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Submitted on 13 Dec 2009

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Some ab initio tudies of the physical properties ofmaterials

Nathalie Madeleine Marguerite Vast

To cite this version:Nathalie Madeleine Marguerite Vast. Some ab initio tudies of the physical properties of materials.Condensed Matter [cond-mat]. Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2009. tel-00440923

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−ℑ(ǫ−1) = −ℑ(1 + vχ),χ = χ0 + χ0(v + fxc),

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(0)nk

t~ |ψ

(0)nk >=

∑

nk

a(0)nk e−iε

(0)nk

t~ δV (t)|ψ

(0)nk > .

Pr♦t♥ ♦♥t♦ < ψ(0)mk′| ♦♥ ♦t♥s

a(1)mk′(t) =

−i

~

∑

nk

a(0)nk

∫ t

t0=0

e−i(ε(0)nk

−ε(0)

mk′) τ

~ < ψ(0)mk′|δV (τ)|ψ

(0)nk > dτ .

❲ ♥♦ ♦♠♣t t ♥tr ♥ q ♦r ♥ ♦r♠ ♦ t♣rtr♥ ♣♦t♥t

P ❨ ❯❨ ❱

P ❯

♦t♦♥ ♦r t♠ ♣r♦ ♣rtrt♦♥

♦♦♥ ❬❪ t s s♣♣♦s tt t ♣♣ ♣rtrt♦♥ s r♠t♥♥ t♠ ♣r♦

δVbare(r, t) = (δVbareeiωt + c .c .)eαt ,

r t tr♠ eαt s ♥rst♦♦ t r ♣♦st ♥ s♠ α r♥ts ♥ t st ♦♥ ♦ t ♣rtrt♦♥ rst tr♠ ♦♥t rt♥ s st♥s ♦r ♣♦t♦♥ ♠ss♦♥ ♥ c .c . st♥s ♦r t♦♠♣① ♦♥t tr♠ ♣♦t♦♥ s♦r♣t♦♥

t s ♠♦r♦r s♣♣♦s tt t ♣♣ ♣rtrt♦♥ s ♥ s♣s♦② r②♥ ①tr♥ ♣♦t♥t ❬❪

δVbare(r, t) = δVbare(q, r,ω)e−i(q.r−ωt)eαt + c .c .,

r t ♥t ♦ t ♣rtrt♦♥ s 2π/|q| ♥ t t♦r♥t |q| s s♠ ♦♠♣r t♦ t r♣r♦ tt t♦r ♥t |G|

t♥ ♠♠♦r② ts t t♦t ♣♦t♥t s t♦ rst ♦rr s♦ t♠♣r♦

δV (t) = (Fe iωt + F †e−iωt)eαt .

❲t F = F q = F 0(q, r,ω)e−i(q.r) q rs

δV (r, t) = [F 0(q, r,ω)e−i(q.r−ωt) + F 0 †(q, r,ω)e i(q.r−ωt)]eαt .

♥ ①♣rsss F 0 ♥ tr♠s ♦ ts ♦rr ♦♠♣♦♥♥ts ♥ t s♣s t♦ r ♥ t

X (r, t) =

∫

dω∑

G

X (G,ω)e−iG.re iωt

s ♦ ♦ s t t♦t ♣♦t♥t ♥ ♥r ♦♥t♥ r♣②r②♥ tr♠s t t♦r q + G

δV (r, t) =∑

G

[F 0(q,ω,G)e−i(q+G).r+iωt) + F 0 ∗(q,ω,G)e i(q+G).r−iωt)]eαt .

t s

Fqmk′nk(t) = (e iωt < ψ

(0)mk′|F

q|ψ(0)nk >

ε(0)nk − ε

(0)mk′ − ~ω − i~α

+ e−iωt < ψ(0)mk′|F

q †|ψ(0)nk >

ε(0)nk − ε

(0)mk′ + ~ω − i~α

)eαt .

♦t♦♥ ♦ q ②s

aq (1)mk′ (t) =

∑

nk

a(0)nk [e−i(ε

(0)nk

−ε(0)

mk′) t

~ Fqmk′nk(t) −Fq

mk′nk(t0 = 0)],

P ❨ ❯❨ ❱ P ❯

♥ ts

|ψq(t) >=∑

nk

a(0)nk e−iε

(0)nk

t~ |ψ

(0)nk > +

∑

nkmk′

a(0)mk′(t)[e

−iε(0)

mk′t~ Fq

nkmk′(t) − e−iε(0)nk

t~ Fq

nkmk′(t0 = 0)]|ψ(0)nk

❩r♦th ♦rr ♥st② ♠tr①

s♥ ♣rt ♥st② ♠tr① rs

ρq(t) = |ψq(t) >< ψq(t)|.

♦ ③r♦th ♦rr ♦♥ s t |ψq(t) > r♦♠ q

ρ(0) =∑

nkmk′

a(0) ∗mk′ a

(0)nk e−i(ε

(0)nk

−ε(0)

mk′) t

~ |ψ(0)nk >< ψ

(0)mk′|,

t ❬❪

ρ(0)|ψ(0)pk” >= f (0)(ε

(0)pk”)|ψ

(0)pk” >=

∑

nk

a(0) ∗pk” a

(0)nk e−i(ε

(0)nk

−ε(0)pk”)

t~ |ψ

(0)nk >,

r f (0)(ε(0)pk”) st♥s ♦r t ♦♣t♦♥ ♥♠r ♥ s

< ψ(0)lk1|ρ(0)|ψ

(0)pk2

>= f (0)(ε(0)pk2

)δlk1;pk2,

♦♥ ts t r② ♠♣♦rt♥t rt♦♥

a(0) ∗pk2

a(0)lk1

e−i(ε

(0)lk1

−ε(0)pk2

) t~ = f (0)(ε

(0)pk2

)δlk1;pk2.

q s ♥ t ♥①t st♦♥

rst ♦rr ♥st② ♠tr①

♥ ♦t♥s t rst ♦rr ♥st② ♠tr① r♦♠ qs ♥

ρq (1) =∑

nkmk′pk”

a(0) ∗mk′ a

(0)pk”[e

−i(ε(0)pk”−ε

(0)

mk′) t

~ Fqnkpk”(t)−

e−i(ε(0)nk

−ε(0)

mk′) t

~ Fqnkpk”(t0 = 0)]|ψ

(0)nk >< ψ

(0)mk′| + c .c .

♠tr① ♠♥ts t♥ r s♥ q

< ψ(0)lk1|ρq (1)|ψ

(0)pk2

> =

f (0)(ε(0)pk2

)[Fqlk1pk2

(t) − e−i(ε

(0)lk1

−ε(0)pk2

) t~ Fq

lk1pk2(t0 = 0)]+

f (0)(ε(0)lk1

)[Fq ∗pk2lk1

(t) − e−i(ε

(0)lk1

−ε(0)pk2

) t~ Fq

pk2lk1(t0 = 0)].

P ❨ ❯❨ ❱

P ❯

♠♠r♥ q δV q(r, t) = (F qe iωt + F q †e−iωt)eαt t ♠tr①♠♥ts ♥ tr♠s ♦ F q ♥ F q † ♦♣rt♦rs r

< ψ(0)lk1|ρq(1)|ψ

(0)pk2

>= eαt Iq0 +

eαte iωt [f (0)(ε(0)pk2

) − f (0)(ε(0)lk1

)]< ψ

(0)lk1|F q|ψ

(0)pk2

>

ε(0)pk2

− ε(0)lk1

− ~ω − i~α+

eαte−iωt [f (0)(ε(0)pk2

) − f (0)(ε(0)lk1

)]< ψ

(0)lk1|F q †|ψ

(0)pk2

>

ε(0)pk2

− ε(0)lk1

+ ~ω − i~α.

