Static Fields

Electromagnetics I

Dr. Ir. Suwarno

1

Maxwell Eqns in Integral &

Differential forms

0

0

0

sr s

vr s

s

s

rr

s

E.ds dv E

B ds

d

dtB ds

t

J dsd

dtE.ds

E

t

. (4.1)

.B = 0 (4.2)

E.d xE = -B

(4.3)

H.d = xH = J + (4.4)

0

c

sc

0

.

.

.

2

Maxwell Eqns for Static Fields

(4.8) ..

(4.7) 0=.B 0.Field Magnetic

(4.6) 0=xE 0.

(4.5) . . Field Electric

00

c s

s

c

ss v

rsr

JxHdsJdH

dsB

dE

EdvdsE

3

Electric field and potential

E dc

. 0

E.d E.d E.d

atau

E.d E.d E.d

c b

a

a

b

a

b

cb

a

ca

b

c

0

1 2 2 (4.13)

4

aa aE.d E.d 0 0

(4.15)

bbE d . 0

a ba

b

E d . (4.17)

AAE d . 0

Potential

5

Potential

4

chargespoint Multi1 0

N

k kr

Qk

v

o

v

r

dv

4 charge Volume

s

o

s

r

ds

4 charge Surface

r

d

04 garisMuatan

r

Q

04 chargePoint

6

Hubungan differensial untuk medan listrik statik memenuhi

x E = 0

Vektor yang memenuhi kurl = 0 disebut medan KONSERVATIF dan dapat

dinyatakan sebagai gradien dari suatu skalar, sehingga didefinisikan

hubungan medan dengan potensial

E = -

Menghitung E dari Potensial

7

Dipol Listrik

P

R1

+ Q R

d R2

- Q

12

1 2

o21o R R

R R

4

Q =

R

1 -

R

1

4

Q = V

cos

2

d + R Rdan cos

2

d - R R 21

cos

4

d - R

cos d

4

Q = V

22

2o

r2o

a . p R4

1 = V maka dQ = p

R>>>d

8

Mencari E dari V

a

r

v - a

r

v - = v - = E r

a sin + a cos 2 R4

p r3

o

9

KAPASITANSI

Secara umum didefinisikan C = Q/V

Kapasitansi hanya ditentukan oleh bentuk geometri dan medium

dielektrik

10

HUBUNGAN KAPASITANSI (C) DAN

RESISTANSI (R)

RC :didapat pers. kedua Dari

(C) Resistansi

(R) Resistansi

material.dan geometribentuk

oleh ditentukan hanya sama-sama ikapasitansdan Resistansi

.

.

.

.

V

Q

.

.

.

.

IV

dlE

dSE

dlE

dSD

dSE

dlE

dSJ

dlE

SS

SS

11

Kapasitor Sferis

ba

ba

Qr

r

QV

Qsd

a

b

a

b

r

Q

114Q/VC iKapasitans

11

4

ad.a24

dl.E

aE

.

rr

r4 2

12

Kapasitor Koaksial (silinder) : radius konduktor dalam a dan luar

b, permitivitas dielektrik

ρρ a..a2

dV L

a

b

aE L

2

a

bVC

n

L

2

13

Kapasitor Koaksial (silinder) berlapis

aE L

2 listrik Medan

V a d a a d ab

aL

c

bL

2 21 2

. .

b

c

a

bn

Ln

L 21 22

CV b

a

c

b

b

a

c

b

L

n n n n

2

1 1

2

1 2

1

1

2

E aL1

12

E aL2

22

Rangkaian kapasitor seri

14

HUBUNGAN KAPASITANSI (C) DAN

RESISTANSI (R)

RC :didapat pers. kedua Dari

(C) Resistansi

(R) Resistansi

material.dan geometribentuk

oleh ditentukan hanya sama-sama ikapasitansdan Resistansi

.

.

.

.

V

Q

.

.

.

.

IV

dlE

dSE

dlE

dSD

dSE

dlE

dSJ

dlE

SS

SS

15

HUBUNGAN KAPASITANSI (C) DAN

RESISTANSI (R)

RC

dAC

AdR

:sejajarPelat

RC

C

lnR panjangsatuan Per

E

: Koaksial

ab

2L

2L

L

ln

2

21

2.IV

2

ab

d

b

a

a

16

Energi Elektrostatik

2

21

21W

maka makrobentuk Dalam

CQ

v

vv

dVD

dVEdVEDW

2

2

21

21.

