TailCor

Version 10 Mai 2013 - SSRN

Laurent Jaffres - Julien Messias

STA202- Econometrie de la Finance

Lorenzo RICCI, ECARES,Solvay Brussels School of Economics and Management,

Universite Libre de Bruxelles (ULB)

David VEREDAS, ECARES,Solvay Brussels School of Economics and Management,

Universite Libre de Bruxelles (ULB)

Ete 2014

Abstract

La TailCor ou Tail Correlation est une mesure recemment elaboree etintroduite par Lorenzo Ricci et David Veredas, dECARES-Solvay, perme-ttant de mieux apprehender le comportement des dependances des actifsdans les cas extremes. Elle est un prolongement des techniques dExtremeValue Theory dans un cadre non-asymptotique.Mots-Cles: TailCor, Valeurs Extremes, Correlation, ChineseAmerican Depositary Receipt

1

Remerciements

Nous tenons a remercier David Veredas pour sa disponibilite, et lesreponses quil a apporte a nos nombreuses questions. Merci egalement aJohn Nolan et Michel Dacorogna pour leur aide precieuse.

2

Contents

1 Introduction 4

2 Modele 62.1 Presentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2 Distributions elementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3 Sensibilite aux parametres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 Base de donnees 14

4 Resultats empiriques 154.1 Tests statistiques sur les distributions marginales . . . . . . . . . 154.2 Interpretation des resultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5 Conclusion 24

6 Bibliographie 25

3

1 Introduction

Les crises recentes de 2008 et 2011 ont permis de faire eclore au grand jourlimportance des evenements extremes en terme de gestion des risques.Lestimation des risques extremes possede desormais sa theorie : la theorie desvaleurs extremes (Extreme Value Theory). Neanmoins, si dans un cadre uni-varie, de nombreux outils existent, dans un cadre multivarie, Ricci et Veredasproposent une nouvelle mesure, la TailCor, permettant de palier les faiblesses desmesures traditionnellement utilisees en Asset Management, comme la correlationlineaire de Pearson.

Lobjectif est de sinteresser a la dependance uniquement sur les extremes, et depouvoir separer la contribution lineaire de la contribution non-lineaire. Il sagitegalement dapporter une mesure simple et rapide a calculer permettant au RiskManager de pouvoir cartographier ces risques traditionnellement caches.La TailCor presente des avantages par rapport a la theorie des valeurs extremes.Cette derniere repose sur des resultats asymptotiques sur les queues, ce qui sig-nifie que lestimation de tout autre point quun point extreme est une approx-imation. La mesure presentee par Ricci et Veredas est exacte en tout point,elle ne depend pas de suppositions specifiques sur les distributions, et peut etrecalculee avec de petits echantillons de bases de donnees. En pratique, dans lecadre dune gestion de portefeuille, une estimation plus fine des indicateurs derisque tels la Value-at-Risk, ou plus particulierement la Conditional Value-at-Risk, peut etre effectuee avec la TailCor. Il peut apparatre interessant pourun gerant ou un risk manager de connatre la correlation ou le comportementjoint des actifs conditionnellement a loccurrence daun mouvement extreme. Cetype dindicateur revet particulierement du sens lorsquil est utilise sur des dis-tributions marginales leptokurtiques, a savoir si un mouvement extreme sur unsous-jacent entrane un mimetisme des autres sous-jacents appartenant au memegroupe.

Comme cite plus haut, les marches accordent de plus en plus dimportancea la gestion des risques extremes. De nombreux sujets recurrents sont presentsdans lesprit de linvestisseur, que ce soit au travers dune vision allocataire(cross-assets), entre les differentes classes dactifs (action, obligation, matierespremieres, credit) ou au travers dune vision specifique a un actif, en loccurrencedans notre developpement le marche action. La litterature est tres riche sur lesujet. Campbell et al (2002) sinteressent a laugmentation de la correlationdans les mouvements baissiers, alors que Longin et Solnik (2001) utilisent lesoutils de la theorie des valeurs extremes pour mettre en exergue laugmentationdes correlations sur les marches actions. Boyer et al (1999) analysent certainspercentiles de distribution pour calculer des correlation breakdowns, maisleur travail ne demontre pas de changement de comportement significatif de lacorrelation dans les phases normales et les phases devenement extremes.

