so sac sab ab h - hoc360.net · 12 12 2 62 2 21 sac 2 s a sa a sa a ac a a oa so r a2 6 . 2 4 3 2 3...

HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

Giải theo tự luận:

Gọi đường cao của hình nón là SO , thiết diện qua trục là SAC , thiết diện qua đỉnh là SAB ,

trung điểm AB là H

2 2 2112 12 2 6

2SACS a SA a SA a

2 6 . 2 4 3 2 3AC a a OA SO r a

Có 2 3AB a OA OAB đều 2 3 . 3

32

aOA a

Xét 2 3 2 3

:tan3 3

SO aSOH SHO

OH a .

Câu 14. Hình nón có đường cao 20cm , bán kính đáy 25cm . Một mặt phẳng P qua đỉnh

của hình nón và có khoảng cách đến tâm là 12cm . Diện tích thiết diện tạo bởi P và hình nón

là

A. 2400SABS cm . B. 2600SABS cm . C. 2500SABS cm . D. 2700SABS cm

Chọn C



Giải theo tự luận

+Gọi thiết diện qua đỉnh là SAB , tâm đường tròn đáy là O .

+Khoảng cách từ O đến mặt SAB :

Từ O kẻ OH AB HA HB , nối SH , từ O kẻ OK SH

; ( ) 12OK SAB d O SAB OK

+ 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 . 20.12: 15

20 12

OK OSSOH OH

OK OS OH OS OK

2 2 2 220 15 25SH SO OH

+ 2 2 2 2: 25 15 20 40OAH AH OA OH AB

+Vậy 21 1. .25.40 500

2 2SABS SH AB cm .

Câu 15. Một mặt phẳng đi qua đỉnh S của hình nón cắt hình nón theo thiết diện là một

tam giác cân SAB đồng thời tạo với mặt phẳng đường tròn đáy một góc 045 . Biết rằng đường

cao của hình nón là SO a và tam giác OAB vuông cân. Tinh thể tích của khối nón

A. 3

3

a. B. 3a . C.

32

3

a. D.

3 3

3

a



Chọn C


+Góc giữa SAB và đáy:

:

:

O SAB AB

O OH AB H HA HB

SAB SH AB H

.

Suy ra 0( );( ) ; 45SAB O OH SH SHO

+ SOH vuông tại O có góc 045 OH a

+ OAB vuông cân 1

2 22

OH AB AB OH a

2 2 2 2 2 22

2 2

AB aOA OB AB OA AB OA

+

2 321 1 2 2

. . .3 3 32

a aV SO OA a

.

Câu 16. Cho hình nón N có bán kính đáy R, đường cao SO. Gọi (P) mà mặt phẳng vuông

góc với SO tại O1 sao cho 1

1

3SO SO . Một mặt phẳng qua trục hình nón cắt phần khối nón

N nằm giữa (P) và đáy hình nón theo thiết diện là hình tứ giác có hai đường chéo vuông

góc. Tính thể tích phần hình nón N nằm giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng chứa đáy hình

nón N .

A. 37

9

R. B.

3

9

R. C.

326

81

R. D.

352

81

R

Chọn D




+Gọi thiết diện thu được là 1 1AA B B , 1 1AB A B tại I

+Vì 1

1

3SO SO nên 1 1

1 1.2

3 3A B AB R

+ IAB và 1 1IA B vuông cân tại I 1 1 1

1 1 1 1 1 1, .2

2 2 2 2 3 3IO AB R IO A B R R

+Vậy 1 1

4

3 3

R ROO IO IO R

+Vì 1 1 1

1 1 2

3 2 3

RSO SO SO OO

Suy ra 1 1

4 22

3 3

R RSO SO OO R

+Gọi V1 là thể tích của hình nón N , V2 là thể tích hình nón đỉnh S và đáy đường tròn tâm 1O

Ta có thể tích phần hình nón phải tính là

2 21 2 1 1 1

1 1* . .