♥ t ♣r♦s qt♦♥ t Iq0 tr♠ ♥ ♦s♥ s tt t ♥t

t♠ t0 rst ♦rr tr♠s ♥ t ♥t♦♥ ♥ ♥ t ♥st② ♥saq (1)nk (t0 = 0) = 0 ♥ ρq (1)(t0 = 0) = 0

Iq0 = −e

−i(ε(0)lk1

−ε(0)pk2

) t~ [f (0)(ε

(0)pk2

) − f (0)(ε(0)lk1

)]

(< ψ

(0)lk1|F q|ψ

(0)pk2

>

ε(0)pk2

− ε(0)lk1

− ~ω − i~α+

< ψ(0)lk1|F q †|ψ

(0)pk2

>

ε(0)pk2

− ε(0)lk1

+ ~ω − i~α).

tr♥t② ♦♥ ss t t st t t0 = −∞ eαt → 0♥ t♥ t ♥t ♦♥t♦♥s ①♣rss ② I

q0 ♥s

♠tr① ♠♥ts ♦ t rst ♦rr ♥st② ♠tr① ♥ q r② q♥tts t♦ ♦t♥ t tr♦♥ rs♣♦♥s ♥t♦♥s χ0 χ ♥ ǫ−1 ♦♦t♥ t♠ ♥r③ rö♥rs qt♦♥ ♥ t ♥♠♥r s♣♦♥s ♥ t♦ ts t♦rt r♠♦r

♦♥srt♦♥ ♦ r②st ♠♦♠♥t♠

♥ ♦ qt♦♥s ♠tr① ♠♥ts ♦ t ♦r♠ < ψ(0)lk1|F q|ψ

(0)pk2

> r∑

G

F 0(G,q,ω)∑

G1

ψ(0)pk2

(G1)∑

G2

ψ(0) ∗lk1

(G2)

∫

dre−i(q+G).re−i(k1+G1).re i(k2+G2).r.

♥tr ②s t t ♥t♦♥

δ(k2 + G2 − k1 − G1 − q − G),

♥ ts t ♦r t ♦♥srt♦♥ ♦ t r②st ♠♦♠♥t♠

k2 = k1 + q + G,

r G s r♣r♦ tt t♦r ❯♠♣♣ ♣r♦sss r ♥♥ t s♠ G 6= 0 ② rs t♦ ♦ ♦rrt♦♥s ❬❪

r♦♠ ♥♦ ♦♥ k2 s ss♠ t♦ sts② t ♦ ♦♥srt♦♥ q

P ❨ ❯❨ ❱ P ❯

♥ ♥ ♥ t tr♦♥ ♥st②

♥ ♥ ♥ t tr♦♥ ♥st② δnq(r, t) s t ♦♥ tr♠♦ t rst♦rr ♥st② ♠tr① ♥ rs

(−e)δnq(r, t) = Tr [ρq (1)(−e)δ(r − r)],

r r s t ♣♦st♦♥ ♦♣rt♦r ♥ −e s t r ♦ ♦♥ tr♦♥♦♣♥ ♣r♦s qt♦♥ ♦♥ t ss ♦ t ♥♣rtr ♥

t♦♥s ♦sr rt♦♥ ②s

δnq(r) =< r|ρq (1)|r >

=∑

lk1pk2

< r|ψ(0)lk1>< ψ

(0)lk1|ρq (1)|ψ

(0)pk2

>< ψ(0)pk2

|r >

=∑

lk1pk2

ψ(0) ∗pk2

(r) < ψ(0)lk1|ρq (1)|ψ

(0)pk2

> ψ(0)lk1

(r).

δnq s t ♦r♠

δnq(r, t) = δn0 + δnq(r)e iωteαt + δnq†(r)e−iωteαt ,

r δn0 rsδn0 =

∑

lk1pk2

ψ(0) ∗pk2

(r)ψ(0)lk1

(r)eαt I 0q ,

♥ ♥ss ♥ t t ♣♣r♦①♠t♦♥

♥ qt♦♥ δnq(r) rs

δnq(r) =∑

lk1pk2

ψ(0) ∗pk2

(r)ψ(0)lk1

(r)[f (0)(ε(0)pk2

) − f (0)(ε(0)lk1

)]< ψ

(0)lk1|F q|ψ

(0)pk2

>

ε(0)pk2

− ε(0)lk1

− ~ω − i~α

P♦ss♦♥s qt♦♥

♥ t♦♥ P♦ss♦♥s qt♦♥ ♥s t tr♦♥ ♥st② t♦ t ♣♥♦ t tr♦stt ♣♦t♥t ❬❪ ①♣♥ t♦ t rst ♦rr t ♥s t♥ ♥ ♥ t tr♦♥ ♥st② t♦ t ♣♥ ♦ t ♥ ♥t tr♦stt ♣♦t♥t δV q

Hartree

∇2r δV

qHartree(r, t) = −4πe2δnq(r, t).

♦rr tr♥s♦r♠t♦♥ ♦ t rtr ♣♦t♥t ②s t ♦♦♥ qt♦♥ r♠♠r♥ tt t ♥ ♣♦t♥t ♦♥t♥s tr♠s t t♦r q + G ♦ s

δV qHartree = (F q

Hartreeeiωt + c .c)eαt ,

P ❨ ❯❨ ❱

P ❯

FqHartree =

∑

G

F 0Hartree(q,G,ω)e−i(q+G).r,

♦rr tr♥s♦r♠ ♦ t qt♦♥ rs

δnq(r) =∑

G

δn(q + G,ω)e−i(q+G).r.

♥ t t ♣♣r♦①♠t♦♥ ♦♥ ♦t♥s t rt♦♥s♣ t♥t ♦rr ♦♠♣♦♥♥ts ♦ t rtr ♣♦t♥t ♥ ♦ t ♥st② s

F 0Hartree(q,G,ω)|q + G|2 = 4πe2 δn(q + G,ω).

♦r ♥② G ♦♠♣♦♥♥t ♦tr t♥ G = 0 ♦♥ s

δn(q + G,ω) = F 0Hartree(q,G,ω)

|q + G|2

4πe2.

♦r ♦♥ ♥t q = 0 ♣rtrt♦♥ ♥ G = 0 δn(q+G,ω) = 0♥ ♦tr ♦rs t ♥ ♥ ♥ ♥st② s ♥♦ ♠r♦s♦♣ ♦♠♣♦♥♥t t t♦t ♠r♦s♦♣ tr♦♥ ♥st② s ♣t ♦♥st♥t ♥ t①t stt

s♣♦♥s ♥t♦♥ χ0

♣♥ ♥ q t ♠tr① ♠♥ts ♦ ρq (1) t q ♥♥♥ I 0 ♥ χ0 s

δn(q + G,ω) =∑

G′

F 0(q,G′,ω)χ0(q + G,q + G′,ω)+

∑

G′

F 0 ∗(q,G′,ω)χ0(q + G,−q − G′,−ω)

+∑

G′

F 0(q,G′,ω)I 0(q + G,q + G′,ω) +∑

G′

F 0 ∗(q,G′,ω)I 0(q + G,−q − G′,−ω),

♦♥ ♦t♥s t I 0 tr♠ ♦s t ♥ss ♥ t t ♠tt0 = −∞

I 0(q + G,q + G′,ω) = −∑

lk1pk2

e−i(ε

(0)lk1

−ε(0)pk2

) t~ [f (0)(ε

(0)pk2

) − f (0)(ε(0)lk1

)]

< ψ(0)lk1|e i(q+G).r|ψ

(0)pk2

>< ψ(0)pk2

|e−i(q+G′).r|ψ(0)lk1>

ε(0)pk2

− ε(0)lk1

− ~ω − i~α.

tr♦♥ rs♣♦♥s ♥t♦♥ χ0 rs

P ❨ ❯❨ ❱ P ❯

χ0(q + G,q + G′,ω) =

∑

lk1pk2

[f (0)(ε(0)pk2

) − f (0)(ε(0)lk1

)]< ψ

(0)lk1|e i(q+G).r|ψ

(0)pk2

>< ψ(0)pk2

|e−i(q+G′).r|ψ(0)lk1>

ε(0)pk2

− ε(0)lk1

− ~ω − i~α.

tr♦♥ rs♣♦♥s ♥t♦♥ χ0 ♥s t rt♦♥ ♦ t tr♦♥r ♥st② t♦ t t♦t ♣♦t♥t tr♦ qt♦♥

s♣♦♥s ♥t♦♥ χ

♦ ♦t♥ t rt♦♥ t♥ t rt♦♥ ♦ t tr♦♥ r ♥st②♥ t ①tr♥ ♣♦t♥t ♦♥ ♦♦s ♦r t rs♣♦♥s ♥t♦♥ χ s s

δn(q + G,ω) =∑

G′

δVbare(q,G′,ω)χ(q + G,q + G′,ω)+

∑

G′

δV ∗bare(q,G′,ω)χ(q + G,−q − G′,−ω)

+∑

G′

δVbare(q,G′,ω)I (q + G,q + G′,ω) +∑

G′

δV ∗bare(q,G′,ω)I (q + G,−q − G′,−ω),

r ♦r♥ t♦ q t ①tr♥ ♣♦t♥t ♦s ♥♦t r② ♦r ♥t s♦ tt

δVbare(q,G,ω) = δ(G, 0)δVbare(q,ω).

