿Ò!6�±mÐ &�¶¢²32\Ò�DP°¢´ÆÅZ=A<N<C�Å

�6F

Page 39: Strengthening Invariants for Efficient Computation * Yanhong A. Liua

� HGF���6%Å���Å�DP¶P´c±r­mÒXÍJÅ���Å (ʶP¸�°�²�»ÆÒ�°¢´�»LaOÅ�P�±r­�µ�¶¢½�µmÅ [>x�l�jzqzx¢������x�� icxPjzqzd�tÉx�t�V[�Êi�j]d¢f�xPjzqzp[�l�dE^¢l�x�f ��k�t\kml�x¢jzqsd�t Å0a�²�±r´Dµ³¬®Ä�±�À��J°¢¹®¹sÒwdL´c·P¹¾±mÐÓ¶H¶�»�Í�¹®¬¾×�­mÒ>6%Å DcÅ¾Ò =A<A<H�Å

� H<N���6%Å ��ÅyD¢¶P´c±r­rÒ�a4Å P�±r­³µ�¶¢½�µmÒ�°¢´�» �%ÅyP��¢´�»c±m²�·P°¢°�²�»ÆÅ ÔJ´�±�Ë�¯\±m²u¬®¸�±r´Hµ+¬®´ ¯M°�²�µ³¬®°¢¹± Á °¢¹®Â�°�µ³¬®¶P´�f�ª>«c± ·¢±r´�±m²�°�µ³¬¾¶P´�¶¢½�° Ä�¶P¸�¯X¬®¹¾±m²+·¢±r´c±m²�°�µ�¶¢²rÅ ��´5DcÅ ÀKa4Å D¢¶PÂ�°¢´�´M°¢Â�»ÆÒ±r»M¬¾µ�¶¢²rÒ T>k��elyq|jzq|t_^ �Xk�p��Dt�q �miMk���x�t�V¿�ÓgPg\�Fqsp�x¢jzqsd�tc� Ò Á ¶P¹®Â�¸�± CI;GC¿¶¢½ `�k�prjzi�l³k��%d¢jVky�q|t¼bed�fhgXicjVk�lÎn\pmq]k�tXpyk Òc¯M°�·¢±r­]=C&? ��=@?G;�Å P�¯�²�¬®´�·¢±m²�À�e±m²�¹®°�·cÒ>bÓ±m²�¹®¬®´ÙÒ�Ñ°rº\=A<N<M�Å

� H<A���P�Å�bJÅ�D¢¶P´c±r­�°¢´M» ��Å �Ù± ±mµ³°�º¢±m²rżÍÓ¶P¸�¯M¬®¹®±�À]µ³¬®¸�±�·P°�²�ÌM°�·¢±2Ä�¶P¹®¹¾±rÄ�µ³¬¾¶P´+Ì�ºR­³«�°�²u¬®´c·°¢´M°¢¹¾º�­�¬®­mÅ ��´Ç�a�Í�Ô =A<N<A � CGF��]ÒX¯M°�·¢±r­9M&? �F�?cÅ

� ?G; � �%Å�D¢¶¢²³²u¬®´c·¿°¢´M» � Å ��Å P�Äu«c±m²�¹®¬®­rÅ ÍÓ¶P¸�¯M¬®¹¾±m²�­,°¢´�»<­�µ³°�·P¬®´c·+µ�²�°¢´�­³½�¶¢²�¸�°�µ³¬¾¶P´�­mÅ ��´bed¢tr�mkml�kmtXpuk T>k�p�d�lWV#d��éj|��k �¢¡Pj|� �Jt�t�i�x�����bZY nM��fhg�d-�yq�i�f d�t [�luq|tXprq gX�®ky� d��[�l�dE^¢l�x�f[f�q|t_^O`Ùx�tR^¢i�x^Hk�� Ò�¯X°�·¢±r­9N<S��RA<S�Å�Ô�Í%RÒ�6�±mÐ�&�¶¢²E2XÒ�DP°¢´ÆÅZ=A<N<S�Å

� ?w=�� ([Åd�Å �o°¢¬È­�±m²rÅ ��´�Ä�²³±r¸�±r´Hµ³°¢¹�»cº�´�°¢¸�¬®Ä>­³±r¸�°¢´Dµ³¬ÈÄm­L½|¶¢²�¹®°¢´c·PÂ�°�·¢±�À]ÌX°¢­�±r»�¯�²³¶¢·¢²�°¢¸�¸�¬®´c·±r´ Á ¬¾²³¶P´�¸�±r´Hµ³­mÅ ��bZY ��l�x¢tc�,+�[�l�d3^¢l�x�f-+�`�x�t_^ +4nM�-�yj+ Ò =<= -gC 4 fq=S<N���=A<H�Ò�Ôh¯�²rÅZ=A<N<A�Å

� ? C�� �%Å �ΰ¢­�µ�±r´�­mÅe4J²�»c±m²�±r»�°�µ�µ�²�¬¾ÌMÂcµ�±r»R·¢²�°¢¸�¸�°�²u­mÅ �hprj]x�utr�md�lyf�xPjzqzpux ÒQ=H"-gH 4 f C<C<A��RC<M<S�Ò=A<NI;�Å

� ? H��XªoÅ��o°�µ³°rºP°¢¸�°�Å�ª�²u°¢´�­³¹®°�µ³¬¾¶P´�¶¢½�°�µ�µ�²u¬¾ÌMÂcµ�±>·¢²u°¢¸�¸�°�²�­L¬®´Dµ�¶Î¯�²³¶�Ä�±r»�Âc²³±r­mÅ ��bZY �cl�x�tc� +[�l�dE^¢l�x�f-+�`�x�t_^�+7nM�-�yj+ Ò�S"-gH 4 f H&? M��RH<S<A�Ò�DPÂM¹¾º�=A<N&?cÅ

