solution to uk #2 "sound"

8/7/2019 Solution to UK #2 "SOUND"

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VE '9 WOLVZKOC “WOVCJ‒

PD[WKGW CHZ% NY# ]KKK $ZKYZHBHYZH ‗ IPE PFCHIVY+ BHYGD :, 9088

8# Wovcj zyh}flw wlo~fwz

h# zdf nyovcj g# ~hzfy

i# }hgvvb j# hky

Wovcj zyh}flw hz jkmmfyfcz wpffjw jfpfcjkcn oc ~dhz kz kw zyh}flkcn zdyovnd# Om zdf zdyff bfjkvbw $nhw, lkxvkj, hcj wolkj+ wovcj ~h}fw zyh}fl zdf wlo~fwz zdyovnd nhwfw, mhwzfy zdyovnd lkxvkjw, hcj mhwzfwz zdyovnd wolkjw#

Zfbpfyhzvyf hlwo hmmfgzw zdf wpffj om wovcj#

kc zdkw bfjkvb1

9# ^dkgd om zdf mollo~kcn kw zdf myfxvfcg{ yhcnf om zdf Lkzzlf Iyo~c Ihz $B{ozkw lvgkmvnvw+1

h# 90 eDq ‗ 900 eDq g# 0#9 eDq ‗ 9 eDq

i# 9 eDq ‗ 90 eDq g# 0#09 eDq ‗ 0#9 eDq

Zdf zfyb )vlzyhwockg) hpplkfj zo wovcj yfmfyw zo hc{zdkcn hio}f zdf myfxvfcgkfw om hvjkilf wovcj , cobkchll{ kcglvjfw hc{zdkcn o}fy

90,000 Dq# Wovcjw kc zdf yhcnf 90 ‗ 800 eDq hyf gobbocl{ vwfj moy gobbvckghzkoc hcj ch}knhzkoc i{ ihzw, jolpdkcw, hcj wobf

ozdfy wpfgkfw#

7# Zdf lovjcfww hcj womzcfww om h wovcj jfpfcjw oc1

h# pfykojw g# myfxvfcg{

i# hbplkzvjf j# wpffj om wovcj

Hbplkzvjf kw Lovjcfww

:# Ghypfzkcn, ~ooj phcfllkcn hcj hgovwzkg mohb hyf ~kjfl{ vwfj zo wovcjpyoom ikn gocgfyz dhllw kc oyjfy zo pyf}fcz1

h# fgdo g# yf}fyifyhzkoc

i# yvwzlf j# zkbiyf

Yf}fyifyhzkoc kw ihwkghll{ hll om zdf fgdofw kc h yoob gobikcfj, hcj kc wbhll hyfhw wvgd hw bvwkg dhllw, gocgfyz dhllw, hcj ozdfy

fcglowfj wphgfw

6# Zdf mollo~kcn mhgzoyw kcmlvfcgf zdf wpffj om wovcj kc zdf hky,

# Kc zdfoy{, h yf}fyifyhzkoc, kw gyfhzfj ~dfc h wovcj kw pyojvgfj kc hc fcglowfj wphgf ghvwkcn h lhynf cvbify om

fgdofw zo ivklj vp hcj zdfc wlo~l{ jfgh{ hw zdf wovcj kw hiwoyifj i{ zdf ~hllw hcj hky# Wovcjpyoomkcn kw vwfj zo hiwoyi

yf}fyifyhzkoc wo wovcj ghc if dfhyj glfhyl{ i{ lkwzfckcn hvjkfcgf#

ftgfpz

h# hbplkzvjf g# pfykoj

i# myfxvfcg{ j# zfbpfyhzvyf

Vwkcn } 2 ε m hcj } 2 779 % 0#= Z ‗ kz ghc if gocglvjfj zdhz wpffj om wovcj kc zdf hky kw kcmlvfcgfj i{ zdf mollo~kcn phyhbfzfyw1

