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Approccio stocastico all’analisi delle serie storiche
Statistica Applicata all’ediliziaLezione: approccio stocastico all’analisi delle
serie storiche
Orietta Nicolis
E-mail: [email protected]
12 maggio 2009
Orietta Nicolis Statistica Applicata all’edilizia
Approccio stocastico all’analisi delle serie storiche
Programma
1 Approccio stocastico all’analisi delle serie storiche
Orietta Nicolis Statistica Applicata all’edilizia
Approccio stocastico all’analisi delle serie storiche
Programma
1 Approccio stocastico all’analisi delle serie storiche
Orietta Nicolis Statistica Applicata all’edilizia
Approccio stocastico all’analisi delle serie storiche
Le serie storiche (o temporali)
Una serie storica y1, y2, . . . , yn viene definita come larealizzazione finita di un processo stocastico Y1, Y2, . . . , Yn.
Un processo stocastico è definito tramite la distribuzionecongiunta di Y1, ..., Yn per ogni n.In generale le Yt non sono fra di loro indipendenti e interessa ladistribuzione congiunta per esempio di Yt ed Yt+1.Modelli per serie storiche
yt = f (yt−1, yt−2, . . .) + εt
dove εt processo stocastico stazionario non direttamenteosservabile
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Approccio stocastico all’analisi delle serie storiche
Proprietà di un processo stocastico
1 StazionarietàStazionarietà in senso stretto: se la distribuzione congiuntaassociata ad n osservazioni rilevate ai tempi 1, 2, . . . , n è la stessadi quella associata a n osservazioni rilevate ai tempi1 + h, 2 + h, . . . , n + h, ossia
f (y1, y2, . . . , yn) = f (y1+h, y2+h, . . . , yn+h)
Stazionarietà in senso debole: se valgono le seguenti proprietà:E(Yt ) = µ;σ2
t = Var(Yt ) = σ2 (costante);γ(t , t + h) = Cov(Yt , Yt+h) = γ(h), funzione di autocovarianza.
2 Invertibilità: Un processo stocastico è invertibile se esiste unafunzione lineare H(·) ed un processo ε ∼ w .n. tale che per ogni tsia
Yt = H(Yt−1, Yt−2, . . .) + εt .
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Approccio stocastico all’analisi delle serie storiche
Autocorrelazione e correlogramma
Autocorrelazione
ρt (h) = Cor(Yt , Yt+h) =Cov(Yt , Yt+h)
σYt σYt+h
CorrelogrammaL’autocorrelazione campionaria, posto
y ≡ 0,
è definita da
r(h) =
∑ytyt+h∑
y2t
∼=∑
ytyt+h√∑y2
t∑
y2t+h
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Approccio stocastico all’analisi delle serie storiche
Funzione di autocorrelazione parziale
La funzione di autocorrelazione parziale è data da
πk = Cor(Yt , Yt+h|Yt+1, Yt+2, . . . , Yt+h−1)
ed legame tra due generiche Yt e Yt+h al netto delle variabiliintermedie.Può essere vista come il coefficiente φkk delle regressioni
Yt = c + φ1hYt−1 + φ2hYt−2 + . . . + φhhYt−h
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Approccio stocastico all’analisi delle serie storiche
Calcolo della autocorrelazione parziale
P(h) =
1 ρ(1) ρ(2) . . . ρ(h − 2) ρ(1)ρ(1) 1 ρ(1) . . . ρ(h − 3) ρ(2)
......
......
......
ρ(h − 1) ρ(h − 2) ρ(h − 3) . . . ρ(1) ρ(h)
1 ρ(1) ρ(2) . . . ρ(h − 2) ρ(h − 1)ρ(1) 1 ρ(1) . . . ρ(h − 3) ρ(h − 2)
......
......
......
ρ(h − 1) ρ(h − 2) ρ(h − 3) . . . ρ(1) 1
N.B. Il denominatore è il determinante della matrice di Toeplitz.