� ?<?���P�Å�ÍJÅ �ι¾±m±r´c±¢Å �utMjzl�dV�i�prjzqsd�t j]d YRkrj]x�f�x¢j|��kmf�xPjzqzpm� Å ��°¢´ 6�¶P­³µ�²�°¢´�»ÆÒ 6�±mÐ &�¶¢²32\Ò=A<M<C�Å =);�µ³« ²�±m¯�²�¬®´HµmÒ ��¶P¹¾µ�±m²�­�ÀK6h¶H¶¢²u»�«c¶�× a}ÂcÌM¹È¬®­³«�¬®´�·cÒ (J²³¶P´�¬®´�·¢±r´ °¢´�» 6�¶¢²³µ³«cÀ�h¶P¹®¹®°¢´M»,a}ÂcÌM¹È¬®­³«�¬®´�·[ÍÓ¶P¸�¯X°¢´Dº¢Ò�ÔJ¸�­�µ�±m²�»M°¢¸Ò =A<A=�Å

� ? M���D�Å��O°¢Â�´�Ä�«HÌMÂc²�º¢Å�a�²�¶���±rÄ�µ³¬¾¶P´M­�½|¶¢²,­�¯�±rÄm¬®°¢¹®¬È­³°�µ³¬¾¶P´ÆÅ ��´*bJÅ b ����²�´c±m²rÒLÔÎÅ aOÅ d�²�­�«c¶ Á Ò°¢´M»:6%Å ��Å D¢¶P´�±r­mÒ�±r»�¬¾µ�¶¢²u­mÒ [>x¢lyjzqsx�� ���-x�� i�x¢jzqzd¢t x�t�V Y�q��HkEV bed�fhgXicj]x¢jzqsd�t Ò�¯M°�·¢±r­C<A<A��RH=M�Å�6h¶¢²³µ³«�À��h¶P¹®¹®°¢´�»ÙÒ�Ôh¸�­³µ�±m²�»�°¢¸ÒZ=A<N<N�Å

� ? S���&[Å7ÔÎÅ ��¬®ÂÙÅ2Í�Ô�Í%�9dLª�fOÔJ´+¬®´Dµ�±m²u°¢Ä�µ³¬ Á ±¢Ò4¬È´�Ä�²³±r¸�±r´Hµ³°¢¹ØÀV°�µ�µ�²�¬¾ÌXÂcµ³¬¾¶P´�À]ÌM°¢­³±r»É¯�²³¶¢·¢²u°¢¸µ�²u°¢´�­�½|¶¢²�¸�°�µ³¬¾¶P´,­�º�­³µ�±r¸ ½|¶¢²}»c±m²�¬ Á ¬®´c·w¬®´MÄ�²³±r¸�±r´Hµ³°¢¹c¯�²³¶¢·¢²�°¢¸�­mÅ ��´ [�l�drpyk�kEV�q�tR^��od���j|��k� � j|���%tXd¢���¾kEV^Hk #s�Jx-�rk3Vn�d��yjz�}x¢l�k ��t_^Pq�t\kuk�lyq�tR^ bed�tr�rk�l³k�tXpyk Ò�¯M°�·¢±r­ =A��RC<S�Å��ndkdkdÍ POa�²³±r­�­mÒ �Ù¶P­>ÔJ¹®°¢¸�¬®µ�¶P­mÒ\Í�°¢¹®¬®½AžÒ>6h¶ Á Å =A<A<M�Å

� ?_F���&[ÅMÔ%Å���¬ÈÂÆÅ a�²�¬®´MÄm¬¾¯M¹¾±r»,­�µ�²³±r´c·¢µ³«�²³±r»�Â�Ä�µ³¬¾¶P´ÙÅ���´,8oÅ�bÓ¬®²�»°¢´�» ��Å �±m±m²³µ�±r´M­mÒ�±r»�¬¾µ�¶¢²u­mÒ�Ê� ^Hd�luqzj|�Df[qsp�`Ùx�t_^Pi�x^Hk��%x�t�V�bex��¾pmi��Fq Òc¯M°�·¢±r­JH<MGF.�RH<N=�ÅÆÍ�«M°�¯M¸�°¢´�� �J°¢¹®¹sÒ �Ù¶P´�»�¶P´ÆÒ�%Å ��Å¾Ò =A<AGFHÅ

� ? N���&[Å�Ô%Å ��¬®ÂÆÅ!�J±m¯�±r´�»c±r´�Ä�±w°¢´�°¢¹¾º�­³¬®­Ó½|¶¢²>²³±rÄmÂc²u­³¬ Á ±w»�°�µ³°�Å ��´ [�l�d�puk�kEV�q|t_^���d��oj|��kw������D�P�¢�2�utMjVk�lytXx¢jzqsd�tXx¢��bed�tr�rk�l³k�tXpyk�d�t<bed�fhgXicjVk�l]`�x�t_^¢i�x^�ky� ÒƯM°�·¢±r­�CI;GS��RC=M�Å �ndkdkdÍ POa�²³±r­�­mÒ �Ù¶P­>ÔJ¹®°¢¸�¬®µ�¶P­mÒ\Í�°¢¹®¬®½AžÒ�Ñ°rº =A<A<N�Å

� ? A���&[Å�ÔÎÅ���¬®Âΰ¢´�» ([Å ( ¶P¸�±mÕ¢Å�ÔJÂcµ�¶P¸�°�µ³¬®ÄÓ°¢ÄmÄmÂc²�°�µ�±�µ³¬®¸�±�À]Ì\¶PÂM´�»o°¢´�°¢¹¾º�­³¬®­�½�¶¢²7«�¬¾·P«cÀV¹¾± Á ±r¹¹È°¢´c·PÂ�°�·¢±r­mÅ �T´ [�l�drpukuk3V�q|t_^¢�>d��Ój|��kL��bZY n����k[ `��J� �P�D�¢��d�l�������dyg2d�t�`Ùx�t_^Pi�x^Hk���{bed¢f�g\q��®k�lu��{hx�t�V �Xdrd��F�Ó�md�l���f���kEVGVDkEVnM�-��jVk�f�� Ò Á ¶P¹®Â�¸�± =@?_F�?¶¢½ `Ok³prjzi�l³k%�%d¢jVk��%q|tbed¢f�g\i�jVkmlon\prqskmtXpuk Ò�¯M°�·¢±r­JH= � ?G;�Å�P�¯�²u¬®´c·¢±m²�À�e±m²�¹È°�·cÒ!DPÂ�´c±�=A<A<N�Å