~h}flfcnzd, myfxvfcg{, pfykoj, hcj zfbpfyhzvyf#

1

=# ^dhlfw, flfpdhczw hcj nkyhmmfw hyf eco~c zo gobbvckghzf o}fy jkwzhcgfw ifghvwf zdf{ dh}f zdf myfxvfcg{ yhcnf om1

h# boyf zdhc 90 Dq $vlzyhwockg+ g# lfww zdhc 90 eDq $vlzyhwockg+

^dhlfw, flfpdhczw, dkppopozhbvwfw, ydkcogfyow, nkyhmmfw, oehpk, hcj hllknhzoyw hyf eco~c zo vwf kcmyhwovcj zo gobbvckghzf o}fy

jkwzhcgfw‚vp zo dvcjyfjw om bklfw kc zdf ghwf om ~dhlfw# Kz dhw hlwo iffc wvnnfwzfj zdhz bknyhzkcn ikyjw vwf chzvyhll{ nfcfyhzfj

kcmyhwovcj, myob wovygfw wvgd hw zvyivlfcz hkymlo~ o}fy bovczhkc yhcnfw, hw h ch}knhzkochl hkj#

i# lfww zdhc 90 Dq $kcmyhwockg+ j# boyf zdhc 90 eDq $kcmyhwockg+

Flfpdhczw, kc phyzkgvlhy, pyojvgf

kcmyhwovcj ~h}fw zdhz zyh}fl zdyovnd wolkj nyovcj hcj hyf wfcwfj i{ ozdfy dfyjw vwkcn zdfky mffz, hlzdovnd zdf{ bh{ if wfphyhzfj i{

dvcjyfjw om eklobfzyfw#



9 |

># H pd{wkgkwz ~do vwfw wocobfzfy zo wzvj{ zdf }kiyhzkocw pyojvgfj i{ wovcj kw1

h# Jopplfy g# Hlfthcjfy Nyhdhb Ifll

i# Bfywfccf j# Ifycovllk

H wocobfzfy jfbocwzyhzfw zdf yflhzkocwdkp ifz~ffc zdf myfxvfcg{ om zdf wovcj pyojvgfj i{ h plvgefj wzykcn, hcj zdf zfcwkoc,

lfcnzd hcj jfcwkz{ om zdf wzykcn# Zdfwf yflhzkocwdkpw hyf vwvhll{ ghllfj Bfywfccf.w lh~w hmzfy Bhykc Bfywfccf $8644"8=:4+, ~do

kc}fwzknhzfj hcj gojkmkfj zdfb# [ov wdovlj if ~fll h~hyf zdhz hw {ov zkndzfc h nvkzhy wzykcn kzw pkzgd $wovcj myfxvfcg{+ kcgyfhwfw5

hcj zdf zdkge wzykcnw ~ovcj ~kzd goppfy pyojvgf h lo~fy myfxvfcg{ zdhc zdf lknd~fkndz wzffl oy c{loc ocfw# Zdkw kw zdf ihwkw om

Bfywfccf.w Lh~1 zdf mvcjhbfczhl myfxvfcg{ om h }kiyhzkcn wzykcn kw pyopoyzkochl zo zdf wxvhyf yooz om zdf zfcwkoc hcj kc}fywfl{ pyopoyzkochl iozd zo zdf lfcnzd hcj zdf wxvhyf yooz om zdf gyoww"wfgzkochl hyfh hcj jfcwkz{ om zdf wzykcn#

4# Ocf om zdf pdfcobfch zdhz jfbocwzyhzf zdf hj}hczhnf

h# zdf wovcj pyojvgfj i{ zob"zob g# zdf gollhpwkcn om Zhgobh Iykjnfom yfwochcgf kc yfhl lkmf kw1

i# zdf iyfhekcn om h gy{wzhl nlhww j# jfzfgzkcn pyfwwvyf kc hc hky golvbc

Yfwochcgf kw hc hj}hczhnf km vwfj moy pyojvgkcn hvjkilf wovcj5 zob"zob kw zyhjkzkochll{ vwfj zo ghll vp hcj cozkm{ h ~dolf }kllhnf

;# Yfmlfgzk}f wovcj ~kzd ocl{ phyz om zdf oyknkchl wovcj ghpzvyfj i{ h lkwzfckcn oiwfy}fy kw ghllfj1

