spacecraft formation flying control orion mission

7/29/2019 Spacecraft Formation Flying Control Orion Mission

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A I A A - 9 9 - 4 2 6 6

S P A C E C R A F T F O R M A T I O N F L Y I N G C O N T R O L

D E S I G N F O R T H E O R I O N M I S S I O N

A n d r e w R o b e r t s o n

y

, G o k h a n I n a l h a n

z

, a n d J o n a t h a n P . H o w

x

A b s t r a c t

F o r m a t i o n y i n g o f m u l t i p l e s p a c e c r a f t i s a n e n a b l i n g

t e c h n o l o g y f o r m a n y f u t u r e s p a c e s c i e n c e m i s s i o n s .

H o w e v e r , t h e c o o r d i n a t i o n a n d c o n t r o l o f s u c h i n -

s t r u m e n t s p r e s e n t m a n y d e s i g n c h a l l e n g e s . T h i s p a -

p e r a d d r e s s e s t h e f o r m a t i o n y i n g s p a c e c r a f t c o n -

t r o l p r o b l e m a t s e v e r a l l e v e l s . W e p r e s e n t l o w - l e v e l ,

m u l t i - v e h i c l e , s t a t i o n k e e p i n g a l g o r i t h m s a n d a c o n -

t r o l a r c h i t e c t u r e t o k e e p t h e v e h i c l e s a l i g n e d i n f o r -

m a t i o n . W e a l s o p r e s e n t a h i g h - l e v e l e e t p l a n n e r

t h a t c r e a t e s t r a j e c t o r i e s e . g . t o r e - s i z e o r r e - t a r g e t

t h e f o r m a t i o n a n d t a k e s i n t o a c c o u n t t h e l i m i t e d

f u e l o n b o a r d e a c h v e h i c l e . A c o o r d i n a t o r i s i n t r o -

d u c e d a t t h e h i g h e s t - l e v e l t o e n s u r e t h a t v e h i c l e r e -

s o u r c e s a r e e x p e n d e d e q u a l l y w i t h i n t h e e e t . A l g o -

r i t h m s a r e d i s c u s s e d f o r e a c h l e v e l , w i t h s i m u l a t i o n s

t o c o m p a r e p e r f o r m a n c e . T h e s i m u l a t i o n r e s u l t s a r e

t h e n v e r i e d o n a f o r m a t i o n y i n g t e s t b e d . T h e c o n -

t r o l d e s i g n i s t h e n d i s c u s s e d w i t h a p e r s p e c t i v e o n

t h e u p c o m i n g O r i o n m i s s i o n .

1

1 I n t r o d u c t i o n

F o r m a t i o n y i n g o f m u l t i p l e s p a c e c r a f t i s a n e n a b l i n g

t e c h n o l o g y f o r m a n y f u t u r e s p a c e s c i e n c e m i s s i o n s

i n c l u d i n g e n h a n c e d s t e l l a r o p t i c a l i n t e r f e r o m e t e r s a n d

v i r t u a l p l a t f o r m s f o r e a r t h o b s e r v i n g a n d s p a c e s c i -

e n c e . A d i s t r i b u t e d a r r a y o f s i m p l e b u t h i g h l y c o -

o r d i n a t e d s p a c e c r a f t m a y a c c o m p l i s h t h e s e s c i e n c e

T h i s w o r k i s f u n d e d i n p a r t u n d e r A i r F o r c e g r a n t

F 4 9 6 2 0 - 9 9 - 1 - 0 0 9 5 , N A S A J P L c o n t r a c t 9 6 0 9 4 1 a n d N A S A

G S R P f e l l o w s h i p g r a n t N G T 5 - 5 0 0 7 5

y

A I A A s t u d e n t m e m b e r , R e s e a r c h A s s t . , D e p t . o f

A e r o n a u t i c s a n d A s t r o n a u t i c s , S t a n f o r d U n i v .

a d r @ s u n - v a l l e y . s t a n f o r d . e d u

z

A I A A s t u d e n t m e m b e r , R e s e a r c h A s s t . , D e p t . o f

A e r o n a u t i c s a n d A s t r o n a u t i c s , S t a n f o r d U n i v .

g i n a l h a n @ l e l a n d . s t a n f o r d . e d u

x

S e n i o r M e m b e r A I A A , A s s i s t a n t P r o f e s s o r , D e p t .

o f A e r o n a u t i c s a n d A s t r o n a u t i c s , S t a n f o r d U n i v .

h o w j o @ s u n - v a l l e y . s t a n f o r d . e d u

1

C o p y r i g h t

c

1 9 9 9 b y t h e A m e r i c a n I n s t i t u t e o f

A e r o n a u t i c s a n d A s t r o n a u t i c s , I n c . A l l r i g h t s r e s e r v e d .

g o a l s b y a l l o w i n g l o n g e r b a s e l i n e s , w h i c h t r a n s l a t e

i n t o i m p r o v e d i m a g e r e s o l u t i o n f o r s t e l l a r i n t e r f e r -

o m e t r y o r e a r t h - m a p p i n g s y n t h e t i c a p e r t u r e s . S t r o n g

i n t e r e s t i n t h e f o r m a t i o n y i n g c o n c e p t h a s l e d t o

s e v e r a l p l a n n e d a n d p r o p o s e d s p a c e m i s s i o n s i n c l u d -

i n g : D e e p S p a c e 3 2 , T e r r e s t r i a l P l a n e t F i n d e r 3 ,

E O - 1 4 , T e c h S a t - 2 1 5 , a n d O r i o n 1 .

T h i s p a p e r f o c u s e s o n f o r m a t i o n c o n t r o l d e s i g n

w i t h a p e r s p e c t i v e f r o m O r i o n , a f o r m a t i o n y i n g

m i s s i o n u n d e r d e v e l o p m e n t a t S t a n f o r d 1 . I n p a r -

t i c u l a r , w e i n v e s t i g a t e s e v e r a l f o r m a t i o n c o n t r o l s t r a t e -

g i e s t h a t c o u l d b e u s e d t o c o o r d i n a t e t h e O r i o n s p a c e -

c r a f t d u r i n g a l l m i s s i o n p h a s e s . T h i s p a p e r i n v e s t i -

g a t e s t h e h i g h - a n d l o w - l e v e l c o n t r o l d e s i g n i s s u e s

a n d i d e n t i e s p o t e n t i a l e x p e r i m e n t s f o r t h e O r i o n

m i s s i o n . S i m u l a t i o n r e s u l t s a r e p r e s e n t e d f o r s e v e r a l

f o r m a t i o n c o n t r o l l e r s a n d m a n e u v e r p l a n n e r s .

S e c t i o n s 2 a n d 3 p r e s e n t a n o v e r v i e w o f t h e O r i o n

m i s s i o n a n d a d e s c r i p t i o n o f S t a n f o r d ' s f o r m a t i o n

y i n g t e s t b e d F F T B , w h i c h p r o v i d e s a v e r y u s e f u l

m e a n s t o i n v e s t i g a t e c o n t r o l s t r a t e g i e s o n a h i g h -

d e l i t y h a r d w a r e s i m u l a t i o n i n t w o - d i m e n s i o n s o f

a t h r e e - v e h i c l e s p a c e c r a f t f o r m a t i o n .

T h e g o a l o f f o r m a t i o n y i n g i s f o r s e v e r a l v e h i -

c l e s t o a c t a s a s i n g l e s y s t e m . T h e s y s t e m t a s k i s t o

m a i n t a i n a d e s i r e d f o r m a t i o n u t i l i z i n g t h e l i m i t e d r e -

s o u r c e s a v a i l a b l e o n e a c h s p a c e c r a f t . T h e c o m b i n e d

s y s t e m c a n t h e n c o o p e r a t e t o a c c o m p l i s h v a r i o u s s c i -

e n t i c o b j e c t i v e s . W e d i v i d e t h i s t a s k i n t o 2 p a r t s :

1 . F o r m a t i o n K e e p i n g i n i t i a l i z e s t h e d e s i r e d f o r -

m a t i o n a n d m a i n t a i n s i t a g a i n s t d i s t u r b a n c e s .

2 . F o r m a t i o n P l a n n i n g c r e a t e s t r a j e c t o r i e s f o r t h e

f o r m a t i o n t o f o l l o w d u r i n g m a n e u v e r s s u c h a s

r e - s i z i n g o r r e - t a r g e t i n g .

F o r m a t i o n p l a n n i n g i s d i s c u s s e d i n d e t a i l i n s e c t i o n

5 . T h e p l a n n e r d e v e l o p s t r a j e c t o r i e s f o r e a c h v e h i -

c l e i n t h e f o r m a t i o n g i v e n g l o b a l k n o w l e d g e o f t h e

v e h i c l e s t a t e s , t h e s e t o f m i s s i o n g o a l s , a n d a d e -

1

A m e r i c a n I n s t i t u t e o f A e r o n a u t i c s a n d A s t r o n a u t i c s


2/14

F i g . 1 : O r i o n m i c r o s a t e l l i t e s h o w i n g t h e G P S a n -

t e n n a s r o u n d a n d c o l d - g a s t h r u s t e r s a t c o r n e r s .

t a i l e d m o d e l o f t h e s y s t e m e . g . i n c l u d i n g a m o d e l

o f t h e o r b i t a l d y n a m i c s f o r a L E O m i s s i o n . T h e s e

t r a j e c t o r i e s a r e d e l i v e r e d t o t h e v e h i c l e s i n a f e e d f o r -

w a r d s e n s e , i . e . n o a c c o u n t i s m a d e f o r u n m o d e l e d

d i s t u r b a n c e s o r t r a c k i n g e r r o r s i n r e a l - t i m e . A k e y

t a s k f o r t h e l o w - l e v e l f e e d b a c k c o n t r o l l e r s i s t o k e e p

e a c h v e h i c l e o n t h e d e s i r e d t r a j e c t o r y . I f t h e d e -

v i a t i o n s f r o m t h e t r a j e c t o r i e s a r e s i g n i c a n t , t h e n a

n e w p l a n c o u l d b e d e v e l o p e d f o r t h e f o r m a t i o n . S i m -

u l a t e d m a n e u v e r s a r e p r e s e n t e d f o r L E O a n d d e e p

s p a c e . A f o r m a t i o n m a n e u v e r i s a l s o d e m o n s t r a t e d

o n t h e F F T B .

S e c t i o n 4 d e s c r i b e s t h e l o w - l e v e l f o r m a t i o n k e e p -

i n g c o n t r o l a l g o r i t h m s , a n d t h e c o n t r o l a r c h i t e c t u r e

w h i c h s e r v e s t o d i s t r i b u t e t h e f o r m a t i o n k e e p i n g t a s k

a m o n g t h e v e h i c l e s . P e r f o r m a n c e o f t h e l o w - l e v e l

c o n t r o l i s e v a l u a t e d i n s i m u l a t i o n a n d o n t h e F F T B .

2 O v e r v i e w o f t h e O r i o n M i s s i o n

T h e O r i o n m i s s i o n w i l l d e m o n s t r a t e f o r m a t i o n y -

i n g i n l o w e a r t h o r b i t 1 . T h e c u r r e n t d e s i g n c a l l s

f o r 3 m i c r o - s a t e l l i t e s 5 0 c m c u b e , s e e F i g . 1 t o b e

l a u n c h e d t o g e t h e r . T h e f o r m a t i o n w i l l b e i n i t i a l -

i z e d a n d t h e n s u c c e s s i v e l y t i g h t e n e d o v e r f o u r m i s -

s i o n p h a s e s : i n i t i a l i z a t i o n c h e c k o u t , p a r k i n g , c o a r s e

f o r m a t i o n y i n g , a n d p r e c i s e f o r m a t i o n y i n g . T h e

O r i o n v e h i c l e s h a v e c o l d - g a s t h r u s t e r s f o r a t t i t u d e

a n d s t a t i o n - k e e p i n g m a n e u v e r s , C a r r i e r - p h a s e d i f -

f e r e n t i a l G P S s e n s i n g f o r p r e c i s e r e l a t i v e n a v i g a t i o n ,

a n d d e d i c a t e d c o m p u t a t i o n a n d c r o s s l i n k c o m m u n i -

c a t i o n . T h u s t h e O r i o n m i s s i o n w i l l d e m o n s t r a t e a n d

v a l i d a t e m a n y k e y t e c h n o l o g i e s f o r f u t u r e f o r m a t i o n

y i n g m i s s i o n s . R e f . 1 d i s c u s s e s t h e m i s s i o n d e s i g n

i n s i g n i c a n t l y m o r e d e t a i l .