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Alcuni processi stocastici:
Rumore Bianco (White Noise)Autoregressivi (AR)Media Mobile (MA)Autoregressivi a Media Mobile (ARMA)
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Processo Rumore Bianco
Un processo stocastico {εt} è un rumore bianco (w.n.) se
E(εt) = 0, ∀tVar(εt) = σ2
ε , ∀tCov(εt , εt−h) = 0, ∀t , ∀h
Si indica con εt ∼ wn(0, σ2ε) ed è un processo stazionario in senso
debole.
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Approccio stocastico all’analisi delle serie storiche
Simulazione di un Rumore Bianco
0 200 400 600 800 1000−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4Rumore bianco (w.n.)
0 10 20 30 40 50 60−0.08
−0.06
−0.04
−0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08Sample autocorrelation coefficients
k−values
sacf
val
ues
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Approccio stocastico all’analisi delle serie storiche
Processo Autoregressivo (AR)
Un processo Autoregressivo di ordine 1, AR(1) è definito come
Yt = c + φYt−1 + εt
dove εt ∼ wn(0, σ2ε).
Il processo AR è sempre invertibile.Ponendo c = 0 e indicando con BYt = Yt−1,
Yt = φYt−1 + εt
= φBYt + εt
(1 − φB)Yt = εt
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Approccio stocastico all’analisi delle serie storiche
Il processo AR(1) è stazionario?
Un processo AR(1) può essere scritto come
Φ(B)Yt = εt
dove Φ(B) = (1 − φB).Se le radici del polinomio caratteristico Φ(B) = 0 giacciono al difuori del raggio di cerchio unitario, cioè |B| > 1, allora AR(1) èstazionario. Ciò accade se
−1 < φ < 1.
Esempio: Il processo Yt = 0.2Yt−1 + εt può essere scritto comeYt = 0.2BYt + εt , (1 − 0.2B)Yt = εt . Ponendo (1 − 0.2B) = 0, siricava B = 1
0.2 = 5 > 1. Quindi il processo Yt è stazionario.
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Approccio stocastico all’analisi delle serie storiche
Momenti di un processo AR(1)
Per un processo AR(1) si può dimostrare che:
E(Yt) = µ = 0
Var(Yt) =σ2
ε
1 − φ2
ρh = φh
πh =
{φ h = 10 h > 1
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Approccio stocastico all’analisi delle serie storiche
Simulazione di un AR(1) con φ = 0.5
Yt = 0.5Yt−1 + εt
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2Simulazione AR(1) con φ=0.5
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Approccio stocastico all’analisi delle serie storiche
funzioni di autocorrelazione di un AR(1) con φ = 0.5
0 10 20 30 40 50 60−0.2
−0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5Sample autocorrelation coefficients
k−values
sacf
val
ues
0 10 20 30 40 50 60−0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6Sample partial autocorrelation coefficients
k−values
spac
f val
ues
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Approccio stocastico all’analisi delle serie storiche
Simulazione di un AR(1) con φ = −0.5
Yt = −0.5Yt−1 + εt
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2Simulazione AR(1) con φ=−0.5
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Approccio stocastico all’analisi delle serie storiche
funzioni di autocorrelazione di un AR(1) con φ = −0.5
0 10 20 30 40 50 60−0.5
−0.4
−0.3
−0.2
−0.1
0
0.1
0.2
0.3Sample autocorrelation coefficients
k−values
sacf
val
ues
0 10 20 30 40 50 60−0.5
−0.4
−0.3
−0.2
−0.1
0
0.1
0.2Sample partial autocorrelation coefficients
k−values
spac
f val
ues
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Approccio stocastico all’analisi delle serie storiche
Processo Autoregressivo di ordine p, AR(p)
Un processo Autoregressivo di ordine p, AR(p) è definito come
Yt = c + φ1Yt−1 + φ2Yt−2 + . . . + φpYt−p + εt
dove εt ∼ wn(0, σ2ε).
Il processo AR(p) è sempre invertibile.Ponendo c = 0 e indicando con BYt = Yt−1, B2Yt = Yt−2, . . .,BpYt = Yt−p,
Yt = φ1Yt−1 + φ2Yt−2 + . . . + φpYt−p + εt
= φ1BYt + φ2B2Yt + . . . + φpBpYt + εt
(1 − φ1B − φ2B2 − . . .− φpBp)Yt = εt
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Approccio stocastico all’analisi delle serie storiche
Il processo AR(p) è stazionario?