#

h# yf}fyifyhzkoc g# fgdo

i# zocf j# zkbiyf

Yf}fyifyhzkoc ~ovlj oggvy kc fcglowfj wphgfw ~dfyfhw fgdofw oggvy ~dfc h wovcj kw yfmlfgzfj o}fy wobf jkwzhcgfw# Zdfyfmoyf, ~dfc

yf}fyifyhzkoc dhppfcw, ocf ~ovlj dfhy “wf ‗ yh‒ kcwzfhj om “wfcoyh ‗ wfcoyh‒ ifghvwf jvf zo wbhll wphgf zdf wovcj ~ovlj zyh}fl

mhwzfy hcj ocf ghc ocl{ dfhy zdf mkywz hcj lhwz phyz om zdf yf}fyi wovcj#

80# Zdf jkmmfyfcgf ifz~ffc hc fgdo hcj h yvwzlf kw1

h# kzw jkwzhcgf zo zdf wovcj wovygf g# kzw myfxvfcg{ hcj hbplkzvjf

i# kzw jkwzhcgf zo h yfmlfgzkcn ~hll j# zdf ~dolf ~oyjw dfhyj i{ h lkwzfckcn oiwfy}fy

88# Hc Kzhlkhc opfyh wkcnfy kw zy{kcn zo pyocovcgf “wfcoyh‒ kcwkjf h gocgfyz dhll5 zdf hvjkfcgf ~ovlj dfhy zdf mollo~kcn1

Iozd fgdo hcj yvwzlf dh}f myfxvfcg{ hcj hbplkzvjfw zdhz ~ovlj jkmmfy myob fhgd ozdfy# Yvwzlf kw hc kyyfnvlhy"myfxvfcg{ wovcj hcj

vwvhll{ pyojvgf womzfy wovcj wvgd hw zdf yvwzlkcn om zdf ~kcj, dfcgf zdf lo~fy hbplkzvjf#

h# wff """ coy g# wfcoyhi# wf """ yh j# wfcoyh ‗ wfcoyh

Yf}fyifyhzkoc oggvyw kc fcglowfj wphgfw wvgd hw h gocgfyz dhll, zdvw “wfcoyh‒ ~ovlj pyojvgf “wf ‗ yh‒ kcwzfhj om “wfcoyh"wfcoyh‒

$wff ftplhchzkoc '; hio}f+



7 |

89# Zdf phky om pfcjvlvbw myob zdf pkgzvyf iflo~ zdhz yfwochzfw ~kzd fhgd ozdfy kw1

h# H hcj I g# I hcj F

i# G hcj J j# H hcj G

Yfwochcgf oggvyw ~dfc ocf oiafgz }kiyhzfw hz zdf whbf chzvyhl myfxvfcg{ om h wfgocj oiafgz hcj moygfw zdhz wfgocj oiafgz kczo

}kiyhzkochl bozkoc# Zdf yfwvlz om yfwochcgf kw hl~h{w h lhynf }kiyhzkoc# H hcj G iozd hyf om zdf whbf lfcnzd, hcj zdvw ihwfj oc

Bfywfccf‛w Lh~ ~ovlj dh}f zdf whbf myfxvfcg{#

87# Ghlgvlhzf zdf ~h}flfcnzd om h wovcj ~h}f zdhz kw pyojvgfj i{ h wovygf }kiyhzkcn ~kzd h myfxvfcg{ om 8>0 Dq( $Zdf

wpffj om wovcj kc zdf hky kw 7:0 b/w+1

h# 9 gb g# 900 gb

i# 90 gb j# 9,000 gb

} 2 ε m , zdvw1 ~h}flfcnzd $ ε+ 2}m

27:0 b/w

8>0 Dq2 9 b oy 900 gb

8:# Z~o wzykcnw H hcj I om lfcnzd om 76 gb hcj >0 gb, yfwpfgzk}fl{, ~ovlj pyojvgf myfxvfcg{ om 600 Dq moy wzykcn I# Ozdfy

zdkcnw $wzyfcnzd, hyfh, hcj jfcwkz{+ ifkcn gocwzhcz, mkcj myfxvfcg{ om wzykcn H(h# 800 Dq g# 8,000 Dq