F i g . 2 : F o r m a t i o n F l y i n g T e s t b e d

3 F o r m a t i o n F l y i n g T e s t b e d

T o i n v e s t i g a t e t h e g u i d a n c e , n a v i g a t i o n , a n d c o n t r o l

i s s u e s a s s o c i a t e d w i t h f o r m a t i o n y i n g , a t e s t b e d h a s

b e e n c r e a t e d a t S t a n f o r d . T h e t e s t b e d c o n s i s t s o f 3

a c t i v e f r e e - y i n g v e h i c l e s t h a t m o v e o n a 1 2 f t

9 f t g r a n i t e t a b l e t o p s e e F i g . 2 . T h e s e a i r c u s h -

i o n v e h i c l e s s i m u l a t e t h e d r a g - f r e e z e r o - g d y n a m i c s

o f a s p a c e c r a f t f o r m a t i o n i n a h o r i z o n t a l p l a n e . T h e

v e h i c l e s a r e p r o p e l l e d b y c o m p r e s s e d a i r t h r u s t e r s .

E a c h v e h i c l e h a s o n b o a r d c o m p u t i n g a n d b a t t e r -

i e s , a n d c o m m u n i c a t e s w i t h t h e o t h e r v e h i c l e s v i a

a w i r e l e s s e t h e r n e t , m a k i n g t h e m s e l f - c o n t a i n e d a n d

a u t o n o m o u s . A n o v e r h e a d v i s i o n - b a s e d s e n s i n g s y s -

t e m r e p o r t s v e h i c l e p o s i t i o n a n d a t t i t u d e . A n i n d o o r

G P S - b a s e d s e n s i n g s y s t e m p e r f o r m s a s i m i l a r f u n c -

t i o n , a s d e m o n s t r a t e d i n R e f . 6 .

4 F o r m a t i o n K e e p i n g

4 . 1 M u l t i - V e h i c l e S t a t i o n K e e p i n g

O n e c h a l l e n g e i n d e s i g n i n g c o n t r o l l a w s f o r a f o r m a -

t i o n o f s p a c e c r a f t i s t h e u s e o f o n - o t h r u s t a c t u a -

t o r s f o r p o s i t i o n c o n t r o l . D u e t o t h i s n o n l i n e a r i t y

i n t h e s y s t e m , l i n e a r c o n t r o l t e c h n i q u e s e . g . L Q R

a r e o f l i m i t e d u s e f u l n e s s . T h i s c h a l l e n g e c a n b e

a d d r e s s e d b y d e s i g n i n g p u l s e - w i d t h m o d u l a t i o n o r

t h r u s t - m a p p i n g s c h e m e s t h a t e e c t i v e l y c a u s e t h e

a c t u a t o r t o b e h a v e l i n e a r l y i n a t i m e - a v e r a g e d s e n s e .

V a r i a b l e - t h r u s t a c t u a t o r s c o u l d b e u s e d i n s t e a d o f

s t a n d a r d t h r u s t e r s , i f f e a s i b l e ; h o w e v e r m o s t c o n -

v e n t i o n a l m i s s i o n s , i n c l u d i n g O r i o n , u s e o n - o t y p e

t h r u s t e r s . T h u s , w e c h o s e t o d e s i g n c o n t r o l l a w s

t h a t d i r e c t l y a c c o u n t f o r t h e o n - o n a t u r e o f c o n -

v e n t i o n a l t h r u s t e r s . T h e c o n t r o l l a w s d e s c r i b e d a r e

f o r p o s i t i o n c o n t r o l i n o n e a x i s , b u t t h e r e s u l t s a r e

a p p l i c a b l e t o t h r e e - a x i s p o s i t i o n c o n t r o l f o r a t y p i c a l

s p a c e c r a f t w i t h s e p a r a t e t h r u s t e r s f o r e a c h a x i s .

2



3/14

T h e w e i g h t e d f u e l - t i m e o p t i m a l c o n t r o l l a w f o r

a s i n g l e v e h i c l e w i t h o n - o a c t u a t o r s e . g . t w o p o s i -

t i v e a n d t w o n e g a t i v e t h r u s t e r s p e r a x i s i s t h e w e l l

k n o w n b a n g - o - b a n g t r a j e c t o r y 7

u =

8

:

+ 2

_

x g

1

x a n d

_

x g

2

x

, 2

_

x g

1

x a n d

_

x g

2

x

0 o t h e r w i s e

1

g

1

x = , s g n ^ x

s

4

1 + 4

j x j

f

t h r u s t e r

m

v e h i c l e

2

g

2

x = , s g n ^ x

r

4 j x j

f

t h r u s t e r

m

v e h i c l e

3

T h i s c o n t r o l l a w p r o d u c e s o p t i m a l t r a j e c t o r i e s a c -

c o r d i n g t o t h e c o s t f u n c t i o n

J =

Z

t

f

t

0

1 + j u t j d t 4

w h e r e t h e m a n e u v e r o c c u r s f r o m t

0

t o t

f

a n d i s

t h e p e n a l t y a p p l i e d t o f u e l u s e . T h i s t e c h n i q u e h a s

b e e n e x t e n d e d t o t h e t w o v e h i c l e w e i g h t e d f u e l - t i m e

o p t i m a l c a s e i n 8 f o r t h e c o s t f u n c t i o n

J =

Z

t

f

t

0

1 +

1

j u

1

t j +

2

j u

2

t j d t 5

w h e r e

1

a n d

2

p r o v i d e w e i g h t s t h a t p e n a l i z e f u e l

u s e f o r e a c h v e h i c l e . F o r a g i v e n i n i t i a l o s e t i n

r e l a t i v e p o s i t i o n , t h e o p t i m a l t r a j e c t o r y i s b a n g - o -

b a n g w i t h d i e r e n t t i m i n g f o r e a c h v e h i c l e . T h e

s w i t c h t i m e s f o r t h e s e e v e n t s a r e d e t e r m i n e d b y t h e

c o n t r o l l a w

u

1

=

8

:

+ 2

_

x g

1

x a n d

_

x g

2

x

, 2

_

x g

1

x a n d

_

x g

2

x

0 o t h e r w i s e

6

u

2

=

8

:

+ 2

_

x g

3

x a n d

_

x g

4

x

, 2

_

x g

3

x a n d

_

x g

4

x

0 o t h e r w i s e

7

g

i

x = , s g n ^ x

p

G

i

j x j 8

G

1

= j

1

A

j 9

G

2

= j

1

A ,

2

1

K

1

j 1 0

G

3

= 2 K

1

+ K

2

1 1

G

4

= j

1

A ,

2

1

K

1

1

C

2

,

B

C

,

K

1

B

2

2 C

2

j 1 2

B =

2

K

2

,

1

K

1

1 3

A = ,

1 , K

1

B

2

2 K

1

+ K

2

, B +

B

2

K

1

2

1 4

C = 1 +

1

,

2

K

1

K

2

1 5

S o m e i n i t i a l s i m u l a t i o n r e s u l t s w e r e p r e s e n t e d i n 8 .

S i m u l a t i o n s f o r t h r e e n e w c a s e s a r e p r e s e n t e d h e r e

t o h i g h l i g h t t h e b e n e t o f u s i n g t h i s m o r e c o m p l e x

c o n t r o l l a w i n s t e a d o f l i n e a r c o n t r o l w i t h t h r u s t m a p -

p i n g , o r t h e s i m p l e r s i n g l e v e h i c l e f u e l - t i m e o p t i -

m a l c o n t r o l l e r . T h e s i m u l a t i o n r e s u l t s a r e t h e n v e r i -

e d e x p e r i m e n t a l l y o n t h e f o r m a t i o n y i n g t e s t b e d .

F i r s t , w e d e s c r i b e t h e c a s e s t o b e s i m u l a t e d .

P r o p o r t i o n a l p l u s d e r i v a t i v e P D c o n t r o l w i t h

t h r u s t - m a p p i n g i s p r e s e n t e d a s a b a s e l i n e " c a s e .

T h e g a i n s w e r e d e s i g n e d u s i n g a l i n e a r s y s t e m m o d e l ,

a n d t h e n t u n e d t o p r o v i d e g o o d p e r f o r m a n c e o n t h e

v e h i c l e s . A n o t h e r b a s e l i n e " c a s e i s e a c h v e h i c l e u s -

i n g i t s o w n f u e l - t i m e o p t i m a l c o n t r o l a s d e s c r i b e d

i n E q s . 1 3 . I n t h i s c a s e , e a c h v e h i c l e i s o p e r a t i n g

i n d e p e n d e n t l y t o r e d u c e t h e r e l a t i v e s t a t e e r r o r , b u t

n o t e t h a t t h e y e a c h m u s t h a v e k n o w l e d g e o f t h e r e l a -

t i v e s t a t e . F i n a l l y , t h e t w o v e h i c l e f u e l - t i m e o p t i m a l

c o n t r o l i s a l s o p r e s e n t e d . I n e a c h c a s e , t h e c o n t r o l

d e s i g n v a r i a b l e s g a i n s o r w e i g h t s a r e c h o s e n t o a t -

t e m p t t o f o r c e v e h i c l e 1 t o e x p e n d 5 0 m o r e f u e l

t h a n v e h i c l e 2 f o r a m a n e u v e r o f a b o u t 1 5 . 6 s e c o n d s .

B y x i n g t h e d u r a t i o n a n d f u e l r a t i o , t h e t o t a l f u e l

u s e a n d c o s t a c c o r d i n g t o E q . 5 c a n b e c o m p a r e d

f o r e a c h c o n t r o l l e r . H o w e v e r , t h e f u e l - b a l a n c e d e -

p e n d s s t r o n g l y o n t h e i n i t i a l c o n d i t i o n s f o r t h e r s t

t w o c o n t r o l l e r s . T h e r e s u l t s f r o m t h e s i m u l a t i o n a r e

p r e s e n t e d i n T a b l e 1 .

T h e s i m u l a t i o n i s b a s e d o n t h e f o r m a t i o n y -

i n g t e s t b e d a n d i n c l u d e s t h e G P S e s t i m a t i o n s y s t e m

w i t h m e a s u r e m e n t n o i s e b a s e d o n o b s e r v e d e x p e r i -

m e n t a l v a l u e s . G P S m e a s u r e m e n t s a r e a v a i l a b l e a t

1 0 H z , a n d t h e e s t i m a t o r a n d p l a n t a r e r u n a t 6 0

H z . E a c h o f t h e t h r e e c o n t r o l c a s e s m e n t i o n e d w e r e

r u n o n a t w o v e h i c l e s y s t e m w i t h a n i n i t i a l r e l a t i v e

T a b l e 1 : S i m u l a t i o n o f 2 v e h i c l e p o s i t i o n

o s e t r e s p o n s e n o r m a l i z e d f u e l ,

c o s t

1

= 1 : 8 6 ;

2

= 1 : 9 9 .

C o n t r o l l e r F u e l

1

F u e l

2

T i m e C o s t

s e c

P D + m a p 1 . 0 0 0 . 6 6 1 5 . 6 3 4 0 . 0 4

F - t O p t 2 1 - v 0 . 4 5 0 . 3 1 1 5 . 6 0 2 7 . 0 7

F - t O p t 2 - v e h . 0 . 4 4 0 . 2 8 1 5 . 6 3 2 6 . 2 1

3



4/14

0 2 4 6 8 10 12 14 16 181

0.5

0

0.5

1

1.5

time (sec)

position(m)

PD + thrust map2 x 1veh fueltimefueltime optimal

F i g . 3 : E x p e r i m e n t : 2 v e h . p o s i t i o n o s e t r e s p o n s e

p o s i t i o n e r r o r o f o n e m e t e r . T h e f u e l e x p e n d e d b y

e a c h v e h i c l e , t h e t i m e t o b r i n g t h e e r r o r t o z e r o , a n d

t h e r e s u l t i n g c o s t a c c o r d i n g t o E q . 5 a r e r e c o r d e d .