Un processo AR(p) può essere scritto come
Φ(B)Yt = εt
dove Φ(B) = (1 − φ1B − φ2B2 − . . .− φpBp).Se le radici del polinomio caratteristico Φ(B) = 0 giacciono al difuori del raggio di cerchio unitario, cioè |B| > 1, allora AR(p) èstazionario.
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Approccio stocastico all’analisi delle serie storiche
Funzione di autocorrelazione di un processo AR(p)
La funzione di AUTOCORRELAZIONE di un processo AR(p)decade a 0 velocemente.La funzione di AUTOCORRELAZIONE PARZIALE di unprocesso AR(p) ha il seguente comportamento:
πh =
{6= 0 h ≤ p0 h > p
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Approccio stocastico all’analisi delle serie storiche
Simulazione di un AR(2) con φ1 = −0.5 e φ2 = 0.38
Yt = −0.5Yt−1 + 0.38Yt−2 + εt
0 10 20 30 40 50 60−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8Sample autocorrelation coefficients
k−values
sacf
val
ues
0 10 20 30 40 50 60−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4Sample partial autocorrelation coefficients
k−values
spac
f val
ues
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Approccio stocastico all’analisi delle serie storiche
Simulazione di un AR(3) con φ1 = 0.5, φ2 = 0.3 eφ3 = 0.15
Yt = 0.5Yt−1 + 0.3Yt−2 + 0.15Yt−3 + εt
0 10 20 30 40 50 60−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2Sample autocorrelation coefficients
k−values
sacf
val
ues
0 10 20 30 40 50 60−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2Sample partial autocorrelation coefficients
k−values
spac
f val
ues
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Approccio stocastico all’analisi delle serie storiche
Processo a Media Mobile di ordine 1, MA(1)
Un processo MA(1) è definito come
Yt = c + εt + θεt−1
dove εt ∼ wn(0, σ2ε).
Il processo MA è sempre stazionario.Ponendo c = 0 e indicando con Bεt = εt−1,
Yt = θεt−1 + εt
= θBεt + εt
Yt = (1 + θB)εt
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Approccio stocastico all’analisi delle serie storiche
Il processo MA(1) è invertibile?
Un processo MA(1) può essere scritto come
Yt = Θ(B)εt
dove Θ(B) = (1 + θB).Se le radici del polinomio caratteristico Θ(B) = 0 giacciono al difuori del raggio di cerchio unitario, cioè |B| > 1, allora MA(1) èinvertibile. Ciò accade se
−1 < θ < 1.
Esempio: Il processo Yt = 0.2εt−1 + εt può essere scritto comeYt = 0.2Bεt + εt , Yt = (1 + 0.2B)εt . Ponendo (1 + 0.2B) = 0, siricava |B| = 1
0.2 = 5 > 1. Quindi il processo Yt è invertibile.
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Approccio stocastico all’analisi delle serie storiche
Funzione ACF di un processo MA(1)
Per un processo MA(1) si può dimostrare che:
ρh =
{− θ
1+θ2 h = 10 h > 1
La funzione di autocorrelazione parziale πh decade a 0all’aumentare di h.
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Approccio stocastico all’analisi delle serie storiche
Simulazione di un MA(1) con θ = 0.8
Yt = 0.8εt−1 + εt
0 20 40 60−0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6Sample autocorrelation coefficients
k−values
sacf
val
ues
0 20 40 60−0.3
−0.2
−0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6Sample partial autocorrelation coefficients
k−values
spac
f val
ues
Orietta Nicolis Statistica Applicata all’edilizia
Approccio stocastico all’analisi delle serie storiche
Simulazione di un MA(1) con φ = −0.8
Yt = −0.8εt−1 + εt
0 20 40 60−0.5
−0.4
−0.3
−0.2
−0.1
0
0.1
0.2Sample autocorrelation coefficients
k−values
sacf
val
ues
0 20 40 60−0.5
−0.4
−0.3
−0.2
−0.1
0
0.1
0.2Sample partial autocorrelation coefficients
k−values
spac
f val
ues
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Approccio stocastico all’analisi delle serie storiche
Processo Media Mobile di ordine q, MA(q)
Un processo MA(q) è definito come
Yt = c + θ1εt−1 + θ2εt−2 + . . . + θqεt−q + εt
dove εt ∼ wn(0, σ2ε).