Nous orientons notre etude empirique sur letude des risques de correlation con-ditionnelle a une baisse extreme pour les principaux ADR (American DepositoryReceipt) chinois, actions cotees aux Etats-Unis, donc beneficiant dune liquiditeacceptable, contrairement a celles listees sur leur marche domestique. Ces ac-

4

tions exhibent une distribution marginale avec de lourdes queues de distribution.

Dans un premier temps, nous decrirons et expliciterons le modele propose deTailCor propose par Ricci et Veredas. Puis, nous nous interesserons aux sen-sibilites des parametres de cette nouvelle metrique. Enfin, dans la troisiemepartie, apres avoir fixe notre base de donnees, nous appliquerons le modele deTailCor a un jeu de distributions empiriques.

5

2 Modele

2.1 Presentation

Deux estimations de TailCor existent, chacune sappliquant a un recueil depostulats.Soit {Xt} t = 1, . . . , T un vecteur aleatoire de taille N, a linstant t.

Une TailCor reposant sur des hypotheses generales ;

Le processus {Xt} :* Est une sequence fortement stationnaire de vecteurs aleatoires.* Est S-mixing. Cela signifie que le processus {Xt} doit respecter deux sous-conditions :a/ Pour un quelconque t T et m N , il existe une variable aleatoire {Xtm}telle que

P (|Xt Xtm| m) m m 0, m 0

b/ Pour tout intervalle disjoint I1 . . . .Ir dentiers et dentiers positifs m1 . . . ..mr,{Xjm1 , j I1},. . . ., {Xjmr , j Ir} sont independants, conditionnellement a ceque la separation entre Ik et Il soit superieure a mk +ml.

Lidee de la TailCor est de decrire la dispersion entre deux variables aleatoires.Il sagit tout dabord de normaliser les sequences de variables aleatoires :Soit Xjt le j-eme element du vecteur aleatoire Xt.Notons Qj le -eme quantile (avec 0 < < 1) et appelons IQR

j le -eme Inter

Quantile Range.

Definissons Yjt =XjtQ0.50jIQRj

* Pour tout , tel que 0 < < 1, la fonction de repartition de Xjt, en toutpoint xjt , notee F (xjt) est continue dans le voisinage de Q

j . La densite de

probabilite, en tout point xjt, notee f(xjt), est telle que 0 < f(QJ) < . Il

sagit deviter les distributions de type Dirac. La projection du couple (Yjt, Ykt)

sur la droite a 45 nous conduit a lestimateur Z(jk)t :

Z(jk)t =

12.(Yjt + Ykt)

Nous pouvons ainsi definir lindicateur Inter Quantile Range pour les queuesIQR(jk):

IQR(jk) = Q(jk) Q(jk)1

avec Q(jk) etant le -eme quantile de Z(jk)t , etant superieur a , et proche

de 1. Plus est grand, plus lexploration des queues est poussee. Dans ledeveloppement suivant, nous nous interesserons a la sensibilite de la TailCor enfonction du choix de et de .

6

Cette premiere version de la TailCor - reposant sur les hypotheses a/, b/, c/- peut ainsi etre definie:

TailCoR(jk) := sg(, )IQR(jk)

sg(, ) est une constante de normalisation que nous detaillerons plus loindans le developpement.