♦rr tr♥s♦r♠♥ qt♦♥ ♦♥ s

F 0(q,G,ω) = δVbare(q,G,ω) + F 0Hartree(q,G,q,ω) + F 0

xc(q,G,ω),

r F 0Hartree s ♥ ♥ ♥ rt♦♥ ♦ t ①♥ ♥

♦rrt♦♥ ♣♦t♥t δVxc [δn(G)] s♦ ♣♥s ♦♥ t rt♦♥ ♦ t tr♦♥ ♥st②

♥ ♥ t s♠♣st ♣♣r♦①♠t♦♥ t ①♥ ♥ ♦rrt♦♥ ♣♦t♥t s t♥ t♦ ♦♦ t t♠ ♣♥♥ ♦ t ♥st② ♦r ♥st♥ t♥ t ♦ ♥st② ♣♣r♦①♠t♦♥ t ♥r③ r♥t♣♣r♦①♠t♦♥❬❪ ♦r t t ♦ ♥st② ♣♣r♦①♠t♦♥❬❪ t ①♥ ♥ ♦rrt♦♥ r♥ fxc s ♥ s

fxc(r, t) =δVxc(r, t)

δn(r′, t′)δ(r − r′)δ(t − t ′)

P ❨ ❯❨ ❱

P ❯

s♦ ttδVxc(r, t) = fxc(r, t)δn(r, t).

♥ t ♦ s♠♣st ♣♣r♦①♠t♦♥s t r♥ s ♦s♥ t♦ ♦ ♥s♣ ♥ t♠

❯s♥ ♦ ♥t♦♥ t♦tr t q ♦♥ ♦t♥s tt

F 0(q,Gω) = δVbare(q,G,ω)+∑

G′

[4πe2

|q + G′|2δ(G′−G)+fxc(G

′−G)]δn(q+G′,ω).

❲ ♥♦ ♠ qs ♥ q ♥ t t ♣ ♦ q ♦t♥ t tr♠ ♥ t ♥t ♦♥t♦♥s ♥ss ♥ tt ♠t

I (q + G,q + G′,ω) = I 0(q + G,q + G′,ω)+

I 0(q + G,q + G′,ω)∑

G”

[4πe2

|q + G”|2δ(G′ − G”) + fxc(G

′ − G”)]χ(q + G′,q + G”,ω).

♦r t rs♣♦♥s ♥t♦♥ χ ♦♥ s t t ②s♦♥ qt♦♥ ❬❪

χ(q + G,q + G′,ω) = χ0(q + G,q + G′,ω)+

χ0(q + G,q + G′,ω)∑

G”

[4πe2

|q + G”|2δ(G′ − G”) + fxc(G

′ − G”)]χ(q + G′,q + G”,ω).

t♦♥ ♦ t rs♣♦♥s ♥t♦♥ χ rqrs ♦t t ♥♦ ♦t rs♣♦♥s ♥t♦♥ χ0 q ♥ ♦ t ①♥ ♥ ♦rrt♦♥r♥ fxc q

♥rs tr ♥t♦♥ ǫ−1

♦ ♦t♥ t rt♦♥ t♥ t ①tr♥ ♣♦t♥t δVbare ♥ t t♦t♣♦t♥t δV ♦♥ ss t t qs ♥ tt

δn(q + G,ω) =∑

G′

δVbare(G′,q,ω)χ(q + G,q + G′,ω),

s♦ tt qt♦♥ rs

F 0(q,G,ω)) =∑

G′

δVbare(q,G′,ω)δ(G − G′)+

∑

G”

[4πe2

|q + G”|2δ(G − G”) + fxc(G − G”)]χ(q + G”,q + G′,ω).

P ❨ ❯❨ ❱ P ❯

♥rs tr ♥t♦♥ ǫ−1 s t ② q♥tt②

ǫ−1(q + G,q + G′,ω) = δ(G − G′)+∑

G”

[4πe2

|q + G”|2δ(G − G”) + fxc(G − G”)]χ(q + G”,q + G′,ω),

r q s t t♦r ♦r ♠♦♠♥t♠ tr♥sr t♥ t rst r♦♥③♦♥

ǫ−1 ♥s ♦♥ t ♠r♦s♦♣ s t ①tr♥ ♣♦t♥t t♦ t t♦t♣♦t♥t ♥s t r②st

F 0(q,G,ω) =∑

G′

δVbare(q,G′,ω)ǫ−1(q + G,q + G′,ω).

♥r rs♣♦♥s ♥ r s♣

♥ r s♣ qt♦♥s ♦ ♥r rs♣♦♥s t♦r② r ❬❪

δVtot(r,ω) =

∫

ǫ−1(r, r′,ω)Vbare(r′,ω)dr′.

δn(r,ω) =

∫

χ0(r, r′,ω)δVtot(r′,ω)dr′,

δn(r,ω) =

∫

χ(r, r′,ω)Vbare(r′,ω)dr′.

♥ ttr qt♦♥s ♠♠♦r② ts ♥ t♠ r ♦♠ttχ0 rs

χ0(r, r′,ω) =

∑

i ,j

(fi − fj)ψi(r)ψ

∗j (r)ψj(r

′)ψ∗i (r

′)

ωij − ω − i~α,

r i ♥ j r ♦ ♥①s ♦r t ♥ ♥♠r ♥ r②st t♦r ♥ ωij = εi − εj

r tr ♥t♦♥ ② tr♦♥

♥r②♦ss s♣tr♦s♦♣②

❲♥ r ♣rt ♦s t tr♦♥s ♥ t♦♠s t s r♥t② ♦r♥ t♦ ts ♠ss ts ♠ss s rr t♥ t tr♦♥ ♠ss ♦s♦♥ t tr♦♥s t♦ ♥r② ♦ss rs ♦s♦♥ tt♦♠s st t t♦♥ ♦ t trt♦r② t ♥♥t♣rt s ♥ tr♦♥ tr ♦t ♥st sttr♥ ♥ t♦♥

P ❨ ❯❨ ❱

P ❯

♦ t tr♦♥ ❬❪

♥ t t②♣ ♦ ①♣r♠♥t ♦♥sr r tr♥s♠ss♦♥ tr♦♥ ♥r②♦ss s♣tr♦s♦♣② ♥r② ♠ s tr♥s♠tt tr♦ t♥ s♠♣♥ ①♣r♥s ♦t st sttr♥ qsst sttr♥ t ①tt♦♥ ♦ ♣♦♥♦♥ ♦r ♥st sttr♥ r t ♦♦♠ ♦ t♥♥t tr♦♥ ♥trts t t tr♦♥s ♥ t s♦ ♥ s rs t♦♦♥t♥ ♦t ①tt♦♥s t ♣s♠♦♥s ❬❪

♥♥t tr♦♥ s r② ♦♥r♥ ♦♦♠♥ ♥trt♦♥r♦♠ t ♥ tr♦♥s ♦ t s♦ s ♥trt♦♥ s rs♣♦♥s ♦rt ♥r② ♦ss ♥ s ♥ s♦♥ t♦ t♦♦ ♦♥r♥ t♦ trt♥ ♣rtrt♦♥ t♦r② ❬❪ r♦r t t♦rt s♠ ♦r sr♥t r♦♠ t♦s ♦r ♣♦t♦♠ss♦♥ ♦r s♦r♣t♦♥ s♣tr