� MI; ��&[Å¿Ô%Å��O¬®Â °¢´�» P�Å ��Å P�µ�¶P¹®¹¾±m²�Å �Ù¶�¶¢¯ ¶¢¯�µ³¬®¸�¬¾Õr°�µ³¬¾¶P´ ½|¶¢²#°�·¢·¢²³±m·P°�µ�± °�²³²u°rºÄ�¶P¸�¯MÂcµ³°�µ³¬¾¶P´�­rÅ �T´ [�l�drpyk�k3V¢q�t_^¢�d��,j|��k��������P�D�¢�Ñ�utMjVkmlut\x¢jzqzd¢tXx��obed�tr�rk�l³k�tXpyk2d�tbed¢f�g\i�jVkml `Ùx¢t_^¢i�x^�ky� Ò�¯M°�·¢±r­ C<S<C��RCGFR=�Å � d dkdÉÍ�P a�²³±r­³­rÒ���¶P­4ÔJ¹®°¢¸�¬®µ�¶P­mÒ¢Í�°¢¹®¬¾½TžÒ��°�º=A<A<N�Å

�6R

Page 40: Strengthening Invariants for Efficient Computation * Yanhong A. Liua

� M=���&[Å Ô%Å �O¬®Â °¢´�» P�Å ��Å P�µ�¶P¹®¹®±m²rÅ �Jº�´�°¢¸�¬®Ä ¯�²³¶¢·¢²u°¢¸�¸�¬®´c· Á ¬®° ­�µ³°�µ³¬ÈĬȴ�Ä�²³±r¸�±r´Hµ³°¢¹®¬¾Õr°�µ³¬¾¶P´ÙÅ �T´ [�l�drpukuk3V�q|t_^�� d�� j|��k �Pj|� ��i�l�dygck³x�t`nM��fhg�d-�yq�i�f d�t[�l�dE^¢l�x�f[f�q|t_^ Ò Á ¶P¹®Â�¸�± =MGFIS,¶¢½ `�k�prjzi�l�k%�ÎdPjVky�%q|t bed�fhgXicjVk�l�n\prqskmtXpuk ÒX¯X°�·¢±r­7C<N<N��HI;GM�Å�P�¯�²�¬È´c·¢±m²�À�e±m²�¹®°�·cÒwbÓ±m²�¹È¬®´ÆÒ��°�²�Å =A<A<A�Å

� M<C���&[Å�ÔÎÅ �O¬®Â<°¢´�» P\Å ��Å P�µ�¶P¹®¹®±m²rÅ d}¹®¬®¸�¬®´�°�µ³¬®´c·¿»c±r°¢»<Ä�¶�»c±�¶P´é²³±rÄmÂc²u­³¬ Á ±�»�°�µ³°�Å ��´[�l�d�puk�kEV�q|t_^��d���j|��k��¢j|�Ñ�utMjVk�lytXx¢jzqsd�tXx��LnXj]x¢jzqsp��JtXx¢�F�-�uq���nM��fhg�d-�yq�i�f Ò Á ¶P¹®Â�¸�±L=S<A&?¶¢½ `Ok³prjzi�l³kw�ÎdPjVky�oq|tbed�fhgXicjVkmlon\prqskmtXpuk Òc¯M°�·¢±r­9C=<= �RC<H=�Å P�¯�²u¬®´c·¢±m²�À�e±m²�¹È°�·cÒbÓ±m²�¹È¬®´ÆÒP�±m¯�µmÅ =A<A<A�Å

� M<H���&[Å�ÔÎÅ ��¬ÈÂ#°¢´�»5P\Å ��Å P�µ�¶P¹®¹¾±m²rÅ Çc²³¶P¸ ²³±rÄmÂc²u­³¬¾¶P´ µ�¶ ¬¾µ�±m²u°�µ³¬¾¶P´�f�Ð�«�°�µ°�²³± µ³«�±¶¢¯Mµ³¬®¸�¬¾Õr°�µ³¬¾¶P´M­�����´ [�l�drpyk�kEV�q�tR^��>d��Ój|�ck���bZY n����k[ `��J� X � � � �d�lu���u��dug2d�t][>x�l�jzqsx�����-x�� i�x¢jzqsd�t x�t�VRn�kmf�x¢tMjzqzpm� #]�Jx-�mkEV\[�l�d3^¢l�x�f YÉx�t�q gXi��¾x¢jzqzd¢t ÒL¯X°�·¢±r­ FIH��RN<C�Å�Ô�Í%¿Ò6h±mÐ &�¶¢²E2XÒ�DD°¢´ÆÅ!CI;<;<;�Å

� M&?���&[Å}Ô%Å��¬ÈÂÆÒkP\Å ��Å P�µ�¶P¹®¹¾±m²�Ò�°¢´�»¼ªwÅ�ªO±r¬¾µ�±r¹¾ÌM°¢ÂM¸Å�P�µ³°�µ³¬®ÄÄm°¢Äu«�¬®´c·É½|¶¢²�¬®´MÄ�²³±r¸�±r´Hµ³°¢¹Ä�¶P¸�¯MÂcµ³°�µ³¬¾¶P´ÆÅ ��bZY ��l�x�tc�,+�[�l�d3^¢l�x�f-+.`Ùx�t_^ +4nM�-�yj+ Ò�CI;)-gH 4 f M&? S��RM<N<M�Ò Ñ°rº\=A<A<N�Å