Une TailCor reposant sur des hypotheses dellipticite plus restrictives ;

Le processus {Xt}:* A une distribution inconditionnelle qui appartient a la famille des distributionselliptiques tel que

Xt = d+RtUt

Ut est un vecteur aleatoire, uniformement distribue sur la sphere unite (distri-bution spherique), i.i.d de dimension egale aXt. est le vecteur de localisation dans lespace multidimensionnel.La matrice (semi-definie positive, cest-a-dire a valeurs propres 0) est unematrice dite de dispersion, qui permet la dilatation de la distribution multi-variee, afin de passer dun cadre spherique a un cadre elliptique. Elle decoulede la factorisation de Cholesky de la matrice de variance-covariance telle que =

. La variable Rt est non-negative et continue, elle permet de controler

lepaisseur des queues de la distribution via le parametre de forme .* Il existe une variance inconditionnelle.* Une sequence faiblement stationnaire de vecteurs aleatoires. Les conditionssappliquent donc sur lesperance, la variance et la covariance du processus.* S-mixing.* Pour tout , tel que 0 < < 1, la fonction de repartition de Rjt, admet unederivee bornee, continue et positive.

Cette version de la TailCor - reposant sur les hypotheses dellipticite de ladistribution multivariee peut etre representee sous la forme suivante:

TailCoR(jk):=sg(, )s(, , )

1 + jk:=sg(, )IQR(jk)

sg(, ): constante de normalisations(, , ): capture la correlation non-lineaire

1 + jk: capture la correlation lineaire. Cette correlation lineaire est calculeeselon la methode de Lindskog et al. (2003):

jk = sin(2 .Kjk)

Kjk etant lestimateur du tau de Kendall.

Supposer lellipticite du processus nous permet de pouvoir separer la con-tribution lineaire de la contribution non-lineaire au sein de la TailCor. Nouspouvons revenir a la formule generale et obtenir cette correlation non-lineaireen procedant avec lestimation suivante:

s(, , ) = IQR(jk)

1+jk

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2.2 Distributions elementaires

Dans un premier temps, nous decidons de nous interesser a deux distributionstheoriques marginales symetriques :

Distribution normale

Distribution de Student

Nous considerons une relation de dependance lineaire via une matrice decorrelation, le tout dans un cadre bidimensionnel, cette correlation etant materialiseepar le coefficient .

2.3 Sensibilite aux parametres

Comme specifie dans la partie modele, lestimation de la TailCor repose surnombre de parametres definis de facon subjective. Ainsi, il est indispensable,pour une bonne interpretation du resultat de sassurer de la contribution dechacun de ces parametres. Lensemble de ces resultats a ete obtenu dans lecadre de distributions elliptiques (ou spheriques).

Choix de et de

Figure 1: Sensibilite de la TailCor en fonction de et de

Dans cet exemple, nous supposons une dimension 2, avec une correlationde 0.5 entre les deux variables. Les distributions marginales sont des Studentavec 3 degres de libertes (soit un tail index de 1.7 environ), donc a queues plusepaisses quune loi normale.

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Distribution Valeurs empiriques Tail IndexNormale

Student(3) 1.7Student(2) 1.5

Cauchy 1

Table 1: Valeurs empiriques tail index par distribution - Source : Tail Behavior,Modes and Other Characteristics of Stable Distributions - H. Fofack, J.P Nolan(1998)

Le choix de determine jusqua quel degre de precision nous souhaitonsexplorer les queues de distribution. Si il y a un phenomene dans les queues,comme cest le cas pour une Student a 3 degres de liberte, plus le est eleve,plus la TailCor est eleve. De plus, par definition, nous nous trouvons dans lecadre elliptique en presence de deux Student avec correlation non-nulle. Ainsi,nous pouvons decomposer leffet de dependance entre la correlation lineaire etla correlation non-lineaire. Nous constatons que la contribution lineaire ne variepas en fonction de : la dependance lineaire est constante quelquesoit le choixde . Elle ne depend pas de la profondeur avec laquelle nous explorons les queues- alors que les dependances specifiques aux queues augmentent avec .