♦r♥ t♦ r ❬❪ s t ♥trt♦♥ ♥t s r② ♦♥ ♥trt t s♦ s ♦♠♦♥♦s ♠♠ ♥ r② ♦♥ tr trt♠♥t♦ ts ♦♥r♥ ♥trt♦♥s ♥ tt s t ♣♦t♥t rt ② ttr♦♥ ♠♦♥ t ♦♥st♥t ♦t② v s ♥ ② P♦ss♦♥s qt♦♥t r♥ t qt♦♥ t tr ♥t♦♥ ǫqav ♦ t ♠♠♦♥sr s ♦♠♦♥♦s s ♥♦ ♥srt ♥ ①s qt♦♥ ♦r ttr s♣♠♥t ②♥ ♦r P♦ss♦♥s qt♦♥

ǫav (t,q)∇2r V (r, t) = −4πe2nq(r, t),

r n = eδ(r − vt) s t r ♦ t ♥♥t tr♦♥ ♥ t ♦qt♦♥ t tr ♥t♦♥ s ♥ r ♦r r t♦ t r② ♦♥r♥ ♥tr ♦ t ♥trt♦♥ s ♠r♦s♦♣ q♥tt② s ♦r t♠♣♥♥t ♥ ♣♥s ♦♥ t rt♦♥ ♥ ♠♦ ♦ t tr♥srr ♠♦♠♥t♠ q

♦ r♥t ♥st sttr♥ r♦ss st♦♥ ♦r st tr♦♥srs

∂2σ

∂Ω∂ω= D

4πǫ0(eπa0)2

ℑ(−1

qǫavq)

r ǫav = ǫav (ω = Eloss, q) s t ♦♥ ♠♥t ♦ t ♥rs ♠r♦s♦♣ tr ♥t♦♥ D s t s♠♣ t♥ss a0 s t ♦r rs♥ q s t sttr♥ t♦r ℑ(ǫ−1

av ) s t ♦ss ♥t♦♥ tt ♣♥s ♦♥ t ♦ss ♦ ♥t ♥r② Eloss ♦ t tr♥s♠tt tr♦♥ ♠

rt♦♥s♣ t♥ t r ♥t♦♥ ǫav (ω,q) ♥ t ♠r♦s♦♣ ♥t♦♥ s

ǫav (ω,q) =1

ǫ−1(q + G,q + G′,ω)G=G′=0

,

P ❨ ❯❨ ❱ P ❯

r ǫ−1 s ♥♦ ♦r tstr rs♣♦♥s ♥ ② t st♥r ♥t♦♥ ♦ t ♠r♦s♦♣ tr ♥t♦♥

ǫ−1(q + G,q + G′,ω) = δ(G − G′) +4πe2

|q + G|2χ(q + G,q + G′,ω).

❲t rs♣t t♦ q ♦r t tr♦♥tr♦♥ tr ♥t♦♥♦♥② t tr♦stt ♣♦t♥t s ♥ ♥ ♥ q ♥ ts ♥ t♥ ♥t♦ ♦♥t tt ♥ s ♥ ①♣r♠♥t t ♣r♦ s ♥ tr♦♥ t r② ♥r② ♥ tt s ❱❱ tr♦♥tr♦♥①♥ ♥ ♥♦r ♥ r t t t ♦♦♠ r②st ♣♦t♥t♥ q ❬❪ tr♦♥tr♦♥ ①♥ s ♣♦ss ♦♥② ♥ t t♦tr♦♥s t s♠ ♥r② ❬❪

♥② ♦♥ ♥♦ts tt t tstr ♥t♦♥ ♦ q ♥ ttr♦♥tr♦♥ rs♣♦♥s ♦ q ♥ ♥♦t ♦♥ t r② ♥r②s t ①♥ ♥ ♦rrt♦♥ r♥ s ♥♦t rq♥②♣♥♥t ♥♥② t ♣♣r♦①♠t♦♥s

♣tr

♦rt rsts tr♦♥♥r② ♦ss s♣tr

♥tr♣rtt♦♥ ♥ ♣rt♦♥ ② t t♦r② ♦ tr♦♥ s♣tr ♦t♥ ② t ①tt♦♥ ♦ ♥ tr♦♥s ♥ d ♠t ♦①s s r②♠♣♦rt♥t st ♦♠♥♥ ♦t t t② ♦ t ①t stt tt ♥ ♦ ♣r♦♣r② sr♥ d ♠♥ts ♥ t s♠t♦♥ s s ♦r♠ ts ♥ ♦♥ s ♣rt t ♣r♦♠ ♦ str♦♥ tr♦♥♦rrt♦♥ s t ♦s ♦ t ②♥♠ ♠♥ t♦r② ❬❪

♥ t ♦♦s ♦♥♥trt ♦♥ ❩r2 ♥ 2 ♠trs ♥ t d s r ♥r② ♠♣t② s ♠trs r ♠♣♦rt♥t ♦r ♥r♣♣t♦♥s ❩r♦♥ s sr ♥ t ♣♣♥①

♥ ts ♦①s ♥♦ str♦♥ tr♦♥ ♦rrt♦♥s r ①♣t t♦ ♦rt s ♥♦♥tss ♥ ♠♣♦rt♥t ts t♦ ♥rst♥ ♠♦♥ t t♦rt♠t♦s r ♥ ♣tr ♦ t♦r② s ♣♣r♦♣rt ♦r ts♦①s

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χ0(q + G,q + G′,ω) =∑

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ωij − ω − i~α,

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ǫRPA(q + G,q + G′,ω) = δ(G − G′) −4πe2

|q + G|2χ0(q + G,q + G′,ω).

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−ℑ[ limq→0

v0(q)χ00(q,ω)],

r v0 s t G = 0 ♦♠♣♦♥♥t ♦ r ♦♦♠ ♣♦t♥t ♥ χ00 s t♠r♦s♦♣ rs♣♦♥s ♥t♦♥ s stt ♥ qs ♥ ❲t♥ tP q ♦♠s

χ = χ0 + χ0vχ,

♥ t ♦♠♣♦♥♥ts ♦ t r ♦♦♠ ♣♦t♥t v ♥tr ♥ q t s♦rtr♥ s s t G = 0 ♦♥r♥ ♦♥s

♥ t ♦tr ♥ t ♠♥r② ♣rt ♦ t ♠r♦s♦♣ tr♥t♦♥ ♥ s♦♥ t♦ ♣r♦♣♦rt♦♥ t♦ ♠♦ qt♦♥

−ℑ[ limq→0

v0(q)X00(q,ω)],

r t ♠♦ rs♣♦♥s ♥t♦♥ X rs ♠♦ ②s♦♥ qt♦♥

X = χ0 + χ0v X ,

r ♥♦ ♦♥② t s♦rt r♥ ♦♠♣♦♥♥ts ♦ t r ♦♦♠ ♣♦t♥t♥tr

v(G = 0) = 0,

v(G) = v(G).

①t♦♥ ts r ♦♥r♥ t r♦r t ♥tr♦t♦♥♥ t t♦♥ ♦ t ①t♦♥ ts ♦♥② st② ② ♠♦s tt♦rt s♣tr rs t ♦♥sr② ♠♦s t s♦r♣t♦♥s♣tr♠❬❪ s s s ♥ tr♦♥ ♥r② ♦ss s♣tr♠ r② ♦♥t♥s ♦♥r♥ ♣rt rs ♥ s♦r♣t♦♥ s♣tr♠ ♦s ♥♦t ♦♥t♥

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♣tr

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❲ ♦♥sr ♥ ♦♣t s♦r♣t♦♥ ①♣r♠♥t ♥ ts s ♦♥ ♠srs t s♦r♣t♦♥ ♦♥t

α(ω) =ωℑ(εM(ω))

n1(ω)c,

r c s t t ♦t② ω s t ♥r② ♦ t s♦r ♣♦t♦♥ n1 st r ♣rt ♦ t ♥① ♦ rrt♦♥ ♥ ℑ(εM(ω)) s t ♠♥r② ♣rt♦ t ♠r♦s♦♣ tr ♥t♦♥

❲ ♥ t♦ t t ♠r♦s♦♣ tr ♥t♦♥ rs

εM(ω) = limq→0

1

ε−1G=0G ′=0(q,ω)

.