i# 960 Dq j# 9,600 Dq

m 28 M

9l H Þψ, ~dfyf M, H hcj ψ hyf gocwzhcz $ghcgflw fhgd ozdfy+, zdvw1

m

m

H

I

2wzykcn H

wzykcn I

8 / l

8 / l

600 Dq

m I

28/$76 gb+

8/$>0 gb+

600 Dq

m I

2$>0 gb+

$76 gb+

⋆

2

600 Dq $76 gb+m

$>0 gb+I

2 960 Dq

86# Z~o wzykcnw H hcj I om myfxvfcg{ 860 Dq hcj 700 Dq, yfwpfgzk}fl{, hyf plvgefj zonfzdfy ~kzd h zfcwkoc moygf om 96 C oc

wzykcn H# Ozdfy phyhbfzfyw ifkcn gocwzhcz, zfcwkoc moygf om wzykcn I kw1

h# 800 C g# 8,000 C

i# 960 C j# 9,600 C

m 28 M

9l H Þψ, ~dfyf l, H hcj ψ hyf gocwzhcz $ghcgflw fhgd ozdfy+, zdvw1

m

m

H

I

2H

I

M

M

860 Dq

700 Dq2

I

96 C

M

860 Dq

700 Dq2

I

6 C

M

⋆

I

6 C $700 Dq+m 2

$860 Dq+2 800 C

8=# Km zdf myfxvfcg{ om cozf m kw 900 Dq, zdf myfxvfcg{ om cozf h kw1

h# 800 Dq g# 8,000 Dq

i# 960 Dq j# 9,600 Dq

pkzgd cozfw1mh $m+jo $g+ yf $j+ bk $f+ wo $n+ lh $h+ zk $i+ jo $g.+

9: 9> 70 79 7= :0 :6 :4

m

m

H

I

2pkzgd

pkzgd

M

H

900 Dq

m H

2pkzgd

pkzgd

M

H

900 Dq

m H

279

:0

⋆900 Dq $:0+m 2

$79+H

2 960 Dq

H G

I

J

F



: |

8># Km zdf myfxvfcg{ om cozf i‛ kw :;= Dq, zdfc zdf myfxvfcg{ om cozf i zdhz kw ocf ogzh}f lo~fy kw1

h# 807 Dq g# 9:4 Dq

i# 89: Dq j# ;;9 Dq


9: 9> 70 79 7= :0 :6 :4

.m

m

I

I

29

$8 ogzh}f LO^FY+8

:;= Dq

m I2

9

8

⋆:;= Dq $8+m 2

$9+I

2 9:4 Dq

84# Yhzko om zdf pkzgd kczfy}hl moy cozf n hcj i kw ghllfj1

h# ogzh}f g# movyzdw

i# zdkyjw j# mkmzdw


9: 9> 70 79 7= :0 :6 :4

m

m

N

I

2 2

7= :

:6 6 zdkyjw / zfyzw $dh}kcn :16 pkzgd kczfy}hl+

8;# Kcmyhwockg go}fyw

h# 86 Dq g# 96 Dq

zdf myfxvfcg{ yhcnf om1

i# 90 Dq j# 70 Dq

Kcmyhwockg go}fyw f}fy{zdkcn lo~fy zdhc 90 Dq

90# Wovcj zyh}flw mhwzfwz kc zdf mollo~kcn bfjkvb1

h# Hky hz 70o

G g# Hky hz 0o

i# Hky hz 90

Go

Hggoyjkcn zo zdf moybvlh } 2 779 % 0#= Z zdf dkndfy zdf zfbpfyhzvyf, zdf mhwzfy zdf wpffj om wovcj $wovcj zyh}flw mhwzfy kc zdf

jfwfyz zdhc kc zdf Coyzd Polf(+

G j# Ghyioc nhw

98# ^h}flfcnzd om wovcj kc zdf hky ~kzd myfxvfcg{ om :40 Dq kw >6 gb# Km zdf wpffj om wovcj hz 0o

h# 9>

G kw 779 b/w, zdfc hky

zfbpfyhzvyf hz zdf zkbf kw1oG g# :>

o

i# 7>

G oG j# 6>

o

Hggoyjkcn zo zdf moybvlh } 2 779 % 0#= Z hcj } 2 ε m 1

G

} 2 ε m 2 $>6 gb+$:40 Dq+ 2 $0#>6+$:40 Dq+ 2 7=0 b/w

} 2 779 % 0#= Z 7=0 2 779 % 0#= Z Z 27=0 " 779

0#=2 :=#=>

oG ≄ :>

o

99# Z~o zvckcn moyew om myfxvfcg{ :90 Dq hcj 670 Dq, yfwpfgzk}fl{, }kiyhzf hz zdf whbf zkbf# Km {ov eco~ zdf wpffj om wovcj kc zdf hky $~dkgd kw gocwzhcz+, zdfc1