Sensibilite de la TailCor en fonction de et de

Figure 2: En noir, =1, en vert, =0

Nous constatons que asymptotiquement ( ), la TailCor convergevers ses niveaux normalises. Pour une correlation nulle entre les distribu-tions marginales, nous sommes dans le cadre dune distribution multivarieespherique. Nous voyons que pour des distributions marginales normales, laTailCor a une valeur de 1. Pour une correlation de 1 entre les distributions

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marginales, dans le cadre dune distribution elliptique, la TailCor de plusieursdistributions marginales normales vaut

2. Par ailleurs, nous pouvons noter

que ce rapport de

2 reste constant quelque soit lalpha index (ou le nombre dedegres de liberte) choisi. Letude de sensibilite suivante confirme cette affirma-tion. Pour une correlation de -1, toutes les TailCor sont nulles, la contributionde la partie lineaire annulant lensemble. (

1 + jk = 0 pour jk = 1)

Sensibilite de sg(, )s(, , ) en fonction de

Figure 3

Nous effectuons cette simulation sur des distributions marginales de Stu-dent a 3 degres de liberte. Nous constatons que le produit sg(, )s(, , ) estindependant de . En effet, ce produit ne prend en compte que la contributionnon lineaire de la dependance entre les marginales. Or est un coefficient decorrelation lineaire (tel que defini par Pearson). Rappelons ici que:* sg(, ) est une constante de normalisation dependant uniquement de et de .* s(, , ) capture la contribution non-lineaire de la correlation.

La contribution lineaire de la correlation est materialisee par

1 + jk.Ainsi la difference de TailCor constatee sur la Figure3 entre - caeteris paribus- une correlation lineaire de 0 et de 1 est constante (quelque soit le ) et egalea

2. Pour pousser letude nous decidons detudier levolution de s(, , ) enfonction de (degres de liberte de Student) et .

Ainsi, nous effectuons 10.000.000 de simulations pour faire converger s(, , ).

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Figure 4: Nous constatons que s(, , ) est independant de .

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Sensibilite de sg(, )s(, , ) en fonction de / = 0.95, = 0.75

Figure 5

Comme pressenti, la contribution non-lineaire augmente au fur et a mesureque lalpha (ou tail index) diminue. Ainsi, plus les queues de distribution sontimportantes, plus la contribution non-lineaire est significative, mettant en avantla part des extremes dans cette derniere.

Origine et calcul de sg(, )

Ce parametre est un parametre de normalisation relatif a la loi normale. Ilest calcule de la facon suivante:En supposant XjXk N(0, I), jk = 0

Yjt =XjtQ0.50jIQRj

=XjtIQRj

car la mediane est nulle

dou Xjt N(0, 1)

Yjt.IQRj N(0, 1)Yjt 1IQRN(0, 1)Zjkt = 12 (Yjt + Ykt)Zt

1IQRN(0, 1)Zt

1QQ1N(0, 1)

Or TailCoR(jk)$ :=sg(, )IQR(jk)

En cherchant a normaliser sg(, ), nous devons supposer TailCoR(jk) = 1

TailCoR(jk):=sg(, )IQR(jk):=sg(, ) =

1IQR(jk)

Par la propriete dinvariance affine des distributions elliptiques:

12

sg(, ) =1

Q(jk)Zt

Q(jk)1Zt

sg(, ) = 11QQ1

.(Q(jk)Xt

Q(jk)1Xt )

sg(, ) = QQ1

QQ1

Ainsi, nous sommes en mesure de calculer la constante de normalisationsg(, ) a laide dune formule fermee, sans passer par des simulations.

Figure 6: sg(, ) en fonction de et

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3 Base de donnees

Comme presente en introduction, lapplication de cette mesure prend tout sonsens dans le cadre dun univers a distributions leptokurtiques. Nous decidons denous interesser aux ADR chinois et a leur relation de dependance a la lumierede la TailCor.

Nous utilisons la base de donnees Bloomberg pour extraire un historique de500 jours ouvres (soit 2 ans) sur les entreprises chinoises cotees aux Etats-Unis,avec les contraintes suivantes:

Capitalisation boursiere > 1Mds$ (afin deviter les problematiques detrappes de liquidite qui peuvent entraner des mouvements extremes).

Historique minimum de deux ans sur la cote americaine, entre le 21 aout2012 et le 19 aout 2014.

Societe appartenant au S&P500 (code Bloomberg: SPX) ou Nasdaq Com-posite (code Bloomberg: CCMP); la cote sur ces marches necessite defournir des informations comptables validees par des professionnels independants.