F r o m t h i s t a b l e , i t i s c l e a r t h a t t h e P D c o n t r o l e x -

p e n d s a l a r g e a m o u n t o f e x t r a f u e l c o m p a r e d t o t h e

o t h e r c o n t r o l l e r s . T h e t w o v e h i c l e s r u n n i n g i n d e p e n -

d e n t s i n g l e - v e h i c l e c o n t r o l l e r s p e r f o r m m u c h b e t t e r

t h a n t h e P D , b u t t h i s i s n o t a s f u e l e c i e n t a s t h e

2 - v e h i c l e f u e l - t i m e o p t i m a l c o n t r o l . T h i s i n t u i t i v e

r e s u l t p r e s e n t s a p o s s i b l e t r a d e - o f o r t h e c o n t r o l

d e s i g n e r : t h e e x t r a f u e l c o s t o f t h e s i n g l e v e h i c l e

c o n t r o l l e r m a y b e a c c e p t a b l e i n e x c h a n g e f o r t h e

s i m p l i e d c o n t r o l l e r . T h i s t r a d e - o i s e x p l o r e d i n

S e c t i o n 4 . 3 . M o r e w o r k i s n e e d e d t o d e t e r m i n e h o w

l a r g e t h i s d i e r e n c e i s f o r r e a l i s t i c o p e r a t i n g c o n d i -

t i o n s e . g . d u r i n g a f o r m a t i o n m a n e u v e r .

T h e t h r e e c a s e s w e r e t h e n t e s t e d e x p e r i m e n t a l l y

o n t h e f o r m a t i o n y i n g t e s t b e d . N o t e t h a t t h e o v e r -

h e a d v i s i o n s y s t e m w h i c h h a s d i e r e n t n o i s e a n d

a c c u r a c y c h a r a c t e r i s t i c s t h a n t h e G P S s y s t e m s i m -

u l a t e d w a s u s e d f o r t h i s e x p e r i m e n t . T h e v e h i -

c l e s ' p o s i t i o n s , v e l o c i t i e s a n d f u e l u s e w e r e r e c o r d e d .

F i g . 3 s h o w s t h e s t a t e h i s t o r i e s f o r t h e t h r e e c a s e s .

T a b l e 2 s h o w s t h e p e r f o r m a n c e o f e a c h c o n t r o l l e r o n

a r e a l s y s t e m .

T h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s c o n r m t h e p e r f o r m a n c e

p r e d i c t e d b y t h e s i m u l a t i o n . A n i n t e r e s t i n g s o u r c e o f

e r r o r i s t h a t t h e v e h i c l e a c c e l e r a t i o n u s e d i n t h e s i m -

u l a t i o n w a s o p t i m i s t i c . A l l v e h i c l e s t o o k m o r e f u e l

t o a c c o m p l i s h t h e m a n e u v e r i n e x p e r i m e n t t h a n t h e y

d i d i n s i m u l a t i o n . T h e n o r m a l i z e d f u e l v a l u e i n T a -

b l e 2 i s a b o u t 5 0 h i g h e r t h a n i n T a b l e 1 . T h e t w o

v e h i c l e f u e l - t i m e o p t i m a l c o n t r o l l e r i s m o s t s e n s i t i v e

T a b l e 2 : E x p e r i m e n t o f 2 v e h i c l e p o s i t i o n

o s e t r e s p o n s e n o r m a l i z e d f u e l ,

c o s t

1

= 1 : 8 6 ;

2

= 1 : 9 9 .

C o n t r o l l e r F u e l

1

F u e l

2

T i m e C o s t

s e c

P D + m a p 1 . 0 0 0 . 7 9 1 5 . 6 7 5 6 . 7 8

F - t O p t 2 1 - v 0 . 6 2 0 . 4 8 1 6 . 6 3 4 1 . 9 0

F - t O p t 2 - v e h . 0 . 5 3 0 . 4 4 1 6 . 2 0 3 8 . 4 3

t o t h i s ; i t s h o w s a n o v e r s h o o t a n d n i s h e s 3 c m a w a y

f r o m t h e g o a l o f a 1 m r e l a t i v e s e p a r a t i o n . T h i s h i g h -

l i g h t s t h e i m p o r t a n c e o f h a v i n g a n a c c u r a t e t h r u s t e r

m o d e l f o r b a n g - o - b a n g t y p e c o n t r o l l e r s .

4 . 2 N u m e r i c a l C a l c u l a t i o n o f C o n t r o l L a w s

T h e p r e v i o u s s e c t i o n i l l u s t r a t e s t h e b e n e t o f u s i n g

a c o n t r o l l a w d e s i g n e d f o r a p a r t i c u l a r c a s e e . g . t w o

v e h i c l e s a n d a p a r t i c u l a r c o s t f u n c t i o n e . g . E q . 5

c o m p a r e d t o l i n e a r c o n t r o l o r t o a c o m b i n a t i o n o f

s i m p l e r c o n t r o l l e r s . H o w e v e r , t h e a n a l y t i c f o r m o f

t h e c o n t r o l l a w t h a t p r o v i d e s t h e o p t i m a l b e h a v i o r

f o r t h e w e i g h t e d f u e l - t i m e c o s t f u n c t i o n i s v e r y d i -

c u l t t o d e r i v e f o r t h e c a s e o f t h r e e o r m o r e v e h i c l e s .

I t i s n o t c l e a r t h a t s i m p l e a n a l y t i c e x p r e s s i o n s f o r

t h e o p t i m a l c o n t r o l l a w s e v e n e x i s t .

R e f . 8 p r e s e n t e d o n e p o s s i b l e s o l u t i o n t o t h i s

p r o b l e m b y u s i n g a r e a l - t i m e o p t i m i z a t i o n r o u t i n e

t h a t s o l v e s a n a p p r o x i m a t e f o r m o f t h e p r o b l e m .

T h i s t e c h n i q u e w a s s h o w n t o r e p l i c a t e t h e p e r f o r -

m a n c e o f t h e f u e l - t i m e o p t i m a l c o n t r o l l e r f o r t h e t w o

v e h i c l e c a s e . H o w e v e r , t h i s t e c h n i q u e i s n o t g u a r -

a n t e e d t o b e o p t i m a l a n d r e q u i r e s s i g n i c a n t c o m -

p u t a t i o n a l r e s o u r c e s t o w o r k i n r e a l - t i m e . A c o n t r o l

l a w b a s e d o n s w i t c h i n g c o n d i t i o n s s u c h a s E q s . 1 3

w o u l d d e m a n d l e s s c o m p u t a t i o n ; h o w e v e r t h e d i -

c u l t y l i e s i n n d i n g a c o n t r o l l a w f o r a g i v e n c o m p l e x

c o s t f u n c t i o n f o r a l a r g e n u m b e r o f v e h i c l e s .

T h i s s e c t i o n p r e s e n t s a n a l t e r n a t e m e t h o d f o r

n d i n g c o n t r o l l a w s b a s e d o n a n u m e r i c a l o p t i m i z a -

t i o n t e c h n i q u e c a l l e d I n v e r s e D y n a m i c O p t i m i z a t i o n

s e e 9 , p a g e s 3 6 2 3 6 3 . I n t h i s t e c h n i q u e , p o i n t s

o n s t a t e v a r i a b l e h i s t o r i e s a r e d e t e r m i n e d s o t h a t

t h e p a t h i s o p t i m a l a c c o r d i n g t o s o m e c o s t f u n c t i o n .

T h e c o n t r o l h i s t o r i e s t h a t p r o d u c e t h e o p t i m a l p a t h

a r e t h e n f o u n d t h r o u g h n u m e r i c a l d i e r e n t i a t i o n o f

t h e s t a t e v a r i a b l e h i s t o r i e s . I n o t h e r w o r d s , a g e n -

e r a l c o s t f u n c t i o n i s s p e c i e d , a n d t h e n a n o p t i m a l

4



5/14

t r a j e c t o r y a l o n g w i t h t h e c o n t r o l h i s t o r y t h a t p r o -

d u c e s i t a r e f o u n d f o r s o m e i n i t i a l c o n d i t i o n . I n t h i s

w a y , a f a m i l y o f o p t i m a l t r a j e c t o r i e s c a n b e d e t e r -

m i n e d . G i v e n t h e o n - o n a t u r e o f t h e a c t u a t o r s i n

o u r s y s t e m , i t i s f e a s i b l e t o c r e a t e a s u c i e n t n u m b e r

o f t h e s e o p t i m a l t r a j e c t o r i e s t o d e t e r m i n e t h e a p p r o -

p r i a t e c o n t r o l b e h a v i o r s a n d e s p e c i a l l y t h e s w i t c h i n g

t i m e s f o r a w i d e r a n g e o f c a s e s .

T h i s t e c h n i q u e i s r s t a p p l i e d t o t h e s i n g l e v e h i -

c l e c a s e t o i l l u s t r a t e t h e s t e p s . W e s t a r t f r o m E q . 4

w i t h o u t k n o w l e d g e o f E q s . 1 3 , a n d s o l v e f o r t h e o p -

t i m a l t r a j e c t o r i e s f r o m a f a m i l y o f i n i t i a l c o n d i t i o n s

f r o m x

0

= - 2 . 0 t o - 0 . 2 5 . T h e r e s u l t i n g t r a j e c t o r i e s

w i t h f a i r l y l a r g e t i m e s t e p s a r e s h o w n i n F i g . 4 i n

t h e p o s i t i o n - v e l o c i t y p h a s e p l a n e . N o t e t h a t a l l o f

t h e r e s p o n s e s f o l l o w b a n g - o - b a n g t r a j e c t o r i e s , a n d

t w o s w i t c h i n g p o i n t s a r e a p p a r e n t o n e a c h t r a j e c -

t o r y . B y t r a c i n g a l i n e t h r o u g h e a c h s e t o f s w i t c h i n g

p o i n t s , w e n d t h e s w i t c h i n g l i n e s w h i c h s e p a r a t e

t h e i n i t i a l a c c e l e r a t i o n r e g i o n f r o m t h e c o a s t r e g i o n

a n d t h e c o a s t r e g i o n f r o m t h e n a l d e c e l e r a t i o n r e -

g i o n . T h e s e l i n e s a r e c o m p a r e d t o t h e t r u e o p t i m a l

s w i t c h i n g l i n e s i n F i g . 5 .

T h e l i m i t a t i o n o n t h i s t e c h n i q u e i s t h a t e v e n a

s m a l l n u m b e r o f t r a j e c t o r y s e g m e n t s r e q u i r e s a l a r g e

a m o u n t o f c o m p u t a t i o n . T h u s t h e s w i t c h i n g l i n e s

f o u n d u s i n g t h e i n v e r s e d y n a m i c o p t i m i z a t i o n w i l l b e

a p p r o x i m a t e . H o w e v e r , t h e s w i t c h i n g l i n e s f r o m t h i s

t e c h n i q u e c a n t h e n b e u s e d a s a n i n i t i a l g u e s s f o r t h e

o p t i m a l c o n t r o l l a w . T h e l i n e s c o u l d b e v a r i e d a n d

t e s t e d i n a c o n v e n t i o n a l f o r w a r d d y n a m i c s i m u l a t i o n

t o n d t h e t r u e l i n e s t o w i t h i n a d e s i r e d t o l e r a n c e .

U s i n g t h i s t e c h n i q u e , t h e v a l u e f o r t h e c o e c i e n t i n

E q . 3 , w h i c h s h o u l d e q u a l

4

1 + 4

, w a s d e t e r m i n e d

t o w i t h i n 2 b y t h e i n i t i a l c u r v e t , a n d t h e n w i t h i n

0 . 0 0 0 1 u s i n g t h e f o r w a r d d y n a m i c s i m u l a t i o n .

N o t e t h e i n v e r s e d y n a m i c o p t i m i z a t i o n n d s t h e

o p t i m a l f o r m o f t h e c o n t r o l , i . e . t h e b a n g - o - b a n g

n a t u r e o f t h e s o l u t i o n i s c l e a r f r o m t h e o p t i m a l t r a -

j e c t o r i e s . O n c e t h i s i s k n o w n , r e n i n g t h e e x a c t

s h a p e a n d l o c a t i o n o f t h e s w i t c h i n g l i n e s f o r e a c h

i s s t r a i g h t f o r w a r d , e v e n f o r a m a n y - v e h i c l e s y s t e m .