Il processo MA(q) è sempre stazionario.Ponendo c = 0 e indicando con Bεt = εt−1, B2εt = εt−2, . . .,Bqεt = εt−q ,
Yt = θ1εt−1 + θ2εt−2 + . . . + θqεt−q + εt
= θ1Bεt + θ2B2εt + . . . + θqBqεt + εt
Yt = (1 + θ1B + θ2B2 + . . .− θqBq)εt
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Approccio stocastico all’analisi delle serie storiche
Il processo MA(q) è invertibile?
Un processo MA(q) può essere scritto come
Yt = Θ(B)εt
dove Θ(B) = (1 + θ1B + θ2B2 + . . . + θpBp).Se le radici del polinomio caratteristico Θ(B) = 0 giacciono al difuori del raggio di cerchio unitario, cioè |B| > 1, allora MA(q) èstazionario.
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Approccio stocastico all’analisi delle serie storiche
Funzione di autocorrelazione di un processo MA(q)
La funzione di AUTOCORRELAZIONE PARZIALE di unprocesso MA(q) decade a 0 velocemente.La funzione di AUTOCORRELAZIONE di un processo MA(Q) hail seguente comportamento:
ρh =
{6= 0 h ≤ q0 h > q
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Approccio stocastico all’analisi delle serie storiche
Simulazione di un MA(2) con θ1 = 0.6 e θ2 = 0.3
Yt = 0.6εt−1 + 0.3εt−2 + εt
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4Simulazione MA(2) con θ1=0.6 e θ2=0.3
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Approccio stocastico all’analisi delle serie storiche
Funzioni di autocorrelazione di un processo MA(2) conθ1 = 0.6 e θ2 = 0.3
0 10 20 30 40 50 60−0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6Sample autocorrelation coefficients
k−values
sacf
val
ues
0 10 20 30 40 50 60−0.2
−0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6Sample partial autocorrelation coefficients
k−values
spac
f val
ues
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Approccio stocastico all’analisi delle serie storiche
Simulazione di un MA(3) con θ1 = 0.5, θ2 = 0.3 eθ3 = 0.15
Yt = 0.4εt−1 − 0.3εt−2 + 0.25εt−3 + εt
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4Simulazione MA(3) con θ1=0.4, θ2=−0.3 e θ3=0.25
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Approccio stocastico all’analisi delle serie storiche
Funzioni di autocorrelazione di un processo MA(3)conθ1 = 0.5, θ2 = 0.3 e θ3 = 0.15
0 10 20 30 40 50 60−0.2
−0.15
−0.1
−0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2Sample autocorrelation coefficients
k−values
sacf
val
ues
0 10 20 30 40 50 60−0.2
−0.15
−0.1
−0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25Sample partial autocorrelation coefficients
k−values
spac
f val
ues
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Approccio stocastico all’analisi delle serie storiche
Processo AutoRegressivo a Media Mobile di ordine1,1, ARMA(1,1)
Un processo ARMA(1, 1) è definito come
Yt = c + φYt−1 + θεt−1 + εt
dove εt ∼ wn(0, σ2ε).
Il processo MA è sempre stazionario.Ponendo c = 0,
Yt − φYt−1 = θεt−1 + εt
(1 − φB)Yt = (1 + θB)εt
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Approccio stocastico all’analisi delle serie storiche
Il processo ARMA(1,1) è invertibile e/o stazionario?
Un processo ARMA(1, 1) può essere scritto come
Φ(B)Yt = Θ(B)εt
dove Φ(B) = (1 − φB) e Θ(B) = (1 + θB).Il processo ARMA(1,1) è STAZIONARIO se le radici delpolinomio caratteristico 1 − φB = 0 giacciono al di fuori delraggio di cerchio unitario, cioè |B| > 1.Il processo ARMA(1,1) è INVERTIBILE se le radici del polinomiocaratteristico 1 + θ(B) = 0 giacciono al di fuori del raggio dicerchio unitario, cioè |B| > 1.ARMA(1,1) è stazionario ed invertibile se −1 < φ < 1 e−1 < θ < 1.