Nous retraitons les cours des dividendes, ou operations sur titres diverses. Nousdecidons de conserver un univers de 23 valeurs:

Figure 7: Univers detude

La formule utilisee pour le calcul des rendements quotidiens est: ln(St+1St ).

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4 Resultats empiriques

4.1 Tests statistiques sur les distributions marginales

Statistiques descriptives

Figure 8

Nous constatons a premiere vue des distributions centrees, avec des volatilitestres significatives. Il est necessaire de rappeler que sous lhypothese (tres forte)de normalite et de propriete iid des rendements quotidiens, il est possible detransformer les volatilites annuelles en volatilites quotidiennes en divisant parle facteur

252 15.9.

Nous constatons egalement des distributions tres asymetriques (CHANGYOU.COM-ADR, SINA CORP, TAL EDUCATIO-ADR, CTRIP.COM-ADR, E-HOUSECHIN-ADS), ainsi que des kurtosis tres eleves. Ainsi, les queues sont epaisses,et lechantillon va nous permettre de mettre en application - sous reserve destationnarite faible des series - les calculs de TailCor.

Representations graphiques: rendements et densites empiriques

LAnnexe1 nous presente le graphique des rendements de nos actions.

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LAnnexe2 represente la densite empirique de chacun des sous-jacents (enbleu) compare a la densite gaussienne (en rouge).Au vu de la difference entre les distributions marginales, nous pouvons des cestade refuter lhypothese dellipticite de la distribution en dimension 23.

Au vu de ces deux premieres representations graphiques, et a laune desstatistiques descriptives presentees ci-dessus, nous constatons que les distribu-tions presentent des queues de loin plus epaisses que la loi normale. Sur cecritere, lechantillon est tres interessant pour mettre en place des estimationsde TailCor. Nous testons desormais la stationnarite - faible - de chacune desdistributions marginales.

Stationnarite faible

Rappelons les conditions de la stationnarite faible: Soit un processusX1, . . . , Xna valeurs reelles en temps discret. Ce processus est dit faiblement stationnairesi et seulement si:

-E(Xi) = i = 1 . . . n

-V ar(Xi) = 2 i = 1 . . . n

-Cov(Xi, Xik) = k i i = 1 . . . n

Nous utilisons le test de Dickey Fuller Augmente (ADF) pour verifier la sta-tionnarite de chacune des 23 distributions marginales. Nous implementons lepackage tseries dans R. Il sagit dun test dhypothese utilise afin de detecterla presence dune racine unitaire dans le processus Xi i = 1 . . . n.

H0: le processus possede une racine unitaire et donc est non-stationnaire

Le modele avec constante et tendance correspond a lequation suivante:

Xt = constante

+(i p (n p+ 1)2

) tendance

+.Xt1 +

pj=2

j .Xtj+1 + t modeleADFsimple

Le nombre de retards utilises pour le test ADF decoule du critere dinformationdAkaike:

AIC = 2.Ln( ln ) + 2(kn ){ l = valeur du logarithme de vraisemblance

k = nombre de parametres

n = nombre dobservations

Nous remarquons que la p-value est inferieure a 5% dans tous les cas. Ainsi,nous rejetons H0, et ne pouvons accepter lhypothese nulle de non-stationnarite.

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Figure 9: Resume des tests ADF

Estimation du tail-index

Nous utilisons lestimateur de Hill sur nos distributions marginales em-piriques:

(H)k,n = (

1k

kj=1 lnXj,n lnXk,n)1 2 k n

Les distributions empiriques tant en majorite asymetriques, nous devonschoisir quelle queue de distribution nous allons estimer avec le coefficient alpha.Ainsi, nous estimons dun cote pour la partie gauche de la distribution, puispour la partie droite. Nous utilisons le package fExtremes et en particulierla fonction hillPlot. Nous supposons que la forme des queues est suffisamentsmooth pour ne pas trop peser sur le calcul de lestimateur.