T h e i n v e r s e d y n a m i c o p t i m i z a t i o n h a s t h e a d d i -

t i o n a l b e n e t t h a t i f t h e c o r r e c t f o r m o f t h e c o n t r o l

l a w i s k n o w n , i . e . i f w e k n e w t h e f o r m o f t h e c o e -

c i e n t i s

a

b + c

i n E q . 2 , i t c a n b e u s e d t o n d t h e

c o n s t a n t s . T h i s p r o d u c e s a g e n e r a l c o n t r o l l a w i . e .

2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 00

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

position (m)

velocity(m/s)

F i g . 4 : F a m i l y o f o p t i m a l t r a j e c t o r i e s f r o m i n v e r s e

d y n a m i c o p t i m i z a t i o n

2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 00

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

position (m)

velocity(m/s)

experimentaltruth

F i g . 5 : N u m e r i c a l s w i t c h i n g l i n e c o m p a r e d t o t r u t h

f o r a n y v a l u e .

A s a n o t h e r e x a m p l e , c o n s i d e r t h e t h r e e v e h i c l e

c a s e w i t h t h e c o s t f u n c t i o n

J =

Z

t

f

t

0

1 +

1

j u

1

t j +

2

j u

2

t j +

3

j u

3

t j d t 1 6

A n a n a l y t i c s o l u t i o n f o r t h e o p t i m a l c o n t r o l l a w i s

n o t k n o w n t o b e c u r r e n t l y a v a i l a b l e 1 0 . A t r a j e c -

t o r y w a s f o u n d f o r t h i s 3 - v e h i c l e c o s t f u n c t i o n u s i n g

i n v e r s e d y n a m i c o p t i m i z a t i o n . F i g . 6 s h o w s t h e t i m e

h i s t o r i e s o f t h e r e l a t i v e p o s i t i o n s a n d v e l o c i t i e s f o r

t h e v e h i c l e p a i r s : 1 & 2 , a n d 2 & 3 . F i g . 7 s h o w s t h e

o p t i m a l c o n t r o l h i s t o r y f o r e a c h v e h i c l e . I t i s i m m e -

d i a t e l y o b v i o u s t h a t e a c h v e h i c l e f o l l o w s a b a n g - o -

b a n g t r a j e c t o r y . E a c h v e h i c l e c o a s t s f o r a d i e r e n t

t i m e p e r i o d , a n d t h e y l e a v e c o a s t m o d e i n t h e r e -

v e r s e o r d e r f r o m w h i c h t h e y e n t e r e d i . e . v e h i c l e 2

s t a r t s c o a s t i n g r s t a n d i s t h e l a s t t o s t o p c o a s t -

i n g . T h e s t a t e h i s t o r i e s F i g . 6 s h o w t h a t p o s 1 2 i s

5



6/14

0 2 4 6 8 10 12 140.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

time (sec)

pos(m),vel(m/s)

pos12vel12

0 2 4 6 8 10 12 140.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

time (sec)

pos(m),vel(m/s)

pos23vel23

F i g . 6 : R e l a t i v e s t a t e h i s t o r i e s f o r t h e 3 v e h i c l e c a s e

0 2 4 6 8 10 12 142.5

2

1.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

thrust(+/2maximum)

time (sec)

u1u2u3

F i g . 7 : C o n t r o l h i s t o r i e s f o r t h e 3 v e h i c l e c a s e

b r o u g h t t o z e r o b e f o r e p o s 2 3 . A n d u

2

w h i c h a e c t s

b o t h r e l a t i v e s t a t e s i s u s e d t h e l e a s t o f t h e t h r e e

v e h i c l e s .

T h e c o n t r o l d e s i g n e r c a n r u n t h i s o p t i m i z a t i o n

f o r a g r i d o f i n i t i a l c o n d i t i o n s t o g e n e r a t e t h e s e t r a -

j e c t o r i e s o v e r t h e s t a t e r e g i o n o f i n t e r e s t . T h i s c o u l d

b e u s e d t o c o n s t r u c t a f a m i l y o f s w i t c h i n g c o n d i -

t i o n s . T h e s e c o n d i t i o n s c a n t h e n b e u s e d d i r e c t l y

f o r c o n t r o l , o r t h e y c a n s e r v e a s t h e i n i t i a l g u e s s f o r

s t a n d a r d o p t i m i z a t i o n t e c h n i q u e s w i t h c o n v e n t i o n a l

d y n a m i c s i m u l a t i o n s . T h i s t e c h n i q u e m a y b e a p p l i e d

f o r a n y c o s t f u n c t i o n a n d a n y n u m b e r o f v e h i c l e s .

4 . 3 C o n t r o l A r c h i t e c t u r e s

A s i n g l e c o n t r o l l a w f o r t h e e n t i r e f o r m a t i o n s u c h a s

i f t h e t h r e e v e h i c l e c o n t r o l l a w i n S e c t i o n 4 . 2 w e r e i m -

p l e m e n t e d o n a 3 - v e h i c l e f o r m a t i o n o e r s t h e b e s t

p e r f o r m a n c e i n t e r m s o f a c o s t s u c h a s i n E q . 1 6 ,

h o w e v e r s u c h c e n t r a l i z e d c o n t r o l i s q u i t e d e m a n d i n g

i n t e r m s o f i n t e r - v e h i c l e c o m m u n i c a t i o n a n d k n o w l -

e d g e o f t h e s y s t e m s t a t e s .

2

F o r a f o r m a t i o n y i n g

m i s s i o n w i t h l i m i t e d c o m p u t a t i o n r e s o u r c e s s u c h a s

O r i o n , a d i s t r i b u t e d c o n t r o l a p p r o a c h m i g h t b e n e c -

e s s a r y .

S e v e r a l c a n d i d a t e c o n t r o l a r c h i t e c t u r e s f r o m

c e n t r a l i z e d t o f u l l y d i s t r i b u t e d c o u l d b e u s e d f o r

t h e e e t c o n t r o l s y s t e m . T h e a r c h i t e c t u r e s e l e c t i o n

w o u l d b e b a s e d o n d e t e r m i n i n g w h i c h d e s i g n m e e t s

t h e m i n i m u m p e r f o r m a n c e r e q u i r e m e n t s w i t h t h e

l e a s t c o s t i n t e r m s o f c o m m u n i c a t i o n a n d c o m p u -

t a t i o n . O f c o u r s e , f a c t o r s s u c h a s r o b u s t n e s s a n d

e x i b i l i t y p l a y a n i m p o r t a n t r o l e i n t h e d e s i g n d e c i -

s i o n a s w e l l . T h e r e c e n t i n t e r e s t i n c o o r d i n a t e d m o -

t i o n i n r o b o t i c s , a e r i a l a n d l a n d v e h i c l e s , a s w e l l a s

s p a c e c r a f t f o r m a t i o n y i n g h a s g e n e r a t e d n u m e r o u s

a p p r o a c h e s , w h i c h a r e b r i e y s u m m a r i z e d b e l o w .

R e f . 1 2 d i s c u s s e s c l u s t e r g e o m e t r i e s f o r s a t e l -

l i t e s i n g e o s y n c h r o n o u s o r b i t . T h e r e a r e c o n s t r a i n t s

o n t h e s p a c i n g o f t h e s a t e l l i t e s a n d o n t h e l o c a t i o n

a n d s i z e o f t h e c l u s t e r . F o r m a t i o n k e e p i n g c o n t r o l

i s n o t d i s c u s s e d i n t h e p a p e r , b u t i t i s c l e a r t h a t

a n y f o r m a t i o n c o n t r o l s c h e m e w o u l d h a v e t o f o c u s o n

t h e a b s o l u t e E a r t h r e f e r e n c e d s a t e l l i t e m o t i o n s b e -

c a u s e t h e o r b i t a l d y n a m i c s d o m i n a t e t h e m o t i o n s o f

t h e s a t e l l i t e s . W e r e f e r t o t h e m e t h o d w h e r e f o r m a -

t i o n g e o m e t r y i s c o n t r o l l e d b y c a r e f u l l y c o n t r o l l i n g

t h e o r b i t o f e a c h s a t e l l i t e a s a b s o l u t e c o n t r o l .

R e f . 1 3 d i s c u s s e s c o n t r o l o f a e r i a l v e h i c l e s y -

i n g i n f o r m a t i o n t o t a k e a d v a n t a g e o f r e d u c e d t o t a l

a e r o d y n a m i c d r a g . A c e n t r a l i z e d a p p r o a c h i s c o m -

p a r e d t o a l e a d e r f o l l o w e r " t e c h n i q u e w h e r e e a c h

v e h i c l e m a i n t a i n s a x e d o s e t r e l a t i v e t o t h e v e -

h i c l e a h e a d o f i t i n t h e f o r m a t i o n . T h e v e h i c l e a t

t h e l e a d o f t h e f o r m a t i o n m a i n t a i n s i t s a b s o l u t e p o -

s i t i o n a n d t h e r e s t m a i n t a i n f o r m a t i o n w i t h r e s p e c t

t o t h e l e a d e r d i r e c t l y o r i n d i r e c t l y , t h u s w e r e f e r

t o t h i s a s a l e a d e r - r e f e r e n c e d a r c h i t e c t u r e . R e f s . 1 4 ,

1 5 d i s c u s s c o o r d i n a t i o n s t r a t e g i e s f o r g r o u p s o f m o -

b i l e r o b o t s . S t r a t e g i e s b a s e d o n c o m b i n e d l e a d e r -

r e f e r e n c e d a n d n e a r e s t n e i g h b o r " w h e r e e a c h n o n -

l e a d v e h i c l e m o v e s b a s e d o n i t s p o s i t i o n r e l a t i v e t o

o n e o r m o r e o t h e r v e h i c l e s i n t h e f o r m a t i o n a r c h i -

t e c t u r e s a r e a p p l i e d f o r t r o o p m a n e u v e r s , f o r m a t i o n

i n i t i a l i z a t i o n , a n d t a r g e t c a p t u r e .

2

N o t e t h a t i t h a s a l r e a d y b e e n s h o w n 1 1 t h a t t h e G P S -

b a s e d e s t i m a t i o n p r o b l e m g r o w s r a p i d l y i n c o m p l e x i t y a s t h e

n u m b e r o f r e l a t i v e e s t i m a t i o n s t a t e s i n c r e a s e s .

6



7/14

R e f s . 1 6 , 1 7 c o n s i d e r s e v e r a l c o n t r o l a r c h i t e c -

t u r e s f o r e e t s o f v e h i c l e s . R e f . 1 6 d i s c u s s e s a b s o -

l u t e , n e a r e s t n e i g h b o r , a n d m u l t i p l e n e a r e s t n e i g h -

b o r s t r a t e g i e s . F o r t h e n e a r e s t n e i g h b o r s t r a t e g y , t h e

l e a d e r v e h i c l e i = 1 m o v e s a b s o l u t e l y a n d t h e r e s t

o f t h e v e h i c l e s f o l l o w i n a c h a i n i . e . v e h i c l e i f o l l o w s

v e h i c l e i , 1 . T h e m u l t i p l e n e a r e s t n e i g h b o r s t r a t -

e g y d e s i g n a t e s t w o o r m o r e l e a d e r s , t h e n e a c h n o n -

l e a d e r v e h i c l e m o v e s b a s e d o n i t s p o s i t i o n r e l a t i v e t o

t h e t w o o r m o r e n e a r e s t n e i g h b o r v e h i c l e s . R e f . 1 7

c o m p a r e s c e n t r a l i z e d , l e a d e r - r e f e r e n c e d , a n d n e a r e s t

n e i g h b o r s t r a t e g i e s f o r c o n t r o l l i n g a p l a t o o n o f f o u r

g r o u n d v e h i c l e s . I n g e n e r a l t h e p e r f o r m a n c e o f t h e

c e n t r a l i z e d s t r a t e g y i s b e t t e r t h a n t h e o t h e r s , h o w -

e v e r l i m i t e d s y s t e m r e s o u r c e s s u c h a s s e n s i n g a n d

c o m m u n i c a t i o n s a r e g i v e n a s r e a s o n s w h y a l e a d e r -

r e f e r e n c e d s t r a t e g y m a y b e p r e f e r e d f o r t h e i r a p p l i -

c a t i o n . S y s t e m t r a d e s t u d i e s s u c h a s t h e s e m u s t a l s o

b e p e r f o r m e d f o r u p c o m i n g s p a c e c r a f t f o r m a t i o n y -

i n g m i s s i o n s .