G

h# zdf wpffj om wovcj om zdf mkywz moye kw mhwzfy zdhc zdf wfgocj moye

i# zdf wpffj om wovcj om zdf mkywz moye kw wlo~fy zdhc zdf wfgocj moye

g# zdf ~h}flfcnzd om zdf mkywz moye kw locnfy zdhc zdf wfgocj moye

j# zdf hbplkzvjf om zdf mkywz moye kw wbhllfy zdhc zdf wfgocj moye

97# H io{ hcj h nkyl hyf wkcnkcn ~kzd zdf whbf myfxvfcg{ ivz pyojvgkcn jkmmfyfcz zocfw# Zdkw kw jvf zo1

h# jkmmfyfcz hbplkzvjfw g# jkmmfyfcz wpffj om wovcj

i# jkmmfyfcz o}fyzocfw j# jkmmfyfcz yvwzlf

9:# H yo~ om nlhwwfw ~kzd jkmmfyfcz }olvbfw om ~hzfy hyf wkzzkcn oc h zhilf# Km zdf zkp om fhgd nlhwwfw kw nfczl{ wzyvge,

jkmmfyfcz wovcjw ghc if dfhyj jvf zo }kiyhzkoc om1

h# ~hzfy kcwkjf zdf nlhwwfw g# zdf wzkge

i# zdf nlhwwfw j# hky golvbcw kcwkjf zdf nlhwwfw



6 |

96# Zdf z~o mhgzoyw zdhz hmmfgz zdf wpffj om wovcj kc hky hyf1

h# }olvbf hcj bhww om hky g# zfbpfyhzvyf hcj dvbkjkz{ om hky

i# dvbkjkz{ hcj bhww om hky j# zfbpfyhzvyf hcj }olvbf om hky

Zfbpfyhzvyf plh{w kbpoyzhcz yolf kc wovcj ~h}fw, hcj zdf }olvbf om hky $coz

9=# Zdf wpffj om lkndz kw hppyotkbhzfl{ ______ zkbfw nyfhzfy zdhc zdf wpffj om wovcj1

dvbkjkz{+ oy zdf zdkgecfww om zdf hky ~ovlj kcmlvfcgf

zdf gobpyfwwkocw hcj yhyfmhgzkocw zdhz ~ovlj oggvy ~dfc wovcj kw pyojvgfj#

h# 80: g# 8080

i# 80

=

j# 80

Lkndz ~h}f zyh}flw hz h wpffj om hppyotkbhzfl{ 7 T 80

89

4

2 2

4 4=

9

7t80 7t80 7t 80

7:0 7#:7#:t80

~dfyfhw wpffj om wovcj kw hppyotkbhzfl{ 7:0 b/w# Zdfyfmoyf1

9># Zdf mollo~kcn hyf zdf hpplkghzkoc om yfmlfgzkoc om wovcj kc yfhl lkmf, ftgfpz1

h# mkcjkcn dfhyzifhz om dvbhc fbiy{o g# mkcjkcn gyhgew $zfhyw+ kcwkjf bfzhl pkpfw

i# WOCHY j# mkcjkcn zdf dfkndz om h we{gyhpfy

94# Hc flfgzyobhncfzkg ~h}f1

h# dhw co myfxvfcg{ g# zyh}flw zdyovnd h bfjkvb

i# dhw co ~h}flfcnzd j# zyhcwmfyw fcfyn{

Hll ~h}fw zyhcwmfy fcfyn{, ivz flfgzyobhncfzkg ~h}fw ghc zyh}fl ~kzdovz bfjkvb $oy zyh}flw kc }hgvvb+, wvclkndz hcj yhjko ~h}fw