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Figure 10: Estimateur de Hill pour une loi gaussienne. 10.000 donnees generees.Nous voyons bien quil ny a pas de plateau, et donc pas de niveau fini pour letail-index.

Figure 11: Estimateur de Hill pour une loi de Cauchy. 10.000 donnees generees.Nous retrouvons le niveau de 1.

Voici quelques exemples empiriques de notre echantillon. Nous nous interessonsau kurtosis le plus faible et au kurtosis le plus eleve:

YOUKU TUDOU INC - kurtosis 4, rendements negatifs et positifs:

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Nous constatons des tail index gauche et droit soit a 1.5 soit a 2.1. Ladifficulte destimer le bon tail index peut-etre lie au fait que la forme des queuesdistribution ne soit pas suffisament smooth.

CHANGYOU.COM-ADR - kurtosis 19, rendements negatifs et positifs:

Sur les deux queues, nous avons un tail index proche de 1.2 ce qui confirmele cote platykurtique de la distribution, deja pressenti au vu des niveaux dekurtosis.

Tests dellipticite

Nous nous concentrons sur les couples ayant des distributions similaires, entestant leur ellipticite.

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Figure 12: Resume des distributions bivariees testees

Dans un premier temps nous testons visuellement la similarite des distri-butions marginales empiriques par des QQPlots, visibles en Annexe3. Sur les7 couples retenus, les QQPlots ne permettent pas de rejeter la proximite desdistributions marginales.

Nous decidons deffectuer un second test. Nous utilisons la relation entre letau de Kendall et la correlation lineaire de Pearson. Sous hypothese dellipticite,la relation suivante doit etre respectee:

j,k =2 .arcsin(j,k)

Le non-respect de cette relation nous inciterait a ne pas valider lhypothesedellipticite.

Figure 13: Kendall vs Pearson

La relation nest pas invalidee donc nous ne pouvons rejeter lellipticite bi-variee dans chacun des couples.

Comme explique dans McNeil, Frey, Embrechts (p.99), nous mettons enplace la methode exploratoire graphique:

Dans un premier temps, nous calculons la distance de Mahalanobis, pourchaque jour t :

ht(x) = (xi,t i)1(xi,t i)

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Puis nous calculons la correlation lineaire de lechantillon dont les distancesde Mahalanobis sont superieures a c en utilisant la methode de Kendall.

(X|h(X) > c)

LAnnexe4 reprend ces resultats. Le test visuel ne remet pas en causelellipticite des distributions bivariees choisies, excepte peut-etre sur le cou-ple BITAUTO HOLD-ADR vs SOUFUN HOLDI-ADR. Neanmoins,nous decidons de poursuivre letude empirique avec les 7 couples predefinis.Ainsi, nous utilisons la version bivariee de la TailCor pour lechantillon defini.Linterpretation des resultats est effectuee dans le developpement suivant.

4.2 Interpretation des resultats

0.9 Queues de distribution plus fines quune gaussienne1.0 Distribution normale bivariee et zero correlation1.1 Queues de distribution plus larges quune gaussienne - faible correlation

1.2 - 1.4 Queues de distribution plus larges quune gaussienne - correlation plus elevee>1.4 Queues de distribution tres epaisses - correlation tres elevee

Table 2: Tableau des valeurs de TailCor benchmarkees

Figure 14: Resume des distributions bivariees testees

21

Figure 15: TailCor et contributions lineaires et non-lineaires = 0.95, = 0.75

Nous remarquons que la totalite des actifs presente des TailCor tres impor-tantes lorsque lactif est confronte a lui-meme. Dans notre echantillon, les Tail-Cor entre actifs differents varient entre 1.339 et 1.769: en effet, lensemble denotre echantillon presente des distributions marginales platykurtiques, avec unecorrelation plus ou moins importante. Il est interessant de regarder la contri-bution lineaire et la contribution non lineaire a cette relation de dependance.La diagonale presente des valeurs plus elevees. Cela sexplique par le fait quela correlation lineaire de lactif avec lui-meme est maximum (1 dans le cadre dePearson ou

2 dans le cadre de la TailCor). Les couples presentant une TailCor

proche du niveau de la diagonale correspondant exhibent ainsi une correlationnon-lineaire tres significative, etant donne quelle compense une correlationlineaire par definition plus faible.