I n s u m m a r y , w e h a v e t h e f o l l o w i n g c o n t r o l a r c h i -

t e c t u r e s c a n d i d a t e s :

1 . C e n t r a l i z e d - E a c h v e h i c l e m o v e s b a s e d o n a l l

r e l a t i v e s t a t e s i n t h e f o r m a t i o n .

2 . L e a d e r - r e f e r e n c e d - O n e v e h i c l e c o n t r o l s i t s a b -

s o l u t e p o s i t i o n . O t h e r s e i t h e r a l l m o v e r e l a t i v e

t o t h e l e a d e r , o r m o v e a s a c h a i n i . e . v e h i c l e i

f o l l o w s v e h i c l e i , 1 ; t h e l e a d e r i s v e h i c l e i = 1 .

R e f . 1 6 c o m b i n e s t h e t w o , s u g g e s t i n g m u l t i -

p l e c h a i n s f o l l o w i n g a s i n g l e l e a d e r .

3 . A b s o l u t e - E a c h v e h i c l e m o v e s b a s e d o n i t s o w n

a b s o l u t e s t a t e ; r e l a t i v e p o s i t i o n s a r e n o t d i -

r e c t l y s e n s e d n o r c o n t r o l l e d .

T h e s e t h r e e a r c h i t e c t u r e s a r e i l l u s t r a t e d i n F i g . 8

f o r a t h r e e v e h i c l e c a s e s u c h a s t h e F F T B . A s o l i d

a r r o w f r o m v e h i c l e 1 t o v e h i c l e 2 i n d i c a t e s t h a t v e -

h i c l e 1 i s y i n g r e l a t i v e t o v e h i c l e 2 . D a s h e d a r r o w s

i n d i c a t e a v e h i c l e i s a t t e m p t i n g t o m a i n t a i n a b s o l u t e

p o s i t i o n . T h u s i n t h e c e n t r a l i z e d c a s e D , v e h i c l e

2 m u s t m a i n t a i n a b s o l u t e p o s i t i o n a n d r e l a t i v e p o -

s i t i o n . I f c e n t r a l i z e d r e l a t i v e c o n t r o l e . g . b a s e d o n

E q . 1 6 i s i m p l e m e n t e d , t h i s m e a n s a b s o l u t e c o n t r o l

c o m m a n d s m u s t b e c o m b i n e d w i t h r e l a t i v e c o n t r o l

c o m m a n d s . A s i m p l e m e t h o d i s t o f o r m t h e w e i g h t e d

s u m

u = u

a b s

+ 1 , u

r e l

1 7

A n y o f t h e a r c h i t e c t u r e s i n F i g . 8 c o u l d b e t e s t e d

F i g . 8 : C o n t r o l a r c h i t e c t u r e s : a b s o l u t e A , l e a d e r -

r e f e r e n c e d B & C , a n d c e n t r a l i z e d D .

o n a f o r m a t i o n y i n g m i s s i o n s u c h a s O r i o n . H o w -

e v e r f o r a f o r m a t i o n o f m o r e t h a n 3 v e h i c l e s , t h e r e

a r e o t h e r a l t e r n a t i v e s b e t w e e n t h e f u l l y c e n t r a l i z e d

a n d t h e l e a d e r - r e f e r e n c e d c a s e s . I n p a r t i c u l a r , w e

p r o p o s e a h i e r a r c h i c a l c o n t r o l a r c h i t e c t u r e t h a t d i -

v i d e s a f o r m a t i o n o f v e h i c l e s i n t o s m a l l e r s u b - f o r m a t i o n s .

E a c h s u b - f o r m a t i o n h a s a n i n t e r n a l c o n t r o l a r c h i t e c -

t u r e a s w e l l a s e x t e r n a l i n p u t s t h a t a l l o w t h e s u b -

f o r m a t i o n s t o y i n f o r m a t i o n w i t h e a c h o t h e r a n d

t o f o l l o w a b s o l u t e c o m m a n d s .

F i g . 9 s h o w s t w o p o s s i b l e h i e r a r c h i c a l c o n t r o l a r -

c h i t e c t u r e s . C a s e A s h o w s a h i e r a r c h y o f t w o 2 -

v e h i c l e s u b - f o r m a t i o n s . V e h i c l e s i n t h e s u b - f o r m a t i o n

m a i n t a i n r e l a t i v e s t a t i o n e . g . u s i n g E q s . 1 3 a s w e l l

a s f o l l o w i n g a n e x t e r n a l i n p u t w h i c h c o u l d b e e i t h e r

a n a b s o l u t e c o n t r o l o r t h e r e l a t i v e l o c a t i o n o f a n -

o t h e r s u b - f o r m a t i o n . T h u s e a c h v e h i c l e w i l l h a v e

t o c o m b i n e t w o s e t s o f c o m m a n d i n p u t s e . g . u s -

i n g E q . 1 7 . C a s e B i l l u s t r a t e s t w o 3 - v e h i c l e s u b -

f o r m a t i o n s ; e a c h s u b - f o r m a t i o n i s t h e s a m e a s t h e

c e n t r a l i z e d f o r m a t i o n i n F i g . 8 D .

T h e c o n t r o l a r c h i t e c t u r e p l a y s a k e y r o l e i n t h e

p e r f o r m a n c e o f t h e f o r m a t i o n . T h i s i s i l l u s t r a t e d

b y t h e e x p e r i m e n t i n S e c t i o n 5 . C o n t r o l a r c h i t e c -

t u r e s s u c h a s t h o s e i n F i g . 8 a n d F i g . 9 f o r m i s -

s i o n s w i t h 4 o r m o r e v e h i c l e s s h o u l d b e c o m p a r e d

b y t h e m i s s i o n d e s i g n e r b a s e d o n f a c t o r s i n c l u d i n g :

c o n t r o l p e r f o r m a n c e , f u e l c o s t , f u e l b a l a n c e , e x i b i l -

F i g . 9 : C o n t r o l a r c h i t e c t u r e s : 2 - v e h i c l e s u b -

f o r m a t i o n s A , a n d 3 - v e h i c l e s u b - f o r m a t i o n s B .

7



8/14

i t y , r o b u s t n e s s , a n d s e n s i n g r e q u i r e m e n t s . D i e r e n t

a r c h i t e c t u r e s m a y b e u s e d d u r i n g d i e r e n t m i s s i o n

p h a s e s e . g . O r i o n m a y u s e a n a b s o l u t e a r c h i t e c t u r e

f o r i t s i n i t i a l p h a s e a n d a c e n t r a l i z e d a r c h i t e c t u r e f o r

i t s p r e c i s e f o r m a t i o n p h a s e . N o t e t h a t t h e w o r k i n

R e f . 6 , 1 1 c l e a r l y s h o w e d t h a t t h e c h o i c e o f a n e s -

t i m a t i o n a r c h i t e c t u r e m u s t b e s t r o n g l y l i n k e d t o t h e

c h o i c e o f a c o n t r o l a r c h i t e c t u r e . R e f . 6 d i s c u s s e s

e s t i m a t i o n a r c h i t e c t u r e c h o i c e s a n d c o m p u t a t i o n d e -

m a n d s f o r G P S - b a s e d r e l a t i v e s e n s i n g . O r i o n w i l l

s e r v e a s a n e x c e l l e n t t e s t b e d f o r c o m p a r i n g c o n t r o l

a r c h i t e c t u r e s o n - o r b i t .

4 . 4 F o r m a t i o n C o o r d i n a t o r

T h e p r e v i o u s s e c t i o n s h a v e d i s c u s s e d t h e l o w - l e v e l

f o r m a t i o n k e e p i n g c o n t r o l l a w s a n d h o w t h e y a r e

u s e d f o r f o r m a t i o n c o n t r o l i n c o n j u c t i o n w i t h a s u i t -

a b l e c o n t r o l a r c h i t e c t u r e . H o w e v e r , w h i l e t h e r o l e o f

t h e c o n t r o l p a r a m e t e r s e . g . ' s a n d ' s a v a i l a b l e t o

t h e c o n t r o l d e s i g n e r a r e c l e a r , i t i s n o t c l e a r h o w t o

c h o o s e t h e m o r h o w t h e y s h o u l d v a r y o v e r t h e c o u r s e

o f t h e m i s s i o n i n r e s p o n s e t o t h e f o r m a t i o n r e s o u r c e

s t a t e . A m i s s i o n c o n t r o l l e r o n t h e g r o u n d c o u l d p e r -

f o r m t h i s f u n c t i o n f o r a s i m p l e , s h o r t - t e r m m i s s i o n

e . g . O r i o n . B u t a n a u t o n o m o u s a g e n t o n b o a r d t h e

s p a c e c r a f t w o u l d a l l o w f o r h i g h e r b a n d w i d t h o p e r -

a t i o n a s w e l l a s r e d u c i n g c o n t r o l l e r w o r k l o a d a n d

d o w n - l i n k r e q u i r e m e n t s .

T h e c o o r d i n a t i o n a c t i v i t y r e s o u r c e a l l o c a t i o n

o c c u r s s l o w e r t h a n r e a l - t i m e ; t h e c o o r d i n a t o r t r a c k s

p e r f o r m a n c e a s w e l l a s v e h i c l e r e s o u r c e s t a t e s a n d

p e r i o d i c a l l y a d j u s t s t h e c o n t r o l p a r a m e t e r s i n k e e p -

i n g w i t h t h e g o a l s o f t h e m i s s i o n . O n e m a j o r g o a l

i s f u e l - b a l a n c i n g : t h e b u r d e n o f m a i n t a i n i n g t h e f o r -

m a t i o n s h o u l d f a l l o n t h e v e h i c l e s w i t h t h e m o s t f u e l

r e m a i n i n g . T h e c o o r d i n a t o r i s r e s p o n s i b l e f o r m e e t -

i n g t h i s g o a l a s w e l l a s o t h e r m i s s i o n - s p e c i c p e r f o r -

m a n c e g o a l s . C u r r e n t w o r k i s f o c u s e d o n t h e d e s i g n

o f t h i s a u t o n o m o u s f o r m a t i o n c o o r d i n a t o r w i t h i n t h e

c o n t r o l a r c h i t e c t u r e .

5 F o r m a t i o n P l a n n i n g

O n e o f t h e k e y c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e c o n t r o l s y s -

t e m i s t h a t t h e s p a c e c r a f t m u s t b e a b l e t o p e r f o r m

o p e r a t i o n s t h a t r e q u i r e c o o r d i n a t e d m o t i o n s o f t h e

e e t . T h i s c h a r a c t e r i s t i c r e q u i r e s a p l a n n i n g a l g o -

r i t h m t h a t c a n a d d r e s s t h e p r o b l e m o f t r a j e c t o r y

g e n e r a t i o n , a n d i n t h e p r o c e s s , d e v e l o p t h r u s t s e -

q u e n c e s f o r i n d i v i d u a l a n d g r o u p s o f v e h i c l e s . H o w -

e v e r , w i t h d i s t u r b a n c e s , a n o p e n - l o o p c o n t r o l i n v o l v -

i n g o n l y f o r m a t i o n p l a n n i n g w i l l n o t b e s u c i e n t .

T h u s t h e c o n t r o l s c h e m e i n F i g . 1 0 c o n s i s t i n g o f b o t h

a f e e d f o r w a r d p l a n n e r a n d a f e e d b a c k c o n t r o l l e r i s

r e q u i r e d . T h e p r i m a r y o b j e c t i v e o f t h e f o r m a t i o n

p l a n n e r i s t o a c c o m p l i s h t h e d e s i r e d g o a l f o r m a -

t i o n i n i t i a l i z a t i o n , r e s i z i n g , o r r e c o n g u r a t i o n w h i l e

m i n i m i z i n g t h e m o s t i m p o r t a n t s p a c e c r a f t r e s o u r c e :

f u e l .

A s s h o w n i n t h e g u r e , t h e p l a n n e r s t a g e c a n

u p d a t e t h e f o r m a t i o n t r a j e c t o r i e s i n r e a l - t i m e d e -

p e n d i n g o n t h e e s t i m a t e d l o c a t i o n s o f t h e v e h i c l e s .