t♦rt s♦r♣t♦♥ s♣tr♠ s t♥ ♥ ② t ♠♥r② ♣rt ♦qt♦♥

❲t♥ ♥♣♥♥t tr♥st♦♥ t♦r②

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εM ≈ 1 − vχ0(G = G′ = 0;q → 0),

♥ s t♦ t t t♦rt s♦r♣t♦♥ s♣tr♠

P ❯ P

P ❳P

♠♥r② ♣rt ♦ t ♠r♦s♦♣ tr ♥t♦♥ εM rs

ℑ(εM(ω)) =4π

ω2

∑

v ,c

|〈ψc | − iA.∇|ψv〉|2δ(ω − εc + εv)

r −iA ·∇ srs t ♦♣♥ ♦ t tr♦♥ t t t♦r ♣♦t♥t A ♦ t tr♦♠♥t ❲ trt ts tr♠ t♥ t ♣♦r♣♣r♦①♠t♦♥ s♠ s ♣r♦r♠ ♦t ♦♥ t ♥t ♥ ♥ ♥♦♥t♦♥ stts ♥ q r ♦ stts ♦ t ♣r♦ ♣♦t♥t ♥ t s♦

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♦♥t ♥st② ♦ stts

s♠♣st ♣♣r♦ t♦ t s♦r♣t♦♥ s♣tr♠ ♦♥ssts ♦ t t♦♥ ♦ t ♦♥t ♥st② ♦ stts s rst tt♠♣t t♦ ♦t♥ t♦rttr♦♥ s♣tr ♥ s t ♥s εi ♦ t ♠t♦♥♥t♦ t t ♦♥t ♥st② ♦ stts

∑

v ,c δ(ω − εc − εv) rεv s t ♥r② ♦ stt ♥ t ♥ ♥ ♥ εc s t ♥r② ♦ stt ♥ t ♦♥t♦♥ ♥ s ♣♣r♦①♠t♦♥ s♣♣♦ss tt t ♠tr①♠♥ts |〈ψc |− iA ·∇|ψv〉|

2 r ♣t ♦♥st♥t ♥ qt♦♥ q♥tt②

ℑ(ǫ(ω)) =

∑

v ,c δ(ω − εc + εv)

ω2,

r♣♦rt ♥ ❩r2 s rt t♦ t ♦♥t ♥st② ♦ stts s♥ ♦s ♥♦t sts② ♦♥srt♦♥ rs ♥ tr♦r t t s♣tr♠ s ♥ rtrr② ♥ts

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t ♦ ♠tr① ♠♥ts

s♠♣st ♦ ♣♣r♦①♠t♦♥ ♦♥ ♥ ♠ ②♦♥ t s t♦trt t ♣rts ♥ t tr♥st♦♥s t♥ stts ♥♣♥♥t② tqt♦♥

P ❯ PP ❳P

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♦♠♣tt♦♥ ♦ t ♠tr① ♠♥ts |〈ψf | − iA · ∇|ψi〉|2 ♥ q

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P ❳P

②♦♥ ♥♣♥♥t tr♥st♦♥ t♦r②

♠r♦s♦♣ tr ♥t♦♥ ε(r, r′,ω) ♥ rtt♥ ♦rr tr♥s♦r♠ s t ♠tr① t ♠♥ts εGG′(q,ω) ♦ qt♦♥ ❬❪

♠♠r③♥ qt♦♥ rt t ♥rs tr ♥t♦♥ s

ε−1GG(q,ω) = 1 + v(q + G)χGG(q,ω),

r v s t ♦♦♠ ♣♦t♥t ♥ χ t ♣♦r③t② ♦ t s②st♠st♦♥

♥ ♦rr t♦ t ts ♥t♦♥s ♥ t♦ ♦r♠t ♥ ①♣rss♦♥ ♦r t ♣♦r③t② ♦ t s②st♠ χ t ♥ t ② ②s♦♥s qt♦♥ ♦r s ♣♣r♥t② r r♦♠ r♠s ♦♥ r♣♣♥① ♦♥tss ♦♥ ♥ s♦ tt ♥ r ①♣rsss ♥ tr♦♥♦ ①♥ ❬❪ t ♠♥r② ♣rt ♦ t tr♥t♦♥s s ♥ ② qt♦♥

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♥ ♥ t ♦♦♠ ♣♦t♥t vG(q) ♥ t♦ tt tr ♠tr① ♥♥ t ♦♦♥ ♠♥ts εG,G′ 6=Gtst ♥rs♦♥ ♦ ts ♠tr① s t t ♦ ♠①♥ t ♣r♦s② ♥♣♥♥t tr♥st♦♥s

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HKSψn(r) − vxc(r)ψn(r) +

∫

d3r′Σ(ω, r, r′)ψn(r′) = εQP

n ψn(r).

♥ t s♠♣st ♦r♠t♦♥ t s♥r② Σ(ω, r, r′) s t tω = εQP

n t s ♣♣r♦①♠t ② t ♣r♦t ♦ t r♥s ♥t♦♥ ♥♦ t sr♥ ♦♦♠ ♥trt♦♥ W = ǫ−1v ♥ t ♥♠ GW ♦rts ♣♣r♦①♠t♦♥ ♥ rst st♣ ♥s r ♦rrt ② qt♦♥ t ♥t♦♥s r ♥♥ ♥ r s② t♦s ♦t♥r♦♠

♥♥ qs♣rt ts ♥ t tr♦♥ s♣tr ♦rrts t ♥♣s ♥ t♦♥s t②♣② ♥ ♣s r♠ t♦♦ s♠ t rs♣t t♦ t ♣♦t♦♠ss♦♥ ♣ s rsts ♥ ♠♣r♦ ♣♦♥ s♥ ♠t♦s s s t ❲ ♣♣r♦①♠t♦♥ ❬❪ ❲ st♠t♦♥ ♦ t ♥ ♣ ♥ ♠♦♥♦♥ ❩r2 s rst ♦ ❱❬❪ ♥st ♦ t ♦ ❱ ❬❪

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P ❯ P

P ❳P

r s♦r♣t♦♥ s♣tr♠ ♦r 2 t♦t ①t♦♥ ts t s♥ t P t ♦ s t t ♦tt ♥ tt GW s ♥ ♥ t t s♦♥sst♥t ❲ s♦ ♥♦♠♣r t ①♣r♠♥t ♦ ❬❪ rs r♦♠ ❬❪

♦ strt ts t s♦ ♥ r t♦rt s♣tr tt qt♦♥s ♥ t♦tr t ①♣r♠♥t t ♥ qt♦♥ t s ♦ t ♥r② ♥ ♥t♦♥s ♦ t ♥t ♥ ♥ stts ♥ t t r♥t s ♦ ♣♣r♦①♠t♦♥ t t s ♥ r t t GW ♥ t t ♦ s♦♥sst♥tGW ♣♣r♦①♠t♦♥ ❬❪ ♥② t t ttr s t t♦rt s♦r♣t♦♥ ♦sr t♦ t ①♣r♠♥t ♦♥ ♥ ♥ rs r♦♥ ❱

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P ❯ PP ❳P

①t♦♥ ts

♥ ♥t♦ ♦♥t t ①t♦♥ ts s ♦♠♣① ♥ s ♥ ♥②♦rt ② rt ♥ ts P tss ❬❪ ♥ ♦♥② r♦♠♠♥ tr♥ ♦ ts P tss t ♠♦♥ts t♦ s♦♥ t♣tr qt♦♥♦r ♦r ♣♦♥t ♣♦rst② P

P = P0 + P0ΞP

Ξ s t ♥trt♥ r♥ ♥ ♦♥ssts ♦ t ①♥ t t ♦ ♦ ♦ st♦♥ ♥ ♦ t ♦♦♠ tr♦♥♦ ♥trt♦♥sr♥ t t ♣♦t♥t W ♦ t ♣r♦s st♦♥

♦ qt♦♥ ♠♦♥ts t♦ ♦♥③♥ ♥ t ♠t♦♥♥ rs♦♥♥t ♣rt ♦ t ♠t♦♥♥ ♦♥ssts ♦ t r tr♦♥♦ ♣r ♥r② ♣s t t♦ ♦♠♥t♦♥ ♥trt♦♥s ①♥ ♥sr♥ ♦♦♠ tr♦♥♦ ①♣rss ♥ t r♥ Ξ

Hexccv ;c ′v ′ = (εc − εv)δvv ′δcc ′ − iΞcv ;c ′v ′ .

s ♦ t ①t♦♥ ♥r② Eλ ♥ ♥t♦♥ ♦♥ts Acvλ

r t ♥s ♥ ♥t♦rs ♦ t t t♦♣rt ♠t♦♥♥ ♦r t tr♦♥♦ ♣rs Hexc

Hexce1,h1;e2;h2

Ae2,h2λ

= EλAe1,h1λ

,

♥ ei s ♥ tr♦♥ stt ♥ t ♦♥t♦♥ ♥ ♥ hi s ♦ stt ♥ t ♥ ♥

♠t♦♥♥ s ①♣rss ♥ t ss ♦ tr♦♥♦ ♥t♦♥s |ψvψc > tr♦♥♦ ♣r ♥t♦♥ s s② ①♣rss s|ψvψc > r |ψv > ♥ |ψc > r s♥ ♣rt s♦t♦♥s ♦ t qt♦♥s ①t♦♥ ♠♣t s ①♣rss s ❬❪

Ψλ(r, r′) =

∑

(c,v)

Ac,vλψ∗

c (r)ψv(r′).