3 3V V V OB SO O B SO

2 321 2 52.2 .

3 9 3 81

R R RR R

.

Câu 17. Một vật 1N có dạng hình nón có chiều cao bằng 40cm. Người ta cắt vật 1N bằng

một mặt cắt song song với mặt đáy của nó để được một hình nón nhỏ 2N có thể tích bằng 1

8

thể tích 1N .Tính chiều cao h của hình nón 2N ?



A. 5 cm. B. 10 cm. C. 20 cm. D. 40 cm

Chọn C


Gọi V1, V2 lần lượt là thể tích của 1N và 2N và 1 2,r r lần lượt là bán kính đáy của 1 2,N N ta có:

222

2 22 1 2

21 11

1.

.1 1 318 8 .40.403

r hV r h

V VV rr

Mặt khác, theo Talet ta có: 2

1 40

r h

r. Do đó ta có:

31 1

208 40 40 2

h hh

cm.

DẠNG 3: SỰ TẠO THÀNH NÓN I. Ví dụ điển hình:

Ví dụ 1. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy 6SC a .

Khi tam giác SAC quay quanh cạnh SA thì đường gấp khúc SAC tạo thành một hình nón tròn xoay. Thể

tích của khối nón tròn xoay đó là:

A. 34

3

a. B.

3 2

3

a . C.

3 3

3

a. D.

3 3.

6

a

Lời giải

Chọn A

Ta có ngay 2 2 2 22 6 2 2 AC a SA SC AC a a a

Hình nón tròn xoay được tạo thành là một hình nón có thể tích là:



32 2 21 1 1 4

. .2 .23 3 3 3

a

V R h AC SA a a

Ví dụ 2. Cho tam giác đều ABC cạnh a quay xung quanh đường cao AH tạo nên một hình nón. Diện tích

xung quanh của hình nón đó là:

A. 2a . B. 22 a . C. 21

2a . D. 23

4a

Lời giải

Chọn C 2

; ; .2 2

xq

a ar l a S rl

.

II. Bài tập vận dụng có chia mức độ

NHẬN BIẾT

Câu 1. Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng ABC và cạnh BD vuông

góc với canh .BC Khi quay các cạnh tứ diện đó xung quanh trục là cạnh ,AB có bao nhiêu hình

nón được tạo thành? A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 .

Câu 2. Cho tam giác ABC đều cạnh a quay quanh đường cao AH tạo nên một hình nón. Diện

tích xung quanh của hình nón đó là:

A. 22 a . B. 2a . C. 2

2

a. D.

23

4

a.

Câu 3. Cho tam giác ABC vuông tại .A Tính thể tích V của khối tròn xoay sinh bởi khi quay

tam giác quanh trục AC , biết 6AB , 10BC ? A. 120V . B. 96V . C. 200V . D. 128V .

Câu 4. Cho hình chóp tứ giác đều .S ABCD có cạnh đáy và cạnh bên cùng bằng a . G là tâm

đáy. Tính thể tích khối tròn xoay có được khi quay tam giác SAG quanh SG ?

A. 3 2

4

a. B.

3 2

12

πa. C.

3 3

12

a. D.

3 2

9

a.

THÔNG HIỂU

Câu 5. Cho tam giác ABC vuông tại A , 6 cmAB , 8 cmAC . Gọi 1V là thể tích khối nón

tạo thành khi quay tam giác ABC quanh cạnh AB và 2V là thể tích khối nón tạo thành khi

quay tam giác ABC quanh cạnh AC . Khi đó tỉ số 1

2

V

V bằng:

A. 4

3. B.

3

4. C.

9

16. D.

16.

9.