I t w o u l d b e c o m p u t a t i o n a l l y v e r y i n t e n s i v e t o c o n -

t i n u o u s l y u p d a t e t h e f o r m a t i o n p l a n t h r o u g h o u t a

m a n e u v e r t o a c c o u n t f o r d i s t u r b a n c e s o r m o d e l i n g

e r r o r s . H o w e v e r , t h e f o l l o w i n g s e c t i o n d i s c u s s e s a

c o m p u t a t i o n a l l y f e a s i b l e t r a j e c t o r y p l a n n i n g a l g o -

r i t h m t h a t u s e s t h e l i n e a r i z e d m o d e l o f t h e r e l a -

t i v e d y n a m i c s i n o r b i t o r d e e p s p a c e . T h e a p p r o a c h

p o s e s t h e f o r m a t i o n p l a n n i n g p r o b l e m a s a l i n e a r

p r o g r a m L P , w h i c h c a n b e s o l v e d v e r y q u i c k l y a n d

e c i e n t l y w i t h s t a n d a r d s o l v e r s . F o r c e r t a i n p l a n -

n i n g p r o b l e m s , t h e L P f o r m u l a t i o n h a s c l e a r a d -

v a n t a g e s w h e n c o m p a r e d t o n o n l i n e a r p r o g r a m m i n g

t e c h n i q u e s e . g . c o m p u t a t i o n t i m e g r o w s v e r y s l o w l y

w i t h i n c r e a s i n g e e t s i z e o r m a n e u v e r l e n g t h 1 9 .

F o r t h e f o r m a t i o n p l a n n i n g p r o b l e m , t h e m o t i o n

o f t h e v e h i c l e s w i t h i n a e e t c a n b e r e f e r e n c e d t o

e a c h o t h e r o r t o a c o n t r o l p o i n t . I n e i t h e r c a s e ,

t h e i n d i v i d u a l m a n e u v e r s c o r r e s p o n d t o t h e v e h i c l e s

m o v i n g f r o m k n o w n i n i t i a l r e l a t i v e l o c a t i o n s t o s p e c -

i e d n a l r e l a t i v e l o c a t i o n s u n d e r a t i m e c o n s t r a i n t .

N o t e t h a t t h e p l a n n i n g m u s t a l s o a c c o u n t f o r s p e c i c

l i m i t a t i o n s a n d c o n s t r a i n t s f o r a n y o f t h e v e h i c l e s i n

t h e e e t .

T h e l i n e a r i z e d r e l a t i v e m o t i o n o f s p a c e c r a f t i n

n e i g h b o r i n g o r b i t s i s d e s c r i b e d b y t h e w e l l - k n o w n

C l o h e s s y - W i l t s h i r e e q u a t i o n s 2 0 . T h e i n - p l a n e d y -

P l a n t

R e g u l a t o r

E s t i m a t o r

P l a n n e r

-

?

6

6

?

- -

-

6

u

y

x

e s t

u

f b

u

f f

x

d e s

F i g . 1 0 : O v e r a l l C o n t r o l S t r a t e g y

8



9/14

n a m i c s E q . 1 8 c o n s i s t i n g o f i n - t r a c k x a n d r a d i a l

z m o t i o n d e c o u p l e s f r o m t h e o u t - o f - p l a n e d y n a m -

i c s E q . 1 9 . N a t u r a l l y , t h e s e t w o s e t s o f e q u a t i o n s

c a n b e a n a l y z e d s e p a r a t e l y i n t h e f o r m a t i o n p l a n -

n i n g s t a g e .

d

d t

2

6

6

4

_x

x

_z

z

3

7

7

5

=

2

6

6

4

0 0 2 n 0

1 0 0 0

, 2 n 0 0 3 n

2

0 0 1 0

3

7

7

5

2

6

6

4

_x

x

_z

z

3

7

7

5

+

2

6

6

4

1 0

0 0

0 1

0 0

3

7

7

5

u

x

u

z

1 8

d

d t

_y

y

=

0 , n

2

1 0

_y

y

+

1

0

u

y

1 9

N o t e t h a t , i n t h e l i m i t , a s t h e r e f e r e n c e o r b i t a l f r e -

q u e n c y n a p p r o a c h e s z e r o , t h e r e l a t i v e d y n a m i c s c o r -

r e s p o n d t o m o t i o n i n d e e p s p a c e c o m p l e t e d e c o u -

p l i n g o f i n - t r a c k a n d r a d i a l d y n a m i c s . F o r a t h r e e

v e h i c l e c a s e i n t w o d i m e n s i o n s t h i s c a n b e w r i t t e n a s

d

d t

2

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

4

_x

1 2

x

1 2

_x

1 3

x

1 3

_y

1 2

y

1 2

_y

1 3

y

1 3

3

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

5

=

2

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

4

0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 1 0

3

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

5

2

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

4

_x

1 2

x

1 2

_x

1 3

x

1 3

_y

1 2

y

1 2

_y

1 3

y

1 3

3

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

5

+

2

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

4

1 , 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

1 0 , 1 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 , 1 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 , 1

0 0 0 0 0 0

3

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

5

2

6

6

6

6

6

6

6

4

u

x 1

u

x 2

u

x 3

u

y 1

u

y 2

u

y 3

3

7

7

7

7

7

7

7

5

2 0

I n E q . 2 0 , _x

1 2

; x

1 2

; _x

1 3

; x

1 3

; _y

1 2

; y

1 2

; _y

1 3

; y

1 3

T

c o r -

r e s p o n d t o t h e r e l a t i v e v e l o c i t y a n d p o s i t i o n i n a

l o c a l r e f e r e n c e f r a m e w i t h x a n d y c o o r d i n a t e s . T h e

v e c t o r u

x 1

; u

x 2

; u

x 3

; u

y 1

; u

y 2

; u

y 3

T

a r e n o r m a l i z e d

t h r u s t v e c t o r c o m p o n e n t s f o r e a c h v e h i c l e .

F o r a g i v e n m a n e u v e r t i m e 0 ; t

f

, o n e c a n c h o s e

a s a m p l i n g p e r i o d t

s

t

p e r i o d

s u c h t h a t t h e d i s c r e t e

d e s c r i p t i o n o f e i t h e r s e t o f r e l a t i v e d y n a m i c s i s

x k + 1 = x k + , u k

y k = H x k 2 1

w h e r e H c o r r e s p o n d s t o i d e n t i t y m a t r i x f o r f u l l s t a t e

k n o w l e d g e .

G i v e n t h e s e l i n e a r i z e d d y n a m i c s , w e c a n n o w p o s e

t h e p r o b l e m t o b e s o l v e d b y t h e f o r m a t i o n p l a n -

n e r . I n p a r t i c u l a r , t h e o b j e c t i v e i s t o m i n i m i z e t h e

a m o u n t o f f u e l u s e d t o t a k e t h e v e h i c l e s f r o m a n

i n i t i a l s e t o f r e l a t i v e s t a t e s x 0 t o a n a l d e s i r e d

c o n g u r a t i o n y

d e s

i n n t i m e s t e p s . B y u s i n g d i s c r e t e

c o n v o l u t i o n , t h e b a s i c f o r m a t i o n p l a n n i n g p r o b l e m

c a n b e p o s e d a s

m i n k u k

1

s u b j e c t

t o

8

:

y n = H

n

x 0 +

n , 1

X

i = 0

h n , i u i

j u i j u

m a x

f x ; u 0

y

d e s

, y n

2 2

w h e r e h i = H

i , 1

, i s t h e i m p u l s e r e s p o n s e o f t h e

s y s t e m , a n d y n a n d y

d e s

c o r r e s p o n d t o t h e a c t u a l

a n d d e s i r e d n a l v a l u e s o f t h e o u t p u t . u

m a x

r e p -

r e s e n t s t h e u p p e r b o u n d s o n t h e c o n t r o l i n p u t , a n d

f u ; x a r e l i n e a r f u n c t i o n s o f s t a t e a n d i n p u t v e c t o r s

t h a t d e s c r i b e p o s s i b l e c o n s t r a i n t s o n t h e v e h i c l e s .

T h i s p r o b l e m s t a t e m e n t i s a n e , a n d t h u s c o n -

v e x i n u i , w h i c h a r e t h e o p t i m i z a t i o n v a r i a b l e s .

B y i n t r o d u c i n g t h e i m p u l s e r e s p o n s e m a t r i x P a n d

i n p u t m a t r i x u , t h e d i s c r e t e c o n v o l u t i o n c a n b e e x -

p r e s s e d a s a l i n e a r m a t r i x e q u a l i t y c o n s t r a i n t

P

4

=

h n h n , 1 : : : h 1

u

4

=

u 0

T

u 1

T

: : : u n , 1

T

T

b

4

= y

d e s

, H

n

x 0 2 3

P u =

n , 1

X

i = 0

h n , i u i = b

T h e c o s t f u n c t i o n i n E q . 2 2 c a n a l s o b e e x p r e s s e d a s

a l i n e a r f u n c t i o n o f t h e i n p u t v e c t o r b y i n t r o d u c i n g

t w o s e t s o f s l a c k v a r i a b l e s s e e E q . 2 4 f o r i t s n e g a -

t i v e a n d p o s i t i v e p a r t s . R e s t r u c t u r i n g t h e p r o b l e m

a r o u n d t h e s e s l a c k v a r i a b l e s , w e o b t a i n

u

4

= u

p o s

, u

n e g

u

p o s

0 ; u

n e g

0

u =

u

T

p o s

u

T

n e g

T

2 4

A =

P , P

T

2 5

S i m i l a r o p e r a t i o n s c a n b e c a r r i e d o u t f o r a n y o t h e r

l i n e a r c o n s t r a i n t s i n v o l v i n g t h e i n p u t s o r s t a t e s , a n d

t h i s w o u l d r e s u l t i n a g e n e r a l i n e q u a l i t y c o n s t r a i n t ,

9



10/14

1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

6

7

8

x

y

InitializationResizing Maneuver

1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

6

7

8

x

y

InitializationResizing Maneuver

Vehicle 1

Vehicle 2

Vehicle 3

Vehicle 1

Vehicle 2

Vehicle 3

F i g . 1 1 : R e s i z i n g M a n e u v e r

D u e . A d d i n g t h i s t e r m , t h e g e n e r a l l i n e a r p r o -

g r a m m i n g p r o b l e m c a n b e p o s e d a s

m i n c

T

u

s u b j e c t t o

8

:

A u = b

D u e

u u

m a x

, u 0

2 6

w h e r e c

T

c o r r e s p o n d s t o w e i g h t s o n t h e f u e l u s a g e

o f t h e v a r i o u s v e h i c l e s . T h i s g e n e r a l f o r m u l a t i o n c a n

b e u s e d t o s o l v e m a n y f o r m a t i o n p l a n n i n g p r o b l e m s

f o r d i s t r i b u t e d s a t e l l i t e s y s t e m s . F o r e x a m p l e , s e p a -

r a t e d s p a c e c r a f t i n t e r f e r o m e t r y 2 1 a n d s p a c e b a s e d

s u r v e i l l a n c e o f e a r t h 2 2 a r e a l l s t r u c t u r e d a r o u n d

t h e f o l l o w i n g f o r m a t i o n y i n g m a n e u v e r s :

I n i t i a l i z a t i o n ,

R e s i z i n g , r e c o n g u r a t i o n , a n d r e t a r g e t i n g

O b s e r v a t i o n m a n e u v e r s .

D e s i g n s f o r s e v e r a l o f t h e s e m a n e u v e r s a r e s h o w n i n

t h e f o l l o w i n g e x a m p l e s .

F o r m a t i o n r e s i z i n g & r e c o n g u r a t i o n : O n e o f

t h e b a s i c r e q u i r e m e n t s f o r d e e p s p a c e i n t e r f e r o m e -

t r y o p e r a t i o n s i s t h e a b i l i t y t o r e c o n g u r e t h e f o r -

m a t i o n d u r i n g a p e r t u r e l l i n g m a n e u v e r s 2 4 , 2 5 .

F i g . 1 1 s h o w s a n e x a m p l e o f a r e c o n g u r a t i o n m a -

n e u v e r w h e r e t h e v e h i c l e s a r e m o v e d t o a s e c o n d f o r -

m a t i o n w h i l e m i n i m i z i n g t h e t o t a l f u e l u s e d b y t h e

e e t . I n t h i s s c e n a r i o , t h e c o l l e c t o r v e h i c l e s , w h i c h

h a v e j u s t c o m p l e t e d a n a p e r t u r e l l i n g m a n e u v e r ,

a r e m o v e d t o t h e n e w c o n g u r a t i o n t h a t i s 1 u n i t

r e l a t i v e d i s t a n c e i n b o t h x a n d y f r o m t h e c o m -

b i n e r s p a c e c r a f t .