♥ t tr ♥t♦♥ t ①t♦♥ t ♥ ② t sr♥♦♦♠ tr♦♥♦ ♥trt♦♥ s t♦ ♠①♥ ♦ t ♦r♠② ♥♣♥♥t tr♥st♦♥s t t s♠ ♥r② ❬❪

ℑ(εM(ω)) = 2π limq→0

vG=0(q)∑

λ

|∑

v ,c

|〈ψc | − iA.∇|ψv〉Acvλ|2δ(ω − Eλ + iα).

P ❯ P

P ❳P

♥t♦♥ ♦♥ts Acvλ

♠① t ♦r♠② ♥♣♥♥t tr♥st♦♥s♥ ♥ ♦r♥t ts ♥ r♠s ♦♥ r

♠t♥ Ξ t♦ t ①♥ t ♦ ts s strt② q♥t t♦ st♦♥ ♥ ♥t♦ ♦♥t ♦t t ①♥ t ♥ tsr♥ ♦♦♠ tr♦♥♦ ♥trt♦♥ ♥ Ξ ♥s rst ♥s ♥t ♦♣t s♣tr r ts ♦ t tr♦♥♦ ♥trt♦♥ ♥ s♥ ② ♦♠♣r♥ t s ♥ ♦ r ♥ t ♦ts ♥♦ ♣♥ ♦ r

t♦ t ♦ s♠ s ♥ s♦♥ t♦ s♥t ♦r sp♦♥ s♠♦♥t♦rs t s ♥♦t s♥t t♦ ♥tr♣rt t ①♣r♠♥ts♣tr♠ ♦ 2 ♣♥ ♦ r ♥srt♥ t ♠♣r♦ s♦ t qs♣rt ♥r② ♦t♦♥ r♦♠ s♦♥sst♥t GW t♦♥♥ t r tr♦♥♦ ♠t♦♥♥ (εc − εv)δvv ′δcc ′ s s♦ ♥♦t s♥ts♦tt ♥ ♦ ♣♥ ♦ r r♥ s s♦♥ tt ♦♥♥s t♦ ♦ ♦♥ st♣ rtr ♦r ♠trs t d tr♦♥s s t s ♦ t ♥r② r ♥♦t s♥t t♦ ♣r♦♣r② t t sr♥♥♥t♦♥ ǫ−1 ♥ t♦ ♦t♥ t sr♥ ♦♦♠ tr♦♥♦ ♥trt♦♥ W ❲♥ ǫ−1 s ♣r♦♣r② t s♦ ♥ t ①♣rss♦♥ ♦ Ξ s♦♥ ♥ ♣♥ ♦ r t♥ t t♦r② s ♣ ♥ ♥rst♥♥t ①♣r♠♥t s♣tr♠ ♦r rs ♥ ♣rs♥t t s

♦st♦♥ ♦ ①t♦♥ ts

s♦t♦♥ ♦ t qs♣rt ♥ ♦ t t♣tr qt♦♥ rr② ♠rs♦♠ t♦♥s

❲ ♠ ♥ tt♠♣t t♦ ♠♦ t ①t♦♥ t t♥ t r♠♦r ♦ t♠♣♥♥t ♥st② ♥t♦♥ t♦r② ② ♥♥ ♥ ♣♣r♦①♠t♦♥ ♦ t ♦♥ r♥ r♥ s α

|q|2 t α ♥ ♥ ♠♣r ♣r♠tr

r♦♠ t stt tr sr♥♥ ❬❪

♥ ♠② ♥rst♥♥ ts ♠♦♥ts t♦ ♥srt♥ ♦♥r♥ ♣rt α

|q|2♥

qt♦♥

F 0(q,Gω) = δVbare(q,G,ω)+∑

G′

[4πe2

|q + G′|2δ(G′ − G) + fxc(G

′ − G)]δn0(q + G′,ω),

P ❯ PP ❳P

r s♦r♣t♦♥ s♣tr♠ ♦r 2 t t ①t♦♥ tst t st♥r ❲ ♥s ♥ t ♥t♦♥s ♥ ǫ−1

♥ ♥ t r tr♦♥♦ ♠t♦♥♥ (εc − εv)δvv ′δcc ′ ♦t s ♥ qs♣rt ♦rrt♦♥s t♦ t ♥r② ♦t♥ r♦♠ s ♦♥sst♥t ❲ t♦♥ r ♥srt ♥ t r tr♦♥♦ ♠t♦♥♥(εc−εv)δvv ′δcc ′ s♦tt ♥ ♦r ♦t ♥ t r tr♦♥♦ ♠t♦♥♥ ♥ ǫ−1 s♦ ♥s ♥st ♣♥ s♦s t tr♥st♦♥ ♥②ss♦r ♣ ♦♥trt♥ tr♥st♦♥s ♦ts ♥ ♦♣t s♦r♣t♦♥ s♣tr♠t t t s♦♥sst♥t ❲ s ♦ t ♥r② t t♦t ①t♦♥ ts s ♥ ①♣r♠♥t ♦ ❬❪ rs r♦♠ ❬❪

P ❯ P

P ❳P

②♥

F 0(q,Gω) = δVbare(q,G,ω)+∑

G′

[4πe2

|q + G′|2δ(G′ − G) + fxc(G

′ − G) +4παe2

|q + G′|2δ(G′ − G)]δn0(q + G′,ω).

♥ ts stt ♦r♠ t s ♥♦t ♣♦ss t♦ rt ②r srs ♥ ♥ts②st♠ t ts ♠♦ t t s ♦♥♥♥ ♥ ♠♦②♥ t ♦♣t s♣tr ♦t♥ ♥ t♠♣♥♥t ♥st② ♥t♦♥ t♦r② ❬❪

①t♦♥ ts r t♦t t♦ r r♦♠ t ♥♦♥♦ ①♥♦♣rt♦r ❬❪ ts s s♦ P♦ss♦♥s qt♦♥ ♦ s♦ s♦ ♦♥②t t rtr ♣♦t♥t ❲ s♥ tt ♦r ♦♥ ♥t ♣rtrt♦♥ q = 0 ♥ G = 0 ♦♥ s δn(q+G,ω) = 0 ♥ ♥ ♥t ♥st② s ♥♦ ♠r♦s♦♣ ♦♠♣♦♥♥t t t♦t ♠r♦s♦♣ tr♦♥♥st② s ♣t ♦♥st♥t ♥ t ①t stt lim

q→0

∫

[n(r)− < n >]e−iq.r → 0

♥ s s t r♥ ♠♦ α

|q|2s♦ ♥♦ t s ♥ q

t♦♥ t s ♠t♣ ② δn(q,G → 0,ω)

r♥t tt♠♣t ② ♠②s ♥ r♦ tt P ♥sttt ♥ér♦ t P②sq s ① ♦♥♥sés ❯♥rsté Prs ❱P r t♦ ♥tr♦ t ♠♦ r♥ ♥ t P qt♦♥s ♦ ❬❪ s ♥ ♠② ♥rst♥♥ ts r s ♦♥♥t t♦ tt tt ♥ ts s t ♥ ♥ ♥st② s s♥ t♦ ♥♦ ♠r♦s♦♣ ♦♠♣♦♥♥t s s ♥♦t t s ♥ t P ♣r♦r♠ ♣ s ♥ ❬❪ ♥ ♥♦ ♦ t ♥ ♥st② s ♣r♦r♠