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Approccio stocastico all’analisi delle serie storiche
Funzione di autocorrelazione di un processoARMA(1,1)
La funzione di AUTOCORRELAZIONE, ρh di un processoARMA(1,1) tende a zero all’aumentare di h.La funzione di AUTOCORRELAZIONE PARZIALE φh di unprocesso ARMA(1,1) tende a 0 all’aumentare di h.
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Approccio stocastico all’analisi delle serie storiche
Simulazione di un ARMA(1,1) con φ1 = 0.7 e θ = −0.2
Yt = 0.7Yt−1 − 0.2εt−1 + εt
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4Simulazione ARMA(1,1) con φ=0.7 e θ1=−0.2
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Approccio stocastico all’analisi delle serie storiche
Funzioni di autocorrelazione di un processo unARMA(1,1) con φ1 = 0.7 e θ = −0.2
0 10 20 30 40 50 60−0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6Sample autocorrelation coefficients
k−values
sacf
val
ues
0 10 20 30 40 50 60−0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6Sample partial autocorrelation coefficients
k−values
spac
f val
ues
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Approccio stocastico all’analisi delle serie storiche
Processo AutoRegressivo a Media Mobile di ordinep,q, ARMA(p,q)
Un processo ARMA(p, q) è definito come
Yt = c+φ1Yt−1+φ2Yt−2+. . .+φpYt−p+εt+θ1εt−1+θ2εt−2+. . .+θqεt−q
dove εt ∼ wn(0, σ2ε).
Il processo AR è sempre stazionario.Ponendo c = 0,
Yt − φ1Yt−1 − φ2Yt−2 − . . .− φpYt−p = θ1εt−1 + θ2εt−2 + . . . + θqεt−q + εt
(1 − φ1B − φ2B2 − . . .− φpBp)Yt = (1 + θ1B + θ2B2 . . . + θqBq)εt
Φ(B) = Θεt
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Approccio stocastico all’analisi delle serie storiche
Il processo ARMA(p,q) è invertibile e/o stazionario?
Un processo ARMA(p, q) può essere scritto come
Φ(B)Yt = Θ(B)εt
dove Φ(B) = ((1 − φ1B − φ2B2 − . . .− φpBp) eΘ(B) = (1 + θ1B + θ2B2 . . . + θqBq).Il processo ARMA(p,q) è STAZIONARIO se le radici delpolinomio caratteristico Φ(B) = 0 giacciono al di fuori del raggiodi cerchio unitario, cioè |B| > 1.Il processo ARMA(p,q) è INVERTIBILE se le radici del polinomiocaratteristico Θ(B) = 0 giacciono al di fuori del raggio di cerchiounitario, cioè |B| > 1.
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Approccio stocastico all’analisi delle serie storiche
Funzione di autocorrelazione di un processoARMA(p,q)
La funzione di AUTOCORRELAZIONE, ρh di un processoARMA(1,1) tende a zero all’aumentare di h.La funzione di AUTOCORRELAZIONE PARZIALE φh di unprocesso ARMA(1,1) tende a 0 all’aumentare di h.
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Approccio stocastico all’analisi delle serie storiche
Simulazione di un ARMA(3,2) con φ1 = 0.4,φ2 = −0.3, φ3 = 0.2, θ1 = −0.3, e θ2 = 0.6
Yt = 0.4Yt−1 − 0.3Yt−2 + 0.2Yt−3 − 0.3εt−1 + 0.6εt−2 + εt
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4Simulazione ARMA(p,q) φ1=0.4, φ2=−0.3, φ3=0.2, θ1=−0.3, e θ2=0.6
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Approccio stocastico all’analisi delle serie storiche
Funzioni di autocorrelazione di un processo unARMA(p,q) con φ1 = 0.4, φ2 = −0.3, φ3 = 0.2,θ1 = −0.3, e θ2 = 0.6
0 10 20 30 40 50 60−0.1
−0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35Sample autocorrelation coefficients
k−values
sacf
val
ues
0 10 20 30 40 50 60−0.1
−0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3Sample partial autocorrelation coefficients
k−values
spac
f val
ues
Orietta Nicolis Statistica Applicata all’edilizia