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

NormalizedFuel

Normalized Time

F i g . 1 2 : F u e l - T i m e t r a d e o c u r v e

A p e r t u r e l l i n g m a n e u v e r s a r e d e s i g n e d t o m i n i -

m i z e t h e m a n e u v e r t i m e i n o r d e r t o m a x i m i z e t h e

n u m b e r o f o b j e c t s i m a g e d . H o w e v e r , t h e l i m i t e d

f u e l r e s o u r c e s p u t a t i g h t c o n s t r a i n t o n t h e s p e e d o f

t h e m a n e u v e r . T h e q u a s i - c o n v e x n a t u r e o f t h e L P

f o r m a t i o n p l a n n i n g a p p r o a c h p r o v i d e s a c o n v e n i e n t

b a s i s f o r t h i s f u e l t i m e t r a d e o a n a l y s i s . F i g . 1 2

s h o w s t h e f u e l - t i m e t r a d e - o c u r v e c o n s t r u c t e d b y

m a p p i n g f u e l u s a g e f o r a s e t o f m a n e u v e r t i m e c o n -

s t r a i n t s . F o r a n a u x i l i a r y c o s t f u n c t i o n d e s c r i b i n g

t h e f u e l - t i m e t r a d e - o ,

J =

1

k u k

1

+

2

t

f

2 7

t h e J

m i n

c o r r e s p o n d s t o t h e p o i n t w i t h t h e n o r m a l ,

N = ,

2

; ,

1

T

. W e c a n u s e g r a p h s l i k e F i g . 1 2

t o p i c k a n y d e s i r e d m a n e u v e r t i m e b a s e d o n a g i v e n

t r a d e - o c h a r a c t e r i z e d b y

1

a n d

2

.

T h e f u e l b a l a n c e b e t w e e n v e h i c l e s i n t h e e e t c a n

b e a d j u s t e d u s i n g t h e w e i g h t s o n f u e l u s a g e c i n t h e

c o s t f u n c t i o n o f E q . 2 6 . I n F i g . 1 1 , t h e m a n e u v e r o n

t h e l e f t s i d e i s d e s i g n e d w i t h e q u a l w e i g h t s . H o w e v e r

t h i s c a u s e s a l a r g e d i e r e n c e i n t h e f u e l c o n s u m p t i o n

b e t w e e n v e h i c l e s 1 a n d 3 . T o r e d u c e t h i s e e c t , t h e

m a n e u v e r o n t h e r i g h t s i d e i s d e s i g n e d w i t h w e i g h t s

o f 1 , 2 , a n d 6 o n t h e f u e l u s a g e o f v e h i c l e s 1 , 2 , a n d

3 . A l t h o u g h t h i s r e s u l t s i n a n i n c r e a s e i n t h e t o -

t a l f u e l u s e d b y t h e e e t 1 4 , i t p r o v i d e s a m u c h

m o r e e v e n l y d i s t r i b u t e d a l l o c a t i o n o f t h e e e t r e -

T a b l e 3 : R e c o n g u r a t i o n M a n e u v e r s

V e h i c l e s U n w e i g h t e d W e i g h t e d

V e h i c l e 1 1 0 . 2 2 0 . 2

V e h i c l e 2 3 6 . 2 5 3 . 9

V e h i c l e 3 5 3 . 6 2 5 . 9

N o r m a l i z e d T o t a l 1 1 . 1 4

F u e l U s a g e

1 0



11/14

800

600

400

200

0

200

200

0

200

100

0

100

200

xintrack [m]

Initialization Maneuver

outofplane normal [m]

z

radial[m]

Sat1Sat2Sat3

F i g . 1 3 : I n i t i a l i z a t i o n t o a c l o s e d - f o r m s o l u t i o n .

s o u r c e s f u e l o f v e h i c l e s 1 a n d 3 w i t h i n 6 , t h e r e b y

i n c r e a s i n g t h e o p e r a t i o n l i f e - t i m e s e e T a b l e 3 .

W h i l e l i n e a r p r o g r a m m i n g f o r f o r m a t i o n p l a n -

n i n g i s v e r y g e n e r a l a n d c a n b e u s e d t o s o l v e m a n y

p r o b l e m s w i t h x e d i n i t i a l a n d t e r m i n a l c o n s t r a i n t s

2 4 , i t h a s i t s l i m i t a t i o n s . I n p a r t i c u l a r , e x t e n s i o n s

s u c h a s m a i n t a i n i n g x e d r e l a t i v e d i s t a n c e s t h r o u g h -

o u t a m a n e u v e r i n v o l v i n g b o t h t r a n s l a t i o n a n d r o t a -

t i o n , i n t r o d u c e n o n l i n e a r i t i e s t o t h e p r o b l e m s t r u c -

t u r e . T h i s e e c t c a n b e o b s e r v e d f r o m k i n e m a t i c s

o f r e l a t i v e m o t i o n t h a t i n c l u d e b o t h t r a n s l a t i o n a n d

r o t a t i o n . T h e f o l l o w i n g p r e s e n t s a n o t h e r a p p l i c a t i o n

o f L P t o d e s i g n m a n e u v e r s f o r L E O s p a c e c r a f t . T h e

t h i r d e x a m p l e t h e n i n v e s t i g a t e s a l t e r n a t i v e s o l u t i o n

t e c h n i q u e s f o r t h e s e n o n l i n e a r p r o b l e m s .

F o r m a t i o n i n i t i a l i z a t i o n , r e q u i r e s t h a t t h e e e t

o f s a t e l l i t e s b e t a k e n f r o m t h e i r p a r k i n g o r i n i t i a l

o r b i t s t o s o m e d e s i r e d c o n g u r a t i o n i n a f u e l o p -

t i m a l s e n s e . F i g u r e 1 3 s h o w s a n e x a m p l e o f t h i s

m a n e u v e r w i t h t h r e e s a t e l l i t e s . T h e v e h i c l e s a r e i n i -

t i a l l y l o c a t e d i n a p a r k i n g o r b i t w i t h a 2 0 0 m i n - t r a c k

s e p a r a t i o n . T h e o b j e c t i v e i s t o l o c a t e t h e m o n a

c l o s e d - f o r m s o l u t i o n o f t h e C l o h e s s y - W i l t s h i r e e q u a -

t i o n s 2 3 w i t h a c i r c u l a r r e l a t i v e g r o u n d t r a c k 2 0 0 m

r a d i u s . T h e v e h i c l e s a r e i n i t i a l i z e d t o t h i s c o n g -

u r a t i o n w i t h r e s p e c t t o a c o n t r o l r e f e r e n c e f r a m e ,

2 0 0 m i n f r o n t o f t h e l e a d v e h i c l e .

I n t h e n a l c o n g u r a t i o n , t h e s a t e l l i t e s a r e p h a s e d

a t 1 2 0

, r e s u l t i n g i n c o n s t a n t r e l a t i v e g r o u n d t r a c k

a n d x e d r e l a t i v e s e p a r a t i o n s o n a n E a r t h p r o j e c -

t i o n . H o w e v e r , i t i s e x p e c t e d t h a t d i e r e n t i a l d r a g

a n d J

2

e e c t s w i l l c a u s e s e c u l a r p e r t u r b a t i o n s f r o m

t h i s c l o s e d f o r m s o l u t i o n a n d r e q u i r e a f e e d b a c k c o n -

t r o l s y s t e m t o t r a c k t h e d e s i r e d l o c a t i o n s . T h e c o n -

t r o l s c h e m e s h o w n i n F i g . 1 0 c o u l d t h e n b e u s e d t o

m a i n t a i n t h e v e h i c l e s a t t h e d e s i r e d r e l a t i v e p o s i t i o n s

o n t h e o r b i t .

I n t h e p r o p o s e d c o n t r o l s c h e m e f o r f o r m a t i o n y -

i n g , f o r m a t i o n p l a n n i n g p r e s e n t s t h e h i g h - l e v e l c o n -

t r o l a r c h i t e c t u r e a b o v e a l o w - l e v e l c o n t r o l b a s e d o n

t r a c k i n g . W e h a v e s h o w n t h a t l i n e a r p r o g r a m m i n g

c a n b e u s e d t o s o l v e m a n y o f t h e f o r m a t i o n p l a n n i n g

p r o b l e m s b a s e d o n d i s t r i b u t e d s a t e l l i t e s y s t e m s . B a -

s i c m a n e u v e r s r e l a t e d t o s u c h p l a n n i n g p r o b l e m s i n -

c l u d e f o r m a t i o n i n i t i a l i z a t i o n , r e c o n g u r a t i o n , a n d

r e s i z i n g . T h e s e l i n e a r s o l u t i o n s c a n b e u s e d t o p r o -

v i d e g o o d i n i t i a l g u e s s e s f o r t h e n o n l i n e a r o p t i m i z a -

t i o n o f m o r e c o m p l e x m a n e u v e r s .

F o r m a t i o n r e t a r g e t i n g : F o r t h e r i g i d b o d y m o -

t i o n p r o b l e m , t h e b a s i c s t r u c t u r e o f t h e f o r m a t i o n

p l a n n i n g a l g o r i t h m i s c a r r i e d o u t w i t h t h e i n c l u s i o n

o f c o n s t r a i n t s t h a t t h e v e h i c l e s k e e p x e d p o s i t i o n s

w i t h r e s p e c t t o a l o c a l r e f e r e n c e f r a m e a t t a c h e d t o

t h e l e a d v e h i c l e . T o i m p l e m e n t t h i s m a n e u v e r o n t h e

F F T B , t h e v e h i c l e s a r e i n i t i a l l y s e p a r a t e d b y 1 m .

T h e o b j e c t i v e i s t o c o m p l e t e a c o l l e c t i v e 9 0

t u r n a n d

t r a n s l a t i o n m a n e u v e r t o a n e w d e s i r e d l o c a t i o n i n 4 0

s e c o n d s w h i l e k e e p i n g t h e a r m l e n g t h e r r o r t o w i t h i n

5 o f t h e o r i g i n a l b a s e l i n e . W i t h t h e s e c o n s t r a i n t s ,

t h e p r o b l e m i s n o n l i n e a r , a n d t h e f o r m a t i o n r e t a r g e t -

i n g m a n e u v e r e x p e r i m e n t a l r u n s h o w n i n F i g . 1 4 w a s

s o l v e d b y u s i n g t h e C O N S T R a l g o r i t h m 9 , w h i c h

i s b a s e d o n a S Q P s o l v e r . T h e f o r m a t i o n i s i n i t i a l l y

l o c a t e d a t t h e b o t t o m w i t h t h e l e a d e r v e h i c l e 1

l o c a t e d t o t h e l e f t m o v i n g t o t h e t o p a n d v e h i c l e

2 i s b e l o w a n d t o t h e r i g h t o f t h e l e a d e r .

T h e p r i m a r y d i c u l t y w i t h n o n l i n e a r o p t i m i z a -

t i o n f o r t h i s p r o b l e m i s t h a t i t i s n o t p a r t i c u l a r l y e f -

c i e n t a n d i t r e q u i r e s a g o o d i n i t i a l e s t i m a t e o f t h e

t h r u s t p r o l e s t o p r o d u c e a u s e f u l t r a j e c t o r y . T h u s

t h e L P s o l u t i o n i s u s e d t o p r o d u c e a n a p p r o x i m a t e

i n i t i a l g u e s s l e a d e r f u e l - o p t i m a l 8 . W e c a n g e n e r -

a t e t h e t h r u s t s e q u e n c e b y s o l v i n g f o r t h e f u e l o p t i -

m a l t r a j e c t o r y o f t h e l e a d v e h i c l e . T h e t h r u s t p r o -

l e s o f t h e f o l l o w e r v e h i c l e s c a n t h e n b e d e r i v e d f r o m

t h e r e l a t i v e k i n e m a t i c s a s s u m i n g r i g i d b o d y m o t i o n .

B y i t e r a t i n g o n t h e t h r u s t l i m i t s o f t h e l e a d e r v e h i -

c l e , w e c a n e n s u r e t h a t t h e f o l l o w e r v e h i c l e s d o n o t

e x c e e d t h e i r a v a i l a b l e t h r u s t l i m i t s . T h i s t e c h n i q u e

p r o v i d e s a g o o d i n i t i a l e s t i m a t e f o r t h e C O N S T R

a l g o r i t h m . F i g . 1 5 s h o w s t h e r e s u l t i n g l e a d e r - f u e l

o p t i m a l s o l u t i o n a s c a p t u r e d i n e x p e r i m e n t a l r u n o n

t h e F F T B .