� M<M���&[Å[ÔÎÅ ��¬®Â#°¢´�» ªwÅ�ª�±r¬®µ�±r¹¾ÌM°¢Â�¸Å Í�°¢Äu«�¬®´c· ¬®´Hµ�±m²�¸�±r»�¬®°�µ�± ²³±r­³Â�¹¾µ³­R½�¶¢²+¯�²³¶¢·¢²u°¢¸¬È¸�¯�²³¶ Á ±r¸�±r´DµmÅ'��´ [�l�drpyk�k3V¢q�t_^¢��d���j|��k��bZY n����k[k`O�h�'nM��fhg�d-�yq�i�f d�t:[>x�l�jzqsx�����-x�� i�x¢jzqsd�tÑx�t�V[n�kmf�x¢tMjzqzpm� #]�Jx-�mkEV][�l�d3^Pl�x�f YÉx�t�q gXi��¾x¢jzqzd¢t Ò�¯M°�·¢±r­7=AI;��RCI;>=�ÅMÔ�Í%¿Ò6h±mÐ &�¶¢²E2XÒ�DDÂ�´c± =A<A<M�Å

� M<S���&[Å�ÔÎÅ ��¬®Â�°¢´�»�ªwÅ\ª�±r¬®µ�±r¹¾ÌM°¢Â�¸Å P�º�­�µ�±r¸�°�µ³¬ÈÄ%»c±m²u¬ Á °�µ³¬®¶P´¶¢½�¬®´�Ä�²³±r¸�±r´Dµ³°¢¹O¯�²³¶¢·¢²�°¢¸�­mÅn�pmq +>bed�fhgXicj+ [�l�d3^Pl�x�f-+ Ò�C&?+-n= 4 fq= �RH<A�ÒÙÇ�±mÌÙÅ =A<A<M�Å

� MGF�� 7Å �°¢´�´M°J°¢´M»�8oÅ �É°¢¹®»�¬È´c·¢±m²rÅ�Ôé»c±r»�Â�Ä�µ³¬ Á ±�°�¯�¯M²³¶P°¢Ä�«�µ�¶w¯M²³¶¢·¢²�°¢¸ ­�º�´Hµ³«c±r­³¬®­mÅ ��bZY��l�x�tc�,+�[�l�d3^¢l�x�f-+.`Ùx�t_^ +4nM�-�yj+ Ò�C"-n= 4 f AI;���=C=�Ò�DD°¢´ÆÅZ=A<NI;�Å

� M<N�� 7Å Ñ°¢´�´�°�°¢´�» 8ÎÅ��É°¢¹È»�¬®´c·¢±m²rÅ¿Ç�Â�´�»�°¢¸�±r´Dµ³°¢¹®­�¶¢½J»c±r»�Â�Ä�µ³¬ Á ±�¯�²�¶¢·¢²�°¢¸ ­�º�´Hµ³«c±r­³¬È­mÅ����� ��l�x�t��,+7n�d��yjz� +���t_^ + ÒZ=N"-gN 4 f SGF�? �F&;I?cÒ�ÔJÂc·cÅ =A<A<C�Å

� M<A�� 7Å �°¢´�´M° °¢´�» 8oÅ �É°¢¹È»�¬®´c·¢±m²rÅ ����k:v[k3V�i�prjzq|��k �Ùd�i�t�VDx¢jzqzd¢tc� d���bed¢f�g\i�jVkml[�l�dE^¢l�x�f[f�q|t_^ Å�ÔJ»�»�¬È­�¶P´�À��±r­³¹¾±mº¢Òw8�±r°¢»�¬®´c·cÒ�Ñ°¢­³­mžÒ�=A<A<H�Å

� SI; ��D�ÅR4�� ��±r°�²³º¢Ò�¿Å �Ù±m±r­�±m²�Ò_DcÅ �J¬®Ä32¢±mº¢Ò�°¢´�»-¿ÅDÔJ°�·P°¢°�²�»ÆÅ�6�¶P´�À]²�±r­�µ�¶¢²�¬®´c·o¬È´Dµ�±m·¢±m²Ó­³ÏHÂM°�²³±²�¶H¶¢µ)f�Ô Äm°¢­�±�­�µ³Â�»cº¼¬È´ »c±r­³¬®·P´¼Ì�º¼¯�²�¬®´MÄm¬¾¯M¹¾±r»+¶¢¯�µ³¬®¸�¬¾Õr°�µ³¬¾¶P´ÆÅ ��´:8ÎÅ �ÎÂ�¸�°�²,°¢´M»ªoÅ �w²�¶¢¯�½AÒD±r»�¬¾µ�¶¢²�­mÒ [�l�drpyk�k3V¢q�t_^¢�Îd��Jj|�ck7XPt�V��utMjVk�lytXx¢jzqsd�tXx¢�}bed�tr�rk�l³k�tXpykÎd�t ����k³d¢l�kmf[�l�d¢��k�lu��q|t b4q�l�pmi�qzjÊv[k��uq ^¢t�� ���ck³d�ly�-{�[�l�xPp�jzqzpyky{�x¢t�V�� ��gck�lyq]k�tXpyk Ò Á ¶P¹ÈÂ�¸�± AI;>=�¶¢½`Ok³p�jzi�l³k>�%d¢jVky�>q|tÉbed�fhgXicjVk�l�n\pmq]k�tXpyk ÒP¯X°�·¢±r­ M<C��FR=�ÅP�¯�²�¬®´c·¢±m²³À�e±m²�¹®°�·cÒGbÓ±m²�¹®¬®´ÙÒ=A<A<M�Å