Câu 6. Hình ABCD khi quay quanh BC thì tạo ra:



A. Một hình trụ. B. Một hình nón. C. Một hình nón cụt. D. Hai hình nón.

Câu 7. Gọi S là diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay được sinh ra bởi đoạn thẳng

AC của hình lập phương . ABCD A B C D có cạnh b khi quay xung quang trục AA . Diện tích

S là:

A. 2.b . B. 2 2.b . C. 2 3.b . D. 2 6.b .

Câu 8. Trong không gian, cho tam giác ABC cân tại A , 10, 2 AB a BC a . Gọi H là trung

điểm của .BC Tính thể tích V của hình nón nhận được khi quay tam giác ABC xung quanh

trục AH .

A. 32V a . B. 33V a . C. 39V a . D. 3.V a .

Câu 9. Cho tứ diện đều ABCD . Khi quay tứ diện đó quanh trục AB có bao nhiêu hình nón

khác nhau được tạo thành? A. Một. B. Hai. C. Ba. D. Không có hình nón nào.

Câu 10. Cho hình tròn có bán kính là 6 . Cắt bỏ 1

4 hình tròn giữa hai bán kính ,OA OB rồi

ghép hai bán kính đó lại sao cho thành một hình nón (như hình vẽ). Thể tích khối nón tương ứng đó là:

A. 81 7

8

.

B. 9 7

8

.

C. 81 7

4

.

D. 9 7

2

.



Câu 11. Cho một hình cầu bán kính 5 cm, cắt hình cầu này bằng một mặt phẳng sao cho

thiết diện tạo thành là một đường kính 4 cm. Tính thể tích của khối nón có đáy là thiết diện

vừa tạo và đỉnh là tâm hình cầu đã cho. (lấy 3,14 , kết quả làm tròn tới hàng phần trăm).

A. 50,24 (ml). B. 19,19 (ml). C. 12,56 (ml). D. 76,74 (ml).

Câu 12. Hình chữ nhật ABCD có 6, 4 AB AD . Gọi , , ,M N P Q lần lượt là trung điểm bốn

cạnh , , ,AB BC CD DA . Cho hình chữ nhật ABCD quay quanh QN , tứ giác MNPQ tạo thành vật

tròn xoay có thể tích bằng: A. 8V . B. 6V . C. 4V . D. 2V .

VẬN DỤNG

Câu 13. Cho một hình thang cân ABCD có các cạnh đáy 2 , 4 , AB a CD a cạnh bên

3 . AD BC a Hãy tính thể tích của khối tròn xoay sinh bởi hình thang đó khi quay quanh trục

đối xứng của nó.

A. 314 2

3

a. B.

356 2

3

a. C.

314

3

a. D.

328 2

3

a.

Câu 14. Từ cùng một tấm kim loại dẻo hình quạt như hình vẽ có kích thước bán kính 5R

và chu vi của hình quạt là 8 10 P , người ta gò tấm kim loại thành những chiếc phễu theo

hai cách: 1. Gò tấm kim loại ban đầu thành mặt xung quanh của một cái phễu 2. Chia đôi tấm kim loại thành hai phần bằng nhau rồi gò thành mặt xung quanh của hai cái phễu

Gọi 1V là thể tích của cái phễu thứ nhất, 2V là tổng thể tích của hai cái phễu ở cách 2 . Tính 1

2

V

V?

A. 1

2

21

7

V

V. B. 1

2

2 21

7

V

V. C. 1

2

2

6

V

V. D. 1

2

6

2

V

V.

VẬN DỤNG CAO

Câu 15. Hoàn có một tấm bìa hình tròn như hình vẽ, Hoàn muốn biến hình tròn đó thành

một hình cái phễu hình nón. Khi đó Hoàn phải cắt bỏ hình quạt tròn AOB rồi dán hai bán kính



OA vàOB lại với nhau (diện tích chỗ dán nhỏ không đáng kể). Gọi x là góc ở tâm hình quạt

tròn dùng làm phễu. Tìm x để thể tích phễu lớn nhất?

.A. 2 6

3 . B.

3

. C.

2

. D. .