1 1



12/14

1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.51.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5

x [m]

y[m]

90 deg Rigid Body Turn and Translation

F i g . 1 4 : C o l l e c t i v e 9 0

t u r n a n d t r a n s l a t i o n m a -

n e u v e r , F o r m a t i o n - F u e l O p t i m a l C O N S T R .

1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.51.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5

x [m]

y[m]

90 deg Rigid Body Turn and Translation

F i g . 1 5 : C o l l e c t i v e 9 0

t u r n a n d t r a n s l a t i o n m a -

n e u v e r , L e a d e r - F u e l O p t i m a l L P

T a b l e 4 s u m m a r i z e s t h e f u e l u s a g e o f t h e v e h i c l e s

a s a r e s u l t o f t h e f e e d f o r w a r d f o r c e s g e n e r a t e d f r o m

t h e p l a n n e r f o r t h e s i m u l a t e d m a n e u v e r s . T h e f u e l

a m o u n t s a r e n o r m a l i z e d w i t h r e s p e c t t o t h e f u e l u s e d

f o r c o n t i n u o u s t h r u s t i n g i n o n e d i r e c t i o n f o r o n e s e c -

o n d . T h e f o r m a t i o n - f u e l o p t i m a l s o l u t i o n r e s u l t s i n

a 1 4 : 3 s a v i n g s i n f u e l c o m p a r e d t o t h e l e a d e r - f u e l

o p t i m a l s o l u t i o n . A l s o , n o t e t h a t , t h e f u e l u s a g e o f

t h e l e a d e r v e h i c l e i n c r e a s e s b y 1 4 : 8 w h e r e a s t h e

f u e l u s a g e o f t h e f o l l o w e r v e h i c l e s d e c r e a s e s b y 7 : 5

a n d 3 8 : 9 f r o m t h e i n i t i a l e s t i m a t e .

T h e l e a d e r a n d e e t f u e l - o p t i m a l m a n e u v e r s w e r e

b o t h i m p l e m e n t e d o n t h e f o r m a t i o n y i n g t e s t b e d

u s i n g t h e c o n t r o l s c h e m e i n F i g . 1 0 . T h e p l a n n e r

s u p p l i e d a p r e - c a l c u l a t e d i n i t i a l p l a n i n t h e f o r m o f

T a b l e 4 : S i m u l a t e d r e s u l t s o f f e e d f o r w a r d

f u e l u s a g e .

V e h i c l e s L e a d e r F u e l F l e e t F u e l

o p t i m a l o p t i m a l

V e h i c l e 1 6 . 5 0 7 . 4 6

V e h i c l e 2 7 . 0 0 6 . 4 7

V e h i c l e 3 8 . 0 2 4 . 9 0

N o r m a l i z e d T o t a l 2 1 . 5 2 1 8 . 8 3

F u e l U s a g e

t h e d e s i r e d p o s i t i o n , v e l o c i t y a n d o r i e n t a t i o n f o r t h e

l e a d v e h i c l e a n d t h e f o r c e s i n x a n d y d i r e c t i o n s f o r

a l l t h e v e h i c l e s . M a n e u v e r s w e r e g e n e r a t e d a t 2 H z

a n d s a m p l e d a t 1 5 H z .

T h e r e g u l a t i o n f o r t h e v e h i c l e s i s g e n e r a t e d o n -

b o a r d a t 6 0 H z . F o r t h e l e a d e r v e h i c l e , t h e f e e d b a c k

i s b a s e d o n t h e e r r o r i n d e s i r e d p o s i t i o n a n d v e l o c i t y

w i t h r e s p e c t t o a c o n t r o l r e f e r e n c e f r a m e . T h e f e e d -

b a c k f o r t h e f o l l o w e r v e h i c l e s i s g e n e r a t e d f r o m t h e

r e l a t i v e p o s i t i o n a n d v e l o c i t y e r r o r s w i t h r e s p e c t t o

t h e l e a d e r v e h i c l e .

T a b l e 5 p r e s e n t s t h e 1 - e r r o r i n l e a d v e h i c l e s p o -

s i t i o n a n d o r i e n t a t i o n , a n d a l s o t h e e r r o r s i n r e l a t i v e

d i s t a n c e o f t h e f o l l o w e r v e h i c l e s f o r b o t h e x p e r i m e n -

t a l r u n s . T h e r e s u l t s s h o w t h a t w e h a v e m e t t h e

d e s i r e d 5 e r r o r b o u n d s o n t h e a r m l e n g t h s .

T a b l e 6 s u m m a r i z e s t h e f u e l u s a g e o f t h e v e h i c l e s

a s a r e s u l t o f t h e e x p e r i m e n t a l f e e d f o r w a r d f o r c e s

g e n e r a t e d f r o m t h e p l a n n e r . T h e d i e r e n c e b e t w e e n

t h e e x p e r i m e n t a l a n d s i m u l a t e d f e e d f o r w a r d f o r c e s

i s a r e s u l t o f t h e f a c t t h a t t h e a v a i l a b l e m i n i m u m

i m p u l s e b i t i s 1 6 0 t h o f a s e c o n d l o n g a n d a c e i l i n g

a p p r o x i m a t i o n w a s u s e d f o r t h e o n o c o n t r o l o f t h e

t h r u s t e r v a l v e s . T h u s f o r a m a n e u v e r l e n g t h o f 4 0

s e c o n d s , t h i s c a u s e s a n e r r o r o f a p p r o x i m a t e l y 1 . 3 3

u n i t s o f f u e l p e r d i r e c t i o n w o r s t c a s e a p p r o x i m a -

t i o n .

F i n a l l y , T a b l e 7 s h o w s t h a t t h e e e t f u e l - o p t i m a l

m a n e u v e r u s e s l e s s f u e l t h a n t h e l e a d e r f u e l - o p t i m a l

T a b l e 5 : S t a n d a r d d e v i a t i o n s

E l e m e n t s L e a d e r O p t i m a l F l e e t O p t i m a l

1 - E r r o r m 1 - E r r o r m

L e a d e r

x

0 . 0 3 3 0 . 0 3 4

L e a d e r

y

0 . 0 2 2 0 . 0 2 8

L e n g t h

1 2

0 . 0 2 4 0 . 0 1 4

L e n g t h

1 3

0 . 0 1 1 0 . 0 0 8

L e a d e r

0 . 0 4 7 r a d 0 . 0 5 9 r a d

1 2



13/14

T a b l e 6 : E x p e r i m e n t a l r e s u l t s o f f e e d f o r -

w a r d f u e l u s a g e .



V e h i c l e 1 6 . 5 3 8 . 8 3

V e h i c l e 2 8 . 6 3 8 . 0 5

V e h i c l e 3 9 . 6 2 6 . 4 5

N o r m a l i z e d 2 4 . 7 8 2 3 . 3 3

T o t a l F u e l U s a g e

T a b l e 7 : E x p e r i m e n t a l r e s u l t s o f t o t a l

f e e d f o r w a r d a n d f e e d b a c k f u e l

u s a g e .



V e h i c l e 1 7 . 9 2 1 0 . 0 5

V e h i c l e 2 3 7 . 4 8 2 7 . 0 4

V e h i c l e 3 3 0 . 4 8 2 4 . 1 5

N o r m a l i z e d 7 5 . 8 8 6 1 . 2 4

T o t a l F u e l U s e d

d e s i g n . T h e r e a s o n f o r s u c h a d i e r e n c e i n t h e f u e l

u s e d w h e n c o m p a r e d t o t h e f e e d f o r w a r d t o t a l s i s d i -

r e c t l y r e l a t e d t o t h e c o n t r o l a r c h i t e c t u r e s e l e c t i o n .

T h e c u r r e n t a r c h i t e c t u r e i m p l e m e n t e d o n t h e F F T B

i s b a s e d o n a l e a d e r - r e f e r e n c e d r e l a t i v e c o n t r o l , t h u s

t h e l e a d e r ' s p o s i t i o n a n d o r i e n t a t i o n e r r o r s m a j o r

e r r o r s o u r c e p r o p a g a t e t h r o u g h t h e r e l a t i v e c o n t r o l

c h a i n . T h i s i n c r e a s e s t h e f u e l u s e d b y t h e f o l l o w e r

v e h i c l e s f o r f e e d b a c k c o n t r o l . F o r t h e l e a d e r v e h i c l e ,

w h i c h i s c o n t r o l l e d w i t h r e s p e c t t o t h e t a b l e r e f e r -

e n c e f r a m e , t h e i n i t i a l p l a n p r o v i d e s a v e r y f u e l e -

c i e n t p a t h a n d f e e d b a c k p r o v i d e s m i n o r c o r r e c t i o n s

d u e t o d i s t u r b a n c e s a n d m o d e l i n g e r r o r s . I f t h e p l a n

c a n b e r e d s i g n e d i n r e a l - t i m e , t h e n i t m i g h t b e p o s -

s i b l e t o r e d u c e t h i s o v e r a l l i n c r e a s e d f u e l u s a g e f o r

t h e e e t .

I n t h e e x p e r i m e n t s c o n d u c t e d w e h a v e s h o w n a n

i m p l e m e n t a t i o n o f a l e a d e r - r e f e r e n c e d c o n t r o l a r c h i -

t e c t u r e a n d i d e n t i e d s e v e r a l k e y i s s u e s r e g a r d i n g

f o r m a t i o n y i n g c o n t r o l . I n a r c h i t e c t u r e s b a s e d o n

r e l a t i v e c o n t r o l , p r o p a g a t i o n o f e r r o r s f r o m t h e l e a d

v e h i c l e r e s u l t s i n i n c r e a s e d f u e l u s a g e o f t h e f o l l o w e r

v e h i c l e s a n d p r o b a b l y r e q u i r e s t h a t t h e p l a n n e r u p -

d a t e t h e f o r m a t i o n p l a n i n r e a l - t i m e . I n c a s e s w i t h

n o p l a n u p d a t e s , t h e f o r m a t i o n f u e l u s a g e w i l l b e

d o m i n a t e d b y t h e f o l l o w e r v e h i c l e s . T h i s h a s a d i r e c t

i m p a c t o n m i s s i o n l i f e d u e t o t h e l a r g e f u e l i m b a l a n c e

a n d w i l l r e q u i r e a f o r m a t i o n c o o r d i n a t o r m e c h a n i s m

t o a d d r e s s t h i s r e s o u r c e a l l o c a t i o n p r o b l e m .

6 C o n c l u s i o n s

I n t h i s p a p e r w e h a v e e x a m i n e d t h e d e s i g n o f a f o r -

m a t i o n c o n t r o l s y s t e m i n c l u d i n g l o w - l e v e l f o r m a -

t i o n k e e p i n g a l g o r i t h m s a n d h i g h - l e v e l r e s o u r c e c o -

o r d i n a t i o n a l g o r i t h m s . T w o p l a n n i n g a l g o r i t h m s

h a v e b e e n d e v e l o p e d a n d a p p l i e d t o s e v e r a l t y p i -

c a l f o r m a t i o n m a n e u v e r s . S i m u l a t i o n r e s u l t s s h o w

f u e l - b a l a n c i n g c a n b e a c h i e v e d b y t h e p l a n n e r u s -

i n g w e i g h t s c h o s e n b y a c o o r d i n a t i n g a g e n t . A r e -

t a r g t i n g m a n e u v e r w a s i n v e s t i g a t e d e x p e r i m e n t a l l y

o n t h e 2 - D F F T B . L o w - l e v e l c o n t r o l a l g o r i t h m s w e r e

a l s o c o m p a r e d e x p e r i m e n t a l l y f o r t w o v e h i c l e s . A

m e t h o d f o r o b t a i n i n g o p t i m a l c o n t r o l l a w s f o r t h r e e

o r m o r e v e h i c l e s w a s p r e s e n t e d . T h e c o n t r o l a r c h i -

t e c t u r e d e s i g n w a s i n v e s t i g a t e d , a n d t h e n e e d f o r

a h i g h - l e v e l c o o r d i n a t o r t o m a n a g e f o r m a t i o n r e -

s o u r c e s w a s h i g

spacecraft formation flying control orion mission

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