� S=���bJÅ�a7°¢¬¾·¢± °¢´�» DcÅ�ªwÅ*P�Ä�«HÐ�°�²³µ�բŠdeË�¯�²³±r­³­�¬¾¶P´`Ä�¶P´Hµ³¬®´�Â�¬¾µAº�°¢´�» µ³«c± ½�¶¢²�¸�°¢¹»M¬Ø×\±m²�±r´Dµ³¬®°�µ³¬®¶P´�¶¢½w°¢¹¾·¢¶¢²�¬¾µ³«�¸�­mÅ ��´ bed�tr�rk�l³k�t\puk,T>k�p�d�lWV¼d���j|�ck���j|�+�Jt�t�i�x��L��bZYnX�-fhg�d��uq|i�f d�tO[�luq|tXpmq gX�®ky�wd�� [�l�d3^¢l�x�f[f[q�t_^�`�x�t_^¢i�x^�ky� Ò�¯X°�·¢±r­0M<N��FR=�Å�Ô�Í�RÒ6�±mÐ&�¶¢²E2XÒ�DP°¢´ÆÅZ=AGF<FHÅ

� S<C���8ÎÅ�a4°¢¬®·¢±¢Å�ª�²u°¢´�­�½|¶¢²�¸�°�µ³¬¾¶P´�°¢¹�¯�²�¶¢·¢²�°¢¸�¸�¬®´�·��éÔ�¯M¯M¹®¬®Äm°�µ³¬¾¶P´M­µ�¶ °¢¹¾·¢¶¢²�¬¾µ³«M¸�­�°¢´M»­³º�­�µ�±r¸�­mÅ ��´ bed�tr�rk�l³k�tXpyk:T>k�p�d�lWV d��éj|�ck � � j|� �Jt�t�i�x�����bZY nM��fhg�d-�yq�i�f d�t[�luq|tXprq gX�®ky��d��.[�l�d3^Pl�x¢f�f[q|t_^7`Ùx�t_^Pi�x^Hk�� Ò�¯X°�·¢±r­�FIH��RNGFHÅ�Ô�Í%RÒ�6�±mÐ &�¶¢²32XÒ&DP°¢´ÆÅ =A<N<H�Å

� S<H���8ÎÅ_a7°¢¬¾·¢±¢Å a}²³¶¢·¢²�°¢¸�¸�¬®´c·oÐ�¬®µ³«�¬®´ Á °�²�¬È°¢´Dµ³­mÅ ����� n\d��yjz�}x�l³k ÒwH"-n= 4 f M<S��RS<A�Ò�DD°¢´ÆÅ�=A<N<S�Å�IH

Page 41: Strengthening Invariants for Efficient Computation * Yanhong A. Liua

� S&?���8ÎÅZa7°¢¬¾·¢±�°¢´�»�P\Å �w¶�±r´�¬¾·cÅÎÇ7¬®´M¬¾µ�±�»�¬Ø×�±m²³±r´�Äm¬®´c·,¶¢½ÓÄ�¶P¸�¯MÂcµ³°�ÌM¹¾±[±�Ë�¯�²³±r­³­�¬¾¶P´�­mÅ ��bZY��l�x�tc�,+�[�l�d3^¢l�x�f-+.`Ùx�t_^ +4nM�-�yj+ Òw?+-gH 4 f ?G;GC�� ? M&?cÒ�DDÂ�¹¾º =A<N<C�Å

� S<M�� �%Å[ÔÎÅUa4°�²�µ³­³Ä�«ÆÅ n¢gck�pmq �Lp�x¢jzqsd�t x¢t�V!�cl�x�tc�|��d¢luf�x¢jzqsd�t d�� [�l�d3^¢l�x�f����+� �Ùd�lyf�x����gPgXl�drxPpm�Ñj]d�n\d���jz�}x�l³kov[k��¢k��¾dugXf�k�tMj ÅQP�¯�²�¬È´c·¢±m²�À�e±m²�¹®°�·cÒ>bÓ±m²�¹®¬È´ÆÒ�=A<AI;�Å

� S<S��XÔ%Å a4±mµ�µ�¶¢²³¶P­�­³¬sÅ Ô ¯�¶�ÐÓ±m²³½|ÂM¹¼­�µ�²�°�µ�±m·¢º ½|¶¢²#»�±m²�¬ Á ¬®´c· ±�Ã,Äm¬¾±r´Hµ ¯M²³¶¢·¢²�°¢¸�­ ÌHºµ�²u°¢´�­�½|¶¢²�¸�°�µ³¬¾¶P´ÆÅ ��´ bed�tr�rk�l³k�t\puk�T>k³pud�lWVÉd���j|��k��P�¢���R��bZY nX�-fhg�d��uq|i�f d�t�`���n[x¢t�V-��i�tXp�jzqzd�t\x���[�l�d3^Pl�x¢f�f[q|t_^ Å�Ô�Í%¿Ò!6h±mÐ &�¶¢²32\ÒMÔJÂc·cÅ =A<N&?cÅ

� SGF��XÔ%Å>a4±mµ�µ�¶¢²³¶P­³­³¬Ù°¢´M»)¿Å>a�²³¶P¬®±mµ�µ³¬sÅ�8hÂ�¹¾±r­�°¢´�»�­�µ�²�°�µ�±m·P¬¾±r­>½�¶¢²�µ�²�°¢´�­³½�¶¢²�¸�¬®´c·Î½zÂ�´�Ä�µ³¬®¶P´�°¢¹°¢´M»2¹¾¶¢·P¬®Äʯ�²�¶¢·¢²�°¢¸�­mÅ ��bZY bed�fhgXicj+enMi�lu��+ Ò!C<N"-gC 4 f H<SI;�� ?w=@?cÒ�DDÂ�´c± =A<A<S�Å