Dans un premier temps, il est visible que les correlations lineaires sont assezfaibles - entre 0.166 et 0.373, sachant que la correlation lineaire de Pearson peutvarier entre -1 et 1.

En reprenant la Figure5, nous pouvons considerer que pour une valeursuperieure a 1.2, cela signifie une correlation des queues importante. Ainsi, lecouple QIHOO 360 TE-ADR vs HOME INNS -ADR ne presente pas decorrelation non-lineaire significativement differente de distributions gaussiennesbivariees. Neanmoins, BITAUTO HOLD-ADR vs SOUFUN HOLDI-ADR presente un risque specifique sur les queues. Ainsi, pour un investisseur,il est important davoir conscience de ce danger en cas de mouvements extremes,a savoir quun portefeuille constitue de ces deux valeurs sera soumis a une pos-sibilite deffet boule de neige.

Nous constatons egalement quune correlation lineaire elevee ne signifie pasautomatiquement correlation non-lineaire elevee. Par exemple, QIHOO 360TE-ADR vs HOME INNS -ADR presente une correlation lineaire rela-tivement elevee (0.378) par rapport a la moyenne de lechantillon alors que lacorrelation non-lineaire est une des plus faibles.

En pratique, cela signifie que pour le Risk Manager responsable de la po-sition, un suivi continu de ces risques est necessaire. Une etude de la stabilitedes estimateurs sur differents horizons temporels permet egalement de tester larobustesse des conclusions.

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Dans une philosophie de gestion par le Maximum DrawDown, lobjectif de lagestion est de minimiser la perte dans le cas du pire scenario pour linvestisseurlambda: sil investissait au plus haut et revendait au plus bas. Dans ce cadre,les relations de dependance entre les actifs composant le portefeuille - en parti-culier conditionnellement a un mouvement extreme significatif - engendrent descontraintes sur le poids maximum alloue a chacun des actifs.

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5 Conclusion

Les evenements extremes peuvent causer denormes degats a un portefeuille, enparticulier un portefeuille dont les sous-jacents presentent des similarites signi-ficatives en terme sectoriel et/ou geographique. Lobjectif de cette etude etaitde se placer dans ce cadre, en y ajoutant une caracteristique supplementaire: lesactions de notre univers chinois sont volatiles comparees aux actions des paysdeveloppes.

Ainsi, apres avoir selectionne lechantillon de facon a ce que les contraintesdellipticite soient respectees, nous sommes en mesure dexprimer le risque decorrelation entre les paires avec le prisme de la TailCor, mesure innovante etrobuste - non seulement dans le cadre asymptotique. La segmentation des con-tributions lineaires et non-lineaires permet dans un deuxieme temps dinsistersur les risques specifiques aux queues de distribution, et ainsi de prevenir tout in-vestissement dans un couple dactif presentant une trop forte dependance lorsquele marche est en acceleration.

Ce risque extremal est certes en majorite redoute lors des baisses pour lesgerants traditionnels (long only) mais le risque deffet boule de neige en cas deforte hausse peut aussi detruire la performance dans le cas des gerants long-short.

Nous avons elabore notre etude sur les rendements quotidiens. Nous pour-rions imaginer, en disposant de bases de donnees plus larges, poursuivre letudesur des frequences de rendements moins elevees - hebdomadaires par exemple.

De plus, Ricci et Veredas ont developpe un estimateur de TailCor pour lesdistributions non-elliptiques, en particulier lors de la presence dasymetrie.

Ces deux elements pourraient permettre detendre letude empirique, afinde determiner une TailCor pour les mouvements extremes a la baisse et uneTailCor pour les mouvements extremes a la hausse.

Nous pourrions egalement envisager detendre letude a dautres types dedependance, en particulier en elargissant au concept de comonotonicite via lescopules.

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26

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