21

17

Diketahui Φ=2x + 4y (V). Tentukan energi yang tersimpan

dalam bola berpusat di titik asal dengan volume 1m3.

J 3610adalah m 1 bola dalam di energi Jadi

J/m 361020

21 WenergiKerapatan

(V/m) 20Edengan posisi dari fungsibukan dan konstan E

(V/m) 4a 2- -E

:Jawab

83

38

x

o

ay

18

Persamaan Laplace

19

20

21

22

23

24

Menentukan E

25

26

Soal

Tentukan:

a. V(f)

b. E ()

c. Gambarkan garis medan listrik dan garis

ekipotensial

d. Kapasitansi

e. Resistansi

f. Energi tersimpan

Lebar=b-a

Tinggi=L b

Celah a

27

a. Menentukan fungsi potensial

Volt )100(V potensialPersamaan

100Adidapat A.100 :

0Bdidapat B A.00 : 0 pada batasSyarat

B A Vdidapat integrasiDengan

02

21 menjadi Lapplace Pers Maka

fungsi hanyadan dan z fungsibukan potensial Karena

f

f

f

f

f

f

d

Vd

2

2

2

2

2

2

1 1

f

z

28

b. Menentukan E()

(V/m) a100a )100(1-V-E

maka dari fungsi hanya V Karena

V-E

Volt )100(V potensialPersamaan

φφ f

f

f

f

dd

29

c. Gambar garis medan dan ekipotensial

Garis

medan

Garis ekipotensial

(V/m) a100E

Volt )100(V potensialPersamaan

φ

f

30

d. Kapasitansi

F ln Q/VC

C ln100.100.Q

)(C/m a100D

(V/m) a100E

0

2

φ

φ

abL

abLdzddSD

b

a

L

zS

31

METODA BAYANGAN

Bidang konduktif dapat digantikan dengan muatan bayangan dengan bidang

konduktif sebagai cermin (mirror)

32

33

34

35

Magnetostatik dan potensial vektor Elektrostatik ada Pers. Laplace berguna dan potensial

yang terkait dengan kuat medan listrik.

Untuk medan magnet:

H d J ds

sc. .

bukan medan konservatif sehingga tidak dapat diterapkan

skalar potensial seperti pada elektrostatik.

Namun B ds. 0 atau .B 0 sehingga ada vektor A

B = x A yang memenuhi hubungan

0.. BxA

36

Magnetostatik dan potensial vektor

JxAxSehingga

JAxxBx

o

oo

xH

dv

dv

v

R

r

v

R

rJ

)(

41

)(

4

'

'o

dengan identik

A

37

Contoh Aplikasi

f

f

f

ArrArA

r

r

a

r

a

r

a

z

d

dz

r

x

ar

Idla

r

Idz

sin

sinsin

02/

2/

0

2

AB

44A(r)

f

f

a sin B

didapat matriks determinan dlm dimasukkan Bila

0A sinA cosA

bolakoordinat Dalam

2

o

r4

r

Idl

AA zz

38

Rangkaian Magnetik

39

40

41

42

43

44

NI

L1

L2

Lg

NI

1

2

g

)( NI

NI

Reluktansi x Fluksimmf

MagnetikRangkaian Persamaan

g

2

2

1

1lll

mm

m

SSStotal

total

oxx

x

45

Beberapa prinsip rangkaian

magnetik

Seri: fluksi magnetik sama

Seri: bila penampang sama maka B sama

dan bila material berbeda maka H berbeda

Percabangan akan membagi fluksi seperti

pembagian arus pada rangkaian listrik

46

Mmf = NI, =4000o. Tentukan fluksi di gap bila NI= 200 AT dan mmf

yang diperlukan agar B di celah 0,5 Wb/m2

1-5

1-4

3

1-4

2

-14

1

H 1028,8

H 1041,6

H 10326,1

H 1097,5

3

2

1

x

x

x

x

g

g

S

l

g

S

l

S

l

S

l

47

Wb10169,1celah pada Fluksi

Wb1059,15 075,1

:

)2()2( 0 : 2 loop

)2()2(NI :1 loop

loop .

4

21g

4

221

23212

22121

x

x

Didapat

Pers

gg

gg

AT 822,6 NI :Diperoleh

Wb10943,68dan Wb10133,64 Maka

075,1

Wb1081,4celah pada Fluksi

Wb/m0,5B

4

1

4

2

21

4

21g

2

g

xx

xxSB gg

48