♥ ♠② ♥rst♥♥ ♥tr♦♥ ♠♦ r♥ s ♦♥ ♥ ❬❪♠♦♥ts t♦ ♠♦②♥ P♦ss♦♥s qt♦♥ s ♠t stt♦♥ ♦♥sr tt t ♣rtrt♦♥ s ♥♦ ♦♥r t♥ s t ♠♥♦ ♦♥ t♦ ♦rt ♦♥ ts ♣♦♥t

♦♥ t ts

♥ s s ♦♥ s♦ t ♥t♦ ♦♥t t ♦♠♣♦♥♥t δn0 ♥ ②qt♦♥ ♥ P♦ss♦♥s qt♦♥

♥♥ rst t q♥tt② A ♣♣rs ♥ δn0 q ♥ ♥δnq(r) q ♦♥ s

Alk1pk2(r) =

Blk1pk2

ε(0)pk2

− ε(0)lk1

− ~ω − i~α,

P ❯ PP ❳P

t B qs t♦

Blk1pk2(r) = ψ

(0) ∗pk2

(r)ψ(0)lk1

(r)[f (0)(ε(0)pk2

) − f (0)(ε(0)lk1

)] < ψ(0)lk1|F q|ψ

(0)pk2

> .

rt♥ P♦ss♦♥ qt♦♥ t δn0 s t♦∑

G

|(q + G)|2 F 0Hartree(q,G,ω)e−i(q+G).re iωteαt + c .c . =

4πe2∑

lk1pk2

Alk1pk2(r)eαt(e iωt − e

−i(ε(0)lk1

−ε(0)pk2

) t~ ) + c .c .,

r t tr♠s e−i(ε

(0)lk1

−ε(0)pk2

) t~ ♦♠ r♦♠ ♥♦♥t tr♠s

♥trt♥ ♦♥ t♠ ♥ t♥ t ♦♥ ♥t ♠t ♥ tt

limq,G→0

|(q + G)|2 F 0Hartree(q,G,ω) = 4πe2 lim

q,G→0δn(q + G,ω)+

4πe2

~ωlim

q,G→0

∑

lk1pk2

Blk1pk2(G)

❲ s tt ♥♦♥ t ♣rtrt♦♥ ♥s ♥ t♦♥ tr♠ t♦t r♥ ♦♠♥ r♦♠ t rtr ♣♦t♥t

4πe2

~ωlim

q,G→0

1

|(q + G)|2

∑

lk1pk2

Blk1pk2(G).

s t♦♥ tr♠ s t ♦r α

|q|2 s ♥ rt ♥

①♣♥♥ ①t♦♥ ts ❬❪

❲tr s ♥♦♥ t ♦♥trt♦♥ ♦ t ♠♥ ①♣♥t♦♥ ♦r t ①t♦♥ t ♦ ❬❪ s t ♦r tr ♦r

♦♥s♦♥

♥ ts ♣tr ♣rs♥t r♥t s ♦ ♣♣r♦①♠t♦♥ t♦ t ♦♣t s♦r♣t♦♥ s♣tr ♣rs♥t stts ♦ t t♦r② s r②♠tr ♥ t r♦ ♦ ①t♦♥ t s ♥rst♦♦ st② ♣rs♥t ♥ ♥♣s ①♣♥t♦♥ ♦♥ t ♦♥ r♥ r♥ α

|q|2

♦ ♥tr♣rt s t ♦♥trt♦♥ ♦ ♥♦♥ t ♣rtrt♦♥

♣tr

♦rt rsts ♦♥ tstt② ♦ ♦r♦♥ rs

s ♣tr s r♣r♦t♦♥ ♦ t ♣r♣r♥t ❬❪ t s r rt ♦♠② ♦r ♦♥ ♦r♦♥ rs ♦♦♥ ♥ ♥tt♦♥ t♦ t t ♥tr♥t♦♥②♠♣♦s♠ ♦♥ ♦r♦♥ ♦rs ♥ t trs ♣t♠r ts ♠♥ ♣♥ ♠ ♥♦ ♦♥ t♦ ♣rs♥t ♥ rsts ♦♥t ♦r♠t♦♥ ♥r② ♦ ♦r♦♥ rs t r♦♥ ♦♥♥trt♦♥s ♦r t♥ t ♣♣r s ♥ rtt♥ ♥ ♦♦rt♦♥ t ♥ st♥ tr♥♥②

♥tr♦t♦♥

♥st② ♥t♦♥ t♦r② s ♦♠ r r♦♠rst♣r♥♣st♦♦ t♦ ♥stt r♦♥ stt ♣r♦♣rts ♦ ♠trs❬ ❪ ♦rt rsts ♦♥ ♦r♦♥ rs ♣rs♥t ♥ ts ♣♣r r② ♦♥ ♥tr♦r r② r ♥ ts ♥tr♦t♦♥ t ♠♥ ♣r♣♦s ♦ ♥ ts ♠tt♦♥s ♠♣s s②st♠ ♦ ♥trt♥ tr♦♥s ♦♥ s②st♠ ♦ ♥♦♥♥trt♥ tr♦♥s ♥ ♥ t ♣♦t♥t ♦♥t♥s ts♦ ①♥ ♥ ♦rrt♦♥ ♣♦t♥t ♥ t rs ♦♥ ss♠♣t♦♥s ♦r t ①♥ ♥ ♦rrt♦♥ ♥r② ♠ t ♠♦♥tr♠s t t♦ t ♥t♦ ♦♥t ♥ t ♠♣♣♥ t r♥ ♥♥t ♥r② t♥ s②st♠ ♦ ♥trt♥ tr♦♥s ♥ ♥♦♥♥trt♥♦♥s ♠♥②♦ tr♦♥tr♦♥ q♥t♠ ♥trt♦♥s s sPs ♣r♥♣ ②♦♥ t rtr ♥r② t ss tr♦stt ♥r② ♦r ♥trt♥ r ♥sts

♥ t s♠♣st ♦ ♥st② ♣♣r♦①♠t♦♥ s♠ ♦♠♦ t s②st♠ s ①♣t t♦ ♦♥trt t♦ t ♥r② ♦ ①♥ ♥ ♦rrt♦♥ s ♦ ♥ q ♦♠ ♦ ♦♠♦♥♦s tr♦♥ s t ts♠ ♥st②❬❪ qr♠ ♣r♦♣rts t t♥ ss tt ♣r♠trs ♥ ♥tr♥ t♦♠ ♣♦st♦♥s s② r ①tr♠②

P ❯

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①♥ ♥ ♦rrt♦♥ ♥t♦♥s ②♦♥ r ts rqr♥ ♦rr t♦ t t qr♠ ♦♠ t rtr r② ♥r③ r♥t ♣♣r♦①♠t♦♥s ♥ ♦♣ t s♥ ♦t❬❪ t s ♠♣♦rt♥t ♦r ♣r♦♣rts ①♣t② ♣♥ ♦♥t qr♠ ♦♠ Veq s s t t♥s♦r ♦ st ♦♥st♥ts Cijkl ♥ s t s♦♥ ♦rr rt ♦ t t♦t ♥r② E trs♣t t♦ t str♥ t♥s♦r εij r i , j , k ♥ l r rts♥ ♥①s

Cijkl =1

Veq

(

∂2E

∂εij∂εkl

)

ε=0

.