4

BẢNG ĐÁP ÁN 1.B 2.C 3.B 4.B 5.A 6.D 7.D 8.D 9.B 10.A

11.B 12.A 13.A 14.B 15A

Hướng dẫn giải

Câu 6. Hình ABCD khi quay quanh BC thì tạo ra:

A. Một hình trụ. B. Một hình nón. C. Một hình nón cụt. D. Hai hình nón.

Lời giải Chọn D Gọi O là giao điểm của BC và AD Khi quay hình ABCD quanh BC tức là tam giác vuôngOBA quanhOB và tam giác vuôngOCD quanh OC . Mỗi hình quay sẽ tạo ra một hình nón nên hình tạo ra sẽ tạo ra hai hình nón.

Câu 7. Gọi S là diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay được sinh ra bởi đoạn thẳng AC của hình

lập phương .ABCD A B C D có cạnh b khi quay xung quang trục AA . Diện tích S là:

A. 2 .b . B. 2 2.b . C. 2 3.b . D. 2 6.b Lời giải

Chọn D

O

B A

x

R

A, B

O

r

h R



S rl với 2; 3r b l b . Vậy 2 6S b .

Câu 8. Trong không gian, cho tam giác ABC cân tại A , 10, 2AB a BC a . Gọi H là trung điểm của

.BC Tính thể tích V của hình nón nhận được khi quay tam giác ABC xung quanh trục AH .

A. 32V a . B. 33V a . C. 39V a . D. 3 .V a Lời giải

Chọn D

+ Đường sinh 10l AB a

+ Bán kính đáy 2

BCr a đường cao 2 2 3h l r a

+ Thể tích của hình nón tạo thành 2 31

3V hr a

VẬN DỤNG

Câu 9. Cho tứ diện đều ABCD . Khi quay tứ diện đó quanh trục AB có bao nhiêu hình nón khác nhau được

tạo thành?

A. Một. B. Hai. C. Ba. D. Không có hình nón nào.

Lời giải

Chọn B Khi quay ta được hình như bên cạnh, hình này được tạo thành từ hai hình nón.

Câu 10. Cho hình tròn có bán kính là 6 . Cắt bỏ 1

4 hình tròn giữa hai bán kính ,OA OB rồi ghép hai bán

kính đó lại sao cho thành một hình nón (như hình vẽ). Thể tích khối nón tương ứng đó là:



A. 81 7

8

.

B. 9 7

8

.

C. 81 7

4

.

D. 9 7

2

.

Lời giải Chọn A

2 2 2

3.12

9 3 7 1 81 74 ; ; .2 2 2 3 8

r h l r V r h

.

Câu 11. Cho một hình cầu bán kính 5 cm, cắt hình cầu này bằng một mặt phẳng sao cho thiết diện tạo thành

là một đường kính 4 cm. Tính thể tích của khối nón có đáy là thiết diện vừa tạo và đỉnh là tâm hình cầu đã

cho. (lấy 3,14 , kết quả làm tròn tới hàng phần trăm).

A. 50,24 (ml). B. 19,19 (ml). C. 12,56 (ml). D. 76,74 (ml).

Lời giải Chọn B

Ta có:

2 24 cm 2 cm 21 cm .MN MA OA MO MA

2 23,14.4 cm .dS R

1

21.3,14.4 19,185 ml 19,19 ml .3

V .

Câu 12. Hình chữ nhật ABCD có 6, 4AB AD . Gọi , , ,M N P Q lần lượt là trung điểm bốn cạnh

, , ,AB BC CD DA . Cho hình chữ nhật ABCD quay quanh QN , tứ giác MNPQ tạo thành vật tròn xoay có

thể tích bằng:

A. 8V . B. 6V . C. 4V . D. 2 .V Lời giải



Chọn A

Gọi O là tâm của hình chữ nhật ABCD , suy ra MNPQ là hình thoi tâm O .

Ta có 1

32

QO ON AB và 1

22

OM OP AD

Vật tròn xoay là hai hình nón bằng nhau có: đỉnh lần lượt là ,Q N và chung đáy. * Bán kính đáy 2.OM * Chiều cao hình nón 3.OQ ON

Vậy thể tích khối tròn xoay 212 . 8

3V OM ON

(đvtt).