hyf ocf om zdf fthbplf#

9;# Zdf yflhzkocwdkp ifz~ffc myfxvfcg{ hcj ~h}flfcnzd kw1

h# m 2 } t ε g# m 2 ε / }

i# } 2 m t ε j# } 2 m / ε

70# Zdf mollo~kcn phyhbfzfyw kcmlvfcgf zdf ftkwzfcgf om Jopplfy fmmfgz1

h# zfbpfyhzvyf hcj jkwzhcgf g# pfykoj hcj wovcj yfmlfgzkoc

i# hbplkzvjf hcj zfbpfyhzvyf j# myfxvfcg{ hcj wpffj

FWWH[ XVFWZKOCW

8+ Ihwfj oc Bfywfccf‛w Lh~, lkwz : $movy+ mhgzoyw zdhz ~ovlj pyojvgf zdf gdhyhgzfy om wovcj om h }kolkc wzykcn(

m 28 M

9l H Þψ, oy lfcnzd, zfcwkoc moygf, gyoww"wfgzkochl hyfh hcj jfcwkz{#

^dklf myfxvfcg{ hcj hbplkzvjf goczykivzfw zo wovcj gdhyhgzfyw, Bfywfccf‛w Lh~ gocwzkzvzfw om zdf hio}f phyhbfzfyw#

9+ Olkc kw wzyvbbkcn h nvkzhy wzykcn bhjf om C{loc, hcj Jdfh kw wzyvbbkcn dfyw bhjf om Mkifyt# Km zdf jfcwkz{ om C{loc kw ¼

zdf jfcwkz{ om Mkifyt, hcj zdf myfxvfcg{ pyojvgfj i{ Olkc‛w wzykcn kw 900 Dq, mkcj zdf myfxvfcg{ om Jdfh‛w $hll ozdfy

phyhbfzfyw ifkcn gocwzhcz+(

m 28 M

9l H Þψ, ~dfyf l, H hcj M hyf gocwzhcz $ghcgflw fhgd ozdfy+, hcj ψOlkc‛w 2 ¼ ψ Jdfh‛w oy ψJdfh‛w 2 : ψOlkc‛w

2

m 900 Dq

m m

Olkc

Jdfh Jdfh

zdvw1

2 2 2 2

Olkc‛w

Olkc‛w

8 8ψ 8 98

8 88 8

9:ψ :

800 Dq



= |

7+ Mkcj zdf jkwzhcgf

Zdkw kw h yfmlfgzkoc pyoilfb, wo vwf zdf mollo~kcn moybvlh1

ifz~ffc h dkll ~hll hcj h ghcoc zdhz pyojvgfw hc fgdo hmzfy 89 wfgocjw ifkcn mkyfj myob hmhy, km zdf

wpffj om wovcj kc hky kw 7:0 b/w(

} 29w

z w 2

⋆ ⋆} z $7:0 b/w+ $89w+2

9 92 9,0:0 b

Km zdf wovcj bhjf hc kcgkjfcz hcnlf om 70o

Kcgkjfcz hcnlf 2 yfmlfgzk}f hcnlf 2 70

omm zdf dkll ~hll, mkcj zdf yfmlfgzk}f hcnlf(o

:+ Zdkyj yfwochcgf om h pkpf oynhc dhw h wpffj om 77= b/w# Km h zvckcn moye ifkcn vwfj dfyf dhw h myfxvfcg{ om >00 Dq, mkcj

$h+ zdf ~h}flfcnzd hcj $i+ zdf dfkndz om hky golvbc pyojvgfj i{ zdf pkpf oynhc( $ 80 pzw+

Zo mkcj zdf ~h}flfcnzd $ε+ vwf1

} 2 ε m ε 2} $77= b/w+

2m >00 Dq

2 0#:4 b

Moy hky golvbc pyoilfb, vwf zdf mollo~kcn moybvlh1

d 2 ⋆

8 8ε $9c"8+2 $0#:4+ $9 7"8+

: :2 0#= b

8+ PD[WKGW Iklkcnvhl moy [fhy ]KKK $Pfcfyikz [vjdkwzkyh+

Wovygfw1

9+ Whkcw ]KKK ‗ Mkwkeh jhc Ekbkh $Pfcfyikz Kczhc Phyk~hyh+

7+ NGF ‘O‛ Lf}fl PD[WKGW Bhzzfyw $Bhywdhll Gh}fcjkwd, Pvilkwdfy+

solution to uk #2 "sound"

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