♥ t ♦ qt♦♥ t ①♣t ♣♥♥ ♦♥ t qr♠ ♦♠Veq ♠s t rr♦r r ♦♥ st ♦♥st♥ts ♠ s♠r ♥ tt♥ t ♥r③ r♥t ♣♣r♦①♠t♦♥ t♥ t♥ ❬❪ r ♠♥t rs♦♥♥ s ♥♦tr t②♣ ♦ ♣r♦♣rts rt②♣r♦s t ♦ t♦♠ strtr tr♦ t tr♦♥ rs♣♦♥s t♦ ♥ ①tr♥ ♠♥t ♦r t s♠ rs♦♥s t♦♥s ♦ t ♠st t♥s♦r ♣r♦r♠ t s ♦ s♦ ♠♦r stst♦r② r♠♥tt ①♣r♠♥t ♥ ♦♠♣rs♦♥ t t♦s ♦t♥ ② s♥ t ❬❪ ❲ tr♦r s ♦♥ ♦ t s ❬ ❪ ♦r ♦r rsts s♣tr♣rs♥t ♥ sst♦♥

♠♦♥ ♥♦♥ ♠tt♦♥s ♦ ♦r♥ ♥r② ♣s ♥ ♥st♦rs♥ s♠♦♥t♦rs r ♥rst♠t ♦r ♥r② ♣ t♦♥s t♦rt r♠♦rs ②♦♥ r rqr t ♥t♦ ♦♥tt tr♦♥tr♦♥ ♥trt♦♥ ②♦♥ ♥ ♥r②♥♣♥♥t ♥ ♦♣♦t♥t ♥r② ♣s r rr♥t② ♦♠♣t t r♥s ♥t♦♥ ♣♣r♦ ♦s ♦r t t♦♥ ♦ qs♣rt ♦rrt♦♥s t♦ ts ♦ t ♥r② t♦ rst♦rr ♥ ♣rtrt♦♥❬ ❪

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♥② t s ♥♦t ②t r tr t ♦♠♥t♦♥ ♠♥②♦②♠t♦s s ♦♥ r♥s ♥t♦♥s r s♥t ♥ ♠trs r tr♦♥ ♦rrt♦♥s r ♦ ♣r♠r② ♠♣♦rt♥ ♥ ♦①s t ♠t♣②

P ❯ ❨

♦♣ 3d ♦rts ②♥♠ ♠♥ t♦r② ♣rs♥ts ♥ tr♥t ♠t♦ t♦ ♠♦ t ♦rrt♦♥s❬❪ t s♦ ♥♦t ♦rtt ♦t sss ♦ ♠t♦s ♥ sss② ♣♣ t♦ t tr♦♥s♣tr♦s♦♣② ♦ ♥♠ ♦①❬ ❪

♥ sp ♦♥ ♠trs ♦r♦♥r s♦s r ①♣t t♦ r♦♥ stt ♣r♦♣rts sr ② s ♠t♦s r②st s②♠♠tr② ♦ s r♦♠♦r t t 3m s♣ r♦♣ t♦♠ strtr ♦♥ssts ♦ ♦♥ st♦rt ♦sr♦♥ ♣r ♣r♠t ♥t r ♥t② ♣s ♦♥ ♠tt♦♠ ♥ t♦♠ ♥t ♦sr♦♥ s t ♣① ♦ ♣♥t♦♥s ♣②r♠ ♦ r②st♦r♣ sts ♥ t ♦sr♦♥ r ♥ ② t ♥tr♦sr ♦♥♥♥ ♣♦r st p ♦♥ t♦♠ s ♥ ② ♦♥t t♦♥tr pp ♦♥ t♦ ♦♥t♦♠ ♥ t ♣♦r st ♦ ♥♦r♥ ♦sr♦♥ ♥ t s♦♥ st et qt♦r t♦♠ s ♦♥ t♦ t ♥♥ t♦♠ ♦ ♠tt♦♠ ♥tt ♥s ♥♦r♥ ♦sr ♥tr♦sr ♥ ♥ s♥t ♥ α♦r♦♥ ♥ ♠♦st ♦ t ♦sr s♦s tr s ♦♥ ♥ ♣r♥t ♥ ♥ t♦♠ s ♥ 12P2 ♥ 12s2 ♦r trt♦♠ ♥ ♦r♦♥ rs r

♥tr ♦ t ♦♥♥ ♠s ♦r♦♥r s♦s ② r♥t r♦♠r♥s ss ♦ ♠trs t t② r ♥♦♥tss ♦t♥ ♦♠♣r t♦ tr♦♥ ♥②❬❪ st♥♥ ♦♥ 12 11♦r 102 ♥tr str s ♥st s ♥ ♥♦t ♦♠♣r t♦r♥ r②sts❬ ❪ ♦♠♣rs♦♥ ♦ t rs♣t ♦♠♣rssts ♦ t ♥tr ♥ ♥trt♦♠ ♦♥s ② ♥t♦ ♠t♦s s ♣r♦ tt♥tr α♦r♦♥ ♥♦r ♦sr ♦r♦♥ r t ♦ r♦♥ ♦♥♥trt♦♥ 4 r ♠♦r r②sts tr ♦ t② ♦r♠ ♥ ♥rt♠♦r r②st ♥ t ♥tr♦sr ♦♥s ♦ str♦♥rt♥ t ♥tr♦sr ♦♥s❬ ❪ ♦sr ♦r♦♥r s♦s♦r♠ s♣ s ♦ ♦♥t ♠trs ♦♣t♥ ♥ ♥s strtr s ♦ t tr♦♥ ♥② tt s ♥tr♥s t♦ t ♦r♦♥ t♦♠

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①♣r♠♥t② t tr r♦♥ t♦♠s r t t♦ st♥s r♦♠t t ♦r♦♥ t♦♠s ♥ t sttr♥ ♥t ♦ 13 ♥s sr② ♦s t♦ t sttr♥ ♥t ♦ 11 ♥s ♥ ♦♥② ♣r♠trs ♥ ♠sr ② ♥tr♦♥ rt♦♥❬ ❪ t♦♠ ♣♦st♦♥s r♦♠ ❳r② rt♦♥ t ♥t tt t ♥ s ♥ tt♦♥ r♦♥ t♦♠ s ssttt ♥ t ♦sr♦♥❬ ❪ s t ❳r②♦r♠ t♦r ss Z 2 r Z s t t♦♠ ♥♠r t ♦r♠ t♦rs♦r t ♥♦r♥ ♠♥ts ♥ r r② ♦s ♥ t s tt♦ st♥s t♥ ♦r♦♥ ♥ r♦♥ t♦♠s ♥ t ♦sr♦♥ ♣tr ♣r♦ ② ❳r② rt♦♥ s t ♦♦♥ ♦♥ t tr r♦♥t♦♠ s sttst② ssttt ♦♥ ♦t ♣♦r ♥ qt♦r sts t ♣r♦♠♥♥ ♦r t ♣♦r st ♦r♠ s x1−x

p6y1−y e6 ♥

0.93 ≤ x ≤ 1 ♦r t ♣♦r st ♥ 0.74 ≤ y ≤ 0.86 ♦r t qt♦rst❬ ❪

♥ ♦rr t♦ ♥ ♥♦ ♦ t t♦♠ strtr ♦ ♦r♦♥ rt r♦♥ ♦♥♥trt♦♥ ♦ ♥stt sr strtr♠♦s t ♥t♦ ♠t♦s s ♦♥ t t ♣r♣♦s ♦ ♦♠♣r♥ r♦s ♦♠♣t ♣②s ♣r♦♣rts t ①♣r♠♥t tt♦♥s r ♣r♦r♠ t♥ s♥ t ♣♥ ♣s♦♣♦t♥t ♠t♦ ♦r ts ♥ ♦♥ ♥ s ❬ ❪

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♠♦ ♦♥t♥s trt② t♦♠s t♦ ♣ t st♦♦♠tr② ♥ t polar rs♣ bipolar ♠♦ t ♥ s ♥ t ♦sr♦♥s ♦♥ rs♣ t♦ r♦♥ t♦♠s ♥ t ♣♦r st ♥ t equatorial

♠♦ t ♥ s ♥ ♦♥ r♦♥ t♦♠ s ssttt ♥ t qt♦r st ❲ s♦ ♥stt ♥t r t ♥ s ♥ t ♦sr♦♥ s ♠ ♦ ♣r ♦r♦♥ chain ♠♦ ♦r ♥tr♦s♦♠ s♦rr ♥ t ♥ ♠♥ t ♥st ♦ disordered

chain ♠♦ st ♠♦ ♦♥ssts ♦ r ♥ rich chain

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dwf ;nk

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(0)nk > |2δ(ε

(0)nk − ε

(0)f + ~ω)

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