VẬN DỤNG

Câu 13. Cho một hình thang cân ABCD có các cạnh đáy 2 , 4 ,AB a CD a cạnh bên 3 .AD BC a Hãy

tính thể tích của khối tròn xoay sinh bởi hình thang đó khi quay quanh trục đối xứng của nó.

A. 314 2

3

a. B.

356 2

3

a. C.

314

3

a. D.

328 2.

3

a


Gọi AD và BC cắt nhau tại E . 2 AB DC

nên AB là đường trung bình EDC 2 6ED AD a . Gọi

H và K lần lượt là trung điểm AB và CD thì ta có EK vuông góc với CD và HK là trục đối xứng của .ABCD

2 2 4 2EK ED DK a ; 2 22

EKEH a

Khối tròn xoay sinh bởi hình thang ABCD khi quay quanh trục của nó chính là phần thể tích nằm giữa hai khối nón:

+Khối nón 1: Có đáy là hình tròn tâm K , bán kính 2KD a , đường cao EK= 4 2a

+Khối nón 2 : Có đáy là hình tròn tâm H , bán kính HA a , đường cao 2 2EH a Do đó thể tích cần tìm là

32 2

1 2

1 1 14 2.(2 ) . .4 2 . . .2 2

3 3 3

aV V V a a a a .

Câu 14. Từ cùng một tấm kim loại dẻo hình quạt như hình vẽ có kích thước bán kính 5R và chu vi của

hình quạt là 8 10P , người ta gò tấm kim loại thành những chiếc phễu theo hai cách:

1. Gò tấm kim loại ban đầu thành mặt xung quanh của một cái phễu 2. Chia đôi tấm kim loại thành hai phần bằng nhau rồi gò thành mặt xung quanh của hai cái phễu



Gọi 1V là thể tích của cái phễu thứ nhất, 2V là tổng thể tích của hai cái phễu ở cách 2 . Tính 1

2

V

V?

A. 1

2

21

7

V

V. B. 1

2

2 21

7

V

V. C. 1

2

2

6

V

V. D. 1

2

6.

2

V

V

Lời giải Chọn B Phân tích: Do chu vi của hình quạt tròn là P độ dài cung 2R . Do đó độ dài cung tròn là 8l Theo cách thứ nhất: 8 chính là chu vi đường tròn đáy của cái phễu. Tức là 2 8 4r r

Khi đó 2 2 2 25 4 3h R r 21

1.3 .4

3V

Theo cách thứ hai: Thì tổng chu vi của hai đường tròn đáy của hai cái phễu là 8 chu vi của một đường tròn đáy là 4 4 2 r 2r

Khi đó 2 2 2 25 2 21h R r

22

12. 21.2 .

3V . Khi đó

21

2

4 2 21.

78 21

3

V

V

. VẬN DỤNG CAO

Câu 15. Hoàn có một tấm bìa hình tròn như hình vẽ, Hoàn muốn biến hình tròn đó thành một hình cái phễu

hình nón. Khi đó Hoàn phải cắt bỏ hình quạt tròn AOB rồi dán hai bán kính OA vàOB lại với nhau (diện

tích chỗ dán nhỏ không đáng kể). Gọi x là góc ở tâm hình quạt tròn dùng làm phễu. Tìm x để thể tích phễu

lớn nhất?

O

B A

x

R

A, B

O

r

h R



.A. 2 6

3 . B.

3

. C.

2

. D. .

4


ABl = Rx ; Rx

r = 2π

.

2 3 4 2 2 3 2 2 2 21 1 14 8 2

2 23 24 24 2 V R h R x x R x x x

Để V lớn nhất thì 2 2 2 2 68 2

3x x x

.

so sac sab ab h - hoc360.net · 12 12 2 62 2 21 sac 2 s a sa a sa a ac a a oa so r a2 6 . 2 4 3 2 3...

Documents