� S<N�� �}Å �}Å�a4¶P¹®¹¾¶�Ä32°¢´�» RÅ���Å�P�¶�×�°�Å���´�Ä�²³±r¸�±r´Hµ³°¢¹Ù·P¹®¶¢ÌM°¢¹Ù²³±m¶¢¯Mµ³¬®¸�¬¾Õr°�µ³¬¾¶P´�¶¢½e¯�²³¶¢·¢²�°¢¸�­mÅ��bZY ��l�x�tc�,+�[�l�d3^¢l�x�f-+.`Ùx�t_^ +4nM�-�yj+ Ò =@?+-gC 4 fq=uFIH��RCI;<;�Ò�Ôh¯�²rÅZ=A<A<C�Å

� S<A�� � ÅIa}Âc·P«ÆÅ�ª>«c±04ʸ�±m·P°Êª�±r­³µ)f-Ô�½z°¢­�µ7°¢´�»o¯M²�°¢Ä�µ³¬®Äm°¢¹�¬®´Hµ�±m·¢±m²O¯�²�¶¢·¢²�°¢¸�¸�¬®´�·h°¢¹¾·¢¶¢²�¬®µ³«�¸½|¶¢²h»�±m¯\±r´M»c±r´�Ä�±w°¢´�°¢¹¾º�­³¬®­mÅ bed�f[f[i�t +O��bZY ÒwH= -gN 4 fq=);GC���=<=@?cÒ�ÔJÂc·cÅ =A<A<C�Å

� F&; � � Å�aLÂc·P«R°¢´M»RªwÅ�ªO±r¬¾µ�±r¹¾ÌX°¢Â�¸Å)�T´�Ä�²�±r¸�±r´Dµ³°¢¹LÄ�¶P¸�¯MÂcµ³°�µ³¬®¶P´ Á ¬®°½zÂ�´�Ä�µ³¬¾¶P´RÄm°¢Ä�«�¬®´�·cÅ��´ bed�t��mkml�kmtXpuk,T>k�p�d�lWV¼d���j|��kÑ� ��j|�+�Jt�tMicx¢�L��bZY nX�-fhg�d��uq|i�f d�t:[�lyq|tXpmq gX�®ky��d��[�l�dE^¢l�x�f[f�q|t_^O`Ùx�tR^¢i�x^Hk�� Ò�¯X°�·¢±r­9H=M��RH<C<N�ÅÆÔ�Í%¿Ò!6�±mÐ &�¶¢²32XÒ�DP°¢´ÆÅZ=A<N<A�Å

� FR=���P�Å�a4Å&8�±r¬®­³­mÅHÔh´�°�¯�¯�²³¶P°¢Äu«Îµ�¶Ê¬®´�Ä�²�±r¸�±r´Dµ³°¢¹HÄ�¶P¸�¯M¬®¹È°�µ³¬¾¶P´ÆÅ ��´ [�l�drpyk�kEV�q�tR^���d���j|��k}��bZYnc���k[k`��J� � �r�énM��fhg�d-�yq�i�f!d�t bed�fhgXq|�¾kmlbed¢tc�yjzlyi�prjzqsd�t Ò�¯M°�·¢±r­ =@?<? ��=M<S�Å�Ô�Í%¿Ò6h±mÐ &�¶¢²E2XÒ�DDÂ�´c± =A<N&?cÅ a}ÂcÌM¹È¬®­³«c±r»�°¢­9P � (7a�OÔ96 6h¶¢µ³¬®Ä�±r­mÒ =A"-gS 4 Å

� FIC��XªoÅ 8�±m¯M­ °¢´M» ªwÅ�ª�±r¬®µ�±r¹¾ÌM°¢Â�¸Å ����k nM��tMj|��k��uq���k�l ��k�t\kml�xPj]d�l ��� nM�-�yjVkmf �md�lbed¢tc�yjzlyi�prjzq|t_^y`Ùx¢t_^¢i�x^�k,#]�hx��mk3V � V�qzj]d�l�� Å0P�¯M²�¬®´c·¢±m²�À�e±m²u¹®°�·cÒ>6�±mÐ &�¶¢²32XÒ�=A<N<N�Å

� FIH��XªoÅ�8�±m¯M­mÒ[ªwÅ[ª�±r¬¾µ�±r¹®ÌM°¢Â�¸Ò[°¢´�»�ÔÎÅ �J±r¸�±m²�­rÅ �T´�Ä�²�±r¸�±r´Dµ³°¢¹�Ä�¶P´Hµ�±�Ë�µ�ÀV»�±m¯\±r´M»c±r´Dµ°¢´M°¢¹¾º�­�¬®­é½�¶¢² ¹È°¢´c·PÂ�°�·¢±�À]ÌM°¢­�±r» ±r»�¬¾µ�¶¢²�­mÅ ��bZY ��l�x�t��,+ [�l�d3^¢l�x�f-+\`Ùx�tR^�+ÉnM�-�yj+ ÒM"-gH 4 f ?<? A�� ?_F<FHÒ�DPÂ�¹¾º =A<N<H�Å

� F�?���D�Å7ÍJÅ�8>±mº�´c¶P¹®»�­mÅ ����k�b4l�x��yjod��U[�l�d3^¢l�x�f[f[q�tR^ ÅLa}²³±r´Dµ³¬ÈÄ�±�À��h°¢¹®¹]Ò d}´c·P¹®±mÐL¶�¶�»+Í�¹®¬Ø×Æ­mÒ6%Å DcžÒ�=A<N=�Å

� FIM�� ¿Å>8>¶P­�±r´M»�°¢«�¹sÅ�ÔJÂcµ�¶P¸�°�µ³¬ÈÄJÄ�¶P¸�¯M¹¾±�Ëc¬¾µVº�°¢´M°¢¹¾º�­�¬®­mÅ ��´�Ç�a�Í�Ô =A<N<A � CGF��]Òc¯M°�·¢±r­�=@?<? �=M<S�Å

� FIS���bJÅ�(�Å8>º�»c±m²Ó°¢´M» ¿ÅcÍJÅRa7°¢Â�¹®¹sÅ ��´�Ä�²³±r¸�±r´Hµ³°¢¹X»M°�µ³° �M¶�Ð °¢´�°¢¹¾º�­³¬®­�°¢¹¾·¢¶¢²u¬¾µ³«�¸�­mÅ ��bZY��l�x�tc�,+�[�l�d3^¢l�x�f-+.`Ùx�t_^ +4nM�-�yj+ Ò =);)-n= 4 fq= �RMI;�Ò DD°¢´ÆÅZ=A<N<N�Å

� F<F��$��Å 8oÅ P�¸�¬¾µ³«ÆÅ � � ��P�f}Ô/­�±r¸�¬È°¢Âcµ�¶P¸�°�µ³¬®Ä¯M²³¶¢·¢²�°¢¸�»�± Á ±r¹¾¶¢¯M¸�±r´Hµ�­�º�­�µ�±r¸Å �������l�x�tc�,+en\d���jz� +���t_^�+ ÒZ=S"-gA 4 fq=);GC&? ��=);I? H�Ò.P�±m¯MµmÅZ=A<AI;�Å

� FIN���bJÅRP�µ�±�×\±r´ÆÒ D�Å �o´c¶�¶¢¯ÙÒ¢°¢´�»y4�ÅG8 �Â�µ³«�¬®´c·cÅ>deÃ�Äm¬¾±r´Dµ�Ä�¶�»c±>¸�¶¢µ³¬®¶P´�°¢´�»�°¢´�°¢»�°�¯�µ³¬®¶P´[µ�¶­³µ�²³±r´c·¢µ³«�²�±r»�Â�Ä�µ³¬¾¶P´ÆÅ �T´ [�l�drpukuk3V�q|t_^��od���j|�ck���j|���utMjVkmlutXxPjzqzd�t\x�����d�q|tMj�bed�tr�rk�l³k�t\pukwd�t���J[Ón�� � � Ò Á ¶P¹®ÂM¸�±�? A&?�¶¢½ `�k�prjzi�l�kw�%d¢jVk��oq�t¼bed�fhgXicjVk�lÎn\pmq]k�t\puk Òc¯X°�·¢±r­9H<A&? � ?w=M�ÅP�¯�²�¬®´c·¢±m²³À�e±m²�¹®°�·cÒwbÓ±m²�¹®¬®´ÙÒ�=A<A=�Å

� FIA���8ÎÅ_P\ÅGP�Â�´�»�°�²�±r­³«%°¢´M»�aOÅ �JÂ�»�°I2\Å��T´MÄ�²³±r¸�±r´Hµ³°¢¹cÄ�¶P¸�¯MÂcµ³°�µ³¬¾¶P´ Á ¬®°J¯M°�²³µ³¬È°¢¹H± Á °¢¹®Â�°�µ³¬®¶P´ÆÅ��´ bed�t��mkml�kmtXpuk,T>k�p�d�lWV¼d���j|��kÑ�¢�Pj|�+�Jt�tMicx¢�L��bZY nX�-fhg�d��uq|i�f d�t:[�lyq|tXpmq gX�®ky��d��[�l�dE^¢l�x�f[f�q|t_^O`Ùx�tR^¢i�x^Hk�� Ò�¯X°�·¢±r­ = ��=H�ÅXÔ�Í�RÒ!6h±mÐ &�¶¢²E2XÒ�DD°¢´ÆÅZ=A<A=�Å

�2B

Page 42: Strengthening Invariants for Efficient Computation * Yanhong A. Liua

� NI; � �}Å��h´M´�¬ 2�²�¬®­³«�´M°¢´ÆÒRP\Å ��Å�P�µ�¶P¹®¹¾±m²�Ò�°¢´M» &[Å�Ô%Å ��¬®ÂÆÅ7ÔJÂcµ�¶P¸�°�µ³¬®Äw°¢ÄmÄmÂc²u°�µ�±Î­�µ³°¢Ä32­�¯X°¢Ä�±°¢´M»�«c±r°�¯¼­�¯M°¢Ä�±2°¢´�°¢¹®º�­³¬È­%½|¶¢²�«�¬®·P«�ÀV¹¾± Á ±r¹�¹®°¢´c·PÂ�°�·¢±r­rÅ+ªO±rÄ�«�´M¬®Äm°¢¹Q8>±m¯�¶¢²³µ�ª�8 M<H<N�ÒÍ�¶P¸�¯MÂcµ�±m²JPcÄm¬¾±r´�Ä�±��J±m¯M°�²³µ³¸�±r´HµmÒ ��´�»�¬È°¢´�° �h´�¬ Á ±m²�­³¬¾µAº¢Ò�Ô�¯�²�Å!CI;<;<;�Å

� N=�� ¿Å��É°¢´�» °¢´�»'� Å ��ÅhÍ�¹®¬®´c·¢±m²�Å P�±mµÄ�¶P´�­�µ�²�°¢¬®´Hµ³­�½|¶¢²2»c±r­�µ�²�Â�Ä�µ³¬ Á ±�°�²�²�°rºéÂc¯Æ»�°�µ�±¶¢¯Mµ³¬®¸�¬¾Õr°�µ³¬¾¶P´ÙÅ �T´ [�l�drpukuk3V�q|t_^���d��2j|��k����� �D�P�¢�R�utMjVkmlutXxPjzqzd�t\x���bed�t��mkml�kmtXpuk�d�tbed¢f�g\i�jVkml `Ùx¢t_^¢i�x^�ky� Ò�¯M°�·¢±r­�=N&? ��=A<H�Å � d dkd/Í�P a�²³±r­�­mÒ �Ù¶P­2ÔJ¹®°¢¸�¬®µ�¶P­mÒhÍ�°¢¹®¬¾½TžÒÑ°rº\=A<A<N�Å

� N<C���D�ÅÙÔÎÅ ��±mÌ�Ì�Å�P�µ�±m¯M­Êµ�¶�ÐÓ°�²u»�­o°�²�Äu«�¬¾µ�±rÄ�µ³Âc²³±�ÀV¬È´�»c±m¯�±r´�»c±r´HµJ¬È¸�°�·¢±�¯�²³¶�Ä�±r­³­³¬®´�·cÅ �����bed¢f�g\i�j+ Ò�C<M"-gC 4 f C= �RH=�ÒÙÇ�±mÌÙÅ =A<A<C�Å

� N<H���bJÅ ��±m·¢Ì�²�±r¬¾µmÅ��±rÄ�«M°¢´�¬®Äm°¢¹�¯�²�¶¢·¢²�°¢¸ °¢´�°¢¹¾º�­³¬®­mÅ bed�f[f�i�t +>��bZY Ò0=N"-gA 4 f M<C<N��RM<H<N�ÒP�±m¯�µmÅ =AGFIM�Å

� N&?�� ¿Å���±r¬®­�±m²�Å�a�²³¶¢·¢²�°¢¸ ­³¹®¬®Äm¬®´�·cÅ ����� ��l�x¢tc�,+en\d���jz� + ��t_^ + Ò!Pd�ÀE=);)-%? 4 f H<M<C��RH<MGFHÒ DPÂ�¹¾º=A<N&?cÅ

� N<M�� � Å RÅ���±r¹®¹®­mÒ � � �yÅedeÃ,Äm¬®±r´Dµ�­�º�´Hµ³«c±r­³¬È­o¶¢½ (Ê°¢ÂM­³­³¬®°¢´ÉÖX¹¾µ�±m²�­ÎÌHºRÄm°¢­�Äm°¢»c±r»Â�´�¬¾½|¶¢²�¸Ö\¹¾µ�±m²�­mÅ ����� �cl�x�tc� +�[>xPjsj+��JtXx�� + YRxPp�� +Ù�utXjVk��|� + Ò�N"-gC 4 f C<H&? �RC<H<A�Ò Ñ°�²rÅ =A<N<S�Å

� N<S��$��Å�¿Å &�±r¹®¹®¬®´�°¢´�»O8oÅ>d�ÅwP�µ�²³¶P¸Å�� 6wÍJfcÔ ¹®°¢´�·PÂ�°�·¢±w½�¶¢²�¬®´MÄ�²³±r¸�±r´Hµ³°¢¹ÆÄ�¶P¸�¯MÂcµ³°�µ³¬¾¶P´M­mÅ��bZY ��l�x�tc�,+�[�l�d3^¢l�x�f-+.`Ùx�t_^ +4nM�-�yj+ Ò =H"-gC 4 f C=<= �RC<H<S�Ò�Ôh¯�²rÅZ=A<A=�Å

� NGF���8ÎÅ �°�ÌM¬®«ÙÅ �ut�V�q|��qgV�i�x¢jzq�tR^ ~4tc�-tXd��et � ���mk�prj|� ��� bed�f��mq�t�q|t_^ YÉd¢jzqsd�t<x�t�VÉnXjVk�l³k³d ÅaL«�� µ³«c±r­�¬®­mÒ �J±m¯M°�²�µ³¸�±r´Dµ�¶¢½hÍÓ¶P¸�¯XÂcµ�±m²�PcÄm¬¾±r´�Ä�±¢Ò.P�µ³°¢´c½�¶¢²u» �J´�¬ Á ±m²�­³¬®µVº¢Ò.P�µ³°¢´c½�¶¢²u»ÆÒÍ�°¢¹®¬¾½TžÒZ=A<A&?cÅ

� N<N���8ÎÅ Æ°�ÌM¬®«�°¢´�»UD�Å���¶�¶�»�ÖX¹®¹sÅR6�¶P´cÀ]¯M°�²�°¢¸�±mµ�²�¬ÈÄL¹¾¶�Äm°¢¹Hµ�²�°¢´�­�½|¶¢²�¸�­4½|¶¢²4Ä�¶P¸�¯XÂcµ³¬®´c· Á ¬®­�Â�°¢¹Ä�¶¢²�²³±r­�¯�¶P´�»c±r´�Ä�±¢Å ��´ DcÅ À 4[Å d�2�¹®Â�´�»M«ÆÒ}±r»�¬®µ�¶¢²rÒ [�l�drpukuk3V�q|t_^¢�+d���j|��k¿¡¢lWV ��i�l�dug�k³x�tbed¢tr�mkml�kmtXpuk¿d�t#bed¢f�g\i�jVkml���q��uqsd�t Ò Á ¶P¹®Â�¸�± NI;>=�¶¢½ `Ok³prjzi�l³k��%d¢jVky�Ñq�t bed¢f�g\i�jVkmln�pmq]k�tXpyk Ò�¯M°�·¢±r­]=M= ��=M<N�Å�P�¯�²�¬®´c·¢±m²³À�e±m²�¹®°�·cÒZ=A<A&?cÅ

� N<A���&[Å� �«�°¢´�·¼°¢´�» &�Å>Ô%Å ��¬ÈÂÆÅ#ÔJÂcµ�¶P¸�°�µ³¬®´�·¼»c±m²�¬ Á °�µ³¬¾¶P´é¶¢½�¬È´�Ä�²³±r¸�±r´Hµ³°¢¹Ê¯�²³¶¢·¢²�°¢¸�­mÅ��´ [�l�drpyk�k3V¢q�t_^¢� d�� j|��k �D�P�¢� ��bZY nc���k[k`��J� �utMjVkmlut\x¢jzqzd¢tXx��¼bed�tr�rk�l³k�tXpyk d�t�Æi�tXprjzqsd�tXx���[�l�d3^¢l�x�f[f[q�tR^ Ò�¯M°�·¢±]H<MI;�Å\Ô�Í%RÒ�6�±mÐ�&�¶¢²E2XÒ�P�±m¯�µmÅZ=A<A<N�Å

� ?